E0428일품중수3하_정(001-005) 2015.4.28 1:48 PM 페이지1 SinsagoHitec
정답 및
풀이
수학❸(하)
■ 빠른 정답 찾기
2~5
Ⅴ 통계
09 대푯값과 산포도
내신 만점 정복하기
교과서 속 창의유형
Ⅵ
피타고라스 정리 10 피타고라스 정리
11 피타고라스 정리의 활용 ⑴
12 피타고라스 정리의 활용 ⑵
Ⅶ
삼각비
Ⅷ
원의 성질
내신 만점 정복하기
교과서 속 창의유형
13 삼각비 ⑴
14 삼각비 ⑵
15 삼각비의 활용
내신 만점 정복하기
교과서 속 창의유형
16 원과 직선
17 원주각
18 원주각의 활용
내신 만점 정복하기
교과서 속 창의유형
● 정답을 확인할 때에는 <빠른 정답 찾기>를 이용하면 편리합니다.
6
10
12
13
19
25
30
35
36
41
46
51
56
57
65
70
75
80
E0428일품중수3하_정(001-005) 2015.4.28 1:48 PM 페이지2 SinsagoHitec
빠른 정답 찾기
통계Ⅴ
09 대푯값과 산포도
▶개념 & 기출유형
▶내신 만점 도전하기
✽본책 22~25쪽
064 ②
065 16 cm 066 ④
067 ④
068 38+10'5
072 98
073 30
069 13 m 070 ④
074 5 cm, '7 cm
071 7+'ß13
075 ②
✽본책 8~9쪽
076 45
077 ;7@;
078 ⑤
079 ③
080 10+6'5
001 95점 002 ②, ④ 003 26회 004 4.8
005 '6 kg
081 ③
082 {:¡5•:, :™5¢:}
083 'ß13
084 ②
006 4반
007 ⑤
008 ③
009 ③
085 ③
086 ④
087
25'3`
2
cm¤
088 (9p+36) cm¤
▶내신 만점 도전하기
✽본책 10~11쪽
010 ②
011 252
012 ⑤
013 81 또는 123
014 ②
019 ③
015 'ß17점 016 98
020 풀이 8쪽
017 2, 9
018 ㈀, ㈂
021 1.8
022 ②
▶내신 만점 굳히기
✽본책 12쪽
023 56
024 ③
025 ③
026 C, E
027 113
028 125
▶내신 만점 굳히기
✽본책 26쪽
089 ④
090 146
091 ①
092 ⑤
093 (15-5'3)초
094 40
▶내신 만점 정복하기
✽본책 13~14쪽
029 ②
030 10회 031 ⑤
032 ⑤
033 ④
11 피타고라스 정리의 활용 ⑴
034 '7점 035 ⑤
038 3
038 77점 040 10
041 2'ß19회
036 A팀, B팀
037 ④
▶개념 & 기출유형
✽본책 27~29쪽
095 36
096 ①
097 :•5¢: cm 098 ③
099 3'3 cm¤
✽본책 15쪽
103 ③
106 ③
107 ⑤
100 ⑤
101 6'6 cm¤
3'2
2
104
105
4'3
3
108 'ß10
109 ①
110 25
102 18'5 cm¤
▶교과서 속 창의유형
042 B
Ⅵ
피타고라스 정리
10 피타고라스 정리
▶개념 & 기출유형
2 빠른 정답 찾기
▶내신 만점 도전하기
✽본책 30~32쪽
111 ③
112 ②
113 ;5&;
114 ③
115 2'7 cm
116 16'3
117 ②
118 (24'3+16) cm
120 ;3%;p
121 ④
122 ②
123 54 cm¤
119 ④
124 ;2%;
125 ⑤
126 72'2 cm¤
127 ③
128 {;2%;, 0}
043 54 cm¤ 044 10
045 ⑤
046 ③
047 196
048 ④
049 3
050 ①
051 1
052 ②
✽본책 18~21쪽
129 20 m
053 3a¤ +b¤
(cid:100) (cid:9178) 둔각삼각형
삼각형이 되기 위한 조건
삼각형의 한 변의 길이
는 나머지 두 변의 길이
의 차보다 크고 두 변의
길이의 합보다 작다.
∠AEH=∠BFE,
∠BFE+∠BEF=90°
이므로
(cid:100)∠AEH+∠BEF
=90°
(cid:100)∴ ∠HEF=90°
같은 방법으로 하면
(cid:100)∠EFG=∠FGH
=∠GHE
=90°
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
049 x+2가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되려
면
(cid:100)(cid:100)x+21
직각삼각형이 되려면
(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ =x¤ +(x+1)¤
(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-3=0
(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>1)
(cid:9120) 3
050 4¤ +(4'3 )¤ =8¤ 이므로 주어진 삼각형은 빗변의
길이가 8인 직각삼각형이다.
따라서 삼각형의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_4_4'3=8'3
(cid:9120) ①
051 x>9에서 x가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이
되려면
(cid:100)(cid:100)90)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)93¤ +6¤ 이므로 둔각삼각형이다.
㈁ 5¤ >3¤ +(2'2)¤ 이므로 둔각삼각형이다.
㈂ 17¤ =8¤ +15¤ 이므로 직각삼각형이다.
㈃ (3'7)¤ =3¤ +(3'6)¤ 이므로 직각삼각형이다.
㈄ 4¤ <(2'2)¤ +(2'3)¤ 이므로 예각삼각형이다.
이상에서 둔각삼각형은 ㈀, ㈁의 2개이다.
(cid:9120) ②
053 삼각형이 되려면
(cid:100)(cid:100)7-47일 때,
(cid:100)(cid:100)x¤ >4¤ +7¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ >65
(cid:100)(cid:100)∴ x>'∂65 (∵ x>0)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)'∂654¤ +x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ <33
(cid:100)(cid:100)∴ 00)
㉠, ㉢에서(cid:100)(cid:100)30)
△ADC에서(cid:100)(cid:100)y="√(2'7)¤ -4¤ =2'3
△CDB에서(cid:100)(cid:100)z="√(2'3)¤ +3¤ ='ß21
(cid:100)(cid:100)∴ xyz=2'7_2'3_'ß21=84
(cid:9120) ③
Ⅵ. 피타고라스 정리 13
E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지14 SinsagoHitec
055 AB” : AC”=3 : 4이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=3k, AC”=4k (k>0)
라 하면 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”="√(3k)¤ +(4k)¤ =5k
AB”_AC”=BC”_AD”이므로
(cid:100)(cid:100)3k_4k=5k_6(cid:100)(cid:100)∴ k=;2%; (∵ k>0)
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=4k=4_;2%;=10
(cid:9120) 10
056 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√6¤ +8¤ =10
¤ +BE”
DE”
(cid:100)(cid:100)DE”
(cid:100)(cid:100)∴ AD”
¤ =AD”
¤ +10¤ =AD”
¤ -DE”
¤ +AB”
¤ 이므로
¤ +(2'∂17)¤
¤ =10¤ -(2'∂17)¤ =32
(cid:9120) 32
¤ +CD”
057 AB”
(cid:100)(cid:100)(2'2)¤ +CD”
¤ =12
(cid:100)(cid:100)∴ CD”
△COD에서 CD”
(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ =12
¤ +DA”
¤ 이므로
¤ =BC”
¤ =2¤ +4¤
¤ =x¤ +y¤ 이므로
(cid:9120) ④
058 △AOD에서
(cid:100)(cid:100)AD”="√2¤ +2¤ =2'2 (cm)
¤ =BC”
¤ +DA”
¤ +CD”
AB”
¤ =4¤ +(2'2)¤
(cid:100)(cid:100)2AB”
¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2'3 (cm)(∵ AB”>0)
(cid:100)(cid:100)AB”
¤ 이고 AB”=CD”이므로
(cid:9120) 2'3 cm
¤ =BP”
¤ +CP”
059 AP”
(cid:100)(cid:100)20¤ +12¤ =18¤ +DP”
(cid:100)(cid:100)DP”
¤ +DP”
¤ 이므로
¤ =220(cid:100)(cid:100)∴ DP”=2'∂55 (∵ DP”>0) (cid:9120) ②
060 △ABC가 ∠C=90°인 직각삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)P=Q+R
(cid:100)(cid:100)∴ Q=52p-16p=36p
따라서 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이가 36p이므로
(cid:100)(cid:100);2!;_p_{
(cid:100)(cid:100)BC”
BC”
2
¤ =36p
}
¤ =288(cid:100)(cid:100)∴ BC”=12'2 (∵ BC”>0)
(cid:9120) 12'2
061 △ABC가 ∠A=90°인 직각삼각형이므로
(cid:100) (BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이)
(cid:100)=(AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이)
(cid:100) +(AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이)
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_p_6¤
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=18p (cm¤ )
(cid:9120) 18p cm¤
14 정답 및 풀이
만점 공략 BOX
등변사다리꼴의 평행
하지 않은 두 대변의
길이는 같다.
062 (색칠한 부분의 넓이)=△ABC이므로
(cid:100)(cid:100)56=;2!;_14_AC”(cid:100)(cid:100)∴ AC”=8 (cm)
따라서 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”=øπ14¤ +8¤ =2'∂65 (cm)
(cid:9120) 2'∂65 cm
063 PB”=x라 하면(cid:100)(cid:100)PC”=PA”=15-x
△PBC에서(cid:100)(cid:100)(15-x)¤ =x¤ +5¤
(cid:100)(cid:100)30x=200(cid:100)(cid:100)∴ x=;;™3º;;
(cid:100)(cid:100)∴ △PBC=;2!;_5_;;™3º;;=;;∞3º;;
(cid:9120) ;;∞3º;;
내신 만점 도전하기
본책 22~25쪽
064
를 이용한다.
△OCD가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리
주어진 반원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)OC”=r cm, OD”=(r-1) cm
△OCD에서
(cid:100)(cid:100)r¤ =3¤ +(r-1)¤
(cid:100)(cid:100)2r=10(cid:100)(cid:100)∴ r=5
(cid:9120) ②
△ABC에서 AD”가 ∠A의 이등분선
문제 이해
065
이므로
(cid:100)(cid:100)AB” : AC”=BD” : CD”=5 : 3
해결 과정
•30% 배점
AB”=5k cm, AC”=3k cm (k>0)라 하
면 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)(5k)¤ =(3k)¤ +8¤
(cid:100)(cid:100)16k¤ =64,(cid:100)(cid:100)k¤ =4
(cid:100)(cid:100)∴ k=2 (∵ k>0)
답 구하기
따라서 AB”=10 cm, AC”=6 cm이므로
(cid:100)(cid:100)AB”+AC”=16 (cm)
•50% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 16 cm
A
B
C
D
066
를 구한다.
먼저 피타고라스 정리를 이용하여 AC”의 길이
AB”=AM”=15 cm, CB”=CN”=8 cm이므로
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”="√15¤ +8¤ =17 (cm)
즉 CM”=AC”-AM”=17-15=2 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)MN”=CN”-CM”=8-2=6 (cm)
(cid:9120) ④
직각삼각형의 세 변을
지름으로 하는 세 반원
을 각각 그리면 작은
두 반원의 넓이의 합은
큰 반원의 넓이와 같
다.
보충학습
삼각형의 내각의 이등분선의 성질
△ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC”
와 만나는 점을 D라 하면
(cid:100)(cid:100)AB” : AC”=BD” : CD”
¤
E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지15 SinsagoHitec
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
만점 공략 BOX
본책 20쪽~23쪽
067
직각삼각형의 빗변의 중점은 외심이다.
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”=øπ(4'2)¤ +4¤ =4'3
직각삼각형의 빗변의 중점은 외심이므로
(cid:100)(cid:100)AM”=BM”=CM”
(cid:100)(cid:100)∴ CM”=;2!; AB”=;2!;_4'3=2'3
점 G가 △ABC의 무게중심이므로
(cid:100)(cid:100)GM”=;3!; CM”=;3!;_2'3=
2'3
3
(cid:9120) ④
068
서 피타고라스 정리를 이용한다.
△ABE에서 BE”의 길이를 구한 후 △FEC에
AE”=AD”=20이므로 △ABE에서
(cid:100)(cid:100)BE”="√20¤ -16¤ =12
(cid:100)(cid:100)∴ CE”
”=20-12=8
CF”=x라 하면 EF”=DF”=16-x이므로 △CFE에서
(cid:100)(cid:100)(16-x)¤ =8¤ +x¤ ,(cid:100)(cid:100)32x=192(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:100)(cid:100)∴ EF”=DF”=16-6=10
△ADF에서(cid:100)(cid:100)AF”="√20¤ +10¤ =10'5
따라서 (cid:8772)ABEF의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)16+12+10+10'5=38+10'5 (cid:9120) 38+10'5
EF”의 길이를 다음과 같이 구할 수도 있다.
참고
△ABEª△ECF (AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)AB” : EC”=AE” : EF”
16 : 8=20 : EF”에서(cid:100)(cid:100)EF”=10
069
스 정리를 이용한다.
보조선을 그어 직각삼각형을 만든 후 피타고라
A
H
15`m
오른쪽 그림과 같이 큰
나무와 작은 나무의 꼭대기
를 각각 A, B, 큰 나무와 지
면이 만나는 부분을 C라 하
고 점 B에서 AC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)AH”=15-10=5 (m)
△AHB에서(cid:100)(cid:100)AB”="√5¤ +12¤ =13 (m)
따라서 새가 날아간 거리는 13 m이다.
C
12`m
B
10`m
(cid:9120) 13 m
070
먼저 △ACH와 넓이가 같은 삼각형을 찾는다.
△ACG™△HCB (SAS 합동)이므로
(cid:100)(cid:100)△ACH=△BCH=△ACG
=△LCG=△LMG
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ACHI=2△ACH=2△BCH=2△ACG
=2△LCG=2△LMG=(cid:8772)LMGC
이때 △AMG>△LMG이므로
2△AMG>(cid:8772)ACHI이고, 2△ALG의 넓이가
(cid:8772)ACHI의 넓이와 같은지는 알 수 없다.
이상에서 (cid:8772)ACHI의 넓이와 항상 같은 것은 ㈀`, ㈁`,
(cid:9120) ④
㈂`, ㈄의 4개이다.
삼각형의 외심에서 세
꼭짓점에 이르는 거리
는 같다.
이차방정식
x¤ +2ax+b=0의 해
는
(cid:100)x=-a—"√a¤ -b
PQ”=x-6에서
(cid:100)x-6>0(cid:100)∴ x>6
삼각형의 무게중심은
중선을 각 꼭짓점으로
부터 2 : 1로 나눈다.
∠AEB+∠BAE=90°,
∠AEB+∠CEF=90°
이므로
(cid:100)∠BAE=∠CEF
(cid:100)∠B=∠C=90°
(cid:100)∴ △ABEª△ECF
(AA 닮음)
(cid:8772)ABDE는 AB”// DE”
인 사다리꼴이므로
(cid:8772)ABDE
=;2!;_(4+10)_14
=98
과 같이 구할 수도 있다.
AC”=HC”, CG”=CB”,
∠ACG=∠ACB+90°
=∠HCB
(cid:100)∴ △ACG™△HCB
(SAS 합동)
071
(cid:8772)ABCD는 정사각형이다.
△ABQ™△BCR™△CDS™△DAP이므로
x<3+4(cid:100)∴ x<7
AQ”=x라 하면 △ABQ에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√x¤ +36
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=x¤ +36
PQ”=x-6이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)PQRS=(x-6)¤
(cid:8772)PQRS의 넓이가 (cid:8772)ABCD의 넓이의
이므로
;7!;
(x¤ +36),(cid:100)(cid:100)x¤ -14x+36=0
(cid:100)(cid:100)(x-6)¤ =
;7!;
(cid:100)(cid:100)∴ x=7+'∂13 (∵ x>6)
(cid:9120) 7+'∂13
(cid:8772)ABCD의 넓이가 (cid:8772)PQRS의 넓이의 7배
이므로 PQ”=x라 하면 AB”='7x이다.
△ABQ에서(cid:100)(cid:100)('7x)¤ =(6+x)¤ +6¤
(cid:100)(cid:100)7x¤ =x¤ +12x+72,(cid:100)(cid:100)6x¤ -12x-72=0
(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-12=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1+'ß13 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=AP”+PQ”=6+(1+'ß13 )=7+'ß13
문제 이해
△ABC™△CDE이므로
072
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠DCE, AC”=CE”
이때 ∠ACB+∠BAC=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACB+∠DCE=90°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ACE=180°-(∠ACB+∠DCE)=90°
따라서 △ACE는 AC”=CE”인 직각이등변삼각형이다.
•40% 배점
해결 과정
△ACE의 넓이가 58이므로
¤ =116
(cid:100)(cid:100);2!;_AC”_CE”=58,(cid:100)(cid:100)AC”
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=2'∂29 (∵ AC”>0)
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”="√(2'∂29)¤
답 구하기
√-10¤ =4
∴ (cid:8772)ABDE=2△ABC+△ACE
•30% 배점
=2_{;2!;_4_10}+58
=98
•30% 배점
(cid:9120) 98
2x+1이 가장 긴 변의 길이이므로
해결 과정 ①
073
삼각형이 되려면
(cid:100)(cid:100)2x+1<(x-1)+2x(cid:100)(cid:100)∴ x>2
•30% 배점
해결 과정 ②
직각삼각형이 되려면
(cid:100)(cid:100)(2x+1)¤ =(x-1)¤ +(2x)¤
(cid:100)(cid:100)x¤ -6x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-6)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>2)
답 구하기
•40% 배점
따라서 직각을 낀 두 변의 길이가 5, 12이
므로 이 직각삼각형의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_5_12=30
•30% 배점
(cid:9120) 30
074
리를 이용한다.
가장 긴 막대의 길이를 정한 후 피타고라스 정
필요한 막대의 길이를 x cm라 하면
⁄ 가장 긴 막대의 ©길이가 x cm일 때,
삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)42인
연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2 (x>2인 짝
수)라 하면
(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ =x¤ +(x-2)¤
(cid:100)(cid:100)x¤ -8x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>2)
따라서 세 변의 길이가 6, 8, 10이므로 이 직각삼각형
의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)6+8+10=24
(cid:9120) ②
만점비법
연속하는 수에 대한 문제에서 다음과 같이 미지수를 정하
면 편리하다.
① 연속하는 두 정수 (cid:9178) x, x+1 또는 x-1, x
② 연속하는 세 정수 (cid:9178) x-1, x, x+1 또는 x-2, x-1,
x 또는 x, x+1, x+2
③ 연속하는 두 짝수 (cid:9178) x, x+2 또는 2x, 2x+2
④ 연속하는 두 홀수 (cid:9178) x, x+2 또는 2x-1, 2x+1
해결 과정 ①
삼각형이 되려면
076
(cid:100)(cid:100)12-512이므로(cid:100)(cid:100)125¤ +12¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ >169
(cid:100)(cid:100)∴ x>13
해결 과정 ③
yy ㉡(cid:100)(cid:100)•30% 배점
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)135¤ +6¤ (cid:9178) 둔각삼각형
12¤ >5¤ +8¤ (cid:9178) 둔각삼각형
13¤ =5¤ +12¤ (cid:9178) 직각삼각형
12¤ >6¤ +8¤ (cid:9178) 둔각삼각형
16 정답 및 풀이
만점 공략 BOX
13¤ >6¤ +8¤ (cid:9178) 둔각삼각형
13¤ <6¤ +12¤ (cid:9178) 예각삼각형
13¤ <8¤ +12¤ (cid:9178) 예각삼각형
따라서 예각삼각형이 되는 경우는 (6, 12, 13),
(8, 12, 13)의 2가지이므로 구하는 확률은
4<3+x(cid:100)∴ 1n>0에서 (m-n)¤ >0, mn>0이므로
(cid:100)(cid:100)m¤ -2mn+n¤ >0
(cid:100)(cid:100)∴ m¤ +n¤ >2mn>mn
따라서 AB”가 가장 긴 변이므로
(cid:100)(cid:100)AB”
(cid:100)(cid:100)BC”
¤ =(m¤ +n¤ )¤ =m› +2m¤ n¤ +n›
¤ +CA”
¤ =(mn)¤ +(m¤ -n¤ )¤
=m› -m¤ n¤ +n›
∴ AB”
¤ >BC”
¤ +CA”
따라서 △ABC는 ∠C>90°인 둔각삼각형이다.
(cid:9120) ⑤
BC”의 길이를 구한 후 AC”
¤ =CH”_CB”임을 이
079
용한다.
△ABC에서
¤ =CH”_CB”이므로
(cid:100)(cid:100)BC”="√(8'3)¤ +8¤ =16 (cm)
AC”
(cid:100)(cid:100)8¤ =CH”_16(cid:100)(cid:100)∴ CH”=4 (cm)
△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”="√8¤ -4¤ =4'3 (cm)
이때 MC”=;2!; BC”=;2!;_16=8 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)MH”=8-4=4 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △AMH=;2!;_4_4'3=8'3 (cm¤ ) (cid:9120) ③
해결 과정 ①
AB”=c, BC”=a, CA”=b라 하면
080
△ABC=;2!;_BC”_AD”=;2!;_a_4=20이므로
(cid:100)(cid:100)a=10
또 △ABC=;2!;_AB”_CA”=;2!; bc=20이므로
(cid:100)(cid:100)bc=40
•40% 배점
해결 과정 ②
△ABC는 직각삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)b¤ +c¤ =100,(cid:100)(cid:100)(b+c)¤ -2bc=100
(cid:100)(cid:100)(b+c)¤ -80=100,(cid:100)(cid:100)(b+c)¤ =180
(cid:100)(cid:100)∴ b+c=6'5 (∵ b+c>0)
답 구하기
∴ (△ABC의 둘레의 길이)
=a+b+c=10+6'5
•40% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 10+6'5
081
을 이용한다.
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질
△ABC에서 AM”=MB”, AN”=NC”이므로
(cid:100)(cid:100)MN”=;2!; BC”, 즉 BC”=2MN”
x-2는 변의 길이이므
로
(cid:100)x-2>0(cid:100)∴ x>2
A
H
B
C
(cid:9178) △ABCª△HBA
ª△HAC
¤ =BH”_BC”
¤ =CH”_CB”
¤ =BH”_CH”
① AB”
② AC”
③ AH”
④ AB”_AC”
=BC”_AH”
(5, 6, 12), (5, 6, 13),
(5, 8, 13)인 경우에는
삼각형이 만들어지지
않는다.
△ABC에서
AM”=MB”, AN”=NC”
이면
(cid:100)MN”∥BC”,
(cid:100)MN”=;2!; BC”
A
a
2a
M
N
B
C
¤
E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지17 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
본책 23쪽~25쪽
¤ 에서
¤ +BC”
¤ =MN”
¤ +CM”
¤ +(2MN”)¤ =12¤ +9¤
¤ =225,(cid:100)(cid:100)MN”
이때 BN”
(cid:100)(cid:100)MN”
¤ =45
(cid:100)(cid:100)5MN”
(cid:100)(cid:100)∴ MN”=3'5 (∵ MN”>0)
AM”=a, AN”=b라 하면
△ABN에서(cid:100)(cid:100)(2a)¤ +b¤ =144
△AMC에서(cid:100)(cid:100)a¤ +(2b)¤ =81
㉠+㉡을 하면(cid:100)(cid:100)5(a¤ +b¤ )=225
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =45
(cid:100)(cid:100)∴ MN”="√a¤ +b¤ =3'5
(cid:9120) ③
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
082
점 A에서 OB”에 수선의 발을 내려 본다.
y
O
8
6
a
A
b
H
10
B
x
△AOB에서
¤ +AB”
¤ =OA”
OB”
(cid:100)(cid:100)∠A=90°
¤ 이므로
점 A의 좌표를 (a, b), 점
A에서 OB”에 내린 수선의
발을 H라 하면 OA”
¤ =OH”_OB”에서
(cid:100)(cid:100)6¤ =a_10(cid:100)(cid:100)∴ a=;;¡5•;;
OA”_AB”=OB”_AH”에서
(cid:100)(cid:100)6_8=10_b(cid:100)(cid:100)∴ b=;;™5¢;;
따라서 점 A의 좌표는(cid:100)(cid:100){;;¡5•;;, ;;™5¢;;} (cid:9120) {;;¡5•;;, ;;™5¢;;}
•20% 배점
•20% 배점
•20% 배점
•40% 배점
(cid:9120) '∂13
해결 과정 ①
△OCD에서
083
(cid:100)(cid:100)CO”=ø∑(3'3)¤ -∑(3'2)¤ =3
CO”=;2!;AO”이므로
해결 과정 ②
(cid:100)(cid:100)3=;2!;AO”(cid:100)(cid:100)∴ AO”=6
해결 과정 ③
△AOD에서
(cid:100)(cid:100)AD”=øπ6¤ +(3'2)¤ =3'6
답 구하기
¤ +CD”
따라서 (cid:8772)ABCD에서
¤ 이므로
¤ +BC”
¤ =AD”
AB”
(cid:100)(cid:100)(2'ß10)¤ +(3'3)¤ =(3'6)¤ +BC”
(cid:100)(cid:100)BC”
(cid:100)(cid:100)∴ BC”='∂13 (∵ BC”>0)
¤ =13
△OCD에서
(cid:100)(cid:100)CO”=ø∑(3'3)¤ -∑(3'2 )¤ =3
CO”=;2!;AO”이므로(cid:100)(cid:100)AO”=6
△ABO에서(cid:100)(cid:100)BO”=ø∑(2'ß10)¤
△BCO에서(cid:100)(cid:100)BC”=ø∑2¤ +3¤ ='∂13
∑-6¤ =2
084
BC”의 길이를 구한다.
먼저 AB”
¤ +CD”
¤ =BC”
¤ +AD”
¤ 임을 이용하여
AB”
¤ +CD”
¤ +AD”
¤ 에서
¤ =BC”
¤ +4¤
(cid:100)(cid:100)3¤ +5¤ =BC”
(cid:100)(cid:100)BC”
¤ =18(cid:100)(cid:100)∴ BC”=3'2 (∵ BC”>0)
(시간)
=
(거리)
(속력)
0.3
3
=0.1`(시간)=6`(분)
(cid:9120) ③
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
두 대각선이 직교하는
사각형에서 마주 보는
두 변의 길이의 제곱의
합이 서로 같다.
(cid:100)(cid:100)BC”
△ABC에서
△BCO에서(cid:100)(cid:100)CO”=ø∑(3'2 )¤ -∑('6 )¤ =2'3
(cid:100)(cid:100)∴ △BCO=;2!;_'6 _2'3=3'2
(cid:9120) ②
¤ +DP”
¤ +CP”
085
(cid:8833) AP”
직사각형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여
¤ =BP”
¤ +CP”
AP”=x m라 하면 AP”
(cid:100)(cid:100)x¤ +(150'6)¤ =150¤ +450¤
(cid:100)(cid:100)x¤ =90000(cid:100)(cid:100)∴ x=300 (∵ x>0)
따라서 AP”=300 (m)=0.3 (km)이므로 집 A에서
출발하여 시속 3 km로 걸어서 공원까지 가는 데 걸리
는 시간은
¤ +DP”
¤ =BP”
¤ 에서
086
P=;2!;_p_{
P+Q=R임을 이용하여 Q의 값을 구한다.
¤ =6p에서
}
¤ =48(cid:100)(cid:100)∴ AB”=4'3 (∵ AB”>0)
AB”
2
(cid:100)(cid:100)AB”
Q=R-P=4p이므로 ;2!;_p_{
(cid:100)(cid:100)AC”
¤ =32(cid:100)(cid:100)∴ AC”=4'2 (∵ AC”>0)
AC”
2
¤ =4p에서
}
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'2_4'3=8'6
(cid:9120) ④
BC”
R=;2!;_p_{
2
¤ =80(cid:100)(cid:100)∴ BC”=4'5 (∵ BC”>0)
¤ =10p에서
}
(cid:100)(cid:100)AC”=øπ(4'5)¤ -(4'3)¤ =4'2
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'2_4'3=8'6
해결 과정 ①
087
오른쪽 그
림과 같이 ∠DCB=60°가 되
도록 AB”의 연장선 위에 점 D
를 잡으면 △BCD는 정삼각
형이므로 점 C에서 BD”에 그
은 수선은 BD”를 이등분한다.
A
60æ
B
D
60æ
10`cm
60æ
C
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=;2!;BD”=;2!;_10=5 (cm) •40% 배점
해결 과정 ②
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”=øπ10¤ -5¤ =5'3 (cm)
답 구하기
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와
•20% 배점
같으므로
(cid:100)(cid:100);2!;_5_5'3=
25'3
2
(cm¤ )
•40% 배점
(cid:9120)
25'3
2
cm¤
088
합은 CA”를 지름으로 하는 반원의 넓이와 같다.
AB”, BC”를 각각 지름으로 하는 반원의 넓이의
AB”, BC”, CA”를 지름으로 하는 반원의 넓이를
각각 S¡, S™, S£이라 하면
Ⅵ. 피타고라스 정리 17
¤
¤
E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지18 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
(cid:8772)ABCD의 두 대각
선의 교점을 O라 하면
CO”는 △BCD의 중선
이다.
따라서 점 G는 두 중
선 CO”, DE”의 교점이
므로 △BCD의 무게
중심이다.
△NBI, △MBH,
△ABC는 닮음비가
1 : 2 : 3인 닮은 도형
이다.
BC”=3b, BH”=2b이
므로
(cid:100)IC”=3b-b=2b
(cid:100)HC”=3b-2b=b
A'D”=CD”=15,
∠A'=∠C=90°,
∠A'DE=∠CDF이
므로
(cid:100)△A'ED™△CFD
(ASA 합동)
답 구하기
△DGH에서(cid:100)(cid:100)DG”
¤ =5¤ +14¤ =221
△GCH에서(cid:100)(cid:100)CG”
¤ -CG”
(cid:100)(cid:100)∴ 2DG”
¤ =10¤ +14¤ =296
¤ =146
•20% 배점
(cid:9120) 146
091
삼각형의 무게중심은 세 중선의 교점이다.
점 G는 △BCD의 무게중심이므로
(cid:100)(cid:100)△CDG=;3!;△BCD=;3!;_{;2!;_2_2}=;3@;
△AFD와 △DEC에서
(cid:100)(cid:100)AD”=DC”, DF”=CE”, ∠ADF=∠DCE=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△AFD™△DEC (SAS 합동)
따라서 ∠DAF=∠HDF, ∠AFD는 공통이므로
(cid:100)(cid:100)△AFDª△DFH (AA 닮음)
AF”="√2¤ +1¤ ='5이므로
(cid:100)(cid:100)AF” : DF”='5 : 1
즉 △AFD와 △DFH의 닮음비가 '5 : 1이므로 넓이
의 비는 ('5)¤ : 1¤ =5 : 1이다.
이때 △ADF=;2!;_2_1=1이므로
(cid:100)(cid:100)1 : △DFH=5 : 1(cid:100)(cid:100)∴ △DFH=;5!;
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)HGCF=△CDG-△DFH
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)HGCF=;3@;-;5!;=;1¶5;
(cid:9120) ①
보충학습
삼각형의 세 중선에 의하여 삼각형의
넓이는 6등분된다.
(cid:9178) △ABC의 무게중심을 G라 하면
(cid:9178) (cid:100)(cid:100)△GAF=△GBF=△GBD
(cid:9178) (cid:100)(cid:100)△GAF=△GCD=△GCE
(cid:9178) (cid:100)(cid:100)△GAF=△GAE=;6!;△ABC
F
E
A
G
D
B
C
092
∠A=90°인 직각삼각형이다.
△ABF, △ABG, △ADF, △AEG는 모두
AD”=x, AF”=y (x>0, y>0)라 하자.
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
△ADF에서(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ =25
△ABG에서(cid:100)(cid:100)(3x)¤ +(2y)¤ =(2'3å5)¤
(cid:100)(cid:100)9x¤ +4y¤ =140
㉡-㉠_4를 하면(cid:100)(cid:100)5x¤ =40
(cid:100)(cid:100)x¤ =8(cid:100)(cid:100)∴ x=2'2 (∵ x>0)
x=2'2를 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)y='1å7 (∵ y>0)
△AEG에서
¤ =(2x)¤ +(2y)¤ =(4'2)¤ +(2'1å7)¤ =100
¤ =(3x)¤ +y¤ =(6'2)¤ +('1å7)¤ =89
¤ =189
¤ +BF”
x=2'2, y='∂17이므로 △AEF에서
(cid:9120) ⑤
(cid:100)(cid:100)EG”
△ABF에서
(cid:100)(cid:100)BF”
(cid:100)(cid:100)∴ EG”
S£=S¡+S™
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:100)(cid:100)S¡+S£+△ABC-S™
=S¡+(S¡+S™)+△ABC-S™
=2S¡+△ABC
=2_{;2!;_p_3¤ }+;2!;_12_6
=9p+36 (cm¤ )
(cid:9120) (9p+36) cm¤
내신 만점 굳히기
본책 26쪽
089
와 평행하므로 직각삼각형의 닮음을 이용한다.
두 점 M, N에서 각각 BC”에 그은 수선은 AC”
A
3
C
I
b
4
a
B
H
N
M
오른쪽 그림과 같이
두 점 M, N에서 BC”에 내
린 수선의 발을 각각 H, I라
하고 NI”=a, BI”=b라 하자.
두 점 M, N이 빗변 AB의
삼등분점이므로
(cid:100)(cid:100)NI” : MH” : AC”=BI” : BH” : BC”=1 : 2 : 3
(cid:100)(cid:100)∴ MH”=2a, IC”=2b, HC”=b
△CMH에서(cid:100)(cid:100)(2a)¤ +b¤ =3¤
(cid:100)(cid:100)∴ 4a¤ +b¤ =9
△CNI에서(cid:100)(cid:100)a¤ +(2b)¤ =4¤
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +4b¤ =16
㉠+㉡을 하면(cid:100)(cid:100)5(a¤ +b¤ )=25
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =5
(cid:100)(cid:100)∴ MN”=BN”="√a¤ +b¤ ='5
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:9120) ④
090
문제 이해
므로 △DCF에서
BF”=DF”=x라 하면 FC”=25-x이
(cid:100)(cid:100)x¤ =(25-x)¤ +15¤ ,(cid:100)(cid:100)50x=850
(cid:100)(cid:100)∴ x=17
△A'ED™△CFD이므로
(cid:100)(cid:100)DE”=DF”=17
A
해결 과정 ①
오른쪽 그림과
같이 점 G에서 CD”에 내린
수선의 발을 H, 점 F에서
GH”, ED”에 내린 수선의 발을
각각 I, J라 하면
(cid:100)(cid:100)ED”// GH”// FC”
EG” : EF”=1 : 3이므로
(cid:100)(cid:100)DH” : DC”=1 : 3
(cid:100)(cid:100)DH” : 15=1 : 3(cid:100)(cid:100)∴ DH”=5
15
B
•20% 배점
A'
E
G
J
I
F
25
D
H
C
•30% 배점
해결 과정 ②
또 △EFJ에서
(cid:100)(cid:100)EF” : GF”=EJ” : GI”,(cid:100)(cid:100)3 : 2=9 : GI”
(cid:100)(cid:100)∴ GI”=6
(cid:100)(cid:100)∴ GH”=6+8=14
18 정답 및 풀이
ED”=FD”=17이고
JD”=FC”=8이므로
(cid:100)EJ”=17-8=9
•30% 배점
(cid:100)(cid:100)EF”=ø∑(4'2)¤ +∑('∂17)¤ =7
따라서 △ABG에서
(cid:100)(cid:100)EG”
¤ +BG”
¤ =EF”
¤ +BF”
¤ =7¤ +(2'∂35 )¤ =189
E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지19 SinsagoHitec
문제 이해
x초 후에
093
△BPQ가 정삼각형이 된다고
하면 두 점 P, Q가 각각 CD”,
AD” 위에 있어야 하므로
(cid:100)(cid:100)10<2x<20
(cid:100)(cid:100)∴ 50)라 하면
(cid:100)(cid:100)ø∑(5a)¤ +∑(4a)¤ =2'∂41
(cid:100)(cid:100)'∂41a=2'∂41(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 직사각형의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2(5a+4a)=18a=18_2=36
(cid:9120) 36
096 원에 내접하는 정사각형의 대각선의 길이는 원의
지름의 길이와 같다.
따라서 정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
(cid:100)(cid:100)'2a=2_10
(cid:100)(cid:100)∴ a=10'2
(cid:9120) ①
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
x초 동안 점 P, Q가
움직인 거리
x초 동안 2x 움직였으
므로
(cid:100)BC”+CP”=2x
(cid:100)∴ CP”=2x-BC”
=2x-10
△BPQ가 정삼각형이
므로
(cid:100)PB”=QP”
(cid:100)∴ PB”
¤ =QP”
△ABD의 넓이에서
_AB”_AD”
1
2
1
2
△AHD에서 피타고
라스 정리를 이용하여
DH”=Æ…12¤ -{:£5§:}2
=:¢5•:
과 같이 구할 수도 있
다.
삼각형의 무게중심은
세 중선의 길이를 각
꼭짓점으로부터 각각
2 : 1로 나눈다.
094 [문제 해결 길잡이]
❶ BE”=CE”=EF”임을 이용하여 EF”의 길이를 구한다.
❷ 직각삼각형의 합동을 이용하여 크기가 같은 각을 찾아
= _BD”_AH”
∠AED의 크기를 구한다.
❸ △AED에서 EF”
¤ =AF”_DF”임을 이용하여 AB”, CD”의
길이를 구한다.
❹ (cid:8772)ABCD의 넓이를 구한다.
BE”
”=CE”=EF”이고 BC”=8이므로
(cid:100)(cid:100)EF”=;2!;BC”=4 ❶
△ABE와 △AFE에서
(cid:100)(cid:100)∠ABE=∠AFE=90°,
(cid:100)(cid:100)AE”는 공통, BE”=FE”
이므로(cid:100)(cid:100)△ABE™△AFE (RHS 합동)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠AEB=∠AEF
△DCE와 △DFE에서
(cid:100)(cid:100)∠DCE=∠DFE=90°,
(cid:100)(cid:100)DE”는 공통, CE”=FE”
이므로(cid:100)(cid:100)△DCE™△DFE (RHS 합동)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠DEC=∠DEF
㉠, ㉡에서
(cid:100)(cid:100)∠AED=∠AEF+∠DEF
(cid:100)(cid:100)∠AED=;2!;∠BEF+;2!;∠CEF
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
180°
(cid:100)(cid:100)∠AED=;2!;(∠BEF+∠CEF)
(cid:100)(cid:100)∠AED=90° ❷
따라서 AB”=AF”=a, CD”=FD”=b (a, b는 1보다 큰
¤ =AF”_DF”이므로
자연수)라 하면 △AED에서 EF”
yy ㉢(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)4¤ =ab
이때 a, b는 1보다 큰 자연수이고 a0)
이차함수
y=ax¤ +bx+c의 그래
프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)y=a(x-p)¤ +q
꼴로 변형하여 구한다.
(cid:100)(cid:100)AB”=ø∑4¤ +∑(8'2)¤ =12 (cm)
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)AB”+BC”+CA”=12+8+12=32 (cm) (cid:9120) ③
104 △BCD에서(cid:100)(cid:100)BC” : CD”='3 : 1
(cid:100)(cid:100)BC” : '3='3 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BC”=3
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC” : BC”=1 : '2
(cid:100)(cid:100)AC” : 3=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=
3'2
2
(cid:9120)
3'2
2
105 △ABC에서(cid:100)(cid:100)AB” : AC”=1 : 2
(cid:100)(cid:100)AB” : 8=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AB”=4
∠BAD=∠DAC이고 ∠BAC=60°이므로 △ABD
에서
(cid:100)(cid:100)∠BAD=30°, ∠ADB=60°
따라서 AB” : BD”='3 : 1이므로
(cid:100)(cid:100)4 : BD”='3 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BD”=
(cid:9120)
4'3
3
4'3
3
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC” : BC”=2 : '3
(cid:100)(cid:100)8 : BC”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ BC”=4'3
20 정답 및 풀이
BD” : DC”
”=AB” : AC”=1 : 2이므로
4'3
3
(cid:100)(cid:100)BD”=4'3_;3!;=
30æ
6´2
60æ
C
A
B
H
45æ
45æ
106 오른쪽 그림과 같이 꼭
짓점 A에서 BC”에 내린 수선
의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)∠BAH=45°
(cid:100)(cid:100)∠CAH=30°
△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH” : AC”='3 : 2
(cid:100)(cid:100)AH” : 6'2='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'6
또 AC” : HC”=2 : 1이므로(cid:100)(cid:100)6'2 : HC”=2 : 1
(cid:100)(cid:100)∴ HC”=3'2
△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH” : BH”=1 : 1
(cid:100)(cid:100)3'6 : BH”=1 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BH”=3'6
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=BH”+HC”=3'6+3'2
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_(3'6+3'2)_3'6
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=27+9'3
107 AC”=ø∑(2+2)¤ +∑(-1-5)¤ ='∂52
BC”=ø∑(2-a)¤ +∑(-1-3)¤ =ø∑(2-a)¤
이때 AC”=BC”이므로
∑+16
∑+16='∂52
(cid:100)(cid:100)ø∑(2-a)¤
(cid:100)(cid:100)(2-a)¤ +16=52
(cid:100)(cid:100)(a-2)¤ =36,(cid:100)(cid:100)a-2=—6
(cid:100)(cid:100)∴ a=8 (∵ a>0)
(cid:9120) ③
(cid:9120) ⑤
108 y=2x¤ -8x+7=2(x-2)¤ -1의 그래프의 꼭짓
점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(2, -1)
따라서 점 (2, -1)과 점 (3, 2) 사이의 거리는
(cid:100)(cid:100)ø∑(3-2)¤ +∑(2+1)¤ ='ß10
(cid:9120) 'ß10
보충학습
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 성질
① 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y
축의 방향으로 q만큼 평행이동한 것이다.
② 꼭짓점의 좌표: (p, q)
③ 축의 방정식: x=p
∑+(2-5)¤ ='∂25
109 AB”=ø∑(1-5)¤
BC”=ø∑(4-1)¤ +∑(-1-2)¤ ='∂18
CA”=ø∑(5-4)¤ +∑(5+1)¤ ='∂37
CA”
¤ 0)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ODCE=4_4'3=16'3 (cm¤ )
(cid:9120) ③
한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이
112
는 '2a임을 이용한다.
(cid:8772)BEFG의 한 변의 길이를 a라 하면
(cid:100)(cid:100)BF”='2a, FC”=a
이므로 △BFC에서(cid:100)(cid:100)BC”=øπ('2a)¤ +a¤ ='3a
따라서 (cid:8772)ABCD와 (cid:8772)BEFG의 닮음비가 '3 : 1이므
로 넓이의 비는
(cid:100)(cid:100)('3 )¤ : 1¤ =3 : 1
(cid:9120) ②
문제 이해
113
해결 과정 ①
AB”
BD”="√3¤ +4¤ =5
¤ =BE”_BD”이므로
(cid:100)(cid:100)3¤ =BE”_5(cid:100)(cid:100)∴ BE”=;5(;
CD”
해결 과정 ②
¤ =DF”_DB”이므로
•20% 배점
•30% 배점
(cid:100)(cid:100)3¤ =DF”_5(cid:100)(cid:100)∴ DF”=
•30% 배점
;5(;
답 구하기
∴ EF”=BD”-BE”-DF”
=5-;5(;-;5(;=;5&;
•20% 배점
(cid:9120) ;5&;
BC”
¤ =BF”_BD”이므로
(cid:100)(cid:100)4¤ =BF”_5(cid:100)(cid:100)∴ BF”=
:¡5§:
(cid:100)(cid:100)∴ EF”=BF”-BE”=
-;5(;=;5&;
:¡5§:
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이는
'3
2
a
AD”는 한 변의 길이가 4인 정삼각형 ABC의 높
114
이다.
이이므로
'3
(cid:100)(cid:100)AD”= _4=2'3
2
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
따라서 정삼각형 ADE의 넓이는
(cid:100)(cid:100) _(2'3)¤ =3'3
'3
4
(cid:9120) ③
A
115
꼭짓점 A에서 BC”에 수선을 그어 생각한다.
꼭짓점 A에서 BC”에 내린
수선의 발을 H라 하면 △ABC
의 한 변의 길이가 6 cm이므로
(cid:100)(cid:100)BH”=;2!;BC”=3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ DH”=3-2=1 (cm)
H
B
2`cm 4`cm
D
C
'3
2
AH”= _6=3'3 (cm)이므로 △ADH에서
(cid:100)(cid:100)AD”=øπ1¤ +(3'3)¤ =2'7 (cm)
(cid:9120) 2'7 cm
문제 이해
BC”=3a,
116
CD”=4a (a>0)라 하고,
△ECD의 꼭짓점 E에서
CD”에 내린 수선의 발을 H라
하면
E
A
B
3a
C
H
4a
D
'3
(cid:100)(cid:100)EH”= _4a=2'3a
2
이때 △ACE=△BCE이므로
해결 과정
•30% 배점
(cid:100)(cid:100)12'3=;2!;_3a_2'3a
(cid:100)(cid:100)a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a>0)
답 구하기
따라서 CD”=4a=4_2=8이므로
'3
(cid:100)(cid:100)△ECD= _8¤ =16'3
4
•50% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 16'3
보충학습
평행선을 이용한 삼각형의 넓이
l//m이면
(cid:100)(cid:100)△ABC=△DBC
A
D
B
C
l
m
117
지고, 각각의 정삼각형의 높이는 내접원의 반지름의 길이와
정육각형은 6개의 합동인 정삼각형으로 나누어
같다.
오른쪽 그림과 같이 정
육각형에 내접하는 원의 반지
름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)r= _
=4
'3
2
8'3
3
따라서 구하는 내접원의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_4¤ =16p (cm¤ )
cm8´3
3
r`cm
cm8´3
3
cm8´3
3
해결 과정
118
오른쪽 그림에서
△ABC는 한 변의 길이가 48 cm
인 정삼각형이므로 그 높이는
(cid:100)(cid:100) _48=24'3 (cm)
'3
2
(cid:9120) ②
A
B
C
•60% 배점
Ⅵ. 피타고라스 정리 21
E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지22 SinsagoHitec
답 구하기
따라서 지면에서 제일 꼭대기까지의 높이는
(cid:100)(cid:100)8+24'3+8=24'3+16 (cm)
•40% 배점
(cid:9120) (24'3+16)cm
119
용한다.
△ABC=△PAB+△PBC+△PCA임을 이
△ABC의 한 변의 길이를 a라 하면
△ABC=△PAB+△PBC+△PCA이므로
(cid:100)(cid:100) a¤ =;2!;_a_PD”+;2!;_a_PE”+;2!;_a_PF”
'3
4
'3
4
'3
(cid:100)(cid:100) a¤ =
4
(cid:100)(cid:100) a¤ =;2!;a(PD”+PE”+PF”)
3'3
2
a(cid:100)(cid:100)∴ a=6 (∵ a>0)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _6¤ =9'3
'3
4
(cid:9120) ④
120
(cid:8833) △ABC=△OAB+△OBC+△OCA
△ABC의 내접원의 중심을 O라 하면
4
6
A
O
B
x
H
8-x
C
오른쪽 그림과 같이 꼭
짓점 A에서 BC”에 내린 수
선의 발을 H라 하고,
BH”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)CH”=8-x
△ABH와 △AHC에서
(cid:100)(cid:100)AH”
¤ =4¤ -x¤ =6¤ -(8-x)¤
(cid:100)(cid:100)16x=44(cid:100)(cid:100)∴ x=;;¡4¡;;
¤ =
따라서 AH”=Æ…4¤ -{;;¡4¡;;}
3'∂15
4
이므로
3'∂15
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_8_
4
△ABC의 내접원의 중심을 O라 하고 반지름의 길이를
r라 하면 △ABC=△OAB+△OBC+△OCA이므로
=3'∂15
'∂15
3
(cid:100)(cid:100)3'∂15=9r(cid:100)(cid:100)∴ r=
따라서 구하는 원의 넓이는
'∂15
3
¤ =;3%;p
}
(cid:100)(cid:100)p_{
(cid:9120) ;3%;p
121
보조선을 그어 직각삼각형을 찾는다.
오른쪽 그림과 같이 꼭
짓점 A에서 BC”에 내린 수선
의 발을 H라 하고, HM”=a라
하면(cid:100)(cid:100)BH”=21-a
△ABH와 △AHM에서
20
A
13
B
21-a a
H
M
C
¤ =20¤ -(21-a)¤ =13¤ -a¤
(cid:100)(cid:100)AH”
(cid:100)(cid:100)42a=210(cid:100)(cid:100)∴ a=5
(cid:100)(cid:100)∴ AH”="√13¤ -5¤ =12
또 HC”=HM”+MC”=5+21=26이므로 △AHC에서
(cid:9120) ④
(cid:100)(cid:100)AC”
¤ =12¤ +26¤ =820
¤ =AH”
¤ +HC”
22 정답 및 풀이
만점 공략 BOX
이등변삼각형의 꼭지각
의 꼭짓점에서 밑변에
그은 수선은 밑변을 이
등분하므로
(cid:100)AM”=MC”
(cid:100) =;2!;AC”
(cid:100) =2'2 (cm)
BM”=;2!; BC”=21이므
로
(cid:100)BH”=BM”-HM”
=21-a
122
△AFC는 AF”=CF”인 이등변삼각형이다.
AF”=CF”="√4¤ +3¤ =5 (cm),
AC”="√4¤ +4¤ =4'2 (cm)이므로 △AFC는
AF”=CF”인 이등변삼각형이다.
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 F에서
AC”에 내린 수선의 발을 M이라
하면 △AFM에서
5`cm
F
(cid:100)(cid:100)FM”=ø∑5¤ -∑(2'2)¤
(cid:100)(cid:100)FM”='∂17 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △AFC=;2!;_4'2_'∂17
(cid:100)(cid:100)∴ △AFC=2'∂34 (cm¤ )
A
C
M
4Â2`cm
5`cm
(cid:9120) ②
D
F
E
A
30æ
△EAD에서
123
해결 과정 ①
DE” : AD”='3 : 2이므로
(cid:100)(cid:100)DE” : 12='3 : 2
(cid:100)(cid:100)∴ DE”=6'3 (cm)•30% 배점
꼭짓점 E에서 AD”,
해결 과정 ②
BC”에 내린 수선의 발을 각각 F, G
라 하면 △DEF에서
DF” : DE”='3 : 2이므로
(cid:100)(cid:100)DF” : 6'3='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ DF”=9 (cm)•40% 배점
∴ △ECD=;2!;_CD”_DF”
답 구하기
G
12`cm
B
C
∴ △ECD=;2!;_12_9
∴ △ECD=54(cm¤ )
•30% 배점
(cid:9120) 54 cm¤
•20% 배점
PQ”=x (x>2)라 하면 △PBQ에서
문제 이해
124
BP” : PQ”=2 : 1이므로
(cid:100)(cid:100)BP” : x=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BP”=2x
(cid:100)(cid:100)∴ AP”=AB”-BP”=6-2x
해결 과정
△ABC와 △APS에서
(cid:100)(cid:100)∠A는 공통, ∠ABC=∠APS (동위각)
이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△APS (AA 닮음)
따라서 AB” : AP”=BC” : PS”이므로
(cid:100)(cid:100)6 : (6-2x)=9 : PS”
(cid:100)(cid:100)∴ PS”=9-3x
•40% 배점
답 구하기
따라서 (cid:8772)PQRS=x(9-3x)=;;¡4∞;;이므로
(cid:100)(cid:100)4x¤ -12x+5=0,(cid:100)(cid:100)(2x-5)(2x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=;2%; (∵ x>2)
즉 PQ”의 길이는 ;2%;이다.
•40% 배점
(cid:9120) ;2%;
특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이
125
용할 수 있도록 보조선을 긋는다.
두 꼭짓점 A, D에
서 BC”에 내린 수선의 발
을 각각 H, H'이라 하면
B
H
45æ
A
5
D
4
60æ
H'
C
(cid:100)(cid:100)3'∂15=;2!;_4_r+;2!;_8_r+;2!;_6_r
BC”// PS”
E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지23 SinsagoHitec
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
△DH'C에서 ∠CDH'=150°-90°=60°이므로
(cid:100)(cid:100)DC” : DH'”=2 : 1
(cid:100)(cid:100)4 : DH'”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ DH'”=2
또 DC” : CH'”=2 : '3이므로
(cid:100)(cid:100)4 : CH'”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ CH'”=2'3
△ABH에서 BH”=AH”=DH'”=2이므로
(cid:100)(cid:100)BC”=BH”+HH'”+CH'”
=2+5+2'3=7+2'3
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_{5+(7+2'3)}_2
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=12+2'3
(cid:9120) ⑤
126
넓이를 구한다.
꼭짓점 H에서 OG”에 수선을 그어 △HOG의
C
B
D
6`cm
45æ
6`cm
O
A
E
H
F
G
P
오른쪽 그림과 같이 꼭짓
점 H에서 OG”에 내린 수선의 발
을 P라 하면
(cid:100)(cid:100)∠HOG=
=45°
360°
8
이므로 △HOP에서
(cid:100)(cid:100)HP” : OH”=1 : '2
(cid:100)(cid:100)HP” : 6=1 : '2
(cid:100)(cid:100)∴ HP”=3'2 (cm)
따라서 정팔각형의 넓이는
(cid:100)(cid:100)8△HOG=8_{;2!;_6_3'2 }
(cid:100)(cid:100)8△HOG=72'2 (cm¤ )
(cid:9120) 72'2 cm¤
127
이의 제곱의 합을 비교하여 삼각형의 모양을 판별한다.
가장 긴 변의 길이의 제곱과 나머지 두 변의 길
AB”=ø∑(-3-2)¤
∑+(0-5)¤ ='∂50
BC”=ø∑(3+3)∑
¤ +∑(2-0)¤ ='∂40
CA”=ø∑(2-3)¤ +∑(5-2)¤ ='∂10
¤ =BC”
따라서 AB”
인 직각삼각형이다.
¤ +CA”
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_'∂40_'∂10=10
(cid:9120) ③
128
x축 위의 점의 좌표 (cid:8833) (a, 0)
구하는 점을 P(a, 0)이라 하면
(cid:100)(cid:100)AP”="√(a-6)¤ +(0-2)¤
(cid:100)(cid:100)AP”="√(a-6)¤ +4
(cid:100)(cid:100)BP”="√(a-2)¤ +(0-4)¤
(cid:100)(cid:100)BP”="√(a-2)¤ +16
AP”=BP”이므로
(cid:100)(cid:100)"√(a-6)¤ +4="√(a-2)¤ +16
(cid:100)(cid:100)(a-6)¤ +4=(a-2)¤ +16
(cid:100)(cid:100)8a=20(cid:100)(cid:100)∴ a=;2%;
따라서 구하는 점의 좌표는 {;2%;, 0}이다. (cid:9120) {;2%;, 0}
만점 공략 BOX
△BA'B'은 빗변이
A'B”이고 직각을 낀 두
변의 길이가 각각
12 cm, 16 cm인 직각
삼각형이다.
(cid:8772)AHH'D는 직사각
형이므로
(cid:100)HH'”=AD”=5
해결 과정
129
오른쪽 그
림에서 토끼가 이동하는 거
리는
(cid:100)(cid:100)AP”+BP”=A'P”+BP”
A
4`m
A'
æA'B”
△BA'B'에서
답 구하기
(cid:100)(cid:100)A'B”="√16¤ +(8+4)¤ =20 (m)
따라서 토끼가 이동하는 최단 거리는 20 m이다.
본책 31쪽~33쪽
B
8`m
B'
P
16`m
•50% 배점
•50% 배점
(cid:9120) 20 m
직사각형의 두 대각선
의 길이는 같다.
GJ”= FC”이므로
'3
2
2
'3
(cid:100)FC”= GJ”
△ABC에서 변 AB
의 중점을 지나고 변
BC에 평행한 직선과
변 AC의 교점을 N이
라 하면
(cid:100)AN”=NC”
내신 만점 굳히기
본책 33쪽
가로의 길이가 a, 세로의 길이가 b인 직사각형
130
의 대각선의 길이는 "√a¤ +b¤ 임을 이용한다.
OQ”=a cm, OP”=b cm
A
라 하면 PQ”=OC”=10 cm이므
로
(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ =10¤ =100
또 (cid:8772)POQC의 넓이가 48 cm¤
이므로(cid:100)(cid:100)ab=48
(cid:100)(cid:100)∴ (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab
b`cm
P
O
C
B
a`cm
10`cm
Q
=100+2_48=196
그런데 a+b>0이므로(cid:100)(cid:100)a+b=14
(cid:100)(cid:100)∴ AP”+PQ”+QB”=(10-b)+10+(10-a)
=30-(a+b)
=30-14=16 (cm) (cid:9120) ②
'3
2
a
D
G
E
F I
J
C
점 E에서 AB”, BC”에 내
린 수선의 발을 각각 H, I, 점
G에서 BC”에 내린 수선의 발을
J라 하고 AB”=a라 하면
A
H
B
(cid:100)(cid:100)HE”=BI”= a
'3
2
△GFC에서 GJ”=a이므로(cid:100)(cid:100)FC”=
(cid:100)(cid:100)∴ FJ”=JC”=;2!; FC”=;2!;_
EF”=GE”, EI”// GJ”이므로
'3
3
(cid:100)(cid:100)IJ”=;2!;FJ”=;2!;_ a= a
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=BI”+IJ”+JC”
'3
6
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ BC”='3a
(cid:100)(cid:100)∴ AB” : BC”=a : '3a=1 : '3
(cid:100)(cid:100)∴ BC”= a+ a+ a
'3
6
'3
3
2'3`
3
a
2'3`
3
'3`
a= a
3
(cid:9120) ②
Ⅵ. 피타고라스 정리 23
¤ 이므로 △ABC는 ∠C=90°
131
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이 (cid:8833)
135 [문제 해결 길잡이]
❶ 점 A를 OX≥, OY≥에 대하여 각각 대칭이동한다.
❷ AP”=A'P”, AQ”=A"Q”임을 이용하여 △APQ의 둘레의
길이의 최솟값과 길이가 같은 선분을 찾는다.
❸ ∠POA=∠POA', ∠QOA=∠QOA"임을 이용하여
∠A'OA"의 크기를 구한다.
❹ 피타고라스 정리를 이용하여 △APQ의 둘레의 길이의 최
솟값을 구한다.
Y
b
a
P
Q
O
X
A
A'
5`cm
오른쪽 그림과 같이 점
A를 OX≥, OY≥에 대하여 대칭
이동한 점을 각각 A', A"이라
하자. ❶
AP”=A'P”, AQ”=A"Q”이므로
△APQ의 둘레의 길이는
(cid:100)=AP”+PQ”+QA”
(cid:100)=A'P”+PQ”+QA"”
(cid:100)æA'A"” ❷
∠POA=a, ∠QOA=b라 하면
(cid:100)(cid:100)∠A'OA"=2a+2b=2(a+b)
(cid:100)(cid:100)∠A'OA"=2_45°=90° ❸
(cid:100)(cid:100)∴ A'A"”="√5¤ +5¤ =5'2 (cm)
따라서 구하는 둘레의 길이의 최솟값은 5'2 cm이다.
5`cm
A''
❹
(cid:9120) 5'2 cm
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만점 공략 BOX
2`cm
F
A
B
I
E
G
J
H
D
C
해결 과정
132
오른쪽 그림
에서 △BCE는 한 변의 길이
가 2 cm인 정삼각형이므로 직
선 EG가 AD”, BC”와 만나는
점을 각각 I, J라 하면
'3
2
(cid:100)(cid:100)EJ”= _2='3 (cm)
(cid:100)(cid:100)GJ”=IE”=2-'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ EG”='3-(2-'3)
답 구하기
가 2('3-1)cm이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)EFGH=;2!;_EG”_FH”
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)EFGH=;2!;_{2('3-1)}¤
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)EFGH=4(2-'3)(cm¤ )
=2('3-1)(cm)
따라서 정사각형 EFGH의 대각선의 길이
•60% 배점
•40% 배점
(cid:9120) 4(2-'3)cm¤
133
의 세 변의 길이의 비를 이용한다.
세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형
△ABC는 정삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠A=∠B=∠C=60°
△AFE, △BDF, △CED는 모두 직각삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠AFE=∠BDF=∠CED=90°-60°=30°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠DEF=∠EFD=∠FDE
(cid:100)(cid:100)∴ ∠DEF=180°-(90°+30°)=60°
즉 △DEF는 정삼각형이다.
△AFE에서 AF” : AE” : FE”=2 : 1 : '3이고
AE”=BF”이므로 △ABC와 △DEF의 닮음비는
(cid:100)(cid:100)AB” : FE”=3 : '3
따라서 △ABC와 △DEF의 넓이의 비는
(cid:100)(cid:100)3¤ : ('3 )¤ =3 : 1
x=-2일 때 y=4이므로
문제 이해
134
(cid:100)(cid:100)A(-2, 4)
해결 과정 ①
•10% 배점
B(a, a¤ ) (a>0)이라 하면 △AOB에서
¤ +AB”
¤ =OA”
(cid:100)(cid:100)OB”
(cid:100)(cid:100)a¤ +a› =(-2)¤ +4¤ +(a+2)¤ +(a¤ -4)¤
(cid:100)(cid:100)8a¤ -4a-40=0,(cid:100)(cid:100)2a¤ -a-10=0
(cid:100)(cid:100)(a+2)(2a-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=;2%; (∵ a>0)
(cid:100)(cid:100)∴ B{;2%;, ;;™4∞;;}
해결 과정 ②
AB”=Æ…{;2%;+2}
OA”="√(-2)¤ +4¤ =2'5
¤ +{;;™4∞;;-4}
¤ =
9'5
4
답 구하기
∴ △AOB=;2!;_2'5_
9'5
4
∴ △AOB=;;¢4∞;;
•40% 배점
•30% 배점
•20% 배점
(cid:9120) ;;¢4∞;;
24 정답 및 풀이
△AFE™△BDF
™△CED
(ASA 합동)
(cid:9120) ②
이므로
(cid:100)AE”=BF”
AE”=a라 하면
(cid:100)AB”=AF”+BF”
=AF”+AE”
=2a+a=3a
(cid:100)FE”='3a
(cid:100)∴ AB”`:`FE”=3`:`'3
¤
만점 공략 BOX
본책 33쪽~35쪽
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12
피타고라스 정리의 활용 ⑵
본책 34~36쪽
개념&기출유형
136 AD”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)"√4¤ +x¤ +5¤ =5'2
(cid:100)(cid:100)x¤ +41=50,(cid:100)(cid:100)x¤ =9
(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0)
원뿔의 전개도에서
(부채꼴의 호의 길
이)
=(밑면인 원의 둘레
의 길이)
(cid:9120) 3
137 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
(cid:100)(cid:100)6a¤ =162,(cid:100)(cid:100)a¤ =27
(cid:100)(cid:100)∴ a=3'3 (∵ a>0)
따라서 정육면체의 대각선의 길이는
(cid:100)(cid:100)'3_3'3=9 (cm)
(cid:9120) 9 cm
정육면체는 각 면이 모
두 합동인 6개의 정사
각형으로 이루어져 있
다.
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
141 원뿔의 모선의 길이를 l cm라 하면
(cid:100)(cid:100)l=ø∑(5'∂15)¤
오른쪽 그림의 전개도에서 부
채꼴의 중심각의 크기를 x°라
하면
∑+5¤ =20
20`cm
xæ
(cid:100) 2p_20_ =2p_5
x
360
(cid:100)(cid:100)∴ x=90
(cid:9120) ③
5`cm
142 HD”=;2!; BD”=4'2 (cm)이므로 △OHD에서
(cid:100)(cid:100)OD”=ø∑(4'2)¤ +∑(4'2)¤ =8 (cm)
(cid:9120) ②
O
A
H
12
D
B
C
143 오른쪽 그림과 같이 꼭
짓점 O에서 밑면에 내린 수선
의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)BD”='2_12=12'2
(cid:100)(cid:100)∴ HD”=;2!; BD”=6'2
△OHD에서
(cid:100)(cid:100)OH”=ø∑12¤ -∑(6'2)¤ =6'2
따라서 사각뿔의 부피는
(cid:100)(cid:100);3!;_12¤ _6'2=288'2
(cid:9120) ③
144 주어진 전개도로 만들어지
는 사각뿔은 오른쪽 그림과 같으
므로
(cid:100)(cid:100)BD”='2_4=4'2 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ DH”=;2!; BD”=2'2 (cm)
△OHD에서
O
A
8`cm
D
4`cm
B
HH
4`cm
C
(cid:100)(cid:100)OH”=ø∑8¤ -∑(2'2)¤ =2'∂14 (cm)
따라서 사각뿔의 부피는
(cid:100)(cid:100);3!;_4¤ _2'∂14=
32'∂14
3
(cm‹ ) (cid:9120)
32'∂14
3
cm‹
만점비법
주어진 전개도로 만들어지는 사각뿔을 그려 문제를 해결한
다.
145 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
(cid:100)(cid:100) a=4'6(cid:100)(cid:100)∴ a=12
따라서 정사면체의 부피는
'6
3
'2
12
(cid:100)(cid:100) _12‹ =144'2 (cm‹ )
(cid:9120) 144'2 cm‹
146 ① MH”=;3!; DM”=;3!;_ _6='3 (cm)
'3
2
② DH”=;3@; DM”=;3@;_ _6=2'3 (cm)
'3
2
△AHD에서(cid:100)(cid:100)AH”=ø∑6¤ -∑(2'3)¤ =2'6 (cm)
Ⅵ. 피타고라스 정리 25
138 BD”="√8¤ +6¤ =10 (cm)
DM”=;2!; DH”=10(cm)이므로 △BDM에서
(cid:100)(cid:100)BM”="√10¤ +10¤ =10'2 (cm)
(cid:9120) 10'2 cm
139 원뿔의 높이를 h cm, 모선의 길이를 l cm라 하면
(cid:100)(cid:100);3!;_p_3¤ _h=9'3p(cid:100)(cid:100)∴ h=3'3
(cid:100)(cid:100)∴ l=ø∑(3'3)¤
∑+3¤ =6
(cid:100)(cid:100)∴ (원뿔의 겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이)
(cid:100)(cid:100)∴ (원뿔의 겉넓이)=p_3¤ +;2!;_(2p_3)_6
(cid:100)(cid:100)∴ (원뿔의 겉넓이)=27p (cm¤ )
(cid:9120) ①
보충학습
원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중
심각의 크기를 모를 때,
(cid:100) (부채꼴의 넓이)
(cid:100)=;2!;_(부채꼴의 호의 길이)
(cid:100)=_(부채꼴의 반지름의 길이)
(cid:100)=;2!;_2pr_l
(cid:100)=prl
2πr
l
r
140 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r라 하면
(cid:100)(cid:100)2pr=6p(cid:100)(cid:100)∴ r=3
OA”=l이라 하면
120
360
=6p(cid:100)(cid:100)∴ l=9
(cid:100)(cid:100)2p_l_
주어진 전개도로 만들어지는 원뿔은
오른쪽 그림과 같으므로 원뿔의 높이
를 h라 하면
(cid:100)(cid:100)h="√9¤ -3¤ =6'2
따라서 원뿔의 부피는
(cid:100)(cid:100);3!;_p_3¤ _6'2=18'2p
h
9
3
(cid:9120) 18'2p
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만점 공략 BOX
정사면체는 각 면이 모
두 합동인 4개의 정삼
각형으로 이루어져 있
다.
(cid:9120) ③
이등변삼각형의 성질
① 두 밑각의 크기가
같다.
② 꼭지각의 이등분선
은 밑변을 수직이등
분한다.
△ABB'은 이등변삼
각형이므로 AP”는
∠BAB'의 이등분선
이다.
(cid:100)∴ ∠PAB'
∠BAB'
=
;2!;
=60°
③ △AHD=;2!;_DH”_AH”
④ △AHD=;2!;_2'3_2'6=6'2 (cm¤ )
④ (정사면체의 겉넓이)=4_ _6¤ =36'3 (cm¤ )
'2
12
⑤ (정사면체의 부피)= _6‹ =18'2 (cm‹ )
'3
4
만점비법
정사면체에서 길이 또는 넓이 구하는 방법
⁄ 직각삼각형을 찾거나 보조선을 그어 직각삼각형을 만든다.
¤ 피타고라스 정리를 이용하여 길이 또는 넓이를 구한다.
147 PC”, PD”는 각각 정삼각형 ABC, ABD의 높이
이므로
'3
(cid:100)(cid:100)PC”=PD”= _6'3=9 (cm)
2
오른쪽 그림에서 △PCD는 이
등변삼각형이므로
P
(cid:100)(cid:100)PQ”=ø∑9¤ -∑(3'3)¤
(cid:100)(cid:100)PQ”=3'6 (cm)
9`cm
9`cm
C
Q
3´3`cm 3´3`cm
D
(cid:9120) 3'6 cm
BP”=;2!;AB”=;2!;_6'3=3'3 (cm),
'3
2
BQ”= _6'3=9(cm)이므로 △PBQ에서
(cid:100)(cid:100)PQ”="√9¤ -(3'3)¤ =3'6 (cm)
148 단면인 원의 반지름의 길이는
(cid:100)(cid:100)"√10¤ -5¤ =5'3 (cm)
따라서 단면인 원의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_(5'3)¤ =75p (cm¤ )
(cid:9120) ④
149 단면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)2p_r=4'3p(cid:100)(cid:100)∴ r=2'3
따라서 구의 중심과 평면 사이의 거리는
(cid:100)(cid:100)ø∑4¤ -∑(2'3)¤ =2 (cm)
(cid:9120) 2 cm
150 단면인 원의 넓이가 51p cm¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)p_AH”
(cid:100)(cid:100)∴ AH”='∂51(cm) (∵ AH”>0)
따라서 △OHA에서 구의 반지름의 길이는
¤ =51p
(cid:100)(cid:100)OA”=ø∑('∂51)¤
∑+7¤ =10 (cm)
(cid:9120) ①
이등변삼각형의 꼭지
각의 꼭짓점에서 밑변
에 내린 수선은 밑변을
이등분하므로
(cid:100)AM”=BM”=1
151 오른쪽 그림의 전개
도에서 구하는 최단 거리
는 FL”의 길이이므로
(cid:100)(cid:100)FL”=ø∑14¤ +4¤
(cid:100)(cid:100)FL”=2'∂53
B
F
C
D
A
L
4
E
(cid:9120) 2'∂53
5
G
4
H
5
5+4+5=14
26 정답 및 풀이
만점비법
입체도형에서 최단 거리를 구할 때는 전개도를 그려 평면
도형에서 생각한다. 이때 입체도형의 전개도를 필요한 부분
만 그리면 편리하다.
152 밑면의 반지름의 길이
를 r라 하면 밑면의 둘레의
길이는 2pr이므로 옆면의 전
개도는 오른쪽 그림과 같다.
이때 최단 거리는 AB”의 길이이므로
(cid:100)(cid:100)ø∑(2pr)¤ +∑(10p)¤ =30p
(cid:100)(cid:100)4r¤ +100=900,(cid:100)(cid:100)r¤ =200
(cid:100)(cid:100)∴ r=10'2 (∵ r>0)
A
153 원뿔의 전개도에서 부채
꼴의 중심각의 크기를 x°라 하
면
B
(cid:100)(cid:100)2p_12_
=2p_4
x
360
B
10π
2πr
(cid:9120) 10'2
A
60æ
P
12`cm
B'
4`cm
(cid:100)(cid:100)∴ x=120
점 A에서 BB'”에 내린 수선의 발을 P라 하면 직각삼각
형 APB'에서 ∠PAB'=60°이므로
(cid:100)(cid:100)PB'” : AB'”='3 : 2
(cid:100)(cid:100)PB'” : 12='3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ PB'”=6'3 (cm)
따라서 구하는 최단 거리는
(cid:100)(cid:100)BB'”=2PB'”=12'3 (cm)
(cid:9120) 12'3 cm
내신 만점 도전하기
본책 37~39쪽
154
의 빗변이다.
OA”와 OB”는 각각 직각삼각형 AEO와 BFO
EG”='2_2=2'2이므로(cid:100)(cid:100)EO”=;2!; EG”='2
△AEO에서(cid:100)(cid:100)OA”=ø∑4¤ +('2)¤ =3'2
△BFO에서(cid:100)(cid:100)OB”=ø∑4¤ +('2)¤ =3'2
점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 M이라 하면
△OAM에서
(cid:100)(cid:100)OM”=ø∑(3'2)¤
(cid:100)(cid:100)∴ △OAB=;2!;_AB”_OM”
∑-1¤ ='∂17
(cid:100)(cid:100)∴ △OAB=;2!;_2_'∂17='∂17
(cid:9120) ④
155
임을 이용한다.
직각삼각형 AEG에서 AG”_EP”=AE”_EG”
EG”='2_4=4'2 (cm)
AG”="√4¤ +4¤ +8¤ =4'6 (cm)
△AEG에서 AG”_EP”=AE”_EG”이므로
(cid:100)(cid:100)4'6_EP”=8_4'2
(cid:100)(cid:100)∴ EP”=
(cm)
8'3
3
(cid:9120)
8'3
3
cm
E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지27 SinsagoHitec
156
닮은 삼각형을 찾아 닮음비를 이용한다.
△AIP와 △AEG에서
(cid:100)(cid:100)∠A는 공통,
∠AIP=∠AEG=90°
A
3
6
B
D
8
C
I
이므로
(cid:100)(cid:100)△AIPª△AEG (AA 닮음)
따라서 AP” : AG”=AI” : AE”이고
AG”="√6¤ +3¤ +12¤ =3'∂21이므로
(cid:100)(cid:100)AP” : 3'∂21=8 : 12(cid:100)(cid:100)∴ AP”=2'∂21 (cid:9120) 2'∂21
12
J
K
H
G
E
L
F
P
세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체
157
의 대각선의 길이 (cid:8833) "√a¤ +b¤ +c¤
두 꼭짓점 사이의 거리가 될 수 있는 경우는 다
음과 같다.
⁄ 정육면체가 한 개인 경우
(cid:100)(cid:100)1, '2_1='2,
(cid:100)(cid:100)'3_1='3
¤ 두 개의 정육면체가 붙어 있는
¤ 경우
(cid:100)(cid:100)2, "√2¤ +1¤ ='5,
(cid:100)(cid:100)"√2¤ +1¤ +1¤ ='6
‹ 세 개의 정육면체가 붙
어 있는 경우
(cid:100)(cid:100)3, "√3¤ +1¤ ='∂10,
(cid:100)(cid:100)"√3¤ +1¤ +1¤ ='∂11
1
1
1
1
1
1
1
2
3
이상에서 두 꼭짓점 사이의 거리가 될 수 없는 것은 ③
(cid:9120) ③
이다.
문제 이해
158
오른쪽 그림과 같이
주어진 전개도로 만들어지는 원뿔의
밑면의 반지름의 길이를 r, 모선의 길
이를 l, 높이를 h라 하자. •10% 배점
밑면인 원의 둘레의 길
해결 과정 ①
이가 4p이므로(cid:100)(cid:100)2pr=4p(cid:100)(cid:100)∴ r=2 •20% 배점
h
r
l
해결 과정 ②
옆면인 부채꼴의 넓이가 12p이므로
(cid:100)(cid:100)
_l_4p=12p(cid:100)(cid:100)∴ l=6
•20% 배점
;2!;
해결 과정 ③
답 구하기
∴ h="√6¤ -2¤ =4'2
따라서 구하는 원뿔의 부피는
16'2
3
p
_p_2¤ _4'2=
(cid:100)(cid:100)
;3!;
•20% 배점
•30% 배점
(cid:9120)
16'2
3
p
주어진 도형을 1회전 시킬 때 생기는 회전체는
159
두 원뿔을 붙여 만든 것과 같다.
오른쪽 그림과 같이 점 B
에서 AC”에 내린 수선의 발을 H
라 하면 △BCH에서
BC” : CH”=2 : 1이므로
(cid:100)(cid:100)4 : CH”=2 : 1
A
45æ
H
60æ
C
B
4`cm
만점 공략 BOX
본책 35쪽~38쪽
(cid:100)(cid:100)∴ CH”=2 (cm)
또 BC” : BH”=2 : '3이므로
(cid:100)(cid:100)4 : BH”=2 : '3(cid:100)(cid:100)∴ BH”=2'3 (cm)
△ABH에서 AH” : BH”=1 : 1이므로
(cid:100)(cid:100)AH” : 2'3=1 : 1(cid:100)(cid:100)∴ AH”=2'3 (cm)
따라서 회전체의 부피는
(cid:100)(cid:100);3!;_p_(2'3)¤ _2'3+;3!;_p_(2'3)¤ _2
(cid:100)=8('3+1)p (cm‹ )
(cid:9120) ④
문제 이해
160
원 모
양의 종이의 반지름의
길이를 l, 두 원뿔 A,
B의 밑면의 반지름의
길이를 각각 r¡, r™라 하
자.
해결 과정 ①
원뿔 A에서
l
h¡
l
h™
A
r¡
B r™
•10% 배점
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
(cid:100)(cid:100)2pl_;3@6$0);=2pr¡(cid:100)(cid:100)∴ r¡=;3@;l
(cid:100)(cid:100)∴ h¡=æ≠l¤ -{;3@;l}
'5
¤ = l
3
해결 과정 ②
원뿔 B에서
(cid:100)(cid:100)2pl_;3!6@0);=2pr™(cid:100)(cid:100)∴ r™=;3!;l
(cid:100)(cid:100)∴ h™=æ≠l¤ -{;3!;l}
¤ =
2'2
3
l
답 구하기
h¡
h™
'5
= l_
3
3
2'2 l
=
'∂10
4
이므로 h¡은
h¡=
'ß10`
4
h™
h™의
배이다.
'∂10
4
•30% 배점
•30% 배점
•30% 배점
(cid:9120)
배'∂10
4
△AIO는 빗변이 AO”
인 직각삼각형이다.
하면 △AIO에서
EG”='2_2=2'2이므로
해결 과정 ①
161
(cid:100)(cid:100)EO”=;2!; EG”='2
△AEO에서
(cid:100)(cid:100)AO”=ø∑2¤ +('2)¤ ='6
해결 과정 ②
점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 I라
•30% 배점
(cid:100)(cid:100)OI”=ø∑('6)¤ -1¤ ='5
(cid:100)(cid:100)∴ △ABO=;2!;_2_'5='5
이때 △ABO, △BCO, △CDO, △DAO는 모두 합
동이므로 넓이가 같다.
•40% 배점
따라서 사각뿔 O-ABCD의 겉넓이는
답 구하기
(cid:100)(cid:100)2_2+4_'5=4+4'5
•30% 배점
(cid:9120) 4+4'5
162
크기를 구한다.
AH”, FH”의 길이의 비를 이용하여 ∠AFH의
사각뿔의 부피가
이므로
500'3
3
500'3
3
(cid:100)(cid:100);3!;_10¤ _AH”=
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=5'3
Ⅵ. 피타고라스 정리 27
E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지28 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
HF”=;2!; BC”=5이므로 △AHF에서
(cid:100)(cid:100)AH” : HF”=5'3 : 5='3 : 1
(cid:100)(cid:100)∴ ∠AFH=60°
163
면체이고 정팔면체는 합동인 사각뿔 2개를 붙여 놓은 모양
주어진 전개도로 만들어지는 입체도형은 정팔
꼭짓점 A에서 BM”에 내린 수선의 발을 E라
하면 AE”의 길이는 정사면체의 높이와 같으므로
∠A=30°, ∠B=60°,
∠C=90°인 직각삼각
형의 세 변의 길이의
비는
BC” : CA” : AB”
=1 : '3 : 2
(cid:100)(cid:100)AE”= _'6=2 (cm)
'6
3
(cid:100)(cid:100)∴ △ABM=;2!;_BM”_AE”
(cid:100)(cid:100)∴ △ABM=;2!;_
3'2
2
_2=
(cm¤ )
3'2
2
(cid:9120) 60°
C
과 같다.
O
H
B
E
D
A
주어진 전개도로 만들어
지는 입체도형은 오른쪽 그림
과 같은 정팔면체이고, 꼭짓점
O에서 (cid:8772)ABCD에 내린 수선
의 발을 H라 하면 점 H는
(cid:8772)ABCD의 두 대각선의 교
점과 일치한다.
높이가 2'3인 정삼각형의 한 변의 길이는
(cid:100)(cid:100)2'3_ =4
즉 정팔면체의 한 모서리의 길이가 4이므로
2
'3
(cid:100)(cid:100)AC”='2_4=4'2(cid:100)(cid:100)∴ AH”=;2!; AC”=2'2
따라서 △OAH에서
(cid:100)(cid:100)OH”=ø∑4¤ -∑(2'2)¤ =2'2
(cid:100)(cid:100)∴ (정팔면체의 부피)=2_(사각뿔의 부피)
(cid:100)(cid:100)∴ (정팔면체의 부피)=2_;3!;_4¤ _2'2
(cid:100)(cid:100)∴ (정팔면체의 부피)=
(cid:9120) ③
64'2
3
한 모서리의 길이가 x인 정사면체의 높이
164
'6
3
(cid:8833)
x
정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
(cid:100)(cid:100)AF”='2a
즉 CI”는 한 모서리의 길이가 '2a인 정사면체의 높이이
므로
(cid:100)(cid:100)CI”= _'2a=4'3(cid:100)(cid:100)∴ a=6
'6
3
165
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이 (cid:8833)
AM”=BM”= _'6=
'3
2
3'2
2
(cm)
(cid:9120) ③
'3
2
a
오른쪽 그림과 같이 △ABM
의 꼭짓점 M에서 AB”에 내
린 수선의 발을 H라 하면
△MAH에서
A
'6
2
3'2
2
¤ -{
(cid:100)(cid:100)MH”=æ≠{
}
(cid:100)(cid:100)MH”='3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABM=;2!;_AB”_MH”
}
(cid:100)(cid:100)∴ △ABM=;2!;_'6_'3
(cid:100)(cid:100)∴ △ABM=
(cm¤ )
3'2
2
28 정답 및 풀이
(원뿔의 높이)
=(구의 반지름의 길이)
+(구의 중심에서
원뿔의 밑면까지
의 거리)
=r+
=;2#;r
;2R;
밑면의 반지름의 길이가 r, 높이가 h인 원뿔의
166
부피는
pr¤ h이다.
;3!;
원뿔의 밑면의 반지름의 길이는
'3
¤ = r
2
(cid:100)(cid:100)æ≠r¤ -{;2R;}
이므로 원뿔의 부피 V¡은
(cid:100)(cid:100)V¡=;3!;_p_{
또 반지름의 길이가 r인 구의 부피 V™는
r=
r}
;2#;
;8#;
pr‹
'3
2
¤ _
(cid:100)(cid:100)V™=;3$;pr‹
(cid:100)(cid:100)∴ =
pr‹ _
V™
V¡
;3$;
8
3pr‹
=
;;£9™;;
(cid:9120) ②
167
고라스 정리를 이용한다.
구의 중심과 수면 사이의 거리를 구한 후 피타
구의 반지름의 길이는 5 cm이므로 구의 중심에
서 수면까지의 거리는
(cid:100)(cid:100)5-2=3 (cm)
따라서 단면인 원의 반지름의 길이는
(cid:100)(cid:100)"√5¤ -3¤ =4 (cm)
이므로 구하는 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_4¤ =16p (cm¤ )
(cid:9120) ②
168
스 정리를 이용한다.
구의 반지름의 길이를 R cm라 하고 피타고라
R`cm2
3
오른쪽 그림과 같이
단면인 원의 반지름의 길이
를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)pr¤ =15p
(cid:100)(cid:100)∴ r='∂15 (∵ r>0)
구의 반지름의 길이를 R cm라 하면
O
R`cm
A
M
B
r`cm
(cid:100)(cid:100)OM”=;3@;R (cm)
△OMB에서
(cid:100)(cid:100){;3@;R}
¤ +('∂15)¤ =R¤
(cid:100)(cid:100);9%;R¤ =15,(cid:100)(cid:100)R¤ =27
(cid:100)(cid:100)∴ R=3'3 (∵ R>0)
(cid:9120) 3'3 cm
M
△ABM은 MA”=MB”
인 이등변삼각형이다.
3´2
2
cm
3´2
2
cm
B
H
cm´6
2
cm´6
2
(cid:9120)
3'2
2
cm¤
169
본다.
최단 거리 (cid:8833) 선이 지나는 면의 전개도를 그려
¤
E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지29 SinsagoHitec
171
해결 과정 ①
⁄ AD” 또는 FG”를 지나는 경우
EF”⊥BC”
오른쪽 전개도에서
구하는 최단 거리는 AD'”
의 길이이므로
(cid:100)(cid:100)AD'”="√6¤ +9¤
=3'∂13 (cm)
A
B
C
9`cm
A'
6`cm
D
E
F
D'
(cid:9120) ⑤
해결 과정 ①
170
(cid:100)(cid:100)2p_4=8p
밑면의 둘레의 길이는
•20% 배점
해결 과정 ②
A
A'
A''
A'''
7π
B
8π
B'
8π
B''
8π
B'''
위의 전개도에서 구하는 최단 거리는 AB'''”의 길이이다.
답 구하기
∴ AB'''”=ø∑(7p)¤ +∑(24p)¤ =25p
•40% 배점
•40% 배점
(cid:9120) 25p
만점비법
옆면을 세 바퀴 돌면 옆면을 세 번 지나게 되므로 최단 거
리는 전개도에서 옆면 3개가 붙여진 직사각형의 대각선의
길이이다.
B
F
E
B
5
F
H
G
H
5
D
3
C
H
3
G
E
A
B
C
5
G
3
H
4
4
이때의 최단 거리는
(cid:100)(cid:100)"√4¤ +(5+3)¤ ='∂80
해결 과정 ②
¤ AE” 또는 CG”를 지나는 경우
A
B
C
D
•30% 배점
D
5
H
A
B
4
E
3
F
4
G
3
H
이때의 최단 거리는
(cid:100)(cid:100)"√5¤ +(4+3)¤ ='∂74
해결 과정 ③
‹ CD” 또는 EF”를 지나는 경우
D
E
•30% 배점
4
C
5
4
F
5
이때의 최단 거리는
(cid:100)(cid:100)"√(4+5)¤ +3¤ ='∂90
답 구하기
이상에서 구하는 최단 거리는 '∂74이다.
A
3
B
•30% 배점
•10% 배점
(cid:9120) '∂74
만점 공략 BOX
본책 38쪽~40쪽
DD'”의 길이는 한 변
의 길이가 3 cm인 정
삼각형의 둘레의 길이
이므로
(cid:100)DD'”=9 cm
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
내신 만점 굳히기
본책 40쪽
세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체
172
의 대각선의 길이는 "√a¤ +b¤ +c¤ 이다.
AC”=2x라 하면
¤ +BC”
¤ =AB”
(cid:100)(cid:100)AB”=BC”=ø∑4¤ +(∑4'2)¤ +x¤ ="√x¤ +48
△ABC에서 AC”
(cid:100)(cid:100)4x¤ =2(x¤ +48),(cid:100)(cid:100)x¤ =48
(cid:100)(cid:100)∴ x=4'3 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=2_4'3=8'3
¤ 이므로
(cid:9120) ④
173
각형인지 알아본다.
BE”, CE”의 길이를 구하여 △BCE가 어떤 삼
점 B에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라 하면
'3
(cid:100)(cid:100)BH”= _6=3'3,
2
(cid:100)(cid:100)EH”=AH”-AE”=3-;3!;_6=1
이므로 △BHE에서
(cid:100)(cid:100)BE”=ø∑(3'3)¤ +1¤ =2'7
같은 방법으로 하면
(cid:100)(cid:100)CE”=BE”=2'7
즉 △BCE는 BE”=CE”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)EF”=ø∑(2'7)¤
∑-3¤ ='∂19
따라서 EF”를 한 모서리로 하는 정사면체의 부피는
19'∂38
12
(cid:100)(cid:100) _('∂19)‹ =
'2
12
(cid:9120)
19'∂38
12
문제 이해
174
(cid:8772)ABCD의
두 대각선의 교점을 M이라 하
고 점 I에서 두 면 ABCD,
EFGH에 내린 수선의 발을 각
각 K, J라 하면 (cid:8772)BFHD는
오른쪽 그림과 같다.
B
K M
D
3
F
I
J
H
3Â2
•20% 배점
해결 과정
△BIM과 △HIF에서
(cid:100)(cid:100)∠IBM=∠IHF, ∠IMB=∠IFH (엇각)
이므로(cid:100)(cid:100)△BIMª△HIF (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ IK” : IJ”=BM” : HF”=1 : 2
•40% 배점
답 구하기
이때 KJ”=BF”=3이므로 구하는 거리는
(cid:100)(cid:100)IJ”=3_;3@;=2
•40% 배점
(cid:9120) 2
BD”// FH”
BD”=FH”이고
1
2
BM”= BD”이므로
(cid:100)BM”= FH”
1
2
정육면체의 한 변의 길
이를 a라 하면 △FGH
에서
(cid:100)a¤ +a¤ =(3'2)¤
(cid:100)∴ a=3 (∵ a>0)
175
(뿔대의 부피)
=(큰 뿔의 부피)-(작은 뿔의 부피)
△OFG에서 OF”=OG”, ∠OFG=60°이므로
△OFG는 정삼각형이다.
또 △OBC에서 OB”=OC”, ∠OBC=∠OFG=60°이
므로 △OBC도 정삼각형이다.
BC”// FG”
Ⅵ. 피타고라스 정리 29
E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지30 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
OB” : OF”=6 : 12
=1 : 2
닮은 도형의 둘레의 길
이, 넓이, 부피의 비
닮음비가 m : n인 두
도형에 대하여
① 둘레의 길이의 비
(cid:9178) m : n
② 넓이의 비
(cid:9178) m¤ : n¤
③ 부피의 비
(cid:9178) m‹ : n‹
BM”의 길이는 정사각
형 ABCD의 대각선의
1
길이의 이다.
2
△ABC와 △ACD'은
한 변의 길이가 3인 정
삼각형이다.
△DBA는 정삼각형이
므로
(cid:100)∠DBA=60°
이때 ㉠에서 b=8-a이므로
(cid:100)(cid:100)a¤ "√(8-a)¤ -a¤ =36,(cid:100)(cid:100)a¤ "√64-16a=36
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ 'ƒ4-a=9
이때 a가 자연수이므로
(cid:100)(cid:100)a¤ =1 또는 a¤ =9
⁄ a¤ =1, 즉 a=1일 때,
yy ㉡ ❷(cid:100)
'3+9이므로 ㉡이 성립하지 않는다.
¤ a¤ =9, 즉 a=3일 때,
9=9이므로 ㉡이 성립한다.
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)a=3
a=3을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)b=5 ❸
(cid:100)(cid:100)∴ x="√a¤ +b¤ ="√3¤ +5¤ ='∂34 ❹
내신 만점 정복하기
본책 41~46쪽
직사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만들어지
15`cm
178
는 도형은 마름모이다.
오른쪽 그림과 같이
직사각형의 각 변의 중점을
연결하여 만들어지는 도형
은 마름모이다.
이때 마름모의 한 변의 길이는
(cid:100)(cid:100)æ≠4¤ +{:¡2∞:}2 =:¡2¶: (cm)
이므로 구하는 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)4_:¡2¶:=34 (cm)
179
타고라스 정리를 이용한다.
A
B
10`m
B지점에서 C지점
까지의 거리를 x m라 하
면 A지점에서 C지점까지
의 거리는
(cid:100)(cid:100)60-(10+x)=50-x (m)
이므로
(cid:100)(cid:100)(50-x)¤ =10¤ +x¤
(cid:100)(cid:100)100x=2400(cid:100)(cid:100)∴ x=24
따라서 공터의 넓이는
(cid:9120) '∂34
8`cm
(cid:9120) ③
{50-x}`m
x`m
C
B지점에서 C지점까지의 거리를 x m라 하고 피
(cid:100)(cid:100);2!;_24_10=120 (m¤ )
(cid:9120) 120 m¤
이등변삼각형의 꼭지각의 꼭짓점에서 밑변에
180
그은 수선은 밑변을 이등분한다.
오른쪽 그림과 같이 원
의 중심 O에서 AB”에 내린 수
선의 발을 H라 하면 △OAB
는 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)AH”=;2!; AB”=5 (cm)
5`cm
A
H
B
7`cm
O
7`cm
yy ㉠ ❶(cid:100)
OH”가 밑변을 이등분
하므로
(cid:100)AH”=BH”
사각뿔의 높이는
"√b¤ -a¤ 이다.
(cid:100)(cid:100)∴ OB”=BC”=6, OF”=6+6=12
두 사각뿔 O-ABCD, O-EFGH의 부피를 각각 V¡,
V™라 하면 두 사각뿔의 닮음비가 1 : 2이므로
(cid:100)(cid:100)V¡ : V™=1‹ : 2‹
(cid:100)(cid:100)∴ V™=8V¡
사각뿔 O-ABCD의 꼭짓점 O에서 밑면에 내린 수선
의 발을 M이라 하면
(cid:100)(cid:100)BM”=;2!;_6'2=3'2
이므로 △OBM에서
(cid:100)(cid:100)OM”=ø∑6¤ -(3'2)¤ =3'2
(cid:100)(cid:100)∴ V¡=;3!;_6¤ _3'2=36'2
따라서 구하는 사각뿔대의 부피는
(cid:100)(cid:100)V™-V¡=8V¡-V¡=7V¡
=7_36'2=252'2
(cid:9120) ②
176
름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분한다.
네 변의 길이가 같은 사각형은 마름모이고, 마
3
B
D
A
D'
30æ
3´3
E
1
오른쪽 전개도에
서 구하는 최단 거리는
ED'”의 길이이다.
(cid:8772)ABCD'은 네 변의
길이가 모두 같으므로
마름모이고, 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분
하므로
(cid:100)(cid:100)∠ABD'=30°,
'3
(cid:100)(cid:100)BD'”=2_{ _3}=3'3
2
∠DBD'=∠DBA+∠ABD'=90°이고
C
EB”=;3!;BD”=;3!;_3=1이므로 △EBD'에서
(cid:100)(cid:100)ED'”=ø∑1¤ +(3'3)¤ =2'7
(cid:9120) 2'7
177 [문제 해결 길잡이]
❶ 이등변삼각형의 높이를 b라 하고 원의 반지름의 길이를
이용하여 a, b 사이의 관계식을 구한다.
❷ 사각뿔의 부피를 a, b로 나타낸 후 ❶의 관계식을 이용하
여 a에 대한 방정식을 구한다.
❸ a가 자연수임을 이용하여 ❷의 방정식을 만족시키는 a, b
의 값을 구한다.
❹ x의 값을 구한다.
원의 중심을 O라 하면
사각뿔의 밑면의 한 변의 길이
가 2a이므로 오른쪽 그림에서
OA”=a이다.
AB”=b라 하면 원의 반지름의
길이가 8이므로
(cid:100)(cid:100)OB”=a+b=8
주어진 전개도로 만든 사각뿔의 부피가 48이므로
a b
A
O
x
B
(cid:100)(cid:100);3!;_(2a)¤ _"√b¤ -a¤ =48
(cid:100)(cid:100)a¤ "√b¤ -a¤ =36
30 정답 및 풀이
E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지31 SinsagoHitec
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
만점 공략 BOX
본책 40쪽~42쪽
(AC”를 한 변으로 하
는 정사각형의 넓이)
=(cid:8772)LMEC
185
두 점 A, B의 좌표를 구하고 OA”, OB”의 길이를 구한다.
직선의 방정식에 x=0, y=0을 각각 대입하여
△AHO에서
(cid:100)(cid:100)OH”="√7¤ -5¤ =2'6 (cm)
따라서 원의 중심 O에서 현 AB에 이르는 거리는
2'6 cm이다.
(cid:9120) ③
색칠한 두 삼각형과 각각 넓이가 같은 삼각형을
181
찾는다.
오른쪽 그림과 같이 꼭짓
점 A에서 BC”, DE”에 내린 수선
의 발을 각각 L, M이라 하면
(cid:100)(cid:100)△ABD=△LBD
(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;(cid:8772)BDML
(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_5¤
(cid:100)(cid:100)△ABD=;;™2∞;; (cm¤ )
5`cm
´11¨`cm
A
L
M
C
E
B
D
(cid:100)(cid:100)△AEC=△LEC=;2!;(cid:8772)LMEC
(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_('∂11)¤ =;;¡2¡;; (cm¤ )
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;;™2∞;;+;;¡2¡;;=18 (cm¤ ) (cid:9120) ①
BC”=ø∑5¤ +('∂11)¤ =6 (cm)이고
(cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;2!; ((cid:8772)BDML+(cid:8772)LMEC)
(cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;2!;(cid:8772)BDEC
(cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;2!;_6¤ =18 (cm¤ )
182
c¤ =a¤ +b¤ 이면 이 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형
세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서
이다.
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)x="√2¤ +('5 )¤ =3
따라서 △ACD에서 3¤ =('6 )¤ +('3 )¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)y=90
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=93
(cid:9120) ①
183
긴 변의 길이일 때, c¤ 0)
(cid:100)(cid:100)AD”
(cid:100)(cid:100)∴ BD”=6'2 (cm)
(cid:8772)DEFG=4 cm¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)DG”
(cid:100)(cid:100)∴ DF”=2'2 (cm)
이때 ∠BDF=∠BDC+∠EDF=45°+45°=90°이
므로
¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ DG”=2 (cm) (∵ DG”>0)
(cid:100)(cid:100)△DBF=;2!;_6'2_2'2=12 (cm¤ )
(cid:9120) ④
직각삼각형 ABD에서 AB”_AD”=BD”_AE”,
194
AB”
¤ =BE”_BD”임을 이용한다.
BD”="√6¤ +8¤ =10 (cm)
△ABD에서 AB”_AD”=BD”_AE”이므로
(cid:100)(cid:100)6_8=10_AE”(cid:100)(cid:100)∴ AE”=;;™5¢;; (cm)
또 AB”
¤ =BE”_BD”이므로
(cid:100)(cid:100)6¤ =BE”_10(cid:100)(cid:100)∴ BE”=;;¡5•;; (cm)
같은 방법으로 하면 DF”=;;¡5•;; (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)EF”=10-2_;;¡5•;;=;;¡5¢;; (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)AECF=;;™5¢;;_;;¡5¢;;=;;£2£5§;; (cm¤ )
(cid:9120) ;;£2£5§;; cm¤
△ABE=△AFD=△EBC=△FCD이므
로
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)AECF=(cid:8772)ABCD-4△ABE
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)AECF=6_8-4_{;2!;_;;¡5•;;_;;™5¢;;}
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)AECF=48-;;•2§5¢;;=;;£2£5§;; (cm¤ )
195
정삼각형의 외심과 무게중심은 일치한다.
오른쪽 그림과 같이 AO”
의 연장선과 BC”가 만나는 점을
D라 하면 점 O는 △ABC의 무
게중심이므로
(cid:100)(cid:100)AO” : AD”=2 : 3
12`cm
A
O
D
B
C
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=;2#; AO”
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=;2#;_12=18 (cm)
△ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면
가운데 큰 원의 지름의
길이는
"√4¤ +8¤ =4'5
이므로 반지름의 길이
는 2'5이다.
(cid:100)(cid:100) a=18(cid:100)(cid:100)∴ a=12'3
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _(12'3)¤
=108'3 (cm¤ )
'3
4
(cid:9120) 108'3 cm¤
•50% 배점
•50% 배점
(cid:9120) 32
정삼각형의 내심, 외
심, 무게중심은 일치한
다.
AO” : OD”=2 : 1
E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지33 SinsagoHitec
196
마름모 (cid:8833) 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
만점 공략 BOX
D
(cid:9120) ②
6
60æ
A
60æ
60æ
C
∠A+∠B=180°이
B
므로
(cid:100)(cid:100)∠B=60°
따라서 △ABC는 한 변의
길이가 6인 정삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)AC”=6
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=2△ABC
'3
4
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=2_{ _6¤ }
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=18'3
AC”와 BD”의 교점을 O라 하면
'3
(cid:100)(cid:100)BO”= _6=3'3
2
이므로(cid:100)(cid:100)BD”=2_3'3=6'3
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_BD”_AC”
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_6'3_6
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=18'3
197
세 변의 길이의 비를 이용한다.
△BDE와 △ADF에서 특수한 직각삼각형의
AD”：DB”=2：1이므로
(cid:100)(cid:100)AD”=9_;3@;=6 (cm), DB”=9_;3!;=3 (cm)
△BDE에서 ∠B=60°이므로
(cid:100)(cid:100)BD”：DE”=1：'3,(cid:100)(cid:100)3：DE”=1：'3
(cid:100)(cid:100)∴ DE”=3'3 (cm)
△ADF에서 ∠A=60°이므로
(cid:100)(cid:100)AD”：DF”=1：'3,(cid:100)(cid:100)6：DF”=1：'3
(cid:100)(cid:100)∴ DF”=6'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ EF”=DF”-DE”=6'3-3'3=3'3 (cm)
198
수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용한다.
꼭짓점 A에서 BC”의 연장선에 수선을 그어 특
꼭짓점 A에서 BC”의 연
장선에 내린 수선의 발을 H라
하면 △ACH에서
∠ACH=180°-120°=60°이
므로
(cid:100)(cid:100)AC”：CH”=2：1
(cid:100)(cid:100)4：CH”
또 AC”：AH”=2：'3이므로
(cid:100)(cid:100)4：AH”=2：'3(cid:100)(cid:100)∴ AH”=2'3 (cm)
따라서 △ABH에서
”=2：1(cid:100)(cid:100)∴ CH”=2 (cm)
2`cm
120æ
B
C
BD”=BO”+OD”
=2BO”
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
본책 42쪽~45쪽
8´2
D
A
7
B
H60æ
C
오른쪽 그림과 같이 꼭짓
점 A에서 BC”에 내린 수선의
발을 H라 하면 △ABH에서
(cid:100)(cid:100)AH” : AB”='3 : 2
(cid:100)(cid:100)AH” : 7='3 : 2
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=
7'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=8'2_
7'3
2
=28'6
(cid:9120) ⑤
200
이의 거리 (cid:8833) PQ”="√(x™-x¡)¤
좌표평면 위의 두 점 P(x¡, y¡), Q(x™, y™) 사
√+(y™-y¡)¤
AB”="√(1+2)¤ +√(-3+4)¤ ='∂10
BC”="√(-1-1)¤ +√(-1+3)¤ ='8
CA”="√(-2+1)¤ +√(-4+1)¤ ='∂10
¤ +CA”
따라서 AB”=CA”, AB”
는 이등변삼각형이면서 예각삼각형이다.
¤ 0)
이때 FH”="√8¤ +6¤ =10이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)BFHD=10_2'ß11=20'ß11
(cid:9120) ②
205
을 이용하여 a¤ +b¤ +c¤ 의 값을 구한다.
AB”=a, AD”=b, AE”=c라 하고 주어진 조건
AB”=a, AD”=b, AE”=c라 하면
(cid:100)(cid:100)BD”
(cid:100)(cid:100)BG”
¤ =a¤ +b¤ =25
¤ =b¤ +c¤ =40
¤ =a¤ +c¤ =33
(cid:100)(cid:100)DG”
위의 세 식을 변끼리 더하면
(cid:100)(cid:100)2(a¤ +b¤ +c¤ )=98
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ +c¤ =49
따라서 구하는 직육면체의 대각선의 길이는
(cid:100)(cid:100)"√a¤ +b¤ +c¤ =7
(cid:9120) ②
(cid:9120) 16'2
한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의
206
길이 (cid:8833) '3a
207
길이 (cid:8833) '3a
정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
(cid:100)(cid:100)'3a=2'6(cid:100)(cid:100)∴ a=2'2
따라서 정육면체의 부피는
(cid:100)(cid:100)a‹ =(2'2)‹ =16'2
한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의
정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
209
의 길이를 구한다.
△OHB에서 피타고라스 정리를 이용하여 HB”
OH”=18-10=8 (cm)이므로 △OHB에서
(cid:100)(cid:100)HB”="√10¤ -8¤ =6 (cm)
따라서 원뿔의 부피는
(cid:100)(cid:100);3!;_p_6¤ _18=216p (cm‹ )
(cid:9120) 216p cm‹
210
의 길이를 구한다.
△OHD에서 피타고라스 정리를 이용하여 HD”
△OHD에서
(cid:100)(cid:100)HD”=øπ8¤ -(2'7)¤ =6
사각뿔의 밑면의 한 변의 길이를 a라 하면
(cid:100)(cid:100)HD”=;2!;BD”=;2!;_'2a= a
'2
2
'2
2
이므로(cid:100)(cid:100) a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=6'2
따라서 사각뿔의 부피는
(cid:100)(cid:100);3!;_(6'2)¤ _2'7=48'7
(cid:9120) ⑤
E
H
A
C
F
D
두 꼭짓점 A, F 사이의 거리
211
(cid:8833) 2_(꼭짓점 A와 면 BCDE 사이의 거리)
오른쪽 그림과 같이 꼭짓
점 A에서 면 BCDE에 내린 수
선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)BD”='2_6=6'2 (cm)
이므로
6`cm
B
(cid:100)(cid:100)BH”=;2!; BD”=3'2 (cm)
△ABH에서
(cid:100)(cid:100)AH”=ø∑6¤ -∑(3'2)¤ =3'2 (cm)
따라서 두 꼭짓점 A, F 사이의 거리는
(cid:100)(cid:100)AF”=2_3'2=6'2 (cm)
212
주어진 정사면체의 전개도를 그린다.
(cid:9120) ①
30æ
6`cm
A
60æ
D
B
M
C
오른쪽 전개도에서 구
하는 최단 거리는 DM”의 길
이이다.
∠MAC=30°, ∠CAD=60°
이므로
(cid:100)(cid:100)∠MAD=90°
△ABC에서
'3
2
(cid:100)(cid:100)AM”= _6=3'3 (cm)
따라서 △AMD에서
(cid:100)(cid:100)'3a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=2'3
EG”='2_2'3=2'6 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)△AEG=;2!;_2'6_2'3
(cid:100)(cid:100)△AEG=6'2 (cm¤ )
208
의 길이와 모선의 길이를 구한다.
주어진 조건을 이용하여 원뿔의 밑면의 반지름
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:9120) 6'2 cm¤
△AEG는
∠AEG=90°인 직각
삼각형이므로
(cid:100)△AEG
=;2!;_EG”_AE”
(cid:100)(cid:100)2pr=10p(cid:100)(cid:100)∴ r=5
모선의 길이를 l cm라 하면
(cid:100)(cid:100);2!;_l_10p=65p(cid:100)(cid:100)∴ l=13
주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오
른쪽 그림과 같으므로 원뿔의 높이
는
(cid:100)(cid:100)"√13¤ -5¤ =12 (cm) (cid:9120) ③
34 정답 및 풀이
반지름의 길이가 r, 호
의 길이가 l인 부채꼴
의 넓이
13`cm
(cid:9178) ;2!;rl
5`cm
(cid:100)(cid:100)DM”=ø∑(3'3)¤ +∑6¤ =3'7 (cm)
(cid:9120) ①
정육면체의 한 모서리의 길이를
문제 이해
213
a cm라 하면
(cid:100)(cid:100)MN”=BD”='2a (cm)
(cid:100)(cid:100)AG”='3a (cm)
•30% 배점
E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지35 SinsagoHitec
리
정
스
라
고
타
피
Ⅵ
만점 공략 BOX
본책 45쪽~47쪽
(마름모의 넓이)
=;2!;_(한 대각선의 길
이)_(다른 대각선
의 길이)
해결 과정
AM”=MG”=GN”=NA”에서 (cid:8772)AMGN은
마름모이므로
(cid:100)(cid:100);2!;_'2a_'3a=8'6
'6
2
(cid:100)(cid:100) a¤ =8'6,(cid:100)(cid:100)a¤ =16
(cid:100)(cid:100)∴ a=4`(∵ a>0)
답 구하기
따라서 정육면체의 부피는
(cid:100)(cid:100)4‹ =64 (cm‹ )
•50% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 64 cm‹
문제 이해
214
△ABC를
직선 l을 회전축으로 하여 1
회전 시킬 때 생기는 입체도
형은 오른쪽 그림과 같다.
45æ
3`cmA
6`cm
30æ
C
B
3`cm
O
해결 과정
△AOC에서 OA”：AC”=1：2이므로
•20% 배점
(cid:100)(cid:100)OA”：6=1：2(cid:100)(cid:100)∴ OA”=3 (cm)
또 OC”：AC”='3：2이므로
(cid:100)(cid:100)OC”：6='3：2(cid:100)(cid:100)∴ OC”=3'3 (cm)
한편 △AOB에서
(cid:100)(cid:100)OB”=OA”=3 (cm)
답 구하기
따라서 구하는 입체도형의 부피는
(cid:100)=;3!;_p_(3'3 )¤ _3-;3!;_p_3¤ _3
(cid:100)=27p-9p=18p (cm‹ )
•40% 배점
(cid:9120) 18p cm‹
•40% 배점
(시간)=
(거리)
(속력)
문제 이해
215
오른쪽
전개도에서 구하는 최단
거리는 MB'”의 길이이다.
O
xæ
A
M
•10% 배점
B
해결 과정 ①
이때
A'
12`cm
B'
OA”：OB”=3：6이므로
(cid:100)(cid:100)OA”：(OA”+12)=1：2(cid:100)(cid:100)∴ OA”=12 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ OB”=12+12=24 (cm)
•30% 배점
해결 과정 ②
부채꼴의 중심각의 크기를 x°라 하면
(cid:100)(cid:100)2p_24_
=2p_6
x
360
(cid:100)(cid:100)∴ x=90
원뿔의 전개도에서 부
채꼴의 호의 길이는 밑
면의 둘레의 길이와 같
다.
O
3`cm
A
12`cm
M
△OMB'에서
(cid:100)(cid:100)MB'”="√24¤ +18¤ =30 (cm)
•30% 배점
(cid:9120) 30 cm
보충학습
부채꼴의 호의 길이와 넓이
반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 x°인 부채꼴의 호의
길이를 l, 넓이를 S라 하면
(cid:100)(cid:100)l=2pr_
, S=pr¤ _
x
360
x
360
정삼각형은 항상 닮음
인 도형이다.
교과서 속창의유형
본책 47~48쪽
216 [문제 해결 길잡이]
❶ (거리)=(속력)_(시간)임을 이용하여 P지점과 A, B,
D지점 사이의 거리를 각각 구한다.
❷ AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
¤ 임을 이용하여 P지점과 C지점
사이의 거리를 구한다.
❸ 폭죽을 터뜨린 후 몇 초 후에 C지점에 설치한 소음 측정
기가 소음을 측정하는지 구한다.
소리의 속력이 340 m/s이고,
(거리)=(속력)_(시간)이므로
'5
5
¤ +CP”
¤ =BP”
(cid:100)(cid:100)AP”=340_ =68'5 (m)
(cid:100)(cid:100)BP”=340_0.6=204`(m)
(cid:100)(cid:100)DP”=340_0.3=102`(m) ❶
이때 AP”
(cid:100)(cid:100)(68'5 )¤ +CP”
¤ =28900
(cid:100)(cid:100)CP”
(cid:100)(cid:100)∴ CP”=170`(m) ❷
따라서 폭죽을 터뜨린 후 C지점에 설치한 소음 측정기
가 소음을 측정할 때까지 걸리는 시간은
¤ +DP”
¤ =204¤ +102¤
¤ 이므로
(cid:100)(cid:100);3!4&0);=0.5(초) ❸
(cid:9120) 0.5초
속력이 일정할 때 시간과 거리는 비례하므로
C지점에서 소음을 측정하는 데 걸린 시간을 x초라 하면
}2 +x¤ =(0.6)¤ +(0.3)¤
'5
(cid:100)(cid:100){
5
(cid:100)(cid:100)x¤ =0.25
(cid:100)(cid:100)∴ x=0.5 (∵ x>0)
217 [문제 해결 길잡이]
❶ S™, S£, S¢, y의 한 변의 길이를 구하여 규칙을 찾아
S«의 한 변의 길이를 n으로 나타낸다.
❷ S§의 한 변의 길이를 구한다.
❸ S™와 S§의 닮음비를 구한다.
S™의 한 변의 길이는(cid:100)(cid:100) _1=
S£의 한 변의 길이는(cid:100)(cid:100) _ ={
'3
2
'3
2
'3
2
'3
2
'3
2
}2
'3
2
'3
2
'3
2
'3
S«의 한 변의 길이는(cid:100)(cid:100){
2
따라서 S§의 한 변의 길이는
« —⁄
}
(næ2) ❶
'3
2
9'3
32
❷
}5 =
(cid:100)(cid:100){
이므로 S™와 S§의 닮음비는
9'3
32
'3
(cid:100)(cid:100) ：
2
일반적으로 닮음비는 가장 간단한 자연수의 비로
=16：9 ❸
(cid:9120) 16：9
참고
나타낸다.
Ⅵ. 피타고라스 정리 35
답 구하기
OM”=12+;2!;_12=18 (cm)이므로
B
6`cm
⋮
•30% 배점
S¢의 한 변의 길이는(cid:100)(cid:100) _{
}2 ={
}3
E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지36 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
218 [문제 해결 길잡이]
❶ 정육각형 모양의 렌즈를 정삼각형으로 나누어 그 넓이를
구한다.
❷ 특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용하여 조리
정n 각형의 한 내각의
크기는
(cid:100)
180°_(n-2)
n
A
1
30æ
60æ
C
B
개의 넓이를 구한다.
❸ 노출된 렌즈의 넓이를 구한다.
렌즈의 넓이는
'3
(cid:100)(cid:100)6_{ _1¤ }=
4
정육각형의 한 내각의 크기는
3'3
2
❶
(cid:100)(cid:100)
=120°
180°_(6-2)
6
이므로 오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)∠BAC=120°-90°=30°
∠ABC=90°-30°=60°
△ABC에서 AC”：BC”='3：1이므로
(cid:100)(cid:100)1：BC”='3：1
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=
'3
3
조리개의 넓이는
'3
(cid:100)(cid:100)6_{;2!;_1_ }='3 ❷
3
따라서 구하는 넓이는
'3
2
-'3=
3'3
2
(cid:100)(cid:100)
❸
(cid:9120) '3
2
219 [문제 해결 길잡이]
❶ 두 점 P, Q를 대칭이동하여 로봇청소기가 움직인 최단
거리와 길이가 같은 선분을 찾는다.
❷ 피타고라스 정리를 이용하여 로봇청소기가 움직인 최단
거리를 구한다.
P''
200`cm
200`cm
P'
50`cm
D
M
A
N
S
P
Q
Q'
300`cm
B
50`cm
C
150`cm
위의 그림과 같이 점 P를 CD”에 대하여 대칭이동한 점
을 P', 점 P'을 직선 AD에 대하여 대칭이동한 점을 P''
이라 하고 점 Q를 AB”에 대하여 대칭이동한 점을 Q'이
라 하면 로봇청소기가 움직인 거리는
(cid:100)(cid:100)PM”+MN”+NS”+SQ”
=P'M”+MN”+NS”+SQ”'
æP'N”+Q'N”
=P''N”+Q'N”
æP''Q'” ❶
따라서 로봇청소기가 움직인 최단 거리는
(cid:100)(cid:100)P''Q'”="√500¤ +450¤ =50'∂181 (cm) ❷
(cid:9120) 50'∂181 cm
36 정답 및 풀이
Ⅶ
삼각비
13
삼각비 ⑴
개념&기출유형
'3
3
220 BC”=ø∑('6)¤ -2¤ ='2
'2
① sin A= =
'6
'2
2
'2
'6
⑤ cos B= =
③ tan A=
'3
3
본책 50~51쪽
② cos A= =
④ sin B= =
2
'6
2
'6
'6
3
'6
3
(cid:9120) ③
221 y=0을 y=2x+6에 대입하면
(cid:100)(cid:100)x=-3(cid:100)(cid:100)∴ A(-3, 0)
x=0을 y=2x+6에 대입하면
(cid:100)(cid:100)y=6(cid:100)(cid:100)∴ B(0, 6)
따라서 직각삼각형 AOB에서
(cid:100)(cid:100)OA”=3, OB”=6, AB”="√3¤ +6¤ =3'5
3'5
(cid:100)(cid:100)∴ sin a+cos a=
5
+
=
6
3'5
3
3'5
(cid:9120)
3'5
5
222 tan B=
=;5#;에서(cid:100)(cid:100)AC”=6
AC”
10
(cid:100)(cid:100)∴ AB”="√10¤ +6¤ =2'∂34
(cid:9120) 2'∂34
= 에서(cid:100)(cid:100)AC”=2'2
'2
2
223 cos A=
AC”
4
(cid:100)(cid:100)∴ BC”="√4¤`-(2'2 )¤``=2'2
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_2'2_2'2=4
(cid:9120) 4
= 에서(cid:100)(cid:100)BC”=6'2
'7
3
224 sin B=
2'∂14
BC”
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=ø∑(6'2)¤ -∑(2'∂14)¤ =4
4
따라서 sin C=
6'2
(cid:100)(cid:100)sin C_tan C=
, tan C=
_
4
2'∂14
4
=
2'∂14
4
6'2
이므로
2'7
21
225 sin A=
이므로 오른쪽
2'6
7
그림과 같이
(cid:100)(cid:100)∠C=90°, AB”=7,
BC”=2'6
인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다.
이때 AC”=ø∑7¤ -∑(2'6)¤ =5이므로
(cid:100)(cid:100)tan A=
2'6
5
7
A
(cid:9120) ②
B
2´6
C
(cid:9120) ①
E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지37 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
본책 48쪽~52쪽
직각삼각형 DBE에서 BE”="√11¤ -9¤ =2'∂10이므로
(cid:100)(cid:100)sin x=
, tan x=
2'∂10
11
2'∂10
9
(cid:100)(cid:100)∴
tan x
sin x
=
2'∂10
9
_
11
2'∂10
=;;¡9¡;;
(cid:9120) ;;¡9¡;;
A
226 tan A=;3!;이므로 오른쪽
그림과 같이
(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=3, BC”=1
인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다.
이때 AC”="√3¤ +1¤ ='∂10이므로
1
3
(cid:100)(cid:100)sin A=
'∂10
'∂10
_
(cid:100)(cid:100)∴ sin A_cos A=
, cos A=
1
'∂10
3
'∂10
227 cos A=;5#;이므로 오른쪽 그림과
같이 AC”=5, AB”=3으로 놓으면
(cid:100)(cid:100)BC”="√5¤ -3¤ =4
④
=;5#;_;4%;=;4#;
cos A
sin A
C
1
B
3
=;1£0; (cid:9120) ;1£0;
C
5
A
3
B
⑤ sin¤ A+cos¤ A={;5$;}
¤ +{;5#;}
¤ =1
(cid:9120) ④
228 직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”="√12¤ +16¤ =20
∠DCA=∠DAB=x,
∠DBA=∠DAC=y이므
로
A
D
12 x
y
16
y
B
x
C
(cid:100)(cid:100)cos x=;2!0^;=;5$;, cos y=;2!0@;=;5#;
(cid:100)(cid:100)∴ cos x+cos y=;5$;+;5#;=;5&;
(cid:9120) ;5&;
직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”="√12¤ +16¤ =20
AB”_AC”=AD”_BC”에서
(cid:100)(cid:100)12_16=AD”_20(cid:100)(cid:100)∴ AD”=9.6
따라서 △ABD와 △ACD에서
(cid:100)(cid:100)cos x= =;5$;, cos y= =;5#;
9.6
12
9.6
16
이므로(cid:100)(cid:100) cos x+cos y=;5&;
229 △ABC와 △CBD에서
(cid:100)(cid:100)∠B는 공통,
(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠CDB=90°
이므로
(cid:100)(cid:100)△ABCª△CBD (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BAC=∠BCD=x
B
즉 △ABC에서 cos x=
5
AB”
=;7%;이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=7
(cid:100)(cid:100)∴ BC”="√7¤ -5¤ =2'6
230 △ABC와 △DBE에서
(cid:100)(cid:100)∠B는 공통, ∠C=∠DEB=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△DBE (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BDE=∠A=x
닮은 직각삼각형에서
대응각에 대한 삼각비
의 값은 일정하다.
△ABCª△DBA
ª△DAC
비
각
삼
Ⅶ
내신 만점 도전하기
본책 52~54쪽
삼각비의 뜻을 이용하여 ∠A, ∠B의 삼각비
231
의 값을 구한다.
cos A=
;cB;
① sin A=
③ sin B=
⑤ tan B=
;cA;
;cB;
;aB;
② tan A=
④ cos B=
;bA;
;cA;
(cid:9120) ③
직각삼각형 DBC에서
232
해결 과정
(cid:100)(cid:100)BC”="√15¤ -9¤ =12
직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”="√20¤ -12¤ =16
AC”
답 구하기
AB”
∴ cos x=
•60% 배점
=;2!0^;=;5$; •40% 배점
(cid:9120) ;5$;
233
△EBF는 이등변삼각형이다.
DE”=BE”=a라 하면 AE”=6-a이므로 직각삼
각형 ABE에서
(cid:100)(cid:100)a¤ =(6-a)¤ +2¤ ,(cid:100)(cid:100)12a=40(cid:100)(cid:100)∴ a=;;¡3º;;
점 F에서 ED”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △BFE
는 BE”=BF”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∴ EH”=DE”-HD”=;;¡3º;;-;3*;=;3@;
따라서 직각삼각형 EFH에서
2'∂10
3
(cid:100)(cid:100)EF”=æ≠{;3@;}
¤ +2¤ =
(cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos x=
(cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos x=2_
+;3@;_
3
2'∂10
FH”
EF”
+
EH”
EF”
3
2'ß10
+
1
'∂10
2'∂10
5
3
'∂10
4
'∂10
(cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos x=
=
(cid:9120) ③
234
직각삼각형을 생각한다.
직선을 그려서 직선과 x축, y축으로 둘러싸인
Ⅶ. 삼각비 37
(엇각),
(cid:100)(cid:100)HD”=FC”=6-BF”=6-:¡3º:=;3*;
∠DEF=∠BFE
∠DEF=∠BEF
(접은 각)
이므로
(cid:100)∠BFE=∠BEF
(cid:100)∴ BE”=BF”
A
x
D
5
C
x
(cid:9120) ③
(cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos x=
E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지38 SinsagoHitec
주어진 직선이 y축, x축과 만나는 점을 각각 A,
주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그려
만점 공략 BOX
237
본다.
A
a
y
2
O
B
x
8
3
3x+4y-8=0
x=0을 3x+4y-8=0
에 대입하면
(cid:100)4y-8=0(cid:100)∴ y=2
y=0을 3x+4y-8=0
에 대입하면
(cid:100)3x-8=0
(cid:100)∴ x=;3*;
∠AED=∠C=90°,
∠A는 공통이므로
(cid:100)△ADEª△ABC
(AA 닮음)
세 모서리의 길이가 각
각 a, b, c인 직육면체
의 대각선의 길이
(cid:9178) "√a¤ +b¤ +c¤
B라 하면(cid:100)(cid:100)A(0, 2), B {;3*;, 0}
직선 3x+4y-8=0은 오른쪽 그
림과 같으므로 직각삼각형 AOB
에서
(cid:100)(cid:100)OA”=2, OB”=;3*;,
(cid:100)(cid:100)AB”=æ≠2¤ +{;3*;}
¤ =;;¡3º;;
따라서 sin a=
=;3*;_;1£0;=;5$;,
OB”
AB”
cos a=
=2_;1£0;=;5#;이므로
OA”
AB”
(cid:100)(cid:100)5(sin a+cos a)=5_{;5$;+;5#;}=7
(cid:9120) ③
235
직각삼각형 AEG에서 삼각비의 값을 구한다.
△AEG에서 ∠AEG=90°
A
이고
(cid:100)(cid:100)AE”=10 (cm),
(cid:100)(cid:100)EG”="√6¤ +8¤ =10 (cm),
(cid:100)(cid:100)AG”="√6¤ +8¤ +10¤ =10'2 (cm)
이므로
10`cm
10´2`cm
x
10`cm
G
E
(cid:100)(cid:100)sin x=
= , cos x=
10
10'2
'2
2
10
10'2
'2
= ,
2
(cid:100)(cid:100)tan x=;1!0);=1
(cid:100)(cid:100)∴ sin x_cos x-tan x= _ -1=-;2!;
(cid:9120) ②
'2
2
'2
2
236
그어 직각삼각형을 만든다.
점 M과 점 C에서 각각 BC”와 BM”에 수선을
정사면체의 한 모서리의
A
점 C에서 BM”에 내린 수선의 발을 I라 하면 △BCM
의 넓이에서
(cid:100)(cid:100);2!;_BC”_MH”=;2!;_BM”_CI”
(cid:100)(cid:100);2!;_a_ a=;2!;_ a_CI”
'3
2
'2
2
'6
3
따라서 직각삼각형 MIC에서
(cid:100)(cid:100)∴ CI”= a
(cid:100)(cid:100)sin k=
CI”
CM”
'6
= a_
3
=
2'2
3
2
'3a
(cid:9120)
2'2
3
38 정답 및 풀이
cos A=;5#;이므로 오른쪽 그림과
같이
(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=3a, AC”=5a
인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다.
C
5a
A
3a
B
BC”=ø∑(5a)¤ -∑(3a)¤ =4a이므로
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_3a_4a=150
(cid:100)(cid:100)6a¤ =150(cid:100)(cid:100)∴ a=5 (∵ a>0)
따라서 △ABC의 세 변의 길이는 15, 20, 25이므로 둘
레의 길이는
(cid:100)(cid:100)15+20+25=60
(cid:9120) ②
238
해결 과정 ①
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)tan B=
=2
AC”
4
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=8
•30% 배점
해결 과정 ②
△ADEª△ABC(AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)DE”：BC”=AE”：AC”
(cid:100)(cid:100)2'2：4=AE”：8(cid:100)(cid:100)∴ AE”=4'2 •50% 배점
답 구하기
∴ EC”=AC”-AE”
=8-4'2
•20% 배점
(cid:9120) 8-4'2
239
해결 과정 ①
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)tan x=
15
BC”
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=25
=;5#;
해결 과정 ②
•30% 배점
AD”=BD”=a라 하면 CD”=25-a이므
240
하고 △ABC의 넓이를 이용하여 AH”의 길이를 구한다.
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_16_AH”=40'3
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=5'3
sin B=
= 에서(cid:100)(cid:100)c=10
5'3
c
'3
2
△ABH에서 BH”=ø∑10¤ -∑(5'3)¤ =5이므로
(cid:100)(cid:100)CH”=16-5=11
또 △ACH에서(cid:100)(cid:100)b=ø∑(5'3)¤
(cid:100)(cid:100)∴ b+c=24
∑+11¤ =14
(cid:9120) 24
길이를 a라 하면
(cid:100)(cid:100)BM”=CM”= a
'3
2
점 M에서 BC”에 내린 수선의
발을 H라 하면 △MBH에서
¤ -{;2!;a}
(cid:100)(cid:100)MH”=æ≠{
a}
'3
2
(cid:100)(cid:100)MH”= a
'2
2
한 변의 길이가 a인
정삼각형의 높이
a'3
2
(cid:9178)
로 △ADC에서
(cid:100)(cid:100)a¤ =(25-a)¤ +15¤
(cid:100)(cid:100)50a=850(cid:100)(cid:100)∴ a=17
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=BD”=17, CD”=8
답 구하기
∴ cos y=
CD”
AD”
=;1•7;
M
k
D
B
I
H
C
•50% 배점
•20% 배점
(cid:9120) ;1•7;
BH”=;2!; BC”
¤
E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지39 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
본책 52쪽~54쪽
BD”="√12¤ +9¤ =15이므로
(cid:100)(cid:100)sin x=;1!5@;=;5$;
(cid:9120) ;5$;
245
의 값은 일정하다.
닮은 두 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비
△ABCª△ACDª△ADE (AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)4 : AD”=AD” : 5,(cid:100)(cid:100)AD”
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=2'5 (∵ AD”>0)
(cid:100)(cid:100)∴ cos(∠BAC)=cos(∠DAE)=
¤ =20
2'5
5
(cid:9120) ⑤
∠C=x이므로 △CDE에서
•40% 배점
△ADC에서
해결 과정 ①
246
¤ =CE”_AE”=24이므로
DE”
(cid:100)(cid:100)DE”=2'6 (∵ DE”>0)
¤ =CE”_CA”=60이므로
CD”
(cid:100)(cid:100)CD”=2'∂15 (∵ CD”>0)
해결 과정 ②
(cid:100)(cid:100)sin x=
DE”
CD”
=
2'6`
2'∂15
=
'∂10`
5
(cid:100)(cid:100)cos y=
또 ∠CDE=y이므로 △CDE에서
'∂10`
5
2'∂10`
5
∴ sin x+cos y=
2'6`
2'∂15
DE”
CD”
답 구하기
=
=
247
의 값은 일정하다.
닮은 두 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비
△AOB와 △OHB에서
(cid:100)(cid:100)∠ABO는 공통, ∠AOB=∠OHB=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△AOBª△OHB (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BAO=∠BOH
즉 tan (∠BAO)=;4#;이므로
(cid:100)(cid:100)AO”=4k, BO”=3k (k>0)
라 하면(cid:100)(cid:100)AB”="√(4k)¤ +(3k)¤ =5k
AO”_BO”=AB”_OH”이므로
(cid:100)(cid:100)4k_3k=5k_6(cid:100)(cid:100)∴ k=;2%;
비
각
삼
Ⅶ
•40% 배점
•20% 배점
(cid:9120)
2'∂10`
5
A
B
△ACDª△ADE
cos (∠BAC)
=cos (∠CAD)
=
4
2'5
=
2'5
5
△CED에서
(cid:100)CD”=øπ`CE”
¤ +DE”
="√6¤ +(2'6)¤
=2'ß15
와 같이 구할 수도 있
다.
△CADª△ABD
(AA 닮음)이므로
(cid:100)∠ACD=∠BAD
△CDEª△DAE
(AA 닮음)이므로
(cid:100)∠CDE=∠DAE
=x
=y
241
해결 과정 ①
9x¤ -12x+4=0에서
(cid:100)(cid:100)(3x-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=;3@; (중근)
•20% 배점
해결 과정 ②
따라서 cos A=;3@:이
므로 오른쪽 그림과 같이
(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AC”=3, AB”=2
인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있
다.
이때 BC”="√3¤ -2¤ ='5이므로
'5
(cid:100)(cid:100)sin A=
3
답 구하기
∴ (cos A-sin A)¤
'5
¤ =1-
3
={;3@;- }
4'5
9
C
3
2
•40% 배점
•40% 배점
(cid:9120) 1-
4'5
9
242
본다.
주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그려
17 sin A-8=0에서(cid:100)(cid:100)sin A=
;1•7;
17
A
C
8
B
따라서 오른쪽 그림과 같이
(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AC”=17,
(cid:100)(cid:100)BC”=8
인 직각삼각형 ABC를 생각할
수 있다.
이때 AB”="√17¤ -8¤ =15이므로
(cid:100)(cid:100)cos A=;1!7%;, tan A=;1•5;
(cid:100)(cid:100)∴ cos A-sin A=;1!7%;-;1•7;=;1¶7;,
(cid:100)(cid:100)∴ cos A_tan A+sin A=;1!7%;_;1•5;+;1•7;=;1!7^;
(cid:100)(cid:100)∴
cos A-sin A
cos A_tan A+sin A
=;1¶7;_;1!6&;=;1¶6;
243
각형을 그려 본다.
sin A와 cos A의 값의 비를 이용하여 직각삼
12 sin A=5 cos A에서
sin A : cos A=5 : 12이므로 오른
쪽 그림과 같이
(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=12, BC”=5
인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다.
이때 AC”="√12¤ +5¤ =13이므로
(cid:100)(cid:100)cos(90°-A)=cos C=
A
;1∞3;
244
의 값은 일정하다.
△ABD와 △EAD에서
(cid:100)(cid:100)∠D는 공통, ∠BAD=∠AED=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△ABDª△EAD (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABD=∠EAD=x
(cid:9120) ④
C
5
B
12
(cid:9120) ④
닮은 두 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비
=BC” : AB”
(cid:100)(cid:100)a=;4#;, b=:¡2∞:(cid:100)(cid:100)∴ a+b=:£4£:
(cid:9120) ④
△ABC에서
(cid:100)sin A=
BC”
AC”
,
AB”
AC”
(cid:100)cos A=
이므로
sin A : cos A
AO”=4k=4_;2%;=10, BO”=3k=3_;2%;=:¡2∞:이므로
(cid:100)(cid:100)A(-10, 0), B {0, :¡2∞:}
따라서 주어진 직선의 방정식은 y=;4#;x+:¡2∞:이므로
∠A=∠BED=90°,
∠B는 공통이므로
(cid:100)△ABCª△EBD
△ABC에서
문제 이해
248
(cid:100)(cid:100)BC”="√6¤ +8¤ =10
해결 과정 ①
△ABCª△EBD (AA 닮음)이므로
•10% 배점
(AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∠C=∠BDE=x
Ⅶ. 삼각비 39
¤
E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지40 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)∴ sin x=
AB”
BC”
=;1§0;=;5#;
•40% 배점
해결 과정 ②
△ABCª△GFC (AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)∠B=∠GFC=y
(cid:100)(cid:100)∴ cos y=
AB”
BC”
=;1§0;=;5#;
답 구하기
∴ sin x+cos y=;5#;+;5#;=;5^; •10% 배점
•40% 배점
(cid:9120) ;5^;
만점 공략 BOX
∠A=∠FGC=90°,
∠C는 공통이므로
(cid:100)△ABCª△GFC
(AA 닮음)
내신 만점 굳히기
본책 55쪽
249
좌표는 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고쳐서 구한다.
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의
y=x¤ +x+cos a
={x¤ +x+;4!;}+cos a-;4!;
={x+;2!;}
¤ +cos a-;4!;
이므로 꼭짓점의 좌표는 {-;2!;, cos a-;4!;}이다.
원점과 꼭짓점 사이의 거리는
¤ +≠{cos a-;4!;}
(cid:100)(cid:100)æ≠{-;2!;}
이므로 cos a-;4!;=0, 즉 cos a=;4!;일 때 최소이다.
이차함수
(cid:100)y=a(x-p)¤ +q
의 그래프의 꼭짓점의
좌표는 (p, q)이다.
A
4
B
C
a
1
(cid:9120) ⑤
A
45æ
a
C
cos a=;4!;이므로 오른쪽 그림과 같이
(cid:100)(cid:100)∠C=90°, AB”=4, BC”=1
인 직각삼각형 ABC를 생각할 수 있다.
이때 AC”="√4¤ -1¤ ='∂15이므로
(cid:100)(cid:100)tan a='∂15
250
∠BAD를 한 각으로 하는 직각삼각형을 생각한다.
점 B에서 AD”의 연장선에 수선을 그어
x
오른쪽 그림과 같이 점
B에서 AD”의 연장선에 내린
수선의 발을 E라 하고,
AC”=BD”=DC”=a라 하면
△ADC에서
(cid:100)(cid:100)AD”='2a
△BED에서 BD”：BE”：DE”='2：1：1이므로
(cid:100)(cid:100)a：BE”：DE”='2：1：1
B
45æ
a
45æ
D
E
45æ
a
(cid:100)(cid:100)∴ BE”=DE”= a
'2
2
'2
2
'2
= a_
2
3'2
2
따라서 AE”='2a+ a=
a이므로 △ABE에서
(cid:100)(cid:100)tan x=
BE”
AE”
2
3'2a
=;3!;
(cid:9120) ;3!;
40 정답 및 풀이
0°0,
(cid:100)cos A>0
AF”='2_10=10'2 (cm),
해결 과정 ①
251
FM”=MG”=5 cm이므로 △AFM에서
(cid:100)(cid:100)AM”="√(10'2 )¤ +5¤ =15 (cm)
해결 과정 ②
•20% 배점
A
x
오른쪽 그림과
같이 점 M에서 AG”에 내린
수선의 발을 I라 하면
(cid:100)(cid:100)AG”='3_10
(cid:100)(cid:100)AG”=10'3 (cm)
이므로 △AMG의 넓이에서
15`cm
10´2`cm
10´3`cm
I
F
5`cm
M
G
5`cm
(cid:100)(cid:100);2!;_10'3_MI”=;2!;_5_10'2
(cid:100)(cid:100)∴ MI”=
해결 과정 ③
(cm)
5'6
3
△AMI에서
5'6
3
}2 =
AI”
AM”
5'3
9
=
(cid:100)(cid:100)AI”=æ≠15¤ -{
답 구하기
∴ cos x=
(cm) •20% 배점
25'3
3
25'3
3
=
_;1¡5;
•40% 배점
•20% 배점
(cid:9120)
5'3
9
252
임을 이용한다.
원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직
㈀ △OAB에서 ∠OAB=90°이므로
(cid:100)(cid:100)tan a=
=AB”
AB”
OA”
(cid:100)(cid:100)AB”
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=AB”
㈁ AB”⊥OC”, OB”⊥BC”이므로 △OBC에서
¤ =OA”_AC”=AC”
¤ =(tan a)¤
OA”
OB”
㈂ △OAB에서(cid:100)(cid:100)cos a=
1
OB”
=
(cid:100)(cid:100)∴ OB”=
1
cos a
이상에서 ㈀, ㈁, ㈂ 모두 옳다.
(cid:9120) ⑤
해결 과정 ①
주어진 식에서
253
(cid:100)(cid:100)(3 sin A+2 cos A)(2 sin A-cos A)=0
3 sin A+2 cos A>0이므로
(cid:100)(cid:100)2 sin A-cos A=0
(cid:100)(cid:100)∴ 2 sin A=cos A
해결 과정 ②
즉 sin A : cos A=1 : 2이므로
오른쪽 그림과 같이
(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=2, BC”=1
인 직각삼각형 ABC를 생각할 수
있다.
•30% 배점
이때 AC”="√2¤ +1¤ ='5이므로
A
2
답 구하기
(cid:100)(cid:100)sin A= =
1
'5
'5
5
•40% 배점
C
1
B
•30% 배점
(cid:9120) '5
5
¤
E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지41 SinsagoHitec
254 [문제 해결 길잡이]
❶ 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°임을 이용하여
∠ABD와 ∠A의 크기를 구한다.
❷ AB”=a, BC”=b라 하고 삼각형의 닮음을 이용하여 b를
a에 대한 식으로 나타낸다.
❸ AH”의 길이를 a에 대한 식으로 나타내어 cos 36°의 값을
구한다.
A
∠ABD=∠DBC=∠x라
하면 △ABC와 △BCD는 이등변
삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠BDC=2∠x
△BCD에서
(cid:100)(cid:100)5∠x=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=36°
또 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)∠A+4∠x=180°
이므로
(cid:100)(cid:100)∠A+4_36°=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=180°-144°=36° ❶
따라서 △ABD는 AD”=BD”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)AD”=BD”=BC”
2x
2x
x
x
B
D
C
오른쪽 그림과 같이 점 B에서 CD”
에 내린 수선의 발을 H, AB”=a,
BC”=b라 하면
△ABCª△BCD (AA 닮음)이므
로
(cid:100)(cid:100)AB” : BC”=BC” : CD”
(cid:100)(cid:100)a : b=b : (a-b)
(cid:100)(cid:100)b¤ =a(a-b)
A
36æ
b
a
B
b
b
D
H
C
(cid:100)(cid:100)∴ b=
(∵ a>0, b>0) ❷
b¤ +ab-a¤ =0
-a+'5a
2
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=b+
=
a-b
a+b
2
2
-a+'5a
2
}_;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ AH={a+
(cid:100)(cid:100)∴ AH=
1+'5
4
a
따라서 직각삼각형 ABH에서
1+'5
4
(cid:100)(cid:100)cos 36°=
AH”
AB”
=
a_
=
;a!;
1+'5
4
❸
(cid:9120)
1+'5
4
만점 공략 BOX
본책 54쪽~56쪽
14
삼각비 ⑵
개념&기출유형
+cos 30°-'2 cos 45°
255
'2_
'2 sin 45°_tan 60°
2 tan 45°
'2
2
12
2_1
'3
= + -1='3-1
2
_'3
'3
2
'3
2
=
+ -'2_
'2
2
본책 56~57쪽
(cid:9120) ②
(cid:9120) ⑤
sin 30°=;2!;
삼각형의 세 내각의 크
기의 합은 180°이다.
256 cos(x-20°)=;2!;이므로
(cid:100)(cid:100)x-20°=60°(cid:100)(cid:100)∴ x=80°
sin 30°=cos 60°이므로
(cid:100)(cid:100)x-20°=60°(cid:100)(cid:100)∴ x=80°
257 tan 45°=1이므로
(cid:100)(cid:100)x-15°=45°(cid:100)(cid:100)∴ x=60°
∠BAD=∠ABD=36°
이므로
(cid:100)AD”=BD”
(cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos ;2!;x=sin 60°+cos 30°
(cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos ;2!;x= + ='3
(cid:9120) '3
'3
2
'3
2
∠BAC=∠CBD,
∠ABC=∠BCD
이므로
(cid:100)△ABCª△BCD
(AA 닮음)
이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 해는
-b—"√b¤ -4ac
2a
(cid:100)x=
삼각형의 한 외각의 크
기는 이와 이웃하지 않
는 두 내각의 크기의
합과 같다.
△ABD에서
(cid:100)tan 15°=
AB”
BD”
직선 y=mx+n이 x축
의 양의 방향과 이루는
각의 크기를 a라 할 때,
(cid:100)m=tan a
(cid:9120) 9'2
15æ
C
10
D
258 △ABD에서(cid:100)(cid:100)sin 60°=
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=9
△ADC에서(cid:100)(cid:100)sin 45°=
9
AC”
=
'2
2
AD”
6'3
=
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=9'2
(cid:100)(cid:100)sin 30°=
259 △ABC에서
5
AC”
5
BC”
(cid:100)(cid:100)tan 30°=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10
= (cid:100)(cid:100)∴ BC”=5'3
'3
3
△ACD에서
(cid:100)(cid:100)∠DAC=30°-15°
=15°
A
15æ
5
B
30æ
5´3
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ADC=∠DAC
즉 △ACD는 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)CD”=AC”=10
(cid:100)(cid:100)∴ tan 15°=
(cid:100)(cid:100)∴ tan 15°=
5
10+5'3
=
1
2+'3
2-'3
(2+'3)(2-'3)
260 직선의 기울기는(cid:100)(cid:100)tan 60°='3
직선의 y절편을 k라 하면
='3(cid:100)(cid:100)∴ k=6'3
(cid:100)(cid:100)tan 60°=
;6K;
따라서 구하는 직선의 방정식은
(cid:100)(cid:100)y='3x+6'3
(cid:100)(cid:100)∴ tan 15°=2-'3
(cid:9120) 2-'3
(cid:9120) y='3x+6'3
Ⅶ. 삼각비 41
비
각
삼
Ⅶ
E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지42 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
BC”// DE”이므로
(cid:100)y=z (동위각)
직선의 방정식을 y=ax+b라 하면
(cid:100)(cid:100)a=tan 60°='3
x절편이 -6이므로 x=-6, y=0을 y='3x+b에 대
입하면(cid:100)(cid:100)b=6'3
따라서 구하는 직선의 방정식은(cid:100)(cid:100)y='3x+6'3
261 ① sin x=
BC”
AC”
=
BC”
1
=BC”
② sin y=
AB”
AC”
=
③ cos z=cos y=
=BC”
=AB”
=
BC”
1
AB”
1
BC”
AC”
DE”
1
1
DE”
DE”
AD”
AD”
DE”
④ tan x=
=
=DE”
⑤ tan z=
=
(cid:9120) ③
262 (cos 90°-sin 90°)(sin 0°+3 cos 0°-tan 0°)
=(0-1)_(0+3_1-0)
=-3
(cid:9120) -3
263 ① x의 크기가 증가하면 sin x의 값도 증가하므로
② x의 크기가 증가하면 cos x의 값은 감소하므로
(cid:100)(cid:100)sin 16°cos 63°
③ x의 크기가 증가하면 tan x의 값도 증가하므로
(cid:100)(cid:100)tan 8°cos x이므로
(cid:100)(cid:100)sin 70°>cos 70°
⑤ tan 45°=1cosx
264 주어진 삼각비의 표에서 sin 43°=0.6820,
tan 40°=0.8391이므로
(cid:100)(cid:100)x=43°, y=40°(cid:100)(cid:100)∴ x+y=83°
(cid:9120) 83°
265 ∠A=36°이므로
(cid:100)(cid:100)∠B=90°-36°=54°
주어진 삼각비의 표에서 tan 54°=1.3764이므로
(cid:100)(cid:100)tan 54°=
AC”
40
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=1.3764_40=55.056
=1.3764
내신 만점 도전하기
본책 58~60쪽
특수한 각`(30°, 45°, 60°)의 삼각비의 값을
266
이용한다.
42 정답 및 풀이
a=30°이므로 삼각형
의 세 내각의 크기는
30°, 60°, 90°이다.
A=180°_ =30°와
1
6
같이 구할 수도 있다.
(cid:9120) 55.056
A=45° 또는 A=60°
'3
2
① sin 60°+cos 60°= +;2!;=
'3
'3-1
2
2
sin 60°-cos 60°= -;2!;=
1
sin 60°+cos 60°
(cid:100) ∴
-
1
sin 60°-cos 60°
'3+1
2
,
=-2
(cid:100)(cid:100) =
(cid:100)(cid:100) =
-
2
'3-1
2
'3+1
2('3-1)-2('3+1)
('3+1)('3-1)
② 2 sin 30°-'2 sin 45°+tan 30°
=2_ -'2_ +
'3
3
=1-1+ =
'2
2
'3
3
'3
3
1
2
③ sin 45°_(cos 30°-tan 30°)
'6
12
'3
6
'2
2
'3
2
④ '3 sin 60°-
'3
'2
= _{ - }= _ =
3
2
'2 cos 45°_tan 45°
'3 tan 60°
'2
2
13
'3_'3
='3_ -
⑤ (좌변)=tan45°÷sin 45°
2
'2
'2
⑤ (좌변)=1÷ =1_ ='2
2
'2_
'3
2
_1
(우변)=cos 45°=
'2
2
=;2#;-;3!;=;6&;
(cid:9120) ①, ③
267
용하여 A의 크기를 구한다.
삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°임을 이
삼각형의 세 내각의 크기를 a, 2a, 3a (a>0°)라
하면 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이므로
(cid:100)(cid:100)a+2a+3a=180°
(cid:100)(cid:100)6a=180°(cid:100)(cid:100)∴ a=30°
따라서 A=30°이므로
(cid:100)(cid:100)sin A_cos A_tan A
=sin 30°_cos 30°_tan 30°
'3
3
=;2!;_ _ =;4!;
'3
2
(cid:9120) ;4!;
x¤ -('3+1)x+'3=0에서
268
해결 과정
(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-'3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x='3
즉 tan A=1 또는 tan A='3이므로
(cid:100)(cid:100)A=45° (∵ 0°…A…45°)
답 구하기
∴ sin¤ A-'2 cos A+3
=sin¤ 45°-'2 cos 45°+3
'2
¤ -'2_ +3
={
}
2
'2
2
=;2%;
•60% 배점
•40% 배점
(cid:9120) ;2%;
E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지43 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
본책 56쪽~59쪽
반지름의 길이가 r, 중
심각의 크기가 x°인
부채꼴의 넓이는
(cid:100)pr¤ _
x
360
DE”⊥BC”, AC”⊥BC”이
므로
(cid:100)DE”∥AC”
269
용하여 BC”, DC”의 길이를 구한다.
특수한 각(30°, 45°, 60°)의 삼각비의 값을 이
△ABC에서(cid:100)(cid:100)tan 30°= =
6
BC”
'3
3
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'3
△ABD에서
(cid:100)(cid:100)∠ADC=30°+15°=45°
△ADC에서(cid:100)(cid:100)tan45°= =1
6
DC”
(cid:100)(cid:100)∴ DC”=6
(cid:100)(cid:100)∴ BD”=BC”-DC”=6'3-6=6('3-1)
(cid:9120) ①
A
해결 과정 ①
△ABC
270
에서
(cid:100)(cid:100)sin 30°=
AC”
20
=;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10
20
D
60æ
30æ
B
30æ
30æ
C
E
•30% 배점
∠A=90°-30°=60°이므로
해결 과정 ②
(cid:100)(cid:100)∠ACD=90°-60°=30°
△ADC에서
=
'3
2
(cid:100)(cid:100)cos 30°=
CD”
10
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=5'3
답 구하기
DE”// AC”이므로
(cid:100)(cid:100)∠EDC=∠ACD=30° (엇각)
△DEC에서(cid:100)(cid:100)sin 30°=
EC”
5'3
=;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ EC”=
5'3
2
•30% 배점
•40% 배점
(cid:9120)
5'3
2
271
sin45°= 임을 이용하여 x의 크기를 구한다.
sin 45°= 이므로 sin(2x-15°)= 에서
'2
2
'2
2
'2
2
(cid:100)(cid:100)2x-15°=45°,(cid:100)(cid:100)2x=60°
(cid:100)(cid:100)∴ x=30°
△OAB에서(cid:100)(cid:100)cos 30°=
(cid:100)(cid:100)∴ OB”=4'3
△OBC에서(cid:100)(cid:100)cos 30°=
(cid:100)(cid:100)∴ OC”=6
△OCD에서(cid:100)(cid:100)sin 30°=
OB”
8
=
'3
2
OC”
4'3
=
'3
2
CD”
6
=;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3
문제 이해
272
r cm라 하면
(cid:9120) ②
부채꼴 AOB의 반지름의 길이를
(cid:100)(cid:100)2pr_;3£6º0;=p(cid:100)(cid:100)∴ r=6
•20% 배점
비
각
삼
Ⅶ
해결 과정
△AOH에서
(cid:100)(cid:100)sin 30°=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AH”=3 (cm)
(cid:100)(cid:100)cos 30°=
= (cid:100)(cid:100)∴ OH”=3'3 (cm)
AH”
6
OH”
6
'3
2
답 구하기
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_6¤ _;3£6º0;-;2!;_3'3_3=3p-
9'3
2
(cm¤ )
•50% 배점
•30% 배점
9'3
2
} cm¤
(cid:9120) {3p-
2∠AOC=3∠COB에서
문제 이해
273
(cid:100)(cid:100)∠AOC : ∠COB=3 : 2
이므로
(cid:100)(cid:100)∠AOC=150°_;5#;=90°
해결 과정 ①
△OAC는 OA”=OC”인 이등변삼각형이
•20% 배점
므로
(cid:100)(cid:100)∠OAC=∠OCA=;2!;_(180°-90°)=45°
△OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠OAB=∠OBA=;2!;_(180°-150°)=15°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠CAB=45°-15°=30°
•30% 배점
해결 과정 ②
오른쪽 그림과
같이 점 C에서 AB”에 내린 수
선의 발을 H라 하면 △CAH
에서
12`cm
30æ
A
45æ
B
C
H
(cid:100)(cid:100)cos 30°=
= (cid:100)(cid:100)∴ AH”=6'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)sin 30°=
= (cid:100)(cid:100)∴ CH”=6 (cm)
AH”
12
CH”
12
'3
2
1
2
△CHB에서(cid:100)(cid:100)tan 45°=
=1
6
BH”
(cid:100)(cid:100)∴ BH”=6 (cm)
답 구하기
∴ AB”=AH”+BH”=6'3+6
=6('3+1) (cm)
274
75°의 각이 있는 직각삼각형을 찾는다.
(cid:100)(cid:100)∠CAB=180°-(90°+60°)
△ABC에서
=30°
이므로
=
(cid:100)(cid:100)tan 30°=
2
AB”
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2'3
△ADB에서 AD”=BD”이므로
'3
3
(cid:100)(cid:100)∠BAD=∠ABD=;2!;_(180°-90°)=45°
sin 45°=
BD”
2'3
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=BD”='6
'2
2
= 이므로(cid:100)(cid:100)BD”='6
•40% 배점
•10% 배점
(cid:9120) 6('3+1) cm
C
60æ
2
45æ
45æ
45æ
F
B
G
30æ
45æ
E
A
D
Ⅶ. 삼각비 43
E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지44 SinsagoHitec
∠DBF=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠ABF=90°-45°=45°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠FBC=90°-45°=45°
'2
2
△CFB에서 sin 45°=
= 이므로
CF”
2
(cid:100)(cid:100)CF”='2(cid:100)(cid:100)∴ BF”=CF”='2
한편 (cid:8772)FEDB는 직사각형이므로
(cid:100)(cid:100)ED”=BF”='2, FE”=BD”='6
(cid:100)(cid:100)∴ CE”=CF”+FE”='2+'6,
(cid:100)(cid:100)∴ AE”=AD”-ED”='6-'2
△CAE에서 ∠CAE=30°+45°=75°이므로
(cid:100)(cid:100)tan 75°=
CE”
AE”
=
'2+'6`
'6-'2`
=2+'3
(cid:9120) ②
분모인 변의 길이가 1인 직각삼각형을 찾아 삼
275
각비의 값을 구한다.
CD”∥AE”이므로
(cid:100)(cid:100)∠ODC=∠OEA=y (동위각)
① cos y=cos(∠ODC)=
=CD”
② tan x=
=AE”
AE”
OA”
③ sin y=sin(∠ODC)=
=OC”
④, ⑤ △EOA에서(cid:100)(cid:100)x+y=90°
CD”
OD”
OC”
OD”
따라서 x의 크기가 작아지면 y의 크기는 커지므로
sin y, tan y의 값은 커진다.
(cid:9120) ⑤
x와 크기가 같은 각을 찾아 sin x의 값을 구한
276
다.
tan x=
=OF”
OF”
EF”
AB”∥EF”에서 ∠OAB=∠OEF=x(동위각)이므로`
(cid:100)(cid:100)sin x=sin (∠OAB)=
=OB”
OB”
OA”
(cid:100)(cid:100)∴ tan x-sin x=OF”-OB”=BF”
(cid:9120) ④
AC”, BC”, DE”의 길이를 각각 x의 삼각비로
277
나타낸다.
sin x=
=BC”
BC”
AB”
cos x=
=AC”
tan x=
=DE”
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)BCED
=△AED-△ACB
AC”
AB”
DE”
AE”
D
tan`x
sin`x
B
1
x
A
cos`x
C
E
=;2!;_1_tan x-;2!;_cos x_sin x
=
tan x-sin x cos x
2
(cid:9120)
tan x-sin x cos x
2
참고
사다리꼴 BCED의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;(sin x+tan x)(1-cos x)
와 같이 나타낼 수도 있다.
44 정답 및 풀이
만점 공략 BOX
(cid:8772)FEDB에서
(cid:100)∠BFE=∠FED
=∠EDB
=90°
이므로
(cid:100)∠DBF=90°
△CFB는 ∠F=90°,
FC”=FB”인 직각이등
변삼각형이다.
"≈a¤ =|a|
=[
a (aæ0)
-a (a<0)
278
(cid:8833) sin x, tan x의 값은 증가한다.
0°…x…90°일 때, x의 크기가 증가하면
0°…x…90°일 때, x의 크기가 증가하면 sin x,
tan x의 값도 증가하므로
(cid:100)(cid:100)sin 45°cos A
45°＜A＜90°일 때, sin A>0, cos A>0,
sin A＞cos A이므로
(cid:100)(cid:100)sin A+cos A>0, cos A-sin A<0
(cid:100)(cid:100)∴ |sin A+cos A|-"√(cos A-sin A)¤
=(sin A+cos A)-{-(cos A-sin A)}
=sin A+cos A+cos A-sin A
=2 cos A
(cid:9120) ⑤
보충학습
① 0°…x<45°일 때,(cid:100)(cid:100)sin xcos x
∴ AC”=10•50% 배점
280
해결 과정
(cid:100)(cid:100)sin 45°=
△ABC에서
'2
2
=
AC”
10'2
답 구하기
∠BAC=90°-45°=45°이므로
(cid:100)(cid:100)∠DAC=45°-20°=25°
따라서 △ADC에서(cid:100)(cid:100)tan 25°=
=0.4663
CD”
10
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=4.663
•50% 배점
(cid:9120) 4.663
281
줄이 만나는 곳의 수
삼각비의 값 (cid:8833) 삼각비의 표의 가로줄과 세로
0.2123+tan x
0.5877-tan x
=7에서
(cid:100)(cid:100)0.2123+tan x=4.1139-7 tan x
(cid:100)(cid:100)8 tan x=3.9016(cid:100)(cid:100)∴ tan x=0.4877
주어진 삼각비의 표에서 tan 26°=0.4877이므로
(cid:100)(cid:100)x=26°
(cid:100)(cid:100)∴ cos(x+34°)+sin(x+42°)
(cid:100)(cid:100) =cos 60°+sin 68°
(cid:100)(cid:100) =0.5+0.9272=1.4272
(cid:9120) ②
282
족시키는 A의 크기를 구한다.
삼각비의 표를 이용하여 sin`A=0.7314를 만
sin A=0.7314라 하면 주어진 삼각비의 표에서
(cid:100)(cid:100)A=47°
(cid:100)(cid:100)∴ a=cos A=cos 47°=0.6820,
b=tan A=tan 47°=1.0724
(cid:9120) a=0.6820, b=1.0724
E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지45 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
본책 59쪽~61쪽
내신 만점 굳히기
본책 61쪽
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의
문제 이해
283
하여
(cid:100)(cid:100)a+b=4'3, ab=8
해결 과정
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
=48-32=16
이므로(cid:100)(cid:100)a-b=4 (∵ a>b)
4'3
4
(cid:100)(cid:100)∴ tan A=
a+b
a-b
=
='3
답 구하기
tan 60°='3이므로
(cid:100)(cid:100)A=60°
•30% 배점
•50% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 60°
곱셈 공식의 변형
① a¤ +b¤
=(a+b)¤ -2ab
② a¤ +b¤
=(a-b)¤ +2ab
③ (a+b)¤
=(a-b)¤ +4ab
④ (a-b)¤
=(a+b)¤ -4ab
보충학습
이차방정식의 근과 계수의 관계
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근을 a, b라 할 때,
(cid:100)(cid:100)a+b=-
, ab=
;aB;
;aC;
반지름의 길이가 r, 중
심각의 크기가 x°인
부채꼴의 넓이 S는
(cid:100)S=pr¤ _
x
360
284
각형임을 안다.
엇각의 크기를 이용하여 △OAB는 이등변삼
오른쪽 그림에서 CB”// OX”이
므로
(cid:100)(cid:100)∠BOA=∠CBO
=30° (엇각)
C
30æ
H
B
30æ
O
30æ
A
X
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BOA=∠OBA
따라서 △OAB는 AO”=AB”인 이
등변삼각형이므로 점 A에서 OB”에 내린 수선의 발을
H라 하면
r
(cid:100)(cid:100)∴ OA”=OH”_ = _ = r (cid:9120) ④
2
'3
3
2
'3`
2
'3`
점 C에서 AB”의 연장선에 수선을 그어 직각삼
A
7
H
60æ
8
B
C
(cid:100)(cid:100)OH”=
r
2
직각삼각형 AOH에서
(cid:100)(cid:100)cos 30°=
OH”
OA”
=
'3
2
285
각형을 만든다.
오른쪽 그림과 같이
점 C에서 AB”의 연장선에
내린 수선의 발을 H라 하면
△ACH에서
(cid:100)(cid:100)cos 60°=
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=4
AH”
8
=;2!;
'3
= 에서
2
sin 60°=
CH”
8
(cid:100)(cid:100)CH”=4'3
따라서 △BCH에서
AO”=AB”인 이등변삼
각형의 꼭짓점 A에서
OB”에 내린 수선은
OB”를 이등분하므로
(cid:100)OH”=BH”=
r
2
점 C는 제3 사분면 위
의 점이므로
(cid:100)x™<0, y™<0
점 D는 제4 사분면 위
의 점이므로
(cid:100)x£>0, y£<0
(cid:100)(cid:100)BC”=ø∑(7+4)¤
∑+(4'3)¤ =13
(cid:9120) 13
BH”=BA”+AH”
286
를 원의 반지름에 대한 식으로 나타낸다.
60°의 삼각비의 값을 이용하여 IE”, AI”의 길이
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 △AOI에서
(cid:100)(cid:100)cos 60°= =;2!;(cid:100)(cid:100)∴ OI”=;2!;r
OI”
r
(cid:100)(cid:100)∴ IE”=OE”-OI”=r-;2!;r=;2!;r
'3
'3
2
2
sin 60°= = 에서(cid:100)(cid:100)AI”= r
AI”
r
또 μAE=2pr_;3§6º0;=;3!;pr이므로
'3
2
(cid:100)(cid:100){;2!;+ +;3!;p}r=6+6'3+4p(cid:100)(cid:100)∴ r=12
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:100) 4_{(부채꼴 AOE의 넓이)-△AOI}
(cid:100)=4_{p_12¤ _;3§6º0;-;2!;_6_6'3}
(cid:100)=96p-72'3
(cid:9120) 96p-72'3
287 [문제 해결 길잡이]
❶ 점 A의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하고 cos a, sin a를 x¡, y¡
로 나타낸다.
❷ 점 C의 좌표를 (x™, y™)라 하고 OC”가 x축과 이루는 예
각의 삼각비의 값을 x™, y™로 나타낸다.
❸ 점 D의 좌표를 (x£, y£)이라 하고 OD”가 x축과 이루는
예각의 삼각비의 값을 x£, y£으로 나타낸다.
❹ 옳은 것을 모두 고른다.
(cid:100)(cid:100)cos a=
㈀ 점 A의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면
x¡
= =x¡
1
y¡
= =y¡
1
x¡
OA”
y¡
OA”
(cid:100)(cid:100)∴ A(cos a, sin a) ❶
(cid:100)(cid:100)sin a=
㈁ 점 C의 좌표를 (x™, y™)라 하면 OC”가 x축과 이루는
㈂ 점 D의 좌표를 (x£, y£)이라 하면 OD”가 x축과 이
예각의 크기는 a이므로
(cid:100)(cid:100)cos a=
-x™
OC”
-y™
OC”
(cid:100)(cid:100)∴ C(-cos a, -sin a) ❷
x™
=- =-x™
1
y™
=- =-y™
1
(cid:100)(cid:100)sin a=
(cid:100)(cid:100)cos b=
x£
= =x£
1
루는 예각의 크기는 b이므로
x£
OD”
-y£
OD”
(cid:100)(cid:100)∴ D(cos b, -sin b) ❸
이상에서 옳은 것은 ㈀뿐이다. ❹
(cid:100)(cid:100)sin b=
y£
=- =-y£
1
만점비법
원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원 위의 점
P(x, y)(x>0, y>0)에 대하여 OP”가 x축과 이루는 예각
의 크기가 a일 때, x=cos a, y=sin a이다.
즉 점P 의 좌표를 (cos a, sin a)로 나타낼 수 있다.
(cid:9120) ①
Ⅶ. 삼각비 45
비
각
삼
Ⅶ
E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지46 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
15
삼각비의 활용
개념&기출유형
본책 62~64쪽
288 a=10 cos 36°=10_0.81=8.1
b=10 sin 36°=10_0.59=5.9
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=14
(cid:9120) ④
289 FG”=12 cos 30°=6'3 (cm)
CG”=12 sin 30°=6 (cm)
따라서 직육면체의 부피는
(cid:100)(cid:100)6'3_10_6=360'3 (cm‹ )
(cid:9120) 360'3 cm‹
(직육면체의 부피)
=(가로의 길이)
_(세로의 길이)
_(높이)
290 진영이의 눈높이에서 국기 게양대 끝부분까지의
높이는
(cid:100)(cid:100)45 sin 40°=45_0.64=28.8 (m)
따라서 국기 게양대의 높이는
(cid:100)(cid:100)1.65+28.8=30.45 (m)
(cid:9120) 30.45 m
A
H
9´3
C
12
291 오른쪽 그림과 같이 꼭
짓점 A에서 BC”에 내린 수선
의 발을 H라 하면 △ABH
에서
(cid:100)(cid:100)AH”=12 sin 30°=6
(cid:100)(cid:100)BH”=12 cos 30°=6'3
CH”=9'3-6'3=3'3이므로 △AHC에서
(cid:100)(cid:100)AC”=ø∑6¤ +∑(3'3)¤ =3'7
30æ
B
(cid:9120) 3'7
A
2´6
B
60æ
H
45æ
C
292 오른쪽 그림과 같이 꼭짓
점 A에서 BC”에 내린 수선의
발을 H라 하면 △ABH에서
(cid:100)(cid:100)AH”=2'6 sin 60°=3'2
3'2
△AHC에서(cid:100)(cid:100)AC”=
sin 45°
293 오른쪽 그림과 같이 꼭짓
점 A에서 BC”에 내린 수선의
발을 H라 하면 △AHC에서
(cid:100)(cid:100)AH”=5 sin C
B
=5_0.8=4
(cid:100)(cid:100)CH”=5 cos C=5_0.6=3
BH”=8-3=5이므로 △ABH에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√5¤ +4¤ ='ƒ41
A
H
8
5
C
(cid:9120) 'ƒ41
294 ∠BAH=45°, ∠CAH=60°이므로 AH”=h라
하면
(cid:100)(cid:100)BH”=h tan 45°=h
(cid:100)(cid:100)CH”=h tan 60°='3h
h+'3h=8이므로(cid:100)(cid:100)(1+'3)h=8
등변사다리꼴의 성질
① 평행하지 않은 두
대변의 길이가 같다.
② 두 대각선의 길이가
같다.
46 정답 및 풀이
(cid:100)(cid:100)∴ h=
8
1+'3
=
8(1-'3)
(1+'3)(1-'3)
=4('3-1)
(cid:9120) 4('3-1)
295 ∠BAH=60°, ∠CAH=30°이므로
(cid:100)(cid:100)BH”=6 tan 60°=6'3
(cid:100)(cid:100)CH”=6 tan 30°=2'3
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'3-2'3=4'3
(cid:9120) 4'3
296 ∠ACD=45°, ∠BCD=30°이므로 CD”=h m
라 하면
(cid:100)(cid:100)AD”=h tan 45°=h (m)
(cid:100)(cid:100)BD”=h tan 30°= h (m)
h- h=150이므로(cid:100)(cid:100)
h=150
'3
3
'3
3
3-'3
3
(cid:100)(cid:100)∴ h=150_
3
3-'3
(cid:100)(cid:100)∴ h=150_
3(3+'3)
(3-'3)(3+'3)
=;2!;_5_6_;2!;
=;;¡2∞;; (cm¤ )
(cid:9120) ①
298 ;2!;_8_12_sin(180°-C)=24'2이므로
'2
2
(cid:100)(cid:100)sin(180°-C)=
따라서 180°-C=45°이므로(cid:100)(cid:100)∠C=135° (cid:9120) 135°
299 BC”=12이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=12 sin 30°=6
∠ABD=60°+90°=150°이므로
=5_5'3_;2!;
=
25'3
2
(cid:9120)
25'3
2
301 (cid:8772)ABCD=;2!;_20_12'2_sin 60°
(cid:8772)ABCD=;2!;_20_12'2_
(cid:8772)ABCD=60'6
'3
2
(cid:9120) 60'6
302 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 서로 같으므
로 BD”=x cm라 하면
=6
(cid:9120) 6
∠C=180°
(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_6_12_sin(180°-150°)
-(60°+75°)
=45°
(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_6_12_;2!;=18
(cid:9120) ②
평행사변형에서 이웃
하는 두 내각의 크기의
합은 180°이다.
300 ∠B=180°-150°=30°이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=5_5'3_sin 30°
(cid:100)(cid:100)∴ h=75(3+'3)
(cid:9120) 75(3+'3) m
한 꼭짓점에서 그 대변
에 수선을 내려 만든
직각삼각형을 이용한다.
297 △ABC=;2!;_5_6_sin 30°
E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지47 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100);2!;_x_x_sin(180°-120°)=32'3
'3
2
(cid:100)(cid:100);2!;_x¤ _ =32'3
(cid:100)(cid:100)x¤ =128(cid:100)(cid:100)∴ x=8'2 (∵ x＞0)
303 (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD
=;2!;_6_8_sin 60°
+;2!;_6_2_sin(180°-120°)
'3
=;2!;_6_8_ +;2!;_6_2_
2
=12'3+3'3=15'3
'3
2
(cid:9120) 15'3
보조선을 그을 때 넓이를 구할 수 있는 삼각형,
즉 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기를 알 수 있는 삼
각형이 만들어지도록 긋는다.
참고
304 △ABC에서 BC”=
=16이므로
16
tan 45°
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_16_16=128
또 AC”=
16
sin 45°
=16'2이므로
(cid:100)(cid:100)△ACD=;2!;_16'2_4'6_sin(180°-120°)
(cid:100)(cid:100)△ACD=;2!;_16'2_4'6_ =96
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD
'3
2
=128+96=224
(cid:9120) ④
305 오른쪽 그림과 같이 정팔각
형은 8개의 합동인 이등변삼각형으
로 나누어진다.
따라서 정팔각형의 넓이는
(cid:100) 8_{;2!;_6_6_sin 45°}
(cid:100)=8_{;2!;_6_6_ }
(cid:100)=72'2 (cm¤ )
'2
2
45æ
6`cm
O
(cid:9120) ⑤
내신 만점 도전하기
본책 65~68쪽
306
이용하여 AC”, DC”의 길이를 구한다.
△ABD에서 AD”의 길이를 구한 후 삼각비를
△ABD에서
(cid:100)(cid:100)∠BAD=30°-15°=15°
즉 △ABD는 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)AD”=BD”=4
△ADC에서
(cid:100)(cid:100)AC”=4 sin 30°=2
(cid:100)(cid:100)DC”=4 cos 30°=2'3
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_(4+2'3)_2=4+2'3 (cid:9120) ②
점 H는 정사각형
ABCD의 두 대각선
의 교점과 일치하므로
(cid:100)AH”=CH”
=;2!;AC”
= _(밑넓이)
(삼각뿔의 부피)
1
3
_(높이)
360°
8
=45°
BC”=BD”+DC”
만점 공략 BOX
본책 62쪽~65쪽
직각삼각형에서 삼각비를 이용하여 BQ”, PQ”의
(cid:9120) ③
(cid:100)(cid:100)BQ”=200 tan 30°=
200'3
3
(m)
307
길이를 구한다.
△ABQ에서
△PBQ에서
200'3
3
(cid:100)(cid:100)PQ”=
tan 60°=200 (m)
(cid:9120) ④
308
문제 이해
AH”=;2!;AC”
AH”=;2!;_'2_4
AH”=2'2 (cm)
•30% 배점
해결 과정
(cid:100)(cid:100)OA”=
△OAH에서
2'2
cos 60°
=4'2 (cm)
(cid:100)(cid:100)OH”=2'2 tan 60°=2'6 (cm)
따라서 △OAH의 둘레의 길이는
답 구하기
(cid:100)(cid:100)4'2+2'2+2'6=6'2+2'6 (cm) •20% 배점
(cid:9120) (6'2+2'6 ) cm
•50% 배점
△OBC에서
309
해결 과정 ①
(cid:100)(cid:100)OB”=4 sin 60°=2'3
(cid:100)(cid:100)OC”=4 cos 60°=2
△AOC에서
해결 과정 ②
(cid:100)(cid:100)AO”=2 tan 45°=2
답 구하기
따라서 삼각뿔의 부피는
4'3
3
(cid:100)(cid:100);3!;_{;2!;_2'3_2}_2=
비
각
삼
Ⅶ
•50% 배점
•30% 배점
•20% 배점
(cid:9120)
4'3
3
삼각비를 이용할 수 있도록 직각삼각형을 그린
310
다.
오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)∠EDC=60°,
(cid:100)(cid:100)∠ECD=30°
이므로 △EDC는
∠E=90°인 직각삼각형이
다.
(cid:100)(cid:100)∴ DC”=
1
cos 60°
A
1`m
10`m
B
E
30æ
CD
60æ
(cid:100)(cid:100)∴ DC”=2`(m)
따라서 BC”=10+2=12`(m)이므로 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”=12 tan 30°=4'3 (m)
(cid:9120) 4'3 m
311
삼각형을 만든다.
꼭짓점 A에서 BC”에 수선을 그어 2개의 직각
오른쪽 그림과 같이 꼭짓
A에서 BC”에 내린 수선의 발을
D라 하면 △ABD에서
(cid:100)(cid:100)AD”=4 sin 60°=2'3
(cid:100)(cid:100)BD”=4 cos 60°=2
A
4
y
60æ
B
45æ
C
D
x
Ⅶ. 삼각비 47
E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지48 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
△ADC에서
(cid:100)(cid:100)AC”=
2'3
sin 45°
2'3
tan 45°
또 DC”=
=2'3이므로
=2'6(cid:100)(cid:100)∴ y=2'6
(cid:100)(cid:100)BC”=2+2'3(cid:100)(cid:100)∴ x=2+2'3
(cid:9120) ④
312
각삼각형을 만든다.
꼭짓점 A에서 BC”의 연장선에 수선을 그어 직
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
A에서 BC”의 연장선에 내린 수선
의 발을 H라 하면 △ABH에서
(cid:100)(cid:100)AH”=5'2 sin 45°=5 (cm)
(cid:100)(cid:100)BH”=5'2 cos 45°=5 (cm)
CH”=5-3=2 (cm)이므로 △ACH에서
(cid:100)(cid:100)AC”="√2¤ +5¤ ='∂29 (cm)
B
A
5´2`cm
45æ
3`cm
C
H
(cid:9120) '∂29 cm
해결 과정 ①
313
오른쪽 그
림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”
에 내린 수선의 발을 H라 하고
AH”=x cm라 하면 △ABH에
서(cid:100)(cid:100)BH”=
=x (cm)
x
tan 45°
A
x`cm
45æ
B
H
30æ
C
{´3+1}`cm
또 △AHC에서
x
tan 30°
(cid:100)(cid:100)CH”=
='3 x (cm)
즉 x+'3x='3+1이므로
해결 과정 ②
(cid:100)(cid:100)(1+'3)x='3+1(cid:100)(cid:100)∴ x=1
∴ AB”=
답 구하기
1
sin 45°
(cid:100)(cid:100)BH”=a cos 45°= a (cm)
AB”=a cm라 하면 △ABH에서
'2
2
'2
2
(cid:100)(cid:100)AH”=a sin 45°= a (cm)
1
tan 30°
'6
2
= a (cm)
(cid:100)(cid:100)HC”= a _
△AHC에서
'2
2
'2
'6
2
2
'2+'6
2
(cid:100)(cid:100)
즉
a='3+1
(cid:100)(cid:100)∴ a=('3+1)_
a+ a='3+1이므로
2
'2+'6
='2
꼭짓점 D에서 BC”의 연장선에 수선을 그어 직
A
8
D
120æ
6
B
120æ
C
H
60æ
314
각삼각형을 만든다.
오른쪽 그림과 같이 꼭짓
점 D에서 BC”의 연장선에 내린
수선의 발을 H라 하면
△DCH에서
(cid:100)(cid:100)DH”=6 sin 60°=3'3
(cid:100)(cid:100)CH”=6 cos 60°=3
48 정답 및 풀이
•40% 배점
•40% 배점
∠DAC=∠ACB
=35°(엇각)
이므로
(cid:100)∠DAH=35°-15°
=20°
='2 (cm) •20% 배점
(cid:9120) '2 cm
삼각형의 한 외각의 크
기는 이와 이웃하지 않
는 두 내각의 크기의
합과 같다.
평행사변형의 성질
① 두 쌍의 대변의 길
이가 각각 같다.
② 두 쌍의 대각의 크
기가 각각 같다.
③ 두 대각선이 서로를
이등분한다.
BH”=8+3=11이므로 △DBH에서
(cid:100)(cid:100)BD”=ø∑11¤ +∑(3'3)¤ =2'∂37
(cid:9120) ②
315
BC”의 길이를 h로 나타낸다.
나무의 높이를 h m라 하고 삼각비를 이용하여
나무의 높이를 h m라 하
면 오른쪽 그림에서
∠BAH=45°, ∠CAH=30°
이므로
(cid:100)(cid:100)BH”=h tan 45°=h (m)
(cid:100)(cid:100)CH”=h tan 30°= h (m)
'3
3
A
45æ
30æ
h`m
45æ
B
60æ
C
H
4`m
즉 h+ h=4이므로(cid:100)(cid:100)
h=4
3+'3
3
'3
3
(cid:100)(cid:100)∴ h=4_
3
3+'3
(cid:100)(cid:100)∴ h=2(3-'3 )
=
12(3-'3 )
(3+'3)(3-'3)
(cid:9120) 2(3-'3 ) m
316
비를 이용하여 CD”의 길이를 h로 나타낸다.
점 A와 CD” 사이의 거리를 h cm라 하고 삼각
20æ
h`cm
D
15æ
H 7`cm
75æ
35æ
C
A
오른쪽 그림과 같이
꼭짓점 A에서 CD”에 내린
수선의 발을 H라 하고
AH”=h cm라 하면
(cid:100)(cid:100)∠CAH=15°, ∠DAH=20°
이므로
(cid:100)(cid:100)CH”=h tan 15°=0.27h
(cid:100)(cid:100)DH”=h tan 20°=0.36h
0.27h+0.36h=7이므로
B
(cid:100)(cid:100)0.63h=7(cid:100)(cid:100)∴ h=;;¡;9);º;;
즉 점 A와 CD” 사이의 거리는 ;;¡;9);º;; cm이다.
(cid:9120) ②
문제 이해
317
오른쪽 그림과
같이 꼭짓점 A에서 BC”의 연장선
에 내린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)∠ACH=30°+15°=45°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠CAH=45°
A
15æ
45æ h
B
30æ 45æ
C
10
H
•30% 배점
AH”=h라 하면
해결 과정
(cid:100)(cid:100)CH”=h tan 45°=h
(cid:100)(cid:100)BH”=h tan 60°='3h
'3h-h=10이므로(cid:100)(cid:100)('3-1)h=10
(cid:100)(cid:100)∴ h=
10
'3 -1
=
10('3+1)
('3 -1)('3 +1 )
답 구하기
∴ △ABC=;2!;_10_5('3+1)
∴ △ABC=25('3+1)
=5('3+1)
•50% 배점
•20% 배점
(cid:100)(cid:9120) 25('3+1)
318
등분된다.
삼각형의 세 중선에 의하여 삼각형의 넓이는 6
E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지49 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
본책 65쪽~68쪽
3+4+5=12
(cid:8772)DEFG=bc sin(180°-150°)=
bc
△GBD=;6!;△ABC이므로
(cid:100)(cid:100)4'3=;6!;_;2!;_8_AC”_sin 60°
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=12
(cid:9120) ③
319
례한다.
한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비
μAB：μ BC：μ CA=3：4：5이므로
(cid:100)(cid:100)∠AOB=360°_ =90°
(cid:100)(cid:100)∠BOC=360°_ =120°
3
12
4
12
(cid:100)(cid:100)∠COA=360°_ =150°
5
12
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=△OAB+△OBC+△OCA
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_2_2_sin 90°
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=+;2!;_2_2_sin (180°-120°)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=+;2!;_2_2_sin (180°-150°)
'3
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=2_1+2_ +2_;2!;
2
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=3+'3 (cm¤ )
(cid:9120) ②
320
△ABC=△ABD+△ACD
△ABC=△ABD+△ACD이므로
(cid:100) ;2!;_6_3_sin(180°-120°)
(cid:100)=;2!;_6_AD”_sin 60°+;2!;_3_AD”_sin 60°
(cid:100)(cid:100)
9'3
2
=
9'3
4
AD”(cid:100)(cid:100)∴ AD”=2
(cid:9120) ②
321
이등변삼각형임을 이용한다.
접은 각과 엇각의 크기가 같으므로 △ABC는
오른쪽 그림의 △AHC
A
에서
6`cm
D
12`cm
C
(cid:100)(cid:100)sin (∠ACH)=;1§2;=;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ACH=30°
이때 △ABC에서 ∠BAC=∠BCA=30°이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABH=30°+30°=60°
H
B
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=AB”=
6
sin 60°
=4'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'3_12_sin 30°
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=12'3 (cm¤ )
(cid:9120) ③
해결 과정 ①
322
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_4a_3b_sin x=6ab sin x
CN”=a, CQ”=b, ∠C=x라 하면
(cid:100)(cid:100)△LPC=
3a_2b_sin x=3ab sin x
(cid:100)(cid:100)△MQC=
_2a_b_sin x=ab sin x
;2!;_
;2!;
•50% 배점
평행사변형에서 이웃
하는 두 내각의 크기의
합은 180°이므로
(cid:100)∠A+∠B=180°
∠DAC=∠BAC
∠DAC=∠BCA
(접은 각),
(엇각)
이므로
(cid:100)∠BAC=∠BCA
△ABC에서 BC”를 밑
변이라 하면 AH”가 높
이이므로
(cid:100);2!;_4'3_6=12'3
과 같이 구할 수도 있
다.
비
각
삼
Ⅶ
•30% 배점
•20% 배점(cid:100)(cid:9120) 3'3
해결 과정 ②
S¡=△ABC-△LPC=3ab sin x
S™=△LPC-△MQC=2ab sin x
S¡
∴ =
S™
3ab sin x
2ab sin x
답 구하기
=
;2#;
•30% 배점
•20% 배점
(cid:9120)
;2#;
323
△ABC와 (cid:8772)DEFG의 넓이를 각각 구한다.
△ABC=
ab sin 60°= ab
;2!;
'3
4
;2!;
이때 △ABC=(cid:8772)DEFG이므로
'3
(cid:100)(cid:100) ab=
4
;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ a : c=2 : '3
bc(cid:100)(cid:100)∴ a= c
2
'3
(cid:9120) ③
해결 과정 ①
∠A : ∠B=2 : 1이므로
324
(cid:100)(cid:100)∠B=180°_;3!;=60°
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=3_8_sin 60°=12'3 •50% 배점
평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등
해결 과정 ②
분하므로
(cid:100)(cid:100)△OAB=△OBC=△OCD=△ODA
답 구하기
∴ △OBC=;4!;(cid:8772)ABCD=3'3
0°…x…90°에서 sin x의 값은 x=90°일 때
두 대각선이 이루는 각의 크기를 x (0°0)
해결 과정 ③
(cid:100)(cid:100)6_4'2=24'2
작은 정육각형의 둘레의 길이는
즉 큰 정육각형의 둘레의 길이는
'3
2
(cid:100)(cid:100)6_ _4'2=12'6
답 구하기
(cid:100)(cid:100)24'2-12'6
•20% 배점
•10% 배점
(cid:9120) 24'2-12'6
만점 공략 BOX
본책 68쪽~70쪽
360°
6
=60°
336
(cid:8833) (작은 원의 각 중심을 연결하여 만든 정육각형의 넓이)
색칠한 부분의 넓이
-2_(작은 원의 넓이)
r
r
A
오른쪽 그림과 같이 접하
고 있는 작은 원의 반지름의 길
이를 r라 하면 ∠AOB=60°,
OA”=OB”=30-r이므로(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∠OAB=∠OBA=60°
따라서 △OAB는 정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)AB”=OA”
(cid:100)(cid:100)2r=30-r(cid:100)(cid:100)∴ r=10
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)
30-r
60æ
O
B
(cid:100)(정육각형에서 색칠하
지 않은 부분의 넓이)
=(중심각의 크기가
120°인 부채꼴 6개
의 넓이)
=2_(반지름의 길이
가 10인 원의 넓이)
(cid:100)(cid:100) =6_;2!;_20¤ _sin 60°-2_10¤ _p
(cid:100)(cid:100) =600'3-200p
(cid:9120) 600'3-200p
337 [문제 해결 길잡이]
❶ PB”=x, PC”=y라 하고 △PBC의 넓이를 이용하여
sin a를 x, y에 대한 식으로 나타낸다.
❷ 점 P가 점 A와 점 D에 있을 때 sin a의 값을 각각 구하
정 n 각형의 한 내각의
크기
(cid:9178)
180°_(n-2)
n
외접원의 중심에서 각
꼭짓점을 연결하는 선
분을 그으면 (cid:9178) 정육각
형은 합동인 정삼각형
6개로 나누어진다.
비
각
삼
Ⅶ
여 sin a의 값의 범위를 구한다.
❸ sin a의 최댓값과 최솟값의 곱을 구한다.
PB”=x, PC”=y라 하면
(cid:100)(cid:100)△PBC=;2!;_4_2=;2!;xy sin a
(cid:100)(cid:100)∴ sin a=
❶
;[•];
=
⁄ (cid:100)(cid:100)sin a=
⁄ 점 P가 점 A에 있을 때,
⁄ x=2, y="√2¤ +4¤ =2'5이므로
8
4'5
2'5
5
¤ 점 P가 점 D에 있을 때,
⁄ x="√2¤ +2¤ =2'2, y="√2¤ +2¤ =2'2이므로
⁄ (cid:100)(cid:100)sin a=;8*;=1
2'5
5
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)
…sin a…1 ❷
따라서 sin a의 최댓값은 1, 최솟값은
이므로 최
2'5
5
댓값과 최솟값의 곱은
2'5
2'5
5
5
(cid:100)(cid:100)1_
=
❸
(cid:9120)
2'5
5
참고
점 P가 점 A에 있을 때, △PBC에서 가장 긴 변
은 PC”이므로 ∠PBC가 크기가 가장 큰 각이 되고, 점
P가 점 D에 있을 때, △PBC에서 가장 긴 변은 BC”이
므로 ∠BPC가 크기가 가장 큰 각이 된다.
따라서 점 P가 점 A에서 점 D로 이동할수록 ∠BPC
의 크기는 커진다.
내신 만점 정복하기
본책 70~75쪽
338
저 구한다.
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√10¤ -6¤ =8
Ⅶ. 삼각비 51
따라서 두 정육각형의 둘레의 길이의 차는
피타고라스 정리를 이용하여 BC”의 길이를 먼
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(cid:100)(cid:100)∴ sin A+cos A=
+
=
;1§0;
;5&;
;1•0;
(cid:9120) ④
344
형 2개로 나누어 생각한다.
시계의 중심에서 AB”에 수선을 내려 직각삼각
만점 공략 BOX
339
AB” : AC”=BD” : CD”임을 이용한다.
AD”가 ∠A의 이등분선이므로
AB” : AC”=BD” : CD”이므로
(cid:100)(cid:100)15 : AC”=3 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√15¤ -10¤ =5'5
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=5'5_;5@;=2'5
5'5
15
(cid:100)(cid:100)∴ cos x+tan y=
=
+
10
2'5
4'5
3
(cid:9120)
4'5
3
원 모양의 시계의 중심을 O, 점
O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하
360°
12
면(cid:100)(cid:100)∠AOB=
=30°
△AOB는 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠BOH=15°
△BOH에서(cid:100)(cid:100)sin 15°=
=0.26
BH”
25
(cid:100)(cid:100)∴ BH”=6.5 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2BH”=13 (cm)
340
AD”=DC”=DB”이다.
점 D가 직각삼각형 ABC의 외심이므로
AD”=DC”=DB”에서 △DBC는 이등변삼각형이
직각삼각형의 빗변의
중점은 외심이다.
345
을 이용한다.
닮은 두 평면도형에서의 대응각의 크기는 같음
므로
(cid:100)(cid:100)∠DBC=∠DCB=x
(cid:100)(cid:100)∴ tan x=
AB”
BC”
=;;¡9™;;=;3$;
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√17¤ -8¤ =15
∠DBA=∠DAC=x,
∠DCA=∠DAB=y이므로
x
B
17
(cid:9120) ⑤
△ABCª△DBA
ª△DAC
(AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)sin x=;1•7;, sin y=;1!7%;
341
동위각을 찾아 삼각비의 값을 구한다.
주어진 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의
(cid:100)(cid:100)∴ sin x+sin y=;1@7#;
(cid:9120) ;1@7#;
A
H
B
25
15æ
O
(cid:9120) ②
A
y
8
x
y
D
C
y
3
2
A
C
a
B
a
O
1
5
x
두 점 A, B를 지나는 직선은 위의 그림과 같으므로
(cid:100)(cid:100)∠ABC=a
이때 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”=1, BC”=4, AB”="√4¤ +1¤ ='∂17
(cid:100)(cid:100)∴ sin a=
AC”
AB”
=
1
'∂17
=
'∂17
17
(cid:9120) '∂17
17
한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의
342
길이 (cid:8833) '3a
정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
(cid:100)(cid:100)EG”='2a, EC”='3a
이므로 △CEG에서
(cid:100)(cid:100)sin x=
= , cos x=
=
a
'3a
'3
3
(cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos x=
'3+'6
3
'2a
'3a
'6
3
(cid:9120) '3+'6
3
343
sin B의 값을 이용하여 BC”의 길이를 구한다.
sin B=
6
BC”
=;3!;에서
(cid:100)(cid:100)BC”=18
따라서 AB”="√18¤ -6¤ =12'2이
므로
B
C
6
A
(cid:100)(cid:100)sin C=
12'2
18
=
2'2
3
(cid:9120)
2'2
3
52 정답 및 풀이
△ABC에서
346
해결 과정 ①
(cid:100)(cid:100)BC”="√25¤ -15¤ =20
(cid:100)(cid:100)∴ tan x=
AC”
BC”
=;2!0%;=;4#;
또 △ADC에서
해결 과정 ②
(cid:100)(cid:100)DC”="√17¤ -15¤ =8
(cid:100)(cid:100)∴ tan y=
=:¡8∞:
AC”
DC”
tan x
tan y
답 구하기
∴
=;4#;_;1•5;=;5@;
•20% 배점
해결 과정 ①
347
오른쪽 그림과
같이 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수
선의 발을 H라 하면 △AHC에서
=
'7
4
(cid:100)(cid:100)cos C=
CH”
8
(cid:100)(cid:100)∴ CH”=2'7
해결 과정 ②
에서(cid:100)(cid:100)BH”="√7¤ -6¤ ='ß13
답 구하기
∴ cos B=
'ß13
7
•40% 배점
AH”="√8¤ -(2'7)¤ =6이므로 △ABH
•40% 배점
•40% 배점
•40% 배점
(cid:9120) ;5@;
8
C
A
H
7
B
•20% 배점
(cid:9120) 'ß13
7
y
B
a
A
O
x
해결 과정 ①
348
일차함수의 그
래프가 오른쪽 그림과 같다고 하자.
sin a=;5$;이므로 AB”=5k,
OB”=4k (k>0)라 하면
∠CGE=90°인 직각
삼각형이다.
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만점 공략 BOX
본책 70쪽~72쪽
BC”=;2!; BE”=2
또 sin 60°=
(cid:100)(cid:100)OA”=ø∑(5k)¤ -∑(4k)¤ =3k
따라서 일차함수의 그래프의 기울기는
(cid:100)(cid:100)tan a=
OB”
OA”
=
=
;3$kK;
;3$;
•50% 배점
해결 과정 ②
구하는 일차함수의 식을 y=;3$;x+b라 하
면 이 일차함수의 그래프가 점 (-2, 6)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)6=-;3*;+b(cid:100)(cid:100)∴ b=;;™3§;;
답 구하기
따라서 구하는 일차함수의 식은
•30% 배점
(cid:100)(cid:100)y=;3$;x+;;™3§;;
•20% 배점
(cid:9120) y=;3$;x+;;™3§;;
349
해결 과정 ①
△ABC에서
2
AC”
(cid:100)(cid:100)sin x=
=;5!;(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10
•20% 배점
해결 과정 ②
△ABCª△EDC (AA 닮음)에서
AC” : EC”=BC” : DC”이므로
(cid:100)(cid:100)10 : 2=2 : DC”(cid:100)(cid:100)∴ DC”=;5@;
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=AC”+CD”=10+
=
;5@;
;;∞5™;;
또 △CDE에서
(cid:100)(cid:100)DE”=æ≠2¤ -{;5@;}
¤ =
4'6
5
답 구하기
∴ tan y=
DE”
AD”
=
4'6
5
_
=
;5∞2;
'6
13
•50% 배점
•30% 배점
(cid:9120) '6
13
350
을 이용한다.
특수한 각의 삼각비의 값을 구한 후 곱셈 공식
(주어진 식)={1-;2!;}{1+;2!;}+1
={1-;4!;}+1=;4&;
(cid:9120) ④
351
용하여 ∠A의 크기를 구한다.
삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°임을 이
∠B=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠A+∠C=90°
이때 ∠A=2∠C, 즉 ∠C=;2!;∠A이므로
(cid:100)(cid:100)∠A+;2!;∠A=90°,(cid:100)(cid:100);2#;∠A=90°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=60°
(cid:100)(cid:100)∴ cos A=cos 60°=;2!;
(cid:9120) ②
352
0°tan 45°=1
따라서 두 번째로 작은 것은 ③이다.
E
C
A
45æ
30æ
45æ
H
F
60æ
6
B
60æ
D
해결 과정 ①
360
오른쪽 그
림과 같이 점 B에서 AF”에 내
린 수선의 발을 H라 하면
△AHB에서
=
'2
2
(cid:100)(cid:100)cos 45°=
AH”
6
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'2
sin 45°=
BH”
6
(cid:100)(cid:100)BH”=3'2
또 △BHF에서
'2
2
= 이므로
(cid:100)(cid:100)tan 60°=
3'2
FH”
='3
(cid:100)(cid:100)∴ FH”='6
(cid:100)(cid:100)∴ AF”=AH”+FH”=3'2+'6
해결 과정 ②
△ABC에서(cid:100)(cid:100)tan 30°=
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=6'3
△EACª△FAB (AA 닮음)이므로
•40% 배점
6
AC”
=
'3
3
(cid:100)(cid:100)AC” : AB”=EA” : FA”
(cid:100)(cid:100)6'3 : 6=EA” : (3'2+'6)
(cid:100)(cid:100)∴ EA”=3'6+3'2
답 구하기
∴ EF”=EA”+AF”
=6'2+4'6
54 정답 및 풀이
•30% 배점
•30% 배점
(cid:9120) '2-1
D
A
E
60æ
x
45æ
C
H
10
•30% 배점
해결 과정 ①
361
림의 △OCB에서
오른쪽 그
(cid:100)(cid:100)sin 45°=
BC”
2
=
'2
2
(cid:100)(cid:100)∴ BC”='2
B
A
x
2
135æ45æ
O
C
•40% 배점
해결 과정 ②
또 cos 45°=
= 이므로
OC”
2
'2
2
(cid:100)(cid:100)OC”='2
답 구하기
(cid:100)(cid:100)tan x=
△ACB에서
'2
2+'2
BC”
AC”
=
(cid:100)(cid:100) tan x='2-1
=
'2(2-'2)
(2+'2)(2-'2)
해결 과정 ①
362
오른쪽
그림과 같이 점 E에서 BC”
에 내린 수선의 발을 H라 하
고 EH”=x라 하면 △EHC
에서
30æ
B
(cid:100)(cid:100)tan 45°=
x
CH”
(cid:100)(cid:100)∴ CH”=x(cid:100)(cid:100)∴ BH”=10-x
=1
해결 과정 ②
△EBH에서
(cid:100)(cid:100)tan 30°=
EH”
BH”
=
x
10-x
=
'3
3
(cid:100)(cid:100)3x=10'3-'3x,(cid:100)(cid:100)(3+'3)x=10'3
(cid:100)(cid:100)∴ x=
10'3
3+'3
=
10'3(3-'3)
(3+'3)(3-'3)
=5('3-1)
•40% 배점
답 구하기
∴ △EBC=;2!;_BC”_EH”
`
`
363
을 만든다.
=;2!;_10_5('3-1)
=25('3-1)
•30% 배점
(cid:9120) 25('3-1)
점 A에서 BC”에 수선을 내려 2개의 직각삼각형
A
30æ
45æ
10
2
B
60æ
H
C
오른쪽 그림과 같이 점
A에서 BC”에 내린 수선의 발
을 H라 하면 ∠BAH=30°,
∠CAH=45°이므로 △AHC
에서
(cid:100)(cid:100)AH”=10'2 cos 45°=10
(cid:100)(cid:100)CH”=10'2 sin 45°=10
또 △ABH에서
∠EAC=∠FAB=45°,
∠AEC=∠AFB=60°
이므로
(cid:100)△EACª△FAB
(AA 닮음)
•40% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 6'2+4'6
BC”=BH”+CH”
10'3
3
=
+10
(cid:100)(cid:100)BH”=
10
tan 60°
10
= =
'3
10'3
3
=10_ =
(cid:100)(cid:100)AB”=
10
sin 60°
2
'3
+{
(cid:100)(cid:100)∴ AB”+BC=10(1+'3)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”+BC”=
20'3
3
10'3
3
20'3
3
+10}
(cid:9120) ④
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만점 공략 BOX
본책 72쪽~75쪽
364
의 길이를 구한다.
직각삼각형을 찾아 삼각비를 이용하여 DH”, HE”
오른쪽 그림과 같이 점 C에서 DE”
에 내린 수선의 발을 H라 하면 △DHC
에서
(cid:100)(cid:100)DH”=20 tan 45°=20 (m)
(cid:100)(cid:100)EH”=20 tan 60°=20'3 (m)
따라서 A건물의 높이는
(cid:100)(cid:100)DE”=DH”+EH”=20+20'3
=20(1+'3)(m)
D
H
45æ
60æ
C
E
20`m
(cid:9120) ③
두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인 각의 크기가
365
x (예각)인 삼각형의 넓이 (cid:8833) ;2!;ab sin x
;2!;
_6_10_sin x=15'3이므로
'3
2
(cid:100)(cid:100)30 sin x=15'3(cid:100)(cid:100)∴ sin x=
sin 60°= 이므로(cid:100)(cid:100)x=60°
(cid:9120) 60°
'3
2
366
이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.
△ABC가 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠B=180°-2_75°=30°
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=
_10_10_sin30°
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=
_10_10_
=25
(cid:9120) ①
;2!;
;2!;
;2!;
두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인 각의 크기가
367
x (둔각)인 삼각형의 넓이 (cid:8833) ;2!;ab sin(180°-x)
△ABC=△ABD+△CBD이므로 BD”=x cm
라 하면
(cid:100) ;2!;_6_3'3_sin(180°-150°)
(cid:100)=;2!;_6_x_sin(180°-120°)
(cid:100)=+;2!;_x_3'3_sin 30°
(cid:100)(cid:100)18'3=9'3x(cid:100)(cid:100)∴ x=2
(cid:100)(cid:100)∴ △ABD=;2!;_6_2_sin(180°-120°)
(cid:100)(cid:100)∴ △ADB=3'3 (cm¤ )
(cid:9120) ③
368
(cid:8772)ABED와 넓이가 같은 삼각형을 찾는다.
AE”∥DC”이므로(cid:100)(cid:100)△AED=△AEC
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=△ABE+△AED
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=△ABE+△AEC
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=△ABC
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=;2!;_4_5_sin 60°
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=;2!;_4_5_
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABED=5'3 (cm¤ )
'3
2
(cid:9120) ⑤
비
각
삼
Ⅶ
30æ
10´2`cm
O
B
A
OC”를 그으면
(cid:100) OA”=OC”=10'2 (cm)
즉 △OAC는 이등변삼각형이
므로(cid:100)(cid:100)∠OCA=∠OAC=30°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠AOC=180°-2_30°=120°
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)
(cid:100)(cid:100) =(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC
(cid:100)(cid:100) =p_(10'2)¤ _;3!6@0);
이등변삼각형의 성질
(cid:9178) 두 밑각의 크기가
같다.
반지름의 길이가 r이
고 중심각의 크기가 x°
인 부채꼴의 넓이 S는
(cid:100)S=pr¤ _
x
360
369
크기가 같은 각을 찾는다.
cm54
D H
A
G
cm54
45æ
45æ
E B
C
F
위의 그림과 같이 점 B에서 DA”에 내린 수선의 발을
H라 하면 ∠BAH=∠ABC=45° (엇각),
BH”=4'5 cm이므로 △ABH에서
(cid:100)(cid:100)AB”=
=4'∂10 (cm)
4'5
sin 45°
이때 ∠BAC=∠CAG (접은 각),
∠CAG=∠ACB (엇각)이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠ACB
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=AB”=4'∂10 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'∂10_4'∂10_sin 45°
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'∂10_4'∂10_
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=40'2 (cm¤ )
'2
2
370
△OAC는 이등변삼각형임을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이
C
(cid:9120) ③
(cid:100)(cid:100) -;2!;_10'2_10'2_sin (180°-120°)
(cid:100)(cid:100) =
200
3
p-50'3 (cm¤ ) (cid:9120) {
p-50'3} cm¤
200
3
371
사변형이다.
마름모는 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행
마름모의 한 변의 길이를 x라 하면 마름모의 넓
이가 8'3이므로
(cid:100)(cid:100)x_x_sin(180°-120°)=8'3
(cid:100)(cid:100) x¤ =8'3,(cid:100)(cid:100)x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9120) ④
따라서 마름모의 한 변의 길이는 4이다.
'3
2
두 대각선의 길이가 a, b이고 두 대각선이 이
372
루는 예각의 크기가 x인 사각형의 넓이 (cid:8833) ;2!;ab sin x
△AOD에서 ∠AOD=180°-120°=60°이므
로
(cid:100)(cid:100)△AOD=;2!;_AO”_3_sin 60°=
9'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ AO”=6
3'3
4
AO”=
(cid:100)(cid:100)
9'3
2
Ⅶ. 삼각비 55
E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지56 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
AC”=6+3=9
이므로
(cid:100)9+BD”=20
(cid:100)∴ BD”=11
(cid:9120) ④
BC”=BH”+CH”
AD”=AC”=BC”=10
= _{(윗변의 길이)
(사다리꼴의 넓이)
1
2
+(아랫변의 길이)}
_(높이)
두 대각선의 길이의 합이 20이므로(cid:100)(cid:100)BD”=11
99'3
4
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_11_9_sin 60°=
373
점 A에서 DE”에 수선을 내린다.
D
A
45æ
오른쪽 그림과 같이 점
A에서 DE”에 내린 수선의 발
을 H라 하자.
△ABC가 직각이등변삼각형
이므로 ∠ABC=45°이고,
AH”∥BE”이므로
(cid:100)(cid:100)∠DAH=∠ABC=45°
△DAH에서
(cid:100)(cid:100)AH”=10 cos 45°=5'2, DH”=10 sin 45°=5'2
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ACED=;2!;_(10+10+5'2)_5'2
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ACED=25+50'2
45æ
10
B
C
H
E
(cid:9120) 25+50'2
해결 과정
374
오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)AO”=6 sin 60°=3'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)BO”=6 cos 60°=3(cm)
•70% 배점
답 구하기
따라서 원뿔의 부피는
(cid:100)(cid:100);3!;_p_3¤ _3'3=9'3p (cm‹ )
A
6`cm
60æ
B
O
•30% 배점
(cid:9120) 9'3p cm‹
해결 과정 ①
△ABC에서
375
(cid:100)(cid:100)∠C=180°-(64°+42°)=74°
점 A에서 BC”에 내린 수선의
발을 H¡이라 하면
(cid:100)(cid:100)AH¡”=AC” sin 74°
C
H¡
74æ
A
42æ
B
96`m
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=
=67 (m)
•40% 배점
해결 과정 ②
점 B에서 AC”에
C
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=
=96 sin 42°
96 sin 42°
sin 74°
96_0.67
0.96
내린 수선의 발을 H™라 하면
(cid:100)(cid:100)BH™”=BC” sin 74°
=96 sin 64°
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=
96 sin 64°
sin 74°
96_0.9
0.96
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=
=90 (m)
•40% 배점
답 구하기
따라서 구하는 거리의 합은
(cid:100)(cid:100)67+90=157 (m)
H™
74æ
64æ
A
96`m
B
해결 과정 ①
376
오른쪽 그
림과 같이 꼭짓점 A에서 BC”
에 내린 수선의 발을 H라 하면
△AHC에서
56 정답 및 풀이
(cid:100)(cid:100)CH”=6 cos C=3
(cid:100)(cid:100)∴ AH”="√6¤ -3¤ =3'3
해결 과정 ②
△ABH에서(cid:100)(cid:100)AB”=
(cid:100)(cid:100)∴ BH”=ø∑9¤ -(3'3)¤ =3'6
답 구하기
∴ △ABC=;2!;_BC”_AH”
•40% 배점
3'3
sin B
=9
•40% 배점
=;2!;_(3'6+3)_3'3
=;2(;(3'2+'3) •20% 배점
(cid:9120) ;2(;(3'2+'3)
해결 과정 ①
(cid:8772)ADPF에서
377
(cid:100)(cid:100)∠ADP=∠AFP=90°, ∠A=60°
이므로
(cid:100)(cid:100)∠DPF=360°-(90°+90°+60°)
=120°
•30% 배점
같은 방법으로 하면 ∠DPE=120°,
해결 과정 ②
∠EPF=120°이므로
(cid:100)(cid:100)△PDE=;2!;xy sin(180°-120°)= xy
(cid:100)(cid:100)△PEF=;2!;yz sin(180°-120°)= yz
(cid:100)(cid:100)△PFD=;2!; zx sin(180°-120°)= zx
'3
4
'3
4
'3
4
•40% 배점
답 구하기
∴ △DEF=△PDE+△PEF+△PFD
'3
4
'3
4
= (xy+yz+zx)
= _16=4'3 •30% 배점
(cid:100)(cid:9120) 4'3
교과서 속창의유형
본책 76~77쪽
378 [문제 해결 길잡이]
❶ 주어진 삼각비의 값을 이용하여 PH”의 길이를 구한다.
❷ PQ”=2PH”임을 이용하여 두 별 사이의 거리를 구한다.
관측 지점을 O라 하고, 오른
쪽 그림과 같이 점 O에서 PQ”에 내
린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)PH”=1_sin 34°
=0.5592 ❶
따라서 두 별 사이의 거리는
(cid:100)(cid:100)PQ”=2PH”=2_0.5592=1.1184 ❷
O
1
34æ
68æ
P
H
Q
(cid:9120) 1.1184
379 [문제 해결 길잡이]
❶ A™B™”, A£B£”, y의 길이를 구하여 규칙을 찾아 A«B«”의
•20% 배점
(cid:9120) 157 m
A
6
△OQP는 OQ”=OP”
인 이등변삼각형이므로
(cid:100)PH”=HQ”
(cid:100)∴ PQ”=2PH”
B
H
C
길이를 구한다.
E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지57 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
본책 75쪽~80쪽
❷ ❶의 결과를 이용하여
의 값을 구한다.
A∞B∞”
A£B£”
A™B™”=1-1_tan 30°=1-
'3
3
'3
A£B£”={1- }-{1- } tan 30°={1- }
3
'3
3
'3
3
⋮
(cid:100)(cid:100)∴ A«B«”={1- }
n-1
❶
따라서 A£B£”={1- }
(cid:100)(cid:100)
A∞B∞”
A£B£”
={1- }
'3
¤ , A∞B∞”={1- }
3
2'3
¤ =
3
-
;3$;
❷
› 이므로
'3
3
'3
3
'3
3
(cid:9120)
-
;3$;
2'3
3
380 [문제 해결 길잡이]
❶ 삼각비를 이용할 수 있도록 직각삼각형을 만든 후 OA'”,
❷ cos x°=
임을 이용하여 x의 값을 구한다.
OH”의 길이를 구한다.
OH”
OA'”
오른쪽 그림과 같
이 점 A'에서 OA”에 내린
수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)OA'”=12 (m)
(cid:100)(cid:100)OH”=12.5-6.5
=6 (m) ❶
이때 △OHA'에서
(cid:100)(cid:100)cos x°=
OH”
OA'”
cos 60°=;2!;이므로(cid:100)(cid:100)x=60 ❷
=;1§2;=;2!;
O
xæ
12`m
A'
6`m
H
6`m
0.5`m
A
6.5`m
381 [문제 해결 길잡이]
❶ tan 30°, tan 60°의 값을 이용하여 AQ”, BQ”의 길이를 구
❷ AB”의 길이를 구하여 자동차가 0.1초 동안 움직인 거리
❸ (속력)=
임을 이용하여 자동차의 속력을 구한다.
한다.
를 구한다.
(거리)
(시간)
오른쪽 그림의
△PAQ, △PBQ에서
(cid:100)(cid:100)∠PAQ=60°,
∠PBQ=30°
P
30æ
60æ
4`m
30æ
B
60æ
A
Q
이므로
(cid:100)(cid:100)AQ”=
=
4'3
3
(m)
4
tan 60°
4
tan 30°
(cid:100)(cid:100)BQ”=
=4'3 (m) ❶
자동차가 0.1초 동안 움직인 거리는
4'3
3
(cid:100)(cid:100)AB”=BQ”-AQ”=4'3-
따라서 구하는 자동차의 속력은
=
8'3
3
(m) ❷
(cid:100)(cid:100)
8'3
3
1
_ =
0.1
80'3
3
(m/s) ❸ (cid:9120)
80'3
3
m/s
사각형의 내각의 크기
의 합은
(cid:100)180°_(4-2)=360°
Ⅷ
원의 성질
16
원과 직선
개념&기출유형
382 직각삼각형 OAM에서
(cid:100)(cid:100)AM”="√5¤ -3¤ =4 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AM”=8 (cm)
본책 80~82쪽
O
5`cm
3`cm
(cid:9120) 8 cm
A
M
B
C
2`cm
383 DN”=
;2!;
CD”=5 (cm)이므로
A
D
5`cm
직각삼각형 DON에서
(cid:100)(cid:100)OD”="√3¤ +5¤ ='ß34 (cm)
OA”=OD”='ß34 (cm)이므로 직
각삼각형 AMO에서
(cid:100)(cid:100)AM”="√('ß34)¤ -4¤ =3'2 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AM”=6'2 (cm)
384 오른쪽 그림과 같이 원의
중심을 O, 반지름의 길이를
r cm라 하면 OM”=(r-3) cm
이므로 직각삼각형 AOM에서
(cid:100)(cid:100)r¤ =6¤ +(r-3)¤
M
4`cm
B
O
3`cm
N
C
(cid:9120) 6'2 cm
6`cm
C
A
r`cm
M
B
{r-3}`cm
O
385 직각삼각형 AMO에서
(cid:100)(cid:100)AM”="√5¤ -3¤ =4 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AM”=8 (cm)
이때 OM”=ON”이므로
(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=8 (cm)
386 원의 중심 O에서 CD”에 내
린 수선의 발을 N이라 하면
AB”=CD”이므로
(cid:100)(cid:100)ON”=OM”=6 (cm)
직각삼각형 CON에서
(cid:100)(cid:100)CN”="√10¤ -6¤ =8 (cm)
따라서 CD”=2CN”=16 (cm)이므로
(cid:9120) ②
D
C
N
10`cm
O
6`cm
A
M
B
(cid:100)(cid:100)△OCD=;2!;_16_6=48 (cm¤ )
(cid:9120) 48 cm¤
387 OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”
즉 △ABC는 이등변삼각형이다.
이때 (cid:8772)AMON에서
(cid:100)(cid:100)∠MAN=360°-(120°+90°+90°)=60°
(cid:100)(cid:100)∴∠ABC=;2!;_(180°-60°)=60°
(cid:9120) 60°
Ⅷ. 원의 성질 57
(cid:9120) 60
(cid:100)(cid:100)6r=45(cid:100)(cid:100)∴ r=:¡2∞:
(cid:9120) ②
질
성
의
원
Ⅷ
¤
E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지58 SinsagoHitec
(cid:9120) ③
직선 PT가 원 O의 접
선이므로
(cid:100)PT”⊥OT”
만점 공략 BOX
AD”=8+4=12(cm)
CD”=4+9=13(cm),
CH”=9-4=5(cm)
한 변의 길이가 a인
정삼각형의 높이 h와
넓이 S는
'3
2
'3
4
(cid:100)h= a,
(cid:100)S= a¤
△PAO™△PBO
(RHS 합동)이므로
(cid:100)∠APO=∠BPO
(cid:100)∴ ∠APO
=;2!;∠APB
=;2!;_60°
=30°
AB”⊥OD” (cid:9178) OD”=r
BC”⊥OE” (cid:9178) OE”=r
AC”⊥OF” (cid:9178) OF”=r
392 BD”=BE”, CE”=CF”이므로 △ABC의 둘레의 길
이는
(cid:100)(cid:100)AB”+AC”+BC”
”=AD”+AF”=2AD”
=24 (cm)
C
E
9`cm
393 반원 O와 CD”의 접점
을 E라 하면
(cid:100)(cid:100)DE”=DA”=4 (cm),
(cid:100)(cid:100)CE”=CB”=9 (cm)
O
점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)DH”="√13¤ -5¤ =12 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+9)_12=78 (cm¤ )
4`cm
D
4`cm
A
(cid:9120) ③
5`cm
H
4`cm
B
(cid:9120) 78 cm¤
394
A
x`cm x`cm
D
F
{16-x}`cm
{14-x}`cm
O
B
E
{16-x}`cm {14-x}`cm
C
AD”=AF”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)BE”=BD”=16-x (cm)
(cid:100)(cid:100)CE”=CF”=14-x (cm)
BC”=BE”+CE”이므로
(cid:100)(cid:100)18=(16-x)+(14-x)
(cid:100)(cid:100)2x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=6
(cid:9120) ③
395 AF”=AD”=2 cm, CE”=CF”=9 cm이므로
BD”=BE”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)2(x+2+9)=32
(cid:100)(cid:100)x+11=16(cid:100)(cid:100)∴ x=5
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=5+9=14 (cm)
(cid:9120) 14 cm
396 직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√10¤ -6¤ =8
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
(cid:100)(cid:100)AF”=AD”=8-r
(cid:100)(cid:100)CF”=CE”=6-r
AC”=AF”+CF”이므로
(cid:100)(cid:100)10=(8-r)+(6-r)
(cid:100)(cid:100)2r=4(cid:100)(cid:100)∴ r=2
A
8-r
D
B
8-r
F
O
r
E
6-r
6-r
C
(cid:9120) 2
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA이므
로
(cid:100)(cid:100);2!;_6_8=
(cid:100)(cid:100)24=12r(cid:100)(cid:100)∴ r=2
;2!;
_8_r+
;2!;
_6_r+
_10_r
;2!;
397 AB”+DC”=AD”+BC”이므로
(cid:100)(cid:100)AD”+BC”=8+7=15 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=15_;3!;=5 (cm)
(cid:9120) 5 cm
보충학습
다각형의 내각의 크기의 합
n각형의 내각의 크기의 합은
(cid:100)(cid:100)180°_(n-2)
388 PA”=PB”에서 △APB는 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠PAB=∠PBA=;2!;_(180°-60°)=60°
따라서 △APB는 정삼각형이므로
'3
4
(cid:100)(cid:100)△APB= _8¤ =16'3 (cm¤ ) (cid:9120) 16'3 cm¤
PB”=PA”=8 cm이므로
(cid:100)(cid:100)△APB=;2!;_8_8_sin 60°
(cid:100)(cid:100)△APB=;2!;_8_8_ =16'3 (cm¤ )
'3
2
389 OA”=OT”=9 cm,
∠PTO=90°이므로 △PTO에서
(cid:100)(cid:100)PT”="√15¤ -9¤ =12 (cm)
6`cm
P
9`cm
A
O
9`cm
T
390 원 O의 반지름의 길이를
r cm라 하면 ∠OAP=90°,
∠APO=30°이므로 △APO에
서
(cid:100)(cid:100)r=18 tan 30°=6'3
따라서 (cid:8772)PBOA의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2(18+6'3)=12(3+'3)(cm)
P
18`cm
30æ
A
B
r`cm
O
(cid:9120) 12(3+'3)cm
보충학습
∠C=90°인 직각삼각형 ABC에서
⑴ ∠B의 크기와 빗변 AB의 길이 c를 알 때
(cid:9178) a=c cos B, b=c sin B
⑵ ∠B의 크기와 변 BC의 길이a 를 알 때
⑵ (cid:9178) b=a tan B, c=
a
cos B
⑶ ∠B의 크기와 변 AC의 길이 b를 알 때
⑵ (cid:9178) a=
b
tan B
, c=
b
sin B
A
b
c
B
Ca
391 BD”=BE”, CE”=CF”이므로
(cid:100)(cid:100)AD”+AF”=AB”+BC”+CA”
=11+7+10=28 (cm)
AD”=AF”이므로(cid:100)(cid:100)AD”=14 cm
(cid:100)(cid:100)∴ BD”=AD”-AB”
=14-11=3 (cm)
(cid:9120) 3 cm
BD”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)CF”=7-x (cm)
이때 AD”=AF”이므로
(cid:100)(cid:100)11+x=10+(7-x)(cid:100)(cid:100)∴ x=3
58 정답 및 풀이
E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지59 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
본책 80쪽~83쪽
398 원 O의 반지름의 길이
가 5 cm이므로
(cid:100)(cid:100)BQ”=5 cm
따라서
(cid:100)(cid:100)CR”=QC”=13-5
4`cm
S
D
4`cm
R
O
5`cm
8`cm
A
P
5`cm
B
5`cm
Q
8`cm
C
=8 (cm)
이므로
(cid:100)(cid:100)SD”=RD”=12-8=4 (cm)
(cid:8772)PBQO는 한 변의
길이가 5 cm인 정사
각형이다.
(cid:9120) 4 cm
399 CE”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)BE”=6-x (cm)
(cid:8772)ABED가 원 O에 외접하므로 AB”+DE”=AD”+BE”
에서
(cid:100)(cid:100)4+DE”=6+(6-x)
(cid:100)(cid:100)∴ DE”=8-x (cm)
직각삼각형 DEC에서
(cid:100)(cid:100)(8-x)¤ =x¤ +4¤
(cid:100)(cid:100)16x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=3
(cid:100)(cid:100)∴ △DEC=;2!;_3_4=6 (cm¤ )
2`cm
I
오른쪽 그림에
A
(cid:9120) ②
4`cm
D
B
H
2`cm
O
G
4`cm
4`cm
F
2`cm
서 GE”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)HE”=x cm
BG”=BF”=2 cm,
AF”=AI”=2 cm이므로
(cid:100)(cid:100)DH”=DI”=6-2=4 (cm)
CE”=GC”-GE”=4-x (cm)이므로 직각삼각형 DEC
에서
(cid:100)(cid:100)(4+x)¤ =(4-x)¤ +4¤
(cid:100)(cid:100)16x=16(cid:100)(cid:100)∴ x=1
x`cm
{4-x}`cm
E
x`cm
2`cm
C
(cid:100)(cid:100)∴ △DEC=;2!;_(4-1)_4=6 (cm¤ )
내신 만점 도전하기
본책 83~86쪽
400
M이라 하면 A’M”=B’M”, ∠AOM=∠BOM임을 이용한다.
원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을
O60æ
M
2´3`cm
A
B
오른쪽 그림과 같이 원의 중
심 O에서 AB”에 내린 수선의 발
을 M이라 하면
(cid:100)(cid:100)AM”=;2!;AB”=2'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∠AOM=;2!;∠AOB=60°
직각삼각형 OAM에서
=4 (cm)
(cid:100)(cid:100)OA”=
2'3
sin60°
따라서 원 O의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_4=8p (cm)
반지름의 길이가 r, 중
심각의 크기가 x°인
부채꼴의 넓이는
(cid:100)p_r¤ _
x
360
△OAM과 △OBM
에서
(cid:100)OA”=OB”,
AM”=BM”,
OM”은 공통
이므로
(cid:100)△OAM™△OBM
(SSS 합동)
(cid:100)∴ ∠AOM
=∠BOM
401
분함을 이용한다.
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등
오른쪽 그림과 같이 접힌
현을 AB,`원의 중심 O에서 현
AB에 내린 수선의 발을 M이라
하면
(cid:100)(cid:100)AM”=;2!; AB”=9 (cm)
9`cm
A
M
r`cm
B
O
r
-
2
cm
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 OM”=
cm이
;2R;
므로 직각삼각형 AOM에서
¤ +9¤(cid:100)(cid:100)∴ r¤ =108
(cid:100)(cid:100)r¤ ={;2R;}
따라서 처음 종이의 넓이는 108pcm¤ 이다.
(cid:9120) 108pcm¤
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분
402
분함을 이용한다.
하므로
(cid:100)(cid:100)AM”=;2!; AB”=4 (cm)
(cid:100)(cid:100)AN”=;2!; AC”=3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)AMON=4_3=12 (cm¤ )
(cid:9120) ③
403
현의 수직이등분선 (cid:8833) 원의 중심을 지난다.
오른쪽 그림과 같이
원의 중심을 O라 하면 직
각삼각형 AOD에서
(cid:100)(cid:100)AD”="√10¤ -8¤
=6 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AD”
C
2`cm
D
A
B
10`cm
8`cm
O
=12 (cm)
(cid:9120) ④
질
성
의
원
Ⅷ
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등
404
분함을 이용한다.
원의 중심 O에서 AB”에
내린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)AH”=BH”=5
(cid:100)(cid:100)CH”=DH”=3
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=BD”=2
직각삼각형 OCH에서
O ´3
A
2
C
H
3
3
2
D
B
(cid:100)(cid:100)OC”=ø∑3¤ +('3)¤ =2'3
tan(∠COH)= ='3이므로(cid:100)(cid:100)∠COH=60°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠COD=120°
따라서 색칠한 부분의 넓이는
3
'3
2_{;2!;_2_'3}+p_(2'3)¤ _
120
360
(cid:9120) ③
=;2!;∠AOB
-;2!;_6_'3
=4p-'3
(cid:9120) 4p-'3
Ⅷ. 원의 성질 59
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만점 공략 BOX
(색칠한 부분의 넓이)
=△OMB+△OND
+(부채꼴 OBD의
•30% 배점
넓이)
(cid:9120) 4'3+;3$;p
해결 과정 ①
405
이므로
(cid:100)(cid:100)BM”=DN”
(cid:100)(cid:100)BM”="√4¤ -2¤
(cid:100)(cid:100)BM”=2'3
이때
해결 과정 ②
OD”=OB”=4
C
•30% 배점
A
N
2
O
2
D
B
4
2´3
M
(cid:100)(cid:100)cos(∠BOM)=;4@;=;2!;,
(cid:100)(cid:100)cos(∠DON)=;4@;=;2!;
이므로
(cid:100)(cid:100)∠BOM=60°, ∠DON=60°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠DOB=150°-(60°+60°)=30° •40% 배점
따라서 색칠한 부분의 넓이는
답 구하기
(cid:100)(cid:100)2_{;2!;_2'3_2}+p_4¤ _
30
360
=4'3+;3$;p
406
의 길이는 같음을 이용한다.
한 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현
OD”=OE”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=BC”
(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=∠C
따라서 ∠A : ∠B : ∠C=5 : 2 : 5이므로
(cid:100)(cid:100)∠A=180°_
5
5+2+5
=75°
(cid:9120) ③
407
부터 같은 거리에 있음을 이용한다.
한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로
오른쪽 그림과 같이 원의 중
심 O에서 현 AB에 내린 수선의
발을 M이라 하면
3`cm
B
M
A
5`cm
(cid:100)(cid:100)BM”=;2!; AB”=3 (cm)
이므로 직각삼각형 OBM에서
(cid:100)(cid:100)OM”="√5¤ -3¤ =4 (cm)
따라서 두 현 사이의 거리는 8 cm이다.
O
C
D
(cid:9120) 8 cm
408
는 같음을 이용한다.
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이
① △BOD와 △POD에서
(cid:100)(cid:100)∠OBD=∠OPD=90°,
OB”=OP”, OD”는 공통
② △AOC와 △POC에서
(cid:100)(cid:100)∠OAC=∠OPC=90°,
OA”=OP”, OC”는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△AOC™△POC (RHS 합동)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠OCA=∠OCP
60 정답 및 풀이
AB”와 CD”는 원의 중
심 O로부터 같은 거리
에 있다.
(cid:100)(cid:100)∴ r=;3@;
답 구하기
이므로(cid:100)(cid:100)△BOD™△POD (RHS 합동)
므로
③ ∠AOC=∠POC, ∠BOD=∠POD이므로
(cid:100)(cid:100)∠COD=∠POC+∠POD
(cid:100)(cid:100)∠COD=;2!;(∠AOP+∠BOP)
(cid:100)(cid:100)∠COD=;2!;_180°
(cid:100)(cid:100)∠COD=90°
④ AC”=PC”, BD”=PD”이므로
(cid:100)(cid:100)AC”+BD”=PC”+PD”=CD”
⑤ △OCP와 △DOP에서
(cid:100)(cid:100)∠CPO=∠OPD=90°, ∠OCP=∠DOP
이므로(cid:100)(cid:100)△OCPª△DOP (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ OC” : DO”=CP” : OP”
(cid:9120) ⑤
409
는 같음을 이용한다.
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이
PA”=PT”=PB”이므로 △PAT, △PBT는 모
두 이등변삼각형이다.
따라서 ∠PTA=∠PAT=40°이므로
(cid:100)(cid:100)∠TPB=40°+40°=80°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠PBT=;2!;_(180°-80°)=50°
(cid:9120) ③
문제 이해
¤ +AC”
410
¤ =AB”
BC”
각삼각형이다.
△ABC에서 ('5)¤ =2¤ +1¤ , 즉
¤ 이므로 △ABC는 ∠A=90°인 직
•20% 배점
해결 과정
{2-r}`cm
B
A
r`cm
D
r`cm
O
´5`cm
r`cm
E
{1-r}`cm
C
반원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 △DBO와
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)∠BDO=∠BAC=90°, ∠B는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△DBOª△ABC (AA 닮음)
따라서 BD” : BA”=DO” : AC”이므로
(cid:100)(cid:100)(2-r) : 2=r : 1
(cid:100)(cid:100)2-r=2r,(cid:100)(cid:100)3r=2
•40% 배점
따라서 반원 O의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100);2!;_2p_;3@;+2_;3@;=;3@;p+;3$; (cm) •40% 배점
(cid:9120) {;3@;p+;3$;} cm
△ABC=△DBO+(cid:8772)ADOE+△EOC이
(cid:100)(cid:100);2!;_2_1=;2!;_r_(2-r)+r¤ +;2!;_r_(1-r)
(cid:100)(cid:100)1=r-;2!;r¤ +r¤ +;2!;r-;2!;r¤
(cid:100)(cid:100);2#;r=1(cid:100)(cid:100)∴ r=;3@;
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참고
반원의 둘레의 길이를 구할 때 지름의 길이를 더
해주는 것을 빠뜨리지 않도록 주의한다.
원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름과
411
서로 수직임을 이용한다.
∠PAO=90°,
∠AOP=60°이므로
△APO에서
(cid:100)(cid:100)AP”=4 tan 60°
=4'3 (cm)
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:100)(cid:100)2△APO-(부채꼴 OAB의 넓이)
4´3`cm
P
=2_{;2!;_4_4'3}-p_4¤ _;3!6@0);
p
=16{'3- } (cm¤ )
3
(cid:9120) 16{'3- } cm¤
412
서로 수직임을 이용한다.
원의 접선은 그 접점을 지나는 원의 반지름과
G
F
1
Q
C
x
H
P
D
A
O
3
E
1
B
5
위의 그림과 같이 점 P에서 AG”에 내린 수선의 발을 H
라 하면 △APH와 △AQG에서
(cid:100)(cid:100)∠AHP=∠AGQ=90°, ∠A는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△APHª△AQG (AA 닮음)
B
p
3
따라서 AP” : AQ”=PH” : QG”이므로
(cid:100)(cid:100)3 : 5=PH” : 1(cid:100)(cid:100)∴ PH”=;5#;
직각삼각형 PHE에서
(cid:100)(cid:100)EH”=æ≠1¤ -{;5#;}
¤ =;5$;
(cid:100)(cid:100)∴ x=2EH”=;5*;
_a가 자연수가 되어야 하므로
'∂ax=Ƭ;5*;a=æ≠2¤ _
a=5_2_n¤ (n은 자연수) 꼴이어야 한다.
따라서 a의 최솟값은 10이다.
;5@;
(cid:9120) ④
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이
413
는 같음을 이용한다.
DE”=DA”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)CB”=CE”=8-x
PA”=PB”이므로
(cid:100)(cid:100)10+x=12+(8-x)
(cid:100)(cid:100)2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5
이때 GF”=GE”, FH”=AH”이므로
(cid:100) (△DGH의 둘레의 길이)
(cid:100)=DG”+GF”+FH”+DH”
(cid:100)=(DG”+GE”)+(AH”+DH”)
(cid:100)=DE”+DA”=5+5=10
A
4`cm
60æ
O
60æ
△APO™△BPO
(RHS 합동)이므로
(cid:100)∠AOP=∠BOP
=;2!;∠AOB
=60°
만점 공략 BOX
본책 83쪽~85쪽
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이
414
는 같음을 이용한다.
오른쪽 그림과 같
이 점 C에서 AD”에 내린
수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)AH”=BC”=4 (cm)
(cid:100)(cid:100)DH”=9-4=5 (cm)
(cid:100)(cid:100)CD”=CP”+DP”
=CB”+DA”
=4+9
=13 (cm)
13`cm
P
D
5`cm
H
4`cm
12`cm
A
O
4`cm
C
B
△ APO™ △ BPO이
므로
(cid:100)(cid:8772)APBO
=△APO+△BPO
=2△APO
△DHC에서 HC”="√13¤ -5¤ =12 (cm)이므로
△HAC에서
(cid:100)(cid:100)AC”
(cid:100)(cid:100)∴ AC”
¤ =12¤ +4¤ =160
¤ +CD”
¤ =160+13¤
=329
(cid:9120) 329
원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 서로
415
수직임을 이용한다.
∠BEC=90°이므로
직각삼각형 BCE에서
(cid:100)(cid:100)CE”="√15¤ -12¤
=9(cm)
AF”=x cm라 하면 직각삼
각형 CDF에서
(cid:100)(cid:100)(9+x)¤ =(15-x)¤ +12¤
(cid:100)(cid:100)48x=288
(cid:100)(cid:100)∴ x=6
오른쪽 그림
문제 이해
416
에서
(cid:100)(cid:100)BC”=7+3=10
•20% 배점
{15-x}`cm
x`cm
F
A
x`cm
E
12`cm
D
C
12`cm
9`cm
B
15`cm
(cid:9120) ③
A
5
R
3
C
H
P
5
O
7
7
Q
3
질
성
의
원
Ⅷ
B
해결 과정
꼭짓점 A에서 BC”
에 내린 수선의 발을 H라 하고
BH”=x라 하면 △ABH와 △ACH에서
(cid:100)(cid:100)AH”
(cid:100)(cid:100)20x=180(cid:100)(cid:100)∴ x=9
(cid:100)(cid:100)∴ AH”="√12¤ -9¤ =3'7
답 구하기
¤ =12¤ -x¤ =8¤ -(10-x)¤
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
(cid:100) △ABC=△OAB+△OBC+△OCA
•40% 배점
(cid:100)=;2!;_12_r+;2!;_10_r+;2!;_8_r
(cid:100) ;2!;_10_3'7
(cid:100)(cid:100)15'7=15r
(cid:100)(cid:100)∴ r='7
•40% 배점
(cid:9120) '7
Ⅷ. 원의 성질 61
AP” : AQ”=3 : 5이므로
△APH와 △AQG의
닮음비는 3 : 5이다.
직각삼각형이 만들어
지도록 한 꼭짓점에서
그 대변에 수선의 발을
내린다.
n=1일 때,(cid:100)a=10
(△PCD의 둘레의 길
이)=2PA”이므로
(cid:100)12+8+10=2PA”
(cid:100)∴ PA”=15
(cid:100)∴ DA”=15-10
=5
(cid:9120) ③
417
는 같음을 이용한다.
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이
E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지62 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
419
(cid:8833) 내접원의 반지름의 길이
내접원의 중심에서 세 변에 이르는 거리
6
2
4
6
4
O™
O£
O¡
2
오른쪽 그림과 같이
세 원의 중심을 꼭짓점으
로 하는 삼각형 O¡O™O£의
세 변의 길이는 각각 6, 8,
10이고
(cid:100)(cid:100)10¤ =8¤ +6¤
이므로 △O¡O™O£은 ∠O¡=90°인 직각삼각형이다.
세 원의 접점을 지나는 원은 △O¡O™O£의 내접원이므
로 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 △O¡O™O£의
넓이에서
(cid:100)(cid:100)
_6_8=
_6_r+
_8_r+
_10_r
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
(cid:100)(cid:100)24=12r(cid:100)(cid:100)∴ r=2
따라서 구하는 원의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_2=4p
(cid:9120) ①
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
문제 이해
420
(cid:100)(cid:100)10+11=7+BC”
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=14 (cm)
•30% 배점
7`cm
D
11`cm
O
7`cm
C
F
{7-x}`cm
A
10`cm
해결 과정
오 른 쪽 그
림과 같이 두 꼭짓점 A,
D에서 BC”에 내린 수선
의 발을 각각 E, F라 하
고` BE”=x cm라 하면
¤ 이므로
AE”
(cid:100)(cid:100)10¤ -x¤ =11¤ -(7-x)¤
(cid:100)(cid:100)14x=28(cid:100)(cid:100)∴ x=2
(cid:100)(cid:100)∴ AE”="√10¤ -2¤ =4'6 (cm)
답 구하기
¤ =DF”
B
E
x`cm
므로 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_(2'6)¤ =24p (cm¤ )
•50% 배점
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2'6 cm이
•20% 배점
(cid:9120) 24p cm¤
원의 외접사각형에서 두 쌍의 변의 길이의 합
421
은 서로 같음을 이용한다.
원 O의 반지름의 길이
를 r라 하고 점 D에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라 하면
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
(cid:100)(cid:100)2r+DC”=6+8
(cid:100)(cid:100)∴ DC”=14-2r
직각삼각형 DHC에서
(cid:100)(cid:100)(14-2r)¤ =(2r)¤ +2¤
(cid:100)(cid:100)56r=192(cid:100)(cid:100)∴ r=
;;™7¢;;
A
2r
B
6
D
2r
O
6
H
2
C
(cid:9120) ③
FC”=BC”-BF”
=14-(x+7)
=7-x (cm)
AE”는 원 O의 지름의
길이와 같다.
CQ”=BH”-BQ”+CH”
=6'2-x+2'6
원 O의 반지름의 길이를 r
라 하면 원 O의 넓이가 9p이므로
(cid:100)(cid:100)pr¤ =9p
(cid:100)(cid:100)∴ r=3 (∵ r>0)
(cid:100)(cid:100)∴ OQ”=OR”=3
BP”=BQ”=a라 하면
(cid:100)(cid:100)AB”=
=2a+6
a+3
cos 60°
A
a+6
a+6
a
B
P
60æ
3
3
O
3
Q
a
R
3
C
따라서 AR”=AP”=(2a+6)-a=a+6이므로
(cid:100)(cid:100)tan 60°=
a+9
a+3
,(cid:100)(cid:100)'3=
a+9
a+3
(cid:100)(cid:100)a+9='3a+3'3,(cid:100)(cid:100)('3-1)a=9-3'3
(cid:100)(cid:100)∴ a=
9-3'3
3'3('3-1)
'3-1
'3-1
(cid:100)(cid:100)∴ (△ABC의 둘레의 길이)
=
=3'3
=(2a+6)+(a+3)+(a+9)
=4a+18=12'3+18
BC”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)AC”='3x, AB”=2x
원 O의 반지름의 길이가 3이므로
(cid:100)(cid:100)△ABC=△OAB+△OBC+△OCA
(cid:100)(cid:100);2!;_x_'3x
=;2!;_2x_3+;2!;_x_3+;2!;_'3x_3
(cid:100)(cid:100)'3x=9+3'3
9+3'3
(cid:100)(cid:100)∴ x=
'3`
=3'3+3
(cid:100)(cid:100)∴ (△ABC의 둘레의 길이)=2x+x+'3x
(cid:9120) 12'3+18
=(3+'3)x
=(3+'3)(3'3+3)
=12'3+18
45æ
A
12
P
30æ
R
45æ
B
O
QH
60æ
C
•20% 배점
해결 과정 ①
418
꼭짓점 A
에서 BC”에 내린 수선의 발을
H라 하면
(cid:100)(cid:100)∠ABH=∠BAH=45°
이므로
(cid:100)(cid:100)AH”=BH”=12 cos 45°=6'2
해결 과정 ②
∠ACH=60°이므로
(cid:100)(cid:100)CH”=6'2 tan 30°=2'6
2'6
(cid:100)(cid:100)AC”=
sin 30°
=4'6
△ACH에서 ∠HAC=30°,
해결 과정 ③
BQ”=x라 하면(cid:100)(cid:100)BP”=BQ”=x
(cid:100)(cid:100)AR”=AP”=12-x
(cid:100)(cid:100)CR”=CQ”=6'2+2'6-x
답 구하기
(cid:100)(cid:100)4'6=(12-x)+(6'2+2'6-x)
(cid:100)(cid:100)2x=12+6'2-2'6
(cid:100)(cid:100)∴ x=6+3'2-'6
AC”=AR”+CR”에서
•40% 배점
•30% 배점
62 정답 및 풀이
•10% 배점
(cid:9120) 6+3'2-'6
422
같음을 이용한다.
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는
E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지63 SinsagoHitec
{2-r}`cm
4`cm
ES
R
O
Q
r`cm
{6-r}`cm
D
C
O'
2r`cm
P
A
오른쪽 그림
과 같이 원 O와 사
각형 ABCE의 접
점을 각각 P, Q, R,
S라 하고 원 O의
반지름의 길이를 r`cm라 하면
(cid:100)(cid:100)BQ”=AS”=r (cm)
이므로
(cid:100)(cid:100)CR”=CQ”=6-r ( cm)
(cid:100)(cid:100)ER”=ES”=2-r (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ EC”=ER”+CR”
B
=(2-r)+(6-r)
=8-2r (cm)
이때 DC”=2r cm이므로 직각삼각형 ECD에서
(cid:100)(cid:100)(8-2r)¤ =4¤ +(2r)¤
(cid:100)(cid:100)32r=48(cid:100)(cid:100)∴ r=;2#;
CD”=3 cm, EC”=5 cm이므로 원 O'의 반지름의 길이
를 r'이라 하면 △ECD의 넓이에서
(cid:100)(cid:100);2!;_4_3=;2!;_r'_4+;2!;_r'_5+;2!;_r'_3
(cid:100)(cid:100)6=6r'(cid:100)(cid:100)∴ r'=1
따라서 두 원 O, O'의 반지름의 길이의 합은
(cid:100)(cid:100);2#;+1=;2%; (cm)
(cid:9120) ①
해결 과정 ①
423
오른쪽
그림에서 OG”=OC”=2이
고 ∠GOB=60°이므로
(cid:100)(cid:100)BG”=2 sin 60°='3
(cid:100)(cid:100)BO”=2 cos 60°=1
따라서 △GBO의 둘레의
길이는
(cid:100)(cid:100)1+2+'3=3+'3
해결 과정 ②
이므로 △DEF의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)ED”+EI”+IF”+DF”
=(ED”+EH”)+(CF”+DF”)
=DH”+CD”
=2+2=4
답 구하기
(cid:100)(cid:100)(3+'3)-4='3-1
따라서 구하는 길이의 차는
OH”=OC”=2이고 EH”=EI”, FC”=FI”
•40% 배점
∠BHI=∠A(동위각),
∠B는 공통이므로
(cid:100)△BIHª△BCA
(AA 닮음)
H
E
A
G
I
2
B
60æ
O
120æ
2
D
F
C
㉡-㉠을 하면
(cid:100)4z=72(cid:100)∴ z=18
z=18을 ㉡에 대입하면
(cid:100)5y=30(cid:100)∴ y=6
•40% 배점
•20% 배점
(cid:9120) '3-1
내신 만점 굳히기
본책 87쪽
424
분함을 이용한다.
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등
만점 공략 BOX
본책 85쪽~87쪽
원의 중심을 O라 하
고 점 O에서 AB”, CD”에
내린 수선의 발을 각각 M,
N이라 하면
4
(cid:100)(cid:100)AM”=;2!; AB”=3
A
B
6
M
O
N
2
D
C
△AOM에서
¤ =AM”
(cid:100)OA”
△OCN에서
¤ =ON”
(cid:100)OC”
¤ +M”O”
¤ +CN”
AE”=6-4=2 (cm)
이므로
(cid:100)ES”=AE”-AS”
=2-r (cm)
¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)CN”=;2!; CD”=1
OM”=x라 하면(cid:100)(cid:100)ON”=4-x
¤ =OC”
이때 OA”
(cid:100)(cid:100)3¤ +x¤ =1¤ +(4-x)¤
(cid:100)(cid:100)8x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=1
따라서 구하는 원의 반지름의 길이는
(cid:100)(cid:100)"√3¤ +1¤ ='∂10
(cid:9120) ①
해결 과정 ①
EI”=GI”=x라 하면
425
(cid:100)(cid:100)DH”=GH”=8-x
이때 BD”=BE”이므로(cid:100)(cid:100)6+(8-x)=10+x
(cid:100)(cid:100)2x=4(cid:100)(cid:100)∴ x=2
•20% 배점
해결 과정 ②
오른쪽
그림과 같이
AD”=AF”=y,
CE”=CF”=z라 하면
HI”∥AC”이므로
(cid:100)(cid:100)△BIHª△BCA
(AA 닮음)
A
y
F
y
D
6
P
H
8
10
6
B
O
G
EI
2
z
z
C
BH” : BA”=BI” : BC”=HI” : AC”이므로
(cid:100)(cid:100)6 : (12+y)=10 : (12+z)=8 : (y+z)
6 : (12+y)=10 : (12+z)에서
(cid:100)(cid:100)72+6z=120+10y
(cid:100)(cid:100)∴ 5y-3z=-24
10 : (12+z)=8 : (y+z)에서
(cid:100)(cid:100)10y+10z=96+8z
(cid:100)(cid:100)∴ 5y+z=48
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)y=6, z=18
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
해결 과정 ③
•40% 배점
또 △BPHª△BFA (AA 닮음)이므로
BH” : BA”=HP” : AF”에서
(cid:100)(cid:100)6 : 18=HP” : 6(cid:100)(cid:100)∴ HP”=2
답 구하기
∴ PG”=HI”-(HP”+GI”)
=8-(2+2)=4
•20% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 4
426
는 같음을 이용한다.
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이
FC”=FE”, GE”=GB”, HB”=HC”이므로 △HGF
의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)HG”+GF”+HF”=HG”+(GE”+EF”)+HF”
=HG”+(GB”+FC”)+HF”
=(HG”+GB” )+(FC”+HF”)
=HB”+HC”=2HB”
Ⅷ. 원의 성질 63
질
성
의
원
Ⅷ
¤
¤
E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지64 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
△AOC에서 sin (∠CAO)= =;2!;이므로
(cid:100)(cid:100)∠CAO=30°
△ABH에서 ∠HAB=30°, AB”=r이므로
r
2r
(cid:100)(cid:100)HB”=r tan 30°= r
'3
3
따라서 △HGF의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2HB”=
2'3
3
r
OE”∥F’O'”, OE”=F’O'”
이므로 (cid:8772)EOFO'은
평행사변형이다.
(cid:9120)
2'3
3
r
해결 과정 ③
따라서 AE”=AG”=6 cm이고 마찬가지
로 CF”=6 cm이므로
(cid:100)(cid:100)EF”=AC”-(AE”+CF”)
=15-(6+6)=3 (cm)
•30% 배점
답 구하기
∴ (cid:8772)EOFO'=3_3=9 (cm¤ )•20% 배점
(cid:9120) 9 cm¤
429 [문제 해결 길잡이]
❶ ∠DOE+∠IOO'=90°임을 이용하여 △DEO∽△OIO'
427
직각삼각형의 외접원의 중심은 빗변의 중점이다.
❷ ❶의 닮음과 피타고라스 정리를 이용하여 원 O'의 반지
❸ △OFC∽△OIO'임을 이용하여 FC”의 길이를 구한다.
임을 보인다.
름의 길이를 구한다.
A
❹ 색칠한 부분의 넓이를 구한다.
오른쪽 그림과
같이 원 O'의 반지름
의 길이를 x라 하고`,
점 O'에서 OF”에 내린
수선의 발을 I라 하면
△DEO와 △OIO'에
서
(cid:100)(cid:100)∠DEO=∠OIO'=90°,
B
4
E
1
D
2+x
2
O
2-x
I
F
O'
x
C
(cid:100)(cid:100)∠EDO=90°-∠DOE=∠IOO'
이므로(cid:100)(cid:100)△DEOª△OIO' (AA 닮음) ❶
따라서 ED” : IO”=EO” : IO'”이므로
(cid:100)(cid:100)1 : (2-x)=2 : IO'”
(cid:100)(cid:100)∴ IO'”=4-2x
직각삼각형 OIO'에서
(cid:100)(cid:100)(2+x)¤ =(2-x)¤ +(4-2x)¤
(cid:100)(cid:100)x¤ -6x+4=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3-'5 (∵ x<2) ❷
한편 △OFCª△OIO' (AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)OF” : OI”=FC” : IO'”
(cid:100)(cid:100)2 : (2-x)=FC” : (4-2x)
(cid:100)(cid:100)∴ FC”=4 ❸
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:100) (cid:8772)ABCD-(원 O의 넓이)-(원 O'의 넓이)
(cid:100)=;2!;_(3+6)_4-p_2¤ -p_(3-'5)¤
(cid:100)=18+(6'5-18)p ❹
(cid:9120) 18+(6'5-18)p
△ABC와 내접원의 접점
을 각각 D, E, F라 하고
BC”=a, AC”=b (a>b)라 하면
직각삼각형의 빗변은 외접원의
지름이므로
(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ =6¤ =36
△ABC의 넓이가 7이므로
D
6
O
A
b
C
F
E
B
a
(cid:100)(cid:100);2!;ab=7(cid:100)(cid:100)∴ ab=14
따라서 (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab=36+28=64이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=8 (∵ a+b>0)
즉 b=8-a이므로 이것을 ab=14에 대입하여 풀면
(cid:100)(cid:100)a(8-a)=14,(cid:100)(cid:100)a¤ -8a+14=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=4—'2
그런데 a>b이므로(cid:100)(cid:100)a=4+'2, b=4-'2
△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면
(cid:100)(cid:100)AD”=AF”=4-'2-r
(cid:100)(cid:100)BD”=BE”=4+'2-r
AB”=AD”+BD”이므로
(cid:100)(cid:100)6=(4-'2-r)+(4+'2-r)
(cid:100)(cid:100)2r=2(cid:100)(cid:100)∴ r=1
(cid:9120) ⑤
△ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하
면 △ABC의 넓이에서
(cid:100)(cid:100);2!;_a_b=;2!;_r_(6+a+b)
(cid:100)(cid:100);2!;_14=;2!;_r_14
(cid:100)(cid:100)∴ r=1
E
O'
x`cm 3`cm
G
O
F
B
H
3`cm
D
C
A
해결 과정 ①
428
오른쪽
그림에서 AB”=x cm라 하
면 BC”=(21-x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)AC”=AE”+CE”
=AG”+CH”
=(x-3)+(21-x-3)
=15 (cm)
해결 과정 ②
직각삼각형 ABC에서
•20% 배점
(cid:100)(cid:100)x¤ +(21-x)¤ =15¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ -21x+108=0
(cid:100)(cid:100)(x-9)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=9 또는 x=12
그런데 AB”0)
(cid:9120) (1+'5) cm
464
기는 서로 같음을 이용한다.
한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크
오른쪽 그림과 같이 AD”를
그으면
(cid:100)(cid:100)∠DAB=∠ADG
(cid:100)(cid:100)∠DAB=180°_;1¡2;
(cid:100)(cid:100)∠DAB=15°
이므로 △EAD는 EA”=ED”인
이등변삼각형이다.
이때 △ABC에서
A
F
G
30æ
E
O
1`cm
D
B
C
(cid:100)(cid:100)∠ABC=∠ACB=;2!; _(180°-30°)=75°
△PºP•P¡§은
(cid:100)∠PºP•P¡§=90°,
(cid:100)PºP•”=P•P¡§”
인 직각이등변삼각형
이므로
(cid:100)l• : 2=1 : '2
(cid:100)∴ l•='2
두 내각의 크기가 같은
삼각형은 이등변삼각
형이다.
CF”=CG”
=BC”-BF”
=12-(14-a)
=a-2
이고, ∠ACG=∠ADG=15°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BCG=∠ACB+∠ACG
=75°+15°=90°
이때 (cid:8772)ABCG가 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠BAG=180°-∠BCG=180°-90°=90°
또 △ADE에서
(cid:100)(cid:100)∠AEG=∠EAD+∠EDA
=15°+15°=30°
AE”=ED”=x cm라 하면 EG”=(1-x) cm이므로
△AEG에서
(cid:100)(cid:100)cos 30°=
AE”
EG”
=
x
1-x
=
'3
2
(cid:100)(cid:100)2x='3(1-x),(cid:100)(cid:100)(2+'3)x='3
(cid:100)(cid:100)∴ x=
='3(2-'3)(cm)
'3
2+'3
(cid:9120) ④
465 [문제 해결 길잡이]
❶ AH”=a라 하고 (cid:8772)ABCD의 각 꼭짓점에서 내접원 O에
그은 접선의 길이를 각각 a로 나타낸다.
❷ △AEOª△OFC임을 이용하여 r와 a의 관계식을 구한다.
❸ △BFOª△OGD임을 이용하여 r와 a의 관계식을 구한다.
❹ ❷, ❸의 식을 연립하여 r의 값을 구한다.
(cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠A+∠C=180°
오른쪽 그림과 같이 사각형
ABCD와 내접원 O의 접
점을 각각 E, F, G, H라
하고 AE”=AH”=a라 하면
(cid:100)(cid:100)BF”=BE”=14-a
(cid:100)(cid:100)DG”=DH”=9-a
(cid:100)(cid:100)CF”=CG”=a-2 ❶
△AEO와 △OFC에서
(cid:100)(cid:100)∠AEO=∠OFC=90°,
A
a
a
E
14-a
O
B
14-a
F
H
9-a
D
9-a
G
a-2
C
a-2
(cid:100)(cid:100)∠EAO=;2!;∠A=;2!;(180°-∠C)
(cid:100)(cid:100)∠FBO=90°-;2!;∠C=90°-∠OCF=∠FOC
이므로(cid:100)(cid:100)△AEOª△OFC (AA 닮음)
이때 내접원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
AE”：OF”=EO”：FC”에서
(cid:100)(cid:100)a：r=r：(a-2)
yy ㉠ ❷(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ r¤ =a(a-2)
같은 방법으로 하면 △BFOª△OGD (AA 닮음)이
므로 BF”：OG”=FO”：GD”에서
(cid:100)(cid:100)(14-a)：r=r：(9-a)
(cid:100)(cid:100)∴ r¤ =(14-a)(9-a)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)a(a-2)=(14-a)(9-a)
(cid:100)(cid:100)21a=126(cid:100)(cid:100)∴ a=6
a=6을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)r¤ =24
(cid:100)(cid:100)∴ r=2'6 (∵ r>0)
따라서 내접원 O의 반지름의 길이는 2'6이다. ❹
yy ㉡ ❸(cid:100)
(cid:9120) 2'6
Ⅷ. 원의 성질 69
질
성
의
원
Ⅷ
E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지70 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
원에 내접하는 사각형
의 한 쌍의 대각의 크
기의 합은 180°이다.
네 점이 한 원 위에 있
는지 알아보려면 한 직
선에 대하여 같은 쪽에
있는 두 점으로 만들어
진 각의 크기가 같은지
확인한다.
CP”=4 cm, DP”=10 cm
또는
CP”=10 cm, DP”=4 cm
18
원주각의 활용
개념&기출유형
본책 94~97쪽
466 ① ∠BAC+∠BDC
② ∠ADB+∠ACB
③ ∠ABD=80°-35°=45°이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABD+∠ACD
④ ∠BAC=180°-(80°+30°)=70°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC
⑤ ∠BDC=90°-30°=60°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC
따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ④,
(cid:9120) ④, ⑤
⑤이다.
467 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
(cid:100)(cid:100)∠x=∠DBC=180°-(95°+60°)=25°
△ABP에서 ∠ABP=95°-55°=40°이므로
(cid:100)(cid:100)∠y=∠ABD=40°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠y-∠x=40°-25°=15°
(cid:9120) 15°
468 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
(cid:100)(cid:100)∠x=∠ACB=25°
△PBD에서(cid:100)(cid:100)∠y=50°+25°=75°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=25°+75°=100°
(cid:9120) 100°
469 ③ ∠DAB=∠DCB이지만
∠DAB+∠DCB+180°이면 (cid:8772)ABCD가 원에
(cid:9120) ③
내접하지 않는다.
470 ㈂ 직사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°이므로
대각의 크기의 합이 180°이다.
㈄ 정사각형의 네 내각의 크기는 모두 90°이므로 대각
의 크기의 합이 180°이다.
㈅ 등변사다리꼴의 아랫변의 양 끝 각의 크기가 서로
같고 윗변의 양 끝 각의 크기가 서로 같으므로 대각
의 크기의 합이 180°이다.
이상에서 항상 원에 내접하는 사각형은 ㈂, ㈄, ㈅의 3
(cid:9120) ③
개이다.
471 ∠ACB : ∠BAC : ∠ABC
(cid:100)=μAB : μBC : μCA=8 : 4 : 3
이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=180°_
4
8+4+3
=48°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BCT=∠BAC=48°
(cid:9120) 48°
한 원에서 호의 길이는
그 호에 대한 원주각의
크기에 정비례한다.
472 ∠EDC=∠EFD=63°
△CED는 CD”=CE”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠ECD=180°-2_63°=54°
따라서 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)∠ABC=180°-(84°+54°)=42°
(cid:9120) ②
70 정답 및 풀이
473 ∠ATP=∠ACT=100°이므로 △APT에서
(cid:100)(cid:100)∠APT=180°-(100°+40°)=40°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BPT=∠APT=40°
(cid:9120) ③
∠ABT+∠ACT=180°이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABT=180°-∠ACT
=180°-100°=80°
∠BTP=∠BAT=40°이므로 △BPT에서
(cid:100)(cid:100)∠BPT=∠ABT-∠BTP
=80°-40°=40°
474 CP”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)DP”=14-x (cm)
PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)8_5=x(14-x)
(cid:100)(cid:100)x¤ -14x+40=0,(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-10)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=10
그런데 CP”0)
(cid:9120) 4
479 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)3_8=(6-r)(6+r)
(cid:100)(cid:100)r¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ r=2'3 (∵ r>0)
따라서 원 O의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_2'3=4'3p
480 원 O에서 PA”_PB”=PE”_PF”이므로
(cid:100)(cid:100)PA”_2=4_6(cid:100)(cid:100)∴ PA”=12
원 O'에서 PC”_PD”=PE”_PF”이므로
(cid:100)(cid:100)3_PD”=4_6(cid:100)(cid:100)∴ PD”=8
(cid:100)(cid:100)∴ PA”+PD”=20
(cid:9120) 4'3p
(cid:9120) 20
E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지71 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
본책 94쪽~98쪽
481 PC”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)(6+x)_3=x_(3+9)
(cid:100)(cid:100)18+3x=12x(cid:100)(cid:100)∴ x=2
(cid:9120) 2
482 PA”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)x(x+20)=6_16
(cid:100)(cid:100)x¤ +20x-96=0,(cid:100)(cid:100)(x+24)(x-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9120) 4
483 ∠ATP=∠ABT=∠APT이므로 △APT는
AP”=AT”=4인 이등변삼각형이다.
¤ =PA”_PB”이므로
PT”
¤ =4_12=48
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=4'3 (∵ PT”>0)
(cid:9120) ④
484 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)5_8=x(x+6)
(cid:100)(cid:100)x¤ +6x-40=0,(cid:100)(cid:100)(x+10)(x-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
PT”
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +y¤ =4¤ +40=56
¤ =PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)y¤ =5_8=40
직각삼각형의 빗변의
중점은 외심이다.
(cid:9120) 56
¤ =AO”_AB”이므로
¤ =4_8=32
485 AT”
(cid:100)(cid:100)AT”
(cid:100)(cid:100)∴ AT”=4'2 (cm)(∵ AT”>0)
이때 ∠ATO'=90°이고 TO'”=;2!; AO”=2 (cm)이므
로
원의 접선은 그 접점을
지나는 원의 반지름과
서로 수직이다.
(cid:100)(cid:100)△AO'T=;2!;_2_4'2=4'2 (cm¤ )
(cid:9120) ①
호 AQ에 대한 원주각
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =PA”_PB”이므로
486 PT”
(cid:100)(cid:100)x¤ =3_(3+y)
PT'”
(cid:100)(cid:100)(3'2)¤ =3_(3+y)(cid:100)(cid:100)∴ y=3
y=3을 ㉠에 대입하면(cid:100)(cid:100)x=3'2 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ xy=9'2
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
487 TT'”=12 cm이므로(cid:100)(cid:100)PT”=PT'”=6 cm
PA”=x cm라 하면 PT”
(cid:100)(cid:100)6¤ =x(x+9),(cid:100)(cid:100)x¤ +9x-36=0
(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0)
¤ =PA”_PB”이므로
(cid:9120) ⑤
x¤ =3_(3+3)=18
(cid:100)∴ x=3'2
(∵ x>0)
호 CO에 대한 원주각
(cid:9120) 3 cm
488 PC”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)5_12=x(x+4),(cid:100)(cid:100)x¤ +4x-60=0
(cid:100)(cid:100)(x+10)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
(cid:9120) ③
25æ
D
C
50æ
25æ
O
100æ
55æ
40æ
E
80æ
내신 만점 도전하기
본책 98~101쪽
489
OB”를 긋고 ∠CAB, ∠OAB의 크기를 구한다.
네 점 A, B, C, D가 한 원
위에 있으므로
(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ADB=50°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ACE=∠BCE
=25°
A
B
또 ∠AOB=2∠ACB=100°이
고 △OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠OAB=;2!;_(180°-100°)=40°
△CAE에서(cid:100)(cid:100)∠CAE=80°-25°=55°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠CAO=∠CAE-∠OAB
=55°-40°=15°
(cid:9120) ②
490
네 점이 한 원 위에 있을 조건을 이용한다.
∠BEC=∠BDC이므로 네 점 B, C, D, E는
한 원 위에 있다.
이때 ∠BEC=90°이고 BM”=CM”이므로 점 M은 이
원의 중심이다.
△ABD에서(cid:100)(cid:100)∠ABD=90°-70°=20°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠EMD=2∠EBD=2_20°=40°
(cid:9120) ③
∠AQP=∠ARP이므로 네 점 A, Q, R, P
491
가 한 원 위에 있음을 이용한다.
∠AQP=∠ARP이
므로 네 점 A, Q, R, P는
한 원 위에 있다.
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ARQ=∠APQ
△AQP∽△APB (AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)∠APQ=∠ABP=32°(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ARQ=∠APQ=32°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠QRC=180°-∠ARQ
B
A
Q
32æ
32æ
C
R
P
=180°-32°=148°
(cid:9120) 148°
△COP
해결 과정 ①
492
에서
(cid:100)(cid:100)∠CPO=40°-10°
=30°
∠OCP=∠ODP이므로 네
점 C, O, P, D는 한 원 위에
있다.
(cid:100)(cid:100)∴ ∠CDO=∠CPO=30°
C
A
10æ 10æ
40æ
O P
D
B
•50% 배점
해결 과정 ②
△COD는 OC”=OD”인 이등변삼각형이
므로
(cid:100)(cid:100)∠COD=180°-2_30°=120°
답 구하기
•30% 배점
∴ ∠DOB=180°-(∠AOC+∠COD)
=180°-(40°+120°)
=20°
•20% 배점
(cid:9120) 20°
Ⅷ. 원의 성질 71
질
성
의
원
Ⅷ
E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지72 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
오른쪽 그림과 같이 원의 중심
O에서 두 현 AB, CD에 내린
수선의 발을 각각 Q, R라 하면
원의 중심에서 현에 내
린 수선은 그 현을 이
등분한다.
(cid:100)(cid:100)QB”=;2!;_(6+16)
(cid:100)(cid:100)QB”=11 (cm)
C
R
P
D
O Q
16`cm
8`cm
B
A
6`cm
493
각형은 원에 내접함을 이용한다.
한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같은 사
△ABP에서
(cid:100)(cid:100)∠ABP=180°-(75°+33°)=72°
∠ADC=25°+47°=72°이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABP=∠ADC
따라서 (cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC=47°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠DAC=180°-(75°+47°)=58°
△AED에서
(cid:100)(cid:100)∠DEC=25°+58°=83°
(cid:9120) ②
494
사각형이 원에 내접하기 위한 조건을 생각한다.
⁄ 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인 경우
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ADHF, (cid:8772)BEHD, (cid:8772)CFHE
¤ 한 직선에 대하여 같은 쪽에 있는 두 점으로 만들어
진 각의 크기가 같은 경우
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABEF, (cid:8772)BCFD, (cid:8772)CADE
⁄, ¤에서 구하는 사각형의 개수는 6이다.
(cid:9120) 6
495
기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.
접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크
△TBP는 TB”=TP”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠TBA=∠APT=38°
이때 PT”가 원의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)∠ATP=∠TBA=38°
따라서 △TAP에서
(cid:100)(cid:100)∠BAT=38°+38°=76°
496
기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.
접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크
∠BAT=∠BCA=54°
B
이므로
(cid:100)(cid:100)∠EDA=∠EAT=54°
∠EAD=∠x라 하면
∠BDE=∠x이므로 △BAD
에서
(cid:100)(cid:100)40°+∠x+(54°+∠x)=180°
(cid:100)(cid:100)2∠x=86°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=43°
54æ
T
40æ
D
54æ
E
54æ
C
A
(cid:9120) ④
해결 과정
∠BTQ=∠BAT=40°
497
이때 ∠PTD=∠BTQ=40°(맞꼭지각)이므로
(cid:100)(cid:100)∠TCD=∠PTD=40°
답 구하기
따라서 △DTC에서
•70% 배점
(cid:100)(cid:100)∠DTC=180°-(55°+40°)=85° •30% 배점
(cid:9120) 85°
(cid:9120) ②
CP”=DP”=6
498
심이다.
원에서 두 현의 수직이등분선의 교점은 원의 중
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)6_16=PC”_8(cid:100)(cid:100)∴ PC”=12 (cm)
(5+3)(5-3)
72 정답 및 풀이
(cid:100)(cid:100)OQ”=RP”=;2!;_(8+12)-8=2 (cm)
직각삼각형 OQB에서
(cid:100)(cid:100)OB”="√2¤ +11¤ =5'5 (cm)
따라서 원 O의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_(5'5)¤ =125p (cm¤ )
(cid:9120) ④
해결 과정
499
(cid:100)(cid:100)3_PB”=2_6(cid:100)(cid:100)∴ PB”=4
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
•40% 배점
BQ”=x라 하면 QB”_QA”=QE”_QD”이
답 구하기
므로
(cid:100)(cid:100)x(x+7)=3_(3+3),(cid:100)(cid:100)x¤ +7x-18=0
(cid:100)(cid:100)(x+9)(x-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
•60% 배점
(cid:9120) 2
500
AP”_BP”=CP”_DP”이다.
점 P는 두 현 AB, CD의 교점이므로
직각삼각형 PBD에서
∑-6¤ =12
(cid:100)(cid:100)PB”=ø∑(6'5)¤
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
(cid:100)(cid:100)AP”=2r-12
AP”_BP”=CP”_DP”이므로
(cid:100)(cid:100)(2r-12)_12=6_6,(cid:100)(cid:100)2r-12=3
(cid:100)(cid:100)2r=15(cid:100)(cid:100)∴ r=;;¡2∞;;
따라서 원 O의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_;;¡2∞;;=15p
501
원에서 길이가 가장 긴 현은 지름이다.
점 P를 지나는 현 중에서 길이가 가장 긴 것은
(cid:9120) 15p
5
O
3
A'
P
B'
[그림 1]
Q
B
10
O
P
9
R
[그림 2]
지름일 때이므로 그 길이는 10이다.
또 점 P를 지나는 현 중에서 길이가
가장 짧은 것은 [그림 1]과 같이 현이
OP”에 수직일 때이므로
(cid:100)(cid:100)A'P”="√5¤ -3¤ =4
(cid:100)(cid:100)∴ A'B'”=8
따라서 정수인 현의 길이는 8, 9, 10
이므로
(cid:100)(cid:100)QR”=PQ”+PR”=9
이때 [그림 2]와 같이 점 P를 지
나는 원 O의 지름을 AB라 하면
(cid:100)(cid:100)PQ”_PR”=PA”_PB”
이므로
(cid:100)(cid:100)PQ”_PR”=8_2=16
PQ”=a, PR”=b라 하면
A
E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지73 SinsagoHitec
a+b=9, ab=16이므로
(cid:100)(cid:100)|a-b|="√(a-b)¤ ="√(a+b)¤ -4ab
(cid:100)(cid:100)|a-b|="√9¤ -4_16 ='∂17
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 직
해결 과정
502
각삼각형 DPO에서
(cid:100)(cid:100)17¤ =(7+r)¤ +r¤ ,(cid:100)(cid:100)r¤ +7r-120=0
(cid:100)(cid:100)(r+15)(r-8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ r=8 (∵ r>0)
답 구하기
•40% 배점
CD”=x라 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므
로
(cid:100)(cid:100)7_(7+16)=(17-x)_17
(cid:100)(cid:100)161=289-17x,(cid:100)(cid:100)17x=128
(cid:100)(cid:100)∴ x=
;;¡1™7•;;
•60% 배점
(cid:9120)
;;¡1™7•;;
점 B는 두 현 AC, DE의 교점이므로
503
AB”_BC”=BD”_BE”이다.
BC”=AB”=4
점 B에서 서로 외접하는 두 원의 반지름의 길이를 각각
a, b라 하면 AB”_BC”=BD”_BE”이므로
(cid:100)(cid:100)4¤ =2a_2b(cid:100)(cid:100)∴ ab=4
따라서 두 원의 넓이의 곱은
(cid:100)(cid:100)pa¤ _pb¤ =p¤ (ab)¤ =16p¤
(cid:9120) ④
504
분한다.
원의 중심에서 현에 그은 수선은 그 현을 이등
두 원 O, O'의 반지름의 길이를 각각 r, r'이라
하면 원 O'에서 O'O”⊥DO”이므로
(cid:100)(cid:100)AO”_OE”=DO”
(cid:100)(cid:100)r¤ -5r=r¤ -6r+9(cid:100)(cid:100)∴ r=9
또 2r'=2r-5이므로
¤ ,(cid:100)(cid:100)r(r-5)=(r-3)¤
(cid:100)(cid:100)r'=r-;2%;=9-;2%;=
따라서 두 원의 둘레의 길이의 합은
;;¡2£;;
(cid:100)(cid:100)2p_9+2p_
=31p
;;¡2£;;
(cid:9120) ⑤
505
임을 이용한다.
PE”_PB”=PD”_PF”, PE”_PA”=PF”_PC”
원 O'에서 PE”_PB”=PD”_PF”이므로
(cid:100)(cid:100)PE”_3=2_PF”
원 O에서 PE”_PA”=PF”_PC”이므로
(cid:100)(cid:100)PE”_PA”=PF”_10
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:9120) ②
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
㉠÷㉡을 하면(cid:100)(cid:100)
3
PA”
(cid:100)(cid:100)∴ PA”=15 (cm)
=;5!;
해결 과정 ①
506
(cid:100)(cid:100)PA”_(PA”+8)=6_(6+2)
¤ +8PA”-48=0
(cid:100)(cid:100)PA”
(cid:100)(cid:100)(PA”+12)(PA”-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ PA”=4 (∵ PA”>0)
•40% 배점
만점 공략 BOX
본책 98쪽~101쪽
해결 과정 ②
PA” : PG”=4 : 3이므로
(cid:100)(cid:100)4 : PG”=4 : 3(cid:100)(cid:100)∴ PG”=3
•20% 배점
(cid:9120) ③
PG”_PH”=PE”_PF”
=PC”_PD”
답 구하기
PG”_PH”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)3_(3+GH”)=6_(6+2)
(cid:100)(cid:100)3+GH”=16(cid:100)(cid:100)∴ GH”=13
원 밖의 한 점에서 원
에 그은 두 접선의 길
이는 서로 같다.
해결 과정 ①
507
해결 과정 ②
PQ”=PT”=8 (cm) •30% 배점
¤ =PA”_PB”이
AQ”=x cm라 하면 PT”
DE”는 가장 큰 원의
지름이고`, AC”⊥DE”
이므로 DE”는 AC”를
이등분한다.
•40% 배점
(cid:9120) 13
•50% 배점
•20% 배점
(cid:9120) ;3*; cm
므로
(cid:100)(cid:100)8¤ =(8-x)(8+4)
답 구하기
64=96-12x(cid:100)(cid:100)∴ x=;3*;
(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=;3*; cm
508
에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같음을 이용한다.
접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부
2
A
2
T
P
2
B
∠ATP=∠ABT이고
△BTP는 PT”=BT”인 이등
변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠TPA=∠ABT
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ATP=∠TPA
따라서 △ATP에서(cid:100)(cid:100)AT”=PA”
이때 PA”=x라 하면 PT”
(cid:100)(cid:100)2¤ =x(x+2),(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-4=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-1+'5 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ AT”=PA”=-1+'5
¤ =PA”_PB”이므로
∠ACB=90°이므로 △ABC에서
(cid:9120) ①
•10% 배점
509
문제 이해
(cid:100)(cid:100)BC”="√10¤ -8¤ =6
해결 과정 ①
¤ =AD”_BD”이므로
CD”
(cid:100)(cid:100)y¤ =x(x+10)
BD”=x, CD”=y라 하면
해결 과정 ②
△ADC와 △CDB에서
(cid:100)(cid:100)∠CAD=∠BCD, ∠D는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△ADCª△CDB (AA 닮음)
따라서 AC” : CB”=CD” : BD”이므로
(cid:100)(cid:100)8 : 6=y : x,(cid:100)(cid:100)8x=6y
yy ㉠(cid:100)(cid:100)•30% 배점
(cid:100)(cid:100)∴ x=;4#; y
답 구하기
㉡을 ㉠에 대입하면
yy ㉡(cid:100)(cid:100)•30% 배점
(cid:100)(cid:100)y¤ =;4#; y{;4#;y+10},(cid:100)(cid:100)7y¤ -120y=0
(cid:100)(cid:100)∴ y=;;¡;7@;º;; (∵ y+0)
•30% 배점
(cid:9120) ;;¡;7@;º;;
510
BC”
¤ =CP”_CA”임을 이용한다.
AB”가 원 O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠APB=90°(cid:100)(cid:100)∴ ∠BPC=90°
QB”=QP”이므로(cid:100)(cid:100)∠QBP=∠QPB
Ⅷ. 원의 성질 73
질
성
의
원
Ⅷ
E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지74 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
BC”=BQ”+QC”
=2'ß11+2'ß11
=4'ß11
(cid:9120) 11
¤ =PA”_PB”
원 O에서
(cid:100)PT”
원 O'에서
(cid:100)PT”
(cid:100)∴ PA”_PB”
=PC”_PD”
¤ =PC”_PD”
△ADP에서
(cid:100)DP”=ø∑AP”
△APF에서
¤ -∑AD”
(cid:100)FP”=ø∑AP”
¤ -∑AF”
(cid:100)(cid:100)∴ ∠QPC=90°-∠QPB
=90°-∠QBP=∠ABP
이때 △ABCª△APB(AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ABP
따라서 ∠QPC=∠ACB이므로
(cid:100)(cid:100)QC”=QP”=2'∂11
PC”=x라 하면 BC”
(cid:100)(cid:100)(4'∂11)¤ =x(x+5)
(cid:100)(cid:100)x¤ +5x-176=0,(cid:100)(cid:100)(x+16)(x-11)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=11 (∵ x>0)
¤ =CP”_CA”이므로
¤ =PA”_PB”=PC”_PD”임을 이용한다.
511
① PT”
PT”
¤ =PC”_PD”이므로
¤ =6_(6+14)=120
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=2'∂30 (∵ PT”>0)
¤ =PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PT”
② PT”
¤ =8_(8+AB”)
(cid:100)(cid:100)120=8_(8+AB ”)(cid:100)(cid:100)∴ AB”=7
③ PA”_PB”=PC”_PD”이므로 네 점 A, B, C, D는
한 원 위에 있다.
⑤ 원 O에서 접선과 할선 사이의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)∠PTA=∠TBA
(cid:9120) ④
참고
④ ③에 의하여 ∠BAD=∠BCD이다.
512
한다.
PB”_PA”=PC”
¤ =PD”_PE”=PF”
¤ 임을 이용
원 O¡의 넓이가 36p=6¤ _p이므로 반지름의 길
이는 6이다.
PB”_PA”=PC”
(cid:100)(cid:100)3_(3+12)=PF”
(cid:100)(cid:100)∴ PF”=3'5 (∵ PF”>0)
¤ =PD”_PE”=PF”
¤ 이므로
(cid:9120) ②
내신 만점 굳히기
본책 102쪽
A
50æ
65æ
B
C
E
D
△ABC와
해결 과정 ①
513
△ADE가 합동이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=AD”
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABD
=;2!;_(180°-50°)
=65°
해결 과정 ②
로 (cid:8772)ABDE에서
(cid:100)(cid:100)∠ABD+∠AED=180°
(cid:100)(cid:100)65°+∠AED=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠AED=115°
답 구하기
74 정답 및 풀이
네 점 A, B, D, E가 한 원 위에 있으므
•30% 배점
AO'”=AO”+OO'”
=6+3=9
(cid:8772)ABDE가 원에 내
접한다.
•50% 배점
∴ ∠ACB=∠AED=115° •20% 배점
(cid:9120) 115°
PQ”=AQ”-AP”
514
닮음인 삼각형을 찾아 닮음비를 이용한다.
AB”는 원 O의 접선
O
이므로
(cid:100)(cid:100)∠BCP=∠ABP
AC”는 원 O의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)∠CBP=∠PCA
△BPD와 △CPE에서
(cid:100)(cid:100)∠DBP=∠ECP,
(cid:100)(cid:100)∠BDP=∠CEP=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△BPDª△CPE (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ BP” : CP”=DP” : EP”
△BEP와 △CFP에서
(cid:100)(cid:100)∠PBE=∠PCF,
∠BEP=∠CFP=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△BEPª△CFP (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ BP” : CP”=EP” : FP”
㉠, ㉡에서 DP” : EP”=EP” : FP”이므로
(cid:100)(cid:100)EP”
¤ =DP”_FP”
="√10¤ -9¤ _"√10¤ -6¤
='∂19_8=8'∂19
B
10
P
E
D
9
A
6
F
C
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:9120) 8'∂19
Q
문제 이해
OQ”⊥AB”
515
이므로
(cid:100)(cid:100)∠QMP=∠QSP=90°
즉 네 점 S, P, Q, M은 한 원
위의 점이므로
(cid:100)(cid:100)OS”_OP”=OM”_OQ”
yy ㉠(cid:100)(cid:100)•40% 배점
M
A
B
P
3
S
O
△AMO와 △QAO에서
해결 과정
(cid:100)(cid:100)∠AMO=∠QAO=90°, ∠AOM은 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△AMOª△QAO (AA 닮음)
따라서 OM” : OA”=OA” : OQ”이므로
(cid:100)(cid:100)OM”_OQ”=OA”
¤ =9
yy ㉡(cid:100)(cid:100)•40% 배점
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)OS”_OP”=9 •20% 배점
(cid:9120) 9
답 구하기
516
닮음인 삼각형을 찾아 닮음비를 이용한다.
AP”
¤ =AO”_AB”이므로
¤ =6_12=72(cid:100)(cid:100)∴ AP”=6'2 (∵ AP”>0)
(cid:100)(cid:100)AP”
△APO'과 △AQB에서
(cid:100)(cid:100)∠APO'=∠AQB=90°, ∠A는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△APO'ª△AQB (AA 닮음)
따라서 AP” : AQ”=AO'” : AB”이므로
(cid:100)(cid:100)6'2 : AQ”=9 : 12
(cid:100)(cid:100)9AQ”=72'2(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=8'2
또 PO'” : QB”=AO'” : AB”이므로
(cid:100)(cid:100)3 : QB”=9 : 12
(cid:100)(cid:100)9QB”=36(cid:100)(cid:100)∴ QB”=4
즉 PQ”=8'2-6'2=2'2, QB”=4이므로 직각삼각형
PQB에서
(cid:100)(cid:100)PB”=ø∑(2'2)¤ +4¤ =2'6
(cid:9120) ③
¤
¤
¤
E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지75 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
본책 101쪽~103쪽
PO'”의 연장선과 원 O'의 교점을 D라 하면
517
PT”
¤ =PC”_PD”임을 이용한다.
△BTP에서
(cid:100)(cid:100)∠BPT=90°-30°
=60°
AT”를 그으면
(cid:100)(cid:100)∠BAT=90°
이므로 직각삼각형 ATP에서
5
cos 60°
(cid:100)(cid:100)PT”=
=10
A
P
5 6
C
30æ
B
O
T
O'
r
D
PO'”의 연장선과 원 O'의 교점을 D, 원 O'의 반지름의
길이를 r라 하면 PT”
(cid:100)(cid:100)10¤ =6_(6+2r),(cid:100)(cid:100)100=36+12r
¤ =PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)12r=64(cid:100)(cid:100)∴ r=
;;¡3§;;
(cid:9120) ⑤
518 [문제 해결 길잡이]
❶ 삼각형의 각의 이등분선의 성질을 이용하여 BD”, CD”의
❷ △ABE∽△BDE임을 이용하여 BE”의 길이를 y에 대한
길이를 구한다.
식으로 나타낸다.
❸ BE”에 접하고 세 점 A, B, D를 지나는 원에서 원과 비
례를 이용하여 x, y의 값을 구한다.
❹ AD”의 길이를 구한다.
C
2
6
3
y
4
x
B
E
D
A
오른쪽 그림과 같이 AD”
의 연장선과 원의 교점을 E라
하고 AD”=x, DE”=y라 하자.
AD”가 ∠A의 이등분선이므로
AB” : AC”=BD” : CD”에서
(cid:100)(cid:100)6 : 4=BD” : CD”
이때 BC”=5이므로
(cid:100)(cid:100)BD”=3, CD”=2 ❶
△ABE와 △BDE에서
(cid:100)(cid:100)∠BAE=∠EAC=∠DBE, ∠E는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△ABEª△BDE (AA 닮음)
따라서 AB” : BD”=BE” : DE”이므로
(cid:100)(cid:100)6 : 3=BE” : y(cid:100)(cid:100)∴ BE”=2y ❷
이때 BE”는 세 점 A, B, D를 지나는 원의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)BE”
(cid:100)(cid:100)(2y)¤ =y(y+x)(cid:100)(cid:100)∴ 3y¤ =xy
또 AD”_ED”=BD”_CD”이므로
(cid:100)(cid:100)xy=3_2=6
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)3y¤ =6(cid:100)(cid:100)∴ y='2 (∵ y>0)
y='2를 ㉡에 대입하면(cid:100)(cid:100)x=3'2 ❸
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=3'2 ❹
¤ =ED”_EA”
(cid:9120) 3'2
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
내신 만점 정복하기
본책 103~108쪽
519
분함을 이용한다.
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등
원의 중심에서 현에 내
린 수선은 그 현을 이
등분하므로
(cid:100)AD”=DB”=;2!;AB”
=;2!;_12
=6 (cm)
정삼각형은 외심, 내
심, 무게중심이 모두
일치한다.
∠BAE=∠DBE이
므로 접선과 현이 이루
는 각의 성질을 이용한
다.
AM”=MP”, PN”=NB”이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=(AM”+MP”)+(PN”+NB”)
=2MP”+2PN”=2(MP”+PN”)=2MN”
따라서 2MN”=16이므로(cid:100)(cid:100)MN”=8(cm)
(cid:9120) ②
520
같음을 이용한다.
원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는
OD”=OE”=OF”이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=BC”=CA”
즉 △ABC는 정삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=60°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠DAO=;2!;_60°=30°
30æ
A
12`cm
D
F
O
E
B
C
AD”=;2!; AB”=6 (cm)이므로 직각삼각형 ADO에서
(cid:100)(cid:100)AO”=
6
cos 30°
=4'3 (cm)
따라서 원 O의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_(4'3)¤ =48p (cm¤ )
AE”= _12=6'3 (cm)
'3
2
점 O는 정삼각형 ABC의 무게중심이므로
(cid:9120) 48p cm¤
(cid:100)(cid:100)AO”=;3@; AE”=4'3 (cm)
따라서 원 O의 넓이는(cid:100)(cid:100)p_(4'3)¤ =48p (cm¤ )
보충학습
삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터
각각 2 : 1로 나눈다.
=14 (cm)
(cid:100)(cid:100)OD”=
7'2
cos 45°
따라서 원 O의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_14=28p (cm)
(cid:9120) 28p cm
522
는 같음을 이용한다.
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이
직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√3¤ +4¤ =5 (cm)
BR”=BP”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)CQ”=CR”=4-x (cm)
이때 AP”=AQ”이므로(cid:100)(cid:100)5+x=3+(4-x)
(cid:100)(cid:100)2x=2(cid:100)(cid:100)∴ x=1
(cid:100)(cid:100)∴ AP”=5+1=6 (cm)
(△ABC의 둘레의 길이)=AP”+AQ”
=2AP”
이므로
(cid:100)(cid:100)2AP”=5+4+3=12(cid:100)(cid:100)∴ AP”=6
(cid:9120) ④
Ⅷ. 원의 성질 75
BD”=5_
=3,
CD”=5_
=2
6
6+4
4
6+4
521
길이는 같음을 이용한다.
원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의
OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=14'2 (cm)
DN”=;2!; CD”=7'2 (cm)이므로 직각삼각형 ODN에서
질
성
의
원
Ⅷ
E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지76 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이
523
는 같음을 이용한다.
오른쪽 그림에서
A
O
F
N
E
L
C
G
D
H
M
x`cm
B
x`cm
I K
J
BG”=BH”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)AG”=20-x (cm)
(cid:100)(cid:100)CH”=15-x (cm)
CJ”=CH”이므로
(cid:100)(cid:100)DJ”=12-(15-x)=x-3 (cm)
DL”=DJ”이므로(cid:100)(cid:100)EL”=9-(x-3)=12-x (cm)
EN”=EL”이므로(cid:100)(cid:100)FN”=6-(12-x)=x-6 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ FO”=FN”=x-6 (cm)
한편 AO”=AM”=AK”=AI”=AG”=(20-x)cm이므
로
(cid:100)(cid:100)AF”=AO”+FO”=(20-x)+(x-6)=14 (cm)
(cid:9120) ⑤
524
는 같음을 이용한다.
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이
BD”=BE”=x라 하면
A
P
x
9-x
D
9-x
(cid:100)(cid:100)AF”=AD”=9-x
(cid:100)(cid:100)CF”=CE”=8-x
AC”=AF”+CF”이므로
(cid:100)(cid:100)7=(9-x)+(8-x)
(cid:100)(cid:100)2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5
이때 PG”=PD”, QG”=QE”이므로 △PBQ의 둘레의
길이는
(cid:100)(cid:100)BP”+PQ”+BQ”=BP”+PG”+QG”+BQ”
F
8-x
8-x
G
O
Q
E
B
C
x
=(BP”+PD”)+(QE”+BQ”)
=BD”+BE”=5+5=10 (cid:9120) ⑤
525
(cid:8833) 내접원의 반지름의 길이
내접원의 중심에서 세 변에 이르는 거리
내접원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
3'3
2
(cid:100)(cid:100)
;2!;
_r_(7+12+13)=24'3(cid:100)(cid:100)∴ r=
이때 CF”=CE”=a cm라 하면
(cid:100)(cid:100)AD”=AF”=12-a (cm)
(cid:100)(cid:100)BD”=BE”=13-a (cm)
AB”=AD”+BD”이므로(cid:100)(cid:100)7=(12-a)+(13-a)
(cid:100)(cid:100)2a=18(cid:100)(cid:100)∴ a=9
직각삼각형 OEC에서
(cid:100)(cid:100)OC”=æ≠{
3'3
2
¤ +9¤ =
}
3'∂39
2
(cm)
(cid:9120) ⑤
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이
526
는 같음을 이용한다.
오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)AB”+CD”+EF”
=BC”+DE”+AF”
=3+5+4
=12 (cm)
76 정답 및 풀이
A
F
4`cm
E
3`cm
B
O
C
5`cm
D
① 원의 중심에서 현에
내린 수선은 그 현
을 이등분한다.
② 현의 수직이등분선
은 그 원의 중심을
지난다.
오른쪽
문제 이해
528
그림과 같이 원의 중심을
O, 반지름의 길이를 r cm
라 하자.
•30% 배점
5`cm
C
A
10`cm
B
10`cm
H
r`cm
O
{r-5}`cm
따라서 육각형 ABCDEF의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)12+12=24 (cm)
(cid:9120) 24 cm
BE”=x cm라 하고 직각삼각형 AED에서 피타
527
고라스 정리를 이용한다.
BE”=x cm라 하
면 AE”=(8-x) cm,
DE”=(8+x) cm이므
로 직각삼각형 AED
에서
(cid:100)(cid:100)(8+x)¤ =8¤ +(8-x)¤
(cid:100)(cid:100)32x=64(cid:100)(cid:100)∴ x=2
(cid:100)(cid:100)∴ DE”=8+2=10 (cm)
A
8`cm
8`cm
{8-x}`cm
x`cm
F
E
x`cm
B
O
D
C
8`cm
(cid:9120) ③
해결 과정
직각삼각형 AOH에서
(cid:100)(cid:100)r¤ =10¤ +(r-5)¤
(cid:100)(cid:100)10r=125(cid:100)(cid:100)∴ r=12.5
답 구하기
따라서 접시의 지름의 길이는
(cid:100)(cid:100)2_12.5=25 (cm)
•50% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 25 cm
해결 과정 ①
점 O에서 AB”
529
에 내린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)AH”=BH”=4 cm •20% 배점
큰 원의 반지름의
길이를 R cm, 작은 원의 반지름의
길이를 r cm라 하면 직각삼각형 OAH에서
(cid:100)(cid:100)R¤ =r¤ +4¤ (cid:100)(cid:100)∴ R¤ -r¤ =16
해결 과정 ②
R`cm
A
O
r`cm
4`cm
H
B
•40% 배점
답 구하기
색칠한 부분의 넓이는 큰 원의 넓이에서 작
은 원의 넓이를 뺀 것과 같으므로
(cid:100)(cid:100)pR¤ -pr¤ =p(R¤ -r¤ )=16p (cm¤ ) •40% 배점
(cid:9120) 16p cm¤
문제 이해
(cid:8772) A P B O
530
에서 ∠P=60°이고
PA”=PB”이므로 △APB는
정삼각형이다.
•40% 배점
P
60æ
H
60æ
O
A
B
6´3`cm
원의 중심 O에서
해결 과정
AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠AOH=60°이므
로
(cid:100)(cid:100)AH”=6'3 sin 60°=9 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AH”=18(cm)
•40% 배점
답 구하기
∴ △APB= _18¤
'3
4
=81'3 (cm¤ )
•20% 배점
(cid:9120) 81'3 cm¤
세 변의 길이가 각각
a, b, c이고 내접원의
반지름의 길이가 r인
삼각형의 넓이는
(cid:100)
r(a+b+c)
;2!;
E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지77 SinsagoHitec
만점 공략 BOX
본책 103쪽~106쪽
531
두 같음을 이용한다.
QB”를 긋고, 한 호에 대한 원주각의 크기는 모
오른쪽 그림과 같이 QB”
P
25æ
를 그으면
(cid:100)(cid:100)∠AQB=∠APB=25°,
(cid:100)(cid:100)∠BQC=∠BRC=35°
이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=25°+35°=60°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=2∠x=120°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=60°+120°=180°
A
Q
R
x
O
y
35æ
C
B
532
원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에
대한 중심각의 크기의 ;2!;배임을 이용한다.
∠ACD=;2!;∠AOD=;2!;_56°=28°
AB”가 원 O의 지름이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=90°
이때 CE”가 ∠ACB의 이등분선이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACE=45°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠ACE-∠ACD
=45°-28°=17°
(cid:9120) 17°
533
크기에 정비례한다.
한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의
μAC : μ BD=4p : 10p=2 : 5이므로
(cid:100)(cid:100)∠ADC : ∠BAD=2 : 5
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ADC=;5@;∠BAD
△APD에서(cid:100)(cid:100)∠BAD=24°+;5@;∠BAD
(cid:100)(cid:100);5#;∠BAD=24°(cid:100)(cid:100)∴ ∠BAD=40°
따라서 ∠BOD=80°이므로
(cid:100)(cid:100)80 : 360=10p : (원 O의 둘레의 길이)
(cid:100)(cid:100)∴ (원 O의 둘레의 길이)=45p
534
크기에 정비례한다.
한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의
△ACP에서(cid:100)(cid:100)∠CAP=70°-25°=45°
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)μ BC : 2pr=45 : 180
(cid:100)(cid:100)2p : 2pr=1 : 4(cid:100)(cid:100)∴ r=4
(cid:9120) ①
535
∠BCD+∠x=180°, ∠ABC=∠y임을 이용한다.
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
∠BCD=180°_;5#;=108°이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-108°=72°
∠ABC=180°_;9%;=100°이므로
(cid:100)(cid:100)∠y=∠ABC=100°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=72°+100°=172°
(cid:9120) ④
(cid:9120) ⑤
원에서 한 호에 대한
중심각의 크기는 그 호
에 대한 원주각의 크기
의 2배이다.
삼각형에서 한 외각의
크기는 이와 이웃하지
않는 두 내각의 크기의
합과 같다.
(cid:9120) ③
∠ABC+∠ADC
=180°
① 원에 내접하는 사각
형의 한 쌍의 대각
의 크기의 합은
180°이다.
② 원에 내접하는 사각
형의 한 외각의 크
기는 그 내대각의
크기와 같다.
BC”가 반원 O의 지름이므로
536
해결 과정 ①
(cid:100)(cid:100)∠BDC=∠BEC=90°
(cid:8772)ADFE에서 ∠ADF=∠AEF=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠DFE=360°-(75°+90°+90°)=105°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=∠DFE=105° (맞꼭지각) •40% 배점
△ABE에서
해결 과정 ②
∠ABE=180°-(75°+90°)=15°이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=2∠ABE=2_15°=30°
답 구하기
•40% 배점
∴ ∠y-∠x=105°-30°=75°•20% 배점
(cid:9120) 75°
해결 과정 ①
537
오른쪽 그림
과 같이 BE”를 그으면 (cid:8772)ABEF
는 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)110°+∠BEF=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BEF=70°•40% 배점
또 (cid:8772)BCDE는 원
해결 과정 ②
A
110æ
B
125æ
C
D
F
E
에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)125°+∠BED=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BED=55°
답 구하기
∴ ∠E=70°+55°=125°
•40% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 125°
538
D가 BC”에 대하여 같은 쪽에 있을 때 (cid:8833) ∠BAC=∠BDC
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있고 점 A,
△ABP에서
(cid:100)(cid:100)∠BAP=180°-(55°+70°)=55°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠BAP=55°
∠DBC=∠DAC=30°이므로 △PBC에서
(cid:100)(cid:100)∠y=70°-30°=40°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=55°+40°=95°
(cid:9120) ⑤
∠ADB=∠y, ∠DBC=∠DAC=30°이
고 (cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)(55°+30°)+(∠x+∠y)=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=95°
539
와 그 내대각의 크기는 같다.
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로 한 외각의 크기
(cid:8772)ABCD가 원에 내접
E
A
하므로
(cid:100)(cid:100)∠CDF=∠ABC=∠x
△EBC에서
(cid:100)(cid:100)∠ECF=39°+∠x
따라서 △DCF에서
(cid:100)(cid:100)∠x+(39°+∠x)+27°=180°
(cid:100)(cid:100)2∠x=114°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=57°
B
39æ
D
C
27æ
F
(cid:9120) 57°
△EBC에서(cid:100)(cid:100)∠ECF=39°+∠x
△ABF에서(cid:100)(cid:100)∠EAF=27°+∠x
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠ECF=∠BAD=180°-∠EAF
(cid:100)(cid:100)39°+∠x=180°-(27°+∠x)
(cid:100)(cid:100)2∠x=114°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=57°
Ⅷ. 원의 성질 77
질
성
의
원
Ⅷ
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만점 공략 BOX
(cid:9120) ③
세 내각의 크기가 30°,
60°, 90°인 직각삼각
형이다.
두 대각선의 길이가 각
각 4+8, 4'2+4'2이
고 두 대각선이 이루는
예각의 크기가 60°인
사각형이다.
원의 접선과 그 접점을
지나는 현이 이루는 각
의 크기는 그 각의 내
부에 있는 호에 대한
원주각의 크기와 같다.
540
OT”를 그으면 ∠OTP=90°임을 이용한다.
30æ
5
60æ
O
A
B
P
OT”를 그으면
(cid:100)(cid:100)∠BOT=2∠BAT
=2_30°=60°
이때 PT”는 원 O의 접선이므
로(cid:100)(cid:100)∠OTP=90°
△OTP에서(cid:100)(cid:100)OP” : OT”=2 : 1
(cid:100)(cid:100)(5+BP”) : 5=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BP”=5
T
BT”를 그으면
P
O
A
30æ
60æ
5
30æ
B
30æ
(cid:100)(cid:100)∠BTP=∠BAT=30°
AB”는 원 O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠ATB=90°
△BTP에서
(cid:100)(cid:100)∠BPT=60°-30°=30°
즉 △BTP는 ∠BTP=∠BPT인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)BP”=BT”
이때 △ATB에서(cid:100)(cid:100)AB” : BT”=2 : 1
(cid:100)(cid:100)10 : BT”=2 : 1(cid:100)(cid:100)∴ BP”=BT”=5
T
541
반원에 대한 원주각의 크기는 90°임을 이용한다.
B
x
T
△BPC에서 BC”=PC”이
O
´3
´3
A
x
므로
(cid:100)(cid:100)∠BPC=∠PBC=∠x
라 하고 AC”를 그으면
(cid:100)(cid:100)∠ACP=∠ABC=∠x
AB”는 원 O의 지름이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=90°
△BPC에서(cid:100)(cid:100)∠x+(∠x+90°)+∠x=180°
(cid:100)(cid:100)3∠x=90°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=30°
즉 직각삼각형 BAC에서 ∠ABC=30°이므로
C
x
P
'3
sin 30°
(cid:100)(cid:100)AB”=
=2'3
따라서 원 O의 반지름의 길이는 '3이므로 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_('3)¤ =3p
(cid:9120) ④
542
접선과 현이 이루는 각의 성질을 이용한다.
① 접선과 현이 이루는 각의
A
B
D
C
P
T
Q
성질에 의하여
(cid:100)(cid:100)∠ABT=∠ATP
② ∠BAT=∠BTQ,
∠CDT=∠BTQ이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAT=∠CDT
(cid:100)(cid:100)∴ AB”// DC”
④ △ATB와 △DTC에서
③ ∠BAT=∠CDT이므로 동위각의 크기가 같다.
(cid:100)(cid:100)∠BAT=∠CDT, ∠ATB는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△ATBª△DTC (AA 닮음)
⑤ △ATBª△DTC (AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)TA” : TD”=TB” : TC”
(cid:100)(cid:100)∴ TA”_TC”=TB”_TD”
78 정답 및 풀이
(cid:9120) ⑤
PD”=
r+r=
;2!;
r
;2#;
543
나는 점을 P라 하면 (cid:8833) PA”_PB”=PC”_PD”
한 원에서 두 현 AB, CD의 연장선이 서로 만
PA”_PB”=PC”_PD”이
B
9
3
D
6
C
5
P
A
¤ +3PC”-70=0
므로
(cid:100)(cid:100)5_14=PC”_(PC”+3)
(cid:100)(cid:100)PC”
(cid:100)(cid:100)(PC”+10)(PC”-7)=0
(cid:100)(cid:100)∴ PC”=7 (∵ PC”>0)
△PAC와 △PDB에서
(cid:100)(cid:100)∠PAC=∠PDB, ∠P는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△PACª△PDB (AA 닮음)
따라서 PA” : PD”=CA” : BD”이므로
(cid:100)(cid:100)5 : 10=6 : BD”(cid:100)(cid:100)∴ BD”=12
(cid:9120) ②
544
을 P라 하면 (cid:8833) PA”_PC”=PB”_PD”
원에 내접하는 (cid:8772)ABCD의 두 대각선의 교점
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
PA”_PC”=PB”_PD”에서
(cid:100)(cid:100)4_PC”=4'2_4'2(cid:100)(cid:100)∴ PC”=8 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_AC”_BD”_sin 60°
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_(4+8)_(4'2+4'2)_
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=24'6 (cm¤ )
'3
2
(cid:9120) 24'6 cm¤
보충학습
사각형의 넓이
(cid:8772)ABCD의 두 대각선의 길이가 a, b이고 두 대각선이 이
루는 예각의 크기가 x일 때, (cid:8772)ABCD의 넓이는
PA”_PB”=PD”_PE”, PB”_PC”=PE”_PF”임
(cid:100)(cid:100);2!; ab sin x
545
을 이용한다.
PA”_PB”=PD”_PE”이므로
(cid:100)(cid:100)6_10=5_(5+x)
(cid:100)(cid:100)60=25+5x(cid:100)(cid:100)∴ x=7
PB”_PC”=PE”_PF”이므로
(cid:100)(cid:100)10_(10+y)=12_20
(cid:100)(cid:100)100+10y=240(cid:100)(cid:100)∴ y=14
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=21
(cid:9120) ④
546
에서의 비례 관계를 이용한다.
구하는 원의 반지름의 길이를 r로 놓고 원 O
반지름의 길이를 r라 하자.
① OC”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 D라 하면
AH”_BH”=CH”_DH”에서
(cid:100)(cid:100)4_4=2_(2r-2),(cid:100)(cid:100)4r=20
(cid:100)(cid:100)∴ r=5
② PA”_PB”=PC”_PD”에서
(cid:100)(cid:100)4_3=;2!;r_;2#;r,(cid:100)(cid:100)r¤ =16
(cid:100)(cid:100)∴ r=4 (∵ r>0)
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③ PT”
¤ =PA”_PB”에서
(cid:100)(cid:100)6¤ =4_(4+2r),(cid:100)(cid:100)8r=20
(cid:100)(cid:100)∴ r=;2%;
④ PO”의 연장선이 원 O와 만나는 점을 B라 하면
¤ =PA”_PB”에서
PT”
(cid:100)(cid:100)4¤ =(5-r)(5+r),(cid:100)(cid:100)r¤ =9
(cid:100)(cid:100)∴ r=3 (∵ r>0)
⑤ PA”_PB”=PC”_PD”에서
(cid:100)(cid:100)(7-r)(7+r)=5_9,(cid:100)(cid:100)r¤ =4
(cid:100)(cid:100)∴ r=2 (∵ r>0)
따라서 반지름의 길이가 가장 긴 것은 ①이다. (cid:9120) ①
547
AE”_BE”=PE”_QE”=CE”_DE”임을 이용한다.
AE”_BE”=CE”_DE”이므로
(cid:100)(cid:100)(9+3)_4=3_DE”
(cid:100)(cid:100)∴ DE”=16
(cid:9120) ④
548
직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용한다.
직각삼각형 OAQ에서
(cid:100)(cid:100)AQ”="√5¤ -3¤ =4
이때 BQ”=AQ”=4이고, PT”
¤ =4_12=48
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=4'3 (∵ PT”>0)
¤ =PB”_PA”이므로
(cid:9120) 4'3
점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하고
549
삼각비를 이용하여 CH”의 길이를 구한다.
¤ =PA”_PB”에서
PC”
10`cm
B
H
(cid:100)(cid:100)12¤ =8_(8+AB”)
(cid:100)(cid:100)144=64+8AB”
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=10 (cm)
점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 ∠P=30°
이므로 직각삼각형 PCH에서
30æ
12`cm
8`cm
6`cm
A
C
P
(cid:100)(cid:100)CH”=12 sin 30°=6 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_10_6=30 (cm¤ )
(cid:9120) ②
△ABC
=△BPC-△APC
=;2!;_12_18_sin 30°-;2!;_12_8_sin 30°
=54-24=30 (cm¤ )
¤ =PA”_PB”임을 이용
550
하여 PT”와 PT'”의 길이를 구한다.
¤ =PA”_PB”, PT'”
PT”
원 O에서 PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =5_18=90
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=3'∂10 (cm) (∵ PT”>0)
원 O'에서 PT'”
(cid:100)(cid:100)PT'”=3'∂10(cm) (∵ PT'”>0)
(cid:100)(cid:100)∴ TT'”=PT”+PT'”=6'∂10 (cm)
¤ =PA”_PB”이므로
(cid:9120) ④
만점 공략 BOX
본책 106쪽~108쪽
μ BC에 대한 원주각
문제 이해
오른쪽 그림과 같
551
이 ∠BEC=∠BFC=90°이므로
(cid:8772)FBCE는 원에 내접한다.
해결 과정
AF”_AB”=AE”_AC”
•40% 배점
B
5
F
7
A
H
D
E
4
C
에서
(cid:100)(cid:100)5_12=AE”_(AE”+4)
(cid:100)(cid:100)AE”
(cid:100)(cid:100)(AE”+10)(AE”-6)=0
¤ +4AE”-60=0
답 구하기
∴ AE”=6 (∵ AE”>0)
•40% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 6
PT”
552
해결 과정 ①
¤ =9_(9+16)=225
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=15(cm) (∵ PT”>0)
¤ =PA”_PB”이므로
•40% 배점
이때 ∠PTB=90°이므로 △PTB에서
해결 과정 ②
(cid:100)(cid:100)BT”="√25¤ -15¤ =20(cm)
답 구하기
므로 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_10¤ =100p (cm¤ )
따라서 원 O의 반지름의 길이는 10 cm이
•40% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 100p cm¤
해결 과정 ①
553
(cid:100)(cid:100)∠ACP=∠APT=47°
CP”를 그으면
∠PCB=83°-47°=36°이므로
해결 과정 ②
(cid:100)(cid:100)∠POB=2_36°=72°
답 구하기
따라서 부채꼴 OPB의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_5¤ _
=5p
72
360
•40% 배점
•40% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 5p
A
해결 과정 ①
△BAT와
554
△BTP에서
(cid:100)(cid:100)∠BAT=∠BTP,
(cid:100)(cid:100)∠ATB=∠TPB=90°
이므로
(cid:100)(cid:100)△BATª△BTP (AA 닮음)
따라서 BA” : BT”=BT” : BP”이므로
¤ =12
(cid:100)(cid:100)4 : BT”=BT” : 3,(cid:100)(cid:100)BT”
(cid:100)(cid:100)∴ BT”=2'3 (cm) (∵ BT”>0)
직각삼각형 BTP에서
해결 과정 ②
B
P
C
3`cm
4`cm
O
T
•50% 배점
(cid:100)(cid:100)PT”=ø∑(2'3)¤
답 구하기
∑-3¤ ='3 (cm)
•20% 배점
따라서 PT”
¤ =PC”_PB”이므로
(cid:100)(cid:100)('3)¤ =PC”_3(cid:100)(cid:100)∴ PC”=1 (cm) •30% 배점
(cid:9120) 1 cm
문제 이해
555
오른쪽 그림과
같이 PO”, PO'”의 연장선이 두 원
O, O'과 만나는 점을 각각 C, D
라 하자. •30% 배점
AO”=x cm라 하면
해결 과정
PA”_PC”=PB”_PD”이므로
2`cm
7`cm
O'
B
T
x`cm
A
P
O
C
8`cm
D
Ⅷ. 원의 성질 79
질
성
의
원
Ⅷ
OQ”⊥AB”이므로
(cid:100)∠OQA=90°
반지름의 길이가 r, 중
심각의 크기가 x°인
부채꼴에서
① (호의 길이)
=2pr_
② (넓이)
=pr¤ _
x
360
x
360
△ABC에서 두 변의
길이 a, c와 그 끼인
각 ∠B (예각)의 크기
를 알 때, △ABC의
넓이 S는
1
(cid:100)S= ac sin B
2
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만점 공략 BOX
본책 108쪽~109쪽
(cid:100)(cid:100)(8-x)(8+x)=2_16
(cid:100)(cid:100)64-x¤ =32,(cid:100)(cid:100)x¤ =32
(cid:100)(cid:100)∴ x=4'2 (∵ x>0)
답 구하기
∴ AO”=4'2 (cm)
•50% 배점
•20% 배점
(cid:9120) 4'2 cm
교과서 속창의유형
본책 109쪽
556 [문제 해결 길잡이]
❶ 공원을 원 O라 하고 원 O의 반지름의 길이를 구한다.
❷ ❶의 원에서 객석이 될 수 있는 영역을 구한다.
❸ 객석이 될 수 있는 영역의 넓이를 구한다.
오른쪽 그림과 같이
공원을 원 O라 하면
∠BPC=60°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BOC=2∠BPC
=120°
점 O에서 BC”에 내린 수선
의 발을 H라 하면
A
B
E
D
C
12`m
F
6`m
H 6´3`m
60æ
O
120æ
120æ
60æ
P
(cid:100)(cid:100)∠HOC=;2!;∠BOC=60°,
(cid:100)(cid:100)HC”=;2!; BC”=6'3 (m)
이므로 직각삼각형 HOC에서
6'3
sin 60°
(cid:100)(cid:100)OC”=
=12 (m)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 12 m이다. ❶
이때 객석의 방향이 모두 무대를 향하고 있으므로 객석
이 될 수 있는 영역은 위의 그림의 빗금친 부분과 같다. ❷
직각삼각형 HOC에서
(cid:100)(cid:100)OH”=12 cos 60°=6 (m)
이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)BEFC=12'3_12=144'3 (m¤ )
현 EF와 호 EF로 이루어진 활꼴의 넓이는
(cid:100)=p_12¤ _;3!6@0); -;2!;_12'3_6
(cid:100)=48p-36'3 (m¤ )
따라서 객석이 될 수 있는 영역의 넓이는
(cid:100)(cid:100)144'3+(48p-36'3 )=48p+108'3 (m¤ ) ❸
(cid:9120) (48p+108'3) m¤
80 정답 및 풀이
(cid:100)(cid:8772)BEFC
=BC”_BE”
=BC”_2OH”
(cid:100)△OEF
=△OCB
=;2!;_BC”_OH”
