E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지1 SinsagoHitec
우리들의 공부 비법
수학 (하)3
Check Up 풀이집
Step Up 기본서
本
Ⅴ
통계
1 대푯값과 산포도
Ⅵ
피타고라스 정리
1 피타고라스 정리
2 피타고라스 정리의 활용
Ⅶ
삼각비
1 삼각비
2 삼각비의 활용
Ⅷ
원의 성질
1 원과 직선
2 원주각 ⑴
3 원주각 ⑵
別
Point Up 문제집
● 중단원별 실전 TEST
● 대단원별 실전 TEST
002
011
022
035
047
057
067
076
084
112
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지002 SinsagoHitec
Step Up
기본서
Ⅴ
-1. 대푯값과 산포도
1. 대푯값
37 대푯값
익히기 1 ⑴ (평균)=
10+12+13+13+13+15+15
7
⑴ (평균)= =13
91
7
(cid:100)(cid:100)(중앙값)=13
(cid:100)(cid:100)(최빈값)=13
⑵ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
(cid:100)(cid:100)5, 8, 8, 9, 15, 15
(cid:100)(cid:100)(평균)=
5+8+8+9+15+15
6
(cid:100)(cid:100)(평균)= =10
60
6
(cid:100)(cid:100)(중앙값)=
=8.5
8+9
2
(cid:100)(cid:100)(최빈값)=8, 15
⑶ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
(cid:100)(cid:100)1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 20
(cid:100)(cid:100)(평균)=
1+2+3+4+5+6+7+20
8
(cid:100)(cid:100)(평균)=;;¢8•;;=6
(cid:100)(cid:100)(중앙값)=
=4.5
4+5
2
최빈값은 없다.
(cid:9000) ⑴ 평균: 13, 중앙값: 13, 최빈값: 13
(cid:9000) ⑵ 평균: 10, 중앙값: 8.5, 최빈값: 8, 15
(cid:9000) ⑶ 평균: 6, 중앙값: 4.5, 최빈값: 없다.
유제 ❶ (평균)=
22+16+22+18+20+25
6
=
123
6
=20.5(개)
(cid:9000) 20.5개
째 값의 평균이 중앙값이다.
∴ (중앙값)=
=22.5(회)
(cid:9000) 22.5회
22+23
2
유제 ❸ 주어진 표에서 도수가 가장 큰 것은 축구이므로
최빈값은 ② 축구이다.
(cid:9000) ②
002 Check Up 풀이집
기본서 8~10쪽
유제 ❹-2 14와 16이 각각 2개씩 있으므로 최빈값이 16
우공비 B0X
유제 ❹-1 중앙값이 9이므로
=9,(cid:100)(cid:100)x+10=18
(cid:100)(cid:100)
x+10
2
(cid:100)(cid:100)∴ x=8
이려면
a=16
자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 18, 19
따라서 중앙값은 16이다.
(cid:9000) ③
변량의 개수가 홀수이므로
중앙에 있는 값이 중앙값
이다.
중앙값, 최빈값을 구
할 때는 먼저 주어진
자료의 변량을 작은
값부터 순서대로 나열
해야 편리하다.
소단원성취도진단
기본서 11~12쪽
변량의 개수가 짝수이므로
중앙에 있는 두 값의 평균
이 중앙값이다.
01 ③
06 180 cm
10 14
02 ⑤
11 ②
05 ①
08 88점 09 ③
03 댄스 04 ②
07 4.5
12 3
8과 15의 도수가 모두
2로 가장 크다.
01
(평균)=
(변량)의 총합
(변량)의 개수
(평균)=
5+7+6+4+5+8+7
7
42
(평균)= =6(개)
7
변량의 개수가 짝수일 때 중앙값
02
(cid:8833) 중앙에 있는 두 값의 평균
자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
(cid:100)(cid:100)6, 8, 10, 12, 15, 18
이므로 중앙값은
(cid:100)(cid:100)
10+12
2
=11(권)
최빈값 (cid:8833) 변량 중에서 도수가 가장 큰 값
주어진 표에서 도수가 가장 큰 것은 댄스이므로 최
5회의 점수를 x점으로 놓고 평균에 대한 식을 세운
03
04
다.
중앙값은 주어진 변량
중에 없을 수도 있다.
5회의 점수를 x점이라 하면
(cid:100)(cid:100)
85+90+92+86+x
5
=90
(cid:100)(cid:100)353+x=450(cid:100)(cid:100)∴ x=97
(cid:9000) 8
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
유제 ❷ 자료의 변량이 12개이므로 자료의 6번째와 7번
빈값은 댄스이다.
(cid:9000) 댄스
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지003 SinsagoHitec
05
a, b, c의 평균을 이용하여 a, b, c의 총합을 구한다.
a, b, c의 평균이 4이므로
(cid:100)(cid:100)
a+b+c
3
=4(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=12
따라서 3, a, b, c, 10의 평균은
(cid:100)(cid:100)
3+a+b+c+10
5
=
3+12+10
5
25
= =5
5
06
채점 기준
식 세우기
팀을 탈퇴한 선수의 키 구하기
팀을 탈퇴한 선수의 키를 x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)
16_171-x
15
=170.4
(cid:100)(cid:100)2736-x=2556(cid:100)(cid:100)∴x=180
따라서 팀을 탈퇴한 선수의 키는 180 cm이다.
▶ 50%
(cid:9000) 180 cm
07
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
앙값은 10번째와 11번째 값의 평균이므로
또 도수가 가장 큰 것은 2회이므로
a=
2+3
2
=2.5
b=2
∴ a+b=4.5
(cid:9000) ①
배점
50%
50%
▶ 50%
배점
40%
40%
20%
▶ 40%
▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000) 4.5
우공비 B0X
기본서 8~12쪽
이때 평균과 최빈값이 같으므로
76+90+x+80+82
5
=x
328+x=5x,
4x=328
∴ x=82
10
채점 기준
x+y+z의 값 구하기
2x+4, 2y+4, 2z+4의 평균을 식으로 나타내기
x+y+z의 값을 대입하여 평균 구하기
x, y, z의 평균이 5이므로
(cid:100)(cid:100)
x+y+z
3
=5
(cid:100)(cid:100)∴ x+y+z=15
선수 16명 중에서 한
명이 탈퇴하였으므로
남은 선수는 15명이고
15명의 키의 총합은
(16_171-x)cm이
다.
(cid:100)(cid:100)
따라서 2x+4, 2y+4, 2z+4의 평균은
(2x+4)+(2y+4)+(2z+4)
3
2(x+y+z)+12
3
(cid:100)=
(cid:100)=
2_15+12
3
42
(cid:100)= =14
3
1회: 4명, 2회: 6명,
3회: 5명이므로 10번
째 변량은 2회, 11번
째 변량은 3회이다.
x, y, z의 평균이 m일 때, (단, a, b는 상수)
① ax, ay, az의 평균은(cid:100)(cid:100) am
② x+b, y+b, z+b의 평균은(cid:100)(cid:100) m+b
③ ax+b, ay+b, az+b의 평균은(cid:100)(cid:100) am+b
S
t
e
p
U
p
.
Ⅴ
통
계
(cid:9000) ③
배점
30%
40%
30%
▶ 30%
▶ 40%
▶ 30%
(cid:9000) 14
자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열할 때, 중
보충 학습
중앙값 (cid:8833) 변량을 작은 값부터 순서대로 나열할 때
11
중앙에 오는 값
자료 A의 중앙값이 12이므로(cid:100)(cid:100)10b이므로(cid:100)(cid:100)a=4, b=1
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=4-1=3
배점
30%
60%
10%
▶ 30%
▶ 60%
▶ 10%
(cid:9000) 3
우공비 B0X
표준편차를 구할 때는 평
균 → 편차 → 분산 → 표
준편차의 순서로 구한다.
a, b를 제외한 변량의
도수는 모두 1이므로
a, b의 값 중 하나는1
이다.
(a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤
2. 산포도
38 분산과 표준편차
기본서 13~15쪽
익히기 1 (편차)=(변량)-(평균)이고 평균이 5이므
로 각 변량에 대한 편차는 다음과 같다.
4
3
변량
편차 -2 -1
5
0
8
3
9
4
1
-4
(cid:9000) 풀이 참조
익히기 2 ⑴ (평균)=
50+48+54+51+47
5
⑴ (평균)=
=50(g)
250
5
⑵ 각 변량의 편차는
⑶ (cid:100)(cid:100)0, -2, 4, 1, -3
⑶ 따라서 분산은
⑴ (cid:100)(cid:100)
0¤ +(-2)¤ +4¤ +1¤ +(-3)¤
5
30
= =6
5
⑶ 분산이 6이므로 표준편차는
⑴ (cid:100)(cid:100)'6 (g)
(cid:9000) ⑴ 50 g(cid:100)⑵ 6(cid:100)⑶ '6 g
유제 ❶ ⑴ 편차의 총합은 0이므로
⑴
(-8)+3+(-6)+x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=11
⑵ 학생 D의 점수는(cid:100)(cid:100)80+11=91(점)
유제 ❷-1 편차의 총합은 0이므로
(cid:100)(cid:100)(-1)+3+x+0=0(cid:100)(cid:100)∴x=-2
따라서 분산은
(cid:100)(cid:100)
(-1)¤ +3¤ +(-2)¤ +0¤
4
14
= =3.5
4
(cid:9000) 3.5
004 Check Up 풀이집
유제 ❹ 성적이 고를수록 표준편차가 작으므로 성적의
(분산)=
(편차)¤ 의 총합
(변량)의 개수
표준편차가 가장 작은 사람은 ④ 수진이다.
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑴ 11(cid:100)⑵ 91점
(편차)=(변량)-(평균)
이므로
(cid:100)(변량)=(평균)+(편차)
도수
(계급값)_(도수)
편차
(편차)¤ _(도수)
39 도수분포표에서의 평균과 분산, 표준편차 기본서 16~17쪽
익히기 3
계급값`(kg)
1
3
a
7
9
합계
6
12
6
8
b
40
6
36
c
56
d
e
-4
f
0
2
4
96
48
0
32
g
h
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지005 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 12~18쪽
소단원성취도진단
기본서 18~19쪽
01 ⑤
05 ⑤
10 ④
02 159 cm
06 ②
11 13
07 10
12 6.4
03 ④
08 ①
13 20.6
04 '2권
09 ④
01
편차의 총합 (cid:8833) 0
편차의 총합은 0이므로
도수분포표에서의 평균
{(계급값)_(도수)}의 총합
(도수)의 총합
(cid:100)(cid:100)4+(-2)+x+1+(-3)+(-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2
(cid:9000) ⑤
S
t
e
p
U
p
.
Ⅴ
통
계
(cid:100)(cid:100)h=96+48+0+32+128=304
304
40
(cid:100)(cid:100)∴ (분산)=
=7.6, (표준편차)='∂7.6 (kg)
편차가 음수이므로 연
수의 키는 평균보다
작다.
수의 키의 편차가 -3 cm이므로
(cid:100)(cid:100)x-162=-3(cid:100)(cid:100)∴x=159
(cid:9000) 풀이 참조
따라서 연수의 키는 159 cm이다.
(cid:9000) 159 cm
02
(편차)=(변량)-(평균)
연수의 키를 x cm라 하면 평균이 162 cm이고 연
(계급값)=
(계급의 양 끝값의 합)
2
이므로
(cid:100)(cid:100)a=
4+6
2
=5
도수의 총합은 40이므로
(cid:100)(cid:100)b=40-(6+12+6+8)=8
(cid:100)(cid:100)c=a_6=5_6=30
(cid:100)(cid:100)d=9_b=9_8=72
(cid:100)(cid:100)e=6+36+30+56+72=200
(cid:100)(cid:100)(평균)=
=5(kg)
200
40
이고 (편차)=(계급값)-(평균)이므로
(cid:100)(cid:100)f=3-5=-2
(cid:100)(cid:100)g=4¤ _b=16_8=128
편차
-10
-6
-2
2
6
(편차)¤ _(도수)
100
72
24
32
108
336
계급값(회)
32
36
40
44
48
합계
도수(명)
2
4
8
4
2
20
계급값(회)
도수(명)
(계급값)_(도수)
유제 ❺
2
6
10
14
18
합계
1
2
6
8
3
20
2
12
60
112
54
240
240
20
336
20
위의 표에서 평균은
=12(회)
따라서 분산은(cid:100)(cid:100)
=16.8
이므로 표준편차는(cid:100)(cid:100)'∂16.8(회)
유제 ❻ 학생 20명의 윗몸일으키기
기록의 평균은
(cid:100)(cid:100);2¡0;{32_2+36_4+40_8
+44_4+48_2}
(cid:100)=
800
20
따라서 분산은
=40(회)
1
20
(cid:100)=
384
20
=19.2
이므로 표준편차는
(cid:100)(cid:100)'∂19.2=æ≠
192
10
=
4'∂30
5
(회)
(cid:9000) '∂16.8회
표준편차에는 변량과
같은 단위를 붙인다.
(cid:100)(cid:100)
3+2+4+6+5
5
= =4(권)
20
5
▶ 30%
03
(분산)=
(편차)¤ 의 총합
(변량)의 개수
분산은
(cid:100)(cid:100)
(-2)¤ +3¤ +(-2)¤ +1¤
4
18
= =4.5
4
(cid:9000) ④
04
채점 기준
평균 구하기
분산 구하기
표준편차 구하기
주어진 변량의 평균은
이므로 각 변량의 편차는
(cid:100)(cid:100)-1, -2, 0, 2, 1
따라서 분산은
(cid:100)(cid:100)
(-1)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +1¤
5
10
= =2
5
이므로 표준편차는(cid:100)(cid:100)'2(권)
서술형 답안 작성 Tip
05
(편차)=(변량)-(평균)
① 편차의 총합은 0이므로
(-3)+3+1+(-6)+y=0 ∴ y=5
② (편차)=(변량)-(평균)이므로 국어 성적에서
-3=85-(평균) ∴ (평균)=88(점)
배점
30%
40%
30%
▶ 40%
▶ 30%
(cid:9000) '2권
Ⅴ.통계 005
(cid:100)(cid:100) {(32-40)¤ _2+(36-40)¤ _4+(40-40)¤ _8
평균과 표준편차에는 변량과 같은 단위를 붙인다.
+(44-40)¤ _4+(48-40)¤ _2}
(cid:100)(cid:100)∴ a=;5$;
(cid:9000) ;5$;
③ x-88=1 ∴ x=89
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지006 SinsagoHitec
④ 평균보다 높은 성적을 받은 과목은 영어, 수학, 과학
표준편차가 작을수록 자료가 평균 주위에 몰려 있
Step Up
기본서
의 3개이다.
⑤ (분산)=
(-3)¤ +3¤ +1¤ +(-6)¤ +5¤
5
=16
∴ (표준편차)='∂16=4(점)
(cid:9000) ⑤
06
평균을 이용하여 x의 값을 구한다.
8, 6, 9, 12, 8, x의 평균이 9이므로
(cid:100)(cid:100)
8+6+9+12+8+x
6
=9
(cid:100)(cid:100)43+x=54(cid:100)(cid:100)∴x=11
각 변량의 편차는(cid:100)(cid:100)-1, -3, 0, 3, -1, 2
이므로 분산은
(cid:100)(cid:100)
(-1)¤ +(-3)¤ +0¤ +3¤ +(-1)¤ +2¤
6
24
= =4
6
07
채점 기준
x+y의 값 구하기
x¤ +y¤ 의 값 구하기
xy의 값 구하기
편차의 총합은 0이므로
6+x+(-3)+y+4=0
∴ x+y=-7
또 표준편차가 3'2이므로
6¤ +x¤ +(-3)¤ +y¤ +4¤
5
=(3'2)¤
x¤ +y¤ +61=90
∴ x¤ +y¤ =29
(x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy에 ㉠, ㉡을 대입하면
(-7)¤ =29+2xy ∴ xy=10
yy㉡(cid:100)(cid:100)▶ 30%
▶ 40%
(cid:9000) 10
표준편차가 크다. (cid:8833) 변량들이 평균에서 멀리 떨어
08
져 있다.
표준편차는 자료가 평균을 중심으로 흩어진 정도를
나타내므로 주어진 자료들 중에서 표준편차가 가장 큰
것은 ①이다.
(cid:9000) ①
각 자료의 표준편차는 다음과 같다.
① 2 ②
③ 1 ④
⑤ 0
'6
3
2'6
3
보충 학습
져 있다.
우공비 B0X
(편차)=(변량)-(평균)
이므로 평균보다 높은
성적을 받은 과목의
편차는 양수이다.
09
고, 분포가 고르다.
(cid:100) 알 수 없다.
㈀ A의 성적이 B의 성적보다 항상 우수하였는지
㈁ B의 표준편차가 0이므로 (편차)¤ 의 평균이 0이다.
따라서 B는 4년 동안 성적의 변화가 없었다.
㈂ B의 표준편차가 A의 표준편차보다 작으므로 B의 성
적이 A의 성적보다 고르다.
이상에서 옳은 것은 ㈁, ㈂이다.
(cid:9000) ④
주어진 도수분포표에서 계급값과 도수를 이용하여
10
평균을 구한 후 편차를 이용하여 표준편차를 구한다.
학생 10명의 수학 성적의 평균은
(cid:100)(cid:100)
65_1+75_4+85_3+95_2
10
(cid:9000) ②
배점
30%
30%
40%
각 계급의 계급값은
(cid:100)65, 75, 85, 95
(cid:100)=
810
10
=81(점)
따라서 분산은
yy㉠(cid:100)(cid:100)▶ 30%
256+144+48+392
=840
(cid:100)(cid:100) {(65-81)¤ _1+(75-81)¤ _4
1
10
+(85-81)¤ _3+(95-81)¤ _2}
(cid:100)=
840
10
=84
이므로 표준편차는(cid:100)(cid:100)'∂84=2'∂21(점)
11
채점 기준
a+b+c+d+e의 값 구하기
a, b, c, d, e의 분산을 식으로 나타내기
a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 평균 구하기
a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 분산 구하기
m+n의 값 구하기
a, b, c, d, e의 평균이 6이므로
(cid:100)(cid:100)
a+b+c+d+e
5
=6
모든 변량의 값이 같
을 때, 표준편차는 0
이다.
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d+e=30
yy㉠(cid:100)(cid:100)▶ 15%
a, b, c, d, e의 분산이 4이므로
(cid:100)(cid:100);5!; {(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤
+(e-6)¤ }=4
yy㉡(cid:100)(cid:100)▶ 15%
따라서 a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 평균은
(cid:9000) ④
배점
15`%
15`%
30%
30`%
10%
▶ 30%
① 표준편차가 크다. (cid:8825) 자료들이 평균으로부터 멀리 떨어
② 표준편차가 작다. (cid:8825) 자료들이 평균 근처에 모여 있다.
③ 표준편차가 0이다. (cid:8825) 모든 자료의 값이 평균과 같다.
a, b, c, d, e의 평균이
m이면 a+3, b+3,
c+3, d+3, e+3의 평
균은 m+3이다.
(cid:100)(cid:100)
a+b+c+d+e+15
5
=
30+15
5
=:¢5∞:=9(∵ ㉠)
006 Check Up 풀이집
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지007 SinsagoHitec
또 a+3, b+3, c+3, d+3, e+3의 분산은
중단원마무리평가
기본서 20~23쪽
우공비 B0X
기본서 18~20쪽
(cid:100)(cid:100);5!; {(a+3-9)¤ +(b+3-9)¤ +(c+3-9)¤
+(d+3-9)¤ +(e+3-9)¤ }
(cid:100)=;5!; {(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤
+(e-6)¤ }=4(∵ ㉡)
즉 m=9, n=4이므로
(cid:100)(cid:100)m+n=13
a, b, c, d, e의 분산이
s¤ 이면 a+3, b+3,
c+3, d+3, e+3의 분
산도 s¤ 이다.
▶ 30%
▶ 10%
(cid:9000) 13
두 모둠의 평균이 7회로 같으므로 두 모둠 전체의
12
평균도 7회이다.
A, B 두 모둠의 (편차)¤ 의 총합은 각각
6_2¤ =24, 4_('∂10)¤ =40
따라서 전체 학생의 (편차)¤ 의 총합은
24+40=64
∴ (분산)=;1^0$;=6.4
보충 학습
평균이 같은 두 집단 A, B의 도수가 각각 a, b이고 분산이
각각 s¤ , t¤ 일 때, 두 집단 전체의 분산
(cid:8825)
as¤ +bt¤
a+b
13
채점 기준
48 kg 이상 52 kg 미만인 계급의 도수 구하기
평균 구하기
분산 구하기
배점
20%
40%
40%
몸무게가 48 kg 이상 52 kg 미만인 계급의 도수를
x명이라 하면 도수의 총합은 20이므로
(cid:100)(cid:100)3+5+x+2+2=20(cid:100)(cid:100)∴x=8
▶ 20%
이때 주어진 히스토그램을 이용하
여 도수분포표를 만들면 오른쪽
과 같다.
이 자료의 평균은
;2¡0;{42_3+46_5+50_8
+54_2+58_2}
=49(kg)
▶ 40%
980
20
=
따라서 분산은
계급값(kg)
42
46
50
54
58
합계
도수(명)
3
5
8
2
2
20
(cid:100)(cid:100);2¡0; {(42-49)¤ _3+(46-49)¤ _5+(50-49)¤ _8
+(54-49)¤ _2+(58-49)¤ _2}
(cid:100)=
=20.6
412
20
▶ 40%
(cid:9000) 20.6
(cid:9000) 6.4
전체 회원 수는
(cid:100)8+12+10=30(명)
중앙값, 최빈값을 구
할 때는 먼저 주어진
자료의 변량을 작은
값부터 순서대로 나열
해야 편리하다.
S
t
e
p
U
p
.
Ⅴ
통
계
03 ②
02 ③
08 ④
07 ③
13 ④
12 ②
17 26
18 4.4
21 92점 22 6마리 23 4
04 ③
09 ③
14 ②
19 5'6시간
05 ③
10 ②
15 ⑤
24 210
01 ②
06 ⑤
11 ④
16 ⑤
20 25
25 ;:!3&:%;
01
(평균)=
(변량)의 총합
(변량)의 개수
(평균)=
5+7+2+6+11+8+5+8+3+5
10
60
(평균)= =6(개)
10
02
(변량의 총합)=(평균)_(변량의 개수)
30명의 회원의 나이의 총합은
(cid:100)(cid:100)20_8+15_12+17_10=510(세)
이므로 평균은(cid:100)(cid:100)
510
30
=17(세)
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
변량의 개수가 짝수일 때의 중앙값
03
(cid:8833) 중앙에 있는 두 값의 평균
자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
(cid:100)(cid:100)6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9
이므로 중앙값은(cid:100)(cid:100)
7+8
2
=7.5(시간)
(cid:9000) ②
최빈값 (cid:8833) 변량 중에서 도수가 가장 큰 값
주어진 표에서 도수가 가장 큰 것은 장미이므로 최
빈값은 ③ 장미이다.
(cid:9000) ③
최빈값에 따라 경우를 나누어 생각한다.
x를 제외한 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 13, 15
주어진 자료에서 9, 10, 11의 도수가 2로 모두 같으므로
04
05
세 값 중 하나가 최빈값이다.
⁄ x=9일 때
(최빈값)=9, (중앙값)=10
¤ x=10일 때
‹ x=11일 때
(최빈값)=10, (중앙값)=10
(최빈값)=11, (중앙값)=10.5
따라서 중앙값과 최빈값이 같을 때의 x의 값은 10이다.
(cid:9000) ③
Ⅴ.통계 007
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지008 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
06
분산이 크다. (cid:8833) 변량들이 평균에서 멀리 떨어져 있다.
11
평균과 표준편차를 각각 식으로 나타낸다.
⑤ 분산이 클수록 변량들이 평균에서 멀리 떨어져
a, b, c, d의 평균이 5이므로
있고, 분산이 작을수록 변량들이 평균 주위에 많이 모
여 있다.
(cid:9000) ⑤
07
(편차)=(변량)-(평균)
편차의 총합은 0이므로
(cid:100)(cid:100)0+a+(-1)+1+2=0(cid:100)(cid:100)∴a=-2
이때 무게가 6 kg인 수박의 무게의 편차가 0이므로 평균
은 6 kg이다.
또 무게가 b kg인 수박의 무게의 편차는 2이므로
(cid:100)(cid:100)b-6=2(cid:100)(cid:100)∴ b=8
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-2+8=6
(cid:9000) ③
08
(분산)=
(편차)¤ 의 총합
(변량)의 개수
평균은
2+9+6+8+6+11
6
42
= =7
6
따라서 분산은
(-5)¤ +2¤ +(-1)¤ +1¤ +(-1)¤ +4¤
6
=;;¢6•;;=8
이므로 표준편차는 '8=2'2
(cid:9000) ④
09
평균을 이용하여 먼저 x의 값을 구한다.
주어진 자료의 평균이 8이므로
(cid:100)(cid:100)
5+8+9+x+7
5
=8
(cid:100)(cid:100)x+29=40(cid:100)(cid:100)∴x=11(cid:100)(cid:100)
각 변량의 편차가
(cid:100)(cid:100)-3, 0, 1, 3, -1
이므로 분산은(cid:100)
(cid:100)(cid:100)
(-3)¤ +0¤ +1¤ +3¤ +(-1)¤
5
=:™5º:=4
(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) ③
10
먼저 세 변량의 평균을 구한다.
(평균)=
(-2)+(x-2)+(2x-2)
3
=x-2
분산이 6이므로
(-x)¤ +0¤ +x¤
3
=6
x¤ =9 ∴ x=3 (∵ x>0)
008 Check Up 풀이집
편차가 0이면
(변량)=(평균)이다.
위의 식에 ㉠을 대입하면
(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ +c¤ +d¤ -10_20+64=0
표준편차를 구할 때는
① 평균
② 편차
③ 분산
④ 표준편차
의 순서로 구한다.
(cid:100)(cid:100)
a+b+c+d
4
=5
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d=20
yy㉠(cid:100)(cid:100)
또 a, b, c, d의 표준편차가 3이므로 분산은 9이다. 즉
(cid:100)(cid:100)
(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤
4
=9
(cid:100)(cid:100) (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ =36
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ +c¤ +d¤ -10(a+b+c+d)+64=0
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ +c¤ +d¤ =136
따라서 a¤ , b¤ , c¤ , d¤ 의 평균은
(cid:100)(cid:100)
a¤ +b¤ +c¤ +d¤
4
=
136
4
=34
(cid:9000) ④
편차의 총합은 0이고 (분산)=
(편차)¤ 의 총합
(변량)의 개수
임
12
을 이용한다.
편차의 총합은 0이므로
(cid:100)(cid:100)-4+(-3)+a+2+3+b=0
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=2
또 표준편차가 2'2이므로 분산은 8이다. 즉
(-4)¤ +(-3)¤ +a¤ +2¤ +3¤ +b¤
=8
(cid:100)(cid:100)
6
(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ +38=48
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =10
(a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab에 ㉠, ㉡`을 대입하면
(cid:100)(cid:100)2¤ =10+2ab
(cid:100)(cid:100)2ab=-6(cid:100)(cid:100)∴ ab=-3
yy㉠(cid:100)(cid:100)
yy㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) ②
13
분산이 작을수록 자료의 분포 상태가 고르다.
A조의 평균은
(cid:100)(cid:100)
4_1+5_3+6_1
5
= =5(회)
25
5
이므로 분산은
(cid:100)(cid:100)
(4-5)¤ _1+(5-5)¤ _3+(6-5)¤ _1
5
각 변량의 편차는
-2-(x-2)=-x,
x-2-(x-2)=0,
2x-2-(x-2)=x
이다.
=
2
5
B조의 평균은
(cid:9000) ②
(cid:100)(cid:100)
3+4+5+6+7
5
=:™5∞:=5(회)
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지009 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)
(3-5)¤ +(4-5)¤ +(5-5)¤ +(6-5)¤ +(7-5)¤
5
이므로 분산은
10
= =2
5
따라서 A조와 B조의 평균은 같고, A조의 분산이 B조
의 분산보다 작으므로 A조가 B조보다 분포 상태가 더
고르다고 할 수 있다.
14
표준편차를 각각 구하여 대소 관계를 나타낸다.
A에서 1, 2, 3, 4, 5의 평균은
(cid:100)(cid:100)
1+2+3+4+5
5
15
= =3
5
이므로 분산은
(1-3)¤ +(2-3)¤ +(3-3)¤ +(4-3)¤ +(5-3)¤
5
(6-8)¤ +(7-8)¤ +(8-8)¤ +(9-8)¤ +(10-8)¤
5
10
= =2
5
∴ a=(표준편차)='2
B에서 6, 7, 8, 9, 10의 평균은
(cid:100)(cid:100)
6+7+8+9+10
5
40
= =8
5
이므로 분산은
10
= =2
5
∴ b=(표준편차)='2
C에서 2, 4, 6, 8, 10의 평균은
(cid:100)(cid:100)
2+4+6+8+10
5
30
= =6
5
이므로 분산은
40
= =8
5
∴ c=(표준편차)=2'2
(cid:100)(cid:100)∴ a=b0)
¤ =2x¤ +x¤ =3x¤
¤ =4x¤ +x¤ =5x¤ =15
(cid:9000) ②
09
채점 기준
등변사다리꼴의 높이 구하기
(cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
배점
60%
40%
오른쪽 그림과 같이 두
A
4
D
점 A, D에서 BC”에 내린 수
선의 발을 각각 E, F라 하면
10
(cid:100)(cid:100)EF”=AD”=4
B
6
E
4
F
C
이므로(cid:100)(cid:100)BE”=;2!;_(16-4)=6
△ABE에서(cid:100)(cid:100)AE”="√10¤ -6¤ =8(cid:100)
따라서 사다리꼴 ABCD의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_(4+16)_8=80(cid:100)(cid:100)
▶ 60%
▶ 40%
(cid:9000) 80
우공비 B0X
기본서 29~35쪽
밑변의 길이와 높이가 각각 같은 삼각형, 합동인 삼
10
각형은 넓이가 각각 같다.
AE”∥BD”이므로 △ACE=△ABE
AO”=;2!;AC”=8(cm)
△ABE와 △AFC에서
(cid:9000) ④
BO”=;2!;BD”=15(cm)
AB”=AF”, AE”=AC”, ∠EAB=∠CAF
이므로 △ABE™△AFC (SAS 합동)
AF”∥CM”이므로 △AFC=△AFL
∴ △CDE=△ACE=△ABE=△AFC
=△AFL=△LFM
삼각형의 외심에서 세 꼭
짓점에 이르는 거리는 같
다.
11
△AFE™△BGF™△CHG™△DEH(SAS 합동)
△AFE™△BGF™△CHG™△DEH (SAS 합동)
이므로 (cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
AE”=AD”-ED”
=13-5=8
△AFE에서(cid:100)(cid:100)EF”="√5¤ +8¤ ='8å9
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)EFGH=('8å9 )¤ =89
12
BE”=CD”=4 cm, EC”=AB”=2 cm
삼각형의 무게중심은 세
중선의 길이를 각 꼭짓점
으로부터 각각 2 : 1로 나
눈다.
오른쪽 그림과 같이
점 A에서 DC” 에 내린
수선의 발을 H라 하면
AH”=BC”=4+2
=6(cm)
DH”=4-2=2(cm)
따라서 △DAH에서
BC”=BE”+EC”
=CD”+AB”
2`cm
A
B
E
C
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
D
H
4`cm
S
t
e
p
U
p
.
Ⅵ
피
타
고
라
스
정
리
AD”="√6¤ +2¤ =2'∂10 (cm)
(cid:9000) 2'∂10 cm
13
채점 기준
세 변의 길이의 제곱 구하기
△ABC가 직각삼각형임을 설명하기
배점
60%
40%
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”
(cid:100)(cid:100)AB”
¤ =4¤ +2¤ =20
¤ =2¤ +1¤ =5
¤ =4¤ +3¤ =25
¤ =AB”
인 직각삼각형이다.
따라서 AC”
(cid:100)(cid:100)AC”
▶ 60%
¤ 이므로 △ABC는 ∠B=90°
¤ +BC”
▶ 40%
(cid:9000) 풀이 참조
가장 긴 변의 길이를 기준으로 경우를 나누어 생각
필요한 막대의 길이를 x cm라 하면
⁄ 9 cm가 가장 긴 변일 때
⁄ 9¤ =7¤ +x¤ 이어야 하므로 x¤ =32
(cid:100)(cid:100)∴ x=4'2 (∵ x>0)
Ⅵ.피타고라스 정리 013
세 변의 길이가 각각 a, b,
c인 삼각형에서
c¤ =a¤ +b¤ 이면 이 삼각형
은 빗변의 길이가 c인 직
각삼각형이다.
14
한다.
BE”=FC”
=;2!;(BC”-EF”)
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지014 SinsagoHitec
Step Up
기본서
¤ x cm가 가장 긴 변일 때
⁄ x¤ =7¤ +9¤ 이어야 하므로 x¤ =130
⁄ (cid:100)(cid:100)∴ x='∂130 (∵ x>0)
우공비 B0X
(cid:9000) ①, ④
7-5b이므로(cid:100)(cid:100)a=2b
④ 따라서 a=2b일 때만 △ABC=(cid:8772)`CFGH이다.
(cid:8772)CFGH는 한 변의
길이가 a-b인 정사각
형이다.
삼각형의 한 변의 길이는
나머지 두 변의 길이의 차
보다 크고 두 변의 길이의
합보다 작다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
배점
60%
40%
17
연속한 세 자연수 (cid:8833) x, x+1, x+2로 놓는다.
직각삼각형의 세 변의 길이를 x, x+1, x+2라 하면
(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ =x¤ +(x+1)¤
(cid:100)(cid:100)x¤ +4x+4=x¤ +x¤ +2x+1
(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-3=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ xæ1)
따라서 세 변의 길이는 3, 4, 5이므로 가장 긴 변의 길이
는 5이다.
18
채점 기준
DE”의 길이에 대한 식 세우기
DE”의 길이 구하기
오른쪽 그림과 같이
DE”=AE”=x cm라 하면
EB”=(8-x)cm
BD”=CD”=;2!;BC”=4(cm)
이므로 △EBD에서
x¤ =(8-x)¤ +4¤
(cid:100)(cid:100)16x=80(cid:100)(cid:100)∴x=5
014 Check Up 풀이집
A
x`cm
F
8`cm
E
x`cm
B
{8-x}`cm
D
8`cm
C
▶ 60%
▶ 40%
(cid:9000) 5 cm
2. 삼각형의 변과 각 사이의 관계
43 삼각형의 변과 각 사이의 관계 기본서 36~37쪽
익히기 1 삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)23¤ +6¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형
⑵ 12¤ >6¤ +10¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형
⑶ 17¤ =8¤ +15¤ (cid:100)(cid:100)∴ 직각삼각형
⑷ 15¤ <10¤ +13¤ (cid:100)(cid:100)∴ 예각삼각형
(cid:9000) ⑴ 둔각삼각형 ⑵ 둔각삼각형
⑶ 직각삼각형 ⑷ 예각삼각형
유제 ❶-1 삼각형이 되려면
(cid:100)(cid:100)12-612이므로(cid:100)(cid:100)120)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)128이므로(cid:100)(cid:100)85¤ +8¤ ,(cid:100)(cid:100)a¤ >89
(cid:100)(cid:100)∴ a>'8å9 (∵ a>0)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)'8å9 4¤ +6¤ 이므로 둔각삼각형이다.
② 6¤ >(2'2 )¤ +4¤ 이므로 둔각삼각형이다.
③ 8¤ <6¤ +7¤ 이므로 예각삼각형이다.
④ 12¤ <7¤ +10¤ 이므로 예각삼각형이다.
⑤ 10¤ =(2'5 )¤ +(4'5 )¤ 이므로 직각삼각형이다.
(cid:9000) ③, ④
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지015 SinsagoHitec
유제 ❷-2 ㈀ 4¤ <2¤ +4¤ 이므로 예각삼각형이다.
가장 긴 변의 길이의 제곱과 나머지 두 변의 길이의
㈁ 6¤ >3¤ +5¤ 이므로 둔각삼각형이다.
㈂ 10¤ >5¤ +7¤ 이므로 둔각삼각형이다.
㈃ 10¤ =6¤ +8¤ 이므로 직각삼각형이다.
㈄ 16¤ <7¤ +15¤ 이므로 예각삼각형이다.
㈅ 12¤ <8¤ +11¤ 이므로 예각삼각형이다.
따라서 둔각삼각형은 ㈁, ㈂의 2개이다.
(cid:9000) 2개
소단원성취도진단
기본서 38쪽
01 ③
05 ⑤
02 45¤ +6¤ 이므로 △ABC는 ∠B>90°인 둔각삼
각형이다.
(cid:9000) ③
예각삼각형
02
(cid:8833) (가장 긴 변의 길이의 제곱)
<(나머지 두 변의 길이의 제곱의 합)
삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)216
(cid:100)(cid:100)∴ x>4 (∵ x>0)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)47이므로(cid:100)(cid:100)70)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)7x¤ +10¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ <300
(cid:100)(cid:100)∴ 00)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)102¤ +3¤ 이므로 둔각삼각형이다.
② 6¤ >('1å0)¤ +4¤ 이므로 둔각삼각형이다.
③ 10¤ >5¤ +6¤ 이므로 둔각삼각형이다.
④ 6¤ =('1å1)¤ +5¤ 이므로 직각삼각형이다.
⑤ (4'2 )¤ >('1å5)¤ +4¤ 이므로 둔각삼각형이다. (cid:9000) ⑤
5-312일 때, x의 값의 범위 구하기
x<12일 때, x의 값의 범위 구하기
자연수 x의 값의 합 구하기
7-40)로 놓는다.
① 세 변의 길이를 k, 3k, 3k(k>0)라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(3k)¤ 0)라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(5k)¤ >(2k)¤ +(4k)¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형
③ 세 변의 길이를 2k, 5k, 6k(k>0)라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(6k)¤ >(2k)¤ +(5k)¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형
④ 세 변의 길이를 3k, 4k, 5k(k>0)라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(5k)¤ =(3k)¤ +(4k)¤ (cid:100)(cid:100)∴ 직각삼각형
⑤ 세 변의 길이를 3k, 4k, 6k(k>0)라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(6k)¤ >(3k)¤ +(4k)¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형
(cid:9000) ①
배점
20%
30%
30%
20%
▶ 30%
▶ 20%
(cid:9000) 72
(cid:100)(cid:100)12-512일 때,
⁄ (cid:100)(cid:100)x¤ >5¤ +12¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ >169
⁄ (cid:100)(cid:100)∴ x>13 (∵ x>0)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
⁄ ㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)135¤ +x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ <119
⁄ (cid:100)(cid:100)∴ 00) yy ㉢(cid:100)(cid:100)
⁄ ㉠, ㉢에서(cid:100)(cid:100)70)
¤ 이므로
¤ +BC”
¤ +CD”
¤ =DE”
익히기 2 ⑴ BE”
⑵ (cid:100)(cid:100)8¤ +6¤ =x¤ +9¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =19
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x='∂19 (∵ x>0)
¤ +DE”
⑵ AD”
⑵ (cid:100)(cid:100)x¤ +10¤ =(6'5)¤ +8¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =144
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=12 (∵ x>0)
¤ 이므로
¤ =AB”
¤ +BE”
(cid:9000) ⑴ '∂19(cid:100)⑵ 12
유제 ❶ 직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”="√12¤ +9¤ =15 (cm)
AB”
¤ =BH” _ BC”이므로(cid:100)(cid:100)12¤ =BH”_15
(cid:100)(cid:100)∴ BH”=;;¢5•;; (cm)
(cid:9000) ③
AB”_AC”=BC”_AH”에서
12_9=15_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=;;£5§;; (cm)
따라서 △ABH에서
(cid:100)(cid:100)BH”=æ≠12¤ -{;;£5§;;}
¤ =;;¢5•;; (cm)
유제 ❷ (3'5)¤ =5¤ +(2'5 )¤ 이므로 △ABC는
∠A=90°인 직각삼각형이다.
따라서 AB”_AC”=BC”_AH”이므로
(cid:100)(cid:100)5_2'5=3'5_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=;;¡3º;;
(cid:9000) ②
유제 ❸ 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질
에 의하여(cid:100)(cid:100) DE”=;2!;AB”=3
¤ =6¤ +3¤ =45
¤ +BD”
(cid:100)(cid:100)∴ AE”
45 피타고라스 정리를 이용한
성질; 사각형
기본서 41~42쪽
익히기 3 ⑴ x¤ +5¤ =6¤ +4¤ 이므로
x¤ =27 ∴ x=3'3 (∵ x>0)
016 Check Up 풀이집
먼저 피타고라스 정리
의 역을 이용하여
△ABC가 직각삼각형
임을 보인다.
직각삼각형의 세 변을 지
름으로 하는 반원을 각각
그리면 작은 두 반원의 넓
이의 합은 큰 반원의 넓이
와 같다.
(cid:9000) 45
AE”
=AB”
¤ +BD”
¤ +DE”
⑵ 7¤ +6¤ =x¤ +5¤ 이므로 x¤ =60
∴ x=2'∂15 (∵ x>0)
⑶ 4¤ +5¤ =x¤ +(4'2)¤ 이므로 x¤ =9
∴ x=3 (∵ x>0)
⑷ x¤ +6¤ =(3'3 )¤ +5¤ 이므로 x¤ =16
∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ 3'3(cid:100)⑵ 2'1å5(cid:100)⑶ 3(cid:100)⑷ 4
유제 ❹-2 AB”
¤ +CD”
¤ =BC”
¤ +DA”
¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ +6¤ =3¤ +y¤
(cid:100)(cid:100)∴ y¤ -x¤ =6¤ -3¤ =27
유제 ❺-1 AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
¤ =(2'3)¤ +2¤ =16
¤ +CP”
¤ =BP”
유제 ❺-2 AP”
(cid:100)(cid:100)('1å0 )¤ +(2x)¤ =5¤ +x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =5
(cid:100)(cid:100)∴ x='5 (∵ x>0)
¤ +DP”
¤ 이므로
(cid:9000) ②
(cid:9000) 27
(cid:9000) 16
(cid:9000) '5
46 피타고라스 정리를 이용한
성질; 원
기본서 43~44쪽
익히기 4 ⑴ 10+13=23
⑵ 45-20=25
⑶ 8p+5p=13p
⑷ ;2!;_6_5=15
(cid:9000) ⑴ 23(cid:100)⑵ 25(cid:100)⑶ 13p(cid:100)⑷ 15
유제 ❻-1 P+R=Q이므로(cid:100)(cid:100)P+16p=34p
(cid:100)(cid:100)∴ P=18p (cm¤ )
AB”
2
따라서 ;2!;_p_{
}2 =18p이므로
¤ =144(cid:100)(cid:100)∴ AB”=12 (cm)(∵ AB”>0)
(cid:100)(cid:100)AB”
(cid:9000) 12 cm
유제 ❻-2 AB”, BC”, AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이
를 각각 S¡, S™, S£이라 하면
(cid:100)(cid:100)S¡=;2!;_p_(2'3)¤ =6p (cm¤ )
(cid:100)(cid:100)S™=4p cm¤
S£=S¡+S™이므로(cid:100)(cid:100)S£=6p+4p=10p (cm¤ )
(cid:9000) 10p cm¤
¤
¤
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지017 SinsagoHitec
S
t
e
p
U
p
.
Ⅵ
피
타
고
라
스
정
리
4p=;2!;_p_{
}2 이므로(cid:100)(cid:100)BC”
¤ =32
BC”
2
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=4'2 (cm)(∵ BC”>0)
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”=øπ(4'3 )¤ +(4'2 )¤ =4'5 (cm)
따라서 구하는 반원의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_p_(2'5 )¤ =10p (cm¤ )
유제 ❼ △ABC를 제외한 색칠한 부분의 넓이를 각각
S¡, S™라 하고 △ABC의 넓이를 S£이라 하면
(cid:100)(cid:100)S¡+S™=S£
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=S¡+S™+S£
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=2S£
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=2_{;2!;_8_5}
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=40 (cm¤ )
(cid:9000) 40 cm¤
소단원성취도진단
기본서 45~47쪽
02 '∂13
01 ②
05 110 cm¤
09 29
14 ⑤
17 32'∂10 cm¤
10 ①
15 2
04 ④
03 ③
06 3'∂13 07 ②
11 6
12 ③
16 2'5 cm
18 ③
08 4'2
13 ③
01
AB”
¤ =BH”_BC”
직각삼각형 ABH에서
(cid:100)(cid:100)BH”=øπ(4'5)¤ -4¤ =8
¤ =BH”_BC”이므로
AB”
(cid:100)(cid:100)(4'5)¤ =8_BC”(cid:100)(cid:100)∴ BC”=10
02
BE”
¤ +CD”
¤ =DE”
¤ +BC”
BE”
¤ +BC”
¤ =DE”
¤ +CD”
¤ 이므로
¤ +3¤ =2¤ +(3'2)¤ ,(cid:100)(cid:100)BE”
(cid:100)(cid:100)BE”
(cid:100)(cid:100)∴ BE”='∂13 (∵ BE”>0)
¤ =13
03
AB”
¤ +CD”
¤ =AD”
¤ +BC”
AB”
¤ +CD”
¤ =AD”
¤ +BC”
=('2å3)¤ +11¤ =144
¤ =144
이때 AB”=CD”이므로(cid:100)(cid:100)2AB”
(cid:100)(cid:100)AB”
¤ =72(cid:100)(cid:100)∴ AB”=6'2 (∵ AB”>0)
(cid:9000) ②
(cid:9000) '∂13
우공비 B0X
기본서 39~46쪽
04
AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ 이므로
¤ +DP”
¤ +13¤ ,(cid:100)(cid:100)BP”
¤ =75
(cid:100)(cid:100)10¤ +12¤ =BP”
(cid:100)(cid:100)∴ BP”=5'3 (∵ BP”>0)
05
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC
히포크라테스의 원의 넓이
직각삼각형의 세 변을 지
름으로 하는 반원을 그렸
을 때, 두 개의 초승달 모
양의 넓이의 합은 직각삼
각형의 넓이와 같다.
(색칠한 부분의 넓이)=;2!;_11_20
(색칠한 부분의 넓이)=110 (cm¤ )
(cid:9000) 110 cm¤
06
채점 기준
BH”의 길이 구하기
AC”의 길이 구하기
¤ =BH”_BC”이므로
BH”=x라 하면 AB”
(cid:100)(cid:100)(2'1å3)¤ =x(x+9)
(cid:100)(cid:100)x¤ +9x-52=0,(cid:100)(cid:100)(x+13)(x-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
따라서 직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”=øπ13¤ -(2'∂13)¤ =3'1å3
07
△ABC=;2!;_BC”_AH”
직각삼각형 AHC에서
(cid:100)(cid:100)AH”="√10¤ -5¤ =5'3 (cm)
AC”
¤ =CH”_BC”이므로(cid:100)(cid:100)10¤ =5_BC”
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=20 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_BC”_AH”
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_20_5'3=50'3 (cm¤ )
(cid:9000) ②
08
AB”_AC”=BC”_AH”
직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”=øπ(4'6 )¤ +(4'3)¤ =12
AB”_AC”=BC”_AH”이므로(cid:100)(cid:100)4'6_4'3=12_AH”
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=4'2
(cid:9000) 4'2
09
채점 기준
AB”의 길이 구하기
AE”
¤ +BD”
¤ 의 값 구하기
(cid:9000) ④
배점
50%
50%
▶ 50%
▶ 50%
(cid:9000) 3'1å3
배점
50%
50%
▶ 50%
▶ 50%
(cid:9000) 29
등변사다리꼴의 성질
① 평행하지 않은 한 쌍의
대변의 길이가 같다.
② 두 대각선의 길이가 같
직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√4¤ +3¤ =5
(cid:100)(cid:100)∴ AE”
¤ +BD”
¤ =AB”
¤ +DE”
=5¤ +2¤ =29
다.
(cid:9000) ③
Ⅵ.피타고라스 정리 017
¤
¤
¤
¤
¤
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지018 SinsagoHitec
Step Up
기본서
¤ +BC”
¤ 이므로
¤ +5¤ ,(cid:100)(cid:100)AD”
¤ =13
10
AB”
¤ +CD”
¤ =AD”
¤ +BC”
AB”
¤ +CD”
¤ =AD”
(cid:100)(cid:100)4¤ +('2å2 )¤ =AD”
(cid:100)(cid:100)∴ AD”='1å3 (∵ AD”>0)
직각삼각형 AOD에서
(cid:100)(cid:100)x¤ +3¤ =('1å3)¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =4
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
11
채점 기준
AD”에 대한 식 세우기
AD”의 길이 구하기
AO”의 길이 구하기
△AOD의 넓이 구하기
우공비 B0X
⁄ x=1일 때,
BD”=1, DC”=3
¤ x=3일 때,
BD”=3, DC”=1
따라서 BD”0) ▶ 20%
(cid:100)(cid:100)AD”
직각삼각형 AOD에서
(cid:100)(cid:100)AO”=ø∑(2'1å0)¤ -∑6¤ =2
(cid:100)(cid:100)∴ △AOD=;2!;_6_2=6
두 대각선이 직교하는 사
각형에서 마주 보는 두 변
의 길이의 제곱의 합은 같
다.
DE”
=AD”
¤ +AC”
¤ +EC”
(cid:9000) ①
배점
40%
20%
20%
20%
▶ 20%
▶ 20%
(cid:9000) 6
12
AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
(cid:100)(cid:100)4¤ +(x+1)¤ =(3'3)¤ +x¤
(cid:100)(cid:100)16+x¤ +2x+1=27+x¤
¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5
(cid:9000) ③
직각삼각형의 각 변을 지름으로 하는 세 반원
13
(cid:8833) (가장 큰 반원의 넓이)=(다른 두 반원의 넓이의 합)
△ABC가 ∠A=90°인 직각삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)(BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이)
(cid:100)=(AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이)
(cid:100)(cid:100)+(AC”를 지름으로 하는 반원의 넓이)
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_p_4¤ =8p(cm¤ )
(cid:9000) ③
14
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
(cid:100)(cid:100)4=;2!;_2_AC”(cid:100)(cid:100)∴AC”=4 (cm)
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√2¤ +4¤ =2'5 (cm)
(cid:9000) ⑤
△ABD에서
BD”="√6¤ +4¤ =2'1å3
이므로 가운데 큰 원
의 반지름의 길이는
'1å3이다.
018 Check Up 풀이집
15
AD”
¤ =BD”_CD”
BD”=x라 하면(cid:100)(cid:100)DC”=4-x
¤ =BD”_CD”이므로(cid:100)(cid:100)('3)¤ =x(4-x)
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+3=0,(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-3)=0
AD”
(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=3
그런데 BD”0)
(cid:9000) 2'5 cm
직각삼각형의 각 변을 지름으로 하는 세 반원
17
(cid:8833) (가장 큰 반원의 넓이)=(다른 두 반원의 넓이의 합)
S¡=;2!;_p_{
AB”
2
}
¤ =20p에서
(cid:100)(cid:100)AB”
¤ =160(cid:100)(cid:100)∴ AB”=4'∂10(cm)`(∵ AB”>0)
S™=;2!;_p_{
AC”
2
}
¤ =52p-20p=32p에서
(cid:100)(cid:100)AC”
¤ =256(cid:100)(cid:100)∴ AC”=16 (cm)`(∵ AC”>0)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'∂10_16=32'∂10 (cm¤ )
(cid:9000) 32'∂10 cm¤
A
D
4
6
B
C
(cid:9000) ③
선분 BD”를 그으면 (cid:8833) △ABD, △BCD가 각각
18
직각삼각형이다.
오른쪽 그림과 같이 선분
BD를 그으면 △ABD, △BCD
는 각각 직각삼각형이므로 색
칠한 부분의 넓이는
(cid:100)=△ABD+△BCD
(cid:100)=(cid:8772)ABCD
(cid:100)=4_6=24
(색칠한 부분의 넓이)
=(전체의 넓이)-(가운데 큰 원의 넓이)
=(p_3¤ +p_2¤ +6_4)-p_('1å3 )¤ =24
¤
¤
¤
¤
¤
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지019 SinsagoHitec
중단원마무리평가
기본서 48~51쪽
01 ⑤
06 ④
11 ②
16 ①
03 ①
08 ①
13 ⑤
02 ④
07 ③
12 ②
17 15 cm 18 4 cm 19 58이므로(cid:100)(cid:100)80) yy`㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)88이므로 가장 긴 변의 길이는 x이다.
¤
¤
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지020 SinsagoHitec
(cid:9000) ②
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
¤ +AC”
¤ 과 BC”
¤ 의 값을 비교하여 △ABC의 종
15
(반원의 넓이)=;2!;_p_(반지름의 길이)¤`
(cid:100)(cid:100)∴ AB”-BD”=6-;;™5¢;;=;5^;
(cid:9000) ②
17
보조선을 그은 후 피타고라스 정리를 이용한다.
우공비 B0X
직각삼각형의 세 변을 지
름으로 하는 반원을 각각
그리면 작은 두 반원의 넓
이의 합은 큰 반원의 넓이
와 같다.
(cid:9000) ②
(cid:8772)BEDC는 직사각형
이다.
Step Up
기본서
AB”
09
류를 판별한다.
△ABD에서(cid:100)(cid:100)AD”="√5¤ -3¤ =4
△ADC에서(cid:100)(cid:100)AC”=øπ4¤ +8¤ =4'5
따라서 △ABC에서 11¤ >5¤ +(4'5 )¤ 이므로 △ABC는
∠A>90°인 둔각삼각형이다.
(cid:9000) ①, ⑤
10
AB”
¤ =BH”_BC”
AB”
¤ =BH”_BC”이므로(cid:100)(cid:100)4¤ =x(x+6)
(cid:100)(cid:100)x¤ +6x-16=0,(cid:100)(cid:100)(x+8)(x-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
△ABH에서(cid:100)(cid:100)y="√4¤ -2¤ =2'3
2'3
= ='3
(cid:100)(cid:100)∴
2
;[};
11
AB”_BC”=AC”_BD”
직각삼각형 ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√10¤ -8¤ =6
AB”_BC”=AC”_BD”이므로(cid:100)(cid:100)6_8=10_BD”
(cid:100)(cid:100)∴ BD”=;;™5¢;;
12
BE”
¤ +CD”
¤ =DE”
¤ +BC”
BE”
¤ +BC”
¤ +CD”
¤ =DE”
¤ +9¤ ,(cid:100)(cid:100)DE”
(cid:100)(cid:100)8¤ +7¤ =DE”
(cid:100)(cid:100)∴ DE”=4'2 (∵ DE”>0)
¤ 이므로
¤ =32
13
AB”
¤ +CD”
¤ =AD”
¤ +BC”
¤ +CD”
¤ =AD”
AB”
8¤ +(6'2 )¤ =AD”
∴ AD”=6 (∵ AD”>0)
¤ +BC”
¤ 이므로
¤ +10¤ ,(cid:100)(cid:100)AD”
¤ =36
직각삼각형 AOD에서(cid:100)(cid:100)OD”="√6¤ -4¤ =2'5
(cid:100)(cid:100)∴ △AOD=;2!;_4_2'5=4'5
(cid:9000) ⑤
14
AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
△BCD에서(cid:100)(cid:100)BD”=øπ(2'2 )¤ +(2'2 )¤ =4
¤ +CP”
BP”=x라 하면(cid:100)(cid:100)DP”=4-x
¤ 이므로
¤ =BP”
AP”
(cid:100)(cid:100)('5 )¤ +('5 )¤ =x¤ +(4-x)¤
(cid:100)(cid:100)10=x¤ +x¤ -8x+16
¤ +DP”
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+3=0,(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=3
따라서 BP”=1, DP”=3 또는 BP”=3, DP”=1이므로
(cid:100)(cid:100)BP”_DP”=3
(cid:9000) ②
020 Check Up 풀이집
S¡=;2!;_p_('2)¤ =p,
S™=;2!;_p_{;2!;}
¤ =;8!;p이므로
(cid:100)(cid:100)S£=S¡+S™=p+;8!;p=;8(;p
(cid:100)(cid:100)∴ S¡：S™：S£=p：;8!;p：;8(;p=8：1：9
(cid:9000) ⑤
BC”=ø∑(2'2)¤ +∑1¤ =3이므로
(cid:100)(cid:100)S£=;2!;_p_{;2#;}
¤ =;8(;p
16
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC
(cid:100)(cid:100);2!;_AB”_4'5=20(cid:100)(cid:100)∴AB”=2'5 (cm)
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”=øπ(4'5 )¤ +(2'5 )¤ =10 (cm)
AB”_AC”=AH”_BC”이므로
(cid:100)(cid:100)2'5_4'5=AH”_10
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=4 (cm)
(cid:9000) ①
오른쪽 그림과 같이 점
D를 지나면서 BC”와 평행한
직선이 AB”의 연장선과 만나
는 점을 E라 하면
A
B
E
9`cm
12´2`cm
(cid:100)(cid:100)BE”=CD”=3(cm)
△AED에서(cid:100)(cid:100)ED”=øπ(12'2 )¤ -12¤ =12(cm)
BC”=ED”=12 cm이므로 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”="√9¤ +12¤ =15(cm)
(cid:9000) 15 cm
C
3`cm
D
18
PD”=AD”, PQ”=AQ”임을 이용한다.
PD”=AD”=15 cm이므로 △PCD에서
(cid:100)(cid:100)PC”="√15¤ -9¤ =12 (cm)
BQ”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)PQ”=AQ”=AB”-BQ”=9-x (cm),
(cid:100)(cid:100)BP”=BC”-PC”=15-12=3 (cm)
이므로 △BPQ에서
(cid:100)(cid:100)(9-x)¤ =x¤ +3¤
(cid:100)(cid:100)18x=72(cid:100)(cid:100)∴ x=4
(cid:9000) 4 cm
보충 학습
직사각형 모양의 종이 접기
형을 찾는다.
이용한다.
① 구하고자 하는 길이를 x로 놓고 x를 포함하는 직각삼각
② 직각삼각형의 세 변의 길이를 찾아 피타고라스 정리를
¤
¤
¤
E0330우중수3하_정(001-021) 2015.3.29 12:10 PM 페이지021 SinsagoHitec
x<15이므로(cid:100)(cid:100)50)
¤=16p,(cid:100)(cid:100)BC”
}
¤ =128
19
둔각삼각형 (cid:8833) 15¤ >x¤ +10¤
삼각형이 되려면
(cid:100)(cid:100)5x¤ +10¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ <125
(cid:100)(cid:100)∴ 00)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)50)
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_7'2_7'2
(cid:100)(cid:100)∴ (색칠한 부분의 넓이)=49 (cm¤ )
(cid:9000) 49 cm¤
배점
1점
21
채점 기준
△ADC, △ABC에서 피타고라스 정리 이용하기
각 2점
CD”의 길이 구하기
CD”=x라 하면 △ADC에서
¤`=10¤ -x¤ =100-x¤
(cid:100)(cid:100)AC”
yy ㉠(cid:100)(cid:100)▶ 2점
=208-18x-x¤
yy ㉡(cid:100)(cid:100)▶ 2점
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”
¤ =17¤ -(9+x)¤
㉠, ㉡에서
(cid:100)(cid:100)100-x¤ =208-18x-x¤
(cid:100)(cid:100)18x=108(cid:100)(cid:100)∴ x=6
서술형 답안 작성 Tip
주어진 도형에 2개 이상의 직각삼각형이 있는 경우 어떤 삼각형에
서 피타고라스 정리를 이용하였는지 밝혀 준다.
22
채점 기준
EH”의 길이 구하기
(cid:8772)EFGH의 넓이 구하기
(cid:8772)ABCD는 정사각형이므로
(cid:100)(cid:100)AD”
¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ AD”=6 (∵ AD”>0)
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=6-2=4
△AEH에서(cid:100)(cid:100)EH”="√2¤ +4¤ =2'5
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)EFGH=(2'5)¤ =20
배점
3점
1점
▶ 3점
▶ 1점
(cid:9000) 20
Ⅵ.피타고라스 정리 021
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:13 PM 페이지022 SinsagoHitec
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기본서
우공비 B0X
Ⅵ
-2. 피타고라스 정리의 활용
1. 평면도형에의 활용`⑴
47 직사각형의 대각선의 길이 기본서 52~53쪽
익히기 1 ⑴ x=øπ(2'5)¤ +4¤ =6
⑵ x="√13¤ -5¤ =12
⑶ x='2_5=5'2
⑷ '2x=4이므로(cid:100)(cid:100)x=2'2
(cid:9000) ⑴ 6(cid:100)⑵ 12(cid:100)⑶ 5'2(cid:100)⑷ 2'2
유제 ❶ 직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각 2k, k
(k>0)라 하면
(cid:100)(cid:100)"√(2k)¤ +k¤ =5,(cid:100)(cid:100)'5k=5(cid:100)(cid:100)∴k='5
따라서 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각 2'5, '5이
므로 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2(2'5+'5 )=6'5
(cid:9000) ④
유제 ❷ 정사각형의 한 변의 길이를 x 라 하면
(cid:100)(cid:100)x¤ =98(cid:100)(cid:100)∴ x=7'2 (∵ x>0)
따라서 정사각형의 대각선의 길이는
(cid:100)(cid:100)'2_7'2=14
(cid:9000) ③
유제 ❸ △ABD에서
(cid:100)(cid:100)BD”="√9¤ +12¤ =15(cm)
AB”_AD”=BD”_AH”이므로
(cid:100)(cid:100)9_12=15_x(cid:100)(cid:100)∴x=:£5§:
¤ =DH”_DB”이므로
또 AD”
(cid:100)(cid:100)12¤ =y_15(cid:100)(cid:100)∴ y=:¢5•:
△AHD에서
(cid:100)(cid:100)y=Æ…12¤ -{;;£5§;;}
¤ =;;¢5•;;
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=:£5§:+:¢5•:=:•5¢:
(cid:9000) :•5¢:
한 변의 길이가 a인 정사
각형의 대각선의 길이
(cid:8825) '2a
(cid:100) (cid:100)(cid:100) a=4'3(cid:100)(cid:100)∴ a=8
⑵ 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
'3
2
'3
4
⑵ (높이)= _'2= (cm)
'3
2
'3
4
'6
2
'3
2
(넓이)= _('2)¤ = (cm¤ )
(cid:9000) ⑴ 3'3 cm, 9'3 cm¤ (cid:100)⑵
'6
2
cm,
cm¤
'3
2
익히기 3 ⑴ 정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100) a¤ =3'3,(cid:100)(cid:100)a¤ =12(cid:100)(cid:100)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ a=2'3 (∵ a>0)
(cid:9000) ⑴ 8 cm(cid:100)⑵ 2'3 cm
유제 ❹ AD”는 정삼각형 ABC의 높이이므로
(cid:100)(cid:100)AD”= _2'3=3 (cm)
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ GD”=;3!; AD”=;3!;_3=1 (cm)
(cid:9000) ①
보충 학습
삼각형의 무게중심의 성질
삼각형의 무게중심은 세 중선의
길이를 각 꼭짓점으로부터 2 : 1
무게중심
로 나눈다. 즉
(cid:100)(cid:100)AG”：GD”=BG” : GE”
=CG” : GF”
=2 : 1
F
E
A
G
D
B
C
유제 ❺ AD”= _'6=
'3
2
3'2
2
이므로
(cid:100)(cid:100)△ADE= _{
'3
4
3'2
2
¤ =
}
9'3
8
△ABC™△ADC
서 AB”=BC”이고 ∠B=60°
유제 ❻ 오른쪽 그림과 같
이 AC”를 그으면 △ABC에
이므로 △ABC는 한 변의 길
이가 8 cm인 정삼각형이다.
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=2△ABC
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=2_ _8¤
'3
4
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=32'3 (cm¤ )
(cid:9000)
9'3
8
8`cm
B
60æ
D
A
C
(cid:9000) 32'3 cm¤
48 정삼각형의 높이와 넓이
기본서 54~55쪽
익히기 2 ⑴ (높이)= _6=3'3(cm)
'3
2
(넓이)= _6¤ =9'3(cm¤ )
'3
4
022 Check Up 풀이집
한 변의 길이가 a인 정삼
각형에서
(cid:8825) (높이)= a
(cid:8825) (넓이)= a¤
'3
2
'3
4
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:13 PM 페이지023 SinsagoHitec
49 일반 삼각형의 높이와 넓이 기본서 56~57쪽
소단원성취도진단
기본서 58~60쪽
우공비 B0X
기본서 52~58쪽
익히기 4 ⑴ BH”=;2!;_4=2
⑵ AH”="√6¤ -2¤ =4'2
⑶ △ABC=;2!;_4_4'2=8'2
(cid:9000) ⑴ 2(cid:100)⑵ 4'2(cid:100)⑶ 8'2
익히기 5 ⑴ BH”=x라 하면 CH”=8-x
⑵ △ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”
¤ =7¤ -x¤
¤ =9¤ -(8-x)¤
⑵ △AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”
⑵ 즉 7¤ -x¤ =9¤ -(8-x)¤ 이므로
16x=32 ∴ x=2
⑵
⑵ AH”="√7¤ -2¤ =3'5
⑶ △ABC=;2!;_8_3'5=12'5
(cid:9000) ⑴ 2(cid:100)⑵ 3'5(cid:100)⑶ 12'5
하면 BH”=12이므로 직각삼
각형 ABH에서
(cid:100)(cid:100)AH”="√15¤ -12¤ =9
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_24_9=108
보충 학습
이등변삼각형의 성질
① 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.
② 이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등
분한다.
유제 ❽ BH”=x라 하면(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)CH”=6-x
△ABH에서
(cid:100)(cid:100)h¤ =5¤ -x¤
△AHC에서
(cid:100)(cid:100)h¤ =7¤ -(6-x)¤
즉 5¤ -x¤ =7¤ -(6-x)¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)12x=12(cid:100)(cid:100)∴ x=1
(cid:100)(cid:100)∴ h="√5¤ -1¤ =2'6
5
7
A
h
H
B
x
6-x
C
(cid:9000) ⑤
S
t
e
p
U
p
.
Ⅵ
피
타
고
라
스
정
리
01 ②
02 ;;™2∞;;p 03 ②
04 ⑤
05 (5+3'5 )cm
06 ⑤
07
12'5
5
cm
08 4 cm 09 ①
12 18'5 cm¤
10 4 cm 11 ③
14 84
13 ③
15 ;2*5$; cm¤
16 ③
17 ②
18 '5
가로, 세로의 길이가 각각 a, b인 직사각형의 대각
01
선의 길이 (cid:8833) "√a¤ +b¤
직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면
6¤ +x¤ =12¤ ,
∴ x=6'3 (∵ x>0)
x¤ =144-36=108
원의 반지름의 길이를 r라 하면 정사각형의 한 변
02
채점 기준
원의 반지름의 길이 구하기
원의 넓이 구하기
의 길이는 2r이므로
(cid:100)(cid:100)'2_2r=10(cid:100)(cid:100)∴r=
따라서 원의 넓이는
5'2
2
(cid:9000) ②
배점
60%
40%
▶ 60%
▶ 40%
(cid:9000)
p
;;™2∞;;
'3
2
'3
2
04
한 변의 길이가 a인 정삼각형
(cid:8833) (높이)= a, (넓이)= a¤
'3
4
정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면
'3
2
a=9 ∴ a=6'3
따라서 정삼각형의 넓이는
'3
4
_(6'3)¤ =27'3(cm¤ )
05
채점 기준
직사각형의 대각선의 길이 구하기
OB”, OC”의 길이 구하기
△OBC의 둘레의 길이 구하기
(cid:9000) ⑤
배점
40%
40%
20%
Ⅵ.피타고라스 정리 023
유제 ❼-1 △ABD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√10¤ -8¤ =6 (cm)
이므로(cid:100)(cid:100)BC”=2BD”=2_6=12(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_12_8=48(cm¤ )
(cid:9000) 48 cm¤
이등변삼각형의 꼭지각의
꼭짓점에서 밑변에 내린
수선은 밑변을 이등분한다.
유제 ❼-2 오른쪽 그림과 같
이 △ABC의 꼭짓점 A에서
A
15
15
BC”에 내린 수선의 발을 H라
B
12
H
12
C
반지름의 길이가 r인 원의
넓이 (cid:8825) pr¤
(cid:100)(cid:100)p_{
5'2
2
¤ =
}
p
;;™2∞;;
BH”=;2!;BC”=12
(cid:9000) ④
닮은 두 평면도형의 닮음비
가 m : n일 때 넓이의 비
(cid:8825) m¤ : n¤
한 변의 길이가 각각 a cm, b cm인 두 정삼각형의
03
넓이의 비 (cid:8833) a¤ : b¤`
AD”= _8=4'3 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)△ABC：△ADE=8¤ ：(4'3)¤ =4：3
(cid:9000) ②
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:13 PM 페이지024 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로
AC”=BD”="√(2'5)¤ +5¤ =3'5(cm)
▶ 40%
두 대각선은 서로를 이등분하므로
OB”=OC”=;2!;AC”=;2!;_3'5=
(cm) ▶ 40%
3'5
2
따라서 △OBC의 둘레의 길이는
OB”+BC”+OC”=
3'5
2
OB”+BC”+OC”=5+3'5 (cm)
3'5
2
+5+
▶ 20%
(cid:9000) (5+3'5) cm
가로, 세로의 길이가 각각 a, b인 직사각형의 대각
06
선의 길이 (cid:8833) "√a¤ +b¤
정사각형의한변의
C
B
길이를 x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)"√(3x)¤ +x¤ =5'2
(cid:100)(cid:100)'1å0x=5'2
(cid:100)(cid:100)∴ x='5
(cid:100)(cid:100)∴ AC”="√(2x)¤ +x¤ ='5x='5_'5=5 (cm)
5Â2`cm
3x`cm
A
x`cm
07
채점 기준
BD”의 길이 구하기
BP”의 길이 구하기
DQ”의 길이 구하기
PQ”의 길이 구하기
AB”
△ABD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√4¤ +8¤ =4'5 (cm) ▶ 20%
¤ =BP”_BD”이므로(cid:100)(cid:100)4¤ =BP”_4'5
(cm)
▶ 30%
(cid:100)(cid:100)∴ BP”=
4'5
5
같은 방법으로(cid:100)(cid:100)DQ”=
(cm)
▶ 30%
4'5
5
(cid:100)(cid:100)∴ PQ”=4'5-2_
4'5
5
=
12'5
5
(cm)
▶ 20%
한 변의 길이가 a인 정삼각형
08
(cid:8833) (높이)= a, (넓이)= a¤
'3
4
'3
2
_AF”
¤ =
이므로(cid:100)(cid:100)AF”
¤ =9
9'3
4
(cid:100)(cid:100)∴ AF”=3(cm) (∵ AF”>0)
또 _AD”=3이므로(cid:100)(cid:100)AD”=2'3(cm)
'3
4
'3
2
따라서 _AB”=2'3이므로
'3
2
(cid:100)(cid:100)AB”=4(cm)
(cid:9000) 4 cm
024 Check Up 풀이집
(cid:8772)ABMD, (cid:8772)AMCD
는 평행사변형이므로
(cid:100)DM”=AB”,
(cid:100)AM”=DC”
반지름의 길이가 r인 원에
내접하는 정육각형의 넓이
는 한 변의 길이가 r인 정
삼각형 6개의 넓이의 합과
같다.
(cid:9000) ⑤
배점
20%
30%
30%
20%
¤ =DQ”_DB”이므로
CD”
(cid:100)4¤ =DQ”_4'5
4'5
(cid:100)∴ DQ”=
5
(cm)
(cid:9000)
12'5
5
cm
09
△GEC는 정삼각형이다.
BE”=EC”=CF”=4 cm이고
가 4 cm인 정삼각형이다.
따라서 색칠한 부분의 넓이는
∠GEC=∠GCE=60°이므로 △GEC는 한 변의 길이
2△ABC-△GEC=2_ _8¤ - _4¤
'3
4
'3
4
2△ABC-△GEC=28'3 (cm¤ )
(cid:9000) ①
10
보조선을 그어 정삼각형의 넓이를 이용한다.
BC”의 중점을 M이라
A
D
하면 △ABM, △AMD,
△DMC는 모두 합동인 정
a`cm
B
삼각형이다.
M
C
AB”=a cm라 하면 (cid:8772)ABCD=3△ABM이므로
'3
12'3=3_ a¤ ,(cid:100)(cid:100)a¤ =16
4
∴ a=4 (∵ a>0)
(cid:9000) 4 cm
11
보조선을 그어 정삼각형을 만든다.
오른쪽 그림과 같이 원의 반지
름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)pr¤ =100p
(cid:100)(cid:100)∴ r=10(∵ r>0)
따라서 주어진 정육각형은 한 변의 길
이가 10 cm인 정삼각형 6개로 이루어져 있으므로 구하
는 넓이는(cid:100)(cid:100)6_ _10¤ =150'3 (cm¤ )
(cid:9000) ③
'3
4
12
채점 기준
이등변삼각형의 높이 구하기
이등변삼각형의 넓이 구하기
오른쪽 그림과 같이 점 A
A
에서 BC”에 내린 수선의 발을
9`cm
9`cm
H라 하면 △ABH에서
AH”="√9¤ -6¤
=3'5 (cm) ▶ 70%
6`cm
B
H
12`cm
C
∴ △ABC=;2!;_12_3'5=18'5 (cm¤ ) ▶ 30%
(cid:9000) 18'5 cm¤
13
먼저 이등변삼각형의 높이를 구한다.
오른쪽 그림과 같이 점 A에서
A
BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
;2!;_10_AH”=60이므로
AH”=12(cm)
∴ AB”="√5¤ +12¤ =13(cm)
B
C
H
10`cm
r`cm
배점
70%
30%
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:13 PM 페이지025 SinsagoHitec
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
13+10+13=36(cm)
(cid:9000) ③
14
채점 기준
BH” 또는 CH”의 길이 구하기
△ABC의 높이 구하기
△ABC의 넓이 구하기
오른쪽 그림과 같이 점 A에
A
서 BC”에 내린 수선의 발을 H라
13
15`
하고 BH”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)CH”=14-x
△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”
△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”
B
¤ =13¤ -x¤
¤ =15¤ -(14-x)¤
x
H 14-x
C
즉 13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)28x=140(cid:100)(cid:100)∴ x=5
따라서 AH”="√13¤ -5¤ =12이므로
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_14_12=84
배점
40%
40%
20%
▶ 40%
▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000) 84
15
AB”_AD”=BD”_AE”, AB”
¤ =BE”_BD”
△ABD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√4¤ +3¤ =5 (cm)
AB”_AD”=BD”_AE”이므로(cid:100)(cid:100)3_4=5_AE”
(cid:100)(cid:100)∴ AE”=;;¡5™;; (cm)
또 AB”
¤ =BE”_BD”이므로(cid:100)(cid:100)3¤ =BE”_5
(cid:100)(cid:100)∴ BE”=;5(; (cm)
같은 방법으로 FD”=;5(; (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)EF”=5-2_;5(;=;5&; (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)AECF=2_△AEF
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)AECF=2_{;2!;_;5&;_;;¡5™;;}=;2*5$; (cm¤ )
(cid:9000) ;2*5$; cm¤
16
점 O는 △ABC의 무게중심이다.
점 A에서 BC”에 내린 수선의
10`cm
A
발을 D라 하면 점O는 △ ABC의
무게중심이므로 오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)AO” : AD”=2 : 3
(cid:100)(cid:100)10 : AD”=2 : 3
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=15 (cm)
O
D
B
C
△ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면
(cid:100)(cid:100) a=15(cid:100)(cid:100)∴ a=10'3
'3
2
(cid:9000) ③
우공비 B0X
△ ABP에서 AB” 를
밑변으로 생각하면 높
이는 PD”, △BCP에
서 BC”를 밑변으로 생
각하면 높이는 PE”,
△ CAP에서 CA”를
밑변으로 생각하면 높
이는 PF”이다.
기본서 58~62쪽
17
△ABC=△ABP+△BCP+△CAP
△ABC=△ABP+△BCP+△CAP
△ABC=;2!;_4_PD”+;2!;_4_PE”+;2!;_4_PF”
△ABC=2(PD”+PE”+PF”)
'3
4
이때 △ABC= _4¤ =4'3 (cm¤ )이므로
(cid:100)(cid:100)2(PD”+PE”+PF”)=4'3
(cid:100)(cid:100)∴ PD”+PE”+PF”=2'3(cm)
(cid:9000) ②
18
△EBD는 EB”=ED”인 이등변삼각형이다.
△DBC에서(cid:100)(cid:100)BD”="√4¤ +8¤ =4'5
∠EBD=∠CBD (접은 각), ∠EDB=∠CBD (엇각)
이므로
∠EBD=∠EDB
즉 △EBD는 이등변삼각형이다.
∴ BH”=;2!;BD”=;2!;_4'5=2'5
EB”=x라 하면 ED”=x, AE”=8-x이므로 △ABE에서
x¤ =4¤ +(8-x)¤ ,
16x=80 ∴ x=5
△EBH에서 EH”="√5¤ -(2'5)¤ ='5
(cid:9000) '5
S
t
e
p
U
p
.
Ⅵ
피
타
고
라
스
정
리
CD”
¤ =FD”_BD”
세 내각의 크기가 45°,
45°, 90°인 삼각형의 세
변의 길이의 비
(cid:8825) 1 : 1 : '2
세 내각의 크기가 30°,
60°, 90°인 삼각형의 세
변의 길이의 비
(cid:8825) 1 : '3 : 2
2. 평면도형에의 활용⑵
50
특수한 직각삼각형의
세 변의 길이의 비
기본서 61~62`쪽
익히기 1 ⑴ x：4=1：'2이므로(cid:100)(cid:100)'2x=4
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=2'2
(cid:100) 2'2：y=1：1이므로(cid:100)(cid:100)y=2'2
⑵ x：6=1：2이므로(cid:100)(cid:100)2x=6(cid:100)(cid:100)∴x=3
(cid:100) 6：y=2：'3이므로(cid:100)(cid:100)y=3'3
(cid:9000) ⑴ x=2'2, y=2'2
⑵ x=3, y=3'3
유제 ❶ △ABC에서
6：BC”=1：'3 ∴ BC”=6'3 (cm)
△DBC에서
BD”：6'3=1：'2 ∴ BD”=3'6(cm)
DC”=BD”=3'6 (cm)이므로
△DBC=;2!;_3'6_3'6=27(cm¤ )
(cid:9000) ③
Ⅵ.피타고라스 정리 025
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:13 PM 페이지026 SinsagoHitec
우공비 B0X
좌표평면 위의 두 점
(cid:100)(a, b), (c, d)
사이의 거리
(cid:8825) "√(c-a)¤ +√(d-b)¤
y
A
삼각형의 모양을 조사할
때는 각 변의 길이를 구해
본다.
Step Up
기본서
유제 ❷ 꼭짓점 A에서 BC”에
내린 수선의 발을 H라 하면
△ABH는 세 내각의 크기가 45°,
45°, 90°인 직각삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)AB”：AH”='2：1
(cid:100)(cid:100)6：AH”='2：1
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'2
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_5'2_3'2=15
6
45æ
A
H
5Â2
B
C
(cid:9000) 15
51
좌표평면 위의 두 점
사이의 거리
기본서 63~64`쪽
익히기 2 ⑴ "√3¤ +5¤ ='3å4
⑵ "√(-4)¤ +(-8)¤ =4'5
⑶ "√(4-1)¤ +(6-2)¤ =5
⑷ "√(-1-2)¤ +{2-(ç-1)}¤ =3'2
(cid:9000) ⑴ '3å4(cid:100)⑵ 4'5(cid:100)⑶ 5(cid:100)⑷ 3'2
유제 ❸ 구하는 점의 좌표를 (a, 0)이라 하면
"√{a-(-4)}¤ +(0-ç1)¤ ="√(a-2)¤ +(0-5)¤
a¤ +8a+16+1=a¤ -4a+4+25
12a=12 ∴ a=1
따라서 구하는 점의 좌표는 (1, 0)이다.
(cid:9000) (1, 0)
유제 ❹ AB”="√(-2-2)¤ +√(1-5)¤
='∂32=4'2
BC”="√{0-(-2)}¤ +(-1√-1)¤
='8=2'2
AC”="√(0-2)¤ +√(-1-5)¤
B
O
x
C
='∂40=2'1å0
¤ =AB”
인 직각삼각형이다.
따라서 AC”
¤ +BC”
¤ 이므로 △ABC는 ∠B=90°
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4'2_2'2=8
(cid:9000) ①
유제 ❺ 오른쪽 그림과 같
이 점 C와 AB”에 대하여 대
칭인 점을 C'이라 하면
(cid:100)(cid:100)CP”+PD”=C'P”+PD”
æC'D”
C
5
A
C'
D
10
B
D'
P
20
소단원성취도진단
기본서 65~66쪽
02 ②
03 2
07 ②
11 2('3+1)
05 1 cm
04 ③
08 5p
09 2'∂17
12 (72-24'3)cm¤
01 ①
06 8'3+6
10 10
13 90'2 m
01
각삼각형이다.
△ABM은 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직
BM”=;2!; BC”=3이고 △ABM에서
AB”：BM”='3：1이므로
(cid:100)(cid:100)AB”：3='3：1(cid:100)(cid:100)∴ AB”=3'3
따라서 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”=ø∑(3'3)¤ +6¤ =3'7
(cid:9000) ①
두 점 (x¡, y¡), (x™, y™) 사이의 거리
02
(cid:8833) "√(x™-x¡)¤
√+(y™-y¡)¤
두 점 사이의 거리를 각각 구해 보면
√+(-2-2)¤ ='∂20=2'5
① "√{2-(-1)}¤ +(3-5å)¤ ='∂13
② "√{1-(-1)}¤
③ "√(-1-0)¤ +(2-5å)¤ ='∂10
④ "√(2-5)¤ +(0-2)¤ ='∂13
⑤ "√{-2-(-2)}¤ +{-√5-(-7)}¤ ='4=2
따라서 두 점 사이의 거리가 가장 먼 것은 ②이다.
두 점 (x¡, y¡), (x™, y™) 사이의 거리
03
(cid:8833) "√(x™-x¡)¤
√+(y™-y¡)¤
"√(6-a)¤ +(2a+1-ç
(cid:100)(cid:100)(6-a)¤ +(2a-2)¤ =20
ç3)¤ =2'5이므로
(cid:100)(cid:100)36-12a+a¤ +4a¤ -8a+4=20
(cid:100)(cid:100)5a¤ -20a+20=0,(cid:100)(cid:100)a¤ -4a+4=0
(cid:100)(cid:100)(a-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ a=2
(cid:9000) 2
특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용한다.
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”：AB”=1：'2
(cid:100)(cid:100)AC”：3'6 =1：'2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=3'3
△ACD에서(cid:100)(cid:100)CD”：AC”=2：'3
(cid:100)(cid:100)CD”：3'3=2：'3(cid:100)(cid:100)∴ CD”=6
04
05
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
배점
50%
50%
따라서 점 C'을 지나고 AB”와 평행한 직선이 DB”의 연
장선과 만나는 점을 D'이라 하면 △DC'D'에서
(cid:100)(cid:100)C'D”="√(10+5)¤ +20¤ =25
이므로 구하는 최솟값은 25이다.
(cid:9000) ⑤
△DC'D'은 빗변의 길
이가 C'D”이고 직각을
낀 두 변의 길이가 각
각 15, 20인 직각삼각
형이다.
채점 기준
AC”의 길이 구하기
AD”의 길이 구하기
026 Check Up 풀이집
”
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:13 PM 페이지027 SinsagoHitec
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”: AB” =1 : 2
'3
2
(cid:100)(cid:100)AC” :'3=1 : 2(cid:100)(cid:100)∴ AC”=
∠DAC=;2!;∠BAC=30°이
므로
(cm)
▶ 50%
A
Â3`cm
30æ
B
60æ
C
D
(cid:100)(cid:100)∠ADC=60°
따라서 △ADC에서
AD” : AC” =2: '3이므로
'3
(cid:100)(cid:100)AD”: =2: '3
2
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=1 (cm)
A
3
D
2Â6`°
B
45æ
2Â3
60æ
C
E
3
2
F
06
채점 기준
사다리꼴 ABCD의 높이 구하기
BC”의 길이 구하기
사다리꼴 ABCD의 넓이 구하기
오른쪽 그림과 같이 두
점 A, D에서 BC”에 내린 수
선의 발을 각각 E, F라 하
면 △ABE에서
(cid:100)(cid:100)AB”: BE”='2：1
(cid:100)(cid:100)2'6：BE”='2：1(cid:100)(cid:100)∴BE”=2'3
(cid:100)(cid:100)∴ AE”=BE”=2'3
△DFC에서`(cid:100)(cid:100)DF”：FC”='3：1
(cid:100)(cid:100)2'3：FC”='3：1(cid:100)(cid:100)∴FC”=2
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2'3+3+2=2'3+5
따라서 사다리꼴 ABCD의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_{3+(2'3+5)}_2'3=8'3+6
▶ 20%
07
원점과 점 P(x¡, y¡) 사이의 거리 (cid:8833) "√x¡¤ +y¡¤
y=x¤ -2x+4=(x¤ -2x+1)+3
=(x-1)¤ +3
따라서 P(1, 3)이므로
(cid:100)(cid:100)OP”="√1¤ +3¤ ='1å0
08
두 점A, B가 지름의 양 끝 점인 원
(cid:8833) (반지름의 길이)=
AB”
2
AB”="√{3-(-1)}¤
√+(6-4)¤ =2'5
따라서 원의 반지름의 길이가 '5이므로 구하는 원의 넓
이는
(cid:100)(cid:100)p_('5)¤ =5p
(cid:9000) 5p
▶ 50%
(cid:9000) 1 cm
배점
40%
40%
20%
▶ 40%
▶ 40%
(cid:9000) ②
우공비 B0X
기본서 62~66쪽
S
t
e
p
U
p
.
Ⅵ
피
타
고
라
스
정
리
배점
20%
20%
60%
▶ 20%
▶ 20%
09
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
두 점 A, B 사이의 거리 구하기
두 점A(a, -3), B(1, b)가 직선 y=4x+1 위
의 점이므로 두 점의 좌표를 각각 대입하면
(cid:100)(cid:100)-3=4a+1,(cid:100)(cid:100)4a=-4
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
(cid:100)(cid:100)b=4_1+1=5
따라서 두 점 A(-1, -3), B(1, 5) 사이의 거리는
(cid:100)(cid:100)AB”="√{1-(-1)}¤ +{5-√(-3)}¤ =2'1å7 ▶ 60%
(cid:9000) 2'1å7
세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형 (cid:8833) 각 변의 길이를
10
구하여 비교한다.
AB”="√{2-(-3)}¤ +√(5-0)¤ =5'2
BC”="√(3-2)¤ +(2-5)¤ ='∂10
AC”="√{3-(-3)}¤ +√(2-0)¤ =2'∂10
¤ +AC”
이때 AB”
¤ =BC”
직각삼각형이다.
¤ 이므로 △ABC는 ∠C=90°인
따라서 △ABC의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_'1å0_2'1å0=10
(cid:9000) 10
DF”=AE”=2'3
11
특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용한다.
AC”=x라 하면 △ADC에서
(cid:100)(cid:100)CD” : x=1 : 1(cid:100)(cid:100)∴ CD”=x
(cid:100)(사다리꼴의 넓이)
=;2!;_{(윗변의 길이)
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)(4+x) : x='3 : 1,(cid:100)(cid:100)'3x=4+x
(cid:9000) 8'3 +6
(cid:100)_(높이)
+(아랫변의 길이)}
(cid:100)(cid:100)('3-1)x=4(cid:100)(cid:100)∴x=
=2('3+1)
4
'3-1
(cid:9000) 2('3+1)
배점
30%
40%
30%
C'
CE
60æ
30æ
B'
6`cm
6`cm
A
30æ
6`cm
B
12
채점 기준
△AB'E와 △ADE가 합동임을 보이기
B'E”의 길이 구하기
색칠한 부분의 넓이 구하기
△AB'E와 △ADE에서
(cid:100)(cid:100)∠AB'E=∠ADE
=90°,
D
D'
(cid:100)(cid:100)AE”는 공통, AB'”=AD”
(cid:100)(cid:100)∴ △AB'E™△ADE
(RHS 합동) ▶ 30%
△AB'E에서 AB'”：B'E”='3：1이므로
(cid:100)(cid:100)6：B'E”='3：1
(cid:100)(cid:100)∴ B'E”=2'3 (cm)
▶ 40%
Ⅵ.피타고라스 정리 027
(022-057)우공비(해설)3 2015.3.30 3:53 PM 페이지028 SinsagoHitec
Step Up
기본서
따라서 (cid:8772)AB'ED의 넓이는
(cid:100)(cid:100)2_{;2!;_6_2'3}=12'3 (cm¤ )
이므로 색칠한 부분의 넓이는
(cid:100)(cid:100)2_(6_6-12'3)=72-24'3 (cm¤ )
▶ 30%
(cid:9000) (72-24'3 ) cm¤
13
평면도형에서의 최단 거리 (cid:8833) 대칭인 점을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 점
P와 AD”에 대하여 대칭인
점을 P', 점 Q와 BC”에 대
하여 대칭인 점을 Q'이라
하자.
P' A
P
10`m
10`m
40`m
B
30`m
D
Q
C
Q'
석현이가 산책할 수 있는 최
90`m
단 거리는 P'Q'”의 길이와 같으므로
(cid:100)(cid:100)P'Q'”="√90¤ +90¤ =90'2 (m)
(cid:9000) 90'2 m
3. 입체도형에의 활용
52 직육면체의 대각선의 길이 기본서 67~68쪽
익히기 1 ⑴ x="√3¤
⑵ "√8¤ +x¤ +5¤ =5'5이므로 x¤ =36
≈+5¤ =5'2
√+4¤
∴ x=6`(∵ x>0)
⑶ x='3 _2=2'3
⑷ '3x='6이므로(cid:100)(cid:100)x='2
(cid:9000) ⑴ 5'2(cid:100)⑵ 6(cid:100)⑶ 2'3(cid:100)⑷ '2
유제 ❶ 직육면체의 세 모서리의 길이를 각각 k, 2k,
3k (k>0)라 하면
"√k¤ +(2k)¤ +(3k)¤ =2'7,
k¤ =2 ∴ k='2`(∵ k>0)
14k¤ =28
따라서 세 모서리의 길이가 각각 '2, 2'2, 3'2이므로 직
육면체의 부피는
'2_2'2_3'2=12'2
유제 ❷ 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
6a¤ =120,
a¤ =20 ∴ a=2'5`(∵ a>0)
따라서 정육면체의 대각선의 길이는
'3_2'5=2'∂15 (cm)
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
유제 ❸ AF”='2_5=5'2 (cm),
DF”='3_5=5'3 (cm)
028 Check Up 풀이집
우공비 B0X
△AFD에서 AD”_AF”=DF”_AI”이므로
5'6
3
(cid:100)(cid:100)5_5'2=5'3_AI”(cid:100)(cid:100)∴ AI”=
(cm)
(cid:9000)
5'6
3
cm
53 원뿔의 높이와 부피
기본서 69~70쪽
AO”의 길이
익히기 2 ⑴ (높이)="1√3¤ -≈5Ω
1
⑵ (부피)= _p_5¤ _12=100p (cm‹ )
3
¤ =12 (cm)
(cid:9000) ⑴ 12 cm(cid:100)⑵ 100p cm‹
익히기 3 밑면의 반지름의 길이는
"√15¤ -12¤ =9(cm)
∴ (부피)=;3!;_p_9¤ _12=324p(cm‹ )
(cid:9000) 324p cm‹
유제 ❹ 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)pr¤ =48p(cid:100)(cid:100)∴ r=4'3 (∵ r>0)
따라서 원뿔의 높이는
(cid:100)(cid:100)øπ9¤ -(4'3 )¤ ='3å3 (cm)
(cid:9000) '3å3 cm
유제 ❺ 밑면의 반지름의 길이를
r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)2pr=2p_9_
120
360
(cid:100)(cid:100)∴ (높이)="√9¤ -≈3Ω
=6'2 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ r=3
9`cm
3`cm
(cid:9000) 6'2 cm
유제 ❻ 구의 중심과 평
면 사이의 거리를 h cm라
하면 △OBA에서
(cid:100)(cid:100)h="√9¤ -5¤
=2'1å4
`(cid:9000) ④
O
9`cm
h`cm
B
A
5`cm
54
정사각뿔, 정사면체의
높이와 부피
기본서 71~72`쪽
익히기 4 ⑴ BD”='2 _6
익히기 3 ⑴ BD”=6'2 (cm)
⑵ 이므로(cid:100)(cid:100)DH”=;2!;BD”
⑵ 이므로(cid:100)(cid:100)DH=;2!;_6'2
⑵ 이므로(cid:100)(cid:100)DH=3'2 (cm)
B
O
3Â10·`cm
D
6`cm
A
H
6`cm
C
한 모서리의 길이가 a인
정육면체의 대각선의 길이
(cid:8825) '3a
원뿔의 전개도에서 옆면인
부채꼴의 호의 길이와 밑
면의 둘레의 길이는 같다.
정사각형 ABFE의
대각선의 길이
¤
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:13 PM 페이지029 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 66~75쪽
OH”의 길이
55 입체도형에서의 최단 거리 기본서 73~74쪽
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ (높이)
(cid:100)(cid:100)(cid:100) =øπ(3'1å0)¤ -(3π'2)¤
(cid:100)(cid:100)(cid:100) =6'2 (cm)
⑵ (부피)=;3!;_6¤ _6'2=72'2 (cm‹ )
(cid:9000) ⑴ 6'2 cm(cid:100)⑵ 72'2 cm‹
익히기 5 ⑴ (높이)= _6=2'6 (cm)
'6
3
⑵ (부피)= _6‹ =18'2 (cm‹ )
'2
12
(cid:9000) ⑴ 2'6 cm(cid:100)⑵ 18'2 cm‹
유제 ❼-1 △BCD에서
(cid:100)(cid:100)BD”='2_10'2
(cid:100)(cid:100)BD”=20 (cm)
이므로
(cid:100)(cid:100)BH”=;2!;_20=10 (cm)
△OBH에서
(cid:100)(cid:100)OB”=øπ10¤ +(2'3å9)¤
(cid:100)(cid:100)OB”='∂256=16 (cm)
O
2Â39·
·`cm
A
D
B
H
10Â2`cm
C
(cid:9000) 16 cm
유제 ❼-2 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”='2_2'2=4
이므로 HC”=;2!;_4=2
△OHC에서 OH”="√(2'3)¤ -2¤ =2'2
∴ △OAC=;2!;_4_2'2=4'2
(cid:9000) 4'2
AB”=BD”=DC”=CA”
이므로 (cid:8772)ABDC는 마
름모이다.
한 변의 길이가
5'3 cm인 정삼각형의
높이
유제 ❽-1 한 모서리의 길이를 a라 하면
'2
(cid:100)(cid:100) a‹ =
12
16'2
3
(cid:100)(cid:100)∴ a=4
,(cid:100)(cid:100)a‹ =64=4‹
한 모서리의 길이가 a인
정사면체의 부피
'2
(cid:8825) a‹
12
(cid:9000) 4
유제 ❽-2 OH”= _3='6
'6
3
△ABC에서(cid:100)(cid:100)CD”= _3=
3'3
2
이므로(cid:100)(cid:100)CH”=;3@;_
='3
'3
2
3'3
2
S
t
e
p
U
p
.
Ⅵ
피
타
고
라
스
정
리
익히기 6
B
C
D
P
5
H
F
8
G
4
(cid:100)(cid:100)∴ (최단 거리)=FD”=øπ
12
¤ +5¤ =
13
(cid:9000) 풀이 참조
유제 ❾ 밑면의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_4=8p (cm)
따라서 오른쪽 그림과 같은
옆면의 전개도에서 구하는
B
4π`cm
최단 거리는 AB”의 길이이
A
8π`cm
므로
(cid:100)(cid:100)AB”="(√8p)√
(cid:100)(cid:100)AB”=4'5p (cm)
¤ +√(4p)¤
(cid:9000) 4'5p cm
유제 ❿ 오른쪽 그림은 주어
진 정사면체의 전개도의 일부
이다. 구하는 최단 거리는 BC”
의 길이이고 (cid:8772)ABDC는 마름
모이므로(cid:100)(cid:100)AD”⊥`BC”
B
5Â3`cm
C
A
H
D
'3
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2BH”=2_ _5'3=15 (cm) (cid:9000) ③
2
소단원성취도진단
기본서 75~77쪽
01 10+5'2
04 ③
05 ④
02 ③
06 8'6 cm¤
03 4'5p cm
07 ④
p cm‹
09 120° 10 16p cm‹
08
125'3
3
11 ②
15 2'3 cm
12 ⑤
13 ①
16 ④
14 ③
17 '∂11
18 4
세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의 대
01
각선의 길이 (cid:8833) "√a¤ +b¤ +c¤
FH”="4√
¤ +3¤ =5
BH”="√4¤ +3¤ +5¤ =5'2
따라서 △BFH의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)5+5+5'2=10+5'2
(cid:9000) 10+5'2
Ⅵ.피타고라스 정리 029
△OHC에서 OH”_HC”=OC”_HE”이므로
(cid:100)(cid:100)'6_'3=3_HE”(cid:100)(cid:100)∴HE”='2
(cid:9000) '2
02
(cid:8833) '3a
한 모서리의 길이가 a인 정육면체의 대각선의 길이
(022-057)우공비(해설)3 2015.3.30 3:54 PM 페이지030 SinsagoHitec
Step Up
기본서
정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면
우공비 B0X
(cid:100)(cid:100)'3a=12(cid:100)(cid:100)∴a=4'3
따라서 정육면체의 부피는
(cid:100)(cid:100)4'3_4'3_4'3=192'3
03
채점 기준
원의 반지름의 길이 구하기
원의 둘레의 길이 구하기
단면인 원의 반지름의 길이는
(cid:100)(cid:100)"√6¤ -4¤ =2'5 (cm)
따라서 원의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_2'5=4'5p (cm)
04
삼각형
오른쪽 그림과 같이 점
O에서 CD”에 내린 수선의
발을 E라 하면 △OHE에서
(cid:100)(cid:100)OE”="4√
따라서 구하는 겉넓이는
¤ +3¤ =5
▶ 40%
(cid:9000) 4'5p cm
반지름의 길이가 r인 원의
둘레의 길이 (cid:8825) 2pr
정사각뿔 (cid:8833) 밑면은 정사각형, 옆면은 합동인 이등변
O
4
(cid:100)(원뿔의 부피)
=;3!;_(밑넓이)_(높이)
D
3
A
H
3
E
3
C
B
(cid:100)(cid:100)6_6+4_ _6_5=96
(cid:9000) ③
1
2
세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의 대
05
각선의 길이 (cid:8833) "√a¤ +b¤ +c¤
DH”=a cm라 하면
(cid:100)(cid:100)"√3¤ +7¤ +a¤ ='8å7,(cid:100)(cid:100)a¤ +58=87
(cid:100)(cid:100)a¤ =29(cid:100)(cid:100)∴ a='2å9 (∵ a>0)
FH”="√3¤ +7¤ ='5å8 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)BFHD='2å9_'5å8
=29'2 (cm¤ )
(cid:8772)`MFND는 DM”=MF”=FN”=ND”이므로 마름
06
채점 기준
(cid:8772)MFND는 마름모임을 알기
MN”, FD”의 길이 구하기
(cid:8772)MFND의 넓이 구하기
모이다.
MN”=AC”='2_4=4'2 (cm)
FD”='3_4=4'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)`MFND=;2!;_4'2_4'3
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)`MFND=8'6 (cm¤ )
030 Check Up 풀이집
(cid:9000) ③
배점
60%
40%
▶ 60%
(cid:9000) ④
배점
30%
40%
30%
▶ 30%
▶ 40%
07
AE”_EG”=AG”_EP”
AG”="√5¤ +5¤ +10¤ =5'6
EG”='2_5=5'2
△AEG에서 AE”_EG”=AG”_EP”이므로
(cid:100)(cid:100)10_5'2=5'6_EP”
(cid:100)(cid:100)∴ EP”=
10'3
3
(cid:9000) ④
직각삼각형을 빗변이 아닌 변을 회전축으로 하여 1
08
회전 시킬 때 생기는 회전체 (cid:8833) 원뿔
회전체는 오른쪽 그림과 같은
원뿔이므로
(cid:100)(cid:100)(높이)="√10¤ -5¤
=5'3(cm)
따라서 원뿔의 부피는
(cid:100)(cid:100);3!;_p_5¤ _5'3=
125'3
3
p(cm‹ )
10`cm
5`cm
(cid:9000)
125'3
3
p cm‹
09
채점 기준
원뿔의 모선의 길이 구하기
부채꼴의 중심각의 크기 구하기
원뿔의 모선의 길이를 l cm라 하면
(cid:100)(cid:100)l=øπ2¤ +(4'2)¤ =6(cm)
오른쪽 전개도에서 부채꼴의 중
심각의 크기를 x°라 하면 부채
꼴의 호의 길이는 밑면인 원의
둘레의 길이와 같으므로
(cid:100)(cid:100)2p_6_
=2p_2
x
360
(cid:100)(cid:100)∴ x=120
6`cm
xæ
따라서 부채꼴의 중심각의 크기는 120°이다.
배점
40%
60%
▶ 40%
2`cm
▶ 60%
(cid:9000) 120°
반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 x°인 부채꼴의 호의
보충 학습
부채꼴의 호의 길이와 넓이
길이를 l, 넓이를 S라 하면
(cid:100)(cid:100)l=2pr_ , S=pr¤ _
x
360
x
360
(마름모의 넓이)
=;2!;_(두 대각선의 길이
의 곱)
▶ 30%
(cid:9000) 8'6 cm¤
부채꼴의 호의 길이와 밑면인 원의 둘레의 길이가
10
같다.
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)2pr=8p(cid:100)(cid:100)∴r=4
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:13 PM 페이지031 SinsagoHitec
모선의 길이를 l cm라 하면
(cid:100)(cid:100);2!;_l_8p=20p(cid:100)(cid:100)∴ l=5
따라서 주어진 전개도로 원
h`cm
뿔을 만들면 오른쪽 그림과
같다.
원뿔의 높이를 h cm라 하면
(cid:100)(cid:100)h="√5¤ -4¤ =3
이므로 원뿔의 부피는
(cid:100)(cid:100);3!;_p_4¤ _3=16p (cm‹ )
(cid:9000) 16p cm‹
11
뿔의 부피 (cid:8833) ;3!;_(밑넓이)_(높이)
주어진 전개도로 만들어지
O
는 정사각뿔은 오른쪽 그림과 같
다.
BD”='2_6=6'2 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)DH”= BD”=3'2 (cm)
△OHD에서
1
2
6Â5`cm
D
6`cm
H A
B
6`cm
C
(cid:100)(cid:100)OH”=ø∑(6'5)¤ -(∑3'2)¤ =9'2 (cm)
따라서 정사각뿔의 부피는
(cid:100)(cid:100);3!;_6¤ _9'2=108'2 (cm‹ )
12
한 모서리의 길이가 a인 정사면체
(cid:8833) (높이)= a, (부피)= a‹
'2
12
① CM”=;2!; BC”=6 (cm)
② DM”= _12=6'3 (cm)
③ DH”=;3@;DM”=;3@;_6'3=4'3 (cm)
④ (높이)= _12=4'6 (cm)
⑤ (부피)= _12‹ =144'2 (cm‹ )
'6
3
'3
2
'6
3
'2
12
(cid:9000) ⑤
삼각형의 무게중심은 중선을 꼭짓점으로부터 2 : 1
13
로 나눈다.
DM”=3MH”=3_ ='6 (cm)
정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
'6
3
'3
2
(cid:100)(cid:100) a='6 (cid:100)(cid:100)∴ a=2'2
따라서 정사면체의 부피는
우공비 B0X
기본서 75~77쪽
(cid:100)(cid:100) _(2'2 )‹ =;3*; (cm‹ )
'2
12
반지름의 길이가 r, 호의
길이가 l인 부채꼴의 넓이
5`cm
4`cm
(cid:8825) ;2!;rl
14
를 생각한다.
점 A에서 옆면을 따라 점 M에 이르는 최단 거리
B
M
A
6π
S
t
e
p
U
p
.
Ⅵ
피
타
고
라
스
정
리
(cid:9000) ①
B'
4π
M'
4π
A'
(cid:9000) ③
배점
30%
30%
40%
오른쪽 전개도에서
(cid:100)(cid:100)AA'”=2p_3=6p
(cid:100)(cid:100)∴ AM'”="(√4p)¤
(cid:100)(cid:100)∴AM'”=2'1å3 p
따라서 구하는 최단 거리는
√ +√(6p)¤
(cid:100)(cid:100)AM'”+M'B”=2AM'”
=4'1å3 p
15
채점 기준
삼각뿔 F-ABC의 부피 구하기
△AFC의 넓이 구하기
BI”의 길이 구하기
삼각뿔 F-ABC의 부피는
한 변의 길이가 a인 정삼
각형의 넓이
'3
(cid:8825) a¤
4
(cid:9000) ②
1
2
(cid:100)(cid:100) _{ _6_6}_6=36 (cm‹ )
△AFC는 한 변의 길이가 6'2 cm인 정삼각형이므로
▶ 30%
'3
4
(cid:100)(cid:100)△AFC= _(6'2)¤ =18'3(cm¤ )
삼각뿔 B-AFC의 부피는 삼각뿔 F-ABC의 부피와
▶ 30%
1
3
1
3
점 H는 △BCD의 무
게중심이므로
(cid:100)DH”：HM”=2：1
같으므로
(cid:100)(cid:100) _18'3_BI”=36
(cid:100)(cid:100)∴ BI”=2'3 (cm)
▶ 40%
(cid:9000) 2'3 cm
정팔면체는 모든 모서리의 길이가 같은 정사각뿔 2
16
개를 붙여 놓은 것이다.
주어진 정팔면체는 모든
모서리의 길이가 3'2 cm인 정
사각뿔 2개를 붙여 놓은 것과
같다.
꼭짓점 A에서 (cid:8772)BCDE에 내
3Â2`cm
B
E
H
D
C
A
F
린 수선의 발을 H라 하면
(cid:8772)BCDE는 한 변의 길이가 3'2 cm인 정사각형이므로
(cid:100)(cid:100)BD”='2_3'2=6(cm)
따라서 BH”=;2!; BD”=;2!;_6=3(cm)이므로
(cid:100)(cid:100)AH”="√(3'2)¤ -3¤ =3 (cm)
따라서 정팔면체의 부피는
(cid:100)(cid:100)2_[ _(3'2)¤ _3]=36 (cm‹ )
1
3
(cid:9000) ④
Ⅵ.피타고라스 정리 031
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:13 PM 페이지032 SinsagoHitec
배점
20%
20%
40%
20%
▶ 20%
▶ 20%
Step Up
기본서
17
채점 기준
BP”의 길이 구하기
PQ”의 길이 구하기
△PBQ의 높이 구하기
△PBQ의 넓이 구하기
'3
BP”=BQ”= _4=2'3
2
질에 의하여
(cid:100)(cid:100)PQ”= AC”= _4=2
1
2
1
2
△OAC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성
△PBQ는 오른쪽 그림과 같은 이등
변삼각형이므로 점 B에서 PQ”에 내
1
H
1
Q
P
린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)BH”=ø(π2'3)π
¤ -1¤
='1å1
▶ 40%
(cid:100)(cid:100)∴ △PBQ=;2!;_2_'1å1
(cid:100)(cid:100)∴ △PBQ='1å1
2Â3
2Â3
B
▶ 20%
(cid:9000) '1å1
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질
보충 학습
A
M
N
M
N
B
C
B
C
A
a
2a
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평
행하고, 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 ;2!;이다.
(cid:8825) △ABC에서 AM”=MB”, AN”=NC”이면
(cid:8825) (cid:100)(cid:100)MN”∥ BC”, MN”=;2!;BC”
18
최단 거리 (cid:8833) 선이 지나는 면의 전개도를 그려 본다.
△ABC™△ACD
△ABC™△ADB'
(SSS 합동)
75æ
B
30æ
30æ
A
30æ
4Â2
B'
(cid:100)(cid:100)∠ABC=∠ACB=75°
75æ
C
D
이고
이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=30°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BAB'=90°
위의 전개도에서 최단 거리는 BB'”의 길이이므로
AB”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)"√x¤ +x¤ =4'2,(cid:100)(cid:100)'2x=4'2
(cid:100)(cid:100)∴ x=4
032 Check Up 풀이집
우공비 B0X
중단원마무리평가
기본서 78~81쪽
05 ②
10 ④
15 ②
02 ④
07 ⑤
12 ③
17 '∂57
01 ⑤
06 ⑤
11 ②
16 ⑤
20 72'3 cm¤
22 10'3 cm¤
24 8'2 cm¤
04 ③
09 ⑤
14 ③
19 3'∂10
03 ④
08 ①
13 ②
18 '7
21 4'6 cm
23 9'3p cm‹
25 6'3 cm
한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이
01
(cid:8833) '2a
한 변의 길이를 a cm라 하면
'2a=2'5 ∴ a='∂10
따라서 정사각형의 둘레의 길이는
4_'∂10=4'∂10(cm)
(cid:9000) ⑤
점 B에서 PQ”에 내린
수선은 PQ”의 길이를
이등분하므로
(cid:100)PH”=QH”=1
가로, 세로의 길이가 각각
a, b인 직사각형의 대각선
의 길이
(cid:8825) "√a¤ +b¤
02
AB”_AD”=BD”_AH”
BD”="√4¤ +3¤ =5(cm)
△ABD에서 AB”_AD”=BD”_AH”이므로
(cid:100)(cid:100)3_4=5_AH”(cid:100)(cid:100)∴ AH”=;;¡5™;;(cm)
또 △ABH에서
(cid:100)(cid:100)BH”=æ≠3¤ -{;;¡5™;;}
¤ =
;5(;
(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AH”+BH”=;;¡5™;;+;5(;=;;™5¡;;(cm)
(cid:9000) ④
03
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이 (cid:8833)
'3
4
a¤
큰 정삼각형의 한 변의 길이는
(cid:100)(cid:100)3_2'2=6'2
따라서 구하는 넓이는
'3
4
_(6'2 )¤ =18'3
피타고라스 정리를 이용하여 BH”의 길이를 먼저 구
04
한다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
BH”=x라 하면 CH”=21-x
△ABH에서 AH”
△AHC에서 AH”
¤ =13¤ -x¤
¤ =20¤ -(21-x)¤
즉 13¤ -x¤ =20¤ -(21-x)¤ 이므로
42x=210 ∴ x=5
따라서 AH”="√13¤ -5¤ =12이므로
△ABH=;2!;_5_12=30
△ABB'에서
(cid:100)AB”：BB'”=1：'2
이므로
(cid:100)AB”：4'2=1：'2
(cid:100)∴ AB”=4
(cid:9000) 4
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:13 PM 페이지033 SinsagoHitec
05
특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용한다.
평면도형에서의 최단 거리 (cid:8833) 대칭인 점을 이용한다.
우공비 B0X
세 내각의 크기가 45°,
45°, 90°인 직각삼각형의
세 변의 길이의 비
(cid:8825) 1：1：'2
09
오른쪽 그림과
같이 점 A와 CD”에
대하여 대칭인 점을
(cid:9000) ②
세 내각의 크기가 30°,
60°, 90°인 직각삼각형의
세 변의 길이의 비
(cid:8825) 1：'3：2
A'이라 하면
(cid:100)(cid:100)AP”+BP”
=A'P”+BP”
æA'B”
기본서 77~79쪽
A'
300`m
C
300`m
A
600`m
600`m
P
300`m
E
D
500`m
B
△ADC에서(cid:100)(cid:100)AD”：AC”=1 : '2
(cid:100)(cid:100)AD” : 2'2=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ AD”=2
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=AD”=2
△ABD에서(cid:100)(cid:100)AD”：BD”=1 : '3
(cid:100)(cid:100)2 : BD”=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ BD”=2'3
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=BD”+CD”=2'3+2=2(1+'3)
직각이등변삼각형의 세 변의 길이의 비
06
(cid:8833) 1 : 1 : '2
A
45æ
C
x`cm
B
10`cm
정팔각형의 한 변의 길이
를 x cm라 하면 오른쪽 그림
의 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”：BC”=1：'2
(cid:100)(cid:100)AC”：x=1：'2
(cid:100)(cid:100)∴ AC”= x(cm)
'2
2
정사각형의 한 변의 길이가 10 cm이므로
'2
2
(cid:100)(cid:100) x+x+ x=10,(cid:100)(cid:100)('2+1)x=10
'2
2
(cid:100)(cid:100)∴ x=
10
'2+1
=
10('2-1)
('2+1)('2-1)
(cid:100)(cid:100)∴ x=10('2-1)
두 점(x¡, y¡), (x™, y™) 사이의 거리
07
(cid:8833) "√(x™-x¡)¤ +√(y™-y¡)¤
AB”=AC”이므로
(cid:100)(cid:100)"√(-6-2)¤ +√(5-7)¤ ="√(4-2)¤ +(a-7)¤
(cid:100)(cid:100)64+4=4+a¤ -14a+49
(cid:100)(cid:100)a¤ -14a-15=0,(cid:100)(cid:100)(a-15)(a+1)=0
(cid:9000) ⑤
분자, 분모에 '2-1을
곱하여 분모를 유리화
한다.
리에 의하여
(cid:100)(cid:100)(x¤ +25)+(x¤ +25)=(2x)¤
(cid:100)(cid:100)2x¤ +50=4x¤
(cid:100)(cid:100)x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5(∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2x=10
S
t
e
p
U
p
.
Ⅵ
피
타
고
라
스
정
리
따라서 △A'BE에서
(cid:100)(cid:100)A'B”="√600¤ +800¤
(cid:100)(cid:100)A'B”='ƒ1000000=1000(m)
즉 AP”+BP”æ1000이므로 구하는 최솟값은 1000 m이다.
(cid:9000) ⑤
세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의 대
10
각선의 길이 (cid:8833) "√a¤ +b¤ +c¤
한 직육면체의 가로의 길이를 x라 하면
(cid:100)(cid:100)AB”=AC”="√x¤ +3¤ +4¤ ="√x¤ +25
(cid:100)(cid:100)BC”=x+x=2x
이때 ∠BAC=90°이므로 △ABC에서 피타고라스 정
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
11
(cid:8772)AMGN은 마름모이다.
AM”=MG”=GN”=NA”이므로 (cid:8772)AMGN은 마름
정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)AG”='3x, MN”=BD”='2x
(cid:8772)AMGN=;2!;_'3x_'2x=18'6이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
따라서 정육면체의 한 모서리의 길이는 6 cm이다.
12
먼저 밑면의 반지름의 길이를 구한다.
밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)2pr=8p(cid:100)(cid:100)∴ r=4
(cid:100)(cid:100)∴ (높이)="√(2'7)¤ -4¤ =2'3 (cm)
Ⅵ.피타고라스 정리 033
(cid:100)(cid:100)∴ a=15(∵ a>0)
(cid:9000) ⑤
모이다.
08
알아본다.
AB”, BC”, AC”의 길이를 구하여 △ABC의 모양을
(cid:100)(마름모의 넓이)
=;2!;_(두 대각선의 길이
의 곱)
AB”="√{-1-(-2)}¤ +√{-1-(-4)}¤ ='1å0
BC”="√{1-(-1)}¤ +√{-3-(-1)}¤ =2'2
AC”="√{1-(-2)}¤ +√{-3-(-4)}¤ ='1å0
따라서 △ABC는 AB”=AC”인 이등
A
변삼각형이므로 꼭짓점 A에서
BC”에 내린 수선의 발을 D라 하면
Â10°
Â10°
(cid:100)(cid:100)AD”=øπ('1å0)¤ -('2)¤ =2'2
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_2'2_2'2
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=4
B
D
Â2
C
(cid:9000) ①
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:13 PM 페이지034 SinsagoHitec
Step Up
기본서
평면으로 구를 자른 단면
13
(cid:8833) 반지름의 길이가 AH”인 원
잘린 단면의 넓이가 225p cm¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)p_AH”
¤ =225p
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=15 (cm)(∵ AH”>0)
따라서 △OHA에서 구의 반지름의 길이는
(cid:100)(cid:100)OA”="√15¤ +8¤ =17(cm)
(cid:9000) ②
14
정사각뿔의 부피 (cid:8833) ;3!;_(밑넓이)_(높이)
△BCD에서
(cid:100)(cid:100)BD”='2_6=6'2
꼭짓점 O에서 밑면에 내린
수선의 발을 H라 하면
B
(cid:100)(cid:100)HD”=;2!; BD”=3'2
△OHD에서(cid:100)(cid:100)OH”=ø∑6¤ -(3'2)¤ =3'2
(cid:100)(cid:100)∴ (부피)=;3!;_6¤ _3'2=36'2
O
A
H
6
D
6
6
C
우공비 B0X
이등변삼각형의 꼭지각의 꼭짓점에서 밑변에 내린
18
수선은 밑변을 이등분한다.
BH”=;2!; BC”=;2!;_6=3
따라서 △ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”="√4¤ -3¤ ='7
(cid:9000) '7
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 꼭짓점의 좌
19
표 (cid:8833) (p, q)
y=-x¤ +6x-5=-(x¤ -6x+9-9)-5
=-(x-3)¤ +4
x=0일 때, y=-5
로 두 점 (3, 4), (0, -5) 사이의 거리는
따라서 꼭짓점의 좌표는 (3, 4)이고 y절편은 -5이므
(cid:100)(cid:100)"√(0-3)¤ +√(-5-4)¤ =3'1å0
(cid:9000) 3'1å0
보충 학습
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 성질
① 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y
축의 방향으로 q만큼 평행이동한 것이다.
점 H는 밑면인 정사각
형의 대각선의 교점이
다.
(cid:9000) ③
② 꼭짓점의 좌표 : (p, q)
③ 축의 방정식 : x=p
15
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이 (cid:8833)
△ABC에서
'3
(cid:100)(cid:100)PC”= _4=2'3 (cm)
2
PC”=PD”=2'3 cm이므로
△PCD는 이등변삼각형이다.
CQ”=DQ”=2(cm)이므로
(cid:100)(cid:100)PQ”=ø∑(2'3)¤ -2¤ =2'2 (cm)
'3
2
a
A
Q
C
P
4`cm
B
D
한 변의 길이가 a인 정삼
각형의 넓이
'3
(cid:8825) a¤
4
(cid:9000) ②
PC” (cid:8825) △ABC의 높이
PD” (cid:8825) △ABD의 높이
채점 기준
AD”의 길이 구하기
AB”의 길이 구하기
20
△BGD는 정삼각형임을 이용한다.
BG”=GD”=DB”='2_12=12'2(cm)
따라서 △BGD는 정삼각형이므로
'3
4
(cid:100)(cid:100)△BGD= _(12'2)¤ =72'3(cm¤ )
21
'3
2
22
(cid:9000) 72'3 cm¤
배점
2점
1점
배점
3점
1점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 4'6 cm
'3
4
_AD”
¤ =18'3이므로 AD”
¤ =72
∴ AD”=6'2(cm) (∵ AD”>0)
_AB”=6'2이므로 AB”=4'6(cm)
채점 기준
AH”의 길이 구하기
△AMC의 넓이 구하기
오른쪽 그림과 같이 점
A에서 BC”에 내린 수선의
발을 H라 하면 △ABH에서
8`cm
A
10`cm
D
60æ
(cid:100)(cid:100)AB”：AH”
”=2：'3
(cid:100)(cid:100)8：AH”
(cid:100)(cid:100)∴ AH”
”=2：'3
”=4'3 (cm)
B
60æ
M
5`cm
H
C
▶ 3점
최단 거리 (cid:8833) 선이 지나는 면의 전개도를 그려 본다.
16
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”="√4¤ +3¤
=5 (cm)
이고 오른쪽 전개도에서
구하는 최단 거리는 AD'”의 길이이다.
(cid:100)(cid:100)∴ AD'”="(√3+4√+5)√
(cid:100)(cid:100)∴ AD'”="√12¤ +5¤ =13 (cm)
¤ +5¤
B
C
A
D
E
5`cm
F
3`cm 4`cm
17
△DEC와 △DBC에서 피타고라스 정리를 이용한다.
EC”=6-4=2이므로 △DEC에서
DC”="√5¤ -2¤ ='∂21
따라서 △DBC에서 BD”="√6¤ +('∂21)¤ ='∂57
5`cm
A'
D'
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) '∂57
034 Check Up 풀이집
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:14 PM 페이지035 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 79~86쪽
▶ 1점
(cid:9000) 10'3 cm¤
MC”=BM”=5 (cm)
S
t
e
p
U
p
따라서 △AMC의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_5_4'3=10'3(cm¤ )
23
채점 기준
밑면의 반지름의 길이 구하기
원뿔의 높이 구하기
원뿔의 부피 구하기
밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
h`cm
(cid:100)(cid:100)2p_6_;2!;=2p_r(cid:100)(cid:100)∴r=3
따라서 주어진 전개도로 원뿔을 만
들면 오른쪽 그림과 같으므로 원
뿔의 높이를 h cm라 하면
(cid:100)(cid:100)h="√6¤ -3¤ =3'3
▶ 2점
(cid:100)(cid:100)∴ (부피)=;3!;_p_3¤ _3'3
(cid:100)(cid:100)∴ (부피)=9'3 p(cm‹ )
24
채점 기준
DH”의 길이 구하기
AH”의 길이 구하기
△AHD의 넓이 구하기
DE”= _4'3=6(cm)이므로
'3
2
DH”=;3@;DE”=;3@;_6=4(cm)
AH”= _4'3=4'2(cm)이므로
'6
3
△AHD=;2!;_4'2_4=8'2(cm¤ )
배점
1점
2점
1점
▶ 1점
6`cm
3`cm
▶ 1점
배점
2점
1점
1점
▶ 2점
▶ 1점
▶ 1점
(cid:9000) 9'3 p cm‹
직각삼각형에서 사인, 코
사인, 탄젠트 중 하나의
값을 알면 피타고라스 정
리를 이용하여 변의 길이
를 구한 후 나머지 두 삼
각비의 값도 알 수 있다.
한 변의 길이가 a인 정삼
각형의 높이
a'3
2
(cid:8825)
한 모서리의 길이가 a인
정사면체의 높이
이므로
(cid:8825)
a'6
3
(cid:9000) 8'2 cm¤
25
채점 기준
전개도에서 부채꼴의 중심각의 크기 구하기
최단 거리 구하기
원뿔의 전개도에서 부채꼴의
중심각의 크기를 x°라 하면
(cid:100)(cid:100)2p_12_
=2p_2
x
360
(cid:100)(cid:100)∴ x=60
▶ 3점
따라서 BP”는 정삼각형 ABB'의
높이이므로
(cid:100)(cid:100)BP”= _12=6'3 (cm)
'3
2
12`cm
B
배점
3점
2점
A
xæ
6`cm
P
B'
2`cm
▶ 2점
(cid:9000) 6'3 cm
x-y+2=0에서
y=x+2이므로 tan a
의 값은 직선의 기울
기와 같다.
AB”=AB'”이고
∠A=60°이므로
△ABB'은 정삼각형
이다.
(cid:9000) ;4#;
C
.
Ⅶ
삼
각
비
Ⅶ
-1. 삼각비
1. 삼각비
56 삼각비
기본서 84~87쪽
익히기 1 (cid:9000) ⑴ AC”, 5(cid:100) ⑵ AB”, 3(cid:100)⑶ AB”, 3
(cid:9000) ⑷ AC”, 5(cid:100)⑸ BC”, 4(cid:100) ⑹ AB”, 3
유제 ❶ AC”="√10¤ -8¤ =6이므로
(cid:100)(cid:100)cosA=
=;1§0;=;5#;, tan A=
AC”
AB”
BC”
AC”
=;6*;=;3$;
(cid:100)(cid:100)∴ cos A+tan A=;5#;+;3$;=;1@5(;
(cid:9000) ;1@5(;
유제 ❷ tan C=
AB”
BC”
=
AB”
6
= 이므로
'7
3
'7
(cid:100)(cid:100)AB”= _6=2'7
3
AC”="√(2'7)¤ +6¤ =8이므로
BC”
AC”
=;8^;=;4#;
(cid:100)(cid:100)cos C=
유제 ❸ cos A=;7%;이므로 오른쪽
그림과 같이
(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AC”=7, AB”=5
인 직각삼각형 ABC를 생각하면
(cid:100)(cid:100)BC”="7√
¤ -5¤ =2'6
BC”
AC”
=
2'6
7
따라서 sin A=
, tan A=
7
5
A
B
BC”
AB”
=
2'6
5
(cid:100)(cid:100)sin A+tan A=
2'6
7
+
2'6
5
=
24'6
35
(cid:9000) ④
유제 ❹ x-y+2=0에 x=0, y=0을 각각 대입하면
¤ +2¤ =2'2
(cid:100)(cid:100)A(-2, 0), B(0, 2)
따라서 △AOB에서
(cid:100)(cid:100)AO”=2, BO”=2, AB”="2√
이므로
(cid:100)(cid:100)sin a=
=
'2
2
'2
2
2
2'2
2
2'2
BO”
AB”
=
AO”
AB”
BO”
AO”
(cid:100)(cid:100)tan a=
=;2@;=1
(cid:100)(cid:100)cos a=
=
=
(cid:100)(cid:100)∴ sin a-cos a+tan a= - +1=1
'2
2
'2
2
(cid:9000) ④
Ⅶ.삼각비 035
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:14 PM 페이지036 SinsagoHitec
Step Up
기본서
유제 ❺ △ABC와 △DEC에서
(cid:100)(cid:100)∠ABC=∠DEC=90°,
(cid:100)(cid:100)∠C는 공통
이므로
(cid:100)(cid:100)△ABCª△DEC (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=∠CDE=x
△ABC에서 AC”="√8¤ +4¤ =4'5이므로
(cid:100)(cid:100)sin x=
BC”
AC”
=
4
4'5
=
'5
5
A
x
8
B
우공비 B0X
한 변의 길이가 a인 정사
각형의 대각선의 길이
(cid:8825) '2a
E
x
C
D
4
한 모서리의 길이가 a인
정육면체의 대각선의 길이
(cid:8825) '3a
(cid:9000) ⑤
(cid:100)(cid:100)tan x=
=
C
6
G
6Â3
x
E
6Â2
유제 ❼ △CEG에서
∠CGE=90°이고
(cid:100)(cid:100)EG”='2_6=6'2 ,
(cid:100)(cid:100)CE”='3_6=6'3
이므로
(cid:100)(cid:100)sin x=
=
CG”
CE”
CG”
EG”
6
6'3
6
6'2
'3
= ,
3
'2
2
'2
2
=
'3
3
(cid:100)(cid:100)∴ sin x_tan x= _ =
'6
6
(cid:9000) '6
6
유제 ❻-1 △ABC와 △DAC
에서
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠ADC=90°,
(cid:100)(cid:100)∠C는 공통
이므로
A
x
3
x
B
C
D
5
(cid:100)(cid:100)△ABCª△DAC (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠B=∠CAD=x
△ABC에서 AB”="√5¤ -3¤ =4이므로
(cid:100)(cid:100)cosx=
AB”
BC”
=;5$;
AB”_AC”=BC”_AD”이므로
(cid:100)(cid:100)4_3=5_AD”(cid:100)(cid:100)∴AD”=:¡5™:
△ACD에서
(cid:100)(cid:100)cos x=
=:¡5™:÷3=:¡5™:_;3!;=;5$;
AD”
AC”
(cid:9000) ;5$;
A
y
15
17
D
x
B
xy
8
C
유제 ❻-2 △ABC와 △ADB에서
(cid:100)(cid:100)∠ABC=∠ADB=90°,
(cid:100)(cid:100)∠A는 공통
이므로
(cid:100)(cid:100)△ABCª△ADB (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠C=∠ABD=x
△ABC와 △BDC에서
(cid:100)(cid:100)∠ABC=∠BDC=90°, ∠C는 공통
이므로
(cid:100)(cid:100)△ABCª△BDC (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=∠CBD=y
△ABC에서 AC”="√15¤ +8¤ =17이므로
(cid:100)(cid:100)sin x=
=;1!7%;,
AB”
AC”
BC”
AB”
(cid:100)(cid:100)tan y=
=;1•5;
(cid:100)(cid:100)∴ sin x_tan y=;1!7%;_;1•5;=;1•7;
(cid:9000) ;1•7;
036 Check Up 풀이집
소단원성취도진단
기본서 88~90쪽
01 ①
02 ⑤
03 18
06 ③
07 ;1•5;
08 ②
11 ③
12 ③
13 ③
14 ;2!;
16 ②
17 ④
18 2'2
04
09
5'∂11
11
3'5
5
05 ;1¡5;
10 ;5@;
'7
4
15
01
sin A=
(∠A의 대변의 길이)
(빗변의 길이)
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="‘3¤ +2¤ ='1å3
(cid:100)(cid:100)∴ sin x=
2
'1å3
=
2'1å3
13
sin x=
AC”
AB”
먼저 AC”의 길이를 구한 후 삼각비를 구한다.
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√5¤ +12¤ =13
⑤ cos A=;1∞3;
02
03
채점 기준
x의 값 구하기
y의 값 구하기
x+y의 값 구하기
tan B=
=;4#;이므로(cid:100)(cid:100)x=8
;[^;
△ABC에서(cid:100)(cid:100)y="√8¤ +6¤ =10
∴ x+y=18
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
배점
40%
40%
20%
▶ 40%
▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000) 18
”
”
”
”
”
”
”
”
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:14 PM 페이지037 SinsagoHitec
주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그려 본다.
주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그려 본다.
우공비 B0X
09
C
5
B
6
A
(cid:9000)
5'∂11
11
04
같이
sin A=;6%;이므로 오른쪽 그림과
∠B=90°, AC”=6, BC”=5
인 직각삼각형 ABC를 생각하면
AB”="√6¤ -5¤ ='∂11
=
(cid:100)(cid:100)∴ tan A=
5'∂11
11
5
'∂11
05
채점 기준
AC”의 길이 구하기
sin C, cos C, tan C의 값 구하기
sin C+cos C-tan C의 값 구하기
AC”="4√
¤ +3¤ =5이므로
(cid:100)(cid:100)sin C=;5$;, cos C=;5#;, tan C=;3$;
(cid:100)(cid:100)∴ sin C+cos C-tan C=;5$;+;5#;-;3$;
(cid:100)(cid:100)∴ sin C+cos C-tan C=;1¡5;
06
cos A=
(빗변이 아닌 ∠A의 이웃변의 길이)
(빗변의 길이)
b=2a이므로
(cid:100)(cid:100)c="√b¤ -a¤ ="√(2a)¤ -a¤ ='3a
(cid:100)(cid:100)∴ cos A=
=
;bC;
'3a
2a
=
'3
2
07
채점 기준
AC”의 길이 구하기
BC”의 길이 구하기
tan x의 값 구하기
△ADC에서(cid:100)(cid:100)AC”="1√0¤ -≈6Ω
¤ =15
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="1√7¤ -≈8Ω
¤ =8
(cid:100)(cid:100)∴ tan x=
AC”
BC”
=;1•5;
08
sin A=
(∠A의 대변의 길이)
(빗변의 길이)
sin A=
=;6%;이므로(cid:100)(cid:100)AC”=12
10
AC”
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="1√2¤
√-≈10Ω
¤ =2'1å1
(cid:100)(cid:100)∴ sin C=
2'1å1
12
=
'1å1
6
배점
20%
60%
20%
▶ 20%
▶ 60%
▶ 20%
(cid:9000) ;1¡5;
(cid:9000) ③
배점
30%
30%
40%
▶ 30%
▶ 30%
▶ 40%
(cid:9000) ;1•5;
(cid:9000) ②
기본서 86~89쪽
S
t
e
p
U
p
C
1
B
2 tan A-1=0에서
tan A=;2!;이므로 오른쪽 그림
과 같이
(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=2, BC”=1
A
2
인 직각삼각형 ABC를 생각하면
(cid:100)(cid:100)AC”="2√
따라서 sin A= = , cos A= =
¤ +1¤ ='5
1
'5
'5
5
'5
5
2
'5
3'5
5
2'5
5
이므로
(cid:9000)
3'5
5
2'5
5
=
(cid:100)(cid:100)sin A+cos A= +
일차함수 y=2x+4의 그래프
10
(cid:8833) x절편: -2, y절편: 4
y=2x+4에 x=0, y=0을 각각 대입하면
(cid:100)(cid:100)A(-2, 0), B(0, 4)
따라서 △AOB에서
(cid:100)(cid:100)AO”=2, BO”=4, AB”="√2¤ +4¤ =2'5
이므로
직각삼각형의 두 변의 길
이를 알면 피타고라스 정
리를 이용하여 나머지 한
변의 길이를 구할 수 있다.
y=2x+4에 y=0,
x=0을 각각 대입하
면 x=-2, y=4이므
로 x절편은 -2, y절
편은 4이다.
(cid:100)(cid:100)sin a=
4
2'5
=
2'5
5
, cos a=
2
2'5
'5
_ =;5@;
5
2'5
5
=
'5
5
(cid:9000) ;5@;
.
Ⅶ
삼
각
비
(cid:100)(cid:100)∴ sin a_cos a=
△ABC와 △EDC에서
∠A=∠DEC=90°,
∠C는 공통이므로
(cid:100)△ABCª△EDC
(AA 닮음)
닮은 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비의 값은
11
일정하다.
A
x
D
x5
13
E
12
C
△ABCª△EDC
(AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)∠EDC=∠B=x
B
△DEC에서
(cid:100)(cid:100)CD”="√5¤
√+≈12Ω
¤ =13
이므로(cid:100)(cid:100)sin x=;1!3@;, cos x=;1∞3;
(cid:100)(cid:100)∴ sin x-cos x=;1!3@;-;1∞3;=;1¶3;
(cid:9000) ③
12
∠C=∠BAD=x, ∠B=∠CAD=y
∠B=90°-x=y,
∠C=90°-y=x
△ABC에서
BC”="√6¤ +3¤ =3'5
B
이므로
cos x=
= , cos y=
3
3'5
'5
5
A
x
3
y
x
D
C
6
y
3´5
=
2'5
5
6
3'5
∴ cos x+cos y= +
'5
5
2'5
5
=
3'5
5
(cid:9000) ③
Ⅶ.삼각비 037
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:14 PM 페이지038 SinsagoHitec
Step Up
기본서
13
을 찾는다.
BD”를 빗변으로 하고 △ABE와 닮은 직각삼각형
우공비 B0X
16
주어진 삼각비를 갖는 직각삼각형을 그려 본다.
cos (90°-A)=;5@;이므로
A
△ABD와 △EBA에
서
∠BAD=∠BEA=90°,
∠ABD는 공통이므로
(cid:100)△ABDª△EBA
(AA 닮음)
(cid:9000) ③
오른쪽 그림과 같이
(cid:100)(cid:100)∠C=90, AB”=5, BC”=2
인 직각삼각형 ABC를 생각하면
AC”="√5¤ -2¤ ='∂21
∴ tan A=
2
'∂21
=
2'∂21
21
5
90æ-A
B
C
2
(cid:9000) ②
△ABDª△EBA (AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)∠BDA=∠BAE=x
△ABD에서 BD”="√8¤ +6¤ =10이므로
(cid:100)(cid:100)sin x=;1§0;=;5#;
AB”
¤ =BE”_BD”이므로
(cid:100)(cid:100)6¤ =BE”_10
(cid:100)(cid:100)∴ BE”=;1#0^;=:¡5•:
(cid:100)(cid:100)∴ sin x=:¡5•:÷6=:¡5•:_;6!;=;5#;
14
△AEG는 ∠AEG=90°인 직각삼각형이다.
△AEG에서 ∠AEG=90°이고
A
5
E
5´2
x
5
G
(cid:100)(cid:100)EG”="√3¤ +4¤ =5,
(cid:100)(cid:100)AG”="√3¤ +4¤ +5¤ =5'2
이므로
(cid:100)(cid:100)sin x=
(cid:100)(cid:100)cos x=
'2
= ,
2
'2
2
=
5
5'2
5
5'2
∴ sin x_cos x= _ =;2!;
'2
2
'2
2
(cid:9000) ;2!;
배점
50%
50%
A
H
12
C
▶ 50%
▶ 50%
(cid:9000) '7
4
15
채점 기준
AH”의 길이 구하기
cos C의 값 구하기
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
A에서 BC”에 내린 수선의 발을
15
B
H라 하면
(cid:100)(cid:100)sin B=
AH”
15
=;5#;
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=;5#;_15=9
(cid:100)(cid:100)cos C=
3'7
12
=
'7
4
따라서 △AHC에서 CH”="√12¤ -9¤ =3'7이므로
서술형 답안 작성 Tip
보조선을 그어 ∠B를 한 내각으로 갖는 직각삼각형을 찾는다.
038 Check Up 풀이집
17
∠B=∠EDC=∠DAC=x
△ABCª△DAC (AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)∠B=∠DAC=x
△ABCª△EDC (AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)∠EDC=∠B=x
① △ADE에서
tan x=
② △CDE에서
tan x=
DE”
AE”
CE”
DE”
A
x
E
B
x
x
D
C
세 모서리의 길이가 각각
a, b, c인 직육면체의 대
각선의 길이
(cid:8825) "√a¤ +b¤ +c¤
③ △ADC에서 tan x=
④ △ABD에서 tan x=
CD”
AD”
AD”
BD”
AC”
AB”
⑤ △ABC에서 tan x=
(cid:9000) ④
두 정삼각형 ABC, BCD
A
6
E
B
x
H
C
18
채점 기준
AE”, DE”의 길이 구하기
EH”의 길이 구하기
AH”의 길이 구하기
tan x의 값 구하기
에서
(cid:100)(cid:100)AE”=DE”
'3
2
(cid:100)(cid:100)AE”= _6=3'3 ▶ 30%
꼭짓점 A에서 DE”에 내린 수선
의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)EH”=;3!; DE”=;3!;_3'3='3
AH”= _6=2'6이므로
'6
3
(cid:100)(cid:100)tan x=
2'6
'3
=2'2
배점
30%
30%
30%
10%
D
▶ 30%
▶ 30%
▶ 10%
(cid:9000) 2'2
한 변의 길이가 a인 정삼
각형의 높이
a'3
2
(cid:8825)
한 모서리의 길이가 a인
정사면체의 높이
(cid:8825)
a'6
3
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:14 PM 페이지039 SinsagoHitec
④ tan 45°_sin¤ 60°-sin¤ 45°_cos 60°
sin¤ A=(sin A)¤
+sin A¤
2. 특수한 각의 삼각비의 값
57 30°, 45°, 60°의 삼각비의 값 기본서 91~93쪽
익히기 1 ⑴ sin 45°-cos 45°= - =0
'2
2
'2
2
⑶ sin 60°_cos 30°= _ =;4#;
⑵ tan 45°+cos 60°=1+;2!;=;2#;
'3
2
'3
2
'3
2
⑷ tan 60°÷ sin 60°='3÷ ='3_ =2
2
'3
(cid:9000) ⑴ 0(cid:100)⑵ ;2#;(cid:100)⑶ ;4#;(cid:100)⑷ 2
유제 ❶ ① sin 45°÷ cos 45°_tan 60°
'2
= ÷ _'3='3
2
'2
2
② cos 30°_tan 60°+cos 60°
'3
2
= _'3+;2!;=2
③ sin 60°_sin 30°÷tan 30°
'3
3
= _;2!;÷ =;4#;
'3
2
=1_{
'3
2
¤ -{
}
'2
2
¤ _;2!;
}
=;4#;-;4!;=;2!;
'3
= { +'3}-;2!;
2
3'3
2
'3
3
'3
= _
3
-;2!;=1
⑤ tan 30°(cos 30°+tan 60°)-sin 30°
유제 ❷ cos 60°=;2!;이므로(cid:100)(cid:100)3x+15°=60°
(cid:100)(cid:100)3x=45°(cid:100)(cid:100)∴ x=15°
(cid:100)(cid:100)∴ tan (x+30°)=tan 45°=1
(cid:9000) 1
유제 ❸ △ABD에서
(cid:100)(cid:100)sin 45°=
= (cid:100)(cid:100)∴ AD”=5
△ADC에서
(cid:100)(cid:100)sin 60°=
= (cid:100)(cid:100)∴ AC”=
AD”
5'2
5
AC”
'2
2
'3
2
10'3
3
(cid:9000)
10'3
3
우공비 B0X
기본서 90~94쪽
보충 학습
특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비
①
②
45æ
a
Â2a
45æ
a
aÂ3
2
a
30æ
60æ
a
2
1 ： 1 ： '2
45° 대변 90° 대변
1 ： '3 ： 2
30° 대변 60° 대변 90° 대변
유제 ❹-1 x-y+3=0에서 y=x+3이므로 직선의 기
울기는 1이다. 직선이 x축과 이루는 예각의 크기를 a라
하면(cid:100)(cid:100)tan a=1(cid:100)(cid:100)∴ a=45°
(cid:9000) ③
기울기가 a, y절편이 b인
직선의 방정식
(cid:8825) y=ax+b
가 30°이므로
유제 ❹-2 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기
(cid:100)(cid:100)(직선의 기울기)=tan 30°=
'3
3
직선의 y절편이 2이므로 구하는 직선의 방정식은
'3
(cid:9000) y= x+2
3
'3
(cid:100)(cid:100)y= x+2
3
S
t
e
p
U
p
.
Ⅶ
삼
각
비
(cid:9000) ④
sin 30°=cos 60°
sin 45°=cos 45°
sin 60°=cos 30°
tan 30°=
1
tan 60°
01
다.
소단원성취도진단
기본서 94~95쪽
01 ④
02 ③
03 5'2
04 ⑤
05
'3
3
06 9'2
10 ②
07 6('3-1)
11 2-'3 12 ②
08 '3
09 ①
특수한 각(30°, 45°, 60°)의 삼각비의 값을 이용한
① sin 45°=cos 45°=
'2
2
② sin 30°=cos 60°=;2!;
③ tan 30°=
1
tan 60°
=
'3
3
④ sin 30°+sin 60°=;2!;+
'3
2
'3
2
'3
2
⑤ sin¤ 60°+cos¤ 30°={
}2 +{
}2 =;2#;
(cid:9000) ④
특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 각의 크기를
02
구한다.
sin 30°=;2!;이므로
(cid:100)(cid:100)x-40°=30°(cid:100)(cid:100)∴ x=70°
(cid:9000) ③
Ⅶ.삼각비 039
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:14 PM 페이지040 SinsagoHitec
Step Up
기본서
03
(cid:8833) 45°
직각이등변삼각형에서 직각을 제외한 두 각의 크기
07
채점 기준
우공비 B0X
△ABC가 AB”=AC”인 직각이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠B=∠C=45°
따라서 cos C=cos 45°=
= 이므로
AC”
10
'2
2
(cid:100)(cid:100)AC”=5'2
(cid:9000) 5'2
직각이등변삼각형의 세 변의 길이의 비는
1：1：'2이므로
(cid:100)(cid:100)AC”：BC”=1：'2,(cid:100)(cid:100)AC”：10=1：'2
(cid:100)(cid:100)'2 AC”=10(cid:100)(cid:100)∴ AC”=5'2
특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 A, B의 값을
04
구한다.
A=;2!;_'3=
'3
2
B= ÷ =;2#;
'3
2
'3
3
∴ A¤ +B¤ ={
'3
2
¤ +{;2#;}
}
¤ =3
(cid:9000) ⑤
∠ACD=90°-∠A
=∠B=30°
므로
05
채점 기준
x의 크기 구하기
tan 3x의 값 구하기
sin (2x+40°)= 이므로
'3
2
배점
60%
40%
∠DCE
=90°-∠ACD
=90°-30°
=60°
cos 30°= '3
2
(cid:100)(cid:100)2x+40°=60°,(cid:100)(cid:100)2x=20°(cid:100)(cid:100)∴ x=10° ▶ 60%
'3
3
(cid:100)(cid:100)∴ tan 3x=tan 30°=
▶ 40%
(cid:9000)
'3
3
60°와 45°의 삼각비의 값을 이용하여 AD”의 길이
06
를 구한다.
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)tan 60°=
='3(cid:100)(cid:100)∴ AC”=18
△ACD에서
AC”
6'3
AD”
18
'2
2
(cid:100)(cid:100)cos 45°=
= (cid:100)(cid:100)∴ AD”=9'2 (cid:9000) 9'2
△ABC에서 AB”：AC”
”=1：'3이므로
(cid:100)(cid:100)6'3：AC”
”=1：'3(cid:100)(cid:100)∴AC”=18
△ACD에서 AD”：AC”=1：'2이므로
(cid:100)(cid:100)AD”：18=1：'2(cid:100)(cid:100)∴AD”=9'2
040 Check Up 풀이집
BC”의 길이 구하기
BD”의 길이 구하기
DC”의 길이 구하기
△ABC에서
배점
40%
40%
20%
6
BC”
6
BD”
(cid:100)(cid:100)tan 30°=
= (cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'3
▶ 40%
'3
3
△ABD에서
(cid:100)(cid:100)tan 45°=
=1(cid:100)(cid:100)∴ BD”=6
▶ 40%
(cid:100)(cid:100)∴ DC”=BC”-BD”=6'3-6=6('3-1) ▶ 20%
(cid:9000) 6('3-1)
특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 변의 길이를
08
구한다.
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)sin 30°=
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=4
AC”
8
=;2!;
△ADC에서 ∠ACD=30°이
8
D
A
60æ
30æ
30æ
B
C
E
60æ
(cid:100)(cid:100)cos 30°=
CD”
4
△DEC에서 ∠DCE=60°이므로
'3
2
= (cid:100)(cid:100)∴ CD”=2'3
(cid:100)(cid:100)cos 60°=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ EC”='3
(cid:9000) '3
EC”
2'3
x절편과 tan 30°의 값을 이용하여 직선의 방정식을
09
구한다.
a=tan 30°=
'3
3
'3
3
'3
3
직선 y= x+b가 점(-3, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)0= _(-3)+b(cid:100)(cid:100)∴ b='3
(cid:100)(cid:100)∴ a+b= +'3=
'3
3
4'3
3
(cid:9000) ①
10
tan 60°의 값을 이용하여 변의 길이의 비를 구한다.
원 O의 반지름의 길이를 a라 하면
(cid:100)(cid:100)AO”=CO”=a
△CPO에서 tan 60°=
(cid:100)(cid:100)PO”= a
1
'3
a
PO”
='3 이므로
(cid:100)(cid:100)∴ AO”：PO”=a： a='3：1
1
'3
CO”：PO”='3：1이고 CO”=AO”이므로
(cid:9000) ②
(cid:100)(cid:100)AO”：PO”='3：1
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배점
30%
30%
20%
20%
▶ 20%
▶ 20%
(cid:9000) 2-'3
우공비 B0X
반지름의 길이가 1인 사분
원을 이용하면 한 예각의
sin, cos, tan의 값을 선
분의 길이로 나타낼 수 있
다.
3
6+3'3
1
2+'3
=
=
=
2-'3
(2+'3)(2-'3)
2-'3
=2-'3
4-3
실수 a에 대하여
(cid:100)"≈a¤ =|a|
=[
a (aæ0)
-a (a<0)
11
채점 기준
AB”의 길이 구하기
BC”의 길이 구하기
DC”의 길이 구하기
tan D의 값 구하기
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)sin 30°=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AB”=6
▶ 30%
또 tan 30°=
= 이므로(cid:100)(cid:100)BC”=3'3 ▶ 30%
3
AB”
3
BC”
'3
3
DB”=AB”=6이므로
(cid:100)(cid:100)DC”=DB”+BC”=6+3'3
(cid:100)(cid:100)∴ tan D=
3
6+3'3
=2-'3
서술형 답안 작성 Tip
직각삼각형이 2개 이상 주어진 경우 삼각비의 값을 구할 때 어떤
선분이 빗변, 밑변, 높이인지 잘 살펴 본다.
기울기가 양수인 직선 y=mx+n이 x축과 이루는
12
예각의 크기를 a라 할 때 (cid:8833) m=tan a
y
y=´3x
å
a
∫
O
x
´3
y= x+3
3
두 직선이 x축과 이루
는 예각의 크기를 각각 a,
b라 하면
'3
tan a= ,
3
tan b='3
이므로(cid:100)(cid:100)a=30°, b=60°
따라서 a=b-a=30°이므로
sin a=sin 30°=;2!;
(cid:9000) ②
b=a+a이므로
a=b-a
익히기 2 ⑴ sin 90°+cos 90°=1+0=1
⑵ cos 0°_tan 0°=1_0=0
기본서 94~99쪽
(cid:9000) ⑴ 1(cid:100)⑵ 0
유제 ❶ tan a=
BE”
OB”
=
BE”
1
=BE”
(cid:9000) ⑤
유제 ❷ ① sin 0°_cos 60°-cos 0°
=0_;2!;-1=-1
② sin 90°_cos 0°+cos 90°_tan 0°
=1_1+0_0=1
③ (1+tan 45°)(1-tan 0°)
=(1+1)(1-0)=2
④ (sin 30°+cos 90°)÷tan 30°
'3
3
={;2!;+0}÷ =
'3
2
⑤ cos¤ 0°_sin¤ 90°-sin¤ 0°_tan¤ 0°
=1¤ _1¤ -0¤ _0¤ =1
(cid:9000) ④
유제 ❸ 45°sin x>0,
tan x>cos x>0이므로
(cid:100)(cid:100)sin x-tan x<0, tan x-cos x>0
(cid:100)(cid:100)∴ "(√sin √x-ta√n x)¤ -"√(tan x-c√os x)¤
(cid:100)(cid:100)=|sin x-tan x|-|tan x-cos x|
(cid:100)(cid:100)=-(sin x-tan x)-(tan x-cos x)
(cid:100)(cid:100)=-sin x+tan x-tan x+cos x
(cid:100)(cid:100)=-sin x+cos x
(cid:9000) -sin x+cos x
S
t
e
p
U
p
.
Ⅶ
삼
각
비
3. 예각의 삼각비의 값
익히기 3 (cid:9000) ⑴ 0.9455(cid:100)⑵ 0.2756(cid:100)⑶ 3.7321
58 예각의 삼각비의 값
기본서 96~97쪽
익히기 1 오른쪽 그림에서
AB”
1
⑴ sin 40°=
AB”
O’A”
=
⑴ sin 40°=AB”=0.64
⑵ cos 40°=
OB”
O’A”
=
OB”
1
⑵ cos 40°=OB”=0.77
y
1
0.84
0.64
C
A
40æ
B
0.77
D
1
x
O
⑶ tan 40°=
=CD”=0.84
CD”
OD”
=
CD”
1
59 삼각비의 표
기본서 98~99쪽
익히기 4 ⑴ sin 75°=0.9659이므로(cid:100)(cid:100)x=75°
⑵ cos 73°=0.2924이므로(cid:100)(cid:100)x=73°
⑶ tan 72°=3.0777이므로(cid:100)(cid:100)x=72°
(cid:9000) ⑴ 75°(cid:100)⑵ 73°(cid:100)⑶ 72°
유제 ❹ ⑴ sin 21°+cos 25°=0.3584+0.9063
=1.2647
⑵ cos 23°-tan 21°=0.9205-0.3839=0.5366
⑶ tan 24°+sin 21°-cos 22°
=0.4452+0.3584-0.9272=-0.1236
Ⅶ.삼각비 041
(cid:9000) ⑴ 0.64(cid:100)⑵ 0.77(cid:100)⑶ 0.84
(cid:9000) ⑴ 1.2647(cid:100)⑵ 0.5366(cid:100)⑶ -0.1236
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Step Up
기본서
유제 ❺ sin 81°=0.9877이므로(cid:100)(cid:100)x=81°
cos 80°=0.1736이므로(cid:100)(cid:100)y=80°
tan 79°=5.1446이므로(cid:100)(cid:100)z=79°
(cid:100)(cid:100)∴ x-y+z=81°-80°+79°=80°
(cid:9000) ③
우공비 B0X
삼각비의 표에서 삼각비의
값을 찾아 왼쪽의 각의 크
기를 읽는다.
유제 ❻ ⑴ tan 25°=
=0.4663
;5{;
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=2.3315
⑵ ∠A=90°-∠B=90°-64°=26°이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)sin 26°=
=0.4384
;2”0;
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=8.768
(cid:9000) ⑴ 2.3315(cid:100)⑵ 8.768
소단원성취도진단
기본서 100~101쪽
01 ①, ⑤ 02 ④, ⑤ 03 0.647 04 ④
05 ⑤
06 ③
07 ③
08 2
09 47°
10
3'3
8
AB”∥CD”이므로
(cid:100)∠OAB=∠OCD
(동위각)
11 '3
12 1.1159
01
분모가 되는 변의 길이가 1인 직각삼각형을 찾는다.
① sin x=
CD”
OC”
=
CD”
1
=CD”
⑤ cos y=
CD”
OC”
=
CD”
1
=CD”
(cid:9000) ①, ⑤
OC”의 길이를 삼각비의 값으로 나타낸 후
04
CB”=OB”-OC”임을 이용한다.
cos 50°=
OC”
OA”
(cid:100)(cid:100)∴ CB”=OB”-OC”=1-cos 50°
OC”
1
=OC”
=
(cid:9000) ④
05
∠OAB=90°-52°=38°
① sin 52°=
AB”
OA”
=
0.79
1
=0.79
② cos 52°=
③ tan 52°=
④ cos 38°=
=0.62
=1.28
=0.79
OB”
OA”
CD”
OD”
AB”
OA”
OD”
CD”
=
=
=
=
0.62
1
1.28
1
0.79
1
1
1.28
⑤ tan 38°=
=0.78125
(cid:9000) ⑤
0°…x<90°일 때, x의 값이 증가할수록
06
(cid:8833) sin x, tan x의 값은 증가, cos x의 값은 감소
① 0°…x<45°일 때, sin xcos x이므로
② (cid:100)(cid:100)sin 80°>cos 80°
③ 0°…x…90°일 때, x의 값이 증가하면 sin x의 값도
④ 0°…x…90°일 때, x의 값이 증가하면 cos x의 값은
증가하므로
(cid:100)(cid:100)sin 10°cos 40°
증가하므로
(cid:100)(cid:100)tan 25°0, 1+sin x>0
(cid:100)(cid:100)∴ "√(1-sin x)¤ +"√(1+sin x)¤
(cid:100)(cid:100)=|1-sin x|+|1+sin x|
(cid:100)(cid:100)=1-sin x+1+sin x=2
(cid:100)(cid:100)∠B=47°
10
채점 기준
CD”, BE”
”의 길이 구하기
DB”
”의 길이 구하기
색칠한 부분의 넓이 구하기
OB”=OC”=1이므로
(cid:100)(cid:100)sin 60°=
'3
=CD”= ,
2
CD”
OC”
BE”
OB”
OD”
OC”
또 cos 60°=
=OD”=;2!;이므로
(cid:100)(cid:100)DB”=OB”-OD”=1-;2!;=;2!;
따라서 색칠한 부분의 넓이는
'3
(cid:100)(cid:100);2!;_{ +'3}_;2!;=
2
3'3
8
(cid:100)(cid:100)tan 60°=
=BE”='3
▶ 40%
11
45°0, sin x-cos x>0
∴ "√(sin x+cos x)¤ -"√(sin x-cos x)¤
=|sin x+cos x|-|sin x-cos x|
=sin x+cos x-(sin x-cos x)
=sin x+cos x-sin x+cos x
=2 cos x
따라서 2 cos x=1, 즉 cos x=;2!;이므로
(cid:100)(cid:100)x=60°
∴ tan x=tan 60°='3
(cid:9000) '3
S
t
e
p
U
p
.
Ⅶ
삼
각
비
OD”의 길이를 구한 후 삼각비의 표를 이용하여
12
∠COD의 크기를 구한다.
DB”=0.1428이므로(cid:100)(cid:100)OD”=1-0.1428=0.8572
cos x=
=OD”=0.8572(cid:100)(cid:100)∴ x=31°
OD”
OC”
CD”
OC”
EB”
OB”
sin 31°=
=CD”에서(cid:100)(cid:100)CD”=0.5150
tan 31°=
=EB”에서(cid:100)(cid:100)EB”=0.6009
∴ CD”+EB”=0.5150+0.6009=1.1159
(cid:9000) 1.1159
중단원마무리평가
기본서 102~105쪽
01 ③
06 ④
11 ④
02 ③
07 ⑤
12 ②
03 ⑤
08 ②
13 ④
04 ①
09 ⑤
14 ④
05 ①
10 ⑤
15 ⑤
5'5
6
18
'3-3
2
17
16
5'∂13
13
19 2('3-1)
'3
6
23
24 12'3 25 0
20 ;2!;
21 ;5&;
22 0
01
먼저 BC”의 길이를 구한 후 삼각비를 이용한다.
sin B, sin C의 값을 AH”에 대한 식으로 나타낸다.
AH”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)sin B=
, sin C=
;c{;
;b{;
이므로
(cid:100)(cid:100)
sin C
sin B
=
÷
=
;c{;
;b{;
;b{;
_
;[C;
=
;bC;
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
03
sin B의 값을 이용하여 AC”의 길이를 구한다.
=;3@;이므로 AC”=6
sin B=
AC”
9
∴ BC”="√9¤ -6¤ =3'5
'5
∴ tan A=
2
3'5
6
=
(cid:9000) ⑤
Ⅶ.삼각비 043
▶ 30%
AB”
(cid:100)BC”
¤ =BC”
¤ +AC”
¤ 에서
¤ =AB”
¤ -AC”
BC”="√3¤ -1¤ =2'2
2'2
BC”
3
AB”
=
③ cos B=
▶ 30%
(cid:9000)
3'3
8
(사다리꼴의 넓이)
=;2!;_{(윗변의 길이)
02
+(아랫변의 길이)}
_(높이)
¤
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Step Up
기본서
우공비 B0X
04
tan A=
(∠A의 대변의 길이)
(빗변이 아닌 ∠A의 이웃변의 길이)
07
△ABC와 닮음인 직각삼각형을 찾는다.
C
a
B
b
c
오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)∠CAH=∠B=x
△ABC와 △HAC에서
∠BAC=∠AHC
이므로
=90°,
∠C는 공통이므로
(cid:100)△ABCª△HAC
(AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)sin x=
(cid:100)(cid:100)cos x=
AC”
BC”
AH”
= =
AB”
CH”
AC”
AB”
BC”
=
BH”
AB”
=
AH”
AC”
A
x
H
x
B
C
오른쪽 그림과 같은 직
각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)sin A=
, cos A=
;bA;
;bC;
sin A：cos A=1：3이므로
A
(cid:100)(cid:100)
：
=1：3, 즉a：c=1：3
;bA;
;bC;
(cid:100)(cid:100)∴ c=3a
(cid:100)(cid:100)∴ tan A=
=
;cA;
;3Åa;
=;3!;
(cid:9000) ①
05
먼저 직선의 방정식을 구한다.
직선의 기울기가 2이므로 직선의 방정식을
y=2x+b라 하면 직선이 점 (-1, 4)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)4=-2+b(cid:100)(cid:100)∴b=6
(cid:100)(cid:100)∴ y=2x+6
y=2x+6에 x=0을 대입하면 y=6이므로
(cid:100)(cid:100)A(0, 6)
y=0을 대입하면 x=-3이므로
(cid:100)(cid:100)B(-3, 0)
△ABO에서 AB”="√3¤ +6¤ =3'5이므로
sin x=
=
cos x=
=
3
3'5
6
3'5
'5
= ,
5
=
2'5
5
,
tan x=
=;6#;=;2!;
OB”
AB”
OA”
AB”
OB”
OA”
∴ sin x_cos x+tan x= _
'5
5
2'5
5
+;2!;
∴ sin x_cos x+tan x=;1ª0;
닮은 두 삼각형에서 대응각에 대한 삼각비의 값은
06
같다.
△ABC와 △DEC에서
(cid:100)(cid:100)∠B=∠DEC=90°, ∠C는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△DEC (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=∠EDC=x
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√17¤ -15¤ =8
BC”
AB”
이므로(cid:100)(cid:100)tan x=
=;;¡8∞;;
044 Check Up 풀이집
직선의 방정식에
x=-1, y=4를 대입
하면 성립한다.
한 변의 길이가 a인 정삼
각형의 높이
a'3
2
(cid:8825)
(cid:100)(cid:100)tan x=
AH”
BH”
⑤ AH”=AB” sin x=AC” cos x=BH” tan x
AC”
AB”
CH”
AH”
=
=
(cid:9000) ⑤
08
(cid:8833) △BCD의 무게중심
꼭짓점 A에서 △BCD에 내린 수선의 발
꼭짓점 A에서 △BCD에 내
A
린 수선의 발을 H라 하면 점H
2
는 △BCD의 무게중심이므로
x
D
B
H
M
C
(cid:100)(cid:100)DH”：HM”=2：1
이때 △BCD에서
'3
2
DM”= _2='3이므로
(cid:100)(cid:100)DH”=;3@;DM”=;3@;_'3=
2'3
3
'6
또 AH”= _2=
3
2'6
3
2'6
3
=
이므로
÷
2'3
3
3
2'3
='2
AH”
DH”
2'6
3
한 모서리의 길이가 a인
정사면체의 높이
(cid:100)(cid:100)tan x=
(cid:8825)
a'6
3
(cid:100)(cid:100)tan x=
_
(cid:9000) ②
특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 각의 크기를
09
구한다.
(cid:9000) ①
(cid:100)(cid:100)∴ sin 2x+cos x=sin 60°+cos 30°
tan 45°=1이므로(cid:100)(cid:100)x+15°=45°(cid:100)(cid:100)∴ x=30°
∴ sin 2x-tan x= + ='3
'3
2
'3
2
(cid:9000) ⑤
10
먼저 △ABC에서 AC”의 길이를 구한다.
∠BAC=90°-30°=60°이므로
∠BAD=∠DAC=;2!;_60°=30°
△ABC에서
△ADC에서
sin 30°=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AC”=3'3
AC”
6'3
(cid:9000) ④
cos 30°=
= (cid:100)(cid:100)∴ AD”=6
(cid:9000) ⑤
3'3
AD”
'3
2
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:14 PM 페이지045 SinsagoHitec
두 직각삼각형의 한 변이 공통일 때
11
(cid:8833) 먼저 공통인 변의 길이를 구한다.
특수한 각(0°, 30°, 45°, 60°, 90°)의 삼각비의 값
14
을 이용한다.
우공비 B0X
기본서 102~104쪽
45°의 삼각비의 값을 이용하여 먼저 BD”, CD”의 길
cos 60°=;2!;
(cid:9000) ④
A
22.5æ
22.5æ
B
45æ
4
D
45æ
C
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)tan 30°=
6
BC”
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6'3
△DBC에서
(cid:100)(cid:100)cos 45°=
CD”
6'3
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3'6
=
'3
3
=
'2
2
12
이를 구한다.
△DBC에서
(cid:100)(cid:100)cos 45°=
4
BD”
=
'2
2
(cid:100)(cid:100)∴ BD”=4'2
이때 AD”=BD”이므로
(cid:100)(cid:100)AD”=4'2(cid:100)
또 ∠BDC=∠DBC=45°이므로
(cid:100) (cid:100)CD”=BC”=4
삼각형의 외각의 성질에 의하여
(cid:100) (cid:100)∠ABD=∠BAD=;2!;_45°=22.5°
따라서 △ABC에서
(cid:100) (cid:100)tan 22.5°=
BC”
AC”
=
4
4+4'2
(cid:100) (cid:100)tan 22.5°=
1
1+'2
(cid:100) (cid:100)tan 22.5°='2-1
보충 학습
삼각형의 외각의 크기
크기의 합과 같다.
=
1-'2
(1+'2)(1-'2)
(cid:9000) ②
삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의
∠ABD+∠BAD
=∠BDC
13
∠AOB=x (cid:8833) ∠OAB=∠ODC=90°-x
① sin x=
AB”
OA”
=
AB”
1
=AB”
② cos x=
③ tan x=
OB”
OA”
CD”
OC”
=
=
④ sin (90°-x)=
=
=OB”
=CD”
OB”
1
CD”
1
OC”
OD”
1
OD”
AB”
1
AB”
OA”
=
⑤ cos (90°-x)=
=AB”
(cid:9000) ④
△OAB에서
(cid:100)sin(90°-x)=
OB”
OA”
OB”
1
=
=OB”
S
t
e
p
U
p
① '3 sin 60°+sin 30°+tan 0°
'3
='3_ +;2!;+0
2
=;2#;+;2!;=2
② tan 60°_tan 30°='3_ =1
'3
3
'2
③ cos 45°_sin 90°= _1= =sin 45°
2
④ tan 60°_sin 30°='3_;2!;= +cos 60°
'2
2
'3
2
'3
2
'3
2
⑤ sin 60°-cos 30°+cos 0°= - +1=1
(cid:9000) ④
삼각비의 값 (cid:8833) 삼각비의 표의 가로줄과 세로줄이
15
만나는 곳의 수
sin 83°=0.9925이므로 x=83°
cos 82°=0.1392이므로 y=82°
tan 80°=5.6713이므로 z=80°
∴ x-y+z=83°-82°+80°=81°
.
Ⅶ
삼
각
비
(cid:9000) ⑤
16
먼저 BD”의 길이를 구한다.
(cid:100)(cid:100)sin x=
△BCD에서 BD”="√12¤ +8¤ =4'∂13이므로
3'∂13
13
3'∂13
13
8
4'∂13
12
4'∂13
5'∂13
13
2'∂13
13
, cos x=
=
=
=
+
(cid:100)(cid:100)∴ sin x+cos x=
2'∂13
13
(cid:9000)
5'∂13
13
C
3
A
2
B
17
주어진 삼각비를 갖는 직각삼각형을 그려 본다.
3 cos A-2=0에서
cos A=;3@;이므로 오른쪽 그림과 같이
∠B=90°, AC”=3, AB”=2
인 직각삼각형 ABC를 생각하면
BC”="√3¤ -2¤ ='5
따라서 sin A= , tan A= 이므로
'5
3
'5
2
sin A+tan A= + =
'5
3
'5
2
5'5
6
(cid:9000)
5'5
6
Ⅶ.삼각비 045
”
”
”
”
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:14 PM 페이지046 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
18
△ABC에서 ∠A : ∠B : ∠C=a : b : c
(cid:8833) ∠A=180°_
a
a+b+c
∠A=180°_
=30°이므로
1
1+2+3
(cid:100)(cid:100)(sin A-cos A)÷tan A
=(sin 30°-cos 30°)÷tan 30°
'3
3
={;2!;- }÷
'3
2
=
'3-3
2
(cid:9000)
'3-3
2
19
△ABC=△OAB+△OBC+△OCA
cos 30°=
= 이므로
4'3
AB”
'3
2
(cid:100)(cid:100)AB”=8
sin 30°=
AC”
8
=;2!;이므로
(cid:100)(cid:100)AC”=4
따라서 △ABC=;2!;_4'3_4=8'3이고 원 O의 반지
름의 길이를 r라 하면
(cid:100)(cid:100)△ABC=△OAB+△OBC+△OCA
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_8_r+;2!;_4'3_r+;2!;_4_r
(cid:100)(cid:100)△ABC=r(6+2'3)
이므로(cid:100)(cid:100)r(6+2'3)=8'3
4'3
8'3
3+'3
6+2'3
(cid:100)(cid:100)∴ r=
=
(cid:100)(cid:100)∴ r=
4'3(3-'3)
(3+'3)(3-'3)
(cid:100)(cid:100)∴ r=2('3-1)
보충 학습
내심을 이용한 삼각형의 넓이
삼각형 ABC의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;r(AB”+BC”+CA”)
(cid:9000) 2('3-1)
△OAB=;2!;_AB”_r
△OBC=;2!;_BC”_r
△OCA=;2!;_AC”_r
주어진 일차함수의 그래프를 좌표평면 위에 나타내
20
어 본다.
sin 30°=;2!;, cos 30°= 이므로
'3
2
(cid:100)(cid:100) x+;2!;y= (cid:100)(cid:100)∴ y=-'3 x+'3
'3
2
'3
2
y=-'3 x+'3의 그래프가 x축, y축과 만나는 점을 각
각 A, B라 하면
(cid:100)(cid:100)A(1, 0), B(0, '3)
046 Check Up 풀이집
기울기가 음수인 직선
y=mx+n이 x축과 이루
는 예각의 크기를 a라 하
면
(cid:100)m=(직선의 기울기)
=-tan a
23
y=-'3x+'3에
x=0을 대입하면
(cid:100)y='3
y=0을 대입하면
(cid:100)x=1
오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)tan a=
OB”
OA”
이므로(cid:100)(cid:100)a=60°
='3
(cid:100)(cid:100)∴ sin
=sin 30°=
;2A;
;2!;
y
Â3°
B
Aa
1
O
x
21
채점 기준
점 A, B의 좌표 구하기
sin a, cos a의 값 구하기
sin a+cos a의 값 구하기
y=;3$;x+4에 x=0, y=0을 각각 대입하면
(cid:100)(cid:100)A(-3, 0), B(0, 4)
▶ 1점
△AOB에서 AO”=3, BO”=4, AB”="√3¤ +4¤ =5이므로
(cid:100)(cid:100)sin a=;5$;, cos a=;5#;
▶ 2점
(cid:100)(cid:100)∴ sin a+cos a=;5$;+;5#;=;5&;
22
채점 기준
sin x, cos x, tan x의 값 구하기
sin x-cos x_tan x의 값 구하기
△CEG에서 ∠CGE=90°이고
(cid:100)(cid:100)CE”='3_a='3a,
(cid:100)(cid:100)EG”='2_a='2a
이므로
(cid:100)(cid:100)sin x=
(cid:100)(cid:100)cos x=
(cid:100)(cid:100)tan x=
a
'3a
'2a
'3a
a
'2a
1
= =
'3
'2
= =
'3
1
= =
'2
'3
3
'6
3
'2
2
´3a
x
E
´2a
(cid:100)(cid:100)∴ sin x-cos x_tan x= - _
'3
3
'6
3
'2
2
(cid:100)(cid:100)∴sin x-cos x_tan x=0
채점 기준
주어진 이차방정식의 해 구하기
a의 크기 구하기
cos a-tan a의 값 구하기
4x¤ -12x+5=0에서 (2x-1)(2x-5)=0
∴ x=;2!; 또는 x=;2%;
(cid:9000)
;2!;
배점
1점
2점
1점
▶ 1점
(cid:9000) ;5&;
배점
3점
1점
C
a
G
▶ 3점
▶ 1점
(cid:9000) 0
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
E0330우중수3하_정(022-057) 2015.3.29 12:14 PM 페이지047 SinsagoHitec
00)
x¤ =160
즉 x¤ =40'2에서
따라서 AC”의 길이는 4'∂10 cm이다.
(cid:9000) ③
등변사다리꼴의 두 대각선
의 길이는 같다.
기본서 120~123쪽
S
t
e
p
U
p
(cid:9000) 117 m
.
Ⅶ
삼
각
비
BD”='2_6=6'2 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)BH”=DH”=3'2 (cm)
따라서 △OBH에서
(cid:100)(cid:100)OH”=3'2 tan 45°
=3'2_1=3'2 (cm)
(cid:9000) 3'2 cm
D
H
C
25æ
35æ
A
100`m
BE
17
DH”와 EH”의 길이를 각각 구하여 더한다.
점 C에서 DE”에 내린 수선
의 발을 H라 하면 CH”=100 m
이므로 △DCH에서
(cid:100)(cid:100)DH”=100 tan 25°
=100_0.47
=47 (m)
△CHE에서
(cid:100)(cid:100)EH”=100 tan 35°=100_0.70=70 (m)
따라서 B건물의 높이는
(cid:100)(cid:100)DE”=DH”+EH”
=47+70=117 (m)
18
△ABC=;2!;_AB”_BC”_sin B
△ABC=;2!;_AB”_BC”_sin B=100
이때 AB”는 20 % 줄이고 BC”는 20 % 늘였으므로
(cid:100)(cid:100)A'B”=0.8 AB”, BC'”=1.2 BC”
(cid:100)(cid:100)∴ △A'BC'=;2!;_A'B”_BC'”_sin B
(cid:100)(cid:100)∴ △A'BC'=;2!;_0.8 AB”_1.2 BC”_sin B
(cid:100)(cid:100)∴ △A'BC'=0.8_1.2_;2!;_AB”_BC”_sin B
(cid:100)(cid:100)∴ △A'BC'=0.8_1.2_100=96
(cid:9000) 96
19
(cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD
오른쪽 그림과 같이 꼭
D
짓점 D에서 BC”에 내린 수선
A
의 발을 H라 하면
△DHC에서
CH”=DH”=8'2 sin 45°
DH=8'2_ =8
'2
2
∴ BH”=BC”-CH”=12-8=4
△DBH에서 BD”="√8¤ +4¤ =4'5
8´2
45æ
C
60æ
6
B
H
12
Ⅶ.삼각비 055
(022-057)우공비(해설)3 2015.3.30 3:54 PM 페이지056 SinsagoHitec
Step Up
기본서
∴ (cid:8772)ABCD
=△ABD+△DBC
우공비 B0X
△DCH에서
(cid:100)(cid:100)DH”=4 sin 60°=4_ =2'3
'3
2
=;2!;_6_4'5_sin 60°+;2!;_12_8
=6'∂15+48
(cid:9000) 6'∂15+48
;2!;_BC”_DH”
(cid:100)(cid:100)CH”=4 cos 60°=4_;2!;=2
평행사변형 ABCD에서 ∠B가 둔각일 때
20
(cid:8833) (cid:8772)ABCD=AB”_BC”_sin (180°-B)
(cid:8772)ABCD=10_14_sin (180°-B)=70'3이므로
(cid:100)(cid:100)140 sin (180°-B)=70'3
즉 sin (180°-B)= 이므로
'3
2
180°-∠B=60°
∴ ∠B=120°
21
채점 기준
∠A의 크기 구하기
AC”의 길이 구하기
△ABC의 넓이 구하기
∠BIC=90°+;2!;∠A=105°이므로
(cid:100)(cid:100)∠A=30°
따라서 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”=
4
tan 30°
=4_'3=4'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_4_4'3=8'3 (cm¤ )
(cid:9000) 120°
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 2점
▶ 1점
보충 학습
삼각형의 내심의 활용
점 I가 △ABC의 내심일 때
(cid:100)(cid:100)∠BIC=∠BID+∠CID
=(●+_)+(●+△)
=(●+_+△)+●
=90°+;2!;∠A
A
I
D
B
C
배점
2점
2점
D
H
60æ
C
22
채점 기준
DH”, CH”의 길이 구하기
BD”의 길이 구하기
점 D에서 BC”의 연장
A
선에 내린 수선의 발을 H라
4
120æ
∠BCD=∠BAD=120°
B
8
하면
이므로
(cid:100)(cid:100)∠DCH=180°-120°=60°
056 Check Up 풀이집
▶ 2점
▶ 2점
(cid:9000) 4'7
배점
2점
2점
이때 BH”=BC”+CH”=8+2=10이므로 △DBH에서
(cid:100)(cid:100)BD”=øπ10¤ +(2'3)¤ =4'7
23
채점 기준
BE”의 길이 구하기
△EBC의 넓이 구하기
오른쪽 그림과 같이 AC”,
BD”의 교점을 E, 점 E에서
BC”에 내린 수선의 발을 H라
하면 △ABC™△DCB이므
로(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠DBC=30°
A
D
E
30æ
B
H
24`cm
C
(cid:100)(cid:100)BE”=
12
cos 30°
=12_ =8'3 (cm)
▶ 2점
2
'3
따라서 겹치는 부분인 △EBC의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_8'3_24_sin 30°=;2!;_8'3_24_;2!;
(cid:100)(cid:100);2!;_8'3_24_sin 30°=48'3 (cm¤ )
▶ 2점
(cid:9000) 48'3 cm¤
(cid:100)(cid:100)EH”=12 tan 30°=12_ =4'3 (cm)
'3
3
따라서 겹치는 부분인 △EBC의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_24_4'3=48'3 (cm¤ )
즉 △EBC는 EB”=EC”인 이등변삼각형이므로
이등변삼각형의 성질
① 두 밑각의 크기가 같다.
② 꼭지각의 이등분선은
밑변을 수직이등분한다.
(cid:100)(cid:100)BH”=CH”=;2!; BC”=12 (cm)
△EBH에서
24
채점 기준
△AEC의 넓이 구하기
△ABE의 넓이 구하기
sin 75°의 값 구하기
⑴ △AEC에서
(cid:100) AC”=CE”=2이고
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠ACE=60°+90°=150°
∠ACE
=∠ACB+∠BCE
=60°+90°=150°
(cid:100) 이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)△AEC
평행사변형에서 두 쌍의
대각의 크기는 각각 같다.
(cid:100)(cid:100) =;2!;_2_2_sin 30°
(cid:100)(cid:100) =;2!;_2_2_;2!;=1
배점
1점
2점
2점
150æ
C
2
E
▶ 1점
A
2
2
105æ
P
2Â2
B
D
(cid:9000) 8'3 cm¤
△EBH에서
(022-057)우공비(해설)3 2015.3.30 3:54 PM 페이지057 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 123~127쪽
▶ 2점
65 원의 중심과 현의 수직이등분선 기본서 126~127쪽
BE”='2_2=2'2
익히기 1 (cid:9000) 3, OM”, 3, 5
⑵ △ABE=△ABC+△BEC-△AEC
⑵ △ABE=;2!;_2_2_sin 60°+;2!;_2_2-1
'3
2
⑵ △ABE=;2!;_2_2_ +;2!;_2_2-1
⑵ △ABE='3+1
⑶ △ABE=;2!;_2_2'2_sin (180°-105°)
⑶ △ABE='3+1
⑶ 이므로(cid:100)(cid:100)2'2 sin 75°='3+1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ sin 75°=
'3+1
2'2
=
'6+'2
4
(cid:9000) ⑴ 1(cid:100)⑵ '3+1(cid:100)⑶
25
채점 기준
∠D의 크기 구하기
△OCD의 넓이 구하기
▶ 2점
'6+'2
4
배점
2점
2점
▶ 2점
(cid:9000)
3'2
2
∠A+∠D=180°이고 ∠A：∠D=3：1이므로
=45°
(cid:100)(cid:100)∠D=180°_
1
3+1
이때 (cid:8772)ABCD=4_3_sin 45°=6'2이므로
3'2
2
(cid:100)(cid:100)△OCD=;4!;(cid:8772)ABCD=;4!;_6'2=
▶ 2점
평행사변형에서 이웃하는
두 내각의 크기의 합은
180°이다.
S
t
e
p
U
p
.
Ⅷ
원
의
성
질
Ⅷ
-1. 원과 직선
1. 원의 현
익히기 2 ⑴ OM”⊥`AB”이므로
⑶ (cid:100)(cid:100)B’M”=A’M”=6 cm
⑶ (cid:100)(cid:100)∴ x=6
⑵ A’M”=B’M”이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)A’M”=;2!; AB”=6 (cm)
⑵ 직각삼각형 OAM에서
⑵ (cid:100)(cid:100)OM”="‘10¤ -6¤ =8 (cm)
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=8
⑶ 직각삼각형 OMB에서
⑵ (cid:100)(cid:100)BM”="√8¤ -4¤ =4'3 (cm)
⑵ AM”=BM”이므로(cid:100)(cid:100)x=4'3
유제 ❶ ⑴ A’M”=B’M”이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)A’M”=;2!; AB”=7 (cm)
⑵ OA”=11 cm이므로
직각삼각형 OAM에서
⑵ (cid:100)(cid:100)OM”="√11¤ -7¤ =6'2 (cm)
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=6'2
⑵ A’M”=B’M”이므로
⑴ (cid:100)(cid:100)A’M”=;2!;AB”=5 (cm)
⑴ OA”=x cm이고
⑴ OM”=10-x (cm)이므로
⑴ 직각삼각형 AOM에서
⑴ (cid:100)(cid:100)x¤ =(10-x)¤ +5¤
⑴ (cid:100)(cid:100)x¤ =100-20x+x¤ +25
⑴ (cid:100)(cid:100)20x=125(cid:100)(cid:100)∴ x=:™4∞:
보충 학습
피타고라스 정리
(cid:100)(cid:100)c¤ =a¤ +b¤
이 성립한다.
오른쪽 그림과 같은 직각삼각형에서
(cid:9000) ⑴ 6(cid:100)⑵ 8(cid:100)⑶ 4'3
O
M
11`cm
x`cm
B
14`cm
A
P
x`cm
O
10`cm
M
10`cm
A
B
(cid:9000) ⑴ 6'2(cid:100)⑵ :™4∞:
A
b
C
c
a
B
Ⅷ.원의 성질 057
△AOM은
∠AMO=90° 인 직
각삼각형이므로 피타
고라스 정리가 성립한
다.
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:17 PM 페이지058 SinsagoHitec
우공비 B0X
사각형의 내각의 크기의
합은 360°이다.
유제 ❻ (cid:8772)AMON에서
(cid:100)(cid:100)∠A=360°-(90°+110°+90°)=70°
O’M”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”
따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로
이등변삼각형의 두 밑각의
크기는 같다.
(cid:100)(cid:100)∠x=;2!;_(180°-70°)=55°
(cid:9000) ②
Step Up
기본서
유제 ❷ CM”이 현 AB의 수
직이등분선이므로 원의 중심
을 O라 하면 CM”의 연장선은
A
원의 중심 O를 지난다.
원 O의 반지름의 길이를 r cm
r`cm
4`cm
{r-2}`cm
B
2`cm
M
O
C
라 하면 O’M”=r-2 (cm)이므로 직각삼각형 OAM에서
(cid:100)(cid:100)r¤ =(r-2)¤ +4¤ ,(cid:100)(cid:100)r¤ =r¤ -4r+4+16
(cid:100)(cid:100)4r=20(cid:100)(cid:100)∴ r=5
따라서 원의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_5=10p(cm)
(cid:9000) ③
유제 ❸ OA”=2OM”=2_5=10 (cm)
이므로 직각삼각형 OAM에서
(cid:100)(cid:100)AM”="√10¤ -5¤ =5'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AM”=10'3 (cm)
66 원의 중심과 현의 길이
기본서 128~129쪽
익히기 3 ⑴ 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길
(cid:100) 이는 같으므로(cid:100)(cid:100)x=8
⑵ 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에
있으므로(cid:100)(cid:100)x=5
⑶ 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므
로 주어진 두 현의 길이는 모두 10 cm이다.
⑷ 따라서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은
거리에 있으므로(cid:100)(cid:100)x=3
(cid:9000) ⑴ 8(cid:100)⑵ 5(cid:100)⑶ 3
유제 ❹ 원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의
길이는 같으므로
(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=2BM”=2_3=6 (cm)
유제 ❺ AB”=2AM”=4'∂13 이므로
(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=4'∂13
직각삼각형 AMO에서
(cid:100)(cid:100)OM”="√8¤ -(2'∂13 )¤ =2'3
따라서 ON”=OM”=2'3이므로
(cid:100)(cid:100)△OCD=;2!;_4'∂13_2'3=4'∂39
058 Check Up 풀이집
(cid:9000) 4'∂39
(cid:9000) 10'3 cm
AB”⊥OM”이므로
(cid:100)AM”=BM”
(cid:9000) 6 cm
반지름의 길이가 r인 원의
넓이 (cid:8825) pr¤
소단원성취도진단
기본서 130~131쪽
02 49p cm¤
06 16'3 cm
01 ③
05 ②
09 12 cm 10 ④
14 ②
13 ②
11 128° 12 '∂65 cm
15 16'3 p cm
04 36 cm
03 ⑤
07 68 cm 08 ①
원의 중심에서 현에 내린 수선
01
(cid:8833) 현을 이등분한다.
오른쪽 그림과 같이 원의 중
심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발
을 M이라 하면 직각삼각형 OAM
에서
(cid:100)(cid:100)AM”="√3¤ -2¤
='5 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AM”=2'5 (cm)
02
채점 기준
원 O의 반지름의 길이 구하기
원 O의 넓이 구하기
AH”=;2!;AB”=3'5 (cm)
이므로 직각삼각형 OAH에서
(cid:100)(cid:100)OA”=ø∑(3'5)¤ +2¤
=7 (cm) ▶ 50%
따라서 원 O의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_7¤ =49p (cm¤ )
3`cm
O
2`cm
A
M
B
(cid:9000) ③
배점
50%
50%
A
B
O
2`cm
H
6Â5`cm
▶ 50%
(cid:9000) 49p cm¤
길이가 같은 두 현
03
(cid:8833) 원의 중심으로부터 같은 거리에 있다.
① AB”⊥OM”에서(cid:100)(cid:100)AB”=2BM”
① CD”⊥ON”에서(cid:100)(cid:100)CD”=2DN”
① 이때 BM”=DN”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=CD”
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:17 PM 페이지059 SinsagoHitec
우공비 B0X
원에서 길이가 같은 현에
대한 중심각의 크기는 같다.
② AB”=CD”이므로(cid:100)(cid:100)OM”=ON”
③ AB”=CD”이므로(cid:100)(cid:100)∠AOB=∠COD
④ △AOB=;2!;_AB”_OM”
④ △AOB=;2!;_CD”_ON”=△COD
⑤ ∠AOC+∠BOD이므로(cid:100)(cid:100)μAC+μ `BD
(cid:9000) ⑤
04
세 변의 길이가 같은 삼각형 (cid:8833) 정삼각형
원의 중심 O에서 AB”, BC”, CA”가 같은 거리에 있
으므로(cid:100)(cid:100)AB”=BC”=CA”
따라서 △ABC의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)3_12=36(cm)
(cid:9000) 36 cm
원의 중심에서 현에 내린 수선
05
(cid:8833) 현을 이등분한다.
직각삼각형 OAM에서
(cid:100)(cid:100)OA”=;2!; CD”=7 (cm),
(cid:100)(cid:100)AM”
”=;2!; AB”=5 (cm)
이므로
(cid:100)(cid:100)OM”="ç7¤ -5¤ =2'6 (cm)
A
10`cm
M
B
7`cm
C
D
O
14`cm
06
직각삼각형 OHC에서 CH”의 길이를 먼저 구한다.
직각삼각형 OHC에서
(cid:100)(cid:100)OC”=16 cm,
(cid:100)(cid:100)OH”=OB”-HB”
=16-8=8 (cm)
이므로
(cid:100)(cid:100)CH”="√16¤ -8¤
=8'3 (cm)
A
B
H
16`cm
O
8`cm
C
D
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=2CH”=2_8'3=16'3 (cm)
(cid:9000) 16'3 cm
07
현의 수직이등분선 (cid:8833) 원의 중심을 지난다.
수레바퀴가 원 모양이므
O
로 수레바퀴의 중심을 O라 하
{r-18}cm
r`cm
고 반지름의 길이를 r cm라
30`cm
18`cm
하면 오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)r¤ =(r-18)¤ +30¤
(cid:100)(cid:100)r¤ =r¤ -36r+324+900,(cid:100)(cid:100)36r=1224
(cid:100)(cid:100)∴ r=34
따라서 수레바퀴의 지름의 길이는 68 cm이다.
(cid:9000) 68 cm
S
t
e
p
U
p
.
Ⅷ
원
의
성
질
기본서 127~131쪽
원의 중심에서 현에 내린 수선
08
(cid:8833) 현을 이등분한다.
점 O에서 AB”에 내린 수선
의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)AH”=;2!;AB”=8 (cm),
(cid:100)(cid:100)CH”=;2!;CD”=5 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=AH”-CH”
(cid:100)(cid:100)∴AC”=8-5=3 (cm)
O
H
A C
D B
(cid:9000) ①
09
원의 중심에서 접은 선에 이르는 거리
(cid:8833) ;2!;_(반지름의 길이)
오른쪽 그림과 같이 점 O에
서 현 AB에 내린 수선의 발을
M이라 하면
r`cm
O
r
2
cm
(cid:100)(cid:100)AM”=;2!;AB”=6'3 (cm)
OA”=r cm라 하면
A
M
B
6Â3`cm
OM”=
cm이므로 직각삼각형 OAM에서
;2R;
(cid:100)(cid:100)r¤ =(6'3)¤ +{;2R;}
(cid:100)(cid:100)r¤ =144(cid:100)(cid:100)∴ r=12 (∵ r>0)
¤ ,(cid:100)(cid:100);4#; r¤ =108
(cid:9000) 12 cm
원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 현
10
(cid:8833) 길이가 같다.
직각삼각형 OAM에서
(cid:100)(cid:100)AM”="1√0¤ -6¤ =8 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=AB”=2AM”=16 (cm)
(cid:9000) ④
배점
50%
50%
▶ 50%
(cid:9000) 128°
배점
20%
30%
50%
OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”
즉 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=180°-2_64°=52°
▶ 50%
따라서 (cid:8772)AMON에서
(cid:100)(cid:100)∠x=360°-(52°+90°+90°)=128°
12
채점 기준
AM”의 길이 구하기
OM”의 길이 구하기
원 O의 반지름의 길이 구하기
Ⅷ.원의 성질 059
(cid:9000) ②
피타고라스 정리에 의
하여
(cid:100)OA”
¤ =AM”
¤ +OM”
원의 지름인 AB”의 길
이가 32 cm이므로
(cid:100)OC”=;2!;AB”
=16 (cm)
11
채점 기준
∠BAC의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
¤
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:17 PM 페이지060 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
A
O
C
M
8`cm
10`cm
두 직선 PA, PB가
원 O의 접선이므로
(cid:100)OA”⊥PA”,
(cid:100)OB”⊥PB”
오른쪽 그림과 같이 점 O
에서 AB”, CD”에 내린 수선의
발을 각각 M, N이라 하면
A
M
O
B
C
H
N
D
(cid:100)(cid:100)AM”=;2!;AB”
(cid:100)(cid:100)AM”=;2!;_(4+12)
(cid:100)(cid:100)AM”=8 (cm)
(cid:100)(cid:100)O’M”=NH”=CN”-CH”
(cid:100)(cid:100)O’M”=;2!; CD”-CH”
(cid:100)(cid:100)O’M”=;2!;_(6+8)-6=1 (cm)
따라서 직각삼각형 AOM에서
(cid:100)(cid:100)O’A”="√8¤ +1¤ ='å65 (cm)
▶ 30%
▶ 50%
(cid:9000) 'å65 cm
13
현의 수직이등분선 (cid:8833) 원의 중심을 지난다.
이등변삼각형 ABC의 꼭짓점
A에서 BC”에 내린 수선의 발을 M
B
이라 하면
(cid:100)(cid:100)BM”=CM”=;2!; BC”=8(cm)
따라서 AM”은 BC”의 수직이등분
선이므로 AM”의 연장선은 원의 중심 O를 지난다.
직각삼각형 OMB에서
(cid:100)(cid:100)OM”="√10¤ -8¤ =6 (cm)
따라서 AM”=OA”-OM”=10-6=4 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_16_4=32 (cm¤ )
원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 현
14
(cid:8833) 길이가 같다.
OL”=OM”이므로
(cid:100)(cid:100)AC”=AB”=2_2=4
이때 ∠BAC=60°이므로
(cid:9000) ②
배점
40%
40%
20%
15
채점 기준
ND”의 길이 구하기
OD”의 길이 구하기
원 O의 둘레의 길이 구하기
060 Check Up 풀이집
OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=24 cm
(cid:100)(cid:100)∴ ND”=;2!; CD”=12 (cm)
△OND에서
▶ 40%
(cid:100)(cid:100)OD”=
ND”
cos 30°
=12_ =8'3 (cm)
▶ 40%
2
'3
원의 중심에서 현에 내린
수선은 그 현을 이등분한다.
▶ 20%
따라서 원 O의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_8'3=16'3p (cm)
▶ 20%
(cid:9000) 16'3 p cm
2. 원의 접선
67 원의 접선의 길이
기본서 132~133`쪽
익히기 1 ⑴ ∠OAP=∠OBP=90°이므로 (cid:8772)AOBP
⑵ 에서
⑵ (cid:100)(cid:100)∠P=360°-(90°+115°+90°)=65°
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=65
⑵ ∠OAP=90°이고 OP”=8+2=10 (cm)이므로
⑵ 직각삼각형 AOP에서
⑵ (cid:100)(cid:100)8¤ +x¤ =10¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =36
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
⑶ 원 밖의 한 점P 에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같
으므로
⑵ (cid:100)(cid:100)PB”=PA”=12 cm(cid:100)(cid:100)∴ x=12
(cid:9000) ⑴ 65(cid:100)⑵ 6(cid:100)⑶ 12
유제 ❶ 오른쪽 그림과 같이
OA”를 그으면 △OAQ는
∠OQA=90°인 직각삼각형이
므로
(cid:100)(cid:100)AQ”="√3¤ -1¤ =2'2
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AQ”=2_2'2
(cid:100)(cid:100)∴AB”=4'2
3
A
B
O
1
Q
2
P
(cid:9000) 4'2
유제 ❷ ⑴ PA”=PB”이므로 △PAB는 이등변삼각형
(cid:100)(cid:100)∠ABC=∠ACB=;2!;_(180°-60°)=60°
즉 △ABC는 정삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)△ABC= _4¤ =4'3
'3
4
한 변의 길이가 a인 정삼
각형의 넓이
'3
(cid:8825) a¤
4
(cid:9000) ②
(cid:100) 이다.
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ ∠PAB=∠PBA=;2!;_(180°-40°)=70°
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=70
⑵ PB”=PA”=x cm, OP”=6+4=10 (cm)이고
반지름의 길이
⑵ ∠OBP=90°이므로 △OPB에서
⑵ (cid:100)(cid:100)x¤ +6¤ =10¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ =64
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
(cid:9000) ⑴ 70(cid:100)⑵ 8
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:17 PM 페이지061 SinsagoHitec
68 삼각형의 내접원
기본서 134~135`쪽
69 원에 외접하는 사각형
기본서 136~137`쪽
익히기 2 ⑴ BD”=BE”=9 cm이므로
⑴ (cid:100)(cid:100)AF”=AD”=17-9=8 (cm)
⑴ CF”=CE”=10 cm이므로
⑴ (cid:100)(cid:100)AC”=AF”+CF”=8+10=18 (cm)
⑴ (cid:100)(cid:100)∴ x=18
⑵ BE”=BD”=5 cm이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)CF”=CE”=8-5=3 (cm)
⑴ (cid:100)(cid:100)∴ AD”=AF”=9-3=6 (cm)
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=6
⑶ AF”=AD”=5 cm이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)CE”=CF”=10-5=5 (cm)
⑵ AD”=5 cm이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)BE”=BD”=11-5=6 (cm)
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ BC”=BE”+CE”=6+5=11 (cm)
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=11
(cid:9000) ⑴ 18(cid:100)⑵ 6(cid:100)⑶ 11
유제 ❸ BE”=BD”
”=9-5=4 (cm)
AF”=AD”=5 cm이므로
(cid:100)(cid:100)CE”=CF”=8-5=3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=BE”+CE”=4+3=7 (cm)
(cid:9000) ③
유제 ❹ 오른쪽 그림과
같이 원 O와 △ABC의
세 변의 접점을 각각 D,
E, F라 하고 원 O의 반
지름의 길이를 r라 하면
8-r
A
D
r
B
8-r
F
r
O
r
15-r
r
E
15-r
C
(cid:8772)`DBEO는 한 변의 길이가 r인 정사각형이다.
∠B=90°이므로(cid:100)(cid:100)BC”="√17¤ -8¤ =15
BD”=BE”=r이므로
(cid:100)(cid:100)AF”=AD”=8-r, CF”=CE”=15-r
따라서 AC”=AF”+CF”이므로
(cid:100)(cid:100)(8-r)+(15-r)=17,(cid:100)(cid:100)2r=6
(cid:100)(cid:100)∴ r=3
(cid:9000) 3
△ABC=;2!;_15_8=60
또 △ABC=△OAB+△OBC+△OCA
=;2!;_8_r+;2!;_15_r+;2!;_17_r
=20r
이므로
(cid:100)(cid:100)20r=60(cid:100)(cid:100)∴r=3
우공비 B0X
원 밖의 한 점에서 그 원
에 그은 두 접선의 길이는
같다.
사각형 ABCD가 원에
외접하면 대변의 길이의
합은 같다.
(cid:8825) AB”+DC”=AD”+BC”
기본서 131~138쪽
S
t
e
p
U
p
익히기 3 ⑴ 5+x=4+10(cid:100)(cid:100)∴ x=9
⑵ 6+10=x+(4+9)(cid:100)(cid:100)∴ x=3
⑶ (3+x)+(2+4)=5+9(cid:100)(cid:100)∴ x=5
(cid:9000) ⑴ 9(cid:100)⑵ 3(cid:100)⑶ 5
유제 ❺-1 사각형 ABCD가 원O에 외접하므로
(cid:100)(cid:100)AB”+DC”=AD”+BC”=;2!;_46=23 (cm)
즉 AD”+12=23 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)AD”=11 (cm)
(cid:9000) 11 cm
유제 ❺-2 AH”=AE”=EB”=BF”=OF”=2이고
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
(cid:100)(cid:100)4+5=3+(2+CF”)
AB”=AE”+BE”
=2+2=4
(cid:100)(cid:100)∴ CF”=4
(cid:9000) 4
유제 ❻ AL”=BL”=;2!;AB”=5 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)AP”=AL”=5 cm, BM”=BL”=5 cm
(cid:100)(cid:100)∴ CM”=PD”=14-5=9 (cm)
ME”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)DE”=DN”+NE”=PD”+ME”=9+x(cm)
(cid:100)(cid:100)CE”=CM”-ME”=9-x(cm)
(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=10 cm
이므로 직각삼각형 DEC에서
(cid:100)(cid:100)(9+x)¤ =10¤ +(9-x)¤
(cid:100)(cid:100)x¤ +18x+81=100+x¤ -18x+81
(cid:100)(cid:100)36x=100(cid:100)(cid:100)∴x=:™9∞:
.
Ⅷ
원
의
성
질
(cid:9000) :™9∞: cm
소단원성취도진단
기본서 138~139쪽
01 32 p
02 ④
06 24 cm 07 ③
11 5'3 cm
03 12 cm 04 ②
09 ③
08 18
13 13
12 15
05 ③
10 6
14 ③
01
원의 접선 (cid:8833) 접점을 지나는 반지름과 수직이다.
직선 PA는 원 O의 접선이므로
AB”⊥OD” (cid:8825) OD”=r
BC”⊥OE” (cid:8825) OE”=r
AC”⊥OF” (cid:8825) OF”=r
(cid:100)(cid:100)∠OAP=90°
직각삼각형 OAP에서
(cid:100)(cid:100)OA”="√9¤ -7¤ =4'2
따라서 원 O의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_(4'2)¤ =32p
(cid:9000) 32p
Ⅷ.원의 성질 061
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:17 PM 페이지062 SinsagoHitec
Step Up
기본서
PA”, PB”가 원O의 접선
02
(cid:8833) OA”⊥PA”, OB”⊥PB”
03
같다.
05
같다.
오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)∠PAO=∠PBO=90°,
12`cm
(cid:100)(cid:100)PO”는 공통,
P
O
(cid:100)(cid:100)OA”=OB” (반지름)
12`cm
A
B
이므로
(cid:100)(cid:100)△OAP≡△OBP (RHS합동)
(cid:100)(cid:100)∴ PB”=PA”=12 cm
또 △OAP에서
(cid:100)(cid:100)90°+∠APO+∠POA=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠APO+∠POA=90°
그런데 주어진 조건만으로 OA”의 길이는 알 수 없으므
로 옳지 않은 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는
AF”=AD”=4 cm이므로
(cid:100)(cid:100)CE”=CF”=8-4=4 (cm)
따라서 BD”=BE”=12-4=8 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=4+8=12(cm)
(cid:9000) 12 cm
04
원에 외접하는 사각형 (cid:8833) 대변의 길이의 합이 같다.
BE”=BF”=5 cm이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=1+5=6 (cm)
AB”+DC”=AD”+BC”이므로 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2(AB”+DC”)=2_(6+10)=32 (cm)
(cid:9000) ②
원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는
AB”와 반원 O의 접점을 E라 하면
8`cm
A
D
(cid:100)(cid:100)AE”=AD”=8 cm,
(cid:100)(cid:100)BE”=BC”=12 cm
점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H
라 하면 직각삼각형 ABH에서
(cid:100)(cid:100)AB”=8+12=20(cm),
(cid:100)(cid:100)BH”=12-8=4(cm)
이므로
(cid:100)(cid:100)AH”="√20¤ -4¤ =8'6 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=AH”=8'6 cm
06
채점 기준
PA”의 길이 구하기
△PDC의 둘레의 길이 구하기
062 Check Up 풀이집
E
B
H
12`cm
O
C
(cid:9000) ③
배점
40%
60%
우공비 B0X
△PAO는 ∠PAO=90°인 직각삼각형이므로
▶ 40%
(cid:100)(cid:100)PA”="√13¤ -5¤ =12 (cm)
CA”=CE”, DB”=DE”이므로
(cid:100)(cid:100)(△PDC의 둘레의 길이)
(cid:100)=PC”+CD”+PD”
=PC”+(CE”+DE”)+PD”
=(PC”+CA”)+(DB”+PD”)
=PA”+PB”=2PA”
=2_12
=24 (cm)
CE”=CA”, DE”=DB”
07
AD”=AF”, BD”=BE”, CE”=CF”
BE”=BD”=9 cm, CE”=CF”=11 cm
AD”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)AF”=AD”=xcm
(cid:100)(cid:100)2(x+9+11)=48
(cid:100)(cid:100)∴ x=4
△ABC의 둘레의 길이가 48 cm이므로
08
채점 기준
AB”를 x, y로 나타내기
BC”를 y, z로 나타내기
CA”를 z, x로 나타내기
x+y+z의 값 구하기
AF”=AD”=x, BD”=BE”=y, CE”=CF”=z이므로
yy ㉠(cid:100)▶ 20%
yy ㉡(cid:100)▶ 20%
yy ㉢(cid:100)▶ 20%
(cid:100)(cid:100)AB”=AD”+BD”=x+y
(cid:100)(cid:100)BC”=BE”+CE”=y+z
(cid:100)(cid:100)CA”=CF”+AF”=z+x
㉠+㉡+㉢을 하면
(cid:100)(cid:100)AB”+BC”+CA”=2(x+y+z)
(cid:100)(cid:100)∴ x+y+z=;2!;(AB”+BC”+CA”)
(cid:100)(cid:100)∴x+y+z=;2!;_(10+12+14)
(cid:100)(cid:100)∴x+y+z=18
▶ 60%
(cid:9000) 24 cm
(cid:9000) ③
배점
20%
20%
20%
40%
▶ 40%
(cid:9000) 18
원 O가 △ABC의 내접원
09
(cid:8833) 길이가 같은 선분을 찾는다.
CH”=AD”=8 cm
오른쪽 그림과 같
이 원O 와 △ABC의
세 변의 접점을 D, E,
F라 하고 CE”=x cm
라 하면
{10-x}cm
F 10`cm
A
D
B
O
E
2`cm
x`cm
C
(cid:8772)DBEO는 한 변의
길이가 2 cm인 정사각
형이다.
(cid:100)(cid:100)AB”=(10-x)+2=12-x (cm)
(cid:100)(cid:100)BC”=2+x (cm)
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:17 PM 페이지063 SinsagoHitec
직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)(12-x)¤ +(x+2)¤ =10¤
(cid:100)(cid:100)2x¤ -20x+48=0
(cid:100)(cid:100)x¤ -10x+24=0
(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-6)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=6
그런데 BC”>AB”이므로
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)x=6
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2+6=8 (cm)
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)x+2>12-x(cid:100)(cid:100)∴x>5
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
등변사다리꼴
10
(cid:8833) 평행하지 않은 두 대변의 길이가 같다.
AB”+DC”=AD”+BC”이므로
(cid:100)(cid:100)AB”+DC”=5+7=12
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=;2!;_12=6
(cid:9000) 6
PA”, PB”가 원 O의 접선
11
(cid:8833) OA”⊥PA”, OB”⊥PB”
(cid:8833) △OAP™△OBP (RHS 합동)
△OAP와 △OBP에서
(cid:100)(cid:100)∠OAP=∠OBP=90°,
A
(cid:100)(cid:100)OP”는 공통,
(cid:100)(cid:100)OA”=OB” (반지름)
이므로
15`cm
30æ
30æ
P
O
B
(cid:100)(cid:100)△OAP™△OBP(RHS 합동)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠OPA=∠OPB=;2!;∠P=30°
따라서 직각삼각형 OAP에서
(cid:100)(cid:100)OA”=PA” tan 30°=15 tan 30°
'3
(cid:100)(cid:100)OA”=15_ =5'3 (cm)
3
보충 학습
직각삼각형의 합동 조건
(cid:8825) RHA 합동
(cid:8825) RHS 합동
① 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같을 때
② 빗변의 길이와 다른 한 변의 길이가 각각 같을 때
12
채점 기준
BF”, BH”의 길이 구하기
△ABC의 둘레의 길이를 이용한 식 세우기
AC”의 길이 구하기
배점
40%
30%
30%
기본서 138~139쪽
우공비 B0X
DG”=x라 하면(cid:100)(cid:100)GE”=6-x
BF”=BH”에서(cid:100)(cid:100)8+x=6+(6-x)
DF”=DG”=x,
EH”=GE”=6-x
(cid:100)(cid:100)2x=4(cid:100)(cid:100)∴x=2
(cid:100)(cid:100)∴ BF”=BH”=10
BC”=BE”+CE”
(cid:9000) ③
S
t
e
p
U
p
.
Ⅷ
원
의
성
질
△ABC의 둘레의 길이가 50이므로
(cid:100)(cid:100)AF”+10+10+CH”+CI”+AI”=50
(cid:100)(cid:100)AF”+CH”+CI”+AI”=30
▶ 30%
이때 AF”=AI”, CH”=CI”이므로
(cid:100)(cid:100)2(AI”+CI”)=30,(cid:100)(cid:100)AI”+CI”=15
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=15
▶ 40%
▶ 30%
(cid:9000) 15
DI”=x로 놓고 원에 외접하는 사각형의 성질을 이
13
용한다.
DI”=x라 하면 (cid:8772)ABID가 원O에 외접하므로
(cid:100)(cid:100)AB”+DI”=AD”+BI”
즉 12+x=15+BI”이므로(cid:100)(cid:100)BI”=x-3
따라서 IC”=15-(x-3)=18-x이므로
직각삼각형 DIC에서
(cid:100)(cid:100)x¤ =(18-x)¤ +12¤
(cid:100)(cid:100)x¤ =324-36x+x¤ +144
(cid:100)(cid:100)36x=468(cid:100)(cid:100)∴x=13
BG”=BF”=6, AE”=AF”=6이므로
(cid:100)(cid:100)DH”=DE”=15-6=9
GI”=HI”=x라 하면(cid:100)(cid:100)DI”=9+x, IC”=9-x
(cid:9000) 13
OO'”을 빗변으로 하는 직각삼각형을 그려 피타고라
A
B
18`cm
D
{8-x}cm
O
8`cm
H
P
C
Q
x`cm
O'
직각삼각형 DIC에서
(cid:100)(cid:100)(9+x)¤ =(9-x)¤ +12¤
(cid:100)(cid:100)36x=144(cid:100)(cid:100)∴ x=4
(cid:100)(cid:100)∴ DI”=9+4=13
14
스 정리를 이용한다.
원 O'의 반지름의
길이를 xcm라 하자. 오
른쪽 그림과 같이 점 O'
16`cm
에서 OP”에 내린 수선의
발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)OO'”=8+x (cm),
(cid:100)(cid:100)OH”=8-x (cm),
(cid:100)(cid:100)O'H”=18-(8+x)=10-x (cm)
△OHO'은 직각삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)(8-x)¤ +(10-x)¤ =(8+x)¤
(cid:100)(cid:100)x¤ -52x+100=0
(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-50)=0
8-x>0에서 x<8이므로(cid:100)(cid:100)x=2
(cid:9000) ③
Ⅷ.원의 성질 063
tan 30°=
OA”
PA”
(cid:9000) 5'3 cm
원 O의 지름의 길이와
같은 AB”의 길이가
16 cm이므로 원 O의
반지름의 길이는 8 cm
이다.
”
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:17 PM 페이지064 SinsagoHitec
중단원마무리평가
기본서 140~143쪽
중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현
우공비 B0X
04
(cid:8833) 길이가 같다.
Step Up
기본서
01 ④
06 ②
11 ②
16 24
20 36
03 ⑤
08 ③
13 ⑤
04 ③
09 ④
14 ④
02 ②
07 ④
12 ②
17 1 cm 18 38 cm 19 4p`cm¤
21 8'2 cm¤
22 68°
05 ③
10 ④
15 ②
23 2'3
24 ;;™2∞;;
25 42 cm¤
OD”=OE”이므로 두 현 AB, AC의 길이가 같다.
따라서 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=180°-2_75°=30°
(cid:9000) ③
05
(cid:8833) ∠PAO=∠PBO=90°
PA”, PB”가 원 O의 접선
∠PAO=∠PBO=90°이므로 (cid:8772)APBO에서
(cid:100)(cid:100) ∠AOB=360°-(90°+45°+90°)=135°
따라서 색칠한 부채꼴의 중심각의 크기는
360°-135°=225°이므로
(cid:100)(cid:100)(넓이)=p_(2'2 )¤ _
=5p (cm¤ )
(cid:9000) ③
225
360
06
원의 접선 (cid:8833) 접점을 지나는 반지름과 수직이다.
오른쪽 그림에서
∠APO=90°이므로
(cid:100)(cid:100)AP”=;2!; AB”=2 (cm)
큰 원과 작은 원의 반지름의 길
이를 각각 r cm, r'cm라 하면
직각삼각형 OAP에서
(cid:100)(cid:100)r¤ =r'¤``+2¤ (cid:100)(cid:100)∴ r¤ -r'¤``=4
따라서 구하는 넓이는
A
2`cm
r`cm
P
O
r`'`cm
B
(cid:100)(cid:100)pr¤ -pr'¤`=p(r¤`-r'¤``)=4p (cm¤ )
(cid:9000) ②
07
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.
PA”=PB”이므로
(cid:100)(cid:100)∠PAB=∠PBA=;2!;_(180°-60°)=60°
따라서 △APB는 정삼각형이므로 그 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)3_6=18 (cm)
(cid:9000) ④
원의 접선
08
(cid:8833) 접점을 지나는 반지름과 수직이다.
직선 PA가 원 O의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)∠PAC=90°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠PAB=90°-20°=70°
이때 PA”=PB”에서 △APB는 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠P=180°-2_70°=40°
(cid:9000) ③
DA”=DP”, CP”=CB”임을 이용하여 먼저 CD”의 길
09
이를 구한다.
원의 중심에서 현에 내린 수선
01
(cid:8833) 현을 이등분한다.
오른쪽 그림에서 OB”를 그
으면
(cid:100)(cid:100)OB”=OC”=;2!;_12=6 (cm)
이므로(cid:100)(cid:100)OM”=6-2=4 (cm)
따라서 직각삼각형 OBM에서
(cid:100)(cid:100)BM”="√6¤ -4¤
(cid:100)(cid:100)BM”=2'5 (cm)
이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=2BM”=4'5 (cm)
C
2`cm
A
M
4`cm
B
6`cm
반지름의 길이가 r, 중심
각의 크기가 x°인 부채꼴
의 넓이
(cid:8825) pr¤ _
x
360
원의 중심에서 현에 내린
수선은 현을 이등분한다.
02
현의 수직이등분선 (cid:8833) 원의 중심을 지난다.
오른쪽 그림에서 CM” 은
AB”의 수직이등분선이므로 원
의 중심을 O라 하면 CM”은 점
A
r`cm
{4-r}`cm
6`cm
M
B
O
4`cm
O를 지난다.
원의 반지름의 길이를 r cm라
C
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
O
D
M
O
03
원의 중심에서 접은 선에 이르는 거리
에서 AB”에 내린 수선의 발을
A
B
하면 △OAM에서
(cid:100)(cid:100)r¤ =(4-r)¤ +3¤
(cid:100)(cid:100)r¤ =16-8r+r¤ +9
(cid:100)(cid:100)8r=25(cid:100)(cid:100)∴r=;;™8∞;;
(cid:8833) ;2!;_(반지름의 길이)
오른쪽 그림과 같이 점 O
M이라 하면 OM”=;2!; OA”이
므로 직각삼각형 OAM에서
(cid:100)(cid:100)sin A=
OM”
OA”
(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=30°
OA”=OB”이므로
=;2!;
064 Check Up 풀이집
(cid:100)(cid:100)∠AOB=180°-2_30°=120°
(cid:9000) ⑤
=30°
(cid:100)㈁ (cid:100)∴ ∠OBC=90°
㈀ DP”=DA”=6, CP”=CB”=9
㈁ (cid:100)(cid:100)∴ CD”=6+9=15
OA”=OB”이므로
(cid:100)∠OBA=∠OAB
㈁ 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 수직이다.
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:17 PM 페이지065 SinsagoHitec
S
t
e
p
U
p
.
Ⅷ
원
의
성
질
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
㈂ ∠DOP=∠DOA, ∠COP=∠COB이고
㈁ ∠AOB=180°이므로(cid:100)(cid:100)∠DOC=90°
㈃ 점 D에서 BC”에 내린 수선의
A
6
D
12
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.
원 O'과 △ABC의 세 변의
우공비 B0X
∠DOC
=∠DOP+∠COP
=∠DOA+∠COB
=;2!;_180°=90°
㈁ 발을 H라 하면
㈁ (cid:100)(cid:100)CH”=9-6=3
㈁ 따라서 △DHC에서
㈁ (cid:100)(cid:100)DH”="√15¤ -3¤ =6'6
㈁ AB”=DH”=6'6이므로
㈁ (cid:100)(cid:100)OA”=;2!;AB”=3'6
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁, ㈂이다.
반원에서의 접선
10
(cid:8833) 보조선을 그어 직각삼각형을 만든다.
6
P
9
C
O
H
3
B
6
(cid:9000) ④
C
6`cm
H
2`cm
B
DP”=AD”=2 cm,
CP”=CB”=8 cm이므로
(cid:100)(cid:100)CD”=CP”+DP”
=8+2
=10 (cm)
P
D
2`cm
A
O
오른쪽 그림과 같이 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을
AB”=x+1
=(4+'7)+1
=5+'7 (cm)
BC”=9-x
=9-(4+'7)
=5-'7 (cm)
기본서 140~142쪽
O'
F
4`cm O
A
1`cm
D
C
E
B
1`cm
접점을 D, E, F라 하자.
AF”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)FC”=8-x(cm),
(cid:100)(cid:100)AB”=x+1 (cm),
(cid:100)(cid:100)BC”=CE”+BE”=CF”+BD”
(cid:100)(cid:100)BC=(8-x)+1=9-x(cm)
직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)(x+1)¤ +(9-x)¤ =64
(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+9=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4—'7
그런데 x>4이므로(cid:100)(cid:100)x=4+'7
따라서 AB”=5+'7 (cm), BC”=5-'7 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_(5+'7 )_(5-'7 )
=9 (cm¤ )
(cid:9000) ②
원에 외접하는 사각형
13
(cid:8833) 대변의 길이의 합이 같다.
⑤ 원에 외접하는 사각형은 대변의 길이의 합이 같다.
H라 하면
(cid:100)(cid:100)CH”=8-2=6 (cm)
이므로 직각삼각형 CDH에서
(cid:100)(cid:100)DH”="√10¤ -6¤ =8 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=DH”=8 cm
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:100)(cid:100)
_p_4¤ =8p (cm¤ )
;2!;
11
삼각형의 닮음을 이용한다.
구와 원뿔을 평면
OAB로 자른 단면은 오른
쪽 그림과 같다. 점 O에서
AB”에 내린 수선의 발을
D라 하면 △OAD에서
(cid:100)(cid:100)OD”="√3¤ -1¤
=2'2 (cm)
O
{2Â2-r}cm
3`cm
E
r`cm
O'
r`cm
A
1`cm
D
B
원 O'과 OA”의 접점을 E라 하면
(cid:100)(cid:100)△OO'Eª△OAD (AA 닮음)
이므로 원 O'의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)OO'”：OA”=O'E”：AD”
(cid:100)(cid:100)(2'2-r)：3=r：1
(cid:100)(cid:100)3r=2'2-r
(cid:100)(cid:100)4r=2'2(cid:100)(cid:100)∴r=
'2
2
따라서 구의 반지름의 길이는 cm이다.
'2
2
∠EOO'은 공통,
∠OEO'=∠ODA
=90°
CE”=CB”-EB”
=6-(2+x)
=4-x (cm)
(cid:8772)ABCD가 원O에 외접할 때
14
(cid:8833) AB”+DC”=AD”+BC”
(cid:9000) ④
반원 O의 반지름의 길
이는 4 cm이다.
사각형 ABCD가 원 O에 외접하므로
(cid:100)(cid:100)(x+7)+(x+4)=x+(2x+3)
EF”=EG”=x cm로 놓고 CE”, DE”의 길이를 x로
2`cm
A
4`cm
4`cm
D
2`cm
O
G
4`cm
B
EF
x`cm
x`cm
C
{4-x}cm
(cid:100)(cid:100)2x+11=3x+3
(cid:100)(cid:100)∴ x=8
15
나타낸다.
원 O의 반지름의 길
이는 2 cm이므로 BC”, DE”
와 원O의 접점을 각각 F,
G라 하고
EF”=EG”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)CE”=4-x (cm),
DE”=4+x (cm)
직각삼각형 CDE에서
(cid:100)(cid:100)(4+x)¤ =(4-x)¤ +4¤
(cid:100)(cid:100)16+8x+x¤ =16-8x+x¤ +16
(cid:100)(cid:100)16x=16(cid:100)(cid:100)∴x=1
(cid:9000) ②
(cid:100)(cid:100)∴ △CDE=;2!;_3_4=6 (cm¤ )
(cid:9000) ②
Ⅷ.원의 성질 065
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:17 PM 페이지066 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
원의 중심에서 현에 내린 수선 (cid:8833) 현을 이등분한다.
AM”=;2!;AB”=6, AN”=;2!;AC”=4이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)AMON=6_4=24
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같
16
17
다.
AC”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)EC”=x cm, BD”=ED”=4-x (cm)
PA”=PB”이므로
(cid:100)(cid:100)7+x=5+(4-x),(cid:100)(cid:100)2x=2
(cid:100)(cid:100)∴ x=1
AC”=CE”, BD”=ED”이므로
(cid:100)(cid:100)PA”+PB”=PC”+CD”+PD”
=7+4+5=16 (cm)
PA”=PB”이므로(cid:100)(cid:100)PA”=8(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=PA”-PC”=8-7=1 (cm)
(cid:9000) 24
(cid:9000) 1 cm
원의 접선의 길이의 성질을 이용하여 길이가 같은
18
선분을 찾는다.
AB”와 반원 O의 접점을 E
A
D
E
13`cm
12`cm
O
B
C
라 하면
이는
(cid:100)(cid:100)AD”=AE”, BE”=BC”
이므로 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길
(cid:100)(cid:100)AB”+BC”+CD”+DA”
(cid:100)=AB”+(BC”+AD”)+CD”
(cid:100)=AB”+(BE”+AE”)+CD”
(cid:100)=AB”+AB”+CD”
(cid:100)=13+13+12=38 (cm)
내접원의 중심에서 세 변에 이르는 거리
19
(cid:8833) 내접원의 반지름의 길이
5¤ +12¤ =13¤
A
{5-r}cm
이므로 △ABC는
{5-r}cm
O
{12-r}cm
∠B=90°인 직각삼
각형이다.
r`cm
B
r`cm
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)(5-r)+(12-r)=13
{12-r}cm
C
(cid:100)(cid:100)2r=4(cid:100)(cid:100)∴r=2
따라서 원 O의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_2¤ =4p (cm¤ )
066 Check Up 풀이집
20
보조선을 그어 직각삼각형을 만든다.
AD”=x라 하면
(cid:8772)ABCD가 원 O에 외접하므로
(cid:100)(cid:100)AB”+DC”=AD”+BC”
(cid:100)(cid:100)8+DC”=x+12
(cid:100)(cid:100)∴ DC”=x+4
A
8
B
x
D
x+4
O
H
12
C
점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)CH”=BC”-BH”=12-x
이므로 △DHC에서
(cid:100)(cid:100)(x+4)¤ =(12-x)¤ +8¤
(cid:100)(cid:100)32x=192(cid:100)(cid:100)∴x=6
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2(AD”+BC”)=2_(6+12)=36
21
채점 기준
△OAB의 높이 구하기
△OAB의 넓이 구하기
OA”=6 cm이고 점 O에서
현 AB에 내린 수선의 발을 H
라 하면
(cid:100)(cid:100)AH”=;2!;AB”=;2!;_4
=2 (cm)
직각삼각형 OAH에서
(cid:100)(cid:100)OH”="√6¤ -2¤ =4'2 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △OAB=;2!;_4_4'2
=8'2 (cm¤ )
O
12`cm
6`cm
A
2`cm
H
B
D
C
▶ 3점
▶ 1점
(cid:9000) 8'2 cm¤
(cid:9000) 36
배점
3점
1점
배점
2점
2점
▶ 2점
▶ 2점
(cid:9000) 68°
배점
2점
3점
(cid:9000) 38 cm
22
채점 기준
∠ABC의 크기 구하기
∠BAC의 크기 구하기
세 변의 길이가 각각 a, b,
c인 △ABC에서
(cid:100)a¤ +b¤ =c¤`
이 성립하면 △ABC는
빗변의 길이가 c인 직각삼
각형이다.
(cid:100)(cid:100)∠ABC=360°-(90°+124°+90°)
(cid:8772)DBEO에서
=56°
OD”=OF”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”
즉 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=180°-2_56°=68°
반지름의 길이가 r인 원의
넓이 (cid:8825) pr¤
23
채점 기준
∠TOP의 크기 구하기
PT”의 길이 구하기
(cid:9000) 4p cm¤
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:17 PM 페이지067 SinsagoHitec
OT”를 그으면 오른쪽 그림
에서
(cid:100)(cid:100)OT”=2, ∠OTP=90°
OA”=OT”이므로 △OAT에서
(cid:100)(cid:100)∠TOP=30°+30°
=60°
A
30æ
4
O
T
60æ
B
따라서 △OTP에서
(cid:100)(cid:100)PT”=OT” tan 60°=2 tan 60°=2'3
24
채점 기준
AE”, DE”의 길이를 미지수로 나타내기
식 세우기
AE”의 길이 구하기
CE”=EF”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)AE”=10+x,
DE”=10-x ▶ 2점
A
10
직각삼각형 AED에서
(cid:100)(cid:100)(10+x)¤
(cid:100)=(10-x)¤ +10¤
(cid:100)(cid:100)100+20x+x¤ =100-20x+x¤ +100
(cid:100)(cid:100)40x=100(cid:100)(cid:100)∴x=
;2%;
(cid:100)(cid:100)∴ AE”=10+;2%;=;;™2∞;;
10
10-x
xF
D
E
x
C
B
10
O
P
▶ 2점
▶ 3점
(cid:9000) 2'3
배점
2점
2점
1점
▶ 1점
(cid:9000) ;;™2∞;;
배점
2점
2점
25
채점 기준
AD”+BC”의 길이 구하기
(cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
(cid:8772)ABCD가 원 O에 외접하므로
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=△OAB+△OBC+△OCD
+△ODA
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_3_(AB”+BC”+CD”+DA”)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_3_2_14=42 (cm¤ )
▶ 2점
(cid:9000) 42 cm¤
우공비 B0X
기본서 142~146쪽
Ⅷ
-2. 원주각```⑴
1. 원주각의 성질
S
t
e
p
U
p
70 원주각의 성질
기본서 144~146쪽
중심각의 크기는 원주각의
크기의 2배이다.
익히기 1 ⑴ ∠x=2∠APB=2_60°=120°
⑵ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_110°=55°
⑶ ∠x=∠APB=35°
⑷ ∠x=;2!;_180°=90°
(cid:9000) ⑴ 120°(cid:100)⑵ 55°(cid:100)⑶ 35°(cid:100)⑷ 90°
AE”=AF”+EF”
유제 ❶ ⑴ ∠x=2∠APB=2_50°=100°
⑵ ∠y=;2!;_(360°-100°)=130°
⑵ ∠x=;2!;_(360°-150°)=105°
⑵ (cid:8772)ABOC에서
▶ 2점
DE”=DC”-CE”
⑵ (cid:100)(cid:100)∠y=360°-(150°+105°+65°)=40°
(cid:100)
(cid:9000) ⑴ ∠x=100°, ∠y=130°
⑵ ∠x=105°, ∠y=40°
(cid:100)(cid:100)∠PAO=∠PBO
P
50æ
x
O
유제 ❷ 오른쪽 그림과 `
같이 OA”, OB”를 그으면
=90°
이므로
(cid:100)(cid:100)∠AOB=180°-50°=130°
A
B
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=;2!;_(360°-130°)=115°
(cid:9000) 115°
.
Ⅷ
원
의
성
질
유제 ❸ ⑴ ∠x=∠ACD=50°
(cid:100) ∠y=∠BAC=20°
⑵ ∠x=∠CED=45°
∠y=2∠BAD=2_(35°+45°)=160°
(cid:9000) ⑴ ∠x=50°, ∠y=20°
(cid:9000) ⑵ ∠x=45°, ∠y=160°
유제 ❹ ⑴ ∠APC=90°이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)∠x=90°-25°=65°
⑵ 오른쪽 그림과 같이 AD”를 그
⑵ 으면 ∠BAD=90°이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)∠CAD=90°-65°
B
=25°
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠CAD=25°
A
65æ
x
O
D
E
C
(cid:9000) ⑴ 65°(cid:100)⑵ 25°
Ⅷ.원의 성질 067
반원에 대한 원주각의 크
기는 90°이다.
(cid:100)(cid:100)AD”+BC”=AB”+DC”=6+8=14 (cm)
▶ 2점
중심각의 크기
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:17 PM 페이지068 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
유제 ❺ 오른쪽 그림과 같이
원 O의 지름 A'B를 그으면 μ BC
에 대한 원주각의 크기는 같으므
로
A
60æ
O
9
B
A'
C
(cid:100)(cid:100)∠BA'C=∠BAC=60°
반원에 대한 원주각의 크기는 90°이므로
△A'BC에서(cid:100)(cid:100)A'B”=
2
=9_ =6'3
'3
따라서 원 O의 반지름의 길이는 3'3이다.
9
sin 60°
∠ACB：∠BAC：∠ABC
=μAB：μ BC：μ CA=3：5：2이므로
3+5+2=10
(cid:100)(cid:100)∠ACB=180°_;1£0;=54°
(cid:9000) 54°
BC”는 원O의 지름이므로(cid:100)(cid:100)∠ BAC=90°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC+∠ACB=90°
∠ABC：∠ACB=μAC：μAB=2：3이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACB=90°_;5#;=54°
(cid:9000) ②
유제 ❽ 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로
71 원주각의 크기와 호의 길이 기본서 147~148쪽
이므로(cid:100)(cid:100)∠x=70°
(cid:9000) ∠x=70°, ∠y=30°
(cid:100)(cid:100)∠ADB=∠ACB=30°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=30°
따라서 △DPB에서
(cid:100)(cid:100)∠DBC=40°+30°=70°
익히기 2 ⑴ μAB=μ BC이므로
⑴ (cid:100)(cid:100)∠APB=∠BQC=30°
⑴ (cid:100)(cid:100)∴ x=30
⑵ μAB=μ CD이므로(cid:100)(cid:100)
⑴ (cid:100)(cid:100)∠ADB=∠DAC=42°
⑴ (cid:100)(cid:100)∴ x=42
⑶ μAB : μ BC=∠APB：∠BPC이므로
⑴ (cid:100)(cid:100)5：x=25°：50°=1：2
⑴ (cid:100)(cid:100)∴ x=10
(cid:9000) ⑴ 30(cid:100)⑵ 42(cid:100)⑶ 10
익히기 3 ㈀ ∠BAC+∠BDC
㈁ ∠BAC=∠BDC=90°
㈂ ∠ADB=∠ACB=35°
㈃ ∠BAC와 ∠BDC 또는 ∠ABD와 ∠ACD가 서로
같은지 알 수 없다.
이상에서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은
㈁, ㈂`이다.
(cid:9000) ㈁, ㈂
유제 ❻ ∠BAC：∠ABD=μ `BC：μAD
=2μAD：μAD
=2：1
이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC：∠x=2：1
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BAC=2∠x
△PAB에서 ∠BPC는 ∠APB의 외각이므로
(cid:100)(cid:100)∠x+2∠x=72°
(cid:100)(cid:100)3∠x=72°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=24°
(cid:9000) ②
소단원성취도진단
기본서 149~150쪽
02 ④
01 ②
05 ∠x=70°, ∠y=140°
09 ③
08 54°
13 2'∂13 p 14 60°
10 ④
15 ③
03 130° 04 ③
06 ④
11 45°
07 110°
12 ③
네 점이 한 원 위에 있는
지 알아보려면 한 직선에
대하여 같은 쪽에 있는 두
각의 크기가 같은지 확인
한다.
01
(원주각의 크기) (cid:8833) ;2!;_(중심각의 크기)
△OBC는 OB”=OC”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠OCB=∠OBC=45°
△OBC에서(cid:100)(cid:100)∠BOC=180°-2_45°=90°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_90°=45°
(cid:9000) ②
02
반원에 대한 원주각의 크기 (cid:8833) 90°
BC”가 원O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=90°
따라서 BC”=4 cm, AC”='2 cm이므로 직각삼각형
ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”=øπ4¤ -('2)¤ ='∂14 (cm)
(cid:9000) ④
03
채점 기준
∠ACB의 크기 구하기
∠BAC의 크기 구하기
μAB=μAC이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ABC=25°
따라서 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)∠BAC=180°-2_25°=130°
배점
50%
50%
▶ 50%
▶ 50%
(cid:9000) 130°
유제 ❼ 한 원에서 μAB, μ BC, μ CA에 대한 중심각의
크기의 합은 360°이므로 μAB, μ BC, μ CA에 대한 원주각
한 원에서 길이가 같은 호
에 대한 원주각의 크기는
같다.
의 크기의 합은 ;2!;_360°=180°이다.
068 Check Up 풀이집
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:18 PM 페이지069 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 146~150쪽
두 점 A, D가 직선 BC에 대하여 같은 쪽에 있고
04
∠BAC=∠BDC (cid:8833) 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.
△ABP에서(cid:100)(cid:100)∠BAP=75°-25°=50°
네 점A, B, C, D 가 한 원 위에있으려면
(cid:100)(cid:100)∠x=∠BAC=50°
(cid:9000) ③
한 원에서 원주각의 크
기의 합은 180°이다.
10
원주각의 크기와 호의 길이 (cid:8833) 정비례
△PAB에서 ∠BAP=70°-25°=45°이므로
(cid:100)(cid:100)μBC：(원 O의 둘레의 길이)=∠BAC：180°
S
t
e
p
U
p
=45°：180°
=1：4
따라서 원 O의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)4μBC=4_6=24 (cm)
05
(원주각의 크기) (cid:8833) ;2!;_(중심각의 크기)
∠y=360°-2_110°=140°이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=;2!;∠y=;2!;_140°=70°
(cid:9000) ∠x=70°, ∠y=140°
μ BAD에 대한 중심각
의 크기
11
채점 기준
∠ADB의 크기 구하기
∠BAD의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 x°인 부채꼴의
∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D는 한
06
넓이 (cid:8833) pr¤ _
x
360
∠AOC=∠x (180°<∠x<360°)라 하면
(cid:100)(cid:100)∠x=2∠ABC=2_120°=240°
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_6¤ _
=24p (cm¤ )
(cid:9000) ④
240
360
반지름의 길이가
6 cm, 중심각의 크기
가 240°인 부채꼴
원 위에 있다.
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ADB=∠ACB=35°
△ABD는 AB”=AD”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAD=180°-2_35°=110°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=110°-65°=45°
07
채점 기준
∠ADC의 크기 구하기
∠BAD의 크기 구하기
∠BQD의 크기 구하기
∠ADC=∠ABC=30°
(cid:100)(cid:100)∠BAD=50°+30°=80°
△APD에서
△AQB에서
(cid:100)(cid:100)∠BQD=80°+30°=110°
배점
40%
30%
30%
▶ 40%
▶ 30%
▶ 30%
(cid:9000) 110°
∠CAD는 μCD에 대한
원주각이고 ∠COD는
μCD에 대한 중심각이
다.
12
반원에 대한 원주각의 크기 (cid:8833) 90°
오른쪽 그림과 같이 선분
P
AD를 그으면 선분 AB는 반
C
D
40æ
20æ
A
B
원 O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠ADB=90°
O
또 ∠CAD=;2!;∠COD=;2!;_40°=20°이므로
△PAD에서
(cid:100)(cid:100)∠P=90°-20°=70°
(cid:9000) ③
.
Ⅷ
원
의
성
질
(cid:9000) ④
배점
40%
40%
20%
▶ 40%
▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000) 45°
08
먼저 ∠ADB와 ∠ACD의 크기를 각각 구한다.
μAB=μBC이므로
(cid:100)(cid:100)∠ADB=∠BDC=33°
또 ∠ACD=∠ABD=60°이므로 △ACD에서
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-(60°+33°+33°)
=54°
μAC에 대한 원주각
(cid:8825)∠ABC=∠AB'C
(cid:8825) tan B=tan B'
(cid:9000) 54°
한 원에서 호의 길이가 같으면
09
(cid:8833) 원주각의 크기도 같다.
AD”가 원 O의 지름이므로(cid:100)(cid:100)∠APD=90°
μAB=μ BC=μ CD이므로
(cid:100)(cid:100)∠APB=∠BPC=∠CPD
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=;3!;∠APD=;3!;_90°=30°
(cid:9000) ③
13
지름을 그어 직각삼각형을 그린다.
오른쪽 그림과 같이 원의 지름
B'C를 그으면 ∠B'AC=90°이므로
(cid:100)(cid:100)tan B=tan B'=
6
AB'”
=;2#;
A
B'
C
6
O
(cid:100)(cid:100)∴ AB'”=4
B
직각삼각형 AB'C에서(cid:100)(cid:100)B'C”=øπ4¤ +6¤ =2'∂13
따라서 원 O의 반지름의 길이는 '∂13 이므로 원 O의 둘
레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_'∂13 =2'∂13 p
(cid:9000) 2'∂13 p
14
채점 기준
∠ACB의 크기 구하기
∠DBC의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
배점
30%
30%
40%
Ⅷ.원의 성질 069
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:18 PM 페이지070 SinsagoHitec
Step Up
기본서
오른쪽 그림과 같이 선
D
분 BC를 그으면 선분 AB가
반원 O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACB=90° ▶ 30%
A
C
x
30æ
P
O
30æ
B
우공비 B0X
한 외각의 크기가 그 내대
각의 크기와 같은 사각형
은 원에 내접한다.
한다.
⑵ ∠A=∠DCE=100°이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접
⑶ AD”∥BC”이므로(cid:100)(cid:100)∠D=∠BCE=65°(동위각)
⑵ 따라서 ∠B+∠D=170°+180°이므로 (cid:8772)ABCD는
원에 내접하지 않는다.
(cid:9000) 풀이 참조
유제 ❶ (cid:8772)ABDE는 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-105°=75°
한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC=20°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=∠x+∠BAC
=75°+20°=95°
(cid:9000) ∠x=75°, ∠y=95°
유제 ❷ (cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠ADC=120°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=120°-90°=30°
BC”가 원 O의 지름이
므로
(cid:100)∠BDC=90°
한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로
(cid:100)(cid:100)∠y=∠DAC=20°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=30°+20°=50°
(cid:9000) ③
유제 ❸ 오른쪽 그림에서
(cid:8772)ABQP는 원에 내접하므
로
(cid:100)(cid:100)∠PQC=∠PAB=x°,
(cid:100)(cid:100)∠QPD=∠ABQ=y°
(cid:8772)PQCD는 원에 내접하므로
A
B
xæ
yæ
xæ+10æ
P
Q
yæ
xæ
D
C
yæ+20æ
(cid:100)(cid:100)x+(x+10)=180, y+(y+20)=180
따라서 x=85, y=80이므로
(cid:100)(cid:100)x-y=85-80=5
유제 ❹ 오른쪽 그림에서
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠CDQ=∠ABC=55°
A
(cid:100)(cid:100)∠PCQ=30°+55°=85°
△PBC에서
△DCQ에서
55æ
B
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-(55°+85°)=40°
(cid:8772)ABCD가 원에 내
접하므로
(cid:100)∠A+∠C=180°
(cid:9000) 5
P
30æ
D
55æ
x
85æ
C
Q
(cid:9000) 40°
유제 ❺ 한 호에 대한 원주각의 크기는 같아야 하므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC=32°
△APC에서(cid:100)(cid:100)∠ACD=30°+32°=62°
(cid:8772)ABCD에서 ∠BCD+∠BAD=180°이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)(∠x+62°)+(32°+40°)=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=46°
(cid:9000) ③
또 μAD=μ DC이므로
(cid:100)(cid:100)∠DBC=∠ABD=30°
따라서 △CPB에서
(cid:100)(cid:100)∠x=90°-30°=60°
▶ 30%
▶ 40%
(cid:9000) 60°
두 호에 대한 원주각의 크기의 합이 a°
15
(cid:8833) 중심각의 크기의 합은 2a°
∠ACB=∠x,
∠CBD=∠y라 하면 △PBC에서
(cid:100)(cid:100)∠x+∠y=30°
따라서 μAB, μ CD에 대한 중심각
의 크기의 합은 60°이므로
(cid:100)(cid:100)μAB+μCD=2p_6_
60
360
A
P
30æ
B
y x
D
C
(cid:100)(cid:100)μAB+μCD=2p (cm)
(cid:9000) ③
보충 학습
μAB, μ CD에 대한 중심각의 크기는 각각 2∠x, 2∠y이므로
(cid:100)(cid:100)μAB=2p_6_
(cm),
(cid:100)(cid:100)μCD=2p_6_
(cm)
2∠x
360°
2∠y
360°
(cid:100)(cid:100)∴ μAB+μ CD=2p_6_
(cid:100)(cid:100)∴ μAB+μ CD=2p_6_
(cid:100)(cid:100)∴ μAB+μ CD=2p (cm)
2(∠x+∠y)
360°
2_30°
360°
2. 원과 사각형
72 원과 사각형
기본서 151~153쪽
익히기 1 ⑴ ∠x=180°-95°=85°
⑵ △BCD에서
⑵ (cid:100)(cid:100)∠BCD=180°-(35°+40°)=105°
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=180°-105°=75°
⑶ 78°+∠BAD=180°이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠BAD=102°
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠BAD=102°
익히기 2 ⑴ ∠B+∠D=190°+180°이므로
(cid:100) (cid:8772)ABCD는 원에 내접하지 않는다.
070 Check Up 풀이집
(cid:9000) ⑴ 85°(cid:100)⑵ 75°(cid:100)⑶ 102°
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:18 PM 페이지071 SinsagoHitec
소단원성취도진단
기본서 154~155쪽
06
원주각의 크기 (cid:8833) ;2!;_(중심각의 크기)
우공비 B0X
기본서 150~155쪽
01 ③
06 85°
11 ④
02 60°
03 ④
07 ②
08 ①
12 111° 13 ⑤
04 55°
09 ③
14 128°
05 135°
10 ②, ④
원에 내접하는 사각형
01
(cid:8833) 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°
(cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠ABC=180°-65°=115°
△ABC에서
02
채점 기준
∠ADC의 크기 구하기
∠FCD의 크기 구하기
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-(115°+30°)=35°
(cid:9000) ③
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠ADC=180°-105°=75°
▶ 50%
△FCD에서
(cid:100)(cid:100)∠FCD+75°=135°(cid:100)(cid:100)∴ ∠FCD=60° ▶ 50%
∠ABC=;2!;∠AOC=;2!;_170°=85°
(cid:8772)ABCD는 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠CDE=∠ABC=85°
(cid:9000) 85°
원에 내접하는 사각형
07
(cid:8833) 한 외각의 크기와 그 내대각의 크기가 같다.
(cid:8772)ABCD는 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠ADC=∠ABP=70°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BDC=70°-30°=40°
이때 한 호에 대한 원주각의 크기가 같으므로
μ BC에 대한 원주각
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC=40°
∠BAD=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=90°-40°=50°
(cid:9000) ②
원에 내접하는 사각형
03
(cid:8833) 한 외각의 크기와 그 내대각의 크기가 같다.
③ ∠BCD=180°-60°=120°
④ ∠DCE=∠BAD=60°
(cid:9000) ④
∠PCQ
=∠P+∠ADC
∠ABC
=∠Q+∠PCQ
S
t
e
p
U
p
.
Ⅷ
원
의
성
질
배점
50%
50%
(cid:9000) 60°
(cid:9000) 55°
배점
30%
30%
40%
▶ 30%
▶ 30%
▶ 40%
(cid:9000) 135°
04
△ABP에서 ∠B의 크기를 먼저 구한다.
△ABP에서
(cid:100)(cid:100)∠B=180°-(95°+30°)=55°
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠PDC=∠B=55°
(cid:8772)`ABCD가 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠BCD=180°-95°=85°
△DCP에서(cid:100)(cid:100)∠PDC=85°-30°=55°
05
채점 기준
∠ABD의 크기 구하기
∠BAD의 크기 구하기
∠BCD의 크기 구하기
∠ABD=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAD=180°-(90°+45°)=45°
(cid:8772)ABCD는 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠BCD=180°-45°=135°
삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두
08
내각의 크기의 합과 같다.
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠ADC=180°-∠x
(cid:100)(cid:100)∠PCQ=30°+(180°-∠x)=210°-∠x
△PCD에서
△BQC에서
(cid:100)(cid:100)∠x=26°+(210°-∠x)
2∠x=236°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=118°
(cid:9000) ①
09
육각형을 두 개의 사각형으로 나누어 생각한다.
(cid:8772)ABEF와 (cid:8772)BCDE가
원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠ABE+∠F=180°,
(cid:100)(cid:100)∠EBC+∠D=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠B+∠D+∠F
(cid:100)(cid:100) =(∠ABE+∠EBC)
+∠D+∠F
(cid:100)(cid:100) =180°+180°=360°
B
C
A
F
E
D
(cid:9000) ③
한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이거나 한 외각의
10
크기가 그 내대각의 크기와 같은 사각형은 원에 내접한다.
① ∠ABC+∠ADC=175°+180°
② ∠BAD=∠DCE
③ ∠BAD=180°-70°=110°
③ (cid:100)(cid:100)∴ ∠BAD+∠DCF
④ △ACD에서
③ (cid:100)(cid:100)∠ADC=180°-(30°+50°)=100°
③ (cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC+∠ADC=80°+100°=180°
Ⅷ.원의 성질 071
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:18 PM 페이지072 SinsagoHitec
이상에서 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하는 것은 ②, ④이다.
∠ACD=180°-104°=76°
우공비 B0X
Step Up
기본서
⑤ ∠BAD=180°-65°=115°
③ (cid:100)(cid:100)∴ ∠BAD+∠BCF
11
은 원에 내접한다.
∠BCD=60°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BCA=60°-25°=35°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠BCA=35°
(cid:9000) ②, ④
한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같은 사각형
한 외각과 그 내대각의 크기가 같아야 하므로
(cid:100)(cid:100)∠DAB=120°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=120°-50°=70°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=35°+70°=105°
(cid:9000) ④
AB”에 대하여 같은 쪽
에 있는 각의 크기가
같아야 한다.
▶ 40%
원의 둘레에 대한 원
주각의 크기
▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000) 111°
원에 내접하는 사각형의
한 쌍의 대각의 크기의 합
은 180°이다.
12
채점 기준
∠x의 크기 구하기
∠y의 크기 구하기
∠x+∠y의 크기 구하기
배점
40%
40%
20%
μ CDA의 길이가 원주의 ;1∞2;이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABC=180°_;1∞2;=75°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠ABC=75°
μ BAD의 길이가 원주의 ;5$;이므로
(cid:100)(cid:100)∠BCD=180°_;5$;=144°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=180°-144°=36°(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=75°+36°=111°
원에 내접하는 사각형의 성질과 원주각과 중심각의
13
크기 사이의 관계를 이용한다.
A
B
O
x
P
Q
95æ
O'
D
C
(cid:8772)PQCD가 원 O'에 내
접하므로
(cid:100)(cid:100)∠PQC=180°-95°=85°
(cid:8772)ABQP가 원O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠BAP=∠PQC=85°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=2∠BAP
=2_85°=170°
14
채점 기준
∠ACD의 크기 구하기
∠CDA의 크기 구하기
∠ABC의 크기 구하기
072 Check Up 풀이집
(cid:9000) ⑤
배점
30%
40%
30%
삼각형의 한 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는 두
내각의 크기의 합과 같다.
(cid:100)(cid:100)∠y=25°
따라서 △ABE에서
(cid:100)(cid:100)∠z=60°+25°=85°
(cid:8772)ACDE가 원O에 내접하
므로
B
C
▶ 30%
E
104æ
A
O
D
△CAD는 CA”=CD”인 이등변
삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠CDA=∠CAD
(cid:100)(cid:100)∠CDA=;2!;_(180°-76°)=52°
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠ABC=180°-52°=128°
▶ 40%
▶ 30%
(cid:9000) 128°
중단원마무리평가
기본서 156~159쪽
01 ⑤
06 ①
11 ①
02 ④
07 ②
12 ④
04 ①
09 ③
14 ①
05 ②
10 ⑤
15 ②
16 35°
17 50°
19 75°
20 105°
21 32 m 22 25°
23 75°
24 27°
25 141°
03 ①
08 ④
13 ②
18 ;9$;
01
(중심각의 크기) (cid:8833) 2_(원주각의 크기)
∠ACB=50°이므로
(cid:100)(cid:100)∠AOB=2_50°=100°
△OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠OBA=;2!;_(180°-100°)=40°
(cid:9000) ⑤
02
원의 접선 (cid:8833) 접점을 지나는 반지름과 수직이다.
(cid:100)(cid:100)∠AOB=2∠AQB=100°
P
O
50æ
Q
오른쪽 그림과 같이 OA”,
OB”를 그으면
이때 ∠PAO=∠PBO=90°
이므로(cid:100)(cid:100)
A
B
(cid:100)(cid:100)∠P=180°-100°=80°
(cid:9000) ④
한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같
03
다.
∠BAC와 ∠BDC는 모두 μ BC에 대한 원주각이므
로(cid:100)(cid:100)∠x=60°
∠ABD와 ∠ACD는 모두 μAD에 대한 원주각이므로
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:18 PM 페이지073 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x-∠y+∠z=60°-25°+85°
=120°
(cid:9000) ①
한 호에 대한 원주각의 크기와 삼각형의 외각의 성
04
질을 이용한다.
∠ADB=∠a라 하면
△DPB에서(cid:100)(cid:100)∠a+28°=∠x
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
∠DAC=∠DBC=∠x이므로 △AED에서
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∠x+∠a=72°
㉠-㉡을 하면
(cid:100)(cid:100)28°-∠x=∠x-72°
반원에 대한 원주각의 크기 (cid:8833) 90°
오른쪽 그림과 같이 PB”를
P
05
그으면
(cid:100)(cid:100)∠APB=90°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠RPB=90°-36°=54°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠RPB=54°
Q
x
O
B
36æ
A
R
(cid:9000) ②
06
보조선을 그어 직각삼각형을 만든다.
오른쪽 그림과 같이 BO”의
A
연장선이 원 O와 만나는 점을
우공비 B0X
기본서 155~157쪽
08
원주각의 크기와 호의 길이 (cid:8833) 정비례
∠ABD：∠BAC=μAD：μ BC이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABD：∠x=6：12=1：2
따라서 ∠ABD=
∠x이므로 △ABP에서
;2!;
(cid:100)(cid:100)∠x+
∠x=72°,(cid:100)(cid:100)
∠x=72°
;2!;
;2#;
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=48°
(cid:9000) ④
한 직선에 대하여 같은 쪽에 있는 두 각의 크기가
09
같다. (cid:8833) 네 점이 한 원 위에 있다.
(cid:100)(cid:100)∠ABD=∠ACD=35°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠A=180°-(35°+75°)=70°
(cid:9000) ③
원에 내접하는 사각형
10
(cid:8833) 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°
BC”가 원 O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠BDC=90°
AB”는 원 O의 지름이
다.
(cid:100)(cid:100)∴ ∠DCB=∠DBC=
(180°-90°)=45°
;2!;_
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠BAD=180°-45°=135°
(cid:9000) ⑤
(cid:100)(cid:100)2∠x=100°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=50°
(cid:9000) ①
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
A'
C
4
B
O
7
원에 내접하는 사각형
11
(cid:8833) 한 외각의 크기와 그 내대각의 크기가 같다.
한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로
μ BC에 대한 원주각
(cid:100)(cid:100)∠BDC=∠BAC=50°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABE=∠ADC=∠ADB+∠BDC
A'C”
A'B”
=
'1å5
8
(cid:9000) ①
평행한 두 직선이 다른 한 직선과 만날 때 동위각의
=55°+50°=105°
(cid:9000) ①
∠ACB=∠ADB=55°이므로 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)∠ABE=50°+55°=105°
S
t
e
p
U
p
.
Ⅷ
원
의
성
질
E
A
P
D
B
58æ
C
삼각형의 한 외각의 크기
12
(cid:8833) 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
∠ADC=∠x라 하면 △AQD에서
(cid:100)(cid:100)∠QAP=∠x+39°
△PCD에서
(cid:100)(cid:100)∠PCD=180°-(25°+∠x)
=155°-∠x
(cid:100)(cid:100)∠EAD+29°=58°(cid:100)(cid:100)∴ ∠EAD=29°
μAB에 대한 원주각
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
원에 내접하는 사각형의
한 외각의 크기는 그 내대
각의 크기와 같다.
(cid:9000) ②
(cid:100)(cid:100)∠QAP=∠PCD
(cid:100)(cid:100)∠x+39°=155°-∠x
(cid:100)(cid:100)2∠x=116°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=58°
(cid:9000) ④
Ⅷ.원의 성질 073
A'이라 하면
(cid:100)(cid:100)∠A=∠A'
또 ∠A'CB=90°, A'B”=8이므
로 직각삼각형 A'BC에서
(cid:100)(cid:100)A'C”="√8¤ -7¤ ='1å5
(cid:100)(cid:100)∴ cos A=cos A'=
07
크기는 같다.
으면
오른쪽 그림과 같이 BD”를 그
(cid:100)(cid:100)∠ADB=∠BDC
(cid:100)(cid:100)∠ADB=
;2!;
(cid:100)(cid:100)∠ADB=29°
∠ADC
(cid:100)(cid:100)∴ ∠AEB=∠ADB=29°
BE”//CD”이므로
(cid:100)(cid:100)∠APB=∠ADC=58°
△EAP에서
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:18 PM 페이지074 SinsagoHitec
Step Up
기본서
13
같다.
μAD=μ BC=μ CD이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABD=∠BDC
=∠DBC
=∠y
라 하면 △DTB에서
(cid:100)(cid:100)∠y=∠x+28°
한 원에서 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는
우공비 B0X
A
y
y
B
28æ
T
D
x y
C
반원에 대한 원주각의 크
기는 90°이다.
를 그으면
(cid:100)(cid:100)∠ACB=90°
이므로 △PCB에서
17
(중심각의 크기)=2_(원주각의 크기)
오른쪽 그림과 같이 BC”
P
65æ
C
D
(cid:100)(cid:100)∠CBP=90°-65°=25°
A
O
B
(cid:100)(cid:100)∴ ∠COD=2_25°=50°
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) 50°
(cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로 ∠B+∠D=180°에서
(cid:100)(cid:100)2∠y+(∠x+∠y)=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+3∠y=180°
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
원에 내접하는 사각형의
한 쌍의 대각의 크기의 합
은 180°이다.
18
㉠을 ㉡에 대입하면
(cid:100)(cid:100)∠x+3(∠x+28°)=180°
(cid:100)(cid:100)4∠x=96°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=24°
(cid:9000) ②
원에 내접하는 사각형
14
(cid:8833) 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°
오른쪽 그림과 같이 AD”를
A
E
그으면 μAE에 대한 중심각의 크
기가 76°이므로
38æ
D
76æ
O
72æ
x
B
(cid:100)(cid:100)∠ADE=;2!;_76°=38°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ADC=110°-38°=72°
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠x+∠ADC=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=180°-72°=108°
C
반원에 대한 원주각의 크기 (cid:8833) 90°
△ABC에서 ∠C=90°이고 AB”=12이므로
(cid:100)(cid:100)AC”="√12¤ -8¤ =4'5
sin A=;1•2;=;3@;, cos A=
4'5
12
'5
= ,
3
tan A=
이므로
8
4'5
=
2'5
5
(cid:100)(cid:100)sinA_cos A_tan A=;3@;_ _
'5
3
2'5
5
=;9$;
(cid:9000) ;9$;
sin A_cos A_tan A=
sin A_cos A_tan A=
BC”
AB”
BC”
AB”
_
=
AC”
AB”
8¤
12¤
_
=
BC”
AC”
4
9
(cid:100)(cid:100)5a°=45°+2a°
즉 3a°=45°이므로(cid:100)(cid:100)a°=15°
따라서 △AQB에서
(cid:100)(cid:100)∠AQB=180°-(∠BAD+∠ABQ)
=180°-(∠BCD+∠ABQ)
=180°-(5a°+2a°)
=180°-7a°
=180°-7_15°
=75°
(cid:9000) 75°
원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이
OM”=ON”이므로 △ABC는 AB”=AC”인 이등변
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC=;2!;_(180°-30°)=75°
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
19
원주각의 크기와 호의 길이 (cid:8833) 정비례
∠ABC：∠BCD=2：5이므로 ∠ABC=2a°,
∠ABC：∠BCD
=μAC：μ BD
∠BCD=5a°라 하자.
(cid:9000) ①
△PCB에서 ∠BCD=∠BPC+∠PBC이므로
한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°인 사각형
15
(cid:8833) 원에 내접한다.
㈀, ㈁ 정사각형과 직사각형은 네 내각의 크기가 모
두 90°이므로 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이다.
㈅ 등변사다리꼴은 아랫변의 양 끝 각의 크기가 같고 윗
변의 양 끝 각의 크기도 같으므로 대각의 크기의 합이
μ BD에 대한 원주각이
므로
(cid:100)∠BAD=∠BCD
=5a°
180°이다.
따라서 항상 원에 내접하는 사각형은 ㈀, ㈁, ㈅이다.
b
b
a
a
(cid:9000) ②
위의 그림과 같은 등
변사다리꼴에서
(cid:100)2(∠a+∠b)=360°
(cid:100)∴ ∠a+∠b=180°
20
는 같다.
삼각형이다.
16
(원주각의 크기)=
(중심각의 크기)
;2!;_
∠ABC=
∠AOC=;2!;_100°=50°
;2!;
따라서 △APB에서
074 Check Up 풀이집
(cid:100)(cid:100)∠x+15°=50°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=35°
(cid:9000) 35°
(cid:100)(cid:100)∠ADC=180°-75°=105°
(cid:9000) 105°
¤
¤
우공비 B0X
기본서 157~159쪽
오른쪽 그림에서 SP”를 그으면
∠PSQ=90°이고
S
R
(cid:8772)SPQR가 원 O에 내접하므로
P
(cid:100)(cid:100)∠RQP+∠RSP=180°
O 21æ
Q
S
t
e
p
U
p
(cid:100)(cid:100)(42°+21°)+(90°+∠QSR)=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠QSR=27°
OA”=AB”=16 m
25
채점 기준
∠DAB의 크기 구하기
∠ABD의 크기 구하기
∠AED의 크기 구하기
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하려면
(cid:100)(cid:100)∠DAB=180°-78°=102°
▶ 1점
△ABD에서
(cid:100)(cid:100)∠ABD=180°-(102°+39°)=39°
▶ 1점
(cid:8772)ABDE가 원에 내접하려면
(cid:100)(cid:100)∠AED=180°-39°=141°
▶ 2점
(cid:9000) 27°
배점
1점
1점
2점
▶ 2점
(cid:9000) 141°
15중3하해설8단(058-075) ok 2015.3.30 4:18 PM 페이지075 SinsagoHitec
21
채점 기준
중심각의 크기 구하기
지름의 길이 구하기
오른쪽 그림에서 μAB에 대한 원
주각의 크기가 30°이므로 중심각의
크기는 60°이다. ▶ 2점
즉 △OAB는 정삼각형이고
OA”=16 m이므로 구하는 지름의
길이는 32 m이다.
배점
2점
2점
16`m
A
B
60æ
O
30æ
▶ 2점
(cid:9000) 32 m
22
채점 기준
∠CAB의 크기 구하기
∠DAB의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
∠ACB=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠CAB=90°-40°=50°
이때 μ DB=μ CD이므로
(cid:100)(cid:100)∠DAB=∠CAD=;2!;_50°=25°
한 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로
(cid:100)(cid:100)∠x=∠DAB=25°
23
채점 기준
∠ACB의 크기 구하기
∠DBC의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
오른쪽 그림과 같이 BC”를 그으
면 μAB의 길이는 원주의 ;6!;이므로
P
x
A
B
(cid:100)(cid:100)∠ACB=;6!;_180°
(cid:100)(cid:100)∠ACB=30°
▶ 2점
∠ACB：∠DBC=μAB：μ CD이므로
(cid:100)(cid:100)30°：∠DBC=2：3
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 25°
배점
2점
2점
1점
D
C
▶ 1점
(cid:9000) 75°
배점
2점
2점
▶ 2점
(cid:100)(cid:100)2∠DBC=90°(cid:100)(cid:100)∴ ∠DBC=45°
▶ 2점
△PBC에서
(cid:100)(cid:100)∠x=45°+30°=75°
삼각형의 한 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는 두
내각의 크기의 합과 같다.
24
채점 기준
∠SQR의 크기 구하기
∠QSR의 크기 구하기
μ SR=2μ SP에서
(cid:100)(cid:100)∠SQR=2∠SQP
=42°
원주각의 크기는 호의 길
이에 정비례한다.
.
Ⅷ
원
의
성
질
Ⅷ.원의 성질 075
15중3하해설8단(076-083) ok 2015.3.30 4:42 PM 페이지076 SinsagoHitec
Step Up
기본서
Ⅷ
-3. 원주각``⑵
1. 접선과 현이 이루는 각
73 접선과 현이 이루는 각
기본서 160~162쪽
익히기 1 ⑴ ∠x=∠BAT=80°
⑵ ∠y=∠CBA=50°
⑵ ∠x=∠BAT=30°, ∠y=∠CAT'=35°
⑶ ∠x=∠BAT=60°
∠CAT'=180°-(45°+60°)=75°이므로
(cid:100)(cid:100)∠y=∠CAT'=75°
(cid:9000) ⑴ ∠x=80°, ∠y=50°(cid:100)⑵ ∠x=30°, ∠y=35°
⑶ ∠x=60°, ∠y=75°
익히기 2 ⑴ ∠BAC=90°이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)∠BCA=90°-30°=60°
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠BCA=60°
⑵ ∠BCA=∠BAT=55°이고 ∠BAC=90°이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)∠x=90°-55°=35°
⑶ ∠BAC=90°이고 AB”=AC”이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)∠ABC=∠ACB=;2!;_(180°-90°)=45°
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠ABC=45°
(cid:9000) ⑴ 60°(cid:100)⑵ 35°(cid:100)⑶ 45°
유제 ❶ ⑴ (cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
⑶ (cid:100)(cid:100)∠DAB=180°-85°=95°
⑶ △ABD에서(cid:100)(cid:100)∠ABD=180°-(45°+95°)=40°
⑶ (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠ABD=40°, ∠y=∠ADB=45°
⑵ ∠x=∠CAT=56°
⑶ 이때 BC”=BA”이므로
⑶ (cid:100)(cid:100)∠BCA=∠BAC=;2!;_(180°-56°)=62°
⑶ (cid:100)(cid:100)∴ ∠y=∠BCA=62°
(cid:9000) ⑴ ∠x=40°, ∠y=45°(cid:100)⑵ ∠x=56°, ∠y=62°
유제 ❷ AC”는 원O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABC=90°
한 원에서 원주각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로
(cid:100)(cid:100)∠CBT=∠CAB=90°_;3@;=60°
(cid:9000) 60°
우공비 B0X
평각의 크기는 180°이다.
두 직선 PA, PB가 원 O의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)∠PAO=∠PBO=90°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠AOB=360°-(60°+90°+90°)
=120°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=;2!;∠AOB=;2!;_120°=60°
유제 ❹-1 원 O에서(cid:100)(cid:100)∠BTQ=∠BAT=45°
원 O'에서(cid:100)(cid:100)∠CTQ=∠CDT=70°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=180°-(45°+70°)=65°
한편 ∠ATB=∠CTD=65° (맞꼭지각)이므로
△ABT에서
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-(45°+65°)=70°
(cid:9000) ∠x=70°, ∠y=65°
반원에 대한 원주각의 크
기는 90°이다.
△CDT에서
유제 ❹-2 ∠TCD=∠BTQ=∠TAB=70°이므로
(cid:100)(cid:100)∠TCD+∠x=70°+∠x=130°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60°
(cid:9000) 60°
∠CDT=180°-130°=50°이고
∠DCT=∠DTQ=∠BAT=70°이므로 △CDT에서
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-(70°+50°)=60°
소단원성취도진단
기본서 163쪽
01 ∠x=76°, ∠y=152°
04 ②
05 ③
06 70°
02 35°
07 ④
03 ②
08 12'3
01
채점 기준
∠x의 크기 구하기
∠y의 크기 구하기
∠x=∠BAT=76°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=2∠x=152°
(cid:9000) ∠x=76°, ∠y=152°
평행한 두 직선이 한 직선과 만날 때
02
(cid:8833) 엇각의 크기가 같다.
∠TCB=∠CAB=35°
이때 BD” // CT”이므로
(cid:100)(cid:100)∠CBD=∠TCB=35°
원의 접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부
03
에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.
배점
50%
50%
▶ 50%
▶ 50%
(cid:9000) 35°
유제 ❸ 두 직선 PA, PB가 원 O의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)PA”=PB”
또 ∠P=60°이므로 △APB는 정삼각형이다.
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠ABP=60°
(cid:9000) 60°
꼭지각의 크기가 60°
인 이등변삼각형은 두
밑각의 크기도 60°이
므로 정삼각형이다.
076 Check Up 풀이집
15중3하해설8단(076-083) ok 2015.3.30 4:42 PM 페이지077 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 160~165쪽
BT”를 그으면
(cid:100)(cid:100)∠PTB=∠BAT=25°
이므로 △BPT에서(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∠ABT=43°+25°=68°
A
x
C
25æ
O
T
B
P
(cid:8772)ABTC는 원 O에 내접하므로
43æ
(cid:100)(cid:100)∠ABT+∠x=180°
μAT에 대한 원주각
△ACT에서
CT”를 그으면 ∠ATC=90°이
고 ∠ACT=∠ABT=55°이므로
(cid:100)(cid:100)∠TAC=90°-55°=35°
이때 ∠CTP=∠TAC=35°이므로
△TCP에서(cid:100)(cid:100)∠x+35°=55°
A
35æ
O55æ
55æ
B
T
35æ
S
t
e
p
U
p
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=180°-68°=112°
(cid:9000) ②
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=20°
삼각형의 한 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는 두
내각의 크기의 합과 같다.
△APT에서
(cid:100)(cid:100)∠ATP=180°-(25°+43°)=112°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠ATP=112°
반원에 대한 원주각의 크기 (cid:8833) 90°
AT”를 그으면 ∠ATB=90°
04
이므로
(cid:100)(cid:100)∠ATP=180°-(90°+68°)
=22°
또 ∠BAT=∠BTC=68°이므로
△APT에서
(cid:100)(cid:100)∠x+∠ATP=68°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=68°-22°=46°
B
O
A
68æ
P
x
22æ
T
68æ
C
원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는
05
같다.
PT”=PT'”이므로 △TPT'에서
(cid:100)(cid:100)∠PTT'=∠PT'T
(cid:100)(cid:100)∠PTT'=;2!;_(180°-40°)=70°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠TAT'=∠PTT'=70°
이때 μAT=μAT'이므로
(cid:100)(cid:100)∠ATT'=∠AT'T
(cid:100)(cid:100)∠ATT'=;2!;_(180°-70°)=55°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠ATT'=55°
원에 내접하는 사각형 (cid:8833) 한 외각과 그 내대각의 크
06
기가 같다.
AB”를 그으면
(cid:8772)ABCD는 원O' 에 내접
하므로
(cid:100)(cid:100)∠PBA=∠ADC
=70°
따라서 원 O에서
T
P
A
O
70æ
B
70æ
O'
75æ
D
C
(cid:100)(cid:100)∠TPA=∠PBA=70°
(cid:9000) 70°
07
원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.
C
x
P
(cid:9000) ④
배점
40%
20%
40%
08
채점 기준
∠APT의 크기 구하기
PT”의 길이 구하기
△BPT의 넓이 구하기
AB”가 원O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠ATB=90°
∠ATP=∠ABT=30°이고
∠BAT=60°이므로
O
30æ
B
4Â3
60æ
A
30æ
T
30æ
P
(cid:100)(cid:100)∠APT=30°
▶ 40%
따라서 PT”=BT”=4'3이므로
(cid:100)(cid:100)△BPT=;2!;_4'3_4'3_sin(180°-120°)
▶ 20%
(cid:100)(cid:100)△BPT=;2!;_4'3_4'3_
(cid:100)(cid:100)△BPT=12'3
'3
2
▶ 40%
(cid:9000) 12'3
2. 원에서의 비례 관계
74 원에서의 비례 관계
기본서 164~165쪽
.
Ⅷ
원
의
성
질
(cid:9000) ②
두 변의 길이가 a, c이고
그 끼인 각의 크기가
B(둔각)인 삼각형의 넓이
(cid:8825) ;2!;ac sin(180°-B)
△ATT'은
AT”=AT'”인 이등변
삼각형이다.
(cid:9000) ③
익히기 1 PA”_PB”=PC”_PD”이므로
⑴ 4_x=8_6(cid:100)(cid:100)∴ x=12
⑵ x_5=4_(14-4)(cid:100)(cid:100)∴ x=8
⑶ x_10=5_12(cid:100)(cid:100)∴ x=6
⑷ 4_(4+2)=3_(3+x)이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)3+x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=5
(cid:9000) ⑴ 12(cid:100)⑵ 8(cid:100)⑶ 6(cid:100)⑷ 5
유제 ❶ PA”=2x라 하면 PB”=3x이므로
(cid:100)(cid:100)2x_3x=6_16,(cid:100)(cid:100)6x¤=96
(cid:100)(cid:100)x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=5_4=20
(cid:9000) 20
유제 ❷ PC”=CD”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)3_(3+11)=x_2x,(cid:100)(cid:100)2x¤=42
(cid:100)(cid:100)x¤ =21(cid:100)(cid:100)∴ x='∂21 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ PD”=2_'∂21=2'∂21
(cid:9000) 2'∂21
Ⅷ.원의 성질 077
15중3하해설8단(076-083) ok 2015.3.30 4:42 PM 페이지078 SinsagoHitec
Step Up
기본서
유제 ❸ ① 2_6=3_4
② 5_5+4_6
③ 6_(6+2)=4_(4+8)
④ 7_(7+4)+6_(6+8)
⑤ 3_(3+10)+2_(2+15)
우공비 B0X
유제 ❻ 원 O에서
(cid:100)(cid:100)PA”_PB”=PE”_PF”
원 O'에서
(cid:100)(cid:100)PC”_PD”=PE”_PF”
따라서 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하는 것은 ①, ③이다.
(cid:100)(cid:100)2_(2+16)=x_(x+5)
따라서 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 PC”=x cm라 하면
(cid:9000) ①, ③
(cid:100)(cid:100)x¤ +5x-36=0,(cid:100)(cid:100)(x+9)(x-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:9000) 4 cm
75 원에서의 비례 관계의 응용 기본서 166~167쪽
익히기 2 PA”_PB”=PC”_PD”에서
⑴ OP”=OA”-AP”=6-2=4 (cm)이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)PB”=OP”+OB”=4+6=10 (cm)
⑵ 또 AB”는 CD”의 수직이등분선이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)PD”=PC”=x cm
⑵ 따라서 2_10=x_x이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =20
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=2'5 (∵ x>0)
⑵ PC”=OC”-OP”=8-x (cm)
⑵ PD”=OP”+OD”=x+8 (cm)
⑵ 따라서 6_8=(8-x)_(8+x)이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)48=64-x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤=16
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
⑶ PC”=OP”-OC”=7-x (cm)
⑵ PD”=OP”+OD”=7+x (cm)
⑵ 따라서 3_8=(7-x)_(7+x)이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)24=49-x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤=25
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
유제 ❹ 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
⑴ PA”=r+8 (cm), PB”=r-8 (cm)이므로
⑵ PA”_PB”=PC”_PD”에서
⑵ (cid:100)(cid:100)(r+8)(r-8)=8_10,(cid:100)(cid:100)r¤=144
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ r=12 (∵ r>0)
⑵ PA”=r-2 (cm), PB”=r+2 (cm)이므로
⑵ PA”_PB”=PC”_PD”에서
⑵ (cid:100)(cid:100)(r-2)(r+2)=4_3,(cid:100)(cid:100)r¤ =16
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ r=4 (∵ r>0)
(cid:9000) ⑴ 12 cm(cid:100)⑵ 4 cm
유제 ❺ PA”=PO”-OA”=8-6=2 (cm)
PB”=PO”+OB”=8+6=14 (cm)
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)2_14=3_(3+x),(cid:100)(cid:100)28=9+3x
(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡3ª:
(cid:9000) :¡3ª:
078 Check Up 풀이집
76 원의 할선과 접선 사이의 관계 기본서 168~169쪽
원의 중심에서 현에 내린
수선은 그 현을 이등분한다.
익히기 3 PT”
⑴ x¤ =4_9=36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
¤ =PA”_PB”이므로
⑵ 8¤ =x_16(cid:100)(cid:100)∴ x=4
⑶ 6¤ =3_(3+x),(cid:100)(cid:100)3x=27
⑶(cid:100)(cid:100)∴ x=9
(cid:9000) ⑴ 6(cid:100)⑵ 4(cid:100)⑶ 9
유제 ❼ PT”
¤ =PA”_PB”이므로
(cid:100)(cid:100)10¤ =x_(x+15),(cid:100)(cid:100)x¤ +15x-100=0
(cid:100)(cid:100)(x-5)(x+20)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
유제 ❽ PT”
¤ =PA”_PB”=3_(3+9)=36에서
(cid:100)(cid:100)PT”=6 (∵PT”>0)
△PAT와 △PTB에서
(cid:9000) 5
(cid:9000) 10
(cid:100)(cid:100)∴ TB”=10
보충 학습
삼각형의 닮음조건
⑴ 세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같다. (SSS 닮음)
⑵ 두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고 그 끼인 각의 크기
가 같다. (SAS 닮음)
⑶ 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다. (AA 닮음)
유제 ❾ 원 O에서(cid:100)(cid:100)PA” _ PB”=PC” _ PD”
¤ =PC” _ PD”
원 O'에서(cid:100)(cid:100)PT”
따라서 PA” _ PB”=PT”
¤ 이므로 AB”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)4_(4+x)=6¤ ,(cid:100)(cid:100)16+4x=36
(cid:100)(cid:100)∴ x=5
(cid:9000) 5 cm
(cid:9000) ⑴ 2'5(cid:100)⑵ 4(cid:100)⑶ 5
원의 접선과 현이 이루는
각의 크기는 그 각의 내부
에 있는 호에 대한 원주각
의 크기와 같다.
(cid:100)(cid:100)∠P는 공통, ∠PTA=∠PBT
이므로(cid:100)(cid:100)△PATª△PTB (AA 닮음)
따라서 PT”：PB”=AT”：TB”에서
(cid:100)(cid:100)6：12=5：TB”,(cid:100)(cid:100)6TB”=60
15중3하해설8단(076-083) ok 2015.3.30 4:42 PM 페이지079 SinsagoHitec
소단원성취도진단
기본서 170~171쪽
01 8'2 cm
04 ④
02 8
05 8 cm 06 6
03 14p cm¤
07 ③
08 ②
09 :¡3§:
10 ③
11 ①
12 :£2£: cm
14 ;;™5•;; cm
15
27'∂10
2
cm¤
13 ②
16 ④
두 현AB, CD 의 교점을 P라 하면
01
(cid:8833) PA”_PB”=PC”_PD”
PA”=PB”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)x_x=4_8,(cid:100)(cid:100)x¤=32
(cid:100)(cid:100)∴ x=4'2 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2_4'2=8'2 (cm)
(cid:9000) 8'2 cm
02
PC”의 연장선을 그어 원에서의 비례 관계를 이용한다.
오른쪽 그림에서 PC”의 연장선
과 원 O가 만나는 점을 D라 하면
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)6_8=12_PD”(cid:100)(cid:100)∴PD”=4
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=4+12=16
B
8
D
P
6
O
A
따라서 원 O의 반지름의 길이는 8이다.
12
C
03
채점 기준
원 O의 반지름의 길이에 대한 식 세우기
원 O의 반지름의 길이 구하기
원 O의 넓이 구하기
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)PA”=r+'6 (cm), PB”=r-'6 (cm)
이므로
(cid:100)(cid:100)(r+'6)_(r-'6)=(2'2)¤
(cid:100)(cid:100)r¤ =14(cid:100)(cid:100)∴ r='∂14 (∵ r>0)
따라서 원 O의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_('∂14)¤ =14p (cm¤ )
배점
40%
30%
30%
▶ 40%
▶ 30%
PO”의 연장선을 그어 원의 할선과 접선 사이의 관
04
계를 이용한다.
오른쪽 그림에서 PO”의 연장
선과 원 O가 만나는 점을 B라
하면 PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =2_(2+6)=16
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=4 (∵ PT”>0)
(cid:100)(cid:100)PT”
3 O
T
2
A
P
우공비 B0X
기본서 165~171쪽
두 현AB, CD의 연장선의 교점을 P라 하면
05
(cid:8833) PA”_PB”=PC”_PD”
AP”=x cm라 하면 AB”=2x cm이므로
(cid:100)(cid:100)x_(x+2x)=3_(3+13)
(cid:100)(cid:100)3x¤ =48,(cid:100)(cid:100)x¤ =16
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2_4=8 (cm)
(cid:9000) 8 cm
S
t
e
p
U
p
한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같은 사각형
06
은 원에 내접한다.
∠A=∠PCD이므로 (cid:8772)ABCD는 원에 내접한다.
따라서 PD”_PA”=PC”_PB”이므로
(cid:100)(cid:100)8_(8+12)=10_(10+x)
(cid:100)(cid:100)160=100+10x(cid:100)(cid:100)∴x=6
(cid:9000) 6
07
PA”_PB”=PE”_PF”=PC”_PD”
원 O에서(cid:100)(cid:100)PA”_PB”=PE”_PF”
원 O'에서(cid:100)(cid:100)PC”_PD”=PE”_PF”
(cid:9000) 8
CD”는 원 O의 지름이
다.
(cid:100)(cid:100)∴x=12
(cid:9000) ③
따라서 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 BD”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)(8+2)_3=2_(3+x),(cid:100)(cid:100)30=6+2x
.
Ⅷ
원
의
성
질
EA”_EB”=EC”_ED”임을 이용하여 EA”의 길이를
08
먼저 구한다.
EA”_EB”=EC”_ED”이므로
(cid:100)(cid:100)EA”_4=2_6
(cid:100)(cid:100)∴ EA”=3 (cm)
¤ =PA” _PB” 이므로 PA”=x cm라 하면
PT”
(cid:100)(cid:100)(3'2 )¤ =x_(x+7)
(cid:100)(cid:100)x¤ +7x-18=0,(cid:100)(cid:100)(x+9)(x-2)=0
▶ 30%
(cid:9000) 14p cm¤
반지름의 길이가 r인 원의
넓이 (cid:8825) pr¤
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
(cid:9000) ②
OB”=OA”=3이므로
B
AB”=6
09
같다.
원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는
PQ”=PT”=8 cm이므로
(cid:100)(cid:100)PB”=8+4=12 (cm)
¤ =PA” _ PB”이므로
(cid:100)(cid:100)8¤ =x_12,(cid:100)(cid:100)64=12x
PT”
(cid:9000) ④
(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡3§:
(cid:9000) :¡3§:
Ⅷ.원의 성질 079
15중3하해설8단(076-083) ok 2015.3.30 4:42 PM 페이지080 SinsagoHitec
우공비 B0X
PD”=PC”+CO”+OD”
PA”_PB”=PC”_PD”
또 PD”=4+12+12=28 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)PA”_20=4_28(cid:100)(cid:100)∴ PA”=;;™5•;; (cm)
접선과 현이 이루는 각을 이용하여 AP”의 길이를
Step Up
기본서
10
구한다.
PT”가 원의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)∠ATP=∠ABT
등변삼각형이다.
(cid:100)(cid:100)∴ AP”=AT”=4
즉 ∠APT=∠ATP이므로 △APT는 AP”=AT”인 이
따라서 PT”
¤ =PA”_PB”=4_(4+5)=36이므로
(cid:100)(cid:100)PT”=6 (∵ PT”>0)
(cid:9000) ③
∠PTA=∠PBT임을 이용하여 닮은 두 삼각형을
11
찾는다.
PT”
¤ =PA”_PB”=2_(2+6)=16
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=4 (∵ PT”>0)
△PATª△PTB(AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)AT”：TB”=PA”：PT”=2：4=1：2
(cid:9000) ①
12
채점 기준
PT”의 길이 구하기
AB”의 길이 구하기
원 O에서(cid:100)(cid:100)PT”
¤ =PA”_PB”
원 O'에서(cid:100)(cid:100)PT'”
¤ =PT'”
따라서 PT”
¤ =PA”_PB”
¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)PT”=PT'”=14 (cm)
따라서 원 O에서 14¤ =8_(8+AB”)이므로
(cid:100)(cid:100)196=64+8 AB”
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=:£2£: (cm)
△PAT와 △PTB에
서
``∠P는 공통,
``∠PTA=∠PBT
이므로
``△PATª△PTB
(AA 닮음)
16
구한다.
배점
60%
40%
▶ 60%
PT”>0, PT'”>0
▶ 40%
(cid:9000) :£2£: cm
13
BD”_BA”=BC”_BE”
(cid:8833) 네 점A, D, C, E는 한 원 위에 있다 .
8_(8+1)=6_(6+6), 즉
BD”_BA”=BC”_BE”이므로 네 점 A, D, C, E는 한
원 위에 있다.
따라서 ∠ACE=∠ADE=118°-40°=78°이므로
(cid:100)(cid:100)∠FCB=180°-78°=102°
(cid:9000) ②
μAE에 대한 원주각
▶ 20%
▶ 50%
(cid:9000) ;;™5•;; cm
배점
40%
60%
▶ 40%
15
채점 기준
PB”의 길이 구하기
△APB의 넓이 구하기
PB”
¤ =PA” _ PC”이므로
¤ =9_(9+11)=180
(cid:100)(cid:100)PB”
(cid:100)(cid:100)∴ PB”=6'5 (cm) (∵ PB”>0)
(cid:100)(cid:100)∴ △APB=;2!;_9_6'5_sin 45°
(cid:100)(cid:100)∴ △APB=;2!;_9_6'5_
'2
2
(cid:100)(cid:100)∴ △APB=
(cm¤ )
▶ 60%
27'∂10
2
(cid:9000)
27'∂10
2
cm¤
PT”
¤ = PA”_PB”임을 이용하여 PB”의 길이를 먼저
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
(cid:100)(cid:100)10¤ =5_PB”(cid:100)(cid:100)∴ PB”=20
(cid:100)(cid:100)∴ HB”=20-(5+x)=15-x
¤ 이므로
원 O에서 AH”_BH”=TH”
(cid:100)(cid:100)x_(15-x)=TH”
직각삼각형 PTH에서
(cid:100)(cid:100)10¤ -(5+x)¤ =TH”
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)x(15-x)=10¤ -(5+x)¤
(cid:100)(cid:100)25x=75(cid:100)(cid:100)∴x=3
(cid:9000) ④
중단원마무리평가
기본서 172~175쪽
01 ⑤
06 ③
11 ①
16 65°
02 ①
07 ④
12 ④
17 60°
03 ②
08 ①
13 ②
18 18
05 ⑤
10 ③
15 ③
04 ②
09 ②
14 ③
19 96'3`cm¤
20 ;;™3º;;`cm 21 104° 22 62°
23 ;;™3º;;`cm
24
55'3
2
25 ;2%5$;
`cm¤
14
채점 기준
PB”의 길이 구하기
PD”의 길이 구하기
PA”의 길이 구하기
배점
30%
20%
50%
PO”=4+12=16 (cm)이므로 직각삼각형 BPO에서
(cid:100)(cid:100)PB”="1√6¤
√+12¤ =20 (cm)
▶ 30%
080 Check Up 풀이집
접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있
01
는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.
∠DAT=∠ABD=65°이므로
μAD에 대한 원주각
μ BDA에 대한 원주각
(cid:100)(cid:100)∠BAT=2_65°=130°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠BAT=130°
(cid:9000) ⑤
¤
¤
15중3하해설8단(076-083) ok 2015.3.30 4:42 PM 페이지081 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 171~173쪽
∠BAD=∠DAT=65°이므로 △ABD에서
(cid:100)(cid:100)∠ADB=180°-(65°+65°)=50°
(cid:8772)ADBC는 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠ADB+∠x=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=180°-50°=130°
05
PA”_PB”=PC”_PD”
PA”：PB”=2：1이므로 PA”=2x, PB”=x라 하면
원에 내접하는 사각형의
한 쌍의 대각의 크기의 합
은 180°이다.
(cid:100)(cid:100)2x_x=3_8,(cid:100)(cid:100)2x¤=24
(cid:100)(cid:100)x¤ =12(cid:100)(cid:100)∴ x=2'3 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=3_2'3=6'3
(cid:9000) ⑤
S
t
e
p
U
p
원 위의 점 D를 잡아 원에 내접하는 사각형
02
ABCD를 그려 본다.
오른쪽 그림과 같이 원
위의 점 D를 잡으면
(cid:8772)ABCD는 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠CDA=180°-∠ABC
=180°-110°
=70°
P
x
70æ
D
A
B
110æ
C
∠PCA=∠CDA=70°이고 PA”=PC”이므로 △APC
에서
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-2_70°=40°
(cid:9000) ①
원의 중심을 O라 하면
(cid:100)(cid:100)∠AOC=360°-2∠ABC
=360°-2_110°
=140°
(cid:8772)`APCO에서 ∠PAO=∠PCO=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=360°-(90°+90°+140°)
=40°
∠ADB=∠AEB (cid:8833) 네 점A, B, E, D 는 한 원
06
위에 있다.
∠ADB=∠AEB=90°이므로 네 점 A, B, E, D
는 한 원 위에 있다.
따라서 CD”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)x_(x+3)=4_(4+6)
(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-40=0,(cid:100)(cid:100)(x+8)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
(cid:9000) ③
이등변삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 BC”에 내린
07
수선은 BC”를 수직이등분한다.
오른쪽 그림에서
△ABC는 이등변삼각형이
등분한다.
DP”=x라 하면
A
4
D
8
x
8
B
H
C
P
μADC에 대한 중심각
므로 AH”는 BC”를 수직이
원의 접선은 그 접점을 지
나는 반지름과 수직이다.
△AHP에서(cid:100)(cid:100)AH”
△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”
¤ =(x+4)¤ -PH”
¤ =8¤ -CH”
¤ yy`㉠(cid:100)(cid:100)
yy`㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡에서
¤ -CH”
(cid:100)(cid:100)PH”
¤ =(x+4)¤ -8¤
또 PD”_PA”=PC”_PB”이므로
yy`㉢(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)x_(x+4)=(PH”-CH”)(PH”+CH”)
=PH”
¤ -CH”
yy`㉣(cid:100)(cid:100)
.
Ⅷ
원
의
성
질
특수한 각의 삼각비의 값과 반원에 대한 원주각의
03
크기는 90°임을 이용한다.
오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ABP=60°
원의 중심 O를 지나는 현 BQ를 그으면
(cid:100)(cid:100)∠QAB=90°
이때 ∠AQB=∠ACB=60°이므로
P
60æ
B
Q
60æ
A
C
60æ
O
´3
BH”=CH”이므로
PB”=PH”+BH”
=PH”+CH”
직각삼각형 QAB에서
(cid:100)(cid:100)QB”=
'3
sin 60°
='3_ =2
2
'3
(cid:100)(cid:100)∴ OB”=;2!;QB”=1
따라서 원 O의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_1=2p
두 원에서 접선과 현이 이루는 각의 성질을 각각 이
04
용한다.
∠CPT'=∠CAP=63°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BPT'=180°-(63°+55°)=62°
(cid:9000) ②
PA”_PB”=PC”_PD”
㉢, ㉣에서
(cid:100)(cid:100)x_(x+4)=(x+4)¤ -8¤
(cid:100)(cid:100)x¤ +4x=x¤ +8x-48
(cid:100)(cid:100)4x=48(cid:100)(cid:100)∴x=12
(cid:9000) ④
네 점A, B, C, D 가 한 원 위에있으려면
08
(cid:8833) PA”_PB”=PC”_PD”가 성립해야 한다.
AP”=x cm라 하면 PB”=20-x (cm)이므로 네
점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
(cid:100)(cid:100)x_(20-x)=8_8,(cid:100)(cid:100)x¤-20x+64=0
(cid:100)(cid:100)(x-16)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴x=16 또는 x=4
그런데 AP”>PB”이므로(cid:100)(cid:100)x=16
(cid:9000) ①
PT”는 원 O의 지름이고 AB”는 원O의 접선이므로
09
AB”⊥PT”이다.
두 원O, O'의 반지름의 길이를 각각 a, b라 하면
Ⅷ.원의 성질 081
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠BPT'=62°
(cid:9000) ②
PT”=2a, QT”=2b이다.
¤
¤
15중3하해설8단(076-083) ok 2015.3.30 4:42 PM 페이지082 SinsagoHitec
Step Up
기본서
이때 TP”_TQ”=TA”
¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)2a_2b=6¤ ,(cid:100)(cid:100)4ab=36
(cid:100)(cid:100)∴ ab=9
두 현 AB, CD의 교점을 P라 하면
10
(cid:8833) PA”_PB”=PC”_PD”
우공비 B0X
TA”=TB”
(cid:9000) ②
△BTP에서
(cid:100)(cid:100)PT”
이때 PT”
¤ =(4'3)¤ -6¤ =12
¤ =PC”_PB”이므로
OP”=PB”=x cm라 하면 AP”=3x cm이므로
(cid:100)(cid:100)3x_x=17_6,(cid:100)(cid:100)3x¤=102,(cid:100)(cid:100)x¤ =34
(cid:100)(cid:100)∴ x='∂34 (∵ x>0)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2'∂34 cm이므로 그 넓
이는
(cid:100)(cid:100)p_(2'∂34 )¤ =136p (cm¤ )
(cid:9000) ③
OA”=OB”=2x cm이
므로
AP”=OA”+OP”
=2x+x
=3x(cm)
PT”>0, PT'”>0
11
PT”
¤ =PA”_PB”
PT”
¤ =8_(8+12)=160이므로
(cid:100)(cid:100)PT”=4'∂10 (∵ PT”>0)
(cid:9000) ①
원의 접선은 그 접점을 지
나는 반지름과 수직이다.
△ABD에서
(cid:9000) ④
PA”=4+12
=16 (cm)
17
같다.
원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는
(cid:100)(cid:100)12=PC”_6(cid:100)(cid:100)∴PC”=2
(cid:9000) ③
15
PT”
¤ =PA”_PB”=PT'”
PT”
¤ =PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)6¤ =3_(3+x)
(cid:100)(cid:100)36=9+3x(cid:100)(cid:100)∴x=9
또 PT'”
¤ =PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PT”
¤ =PT'”
즉 PT”=PT'”이므로(cid:100)(cid:100)y=6
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=9+6=15
(cid:9000) ③
접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있
16
는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.
∠ABC=∠CAD=40°이고 ∠BAD=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠ADB=90°-40°=50°
따라서 ∠EDB=;2!;_50°=25°이므로
(cid:100)(cid:100)∠AED=40°+25°=65°
(cid:9000) 65°
△DEF에서
(cid:100)(cid:100)∠DEF=180°-(55°+65°)=60°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ADF=∠DEF=60°
이때 AD”=AF”이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-2_60°=60°
(cid:9000) 60°
평행한 두 직선이 한 직선과 만날 때 생기는 엇각의
18
크기는 같다.
AC”∥DB”이므로
(cid:100)(cid:100)∠PAC=∠PBD(엇각), ∠PCA=∠PDB(엇각)
(cid:100)(cid:100)∴ △PACª△PBD (AA 닮음)
PA”：PB”=AC”：BD”=8：4=2：1이므로
(cid:100)(cid:100)PB”=;2!;PA”=3
(cid:100)(cid:100)∴ PC”_PD”=PA”_PB”=6_3=18
(cid:9000) 18
AB”가 원O 의 지름이
므로
19
∠ATB=90°
PT”
¤ =PA”_PB”
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
(cid:100)(cid:100)24¤ =8'3_PB”(cid:100)(cid:100)∴ PB”=24'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=PB”-PA”=24'3-8'3=16'3 (cm)
12
PT”
¤ =PB”_PA”
∠OHA=90°이므로 △OAH에서
(cid:100)(cid:100)AH”="√10¤ -8¤ =6 (cm)
OH”가 AB”를 수직이등분하므로
(cid:100)(cid:100)AB”=2AH”=12 (cm)
PT”
¤ =PB”_PA”=4_16=64이므로
(cid:100)(cid:100)PT”=8 (cm) (∵ PT”>0)
∠PTA=∠PBT임을 이용하여 닮은 두 삼각형을
13
찾는다.
PA”=x라 하면(cid:100)(cid:100)8¤ =x_(x+12)
(cid:100)(cid:100)x¤ +12x-64=0,(cid:100)(cid:100)(x+16)(x-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
△PAT와 △PTB에서
(cid:100)(cid:100)∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△PATª△PTB (AA 닮음)
따라서 AT” : TB”=PA” : PT”이므로
(cid:100)(cid:100)AT” : 11=4 : 8(cid:100)(cid:100)∴ AT”=:¡2¡:
(cid:9000) ②
닮은 두 직각삼각형을 찾아 BT”의 길이를 먼저 구
14
한다.
△BAT와 △BTP에서
(cid:100)(cid:100)∠BAT=∠BTP,
(cid:100)(cid:100)∠ATB=∠TPB=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△BATª△BTP (AA 닮음)
따라서 BA”：BT”=BT”：BP”이므로
(cid:100)(cid:100)8：BT”=BT”：6
(cid:100)(cid:100)BT”
¤ =48(cid:100)(cid:100)∴ BT”=4'3 (∵ BT”>0)
082 Check Up 풀이집
¤
¤
15중3하해설8단(076-083) ok 2015.3.30 4:42 PM 페이지083 SinsagoHitec
또 ∠ABT=∠ATP=30°이고 ∠ATB=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAT=90°-30°=60°
△APT에서(cid:100)(cid:100)∠APT+∠ATP=∠BAT
(cid:100)(cid:100)∠APT+30°=60°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠APT=30°
즉 △APT는 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)AT”=PA”=8'3 cm
직각삼각형 ATB에서
(cid:100)(cid:100)BT”=AB” cos 30°=16'3_ =24 (cm)
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ △ATB=;2!;_8'3_24=96'3 (cm¤ )
(cid:9000) 96'3 cm¤
20
△PTAª△PBT임을 이용한다.
AB”=BT”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)12¤ =8_(8+x)
(cid:100)(cid:100)144=64+8x(cid:100)(cid:100)∴x=10
△PTA와 △PBT에서
(cid:100)(cid:100)∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△PTAª△PBT (AA 닮음)
따라서 PA”：PT”=TA”：BT”이므로
(cid:100)(cid:100)8：12=TA”：10,(cid:100)(cid:100)12AT”=80
(cid:100)(cid:100)∴ AT”=:™3º:(cm)
(cid:9000) :™3º: cm
21
채점 기준
∠x의 크기 구하기
∠y의 크기 구하기
∠x+∠y의 크기 구하기
직선 TA는 접선이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=∠DAT=32°
∠DAB=180°-(32°+40°)=108°이고 (cid:8772)ABCD는
원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠y+108°=180°(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=72°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=32°+72°=104°
22
채점 기준
∠AEB=∠ECB임을 알기
∠EBC의 크기 구하기
∠BEC=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠ECB=180°-(90°+∠EBC)=90°-∠EBC
AD”가 원O'의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)∠AEB=∠ECB=90°-∠EBC
▶ 2점
△ABE에서(cid:100)(cid:100)34°+(90°-∠EBC)=∠EBC
(cid:100)(cid:100)∴ ∠EBC=62°
배점
1점
1점
1점
▶ 1점
▶ 1점
▶ 1점
(cid:9000) 104°
배점
2점
3점
▶ 3점
(cid:9000) 62°
우공비 B0X
기본서 173~175쪽
삼각형의 한 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는 두
내각의 크기의 합과 같다.
23
채점 기준
AP”의 길이 구하기
PC”의 길이 구하기
PB”의 길이 구하기
배점
1점
1점
2점
S
t
e
p
U
p
△APD에서(cid:100)(cid:100)AP”="√13¤ -12¤ =5 (cm) ▶ 1점
▶ 1점
△PCD에서(cid:100)(cid:100)PC”="√20¤ -12¤ =16 (cm)
이때 PA”_PC”=PB”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)5_16=PB”_12
(cid:100)(cid:100)∴ PB”=;;™3º;; (cm)
24
채점 기준
PD”의 길이 구하기
(cid:8772)ABCD의 넓이 구하기
PA”_PC”=PB”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)6_4=8_PD”(cid:100)(cid:100)∴PD”=3
▶ 2점
두 대각선의 길이가 a, b
이고 두 대각선이 이루는
각의 크기가 x(예각)인
사각형의 넓이
(cid:8825) ;2!; ab sin x
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_10_11_sin 60°
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_10_11_
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=
55'3
2
▶ 2점
(cid:9000) ;;™3º;; cm
배점
2점
3점
▶ 3점
(cid:9000)
55'3
2
배점
2점
1점
2점
.
Ⅷ
원
의
성
질
25
채점 기준
PT”의 길이 구하기
△OHT와 △OTP의 닮음비 구하기
△THO의 넓이 구하기
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =2_8=16
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=4 (cm) (∵ PT”>0)
▶ 2점
∠OTP=90°이므로 △OHT와 △OTP에서
(cid:100)(cid:100)∠O는 공통,
(cid:100)(cid:100)∠OHT=∠OTP=90°
(cid:100)(cid:100)∴ △OHTª△OTP (AA 닮음)
이때 닮음비는(cid:100)(cid:100)OT”：OP”=3：5
▶ 1점
△PTO=;2!;_PT”_OT”=;2!;_4_3=6 (cm¤ )이므로
(cid:100)(cid:100)△THO：6=3¤ ：5¤
반원에 대한 원주각의 크
기는 90°이다.
(cid:100)(cid:100)∴ △THO=;2%5$; (cm¤ )
▶ 2점
(cid:9000) ;2%5$; cm¤
보충 학습
닮은 두 도형의 닮음비가 m：n일 때,
⑴ 둘레의 길이의 비 (cid:8825) m：n
⑵ 넓이의 비 (cid:8825) m¤ ：n¤
Ⅷ.원의 성질 083
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지084 SinsagoHitec
Point Up 문제집
중단원별 실전 TEST
01 회
Ⅴ
-1. 대푯값과 산포도
| 문제집 17~18쪽
01 ④
05 ①
09 4
12 30
02 ⑤
06 ②
10 2 mm
13 23.2
04 ④
08 ③
03 ④
07 ⑤
11 민우, '∂2.4점
중앙값 (cid:8833) 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나
01
열할 때 중앙에 오는 값
① 자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 값을
대푯값이라 한다.
② 대푯값에는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다.
③ 전체 변량의 총합을 변량의 개수로 나눈 값을 평균이
라 한다.
있다.
⑤ 최빈값은 존재하지 않을 수도 있고, 2개 이상일 수도
따라서 옳은 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
02
식을 세운다.
학생 E의 점수를 x점이라 놓고 평균을 이용하여
학생 E의 점수를 x점이라 하면
(cid:100)(cid:100)
71+88+79+81+x
5
=80
(cid:100)(cid:100)319+x=400(cid:100)(cid:100)∴x=81
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
변량 x¡, x™, y, x«의 평균이 m일 때, x¡+k,
03
x™+k, y, x«+k (k는 상수)의 평균 (cid:8833) m+k
모든 학생들의 점수를 4점씩 올려주면 평균은 4점
이 오른다.
보충 학습
변량 x¡, x™, y, x«의 평균이 m이면
(cid:100)(cid:100)
x¡+x™+y+x«
n
=m
따라서 변량 x¡+k, x™+k, y, x«+k의 평균은
(cid:100)(cid:100)
(x¡+k)+(x™+k)+y+(x«+k)
n
=
=
x¡+x™+y+x«+kn
n
x¡+x™+y+x«
n
+k
=m+k
084 Check Up 풀이집
우공비 B0X
중앙값을 구하려면 먼
저 변량을 작은 값부
터 순서대로 나열해야
한다.
변량의 개수 n이 홀수
이면
n+1
2
의 값이 중앙값이다.
번째 자료
자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하여 중
04
앙에 오는 값을 찾는다.
자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
(cid:100)(cid:100)65, 85, 86, 88, 90, 93, 95
따라서 중앙값은 88점이다.
(cid:9000) ④
05
최빈값 (cid:8833) 변량 중에서 도수가 가장 큰 값
변량 중에서 도수가 가장 큰 값은 2.2이므로 최빈값
은 2.2이다.
(cid:9000) ①
06
(편차)=(변량)-(평균)
㈁ 분산은 (편차)¤ 의 평균이다.
㈂ (편차)=(변량)-(평균)이므로 평균보다 작은 변량
평균보다 큰 변량에 대
한 편차는 양수이다.
에 대한 편차는 음수이다.
이상에서 옳은 것은 ㈀`, ㈃`이다.
(cid:9000) ②
변량의 도수가 모두 같으
면 최빈값은 존재하지 않
고, 가장 큰 도수의 값이
2개 이상이면 그 값이 모
두 최빈값이다.
07
편차의 총합은 0임을 이용한다.
편차의 총합은 0이므로
(cid:100)(cid:100)2+(-4)+3+a=0(cid:100)(cid:100)∴a=-1
따라서 분산은
(cid:100)(cid:100)
2¤ +(-4)¤ +3¤ +(-1)¤
4
30
4
= =7.5
(cid:9000) ⑤
도수의 총합을 이용하여 a의 값을 구한 후 표준편
08
차를 구한다.
도수의 총합은 20이므로
(cid:100)(cid:100)3+4+a+4+3=20(cid:100)(cid:100)∴a=6
이때 주어진 자료의 평균은
(cid:100)(cid:100)
6_3+7_4+8_6+9_4+10_3
20
160
= =8
20
따라서 분산은
(cid:100)(cid:100);2¡0;{(6-8)¤ _3+(7-8)¤ _4+(8-8)¤ _6
(cid:100)(cid:100) +(9-8)¤ _4+(10-8)¤ _3}
=;2#0@;=1.6
이므로 표준편차는(cid:100)(cid:100)'∂1.6(점)
(cid:9000) ③
09
(cid:100)(cid:100)
a+b+c+d의 값을 구한다.
2a+1, 2b+1, 2c+1, 2d+1의 평균이 9이므로
(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2d+1)
4
=9
(cid:100)(cid:100)2(a+b+c+d)+4=36
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d=16
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지085 SinsagoHitec
따라서 a, b, c, d의 평균은
(cid:100)(cid:100)
a+b+c+d
4
16
= =4
4
(cid:9000) 4
13
채점 기준
평균 구하기
분산 구하기
평균을 이용하여 x의 값을 구하고 표준편차를 구
주어진 자료의 평균은
우공비 B0X
문제집 17`~19`쪽
표준편차를 구할 때는
① 평균
② 편차
③ 분산
④ 표준편차
의 순서로 구한다.
(cid:100)(cid:100)
2_4+6_8+10_4+14_2+18_2
20
=:¡2§0º:=8(권)
따라서 분산은
(cid:100)(cid:100);2¡0; {(2-8)¤ _4+(6-8)¤ _8+(10-8)¤ _4
+(14-8)¤ _2+(18-8)¤ _2}
(cid:100)=:¢2§0¢:=23.2
표준편차는 변량과 같
은 단위를 붙인다.
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
배점
3점
3점
▶ 3`점
▶ 3`점
(cid:9000) 23.2
10
한다.
11
작다.
평균 강수량이 10 mm이므로
(cid:100)(cid:100)
13+x+11+10+7
5
=10
(cid:100)(cid:100)41+x=50(cid:100)(cid:100)∴x=9
따라서 분산은
(cid:100)(cid:100)
3¤ +(-1)¤ +1¤ +0¤ +(-3)¤
5
이므로 표준편차는(cid:100)(cid:100)'4=2 (mm)
20
= =4
5
(cid:9000) 2 mm
변량들이 평균에 밀집되어 있을수록 표준편차가
변량들이 평균에 밀집되어 있을수록 표준편차가 작
으므로 표준편차가 작은 학생은 민우이다.
민우의 성적의 평균은
(cid:100)(cid:100)
4_3+6_4+8_3
10
60
10
= =6(점)
(cid:100)(cid:100)
(4-6)¤ _3+(6-6)¤ _4+(8-6)¤ _3
10
따라서 분산은
24
(cid:100)= =2.4
10
이므로 표준편차는(cid:100)(cid:100)'2å.4 (점)
(cid:9000) 민우, '2å.4 점
12
채점 기준
평균을 이용하여 x+y의 값 구하기
분산을 이용하여 x¤ +y¤ 의 값 구하기
곱셈 공식을 이용하여 xy의 값 구하기
배점
2점
2점
2점
4, 10, x, y, 5의 평균이 6이므로
(cid:100)(cid:100)
4+10+x+y+5
5
=6,(cid:100)(cid:100)19+x+y=30
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=11 yy ㉠(cid:100)(cid:100)▶ 2`점
또 분산이 4.4이므로
(cid:100)(cid:100)
(4-6)¤ +(10-6)¤ +(x-6)¤ +(y-6)¤ +(5-6)¤
5
=4.4
(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -12(x+y)+71=0
위의 식에 ㉠을 대입하면
(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -12_11+71=0
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +y¤ =61 yy ㉡(cid:100)(cid:100)▶ 2`점
따라서 (x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy에 ㉠, ㉡을 대입하면
(cid:100)(cid:100)11¤ =61+2xy,(cid:100)(cid:100)2xy=60
(cid:100)(cid:100)∴ xy=30
▶ 2`점
(cid:9000) 30
02 회
Ⅴ
-1. 대푯값과 산포도
| 문제집 19~20쪽
01 ④
05 ④
02 ③
06 ④
03 ②
07 ⑤
04 ③
08 20명
09 13개
10 B선수 11 175 cm 12 9점
01
(평균) (cid:8833)
(변량`)의 총합
(변량`)의 개수
국어 선생님의 나이를 x세라 하면
(cid:100)(cid:100)
x+28+35+30+44
5
=36
(cid:100)(cid:100)137+x=180(cid:100)(cid:100)∴x=43
(cid:9000) ④
02
평균, 중앙값, 최빈값을 각각 구해 본다.
㈀ (평균)`=
9+9+8+5+6+11
6
48
= =8
6
㈁, ㈂ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
㈁ (cid:100)(cid:100)5, 6, 8, 9, 9, 11
㈁ 이므로
㈁ (cid:100)(cid:100)(중앙값)=
=8.5, (최빈값)=9
8+9
2
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂이다.
(cid:9000) ③
컴퓨터 이용 시간의 평균이 55분이므로
(cid:100)(cid:100)
51+56+40+x+46+70+50
7
=55
(cid:100)(cid:100)313+x=385(cid:100)(cid:100)∴x=72
자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열하면
(cid:100)(cid:100)40, 46, 50, 51, 56, 70, 72
이므로 중앙값은(cid:100)(cid:100)y=51
(cid:100)(cid:100)∴ x-y=72-51=21
(cid:9000) ②
중단원별 실전 TEST 085
(cid:100)(cid:100)4+16+(x-6)¤ +(y-6)¤ +1=22
(a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤
03
평균을 이용하여 먼저 x의 값을 구한다.
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지086 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
04
표준편차가 클수록 자료의 분포가 고르지 않다.
표준편차가 클수록 자료의 값이 고르지 않으므로
수면 시간이 가장 불규칙한 학생은 C이다.
(cid:9000) ③
위의 식에 ㉠을 대입하면
(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ -18_17+149=0
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =157
(cid:9000) ④
계급값을 이용하여 먼저 평균을 구한다.
07
평균은(cid:100)
도수분포표에서의 평균
{(계급값)_도수}의 총합
(도수)의 총합
(cid:100)(cid:100)
10_3+20_6+30_3+40_4+50_4
20
보충 학습
① 표준편차가 작다.
① (cid:8857) 자료의 분포 상태가 고르다.
② 표준편차가 크다.
① (cid:8857) 자료의 분포 상태가 고르지 않다.
③ 표준편차가 0이다.
① (cid:8857) 모든 자료의 값이 같다.
05
평균과 분산을 각각 식으로 나타낸다.
a, b, c의 평균이 6이므로
(cid:100)(cid:100)
a+b+c
3
=6
(cid:100)(cid:100) ∴ a+b+c=18
또 a, b, c의 분산이 25이므로(cid:100)
(cid:100)(cid:100)
(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤
3
2a, 2b, 2c의 평균은(cid:100)
(cid:100)(cid:100)
2a+2b+2c
3
(cid:100)=
2(a+b+c)
3
(cid:100)=
2_18
3
=12 (∵ ㉠)
이므로 2a, 2b, 2c의 분산은(cid:100)
(cid:100)(cid:100)
(2a-12)¤ +(2b-12)¤ +(2c-12)¤
3
(cid:100)=
4(a-6)¤ +4(b-6)¤ +4(c-6)¤
3
(cid:100)=4_
(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤
3
(cid:100)=4_25=100 (∵ ㉡)
yy㉠(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)
=25 yy㉡(cid:100)(cid:100)
06
평균과 분산을 각각 구해 본다.
7, 9, 12, a, b의 평균이 9이므로
(cid:100)(cid:100)
7+9+12+a+b
5
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=17
또 분산이 5.2이므로
=9,(cid:100)(cid:100)28+a+b=45
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)
(7-9)¤ +(9-9)¤ +(12-9)¤ +(a-9)¤ +(b-9)¤
5
=5.2
(cid:100)(cid:100)4+9+(a-9)¤ +(b-9)¤ =26
(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ -18(a+b)+149=0
086 Check Up 풀이집
(cid:100)=
=30(분)(cid:100)(cid:100)
600
20
따라서 분산은
(cid:100)(cid:100);2¡0;{(10-30)¤ _3+(20-30)¤ _6
+(30-30)¤ _3+(40-30)¤ _4
+(50-30)¤ _4}
(cid:100)=
=190
3800
20
이므로 표준편차는(cid:100)(cid:100)'∂190 (분)
(cid:9000) ⑤
08
(전체 평균) (cid:8833)
(남학생의 총점`)+(여학생의 총점`)
(남학생 수`)+(여학생 수)
여학생 수를 x명이라 하면 전체 학생의 영어 점수
(cid:100)(cid:100)70_30+75_x=2100+75x(점)
의 총합은
전체 학생 수는
(cid:100)(cid:100)(30+x)명
(cid:100)(cid:100)
2100+75x
30+x
이때 전체 학생의 영어 성적의 평균이 72점이므로
=72,(cid:100)(cid:100)2100+75x=2160+72x
(cid:100)(cid:100)3x=60(cid:100)(cid:100)∴x=20
(cid:9000) 20명
편차의 총합이 0임을 이용하여 먼저 x의 값을 구
편차의 총합은 0이므로
(cid:100)(cid:100)-4+6+(-2)+(-5)+(-1)+x=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=6
따라서 6회의 턱걸이 개수는(cid:100)(cid:100)7+6=13(개)
(cid:9000) 13개
10
분산이 작을수록 자료의 분포 상태가 고르다.
A선수의 평균은
(cid:100)(cid:100)
4+5+8+3
4
=;;™4º;;=5(점)
A선수의 편차는 각각 -1, 0, 3, -2이므로 분산은
(cid:100)(cid:100)
(-1)¤ +0¤ +3¤ +(-2)¤
4
=;;¡4¢;;=3.5
B선수의 평균은
(cid:100)(cid:100)
4+6+6+4
4
=;;™4º;;=5(점)
09
한다.
(편차)
=(변량)-(평균)
(cid:8825)(변량)
=(평균)+(편차)
(cid:9000) ④
평균이 7개이고 6회의
턱걸이 개수의 편차는 6
개이다.
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지087 SinsagoHitec
우공비 B0X
문제집 19`~21`쪽
B선수의 편차는 각각 -1, 1, 1, -1이므로 분산은
(cid:100)(cid:100)
(-1)¤ +1¤ +1¤ +(-1)¤
4
=;4$;=1
따라서 B선수의 분산이 A선수의 분산보다 작으므로 B
선수의 기록이 A선수보다 고르다.
11
채점 기준
제대로 기록되어 있는 4명의 키의 총합 구하기
실제 평균 구하는 식 구하기
잘못 기록되어 있는 학생의 실제 키 구하기
나머지 4명의 키를 x¡ cm, x™ cm, x£ cm, x¢ cm
라 하면
(cid:100)(cid:100)
x¡+x™+x£+x¢+75
5
=150
(cid:100)(cid:100)∴ x¡+x™+x£+x¢=675
키가 잘못 기록된 학생의 실제 키를 x∞ cm라 하면
(cid:100)(cid:100)
x¡+x™+x£+x¢+x∞
5
=170
(cid:100)(cid:100)
675+x∞
5
(cid:100)(cid:100)∴ x∞=175
=170, 675+x∞=850
(cid:9000) B선수
배점
2점
2점
2점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:9000) 175 cm
배점
2점
2점
2점
2점
12
채점 기준
x+y의 값 구하기
x¤ +y¤ 의 값 구하기
x, y의 값 구하기
영어 점수 구하기
편차의 총합은 0이므로
(cid:100)(cid:100)3+(-1)+x+0+y=0
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=-2
또 분산이 8.8이므로
(cid:100)(cid:100)
3¤ +(-1)¤ +x¤ +0¤ +y¤
5
=8.8
yy ㉠(cid:100)(cid:100)▶ 2`점
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +y¤ =34
yy ㉡(cid:100)(cid:100)▶ 2`점
㉠에서 y=-x-2를 ㉡에 대입하면
(cid:100)(cid:100)x¤ +(-x-2)¤ =34,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-15=0
(cid:100)(cid:100)(x+5)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴x=-5 또는 x=3
즉 x=-5, y=3 또는 x=3, y=-5
이때 영어 점수가 과학 점수보다 높으므로(cid:100)(cid:100)x>y
(cid:100)(cid:100)∴ x=3, y=-5
따라서 영어 점수는(cid:100)(cid:100)6+3=9(점)
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:9000) 9점
점 G가 △ABC의 무
게중심이므로 AM”은
중선이고 점 M은 BC”
의 중점이다. 직각삼
각형의 빗변의 중점은
외심이다.
삼각형의 무게중심은 중선
의 길이를 꼭짓점으로부터
2:1로 나눈다.
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
03 회
Ⅵ
-1. 피타고라스 정리
| 문제집 21~22쪽
01 ②
05 ②
09 ③
13 30
02 ④
06 ⑤
10 10
14 12 cm¤
03 ③
07 ⑤
11 8
04 ③
08 ④
12 2'1å5 cm¤
01
△ABD, △ADC는 모두 직각삼각형이다.
△ABD에서(cid:100)
(cid:100)(cid:100)BD”="√5¤ -3¤ =4 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=BC”-BD”=6-4=2 (cm)
△ADC에서
(cid:100)(cid:100)AC”="√3¤ +2¤ ='1å3 (cm)
02
직각삼각형의 빗변의 중점 (cid:8833) 외심
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”=øπ8¤ +(4'5)¤ =12
점 M은 △ABC의 외심이므로
(cid:9000) ②
(cid:100)(cid:100)AM”=BM”=CM”=;2!; BC” =;2!;_12=6
이때 점 G는 △ABC의 무게중심이므로
(cid:100)(cid:100)GM”=;3!; AM”=;3!;_6=2
(cid:9000) ④
피타고라스 정리를 이용하여 PB”, PC”, PD”, PE”,
03
PF”의 길이를 차례로 구한다.
△PBA에서(cid:100)(cid:100)PB”="√1¤ +1¤ ='2
△PCB에서(cid:100)(cid:100)PC”=øπ('2)¤ +1¤ ='3
△PDC에서(cid:100)(cid:100)PD”=øπ('3)¤ +1¤ =2
△PED에서(cid:100)(cid:100)PE”="√2¤ +1¤ ='5
△PFE에서(cid:100)(cid:100)PF”=øπ('5)¤ +1¤ ='6
04
보조선을 그어 직각삼각형을 만든다.
점 D에서 BC”에 내
4`cmA
D
린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)DH”=AB”=6cm,
(cid:100)(cid:100)BH”=AD”=4 cm
6`cm
10`cm
B
H
C
△DHC에서(cid:100)(cid:100)HC”="√10¤ -6¤ =8(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8641)``ABCD=;2!;_(4+12)_6=48(cm¤ )
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
두 삼각형의 밑변의 길이와 높이가 각각 같으면 두
△EBA와 △EBC는
밑변의 길이와 높이가
각각 같으므로 넓이가
같다.
05
삼각형의 넓이는 같다.
EB”∥DC”이므로
(cid:100)(cid:100)△EBA=△EBC
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
중단원별 실전 TEST 087
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지088 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)△EBC™△ABF (SAS 합동)
yy`㉡(cid:100)(cid:100)
x>5이므로(cid:100)(cid:100)x=10
(cid:9000) 10
우공비 B0X
(x+3)¤ =(x-5)¤ +(x+2)¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ +6x+9=x¤ -10x+25+x¤ +4x+4
(cid:100)(cid:100)x¤ -12x+20=0,(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-10)=0
(cid:100)(cid:100)EB”=AB”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABF
Point Up
문제집
△EBC와 △ABF에서
이므로
BF”∥AK”이므로
(cid:100)(cid:100)△ABF=△BFJ
㉠, ㉡, ㉢에서
yy`㉢(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)△EBA=△EBC=△ABF=△BFJ=△JFK
따라서 넓이가 다른 하나는 ②이다.
(cid:9000) ②
06
피타고라스 정리를 이용한다.
① △ASD에서(cid:100)(cid:100)AS”="√2¤ -1¤ ='3
② PQ”=PB”-BQ”='3 -1
③ △ABP=;2!;_AP”_BP”=;2!;_1_'3=
④ (cid:8772)PQRS=('3-1)¤ =4-2'3
⑤ (cid:8772)ABCD=4+5(cid:8772)PQRS
'3
2
예각삼각형 (cid:8833) (가장 긴 변의 길이의 제곱)<(나머
07
지 두 변의 길이의 제곱의 합)
삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)264
(cid:100)(cid:100)∴ x>8 (∵ x>0)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)80)
(cid:9000) ④
보충 학습
직각삼각형의 닮음을 이용한 성질
△ABCª△DBAª△DAC
¤ =BD”_BC”
① AB”
¤ =CD”_CB”
② AC”
¤ =BD”_CD”
③ AD”
④ AB”_AC”=BC”_AD”
A
D
09
AB”
¤ +CD”
¤ =AD”
¤ +BC”
AB”
¤ +BC”
¤ +CD”
¤ =AD”
¤ +8¤ ,(cid:100)(cid:100)AD”
(cid:100)(cid:100)7¤ +6¤ =AD”
(cid:100)(cid:100)∴ AD”='∂21 (∵ AD”>0)
△AOD에서(cid:100)(cid:100)OA”=øπ('∂21 )¤ -3¤ =2'3
¤ 이므로
¤ =21
(cid:9000) ③
가장 긴 변의 길이를 찾은 후 피타고라스 정리를
10
이용한다.
088 Check Up 풀이집
11
AB”_AC”=BC”_AH”
AB”_AC”=BC”_AH”이므로
(cid:100)xy=8z(cid:100)(cid:100)∴
=8
xy
z
12
채점 기준
AC”의 길이 구하기
AD”의 길이 구하기
AE”의 길이 구하기
△AFE의 넓이 구하기
△ACB에서
(cid:9000) ⑤
(cid:8772)PQRS는 한 변의
길이가 '3-1인 정사
각형이다.
(cid:100)(cid:100)AC”="√1¤ +1¤ ='2 (cm)
△ADC에서
(cid:9000) 8
배점
1점
1점
1점
1점
▶ 1점
▶ 1점
▶ 1점
▶ 1점
배점
4점
1점
▶ 4`점
▶ 1`점
(cid:9000) 30
(cid:100)(cid:100)AD”=øπ('2)¤ +2¤ ='6 (cm)
△AED에서
(cid:100)(cid:100)AE”=øπ('6)¤ +3¤ ='1å5 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △AFE=;2!;_'1å5_4=2'1å5 (cm¤ )
(cid:9000) 2'1å5 cm¤
13
채점 기준
CF”, DF”의 길이 구하기
△DEF의 넓이 구하기
CF”=x라 하면(cid:100)(cid:100)DF”=BF”=18-x
△CDF에서 CF”
¤ +CD”
¤ =DF”
¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ +6¤ =(18-x)¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ +36=324-36x+x¤
(cid:100)(cid:100)36x=288(cid:100)(cid:100)∴x=8
(cid:100)(cid:100)∴ CF”=8, DF”=BF”=10
△DEF에서 DE”=DF”=10이므로
서술형 답안 작성 Tip
BF”=x라 하고 풀어도 된다.
보충 학습
사각형, 삼각형 모양의 종이 접기
❶ 구하고자 하는 길이를 x로 놓는다.
❷ x가 포함된 직각삼각형을 찾는다.
❸ 직각삼각형의 세 변의 길이를 조건을 이용하여 x로 나
타낸다.
❹ 피타고라스 정리를 이용하여 x의 값을 구한다.
B
C
(접은 각)
(cid:100)(cid:100)△DEF=;2!;_10_6=30
∠BFE=∠DFE,
∠DEF=∠BFE
(엇각)
이므로
(cid:100)∠DFE=∠DEF
따라서 △DEF는
DE”=DF”인 이등변삼
각형이다.
¤
#15중3상해설중단원(84-111)ok 2015.3.30 5:4 PM 페이지089 SinsagoHitec
14
채점 기준
△ABC의 넓이 구하기
△ABC와 넓이가 같은 부분 이해하기
어두운 부분의 넓이 구하기
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”="√5¤ -4¤ =3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_3_4=6 (cm¤ )
오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)S¡+S™=△ABC ▶ 2`점
S¡
따라서 구하는 부분의 넓이는
(cid:100)(cid:100)2_6=12 (cm¤ ) ▶ 1`점
B
배점
2점
2점
1점
▶ 2`점
A
4`cm
5`cm
S™
C
(cid:9000) 12 cm¤
04 회
Ⅵ
-1. 피타고라스 정리
| 문제집 23~24쪽
01 ⑤
05 ①
09 ③
02 ①
06 ②
10 21
03 ①
07 ④
04 ②
08 ④
11 ;2(; cm 12 6 m
13 ∠A=90°인 직각삼각형
14 16 : 9 : 25
△ADC, △ABC가 직각삼각형
01
(cid:8833) 피타고라스 정리를 이용한다.
△ADC에서
(cid:100)(cid:100)AC”="√17¤ -8¤ =15
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√20¤ +15¤ =25
△ABC, △BDC가 직각삼각형
02
(cid:8833) 피타고라스 정리를 이용한다.
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”="1√
△BDC에서 BD”=CD”=x cm라 하면
“3¤ -5¤ =12 (cm)
(cid:9000) ⑤
(cid:100)(cid:100)x¤ +x¤ =12¤ ,(cid:100)(cid:100)2x¤ =144,(cid:100)(cid:100)x¤ =72
(cid:100)(cid:100)∴ x=6'2 (∵ x>0)
(cid:9000) ①
밑변의 길이와 높이가 각각 같은 삼각형, 합동인
03
삼각형은 넓이가 각각 같다.
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”="1√0¤ -6¤ =8 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ADEB=AB”
¤ =8¤ =64 (cm¤ )
우공비 B0X
EB”=AB”, BC”=BF”,
∠EBC=∠ABF
이므로
(cid:100)△EBC™△ABF
(SAS 합동)
히포크라테스의 원의 넓이
왼쪽 그림과 같이 직각삼
각형 ABC의 세 변을 지
름으로 하는 반원에서
(cid:100)S¡+S™=△ABC
△AEH™△BFE
™△CGF
™△DHG
이므로 (cid:8772)EFGH는
정사각형이다.
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
△EBA=;2!;(cid:8772)ADEB이고
EB”∥DC”이므로
(cid:100)(cid:100)△EBA=△EBC
또 △EBC™△ABF이고,
BF”∥AM”에서
△ABF=△BFL이므로
문제집 21~24`쪽
D
E
B
F
H
I
A
C
L
G
M
(cid:100)(cid:100)△BFL=;2!;(cid:8772)ADEB=;2!;_64=32 (cm¤ ) (cid:9000) ①
04
(cid:8772)EFGH는 정사각형이다.
AB”=7 cm이므로
(cid:100)(cid:100)BE”=7-5=2 (cm)
BF”=5 cm이므로 △EBF에서
(cid:100)(cid:100)EF”="√2¤ +5¤ ='∂29 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)`EFGH=EF”
¤ =('2å9)¤ =29 (cm¤ )
(cid:9000) ②
05
피타고라스 정리의 역을 이용한다.
AB”
¤ =BC”
¤ +AC”
¤ 이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)(x+3)¤ =x¤ +9¤
(cid:100)(cid:100)x¤ +6x+9=x¤ +81,(cid:100)(cid:100)6x=72
(cid:100)(cid:100)∴ x=12
(cid:9000) ①
06
AB”
¤ >BC”
¤ +AC”
¤ 이면 (cid:8833) ∠C>90°
삼각형이 되려면
(cid:100)(cid:100)20)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)2a¤ +b¤ (cid:8857) ∠C>90°인 둔각삼각형
07
BE”
¤ +CD”
¤ =DE”
¤ +BC”
BE”
¤ +CD”
¤ =DE”
(cid:100)(cid:100)8¤ +6¤ =4¤ +BC”
(cid:100)(cid:100)∴ BC”='8å4=2'2å1 (cm) (∵ BC”>0)
¤ +BC”
¤ ,(cid:100)(cid:100)BC”
¤ 이므로
¤ =84
(cid:9000) ④
중단원별 실전 TEST 089
“
“
“
“
¤
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지090 SinsagoHitec
Point Up
문제집
08
AB”
¤ +CD”
¤ =BC”
¤ +AD”
AB”
¤ +CD”
¤ =BC”
¤ +AD”
¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ +6¤ =y¤ +8¤
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -y¤ =8¤ -6¤ =28
(cid:9000) ④
우공비 B0X
(cid:100)(cid:100)256-32x+x¤ =x¤ +64,(cid:100)(cid:100)32x=192
두 대각선이 직교하는 사각
형에서 마주 보는 두 변의
길이의 제곱의 합은 같다.
(cid:100)(cid:100)∴ x=6
따라서 지면으로부터 부러진 부분까지의 높이는 6 m이
(cid:9000) ③
이차방정식
ax¤ +2b'x+c=0이 중근
을 가질 조건
(cid:8825) b'¤ -ac=0
다.
13
채점 기준
이차방정식이 중근을 가질 조건 구하기
a, b, c 사이의 관계식 구하기
△ABC의 모양 말하기
(a-c)x¤ +2bx+a+c=0이 중근을 가지므로
(cid:100)(cid:100)b¤ -(a-c)(a+c)=0
▶ 3`점
(cid:100)(cid:100)b¤ -a¤ +c¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ b¤ +c¤ =a¤
▶ 1`점
따라서 △ABC는 ∠A=90°인 직각삼각형이다. ▶ 1`점
(cid:9000) ∠A=90°인 직각삼각형
서술형 답안 작성 Tip
위의 풀이 과정은 이차방정식이 중근을 가질 조건에서 x의 계수가
짝수인 경우를 이용한 것이다. (2b)¤ -4(a-c)(a+c)=0임을 이
용해도 된다.
14
채점 기준
AC”의 길이 구하기
S¡, S™, S£의 값 구하기
S¡：S™：S£ 구하기
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AC”="√5¤ -4¤ =3
이므로
(cid:100)(cid:100)S¡=;2!;_p_2¤ =2p
(cid:100)(cid:100)S™=;2!;_p_{;2#;}
(cid:100)(cid:100)S£=;2!;_p_{;2%;}
¤ =;8(;p
¤ =;;™8∞;;p
▶ 2점
(cid:9000) 6 m
배점
3점
1점
1점
배점
1점
3점
1점
▶ 1점
▶ 3점
S£=S¡+S™
=2p+;8(;p
=;;™8∞;;p
(cid:100)(cid:100)∴ S¡：S™：S£=2p：;8(;p：;;™8∞;;p
(cid:100)(cid:100)∴ S¡：S™：S£=16：9：25
▶ 1점
(cid:9000) 16：9：25
(cid:100)(전봇대의 높이)
=AB”+AC”
즉 16=AB”+AC”이므
로 AB”=x m라 하면
(cid:100)AC”=(16-x) m
05 회
Ⅵ
-2. 피타고라스 정리의 활용
| 문제집 25~26쪽
01 ②
05 ①
02 ③
06 ②
09 ④
12 8'6 cm¤
10 ①
¤ 13 4'3
04 ②
08 ⑤
03 ②
07 ④
11 50('3 -1)
14 2'7 cm
09
AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
¤ =3¤ +6¤ ,(cid:100)(cid:100)CP”
(cid:100)(cid:100)4¤ +CP”
(cid:100)(cid:100)∴ CP”='∂29 (∵ CP”>0)
¤ 이므로
¤ =29
△ABH, △AHC가 직각삼각형
10
(cid:8833) 피타고라스 정리를 이용한다.
△ABH에서
(cid:100)(cid:100)AH”="√20¤ -16¤ =12
(cid:100)(cid:100)∴ x=12
△AHC에서
(cid:100)(cid:100)CH”="√15¤ -12¤``=9
(cid:100)(cid:100)∴ y=9
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=12+9=21
(cid:100) =90°
yy ㉠(cid:100)
∠BHC=180°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BHG+∠FHC
(cid:100)=90°
yy ㉡(cid:100)
㉠, ㉡에서
(cid:100)(cid:100)∠HFC=∠BHG
또 ∠B=∠C=90°이므로
11
종이를 접으면 닮은 도형이 생긴다.
∠FHC+∠HFC
9`cm
(cid:9000) 21
D
F
C
4`cm
I
A
E
G
B
H
(cid:100)(cid:100)△HGBª△FHC (AA 닮음)
△FHC에서 HF”=DF”=9-4=5(cm)이므로
(cid:100)(cid:100)CH”="√5¤ -4¤ =3 (cm)
따라서 BH”：CF”=BG”：CH”이므로
(cid:100)(cid:100)6：4=BG”：3(cid:100)(cid:100)∴ BG”=;2(; (cm)
(cid:9000) ;2(; cm
12
채점 기준
피타고라스 정리를 이용하여 식 세우기
높이 구하기
배점
3점
2점
오른쪽 그림과 같이
A
AB”=x m로 놓으면
(cid:100)(cid:100)AC”=(16-x) m
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)(16-x)¤ =x¤ +8¤ ▶ 3점
x`m
B
{16-x}m
C
8`m
090 Check Up 풀이집
¤
¤
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지091 SinsagoHitec
우공비 B0X
문제집 24`~26`쪽
AB”="(√2-0√)¤ +√(2√-1)¤ ='5
BC”="(√-1√-2)¤ +(8-2)¤ ='4å5=3'5
CA”="(√-1√-0)¤ +(8-1)¤ ='5å0=5'2
¤ +BC”
따라서 CA”
¤ =AB”
인 직각삼각형이다.
¤ 이므로 △ABC는 ∠B=90°
(cid:9000) ②
세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의
07
대각선의 길이 (cid:8833) "√a¤ +b¤ +c¤
"√x¤ +√3¤ +≈2¤ =7이므로(cid:100)(cid:100)x¤ +13=49
(cid:100)(cid:100)x¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
(cid:9000) ④
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
08
원의 둘레의 길이는 같다.
원뿔의 전개도 (cid:8833) 부채꼴의 호의 길이와 밑면인
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를
∠AEB=∠CFD=90°,
AB”=CD”,
∠ABE=∠CDF
이므로
(cid:100)△ABE™△CDF
(RHA 합동)
r cm, 높이를 h cm라 하면
(엇각)
(cid:100)(cid:100)2p_3_ =2pr
120
360
(cid:100)(cid:100)∴ r=1
(cid:100)(cid:100)∴ h="3√
¤ -1¤ =2'2
h`cm
3`cm
r`cm
(cid:9000) ⑤
가로, 세로의 길이가 각각 a, b인 직사각형의 대
01
각선의 길이 (cid:8833) "a√
¤ +b¤
(a+5)¤ +(a+1)¤ =(4'∂13)¤`이므로
(cid:100)(cid:100)2a¤ +12a+26=208,(cid:100)(cid:100)a¤ +6a-91=0
(cid:100)(cid:100)(a+13)(a-7)=0(cid:100)(cid:100)∴a=7 (∵ a>-1) (cid:9000) ②
02
AB”_AD”=BD”_AE”
△ABD에서(cid:100)(cid:100)BD”="3√
AB” _AD”=BD” _AE”이므로
¤ +4¤ =5 (cm)
(cid:100)(cid:100)3_4=5_AE”(cid:100)(cid:100)∴ AE”=;;¡5™;; (cm)
△ABE에서(cid:100)(cid:100)BE”=æ≠3¤ -≠{;;¡5™;;–}
¤ =;5(; (cm)
△ABE™△CDF이므로(cid:100)(cid:100)DF”=BE”=;5(; (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ EF”=BD”-2BE”=5-2_;5(;=;5&; (cm) (cid:9000) ③
한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이
색칠한 부분은 한 변의 길이가
2인 정삼각형이므로 넓이는
(cid:100)(cid:100) _2¤ ='3
'3
4
4
2
2
2
2
2
(cid:9000) ②
특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용한
03
'3
(cid:8833)
4
a¤
04
다.
△ACD에서(cid:100)(cid:100)4：AC”=2：'3
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=2'3(cm)
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”：2'3=1：'2
(cid:100)(cid:100)∴ AB”='6 (cm)
AD”：AC”=2：'3
l¤ =h¤ +r¤
(cid:9000) ②
AB”：AC”=1：'2
직각이등변삼각형의 세 변의 길이의 비
05
(cid:8833) 1 : 1 : '2
△APB에서 AP”=BP”이고 ∠APB=90°이므로
△APB는 직각이등변삼각형이다.
이때 AB”="√{1-(-2)}¤ +(ç1-4)¤ =3'2이고
(cid:100)(cid:100)AP” : BP” : AB” =1 : 1 : '2
이므로 AP”=BP”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)x : 3'2=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ x=3
따라서 △APB의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)3+3+3'2=6+3'2
06
(cid:8833) 각 변의 길이를 구하여 비교한다.
세 꼭짓점의 좌표가 주어진 삼각형
(cid:9000) ①
입체도형에서의 최단 거리
구하기
❶ 선이 지나는 부분의 전
개도를 그린다.
❷ 선이 지나는 시작점과
끝점을 찾아 선분으로
잇는다.
❸ 두 점을 잇는 선분의
길이를 구한다.
보충 학습
원뿔의 전개도
h
l
r
l
xæ
2πr
r
같다
2pl_
=2pr
x
360
09
한 모서리의 길이가 a인 정사면체
'6
(cid:8833) (높이)= a, (부피)=
3
'2
12
a‹
① DM”은 정삼각형 BCD의 높이이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)DM”= BD”
'3
2
② 점H는 △BCD의 무게중심이므로
④ (cid:100)(cid:100)DH” : HM”=2 : 1
③ DH”=;3@; DM”=;3@; _ _6=2'3 (cm)
'3
2
④ AH”= _6=2'6 (cm)
'6
3
'2
12
⑤ (부피)= _6‹ =18'2 (cm‹ )
(cid:9000) ④
10
최단 거리 (cid:8833) 선이 지나는 면의 전개도를 그려 본다.
중단원별 실전 TEST 091
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지092 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
오른쪽 그림과 같이 선이 지
A
6`cm
D
나는 면의 전개도를 그려 보면 구
하는 최단 거리는 AG”의 길이이
5`cm
B
3`cm
F
C
G
(cid:9000) ①
(cid:100)(cid:100)∴ AG”="√(5+3)¤ +6¤
=10(cm)
다.
11
특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용한다.
△ADC에서(cid:100)(cid:100)AC” : DC” =1：1
(cid:100)(cid:100)AC”：10=1：1(cid:100)(cid:100)∴ AC”=10
△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”：AC”='3：1
(cid:100)(cid:100)BC”：10='3：1(cid:100)(cid:100)∴ BC”=10'3
따라서 BD”=10'3-10이므로
(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_(10'3-10)_10=50('3-1)
(cid:9000) 50('3-1)
12
네 변의 길이가 같은 사각형 (cid:8833) 마름모
(cid:8772)AMGN은 AM”=MG”=GN”=NA”인 마름모이
다.
(cid:100)(cid:100)MN”=BD”='2_4=4'2 (cm),
(cid:100)(cid:100)AG”='3_4=4'3 (cm)
이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)AMGN=;2!;_MN”_AG”
13
채점 기준
정팔면체의 한 모서리의 길이 구하기
정팔면체의 한 면의 넓이 구하기
정팔면체의 겉넓이 구하기
BF”의 중점을 M이라 하면 △SRM에서
(cid:100)(cid:100)SR”=øπ1¤ +1¤ ='2
▶ 2점
따라서 정팔면체의 각 면은 한 변의 길이가 '2인 정삼각
형이므로 한 면의 넓이는
(cid:100)(cid:100) _('2)¤ =
따라서 정팔면체의 겉넓이는
'3
2
(cid:100)(cid:100) _8=4'3
'3
4
'3
2
(cid:9000) 8'6 cm¤
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 4'3
배점
2점
1점
2점
14
채점 기준
전개도에서 최단 거리가 HD”의 길이임을 알기
AH”의 길이 구하기
HD”의 길이 구하기
092 Check Up 풀이집
오른쪽 그림에서 구하
는 최단 거리는 HD”의 길이
이다.
▶ 2점
B
△ABC는 한 변의 길이가
H
2Â3`cm
4`cm
D
A
60æ
30æ
C
4 cm인 정삼각형이므로
'3
2
(cid:100)(cid:100)AH”= _4=2'3 (cm)
△AHD에서 ∠HAD=30°+60°=90°이므로
(cid:100)(cid:100)HD”=øπ(2'3∑)¤ +4¤ =2'7 (cm)
▶ 1점
▶ 2점
(cid:9000) 2'7 cm
△ADC는 직각이등변삼
각형이므로
(cid:100)AD”：DC”：AC”
='2：1：1
△ABC의 세 내각의 크기
가 30°, 60°, 90°이므로
(cid:100)AB”：BC”：CA”
=2：'3：1
한 변의 길이가 a인 정사
각형의 대각선의 길이
(cid:8825) '2a
06 회
Ⅵ
-2. 피타고라스 정리의 활용
| 문제집 27~28쪽
01 ⑤
05 ①
09 ④
13 9'3p
02 ⑤
06 ⑤
10 ③
14 24 cm¤
03 ③
04 ③
07 ②
08 ⑤
11 9'3 cm¤ 12 '5
한 모서리의 길이가 a인
정육면체의 대각선의 길이
(cid:8825) '3a
01
각선의 길이 (cid:8833) "√a¤ +b¤
가로, 세로의 길이가 각각 a, b인 직사각형의 대
직사각형의 가로의 길이를 x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)"√(2'6 )¤ +x¤ =8
(cid:100)(cid:100)x¤ +24=64,(cid:100)(cid:100)x¤ =40
(cid:100)(cid:100)∴ x=2'å10 (∵ x>0)
따라서 직사각형의 넓이는
(cid:100)(cid:100)2'å10_2'6=8'å15 (cm¤ )
02
AB”_AD”=BD”_AH”
△ABD에서
(cid:100)(cid:100)BD”="√3¤ +(3'3 )¤ =6 (cm)
AB”_AD”=BD”
(cid:100)(cid:100)3_3'3=6_AH”
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=
”_AH”이므로
(cm)
3'3
2
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 삼각형의 세
03
변의 길이의 비 (cid:8833) 1：'3：2
△AMC에서
(cid:100)(cid:100)AC”：CM”='3：1
(cid:100)(cid:100)2'3：CM”='3：1(cid:100)(cid:100)∴ CM”=2 (cm)
따라서 BC”=2CM”=4 (cm)이므로 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”=øπ4¤ +π(2'3∑)¤ =2'7 (cm)
(cid:9000) ③
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)AMGN=;2!;_4'2_4'3=8'6 (cm¤ )
(cid:100)(마름모의 넓이)
=;2!;_(두 대각선의 길이의 곱)
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지093 SinsagoHitec
꼭짓점 A에서 수선을 그어 사다리꼴의 높이를 구
△OHD에서
우공비 B0X
문제집 26`~28`쪽
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
(cid:100)(cid:100)OH”=øπ6¤ -π(2'2∑)¤ =2'7 (cm)
(cid:9000) ⑤
09
CM” (cid:8833) 정삼각형 ABC의 높이
정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면
(cid:100)(cid:100)CM”=DM”= a
'3
2
점 M에서 CD”에 내린 수선의
(cid:100)(cid:100)MH”=æ≠{
발을 H라 하면 △MCH에서
¤ -{;2A;}
'2
2
(cid:100)(cid:100)MH”=æ≠;2!;a¤ = a
'3
2
a}
Â3 a
2
a
2
C
Â3 a
2
D
M
H
a
따라서 △MCD=;2!;_CD”_MH”이므로
'2
2
(cid:100)(cid:100)9'2=;2!;_a_ a,(cid:100)(cid:100) =9
(cid:100)(cid:100)a¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ a=6 (∵ a>0)
a¤
4
(cid:9000) ④
B'
P'
10
최단 거리 (cid:8833) 선이 지나는 면의 전개도를 그려 본다.
AP'”
”=;2!;_30p=15p이므로
(cid:100)(cid:100)AP”
(cid:100)="√(15p)¤ -(12p)¤ =9p
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2_9p=18p
B
P
(cid:9000) ③
A
12π
A'
입체도형의 한 꼭짓점에서
옆면을 따라 다른 꼭짓점
에 이르는 최단 거리
(cid:8825) 선이 지나는 면의 전개
도를 그려 두 꼭짓점
사이의 직선 거리를 찾
는다.
직각삼각형을 이용하여 단면인 원의 반지름의 길
구를 평면으로 자른 단면
은 원이다.
04
한다.
△ABH에서
(cid:100)(cid:100)6：AH”=2：'3
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=3'3
또 6：BH”=2：1이므로
(cid:100)(cid:100)BH”=3
A
8
6
30æ
B
60æ
H
D
C
따라서 사다리꼴 ABCD의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)6+(3+8)+3'3+8=25+3'3
(cid:9000) ③
두 점 (x¡, y¡), (x™, y™) 사이의 거리
05
(cid:8833) "√(x™-x¡)¤ +√(y™-y¡)¤
AB”=2'5이므로(cid:100)(cid:100)"(√p+1√)¤ +√(3√-5)¤ =2'5
(cid:100)(cid:100)(p+1)¤ +(3-5)¤ =20,(cid:100)(cid:100)p¤ +2p-15=0
(cid:100)(cid:100)(p+5)(p-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ p=-5 또는 p=3
그런데 p<0이므로(cid:100)(cid:100)p=-5
(cid:9000) ①
06
△AFC는 정삼각형이다.
AC”=AF”=CF”='2_6=6'2 (cm)이므로
△AFC는 한 변의 길이가 6'2 cm인 정삼각형이고 FM”
은 △AFC의 높이이다.
(cid:100)(cid:100)∴ FM”= _6'2=3'6 (cm)
'3
2
(cid:9000) ⑤
07
이를 구한다.
구의 반지름의 길이는
10-4=6 (cm)이므로
="6√
(cid:100)(cid:100)(원의 반지름의 길이)
¤ -4¤ =2'5(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (넓이)=p_(2'5)¤
=20p (cm¤ )
4`cm
O
10`cm
보충 학습
반지름의 길이가 R인 구의 중심 O로
부터 d만큼 떨어진 지점에서 평면으로
r
R
d
O
잘라 생기는 단면은 원이다.
① 단면인 원의 반지름의 길이：
① : r="√R¤ -d¤
② 단면의 원의 넓이: pr¤
08
정사각뿔의 높이 (cid:8833) OH”의 길이
△BCD에서
(cid:100)(cid:100)BD”='2_4=4'2 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ DH”=;2!; BD”=2'2 (cm)
(cid:9000) ②
직각삼각형에서 두 변
의 길이가 주어지면
피타고라스 정리를 이
용하여 나머지 한 변
의 길이를 구할 수 있
다.
보충 학습
원기둥과 원뿔에서의 최단 거리
⑴ 원기둥에서의 최단 거리
B
A
B
⑵ 원뿔에서의 최단 거리
A
A
A
B
B
B'
11
한 변의 길이가 a인 정삼각형
(cid:8833) (높이)= a, (넓이)= a¤
'3
2
'3
4
△ABC의 넓이가 16'3 cm¤ 이므로
'3
¤ =16'3,(cid:100)(cid:100)AB”
(cid:100)(cid:100) AB”
4
¤ =64
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=8 (cm) (∵ AB”>0)
점 H는 정사각형
ABCD의 두 대각선
의 교점이고, 두 대각
선은 서로를 이등분한
다.
중단원별 실전 TEST 093
”
¤
”
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지094 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
'3
2
'3
2
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AD”= _8=4'3 (cm)
△ADE에서(cid:100)(cid:100)AF”= _4'3=6 (cm)
'3
(cid:100)(cid:100)∴ △AFG= _6¤ =9'3 (cm¤ )
4
(cid:9000) 9'3 cm¤
두 점(x¡, y¡), (x™, y™) 사이의 거리
12
(cid:8833) "√(x™-x¡)¤
√+(y™-y¡)¤
y=x¤ -6x+7=(x-3)¤ -2이므로
(cid:100)(cid:100)P(3, -2)
따라서 점 P와 점 A 사이의 거리는
(cid:100)(cid:100)PA”="√(5-3)¤ +{-√1-(-2)}¤ ='5
13
채점 기준
밑면의 반지름의 길이 구하기
높이 구하기
부피 구하기
밑면인 원의 반지름의 길이를 r,
원뿔의 높이를 h라 하면
(cid:100)(cid:100)2p_6_
=2pr
180
360
(cid:100)(cid:100)∴ r=3
(cid:100)(cid:100)∴ h="6√
따라서 원뿔의 부피는
¤ -3¤ =3'3
(cid:9000) '5
배점
2점
1점
1점
h
6
r
▶ 2점
▶ 1점
배점
2점
2점
1점
14
채점 기준
BM”, MN”의 길이 구하기
△BMN의 높이 구하기
△BMN의 넓이 구하기
△BMC에서
¤ +4¤ =4'5 (cm)
(cid:100)(cid:100)BM”="8√
△CMN에서
(cid:100)(cid:100)MN”='2_4=4'2 (cm)
오른쪽 그림과 같이 점 B에서
MN”에 내린 수선의 발을 H라
하면
(cid:100)(cid:100)BH”=ø(π4'5)¤
(cid:100)(cid:100)BH”=6'2 (cm) ▶ 2점
π -(π2'2)¤
094 Check Up 풀이집
▶ 2점
B
5`cm4
5`cm4
M
N
H
2`cm4
(cid:100)MH”=HN”
=;2!; MN”
=;2!;_4'2
=2'2 (cm)
A
삼각비
sin A
cos A
tan A
30° 45° 60°
'2
2
'2
2
1
'3
2
;2!;
'3
;2!;
'3
2
'3
3
07 회
Ⅶ
-1. 삼각비
| 문제집 29~30쪽
01 ③
05 ③
09 ④
13
'6-'3
3
02 ③
06 ④
10 ;5$;
14 0
03 ②
07 ③
11 3
04 ⑤
08 ③
12 6'3
01
먼저 AB”의 길이를 구한 후 삼각비를 이용한다.
① sin A=
② cos A=
=;1!3@;
③ tan A=
=;1∞2; ④ sin B=
=;1!3@;
AC”
AB”
AC”
AB”
=;1∞3;
AB”="√5¤ +12¤ =13
BC”
AB”
BC”
AC”
AC”
BC”
=:¡5™:
⑤ tan B=
따라서 옳은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
02
cos C=
(빗변이 아닌 ∠C의 이웃변의 길이)
(빗변의 길이)
cos C=
BC”
6
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=ø∑6¤ -(2'3)¤ =2'6
'3
3
= 이므로(cid:100)(cid:100)BC”=2'3
(cid:9000) ③
03
다.
같이
주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그려 본
(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=1, BC”=2
인 직각삼각형 ABC를 생각하면
(cid:100)(cid:100)AC”="√1¤ +2¤ ='5
따라서
(cid:100)(cid:100)sin A= =
, cos A= =
2
'5
2'5
5
1
'5
'5
5
이므로
(cid:100)(cid:100)sin A_cos A=
2'5
5
'5
_ =;5@;
5
C
2
B
A
1
(cid:9000) ②
특수한 각(30°, 45°, 60°)의 삼각비의 값은 꼭 외
04
워 둔다.
sin¤ 30°+tan 30°_tan 60°+sin¤ 60°
={;2!;}
¤ + _'3+{
'3
3
'3
2
}
(cid:100)(cid:100)∴ △BMN=;2!;_4'2_6'2=24 (cm¤ )
▶ 1점
(cid:9000) 24 cm¤
=;4!;+1+;4#;=2
(cid:9000) ⑤
(cid:100)(cid:100);3!;_p_3¤ _3'3=9'3 p
▶ 1점
(뿔의 부피)
(cid:9000) 9'3 p
=;3!;_(밑넓이)_(높이)
tan A=2이므로 오른쪽 그림과
”
¤
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지095 SinsagoHitec
우공비 B0X
문제집 28`~30`쪽
tan 54°=
=BE”에서(cid:100)(cid:100)BE”=1.38
BE”
OB”
(cid:9000) ④
05
특수한 각의 삼각비를 이용하여 각의 크기를 구한다.
cos 60°=;2!;이므로
(cid:100)(cid:100)2x+20°=60°,(cid:100)(cid:100)2x=40°
(cid:100)(cid:100)∴ x=20°
△ACD에서 AD”의 길이를 구한 후 △ABD에서
06
특수한 각의 삼각비를 이용하여 AB”, BD”의 길이를 구한다.
△ACD에서 ∠DAC=60°-30°=30°이므로
(cid:100)(cid:100)AD”=CD”=4'3 cm
△ABD에서
'3
2
AB”
4'3
BD”
4'3
(cid:100)(cid:100)sin 60°=
= (cid:100)(cid:100)∴ AB”=6 (cm)
(cid:100)(cid:100)cos 60°=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ BD”=2'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_6'3_6=18'3 (cm¤ ) (cid:9000) ④
07
(직선의 기울기)=tan 30°
오른쪽 그림과 같이 직선이
x축 및y축과 만나는 점을 각각
A, B라 하면 △AOB에서
(cid:9000) ③
10
점 A에서 BC”에 수선을 그어 직각삼각형을 만든다.
이등변삼각형이 되는 조건
(cid:8825) 두 내각의 크기가 같은
삼각형은 이등변삼각형이
다.
A
H
8
10
B
C
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
A에서 변 BC에 내린 수선의 발
을 H라 하면
△ABH에서
(cid:100)(cid:100)sin B=
AH”
8
=;4#;(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=6
△AHC에서
(cid:100)(cid:100)CH”="√10¤ -6¤ =8
(cid:100)(cid:100)∴ cos C=
CH”
AC”
=;1•0;=;5$;
(cid:9000) ;5$;
닮은 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비의 값
BC”=BD”+CD”
=2'3+4'3
=6'3(cm)
11
은 일정하다.
y
B
2
30æ
A
O
x
△ABD와△HAD에서
∠BAD=∠AHD
=90°,
∠ADB는 공통이므로
△ABDª△HAD
(AA 닮음)
△ABD`ª△HAD(AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)∠DBA=∠DAH=x
△ABD에서 BD”="√9¤ +12¤ =15이므로
(cid:100)(cid:100)cos x=
AB”
BD”
=;1ª5;=;5#;
(cid:100)(cid:100)∴ 5 cos x=3
(cid:9000) 3
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
(cid:100)(cid:100)(직선의 기울기)
(cid:100)=
(y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
(cid:100)=
=tan 30°
BO”
AO”
'3
3
(cid:100)=
식은
'3
(cid:100)(cid:100)y= x+2
3
보충 학습
직선의 방정식
중2
(cid:100)(cid:100)y=ax+b
또 주어진 직선의 y절편이 2이므로 구하는 직선의 방정
(cid:9000) ③
기울기가 a이고 y절편이 b인 직선의 방정식은
0°…A…90°에서 ∠A의 크기가 커지면 sin A,
08
tan A의 값은 증가하고, cos A의 값은 감소한다.
③ sin 90°=1, tan 60°='3 이므로
(cid:100)(cid:100)sin 90°cos A이므로
(cid:100)(cid:100)cos A-sin A<0, sin A-cos A>0
▶ 2`점
(cid:100)(cid:100)∴ "√(cos A-sin A)¤ -"√(sin A-cos A)¤
(cid:100)(cid:100)=-(cos A-sin A)-(sin A-cos A)
(cid:100)(cid:100)=-cos A+sin A-sin A+cos A
(cid:100)(cid:100)=0
▶ 2`점
(cid:9000) 0
08 회
Ⅶ
-1. 삼각비
| 문제집 31~32쪽
02 ④
06 ④
10 ;5#;
03 ③
07 ⑤
11 1
04 ④
08 ①
12 2'2
01 ③
05 ⑤
09 ;2@0&;
13 2'3
01
먼저 AC” 의 길이를 구한다.
AC”="√12¤ -6¤ =6'3 이므로
(cid:100)(cid:100)cos A=
(cid:100)(cid:100)tan B=
6'3
12
6'3
6
=
'3
2
='3
(cid:100)(cid:100)∴ cos A+tan B= +'3=
'3
2
3'3
2
(cid:9000) ③
02
∠A=90°인 △ABC (cid:8833) 90°-∠B=∠C
∠A=90°, sin B=;5#;
이므로 오른쪽 그림과 같이
(cid:100)(cid:100)AC”=3, BC”=5
인 직각삼각형 ABC를 생각하면
(cid:100)(cid:100)AB”="√
“5¤ -3¤ =4
이때 ∠B+∠C=90°이므로
5
C
3
A
(cid:100)(cid:100)tan (90°-B)=tan C=
(cid:9000) ④
AB”
AC”
=;3$;
096 Check Up 풀이집
닮은 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비의 값
03
은 같다.
△ABC와 △DEC에서
(cid:100)(cid:100)∠A=∠EDC=90°,
(cid:100)(cid:100)∠C는 공통
이므로
A
x
5
B
E
12
x
D
C
(cid:100)(cid:100)△ABC`ª△DEC (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠B=∠CED=x
△ABC에서 BC”="√5¤ +12¤ =13이므로
(cid:100)(cid:100)sin x=
AC”
BC”
=;1!3@;
(cid:9000) ③
특수한 각`(30°, 45°, 60°)의 삼각비의 값은 꼭 외
04
워 둔다.
① sin 30°_cos 60°÷tan 45°
(cid:100)(cid:100) =;2!;_;2!;÷1=;4!;
② tan 30°= =
1
'3
③ cos 30°_tan 60°÷sin 45°
'2
2
1
tan 60°
'3
2
'3
2
3'2
2
= _'3÷ = _'3_'2=
④ 2 sin 60°-'2 cos 45°-tan 60°
'2
=2_ -'2_ -'3='3-1-'3=-1
2
⑤ sin¤ 45°+cos¤ 45°+tan¤ 45°
'3
2
={
'2
2
¤ +{
}
'2
2
¤ +1¤ =;2!;+;2!;+1=2
}
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
△ABC에서 ∠A`:`∠B`:`∠C=a`:`b`:`c
05
(cid:8833) ∠A=180°_
a
a+b+c
1
1+2+3
삼각형의 세 내각의 크기
의 합은 180°이다.
∠A=180°_
=30°이므로
(cid:100)(cid:100)sin A : cos A : tan A
=sin 30° : cos 30° : tan 30°
'3
'3
2
3
=3 : 3'3 : 2'3
=;2!; :
:
06
주어진 이차방정식의 해를 구한다.
x¤ -x+;4!;=0에서
(cid:100)(cid:100){x-;2!;}2 =0(cid:100)(cid:100)∴ x=;2!;(중근)
B
이차방정식
(cid:100)(x+p)¤ =q(qæ0)
의 해
(cid:8825) x=-p—'q
따라서 cos a=;2!; 이므로(cid:100)(cid:100)a=60°
(cid:9000) ④
두 변의 길이의 비에서 분모가 되는 변의 길이가 1
07
인 직각삼각형을 찾는다.
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
“
#15중3상해설중단원(84-111)ok 2015.3.30 5:4 PM 페이지097 SinsagoHitec
우공비 B0X
문제집 30`~32`쪽
따라서 △AOB에서
(cid:100)(cid:100)AO”=6, B’O”=3, AB”="√6¤ +3¤ =3'5
이므로
(cid:100)(cid:100)cos a=
, sin a=
=
2'5
5
6
3'5
(cid:100)(cid:100)∴ cos¤ a-sin¤ a={
}2 -{
}2 =;5#;
2'5
5
=
'5
5
3
3'5
'5
5
① sin x=
=AB”
AB”
OA”
② cos x=
=OB”
③ tan x=
=CD”
OB”
OA”
CD”
OC”
④ y=∠OAB이므로(cid:100)(cid:100)sin``y=
=OB”
OB”
OA”
⑤ tan y=
OB”
AB”
=
OC”
CD”
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
△AOBª△DOC
(AA 닮음)
이므로 대응하는 각의
크기가 같다.
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
11
sin x=cos x (cid:8833) x=45°
'2
sin 45°=cos 45°= 이므로(cid:100)(cid:100)x=45°
2
(cid:100)(cid:100)∴ tan x=tan 45°=1
(cid:9000) 1
① 0°cos A, tan A>1
'2
sin 45°=cos 45°= , tan 45°=1이고
2
45°1
'2
2
'2
2
(cid:100)(cid:100)∴ cos A0)
(cid:9000) ①
08
원에 외접하는 사각형 (cid:8833) 대변의 길이의 합이 같다.
AB”+CD”=AD”+BC”에서
(cid:100)(cid:100)12+9=(x+4)+(9+y)
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=8
(cid:9000) ①
OM”=CM”=;2!; OB”=4 (cm)
직각삼각형 OMB에서
¤ -4¤ =4'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)B’M”="8√
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2B’M”=8'3 (cm)
(cid:9000) ③
원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이
02
는 같다.
(cid:100)(cid:100)∴ y=8
03
에 있다.
AM”=B’M”이므로(cid:100)(cid:100)x=4
O’M”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=2AM”=8(cm)
AB”⊥OM”이므로
(cid:100)AM”=BM”
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=4+8=12
(cid:9000) ③
길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리
원 밖의 한 점에서 원
에 그은 두 접선의 길
이는 같으므로
DP”=DA”, CP”=CB”
이므로(cid:100)(cid:100)∠OTA=∠OAT=30°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠TOP=30°+30°=60°
직각삼각형 OTP에서
(cid:100)(cid:100)PT”=7 tan 60°=7'3 (cm)
삼각형의 한 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는 두
내각의 크기의 합과 같다.
(cid:9000) ③
길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리
에 있으므로 △OAB의 높이는 2 cm이다.
(cid:100)(cid:100)∴ △OAB=;2!;_7_2=7 (cm¤ )
(cid:9000) ①
원의 접선 (cid:8833) 그 접점을 지나는 반지름과 수직이다.
04
OT”를 그으면
(cid:100)(cid:100)∠OTP=90°
△OAT에서
(cid:100)(cid:100)OT”=OA”=;2!;AB”
=7 (cm)
A
14`cm
O
30æ
B
7`cm
P
T
원의 접선 (cid:8833) 그 접점을 지나는 원의 반지름과 수
05
직이다.
AP”는 원 O의 접선이므로(cid:100)(cid:100)∠APO=90°
△OAP™△OAQ이므로
(cid:100)(cid:100)∠OAP=∠OAQ=;2!;_60°=30°
직각삼각형 OAP에서
(cid:100)(cid:100)AP”=20 cos 30°=20_ =10'3 (cm)
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ (△ABC의 둘레의 길이)
=AB”+BC”+AC”
=AB”+(BR”+RC”)+AC”
=AB”+BP”+QC”+AC”
=AP”+AQ”
=2AP”=20'3 (cm)
102 Check Up 풀이집
△OAP와 △OAQ에서
(cid:100)OA”는 공통,
(cid:100)∠OPA=∠OQA
=90°,
(cid:100) OP”=OQ”
∴ △OAP™△OAQ
(RHS 합동)
BE”=BF”=9 cm이므로
(cid:100)(cid:100)AE”=12-9=3 (cm)(cid:100)(cid:100)∴ x=3
DG”=DH”=4 cm이므로
(cid:100)(cid:100)GC”=9-4=5 (cm)(cid:100)(cid:100)∴ y=5
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=8
09
원의 중심에서 현에 내린 수선 (cid:8833) 현을 이등분한다.
△BOM에서(cid:100)(cid:100)B’M”="1√3¤ -5¤ =12 (cm)
(cid:9000) ⑤
(cid:100)(cid:100)∴ AM”=B’M”=12 cm
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지103 SinsagoHitec
우공비 B0X
문제집 37`~39`쪽
(cid:100)(cid:100)AM”=;2!;AB”=5 ( cm)
큰 원의 반지름의 길이를 x cm, 작은 원의 반지름의 길
A
5`cm
M
B
원의 중심에서 현에 내린
수선은 현을 이등분한다.
OC”=OB”
”=13 cm이므로
(cid:100)(cid:100)MC”=OC”-OM”=13-5=8 (cm)
따라서 △ACM에서
(cid:100)(cid:100)AC”="1√2¤ +8¤ =4'1å3 (cm)
(cid:9000) 4'1å3 cm
10
AB”는 작은 원의 접선이고 큰 원의 현이다.
오른쪽 그림과 같이 원의 중
심 O에서 현 AB에 내린 수선의
발을 M이라 하면
O
x`cm
y`cm
이를 y cm라 하면 △OAM에서
(cid:100)(cid:100)x¤ =5¤ +y¤ (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -y¤ =25
따라서 구하는 넓이는
(cid:100)(cid:100)px¤ -py¤ =p(x¤ -y¤ )=25p (cm¤ )
(cid:9000) 25p cm¤
11
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.
EF”=BE”=x라 하면(cid:100)(cid:100)CE”=10-x
DF”=AD”=10이므로(cid:100)(cid:100)DE”=DF”+EF”=10+x
△DEC에서(cid:100)(cid:100)(10+x)¤ =(10-x)¤ +10¤
(cid:100)(cid:100)40x=100(cid:100)(cid:100)∴ x=;2%;
12
채점 기준
△APB가 정삼각형임을 알기
△APB의 넓이 구하기
PA”, PB”가 원 O의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)PA”=PB”
(cid:9000) ;2%;
배점
3점
2점
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 6 cm
(cid:100)(cid:100)∴ ∠PAB=∠PBA=;2!;_(180°-60°)=60°
즉 △APB는 한 변의 길이가 4 cm인 정삼각형이므로
'3
(cid:100)(cid:100)△APB= _4¤ =4'3 (cm¤ )
4
▶ 3점
▶ 2점
(cid:9000) 4'3 cm¤
한 변의 길이가 a인 정삼
각형의
(cid:100)(높이)= a,
(cid:100)(넓이)= a¤
'3
2
'3
4
13
채점 기준
A’D”의 길이 구하기
AO”의 길이 구하기
AG”의 길이 구하기
BD”=BE”=18 cm이므로
(cid:100)(cid:100)AD”=AB”-BD”=30-18=12 (cm)
▶ 2점
△ADO에서 ∠ADO=90°이므로
¤ +OD”
(cid:100)(cid:100)AO”=øπAD”
(cid:100)(cid:100)AO”='2ß25=15 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AG”=AO”-GO”=15-9=6 (cm)
ç+9¤
¤ ="√12¤
△PAO
=;2!;_PA”_OA”
=;2!;_PB”_OB”
=△PBO
원의 접선은 그 접점을 지
나는 반지름과 수직이다.
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
02
다.
03
같다.
12 회
Ⅷ
-1. 원과 직선
| 문제집 39~40쪽
01 ⑤
02 ④
06 ④
05 ②
09 6'3 cm 10 144°
13 ⑴ 60° ⑵ 8'3 ⑶ 8'3
03 ④
07 ①
11 6
04 ②
08 ③
12 p cm¤
원의 중심에서 현에 내린 수선 (cid:8833) 현을 이등분한다.
01
를 그으면
오른쪽 그림과 같이 OD”
(cid:100)(cid:100)DF”=;2!;CD”=3 (cm)
A
(cid:100)(cid:100)OD”=OB”=;2!; AB”=5 (cm)
따라서 직각삼각형 ODF에서
(cid:100)(cid:100)OF”="5√
¤ -3¤ =4 (cm)
C
E
F
3`cm
D
5`cm
O
5`cm
B
(cid:9000) ⑤
원에서 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지난
도자기의 중심을 O, 반지
름의 길이를 r cm라 하면 오른
쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)r¤ =(r-4)¤ +8¤
(cid:100)(cid:100)8r=80(cid:100)(cid:100)∴r=10
4`cm
8`cm
8`cm
{r-4}cm
r`cm
O
따라서 도자기의 지름의 길이는 20 cm이다.
(cid:9000) ④
원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는
직각삼각형 OAM에서
(cid:100)(cid:100)AM”=ø∑(2'3 )¤ -∑3¤ ='3 (cm)
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하므로
(cid:100)(cid:100)AB”=2AM”=2'3 (cm)
원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로
(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=2'3 cm
(cid:9000) ④
04
PA”가 원O의 접선 (cid:8833) PA”⊥OA”
PA”가 원 O의 접선이므로(cid:100)(cid:100)∠PAO=90°
따라서 직각삼각형 PAO에서
(cid:100)(cid:100)PA”="√('∂65)¤ -5¤ ='∂40=2'∂10 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)OAPB=2_△PAO
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)OAPB=2_{;2!;_2'∂10_5}
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)OAPB=10'∂10 (cm¤ )
(cid:9000) ②
05
원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.
PA”=PB”, PB”=PC”이므로
(cid:100)(cid:100)PA”=PC”
중단원별 실전 TEST 103
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지104 SinsagoHitec
Point Up
문제집
(cid:100)(cid:100)2x+5=x+15
(cid:100)(cid:100)∴ x=10
우공비 B0X
(cid:9000) ②
△`ABC에서 피타고라스 정리를 이용하여 AB”의
11
길이를 먼저 구한다.
06
PX”=PY”, AX”=AC”
”, BY”=BC”임을 이용한다.
PY”=PX”=8 cm이므로
(cid:100)(cid:100)BY”=PY”-PB”=8-7=1 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=BY”=1 cm
또 AX”=PX”-PA”=8-5=3 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)AC”=AX”=3 cm
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=AC”+BC”=3+1=4 (cm)
(cid:9000) ④
07
AP”, BP”의 길이를 x로 나타낸다.
CR”=CQ”=x cm이므로
(cid:100)(cid:100)AR”=12-x (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AP”=AR”=12-x (cm)
BQ”=11-x (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)BP”=11-x (cm)
AB”=13 cm에서
(cid:100)(cid:100)(12-x)+(11-x)=13
(cid:100)(cid:100)2x=10(cid:100)(cid:100)∴ x=5
OE”⊥BC”, OF”⊥AC”
이고, CE”=CF”이므로
(cid:8772)OECF는 정사각형
이다.
(cid:9000) ①
원에 외접하는 사각형 (cid:8833) 대변의 길이의 합이 같다.
AB”+CD”=AD”+BC”에서
(cid:100)(cid:100)AB”+8=6+14(cid:100)(cid:100)∴AB”=12
(cid:9000) ③
원의 중심에서 현에 내린 수선 (cid:8833) 현을 이등분한다.
08
09
오른쪽 그림과 같이 점 O에
서 AB”에 내린 수선의 발을 M이
라 하면
(cid:100)(cid:100)AM”=B’M”
△OAM에서 ∠OMA=90°이고,
OM”=;2!;_6=3(cm)이므로
(cid:100)(cid:100)A’M”="√6¤ -3¤ ='2ß7=3'3 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2A’M”=6'3 (cm)
O
6`cm 3`cm
A
M
B
원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는
10
같다.
O’M”=ON”이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=AC”
즉 △ABC는 AB”=AC”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ABC=72°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BAC=180°-2_72°=36°
(cid:8772)AMON의 내각의 크기의 합은 360°이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=360°-(90°+36°+90°)=144°
(cid:9000) 144°
104 Check Up 풀이집
(cid:9000) 6'3 cm
△OPA™△OPB
(RHS 합동)이므로
(cid:100)∠OPA=∠OPB
=;2!;_60°
=30°
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)AB”="√17¤ -15¤ =8
(cid:8772)ABCD가 원 O에 외접하므로
(cid:100)(cid:100)AB”+CD”=AD”+BC”
(cid:100)(cid:100)8+13=AD”+15
∴ AD”=6
12
채점 기준
BC”의 길이 구하기
원 O의 반지름의 길이 구하기
원의 넓이 구하기
(cid:9000) 6
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) p cm¤
배점
1점
2점
2점
BC”=ø πAB”
¤ ="5ç
(cid:8772)OECF는 정사각형이므로 내접원 O의 반지름의 길이
¤ -3¤ =4 (cm)
¤ -AC”
▶ 2점
를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)CE”=CF”=OE”=OF”=r cm
(cid:100)(cid:100)AD”=AF”=3-r (cm)
(cid:100)(cid:100)BD”=BE”=4-r (cm)
AB”=AD”+BD”이므로
(cid:100)(cid:100)(3-r)+(4-r)=5
(cid:100)(cid:100)∴ r=1
따라서 원 O의 넓이는(cid:100)(cid:100)p_1¤ =p (cm¤ )
13
채점 기준
∠P의 크기 구하기
AP”의 길이 구하기
AB”의 길이 구하기
⑴ ∠OAP=∠OBP=90°이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠P=360°-(90°+120°+90°)=60° ▶ 1점
⑵ 직각삼각형 OAP에서
A
(cid:100)∠OPA=30°이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)AP”=
8
tan 30°
(cid:100) (cid:100)(cid:100)AP”=8_'3
(cid:100) (cid:100)(cid:100)AP”=8'3
⑶ △APB에서 PA”=PB”이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠PAB=∠PBA
30æ
P
30æ
8
O
120æ
B
▶ 2점
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠PAB=;2!;_(180°-60°)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠PAB=60°
⑶ 따라서 △APB는 정삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=AP”=8'3
▶ 2점
(cid:9000) ⑴ 60°(cid:100)⑵ 8'3(cid:100)⑶ 8'3
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지105 SinsagoHitec
13 회
Ⅷ
-2. 원주각``⑴
| 문제집 41~42쪽
원주각의 크기와 호의 길이 (cid:8833) 정비례
우공비 B0X
문제집 39`~42`쪽
01 ②
05 ①
09 60°
13 172°
02 ③
06 ②
10 6 cm
03 ②
07 ④
11 115°
04 ④
08 ⑤
12 70°
01
(원주각의 크기) (cid:8833) ;2!;_(중심각의 크기)
∠APB=∠AQB=50°이므로
(cid:100)(cid:100)∠y=50°
이때 ∠AOB는 호AB에 대한 중심각이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=2∠AQB=2_50°=100°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=100°+50°=150°
(cid:9000) ②
02
원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.
오른쪽 그림과 같이 BQ”를
그으면 한 호에 대한 원주각의
크기는 같으므로
(cid:100)(cid:100)∠AQB=∠APB=25°,
Q
P
25æ
R
35æ
35æ
25æ
(cid:100)(cid:100)∠BQC=∠BRC=35°
A
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠AQB+∠BQC
B
=25°+35°=60°
C
(cid:9000) ③
03
반원에 대한 원주각의 크기 (cid:8833) 90°
∠ECD=∠EBD=28°이고, ∠EDC=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠CED=180°-(28°+90°)=62°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠CAD=∠CED=62°
(cid:9000) ②
오른쪽 그림과 같이 BO”의
연장선이 원 O와 만나는 점을
A'이라 하면
(cid:100)(cid:100)∠BA'C=∠BAC
(cid:100)(cid:100)∠BA'C=45°
B
∠BCA'=90°이므로 △A'BC에서
(cid:100)(cid:100)A'B”=
18
sin 45°
2
=18_ =18'2
'2
A
45æ
O
18
45æ
A'
C
따라서 원 O의 반지름의 길이는 9'2이다.
(cid:9000) ④
05
먼저 구한다.
△DEC에서
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
∠ACD=∠ABD=38°이어야 하므로
06
므로
원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같으
(cid:100)(cid:100)AB”=AC”
즉 △ABC는 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ABC=;2!;_(180°-40°)=70°
한 원에서 호의 길이는 원주각의 크기에 정비례하므로
μAB에 대한 원주각
(cid:100)(cid:100)21：μ BC=70°：40°
(cid:100)(cid:100)∴ μ BC=12 (cm)
(cid:9000) ②
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
∠BCA=∠a라 하면 원주각의 크기는 호의 길이에
삼각형의 한 외각의 크기
는 그와 이웃하지 않는 두
내각의 크기의 합과 같다.
(cid:100)(cid:100)∴ ∠DAC=;2%;_28°=70°
(cid:9000) ④
원에 내접하는 사각형 (cid:8833) 한 외각의 크기는 그 내
μ CD : μAB =5 : 2이므로
07
∠DAC : ∠BCA=5 : 2이다.
정비례하므로(cid:100)(cid:100)∠DAC=;2%;∠a
△APC에서
(cid:100)(cid:100)∠a+42°=;2%;∠a
(cid:100)(cid:100);2#;∠a=42°(cid:100)(cid:100)∴ ∠a=28°
08
대각의 크기와 같다.
∠ABC=∠x라 하면
△ABQ에서
(cid:100)(cid:100)∠PAQ=∠x+30°
또 (cid:8772)ABCD는 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠PDA=∠ABC=∠x
(cid:100)(cid:100)46°+∠PDA+∠PAD=180°
(cid:100)(cid:100)46°+∠x+(∠x+30°)=180°
(cid:100)(cid:100)2∠x=104°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=52°
(cid:8772) AOBC의 내각의
크기의 합은 360°이므
로
(cid:100)45°+150°+∠x+105°
=360°
두 점C, D가 직선 AB
에 대하여 같은 쪽에 있을
때,
(cid:100)∠ACB=∠ADB
이면 네 점A, B, C, D
는 한 원 위에 있다.
09
(원주각의 크기)=;2!;_(중심각의 크기)
∠ACB=;2!;_(360°-150°)
∠ACB=;2!;_210°=105°
이므로 (cid:8772)AOBC에서
삼각형의 한 외각의 크기
10
(cid:8833) 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 60°
중단원별 실전 TEST 105
04
지름을 그어 원에 내접하는 직각삼각형을 그린다.
△PAD에서 삼각형의 내각의 크기의 합이 180°이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-(65°+38°)=77°
(cid:9000) ①
△ACP에서 ∠APD는 ∠APC의 외각이므로
네 점이 한 원 위에 있기 위한∠ ACD의 크기를
(cid:100)(cid:100)∠x=360°-(105°+45°+150°)=60°
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지106 SinsagoHitec
우공비 B0X
Point Up
문제집
(cid:100)(cid:100)60°=20°+∠ACP
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ACP=40°
(cid:100)(cid:100)3：μAD=20°：40°
(cid:100)(cid:100)∴ μAD=6 (cm)
호의 길이는 원주각의 크기에 정비례하므로
∠AED=90°임을 이용하여 ∠AEB의 크기를 먼
11
저 구한다.
반원에 대한 원주각의
크기
(cid:9000) 6 cm
(cid:9000) 115°
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 70°
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 172°
∠AED=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠AEB=90°-75°=15°
(cid:100)(cid:100)∴∠BCA=∠AEB=15°
따라서 △BCP에서
(cid:100)(cid:100)∠CBP=80°-15°=65°
(cid:8772)BCDE는 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠CDE=180°-65°=115°
12
채점 기준
∠x의 크기 구하기
∠y의 크기 구하기
∠x-∠y의 크기 구하기
BC”가 반원 O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠BDC=∠BEC=90°
(cid:8772)ADFE에서
∠ADF=∠AEF=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABE=180°-(70°+90°)=20°
또 △ABE에서
이므로
(cid:100)(cid:100)∠y=2∠DBE=2_20°=40°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x-∠y=110°-40°=70°
13
채점 기준
∠PQB의 크기 구하기
∠BAP의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
(cid:8772)`PQCD가 원O'에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠PQB=∠PDC=94°
또 (cid:8772)ABQP가 원O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠BAP+∠PQB=180°
즉 ∠BAP+94°=180°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAP=180°-94°=86°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=2∠BAP=2_86°=172°
106 Check Up 풀이집
(cid:100)(cid:100)∠DFE=360°-(70°+90°+90°)=110°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠DFE=110° (맞꼭지각)
▶ 2점
(중심각의 크기)
=2_(원주각의 크기)
14 회
Ⅷ
-2. 원주각``⑴
| 문제집 43~44쪽
01 ④
05 ④
02 ②
06 ③
03 ④
07 ②
04 ①
08 ④
09 21°
10 ;5$;
12 ∠x=20°, ∠y=110° 13 96°
11 30°
01
(원주각의 크기)=;2!;_(중심각의 크기)
△ABO에서
∠BOC=18°+40°=58°
∴ ∠BDC=;2!;∠BOC=29°
(cid:9000) ④
02
원의 접선 (cid:8833) 그 접점을 지나는 반지름과 수직이다.
오른쪽 그림에서 PA”,
PC”는 원 O의 접선이므로
(cid:100) ∠PAO=∠PCO=90°
따라서 (cid:8772)APCO에서
P
34æ
B
O
A
C
(cid:100)(cid:100)∠AOC=360°-(90°+90°+34°)=146°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC=;2!;_(360°-146°)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC=;2!;_214°=107°
(cid:9000) ②
특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 AB”의 길이
03
를 구한다.
반원에 대한 원주각의 크기
A
는 90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠BAC=90°
△ABC에서 BC”=12이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=12 sin 30°=12_;2!;=6
B
30æ
C
O
12
(cid:9000) ④
04
원주각의 크기는 호의 길이에 정비례한다.
△PBC에서
(cid:100)(cid:100)∠PBC=72°-45°=27°
μAC : μBD=∠ABC : ∠BCD이므로
(cid:100)(cid:100)μAC : 16=27° : 72°
(cid:100)(cid:100)∴ μAC=6
(cid:9000) ①
원에 내접하는 사각형에서
한 쌍의 대각의 크기의 합
은 180°이다.
원에 내접하는 사각형
05
(cid:8833) 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°이다.
(cid:8772)ABCD가 원O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠ABC+∠ADC=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC=180°-110°=70°
이때 AC”=BC”이므로 △ABC는 이등변삼각형이다.
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지107 SinsagoHitec
즉 ∠BAC=∠ABC=70°이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACB=180°-2_70°=40°
(cid:9000) ④
11
반원에 대한 원주각의 크기는 90°임을 이용한다.
AB”는 원 O의 지름이므로
C
D
우공비 B0X
문제집 42`~44`쪽
원에 내접하는 사각형
06
(cid:8833) 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다.
(cid:8772)ABCD가 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠DAB+∠BCD=180°
즉 (∠x+55°)+95°=180°에서(cid:100)(cid:100)∠x=30°
∠BDC=∠BAC=30°이므로
(cid:100)(cid:100)∠y=∠ADC=50°+30°=80°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x+∠y=30°+80°=110°
(cid:9000) ③
μ BC에 대한 원주각
A
B
O
x
P
(cid:100)(cid:100)∠APB=90°
μAC=μ CD=μ DB이므로
(cid:100)(cid:100)∠APC=∠CPD
(cid:100)(cid:100)∠APC=∠DPB
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=;3!;∠APB=30°
12
채점 기준
∠OBC, ∠OCB의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
∠y의 크기 구하기
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
OB”, OC”는 모두 원O
의 반지름이므로
(cid:100)OB”=OC”
(원주각의 크기)
=;2!;_(중심각의 크기)
(cid:9000) ②
∠BCD
=∠OCB+∠OCD
=40°+30°=70°
∠BOC=2∠BDC=100°이고 △OBC는
OB”=OC”인 이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)∠OBC=∠OCB
(cid:100)(cid:100)∠OBC=;2!;_(180°-100°)=40°
또 △DBC에서
(cid:100)(cid:100)∠DBC=180°-(50°+30°+40°)=60°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠DBC-∠OBC
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60°-40°=20°
한편 (cid:8772)ABCD는 원 O에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠DAB+∠BCD=180°
(cid:100)(cid:100)∠y+70°=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠y=110°
▶ 2점
(cid:9000) ∠x=20°, ∠y=110°
13
채점 기준
∠DAB의 크기 구하기
∠ADC의 크기 구하기
∠APC의 크기 구하기
오`른쪽 그림에서
μ BC에 대한 원주각
원에서 모든 호에 대한 원
주각의 크기의 합은 180°
이다.
(cid:100)(cid:100)∠DAB=;3!;_180°
(cid:100)(cid:100)∠DAB=60°
▶ 2점
A
O
P
(cid:100)(cid:100)∠ADC=;5!;_180°
(cid:100)(cid:100)∠ADC=36° ▶ 2점
따라서 △APD에서 ∠APC는 ∠APD의 외각이므로
C
B
(cid:100)(cid:100)∠APC=∠ADP+∠DAP
(cid:100)(cid:100)∠APC=36°+60°=96°
(cid:9000) 30°
배점
1점
2점
2점
▶ 1점
▶ 2점
배점
2점
2점
1점
D
▶ 1점
(cid:9000) 96°
보조선을 그어 원에 내접하는 사각형과 원주각의
07
성질을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 CE”를
A
그으면 (cid:8772)`ABCE가 원에 내접
하므로
(cid:100)(cid:100)∠ABC+∠AEC=180°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠AEC=180°-110°
=70°
B
110æ
O
E
x
60æ
C
D
또 ∠CED=;2!;∠COD=;2!;_60°=30°이므로
(cid:100)(cid:100)∠x=∠AEC+∠CED
=70°+30°=100°
08
09
사각형이 원에 내접하기 위한 조건을 생각한다.
④ ∠BAC=∠BDC이면 원에 내접한다.
(cid:9000) ④
원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.
∠BDC=∠x라 하면
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC=∠x
△AQC에서 ∠ACD는 ∠QCA의 외각이므로
(cid:100)(cid:100)∠ACD=∠AQC+∠QAC=30°+∠x
또 △PCD에서 ∠APD는 ∠CPD의 외각이므로
(cid:100)(cid:100)∠APD=∠PCD+∠PDC
따라서 72°=(30°+∠x)+∠x이므로
(cid:100)(cid:100)2∠x=42°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=21°
(cid:9000) 21°
10
지름 A'B를 그으면 (cid:8833) ∠A'CB=90°
원 O의 지름 A'B를 그으면
(cid:100)(cid:100)∠A'CB=90°,
∠BAC=∠BA'C
△A'BC에서
(cid:100)(cid:100)A'C”="√20¤ -12¤ =16 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ cos A=cos A'=;2!0^;=;5$;
A
A'
20`cm
O
12`cm
B
C
(cid:9000) ;5$;
중단원별 실전 TEST 107
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:22 PM 페이지108 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
15 회
Ⅷ
-3. 원주각``⑵
| 문제집 45~46쪽
PA”_PB”=PD”_PC”
⑤ 5_(5+3)=4_(4+6)
따라서 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하지 않는 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
01 ②
05 ②
09 6'7
02 ②
06 ③
10 23
13 (2'5-2) cm
03 ④
07 ③
11 ;;¢2∞;;p
04 ④
08 ②
12 7
현과 접선이 이루는 각의 크기
01
(cid:8833) 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.
∠CTP=∠CAT=30°이고 ∠ABT는 ∠PCT의
(cid:100)(cid:100)∠PCT=∠ABT=130°
내대각이므로
△CPT에서
(cid:100)(cid:100)∠P=180°-(30°+130°)=20°
(cid:9000) ②
BT”가 지름이므로
(cid:100)∠BTP=90°
02
반원에 대한 원주각의 크기 (cid:8833) 90°
오른쪽 그림과 같이
AB”를 그으면 ∠ABC=90°
이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABP
(cid:100)=180°-(90°+60°)
(cid:100)=30°
30æ
C
O
x
P
A
60æ
60æ
30æ
B
T
∠PTA=∠PBT,
∠P는 공통
원의 중심에서 현에 내린
수선은 현을 이등분한다.
04
PA”_PB”=PC”
PC”=x cm라 하면 PC”=PD”이므로
(cid:100)(cid:100)4_9=x_x,(cid:100)(cid:100)x¤=36
(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
05
PT”
¤ =PA”_PB”
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =4_(4+12)=64
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=8 (∵ PT”>0)
△BPT는 직각삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)BT”="√16¤ -8¤ ='∂192=8'3
(cid:100)(cid:100)∴ △BPT=;2!;_8_8'3=32'3
06
△PATª△PTB임을 이용한다.
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =4_(4+5)=36
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=6(cm) (∵ PT”>0)
△PATª△PTB(AA 닮음)이므로
∠BAC=∠CBT=60°이므로 △APB에서
(cid:100)(cid:100)∠x+∠ABP=∠CAB
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=60°-30°=30°
직선 PT는 원O의 접
선이고 점 B는 접점이므로
(cid:100)(cid:100)∠OBP=90°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠OBC=90°-60°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠OBC=30°
A
x
P
(cid:9000) ②
30æ
C
O
60æ
30æ
60æ
B
T
이때 OB”, OC”는 원의 반지름이므로 △OBC는 이등변
삼각형이고, ∠POB는 ∠COB의 외각이므로
(cid:100)(cid:100)∠POB=30°+30°=60°
△OPB에서
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-(90°+60°)=30°
사각형이 원에 내접할 조건
03
(cid:8833) 원주각, 대각의 크기의 합, 외각과 내대각, 원에서의 비례
관계를 이용한다.
① ∠BAC=∠BDC(μ BC에 대한 원주각)
② ∠A+∠C=120°+60°=180°
③ 2_3=1_6
④ 3_(3+6)+2_(2+9)
108 Check Up 풀이집
평각의 크기는 180°이다.
(cid:100)(cid:100)PA” : PT”=AT” : TB”
(cid:100)(cid:100)4 : 6=3 : TB”(cid:100)(cid:100)∴ TB”=;2(; (cm)
(cid:9000) ③
¤ =PA”_PB”y ㉠
원 O에서
(cid:100)PT”
원 O'에서
¤ =PA”_PB”y ㉡
(cid:100)PT'”
㉠, ㉡에서(cid:100)PT”=PT'”
(∵ PT”>0, PT'”>0)
07
PT”
¤ =PA”_PB”=PT'”
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =4_(4+5)=36
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=6 (∵ PT”>0)
(cid:100)(cid:100)PT”
08
AP”⊥PO'”, AQ”⊥QB”
오른쪽 그림과 같이 O'P”,
BQ”를 그으면 AP”는 원O'의 접
선이므로
(cid:100)(cid:100)AP”
¤ =AO”_AB”
=6_(6+6)=72
(cid:100)(cid:100)∴ AP”=6'2 (∵ AP”>0)
△APO'과 △AQB에서
PT'”=PT”=6이므로(cid:100)(cid:100)TT'”=12
(cid:9000) ③
Q
P
A
6
O
O'
B
한 쌍의 대각의 크기의 합
이 180°인 사각형은 원에
내접한다.
(cid:100)(cid:100)∠A는 공통, ∠APO'=∠AQB=90°
이므로(cid:100)(cid:100)△APO'ª△AQB (AA 닮음)
따라서 AP”：AQ”=AO'”：AB”이므로
(cid:100)(cid:100)6'2：AQ”=9：12,(cid:100)(cid:100)9AQ”=72'2
(cid:100)(cid:100)∴ AQ”=8'2
(cid:9000) ②
¤
¤
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:23 PM 페이지109 SinsagoHitec
AO'”=9, AB”=12, PO'”=3이고
△APO'ª△AQB(AA 닮음)이므로
AO'”：AB”=PO'”：QB”에서
(cid:100)(cid:100)9：12=3：QB”(cid:100)(cid:100)∴ QB”=4
직각삼각형 AQB에서
(cid:100)(cid:100)AQ”="√12¤ -4¤ ='∂128=8'2
09
PC” : PD”=1 : 2임을 이용한다.
PC”=x라 하면 PD”=2x이므로
PC”_PD”=PA”_PB”에서
(cid:100)(cid:100)x_2x=14_4,(cid:100)(cid:100)x¤=28
(cid:100)(cid:100)∴ x=2'7 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=3_2'7 =6'7
(cid:9000) 6'7
(cid:9000) 23
배점
1점
2점
1점
10
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하면 (cid:8833) PA”_PC”=PB”_PD”
AC”, BD” 또는 그 연장선이 점 P에서 만날 때
(cid:8772)ABCD가 원에 내접하므로
PA”_PC”=PB”_PD”에서
(cid:100)(cid:100)4_7=x_2(cid:100)(cid:100)∴ x=14
또 (cid:8772)A'B'C'D'이 원에 내접하므로
P'A'”_P'D'”=P'B'”_P'C'”에서
(cid:100)(cid:100)4_(4+5)=3_(3+y)
(cid:100)(cid:100)36=9+3y(cid:100)(cid:100)∴y=9
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=14+9=23
11
채점 기준
∠x와 크기가 같은 각 찾기
B'T”의 길이 구하기
원 O의 넓이 구하기
∠ABT=∠ATP=∠x이고,
TO”의 연장선이 원 O와 만나는 점
을 B'이라 하면
(cid:100)(cid:100)∠AB'T=∠ABT=∠x
(μAT에 대한 원주각)▶ 1점
P
∠B'AT=90°이므로
=;3!;,(cid:100)(cid:100)AB'”=9
(cid:100)(cid:100)tan x=
3
AB'”
(cid:100)(cid:100)∴ B'T”="√3¤ +9¤ =3'1å0
따라서 원 O의 반지름의 길이는
넓이는
(cid:100)(cid:100)p_{
3'1å0
2
¤ =;;¢2∞;;p
}
B'
B
xx
O
A
3
x
T
▶ 2점
3'1å0
2
이므로 원 O의
▶ 1점
(cid:9000) ;;¢2∞;;p
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:100)(cid:100)(cid:9000) 7
배점
2점
2점
1점
우공비 B0X
문제집 45`~47`쪽
12
채점 기준
x의 값 구하기
y의 값 구하기
x+y의 값 구하기
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)x_(x+3)=4_(4+6)
(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-40=0,(cid:100)(cid:100)(x-5)(x+8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
△PAC와 △PDB에서
∠P는 공통, ∠PAC=∠PDB이므로
(cid:100)(cid:100)△PACª△PDB (AA 닮음)
따라서 AC”：DB”=PC”：PB”이므로
(cid:100)(cid:100)y：4=4：(5+3)(cid:100)(cid:100)∴ y=2
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=5+2=7
원에 내접하는 사각형의
한 외각의 크기는 그 내대
각의 크기와 같다.
13
채점 기준
PA”의 길이 구하기
△PTA가 이등변삼각형임을 알기
AT”의 길이 구하기
PA”=x cm라 하면
¤ =PA”_PB”이므로
PT”
(cid:100)(cid:100)4¤ =x_(x+4),(cid:100)(cid:100)x¤+4x-16=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-2—"√2¤ +16=-2—2'5
(cid:100)(cid:100)∴ PA”=2'5-2 (cm)(∵ PA”>0)
△PTB가 PT”=BT”인 이등변삼각형이므로
▶ 2점
∠APT=∠ABT이고 ∠ATP=∠ABT이므로
(cid:100)(cid:100)∠APT=∠ATP
즉 △PTA는 AP”=AT”인 이등변삼각형이다.
(cid:100)(cid:100)∴ AT”=AP”=2'5-2 (cm)
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) (2'5-2) cm
접선과 현이 이루는 각의
크기는 각의 내부에 있는
호에 대한 원주각의 크기
와 같다.
16 회
Ⅷ
-3. 원주각``⑵
| 문제집 47~48쪽
01 ④
02 ②
06 ④
05 ②
09 35°
12 x=9, y=3.5
13 ⑴ 30° ⑵ 2 cm ⑶ 2 cm
10 5
03 ③
07 ②
11 10 cm
04 ③
08 ④
중단원별 실전 TEST 109
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:23 PM 페이지110 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
01
반원에 대한 원주각의 크기 (cid:8833) 90°
BT”를 그으면
∠BTP=∠BCT=35°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BTA=75°-35°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠BTA=40°
∠BTC=90°이므로
(cid:100)(cid:100)∠ATC=90°-40°=50°
A
75æ
O
T
B
P
C
35æ
(cid:9000) ④
원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는
02
같다.
PA”=PB”이므로
∠ABP=;2!;_(180°-48°)=66°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ACB=∠ABP=66°
이때 AC”∥`PB”이므로
(cid:100)(cid:100)∠CAB=∠ABP=66°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ABC=180°-(66°+66°)=48°
(cid:9000) ②
AB”, CD” 또는 그 연장선이 점 P에서 만날 때 네
03
점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
(cid:8833) PA”_PB”=PC”_PD”
① 3_10+5_5
② 10_10+12_8
③ 2_(2+7)=3_(3+3)
④ 2_(2+6)+4_(4+2)
⑤ 4_(4+4)+2_(2+8)
04
PA”_PB”=PC”_PD”
AB”=x cm라 하면
PA”_PB”=PC”_PD”이므로
(cid:100)(cid:100)3_(x+3)=4_(4+8)
(cid:100)(cid:100)3x+9=48(cid:100)(cid:100)∴ x=13
05
OP”=x cm라 하고 식을 세운다.
OP”=x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)AP”=4-x (cm), BP”=4+x (cm)
PA”_PB”=PC”_PD”에서
(cid:100)(cid:100)(4-x)_(4+x)=5_2
(cid:100)(cid:100)16-x¤ =10,(cid:100)(cid:100)x¤ =6
(cid:100)(cid:100)∴ x='6 (∵ x>0)
06
PT”
¤=PA”_PB”
PT”
¤ =PA”_PB”이므로
¤ =7_(7+5)=84
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=2'∂21 (∵ PT”>0)
110 Check Up 풀이집
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
07
AQ”_BQ”=CQ”_TQ”
AQ”_BQ”=CQ”_TQ”에서
(cid:100)(cid:100)y_6=3_4(cid:100)(cid:100)∴y=2
¤ =PA”_PB”이므로
또 PT”
(cid:100)(cid:100)(2'2å1)¤ =x_(x+8)
(cid:100)(cid:100)x¤ +8x-84=0,(cid:100)(cid:100)(x+14)(x-6)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=6+2=8
(cid:9000) ②
PD”가 ∠BPT의 이등분선
08
(cid:8833) PB” : PT”=BD” : TD”
PB” : PT”=BD” : TD”이므로
(cid:100)PB” : 4=4 : 2(cid:100)(cid:100)∴ PB”=8
¤ =PA”_PB”이므로
(cid:100)(cid:100)4¤ =PA”_8 ∴ PA”=2
PT”
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=PB”-PA”=8-2=6
(cid:9000) ④
보충 학습
△ABC에서 ∠A의 이등분선이
BC”와 만나는 점을 D라 하면
(cid:100)(cid:100)AB” : AC”=BD” : CD”
A
D
B
C
원에 내접하는 사각형
09
(cid:8833) 한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°
(cid:8772)`ABCD는 원에 내접하므로
A
(cid:100)(cid:100)∠ABC=180°-110°=70°
B
오른쪽 그림에서 BD”를 그으면
110æ
D
C
P
(cid:9000) 35°
(cid:9000) 5
두 점E, D가 직선 BC에 대하여 같은 쪽에 있고,
10
∠BEC=∠BDC이면 네 점 E, B, C, D는 한 원 위에 있다.
∠BEC=∠BDC=90°이므로 네 점 E, B, C, D
는 한 원 위에 있다.
AE”_AB”=AD”_AC”이므로
(cid:100)(cid:100)2_(2+10)=3_(3+x)
(cid:100)(cid:100)3x+9=24(cid:100)(cid:100)∴ x=5
11
원의 중심에서 현에 내린 수선 (cid:8833) 현을 이등분한다.
PB”=PA”+AB”
=x+3 (cm)
μ DC=μAD이므로
(cid:100)∠DBC=∠ABD
(cid:100)(cid:100)∠DBC=∠ABD
(cid:100)(cid:100)∠DBC=;2!;∠ABC
(cid:100)(cid:100)∠DBC=35°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠DCP=∠DBC=35°
”
E0330우중수3하_정(084-111) 2015.3.29 12:23 PM 페이지111 SinsagoHitec
PT”
¤ =PB”_PC”이므로
(cid:100)(cid:100)(8'3 )¤ =8_(8+BC”)
(cid:100)(cid:100)192=64+8 BC”
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=16 (cm)
T
8Â3`cm
P
8`cm
B
O
6`cm
A
AB”=;2!;BC”=8 (cm)이므로
직각삼각형 OAB에서
(cid:100)(cid:100)OB”="√6¤ +8¤ =10 (cm)
따라서 원 O의 반지름의 길이는 10 cm이다.
C
12
채점 기준
x의 값 구하기
y의 값 구하기
원 O에서 PA”_PB”=PE”_PF”이므로
(cid:100)(cid:100)3_(3+x)=4_(4+5)
(cid:100)(cid:100)9+3x=36(cid:100)(cid:100)∴x=9
또 원 O'에서 PC”_PD”=PE”_PF”이므로
(cid:100)(cid:100)4.5_(4.5+y)=4_(4+5)
(cid:100)(cid:100);;•4¡;;+;2(;y=36(cid:100)(cid:100)∴y=3.5
(cid:9000) 10 cm
배점
2점
2점
▶ 2점
▶ 2점
(cid:9000) x=9, y=3.5
우공비 B0X
문제집 47`~48`쪽
원의 중심에서 현에 내린
수선은 현을 이등분한다.
반원에 대한 원주각
13
채점 기준
∠P의 크기 구하기
원 O의 반지름의 길이 구하기
PA”의 길이 구하기
⑴ 오른쪽 그림에서
(cid:100) ∠ATP=∠ABT이고,
∠ATB=90°이므로
∠P=∠x라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)2∠x+∠x=90°
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ ∠x=30°
⑵ △OPT에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)OT”=PT” tan 30°
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
배점
2점
2점
2점
B
O
x
▶ 2점
▶ 2점
A
2x
x
x
2Â3`cm
T
P
'3
3
(cid:100) (cid:100)(cid:100) =2'3_ =2 (cm)
⑶ PA”=t cm라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)t_(t+4)=(2'3 )¤ ,(cid:100)(cid:100)t¤ +4t-12=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(t-2)(t+6)=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ t=2 (∵ t>0)
▶ 2점
(cid:9000) ⑴ 30° ⑵ 2 cm ⑶ 2 cm
중단원별 실전 TEST 111
E0330우중수3하_정(112-136) 2015.3.29 12:25 PM 페이지112 SinsagoHitec
Point Up
문제집
대단원별 실전 TEST
우공비 B0X
c…7이면 중앙값은
7+10
2
=8.5
790°인 둔각삼각형 (cid:8833) AC”
¤ >AB”
¤ +BC”
(cid:100)(cid:100)4-390°이므로
(cid:100)(cid:100)a¤ >4¤ +3¤ (cid:100)(cid:100)∴ a>5 (∵ a>0)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)5a¤ +b¤ (c>a, c>b) (cid:8833) 둔각삼각형
① ('5 )¤ =1¤ +2¤ (cid:100)(cid:100)∴ 직각삼각형
② 11¤ <7¤ +9¤ (cid:100)(cid:100)∴ 예각삼각형
③ 7¤ >4¤ +5¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형
④ ('5)¤ <('3)¤ +2¤ (cid:100)(cid:100)∴ 예각삼각형
⑤ 13¤ =5¤ +12¤ (cid:100)(cid:100)∴ 직각삼각형
(cid:9000) ③
보충 학습
삼각형의 모양 알아보기
❶ 가장 긴 변을 찾는다.
곱의 합을 비교한다.
❷ 가장 긴 변의 길이의 제곱과 나머지 두 변의 길이의 제
01
직각삼각형 (cid:8833) 피타고라스 정리 이용
△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”="√5¤ -3¤ =4
따라서 △ABH에서(cid:100)(cid:100)BH”="√6¤ -4¤ =2'5
피타고라스 정리
(cid:8825) 직각삼각형에서 빗변의
길이의 제곱은 나머지
두 변의 길이의 제곱의
합과 같다.
(cid:9000) ③
07
AB”_AC”=BC”_AD”
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”="√3¤ +4¤ =5
대단원별 실전 TEST 115
¤
E0330우중수3하_정(112-136) 2015.3.29 12:25 PM 페이지116 SinsagoHitec
Point Up
문제집
AB”_AC”=BC”_AD”이므로(cid:100)
(cid:100)(cid:100)4_3=5_AD”
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=;;¡5™;;
(cid:100)(cid:100)∴ AD”+BC”=:¡5™:+5=:£5¶:
(cid:9000) ③
세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형에서 c¤ =a¤ +b¤
¤ +OB”
¤ 이므로 △OAB는 ∠B=90°인
08
(cid:8833) 직각삼각형
OA”
¤ =AB”
직각삼각형이다.
꼭짓점 B에서 OA”에 내린 수선의 발을 H라 하면
BO”_BA”=OA”_BH”이므로
(cid:100)(cid:100)6_8=10_y(cid:100)(cid:100)∴y=:™5¢:
BO”
¤ =OH”_OA”이므로
(cid:100)(cid:100)6¤ =x_10(cid:100)(cid:100)∴ x=:¡5•:
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=:¡5•:+:™5¢:=:¢5™:
(cid:9000) ②
09
DE”
¤ +BC”
¤ =BE”
¤ +CD”
DE”
¤ +CD”
¤ +BC”
¤ =BE”
¤ +9¤ =8¤ +6¤ ,(cid:100)(cid:100)DE”
(cid:100)(cid:100)DE”
(cid:100)(cid:100)∴ DE”='1å9 (∵ DE”>0)
¤ 이므로
¤ =19
두 대각선이 직교하는 사각형 ABCD에서
10
(cid:8833) AB”
¤ +CD”
¤ =AD”
¤ +BC”
AB”
¤ +BC”
¤ =AD”
¤ +CD”
¤ 이므로
¤ +4¤ =2¤ +('2å1)¤ ,(cid:100)(cid:100)AB”
¤ =9
(cid:100)(cid:100)AB”
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=3 (cm)(∵ AB”>0)
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이
11
(cid:8833) '2a
원의 반지름의 길이를 r라 하면 정사각형의 한 변의
길이는 2r이므로
(cid:100)(cid:100)'2_2r=6'2(cid:100)(cid:100)∴r=3
따라서 원의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_3¤ =9p
△BCD는 직각이등변삼각형이므로
(cid:100)(cid:100)BC” : BD”=1 : '2
(cid:100)(cid:100)BC” : 6'2=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ BC”=6
따라서 지름의 길이가 6인 원의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p_3¤ =9p
세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 삼각형의 세
12
변의 길이의 비 (cid:8833) 1 : '3 : 2
116 Check Up 풀이집
우공비 B0X
10¤ =8¤ +6¤
세 변의 길이가 a, b, c인
삼각형에서 c가 가장 긴
변의 길이일 때
① c¤ a¤ +b¤
(cid:8825) 둔각삼각형
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”
” : BC”=1 : '3
(cid:100)(cid:100)4 : BC”=1 : '3(cid:100)(cid:100)∴ BC”=4'3 (cm)
이때 △ABC=;2!;_4'3_4=8'3 (cm¤ )이고
△AMC=△MBC이므로
(cid:100)(cid:100)△AMC=;2!;△ABC=;2!;_8'3=4'3 (cm¤ )
삼각형의 모양 (cid:8833) 삼각형의 세 변의 길이를 구하
13
여 비교한다.
AB”="√3¤ +6¤ ='4å5=3'5
AC”="√(-8)¤ +4¤ ='8å0=4'5
BC”="√(-8-3)¤ +(4-6)¤ ="√125=5'5
¤ +AC”
따라서 BC”
△ABC는 ∠A=90°인 직각삼각형이다.
¤ 이므로
¤ =AB”
(cid:9000) ②
(cid:9000) ①
세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의
14
대각선의 길이 (cid:8833) "√a¤ +b¤ +c¤
직육면체의 높이를 h cm라 하면
(cid:100)(cid:100)"√9¤ +6¤ +h¤ =13,(cid:100)(cid:100)117+h¤ =169,(cid:100)(cid:100)h¤ =52
(cid:100)(cid:100)∴ h=2'1å3 (∵ h>0)
또 FH”="√9¤ +6¤ =3'1å3(cm)이므로
(cid:100)(cid:100)△DFH=;2!;_3'1å3_2'1å3=39 (cm¤ )
(cid:9000) ②
15
(옆면인 부채꼴의 호의 길이)
=(밑면인 원의 둘레의 길이)
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)2pr=2p_6_
120
360
(cid:100)(cid:100)∴ r=2
원뿔의 높이를 h cm라 하면
(cid:100)(cid:100)h="√6¤ -2¤ =4'2
(cid:9000) ②
h`cm
6`cm
반지름의 길이가 r인 원의
넓이
(cid:8825) pr¤
(cid:9000) ④
16
피타고라스 정리를 이용한다.
△ABD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√10¤ -8¤ =6
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√8¤ +12¤ =4'1å3
2`cm
(cid:9000) 4'1å3
직각삼각형 ABC에서 각 변을 지름으로 하는 세
17
반원의 넓이 사이의 관계를 생각한다.
△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√20¤ -12¤ =16
AB”, AC”, BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이를 각각 S¡,
S™, S£이라 하면 S¡+S™=S£이므로 구하는 부분의 넓
이는
¤
¤
E0330우중수3하_정(112-136) 2015.3.29 12:25 PM 페이지117 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)(S¡+S™+△ABC)-S£=△ABC
(cid:100)(cid:100)(S¡+S™+△ABC)-S£=;2!;_12_16
(cid:100)(cid:100)(S¡+S™+△ABC)-S£=96
(cid:9000) 96
18
AC”를 그으면 (cid:8833) △ABC는 정삼각형
오른쪽 그림과 같이
AB”=acm라 하면
△ABC는 정삼각형이므로
'3
4
(cid:100)(cid:100) _a¤ =;2!;_72'3
(cid:100)(cid:100) _a¤ =36'3
a`cm
B
60æ
60æ
60æ
A
C
(cid:100)a¤ =144(cid:100)(cid:100)∴ a=12 (∵ a>0)
(cid:9000) 12 cm
특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용
19
한다.
AB” : BC”=1 : '2`이므로
10 : BC”=1 : '2(cid:100)(cid:100)∴ BC”=10'2 (cm)
CD” : BC”=1 : '3이므로
(cid:100)(cid:100)CD” : 10'2=1 : '3
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=
=
10'2
'3
10'6
3
(cm)
(cid:9000)
10'6
3
cm
20
△OAB는 이등변삼각형이다.
EG”=FH”='2_6=6'2 (cm)이므로
EO”=FO”=3'2 (cm)
△OAE에서(cid:100)(cid:100)OA”=ø∑6¤ +(3'2)¤ =3'6 (cm)
△OBF에서(cid:100)(cid:100)OB”=ø∑6¤ +(3'2)¤ =3'6 (cm)
따라서 △OAB는 OA”=OB”인
O
이등변삼각형이므로 점 O에서
AB”에 내린 수선의 발을 H'이라
3Â6`cm`
하면
(cid:100)(cid:100)OH'”=ø∑(3'6)¤ -3¤
=3'5 (cm)
A
3`cm
B
3`cm
H'
(cid:100)(cid:100)∴ △OAB=;2!;_6_3'5=9'5 (cm¤ )
우공비 B0X
문제집 54~56쪽
PC”=ø∑('2)¤ +2¤ ='6
PD”=ø∑('2)¤ +∑('6)¤ =2'2
PE”=ø∑('2)¤ +∑(2'2)¤ ='å1å0
(cid:100)(cid:100)∴ PF”=ø∑('2)¤ +∑('1å0)¤ =2'3
D
23
채점 기준
한 변의 길이가 a인 정삼
각형의 넓이
'3
4
(cid:8825)
a¤
삼각형의 높이 구하기
삼각형의 넓이 구하기
오른쪽 그림과 같이
AB”=10, BC”=14,
CA”=6'2인 △ABC의 꼭짓
점 A에서 BC”에 내린 수선의
발을 H라 하자.
A
10
6Â2
B
x
H
14
C
14-x
△ABH에서
¤ =AB”
(cid:100)AH”
△AHC에서
¤ =AC”
(cid:100)AH”
¤ -BH”
¤ -HC”
BH”=x라 하면(cid:100)(cid:100)CH”=14-x
AH”
¤ =10¤ -x¤ =(6'2)¤ -(14-x)¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)100-x¤ =72-(196-28x+x¤ )
(cid:100)(cid:100)28x=224(cid:100)(cid:100)∴x=8
따라서 AH”="√10¤ -8¤ =6이므로
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_14_6=42
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
24
채점 기준
y=x¤ +4x+5의 그래프의 꼭짓점의 좌표 구하기
y=x¤ -6x의 그래프의 꼭짓점의 좌표 구하기
꼭짓점 사이의 거리 구하기
y=x¤ +4x+5
=(x¤ +4x+4)+1
=(x+2)¤ +1
y=x¤ -6x
=(x¤ -6x+9)-9
=(x-3)¤ -9
에서 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(-2, 1)
▶ 1`점
21
22
△OAH가 직각삼각형 (cid:8833) 피타고라스 정리 이용
△OAH에서(cid:100)(cid:100)OH”="√9¤ -6¤ =3'5 (cm)
두 점 (x¡, y¡), (x™, y™)
사이의 거리
(cid:8825) "√(x™-x¡)¤ +(y™-y¡)¤
에서 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(3, -9)
따라서 두 점 (-2, 1), (3, -9) 사이의 거리는
(cid:100)(cid:100)"√{3-(-2)}¤
√+(-9-1)¤ =5'5
채점 기준
PB”, PC”, PD”, PE”, PF”의 길이 구하기
PB”=ø∑('2)¤ +∑('2)¤ =2
피타고라스 정리를 연
속적으로 이용한다.
25
채점 기준
전개도에서 부채꼴의 중심각의 크기 구하기
최단 거리 구하기
(cid:9000) 9'5 cm¤
(cid:9000) 3'5 cm
배점
각 1점
▶ 1`점
대단원별 실전 TEST 117
▶ 1`점
▶ 1`점
▶ 1`점
▶ 1`점
(cid:9000) 2'3
배점
4점
2점
▶ 4점
▶ 2점
(cid:9000) 42
배점
1점
1점
2점
▶ 1`점
▶ 2`점
(cid:9000) 5'5
배점
3점
3점
¤
¤
E0330우중수3하_정(112-136) 2015.3.29 12:25 PM 페이지118 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
주어진 원뿔의 전개도는
오른쪽 그림과 같고 부채꼴의
24`cm
P
x
12`cm
M
중심각의 크기를 ∠x라 하면
A
A'
(cid:100) 2p_6=2p_24_
∠x
360°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=90° ▶ 3점
따라서 구하는 최단 거리는 두 점 A, M을 잇는 선분의
6`cm
길이이므로
(cid:100)(cid:100)AM”="√24¤ +12¤ =12'5 (cm)
▶ 3점
(cid:9000) 12'5 cm
03 회
Ⅵ
피타고라스 정리
| 문제집 57~60쪽
01 ③
05 ②
09 ⑤
13 ①
02 ①
06 ②
10 ③
14 ④
03 ④
07 ③
11 ⑤
15 ④
19 3p
04 ③
08 ⑤
12 ②
16 6
20 6'2
18 14
17 3
21 10p cm 22 16'2 cm 23 x=12, y=6'2
24 '6 cm 25
2'2
3
cm‹
△ABC, △ACD가 직각삼각형
01
(cid:8833) 피타고라스 정리 이용
△ABC에서
(cid:100)(cid:100)x="√4¤ +8¤ =4'5
△ACD에서
(cid:100)(cid:100)y=øπ(4'5)¤ +10¤ =6'5
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=10'5
02
보조선을 그어 직각삼각형을 만든다.
오른쪽 그림과 같이 꼭
짓점 A에서 BC”에 내린 수
17`cm
A
6`cm
D
B
15`cm
H
6`cm
C
선의 발을 H라 하면 직각삼
각형 ABH에서
(cid:100)(cid:100)AH”="√17¤ -15¤ =8 (cm)
따라서 직각삼각형 AHC에서
(cid:100)(cid:100)AC”="√8¤ +6¤ =10 (cm)
03
피타고라스 정리를 연속적으로 이용한다.
BE”=BD”="√2¤ +2¤ =2'2
BG”=BF”=øπ(2'2)¤ +2¤ =2'3
따라서 EG”=BG”-BE”=2'3-2'2이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)FEGH=(2'3-2'2)_2=4'3-4'2
118 Check Up 풀이집
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
04
(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI=(cid:8772)BFGC
AB”
¤ +AC”
¤ =BC”
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ADEB+(cid:8772)ACHI=(cid:8772)BFGC
¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ADEB=41-16=25
(cid:9000) ③
05
AP”=PQ”, AD”=DQ”임을 이용한다.
△QCD에서
QC”="√10¤ -8¤ =6이므로
(cid:100)(cid:100)BQ”=10-6=4
PQ”=AP”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)x¤ =(8-x)¤ +4¤
(cid:100)(cid:100)x¤ =64-16x+x¤ +16
A
x
P
8-x
B
10
x
10
D
8
C
△APD를 PD”를 접는
선으로 하여 접은 도
형이 △QPD이다.
PB”=8-x이므로 △PBQ에서
4
Q
6
(cid:100)(cid:100)16x=80(cid:100)(cid:100)∴ x=5
△PQD에서(cid:100)(cid:100)PD”="√10¤ +5¤ =5'5
(cid:9000) ②
보충 학습
종이 접기
A
B
C
A'
C
A
B
A'
△ABC™△A'BC
세 변의 길이가 a, b, c인
삼각형에서 c가 가장 긴
변의 길이일 때
① c¤ a¤ +b¤
(cid:100) (cid:8825) 둔각삼각형
△ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c라 할 때
06
c¤ 2¤ +2¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형
② 8¤ <5¤ +7¤ (cid:100)(cid:100)∴ 예각삼각형
③ 13¤ =5¤ +12¤ (cid:100)(cid:100)∴ 직각삼각형
④ 13¤ >8¤ +10¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형
⑤ 15¤ >8¤ +11¤ (cid:100)(cid:100)∴ 둔각삼각형
(cid:9000) ②
07
AP”
¤ +CP”
¤ =BP”
¤ +DP”
AP”
¤ +CP”
(cid:100)(cid:100)3¤ +5¤ =BP”
¤ +DP”
¤ =BP”
¤ +(3'2 )¤
(cid:100)(cid:100)BP”
¤ =34-18=16
(cid:100)(cid:100)∴ BP”=4 (∵ BP”>0)
¤ 이므로
한 변의 길이가 a인 정삼각형
08
(cid:8833) (높이)= a, (넓이)= a¤
'3
4
'3
2
정삼각형의 한 변의 길이를 a라 하면
'3
2
(cid:100)(cid:100) a=3'3(cid:100)(cid:100)∴ a=6
(cid:100)(cid:100)∴ (넓이)= _6¤ =9'3
'3
4
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
¤
15중3상해설대단원(112-136)ok 2015.3.30 5:6 PM 페이지119 SinsagoHitec
09
특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비를 이용한다.
꼭짓점A에서 BC”에내
A
린 수선의 발을 H라 하면
16
45æ
B
30æ
60æ
△ABH에서
(cid:100)(cid:100)AB”：AH”=2：'3
(cid:100)(cid:100)16：AH”=2：'3
(cid:100)(cid:100)∴ AH”=8'3
△AHC에서
(cid:100)(cid:100)AH”：AC”=1：'2,(cid:100)(cid:100)8'3：AC”=1：'2
(cid:100)(cid:100)∴ AC”=8'6
H
45æ
C
두 점 (x¡, y¡), (x™, y™) 사이의 거리
10
(cid:8833) "√(x™-x¡)¤ +√(y™-y¡)¤
"√(x-2)¤ +{-3-(-√1)}¤ =2'5 이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+8=20,(cid:100)(cid:100)x¤ -4x-12=0(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴x=-2 또는 x=6
이때 점 B는 제`4`사분면 위의 점이므로(cid:100)(cid:100)x=6
11
삼각형의 모양 결정 (cid:8833) 세 변의 길이를 구해 본다.
AB”="√{1-(-2)}¤ +(3-√2)¤ ='1å0
AC”="√{5-(-2)}¤ +(7-√2)¤ ='7å4
BC”="√(5-1)¤ +(7-3)¤ ='3å2=4'2
따라서 AC”
¤ +BC”
¤ >AB”
인 둔각삼각형이다.
¤ 이므로 △ABC는 ∠B>90°
(cid:9000) ⑤
12
최단 거리 (cid:8833) 대칭인 점을 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 점 D
A
와 BC”에 대하여 대칭인 점을
D'이라 하면
(cid:100)(cid:100)AP”+DP”
=AP”+D'P”
” æAD'”
2
B
E
P
4
이때 점 D'을 지나고 BC”와 평행한 직선이 AB”의 연장
선과 만나는 점을 E라 하면 △AED'에서
” ="√4¤ +(2+1)¤ =5
따라서 AP”+DP”의 최솟값은 5이다.
(cid:100)(cid:100)AD'”
D
1
C
D'
(cid:9000) ②
우공비 B0X
반지름의 길이가 r, 호의
길이가 l인 부채꼴의 넓이
를 S라 하면
(cid:9000) ⑤
(cid:100)S=;2!;rl
OA”="√6¤ +8¤ =10 (cm)
주어진 원뿔의 전개도는 오른쪽
그림과 같으므로 옆면인 부채꼴
의 호의 길이는
(cid:100)(cid:100)2p_6=12p (cm)
따라서 원뿔의 옆넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_10_12p=60p (cm¤ )
문제집 56~59쪽
10`cm
O
A
6`cm
(cid:9000) ④
정사각뿔의 꼭짓점 O에서 밑면에 내린 수선의 발
15
(cid:8833) 밑면의 두 대각선의 교점
점 O에서 밑면에 내린 수선
O
의 발을 H라 하면
'3
2
(cid:100)(cid:100)OM”=ON”= _8=4'3
△OMH에서
(cid:100)(cid:100)OH”="√(4'3)¤ -4¤ =4'2
(cid:100)(cid:100)∴ △OMN=;2!;_8_4'2=16'2
B
M
8
A
D
H
N
C
(cid:9000) ④
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
(cid:9000) ③
점 (x, y)가 제 4 사
분면 위의 점이면
(cid:100)x>0, y<0
16
직각삼각형 (cid:8833) 피타고라스 정리 이용
(2x+1)¤ =(x-1)¤ +(2x)¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)4x¤ +4x+1=x¤ -2x+1+4x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ -6x=0
(cid:100)(cid:100)x(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴x=6 (∵ x>2)
(cid:9000) 6
삼각형이 되려면
(cid:100)2x+1<(x-1)+2x
(cid:100)∴ x>2
17
보조선을 그은 후 피타고라스 정리를 이용한다.
점 C에서 변 AB의 연장선
에 내린 수선의 발을 D라 하고
BD”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)CD”
¤ =(2'5)¤ -('5+x)¤
=3¤ -x¤
(cid:100)(cid:100)20-(5+2'5x+x¤ )=9-x¤
(cid:100)(cid:100)2'5x=6(cid:100)(cid:100)∴x=
3'5
5
C
3
2Â5
A
Â5
B
x
D
따라서 CD”="√3¤ -x¤ =Æ…9-;5(;=
(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_'5_
6'5
5
=3
6'5
5
이므로
(cid:9000) 3
△ABC에서 가장 긴 변의 길이를 c라 할 때
18
c¤ >a¤ +b¤ (cid:8833) 둔각삼각형
삼각형이 되려면(cid:100)(cid:100)18이므로(cid:100)(cid:100)87¤ +8¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ >113
(cid:100)(cid:100)∴ x> '1å13 (∵ x>0)
㉠, ㉡에서 '1å13 0)
따라서 구하는 부피는
2'2
3
'2
(cid:100)(cid:100) _2‹ =
12
(cm‹ )
▶ 2점
▶ 3점
(cid:9000)
2'2
3
cm‹
정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)'2x=8(cid:100)(cid:100)∴x=4'2
따라서 (cid:8772)ABCD의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)4_4'2=16'2 (cm)
▶ 1점
(cid:9000) 16'2 cm
120 Check Up 풀이집
E0330우중수3하_정(112-136) 2015.3.29 12:25 PM 페이지121 SinsagoHitec
04 회
Ⅵ
피타고라스 정리
| 문제집 61~64쪽
01 ⑤
05 ①
09 ⑤
13 ④
02 ④
06 ③
10 ③
14 ③
03 ③
07 ①
11 ③
15 ②
04 ①
08 ①
12 ⑤
16 3'1å4 cm
17 9+5'5
18 ;;¢2∞;; cm¤
19 11
20 4!;
우공비 B0X
삼각형의 한 변의 길이는
나머지 두 변의 길이의 차
보다 크고 두 변의 길이의
합보다 작다.
문제집 59~62쪽
05
예각삼각형 (cid:8833) c¤ 8이므로(cid:100)(cid:100)80)
yy`㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)890°
두 점 (x¡, y¡), (x™, y™)
사이의 거리
(cid:8825) "√(x™-x¡)¤ +(y™-y¡)¤
보충 학습
삼각형의 내각의 이등분선의 성질
△ABC에서 ∠A의 이등분선이
BC”와 만나는 점을 D라 하면
(cid:100)(cid:100)AB”：AC”=BD”：CD”
세 모서리의 길이가 각각 a, b, c인 직육면체의
13
대각선의 길이 (cid:8833) "√a¤ +b¤ +c¤
△ABD에서
¤ +AD”
(cid:100)AB”
△BCD에서
¤ +BC”
(cid:100)CD”
¤ =BD”
¤ =BD”
DF”="√8¤ +6¤ +10¤ `=10'2 (cm)
FH”="√8¤ +6¤ =10 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ DF”+FH”=10'2+10 (cm)
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
14
정사각뿔의 높이 (cid:8833) 피타고라스 정리 이용
점 O에서 밑면에 내린
수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)BD”
”='2_12=12'2
이므로
(cid:100)(cid:100)HD”=6'2
△OHD에서
O
A
10
D
12
B
H
12
C
(cid:100)(cid:100)OH”=ø∑10¤ -(6∑'2)¤ =2'7
(cid:9000) ③
122 Check Up 풀이집
정사각뿔：밑면이 정사각
형이고 옆면이 모두 합동
인 이등변삼각형인 사각뿔
△ABE ≡`△ECD
18
(cid:8833) △AED는 직각이등변삼각형
15
최단 거리 (cid:8833) 선이 지나는 면의 전개도를 그려 본다.
오른쪽 그림과 같이 선이 지나
5`cm
는 면의 전개도를 그려 보면 구하는
최단 거리는 AH”의 길이이므로
(cid:100)(cid:100)AH”="√5¤ +12¤ =13 (cm)
(cid:9000) ②
A
3`cm
B
6`cm
F
3`cm
E
D
C
G
H
16
AB”：AC”=BD”：CD”
삼각형의 내각의 이등분선의 성질에 의하여
(cid:100)(cid:100)AB”：AC”=BD”：CD”=14：6=7：3
AB”=7xcm, AC”=3xcm라 하면
(cid:100)(cid:100)(7x)¤ =(3x)¤ +20¤ ,(cid:100)(cid:100)49x¤ =9x¤ +400
(cid:100)(cid:100)x¤ =10(cid:100)(cid:100)∴ x='1å0 (∵ x>0)
이때 AC”=3'1å0 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)AD”=ø∑(3'1å0)¤ +∑6¤ =3'1å4 (cm)
B
C
D
(cid:9000) 3'1å4 cm
A
6
D
5
C
보조선을 그어 두 개의 직각삼각형으로 나눈다.
17
AB”
므로
BD”를 그으면
¤ =CD”
¤ +AD”
¤ +BC”
¤ 이
(cid:100)(cid:100)3¤ +6¤ =5¤ +BC”
¤ =20
(cid:100)(cid:100)BC”
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=2'5 (∵ BC”>0)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=△ABD+△BCD
A
3
B
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_3_6+;2!;_2'5_5
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=9+5'5
(cid:9000) 9+5'5
AB”=EC”=3 cm이므로 △ABE에서
(cid:100)(cid:100)AE”='ƒ3¤ +6¤ =3'5 (cm)
(cid:100)DE”=AE”=3'5 cm, ∠AED=90°이므로
△AED=;2!;_3'5_3'5=;;¢2∞;; (cm¤ )
(cid:9000) ;;¢2∞;; cm¤
¤
¤
¤
E0330우중수3하_정(112-136) 2015.3.29 12:25 PM 페이지123 SinsagoHitec
우공비 B0X
문제집 62~64쪽
22
채점 기준
△BDF가 이등변삼각형임을 알기
△ABF에서 식 세우기
AF”의 길이 구하기
△ABF의 넓이 구하기
오른쪽 그림에서
∠FBD=∠CBD(접은 각),
∠CBD=∠FDB (엇각)이므
로 △BDF는 이등변삼각형이
다. ▶ 1점
A
5
B
FB”=FD”=x라 하면 △ABF에서
E
10-x
F
x
x
10
세 변의 길이가 a, b, c인
삼각형에서 c가 가장 긴
변의 길이일 때
① c¤ a¤ +b¤
(cid:100) (cid:8825) 둔각삼각형
(cid:100)(cid:100)x¤ =(10-x)¤ +5¤
(cid:100)(cid:100)x¤ =100-20x+x¤ +25
(cid:100)(cid:100)20x=125(cid:100)(cid:100)∴x=;;™4∞;;
따라서 AF”=10-;;™4∞;;=;;¡4∞;;이므로
(cid:100)(cid:100)△ABF=;2!;_5_;;¡4∞;;=;;¶8∞;;
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
19
피타고라스 정리를 이용한다.
a+4가 가장 긴 변의 길이이므로 삼각형이 되려면
(cid:100)(cid:100)a+4<(a+1)+(a-2)(cid:100)(cid:100)∴ a>5
또 직각삼각형이 되려면
(cid:100)(cid:100)(a+4)¤ =(a+1)¤ +(a-2)¤
(cid:100)(cid:100)a¤ +8a+16=a¤ +2a+1+a¤ -4a+4
(cid:100)(cid:100)a¤ -10a-11=0,(cid:100)(cid:100)(a-11)(a+1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=11 또는 a=-1
a>5이므로(cid:100)(cid:100)a=11
(cid:9000) 11
가장 긴 변의 길이의 제곱과 나머지 두 변의 길이
20
의 제곱의 합을 비교한다.
⁄ 3, 4, 5인 경우
¤ 5¤ =3¤ +4¤ 이므로 직각삼각형이다.
¤ 3, 4, 6인 경우
‹ 3, 5, 6인 경우
› 4, 5, 6인 경우
6¤ >3¤ +4¤ 이므로 둔각삼각형이다.
6¤ >3¤ +5¤ 이므로 둔각삼각형이다.
6¤ <4¤ +5¤ 이므로 예각삼각형이다.
이상에서 예각삼각형이 만들어질 확률은(cid:100);4!;
(cid:9000) ;4!;
보충 학습
(확률)=
(그 사건이 일어나는 경우의 수)
(일어나는 모든 경우의 수)
23
채점 기준
세 점 A, B, C의 좌표 구하기
AB”, BC”, CA”의 길이 구하기
△ABC의 둘레의 길이 구하기
y=-x¤ -8x-12=-(x+4)¤ +4이므로 그래프
의 꼭짓점 A의 좌표는(cid:100)(cid:100)A(-4, 4)
y=-x¤ -8x-12=-(x+2)(x+6)이므로 x축과의
교점 B, C의 좌표는
(cid:100)(cid:100)B(-6, 0), C(-2, 0)
따라서 AB”, BC”, CA”의 길이는
(cid:100)(cid:100)AB”="√{-6-(-4)}¤
(cid:100)(cid:100)BC”=4
√+(0-4)¤ =2'5
(cid:100)(cid:100)CA”="√{-4-(-2)}¤
이므로 △ABC의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2'5+4+2'5=4+4'5
√+(4-0)¤ =2'5
▶ 3점
▶ 1점
(cid:9000) 4+4'5
두 점 F, E에서 GC”, AB”에 각각 수선의 발을 내
21
린다.
오른쪽 그림과 같이 두 점
F, E에서 GC”, AB”에 각각 내
린 수선의 발을 H, J라 하면
'3
(cid:100)(cid:100)EJ”= _6=3'3
2
A
6
J
B
3Â3
G
E
I
F
6
H
D
C
△FGC에서
_FG”=FH”이므로
'3
2
한 변의 길이가 a인 정삼
각형의 높이
a'3
2
(cid:8825)
'3
2
(cid:100)(cid:100) _FG”=6(cid:100)(cid:100)∴ FG”=4'3
JE”의 연장선이 FH”와 만나는 점을 I라 하면 삼각형의 두
직육면체의 대각선은 4개
이고 그 길이는 모두 같다.
OH”의 길이 구하기
DO”의 길이 구하기
24
채점 기준
변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여
(cid:100)(cid:100)EF”=GE”=2'3
(cid:100)(cid:100)EI”=;2!;_GH”=;2!;_;2!;_FG”='3
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=BH”+CH”=4'3+2'3=6'3
△FGH에서
(cid:100)FI”=IH” , EI”∥GH”
이므로
(cid:100)EF”=GE”
(cid:9000) 6'3
FH”="√3¤ +4¤ =5 (cm)이므로
(cid:100)(cid:100)OH”=;2!; _5=;2%; (cm)
¤ +10¤ =
(cid:100)(cid:100)∴ DO”=æ≠{;2%;}
5'1å7
2
(cm)
(cid:9000)
5'1å7
2
cm
대단원별 실전 TEST 123
배점
1점
2점
2점
1점
D
C
▶ 2점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) ;;¶8∞;;
배점
2점
3점
1점
▶ 2점
배점
2점
2점
▶ 2점
▶ 2점
E0330우중수3하_정(112-136) 2015.3.29 12:25 PM 페이지124 SinsagoHitec
우공비 B0X
Point Up
문제집
25
채점 기준
AH”의 길이 구하기
원뿔의 부피 구하기
△OAH에서
(cid:100)(cid:100)AH”="√9¤ -6¤ =3'5 (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ (부피)=;3!;_p_(3'5)¤ _6
(cid:100)(cid:100)∴ (부피)=90p (cm‹ )
배점
2점
2점
▶ 2점
▶ 2점
(cid:9000) 90p cm‹
05 회
Ⅶ
삼각비
| 문제집 65~68쪽
01 ⑤
05 ④
09 ④
13 ⑤
02 ③
06 ⑤
10 ②
14 ③
03 ①
07 ②
11 ⑤
15 ②
04 ④
08 ④
12 ③
16 ;2&;
18 117°
17 3'3
21 10(3-'3)
19 14.98 m 20 2'1å3
22 6
23
7
13
24 2'6+;2!;
25 8'2 cm¤
01
먼저 BC”의 길이를 구한다.
BC”=øπ(4'5)¤ -4¤ =8
=
=
① sin A=
2'5
5
'5
5
'5
5
2'5
5
BC”
AB”
AC”
AB”
AC”
AB”
BC”
AB”
AC”
BC”
=
=
8
4'5
4
4'5
4
4'5
8
4'5
=;8$;=;2!;
=
=
=
=
② cos A=
③ sin B=
④ cos B=
⑤ tan B=
02
본다.
(cid:9000) ⑤
주어진 삼각비의 값을 갖는 직각삼각형을 그려
cos A= 이므로 오른쪽 그림
C
'6
4
4
A
Â6
B
과 같이
(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”='6, AC”=4
인 직각삼각형 ABC를 생각하면
(cid:100)(cid:100)BC”=ø∑4¤ -('6)¤ ='1å0
따라서
(cid:100)(cid:100)sin A=
, tan A=
'1å0
4
'1å0
'6
=
'1å5
3
이므로
(cid:100)(cid:100)sin A_tan A=
'1å0
4
_
'1å5
3
=
5'6
12
(cid:9000) ③
124 Check Up 풀이집
한 변의 길이가 a인 정사
각형의 대각선의 길이
(cid:8825) '2a
04
FH”='2_6=6'2이므로
x를 한 내각으로 갖는 직각삼각형을 찾는다.
정사각형의 두 대각선
은 길이가 같고 서로
를 수직이등분한다.
닮은 직각삼각형에서 대응각에 대한 삼각비의 값
03
은 일정하다.
△ABC와 △HAC에서
(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠AHC=90°,
4
(cid:100)(cid:100)∠C는 공통
이므로
x
B
C
2Â5
A
x
H
(cid:100)(cid:100)△ABCª△HAC (AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ ∠B=∠CAH=x
△ABC에서 AC”=ø∑(2'5)¤ -4¤ =2이므로
(cid:100)(cid:100)tan x=
=;4@;=;2!;
AC”
AB”
(cid:9000) ①
(cid:100)(cid:100)OH”=;2!;_6'2=3'2
△DOH에서
∠DHO=90°이므로
(cid:100)(cid:100)OD”=ø∑6¤ +(3'2)¤
(cid:100)(cid:100)OD”=3'6
(cid:100)(cid:100)∴ cos x=
=
OH”
OD”
A
E
B
F
D
6
H
C
x
O
6
6
G
3'2
3'6
=
'3
3
(cid:9000) ④
△ABC에서 삼각비를 이용하여 AB”, BC”의 길이
05
를 구한다.
△ABC에서
AB”
8
BC”
8
(cid:100)(cid:100)sin 30°=
=;2!;(cid:100)(cid:100)∴ AB”=4 (cm)
(cid:100)(cid:100)cos 30°=
= (cid:100)(cid:100)∴ BC”=4'3 (cm)
'3
2
이때 BD”=DC”이므로(cid:100)(cid:100)BD”=DC”=2'3 (cm)
따라서 △ABD에서
(cid:100)(cid:100)AD”=øπ4¤ +(2'3)¤ =2'7 (cm)
(cid:9000) ④
06
삼각비의 값을 이용하여 변의 길이를 구한다.
△ACD에서
(cid:100)(cid:100)tan 30°=
= (cid:100)(cid:100)∴ AD”=2'3 (cm)
AD”
6
6
AC”
'3
3
'3
2
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_4_4'3+;2!;_2'3_6
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=8'3+6'3
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=14'3 (cm¤ )
(cid:9000) ⑤
BC”=ø∑AC”
¤ -AB”
(cid:100)(cid:100)cos 30°=
= (cid:100)(cid:100)∴ AC”=4'3 (cm)
¤
15중3상해설대단원(112-136)ok 2015.3.30 5:6 PM 페이지125 SinsagoHitec
07
cos A=
(빗변이 아닌 ∠A의 이웃변의 길이)
(빗변의 길이)
cos 50°=
=OB”=0.64
(cid:9000) ②
OB”
OA”
08
특수한 각의 삼각비의 값을 이용하여 계산한다.
① (1+tan 30°)(1-tan 30°)
¤ =1-;3!;=;3@;
}
'3
=1-tan¤ 30°=1-{
3
② sin 90°+cos 0°=1+1=2
③ sin 60°_cos 45°_tan 60°
'2
= _ _'3=
2
'3
2
3'2
4
④ sin¤ 30°+cos¤ 60°={;2!;}
¤ +{;2!;}
¤ =;;2!;
⑤ ;2!; cos 90°+'3 cos 30°-3'2 sin 45°
=;2!;_0+'3_ -3'2_
'3
2
'2
2
우공비 B0X
문제집 64~67쪽
사분원에서 삼각비의
값을 구할 때, 분모가
되는 변의 길이가 1인
직각삼각형을 찾는다.
오른쪽 그림과 같이 꼭짓
A
점 A에서 BC”의 연장선에 내
린 수선의 발을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)∠ABH=180°-120°
=60°
△AHB에서
(cid:100)(cid:100)BH”=8 cos 60°=8_;2!;=4
8
H
120æ
60æ
B
C
5
'3
2
(cid:100)(cid:100)AH”=8 sin 60°=8_ =4'3
CH”=BH”+BC”=4+5=9이므로 △AHC에서
(cid:100)(cid:100)AC”=øπ(4'3)¤ +9¤ ='∂129
(cid:9000) ⑤
두 변의 길이가 a, b이고
그 끼인 각의 크기 x가 예
각인삼각형의 넓이
(cid:8825) ;2!;ab sin x
12
△ABC=
_AB”_BC”_sin 60°
;2!;
△ABC=;2!;_AB”_4_sin 60°
△ABC=;2!;_AB”_4_ ='3 AB”
'3
2
즉 '3 AB”=6'3이므로(cid:100)(cid:100)AB”=6
(cid:9000) ③
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
=;2#;-3=-;2#;
(cid:9000) ④
13
먼저 tan C의 값을 이용하여 sin C의 값을 구한다.
0°…A…90° (cid:8833) A의 값이 증가하면 sin A,
09
tan A의 값은 증가, cos A의 값은 감소
④ tan 74°>tan 64°>tan 54°
(cid:9000) ④
∠x의 크기가 0°에서 90°
로 증가할 때
① sin x : 0에서 1로 증가
② cos x : 1에서0으로감소
③ tan x : 0에서 무한히
증가
이웃하는 두 변의 길이가
a, b이고 그 끼인 각의 크
기 x가 예각인 평행사변
형의 넓이
(cid:8825) ab sin x
(cid:9000) ②
삼각비를 이용하여 BE”, DE”의 길이를 구한다.
10
△CBE에서
△CDE에서
(cid:100)(cid:100)BE”=60 tan 45°=60_1=60 (m)
'3
3
(cid:100)(cid:100)DE”=60tan 30°=60_ =20'3 (m)
따라서 B건물의 높이는
(cid:100)(cid:100)BD”=BE”+DE”=60+20'3=20(3+'3)(m)
기준각에 대하여 다음 두 변의 길이 중 하나는 알고 다른
보충 학습
직각삼각형에서 변의 길이 구하기
하나를 모를 때
① 빗변과 높이 (cid:8825) sin 이용
② 빗변과 밑변 (cid:8825) cos 이용
③ 밑변과 높이 (cid:8825) tan 이용
점 A에서 BC”의 연장선에 수선을 그어 직각삼각
11
형을 만든 후 삼각비를 이용한다.
tan C=;3@; 이므로 오른쪽
그림과 같이
(cid:100)(cid:100)∠D=90°, CD”=3, DE”=2
C
3
E
2
D
인 직각삼각형 CDE를 생각하면
CE”=øπ3¤ +2¤ ='∂13이므로
2'1å3
(cid:100)(cid:100)sin C=
13
2
'1å3
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=;2!;_5_'1å3_
=
2'1å3
13
=5
(cid:9000) ⑤
14
(cid:8772)ABCD=AB”_BC”_sin B
(cid:8772)ABCD=3_6_sin 60°
(cid:8772)ABCD=3_6_ =9'3
'3
2
(cid:9000) ③
두 대각선의 길이가 각각 a, b이고 대각선이 이루
15
는 각의 크기 x가 둔각인 사각형의 넓이
(cid:8833) ;2!;ab sin (180°-x)
오른쪽 그림과 같이 AC”
와 BD”의 교점을 O라 하면
(cid:100)(cid:100)∠BOC
(cid:100)=180°-(20°+25°)
(cid:100)=135°
A
8`cm
12`cm
O
B
20æ
25æ
D
C
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_8_12_sin (180°-135°)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=;2!;_8_12_
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=24'2 (cm¤ )
'2
2
(cid:9000) ②
대단원별 실전 TEST 125
E0330우중수3하_정(112-136) 2015.3.29 12:25 PM 페이지126 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
삼각형의 세 내각의 크기의 합이 180°임을 이용하
16
여 ∠B의 크기를 구한다.
(cid:100)(cid:100)∠B=180°_
∠A：∠B：∠C=2：3：4이므로
3
2+3+4
(cid:100)(cid:100)∴ cos B+'3 tan B=cos 60°+'3 tan 60°
(cid:100)(cid:100)∴cos B+'3 tan B=;2!;+'3_'3
=60°
(cid:100)(cid:100)∴cos B+'3 tan B=;2!;+3=;2&;
(cid:9000) ;2&;
x절편과 tan 60°의 값을 이용하여 직선의 방정식
17
을 구한다.
a=tan 60°='3
한편 직선 y='3 x+b가 점 (-2, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)0='3_(-2)+b(cid:100)(cid:100)∴ b=2'3
(cid:100)(cid:100)∴ a+b='3+2'3=3'3
(cid:9000) 3'3
보충 학습
삼각비와 직선의 기울기
직선 y=ax+b와 x축이 이루는 예
각의 크기를 h라 하면
(cid:100)(cid:100)tan h=(직선의 기울기)=a
y
y=ax+b
Ω
O
x
삼각비의 표에서 주어진 삼각비의 값을 찾아 왼쪽
18
의 각도를 구한다.
cos 58°=0.5299이므로(cid:100)(cid:100)x=58°
tan y-1=0.6643에서(cid:100)(cid:100)tan y=1.6643
tan 59°=1.6643이므로(cid:100)(cid:100)y=59°
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=58°+59°=117°
(cid:9000) 117°
19
tan 65°=
AC”
BC”
AC”=7 tan 65°=7_2.14=14.98 (m)
(cid:9000) 14.98 m
구하는 변이 직각삼각형의 빗변이 되도록 수선을
20
그어 특수한 각의 삼각비를 이용한다.
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점
A
C에서 AB”에 내린 수선의 발을
H8Â3
H라 하면
△BCH에서
B
30æ
10
C
(cid:100)(cid:100)BH”=10 cos 30°=10_
'3
2
(cid:100)(cid:100)BH”=5'3
(cid:100)(cid:100)CH”=10 sin 30°=10_;2!;=5
이때 AH”= 8'3 -5'3 =3'3 이므로
126 Check Up 풀이집
△ACH에서
(cid:100)(cid:100)AC”=øπ(3'3)¤ +5¤ =2'∂13
(cid:9000) 2'∂13
BH”, CH”를 AH”에 대한 식으로 나타낸 후
21
BC”=BH”+CH”임을 이용한다.
A
45æ
30æ
h
H
20
45æ
60æ
C
B
오른쪽 그림과 같이
AH”=h라 하면
△ABH에서 ∠BAH=45°이므로
(cid:100)(cid:100)BH”=h tan 45°=h
△AHC에서 ∠CAH=30°이므로
(cid:100)(cid:100)CH”=h tan 30°= h
'3
3
(cid:100)(cid:100)20=h+ h,(cid:100)(cid:100)
이때 BC”=BH”+CH”이므로
'3
3
60
3+'3
(cid:100)(cid:100)∴ h=
3+'3
3
=10(3-'3 )
h=20
(cid:9000) 10(3-'3)
22
△ABC=△ABD+△ACD임을 이용한다.
△ABC=;2!;_6'3_3'3_sin 60°
△ABD=;2!;_6'3_3'3_ =
'3
2
27'3
2
△ABD=;2!;_6'3_AD”_sin 30°
△ABD=;2!;_6'3_AD”_;2!;=
3'3
2
`
AD”
△ACD=;2!;_AD”_3'3_sin 30°
△ABD=;2!;_AD”_3'3_;2!;=
이때 △ABC=△ABD+△ACD이므로
3'3
4
`
AD”
(cid:100)(cid:100)
27'3
2
=
9'3
4
AD”(cid:100)(cid:100)∴ AD”=6
(cid:9000) 6
23
채점 기준
∠ADB=x임을 보이기
BD”의 길이 구하기
sin x, cos x의 값 구하기
cos x-sin x의 값 구하기
△ABDª△HBA
(AA 닮음)이므로
(cid:100)(cid:100)∠ADB=∠HAB=x
▶ 2점
△ABD에서 BD”="√5¤ +12¤ =13이므로
(cid:100)(cid:100)sin x=
=;1∞3;, cos x=
AD”
BD”
AB”
BD”
=;1!3@;
(cid:100)(cid:100)∴ cos x-sin x=;1!3@;-;1∞3;=;1¶3;
A
5
x
B
H
x
D
C
12
배점
2점
1점
2점
1점
▶ 1점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) ;1¶3;
h=
60
3+'3
=
60(3-'3 )
(3+'3 )(3-'3 )
60(3-'3 )
6
=10(3-'3 )
=
△ABD와△HBA에서
∠BAD=∠BHA=90°,
∠B는 공통이므로
△ABD∽△HBA
(AA 닮음)
AH”=AB”-BH”
E0330우중수3하_정(112-136) 2015.3.29 12:25 PM 페이지127 SinsagoHitec
24
채점 기준
이차방정식 풀기
sin A의 값 구하기
5 cos A+'6 tan A의 값 구하기
5x¤ +9x-2=0에서(cid:100)(cid:100)(x+2)(5x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=;5!;
그런데 0°0)
(cid:9000) ②
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있으려면
14
(cid:8833) PD”_PA”=PC”_PB”
PC”=x cm라 하면
PD”_PA”=PC”_PB”이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)3_(3+5)=x_(x+10)
(cid:100)(cid:100)x¤ +10x-24=0,(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
(cid:9000) ③
(cid:100)(cid:100)10¤ =5_(15+BC”),(cid:100)(cid:100)100=75+5BC”
15
PT”
¤ =PA”_PC”
PT”
¤ =PA”_PC”에서
(cid:100)(cid:100)∴ BC”=5
원 O의 반지름의 길이를 r,
DO”의 연장선과 원 O의 교점
을 E라 하면
BA”_BC”=BD”_BE”이므로
(cid:100)(cid:100)10_5=(r-5)_(r+5)
(cid:100)(cid:100)r¤ =75
(cid:100)(cid:100)∴ r=5'3 (∵ r>0)
r-5
D
B
5
C
T
10
O
10
A
P
5
r+5
E
(cid:9000) ④
16
보조선을 그어 직각삼각형을 만든다.
DE”=AD”=2, CE”=BC”=10
점 D에서 BC”에 내린 수선의 발
을 H라 하면
(cid:100)(cid:100)CH”=10-2=8,
CD”=2+10=12
OA”=x라 하면 직각삼각형
CDH에서
2A
D
2
E
x
O
x
B
2
H
10
8
10
C
우공비 B0X
원에 내접하는 사각형의
한 쌍의 대각의 크기의 합
은 180°이다.
네 점이 한 원 위에 있다.
18
(cid:8833) 한 호에 대한 원주각의 크기가 같다.
∠ADB=∠ACB=55°이므로 △DAB에서
∠DAB=180°-(55°+30°)=95°
(cid:9000) 95°
19
육각형을 두 개의 사각형으로 나누어 생각한다.
오른쪽 그림과 같이 AD”를 그
A
으면 (cid:8772)`ABCD에서
B
(cid:100)∠BAD=180°-120°=60°
F
E
120æ 115æ
C
D
(cid:8772)`ADEF에서
(cid:100)∠FAD=180°-115°=65°
(cid:100)∴ ∠A=∠BAD+∠FAD
=60°+65°=125°
(cid:9000) 125°
20
PA”_PB”=PC”_PD”
원 O의 반지름의 길이를 x라 하면
PA”_PB”=PC”_PD”에서
(cid:100)(cid:100)4_9=3_(2x-3)
PD”=OD”+OP”
=x+(x-3)
=2x-3
(cid:100)(cid:100)36=6x-9(cid:100)(cid:100)∴x=;;¡2∞;;
(cid:9000) ;;¡2∞;;
접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있
21
는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.
△TPB는 이등변삼각
형이므로
P
(cid:100)(cid:100)∠APT=∠ABT
또 ∠ATP=∠ABT이므로
△PAT는 ∠APT=∠ATP
인 이등변삼각형이다.
T
6
O
6
A
9
B
즉 PA”=AT”이므로 PT”
¤ =PA”_PB”=AT”_PB”에서
(cid:100)(cid:100)6¤ =AT”_9(cid:100)(cid:100)∴ AT”=4
(cid:9000) 4
22
채점 기준
AM”의 길이 구하기
CD”의 길이 구하기
직각삼각형 OAM에서
(cid:100)(cid:100)AM”="√8¤ -3¤ ='5å5
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=AB”=2AM”=2'5å5
23
채점 기준
식 세우기
원 O'의 반지름의 길이 구하기
배점
2점
1점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 2'5å5
배점
3점
3점
(cid:100)(cid:100)(2x)¤ +8¤ =12¤ ,(cid:100)(cid:100)4x¤ =80,(cid:100)(cid:100)x¤ =20
(cid:100)(cid:100)∴ x=2'5 (∵ x>0)
(cid:9000) 2'5
DH”=AB”=2x
17
(원주각의 크기)=
_(중심각의 크기)
;2!;
∠APB=;2!;_70°=35°
이므로
(cid:100)(cid:100)∠APC=55°-35°=20°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=∠APC=20°
P
Q
20æ
x
O
35æ
70æ
B
(cid:9000) 20°
C
A
μAC에 대한 원주각
132 Check Up 풀이집
E0330우중수3하_정(112-136) 2015.3.29 12:26 PM 페이지133 SinsagoHitec
원 O의 반지름의 길이
14
A
6
B
12
6
O
6+r
O'
6-r
H
6
r
8-r
E
F
D
r
r
C
r
가 6이므로 점 O'에서 OE”
에 내린 수선의 발을 H라 하
고 원 O'의 반지름의 길이를
r라 하면
(cid:100)(cid:100)OO'”=6+r,
OH”=6-r,
△OHO'에서
(cid:100)(cid:100)O'H”=EF”=14-(6+r)=8-r
(cid:100)(cid:100)(6+r)¤ =(6-r)¤ +(8-r)¤
(cid:100)(cid:100)r¤ -40r+64=0(cid:100)(cid:100)∴ r=20—4'2å1
그런데 r<6이므로(cid:100)(cid:100)r=20-4'2å1
▶ 3점
▶ 3점
(cid:9000) 20-4'2å1
배점
2점
4점
B
D
A
O
8
30æ
8
60æ
8
C
24
채점 기준
∠COD의 크기 구하기
BD”의 길이 구하기
OC”를 그으면
(cid:100)(cid:100)∠COD=2∠BAC
(cid:100)(cid:100)
=60° ▶ 2점
이고 ∠OCD=90°이므로
△OCD에서
(cid:100)(cid:100)OD”=
=8_2=16
OC”
cos 60°
(cid:100)(cid:100)∴ BD”=16-8=8
25
채점 기준
∠BAP의 크기 구하기
∠x의 크기 구하기
AB”는 원O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠APB=90°
PT”가 원O의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABP=∠APQ=68°
△ABP에서
(cid:100)(cid:100)∠BAP=90°-68°=22°
△APT에서(cid:100)(cid:100)∠x+22°=68°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=46°
우공비 B0X
문제집 75~77쪽
08 회
Ⅷ
원의 성질
| 문제집 77~80쪽
02 ①
06 ③
10 ③
14 ①
18 64°
22 18'3
03 ①
07 ⑤
11 ④
15 ③
19 13°
23 96°
04 ④
08 ③
12 ①
16 5 cm
20 4'6
24 75°
01 ③
05 ③
09 ⑤
13 ③
17 12
21 8
25 ;;™2¶;;
ax¤ +2b'x+c=0 (a+0)
(cid:8825) x=
-b'—"√b'¤ -ac
a
01
다.
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한
직각삼각형 OAH에서
(cid:100)(cid:100)AH”="√6¤ -3¤ =3'3
(cid:100)(cid:100)∴ AB”=2AH”=2_3'3=6'3
02
원의 중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다.
OD”=OE”=OF”이므로
6`cm
A
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
D
F
O
E
B
C
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
(cid:100)(cid:100)AB”=BC”=CA”
따라서 △ABC는 정삼각형이다.
정삼각형에서 외심과 무게중심은
일치하므로 △ABC의 외심 O는
△ABC의 무게중심이다.
따라서 원 O의 반지름의 길이는
(cid:100)(cid:100)AO”=;3@; AE”=;3@;_{ _6}
(cid:100)(cid:100)AO”=2'3 (cm)
'3
2
① 삼각형의 무게중심은
세 중선의 길이를 각
꼭짓점으로부터 2：1
로 나눈다.
② 한 변의 길이가 a인 정
삼각형의 높이는
⁄ (cid:100) a'3
2
▶ 4점
(cid:9000) 8
배점
2점
2점
A
H
B
C
△TPO에서
03
원의 접선 (cid:8833) 접점을 지나는 반지름과 수직
OT”⊥PT”이므로
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)PT”
¤ =PH”_PO”
¤ =9_(9+3)
¤ =108
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=6'3 (cm)(∵ PT”>0)
3`cm
O
H
9`cm
P
T
(cid:9000) ①
(AA 닮음)
△ABCª△HBA
ª△HAC
이므로
① AB”
② AC”
③ AH”
¤ =BH”_BC”
¤ =CH”_CB”
¤ =BH”_CH”
▶ 2점
▶ 2점
(cid:9000) 46°
04
AD”+AF”=(△ABC의 둘레의 길이)
AD”=AB”+BD”=AB”+BE”,
AF”=AC”+CF”=AC”+CE”이므로
(cid:100)(cid:100)AD”+AF”=AB”+BE”+AC”+CE”
=AB”+(BE”+CE”)+AC”
=AB”+BC”+AC”
이때 AD”, AF”는 원의 접선이므로
대단원별 실전 TEST 133
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Point Up
문제집
우공비 B0X
(cid:100)(cid:100)AD”=AF”=;2!;(AB”+BC”+AC”)
(cid:100)(cid:100)AD”=AF”=;2!;_(4+5+6)=;;¡2∞;; (cm)
(cid:100)(cid:100)∴ BD”=AD”-AB”=;;¡2∞;;-4=;2&; (cm)
(cid:9000) ④
05
원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.
직각삼각형 ABC에서
(cid:100)(cid:100)BC”="√13¤ -5¤ =12
△ABC의 세 변의 접점을
각각 D, E, F라 하고, 원
12-r
B
12-r
5-r
A
D
5-r
F
r
C
r
r
O
r
E
O의 반지름의 길이를 r라 하면
(cid:100)(cid:100)AD”=AF”=5-r, BD”=BE”=12-r
(12-r)+(5-r)=13이므로
(cid:100)(cid:100)2r=4(cid:100)(cid:100)∴r=2
(cid:8772)ABCD가 원에 외접한다.
06
(cid:8833) AB”+CD”=AD”+BC”
AB”+CD”=AD”+BC”이
5
D
AE”=AH”=a, BE”=x라 하면
(cid:100)(cid:100)(a+x)+12=(a+5)+15
(cid:100)(cid:100)∴ x=8
a
A
a
E
H
O
F
15
x
B
(cid:9000) ③
G
12
C
(cid:9000) ③
원주각의 성질에 대하여 생각해 본다.
⑤ 반원에 대한 원주각의 크기는 90°이다.
므로
07
08
지름을 그어 원에 내접하는 직각삼각형을 그린다.
BO”의 연장선이 원 O와 만나
는 점을 A'이라 하면
(cid:100)(cid:100)∠BA'C=∠BAC
A'
A
6
O
이때 A'B”는 원O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠A'CB=90°, A'B”=6
△A'BC에서(cid:100)(cid:100)A'C”="√6¤ -4¤ =2'5
2'5
6
(cid:100)(cid:100)∴ cos A=cos A'=
=
A'C”
A'B”
B
4
C
=
'5
3
(cid:9000) ③
09
원주각의 크기와 호의 길이 (cid:8833) 정비례한다.
BD”를 그으면
(cid:100)(cid:100)∠ABD : ∠BDC
=μAD :μ BC
=2p : 6p=1 : 3
따라서 ∠ABD=x°라 하면
(cid:100)(cid:100)∠BDC=3x°
△PBD에서
134 Check Up 풀이집
D
60æ
A
P
O
3xæ
xæ
B
C
(cid:100)(cid:100)∠APD=x°+3x°=60°
(cid:100)(cid:100)4x°=60°(cid:100)(cid:100)∴ x°=15°
(중심각의 크기)
=2_(원주각의 크기)
r라 하면
∠AOD=2_15°=30°이므로 원 O의 반지름의 길이를
30
(cid:100)(cid:100)μAD=2pr_ =2p(cid:100)(cid:100)∴ r=12
360
(cid:9000) ⑤
원에 내접하는 사각형
10
(cid:8833) 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다.
△APB에서
(cid:100)(cid:100)∠PAB=105°-20°=85°
(cid:8772)`ABCD는 원에 내접하므로
(cid:100)(cid:100)∠x=∠PAB=85°
(cid:9000) ③
11
네 점이 한 원 위에 있을 조건을 생각해 본다.
① ∠BAC+∠BDC
② ∠B+∠D+180°
③ ∠A+∠DCE
④ 3_8=6_4
⑤ 4_(4+6)+3_(3+8)
따라서 (cid:8772)ABCD가 원에 내접하는 것은 ④이다. (cid:9000) ④
접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있
12
는 호에 대한 원주각의 크기와 같다.
(cid:8772)ABTC가 원 O에 내
접하므로
=80°
이때 ∠PTB=∠BAT=40°
이므로 △BPT에서
A
40æ
B
80æ
100æ
O
C
x
P
40æ
T
(cid:100)(cid:100)∠x+40°=80°(cid:100)(cid:100)∴ ∠x=40°
(cid:9000) ①
닮은 두 삼각형을 찾아 대응변의 길이의 비를 이용
13
한다.
∠ATP=∠CTQ이고
A
∠ATP=∠ABT,
∠CTQ=∠CDT이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABT=∠CDT
또 ∠ATB=∠CTD이므로
B
(cid:100)(cid:100)△ABTª△CDT (AA 닮음)
따라서 AT”：CT”=BT”：DT”이므로
(cid:100)(cid:100)AT”：2'2=6：3,(cid:100)(cid:100)3AT”=12'2
(cid:100)(cid:100)∴ AT”=4'2
14
PB”_PA”=PD”_PC”
P
D
3
C
2Â2
6
T
Q
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:100)(cid:100)∠ABT=180°-100°
μ BC에 대한 원주각
맞꼭지각의 크기는 같
다.
∠A의 크기가 정해지
면 삼각비의 값은 일
정하다.
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i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
우공비 B0X
문제집 77~80쪽
원 O의 반지름의 길이를 r라 하면
PB”_PA”=PD”_PC”이므로
(cid:100)(cid:100)5_(5+2r)=7_(7+8)
(cid:100)(cid:100)10r=80(cid:100)(cid:100)∴r=8
(cid:9000) ①
PA”=PB”+BA”
=5+2r
(cid:8772)BEFC에서
(cid:100)(cid:100)∠BED=∠BCF=95°
(cid:100)(cid:100)∠ABE=∠CFE=82°
(cid:8772)ADEB에서
(cid:100)(cid:100)∠x=180°-95°=85°
(cid:100)(cid:100)∠y=180°-82°=98°
접선과 할선 사이의 관계를 이용하여 닮은 두 삼각
15
형을 찾는다.
(cid:100)(cid:100)∴ ∠y-∠x=98°-85°=13°
(cid:9000) 13°
PT”
¤ =PA”_PB”에서
¤ =5_(5+15)=100
(cid:100)(cid:100)PT”
(cid:100)(cid:100)∴ PT”=10 (cm)(∵ PT”>0)
△APT와 △TPB에서
(cid:100)(cid:100)∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△APTª△TPB(AA 닮음)
(cid:100)(cid:100)∴ A’T”：TB”=PA”：PT”=5：10=1：2
(cid:9000) ③
원의 중심에서 현에 수선을 긋고 현의 수직이등분
16
선의 성질을 이용한다.
원의 중심 O에서 AB”에 내린
수선의 발을 M이라 하면
A
C
M
D
B
(cid:100) CM”=DM”=;2!; CD”=3(cm)
O
(cid:100) AM”=BM”=;2!; AB”=8(cm)
(cid:100) ∴ AC”=8-3=5 (cm)
(cid:9000) 5 cm
17
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다.
OP”=5+8=13이고 ∠OAP=90°이므로 직각삼
원의 중심에서 현에 내린
수선은 그 현을 이등분한
다.
20
PA”_PB”=PC”
PC”=PD”=x라 하면
PA”_PB”=PC”_PD”에서
(cid:100)(cid:100)(7+5)_(7-5)=x¤
(cid:100)(cid:100)x¤ =24(cid:100)(cid:100)∴ x=2'6 (∵ x>0)
(cid:100)(cid:100)∴ CD”=2 PC”=4'6
직선 AB에 대하여 두 점 C, D가 같은 쪽에 있을
21
때, ∠ACB=∠ADB이면 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에
있다.
∠ADC=∠AEC이므로 네 점A, D, E, C는
한 원 위에 있다.
BE”_BC”=BD”_BA”에서
(cid:100)(cid:100)3_(3+13)=4_(4+x)
(cid:100)(cid:100)48=16+4x(cid:100)(cid:100)∴x=8
(cid:9000) 4'6
(cid:9000) 8
배점
2점
2점
1점
각형 OPA에서
(cid:100)(cid:100)PA”="√13¤ -5¤ =12
(cid:100)(cid:100)∴ PB”=PA”=12
원의 접선은 그 접점을 지
나는 반지름과 수직이다.
22
(cid:9000) 12
채점 기준
△APB가 정삼각형임을 보이기
PA”의 길이 구하기
△APB의 둘레의 길이 구하기
18
한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기는 같다.
∠BAC=∠BDC=52°
점 I는 △ABC의 내심이므로
(cid:100)(cid:100)∠ABI=∠IBC=∠a,
(cid:100)(cid:100)∠BCI=∠ICA=∠b
라 하면 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)52°+2∠a+2∠b=180°
(cid:100)(cid:100)2(∠a+∠b)=128°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠a+∠b=64°
△IBC에서
∠OAP=∠OBP=90°이므로 (cid:8772)APBO에서
μBC에 대한 원주각
(cid:100)(cid:100)∠APB=360°-(90°+120°+90°)=60°
이때 PA”=PB”이므로
B
I
a
a
52æ
D
A
52æ
b
b
C
삼각형의 세 내각의 이등
분선은 한 점`(내심)에서 만
난다.
(cid:100)(cid:100)∠PAB=∠PBA=;2!;_(180°-60°)=60°
따라서 △APB는 정삼각형이다.
▶ 2점
이때 △OAP™△OBP이므로
RHS 합동
(cid:100)(cid:100)∠OPA=;2!;∠APB=30°
△OAP에서
30æ
P
(cid:100)(cid:100)PA”=
=6_
OA”
tan 30°
3
'3
(cid:100)(cid:100)PA”=6'3
따라서 △APB의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)3_6'3 =18'3
A
B
6
O
120æ
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 18'3
대단원별 실전 TEST 135
(cid:100)(cid:100)∠CID=∠a+∠b=64°
(cid:9000) 64°
원에 내접하는 사각형
19
(cid:8833) 한 외각의 크기와 그 내대각의 크기가 같다.
¤
15중3상해설대단원(112-136)ok 2015.3.30 5:7 PM 페이지136 SinsagoHitec
Point Up
문제집
23
채점 기준
∠BAD의 크기 구하기
∠ABD의 크기 구하기
∠CPB의 크기 구하기
배점
1점
1점
2점
▶ 1점
▶ 2점
(cid:9000) 96°
배점
2점
2점
1점
D
AB”는 원 O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠ADB=90°
한 호에 대한 원주각의 크기는 같
으므로
(cid:100)(cid:100)∠BAD=∠BCD=35° ▶ 1점
△ABD에서
(cid:100)(cid:100)∠ABD=180°-(35°+90°)=55°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠CPB=41°+55°=96°
A
C
D
35æ
O
35æ
P
41æ
55æ
B
24
채점 기준
∠CAD의 크기 구하기
∠ADB의 크기 구하기
∠APD의 크기 구하기
DC”를 그으면
BD”가 원 O의 지름이므로
(cid:100)(cid:100)∠BCD=90°
직선 CT가 원O 의 접선이므로
(cid:100)(cid:100)∠BDC=∠BCT=25°
△BCD에서
A
65æ
65æ
P
65æ
B
O
25æ
65æ
T
25æ
C
Q
(cid:100)(cid:100)∠DBC=180°-(25°+90°)=65°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠CAD=∠DBC=65°
▶ 2점
우공비 B0X
문제집 80쪽
또 ∠DCQ=∠CAD=65°이고 AD”∥ CT”이므로
평행한 두 직선이 다른 한
직선과 만날 때 생기는 엇
각의 크기는 같다.
(cid:100)(cid:100)∠ADC=∠DCQ=65°
(cid:100)(cid:100)∴ ∠ADB=65°-25°=40°
△APD에서
(cid:100)(cid:100)∠APD=180°-(65°+40°)=75°
25
채점 기준
PC”의 길이 구하기
△PBC, △PAC의 넓이 구하기
△ABC의 넓이 구하기
PC”
¤ =PA”_PB”=3_(3+9)=36이므로
(cid:100)(cid:100)PC”=6 (∵ PC”>0)
▶ 2점
따라서
삼각형 ABC에서 두 변의
길이가 a, b이고 그 끼인
각의 크기가 x(예각)일
때
(cid:100)△ABC=;2!;ab sin x
(cid:100)(cid:100)△PBC=;2!;_12_6_sin 30°
(cid:100)(cid:100)△PBC=;2!;_12_6_;2!;=18
(cid:100)(cid:100)△PAC=;2!;_3_6_sin 30°
(cid:100)(cid:100)△PAC=;2!;_3_6_;2!;=;2(;
이므로
(cid:100)(cid:100)△ABC=△PBC-△PAC
(cid:100)(cid:100)△ABC=18-;2(;=;;™2¶;;
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 75°
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) ;;™2¶;;
136 Check Up 풀이집
