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우리들의 공부 비법
수학 (상)3
Check Up 풀이집
本
Step Up 기본서
Ⅰ
제곱근과 실수
1 제곱근과 실수
2 근호를 포함한 식의 계산
Ⅱ
식의 계산
1 인수분해
Ⅲ
이차방정식
1 이차방정식과 그 풀이
2 이차방정식의 근의 공식과 활용
Ⅳ
이차함수
1 이차함수와 그 그래프
2 이차함수의 활용
別
Point Up 문제집
● 중단원별 실전 TEST
● 대단원별 실전 TEST
002
012
022
032
041
055
069
082
106
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Step Up
기본서
Ⅰ
-1. 제곱근과 실수
1. 제곱근의 뜻과 성질
0011 제곱근의 뜻과 표현
기본서 8~9쪽
익히기 1 ⑵ {;2#;}2 =;4(;, {-;2#;}2 =;4(;이므로 ;4(;의 제곱근
(cid:100) 은 ;2#;, -;2#;이다.
⑶ 0.1¤ =0.01, (-0.1)¤ =0.01이므로 0.01의 제곱근은
0.1, -0.1이다.
`(cid:9000) ⑴ 1, -1
⑵ ;2#;, -;2#;
(cid:9000) ⑶ 0.1, -0.1 ⑷ '5, -'5
익히기 2 a=64일 때, 8¤ =64, (-8)¤ =64이므로
⑴ 8
⑶ 8, -8 ⑷ 8
⑵ -8
a=(-10)¤ =100일 때, 10¤ =100, (-10)¤ =100이므로
⑸ 10
⑹ -10
⑺ 10, -10 ⑻ 10
(cid:9000) ⑴ 8(cid:100) ⑵ -8(cid:100) ⑶ 8, -8(cid:100) ⑷ 8
(cid:9000) ⑸ 10(cid:100)⑹ -10(cid:100)⑺ 10, -10(cid:100)⑻ 10
유제 ❶ ㈀ (-4)¤ =16이므로 -4는 16의 제곱근이다.
㈁ 1의 제곱근은 1, -1의 2개이다.
㈂ -25의 제곱근은 없고, 25의 제곱근은 5, -5이다.
㈃ (-3)¤ =9이므로 (-3)¤ 의 제곱근은 3, -3이다.
-'ß49=-"ç7¤ =-7
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈃이다.
(-3)¤ 의 제곱근을 -3으로 생각하지 않도록 주의한다.
(-3)¤ =9이므로 (-3)¤ 의 제곱근은 9의 제곱근인 —3이다.
(cid:9000) ②
제곱하여 음수가 되는
수는 없으므로 음수의
제곱근은 없다.
a>0일 때,
① a의 제곱근 (cid:8825) —'a
② 제곱근 a (cid:8825) 'a
유제 ❷-1 ⑴ 20의 양의 제곱근은 제곱하여 20이 되는 수
(cid:100) 중에서 양수이므로 'ß20이다.
의 음의 제곱근은 제곱하여
⑵
이 되는 수 중에서 음
;5&;
;5&;
이다.
(cid:100) 수이므로 -Æ;5&;
⑶ 10¤ =100이므로 10¤ 의 제곱근은 10, -10이다.
⑷ 제곱근 2는 '2이다.
(cid:9000) ⑴ 'ß20(cid:100)⑵ -Æ;5&;
(cid:100)⑶ 10, -10(cid:100)⑷ '2
002 Check Up 풀이집
우공비 B0X
유제 ❷-2 9의 양의 제곱근은 3이므로
(cid:100)(cid:100)A=3
(cid:100)(cid:100)B=-7
(-7)¤ =49의 음의 제곱근은 -7이므로
(cid:100)(cid:100)∴ A-B=3-(-7)=10
(cid:9000) 10
0022 제곱근의 성질
기본서 10~11쪽
익히기 3 ⑶ ('ß0.3)¤ =0.3이므로(cid:100)(cid:100)-('ß0.3)¤ =-0.3
⑷ (-'ß11)¤ =11이므로(cid:100)(cid:100)-(-'ß11)¤ =-11
¤ =
⑺ æ≠{;4%;}
이므로(cid:100)(cid:100)-æ≠{;4%;}
;4%;
⑻ "√(-6)¤ =6이므로(cid:100)(cid:100)-"√(-6)¤ =-6
;4%;
¤ =-
(cid:9000) ⑴ 7(cid:100)⑵
(cid:100) ⑶ -0.3(cid:100) ⑷ -11
;2!;
(cid:9000) ⑸ 8(cid:100)⑹ 1.7(cid:100)⑺ -
(cid:100)⑻ -6
;4%;
"√(양수)¤ =(양수)
"√(음수)¤ =-(음수)
<
0이므로
익히기 4 ⑴ a<0에서 3a
(cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(3a)¤ =-3a
⑵ a<0에서 -a
>
(cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(-a)¤ =-a
0이므로
(cid:9000) ⑴ <, -3a(cid:100)⑵ >, -a
a>0일 때,
(cid:100)('ßa )¤ =(-'ßa )¤ =a
(cid:100)"≈a¤ ="√(-a)¤ =a
유제 ❸ ⑴ ('8)¤ +(-'5 )¤ =8+5=13
⑵ (-'1å0)¤ -"6Ω
¤ =10-6=4
⑶ -'4å9_æ{;7–
!;}2 =-7_
;7!;
=-1
⑷ "√(-12)¤ ÷(-'4)¤ =12÷4=3
(cid:9000) ⑴ 13(cid:100)⑵ 4(cid:100)⑶ -1(cid:100)⑷ 3
유제 ❹ -1 x>1에서 x-1>0이므로
(cid:100)(cid:100)"√(x-1)¤ =x-1
1-x<0이므로
(cid:100)(cid:100)"√(1-x)¤ =-(1-x)=-1+x
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=x-1-1+x=2x-2
유제 ❹ -2 a>0에서 -2a<0이므로
(cid:100)(cid:100)"√(-2a)¤ =-(-2a)=2a
b<0에서(cid:100)(cid:100)"çb¤ =-b
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=2a-3_(-b)
=2a+3b
(cid:9000) 2x-2
(cid:9000) 2a+3b
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유제 ❺ -1 40x=2‹ _5_x이므로
x=2_5_(자연수)¤ 꼴이어야 한다.
따라서 자연수 x의 최솟값은
(cid:100)(cid:100)2_5=10
우공비 B0X
음수끼리 대소를 비교한
다.
2_5, 2‹ _5,
2_3¤ _5, y
유제 ❺ -2 18-x가 18보다 작은 제곱수이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)18-x=1, 4, 9, 16
따라서 x=17, 14, 9, 2이므로 x의 개수는 4이다.
1, 4, 9, 16, y과 같
이 자연수의 제곱인 수
(cid:9000) 10
(cid:9000) 4
기본서 8~14쪽
유제 ❻ -2 ② "√(-5)¤ =5
③ (-'∂10 )¤ =10
④ -"√(-6)¤ =-"ç36
⑤ -Ƭ:¡2¡:=-'∂5.5
따라서 5.5<30<36에서(cid:100)(cid:100)'∂5.5 <'∂30<'∂36
(cid:100)(cid:100)-'∂36<-'∂30<-'∂5.5
즉 -"√(-6)¤ <-'∂30<-Ƭ:¡2¡:이므로 가장 작은 수는
④이다.
유제 ❼ 2<'∂3x<'∂15의 각 변을 제곱하면
(cid:100)(cid:100)4<3x<15(cid:100)(cid:100)∴ ;3$;16이므로(cid:100)(cid:100)'ß25
⑵ 0.04 <0.09 이므로(cid:100)(cid:100)'∂0.04
<
>
'ß16
'∂0.09
⑶ ;3@; <;6%; 이므로(cid:100)(cid:100)Æ;3@;
<
Æ;6%;
⑷ '∂16<'∂17이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)-'ß16 -'ß17(cid:100)(cid:100)
>
⑸ '∂0.4>'∂0.16 이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)-'∂0.4 -'∂0.16
⑹ Æ;2!; >Æ;3!; 이므로
<
(cid:100) (cid:100)(cid:100)-Æ;2!; -Æ;3!;
<
(cid:9000) ⑴ > ⑵ < ⑶ < ⑷ > ⑸ < ⑹ <
익히기 6 ⑴ 1<'ßx <2에서(cid:100)(cid:100)1¤ <('ßx )¤ <2¤
(cid:100)(cid:100) (cid:100)1Æ;3!;이므로(cid:100)(cid:100)2>Æ;3!;
(cid:100)(cid:100)∴ -'2<0<Æ;3!;<2<'5
(cid:9000) '5, 2, Æ;3!;, 0, -'2
(cid:9000) ④
(cid:9000) 9
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
소단원성취도진단
기본서 14~15쪽
02 ③
01 ⑤
06 '6
07 -3
11 3a+2b12 ①
16 6
03 ④
08 ③
13 24
04 ⑤
09 12
14 12
05 ③
10 ①, ⑤
15 11
01
제곱하여 a (aæ0)가 되는 수 (cid:8833) a의 제곱근
① 2¤ =4, (-2)¤ =4이므로 제곱하여 4가 되는 수
(cid:100) 는 —2이다.
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=—2
② x¤ =4에서 x는 4의 제곱근이므로
③ 4의 제곱근은 제곱하여 4가 되는 수이므로 —2이다.
a>0일 때, 제곱근 a
(cid:8825) a의 양의 제곱근
④ (-2)¤ =4이므로 4의 제곱근은 —2이다.
⑤ 제곱근 4는 4의 양의 제곱근이므로 2이다.
02
x가 a의 제곱근 (cid:8833) x¤ =a
x가 3의 제곱근이므로 x를 제곱하면 3이 된다.
따라서 주어진 문장을 식으로 나타내면
(cid:100)(cid:100)x¤ =3
a가 어떤 유리수의 제곱의
꼴이면 a의 제곱근을 근호
를 사용하지 않고 나타낼
수 있다.
03
a>0일 때 (cid:8833) "aΩ
¤ =a
① æ–;4¢9;=æ≠{;7@;}
¤ =;7@;
② '∂0.25 ="√0.5¤ =0.5
③ '1ß6 ="ç4¤ =4
⑤ '∂100 ="ç10¤ =10
Ⅰ.제곱근과 실수 003
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(cid:9000) ③
(cid:9000) 12
(cid:9000) ①, ⑤
배점
50%
50%
Step Up
기본서
04
a>0, b>0일 때, a>b (cid:8833) 'a>'b
① 6<10이므로(cid:100)(cid:100)'6<'ß10
(cid:100)(cid:100) (cid:100)∴ -'6>-'ß10
이므로(cid:100)(cid:100)Æ;8!;
②
<
;8!;
;9@;
<Æ;9@;
③ 7="≈7¤ ='ß49이고 48<49이므로(cid:100)(cid:100)'ß48<7
④ "√(-3)¤ =3, (-'2 )¤ =2이고 3>2이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(-3)¤ >(-'2 )¤
⑤ 5="≈5¤ ='ß25이고 25<26이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)5<'ß26(cid:100)(cid:100)∴ -5>-'ß26
(cid:9000) ⑤
05
a>0일 때
a의 제곱근 (cid:8833) —'a
[,
제곱근 a (cid:8833) 'a
① x¤ =7이면 x=—'7이다.
② (-7)¤ =49이고, 49의 제곱근은 —7이다.
③ -'7은 제곱하여 7이 되는 수 중에서 음수이므로 7
의 음의 제곱근이다.
④ '4å9="ç7¤ =7이므로 'ß49의 제곱근은 —'7이다.
⑤ -7은 음수이고, 음수의 제곱근은 없다.
우공비 B0X
a>0, b>0일 때,
'ßa<'ßb (cid:100)(cid:100)
(cid:8825) -'ßa >-'ßb
④ -'ß25÷æ≠{-
;3!;}
¤ =-5÷
;3!;
=-5_3=-15
⑤ "ç0.1¤ _{-Ƭ;;¡7º;; }
¤ =0.1_
=
;;¡7º;;
;7!;
09
a>0일 때 (cid:8833) "≈a¤ ="√(-a)¤ =('a )¤ =a
'0∂.36_"(√-10)¤ ÷{Æ;2!; }2
="0ç.6¤ _"(√-10)¤ ÷{Æ;2!; }2
=0.6_10÷;2!;
=0.6_10_2
=12
10
"aΩ
¤ =[
a (aæ0)
-a (a<0)
① "≈a¤ =a
-'a는 a의 음의 제
곱근이므로
(cid:100)(-'a)¤ =a
(cid:9000) ③
② -(-'a)¤ =-{(-'a)_(-'a)}=-('a)¤ =-a
③ -"ça¤ =-a
④ -"√(-a)¤ =-"≈a¤ =-a
⑤ "√(-a)¤ ="≈a¤ =a
따라서 그 값이 a인 것은 ①, ⑤이다.
06
넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이 (cid:8833) 'a
직사각형의 넓이가
(cid:100)(cid:100)3_2=6
이므로 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면
(cid:100)(cid:100)x¤ =6(cid:100)(cid:100)∴ x='6 (∵ x>0)
11
채점 기준
2a, -3b, b-a의 값의 부호 구하기
주어진 식 간단히 하기
x는 6의 양의 제곱근
a>0, b<0이므로
07
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
c의 값 구하기
a-b-c의 값 구하기
'1ß6 ="≈4¤ =4이므로(cid:100)(cid:100)a='4=2
'8ß1="≈9¤ =9이므로(cid:100)(cid:100)b=-'9=-3
c='6ß4 =8
(cid:100)(cid:100)∴ a-b-c=2-(-3)-8=-3
(cid:9000) '6
배점
30%
30%
30%
10%
▶ 30%
▶ 30%
▶ 30%
▶ 10%
(cid:9000) -3
(cid:100)(cid:100)2a>0, -3b>0, b-a<0
▶ 50%
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=2a-(-3b)-(b-a)
=3a+2b
▶ 50%
(cid:9000) 3a+2b
12
a>0, b>0일 때, 'a>'b (cid:8833) a>b
3="≈3¤ ='9, 6="≈6¤ ='ß36이므로
(cid:100)(cid:100)'9<'ß6x<'ß36,(cid:100)(cid:100)9<6x<36
(cid:100)(cid:100)∴
0일 때,
① ('a)¤ =(-'a)¤ =a
② "≈a¤ ="√(-a)¤ =a
13
넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이 (cid:8833) 'a
(cid:8772)ABCD의 한 변의 길이를 x라 하면
(cid:100)(cid:100)x¤ =64(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
(cid:8772)CEFG의 한 변의 길이를 y라 하면
(cid:100)(cid:100)y¤ =36(cid:100)(cid:100)∴ y=6(∵ y>0)
2
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지005 SinsagoHitec
S
t
e
p
U
p
.
Ⅰ
제
곱
근
과
실
수
따라서 직각삼각형 CBE의 넓이는
2. 무리수와 실수
우공비 B0X
기본서 14~19쪽
(cid:100)(cid:100);2!;_8_6=24
(cid:9000) 24
14
'ß(cid:8641) 가 자연수 (cid:8833) (cid:8641)=(자연수)¤
'ƒ15-x 는 가장 큰 정수가 되어야 한다.
15보다 작은 (자연수)¤ 꼴의 수 중 가장 큰 수는 9이므로
(cid:100)(cid:100)15-x=9(cid:100)(cid:100)∴ x=6
또 '∂54y는 가장 작은 자연수가 되어야 한다.
54y=2_3‹ _y이므로 y=2_3_(자연수)¤ 꼴이어야
한다.
(cid:100)(cid:100)∴ y=2_3=6
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=6+6=12
15
채점 기준
양수끼리 대소 비교하기
음수끼리 대소 비교하기
a, b의 값 구하기
a¤ -b¤ 의 값 구하기
(cid:9000) 12
배점
30%
30%
30%
10%
▶ 10%
(cid:9000) 11
배점
40%
40%
20%
▶ 40%
▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000) 6
양수 'ß18, 'ß11, 4="≈4¤ ='ß16의 대소를 비교하면
▶ 30%
(cid:100)(cid:100)'ß11<4<'ß18
음수 -'7, -2=-"≈2¤ =-'4의 대소를 비교하면
(cid:100)(cid:100)-'7<-2
따라서 주어진 수를 작은 것부터 순서대로 나열하면
(cid:100)(cid:100)-'7, -2, 0, 'ß11, 4, 'ß18
이므로
(cid:100)(cid:100)a='ß18, b=-'7
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ -b¤ =('ß18)¤ -(-'7)¤
=18-7
▶ 30%
▶ 30%
=11
14="ç14¤ ='∂196, 15="ç15¤ ='∂225이므로
16
채점 기준
N(200)의 값 구하기
N(65)의 값 구하기
N(200)-N(65)의 값 구하기
(cid:100)(cid:100)14<'∂200<15
(cid:100)(cid:100)∴ N(200)=14
8="≈8¤ ='∂64, 9="≈9¤ ='∂81이므로
(cid:100)(cid:100)8<'∂65<9
(cid:100)(cid:100)∴ N(65)=8
(cid:100)(cid:100)∴ N(200)-N(65)=14-8
=6
0044 무리수와 실수
기본서 16~17쪽
익히기 1 ⑴ 0.4363636y=0.4H3H6은 순환소수이므로
(cid:100) 유리수이다.
⑵ 'ß10은 무리수이다.
⑶ 'ß64="≈8¤ =8이므로 유리수이다.
⑷ p=3.141592y로 순환하지 않는 무한소수이므로 무
리수이다.
(cid:9000) 유리수: ⑴, ⑶,(cid:100)무리수: ⑵, ⑷
익히기 2 (cid:9000) ⑴ 2.265(cid:100)⑵ 2.245(cid:100)⑶ 2.236
유제 ❶ ① -'9=-"≈3¤ =-3
② 'ƒ1.44="ç1.2¤ =1.2
③ 3.1H4=
314-31
90
=;;™9•0£;;
따라서 무리수인 것은 ④, ⑤이다.
A-B가 가장 큰 정
수가 되려면 A는 최
댓값, B는 최솟값을
가져야 한다.
양수와 음수가 섞여 있는
세 수 이상의 수의 대소를
비교할 때에는 먼저 양수
는 양수끼리, 음수는 음수
끼리 대소를 비교한다.
근호를 사용하여 나타낸
수이더라도 근호 안의 수
가 (유리수)¤ 꼴이면 유
리수이다.
유제 ❷ ㈁ 근호를 사용하여 나타낸 수 중 근호 안의
수가 어떤 유리수의 제곱이면 그 수는 유리수이다.
㈂ ;3!;=0.H3은 유한소수로 나타낼 수 없는 수이지만 유리
(음수)<0<(양수)
수이다.
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈃이다.
(cid:9000) ④, ⑤
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
유제 ❸ a='∂8.84=2.973
b='∂9.05=3.008
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=5.981
0055 실수와 수직선
기본서 18~19쪽
익히기 3 정사각형 ABCD의 넓이는
2
각형 ABCD의 한 변의 길이는 `이다.
'2
점 P는 원점에서 오른쪽으로 `만큼 떨어진 점이므로
'2
점 P에 대응하는 수는 `이다.
`이므로 정사
'2
`만큼 떨어진 점이므
또 점Q는 원점에서 왼쪽으로
'2
로 점 Q에 대응하는 수는 `이다.
-'2
(cid:9000) 풀이 참조
넓이가 a(a>0)인 정사각
형의 한 변의 길이는 'a
이다.
유제 ❹ (cid:8772)ABCD=3_3-{;2!;_2_1}_4=5이므로
(cid:100)(cid:100)CB”='5(cid:100)(cid:100)∴ CP”=CB”='5
Ⅰ.제곱근과 실수 005
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지006 SinsagoHitec
(cid:9000) ②
소단원성취도진단
기본서 22~23쪽
Step Up
기본서
따라서 점 P의 좌표는 -1-'5 이다.
(cid:8772)EFGH=4_4-{;2!;_3_1}_4=10이므로
(cid:100)(cid:100)GH”='1ß0(cid:100)(cid:100)∴ GQ”=GH”='1ß0
따라서 점 Q의 좌표는 5+'1ß0 이다.
(cid:9000) P(-1-'5 ), Q(5+'1ß0 )
유제 ❺ ② 서로 다른 두 무리수 '5와 '6 사이에는 무
수히 많은 무리수가 있다.
우공비 B0X
-1에 대응하는 점에
서 왼쪽으로 '5만큼
떨어진 점이다.
5에 대응하는 점에서
오른쪽으로 'ß10만큼
떨어진 점이다.
0066 실수의 대소 관계
기본서 20~21쪽
익히기 4 (4-'6 )-2=
그런데 2
2-'6
'6이므로(cid:100)(cid:100)2-'6
<
<
0
(cid:100)(cid:100)∴ 4-'6
<
2
(cid:9000) 풀이 참조
<
익히기 5 ⑴ (3+'5)-(3+'6)='5-'6<0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 3+'5
3+'6
⑵ ('1ß1 -'5 )-('1ß1-2)=-'5+2=-'5+'4<0
<
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ '1ß1 -'5
'1ß1-2
⑶ (-'2+3)-(-'3+3)=-'2+'3>0
>
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ -'2+3 -'3+3
'5<'6이므로
(cid:100)'5-'6<0
'5>'4이므로
(cid:100)-'5+'4<0
'2<'3이므로
(cid:100)-'2+'3>0
(cid:9000) ⑴ <(cid:100)⑵ <(cid:100)⑶ >
<
3+'6
⑴ '5<'6이므로(cid:100)(cid:100)3+'5
⑵ '5 >'2에서(cid:100)(cid:100)-'5<-'2
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ '1ß1 -'5
'1ß1-2
⑶ '2 <'3에서(cid:100)(cid:100)-'2>-'3
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ -'2+3 -'3+3
>
<
두 실수a, b 에 대하여
(cid:100)a-b>0 (cid:8825) a>b
(cid:100)a-b<0 (cid:8825) a0
(cid:100)(cid:100)∴ a>b
b-c=3-('6+1)=2-'6<0
(cid:100)(cid:100)∴ b0.41이므로
'7-0.5는 '5와 '7 사이에 있는 수가 아니다.
(cid:9000) ⑤
006 Check Up 풀이집
유제 ❽ '4<'7<'9에서(cid:100)(cid:100)2<'7<3
(cid:100)(cid:100)∴ -3<-'7<-2
따라서 2-3<2-'7<2-2, 즉 -1<2-'7<0이므로
2-'7에 대응하는 점은 구간 B에 있다.
(cid:9000) ②
02 ⑤
01 ④
06 2-'2 07 ③
12 93
11 ④
03 ①
08 ②
13 1
04 2
09 ②
14 ④
05 ④
10 ③
15 -1
01
넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이 (cid:8833) 'ßa
① '4=2
② '9=3
④ 'ß20
③ '∂16=4
⑤ '∂25=5
따라서 한 변의 길이가 무리수인 정사각형은 ④이다.
02
"√(자연수)¤ =(자연수)
⑤ a=4이면 a는 유리수이고, '4=2이므로 'a도
유리수이다.
03
로줄이 만나는 곳에 있는 수
"√(cid:8785)(cid:8784).▲ (cid:8833) 제곱근표에서 (cid:8785)(cid:8784)의 가로줄과 ▲의 세
a=5.244, b=5.177이므로
(cid:100)(cid:100)1000(a-b)=1000_0.067
=67
순환하지 않는 무한소수 (cid:8833) 무리수
순환하지 않는 무한소수로 나타내어지는 수는 무리
04
수이다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
(cid:9000) 2
'5와 '7 사이에 있는 수
는 0.41보다 작은 수를 '5
에 더하거나 '7에서 뺀 수
이다.
㈀ "√(-5)¤ =5
㈁ æ≠{;3!;}
¤ =
;3!;
㈂ Ƭ;2!5^;=æ≠{;5$;}
¤ =
;5$;
㈃ '4ß0
㈄ '∂100="ç10¤ =10
이상에서 무리수인 것은 ㈃, ㈅의 2개이다.
㈅ '∂120
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지007 SinsagoHitec
05
유리수가 아닌 수 (cid:8833) 무리수
① a¤ =('3)¤ =3
② "√3a¤ ="√3_('3)¤ ='ƒ3_3="ç3¤ =3
③ 2a¤ +1=2_('3)¤ +1=2_3+1=7
④ a+'6='3+'6
⑤ '3a='3_'3=('3)¤ =3
07
(cid:8833) '2
08
직선
09
06
채점 기준
BP”의 길이 구하기
점 B에 대응하는 수 구하기
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는
'2이므로
(cid:100)(cid:100)BP”=BD”='2
▶ 50%
점 B는 점 P에서 왼쪽으로 '2만큼 떨어진 점이므로 점
B에 대응하는 수는 2-'2이다.
▶ 50%
(cid:9000) 2-'2
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2
이므로 각 점의 좌표는 다음과 같다.
(cid:100)(cid:100)A(1-'2 ), B('2 ), C(3-'2 ),
(cid:100)(cid:100)D(4-'2 ), E(3+'2 )
수직선 (cid:8833) 각 점에 실수를 하나씩 대응시켜서 만든
② '6과 '7 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.
(cid:9000) ②
두 실수 a, b의 대소 비교 (cid:8833) a-b의 부호를 조사
① (3+'3)-('5+'3)=3-'5 ='9-'5>0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 3+'3 >'5+'3
② (2+'5)-('3+'5)=2-'3 ='4-'3>0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 2+'5 >'3+'5
③ 7-(2+'5)=5-'5 ='2ß5-'5>0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 7>2+'5
④ (10-'5)-('8ß0-'5 )=10-'8ß0='∂100-'8ß0>0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 10-'5 >'8ß0-'5
⑤ (1+'2ß4)-6='2ß4-5='2ß4-'2ß5<0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 1+'2ß4<6
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
배점
50%
50%
k에 대응하는 점에서 오른
쪽으로 'a만큼 떨어진 점
에 대응하는 수 (cid:8825) k+'a
k에 대응하는 점에서 왼쪽
으로 'a만큼 떨어진 점에
대응하는 수 (cid:8825) k-'a
우공비 B0X
기본서 19~23쪽
S
t
e
p
U
p
.
Ⅰ
제
곱
근
과
실
수
10
a-b>0 (cid:8833) a>b
a-b=(3-'8)-(3-'ß10)=-'8+'ß10>0
(cid:100)(cid:100)∴ a>b
b-c=(3-'ß10)-1=2-'ß10='4-'ß10<0
(cid:100)(cid:100)∴ b0 (cid:8825) a>b
② a-b=0 (cid:8825) a=b
③ a-b<0 (cid:8825) a0(cid:100)(cid:100)∴ 3-'2>1
따라서
Ⅰ.제곱근과 실수 007
(cid:9000) ③
배점
30%
50%
20%
▶ 30%
▶ 20%
(cid:9000) 93
배점
40%
50%
10%
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지008 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)3-'5<1<3-'2
이므로 수직선 위에 나타낼 때, 왼쪽에서 네 번째에 있는
▶ 50%
우공비 B0X
네 번째로 작은 수
▶ 10%
(cid:9000) 1
Step Up
기본서
수는 1이다.
보충 학습
수직선과 실수
중단원마무리평가
기본서 24~27쪽
05 ②
10 ⑤
15 ①
04 ④
01 ③, ④ 02 ①, ③ 03 ③
07 ⑤
06 ③
09 ②
08 ②
12 ①, ③ 13 ④, ⑤ 14 ②
11 ①
19 305
16 ③
18 ③
17 ④
20 100…x<10000 21 90
22 15
24 0
26 4
25 25
27 ⑴ '8(cid:100)⑵ P(-1+'8 )(cid:100)⑶ Q(-1-'8 )(cid:100)⑷ -2
28 A, C
23 2p
01
x가 양수 a의 제곱근 (cid:8833) x를 제곱하면 a가 된다.
x가 양수 a의 제곱근이므로 x를 제곱하면 a가 된
양수 a의 제곱근 중 양수
인 것은 'a, 음수인 것은
-'a이다.
다. 즉 x¤ =a이고, 양수의 제곱근은 2개이므로
(cid:100)(cid:100)x=—'a
(cid:9000) ③, ④
02
a>0일 때
a의 제곱근 (cid:8833) —'a
[
제곱근 a (cid:8833) 'a
① (-3)¤ =9이므로 -3은 9의 음의 제곱근이다.
② 제곱근 5는 5의 양의 제곱근이므로 '5이다.
③ -5는 25의 음의 제곱근이므로 -'ß25와 같다.
④ (-7)¤ =49이고 49의 제곱근은 —7이다.
⑤ "√(-6)¤ =6
(cid:9000) ①, ③
사각형 A, B, C, D의 넓이를 각각 a, b, c, d라
03
하면 (cid:8833) a=2b, b=2c, c=2d
사각형 A, B, C, D의 넓이를 각각 a, b, c, d라
하면 사각형 A의 넓이가 사각형 B의 넓이의 2배이므로
(cid:100)(cid:100)a=2b, 즉 b=
a
;2!;
같은 방법으로 b=2c, c=2d이므로
(cid:100)(cid:100)c=
b, d=
;2!;
c
;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ d=
c=
;2!;
;2!; {;2!;
b}=
;4!;
b=
;4!; {;2!;
a}=
;8!;
a
사각형 A의 넓이가 1 cm¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)d=
(cm¤ )
;8!;
따라서 정사각형 D의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)x¤ =
(cid:100)(cid:100)∴ x=Æ;8¬
!;
;8!;
(∵ x>0)
(cid:9000) ③
보충 학습
넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면 x¤ =a이
다. 이때 x는 정사각형의 한 변의 길이이므로 양수이다.
따라서 x는 a의 양의 제곱근이므로 x='a이다.
-'ß25=-"≈5¤ =-5
=(정사각형의 넓이)
=(한 변의 길이)¤
넓이가
인 정사각형
;8!;
의 한 변의 길이는
;8!;
의 양의 제곱근이다.
① 0을 기준으로 음수는 왼쪽에, 양수는 오른쪽에 대응된다.
② a0이므로(cid:100)(cid:100)-a<0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ "√(-a)¤ =a=3-'5
② b<0이므로(cid:100)(cid:100)-b>0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ "√(-b)¤ =-b=2
③ a+b=(3-'5)+(-2)=1-'5<0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(a+b)¤ =-(a+b)=-1+'5
④ a-b=(3-'5)-(-2)=5-'5>0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(a-b)¤ =a-b=5-'5
⑤ a>0, b<0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)"≈a¤ -"≈b¤ =a-(-b)=a+b=1-'5
이때 '4<'5<'9, 즉 2<'5<3이므로 이상에서 가장
큰 수는 ④이다.
(cid:9000) ④
2<'5<3이므로
(cid:100)(cid:100)0<3-'5<1, 1<-1+'5<2,
(cid:100)(cid:100)2<5-'5<3, -2<1-'5<-1
(cid:100)(cid:100)∴ 1-'5<3-'5<-1+'5<2<5-'5
15
채점 기준
2-'7에 대응하는 점 찾기
'5에 대응하는 점 찾기
-'3에 대응하는 점 찾기
'3-1에 대응하는 점 찾기
p+q의 값 구하기
배점
20%
20%
20%
20%
20%
2<'7<3에서 -3<-'7<-2이므로
(cid:100)(cid:100)2-3<2-'7<2-2(cid:100)(cid:100)∴ -1<2-'7<0
따라서 2-'7에 대응하는 점은 점 B이다.
▶ 20%
2<'5<3이므로 '5에 대응하는 점은 점 D이다. ▶ 20%
1<'3<2에서 -2<-'3<-1이므로 -'3에 대응하
는 점은 점 A이다.
▶ 20%
또 1<'3<2에서 0<'3-1<1이므로 '3-1에 대응하
는 점은 점 C이다.
▶ 20%
따라서 p=-'3, q='3-1이므로
(cid:100)(cid:100)p+q=-'3+('3-1)=-1
▶ 20%
(cid:9000) -1
008 Check Up 풀이집
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지009 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 23~25쪽
09
'ƒ24-x가 자연수 (cid:8833) 24-x=(자연수)¤
'ƒ24-x 가 자연수가 되려면 24-x가 24보다 작은
—'ß16=—"≈4¤ =—4
—'ß100=—"≈10¤
=—10
제곱수이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)24-x=1, 4, 9, 16
(cid:100)(cid:100)∴ x=23, 20, 15, 8
따라서 가장 작은 자연수 x는(cid:100)(cid:100)8
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
보충 학습
"√(유리수)¤` 꼴인 수는 근
호를 사용하지 않고 나타
낼 수 있다.
S
t
e
p
U
p
.
Ⅰ
제
곱
근
과
실
수
① 'ƒA-x (A는 자연수)가 정수가 되도록 하는 자연수 x
의 값을 구하려면 A-x의 값이 0 또는 A보다 작은 제
곱수이어야 함을 이용한다.
(cid:100) (cid:9009) 'ƒ12-x가 정수가 되도록 하는 자연수 x
(cid:100) (cid:100) (cid:8825) 12-x=0, 1, 4, 9이므로(cid:100)(cid:100)x=12, 11, 8, 3
② 'ƒA-x (A는 자연수)가 자연수가 되도록 하는 자연수
x의 값을 구하려면 A-x의 값이 A보다 작은 제곱수이
어야 함을 이용한다.
(cid:100) (cid:9009) 'ƒ12-x가 자연수가 되도록 하는 자연수 x
(cid:100) (cid:100) (cid:8825) 12-x=1, 4, 9이므로(cid:100)(cid:100)x=11, 8, 3
10
a>0, b>0일 때, a-'2
¤ =Æ;9!;
=æ–{;3!;}
이므로
이고
⑤
>
;3!;
;9!;
;8!;
(cid:100) (cid:100)(cid:100)Æ;8!;
>
;3!;
04
a>0일 때, a의 제곱근 (cid:8833) —'a
'∂256="ç16¤ =16의 제곱근은 —'ß16, 즉 —4이므로
(cid:100)(cid:100)A=—4
(-10)¤ =100의 제곱근은 —'∂100, 즉 —10이므로
(cid:100)(cid:100)B=—10
따라서 A-B의 최댓값은
(cid:100)(cid:100)4-(-10)=14
05
양수 a의 제곱근 (cid:8833) 제곱하여 a가 되는 수
① 0.36의 제곱근은
(cid:100) (cid:100)(cid:100)—'∂0.36=—"ç0.6¤ =—0.6
② 0.4의 제곱근은(cid:100)(cid:100)—'∂0.4
③
;1ª6;
의 제곱근은(cid:100)(cid:100)—Ƭ;1ª6;=—æ≠{;4#;}
=—;4#;
④ 81의 제곱근은(cid:100)(cid:100)—'ß81=—"≈9¤ =—9
⑤ 121의 제곱근은(cid:100)(cid:100)—'∂121=—"ç11¤ =—11
06
a>0일 때
('a )¤ =(-'a )¤ =a
[
"≈a¤ ="√(-a)¤ =a
① -(-'2)¤ +"√(-1)¤ =-2+1=-1
② "≈3¤ -"√(-5)¤ =3-5=-2
③ "√2‹ +1-1='9-1=3-1=2
④ 'ƒ0.09_'ß36="ç0.3¤ _"≈6¤ =0.3_6=1.8
⑤ (-'9)¤ -"≈8¤ =9-8=1
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
-a (aæ0)
07
"≈a¤ =
·
“
ª
-a (a<0)
-31
;a!;
01이므로
;a!;
(cid:100)(cid:100)a-
<0,
-a>0
;a!;
;a!;
(cid:9000) ⑤
"çA가 연속하는 두 자연수
사이의 수일 때, 이 자연
수를 구하려면 A보다 작
은 제곱수와 A보다 큰 제
곱수를 찾아본다.
'ßx가 두 자연수 a, b (a0이므로(cid:100)(cid:100)'∂10>3(cid:100)
따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 수는 ③이다.
(cid:9000) ③
x가 두 수 a, b (a0 (cid:8833) a>b
a-b=(2+'7 )-('5+'7 )
=2-'5='4-'5<0
(cid:100)(cid:100)∴ a0, b>0일 때, 'a<'b (cid:8833) a2이고 1<'3<2이
므로
② (cid:100)(cid:100)1+'2>'3
② '4=2이므로(cid:100)(cid:100)1+'2>2
③ 1+'2=2.414, '7=2.646이므로
② (cid:100)(cid:100)1+'2<'7
② 또 3='9이므로(cid:100)(cid:100)'7<'9(cid:100)(cid:100)∴ '7<3
④ '9=3
010 Check Up 풀이집
(cid:9000) ①
n¤ =25일 때,(cid:100)a=125
n¤ =36일 때,(cid:100)a=180
(cid:100)(cid:100)a=125 또는 a=180
따라서 구하는 합은
(cid:100)(cid:100)125+180=305
(cid:9000) 305
양수 A에 대하여
① A의 정수 부분이 한
자리 수이면
③ (cid:8825) 1…A<10
② A의 정수 부분이 두
자리 수이면
③ (cid:8825) 10…A<100
③ A의 정수 부분이 세
자리 수이면
③ (cid:8825) 100…A<1000
20
먼저 'ßx의 값의 범위를 구한다.
'ßx의 정수 부분이 두 자리 수이므로
(cid:100)(cid:100)10…'ßx<100
10="ç10¤ ='∂100, 100="√100¤ ='ƒ10000이므로
(cid:100)(cid:100)'∂100…'ßx<'ƒ10000
(cid:100)(cid:100)∴ 100…x<10000
(cid:100)(cid:100)(cid:9000) 100…x<10000
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지011 SinsagoHitec
21
근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱 (cid:8833) 유리수
1…x…100인 자연수 x에 대하여 'ßx가 유리수가
되는 경우는
(cid:100)(cid:100)'1=1, '4=2, '9=3, y, '∂100=10
따라서 1에서 100까지의 자연수 x 중에서 'ßx의 값이 무
리수가 되도록 하는 x의 개수는
(cid:100)(cid:100)100-10=90
(cid:9000) 90
22
먼저 'ß50, 'ß80의 앞, 뒤의 제곱수를 찾는다.
'∂49 <'∂50 <'∂64이므로(cid:100)(cid:100)7<'∂50 <8
(cid:100)(cid:100)∴ <50>=7
'∂64 <'∂80 <'∂81이므로(cid:100)(cid:100)8<'∂80 <9
(cid:100)(cid:100)∴ <80>=8
(cid:100)(cid:100)∴ <50>+<80>=7+8=15
(cid:9000) 15
23
반지름의 길이가 r인 원의 둘레의 길이 (cid:8833) 2pr
넓이가 p인 원의 반지름의 길이는 1이고, 원점과
점 A 사이의 거리는 원의 둘레의 길이와 같으므로
(cid:100)(cid:100)2p_1=2p
따라서 점 A에 대응하는 수는 2p이다.
(cid:9000) 2p
24
채점 기준
a, b의 부호 알기
주어진 식 간단히 하기
a-b<0, ab<0에서
(cid:100)(cid:100)a<0, b>0
▶ 2점
따라서 "≈a¤ =-a, "√(-b)¤ =b, "√(b-a)¤ =b-a이므로
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=-a+b-(b-a)
=-a+b-b+a
=0
25
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
우공비 B0X
기본서 25~27쪽
(cid:100)(cid:100)11+b=16(cid:100)(cid:100)∴ b=5
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=20+5=25
26
채점 기준
'5<'x<'∂13을 만족시키는 x의 값 구하기
4<'∂2x<6을 만족시키는 x의 값 구하기
자연수 x의 개수 구하기
'5<'ßx<'ß13에서 50, b<0
또는 a<0, b>0
그런데 a-b<0에서
a0
m-n의 값은 m의 값이
클수록, n의 값이 작을
수록 크다.
28
▶ 2점
(cid:9000) 0
배점
2점
2점
1점
⑴ (cid:8772)ABCD=
_4_4=8
;2!;
(cid:100) 따라서 (cid:8772)ABCD의 한 변의 길이는 '8이다. ▶ 2점
⑵ 점 P는 점 A에서 오른쪽으로 '8만큼 떨어진 점이므
▶ 1점
⑶ 점 Q는 점 A에서 왼쪽으로 '8만큼 떨어진 점이므로
▶ 1점
로 점 P의 좌표는(cid:100)(cid:100)-1+'8
점 Q의 좌표는 (cid:100)(cid:100)-1-'8
⑷ a=-1+'8, b=-1-'8이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)a+b=-1+'8+(-1-'8)=-2
▶ 1점
(cid:9000) ⑴ '8(cid:100) ⑵ P(-1+'8)
(cid:9000) ⑶ Q(-1-'8)(cid:100)⑷ -2
채점 기준
A와 B의 대소 비교하기
B와 C의 대소 비교하기
답 구하기
배점
1점
1점
2점
'ƒ120-a 는 가장 큰 자연수가 되어야 한다.
120보다 작은 (자연수)¤ 꼴의 수 중 가장 큰 수는 100이
10¤ =100, 11¤ =121
(cid:100)(cid:100)120-a=100(cid:100)(cid:100)∴ a=20
또 'ƒ11+b는 가장 작은 자연수가 되어야 한다.
11보다 큰 (자연수)¤ 꼴의 수 중 가장 작은 수는 16이므
▶ 2점
므로
로
3¤ =9, 4¤ =16
는 C이다.
A-B=('∂50-2)-5='∂50-7='∂50-'∂49>0
▶ 1점
(cid:100)(cid:100)∴ A>B
B-C=5-('∂15+1)=4-'∂15='∂16-'∂15>0
(cid:100)(cid:100)∴ B>C
▶ 1점
따라서 A>B>C이므로 가장 큰 수는 A, 가장 작은 수
▶ 2점
(cid:100)(cid:100)(cid:9000) A, C
Ⅰ.제곱근과 실수 011
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지012 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
Ⅰ
-2. 근호를 포함한 식의 계산
1. 제곱근의 곱셈과 나눗셈
0077 제곱근의 곱셈과 나눗셈 ⑴ 기본서 28~30쪽
익히기 1 ⑴ '2_'∂11='ƒ2_11='∂22
⑵ 3'2_5'3=3_5_'ƒ2_3=15'6
⑶
'∂40
'8
=Ƭ:¢8º:='5
⑷ 8'∂63÷2'7=8'∂63_
=;2*;_Ƭ:§7£:=12
1
2'7
(cid:9000) ⑴ '∂22(cid:100)⑵ 15'6(cid:100)⑶ '5(cid:100)⑷ 12
익히기 2 ⑴ '6_'8="ç ="√
5
20
2
16
=Ƭ =Æ;4%; =Ƭ
48
⑵
'∂20
'∂16
4
=
4
¤ _3= '3
'5
2
(cid:9000) 풀이 참조
유제 ❶ -1 ⑴ '3_'∂12='ƒ3_12='∂36="ç6¤ =6
⑵ 8'5_(-'2)=8_(-1)_'5∂_2
=-8'1å0
⑶ 4_5'2_2'7=4_5_2_'2∂_7=40'ß14
⑷ 2Æ;3*; Æ;4#;
=2Æ…;3*;
_;4#;=2'2
(cid:9000) ⑴ 6(cid:100)⑵ -8'1å0(cid:100)⑶ 40'ß14(cid:100)⑷ 2'2
유제 ❶ -2 ⑴ -2'ß21÷'3=-
2'ß21
'3
⑴ -2'ß21÷'3=-2'7
=-2Ƭ;;™3¡;;
⑵ 15'2÷3'3=15'2_
=;;¡3∞;;_Æ;3@;=5Æ;3@;
1
3'3
1
÷'6=Æ…;;¡5•;;_ =Ƭ;;¡5•;;_Æ;6!;
'6
=Æ;5#;
=Æ…;;¡5•;;_;6!;
'ß35
'6
'ß12
'ß35
'7
'6
=Ƭ;;¡7™;;_
;;£6∞;;='ß10
÷
=
_
÷
⑶
'ß18
'5
'ß12
'7
⑷
⑷
=Ƭ;;¡7™;;_Ƭ;;£6∞;;
유제 ❸ ⑴ æ–;8!1#;
=æ–
⑵ '∂0.17=Æ…;1¡0¶0;
=æ–
13
9¤
=
17
10¤
=
'ß13
9
'ß17
10
(cid:9000) ⑴
'ß13
9
(cid:100)⑵ 'ß17
10
유제 ❹-1 ⑴ 'ƒ2000 ='ƒ20_100 =10'ß20
=10_4.472=44.72
⑵ 'ƒ20000 ='ƒ2_10000=100'2
=100_1.414=141.4
⑶ '∂0.02 =æ≠
2
100
⑷ '∂0.2 =æ≠
20
100
=
'2
= =
10
'∂20
10
=
1.414
10
4.472
10
=0.1414
=0.4472
유제 ❹-2 ① '∂500="√5_100=10'5
=10_2.236=22.36
② '∂5000="√50_100=10'∂50
③ '∂125="√5¤ _5=5'5=5_2.236=11.18
'∂50
10
'5
= =
10
⑤ '∂0.05=æ≠
④ '∂0.5=æ≠
2.236
10
50
100
5
100
=0.2236
=
(cid:9000) ⑴ 44.72(cid:100)⑵ 141.4(cid:100)⑶ 0.1414(cid:100)⑷ 0.4472
'ß0.2=Æ…;1™0;로 고치면
10을 근호 밖으로 꺼낼
수 없으므로 Æ…;1™0º0;
로 고친다.
으
근호 안의 수를 소인수
분해한다.
(cid:9000) ②, ④
a>0, b>0일 때,
① "ça¤ b=a'b
② Ƭ = 'b
b
a¤
a
a>0, b>0일 때,
(cid:100)"a÷'b= =Ƭ
a
b
'a
'b
유제 ❺ -1 ⑴ '∂600='ƒ6_100=10'6=10a
⑵ 'ƒ6000='ƒ60_100=10'ß60=10b
⑶ '∂0.06=æ≠
6
100
'6
= =
10
⑷ 'ƒ0.006=æ≠
60
10000
=
=
b
100
a
10
'ß60
100
(cid:9000) ⑴ 10a(cid:100)⑵ 10b(cid:100)⑶
(cid:100)⑷
;1Å0;
;10B0;
유제 ❺ -2 '∂45="ç3¤ _5=3'5=3b
'∂98="ç7¤ _2=7'2=7a
(cid:100)(cid:100)∴ '∂45-'∂98=3b-7a
(cid:9000) 3b-7a
(cid:9000) ⑴ -2'7(cid:100)⑵ 5Æ;3@;
(cid:100)⑶ Æ;5#;
(cid:100)⑷ 'ß10
0088 제곱근의 곱셈과 나눗셈 ⑵ 기본서 31~32쪽
유제 ❷ ⑴ 'ß75="√5¤ _3 =5'3
⑵ -'ß80=-"√4¤ _5 =-4'5
⑶ 2'7="√2¤ _7='ß28
⑷ -3'5=-"√3¤ _5=-'ß45
012 Check Up 풀이집
(cid:9000) ⑴ 5'3(cid:100)⑵ -4'5(cid:100)⑶ 'ß28(cid:100)⑷ -'ß45
a>0, b>0일 때,
¤ b=a'b
"a≈
익히기 3
3
'ß18
=
3
"√3¤ _2
=
3
'23
=
1
'2
=
'2
'2_ '2
=
'2
2
(cid:9000) 풀이 참조
¤
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지013 SinsagoHitec
우공비 B0X
'3_'2
'2_'2
Æ;2#;= =
'3
'2
'6
2
=
근호 안의 제곱인 인
수를 근호 밖으로 꺼
낸 다음 분모를 유리
화한다.
기본서 28~33쪽
유제 ❼ ⑴ '5_'3÷'ß10='ß15÷'ß10
⑴ '5_'3÷'ß10=Æ…;1!0%;=Æ;2#;=
'6
2
⑵ 2'6÷'3_3'2=2'6_ _3'2
1
'3
⑶
÷
_
4'3
'2
'6
2'5
=6Æ…6_
1
'ß30
_2=6_2=12
=
;3!;
4'3
'2
=8Æ…;2#;
8
2'6
=
_
_
2'5
'6
1
'ß30
_
_
;3¡0;
;6%;
4
= =
'6
2'6
3
(cid:9000) ⑴
(cid:100)⑵ 12(cid:100)⑶
'6
2
2'6
3
S
t
e
p
U
p
.
Ⅰ
제
곱
근
과
실
수
⑷ -
익히기 4 ⑴
1
'7
4_'2
'2_'2
=
'7
'7_'7
4'2
2
=
=-
'3_'5
3'5_'5
=
=
'ß15
15
2'3_'∂10
'∂10_'∂10
2
4'3
'3
6
5'3
5'2
'6
2
=
=
=
2
"√4¤ _3
'3
2'3_'3
5'3
"√5¤ _2
'3_'2
'2_'2
=
4
'2
'3
3'5
=
2'3
'∂10
2
'ß48
=
5'3
'ß50
=
=
=
⑵
⑶
⑸
⑴
⑹
⑶
=
'7
7
=2'2
=
1
2'3
=
'3
'2
=-
=-
2'3ß0
10
'3ß0
5
(cid:9000) ⑴
'7
7
⑵ 2'2 ⑶
⑷ -
'ß30
5
⑸
'3
6
'ß15
15
⑹ '6
2
보충 학습
분모를 유리화할 때에는 근호 안을 가장 작은 자연수로 만
들고 분모, 분자에 무리수만 곱하면 계산이 간단하다.
⑹에서
5'3
'∂50
(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)
=
=
5'3_'∂50
'∂50_'∂50
"√5¤ _6
10
=
=
5'ƒ150
50
5'6
10
=
=
'6
2
'ƒ150
10
과 같이 하면 계산이 복잡하다.
-=
2'5
5
=
-=3'2
유제 ❻ -1 ①
=
2
'5
6_'2
'2_'2
2_'5
'5_'5
6'2
2
=
'1å5
10
'3_'5
2'5_'5
3
=
2'2
'5
2'3
=
3_'2
2'2_'2
'5_'3
2'3_'3
②
③
④
⑤
=
=
=
=
6
'2
'3
2'5
3
'8
'5
'1å2
=
3'2
4
=
'1å5
6
2Æ;2&;
=Æ…2¤ _
;2&;
='ß14
(cid:9000) ④
유제 ❻ -2
=
=
'5
'3ß2
'5
4'2
'5_'2
4'2_'2
=
'∂10
8
이므로
7'5
'1ß4
=
7'5_'1ß4
'1ß4_'1ß4
=
7'∂70
14
=
'∂70
2
이므로
(cid:100)(cid:100)a=;8!;
7'5
'2'7
(cid:100)(cid:100)b=;2!;
=
(cid:100)(cid:100)∴ ab=;8!;_;2!;=;1¡6;
(cid:9000) ;1¡6;
소단원성취도진단
기본서 33~34쪽
01 ④
06 ;5^;
02 3
03 ④
07 32.31 08 ②
04 ①
09 ⑤
11 -;3¡0; 12
15 ③
16
2'∂15
3
3'3
4
배
13 10b-
;10A0;
05 ②
10 1
14 ⑤
01
a>0, b>0일 때, 'a 'b='ßab, =Æ…
'b
'a
b
a
①
'ß10
'2
=Ƭ;;¡2º;;
='5
=Æ…;;£6∞;;_;7#;
② Ƭ;;£6∞;;_Æ;7#;
③ 4'2_3'5=4_3_'ƒ2_5=12'ß10
=Æ;2%;
④ 2'6_Ƭ;1¶2;=2Æ…6_
;1¶2;
⑤
÷
=
_
'ß14
'5
'7
'ß20
'ß14
'5
=2Æ;2&;
'ß20
'7
=Ƭ;;¡5¢;;_;;™7º;;='8
(cid:9000) ④
(cid:9000) 3
02
a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b
'9ß8 ="√7¤ _2=7'2이므로(cid:100)(cid:100)a=2
'∂125="√5¤ _5=5'5이므로(cid:100)(cid:100)b=5
(cid:100)(cid:100)∴ b-a=3
03
②
③
a>0, b>0일 때,
=
'ßab
a
'b
'a
=
① 'ß18="√3¤ _2=3'2
6_'2
6'2
6
2
'2
'2_'2
18
18
3'2
'ß18
6
= =
'2
=
=
=3'2
6_'2
'2_'2
=
6'2
2
=3'2
Ⅰ.제곱근과 실수 013
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지014 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
='ß18=3'2
(cid:9000) ④
3="≈3¤ =9
2'2="√2¤ _2='8
9'2
'3
6'3
'6
=
=
9'2_'3
'3_'3
6'3_'6
'6_'6
=
=
9'6
3
6'∂18
6
=3'6
a_b÷c=a_b
_;c!;
'5
_ ÷
3
Æ;4#;
'∂15
'2
= _ _
= _ _
'3
'4
'3
2
'5
3
'5
3
'2
'∂15
'2
'∂15
_Æ…3_5_;1™5;
=
=
;6!;
'2
6
④
⑤
04
05
06
09
보기의 수를 분모가 2인 수로 변형한다.
3'2
2
=
'∂18
2
=
① ;2#;=
'9
2
3_'2
'2_'2
'8
2'2
2
2
'3_'2
'2_'2
=
②
3
'2
=
③ '2=
⑤
'3
'2
=
'6
2
=
이때 '3<'6<'8<'9<'∂18이므로
'3
(cid:100)(cid:100) < <'2<;2#;<
'2
'3
2
3
'2
10
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
(cid:9000) ①
수는 ⑤이다.
따라서 수직선 위에 나타낼 때 왼쪽에서 두 번째에 있는
먼저 60을 소인수분해한다.
'6ß0 ="√2¤ _3_5 =2'3 '5=2ab
(cid:9000) ②
a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b
'ƒ0.08=Æ…;10*0;=Æ…;2™5;=æ≠ = 이므로
2
5¤
'2
5
(cid:100)(cid:100)a=;5!;
'ƒ180="√6¤ _5=6'5이므로(cid:100)(cid:100)b=6
(cid:100)(cid:100)∴ ab=;5!;_6=;5^;
07
채점 기준
1044를 소인수분해하기
제곱인 인수를 근호 밖으로 꺼내기
'ƒ1044의 값 구하기
1044=2¤ _3¤ _29
(cid:100)(cid:100)∴ 'ƒ1044="√2¤ _3¤ _29
=6'ß29
=6_5.385
=32.31
(cid:9000) ;5^;
배점
30%
40%
30%
▶ 30%
▶ 40%
▶ 30%
(cid:9000) 32.31
근호 안의 수의 소수점의 위치를 두 자리씩 이동시켜
08
본다.
① '0ƒ.014=æ≠
1.4
100
=
'1ß.4
10
=
'1ß4
10
② '∂0.14 =æ≠
14
100
③ '1∂40='1ƒ.4_100=10'1∂.4
④ '1ƒ4000='1ƒ.4_10000=100'1∂.4
⑤ '1ƒ400000='1ƒ.4_1000000=1000'1∂.4
014 Check Up 풀이집
a>0, b>0일 때,
(cid:100)Æ… = 'b
a
b
a¤
'ß20="√2¤ _5=2'5
6
'ß20
(cid:100)(cid:100)a=
=
'ß72
5'3
(cid:100)(cid:100)b=
;5#;
6'2
5'3
;5@;
=
6
2'5
3
= =
'5
3_'5
'5_'5
=
3'5
5
이므로
=
6'2_'3
5'3_'3
=
6'6
15
=
2'6
5
이므로
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=
+
=1
;5#;
;5@;
서술형 답안 작성 Tip
는 과정을 반드시 보여 준다.
분모의 유리화 과정에서 분모에 있는 무리수를 분자, 분모에 곱하
45=3¤ _5
50=5¤ _2
200=10¤ _2
11
a÷b_c=a_
_c
;b!;
'∂200
8
10'2
8
÷(-'ß50)_
=
_{-
1
5'2
}_
=-
=-
2
'ß45
2
3'5
1
6'5
'5
6'5_'5
'5
30
=-
(cid:100)(cid:100)∴ a=-;3¡0;
(직육면체의 부피)
=(밑면의 가로의 길이)
_(밑면의 세로의 길이)
_(높이)
(cid:9000) ②
12
채점 기준
직육면체의 부피를 공식을 이용하여 나타내기
직육면체의 높이 구하기
직육면체의 높이를 x라 하면
(cid:100)(cid:100)'2_'6_x='ß80
(cid:9000) ⑤
배점
40%
40%
20%
▶ 40%
▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000) 1
(cid:9000) -;3¡0;
배점
40%
60%
▶ 40%
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지015 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)∴ x=
(cid:100)(cid:100)∴ x=
=
'ß80
'ß12
2'5_'3
'3_'3
4'5
2'3
=
=
2'5
'3
2'ß15
3
13
a>0일 때, 'ƒ100a=10'a, Æ…;10A0; =
'a
10
'ƒ1700='ƒ17_100=10'ß17=10b
'ƒ0.00017=Æ…
1.7
10000
=
'∂1.7
100
=
(cid:100)(cid:100)∴ 'ƒ1700-'ƒ0.00017=10b-
a
100
a
100
우공비 B0X
2. 제곱근의 덧셈과 뺄셈
기본서 33~36쪽
▶ 60%
(cid:9000)
2'ß15
3
0099 제곱근의 덧셈과 뺄셈
기본서 35~36쪽
익히기 1 ⑴ 7'5+2'5=(7+2)'5=9'5
⑵ 3'3-5'3=(3-5)'3=-2'3
⑶ 2'2+'2-7'2=(2+1-7)'2=-4'2
⑷ 3'7-2'7+5'7=(3-2+5)'7=6'7
1_'2에서 1이 생략
된 것이다.
(cid:9000) ⑴ 9'5(cid:100)⑵ -2'3(cid:100)⑶ -4'2(cid:100)⑷ 6'7
S
t
e
p
U
p
.
Ⅰ
제
곱
근
과
실
수
(cid:9000) 10b-
a
100
주어진 식을 먼저 간단히
한 후, a의 값을 대입한다.
14
a>0, b>0일 때,
'ƒ1-a
'ƒ1+a
'ƒ1+a
'ƒ1-a
+
+
+
=
=
'∂ab
a
'b
'b_'a
'a
'a_'a
('ƒ1-a )¤ +('ƒ1+a )¤
'ƒ1+a 'ƒ1-a
(1-a)+(1+a)
"√1-a¤
2
"√1-a¤
=
=
=
'2
2
이므로 위의 식에 a= 를 대입하면
2
"√1-a¤
(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)
=2÷"√1-a¤ =2÷Æ…1-;4@; =2÷Æ;2!;
=2÷ =2_'2=2'2
(cid:9000) ⑤
1
'2
15
a>0일 때, "ça¤ =a
3'3
4
±_±2'2±÷±
=æ±
3'3
4
3
2'6
±_±2'2±_±
2'6
3
±_±2'2±÷±
=ø∑'∂36 ='6
(cid:9000) ③
æ±
æ±
16
채점 기준
정삼각형의 넓이 구하기
정사각형의 넓이 구하기
답 구하기
배점
30%
40%
30%
익히기 2 ⑴ '2å7+'1å2=3'3+2'3
=(3+2)'3=5'3
⑵ '4å5-'2å0=3'5-2'5
=(3-2)'5='5
⑶ '8+'5å0-'2=2'2+5'2-'2
=(2+5-1)'2=6'2
⑷ 2'3-'4å8+'ß75=2'3-4'3+5'3
=(2-4+5)'3=3'3
(cid:9000) ⑴ 5'3(cid:100)⑵ '5(cid:100)⑶ 6'2(cid:100)⑷ 3'3
유제 ❶-1 ⑴ 5'7+2'7-10'7=(5+2-10)'7
⑵ - +
'3
10
3'3
2
'3
5
={;5!;
-
;1¡0;
=-3'7
;2#;}'3
+
+
;1!0%;}'3
={;1™0;-;1¡0;
8'3
5
=
⑶
3'5
4
-
5'5
2
+
5'5
4
={;4#;
-
;2%;
+
;4%;}'5
={;4#;
-
;;¡4º;;
+
;4%;}'5
=-
'5
2
(cid:9000) ⑴ -3'7(cid:100)⑵
8'3
5
(cid:100)⑶ - '5
2
(정삼각형의 넓이)=;2!;_a_ a= a¤ ▶ 30%
(삼각형의 넓이)
'3
2
'3
4
정사각형의 한 변의 길이를 b라 하면(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)3a=4b(cid:100)(cid:100)∴ b=;4#;a
따라서 정사각형의 넓이는 b¤ =;1ª6;a¤ 이므로
▶ 40%
(cid:100)(cid:100)b¤ ÷ a¤ =;1ª6;a¤ _
'3
4
4
'3a¤
=
3'3
4
근호 안의 수가 같은
것끼리 묶어 계산한다.
=;2!;_(밑변의 길이)
_(높이)
유제 ❶-2 ⑴ 'ß30-2'ß10-4'ß30-'ß10
(cid:100) (cid:100)(cid:100)` (cid:100)`=(-2-1)'ß10+(1-4)'ß30
(cid:100) (cid:100)(cid:100)` (cid:100)`=-3'ß10-3'ß30
⑵ 3'6+ -2'6-5'3={;2!;
'3
2
-5}'3+(3-2)'6
9'3
2
+'6
=-
(cid:9000) ⑴ -3'ß10-3'ß30(cid:100)⑵ -
9'3
2
+'6
▶ 30%
(cid:9000)
3'3
4
배
a>0, b>0일 때,
(cid:100)"ça¤ b=a'b
(cid:100)(cid:100)∴ a=8
유제 ❷-1 '∂72+'∂50-'∂18=6'2+5'2-3'2
=(6+5-3)'2=8'2
(cid:9000) 8
Ⅰ.제곱근과 실수 015
±
±
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지016 SinsagoHitec
Step Up
기본서
유제 ❷-2 A='2å4+'5å4=2'6+3'6
=(2+3)'6=5'6
'4å5
2
5'5
3
=
-
3'5
2
-
B=
'1∂25
3
B=
{;3%;-;2#;}'5=
{:¡6º:-;6(;}'5=
'5
6
(cid:100)(cid:100)∴ A+6B=5'6+6_ =5'6+'5
'5
6
우공비 B0X
(cid:9000) 5'6+'5
근호 안의 수가 다르
므로 더 이상 간단히
할 수 없다.
유제 ❹
-
'3
'3
'5+'3
'5-'3
'3 ('5-'3 )-'3 ('5+'3 )
('5+'3 )('5-'3)
=
=
('∂15-3)-('∂15+3)
2
=-3
따라서 a=-3, b=0이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=-3+0=-3
유제 ❺ -1 '4<'6<'9에서 2<'6<3이므로
(cid:100)(cid:100)'6=2.×××
즉 '6의 정수 부분이 2이므로
(cid:100)(cid:100)a=2, b='6-2
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=2-('6-2)=4-'6
(cid:9000) ①
(cid:9000) 4-'6
2'ß48=2"√4¤ _3
=2_4'3
=8'3
3
='3,
'6
'2
2
='2
'6
'3
부등식의 각 변에 같은 수
를 더해도 부등호의 방향
은 바뀌지 않는다.
유제 ❺ -2 '1<'2<'4에서 1<'2<2이므로
(cid:100)(cid:100)'2=1.×××
즉 '2의 정수 부분은 1이므로
(cid:100)(cid:100)a='2-1
'4<'7<'9에서 2<'7<3이므로
(cid:100)(cid:100)3<'7+1<4
즉 '7+1=3.×××이므로
(cid:100)(cid:100)b=3
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=('2-1)+3=2+'2
(cid:9000) 2+'2
유제 ❻ a+b=('3+'2)+('3-'2)=2'3,
ab=('3+'2)('3-'2 )=1이므로
(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ -ab=(a+b)¤ -3ab
=(2'3 )¤ -3_1
=9
(cid:9000) ⑤
유제 ❼ x=
'2 -1
('2+1)('2-1)
='2-1
이므로
(cid:100)(cid:100)x+1='2,(cid:100)(cid:100)(x+1)¤ =2
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +2x=1
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +2x-4=1-4=-3
유제 ❽ AB”='∂45=3'5 (cm),
BC”='∂20=2'5 (cm),
CD”='5(cm)
(cid:100)(cid:100)∴ AD”=AB”+BC”+CD”
=3'5+2'5+'5
=6'5(cm)
(cid:9000) ③
(cid:9000) 6'5 cm
x¤ +2x+1=2이므로
(cid:100)x¤ +2x=1
넓이가 a인 정사각형의 한
변의 길이
(cid:8825) 'ßa
1100 근호를 포함한 복잡한 식의 계산 기본서 37~39쪽
익히기 3 ⑴ (2+'6 )'3=2'3+'6'3=2'3+'1ß8
=2'3+3'2
⑵ '2ß4 ('3-2'2 )='2ß4 '3-2'2ß4 '2
='7ß2 -2'4ß8=6'2-8'3
=4'2-3'2='2
⑷ '6 { + }= + ='3+'2
6
⑶ '3ß2 - =4'2 -
'2
6'2
2
'6
'2
1
'2
1
'6
'3
'3
⑸ '2(5-'5)+'5(2'2-'ß10)
=5'2-'ß10+2'ß10-'ß50
=5'2-'ß10+2'ß10-5'2='ß10
⑹ '3('ß15+'ß12)-'5(2-'ß20)
='ß45+'ß36-2'5+'∂100
=3'5+6-2'5+10='5+16
(cid:9000) ⑴ 2'3+3'2(cid:100)⑵ 6'2-8'3(cid:100)⑶ '2
(cid:9000) ⑷ '3+'2(cid:100) ⑸ 'ß10(cid:100) ` ⑹ '5+16
유제 ❸ ⑴
-('8+'ß45)_'2
5'2-'5
'5
=
=
(5'2-'5)_'5
'5_'5
5'ß10-5
5
-(4+3'ß10)
-('ß16+'ß90)
='ß10-1-4-3'ß10
=-5-2'ß10
1
'3
⑵ 'ß75 {'6+ }+('ß24-'ß27)÷'3
=5'3_'6+5'3_ +
1
'3
2'6-3'3
'3
=5'ß18+5+2'2-3
=15'2+5+2'2-3
=17'2+2
016 Check Up 풀이집
(cid:9000) ⑴ -5-2'ß10 ⑵ 17'2+2
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지017 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)3+0+(-4)=-1
(cid:9000) -1
보충 학습
6_'3
'3_'3
=
6'3
3
=2'3
소단원성취도진단
기본서 40~41쪽
01 ④
06 ④
11 ⑤
15 11
02 -1
07 5
03 -5
08 ①
04 ⑤
09 ⑤
12'∂35
35
13
12 ③
16 5+3'2
05 '∂15
10 '3
14 ②
01
a+
;a!;
x>0일 때, =
'ßx
x
1
'ßx
1
='5+ ='5+
'5
'5
5
'5
'5_'5
='5+ ={1+;5!;}'5=
(cid:9000) ④
6'5
5
02
a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b
㈎ '4ß8 +'1ß2 =4'3+2'3=6"√
3
㈏ 2'8-'3ß2 =4'2-4'2=
0
㈐
6
'3
-'∂108 =2'3-6'3= '3
-4
따라서 (cid:8641) 안에 알맞은 세 유리수의 합은
m, n, l은 유리수이고, 'ßa 는 무리수일 때,
03
(cid:8833) m'a+n'a-l'a=(m+n-l)'a
'ß27+2'ß12-a'3-'ß108
=3'3+4'3-a'3-6'3
=(3+4-a-6)'3
=(1-a)'3
즉 (1-a)'3=6'3이므로(cid:100)(cid:100)1-a=6
(cid:100)(cid:100)∴ a=-5
(cid:9000) -5
04
(cid:8833)
a>0, b>0, c>0일 때,
('b+'c )_'a
'a_'a
=
=
'∂ab+'∂ac
a
'b+'c
'a
2'3 -3'2
'6
+'3=
+'3=
(2'3 -3'2)_'6
'6_'6
2'∂18 -3'∂12
6
+'3
+'3
+'3=
2_3'2 -3_2'3
6
+'3
+'3='2-'3+'3='2
(cid:9000) ⑤
05
채점 기준
a+b의 값 구하기
a-b의 값 구하기
(a+b)(a-b)의 값 구하기
배점
40%
40%
20%
a+b=
'3+'5
2
+
'3-'5
2
=
2'3
2
='3 ▶ 40%
우공비 B0X
두 실수 a, b에 대하여
① a-b>0 (cid:8825) a>b
② a-b=0 (cid:8825) a=b
③ a-b<0 (cid:8825) a0
② (cid:100)(cid:100)∴ 5>2'6
② 4-(2+'3 )=2-'3='4-'3>0
② (cid:100)(cid:100)∴ 4>2+'3
③ ('5-1)-('6-1)='5-1-'6+1='5-'6<0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ '5-1<'6-1
④ (6'2-4)-('2+3)=6'2-4-'2-3
=5'2-7='ß50-'ß49>0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 6'2-4>'2+3
⑤ (3'2-'3 )-('2+'3)=3'2-'3-'2-'3
=2'2-2'3
='8-'ß12<0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 3'2-'3<'2+'3
(cid:9000) ④
a>0, b>0일 때, a와 'b의 대소는
[방법 1] "ça¤ 과 'b를 비교
[방법 2] a¤ 과 b를 비교
07
채점 기준
주어진 식 간단히 하기
a, b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
(3+'ß27)'2+'3('6-'ß32)
=3'2+'ß54+'1å8-'9å6
=3'2+3'6+3'2-4'6
=6'2-'6
따라서 a=6, b=-1이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=6+(-1)=5
배점
50%
30%
20%
▶ 50%
▶ 30%
▶ 20%
(cid:9000) 5
08
a>0, b>0, c>0일 때,(cid:100)'a('b+'c )='aßb+'aåc
'5a-'7b='5 (3'5-'7 )-'7(-'5+5'7 )
=15-'ß35+'ß35-35=-20
(cid:9000) ①
09
a>0, b>0일 때,
=æ;aB;
'b
'a
'6+'1ß0
'2
+
'7ß5-
2'1ß5
'3
=5'3-2'5+'3+'5
=6'3-'5=6a-b
5
'ß10
'2
3
+
'6
'2
='3+'5
(cid:9000) ⑤
Ⅰ.제곱근과 실수 017
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지018 SinsagoHitec
Step Up
기본서
10
'a의 소수 부분 (cid:8833) 'a-('a의 정수 부분)
우공비 B0X
='3
(cid:9000) '3
1<'3<2에서 3<2+'3<4이므로
(cid:100)(cid:100)a=3, b=(2+'3)-3='3-1
3
= =
'3
3_'3
'3_'3
a
b+1
(cid:100)(cid:100)∴
=
3'3
3
11
x=a+'b (cid:8833) (x-a)¤ =b
x-1='5이므로(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =5
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -2x=4
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -2x+'ß80=4+4'5
12
a>0, b>0일 때, "aç
¤ b =a'b
직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은
(cid:100)(cid:100)4('ß54+'ß150+'ß24 )=4(3'6+5'6+2'6 )
=4_10'6
=40'6
13
먼저 x+y, x-y의 값을 구한다.
x+y=
'7+'5
2
+
'7-'5
2
=
2'7
2
='7
'7+'5
2
-
'7-'5
2
=
2'5
2
='5
x-y=
이므로
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=
'7+'5
'7
+
'7-'5
'5
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=
('7+'5)_'7
'7_'7
+
('7-'5)_'5
'5_'5
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=1+
+
'∂35-5
5
+
'∂35
5
-1
7+'∂35
7
'∂35
7
12'∂35
35
=
(cid:9000)
12'∂35
35
14
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
1
{x- }
x
1
¤ -4=(2'5)¤ -4=16
¤ ={x+ }
x
1
x
01
1
x
이므로
1
(cid:100)x- <0
x
(cid:9000) ②
배점
30%
30%
30%
10%
01
a>0, b>0일 때, 'a'b='∂ab, =Æ;aB;
'5
'2_ ÷
'3
'1å0
'1å2
'b
'a
'ß12
'ß10
=Æ…2_;3%;_;1!0@; ='4=2 (cid:9000) ③
='2_ _
'5
'3
02
a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b
'2∂16="√6¤ _6=6'6(cid:100)(cid:100)∴ a=6
'∂98="√7¤ _2=7'2(cid:100)(cid:100)∴ b=7
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=13
(cid:9000) ④
(a-b)(a+b)
▶ 30%
=a¤ -b¤
03
a>0, b>0일 때,
'b
'a
=Æ;aB;
명함의 세로의 길이를 xcm라 하면
D1001우중수3상_정(001-021) 2014.10.1 12:34 PM 페이지019 SinsagoHitec
S
t
e
p
U
p
.
Ⅰ
제
곱
근
과
실
수
(cid:100)(cid:100)'5å1 : x='3 : 1,(cid:100)(cid:100)'3x='5å1
(cid:100)(cid:100)∴ x=
=Ƭ;;∞3¡;;
='1å7
'5å1
'3
04
a>0, b>0일 때, æ =
b
a¤
'b
a
'∂0.12=Æ…;1¡0™0;=
'ß12
'∂100
=
2'3
10
=
'3
5
(cid:100)(cid:100)∴ k=;5!;
05
a>0일 때, Æ…;100A00; =
'a
100
'0ƒ.002=æ;1≠0™0º00; =
'2å0
100
'0ƒ.002 =
4.472
100
=0.04472
06
a>0, b>0일 때, Ƭ =
b
a¤
'b
a
우공비 B0X
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
'∂12
'ƒ100
=
=
√2¤ _3
"√
"ç10¤
2'3
10
실수 a, b에 대하여
① a-b>0 (cid:8825) a>b
② a-b=0 (cid:8825) a=b
③ a-b<0 (cid:8825) a0, b>0일 때, 'a'b='aåb, =Æ;aB;
① '8_'7='5å6="2√
② Æ;7@; _Æ;4&; =Æ;7@;¬_;4&; =Æ;2!; = =
1
'2
'2
2
'b
'a
¤ _14=2'1å4
=Ƭ;2∞0;=Æ;4!;=;2!;
③
'5
'ß20
④ æ;3$; = =
2
'3
2'3
3
=
2_'3
'3_'3
'ß27
'3
⑤ -'2å7÷'3=-
=-Æ:™3¶
Δ:=-'9=-3
(cid:9000) ②
b
'a
3_'7
'7_'7
'3_'7
'7_'7
=
b'a
a
=
3'7
7
'2å1
7
=
=
'6å3
7
08
a>0일 때,
② Æ;7#;= =
①
=
3
'7
'3
'7
'9
7
④ ;7#;=
⑤
=
'2å1
7
'3
'7
3'7="√3¤ _7
='∂63
따라서 '3<'9<'∂21<'∂63이므로 가장 큰 수는 ①이다.
(cid:9000) ①
09
a>0, b>0, c>0일 때,
'a÷'b_'c='a_ _'c=Ƭ
ac
b
1
'b
a=4이면 주어진 식의
값은 2이므로 유리수
가 된다.
기본서 41~43쪽
'5
'3
'5
÷Ƭ;7™5; _'∂18= _Ƭ:¶2∞:_'∂18
'3
÷Ƭ;7™5; _'∂18=Æ…;3%; _:¶2∞:_18
÷Ƭ;7™5; _'∂18=15'5
(cid:9000) ⑤
10
a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b
'ß48-'ß50+'ß98-'∂108=4'3-5'2+7'2-6'3
=2'2-2'3
따라서 a=2, b=-2이므로
(cid:100)(cid:100)ab=2_(-2)=-4
(cid:9000) ②
11
두 수a, b 의 대소 비교 (cid:8833) a-b의 부호를 조사
a-b=4-(5'2-2)=4-5'2+2
a-a=6-5'2='3å6-'5å0<0
(cid:100)(cid:100)∴ a0
(cid:100)(cid:100)∴ b>c(cid:100)(cid:100)
a-c=4-(2'2+2)=4-2'2-2
a-c=2-2'2='4-'8<0
(cid:100)(cid:100)∴ a0, b>0일 때,
'a'b='aßb
(cid:9000) ④
(cid:9000) 9
=3'3+2'3+4'3+9'3
=18'3 (cm)
20
a>0, b>0일 때,(cid:100)"ça¤ b=a'b
'ß63="√3¤ _7=3'7이므로(cid:100)(cid:100)a=3
'ß162="√9¤ _2=9'2이므로(cid:100)(cid:100)b=9
(cid:100)(cid:100)∴ '∂3ab='ƒ3_3_9='ß81=9
21
"√(a-b)¤ =
a-b (aæb)
-a+b (a0, 5-3'6<0
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=(5-2'6)-(5-3'6)
=5-2'6-5+3'6
='6
(cid:9000) '6
22
a>0, b>0일 때, 'a÷'b=æ;bA;
A={3'3+
5'3
3
1
}_ =
'3
14'3
3
_
1
'3
A=:¡3¢:
B=4'3+4-4'3+3=7
(cid:100)(cid:100)∴ "≈A÷"≈B=Æ;;¡3˚
¢;;÷'7=Æ;;¡3˚
¢;;_
1
'7
'2
'3
=Æ;;¡3¢
…;;_;7!; =Æ;3@; =
'6
3
=
(cid:9000) '6
3
14중3상해설1단원(001-021)-OK 2014.10.1 5:16 PM 페이지021 SinsagoHitec
(a+b)(a-b)=a¤ -b¤ 임을 이용하여 분모를 유리
23
화한다.
(주어진 식)
=
'1-'2
('1+'2)('1-'2)
+y+
+
'2-'3
('2+'3)('2-'3)
'∂99-'∂100
('∂99+'∂100)('∂99-'∂100)
=-('1-'2)-('2-'3)-y-('∂99-'∂100)
=-1+'2-'2+'3-y-'∂99+'∂100
=-1+10=9
(cid:9000) 9
(직사각형의 둘레의 길이)
24
(cid:100)(cid:100) ``=2_{(가로의 길이)+(세로의 길이)}
놀이터의 세로의 길이를 x m라 하면
(cid:100)(cid:100)5'6_x=90
=
(cid:100)(cid:100)∴ x=
90_'6
5'6_'6
90
5'6
따라서 놀이터의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2(5'6+3'6)=2_8'6=16'6 (m) (cid:9000) 16'6 m
=3'6
배점
1점
1점
2점
▶ 1점
▶ 1점
25
채점 기준
A의 분모를 유리화하기
B의 분모를 유리화하기
(A+B)(A-B)의 값 구하기
⑴ A=
⑴ A=
'3+'2
'5
=
'ß15+'ß10
5
('3+'2)_'5
'5_'5
⑵ B=
'3-'2
'5
=
=
('3-'2)_'5
'5_'5
'ß15-'ß10
5
⑶ A+B =
⑶ A-B=
'ß15+'ß10
5
'ß15+'ß10
5
+
-
⑶ (cid:100)(cid:100)∴ (A+B)(A-B)=
_
=
=
2'ß15
5
2'ß10
5
2'ß10
5
4_5'6
25
'ß15-'ß10
5
'ß15-'ß10
5
2'ß15
5
4'ß150
25
4'6
5
'ß15-'ß10
5
(cid:100)⑵
=
=
=
(cid:100)⑶
(cid:9000) ⑴
'ß15+'ß10
5
26
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
x, y의 값 구하기
우공비 B0X
어떤 수의 소수 부분
은 그 수에서 정수 부
분을 뺀 것과 같다.
=
1
'a+'∂a+1
∂a+1
'a-'ƒ
('a+'∂a+1)('a-'∂
'a-'∂a+1
a-(a+1)
=-('a-'∂a+1)
=
∂a+1)
기본서 43~45쪽
⑴ '9<'ß14<'ß16에서 3<'ß14<4이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)'ß14=3.×××
(cid:100) 따라서 'ß14의 정수 부분은 3이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)a='ß14-3
⑵ 2'3='ß12이고 '9<'ß12<'ß16, 즉 3<'ß12<4이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)7<4+'ß12<8
(cid:100) 따라서 4+2'3=7.×××이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)b=7
▶ 2점
▶ 2점
⑶ a+:¡b¢:='1å4-3+
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-1, y=1
:¡7¢:
='∂14-3+2=-1+'∂14
▶ 1점
(cid:9000) ⑴ 'ß14-3(cid:100)⑵ 7(cid:100)⑶ x=-1, y=1
S
t
e
p
U
p
.
Ⅰ
제
곱
근
과
실
수
x>1이므로
1
(cid:100)0< <1
x
(cid:100)∴ x- >0
1
x
27
채점 기준
x+ 의 값 구하기
{x- }
1
x
의 값 구하기
x- 의 값 구하기
1
x
1
x
x¤ -3'6x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면
1
x
1
(cid:100)(cid:100)x-3'6+ =0(cid:100)(cid:100)∴ x+ =3'6
x
1
¤ ={x+ }
x
1
x
1
(cid:100)(cid:100){x- }
x
x>1이므로(cid:100)(cid:100)x- >0
¤ -4=(3'6)¤ -4=50 ▶ 1점
1
(cid:100)(cid:100)∴ x- ='∂50=5'2
x
28
채점 기준
x의 값 구하기
x¤ -8x의 값 구하기
x¤ -8x+15의 값 구하기
x=(2'5-3)('5+2)=10+4'5-3'5-6
x=4+'5
x-4='5이므로(cid:100)(cid:100)(x-4)¤ =5
(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+16=5(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -8x=-11
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -8x+15=-11+15=4
배점
2점
1점
1점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 5'2
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 4
배점
3점
2점
▶ 2점
4'6
5
배점
2점
2점
1점
1에 대응하는 점에서
'2만큼 왼쪽으로 떨어
진 점에 대응하는 수
이다.
2에 대응하는 점에서
'2만큼 오른쪽으로 떨
어진 점에 대응하는
수이다.
29
채점 기준
a, b의 값 구하기
b-a의 값 구하기
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는
'2이므로
(cid:100)(cid:100)a=1-'2, b=2+'2
(cid:100)(cid:100)∴ b-a=(2+'2)-(1-'2)=1+2'2
▶ 3점
▶ 2점
(cid:9000) 1+2'2
Ⅰ.제곱근과 실수 021
¤
D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지022 SinsagoHitec
x¤ +ax+b가 완전제곱식
이 되도록 하는 조건
유제 ❹ ⑴ a¤ -6a+
=a¤ -2_a_3+
, :.
, :.
(cid:9000) 풀이 참조
(cid:8825) b={;2A;}
우공비 B0X
먼저 공통인수를 묶어
낸다.
Step Up
기본서
Ⅱ
-1. 인수분해
1. 인수분해의 뜻과 공식
1111 인수분해와 공통인수
기본서 48~49쪽
익히기 1 (cid:9000) ⑴ x‹ +x(cid:100)⑵ x¤ -2x-3(cid:100)
⑶ a¤ +4ab+4b¤
익히기 2 16ax+2ay= _8x+ _y
2a
2a
=
2a(8x+y)
유제 ❶-1 (cid:9000) ④
유제 ❶-2 (cid:9000) ㈀, ㈂, ㈄
유제 ❷ ⑴ x¤ -xy=x_x-x_y=x(x-y)
⑵ 3a+ab-ac=a_3+a_b-a_c
=a(3+b-c)
⑶ ab¤ -2a¤ b+5ab=ab_b-ab_2a+ab_5
⑶ ab¤ -2a¤ b+5ab=ab(b-2a+5)
⑷ 6a(x-1)-b(1-x)=6a(x-1)+b(x-1)
이차항의 계수가 1이
아니므로
¤ =36
(cid:100)(cid:8641)={;;¡2™;;}
으로 계산하지 않도록
주의한다.
다항식에 공통인수가 있을
때에는 분배법칙을 이용하
여 공통인수를 묶어 내어
인수분해한다.
=(x-1)_6a+(x-1)_b
=(x-1)(6a+b)
(cid:9000) ⑴ x(x-y)
⑵ a(3+b-c)
(cid:9000) ⑶ ab(b-2a+5) ⑷ (x-1)(6a+b)
1122 인수분해 공식 ⑴
기본서 50~51쪽
익히기 3 ⑴ x¤ +4x+4=x¤ +2_x_2+2¤ =(x+2)¤
⑵ 9x¤ -6x+1=(3x)¤ -2_3x_1+1¤
⑵ 9x¤ -6x+1=(3x-1)¤
⑶ a¤ +a+;4!;=a¤ +2_a_;2!;+{;2!;}
⑷ x¤ -16=x¤ -4¤ =(x+4)(x-4)
¤ ={a+;2!;}
⑸ ;4!;x¤ -;2¡5;={;2!;x}2 -{;5!;}2 ={;2!;x+;5!;} {;2!;x-;5!;}
⑹ 9a¤ -b¤ =(3a)¤ -b¤ =(3a+b)(3a-b)
` (cid:9000) ⑴ (x+2)¤
⑵ (3x-1)¤
` (cid:9000) ⑶ {a+;2!;}
⑷ (x+4)(x-4)
` (cid:9000) ⑸ {;2!;x+;5!;} {;2!;x-;5!;} ⑹ (3a+b)(3a-b)
유제 ❸ ① a¤ +14ab+49b¤ =a¤ +2_a_7b+(7b)¤
=(a+7b)¤
② 4x¤ -12x+9=(2x)¤ -2_2x_3+3¤
=(2x-3)¤
022 Check Up 풀이집
③ -3a¤ +18a-27=-3(a¤ -6a+9)
⑷ -3a¤ +24a-48=-3(a¤ -2_a_3+3¤ )
⑷ -3a¤ +24a-48=-3(a-3)¤
④ ;4!;x¤ -2xy+4y¤ ={;2!;x}
¤ -2_;2!;x_2y+(2y)¤
④ ;4!;x¤ -2xy+4y¤ ={;2!;x-2y}
따라서 완전제곱식으로 인수분해할 수 없는 것은 ⑤이
다.
(cid:9000) ⑤
=(3x)¤ +2_3x_2+
, :.
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴
, :.
⑵ 9x¤ +12x+
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴
=3¤ =9
, :.
=2¤ =4
⑶ 25x¤ +
+4=(5x)¤ +
+2¤
, :.
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴
=—2_5x_2=—20x
, :.
, :.
, :.
(cid:9000) ⑴ 9(cid:100)⑵ 4(cid:100)⑶ —20x
유제 ❺ ⑴ 16x¤ -y¤ =(4x)¤ -y¤ =(4x+y)(4x-y)
⑵ 4a¤ -49b¤ =(2a)¤ -(7b)¤ =(2a+7b)(2a-7b)
⑶ -9x¤ +;3¡6;=-{9x¤ -;3¡6;}=-[(3x)¤ -{;6!;}
]
⑶ -9x¤ +;3¡6;=-{3x+;6!;} {3x-;6!;}
(cid:9000) ⑴ (4x+y)(4x-y)(cid:100)⑵ (2a+7b)(2a-7b)
(cid:9000) ⑶ -{3x+;6!;} {3x-;6!;}
1133 인수분해 공식 ⑵
기본서 52~54쪽
익히기 4 ⑴ 곱이 5, 합이 -6인 두 정수는 -1, -5이
므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -6x+5=(x-1)(x-5)
⑵ 곱이 -15, 합이 2인 두 정수는 -3, 5이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ +2x-15=(x-3)(x+5)
⑶ 곱이 -14, 합이 -5인 두 정수는 2, -7이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -5x-14=(x+2)(x-7)
(cid:9000) ⑴ -1과 -5, (x-1)(x-5)
(cid:9000) ⑵ -3과 5, (x-3)(x+5)
(cid:9000) ⑶ 2와 -7, (x+2)(x-7)
2
익히기 5 ⑴ 2x¤ -5x-12=(x-4)(2x+3)
(cid:100)(cid:100)(cid:100) 1
-4
,
2 ⁄¤
(cid:100)(cid:100)(cid:100) 2
,
(cid:100)(cid:100)(cid:100) 1
:. ⁄ ,
3
:. ⁄ ,
-5
-8
:.
3
3
:.
,
:. ⁄ ,
:.
¤
L
L
L
L
L
L
¤
¤
¤
¤
D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지023 SinsagoHitec
⑵ 6x¤ -13x+5=(2x-1)(3x-5)
(cid:100)(cid:100)(cid:100)
,
(cid:100)(cid:100)(cid:100)
,
(cid:100)(cid:100)(cid:100)
,
2
3
3
:.
:.
:.
2
-1
2 ⁄¤
-5
-5
-
3
⁄ ,
-1
-1
⁄ ,
⁄ ,
:.
0
:.
3
:.
우공비 B0X
기본서 48~55쪽
유제 ❾-1 9x¤ +12xy+4y¤ =(3x+2y)¤
이므로 정사각형의 한 변의 길이는 3x+2y이다.
따라서 구하는 둘레의 길이는
(cid:9000) 풀이 참조
(cid:100)(cid:100)4(3x+2y)=12x+8y
(cid:9000) 12x+8y
유제 ❻-1 ⑴ 곱이 10, 합이 -7인 두 정수는 -2, -5
유제 ❾-2 도형 A의 넓이는(cid:100)(cid:100)x¤ -2¤
(cid:100) 이므로(cid:100)(cid:100)x¤ -7x+10=(x-2)(x-5)
이때 x¤ -2¤ =(x+2)(x-2)이므로 도형 B의 짧은 변
⑵ 곱이 -30, 합이 -1인 두 정수는 5, -6이므로
의 길이는 x-2이다.
(cid:9000) x-2
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y¤ -y-30=(y+5)(y-6)
⑶ 곱이 12, 합이 7인 두 정수는 3, 4이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ +7xy+12y¤ =(x+3y)(x+4y)
⑷ 곱이 21, 합이 -10인 두 정수는 -3, -7이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)a¤ -10ab+21b¤ =(a-3b)(a-7b)
(cid:9000) ⑴ (x-2)(x-5)(cid:100) ⑵ (y+5)(y-6)
(cid:9000) ⑶ (x+3y)(x+4y) ⑷ (a-3b)(a-7b)
y를 빠뜨리지 않도록
주의한다.
유제 ❻-2 (x+4)(x+b)=x¤ +(4+b)x+4b이므로
(cid:100)(cid:100)4+b=a, 4b=20(cid:100)(cid:100)∴ a=9, b=5
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=9-5=4
(cid:9000) ④
4b=20에서 b=5이므
로(cid:100)(cid:100)a=4+5=9
S
t
e
p
U
p
.
Ⅱ
식
의
계
산
소단원성취도진단
기본서 55~56쪽
01 ③, ④ 02 ③
07 12
06 ③
11 8x-2 12 16
14 ⑴ x¤ +4x-12 ⑵ (x-2)(x+6)
03 ①
08 ④
13 ⑤
04 ⑤
09 ①
05 7
10 6
01
다항식의 곱으로 나타내기 (cid:8833) 인수분해
① 좌변의 식을 우변의 식으로 나타내는 것을 인수
② 우변의 식을 좌변의 식으로 나타내는 것을 전개한다
분해한다고 한다.
고 한다.
⑤ x¤ y는 xy(x-3)의 인수가 아니다.
(cid:9000) ③, ④
02
03
(직사각형의 넓이)=(가로의 길이)_(세로의 길이)
1개의 정사각형과 3개의 작은 직사각형의 넓이의
합은 (cid:100)(cid:100)x¤ +3_x_1=x¤ +3x
큰 직사각형의 넓이는(cid:100)(cid:100)x(x+3)
따라서 x¤ +3x=x(x+3)이므로 x¤ +3x의 인수분해를
나타낼 수 있다.
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
공통인수로 묶을 때 수는
최대공약수로, 문자는 차
수가 낮은 것으로 묶는다.
인수 (cid:8833) 다항식의 곱의 꼴에서 각각의 식
2a‹ -8a¤ b=2a¤ _a-2a¤ _4b=2a¤ (a-4b)
따라서 인수가 아닌 것은 ③이다.
유제 ❼-1 ⑴ 1 -4
2
-12
2 ⁄¤
(cid:100) 3 2
- 2
(cid:100) 1 2
-10
⁄
⁄
⁄
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 3x¤ -10x-8=(x-4)(3x+2)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 6x¤ -x-2=(2x+1)(3x-2)
⑵ 2 1
2
3
(cid:100) 3 -2
-4
2 ⁄¤
(cid:100) 1 2
-1
⑶ 3 1
2
4
(cid:100) 4 -3
-9
2 ⁄¤
(cid:100) 1 2
-5
⑷ 1 5
2
10
(cid:100) 2 -3
-3
2 ⁄¤
(cid:100) 1 2
7
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 12x¤ -5x-3=(3x+1)(4x-3)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 2a¤ +7ab-15b¤ =(a+5b)(2a-3b)
(cid:9000) ⑴ (x-4)(3x+2)(cid:100)(cid:100)⑵ (2x+1)(3x-2)
(cid:9000) ⑶ (3x+1)(4x-3)(cid:100)⑷ (a+5b)(2a-3b)
유제 ❼-2 4x¤ +ax-15=(2x+b)(2x-5)
=4x¤ +(2b-10)x-5b
따라서 a=2b-10, -15=-5b이므로
(cid:100)(cid:100)a=-4, b=3
(cid:9000) a=-4, b=3
유제 ❽ 주어진 정사각형과 직사각형의 넓이의 합은
(cid:100)(cid:100)x¤ +4_x_1+4_1_1=x¤ +4x+4
길이는 x+2이다.
(cid:9000) ②
이때 x¤ +4x+4=(x+2)¤ 이므로 정사각형의 한 변의
⑤ -a¤ +12ab+36b¤ =-(a¤ -12ab-36b¤ )
04
a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤ , a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤
① x¤ +6x+9=(x+3)¤
② 4x¤ -8x+4=4(x¤ -2x+1)=4(x-1)¤
-15=-5b에서 b=3
이므로
(cid:100)a=2_3-10=-4
③ 49-14a+a¤ =(a-7)¤
④ 16a¤ +8ab+b¤ =(4a+b)¤
(cid:9000) ⑤
Ⅱ.식의 계산 023
L
L
L
L
L
L
D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지024 SinsagoHitec
x-y
이 식이 완전제곱식이 되려면
Step Up
기본서
05
채점 기준
A의 값 구하기
B의 값 구하기
A+B의 값 구하기
Ax¤ -12x+9=("≈Ax)¤ -2_2x_3+3¤
이므로(cid:100)(cid:100)"≈A=2(cid:100)(cid:100)∴ A=4
=x¤ +2_x_
(cid:100)(cid:100)x¤ +Bx+
;4(;
+
;2#;
{;2#;}2
이므로(cid:100)(cid:100)B=2_
=3
;2#;
(cid:100)(cid:100)∴ A+B=4+3=7
배점
40%
40%
20%
▶ 40%
▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000) 7
두 도형A , B의 넓이를 각각 x, y에 대한 식으로
y
x
06
나타낸다.
y
x-y
x
A
x
y
B
도형 A의 넓이는 (cid:100)(cid:100)x¤ -y¤
도형 B의 넓이는 (cid:100)(cid:100)(x+y)(x-y)
A, B의 넓이가 같으므로
(cid:100)(cid:100)x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
(cid:9000) ③
x-2가 다항식 x¤ +4x-a의 인수
07
(cid:8833) x¤ +4x-a=(x-2)A (A는 일차식)
x-2가 x¤ +4x-a의 인수이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ +4x-a=(x-2)(x+b)(b는 상수)
로 놓으면
(cid:100)(cid:100)-2+b=4, -2b=-a
b=6이므로(cid:100)(cid:100)a=12
08
x¤ +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
① x¤ +10x+24=(x+4)(x+6)
② x¤ +11x+24=(x+3)(x+8)
③ x¤ +14x+24=(x+2)(x+12)
⑤ x¤ +25x+24=(x+1)(x+24)
09
두 다항식을 각각 인수분해하여 공통인수를 찾는다.
x¤ -3x-10=(x+2)(x-5)
4x¤ -19x-5=(x-5)(4x+1)
따라서 두 다항식의 공통인수는 x-5이다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
024 Check Up 풀이집
우공비 B0X
⁄
1 -3
2 ⁄2
4 5
-12
⁄
5
⁄
-7
상수항이 양수인 완전
제곱식이므로
(cid:100)A>0
11
10
acx¤ +(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
4x¤ -7x-15=(x-3)(4x+5)이므로
(cid:100)(cid:100)a=-3, b=4, c=5
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=-3+4+5=6
(cid:9000) 6
채점 기준
주어진 다항식을 인수분해하기
두 일차식의 합 구하기
12x¤ +8x-15=(2x+3)(6x-5)
▶ 70%
2 3
2 ⁄2
6 -5
⁄
⁄
⁄
18
-10
8
따라서 두 일차식의 합은
(cid:100)(cid:100)(2x+3)+(6x-5)=8x-2
배점
70%
30%
▶ 30%
(cid:9000) 8x-2
(cid:9000) 16
(cid:9000) ⑤
배점
30%
30%
10%
30%
12
x¤ +ax+b가 완전제곱식 (cid:8833) b=
{;2A;}2
(x-2)(x+6)+k=x¤ +4x-12+k
(cid:100)(cid:100)-12+k={;2$;}
¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ k=16
k=16을 주어진 식에 대입하면
(cid:100)(cid:100)(x-2)(x+6)+16=x¤ +4x-12+16
=x¤ +4x+4
=(x+2)¤
색칠한 부분의 넓이는 큰 반원의 넓이에서 작은 반
13
원의 넓이를 뺀 것과 같다.
지름의 길이가 2a인 반원의 넓이는(cid:100)(cid:100);2“;a¤
14
채점 기준
상수항 구하기
x의 계수 구하기
이차식 구하기
이차식을 바르게 인수분해하기
⑴ 수지는 상수항을 바르게 보았으므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+2)(x-6)=x¤ -4x-12
⑵ 에서 상수항은 -12이다.
▶ 30%
⑵ 지훈이는 x의 계수를 바르게 보았으므로
⑵ (cid:100)(cid:100)(x-5)(x+9)=x¤ +4x-45
-2+b, -2b는 각각
x¤ +4x-a의 x의 계
수, 상수항과 같다.
(cid:9000) 12
지름의 길이가 2b인 반원의 넓이는(cid:100)(cid:100);2“;b¤
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2“;a¤ -;2“;b¤ =;2“;(a¤ -b¤ )
(cid:100)(cid:100);2“;a¤ -;2“;b¤ =;2“;(a+b)(a-b)
D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지025 SinsagoHitec
⑵ 에서 x의 계수는 4이다.
⑵ 따라서 구하는 이차식은
(cid:100)(cid:100) (cid:100)x¤ +4x-12
⑵ x¤ +4x-12=(x-2)(x+6)
▶ 30%
▶ 10%
▶ 30%
(cid:9000) ⑴ x¤ +4x-12 ⑵ (x-2)(x+6)
2. 인수분해 공식의 활용
1144 복잡한 식의 인수분해
기본서 57~59쪽
익히기 1 ⑴ 6ab¤ +7ab+2a= _(6b¤ +7b+2)
a(2b+1)(3b+2)
⑴ 6ab¤ +7ab+2a=
a
2 1
2 ⁄2
3 2
⁄
⁄
⁄
3
4
7
⑵ x+1=A로 치환하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+1)¤ -5(x+1)+6
(cid:100) (cid:100)=A¤ -5A+6
(cid:100) (cid:100)=(A-2)(
A-3
)
(cid:100) (cid:100)=(x+1-2)(x+1-3)
(cid:100) (cid:100)=
(x-1)(x-2)
⑶ x‹ -x¤ y+x-y=x¤ (
x-y
)+(x-y)
⑹ x‹ -x¤ y+x-y=
(x-y)(x¤ +1)
⑷ 1-a¤ +2ab-b¤ =1-(a¤ -2ab+ )
b¤
⑹ 1-a¤ +2ab-b¤ =1¤ -(
a-b
)¤
⑹ 1-a¤ +2ab-b¤ ={1+(a-b)} {1-(a-b)}
⑹ 1-a¤ +2ab-b¤ =
(1+a-b)(1-a+b)
``` (cid:9000) 풀이 참조
유제 ❶ ⑴ ax‹ +8ax¤ +16ax=ax(x¤ +8x+16)
=ax(x+4)¤
상수항의 합이 1이 되
는 것끼리 묶는다.
⑵ x¤ (x+3)-(x+3)=(x+3)(x¤ -1)
⑵ x¤ (x+3)-(x+3)=(x+3)(x+1)(x-1)
⑶ (x-y)¤ +(x+y)(y-x)
=(x-y)(x-y)-(x+y)(x-y)
=(x-y)(x-y-x-y)
=-2y(x-y)
`(cid:9000) ⑴ ax(x+4)¤
`(cid:9000) ⑵ (x+3)(x+1)(x-1)
`(cid:9000) ⑶ -2y(x-y)
유제 ❷ ⑴ a+4b=A로 치환하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(A+2)(A-5)-8
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -3A-18
=(A+3)(A-6)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(a+4b+3)(a+4b-6)
우공비 B0X
기본서 55~59쪽
⑵ 2a-b=A로 치환하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -6(A-1)+3
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(A-3)¤
=A¤ -6A+9
=(2a-b-3)¤
⑶ x-2y=A, x+y=B로 치환하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -B¤
=(A+B)(A-B)
=(x-2y+x+y)(x-2y-x-y)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(2x-y)(-3y)
=-3y(2x-y)
유제 ❸ ⑴ a‹ -a¤ -a+1=a¤ (a-1)-(a-1)
(cid:9000) ⑴ (a+4b+3)(a+4b-6)
(cid:9000) ⑵ (2a-b-3)¤
(cid:9000) ⑶ -3y(2x-y)
=(a-1)(a¤ -1)
=(a-1)(a+1)(a-1)
=(a+1)(a-1)¤
S
t
e
p
U
p
.
Ⅱ
식
의
계
산
⑵ a¤ +ac-b¤ -bc=(a-b)c+a¤ -b¤
=(a-b)c+(a-b)(a+b)
=(a-b)(a+b+c)
(2x)¤ +2_2x_3+3¤
⑶ 4x¤ +12x+9-y¤ =(2x+3)¤ -y¤
⑵ 4x¤ +12x+9-y¤ =(2x+y+3)(2x-y+3)
` (cid:9000) ⑴ (a+1)(a-1)¤
` (cid:9000) ⑵ (a-b)(a+b+c)
` (cid:9000) ⑶ (2x+y+3)(2x-y+3)
유제 ❹ (x-3)(x-1)(x+2)(x+4)+24
={(x-3)(x+4)}{(x-1)(x+2)}+24
=(x¤ +x-12)(x¤ +x-2)+24
A A
=(A-12)(A-2)+24
=A¤ -14A+48
=(A-6)(A-8)
=(x¤ +x-6)(x¤ +x-8)
=(x-2)(x+3)(x¤ +x-8)
따라서 인수인 것은 ㈀, ㈃, ㈄이다.
(cid:9000) ③
유제 ❺-1 ⑴ x¤ +xy-2x-y+1
=(x-1)y+x¤ -2x+1
=(x-1)y+(x-1)¤
=(x-1)(x+y-1)
⑵ x¤ +2y¤ -z¤ +3xy-yz
=x¤ +3yx+2y¤ -yz-z¤
=x¤ +3yx+(y-z)(2y+z)
Ⅱ.식의 계산 025
D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지026 SinsagoHitec
Step Up
기본서
={x+(y-z)}{x+(2y+z)}
=(x+y-z)(x+2y+z)
우공비 B0X
유제 ❻-2 (주어진 식)
(cid:9000) ⑴ (x-1)(x+y-1)
`(cid:9000) ⑵ (x+y-z)(x+2y+z)
1-2=-1
3-4=-1
⋮
9-10=-1
이므로 -1을 묶어 낸
다.
유제 ❺-2 3x¤ +y¤ +4xy-2x-1
=3x¤ +2(2y-1)x+y¤ -1
=3x¤ +2(2y-1)x+(y+1)(y-1)
={x+(y-1)}{3x+(y+1)}
=(x+y-1)(3x+y+1)
이므로
(cid:100)(cid:100)a=1, b=1
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=1+1=2
(cid:9000) 2
=(1¤ -2¤ )+(3¤ -4¤ )+y+(9¤ -10¤ )
=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)
+y+(9+10)(9-10)
=-(1+2)-(3+4)-y-(9+10)
=-(1+2+3+4+y+9+10)
=-55
보충 학습
(cid:9000) -55
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)
=11_5=55
(cid:8825) 1부터 n까지의 자연수의 합은(cid:100)(cid:100)(1+n)_
n
2
주어진 식을 인수분해한
후 x의 값을 대입한다.
유제 ❼-1 x¤ -2x+1=(x-1)¤ =('7+1-1)¤
x¤ +2x+1=('7 )¤ =7
x='7+1에서(cid:100)(cid:100)x-1='7
양변을 제곱하면(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =('7)¤
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -2x+1=7
(cid:9000) 7
=20_5
=100
⑴ ma+mb=m(a+b)
⑵ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
⑶ a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤
유제 ❼-2 a=
1155 수의 계산
기본서 60~61쪽
익히기 2 ⑴ 20_49-20_44=20(49-44)
⑵ 65¤ -35¤ =(65+35)(65-35)
⑶ 31¤ -62+1=31¤ -2_31_1+1¤
=100_30
=3000
=(31-1)¤
=30¤ =900
(cid:9000) ⑴ 100(cid:100)⑵ 3000(cid:100)⑶ 900
익히기 3 ⑴ a¤ -4a+4=(a-2)¤
=(102-2)¤
=100¤
=10000
⑵ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
⑵ x¤ -y¤ =('5-'2+'5+'2 )('5-'2-'5-'2 )
⑵ x¤ -y¤ =2'5_(-2'2)
=-4'1å0
(cid:9000) ⑴ 10000(cid:100)⑵ -4'1å0
유제 ❻-1 ⑴ 39_173-163_39=39(173-163)
⑴ 39_173-163_39 =39_10
=390
⑵ 5.5¤ -4.5¤ =(5.5+4.5)(5.5-4.5)
=10_1=10
(cid:9000) ⑴ 390(cid:100)⑵ 10
026 Check Up 풀이집
분모가 무리수이므로
먼저 분모를 유리화한
다.
=
'5+2
('5-2)('5+2)
1
'5-2
'5+2
5-4
a=
='5 +2
=
'5-2
('5+2)('5-2)
b=
b=
1
'5+2
'5-2
5-4
='5 -2
이므로(cid:100)(cid:100)a+b=2'5, a-b=4
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
=2'5_4=8'5
(cid:9000) 8'5
유제 ❽ a¤ (a-b)-b¤ (a-b)=(a-b)(a¤ -b¤ )
a¤ (a+b)-b¤ (a+b)=(a-b)(a-b)(a+b)
a¤ (a+b)-b¤ (a+b)=(a-b)¤ (a+b)
a¤ (a+b)-b¤ (a+b)=(5'2 )¤ _2
a¤ (a+b)-b¤ (a+b)=50_2=100 (cid:9000) ⑤
소단원성취도진단
기본서 62~63쪽
02 2
07 ③
12 24
03 ③
08 ④
13 ③
04 2800 05 4x
10 ④
09 ③
15 ⑤
14 3
01 ④
06 11
11 10
16 -10
01
공통부분 (cid:8833) 한 문자로 치환
a-2=A로 치환하면
D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:49 PM 페이지027 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ +A-6
=(A-2)(A+3)
=(a-2-2)(a-2+3)
=(a-4)(a+1)
따라서 주어진 식의 인수인 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
02
채점 기준
주어진 다항식을 인수분해하기
a, b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
이므로
(cid:100)(cid:100)a=-1, b=3
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=2
우공비 B0X
이때 A>B이므로(cid:100)(cid:100)A=8, B=-3
(cid:100)(cid:100)∴ A-B=8-(-3)=11
기본서 59~63쪽
▶ 20%
▶ 20%
(cid:9000) 11
4개의 항 중3 개를 묶어 완전제곱식으로 인수분해
07
할 수 있을 때 (cid:8833) ( )¤ -( )¤ 꼴로 변형
x¤ -y¤ -z¤ +2yz=x¤ -(y¤ -2yz+z¤ )
=x¤ -(y-z)¤
={x+(y-z)}{x-(y-z)}
=(x+y-z)(x-y+z)
(cid:100)(cid:100)-z¤ +2yz+x¤ -y¤
=-z¤ +2yz+(x+y)(x-y)
=-{z¤ -2yz-(x+y)(x-y)}
=-{z-(x+y)}{z+(x-y)}
=-(z-x-y)(z+x-y)
=(x+y-z)(x-y+z)
S
t
e
p
U
p
.
Ⅱ
식
의
계
산
x¤ -2xy+y¤ -9=(x-y)¤ -3¤
=(x-y+3)(x-y-3) ▶ 70%
따라서 인수인 것은 ㈁, ㈂이다.
(cid:9000) ③
z에 대하여 내림차순으로 정리하면
제곱의 차 (cid:8833) a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
93¤ -92¤ =(93+92)(93-92)=93+92
이므로 필요한 인수분해 공식은
(cid:100)(cid:100)a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
03
04
먼저 2를 묶어 낸 후 인수분해 공식을 이용한다.
57¤ _2-43¤ _2=2(57¤ -43¤ )
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
두 항씩 묶으면 공통
인수가 생긴다.
공통인수가 드러나도록 적당한 항끼리 묶어서 인수
08
분해한다.
a¤ -9b¤ -a+3b=(a¤ -9b¤ )-(a-3b)
=(a+3b)(a-3b)-(a-3b)
=(a-3b)(a+3b-1)
=2(57+43)(57-43)
=2_100_14
=2800
(cid:9000) 2800
세 항을 묶으면
( )¤ -( )¤ 꼴로 만들
수 있다.
a¤ -9b¤ +6b-1=a¤ -(9b¤ -6b+1)
=a¤ -(3b-1)¤
=(a+3b-1)(a-3b+1)
05
공통부분 (cid:8833) 한 문자로 치환
2x+1=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -2A-8
=(A+2)(A-4)
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(2x+1+2)(2x+1-4)
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(2x+3)(2x-3)
따라서 구하는 두 일차식의 합은
(cid:100)(cid:100)(2x+3)+(2x-3)=4x
(cid:9000) 4x
06
채점 기준
주어진 등식의 좌변을 인수분해하기
A, B의 값 구하기
A-B의 값 구하기
x-4y=X로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=X(X+5)-24
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=X¤ +5X-24
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(X+8)(X-3)
따라서 두 식의 공통인수는
(cid:100)(cid:100)a+3b-1
09
분자, 분모를 각각 인수분해한다.
2015_2016+2015
1009¤ -1008¤
2015(2016+1)
(1009+1008)(1009-1008)
=
=
2015_2017
2017_1
=2015
10
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
3° -1=(3› +1)(3› -1)
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
3° -1의 값을 계산하
여 약수를 구하는 것
보다 인수분해를 이용
하여 약수를 구하는
것이 편리하다.
=(3› +1)(3¤ +1)(3¤ -1)
=(3› +1)(3¤ +1)(3+1)(3-1)
=82_10_4_2
따라서 2, 4, 20=2_10, 80=2_4_10은 모두 3° -1
Ⅱ.식의 계산 027
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(x-4y+8)(x-4y-3)
▶ 60%
60=2¤ _3_5
의 약수이므로 약수가 아닌 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
배점
70%
20%
10%
▶ 20%
▶ 10%
(cid:9000) 2
(cid:9000) ③
배점
60%
20%
20%
D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:50 PM 페이지028 SinsagoHitec
우공비 B0X
'ß10-(정수 부분)
Step Up
기본서
11
(A의 소수 부분)=A-(A의 정수 부분)
3<'∂10<4에서 '∂10의 정수 부분이 3이므로 '∂10
의 소수 부분은(cid:100)(cid:100)a='∂10-3
주어진 식에서 a+4=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -2A+1=(A-1)¤
=(a+4-1)¤ =(a+3)¤
=('∂10-3+3)¤ =('∂10)¤ =10 (cid:9000) 10
보충 학습
næ0인 정수 n에 대하여 n…'ßxc
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=0, 즉 a=b
따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형이다.
(cid:9000) ①
Ⅱ.식의 계산 029
¤
D1001우중수3상_정(022-031) 2014.10.1 12:50 PM 페이지030 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
상수항의 합이 같도록 두 개씩 짝을 지어
13
(x+1)(x+2)(x-2)(x-3)을 전개한 후 공통부분을 치환
2›
‚ -1=65_9_7
2›
‚ -1=13_5_3¤ _7
14
한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤
한다.
(x+1)(x+2)(x-2)(x-3)+k
={(x+1)(x-2)}{(x+2)(x-3)}+k
=(x¤ -x-2)(x¤ -x-6)+k
x¤ -x=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(A-2)(A-6)+k
=A¤ -8A+12+k
따라서 A¤ -8A+12+k가 완전제곱식이 되려면
(cid:100)(cid:100)12+k=
{
}2 =(-4)¤ =16
-8
2
(cid:100)(cid:100)∴ k=4
(cid:9000) ②
x¤ +y¤ -2xy+5x-5y+4
=x¤ -(2y-5)x+y¤ -5y+4
=x¤ -(2y-5)x+(y-1)(y-4)
={x-(y-1)}{x-(y-4)}
=(x-y+1)(x-y+4)
따라서 a=1, b=4 또는 a=4, b=1이므로
(cid:9000) ⑤
(cid:100)(cid:100)a+b=5
x-y=X로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(x-y+a)(x-y+b)
``=(X+a)(X+b)
``=X¤ +aX+bX+ab
``=(x-y)¤ +a(x-y)+b(x-y)+ab
``=x¤ -2xy+y¤ +(a+b)x-(a+b)y+ab
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=5
x¤ +ax+b가 완전제곱식
(cid:8825) b={;2A;}
17
"√(a-b)¤ =
·
“
ª
1<'2<2이므로
a-b (aæb)
-(a-b) (a0, x-3<0이므로
¤ -4x+4+"√x¤ -6x+9
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(x-2)-(x-3)=1
(cid:9000) ②
x¤ -y¤ +2y-1을 인수분해한 후 x+y=5를 대입
18
한다.
x¤ -y¤ +2y-1=x¤ -(y¤ -2y+1)
x¤ -y¤ +2y-1=x¤ -(y-1)¤
x¤ -y¤ +2y-1=(x+y-1)(x-y+1)
이므로(cid:100)(cid:100)20=(5-1)(x-y+1)
따라서 x-y+1=5이므로
(cid:100)(cid:100)x-y=4
(cid:9000) ②
19
소수 (cid:8833) 1과 자기자신만을 약수로 갖는다.
n¤ +6n-27=(n-3)(n+9)
이 식의 값이 소수이려면 n-3, n+9의 값 중 하나는 1
=(4-3)(4+9)
=13
(cid:9000) 13
20
먼저 3x¤ +16x+5를 인수분해한다.
직사각형의 넓이를 인수분해하면
(cid:100)(cid:100)3x¤ +16x+5=(x+5)(3x+1)
이므로 주어진 직사각형의 세로의 길이는
(cid:100)(cid:100)3x+1
따라서 직사각형의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2{(x+5)+(3x+1)}=2(4x+6)
=8x+12
(cid:9000) 8x+12
51=A, 49=B라 하고 주어진 식을 인수분해한다.
51=A, 49=B라 하면
(cid:100)(cid:100)
51(51+2_49)+49¤
51¤ -49¤
=
A(A+2B)+B¤
A¤ -B¤
소수는 1과 자기자신
만을 약수로 가지므로
두 자연수의 곱이 소
수이면 둘 중 하나는 1
이어야 한다.
이어야 한다.
그런데 n-3b)
우공비 B0X
기본서 65~67쪽
(cid:100)(cid:100)p(a¤ -b¤ )=75p,(cid:100)(cid:100)a¤ -b¤ =75
(cid:100)(cid:100)∴ (a+b)(a-b)=75
yy ㉡ ▶ 2점
25(a-b)=75
(cid:100)∴ a-b=3
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)a-b=3
따라서 두 원의 반지름의 길이의 차는 3이다.
+
=(x-y)(y-z)+(y-z)(z-x)
▶ 2점
=(y-z){(x-y)+(z-x)}
=(y-z)(-y+z)
=-(y-z)¤
▶ 3점
(cid:9000) -(y-z)¤
26
채점 기준
직육면체의 부피로 주어진 식을 인수분해하기
직육면체의 높이 구하기
직육면체의 모든 모서리의 길이의 합 구하기
(직육면체의 부피)
=(밑면의 가로의 길이)
_(밑면의 세로의 길이)
_(높이)
이므로 직육면체의 높이는
(cid:100)(cid:100)a-3b+2
2a¤ b-6ab¤ +4ab=2ab(a-3b+2)
▶ 2점
따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은
(cid:100)(cid:100)4(a+2b+a-3b+2)=8a-4b+8
▶ 1점
(cid:9000) 8a-4b+8
27
채점 기준
a의 값 구하기
주어진 식을 인수분해하기
식의 값 구하기
1<'3<2이므로(cid:100)(cid:100)a='3-1
a+3=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -8A+16
=(A-4)¤
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=('3-2)¤
=3-4'3+4
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=7-4'3
=(a+3-4)¤ =(a-1)¤
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 7-4'3
S
t
e
p
U
p
.
Ⅱ
식
의
계
산
▶ 1점
(cid:9000) 3
배점
2점
3점
배점
2점
1점
1점
▶ 1점
배점
1점
2점
1점
▶ 1점
Ⅱ.식의 계산 031
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지032 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
Ⅲ
-1. 이차방정식과 그 풀이
1. 이차방정식의 뜻과 해
1166 이차방정식의 뜻과 해
기본서 70~71쪽
익히기 1 ⑴ 5x+4=4x-2에서(cid:100)(cid:100)5x+4-4x+2=0
㈀ (cid:100)(cid:100)∴ x+6=0
⑵ 1-6x=x¤ 에서(cid:100)(cid:100)-x¤ -6x+1=0
⑶ x¤ -3x=x¤ +x에서(cid:100)(cid:100)x¤ -3x-x¤ -x=0
㈀ (cid:100)(cid:100)∴ -4x=0
(cid:9000) ⑴ ×(cid:100)⑵ (cid:8776)(cid:100)⑶ ×
익히기 2 ⑴ (-1)¤ -(-1)-2=0이므로 x=-1은
주어진 이차방정식의 해이다.
⑵ 1¤ -1-2=-2+0이므로 x=1은 주어진 이차방정
⑶ 2¤ -2-2=0이므로 x=2는 주어진 이차방정식의 해
식의 해가 아니다.
이다.
유제 ❶ ① x¤ =5x에서(cid:100)(cid:100)x¤ -5x=0
② 2x¤ -3x=-3x에서(cid:100)(cid:100)2x¤ =0
③ x¤ (x+4)=x‹ -7x에서
④ (cid:100)(cid:100)x‹ +4x¤ =x‹ -7x(cid:100)(cid:100)∴ 4x¤ +7x=0
④
x¤ -1
5
=2x에서(cid:100)(cid:100)x¤ -1=10x
④ (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -10x-1=0
⑤ x¤ +3x=(x-1)(x+3)에서
④ (cid:100)(cid:100)x¤ +3x=x¤ +2x-3(cid:100)(cid:100)∴ x+3=0
유제 ❷-1 ① 5¤ -3_5-10=0
② 2_5¤ -10_5-1=-1+0
③ 3_5¤ =75+65
④ 5(2_5-5)=25+5
⑤ (2_5-5)¤ =5¤
유제 ❷-2 주어진 방정식의 x에 -2, -1, 0, 1을 각각
대입하여 등식이 성립하는지 확인한다.
⑴
좌변
우변
참, 거짓
-2
-1
x
0
1
(-2)¤ =4
(-1)¤ =1
0¤ =0
1¤ =1
-(-2)=2
거짓
-(-1)=1
0
-1
참
참
거짓
032 Check Up 풀이집
(cid:100) 따라서 이차방정식 x¤ =-x의 해는 x=-1 또는
x=0이다.
⑵
x
좌변
우변
참, 거짓
2_(-2)¤ -18
5_(-2)
=-10
=-10
2_(-1)¤ -18
5_(-1)
=-16
=-5
참
거짓
2_0¤ -18
=-18
2_1¤ -18
=-16
5_0=0
거짓
5_1=5
거짓
-2
-1
0
1
(cid:100) 따라서 이차방정식 2x¤ -18=5x의 해는x=-2 이다.
(cid:9000) ⑴ x=-1 또는 x=0 ⑵ x=-2
소단원성취도진단
기본서 72쪽
01 ③
02 -22 03 ⑤
04 a+1 05 ②, ⑤
(cid:9000) ⑴ (cid:8776)(cid:100)⑵ ×(cid:100)⑶ (cid:8776)
06 :¡5ª:
07 ②
08 :™8£:
x에 대한 이차방정식을 찾
는 순서
⁄ 괄호를 푼다.
¤ 우변의 항을 좌변으로
이항하여 정리한다.
‹ (x에 대한 이차식)=0
꼴인지 확인한다.
01
x에 대한 이차방정식 (cid:8833) (x에 대한 이차식)=0
① -2x(x-1)=x¤ 에서(cid:100)(cid:100)-2x¤ +2x=x¤
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ -3x¤ +2x=0
② 2x¤ -7=(x-1)(x+3)에서
(cid:100)(cid:100)2x¤ -7=x¤ +2x-3(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -2x-4=0
③ (3x-1)¤ -4=9x¤ +x에서
x에 대한 일차방정식
(cid:100)(cid:100)9x¤ -6x+1-4=9x¤ +x(cid:100)(cid:100)∴ -7x-3=0
④ x¤ (2-x)=4-x‹ 에서(cid:100)(cid:100)2x¤ -x‹ =4-x‹
(cid:9000) ⑤
(cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ -4=0
x(x+1)(x-1)
=x(x¤ -1)
=x‹ -x
⑤ x‹ -x¤ +2=x(x+1)(x-1)에서
(cid:100)(cid:100)x‹ -x¤ +2=x‹ -x(cid:100)(cid:100)∴ -x¤ +x+2=0
(cid:9000) ③
02
이차방정식의 일반형 (cid:8833) ax¤ +bx+c=0 (a+0)
x¤ -4x
4
=
5x+4
2
의 양변에 분모의 최소공배수 4
(cid:9000) ①, ⑤
를 곱하면
-2 이상 1 이하의
정수
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x=10x+8(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -14x-8=0
따라서 a=-14, b=-8이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=-14+(-8)=-22
(cid:9000) -22
주어진 x의 값을 이차방정식의 x에 대입
03
(cid:8833) 등식이 성립하는 x의 값을 찾는다.
x=-3일 때,
(cid:100)(cid:100)(-1)_(-5)+(-3)_(-11)+2
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지033 SinsagoHitec
x=-1일 때,(cid:100)(cid:100)1_(-3)+(-1)_(-7)+2
x=1일 때,(cid:100)(cid:100)3_(-1)+1_(-3)+2
x=2일 때,(cid:100)(cid:100)4_0=2_(-1)+2
x=3일 때,(cid:100)(cid:100)5_1=3_1+2
따라서 주어진 이차방정식의 해는
(cid:100)(cid:100)x=2 또는 x=3
04
채점 기준
주어진 식 정리하기
a의 조건 구하기
ax¤ =(x+3)(x-2)에서
(cid:100)(cid:100)ax¤ =x¤ +x-6,(cid:100)(cid:100)(a-1)x¤ -x+6=0 ▶ 40%
이 방정식이 x에 대한 이차방정식이 되려면
(cid:100)(cid:100)a-1+0(cid:100)(cid:100)∴ a+1
(cid:9000) ⑤
배점
40%
60%
▶ 60%
(cid:9000) a+1
x=k를 해로 갖는 이차방정식
05
(cid:8833) x=k를 대입하면 등식이 성립
x-2=-2x+7에서(cid:100)(cid:100)3x=9(cid:100)(cid:100)∴ x=3
x=3을 주어진 이차방정식에 각각 대입하면
① 3¤ -3-7=-1+0
② 3_(3-3)=0
③ 2_3¤ +1=19+3
④ (3+1)(3+2)=20+0
⑤ (3-1)¤ =4
x=-5를 x¤ +ax-6=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)(-5)¤ +a_(-5)-6=0,(cid:100)(cid:100)25-5a-6=0
(cid:100)(cid:100)-5a=-19(cid:100)(cid:100)∴ a=
:¡5ª:
(cid:9000)
:¡5ª:
x=k가 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 근
07
(cid:8833) ak¤ +bk+c=0
x=a를 x¤ -3x+1=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)a¤ -3a+1=0
㈀ a¤ -3a=-1
㈁ 12a-4a¤ =-4(a¤ -3a)=-4_(-1)=4
㈂ a¤ -3a+1=0의 양변을 a로 나누면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)a-3+
=0(cid:100)(cid:100)∴ a+
=3
;å!;
;å!;
㈃ a¤ + =
a+
{
;å!;}2 -2=3¤ -2=7
1
a¤
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂이다.
(cid:9000) ②
우공비 B0X
A3
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡의 공통 범위는 3b이므로(cid:100)(cid:100)a=;2&;, b=-1
(cid:100)(cid:100)∴ 2a+b=2_;2&;+(-1)=6
(cid:9000) ④
x=k가 이차방정식의 근
07
(cid:8833) x=k를 이차방정식에 대입한다.
x=-2를 x¤ +2ax-3a¤ =0에 대입하면
038 Check Up 풀이집
x‹ -3x+4=x‹ +x¤
에서
(cid:100)-x¤ -3x+4=0
(cid:100)∴ x¤ +3x-4=0
(cid:100)(cid:100)(x+6)(x+2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-6 또는 x=-2
따라서 주어진 등식을 만족시키는 모든 x의 값의 합은
(cid:100)(cid:100)-6+(-2)=-8
(cid:9000) ①
(cid:100)(cid:100)(a+2)(3a-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 (∵ a는 정수)
(cid:9000) ①
08
정해진 규칙에 따라 x에 대한 방정식을 세운다.
(2x+5)„(x-1)
=(2x+5)¤ -(2x+5)(x-1)
=4x¤ +20x+25-(2x¤ +3x-5)
=2x¤ +17x+30
이므로 2x¤ +17x+30=6+x에서
(cid:100)(cid:100)2x¤ +16x+24=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +8x+12=0
이차방정식 x¤ +ax+b=0이 중근을 갖는다.
09
(cid:8833) b={;2A;}
x¤ -6kx-k=0이 중근을 가지려면
-6k
2
¤ =-k
(cid:100)(cid:100){
이어야 하므로(cid:100)(cid:100)9k¤ +k=0
}
(cid:100)(cid:100)k(9k+1)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=0 또는 k=-;9!;
따라서 모든 k의 값의 합은(cid:100)(cid:100)-;9!;+0=-;9!;
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
10
x¤ =k (kæ0)의 해 (cid:8833) x=—'ßk
x¤ =a에서(cid:100)(cid:100)x=—'a
따라서 두 근의 차는(cid:100)(cid:100)'a-(-'a )=2'a
2'a=4'3에서(cid:100)(cid:100)'a=2'3='1å2
(cid:100)(cid:100)∴ a=12
11
(x+a)¤ =b (bæ0)의 해 (cid:8833) x=-a—'b
(x+2)¤ =3에서(cid:100)(cid:100)x+2=—'3
(cid:100)(cid:100)∴ x=-2—'3
즉 두 근이 -2+'3, -2-'3이므로 두 근의 곱은
(cid:100)(cid:100)(-2+'3)(-2-'3 )=(-2)¤ -('3)¤
=1
(cid:9000) ④
12
중근을 갖는다. (cid:8833) (완전제곱식)=0 꼴
㈀ x¤ -4x-4=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -4x=4
㈀ (cid:100)(cid:100)x¤ -4x+4=4+4,(cid:100)(cid:100)(x-2)¤ =8
㈀ (cid:100)(cid:100)∴ x=2—2'2
x-
㈁ x¤ =
에서(cid:100)(cid:100)x¤ -
x+
=0
;3@;
;9!;
;3@;
¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=
x-
㈀ (cid:100)(cid:100)
{
;3!;}
;9!;
(중근)
;3!;
㈂ x¤ +8x+16=0에서(cid:100)(cid:100)(x+4)¤ =0
주어진 식을 (이차식)=0 꼴로 변형한다.
(a+b)(a-b)=a¤ -b¤
¤
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지039 SinsagoHitec
㈀ (cid:100)(cid:100)∴ x=-4 (중근)
㈃ 9x¤ -4=-6x에서(cid:100)(cid:100)x¤ +
x=
;3@;
;9$;
㈀ (cid:100)(cid:100)x¤ +
x+
=
+
,(cid:100)(cid:100){x+
;9!;
;3!;}
¤ =
;9%;
㈀ (cid:100)(cid:100)∴ x=
;3@;
;9!;
;9$;
-1—'5
3
㈄
x¤ +
x+
;4!;
;5!;
=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ +;5$;x+;2¢5;=0
;2¡5;
¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-
x
㈀ (cid:100)(cid:100)
{
+;5@;}
(중근)
;5@;
이상에서 중근을 갖는 것은 ㈁, ㈂, ㈄의 3개이다.
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
13
먼저 x¤ 의 계수를 1로 만든다.
x¤ -4x-3=0에서
;2!;
(cid:100)(cid:100)x¤ -8x-6=0,(cid:100)(cid:100)x¤ -8x=6
(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+16=6+16(cid:100)(cid:100)∴ (x-4)¤ =22
따라서 p=-4, q=22이므로
(cid:100)(cid:100)p+q=-4+22=18
14
(x+a)¤ =b (bæ0)의 해 (cid:8833) x=-a—'b
x¤ -6x-1=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -6x=1
(cid:100)(cid:100)x¤ -6x+9=1+9,(cid:100)(cid:100)(x-3)¤
(cid:100)(cid:100) x-3=—'1ß0(cid:100)(cid:100)∴ x=3—'1ß0
따라서 a=1, b=9, c=-3이므로
¤ =10
(cid:100)(cid:100)a+b+c=1+9+(-3)=7
(cid:9000) ①
15
각 이차방정식의 해를 구해 본다.
㈀ x¤ -4x+4=2x-5에서(cid:100)(cid:100)x¤ -6x+9=0
㈁(cid:100)(cid:100)(x-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (중근)
㈁ x¤ +2x=5에서(cid:100)(cid:100)x¤ +2x+1=5+1
㈁(cid:100)(cid:100)(x+1)¤ =6,(cid:100)(cid:100)x+1=—'6
㈁(cid:100)(cid:100)∴ x=-1—'6
㈂ 2x¤ -8x+1=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+;2!;=0
㈁(cid:100)(cid:100)x¤ -4x=-;2!;,(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+4=-;2!;+4
㈁(cid:100)(cid:100)(x-2)¤ =;2&;,(cid:100)(cid:100)x-2=—Æ;2&;
'∂14
2
㈁(cid:100)(cid:100)∴ x=2—
4—'∂14
2
=
㈃ 6x¤ +x-1=0에서(cid:100)(cid:100)(2x+1)(3x-1)=0
㈁(cid:100)(cid:100)∴ x=-;2!; 또는 x=;3!;
이상에서 유리수인 해를 갖지 않는 것은 ㈁, ㈂이다.
16
(cid:8833) B는 제곱수
A, B가 정수일 때, x=A—'∂B (B+0)가 정수
기본서 82~84쪽
우공비 B0X
x+;3!;=—
∴ x=
'5
3
-1—'5
3
x¤ -6x-k=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -6x=k
(cid:100)(cid:100)x¤ -6x+9=k+9,(cid:100)(cid:100)(x-3)¤ =k+9
제곱수 (cid:8825) 1, 4, 9, y와
같이 자연수의 제곱인 수
이때 k는 10…k…99인 자연수이므로(cid:100)(cid:100)k+9>0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3—'ƒk+9
이차방정식의 근이 정수이므로 k+9는 제곱수이어야
한다.
이때 19…k+9…108이므로
(cid:100)(cid:100)k+9=25, 36, 49, 64, 81, 100
따라서 k는 16, 27, 40, 55, 72, 91의 6개이다.
이차항의 계수가 1이
되도록 먼저 양변에 4
를 곱한다.
(cid:9000) ②
x에 대한 이차방정식
17
(cid:8833) ax¤ +bx+c=0 (a+0) 꼴
주어진 등식을 정리하면
(cid:100)(cid:100)(a¤ -a-12)x‹ +(a+3)x¤ -3x+1=0
이므로 x에 대한 이차방정식이 되려면
(cid:100)(cid:100)a¤ -a-12=0,(cid:100)a+3+0
a¤ -a-12=0에서(cid:100)(cid:100)(a+3)(a-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=-3 또는 a=4
이때 a+3+0에서 a+-3이므로
a=-3이면
-3x¤ +1=3x-3x¤
(cid:100)∴ -3x+1=0
(cid:8825) x에 대한 일차방정
식이다.
(cid:100)(cid:100)a=4
(cid:9000) 4
주어진 이차방정식에 x=a, x=b를 각각 대입하여
18
a, b에 대한 식을 구한다.
S
t
e
p
U
p
.
Ⅲ
이
차
방
정
식
x=a를 5x¤ -3x-4=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)5a¤ -3a-4=0(cid:100)(cid:100)∴ 5a¤ -3a=4
x=b를 2x¤ -3x-2=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)2b¤ -3b-2=0(cid:100)(cid:100)∴ 2b¤ -3b=2
(cid:100)(cid:100)∴ (5a¤ -3a+2)(2b¤ -3b-8)
=(4+2)(2-8)=-36
(cid:9000) -36
먼저 x=1을 이차방정식 x¤ +6ax-2a-9=0에 대
19
입하여 a의 값을 구한다.
x¤ +6ax-2a-9=0의 한 근이 x=1이므로
(cid:100)(cid:100)1+6a-2a-9=0
(cid:100)(cid:100)4a=8(cid:100)(cid:100)∴ a=2
a=2를 x¤ +6ax-2a-9=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)x¤ +12x-13=0,(cid:100)(cid:100)(x+13)(x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-13 또는 x=1
(cid:100)(cid:100)∴ b=-13
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=2+(-13)=-11
(cid:9000) -11
20
x=2a를 주어진 이차방정식에 대입한다.
x=2a를 2x¤ -ax-3a=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)2_(2a)¤ -a_2a-3a=0
Ⅲ.이차방정식 039
Æ;2&;=
'7
'2
'7_'2
'2_'2
=
= '∂14
2
(cid:9000) ③
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지040 SinsagoHitec
Step Up
기본서
(cid:100)(cid:100)8a¤ -2a¤ -3a=0,(cid:100)(cid:100)2a¤ -a=0
(cid:100)(cid:100)a(2a-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=
(∵ a+0)
;2!;
(cid:9000)
;2!;
이차방정식 x¤ +ax+b=0이 중근을 갖는다.
21
(cid:8833) b={;2A;}
우공비 B0X
주어진 직선이 제 4`사
분면을 지나지 않으려
면 기울기가 양수이어
야 하므로
(cid:100)-m>0
(cid:100)(cid:100)-m>0(cid:100)(cid:100)∴ m<0
따라서 구하는 m의 값은 -1이다.
25
채점 기준
3x¤ -14xy-5y¤ =0의 좌변을 인수분해하기
x를 y에 대한 식으로 나타내기
2x¤ +3xy+y¤
x¤ +y¤
의 값 구하기
⑴ 3x¤ -14xy-5y¤ =0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(3x+y)(x-5y)=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-;3!;y 또는 x=5y
(cid:100)그런데 xy>0이므로(cid:100)(cid:100)x=5y
x¤ -6x+
+3=0이 중근을 가지므로
;2A;
(cid:100)(cid:100){
-6
2
}
¤ =
;2A;
+3
(cid:100)(cid:100)9=
+3(cid:100)(cid:100)∴ a=12
;2A;
a=12를 주어진 이차방정식에 대입하면
(cid:100)(cid:100)x¤ -6x+9=0,(cid:100)(cid:100)(x-3)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (중근)
(cid:100)(cid:100)x+a=—'6(cid:100)(cid:100)∴ x=-a—'6
따라서 a=-3, b=6이므로
(cid:100)(cid:100)b-a=6-(-3)=9
23
채점 기준
x=-3을 방정식에 대입하여 식 구하기
x=1을 방정식에 대입하여 식 구하기
ab의 값 구하기
따라서 b=3이므로(cid:100)(cid:100)a-b=12-3=9
(cid:9000) 9
22
(x+a)¤ =b (bæ0)의 해 (cid:8833) x=-a—'b
(x+a)¤ -2=0에서(cid:100)(cid:100)(x+a)¤ =6
;3!;
xy>0이므로
(cid:100)y+0
=
66y¤
26y¤
=;1#3#; (∵ y+0)
▶ 2점
(cid:9000) ⑴ x=5y(cid:100)⑵ ;1#3#;
x와 y의 값의 부호가
같다.
2x¤ +3xy+y¤
x¤ +y¤
=
2_(5y)¤ +3_5y_y+y¤
(5y)¤ +y¤
⑵
⑵
26
(cid:9000) 9
배점
1점
1점
2점
▶ 2점
(cid:9000) -6
배점
2점
1점
2점
▶ 2점
채점 기준
x¤ -8x+16=0의 근 구하기
a의 값 구하기
다른 한 근 구하기
x¤ -8x+16=0에서
(cid:100)(cid:100)(x-4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (중근)
▶ 1점
x=4를 2x¤ +ax+4=0에 대입하면
2_4¤ +a_4+4=0,(cid:100)(cid:100)4a+36=0
∴ a=-9
▶ 2점
∴ x=
또는` x=4
;2!;
따라서 다른 한 근은 x=
이다.
;2!;
x=-3을 x¤ +ax+b=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)(-3)¤ -3a+b=0
(cid:100)(cid:100)∴ -3a+b=-9
x=1을 x¤ +ax+b=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)1+a+b=0
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-1
yy ㉡(cid:100)▶ 1점
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=2, b=-3
(cid:100)(cid:100)∴ ab=2_(-3)=-6
㉠`-㉡을 하면
(cid:100)-4a=-8
(cid:100)∴ a=2
a=2를 ㉡에 대입하면
(cid:100)2+b=-1
(cid:100)∴ b=-3
yy ㉠(cid:100)▶ 1점
즉 2x¤ -9x+4=0에서(cid:100)(cid:100)(2x-1)(x-4)=0
이차항의 계수가 1일 때,
상수항을 우변으로 이항한
다음 양변에
27
채점 기준
주어진 이차방정식의 해 구하기
a의 값 구하기
(cid:100){
일차항의 계수
2
}
을 더한다.
x¤ +8x+2a=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ +8x=-2a
(cid:100)(cid:100)x¤ +8x+16=-2a+16
(cid:100)(cid:100)(x+4)¤ =-2a+16,(cid:100)(cid:100)x+4=—'ƒ-2a+16
(cid:100)(cid:100)∴ x=-4—'ƒ-2a+16
주어진 이차방정식의 해가 x=-4—'3이므로
(cid:100)(cid:100)-2a+16=3,(cid:100)(cid:100)-2a=-13
▶ 2점
x=m-1, y=m¤ 을 mx+y=3에 대입하면
(cid:100)(cid:100)m(m-1)+m¤ =3
(cid:100)(cid:100)2m¤ -m-3=0,(cid:100)(cid:100)(m+1)(2m-3)=0
직선 mx+y=3이 점
(m-1, m¤ )을 지난
다.
(cid:100)(cid:100)∴ m=-1 또는 m=;2#;
그런데 직선 mx+y=3, 즉 y=-mx+3이 제 4 사분
▶ 1점
(cid:100)(cid:100)∴ a=
:¡2£:
24
채점 기준
m에 대한 이차방정식 세우기
이차방정식의 해 구하기
m의 값 구하기
면을 지나지 않으므로
040 Check Up 풀이집
▶ 2점
(cid:9000) -1
배점
1점
2점
2점
▶ 1점
▶ 2점
배점
1점
2점
2점
▶ 2점
(cid:9000) x=
;2!;
배점
2점
2점
▶ 2점
(cid:9000)
:¡2£:
¤
¤
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지041 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 84~89쪽
Ⅲ
-2. 이차방정식의근의공식과활용
2211 복잡한 이차방정식의 풀이 기본서 88~89쪽
1. 이차방정식의 근의 공식
2와 4의 최소공배수
(cid:9000) 풀이 참조
⑷ 주어진 식의 우변을 전개하면 (cid:100)(cid:100)2x¤ +5=3-6x
근의 공식에서 a, b, c에
해당하는 수를 찾는다.
(cid:100) (cid:100)(cid:100)2x¤ +6x+2=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +3x+1=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=
-3—"√3√
¤ -√4_1√_1
2_1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=
-3—'5
2
⑶ 짝수 공식에 a=2, b'=-4, c=5를 대입하면
-(-4)—"√(-4√)¤ -√2_5
2
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=
x의 계수가 -8이므로
(cid:100)b'=-8_;2!;=-4
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=
4—'6
2
⑷ 짝수 공식에 a=3, b'=5, c=2를 대입하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=
-5—"√5¤ -√3_2
3
=
-5—'ß19
3
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=
5—"ç105
20
x의 계수가 10이므로
⑵ 양변에 10을 곱하면
(cid:100)b'=10_;2!;=5
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -10x-12=0
유제 ❷-1 근의 공식에 a=1, b=3, c=-9를 대입하
(cid:8825) x=
-b'—"√b'¤ -ac
a
(cid:9000) 풀이 참조
ax¤ +2b'x+c=0 (a+0)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=
-(-5)—"√(-5)¤ -1_(-12)
1
2200 이차방정식의 근의 공식
기본서 86~87쪽
익히기 1 근의 공식에 a= , b=-5, c= 을 대입하
1
면
3
(cid:100)(cid:100)x=
-(-5)—"√(-5√)¤ -√4_√ _
2_ 1
1
3
(cid:100)(cid:100)x=
5—'ƒ25-12
2
=
13
5—"√
2
유제 ❶ ⑴ 근의 공식에 a=1, b=1, c=-8을 대입
하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=
-1—"√1¤ -√4_1√_(√-8)
2_1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=
-1—'ß33
2
⑵ 근의 공식에 a=1, b=-7, c=-1을 대입하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=
-(-7)—"√(-7√)¤ -√4_1√_(-1)
2_1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=
7—'ß53
2
면
하면
(cid:100)(cid:100)x=
-3—"√3¤ -√4_1√_(√-9)
2_1
=
-3—3'5
2
(cid:100)(cid:100)∴ A=-3, B=5
(cid:9000) A=-3, B=5
유제 ❷-2 짝수 공식에 a=2, b'=-3, c=-1을 대입
(cid:100)(cid:100)x=
-(-3)—"√(-3√)¤ -√2_√(-1)
2
(cid:100)(cid:100)x=
3—'ß11
2
따라서 A=3, B=11이므로
(cid:100)(cid:100)A+B=3+11=14
(cid:9000) 14
S
t
e
p
U
p
.
Ⅲ
이
차
방
정
식
익히기 2 ⑴ 양변에 4를 곱하면(cid:100)(cid:100)2x¤ +x-4=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=
-1—"√1√
¤ -√4_2√_(-4)
2_2
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=
-1—'ß33
4
⑵ 양변에 10을 곱하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -3x-10=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ x=-2 또는 x=5
⑶ 주어진 식의 좌변을 전개하면(cid:100)(cid:100)x¤ -x-6=6
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ -x-12=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-4)=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=4
(cid:9000) ⑴ x=
(cid:100)⑵ x=-2 또는 x=5
-1—'ß33
4
(cid:9000) ⑶ x=-3 또는 x=4(cid:100)⑷ x=
-3—'5
2
익히기 3 A¤ -4A+4=0에서(cid:100)(cid:100)(A-2)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ A=2 (중근)
(cid:9000) 2
유제 ❸-1 ⑴ 양변에 20을 곱하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)10x¤ -5x=2,(cid:100)(cid:100)10x¤ -5x-2=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=
-(-5)—"√(-5)¤ -√4_10_(-2)
2_10
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=5—'ß37
⑶ 주어진 식의 좌변을 전개하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)5(x¤ -3x-4)-3x¤ +3x=-14
(cid:100) (cid:100)(cid:100)2x¤ -12x-6=0,(cid:100)(cid:100)x¤ -6x-3=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=
-(-3)—"√(-3)¤ -1_(-3)
1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=3—2'3
(cid:9000) ⑴ x=
5—"ç105
20
`⑶ x=3—2'3
(cid:100)⑵ x=5—'ß37
유제 ❸-2 양변에 6을 곱하면
(cid:100)(cid:100)3(3x¤ +1)+2(x¤ -3x)=6x¤ +11
(cid:100)(cid:100)9x¤ +3+2x¤ -6x=6x¤ +11
Ⅲ.이차방정식 041
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지042 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
A에 대한 이차방정식
A=x-1을 대입하여
x의 값을 구한다.
(cid:100)(cid:100)5x¤ -6x-8=0,(cid:100)(cid:100)(5x+4)(x-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-;5$; 또는 x=2
따라서 정수인 근은(cid:100)(cid:100)x=2
(cid:9000) x=2
유제 ❹ ⑴ x-1=A로 치환하면 주어진 이차방정식
은
(cid:100) (cid:100)(cid:100)A¤ -4A-5=0,(cid:100)(cid:100)(A+1)(A-5)=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ A=-1 또는 A=5
(cid:100) 즉 x-1=-1 또는 x-1=5이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=0 또는 x=6
⑵ x+4=A로 치환하면 주어진 이차방정식은
(cid:100) (cid:100)(cid:100)2A¤ +5A+2=0,(cid:100)(cid:100)(A+2)(2A+1)=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ A=-2 또는 A=-
;2!;
;2!;
(cid:100) 즉 x+4=-2 또는 x+4=-
이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=-6 또는 x=-
;2(;
⑶ 3x+1=A로 치환하면 주어진 이차방정식은
(cid:100) (cid:100)(cid:100)4A¤ +4A+1=0,(cid:100)(cid:100)(2A+1)¤ =0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ A=-
(중근)
(cid:100) 즉 3x+1=-
이므로(cid:100)(cid:100)3x=-
;2#;
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-
(중근)
;2!;
;2!;
;2!;
`(cid:9000) ⑴ x=0 또는 x=6
(cid:9000) ⑵ x=-6 또는 x=-
;2(;
`(cid:9000) ⑶ x=-
(중근)
;2!;
소단원성취도진단
기본서 90~91쪽
01 풀이 참조
02 ③
03 ②
04 ⑤
05 22
06 ①
09 x=8(중근)
07 -;2!; 08 -6
11 ②
10 ④
12 4
13 ④
14 x=;4#; 15 ⑤
이차방정식
ax¤ +2b'x+c=0의 근의
공식
(cid:100)x=
-b'—"√b'¤ -ac
a
근의 공식 (cid:8833) 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 좌변을
01
완전제곱식으로 만든다.
이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (a+0)의 양변을 a로
나누면
(cid:100)(cid:100)x¤ +
x+
;aB;
;aC;=‚
(cid:100)(cid:100)x¤ +
x
;aB;
=
-
;aC;
042 Check Up 풀이집
x의 계수
의 ;2!;인
를 제곱한 {;2ıa;}2 을 양변에 더하면
;2ıa;
;aB;
(cid:100)(cid:100)x¤ +
x+{
;aB;
}2 =
-
;aC;
+{
b
2a
b
2a
}2
(cid:100)(cid:100){x+
b
2a
}2 =
b¤ -4ac
4a¤
(cid:100)(cid:100)x+
b
2a
—æ≠
=
b¤ -4ac
4a¤
—
=
øπ b¤ -4ac
2a
(cid:100)(cid:100)∴ x=- —
b
2a
"√b¤ -4ac
2a
=
-b—"√b¤ -4ac
2a
(cid:100)(cid:100)∴ ㈎ -
;aC;
(cid:100)(cid:100)(cid:100) ㈑ -b—"√b¤ -4ac
b
2a
(cid:100)㈏ (cid:100)㈐ b¤ -4ac
(cid:9000) 풀이 참조
인수분해가 되지 않는 이차방정식
02
(cid:8833) 근의 공식을 이용
x¤ -6x+7=0에서
(cid:100)(cid:100)x=-(-3)—"√(-3)¤ -1_7=3—'2
(cid:9000) ③
계수가 소수인 이차방정식
03
(cid:8833) 양변에 10의 거듭제곱을 곱하여 계수를 정수로 고친다.
0.4x¤ -x+0.3=0의 양변에 10을 곱하면
(cid:100)(cid:100)4x¤ -10x+3=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=
-(-5)—"√(-5√)¤ -√4_3
4
=
5—"≈13
4
따라서 A=5, B=13이므로
(cid:100)(cid:100)AB=5_13=65
(cid:9000) ②
04
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 근의 공식
(cid:8833) x=
-b—"√b¤ -4ac
2a
① x¤ +2x-2=0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=-1—"√1¤ -1_(-2)=-1—'3
② x¤ +6x+3=0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=-3—"√3¤ -1_3=-3—'6
③ x¤ -3x+1=0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=
-(-3)—"√(-3)¤ -4_1_1
2
=
3—'5
2
④ x¤ +5x-3=0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=
-5—"√5¤ -4_1_(-3)
2
=
-5—'∂37
2
⑤ x¤ +x-3=0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=
-1—"√1¤ -4_1_(-3)
2
=
-1—'∂13
2
(cid:9000) ⑤
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지043 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 89~91쪽
ax¤ +bx+c=0 꼴로 정리한 후, 근의 공식을 이용
05
한다.
2x¤ -4x=x¤ +x-2에서(cid:100)(cid:100)x¤ -5x+2=0
-(-5)—"√(-5)¤ -4_1_2
2
(cid:100)(cid:100)∴ x=
(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=;3!;
따라서 두 근 사이에 있는 정수는
(cid:100)(cid:100)-3, -2, -1, 0
이므로 구하는 합은
(cid:100)(cid:100)-3+(-2)+(-1)+0=-6
근의 공식을 이용하여 주어진 이차방정식의 해를 k
09
공통부분이 있는 이차방정식 (cid:8833) 공통부분을 치환
(cid:9000) 22
치환하여 이차방정식을
푼 다음에는 원래의 식을
대입하여 x의 값을 구하
다.
x-2=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100) -4A+12=0
A¤
3
(cid:100)(cid:100)∴ x=
5—'∂17
2
따라서 A=5, B=17이므로
(cid:100)(cid:100)A+B=5+17=22
06
에 대한 식으로 나타낸다.
2x¤ -6x+k+1=0에서
(cid:100)(cid:100)x=
-(-3)—"√(-3)¤ -2_(k+1)
2
(cid:100)(cid:100)x=
3—'ƒ-2k+7
2
따라서 -2k+7=5이므로(cid:100)(cid:100)-2k=-2
(cid:100)(cid:100)∴ k=1
07
채점 기준
이차방정식의 해 구하기
A, B의 값 구하기
AB의 값 구하기
;2#;x¤ -3x+A=0의 양변에 2를 곱하면
(cid:100)(cid:100)3x¤ -6x+2A=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=
-(-3)—"√(-3)¤ -3_2A
3
(cid:100)(cid:100)∴ x=
3—'ƒ9-6A
3
이때 x=
B—'1å0
3
이므로
(cid:100)(cid:100)B=3, 9-6A=10
따라서 A=-;6!;, B=3이므로
(cid:100)(cid:100)AB=-;6!;_3=-;2!;
08
채점 기준
이차방정식을 간단히 정리하기
이차방정식의 두 근 구하기
두 근 사이에 있는 모든 정수의 합 구하기
주어진 이차방정식의 양변에 30을 곱하면
(cid:100)(cid:100)10(x+1)=-6(x-1)(x+3)
(cid:100)(cid:100)3x¤ +11x-4=0
(cid:100)(cid:100)(x+4)(3x-1)=0
(cid:9000) ①
배점
50%
30%
20%
▶ 50%
▶ 30%
▶ 20%
(cid:9000) -;2!;
배점
40%
30%
30%
▶ 40%
S
t
e
p
U
p
.
Ⅲ
이
차
방
정
식
▶ 30%
▶ 30%
(cid:9000) -6
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
배점
40%
20%
40%
▶ 40%
▶ 20%
양변에 3을 곱하면(cid:100)(cid:100)A¤ -12A+36=0
(cid:100)(cid:100)(A-6)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ A=6 (중근)
즉 x-2=6이므로(cid:100)(cid:100)x=8 (중근)
(cid:9000) x=8 (중근)
공통부분이 여러 개인 이차방정식 (cid:8833) 공통부분을
10
각각 다른 문자로 치환
x-1=A, x+2=B로 치환하면
(cid:100)(cid:100)3A¤ +2AB-B¤ =0,(cid:100)(cid:100)(A+B)(3A-B)=0
(cid:100)(cid:100)(x-1+x+2){3(x-1)-(x+2)}=0
A, B 대신 치환한 식
을 대입
양변에 어떤 수를 곱할
때에는 모든 항에 각각
곱한다.
(cid:100)(cid:100)(2x+1)(2x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-;2!; 또는 x=;2%;
따라서 두 근의 합은(cid:100)(cid:100)-;2!;+;2%;=2
x-2y=A로 치환하여 먼저 A에 대한 이차방정식
11
을 푼다.
x-2y=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)A(A-4)+4=0
(cid:100)(cid:100)A¤ -4A+4=0,(cid:100)(cid:100)(A-2)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ A=2 (중근)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)
따라서 구하는 값은
(cid:100)(cid:100)-2x+4y=-2(x-2y)
=-2A=-2_2
=-4
12
채점 기준
이차방정식의 해 구하기
a의 값 구하기
a보다 크지 않은 최대의 정수 구하기
10x+10
=-6x¤ -12x+18
(cid:100)6x¤ +22x-8=0
(cid:100)∴ 3x¤ +11x-4=0
x¤ -4x-2=0에서
(cid:100)(cid:100)x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-2)
=2—'6
(cid:100)(cid:100)∴ a=2+'6
Ⅲ.이차방정식 043
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Step Up
기본서
우공비 B0X
의 합은
(cid:100)(cid:100)-2+4=2
14
는다.
2<'6<3이므로(cid:100)(cid:100)4<2+'6<5
즉 40
(cid:100) 이므로 서로 다른 근의 개수는 2이다.
(cid:9000) ⑴ 0(cid:100)⑵ 1(cid:100)⑶ 2
보충 학습
일차항의 계수가 짝수인 경우
(cid:100)(cid:100)
(일차항의 계수)
2
=b'
에서 b'¤ -ac의 부호를 조사하면 계산이 더 간편하다.
21, 12, 28의 최소공배
수
이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 두 근
을 a, b라 하면
(cid:8825) a+b=-
;aB;,
(cid:8825) ab=
;aC;
익히기 2 ⑴ x¤ +x-5=0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=-
=-1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)=
=-5
⑵ x¤ +2x=0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=-
=-2
;1!;
-5
1
;1@;
;1);
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)=
=0
⑶ 5x¤ -x-2=0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=-
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)=
-1
5
=
;5!;
-2
5
=-
;5@;
(cid:9000) 풀이 참조
유제 ❶ ① (-3)¤ -4_5_2=-31<0 (cid:8825) 근이 없다.
② (-4)¤ -4_3_1=4>0 (cid:8825) 서로 다른 근이 2개이다.
③ 4¤ -4_1_5=-4<0 (cid:8825) 근이 없다.
④ (-1)¤ -4_
_3=-5<0 (cid:8825) 근이 없다.
;2!;
⑤ 2¤ -4_2_1=-4<0 (cid:8825) 근이 없다.
(cid:9000) ②
유제 ❷-1 x¤ +2(a-1)x+a¤ =0이 중근을 가지려면
(cid:100)(cid:100){2(a-1)}¤ -4_1_a¤ =0
(cid:100)(cid:100)4a¤ -8a+4-4a¤ =0,(cid:100)(cid:100)-8a+4=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=
;2!;
(cid:9000)
;2!;
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우공비 B0X
기본서 91~96쪽
유제 ❷-2 (k+2)x¤ +(k+2)x+4=0이 중근을 가지
려면
(cid:100)(cid:100)(k+2)¤ -4_(k+2)_4=0
(cid:100)(cid:100)k¤ +4k+4-16k-32=0,(cid:100)(cid:100)k¤ -12k-28=0
(cid:100)(cid:100)(k+2)(k-14)=0
(cid:100)(cid:100)∴ k=-2 또는 k=14
이때 k+-2이므로(cid:100)(cid:100)k=14
(cid:9000) 14
유제 ❸ (k+1)x¤ -2kx+k=0이 근을 갖지 않으려면
(cid:100)(cid:100)(-2k)¤ -4_(k+1)_k<0
(cid:100)(cid:100)4k¤ -4k¤ -4k<0,(cid:100)(cid:100)-4k<0
이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)∴ k>0
(cid:9000) k>0
유제 ❹-1 주어진 이차방정식의 양변에 2를 곱하면
(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-5=0
이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)a=- =2, b= =-5
-2
1
-5
1
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=2-(-5)=7
(cid:9000) 7
이차방정식에서 x¤ 의
계수는 0이 될 수 없
다.
2233 이차방정식 구하기
기본서 95~96쪽
익히기 3 a, b, c가 유리수이므로 다른 한 근은
(cid:100)(cid:100)x=5+'2
(cid:9000) x=5+'2
익히기 4 ⑴ 2(x+4)(x-2)=0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)2x¤ +4x-16=0
⑵ (x+4)¤ =0에서(cid:100)(cid:100)x¤ +8x+16=0
⑶ 두 근의 합이 7, 곱이 5이므로(cid:100)(cid:100)x¤ -7x+5=0
` ` (cid:9000) ⑴ 2x¤ +4x-16=0(cid:100)⑵ x¤ +8x+16=0
`` (cid:9000) ⑶ x¤ -7x+5=0
유제 ❻ a, b가 유리수이므로 주어진 이차방정식의 계
수가 모두 유리수이다. 따라서 한 근이 x=2-3'2일 때,
다른 한 근은 x=2+3'2이므로 이차방정식의 근과 계
수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)-a=(2-3'2 )+(2+3'2)=4
(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
(cid:100)(cid:100)b=(2-3'2)(2+3'2)
=4-18=-14
(cid:100)(cid:100)∴ ab=-4_(-14)=56
(cid:9000) ④
S
t
e
p
U
p
.
Ⅲ
이
차
방
정
식
유제 ❹-2 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)-5+2=-
-5_2=
;2N;
m
2
,
(cid:100)(cid:100)∴ m=6, n=-20
(cid:100)(cid:100)∴ m+n=-14
두 근의 합이 m, 두 근의
곱이 n이고 x¤ 의 계수가
a인 이차방정식
(cid:8825) a(x¤ -mx+n)=0
유제 ❼-1 (두 근의 합)=(3+'2)+(3-'2)=6
(두 근의 곱)=(3+'2)(3-'2)=7
따라서 두 근의 합이 6, 곱이 7이고 x¤ 의 계수가 -
인
;6!;
(cid:9000) -14
이차방정식은
유제 ❺ -1 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)-
(x¤ -6x+7)=0(cid:100)(cid:100)∴ -
x¤ +x-
=0
;6!;
;6&;
;6!;
(cid:100)(cid:100)a+b=3, ab=-5
⑴ a+b-ab=3-(-5)=8
⑵ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
=3¤ -2_(-5)=19
⑶ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
=3¤ -4_(-5)=29
⑷ + =
1
a
1
b
b+a
ab
=-
;5#;
(cid:9000) ⑴ 8(cid:100)⑵ 19(cid:100)⑶ 29(cid:100)⑷ -
;5#;
유제 ❺ -2 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)a+b=-5, ab=a
(cid:100)(cid:100);å©;+;∫ƒ=
b¤ +a¤
ab
(a+b)¤ -2ab
ab
=
(-5)¤ -2a
a
(cid:100)(cid:100);å©;+;∫ƒ=
이므로(cid:100)(cid:100)25-2a=9a,(cid:100)(cid:100)11a=25
=
9
(cid:100)(cid:100)∴ a=;1@1%;(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) ;1@1%;
곱셈 공식의 변형
① a¤ +b¤
`=(a+b)¤ -2ab
`=(a-b)¤ +2ab
② (a+b)¤
`=(a-b)¤ +4ab
③ (a-b)¤
`=(a+b)¤ -4ab
a¤ +b¤ 을 a+b와 ab
로 나타낸다.
(cid:9000) -
x¤ +x-
=0
;6!;
;6&;
유제 ❼-2 두 근이 -;3@;, ;2!;이고 x¤ 의 계수가 6인 이차방
정식은
(cid:100)(cid:100)6{x+;3@;}{x-;2!;}=0,(cid:100)(cid:100)6{x¤ +;6!;x-;3!;}=0
(cid:100)(cid:100)∴ 6x¤ +x-2=0
따라서 a=1, b=-2이므로
(cid:100)(cid:100)3ab=3_1_(-2)=-6
(cid:9000) -6
(두 근의 합)=-;3@;+;2!;=-;6!;,
(두 근의 곱)=-;3@;_;2!;=-;3!;
이므로 두 근의 합이 -;6!;, 곱이 -;3!;이고 x¤ 의 계수가 6
인 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)6{x¤ +;6!;x-;3!;}=0(cid:100)(cid:100)∴ 6x¤ +x-2=0
따라서 a=1, b=-2이므로
(cid:100)(cid:100)3ab=3_1_(-2)=-6
Ⅲ.이차방정식 045
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지046 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
소단원성취도진단
기본서 97~98쪽
01 ②
05 ③
10 -7
15 1
02 ③
06 ④
11 ②
16 -1
03 4
07 ②
12 ④
04 풀이 참조
08 14
13 0
09 2
14 ④
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 서로 다른 두 근을
01
갖는다. (cid:8833) b¤ -4ac>0
㈀ 6x¤ -x-4=0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(-1)¤ -4_6_(-4)=97>0
㈁ 3x¤ -2x+4=0에서
(cid:100)(cid:100)(cid:100) (-2)¤ -4_3_4=-44<0
㈂ 주어진 방정식의 양변에 2를 곱하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ +4x+4=0
(cid:100) 이므로(cid:100)(cid:100)4¤ -4_1_4=0
㈃ 주어진 방정식의 양변에 6을 곱하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)6x¤ -x-2=0
(cid:100) 이므로(cid:100)(cid:100)(-1)¤ -4_6_(-2)=49>0
이상에서 서로 다른 두 근을 갖는 것은 ㈀, ㈃이다.
02
이차방정식 ax¤ +bx+c=0 (cid:8833) (두 근의 곱)=
k= =-2이므로 2k¤ +k-m=0에서
-8
4
(cid:100)(cid:100)2_(-2)¤ -2-m=0
(cid:100)(cid:100)∴ m=6
계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이
03
x=p-q'∂m (cid:8833) 다른 한 근은 x=p+q'∂m (단, p, q는 유리
수, '∂m은 무리수)
a, b가 유리수이므로 주어진 이차방정식의 계수가
모두 유리수이다. 따라서 한 근이 x=3-'5일 때, 다른
한 근은 x=3+'5이므로 이차방정식의 근과 계수의 관
계에 의하여
(cid:100)(cid:100)- =(3-'5)+(3+'5)=6(cid:100)(cid:100)∴ a=12
(cid:100)(cid:100) =(3-'5)(3+'5)=4(cid:100)(cid:100)∴ b=8
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=12-8=4
-a
2
b
2
(cid:9000) ②
;aC;
(cid:9000) ③
(cid:9000) 4
배점
40%
60%
04
채점 기준
상수 k의 값 구하기
중근 구하기
4x¤ +kx+;4!;=0이 중근을 가지므로
(cid:100)(cid:100)k¤ -4_4_;4!;=0,(cid:100)(cid:100)k¤ -4=0
046 Check Up 풀이집
근이 없다.
중근을 갖는다.
(cid:100)(cid:100)(k+2)(k-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ k=-2 또는 k=2
▶ 40%
⁄ k=-2이면(cid:100)(cid:100)4x¤ -2x+;4!;=0
¤ (cid:100)(cid:100) 16x¤ -8x+1=0,(cid:100)(cid:100)(4x-1)¤ =0
¤ (cid:100)(cid:100)∴ x=;4!; (중근)
¤ k=2이면(cid:100)(cid:100)4x¤ +2x+;4!;=0
¤ (cid:100)(cid:100)16x¤ +8x+1=0,(cid:100)(cid:100)(4x+1)¤ =0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-;4!; (중근)
▶ 60%
(cid:9000) k=-2일 때 x=;4!;(중근),
k=2일 때 x=-;4!;(중근)
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 해를 가지려면
05
(cid:8833) b¤ -4acæ0
이차방정식 x¤ -2x+k-5=0이 해를 가지려면
(cid:100)(cid:100)(-2)¤ -4_1_(k-5)æ0
이므로(cid:100)(cid:100)4-4k+20æ0
(cid:100)(cid:100)4k…24(cid:100)(cid:100)∴ k…6
(cid:9000) ③
06
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면
(cid:8833) a+b=-
ab=
;aC;
;aB;,
①, ② a+b=;2%;, ab=-1
③ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab={;2%;}2 -2_(-1)=:£4£:
④ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab={;2%;}2 -4_(-1)=:¢4¡:
1
=;2%;_ =-;2%;
-1
b+a
ab
⑤
+
=
;∫!;
;å!;
(cid:9000) ④
두 근의 차가k 이면 두 근
을 a, a-k 또는 a, a+k
로 놓는다.
07
두 근의 차가 3 (cid:8833) 두 근을 a, a-3으로 놓는다.
주어진 이차방정식의 두 근을 a, a-3이라 하면 근
과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)a+(a-3)=-6
(cid:100)(cid:100)a(a-3)=k
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠`에서(cid:100)(cid:100)2a-3=-6(cid:100)(cid:100)∴ a=-
;2#;
a=-
을 ㉡`에 대입하면
;2#;
(cid:100)(cid:100)k=-
_{-
-3}=-
_{-
;2(;}=
;2#;
;2#;
;2#;
;;™4¶;;
(cid:9000) ②
주어진 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 근과 계
두 근 a, b의 차가3
이므로
(cid:100)|a-b|=3
(cid:100)∴ (a-b)¤ =3¤
수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)a+b=-6, ab=k
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab이므로
(cid:100)(cid:100)3¤ =(-6)¤ -4k,(cid:100)(cid:100)9=36-4k(cid:100)(cid:100)∴ k=
;;™4¶;;
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지047 SinsagoHitec
08
두 근을 a, 2a로 놓고 근과 계수의 관계를 이용한다.
주어진 이차방정식의 한 근이 다른 한 근의 2배이
므로 두 근을 a, 2a (a>0)라 하면 근과 계수의 관계에
두 근의 합이 m, 곱이 n이고 x¤ 의 계수가 a인 이차방
12
정식 (cid:8833) a(x¤ -mx+n)=0
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
기본서 97~98쪽
의하여
(cid:100)(cid:100)a+2a=k+1
(cid:100)(cid:100)a_2a=50
㉡에서(cid:100)(cid:100)a¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ a=5 (∵ a>0)
a=5를 ㉠에 대입하면
(cid:100)(cid:100)5+2_5=k+1,(cid:100)(cid:100)k+1=15
(cid:100)(cid:100)∴ k=14
09
채점 기준
두 근의 합과 곱 구하기
상수 m의 값 구하기
계에 의하여
(cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=-(4-m),
(cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)=m¤ -3m
-(4-m)=m¤ -3m에서
(cid:100)(cid:100)m¤ -4m+4=0,(cid:100)(cid:100)(m-2)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ m=2
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) 14
배점
40%
60%
▶ 40%
▶ 60%
(cid:9000) 2
x¤ +(4-m)x+m¤ -3m=0에서 근과 계수의 관
두 근이 a, b이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식
10
(cid:8833) (x-a)(x-b)=0
x¤ +5x-3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=-5, (두 근의 곱)=-3
이므로 두 근이 -5, -3이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정
식은
(cid:100)(cid:100)(x+5)(x+3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +8x+15=0
따라서 a=8, b=15이므로
(cid:100)(cid:100)a-b=8-15=-7
(cid:9000) -7
-5와 -3이 x¤ +ax+b=0의 근이므로 근과 계
수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)a=-{-5+(-3)}=8, b=-5_(-3)=15
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=8-15=-7
두 근이 a, b이고 x¤ 의 계수가 a인 이차방정식
11
(cid:8833) a(x-a)(x-b)=0
두 근이 -
, 1이고 x¤ 의 계수가 5인 이차방정식은
;5!;
(x-1)=0,(cid:100)(cid:100)5
(cid:100)(cid:100)5
x+
{
;5!;}
(cid:100)(cid:100)∴ 5x¤ -4x-1=0
x¤ -
{
;5$;
x-
;5!;}
=0
우공비 B0X
근은 모두 양수이다.
두 근의 합이
곱
-;3@;,
이
-;3!;
인 이차방정식
k=3일 때
,
(cid:100)3{x¤ +;3@;x-;3!;}=0
(cid:100)∴ 3x¤ +2x-1=0
m=2를 주어진 방정
식에 대입하면
x¤ +2x-2=0이므로
(cid:100)(두 근의 합)=-2,
(cid:100)(두 근의 곱)=-2
S
t
e
p
U
p
.
Ⅲ
이
차
방
정
식
(cid:100)(cid:100)a+b=2, ab=-3
a+b
ab
1
(cid:100)(cid:100)∴ + =
a
1
b
=-
,
;3@;
1
(cid:100)(cid:100)∴ _ = =-
b
1
ab
1
a
;3!;
따라서 , 을 두 근으로 하는 이차방정식은
1
a
1
b
x-
;3!;}=0 (k+0)
(cid:100)(cid:100)k {x¤ +
꼴이므로 보기 중 구하는 이차방정식은 ④이다.
;3@;
(cid:9000) ④
x¤ -2x-3=0에서(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=3
즉 a, b가 -1과 3이므로 , 은 -1과
이다.
;3!;
1
a
1
b
따라서 구하는 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)k (x+1){x-
;3!;}=0, 즉
x-
;3!;}=0 (k+0)
;3@;
(cid:100)(cid:100)k {x¤ +
꼴이다.
13
채점 기준
조건 ㈎를 만족시키는 a의 값의 범위 구하기
조건 ㈏를 만족시키는 a의 값 구하기
조건 ㈎, ㈏를 만족시키는 a의 값 구하기
배점
40%
40%
20%
조건 ㈎에서 x¤ +2x-a+3=0이 근을 갖지 않으
므로
(cid:100)(cid:100)2¤ -4_1_(-a+3)<0,(cid:100)(cid:100)4+4a-12<0
(cid:100)(cid:100)4a<8(cid:100)(cid:100)∴ a<2
yy ㉠ ▶ 40%
조건 ㈏에서 x¤ +ax+a=0이 중근을 가지므로
(cid:100)(cid:100)a¤ -4_1_a=0,(cid:100)(cid:100)a¤ -4a=0
(cid:100)(cid:100)a(a-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=0 또는 a=4
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)a=0
yy ㉡ ▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000) 0
이차방정식의 두 근의 절댓값이 같고, 부호가 반대
14
(cid:8833) (두 근의 합)=0, (두 근의 곱)<0
x¤ -(a¤ +a-12)x-a+2=0의 두 근의 절댓값이
같고 부호가 반대이므로
(cid:100)(cid:100)a¤ +a-12=0,(cid:100)(cid:100)(a+4)(a-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=-4 또는 a=3
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
이때 (두 근의 곱)<0이므로(cid:100)(cid:100)-a+2<0
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) ④
Ⅲ.이차방정식 047
따라서 a=-4, b=1이므로(cid:100)(cid:100)x¤ -4x-10=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_(-10)
(cid:100)(cid:100)∴ x=2—'ß14
(cid:9000) ②
ax¤ +2b'x+c=0 (a+0)
-b'—"√b'¤ -ac
a
(cid:8825) x=
(cid:100)(cid:100)∴ a>2
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)a=3
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:56 PM 페이지048 SinsagoHitec
우공비 B0X
n=15 또는 n=-16
이지만 -16은 자연수
가 아니므로 n의 값이
될 수 없다.
Step Up
기본서
15
채점 기준
3-'3의 소수 부분 구하기
주어진 이차방정식의 다른 한 근 구하기
a의 값 구하기
1<'3<2에서
(cid:100)(cid:100)-2<-'3<-1(cid:100)(cid:100)∴ 1<3-'3<2
즉 3-'3의 소수 부분은
(cid:100)(cid:100)(3-'3)-1=2-'3
▶ 30%
x¤ -4x+2a-1=0의 한 근이x=2-' 3이고 이차방정
식의 계수가 모두 유리수이므로 다른 한 근은 x=2+'3
이다.
▶ 40%
따라서 두 근의 곱은
(cid:100)(cid:100)2a-1=(2-'3)(2+'3)=1
(cid:100)(cid:100)∴ a=1
배점
30%
40%
30%
▶ 30%
(cid:9000) 1
x의 계수를 잘못 본 경우 (cid:8833) 상수항은 바르게 보았다.
16
상수항을 잘못 본 경우 (cid:8833) x의 계수는 바르게 보았다.
-4와 2를 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차방
(cid:100)(cid:100)(x+4)(x-2)=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-8=0
이므로 이차방정식 x¤ +ax+b=0의 상수항은 -8이다.
-9와 2를 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식
(cid:100)(cid:100)(x+9)(x-2)=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +7x-18=0
이므로 이차방정식 x¤ +ax+b=0의 x의 계수는 7이다.
따라서 구하는 값은(cid:100)(cid:100)a+b=7+(-8)=-1
(cid:9000) -1
정식은
(cid:100)(cid:100)∴ b=-8
은
(cid:100)(cid:100)∴ a=7
두 근이 a, b이고 x¤ 의 계
수가 a인 이차방정식
(cid:8825) a(x-a)(x-b)=0
2255 시간, 도형에 대한 활용
기본서 101~103쪽
유제 ❶ 1부터 n까지의 합을 120이라 하면
(cid:100)(cid:100)
n(n+1)
2
=120,(cid:100)(cid:100)n¤ +n-240=0
(cid:100)(cid:100)(n+16)(n-15)=0
(cid:100)(cid:100)∴ n=15 (∵ n은 자연수)
따라서 1부터 15까지 더해야 한다.
(cid:9000) 15
유제 ❷ 연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면
(cid:100)(cid:100)x(x+2)=120,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-120=0
(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ x는 짝수)
따라서 구하는 두 수는 10, 12이다.
(cid:9000) 10, 12
유제 ❸ 학생 수를 x라 하면 한 학생이 받는 사탕의
수는 x+3이므로
(cid:100)(cid:100)x(x+3)=108,(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-108=0
(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>0)
따라서 학생은 9명이다.
(cid:9000) 9
익히기 2 ⑴ 늘인 후의 직사각형의 가로의 길이는
(cid:100) (x+4)cm, 세로의 길이는 (x+2)cm이다.
⑵ (x+4)(x+2)=3x¤
⑶ (x+4)(x+2)=3x¤ 에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x¤ +6x+8=3x¤ ,(cid:100)(cid:100)x¤ -3x-4=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+1)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ x>0)
(cid:100) 따라서 정사각형의 한 변의 길이는 4 cm이다.
(cid:9000) 풀이 참조
유제 ❹-1 높이가 :¢2£: m이므로 h=:¢2£:을
h=;2#;+25t-5t¤ 에 대입하면
(cid:100)(cid:100):¢2£:=;2#;+25t-5t¤ ,(cid:100)(cid:100)-5t¤ +25t-20=0
(cid:100)(cid:100)t¤ -5t+4=0,(cid:100)(cid:100)(t-1)(t-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ t=1 또는 t=4
따라서 야구공의 높이가 :¢2£: m가 되는 것은 1초 후 또
는 4초 후이다.
(cid:9000) 1초 또는 4초
3. 이차방정식의 활용
2244 수에 대한 활용
기본서 99~100쪽
익히기 1 ⑴ 연속하는 두 수 중 작은 수를 x라 하면 큰
(cid:100) 수는 x+1이다.
⑵ x¤ +(x+1)¤ =113
높이가 h m가 되는 경
우는 두 번 생긴다.
(단, 가장 높이 올라간
경우는 제외)
⑶ x¤ +(x+1)¤ =113에서(cid:100)(cid:100)x¤ +x¤ +2x+1=113
유제 ❹-2 물체가 지면에 떨어지는 것은 높이가 0 m일
(cid:100) (cid:100)(cid:100)2x¤ +2x-112=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +x-56=0
때이므로
(cid:100)(cid:100)70x-5x¤ =0,(cid:100)(cid:100)-5x(x-14)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=14 (∵ x>0)
따라서 물체가 지면에 떨어지는 것은 14초 후이다.
(cid:9000) 풀이 참조
(cid:9000) 14초
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+8)(x-7)=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=7 (∵ x는 자연수)
(cid:100) 따라서 두 자연수는 7, 8이다.
048 Check Up 풀이집
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지049 SinsagoHitec
유제 ❺ 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 직
각이등변삼각형의 직각을 낀 한 변의 길이는
(12-x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ +;2!;(12-x)¤ =48,(cid:100)(cid:100)3x¤ -24x+48=0
(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+16=0,(cid:100)(cid:100)(x-4)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 4 cm이다. (cid:9000) 4 cm
유제 ❻-1 처음 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)p(x+2)¤ =4px¤ ,(cid:100)(cid:100)3x¤ -4x-4=0
(cid:100)(cid:100)(3x+2)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 처음 원의 반지름의 길이는 2 cm이다. (cid:9000) 2 cm
유제 ❻-2 사다리꼴의 높이를 x cm라 하면 윗변의 길이
는 (x-1) cm, 아랫변의 길이는 (x+3) cm이므로
(cid:100)(cid:100);2!;(x-1+x+3)x=30
(cid:100)(cid:100);2!;x(2x+2)=30,(cid:100)(cid:100)x¤ +x-30=0
(cid:100)(cid:100)(x+6)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>1)
따라서 사다리꼴의 높이는 5 cm이다.
(cid:9000) 5 cm
x`m
3`m
유제 ❼ 정원의 세로
의 길이를 x m라 하면
가로의 길이는
{x-2}`m
(x+3)m이므로 오른
쪽 그림에서
2`m
(cid:100)(cid:100){(x+3)-3}(x-2)=63
소단원성취도진단
기본서 104~105쪽
01 ⑤
06 ④
02 13
07 -1
11 4초 12 36
03 3
04 ②
08 7초 09 ①
-1+'5
2
13
cm
05 ④
10 ②
14 ③
01
n(n-1)
2
=78을 만족시키는 n의 값을 구한다.
모임의 학생 수를 n이라 하면
n(n-1)
2
=78,(cid:100)(cid:100)n¤ -n-156=0
(cid:100)(cid:100)
우공비 B0X
기본서 98~104쪽
02
연속하는 두 홀수 (cid:8833) x, x+2 (단, x는 홀수)
연속하는 두 홀수를 x, x+2라 하면
(cid:100)(cid:100)x¤ +(x+2)¤ =394,(cid:100)(cid:100)2x¤ +4x-390=0
(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-195=0,(cid:100)(cid:100)(x+15)(x-13)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=13 (∵ x>0)
따라서 두 홀수 중 작은 수는 13이다.
(cid:9000) 13
S
t
e
p
U
p
x¤ +;2!;(12-x)¤ =48
2x¤ +(12-x)¤ =96
3x¤ -24x+48=0
(가로의 세 수의 합)=(대각선의 세 수의 합)임을
03
이용하여 이차방정식을 세운다.
가로, 대각선에 있는 세 수의 합이 모두 같으므로
(가로의 세 수의 합)
=(대각선의 세 수의 합)
(cid:100)(cid:100)1-x¤ +x+1=1-3x+0+x+1
(cid:100)(cid:100)x¤ -3x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x는 자연수)
(cid:9000) 3
x-1>0, x+3>0
(cid:100)∴ x>1
04
어떤 수를 x로 놓고 이차방정식을 세운다.
어떤 자연수를 x라 하면
(cid:100)(cid:100)2x=x¤ -48
(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-48=0,(cid:100)(cid:100)(x+6)(x-8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x는 자연수)
따라서 구하는 자연수는 8이다.
(cid:9000) ②
.
Ⅲ
이
차
방
정
식
05
철수의 나이가 x살 (cid:8833) 아버지의 나이는 3x살
철수의 나이를 x살이라 하면 철수 아버지의 나이
는 3x살이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ =3x_5,(cid:100)(cid:100)x¤ -15x=0
(cid:100)(cid:100)x(x-15)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=15 (∵ x>0)
따라서 철수 아버지의 나이는 45살이다.
(cid:9000) ④
학생 수가 x이면 (cid:8833) 한 사람이 받는 귤의 개수는
06
x-6
x-6이므로
학생 수를 x라 하면 한 사람이 받는 귤의 개수는
(cid:100)(cid:100)x(x-6)=112,(cid:100)(cid:100)x¤ -6x-112=0
(cid:100)(cid:100)(x+8)(x-14)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=14 (∵ x>0)
따라서 학생은 모두 14명이다.
(cid:9000) ④
07
채점 기준
기호의 뜻을 이용하여 식 세우기
x의 값 구하기
배점
50%
50%
(cid:100)(cid:100)x(x-2)=63,(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-63=0
(cid:100)(cid:100)(x+7)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>2)
따라서 정원의 세로의 길이는 9 m이다.
(cid:9000) 9 m
3x=3_15=45
(cid:100)(cid:100)(n+12)(n-13)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=13 (∵ n>0)
(x+1)(cid:8596)2x=4에서
따라서 모임의 학생은 모두 13명이다.
(cid:100)(cid:100)(x+1)¤ +(x+1)_2x+(2x)¤ =4
▶ 50%
n은 학생 수이므로 자
연수이어야 한다.
(cid:9000) ⑤
(cid:100)(cid:100)x¤ +2x+1+2x¤ +2x+4x¤ =4
Ⅲ.이차방정식 049
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지050 SinsagoHitec
Step Up
기본서
(cid:100)(cid:100)7x¤ +4x-3=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(7x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-1(∵ x는 정수)
우공비 B0X
08
공이 지면에 떨어지는 순간의 높이 (cid:8833) 0 m
공이 지면에 떨어지는 순간의 높이는 0 m이므로
(cid:100)(cid:100)-5t¤ +25t+70=0,(cid:100)(cid:100)t¤ -5t-14=0
(cid:100)(cid:100)(t+2)(t-7)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=7 (∵ t>0)
따라서 공이 지면에 떨어지는 것은 7초 후이다.
09
주어진 조건에 따라 식을 세운다.
1000x-500x¤ =375에서
(cid:100)(cid:100)4x¤ -8x+3=0,(cid:100)(cid:100)(2x-1)(2x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=;2!; 또는 x=;2#;
따라서 처음으로 375 cm의 높이에 도달하는 것은 물을
뿌린 지 0.5초 후이다.
▶ 50%
(cid:9000) -1
(cid:9000) 7초
12
채점 기준
A, B를 x에 대한 식으로 나타내기
x의 값 구하기
A-B의 값 구하기
배점
40%
40%
20%
자연수 A의 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자
십의 자리의 숫자가 a, 일
의 자리의 숫자가 b인 두
자리의 자연수
(cid:8825) 10a+b
리의 숫자는 8-x이므로
(cid:100)(cid:100)A=10x+(8-x)=9x+8,
(cid:100)(cid:100)B=10(8-x)+x=-9x+80
▶ 40%
AB=1612이므로
(cid:100)(cid:100)(9x+8)(-9x+80)=1612
(cid:100)(cid:100)81x¤ -648x+972=0
(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+12=0,(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-6)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=6
그런데 A>B이므로(cid:100)(cid:100)x=6
따라서 A=62, B=26이므로
▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000) 36
6+2=8이고
62_26=1612이다.
(cid:100)(cid:100)A-B=36
(cid:9000) ①
(cid:8772)AEFD는 정사각형
13
(cid:8772)ABCDª(cid:8772)BCFE (cid:8833) AB” : BC”=BC” :CF”
AD”=x cm라 하면 DF”=x cm이므로
처음 철판의 가로의 길이가 x cm이면
10
(cid:8833) 세로의 길이는 2x cm
비례식에서 외항의 곱과
내항의 곱은 같다.
(cid:100)(cid:100)CF”=1-x(cm)
이때 (cid:8772)ABCDª(cid:8772)BCFE이므로
AB” : BC”=BC” : CF”에서
(cid:100)(cid:100)x¤ +x-1=0(cid:100)(cid:100)∴ x=
(cid:100)(cid:100)1 : x=x : (1-x),(cid:100)(cid:100)x¤ =1-x
-1—'5
2
-1+'5
2
이때 00, 2x-2>0
(cid:100)∴ x>2
(cid:9000)
-1+'5
2
cm
14
초속 a cm (cid:8833) x초 동안 움직인 거리 ax cm
출발한 지 x초 후의 BP”의 길이는 2x cm, BQ”의 길
BQ”=BC”-QC”
이는 (30-4x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)2x(30-4x)=;3!;_{;2!;_30_20}
(cid:100)(cid:100)2x¤ -15x+25=0,(cid:100)(cid:100)(2x-5)(x-5)=0
x초 동안 늘어난 길이
는 2x cm이다.
(cid:100)(cid:100)∴ x=;2%; 또는 x=5
따라서 직사각형의 넓이가 삼각형 ABC의 넓이의 ;3!;이
되는 것은 출발한 지 2.5초 후 또는 5초 후이다.
(cid:9000) ③
처음 철판의 가로의 길이를 x cm라 하면 세로의
길이는 2x cm이다.
또 직육면체의 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이는 각각
(x-2)cm, (2x-2)cm이고 높이는 1 cm이므로
(cid:100)(cid:100)(x-2)_(2x-2)_1=144
(cid:100)(cid:100)2x¤ -6x+4=144,(cid:100)(cid:100)x¤ -3x-70=0
(cid:100)(cid:100)(x+7)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ x>2)
따라서 처음 철판의 가로의 길이는 10 cm이다. (cid:9000) ②
11
채점 기준
x초 후의 반지름의 길이 나타내기
이차방정식 세우기
답 구하기
x초 후의 반지름의 길이는 (3+2x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)p(3+2x)¤ -p_3¤ =112p
(cid:100)(cid:100)p(4x¤ +12x)=112p
(cid:100)(cid:100)4x¤ +12x-112=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-28=0
(cid:100)(cid:100)(x+7)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4(∵ x>0)
따라서 늘어난 넓이가 112p`cm¤ 가 되는 것은 4초 후이
다.
배점
30%
30%
40%
▶ 30%
▶ 30%
▶ 40%
(cid:9000) 4초
050 Check Up 풀이집
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지051 SinsagoHitec
중단원마무리평가
기본서 106~109쪽
(cid:100)(cid:100)5y-10x=-5(2x-y)
01 ②
06 ①
11 ③
16 ③
02 ③
07 ⑤
12 ③
17 ③
21 8
25 풀이 참조
03 ④
08 ②
13 ③
04 ⑤
09 ①
14 ②
05 ④
10 ②
15 ①
18 x=;3@; 19 k>14 20 -:£4£:
22 10 % 23 5 cm 24 a=6, b=-2
26 4
27 9분
01
ax¤ +2b'x+c=0 (a+0) (cid:8833) x=
-b'—"√b'¤ -ac
a
x¤ -4x+1=0에서
(cid:100)(cid:100)x=-(-2)—"√(-2)¤ -1_1
=2—'3
따라서 a=2+'3이므로
2
(cid:100)(cid:100)a+ =2+'3+
a
2
2+'3
(cid:100)(cid:100)a+ =2+'3+4-2'3
=6-'3
계수가 분수인 이차방정식
02
(cid:8833) 양변에 분모의 최소공배수를 곱한다.
주어진 이차방정식의 양변에 6을 곱하면
(cid:100)(cid:100)2x¤ -3x-6=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=
-(-3)—"√(-3)¤ -4√_2_(-6)
2_2
(cid:100)(cid:100)∴ x=
3—'∂57
4
(cid:9000) ③
계수가 소수인 이차방정식
03
(cid:8833) 양변에 10의 거듭제곱을 곱한다.
주어진 이차방정식의 양변에 10을 곱하면
(cid:100)(cid:100)4x¤ =10x-3,(cid:100)(cid:100)4x¤ -10x+3=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=
-(-5)—"√(-5)¤ -√4_3
4
(cid:100)(cid:100)∴ x=
5—'∂13
4
따라서 A=5, B=13이므로
(cid:100)(cid:100)A+B=18
04
2x-y=A로 놓고A 의 값을 먼저 구한다.
2x-y=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(A+2)(A+4)+1=0
(cid:100)(cid:100)A¤ +6A+9=0,(cid:100)(cid:100)(A+3)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ A=-3
따라서 A=2x-y=-3이므로
우공비 B0X
2x-y의 값을 이용할
수 있도록 변형한다.
주어진 방정식의 양변
에 10을 곱한다.
(2x+1)(x+2)
=(x-1)(x+2)
에서
2x¤ +5x+2
=x¤ +x-2
(cid:100)∴ x¤ +4x+4=0
분모를 유리화하면
2(2-'3 )
(2+'3)(2-'3)
(cid:100)
=4-2'3
기본서 104~106쪽
=-5_(-3)
=15
(cid:9000) ⑤
S
t
e
p
U
p
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 가질 조건
05
(cid:8833) b¤ -4ac=0
㈀ 2¤ -4_1_(-1)=8>0
㈁ (-12)¤ -4_9_4=0
㈂ 9x¤ +6x+10=0에서
(cid:100)(cid:100) (cid:100)6¤ -4_9_10=-324<0
㈃ x¤ +4x+4=0에서
(cid:100)(cid:100) (cid:100)4¤ -4_1_4=0
이상에서 중근을 갖는 것은 ㈁, ㈃이다.
(cid:9000) ④
⁄ (-5)¤ -4_2_k>0, 즉 k<:™8∞:이면 서로 다른 두
(cid:100) 근을 갖는다.
¤ (-5)¤ -4_2_k=0, 즉 k=:™8∞:이면 한 근(중근)
(cid:100) 을 갖는다.
.
Ⅲ
이
차
방
정
식
‹ (-5)¤ -4_2_k<0, 즉 k>:™8∞:이면 근은 없다.
㈀ k=2이면 ⁄에서 서로 다른 두 근을 갖는다.
㈁ k=:™8∞:이면 중근을 갖는다.
㈂ k=3이면 ⁄에서 서로 다른 두 근을 갖는다.
㈃ 근을 갖도록 하는 상수 k의 값의 범위는 ⁄, ¤에서
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 근의 개수
06
(cid:8833) b¤ -4ac의 부호를 조사한다.
(cid:9000) ②
2x¤ -5x+k=0에서
¤ -4acæ0이면 근을
b¤
갖는다.
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(-5)¤ -4_2_kæ0
ax¤ +2b'x+c=0 (a+0)
(cid:8825) x=
-b'—"√b'¤ -ac
a
(cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ k…:™8∞:
(cid:100) 따라서 가장 큰 정수 k의 값은 3이다.
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다.
(cid:9000) ①
(cid:9000) ④
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 갖는다.
07
(cid:8833) b¤ -4ac=0
x¤ +ax+;4!;b=0이 중근을 가지려면
(cid:100)(cid:100)a¤ -4_1_;4!;b=0
(cid:100)(cid:100)∴ b=a¤
따라서 순서쌍 (a, b)는
(cid:100)(cid:100)(1, 1), (2, 4)
의 2개이다.
(cid:9000) ⑤
Ⅲ.이차방정식 051
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지052 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
08
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 a, b
(cid:8833) a+b=-
, ab=
;aB;
;aC;
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)a+b=4, ab=-2
a+b=kab에서 4=-2k이므로
(cid:100)(cid:100)k=-2
(cid:9000) ②
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 a, b
09
(cid:8833) aa¤ +ba+c=0, ab¤ +bb+c=0
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)a+b=8, ab=3
a, b가 x¤ -8x+3=0의 근이므로
(cid:100)(cid:100)a¤ -8a+3=0, b¤ -8b+3=0
(cid:100)(cid:100)a¤ -7a=a-3, b¤ -7b=b-3
따라서
이므로
(cid:100)(cid:100)(a¤ -7a-2)(b¤ -7b-2)
(cid:100)=(a-3-2)(b-3-2)
(cid:100)=(a-5)(b-5)
(cid:100)=ab-5(a+b)+25
(cid:100)=3-5_8+25
(cid:100)=-12
(cid:9000) ①
먼저 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여
10
a+b, ab의 값을 구한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)a+b=-1, ab=a
(a¤ +2)(b¤ +2)=10에서
(cid:100)(cid:100)a¤ b¤ +2(a¤ +b¤ )-6=0
(cid:100)(cid:100)(ab)¤ +2{(a+b)¤ -2ab}-6=0
(cid:100)(cid:100)a¤ -4a-4=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=2-2'2 (∵ a<0)
x=a, x=b를
x¤ -8x+3=0에 각
각 대입한다.
x¤ +ax+b=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)-a=-4+5=1(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
(cid:100)(cid:100)b=-4_5=-20
12
진우와 찬진이가 각각 바르게 보고 푼 항을 이용한다.
진우는 상수항을 바르게 보고 풀었으므로
(cid:100)(cid:100)b=(-3+'3 )(-3-'3 )=9-3=6
찬진이는 x의 계수를 바르게 보고 풀었으므로
(cid:100)(cid:100)-a=
5+'2
2
+
5-'2
2
=5
(cid:100)(cid:100)∴ a=-5
따라서 이차방정식은 x¤ -5x+6=0이므로
(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=3
13
n(n+1)
2
=66을 만족시키는 n의 값을 구한다.
n번째 도형에 사용한 바둑돌의 수를 66이라 하면
(cid:100)(cid:100)
n(n+1)
2
=66,(cid:100)(cid:100)n¤ +n-132=0
(cid:100)(cid:100)(n+12)(n-11)=0
(cid:100)(cid:100)∴ n=11 (∵ n>0)
따라서 구하는 도형은 11번째 도형이다.
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
14
연속하는 두 짝수 (cid:8833) x, x+2 (x는 짝수)
연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면
(cid:100)(cid:100)x¤ _2=(x+2)¤ +56
(cid:100)(cid:100)2x¤ =x¤ +4x+60,(cid:100)(cid:100)x¤ -4x-60=0
(cid:100)(cid:100)(x+6)(x-10)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ x는 짝수)
따라서 두 짝수는 10, 12이므로 구하는 합은
(cid:100)(cid:100)10+12=22
(cid:9000) ②
(cid:9000) ②
두 근이 a, b이고 x¤ 의 계수가 a인 이차방정식
11
(cid:8833) a(x-a)(x-b)=0
두 근이 -4, 5이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)(x+4)(x-5)=0,(cid:100)(cid:100)x¤ -x-20=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1, b=-20
따라서 -20x¤ -x+1=0의 두 근의 합은 근과 계수의
높이가 a m일 때의 시각 (cid:8833) h=30t-5t¤ 에 h=a를
15
대입
-20x¤ -x+1=0에서
(cid:100)20x¤ +x-1=0
(cid:100)(4x+1)(5x-1)=0
(cid:100)∴ x=-;4!; 또는
(cid:100)(cid:100) x=;5!;
(cid:8825) (두 근의 합)
h=30_2-5_2¤ =40
30t-5t¤ =40에서(cid:100)(cid:100)t¤ -6t+8=0
(cid:100)(cid:100)(t-2)(t-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ t=2 또는 t=4
린 지 4초 후이다.
따라서 높이가 40 m인 지점을 다시 지나는 것은 쏘아 올
(cid:9000) ③
`=-;4!;+;5!;=-;2¡0;
(cid:9000) ①
관계에 의하여 -
이다.
;2¡0;
052 Check Up 풀이집
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지053 SinsagoHitec
16
길을 제외한 부분을 한 개의 직사각형으로 생각한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
우공비 B0X
기본서 107~109쪽
{3x-2}`m
2`m
처음 잔디밭의
가로, 세로의 길이
를 각각 3x m,
2x m라 하면 오른
쪽 그림에서
{2x-2}`m
2`m
(cid:100)(cid:100)(3x-2)(2x-2)=160
(cid:100)(cid:100)3x¤ -5x-78=0,(cid:100)(cid:100)(3x+13)(x-6)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ x>1)
따라서 처음 잔디밭의 세로의 길이는
(cid:100)(cid:100)2_6=12(m)
17
DPQ의 넓이를 구한다.
두 점P, Q 가 동시에 출발한 지 x초 후의 삼각형
에서(cid:100)(cid:100)x>1
두 점P, Q 가 동시에 출발한 지 x초 후의 DP”, DQ”
(cid:100)(cid:100)a+b=-
, ab=-
;4!;
b
(cid:100)(cid:100)∴ + =
a
b¤ +a¤
ab
;4%;
a
b
(cid:100)(cid:100)∴ + =
(a+b)¤ -2ab
ab
(cid:100)(cid:100)∴ + ={(a+b)¤ -2ab}_
1
ab
S
t
e
p
U
p
-;4!;의 역수는 -4이
다.
(cid:9000) ③
(cid:100)(cid:100)∴ + =[{-;4%;}2 -2_{-;4!;}]_(-4)
(cid:100)(cid:100)∴ + =;1#6#;_(-4)
3x-2>0, 2x-2>0
(cid:100)(cid:100)∴ + =-:£4£:
(cid:9000) -:£4£:
한 학생이 받는 생수의 수를 x라 할 때, 전체 학생
21
수를 x에 대한 식으로 나타낸다.
한 학생이 받는 생수의 수를 x라 하면 전체 학생 수
는 x+7이므로
(cid:100)(cid:100)x(x+7)=120,(cid:100)(cid:100)x¤ +7x-120=0
△DPQ
=
_DP”_DQ”
;2!;
(cid:100)(cid:100)(x+15)(x-8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
따라서 한 학생이 받는 생수의 수는 8이다.
.
Ⅲ
이
차
방
정
식
(cid:9000) 8
(cid:9000) ③
두 번째로
△DPQ=72 cm¤ 가 되
는 것은 6초 후이다.
의 길이는
이므로
(cid:100)(cid:100)DP”=30-3x(cm), DQ”=2x(cm)
(cid:100)(cid:100)△DPQ=
(30-3x)_2x=72
;2!;_
(cid:100)(cid:100)-3x¤ +30x=72,(cid:100)(cid:100)x¤ -10x+24=0
(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=6
따라서 4초 후에 처음으로 삼각형 DPQ의 넓이가
72 cm¤ 가 된다.
계수에 분수와 소수가 있는 이차방정식
18
(cid:8833) 계수가 모두 정수가 되도록 양변에 같은 수를 곱한다.
;4#;x¤ +x-1=0의 양변에 4를 곱하면
(cid:100)(cid:100)3x¤ +4x-4=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(3x-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=;3@;
0.3x¤ -1.7x+1=0의 양변에 10을 곱하면
(cid:100)(cid:100)3x¤ -17x+10=0,(cid:100)(cid:100)(3x-2)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=;3@; 또는 x=5
따라서 두 이차방정식의 공통인 근은(cid:100)(cid:100)x=;3@;
(cid:9000) x=;3@;
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 근을 갖지 않을 조건
19
(cid:8833) b¤ -4ac<0
이차방정식 x¤ -10x+(2k-3)=0이 근을 갖지 않
으려면(cid:100)(cid:100)(-10)¤ -4_1_(2k-3)<0
(cid:100)(cid:100)-8k<-112(cid:100)(cid:100)∴ k>14
(cid:9000) k>14
20
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 a, b
(cid:8833) a+b=-
, ab=
;aB;
;aC;
한 개에a 원인 가격을 x %만큼 인상한 가격
22
(cid:8833) a{⁄+;10{0;}원
인상하기 전 햄버거 한 개의 가격을 a원, 이때 판매
된 햄버거의 개수를 b라 하자.
가격을 x %만큼 인상한 햄버거의 가격은
(cid:100)(cid:100)a {⁄+;10{0;} (원)
판매량이 0.6x %만큼 감소한 햄버거의 개수는
0.6x
100
(cid:100)(cid:100)b{⁄-
따라서 햄버거의 가격을 x %만큼 인상했을 때 총 판매
}
금액은
0.6x
100
0.6x
100
(cid:100)(cid:100)a {⁄+;10{0;}_b{⁄-
총 판매 금액이 3.4 %만큼 인상되어야 하므로
}(원)
(cid:100)(cid:100)a {⁄+;10{0;}_b{⁄-
0.6x
(cid:100)(cid:100){⁄+;10{0;} {⁄-
100
(cid:100)(cid:100)(100+x)(1000-6x)=100000+3400
}=ab{⁄+
3.4
100
}=1+
3.4
100
}
양변에 100000을 곱
한다.
양변을 -8로 나누면
부등호의 방향이 바뀐
다.
(cid:100)(cid:100)6x¤ -400x+3400=0
(cid:100)(cid:100)3x¤ -200x+1700=0
(cid:100)(cid:100)(x-10)(3x-170)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=10 또는 x=;:!3&:);
Ⅲ.이차방정식 053
D1001우중수3상_정(032-054) 2014.10.1 12:57 PM 페이지054 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
그런데 가격 인상률은 30 % 이하이므로
⑵ k=-1을 (1-k)x¤ -kx-6=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)x=10
(cid:100) (cid:100)(cid:100)2x¤ +x-6=0
따라서 햄버거의 가격을 10 %만큼 인상해야 한다.
(cid:100) 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
(cid:9000) 10 %
삼각형의 닮음을 이용하여 DF”의 길이를 CF”의 길
23
이를 이용하여 나타낸다.
CF”=x cm라 하면(cid:100)(cid:100)AF”=(8-x)cm
이때 △ABCª△ADF이므로
(cid:100)(cid:100)DF”=AF”=(8-x)cm
(cid:8772)DECF의 넓이가 15 cm¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)x(8-x)=15,(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+15=0
(cid:100)(cid:100)(x-3)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ CF”>AF”)
따라서 CF”의 길이는 5 cm이다.
(cid:9000) 5 cm
보충 학습
오른쪽 그림의 △ABC와 △ADF에서
DF”∥BC”이므로
(cid:100)(cid:100)∠ADF=∠ABC(동위각)
(cid:100)(cid:100)∠A는 공통
(cid:100)(cid:100)∴ △ABCª△ADF(AA 닮음)
A
F
D
B
E
C
24
채점 기준
a-b의 값 구하기
a, b의 값 구하기
배점
2점
2점
조건 ㈐에서 a-b=A로 놓으면
(cid:100)(cid:100)(A+1)(A-7)=9
(cid:100)(cid:100)A¤ -6A-16=0
(cid:100)(cid:100)(A+2)(A-8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ A=-2 또는 A=8
그런데 조건 ㈎에서 a>b이므로(cid:100)(cid:100)A>0
(cid:100)(cid:100)∴ A=8, 즉 a-b=8
yy ㉠(cid:100)▶ 2점
조건 ㈏에서 2a+b=10이므로 이를 ㉠과 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)a=6, b=-2
▶ 2점
(cid:9000) a=6, b=-2
25
채점 기준
k의 값 구하기
a+b, ab의 값 구하기
a¤ +b¤ 의 값 구하기
배점
1점
2점
1점
⑴ x¤ -2x-k=0이 중근을 가지므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(-2)¤ -4_1_(-k)=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)4+4k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-1
▶ 1점
054 Check Up 풀이집
ABC가 직각이등변
삼각형이므로
ADF도 직각이등
변삼각형이다.
x-1>0, x>0,
x+1>0, x+2>0이
므로(cid:100)x>1
다.
(cid:100) (cid:100)(cid:100)a+b=-
, ab=-3
;2!;
⑶ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab
⑶ a¤ +b¤ ={-;2!;}
¤ -2_(-3)
⑶ a¤ +b¤ =
;;™4∞;;
(cid:9000) ⑴ -1(cid:100)⑵ a+b=-
, ab=-3(cid:100)⑶
;2!;
채점 기준
연속하는 네 자연수를 한 문자로 나타내기
이차방정식 세우기
이차방정식 풀기
가장 큰 자연수 구하기
26
면
연속하는 네 자연수를 x-1, x, x+1, x+2라 하
(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ +(x-1)¤ =x(x+1)+11
(cid:100)(cid:100)x¤ +4x+4+x¤ -2x+1=x¤ +x+11
(cid:100)(cid:100)x¤ +x-6=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>1인 자연수)
따라서 네 자연수는 1, 2, 3, 4이므로 가장 큰 수는 4이
보충 학습
연속하는 세 자연수는 x-1, x, x+1(x>1인 자연수),
연속하는 네 자연수는 x-1, x, x+1, x+2(x>1인 자연
수)와 같이 놓으면 계산이 편리하다.
27
채점 기준
원의 둘레의 길이 구하기
이차방정식 세우기
점 P가 6바퀴를 도는 데 걸리는 시간 구하기
a-b=8 y ㉠
2a+b=10 y ㉡
[
㉠+㉡을 하면
(cid:100)3a=18(cid:100)(cid:100)∴ a=6
a=6을 ㉠에 대입하면
(cid:100)b=-2
점 P가 원을 한 바퀴 도는 데 3분이 걸리므로 3분
동안 움직인 거리는 원의 둘레의 길이와 같다.
따라서 원의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)3¤ +3_3=18(m)
점 P가 6바퀴 도는 데 x분이 걸린다고 하면 점 P가 6바
퀴 돌 때 움직인 거리는 6_18=108(m)이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ +3x=108
ax¤ +bx+c=0 (a+ 0)
이 중근을 가질 조건
(cid:8825) b¤ -4ac=0
(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-108=0,(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-9)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>0)
따라서 처음부터 6바퀴를 도는 데 9분이 걸린다. ▶ 1점
▶ 2점
▶ 1점
;;™4∞;;
배점
1점
1점
1점
1점
▶ 1점
▶ 1점
▶ 1점
▶ 1점
(cid:9000) 4
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 2점
(cid:9000) 9분
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지055 SinsagoHitec
Ⅳ
-1. 이차함수와 그 그래프
1. 이차함수의 뜻과 y=x¤ 의 그래프
2266 이차함수의 뜻
기본서 112~113쪽
익히기 1 (cid:9000) ㈂, ㈄
익히기 2 ⑴ f(0)=0¤ +0-5=-5
⑵ f(1)=1¤ +1-5=-3
⑶ f(-2)=(-2)¤ +(-2)-5=-3
(cid:9000) ⑴ -5(cid:100)⑵ -3(cid:100)⑶ -3
우공비 B0X
기본서 109~117쪽
유제 ❹ -1 ② x=;2!;, y=;4!;을 y=x¤ 에 대입하면
;4!;={;2!;}
따라서 y=x¤ 의 그래프는 점 {;2!;
, ;4!;}을 지난다.
⑤ x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
S
t
e
p
U
p
점 (a, b)가 그래프 위에
있다.
(cid:8825) 함수의 식에 x=a,
y=b를 대입하면 등식
이 성립한다.
유제 ❹ -2 y=x¤ 에
① x=-1, y=1을 대입하면(cid:100)(cid:100)1=(-1)¤
② x=-
, y=-
를 대입하면(cid:100)(cid:100)-
;3@;
;9$;
+{-
;9$;
;3@;}
③ x=0, y=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)0=0¤
④ x=
, y=
을 대입하면(cid:100)(cid:100)
;3!;
;9!;
={;3!;}
;9!;
⑤ x=5, y=25를 대입하면(cid:100)(cid:100)25=5¤
따라서 y=x¤ 의 그래프 위의 점이 아닌 것은 ②이다.
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
유제 ❶ ㈀ (원의 넓이)=p_(반지름의 길이)¤ 이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=p_x¤ =px¤
㈁ (소금의 양)=
_(소금물의 양)
(소금물의 농도)
100
이차함수는
(cid:100)y=(x에 대한 이차식)
꼴로 나타내어진다.
(cid:100) 이므로
x
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y= _300=3x
100
㈂ (직사각형의 넓이)=(가로의 길이)_(세로의 길이)
이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=(x+1)(x-5)=x¤ -4x-5
이상에서 y가 x에 대한 이차함수인 것은 ㈀, ㈂이다.
(cid:9000) ㈀, ㈂
유제 ❷ y=(a¤ -4)x¤ +6x+4가 x에 대한 이차함수
이려면
(cid:100)(cid:100)a¤ -4+0,(cid:100)(cid:100)(a+2)(a-2)+0
(cid:100)(cid:100)∴ a+-2이고 a+2
(cid:9000) ②, ④
AB+0
(cid:8825) A+0이고 B+0
유제 ❺ y=-x¤ 에
① x=-
, y=-
를 대입하면
;2%;
;;™4∞;;
(cid:100) (cid:100)(cid:100)-
=-{-
;;™4∞;;
;2%;}
② x=-2, y=4를 대입하면(cid:100)(cid:100)4+-(-2)¤
③ x=
, y=
을 대입하면(cid:100)(cid:100)
;4!;
;1¡6;
+-{;4!;}
;1¡6;
④ x=1, y=-1을 대입하면(cid:100)(cid:100)-1=-1¤
⑤ x=16, y=-4를 대입하면(cid:100)(cid:100)-4+-16¤
따라서 y=-x¤ 의 그래프 위의 점인 것은 ①, ④이다.
.
Ⅳ
이
차
함
수
(cid:9000) ①, ④
유제 ❸ -1 `f(x)=-x¤ +2이므로
(cid:100)(cid:100)f(1)=-1¤ +2=1, f(2)=-2¤ +2=-2
(cid:100)(cid:100)∴ f(1)-f(2)=1-(-2)=3
2288 이차함수 y=ax¤ 의 그래프 기본서 116~117쪽
(cid:9000) 3
한 것은 a>0인 경우이므로 ㈀, ㈂, ㈄이다.
익히기 4 ⑴ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 아래로 볼록
유제 ❸ -2 `f(-2)=-5이므로
(cid:100)(cid:100)(-2)¤ -3_(-2)+a=-5
(cid:100)(cid:100)10+a=-5(cid:100)(cid:100)∴ a=-15
f(a)=b (cid:8825) y=f(x)에
x=a, y=b를 대입한다.
그래프이 폭이 좁은 것
부터 순서대로 나열하면
(cid:100)㈂, ㈅, ㈁, ㈀, ㈃, ㈄
(cid:9000) -15
2277 이차함수 y=x¤ 의 그래프 기본서 114~115쪽
익히기 3 (cid:9000) ⑴ 아래(cid:100)⑵ y(cid:100)⑶ 감소
⑵ y=ax¤ 에서 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁
아지므로 그래프의 폭이 가장 좁은 것은 ㈂이다.
(cid:9000) ⑴ ㈀, ㈂, ㈄(cid:100)⑵ ㈂
유제 ❻ -1 y=ax¤ 에서 a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭
이 좁아진다. |-4|>|;2#;|>|1|>|-;4!;|이므로 그래
프의 폭이 좁은 것부터 순서대로 나열하면 ㈀, ㈃, ㈂, ㈁
이다.
(cid:9000) ㈀, ㈃, ㈂, ㈁
Ⅳ.이차함수 055
¤
¤
¤
¤
¤
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지056 SinsagoHitec
Step Up
기본서
유제 ❻ -2 y=ax¤ 에서 a의 절댓값이 작을수록 그래프의
폭이 넓어지므로 -20이고, a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아지
(cid:9000) ③, ④
>1>0.3
;4&;
므로 구하는 함수는 ③이다.
유제 ❼ 이차함수 y=-
x¤ 의 그래프와 x축에 대칭
;4#;
인 것은 y=
x¤ 의 그래프이다.
;4#;
(cid:9000) ③
(거리)=(속력)_(시간)
㈁ y=10x
기본서 118~119쪽
(cid:100)(원뿔의 부피)
02 —'5 03 ④
04 ③
05 ②
=;3!;_(밑넓이)_(높이)
소단원성취도진단
01 3
06 ③
07 ;2!;
08 ④
11 :¡3º:
12 ;4!;0)일 때
(cid:100)(cid:100)x¤ =k(cid:100)(cid:100)∴ x=—'k
즉 y=k를 만족시키는 x의 값은 두 개씩 있다.
점 (a, b)가 이차함수 y=-x¤ 의 그래프 위의 점이
03
다. (cid:8833) y=-x¤ 에 x=a, y=b를 대입하면 등식이 성립한다.
① -1=-(-1)¤
② -
=-{-
;4!;
;2!;}
③ -
=-{-
;9!;
;3!;}
④
+-{-;4!;}
;2!;
⑤ -
=-{;2!;}
;4!;
(cid:9000) ④
056 Check Up 풀이집
¤
¤
¤
¤
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지057 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)∴ f(-2)_ f(2)+f(1)=
_
;2#;+{-
;2!;
;4!;}
(cid:100)(cid:100)∴ f(-2)_ f(2)+f(1)=
-
=
;4!;
;4#;
;2!;
f(a)=b (cid:8833) y=f(x)에 x=a, y=b를 대입하면 등
08
식이 성립한다.
f(k)=-7에서
(cid:100)(cid:100)-k¤ +4k+5=-7,(cid:100)(cid:100)k¤ -4k-12=0
(cid:100)(cid:100)(k+2)(k-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-2 또는 k=6
그런데 k는 양수이므로(cid:100)(cid:100)k=6
(cid:9000) ④
09
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
▶ 10%
(cid:9000) ;2!;
배점
40%
40%
20%
우공비 B0X
기본서 117~119쪽
이차함수 y=bx¤ 의 그래프가 점 (3, -3)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-3=b_3¤ (cid:100)(cid:100)∴ b=-;3!;
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=3-{-;3!;}=:¡3º:
S
t
e
p
U
p
▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000) :¡3º:
|a|>k(k>0)
(cid:8825) a<-k 또는 a>k
보다 폭이 좁으므로
(cid:100)(cid:100)|a|>|-;4!;|=;4!;
이차함수 y=ax¤ 에서 a의 절댓값이 클수록 그래프
12
의 폭이 좁아진다.
이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 y=-;4!;x¤ 의 그래프
(cid:100)(cid:100)∴ a<-;4!; 또는 a>;4!;
또 이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 y=2x¤ 의 그래프보다
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)-20)
;3@;
▶ 40%
의 제곱근은(cid:100)—
;9$;
;3@;
또 점 {;3!;, b}가 이차함수 y=-x¤ 의 그래프 위에 있으므
로 y=-x¤ 에 x=
, y=b를 대입하면
(cid:100)(cid:100)b=-{;3!;}
;3!;
¤ =-
;9!;
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=
+{-
;9!;}=
;9%;
;3@;
y=ax¤ (a<0)의 그래프
10
(cid:8833) 원점을 꼭짓점으로 하고 위로 볼록한 포물선이다.
y=-2x¤ 의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
③ y=-2x¤ 에 x=
, y=-1을
;2!;
(cid:100)대입하면(cid:100)(cid:100)-1+-2_
{;2!;}
⑤ y=-2x¤ 의 그래프는 제`3, 4`사분면을 지난다.
이차함수 y=ax¤ 의 그
래프가 점 A(-4, 8)
을 지남을 이용해도 된
다.
즉 y=ax¤ 에 x=-4,
y=8을 대입하면
(cid:100)8=a_(-4)¤
(cid:100)∴ a=;2!;
11
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a-b의 값 구하기
이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 점 (1, 3)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)3=a_1¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=3
▶ 40%
y=;5@;x¤
▶ 40%
▶ 20%
(cid:9000)
;9%;
y
O
x
y=-2x@
(cid:9000) ③, ⑤
배점
40%
40%
20%
¤
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지058 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
(cid:9000) ③
;5!;+;5@;_{;2!;}
하면
따라서 이 포물선이 지나는 점이 아닌 것은 ③이다.
이 그래프가 점 (1, 6)을 지나므로 x=1, y=6을 대입
(cid:100)(cid:100)6=
(1-k)¤ ,(cid:100)(cid:100)9=(1-k)¤
;3@;
(cid:100)(cid:100)1-k=—3(cid:100)(cid:100)∴ k=-2 또는 k=4
1-k=3 또는
1-k=-3
그런데 k는 양수이므로(cid:100)(cid:100)k=4
(cid:9000) 4
2. 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프
2299 이차함수 y=ax¤ +q,
y=a(x-p)¤ 의 그래프
기본서 120~121쪽
익히기 1 (cid:9000) ⑴ 그래프의 식: y=-x¤ +2,
축의 방정식: x=0,
꼭짓점의 좌표: (0, 2)
(cid:9000) ⑵ 그래프의 식: y=-(x+1)¤ ,
축의 방정식: x=-1,
꼭짓점의 좌표: (-1, 0)
유제 ❶ -1 이차함수 y=
x¤ 의 그래프를 y축의 방향으
;2!;
로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=
x¤ -2
;2!;
하면
이 그래프가 점 (4, k)를 지나므로 x=4, y=k를 대입
(cid:100)(cid:100)k=
_4¤ -2=8-2=6
;2!;
(cid:9000) 6
유제 ❶ -2 이차함수 y=-4x¤ 의 그래프를 y축의 방향
으로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-4x¤ +k
이 그래프가 점 (2, 2)를 지나므로 x=2, y=2를 대입
(cid:100)(cid:100)2=-4_2¤ +k,(cid:100)(cid:100)2=-16+k
하면
(cid:100)(cid:100)∴ k=18
(cid:100)(cid:100)(0, 18)
따라서 y=-4x¤ +18의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:9000) (0, 18)
유제 ❷ -1 이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 방향
으로 -4만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-3(x+4)¤
이 그래프가 점 (-1, k)를 지나므로 x=-1, y=k를
대입하면
(cid:100)(cid:100)k=-3(-1+4)¤ =-3_9=-27
유제 ❷ -2 이차함수 y=
x¤ 의 그래프를 x축의 방향으
;3@;
로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=
(x-k)¤
;3@;
058 Check Up 풀이집
y축의 방향으로만 평행이
동하면 축은 변하지 않는
다.
이차함수 y=a(x-p)¤ +q
의 그래프에서
① 축의 방정식: x=p
② 꼭짓점의 좌표: (p, q)
3300 이차함수
y=a(x-p)¤ +q의 그래프
기본서 122~124쪽
익히기 2 (cid:9000) ⑴ -2, -7(cid:100)(cid:100)⑵ 1, 4
익히기 3 (cid:9000) ⑴ 그래프의 식: y=4(x-1)¤ +3,
축의 방정식: x=1,
꼭짓점의 좌표: (1, 3)
(cid:100)(cid:9000) ⑵ 그래프의 식: y=-3(x+2)¤ -5,
축의 방정식: x=-2,
꼭짓점의 좌표: (-2, -5)
유제 ❸ -1 이차함수 y=-(x+5)¤ +3의 그래프는
y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -5만큼, y축의 방
향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
따라서 a=-1, m=-5, n=3이므로
(cid:100)(cid:100)a+m-n=-1+(-5)-3=-9
유제 ❸ -2 이차함수 y=-x¤ 의 그래프를 x축의 방향으
로 a만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프
(cid:100)(cid:100)y=-(x-a)¤ -5=-x¤ +2ax-a¤ -5
의 식은
이므로
(cid:100)(cid:100)2a=b, -a¤ -5=-14
(cid:100)(cid:100)a¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ a=3 (∵ a>0)
2a=b에서(cid:100)(cid:100)b=6
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=3-6=-3
(cid:9000) -9
(cid:9000) -3
유제 ❹ 이차함수 y=
x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로
;3@;
p만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의
식은(cid:100)(cid:100)y=
(x-p)¤ -1
;3@;
(cid:100)(cid:100)p=1
;3@;
(cid:100)(cid:100)(1, -1)
따라서 y=
(x-1)¤ -1의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:9000) (1, -1)
(cid:9000) -27
이 그래프의 축의 방정식은 x=p이므로
¤
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지059 SinsagoHitec
유제 ❺ -1 이차함수 y=(x-1)¤ -6의 그래프를 x축의
이 그래프가 점 (m, 1)을 지나므로 x=m, y=1을 대
우공비 B0X
함수 y=f(x)의 그래프가
점 (m, n)을 지난다.
(cid:8825) n=f(m)
입하면
기본서 119~125쪽
S
t
e
p
U
p
방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한
그래프의 식은
y-(-1)={(x-3)-1}¤ -6
∴ y=(x-4)¤ -7
(cid:9000) y=(x-4)¤ -7
유제 ❺ -2 이차함수 y=-3(x+2)¤ +1의 그래프를 x
축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한
그래프의 식은
y-q=-3{(x-p)+2}¤ +1
∴ y=-3(x-p+2)¤ +1+q
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p-2, 1+q)이므로
p-2=-6, 1+q=2
따라서 p=-4, q=1이므로
pq=-4_1=-4
(cid:9000) -4
유제 ❻ -1 이차함수 y=;3!;(x-1)¤ +4의 그래프를 y축
에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=;3!;(-x-1)¤ +4=;3!;(x+1)¤ +4
이 그래프가 점 (2, k)를 지나므로 x=2, y=k를 대입
하면
(cid:100)(cid:100)k=;3!;(2+1)¤ +4=7
유제 ❻ -2 이차함수 y=a(x+1)¤ 의 그래프를 x축에 대
하여 대칭이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)-y=a(x+1)¤ , 즉 y=-a(x+1)¤
이 그래프가 점 (1, -2)를 지나므로 x=1, y=-2를
(cid:100)(cid:100)-2=-a(1+1)¤ ,(cid:100)(cid:100)-4a=-2
대입하면
(cid:100)(cid:100)∴ a=
;2!;
소단원성취도진단
기본서 125~126쪽
01 -12 02 ③
07 ⑤
06 -3
03 ㈂, ㈅ 04 ④
08 제`1`사분면
05 ①
09 ⑤
10
-4—'1å9
3
11 2
12 ②
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 q만
01
큼 평행이동한 그래프의 식 (cid:8833) y=ax¤ +q
이차함수 y=;4!;x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -2
만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=;4!;x¤ -2
① 두 이차함수의 그래프
의 모양(볼록한 방향)
이 같다.
(cid:100) (cid:8825) x¤ 의 계수의 부호가
같다.
② 두 이차함수의 그래프
(cid:9000) 7
의 폭이 같다.
(cid:100) (cid:8825) x¤ 의 계수의 절댓값
이 같다.
(cid:9000) ;2!;
y=-;3@;x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼 평
(cid:100)(cid:100)1=;4!;m¤ -2,(cid:100)(cid:100)m¤ =12
(cid:100)(cid:100)∴ m=—2'3
따라서 모든 m의 값의 곱은
(cid:100)(cid:100)2'3_(-2'3 )=-12
(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) -12
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 m
02
만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식
(cid:8833) y=a(x-m)¤ +n
이차함수 y=-5x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 m
만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-5(x-m)¤ +n
따라서 a=-5, m=-1, n=2이므로
(cid:100)(cid:100)a+m+n=-5+(-1)+2=-4
(cid:9000) ③
이차함수의 그래프를 평행이동시켜도 x¤ 의 계수는
03
변하지 않는다.
㈂ y=-x¤ +3의 그래프는 y=-x¤ 의 그래프를 y
(cid:100) 축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
㈅ y=-(x+1)¤ +2의 그래프는 y=-x¤ 의 그래프를
x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행
이동한 것이다.
이상에서 구하는 식은 ㈂, ㈅이다.
y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이
04
동한 그래프의 식 (cid:8833) y=a(x-p)¤
행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-;3@;(x+2)¤
따라서 y=-;3@;(x+2)¤ 의 그래
프는 오른쪽 그림과 같으므로
x>-2이면 x의 값이 증가할 때
y의 값은 감소한다.
-2
y
O
x
(cid:9000) ④
2
y=--{x+2}@
3
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만
05
큼 평행이동한 그래프의 식 (cid:8833) y=a(x-p)¤
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p
만큼 평행이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, 0)이므
로(cid:100)(cid:100)p=-3
Ⅳ.이차함수 059
(cid:9000) ㈂, ㈅
.
Ⅳ
이
차
함
수
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지060 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
y=a(x+3)¤ 의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)4=a(1+3)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=
;4!;
06
채점 기준
p의 값 구하기
a의 값 구하기
a+p의 값 구하기
주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표가
(-1, 0)이므로
(cid:100)(cid:100)p=-1
즉 y=a(x+1)¤ 의 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로
x=0, y=-2를 대입하면
(cid:100)(cid:100)-2=a(0+1)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-2
따라서 구하는 값은
(cid:100)(cid:100)a+p=-2+(-1)=-3
(cid:9000) ①
배점
30%
40%
30%
▶ 30%
▶ 40%
▶ 30%
(cid:9000) -3
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프
07
(cid:8833) 이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축
의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프
① 축의 방정식은 x=-1이다.
② 꼭짓점의 좌표는 (-1, -1)이다.
③ y=
x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축
;3!;
;2!;
(cid:100) 의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다.
④ y=
x¤ 의 그래프보다 폭이 넓다.
(cid:9000) ⑤
y
4
-8
a<0일 때, y=a(x-p)¤ +q의 그래프
08
(cid:8833) 꼭짓점의 좌표가 (p, q)이고 위로 볼록한 포물선
이차함수 y=-3(x+2)¤ +4의
그래프는 꼭짓점의 좌표가 (-2, 4)
이고 위로 볼록한 포물선이다. 또
-2
O
x
x=0일 때
(cid:100)(cid:100)y=-3(0+2)¤ +4=-8
이므로 점 (0, -8)을 지난다.
따라서 y=-3(x+2)¤ +4의 그래프는 위의 그림과 같
으므로 그래프가 지나지 않는 사분면은 제`1 사분면이다.
(cid:9000) 제`1 사분면
보충 학습
이차함수의 그래프 그리기
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프는 a의 값의 부호에
따라 위로 볼록인지 아래로 볼록인지를 결정한 다음, 꼭짓
점의 좌표, y축과 만나는 점의 좌표를 찾아 그린다.
060 Check Up 풀이집
이차함수 y=a(x+p)¤ +q의 그래프
09
(cid:8833) a>0이면 아래로 볼록, a<0이면 위로 볼록
(cid:8833) 꼭짓점의 좌표: (-p, q)
주어진 이차함수의 그래프가 아래로 볼록하므로
(cid:100)(cid:100)a>0
또 꼭짓점의 좌표가 (-p, q)이고, 제``3사분면 위에 있
-p<0, q<0
-a<0, -p<0
이차함수 y=a(x-p)¤ 의
그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(p, 0)
으므로(cid:100)(cid:100)p>0, q<0
따라서 y=q(x+a)¤ -p의 그래프는
위로 볼록하고 꼭짓점 (-a, -p)가
제``3`사분면 위에 있으므로 그 그래프
의 개형은 오른쪽 그림과 같다.
(cid:9000) ⑤
10
채점 기준
y=-
(x-2k)¤ +k¤ 의 꼭짓점의 좌표 구하기
;2!;
y=(x+2)¤ -5에 x=2k, y=k¤ 대입하기
k의 값 구하기
이차함수 y=-;2!;(x-2k)¤ +k¤ 의 그래프의 꼭짓
점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(2k, k¤ )
▶ 30%
점 (2k, k¤ )이 y=(x+2)¤ -5의 그래프 위에 있으므로
x=2k, y=k¤ 을 대입하면
(cid:100)(cid:100)k¤ =(2k+2)¤ -5
이차방정식
ax¤ +2b'x+c=0의 해는
(cid:100)x=
-b'—"√b'¤ -ac
a
(cid:100)(cid:100)k¤ =4k¤ +8k+4-5(cid:100)(cid:100)∴ 3k¤ +8k-1=0
(cid:100)(cid:100)∴ k=
-4—'ƒ16+3
3
=
-4—'1å9
3
(cid:9000)
-4—'1å9
3
11
채점 기준
OH”, AH”의 길이를 m에 대한 식으로 나타내기
m에 대한 이차방정식 세우기
m의 값 구하기
이차함수 y=(x-m)¤ +m-7의 그래프의 꼭짓점
의 좌표는 (m, m-7)이므로
(cid:100)(cid:100)OH”=m, AH”=-(m-7)=-m+7
▶ 30%
이때 △OAH=5이므로
(cid:100)(cid:100);2!;_m_(-m+7)=5
(cid:100)(cid:100)m¤ -7m+10=0,(cid:100)(cid:100)(m-2)(m-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ m=2 (∵ OH”
(cid:9000) ⑶ 위, >(cid:100)⑷ 1, >
유제 ❺ -1 ⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a>0
(cid:100) 축이 y축의 왼쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)ab>0
(cid:100) 그런데 a>0이므로(cid:100)(cid:100)b>0
(cid:100) y축과의 교점이 원점의 위쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)c>0
⑵ 그래프가 위로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a<0
(cid:100) 축이 y축의 오른쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)ab<0
(cid:100) 그런데 a<0이므로 (cid:100)(cid:100)b>0
(cid:100) y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)c<0
(cid:9000) ⑴ a>0, b>0, c>0(cid:100)⑵ a<0, b>0, c<0
유제 ❺ -2 a>0이므로 그래프가
y
아래로 볼록하고, c>0이므로 y
축과의 교점이 원점의 위쪽에 위
치한다. 또 꼭짓점의 좌표가 제`4`
사분면 위에 있으므로 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 그래프는 제`3`사분면을 지나지 않는다.
유제 ❻ 그래프가 아래로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a>0
축이 y축의 오른쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)ab<0
(cid:100)(cid:100)∴ b<0
(cid:100)(cid:100)c<0
① ab<0
y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치하므로
② bc>0
③ ca<0
④ x=-1일 때, y=0이므로
⑤ x=2일 때, y<0이므로 (cid:100) (cid:100) (cid:100) (cid:100)(cid:100)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)a_2¤ +b_2+c=4a+2b+c<0
따라서 옳은 것은 ④이다.
062 Check Up 풀이집
O
x
지나므로 x=3, y=-1을 대입하면
이차함수 y=x¤ -ax+8의 그래프가 점 (3, -1)을
-1=3¤ -a_3+8
3a=18 ∴ a=6
(cid:9000) ③
y=a(x-p)¤ +q의 그래프
(cid:8825) 꼭짓점의 좌표: (p, q)
(cid:100) 축의 방정식: x=p
(cid:100)(cid:100)x=3
∴ y=x¤ -6x+8=(x-3)¤ -1
따라서 구하는 축의 방정식은
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
03
(cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다.
y=3x¤ -6x=3(x¤ -2x+1)-3
=3(x-1)¤ -3
이차함수 y=ax¤ +bx+c
의 그래프 그리기
① y=a(x-p)¤ +q 꼴로
변형
(cid:8825) 꼭짓점 (p, q) 찍기
② a의 부호
(cid:8825) 곡선 모양을 결정
③ y축과의 교점의 y좌표
가 c (cid:8825) 점 (0, c) 찍기
또 그래프는 아래로 볼록하고, x=0일 때
y=3_0¤ -6_0=0이므로 그래프가 y축과 만나는 점의 y
좌표는 0이다.
(cid:9000) ④
따라서 주어진 이차함수의 그래프는 ③`이다.
(cid:9000) ③
(cid:100) (cid:100)(cid:100)a_(-1)¤ +b_(-1)+c=a-b+c=0
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, -3)이다.
(cid:9000) 6
배점
50%
50%
▶ 50%
▶ 50%
(cid:9000) x=3
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지063 SinsagoHitec
배점
20%
20%
20%
40%
▶ 20%
▶ 20%
▶ 20%
04
채점 기준
그래프의 모양 알기
축의 위치 알기
y축과의 교점의 위치 알기
꼭짓점의 위치 구하기
이차함수 y=ax¤ +bx+c에서 a<0이므로 그래프
가 위로 볼록하다.
치한다.
a<0, b>0에서 ab<0이므로 축이 y축의 오른쪽에 위
c>0이므로 y축과의 교점이 원점의 위쪽에 위치한다.
따라서 y=ax¤ +bx+c의 그래프
y
의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로
꼭짓점은 제`1`사분면에 있다.
▶ 40%
(cid:9000) 제`1`사분면
O
x
y=ax¤ +bx+c
y=a {x+ }
b
2a
¤ -
b¤ -4ac
4a
이므로 꼭짓점의 좌표는 {- , -
b¤ -4ac
4a
}이다.
b
2a
b
2a
a<0, b>0이므로(cid:100)(cid:100)- >0
b¤ >0이고, a<0, c>0이므로(cid:100)(cid:100)ac<0
(cid:100)(cid:100)∴ -
b¤ -4ac
4a
>0
따라서 꼭짓점의 x좌표와 y좌표가 모두 양수이므로 꼭
짓점은 제`1`사분면에 있다.
y=x¤ +6x+8
=(x¤ +6x+9)-9+8
=(x+3)¤ -1
이므로 y=x¤ +6x+8의 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
③ 제4 사분면을 지나지 않는다.
y
8
-3
x
O
-1
(cid:9000) ③
위로 볼록한 이차함수의 그래프가 x축과 서로 다른
06
두 점에서 만난다. (cid:8833) (꼭짓점의 y좌표)>0
y=-x¤ +6x+a-11
y=-(x-3)¤ +a-2
에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(3, a-2)
이 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만나려면
(cid:100)(cid:100)a-2>0(cid:100)(cid:100)∴ a>2
(cid:9000) ④
우공비 B0X
보충 학습
기본서 129~133쪽
이차함수 y=ax¤ +bx+c를 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하
면 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (p, q)이다.
① 그래프가 x축과 한 점에서 만난다. (cid:8825) q=0
② 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
(cid:8825) a>0이면 q<0, a<0이면 q>0
③ 그래프가 x축과 만나지 않는다.
(cid:8825) a>0이면 q>0, a<0이면 q<0
S
t
e
p
U
p
이차함수 y=-x¤ +4x+5를 y=a(x-p)¤ +q 꼴
07
로 변형하여 꼭짓점의 좌표를 구한다.
y=-x¤ +4x+5
=-(x¤ -4x+4)+9
=-(x-2)¤ +9
점 (p, q)에서 p, q의 부
호와 점의 위치
p>0, q>0 (cid:8825) 제`1`사분면
p>0, q<0 (cid:8825) 제`4`사분면
p<0, q>0 (cid:8825) 제`2`사분면
p<0, q<0 (cid:8825) 제`3`사분면
x축과 만나는 두 점의
좌표는
(cid:100)(-1, 0), (5, 0)
에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 9)이므로
(cid:100)(cid:100)B(2, 9)
y=-x¤ +4x+5에 y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)0=-x¤ +4x+5
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x-5=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=5
점 A의 x좌표가 양수이므로(cid:100)(cid:100)A(5, 0)
또 y=-x¤ +4x+5에 x=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)y=5
(cid:100)(cid:100)∴ C(0, 5)
따라서 오른쪽 그림과 같이 꼭짓
점 B에서 x축에 내린 수선의 발을
D라 하면
(cid:100)(cid:100)(사각형 OABC의 넓이)
(cid:100)=(사다리꼴 ODBC의 넓이)
+(삼각형 BDA의 넓이)
(cid:100)=;2!;_(5+9)_2+;2!;_3_9
y
9
B
C
5
2
A
O D 5
x
.
Ⅳ
이
차
함
수
(cid:100)=14+:™2¶:=:∞2∞:
(cid:9000) :∞2∞:
x축과 만나는 점의 x좌표가 p (cid:8833) (p, 0)
08
y축과 만나는 점의 y좌표가 q (cid:8833) (0, q)
y=2x¤ +
x+a의 그래프가 점 {;4!;, 0}을 지나므로
;2%;
x=
, y=0을 대입하면
;4!;
(cid:100)(cid:100)0=2_{;4!;}
_
+a
;4!;
;2%;
¤ +
(cid:100)(cid:100)
+
+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-
;8!;
;8%;
;4#;
따라서 y=2x¤ +
x-
에서 x=0일 때 y=-
이므
;2%;
;4#;
;4#;
로 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표는 -
이다.
;4#;
(cid:9000) -
;4#;
Ⅳ.이차함수 063
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
05
(cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친 다음 그래프를 그린다.
;2!;_{(윗변의 길이)
+(아랫변의 길이)}
_(높이)
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지064 SinsagoHitec
이상에서 옳은 것은 ㈁, ㈂, ㈃이다.
(cid:9000) ④
(음수)<(양수)
(cid:8825) (음수)-(양수)<0
Step Up
기본서
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
09
a의 부호 (cid:8833) 그래프의 모양에 따라 결정
b의 부호 (cid:8833) 축의 위치에 따라 결정
c의 부호 (cid:8833) y축과의 교점의 위치에 따라 결정
그래프가 위로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a<0
축이 y축의 왼쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)a_(-b)>0
그런데 a<0이므로(cid:100)(cid:100)b>0
y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)c<0
㈀ ab<0
㈂
>0
;cA;
㈁ bc<0
㈃ a-b<0
일차함수 y=ax+b의 그래프
10
(cid:8833) a의 부호: 직선의 방향, b의 부호: y절편
직선이 오른쪽 아래로 향하므로(cid:100)(cid:100)a<0
또 직선의 y절편이 0보다 크므로(cid:100)(cid:100)b>0
따라서 이차함수 y=x¤ +ax+b의 그래프는
(cid:100)(cid:100)1>0이므로 아래로 볼록
(cid:100)(cid:100)a<0이므로 축은 y축의 오른쪽에 위치
(cid:100)(cid:100)b>0이므로 y축과의 교점은 원점의 위쪽에 위치
즉 그래프의 개형으로 옳은 것은 ①이다.
(cid:9000) ①
이차함수 y=x¤ +2ax-a-4를 y=(x-p)¤ +q 꼴
11
로 변형한 후 꼭짓점의 좌표를 y=2x-10에 대입한다.
y=x¤ +2ax-a-4
=(x+a)¤ -a¤ -a-4
에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(-a, -a¤ -a-4)
이 꼭짓점이 직선 y=2x-10 위에 있으므로 x=-a,
y=-a¤ -a-4를 대입하면
(cid:100)(cid:100)-a¤ -a-4=-2a-10
(cid:100)(cid:100)a¤ -a-6=0,(cid:100)(cid:100)(a+2)(a-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=3 (∵ a>0)
12
채점 기준
주어진 함수를 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고치기
a의 값의 범위 구하기
y=x¤ -4x-1+a
=(x¤ -4x+4)-5+a
=(x-2)¤ -5+a
오른쪽 그림에서 꼭짓점
y
(2, -5+a)가 x축 위에 있거
나 x축보다 위쪽에 위치하면 그
래프는 제`3, 4사분면을 지나지
않으므로
064 Check Up 풀이집
(cid:9000) ③
배점
30%
70%
▶ 30%
우공비 B0X
(cid:100)(cid:100)-5+aæ0(cid:100)(cid:100)∴ aæ5
▶ 70%
(cid:9000) aæ5
먼저 두 함수를 각각 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하
13
여 두 이차함수의 그래프 사이의 관계를 알아본다.
x의 계수가 b가 아니
라 -b임에 유의한다.
y=-x¤ +2x+4=-(x-1)¤ +5 yy`㉠(cid:100)(cid:100)
y=-x¤ +10x-20=-(x-5)¤ +5
yy`㉡(cid:100)(cid:100)
㉡의 그래프는 ㉠
의 그래프를 x축
의 방향으로 4만큼
평행이동한 것이
므로 오른쪽 그림
의 빗금친 부분의
넓이는 서로 같다.
y
5
A
y=-x@+10x-20
D
B
1
O
C
5
x
y=-x@+2x+4
㉠, ㉡의 그래프의 꼭짓점을 각각 A, D라 하고, A, D에
서 x축에 내린 수선의 발을 각각 B, C라 하면 구하는 넓
이는 직사각형 ABCD의 넓이와 같다.
A(1, 5), D(5, 5)이므로
(cid:100)(cid:100)(5-1)_5=20
(cid:9000) ⑤
배점
30%
50%
20%
14
채점 기준
y=x¤ -2x-3의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사
y=x¤ -2x-3+k의 그래프가 x축과 만나는 두 점
이의 거리 구하기
의 x좌표 구하기
k의 값 구하기
y=x¤ -2x-3에 y=0을 대입하면
x¤ -2x-3=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
따라서 이 그래프가 x축과 만나는 두 점의 좌표는
(-1, 0), (3, 0)이므로 이 두 점 사이의 거리는
(cid:100)(cid:100)3-(-1)=4
▶ 30%
y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4의 그래프를 y축의 방향으
로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=(x-1)¤ -4+k
yy`㉠(cid:100)(cid:100)
y={x-1}@-4+k
y
y=x@-2x-3
2
2
O-1
1 2
3
x
이때 이 그래프의 축
의 방정식은 x=1이
고, 이 그래프가 x축
과 만나는 두 점 사이
의 거리가 4_;2!;=2가
되어야 하므로 x축과
만나는 두 점의 x좌표는
(cid:100)(cid:100)1-;2@;=0, 1+;2@;=2
O
2
x
y=(x-1)¤ -4+k의
그래프는 직선 x=1
에 대칭이다.
▶ 50%
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지065 SinsagoHitec
S
t
e
p
U
p
.
Ⅳ
이
차
함
수
따라서 ㉠의 그래프는 두 점 (0, 0), (2, 0)을 지나므로
주어진 함수의 그래프의 식을 y=ax¤ (a+0)이라
하자. 이 그래프가 점 (3, -3)을 지나므로 y=ax¤ 에
우공비 B0X
기본서 133~135쪽
④ y=p_x¤ _3=3px¤
⑤ y=;2!;_x_2=x
(cid:100)(원기둥의 부피)
=(밑넓이)_(높이)
(cid:9000) ⑤
㉠에 x=0, y=0을 대입하면
0=-3+k ∴ k=3
▶ 20%
(cid:9000) 3
중단원마무리평가
기본서 134~137쪽
02 ④
07 ⑤
12 ⑤
03 ①, ⑤ 04 ⑤
09 ①
08 ②
14 ④
13 ②
05 ②
10 ⑤
15 ④
16 {;3@;, ;9$;}
17 (0, 9) 18 a<-3
20 -1
21 a>5 22 2
23 -25
01 ⑤
06 ②
11 ①
19 24
24 a
01
y가 x에 대한 이차함수 (cid:8833) y=ax¤ +bx+c (a+0)
① y=4px¤
② 직사각형의 둘레의 길이가 20 cm이고 가로의 길이가
x cm이므로 세로의 길이는(cid:100)(cid:100)(10-x)cm
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ y=x(10-x)=-x¤ +10x
③ y=x¤ +(x+2)¤ =x¤ +(x¤ +4x+4)=2x¤ +4x+4
f(a)=b (cid:8833) y=f(x)에 x=a, y=b를 대입하면 등
02
식이 성립한다.
f(a)=4에서(cid:100)(cid:100)3a¤ -2a-4=4
(cid:100)(cid:100)3a¤ -2a-8=0,(cid:100)(cid:100)(3a+4)(a-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a는 정수)
(cid:9000) ④
이차함수 y=ax¤ 의 그래프 (cid:8833) a의 부호는 그래프의
03
모양을, a의 절댓값은 그래프의 폭을 결정한다.
① 주어진 이차함수는 모두 y=ax¤ (a+0) 꼴이
(cid:100) 므로 그래프가 원점을 지난다.
② y=-x¤ , y=-2x¤ 의 그래프는 위로 볼록하다.
③ a의 절댓값이 작을수록 그래프의 폭이 넓으므로 폭이
(cid:100) 가장 넓은 것은 y=;2!;x¤ 의 그래프이다.
④ y=3x¤ , y=
x¤ 의 그래프는 원점을 꼭짓점으로 하
;2!;
(cid:100) 면서 아래로 볼록하므로 원점을 제외한 부분이 x축보
다 위쪽에 있다.
(cid:9000) ①, ⑤
꼭짓점이 원점이고 축이 y축인 포물선
04
(cid:8833) 이차함수 y=ax¤ 의 그래프
x=3, y=-3을 대입하면
-3=a_3¤
∴ a=-;3!;
∴ y=-;3!;x¤
② y=-;3!;x¤ 에 x=-1, y=-;3!;을 대입하면
-;3!;=-;3!;_1¤
(cid:100) 이므로 주어진 함수의 그래프는 점 {-1, -;3!;}을 지
(cid:100) 난다.
⑤ |;5!;|<|-;3!;|이므로 주어진 함수의 그래프는
y=;5!;x¤ 의 그래프보다 폭이 좁다.
(cid:9000) ⑤
먼저 세 점 A, B, C의 좌표를 구한다.
점 C의 좌표는
(k, 0)이고, 두 점 A,
B의 좌표는 각각
(cid:100)(cid:100)A(k, ak¤ ),
(cid:100)(cid:100)B {k, ;6!;k¤ }
이때 AB”=3BC”이므로
y
y=ax@
1
y=-x@
6
A{k,`ak@}
1
B{k,`-k@}
6
x
C{k,`0}
O
x=k
y=ax¤ 에서 a의 절댓값이
클수록 그래프의 폭이 좁
아진다.
(cid:100)(구의 겉넓이)
=4_p
=_(반지름의 길이)¤`
05
ak¤ -;6!;k¤ =3_;6!;k¤
k+0이므로 양변을 k¤ 으로 나누면
AB”=AC”-BC”
=ak¤ -;6!;k¤
a-;6!;=;2!; ∴ a=;3@;
(cid:9000) ②
이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프의 축의 방정식
06
(cid:8833) x=p
이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프의 축의 방정식이
x=5이므로(cid:100)(cid:100)p=5
이차함수 y=a(x-5)¤ 의 그래프가 점 (4, -6)을 지나
므로 x=4, y=-6을 대입하면
(cid:100)(cid:100)-6=a(4-5)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-6
(cid:100)(cid:100)∴ a+p=-6+5=-1
(cid:9000) ②
y=a(x-p)¤ +q (a+0)
의 그래프
① y=ax¤ 의 그래프를 x
축의 방향으로 p만큼,
y축의 방향으로 q만큼
평행이동한 것이다.
②꼭짓점의좌표: (p, q)
③ 축의 방정식: x=p
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
07
(cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고쳐서 생각한다.
y=-2x¤ -8x-10
=-2(x¤ +4x+4-4)-10
=-2(x+2)¤ -2
⑤ x>-2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
(cid:9000) ⑤
Ⅳ.이차함수 065
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지066 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
그래프를 그려서 지나는 사분면을 확인한다.
이 그래프의 축의 방정식이 x=- 이므로
{-
;2K;
k¤
, - -1}
4
08
y축과의 교점의 좌표 (cid:8833) x=0을 대입
y=-6(x+1)¤ -5에 x=0을 대입하면 (cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)y=-6(0+1)¤ -5=-11
따라서그래프와 y축과의 교점의 좌표는 (0, -11)이다.
(cid:9000) ②
09
㈀
(cid:100)(cid:100)
㈂
y
2
O
y
2
1
㈁
y
y={x-2}@
x
y=-2x@+2
O
2
x
㈃
1
2
y=-{x-2}@+1
y
-1
O
x
y=-{x+1}@+2
2
x
㈄
y=2{x+3}@-1
㈅
y
3
y=--{x-2}@+-
2
1
2
4
3
1
O
y
3
2
17
O
x
-3
-1
O 2
x
1
2-
이상에서 그래프가 모든 사분면을 지나는 이차함수는
㈀, ㈂의 2개이다.
이차함수 y=a(x-p)¤ +q (cid:8833) x=p를 기준으로 증
10
가, 감소의 범위가 결정된다.
y=-;2!;x¤ -4x-10=-;2!;(x+4)¤ -2에서 그래프
의 꼭짓점의 좌표가
(-4, -2)이고 위로 볼록
한 포물선이므로 그래프는
오른쪽 그림과 같다.
따라서 x>-4일 때, x의
값이 증가하면 y의 값은 감
y=--{x+4}@-2
1
2
소하므로 x의 값의 범위가 될 수 있는 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ①
-2 x
-10
(cid:9000) ⑤
보충 학습
이차함수 y=ax¤ 의 그래프에서
① a>0 (cid:8825) x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가
x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소
② a<0 (cid:8825) x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소
x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가
066 Check Up 풀이집
y
-4
O
이차함수 y=ax¤ +bx+c
에서 a<0이면 그래프가
위로 볼록하다.
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프
11
(cid:8833) 축의 방정식: x=p
y=x¤ +kx-1
k¤
k¤
y={x¤ +kx+ }- -1
4
4
k¤
¤ - -1
4
k
y={x+ }
2
k
2
(cid:100)(cid:100)- =-3(cid:100)(cid:100)∴ k=6
따라서 꼭짓점의 y좌표는
(cid:100)(cid:100)- -1=- -1=-10
6¤
4
k
2
k¤
4
프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-(x-m)¤ +2+n
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(m, 2+n)
한편
(cid:100)(cid:100)y=-x¤ +4x-1
=-(x¤ -4x+4)+4-1
(cid:100)(cid:100)y=-(x-2)¤ +3
에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(2, 3)
따라서 m=2, n+2=3이므로
(cid:100)(cid:100)m=2, n=1
(cid:100)(cid:100)∴ m+n=3
12
두 그래프의 꼭짓점의 좌표를 비교한다.
이차함수 y=-x¤ +2의 그래프를 평행이동한 그래
(cid:9000) ①
점 (a, b)가 그래프 위에 있다.
13
(cid:8833) 함수의 식에 x=a, y=b를 대입하면 등식이 성립한다.
이 점이 직선 y=3x-1 위에 있으므로 y=3x-1에
y=x¤ -2mx+m¤ +2m-2
=(x-m)¤ +2m-2
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(m, 2m-2)
x=m, y=2m-2를 대입하면
(cid:100)(cid:100)2m-2=3m-1
(cid:100)(cid:100)∴ m=-1
이차함수 y=ax¤ +bx+c에서
14
a+b+c의 값 (cid:8833) x=1일 때의y의 값
a-b+c의 값 (cid:8833) x=-1일 때의y의 값
① 그래프가 아래로 볼록하므로
(cid:100)(cid:100) (cid:100)a>0
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지067 SinsagoHitec
S
t
e
p
U
p
.
Ⅳ
이
차
함
수
② 축이 y축의 오른쪽에 있으므로
이 그래프가 점 (-4, -3)을 지나므로 x=-4, y=-3
우공비 B0X
기본서 135~137쪽
③ y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 있으므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)ab<0
(cid:100) 그런데 a>0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)b<0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)c<0
④ x=1일 때 y<0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)a+b+c<0
⑤ x=-1일 때 y<0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)a-b+c<0
(cid:9000) ④
이차함수 y=ax¤ +bx+c에서
15
a의 부호 (cid:8833) 그래프의 모양에 따라 결정
b의 부호 (cid:8833) 축의 위치에 따라 결정
c의 부호 (cid:8833) y축과의 교점의 위치에 따라 결정
주어진 이차함수의 그래프에서
(cid:100)(cid:100)a<0, b>0, c>0
따라서 이차함수 y=cx¤ +bx+a의 그래프는
(cid:100)(cid:100)c>0에서 아래로 볼록
(cid:100)(cid:100)b>0에서 축은 y축의 왼쪽에 위치
(cid:100)(cid:100)a<0에서 y축과의 교점은 원점의 아래쪽에 위치
즉 이차함수 y=cx¤ +bx+a의 그래프의 개형으로 옳은
것은 ④이다.
(cid:9000) ④
점 A의 좌표를 (a, a¤ )으로 놓고 AB”
’, BC”의 길이
16
를 a에 대한 식으로 나타낸다.
점 A, B의 좌표를 각각 (a, a¤ ), (a, 4a¤ )(a>0)
이라 하면 BC”는 x축에 평행하므로(cid:100)(cid:100)C(2a, 4a¤ )
따라서 AB”=3a¤ , BC”=a
이고 사각형 ABCD가 정
y=x@
사각형이므로
(cid:100)(cid:100)3a¤ =a
(cid:100)(cid:100)a(3a-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=;3!; (∵ a>0)
즉 점 C의 좌표는 {;3@;
,
;9$;}이다.
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼
17
평행이동 (cid:8833) y=ax¤ +q의 그래프
이차함수 y=-;4#;x¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 k
만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-
x¤ +k
;4#;
을 대입하면
(cid:100)(cid:100)-3=-
_(-4)¤ +k
(cid:100)(cid:100)-3=-12+k(cid:100)(cid:100)∴ k=9
;4#;
;4#;
(0, 9)이다.
따라서 y=-
x¤ +9의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:9000) (0, 9)
이차함수의 함숫값이 항상 음수가 되도록 하는 그
18
래프의 모양, 꼭짓점의 위치를 생각한다.
y=(a+3)x¤ +a-2의 함숫값이 모든 실수 x에 대
하여 항상 음수이려면 그래프가 위로 볼록해야 하므로
a+3<0 ∴ a<-3
yy`㉠(cid:100)(cid:100)
또 꼭짓점이 x축보다 아래쪽에 위치해야 하므로 꼭짓점
의 y좌표는 음수이어야 한다.
이때 y=(a+3)x¤ +a-2의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
위로 볼록하므로
a<0, 축이 y축의 오
른쪽에 있으므로
b>0, y축과의 교점이
원점의 위쪽에 있으므
로 c>0이다.
(0, a-2)이므로
(cid:100)(cid:100)a-2<0 ∴ a<2
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
a<-3
yy`㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) a<-3
19
그래프와 x축과의 교점의 좌표 (cid:8833) y=0을 대입
y=-x¤ -2x+8에 y=0을 대입하면
0=-x¤ -2x+8,
x¤ +2x-8=0
(x+4)(x-2)=0
∴ x=-4 또는 x=2
∴ A(-4, 0), B(2, 0)
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
;2!;_{2-(-4)}_8=24
y
y=4x@
(cid:100)(cid:100)C(0, 8)
점 C의 y좌표가 4a¤ 이
므로 y=x¤ 에 y=4a¤
을 대입하면
(cid:100)4a¤ =x¤
(cid:100)∴ x=—2a
그런데 점 C의 x좌표
는 양수이므로(cid:100)x=2a
4a@
a@
O
B
a
A
C
D
x
2a
;2!;_AB”_OC”
20
채점 기준
p의 값 구하기
a의 값 구하기
a+p의 값 구하기
(cid:9000) {;3@;, ;9$;}
C(2a, 4a¤ )이므로
a=
을 대입하면
;3!;
(cid:100)C{;3@;, ;9$;}
또 y=-x¤ -2x+8에 x=0을 대입하면 y=8이므로
(cid:9000) 24
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
두 점 A, B를 지나는 직선의 방정식이 y=2x-2
이고, 이 직선의 x절편은 1, y절편은 -2이므로
(cid:100)(cid:100)A(1, 0), B(0, -2)
따라서 이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프의 꼭짓점 A의
좌표가 A(1, 0)이므로
p=1
또 y=a(x-1)¤ 의 그래프가 점 B(0, -2)를 지나므로
Ⅳ.이차함수 067
D1001우중수3상_정(055-068) 2014.10.1 1:2 PM 페이지068 SinsagoHitec
O 2
x
점의 좌표는 (4, 0)이다.
우공비 B0X
PQ”의 길이를 2：3으
로 나누는 점을 M이
라 하면
(cid:100)PM”：MQ”=2：3
(cid:100)PM”=10_;5@;=›
(cid:100)MQ”=10_;5#;=fl
즉 M(4, 0)이다.
x¤ 의 계수와 x의 계수
의 부호가 같다.
2a=b를 3b=2a+4
에 대입하면
(cid:100)3b=b+4
(cid:100)2b=4(cid:100)(cid:100)∴ b=2
2a=b=2이므로
(cid:100)a=1
a>0, b>0이므로
(cid:100)a+b>0
-b<0이므로
(cid:100)"√(-b)¤ =-(-b)
=b
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 2
배점
1점
1점
2점
1점
Step Up
기본서
-2=a(0-1)¤
∴ a=-2
∴ a+p=-2+1=-1
21
채점 기준
y=3x¤ -12x+5-a의 그래프의 개형 그리기
a의 값의 범위 구하기
y=3x¤ -12x+5-a
=3(x¤ -4x+4)-12+5-a
=3(x-2)¤ -7-a
따라서 그래프가 아래로 볼록하고
y
직선 x=2가 축이므로 모든 사분
면을 지나기 위해서는 그래프가 오
른쪽 그림과 같아야 한다. ▶ 3점
즉 (y축과의 교점의 y좌표)<0이
(cid:100)(cid:100)5-a<0(cid:100)(cid:100)∴ a>5
므로
22
채점 기준
두 포물선의 꼭짓점의 좌표 구하기
a, b의 값 구하기
ab의 값 구하기
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) -1
배점
3점
2점
▶ 2점
(cid:9000) a>5
배점
2점
2점
1점
y=2x¤ -8ax+8a¤ +3b
=2(x¤ -4ax+4a¤ )-8a¤ +8a¤ +3b
=2(x-2a)¤ +3b
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(2a, 3b)
(cid:100) (cid:100)y=3x¤ -6bx+3b¤ +2a+4
=3(x¤ -2bx+b¤ )-3b¤ +3b¤ +2a+4
=3(x-b)¤ +2a+4
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(b, 2a+4) ▶ 2점
두 함수의 그래프의 꼭짓점이 일치하므로
(cid:100)(cid:100)2a=b, 3b=2a+4
(cid:100)(cid:100)∴ a=1, b=2
(cid:100)(cid:100)∴ ab=2
23
채점 기준
점 A의 좌표 구하기
두 점 P, Q의 좌표 구하기
a, b의 값 구하기
2a+b의 값 구하기
y=-;2!;x¤ +5x
(cid:100)(cid:100) y=-;2!; {x¤ -10x+25}+:™2∞:
(cid:100)(cid:100) y=-;2!;(x-5)¤ +:™2∞:
068 Check Up 풀이집
이므로(cid:100)(cid:100)A {5, :™2∞:}
▶ 1점
이차함수 y=-;2!;x¤ +5x의 그래프가 x축과 만나는 것은
y=0일 때이므로 y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)0=-;2!;x¤ +5x,(cid:100)(cid:100)x¤ -10x=0
(cid:100)(cid:100)x(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=10
(cid:100)(cid:100)∴ P(0, 0), Q(10, 0)
▶ 1점
직선 y=ax+b가 점 A를 지나고 삼각형 APQ의 넓이
를 2：3으로 나누므로 PQ”의 길이를 2：3으로 나누는
점을 지난다.
PQ”의 길이가 10이므로 PQ”의 길이를 2：3으로 나누는
즉 직선 y=ax+b는 두 점{ 5, :™2∞:}, (4, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100):™2∞:=5a+b, 0=4a+b
위의 두 식을 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)a=:™2∞:, b=-50
(cid:100)(cid:100)∴ 2a+b=2_:™2∞:+(-fi‚)=-¤fi
서술형 답안 작성 Tip
높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비는 밑변의 길이의 비와 같음을
이용하여 직선 y=ax+b가 지나는 점을 찾는다.
24
채점 기준
a의 부호 구하기
b의 부호 구하기
주어진 식 간단히 하기
이차함수 y=x¤ +ax-b의 그래프에서 축이 y축의
왼쪽에 위치하므로
(cid:100)(cid:100)a>0
y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치하므로
(cid:100)(cid:100)-b<0(cid:100)(cid:100)∴ b>0
(cid:100)(cid:100)∴ "√(a+b)¤ -"√(-b)¤ =a+b-b
=a
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) -25
배점
1점
2점
2점
▶ 1점
▶ 2점
▶ 2점
(cid:9000) a
보충 학습
제곱근의 성질
① a>0일 때, a의 제곱근을 제곱하면 a가 된다.
(cid:8825) ('a)¤ =a, (-'a)¤ =a
② a>0일 때, 근호 안의 수가 어떤 유리수의 제곱이면 근
호 없이 나타낼 수 있다.
(cid:8825) "ça¤ =a, "√(-a)¤ =a
③ "ça¤ =[
a (aæ0)
-a (a<0)
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지069 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 137~140쪽
Ⅳ
-2. 이차함수의 활용
1. 이차함수의 식 구하기
3333 이차함수의 식 구하기 ⑴ 기본서 138~139쪽
익히기 1 ⑴ 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ +1로 놓고
(cid:100) x=1, y=3을 대입하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)3=a(1-2)¤ +1(cid:100)(cid:100)∴ a=2
(cid:100) 따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=2(x-2)¤ +1
⑵ 이차함수의 식을 y=a(x-1)¤ +q로 놓고
(cid:100) x=0, y=5를 대입하면(cid:100)(cid:100)5=a(0-1)¤ +q
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ a+q=5
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
(cid:100) x=3, y=11을 대입하면(cid:100)(cid:100)11=a(3-1)¤ +q
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 4a+q=11
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:100) ㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=2, q=3
(cid:100) 따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=2(x-1)¤ +3
(cid:9000) ⑴ y=2(x-2)¤ +1 ⑵ y=2(x-1)¤ +3
유제 ❶-1 꼭짓점의 좌표가 {-
, -
;2#;}이므로 이차함
;2!;
수의 식을 y=a {x+
그래프가 점 (-1, -1)을 지나므로 x=-1, y=-1을
으로 놓을 수 있다.
;2!;}
;2#;
¤ -
대입하면
(cid:100)(cid:100)-1=a {-1+
¤ -
;2!;}
;2#;
(cid:100)(cid:100)-1=
a-
,(cid:100)(cid:100)
a=
;4!;
;2#;
;4!;
;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=2 {x+
;2!;}
¤ -
;2#;
, 즉 y=2x¤ +2x-1
(cid:9000) y=2x¤ +2x-1
유제 ❶-2 꼭짓점의 좌표가 (2, -3)이므로 이차함수의
식을 y=a(x-2)¤ -3으로 놓을 수 있다.
그래프가 점 (0, 4)를 지나므로 x=0, y=4를 대입하
면
(cid:100)(cid:100)4=4a-3(cid:100)(cid:100)∴ a=;4&;
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=;4&;(x-2)¤ -3, 즉 y=;4&;x¤ -7x+4
이므로(cid:100)(cid:100)a=;4&;, b=-7, c=4
(cid:100)(cid:100)∴ abc=;4&;_(-7)_4=-49
(cid:9000) -49
㉡-㉠을 하면
(cid:100)3a=-6
(cid:100)∴ a=-2
a=-2를 ㉠에 대입
하면(cid:100)(cid:100)q=3
축의 방정식이 x=1
이므로 꼭짓점의 x좌
표가 1이다.
㉡-㉠을 하면
(cid:100)3a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=2
a=2를 ㉠에 대입하면
(cid:100)q=3
㉡-㉠을 하면
(cid:100)2a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=3
a=3을 ㉠에 대입하면
(cid:100)q=-
:¡4¡:
c=1을 ㉡, ㉢에 대입
하면
a+b=-2,
a-b=4
두 식을 연립하여 풀
면
a=1, b=-3
S
t
e
p
U
p
.
Ⅳ
이
차
함
수
(cid:9000) 2
유제 ❷-1 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식
을 y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다.
그래프가 두 점 (-1, 1), (0, -5)를 지나므로
x=-1, y=1을 대입하면
(cid:100)(cid:100)1=a+q
x=0, y=-5를 대입하면
(cid:100)(cid:100)-5=4a+q
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=-2, q=3
따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-2(x+2)¤ +3, 즉 y=-2x¤ -8x-5
(cid:9000) y=-2x¤ -8x-5
유제 ❷-2 축의 방정식이 x=
이므로 이차함수의 식을
;2!;
¤ +q로 놓을 수 있다.
y=a {x-
그래프가 두 점 (1, -2), (-1, 4)를 지나므로
;2!;}
x=1, y=-2를 대입하면
(cid:100)(cid:100)-2=
a+q
;4!;
x=-1, y=4를 대입하면
(cid:100)(cid:100)4=
a+q
;4(;
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=3, q=-
;;¡4¡;;
이므로 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=3{x-
;2!;}
¤ -
;;¡4¡;;
, 즉 y=3x¤ -3x-2
따라서 a=3, b=-3, c=-2이므로
(cid:100)(cid:100)a+b-c=3+(-3)-(-2)=2
3344 이차함수의 식 구하기 ⑵ 기본서 140~141쪽
익히기 2 ⑴ 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓고
(cid:100) x=0, y=1을 대입하면(cid:100)(cid:100)1=c
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
(cid:100) x=1, y=-1을 대입하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)-1=a+b+c
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:100) x=-1, y=5를 대입하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)5=a-b+c
yy ㉢(cid:100)(cid:100)
(cid:100) ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)a=1, b=-3, c=1
(cid:100) 따라서 이차함수의 식은(cid:100)(cid:100)y=x¤ -3x+1
⑵ 이차함수의 식을 y=a(x-1)(x-2)로 놓고
(cid:100) x=-1, y=6을 대입하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)6=a(-1-1)(-1-2)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)6a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=1
Ⅳ.이차함수 069
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지070 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
(cid:100) 따라서 이차함수의 식은
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=(x-1)(x-2), 즉 y=x¤ -3x+2
유제 ❹-2 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 두 점
(-4, 0), (0, 0)에서 만나므로 이차함수의 식을
(cid:9000) ⑴ y=x¤ -3x+1 ⑵ y=x¤ -3x+2
y=ax(x+4)로 놓을 수 있다.
그래프가 점 (-1, 3)을 지나므로 x=-1, y=3을 대입
유제 ❸-1 그래프가 세 점 (-1, -6), (0, -5),
(1, 0)을 지나므로 x=-1, y=-6을 대입하면
(cid:100)(cid:100)-6=a-b+c
x=0, y=-5를 대입하면
(cid:100)(cid:100)-5=c
x=1, y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)0=a+b+c
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
yy ㉢(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=2, b=3, c=-5
따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=2x¤ +3x-5
(cid:9000) y=2x¤ +3x-5
유제 ❸-2 주어진 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로
놓으면 그래프가 세 점 (0, -2), (1, -4), (3, 4)를
하면
(cid:100)(cid:100)3=a_(-1)_3,(cid:100)(cid:100)-3a=3
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-x(x+4), 즉 y=-x¤ -4x
y=ax¤ +bx에 두 점
의 좌표를 각각 대입
한다.
c=-5를 ㉠, ㉢에
대입하면
(cid:100)a-b=-1,
(cid:100)a+b=5
두 식을 연립하여 풀면
(cid:100)a=2, b=3
주어진 이차함수의 그래프가 원점을 지나므로 이차
(cid:9000) y=-x¤ -4x
함수의 식을 y=ax¤ +bx로 놓을 수 있다.
그래프가 두 점 (-4, 0), (-1, 3)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)0=16a-4b, 3=a-b
두 식을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=-1, b=-4
(cid:100)(cid:100)∴ y=-x¤ -4x
유제 ❹-1 주어진 이차함수의 그래프가 x축과 두 점
그래프가 원점을 지나므로 x=0, y=0을 대입하면
x=0, y=-2를 대입하면
지나므로
(cid:100)(cid:100)-2=c
x=1, y=-4를 대입하면
(cid:100)(cid:100)-4=a+b+c
x=3, y=4를 대입하면
(cid:100)(cid:100)4=9a+3b+c
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)a=2, b=-4, c=-2
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=2x¤ -4x-2=2(x¤ -2x+1)-4=2(x-1)¤ -4
이므로 구하는 꼭짓점의 좌표는 (1, -4)이다.
(cid:9000) (1, -4)
(-2, 0), (3, 0)에서 만나므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)(x-3)으로 놓을 수 있다.
그래프가 점 (2, -2)를 지나므로 x=2, y=-2를 대
입하면
(cid:100)(cid:100)-2=a_4_(-1),(cid:100)(cid:100)-4a=-2
(cid:100)(cid:100)∴ a=
;2!;
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=
(x+2)(x-3), 즉 y=
x¤ -
x-3
;2!;
;2!;
;2!;
이므로(cid:100)(cid:100)b=-
, c=-3
;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=
+{-
;2!;}+(-3)=-3
;2!;
070 Check Up 풀이집
yy ㉠(cid:100)
yy ㉡(cid:100)
yy ㉢(cid:100)
소단원성취도진단
기본서 142~143쪽
01 y=2(x+1)¤ -2 02 3
07 ⑤
06 -2
05 ③
03 ③
08 -8
04 ②
09 x=3
10 ④
11 4
12 ;;™
™4¶;;
13 3
14 ②
15 a=-2, b=-15
c=-2를 ㉡, ㉢에
대입하면
(cid:100)a+b=-2,
(cid:100)9a+3b=6
두 식을 연립하여 풀면
(cid:100)a=2, b=-4
01
지난다.
을 수 있다.
그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-1, -2)이고, 원점을
주어진 그래프에서 꼭짓점의 좌표가 (-1, -2)
이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a(x+1)¤ -2로 놓
x축과의 교점 (a, 0),
(b, 0)과 다른 한 점을
알 때
(cid:8825) y=a(x-a)(x-b)로
놓고 다른 한 점의 좌
표를 대입한다.
(cid:100)(cid:100)0=a(0+1)¤ -2
(cid:100)(cid:100)a-2=0(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=2(x+1)¤ -2
(cid:9000) y=2(x+1)¤ -2
02
꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
꼭짓점의 좌표가 (-2, 4)이므로 주어진 이차함수
의 식을 y=a(x+2)¤ +4로 놓을 수 있다.
그래프가 점 (1, -5)를 지나므로 x=1, y=-5를 대
입하면
(cid:100)(cid:100)-5=a(1+2)¤ +4,(cid:100)(cid:100)9a+4=-5
(cid:9000) -3
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지071 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 140~143쪽
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-(x+2)¤ +4
이므로 x=-3을 대입하면
(cid:100)(cid:100)y=-(-3+2)¤ +4=3
(cid:9000) 3
축의 방정식이 x=p (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
축의 방정식이 x=3이므로
03
(cid:100)(cid:100)p=3
이차함수 y=a(x-3)¤ +q의 그래프가 두 점 (-1, 12),
(1, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)12=16a+q, 0=4a+q
(cid:100)(cid:100)∴ a=1, q=-4
따라서 구하는 값은
(cid:100)(cid:100)a+p+q=1+3+(-4)=0
그래프가 지나는 세 점의 좌표를 알 때
04
(cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입한다.
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 세 점
(-1, -3), (0, -2), (1, 1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-3=a-b+c, -2=c, 1=a+b+c
에서(cid:100)(cid:100)a=1, b=2, c=-2
(cid:100)(cid:100)∴ abc=1_2_(-2)=-4
(cid:9000) ②
이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만날 때
05
(cid:8833) 꼭짓점의 y좌표는 0이다.
x축과 만나는 한 점의 좌표가 (4, 0), 즉 꼭짓점의
좌표가 (4, 0)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-4)¤ 으
로 놓을 수 있다.
y절편이 32이므로 x=0, y=32를 대입하면
(cid:100)(cid:100)32=a(0-4)¤ ,(cid:100)(cid:100)16a=32
(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=2(x-4)¤ , 즉 y=2x¤ -16x+32
이므로(cid:100)(cid:100)a=2, b=-16, c=32
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=2+(-16)+32=18
06
채점 기준
이차함수의 식 세우기
이차함수의 식 구하기
a+b-c의 값 구하기
축의 방정식이 x=2이므로 이차함수의 식을
y=a(x-2)¤ +q로 놓을 수 있다.
▶ 30%
이차함수의 식에 두
점의 좌표를 각각 대
입한다.
축의 방정식이 x=-1
(cid:8825) 꼭짓점의 x좌표가
-1
07
다.
(cid:9000) ③
y축과 만나는 점의 y
좌표가 5
S
t
e
p
U
p
그래프가 두 점 (-1, 0), (0, 5)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)0=9a+q, 5=4a+q
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1, q=9
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-(x-2)¤ +9, 즉 y=-x¤ +4x+5
▶ 40%
이므로(cid:100)(cid:100)a=-1, b=4, c=5
(cid:100)(cid:100)∴ a+b-c=-1+4-5=-2
▶ 30%
(cid:9000) -2
직선 x=p에 대칭 (cid:8833) 축의 방정식: x=p
(cid:8833) 꼭짓점의 x좌표: p
이차함수의 그래프가 직선 x=-1에 대칭이므로
구하는 이차함수의 식을 y=a(x+1)¤ +q로 놓을 수 있
그래프가 두 점 (1, -1), (0, 5)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)-1=4a+q, 5=a+q
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2, q=7
따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-2(x+1)¤ +7, 즉 y=-2x¤ -4x+5
08
채점 기준
이차함수의 식 세우기
대칭이동한 그래프의 식 구하기
mn의 값 구하기
(cid:9000) ⑤
배점
30%
40%
30%
▶ 40%
▶ 30%
(cid:9000) -8
이차함수의 그래프를
y축에 대하여 대칭이
동하여도 그래프의 모
양은 변하지 않는다.
이차함수의 그래프가 x
축과 한 점에서 만나면
이 점이 꼭짓점이다.
축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다.
▶ 30%
이때 주어진 이차함수의 그래프를 y축에 대하여 대칭이
동하면 y=2x¤ +mx+n의 그래프와 완전히 포개어지
므로(cid:100)(cid:100)a=2
또 주어진 이차함수의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)1=2(0+2)¤ +q(cid:100)(cid:100)∴ q=-7
따라서 y=2(x+2)¤ -7이므로 y축에 대하여 대칭이동
.
Ⅳ
이
차
함
수
(cid:9000) ③
배점
30%
40%
30%
x=-2를 축으로 하
는 이차함수의 그래프
를 y축에 대하여 대칭
이동하면 그 그래프의
축의 방정식은 x=2가
된다.
하면
(cid:100)(cid:100)y=2(-x+2)¤ -7=2(x-2)¤ -7
=2x¤ -8x+1
따라서 m=-8, n=1이므로
(cid:100)(cid:100)mn=-8_1=-8
함수 y=2x¤ +mx+n의 그래프는 직선 x=2를 축
으로 하므로
(cid:100)(cid:100)y=2(x-2)¤ +q
로 놓을 수 있다. 이 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)1=8+q(cid:100)(cid:100)∴ q=-7
(cid:100)(cid:100)∴ y=2(x-2)¤ -7=2x¤ -8x+1
따라서 m=-8, n=1이므로
(cid:100)(cid:100)mn=-8
Ⅳ.이차함수 071
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지072 SinsagoHitec
Step Up
기본서
보충 학습
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프를
① x축에 대하여 대칭이동
(cid:8825) y 대신 -y를 대입한다.
(cid:8825) -y=a(x-p)¤ +q
② y축에 대하여 대칭이동
(cid:8825) x 대신 -x를 대입한다.
(cid:8825) y=a(-x-p)¤ +q
그래프가 지나는 세 점의 좌표를 알 때
09
(cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입한다.
이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 이차함
수의 그래프가 세 점 (-1, 15), (0, 1), (1, -9)를
지나므로
(cid:100)(cid:100)15=a-b+c, 1=c, -9=a+b+c
(cid:100)(cid:100)∴ a=2, b=-12, c=1
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=2x¤ -12x+1=2(x-3)¤ -17
이므로 그래프의 축의 방정식은(cid:100)(cid:100)x=3
그래프가 두 점 (a, 0), (b, 0)을 지날 때
10
(cid:8833) y=a(x-a)(x-b)
이차함수의 그래프가 두 점 (-4, 0), (5, 0)을
지나므로 이차함수의 식을 y=a(x+4)(x-5)로 놓을
수 있다.
그래프가 점 (0, 20)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)20=a_4_(-5),(cid:100)(cid:100)-20a=20
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-(x+4)(x-5)
=-x¤ +x+20
¤ +
(cid:100)(cid:100)y=-{x-
;2!;}
;;•4¡;;
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100){;2!;
,
;;•4¡;;}
따라서 p=
, q=
이므로 (cid:100)(cid:100)p+q=
+
=
;2!;
;;•4¡;;
;2!;
;;•4¡;;
;;•4£;;
(cid:9000) ④
11
채점 기준
이차함수의 식 구하기
a, b, c의 값 구하기
9abc의 값 구하기
배점
60%
30%
10%
-3, -1이므로 이차함수의 식을 y=a(x+3)(x+1)
로 놓을 수 있다.
072 Check Up 풀이집
우공비 B0X
y축과 만나는 점의 y
좌표가 1
y=
(x+3)(x+1)
;3!;
;3!;
;3!;
=
(x¤ +4x+3)
=
x¤ +
x+1
;3$;
그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)1=a_3_1(cid:100)(cid:100)∴ a=
;3!;
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=
(x+3)(x+1)
;3!;
이므로 y=
x¤ +
x+1에서
;3!;
;3$;
(cid:100)(cid:100)a=
, b=
, c=1
;3!;
;3$;
(cid:100)(cid:100)∴ 9abc=9_
_
_1=4
;3!;
;3$;
▶ 60%
▶ 30%
▶ 10%
(cid:9000) 4
서술형 답안 작성 Tip
그래프가 세 점 (-3, 0), (0, 1), (-1, 0)을 지나므로
y=ax¤ +bx+c에 세 점의 좌표를 대입해도 되지만 x축과 만나는
두 점의 좌표를 알 때에는 위와 같은 풀이 과정이 더 편리하다.
12
축의 방정식이 x=p (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
축의 방정식이 x=-1이므로 이차함수의 식을
y=a(x+1)¤ +q로 놓을 수 있다.
y=2x¤ -12x+1
=2(x¤ -6x+9)
(cid:9000) x=3
-18+1
그래프가 두 점 (0, 2), (2, 0)을 지나므로
=2(x-3)¤ -17
(cid:100)(cid:100)2=a+q, 0=9a+q
x축과의 교점의 y좌
표는 0이다.
또는 B(2, 0),
C(-4, 0)
y=-x¤ +x+20
=-{x¤ -x+
;4!;}
+
+20
;4!;
=-{x-
;2!;}
¤ +
;;•4¡;;
(cid:100)(cid:100)∴ a=-;4!;, q=;4(;
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-;4!;(x+1)¤ +;4(;, 즉 y=-;4!;x¤ -;2!;x+2
이때 y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)-;4!;x¤ -;2!;x+2=0,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-8=0
(cid:100)(cid:100)(x+4)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=2
(cid:100)(cid:100)∴ A{-1, ;4(;}, B(-4, 0), C(2, 0)
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_fl_;4(;=:™4¶:
y
A
9
4
2
(cid:9000) :™4¶:
B
-4
-1
O
C
2
x
13
채점 기준
이차함수의 식 구하기
k의 값 구하기
배점
50%
50%
이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 주어진
그래프가 세 점 (-1, 3), (0, -4), (2, -6)을 지나
므로
(cid:100)(cid:100)∴ a=2, b=-5, c=-4
(cid:100)(cid:100)∴ y=2x¤ -5x-4
▶ 50%
주어진 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표가
(cid:100)(cid:100)3=a-b+c, -4=c, -6=4a+2b+c
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지073 SinsagoHitec
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t
e
p
U
p
.
Ⅳ
이
차
함
수
따라서 y=2x¤ -5x-4의 그래프가 점 (k, -1)을 지나
2. 이차함수의 최댓값과 최솟값
우공비 B0X
기본서 143~145쪽
이므로 이 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방
x 대신 x+1, y 대신
y-5를 대입한다.
(cid:100) 이므로 x=-2에서 최댓값 16을 갖고 최솟값은 없다.
므로
(cid:100)(cid:100)-1=2k¤ -5k-4,(cid:100)(cid:100)2k¤ -5k-3=0
(cid:100)(cid:100)(2k+1)(k-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ k=3 (∵ k>0)
▶ 50%
(cid:9000) 3
그래프가 지나는 세 점의 좌표를 알 때
14
(cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입한다.
이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 이차함
수의 그래프가 세 점 (-1, -7), (0, 2), (1, 5)를 지
나므로
(cid:100)(cid:100)-7=a-b+c, 2=c, 5=a+b+c
(cid:100)(cid:100)∴ a=-3, b=6, c=2
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-3x¤ +6x+2
(cid:100)(cid:100)y=-3(x-1)¤ +5
향으로 5만큼 평행이동하면
(cid:100)(cid:100)y=-3(x+1-1)¤ +5+5
(cid:100)(cid:100)y=-3x¤ +10
따라서 꼭짓점의 좌표는 (0, 10)이므로
(cid:100)(cid:100)p=0, q=10
(cid:100)(cid:100)∴ p-q=0-10=-10
x축과 만나는 한 점에서 축까지의 거리
15
(cid:8833) (x축과 만나는 두 점 사이의 거리)_;2!;
축의 방정식이 x=1이고 그래프의 축과 x축과의
교점 사이의 거리가 4이므로 두 교점의 x좌표는
(cid:100)(cid:100)1-4=-3, 1+4=5
즉 x축과의 교점의 좌표는 (-3, 0), (5, 0)이다.
따라서 y=x¤ +ax+b의 그래프가 두 점 (-3, 0),
(5, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)y=(x+3)(x-5)=x¤ -2x-15
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2, b=-15
(cid:9000) a=-2, b=-15
보충 학습
이차함수의 그래프의 축의 방정
식이 x=p이고 x축과 만나는
두 점의 x좌표가 a, b일 때,
`(cid:8825) |p-a|=|p-b|
p
å
∫
x
x=p
3355 이차함수의 최댓값과 최솟값 기본서 144~146쪽
익히기 1 y=-x¤ -4x+5
=-(x¤ +4x+4)+4+5
=-(x+ )¤ +
2
9
이므로 이차함수 y=-x¤ -4x+5의 그래프는 꼭짓점
의 좌표가 (
-2
,
9
)이고, 로 볼록한 포물선이다.
위
따라서 x=
-2
에서 최댓값 를 갖고, 최솟값은
9
없다
.
(cid:9000) 풀이 참조
y=ax¤ +bx+c의 최댓값
과 최솟값
(cid:8825) y=a(x-p)¤ +q 꼴로
변형하여 구한다.
유제 ❶-1 ⑴ y=3x¤ -6x+5
=3(x¤ -2x+1)-3+5
=3(x-1)¤ +2
(cid:100) 이므로 x=1에서 최솟값 2를 갖고 최댓값은 없다.
⑵ y=-4x¤ -16x
=-4(x¤ +4x+4)+16
=-4(x+2)¤ +16
⑶ y=
x¤ +2x-3
(cid:100) y=
(x¤ +12x+36)-6-3
(cid:100) y=
(x+6)¤ -9
⑷ y=-
x¤ +3x+2
⑵ y=-
(x¤ -6x+9)+
+2
;2(;
⑵ y=-
(x-3)¤ +
;;¡2£;;
;6!;
;6!;
;6!;
;2!;
;2!;
;2!;
(cid:9000) ②
(cid:100) 이므로 x=-6에서 최솟값 -9를 갖고 최댓값은 없다.
8_
=4
;2!;
(cid:100) 이므로 x=3에서 최댓값
을 갖고 최솟값은 없다.
;;¡2£;;
(cid:9000) 풀이 참조
먼저 y=a(x-p)¤ +q
꼴로 고친다.
유제 ❶-2 y=-2x¤ +7x
유제 ❶-2 y=-2{x¤ -
x+
;1$6(;}+
;;¢8ª;;
;2&;
유제 ❶-2 y=-2{x-
¤ +
;4&;}
;;¢8ª;;
이므로(cid:100)(cid:100)M=
;;¢8ª;;
(cid:100)(cid:100)y=x¤ +6x+5
=(x+3)¤ -4
이므로(cid:100)(cid:100)m=-4
=(x¤ +6x+9)-9+5
(cid:100)(cid:100)∴ Mm=
_(-4)=-
;;¢8ª;;
;;¢2ª;;
(cid:9000) -
;;¢2ª;;
Ⅳ.이차함수 073
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지074 SinsagoHitec
Step Up
기본서
유제 ❷-1 y=2x¤ +4x+k-1
=2(x¤ +2x+1)-2+k-1
=2(x+1)¤ +k-3
이므로 x=-1에서 최솟값 k-3을 갖는다.
따라서 k-3=4이므로(cid:100)(cid:100)k=7
(cid:9000) 7
우공비 B0X
따라서 y=-2(x-1)¤ +3이므로
(cid:100)(cid:100)a=-2, p=-1, q=3
(cid:100)(cid:100)∴ apq=-2_(-1)_3=6
유제 ❹-2 조건 ㈎, ㈏에서 이차함수의 그래프의 꼭짓점
의 좌표가 (-9, -25)이므로 이차함수의 식을
(cid:9000) 6
유제 ❷-2 y=-x¤ +x+a
y=-{x¤ -x+
y=-{x-
;2!;}
+a
;4!;
;4!;}+
¤ +
;4!;
+a
이므로 x=
에서 최댓값
+a를 갖는다.
;2!;
;4!;
따라서
+a=;2!;-a이므로
;4!;
(cid:100)(cid:100)2a=
(cid:100)(cid:100)∴ a=
;4!;
;8!;
x=-9에서 최솟값을
갖는다.
(cid:8825) 꼭짓점의 x좌표는
-9이다.
(cid:100)(cid:100)y=a(x+9)¤ -25 (a>0)
로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)2=a(0+9)¤ -25(cid:100)(cid:100)∴ a=
;3!;
따라서 y=
(x+9)¤ -25이므로
;3!;
(cid:9000)
;8!;
(cid:100)(cid:100)y=
x¤ +6x+2
;3!;
(cid:9000) y=
x¤ +6x+2
;3!;
유제 ❸-1 이차함수 y=-x¤ +ax+b가 x=-1에서
최댓값 5를 가지므로 주어진 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-(x+1)¤ +5=-x¤ -2x+4
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2, b=4
최댓값, 최솟값이 주어진
경우는 꼭짓점의 y좌표가
주어진 경우와 같다.
(cid:9000) a=-2, b=4
(직사각형의둘레의길이)
3366 이차함수의 활용
기본서 147~149쪽
익히기 2 ⑴ 직사각형의 둘레의 길이가 16 cm이므로 (cid:100)
가로의 길이를 x cm라 하면 세로의 길이는
=2_{(가로의 길이)
+(세로의 길이)}
(8-x)cm이다.
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ y=x(8-x)=-x¤ +8x
⑵ y=-x¤ +8x
=-(x¤ -8x+16)+16
=-(x-4)¤ +16
(cid:100) 이므로 y는 x=4에서 최댓값 16을 갖는다.
(cid:100) 따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 16 cm¤ 이고, 그
때의 가로의 길이는 4 cm이다.
(cid:9000) ⑴ y=-x¤ +8x
⑵ 최댓값: 16 cm¤ , 가로의 길이: 4 cm
보충 학습
x=p일 때, 최댓값(최솟값)이 q인 이차함수
(cid:8825) 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(p, q)
유제 ❸-2 y=-x¤ +8x+2a-1
=-(x¤ -8x+16)+2a+15
=-(x-4)¤ +2a+15
따라서 x=4에서 최댓값 2a+15를 가지므로
(cid:100)(cid:100)m=4, 2a+15=5
즉 a=-5, m=4이므로
(cid:100)(cid:100)a+m=-1
(cid:100)(cid:100)∴ 8=2m, 2a-1=-m¤ +5
따라서 m=4, a=-5이므로
(cid:100)(cid:100)a+m=-1
이차함수의 식을
(cid:100)(cid:100)y=a(x-1)¤ +3 (a<0)
으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (2, 1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)1=a(2-1)¤ +3
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
074 Check Up 풀이집
이차함수 y=-x¤ +8x+2a-1이 x=m에서 최댓
값 5를 가지므로
(cid:100)(cid:100)y=-(x-m)¤ +5=-x¤ +2mx-m¤ +5
합이 일정할 때 두 수의
곱은 최댓값을 갖는다.
(cid:8825) 최댓값: 두 수가 같을 때
로 두 수의 곱을 y라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x(26-x)
=-x¤ +26x
(cid:9000) -1
유제 ❺-1 한 수를 x로 놓으면 다른 한 수는 26-x이므
유제 ❹-1 이차함수가 x=1에서 최댓값 3을 가지므로
유제 ❺-2 ⑴ 차가 8인 두 수를 x, x-8로 놓고, 두 수
=-(x¤ -26x+169)+169
=-(x-13)¤ +169
따라서 두 수의 곱의 최댓값은 169이다.
(cid:9000) ④
두 수는 13, 13
차가 일정할 때 두 수의
곱은 최솟값을 갖는다.
(cid:8825) 최솟값: 두 수의 절댓값
이 같고 부호가 다를 때
x, x+8로 놓으면
(cid:100)y=x(x+8)
=(x+4)¤ -16
(cid:100) 의 곱을 y라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=x(x-8)
=x¤ -8x
=(x¤ -8x+16)-16
=(x-4)¤ -16
(cid:100) 따라서 두 수의 곱의 최솟값은 -16이다.
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지075 SinsagoHitec
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t
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p
.
Ⅳ
이
차
함
수
우공비 B0X
기본서 145~150쪽
⑵ y는 x=4에서 최솟값을 가지므로 구하는 두 수는 4,
따라서 삼각형의 넓이가 최대가 되도록 하는 x의 값은 4
-4이다.
이다.
(cid:9000) 4
(cid:9000) ⑴ -16(cid:100)⑵ 4, -4
유제 ❽ y=-5x¤ +30x
따라서 반지름의 길이가 8 cm일 때 부채꼴의 넓이의 최
갖는다. 따라서 보기의 이차함수 중 최솟값을 갖는 것은
유제 ❻-1 닭장의 가로의 길이를 x m로 놓으면 세로의
길이는 (10-x)m이므로 닭장의 넓이를 y m¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x(10-x)
=-x¤ +10x
=-(x¤ -10x+25)+25
=-(x-5)¤ +25
즉 y는 x=5에서 최댓값 25를 갖는다.
따라서 닭장의 최대 넓이는 25 m¤ 이다.
(cid:9000) 25 m¤
유제 ❻-2 부채꼴의 반지름의 길이를 xcm로 놓으면 둘
레의 길이가 32 cm이므로 호의 길이는 (32-2x)cm이다.
부채꼴의 넓이를 y cm¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=;2!;x(32-2x)
(cid:100)(cid:100)y=-x¤ +16x
(cid:100)(cid:100)y=-(x¤ -16x+64)+64
(cid:100)(cid:100)y=-(x-8)¤ +64
즉 y는 x=8에서 최댓값 64를 갖는다.
댓값은 64 cm¤ 이다.
(cid:9000) 부채꼴의 넓이의 최댓값: 64 cm¤ ,
반지름의 길이: 8 cm
유제 ❼-1 새로운 직사각형의 가로의 길이는 (6+x)cm,
세로의 길이는 (12-x)cm이므로 넓이를 y cm¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=(6+x)(12-x)
=-x¤ +6x+72
=-(x¤ -6x+9)+9+72
=-(x-3)¤ +81
따라서 새로운 직사각형의 넓이의 최댓값은 81 cm¤ 이
다.
(cid:9000) 81 cm¤
유제 ❼-2 새로운 삼각형의 밑변의 길이는 10-x, 높이
는 2+x이므로 넓이를 y라 하면
(cid:100)(cid:100)y=
(10-x)(2+x)
(cid:100)(cid:100)y=
(-x¤ +8x+20)
(cid:100)(cid:100)y=-
(x¤ -8x+16)+8+10
(cid:100)(cid:100)y=-
(x-4)¤ +18
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
=-5(x¤ -6x+9)+45
=-5(x-3)¤ +45
즉 y는 x=3에서 최댓값 45를 갖는다.
따라서 물이 가장 높이 올라갔을 때의 높이는 45 m이다.
(cid:9000) ②
소단원성취도진단
기본서 150~151쪽
01 ①, ④ 02 ④
03 -6
04 -5
05 ②
06 -2
07 a…-
;4%;
08 ②
09 5 cm
10 1750원
11 ②
12 -6
13 ⑤
반지름의 길이가 r, 호의
길이가 l인 부채꼴의 넓이
S는
(cid:100)S=;2!;rl
14 ④
15 ;;™4∞;;
01
고 최댓값은 없다.
이차함수의 그래프가 아래로 볼록하면 최솟값은 있
이차함수
y=ax¤ +bx+c의 그
래프는 a>0일 때 아
래로 볼록하고, a<0
일 때 위로 볼록하다.
①, ④이다.
02
로 변형한다.
이차함수 y=ax¤ +bx+c는 a>0일 때 최솟값을
먼저 주어진 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q 꼴
(cid:9000) ①, ④
y=-
x¤ +4x-1
y=-
(x¤ -10x)-1
y=-
(x¤ -10x+25)+10-1
y=-
(x-5)¤ +9
;5@;
;5@;
;5@;
;5@;
03
04
y=a(x-p)¤ +q (a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q
y=-2x¤ -4x-7=-2(x+1)¤ -5
따라서 a=-1, b=-5이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=-1+(-5)=-6
(cid:9000) -6
y=a(x-p)¤ +q (a>0) (cid:8833) x=p에서 최솟값 q
이차항의 계수가 3이고, x=-2에서 최솟값 5를
가지므로 주어진 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=3(x+2)¤ +5=3x¤ +12x+17
위의 식이 y=3x¤ +ax+b와 같으므로
(cid:100)(cid:100)a=12, b=17
Ⅳ.이차함수 075
(삼각형의 넓이)
=
_(밑변의 길이)
;2!;
_(높이)
즉 y는 x=4에서 최댓값 18을 갖는다.
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=12-17=-5
(cid:9000) -5
즉 y는 x=3에서 최댓값 81을 갖는다.
이므로 x=5에서 최댓값 9를 갖는다.
(cid:9000) ④
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지076 SinsagoHitec
우공비 B0X
① x=1에서 최솟값
;2(;
② x=1에서 최솟값 5
③ x=3에서 최솟값
;2&;
④ x=
에서
;2!;
(cid:100) 최솟값
;2&;
⑤ x=
에서
;2#;
(cid:100) 최솟값 -
;;¡4¡;;
x=;2#;을 y=3-x에
대입하면
(cid:100)y=3-;2#;=;2#;
y=3-x를 주어진 식에 대입하여 x에 대한 이차식
08
으로 나타낸다.
x+y=3에서(cid:100)(cid:100)y=3-x
y=3-x를 주어진 식에 대입하면
(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -xy=x¤ +(3-x)¤ -x(3-x)
(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -xy=x¤ +9-6x+x¤ -3x+x¤
(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -xy=3x¤ -9x+9
(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -xy=3{x¤ -3x+;4(;}-:™4¶:+9
(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ -xy=3{x-;2#;}2 +;4(;
따라서 주어진 식의 최솟값은 ;4(;이다.
잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이가 x cm
09
(cid:8833) 옆면은 가로의 길이가 (20-2x)cm, 세로의 길이가 x cm
인 직사각형
잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
상자의 옆면은 가로의 길이가 (20-2x)cm, 세로의 길
옆면 4개가 모두 합동
이다.
이가 x cm인 직사각형이 된다.
상자의 옆넓이를 y cm¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=(20-2x)x_4
=-8x¤ +80x
=-8(x¤ -10x+25)+200
=-8(x-5)¤ +200
이므로 y는 x=5에서 최댓값 200을 갖는다.
따라서 잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이다.
(cid:9000) ②
배점
60%
40%
▶ 60%
▶ 40%
(cid:9000) -2
배점
30%
40%
30%
(cid:9000) ②
(cid:9000) 5 cm
배점
10%
20%
40%
30%
▶ 10%
▶ 20%
Step Up
기본서
05
y=a(x-p)¤ +q (a>0) (cid:8833) x=p에서 최솟값 q
① y=(x¤ -2x+1)-1+
=(x-1)¤ +
;;¡2¡;;
;2(;
② y=3(x¤ -2x+1)-3+8=3(x-1)¤ +5
③ y=
(x¤ -6x+9)-
+8=
(x-3)¤ +
;2(;
;2!;
;2&;
;2!;
④ y=2{x¤ -x+
;4!;}-
;2!;
+4=2{x-
;2!;}
⑤ y=3{x¤ -3x+
;4(;}-
;;™4¶;;
+4=3{x-
;2#;}
;;¡4¡;;
따라서 최솟값이 가장 큰 것은 ②`이다.
¤ +
;2&;
¤ -
m=-2<0이므로 주어진 이차함수는 최댓값을
갖고 최솟값은 없다.
06
채점 기준
y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하기
m의 값 구하기
y=mx¤ -4mx-5
=m(x¤ -4x)-5
=m(x¤ -4x+4)-4m-5
=m(x-2)¤ -4m-5
이 이차함수의 최댓값이 3이므로
(cid:100)(cid:100)-4m-5=3(cid:100)(cid:100)∴ m=-2
07
채점 기준
y=a(x-p)¤ +q 꼴로 나타내기
제 1 사분면을 지나지 않을 조건 알기
a의 값의 범위 구하기
의 식을
(cid:100)(cid:100)y=a(x+2)¤ +5 (a<0)
로 놓을 수 있다.
이 함수의 그래프가 제`1`사분면을 지
나지 않으려면 오른쪽 그림과 같이 y
축과의 교점의 y좌표가 0 이하이어
즉 x=0일 때 y의 값이 0 이하이어
야 하므로
(cid:100)(cid:100)a(0+2)¤ +5…0,(cid:100)(cid:100)4a+5…0
(cid:100)(cid:100)∴ a…-;4%;
076 Check Up 풀이집
x=-2에서 최댓값 5를 가지므로 주어진 이차함수
10
채점 기준
미지수 정하기
이차함수의 식 세우기
y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하기
빵 한 개의 가격 구하기
야 한다. `▶ 40%
-2
O
x
▶ 30%
y
5
(총 판매 금액)
=(한 개당 가격)
_(판매 개수)
총 판매 금액을 y원이라 하면
(cid:100)(cid:100)y=(1000+100x)(500-20x)
(cid:100)(cid:100)y=-2000x¤ +30000x+500000
(cid:100)(cid:100)y=-2000{x¤ -15x+;:@4@:%;}+612500
(cid:100)(cid:100)y=-2000{x-:¡2∞:}2 +612500
▶ 40%
이므로 y는 x=:¡2∞:에서 최댓값 612500을 갖는다.
따라서 구하는 빵 한 개의 가격은
▶ 30%
(cid:9000) a…-;4%;
(1000+100x)원
(cid:100)(cid:100)1000+100_:¡2∞:=1750(원)
▶ 30%
(cid:9000) 1750원
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지077 SinsagoHitec
11
최고 높이 (cid:8833) y=-5x¤ +10x+2의 최댓값
14
AP”=x cm (cid:8833) BP”=(12-x)cm
AP”=x cm로 놓으면 BP”=(12-x)cm이므로 넓
우공비 B0X
기본서 150~152쪽
y=-5x¤ +10x+2
=-5(x¤ -2x)+2
=-5(x¤ -2x+1)+5+2
=-5(x-1)¤ +7
이므로 y는 x=1에서 최댓값 7을 갖는다.
따라서 던진 지 1초 후에 최고 높이 7 m에 도달하므로
(cid:100)(cid:100)ab=1_7=7
x¤ 의 계수가 a이고 두 근이 a, b인 이차방정식
12
(cid:8833) a(x-a)(x-b)=0
이차방정식 ax¤ +bx+c=0`(a>0)의 두 근이 -6,
2이므로 y=ax¤ +bx+c의 그래프와 x축의 두 교점의 x
좌표는 -6, 2이다.
(cid:100)(cid:100)∴ y=a(x+6)(x-2)
=a(x¤ +4x-12)
=a(x¤ +4x+4)-4a-12a
=a(x+2)¤ -16a
이 함수의 최솟값이 -8이므로
(cid:100)(cid:100)-16a=-8(cid:100)(cid:100)∴ a=;2!;
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=;2!;(x¤ +4x-12), 즉 y=;2!;x¤ +2x-6
이므로
(cid:100)(cid:100)b=2, c=-6
(cid:100)(cid:100)∴ abc=;2!;_2_(-6)=-6
직사각형의 세로의 길이가 x cm
13
(cid:8833) 가로의 길이는 (24-2x)cm
오른쪽 그림과 같이 직사
사각형의 세로의 길이를 x cm
라 하면 가로의 길이는
x`cm x`cm
45æ
x`cm
45æ
x`cm
(24-2x)cm이다.
하면
(cid:100)(cid:100)y=x(24-2x)
=-2x¤ +24x
=-2(x¤ -12x+36)+72
=-2(x-6)¤ +72
이므로 y는 x=6에서 최댓값 72를 갖는다.
따라서 직사각형의 넓이의 최댓값은 72 cm¤ 이다.
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
(cid:100)(cid:100)y=
(x-4)¤ +48
y를 x에 대한 식으로
나타낸 다음
(cid:100)y=a(x-p)¤ +q
꼴로 고쳐야 최솟값
또는 최댓값을 구할
수 있다.
이차함수
y=ax¤ +bx+c가 최
솟값을 가지므로
(cid:100)a>0
이차방정식
ax¤ +bx+c=0의 두 근
이 a, b일 때
(cid:8825) 이차함수
y=ax¤ +bx+c의 그래
프가 x축과 만나는 두
점의 좌표는
(cid:100)(a, 0), (b, 0)
(cid:9000) -6
이다.
S
t
e
p
U
p
.
Ⅳ
이
차
함
수
이의 합을 y cm¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x¤ +
(12-x)¤
;2!;
(cid:100)(cid:100)y=
x¤ -12x+72
(cid:100)(cid:100)y=
(x¤ -8x+16)-24+72
;2#;
;2#;
;2#;
즉 y는 x=4에서 최솟값 48을 갖는다.
따라서 넓이의 합이 최소가 되도록 하는 선분 AP의 길
이는 4 cm이다.
15
채점 기준
미지수 정하기
이차함수의 식 세우기
y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하기
사각형 OQPR의 넓이의 최댓값 구하기
점 P의 좌표를 (x, -x+5)로 놓고, 사각형
OQPR의 넓이를 y라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x(-x+5)
(cid:100)(cid:100)y=-x¤ +5x
(cid:100)(cid:100)y=-{x¤ -5x+
¤ +
(cid:100)(cid:100)y=-{x-
;2%;}
:™4∞:
:™4∞:}+
:™4∞:
이므로 y는 x=
에서 최댓값
를 갖는다.
;2%;
:™4∞:
따라서 구하는 사각형 OQPR의 넓이의 최댓값은
(cid:9000) ④
배점
10%
20%
40%
30%
▶ 10%
▶ 20%
▶ 40%
:™4∞:
▶ 30%
(cid:9000)
:™4∞:
서술형 답안 작성 Tip
이차함수의 활용 문제에서 미지수는 x, y의 2개이다. 따라서 점 P
의 x좌표를 x로 놓고, 점 P가 직선 y=-x+5 위에 있음을 이용
하여 y좌표를 x에 대한 식으로 나타낸다.
01 ①
06 ⑤
11 ②
16 ③
21 10
02 ③
07 ②
12 ③
17 ③
03 ④
08 ⑤
13 ⑤
18 ④
04 ④
09 ①
14 ④
19 28
22 300원 23 -;5*; 24 1
05 ⑤
10 ②
15 ②
20 -8
25 229
26 ⑴
(cid:100)⑵ (1, 3) 27 ⑴ 6초(cid:100)⑵ 2초, 80 m
;2#;
Ⅳ.이차함수 077
직사각형의 넓이를 y cm¤ 라
{24-2x}`cm
중단원마무리평가
기본서 152~155쪽
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지078 SinsagoHitec
Step Up
기본서
우공비 B0X
(cid:9000) ③
06
주어진 이차함수를 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다.
01
꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
꼭짓점의 좌표가 (3, -5)이므로 이차함수의 식을
y=a(x-3)¤ -5로 놓을 수 있다.
그래프가 점 (1, -1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-1=a(1-3)¤ -5,(cid:100)(cid:100)4a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=1
따라서 y=(x-3)¤ -5=x¤ -6x+4이므로
(cid:100)(cid:100)b=-6, c=4
(cid:100)(cid:100)∴ abc=1_(-6)_4=-24
(cid:9000) ①
축의 방정식이 x=p
02
(cid:8833) 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 놓는다.
조건 ㈎에서 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함
수의 식을 y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다.
이때 조건 ㈏에서 꼭짓점이 x축 위에 있으므로(cid:100)(cid:100)q=0
(cid:100)(cid:100)∴ y=a(x+2)¤
조건 ㈐에서 그래프가 점 (1, -18)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-18=a(1+2)¤`(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
따라서 이차함수의 식은 y=-2(x+2)¤ 이므로 이 그래
프 위의 점이 아닌 것은 ③이다.
서로 다른 세 점의 좌표를 알 때
03
(cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 각각 대입한다.
이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 이 그
래프가 세 점 (0, -4), (1, 0), (3, -4)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)-4=c, 0=a+b+c, -4=9a+3b+c
세 식을 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)a=-2, b=6, c=-4
(cid:100)(cid:100)∴ y=-2x¤ +6x-4
(cid:9000) ④
축의 방정식이 x=
이므로 이차함수의 식을
;2#;
¤ +q로 놓으면 그래프가 두 점 (0, -4),
y=a
x
{
-;2#;}
(1, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)
a+q=-4,
a+q=0
;4(;
;4!;
두 식을 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)a=-2, q=
;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ y=-2
x-
=-2x¤ +6x-4
¤ +
{
;2#;}
;2!;
먼저 그래프가 x축과 만나는 두 점 A, B의 좌표를
04
구한다.
축의 방정식이 x=-1이고, AB”=6이므로 두 점
A, B의 좌표는 (-4, 0), (2, 0)이다.
이차함수의 식을 y=a(x+4)(x-2)로 놓고 x=-1,
y=-18을 대입하면
078 Check Up 풀이집
(cid:100)(cid:100)-18=a(-1+4)(-1-2),(cid:100)(cid:100)-18=-9a
(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 y=2(x+4)(x-2)=2x¤ +4x-16이므로
(cid:100)(cid:100)a=2, b=4, c=-16
x=1, y=-1을 대입
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=2+4+(-16)=-10
(cid:9000) ④
이차함수의 그래프의
꼭짓점의 y좌표와 같
다.
05
y=a(x-p)¤ +q (a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q
① y=-x¤ +2는 x=0에서 최댓값 2를 갖는다.
② y=-4(x+2)¤ 은 x=-2에서 최댓값 0을 갖는다.
③ y=-3x¤ +6x=-3(x-1)¤ +3
③ 이므로 x=1에서 최댓값 3을 갖는다.
④ y=-2(x+1)¤ +2는 x=-1에서 최댓값 2를 갖는다.
⑤ y=-x¤ +4x+1
꼭짓점의 y좌표가 0이
므로 q=0이다.
=-(x¤ -4x+4)+4+1
=-(x-2)¤ +5
③ 이므로 x=2에서 최댓값 5를 갖는다.
따라서 최댓값이 가장 큰 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
y=-2(x+2)¤ 에
x=-
을 대입하면
;2!;
(cid:100)y=-2
-
+2
{
;2!;
}
=-
`
;2(;
c=-4를 대입하면
(cid:100)a+b=4,
(cid:100)9a+3b=0
두 식을 연립하여 풀면
a=-2, b=6
이차함수의 그래프는
축에 대칭이고, 두 점
(0, -4), (3, -4)를
지나므로 축의 방정식
은
(cid:100)x=
0+3
2
=
;2#;
-1-
{
;2^;
, 0
,
}
-1+
{
;2^;
, 0
}
y=
x¤ +ax+1=
;3@;
x¤ +
ax
+1
}
;2#;
;3@;{
y=
x+
a
}
;4#;
;3@;{
¤ -
¥
;3@;
9
16
a¤ +1
y=
x+
a
}
;4#;
;3@;{
¤ -
;8#;
a¤ +1
이므로
(cid:100)(cid:100)-
a=3, -
a¤ +1=b
;4#;
;8#;
(cid:100)(cid:100)∴ a=-4, b=-5
따라서 구하는 값은
(cid:100)(cid:100)ab=-4_(-5)=20
이차함수 y=
x¤ +ax+1이 x=3에서 최솟값 b를
;3@;
(cid:9000) ⑤
가지므로
;3@;
;3@;
(cid:100)(cid:100)y=
(x-3)¤ +b=
(x¤ -6x+9)+b
;3@;
(cid:100)(cid:100)y=
x¤ -4x+6+b
따라서 a=-4, 1=6+b이므로
(cid:100)(cid:100)a=-4, b=-5(cid:100)(cid:100)∴ ab=20
함숫값 중에서 서로 다른 자연수가 5개이므로
07
5…(최댓값)<6임을 이용한다.
y=-x¤ +6x+k
=-(x¤ -6x+9)+k+9
=-(x-3)¤ +k+9
이므로 x=3에서 최댓값 k+9를 갖는다.
¤
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지079 SinsagoHitec
이때 함숫값 중에서 서로 다른 자연수가 5개이려면
11
x=p에서 최댓값 q (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q(a<0)
5…k+9<6이어야 한다.
(cid:100)(cid:100)∴ -4…k<-3
(cid:9000) ②
08
y=a(x-p)¤ +q (a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q
y=-2x¤ +6x-a
;4(;}+
;2(;
-a
y=-2{x¤ -3x+
¤ +
y=-2{x-
최댓값이 0보다 작으므로
;2#;}
-a
;2(;
우공비 B0X
5개의 자연수는 1, 2,
3, 4, 5이다.
그래프의 꼭짓점의 좌
표가 (-3, 4)이다.
y=-2x¤ +6x-a에
x=a, y=-20-a를
대입한다.
그래프가 원점을 지날
때에도 제 1 사분면을
지나지 않는다.
(cid:100)(cid:100)
-a<0(cid:100)(cid:100)∴ a>
;2(;
;2(;
또 그래프가 점 (a, -20-a)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)-20-a=-2a¤ +6a-a
(cid:100)(cid:100)2a¤ -6a-20=0,(cid:100)(cid:100)a¤ -3a-10=0
(cid:100)(cid:100)(a+2)(a-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 또는 a=5
그런데 a>
이므로(cid:100)(cid:100)a=5
;2(;
최댓값의 최솟값 구하기
⁄ 일반형을 표준형으로
고친다.
¤ 최댓값을 구한다.
‹ 구한 최댓값은 이차식
으로 이 이차식을 한 번
더 표준형으로 고친다.
› 다시 고친 표준형에서
(cid:9000) ⑤
최솟값을 구한다.
이차함수의 그래프가 두 점 (a, 0), (b, 0)을 지날
09
때 (cid:8833) y=a(x-a)(x-b)로 놓는다.
x축과의 교점의 x좌표가 -4, 1이므로 이차함수의
식을 y=a(x+4)(x-1)로 놓을 수 있다.
그래프가 점 (0, -2)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)-2=a_4_(-1)(cid:100)(cid:100)∴ a=
;2!;
(cid:100)(cid:100)∴ y=
(x+4)(x-1)
(cid:100)(cid:100)∴ y=
(x¤ +3x-4)
(cid:100)(cid:100)∴ y=
x¤ +3x+
-
-2
;8(;
;4(;}
(cid:100)(cid:100)∴ y=
x+
;2!;{
;2#;}
;;™8∞;;
¤ -
따라서 x=-
에서 최솟값 -
를 갖는다.
;2#;
;;™8∞;;
(cid:9000) ①
10
먼저 주어진 이차함수의 최댓값 M을 구한다.
y=-
x¤ +2x+k-4
y=-
(x¤ -4x)+k-4
y=-
(x¤ -4x+4)+2+k-4
y=-
(x-2)¤ +k-2
이므로 x=2에서 최댓값 k-2를 갖는다.
즉 M=k-2이므로
(cid:100)(cid:100)k-2…0(cid:100)(cid:100)∴ k…2
;2!;
;2!;
;2!;{
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
기본서 152~153쪽
y
4
-3
O
x
S
t
e
p
U
p
x=-3에서 최댓값 4를 가
지므로 이차함수의 식을
y=a(x+3)¤ +4로 놓을 수 있
다. 이 함수의 그래프가 제1 사
분면을 지나지 않으려면 오른쪽
그림과 같아야 한다.
즉 y축과의 교점의 y좌표가 0 이하이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)9a+4…0(cid:100)(cid:100)∴ a…-
;9$;
(cid:9000) ②
주어진 이차함수의 최댓값을 구한 후, a에 대한 이
12
차식인 최댓값을 표준형으로 고쳐 최솟값을 구한다.
y=-x¤ -4ax-8a
=-(x¤ +4ax+4a¤ )+4a¤ -8a
=-(x+2a)¤ +4a¤ -8a
이므로 x=-2a에서 최댓값 4a¤ -8a를 갖는다.
(cid:100)(cid:100)∴ f(a)=4a¤ -8a
=4(a¤ -2a+1)-4
=4(a-1)¤ -4
따라서 f(a)는 a=1에서 최솟값 -4를 갖는다. (cid:9000) ③
y=-3x+14를 xy에 대입하여 x에 대한 이차식으
13
로 나타낸다.
3x+y=14에서 y=-3x+14이므로
(cid:100)(cid:100)xy=x(-3x+14)=-3x¤ +14x
(cid:100)(cid:100)xy=-3 {x¤ -
x+
:¢9ª:}+
:¢3ª:
:¡3¢:
(cid:100)(cid:100)xy=-3 {x-
;3&;}
¤ +
:¢3ª:
.
Ⅳ
이
차
함
수
y=-3x+14
=-3_;3&;+14
=7
따라서 x=
에서 최댓값
를 갖는다.
(cid:9000) ⑤
;3&;
:¢3ª:
삼각형의 밑변의 길이를 x cm라 하면 높이는
14
(20-x)cm임을 이용한다.
삼각형의 밑변의 길이를 x cm라 하면 높이는
(20-x)cm이고, 넓이를 y cm¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=
x(20-x)=-
(x¤ -20x)
;2!;
;2!;
(cid:100)(cid:100)y=-
(x¤ -20x+100)+50
;2!;
;2!;
(cid:100)(cid:100)y=-
(x-10)¤ +50
즉 y는 x=10에서 최댓값 50을 갖는다.
따라서 삼각형의 최대 넓이는 50 cm¤ 이다.
(cid:9000) ④
새로운 사다리꼴의 넓이를 x에 대한 이차식으로 나
15
타낸다.
새로운 사다리꼴의 아랫변의 길이는 (8-x)cm, 높
Ⅳ.이차함수 079
따라서 구하는 정수 k의 최댓값은 2이다.
(cid:9000) ②
이는 (6+x)cm이므로 넓이를 y cm¤ 라 하면
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지080 SinsagoHitec
Step Up
기본서
(cid:100)(cid:100)y=
(4+8-x)(6+x)
(cid:100)(cid:100)y=
(-x¤ +6x+72)
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
(cid:100)(cid:100)y=-
(x¤ -6x+9)+
+36
;2(;
(cid:100)(cid:100)y=-
(x-3)¤ +
즉 y는 x=3에서 최댓값
을 갖는다.
:•2¡:
:•2¡:
따라서 새로운 사다리꼴의 최대 넓이는
cm¤ 이다.
:•2¡:
(cid:9000) ②
부채꼴의 반지름의 길이를 x cm라 하면 호의 길이
16
는 (40-2x)cm임을 이용한다.
부채꼴의 반지름의 길이를 x cm라 하면 호의 길이
는 (40-2x)cm이므로 넓이를 y cm¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=
x(40-2x)
;2!;
(cid:100)(cid:100)y=-x¤ +20x
(cid:100)(cid:100)y=-(x¤ -20x+100)+100
(cid:100)(cid:100)y=-(x-10)¤ +100
즉 y는 x=10에서 최댓값 100을 갖는다.
따라서 부채꼴의 넓이가 최대일 때 반지름의 길이는
10 cm이다.
(cid:9000) ③
한 원의 반지름의 길이를 x cm, 두 원의 넓이의 합
17
을 y cm¤ 로 놓고 이차함수의 식을 세운다.
두 원의 반지름의 길이의 합은 8 cm이므로 두 원의
반지름의 길이를 각각 x cm, (8-x)cm로 놓고, 두 원
의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=px¤ +p(8-x)¤
=p(2x¤ -16x+64)
=2p(x¤ -8x+16)-32p+64p
=2p(x-4)¤ +32p
즉 y는 x=4에서 최솟값 32p를 갖는다.
따라서 두 원의 넓이의 합의 최솟값은 32p cm¤ 이다.
(cid:9000) ③
PBQ의 넓이를 y cm¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=
_(10-x)_0.5x
;2!;
(cid:100)(cid:100)y=-
(x¤ -10x)
;4!;
;4!;
;4!;
(cid:100)(cid:100)y=-
(x¤ -10x+25)+
;;™4∞;;
(cid:100)(cid:100)y=-
(x-5)¤ +
;;™4∞;;
080 Check Up 풀이집
우공비 B0X
따라서 y는 x=5에서 최댓값
를 가지므로 삼각형
;;™4∞;;
PBQ의 넓이가 최대가 되는 것은 출발한 지 5초 후이다.
(cid:9000) ④
이차함수를 f(x)=ax¤ +bx+c라 하고 주어진 조
19
건을 이용하여 a, b, c의 값을 구한다.
주어진 이차함수를 f(x)=ax¤ +bx+c라 하면
f(0)=10, f(1)=8, f(2)=22이므로
(cid:100)(cid:100)10=c, 8=a+b+c, 22=4a+2b+c
세 식을 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)a=8, b=-10, c=10
따라서 f(x)=8x¤ -10x+10이므로
(cid:100)(cid:100)f(-1)=8+10+10=28
(cid:9000) 28
(부채꼴의 넓이)
=
_(반지름의 길이)
;2!;
_(호의 길이)
20
x=p에서 최댓값 q (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q (a<0)
이차함수 y=3x¤ 의 그래프와 폭이 같고 최댓값을
이차함수의 그래프의
폭이 같으면 x¤ 의 계
수의 절댓값이 같다.
가지므로(cid:100)(cid:100)a=-3
또 x=1에서 최댓값 4를 가지므로
(cid:100)(cid:100)y=-3(x-1)¤ +4, 즉 y=-3x¤ +6x+1
따라서 b=6, c=1이므로
(cid:100)(cid:100)a-b+c=-3-6+1=-8
(cid:9000) -8
보충 학습
① 두 이차함수의 그래프의 모양이 같다.
(cid:8825) x¤ 의 계수의 부호가 같다.
② 두 이차함수의 그래프의 폭이 같다.
(cid:8825) x¤ 의 계수의 절댓값이 같다.
21
y=a(x-p)¤ +q(a>0) (cid:8833) x=p에서 최솟값 q
y=3x¤ +12x+2k
=3(x¤ +4x+4)+2k-12
=3(x+2)¤ +2k-12
에서 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, 2k-12)이므로
4x+y=2에 x=-2, y=2k-12를 대입하면
(cid:100)(cid:100)-8+(2k-12)=2,(cid:100)(cid:100)2k=22
PB”=(10-x)cm
_PB”_BQ”
;2!;
값은
22
(cid:100)(cid:100)2_11-12=10
(cid:9000) 10
총 판매 금액을 x에 대한 이차식으로 나타낸다.
(총 판매 금액)
=(한 개당 가격)
_(판매 개수)
음료수의 가격을 x원 내리면 한 개당 가격은
(500-x)원이고, 이때 팔리는 개수는 (300+3x)이다.
이때 총 판매 금액을 y원이라 하면
18
x초 후 (cid:8833) PB”=(10-x)cm, BQ”=0.5x cm
(cid:100)(cid:100)∴ k=11
x초 후에 AP”=x cm, BQ”=0.5x cm이므로 삼각형
이때 주어진 이차함수의 최솟값이 2k-12이므로 구하는
D1001우중수3상_정(069-081) 2014.10.1 1:6 PM 페이지081 SinsagoHitec
우공비 B0X
기본서 153~155쪽
(cid:100)(cid:100)y=(500-x)(300+3x)
=-3x¤ +1200x+150000
=-3(x¤ -400x+40000)+270000
=-3(x-200)¤ +270000
이므로 y는 x=200에서 최댓값 270000을 갖는다.
따라서 총 판매 금액이 최대일 때의 한 개당 가격은
(cid:100)(cid:100)500-200=300(원)
(cid:9000) 300원
(cid:100)(cid:100)y=x(15-x)=-x¤ +15x
(cid:100)(cid:100)y=-{x-
;;¡2∞;;}
¤ +
225
4
즉 y는 x=
에서 최댓값
를 갖는다.
;;¡2∞;;
225
4
따라서 a=4, b=225이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=229
23
채점 기준
꼭짓점의 좌표를 이용하여 이차함수의 식 세우기
a의 값 구하기
k의 값 구하기
배점
1점
1점
1점
x절편이 m, y절편이 n인
직선의 방정식은
n
y=- x+n
m
26
채점 기준
직선 l의 방정식 구하기
삼각형 POQ의 넓이의 최댓값 구하기
점 P의 좌표 구하기
S
t
e
p
U
p
▶ 2점
▶ 1점
▶ 1점
(cid:9000) 229
배점
1점
3점
1점
y축 (cid:8825) x=0
포물선과 축과의 교점
(cid:8825) 포물선의 꼭짓점
⑴ 직선 l의 방정식은(cid:100)(cid:100)y=-3x+6
▶ 1점
(cid:100) 점 P의 좌표를 (x, -3x+6)으로 놓고 삼각형
y축을 축으로 하고 y축과의 교점의 y좌표가 -4이
므로 포물선의 꼭짓점의 좌표는 (0, -4)이다.
이차함수의 식을 y=ax¤ -4로 놓으면
▶ 1점
그래프가 점 (-5, 11)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)11=25a-4(cid:100)(cid:100)∴ a=
로
;5#;
▶ 1점
따라서 y=
x¤ -4이므로 x=2, y=k를 대입하면
;5#;
(cid:100)(cid:100)k=
_2¤ -4=-
;5#;
;5*;
▶ 1점
(cid:9000) -
;5*;
배점
2점
2점
1점
24
채점 기준
y=x¤ -4x+k+5의 최솟값 구하기
y=-x¤ +4x-k-1의 최댓값 구하기
k의 값 구하기
y=x¤ -4x+k+5
=(x¤ -4x+4)+k+1
=(x-2)¤ +k+1
(cid:100)(cid:100)y=-x¤ +4x-k-1
=-(x¤ -4x+4)-k+3
=-(x-2)¤ -k+3
따라서 k+1=-k+3이므로
(cid:100)(cid:100)2k=2(cid:100)(cid:100)∴ k=1로
이므로 x=2에서 최솟값 k+1을 갖는다.
▶ 2점
이므로 x=2에서 최댓값 -k+3을 갖는다.로 ▶ 2점
25
채점 기준
두 수의 곱을 이용하여 이차함수의 식 세우기
a, b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
한 수를 x로 놓으면 다른 한 수는 15-x이므로 두
수의 곱을 y라 하면
▶ 1점
(cid:9000) 1
배점
2점
1점
1점
최솟값 또는 최댓값에 대
한 문제는
(cid:100)y=a(x-p)¤ +q
꼴로 고친 후 a>0이면
최솟값을, a<0이면 최댓
값을 구한다.
POQ의 넓이를 y라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=
_x_(-3x+6)
;2!;
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=-
x¤ +3x
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=-
(x¤ -2x+1)+
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=-
(x-1)¤ +
;2#;
;2#;
;2#;
;2#;
;2#;
;2#;
;2#;
(cid:100) 따라서 y는 x=1에서 최댓값
을 가지므로 삼각형
(cid:100) POQ의 넓이의 최댓값은
이다.
▶ 3점
⑵ x=1에서 삼각형 POQ의 넓이는 최대가 되므로 점 P
의 좌표는 (1, 3)이다.
▶ 1점
(cid:9000) ⑴
(cid:100)⑵ (1, 3)
;2#;
.
Ⅳ
이
차
함
수
27
채점 기준
지면에 떨어질 때까지 걸린 시간 구하기
최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간과 높이 구하기
배점
2점
2점
⑴ 지면에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로 h=0을
(cid:100) 대입하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)0=60+20t-5t¤ ,(cid:100)(cid:100)t¤ -4t-12=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(t+2)(t-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=6 (∵ t>0)
(cid:100) 따라서 물체를 쏘아 올린 지 6초 후에 물체는 지면에
떨어진다.
▶ 2점
⑵ h=-5t¤ +20t+60=-5(t¤ -4t)+60
=-5(t¤ -4t+4)+20+60
=-5(t-2)¤ +80
(cid:100) 즉 h는 t=2에서 최댓값 80을 갖는다.
(cid:100) 따라서 최고 높이에 도달하는 데 2초가 걸리고 그때
의 높이는 80 m이다.
▶ 2점
(cid:9000) ⑴ 6초(cid:100)⑵ 2초, 80 m
Ⅳ.이차함수 081
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:8 PM 페이지082 SinsagoHitec
Point Up 문제집
중단원별 실전 TEST
우공비 B0X
05
무리수는 순환하지 않는 무한소수이다.
㈀ '4=2와 같이 근호를 사용하여 나타낸 수 중 유
리수도 있다.
㈁ 모든 실수는 수직선 위에 나타낼 수 있고, 순환소수는
실수이므로 수직선 위에 나타낼 수 있다.
㈂ 무한소수 중 순환소수는 유리수이다.
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다.
(cid:9000) ③
06
두 수a, b 의 대소 비교 (cid:8833) a-b의 부호를 조사
두 실수a, b 에 대하여
① a-b>0 (cid:8825) a>b
② a-b=0 (cid:8825) a=b
③ a-b<0 (cid:8825) a-'3
② 2-('3+1)=2-'3-1=1-'3<0이므로
② (cid:100)(cid:100)2<'3+1
③ ('3-'2)-('3-1)='3-'2-'3+1
=-'2+1<0
② (cid:100)(cid:100)∴ '3-'2<'3-1
④ ('8-'3)-('8-2)='8-'3-'8+2
01 회
Ⅰ
-1. 제곱근과 실수
| 문제집 17~18쪽
01 ①, ④ 02 ⑤
05 ③
06 ④
09 2x-2y+3
12 4
13 2+'5
03 ⑤
07 ④
10 15
04 ③
08 ①
11 4
01
양수 a의 제곱근 (cid:8833) —'a
② 음수의 제곱근은 없고, 0의 제곱근은 1개, 양수
의 제곱근은 2개이다.
③ 제곱하여 0.5가 되는 수는 —'∂0.5이다.
⑤ -4는 음수이므로 -4의 제곱근은 없다.
(cid:9000) ①, ④
02
x¤ =a (cid:8833) x=—'a, b가 a의 제곱근 (cid:8833) b=—'a
"≈a¤ =9의 양변을 제곱하면 a¤ =81이므로
(cid:100)(cid:100)a=—'8å1 =—9
이때 a>0이므로(cid:100)(cid:100)a=9
b는 a의 제곱근이므로
(cid:100)(cid:100)b=—'a=—'9=—3
이때 b<0이므로(cid:100)(cid:100)b=-3
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=9+(-3)=6
03
을 이용하여 계산한다.
a>0일 때, "√(-a)¤ =a, (-'a )¤ =a, "ça¤ =a임
(-'2)¤ =2, "√(-3)¤ =3, "≈5¤ =5이므로
(cid:100)(cid:100)(-'2)¤ +"√(-3)¤ _Ƭ:¡9§:-(-"≈5¤ )
=2+3_;3$;-(-5)
=2+4+5=11
04
"ça¤ =[
a (aæ0)
-a (a<0)
(cid:9000) ⑤
'3-'2
2
=
1.732-1.414
2
=0.159
① -a>0이므로(cid:100)(cid:100)"√(-a)¤ =-a
② 2a<0이므로(cid:100)(cid:100)"√(2a)¤ =-2a
③ -"ç4a¤ =-"√(2a)¤ =-(-2a)=2a
④ 4a<0이므로(cid:100)(cid:100)-"√(4a)¤ =-(-4a)=4a
⑤ -5a>0이므로(cid:100)(cid:100)-"√(-5a)¤ =-(-5a)=5a
2a<0이므로
(cid:100)"√(2a)¤ =-2a
(cid:9000) ③
082 Check Up 풀이집
(cid:9000) ⑤
07
(cid:8833) '2
② (cid:100)(cid:100)∴ '8-'3>'8-2
⑤ '6-4-('6-'ß15)='6-4-'6+'ß15
=-'3+2
=-'3+'4>0
=-4+'ß15
=-'ß16+'ß15<0
② (cid:100)(cid:100)∴ '6-4<'6-'ß15
(cid:9000) ④
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이
CA”=CP”=FH”=FQ”='2이므로
(cid:100)(cid:100)a=-'2, b=1+'2
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-'2+(1+'2 )=1
서로 다른 두 수 a, b에 대하여
는 a와 b 사
a+b
2
08
이에 있는 수이다.
①
'3-'2
2
는 '2보다 작다.
②
'2+'3
2
은 '2 와 '3 의 평균이다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) ①
'3-'2=1.732-1.414=0.318이므로 ③, ④, ⑤는 '2
와 '3 사이에 있는 수이다.
보충 학습
서로 다른 두 실수 a, b (a0일 때, ('a)¤ =(-'a)¤ =a, "≈a¤ ="√(-a)¤ =a
① "√(-5)¤ ='2ß5 =5
② "ç5¤ =5
③ (-'5 )¤ =5
④ -('5 )¤ =-5
⑤ -(-"ç5¤ )=-(-5)=5
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
양수 k의 제곱근은
—'ßk의 2개가 있고,
그 합은
(cid:100)'ßk+(-'ßk )=0
이다.
02
양수 a의 제곱근 (cid:8833) —'a
㈀ x가 양수 a의 제곱근이면 x¤ =a이다.
㈁ 양수의 제곱근은 양의 제곱근과 음의 제곱근 2개가
있고, 절댓값이 서로 같으므로 그 합은 0이다.
㈂ 음이 아닌 수 중 0의 제곱근은 0 하나뿐이다.
㈃ 4의 제곱근은 —'4=—"ç2¤ =—2이므로 근호를 사
용하지 않고 나타낼 수 있다.
따라서 옳은 것은 ㈁, ㈃이다.
10
'ßA (A>0)가 자연수 (cid:8833) A=n¤ (n은 자연수)
'ƒ20-x 가 자연수가 되려면 20-x가 (자연수)¤ 꼴
A=x¤ (x는 유리수)이면
"≈A는 유리수이다.
09
"(√a-b)¤ =[
a-b (aæb)
-a+b (a0이므로(cid:100)(cid:100)"≈x¤ =x
00이므로
(cid:100)(cid:100)"(√y-x)¤ =y-x
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=x+(-y+3)-(y-x)
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=x-y+3-y+x
=2x-2y+3
(cid:9000) 2x-2y+3
이어야 한다. 즉
(cid:100)(cid:100)20-x=1, 4, 9, 16
(cid:100)(cid:100)∴ x=19, 16, 11, 4
따라서 m=19, n=4이므로
(cid:100)(cid:100)m-n=19-4=15
11
a<'x0, b<0이므로(cid:100)(cid:100)a+1>0, a-b>0
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=a+1-(a-b)
=a+1-a+b
=b+1
04
a>0, b>0일 때, aÆ;3!;이므로(cid:100)(cid:100)-Æ;2!; <-Æ;3!;
④
;4!;
=Ƭ;1¡6;이고, ;1¡6; <;1¡0; 이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100);4!; <Ƭ;1¡0;
⑤ '5 <'6 이므로(cid:100)(cid:100)-'5 >-'6
(cid:9000) ②
중단원별 실전 TEST 083
(cid:9000) 15
(cid:9000) 4
배점
2점
2점
1점
▶ 2`점
▶ 1`점
(cid:9000) 4
배점
3점
2점
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:8 PM 페이지084 SinsagoHitec
Point Up
문제집
05
'ßA (A>0)가 자연수 (cid:8833) A=n¤ (n은 자연수)
'ƒ18ab ="√3¤ _2_ab 이므로 'ƒ18ab 가 자연수가 되
려면(cid:100)(cid:100)ab=2n¤ (n은 자연수, ab…36)
(cid:100)(cid:100)∴ ab=2_1¤ =2, ab=2_2¤ =8,
ab=2_3¤ =18, ab=2_4¤ =32
이것을 만족시키는 a, b의 순서쌍 (a, b)는
(cid:100)(cid:100)(1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 6), (6, 3)
의 6가지이다.
따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100)
=
;3§6;
;6!;
(cid:9000) ②
06
소수 [
유한소수
무한소수
③ 소수는 유한소수와 무한소수로 이루어져 있다.
(cid:9000) ③
무리수와 무리수 사이에는 무수히 많은 무리수가
07
있다.
① 1에 가장 가까운 무리수는 알 수 없다.
③ -1과 '2 사이에는 0, 1의 2개의 정수가 있다.
④ '3과 '5 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.
(cid:9000) ①, ④
08
x가 a, b(a0)가 자연수 (cid:8833) A=n¤ (n은 자연수)
126
x
=
2_3¤ _7
x
이므로 Æ…
126
x
=æ≠
2_3¤ _7
x
이
자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 x는
(cid:100)(cid:100)x=2_7=14
084 Check Up 풀이집
우공비 B0X
a, b는 주사위의 눈의
수이므로 1, 2, 3, 4,
5, 6 중 하나이다. 따
라서 ab…36임을 알
수 있다.
10
"çx¤ =
-x (xæ0)
-x (x<0)
·
“
ª
a-b>0이므로(cid:100)(cid:100)a>b
또 ab<0에서 a, b의 부호가 서로 다르므로
(cid:100)(cid:100)a>0, b<0
(cid:100)(cid:100)∴ "≈a¤ -"≈b¤ =a-(-b)=a+b
11
채점 기준
A의 값 구하기
B의 값 구하기
A-B의 값 구하기
(-6)¤ =36의 양의 제곱근은 'ß36=6이므로
(cid:100)(cid:100)A=6
'ß81=9의 음의 제곱근은 -3이므로
(cid:100)(cid:100)B=-3
(cid:100)(cid:100)∴ A-B=6-(-3)=9
12
채점 기준
점 A에 대응하는 수 구하기
점 B에 대응하는 수 구하기
점 Q에 대응하는 수 구하기
이므로 점 A에 대응하는 수는
(cid:100)(cid:100)('2-1)-'2=-1
또 점 B에 대응하는 수는
AP”=AC”='2이고 점 P에 대응하는 수가 '2-1
(cid:100)(cid:100)-1+1=0
AC”=BD”=BQ”='2이므로 점 Q에 대응하는 수는
(cid:100)(cid:100)0-'2=-'2
13
채점 기준
양수인 것과 음수인 것 나누기
음수끼리 대소 비교하기
네 번째로 큰 수 구하기
-'5, 1-'2, -1은 음수이고, -1+'3, '2는 양
수이므로 네 번째에 오는 수는 -'5, 1-'2, -1 중 두
번째로 큰 수이다.
▶ 2`점
이때 -'5<-1이고, -1-(1-'2 )=-2+'2<0이
므로
(cid:100)(cid:100)-'5<-1<1-'2
따라서 크기가 큰 것부터 차례대로 나열할 때, 네 번째에
▶ 2`점
(cid:9000) a+b
배점
1점
1점
1점
▶ 1점
▶ 1점
▶ 1점
(cid:9000) 9
배점
2점
2점
2점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:9000) -'2
배점
2점
2점
1점
▶ 1`점
(cid:9000) -1
5.472
4.972
정사각형의 두 대각선
의 길이는 서로 같으
므로
(cid:100)AC”=BD”
근호 안의 모든 소인
수의 지수가 짝수이어
야 한다.
오는 수는 -1이다.
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:8 PM 페이지085 SinsagoHitec
03 회
Ⅰ
-2. 근호를포함한식의계산
| 문제집 21~22쪽
01 ⑤
05 ④
09 19
13 2
02 ⑤
06 ③
10 -2
03 ④
07 ③
11 10
04 ②
08 ③
12 20
01
a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b
'9ß6 ="√4¤ _6 =4'6이므로(cid:100)(cid:100)a=4
2'7="√2¤ _7 ='2ß8 이므로(cid:100)(cid:100)b=28
(cid:100)(cid:100)∴
=
;aB;
;;™4•;;
=7
02
a>0, b>0일 때, 'a 'b='∂ab, =Æ;aB;
'b
'a
⑤ a¤ 'a="√a› _a="≈afi
03
a>0, b>0일 때, 'a 'b='ßab
a>0, b>0이므로
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=æ≠a¤ _
+æ≠b¤ _
:ªbÅ:
:¢aı;
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)='ƒ4ab +'ƒ9ab
=2'∂ab+3'∂ab
=5'∂ab=5'4
=5_2=10
04
a>0, b>0일 때, 'a 'b='ßab, =Æ;aB;
'b
'a
_
'7
'ß40
'5
'ß21
÷Ƭ;1£0;=Ƭ;4¶0;_Ƭ;2∞1;_Ƭ;;¡3º;;
=Ƭ
…;4¶0_;2∞1;_;;¡3º;;
'5
6
=Ƭ;3∞6; =
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
우공비 B0X
문제집 19`~22`쪽
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
=
=
3
2'3
=
3
'∂12
3
"√2¤ _3
(cid:100)(cid:100)∴ '∂48+
3
'∂12
'3
2
'3
2
=4'3+ ={4+;2!;}'3=;2(;'3
(cid:100)(cid:100)∴ '∂48+
=;2(;_1.732=7.794
(cid:9000) ③
07
화한다.
(a+b)(a-b)=a¤ -b¤ 임을 이용하여 분모를 유리
'1å2-'2
'2
-
'∂27-4
'3-2
=
=
=
('1å2-'2 )'2
'2_'2
-
('∂27-4)('3+2)
('3-2)('3+2)
'2å4-2
2
2'6-2
2
-
-
'8å1+2'∂27-4'3-8
-1
9+6'3-4'3-8
-1
='6-1+1+2'3=2'3+'6
(cid:9000) ③
08
(A의 소수 부분)=A-(A의 정수 부분)
3<'∂10<4이므로(cid:100)(cid:100)'∂10=3.×××
(cid:100)(cid:100)∴ a=3, b='∂10-3
(cid:100)(cid:100)∴
;bA;
=
=
3
'∂10-3
=3('∂10+3)
보충 학습
3('∂10+3)
('∂10-3)('∂10+3)
(cid:9000) ③
'1=1, '4=2, '9=3, y이므로 무리수의 정수 부분은 다
음과 같다.
'2=1.××× (cid:8825) 1(cid:100) '3=1.××× (cid:8825) 1(cid:100)'5=2.××× (cid:8825) 2
'6=2.××× (cid:8825) 2
'8=2.××× (cid:8825) 2
'7=2.××× (cid:8825) 2
'∂11=3.××× (cid:8825) 3, y
'∂10=3.××× (cid:8825) 3
09
변형한다.
'∂370을 '∂3.7 또는 '∂37의 값을 이용할 수 있도록
'∂370='ƒ3.7_100='∂3.7_10=19.24
따라서 '∂370과 가장 가까운 정수는 19이다.
(cid:9000) 19
분모에 무리수가 포함
되어 있으므로 분모를
유리화한다.
'a
a
=
05
a>0일 때,
1
'a
=
'a
'a 'a
'5
5
;5^;'5=
;5^;
a
1
b='5+ ='5+
'5
;5!;}'5=
b=
1+
{
따라서 b는 a의
배이다.
;5^;
(cid:9000) ④
06
분모에 무리수가 있으면 먼저 분모를 유리화한다.
'∂48="√4¤ _3=4'3
공통인수 '5로 묶는다.
10
먼저 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다.
주어진 등식의 좌변을 간단히 정리하면
분자, 분모에 '5를 곱
하여 분모를 유리화한
다.
'ß75="√5¤ _3=5'3
'5(3-'ß15)+ -
12
'3
12'3
3
10
'5
10'5
5
=3'5-'ß75+
-
=3'5-5'3+4'3-2'5
=-'3+'5
따라서 a=-1, b=1이므로
(cid:100)(cid:100)a-b=-1-1=-2
(cid:9000) -2
중단원별 실전 TEST 085
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:8 PM 페이지086 SinsagoHitec
우공비 B0X
02
a>0일 때, a=('a )¤
'5='ƒ2+3="√('2)√
¤ +(√'3)¤
="√a¤ +b¤
x=2이고 '∂xy=4이므로(cid:100)(cid:100)'∂2y=4='ß16
(cid:100)(cid:100)∴ y=8, 즉 a=8
▶ 2점
(-a)« =
-a« (n이 짝수)
·
“
-a« (n이 홀수)
ª
03
(-'2)¤ =2, (-'2)‹ =-('2)‹ =-2'2
x‹ -x¤ +x+2에 x=-'2 를 대입하면
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000) 10
배점
3점
2점
1점
(cid:9000) 20
배점
2점
2점
1점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 1`점
(cid:9000) 2
Point Up
문제집
11
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
(cid:100)(cid:100)∴ b=Æ;[};
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=8+2=10
=æ;2*;
='4=2
12
채점 기준
정사각형의 한 변의 길이 구하기
정사각형의 둘레의 길이 구하기
a의 값 구하기
넓이가 50 m¤ 인 정사각형의 한 변의 길이는
(cid:100)(cid:100)'∂50="√5¤ _2=5'2(m)
▶ 3`점
따라서 둘레의 길이는 4_5'2=20'2(m)이다. ▶ 2`점
(cid:100)(cid:100)∴ a=20
▶ 1`점
13
채점 기준
x의 분모를 유리화하기
x¤ -10x가 포함된 식 만들기
"√x¤ -10x+5의 값 구하기
=
x=
5+2'6
(5-2'6)(5+2'6)
1
5-2'6
x=5+2'6
이므로(cid:100)(cid:100)x-5=2'6
위의 식의 양변을 제곱하면(cid:100)(cid:100)(x-5)¤ =(2'6)¤
(cid:100)(cid:100)x¤ -10x+25=24
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -10x=-1
(cid:100)(cid:100)∴ "√x¤ -10x+5 ='ƒ-1+5='4=2
04 회
Ⅰ
-2. 근호를 포함한 식의 계산
| 문제집 23~24쪽
01 ③
05 ④
09 ③
13 ;5#;
02 ③
06 ⑤
10 ④
14 -2
03 ①
07 ④
11 10
15 '6
04 ④
08 ①
12 -11-'7
01
a>0, b>0일 때, a'b="≈a¤ b
4'2="√4¤ _2='ß32이므로(cid:100)(cid:100)'ƒ25+a='ß32
(cid:100)(cid:100)25+a=32
(cid:100)(cid:100)∴ a=7
086 Check Up 풀이집
분모를 먼저 유리화한
후 통분한 경우
넓이가 a인 정사각형
의 한 변의 길이는 'a
이다.
먼저 통분한 후 식의
값을 대입하여 유리화
한 경우
(cid:9000) ③
(cid:9000) ①
(cid:100)(cid:100)(-'2 )‹ -(-'2 )¤ +(-'2 )+2
=-2'2-2-'2+2
=-3'2
04
a>0, b>0일 때, Æ;bA;
'ßab
b
'a
= =
'b
'aßb
b
Æ;bA;
+æ;aB;
Æ;bA;
+æ;aB;
= + =
'a
'b
'b
'a
a'ßab+b'aßb
ab
=
=
+
'aßb
a
(a+b)'aßb
ab
Æ;bA;
+æ;aB;
=
(cid:9000) ④
Æ;bA;
+æ;aB;
= + =
'b
'a
a+b
'aßb
5
= =
'3
5'3
3
5'3
3
'a
'b
05
리수이면 (cid:8833) b=0
a, b는 유리수, '∂m 은 무리수일 때, a+b'∂m이 유
(4+2'6 )(a-3'6 )
=4a-12'6+2a'6-36
=(4a-36)+(2a-12)'6
위의 식의 값이 유리수가 되어야 하므로
(cid:100)(cid:100)2a-12=0(cid:100)(cid:100)∴ a=6
(cid:9000) ④
06
a>0일 때, "≈a¤ =a, =
1
'a
'a
a
-'2('3-2'2)
'∂196+
3'2
'3
3'6
3
=14+'6-'6+4=18
="ç14¤ +
-'6+4
보충 학습
10 이상 20 이하의 자연수의 제곱은 다음과 같다.
10¤ =100(cid:100)(cid:100)11¤ =121(cid:100)(cid:100)12¤ =144(cid:100)(cid:100)13¤ =169
14¤ =196(cid:100)(cid:100)15¤ =225(cid:100)(cid:100)16¤ =256(cid:100)(cid:100)17¤ =289
18¤ =324(cid:100)(cid:100)19¤ =361(cid:100)(cid:100)20¤ =400
(cid:9000) ⑤
07
두 도형의 넓이의 비가 1 : a (cid:8833) 닮음비는 1 : 'a
두 정삼각형은 항상 닮음이고 넓이의 비가 1 : 5이
근호 밖의 양수는 제
곱하여 근호 안으로
넣을 수 있다.
(cid:9000) ③
므로 한 변의 길이의 비는 1 : '5이다.
작은 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)3(x+'5x)=24,(cid:100)(cid:100)('5+1)x=8
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지087 SinsagoHitec
우공비 B0X
문제집 22`~24`쪽
=
(cid:100)(cid:100)∴ x=
8('5-1)
('5+1) ('5-1)
8
'5+1
(cid:100)(cid:100)∴ x=2'5-2
따라서 작은 정삼각형의 한 변의 길이는 (2'5-2)cm
이다.
(cid:9000) ④
(a+b)(a-b)=a¤ -b¤ 임을 이용하여 분모를 유리
08
화한다.
'6
'3-'2
=
'6('3+'2 )
('3-'2 )('3+'2 )
='1å8+'1å2
=øπ3¤ _2+øπ2¤ _3
=3'2+2'3
따라서 a=3, b=2이므로
(cid:100)(cid:100)a-b=1
(cid:9000) ①
09
n…x0
(cid:100)(cid:100)∴ a>b
b-c=('2-'ß12)-('ß18-'ß27)
='2-2'3-(3'2-3'3)
='2-2'3-3'2+3'3
='3-2'2='3-'8<0
(cid:100)(cid:100)∴ b0 (cid:8825) a>b
② a-b=0 (cid:8825) a=b
③ a-b<0 (cid:8825) a의 값 구하기
답 구하기
(cid:100)(cid:100)∴
2<'6<3이므로(cid:100)(cid:100)[6]=2
1<'3<2이므로(cid:100)(cid:100)<3>='3-1
6'2
2+2('3-1)
3'2
'3
'7ß2
[6]+2_<3>
='6
(cid:100)(cid:100)∴
=
=
=
6'2
2'3
배점
2점
2점
1점
▶ 2점
▶ 2점
▶ 1점
(cid:9000)
;5#;
배점
3점
2점
▶ 3점
▶ 2점
(cid:9000) -2
배점
1점
2점
2점
▶ 1`점
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:9000) '6
11
a>0, b>0일 때, 'a 'b='ßab
3'ß28÷'7_'8=3'2ß8 _ _'8
1
'7
=3_Æ…28_
_8=3'ß32
;7!;
=3_4'2=12'2
따라서 a=12, b=2이므로
(cid:100)(cid:100)a-b=12-2=10
(cid:9000) ④
'4<'6<'9에서
(cid:100)2<'6<3
'1<'3<'4에서
(cid:100)1<'3<2
'ß28=2'7, '8=2'2
이므로
1
'7
(cid:100)3_2'7_ _2'2
=12'2
로 계산할 수도 있다.
(cid:9000) 10
화하여 간단하게 나타내도록 한다.
서술형 답안 작성 Tip
계산 결과의 분모에 무리수가 포함되어 있을 때에는 분모를 유리
중단원별 실전 TEST 087
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지088 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
05 회
Ⅱ
-1. 인수분해
| 문제집 25~26쪽
01 ③
05 ③
02 ⑤
06 ③
03 ①
07 ④
04 ④
08 ③
09 2a
11 (x¤ +3x+4)(x¤ +3x-2)
10 4(x+2y)(2x-3y)
12 9
13 8
14 2
07
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
두 정사각형의 둘레의 길이는 각각 4x cm, 4y cm
이고 둘레의 길이의 차가 8 cm이므로
(cid:100)(cid:100)4x-4y=8(cid:100)(cid:100)∴ x-y=2
두 정사각형의 넓이는 각각 x¤ cm¤ , y¤ cm¤ 이고 넓이의
차가 28 cm¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ -y¤ =28,(cid:100)(cid:100)(x+y)(x-y)=28
(cid:100)(cid:100)2(x+y)=28(cid:100)(cid:100)∴ x+y=14
(cid:9000) ④
공통인수를 묶어 낸 다음 인수분해 공식을 이용한다.
1009¤ -1006¤
2015_2016-2015¤
(1009+1006)(1009-1006)
2015(2016-2015)
2015_3
2015_1
=3
08
=
=
09
a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤ , a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤
"√a¤ +4a+4-"√a¤ -4a+4
="√(a+2)¤ -"√(a-2)¤
(cid:9000) ③
(cid:9000) 2a
(3xΩy)-(xΩ5y)
=(3x-y)¤ -(x-5y)¤
=(2x+4y)(4x-6y)
=4(x+2y)(2x-3y)
={(3x-y)-(x-5y)} {(3x-y)+(x-5y)}
(cid:9000) 4(x+2y)(2x-3y)
11
상수항의 합이 같도록 두 개씩 짝을 지어 전개한다.
"çA¤ =
(
“
9
-A (Aæ0)
-A (A<0)
00, a-2<0
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=(a+2)-{-(a-2)}
=a+2+a-2=2a
(cid:9000) ①
a¤ -ab+
b¤
;4!;
={a-
b}
;2!;
10
Ω의 뜻에 따라 식으로 나타낸다.
(cid:9000) ④
((cid:100))((cid:100))((cid:100))((cid:100))+k 꼴
의 인수분해
⁄ 상수항의 합이 같도록
두 개씩 짝을 지어 전
개한다.
¤ 공통부분을 치환하여
인수분해한다.
x(x+1)(x+2)(x+3)-8
={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-8
=(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)-8
A A
=A(A+2)-8=A¤ +2A-8
=(A+4)(A-2)
=(x¤ +3x+4)(x¤ +3x-2)
(cid:9000) ③
더 이상 인수분해되지
않는다.
(cid:9000) (x¤ +3x+4)(x¤ +3x-2)
12
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a+b의 값 구하기
배점
2점
2점
2점
01
공통인수를 묶어 낸다.
3ab-12a¤ b=3ab(1-4a)
이므로 인수가 아닌 것은 ③이다.
02
인수분해 공식을 이용한다.
① x¤ +4x-12=(x+6)(x-2)
② x¤ -4x+4=(x-2)¤
③ x¤ -4=(x+2)(x-2)
④ 2x¤ +x-10=(x-2)(2x+5)
⑤ 2x¤ -3x-14=(x+2)(2x-7)
03
a에 대한 이차식이 완전제곱식
(cid:8833) (cid:8641)=[
(a의 계수)
2
]
={
-b
2
¤ =
}
b¤
;4!;
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
x+6이 다항식 3x¤ +ax-30의 인수
04
(cid:8833) 3x¤ +ax-30=(x+6)A(A는 일차식)
x+6이 3x¤ +ax-30의 인수이므로
(cid:100)(cid:100)3x¤ +ax-30=(x+6)(3x+b)(b는 상수)
로 놓으면 3x¤ +ax-30=3x¤ +(b+18)x+6b에서
(cid:100)(cid:100)b+18=a, 6b=-30
(cid:100)(cid:100)∴ a=13, b=-5
05
먼저 ㈎의 넓이를 구한다.
㈎`의 넓이는
(cid:100)(cid:100)(2x+3)¤ -2¤ =(2x+3+2)(2x+3-2)
=(2x+5)(2x+1)
㈎, ㈏`의 넓이가 같으므로 ㈏`의 긴 변의 길이는
(cid:100)(cid:100)2x+5
06
먼저 공통인수를 묶어 낸다.
(주어진 식)=xy¤ (x¤ -6xy+9y¤ )
=xy¤ (x-3y)¤
088 Check Up 풀이집
(cid:9000) ③
¤
¤
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지089 SinsagoHitec
x¤ -ax+2=(x-2)(x+m)(m은 상수)으로 놓
2x¤ -7x+b=(x-2)(2x+n)(n은 상수)으로 놓으면
으면
(cid:100)(cid:100)-2+m=-a, -2_m=2
(cid:100)(cid:100)∴ m=-1, a=3
(cid:100)(cid:100)n-4=-7, -2_n=b
(cid:100)(cid:100)∴ n=-3, b=6
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=9
13
채점 기준
ab-a+b-1을 인수분해하기
a, b의 값 구하기
a¤ +b¤ 의 값 구하기
ab-a+b-1=a(b-1)+(b-1)
=(a+1)(b-1)
▶ 2`점
(a+1)(b-1)=3에서 a, b가 자연수이므로
(cid:100)(cid:100)a+1=3, b-1=1
(cid:100)(cid:100)∴ a=2, b=2
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =2¤ +2¤ =8
14
채점 기준
5-'2의 정수 부분 구하기
x의 값 구하기
식의 값 구하기
1<'2<2이므로(cid:100)(cid:100)-2<-'2<-1
(cid:100)(cid:100)∴ 3<5-'2<4
따라서 5-'2의 정수 부분은 3이므로
(cid:100)(cid:100)x=5-'2-3=2-'2
주어진 식에서 x+4=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -12A+36
=(A-6)¤
=(x+4-6)¤
=(x-2)¤
=(-'2)¤ =2
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:9000) 9
배점
2점
3점
1점
▶ 3`점
▶ 1`점
(cid:9000) 8
배점
2점
1점
3점
▶ 2`점
▶ 1`점
▶ 3`점
(cid:9000) 2
우공비 B0X
문제집 25`~27`쪽
01
인수분해 공식을 이용할 수 없는 것을 찾는다.
① x¤ -8x-84=(x+6)(x-14)
③ x¤ -12x+36=(x-6)¤
④ x¤ -49=(x+7)(x-7)
⑤ x¤ -x+
=
x-
;4!;
{
;2!;}2
x¤ 의 계수가 2이므로
2x+n으로 놓는다.
x¤ -2_x_
+{;2!;}
;2!;
② x¤ -3을 계수가 무리수인 범위에서 인수분해하면
(cid:100)(cid:100)(cid:100) x¤ -3=(x+'3)(x-'3)
02
a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤
의 길이는 3a+2b이다.
따라서 창문의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)4(3a+2b)=12a+8b
9a¤ +12ab+4b¤ =(3a+2b)¤ 이므로 창문의 한 변
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
03
x¤ 의 계수가 1인 이차식이 완전제곱식
a가 자연수이므로
(cid:100)aæ1(cid:100)∴ a+1æ2
b가 자연수이므로
(cid:100)bæ1(cid:100)∴ b-1æ0
(cid:8833) (상수항)=[
(x의 계수)
2
]
A
{- }
2
¤ =
;2$5(;
이므로
(cid:100)(cid:100) =— (cid:100)(cid:100)∴ A= (∵ A>0)
A
2
7
5
14
5
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
인수분해한 식을 전개하여 두 식을 비교한다.
3x¤ +(2a-5)x-10=(x-2)(3x+b)
=3x¤ +(b-6)x-2b
04
이므로
(cid:100)(cid:100)b-6=2a-5, -2b=-10
따라서 a=2, b=5이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=2+5=7
05
주어진 직사각형의 넓이의 합을 인수분해한다.
주어진 직사각형의 넓이의 합은 3x¤ +4x+1이고
(cid:100)(cid:100)3x¤ +4x+1=(x+1)(3x+1)
이므로 다음 그림과 같이 가로, 세로의 길이가 3x+1,
x+1인 큰 직사각형을 만들 수 있다.
3x+1
따라서 이 직사각형의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2{(3x+1)+(x+1)}=2(4x+2)
=8x+4
(cid:9000) ④
중단원별 실전 TEST 089
06 회
Ⅱ
-1. 인수분해
| 문제집 27~28쪽
x+1
01 ②
05 ④
09 4
02 ④
06 ①
10 15
12 (x+2)(x-9)
03 ④
07 ③
11 3
13 1
04 ③
08 ⑤
14 3'∂13
¤
¤
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지090 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
06
공통인수를 묶어 낸 다음 인수분해한다.
x‹ -x=x(x¤ -1)=x(x+1)(x-1)이므로
x‹ -x의 인수 중 일차항의 계수가 1인 일차식은
(cid:100)(cid:100)x, x+1, x-1
따라서 세 일차식의 합은(cid:100)(cid:100)3x
(cid:9000) ①
07
공통부분 (cid:8833) 한 문자로 치환
x¤ +2x=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -11A+24
=(A-3)(A-8)
=(x¤ +2x-3)(x¤ +2x-8)
=(x-1)(x+3)(x-2)(x+4)
따라서 인수가 아닌 것은 ③이다.
08
분모의 유리화 (cid:8833) (a+b)(a-b)=a¤ -b¤
=7-4'3
=7+4'3
=
=
y=
x=
1
7+4'3
1
7-4'3
7-4'3
(7+4'3)(7-4'3)
7+4'3
(7-4'3)(7+4'3)
이므로(cid:100)(cid:100)x+y=14, x-y=-8'3
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=14_(-8'3)
=-112'3
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
인수분해할 수 있는 두 식을 먼저 인수분해하여 공
09
통인수를 찾는다.
x¤ +2x-8=(x-2)(x+4)
x¤ -5x+6=(x-2)(x-3)
따라서 공통인수는 x-2이므로 x¤ +ax-12도 x-2를
(cid:100)(cid:100)x¤ +ax-12=(x-2)(x+6)=x¤ +4x-12
한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해한
인수로 갖는다.
(cid:100)(cid:100)∴ a=4
10
다.
2x¤ -3xy+y¤ +7x-2y-15
=2x¤ -(3y-7)x+y¤ -2y-15
=2x¤ -(3y-7)x+(y-5)(y+3)
=(2x-y-3)(x-y+5)
이므로(cid:100)(cid:100)a=-3, b=-1, c=5
(cid:100)(cid:100)∴ abc=15
090 Check Up 풀이집
7¤ -(4'3)¤ =49-48
=1
(cid:9000) (x+2)(x-9)
•x의 계수를 잘못 본 경우
(cid:8825) x¤ 의 계수, 상수항은
12
제대로 보았다.
•상수항을 잘못 본 경우
(cid:8825) x¤ 의 계수, x의 계수
는 제대로 보았다.
채점 기준
처음 이차식의 상수항 구하기
처음 이차식의 x의 계수 구하기
처음 이차식을 바르게 인수분해하기
공통인수가 드러나도록 적당한 항끼리 묶어서 인
11
수분해한다.
ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
이때 x+y=4이므로(cid:100)(cid:100)(a+b)_4=12
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=3
민준이는 상수항을 제대로 보았으므로
(cid:100)(cid:100)(x-3)(x+6)=x¤ +3x-18
에서 상수항은 -18이다.
하림이는 x의 계수를 제대로 보았으므로
(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-10)=x¤ -7x-30
에서 x의 계수는 -7이다.
따라서 처음 이차식을 바르게 인수분해하면
(cid:100)(cid:100)x¤ -7x-18=(x+2)(x-9)
13
채점 기준
점선으로 표시된 원의 반지름의 길이 구하기
길의 넓이를 이용하여 식 세우기
x의 값 구하기
r m라 하면(cid:100)(cid:100)2pr=12p(cid:100)(cid:100)∴ r=6
길의 넓이가 24p m¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)p(6+x)¤ -p(6-x)¤ =24p
(cid:100)(cid:100)(6+x)¤ -(6-x)¤ =24
(cid:100)(cid:100)(6+x+6-x)(6+x-6+x)=24
(cid:100)(cid:100)24x=24(cid:100)(cid:100)∴ x=1
그림에서 점선으로 표시된 원의 반지름의 길이를
(cid:9000) 3
배점
2점
2점
2점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 2`점
배점
2점
2점
2점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:100)(cid:9000) 1
배점
3점
2점
1점
▶ 3`점
▶ 2`점
▶ 1`점
(cid:9000) 3'∂13
-2와 곱하여 -12가
되는 수는 6이다.
14
(cid:9000) 4
채점 기준
x+
의 값 구하기
;[!;
1
x¤
x¤ - 을 인수분해하기
식의 값 구하기
(a+b)¤ =(a-b)¤ +4ab
{x+
;[!;}
¤ ={x-
;[!;}
¤ +4=3¤ +4=13
이므로(cid:100)(cid:100)x+
='ß13 (∵ x>0)
;[!;
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ - ={x+
1
x¤
;[!;}{x-
='ß13_3=3'ß13
;[!;}
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
(cid:9000) 15
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지091 SinsagoHitec
07 회
Ⅲ
-1. 이차방정식과 그 풀이
| 문제집 29~30쪽
01 ②
02 ⑤
05 ③
06 ①
10 3
09 3
12 x=1 또는 x=2
03 ④
07 ②
11 -1, 6
13 -1
04 ④
08 ⑤
14 14
01
x에 대한 이차방정식 (cid:8833) (x에 대한 이차식)=0
①
x-1
2
=x¤ 에서(cid:100)(cid:100)x-1=2x¤
(cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ 2x¤ -x+1=0
② (2-x)(x+1)=1-x¤ 에서
(cid:100)(cid:100)(cid:100) 2x+2-x¤ -x=1-x¤ (cid:100)(cid:100)∴ x+1=0
③ (x+1)¤ =x에서
(cid:100)(cid:100)(cid:100) x¤ +2x+1=x(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +x+1=0
④ 3x¤ -2=3(x-2)에서
(cid:100)(cid:100)(cid:100) 3x¤ -2=3x-6(cid:100)(cid:100)∴ 3x¤ -3x+4=0
⑤ x(x¤ -1)=x‹ +x¤ +x에서
(cid:100)(cid:100)(cid:100) x‹ -x=x‹ +x¤ +x
(cid:100)(cid:100)(cid:100) ∴ x¤ +2x=0
x=k가 이차방정식의 근
02
(cid:8833) x=k를 이차방정식에 대입한다.
x=k를 x¤ +x-1=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)k¤ +k-1=0
(cid:100)(cid:100)∴ kfi +k› -k‹ +k¤ +k+5
=k‹ (k¤ +k-1)+(k¤ +k-1)+6 =6
(cid:9000) ⑤
우공비 B0X
3 1
2 ⁄2
2 -1
2
⁄
-3
⁄
-1
⁄
문제집 27`~29`쪽
⑤ 6x¤ -x-1=0에서(cid:100)(cid:100)(3x+1)(2x-1)=0
① (cid:100)(cid:100)3x+1=0 또는 2x-1=0
① (cid:100)(cid:100)∴ x=-
또는 x=
;3!;
;2!;
(cid:9000) ④
이차방정식 (ax+b)(cx+d)=0의 해
04
(cid:8833) x=-;aB;
또는 x=-
;cD;
4x¤ +4x-15=0에서
(cid:100)(cid:100)(2x+5)(2x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-;2%; 또는 x=;2#;
따라서 두 근 사이에 있는 정수는 -2, -1, 0, 1의 4개
이다.
(cid:9000) ④
05
(cid:8833) 두 근을 모두 공통으로 갖는다.
이차방정식의 해가 같다.
(x-1)(x-b)=0에서
(cid:100)(cid:100)x=1 또는 x=b
yy`㉠(cid:100)(cid:100)
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
(cid:9000) ②
x=1을 x¤ +ax-4=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)1+a-4=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
즉 x¤ +3x-4=0에서(cid:100)(cid:100)(x+4)(x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=1
yy`㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)b=-4
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=3+(-4)=-1
(cid:9000) ③
x=k를 이차방정식에
대입하면 등식이 성립한
다.
(x-1)(x-b)=0에서
(cid:100)x¤ -(b+1)x+b
=0
두 이차방정식이 서로 같으므로
(cid:100)(cid:100)x¤ +ax-4=x¤ -(b+1)x+b
따라서 a=-b-1이므로(cid:100)(cid:100)a+b=-1
06
x¤ +ax+b가 완전제곱식 (cid:8833) b={;2A;}2
x¤ +ax+16이 완전제곱식이면
3x=-1 ∴ x=-
;3!;
2x=1 ∴ x=
;2!;
된다.
(cid:100)(cid:100)16={;2A;}2 (cid:100)(cid:100)∴ a=—8
따라서 -8, 8을 두 근으로 갖는 이차방정식을 찾으면
03
AB=0 (cid:8833) A=0 또는 B=0
① (3x+1)(2x-1)=0에서
① (cid:100)(cid:100)3x+1=0 또는 2x-1=0
① (cid:100)(cid:100)∴ x=-
또는 x=
;3!;
;2!;
② {x+
;3!;}{x-
;2!;}=0에서
① (cid:100)(cid:100)x+
=0 또는 x-
=0
;3!;
① (cid:100)(cid:100)∴ x=-
또는 x=
③ (3x+1){x-
;2!;}=0에서
① (cid:100)(cid:100)3x+1=0 또는 x-
=0
① (cid:100)(cid:100)∴ x=-
또는 x=
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;3!;
;3!;
④ {x-
;3!;}(2x-1)=0에서
① (cid:100)(cid:100)x-
=0 또는 2x-1=0
;3!;
① (cid:100)(cid:100)∴ x=
또는 x=
;3!;
;2!;
① ;2!;x¤ -32=0에서(cid:100)(cid:100);2!;(x¤ -64)=0
(cid:100)(cid:100);2!;(x+8)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-8 또는 x=8
② (x+8)¤ =0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-8 (중근)
③ x¤ +16x+64=0에서(cid:100)(cid:100)(x+8)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-8 (중근)
④ x¤ -8x+16=0에서(cid:100)(cid:100)(x-4)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (중근)
⑤ x¤ -7x-8=0에서(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=8
(cid:9000) ①
중단원별 실전 TEST 091
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지092 SinsagoHitec
주어진 식에 한 근을 대입하여 a의 값을 먼저 구한다.
x=3을 x¤ -ax-2a¤ -10=0에 대입하여 정리하
09
면
x¤ +ax+b=0이 중근을
(cid:100)(cid:100)x¤ +2ax-a+6=0
x¤ +2(ax+1)=a-4에서
(cid:100)(cid:100)2a¤ +3a+1=0,(cid:100)(cid:100)(a+1)(2a+1)=0
가지면 (cid:8825) b={;2A;}
Point Up
문제집
우공비 B0X
07
x¤ +ax+b=0이 중근을 갖는다. (cid:8833) b={;2A;}2
x¤ -2(x+a)+7=0, 즉 x¤ -2x-2a+7=0이 중
근을 가지므로
(cid:100)(cid:100)-2a+7={
-2
2
}
(cid:100)(cid:100)-2a+7=1(cid:100)(cid:100)∴ a=3
이때 주어진 방정식은 x¤ -2x+1=0이므로
(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 (중근)
따라서 m=1이므로
(cid:100)(cid:100)a-m=3-1=2
08
(x+p)¤ =q (qæ0)의 해 (cid:8833) x=-p—'ßq
2(x+2)¤ =k에서(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ =
;2K;
(cid:100)(cid:100)x+2=—æ;2K;
(cid:100)(cid:100)∴ x=-2—æ;2K;
따라서
=5이므로(cid:100)(cid:100)k=10
;2K;
제곱근을 이용한
a(x+p)¤ =q의 풀이
(단, a>0, qæ0)
a(x+p)¤ =q에서
(cid:100)(x+p)¤ =
;aQ;
(cid:100)x+p=—Æ;aQ;
(cid:100)∴ x=-p—Æ;aQ;
x¤ =a(a>0)
(cid:8825) x는 a의 제곱근
(cid:8825) x=—'a
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1 (∵ a는 정수)
a=-1을 x¤ -ax-2a¤ -10=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)x¤ +x-12=0,(cid:100)(cid:100)(x+4)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=3
따라서 b=-4이므로
(cid:100)(cid:100)a-b=-1-(-4)=3
3A=2B를 만족시키는 x의 값을 구한 후, 이 중
10
에서 A+0을 만족시키는 것을 찾는다.
3A=2B에서
(cid:100)(cid:100)3(x¤ -2x-15)=2(x¤ -3x-18)
(cid:100)(cid:100)3x¤ -6x-45=2x¤ -6x-36
(cid:100)(cid:100)x¤ =9(cid:100)(cid:100)∴ x=—3
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
한편 A=x¤ -2x-15=(x+3)(x-5)+0이므로
(cid:100)(cid:100)x+-3이고 x+5
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
따라서 ㉠, ㉡을 만족시키는 x의 값은
x의 계수가 A이므로
A
¤ 을 더한
2
}
양변에 {
다.
(cid:100)(cid:100)x=3
11
주어진 함수식에 점의 좌표를 대입한다.
일차함수 y=-mx+m¤ 의 그래프가 점 (5, 6)을
지나므로 y=-mx+m¤ 에 x=5, y=6을 대입하면
(cid:100)(cid:100)6=-5m+m¤ ,(cid:100)(cid:100)m¤ -5m-6=0
092 Check Up 풀이집
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) 3
(cid:9000) 3
(cid:100)(cid:100)(m+1)(m-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ m=-1 또는 m=6
(cid:9000) -1, 6
배점
3점
2점
12
채점 기준
a의 값 구하기
처음 이차방정식의 해 구하기
x¤ +3ax-2a=0의 x의 계수와 상수항을 바꾸
면(cid:100)(cid:100)x¤ -2ax+3a=0
x=-3을 위의 방정식에 대입하면
(cid:100)(cid:100)(-3)¤ -2a_(-3)+3a=0
(cid:100)(cid:100)9+9a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
▶ 3`점
따라서 처음 이차방정식은 x¤ -3x+2=0이므로
(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=2
▶ 2`점
(cid:9000) x=1 또는 x=2
13
채점 기준
이차방정식이 중근을 가질 조건 이용하기
a의 값 구하기
a의 값의 합 구하기
이 이차방정식이 중근을 가지므로
(cid:100)(cid:100)-a+6={
2a
2
}
(cid:100)(cid:100)-a+6=a¤ ,(cid:100)(cid:100)a¤ +a-6=0
(cid:100)(cid:100)(a+3)(a-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=-3 또는 a=2
따라서 모든 a의 값의 합은
(cid:100)(cid:100)-3+2=-1
14
채점 기준
주어진 이차방정식의 해 구하기
A+B의 값 구하기
x¤ +Ax-2=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ +Ax+ =2+
A¤
4
A
(cid:100)(cid:100){x+ }
2
(cid:100)(cid:100)∴ x=
¤ =
A¤ +8
4
-A—øπA¤ +8
2
,(cid:100)(cid:100)x+ =—
A
2
øπA¤ +8
2
(cid:100)(cid:100)A=-3, B=A¤ +8=(-3)¤ +8=17
따라서
이므로
(cid:100)(cid:100)A+B=-3+17=14
배점
2점
2점
1점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 1`점
(cid:9000) -1
배점
3점
2점
A¤
4
▶ 3`점
▶ 2`점
(cid:9000) 14
¤
¤
¤
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지093 SinsagoHitec
08 회
Ⅲ
-1. 이차방정식과 그 풀이
| 문제집 31~32쪽
먼저 인수분해를 이용하여 주어진 이차방정식의
우공비 B0X
05
두 근을 구한다.
문제집 30`~32`쪽
이상에서 이차방정식은 ㈀, ㈁, ㈂이다.
(cid:9000) ①
이차방정식 x¤ +ax+b=0이 중근을 가지면
01 ①
05 ⑤
09 ;6%;
12 23
02 ⑤
06 ④
03 ⑤
07 ②
10 a=-3, x=-;5$;
04 ③
08 ④
11 -2
13 -16
14 x=
;2!;
또는 x=1
01
x에 대한 이차방정식 (cid:8833) (x에 대한 이차식)=0
㈀ x¤ =2에서(cid:100)(cid:100)x¤ -2=0
㈁ x¤ (x-1)=x‹ -4에서(cid:100)(cid:100)x‹ -x¤ =x‹ -4
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4=0
㈂ (x¤ +1)¤ =x› +3에서(cid:100)(cid:100)x› +2x¤ +1=x› +3
㈃ 3x¤ +x=3(x+1)(x-1)에서(cid:100)(cid:100)3x¤ +x=3x¤ -3
㈄ 2x(x-1)=5+2x¤ 에서(cid:100)(cid:100)2x¤ -2x=5+2x¤
(cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ -2=0
(cid:100)(cid:100)∴ x+3=0
(cid:100)(cid:100)∴ 2x+5=0
02
(cid:8833) 이차방정식이 참이 되는 x의 값
이차방정식의 해
① x=-3을 x¤ -3x=0에 대입하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(-3)¤ -3_(-3)=18+0
② x=-2를 2x¤ -6=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)2_(-2)¤ -6=2+0
③ x=-1을 2x¤ -3x+1=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)2_(-1)¤ -3_(-1)+1=6+0
④ x=3을 x¤ -6x+3=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)3¤ -6_3+3=-6+0
⑤ x=-1을 x¤ +x=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)(-1)¤ +(-1)=0
(cid:9000) ⑤
03
(cid:8833) x=k를 이차방정식에 대입한다.
x=k가 이차방정식의 근
x=a를 x¤ +x-1=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)a¤ +a-1=0(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =1-a, a=1-a¤
(cid:100)(cid:100)∴
a¤
1-a
+
a
1-a¤
=
1-a
1-a
+
1-a¤
1-a¤
=1+1=2
(cid:9000) ⑤
04
주어진 식에 한 근을 대입한다.
x=-1을 2ax¤ +a¤ x+8=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)a¤ -2a-8=0,(cid:100)(cid:100)(a+2)(a-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2 또는 a=4
따라서 모든 a의 값의 합은
(cid:100)(cid:100)-2+4=2
(cid:9000) ③
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(x+1)(x-3)=-4(x-7)+4에서
(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-3=-4x+32,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-35=0
(cid:100)(cid:100)(x+7)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-7 또는 x=5
(cid:100)(cid:100)∴ a=-7, b=5 (∵ a0)
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
04
갖는다. (cid:8833) b¤ -4ac>0
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 서로 다른 두 근을
이차방정식 x¤ -4x+k-1=0이 서로 다른 두 근
을 가지므로
(cid:100)(cid:100)(-4)¤ -4(k-1)>0
(cid:100)(cid:100)20-4k>0
(cid:100)(cid:100)∴ k<5
따라서 정수 k의 최댓값은 4이다.
05
갖는다. (cid:8833) b¤ -4ac>0
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 서로 다른 두 근을
주사위 한 개를 두 번 던졌을 때 나올 수 있는 모든
이차방정식 x¤ -2ax+b+3=0이 서로 다른 두 근을 가
경우의 수는
(cid:100)(cid:100)6_6=36
지려면
(cid:100)(cid:100)(-2a)¤ -4(b+3)>0
(cid:100)(cid:100)4a¤ -4b-12>0
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ >b+3
위의 부등식을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는
(cid:100)(cid:100)(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5),
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
우공비 B0X
문제집 32`~34`쪽
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
의 23개이다.
따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100);3@6#;
ax¤ +bx+c=0 (a+0)의 두 근이 a, b
06
(cid:8833) a+b=-
, ab=
;aC;
;aB;
근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)m=-
=2
-2
1
m=2를 m¤ -m+k=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)2¤ -2+k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-2
07
물로켓이 지면에 떨어질 때 (cid:8833) h=0
물로켓이 지면에 떨어지는 것은 h=0일 때이므로
지면으로부터 높이가 0
(cid:8825) 지면
(cid:100)(cid:100)-5t¤ +50t+120=0
(cid:100)(cid:100)t¤ -10t-24=0
(cid:100)(cid:100)(t+2)(t-12)=0
(cid:100)(cid:100)∴ t=12 (∵ t>0)
따라서 물로켓이 지면에 떨어지는 것은 12초 후이다.
작은 정사각형의 한 변의 길이를 x cm로 놓고 식
08
을 세운다.
작은 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 큰
정사각형의 한 변의 길이는 (8-x) cm이므로
x¤ +(8-x)¤ =34,(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+15=0
(x-3)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=5
따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 3 cm이다.
09
공통부분이 있는 이차방정식 (cid:8833) 공통부분을 치환
x¤ +3x=A로 치환하면(cid:100)(cid:100)A¤ -8A-20=0
(cid:100)(cid:100)(A+2)(A-10)=0
(cid:100)(cid:100)∴ A=-2 또는 A=10
⁄ A=-2, 즉 x¤ +3x=-2일 때,
(cid:100) x¤ +3x+2=0에서
(cid:100)(cid:100)(x+2)(x+1)=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=-1
¤ A=10, 즉 x¤ +3x=10일 때,
(cid:100) x¤ +3x-10=0에서
(cid:100)(cid:100)(x+5)(x-2)=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=2
중단원별 실전 TEST 095
(cid:9000) ④
x<8-x이므로
(cid:100)2x<8
(cid:100)∴ x<4
14중3상해설중단원(082-106)-OK 2014.10.1 5:21 PM 페이지096 SinsagoHitec
Point Up
문제집
⁄, ¤에서 주어진 방정식의 해는
(cid:100)(cid:100)x=-5 또는 x=-2
(cid:100)(cid:100)또는 x=-1 또는 x=2
이므로 구하는 합은
(cid:100)(cid:100)-5+(-2)+(-1)+2=-6
우공비 B0X
(cid:9000) -6
이차방정식 x¤ +2ax+a¤ +2a-1=0이 중근을 가
이차방정식 x¤ -4x-8=0에서 근과 계수의 관계
이차방정식 x¤ -
x-7=0의 두 근이 a, b이므로 근과
;2!;
어느 세 점도 한 직선 위
에 있지 않은 n(næ2)개
의 점 중에서 두 점을 이
은 선분의 개수
n(n-1)
2
(cid:8825)
두 근이 a, b이고, x¤ 의 계
수가 a인 이차방정식
(cid:8825) a(x-a)(x-b)=0
13
채점 기준
이차방정식 세우기
조건에 맞는 답 구하기
12
채점 기준
a의 값 구하기
a+b, ab의 값 구하기
+
;å!;
;∫!;
의 값 구하기
(cid:100)(cid:100)(2a)¤ -4(a¤ +2a-1)=0
지므로
(cid:100)(cid:100)2a-1=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=
;2!;
계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)a+b=
, ab=-7
1
(cid:100)(cid:100)∴ + =
a
a+b
ab
;2!;
1
b
=
_{-
;2!;
;7!;}
=-
;1¡4;
n(n-1)
2
(cid:100)(cid:100)n¤ -n-42=0
=21
(cid:100)(cid:100)(n+6)(n-7)=0
(cid:100)(cid:100)∴ n=7 (∵ n>0)
14
채점 기준
이차방정식 세우기
해 구하기
답 구하기
의 길이는
이므로
10
ax¤ +bx+c=0 (a+0)의 두 근이 a, b
(cid:8833) a+b=-
, ab=
;aB;
;aC;
에 의하여
(cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=4,
(cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)=-8
근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)-a=4+(-8)=-4
(cid:100)(cid:100)∴ a=4
(cid:100)(cid:100)b=4_(-8)=-32
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=4+(-32)=-28
즉 4, -8이 이차방정식 x¤ +ax+b=0의 두 근이므로
두 근이 4, -8이고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(cid:9000) -28
(cid:100)(cid:100)(x-4)(x+8)=0, 즉 x¤ +4x-32=0
이므로 x¤ +4x-32=x¤ +ax+b에서
(cid:100)(cid:100)a=4, b=-32
연속하는 세 자연수 (cid:8833) x-1, x, x+1 (x는 x>1
11
인 자연수)
a, b, c는 연속하는 세 자연수이므로
(cid:100)(cid:100)a=b-1, c=b+1
2b¤ =9(a+c)에서
(cid:100)(cid:100)2b¤ =9(b-1+b+1)
(cid:100)(cid:100)2b¤ -18b=0,(cid:100)(cid:100)b(b-9)=0
(cid:100)(cid:100)∴ b=9 (∵ b는 자연수)
따라서 a=8, b=9, c=10이므로
(cid:100)(cid:100)a+b+c=8+9+10
=27
두 점P, Q 가 동시에 출발한 지 x초 후의 PB”, BQ”
(cid:9000) 27
(cid:100)(cid:100)PB”=20-2x (cm), BQ”=16-x (cm)
보충 학습
수에 대한 활용
① 연속하는 두 정수: x, x+1 또는 x-1, x (x는 정수)
② 연속하는 세 정수: x-1, x, x+1 또는
x, x+1, x+2 (x는 정수)
③ 연속하는 두 홀수: x, x+2 또는 x-2, x (x는 홀수)
④ 연속하는 두 짝수: x, x+2 또는 x-2, x (x는 짝수)
096 Check Up 풀이집
양변에 2를 곱하면
(cid:100)(20-2x)(16-x)
=110
(cid:100)2x¤ -52x+320=110
(cid:100)2x¤ -52x+210=0
(cid:100)x¤ -26x+105=0
10초 후에 점 P가 점
B에 도착하므로
(cid:100)00
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이
중근을 가질 때: b¤ -4ac=0
을 가지므로
(cid:100)(cid:100)(-3)¤ -4_2_(-k+1)>0
(cid:100)(cid:100)8k+1>0(cid:100)(cid:100)∴ k>-;8!;
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
또 이차방정식 x¤ +kx+5=0이 중근을 가지므로
(cid:100)(cid:100)k¤ -4_5=0,(cid:100)(cid:100)k¤ -20=0
(cid:100)(cid:100)∴ k=—2'5
㉠, ㉡을 모두 만족시키는 실수 k의 값은
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)k=2'5
04
(cid:8833) a+b=-
, ab=
;aB;
;aC;
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 a, b
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)k+1=-3(cid:100)(cid:100)∴ k=-4
즉 x¤ +8x-3=0에서
(cid:100)(cid:100)x=-4—"√4¤ -1_(-3)=-4—'∂1å9
이고, 두 근의 합은 -8이다.
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂이다.
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
하여 10이다.
06
(cid:8833) b¤ -4ac=0
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 갖는다.
이차방정식 x¤ -6x+k=0이 중근을 가지므로
(cid:100)(cid:100)(-6)¤ -4k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=9
(cid:100)(cid:100)x¤ -6x-16=0
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 6이다.
(cid:9000) ①
k=9를 x¤ -(k-3)x-16=0에 대입하면
(x+2)(x-8)=0
(cid:100)∴ x=-2 또는
x=8
a0
x>0, x-7>0이므
로(cid:100)(cid:100)x>7
따라서 60 m 이상의 높이에서 4초 동안 머문다. (cid:9000) ④
08
(삼각형의 넓이)=;2!;_(밑변의 길이)_(높이)
정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 삼각형의
밑변의 길이는 (x-7) cm이고 높이는 x cm이므로
(cid:100)(cid:100);2!;x(x-7)=72,(cid:100)(cid:100)x¤ -7x-144=0
(cid:100)(cid:100)(x+9)(x-16)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=16 (∵ x>7)
따라서 정사각형의 한 변의 길이가 16 cm이므로 정사각
(cid:9000) ④
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 a, b
형의 넓이는
(cid:100)(cid:100)16¤ =256 (cm¤ )
09
(cid:8833) a+b=-
, ab=
;aB;
;aC;
근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)m+n=-a, mn=4
이차방정식 x¤ +ax+4=0의 두 근이 m, n이므로
근과 계수의 관계에 의
하여 두 근의 합이
(cid:100)-;1*;=-8
임을 알 수도 있다.
(cid:100)(cid:100) + =
n
m
m
n
m¤ +n¤
mn
=
(m+n)¤ -2mn
mn
=
a¤ -8
4
(cid:100)(cid:100)a¤ =20(cid:100)(cid:100)∴ a=2'5 (∵ a>0)
=3
(cid:9000) 2'5
중단원별 실전 TEST 097
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지098 SinsagoHitec
Point Up
문제집
10
공통부분 (cid:8833) A로 치환
(x+4)¤ =2(x+4)이므로
(cid:100)(cid:100)(x+4)¤ -2(x+4)=0
x+4=A로 치환하면(cid:100)(cid:100)A¤ -2A=0
(cid:100)(cid:100)A(A-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=0 또는 A=2
즉 x+4=0 또는 x+4=2이므로
(cid:100)(cid:100)x=-4 또는 x=-2
(cid:9000) -4, -2
11
채점 기준
이차방정식 세우기
모든 실수 x의 값의 곱 구하기
2x△(x-3)=5에서
(cid:100)(cid:100)(2x)¤ -2x(x-3)-(x-3)=5
(cid:100)(cid:100)2x¤ +5x-2=0
따라서 모든 실수 x의 값의 곱은 근과 계수의 관계에 의
하여 (cid:100)(cid:100) =-1
-2
2
12
채점 기준
이차방정식 세우기
해 구하기
가장 작은 반원의 반지름의 길이 구하기
간 크기의 반원의 반지름의 길이는
(cid:100)(cid:100)
20-2x
2
=10-x (cm)
이므로 어두운 부분의 넓이는
가장 작은 반원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 중
(cid:100)(cid:100)
_{10¤ p-(10-x)¤ p-x¤ p}=24p
▶ 2`점
;2!;
(cid:100)(cid:100)x¤ -10x+24=0,(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-6)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ 00) ▶ 2`점
따라서 연못의 반지름의 길이는 (1+'2 ) m이다. ▶ 1`점
(cid:9000) (1+'2 )m
098 Check Up 풀이집
배점
2점
2점
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:9000) -1
배점
2점
2점
1점
▶ 2`점
▶ 1`점
(cid:9000) 4 cm
배점
2점
2점
1점
▶ 2`점
우공비 B0X
x축을 접는 선으로 하
여 접었을 때 완전히
포개어진다.
11 회
Ⅳ
-1. 이차함수와 그 그래프
| 문제집 37~38쪽
02 ⑤
06 ①
03 ②
07 ⑤
10 00일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하는 함
수는 ㈀, ㈁, ㈃이다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
(cid:9000) ⑤
x는 가장 작은 반원의
반지름의 길이이므로
(cid:100)0<2x<10
(cid:100)∴ 00이면 아래로 볼록(
)
① ② a<0이면 위로 볼록(
)
⑵ 그래프의 폭
① ① a의 절댓값이 클수록 폭이 좁다.
① ② a의 절댓값이 작을수록 폭이 넓다.
이차함수 y=ax¤ 에서 a의 값은 그래프의 모양과 폭
03
을 결정한다.
|a|>|-;3!;|
이차함수 y=ax¤ 의 그래프가 y=-;3!;x¤ 의 그래프
보다 폭이 좁으므로
꽃밭의 넓이가 전체의
이면 연못의 넓이도
;2!;
전체의
이다.
;2!;
므로
(cid:100)(cid:100)a<-;3!; 또는 a>;3!;
또 y=ax¤ 의 그래프가 y=2x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지099 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)-23
(cid:100)(cid:100)-3a+6<0(cid:100)(cid:100)∴ a>2
따라서 ㉠, ㉡에서 a의 값의 범위는
a>3
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) ③
x축과의 교점 (cid:8833) y=0일 때의 x의 값
06
y축과의 교점 (cid:8833) x=0일 때의 y의 값
직선 y=-x+4가 x축, y축과 만나는 점의 좌표는
각각(cid:100)(cid:100)(4, 0), (0, 4)
두 함수의 그래프가 x축, y축에서 만나므로
y=-x¤ -ax+b에 두 점 (4, 0), (0, 4)의 좌표를 각
각 대입하면
(cid:100)(cid:100)0=-16-4a+b, b=4
(cid:100)(cid:100)∴ a=-3, b=4
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-3+4=1
y=-{x-3}@+6
07
(cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다.
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
y=-x¤ +6x-3
y=-(x-3)¤ +6
이므로 주어진 이차함수의
그래프는 오른쪽 그림과 같
다.
⑤ x<3일 때, x의 값이 증
가하면 y의 값도 증가한다.
y
6
O
-3
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
문제집 36`~38`쪽
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프에서
① a>0 (cid:8825) x>p일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가
xp일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소
x0)으로 놓으면 점 C
점 D와 x좌표가 같다.
의 좌표는 {a, -
a¤ }이므로
;2!;
점 D와 y좌표는 같고,
x좌표는 절댓값이 같
고 부호가 반대이다.
(cid:100)(cid:100)CD”=2a¤ -{-
이때 점 A는 점 D와 y축에 대칭인 점이므로
a¤ }=
;2!;
;2%;
a¤
(cid:100)(cid:100)A(-a, 2a¤ )(cid:100)(cid:100)∴ AD”=2a
사각형 ABCD는 정사각형이므로 AD”=CD”에서
(cid:100)(cid:100)
a¤ =2a,(cid:100)(cid:100)a{a-
;5$;}=0
;2%;
(cid:100)(cid:100)∴ a=
(∵ a>0)
;5$;
(cid:9000) ④
(cid:9000)
;5$;
그래프를 그려서 주어진 조건을 만족시키는 a의
10
값의 범위를 구한다.
이차함수 y=a(x-2)¤ -4의
y
그래프가 모든 사분면을 지날 때에
는 오른쪽 그림과 같다.
즉 아래로 볼록이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)a>0
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
-4
2
O
x
y=a(x-2)¤ -4=ax¤ -4ax+4a-4에서 그래프의 y
절편은 4a-4이고, y절편이 0보다 작아야 하므로
(cid:100)(cid:100)4a-4<0
(cid:100)(cid:100)∴ a<1
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)00,
(y좌표)>0
(cid:100)(cid:100)a<0
꼭짓점의 좌표가 (p, q)이고 제 1 사분면 위에 있으므로
p>0, q>0
(cid:9000) ①
(cid:9000) ③
점 (p, q)가 제`2사분면
위의 점
(cid:8825) p<0, q>0
▶ 2`점
(cid:9000) -9
05
(cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다.
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지101 SinsagoHitec
y=-3x¤ +12x-9
y=-3(x¤ -4x+4)+12-9
y=-3(x-2)¤ +3
이므로 y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y
축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.
따라서 p=2, q=3이므로
(cid:100)(cid:100)p+q=5
(cid:9000) ③
함수의 그래프가 점 (a, b)를 지난다.
06
(cid:8833) 함수의 식에 x=a, y=b를 대입한다.
이차함수 y=x¤ +2x+a의 그래프가 점
(a, 2a¤ -3a)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)2a¤ -3a=a¤ +2a+a
(cid:100)(cid:100)a¤ -6a=0,(cid:100)(cid:100)a(a-6)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=0 또는`` a=6
그런데 아래로 볼록한 포물선이 x축과 만나지 않으려면
꼭짓점의 y좌표가 양수이어야 한다.
즉 y=x¤ +2x+a=(x+1)¤ -1+a에서
(cid:100)(cid:100)-1+a>0(cid:100)(cid:100)∴ a>1
따라서 구하는 a의 값은 6이다.
(cid:9000) ⑤
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프에서
07
(cid:8833) a의 부호: 그래프의 모양에 따라 결정
(cid:8833) b의 부호: 축의 위치에 따라 결정
(cid:8833) c의 부호: y축과의 교점의 위치에 따라 결정
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 아래로 볼록
하므로(cid:100)(cid:100)a>0
축이 y축의 왼쪽에 위치하므로
(cid:100)(cid:100)ab>0(cid:100)(cid:100)∴ b>0
y축과의 교점이 원점의 위쪽에 위치하므로
(cid:100)(cid:100)c>0
⑤ -bc<0
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프에서
08
(cid:8833) a의 부호: 그래프의 모양에 따라 결정
(cid:8833) b의 부호: 축의 위치에 따라 결정
(cid:8833) c의 부호: y축과의 교점의 위치에 따라 결정
p>0, q<0이므로 꼭짓점
(p, q)는 제4 사분면 위에 있다.
또 x¤ 의 계수 a는 a>0이므로 그
래프는 아래로 볼록하고, y축과
만나는 점의 y좌표인 c가 c>0이
므로 y축과의 교점이 원점보다
위쪽에 위치한다.
y
O
따라서 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프는 위의 그림
과 같고, 이 그래프는 제 1, 2, 4 사분면을 지난다.
(cid:9000) ⑤
x
(cid:9000) ③
우공비 B0X
문제집 38~40`쪽
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
09
점 P는 이차함수 y=
x¤ 의 그래프 위의 점이다.
;2!;
(cid:8833) P{a, ;2!;a¤ }
점 P가 y=
x¤ 의 그래프 위의 점이므로
;2!;
(cid:100)(cid:100)P {a,
;2!;
a¤ }, 즉 b=;2!;a¤
△POA=
_OA”_b
△POA=
_6_
a¤ =
;2!;
a¤
;2#
이므로(cid:100)(cid:100)
a¤ =24
;2#;
(cid:100)(cid:100)a¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ a=—4
;2!;
;2!;
;2!;
그런데 점 P가 제 1 사분면 위의 점이므로(cid:100)(cid:100)a=4
따라서 b=
_4¤ =8이므로 점 P의 좌표는 (4, 8)이다.
(cid:9000) P(4, 8)
10
(cid:8833) y=a(x-p)¤
이차함수의 그래프가 x축과 한 점에서 만난다.
조건 ㈎`에서 구하는 이차함수의 그래프가 x축과
한 점에서 만나므로 이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ 으로
놓을 수 있다.
조건 ㈐`에서 축의 방정식이 x=2이므로(cid:100)(cid:100)p=2
또 조건 ㈏`에서 함수의 그래프가 점 (4, 2)를 지나므로
포물선이 x축과 만나지
않을 때
① 아래로 볼록한 경우
: (꼭짓점의 y좌표)>0
② 위로 볼록한 경우
: (꼭짓점의 y좌표)<0
꼭짓점의 y좌표가 0이
므로 y=a(x-p)¤ +q
에서(cid:100)q=0
(cid:100)∴ y=a(x-p)¤
그래프가 점 (a, b)를
지난다.
(cid:8825) 점 (a, b)가 그래
(cid:8825) x=a, y=b를 그
래프의 식에 대입
하면 성립한다.
(cid:100)(cid:100)2=a(4-2)¤
(cid:100)(cid:100)2=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=
;2!;
프 위에 있다.
따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=
(x-2)¤
;2!;
(cid:9000) y=
(x-2)¤
;2!;
11
채점 기준
y=-2(x+b)¤ +c의 그래프를 평행이동한 그래프
의 식 구하기
abc의 값 구하기
배점
2점
3점
이차함수 y=-2(x+b)¤ +c의 그래프를 x축의 방
향으로 -4만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 그
래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-2(x+4+b)¤ +c+5
▶ 2`점
따라서 a=-2, 4+b=1, c+5=3이므로
(cid:100)(cid:100)a=-2, b=-3, c=-2
(cid:100)(cid:100)∴ abc=-12
12
채점 기준
주어진 식을 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고치기
m의 값 구하기
꼭짓점의 좌표 구하기
▶ 3`점
(cid:9000) -12
배점
3점
2점
1점
중단원별 실전 TEST 101
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지102 SinsagoHitec
Point Up
문제집
y=-
x¤ -2mx+m-1
;3!;
;3!;
;3!;
=-
(x¤ +6mx+9m¤ )+3m¤ +m-1
=-
(x+3m)¤ +3m¤ +m-1
▶ 3`점
축의 방정식이 x=-3m이므로
(cid:100)(cid:100)-3m=-3(cid:100)(cid:100)∴ m=1
▶ 2`점
이때 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-3m, 3m¤ +m-1)
이므로 m=1을 대입하면
(cid:100)(cid:100)(-3, 3)
13
채점 기준
세 점 A, B, C의 좌표 구하기
AB”의 중점의 좌표 구하기
mn의 값 구하기
이차함수 y=x¤ -2x-8에 y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-8=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=4
(cid:100)(cid:100)∴ A(-2, 0), B(4, 0)
y=x¤ -2x-8에 x=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)y=-8
(cid:100)(cid:100)∴ C(0, -8)
한편 직선 y=mx+n은 △ABC의 넓이를 이등분하므
로 AB”의 중점을 지난다.
이때 AB”=6이므로 AB”의 중점의 x좌표는
따라서 직선 y=mx+n은 두 점 (1, 0), (0, -8)을
(cid:100)(cid:100)-2+;2^;=1
즉 중점의 좌표는 (1, 0)이다.
지나므로
(cid:100)(cid:100)0=m+n, -8=n
(cid:100)(cid:100)∴ m=8, n=-8
(cid:100)(cid:100)∴ mn=-64
▶ 2`점
▶ 1`점
▶ 2`점
(cid:9000) -64
13 회
Ⅳ
-2. 이차함수의 활용
| 문제집 41~42쪽
01 ②
05 ③
09 25
13 128
02 ④
06 ④
10 5초
03 ③
07 ⑤
11 aæ5
04 ⑤
08 ④
12 12
102 Check Up 풀이집
우공비 B0X
01
꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
꼭짓점의 좌표가 (1, -3)이므로 구하는 이차함수
의 식을 y=a(x-1)¤ -3으로 놓을 수 있다.
이때 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-1=a(0-1)¤ -3
(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=2(x-1)¤ -3, 즉 y=2x¤ -4x-1
▶ 1`점
(cid:9000) (-3, 3)
배점
2점
1점
2점
축의 방정식이 x=p (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
y축을 축으로 하므로 이차함수의 식을 y=ax¤ +q
① y축의 방정식: x=0
② x축의 방정식: y=0
로 놓을 수 있다.
y=ax¤ +q의 그래프가 두 점 (-1, 6), (3, 22)를 지나
02
므로
(cid:9000) ②
(cid:9000) ④
(cid:9000) ③
(cid:100)(cid:100)6=a+q, 22=9a+q
두 식을 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)a=2, q=4
따라서 y=2x¤ +4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(0, 4)
03
(cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 대입한다.
세 점을 지나는 포물선
이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c라 하면 그 그래프
가 세 점 (0, 5), (2, -3), (-1, 6)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)5=c, -3=4a+2b+c, 6=a-b+c
위의 세 식을 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)a=-1, b=-2, c=5
(cid:100)(cid:100)∴ y=-x¤ -2x+5
x축과의 두 교점의 좌표가 (a, 0), (b, 0)
04
(cid:8833) y=a(x-a)(x-b)
①, ②, ③ 주어진 그래프가 x축과 두 점 (-4, 0),
(1, 0)에서 만나므로 이차함수의 식을
y=a(x+4)(x-1)로 놓을 수 있다.
이차함수의 그래프가 점 (0, 8)을 지나므로 x=0,
y=8을 대입하면
(cid:100)(cid:100)8=a_4_(-1)(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-2(x+4)(x-1)
(cid:100)(cid:100)y=-2x¤ -6x+8
(cid:100)(cid:100)y=-2{x¤ +3x+;4(;}+;;™2∞;;
(cid:100)(cid:100)y=-2{x+;2#;}
¤ +;;™2∞;;
c=5이므로
(cid:100)4a+2b=-8 y ㉠
y ㉡
(cid:100)a-b=1
㉠+2_㉡을 하면
(cid:100)6a=-6(cid:100)
(cid:100)∴ a=-1
이를 ㉡에 대입하면
(cid:100)-1-b=1
(cid:100)∴ b=-2
그래프가 점 (a, b)를 지
난다.
(cid:8825) x=a, y=b를 대입하
면 등식이 성립한다.
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지103 SinsagoHitec
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {-;2#;, :™2∞:}이고,
따라서 k=b-a는 a=-;4%;에서 최댓값 ;;£8£;;을 갖는다.
우공비 B0X
문제집 40`~42`쪽
05
대신 x-a, y 대신 y-b를 대입한다.
y=x¤ -6x+4를 y=(x-p)¤ +q 꼴로 고친 후 x
y=x¤ -6x+4=(x-3)¤ -5의 그래프를 x축의 방
보충 학습
향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프
축의 방정식은 x=-;2#;이다.
④ |-2|>1이므로 y=x¤ 의 그래프보다 폭이 좁다.
⑤ y=-2x¤ -6x+8에 y=8을 대입하면
⑤ (cid:100)(cid:100)2x¤ +6x=0,(cid:100)(cid:100)2x(x+3)=0
⑤ (cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=0
⑤ 즉 점 A의 좌표는 (-3, 8)이다.
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4에서 그래프의 꼭짓점의
의 식은
(cid:100)(cid:100)y=(x-a-3)¤ -5+b
이므로 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(a+3, -5+b)
좌표는 (1, -4)이므로
(cid:100)(cid:100)a+3=1, -5+b=-4
따라서 a=-2, b=1이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=-1
y=-;3!;x¤ +2x+4
y=-;3!;(x¤ -6x+9)+3+4
y=-;3!;(x-3)¤ +7
따라서 x=3에서 최댓값 7을 가지므로
(cid:100)(cid:100)a=3, b=7
(cid:100)(cid:100)∴ b-a=7-3=4
07
b-a=k로 놓고 a, b의 관계식에 대입한다.
y=-2x¤ -4x+1에 x=a, y=b를 대입하면
(cid:100)(cid:100)b=-2a¤ -4a+1
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
b-a=k로 놓고 ㉠을 b-a=k에 대입하면
(cid:100)(cid:100)k=(-2a¤ -4a+1)-a
=-2a¤ -5a+1
=-2{a¤ +;2%;a+;1@6%;}+;;£8£;;
=-2{a+;4%;}
¤ +;;£8£;;
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
08
6xy를 x에 대한 식으로 나타낸다.
3y=8-2x이고 6xy=2x_3y이므로
(cid:100)(cid:100)6xy=2x_(8-2x)
=-4x¤ +16x
=-4(x¤ -4x+4)+16
=-4(x-2)¤ +16
따라서 6xy는 x=2에서 최댓값 16을 갖는다.
합이 일정한 두 수는 두 수가 같을 때 곱이 최대가 된다.
따라서 2x_3y의 최댓값은 2x=3y일 때이므로
2x+3y=8에서 (cid:100)(cid:100)2x+2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=2
2_2=3y에서 y=
이므로
(cid:100)(cid:100)6xy=6_2_
=16
;3$;
;3$;
이차함수의 그래프가 x축과 만나는 한 점에서 축
09
까지의 거리 (cid:8833) (x축과 만나는 두 점 사이의 거리)_;2!;
y축을 축으로 하고, 그래프의 축과 x축과의 교점
사이의 거리가 5이므로 x축과의 교점의 좌표는
(5, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)y=(x+5)(x-5)=x¤ -25
(cid:100)(cid:100)∴ a=0, b=-25
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=0-(-25)=25
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 최대¥최소
10
(cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다.
y=-
x¤ +x+
;3%;
;1¡0;
;1¡0;
;1¡0;
y=-
(x¤ -10x+25)+
+
;2%;
;3%;
y=-
(x-5)¤ +
;;™6∞;;
이므로 y는 x=5에서 최댓값
를 갖는다.
;;™6∞;;
따라서 5초 후에 공의 높이가 최대가 된다.
(cid:9000) 25
(cid:9000) 5초
x=-1에서 최솟값 -5를 가지므로 a>0이고, 꼭
11
짓점의 좌표는 (-1, -5)이다.
중단원별 실전 TEST 103
06
y=a(x-p)¤ +q(a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q
;2!;_(x축과 만나는
두 점 사이의 거리)
(cid:100)(cid:100)(-5, 0), (5, 0)
따라서 y=x¤ +ax+b의 그래프가 두 점 (-5, 0),
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지104 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
y=ax¤ +bx+c=a(x+1)¤ -5
의 그래프는 제`4`사분면을 지나지
않으므로 오른쪽 그림과 같다.
그래프가 아래로 볼록하므로
(cid:100)(cid:100)a>0
yy㉠
y
-1
O
x
-5
y축과의 교점이 원점이거나 원점보다 위쪽에 위치하므로
(cid:100)(cid:100)c=a-5æ0(cid:100)(cid:100)∴ aæ5
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
㉠, ㉡에서 a의 값의 범위는
(cid:100)(cid:100)aæ5
12
채점 기준
이차방정식의 두 근을 이용하여 이차함수의 식 세우기
a, b, c의 값 구하기
a+b+c의 값 구하기
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 -5, 3이므
로 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프와 x축과의 교점
의 좌표는 (-5, 0) (3, 0)이다.
(cid:100)(cid:100)∴ y=a(x+5)(x-3)
=a(x¤ +2x-15)
=a(x¤ +2x+1)-16a
=a(x+1)¤ -16a
이 함수의 최댓값이 16이므로
(cid:100)(cid:100)-16a=16 (cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-(x¤ +2x-15), 즉 y=-x¤ -2x+15
이므로
(cid:100)(cid:100)a=-1, b=-2, c=15
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=-1+(-2)+15=12
13
채점 기준
x초 후의 직사각형의 가로, 세로의 길이 구하기
y를 x에 대한 식으로 나타내기
y의 최댓값 구하기
x초 후의 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각
(cid:100)(cid:100)(12-x)cm, (8+2x)cm
(cid:100)(cid:100)∴ y=(8+2x)(12-x)
(cid:100)(cid:100)∴ y=2(x+4)(12-x)
(cid:100)(cid:100)∴ y=-2(x¤ -8x-48)
(cid:100)(cid:100)∴ y=-2(x¤ -8x+16)+32+96
(cid:100)(cid:100)∴ y=-2(x-4)¤ +128
따라서 y는 x=4에서 최댓값 128을 갖는다.
104 Check Up 풀이집
(cid:9000) aæ5
배점
2점
2점
1점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 1`점
(cid:9000) 12
배점
2점
2점
2점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:9000) 128
x=0일 때 y의 값
그래프의 식에 x=0,
y=6을 대입한다.
(cid:100)(cid:100)6=a {0-
;2!;}
¤ +
;;™4∞;;
14 회
Ⅳ
-2. 이차함수의 활용
| 문제집 43~44쪽
02 ③
06 ④
10 5
03 ③
07 ③
11 bc…0
04 ④
08 -3
12 3, 18 m¤
01 ①
05 ①
09 7
01
꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
그래프의 꼭짓점의 좌표가 {;2!;
¤ +
는 이차함수의 식을 y=a{x-
;2!;}
이 그래프가 점 (0, 6)을 지나므로
,
;;™4∞;;}이므로 구하
로 놓을 수 있다.
;;™4∞;;
(cid:100)(cid:100)
a=-
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
;4!;
;4!;
따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-{x-
;2!;}
¤ +
;;™4∞;;
, 즉 y=-x¤ +x+6
(cid:9000) ①
02
(cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점 좌표를 각각 대입한다.
그래프가 지나는 세 점의 좌표를 알 때
이차함수의 그래프가 세 점 (0, -1), (-1, -6),
(1, 2)를 지나므로 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로
놓고 세 점의 좌표를 각각 대입하면
(cid:100)(cid:100)-1=c, -6=a-b+c, 2=a+b+c
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1, b=4, c=-1
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-x¤ +4x-1=-(x-2)¤ +3
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(2, 3)
(cid:9000) ③
x축과의 교점의 x좌표가 a, b
03
(cid:8833) y=a(x-a)(x-b)
주어진 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 x
좌표가 -2, 5이므로 이차함수의 식을
(cid:100)(cid:100)y=a(x+2)(x-5)
로 놓을 수 있다. 또 그래프가 점 (0, 5)를 지나므로
c=-1이므로
(cid:100)a-b=-5 y ㉠
y ㉡
(cid:100)a+b=3
㉠+㉡을 하면
(cid:100)2a=-2
(cid:100)∴ a=-1
㉠-㉡을 하면
(cid:100)-2b=-8
(cid:100)∴ b=4
(직사각형의 넓이)
=(가로의 길이)
_(세로의 길이)
(cid:100)(cid:100)5=a(0+2)(0-5)
(cid:100)(cid:100)∴ a=-
;2!;
따라서 주어진 이차함수의 식이
(cid:100)(cid:100)y=-
(x+2)(x-5), 즉 y=-
x¤ +
x+5
;2!;
;2#;
;2!;
이므로(cid:100)(cid:100)b=
, c=5
;2#;
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=-
+
+5=6
;2!;
;2#;
(cid:9000) ③
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지105 SinsagoHitec
이차함수의 최댓값이 q
04
(cid:8833) 그래프의 꼭짓점의 y좌표가 q
y=ax¤ +4ax+a
=a(x¤ +4x+4)-4a+a
y=a(x+2)¤ -3a
이므로 주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(-2, -3a)이다.
이때 주어진 이차함수의 최댓값이 3이므로
(cid:100)(cid:100)-3a=3(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 꼭짓점의 좌표는 (-2, 3)이다.
(cid:9000) ④
그래프가 점 (a, b)를 지난다.
05
(cid:8833) x=a, y=b를 대입하면 등식이 성립한다.
이차함수 y=2x¤ +ax+b의 그래프가 두 점 (2, 0),
y=-2x+6에
x=;2#;을 대입하면
(cid:100)y=-2_;2#;+6
=3
최댓값 또는 최솟값을 구
할 때에는 이차함수의 식
을 y=a(x-p)¤ +q 꼴로
고친다.
(0, -4)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)0=8+2a+b, -4=b
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2, b=-4
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=2x¤ -2x-4
(cid:100)(cid:100)y=2{x¤ -x+;4!;}-;2(;
(cid:100)(cid:100)y=2{x-;2!;}2 -;2(;
이므로 x=;2!;에서 최솟값 -;2(;를 갖는다.
(cid:9000) ①
06
축의 방정식이 x=p (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
축의 방정식이 x=2이고 최댓값이 1이므로 구하는
이차함수의 식을
(cid:100)(cid:100)y=a(x-2)¤ +1 (a<0)
로 놓을 수 있다. 그래프가 원점을 지나므로
(cid:100)(cid:100)0=4a+1(cid:100)(cid:100)∴ a=-
;4!;
따라서 구하는 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-
(x-2)¤ +1
;4!;
(cid:9000) ④
점 P가 직선y=-2x+6 위에 있다.
07
(cid:8833) P(x, -2x+6)
점 P의 좌표를 (x, -2x+6)이라 하고, 직사각형
의 넓이를 y라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x(-2x+6)
(cid:100)(cid:100)y=-2x¤ +6x
(cid:100)(cid:100)y=-2{x¤ -3x+
;4(;}+
;2(;
(cid:100)(cid:100)y=-2{x-
;2#;}
¤ +
;2(;
우공비 B0X
문제집 42`~44`쪽
i
P
o
n
t
U
p
중
단
원
별
실
전
T
E
S
T
따라서 y는 x=
일 때 최댓값
를 가지므로 이때의
;2#;
;2(;
점 P의 좌표는 {;2#;
, 3}이다.
(cid:9000) ③
08
축의 방정식이 x=p (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)¤ +q로 놓을 수 있다.
그래프가 두 점 (-4, -3), (1, -8)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-3=4a+q, -8=9a+q
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1, q=1
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-(x+2)¤ +1, 즉 y=-x¤ -4x-3
이므로 구하는 y좌표는 -3이다.
09
x=p에서 최댓값 q (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q (a<0)
x=2에서 최댓값 k를 가지므로
(cid:100)(cid:100)y=-(x-2)¤ +k
(cid:100)(cid:100)y=-(x¤ -4x+4)+k
(cid:100)(cid:100)y=-x¤ +4x-4+k
이 식이 y=-x¤ +4(a-1)x+1과 같으므로
(cid:100)(cid:100)4=4(a-1), -4+k=1
(cid:100)(cid:100)∴ a=2, k=5
따라서 구하는 값은
(cid:100)(cid:100)a+k=7
(cid:9000) -3
(cid:9000) 7
꼭짓점의 x좌표가 2,
y좌표가 1
y=-{x¤ -4(a-1)x+(2a-2)¤ } +(2a-2)¤ +1
=-{x-(2a-2)}¤ +(2a-2)¤ +1
x=2에서 최댓값 k를 가지므로 2a-2=2에서
그래프의 식에 x=0,
y=0을 대입한다.
(cid:100)(cid:100)2a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=2
(2a-2)¤ +1=k에 a=2를 대입하면
(cid:100)(cid:100)k=(2_2-2)¤ +1=5
(cid:100)(cid:100)∴ a+k=2+5=7
그래프가 아래로 볼록
하므로 최솟값을 갖는
다.
그래프가 위로 볼록하
므로 최댓값을 갖는다.
10
먼저 주어진 이차함수의 최솟값 M을 구한다.
y=x¤ -2mx+6m-4
y=(x¤ -2mx+m¤ )-m¤ +6m-4
y=(x-m)¤ -m¤ +6m-4
이므로 x=m에서 최솟값 -m¤ +6m-4를 갖는다.
(cid:100)(cid:100)∴ M=-m¤ +6m-4
=-(m¤ -6m+9)+9-4
=-(m-3)¤ +5
따라서 M은 m=3에서 최댓값 5를 갖는다.
(cid:9000) 5
중단원별 실전 TEST 105
D1001우중수3상_정(082-106) 2014.10.1 1:9 PM 페이지106 SinsagoHitec
Point Up
문제집
11
채점 기준
이차함수의 그래프 그리기
b, c의 부호 구하기
bc의 부호 구하기
이차함수 y=ax¤ +bx+c가
최댓값을 갖지 않으므로 이 그래프
는 아래로 볼록하고 제1, 2, 4 사
분면을 지나므로 오른쪽 그림과 같
다. ▶ 2`점
y
O
즉 a>0이고, y축과의 교점은 원점이거나 원점보다 위쪽에
우공비 B0X
y=ax¤ +bx+c의 그래프
에서 a의 부호는 그래프의
모양, b의 부호는 축의 위
치, c의 부호는 y축과의
교점의 위치에 따라 결정
된다.
배점
2점
3점
1점
x
대단원별 실전 TEST
01 회
Ⅰ
제곱근과 실수
| 문제집 45~48쪽
02 ②, ④ 03 ③
01 ②
05 ③
13 ⑤
17 ④
09 ①, ⑤ 10 ④
06 ③
14 ⑤
18 30
21 1.414
22 '∂21
25 -1+'2
04 ④
08 ④
12 ①
16 ⑤
20 '3-'6
24 0
07 ④
11 ④
15 ②
19 5
23
'∂15
3
위치하므로
(cid:100)(cid:100)cæ0
축이 y축의 오른쪽에 위치하므로
(cid:100)(cid:100)ab<0(cid:100)(cid:100)∴ b<0
따라서 b<0, cæ0이므로
(cid:100)(cid:100)bc…0
12
채점 기준
이차함수의 식 세우기
y=a(x-p)¤ +q 꼴로 나타내기
x의 값과 닭장의 최대 넓이 구하기
넓이를 y m¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x(12-2x)
=-2x¤ +12x
(cid:100)(cid:100)y=-2(x¤ -6x+9)+18
(cid:100)(cid:100)y=-2(x-3)¤ +18
닭장의 가로의 길이는 (12-2x)m이고, 닭장의
따라서 x=3에서 최댓값 18을 가지므로 닭장의 넓이의
최댓값은 18 m¤ 이다.
▶ 3`점
a의 제곱근을 제곱하면 a
가 된다.
01
a>0일 때, ('åa)¤ =a, (-'åa )¤ =a
① -"√10¤ =-10
② (-'ß10 )¤ =10
③ 100의 음의 제곱근은(cid:100)(cid:100)-'ß100=-10
④ -('ß10 )¤ =-10
⑤ -"√(-10)¤ =-10
02
양수 a의 제곱근 (cid:8833) —'a
각 수의 제곱근을 구해 보면 다음과 같다.
(cid:100)(가로의 길이)
(cid:100)+2_(세로의 길이)
=(철망의 길이)
1.H7=
17-1
9
=
;;¡9§;;
② —"ç1.H7=—Ƭ;;¡9§;;=—;3$;
① —'∂0.1
③ —Æ;8(;
▶ 1점
(cid:9000) bc…0
배점
2점
2점
2점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:9000) 3, 18m¤
(cid:9000) ②
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
④ '6ß2å5="ç25¤ =25이므로 제곱근은(cid:100)(cid:100)—'2å5=—5
⑤ '∂0.ß6å4=Ƭ;1§0¢0;=;1•0;=
;5$;
이므로 제곱근은
(cid:100) (cid:100)(cid:100)—Æ;5$;
(cid:9000) ②, ④
03
a>0일 때, "√(-a)¤ =a, (-'a )¤ =a, "ça¤ =a
"√(-3)¤ =3, (-'2)¤ =2, "ç5¤ =5이므로
(cid:100)(cid:100)2"√(-3)¤ +(-'2)¤ -"ç5¤
=2_3+2-5=3
04
"ça¤ =[
a (aæ0)
-a (a<0)
a-3<0, a>0이므로
(cid:100)(cid:100)"√(a-3)¤ -"aΩ
¤ =-(a-3)-a=-a+3-a
=-2a+3
106 Check Up 풀이집
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지107 SinsagoHitec
우공비 B0X
문제집 44~47쪽
05
a, b, c가 양수일 때, 'ßa<'b<'c (cid:8833) a0 (cid:8825) a>b
② a-b=0 (cid:8825) a=b
③ a-b<0 (cid:8825) a'3에서 '4-'3>0이므로
② (cid:100)(cid:100)2-'3>0
1
③ ;3!;= 이고
'9
1
② (cid:100)(cid:100) >;3!;
'3
1
'9
1
'3
> 이므로
양수 a, b, c에 대하여
a0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)3-'7>3-'8
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
06
0과 1 사이의 수를 대입해 본다.
, 'a,
;a!;
, a, a¤ 을 각각 제곱하면
(cid:100)(cid:100)
;a!;
1
a¤
, a¤ , a›
a=
을 각 식에 대입하면
1
'a
, a,
;2!;
;a!;
(cid:100)(cid:100)
=2, a=
, =4, a¤ =
, a› =
;4!;
;1¡6;
1
a¤
;2!;
이므로(cid:100)(cid:100)a› 0)라 하면 그 넓이는 각각
4k¤ cm¤ , 9k¤ cm¤ 가 된다.
두 정사각형의 넓이의 합이 65 cm¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)4k¤ +9k¤ =65,(cid:100)(cid:100)13k¤ =65
(cid:100)(cid:100)k¤ =5(cid:100)(cid:100)∴ k='5 (∵ k>0)
따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는
(cid:100)(cid:100)3k=3_'5=3'5 (cm)
∂ab
12
a>0, b>0일 때, 'a 'b='ß
구하는 직육면체의 높이를 x라 하면
(cid:100)(cid:100)'3_'6_x=9'2,(cid:100)(cid:100)'1å8x=9'2
(cid:100)(cid:100)3'2x=9'2(cid:100)(cid:100)∴ x=
=3
9'2
3'2
보충 학습
직육면체의 부피는
이다.
(cid:100)(cid:100)(밑면의 가로의 길이)_(밑면의 세로의 길이)_(높이)
09
실수 [
유리수
무리수
① '4=2이므로 유리수이다.
② 유리수이면서 무리수인 수는 없다.
③ 순환소수는 유리수이다.
•순환소수
(cid:8825) 유리수
(cid:8825) 무리수
•순환하지 않는 무한소수
13
a>0일 때, '1∂00a=10'a, Ƭ;10A0;=
'ßa
10
① '5∂61='ƒ5.61ƒ_10å0='∂5.ß61_10
=2.369_10
=23.69
대단원별 실전 TEST 107
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지108 SinsagoHitec
우공비 B0X
Point Up
문제집
② 'ƒ0.05ß8å4=Ƭ
5.84
100
=
'∂5.84
10
② 'ƒ0.05ß8å4=2.417_;1¡0;
② 'ƒ0.05ß8å4=0.2417
③ 'ƒ5540å0='ƒ5.54ƒ_10ß
=2.354_100
=235.4
∂000='∂5.∂54_100
④ '5ß8å0+1='ƒ5.80ƒ_10å0+1='∂5.∂80_10+1
=2.408_10+1
=25.08
⑤ '0ƒ.00573 =Ƭ
이고 '5ß7ß.3의 값은
(cid:100) 표에 제시되어 있지 않으므로 주어진 표를 이용하여
=
57.3
10000
'∂57.3
100
그 값을 구할 수 없다.
(cid:9000) ⑤
14
a>0일 때, 'ƒ100a=10'a, Æ…;10A0;
=
'a
10
'∂134='ƒ1.34_100 ='∂1.34_10=10a
'∂13.4
10
13.4
100
=
=
;1ı0;
'ƒ0.134=Æ…
(cid:100)(cid:100)∴ '∂134+'ƒ0.134=10a+
;1ı0;
(cid:9000) ⑤
a, b가 유리수이고 '∂m이 무리수일 때,
15
a+b'∂m이 유리수일 조건 (cid:8833) b=0
3(a-2'5)-'5('5+2a)
=3a-6'5-5-2a'5
=(3a-5)-(6+2a)'5
위의 식의 값이 유리수가 되려면
(cid:100)(cid:100)6+2a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
16
a>0, b>0일 때,
'b
'a
=Æ;aB;
'∂18-'3
'3
'∂18
'3
-
'3
'3
'∂12-'2
'2
+
=
'∂12
'2
'2
- +
'2
='6-1+'6-1
=2'6-2
17
분모가 무리수 (cid:8833) 분모를 유리화한다.
① x¤ =(2-'3)¤ =4-4'3+3=7-4'3
=
③
② '3x='3(2-'3)=2'3-3
1
2+'3
2-'3
(2-'3)(2+'3)
=(2-'3)+(2+'3)=4
④ x+
;[!;
=
;[!;
=2+'3
108 Check Up 풀이집
(cid:9000) ②
a=-3이면 주어진 식
의 값은 -14이므로
유리수가 된다.
6
='6,
6
='6
'∂12
'2
'∂18
'3
(cid:9000) ⑤
소수의 제곱근을 구할
때에는 소수를 분수로
고쳐서 계산하면 더
편리하다.
⑤ x-
;[!;
=(2-'3)-(2+'3)=-2'3
따라서 유리수인 것은 ④ x+
이다.
(cid:9000) ④
;[!;
18
'∂A (A>0)가 자연수 (cid:8833) A=n¤ (n은 자연수)
96x
5
=
2fi _3_x
5
에서 x=2_3_5_(자연수)¤
꼴이어야 한다.
따라서 자연수 x의 최솟값은
(cid:100)(cid:100)x=2_3_5=30
(cid:9000) 30
보충 학습
'∂Ax, Ƭ
A
x
자연수 x의 값 구하기
① A를 소인수분해한다.
x의 값을 정한다.
(A는 자연수)의 값이 자연수가 되도록 하는
② 근호 안의 소인수의 지수가 모두 짝수가 되도록 자연수
19
f(x)의 뜻을 이해한다.
'2å5<'3å2<'3å6이므로
(cid:100)(cid:100)5<'3å2<6
따라서 '3å2 이하의 자연수는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이므로
(cid:100)(cid:100)f(32)=5
(cid:9000) 5
20
a>0일 때, "≈a¤ =a, =
1
'a
-'2 {2'3- }
'a
a
4
'6
3'2-1
'3
3'6-'3
3
=
-2'6+
4
'3
4'3
3
'3
='6- -2'6+
3
='3-'6
(cid:9000) '3-'6
21
a>0일 때, 'ƒ100a=10'a, Ƭ;10A0;
=
'a
10
1
'2
'∂0.18+'∂2.88- =Ƭ;1¡0•0;
3'2
10
=
+Ƭ;1@0*0*;
12'2
10
+
-
-
'2
'2_'2
'2
2
={;1£0;+;1!0@;-;2!;}'2
='2=1.414
(cid:9000) 1.414
배점
2점
3점
22
채점 기준
사다리꼴의 넓이 구하기
정사각형의 한 변의 길이 구하기
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지109 SinsagoHitec
(사다리꼴의 넓이)=;2!;_(5+9)_3=21 ▶ 2`점
사다리꼴의 넓이가 21이므로 넓이가 같은 정사각형의
(사다리꼴의 넓이)
02 회
Ⅰ
제곱근과 실수
| 문제집 49~52쪽
우공비 B0X
_{(윗변의 길이)
=;2!;
+(아랫변의 길이)}
_(높이)
문제집 47~49쪽
01 ②
05 ③
09 ①
02 ⑤
06 ②
10 ④
13 ②, ⑤ 14 ⑤
17 ①
18 ③
21 -7, -67
24 '5-2
25 2000
03 ③
07 ④
11 ②
15 ⑤
19 12
22 0
04 ③
08 ②
12 ②
16 ①
20 8'2
23 ;5$;
a>0일 때,
a의 제곱근: —'a
제곱근 a: 'a
01
양수 a의 제곱근 (cid:8833) 제곱하여 a가 되는 수
15의 제곱근이 x이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =15
(cid:100)(cid:100)∴ x=—'∂15
따라서 옳은 것은 ②이다.
02
a>0일 때, (-'åa )¤ =a, "ç
≈a¤ ="√(-a)¤ =a
(cid:9000) 'ß15
3
a>0, b>0일 때,
(cid:100)'a+'b+'ƒa+b
임에 주의한다.
① -"√(-2)¤ =-2
② '2+'3+'5
③ (-'5 )¤ -(-'2 )¤ =5-2=3
④ "≈4¤ +"√(-3)¤ =4+3=7
⑤ "ç15¤ ÷(-'3)¤ =15÷3=5
03
01
;a!;
('3)¤ +2_'3_'2
+('2)¤
=3+2'6+2
=5+2'6
(cid:100)(cid:100)æ{±;a!;±-1}
¤ =
-1
;a!;
01, 즉
-1>0이므로
;a!;
;a!;
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
한 변의 길이를 x라 하면
(cid:100)(cid:100)x¤ =21
(cid:100)(cid:100)∴ x='2å1(∵ x>0)
23
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
의 값 구하기
Æ;aB;
'ß54='ƒ9_6=3'6이므로
(cid:100)(cid:100)a=3
'ß175='ƒ25_7=5'7이므로
(cid:100)(cid:100)b=5
(cid:100)(cid:100)∴ Æ;aB;
=Æ;3%;
'5
= =
'3
'ß15
3
24
채점 기준
x의 분모를 유리화하기
x¤ -10x가 포함된 식 만들기
x¤ -10x+1의 값 구하기
=
x=
'3+'2
'3-'2
x=5+2'6
이므로(cid:100)(cid:100)x-5=2'6
위의 식의 양변을 제곱하면
(cid:100)(cid:100)x¤ -10x+25=24
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -10x=-1
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -10x+1=-1+1=0
('3+'2)¤
('3-'2)('3+'2)
25
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
a-b의 값 구하기
▶ 3`점
(cid:9000) '2å1
배점
2점
2점
2점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 2`점
배점
2점
2점
2점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:9000) 0
배점
2점
2점
2점
'1<'2<'4에서 1<'2<2이므로
(cid:100)(cid:100)-2<-'2<-1(cid:100)(cid:100)∴ 1<3-'2<2
따라서 3-'2=1.×××이므로(cid:100)(cid:100)a=1
3-'2의 정수 부분이 1이므로
(cid:100)(cid:100)b=(3-'2)-1=2-'2
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=1-(2-'2)=-1+'2
양수 a, b, c에서
a1에서 a-
<0이므로
;a!;
;a!;
¤ =-{a-
(cid:100)(cid:100)æ{a±-
;a!;}
;a!;}=-a+
;a!;
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)={;a!;
-1}-{-a+
;a!;}
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=
-1+a-
;a!;
;a!;
=a-1
(cid:9000) ③
04
a<'ßx0, b>0, c>0일 때, 'ßa<'b<'c (cid:8833) a0, b>0일 때, 'aåb='ßa'b
① '1å2="√2¤ _3=('2)¤ _'3=a¤ b
② '6å0='ƒ2_3ƒ_10='2_'3_'1å0='1å0ab
③ '7å2="√2‹ _3¤ =('2)‹ _('3)¤ =a‹ b¤
④ '∂0.∂02=Ƭ;10@0;=
'2
= =;1Å0;
10
'2
'1ß0å0
⑤ Æ;3*; =
"≈2‹
'3
=
('2)‹
'3
=
a‹
b
09
두 수a, b의 대소 비교 (cid:8833) a-b의 부호를 조사
① ('5+'2)-('5+1)='2-1>0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100) '5+'2
② (2'3-1)-(3'2-1)=2'3-3'2='∂12-'∂18<0
'5+1
>
<
<
이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)2'3-1
3'2-1
③ ('5+'7)-('8+'5)='7-'8<0이므로
'8+'5
(cid:100) (cid:100)(cid:100)'5+'7
④ ('1å0+1)-5='1å0-4='1å0-'1å6<0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)'1å0+1
⑤ (3'2-2)-('2+1)=2'2-3='8-'9<0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)3'2-2
'2+1
<
<
5
(cid:9000) ①
10
두 수a, b의 대소 비교 (cid:8833) a-b의 부호를 조사
110 Check Up 풀이집
(cid:9000) ④
'1<'3<'4이므로
(cid:100)1<'3<2
'ß60="√2¤ _3_5
=('2)¤ _'3_'5
='5a¤ b
로 나타낼 수도 있다.
=
'∂0.∂02=Ƭ;10@0;=Ƭ;5¡0
1
"√2_5¤
1
5'2
1
5a
로 나타낼 수도 있다.
=
=
a-b=2'5+'3-(5'3-'5)=-4'3+3'5
=-'∂48+'∂45<0
이므로(cid:100)(cid:100)a0
이므로(cid:100)(cid:100)b>c
(cid:100)(cid:100)a-c=2'5+'3-3'3=2'5-2'3
='∂20-'∂12>0
이므로(cid:100)(cid:100)a>c
(cid:100)(cid:100)∴ c0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b
삼각형의 넓이는
(cid:100)(cid:100);2!;_'3å2_'2å4=;2!;_4'2_2'6
(cid:100)(cid:100);2!;_'3å2_'2å4=4'1å2=8'3
직사각형의 가로의 길이를 x라 하면 그 넓이는
(cid:100)(cid:100)x_'1å2=x_2'3=2'3 x
삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같으므로
(cid:100)(cid:100)8'3=2'3 x
8'3
(cid:100)(cid:100)∴ x=
2'3
=4
따라서 직사각형의 가로의 길이는 4이다.
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
12
a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b
'1∂20åx='ƒ4_3∂0x=2'3∂0x이므로 주어진 등식의
좌변은(cid:100)(cid:100)2'3∂0x-'3∂0x='3∂0x
즉 'ß30x=10이므로 양변을 제곱하면
13
a>0일 때, '∂10∂0a=10'a, æ;1–0A0; =
'ßa
10
① 'ƒ8040='ƒ80.4ƒ_10å0='ƒ80.4_10
② '∂804='ƒ8.04_100='ƒ8.04_10
② '∂80å4=2.835_10=28.35
'∂80.4
④ 'ƒ0.804=Ƭ
10
'8∂.04
10
⑤ 'ƒ0.0804=Ƭ
80.4
100
8.04
100
=
=
=;1¡0;_2.835=0.2835
(cid:9000) ②, ⑤
14
(cid:8833)
1
'a+'b
=
a>0, b>0, a+b일 때,
'ßa-'b
('a+'b)('a-'b)
3-2'2
(3+2'2)(3-2'2 )
=
①
1
3+2'2
=3-2'2
=
3-2'2
9-8
(cid:9000) ②
(cid:100)(cid:100)30x=100(cid:100)(cid:100)∴ x=;;¡3º;;
(cid:9000) ②
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지111 SinsagoHitec
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대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
우공비 B0X
문제집 49~52쪽
18
먼저 x를 유리화하여 간단히 한다.
(cid:9000) ⑤
(cid:100)(cid:100)x=3_(자연수)¤
꼴이어야 한다.
=
2('5+'3 )
5-3
'6+2
6-4
=
'6+2
2
2
'5-'3
=
1
'6-2
'6-'5
'6+'5
='5+'3
=
=
2('5+'3)
('5-'3)('5+'3)
2('5+'3)
2
'6+2
('6-2)('6+2)
('6-'5)¤
=
('6+'5)('6-'5)
6-2'3å0+5
6-5
=
=
=11-2'3å0
'2
'1å1+2'3
=
'2('1å1-2'3)
('1å1+2'3)('1å1-2'3)
'2å2-2'6
'2å2-2'6
=
-1
11-12
=2'6-'2å2
=
②
②
③
④
④
⑤
⑤
⑤
15
'2('6-'3)
'3-'ß12+'ß27
=
a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b
'ß12-'6
'3-2'3+3'3
(2'3-'6)_'3
2'3_'3
=1-
=
=
6-3'2
6
=
2'3-'6
2'3
6-'ß18
6
=
'2
2
;2!;
따라서 a=1, b=-
이므로(cid:100)(cid:100)a+b=
;2!;
16
먼저 x의 분모를 유리화하여 간단히 한다.
x=
(cid:100)(cid:100)
;[!;=
'5+2
'5-2
1
9+4'5
=
('5+2)¤
('5-2)('5+2)
=9+4'5이므로
9-4'5
(9+4'5)(9-4'5)
=
=9-4'5
(cid:100)(cid:100)∴ x+
=(9+4'5)+(9-4'5)=18
;[!;
(cid:9000) ①
=9+4'5이므로
x=
'5+2
'5-2
=
('5+2)¤
('5-2)('5+2)
(cid:100)(cid:100)x-9=4'5,(cid:100)(cid:100)(x-9)¤ =80
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -18x+1=0
위의 식의 양변을 x로 나누면(cid:100)(cid:100)x-18+ =0
1
x
(cid:100)(cid:100)∴ x+ =18
1
x
17
(A의 소수 부분)=A-(A의 정수 부분)
'4<'6<'9, 즉 2<'6<3이므로 '6의 정수 부분
은 2이다.
(cid:100)(cid:100)∴ a='6-2
'6=a+2이므로
(cid:100)(cid:100)'ß2∂16=6'6=6(a+2)=6a+12
(cid:9000) ⑤
a'ßm+b'ßm
=(a+b)'ßm
(a-b)(a+b)=a¤ -b¤
'5-2
'5+2
=
;[!;
도 된다.
로 계산해
216=6‹ =6¤ _6
(cid:9000) ①
x=
x=
2(2+'2 )
(2-'2)(2+'2)
2(2+'2 )
4-2
x=2+'2
이므로(cid:100)(cid:100)x-2='2
위의 식의 양변을 제곱하면
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+4=2(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4x=-2
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4x+3=-2+3=1
(cid:9000) ③
19
'ßA가 자연수 (cid:8833) A=n¤ (n은 자연수)
192x=2fl _3_x이므로
따라서 x의 값 중에서 가장 작은 두 자리 자연수는
(cid:100)(cid:100)3_2¤ =12
(cid:9000) 12
20
넓이가 x인 정사각형의 한 변의 길이 (cid:8833) 'ßx
정사각형 ㈎는 넓이가 2이므로 한 변의 길이는 '2
이다. 같은 방법으로 정사각형 ㈏, ㈐는 넓이가 각각 8,
18이므로 한 변의 길이는 각각
(cid:100)(cid:100)'8=2'2, '1å8=3'2
따라서
(cid:100)(cid:100)AB”='2+2'2=3'2, BC”=2'2+3'2=5'2
이므로
(cid:100)(cid:100)AB”+BC”=3'2+5'2=8'2
(cid:9000) 8'2
ßm은 무리수일 때,
21
a+b'∂
a, b는 유리수, '∂
ßm이 유리수일 조건 (cid:8833) b=0
10(x-'3)-2'3(2+x)+3
=10x-10'3-4'3-2'3x+3
=(10x+3)-(14+2x)'3
위의 식의 값이 유리수가 되려면
(cid:100)(cid:100)14+2x=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-7
주어진 식에 x=-7을 대입하면
(cid:100)(cid:100)10x+3=10_(-7)+3=-67
(cid:9000) -7, -67
22
채점 기준
ø(π'∂10-3)¤ 을 간단히 하기
"√(3-'∂10)¤ 을 간단히 하기
답 구하기
'∂10-3='∂10-'9>0이므로
(cid:100)(cid:100)"√('∂10-3)¤ ='∂10-3
3-'∂10='9-'∂10<0이므로
배점
1점
1점
2점
▶ 1`점
대단원별 실전 TEST 111
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지112 SinsagoHitec
Point Up
문제집
(cid:100)(cid:100)"√(3-'∂10)¤ =-(3-'∂10 )=-3+'∂10
(cid:100)(cid:100)∴ "√('∂10-3)¤ -"√(3-'∂10)¤
='∂10-3-(-3+'∂10)
='∂10-3+3-'∂10
=0
23
채점 기준
x의 값 구하기
y의 값 구하기
xy의 값 구하기
3200="√10¤
√_4¤
√_2=40'2에서
(cid:100)(cid:100)x=40
'ƒ0.002=Ƭ;10™00; =Ƭ;50!0;=æ±
에서
(cid:100)(cid:100)y=;5¡0;
(cid:100)(cid:100)∴ xy=40_;5¡0;=;5$;
24
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
b-a의 값 구하기
1
10¤ _5
± =
1
10'5
▶ 2`점
'5
50
=
25
채점 기준
겉넓이 구하기
a, b의 값 구하기
ab의 값 구하기
(겉넓이)
=2_{('1å0+'5 )_'1å0 +'1å0_2'5
+('1å0+'5 )_2'5}
=2(10+5'2+10'2+10'2+10)
=2(25'2+20)=40+50'2
40+50'2=a+b'2에서(cid:100)(cid:100)a=40, b=50
(cid:100)(cid:100)∴ ab=40_50=2000
112 Check Up 풀이집
▶ 1`점
▶ 2`점
(cid:9000) 0
배점
2점
3점
1점
▶ 3`점
▶ 1`점
(cid:9000) ;5$;
배점
2점
2점
2점
▶ 2`점
(cid:9000) '5-2
배점
3점
1점
1점
▶ 3`점
▶ 1`점
▶ 1`점
(cid:9000) 2000
우공비 B0X
03 회
Ⅱ
식의 계산
| 문제집 53~56쪽
01 ③
05 ③
09 ④
13 ④
17 16
03 ②
07 ⑤
11 ③
15 ⑤
02 ④
06 ②
10 ①
14 ①
18 2a-4
04 ③
08 ⑤
12 ⑤
16 ①
19 (a-4b+3c)(a-4b-3c)
20 ㈎ n-1 ㈏ n+1 ㈐ 2 ㈑ 4n ㈒ 4
21 -84
22 12
23 2x-5y+14
24 4a(l-a)m¤
25 -7
01
인수분해 공식을 이용한다.
㈁ 4x¤ -12xy+9y¤ =(2x)¤ -2_2x_3y+(3y)¤
=(2x-3y)¤
㈂ 25x¤ -4y¤ =(5x)¤ -(2y)¤
=(5x+2y)(5x-2y)
이상에서 인수분해가 바르게 된 것은 ㈀, ㈃이다.
02
a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤ , a¤ -2ab+b¤ =(a-b)¤
① x¤ -10x+25=(x-5)¤
② x¤ -6x+9=(x-3)¤
③ x¤ +4x+4=(x+2)¤
⑤ x¤ +14x+49=(x+7)¤
(cid:9000) ③
(cid:9000) ④
(cid:9000) ②
보충 학습
x¤ +ax+b가 완전제곱식
(cid:8825) a=—2'b (b>0)
(cid:8825) b={;2A;}
04
-A (Aæ0)
-A (A<0)
"≈A¤ =
·
“
ª
"√a¤ +2√ab+Ωb¤ +"√a¤ -2√ab+b¤
="√(a+b)¤ +"√(a-b)¤
이때 00, a-b<0
'4<'5<'9, 즉 2<'5<3이므로 '5의 정수 부분
은 2이다.
(cid:100)(cid:100)∴ a='5-2
▶ 2`점
'1å6<'2å0<'2å5, 즉 4<'2å0<5이므로 '2å0의 정수 부
분은 4이다.
(cid:100)(cid:100)∴ b='2å0-4=2'5-4
(cid:100)(cid:100)∴ b-a=2'5-4-('5-2)
='5-2
▶ 2`점
(cid:100)('5의 소수 부분)
='5-('5의 정수 부분)
03
a¤ +2ab+b¤ =(a+b)¤
;4!;x¤ +(cid:8641) xy+;2¡5;y¤
{;2!;
x+
y}
;5!;
={;2!;x}2 +2_;2!;x_;5!;y+{;5!;y}2
이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8641) =2_;2!;_;5!;=;5!; (∵ (cid:8641)>0)
¤
¤
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지113 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=a+b-(a-b)
먼저 직육면체의 부피로 주어진 식을 인수분해한
=a+b-a+b
=2b
우공비 B0X
10
다.
문제집 52~55쪽
(cid:9000) ③
(cid:9000) ③
(cid:9000) ②
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ⑤
05
주어진 직사각형의 넓이의 합을 인수분해한다.
주어진 직사각형의 넓이의 합은 x¤ +4x+3이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ +4x+3=(x+1)(x+3)
06
먼저 곱이 16인 두 정수를 구한다.
곱이 16인 두 정수는
(cid:100)(cid:100)-1과 -16, -2와 -8, -4와 -4
(cid:100)(cid:100)4와 4, 2와 8, 1과 16
이므로 정수 a는
(cid:100)(cid:100)-17, -10, -8, 8, 10, 17
의 6개이다.
07
A가 B의 인수 (cid:8833) B=A_C (C는 다항식)
x¤ -ax+3=(x-3)(x+(cid:8641))로 놓으면
(cid:100)(cid:100)-3+(cid:8641)=-a, -3_(cid:8641)=3
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8641)=-1, a=4
3x¤ -7x+b=(x-3)(3x+△)로 놓으면
(cid:100)(cid:100)-9+△=-7, -3_△=b
(cid:100)(cid:100)∴ △=2, b=-6
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=4-(-6)=10
08
먼저 각 다항식을 인수분해한다.
4x¤ -8x-5=(2x+1)(2x-5)
=(x+1)(x-3)-(x+1)(3x-2)
=(x+1){(x-3)-(3x-2)}
=(x+1)(-2x-1)
=-(x+1)(2x+1)
따라서 공통인수는 2x+1이다.
09
공통부분 (cid:8833) 한 문자로 치환
x+2y=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A(A-7)-30
⁄
2 1
2 ⁄2
2 -5
2
⁄
-10
⁄
-8
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
y‹ +xy¤ -x-y=y¤ (x+y)-(x+y)
=(x+y)(y¤ -1)
=(x+y)(y+1)(y-1)
이므로 직육면체의 높이는(cid:100)(cid:100)x+y
따라서 직육면체의 겉넓이는
(cid:100)=2{(y+1)(y-1)+(y-1)(x+y)+(x+y)(y+1)}
(cid:100)=2{(y¤ -1)+(xy+y¤ -x-y)+(xy+x+y¤ +y)}
(cid:100)=2(3y¤ +2xy-1)
(cid:100)=6y¤ +4xy-2
11
인수분해 공식을 이용하여 수를 계산한다.
① 20¤ =400
② 2_107+2_93=2(107+93)
=2_200=400
③ 51¤ -49¤ =(51+49)(51-49)
=100_2=200
④ 16¤ +8_16+4¤ =(16+4)¤
⑤ 22¤ -4_22+4=(22-2)¤
=20¤ =400
=20¤ =400
12
반지름의 길이가 r인 원의 넓이 (cid:8833) pr¤
큰 원의 반지름의 길이는
(cid:100)(cid:100);2!;_(2a+2b)=a+b
작은 원의 반지름의 길이는
(cid:100)(cid:100);2!;_2b=b
따라서 어두운 부분의 넓이는
(cid:100)(cid:100)p(a+b)¤ -pb¤ =p{(a+b)¤ -b¤ }
=p(a+b+b)(a+b-b)
=pa(a+2b)
13
분자를 간단히 나타낸 다음 약분한다.
x‹ +3x¤ +10
x+2
=
x(x¤ +3x)+10
x+2
(cid:9000) ①
(cid:9000) ③
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ④
=A¤ -7A-30
=(A+3)(A-10)
=(x+2y+3)(x+2y-10)
치환하여 인수분해한 후
치환한 문자 대신 원래의
식을 대입한다.
(cid:9000) ④
=
5x+10
x+2
=
5(x+2)
x+2
=5
대단원별 실전 TEST 113
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지114 SinsagoHitec
Point Up
문제집
14
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
2¤
‚ -1=(2⁄
‚ )¤ -1¤
2›
‚ -1=(2⁄
‚ +1)(2⁄
‚ -1)
2›
‚ -1=(2⁄
‚ +1)(2fi +1)(2fi -1)
따라서 30과 40 사이의 약수는
(cid:100)(cid:100)2fi +1=33, 2fi -1=31
이므로 두 자연수의 합은
(cid:100)(cid:100)33+31=64
15
x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
x+y=('6+'3)+('6-'3)=2'6
x-y=('6+'3)-('6-'3)=2'3
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=2'6_2'3
=4'∂18=12'2
우공비 B0X
2⁄
‚ +1=1025
=5¤ _41
연속하는 세 정수는 n,
n+1, n+2로 놓는 것
보다 n-1, n, n+1
로 놓는 것이 계산하
기 편리하다.
20
연속하는 세 정수 (cid:8833) n-1, n, n+1 (n은 정수)
연속하는 세 정수 중 가운데 수를 n(n은 정수)이
라 하면 다른 두 수는 작은 수부터 차례대로
n-1
,
n+1
이므로
(cid:100)(cid:100)(
n+1
)¤ -(
n-1
)¤
={(n+1)+(n-1)}_{(n+1)-(n-1)}
=2n_ =
2
4n
은 수의 제곱의 차는 가운데 수의 배이다.
4
(cid:100)(cid:100)∴ ㈎ n-1(cid:100)㈏ n+1(cid:100)㈐ 2(cid:100)㈑ 4n(cid:100)㈒ 4(cid:100)
(cid:9000) 풀이 참조
(cid:9000) ①
따라서 연속하는 세 정수에 대하여 가장 큰 수와 가장 작
21
두 항씩 묶어 인수분해한다.
2¤ -4¤ +6¤ -8¤ +10¤ -12¤
(cid:9000) ⑤
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
=(2-4)(2+4)+(6-8)(6+8)+(10-12)(10+12)
=-2(6+14+22)=-2_42=-84
공통인수가 드러나도록 두 항씩 묶어서 인수분해
16
한다.
x¤ -y¤ +2x-2y=(x+y)(x-y)+2(x-y)
=(x-y)(x+y+2)
이므로 x+y=2, x-y=-2'7을 대입하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=-2'7_(2+2)=-8'7
(cid:9000) ①
17
먼저 합이 8인 두 자연수 a, b를 구한다.
x¤ +8x+k=(x+a)(x+b)에서
(cid:100)(cid:100)a+b=8, ab=k
a+b=8이 되는 두 자연수 a, b는
(cid:100)(cid:100)1과 7, 2와 6, 3과 5, 4와 4
이 중에서 그 곱이 가장 큰 경우는 4와 4일 때이므로
(cid:100)(cid:100)k=4_4=16
(cid:9000) 16
18
먼저 사다리꼴의 넓이를 인수분해한다.
2a¤ -a-6=(a-2)(2a+3)
2a¤ -a-6=
(2a-4)(2a+3)
;2!;
주어진 사다리꼴의 윗변과 아랫변의 길이의 합이 2a+3
이므로 높이는 2a-4이다.
(cid:9000) 2a-4
4개의 항 중3개를 묶어 완전제곱식으로 인수분해
19
할 수 있을 때 (cid:8833) ((cid:100))¤ -((cid:100))¤` 꼴로 변형
a¤ +16b¤ -9c¤ -8ab=(a¤ -8ab+16b¤ )-9c¤
=(a-4b)¤ -(3c)¤
=(a-4b+3c)(a-4b-3c)
(cid:9000) (a-4b+3c)(a-4b-3c)
114 Check Up 풀이집
a, b는 자연수이므로
(cid:100)a+b>a-b
(cid:100)(사다리꼴의 넓이)
=
_{(윗변의 길이)
;2!;
+(아랫변의 길이)}
_(높이)
(a-1)+(a+4)
=2a+3
(cid:9000) -84
배점
2점
3점
1점
▶ 2`점
▶ 3`점
▶ 1`점
(cid:9000) 12
배점
4점
1점
22
채점 기준
주어진 식 정리하기
a, b의 값 구하기
2a-b의 값 구하기
"√a¤ -21=b의 양변을 제곱하면
(cid:100)(cid:100)a¤ -21=b¤ ,(cid:100)(cid:100)a¤ -b¤ =21
(cid:100)(cid:100)∴ (a+b)(a-b)=21
a, b는 자연수이므로
(cid:100)(cid:100)
[
a+b=21
a-b=1
또는 [
a+b=7
a-b=3
(cid:100)(cid:100)∴ a=11, b=10 또는 a=5, b=2
이때 a, b는 두 자리 자연수이므로
(cid:100)(cid:100)a=11, b=10
(cid:100)(cid:100)∴ 2a-b=2_11-10=12
23
채점 기준
주어진 식 인수분해하기
두 일차식의 합 구하기
x+2=A, y-2=B로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -5AB+6B¤
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(A-2B)(A-3B)
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(x+2-2y+4)(x+2-3y+6)
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(x-2y+6)(x-3y+8)
▶ 4`점
따라서 두 일차식의 합은
(cid:100)(cid:100)(x-2y+6)+(x-3y+8)=2x-5y+14 ▶ 1`점
(cid:9000) 2x-5y+14
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지115 SinsagoHitec
우공비 B0X
문제집 55~57쪽
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
㈄ x¤ (2x+1)=2(x‹ +5)에서(cid:100)(cid:100)2x‹ +x¤ =2x‹ +10
x에 대한 일차방정식
이다.
(무리수)
=(정수부분)+(소수부분)
이므로 무리수의 소수 부분
은 그 수에서 정수 부분을
뺀 것과 같다.
24
채점 기준
바깥쪽 정사각형의 넓이 구하기
안쪽 정사각형의 넓이 구하기
길의 넓이 구하기
바깥쪽 정사각형의 넓이는(cid:100)(cid:100)l¤ m¤
안쪽 정사각형의 넓이는(cid:100)(cid:100)(l-2a)¤ m¤
따라서 길의 넓이는
(cid:100)(cid:100)l¤ -(l-2a)¤ ={l+(l-2a)}{l-(l-2a)}
=(2l-2a)_2a
=4a(l-a)(m¤ )
▶ 4`점
(cid:9000) 4a(l-a)m¤
25
채점 기준
a의 값 구하기
b의 값 구하기
주어진 식을 인수분해하기
식의 값 구하기
2<'7<3에서(cid:100)(cid:100)5<3+'7<6
(cid:100)(cid:100)∴ a=3+'7-5='7-2
2<'7<3에서(cid:100)(cid:100)-3<-'7<-2
(cid:100)(cid:100)0<3-'7<1
(cid:100)(cid:100)∴ b=3-'7
(cid:100)(cid:100)∴ ab-3a+2b-6=a(b-3)+2(b-3)
배점
1점
1점
4점
▶ 1`점
▶ 1`점
배점
2점
2점
2점
2점
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:100)(cid:100)∴ ab-3a+2b-6=('7-2+2)(3-'7-3)
='7_(-'7)=-7
▶ 2`점
(cid:9000) -7
(cid:100)(cid:100)
보충 학습
음이 아닌 정수 n에 대하여 n…'ab이므로(cid:100)(cid:100)a=4, b=
;2!;
㉠을 x¤ -ax+b=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+
=0,(cid:100)(cid:100)2x¤ -8x+1=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=
;2!;
4—'∂14
2
08
(cid:8833) 양변에 적당한 수를 곱하여 계수를 정수로 만든다.
계수가 분수 또는 소수인 이차방정식
0.3(x-1)¤ +
x-0.75=0의 양변에 100을 곱
;4#;
하면
(cid:100)(cid:100)30(x-1)¤ +75x-75=0
(cid:100)(cid:100)30x¤ +15x-45=0
(cid:100)(cid:100)2x¤ +x-3=0
(cid:100)(cid:100)(2x+3)(x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-
또는 x=1
;2#;
(cid:9000) ③
09
공통부분 (cid:8833) 한 문자로 치환
2x-1=A로 치환하면 주어진 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)A¤ +6A-7=0,(cid:100)(cid:100)(A+7)(A-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ A=-7 또는 A=1
즉 2x-1=-7 또는 2x-1=1이므로
(cid:100)(cid:100)x=-3 또는 x=1
ax¤ +2b'x+c=0 (a+0)
-b'—"b√'¤ -ac
a
(cid:8825) x=
(cid:9000) ④
0.3=;1£0;, 0.75=;1¶0∞0;
이므로 10, 4, 100의
최소공배수를 곱한다.
⁄ t=-3을 주어진 이차방정식에 대입하면
(cid:100)(cid:100) (cid:100)x¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 (중근)
(cid:100) 그런데 m>0이므로 x=0은 중근이 될 수 없다.
¤ t=-2를 주어진 이차방정식에 대입하면
(cid:100)(cid:100) (cid:100)x¤ -2x+1=0,(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =0
(cid:100) 따라서 x=1(중근)이므로(cid:100)(cid:100)m=1
(cid:100)(cid:100)∴ t-m=-2-1=-3
인수분해를 이용하여 풀 수 없는 이차방정식은 근
11
의 공식을 이용한다.
① x¤ -x-6=0에서(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-3)=0
② 2x¤ -5x+3=0에서(cid:100)(cid:100)(x-1)(2x-3)=0(cid:100)(cid:100)
② (cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=;2#;(cid:100)
③ 3x¤ +5x-2=0에서(cid:100)(cid:100)(x+2)(3x-1)=0
② (cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=;3!;(cid:100)
④ x¤ -8x+12=0에서(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-6)=0
② (cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=6(cid:100)
⑤ 2x¤ +x-2=0에서 (cid:100) (cid:100)
② (cid:100)(cid:100)x=
-1—"√1¤ -4_2_(-2)
2_2
=
-1—'∂17
4
따라서 해가 유리수가 아닌 것은 ⑤이다.
이차방정식 ax¤ +bx+c=0에서
12
(cid:8833) (두 근의 합)=-
, (두 근의 곱)=
;aC;
;aB;
x¤ -6x-4=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의
관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)a+b=6, ab=-4
b¤ +a¤
ab
b
(cid:100)(cid:100)∴ + =
a
a
b
=
(a+b)¤ -2ab
ab
(cid:100)(cid:100)∴ + =
6¤ -2_(-4)
-4
=
44
-4
=-11
(cid:9000) ①
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ①
A를 다시 원래의 식
으로 바꾸어 x의 값을
구한다.
(cid:9000) ①
보충 학습
이차방정식의 근과 계수의 관계에 많이 이용되는 식의 계산
⑴ a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab ⑵ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
⑶
+
=
;∫!;
;å!;
a+b
ab
⑷
;å©;+;∫ƒ;
=
a¤ +b¤
ab
10
x¤ +ax+b=0이 중근을 갖는다. (cid:8833) b={;2A;}2
x¤ -2(t+3)x+(t+3)=0이 중근을 가질 조건은
(cid:100)(cid:100)t+3=[
-2(t+3)
2
]2 ,(cid:100)(cid:100)t+3=(t+3)¤
(cid:100)(cid:100)t¤ +5t+6=0,(cid:100)(cid:100)(t+3)(t+2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ t=-3 또는 t=-2
이차방정식이 중근을
갖는다.
(cid:8825) (완전제곱식)=0
꼴로 고칠 수 있다.
(cid:8825) {;2A;}2 =b
116 Check Up 풀이집
주어진 이차방정식의 x의 계수와 상수항을 바꾼
13
식에 x=-5를 대입하여 먼저 a의 값을 구한다.
x¤ +(3-2a)x+a=0에서 x의 계수와 상수항을
바꾸면(cid:100)(cid:100)x¤ +ax+3-2a=0
14중3상해설대단원(107-128)-OK 2014.10.1 5:19 PM 페이지117 SinsagoHitec
따라서 처음 주어진 이차방정식은 x¤ -5x+4=0이므로
(cid:100)(cid:100)m=10, n=6
근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 5이다.
(cid:100)(cid:100)∴ 2m-n=2_10-6=14
(cid:9000) 14
x=-5를 앞의 식에 대입하면
(cid:100)(cid:100)25-5a+3-2a=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=4
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ③
(cid:9000) 6
(cid:9000) 4
14
t초 후 높이가 h m (cid:8833) h=30t-5t¤
t초 후 물체의 높이가 (30t-5t¤ )m이므로
30t-5t¤ =45에서
(cid:100)(cid:100)5t¤ -30t+45=0,(cid:100)(cid:100)t¤ -6t+9=0
(cid:100)(cid:100)(t-3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ t=3(중근)
따라서 물체의 높이가 45 m가 되는 것은 3초 후이다.
15
점 B의 좌표가 (x, 0) (cid:8833) 점 A의 좌표는 (x, x)
점 B의 좌표를 (x, 0)이라 하면 점 A의 좌표는
(cid:100)(cid:100)x¤ -13x+36=0,(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-9)=0
(x, x)이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=x, BC”=13-x
따라서 x(13-x)=36이므로
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=9
따라서 점 A의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(4, 4) 또는 (9, 9)
16
x=k가 이차방정식의 근
(cid:8833) x=k를 이차방정식에 대입하면 등식이 성립한다.
x=a를 x¤ +x-3=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)a¤ +a-3=0
(cid:100)(cid:100)∴ afi +a› -3a‹ +a¤ +a+3
=a‹ (a¤ +a-3)+(a¤ +a-3)+6
=6
17
(cid:8833) x=-p—'ßq
이차방정식 (x+p)¤ =q(qæ0)의 근
(x-1)¤ =2k+1에서(cid:100)(cid:100)x=1—'ƒ2k+1
이때 근이 모두 정수가 되려면
(cid:100)(cid:100)2k+1=0, 1, 4, 9, 16, y
(cid:100)(cid:100)∴ k=-;2!;, 0,
따라서 자연수 k의 최솟값은 4이다.
:¡2∞:
, 4,
, y
;2#;
18
n-m=A로 치환한다.
치환하면(cid:100)(cid:100)3A¤ +10A-8=0
(cid:100)(cid:100)(A+4)(3A-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ A=-4 또는 A=;3@;
3(n-m)¤ +10(n-m)-8=0에서 n-m=A로
우공비 B0X
m+n=16 …`㉠
-m+n=-4 …`㉡
[
㉠+㉡을 하면
(cid:100)2n=12(cid:100)∴ n=6
n=6을 ㉠에 대입하면
(cid:100)m+6=16
(cid:100)∴ m=10
b¤ -4ac의 부호에 따른
서로 다른 근의 개수
⑴ b¤ -4ac>0
⑴ (cid:8825) 2개
⑵ b¤ -4ac=0
⑴ (cid:8825) 1개
⑶ b¤ -4ac<0
⑴ (cid:8825) 없다.
점 A는 직선y=x 위
에 있으므로
(cid:100)(x좌표)=(y좌표)
하면
(cid:100)(cid:100)4a+3a=7k
(cid:100)(cid:100)∴ a=k
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
문제집 57~60쪽
㈎에서 n-m<0, 즉 A<0이므로
(cid:100)(cid:100)A=n-m=-4
따라서 m+n=16, n-m=-4를 연립하여 풀면
19
(cid:8833) b¤ -4ac=0
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 중근을 갖는다.
x¤ +6x-3m+1=0에서
(cid:100)(cid:100)6¤ -4_(-3m+1)=0
(cid:100)(cid:100)32+12m=0(cid:100)(cid:100)∴ m=-
;3*;
(cid:9000) -
;3*;
이차방정식 ax¤ +bx+c=0에서
20
(cid:8833) (두 근의 합)=-
, (두 근의 곱)=
;aC;
;aB;
두 근의 비가 4 : 3이므로 두 근을 4a, 3a(a+0)라
(cid:100)(cid:100)4a_3a=5k¤ +28
(cid:100)(cid:100)∴ 12a¤ =5k¤ +28
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)12a¤ =5a¤ +28
(cid:100)(cid:100)7a¤ =28(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =4
따라서 두 근 4a, 3a의 곱은
(cid:100)(cid:100)12a¤ =12_4=48
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
yy ㉡(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) 48
처음 원의 반지름의 길이를 x cm로 놓고x에 대
21
한 이차방정식을 세운다.
처음 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)p(x-2)¤ =
px¤ ,(cid:100)(cid:100)2(x-2)¤ =x¤
;2!;
(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+8=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4+2'2 (∵ x>2)
따라서 처음 원의 반지름의 길이는 (4+2'2 )cm이다.
(cid:9000) (4+2'2 )cm
22
채점 기준
두 이차방정식의 해 구하기
a의 값 구하기
x¤ -x-12=0에서(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=4
x¤ -9x+20=0에서(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=5
배점
3점
2점
▶ 3`점
▶ 2`점
(cid:9000) -5
대단원별 실전 TEST 117
3x¤ +2ax+a-3=0
에 x=4를 대입한다.
따라서 두 이차방정식의 공통인 근이 x=4이므로
(cid:100)(cid:100)48+8a+a-3=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-5
(cid:9000) ②, ⑤
A(4, 4)이면
(cid:100)AB”=4, BC”=9
A(9, 9)이면
(cid:100)AB”=9, BC”=4
처음 원에서 반지름의
길이를 2 cm 줄일 수
있어야 하므로
(cid:100)x>2
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지118 SinsagoHitec
우공비 B0X
는 자연수의 약
수의 개수이므로 0보
다 크다.
소수 (cid:8825) 1과 그 자신만을
약수로 갖는 수
십의 자리의 숫자가 a,
일의 자리의 숫자가 b
인 두 자리 자연수는
(cid:100)10a+b
배점
3점
2점
1점
▶ 3`점
▶ 2`점
▶ 1`점
(cid:9000) 17
배점
3점
2점
1점
▶ 3`점
▶ 2`점
▶ 1`점
(cid:9000) 35, 75
배점
2점
2점
2점
이때 양의 약수의 개수가 2인 수는 소수이므로 10 이하
십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자는
Point Up
문제집
23
채점 기준
의 값 구하기
x의 값의 합 구하기
=2를 만족시키는 x의 값 구하기
¤ +-6=0에서
(cid:100)(cid:100)(+3)(-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ =2 (∵ >0)
의 소수는(cid:100)(cid:100)2, 3, 5, 7
따라서 구하는 값은
(cid:100)(cid:100)2+3+5+7=17
24
채점 기준
이차방정식 세우기
이차방정식의 해 구하기
두 자리 자연수 구하기
5이므로
(cid:100)(cid:100)10x+5=x¤ +5¤ +1
(cid:100)(cid:100)x¤ -10x+21=0
(cid:100)(cid:100)(x-3)(x-7)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=7
따라서 구하는 자연수는 35, 75이다.
25
채점 기준
네 점을 좌표평면 위에 나타내기
이차방정식 구하기
사각형 ABCD의 한 변의 길이 구하기
⑴ 좌표평면 위에 네 점
을 나타내면 오른쪽 그림
과 같다.
▶ 2`점
(cid:100) 즉 사각형 ABCD는 한
변의 길이가 x+4인 정사
x+4
y
O
각형이므로 구하는 이차방정식은
▶ 2`점
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+4)¤ =40
⑵ (x+4)¤ =40에서(cid:100)(cid:100)x+4=—'∂40
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-4+2'∂10 (∵ x>0)
(cid:100) 따라서 사각형 ABCD의 한 변의 길이는 x+4이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x+4=-4+2'∂10+4
=2'∂10
▶ 2`점
(cid:9000) ⑴ (x+4)¤ =40 ⑵ 2'∂10
(x-p)¤ =q (qæ0)
(cid:8825) x=p—'q
118 Check Up 풀이집
05 회
Ⅲ
이차방정식
| 문제집 61~64쪽
01 ⑤
05 ⑤
09 ⑤
13 ②
02 ②
06 ⑤
10 ⑤
14 ③
17 ;3!6(;
18 ;1^6%;
03 ①
07 ③
11 ③
15 ②
19 7
04 ③
08 ①
12 ②
16 24'2
20 500
21 (-7+7'5 ) cm
22 -3,
;2!;
23 ⑴ x¤ -4x-8=0(cid:100)⑵ x=2—2'3
24 ⑴ 2초 또는4초(cid:100)⑵ 8초
25 ;3$; m
01
x에 대한 이차방정식 (cid:8833) (x에 대한 이차식)=0
② x(x-3)=x+1에서(cid:100)(cid:100)x¤ -3x=x+1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4x-1=0
③ 2x¤ =(x-1)¤ 에서(cid:100)(cid:100)2x¤ =x¤ -2x+1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x¤ +2x-1=0
④ 2x¤ -5=x(3x+2)에서(cid:100)(cid:100)2x¤ -5=3x¤ +2x
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ -x¤ -2x-5=0
⑤ x¤ (1+x)=x-2에서(cid:100)(cid:100)x¤ +x‹ =x-2
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x‹ +x¤ -x+2=0
(cid:9000) ⑤
02
(cid:8833) x=a를 이차방정식에 대입
x=a가 이차방정식의 해
x=3을 ax¤ -(a+1)x-3=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)a_3¤ -3(a+1)-3=0
(cid:100)(cid:100)9a-3a-3-3=0,(cid:100)(cid:100)6a-6=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=1
즉 주어진 이차방정식은 x¤ -2x-3=0이므로
(cid:100)(cid:100)(x-3)(x+1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=-1
따라서 다른 한 근은 x=-1이다.
(cid:9000) ②
차방정식 x¤ +mx-2m+2=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)1-m-2m+2=0,(cid:100)(cid:100)-3m+3=0
(cid:100)(cid:100)∴ m=1
m=1을 x¤ +mx-2m+2=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)x¤ +x=0,(cid:100)(cid:100)x(x+1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=-1
따라서 다른 한 근은 x=0, 즉 n=0이므로
(cid:100)(cid:100)m¤ +n¤ =1¤ +0¤ =1
(cid:9000) ①
이차방정식의 한 근이 주어질 때
04
(cid:8833) 주어진 근을 이차방정식에 대입
D
C
A
x+4
B
2x+8
x
03
(cid:8833) 두 근을 모두 공통으로 갖는다.
이차방정식의 해가 같다.
두 이차방정식의 해가 서로 같으므로 x=-1을 이
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지119 SinsagoHitec
우공비 B0X
문제집 60~62쪽
;3!;-;3@;a+5=0에서
(cid:100)-;3@;a=-:¡3§:
(cid:100)∴ a=8
ax¤ +2b'x+c=0(a+0)
(cid:8825) x=
-b'—"√b'¤ -ac
a
x>y에서(cid:100)x-y>0
x-y=1 y ㉠
x+y=7 y ㉡
[
㉠+㉡을 하면
(cid:100)2x=8(cid:100)(cid:100)∴ x=4
x=4를 ㉡에 대입하
면(cid:100)(cid:100)y=3
이차방정식의 근은 서
로 다른 두 근 또는 중
근을 가질 수 있으므로
(cid:100)b¤ -4ac>0
(cid:100)또는 b¤ -4ac=0
(cid:100)∴ b¤ -4acæ0
⑴ 두 근이 모두 양수
⑴ (두 근의 합)>0,
⑴ (두 근의 곱)>0
⑵ 두 근이 모두 음수
⑴ (두 근의 합)<0,
⑴ (두 근의 곱)>0
⑶ 한 근은 양수, 다른 한
근은 음수
x의 계수
2
¤ 을
}
양변에 {
더한다.
x=;3!;을 3x¤ -2ax+5=0에 대입하면
¤ -;3@;a+5=0(cid:100)(cid:100)∴ a=8
(cid:100)(cid:100)3_{;3!;}
a=8을 3x¤ -2ax+5=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)3x¤ -16x+5=0,(cid:100)(cid:100)(3x-1)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=;3!; 또는 x=5
따라서 주어진 방정식의 다른 한 근은 x=5이므로
x¤ +(1-2b)x-5b=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)5¤ +5(1-2b)-5b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=2
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=8-2=6
(cid:9000) ③
05
x¤ +ax+b=0이 중근을 갖는다. (cid:8833) b={;2A;}
x¤ +2(k+1)+4k+1=0이 중근을 가지므로
¤ ,(cid:100)(cid:100)4k+1=k¤ +2k+1
(cid:100)(cid:100)4k+1=[
(cid:100)(cid:100)k¤ -2k=0,(cid:100)(cid:100)k(k-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=2 (∵ k+0)
2(k+1)
2
]
k=2를 주어진 이차방정식에 대입하면
(cid:100)(cid:100)x¤ +6x+9=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 (중근)
따라서 m=-3이므로
(cid:100)(cid:100)k-m=2-(-3)=5
(cid:9000) ⑤
06
(x+a)¤ =b (bæ0)의 해 (cid:8833) x=-a—'b
(x-3)¤ =
에서(cid:100)(cid:100)x-3=—Æ;7!;
;7!;
(cid:100)(cid:100)∴ x=3—
'7
7
따라서 A=3, B=
이므로
;7!;
(cid:100)(cid:100);bA;=3_7=21
07
(완전제곱식)=(상수) 꼴 (cid:8833) 제곱근의 성질 이용
x¤ +
x-2=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ +
x=2
;2#;
;2#;
(cid:100)(cid:100)x¤ +
x+
;2#;
;1ª6;
=2+
;1ª6;
(cid:100)(cid:100){x+ }
;4#;
¤ =
;1$6!;
,(cid:100)(cid:100)x+
=—
;4#;
'ß41
4
(cid:100)(cid:100)∴ x=
-3—'ß41
4
(cid:100)(cid:100)∴ ㈎ ;1ª6;(cid:100)㈏ ;4#;(cid:100)㈐ ;1$6!;(cid:100)㈑ '∂41(cid:100)㈒
-3—'∂41
4
(cid:9000) ③
08
계수가 분수인 이차방정식
(cid:8833) 양변에 분모의 최소공배수를 곱한다.
(x-1)(x+1)
3
=
2(x-2)(x+3)
5
의 양변에 분
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
모의 최소공배수 15를 곱하면
(cid:100)(cid:100)5(x-1)(x+1)=6(x-2)(x+3)
(cid:100)(cid:100)5x¤ -5=6x¤ +6x-36,(cid:100)(cid:100)x¤ +6x-31=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-3—"√3¤ -(-31)=-3—2'ß10
(cid:9000) ①
x-y=A로 치환한다.
(x-y)¤ +(x-y)-2=0에서 x-y=A로 치환하
(cid:100)(cid:100)A¤ +A-2=0,(cid:100)(cid:100)(A+2)(A-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ A=1 (∵ A>0)
따라서 x-y=1, x+y=7이므로 두 식을 연립하여 풀
(cid:100)(cid:100)x=4, y=3(cid:100)(cid:100)∴ xy=12
(cid:9000) ⑤
10
(cid:8833) b¤ -4acæ0
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 근을 갖는다.
09
면
면
(cid:100)(cid:100)
(cid:9000) ⑤
x¤ +2x+1+k=0이 근을 가지려면
(cid:100)(cid:100)2¤ -4(1+k)æ0,(cid:100)(cid:100)4k…0
(cid:100)(cid:100)∴ k…0
따라서 k의 값이 아닌 것은 ⑤이다.
이차방정식 ax¤ +bx+c=0에서
11
(cid:8833) (두 근의 합)=-
, (두 근의 곱)=
;aC;
;aB;
이므로
(cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=-
>0(cid:100)(cid:100)∴
<0
;aB;
;aB;
(cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)=
>0
;aC;
이므로 b와 c는 서로 다른 부호이다.
이차방정식 cx¤ +bx-a=0에서
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 모두 양수
(cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=-
>0
(cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)=-
<0
;cB;
;cA;
yy ㉠
yy ㉡
㉠, ㉡에서 이차방정식 cx¤ +bx-a=0의 양의 근의 절
댓값이 음의 근의 절댓값보다 더 크다.
(cid:9000) ③
ax¤ +bx+c=0 (a+0)의 두 근이 a, b
12
(cid:8833) a+b=-
, ab=
;aB;
;aC;
두 근을 a, a+2로 놓으면 이차방정식의 근과 계수
의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)a+(a+2)=12,(cid:100)a(a+2)=4k+3
따라서 a=5이므로(cid:100)(cid:100)5(5+2)=4k+3
(cid:100)(cid:100)∴ k=8
(cid:9000) ②
대단원별 실전 TEST 119
(cid:9000) ⑤
⑴ (두 근의 곱)<0
즉 a와 b는 서로 다른 부호이고 a와 c는 서로 같은 부호
¤
(cid:9000) ②
(확률)
=
(사건의 경우의 수)
(전체 경우의 수)
따라서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100);3!6(;
(cid:9000) ;3!6(;
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지120 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
계수가 유리수인 이차방정식의 한 근이 x=p+'q
13
`(p는 유리수, 'q는 무리수) (cid:8833) 다른 한 근은 x=p-'q
1<'3<2에서(cid:100)(cid:100)3<2+'3<4
즉 2+'3의 정수 부분은3이므로 소수 부분은
(cid:100)(cid:100)2+'3-3='3-1
이다.
따라서 주어진 이차방정식의 두 근은 '3-1, -'3-1
이므로
(cid:100)(cid:100)('3-1)+(-'3-1)=-2,
(cid:100)(cid:100)('3-1)(-'3-1)=-2
근과 계수의 관계에 의하여
서로 다른 두 근 또는
중근
계수가 유리수이고 한
근이 x='3-1이므로
다른 한 근은
x=-'3-1이다.
(cid:100)(cid:100)-(a-1)=-2, b=-2
(cid:100)(cid:100)∴ a=3, b=-2
한 근이 x='3-1이므로
(cid:100)(cid:100)x+1='3
양변을 제곱하면(cid:100)(cid:100)(x+1)¤ =('3)¤
(cid:100)(cid:100)x¤ +2x+1=3,(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-2=0
따라서 a-1=2, b=-2이므로
(cid:100)(cid:100)a=3, b=-2
n(n+1)
2
=171에서
(cid:100)(cid:100)n¤ +n-342=0,(cid:100)(cid:100)(n+19)(n-18)=0
(cid:100)(cid:100)∴ n=18 (∵ n은 자연수)
따라서 구하는 자연수는 18이다.
(cid:9000) ③
15
반지름의 길이가 r인 원의 넓이 (cid:8833) pr¤
길의 폭을 x m라 하면
(cid:100)(cid:100)(50+x)¤ p-50¤ p=309p
(cid:100)(cid:100)x¤ +100x-309=0,(cid:100)(cid:100)(x+103)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3 (∵ x>0)
따라서 길의 폭은 3 m이다.
(cid:9000) ②
16
(cid:8833) x=a를 이차방정식에 대입
x=a가 이차방정식의 해
x=a를 x¤ -6x+1=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)a¤ -6a+1=0
a+0이므로 양변을 a로 나누면
(cid:100)(cid:100)a-6+
=0(cid:100)(cid:100)∴ a+
=6
;a!;
;a!;
¤ ={a+
;a!;}
;a!;}
한편 {a-
¤ -4=6¤ -4=32이므로
(cid:100)(cid:100)a-
=4'2 {∵ a>
;a!;
;a!;}
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ - ={a+
1
a¤
;a!;}{a-
;a!;}
=6_4'2=24'2
120 Check Up 풀이집
(cid:9000) 24'2
x¤ -6x+1=0에서
x=0일 때
(cid:100)0-6_0+1+0
이므로 0은 주어진 방
정식의 근이 될 수 없다.
17
(cid:8833) b¤ -4acæ0
이차방정식 ax¤ +bx+c=0이 근을 갖는다.
두 개의 주사위를 던졌을 때 일어날 수 있는 모든
경우의 수는(cid:100)(cid:100)6_6=36
이차방정식 x¤ +ax+b=0이 근을 가지려면
(cid:100)(cid:100)a¤ -4bæ0,(cid:100)(cid:100)a¤ æ4b
yy ㉠
이어야 하므로 ㉠을 만족시키는 순서쌍 (a, b)는
(cid:100)(cid:100)(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3),
(4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5),
(5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5),
(6, 6)
의 19개이다.
일차함수 y=ax+b의 그래프
18
(cid:8833) a: 기울기, b: y절편
주어진 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=;4!;x-1, 즉 -;4!;x+y+1=0
이차방정식 x¤ -;4!;x-1=0의 두 근을 a, b라 하면
(cid:100)(cid:100)a+b=;4!;, ab=-1
(cid:100)(cid:100)∴ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
={;4!;}2 -4_(-1)=;1^6%;
(cid:9000) ;1^6%;
보충 학습
두 점 (x¡, y¡), (x™, y™)를 지나는 직선의 방정식 구하기
⁄ 기울기 a를 구한다. (cid:8825) a=
y™-y¡
x™-x¡
¤ 한 점의 좌표를 y=ax+b에 대입하여 b의 값을 구한다.
19
어떤 수를 x로 놓고 식을 세운다.
어떤 수를 x라 하면(cid:100)(cid:100)(x-5)¤ =2(x-5)
(cid:100)(cid:100)x¤ -12x+35=0,(cid:100)(cid:100)(x-5)(x-7)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=7 (∵ x+5)
따라서 어떤 수는 7이다.
(cid:9000) 7
20
(입장료에 대한 수입)
=(1인당 입장료)_(입장객 수)
1000_3000=(1000+a)(3000-2a)이므로
(cid:100)(cid:100)3_10fl =-2a¤ +1000a+3_10fl
(cid:100)(cid:100)2a¤ -1000a=0,(cid:100)(cid:100)2a(a-500)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=500(∵ a+0)
(cid:9000) 500
14
주어진 공식을 이용하여 식을 세운다.
이므로(cid:100)(cid:100)a=-;4!;, b=1
두 점(0, -1), (4, 0)
을 지나므로 이 함수
의 그래프의 기울기는
(cid:100)
0-(-1)
4-0
=;4!;
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지121 SinsagoHitec
△ABC에서 BD”가 ∠B의 이등분선일 때
21
(cid:8833) AB” : BC”=AD”
” : CD”
A
D
C
14`cm
36æ
x`cm
B
36æ
36æ
x`cm
72æ
72æ
{14-x}`cm
삼각형 ABC는
AB”=AC”인 이등변삼각형
이고, 삼각형 BCD도
BC”=BD”인 이등변삼각형
이다.
BC”=x라 하면 오른쪽 그
림에서 삼각형의 각의 이등
분선의 성질에 의하여
(cid:100)(cid:100)x : 14=(14-x) : x
(cid:100)(cid:100)x¤ =196-14x,(cid:100)(cid:100)x¤ +14x-196=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-7+'ƒ49+196
=-7+7'5 (cm)(∵ x>0)
(cid:9000) (-7+7'5 ) cm
보충 학습
삼각형의 내각의 이등분선과 변의 길이의 비
△ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC”
A
와 만나는 점을 D라 하면
(cid:100)(cid:100)AB” : AC”=BD” : CD”
B
C
D
22
채점 기준
기호의 뜻에 따라 식 세우기
x의 값 구하기
(2x-1)„(x+3)=-11에서
(cid:100)(cid:100)(2x-1-2)(x+3+2)-(2x-1)=-11 ▶ 2`점
(cid:100)(cid:100)2x¤ +5x-3=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(2x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=
;2!;
▶ 2`점
(cid:9000) -3,
;2!;
23
채점 기준
이차방정식의 상수항 구하기
이차방정식의 x의 계수 구하기
이차방정식 구하기
해 구하기
배점
2점
2점
배점
2점
2점
1점
1점
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
우공비 B0X
문제집 63~64쪽
(cid:100) 따라서 처음 이차방정식의 x의 계수는 -4이다.
ax¤ +2b'x+c=0
(cid:8825) x=
-b'—"√b'¤ -ac
a
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x¤ -4x-8=0
⑵ x¤ -4x-8=0에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=2—"√(-2)¤ -1_(-8)
=2—2'3
▶ 1`점
(cid:9000) ⑴ x¤ -4x-8=0(cid:100)⑵ x=2—2'3
∠BDC=∠BCD
=72˘
이므로 삼각형 BCD
는 이등변삼각형이다.
24
채점 기준
h=120일 때, t의 값 구하기
h=0일 때, t의 값 구하기
⑴ 120=-5t¤ +30t+80에서
(cid:100) (cid:100)(cid:100)5t¤ -30t+40=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)t¤ -6t+8=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(t-2)(t-4)=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ t=2 또는 t=4
높이 a m에 도달하는
시간은 올라갈 때, 내
려올 때의 두 번이다.
(단, 가장 높이 올라간
경우는 제외)
(cid:100) 따라서 물체의 높이가 120 m가 되는 것은 쏘아 올린
지 2초 후 또는 4초 후이다.
▶ 3`점
⑵ 물체가 지면에 떨어질 때, 높이는 0 m이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)0=-5t¤ +30t+80
(cid:100) (cid:100)(cid:100)t¤ -6t-16=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(t+2)(t-8)=0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ t=8 (∵ t>0)
(cid:100) 따라서 물체는 8초 후에 지면에 떨어진다.
▶ 3`점
(cid:9000) ⑴ 2초 또는 4초(cid:100)⑵ 8초
25
채점 기준
한 화단의 가로, 세로의 길이 구하기
네 화단의 넓이의 합을 이용하여 식 세우기
길의 폭 구하기
길의 폭을 x m라 하면 한 화단의 가로와 세로의 길
(20-3x)(16-3x)
=192에서
(cid:100)9x¤ -108x+320
=192
(cid:100)∴ 9x¤ -108x+128
=0
이는 각각
(cid:100)(cid:100)
20-3x
2
(m),
16-3x
2
(m)
이므로 네 화단의 넓이의 합은
(cid:100)(cid:100)4_
20-3x
2
_
16-3x
2
=20_16_;1§0º0;
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 1`점
배점
3점
3점
배점
2점
2점
2점
▶ 2`점
(cid:100)(cid:100)9x¤ -108x+128=0
(cid:100)(cid:100)(3x-4)(3x-32)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=;3$; 또는 x=:£3™:
3x<16, 즉 x<:¡3§:이므로 구하는 길의 폭은
(cid:100)(cid:100);3$; m
▶ 2`점
(cid:9000) ;3$; m
대단원별 실전 TEST 121
⑴ 두 근이-1, 8이고 , x¤ 의 계수가 1인 이차방정
식은
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+1)(x-8)=0, 즉 x¤ -7x-8=0
(cid:100) 따라서 처음 이차방정식의 상수항은 -8이다. ▶ 2`점
(cid:100) 두 근이 -2, 6이고, x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+2)(x-6)=0, 즉 x¤ -4x-12=0
두 근이 a, b이고 x¤ 의 계
수가 1인 이차방정식
(cid:8825) (x-a)(x-b)=0
”
14중3상해설대단원(107-128)-OK 2014.10.1 5:19 PM 페이지122 SinsagoHitec
우공비 B0X
;4!;_{;3*;}2 =:¡9§:
x축을 접는 선으로 하
여 접었을 때 완전히
포개어진다.
그래프가 점 (a, b)를
지난다.
(cid:8825) x=a, y=b를 주
어진 식에 대입한
다.
a>0이고 절댓값이 가
장 크다.
(cid:9000) ①
a<0이고 절댓값이 가
장 크다.
Point Up
문제집
06 회
Ⅳ
이차함수
| 문제집 65~68쪽
01 ③
05 ④
09 ④
13 ④
19 -6
21 121
02 ①
06 ③
10 ⑤
14 ⑤
03 ④
07 ③
11 ⑤
15 ②
04 ④
08 ③
12 ④
16 ③
17 -30, p<0, q<0
20 (2, -3), (0, -11)
22 y=;2#;x¤
23 k<3
24 8
25 ⑴ 5초(cid:100)⑵ 125m
01
이차함수 (cid:8833) y=(x에 대한 이차식)
㈂ y=x¤ (x-3), 즉 y=x‹ -3x¤
㈄ y=x(x+1)-2x¤ +3, 즉 y=-x¤ +x+3
이상에서 이차함수인 것은 ㈁, ㈄이다.
(cid:9000) ③
보충 학습
이차함수가 아닌 것 찾기
① (x에 대한 이차식)=0 (cid:8825) 이차방정식이다.
② y=(x에 대한 일차식) (cid:8825) 일차함수이다.
③ y=(수) (cid:8825) 이차함수가 아니다.
④ y=
(cid:8825) x¤ 이 분모에 있으면 이차함수가 아니다.
1
x¤
02
이차함수 y=ax¤ 의 그래프
(cid:8833) a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
주어진 그림에서 상수 a의 값이 가장 큰 경우는 그
래프가 아래로 볼록하면서 폭이 가장 좁은 ㈀, 가장 작은
경우는 그래프가 위로 볼록하면서 폭이 가장 좁은 ㈃이
점 D의 좌표를 기준으로 주어진 조건을 이용한다.
점 D의 좌표를 {a, ;4!;a¤ } (a>0)이라 하면 점 A,
다.
03
B의 좌표는
(cid:100)(cid:100)A{-a, ;4!;a¤ }, B(-a, 0)
AD”=3AB”이므로
(cid:100)(cid:100)2a=;4#;a¤ ,(cid:100)(cid:100)3a¤ -8a=0
(cid:100)(cid:100)a(3a-8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=;3*; (∵ a>0)
122 Check Up 풀이집
따라서 구하는 점 D의 좌표는
(cid:100)(cid:100){;3*;, :¡9§:}
(cid:9000) ④
04
이차함수 y=ax¤ 의 그래프와 x축에 대칭 (cid:8833) y=-ax¤
이차함수 y=ax¤ 의 그래프와 y=;3!;x¤ 의 그래프는
x축에 대칭이므로
(cid:100)(cid:100)a=-;3!;
또 이차함수 y=ax¤ 의 그래프는 점 (-9, b)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)b=81a=81_{-;3!;}=-27
(cid:100)(cid:100)∴ ab={-;3!;}_(-27)=9
(cid:9000) ④
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만
05
큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
이차함수 y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 2
만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식
은
(cid:100)(cid:100)y=-3(x-2)¤ -2
이 그래프가 점 (a, -14)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)-14=-3(a-2)¤ -2,(cid:100)(cid:100)(a-2)¤ =4
(cid:100)(cid:100)a-2=-2 또는 a-2=2
(cid:100)(cid:100)∴ a=4 (∵ a+0)
(cid:9000) ④
일차함수 y=ax+b의 그래프
06
(cid:8833) a는 기울기, b는 y절편
주어진 그래프는 위로 볼록하고, y축과 만나는 점
이 원점의 위쪽에 위치하므로
(cid:100)(cid:100)a<0, -b>0
즉 y=ax-b의 그래프는 기울기
가 음수이고 y축과 만나는 점이
원점의 위쪽에 위치하므로 오른
쪽 그림과 같다.
따라서 이 그래프가 지나지 않는
사분면은 제 3 사분면이다.
y
O
x
y=ax-b
(cid:9000) ③
07
(cid:8833) a는 기울기, b는 y절편
일차함수 y=ax+b의 그래프
주어진 일차함수의 그래프는 오른쪽 위로 향하므
로(cid:100)(cid:100)a>0
(y절편)>0이므로(cid:100)(cid:100)b>0
따라서 이차함수 y=a(x-b)¤ 의 그래프는 a>0이므로
아래로 볼록하고, 꼭짓점의 좌표 (b, 0)에서 b>0이므
로 그래프의 개형으로 옳은 것은 ③이다.
(cid:9000) ③
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지123 SinsagoHitec
우공비 B0X
문제집 65~67쪽
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 q만
08
큼 평행이동 (cid:8833) y=ax¤ +q
이차함수 y=-;3!;x¤ +3의 그래프는 이차함수
y=-;3!;x¤ -1의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행
이동한 것이다.
x=-2
x=1
y
따라서 구하는 넓이는
오른쪽 그림의 평행사
변형의 넓이와 같으므
로
(cid:100)(cid:100)4_3=12
3
O
-1
-2
1
x
1
y=- x2+3
3
1
y=- x2-1
3
(cid:9000) ③
보충 학습
평행사변형의 넓이
(평행사변형의 넓이)
=(밑변의 길이)_(높이)
밑변
높이
높이
밑변
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌
09
표 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다.
y=-3x¤ -12x+b-7
y=-3(x¤ +4x)+b-7
y=-3(x+2)¤ +b+5
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2, b+5)이다.
꼭짓점이 제2사분면 위에 있으므로
(cid:100)(cid:100)b+5>0(cid:100)(cid:100)∴ b>-5
(cid:9000) ④
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌
10
표 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다.
y=x¤ -4ax+3a¤ -b¤ +2b
=(x-2a)¤ -a¤ -b¤ +2b
에서 꼭짓점의 좌표는 (2a, -a¤ -b¤ +2b)이므로
(cid:100)(cid:100)2a=4, -a¤ -b¤ +2b=-3
2a=4에서 a=2이므로
(cid:100)(cid:100)b¤ -2b+1=0,(cid:100)(cid:100)(b-1)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ b=1
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=2-1=1
11
그래프를 보고 a, b, c의 부호를 결정한다.
주어진 그래프는 아래로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a>0
축이 y축의 오른쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)ab<0
그런데 a>0이므로(cid:100)(cid:100)b<0
y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)c<0
① a>0, -b>0이므로(cid:100)(cid:100)a-b>0
② b<0, c<0이므로(cid:100)(cid:100)
>0
;bC;
c=3이므로
(cid:100)a-b=9 y ㉠(cid:100)
(cid:100)a+b=-5 y ㉡(cid:100)
㉠+㉡을 하면
(cid:100)2a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=2
a=2를 ㉠에 대입하면
(cid:100)2-b=9
(cid:100)∴ b=-7
x축과의 두 교점은 직
선 x=2로부터 4만큼
씩 떨어져 있다. 즉 두
교점의 x좌표는
(cid:100)2-4=-2,
(cid:100)2+4=6
y=ax¤ +bx+c에서
① a의 부호 (cid:8825) 그래프의
[
모양
아래로 볼록: a>0
위로 볼록: a<0
② b의 부호 (cid:8825) 축의 위치
y축의 왼쪽: ab>0
y축의 오른쪽: ab<0
③ c의 부호 (cid:8825) y축과의
[
교점
원점의 위쪽: c>0
원점의 아래쪽 :c<0
[
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
③ abc>0
④ a>0, -b>0, -c>0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)a-b-c>0
⑤ a>0, bc>0이므로(cid:100)(cid:100)a+bc>0
(cid:9000) ⑤
일차함수 y=ax+b의 그래프
12
(cid:8833) a는 기울기, b는 y절편
주어진 그래프에서 기울기가 -2, y절편이 2이므
로(cid:100)(cid:100)a=-2, b=2
이차함수 y=-2x¤ +2x-5의 그래프에서
① a+b=-2+2=0
② y=-2x¤ +2x-5에 x=1, y=-5를 대입하면
② (cid:100)(cid:100)-5=-2_1¤ +2_1-5
② 이므로 점 (1, -5)를 지난다.
③ x¤ 의 계수가 음수이므로 위로 볼록한 포물선이다.
④ y=-2x¤ +2x-5=-2 {x¤ -x+;4!;}-;2(;
② y=-2{x-;2!;}2 -;2(;
② 이므로 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100){;2!;, -;2(;}
⑤ x¤ 의 계수가 -2로 같으므로 그래프의 폭이 같다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
(cid:9000) ④
13
(cid:8833) y=ax¤ +bx+c로 놓고 세 점의 좌표를 대입한다.
그래프가 지나는 세 점의 좌표가 주어질 때
구하는 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면
그래프가 세 점 (-1, 12), (0, 3), (1, -2)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)12=a-b+c, 3=c, -2=a+b+c
세 식을 연립하여 풀면
(cid:100)(cid:100)a=2, b=-7, c=3
(cid:100)(cid:100)∴ y=2x¤ -7x+3
14
(cid:8833) 그래프가 직선 x=p에 대하여 대칭이다.
이차함수의 그래프의 축의 방정식이 x=p
주어진 이차함수의 그래프가 직선 x=2를 축으로
하고 x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 8이므로 x축과
의 두 교점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(-2, 0), (6, 0)
(cid:100)(cid:100)y=-2(x+2)(x-6)
=-2x¤ +8x+24
(cid:100)(cid:100)∴ a=8, b=24
(cid:9000) ④
(cid:9000) ⑤
15
이차함수 y=a(x-p)¤ +q(a>0) (cid:8833) 최솟값 q
y=x¤ +2ax+b
=(x+a)¤ +b-a¤
에서 꼭짓점의 좌표는 (-a, b-a¤ )이므로
대단원별 실전 TEST 123
(cid:9000) ⑤
이차항의 계수가 -2이므로 구하는 이차함수의 식은
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지124 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
y=-2x-3에 x=-a, y=b-a¤ 을 대입하면
(cid:100)(cid:100)b-a¤ =2a-3
(cid:100)(cid:100)∴ b=a¤ +2a-3=(a+1)¤ -4
따라서 b는 a=-1에서 최솟값 -4를 갖는다.
(cid:9000) ②
직사각형의 둘레의 길이가 a
16
(cid:8833) (가로의 길이)+(세로의 길이)=
;2A;
(cid:100)(cid:100)y=x(10-x)=-x¤ +10x
=-(x-5)¤ +25
이므로 x=5에서 최댓값 25를 갖는다.
직사각형의 가로의 길이를 xm, 넓이를 ym¤ 라 하면
따라서 놀이터의 최대 넓이는 25 m¤ 이다.
(cid:9000) ③
17
이차함수 y=ax¤ 의 그래프
(cid:8833) a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
y=ax¤ 의 그래프가 위로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a<0
y=ax¤ 의 그래프는 y=-3x¤ 의 그래프보다 폭이 넓고
y=-
x¤ 의 그래프보다 폭이 좁으므로
;2!;
(cid:100)(cid:100)-30, p<0, q<0
(cid:9000) a>0, p<0, q<0
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 q만
19
큼 평행이동 (cid:8833) y=ax¤ +q
y=;3!;x¤ +9의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평
행이동한 그래프의 식은(cid:100)(cid:100)y=;3!;x¤ +9+q
조건 ㈎에서 꼭짓점이 원점이므로
(cid:100)(cid:100)9+q=0(cid:100)(cid:100)∴ q=-9(cid:100)(cid:100)∴ y=;3!;x¤
조건 ㈏에서 점 (-3, k)를 지나므로 x=-3, y=k를
대입하면
(cid:100)(cid:100)k=;3!;_(-3)¤ =3
(cid:100)(cid:100)∴ k+q=3+(-9)=-6
124 Check Up 풀이집
(cid:9000) -6
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프의 꼭짓점의 좌
20
표 (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다.
y=-2x¤ +8x-11=-2(x-2)¤ -3이므로 그래
y=-2x¤ +8x-11에 x=0을 대입하면 y=-11이므
프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(2, -3)
로 y축과의 교점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(0, -11)
둘레의 길이가 20 m이
므로 세로의 길이는
(10-x)m이다.
21
합이 A인 두 수 (cid:8833) x, A-x
합이 22이므로 두 수를 x, 22-x로 놓을 수 있다.
(cid:9000) (2, -3), (0, -11)
두 수의 곱을 y라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x(22-x)
(cid:100)(cid:100)y=-x¤ +22x
(cid:100)(cid:100)y=-(x-11)¤ +121
이차함수
y=a(x-p)¤ +q는
a>0일 때 (cid:8825) 최솟값 q
a<0일 때 (cid:8825) 최댓값 q
따라서 y는 x=11에서 최댓값 121을 갖는다.
즉 두 수의 곱의 최댓값은 121이다.
(cid:9000) 121
22
채점 기준
이차함수의 식을 y=ax¤ 으로 놓기
포물선의 식 구하기
배점
2점
3점
원점을 꼭짓점으로 하고 y축을 축으로 하므로 포물
선의 식을 y=ax¤ 으로 놓을 수 있다.
▶ 2점
포물선이 점 (-2, 6)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)6=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=
;2#;
따라서 구하는 식은
(cid:100)(cid:100)y=
x¤
;2#;
23
채점 기준
이차함수의 식을 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하기
평행이동한 그래프의 식 구하기
k의 값의 범위 구하기
y=2x¤ -4x+2-k
=2(x-1)¤ -k
의 식은
(cid:100)(cid:100)y=2(x-1)¤ +3-k
가 x축과 만나지 않으려면
(cid:100)(cid:100)3-k>0(cid:100)(cid:100)∴ k<3
이 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (1, 3-k)이므로 그래프
▶ 3점
(cid:9000) y=
x¤
;2#;
배점
2점
2점
2점
▶ 2`점
▶ 2`점
▶ 2`점
(cid:9000) k<3
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지125 SinsagoHitec
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
우공비 B0X
문제집 67~69쪽
y가 x에 대한 이차함수 (cid:8833) y=ax¤ +bx+c (a+0)
01
① y=2px
② y=x‹
③ y=
_4_2x=4x
;2!;
;2!;
▶ 2`점
⑤ y=
_(x+4x)_6=15x
④ y=x(5-x)=-x¤ +5x (cid:8825) 이차함수
24
채점 기준
점 A의 좌표 구하기
두 점 B, C의 좌표 구하기
△ABC의 넓이 구하기
배점
2점
2점
2점
y=x¤ -2x-3=(x-1)¤ -4의 그래프의 꼭짓점의
좌표는 (1, -4)이므로
(cid:100)(cid:100)A(1, -4)
y=0을 대입하면 x¤ -2x-3=0에서
(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=3
따라서 x축과의 교점의 x좌표
가 -1, 3이므로
(cid:100)(cid:100)B(-1, 0), C(3, 0)
▶ 2`점
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC
(cid:100)(cid:100) =
_4_4=8
▶ 2`점
;2!;
C
3
x
y
O
B
-1
-3
-4
1
A
또는 B(3, 0),
C(-1, 0)
(cid:9000) 8
y=ax¤ +bx+c일 때
(cid:8825) y=a(x-p)¤ +q 꼴로
고쳐서 최댓값 또는 최
솟값을 구한다.
배점
4점
1점
1점
▶ 4`점
▶ 1`점
▶ 1`점
(cid:9000) ⑴ 5초(cid:100)⑵ 125 m
|a|<|-
;2#;|
(cid:100)∴ a>-
;2#;
25
채점 기준
y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하기
최대 높이일 때 시간 구하기
최대 높이 구하기
⑴ y=50x-5x¤
=-5(x¤ -10x)
=-5(x-5)¤ +125
최대가 된다.
⑵ 최대 높이는 125 m이다.
⑴ x=5에서 최댓값 125를 가지므로 5초 후에 높이가
07 회
Ⅳ
이차함수
| 문제집 69~72쪽
01 ④
05 ④
09 ②
13 ③
17 7
02 ③
06 ④
10 ②
14 ②
03 ①
07 ④
11 ③
15 ⑤
18 (3, -13)19 15
04 ③
08 ②
12 ⑤
16 ②
20 30
21 제 1, 2, 3, 4사분면 22 최댓값: 9, x=3, y=3
23 (-1, 3) 24 6
25 50
점 (a, b)가 그래프
위에 있다.
(cid:8825) 그래프가 점
(a, b)를 지난다.
(cid:8825) x=a, y=b를 그
래프의 식에 대입
하면 성립한다.
원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 나타내는 이차함
02
수의 식 (cid:8833) y=ax¤ (a+0)
원점을 꼭짓점으로 하는 포물선을 나타내는 이차함
수의 식을 y=ax¤ (a+0)으로 놓으면 그래프가
점 (2, -16)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-16=a_2¤
(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
(cid:100)(cid:100)-12=-4k¤ ,(cid:100)(cid:100)k¤ =3
(cid:100)(cid:100)∴ k=-'3 (∵ k<0)
따라서 y=-4x¤ 의 그래프가 점 (k, -12)를 지나므로
03
이차함수 y=ax¤ 의 그래프
(cid:8833) a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
y=ax¤ 의 그래프가 위로 볼록하므로
y=-
x¤ 의 그래프보다 폭이 넓으므로
(cid:100)(cid:100)a<0
;2#;
;2#;
(cid:100)(cid:100)-
-3일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
이차함수 y=a(x-p)¤ 의
그래프와 y=-a(x-p)¤
의 그래프는 x축에 대칭
이다.
(cid:100)(cid:100)∴ a+p+k=-2+4+1=3
(cid:9000) ④
프의 개형 나타내기
③ y=-2(x+1)¤ -2는
x>-1인 범위에서 x의
값이 증가할 때 y의 값이
y=-2{x+1}@-2
감소한다.
y
-1
O
x
-2
-4
7
1
O
④ y=;3@;(x-3)¤ +1은
② x<3인 범위에서 x의
값이 증가할 때 y의 값
이 감소한다.
⑤ y=-3(x-1)¤ +3은
x>1인 범위에서 x의
값이 증가할 때 y의 값이
감소한다.
y
y=-{x-3}@+1
2
3
3
x
y
3
y=-3{x-1}@+3
O
1
x
(cid:9000) ②
보충 학습
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프의 증가, 감소 알
아보기
⁄ a의 부호와 꼭짓점의 좌표 (p, q)를 이용하여 그래
a>0
a<0
{p, q}
그래프가 x축과 만나
는 점의 y좌표는 0이
다.
{p, q}
x=p
x=p
¤ x=p를 기준으로 증가, 감소의 범위 구하기
09
(cid:8833) y=a(x-p)¤ +q 꼴로 고친다.
이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
주어진 이차함수의 그래프는 위로 볼록하고, 원점
그래프가 y축과 만나
는 점의 x좌표는 0이
다.
을 지난다.
(cid:100)(cid:100)y=-x¤ +4ax=-(x-2a)¤ +4a¤
에서 꼭짓점의 좌표는 (2a, 4a¤ )이다.
이때 a>0이므로 꼭짓점은 제1 사분면 위의 점이다.
따라서 주어진 함수의 그래프는
오른쪽 그림과 같으므로 제2 사
y
4a@
분면을 지나지 않는다.
(cid:9000) ②
O
2a
x
10
(cid:8833) 함수의 식에 x=a, y=b를 대입한다.
함수의 그래프가 점 (a, b)를 지난다.
y=x¤ +2mx+2m¤ -2m+1
y=(x+m)¤ +m¤ -2m+1
에서 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(-m, m¤ -2m+1)
(cid:9000) ④
(cid:100)(cid:100)
06
이차함수 y=ax¤ 의 그래프와 x축에 대칭 (cid:8833) y=-ax¤
y=ax¤ 의 그래프와 x축에 대칭인 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-ax¤
이 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로
k만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-a(x+1)¤ +k, 즉
(cid:100)(cid:100)y=-ax¤ -2ax-a+k
이므로(cid:100)(cid:100)-a=2, -2a=p, -a+k=3
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2, p=4, k=1
x축과 만나는 점의 x좌표가 p (cid:8833) (p, 0)
07
y축과 만나는 점의 y좌표가 q (cid:8833) (0, q)
y=-3x¤ -5x+2에 y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)-3x¤ -5x+2=0
(cid:100)(cid:100)(x+2)(3x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=;3!;
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2, b=;3!; (∵ a0인
범위에서 x의 값이 증가할 때
y의 값이 감소한다.
y
1
O
y=-x@+1
x
② y=;2!;(x-1)¤ 은 x<1인
② 범위에서 x의 값이 증가할
때 y의 값이 감소한다.
y
1
2
O
y=-{x-1}@
1
2
1
x
126 Check Up 풀이집
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지127 SinsagoHitec
이 꼭짓점이 직선 y=-x+5 위의 점이므로
(cid:100)(cid:100)m¤ -2m+1=m+5,(cid:100)(cid:100)m¤ -3m-4=0
(cid:100)(cid:100)(m+1)(m-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ m=-1 (∵ m…2)
(cid:9000) ②
함수의 그래프와 x축의 교점의 좌표
11
(cid:8833) 함수의 식에 y=0을 대입
y=x¤ +ax-a-4에 y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)x¤ +ax-a-4=0
yy ㉠(cid:100)(cid:100)
x축과 만나는 두 점의 x좌표를 a, b라 하면 a, b는 ㉠
의 두 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하
여
(cid:100)(cid:100)a+b=-a, ab=-a-4
f(a)=|a-b|이므로
(cid:100)(cid:100)(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab
=(-a)¤ -4(-a-4)
=a¤ +4a+16
=(a+2)¤ +12
따라서 (a-b)¤ 은 a=-2에서 최솟값 12를 가지므로
|a-b|, 즉 f(a)의 최솟값은 '∂1å2=2'3이다.
(cid:9000) ③
a의 부호 (cid:8833) 그래프의 모양에 따라 결정
12
b의 부호 (cid:8833) 축의 위치에 따라 결정
c의 부호 (cid:8833) y축과의 교점의 위치에 따라 결정
주어진 그래프가 위로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a<0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로(cid:100)(cid:100)-ab<0
이때 a<0이므로(cid:100)(cid:100)b<0
y축과의 교점이 원점의 위쪽에 있으므로
(cid:100)(cid:100)-c>0(cid:100)(cid:100)∴ c<0
(cid:9000) ⑤
13
꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
꼭짓점의 좌표가 (-2, 0)이므로 구하는 이차함수
의 식을 y=a(x+2)¤ 으로 놓을 수 있다.
그래프가 점 (0, 3)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)3=4a(cid:100)(cid:100)∴ a=
;4#;
(cid:100)(cid:100)∴ y=
(x+2)¤
;4#;
14
꼭짓점의 좌표가 (p, q) (cid:8833) y=a(x-p)¤ +q
꼭짓점의 좌표가 (4, -3)이므로 이차함수의 식을
y=a(x-4)¤ -3으로 놓을 수 있다.
그래프가 점 (7, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)0=9a-3(cid:100)(cid:100)∴ a=
;3!;
따라서 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=
(x-4)¤ -3, 즉 y=
x¤ -
x+
;3!;
;3*;
;3&;
;3!;
이므로(cid:100)(cid:100)a=
, b=-
, c=
;3!;
;3*;
;3&;
i
P
o
n
t
U
p
대
단
원
별
실
전
T
E
S
T
우공비 B0X
문제집 69~71쪽
(cid:100)(cid:100)∴ 3(a+b+c)=3 {;3!;
-
;3*;
+
;3&;}=0
(cid:9000) ②
15
y=a(x-p)¤ +q (a>0) (cid:8833) x=p에서 최솟값 q
y=
x¤ +x+k
y=
(x¤ +4x+4)-1+k
;4!;
;4!;
;4!;
y=
(x+2)¤ +k-1
에서 최솟값이 6이므로
(cid:100)(cid:100)k-1=6(cid:100)(cid:100)∴ k=7
16
y=a(x-p)¤ +q (a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q
이익을 y만 원이라 하면
(cid:100)(cid:100)y=-
x¤ +10x-500
(cid:100)(cid:100)y=-
(x¤ -1000x+250000)+2500-500
(cid:100)(cid:100)y=-
(x-500)¤ +2000
이므로 y는 x=500에서 최댓값 2000을 갖는다.
따라서 하루에 500개의 제품을 생산하면 된다.
;10!0;
;10!0;
;10!0;
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만
17
큼 평행이동 (cid:8833) y=a(x-p)¤
이차함수 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 4만
y좌표가 같은 두 점
사이의 거리는 x좌표
의 차와 같다.
y=ax¤ +bx+c(a>0)의
그래프에서
y
O
x
a,b가
같은 부호
a,b가
다른 부호
큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=3(x-4)¤
a-4=-3 또는
a-4=3
(cid:100)∴ a=1 또는 a=7
이 그래프가 두 점 (1, k), (a, k)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)k=3_(1-4)¤ , k=3(a-4)¤
따라서 3(a-4)¤ =27이므로(cid:100)(cid:100)(a-4)¤ =9
(cid:100)(cid:100)∴ a=7 (∵ a+1)
(cid:9000) ⑤
(cid:9000) ②
(cid:9000) 7
그래프의 꼭짓점과 그래프
위의 한 점을 알 때, 이차
함수의 식 구하기
⁄ 꼭짓점의 좌표가 (p, q)
이므로
y=a(x-p) ¤ +q 로
놓기
18
(cid:8833) 꼭짓점의 y좌표는 0이다.
이차함수의 그래프가 x축에 접한다.
y=x¤ -4x+8+a=(x¤ -4x+4)+4+a
(cid:9000) ③
¤ 점의 좌표를 대입하여
=(x-2)¤ +4+a
a의 값 구하기
의 그래프가 x축에 접할 때 꼭짓점의 y좌표는 0이므로
(cid:100)(cid:100)4+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
(cid:100)(cid:100)y=x¤ -6x-4=(x¤ -6x+9)-13
(cid:100)(cid:100) =(x-3)¤ -13
이므로 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(3, -13) (cid:9000) (3, -13)
19
y축과의 교점 (cid:8833) 함수의 식에 x=0을 대입
x축과의 교점 (cid:8833) 함수의 식에 y=0을 대입
y=-x¤ +x+6에 x=0을 대입하면 y=6이므로
(cid:100)(cid:100)A(0, 6)
y=-x¤ +x+6에 y=0을 대입하면
대단원별 실전 TEST 127
D1001우중수3상_정(107-128) 2014.10.1 1:12 PM 페이지128 SinsagoHitec
Point Up
문제집
우공비 B0X
문제집 71~72쪽
23
채점 기준
a, b의 값 구하기
y=(x-p)¤ +q 꼴로 고치기
이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표 구하기
AO”=6
BC”=3-(-2)=5
주어진 일차함수의 그래프에서 기울기는
(cid:100)(cid:100)-x¤ +x+6=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=3
따라서 B(-2, 0), C(3, 0)이므로
(cid:100)(cid:100)△ABC=
5_6=15
;2!;_
(cid:9000) 15
보충 학습
⑴ x절편
이차함수의 그래프와 x절편, y절편
⑴ 그래프가 x축과 만나는 점의
x좌표 (cid:8825) a, b
⑵ y절편
⑴ 그래프가 y축과 만나는 점의
y좌표 (cid:8825) c
y
y절편
{0, c}
{å, 0}
{∫, 0}
x
x절편
O
20
x축과 만나는 점 (cid:8833) 함수식에 y=0을 대입
y=0을 대입하면 ;4!;x¤ -k=0에서
(cid:100)(cid:100)x¤ =4k(cid:100)(cid:100)∴ x=—2'∂k
즉 A(-2'∂k, 0), B(2'∂k, 0)이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=4'∂k
따라서 AB”의 길이가 자연수가 되려면 k가 제곱수가 되
어야 하므로 이를 만족시키는 20 이하의 자연수 k는
(cid:100)(cid:100)1, 4, 9, 16
(cid:100)(cid:100)∴ 1+4+9+16=30
(cid:9000) 30
21
y=a(x-p)¤ +q (a<0) (cid:8833) x=p에서 최댓값 q
y=-x¤ -2ax-2a=-(x¤ +2ax+a¤ )+a¤ -2a
y=-(x+a)¤ +a¤ -2a
x=-a에서 최댓값 a¤ -2a를 가지므로
(cid:100)(cid:100)a¤ -2a=15,(cid:100)(cid:100)a¤ -2a-15=0
(cid:100)(cid:100)(a+3)(a-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-3 (∵ a<0)
따라서 a=-3을 주어진
식에 대입하면
y=-{x-3}@+15
y
15
(cid:100)(cid:100)y=-(x-3)¤ +15
이므로 그래프는 오른쪽
그림과 같다. 즉 이차함수
O
3
x
y=-x¤ +6x+6의 그래
프는 제`1, 2, 3, 4사분면을 지난다.
(cid:9000) 제`1, 2, 3, 4사분면
22
로 나타낸다.
x+y=6에서 y=-x+6이므로
(cid:100)(cid:100)xy=x(-x+6)
=-x¤ +6x
=-(x-3)¤ +9
따라서 x=3, y=3에서 최댓값 9를 갖는다.
(cid:9000) 최댓값: 9, x=3, y=3
128 Check Up 풀이집
y=ax¤ +bx+c의 그래프
에서 x축과의 교점의 x좌
표는 y=0일 때, x의 값
이므로
(cid:100)ax¤ +bx+c=0
(cid:8825) a(x-a)(x-b)=0
(cid:8825) x=a 또는 x=b
(cid:100)∴ (a, 0), (b, 0)
제곱수: 자연수의 제곱인
수
(cid:8825) 근호 안의 수가 제곱수
이면 근호를 없애고 자
연수로 나타낼 수 있다.
▶ 1`점
(cid:9000) (-1, 3)
배점
2점
3점
1점
=2,
;2$;
▶ 2`점
▶ 3`점
배점
2점
3점
1점
▶ 2`점
▶ 3`점
▶ 1`점
(cid:9000) 6
배점
3점
3점
y절편은 4이므로
(cid:100)(cid:100)a=2, b=4
따라서 주어진 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=x¤ +2x+4
=(x+1)¤ +3
이므로 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(-1, 3)
24
채점 기준
a의 값 구하기
b, c의 값 구하기
a+b-c의 값 구하기
x축과의 교점의 좌표가 (-5, 0), (1, 0)이므로
이차함수의 식을 y=a(x+5)(x-1)로 놓을 수 있다.
그래프가 점 (0, -3)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-3=-5a(cid:100)(cid:100)∴ a=
;5#;
따라서 y=
(x+5)(x-1)=
x¤ +
x-3이므로
;5#;
;5#;
;;¡5™;;
(cid:100)(cid:100)b=
, c=-3
:¡5™:
(cid:100)(cid:100)∴ a+b-c=
-(-3)=6
;5#;+:¡5™:
25
채점 기준
x, y 사이의 관계를 식으로 나타내기
y의 최댓값 구하기
밑변의 길이가 12 cm, 높이가 8 cm인 삼각형의
밑변의 길이를 x cm 줄이고 높이를 x cm 늘이면 밑변
의 길이와 높이는 각각
(cid:100)(cid:100)(12-x)cm, (8+x)cm
이 삼각형의 넓이는 y cm¤ 이므로
;2!;
;2!;
(cid:100)(cid:100)y=
(-x¤ +4x+96)
(cid:100)(cid:100)y=-
(x-2)¤ +50
;2!;
따라서 y는 x=2에서 최댓값 50을 갖는다.
▶ 3`점
(cid:9000) 50
y=-x+6을 xy에 대입하여 x에 대한 이차식으
(삼각형의 넓이)
=
_(밑변의 길이)
;2!;
=_(높이)
(cid:100)(cid:100)y=
(12-x)(8+x)
▶ 3`점
