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Ⅰ. 수와 식의 계산
유리수와 순환소수
1
1
7~12쪽
유제1 ②
유제2
3
유제3 ③, ⑤
유제4 정십팔각형
유제5 ④
유제6
147
유제7
6개 유제8 ③
유제9
27
유제10 ⑤
유제11 4
유제12 57
유제13 ①, ⑤ 유제14 3
유제 1
;4!5^;=0.3H5이므로 x=5
즉,
;19{8;=;19%8;=0.0H2H5이므로 구하는 순환마디는 25이다.
유제 5
x
2_3_5_7
;21{0;=
공배수, 즉 21의 배수이어야 한다.
가 유한소수가 되려면 x는 3과 7의
따라서 x의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 21이다.
유제 6
,
a
98
=
a
2_7Û`
=
이때
a
60
a
2Û`_3_5
a
2Û`_3_5
a
2_7Û`
이어야 한다.
하고,
가 유한소수가 되려면 a는 3의 배수이어야
가 유한소수가 되려면 a는 7Û`, 즉 49의 배수
따라서 a는 3과 49의 공배수, 즉 147의 배수이므로 구하
는 가장 작은 자연수는 147이다.
유제 7
3
8_x
=
3
2Ü`_x
이므로
x는 2 또는 5로만 이루어진 수이거나 3의 약수이거나 이
들의 곱으로 이루어진 수이어야 한다.
따라서 구하는 x는 2, 3, 4, 5, 6, 8의 6개이다.
유제 2
;3!3)3);=0.H30H0이므로 순환마디를 이루는 숫자의 개수는 3개
이다.
유제 8
따라서 소수점 아래 10번째 자리의 숫자는 10=3_3+1
에서 순환마디의 첫 번째 숫자인 3이므로 a=3
소수점 아래 20번째 자리의 숫자는 20=3_6+2에서 순
환마디의 두 번째 숫자인 0이므로 b=0
∴ a+b=3+0=3
유제 3
주어진 분수를 기약분수로 나타낸 후 분모를 소인수분해하면
①
;3!2!;=
11
2Þ`
(유한소수)
②
;6@5^;=;5@;
(유한소수)
③ -;5!1&;=-;3!;
(순환소수)
④ -;5#0@;=-;2!5^;=-
(유한소수)
16
5Û`
⑤
;2!4);=;1°2;=
5
2Û`_3
(순환소수)
정십이각형:
;1#2);=;2%;(cm)
정십팔각형:
;1#8);=;3%;(cm)
5
2Û`
;2#4);=;4%;=
정이십사각형:
(cm)
정이십오각형:
;2#5);=;5^;(cm)
따라서 순환소수로 나타낼 수 있는 것은 ③, ⑤이다.
유제 4
만든 정다각형의 한 변의 길이는 각각 다음과 같다.
따라서 한 변의 길이를 유한소수로 나타낼 수 없는 정다각형
은 정십팔각형이다.
2
① 0.H10H1=;9!9)9!;
15-1
90
따라서 옳은 것은 ③이다.
④ 0.1H5=
② 1.H2H8=
128-1
99
⑤ 0.H72H8=;9&9@9*;
유제 9
;3!;_
{;1Á0;+;10!0;+;10Á00;+y
}
=;3!;_(0.1+0.01+0.001+y)=;3!;_0.111y
=;3!;_0.H1=;3!;_;9!;=;2Á7;
∴ A=27
유제 10
어떤 수를 x라 하면 0.H2H1_x=1.H9H0
이때 0.H2H1=;9@9!;
, 1.H9H0=
190-1
99
=;;Á9¥9»;;
이므로
;9@9!;_x=;;Á9¥9»;;
따라서 어떤 수는 9이다.
∴ x=;;Á9¥9»;;_;2(1(;=9
유제 11
;3!;<0.Hx<;2!;
이므로
에서 0.Hx=;9{;
2x
18
, 즉
;3!;<;9{;<;2!;
<;1»8;
따라서 6<2x<9이므로 구하는 한 자리의 자연수 x의 값
;1¤8;<
은 4이다.
[다른 풀이]
;3!;=0.333y, 0.Hx=0.xxxy,
;2!;=0.5이므로
에서 0.333y<0.xxxy<0.5
;3!;<0.Hx<;2!;
이때 x는 한 자리의 자연수이므로 x=4
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정답과 해설 유제 12
2.0H8=
208-20
90
=;;Á9¥0¥;;=;4(5$;
2.0H8_
=(0.H6)Û`에서
이므로
, 0.H6=;9^;=;3@;
n
m
{;3@;}
=
Û`
n
m
n
m
;4(5$;_
n
m
∴
=;9$;
;4(5$;_
=;9$;_;9$4%;=;4!7);
이때 m, n은 서로소이므로 m=47, n=10
∴ m+n=47+10=57
4
;4!;_(0.8+0.04+0.008+0.0004+y)
=;4!;_0.8484y
=;4!;_0.H8H4=;4!;_;9*9$;=;3¦3;
이때 a, b는 서로소인 자연수이므로 a=33, b=7
∴ a+b=33+7=40
유제 13
② 정수가 아닌 유리수를 소수로 나타내면 유한소수 또는
5
;1£1»0;=a+0.0H5에서
;1£1»0;=a+;9°0;
순환소수가 된다.
③ 무한소수 중 순환소수는 유리수이다.
④ 유리수 중 순환소수는 무한소수이다.
따라서 옳은 것은 ①, ⑤이다.
∴ a=;1£1»0;-;9°0;=;9@9(0^;=0.2H9H8
따라서 순환소수 a의 순환마디는 98이므로 순환마디를 이루
는 모든 숫자의 합은 9+8=17
유제 14
;5!7(;=;3!;=0.333y으로 무한소수이므로 19 · 57=2
6
1.H2=1.222y>1.2이므로
;2!5*;=;1¦0ª0;=0.72로 유한소수이므로 18 · 25=1
∴ (19 · 57)+(18 · 25)=2+1=3
1.H2a-1.2a=0.H1에서
;;Á9Á;;a-;1!0@;a=;9!;
110a-108a=10, 2a=10 ∴ a=5
7
<1, 6>=0.H1+0.0H6=;9!;+;9¤0;=;9!0^;
이므로
16_A=;9!0^;
에서 A=;9Á0;
<1, 8>=0.H1+0.0H8=;9!;+;9¥0;=;9!0*;
이므로
2
1 ②
5 ④
2 ④
6 ③
3 ③
7 ②
4 ②
8 ②, ③
13~14쪽
18_B=;9!0*;
에서 B=;9Á0;
∴ A+B=;9Á0;+;9Á0;=;9ª0;=0.0H2
1
;1°3;=0.H38461H5이므로 순환마디를 이루는 숫자의 개수는 6개
이다. 이때 30=6_5이므로 소수점 아래 첫째 자리부터 소수
점 아래 30번째 자리까지 순환마디가 5번 반복된다.
따라서 구하는 숫자의 합은
(3+8+4+6+1+5)_5=27_5=135
2
㈐에서
;70{0;=
x
2Û`_5Û`_7
이어야 한다.
가 유한소수가 되려면 x는 7의 배수
3
그런데 ㈎에서 x는 11의 배수이므로 x는 7과 11의 공배수,
즉 77의 배수이다.
77_2=154
이때 ㈏에서 x는 세 자리의 자연수이므로 x의 최솟값은
3
a
2Û`_3_5
;60;=
한다. 이때 100이므로 A=4xÝ`yß`
따라서 P=4, Q=4, R=6이므로
P+Q+R=4+4+6=14
유제 14
Q-3P =(2a-3b+1)-3(-a+5b)
=2a-3b+1+3a-15b
=5a-18b+1
따라서 l=5, m=-18, n=1이므로
l+m+n=5+(-18)+1=-12
유제 15
A+(2xÛ`+3x-5)=3xÛ`+2x+1이므로
A =3xÛ`+2x+1-(2xÛ`+3x-5)
=3xÛ`+2x+1-2xÛ`-3x+5=xÛ`-x+6
B-(xÛ`-7x-9)=xÛ`+6x+10이므로
B =xÛ`+6x+10+(xÛ`-7x-9)=2xÛ`-x+1
∴ A-B =(xÛ`-x+6)-(2xÛ`-x+1)
=xÛ`-x+6-2xÛ`+x-1
=-xÛ`+5
유제 16
A=
-xÛ`yÜ`+4xÜ`yÜ`-6xÛ`yÝ`
xÛ`yÛ`
=-y+4xy-6yÛ`
B=4xy-4xyÛ`+6y-6yÛ`
∴ B-A
=(4xy-4xyÛ`+6y-6yÛ`)-(-y+4xy-6yÛ`)
=4xy-4xyÛ`+6y-6yÛ`+y-4xy+6yÛ`
=-4xyÛ`+7y
유제 17
A=-2x, B =(2xÛ`-4xÜ`)_
=3x-6xÛ`
3
2x
∴ A_BÖ(-3x)=(-2x)_(3x-6xÛ`)Ö(-3x)
=(-6xÛ`+12xÜ`)Ö(-3x)
=
-6xÛ`+12xÜ`
-3x
=2x-4xÛ`
=-
{:Á2Á:}
11Û`
=-
11Û`
4
Ö11Û`=-;4!;
따라서 a=-4, b=2이므로
a+b=-4+2=-2
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2
1 ⑤
5 ①, ④
9 ②
2 ③
6 ③
10 ②
3 ④
7 ③
11 ②
4 ⑤
8 ④
12 ④
26~28쪽
6
2Ú`Þ`_15Ý`
12Ý`
=
2Ú`Þ`_(3_5)Ý`
(2Û`_3)Ý`
2Ú`Þ`_3Ý`_5Ý`
2¡`_3Ý`
=2Ü`_2Ý`_5Ý`=2Ü`_(2_5)Ý`
=
=2à`_5Ý`
=8_10Ý`
2Ú`Þ`_15Ý`
12Ý`
따라서
은 1+4=5(자리)의 자연수이다.
1
10_12_14_16_18_20
=(2_5)_(2Û`_3)_(2_7)_2Ý`_(2_3Û`)_(2Û`_5)
=211_3Ü`_5Û`_7
따라서 211_3Ü`_5Û`_7=2a_3b_5c_7d이므로
a=11, b=3, c=2, d=1
∴ a+b+c+d=11+3+2+1=17
24a-2
2a+2 =24a-2-(a+2)=23a-4
(22)2a-1
42a-1
2a+2 =
2a+2 =
즉, 23a-4=32에서 23a-4=2Þ`이므로
3a-4=5 ∴ a=3
(32)2b
92b
3b+1 =
3b+1 =
즉, 33b-1=243에서 33b-1=3Þ`이므로
3b-1=5 ∴ b=2
34b
3b+1 =34b-(b+1)=33b-1
∴ a+b=3+2=5
2¡`-(2Ý`+2Þ`+2ß`+2à`)
=28-27-26-25-24=2_27-2à`-26-25-24
=27-26-25-24=2_26-26-25-24
=26-25-24=2_25-25-24
=25-2Ý`=2_2Ý`-2Ý`
=2Ý`
a=22x-1=
이므로 22x=2a
22x
2
∴ 64x=(2ß`)x=26x=(22x)Ü`=(2a)Ü`=8aÜ`
① (-1)2n_(-1)n+1_(-1)n+2=(-1)4n+3
이때 4n+3은 홀수이므로 (-1)4n+3=-1
∴ (-1)2n_(-1)n+1_(-1)n+2=-1
② 3à`Ö3x=
에서
1
81
1
3x-7 =
1
3Ý`
이므로
x-7=4 ∴ x=11
③ 16ß`=(2Ý`)ß`=224=(2Ü`)¡`에서 2Ü`=A이므로 16ß`=A¡`
④ 2Ü`_9x=72y에서 2Ü`_(32)x=(2Ü`_3Û`)y`
∴ 2Ü`_32x=23y_32y
2Ü`=23y에서 3=3y이므로 y=1
32x=32y에서 2x=2y이므로 x=1
∴ x+y=1+1=2
⑤ 355=(3Þ`)11, 533=(5Ü`)11에서 3Þ`>5Ü`이므로 355>533
따라서 옳은 것은 ①, ④이다.
[참고] 자연수 a, b, n에 대하여 a+<324>=9+1=10
∴ △AQP=;2!;_a_2b=ab,
△BRQ=;2!;_;2#;a_2b=;2#;ab,
△CSR=;2!;_;2!;a_3b=;4#;ab,
△DPS=;2!;_a_b=;2!;ab
∴ (색칠한 부분의 넓이)
=(직사각형 ABCD의 넓이)
-(△AQP+△BRQ+△CSR+△DPS)
=2a_4b-
ab+;2#;ab+;4#;ab+;2!;ab
{
}
=8ab-;;Á4°;;ab=;;Á4¦;;ab
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31~34쪽
06
{(aÞ`bx)Û`Ö(abÜ`)y}Ü`=
a10b2x
ayb3y }
Ü`=
a30b6x
a3yb9y
{
01 ⑤
05 ;2!;
09 3xÜ`yÜ`
13 ②, ③
17 A
02 ⑤
06 ④
10 C
14 1.H4
18 -a
21 4ab-5bÛ`+8bc
서술형 문제 <과정은 풀이 참조>
03 3.H2H6
07 2
04 ③
08 ④
11 -5
12 60xy+4x
15 ③, ⑤
16 -6
19 xÝ`yÝ`개
20 90xß`yÝ`
22 6개
23 0.H0H9, 0.H2H7
24 ;14!4;
25 -6xÛ`+6xy+10yÛ`
01
;7@;=0.H28571H4이므로 순환마디를 이루는 숫자의 개수는 6개
이다.
이때 100=6_16+4이므로 소수점 아래 첫째 자리부터 소
수점 아래 100번째 자리까지는 순환마디가 16번 반복되고,
그 이후에 2, 8, 5, 7이 나온다.
∴ xÁ+xª+x£+y+x100
=(2+8+5+7+1+4)_16+(2+8+5+7)
=27_16+22=454
02
=
7_2
2_5Û`_2
7
2_5Û`
따라서 a=2, b=100, c=0.14이므로
14
2Û`_5Û`
=;1Á0¢0;=0.14
=
bc-a=100_0.14-2=14-2=12
이때
a30b6x
a3yb9y =
a21
b3 이므로
a30-3y=a21에서 30-3y=21
3y=9 ∴ y=3
b9y-6x=b3에서 9y-6x=3
이 식에 y=3을 대입하면
27-6x=3, 6x=24 ∴ x=4
∴ xy=4_3=12
07
8x`:`4x+1=64x`:`162x-1에서
(23)x`:`(22)x+1=(26)x`:`(24)2x-1
23x`:`22x+2=26x`:`28x-4
22x+2_26x=23x_28x-4
따라서 28x+2=211x-4에서 8x+2=11x-4이므로
3x=6 ∴ x=2
[참고] 비례식에서 내항의 곱과 외항의 곱은 같다.
08
a=2x+1에서 a=2_2x이므로 2x=;2A;
b=3x+1에서 b=3_3x이므로 3x=;3B;
∴ 36x=(2Û`_3Û`)x=22x_32x=(2x)Û`_(3x)Û``
Û`=
Û`_
=
_
=
aÛ`
4
bÛ`
9
aÛ`bÛ`
36
{;2A;}
{;3B;}
09
(-3xß`yÜ`)ÖA=AÛ`Ö(-9xÜ`yß`)에서
-3xß`yÜ`
A
AÛ`
-9xÜ`yß`
이므로
=
AÜ`=-3xß`yÜ`_(-9xÜ`yß`)=27xá`yá`=(3xÜ`yÜ`)Ü`
∴ A=3xÜ`yÜ`
03
민이는 분자를 잘못 보았으므로 3.H1H7=
317-3
99
=;;£9Á9¢;;
에서
10
A의 계산 결과는
처음 기약분수의 분모는 99이다.
지연이는 분모를 잘못 보았으므로 0.35H8=
에서 처음 기약분수의 분자는 323이다.
358-35
900
=;;9#0@0#;
(-3x)_(-y)_(-2x)_(-x)=6xÜ`y
B의 계산 결과는
6xÛ`_2xyÖx_(-4y) =6xÛ`_2xy_;[!;_(-4y)
따라서 처음 기약분수는
이므로
=3.H2H6
;;£9ª9£;;
;;£9ª9£;;
04
0.H4x+1.H9=3.H3에서
;9$;x+;;Á9¥;;=;;£9¼;;
4x=12 ∴ x=3
즉, 0.0HxÉ
É
;9};
;[!;
에서 0.0H3É
É
이므로
;9};
;3!;
É
;9£0;
10y
90
É
;9#0);
, 3É10yÉ30 ∴
ÉyÉ3
;1£0;
따라서 자연수 y의 값은 1, 2, 3이므로 구하는 합은
1+2+3=6
05
-
[{
xÛ`
2 }
Û`
]
Û`=
{
xÝ`
4 }
Û`=
x¡`
16
따라서 a=;1Á6;
, m=8이므로
am=;1Á6;_8=;2!;
8
=-48xÛ`yÛ`
C의 계산 결과는
(x+2y)_2x-3xy =2xÛ`+4xy-3xy
=2xÛ`+xy
D의 계산 결과는
xyÖ(-y)+y+2x =xy_
+y+2x
-;]!;}
{
=-x+y+2x
=x+y
따라서 도착점의 칸에 2xÛ`+xy를 적는 학생은 C이다.
11
xÛ`-3x+5+;2!;A=3xÛ`-2x+4에서
;2!;A =3xÛ`-2x+4-(xÛ`-3x+5)
=3xÛ`-2x+4-xÛ`+3x-5=2xÛ`+x-1
∴ A=2(2xÛ`+x-1)=4xÛ`+2x-2
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정답과 해설 따라서 바르게 계산하면
xÛ`-3x+5-2(4xÛ`+2x-2) =xÛ`-3x+5-8xÛ`-4x+4
=-7xÛ`-7x+9
즉, -7xÛ`-7x+9=axÛ`+bx+c이므로
a=-7, b=-7, c=9
∴ a+b+c=-7+(-7)+9=-5
15
;5Ó6;=
x
2Ü`_7
또
;5Ó6;=;]#;
한다.
가 유한소수가 되려면 x는 7의 배수이어야 한다.
에서 56과 3은 서로소이므로 x는 3의 배수이어야
따라서 x는 3과 7의 공배수, 즉 21의 배수이어야 한다.
이때 1ÉxÉ100이므로 x=21, 42, 63, 84
12
(cid:20)(cid:90)
(cid:18)(cid:19)(cid:90)(cid:14)(cid:20)(cid:90)(cid:9)(cid:30)(cid:26)(cid:90)(cid:10)
(cid:20)(cid:89)
㉠
(cid:25)(cid:89)
㉡
(cid:25)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:9)(cid:30)(cid:89)(cid:10)
(cid:20)(cid:89)
(cid:21)(cid:89)
(cid:21)
(cid:18)(cid:19)(cid:90)(cid:14)(cid:20)(cid:90)(cid:14)(cid:21)
(cid:9)(cid:30)(cid:26)(cid:90)(cid:14)(cid:21)(cid:10)
(cid:18)(cid:19)(cid:90)
Ú x=21일 때,
;5@6!;=;8#;
Û x=42일 때,
;5$6@;=;4#;
Ü x=63일 때,
;5^6#;=;8(;
Ý x=84일 때,
;5*6$;=;2#;
주어진 도형의 넓이는 위의 그림과 같이 큰 직사각형의 넓이
에서 직사각형 ㉠, ㉡의 넓이를 뺀 것과 같으므로
또는 x=84, y=2
∴ x+y=29, 46, 86
(구하는 도형의 넓이) =(큰 직사각형의 넓이)
따라서 x+y의 값이 될 수 없는 것은 ③, ⑤이다.
Ú ~ Ý에 의해 x=21, y=8 또는 x=42, y=4
-(직사각형 ㉠의 넓이)
-(직사각형 ㉡의 넓이)
=12y_8x-9y_3x-(9y-4)_x
=96xy-27xy-9xy+4x
=60xy+4x
(cid:25)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:14)(cid:21)(cid:89)(cid:9)(cid:30)(cid:89)(cid:10)
(cid:18)(cid:19)(cid:90)(cid:14)(cid:20)(cid:90)(cid:14)(cid:21)(cid:9)(cid:30)(cid:26)(cid:90)(cid:14)(cid:21)(cid:10)
㉢
(cid:21)(cid:89)
[다른 풀이]
(cid:20)(cid:90)
(cid:20)(cid:89)
(cid:25)(cid:89)
㉠
(cid:25)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:9)(cid:30)(cid:22)(cid:89)(cid:10)
(cid:21)
㉡
(cid:18)(cid:19)(cid:90)
주어진 도형의 넓이는 위의 그림과 같이 직사각형 ㉠, ㉡, ㉢
의 넓이를 더한 것과 같으므로
(구하는 도형의 넓이)
= (직사각형 ㉠의 넓이)+(직사각형 ㉡의 넓이)
+(직사각형 ㉢의 넓이)
=3y_8x+4_5x+(9y-4)_4x
=24xy+20x+36xy-16x
=60xy+4x
13
① 무한소수 중 순환소수는 유리수이다.
④, ⑤ 기약분수로 나타내었을 때, 분모의 소인수가 2 또는 5
뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있다.
따라서 옳은 것은 ②, ③이다.
3_7
2a
14
이 순환소수가 되려면 기약분수로 나타내었을 때,
;2@a!;=
분모에 2 또는 5 이외의 소인수가 있어야 한다.
이때 a는 15보다 작은 자연수이므로 a=9, 11, 13
따라서 a의 최댓값은 13, 최솟값은 9이므로
M=13, m=9 ∴
M
m
=;;Á9£;;=1.H4
16
주어진 식의 분모, 분자에 각각 a를 곱하면
aÜ`+aÞ`
a-aÜ`
=
(aÜ`+aÞ`)_a
(a-aÜ`)_a
=
aÝ`+aß`
aÛ`-aÝ`
=
(aÛ`)Û`+(aÛ`)Ü`
aÛ`-(aÛ`)Û`
=
2Û`+2Ü`
2-2Û`
=
4+8
2-4
=
12
-2
=-6
17
두 신문지 A, B의 두께를 a`(a>0)라 하자.
A는 절반씩 한 번 접을 때마다 그 두께가 2배씩 두꺼워진다.
즉, A를 한 번, 두 번, 세 번, y 접으면 그 두께는
a_2, a_2Û`, a_2Ü`, y이므로 40번 접으면 그 두께는
a_240이다.
B는 삼등분씩 한 번 접을 때마다 그 두께가 3배씩 두꺼워진다.
즉, B를 한 번, 두 번, 세 번, y 접으면 그 두께는
a_3, a_3Û`, a_3Ü`, y이므로 20번 접으면 그 두께는
a_320이다.
이때 240=(22)20=420이므로 420>320에서 240>320
즉, a_240>a_320
따라서 신문지 A를 접은 것이 더 두껍다.
18
n이 짝수이면 n+1은 홀수, n+2는 짝수이므로
(-1)n+1a2n+1Ö(-1)n+2a2n=-a2n+1Öa2n
=-
a2n+1
a2n =-a`
19
만들 수 있는 가능한 한 작은 정육면체의 한 모서리의 길이는
xÜ`yÛ`, xÛ`yÝ`, yÞ`의 최소공배수이다.
이때 x, y는 서로소이므로 xÜ`yÛ`, xÛ`yÝ`, yÞ`의 최소공배수는
따라서 필요한 직육면체 모양의 블록의 개수는
(xÜ`yÞ`ÖxÜ`yÛ`)_(xÜ`yÞ`ÖxÛ`yÝ`)_(xÜ`yÞ`ÖyÞ`)
xÜ`yÞ`이다.
=yÜ`_xy_xÜ`
=xÝ`yÝ`(개)
Ⅰ. 수와 식의 계산
9
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 9
18. 11. 15. 오전 11:16
24
aß`+aß`+aß`
(2b)ß`+(2b)ß`
_
b¡`+b¡`+b¡`+b¡`
a12
4b¡`
a12
4b¡`
a12
=
3aß`
2(2b)ß`
_
_
=
=
3aß`
128bß`
3bÛ`
32aß`
이때 aÛ`=3, bÛ`=2이므로
3bÛ`
32aß`
=
3bÛ`
32(aÛ`)Ü`
=
3_2
32_3Ü`
=;14!4;
채점 요소
ⅰ 주어진 식을 간단히 하기
ⅱ 주어진 식의 값 구하기
… ⅰ
… ⅱ
비율
50 %
50 %
… ⅲ
… ⅳ
비율
30 %
30 %
20 %
25
정육면체의 마주 보는 면에 적힌 두 다항식의 합을 구하면
A+F =(xÛ`-3xy+5yÛ`)+(-2xÛ`+7xy-yÛ`)
=-xÛ`+4xy+4yÛ`
… ⅰ
즉, C+E=-xÛ`+4xy+4yÛ`이므로
C+(4xÛ`+8xy-2yÛ`)=-xÛ`+4xy+4yÛ`에서
C =-xÛ`+4xy+4yÛ`-(4xÛ`+8xy-2yÛ`)
=-xÛ`+4xy+4yÛ`-4xÛ`-8xy+2yÛ`
=-5xÛ`-4xy+6yÛ`
… ⅱ
또 B+D=-xÛ`+4xy+4yÛ`이므로
-6xy+D=-xÛ`+4xy+4yÛ`에서
D =-xÛ`+4xy+4yÛ`+6xy
=-xÛ`+10xy+4yÛ`
=-6xÛ`+6xy+10yÛ`
채점 요소
ⅱ 다항식 C 구하기
ⅲ 다항식 D 구하기
ⅳ C+D를 간단히 하기
∴ C+D =(-5xÛ`-4xy+6yÛ`)+(-xÛ`+10xy+4yÛ`)
ⅰ 정육면체의 마주 보는 면에 적힌 두 다항식의 합 구하기 20 %
20
A△2x=A_(2x)Û`=A_4xÛ`이므로
A_4xÛ`=20xÝ`y에서
A=
20xÝ`y
4xÛ`
=5xÛ`y
2y▽B=(2y)Û`_B=4yÛ`_B이므로
4yÛ`_B=24xyÜ`에서
B=
=6xy
24xyÜ`
4yÛ`
Ö 5
BÛ`
AÛ`
2
∴
=
(5xÛ`y)Û`
2
Ö
5
(6xy)Û`
=
25xÝ`yÛ`
2
_
36xÛ`yÛ`
5
=90xß`yÝ``
21
△EDB와 △ECB에서
BEÓ는 공통, ∠EBD=∠EBC, ∠DEB=∠CEB
∴ △EDBª△ECB`(ASA 합동)
따라서 ∠BDE=∠BCE=90ù, EDÓ=ECÓ=2b이므로
△ABE=;2!;_ABÓ_EDÓ
=;2!;_(4a-5b+8c)_2b
=4ab-5bÛ`+8bc
22
이 유한소수가 되려면
7
2Û`_5_a
a는 소인수가 2이거나 5로만 이루어진 수이거나 7의 약수이
거나 이들의 곱으로 이루어진 수이어야 한다.
… ⅰ
따라서 a의 값이 될 수 있는 한 자리의 자연수는
1, 2, 4, 5, 7, 8이므로
6개이다.
채점 요소
ⅰ a에 대한 조건 설명하기
ⅱ a의 값이 될 수 있는 한 자리의 자연수 구하기
ⅲ a의 값이 될 수 있는 한 자리의 자연수의 개수 구하기
… ⅱ
… ⅲ
비율
50 %
30 %
20 %
23
0.HaHb=
10a+b
99
, 0.HbHa=
10b+a
99
이때 두 순환소수의 합이 1-0.H4=1-;9$;=;9%;
10b+a
99
10a+b
99
11a+11b=55 ∴ a+b=5
0.HaHb+0.HbHa=1-0.H4에서
+
=;9%;
이므로 … ⅰ
그런데 a>b이므로 a=3, b=2 또는 a=4, b=1
… ⅱ
-
=
=0.H0H9
0.H3H2-0.H2H3=
㈎ a=3, b=2일 때
32
99
㈏ a=4, b=1일 때
41
99
0.H4H1-0.H1H4=
23
99
14
99
9
99
27
99
㈎, ㈏에 의해 두 순환소수의 차는
0.H0H9 또는 0.H2H7이다.
-
=
=0.H2H7
채점 요소
ⅰ 순환소수를 분수로 나타내기
ⅱ a, b의 값 구하기
ⅲ 두 순환소수의 차를 순환소수로 나타내기
10
… ⅲ
비율
20 %
40 %
40 %
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 10
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정답과 해설 Ⅱ. 부등식
일차부등식
1
1
Ü a=3일 때, a-3=0이므로
0_x>4의 꼴이 되어 해가 없다.
유제 7
ax-2(x-1)>2a-1에서 (a-2)x>2a-3
이때 주어진 부등식의 해가 x<3이므로
37~41쪽
a-2>0
따라서 x>
2a-3
a-2
2a-3=3a-6 ∴ a=3
에서
2a-3
a-2
=3이므로
유제1 ②, ⑤
유제2 ⑴ -11<3x-5É4 ⑵ -13É-5x+2<12
유제3 ③
유제4 x¾
;;Á4°;;
유제5 ①, ③
a-3<0
유제6 풀이 참조
유제7 ③
유제8
2
유제9 ③
유제10 -3
유제 1
② a>b에서 5a>5b이므로 5a-c>5b-c
⑤ a=2, b=-5이면 a>b이지만 -aÛ`>-bÛ`
유제 2
⑴ -22(x-3)
-3x+;;ª2¦;;>2x-6
-5x>-;;£2»;;
따라서 주어진 부등식의 자연수인 해는 1, 2, 3의 3개이다.
∴ x<;1#0(;(=3.9)
유제 4
주어진 부등식의 양변에 100을 곱하면
12(x+5)-20(2x-1)É-20x+50
12x+60-40x+20É-20x+50
-8xÉ-30 ∴ x¾
;;Á4°;;
유제 5
① ax-2¾b(x+1)에서 (a-b)x¾b+2
③, ⑤ a=b이면 b+2É0인 경우 해가 무수히 많고,
b+2>0인 경우 해가 없다.
따라서 옳지 않은 것은 ①, ③이다.
유제 6
ax-3>3(x+1)-2에서 (a-3)x>4
Ú a>3일 때, a-3>0이므로 x>
Û a<3일 때, a-3<0이므로 x<
4
a-3
4
a-3
유제 8
4a-3xÉ7-ax에서 (a-3)xÉ7-4a
이때 주어진 부등식의 해가 x¾1이므로
따라서 x¾
7-4a
a-3
에서
7-4a
a-3
=1이므로
7-4a=a-3, -5a=-10 ∴ a=2
유제 9
주어진 부등식의 양변에 2를 곱하면
4(x-a)-(x-3)É-2(x+a)
4x-4a-x+3É-2x-2a
5xÉ2a-3 ∴ xÉ
y`㉠
2a-3
5
㉠을 만족시키는 양의 정수 x가
2개이려면 오른쪽 그림에서
(cid:18)
(cid:19)
(cid:20)
(cid:19)(cid:66)(cid:14)(cid:20)
(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:22)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)
2É
<3
2a-3
5
10É2a-3<15
13É2a<18 ∴
Éa<9
;;Á2£;;
따라서 자연수 a는 7, 8의 2개이다.
유제 10
주어진 부등식의 양변에 10을 곱하면
2(3x-1)-a<3x+10
6x-2-a<3x+10
3x0이면 a>b
a>b이고 ab<0이므로 a>0, b<0
③ b<0이고 bc>0이므로 c<0
④ a>b이므로 a-c>b-c
이때 b<0이므로
a-c
b
⑤ a>b이고 c<0이므로
<
b-c
b
;cA;<;cB;
, -;cA;>-;cB;
따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤이다.
∴ 1-;cA;>1-;cB;
2
A-B =(3x+5)-(5x-1)
=3x+5-5x+1
=-2x+6
따라서 -8<-2x+6É5이므로
-14<-2xÉ-1
∴
Éx<7
;2!;
3
주어진 부등식의 양변에 30을 곱하면
5(x-3)-6(2-x)-10(x-4)>15
5x-15-12+6x-10x+40>15
∴ x>2
4
0.5=;2!;
, 0.1H6=
=;6!;
이므로
0.5x-;3$;
É0.1H6-
에서
16-1
90
3x-4
4
3x-4
4
É
;6!;-
;2!;x-;3$;
이 식의 양변에 12를 곱하면
6x-16É2-3(3x-4)
6x-16É-9x+14
15xÉ30 ∴ xÉ2
따라서 주어진 부등식의 자연수인 해는 1, 2의 2개이다.
a(x-1)+2
a+1
a-b
ax+bc일 때, a-c>0이므로 x<
Û a
d-b
a-c
d-b
a-c
Ü a=c일 때, a-c=0이므로 0_x0, 즉 d>b 이면 해가 무수히 많다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
5
6
12
7
주어진 부등식의 양변에 12를 곱하면
4x+16É3(ax+3)에서 (4-3a)xÉ-7
이때 주어진 부등식의 해가 xÉ-1이므로
4-3a>0
따라서 xÉ
-7
4-3a
에서
-7
4-3a
=-1이므로
-7=3a-4, 3a=-3 ∴ a=-1
8
2(x-1)+3(x+a)<2a에서
2x-2+3x+3a<2a
5x<-a+2 ∴ x<
y`㉠
-a+2
5
㉠을 만족시키는 자연수 x가 1, 2,
3, 4뿐이려면 오른쪽 그림에서
(cid:18)
(cid:19)
(cid:20)
4<
-a+2
5
20<-a+2É25
É5
18<-aÉ23 ∴ -23Éa<-18
(cid:21)
(cid:22)
(cid:14)(cid:66)(cid:12)(cid:19)
(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:22)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)
01 ㄱ, ㄹ
02 40
∴ a-b0, bc<0이므로 ab>bc
ㄹ. a0이므로
d-b
c
<
d-a
c
ㅁ. ad<0, bc<0이고, |ad|>|bc|이므로
ad0이므로 a+ba(c+d)
따라서 옳지 않은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
02
주어진 방정식의 양변에 12를 곱하면
6(x-2)-4(x-1)=3(x-a)
6x-12-4x+4=3x-3a
-x=-3a+8 ∴ x=3a-8
따라서 4<3a-8É5이므로
12<3aÉ13 ∴ 4;6!;-;4A;
-a>-4 ∴ a<4 y`㉠
에서 6-4a>2-3a
ax-2a>5(x-2)에서 ax-2a>5x-10
(a-5)x>2a-10
이때 ㉠에서 a-5<0
따라서 x<
이므로 x<
2a-10
a-5
2(a-5)
a-5
∴ x<2
04
5x-8É2(x-1)-3에서 5x-8É2x-5
3xÉ3 ∴ xÉ1
(b-a)x¾3-2a
bx-3¾a(x-2)에서 bx-3¾ax-2a
이 부등식의 해가 xÉ1이므로 b-a<0
따라서 xÉ
3-2a
3-2a
b-a
b-a
3-2a=b-a ∴ a+b=3
에서
=1이므로
이때 a, b는 자연수이고 b-a<0에서 ba-2b에서
ax-2bx+2b>a-2b
(a-2b)x>a-4b
이 부등식의 해가 x<;3!;
a-2b<0
이므로
y`㉠
따라서 x<
a-4b
a-2b
3a-12b=a-2b
에서
a-4b
a-2b
=;3!;
이므로
2a=10b ∴ a=5b y`㉡
㉡ 을 (a-4b)x+2a+b>0에 대입하면
(5b-4b)x+10b+b>0
bx+11b>0
∴ bx>-11b
이때 ㉡ 을 ㉠에 대입하면
5b-2b=3b<0
즉, b<0이므로 bx>-11b에서 x<-11
07
x-aÉ
에서 3x-3aÉ1-4x
1-4x
3
7xÉ3a+1 ∴ xÉ
y`㉠
3a+1
7
㉠을 만족시키는 x의 값 중에서
15와 서로소인 자연수가 1, 2, 4,
7의 4개이려면 오른쪽 그림에서
7É
3a+1
7
<8, 49É3a+1<56
48É3a<55 ∴ 16Éa<;;°3°;;
따라서 A=18, B=16이므로
A-B=18-16=2
08
(2x-1)◎(5x+2)>2◎a에서
(2x-1)-(5x+2)+2>2-a+2
2x-1-5x-2+2>4-a
-3x>5-a ∴ x<
y`㉠
a-5
3
㉠을 만족시키는 정수 x의 최댓값
이 3이려면 오른쪽 그림에서
É4, 9
3k+2
4
㉠을 만족시키는 음의 정수 x가
y`㉠
(cid:20)(cid:76)(cid:12)(cid:19)
(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:21)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)(cid:28)
3개이려면 오른쪽 그림에서
(cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:18)
-4É
3k+2
4
-16É3k+2<-12
<-3
-18É3k<-14 ∴ -6Ék<-;;Á3¢;;
유제 1
차가 4인 두 자연수를 x, x+4라 하면
x+(x+4)É20
2xÉ16 ∴ xÉ8
따라서 두 자연수 중에서 작은 수의 최댓값은 8이다.
유제 2
연속하는 두 짝수를 x, x+2라 하면
5x-4>3(x+2)
5x-4>3x+6
2x>10 ∴ x>5
6+8=14
따라서 가장 작은 두 짝수는 6, 8이므로 구하는 합은
Ⅱ. 부등식
13
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 13
18. 11. 15. 오전 11:16
유제 5
사과 한 개의 가격을 x원이라 하면
(사과 25개의 판매 가격)-(한 상자의 원가)
로 가능하지 않은 것은 ①이다.
유제 3
10번째 사격에서 x점을 얻는다고 하면
9.5_9+x
10
¾9.4, 85.5+x¾94 ∴ x¾8.5
따라서 10번째 사격에서 8.5점 이상을 얻어야 한다.
유제 4
물건의 정가를 x원이라 하면
(정가의 20 %를 할인한 가격)-(원가)¾(원가)_;1Á0°0;
이므로
x_
1-;1ª0¼0;}
{
-8000¾8000_;1Á0°0;
;1¥0¼0;x-8000¾1200
;5$;x¾9200 ∴ x¾11500
따라서 정가를 11500원 이상으로 정해야 한다.
¾(한 상자의 원가)_;1£0¼0;
이므로
25x-10000¾10000_;1£0¼0;
25x-10000¾3000
25x¾13000 ∴ x¾520
따라서 사과 한 개의 가격을 520원 이상으로 정해야 한다.
유제 6
연필을 x자루 산다고 하면 동네 문방구에서 살 때는 200x원,
문구 할인점에서 살 때는 (140x+1500)원이므로
200x>140x+1500
60x>1500 ∴ x>25
것이 더 유리하다.
따라서 연필을 최소 26자루 살 때, 문구 할인점으로 가는
유제 7
여자 친구의 친구들을 x명, 장미 한 송이의 가격을 a원이라
하면
이므로
(10 % 할인을 받은 (200+x)송이의 장미의 금액)
>(25 % 할인을 받은 250송이의 장미의 금액)
(200+x)_a_
1-;1Á0¼0;}
{
>250_a_
1-;1ª0°0;}
{
(200+x)_;1»0¼0;a>250_;1¦0°0;a
∴ x>;;ª3°;;(=8.3y)
200+x>:¤;3@;°:
따라서 여자 친구의 친구들이 9명 이상일 때, 250송이를
사는 것이 더 유리하다.
유제 9
뛰어간 거리를 x m라 하면 걸어간 거리는
(2000-x) m이므로
2000-x
40
+;10{0;
10000-5x+2xÉ6400
É32
-3xÉ-3600
∴ x¾1200
따라서 최소 1200 m를 뛰어야 한다.
유제 10
농도가 13 %인 소금물을 x g 넣는다고 하면 농도가 5 %
인 소금물은 (400-x) g이므로
;10%0;_(400-x)+;1Á0£0;_x¾
2000-5x+13x¾3600
;10(0;_400
8x¾1600
∴ x¾200
따라서 농도가 13 %인 소금물을 200 g 이상 넣어야 하므
유제 11
증발시킨 물의 양을 x g이라 하면 더 넣은 설탕의 양도
x g이므로
;10$0;_500+x¾
20+x¾35
;10&0;_500
∴ x¾15
따라서 15 g 이상의 물을 증발시켜야 한다.
2
1 ②
5 ④
1
2
52~53쪽
2 ③
6 ③
3 ⑤
4 ④
연속하는 세 개의 3의 배수를 x, x+3, x+6이라 하면
x+(x+3)+(x+6)<80
3x<71 ∴ x<;;¦3Á;;(=23.6y)
따라서 세 개의 3의 배수 중 가장 작은 수의 최댓값은 21이다.
이번 달에 판 초콜릿의 개수를 x개라 하면 이번 달에 팔고 남
은 초콜릿의 개수는 (100-x)개이므로
1000x+1000_
1-;1°0¼0;}
{
1000x+50000-500x-70000¾17500
_(100-x)-700_100¾17500
따라서 이번 달에 팔아야 하는 초콜릿은 최소 75개이다.
유제 8
x km 떨어진 곳까지 갔다 온다고 하면
;3{;+;2{;
É2;4#;
, 4x+6xÉ33
10xÉ33 ∴ xÉ
;1#0#;(=3.3)
따라서 최대 3.3 km 떨어진 곳까지 갔다 올 수 있다.
500x¾37500
∴ x¾75
∴ a=75
14
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 14
18. 11. 15. 오전 11:16
정답과 해설 3
단체의 인원수를 x명이라 하고, 1인당 입장료를 a원이라 하면
이때 x, 12-x는 각각 한 자리의 자연수이므로
최소 인원이 40명 이상이므로
(10 % 할인을 받은 x명의 입장료)
>(20 % 할인을 받은 80명의 입장료)
에서 x_a_
1-;1Á0¼0;}
{
>80_a_
1-;1ª0¼0;}
{
x_;1»0¼0;a>80_;1¥0¼0;a
;1»0;x>64 ∴ x>:;^9$;¼;;(=71.1y)
따라서 72명 이상이면 80명의 단체 입장권을 구입하는 것이
더 유리하다.
4
집에서 첫 번째 문화재까지의 거리를 x km라 하면 집에서
두 번째 문화재까지의 거리는 3x km이므로
;4{;_2+2+;2!;+
_2+2É8
2x+;2(;
É8, 2xÉ
∴ xÉ
;4&;
3x
4
;2&;
따라서 두 번째 문화재는 집에서 최대 3_;4&;=;;ª4Á;;(km) 떨어져
있다.
5
소금물을 x분 동안 끓인다고 하면 x분 후 남아 있는 소금물의
양은 (600-20x) g이므로
;1Á0¼0;_600¾
60¾120-4x, 4x¾60 ∴ x¾15
;1ª0¼0;_(600-20x)
x=3
따라서 처음 수는 39이다.
02
물건의 원가를 a원이라 하고, 정가는 원가에 x %의 이익을
붙여서 정한다고 하면 (정가)=a
1+;10{0;}
{
(원)
(정가의 30 %를 할인한 가격)-(원가)¾(원가)_;10%0;
이므로
a
1+;10{0;}
{
_
1-;1£0¼0;}
{
-a¾a_;10%0;
_;1¦0¼0;-1¾
1+;10{0;}
{
700+7x-1000¾50
;10%0;
7x¾350 ∴ x¾50
따라서 정가는 원가에 50 % 이상의 이익을 붙여서 정해야 한다.
03
성준이와 친구들이 간 거리를 xm라 하면 택시 요금은
200m당 100원씩 추가되므로 1m당 0.5원씩 추가된다.
성준이와 친구들이 택시와 버스를 탔을 때의 요금은 각각
(택시 요금)=3000+0.5(x-1500)(원),
(버스 요금)=1100_4=4400(원)이므로
3000+0.5(x-1500)<4400
0.5x<2150 ∴ x<4300
따라서 4300m, 즉 4.3km 미만을 가는 경우 택시를 타는 것
이 더 유리하다.
따라서 소금물의 농도가 20 % 이상이 되게 하려면 15분 이상
끓여야 한다.
04
집에서 학교까지의 거리를 x km라 하면
6
색종이를 x장 이어 붙여서 만든 직사각형 모양의 띠의 가로의
길이는 4x-(x-1)=3x+1(cm), 세로의 길이는 4cm이다.
이때 직사각형 모양의 띠의 둘레의 길이는
2{(3x+1)+4}=6x+10(cm)이므로
6x+10¾82, 6x¾72 ∴ x¾12
따라서 필요한 색종이는 최소 12장이다.
[참고] 색종이를 1장, 2장, 3장, y 이어 붙일 때, 직사각형 모양의 띠
의 가로의 길이는 각각 4 cm, 4_2-1(cm), 4_3-2(cm), y
따라서 색종이를 x장 이어 붙일 때, 직사각형 모양의 띠의 가로의 길
이는 4_x-(x-1)=3x+1(cm)
;3@;x_;4!;+;3@;x_;5!;+;5{;
É
;4#;
30xÉ45 ∴ xÉ
;2#;
따라서 학교는 집으로부터
km 이내에 있다.
;2#;
05
제거해야 하는 금속의 양을 x g이라 하면
58.5
100
2925¾3750-75x
;1¦0°0;_(50-x)
_50¾
75x¾825 ∴ x¾11
따라서 제거해야 하는 금속의 양은 11 g 이상이다.
3
54~55쪽
06
처음 원기둥의 겉넓이는
01 39
02 50%
03 4.3km
04 ;2#;
km
05 11g
06 52개
(p_18Û`)_2+(2p_18)_5=828p(cmÛ`)
원기둥에 구멍을 한 개 뚫을 때마다 증가하는 겉넓이는
(2p_1)_5-(p_1Û`)_2=8p(cmÛ`)
구멍을 x개 뚫어 만든 새로운 입체도형의 겉넓이는
828p+8p_x=828p+8px(cmÛ`)
01
처음 수의 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자는
즉, 828p+8px¾828p_1.5이어야 하므로
12-x이므로
10(12-x)+x>2{10x+(12-x)}
8px¾414p
∴ x¾
:ª;4);¦:(=51.75)
120-9x>18x+24, -27x>-96 ∴ x<;;£9ª;;(=3.5y)
따라서 구멍을 최소 52개 뚫어야 한다.
Ⅱ. 부등식
15
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 15
18. 11. 15. 오전 11:16
56~58쪽
7<2aÉ14 ∴
;2&;
06
정류장에서 상점까지의 거리를 x km라 하면
;3{;+;1Á2;+;3{;
É
;2!;
8x+1É6, 8xÉ5 ∴ xÉ
;8%;
14 풀이 참조 15 x<-4
16 37.5%
17 4개
따라서
km, 즉 625 m 이내의 상점에 다녀올 수 있다.
;8%;
01
① c>b이므로 -c<-b ∴ a-c;aC;
④ 0;c!;
∴
;b!;-2>;c!;-2
⑤ ab_ab, 즉 aÛ`b>abÛ`
07
설탕을 x g 더 넣는다고 하면
5.5
100
550+100xÉ1000+10x
_100+xÉ
;1Á0¼0;_(100+x)
90xÉ450 ∴ xÉ5
따라서 더 넣을 수 있는 설탕의 양은 5 g 이하이다.
따라서 옳지 않은 것은 ②, ③이다.
08
삼각형의 가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다
02
소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하면 4가 되므로
3.5É
<4.5에서
x+5
2
7Éx+5<9 ∴ 2Éx<4
03
;3$;x-4
x+;3!;}
{
¾x에서 4x-12x-4¾3x
-11x¾4 ∴ xÉ-;1¢1;(=-0.3y)
작아야 하므로
x+8<(x+1)+(x+3)
x+8<2x+4 ∴ x>4
따라서 x의 값이 될 수 없는 것은 ①이다.
09
(사다리꼴 ABCD의 넓이)=;2!;_(20+80)_50=2500(cmÛ`)
BPÓ=xcm라 하면 APÓ=(50-x)cm이므로
(삼각형 DPC의 넓이)
= (사다리꼴 ABCD의 넓이)-(삼각형 APD의 넓이)
즉, xÉ-;1¢1; 를 만족시키는 가장 큰 정수는 -1이므로
a=-1
-
3x-1
2
1-x
3
<5+
에서 -9x+3<30+2-2x
-(삼각형 PBC의 넓이)
=2500-;2!;_20_(50-x)-;2!;_80_x
=2000-30x(cmÛ`)
-7x<29 ∴ x>-;;ª7»;;(=-4.1y)
삼각형 DPC의 넓이가 사다리꼴 ABCD의 넓이의
이상
;2!;
즉, x>-;;ª7»;; 를 만족시키는 가장 작은 정수는 -4이므로
b=-4
∴ a+b=-1+(-4)=-5
이므로 2000-30x¾
;2!;_2500
-30x¾-750 ∴ xÉ25
따라서 BPÓ의 길이의 최댓값은 25cm이다.
04
(a-1)x-3¾5에서 (a-1)x¾8
10
|3x-1|É8에서 -8É3x-1É8
이때 주어진 부등식의 해가 xÉ-2이므로 a-1<0
8
a-1
=-2이므로
따라서 xÉ
8
a-1
에서
8=-2a+2, 2a=-6 ∴ a=-3
05
3(2x-1)-
5x+1
2
b(x+3)에서
(2a-b)x>4a-2b
이때 2a4a-2b에서 x<
x<
2(2a-b)
2a-b
∴ x<2
따라서 x는 자연수이므로 x=1
4a-2b
2a-b
이므로
12
단체의 인원수를 x명, 1인당 입장료를 a원이라 하면 최소 인원
이 30명 이상이므로
(15 %를 할인받은 x명의 입장료)
>(20 %를 할인받은 40명의 입장료)
에서
x_a_
1-;1Á0°0;}
{
>40_a_
1-;1ª0¼0;}
{
x_;1¥0°0;a>40_;1¥0¼0;a
15
2x-1
3
>;5!;(x-a)에서 5(2x-1)>3(x-a)
10x-5>3x-3a, 7x>5-3a
∴ x>
5-3a
7
이때 주어진 부등식의 해가 x>2이므로
5-3a
7
=2에서 5-3a=14
-3a=9 ∴ a=-3
a=-3을 ax+2>14에 대입하면
-3x+2>14, -3x>12
∴ x<-4
>;5!;(x-a)의 해를 a를 사용하여 나타내기
채점 요소
ⅰ 2x-1
3
ⅱ a의 값 구하기
ⅲ ax+2>14의 해 구하기
85x>3200 ∴ x>;;¤1¢7¼;;(=37.6…)
따라서 38명 이상이면 40명의 단체권을 구입하는 것이 더 유
리하다.
16
원가에 x %의 이익을 붙인다고 하고, 손해를 보지 않으려면
(판매 가격)¾(원가)+(운송비)이어야 하므로
10000_
1+;10{0;}
{
_
1-;1ª0¼0;}
{
¾10000+10000_;1Á0¼0;
… ⅰ
13
강을 따라 내려갈 때 걸린 시간은
=4(시간)
120
26+4
즉, 강을 거슬러 올라갈 때 걸린 시간이 10-4=6(시간) 이
¾11000
{
8000
1+;10{0;}
80x¾3000
∴ x¾37.5
내이어야 하므로 강을 거슬러 올라갈 때의 배 자체의 속력을
따라서 정가는 원가에 37.5 % 이상의 이익을 붙여서 정해야
따라서 강을 거슬러 올라갈 때의 배 자체의 속력은 시속
ⅲ 정가는 원가에 몇 % 이상의 이익을 붙여서 정해야 하는
한다.
채점 요소
ⅰ 일차부등식 세우기
ⅱ 일차부등식의 해 구하기
지 구하기
… ⅰ
… ⅱ
… ⅲ
비율
30 %
40 %
30 %
… ⅱ
… ⅲ
비율
40 %
40 %
20 %
시속 x km라 하면
6(x-4)¾120
6x-24¾120
6x¾144 ∴ x¾24
24 km 이상이어야 한다.
[참고] ① 강을 거슬러 올라갈 때의 배의 속력
⇨ (배 자체의 속력)-(강물의 속력)
② 강을 따라 내려갈 때의 배의 속력
⇨ (배 자체의 속력)+(강물의 속력)
14
ax-b¾b(x-2)+a에서 (a-b)x¾a-b
㈎ a>b일 때, a-b>0이므로
x¾
a-b
a-b
∴ x¾1
㈏ ab일 때, 부등식의 해 구하기
ⅲ a;;ª6ª3¼;;(=3.4y)
따라서 라면을 4개 이상 사는 경우 대형 마트에 가는 것이 더
… ⅱ
채점 요소
ⅰ 일차부등식 세우기
ⅱ 일차부등식의 해 구하기
ⅲ 라면을 몇 개 이상 사는 경우 대형 마트에 가는 것이 더
유리한지 구하기
… ⅲ
비율
40 %
40 %
20 %
… ⅰ
… ⅱ
… ⅲ
비율
10 %
30 %
30 %
30 %
Ⅱ. 부등식
17
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 17
18. 11. 15. 오전 11:16
Ⅲ. 연립방정식
연립일차방정식
1
1
유제1 ⑤
유제2
유제3 ②
;;Á3£;;
유제4 x=-;3&;
유제6 x=4, y=4
, y=;3@;
유제5 ⑤
유제7 ②
유제8 x=;;Á7°;;
유제11 ④
, y=;7(;
유제12 7
유제9 ①
유제10 -2
유제 1
[
ax-6y=4 y`㉠
5x+by=2 y`㉡
x=-2, y=2를 ㉠, ㉡에 각각 대입하면
㉠에서 -2a-12=4, -2a=16 ∴ a=-8
㉡에서 -10+2b=2, 2b=12 ∴ b=6
∴ b-a=6-(-8)=14
유제 2
[
-x+3y=8 y`㉠
-3x+2y=3 y`㉡
㉠_3-㉡을 하면 7y=21 ∴ y=3
y=3을 ㉠에 대입하면 -x+9=8 ∴ x=1
따라서 a=1, b=3이므로
a+b+;aÁb;=1+3+;3!;=;;Á3£;;
유제 3
2x+y-1=x+5y+2
2x+y-1=3x-y+4
에서
[
[
x-4y=3 y`㉠
-x+2y=5 y`㉡
y=-4를 ㉠에 대입하면
x+16=3 ∴ x=-13
유제 5
;]!;=Y로 놓으면
;[!;=X,
2X+3Y=-2 y`㉠
[
X-4Y=10 y`㉡
㉠-㉡_2를 하면 11Y=-22 ∴ Y=-2
Y=-2를 ㉡에 대입하면
X+8=10 ∴ X=2
61~66쪽
따라서
;[!;=2,
;]!;=-2이므로 x=;2!;
, y=-;2!;
∴
, -;2!;}
{;2!;
유제 6
3x+2y+2=145
3x+1-2y=227
[
에서
3x+4_2y=145
3_3x-2y=227
[
3x=X, 2y=Y로 놓으면
X+4Y=145 y`㉠
[
3X-Y=227 y`㉡
㉠_3-㉡을 하면 13Y=208 ∴ Y=16
Y=16을 ㉡에 대입하면
3X-16=227
3X=243 ∴ X=81
따라서 3x=81=3Ý`, 2y=16=2Ý`이므로
x=4, y=4
유제 7
주어진 연립방정식에서 x와 y를 서로 바꾸면
3y+4x=2 y`㉠
[
y-3x=b y`㉡
x=a, y=0을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면
㉠에서 4a=2 ∴ a=;2!;
㉡에서 -3a=b이므로
b=-3_;2!;=-;2#;
∴ a+b=;2!;+
-;2#;}
{
=-1
3x+2y=n
[
2x-y=m
이 연립방정식의 해가 x=3, y=-3이므로
㉠+㉡을 하면 -2y=8 ∴ y=-4
유제 8
주어진 연립방정식에서 m과 n을 서로 바꾸면
유제 4
주어진 방정식의 각 변에 12를 곱하면
4(x+1)-6(y-1) =3(x-1)+4(y+1)=2(x+y)
9-6=n, 6+3=m
∴ m=9, n=3
즉, 4x-6y+10=3x+4y+1=2x+2y
따라서 m=9, n=3을 처음 연립방정식에 대입하면
4x-6y+10=2x+2y
x-4y=-5 y`㉠
[
3x+4y+1=2x+2y
[
x+2y=-1 y`㉡
에서
3x+2y=9 y`㉠
[
2x-y=3 y`㉡
㉠-㉡을 하면 -6y=-4 ∴ y=;3@;
㉠+㉡_2를 하면 7x=15 ∴ x=;;Á7°;;
y=;3@; 를 ㉡에 대입하면
x+;3$;=-1 ∴ x=-;3&;
18
x=;;Á7°;; 를 ㉡에 대입하면
;;£7¼;;-y=3 ∴ y=;7(;
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 18
18. 11. 15. 오전 11:16
정답과 해설 이때 x의 값과 y의 값의 합의 4배는 y의 값의 8배보다 4
-5+4b+0이어야 한다.
유제 9
x의 값과 y의 값의 합의 4배는 y의 값의 8배보다 4만큼
작으므로
4(x+y)=8y-4에서 4x-4y=-4
유제 12
x+4y=-2
[
5x+3ay=y-10
에서
x+4y=-2
y`㉠
[
5x+(3a-1)y=-10 y`㉡
㉠_5를 하면 5x+20y=-10 y`㉢
해가 무수히 많으려면 ㉡과 ㉢이 일치해야 하므로
3a-1=20, 3a=21 ∴ a=7
즉, x-y=-1이므로
y=3x-2 y`㉠
[
x-y=-1 y`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
x=;2#; 을 ㉠에 대입하면
y=;2(;-2=;2%;
x-(3x-2)=-1, -2x=-3 ∴ x=;2#;
따라서 x=;2#;
, y=;2%; 를 x+2y=a+8에 대입하면
;2#;+5=a+8 ∴ a=-;2#;
[다른 풀이]
y=3x-2 y`㉠
[
x+2y=a+8 y`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
7x=a+12 ∴ x=
a+12
7
x=
를 ㉠에 대입하면
a+12
7
a+12
7
y=3_
-2=
3a+22
7
x+2(3x-2)=a+8, 7x-4=a+8
만큼 작으므로
4
+
a+12
7
3a+22
3a+22
{
7
7
a+12+3a+22=2(3a+22)-7
=8_
}
-4
4a+34=6a+37
-2a=3 ∴ a=-;2#;
유제 10
세 일차방정식의 공통인 해가 존재하므로
2x+y=3 y`㉠
[
5x-y=4 y`㉡
x=1을 ㉠에 대입하면
2+y=3 ∴ y=1
㉠+㉡을 하면 7x=7 ∴ x=1
따라서 x=1, y=1을 x-my=3에 대입하면
1-m=3 ∴ m=-2
유제 11
2x-4y=b y`㉠
[
ax-2y=3 y`㉡
㉡_2를 하면 2ax-4y=6 y`㉢
은 달라야 하므로
2=2a, b+6
∴ a=1, b+6
2
1 ③
5 ④
9 ③
1
2
67~69쪽
2 ④
6 ⑤
10 ②
3 ①
7 ④
11 ②
4 ③
8 ⑤
12 ②
2(ax-3y)+y+b=3x-4(x+by)+5에서
(2a+1)x+(-5+4b)y+b-5=0
이 식이 x, y에 대한 일차방정식이 되려면 2a+1+0,
x=a, y=a를 7x-4y+1=5a-3에 대입하면
a=2를 7x-4y+1=5a-3에 대입하면
∴ a+-;2!;
, b+
;4%;
7a-4a+1=5a-3
-2a=-4 ∴ a=2
7x-4y+1=10-3
즉, 7x-4y-6=0
면 등식이 성립한다.
①, ②, ③, ⑤ 주어진 x, y의 값을 7x-4y-6=0에 대입하
④ x=4, y=5를 7x-4y-6=0에 대입하면
7_4-4_5-6+0
따라서 방정식의 해가 아닌 것은 ④이다.
3
3aÛ`-3a(x-2)+6x-y=0에서
(-3a+6)x-y+3aÛ`+6a=0 y`㉠
x=a, y=12를 ㉠에 대입하면
(-3a+6)a-12+3aÛ`+6a=0
12a-12=0 ∴ a=1
따라서 a=1을 ㉠에 대입하면
x=3, y=b를 ㉡에 대입하면
9-b+9=0 ∴ b=18
∴ a+b=1+18=19
Ⅲ. 연립방정식
19
해가 없으려면 ㉠과 ㉢의 x, y의 계수는 각각 같고 상수항
3x-y+9=0
y`㉡
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 19
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4
x=-3, y=1을
ax-by=-2
[
bx-ay=1
에 대입하면
-3a-b=-2 y`㉠
[
-3b-a=1 y`㉡
㉠-㉡_3을 하면 8b=-5 ∴ b=-;8%;
b=-;8%; 를 ㉡에 대입하면
;;Á8°;;-a=1 ∴ a=;8&;
∴ a+b=;8&;+
-;8%;}
=;4!;
{
5
[
1-x
2
-;3};=2
0.H1x+0.H4y=-0.H3
1-x
2
-;3};=2
에서
, 즉
(
{
9
㉠+㉡_3을 하면 10y=0 ∴ y=0
;9!;x+;9$;y=-;9#;
[
-3x-2y=9 y`㉠
x+4y=-3 y`㉡
y=0을 ㉡에 대입하면 x=-3
따라서 a=-3, b=0이므로
aÛ`+bÛ`=(-3)Û`+0=9
6
x-2y+3
2
=
2x+y-4
3
=y+2에서
x-2y+3
2
2x+y-4
3
(
{
9
=y+2
=y+2
, 즉
x-4y=1 y`㉠
[
x-y=5 y`㉡
㉠-㉡을 하면 -3y=-4 ∴ y=;3$;
y=;3$; 를 ㉡에 대입하면
x-;3$;=5 ∴ x=;;Á3»;;
따라서 a=;;Á3»;;
, b=;3$;
이므로
;bA;=aÖb=;;Á3»;;Ö;3$;=;;Á3»;;_;4#;=;;Á4»;;
7
1
x-y
1
x+y
=A,
=B로 놓으면
2A-2B=5 y`㉠
[
2A+3B=15 y`㉡
㉠-㉡을 하면 -5B=-10 ∴ B=2
B=2를 ㉠에 대입하면
2A-4=5, 2A=9 ∴ A=;2(;
1
x-y
1
x+y
=;2(;
=2
(
에서
{
9
(
즉,
{
9
x-y=;9@;
y`㉢
x+y=;2!;
y`㉣
㉢+㉣을 하면 2x=;1!8#;
∴ x=;3!6#;
20
8
잘못 보고 푼 연립방정식의 두 일차방정식의 상수항을 각각
x=;3!6#; 을 ㉣에 대입하면
;3!6#;+y=;2!;
∴ y=;3°6;
∴
,
{;3!6#;
;3°6;}
a, 10-a라 하면
x-y=a
y`㉠
[
2x+3y=10-a y`㉡
㉠_2-㉡을 하면 -5y=3a-10
∴ y=
3a-10
-5
3a-10
-5
3a=-15 ∴ a=-5
즉,
=5이므로 3a-10=-25
따라서 잘못 본 두 상수항은 각각 -5, 15이므로 그 차는
15-(-5)=20
9
주어진 두 연립방정식의 네 일차방정식이 모두 같은 해를 가
지므로
x+3y=3 y`㉠
[
4x-3y=3 y`㉡
㉠+㉡을 하면 5x=6 ∴ x=;5^;
x=;5^; 을 ㉠에 대입하면
;5^;+3y=3, 3y=;5(;
∴ y=;5#;
, y=;5#; 을 5ax-10by=2에 대입하면
x=;5^;
6a-6b=2 ∴ 3a-3b=1 y`㉢
, y=;5#; 을 10ax-5by=-1에 대입하면
x=;5^;
12a-3b=-1
y`㉣
㉢-㉣을 하면 -9a=2 ∴ a=-;9@;
a=-;9@; 를 ㉢에 대입하면
-;3@;-3b=1, -3b=;3%;
∴ b=-;9%;
∴ a-b=-;9@;-
-;9%;}
=;3!;
{
10
x-4y=a y`㉠
[
4x-y=5-a y`㉡
㉠+㉡을 하면 5x-5y=5
∴ x-y=1 y`㉢
x의 값과 y의 값의 합이 7이므로
x+y=7
y`㉣
㉢+㉣을 하면 2x=8 ∴ x=4
x=4를 ㉣에 대입하면 4+y=7 ∴ y=3
따라서 x=4, y=3을 ㉠에 대입하면
4-12=a ∴ a=-8
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 20
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정답과 해설 ㉠_2를 하면 2(a-4)x+6y=12 y`㉢
㉡_(-3)을 하면 -18x+6y=-9 y`㉣
해가 없으려면 ㉢과 ㉣의 x, y의 계수는 각각 같고 상수항은
11
(a-4)x+3y-6=0
[
6x-2y-3=0
에서
(a-4)x+3y=6 y`㉠
[
6x-2y=3
y`㉡
달라야 하므로
2(a-4)=-18
2a=-10 ∴ a=-5
12
[
2x-3ky=0
y`㉠
3x+(1-4k)y=0 y`㉡
㉠_3을 하면 6x-9ky=0
y`㉢
㉡_2를 하면 6x+2(1-4k)y=0 y`㉣
해가 무수히 많으려면 ㉢과 ㉣이 일치해야 하므로
-9k=2(1-4k) ∴ k=-2
3
70~72쪽
01 2
02 -63
03 a=30, b=80, k=10
04 a=1, b=1
05 x=0, y=1
, y=8
07 -4
08 5
06 x=-;;Á2°;;
09 -26
10 -2
01
x=5, y=-3을
a
10
x-y-;2#;=0에 대입하면
;2A;+3-;2#;=0,
;2A;=-;2#;
∴ a=-3
즉, -;1£0;x-y-;2#;=0
따라서 x=b-;3!;
, y=-b를 -;1£0;x-y-;2#;=0에 대입하면
-;1£0;{
b-;3!;}
+b-;2#;=0
;1¦0;b=;1!0$;
∴ b=2
02
x=2p, y=3p를 3x-5y=-27에 대입하면
6p-15p=-27, -9p=-27 ∴ p=3
∴ x=6, y=9
따라서 x=6, y=9를 10x-9y-a=0에 대입하면
60-81-a=0 ∴ a=-21
∴ ap=-21_3=-63
03
9x-2y=11k y`㉠
[
6x+4y=50k y`㉡
㉠_2+㉡을 하면 24x=72k ∴ x=3k
x=3k를 ㉠에 대입하면
27k-2y=11k, -2y=-16k ∴ y=8k
세 자연수 3k, 8k, k의 최소공배수가 240이므로
k_3_8=240에서 k=10
∴ a=30, b=80, k=10
04
(a+1)▣(b+1)=18에서
4(a+1)+5(b+1)=18 ∴ 4a+5b=9 y`㉠
2a▣(b-1)=8에서
4_2a+5(b-1)=8 ∴ 8a+5b=13 y`㉡
㉠-㉡을 하면 -4a=-4 ∴ a=1
a=1을 ㉠에 대입하면
4+5b=9, 5b=5 ∴ b=1
05
Ú x¾1일 때, x-1¾0에서 |x-1|=x-1이므로
[
y=x+1
y`㉠
y=3x+x-1=4x-1 y`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
x+1=4x-1, -3x=-2 ∴ x=;3@;
이때
;3@;<1이므로 x=;3@; 는 주어진 연립방정식의 해가
아니다.
Û x<1일 때, x-1<0에서 |x-1|=-x+1이므로
[
y=x+1
y`㉢
y=3x-x+1=2x+1 y`㉣
㉢을 ㉣에 대입하면
x+1=2x+1 ∴ x=0
x=0을 ㉢에 대입하면 y=1
Ú, Û에 의해 주어진 연립방정식의 해는
x=0, y=1
이때 0<1이므로 x=0은 주어진 연립방정식의 해이다.
06
Ú x>y일 때, x△y=x, x▽y=y이므로
x=2x+3y-1
[
y=-x-y-7
에서
[
x+3y=1 y`㉠
x+2y=-7 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=-23, y=8
이때 -23<8이므로 x=-23, y=8은 주어진 연립방정
식의 해가 아니다.
Û xy)이라 하면
1+;1Á0°0;}
{
[
x-y=2000
x+
1+;1Á0°0;}
{
y=25300
에서
x+y=22000 y`㉠
[
x-y=2000 y`㉡
㉠+㉡을 하면 2x=24000 ∴ x=12000
x=12000을 ㉠에 대입하면
12000+y=22000 ∴ y=10000
따라서 더 싼 화장품의 원가가 10000원이므로 정가는
1+;1Á0°0;}
{
_10000=11500(원)
수 있는 일의 양을 각각 x, y라 하면
2x+8y=1 y`㉠
[
3x+6y=1 y`㉡
㉠_3-㉡_2를 하면 12y=1 ∴ y=;1Á2;
y=;1Á2; 을 ㉡에 대입하면
3x+;2!;=1, 3x=;2!;
따라서 이 일을 윤희가 혼자 하면 6일이 걸린다.
∴ x=;6!;
유제 8
물통에 물을 가득 채웠을 때의 물의 양을 1이라 하면 A호
스로 1시간 동안 채울 수 있는 물의 양은
, B호스로 1
;1Á2;
시간 동안 채울 수 있는 물의 양은
이다.
;1Á6;
이때 A호스로만 물을 넣은 시간을 x시간, A, B 두 호스
를 같이 사용하여 물을 넣은 시간을 y시간이라 하면
x+y=9
에서
[
;1Á2;x+
x+y=9 y`㉠
{;1Á2;+;1Á6;}
y=1
[
4x+7y=48 y`㉡
㉠_4-㉡을 하면 -3y=-12 ∴ y=4
y=4를 ㉠에 대입하면 x+4=9 ∴ x=5
따라서 A호스로만 5시간 동안 물을 넣었다.
유제 9
A코스의 길이를 xkm, B코스의 길이를 ykm라 하면
x-y=5
[
;3{;+;2};=3
에서
[
x-y=5 y`㉠
2x+3y=18 y`㉡
㉠_3+㉡을 하면 5x=33 ∴ x=;;£5£;;
x=;;£5£;; 을 ㉠에 대입하면
따라서 A, B 두 코스의 길이의 합은
;;£5£;;-y=5 ∴ y=;5*;
;;£5£;;+;5*;=;;¢5Á;;(km)
유제 10
형의 속력을 분속 x m, 동생의 속력을 분속 y m라 하면
10x-10y=1200
x-y=120 y`㉠
[
4x+4y=1200
[
x+y=300 y`㉡
에서
㉠+㉡을 하면 2x=420 ∴ x=210
x=210을 ㉡에 대입하면 210+y=300 ∴ y=90
따라서 형의 속력은 분속 210 m이다.
유제 11
열차의 길이를 x m, 열차의 속력을 초속 y m라 하면
660+x=24y y`㉠
[
300-x=8y y`㉡
㉠+㉡을 하면 960=32y ∴ y=30
y=30을 ㉡에 대입하면 300-x=240 ∴ x=60
따라서 열차의 길이는 60 m이다.
Ⅲ. 연립방정식
23
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 23
18. 11. 15. 오전 11:16
유제 12
흐르지 않는 물에서의 배의 속력을 시속 x km, 강물의 속
력을 시속 y km라 하면
2
A가 이긴 횟수를 x회, 진 횟수를 y회라 하면 B가 이긴 횟수
5(x-y)=30
[
3(x+y)=30
에서
x-y=6 y`㉠
[
x+y=10 y`㉡
㉠+㉡을 하면 2x=16 ∴ x=8
는 y회, 진 횟수는 x회이므로
3x-2y=14 y`㉠
[
3y-2x=9 y`㉡
㉠_3+㉡_2를 하면 5x=60 ∴ x=12
x=8을 ㉡에 대입하면 8+y=10 ∴ y=2
따라서 흐르지 않는 물에서의 배의 속력은 시속 8 km이다.
x=12를 ㉡에 대입하면
3y-24=9, 3y=33 ∴ y=`11
유제 13
소금물 A의 농도를 x%, 소금물 B의 농도를 y%라 하면
12+11=23(회)
따라서 A와 B가 가위바위보를 한 총 횟수는
(
{
9
;10{0;_100+;10}0;_300=;10*0;_400`
에서
;10{0;_300+;10}0;_100=;10^0;_400
x+3y=32 y`㉠
[
3x+y=24 y`㉡
㉠-㉡_3을 하면 -8x=-40 ∴ x=5
x=5를 ㉠에 대입하면
5+3y=32, 3y=27 ∴ y=9
따라서 소금물 A의 농도는 5%, 소금물 B의 농도는 9%
이다.
유제 14
필요한 합금 A, B의 양을 각각 xg, yg이라 하면
;1£0¼0;x+;1¢0¼0;y=200
(
{
9
㉠-㉡_2를 하면 -7x=-700 ∴ x=100
;1°0¼0;x+;1ª0¼0;y=135
에서
[
3x+4y=2000 y`㉠
5x+2y=1350 y`㉡
x=100을 ㉠에 대입하면
300+4y=2000, 4y=1700 ∴ y=425
따라서 필요한 합금 B의 양은 425g이다.
3
A은행에 예금한 금액을 x원, B은행에 예금한 금액을 y원이
라 하면
x+y=42000
에서
[
;10(0;x+;10&0;y=3540
x+y=42000 y`㉠
[
9x+7y=354000 y`㉡
㉠_9-㉡ 을 하면 2y=24000 ∴ y=12000
y=12000을 ㉠에 대입하면
x+12000=42000 ∴ x=30000
따라서 A은행에 예금한 금액은 30000원이다.
4
지난해의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면
1-;1Á0¼0;}
{
(x+y)=450
에서
-;10^0;x-32=-;1Á0¼0;(x+y)
x+y=500 y`㉠
[
2x+5y=1600 y`㉡
㉠_2-㉡을 하면 -3y=-600 ∴ y=200
y=200을 ㉠에 대입하면 x+200=500 ∴ x=300
따라서 올해의 여학생 수는 200-32=168(명)
(
{
9
(
{
9
2 ④
6 ③
10 ②
3 ④
7 ②
4 ①
8 ④
1
처음 두 자리의 자연수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의
숫자를 y라 하면
10y+x=10x+y-9
[
100x+40+y=14(10x+y)-53
에서
x-y=1
y`㉠
[
40x+13y=93 y`㉡
㉠_13+㉡을 하면 53x=106 ∴ x=2
x=2를 ㉠에 대입하면 2-y=1 ∴ y=1
따라서 처음 수는 21이다.
2
1 ③
5 ③
9 ②
24
5
상품 A의 개수를 x개, 상품 B의 개수를 y개라 하면
81~83쪽
800_;10%0;_x=1000_;10#0;_y
3
{
800_;10#0;_x
}
-800=1000_;10%0;_y
에서
4x-3y=0 y`㉠
[
36x-25y=400 y`㉡
㉠_9-㉡을 하면-2y=-400 ∴ y=200
y=200을 ㉠에 대입하면
4x-600=0, 4x=600 ∴ x=150
따라서 상품 A의 개수는 150개이다.
6
A, B호스로 1분 동안 채울 수 있는 물의 양을 각각 xL, yL
라 하면
4x+2y=60_;5@;
2x+4y=60_;2!;
(
{
9
에서
2x+y=12 y`㉠
[
x+2y=15 y`㉡
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 24
18. 11. 15. 오전 11:16
정답과 해설 ㉠_2-㉡을 하면 3x=9 ∴ x=3
x=3을 ㉠에 대입하면 6+y=12 ∴ y=6
따라서 A, B 두 호스로 동시에 1분 동안 물을 채우면 전체의
3+6
60
만큼 채워진다.
, 즉
;2£0;
3
7
희영이의 속력을 분속 x m, 문섭이의 속력을 분속 y m라 하면
x`:`y=250`:`100
[
20x+20y=4200
에서
y=;5@;x y`㉠
[
x+y=210 y`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 x+;5@;x=210 ∴ x=150
x=150을 ㉠에 대입하면 y=60
따라서 문섭이의 속력은 분속 60 m이므로 1분 동안 걸은 거
리는 60 m이다.
8
집과 할머니 댁 사이의 거리를 x km, 예상 소요 시간을 y시간
이라 하면
;1Ó0;=y-;6!;
;6{;=y+;6%;
(
{
9
에서
[
3x-30y=-5 y`㉠
x-6y=5 y`㉡
㉠-㉡_3을 하면 -12y=-20 ∴ y=;3%;
y=;3%; 를 ㉡에 대입하면
x-10=5 ∴ x=15
따라서 집과 할머니 댁 사이의 거리는 15 km이다.
9
터널의 길이를 xm, A기차의 속력을 초속 ym라 하면 철교
의 길이는 0.4xm이고 B기차의 속력은 초속 0.7ym이므로
200+x=45y
[
140+0.4x=30_0.7y
에서
200+x=45y y`㉠
[
1400+4x=210y y`㉡
㉠_4-㉡ 을 하면 -600=-30y ∴ y=20
y=20을 ㉠에 대입하면
200+x=900 ∴ x=700
따라서 철교의 길이는 700_0.4=280(m)
10
더 부은 물의 양을 x g, 5 %의 소금물의 양을 y g이라 하면
3 %의 소금물의 양은 5x g이므로
에서
5x+y+x=900
[
;10#0;_5x+;10%0;;_y=;10$0;_900
6x+y=900 y`㉠
[
3x+y=720 y`㉡
㉠-㉡ 을 하면 3x=180 ∴ x=60
x=60을 ㉡에 대입하면
180+y=720 ∴ y=540
따라서 더 부은 물의 양은 60 g이다.
84~86쪽
01 1881
02 210명
03 90점
04 A: 500원, B: 2500원
05 3분 20초
06 500m
07 ;3$;
배
08 철교: 120m, 화물 열차: 120m
09 A: 5%, B:
%
;;ª2°;;
01
네 자리의 자연수의 천의 자리의 숫자를 x, 백의 자리의 숫자
를 y라 하면 십의 자리의 숫자는 y, 일의 자리의 숫자는 x이
므로
x+y+y+x=10x+y
∴ y=8x y`㉠
이때 y는 한 자리의 자연수이므로 x=1
x=1을 ㉠에 대입하면 y=8
따라서 구하는 네 자리의 자연수는 1881이다.
02
합격자 중 남자는
_150=90(명),
3
3+2
여자는
_150=60(명)이다.
2
3+2
입사 지원자 중 남자의 수를 x명, 여자의 수를 y명이라 하면
x`:`y=4`:`3
[
(x-90)`:`(y-60)=1`:`1
에서
3x-4y=0 y`㉠
[
x-y=30 y`㉡
㉠-㉡_3을 하면 -y=-90 ∴ y=90
y=90을 ㉡에 대입하면
x-90=30 ∴ x=120
따라서 입사 지원자의 수는 120+90=210(명)
03
합격한 응시생 성적의 평균을 x점, 불합격한 응시생 성적의
평균을 y점이라 하면
30x+20y
50
[
4y=3x+35
+1=x-5
에서
[
-x+y=-15 y`㉠
-3x+4y=35 y`㉡
㉠_3-㉡을 하면 -y=-80 ∴ y=80
y=80을 ㉠에 대입하면
-x+80=-15 ∴ x=95
따라서 최저 합격 점수는 95-5=90(점)
04
상품 A의 원가를 x원, 상품 B의 원가를 y원이라 하면
(상품 A의 정가)=
1+;1ª0¼0;}
{
x=;1!0@0);x=;5^;x(원),
(상품 B의 정가)=
1+;1ª0¼0;}
{
y=;1!0@0);y=;5^;y(원)이므로
(상품 A의 이익)=;5^;x
1-;1ª0¼0;}
{
-x=-;2Á5;x(원),
(상품 B의 이익)=;5^;y
1-;1Á0¼0;}
{
-y=;2ª5;y(원)
Ⅲ. 연립방정식
25
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 25
18. 11. 15. 오전 11:16
이때 두 상품의 원가의 합이 3000원, 이익의 합이 180원이므로
08
철교의 길이를 xm, 화물 열차의 길이를 ym라 하면
에서
x+y=3000 y`㉠
-x+2y=4500 y`㉡
x+y=3000
[
-;2Á5;x+;2ª5;y=180
㉠+㉡을 하면 3y=7500 ∴ y=2500
[
y=2500을 ㉠에 대입하면
x+2500=3000 ∴ x=500
따라서 상품 A의 원가는 500원, 상품 B의 원가는 2500원이다.
05
A, B기계가 1분 동안 만들 수 있는 물건의 개수를 각각
x개, y개라 하면
(3x+2y)_4=100
3x+2y=25 y`㉠
[
(4x+y)_5=100
4x+y=20 y`㉡
에서
[
㉠-㉡_2를 하면 -5x=-15 ∴ x=3
x=3을 ㉡에 대입하면 12+y=20 ∴ y=8
이때 A기계 2대와 B기계 3대를 동시에 사용하여 물건 100개
를 만드는 데 걸리는 시간을 a분이라 하면
(2_3+3_8)_a=100
30a=100 ∴ a=;;Á3¼;;
따라서 물건 100개를 만드는 데 걸리는 시간은
분, 즉 3분 20초이다.
;;Á3¼;;
06
B의 속력을 분속 xm라 하면 A의 속력은 분속 3xm이다.
이때 운동장의 둘레의 길이를 ym라 하면
150x-50x=y
100x=y y`㉠
[
45x+15x=y-200
60x=y-200 y`㉡
에서
[
㉠을 ㉡에 대입하면
60x=100x-200, -40x=-200 ∴ x=5
x=5를 ㉠에 대입하면 y=500
따라서 운동장의 둘레의 길이는 500m이다.
07
평소의 흐르지 않는 물에서의 배의 속력을 시속 x km, 강물의
속력을 시속 y km라 하면
;2(;(x-y)=36
에서
(
{
9
㉠+㉡을 하면 2x=24 ∴ x=12
;4(;(x+y)=36
[
x-y=8 y`㉠
x+y=16 y`㉡
x=12를 ㉠에 대입하면 12-y=8 ∴ y=4
이때 장마철의 강물의 속력은 평소의 2배이므로 시속 8 km
이고, 장마철의 흐르지 않는 물에서의 배의 속력을 시속
z km라 하면
;;ª6¦0¼;;(z-8)=36, z-8=8 ∴ z=16
따라서 같은 거리를 거슬러 올라가는 데 걸리는 시간이 변하
지 않으려면 배의 속력은 시속 16 km가 되어야 하므로 배의
09
소금물 A의 처음 농도를 x%, 소금물 B의 처음 농도를 y%
여객 열차의 속력은 초속
m,
화물 열차의 속력은 초속
m
80+x
8
x+y
16
이때 화물 열차는 길이가 300 m인 터널을 지날 때 12초 동안
보이지 않으므로
x+y
16
=
300-y
12
완전히 지나치려면
또 두 열차가 서로 반대 방향으로 마주 보며 달려서 만난 후
y`㉠
(두 열차의 길이의 합)=(두 열차가 달린 거리의 합)이므로
80+y=
_5+
_5 y`㉡
80+x
8
x+y
16
㉠, ㉡에서
3x+7y=1200 y`㉢
[
15x-11y=480 y`㉣
㉢_5-㉣을 하면 46y=5520 ∴ y=120
y=120을 ㉢에 대입하면
3x+840=1200, 3x=360 ∴ x=120
따라서 철교의 길이는 120m, 화물 열차의 길이는 120m이
다.
라 하면
A
B
A
B
Ú A의 반을 B에 넣고 섞었을 때
소금물의 양: 300g
소금의 양:
;10{0;_300=3x(g)
소금물의 양: 600+300=900(g)
소금의 양: 3x+;10}0;_600=3x+6y(g)
Û 다시 B의 반을 A에 넣고 섞었을 때
소금물의 양: 300+450=750(g)
소금의 양: 3x+
3x+6y
2
=
9x+6y
2
(g)
소금물의 양: 450g
3x+6y
2
소금의 양:
g
A의 농도가 8%가 되었으므로
9x+6y
2
=;10*0;_750
∴ 3x+2y=40 y`㉠
B의 농도가 10%가 되었으므로
3x+6y
2
=;1Á0¼0;_450
∴ x+2y=30 y`㉡
㉠-㉡을 하면 2x=10 ∴ x=5
x=5를 ㉡에 대입하면
5+2y=30, 2y=25 ∴ y=;;ª2°;;
따라서 소금물 A의 처음 농도는 5%, 소금물 B의 처음 농도
속력은 평소의
;1!2^;=;3$;
(배)가 되어야 한다.
는
;;ª2°;;
%이다.
26
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 26
18. 11. 15. 오전 11:16
정답과 해설 87~90쪽
따라서 a=;5#;
, b=;;ª5Á;; 을 처음 연립방정식에 대입하면
01 ④
02 x=;;Á5¦;;
, y=;;¢5¥;;
04 ③
05 -3
, y=-;5@;
03 x=;;Á5Á;;
06 ②
07 13세
08 A: 6m, B: 9m
09 160cmÛ` 10 ②
11 ③
12 ③
13 우유: 150g, 빵: 25g
14 ②, ⑤
16 ③
17 8
15 x=1, y=;2!;
18 100만 원 19 24분
서술형 문제 <과정은 풀이 참조>
20 -5
21 -1
22 80점 이상: 20명, 80점 미만: 24명
23 A: 1030원, B: 2120원
0.5x-2y=2.1
5x-20y=21 y`㉠
01
에서
[
;2!;x+;1£0;y=-2.5
㉠-㉡을 하면 -23y=46 ∴ y=-2
[
5x+3y=-25 y`㉡
y=-2를 ㉠에 대입하면
5x+40=21, 5x=-19 ∴ x=-;;Á5»;;
따라서 a=-;;Á5»;;
, b=-2이므로 a와 b의 차는
-2-
-;;Á5»;;}
=;5(;
{
02
주어진 방정식의 각 변에 6을 곱하면
3x-2y=2(x+2)-3(y-3)=-9
즉, 3x-2y=2x-3y+13=-9
3x-2y=-9
3x-2y=-9 y`㉠
[
2x-3y+13=-9
에서
[
2x-3y=-22 y`㉡
㉠_2-㉡_3을 하면 5y=48 ∴ y=;;¢5¥;;
y=;;¢5¥;; 을 ㉠에 대입하면
3x-;;»5¤;;=-9, 3x=;;°5Á;;
∴ x=;;Á5¦;;
03
주어진 연립방정식의 a와 b를 서로 바꾸면
이 연립방정식의 해가 x=1, y=2이므로
bx-ay=3
[
ax+by=9
b-2a=3 y`㉠
[
a+2b=9 y`㉡
㉠+㉡_2를 하면 5b=21 ∴ b=;;ª5Á;;
b=;;ª5Á;; 을 ㉡에 대입하면 a+;;¢5ª;;=9 ∴ a=;5#;
;5#;x-;;ª5Á;;y=3
;;ª5Á;;x+;5#;y=9
(
{
9
에서
x-7y=5 y`㉢
[
7x+y=15 y`㉣
㉢+㉣_7을 하면 50x=110 ∴ x=;;Á5Á;;
x=;;Á5Á;; 을 ㉣에 대입하면
;;¦5¦;;+y=15 ∴ y=-;5@;
따라서 처음 연립방정식의 해는 x=;;Á5Á;;
, y=-;5@;
04
주어진 두 연립방정식의 네 일차방정식이 모두 같은 해를 가
지므로
2x+y=12 y`㉠
[
x-y=3 y`㉡
㉠+㉡을 하면 3x=15 ∴ x=5
x=5를 ㉡에 대입하면 5-y=3 ∴ y=2
x=5, y=2를 px+2y=14에 대입하면
5p+4=14, 5p=10 ∴ p=2
x=5, y=2를 x-2y=q에 대입하면
5-4=q ∴ q=1
∴ pÛ`+qÛ`=2Û`+1Û`=5
05
3x+2y+a=0
[
ax-2y+3=0
에서
[
3x+2y=-a y`㉠
ax-2y=-3 y`㉡
㉡_(-1)을 하면 -ax+2y=3 y`㉢
해가 무수히 많으려면 ㉠과 ㉢이 일치해야 하므로
-a=3 ∴ a=-3
06
[
2x-5y=-3
y`㉠
-x+(2k+1)y=4 y`㉡
㉡_(-2)를 하면 2x-2(2k+1)y=-8 y`㉢
해가 없으려면 ㉠과 ㉢의 x, y의 계수는 각각 같고 상수항은
달라야 하므로
-5=-2(2k+1), 4k=3 ∴ k=;4#;
07
내 아들의 현재 나이를 x세, 나의 현재 나이를 y세라 하면 아
버지와 나의 현재 나이의 합이 100세이고, 나와 내 아들의 나
이의 차는 시간이 지나도 변하지 않으므로
5x+y=100
[
y-x=5x-(y+8)
에서
[
5x+y=100 y`㉠
-3x+y=-4 y`㉡
㉠-㉡을 하면 8x=104 ∴ x=13
x=13을 ㉠에 대입하면 65+y=100 ∴ y=35
따라서 내 아들의 현재 나이는 13세이다.
08
A도화지를 xm, B도화지를 ym 샀다고 하면
4x+3y=51
[
1500x+1200y=19800
에서
[
4x+3y=51 y`㉠
5x+4y=66 y`㉡
㉠_5-㉡_4를 하면 -y=-9 ∴ y=9
y=9를 ㉠에 대입하면
4x+27=51, 4x=24 ∴ x=6
따라서 A도화지는 6m, B도화지는 9m 샀다.
Ⅲ. 연립방정식
27
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 27
18. 11. 15. 오전 11:16
(cid:90) (cid:68)(cid:78)
14
Ú x¾0일 때
10
전체 일의 양을 1이라 하고, 수진이와 주민이가 하루에 할 수
㉢ +㉣을 하면 -2y=7 ∴ y=-;2&;
09
타일 한 장의 가로의 길이를 x cm, 세
로의 길이를 y cm라 하면
2x=5y
y`㉠
[
4x+7y=136 y`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 10y+7y=136
(cid:89) (cid:68)(cid:78)
17y=136 ∴ y=8
y=8을 ㉠에 대입하면 2x=40 ∴ x=20
따라서 직사각형 모양의 타일 한 장의 넓이는
20_8=160(cmÛ`)
있는 일의 양을 각각 x, y라 하면
3(x+y)=1
3x+3y=1 y`㉠
[
2x+6y=1
[
2x+6y=1 y`㉡
에서
㉠_2-㉡을 하면 4x=1 ∴ x=;4!;
x=;4!; 을 ㉡에 대입하면
;2!;+6y=1, 6y=;2!;
따라서 수진이가 일을 혼자서 하면 4일이 걸린다.
∴ y=;1Á2;
11
처음 레일의 길이를 x m, 처음 장난감 기차의 속력을 분속
y m라 하면 나중의 레일의 길이는 (x+3) m, 나중의 장난
감 기차의 속력은 분속 2y m이므로
;6#0);_y=x
;6@0$;_2y=x+3
에서
y=2x y`㉠
[
;5$; y=x+3 y`㉡
㉠을 ㉡에 대입하면
;5*;x=x+3,
;5#;x=3 ∴ x=5
x=5를 ㉠에 대입하면 y=10
따라서 처음 레일의 길이는 5 m이다.
12
윤정이가 걸은 거리를 x m, 지선이가 걸은 거리를 y m라 하
(
{
9
면
x+y=5 y`㉠
[
x-3y=2 y`㉡
㉠ -㉡을 하면 4y=3 ∴ y=;4#;
y=;4#; 을 ㉠에 대입하면 x+;4#;=5 ∴ x=;;Á4¦;;
Û x<0일 때
-x+y=5 y`㉢
[
x-3y=2 y`㉣
y=-;2&; 을 ㉢에 대입하면
-x-;2&;=5 ∴ x=-;;Á2¦;;
,
Ú, Û에 의해 구하는 x의 값은 -;;Á2¦;;
;;Á4¦;;
15
=A,
1
x-y
A+3B=4 y`㉠
1
x+y
[
5A-6B=6 y`㉡
=B로 놓으면
㉠_2+㉡을 하면 7A=14 ∴ A=2
A=2를 ㉠에 대입하면
2+3B=4, 3B=2 ∴ B=;3@;
=2
x-y=;2!;
y`㉢
1
x-y
1
x+y
(
즉,
{
9
(
에서
{
9
x+y=;2#;
㉢+㉣을 하면 2x=2 ∴ x=1
=;3@;
y`㉣
x=1을 ㉣에 대입하면
1+y=;2#;
∴ y=;2!;
16
4x-ay=9 y`㉠
[
2x+y=12 y`㉡
x+y=2000
x+y=2000 y`㉠
에서
[
;8Ó0;=;12}0;+10
㉠_2+㉡을 하면 5x=6400 ∴ x=1280
3x-2y=2400 y`㉡
[
x`:`y=3`:`2이므로 2x=3y y`㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
3y+y=12, 4y=12 ∴ y=3
x=1280를 ㉠에 대입하면 1280+y=2000 ∴ y=720
y=3을 ㉢에 대입하면 2x=9 ∴ x=;2(;
따라서 윤정이가 걸은 시간은
=16(분)이므로 윤정이
1280
80
와 지선이가 만나는 시각은 오후 3시 16분이다.
, y=3을 ㉠에 대입하면
따라서 x=;2(;
18-3a=9, -3a=-9 ∴ a=3
13
한 끼에 먹어야 하는 우유의 양을 x g, 빵의 양을 y g이라 하면
;1@0);x+;1$0);y=400
0.8
1.2
10
10
(
{
9
㉠-㉡을 하면 -2x=-300 ∴ x=150
y=20
에서
x+
[
x+2y=200 y`㉠
3x+2y=500 y`㉡
x=150을 ㉠에 대입하면
150+2y=200, 2y=50 ∴ y=25
따라서 한 끼에 우유는 150 g, 빵은 25 g을 먹어야 한다.
17
3x+y=ax
[
x+3y=2ax
에서
[
(3-a)x+y=0 y`㉠
(1-2a)x+3y=0 y`㉡
㉠_3을 하면 3(3-a)x+3y=0 y`㉢
x=0, y=0 이외의 해를 가지려면, 즉 해가 무수히 많으려면
㉡과 ㉢이 일치해야 하므로
1-2a=3(3-a) ∴ a=8
[참고] 연립방정식이 x=0, y=0 이외의 해를 갖는다는 것은 해가 2
개 이상이라는 것과 같으므로 해가 무수히 많은 것을 의미한다.
28
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 28
18. 11. 15. 오전 11:16
정답과 해설 18
제품 A를 xkg, 제품 B를 ykg 만들었다고 하면
22
중간고사에서 수학 성적이 80점 이상인 학생 수를 x명, 80점
4x+2y=40 y`㉠
[
3x+5y=58 y`㉡
미만인 학생 수를 y명이라 하면 기말고사에서 수학 성적이
80점 이상인 학생과 80점 미만인 학생이 모두 22명이므로
㉠_5-㉡_2를 하면 14x=84 ∴ x=6
x=6을 ㉠에 대입하면
24+2y=40, 2y=16 ∴ y=8
따라서 제품 A는 6kg, 제품 B는 8kg을 만들었으므로 총
이익은 6_6+8_8=100(만 원)
(
{
9
;1¥0¼0;x+;1ª0°0;y=22
에서
;1ª0¼0;x+;1¦0°0;y=22
16x+5y=440 y`㉠
[
4x+15y=440 y`㉡
㉠_3-㉡을 하면 44x=880 ∴ x=20
x=20을 ㉠에 대입하면
320+5y=440, 5y=120 ∴ y=24
따라서 중간고사에서 수학 성적이 80점 이상인 학생 수는 20명,
80점 미만인 학생 수는 24명이다.
채점 요소
ⅰ 연립방정식 세우기
ⅱ 연립방정식의 해 구하기
ⅲ 중간고사에서 수학 성적이 80점 이상인 학생 수, 80점
미만인 학생 수 구하기
23
지난해 A의 가격을 x원, B의 가격을 y원이라 하면
(
{
9
1+;10%0;}
{
(x+y)=3150
에서
;10#0;x+;10^0;y=;10%0;(x+y)
x+y=3000 y`㉠
[
2x-y=0 y`㉡
㉠+㉡을 하면 3x=3000 ∴ x=1000
x=1000을 ㉠에 대입하면
1000+y=3000 ∴ y=2000
따라서 올해 A의 가격은 1000+;10#0;_1000=1030(원),
B의 가격은 2000+;10^0;_2000=2120(원)
채점 요소
ⅰ 연립방정식 세우기
ⅱ 연립방정식의 해 구하기
ⅲ 올해 A, B의 가격 구하기
… ⅰ
… ⅱ
… ⅲ
비율
50 %
40 %
10 %
… ⅰ
… ⅱ
… ⅲ
비율
40 %
40 %
20 %
19
물통에 가득 차 있는 물의 양을 1이라 하고, A호스로 1분 동
안 빼는 물의 양을 x, B호스로 1분 동안 빼는 물의 양을 y라
하면
12(x+y)=1
4(x+y)+16y=1
[
에서
[
12x+12y=1 y`㉠
4x+20y=1 y`㉡
㉠-㉡_3을 하면 -48y=-2 ∴ y=;2Á4;
y=;2Á4; 을 ㉠에 대입하면
12x+;2!;=1, 12x=;2!;
따라서 B호스로만 물을 빼면 24분이 걸린다.
∴ x=;2Á4;
2x+ay=8
20
[
x-3y-4(2x-y)=10
2x+ay=8 y`㉠
[
-7x+y=10 y`㉡
에서
x=b, y=b-2를 ㉡에 대입하면
-7b+b-2=10, -6b=12 ∴ b=-2
… ⅱ
따라서 x=-2, y=-4를 ㉠에 대입하면
-4-4a=8, -4a=12 ∴ a=-3
∴ a+b=-3+(-2)=-5
채점 요소
ⅰ 주어진 연립방정식을 정리하기
ⅱ b의 값 구하기
ⅲ a의 값 구하기
ⅳ a+b의 값 구하기
21
연립방정식
-x+ay=-10 y`㉠
[
x-2y=b
y`㉡
에서
희영이는 a를 잘못 보고 풀어서 x=3, y=-1이 나왔으므
로 이를 ㉡에 대입하면
3+2=b ∴ b=5
민선이는 b를 잘못 보고 풀어서 x=5, y=-;4%;
이를 ㉠에 대입하면
-5-;4%;a=-10,
∴ a-b=4-5=-1
;4%;a=5 ∴ a=4
… ⅰ
가 나왔으므로
채점 요소
ⅰ b의 값 구하기
ⅱ a의 값 구하기
ⅲ a-b의 값 구하기
… ⅰ
… ⅲ
… ⅳ
비율
20 %
30 %
30 %
20 %
… ⅱ
… ⅲ
비율
40 %
40 %
20 %
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 29
18. 11. 15. 오전 11:16
Ⅲ. 연립방정식
29
Ⅳ. 일차함수
일차함수와 그 그래프
유제 5
y=2x(4ax-2)+bx+3에서
y=8axÛ`+(b-4)x+3
이 함수가 x에 대한 일차함수가 되려면
8a=0, b-4+0
∴ a=0, b+4
유제1 ①
유제2 ③
유제3
1
유제4 ②
유제5
a=0, b+4
유제6 ③
유제7
-;8!;
{
유제10 ③
, -;8!;}
유제11 11
유제12 ②
유제8 ③
유제9 -4
93~102쪽
유제 6
y=-;4%;x-1의 그래프를 y축의 방향으로 -2만큼 평행
이동하면 y=-;4%;x-1-2
∴ y=-;4%;x-3
이 일차함수의 그래프가 점 (-8, a)를 지나므로
a=10-3=7
유제13 제 3 사분면
유제14 ⑤
유제15 ;5#;
유제 7
y=-5x+b의 그래프가 점 (b, 3)을 지나므로
유제16 ③
유제17 y=x+3
유제18 y=-;2!;x+;;Á2Á;;
유제20 ⑴ y=48-8x ⑵ 2초 후
유제19 ②
유제 1
① 자연수 x의 배수는 무수히 많으므로 y의 값이 하나로
정해지지 않는다. (함수가 아니다.)
② 자연수 x보다 작은 소수의 개수 y개는 하나로 정해진
다. (함수이다.)
③ y=2px (함수이다.)
④ 10초당 통화 요금이 30원이므로 1초당 통화 요금은 3
원이다. 즉, y=3x (함수이다.)
⑤ y=
(함수이다.)
140
x
따라서 y가 x의 함수가 아닌 것은 ①이다.
유제 2
f(1)=a+1=3 ∴ a=2
따라서 f(x)=;[#;
이므로 f(b)=;b#;=2 ∴ b=;2#;
유제 3
13 미만의 소수는 2, 3, 5, 7, 11의 5개이므로
미만의 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이므로
∴ ab=2_;2#;=3
f(13)=5
;;ª4»;;
f
{;;ª4»;;}
=4
∴ f(13)-f
=5-4=1
{;;ª4»;;}
3=-5b+b, -4b=3 ∴ b=-;4#;
따라서 y=-5x-;4#;
가 같은 점의 좌표를 (a, a)라 하면
의 그래프 위의 점 중 x좌표와 y좌표
a=-5a-;4#;
, 6a=-;4#;
∴ a=-;8!;
따라서 구하는 점의 좌표는
{
-;8!;
, -;8!;}
이다.
즉, a=5, b=-3이므로 y=5x-3에 y=0을 대입하면
유제 8
y=;5#;x-3에 y=0을 대입하면
0=;5#;x-3 ∴ x=5
y=;5#;x-3에 x=0을 대입하면
y=-3
0=5x-3 ∴ x=;5#;
따라서 구하는 x절편은
이다.
;5#;
유제 9
y=x+1에 y=0을 대입하면
0=x+1 ∴ x=-1
즉, y=x+1의 그래프의 x절편은 -1이다.
이때 두 그래프가 x축 위에서 만나므로 y=2x-k-2의
그래프의 x절편도 -1이다.
따라서 y=2x-k-2에 x=-1, y=0을 대입하면
0=-2-k-2 ∴ k=-4
유제 4
y=;6%;x+3의 그래프를 y축의 방향으로 -4만큼 평행이
유제 10
의 그래프의 기울기는
이므로
;5!;
동하면 y=;6%;x+3-4
∴ y=;6%;x-1
따라서 (기울기)>0, ( y절편)<0이므로 제 2 사분면을 지
나지 않는다.
f(x)=;5!;x+;35;
`f(3)-f(-3)
6
=
`f(3)-f(-3)
3-(-3)
=
( y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
=;5!;
1
1
30
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 30
18. 11. 15. 오전 11:16
정답과 해설 유제 11
세 점이 한 직선 위에 있으므로 세 점 중 어떤 두 점을 택
유제 17
두 점 (-3, 0), (0, 3)을 지나므로
해도 기울기는 모두 같다.
즉,
a-5
-2-2
=
-1-a
6-(-2)
에서
a-5
-4
=
-1-a
8
8a-40=4+4a, 4a=44 ∴ a=11
따라서 기울기가 1, y절편이 3이므로 구하는 일차함수의
(기울기)=
3-0
0-(-3)
=1
식은
y=x+3
유제 12
y=-;bA;x-b의 그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선이므로
유제 18
f(x)=ax+b라 하면
(기울기)=-;bA;>0
y축과 양의 부분에서 만나므로
( y절편)=-b>0
즉,
;bA;<0이므로 a, b의 부호가 다르고, b<0이므로 a>0
∴ a>0, b<0
유제 13
ab>0에서 a, b의 부호는 같고, ac<0에서 a, c의 부호는
다르므로
a>0, b>0, c<0 또는 a<0, b<0, c>0
즉, -;aB;<0, -;bC;>0 이므로 y=-;aB;x-;bC;
에서
(기울기)=-;aB;<0, ( y절편)=-;bC;>0
따라서 y=-;aB;x-;bC;
른쪽 그림과 같으므로 제 3 사분면을
의 그래프는 오
지나지 않는다.
(cid:90)
(cid:48)
(cid:89)
유제 14
두 그래프가 일치하므로
;2A;=-;6%;
, -;5B;=2
∴ a=-;3%;
, b=-10
∴
;aB;=-10Ö
-;3%;}
{
=-10_
-;5#;}
{
=6
유제 15
y=ax+b의 그래프가 두 점 (0, -3), (5, 0)을 지나므로
(기울기)=
0-(-3)
5-0
=;5#;
이때 y절편은 -3이므로 y=;5#;x-3
f(-1)=6에서 -a+b=6 y`㉠
f(5)=3에서 5a+b=3`
y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;2!;
, b=;;Á2Á;;
따라서 구하는 일차함수의 식은 y=-;2!;x+;;Á2Á;;
유제 19
y=ax+b라 하면
-39¾일 때, 0H이므로
0=-39a+b y`㉠
357¾일 때, 100H이므로
100=357a+b y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;9@9%;
, b=;;£3ª3°;;
∴ y=;9@9%;x+;;£3ª3°;;
이 식에 x=27을 대입하면
y=;9@9%;_27+;;£3ª3°;;=;;°3¼;;
따라서 27 ¾는
H이다.
;;°3¼;;
유제 20
⑴ x초 후에 BPÓ=2xcm이므로
PCÓ=BCÓ-BPÓ=6-2x(cm)
따라서 y=;2!;_{6+(6-2x)}_8이므로
y=48-8x
⑵ ⑴의 식에 y=32를 대입하면
32=48-8x, 8x=16 ∴ x=2
따라서 사각형 APCD의 넓이가 32cmÛ`가 되는 것은
점 P가 움직이기 시작한 지 2초 후이다.
따라서 y=mx-4의 그래프가 y=;5#;x-3의 그래프와
103~105쪽
2
1 ①, ④
5 ②
9 ③
2 ④
6 ①
10 ⑤
3 ②
7 ②
11 ③
4 ②
8 ②
따라서 구하는 일차함수의 식을 y=-;4%;x+b로 놓고,
이 식에 x=4, y=5를 대입하면
1
①, ④ x의 값 1개에 y의 값이 오직 하나씩 대응되므로 y가
x의 함수이다.
②, ③, ⑤ x의 값 1개에 y의 값이 2개 이상 대응되므로 y가
평행하므로 m=;5#;
유제 16
(기울기)=
-5
4
=-;4%;
5=-5+b ∴ b=10
∴ y=-;4%;x+10
x의 함수가 아니다.
따라서 y가 x의 함수인 것은 ①, ④이다.
Ⅳ. 일차함수
31
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 31
18. 11. 15. 오전 11:16
y=(a-b-1)x+5가 일차함수가 되지 않으려면
로 오른쪽 위로 향하고 y축과 양의 부분에서 만난다.
y=4x-b의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동
않는다.
2
f(1)=-;5!;
, f(a+b)=-;5!;(a+b)이므로
f(1)=-f(a+b)에서 -;5!;=;5!;(a+b)
∴ a+b=-1
∴ f(a)+ f(b)=-;5!;a-;5!;b
=-;5!;(a+b)=-;5!;_(-1)=;5!;
a-b-1=0 y`㉠
y=(a+b-3)x-1이 일차함수가 되지 않으려면
a+b-3=0 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=1
3
4
하면
y=4x-b-3
이 그래프의 x절편이 a이므로
0=4a-b-3 ∴ 4a-b=3
y`㉠
이 그래프의 y절편이 a-4이므로
a-4=0-b-3 ∴ a+b=1 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;5$;
, b=;5!;
∴ a-b=;5$;-;5!;=;5#;
5
y=ax-8의 그래프의 y절편은 -8이고,
(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:14)(cid:25)
a>0이므로 그 그래프는 오른쪽 그림과
(cid:34)
(cid:89)
(cid:90)
(cid:48)
(cid:35)
같다.
이때 △AOB의 넓이가 8이므로
;2!;_OAÓ_8=8 ∴ OAÓ=2
따라서 y=ax-8의 그래프가
점 A(2, 0)을 지나므로
0=2a-8, 2a=8 ∴ a=4
[다른 풀이]
y=ax-8의 그래프의 x절편은
, y절편은 -8이다.
;a*;
이때 a>0이고, 그래프와 x축, y축으로 둘러싸인 부분의 넓
이가 8이므로
;2!;_;a*;_|-8|=8,
=8 ∴ a=4
32
a
6
f(x)=;2%;x+4의 그래프의 기울기는
`f(a)-f(2a)
a
`f(a)-f(2a)
2a-a
=
이고
;2%;
=-
`f(2a)-f(a)
2a-a
=-
( y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
=-;2%;
32
7
8
세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 만들어지지 않으려면 이
세 점은 한 직선 위에 있어야 한다.
이때 세 점이 한 직선 위에 있으면 어떤 두 점을 택해도 기울
기는 모두 같으므로
-a+1-2
-1-1
=
a+3-2
2-1
에서
-a-1
-2
=a+1
-a-1=-2a-2 ∴ a=-1
y=ax-b`(b+0)의 그래프가 제 4 사분면을 지나지 않으므
즉, (기울기)>0, ( y절편)>0에서
a>0, -b>0 ∴ a>0, b<0
따라서 y=-;aB;x+ab의 그래프는
(기울기)=-;aB;>0, ( y절편)=ab<0이므
로 오른쪽 그림과 같이 제 2 사분면을 지나지
(cid:90)
(cid:48)
(cid:89)
9
점 (3, -5)를 지나는 일차함수의 그래
프가 제 1 사분면을 지나지 않으려면 오
른쪽 그림과 같이 (기울기)<0,
( y절편)É0이어야 한다.
이때 기울기가 최소이려면 그래프는 원
점을 지나야 한다.
(cid:20)
(cid:89)
(cid:90)
(cid:48)
(cid:14)(cid:22)
따라서 y=ax의 그래프가 점 (3, -5)를 지나므로
-5=3a ∴ a=-;3%;
10
두 점 A(0, 6), B(8, 0)을 지나는 직선은
(기울기)=
0-6
8-0
=-;4#;
, ( y절편)=6이므로
y=-;4#;x+6
이때 PQÓ=4이므로 점 P의 y좌표는 4이다.
y=-;4#;x+6에 y=4를 대입하면
4=-;4#;x+6 ∴ x=;3*;
즉, 점 P의 좌표는 P
, 4
이다.
{;3*;
}
∴ (사다리꼴 AOQP의 넓이)=;2!;_(6+4)_;3*;
=;;¢3¼;;
11
기온이 x ¾일 때의 소리의 속력을 초속 y m라 하면
y=331+0.6x
이 식에 x=20을 대입하면
y=331+0.6_20=343
즉, 기온이 20 ¾일 때의 소리의 속력은 초속 343 m이다.
이때 소리를 지르면 4초 후에 메아리 소리를 들을 수 있으므로
소리가 산 정상에서 절벽까지 가는 데
;2$;=2(초)가 걸렸다.
따라서 산 정상과 절벽 사이의 거리는
343_2=686(m)
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정답과 해설 3
01 ㄴ, ㅁ
02 -5
03 -;3!;
04 a<-;2#;
또는 a>1
05 ⑴
ÉaÉ2 ⑵ -4ÉbÉ1
;5!;
06 ㄱ, ㄷ, ㅂ
07 제 1, 4 사분면
08 y=-x-2
09 M
, 0
}
{;2&;
01
ㄱ. f(8)=0, f(24)=0 ∴ f(8)=f(24)
ㄴ. f(13)=1, f(106)=2 ∴ f(13)+f(106)
ㄷ. 자연수 n에 대하여 8n은 4의 배수이므로 f(8n)=0
ㄹ. 자연수 n에 대하여 4n은 4의 배수이므로 f(4n)=0
또 16n은 4의 배수이므로 f(16n)=0
∴ f(4n)=f(16n)
ㅁ. f(51)=3, f(52)=0, f(53)=1
∴ f(51)+f(52)+f(53)=3+0=1=4
따라서 옳지 않은 것은 ㄴ, ㅁ이다.
02
-2x+5
3
=2에서 -2x+5=6
-2x=1 ∴ x=-;2!;
-2x+5
3
따라서 f
}
{
f(2)=-2-3=-5
=4x-3에 x=-;2!; 을 대입하면
y축에 내린 수선의 발을 F라
하면 삼각형 ADB의 넓이와
삼각형 AFD의 넓이가 같으므
로 사각형 FOCD의 넓이와 삼
각형 DCE의 넓이가 같다.
(cid:90)
(cid:34)
(cid:39)
(cid:48)
(cid:22)
(cid:35)
(cid:37)
(cid:36)
(cid:22)(cid:65)
(cid:38)
(cid:89)
OCÓ_CDÓ=;2!;_CEÓ_CDÓ
∴ CEÓ=2 OCÓ=2_5=10
따라서 A(0, 5), E(15, 0)이므로 직선 AD의 기울기는
0-5
15-0
=-;3!;
04
직선 y=ax-3의 y절편은 -3이
㉡
(cid:90)
㉠
므로 이 직선의 x절편인 m의 값의
범위가 -20일 때
∴ a>1
Û a<0일 때
∴ a<-;2#;
Ú, Û에 의해 a<-;2#;
또는 a>1
05
⑴ 직선 y=ax가
Ú 점 A(3, 4)를 지날 때
4=3a ∴ a=;3$;
Û 점 B(1, 2)를 지날 때
a=2
Ü 점 C(5, 1)을 지날 때
1=5a ∴ a=;5!;
Ú ~ Ü에 의해
ÉaÉ2
;5!;
⑵ 직선 y=x+b가
Ú 점 A(3, 4)를 지날 때
4=3+b ∴ b=1
Û 점 B(1, 2)를 지날 때
2=1+b ∴ b=1
Ü 점 C(5, 1)을 지날 때,
1=5+b ∴ b=-4
Ú ~ Ü에 의해 -4ÉbÉ1
(cid:90)
(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)
(cid:90)(cid:30)
(cid:89)
(cid:26)(cid:18)(cid:4)(cid:26)
(cid:34)
(cid:35)
(cid:48)
(cid:90)(cid:30)
(cid:89)
(cid:26)(cid:20)(cid:197)(cid:26)
(cid:36)
(cid:89)
(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:12)(cid:18)
(cid:34)
(cid:90)(cid:30)(cid:89)(cid:14)(cid:21)
(cid:36)
(cid:89)
(cid:90)
(cid:18)
(cid:48)
(cid:14)(cid:21)
(cid:35)
y축과 음의 부분에서 만나므로 ( y절편)=b-1<0
ㄷ. x=1일 때, y의 값은 음수이므로 a+b-1<0
ㅂ. x=2일 때, y의 값은 양수이므로 2a+b-1>0
∴ b<1
∴ a+b<1
∴ 2a+b>1
07
aÛ`bc>0에서 (ab)_(ac)>0
Ú ab>0, ac>0인 경우: -;aB;<0,
;cA;>0
Û ab<0, ac<0인 경우: -;aB;>0,
;cA;<0
즉, Ú, Û의 경우에 대한 y=-;aB;x+;cA;
그림과 같다.
Ú (cid:90)
Û (cid:90)
(cid:48)
(cid:89)
(cid:48)
(cid:89)
의 그래프는 다음
03
오른쪽 그림과 같이 점 D에서
로 (기울기)=a>0
06
ㄱ. y=ax+b-1의 그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선이므
직선 ㉡의 기울기는
=-;2#;
이므로
제 1, 4 사분면이다.
따라서 주어진 일차함수의 그래프가 반드시 지나는 사분면은
Ⅳ. 일차함수
33
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 33
18. 11. 15. 오전 11:16
08
점 A의 y좌표는 4이므로 y=-;2!;x+1에 y=4를 대입하면
x절편이 -4, y절편이 8인 직선은 두 점 (-4, 0),
=2이므로 y=2x+b로 놓고,
직선의 방정식은 x=-6
4=-;2!;x+1에서 x=-6 ∴ A(-6, 4)
직선 y=-;2!;x+1의 x절편은 2이므로 D(2, 0)
또 ADÓBCÓ, ABÓCDÓ이므로 사각형 ABCD는 평행사변
형이다.
즉, CDÓ=ABÓ=4 ∴ C(2, -4)
따라서 두 점 A(-6, 4), C(2, -4)를 지나는 직선은
(기울기)=
=-1이므로 y=-x+b로 놓고,
-4-4
2-(-6)
x=2, y=-4를 대입하면 -4=-2+b ∴ b=-2
∴ y=-x-2
09
오른쪽 그림과 같이 점 P(2, 3)을 x축
(cid:90)
에 대하여 대칭이동한 점을
(cid:50)
(cid:49)
(cid:48)
(cid:46)
P'(2, -3)이라 하자.
PMÓ=P'MÓ이므로 PMÓ+QMÓ의 값이
최소일 때, P'MÓ+QMÓ의 값도 최소이다.
이때 P'MÓ, QMÓ이 일직선을 이룰 때,
P'MÓ+QMÓ의 값이 최소이므로 두 점 P'(2, -3), Q(6, 5)
를 지나는 직선이 x축과 만나는 점이 M이다.
두 점 P'(2, -3), Q(6, 5)를 지나는 직선은
(cid:49)(cid:8)
(cid:89)
(기울기)=
5-(-3)
6-2
이 식에 x=2, y=-3을 대입하면
-3=4+b ∴ b=-7
∴ y=2x-7
따라서 y=2x-7에 y=0을 대입하면
0=2x-7 ∴ x=;2&;
∴ M
, 0
}
{;2&;
(0, 8)을 지나므로
8-0
0-(-4)
(기울기)=
=2
이때 두 그래프가 평행하면 기울기가 같으므로
3
2a
=2, 4a=3 ∴ a=;4#;
유제 2
ax+by+c=0에서 by=-ax-c
∴ y=-;bA;x-;bC;
주어진 그래프는 오른쪽 아래로 향하고 y축과 양의 부분
에서 만나므로
(기울기)<0, (y절편)>0
즉, -;bA;<0, -;bC;>0이므로
따라서 a, b는 같은 부호, b, c는 다른 부호이어야 하므로
;bA;>0,
;bC;<0
a>0, b>0, c<0 또는 a<0, b<0, c>0
유제 3
3x+6y+18=0의 그래프가 x축과 만나는 점의 y좌표는
0이므로 3x+6y+18=0에 y=0을 대입하면
3x+18=0 ∴ x=-6
따라서 점 (-6, 0)을 지나고, y축에 평행하므로 구하는
유제 4
2x-8=0에서 x=4
x+1=0에서 x=-1
y-3=0에서 y=3
즉, 네 직선 x=4, y=-2, x=-1,
y=3의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
(cid:90)
(cid:20)
따라서 구하는 도형의 넓이는
{4-(-1)}_{3-(-2)}=25
(cid:14)(cid:18)
(cid:48)
(cid:21)
(cid:89)
(cid:14)(cid:19)
유제 5
두 그래프의 교점의 좌표 (a, b)는 주어진 연립방정식의
해이다.
따라서 주어진 연립방정식에 x=a, y=b를 대입하면
일차함수와 일차방정식
2
1
유제1 ②
유제2
a>0, b>0, c<0 또는 a<0, b<0, c>0
유제3 ②
유제4
25
유제5 ③
유제6
;;ª4¦;;
a+2b=6b
2a-b=14
[
에서
a-4b=0
[
2a-b=14
∴ a=8, b=2
∴ a+b=8+2=10
110~112쪽
유제 1
3x-2ay-10=0에서 2ay=3x-10
래프가 일치해야 하므로
유제 6
ay=2x+6에서 y=;a@;x+;a^;
2y-3x=b에서 y=;2#;x+;2B;
연립방정식의 해가 무수히 많으려면 두 일차방정식의 그
,
;a^;=;2B;
;a@;=;2#;
∴ a=;3$;
, b=9
∴ y=
3
2a
x-;a%;
34
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 34
18. 11. 15. 오전 11:16
정답과 해설 2
1 ②
5 ④
113~114쪽
2 ③
6 ④
3 ①
7 ②
4 ②
5
오른쪽 그림과 같이 직선
;2{;+;4};=1
(cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)
즉, 두 직선 y=;3$;x+9, 9x-ky=9가 서로 평행하다.
이때 9x-ky=9에서 y=;k(;x-;k(;
이므로
, 4k=27 ∴ k=;;ª4¦;;
;3$;=;k(;
[다른 풀이]
ay=2x+6
[
2y-3x=b
에서
2x-ay+6=0
[
3x-2y+b=0
이므로
;3@;=
-a
-2
=;b^;
∴ a=;3$;
, b=9
따라서
y=;3$;x+9
[
9x-ky=9
에서
4x-3y+27=0
[
9x-ky-9=0
이므로
;9$;=
-3
-k
+
27
-9
∴ k=;;ª4¦;;
1
ㄱ, ㄷ. a+0, b+0일 때 y가 x에 대한 일차함수의 그래프이다.
ㄴ. c는 기울기에 영향을 주지 않는다.
ㄹ. ax+by+c=0에서
y=-;bA;x-;bC;
이때 ab<0에서 (기울기)=-;bA;>0,
bc<0에서 ( y절편)=-;bC;>0
이므로 제 4 사분면을 지나지 않는다.
(cid:90)
(cid:48)
따라서 옳은 것은 ㄹ이다.
2
y=ax+b의 그래프가 두 점 (-4, 0), (0, 3)을 지나므로
(기울기)=
3-0
0-(-4)
=;4#;
즉, 기울기가
, y절편이 3이므로 y=;4#;x+3
;4#;
∴ a=;4#;
, b=3
즉, y=;4#;x+3의 그래프가 4mx-2y-3=0의 그래프와
평행하다.
이때 4mx-2y-3=0에서 y=2mx-;2#;
이므로
;4#;=2m ∴ m=;8#;
따라서
;8#;x-y-3=0, 즉 y=;8#;x-3의 그래프는
(기울기)>0, ( y절편)<0이므로 제 2 사분면을 지나지 않는다.
3
네 직선 x=3, x=-5, y=5,
y=-3으로 둘러싸인 사각형은
오른쪽 그림과 같은 직사각형이
다.
이 직사각형의 넓이를 이등분하
(cid:90)
(cid:22)
(cid:90)(cid:30)(cid:22)
(cid:14)(cid:18)
(cid:14)(cid:22)
(cid:18)
(cid:48)
(cid:14)(cid:20)
(cid:20)
(cid:89)
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)
는 직선은 두 대각선의 교점인
(cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:22)
(cid:89)(cid:30)(cid:20)
(-1, 1)을 지나야 하므로 사각
형의 넓이를 이등분하면서 x축에 수직인 직선의 방정식은
x=-1
4
연립방정식
3x+5y=20
[
4x-5y=15
를 풀면 x=5, y=1이므로
3x+5y=20의 그래프와 4x-5y=15의 그래프의 교점의
좌표는 (5, 1)이다.
또 이 두 그래프의 y절편은 각각 4, -3이다.
따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같으므
로 구하는 도형의 넓이는
;2!;_{4-(-3)}_5=;;£2°;;
(cid:90)
(cid:21)
(cid:18)
(cid:48)
(cid:14)(cid:20)
(cid:35)
(cid:76)
(cid:90)
(cid:21)
(cid:48)
(cid:89)
(cid:22)
(cid:36)
(cid:19)
(cid:34)
(cid:89)
(cid:12)
(cid:30)(cid:18)
(cid:26)(cid:19)(cid:92)(cid:26)
(cid:26)(cid:17)(cid:90)(cid:26)
이 x축, y축과 만나는 점을 각각 A,
B라 하면 A(2, 0), B(0, 4)이므로
△BOA=;2!;_2_4=4
또 두 직선 y=ax와
;2{;+;4};=1의 교
점을 C라 하고, 점 C의 y좌표를 k라 하면
△COA=;2!;△BOA이므로
;2!;_2_k=;2!;_4 ∴ k=2
(cid:89)
이때
;2{;+;4};=1에 y=2를 대입하면
;2{;+;2!;=1 ∴ x=1
따라서 직선 y=ax가 점 C(1, 2)를 지나므로
a=2
6
두 직선 4x-3y+1=0, ax-6y+b=0의 교점이 없으므로
이 두 직선은 서로 평행하다.
,
이때 4x-3y+1=0에서 y=;3$;x+;3!;
ax-6y+b=0에서 y=;6A;x+;6B;
이므로
+
,
;3$;=;6A;
따라서 8x-5y+b=0의 그래프가 점 (3, 2)를 지나므로
∴ a=8, b+2
;3!;
;6B;
24-10+b=0
∴ b=-14
∴ 2a+b=2_8+(-14)=2
Ⅳ. 일차함수
35
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 35
18. 11. 15. 오전 11:16
[다른 풀이]
-3
-6
+
∴ a=8, b+2
;a$;=
따라서 8x-5y+b=0의 그래프가 점 (3, 2)를 지나므로
;b!;
03
(cid:90)
(cid:89)(cid:30)(cid:20) (cid:89)(cid:30)(cid:23)
(cid:90)(cid:30)(cid:76)(cid:89)(cid:12)(cid:22)
(cid:23)(cid:76)(cid:12)(cid:22)
(cid:20)(cid:76)(cid:12)(cid:22)
(cid:22)
(cid:34)
(cid:37)
24-10+b=0 ∴ b=-14
∴ 2a+b=2_8+(-14)=2
(cid:35)
(cid:20)
(cid:36)
(cid:23)
(cid:48)
(cid:89)
위의 그림과 같이 두 직선 x=3, x=6이 x축과 만나는 점을
각각 B, C, 직선 y=kx+5와 두 직선 x=3, x=6의 교점
을 각각 A, D라 하자.
y=kx+5에 x=3을 대입하면 y=3k+5
∴ ABÓ=3k+5
y=kx+5에 x=6을 대입하면 y=6k+5
∴ CDÓ=6k+5
따라서 사각형 ABCD의 넓이가 18이므로
(사각형 ABCD의 넓이)
=;2!;_(ABÓ+CDÓ)_BCÓ
=;2!;_{(3k+5)+(6k+5)}_(6-3)
=18
;2#;(9k+10)=18
;;ª2¦;;k=3 ∴ k=;9@;
04
직선 y=k가 점 C를 지날
때 △ABC와 겹치는 부분
의 길이가 가장 길다.
점 C의 y좌표가 -1이므로
(cid:90)
(cid:34)(cid:9)(cid:21)(cid:13)(cid:65)(cid:19)(cid:10)
(cid:90)(cid:30)(cid:76)
(cid:48)
(cid:76)
(cid:49)
(cid:89)
(cid:36)(cid:9)(cid:22)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:18)(cid:10)
(cid:35)(cid:9)(cid:14)(cid:18)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:20)(cid:10)
k=-1
직선 AB의 방정식을
y=ax+b라 하면
-3-2
-1-4
a=
=1 ∴ y=x+b
이 직선이 점 B(-1, -3)을 지나므로
∴ y=x-2
직선 y=-1과 직선 y=x-2가 만나는 점을 P라 하면 점 P
의 y좌표는 -1이므로
y=x-2에 y=-1을 대입하면
-1=x-2 ∴ x=1
따라서 직선 y=-1이 △ABC와 겹치는 부분의 길이는
5-1=4
7
주어진 세 직선의 기울기가 모두 다르므로 세 직선이 한 점에
서 만날 때 삼각형이 만들어지지 않는다.
연립방정식
을 풀면 x=-2, y=2
3x+2y+2=0
[
2x-y+6=0
따라서 직선 4x-5y-a=0이 점 (-2, 2)를 지나야 하므로
-8-10-a=0 ∴ a=-18
3
115~116쪽
01 2
02 -15, 9
04 k=-1, 길이: 4
03 ;9@;
05 -6
06 a=4, b=-2
07 -;4&;
, 1,
;1!1&;
01
직선 2ax-(b-3)y+4=0이 직선 x=-4와 평행하려면
2ax-(b-3)y+4=0은 x=k의 꼴이어야 하므로
b-3=0 ∴ b=3
즉, 직선 2ax+4=0이 점 (-3, 5)를 지나므로
-6a+4=0 ∴ a=;3@;
∴ ab=;3@;_3=2
02
2x-y-3=0에서 y=2x-3
ax-y+b=0에서 y=ax+b
a=2
y=2x-3에 y=0을 대입하면
0=2x-3 ∴ x=;2#;
∴ P
, 0
}
{;2#;
이때 PQÓ=6이므로 점 Q의 좌표는
Q
, 0
또는 Q
{;;Á2°;
}
-;2(;
{
, 0
}
Ú 점 Q
, 0
을 지나는 경우
{;;Á2°;;
}
0=15+b ∴ b=-15
Û 점 Q
-;2(;
{
}
, 0
을 지나는 경우
0=-9+b ∴ b=9
Ú, Û에 의해 b의 값은 -15, 9
따라서 y=2x+b의 그래프가
(cid:90)
36
(cid:14)(cid:26)(cid:17)(cid:7)(cid:26)
(cid:50)
(cid:26)(cid:17)(cid:196)(cid:26)
(cid:48)
(cid:49)
(cid:18)(cid:22)
(cid:26)(cid:26)(cid:17)(cid:26)(cid:26)
(cid:50)
(cid:89)
05
연립방정식
를 풀면 x=1, y=6이므로 두 직
y=2x+4
[
y=-3x+9
선의 교점 C의 좌표는 C(1, 6)이다.
또 두 직선 y=2x+4, y=-3x+9의 x절편은 각각 -2, 3
이므로
A(-2, 0), B(3, 0)
y=2x-3의 그래프와 y=ax+b의 그래프가 서로 평행하므로
-3=-1+b ∴ b=-2
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 36
18. 11. 15. 오전 11:16
정답과 해설 이때 오른쪽 그림과 같이 점 C를 지
나는 직선이 x축과 만나는 점을 D
라 하면 직선 CD는 △ABC의 넓
이를 이등분하므로 점 D는 ABÓ의
중점이다.
∴ D
-2+3
2
{
, 0
, 즉 D
}
, 0
}
{;2!;
(cid:90)
(cid:36)
(cid:34)
(cid:48)
(cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:21)
(cid:37)
(cid:35)
(cid:89)
(cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:26)
따라서 두 점 C(1, 6), D
, 0
을 지나므로
{;2!;
}
(기울기)=
=-6Ö
-;2!;}
{
0-6
-1
;2!;
=-6_(-2)=12
즉, y=12x+b로 놓고, 이 식에 x=1, y=6을 대입하면
6=12+b ∴ b=-6
따라서 y=12x-6이므로 구하는 직선의 y절편은 -6이다.
117~120쪽
01 ②, ⑤
05 ②
02 ②
06 ④
03 ②
07 ④
04 ③
08 3km
09 ②
10 ①, ④
11 -;5$;
13 제 2 사분면 14 C(6, 9) 15 4개
12 ;2%;
16 ⑤
17 ③
18 ;;ª7¦;;
19 -;1!5^;
, -;3@;
, -;5@;
서술형 문제 <과정은 풀이 참조>
20 46
21 3초 후
22 -5, 3
23 9
01
① y=10x (함수이다.)
② x=1.5일 때, y=1, 2이므로 y의 값이 하나로 정해지지
않는다. (함수가 아니다.)
③ 자연수 x와 3의 최소공배수 y는 하나로 정해진다. (함수
④ y=;10{0;_100 ∴ y=x (함수이다.)
⑤ x=1일 때, y=-1, 1이므로 y는 하나로 정해지지 않는다.
(함수가 아니다.)
따라서 y가 x의 함수가 아닌 것은 ②, ⑤이다.
06
연립방정식의 해가 2개 이상이면 두 일차방정식의 그래프는
이다.)
일치한다.
이때 ax-y=3a에서 y=ax-3a,
-4x+y=6b에서 y=4x+6b이므로
a=4, -3a=6b ∴ a=4, b=-2
[다른 풀이]
a
-4
=
-1
1
3a
6b
=
∴ a=4, b=-2
07
서로 다른 세 직선에 의해 좌표평면이 6개의 부분으로 나누
어지려면 세 직선 중 어느 두 직선이 평행하거나 세 직선이
∴ g(a)=g(8)=;4!;_8+6=8
02
f(2)=3_2+2=8
∴ a=8
한 점에서 만나야 한다.
Ú 세 직선 중 어느 두 직선이 평행한 경우
x+2y=-4에서 y=-;2!;x-2 y`㉠
3x-5y=21에서 y=;5#;x-;;ª5Á;;
(a-2)x+(1-3a)y=10에서
y=
-a+2
1-3a
x+
10
1-3a
두 직선 ㉠, ㉢이 서로 평행할 때,
y`㉡
y`㉢
-a+2
1-3a
=-;2!;
, 2a-4=1-3a ∴ a=1
두 직선 ㉡, ㉢이 서로 평행할 때,
-a+2
1-3a
=;5#;
, -5a+10=3-9a ∴ a=-;4&;
Û 세 직선이 한 점에서 만나는 경우
연립방정식
을 풀면 x=2, y=-3
x+2y=-4
[
3x-5y=21
즉, 직선 (a-2)x+(1-3a)y=10이 점 (2, -3)을 지
나므로
2(a-2)-3(1-3a)=10
11a-7=10 ∴ a=;1!1&;
Ú, Û에 의해 a의 값은 -;4&;
, 1,
;1!1&;
03
y=x+3의 그래프를 y축의 방향으로 -5만큼 평행이동하면
y=x+3-5 ∴ y=x-2
이 식에 y=0을 대입하면
0=x-2 ∴ x=2
즉, x절편은 2이다.
① y=-x+3에서 0=-x+3 ∴ x=3
② y=2x-4에서 0=2x-4 ∴ x=2
③ y=;5!;x-1에서 0=;5!;x-1 ∴ x=5
④ y=2x-2에서 0=2x-2 ∴ x=1
⑤ y=-;2!;-;4!;x에서 0=-;2!;-;4!;x ∴ x=-2
따라서 x절편이 같은 것은 ②이다.
04
직선 y=-;3@;x-9의 기울기는 -;3@;
, y절편은 -9이므로
, b=-9
a=-;3@;
따라서 직선 y=abx+3a-b, 즉 y=6x+7을 y축의 방향
으로 -4만큼 평행이동하면
y=6x+7-4
∴ y=6x+3
Ⅳ. 일차함수
37
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 37
18. 11. 15. 오전 11:16
05
y=ax-3의 그래프의 y절편이 -3
이므로 a의 값에 관계없이 항상 점
(0, -3)을 지난다.
Ú y=ax-3의 그래프가
점 A(3, 3)을 지날 때
3=3a-3, 3a=6 ∴ a=2
(cid:90)(cid:3)
(cid:20)
(cid:18)
(cid:48)
(cid:14)(cid:20)
(cid:140)
(cid:34)
(cid:141)
(cid:89)
(cid:35)
(cid:23)
(cid:20)
Û y=ax-3의 그래프가 점 B(6, 1)을 지날 때
1=6a-3, 6a=4 ∴ a=;3@;
Ú, Û에 의해 a의 값의 범위는
ÉaÉ2
;3@;
09
ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC;
bc>0에서 b, c의 부호는 같고 ac<0에서 a, c의 부호는 다
르므로 a<0, b>0, c>0 또는 a>0, b<0, c<0
즉, -;bA;>0, -;bC;<0이므로 y=-;bA;x-;bC;
에서
(기울기)=-;bA;>0, ( y절편)=-;bC;<0
따라서 직선 ax+by+c=0은 오른쪽 그림
(cid:90)
(cid:48)
과 같이 제 2 사분면을 지나지 않는다.
(cid:89)
06
`f(2m)-f(n)
2m-n
=
( y의 값의 증가량)
(x의 값의 증가량)
=4에서
기울기는 4이므로 y=4x+b로 놓고,
이 식에 x=3, y=-2를 대입하면
-2=12+b ∴ b=-14
따라서 구하는 일차함수의 식은
y=4x-14
07
직선 ㉠은 두 점 (3, 0), (0, 2)를 지나므로
(기울기)=
2-0
0-3
=-;3@;
즉, 기울기가 -;3@;
, y절편이 2이므로
y=-;3@;x+2
직선 ㉠은 b의 값을 제대로 보고 그렸으므로 b=2
이때 y=-;3@;x+2에 x=-3을 대입하면
y=2+2=4
즉, 직선 ㉡은 두 점 (-3, 4),
{
-;;Á3¼;;
, 0
}
을 지나므로
(기울기)=
0-4
=-4Ö
-;3!;}
{
-
:Á3¼:
-(-3)
=-4_(-3)=12
직선 ㉡은 a의 값을 제대로 보고 그렸으므로 a=12
따라서 처음 일차함수의 식은 y=12x+2
10
주어진 직선은 점 A(-3, 4)를 지나고 x축에 수직이므로 직
선의 방정식은 x=-3
① x축에 수직인 직선은 y축에 평행하다.
② 직선 x=-3을 왼쪽으로 3만큼 평행이동하면 x=-6이다.
⑤ 점 (4, 0)을 지나지 않는다.
따라서 옳은 것은 ①, ④이다.
11
연립방정식
x-y=a
[
x+2y=2-a
를 풀면
x=
a+2
3
, y=
-2a+2
3
이므로
두 직선의 교점의 좌표는
{
a+2
3
,
-2a+2
3
}
이다.
이 점이 직선 y=3x 위에 있으므로
-2a+2
3
a+2
3
=3_
-2a+2=3a+6
-5a=4 ∴ a=-;5$;
[다른 풀이]
k-3k=a
-2k=a
[
k+6k=2-a
[
7k=2-a
에서
∴ k=;5@;
, a=-;5$;
두 직선 x-y=a, x+2y=2-a의 교점이 직선 y=3x 위
의 점이므로 교점의 좌표를 (k, 3k)라 하면
08
높이가 100m 높아질 때마다 기온이 0.6¾씩 내려가므로 높
이가 1km 높아질 때마다 기온이 6¾씩 내려간다.
즉, 지면으로부터의 높이가 xkm인 지점의 기온을 y¾라
하면
y=13-6x
이 식에 y=-5를 대입하면
12
연립방정식
2x+y-6=0
[
x-y+3=0
두 직선의 교점은 (1, 4)이다.
을 풀면 x=1, y=4이므로
이때 구하는 직선의 기울기는
이므로 y=;3@;x+b로 놓고,
;3@;
이 식에 x=1, y=4를 대입하면
4=;3@;+b ∴ b=;;Á3¼;;
-5=13-6x, 6x=18 ∴ x=3
따라서 기온이 -5¾인 지점의 지면으로부터의 높이는
3km이다.
따라서 직선 y=;3@;x+;;Á3¼;;
이 점 (k, 2k)를 지나므로
,
;3$;k=;;Á3¼;;
2k=;3@;k+;;Á3¼;;
∴ k=;2%;
38
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 38
18. 11. 15. 오전 11:16
정답과 해설 13
주어진 연립방정식이 x=0, y=0 이외의 해를 가지므로 해
g(x)=ax-3이라 하면 g(2)=2a-3=4
해가 무수히 많으려면 두 일차방정식의 그래프가 일치해야
가 무수히 많다.
mx-3y=2x에서 y=
m-2
3
x
x-2y+3=mx+3에서 y=
1-m
2
x
하므로
m-2
3
=
1-m
2
2m-4=3-3m, 5m=7 ∴ m=;5&;
2a=7 ∴ a=;2&;
따라서 f(x)=5x+16, g(x)=;2&;x-3이므로
f
{
-;5!;}
+g(4)=(-1+16)+(14-3)
=26
17
오른쪽 그림과 같이 △ABC의 넓이
를 이등분하는 원점을 지나는 직선이
ACÓ와 만나는 점을 D라 하면
(cid:90)
(cid:34) (cid:21)
(cid:37)
따라서 일차함수 y=mx+1-2m, 즉 y=;5&;x-;5(;
프는 (기울기)>0, ( y절편)<0이므로 제 2 사분면을 지나지
의 그래
△OCD=;2!;△ABC
(cid:14)(cid:19)
(cid:35)
(cid:48)
(cid:23)
(cid:36)
(cid:89)
의 해가 무수히 많으므로
이때 점 D의 좌표를 D(p, q)라 하면
=;2!;_
=8
[
;2!;_{6-(-2)}_4
]
않는다.
[다른 풀이]
연립방정식
(m-2)-3y=0
[
(1-m)x-2y=0
m-2
1-m
=
-3
-2
∴ m=;5&;
따라서 일차함수 y=mx+1-2m, 즉 y=;5&;x-;5(;
는 (기울기)>0, ( y절편)<0이므로 제 2 사분면을 지나지 않
의 그래프
는다.
14
점 C의 좌표를 C(a, b)라 하면
AOÓCBÓ이므로 AOÓ와CBÓ의 기울기는 같다.
=
즉,
이므로
b-3
a-5
6-0
1-0
6a-b=27
y`㉠
ACÓOBÓ이므로 ACÓ와OBÓ의 기울기는 같다.
즉,
b-6
a-1
=
3-0
5-0
이므로
3a-5b=-27 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, b=9
따라서 점 C의 좌표는 C(6, 9)이다.
15
ax-y+b=0에서 y=ax+b
Ú y=ax+b의 그래프가 원점을 지날
(cid:90)(cid:3)
(cid:18)
(cid:140)
(cid:48)
(cid:89)
즉, 직선 y=ax가 점 (1, -3)을
(cid:141)
(cid:14)(cid:20)
Û y=ax+b의 그래프가 x축에 평행할 때
Ú, Û에 의해 -3ÉaÉ0이므로 정수 a는 -3, -2, -1,
때
b=0
지나므로
a=-3
a=0
0의 4개이다.
16
f(x)=5x+b라 하면
f(-2)=-10+b=6 ∴ b=16
△OCD=;2!;_6_q=8
3q=8 ∴ q=;3*;
두 점 A(0, 4), C(6, 0)을 지나는 직선의 기울기는
0-4
6-0
, y절편은 4이므로
=-;3@;
y=-;3@;x+4
이 직선이 점 D
p,
을 지나므로
{
;3*;}
;3*;=-;3@;p+4,
;3@;p=;3$;
∴ p=2
따라서 원점과 점 D
2,
{
;3*;}
을 지나는 직선을 y=mx라 하면
;3*;=2m ∴ m=;3$;
즉, y=;3$;x에서 4x-3y=0이므로 a=4, b=3
∴ a-b=4-3=1
18
두 점 A(0, 5), B(2, 0)을 지나는 직선의
기울기는
0-5
2-0
=-;2%;
, y절편은 5이므로
y=-;2%;x+5 y`㉠
두 점 C(0, 3), D(4, 0)을 지나는 직선의
기울기는
0-3
4-0
=-;4#;
, y절편은 3이므로
y=-;4#;x+3 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=;7*;
, y=;;Á7°;;
즉, 점 E의 좌표는 E
,
{;7*;
;;Á7°;;}
이다.
∴ (사각형 COBE의 넓이)=△AOB-△ACE
=;2!;_2_5-;2!;_(5-3)_;7*;
=5-;7*;=;;ª7¦;;
Ⅳ. 일차함수
39
191최고득점(2학년) 해설001~040.indd 39
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19
Ú 세 직선 중 어느 두 직선이 평행한 경우
직선 2x-y+1=0이 y축과 만나는 점의 좌표는
두 직선 y=-;3@;x+;5!;
, y=ax가 서로 평행할 때,
a=-;3@;
두 직선 y=-;5@;x+;3!;
, y=ax가 서로 평행할 때,
(0, 1)
(0, b)
므로
직선 ax+y-b=0이 y축과 만나는 점의 좌표는
이때 두 직선이 각각 y축과 만나는 두 점 사이의 거리는 4이
을 풀면 x=-;2!;
, y=;1¥5;
따라서 a=-2, b=-3일 때 a+b=-5이고,
a=-2, b=5일 때 a+b=3이다.
a=-;5@;
Û 세 직선이 한 점에서 만나는 경우
(
연립방정식
{
9
y=-;3@;x+;5!;
y=-;5@;x+;3!;
직선 y=ax가 점
{
,
-;2!;
;1¥5;}
을 지나므로
;1¥5;=-;2!;a ∴ a=-;1!5^;
Ú, Û에 의해 세 직선이 삼각형을 이루지 않도록 하는 a의
값은 -;1!5^;
, -;3@;
, -;5@;
|b-1|=4, 즉
㈎ b-1=4일 때, b=5
㈏ b-1=-4일 때, b=-3
채점 요소
ⅰ a의 값 구하기
ⅱ b의 값 구하기
ⅲ a+b의 값 구하기
… ⅱ
… ⅲ
비율
30 %
40 %
30 %
(cid:51)(cid:9)(cid:21)(cid:13)(cid:3)(cid:20)(cid:10)
(cid:89)
… ⅰ
… ⅲ
비율
30 %
40 %
30 %
23
x+2=0에서 x=-2
2y-6=0에서 2y=6
∴ y=3
즉, 세 직선 x=-2, y=3,
x-2y+2=0을 좌표평면
위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
(cid:49)
(cid:90)(cid:30)(cid:20)
(cid:89)(cid:14)(cid:19)(cid:90)(cid:12)(cid:19)(cid:30)(cid:17)
(cid:90)
(cid:20)
(cid:18)
(cid:14)(cid:19)
(cid:50)
(cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:19)
(cid:48)
두 직선 x=-2, y=3의 교점을 P라 하면 P(-2, 3)
두 직선 x=-2, x-2y+2=0의 교점을 Q라 하면
Q(-2, 0)
두 직선 y=3, x-2y+2=0의 교점을 R라 하면 R(4, 3)
… ⅱ
따라서 구하는 도형의 넓이는 △PQR의 넓이와 같고, PQÓ와
PRÓ는 서로 수직이므로
△PQR=;2!;_PQÓ_PRÓ
=;2!;_3_{4-(-2)}=9
채점 요소
ⅰ 세 직선을 좌표평면 위에 나타내기
ⅱ 두 직선의 교점의 좌표 구하기
y=-120x+840
… ⅰ
ⅲ 세 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이 구하기
20
f(x)=(x보다 작은 수 중에서 가장 큰 소수)이므로
f(5)=(5보다 작은 수 중에서 가장 큰 소수)=3
f(11)=(11보다 작은 수 중에서 가장 큰 소수)=7
f(19)=(19보다 작은 수 중에서 가장 큰 소수)=17
f(23)=(23보다 작은 수 중에서 가장 큰 소수)=19 … ⅰ
∴ f(5)+f(11)+f(19)+f(23) =3+7+17+19
=46
… ⅱ
채점 요소
ⅰ f(5), f(11), f(19), f(23)의 값 구하기
ⅱ f(5)+f(11)+f(19)+f(23)의 값 구하기
비율
80 %
20 %
21
주어진 그래프가 두 점 (0, 840), (7, 0)을 지나므로
(기울기)=
=-120
0-840
7-0
즉, 기울기가 -120, y절편이 840이므로
이 식에 y=480을 대입하면 480=-120x+840
120x=360 ∴ x=3
따라서 남은 파일의 용량이 480MB일 때는 파일을 내려받
기 시작한 지 3초 후이다.
채점 요소
ⅰ 일차함수의 식 구하기
ⅱ 남은 파일의 용량이 480 MB일 때는 파일을 내려받기
시작한 지 몇 초 후인지 구하기
… ⅱ
비율
60 %
40 %
… ⅰ
22
2x-y+1=0에서 y=2x+1
ax+y-b=0에서 y=-ax+b
두 직선이 서로 평행하므로
2=-a ∴ a=-2
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정답과 해설
