2018년 좋은책신사고 일품 중학 수학 3 ( 하 ) 답지

fds.flarebrick.com/10tMjs5qTAWV9_jJ8C-r3xLjguEm1gT2l

2018년 좋은책신사고 일품 중학 수학 3 ( 하 ).pdf Download | FlareBrick FDS

fds.flarebrick.com

수학❸(하)■빠른정답찾기2~5●정답을확인할때에는<빠른정답찾기>를이용하면편리합니다.ⅥⅦⅧⅤ통계09대푯값과산포도6내신만점정복하기10교과서속창의유형12피타고라스정리10피타고라스정리1311피타고라스정리의활용⑴1912피타고라스정리의활용⑵25내신만점정복하기30교과서속창의유형35삼각비13삼각비⑴3614삼각비⑵4115삼각비의활용46내신만점정복하기51교과서속창의유형56원의성질16원과직선5717원주각6518원주각의활용70내신만점정복하기75교과서속창의유형80정답및풀이E0428일품중수3하_정(001-005) 2015.4.28 1:48 PM 페이지1 SinsagoHitec 2빠른정답찾기00195점002②,④00326회0044.8005'6kg0064반007⑤008③009③▶개념& 기출유형✽본책8~9쪽010②011252012⑤01381또는123014②015'ß17점016980172,9018㈀,㈂019③020풀이8쪽0211.8022②▶내신만점도전하기✽본책10~11쪽▶내신만점굳히기✽본책12쪽02356024③025③026C,E027113028125빠른정답찾기통계Ⅴ09대푯값과산포도064②06516cm066④067④06838+10'506913m070④0717+'ß1307298073300745cm,'7cm075②07645077;7@;078⑤079③08010+6'5081③082{:¡5•:, :™5¢:}083'ß13084②085③086④087cm¤088(9p+36)cm¤25'3`2▶내신만점도전하기✽본책22~25쪽▶내신만점굳히기✽본책26쪽089④090146091①092⑤093(15-5'3)초09440042B▶교과서속창의유형✽본책15쪽029②03010회031⑤032⑤033④034'7점035⑤036A팀,B팀037④038303877점040100412'ß19회▶내신만점정복하기✽본책13~14쪽09536096①097:•5¢:cm098③0993'3cm¤100⑤1016'6cm¤10218'5cm¤103③104105106③107⑤108'ß10109①110254'333'22▶개념& 기출유형✽본책27~29쪽11피타고라스정리의활용⑴111③112②113;5&;114③1152'7cm11616'3117②118(24'3+16)cm119④120;3%;p121④122②12354cm¤124;2%;125⑤12672'2cm¤127③128{;2%;, 0}12920m▶내신만점도전하기✽본책30~32쪽▶내신만점굳히기✽본책33쪽130②131②1324(2-'3)cm¤133②134:¢4∞:1355'2cm04354cm¤04410045⑤046③047196048④0493050①0511052②0533m-1`평균과분산의뜻을이용한다.⑴=m이므로(cid:100)(cid:100)(분산)====-2m_+m¤=-2m¤+m¤=-m¤⑵10¤=-50¤이므로(cid:100)(cid:100)=2600(cid:9120)풀이참조x¡¤+x™¤+y+x«¤nx¡¤+x™¤+y+x«¤nx¡¤+x™¤+y+x«¤nx¡¤+x™¤+y+x«¤nx¡+x™+y+x«nx¡¤+x™¤+y+x«¤nx¡¤+x™¤+y+x«¤-2m(x¡+x™+y+x«)+nm¤n(x¡-m)¤+(x™-m)¤+y+(x«-m)¤nx¡+x™+y+x«n020`표준편차는변량들이평균에서흩어져있는정도를나타낸다.A:1, 2, 3, y, 50B:51, 52, 53, y, 100C:2, 4, 6, y, 100자료B는자료A의각변량에50을더한것과같으므로자료A와자료B의표준편차는같다.(cid:100)(cid:100)∴a=byy㉠(cid:100)(cid:100)자료C는자료A의각변량에2를곱한것과같으므로자료C의표준편차는자료A의표준편차의2배이다.(cid:100)(cid:100)∴c=2aa>0이므로(cid:100)(cid:100)c>ayy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)a=b0이면x=p에서최솟값은q,최댓값은없다.②a<0이면x=p에서최댓값은q,최솟값은없다.(실수)¤æ0이므로x-8=0또는y-8=0인경우를생각한다.분산은5¤이다.E0428일품중수3하_정(006-012) 2015.4.28 1:49 PM 페이지10 SinsagoHitec 만점공략BOXⅤ. 통계11본책12쪽~14쪽통계Ⅴ`먼저중간고사3개과목의평균과분산을구하는식을세운다.중간고사3개과목의성적을각각a점,b점,c점이라하면평균이84점,표준편차가6점이므로(cid:100)(cid:100)=84(cid:100)(cid:100){(a-84)¤+(b-84)¤+(c-84)¤}=6¤기말고사3개과목의성적은(a+5)점,(b+5)점,(c+5)점이므로평균은(cid:100)(cid:100)=+5(cid:100)(cid:100)=84+5=89`(점)또분산은(cid:100)(cid:100){(a+5-89)¤+(b+5-89)¤+(c+5-89)¤}={(a-84)¤+(b-84)¤+(c-84)¤}=6¤=36(cid:9120)⑤기말고사에서는3개과목모두점수가5점씩올랐으므로(cid:100)(cid:100)(기말고사의평균)=(중간고사의평균)+5이고,분산은변함없다.참고1313a+b+c3(a+5)+(b+5)+(c+5)313a+b+c3032`x¤+ax+b=0의두근을a,b라하면a+b=-a, ab=b임을이용한다.x¤+ax+b=0의두근을a,b라하면이차방정식의근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)a+b=-a, ab=b(cid:100)(cid:100)∴a¤+b¤=(a+b)¤-2ab=a¤-2b이때a, b의평균은=-이므로분산은(cid:100)(cid:100)[{a+}2+{b+}2]=[a¤+b¤+a(a+b)+]={a¤-2b-a¤+}={-2b}=(cid:9120)④a¤-4b4a¤212a¤212a¤212a2a212a2a+b2033중간고사3개과목의성적의분산`분산은편차의제곱의평균임을이용한다.남학생4명과여학생6명의평균은같고,분산은각각4, 9이므로10명전체의국어성적의편차의제곱의합은(cid:100)(cid:100)4_4+9_6=70따라서10명전체의국어성적의표준편차는(cid:100)(cid:100)æ≠='7(점)(cid:9120)'7점7010034③최빈값은4개이다.④편차의합은항상0이다.⑤(분산)={(5-3)¤+(4-3)¤+(1-3)¤⑤(분산)={+(4-3)¤+(1-3)¤+(2-3)¤⑤(분산)={+(4-3)¤+(3-3)¤}⑤(분산)==2(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴(표준편차)='2(개)(cid:9120)⑤16818이차방정식ax¤+bx+c=0의두근을a,b라할때①a+b=-②ab=caba`변량x,y,z의평균이m,표준편차가s이면변량ax+b,ay+b,az+b(a,b는상수)의평균은am+b,표준편차는|a|s이다.x,y,z의평균을m,표준편차를s라하자.㈀x+3,y+3,z+3의평균은m+3이다.㈁x,y,z의분산은s¤이고x-1,y-1,z-1과x+1,y+1,z+1의분산은s¤으로서로같다.㈂-2x,-2y,-2z의표준편차는(cid:100)(cid:100)|-2|s=2s;2!;x,;2!;y,;2!;z의표준편차는(cid:100)(cid:100);2!;s따라서-2x,-2y,-2z의표준편차는;2!;x,;2!;y,;2!;z의표준편차의4배이다.이상에서㈀,㈁,㈂모두옳다.(cid:9120)⑤035`자료가평균에밀집되어있을수록표준편차가작음을이용한다.표준편차는자료가평균을중심으로흩어진정도를나타내므로점수의차가클수록표준편차가크고,작을수록표준편차가작다.따라서표준편차가가장큰팀은A팀,가장작은팀은B팀이다.(cid:9120)A팀,B팀A,B,C세팀의평균은모두8.5회이고,표준편차는각각'∂1.85회,'∂0.65회,'∂1.05회이다.참고036`그래프가넓게퍼져있으면자료의분산이크다.㈀A도시가B도시보다자료의분포가좁게퍼져있으므로주민간의소득의격차가작다.㈁두그래프의퍼져있는정도가다르므로두도시의소득의표준편차는다르다.㈂그래프의대칭축이평균을나타내므로A도시의주민들이B도시의주민들보다평균소득이낮다.이상에서옳은것은㈀,㈂이다.(cid:9120)④037`중앙값이3a이므로자료의변량을작은값부터차례대로나열하면(cid:100)(cid:100)a,a¤,3a,a¤+2a,a¤+3a•30% 배점⁄3a=a¤인경우(cid:100)(cid:100)a(a-3)=0(cid:100)(cid:100)∴a=0또는a=3그런데a는자연수이므로(cid:100)(cid:100)a=3이때주어진자료는3,9,9,15,18이므로중앙값과최빈값이모두9이다.•30% 배점해결 과정 ① 문제 이해 038중간고사3개과목의성적의평균a는자연수이므로(cid:100)a<3a, a¤0)△ADC에서(cid:100)(cid:100)y="√(2'7)¤-4¤=2'3△CDB에서(cid:100)(cid:100)z="√(2'3)¤+3¤='ß21(cid:100)(cid:100)∴xyz=2'7_2'3_'ß21=84(cid:9120)③개념&기출유형피타고라스정리Ⅵ본책18~21쪽피타고라스정리10043AC”=øπ15¤-9¤=12(cm)이므로(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_9_12=54(cm¤)(cid:9120)54cm¤044△ADC의넓이가24이므로(cid:100)(cid:100);2!;_DC”_8=24(cid:100)(cid:100)∴DC”=6△ADC에서(cid:100)(cid:100)AD”=øπ6¤+8¤=10(cid:100)(cid:100)∴BD”=AD”=10(cid:9120)10045OA”=OA'”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)OB”=OB'”="√x¤+x¤='2x(cm)(cid:100)(cid:100)OC”=OC'”=ø∑('2x)∑¤+x¤='3x(cm)(cid:100)(cid:100)OD”=OD'”=ø∑('3x)¤∑+x¤=2x(cm)즉2x=4'6이므로(cid:100)(cid:100)x=2'6(cid:9120)⑤046△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”=øπ3¤+4¤=5(cm)(cid:8772)ACHI=(cid:8772)LMGC이므로(cid:100)(cid:100)4¤=5_MG”(cid:100)(cid:100)∴MG”=;;¡5§;;(cm)(cid:9120)③047∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AE”=BF”=CG”=DH”=10,AH”=BE”=CF”=DG”이므로(cid:100)(cid:100)△AEH™△BFE™△CGF™△DHG`(SAS합동)따라서EH”=FE”=GF”=HG”이고,∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°이므로(cid:8772)EFGH는정사각형이다.이때(cid:8772)EFGH의넓이가116이므로(cid:100)(cid:100)EH”¤=116△AEH에서(cid:100)(cid:100)AH”=ø∑EH”¤-∑AE”¤='ƒ116-ƒ100=4따라서AB”=10+4=14이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=14¤=196(cid:9120)196049x+2가가장긴변의길이이므로삼각형이되려면(cid:100)(cid:100)x+21직각삼각형이되려면(cid:100)(cid:100)(x+2)¤=x¤+(x+1)¤(cid:100)(cid:100)x¤-2x-3=0(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴x=3(∵x>1)(cid:9120)30504¤+(4'3)¤=8¤이므로주어진삼각형은빗변의길이가8인직각삼각형이다.따라서삼각형의넓이는(cid:100)(cid:100);2!;_4_4'3=8'3(cid:9120)①051x>9에서x가가장긴변의길이이므로삼각형이되려면(cid:100)(cid:100)90)yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)93¤+6¤이므로둔각삼각형이다.㈁5¤>3¤+(2'2)¤이므로둔각삼각형이다.㈂17¤=8¤+15¤이므로직각삼각형이다.㈃(3'7)¤=3¤+(3'6)¤이므로직각삼각형이다.㈄4¤<(2'2)¤+(2'3)¤이므로예각삼각형이다.이상에서둔각삼각형은㈀,㈁의2개이다.(cid:9120)②048①('∂29)¤=2¤+5¤②(2'6)¤=3¤+('∂15)¤③6¤=3¤+(3'3)¤④(2'∂10)¤+4¤+5¤⑤20¤=12¤+16¤따라서직각삼각형이아닌것은④이다.(cid:9120)④변의길이는항상양수이다.∠AEH=∠BFE,∠BFE+∠BEF=90°이므로(cid:100)∠AEH+∠BEF=90°(cid:100)∴∠HEF=90°같은방법으로하면(cid:100)∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°053삼각형이되려면(cid:100)(cid:100)7-47일때,(cid:100)(cid:100)x¤>4¤+7¤,(cid:100)(cid:100)x¤>65(cid:100)(cid:100)∴x>'∂65(∵x>0)yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)'∂654¤+x¤,(cid:100)(cid:100)x¤<33(cid:100)(cid:100)∴00)yy㉢(cid:100)(cid:100)㉠,㉢에서(cid:100)(cid:100)3a¤+b¤(cid:100) (cid:9178)둔각삼각형삼각형의가장긴변의길이는나머지두변의길이의합보다작다.E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지13 SinsagoHitec 14정답및풀이만점공략BOX055AB”:AC”=3:4이므로(cid:100)(cid:100)AB”=3k, AC”=4k(k>0)라하면△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√(3k)¤+(4k)¤=5kAB”_AC”=BC”_AD”이므로(cid:100)(cid:100)3k_4k=5k_6(cid:100)(cid:100)∴k=;2%;(∵k>0)(cid:100)(cid:100)∴AC”=4k=4_;2%;=10(cid:9120)10056△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√6¤+8¤=10DE”¤+AB”¤=AD”¤+BE”¤이므로(cid:100)(cid:100)DE”¤+10¤=AD”¤+(2'∂17)¤(cid:100)(cid:100)∴AD”¤-DE”¤=10¤-(2'∂17)¤=32(cid:9120)32057AB”¤+CD”¤=BC”¤+DA”¤이므로(cid:100)(cid:100)(2'2)¤+CD”¤=2¤+4¤(cid:100)(cid:100)∴CD”¤=12△COD에서CD”¤=x¤+y¤이므로(cid:100)(cid:100)x¤+y¤=12(cid:9120)④058△AOD에서(cid:100)(cid:100)AD”="√2¤+2¤=2'2(cm)AB”¤+CD”¤=BC”¤+DA”¤이고AB”=CD”이므로(cid:100)(cid:100)2AB”¤=4¤+(2'2)¤(cid:100)(cid:100)AB”¤=12(cid:100)(cid:100)∴AB”=2'3(cm)(∵AB”>0)(cid:9120)2'3cm059AP”¤+CP”¤=BP”¤+DP”¤이므로(cid:100)(cid:100)20¤+12¤=18¤+DP”¤(cid:100)(cid:100)DP”¤=220(cid:100)(cid:100)∴DP”=2'∂55(∵DP”>0)(cid:9120)②061△ABC가∠A=90°인직각삼각형이므로(cid:100)(BC”를지름으로하는반원의넓이)(cid:100)=(AB”를지름으로하는반원의넓이)(cid:100)+(AC”를지름으로하는반원의넓이)(cid:100)(cid:100)∴(색칠한부분의넓이)=;2!;_p_6¤(cid:100)(cid:100)∴(색칠한부분의넓이)=18p(cm¤)(cid:9120)18pcm¤062(색칠한부분의넓이)=△ABC이므로(cid:100)(cid:100)56=;2!;_14_AC”(cid:100)(cid:100)∴AC”=8(cm)따라서△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”=øπ14¤+8¤=2'∂65(cm)(cid:9120)2'∂65cm직각삼각형의세변을지름으로하는세반원을각각그리면작은두반원의넓이의합은큰반원의넓이와같다.063PB”=x라하면(cid:100)(cid:100)PC”=PA”=15-x△PBC에서(cid:100)(cid:100)(15-x)¤=x¤+5¤(cid:100)(cid:100)30x=200(cid:100)(cid:100)∴x=;;™3º;;(cid:100)(cid:100)∴△PBC=;2!;_5_;;™3º;;=;;∞3º;;(cid:9120);;∞3º;;064△OCD가직각삼각형이므로피타고라스정리를이용한다.주어진반원의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100)OC”=rcm,OD”=(r-1)cm△OCD에서(cid:100)(cid:100)r¤=3¤+(r-1)¤(cid:100)(cid:100)2r=10(cid:100)(cid:100)∴r=5(cid:9120)②내신만점도전하기본책22~25쪽065△ABC에서AD”가∠A의이등분선이므로(cid:100)(cid:100)AB”:AC”=BD”:CD”=5:3•30% 배점AB”=5kcm,AC”=3kcm(k>0)라하면△ABC에서(cid:100)(cid:100)(5k)¤=(3k)¤+8¤(cid:100)(cid:100)16k¤=64,(cid:100)(cid:100)k¤=4(cid:100)(cid:100)∴k=2(∵k>0)•50% 배점따라서AB”=10cm,AC”=6cm이므로(cid:100)(cid:100)AB”+AC”=16(cm)•20% 배점(cid:9120)16cm답 구하기 해결 과정 문제 이해 보충학습삼각형의내각의이등분선의성질△ABC에서∠A의이등분선이BC”와만나는점을D라하면(cid:100)(cid:100)AB”:AC”=BD”:CD”ABCD060△ABC가∠C=90°인직각삼각형이므로(cid:100)(cid:100)P=Q+R(cid:100)(cid:100)∴Q=52p-16p=36p따라서BC”를지름으로하는반원의넓이가36p이므로(cid:100)(cid:100);2!;_p_{}¤=36p(cid:100)(cid:100)BC”¤=288(cid:100)(cid:100)∴BC”=12'2(∵BC”>0)(cid:9120)12'2BC”2066먼저피타고라스정리를이용하여AC”의길이를구한다.AB”=AM”=15cm,CB”=CN”=8cm이므로△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√15¤+8¤=17(cm)즉CM”=AC”-AM”=17-15=2(cm)이므로(cid:100)(cid:100)MN”=CN”-CM”=8-2=6(cm)(cid:9120)④등변사다리꼴의평행하지않은두대변의길이는같다.E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지14 SinsagoHitec 만점공략BOXⅥ. 피타고라스정리15본책20쪽~23쪽피타고라스정리Ⅵ072△ABC™△CDE이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠DCE,AC”=CE”이때∠ACB+∠BAC=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB+∠DCE=90°(cid:100)(cid:100)∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠DCE)=90°따라서△ACE는AC”=CE”인직각이등변삼각형이다.•40% 배점△ACE의넓이가58이므로(cid:100)(cid:100);2!;_AC”_CE”=58,(cid:100)(cid:100)AC”¤=116(cid:100)(cid:100)∴AC”=2'∂29(∵AC”>0)△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√(2'∂29)¤√-10¤=4•30% 배점∴(cid:8772)ABDE=2△ABC+△ACE=2_{;2!;_4_10}+58=98•30% 배점(cid:9120)98답 구하기 해결 과정 문제 이해 0732x+1이가장긴변의길이이므로삼각형이되려면(cid:100)(cid:100)2x+1<(x-1)+2x(cid:100)(cid:100)∴x>2•30% 배점직각삼각형이되려면(cid:100)(cid:100)(2x+1)¤=(x-1)¤+(2x)¤(cid:100)(cid:100)x¤-6x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴x=6(∵x>2)•40% 배점따라서직각을낀두변의길이가5,12이므로이직각삼각형의넓이는(cid:100)(cid:100);2!;_5_12=30•30% 배점(cid:9120)30답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 067직각삼각형의빗변의중점은외심이다.△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”=øπ(4'2)¤+4¤=4'3직각삼각형의빗변의중점은외심이므로(cid:100)(cid:100)AM”=BM”=CM”(cid:100)(cid:100)∴CM”=;2!;AB”=;2!;_4'3=2'3점G가△ABC의무게중심이므로(cid:100)(cid:100)GM”=;3!;CM”=;3!;_2'3=(cid:9120)④2'33AQ”=x라하면△ABQ에서(cid:100)(cid:100)AB”="√x¤+36(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=x¤+36PQ”=x-6이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)PQRS=(x-6)¤(cid:8772)PQRS의넓이가(cid:8772)ABCD의넓이의;7!;이므로(cid:100)(cid:100)(x-6)¤=;7!;(x¤+36),(cid:100)(cid:100)x¤-14x+36=0(cid:100)(cid:100)∴x=7+'∂13(∵x>6)(cid:9120)7+'∂13(cid:8772)ABCD의넓이가(cid:8772)PQRS의넓이의7배이므로PQ”=x라하면AB”='7x이다.△ABQ에서(cid:100)(cid:100)('7x)¤=(6+x)¤+6¤(cid:100)(cid:100)7x¤=x¤+12x+72,(cid:100)(cid:100)6x¤-12x-72=0(cid:100)(cid:100)x¤-2x-12=0(cid:100)(cid:100)∴x=1+'ß13(∵x>0)(cid:100)(cid:100)∴AQ”=AP”+PQ”=6+(1+'ß13)=7+'ß13071△ABQ™△BCR™△CDS™△DAP이므로(cid:8772)ABCD는정사각형이다.068△ABE에서BE”의길이를구한후△FEC에서피타고라스정리를이용한다.AE”=AD”=20이므로△ABE에서(cid:100)(cid:100)BE”="√20¤-16¤=12(cid:100)(cid:100)∴CE””=20-12=8CF”=x라하면EF”=DF”=16-x이므로△CFE에서(cid:100)(cid:100)(16-x)¤=8¤+x¤,(cid:100)(cid:100)32x=192(cid:100)(cid:100)∴x=6(cid:100)(cid:100)∴EF”=DF”=16-6=10△ADF에서(cid:100)(cid:100)AF”="√20¤+10¤=10'5따라서(cid:8772)ABEF의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)16+12+10+10'5=38+10'5(cid:9120)38+10'5EF”의길이를다음과같이구할수도있다.△ABEª△ECF(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)AB”:EC”=AE”:EF”16:8=20:EF”에서(cid:100)(cid:100)EF”=10참고069보조선을그어직각삼각형을만든후피타고라스정리를이용한다.오른쪽그림과같이큰나무와작은나무의꼭대기를각각A,B,큰나무와지면이만나는부분을C라하고점B에서AC”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)AH”=15-10=5(m)△AHB에서(cid:100)(cid:100)AB”="√5¤+12¤=13(m)따라서새가날아간거리는13m이다.(cid:9120)13m074가장긴막대의길이를정한후피타고라스정리를이용한다.필요한막대의길이를xcm라하면⁄가장긴막대의©길이가xcm일때,삼각형이되려면(cid:100)(cid:100)4△LMG이므로2△AMG>(cid:8772)ACHI이고,2△ALG의넓이가(cid:8772)ACHI의넓이와같은지는알수없다.이상에서(cid:8772)ACHI의넓이와항상같은것은㈀`,㈁`,㈂`,㈄의4개이다.(cid:9120)④이차방정식x¤+2ax+b=0의해는(cid:100)x=-a—"√a¤-b삼각형의외심에서세꼭짓점에이르는거리는같다.PQ”=x-6에서(cid:100)x-6>0(cid:100)∴x>6(cid:8772)ABDE는AB”//DE”인사다리꼴이므로(cid:8772)ABDE=;2!;_(4+10)_14=98과같이구할수도있다.15`m12`mABC10`mHAC”=HC”, CG”=CB”, ∠ACG=∠ACB+90°=∠HCB(cid:100)∴△ACG™△HCB(SAS합동)x<3+4(cid:100)∴x<7삼각형의무게중심은중선을각꼭짓점으로부터2:1로나눈다.∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°이므로(cid:100)∠BAE=∠CEF(cid:100)∠B=∠C=90°(cid:100)∴△ABEª△ECF(AA닮음)E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지15 SinsagoHitec 16정답및풀이만점공략BOX077예각삼각형(cid:8833)(가장긴변의길이의제곱)<(나머지두변의길이의제곱의합)5개의끈중에서3개를골라삼각형을만들수있는경우를순서쌍으로나타내면(5,6,8),(5,8,12),(5,12,13),(6,8,12),(6,8,13),(6,12,13),(8,12,13)의7가지이다.8¤>5¤+6¤(cid:9178)둔각삼각형12¤>5¤+8¤(cid:9178)둔각삼각형13¤=5¤+12¤(cid:9178)직각삼각형12¤>6¤+8¤(cid:9178)둔각삼각형076삼각형이되려면(cid:100)(cid:100)12-512이므로(cid:100)(cid:100)125¤+12¤,(cid:100)(cid:100)x¤>169(cid:100)(cid:100)∴x>13yy㉡(cid:100)(cid:100)•30% 배점㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)136¤+8¤(cid:9178)둔각삼각형13¤<6¤+12¤(cid:9178)예각삼각형13¤<8¤+12¤(cid:9178)예각삼각형따라서예각삼각형이되는경우는(6,12,13),(8,12,13)의2가지이므로구하는확률은(cid:100)(cid:100);7@;(cid:9120);7@;직각삼각형이되려면(cid:100)(cid:100)x¤=3¤+4¤=25(cid:100)(cid:100)∴x=5(∵42인짝수)라하고피타고라스정리를이용한다.연속하는세짝수를x-2, x, x+2(x>2인짝수)라하면(cid:100)(cid:100)(x+2)¤=x¤+(x-2)¤(cid:100)(cid:100)x¤-8x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴x=8(∵x>2)따라서세변의길이가6, 8, 10이므로이직각삼각형의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)6+8+10=24(cid:9120)②연속하는수에대한문제에서다음과같이미지수를정하면편리하다.①연속하는두정수(cid:9178)x,x+1또는x-1,x②연속하는세정수(cid:9178)x-1,x,x+1또는x-2,x-1,x또는x, x+1, x+2③연속하는두짝수(cid:9178)x,x+2또는2x,2x+2④연속하는두홀수(cid:9178)x,x+2또는2x-1,2x+1만점비법078먼저길이가가장긴변을찾은후삼각형의변의길이에대한각의크기를이용한다.m>n>0에서(m-n)¤>0,mn>0이므로(cid:100)(cid:100)m¤-2mn+n¤>0(cid:100)(cid:100)∴m¤+n¤>2mn>mn따라서AB”가가장긴변이므로(cid:100)(cid:100)AB”¤=(m¤+n¤)¤=m›+2m¤n¤+n›(cid:100)(cid:100)BC”¤+CA”¤=(mn)¤+(m¤-n¤)¤=m›-m¤n¤+n›∴AB”¤>BC”¤+CA”¤따라서△ABC는∠C>90°인둔각삼각형이다.(cid:9120)⑤080AB”=c, BC”=a, CA”=b라하면△ABC=;2!;_BC”_AD”=;2!;_a_4=20이므로(cid:100)(cid:100)a=10또△ABC=;2!;_AB”_CA”=;2!;bc=20이므로(cid:100)(cid:100)bc=40•40% 배점△ABC는직각삼각형이므로(cid:100)(cid:100)b¤+c¤=100,(cid:100)(cid:100)(b+c)¤-2bc=100(cid:100)(cid:100)(b+c)¤-80=100,(cid:100)(cid:100)(b+c)¤=180(cid:100)(cid:100)∴b+c=6'5(∵b+c>0)•40% 배점∴(△ABC의둘레의길이)=a+b+c=10+6'5•20% 배점(cid:9120)10+6'5답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① (cid:9178)△ABCª△HBAª△HAC①AB”¤=BH”_BC”②AC”¤=CH”_CB”③AH”¤=BH”_CH”④AB”_AC”=BC”_AH”ABCH081삼각형의두변의중점을연결한선분의성질을이용한다.△ABC에서AM”=MB”,AN”=NC”이므로(cid:100)(cid:100)MN”=;2!;BC”,즉BC”=2MN”079BC”의길이를구한후AC”¤=CH”_CB”임을이용한다.△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√(8'3)¤+8¤=16(cm)AC”¤=CH”_CB”이므로(cid:100)(cid:100)8¤=CH”_16(cid:100)(cid:100)∴CH”=4(cm)△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”="√8¤-4¤=4'3(cm)이때MC”=;2!;BC”=;2!;_16=8(cm)이므로(cid:100)(cid:100)MH”=8-4=4(cm)(cid:100)(cid:100)∴△AMH=;2!;_4_4'3=8'3(cm¤)(cid:9120)③4<3+x(cid:100)∴10(cid:100)∴x>2△ABC에서AM”=MB”,AN”=NC”이면(cid:100)MN”∥BC”,(cid:100)MN”=;2!;BC”BAMN2aCa(5,6,12),(5,6,13),(5,8,13)인경우에는삼각형이만들어지지않는다.E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지16 SinsagoHitec 만점공략BOXⅥ. 피타고라스정리17본책23쪽~25쪽피타고라스정리Ⅵ086P+Q=R임을이용하여Q의값을구한다.P=;2!;_p_{}¤=6p에서(cid:100)(cid:100)AB”¤=48(cid:100)(cid:100)∴AB”=4'3(∵AB”>0)Q=R-P=4p이므로;2!;_p_{}¤=4p에서(cid:100)(cid:100)AC”¤=32(cid:100)(cid:100)∴AC”=4'2(∵AC”>0)(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_4'2_4'3=8'6(cid:9120)④R=;2!;_p_{}¤=10p에서(cid:100)(cid:100)BC”¤=80(cid:100)(cid:100)∴BC”=4'5(∵BC”>0)△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”=øπ(4'5)¤-(4'3)¤=4'2(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_4'2_4'3=8'6BC”2AC”2AB”2△BCO에서(cid:100)(cid:100)CO”=ø∑(3'2)¤-∑('6)¤=2'3(cid:100)(cid:100)∴△BCO=;2!;_'6_2'3=3'2(cid:9120)②087오른쪽그림과같이∠DCB=60°가되도록AB”의연장선위에점D를잡으면△BCD는정삼각형이므로점C에서BD”에그은수선은BD”를이등분한다.(cid:100)(cid:100)∴AB”=;2!;BD”=;2!;_10=5(cm)•40% 배점△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”=øπ10¤-5¤=5'3(cm)•20% 배점색칠한부분의넓이는△ABC의넓이와같으므로(cid:100)(cid:100);2!;_5_5'3=(cm¤)•40% 배점(cid:9120)cm¤25'3225'32답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 60æ60æ60æABCD10`cm083△OCD에서(cid:100)(cid:100)CO”=ø∑(3'3)¤-∑(3'2)¤=3•20% 배점CO”=;2!;AO”이므로(cid:100)(cid:100)3=;2!;AO”(cid:100)(cid:100)∴AO”=6•20% 배점△AOD에서(cid:100)(cid:100)AD”=øπ6¤+(3'2)¤=3'6•20% 배점따라서(cid:8772)ABCD에서AB”¤+CD”¤=AD”¤+BC”¤이므로(cid:100)(cid:100)(2'ß10)¤+(3'3)¤=(3'6)¤+BC”¤(cid:100)(cid:100)BC”¤=13(cid:100)(cid:100)∴BC”='∂13(∵BC”>0)•40% 배점(cid:9120)'∂13△OCD에서(cid:100)(cid:100)CO”=ø∑(3'3)¤-∑(3'2)¤=3CO”=;2!;AO”이므로(cid:100)(cid:100)AO”=6△ABO에서(cid:100)(cid:100)BO”=ø∑(2'ß10)¤∑-6¤=2△BCO에서(cid:100)(cid:100)BC”=ø∑2¤+3¤='∂13답 구하기 해결 과정 ③ 해결 과정 ② 해결 과정 ① 084먼저AB”¤+CD”¤=BC”¤+AD”¤임을이용하여BC”의길이를구한다.AB”¤+CD”¤=BC”¤+AD”¤에서(cid:100)(cid:100)3¤+5¤=BC”¤+4¤(cid:100)(cid:100)BC”¤=18(cid:100)(cid:100)∴BC”=3'2(∵BC”>0)085직사각형ABCD의내부의한점P에대하여(cid:8833)AP”¤+CP”¤=BP”¤+DP”¤AP”=xm라하면AP”¤+CP”¤=BP”¤+DP”¤에서(cid:100)(cid:100)x¤+(150'6)¤=150¤+450¤(cid:100)(cid:100)x¤=90000(cid:100)(cid:100)∴x=300(∵x>0)따라서AP”=300(m)=0.3(km)이므로집A에서출발하여시속3km로걸어서공원까지가는데걸리는시간은=0.1`(시간)=6`(분)(cid:9120)③0.33두대각선이직교하는사각형에서마주보는두변의길이의제곱의합이서로같다.082점A에서OB”에수선의발을내려본다.△AOB에서OB”¤=OA”¤+AB”¤이므로(cid:100)(cid:100)∠A=90°점A의좌표를(a, b),점A에서OB”에내린수선의발을H라하면OA”¤=OH”_OB”에서(cid:100)(cid:100)6¤=a_10(cid:100)(cid:100)∴a=;;¡5•;;OA”_AB”=OB”_AH”에서(cid:100)(cid:100)6_8=10_b(cid:100)(cid:100)∴b=;;™5¢;;따라서점A의좌표는(cid:100)(cid:100){;;¡5•;;, ;;™5¢;;}(cid:9120){;;¡5•;;, ;;™5¢;;}8610ABHabOxy이때BN”¤+CM”¤=MN”¤+BC”¤에서(cid:100)(cid:100)MN”¤+(2MN”)¤=12¤+9¤(cid:100)(cid:100)5MN”¤=225,(cid:100)(cid:100)MN”¤=45(cid:100)(cid:100)∴MN”=3'5(∵MN”>0)(cid:9120)③AM”=a,AN”=b라하면△ABN에서(cid:100)(cid:100)(2a)¤+b¤=144yy㉠(cid:100)(cid:100)△AMC에서(cid:100)(cid:100)a¤+(2b)¤=81yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠+㉡을하면(cid:100)(cid:100)5(a¤+b¤)=225(cid:100)(cid:100)∴a¤+b¤=45(cid:100)(cid:100)∴MN”="√a¤+b¤=3'5(시간)=(거리)(속력)088AB”,BC”를각각지름으로하는반원의넓이의합은CA”를지름으로하는반원의넓이와같다.AB”,BC”,CA”를지름으로하는반원의넓이를각각S¡,S™,S£이라하면E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지17 SinsagoHitec 18정답및풀이만점공략BOX090BF”=DF”=x라하면FC”=25-x이므로△DCF에서(cid:100)(cid:100)x¤=(25-x)¤+15¤,(cid:100)(cid:100)50x=850(cid:100)(cid:100)∴x=17△A'ED™△CFD이므로(cid:100)(cid:100)DE”=DF”=17•20% 배점오른쪽그림과같이점G에서CD”에내린수선의발을H,점F에서GH”,ED”에내린수선의발을각각I,J라하면(cid:100)(cid:100)ED”//GH”//FC”EG”:EF”=1:3이므로(cid:100)(cid:100)DH”:DC”=1:3(cid:100)(cid:100)DH”:15=1:3(cid:100)(cid:100)∴DH”=5•30% 배점또△EFJ에서(cid:100)(cid:100)EF”:GF”=EJ”:GI”,(cid:100)(cid:100)3:2=9:GI”(cid:100)(cid:100)∴GI”=6(cid:100)(cid:100)∴GH”=6+8=14•30% 배점해결 과정 ② HAA'BCDEFG1525IJ해결 과정 ① 문제 이해 089두점M,N에서각각BC”에그은수선은AC”와평행하므로직각삼각형의닮음을이용한다.오른쪽그림과같이두점M,N에서BC”에내린수선의발을각각H,I라하고NI”=a,BI”=b라하자.두점M,N이빗변AB의삼등분점이므로(cid:100)(cid:100)NI”:MH”:AC”=BI”:BH”:BC”=1:2:3(cid:100)(cid:100)∴MH”=2a, IC”=2b, HC”=b△CMH에서(cid:100)(cid:100)(2a)¤+b¤=3¤(cid:100)(cid:100)∴4a¤+b¤=9yy㉠(cid:100)(cid:100)△CNI에서(cid:100)(cid:100)a¤+(2b)¤=4¤(cid:100)(cid:100)∴a¤+4b¤=16yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠+㉡을하면(cid:100)(cid:100)5(a¤+b¤)=25(cid:100)(cid:100)∴a¤+b¤=5(cid:100)(cid:100)∴MN”=BN”="√a¤+b¤='5(cid:9120)④S£=S¡+S™따라서색칠한부분의넓이는(cid:100)(cid:100)S¡+S£+△ABC-S™=S¡+(S¡+S™)+△ABC-S™=2S¡+△ABC=2_{;2!;_p_3¤}+;2!;_12_6=9p+36(cm¤)(cid:9120)(9p+36)cm¤내신만점굳히기본책26쪽091삼각형의무게중심은세중선의교점이다.점G는△BCD의무게중심이므로(cid:100)(cid:100)△CDG=;3!;△BCD=;3!;_{;2!;_2_2}=;3@;△AFD와△DEC에서(cid:100)(cid:100)AD”=DC”,DF”=CE”,∠ADF=∠DCE=90°이므로(cid:100)(cid:100)△AFD™△DEC(SAS합동)따라서∠DAF=∠HDF,∠AFD는공통이므로(cid:100)(cid:100)△AFDª△DFH(AA닮음)AF”="√2¤+1¤='5이므로(cid:100)(cid:100)AF”:DF”='5:1즉△AFD와△DFH의닮음비가'5:1이므로넓이의비는('5)¤:1¤=5:1이다.이때△ADF=;2!;_2_1=1이므로(cid:100)(cid:100)1:△DFH=5:1(cid:100)(cid:100)∴△DFH=;5!;(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)HGCF=△CDG-△DFH(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)HGCF=;3@;-;5!;=;1¶5;(cid:9120)①△DGH에서(cid:100)(cid:100)DG”¤=5¤+14¤=221△GCH에서(cid:100)(cid:100)CG”¤=10¤+14¤=296(cid:100)(cid:100)∴2DG”¤-CG”¤=146•20% 배점(cid:9120)146답 구하기 092△ABF, △ABG, △ADF, △AEG는모두∠A=90°인직각삼각형이다.AD”=x, AF”=y(x>0, y>0)라하자.△ADF에서(cid:100)(cid:100)x¤+y¤=25 yy㉠(cid:100)(cid:100)△ABG에서(cid:100)(cid:100)(3x)¤+(2y)¤=(2'3å5)¤(cid:100)(cid:100)9x¤+4y¤=140 yy㉡(cid:100)(cid:100)㉡-㉠_4를하면(cid:100)(cid:100)5x¤=40(cid:100)(cid:100)x¤=8(cid:100)(cid:100)∴x=2'2(∵x>0)x=2'2를㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)y='1å7(∵y>0)△AEG에서(cid:100)(cid:100)EG”¤=(2x)¤+(2y)¤=(4'2)¤+(2'1å7)¤=100△ABF에서(cid:100)(cid:100)BF”¤=(3x)¤+y¤=(6'2)¤+('1å7)¤=89(cid:100)(cid:100)∴EG”¤+BF”¤=189(cid:9120)⑤x=2'2,y='∂17이므로△AEF에서(cid:100)(cid:100)EF”=ø∑(4'2)¤+∑('∂17)¤=7따라서△ABG에서(cid:100)(cid:100)EG”¤+BF”¤=EF”¤+BG”¤=7¤+(2'∂35)¤=189보충학습삼각형의세중선에의하여삼각형의넓이는6등분된다.(cid:9178)△ABC의무게중심을G라하면(cid:9178)(cid:100)(cid:100)△GAF=△GBF=△GBD(cid:9178)(cid:100)(cid:100)△GAF=△GCD=△GCE(cid:9178)(cid:100)(cid:100)△GAF=△GAE=;6!;△ABCBAFEGDC34abABCNIHMED”=FD”=17이고JD”=FC”=8이므로(cid:100)EJ”=17-8=9△NBI, △MBH,△ABC는닮음비가1:2:3인닮은도형이다.BC”=3b,BH”=2b이므로(cid:100)IC”=3b-b=2b(cid:100)HC”=3b-2b=bA'D”=CD”=15,∠A'=∠C=90°,∠A'DE=∠CDF이므로(cid:100)△A'ED™△CFD(ASA합동)(cid:8772)ABCD의두대각선의교점을O라하면CO”는△BCD의중선이다.따라서점G는두중선CO”, DE”의교점이므로△BCD의무게중심이다.E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지18 SinsagoHitec 만점공략BOXⅥ. 피타고라스정리19본책25쪽~27쪽피타고라스정리Ⅵ094[문제해결길잡이]❶BE”=CE”=EF”임을이용하여EF”의길이를구한다.❷직각삼각형의합동을이용하여크기가같은각을찾아∠AED의크기를구한다.❸△AED에서EF”¤=AF”_DF”임을이용하여AB”,CD”의길이를구한다.❹(cid:8772)ABCD의넓이를구한다.BE””=CE”=EF”이고BC”=8이므로(cid:100)(cid:100)EF”=;2!;BC”=4❶△ABE와△AFE에서(cid:100)(cid:100)∠ABE=∠AFE=90°,(cid:100)(cid:100)AE”는공통,BE”=FE”이므로(cid:100)(cid:100)△ABE™△AFE(RHS합동)(cid:100)(cid:100)∴∠AEB=∠AEFyy㉠(cid:100)(cid:100)△DCE와△DFE에서(cid:100)(cid:100)∠DCE=∠DFE=90°,(cid:100)(cid:100)DE”는공통,CE”=FE”이므로(cid:100)(cid:100)△DCE™△DFE(RHS합동)(cid:100)(cid:100)∴∠DEC=∠DEFyy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)∠AED=∠AEF+∠DEF(cid:100)(cid:100)∠AED=;2!;∠BEF+;2!;∠CEF(cid:100)(cid:100)∠AED=;2!;(∠BEF+∠CEF)(cid:100)(cid:100)∠AED=90°❷따라서AB”=AF”=a,CD”=FD”=b(a, b는1보다큰자연수)라하면△AED에서EF”¤=AF”_DF”이므로(cid:100)(cid:100)4¤=abyy㉢(cid:100)(cid:100)이때a, b는1보다큰자연수이고a0)라하면(cid:100)(cid:100)ø∑(5a)¤+∑(4a)¤=2'∂41(cid:100)(cid:100)'∂41a=2'∂41(cid:100)(cid:100)∴a=2따라서직사각형의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2(5a+4a)=18a=18_2=36(cid:9120)36096원에내접하는정사각형의대각선의길이는원의지름의길이와같다.따라서정사각형의한변의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)'2a=2_10(cid:100)(cid:100)∴a=10'2(cid:9120)①097BD”="√12¤+9¤=15(cm)AB”_AD”=BD”_AH”이므로(cid:100)(cid:100)9_12=15_AH”(cid:100)(cid:100)∴AH”=;;£5§;;(cm)AD”¤=DH”_DB”이므로(cid:100)(cid:100)12¤=DH”_15(cid:100)(cid:100)∴DH”=;;¢5•;;(cm)(cid:100)(cid:100)∴AH”+DH”=;;•5¢;;(cm)(cid:9120);;•5¢;;cm098정삼각형의한변의길이를a라하면(cid:100)(cid:100)a¤=16'3,(cid:100)(cid:100)a¤=64(cid:100)(cid:100)∴a=8(∵a>0)따라서정삼각형의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)3_8=24(cid:9120)③'34100원의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100)pr¤=8p(cid:100)(cid:100)∴r=2'2(∵r>0)따라서주어진정육각형은한변의길이가2'2cm인정삼각형6개로이루어져있으므로구하는넓이는(cid:100)(cid:100)6_[_(2'2)¤]=12'3(cm¤)(cid:9120)⑤'34△AHD에서피타고라스정리를이용하여DH”=Æ…12¤-{:£5§:}2=:¢5•:과같이구할수도있다.삼각형의무게중심은세중선의길이를각꼭짓점으로부터각각2:1로나눈다.099AD”=;2#;AG”=;2#;_2=3(cm)즉정삼각형ABC의높이가3cm이므로한변의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)a=3(cid:100)(cid:100)∴a=2'3(cid:100)(cid:100)∴△ABC=_(2'3)¤=3'3(cm¤)(cid:9120)3'3cm¤'34'32정육각형문제(cid:9178)보조선을그어6개의합동인정삼각형을만든다.만점비법△ABD의넓이에서_AB”_AD”=_BD”_AH”1212E0428일품중수3하_정(013-019) 2015.4.28 1:50 PM 페이지19 SinsagoHitec 20정답및풀이만점공략BOX102오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면BH”=6cm이므로△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”="√9¤-6¤(cid:100)(cid:100)AH”=3'5(cm)(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_12_3'5(cid:100)(cid:100)∴△ABC=18'5(cm¤)(cid:9120)18'5cm¤101오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하고,BH”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)CH”=7-x(cm)△ABH와△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”¤=6¤-x¤=5¤-(7-x)¤(cid:100)(cid:100)36-x¤=25-49+14x-x¤(cid:100)(cid:100)14x=60(cid:100)(cid:100)∴x=;;£7º;;따라서AH”=æ≠6¤-{;;£7º;;}¤=(cm)이므로(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_7_(cid:100)(cid:100)△ABC=6'6(cm¤)(cid:9120)6'6cm¤12'6712'67103오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면△ABC의넓이가32'2cm¤이므로(cid:100)(cid:100);2!;_8_AH”=32'2(cid:100)(cid:100)∴AH”=8'2(cm)이때BH”=4cm이므로△ABH에서(cid:100)(cid:100)AB”=ø∑4¤+∑(8'2)¤=12(cm)따라서△ABC의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)AB”+BC”+CA”=12+8+12=32(cm)(cid:9120)③104△BCD에서(cid:100)(cid:100)BC”:CD”='3:1(cid:100)(cid:100)BC”:'3='3:1(cid:100)(cid:100)∴BC”=3△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”:BC”=1:'2(cid:100)(cid:100)AC”:3=1:'2(cid:100)(cid:100)∴AC”=(cid:9120)3'223'22105△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”:AC”=1:2(cid:100)(cid:100)AB”:8=1:2(cid:100)(cid:100)∴AB”=4∠BAD=∠DAC이고∠BAC=60°이므로△ABD에서(cid:100)(cid:100)∠BAD=30°, ∠ADB=60°따라서AB”:BD”='3:1이므로(cid:100)(cid:100)4:BD”='3:1(cid:100)(cid:100)∴BD”=(cid:9120)△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”:BC”=2:'3(cid:100)(cid:100)8:BC”=2:'3(cid:100)(cid:100)∴BC”=4'34'334'33BD”:DC””=AB”:AC”=1:2이므로(cid:100)(cid:100)BD”=4'3_;3!;=4'33106오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)∠BAH=45°(cid:100)(cid:100)∠CAH=30°△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”:AC”='3:2(cid:100)(cid:100)AH”:6'2='3:2(cid:100)(cid:100)∴AH”=3'6또AC”:HC”=2:1이므로(cid:100)(cid:100)6'2:HC”=2:1(cid:100)(cid:100)∴HC”=3'2△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”:BH”=1:1(cid:100)(cid:100)3'6:BH”=1:1(cid:100)(cid:100)∴BH”=3'6(cid:100)(cid:100)∴BC”=BH”+HC”=3'6+3'2(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_(3'6+3'2)_3'6(cid:100)(cid:100)∴△ABC=27+9'3(cid:9120)③45æ45æ60æ30æ6´2ABCH세변의길이가주어진일반삼각형한꼭짓점에서대변에수선을그어삼각형의높이와넓이를구한다.보충학습이차함수y=a(x-p)¤+q의그래프의성질①이차함수y=ax¤의그래프를x축의방향으로p만큼,y축의방향으로q만큼평행이동한것이다.②꼭짓점의좌표:(p,q)③축의방정식:x=p△ABH에서∠BAH=180°-(90°+45°)=45°107AC”=ø∑(2+2)¤+∑(-1-5)¤='∂52BC”=ø∑(2-a)¤+∑(-1-3)¤=ø∑(2-a)¤∑+16이때AC”=BC”이므로(cid:100)(cid:100)ø∑(2-a)¤∑+16='∂52(cid:100)(cid:100)(2-a)¤+16=52(cid:100)(cid:100)(a-2)¤=36,(cid:100)(cid:100)a-2=—6(cid:100)(cid:100)∴a=8(∵a>0)(cid:9120)⑤108y=2x¤-8x+7=2(x-2)¤-1의그래프의꼭짓점의좌표는(cid:100)(cid:100)(2, -1)따라서점(2, -1)과점(3, 2)사이의거리는(cid:100)(cid:100)ø∑(3-2)¤+∑(2+1)¤='ß10(cid:9120)'ß10109AB”=ø∑(1-5)¤∑+(2-5)¤='∂25BC”=ø∑(4-1)¤+∑(-1-2)¤='∂18CA”=ø∑(5-4)¤+∑(5+1)¤='∂37CA”¤0)이차함수y=ax¤+bx+c의그래프의꼭짓점의좌표는(cid:100)y=a(x-p)¤+q꼴로변형하여구한다.E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지20 SinsagoHitec 피타고라스정리Ⅵ만점공략BOXⅥ. 피타고라스정리21본책28쪽~31쪽점C'을지나고AB”와평행한직선이DB”의연장선과만나는점을D'이라하면△DC'D'에서(cid:100)(cid:100)C'D”=ø∑(4+3)¤+∑24¤=25따라서CP”+PD”의최솟값은25이다.(cid:9120)25점D와AB”에대하여대칭인점을D"이라하면CD"”이CP”+PD”의최솟값이된다.참고111직사각형ODCE의대각선의길이는사분원의반지름의길이와같다.OD”=DA”이므로(cid:100)(cid:100)OD”=;2!;OA”=4(cm)CD”=xcm라하면직사각형ODCE의대각선의길이가8cm이므로(cid:100)(cid:100)4¤+x¤=8¤,(cid:100)(cid:100)x¤=48(cid:100)(cid:100)∴x=4'3(∵x>0)(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ODCE=4_4'3=16'3(cm¤)(cid:9120)③112한변의길이가a인정사각형의대각선의길이는'2a임을이용한다.(cid:8772)BEFG의한변의길이를a라하면(cid:100)(cid:100)BF”='2a,FC”=a이므로△BFC에서(cid:100)(cid:100)BC”=øπ('2a)¤+a¤='3a따라서(cid:8772)ABCD와(cid:8772)BEFG의닮음비가'3:1이므로넓이의비는(cid:100)(cid:100)('3)¤:1¤=3:1(cid:9120)②113BD”="√3¤+4¤=5•20% 배점AB”¤=BE”_BD”이므로(cid:100)(cid:100)3¤=BE”_5(cid:100)(cid:100)∴BE”=;5(;•30% 배점CD”¤=DF”_DB”이므로(cid:100)(cid:100)3¤=DF”_5(cid:100)(cid:100)∴DF”=;5(;•30% 배점∴EF”=BD”-BE”-DF”=5-;5(;-;5(;=;5&;•20% 배점(cid:9120);5&;BC”¤=BF”_BD”이므로(cid:100)(cid:100)4¤=BF”_5(cid:100)(cid:100)∴BF”=:¡5§:(cid:100)(cid:100)∴EF”=BF”-BE”=:¡5§:-;5(;=;5&;답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 문제 이해 내신만점도전하기본책30~32쪽114한변의길이가a인정삼각형의높이는a이다.AD”는한변의길이가4인정삼각형ABC의높이이므로(cid:100)(cid:100)AD”=_4=2'3'32'32닮음인두평면도형의닮음비가m:n이면①둘레의길이의비(cid:9178)m:n②넓이의비(cid:9178)m¤:n¤△DC'D'은빗변의길이가C'D”이고직각을낀두변의길이가각각7,24인직각삼각형이다.따라서정삼각형ADE의넓이는(cid:100)(cid:100)_(2'3)¤=3'3(cid:9120)③'34115꼭짓점A에서BC”에수선을그어생각한다.꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면△ABC의한변의길이가6cm이므로(cid:100)(cid:100)BH”=;2!;BC”=3(cm)(cid:100)(cid:100)∴DH”=3-2=1(cm)AH”=_6=3'3(cm)이므로△ADH에서(cid:100)(cid:100)AD”=øπ1¤+(3'3)¤=2'7(cm)(cid:9120)2'7cm'322`cm4`cmCBADH118오른쪽그림에서△ABC는한변의길이가48cm인정삼각형이므로그높이는(cid:100)(cid:100)_48=24'3(cm)•60% 배점'32해결 과정 ABC117정육각형은6개의합동인정삼각형으로나누어지고,각각의정삼각형의높이는내접원의반지름의길이와같다.오른쪽그림과같이정육각형에내접하는원의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100)r=_=4따라서구하는내접원의넓이는(cid:100)(cid:100)p_4¤=16p(cm¤)(cid:9120)②8'33'32r`cmcm8´33cm8´33cm8´33116BC”=3a,CD”=4a(a>0)라하고,△ECD의꼭짓점E에서CD”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)EH”=_4a=2'3a•30% 배점이때△ACE=△BCE이므로(cid:100)(cid:100)12'3=;2!;_3a_2'3a(cid:100)(cid:100)a¤=4(cid:100)(cid:100)∴a=2(∵a>0)•50% 배점따라서CD”=4a=4_2=8이므로(cid:100)(cid:100)△ECD=_8¤=16'3•20% 배점(cid:9120)16'3'34답 구하기 해결 과정 '32BDCHAE3a4a문제 이해 ∠ABC=∠ECD=60°즉동위각의크기가같으므로(cid:100)AB”//EC”EC”를밑변으로생각하면△ACE와△BCE의높이가같으므로(cid:100)△ACE=△BCE보충학습평행선을이용한삼각형의넓이l//m이면(cid:100)(cid:100)△ABC=△DBCADBClm;2!;_BC”_EH”E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지21 SinsagoHitec 22정답및풀이만점공략BOX따라서지면에서제일꼭대기까지의높이는(cid:100)(cid:100)8+24'3+8=24'3+16(cm)•40% 배점(cid:9120)(24'3+16)cm답 구하기 119△ABC=△PAB+△PBC+△PCA임을이용한다.△ABC의한변의길이를a라하면△ABC=△PAB+△PBC+△PCA이므로(cid:100)(cid:100)a¤=;2!;_a_PD”+;2!;_a_PE”+;2!;_a_PF”(cid:100)(cid:100)a¤=;2!;a(PD”+PE”+PF”)(cid:100)(cid:100)a¤=a(cid:100)(cid:100)∴a=6(∵a>0)(cid:100)(cid:100)∴△ABC=_6¤=9'3(cid:9120)④'343'32'34'34'34123△EAD에서DE”:AD”='3:2이므로(cid:100)(cid:100)DE”:12='3:2(cid:100)(cid:100)∴DE”=6'3(cm)•30% 배점꼭짓점E에서AD”,BC”에내린수선의발을각각F,G라하면△DEF에서DF”:DE”='3:2이므로(cid:100)(cid:100)DF”:6'3='3:2(cid:100)(cid:100)∴DF”=9(cm)•40% 배점∴△ECD=;2!;_CD”_DF”∴△ECD=;2!;_12_9∴△ECD=54(cm¤)•30% 배점(cid:9120)54cm¤답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 120△ABC의내접원의중심을O라하면(cid:8833)△ABC=△OAB+△OBC+△OCA오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하고,BH”=x라하면(cid:100)(cid:100)CH”=8-x△ABH와△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”¤=4¤-x¤=6¤-(8-x)¤(cid:100)(cid:100)16x=44(cid:100)(cid:100)∴x=;;¡4¡;;따라서AH”=Æ…4¤-{;;¡4¡;;}¤=이므로(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_8_=3'∂15△ABC의내접원의중심을O라하고반지름의길이를r라하면△ABC=△OAB+△OBC+△OCA이므로(cid:100)(cid:100)3'∂15=;2!;_4_r+;2!;_8_r+;2!;_6_r(cid:100)(cid:100)3'∂15=9r(cid:100)(cid:100)∴r=따라서구하는원의넓이는(cid:100)(cid:100)p_{}¤=;3%;p(cid:9120);3%;p'∂153'∂1533'∂1543'∂154AHBCO46x8-x121보조선을그어직각삼각형을찾는다.오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하고,HM”=a라하면(cid:100)(cid:100)BH”=21-a△ABH와△AHM에서(cid:100)(cid:100)AH”¤=20¤-(21-a)¤=13¤-a¤(cid:100)(cid:100)42a=210(cid:100)(cid:100)∴a=5(cid:100)(cid:100)∴AH”="√13¤-5¤=12또HC”=HM”+MC”=5+21=26이므로△AHC에서(cid:100)(cid:100)AC”¤=AH”¤+HC”¤=12¤+26¤=820(cid:9120)④122△AFC는AF”=CF”인이등변삼각형이다.AF”=CF”="√4¤+3¤=5(cm),AC”="√4¤+4¤=4'2(cm)이므로△AFC는AF”=CF”인이등변삼각형이다.오른쪽그림과같이꼭짓점F에서AC”에내린수선의발을M이라하면△AFM에서(cid:100)(cid:100)FM”=ø∑5¤-∑(2'2)¤(cid:100)(cid:100)FM”='∂17(cm)(cid:100)(cid:100)∴△AFC=;2!;_4'2_'∂17(cid:100)(cid:100)∴△AFC=2'∂34(cm¤)(cid:9120)②5`cm4Â2`cm5`cmFACM124PQ”=x(x>2)라하면△PBQ에서BP”:PQ”=2:1이므로(cid:100)(cid:100)BP”:x=2:1(cid:100)(cid:100)∴BP”=2x(cid:100)(cid:100)∴AP”=AB”-BP”=6-2x•20% 배점△ABC와△APS에서(cid:100)(cid:100)∠A는공통,∠ABC=∠APS(동위각)이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△APS(AA닮음)따라서AB”:AP”=BC”:PS”이므로(cid:100)(cid:100)6:(6-2x)=9:PS”(cid:100)(cid:100)∴PS”=9-3x•40% 배점따라서(cid:8772)PQRS=x(9-3x)=;;¡4∞;;이므로(cid:100)(cid:100)4x¤-12x+5=0,(cid:100)(cid:100)(2x-5)(2x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴x=;2%;(∵x>2)즉PQ”의길이는;2%;이다.•40% 배점(cid:9120);2%;답 구하기 해결 과정 문제 이해 125특수한직각삼각형의세변의길이의비를이용할수있도록보조선을긋는다.두꼭짓점A,D에서BC”에내린수선의발을각각H,H'이라하면CBAEDFG12`cm30æ45æ60æ54ABHH'CDHABCM201321-aaBM”=;2!;BC”=21이므로(cid:100)BH”=BM”-HM”=21-a이등변삼각형의꼭지각의꼭짓점에서밑변에그은수선은밑변을이등분하므로(cid:100)AM”=MC”(cid:100)=;2!;AC”(cid:100)=2'2(cm)BC”//PS”E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지22 SinsagoHitec 피타고라스정리Ⅵ만점공략BOXⅥ. 피타고라스정리23본책31쪽~33쪽126꼭짓점H에서OG”에수선을그어△HOG의넓이를구한다.오른쪽그림과같이꼭짓점H에서OG”에내린수선의발을P라하면(cid:100)(cid:100)∠HOG==45°이므로△HOP에서(cid:100)(cid:100)HP”:OH”=1:'2(cid:100)(cid:100)HP”:6=1:'2(cid:100)(cid:100)∴HP”=3'2(cm)따라서정팔각형의넓이는(cid:100)(cid:100)8△HOG=8_{;2!;_6_3'2}(cid:100)(cid:100)8△HOG=72'2(cm¤)(cid:9120)72'2cm¤360°8△DH'C에서∠CDH'=150°-90°=60°이므로(cid:100)(cid:100)DC”:DH'”=2:1(cid:100)(cid:100)4:DH'”=2:1(cid:100)(cid:100)∴DH'”=2또DC”:CH'”=2:'3이므로(cid:100)(cid:100)4:CH'”=2:'3(cid:100)(cid:100)∴CH'”=2'3△ABH에서BH”=AH”=DH'”=2이므로(cid:100)(cid:100)BC”=BH”+HH'”+CH'”=2+5+2'3=7+2'3(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=;2!;_{5+(7+2'3)}_2(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=12+2'3(cid:9120)⑤6`cm6`cmAOEGCBHPDF45æ127가장긴변의길이의제곱과나머지두변의길이의제곱의합을비교하여삼각형의모양을판별한다.AB”=ø∑(-3-2)¤∑+(0-5)¤='∂50BC”=ø∑(3+3)∑¤+∑(2-0)¤='∂40CA”=ø∑(2-3)¤+∑(5-2)¤='∂10따라서AB”¤=BC”¤+CA”¤이므로△ABC는∠C=90°인직각삼각형이다.(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_'∂40_'∂10=10(cid:9120)③128x축위의점의좌표(cid:8833)(a, 0)구하는점을P(a, 0)이라하면(cid:100)(cid:100)AP”="√(a-6)¤+(0-2)¤(cid:100)(cid:100)AP”="√(a-6)¤+4(cid:100)(cid:100)BP”="√(a-2)¤+(0-4)¤(cid:100)(cid:100)BP”="√(a-2)¤+16AP”=BP”이므로(cid:100)(cid:100)"√(a-6)¤+4="√(a-2)¤+16(cid:100)(cid:100)(a-6)¤+4=(a-2)¤+16(cid:100)(cid:100)8a=20(cid:100)(cid:100)∴a=;2%;따라서구하는점의좌표는{;2%;,0}이다.(cid:9120){;2%;,0}(cid:8772)AHH'D는직사각형이므로(cid:100)HH'”=AD”=5129오른쪽그림에서토끼가이동하는거리는(cid:100)(cid:100)AP”+BP”=A'P”+BP”æA'B”•50% 배점△BA'B'에서(cid:100)(cid:100)A'B”="√16¤+(8+4)¤=20(m)따라서토끼가이동하는최단거리는20m이다.•50% 배점(cid:9120)20m답 구하기 해결 과정 4`m8`mBAA'B'P16`m내신만점굳히기본책33쪽130가로의길이가a,세로의길이가b인직사각형의대각선의길이는"√a¤+b¤임을이용한다.OQ”=acm,OP”=bcm라하면PQ”=OC”=10cm이므로(cid:100)(cid:100)a¤+b¤=10¤=100또(cid:8772)POQC의넓이가48cm¤이므로(cid:100)(cid:100)ab=48(cid:100)(cid:100)∴(a+b)¤=a¤+b¤+2ab=100+2_48=196그런데a+b>0이므로(cid:100)(cid:100)a+b=14(cid:100)(cid:100)∴AP”+PQ”+QB”=(10-b)+10+(10-a)=30-(a+b)=30-14=16(cm)(cid:9120)②131한변의길이가a인정삼각형의높이(cid:8833)a점E에서AB”,BC”에내린수선의발을각각H,I,점G에서BC”에내린수선의발을J라하고AB”=a라하면(cid:100)(cid:100)HE”=BI”=a△GFC에서GJ”=a이므로(cid:100)(cid:100)FC”=a(cid:100)(cid:100)∴FJ”=JC”=;2!;FC”=;2!;_a=aEF”=GE”, EI”//GJ”이므로(cid:100)(cid:100)IJ”=;2!;FJ”=;2!;_a=a(cid:100)(cid:100)∴BC”=BI”+IJ”+JC”(cid:100)(cid:100)∴BC”=a+a+a(cid:100)(cid:100)∴BC”='3a(cid:100)(cid:100)∴AB”:BC”=a:'3a=1:'3(cid:9120)②'33'36'32'36'33'3`32'3`32'3`3'32ABCDEFIJHG'32직사각형의두대각선의길이는같다.△ABC에서변AB의중점을지나고변BC에평행한직선과변AC의교점을N이라하면(cid:100)AN”=NC”10`cma`cmBCOQAPb`cmGJ”=FC”이므로(cid:100)FC”=GJ”2'3'32△BA'B'은빗변이A'B”이고직각을낀두변의길이가각각12cm, 16cm인직각삼각형이다.E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지23 SinsagoHitec 24정답및풀이만점공략BOX132오른쪽그림에서△BCE는한변의길이가2cm인정삼각형이므로직선EG가AD”,BC”와만나는점을각각I,J라하면(cid:100)(cid:100)EJ”=_2='3(cm)(cid:100)(cid:100)GJ”=IE”=2-'3(cm)(cid:100)(cid:100)∴EG”='3-(2-'3)=2('3-1)(cm)•60% 배점따라서정사각형EFGH의대각선의길이가2('3-1)cm이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)EFGH=;2!;_EG”_FH”(cid:100)(cid:100)(cid:8772)EFGH=;2!;_{2('3-1)}¤(cid:100)(cid:100)(cid:8772)EFGH=4(2-'3)(cm¤)•40% 배점(cid:9120)4(2-'3)cm¤답 구하기 '32해결 과정 134x=-2일때y=4이므로(cid:100)(cid:100)A(-2,4)•10% 배점B(a, a¤)(a>0)이라하면△AOB에서(cid:100)(cid:100)OB”¤=OA”¤+AB”¤(cid:100)(cid:100)a¤+a›=(-2)¤+4¤+(a+2)¤+(a¤-4)¤(cid:100)(cid:100)8a¤-4a-40=0,(cid:100)(cid:100)2a¤-a-10=0(cid:100)(cid:100)(a+2)(2a-5)=0(cid:100)(cid:100)∴a=;2%;(∵a>0)(cid:100)(cid:100)∴B{;2%;,;;™4∞;;}•40% 배점OA”="√(-2)¤+4¤=2'5AB”=Æ…{;2%;+2}¤+{;;™4∞;;-4}¤=•30% 배점∴△AOB=;2!;_2'5_∴△AOB=;;¢4∞;;•20% 배점(cid:9120);;¢4∞;;9'54답 구하기 9'54해결 과정 ② 해결 과정 ① 문제 이해 135[문제해결길잡이]❶점A를OX≥,OY≥에대하여각각대칭이동한다.❷AP”=A'P”,AQ”=A"Q”임을이용하여△APQ의둘레의길이의최솟값과길이가같은선분을찾는다.❸∠POA=∠POA',∠QOA=∠QOA"임을이용하여∠A'OA"의크기를구한다.❹피타고라스정리를이용하여△APQ의둘레의길이의최솟값을구한다.오른쪽그림과같이점A를OX≥,OY≥에대하여대칭이동한점을각각A',A"이라하자.❶AP”=A'P”,AQ”=A"Q”이므로△APQ의둘레의길이는(cid:100)=AP”+PQ”+QA”(cid:100)=A'P”+PQ”+QA"”(cid:100)æA'A"”❷∠POA=a,∠QOA=b라하면(cid:100)(cid:100)∠A'OA"=2a+2b=2(a+b)(cid:100)(cid:100)∠A'OA"=2_45°=90°❸(cid:100)(cid:100)∴A'A"”="√5¤+5¤=5'2(cm)따라서구하는둘레의길이의최솟값은5'2cm이다.❹(cid:9120)5'2cm5`cm5`cmOQXAabA'A''PY133세내각의크기가30°,60°,90°인직각삼각형의세변의길이의비를이용한다.△ABC는정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠A=∠B=∠C=60°△AFE,△BDF,△CED는모두직각삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠AFE=∠BDF=∠CED=90°-60°=30°(cid:100)(cid:100)∴∠DEF=∠EFD=∠FDE(cid:100)(cid:100)∴∠DEF=180°-(90°+30°)=60°즉△DEF는정삼각형이다.△AFE에서AF”:AE”:FE”=2:1:'3이고AE”=BF”이므로△ABC와△DEF의닮음비는(cid:100)(cid:100)AB”:FE”=3:'3따라서△ABC와△DEF의넓이의비는(cid:100)(cid:100)3¤:('3)¤=3:1(cid:9120)②ABCDEFGJIH2`cm△AFE™△BDF™△CED(ASA합동)이므로(cid:100)AE”=BF”AE”=a라하면(cid:100)AB”=AF”+BF”=AF”+AE”=2a+a=3a(cid:100)FE”='3a(cid:100)∴AB”`:`FE”=3`:`'3E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지24 SinsagoHitec 만점공략BOXⅥ. 피타고라스정리25본책33쪽~35쪽피타고라스정리Ⅵ개념&기출유형본책34~36쪽피타고라스정리의활용⑵12136AD”=x라하면(cid:100)(cid:100)"√4¤+x¤+5¤=5'2(cid:100)(cid:100)x¤+41=50,(cid:100)(cid:100)x¤=9(cid:100)(cid:100)∴x=3(∵x>0)(cid:9120)3137정육면체의한모서리의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)6a¤=162,(cid:100)(cid:100)a¤=27(cid:100)(cid:100)∴a=3'3(∵a>0)따라서정육면체의대각선의길이는(cid:100)(cid:100)'3_3'3=9(cm)(cid:9120)9cm140원뿔의밑면의반지름의길이를r라하면(cid:100)(cid:100)2pr=6p(cid:100)(cid:100)∴r=3OA”=l이라하면(cid:100)(cid:100)2p_l_=6p(cid:100)(cid:100)∴l=9주어진전개도로만들어지는원뿔은오른쪽그림과같으므로원뿔의높이를h라하면(cid:100)(cid:100)h="√9¤-3¤=6'2따라서원뿔의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_p_3¤_6'2=18'2p(cid:9120)18'2p93h120360139원뿔의높이를hcm,모선의길이를lcm라하면(cid:100)(cid:100);3!;_p_3¤_h=9'3p(cid:100)(cid:100)∴h=3'3(cid:100)(cid:100)∴l=ø∑(3'3)¤∑+3¤=6(cid:100)(cid:100)∴(원뿔의겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이)(cid:100)(cid:100)∴(원뿔의겉넓이)=p_3¤+;2!;_(2p_3)_6(cid:100)(cid:100)∴(원뿔의겉넓이)=27p(cm¤)(cid:9120)①보충학습원뿔의전개도에서옆면인부채꼴의중심각의크기를모를때,(cid:100)(부채꼴의넓이)(cid:100)=;2!;_(부채꼴의호의길이)(cid:100)=_(부채꼴의반지름의길이)(cid:100)=;2!;_2pr_l(cid:100)=prl2πrlr138BD”="√8¤+6¤=10(cm)DM”=;2!;DH”=10(cm)이므로△BDM에서(cid:100)(cid:100)BM”="√10¤+10¤=10'2(cm)(cid:9120)10'2cm141원뿔의모선의길이를lcm라하면(cid:100)(cid:100)l=ø∑(5'∂15)¤∑+5¤=20오른쪽그림의전개도에서부채꼴의중심각의크기를x°라하면(cid:100)2p_20_=2p_5(cid:100)(cid:100)∴x=90(cid:9120)③x3605`cm20`cmxæ142HD”=;2!;BD”=4'2(cm)이므로△OHD에서(cid:100)(cid:100)OD”=ø∑(4'2)¤+∑(4'2)¤=8(cm)(cid:9120)②143오른쪽그림과같이꼭짓점O에서밑면에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)BD”='2_12=12'2(cid:100)(cid:100)∴HD”=;2!;BD”=6'2△OHD에서(cid:100)(cid:100)OH”=ø∑12¤-∑(6'2)¤=6'2따라서사각뿔의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_12¤_6'2=288'2(cid:9120)③OABCDH12144주어진전개도로만들어지는사각뿔은오른쪽그림과같으므로(cid:100)(cid:100)BD”='2_4=4'2(cm)(cid:100)(cid:100)∴DH”=;2!;BD”=2'2(cm)△OHD에서(cid:100)(cid:100)OH”=ø∑8¤-∑(2'2)¤=2'∂14(cm)따라서사각뿔의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_4¤_2'∂14=(cm‹)(cid:9120)cm‹32'∂14332'∂143HHABCDO8`cm4`cm4`cm주어진전개도로만들어지는사각뿔을그려문제를해결한다.만점비법146①MH”=;3!;DM”=;3!;__6='3(cm)②DH”=;3@;DM”=;3@;__6=2'3(cm)△AHD에서(cid:100)(cid:100)AH”=ø∑6¤-∑(2'3)¤=2'6(cm)'32'32145정사면체의한모서리의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)a=4'6(cid:100)(cid:100)∴a=12따라서정사면체의부피는(cid:100)(cid:100)_12‹=144'2(cm‹)(cid:9120)144'2cm‹'212'63정육면체는각면이모두합동인6개의정사각형으로이루어져있다.원뿔의전개도에서(부채꼴의호의길이)=(밑면인원의둘레의길이)E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지25 SinsagoHitec 26정답및풀이만점공략BOX③△AHD=;2!;_DH”_AH”④△AHD=;2!;_2'3_2'6=6'2(cm¤)④(정사면체의겉넓이)=4__6¤=36'3(cm¤)⑤(정사면체의부피)=_6‹=18'2(cm‹)(cid:9120)③'212'34147PC”, PD”는각각정삼각형ABC,ABD의높이이므로(cid:100)(cid:100)PC”=PD”=_6'3=9(cm)오른쪽그림에서△PCD는이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)PQ”=ø∑9¤-∑(3'3)¤(cid:100)(cid:100)PQ”=3'6(cm)(cid:9120)3'6cmBP”=;2!;AB”=;2!;_6'3=3'3(cm),BQ”=_6'3=9(cm)이므로△PBQ에서(cid:100)(cid:100)PQ”="√9¤-(3'3)¤=3'6(cm)'329`cm3´3`cm3´3`cm9`cmPCDQ'32149단면인원의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100)2p_r=4'3p(cid:100)(cid:100)∴r=2'3따라서구의중심과평면사이의거리는(cid:100)(cid:100)ø∑4¤-∑(2'3)¤=2(cm)(cid:9120)2cm150단면인원의넓이가51pcm¤이므로(cid:100)(cid:100)p_AH”¤=51p(cid:100)(cid:100)∴AH”='∂51(cm)(∵AH”>0)따라서△OHA에서구의반지름의길이는(cid:100)(cid:100)OA”=ø∑('∂51)¤∑+7¤=10(cm)(cid:9120)①151오른쪽그림의전개도에서구하는최단거리는FL”의길이이므로(cid:100)(cid:100)FL”=ø∑14¤+4¤(cid:100)(cid:100)FL”=2'∂53(cid:9120)2'∂534545ALBCDEFGH148단면인원의반지름의길이는(cid:100)(cid:100)"√10¤-5¤=5'3(cm)따라서단면인원의넓이는(cid:100)(cid:100)p_(5'3)¤=75p(cm¤)(cid:9120)④입체도형에서최단거리를구할때는전개도를그려평면도형에서생각한다.이때입체도형의전개도를필요한부분만그리면편리하다.만점비법153원뿔의전개도에서부채꼴의중심각의크기를x°라하면(cid:100)(cid:100)2p_12_=2p_4(cid:100)(cid:100)∴x=120점A에서BB'”에내린수선의발을P라하면직각삼각형APB'에서∠PAB'=60°이므로(cid:100)(cid:100)PB'”:AB'”='3:2(cid:100)(cid:100)PB'”:12='3:2(cid:100)(cid:100)∴PB'”=6'3(cm)따라서구하는최단거리는(cid:100)(cid:100)BB'”=2PB'”=12'3(cm)(cid:9120)12'3cmx360ABPB'12`cm4`cm60æ154OA”와OB”는각각직각삼각형AEO와BFO의빗변이다.EG”='2_2=2'2이므로(cid:100)(cid:100)EO”=;2!;EG”='2△AEO에서(cid:100)(cid:100)OA”=ø∑4¤+('2)¤=3'2△BFO에서(cid:100)(cid:100)OB”=ø∑4¤+('2)¤=3'2점O에서AB”에내린수선의발을M이라하면△OAM에서(cid:100)(cid:100)OM”=ø∑(3'2)¤∑-1¤='∂17(cid:100)(cid:100)∴△OAB=;2!;_AB”_OM”(cid:100)(cid:100)∴△OAB=;2!;_2_'∂17='∂17(cid:9120)④155직각삼각형AEG에서AG”_EP”=AE”_EG”임을이용한다.EG”='2_4=4'2(cm)AG”="√4¤+4¤+8¤=4'6(cm)△AEG에서AG”_EP”=AE”_EG”이므로(cid:100)(cid:100)4'6_EP”=8_4'2(cid:100)(cid:100)∴EP”=(cm)(cid:9120)cm8'338'33내신만점도전하기본책37~39쪽152밑면의반지름의길이를r라하면밑면의둘레의길이는2pr이므로옆면의전개도는오른쪽그림과같다.이때최단거리는AB”의길이이므로(cid:100)(cid:100)ø∑(2pr)¤+∑(10p)¤=30p(cid:100)(cid:100)4r¤+100=900,(cid:100)(cid:100)r¤=200(cid:100)(cid:100)∴r=10'2(∵r>0)(cid:9120)10'210π2πrAB정사면체는각면이모두합동인4개의정삼각형으로이루어져있다.5+4+5=14△ABB'은이등변삼각형이므로AP”는∠BAB'의이등분선이다.(cid:100)∴∠PAB'=;2!;∠BAB'=60°이등변삼각형의성질①두밑각의크기가같다.②꼭지각의이등분선은밑변을수직이등분한다.이등변삼각형의꼭지각의꼭짓점에서밑변에내린수선은밑변을이등분하므로(cid:100)AM”=BM”=1정사면체에서길이또는넓이구하는방법⁄직각삼각형을찾거나보조선을그어직각삼각형을만든다.¤피타고라스정리를이용하여길이또는넓이를구한다.만점비법E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지26 SinsagoHitec 159주어진도형을1회전시킬때생기는회전체는두원뿔을붙여만든것과같다.오른쪽그림과같이점B에서AC”에내린수선의발을H라하면△BCH에서BC”:CH”=2:1이므로(cid:100)(cid:100)4:CH”=2:1만점공략BOXⅥ. 피타고라스정리27본책35쪽~38쪽피타고라스정리Ⅵ156닮은삼각형을찾아닮음비를이용한다.△AIP와△AEG에서(cid:100)(cid:100)∠A는공통,∠AIP=∠AEG=90°이므로(cid:100)(cid:100)△AIPª△AEG(AA닮음)따라서AP”:AG”=AI”:AE”이고AG”="√6¤+3¤+12¤=3'∂21이므로(cid:100)(cid:100)AP”:3'∂21=8:12(cid:100)(cid:100)∴AP”=2'∂21(cid:9120)2'∂216312ABCDEFGHIJLKP8158오른쪽그림과같이주어진전개도로만들어지는원뿔의밑면의반지름의길이를r,모선의길이를l,높이를h라하자.•10% 배점밑면인원의둘레의길이가4p이므로(cid:100)(cid:100)2pr=4p(cid:100)(cid:100)∴r=2•20% 배점옆면인부채꼴의넓이가12p이므로(cid:100)(cid:100);2!;_l_4p=12p(cid:100)(cid:100)∴l=6•20% 배점∴h="√6¤-2¤=4'2•20% 배점따라서구하는원뿔의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_p_2¤_4'2=p•30% 배점(cid:9120)p16'2316'23답 구하기 해결 과정 ③ 해결 과정 ② 해결 과정 ① 문제 이해 hrl4`cmABHC60æ45æ157세모서리의길이가각각a,b,c인직육면체의대각선의길이(cid:8833)"√a¤+b¤+c¤두꼭짓점사이의거리가될수있는경우는다음과같다.⁄정육면체가한개인경우(cid:100)(cid:100)1, '2_1='2,(cid:100)(cid:100)'3_1='3¤두개의정육면체가붙어있는¤경우(cid:100)(cid:100)2, "√2¤+1¤='5,(cid:100)(cid:100)"√2¤+1¤+1¤='6‹세개의정육면체가붙어있는경우(cid:100)(cid:100)3, "√3¤+1¤='∂10,(cid:100)(cid:100)"√3¤+1¤+1¤='∂11이상에서두꼭짓점사이의거리가될수없는것은③이다.(cid:9120)③113121111(cid:100)(cid:100)∴CH”=2(cm)또BC”:BH”=2:'3이므로(cid:100)(cid:100)4:BH”=2:'3(cid:100)(cid:100)∴BH”=2'3(cm)△ABH에서AH”:BH”=1:1이므로(cid:100)(cid:100)AH”:2'3=1:1(cid:100)(cid:100)∴AH”=2'3(cm)따라서회전체의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_p_(2'3)¤_2'3+;3!;_p_(2'3)¤_2(cid:100)=8('3+1)p(cm‹)(cid:9120)④160원모양의종이의반지름의길이를l,두원뿔A,B의밑면의반지름의길이를각각r¡,r™라하자.•10% 배점원뿔A에서(cid:100)(cid:100)2pl_;3@6$0);=2pr¡(cid:100)(cid:100)∴r¡=;3@;l(cid:100)(cid:100)∴h¡=æ≠l¤-{;3@;l}¤=l•30% 배점원뿔B에서(cid:100)(cid:100)2pl_;3!6@0);=2pr™(cid:100)(cid:100)∴r™=;3!;l(cid:100)(cid:100)∴h™=æ≠l¤-{;3!;l}¤=l•30% 배점=l_=이므로h¡은h™의배이다.•30% 배점(cid:9120)배'∂104'∂104'∂10432'2l'53h¡h™답 구하기 2'23해결 과정 ② '53해결 과정 ① 문제 이해 h¡r¡h™llABr™162AH”,FH”의길이의비를이용하여∠AFH의크기를구한다.사각뿔의부피가이므로(cid:100)(cid:100);3!;_10¤_AH”=(cid:100)(cid:100)∴AH”=5'3500'33500'33161EG”='2_2=2'2이므로(cid:100)(cid:100)EO”=;2!;EG”='2△AEO에서(cid:100)(cid:100)AO”=ø∑2¤+('2)¤='6•30% 배점점O에서AB”에내린수선의발을I라하면△AIO에서(cid:100)(cid:100)OI”=ø∑('6)¤-1¤='5(cid:100)(cid:100)∴△ABO=;2!;_2_'5='5이때△ABO,△BCO,△CDO,△DAO는모두합동이므로넓이가같다.•40% 배점따라서사각뿔O-ABCD의겉넓이는(cid:100)(cid:100)2_2+4_'5=4+4'5•30% 배점(cid:9120)4+4'5답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① h¡=h™'ß10`4△AIO는빗변이AO”인직각삼각형이다.E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지27 SinsagoHitec 28정답및풀이만점공략BOXHF”=;2!;BC”=5이므로△AHF에서(cid:100)(cid:100)AH”:HF”=5'3:5='3:1(cid:100)(cid:100)∴∠AFH=60°(cid:9120)60°163주어진전개도로만들어지는입체도형은정팔면체이고정팔면체는합동인사각뿔2개를붙여놓은모양과같다.주어진전개도로만들어지는입체도형은오른쪽그림과같은정팔면체이고,꼭짓점O에서(cid:8772)ABCD에내린수선의발을H라하면점H는(cid:8772)ABCD의두대각선의교점과일치한다.높이가2'3인정삼각형의한변의길이는(cid:100)(cid:100)2'3_=4즉정팔면체의한모서리의길이가4이므로(cid:100)(cid:100)AC”='2_4=4'2(cid:100)(cid:100)∴AH”=;2!;AC”=2'2따라서△OAH에서(cid:100)(cid:100)OH”=ø∑4¤-∑(2'2)¤=2'2(cid:100)(cid:100)∴(정팔면체의부피)=2_(사각뿔의부피)(cid:100)(cid:100)∴(정팔면체의부피)=2_;3!;_4¤_2'2(cid:100)(cid:100)∴(정팔면체의부피)=(cid:9120)③64'232'3ABCDEOH164한모서리의길이가x인정사면체의높이(cid:8833)x정육면체의한모서리의길이를a라하면(cid:100)(cid:100)AF”='2a즉CI”는한모서리의길이가'2a인정사면체의높이이므로(cid:100)(cid:100)CI”=_'2a=4'3(cid:100)(cid:100)∴a=6(cid:9120)③'63'63165한변의길이가a인정삼각형의높이(cid:8833)aAM”=BM”=_'6=(cm)오른쪽그림과같이△ABM의꼭짓점M에서AB”에내린수선의발을H라하면△MAH에서(cid:100)(cid:100)MH”=æ≠{}¤-{}¤(cid:100)(cid:100)MH”='3(cm)(cid:100)(cid:100)∴△ABM=;2!;_AB”_MH”(cid:100)(cid:100)∴△ABM=;2!;_'6_'3(cid:100)(cid:100)∴△ABM=(cm¤)(cid:9120)cm¤3'223'22'623'223'22'32'32∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°인직각삼각형의세변의길이의비는BC”:CA”:AB”=1:'3:2꼭짓점A에서BM”에내린수선의발을E라하면AE”의길이는정사면체의높이와같으므로(cid:100)(cid:100)AE”=_'6=2(cm)(cid:100)(cid:100)∴△ABM=;2!;_BM”_AE”(cid:100)(cid:100)∴△ABM=;2!;__2=(cm¤)3'223'22'63cm3´22ABMHcm3´22cm´62cm´62166밑면의반지름의길이가r,높이가h인원뿔의부피는;3!;pr¤h이다.원뿔의밑면의반지름의길이는(cid:100)(cid:100)æ≠r¤-{;2R;}¤=r이므로원뿔의부피V¡은(cid:100)(cid:100)V¡=;3!;_p_{r}¤_;2#;r=;8#;pr‹또반지름의길이가r인구의부피V™는(cid:100)(cid:100)V™=;3$;pr‹(cid:100)(cid:100)∴=;3$;pr‹_=;;£9™;;(cid:9120)②83pr‹V™V¡'32'32167구의중심과수면사이의거리를구한후피타고라스정리를이용한다.구의반지름의길이는5cm이므로구의중심에서수면까지의거리는(cid:100)(cid:100)5-2=3(cm)따라서단면인원의반지름의길이는(cid:100)(cid:100)"√5¤-3¤=4(cm)이므로구하는넓이는(cid:100)(cid:100)p_4¤=16p(cm¤)(cid:9120)②168구의반지름의길이를Rcm라하고피타고라스정리를이용한다.오른쪽그림과같이단면인원의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100)pr¤=15p(cid:100)(cid:100)∴r='∂15(∵r>0)구의반지름의길이를Rcm라하면(cid:100)(cid:100)OM”=;3@;R(cm)△OMB에서(cid:100)(cid:100){;3@;R}¤+('∂15)¤=R¤(cid:100)(cid:100);9%;R¤=15,(cid:100)(cid:100)R¤=27(cid:100)(cid:100)∴R=3'3(∵R>0)(cid:9120)3'3cmOMR`cmr`cmABR`cm23169최단거리(cid:8833)선이지나는면의전개도를그려본다.△ABM은MA”=MB”인이등변삼각형이다.(원뿔의높이)=(구의반지름의길이)+(구의중심에서원뿔의밑면까지의거리)=r+;2R;=;2#;rE0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지28 SinsagoHitec 만점공략BOXⅥ. 피타고라스정리29본책38쪽~40쪽피타고라스정리Ⅵ오른쪽전개도에서구하는최단거리는AD'”의길이이므로(cid:100)(cid:100)AD'”="√6¤+9¤=3'∂13(cm)(cid:9120)⑤AA'BCDD'EF6`cm9`cm170밑면의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2p_4=8p•20% 배점위의전개도에서구하는최단거리는AB'''”의길이이다.•40% 배점∴AB'''”=ø∑(7p)¤+∑(24p)¤=25p•40% 배점(cid:9120)25p답 구하기 AA'A''A'''BB'B''B'''7π8π8π8π해결 과정 ② 해결 과정 ① 171⁄AD”또는FG”를지나는경우이때의최단거리는(cid:100)(cid:100)"√4¤+(5+3)¤='∂80•30% 배점¤AE”또는CG”를지나는경우이때의최단거리는(cid:100)(cid:100)"√5¤+(4+3)¤='∂74•30% 배점‹CD”또는EF”를지나는경우이때의최단거리는(cid:100)(cid:100)"√(4+5)¤+3¤='∂90•30% 배점이상에서구하는최단거리는'∂74이다.•10% 배점(cid:9120)'∂74답 구하기 345ABCDGHHGFEBA345해결 과정 ③ 345ABDEFHCDBGHF345해결 과정 ② 5344ABCDEHFEHGBC53해결 과정 ① 옆면을세바퀴돌면옆면을세번지나게되므로최단거리는전개도에서옆면3개가붙여진직사각형의대각선의길이이다.만점비법172세모서리의길이가각각a,b,c인직육면체의대각선의길이는"√a¤+b¤+c¤이다.AC”=2x라하면(cid:100)(cid:100)AB”=BC”=ø∑4¤+(∑4'2)¤+x¤="√x¤+48△ABC에서AC”¤=AB”¤+BC”¤이므로(cid:100)(cid:100)4x¤=2(x¤+48),(cid:100)(cid:100)x¤=48(cid:100)(cid:100)∴x=4'3(∵x>0)(cid:100)(cid:100)∴AC”=2_4'3=8'3(cid:9120)④173BE”,CE”의길이를구하여△BCE가어떤삼각형인지알아본다.점B에서AD”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)BH”=_6=3'3,(cid:100)(cid:100)EH”=AH”-AE”=3-;3!;_6=1이므로△BHE에서(cid:100)(cid:100)BE”=ø∑(3'3)¤+1¤=2'7같은방법으로하면(cid:100)(cid:100)CE”=BE”=2'7즉△BCE는BE”=CE”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)EF”=ø∑(2'7)¤∑-3¤='∂19따라서EF”를한모서리로하는정사면체의부피는(cid:100)(cid:100)_('∂19)‹=(cid:9120)19'∂381219'∂3812'212'32내신만점굳히기본책40쪽174(cid:8772)ABCD의두대각선의교점을M이라하고점I에서두면ABCD,EFGH에내린수선의발을각각K,J라하면(cid:8772)BFHD는오른쪽그림과같다.•20% 배점△BIM과△HIF에서(cid:100)(cid:100)∠IBM=∠IHF,∠IMB=∠IFH(엇각)이므로(cid:100)(cid:100)△BIMª△HIF(AA닮음)(cid:100)(cid:100)∴IK”:IJ”=BM”:HF”=1:2•40% 배점이때KJ”=BF”=3이므로구하는거리는(cid:100)(cid:100)IJ”=3_;3@;=2•40% 배점(cid:9120)2답 구하기 해결 과정 문제 이해 JBKMIDFH33Â2175(뿔대의부피)=(큰뿔의부피)-(작은뿔의부피)△OFG에서OF”=OG”,∠OFG=60°이므로△OFG는정삼각형이다.또△OBC에서OB”=OC”,∠OBC=∠OFG=60°이므로△OBC도정삼각형이다.EF”⊥BC”DD'”의길이는한변의길이가3cm인정삼각형의둘레의길이이므로(cid:100)DD'”=9cmBC”//FG”BD”//FH”정육면체의한변의길이를a라하면△FGH에서(cid:100)a¤+a¤=(3'2)¤(cid:100)∴a=3(∵a>0)BD”=FH”이고BM”=BD”이므로(cid:100)BM”=FH”1212E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지29 SinsagoHitec 30정답및풀이만점공략BOX(cid:100)(cid:100)∴OB”=BC”=6, OF”=6+6=12두사각뿔O-ABCD,O-EFGH의부피를각각V¡,V™라하면두사각뿔의닮음비가1:2이므로(cid:100)(cid:100)V¡:V™=1‹:2‹(cid:100)(cid:100)∴V™=8V¡사각뿔O-ABCD의꼭짓점O에서밑면에내린수선의발을M이라하면(cid:100)(cid:100)BM”=;2!;_6'2=3'2이므로△OBM에서(cid:100)(cid:100)OM”=ø∑6¤-(3'2)¤=3'2(cid:100)(cid:100)∴V¡=;3!;_6¤_3'2=36'2따라서구하는사각뿔대의부피는(cid:100)(cid:100)V™-V¡=8V¡-V¡=7V¡=7_36'2=252'2(cid:9120)②176네변의길이가같은사각형은마름모이고,마름모의두대각선은서로를수직이등분한다.오른쪽전개도에서구하는최단거리는ED'”의길이이다.(cid:8772)ABCD'은네변의길이가모두같으므로마름모이고,마름모의두대각선은서로를수직이등분하므로(cid:100)(cid:100)∠ABD'=30°,(cid:100)(cid:100)BD'”=2_{_3}=3'3 ∠DBD'=∠DBA+∠ABD'=90°이고EB”=;3!;BD”=;3!;_3=1이므로△EBD'에서(cid:100)(cid:100)ED'”=ø∑1¤+(3'3)¤=2'7(cid:9120)2'7'32ADEBCD'30æ3´331177[문제해결길잡이]❶이등변삼각형의높이를b라하고원의반지름의길이를이용하여a,b사이의관계식을구한다.❷사각뿔의부피를a,b로나타낸후❶의관계식을이용하여a에대한방정식을구한다.❸a가자연수임을이용하여❷의방정식을만족시키는a,b의값을구한다.❹x의값을구한다.원의중심을O라하면사각뿔의밑면의한변의길이가2a이므로오른쪽그림에서OA”=a이다.AB”=b라하면원의반지름의길이가8이므로(cid:100)(cid:100)OB”=a+b=8yy㉠❶(cid:100)주어진전개도로만든사각뿔의부피가48이므로(cid:100)(cid:100);3!;_(2a)¤_"√b¤-a¤=48(cid:100)(cid:100)a¤"√b¤-a¤=36 xABOab이때㉠에서b=8-a이므로(cid:100)(cid:100)a¤"√(8-a)¤-a¤=36,(cid:100)(cid:100)a¤"√64-16a=36(cid:100)(cid:100)∴a¤'ƒ4-a=9yy㉡❷(cid:100)이때a가자연수이므로(cid:100)(cid:100)a¤=1또는a¤=9⁄a¤=1, 즉a=1일때,'3+9이므로㉡이성립하지않는다.¤a¤=9,즉a=3일때,9=9이므로㉡이성립한다.⁄,¤에서(cid:100)(cid:100)a=3a=3을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)b=5❸(cid:100)(cid:100)∴x="√a¤+b¤="√3¤+5¤='∂34❹(cid:9120)'∂34내신만점정복하기본책41~46쪽178직사각형의각변의중점을연결하여만들어지는도형은마름모이다.오른쪽그림과같이직사각형의각변의중점을연결하여만들어지는도형은마름모이다.이때마름모의한변의길이는(cid:100)(cid:100)æ≠4¤+{:¡2∞:}2=:¡2¶:(cm)이므로구하는둘레의길이는(cid:100)(cid:100)4_:¡2¶:=34(cm)(cid:9120)③8`cm15`cm179B지점에서C지점까지의거리를xm라하고피타고라스정리를이용한다.B지점에서C지점까지의거리를xm라하면A지점에서C지점까지의거리는(cid:100)(cid:100)60-(10+x)=50-x(m)이므로(cid:100)(cid:100)(50-x)¤=10¤+x¤(cid:100)(cid:100)100x=2400(cid:100)(cid:100)∴x=24따라서공터의넓이는(cid:100)(cid:100);2!;_24_10=120(m¤)(cid:9120)120m¤180이등변삼각형의꼭지각의꼭짓점에서밑변에그은수선은밑변을이등분한다.오른쪽그림과같이원의중심O에서AB”에내린수선의발을H라하면△OAB는이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)AH”=;2!;AB”=5(cm)O7`cm5`cm7`cmABHBM”의길이는정사각형ABCD의대각선의길이의이다.12OB”:OF”=6:12=1:2ABC{50-x}`m10`mx`mOH”가밑변을이등분하므로(cid:100)AH”=BH”닮은도형의둘레의길이,넓이,부피의비닮음비가m:n인두도형에대하여①둘레의길이의비(cid:9178)m:n②넓이의비(cid:9178)m¤:n¤③부피의비(cid:9178)m‹:n‹△DBA는정삼각형이므로(cid:100)∠DBA=60°△ABC와△ACD'은한변의길이가3인정삼각형이다.사각뿔의높이는"√b¤-a¤이다.E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지30 SinsagoHitec 만점공략BOXⅥ. 피타고라스정리31본책40쪽~42쪽피타고라스정리Ⅵ182세변의길이가a,b,c인삼각형에서c¤=a¤+b¤이면이삼각형은빗변의길이가c인직각삼각형이다.△ABC에서(cid:100)(cid:100)x="√2¤+('5)¤=3따라서△ACD에서3¤=('6)¤+('3)¤이므로(cid:100)(cid:100)y=90(cid:100)(cid:100)∴x+y=93(cid:9120)①△AHO에서(cid:100)(cid:100)OH”="√7¤-5¤=2'6(cm)따라서원의중심O에서현AB에이르는거리는2'6cm이다.(cid:9120)③181색칠한두삼각형과각각넓이가같은삼각형을찾는다.오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”,DE”에내린수선의발을각각L,M이라하면(cid:100)(cid:100)△ABD=△LBD(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;(cid:8772)BDML(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_5¤(cid:100)(cid:100)△ABD=;;™2∞;;(cm¤)(cid:100)(cid:100)△AEC=△LEC=;2!;(cid:8772)LMEC(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_('∂11)¤=;;¡2¡;;(cm¤)따라서색칠한부분의넓이는(cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;;™2∞;;+;;¡2¡;;=18(cm¤)(cid:9120)①BC”=ø∑5¤+('∂11)¤=6(cm)이고(cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;2!;((cid:8772)BDML+(cid:8772)LMEC)(cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;2!;(cid:8772)BDEC(cid:100)(cid:100)△ABD+△AEC=;2!;_6¤=18(cm¤)5`cm´11¨`cmABCDEML183삼각형의세변의길이가a,b,c이고c가가장긴변의길이일때,c¤0)△OBC에서(cid:100)(cid:100)OC”=ø∑(2'∂22)¤∑-6¤=2'∂13(cid:9120)①186AB”의길이를구한후BD”¤+AE”¤=AB”¤+DE”¤임을이용한다.△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√6¤+8¤=10(cid:100)(cid:100)∴BD”¤+AE”¤=AB”¤+DE”¤=10¤+5¤=125(cid:9120)125△EAC는EA”=EC”인이등변삼각형이므로(cid:100)AH”=HC”188오른쪽그림과같이두꼭짓점A,D에서BC”에내린수선의발을각각E,F라하면(cid:100)(cid:100)BE”=CF”=;2!;_(12-6)(cid:100)(cid:100)BE”=3(cm)•40% 배점해결 과정 ① EFADCB7`cm7`cm6`cm6`cm3`cm3`cm(AC”를한변으로하는정사각형의넓이)=(cid:8772)LMEC(AB”를한변으로하는정사각형의넓이)=(cid:8772)BDML세변의길이가주어질때삼각형모양판별하기⁄가장긴변의길이를찾는다.¤가장긴변의길이의제곱과나머지두변의길이의제곱의합의대소를비교한다.E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지31 SinsagoHitec 32정답및풀이만점공략BOX190△AFD에서(cid:100)(cid:100)DF”="√10¤-8¤=6(cm)(cid:100)(cid:100)∴CF”=DC”-DF”=8-6=2(cm)•30% 배점△AFD와△EFC에서(cid:100)(cid:100)∠ADF=∠ECF=90°,(cid:100)(cid:100)∠AFD=∠EFC(맞꼭지각)이므로(cid:100)(cid:100)△AFDª△EFC(AA닮음)따라서AD”:EC”=DF”:CF”이므로(cid:100)(cid:100)8:EC”=6:2(cid:100)(cid:100)∴EC”=;3*;(cm)•50% 배점∴△CEF=;2!;_CF”_EC”=;2!;_2_;3*;=;3*;(cm¤)•20% 배점(cid:9120);3*;cm¤답 구하기 해결 과정 문제 이해 191오른쪽그림과같이BD”를그으면△ABD,△BCD는각각직각삼각형이므로(cid:100)(cid:100)S¡+S™=△ABD(cid:100)(cid:100)S£+S¢=△BCD•50% 배점∴S¡+S™+S£+S¢=△ABD+△BCD=(cid:8772)ABCD=8_4=32•50% 배점(cid:9120)32(색칠한부분의넓이)=(전체넓이)-(가운데큰원의넓이)=(p_4¤+p_2¤+8_4)-p_(2'5)¤=32답 구하기 해결 과정 AS¡S™S¢S£BCD48193두정사각형의한변의길이를각각구한다.(cid:8772)ABCD=36cm¤이므로(cid:100)(cid:100)AD”¤=36(cid:100)(cid:100)∴AD”=6(cm)(∵AD”>0)(cid:100)(cid:100)∴BD”=6'2(cm)(cid:8772)DEFG=4cm¤이므로(cid:100)(cid:100)DG”¤=4(cid:100)(cid:100)∴DG”=2(cm)(∵DG”>0)(cid:100)(cid:100)∴DF”=2'2(cm)이때∠BDF=∠BDC+∠EDF=45°+45°=90°이므로(cid:100)(cid:100)△DBF=;2!;_6'2_2'2=12(cm¤)(cid:9120)④AE”=9-6=3(cm)이므로△ABE에서(cid:100)(cid:100)AB”="√6¤-3¤=3'3(cm)따라서(cid:8772)ABCD의대각선의길이는(cid:100)(cid:100)øπ9¤+(3'3)¤=6'3(cm)(cid:9120)①194직각삼각형ABD에서AB”_AD”=BD”_AE”,AB”¤=BE”_BD”임을이용한다.BD”="√6¤+8¤=10(cm)△ABD에서AB”_AD”=BD”_AE”이므로(cid:100)(cid:100)6_8=10_AE”(cid:100)(cid:100)∴AE”=;;™5¢;;(cm)또AB”¤=BE”_BD”이므로(cid:100)(cid:100)6¤=BE”_10(cid:100)(cid:100)∴BE”=;;¡5•;;(cm)같은방법으로하면DF”=;;¡5•;;(cm)이므로(cid:100)(cid:100)EF”=10-2_;;¡5•;;=;;¡5¢;;(cm)(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)AECF=;;™5¢;;_;;¡5¢;;=;;£2£5§;;(cm¤)(cid:9120);;£2£5§;;cm¤△ABE=△AFD=△EBC=△FCD이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)AECF=(cid:8772)ABCD-4△ABE(cid:100)(cid:100)(cid:8772)AECF=6_8-4_{;2!;_;;¡5•;;_;;™5¢;;}(cid:100)(cid:100)(cid:8772)AECF=48-;;•2§5¢;;=;;£2£5§;;(cm¤)정삼각형의내심,외심,무게중심은일치한다.195정삼각형의외심과무게중심은일치한다.오른쪽그림과같이AO”의연장선과BC”가만나는점을D라하면점O는△ABC의무게중심이므로(cid:100)(cid:100)AO”:AD”=2:3(cid:100)(cid:100)∴AD”=;2#;AO”(cid:100)(cid:100)∴AD”=;2#;_12=18(cm)△ABC의한변의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)a=18(cid:100)(cid:100)∴a=12'3(cid:100)(cid:100)∴△ABC=_(12'3)¤=108'3(cm¤)(cid:9120)108'3cm¤'34'32ABCDO12`cmAO”:OD”=2:1189△ABC™△CDE이므로(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=5(cm), BC”=DE”=3(cm)(cid:100)(cid:100)∴AC”=CE”="√5¤+3¤='∂34(cm)•40% 배점이때∠ACB+∠ECD=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠ACE=90°(cid:100)(cid:100)∴AE”=ø∑('∂34)¤+∑('∂34)¤=2'∂17•30% 배점따라서(cid:8772)ABDE의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)5+8+3+2'∂17=16+2'∂17(cm)•30% 배점(cid:9120)(16+2'∂17)cm답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① △DFC에서(cid:100)(cid:100)DF”="√7¤-3¤=2'ß10(cm)•30% 배점따라서△DBF에서(cid:100)(cid:100)BD”="√9¤+(2'ß10)¤=11(cm)•30% 배점(cid:9120)11cm답 구하기 해결 과정 ② 192△ABE에서피타고라스정리를이용하여AB”의길이를구한다.△ABC에서∠CAB+∠ACB=90°△ABC™△CDE이므로(cid:100)∠CAB=∠ECD(cid:100)∴∠ACB+∠ECD=90°가운데큰원의지름의길이는"√4¤+8¤=4'5이므로반지름의길이는2'5이다.(cid:8772)AECF는AE”∥FC”,AE”=FC”에서평행사변형이므로AE”를밑변으로생각하면EF”가높이이다.(cid:100)∴(cid:8772)AECF=AE”_EF”E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지32 SinsagoHitec 피타고라스정리Ⅵ만점공략BOXⅥ. 피타고라스정리33본책42쪽~45쪽196마름모(cid:8833)네변의길이가모두같은사각형∠A+∠B=180°이므로(cid:100)(cid:100)∠B=60°따라서△ABC는한변의길이가6인정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)AC”=6(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=2△ABC(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=2_{_6¤}(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=18'3(cid:9120)②AC”와BD”의교점을O라하면(cid:100)(cid:100)BO”=_6=3'3이므로(cid:100)(cid:100)BD”=2_3'3=6'3(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=;2!;_BD”_AC”(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=;2!;_6'3_6(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=18'3'32'346ABCD60æ60æ60æ197△BDE와△ADF에서특수한직각삼각형의세변의길이의비를이용한다.AD”：DB”=2：1이므로(cid:100)(cid:100)AD”=9_;3@;=6(cm), DB”=9_;3!;=3(cm)△BDE에서∠B=60°이므로(cid:100)(cid:100)BD”：DE”=1：'3,(cid:100)(cid:100)3：DE”=1：'3(cid:100)(cid:100)∴DE”=3'3(cm)△ADF에서∠A=60°이므로(cid:100)(cid:100)AD”：DF”=1：'3,(cid:100)(cid:100)6：DF”=1：'3(cid:100)(cid:100)∴DF”=6'3(cm)(cid:100)(cid:100)∴EF”=DF”-DE”=6'3-3'3=3'3(cm)(cid:9120)②198꼭짓점A에서BC”의연장선에수선을그어특수한직각삼각형의세변의길이의비를이용한다.꼭짓점A에서BC”의연장선에내린수선의발을H라하면△ACH에서∠ACH=180°-120°=60°이므로(cid:100)(cid:100)AC”：CH”=2：1(cid:100)(cid:100)4：CH””=2：1(cid:100)(cid:100)∴CH”=2(cm)또AC”：AH”=2：'3이므로(cid:100)(cid:100)4：AH”=2：'3(cid:100)(cid:100)∴AH”=2'3(cm)따라서△ABH에서(cid:100)(cid:100)AB”="√4¤+(2'3)¤=2'7(cm)(cid:9120)2'7cmABHC120æ60æ4`cm2`cm199꼭짓점A에서BC”에수선을그어특수한직각삼각형의세변의길이의비를이용한다.200좌표평면위의두점P(x¡,y¡),Q(x™,y™)사이의거리(cid:8833)PQ”="√(x™-x¡)¤√+(y™-y¡)¤AB”="√(1+2)¤+√(-3+4)¤='∂10BC”="√(-1-1)¤+√(-1+3)¤='8CA”="√(-2+1)¤+√(-4+1)¤='∂10따라서AB”=CA”, AB”¤0)이때FH”="√8¤+6¤=10이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)BFHD=10_2'ß11=20'ß11(cid:9120)②205AB”=a,AD”=b,AE”=c라하고주어진조건을이용하여a¤+b¤+c¤의값을구한다.AB”=a,AD”=b,AE”=c라하면(cid:100)(cid:100)BD”¤=a¤+b¤=25(cid:100)(cid:100)BG”¤=b¤+c¤=40(cid:100)(cid:100)DG”¤=a¤+c¤=33위의세식을변끼리더하면(cid:100)(cid:100)2(a¤+b¤+c¤)=98(cid:100)(cid:100)∴a¤+b¤+c¤=49따라서구하는직육면체의대각선의길이는(cid:100)(cid:100)"√a¤+b¤+c¤=7(cid:9120)②207한모서리의길이가a인정육면체의대각선의길이(cid:8833)'3a정육면체의한모서리의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)'3a=6(cid:100)(cid:100)∴a=2'3EG”='2_2'3=2'6(cm)이므로(cid:100)(cid:100)△AEG=;2!;_2'6_2'3(cid:100)(cid:100)△AEG=6'2(cm¤)(cid:9120)6'2cm¤210△OHD에서피타고라스정리를이용하여HD”의길이를구한다.△OHD에서(cid:100)(cid:100)HD”=øπ8¤-(2'7)¤=6사각뿔의밑면의한변의길이를a라하면(cid:100)(cid:100)HD”=;2!;BD”=;2!;_'2a=a이므로(cid:100)(cid:100)a=6(cid:100)(cid:100)∴a=6'2따라서사각뿔의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_(6'2)¤_2'7=48'7(cid:9120)⑤'22'22211두꼭짓점A,F사이의거리(cid:8833)2_(꼭짓점A와면BCDE사이의거리)오른쪽그림과같이꼭짓점A에서면BCDE에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)BD”='2_6=6'2(cm)이므로(cid:100)(cid:100)BH”=;2!;BD”=3'2(cm)△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”=ø∑6¤-∑(3'2)¤=3'2(cm)따라서두꼭짓점A,F사이의거리는(cid:100)(cid:100)AF”=2_3'2=6'2(cm)(cid:9120)①AHEBCDF6`cm34정답및풀이만점공략BOX이차함수y=ax¤+bx+c꼴의그래프의꼭짓점의좌표는y=a{x+}¤-꼴로고쳐서구한다.b¤-4ac4ab2a만점비법206한모서리의길이가a인정육면체의대각선의길이(cid:8833)'3a정육면체의한모서리의길이를a라하면(cid:100)(cid:100)'3a=2'6(cid:100)(cid:100)∴a=2'2따라서정육면체의부피는(cid:100)(cid:100)a‹=(2'2)‹=16'2(cid:9120)16'2209△OHB에서피타고라스정리를이용하여HB”의길이를구한다.OH”=18-10=8(cm)이므로△OHB에서(cid:100)(cid:100)HB”="√10¤-8¤=6(cm)따라서원뿔의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_p_6¤_18=216p(cm‹)(cid:9120)216pcm‹213정육면체의한모서리의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)MN”=BD”='2a(cm)(cid:100)(cid:100)AG”='3a(cm)•30% 배점문제 이해 212주어진정사면체의전개도를그린다.오른쪽전개도에서구하는최단거리는DM”의길이이다.∠MAC=30°,∠CAD=60°이므로(cid:100)(cid:100)∠MAD=90°△ABC에서(cid:100)(cid:100)AM”=_6=3'3(cm)따라서△AMD에서(cid:100)(cid:100)DM”=ø∑(3'3)¤+∑6¤=3'7(cm)(cid:9120)①'326`cmABCMD60æ30æ208주어진조건을이용하여원뿔의밑면의반지름의길이와모선의길이를구한다.원뿔의밑면의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100)2pr=10p(cid:100)(cid:100)∴r=5모선의길이를lcm라하면(cid:100)(cid:100);2!;_l_10p=65p(cid:100)(cid:100)∴l=13주어진전개도로원뿔을만들면오른쪽그림과같으므로원뿔의높이는(cid:100)(cid:100)"√13¤-5¤=12(cm) (cid:9120)③13`cm5`cm반지름의길이가r,호의길이가l인부채꼴의넓이(cid:9178);2!;rl△AEG는∠AEG=90°인직각삼각형이므로(cid:100)△AEG=;2!;_EG”_AE”점H는정사각형ABCD의두대각선의교점이므로(cid:100)HD”=BH”=;2!;BD”E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지34 SinsagoHitec 만점공략BOXⅥ. 피타고라스정리35본책45쪽~47쪽피타고라스정리Ⅵ(마름모의넓이)=;2!;_(한대각선의길이)_(다른대각선의길이)AM”=MG”=GN”=NA”에서(cid:8772)AMGN은마름모이므로(cid:100)(cid:100);2!;_'2a_'3a=8'6(cid:100)(cid:100)a¤=8'6,(cid:100)(cid:100)a¤=16(cid:100)(cid:100)∴a=4`(∵a>0)•50% 배점따라서정육면체의부피는(cid:100)(cid:100)4‹=64(cm‹)•20% 배점(cid:9120)64cm‹답 구하기 '62해결 과정 214△ABC를직선l을회전축으로하여1회전시킬때생기는입체도형은오른쪽그림과같다.•20% 배점△AOC에서OA”：AC”=1：2이므로(cid:100)(cid:100)OA”：6=1：2(cid:100)(cid:100)∴OA”=3(cm)또OC”：AC”='3：2이므로(cid:100)(cid:100)OC”：6='3：2(cid:100)(cid:100)∴OC”=3'3(cm)한편△AOB에서(cid:100)(cid:100)OB”=OA”=3(cm)•40% 배점따라서구하는입체도형의부피는(cid:100)=;3!;_p_(3'3)¤_3-;3!;_p_3¤_3(cid:100)=27p-9p=18p(cm‹)•40% 배점(cid:9120)18pcm‹답 구하기 해결 과정 문제 이해 6`cm3`cm3`cmABOC45æ30æ215오른쪽전개도에서구하는최단거리는MB'”의길이이다.•10% 배점이때OA”：OB”=3：6이므로(cid:100)(cid:100)OA”：(OA”+12)=1：2(cid:100)(cid:100)∴OA”=12(cm)(cid:100)(cid:100)∴OB”=12+12=24(cm)•30% 배점부채꼴의중심각의크기를x°라하면(cid:100)(cid:100)2p_24_=2p_6(cid:100)(cid:100)∴x=90•30% 배점OM”=12+;2!;_12=18(cm)이므로△OMB'에서(cid:100)(cid:100)MB'”="√24¤+18¤=30(cm)•30% 배점(cid:9120)30cm답 구하기 x360해결 과정 ② 해결 과정 ① 문제 이해 원뿔의전개도에서부채꼴의호의길이는밑면의둘레의길이와같다.xæ12`cmAA'OBB'M12`cm3`cm6`cmAOBM보충학습부채꼴의호의길이와넓이반지름의길이가r,중심각의크기가x°인부채꼴의호의길이를l,넓이를S라하면(cid:100)(cid:100)l=2pr_,S=pr¤_x360x360217[문제해결길잡이]❶S™,S£,S¢,y의한변의길이를구하여규칙을찾아S«의한변의길이를n으로나타낸다.❷S§의한변의길이를구한다.❸S™와S§의닮음비를구한다.S™의한변의길이는(cid:100)(cid:100)_1=S£의한변의길이는(cid:100)(cid:100)_={}2S¢의한변의길이는(cid:100)(cid:100)_{}2={}3⋮S«의한변의길이는(cid:100)(cid:100){}«—⁄(næ2)❶따라서S§의한변의길이는(cid:100)(cid:100){}5=❷이므로S™와S§의닮음비는(cid:100)(cid:100)：=16：9❸(cid:9120)16：9일반적으로닮음비는가장간단한자연수의비로나타낸다.참고9'332'329'332'32'32'32'32'32'32'32'32'32'32교과서속창의유형본책47~48쪽216[문제해결길잡이]❶(거리)=(속력)_(시간)임을이용하여P지점과A,B,D지점사이의거리를각각구한다.❷AP”¤+CP”¤=BP”¤+DP”¤임을이용하여P지점과C지점사이의거리를구한다.❸폭죽을터뜨린후몇초후에C지점에설치한소음측정기가소음을측정하는지구한다.소리의속력이340m/s이고,(거리)=(속력)_(시간)이므로(cid:100)(cid:100)AP”=340_=68'5(m)(cid:100)(cid:100)BP”=340_0.6=204`(m)(cid:100)(cid:100)DP”=340_0.3=102`(m)❶이때AP”¤+CP”¤=BP”¤+DP”¤이므로(cid:100)(cid:100)(68'5)¤+CP”¤=204¤+102¤(cid:100)(cid:100)CP”¤=28900(cid:100)(cid:100)∴CP”=170`(m)❷따라서폭죽을터뜨린후C지점에설치한소음측정기가소음을측정할때까지걸리는시간은(cid:100)(cid:100);3!4&0);=0.5(초)❸(cid:9120)0.5초속력이일정할때시간과거리는비례하므로C지점에서소음을측정하는데걸린시간을x초라하면(cid:100)(cid:100){}2+x¤=(0.6)¤+(0.3)¤(cid:100)(cid:100)x¤=0.25(cid:100)(cid:100)∴x=0.5(∵x>0)'55'55(시간)=(거리)(속력)정삼각형은항상닮음인도형이다.E0428일품중수3하_정(020-035) 2015.4.28 1:51 PM 페이지35 SinsagoHitec 36정답및풀이만점공략BOX218[문제해결길잡이]❶정육각형모양의렌즈를정삼각형으로나누어그넓이를구한다.❷특수한직각삼각형의세변의길이의비를이용하여조리개의넓이를구한다.❸노출된렌즈의넓이를구한다.렌즈의넓이는(cid:100)(cid:100)6_{_1¤}=❶정육각형의한내각의크기는(cid:100)(cid:100)=120°이므로오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)∠BAC=120°-90°=30°∠ABC=90°-30°=60°△ABC에서AC”：BC”='3：1이므로(cid:100)(cid:100)1：BC”='3：1(cid:100)(cid:100)∴BC”=조리개의넓이는(cid:100)(cid:100)6_{;2!;_1_}='3❷따라서구하는넓이는(cid:100)(cid:100)-'3=❸(cid:9120)'32'323'32'33'33180°_(6-2)63'32'34219[문제해결길잡이]❶두점P,Q를대칭이동하여로봇청소기가움직인최단거리와길이가같은선분을찾는다.❷피타고라스정리를이용하여로봇청소기가움직인최단거리를구한다.위의그림과같이점P를CD”에대하여대칭이동한점을P',점P'을직선AD에대하여대칭이동한점을P''이라하고점Q를AB”에대하여대칭이동한점을Q'이라하면로봇청소기가움직인거리는(cid:100)(cid:100)PM”+MN”+NS”+SQ”=P'M”+MN”+NS”+SQ”'æP'N”+Q'N”=P''N”+Q'N”æP''Q'”❶따라서로봇청소기가움직인최단거리는(cid:100)(cid:100)P''Q'”="√500¤+450¤=50'∂181(cm)❷(cid:9120)50'∂181cm200`cm200`cm150`cm300`cm50`cm50`cmASPDP''P'MNBQQ'C30æ60æ1ACB정n각형의한내각의크기는(cid:100)180°_(n-2)n개념&기출유형삼각비Ⅶ본책50~51쪽삼각비⑴13220BC”=ø∑('6)¤-2¤='2①sinA==②cosA==③tanA=④sinB==⑤cosB==(cid:9120)③'33'2'6'632'6'22'632'6'33'2'6221y=0을y=2x+6에대입하면(cid:100)(cid:100)x=-3(cid:100)(cid:100)∴A(-3,0)x=0을y=2x+6에대입하면(cid:100)(cid:100)y=6(cid:100)(cid:100)∴B(0, 6)따라서직각삼각형AOB에서(cid:100)(cid:100)OA”=3, OB”=6, AB”="√3¤+6¤=3'5(cid:100)(cid:100)∴sina+cosa=+=(cid:9120)3'553'5533'563'5223cosA==에서(cid:100)(cid:100)AC”=2'2(cid:100)(cid:100)∴BC”="√4¤`-(2'2)¤``=2'2(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_2'2_2'2=4(cid:9120)4'22AC”4224sinB==에서(cid:100)(cid:100)BC”=6'2(cid:100)(cid:100)∴AB”=ø∑(6'2)¤-∑(2'∂14)¤=4따라서sinC=,tanC=이므로(cid:100)(cid:100)sinC_tanC=_=(cid:9120)②2'72142'∂1446'242'∂1446'2'732'∂14BC”222tanB==;5#;에서(cid:100)(cid:100)AC”=6(cid:100)(cid:100)∴AB”="√10¤+6¤=2'∂34(cid:9120)2'∂34AC”10225sinA=이므로오른쪽그림과같이(cid:100)(cid:100)∠C=90°, AB”=7,BC”=2'6인직각삼각형ABC를생각할수있다.이때AC”=ø∑7¤-∑(2'6)¤=5이므로(cid:100)(cid:100)tanA=(cid:9120)①2'6572´6BAC2'67E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지36 SinsagoHitec 만점공략BOXⅦ. 삼각비37본책48쪽~52쪽삼각비Ⅶ230△ABC와△DBE에서(cid:100)(cid:100)∠B는공통,∠C=∠DEB=90°이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△DBE(AA닮음)(cid:100)(cid:100)∴∠BDE=∠A=x226tanA=;3!;이므로오른쪽그림과같이(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=3, BC”=1인직각삼각형ABC를생각할수있다.이때AC”="√3¤+1¤='∂10이므로(cid:100)(cid:100)sinA=, cosA=(cid:100)(cid:100)∴sinA_cosA=_=;1£0;(cid:9120);1£0;3'∂101'∂103'∂101'∂10227cosA=;5#;이므로오른쪽그림과같이AC”=5, AB”=3으로놓으면(cid:100)(cid:100)BC”="√5¤-3¤=4④=;5#;_;4%;=;4#;⑤sin¤A+cos¤A={;5$;}¤+{;5#;}¤=1(cid:9120)④cosAsinA53ABC229△ABC와△CBD에서(cid:100)(cid:100)∠B는공통, (cid:100)(cid:100)∠ACB=∠CDB=90°이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△CBD(AA닮음)(cid:100)(cid:100)∴∠BAC=∠BCD=x즉△ABC에서cosx==;7%;이므로(cid:100)(cid:100)AB”=7(cid:100)(cid:100)∴BC”="√7¤-5¤=2'6(cid:9120)③5AB”228직각삼각형ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√12¤+16¤=20∠DCA=∠DAB=x,∠DBA=∠DAC=y이므로(cid:100)(cid:100)cosx=;2!0^;=;5$;, cosy=;2!0@;=;5#;(cid:100)(cid:100)∴cosx+cosy=;5$;+;5#;=;5&;(cid:9120);5&;직각삼각형ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√12¤+16¤=20AB”_AC”=AD”_BC”에서(cid:100)(cid:100)12_16=AD”_20(cid:100)(cid:100)∴AD”=9.6따라서△ABD와△ACD에서(cid:100)(cid:100)cosx==;5$;, cosy==;5#;이므로(cid:100)(cid:100) cosx+cosy=;5&;9.6169.61212xxyy16ABCD5xxCBAD닮은직각삼각형에서대응각에대한삼각비의값은일정하다.13ABC232직각삼각형DBC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√15¤-9¤=12직각삼각형ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√20¤-12¤=16•60% 배점∴cosx==;2!0^;=;5$;•40% 배점(cid:9120);5$;AC”AB”답 구하기 해결 과정 233△EBF는이등변삼각형이다.DE”=BE”=a라하면AE”=6-a이므로직각삼각형ABE에서(cid:100)(cid:100)a¤=(6-a)¤+2¤,(cid:100)(cid:100)12a=40(cid:100)(cid:100)∴a=;;¡3º;;점F에서ED”에내린수선의발을H라하면△BFE는BE”=BF”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)HD”=FC”=6-BF”=6-:¡3º:=;3*;(cid:100)(cid:100)∴EH”=DE”-HD”=;;¡3º;;-;3*;=;3@;따라서직각삼각형EFH에서(cid:100)(cid:100)EF”=æ≠{;3@;}¤+2¤=(cid:100)(cid:100)∴sinx+cosx=+(cid:100)(cid:100)∴sinx+cosx=2_+;3@;_(cid:100)(cid:100)∴sinx+cosx=+(cid:100)(cid:100)∴sinx+cosx==(cid:9120)③2'∂1054'∂101'∂103'∂1032'∂1032'ß10EH”EF”FH”EF”2'∂103234직선을그려서직선과x축,y축으로둘러싸인직각삼각형을생각한다.직각삼각형DBE에서BE”="√11¤-9¤=2'∂10이므로(cid:100)(cid:100)sinx=, tanx=(cid:100)(cid:100)∴=_=;;¡9¡;;(cid:9120);;¡9¡;;112'∂102'∂109tanxsinx2'∂1092'∂1011231삼각비의뜻을이용하여∠A,∠B의삼각비의값을구한다.cosA=;cB;①sinA=;cA;②tanA=;bA;③sinB=;cB;④cosB=;cA;⑤tanB=;aB;(cid:9120)③내신만점도전하기본책52~54쪽△ABCª△DBAª△DAC∠DEF=∠BFE(엇각),∠DEF=∠BEF(접은각)이므로(cid:100)∠BFE=∠BEF(cid:100)∴BE”=BF”E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지37 SinsagoHitec 주어진직선이y축,x축과만나는점을각각A,B라하면(cid:100)(cid:100)A(0, 2), B{;3*;, 0}직선3x+4y-8=0은오른쪽그림과같으므로직각삼각형AOB에서(cid:100)(cid:100)OA”=2, OB”=;3*;,(cid:100)(cid:100)AB”=æ≠2¤+{;3*;}¤=;;¡3º;;따라서sina==;3*;_;1£0;=;5$;,cosa==2_;1£0;=;5#;이므로(cid:100)(cid:100)5(sina+cosa)=5_{;5$;+;5#;}=7(cid:9120)③OA”AB”OB”AB”38정답및풀이만점공략BOX세모서리의길이가각각a,b,c인직육면체의대각선의길이(cid:9178)"√a¤+b¤+c¤235직각삼각형AEG에서삼각비의값을구한다.△AEG에서∠AEG=90°이고(cid:100)(cid:100)AE”=10(cm),(cid:100)(cid:100)EG”="√6¤+8¤=10(cm),(cid:100)(cid:100)AG”="√6¤+8¤+10¤=10'2(cm)이므로(cid:100)(cid:100)sinx==, cosx==,(cid:100)(cid:100)tanx=;1!0);=1(cid:100)(cid:100)∴sinx_cosx-tanx=_-1=-;2!;(cid:9120)②'22'22'221010'2'221010'2x10`cm10`cm10´2`cmAEG236점M과점C에서각각BC”와BM”에수선을그어직각삼각형을만든다.정사면체의한모서리의길이를a라하면(cid:100)(cid:100)BM”=CM”=a점M에서BC”에내린수선의발을H라하면△MBH에서(cid:100)(cid:100)MH”=æ≠{a}¤-{;2!;a}¤(cid:100)(cid:100)MH”=a점C에서BM”에내린수선의발을I라하면△BCM의넓이에서(cid:100)(cid:100);2!;_BC”_MH”=;2!;_BM”_CI”(cid:100)(cid:100);2!;_a_a=;2!;_a_CI”(cid:100)(cid:100)∴CI”=a따라서직각삼각형MIC에서(cid:100)(cid:100)sink==a_=(cid:9120)2'232'232'3a'63CI”CM”'63'32'22'22'32'32ABCDMkHIABx3x+4y-8=0yO2a83x=0을3x+4y-8=0에대입하면(cid:100)4y-8=0(cid:100)∴y=2y=0을3x+4y-8=0에대입하면(cid:100)3x-8=0(cid:100)∴x=;3*;BH”=;2!;BC”240꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하고△ABC의넓이를이용하여AH”의길이를구한다.꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_16_AH”=40'3(cid:100)(cid:100)∴AH”=5'3sinB==에서(cid:100)(cid:100)c=10△ABH에서BH”=ø∑10¤-∑(5'3)¤=5이므로(cid:100)(cid:100)CH”=16-5=11또△ACH에서(cid:100)(cid:100)b=ø∑(5'3)¤∑+11¤=14(cid:100)(cid:100)∴b+c=24(cid:9120)24'325'3c237주어진삼각비의값을갖는직각삼각형을그려본다.cosA=;5#;이므로오른쪽그림과같이(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AB”=3a, AC”=5a인직각삼각형ABC를생각할수있다.BC”=ø∑(5a)¤-∑(3a)¤=4a이므로(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_3a_4a=150(cid:100)(cid:100)6a¤=150(cid:100)(cid:100)∴a=5(∵a>0)따라서△ABC의세변의길이는15,20,25이므로둘레의길이는(cid:100)(cid:100)15+20+25=60(cid:9120)②ABC5a3a238△ABC에서(cid:100)(cid:100)tanB==2(cid:100)(cid:100)∴AC”=8•30% 배점△ADEª△ABC(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)DE”：BC”=AE”：AC”(cid:100)(cid:100)2'2：4=AE”：8(cid:100)(cid:100)∴AE”=4'2•50% 배점∴EC”=AC”-AE”=8-4'2•20% 배점(cid:9120)8-4'2답 구하기 해결 과정 ② AC”4해결 과정 ① 239△ABC에서(cid:100)(cid:100)tanx==;5#;(cid:100)(cid:100)∴BC”=25•30% 배점AD”=BD”=a라하면CD”=25-a이므로△ADC에서(cid:100)(cid:100)a¤=(25-a)¤+15¤(cid:100)(cid:100)50a=850(cid:100)(cid:100)∴a=17(cid:100)(cid:100)∴AD”=BD”=17,CD”=8•50% 배점∴cosy==;1•7;•20% 배점(cid:9120);1•7;CD”AD”답 구하기 해결 과정 ② 15BC”해결 과정 ① ∠AED=∠C=90°,∠A는공통이므로(cid:100)△ADEª△ABC(AA닮음)한변의길이가a인정삼각형의높이(cid:9178)a'32E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지38 SinsagoHitec 만점공략BOXⅦ. 삼각비39본책52쪽~54쪽삼각비Ⅶ244닮은두직각삼각형에서대응각에대한삼각비의값은일정하다.△ABD와△EAD에서(cid:100)(cid:100)∠D는공통,∠BAD=∠AED=90°이므로(cid:100)(cid:100)△ABDª△EAD(AA닮음)(cid:100)(cid:100)∴∠ABD=∠EAD=x2419x¤-12x+4=0에서(cid:100)(cid:100)(3x-2)¤=0(cid:100)(cid:100)∴x=;3@;(중근)•20% 배점따라서cosA=;3@:이므로오른쪽그림과같이(cid:100)(cid:100)∠B=90°,AC”=3,AB”=2인직각삼각형ABC를생각할수있다.이때BC”="√3¤-2¤='5이므로(cid:100)(cid:100)sinA=•40% 배점∴(cosA-sinA)¤={;3@;-}¤=1-•40% 배점(cid:9120)1-4'594'59'53답 구하기 '53해결 과정 ② 해결 과정 ① 242주어진삼각비의값을갖는직각삼각형을그려본다.17sinA-8=0에서(cid:100)(cid:100)sinA=;1•7;따라서오른쪽그림과같이(cid:100)(cid:100)∠B=90°,AC”=17,(cid:100)(cid:100)BC”=8인직각삼각형ABC를생각할수있다.이때AB”="√17¤-8¤=15이므로(cid:100)(cid:100)cosA=;1!7%;, tanA=;1•5;(cid:100)(cid:100)∴cosA-sinA=;1!7%;-;1•7;=;1¶7;,(cid:100)(cid:100)∴cosA_tanA+sinA=;1!7%;_;1•5;+;1•7;=;1!7^;(cid:100)(cid:100)∴=;1¶7;_;1!6&;=;1¶6;(cid:9120)④cosA-sinAcosA_tanA+sinAABC178243sinA와cosA의값의비를이용하여직각삼각형을그려본다.12sinA=5cosA에서sinA:cosA=5:12이므로오른쪽그림과같이(cid:100)(cid:100)∠B=90°,AB”=12,BC”=5인직각삼각형ABC를생각할수있다.이때AC”="√12¤+5¤=13이므로(cid:100)(cid:100)cos(90°-A)=cosC=;1∞3;(cid:9120)④125ABC32ABC246△ADC에서DE”¤=CE”_AE”=24이므로(cid:100)(cid:100)DE”=2'6(∵DE”>0)CD”¤=CE”_CA”=60이므로(cid:100)(cid:100)CD”=2'∂15(∵CD”>0)•40% 배점∠C=x이므로△CDE에서(cid:100)(cid:100)sinx===또∠CDE=y이므로△CDE에서(cid:100)(cid:100)cosy===•40% 배점∴sinx+cosy=•20% 배점(cid:9120)2'∂10`52'∂10`5답 구하기 '∂10`52'6`2'∂15DE”CD”'∂10`52'6`2'∂15DE”CD”해결 과정 ② 해결 과정 ① 245닮은두직각삼각형에서대응각에대한삼각비의값은일정하다.△ABCª△ACDª△ADE(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)4:AD”=AD”:5,(cid:100)(cid:100)AD”¤=20(cid:100)(cid:100)∴AD”=2'5(∵AD”>0)(cid:100)(cid:100)∴cos(∠BAC)=cos(∠DAE)=(cid:9120)⑤2'55BD”="√12¤+9¤=15이므로(cid:100)(cid:100)sinx=;1!5@;=;5$;(cid:9120);5$;247닮은두직각삼각형에서대응각에대한삼각비의값은일정하다.△AOB와△OHB에서(cid:100)(cid:100)∠ABO는공통,∠AOB=∠OHB=90°이므로(cid:100)(cid:100)△AOBª△OHB(AA닮음)(cid:100)(cid:100)∴∠BAO=∠BOH즉tan(∠BAO)=;4#;이므로(cid:100)(cid:100)AO”=4k,BO”=3k(k>0)라하면(cid:100)(cid:100)AB”="√(4k)¤+(3k)¤=5kAO”_BO”=AB”_OH”이므로(cid:100)(cid:100)4k_3k=5k_6(cid:100)(cid:100)∴k=;2%;AO”=4k=4_;2%;=10,BO”=3k=3_;2%;=:¡2∞:이므로(cid:100)(cid:100)A(-10,0),B{0,:¡2∞:}따라서주어진직선의방정식은y=;4#;x+:¡2∞:이므로(cid:100)(cid:100)a=;4#;,b=:¡2∞:(cid:100)(cid:100)∴a+b=:£4£:(cid:9120)④248△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√6¤+8¤=10•10% 배점△ABCª△EBD(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)∠C=∠BDE=x해결 과정 ① 문제 이해 △ABC에서(cid:100)sinA=,(cid:100)cosA=이므로sinA:cosA=BC”:AB”AB”AC”BC”AC”cos(∠BAC)=cos(∠CAD)==2'5542'5△ACDª△ADE△CDEª△DAE(AA닮음)이므로(cid:100)∠CDE=∠DAE=y△CED에서(cid:100)CD”=øπ`CE”¤+DE”¤="√6¤+(2'6)¤=2'ß15와같이구할수도있다.∠A=∠BED=90°, ∠B는공통이므로(cid:100)△ABCª△EBD(AA닮음)△CADª△ABD(AA닮음)이므로(cid:100)∠ACD=∠BAD=xE0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지39 SinsagoHitec 40정답및풀이만점공략BOX(cid:100)(cid:100)∴sinx==;1§0;=;5#;•40% 배점△ABCª△GFC(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)∠B=∠GFC=y(cid:100)(cid:100)∴cosy==;1§0;=;5#;•40% 배점∴sinx+cosy=;5#;+;5#;=;5^;•10% 배점(cid:9120);5^;답 구하기 AB”BC”해결 과정 ② AB”BC”내신만점굳히기본책55쪽249이차함수y=ax¤+bx+c의그래프의꼭짓점의좌표는y=a(x-p)¤+q꼴로고쳐서구한다.y=x¤+x+cosa={x¤+x+;4!;}+cosa-;4!;={x+;2!;}¤+cosa-;4!;이므로꼭짓점의좌표는{-;2!;, cosa-;4!;}이다.원점과꼭짓점사이의거리는(cid:100)(cid:100)æ≠{-;2!;}¤+≠{cosa-;4!;}¤이므로cosa-;4!;=0,즉cosa=;4!;일때최소이다.cosa=;4!;이므로오른쪽그림과같이(cid:100)(cid:100)∠C=90°, AB”=4, BC”=1인직각삼각형ABC를생각할수있다.이때AC”="√4¤-1¤='∂15이므로(cid:100)(cid:100)tana='∂15(cid:9120)⑤ABC41a250점B에서AD”의연장선에수선을그어∠BAD를한각으로하는직각삼각형을생각한다.오른쪽그림과같이점B에서AD”의연장선에내린수선의발을E라하고,AC”=BD”=DC”=a라하면△ADC에서(cid:100)(cid:100)AD”='2a△BED에서BD”：BE”：DE”='2：1：1이므로(cid:100)(cid:100)a：BE”：DE”='2：1：1(cid:100)(cid:100)∴BE”=DE”=a따라서AE”='2a+a=a이므로△ABE에서(cid:100)(cid:100)tanx==a_=;3!;(cid:9120);3!;23'2a'22BE”AE”3'22'22'22이차함수(cid:100)y=a(x-p)¤+q의그래프의꼭짓점의좌표는(p,q)이다.aaa45æ45æ45æ45æxCDBEA252원의접선은그접점을지나는반지름에수직임을이용한다.㈀△OAB에서∠OAB=90°이므로(cid:100)(cid:100)tana==AB”㈁AB”⊥OC”, OB”⊥BC”이므로△OBC에서(cid:100)(cid:100)AB”¤=OA”_AC”=AC”(cid:100)(cid:100)∴AC”=AB”¤=(tana)¤㈂△OAB에서(cid:100)(cid:100)cosa==(cid:100)(cid:100)∴OB”=이상에서㈀,㈁,㈂모두옳다.(cid:9120)⑤1cosa1OB”OA”OB”AB”OA”253주어진식에서(cid:100)(cid:100)(3sinA+2cosA)(2sinA-cosA)=03sinA+2cosA>0이므로(cid:100)(cid:100)2sinA-cosA=0(cid:100)(cid:100)∴2sinA=cosA•40% 배점즉sinA:cosA=1:2이므로오른쪽그림과같이(cid:100)(cid:100)∠B=90°,AB”=2,BC”=1인직각삼각형ABC를생각할수있다. •30% 배점이때AC”="√2¤+1¤='5이므로(cid:100)(cid:100)sinA==•30% 배점(cid:9120)'55'551'5답 구하기 ABC12해결 과정 ② 해결 과정 ① 0°0,(cid:100)cosA>0251AF”='2_10=10'2(cm),FM”=MG”=5cm이므로△AFM에서(cid:100)(cid:100)AM”="√(10'2)¤+5¤=15(cm)•20% 배점오른쪽그림과같이점M에서AG”에내린수선의발을I라하면(cid:100)(cid:100)AG”='3_10(cid:100)(cid:100)AG”=10'3(cm)이므로△AMG의넓이에서(cid:100)(cid:100);2!;_10'3_MI”=;2!;_5_10'2(cid:100)(cid:100)∴MI”=(cm)•40% 배점△AMI에서(cid:100)(cid:100)AI”=æ≠15¤-{}2=(cm)•20% 배점∴cosx==_;1¡5;=•20% 배점(cid:9120)5'395'3925'33AI”AM”답 구하기 25'335'63해결 과정 ③ 5'63해결 과정 ② 해결 과정 ① AFIGM10´2`cm10´3`cm5`cm15`cm5`cmx∠A=∠FGC=90°, ∠C는공통이므로(cid:100)△ABCª△GFC(AA닮음)E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:52 PM 페이지40 SinsagoHitec 삼각비Ⅶ만점공략BOXⅦ. 삼각비41본책54쪽~56쪽∠BAC=∠CBD, ∠ABC=∠BCD이므로(cid:100)△ABCª△BCD(AA닮음)이차방정식ax¤+bx+c=0의해는(cid:100)x=-b—"√b¤-4ac2a254[문제해결길잡이]❶삼각형의세내각의크기의합은180°임을이용하여∠ABD와∠A의크기를구한다.❷AB”=a,BC”=b라하고삼각형의닮음을이용하여b를a에대한식으로나타낸다.❸AH”의길이를a에대한식으로나타내어cos36°의값을구한다.∠ABD=∠DBC=∠x라하면△ABC와△BCD는이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠BDC=2∠x△BCD에서(cid:100)(cid:100)5∠x=180°(cid:100)(cid:100)∴∠x=36°또△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠A+4∠x=180°이므로(cid:100)(cid:100)∠A+4_36°=180°(cid:100)(cid:100)∴∠A=180°-144°=36°❶따라서△ABD는AD”=BD”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)AD”=BD”=BC”오른쪽그림과같이점B에서CD”에내린수선의발을H, AB”=a,BC”=b라하면△ABCª△BCD(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)AB”:BC”=BC”:CD”(cid:100)(cid:100)a:b=b:(a-b)(cid:100)(cid:100)b¤=a(a-b)b¤+ab-a¤=0(cid:100)(cid:100)∴b=(∵a>0,b>0)❷(cid:100)(cid:100)∴AH”=b+=(cid:100)(cid:100)∴AH={a+}_;2!;(cid:100)(cid:100)∴AH=a따라서직각삼각형ABH에서(cid:100)(cid:100)cos36°==a_;a!;=❸(cid:9120)1+'541+'541+'54AH”AB”1+'54-a+'5a2a+b2a-b2-a+'5a2abbbABCHD36æ256cos(x-20°)=;2!;이므로(cid:100)(cid:100)x-20°=60°(cid:100)(cid:100)∴x=80°(cid:9120)⑤sin30°=cos60°이므로(cid:100)(cid:100)x-20°=60°(cid:100)(cid:100)∴x=80°258△ABD에서(cid:100)(cid:100)sin60°==(cid:100)(cid:100)∴AD”=9△ADC에서(cid:100)(cid:100)sin45°==(cid:100)(cid:100)∴AC”=9'2(cid:9120)9'2'229AC”'32AD”6'3257tan45°=1이므로(cid:100)(cid:100)x-15°=45°(cid:100)(cid:100)∴x=60°(cid:100)(cid:100)∴sinx+cos;2!;x=sin60°+cos30°(cid:100)(cid:100)∴sinx+cos;2!;x=+='3(cid:9120)'3'32'32259△ABC에서(cid:100)(cid:100)sin30°==;2!;(cid:100)(cid:100)∴AC”=10(cid:100)(cid:100)tan30°==(cid:100)(cid:100)∴BC”=5'3△ACD에서(cid:100)(cid:100)∠DAC=30°-15°=15°(cid:100)(cid:100)∴∠ADC=∠DAC즉△ACD는이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)CD”=AC”=10(cid:100)(cid:100)∴tan15°==(cid:100)(cid:100)∴tan15°=(cid:100)(cid:100)∴tan15°=2-'3(cid:9120)2-'32-'3(2+'3)(2-'3)12+'3510+5'3'335BC”5AC”30æ15æ5105´3ABCD15æ260직선의기울기는(cid:100)(cid:100)tan60°='3직선의y절편을k라하면(cid:100)(cid:100)tan60°=;6K;='3(cid:100)(cid:100)∴k=6'3따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y='3x+6'3(cid:9120)y='3x+6'3직선y=mx+n이x축의양의방향과이루는각의크기를a라할때,(cid:100)m=tana개념&기출유형본책56~57쪽삼각비⑵14255+cos30°-'2cos45°=+-'2_=+-1='3-1(cid:9120)②'32'32'22'32'2'2_12_'322_1'2sin45°_tan60°2tan45°삼각형의한외각의크기는이와이웃하지않는두내각의크기의합과같다.삼각형의세내각의크기의합은180°이다.sin30°=;2!;△ABD에서(cid:100)tan15°=AB”BD”ABCD2x2xxx∠BAD=∠ABD=36°이므로(cid:100)AD”=BD”E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지41 SinsagoHitec 42정답및풀이만점공략BOX①sin60°+cos60°=+;2!;=, sin60°-cos60°=-;2!;=(cid:100)∴-(cid:100)(cid:100) =-(cid:100)(cid:100) ==-2②2sin30°-'2sin45°+tan30°=2_-'2_+=1-1+=③sin45°_(cos30°-tan30°)=_{-}=_=④'3sin60°-='3_-=;2#;-;3!;=;6&;⑤(좌변)=tan45°÷sin45°⑤(좌변)=1÷=1_='2(우변)=cos45°=(cid:9120)①,③'222'2'22'2'2_13_12'3_'3'32'2cos45°_tan45°'3tan60°'612'36'22'33'32'22'33'33'33'22122('3-1)-2('3+1)('3+1)('3-1)2'3-12'3+11sin60°-cos60°1sin60°+cos60°'3-12'32'3+12'32267삼각형의세내각의크기의합은180°임을이용하여A의크기를구한다.삼각형의세내각의크기를a,2a,3a(a>0°)라하면삼각형의세내각의크기의합은180°이므로(cid:100)(cid:100)a+2a+3a=180°(cid:100)(cid:100)6a=180°(cid:100)(cid:100)∴a=30°따라서A=30°이므로(cid:100)(cid:100)sinA_cosA_tanA=sin30°_cos30°_tan30°=;2!;__=;4!;(cid:9120);4!;'33'32268x¤-('3+1)x+'3=0에서(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-'3)=0(cid:100)(cid:100)∴x=1또는x='3즉tanA=1또는tanA='3이므로(cid:100)(cid:100)A=45°(∵0°…A…45°)•60% 배점∴sin¤A-'2cosA+3=sin¤45°-'2cos45°+3={}¤-'2_+3=;2%;•40% 배점(cid:9120);2%;'22'22답 구하기 해결 과정 A=180°_=30°와같이구할수도있다.16265∠A=36°이므로(cid:100)(cid:100)∠B=90°-36°=54°주어진삼각비의표에서tan54°=1.3764이므로(cid:100)(cid:100)tan54°==1.3764(cid:100)(cid:100)∴AC”=1.3764_40=55.056(cid:9120)55.056AC”40263①x의크기가증가하면sinx의값도증가하므로(cid:100)(cid:100)sin16°cos63°③x의크기가증가하면tanx의값도증가하므로(cid:100)(cid:100)tan8°cosx이므로(cid:100)(cid:100)sin70°>cos70°⑤tan45°=1cosx참고264주어진삼각비의표에서sin43°=0.6820,tan40°=0.8391이므로(cid:100)(cid:100)x=43°,y=40°(cid:100)(cid:100)∴x+y=83°(cid:9120)83°261①sinx===BC”②siny===AB”③cosz=cosy===BC”④tanx===DE”⑤tanz==(cid:9120)③1DE”AD”DE”DE”1DE”AD”BC”1BC”AC”AB”1AB”AC”BC”1BC”AC”직선의방정식을y=ax+b라하면(cid:100)(cid:100)a=tan60°='3x절편이-6이므로x=-6,y=0을y='3x+b에대입하면(cid:100)(cid:100)b=6'3따라서구하는직선의방정식은(cid:100)(cid:100)y='3x+6'3BC”//DE”이므로(cid:100)y=z(동위각)262(cos90°-sin90°)(sin0°+3cos0°-tan0°)=(0-1)_(0+3_1-0)=-3(cid:9120)-3266특수한각`(30°, 45°, 60°)의삼각비의값을이용한다.내신만점도전하기본책58~60쪽a=30°이므로삼각형의세내각의크기는30°, 60°, 90°이다.A=45°또는A=60°E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지42 SinsagoHitec 만점공략BOXⅦ. 삼각비43본책56쪽~59쪽삼각비Ⅶ269특수한각(30°,45°,60°)의삼각비의값을이용하여BC”,DC”의길이를구한다.△ABC에서(cid:100)(cid:100)tan30°==(cid:100)(cid:100)∴BC”=6'3△ABD에서(cid:100)(cid:100)∠ADC=30°+15°=45°△ADC에서(cid:100)(cid:100)tan45°==1(cid:100)(cid:100)∴DC”=6(cid:100)(cid:100)∴BD”=BC”-DC”=6'3-6=6('3-1)(cid:9120)①6DC”'336BC”270△ABC에서(cid:100)(cid:100)sin30°==;2!;(cid:100)(cid:100)∴AC”=10•30% 배점∠A=90°-30°=60°이므로(cid:100)(cid:100)∠ACD=90°-60°=30°△ADC에서(cid:100)(cid:100)cos30°==(cid:100)(cid:100)∴CD”=5'3•30% 배점DE”//AC”이므로(cid:100)(cid:100)∠EDC=∠ACD=30°(엇각)△DEC에서(cid:100)(cid:100)sin30°==;2!;(cid:100)(cid:100)∴EC”=•40% 배점(cid:9120)5'325'32EC”5'3답 구하기 '32CD”10해결 과정 ② AC”20해결 과정 ① ABCDE30æ30æ30æ60æ20271sin45°=임을이용하여x의크기를구한다.sin45°=이므로sin(2x-15°)=에서(cid:100)(cid:100)2x-15°=45°,(cid:100)(cid:100)2x=60°(cid:100)(cid:100)∴x=30°△OAB에서(cid:100)(cid:100)cos30°==(cid:100)(cid:100)∴OB”=4'3△OBC에서(cid:100)(cid:100)cos30°==(cid:100)(cid:100)∴OC”=6△OCD에서(cid:100)(cid:100)sin30°==;2!;(cid:100)(cid:100)∴CD”=3(cid:9120)②CD”6'32OC”4'3'32OB”8'22'22'22272부채꼴AOB의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100)2pr_;3£6º0;=p(cid:100)(cid:100)∴r=6•20% 배점문제 이해 2732∠AOC=3∠COB에서(cid:100)(cid:100)∠AOC:∠COB=3:2이므로(cid:100)(cid:100)∠AOC=150°_;5#;=90°•20% 배점△OAC는OA”=OC”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OAC=∠OCA=;2!;_(180°-90°)=45°△OAB는OA”=OB”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OAB=∠OBA=;2!;_(180°-150°)=15°(cid:100)(cid:100)∴∠CAB=45°-15°=30°•30% 배점오른쪽그림과같이점C에서AB”에내린수선의발을H라하면△CAH에서(cid:100)(cid:100)cos30°==(cid:100)(cid:100)∴AH”=6'3(cm)(cid:100)(cid:100)sin30°==(cid:100)(cid:100)∴CH”=6(cm)△CHB에서(cid:100)(cid:100)tan45°==1(cid:100)(cid:100)∴BH”=6(cm)•40% 배점∴AB”=AH”+BH”=6'3+6=6('3+1)(cm)•10% 배점(cid:9120)6('3+1)cm답 구하기 6BH”12CH”12'32AH”12해결 과정 ② 해결 과정 ① 문제 이해 △AOH에서(cid:100)(cid:100)sin30°==;2!;(cid:100)(cid:100)∴AH”=3(cm)(cid:100)(cid:100)cos30°==(cid:100)(cid:100)∴OH”=3'3(cm)•50% 배점따라서색칠한부분의넓이는(cid:100)(cid:100)p_6¤_;3£6º0;-;2!;_3'3_3=3p-(cm¤)•30% 배점(cid:9120){3p-}cm¤9'329'32답 구하기 '32OH”6AH”6해결 과정 30æ12`cm45æHABC27475°의각이있는직각삼각형을찾는다.△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠CAB=180°-(90°+60°)=30°이므로(cid:100)(cid:100)tan30°==(cid:100)(cid:100)∴AB”=2'3△ADB에서AD”=BD”이므로(cid:100)(cid:100)∠BAD=∠ABD=;2!;_(180°-90°)=45°sin45°==이므로(cid:100)(cid:100)BD”='6(cid:100)(cid:100)∴AD”=BD”='6'22BD”2'3'332AB”ABCEDFG30æ45æ45æ45æ45æ60æ2DE”⊥BC”,AC”⊥BC”이므로(cid:100)DE”∥AC”반지름의길이가r,중심각의크기가x°인부채꼴의넓이는(cid:100)pr¤_x360E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지43 SinsagoHitec 44정답및풀이만점공략BOX280△ABC에서(cid:100)(cid:100)sin45°==∴AC”=10•50% 배점∠BAC=90°-45°=45°이므로(cid:100)(cid:100)∠DAC=45°-20°=25°따라서△ADC에서(cid:100)(cid:100)tan25°==0.4663(cid:100)(cid:100)∴CD”=4.663•50% 배점(cid:9120)4.663CD”10답 구하기 '22AC”10'2해결 과정 281삼각비의값(cid:8833)삼각비의표의가로줄과세로줄이만나는곳의수=7에서(cid:100)(cid:100)0.2123+tanx=4.1139-7tanx(cid:100)(cid:100)8tanx=3.9016(cid:100)(cid:100)∴tanx=0.4877주어진삼각비의표에서tan26°=0.4877이므로(cid:100)(cid:100)x=26°(cid:100)(cid:100)∴cos(x+34°)+sin(x+42°)(cid:100)(cid:100)=cos60°+sin68°(cid:100)(cid:100)=0.5+0.9272=1.4272(cid:9120)②0.2123+tanx0.5877-tanx282삼각비의표를이용하여sin`A=0.7314를만족시키는A의크기를구한다.sinA=0.7314라하면주어진삼각비의표에서(cid:100)(cid:100)A=47°(cid:100)(cid:100)∴a=cosA=cos47°=0.6820,b=tanA=tan47°=1.0724(cid:9120)a=0.6820,b=1.072427945°cosA45°＜A＜90°일때,sinA>0,cosA>0,sinA＞cosA이므로(cid:100)(cid:100)sinA+cosA>0,cosA-sinA<0(cid:100)(cid:100)∴|sinA+cosA|-"√(cosA-sinA)¤=(sinA+cosA)-{-(cosA-sinA)}=sinA+cosA+cosA-sinA=2cosA(cid:9120)⑤"≈a¤=|a|=[a(aæ0)-a(a<0)275분모인변의길이가1인직각삼각형을찾아삼각비의값을구한다.CD”∥AE”이므로(cid:100)(cid:100)∠ODC=∠OEA=y(동위각)①cosy=cos(∠ODC)==CD”②tanx==AE”③siny=sin(∠ODC)==OC”④,⑤△EOA에서(cid:100)(cid:100)x+y=90°따라서x의크기가작아지면y의크기는커지므로siny,tany의값은커진다.(cid:9120)⑤OC”OD”AE”OA”CD”OD”276x와크기가같은각을찾아sinx의값을구한다.tanx==OF”AB”∥EF”에서∠OAB=∠OEF=x(동위각)이므로`(cid:100)(cid:100)sinx=sin(∠OAB)==OB”(cid:100)(cid:100)∴tanx-sinx=OF”-OB”=BF”(cid:9120)④OB”OA”OF”EF”277AC”,BC”,DE”의길이를각각x의삼각비로나타낸다.sinx==BC”cosx==AC”tanx==DE”(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)BCED=△AED-△ACB=;2!;_1_tanx-;2!;_cosx_sinx=(cid:9120)사다리꼴BCED의넓이는(cid:100)(cid:100);2!;(sinx+tanx)(1-cosx)와같이나타낼수도있다.참고tanx-sinxcosx2tanx-sinxcosx2DE”AE”AC”AB”BC”AB”∠DBF=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠ABF=90°-45°=45°(cid:100)(cid:100)∴∠FBC=90°-45°=45°△CFB에서sin45°==이므로(cid:100)(cid:100)CF”='2(cid:100)(cid:100)∴BF”=CF”='2한편(cid:8772)FEDB는직사각형이므로(cid:100)(cid:100)ED”=BF”='2,FE”=BD”='6(cid:100)(cid:100)∴CE”=CF”+FE”='2+'6,(cid:100)(cid:100)∴AE”=AD”-ED”='6-'2△CAE에서∠CAE=30°+45°=75°이므로(cid:100)(cid:100)tan75°===2+'3(cid:9120)②'2+'6`'6-'2`CE”AE”'22CF”22780°…x…90°일때,x의크기가증가하면(cid:8833)sinx,tanx의값은증가한다.0°…x…90°일때,x의크기가증가하면sinx,tanx의값도증가하므로(cid:100)(cid:100)sin45°cosx(cid:8772)FEDB에서(cid:100)∠BFE=∠FED=∠EDB=90°이므로(cid:100)∠DBF=90°E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지44 SinsagoHitec 만점공략BOXⅦ. 삼각비45본책59쪽~61쪽삼각비Ⅶ283이차방정식의근과계수의관계에의하여(cid:100)(cid:100)a+b=4'3, ab=8•30% 배점(a-b)¤=(a+b)¤-4ab=48-32=16이므로(cid:100)(cid:100)a-b=4(∵a>b)(cid:100)(cid:100)∴tanA==='3•50% 배점tan60°='3이므로(cid:100)(cid:100)A=60°•20% 배점(cid:9120)60°답 구하기 4'34a+ba-b해결 과정 문제 이해 내신만점굳히기본책61쪽곱셈공식의변형①a¤+b¤=(a+b)¤-2ab②a¤+b¤=(a-b)¤+2ab③(a+b)¤=(a-b)¤+4ab④(a-b)¤=(a+b)¤-4ab보충학습이차방정식의근과계수의관계이차방정식ax¤+bx+c=0의두근을a,b라할때,(cid:100)(cid:100)a+b=-;aB;, ab=;aC;284엇각의크기를이용하여△OAB는이등변삼각형임을안다.오른쪽그림에서CB”//OX”이므로(cid:100)(cid:100)∠BOA=∠CBO=30°(엇각)(cid:100)(cid:100)∴∠BOA=∠OBA따라서△OAB는AO”=AB”인이등변삼각형이므로점A에서OB”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)OH”=직각삼각형AOH에서(cid:100)(cid:100)cos30°==(cid:100)(cid:100)∴OA”=OH”_=_=r(cid:9120)④'332'3`r22'3`'32OH”OA”r230æ30æ30æACBHOX285점C에서AB”의연장선에수선을그어직각삼각형을만든다.오른쪽그림과같이점C에서AB”의연장선에내린수선의발을H라하면△ACH에서(cid:100)(cid:100)cos60°==;2!;(cid:100)(cid:100)∴AH”=4sin60°==에서(cid:100)(cid:100)CH”=4'3따라서△BCH에서(cid:100)(cid:100)BC”=ø∑(7+4)¤∑+(4'3)¤=13(cid:9120)13'32CH”8AH”860æAHBC78BH”=BA”+AH”287[문제해결길잡이]❶점A의좌표를(x¡,y¡)이라하고cosa,sina를x¡,y¡로나타낸다.❷점C의좌표를(x™,y™)라하고OC”가x축과이루는예각의삼각비의값을x™,y™로나타낸다.❸점D의좌표를(x£,y£)이라하고OD”가x축과이루는예각의삼각비의값을x£,y£으로나타낸다.❹옳은것을모두고른다.㈀점A의좌표를(x¡, y¡)이라하면(cid:100)(cid:100)cosa===x¡(cid:100)(cid:100)sina===y¡(cid:100)(cid:100)∴A(cosa, sina)❶㈁점C의좌표를(x™, y™)라하면OC”가x축과이루는예각의크기는a이므로(cid:100)(cid:100)cosa==-=-x™(cid:100)(cid:100)sina==-=-y™(cid:100)(cid:100)∴C(-cosa, -sina)❷㈂점D의좌표를(x£, y£)이라하면OD”가x축과이루는예각의크기는b이므로(cid:100)(cid:100)cosb===x£(cid:100)(cid:100)sinb==-=-y£(cid:100)(cid:100)∴D(cosb, -sinb)❸이상에서옳은것은㈀뿐이다.❹(cid:9120)①y£1-y£OD”x£1x£OD”y™1-y™OC”x™1-x™OC”y¡1y¡OA”x¡1x¡OA”점C는제3사분면위의점이므로(cid:100)x™<0,y™<028660°의삼각비의값을이용하여IE”,AI”의길이를원의반지름에대한식으로나타낸다.원O의반지름의길이를r라하면△AOI에서(cid:100)(cid:100)cos60°==;2!;(cid:100)(cid:100)∴OI”=;2!;r(cid:100)(cid:100)∴IE”=OE”-OI”=r-;2!;r=;2!;rsin60°==에서(cid:100)(cid:100)AI”=r또μAE=2pr_;3§6º0;=;3!;pr이므로(cid:100)(cid:100){;2!;++;3!;p}r=6+6'3+4p(cid:100)(cid:100)∴r=12따라서색칠한부분의넓이는(cid:100)4_{(부채꼴AOE의넓이)-△AOI}(cid:100)=4_{p_12¤_;3§6º0;-;2!;_6_6'3}(cid:100)=96p-72'3(cid:9120)96p-72'3'32'32'32AI”rOI”r반지름의길이가r,중심각의크기가x°인부채꼴의넓이S는(cid:100)S=pr¤_x360원점O를중심으로하고반지름의길이가1인원위의점P(x,y)(x>0,y>0)에대하여OP”가x축과이루는예각의크기가a일때,x=cosa,y=sina이다.즉점P의좌표를(cosa,sina)로나타낼수있다.만점비법AO”=AB”인이등변삼각형의꼭짓점A에서OB”에내린수선은OB”를이등분하므로(cid:100)OH”=BH”=r2점D는제4사분면위의점이므로(cid:100)x£>0,y£<0E0428일품중수3하_정(036-045) 2015.4.28 1:53 PM 페이지45 SinsagoHitec 46정답및풀이만점공략BOX개념&기출유형본책62~64쪽삼각비의활용15290진영이의눈높이에서국기게양대끝부분까지의높이는(cid:100)(cid:100)45sin40°=45_0.64=28.8(m)따라서국기게양대의높이는(cid:100)(cid:100)1.65+28.8=30.45(m)(cid:9120)30.45m288a=10cos36°=10_0.81=8.1b=10sin36°=10_0.59=5.9(cid:100)(cid:100)∴a+b=14(cid:9120)④(cid:100)(cid:100)∴h===4('3-1)(cid:9120)4('3-1)8(1-'3)(1+'3)(1-'3)81+'3294∠BAH=45°, ∠CAH=60°이므로AH”=h라하면(cid:100)(cid:100)BH”=htan45°=h(cid:100)(cid:100)CH”=htan60°='3hh+'3h=8이므로(cid:100)(cid:100)(1+'3)h=8291오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”=12sin30°=6(cid:100)(cid:100)BH”=12cos30°=6'3CH”=9'3-6'3=3'3이므로△AHC에서(cid:100)(cid:100)AC”=ø∑6¤+∑(3'3)¤=3'7(cid:9120)3'7AHBC129´330æ296∠ACD=45°, ∠BCD=30°이므로CD”=hm라하면(cid:100)(cid:100)AD”=htan45°=h(m)(cid:100)(cid:100)BD”=htan30°=h(m)h-h=150이므로(cid:100)(cid:100)h=150(cid:100)(cid:100)∴h=150_(cid:100)(cid:100)∴h=150_(cid:100)(cid:100)∴h=75(3+'3)(cid:9120)75(3+'3)m3(3+'3)(3-'3)(3+'3)33-'33-'33'33'33295∠BAH=60°,∠CAH=30°이므로(cid:100)(cid:100)BH”=6tan60°=6'3(cid:100)(cid:100)CH”=6tan30°=2'3(cid:100)(cid:100)∴BC”=6'3-2'3=4'3(cid:9120)4'3297△ABC=;2!;_5_6_sin30°=;2!;_5_6_;2!;=;;¡2∞;;(cm¤)(cid:9120)①298;2!;_8_12_sin(180°-C)=24'2이므로(cid:100)(cid:100)sin(180°-C)=따라서180°-C=45°이므로(cid:100)(cid:100)∠C=135°(cid:9120)135°'22293오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”=5sinC=5_0.8=4(cid:100)(cid:100)CH”=5cosC=5_0.6=3BH”=8-3=5이므로△ABH에서(cid:100)(cid:100)AB”="√5¤+4¤='ƒ41(cid:9120)'ƒ4158ABCH292오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”=2'6sin60°=3'2△AHC에서(cid:100)(cid:100)AC”==6(cid:9120)63'2sin45°2´660æ45æABCH301(cid:8772)ABCD=;2!;_20_12'2_sin60°(cid:8772)ABCD=;2!;_20_12'2_(cid:8772)ABCD=60'6(cid:9120)60'6'32한꼭짓점에서그대변에수선을내려만든직각삼각형을이용한다.(직육면체의부피)=(가로의길이)_(세로의길이)_(높이)299BC”=12이므로(cid:100)(cid:100)AB”=12sin30°=6∠ABD=60°+90°=150°이므로(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_6_12_sin(180°-150°)(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_6_12_;2!;=18(cid:9120)②289FG”=12cos30°=6'3(cm)CG”=12sin30°=6(cm)따라서직육면체의부피는(cid:100)(cid:100)6'3_10_6=360'3(cm‹)(cid:9120)360'3cm‹∠C=180°-(60°+75°)=45°평행사변형에서이웃하는두내각의크기의합은180°이다.300∠B=180°-150°=30°이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=5_5'3_sin30°=5_5'3_;2!;=(cid:9120)25'3225'32302등변사다리꼴의두대각선의길이는서로같으므로BD”=xcm라하면등변사다리꼴의성질①평행하지않은두대변의길이가같다.②두대각선의길이가같다.E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지46 SinsagoHitec 만점공략BOXⅦ. 삼각비47본책62쪽~65쪽삼각비Ⅶ304△ABC에서BC”==16이므로(cid:100)(cid:100)△ABC=;2!;_16_16=128또AC”==16'2이므로(cid:100)(cid:100)△ACD=;2!;_16'2_4'6_sin(180°-120°)(cid:100)(cid:100)△ACD=;2!;_16'2_4'6_=96(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD=128+96=224(cid:9120)④'3216sin45°16tan45°305오른쪽그림과같이정팔각형은8개의합동인이등변삼각형으로나누어진다.따라서정팔각형의넓이는(cid:100)8_{;2!;_6_6_sin45°}(cid:100)=8_{;2!;_6_6_}(cid:100)=72'2(cm¤)(cid:9120)⑤'22303(cid:8772)ABCD=△ABC+△ACD=;2!;_6_8_sin60°+;2!;_6_2_sin(180°-120°)=;2!;_6_8_+;2!;_6_2_=12'3+3'3=15'3(cid:9120)15'3보조선을그을때넓이를구할수있는삼각형,즉두변의길이와그끼인각의크기를알수있는삼각형이만들어지도록긋는다.참고'32'32(cid:100)(cid:100);2!;_x_x_sin(180°-120°)=32'3(cid:100)(cid:100);2!;_x¤_=32'3(cid:100)(cid:100)x¤=128(cid:100)(cid:100)∴x=8'2(∵x＞0)(cid:9120)③'32307직각삼각형에서삼각비를이용하여BQ”,PQ”의길이를구한다.△ABQ에서(cid:100)(cid:100)BQ”=200tan30°=(m)△PBQ에서(cid:100)(cid:100)PQ”=tan60°=200(m)(cid:9120)④200'33200'33308AH”=;2!;AC”AH”=;2!;_'2_4AH”=2'2(cm)•30% 배점△OAH에서(cid:100)(cid:100)OA”==4'2(cm)(cid:100)(cid:100)OH”=2'2tan60°=2'6(cm)•50% 배점따라서△OAH의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)4'2+2'2+2'6=6'2+2'6(cm)•20% 배점(cid:9120)(6'2+2'6)cm답 구하기 2'2cos60°해결 과정 문제 이해 310삼각비를이용할수있도록직각삼각형을그린다.오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)∠EDC=60°,(cid:100)(cid:100)∠ECD=30°이므로△EDC는∠E=90°인직각삼각형이다.(cid:100)(cid:100)∴DC”=(cid:100)(cid:100)∴DC”=2`(m)따라서BC”=10+2=12`(m)이므로△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”=12tan30°=4'3(m)(cid:9120)4'3m1cos60°309△OBC에서(cid:100)(cid:100)OB”=4sin60°=2'3(cid:100)(cid:100)OC”=4cos60°=2•50% 배점△AOC에서(cid:100)(cid:100)AO”=2tan45°=2•30% 배점따라서삼각뿔의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_{;2!;_2'3_2}_2=•20% 배점(cid:9120)4'334'33답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① (삼각뿔의부피)=_(밑넓이)_(높이)13306△ABD에서AD”의길이를구한후삼각비를이용하여AC”,DC”의길이를구한다.△ABD에서(cid:100)(cid:100)∠BAD=30°-15°=15°즉△ABD는이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)AD”=BD”=4△ADC에서(cid:100)(cid:100)AC”=4sin30°=2(cid:100)(cid:100)DC”=4cos30°=2'3(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_(4+2'3)_2=4+2'3(cid:9120)②내신만점도전하기본책65~68쪽ABCDE10`m1`m60æ30æ45æ6`cmO점H는정사각형ABCD의두대각선의교점과일치하므로(cid:100)AH”=CH”=;2!;AC”=45°360°8BC”=BD”+DC”311꼭짓점A에서BC”에수선을그어2개의직각삼각형을만든다.오른쪽그림과같이꼭짓A에서BC”에내린수선의발을D라하면△ABD에서(cid:100)(cid:100)AD”=4sin60°=2'3(cid:100)(cid:100)BD”=4cos60°=260æ45æxyABDC4E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지47 SinsagoHitec 48정답및풀이만점공략BOX318삼각형의세중선에의하여삼각형의넓이는6등분된다.312꼭짓점A에서BC”의연장선에수선을그어직각삼각형을만든다.오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”의연장선에내린수선의발을H라하면△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”=5'2sin45°=5(cm)(cid:100)(cid:100)BH”=5'2cos45°=5(cm)CH”=5-3=2(cm)이므로△ACH에서(cid:100)(cid:100)AC”="√2¤+5¤='∂29(cm)(cid:9120)'∂29cm3`cm5´2`cmABHC45æ△ADC에서(cid:100)(cid:100)AC”==2'6(cid:100)(cid:100)∴y=2'6또DC”==2'3이므로(cid:100)(cid:100)BC”=2+2'3(cid:100)(cid:100)∴x=2+2'3(cid:9120)④2'3tan45°2'3sin45°315나무의높이를hm라하고삼각비를이용하여BC”의길이를h로나타낸다.나무의높이를hm라하면오른쪽그림에서∠BAH=45°,∠CAH=30°이므로(cid:100)(cid:100)BH”=htan45°=h(m)(cid:100)(cid:100)CH”=htan30°=h(m)즉h+h=4이므로(cid:100)(cid:100)h=4(cid:100)(cid:100)∴h=4_=(cid:100)(cid:100)∴h=2(3-'3)(cid:9120)2(3-'3)m12(3-'3)(3+'3)(3-'3)33+'33+'33'33'33BH”=8+3=11이므로△DBH에서(cid:100)(cid:100)BD”=ø∑11¤+∑(3'3)¤=2'∂37(cid:9120)②316점A와CD”사이의거리를hcm라하고삼각비를이용하여CD”의길이를h로나타낸다.오른쪽그림과같이꼭짓점A에서CD”에내린수선의발을H라하고AH”=hcm라하면(cid:100)(cid:100)∠CAH=15°, ∠DAH=20°이므로(cid:100)(cid:100)CH”=htan15°=0.27h(cid:100)(cid:100)DH”=htan20°=0.36h0.27h+0.36h=7이므로(cid:100)(cid:100)0.63h=7(cid:100)(cid:100)∴h=;;¡;9);º;;즉점A와CD”사이의거리는;;¡;9);º;;cm이다.(cid:9120)②A20æ15æh`cmH7`cmBCD75æ35æ314꼭짓점D에서BC”의연장선에수선을그어직각삼각형을만든다.오른쪽그림과같이꼭짓점D에서BC”의연장선에내린수선의발을H라하면△DCH에서(cid:100)(cid:100)DH”=6sin60°=3'3(cid:100)(cid:100)CH”=6cos60°=3A8120æ120æ60æ6DBHC313오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하고AH”=xcm라하면△ABH에서(cid:100)(cid:100)BH”==x(cm)또△AHC에서(cid:100)(cid:100)CH”=='3x(cm)•40% 배점즉x+'3x='3+1이므로(cid:100)(cid:100)(1+'3)x='3+1(cid:100)(cid:100)∴x=1•40% 배점∴AB”=='2(cm)•20% 배점(cid:9120)'2cmAB”=acm라하면△ABH에서(cid:100)(cid:100)BH”=acos45°=a(cm)(cid:100)(cid:100)AH”=asin45°=a(cm)△AHC에서(cid:100)(cid:100)HC”=a_=a(cm)즉a+a='3+1이므로(cid:100)(cid:100)a='3+1(cid:100)(cid:100)∴a=('3+1)_='22'2+'6'2+'62'62'22'621tan30°'22'22'221sin45°답 구하기 해결 과정 ② xtan30°xtan45°해결 과정 ① ∠DAC=∠ACB=35°(엇각)이므로(cid:100)∠DAH=35°-15°=20°HABC30æ45æ{´3+1}`cmx`cmHh`m4`mABC45æ45æ60æ30æ삼각형의한외각의크기는이와이웃하지않는두내각의크기의합과같다.317오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”의연장선에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)∠ACH=30°+15°=45°(cid:100)(cid:100)∴∠CAH=45°•30% 배점AH”=h라하면(cid:100)(cid:100)CH”=htan45°=h(cid:100)(cid:100)BH”=htan60°='3h'3h-h=10이므로(cid:100)(cid:100)('3-1)h=10(cid:100)(cid:100)∴h===5('3+1)•50% 배점∴△ABC=;2!;_10_5('3+1)∴△ABC=25('3+1)•20% 배점(cid:100)(cid:9120)25('3+1)답 구하기 10('3+1)('3-1)('3+1)10'3-1해결 과정 HA1030æ45æ45æh15æBC문제 이해 평행사변형의성질①두쌍의대변의길이가각각같다.②두쌍의대각의크기가각각같다.③두대각선이서로를이등분한다.E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지48 SinsagoHitec 만점공략BOXⅦ. 삼각비49본책65쪽~68쪽삼각비Ⅶ△GBD=;6!;△ABC이므로(cid:100)(cid:100)4'3=;6!;_;2!;_8_AC”_sin60°(cid:100)(cid:100)∴AC”=12(cid:9120)③319한원에서호의길이는중심각의크기에정비례한다.μAB：μBC：μCA=3：4：5이므로(cid:100)(cid:100)∠AOB=360°_=90°(cid:100)(cid:100)∠BOC=360°_=120°(cid:100)(cid:100)∠COA=360°_=150°(cid:100)(cid:100)∴△ABC=△OAB+△OBC+△OCA(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_2_2_sin90°(cid:100)(cid:100)∴△ABC=+;2!;_2_2_sin(180°-120°)(cid:100)(cid:100)∴△ABC=+;2!;_2_2_sin(180°-150°)(cid:100)(cid:100)∴△ABC=2_1+2_+2_;2!;(cid:100)(cid:100)∴△ABC=3+'3(cm¤)(cid:9120)②'32512412312323△ABC와(cid:8772)DEFG의넓이를각각구한다.△ABC=;2!;absin60°=ab(cid:8772)DEFG=bcsin(180°-150°)=;2!;bc이때△ABC=(cid:8772)DEFG이므로(cid:100)(cid:100)ab=;2!;bc(cid:100)(cid:100)∴a=c(cid:100)(cid:100)∴a:c=2:'3(cid:9120)③2'3'34'34S¡=△ABC-△LPC=3absinxS™=△LPC-△MQC=2absinx•30% 배점∴==;2#;•20% 배점(cid:9120);2#;3absinx2absinxS¡S™답 구하기 해결 과정 ② 3250°…x…90°에서sinx의값은x=90°일때최대이다.두대각선이이루는각의크기를x(0°0)•30% 배점즉큰정육각형의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)6_4'2=24'2작은정육각형의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)6__4'2=12'6•20% 배점따라서두정육각형의둘레의길이의차는(cid:100)(cid:100)24'2-12'6•10% 배점(cid:9120)24'2-12'6답 구하기 '32해결 과정 ③ '32해결 과정 ② '32'32'34해결 과정 ① 180°_(6-2)6문제 이해 정n각형의한내각의크기(cid:9178)180°_(n-2)n외접원의중심에서각꼭짓점을연결하는선분을그으면(cid:9178)정육각형은합동인정삼각형6개로나누어진다.336색칠한부분의넓이(cid:8833)(작은원의각중심을연결하여만든정육각형의넓이)-2_(작은원의넓이)오른쪽그림과같이접하고있는작은원의반지름의길이를r라하면∠AOB=60°,OA”=OB”=30-r이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∠OAB=∠OBA=60°따라서△OAB는정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)AB”=OA”(cid:100)(cid:100)2r=30-r(cid:100)(cid:100)∴r=10(cid:100)(cid:100)∴(색칠한부분의넓이)(cid:100)(cid:100)=6_;2!;_20¤_sin60°-2_10¤_p(cid:100)(cid:100)=600'3-200p(cid:9120)600'3-200pAB30-rrrO60æ(cid:100)(정육각형에서색칠하지않은부분의넓이)=(중심각의크기가120°인부채꼴6개의넓이)=2_(반지름의길이가10인원의넓이)=60°360°6337[문제해결길잡이]❶PB”=x,PC”=y라하고△PBC의넓이를이용하여sina를x,y에대한식으로나타낸다.❷점P가점A와점D에있을때sina의값을각각구하여sina의값의범위를구한다.❸sina의최댓값과최솟값의곱을구한다.PB”=x,PC”=y라하면(cid:100)(cid:100)△PBC=;2!;_4_2=;2!;xysina(cid:100)(cid:100)∴sina=;[•];❶⁄점P가점A에있을때,⁄x=2,y="√2¤+4¤=2'5이므로⁄(cid:100)(cid:100)sina==¤점P가점D에있을때,⁄x="√2¤+2¤=2'2, y="√2¤+2¤=2'2이므로⁄(cid:100)(cid:100)sina=;8*;=1⁄,¤에서(cid:100)(cid:100)…sina…1❷따라서sina의최댓값은1,최솟값은이므로최댓값과최솟값의곱은(cid:100)(cid:100)1_=❸(cid:9120)점P가점A에있을때,△PBC에서가장긴변은PC”이므로∠PBC가크기가가장큰각이되고,점P가점D에있을때,△PBC에서가장긴변은BC”이므로∠BPC가크기가가장큰각이된다.따라서점P가점A에서점D로이동할수록∠BPC의크기는커진다.참고2'552'552'552'552'552'5584'5ABHCx230æ60æ내신만점정복하기본책70~75쪽338피타고라스정리를이용하여BC”의길이를먼저구한다.△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√10¤-6¤=8E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지51 SinsagoHitec 52정답및풀이만점공략BOX339AD”가∠A의이등분선이므로AB”:AC”=BD”:CD”임을이용한다.AB”:AC”=BD”:CD”이므로(cid:100)(cid:100)15:AC”=3:2(cid:100)(cid:100)∴AC”=10△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√15¤-10¤=5'5(cid:100)(cid:100)∴CD”=5'5_;5@;=2'5(cid:100)(cid:100)∴cosx+tany=+=(cid:9120)4'534'53102'55'515(cid:100)(cid:100)∴sinA+cosA=;1•0;+;1§0;=;5&;(cid:9120)④344시계의중심에서AB”에수선을내려직각삼각형2개로나누어생각한다.원모양의시계의중심을O,점O에서AB”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)∠AOB==30°△AOB는이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠BOH=15°△BOH에서(cid:100)(cid:100)sin15°==0.26(cid:100)(cid:100)∴BH”=6.5(cm)(cid:100)(cid:100)∴AB”=2BH”=13(cm)(cid:9120)②BH”25360°12ABHO2515æ345닮은두평면도형에서의대응각의크기는같음을이용한다.△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√17¤-8¤=15∠DBA=∠DAC=x,∠DCA=∠DAB=y이므로(cid:100)(cid:100)sinx=;1•7;,siny=;1!7%;(cid:100)(cid:100)∴sinx+siny=;1@7#;(cid:9120);1@7#;341주어진직선이x축의양의방향과이루는각의동위각을찾아삼각비의값을구한다.두점A,B를지나는직선은위의그림과같으므로(cid:100)(cid:100)∠ABC=a이때△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”=1, BC”=4, AB”="√4¤+1¤='∂17(cid:100)(cid:100)∴sina===(cid:9120)'∂1717'∂17171'∂17AC”AB”ABCxaayO3215342한모서리의길이가a인정육면체의대각선의길이(cid:8833)'3a정육면체의한모서리의길이를a라하면(cid:100)(cid:100)EG”='2a, EC”='3a이므로△CEG에서(cid:100)(cid:100)sinx==,cosx==(cid:100)(cid:100)∴sinx+cosx=(cid:9120)'3+'63'3+'63'63'2a'3a'33a'3a343sinB의값을이용하여BC”의길이를구한다.sinB==;3!;에서(cid:100)(cid:100)BC”=18따라서AB”="√18¤-6¤=12'2이므로(cid:100)(cid:100)sinC==(cid:9120)2'232'2312'2186BC”xy178ADBCxy346△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√25¤-15¤=20(cid:100)(cid:100)∴tanx==;2!0%;=;4#;•40% 배점또△ADC에서(cid:100)(cid:100)DC”="√17¤-15¤=8(cid:100)(cid:100)∴tany==:¡8∞:•40% 배점∴=;4#;_;1•5;=;5@;•20% 배점(cid:9120);5@;tanxtany답 구하기 AC”DC”해결 과정 ② AC”BC”해결 과정 ① 347오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면△AHC에서(cid:100)(cid:100)cosC==(cid:100)(cid:100)∴CH”=2'7•40% 배점AH”="√8¤-(2'7)¤=6이므로△ABH에서(cid:100)(cid:100)BH”="√7¤-6¤='ß13•40% 배점∴cosB=•20% 배점(cid:9120)'ß137'ß137답 구하기 해결 과정 ② '74CH”8해결 과정 ① 348일차함수의그래프가오른쪽그림과같다고하자.sina=;5$;이므로AB”=5k,OB”=4k(k>0)라하면ABaxyO해결 과정 ① 직각삼각형의빗변의중점은외심이다.340점D가직각삼각형ABC의외심이므로AD”=DC”=DB”이다.AD”=DC”=DB”에서△DBC는이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠DBC=∠DCB=x(cid:100)(cid:100)∴tanx==;;¡9™;;=;3$;(cid:9120)⑤AB”BC”ABCH786BAC∠CGE=90°인직각삼각형이다.△ABCª△DBAª△DAC(AA닮음)E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지52 SinsagoHitec 만점공략BOXⅦ. 삼각비53본책70쪽~72쪽삼각비Ⅶ(cid:100)(cid:100)OA”=ø∑(5k)¤-∑(4k)¤=3k따라서일차함수의그래프의기울기는(cid:100)(cid:100)tana==;3$kK;=;3$;•50% 배점구하는일차함수의식을y=;3$;x+b라하면이일차함수의그래프가점(-2, 6)을지나므로(cid:100)(cid:100)6=-;3*;+b(cid:100)(cid:100)∴b=;;™3§;;•30% 배점따라서구하는일차함수의식은(cid:100)(cid:100)y=;3$;x+;;™3§;;•20% 배점(cid:9120)y=;3$;x+;;™3§;;답 구하기 해결 과정 ② OB”OA”일차함수의식에x=-2,y=6을대입하면성립한다.349△ABC에서(cid:100)(cid:100)sinx==;5!;(cid:100)(cid:100)∴AC”=10•20% 배점△ABCª△EDC(AA닮음)에서AC”:EC”=BC”:DC”이므로(cid:100)(cid:100)10:2=2:DC”(cid:100)(cid:100)∴DC”=;5@;(cid:100)(cid:100)∴AD”=AC”+CD”=10+;5@;=;;∞5™;;또△CDE에서(cid:100)(cid:100)DE”=æ≠2¤-{;5@;}¤=•50% 배점∴tany==_;5∞2;=•30% 배점(cid:9120)'613'6134'65DE”AD”답 구하기 4'65해결 과정 ② 2AC”해결 과정 ① ∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠ECD(맞꼭지각)이므로(cid:100)△ABCª△EDC(AA닮음)BC”=;2!;BE”=2353tan60°를선분의길이의비로나타낸후tan60°='3임을이용한다.OA”=OC”이므로△ADO에서(cid:100)(cid:100)tan60°==='3(cid:100)(cid:100)∴OC”:OD”='3:1(cid:9120)②OC”OD”OA”OD”354수선을그어직각삼각형을만든다.오른쪽그림과같이두꼭짓점A,D에서BC”에내린수선의발을각각E,F라하면△ABE에서(cid:100)(cid:100)cos60°==;2!;(cid:100)(cid:100)∴BE”=5 또sin60°==이므로(cid:100)(cid:100)AE”=5'3△DFC에서(cid:100)(cid:100)tan45°==1(cid:100)(cid:100)∴FC”=5'3(cid:100)(cid:100)∴BC”=BE”+EF”+FC”=5+13+5'3=18+5'3(cid:9120)18+5'35'3FC”'32AE”10BE”10ABCEFD60æ131045æ351삼각형의세내각의크기의합은180°임을이용하여∠A의크기를구한다.∠B=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠A+∠C=90°이때∠A=2∠C,즉∠C=;2!;∠A이므로(cid:100)(cid:100)∠A+;2!;∠A=90°,(cid:100)(cid:100);2#;∠A=90°(cid:100)(cid:100)∴∠A=60°(cid:100)(cid:100)∴cosA=cos60°=;2!;(cid:9120)②3520°tan45°=1따라서두번째로작은것은③이다.(cid:9120)③'32'22ABCO135æ45æ2x362오른쪽그림과같이점E에서BC”에내린수선의발을H라하고EH”=x라하면△EHC에서(cid:100)(cid:100)tan45°==1(cid:100)(cid:100)∴CH”=x(cid:100)(cid:100)∴BH”=10-x•30% 배점△EBH에서(cid:100)(cid:100)tan30°===(cid:100)(cid:100)3x=10'3-'3x,(cid:100)(cid:100)(3+'3)x=10'3(cid:100)(cid:100)∴x===5('3-1)•40% 배점∴△EBC=;2!;_BC”_EH”`=;2!;_10_5('3-1)`=25('3-1)•30% 배점(cid:9120)25('3-1)답 구하기 10'3(3-'3)(3+'3)(3-'3)10'33+'3'33x10-xEH”BH”해결 과정 ② xCH”해결 과정 ① 10AEBHCD60æ30æ45æx363점A에서BC”에수선을내려2개의직각삼각형을만든다.오른쪽그림과같이점A에서BC”에내린수선의발을H라하면∠BAH=30°,∠CAH=45°이므로△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”=10'2cos45°=10(cid:100)(cid:100)CH”=10'2sin45°=10또△ABH에서(cid:100)(cid:100)BH”===(cid:100)(cid:100)AB”==10_=(cid:100)(cid:100)∴AB”+BC”=+{+10}(cid:100)(cid:100)∴AB”+BC=10(1+'3)(cid:9120)④10'3320'3320'332'310sin60°10'3310'310tan60°ABCH45æ30æ60æ210360오른쪽그림과같이점B에서AF”에내린수선의발을H라하면△AHB에서(cid:100)(cid:100)cos45°==(cid:100)(cid:100)∴AH”=3'2sin45°==이므로(cid:100)(cid:100)BH”=3'2또△BHF에서(cid:100)(cid:100)tan60°=='3(cid:100)(cid:100)∴FH”='6(cid:100)(cid:100)∴AF”=AH”+FH”=3'2+'6•40% 배점△ABC에서(cid:100)(cid:100)tan30°==(cid:100)(cid:100)∴AC”=6'3△EACª△FAB(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)AC”:AB”=EA”:FA”(cid:100)(cid:100)6'3:6=EA”:(3'2+'6)(cid:100)(cid:100)∴EA”=3'6+3'2•40% 배점∴EF”=EA”+AF”=6'2+4'6•20% 배점(cid:9120)6'2+4'6답 구하기 '336AC”해결 과정 ② 3'2FH”'22BH”6'22AH”6AHBCDEF60æ30æ60æ45æ45æ6해결 과정 ① △DBC에서(cid:100)∠DBC=90°-60°=30°∠BOC=180°-135°=45°∠EAC=∠FAB=45°,∠AEC=∠AFB=60°이므로(cid:100)△EACª△FAB(AA닮음)BC”=BH”+CH”=+1010'33E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지54 SinsagoHitec 만점공략BOXⅦ. 삼각비55본책72쪽~75쪽삼각비Ⅶ364직각삼각형을찾아삼각비를이용하여DH”,HE”의길이를구한다.오른쪽그림과같이점C에서DE”에내린수선의발을H라하면△DHC에서(cid:100)(cid:100)DH”=20tan45°=20(m)(cid:100)(cid:100)EH”=20tan60°=20'3(m)따라서A건물의높이는(cid:100)(cid:100)DE”=DH”+EH”=20+20'3=20(1+'3)(m)(cid:9120)③367두변의길이가a,b이고그끼인각의크기가x(둔각)인삼각형의넓이(cid:8833);2!;absin(180°-x)△ABC=△ABD+△CBD이므로BD”=xcm라하면(cid:100);2!;_6_3'3_sin(180°-150°)(cid:100)=;2!;_6_x_sin(180°-120°)(cid:100)=+;2!;_x_3'3_sin30°(cid:100)(cid:100)18'3=9'3x(cid:100)(cid:100)∴x=2(cid:100)(cid:100)∴△ABD=;2!;_6_2_sin(180°-120°)(cid:100)(cid:100)∴△ADB=3'3(cm¤)(cid:9120)③368(cid:8772)ABED와넓이가같은삼각형을찾는다.AE”∥DC”이므로(cid:100)(cid:100)△AED=△AEC(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABED=△ABE+△AED(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABED=△ABE+△AEC(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABED=△ABC(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABED=;2!;_4_5_sin60°(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABED=;2!;_4_5_(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABED=5'3(cm¤)(cid:9120)⑤'32369크기가같은각을찾는다.위의그림과같이점B에서DA”에내린수선의발을H라하면∠BAH=∠ABC=45°(엇각),BH”=4'5cm이므로△ABH에서(cid:100)(cid:100)AB”==4'∂10(cm)이때∠BAC=∠CAG(접은각),∠CAG=∠ACB(엇각)이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠ACB(cid:100)(cid:100)∴BC”=AB”=4'∂10(cm)(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_4'∂10_4'∂10_sin45°(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_4'∂10_4'∂10_(cid:100)(cid:100)∴△ABC=40'2(cm¤)(cid:9120)③'224'5sin45°DHAGEBCFcm54cm5445æ45æ365두변의길이가a,b이고그끼인각의크기가x(예각)인삼각형의넓이(cid:8833);2!;absinx;2!;_6_10_sinx=15'3이므로(cid:100)(cid:100)30sinx=15'3(cid:100)(cid:100)∴sinx=sin60°=이므로(cid:100)(cid:100)x=60°(cid:9120)60°'32'32366이등변삼각형의두밑각의크기는같다.△ABC가이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠B=180°-2_75°=30°(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_10_10_sin30°(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_10_10_;2!;=25(cid:9120)①이등변삼각형의성질(cid:9178)두밑각의크기가같다.370△OAC는이등변삼각형임을이용한다.오른쪽그림과같이OC”를그으면(cid:100)OA”=OC”=10'2(cm)즉△OAC는이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OCA=∠OAC=30°(cid:100)(cid:100)∴∠AOC=180°-2_30°=120°(cid:100)(cid:100)∴(색칠한부분의넓이)(cid:100)(cid:100)=(부채꼴AOC의넓이)-△AOC(cid:100)(cid:100)=p_(10'2)¤_;3!6@0);(cid:100)(cid:100)-;2!;_10'2_10'2_sin(180°-120°)(cid:100)(cid:100)=p-50'3(cm¤)(cid:9120){p-50'3}cm¤20032003AOBC30æ10´2`cm반지름의길이가r이고중심각의크기가x°인부채꼴의넓이S는(cid:100)S=pr¤_x360371마름모는이웃하는두변의길이가같은평행사변형이다.마름모의한변의길이를x라하면마름모의넓이가8'3이므로(cid:100)(cid:100)x_x_sin(180°-120°)=8'3(cid:100)(cid:100)x¤=8'3,(cid:100)(cid:100)x¤=16(cid:100)(cid:100)∴x=4(∵x>0)따라서마름모의한변의길이는4이다.(cid:9120)④'32372두대각선의길이가a,b이고두대각선이이루는예각의크기가x인사각형의넓이(cid:8833);2!;absinx△AOD에서∠AOD=180°-120°=60°이므로(cid:100)(cid:100)△AOD=;2!;_AO”_3_sin60°=(cid:100)(cid:100)AO”=(cid:100)(cid:100)∴AO”=69'323'349'3260æ45æ20`mDHCEE0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지55 SinsagoHitec 376오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면△AHC에서해결 과정 ① 6ABCH375△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠C=180°-(64°+42°)=74°점A에서BC”에내린수선의발을H¡이라하면(cid:100)(cid:100)AH¡”=AC”sin74°=96sin42°(cid:100)(cid:100)∴AC”=(cid:100)(cid:100)∴AC”==67(m)•40% 배점점B에서AC”에내린수선의발을H™라하면(cid:100)(cid:100)BH™”=BC”sin74°=96sin64°(cid:100)(cid:100)∴BC”=(cid:100)(cid:100)∴BC”==90(m)•40% 배점따라서구하는거리의합은(cid:100)(cid:100)67+90=157(m)•20% 배점(cid:9120)157m답 구하기 96_0.90.9696sin64°sin74°해결 과정 ② 96_0.670.9696sin42°sin74°해결 과정 ① BAH¡C96`m42æ74æAH™BC96`m64æ74æ377(cid:8772)ADPF에서(cid:100)(cid:100)∠ADP=∠AFP=90°, ∠A=60°이므로(cid:100)(cid:100)∠DPF=360°-(90°+90°+60°)=120°•30% 배점같은방법으로하면∠DPE=120°,∠EPF=120°이므로(cid:100)(cid:100)△PDE=;2!;xysin(180°-120°)=xy(cid:100)(cid:100)△PEF=;2!;yzsin(180°-120°)=yz(cid:100)(cid:100)△PFD=;2!;zxsin(180°-120°)=zx•40% 배점∴△DEF=△PDE+△PEF+△PFD=(xy+yz+zx)=_16=4'3•30% 배점(cid:100)(cid:9120)4'3'34'34답 구하기 '34'34'34해결 과정 ② 해결 과정 ① 56정답및풀이만점공략BOXAC”=6+3=9이므로(cid:100)9+BD”=20(cid:100)∴BD”=11두대각선의길이의합이20이므로(cid:100)(cid:100)BD”=11(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=;2!;_11_9_sin60°=(cid:9120)④99'34(cid:100)(cid:100)CH”=6cosC=3(cid:100)(cid:100)∴AH”="√6¤-3¤=3'3•40% 배점△ABH에서(cid:100)(cid:100)AB”==9(cid:100)(cid:100)∴BH”=ø∑9¤-(3'3)¤=3'6•40% 배점∴△ABC=;2!;_BC”_AH”=;2!;_(3'6+3)_3'3=;2(;(3'2+'3)•20% 배점(cid:9120);2(;(3'2+'3)답 구하기 3'3sinB해결 과정 ② (사다리꼴의넓이)=_{(윗변의길이)+(아랫변의길이)}_(높이)12378[문제해결길잡이]❶주어진삼각비의값을이용하여PH”의길이를구한다.❷PQ”=2PH”임을이용하여두별사이의거리를구한다.관측지점을O라하고,오른쪽그림과같이점O에서PQ”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)PH”=1_sin34°=0.5592❶따라서두별사이의거리는(cid:100)(cid:100)PQ”=2PH”=2_0.5592=1.1184❷(cid:9120)1.1184교과서속창의유형본책76~77쪽379[문제해결길잡이]❶A™B™”,A£B£”,y의길이를구하여규칙을찾아A«B«”의길이를구한다.34æ1OHPQ68æ373점A에서DE”에수선을내린다.오른쪽그림과같이점A에서DE”에내린수선의발을H라하자.△ABC가직각이등변삼각형이므로∠ABC=45°이고,AH”∥BE”이므로(cid:100)(cid:100)∠DAH=∠ABC=45°△DAH에서(cid:100)(cid:100)AH”=10cos45°=5'2,DH”=10sin45°=5'2(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ACED=;2!;_(10+10+5'2)_5'2(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ACED=25+50'2(cid:9120)25+50'2BCEAD10H45æ45æ374오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)AO”=6sin60°=3'3(cm)(cid:100)(cid:100)BO”=6cos60°=3(cm)•70% 배점따라서원뿔의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_p_3¤_3'3=9'3p(cm‹)•30% 배점(cid:9120)9'3pcm‹답 구하기 해결 과정 BA6`cmO60æBC”=BH”+CH”AD”=AC”=BC”=10△OQP는OQ”=OP”인이등변삼각형이므로(cid:100)PH”=HQ”(cid:100)∴PQ”=2PH”E0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지56 SinsagoHitec 만점공략BOXⅧ. 원의성질57본책75쪽~80쪽❷❶의결과를이용하여의값을구한다.A™B™”=1-1_tan30°=1-A£B£”={1-}-{1-}tan30°={1-}¤⋮(cid:100)(cid:100)∴A«B«”={1-}n-1❶따라서A£B£”={1-}¤, A∞B∞”={1-}›이므로(cid:100)(cid:100)={1-}¤=;3$;-❷(cid:9120);3$;-2'332'33'33A∞B∞”A£B£”'33'33'33'33'33'33'33A∞B∞”A£B£”380[문제해결길잡이]❶삼각비를이용할수있도록직각삼각형을만든후OA'”,OH”의길이를구한다.❷cosx°=임을이용하여x의값을구한다.오른쪽그림과같이점A'에서OA”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)OA'”=12(m)(cid:100)(cid:100)OH”=12.5-6.5=6(m)❶이때△OHA'에서(cid:100)(cid:100)cosx°==;1§2;=;2!;cos60°=;2!;이므로(cid:100)(cid:100)x=60❷(cid:9120)60OH”OA'”OH”OA'”381[문제해결길잡이]❶tan30°,tan60°의값을이용하여AQ”,BQ”의길이를구한다.❷AB”의길이를구하여자동차가0.1초동안움직인거리를구한다.❸(속력)=임을이용하여자동차의속력을구한다.오른쪽그림의△PAQ,△PBQ에서(cid:100)(cid:100)∠PAQ=60°,∠PBQ=30°이므로(cid:100)(cid:100)AQ”==(m)(cid:100)(cid:100)BQ”==4'3(m)❶자동차가0.1초동안움직인거리는(cid:100)(cid:100)AB”=BQ”-AQ”=4'3-=(m)❷따라서구하는자동차의속력은(cid:100)(cid:100)_=(m/s)❸(cid:9120)m/s80'3380'3310.18'338'334'334tan30°4'334tan60°(거리)(시간)4`mPQBA30æ30æ60æ60æ12`m6`m6`m6.5`mxæ0.5`mOAA'H원의성질Ⅷ개념&기출유형원의성질Ⅷ본책80~82쪽원과직선16383DN”=;2!;CD”=5(cm)이므로직각삼각형DON에서(cid:100)(cid:100)OD”="√3¤+5¤='ß34(cm)OA”=OD”='ß34(cm)이므로직각삼각형AMO에서(cid:100)(cid:100)AM”="√('ß34)¤-4¤=3'2(cm)(cid:100)(cid:100)∴AB”=2AM”=6'2(cm)(cid:9120)6'2cm382직각삼각형OAM에서(cid:100)(cid:100)AM”="√5¤-3¤=4(cm)(cid:100)(cid:100)∴AB”=2AM”=8(cm)(cid:9120)8cm385직각삼각형AMO에서(cid:100)(cid:100)AM”="√5¤-3¤=4(cm)(cid:100)(cid:100)∴AB”=2AM”=8(cm)이때OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=8(cm)(cid:9120)②384오른쪽그림과같이원의중심을O,반지름의길이를rcm라하면OM”=(r-3)cm이므로직각삼각형AOM에서(cid:100)(cid:100)r¤=6¤+(r-3)¤(cid:100)(cid:100)6r=45(cid:100)(cid:100)∴r=:¡2∞:(cid:9120)②386원의중심O에서CD”에내린수선의발을N이라하면AB”=CD”이므로(cid:100)(cid:100)ON”=OM”=6(cm)직각삼각형CON에서(cid:100)(cid:100)CN”="√10¤-6¤=8(cm)따라서CD”=2CN”=16(cm)이므로(cid:100)(cid:100)△OCD=;2!;_16_6=48(cm¤)(cid:9120)48cm¤NOABCDM10`cm6`cm387OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”즉△ABC는이등변삼각형이다.이때(cid:8772)AMON에서(cid:100)(cid:100)∠MAN=360°-(120°+90°+90°)=60°(cid:100)(cid:100)∴∠ABC=;2!;_(180°-60°)=60°(cid:9120)60°사각형의내각의크기의합은(cid:100)180°_(4-2)=360°6`cmABMCO{r-3}`cmr`cmOABMC5`cm3`cm2`cm3`cm4`cm5`cmADCBONME0428일품중수3하_정(046-057) 2015.4.28 1:54 PM 페이지57 SinsagoHitec 58정답및풀이만점공략BOX직선PT가원O의접선이므로(cid:100)PT”⊥OT”388PA”=PB”에서△APB는이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠PAB=∠PBA=;2!;_(180°-60°)=60°따라서△APB는정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)△APB=_8¤=16'3(cm¤)(cid:9120)16'3cm¤PB”=PA”=8cm이므로(cid:100)(cid:100)△APB=;2!;_8_8_sin60°(cid:100)(cid:100)△APB=;2!;_8_8_=16'3(cm¤)'32'34390원O의반지름의길이를rcm라하면∠OAP=90°,∠APO=30°이므로△APO에서(cid:100)(cid:100)r=18tan30°=6'3따라서(cid:8772)PBOA의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2(18+6'3)=12(3+'3)(cm)(cid:9120)12(3+'3)cmO30æPAB18`cmr`cm391BD”=BE”, CE”=CF”이므로(cid:100)(cid:100)AD”+AF”=AB”+BC”+CA”=11+7+10=28(cm)AD”=AF”이므로(cid:100)(cid:100)AD”=14cm(cid:100)(cid:100)∴BD”=AD”-AB”=14-11=3(cm)(cid:9120)3cmBD”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)CF”=7-x(cm)이때AD”=AF”이므로(cid:100)(cid:100)11+x=10+(7-x)(cid:100)(cid:100)∴x=3389OA”=OT”=9cm,∠PTO=90°이므로△PTO에서(cid:100)(cid:100)PT”="√15¤-9¤=12(cm)(cid:9120)③OAPT9`cm9`cm6`cm△PAO™△PBO(RHS합동)이므로(cid:100)∠APO=∠BPO(cid:100)∴∠APO=;2!;∠APB=;2!;_60°=30°보충학습다각형의내각의크기의합n각형의내각의크기의합은(cid:100)(cid:100)180°_(n-2)보충학습∠C=90°인직각삼각형ABC에서⑴∠B의크기와빗변AB의길이c를알때(cid:9178)a=ccosB, b=csinB⑵∠B의크기와변BC의길이a를알때⑵(cid:9178)b=atanB, c=⑶∠B의크기와변AC의길이b를알때⑵(cid:9178)a=, c=bsinBbtanBacosBABCabc393반원O와CD”의접점을E라하면(cid:100)(cid:100)DE”=DA”=4(cm),(cid:100)(cid:100)CE”=CB”=9(cm)점D에서BC”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)DH”="√13¤-5¤=12(cm)(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=;2!;_(4+9)_12=78(cm¤)(cid:9120)78cm¤OABHCDE4`cm5`cm9`cm4`cm4`cmCD”=4+9=13(cm),CH”=9-4=5(cm)AD”=8+4=12(cm)395AF”=AD”=2cm, CE”=CF”=9cm이므로BD”=BE”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)2(x+2+9)=32(cid:100)(cid:100)x+11=16(cid:100)(cid:100)∴x=5(cid:100)(cid:100)∴BC”=5+9=14(cm)(cid:9120)14cm394AD”=AF”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)BE”=BD”=16-x(cm)(cid:100)(cid:100)CE”=CF”=14-x(cm)BC”=BE”+CE”이므로(cid:100)(cid:100)18=(16-x)+(14-x)(cid:100)(cid:100)2x=12(cid:100)(cid:100)∴x=6(cid:9120)③OABCDEFx`cmx`cm{16-x}`cm{16-x}`cm{14-x}`cm{14-x}`cm396직각삼각형ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√10¤-6¤=8원O의반지름의길이를r라하면(cid:100)(cid:100)AF”=AD”=8-r(cid:100)(cid:100)CF”=CE”=6-rAC”=AF”+CF”이므로(cid:100)(cid:100)10=(8-r)+(6-r)(cid:100)(cid:100)2r=4(cid:100)(cid:100)∴r=2(cid:9120)2△ABC=△OAB+△OBC+△OCA이므로(cid:100)(cid:100);2!;_6_8=;2!;_8_r+;2!;_6_r+;2!;_10_r(cid:100)(cid:100)24=12r(cid:100)(cid:100)∴r=2OABDFEC8-r8-r6-rr6-r한변의길이가a인정삼각형의높이h와넓이S는(cid:100)h=a,(cid:100)S=a¤'34'32392BD”=BE”,CE”=CF”이므로△ABC의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)AB”+AC”+BC””=AD”+AF”=2AD”=24(cm)(cid:9120)③397AB”+DC”=AD”+BC”이므로(cid:100)(cid:100)AD”+BC”=8+7=15(cm)(cid:100)(cid:100)∴AD”=15_;3!;=5(cm)(cid:9120)5cmAB”⊥OD”(cid:9178)OD”=rBC”⊥OE”(cid:9178)OE”=rAC”⊥OF”(cid:9178)OF”=rE0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지58 SinsagoHitec 만점공략BOXⅧ. 원의성질59본책80쪽~83쪽원의성질Ⅷ398원O의반지름의길이가5cm이므로(cid:100)(cid:100)BQ”=5cm따라서(cid:100)(cid:100)CR”=QC”=13-5=8(cm)이므로(cid:100)(cid:100)SD”=RD”=12-8=4(cm)(cid:9120)4cmO5`cm4`cm4`cm8`cm8`cm5`cm5`cmABCDSPQR399CE”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)BE”=6-x(cm)(cid:8772)ABED가원O에외접하므로AB”+DE”=AD”+BE”에서(cid:100)(cid:100)4+DE”=6+(6-x)(cid:100)(cid:100)∴DE”=8-x(cm)직각삼각형DEC에서(cid:100)(cid:100)(8-x)¤=x¤+4¤(cid:100)(cid:100)16x=48(cid:100)(cid:100)∴x=3(cid:100)(cid:100)∴△DEC=;2!;_3_4=6(cm¤)(cid:9120)②오른쪽그림에서GE”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)HE”=xcmBG”=BF”=2cm, AF”=AI”=2cm이므로(cid:100)(cid:100)DH”=DI”=6-2=4(cm)CE”=GC”-GE”=4-x(cm)이므로직각삼각형DEC에서(cid:100)(cid:100)(4+x)¤=(4-x)¤+4¤(cid:100)(cid:100)16x=16(cid:100)(cid:100)∴x=1(cid:100)(cid:100)∴△DEC=;2!;_(4-1)_4=6(cm¤)O4`cm4`cm4`cm2`cm2`cm2`cm2`cm{4-x}`cmx`cmx`cmABCDEGHIF400원의중심O에서현AB에내린수선의발을M이라하면A’M”=B’M”,∠AOM=∠BOM임을이용한다.오른쪽그림과같이원의중심O에서AB”에내린수선의발을M이라하면(cid:100)(cid:100)AM”=;2!;AB”=2'3(cm)(cid:100)(cid:100)∠AOM=;2!;∠AOB=60°직각삼각형OAM에서(cid:100)(cid:100)OA”==4(cm)따라서원O의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2p_4=8p(cm)(cid:9120)③2'3sin60°ABMO60æ2´3`cm내신만점도전하기본책83~86쪽(cid:8772)PBQO는한변의길이가5cm인정사각형이다.401원의중심에서현에내린수선은그현을이등분함을이용한다.오른쪽그림과같이접힌현을AB,`원의중심O에서현AB에내린수선의발을M이라하면(cid:100)(cid:100)AM”=;2!;AB”=9(cm)원O의반지름의길이를rcm라하면OM”=;2R;cm이므로직각삼각형AOM에서(cid:100)(cid:100)r¤={;2R;}¤+9¤(cid:100)(cid:100)∴r¤=108따라서처음종이의넓이는108pcm¤이다.(cid:9120)108pcm¤403현의수직이등분선(cid:8833)원의중심을지난다.오른쪽그림과같이원의중심을O라하면직각삼각형AOD에서(cid:100)(cid:100)AD”="√10¤-8¤=6(cm)(cid:100)(cid:100)∴AB”=2AD”=12(cm)(cid:9120)④ABOCD2`cm10`cm8`cm402원의중심에서현에내린수선은그현을이등분함을이용한다.원의중심에서현에내린수선은그현을이등분하므로(cid:100)(cid:100)AM”=;2!;AB”=4(cm)(cid:100)(cid:100)AN”=;2!;AC”=3(cm)(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)AMON=4_3=12(cm¤)(cid:9120)③404원의중심에서현에내린수선은그현을이등분함을이용한다.원의중심O에서AB”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)AH”=BH”=5(cid:100)(cid:100)CH”=DH”=3(cid:100)(cid:100)∴AC”=BD”=2직각삼각형OCH에서(cid:100)(cid:100)OC”=ø∑3¤+('3)¤=2'3tan(∠COH)=='3이므로(cid:100)(cid:100)∠COH=60°(cid:100)(cid:100)∴∠COD=120°따라서색칠한부분의넓이는2_{;2!;_2_'3}+p_(2'3)¤_-;2!;_6_'3=4p-'3(cid:9120)4p-'31203603'3O´3ABCDH3322반지름의길이가r,중심각의크기가x°인부채꼴의넓이는(cid:100)p_r¤_x3609`cmr`cmr-2cmAMBO△OAM과△OBM에서(cid:100)OA”=OB”,AM”=BM”,OM”은공통이므로(cid:100)△OAM™△OBM(SSS합동)(cid:100)∴∠AOM=∠BOM=;2!;∠AOBE0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지59 SinsagoHitec 60정답및풀이만점공략BOX405OD”=OB”=4이므로(cid:100)(cid:100)BM”=DN”(cid:100)(cid:100)BM”="√4¤-2¤(cid:100)(cid:100)BM”=2'3 •30% 배점이때(cid:100)(cid:100)cos(∠BOM)=;4@;=;2!;,(cid:100)(cid:100)cos(∠DON)=;4@;=;2!;이므로(cid:100)(cid:100)∠BOM=60°,∠DON=60°(cid:100)(cid:100)∴∠DOB=150°-(60°+60°)=30°•40% 배점따라서색칠한부분의넓이는(cid:100)(cid:100)2_{;2!;_2'3_2}+p_4¤_=4'3+;3$;p•30% 배점(cid:9120)4'3+;3$;p30360답 구하기 해결 과정 ② OMNB4222´3ACD해결 과정 ① 406한원의중심으로부터같은거리에있는두현의길이는같음을이용한다.OD”=OE”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=BC”(cid:100)(cid:100)∴∠A=∠C따라서∠A:∠B:∠C=5:2:5이므로(cid:100)(cid:100)∠A=180°_=75°(cid:9120)③55+2+5408원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같음을이용한다.①△BOD와△POD에서(cid:100)(cid:100)∠OBD=∠OPD=90°,OB”=OP”,OD”는공통이므로(cid:100)(cid:100)△BOD™△POD(RHS합동)②△AOC와△POC에서(cid:100)(cid:100)∠OAC=∠OPC=90°,OA”=OP”, OC”는공통이므로(cid:100)(cid:100)△AOC™△POC(RHS합동)(cid:100)(cid:100)∴∠OCA=∠OCP407한원에서길이가같은두현은원의중심으로부터같은거리에있음을이용한다.오른쪽그림과같이원의중심O에서현AB에내린수선의발을M이라하면(cid:100)(cid:100)BM”=;2!;AB”=3(cm)이므로직각삼각형OBM에서(cid:100)(cid:100)OM”="√5¤-3¤=4(cm)따라서두현사이의거리는8cm이다.(cid:9120)8cm3`cm5`cmABMDOC409원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같음을이용한다.PA”=PT”=PB”이므로△PAT,△PBT는모두이등변삼각형이다.따라서∠PTA=∠PAT=40°이므로(cid:100)(cid:100)∠TPB=40°+40°=80°(cid:100)(cid:100)∴∠PBT=;2!;_(180°-80°)=50°(cid:9120)③③∠AOC=∠POC, ∠BOD=∠POD이므로(cid:100)(cid:100)∠COD=∠POC+∠POD(cid:100)(cid:100)∠COD=;2!;(∠AOP+∠BOP)(cid:100)(cid:100)∠COD=;2!;_180°(cid:100)(cid:100)∠COD=90°④AC”=PC”, BD”=PD”이므로(cid:100)(cid:100)AC”+BD”=PC”+PD”=CD”⑤△OCP와△DOP에서(cid:100)(cid:100)∠CPO=∠OPD=90°, ∠OCP=∠DOP이므로(cid:100)(cid:100)△OCPª△DOP(AA닮음)(cid:100)(cid:100)∴OC”:DO”=CP”:OP”(cid:9120)⑤410△ABC에서('5)¤=2¤+1¤,즉BC”¤=AB”¤+AC”¤이므로△ABC는∠A=90°인직각삼각형이다.•20% 배점반원O의반지름의길이를rcm라하면△DBO와△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠BDO=∠BAC=90°,∠B는공통이므로(cid:100)(cid:100)△DBOª△ABC(AA닮음)따라서BD”:BA”=DO”:AC”이므로(cid:100)(cid:100)(2-r):2=r:1(cid:100)(cid:100)2-r=2r,(cid:100)(cid:100)3r=2(cid:100)(cid:100)∴r=;3@;•40% 배점따라서반원O의둘레의길이는(cid:100)(cid:100);2!;_2p_;3@;+2_;3@;=;3@;p+;3$;(cm)•40% 배점(cid:9120){;3@;p+;3$;}cm△ABC=△DBO+(cid:8772)ADOE+△EOC이므로(cid:100)(cid:100);2!;_2_1=;2!;_r_(2-r)+r¤+;2!;_r_(1-r)(cid:100)(cid:100)1=r-;2!;r¤+r¤+;2!;r-;2!;r¤(cid:100)(cid:100);2#;r=1(cid:100)(cid:100)∴r=;3@;답 구하기 O´5`cm{2-r}`cmr`cmr`cm{1-r}`cmABCDEr`cm해결 과정 문제 이해 (색칠한부분의넓이)=△OMB+△OND+(부채꼴OBD의넓이)AB”와CD”는원의중심O로부터같은거리에있다.E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지60 SinsagoHitec 만점공략BOXⅧ. 원의성질61본책83쪽~85쪽원의성질Ⅷ반원의둘레의길이를구할때지름의길이를더해주는것을빠뜨리지않도록주의한다.참고412원의접선은그접점을지나는원의반지름과서로수직임을이용한다.위의그림과같이점P에서AG”에내린수선의발을H라하면△APH와△AQG에서(cid:100)(cid:100)∠AHP=∠AGQ=90°,∠A는공통이므로(cid:100)(cid:100)△APHª△AQG(AA닮음)따라서AP”:AQ”=PH”:QG”이므로(cid:100)(cid:100)3:5=PH”:1(cid:100)(cid:100)∴PH”=;5#;직각삼각형PHE에서(cid:100)(cid:100)EH”=æ≠1¤-{;5#;}¤=;5$;(cid:100)(cid:100)∴x=2EH”=;5*;'∂ax=Æ¬;5*;a=æ≠2¤_;5@;_a가자연수가되어야하므로a=5_2_n¤(n은자연수)꼴이어야한다.따라서a의최솟값은10이다.(cid:9120)④OABHPQCDEFG1135x411원의접선은그접점을지나는원의반지름과서로수직임을이용한다.∠PAO=90°,∠AOP=60°이므로△APO에서(cid:100)(cid:100)AP”=4tan60°=4'3(cm)따라서색칠한부분의넓이는(cid:100)(cid:100)2△APO-(부채꼴OAB의넓이)=2_{;2!;_4_4'3}-p_4¤_;3!6@0);=16{'3-}(cm¤)(cid:9120)16{'3-}cm¤p3p34`cm4´3`cmPOAB60æ60æ413원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같음을이용한다.DE”=DA”=x라하면(cid:100)(cid:100)CB”=CE”=8-xPA”=PB”이므로(cid:100)(cid:100)10+x=12+(8-x)(cid:100)(cid:100)2x=10(cid:100)(cid:100)∴x=5이때GF”=GE”,FH”=AH”이므로(cid:100)(△DGH의둘레의길이)(cid:100)=DG”+GF”+FH”+DH”(cid:100)=(DG”+GE”)+(AH”+DH”)(cid:100)=DE”+DA”=5+5=10(cid:9120)③417원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같음을이용한다.414원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같음을이용한다.오른쪽그림과같이점C에서AD”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)AH”=BC”=4(cm)(cid:100)(cid:100)DH”=9-4=5(cm)(cid:100)(cid:100)CD”=CP”+DP”=CB”+DA”=4+9=13(cm)△DHC에서HC”="√13¤-5¤=12(cm)이므로△HAC에서(cid:100)(cid:100)AC”¤=12¤+4¤=160(cid:100)(cid:100)∴AC”¤+CD”¤=160+13¤=329(cid:9120)329OPHABCD4`cm12`cm5`cm4`cm13`cm415원의접선은그접점을지나는반지름과서로수직임을이용한다.∠BEC=90°이므로직각삼각형BCE에서(cid:100)(cid:100)CE”="√15¤-12¤=9(cm)AF”=xcm라하면직각삼각형CDF에서(cid:100)(cid:100)(9+x)¤=(15-x)¤+12¤(cid:100)(cid:100)48x=288(cid:100)(cid:100)∴x=6(cid:9120)③15`cm{15-x}`cmx`cm12`cm12`cm9`cmx`cmADFEBC416오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)BC”=7+3=10•20% 배점꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하고BH”=x라하면△ABH와△ACH에서(cid:100)(cid:100)AH”¤=12¤-x¤=8¤-(10-x)¤(cid:100)(cid:100)20x=180(cid:100)(cid:100)∴x=9(cid:100)(cid:100)∴AH”="√12¤-9¤=3'7•40% 배점원O의반지름의길이를r라하면(cid:100)△ABC=△OAB+△OBC+△OCA(cid:100);2!;_10_3'7(cid:100)=;2!;_12_r+;2!;_10_r+;2!;_8_r(cid:100)(cid:100)15'7=15r(cid:100)(cid:100)∴r='7•40% 배점(cid:9120)'7답 구하기 해결 과정 OHABCQPR557733문제 이해 △APO™△BPO이므로(cid:100)(cid:8772)APBO=△APO+△BPO=2△APOAP”:AQ”=3:5이므로△APH와△AQG의닮음비는3:5이다.n=1일때,(cid:100)a=10(△PCD의둘레의길이)=2PA”이므로(cid:100)12+8+10=2PA”(cid:100)∴PA”=15(cid:100)∴DA”=15-10=5직각삼각형이만들어지도록한꼭짓점에서그대변에수선의발을내린다.△APO™△BPO(RHS합동)이므로(cid:100)∠AOP=∠BOP=;2!;∠AOB=60°E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지61 SinsagoHitec 420AB”+DC”=AD”+BC”이므로(cid:100)(cid:100)10+11=7+BC”(cid:100)(cid:100)∴BC”=14(cm)•30% 배점오른쪽그림과같이두꼭짓점A,D에서BC”에내린수선의발을각각E,F라하고` BE”=xcm라하면AE”¤=DF”¤이므로(cid:100)(cid:100)10¤-x¤=11¤-(7-x)¤(cid:100)(cid:100)14x=28(cid:100)(cid:100)∴x=2(cid:100)(cid:100)∴AE”="√10¤-2¤=4'6(cm)•50% 배점따라서원O의반지름의길이는2'6cm이므로넓이는(cid:100)(cid:100)p_(2'6)¤=24p(cm¤)•20% 배점(cid:9120)24pcm¤답 구하기 OABCD10`cm11`cm7`cm7`cmx`cm{7-x}`cmEF해결 과정 문제 이해 421원의외접사각형에서두쌍의변의길이의합은서로같음을이용한다.원O의반지름의길이를r라하고점D에서BC”에내린수선의발을H라하면AB”+DC”=AD”+BC”이므로(cid:100)(cid:100)2r+DC”=6+8(cid:100)(cid:100)∴DC”=14-2r직각삼각형DHC에서(cid:100)(cid:100)(14-2r)¤=(2r)¤+2¤(cid:100)(cid:100)56r=192(cid:100)(cid:100)∴r=;;™7¢;;(cid:9120)③OABCDH6262r2r419내접원의중심에서세변에이르는거리(cid:8833)내접원의반지름의길이오른쪽그림과같이세원의중심을꼭짓점으로하는삼각형O¡O™O£의세변의길이는각각6,8,10이고(cid:100)(cid:100)10¤=8¤+6¤이므로△O¡O™O£은∠O¡=90°인직각삼각형이다.세원의접점을지나는원은△O¡O™O£의내접원이므로내접원의반지름의길이를r라하면△O¡O™O£의넓이에서(cid:100)(cid:100);2!;_6_8=;2!;_6_r+;2!;_8_r+;2!;_10_r(cid:100)(cid:100)24=12r(cid:100)(cid:100)∴r=2따라서구하는원의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2p_2=4p(cid:9120)①O¡O£O™662244422원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같음을이용한다.62정답및풀이만점공략BOX원O의반지름의길이를r라하면원O의넓이가9p이므로(cid:100)(cid:100)pr¤=9p(cid:100)(cid:100)∴r=3(∵r>0)(cid:100)(cid:100)∴OQ”=OR”=3BP”=BQ”=a라하면(cid:100)(cid:100)AB”==2a+6따라서AR”=AP”=(2a+6)-a=a+6이므로(cid:100)(cid:100)tan60°=,(cid:100)(cid:100)'3=(cid:100)(cid:100)a+9='3a+3'3,(cid:100)(cid:100)('3-1)a=9-3'3(cid:100)(cid:100)∴a===3'3(cid:100)(cid:100)∴(△ABC의둘레의길이)=(2a+6)+(a+3)+(a+9)=4a+18=12'3+18(cid:9120)12'3+18BC”=x라하면(cid:100)(cid:100)AC”='3x,AB”=2x원O의반지름의길이가3이므로(cid:100)(cid:100)△ABC=△OAB+△OBC+△OCA(cid:100)(cid:100);2!;_x_'3x=;2!;_2x_3+;2!;_x_3+;2!;_'3x_3(cid:100)(cid:100)'3x=9+3'3(cid:100)(cid:100)∴x==3'3+3(cid:100)(cid:100)∴(△ABC의둘레의길이)=2x+x+'3x=(3+'3)x=(3+'3)(3'3+3)=12'3+189+3'3'3`3'3('3-1)'3-19-3'3'3-1a+9a+3a+9a+3a+3cos60°QPRABCO60æa+6a+6aa3333418꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)∠ABH=∠BAH=45°이므로(cid:100)(cid:100)AH”=BH”=12cos45°=6'2•20% 배점△ACH에서∠HAC=30°,∠ACH=60°이므로(cid:100)(cid:100)CH”=6'2tan30°=2'6(cid:100)(cid:100)AC”==4'6•40% 배점BQ”=x라하면(cid:100)(cid:100)BP”=BQ”=x(cid:100)(cid:100)AR”=AP”=12-x(cid:100)(cid:100)CR”=CQ”=6'2+2'6-x•30% 배점AC”=AR”+CR”에서(cid:100)(cid:100)4'6=(12-x)+(6'2+2'6-x)(cid:100)(cid:100)2x=12+6'2-2'6(cid:100)(cid:100)∴x=6+3'2-'6•10% 배점(cid:9120)6+3'2-'6답 구하기 해결 과정 ③ 2'6sin30°해결 과정 ② ABCPQHOR1245æ60æ45æ30æ해결 과정 ① CQ”=BH”-BQ”+CH”=6'2-x+2'6AE”는원O의지름의길이와같다.FC”=BC”-BF”=14-(x+7)=7-x(cm)E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지62 SinsagoHitec 원의성질ⅧⅧ. 원의성질63만점공략BOX본책85쪽~87쪽오른쪽그림과같이원O와사각형ABCE의접점을각각P,Q,R,S라하고원O의반지름의길이를r`cm라하면(cid:100)(cid:100)BQ”=AS”=r(cm)이므로(cid:100)(cid:100)CR”=CQ”=6-r(cm)(cid:100)(cid:100)ER”=ES”=2-r(cm)(cid:100)(cid:100)∴EC”=ER”+CR”=(2-r)+(6-r)=8-2r(cm)이때DC”=2rcm이므로직각삼각형ECD에서(cid:100)(cid:100)(8-2r)¤=4¤+(2r)¤(cid:100)(cid:100)32r=48(cid:100)(cid:100)∴r=;2#;CD”=3cm,EC”=5cm이므로원O'의반지름의길이를r'이라하면△ECD의넓이에서(cid:100)(cid:100);2!;_4_3=;2!;_r'_4+;2!;_r'_5+;2!;_r'_3(cid:100)(cid:100)6=6r'(cid:100)(cid:100)∴r'=1따라서두원O,O'의반지름의길이의합은(cid:100)(cid:100);2#;+1=;2%;(cm)(cid:9120)①O'4`cm2r`cm{6-r}`cm{2-r}`cmr`cmAESROQPDBC원의중심을O라하고점O에서AB”,CD”에내린수선의발을각각M,N이라하면(cid:100)(cid:100)AM”=;2!;AB”=3 (cid:100)(cid:100)CN”=;2!;CD”=1OM”=x라하면(cid:100)(cid:100)ON”=4-x이때OA”¤=OC”¤이므로(cid:100)(cid:100)3¤+x¤=1¤+(4-x)¤(cid:100)(cid:100)8x=8(cid:100)(cid:100)∴x=1따라서구하는원의반지름의길이는(cid:100)(cid:100)"√3¤+1¤='∂10(cid:9120)①OMN462ABCD423오른쪽그림에서OG”=OC”=2이고∠GOB=60°이므로(cid:100)(cid:100)BG”=2sin60°='3(cid:100)(cid:100)BO”=2cos60°=1따라서△GBO의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)1+2+'3=3+'3•40% 배점OH”=OC”=2이고EH”=EI”, FC”=FI”이므로△DEF의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)ED”+EI”+IF”+DF”=(ED”+EH”)+(CF”+DF”)=DH”+CD”=2+2=4•40% 배점따라서구하는길이의차는(cid:100)(cid:100)(3+'3)-4='3-1•20% 배점(cid:9120)'3-1답 구하기 해결 과정 ② OABCDEFIGH22120æ60æ해결 과정 ① 424원의중심에서현에내린수선은그현을이등분함을이용한다.내신만점굳히기본책87쪽426원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같음을이용한다.FC”=FE”,GE”=GB”,HB”=HC”이므로△HGF의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)HG”+GF”+HF”=HG”+(GE”+EF”)+HF”=HG”+(GB”+FC”)+HF”=(HG”+GB”)+(FC”+HF”)=HB”+HC”=2HB”425EI”=GI”=x라하면(cid:100)(cid:100)DH”=GH”=8-x이때BD”=BE”이므로(cid:100)(cid:100)6+(8-x)=10+x(cid:100)(cid:100)2x=4(cid:100)(cid:100)∴x=2•20% 배점오른쪽그림과같이AD”=AF”=y, CE”=CF”=z라하면HI”∥AC”이므로(cid:100)(cid:100)△BIHª△BCA(AA닮음)BH”:BA”=BI”:BC”=HI”:AC”이므로(cid:100)(cid:100)6:(12+y)=10:(12+z)=8:(y+z)6:(12+y)=10:(12+z)에서(cid:100)(cid:100)72+6z=120+10y(cid:100)(cid:100)∴5y-3z=-24yy㉠(cid:100)(cid:100)10:(12+z)=8:(y+z)에서(cid:100)(cid:100)10y+10z=96+8z(cid:100)(cid:100)∴5y+z=48yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡을연립하여풀면(cid:100)(cid:100)y=6, z=18•40% 배점또△BPHª△BFA(AA닮음)이므로BH”:BA”=HP”:AF”에서(cid:100)(cid:100)6:18=HP”:6(cid:100)(cid:100)∴HP”=2•20% 배점∴PG”=HI”-(HP”+GI”)=8-(2+2)=4•20% 배점(cid:9120)4답 구하기 해결 과정 ③ 해결 과정 ② 해결 과정 ① AE”=6-4=2(cm)이므로(cid:100)ES”=AE”-AS”=2-r(cm)△AOM에서(cid:100)OA”¤=AM”¤+M”O”¤△OCN에서(cid:100)OC”¤=ON”¤+CN”¤ABCDEIFGOH102yyzz68P6∠BHI=∠A(동위각),∠B는공통이므로(cid:100)△BIHª△BCA(AA닮음)㉡-㉠을하면(cid:100)4z=72(cid:100)∴z=18z=18을㉡에대입하면(cid:100)5y=30(cid:100)∴y=6E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지63 SinsagoHitec 64정답및풀이만점공략BOX따라서AE”=AG”=6cm이고마찬가지로CF”=6cm이므로(cid:100)(cid:100)EF”=AC”-(AE”+CF”)=15-(6+6)=3(cm)•30% 배점∴(cid:8772)EOFO'=3_3=9(cm¤)•20% 배점(cid:9120)9cm¤답 구하기 해결 과정 ③ 429[문제해결길잡이]❶∠DOE+∠IOO'=90°임을이용하여△DEO∽△OIO'임을보인다.❷❶의닮음과피타고라스정리를이용하여원O'의반지름의길이를구한다.❸△OFC∽△OIO'임을이용하여FC”의길이를구한다.❹색칠한부분의넓이를구한다.오른쪽그림과같이원O'의반지름의길이를x라하고`,점O'에서OF”에내린수선의발을I라하면△DEO와△OIO'에서(cid:100)(cid:100)∠DEO=∠OIO'=90°,(cid:100)(cid:100)∠EDO=90°-∠DOE=∠IOO'이므로(cid:100)(cid:100)△DEOª△OIO'(AA닮음)❶따라서ED”:IO”=EO”:IO'”이므로(cid:100)(cid:100)1:(2-x)=2:IO'”(cid:100)(cid:100)∴IO'”=4-2x직각삼각형OIO'에서(cid:100)(cid:100)(2+x)¤=(2-x)¤+(4-2x)¤(cid:100)(cid:100)x¤-6x+4=0(cid:100)(cid:100)∴x=3-'5(∵x<2)❷한편△OFCª△OIO'(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)OF”:OI”=FC”:IO'”(cid:100)(cid:100)2:(2-x)=FC”:(4-2x)(cid:100)(cid:100)∴FC”=4❸따라서색칠한부분의넓이는(cid:100)(cid:8772)ABCD-(원O의넓이)-(원O'의넓이)(cid:100)=;2!;_(3+6)_4-p_2¤-p_(3-'5)¤(cid:100)=18+(6'5-18)p❹(cid:9120)18+(6'5-18)p428오른쪽그림에서AB”=xcm라하면BC”=(21-x)cm이므로(cid:100)(cid:100)AC”=AE”+CE”=AG”+CH”=(x-3)+(21-x-3)=15(cm)•20% 배점직각삼각형ABC에서(cid:100)(cid:100)x¤+(21-x)¤=15¤,(cid:100)(cid:100)x¤-21x+108=0(cid:100)(cid:100)(x-9)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴x=9또는x=12그런데AB”b)라하면직각삼각형의빗변은외접원의지름이므로(cid:100)(cid:100)a¤+b¤=6¤=36△ABC의넓이가7이므로(cid:100)(cid:100);2!;ab=7(cid:100)(cid:100)∴ab=14따라서(a+b)¤=a¤+b¤+2ab=36+28=64이므로(cid:100)(cid:100)a+b=8(∵a+b>0)즉b=8-a이므로이것을ab=14에대입하여풀면(cid:100)(cid:100)a(8-a)=14,(cid:100)(cid:100)a¤-8a+14=0(cid:100)(cid:100)∴a=4—'2그런데a>b이므로(cid:100)(cid:100)a=4+'2, b=4-'2△ABC의내접원의반지름의길이를r라하면(cid:100)(cid:100)AD”=AF”=4-'2-r(cid:100)(cid:100)BD”=BE”=4+'2-rAB”=AD”+BD”이므로(cid:100)(cid:100)6=(4-'2-r)+(4+'2-r)(cid:100)(cid:100)2r=2(cid:100)(cid:100)∴r=1(cid:9120)⑤△ABC의내접원의반지름의길이를r라하면△ABC의넓이에서(cid:100)(cid:100);2!;_a_b=;2!;_r_(6+a+b)(cid:100)(cid:100);2!;_14=;2!;_r_14(cid:100)(cid:100)∴r=1ODABC6EFab△AOC에서sin(∠CAO)==;2!;이므로(cid:100)(cid:100)∠CAO=30°△ABH에서∠HAB=30°, AB”=r이므로(cid:100)(cid:100)HB”=rtan30°=r따라서△HGF의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2HB”=r(cid:9120)r2'332'33'33r2rOGHO'AEFDBCx`cm3`cm3`cmOE”∥F’O'”,OE”=F’O'”이므로(cid:8772)EOFO'은평행사변형이다.OO'422-x2+xx1ABCFEDI이차방정식ax¤+bx+c=0의해는(cid:100)x=-b—"√b¤-4ac2a(cid:8772)ABCD의둘레의길이가42cm이므로(cid:100)2(AB”+BC”)=42(cid:100)AB”+BC”=21(cid:100)∴BC”=21-AB”=21-x(cm)E0428일품중수3하_정(058-064) 2015.4.28 1:55 PM 페이지64 SinsagoHitec 만점공략BOXⅧ. 원의성질65본책87쪽~90쪽원의성질Ⅷ430∠BOC=2∠BAC=2_72°=144°△OBC는OB”=OC”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OBC=;2!;_(180°-144°)=18°(cid:9120)18°OABC72æ144æ431∠y=2∠BCD=2_100°=200°∠BOD=360°-∠y=360°-200°=160°이므로(cid:100)(cid:100)∠x=;2!;∠BOD=;2!;_160°=80°(cid:100)(cid:100)∴∠x+∠y=80°+200°=280°(cid:9120)③432∠x=∠BDC=38°△ABP에서∠x+∠y=60°이므로(cid:100)(cid:100)∠y=60°-∠x=60°-38°=22°(cid:100)(cid:100)∴∠x-∠y=38°-22°=16°(cid:9120)16°433반원에대한원주각의크기는90°이므로(cid:100)(cid:100)∠BCD=90°∠BDC=∠BAC=42°이므로△BCD에서(cid:100)(cid:100)∠x=90°-42°=48°(cid:9120)48°434BO”의연장선이원O와만나는점을A'이라하면(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BA'C반원에대한원주각의크기는90°이므로(cid:100)(cid:100)∠A'CB=90°A'B”=10이므로직각삼각형A'BC에서(cid:100)(cid:100)A'C”="√10¤-8¤=6(cid:100)(cid:100)∴cosA=cosA'==;1§0;=;5#;(cid:9120);5#;원의중심O에서BC”에내린수선의발을M이라하면직각삼각형OBM에서(cid:100)(cid:100)BM”=;2!;BC”=4,OM”="√5¤-4¤=3(cid:100)(cid:100)∴cosA=cos(∠BOM)==;5#;OM”OB”A'C”A'B”OAA'BC58436△ABP에서(cid:100)(cid:100)∠BAP=∠BPC-∠ABP=75°-50°=25°μAD:μBC=∠ABD:∠BAC이므로(cid:100)(cid:100)μAD:4=50:25(cid:100)(cid:100)∴μAD=8(cm)(cid:9120)8cm438∠x=2∠BAD=2_65°=130°(cid:8772)ABCD가원O에내접하므로(cid:100)(cid:100)65°+∠y=180°(cid:100)(cid:100)∴∠y=115°(cid:100)(cid:100)∴∠x-∠y=130°-115°=15°(cid:9120)15°437오른쪽그림과같이AD”를그으면μAC의길이가원주의;5!;이므로(cid:100)(cid:100)∠ADC=180°_;5!;=36°μBD의길이가원주의;1¡0;이므로(cid:100)(cid:100)∠DAB=180°_;1¡0;=18°따라서△APD에서(cid:100)(cid:100)∠APC=∠ADP+∠DAP=36°+18°=54°(cid:9120)54°ABCDP439△OBC는OB”=OC”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OCB=∠OBC=35°따라서∠BOC=180°-(35°+35°)=110°이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_110°=55°(cid:100)(cid:100)∴∠x=∠BAD=55°+27°=82°(cid:9120)③435μAC=μBD이므로(cid:100)(cid:100)∠DCB=∠ABC=25°△PCB에서(cid:100)(cid:100)∠x=25°+25°=50°(cid:9120)①®BCD에대한중심각의크기개념&기출유형본책88~89쪽원주각17한원에서모든호에대한중심각의크기의합은360°,원주각의크기의합은180°이다.440(cid:8772)PQCD가원O'에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠y=∠PDC=95°(cid:8772)ABQP가원O에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠BAP=180°-∠y=180°-95°=85°(cid:100)(cid:100)∴∠x=2∠BAP=2_85°=170°(cid:100)(cid:100)∴∠x+∠y=170°+95°=265°(cid:9120)265°441삼각형의한외각의크기는이와이웃하지않는두내각의크기의합과같다.오른쪽그림과같이AD”를그으면(cid:100)(cid:100)∠BAD=;2!;∠BOD(cid:100)(cid:100)∠BAD=;2!;_28°(cid:100)(cid:100)∠BAD=14°△ADE에서∠ADC=14°+20°=34°이므로(cid:100)(cid:100)∠AOC=2∠ADC=2_34°=68°(cid:9120)68°내신만점도전하기본책90~92쪽442원에서한호에대한원주각의크기는그호에대한중심각의크기의;2!;배이다.OABCDE14æ20æ28æ이등변삼각형의두밑각의크기는같다.∠BOC=2∠A이므로(cid:100)∠A=∠BOC=∠BOM12E0428일품중수3하_정(065-069) 2015.4.28 1:56 PM 페이지65 SinsagoHitec 66정답및풀이만점공략BOX오른쪽그림과같이BO”,CO”의연장선이원O와만나는점을각각D,E라하면(cid:100)(cid:100)∠AOE=2∠ACE=2_18°=36°,(cid:100)(cid:100)∠AOD=2∠ABD=2_36°=72°이므로(cid:100)(cid:100)∠EOD=72°-36°=36°(cid:100)(cid:100)∴∠BOC=∠EOD=36°(맞꼭지각)(cid:9120)③△OAC는OA”=OC”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OAC=∠OCA=18°또△OAB는OA”=OB”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OAB=∠OBA=36°(cid:100)(cid:100)∴∠CAB=∠OAB-∠OAC=36°-18°=18°(cid:100)(cid:100)∴∠BOC=2∠BAC=2_18°=36°AEDBC36æ72æ36æ18æO443사각형의네내각의크기의합은360°임을이용한다.∠PAO=∠PBO=90°이므로(cid:8772)APBO에서(cid:100)(cid:100)∠AOB=180°-52°=128°(cid:100)(cid:100)∴∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_128°=64°따라서(cid:8772)APBC에서(cid:100)(cid:100)(∠x+90°)+52°+(∠y+90°)+64°=360°(cid:100)(cid:100)∴∠x+∠y=64°(cid:9120)64°보충학습PA”,PB”가원O의접선이고,두점A,B가접점일때①∠P+∠AOB=180°②∠ACB=;2!;∠AOB②∠ACB=;2!;(180°-∠P)ABCPO444오른쪽그림과같이원의중심O에서AB”에내린수선의발을M이라하고, OM”의연장선과원O의교점을D라하자.•10% 배점△AOM과△ADM에서(cid:100)(cid:100)AM”은공통,OM”=DM”,∠OMA=∠DMA=90°이므로(cid:100)(cid:100)△AOM™△ADM(SAS합동)(cid:100)(cid:100)∴AO”=AD”또AO”=OD”이므로△AOD는정삼각형이다.같은방법으로하면BO”=BD”=OD”이므로△BOD도정삼각형이다.•60% 배점∠AOB=∠AOD+∠BOD=60°+60°=120°이므로(cid:100)(cid:100)∠APB=;2!;∠AOB=;2!;_120°=60°•30% 배점(cid:9120)60°답 구하기 해결 과정 문제 이해 ABDPOM원O의반지름의길이445점D에서AO”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)∠AOD=2∠ABD=2_15°=30°이고,OD”=OB”=3이므로△DHO에서(cid:100)(cid:100)DH”=3sin30°=;2#;•50% 배점∠ACD=2∠AOD=2_30°=60°이므로△DHC에서(cid:100)(cid:100)DC”=;2#;_='3•30% 배점따라서원C의넓이는(cid:100)(cid:100)p_('3)¤=3p•20% 배점(cid:9120)3p답 구하기 1sin60°해결 과정 ② 해결 과정 ① A¡A∞”,A™A§”,A£A¶”,A¢A•”446BC”를그어서μAB에대한원주각의크기를구한다.오른쪽그림과같이BC”를그으면(cid:100)(cid:100)∠ABC=90°△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠ACB=90°-50°=40°이므로(cid:100)(cid:100)∠x=∠ACB=40°(cid:9120)③OB”를그으면△OAB는OA”=OB”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OBA=∠OAB=50°(cid:100)(cid:100)∴∠AOB=180°-(50°+50°)=80°(cid:100)(cid:100)∴∠x=;2!;∠AOB=;2!;_80°=40°O50æxABCDOCAHBD15æ3447반원에대한원주각의크기는90°임을이용한다.오른쪽그림과같이원의중심을O라하면한지름에대하여만들수있는직각삼각형이6개이고,지름은모두4개이므로직각삼각형의개수는(cid:100)(cid:100)6_4=24(cid:9120)24OA¡A∞A™A•A¢A§A£Aß448반원에대한원주각의크기는90°임을이용한다.직선BP는반원의접선이므로(cid:100)(cid:100)∠PBA=90°AB”는반원O의지름이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=90°△PCE에서(cid:100)(cid:100)∠CPE=∠CED-∠PCE=104°-90°=14°∠APB=2_14°=28°이므로△PAB에서(cid:100)(cid:100)∠CAB=90°-28°=62°(cid:9120)④두직선이만나서생기는맞꼭지각의크기는서로같다.원의접선은그접점을지나는반지름과서로수직이다.△DHC에서(cid:100)sin60°=(cid:100)∴DC”=DH”sin60°DH”DC”E0428일품중수3하_정(065-069) 2015.4.28 1:56 PM 페이지66 SinsagoHitec 만점공략BOXⅧ. 원의성질67본책90쪽~92쪽원의성질Ⅷ449반원에대한원주각의크기는90°임을이용한다.∠ACB=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠ABC=90°-∠DCB=∠x이때△ABC에서AC”="√20¤-12¤=16이므로(cid:100)(cid:100)sinx==;2!0^;=;5$;(cid:100)(cid:100)cosx==;2!0@;=;5#;(cid:100)(cid:100)∴sinx+cosx=;5&;(cid:9120);5&;BC”AB”AC”AB”ABCDO20xx12오른쪽그림과같이AQ”를긋고∠PQA=∠a,∠AQR=∠b라하면μAB,μBC,μCA에대한원주각의크기의합은180°이므로(cid:100)(cid:100)2∠a+2∠b+∠x=180°∠a+∠b=69°이므로위의식에대입하면(cid:100)(cid:100)138°+∠x=180°(cid:100)(cid:100)∴∠x=42°450평행한두직선이다른한직선과만날때생기는엇각의크기가같음을이용한다.μBC에대하여(cid:100)(cid:100)∠CDB=∠BAC=15°AB”∥CD”이므로(cid:100)(cid:100)∠DCA=∠BAC=15°(엇각)이때∠ACB=90°이므로△DBC에서(cid:100)(cid:100)∠CBD=180°-(90°+15°)-15°=60°μBC：μCD=∠BAC：∠CBD이므로(cid:100)(cid:100)4：μCD=15：60(cid:100)(cid:100)∴μCD=16(cm)(cid:9120)⑤4`cmABCD15æ15æ15æO451μAD=μDE=μBE이므로(cid:100)(cid:100)∠ACD=∠DCE=∠ECB=;3!;∠ACB(cid:100)(cid:100)∠ACD=;3!;_90°=30°(cid:100)(cid:100)∴∠x=30°•40% 배점μAC:μBC=7:5이므로(cid:100)(cid:100)∠CAB=90°_;1∞2;=37.5°(cid:100)(cid:100)∴∠y=∠ACE+∠CAB=60°+37.5°=97.5°•50% 배점∴∠x+∠y=30°+97.5°=127.5°•10% 배점(cid:9120)127.5°답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 452한원에서호의길이는그호에대한원주각의크기에정비례한다.μAB=2a,μBC=2b,μCA=2c라하면(cid:100)(cid:100)∠PQR=180°_=69°(cid:100)(cid:100)∴∠x=180°_(cid:100)(cid:100)∴∠x=180°_{-}(cid:100)(cid:100)∴∠x=180°-2_69°(cid:100)(cid:100)∴∠x=42°(cid:9120)④2a+2c2a+2b+2c2a+2b+2c2a+2b+2c2b2a+2b+2ca+c2a+2b+2c453AC”를그어서μAD에대한원주각의크기를구한다.오른쪽그림과같이AC”를그으면μAD:μBC=2:3이므로(cid:100)(cid:100)∠ACD:∠CAB=2:3△ACP에서(cid:100)(cid:100)∠ACP+∠CAP=100°이므로(cid:100)(cid:100)∠ACD=100°_;5@;=40°따라서∠AOD=2∠ACD=2_40°=80°이므로원O의반지름의길이를r라하면(cid:100)(cid:100)2p_r_;3•6º0;=2p(cid:100)(cid:100)∴r=;2(;(cid:9120)②BOPAC2π3π100æD454AD”를그어서μAC와μBD에대한원주각의크기를구한다.오른쪽그림과같이AD”를그으면△PAD에서(cid:100)(cid:100)∠PDA+∠PAD=80°즉μAC와μBD에대한원주각의크기의합이80°이므로(cid:100)(cid:100)μAC+μBD=2p_10_;1•8º0;=:•9º:p(cm)(cid:9120)④10`cmADPCB80æO455μAB=μAD이므로(cid:100)(cid:100)∠ABD=∠ADB=∠x(cid:100)(cid:100)∴∠DBC=;3$;∠ABD=;3$;∠xBC”는원O의지름이므로(cid:100)(cid:100)∠BDC=90°•50% 배점(cid:8772)ABCD가원O에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠ABC+∠ADC=180°(cid:100)(cid:100){∠x+;3$;∠x}+(∠x+90°)=180°(cid:100)(cid:100);;¡3º;;∠x=90°(cid:100)(cid:100)∴∠x=27°•50% 배점(cid:9120)27°∠DBC=;3$;∠ABD에서3∠DBC=4∠ABD이므로(cid:100)(cid:100)∠DBC:∠ABD=4:3∠DBC=4∠a,∠ABD=3∠a라하면답 구하기 해결 과정 aabbxABCPQR3a4a6a6a8aABCDOx∠COB=180°_;1∞2;∠COB=75°에서(cid:100)∠CAB=;2!;∠COB=;2!;_75°=37.5°E0428일품중수3하_정(065-069) 2015.4.28 1:56 PM 페이지67 SinsagoHitec 68정답및풀이만점공략BOX(cid:100)(cid:100)∠BOA=∠AOD=2_3∠a=6∠a(cid:100)(cid:100)∠DOC=2_4∠a=8∠a따라서∠BOA+∠AOD+∠DOC=180°이므로(cid:100)(cid:100)6∠a+6∠a+8∠a=180°(cid:100)(cid:100)20∠a=180°(cid:100)(cid:100)∴∠a=9°(cid:100)(cid:100)∴∠x=3∠a=3_9°=27°∴∠PAB=∠DRS=96°•20% 배점(cid:9120)96°답 구하기 ∠BOC는평각이다.456원에내접하는사각형의한쌍의대각의크기의합은180°임을이용한다.(cid:8772)ABCD가원O에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠B+∠x=180°(cid:100)(cid:100)∴∠B=180°-∠x△FBC에서(cid:100)(cid:100)∠FCE=40°+(180°-∠x)=220°-∠x△CDE에서(cid:100)(cid:100)∠x=(220°-∠x)+50°(cid:100)(cid:100)2∠x=270°(cid:100)(cid:100)∴∠x=135°(cid:9120)⑤457(cid:8772)BCDE가원O에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠BED=180°-114°=66°또BE”는원O의지름이므로(cid:100)(cid:100)∠BDE=90°(cid:100)(cid:100)∴∠DBE=180°-(66°+90°)=24°•50% 배점따라서∠ABD=2_24°=48°이므로△FBD에서(cid:100)(cid:100)∠BFD=180°-(48°+90°)=42°•50% 배점(cid:9120)42°답 구하기 해결 과정 458다각형에보조선을그어사각형을만들어생각한다.오른쪽그림과같이AD”,BD”를그으면(cid:100)(cid:100)∠ADB=;2!;∠AOB(cid:100)(cid:100)∠ADB=;2!;_58°=29°AB”=BC”이므로(cid:100)(cid:100)∠BDC=∠ADB=29°또(cid:8772)ADEF가원O에내접하므로∠ADE+∠EFA=180°에서(cid:100)(cid:100)∠x-(29°+29°)+∠y=180°(cid:100)(cid:100)∴∠x+∠y=238°(cid:9120)⑤460오른쪽그림과같이AC”와DO”의교점을G라하면△DAG와△DCG에서(cid:100)(cid:100)AD”=CD”,GD”는공통,(cid:100)(cid:100)∠ADG=∠CDG이므로(cid:100)(cid:100)△DAG™△DCG(SAS합동)(cid:100)(cid:100)∴∠DGA=∠DGC=90°•20% 배점△ADB와△DGA에서(cid:100)(cid:100)∠ADB=∠DGA=90°, ∠ABD=∠DAG이므로(cid:100)(cid:100)△ADBª△DGA(AA닮음)따라서AB”:DA”=AD”:DG”이므로(cid:100)(cid:100)16:4=4:DG”(cid:100)(cid:100)∴DG”=1(cid:100)(cid:100)∴OG”=OD”-DG”=8-1=7•40% 배점직각삼각형AOG에서(cid:100)(cid:100)AG”="√8¤-7¤='∂15(cid:100)(cid:100)∴AC”=2AG”=2'∂15•20% 배점직각삼각형ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”=ø∑16¤-∑(2'∂15)¤=14•20% 배점(cid:9120)14△AOG와△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠A는공통,∠AGO=∠ACB=90°이므로(cid:100)(cid:100)△AOGª△ABC(AA닮음)따라서AO”:AB”=OG”:BC”이므로(cid:100)(cid:100)8:16=7:BC”(cid:100)(cid:100)∴BC”=14답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 문제 이해 내신만점굳히기본책93쪽GABOCD58æ29æ29æxyABCDEFO한원에서길이가같은두현에대한원주각의크기는같다.459(cid:8772)ABQP가원O¡에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠PAB=∠PQS(cid:8772)PQSR가원O™에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠PQS=∠DRS(cid:100)(cid:100)∴∠PAB=∠DRS•40% 배점(cid:8772)RSCD가원O£에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠DRS+∠DCS=180°(cid:100)(cid:100)∴∠DRS=180°-∠DCS=180°-84°=96°•40% 배점해결 과정 ② 해결 과정 ① 461오른쪽그림과같이BQ”를그으면∠ACB와∠AQB는μAB에대한원주각이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠AQBAQ”는원O의지름이므로(cid:100)(cid:100)∠ABQ=90°•30% 배점△AHC와△ABQ에서(cid:100)(cid:100)∠ACH=∠AQB,∠AHC=∠ABQ=90°이므로(cid:100)(cid:100)△AHCª△ABQ(AA닮음)즉AH”:AB”=AC”:AQ”이므로(cid:100)(cid:100)4:8=6:AQ”(cid:100)(cid:100)∴AQ”=12•50% 배점따라서원O의반지름의길이가6이므로넓이는(cid:100)(cid:100)p_6¤=36p•20% 배점(cid:9120)36p답 구하기 해결 과정 문제 이해 ABCPQOH846△ADO와△CDO는합동인이등변삼각형이므로(cid:100)∠ADO=∠CDOAD”=DC”이므로(cid:100)∠ABD=∠DAGE0428일품중수3하_정(065-069) 2015.4.28 1:57 PM 페이지68 SinsagoHitec 만점공략BOXⅧ. 원의성질69본책92쪽~93쪽원의성질Ⅷ이고,∠ACG=∠ADG=15°이므로(cid:100)(cid:100)∠BCG=∠ACB+∠ACG=75°+15°=90°이때(cid:8772)ABCG가원O에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠BAG=180°-∠BCG=180°-90°=90°또△ADE에서(cid:100)(cid:100)∠AEG=∠EAD+∠EDA=15°+15°=30°AE”=ED”=xcm라하면EG”=(1-x)cm이므로△AEG에서(cid:100)(cid:100)cos30°===(cid:100)(cid:100)2x='3(1-x),(cid:100)(cid:100)(2+'3)x='3(cid:100)(cid:100)∴x=='3(2-'3)(cm)(cid:9120)④'32+'3'32x1-xAE”EG”463한원에서길이가같은호에대한원주각의크기는서로같음을이용한다.AB”=BC”=CD”=DE”=EA”이므로(cid:100)(cid:100)μAB=μBC=μCD=μDE=μEA따라서μAB의길이는원주의;5!;이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=180°_;5!;=36°또®CDE의길이는원주의;5@;이므로(cid:100)(cid:100)∠CBF=180°_;5@;=72°△BCF에서(cid:100)(cid:100)∠CFB=180°-(36°+72°)=72°(cid:100)(cid:100)∴BC”=CF”△ABC와△AFB에서(cid:100)(cid:100)∠BAC는공통,∠ACB=∠ABF이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△AFB(AA닮음)AB”=BC”=FC”=xcm라하면AB”：AF”=AC”：AB”이므로(cid:100)(cid:100)x：2=(2+x)：x,(cid:100)(cid:100)x¤=4+2x(cid:100)(cid:100)x¤-2x-4=0(cid:100)(cid:100)∴x=1+'5(∵x>0)(cid:9120)(1+'5)cm465[문제해결길잡이]❶AH”=a라하고(cid:8772)ABCD의각꼭짓점에서내접원O에그은접선의길이를각각a로나타낸다.❷△AEOª△OFC임을이용하여r와a의관계식을구한다.❸△BFOª△OGD임을이용하여r와a의관계식을구한다.❹❷,❸의식을연립하여r의값을구한다.(cid:8772)ABCD는원에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠A+∠C=180°오른쪽그림과같이사각형ABCD와내접원O의접점을각각E,F,G,H라하고AE”=AH”=a라하면(cid:100)(cid:100)BF”=BE”=14-a(cid:100)(cid:100)DG”=DH”=9-a(cid:100)(cid:100)CF”=CG”=a-2❶△AEO와△OFC에서(cid:100)(cid:100)∠AEO=∠OFC=90°,(cid:100)(cid:100)∠EAO=;2!;∠A=;2!;(180°-∠C)(cid:100)(cid:100)∠FBO=90°-;2!;∠C=90°-∠OCF=∠FOC이므로(cid:100)(cid:100)△AEOª△OFC(AA닮음)이때내접원O의반지름의길이를r라하면AE”：OF”=EO”：FC”에서(cid:100)(cid:100)a：r=r：(a-2)(cid:100)(cid:100)∴r¤=a(a-2)yy㉠❷(cid:100)같은방법으로하면△BFOª△OGD(AA닮음)이므로BF”：OG”=FO”：GD”에서(cid:100)(cid:100)(14-a)：r=r：(9-a)(cid:100)(cid:100)∴r¤=(14-a)(9-a)yy㉡❸(cid:100)㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)a(a-2)=(14-a)(9-a)(cid:100)(cid:100)21a=126(cid:100)(cid:100)∴a=6a=6을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)r¤=24(cid:100)(cid:100)∴r=2'6(∵r>0)따라서내접원O의반지름의길이는2'6이다.❹(cid:9120)2'6464한원에서길이가같은호에대한원주각의크기는서로같음을이용한다.오른쪽그림과같이AD”를그으면(cid:100)(cid:100)∠DAB=∠ADG(cid:100)(cid:100)∠DAB=180°_;1¡2;(cid:100)(cid:100)∠DAB=15°이므로△EAD는EA”=ED”인이등변삼각형이다.이때△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠ABC=∠ACB=;2!;_(180°-30°)=75°1`cmACBDGEF30æO14-aaa14-aa-2a-29-a9-aADHGCBFOE462반원에대한원주각의크기는90°임을이용한다.l¡¤+l™¤+l£¤+y+l¡§¤=l이라하면(cid:100)(cid:100)l=(l¡¤+l¡∞¤)+(l™¤+l¡¢¤)+y+(l¶¤+lª¤)+l•¤+l¡§¤∠PºOP¡=∠P¡OP™=y=∠P¡∞OP¡§에서중심각의크기가같으면현의길이가같으므로(cid:100)(cid:100)l¡∞=P¡P¡§”, l¡¢=P™P¡§”, y, lª=P¶P¡§”따라서(cid:100)(cid:100)l=(l¡¤+P¡P¡§”¤)+(l™¤+P™P¡§”¤)(cid:100)(cid:100)l=+y+(l¶¤+P¶P¡§”¤)+l•¤+l¡§¤에서l¡¤+P¡P¡§”¤, l™¤+P™P¡§”¤, y, l¶¤+P¶P¡§”¤의값은각각직각삼각형PºP¡P¡§, PºP™P¡§, y, PºP¶P¡§의빗변의길이의제곱과같고이직각삼각형들의빗변은모두원O의지름이다.(cid:100)(cid:100)∴l=P¡§Pº”¤+P¡§Pº”¤+y+P¡§Pº”¤+l•¤+l¡§¤(cid:100)(cid:100)∴l=7_2¤+('2)¤+2¤=34(cid:9120)③두내각의크기가같은삼각형은이등변삼각형이다.△PºP•P¡§은(cid:100)∠PºP•P¡§=90°,(cid:100)PºP•”=P•P¡§”인직각이등변삼각형이므로(cid:100)l•:2=1:'2(cid:100)∴l•='2CF”=CG”=BC”-BF”=12-(14-a)=a-2E0428일품중수3하_정(065-069) 2015.4.28 1:57 PM 페이지69 SinsagoHitec 70정답및풀이만점공략BOX467네점A,B,C,D가한원위에있으므로(cid:100)(cid:100)∠x=∠DBC=180°-(95°+60°)=25°△ABP에서∠ABP=95°-55°=40°이므로(cid:100)(cid:100)∠y=∠ABD=40°(cid:100)(cid:100)∴∠y-∠x=40°-25°=15°(cid:9120)15°468네점A,B,C,D가한원위에있으므로(cid:100)(cid:100)∠x=∠ACB=25°△PBD에서(cid:100)(cid:100)∠y=50°+25°=75°(cid:100)(cid:100)∴∠x+∠y=25°+75°=100°(cid:9120)100°469③∠DAB=∠DCB이지만∠DAB+∠DCB+180°이면(cid:8772)ABCD가원에내접하지않는다.(cid:9120)③471∠ACB:∠BAC:∠ABC(cid:100)=μAB:μBC:μCA=8:4:3이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=180°_=48°(cid:100)(cid:100)∴∠BCT=∠BAC=48°(cid:9120)48°48+4+3470㈂직사각형의네내각의크기는모두90°이므로대각의크기의합이180°이다.㈄정사각형의네내각의크기는모두90°이므로대각의크기의합이180°이다.㈅등변사다리꼴의아랫변의양끝각의크기가서로같고윗변의양끝각의크기가서로같으므로대각의크기의합이180°이다.이상에서항상원에내접하는사각형은㈂,㈄,㈅의3개이다.(cid:9120)③473∠ATP=∠ACT=100°이므로△APT에서(cid:100)(cid:100)∠APT=180°-(100°+40°)=40°(cid:100)(cid:100)∴∠BPT=∠APT=40°(cid:9120)③∠ABT+∠ACT=180°이므로(cid:100)(cid:100)∠ABT=180°-∠ACT=180°-100°=80°∠BTP=∠BAT=40°이므로△BPT에서(cid:100)(cid:100)∠BPT=∠ABT-∠BTP=80°-40°=40°472∠EDC=∠EFD=63°△CED는CD”=CE”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠ECD=180°-2_63°=54°따라서△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠ABC=180°-(84°+54°)=42°(cid:9120)②474CP”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)DP”=14-x(cm)PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)8_5=x(14-x)(cid:100)(cid:100)x¤-14x+40=0,(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-10)=0(cid:100)(cid:100)∴x=4또는x=10그런데CP”0)(cid:9120)4479원O의반지름의길이를r라하면PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)3_8=(6-r)(6+r)(cid:100)(cid:100)r¤=12(cid:100)(cid:100)∴r=2'3(∵r>0)따라서원O의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2p_2'3=4'3p(cid:9120)4'3p480원O에서PA”_PB”=PE”_PF”이므로(cid:100)(cid:100)PA”_2=4_6(cid:100)(cid:100)∴PA”=12원O'에서PC”_PD”=PE”_PF”이므로(cid:100)(cid:100)3_PD”=4_6(cid:100)(cid:100)∴PD”=8(cid:100)(cid:100)∴PA”+PD”=20(cid:9120)20개념&기출유형본책94~97쪽원주각의활용18466①∠BAC+∠BDC②∠ADB+∠ACB③∠ABD=80°-35°=45°이므로(cid:100)(cid:100)∠ABD+∠ACD④∠BAC=180°-(80°+30°)=70°이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC⑤∠BDC=90°-30°=60°이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC따라서네점A,B,C,D가한원위에있는것은④,⑤이다.(cid:9120)④,⑤원에내접하는사각형의한쌍의대각의크기의합은180°이다.한원에서호의길이는그호에대한원주각의크기에정비례한다.네점이한원위에있는지알아보려면한직선에대하여같은쪽에있는두점으로만들어진각의크기가같은지확인한다.CP”=4cm,DP”=10cm또는CP”=10cm,DP”=4cmE0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지70 SinsagoHitec 만점공략BOXⅧ. 원의성질71본책94쪽~98쪽원의성질Ⅷ481PC”=x라하면PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)(6+x)_3=x_(3+9)(cid:100)(cid:100)18+3x=12x(cid:100)(cid:100)∴x=2(cid:9120)2482PA”=x라하면PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)x(x+20)=6_16(cid:100)(cid:100)x¤+20x-96=0,(cid:100)(cid:100)(x+24)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴x=4(∵x>0)(cid:9120)4483∠ATP=∠ABT=∠APT이므로△APT는AP”=AT”=4인이등변삼각형이다.PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PT”¤=4_12=48(cid:100)(cid:100)∴PT”=4'3(∵PT”>0)(cid:9120)④484PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)5_8=x(x+6)(cid:100)(cid:100)x¤+6x-40=0,(cid:100)(cid:100)(x+10)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴x=4(∵x>0)PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)y¤=5_8=40(cid:100)(cid:100)∴x¤+y¤=4¤+40=56(cid:9120)56485AT”¤=AO”_AB”이므로(cid:100)(cid:100)AT”¤=4_8=32(cid:100)(cid:100)∴AT”=4'2(cm)(∵AT”>0)이때∠ATO'=90°이고TO'”=;2!;AO”=2(cm)이므로(cid:100)(cid:100)△AO'T=;2!;_2_4'2=4'2(cm¤)(cid:9120)①486PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)x¤=3_(3+y)yy㉠(cid:100)(cid:100)PT'”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)(3'2)¤=3_(3+y)(cid:100)(cid:100)∴y=3y=3을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)x=3'2(∵x>0)(cid:100)(cid:100)∴xy=9'2(cid:9120)⑤487TT'”=12cm이므로(cid:100)(cid:100)PT”=PT'”=6cmPA”=xcm라하면PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)6¤=x(x+9),(cid:100)(cid:100)x¤+9x-36=0(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴x=3(∵x>0)(cid:9120)3cm488PC”=x라하면PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)5_12=x(x+4),(cid:100)(cid:100)x¤+4x-60=0(cid:100)(cid:100)(x+10)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴x=6(∵x>0)(cid:9120)③내신만점도전하기본책98~101쪽489OB”를긋고∠CAB,∠OAB의크기를구한다.네점A,B,C,D가한원위에있으므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ADB=50°(cid:100)(cid:100)∴∠ACE=∠BCE=25°또∠AOB=2∠ACB=100°이고△OAB는OA”=OB”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠OAB=;2!;_(180°-100°)=40°△CAE에서(cid:100)(cid:100)∠CAE=80°-25°=55°(cid:100)(cid:100)∴∠CAO=∠CAE-∠OAB=55°-40°=15°(cid:9120)②원의접선은그접점을지나는원의반지름과서로수직이다.491∠AQP=∠ARP이므로네점A,Q,R,P가한원위에있음을이용한다.∠AQP=∠ARP이므로네점A,Q,R,P는한원위에있다.(cid:100)(cid:100)∴∠ARQ=∠APQ△AQP∽△APB(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)∠APQ=∠ABP=32°(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴∠ARQ=∠APQ=32°(cid:100)(cid:100)∴∠QRC=180°-∠ARQ=180°-32°=148°(cid:9120)148°x¤=3_(3+3)=18(cid:100)∴x=3'2(∵x>0)50æ25æ25æ80æ100æ55æ40æABOCDE32æBRAP32æCQ490네점이한원위에있을조건을이용한다.∠BEC=∠BDC이므로네점B,C,D,E는한원위에있다.이때∠BEC=90°이고BM”=CM”이므로점M은이원의중심이다.△ABD에서(cid:100)(cid:100)∠ABD=90°-70°=20°(cid:100)(cid:100)∴∠EMD=2∠EBD=2_20°=40°(cid:9120)③호AQ에대한원주각492△COP에서(cid:100)(cid:100)∠CPO=40°-10°=30°∠OCP=∠ODP이므로네점C,O,P,D는한원위에있다.(cid:100)(cid:100)∴∠CDO=∠CPO=30°•50% 배점△COD는OC”=OD”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠COD=180°-2_30°=120°•30% 배점∴∠DOB=180°-(∠AOC+∠COD)=180°-(40°+120°)=20°•20% 배점(cid:9120)20°답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 40æ10æ10æAOPBCD직각삼각형의빗변의중점은외심이다.호CO에대한원주각E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지71 SinsagoHitec 72정답및풀이만점공략BOX499PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)3_PB”=2_6(cid:100)(cid:100)∴PB”=4•40% 배점BQ”=x라하면QB”_QA”=QE”_QD”이므로(cid:100)(cid:100)x(x+7)=3_(3+3),(cid:100)(cid:100)x¤+7x-18=0(cid:100)(cid:100)(x+9)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴x=2(∵x>0)•60% 배점(cid:9120)2답 구하기 해결 과정 500점P는두현AB,CD의교점이므로AP”_BP”=CP”_DP”이다.직각삼각형PBD에서(cid:100)(cid:100)PB”=ø∑(6'5)¤∑-6¤=12원O의반지름의길이를r라하면(cid:100)(cid:100)AP”=2r-12AP”_BP”=CP”_DP”이므로(cid:100)(cid:100)(2r-12)_12=6_6,(cid:100)(cid:100)2r-12=3(cid:100)(cid:100)2r=15(cid:100)(cid:100)∴r=;;¡2∞;;따라서원O의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2p_;;¡2∞;;=15p(cid:9120)15p501원에서길이가가장긴현은지름이다.점P를지나는현중에서길이가가장긴것은지름일때이므로그길이는10이다.또점P를지나는현중에서길이가가장짧은것은[그림1]과같이현이OP”에수직일때이므로(cid:100)(cid:100)A'P”="√5¤-3¤=4(cid:100)(cid:100)∴A'B'”=8따라서정수인현의길이는8,9,10이므로(cid:100)(cid:100)QR”=PQ”+PR”=9이때[그림2]와같이점P를지나는원O의지름을AB라하면(cid:100)(cid:100)PQ”_PR”=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PQ”_PR”=8_2=16PQ”=a, PR”=b라하면495접선과그접점을지나는현이이루는각의크기는그각의내부에있는호에대한원주각의크기와같다.△TBP는TB”=TP”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠TBA=∠APT=38°이때PT”가원의접선이므로(cid:100)(cid:100)∠ATP=∠TBA=38°따라서△TAP에서(cid:100)(cid:100)∠BAT=38°+38°=76°(cid:9120)②496접선과그접점을지나는현이이루는각의크기는그각의내부에있는호에대한원주각의크기와같다.∠BAT=∠BCA=54°이므로(cid:100)(cid:100)∠EDA=∠EAT=54°∠EAD=∠x라하면∠BDE=∠x이므로△BAD에서(cid:100)(cid:100)40°+∠x+(54°+∠x)=180°(cid:100)(cid:100)2∠x=86°(cid:100)(cid:100)∴∠x=43°(cid:9120)④40æ54æ54æ54æBCEDTA497∠BTQ=∠BAT=40°이때∠PTD=∠BTQ=40°(맞꼭지각)이므로(cid:100)(cid:100)∠TCD=∠PTD=40°•70% 배점따라서△DTC에서(cid:100)(cid:100)∠DTC=180°-(55°+40°)=85°•30% 배점(cid:9120)85°답 구하기 해결 과정 498원에서두현의수직이등분선의교점은원의중심이다.PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)6_16=PC”_8(cid:100)(cid:100)∴PC”=12(cm)493한외각의크기가그내대각의크기와같은사각형은원에내접함을이용한다.△ABP에서(cid:100)(cid:100)∠ABP=180°-(75°+33°)=72°∠ADC=25°+47°=72°이므로(cid:100)(cid:100)∠ABP=∠ADC따라서(cid:8772)ABCD는원에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=∠BDC=47°(cid:100)(cid:100)∴∠DAC=180°-(75°+47°)=58°△AED에서(cid:100)(cid:100)∠DEC=25°+58°=83°(cid:9120)②오른쪽그림과같이원의중심O에서두현AB, CD에내린수선의발을각각Q, R라하면(cid:100)(cid:100)QB”=;2!;_(6+16)(cid:100)(cid:100)QB”=11(cm)(cid:100)(cid:100)OQ”=RP”=;2!;_(8+12)-8=2(cm)직각삼각형OQB에서(cid:100)(cid:100)OB”="√2¤+11¤=5'5(cm)따라서원O의넓이는(cid:100)(cid:100)p_(5'5)¤=125p(cm¤)(cid:9120)④494사각형이원에내접하기위한조건을생각한다.⁄한쌍의대각의크기의합이180°인경우(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ADHF,(cid:8772)BEHD,(cid:8772)CFHE¤한직선에대하여같은쪽에있는두점으로만들어진각의크기가같은경우(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABEF,(cid:8772)BCFD,(cid:8772)CADE⁄,¤에서구하는사각형의개수는6이다.(cid:9120)6ABCDPROQ16`cm8`cm6`cmOP53A'B'OPABQR109원의중심에서현에내린수선은그현을이등분한다.[그림1][그림2]CP”=DP”=6(5+3)(5-3)E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지72 SinsagoHitec 만점공략BOXⅧ. 원의성질73본책98쪽~101쪽원의성질Ⅷa+b=9, ab=16이므로(cid:100)(cid:100)|a-b|="√(a-b)¤="√(a+b)¤-4ab(cid:100)(cid:100)|a-b|="√9¤-4_16='∂17(cid:9120)③502원O의반지름의길이를r라하면직각삼각형DPO에서(cid:100)(cid:100)17¤=(7+r)¤+r¤,(cid:100)(cid:100)r¤+7r-120=0(cid:100)(cid:100)(r+15)(r-8)=0(cid:100)(cid:100)∴r=8(∵r>0)•40% 배점CD”=x라하면PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)7_(7+16)=(17-x)_17(cid:100)(cid:100)161=289-17x,(cid:100)(cid:100)17x=128(cid:100)(cid:100)∴x=;;¡1™7•;;•60% 배점(cid:9120);;¡1™7•;;답 구하기 해결 과정 503점B는두현AC,DE의교점이므로AB”_BC”=BD”_BE”이다.BC”=AB”=4점B에서서로외접하는두원의반지름의길이를각각a,b라하면AB”_BC”=BD”_BE”이므로(cid:100)(cid:100)4¤=2a_2b(cid:100)(cid:100)∴ab=4따라서두원의넓이의곱은(cid:100)(cid:100)pa¤_pb¤=p¤(ab)¤=16p¤(cid:9120)④504원의중심에서현에그은수선은그현을이등분한다.두원O,O'의반지름의길이를각각r,r'이라하면원O'에서O'O”⊥DO”이므로(cid:100)(cid:100)AO”_OE”=DO”¤,(cid:100)(cid:100)r(r-5)=(r-3)¤(cid:100)(cid:100)r¤-5r=r¤-6r+9(cid:100)(cid:100)∴r=9또2r'=2r-5이므로(cid:100)(cid:100)r'=r-;2%;=9-;2%;=;;¡2£;;따라서두원의둘레의길이의합은(cid:100)(cid:100)2p_9+2p_;;¡2£;;=31p(cid:9120)⑤505PE”_PB”=PD”_PF”, PE”_PA”=PF”_PC”임을이용한다.원O'에서PE”_PB”=PD”_PF”이므로(cid:100)(cid:100)PE”_3=2_PF”yy㉠(cid:100)(cid:100)원O에서PE”_PA”=PF”_PC”이므로(cid:100)(cid:100)PE”_PA”=PF”_10yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠÷㉡을하면(cid:100)(cid:100)=;5!;(cid:100)(cid:100)∴PA”=15(cm)(cid:9120)②3PA”506PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)PA”_(PA”+8)=6_(6+2)(cid:100)(cid:100)PA”¤+8PA”-48=0(cid:100)(cid:100)(PA”+12)(PA”-4)=0(cid:100)(cid:100)∴PA”=4(∵PA”>0)•40% 배점해결 과정 ① 507PQ”=PT”=8(cm)•30% 배점AQ”=xcm라하면PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)8¤=(8-x)(8+4)•50% 배점64=96-12x(cid:100)(cid:100)∴x=;3*;(cid:100)(cid:100)∴AQ”=;3*;cm•20% 배점(cid:9120);3*;cm답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 508접선과현이이루는각의크기는그각의내부에있는호에대한원주각의크기와같음을이용한다.∠ATP=∠ABT이고△BTP는PT”=BT”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠TPA=∠ABT(cid:100)(cid:100)∴∠ATP=∠TPA따라서△ATP에서(cid:100)(cid:100)AT”=PA”이때PA”=x라하면PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)2¤=x(x+2),(cid:100)(cid:100)x¤+2x-4=0(cid:100)(cid:100)∴x=-1+'5(∵x>0)(cid:100)(cid:100)∴AT”=PA”=-1+'5(cid:9120)①원밖의한점에서원에그은두접선의길이는서로같다.ABTP222PA”:PG”=4:3이므로(cid:100)(cid:100)4:PG”=4:3(cid:100)(cid:100)∴PG”=3•20% 배점PG”_PH”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)3_(3+GH”)=6_(6+2)(cid:100)(cid:100)3+GH”=16(cid:100)(cid:100)∴GH”=13•40% 배점(cid:9120)13답 구하기 해결 과정 ② 509∠ACB=90°이므로△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√10¤-8¤=6•10% 배점BD”=x, CD”=y라하면CD”¤=AD”_BD”이므로(cid:100)(cid:100)y¤=x(x+10)yy㉠(cid:100)(cid:100)•30% 배점△ADC와△CDB에서(cid:100)(cid:100)∠CAD=∠BCD,∠D는공통이므로(cid:100)(cid:100)△ADCª△CDB(AA닮음)따라서AC”:CB”=CD”:BD”이므로(cid:100)(cid:100)8:6=y:x,(cid:100)(cid:100)8x=6y(cid:100)(cid:100)∴x=;4#;yyy㉡(cid:100)(cid:100)•30% 배점㉡을㉠에대입하면(cid:100)(cid:100)y¤=;4#;y{;4#;y+10},(cid:100)(cid:100)7y¤-120y=0(cid:100)(cid:100)∴y=;;¡;7@;º;;(∵y+0)•30% 배점(cid:9120);;¡;7@;º;;답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 문제 이해 510BC”¤=CP”_CA”임을이용한다.AB”가원O의지름이므로(cid:100)(cid:100)∠APB=90°(cid:100)(cid:100)∴∠BPC=90°QB”=QP”이므로(cid:100)(cid:100)∠QBP=∠QPBPG”_PH”=PE”_PF”=PC”_PD”DE”는가장큰원의지름이고`,AC”⊥DE”이므로DE”는AC”를이등분한다.E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지73 SinsagoHitec 74정답및풀이만점공략BOX(cid:100)(cid:100)∴∠QPC=90°-∠QPB=90°-∠QBP=∠ABP이때△ABCª△APB(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=∠ABP따라서∠QPC=∠ACB이므로(cid:100)(cid:100)QC”=QP”=2'∂11PC”=x라하면BC”¤=CP”_CA”이므로(cid:100)(cid:100)(4'∂11)¤=x(x+5)(cid:100)(cid:100)x¤+5x-176=0,(cid:100)(cid:100)(x+16)(x-11)=0(cid:100)(cid:100)∴x=11(∵x>0)(cid:9120)11511PT”¤=PA”_PB”=PC”_PD”임을이용한다.①PT”¤=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)PT”¤=6_(6+14)=120(cid:100)(cid:100)∴PT”=2'∂30(∵PT”>0)②PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PT”¤=8_(8+AB”)(cid:100)(cid:100)120=8_(8+AB”)(cid:100)(cid:100)∴AB”=7③PA”_PB”=PC”_PD”이므로네점A,B,C,D는한원위에있다.⑤원O에서접선과할선사이의관계에의하여(cid:100)(cid:100)∠PTA=∠TBA(cid:9120)④④③에의하여∠BAD=∠BCD이다.참고원O에서(cid:100)PT”¤=PA”_PB”원O'에서(cid:100)PT”¤=PC”_PD”(cid:100)∴PA”_PB”=PC”_PD”512PB”_PA”=PC”¤=PD”_PE”=PF”¤임을이용한다.원O¡의넓이가36p=6¤_p이므로반지름의길이는6이다.PB”_PA”=PC”¤=PD”_PE”=PF”¤이므로(cid:100)(cid:100)3_(3+12)=PF”¤(cid:100)(cid:100)∴PF”=3'5(∵PF”>0)(cid:9120)②513△ABC와△ADE가합동이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AD”(cid:100)(cid:100)∴∠ABD=;2!;_(180°-50°)=65°•30% 배점네점A,B,D,E가한원위에있으므로(cid:8772)ABDE에서(cid:100)(cid:100)∠ABD+∠AED=180°(cid:100)(cid:100)65°+∠AED=180°(cid:100)(cid:100)∴∠AED=115°•50% 배점∴∠ACB=∠AED=115°•20% 배점(cid:9120)115°답 구하기 해결 과정 ② 50æ65æABDCE해결 과정 ① 내신만점굳히기본책102쪽514닮음인삼각형을찾아닮음비를이용한다.AB”는원O의접선이므로(cid:100)(cid:100)∠BCP=∠ABPAC”는원O의접선이므로(cid:100)(cid:100)∠CBP=∠PCA△BPD와△CPE에서(cid:100)(cid:100)∠DBP=∠ECP,(cid:100)(cid:100)∠BDP=∠CEP=90°이므로(cid:100)(cid:100)△BPDª△CPE(AA닮음)(cid:100)(cid:100)∴BP”:CP”=DP”:EP”yy㉠(cid:100)(cid:100)△BEP와△CFP에서(cid:100)(cid:100)∠PBE=∠PCF,∠BEP=∠CFP=90°이므로(cid:100)(cid:100)△BEPª△CFP(AA닮음)(cid:100)(cid:100)∴BP”:CP”=EP”:FP”yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡에서DP”:EP”=EP”:FP”이므로(cid:100)(cid:100)EP”¤=DP”_FP”="√10¤-9¤_"√10¤-6¤='∂19_8=8'∂19(cid:9120)8'∂19ABCDEOFP1096515OQ”⊥AB”이므로(cid:100)(cid:100)∠QMP=∠QSP=90°즉네점S,P,Q,M은한원위의점이므로(cid:100)(cid:100)OS”_OP”=OM”_OQ”yy㉠(cid:100)(cid:100)•40% 배점△AMO와△QAO에서(cid:100)(cid:100)∠AMO=∠QAO=90°, ∠AOM은공통이므로(cid:100)(cid:100)△AMOª△QAO(AA닮음)따라서OM”:OA”=OA”:OQ”이므로(cid:100)(cid:100)OM”_OQ”=OA”¤=9yy㉡(cid:100)(cid:100)•40% 배점㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)OS”_OP”=9•20% 배점(cid:9120)9답 구하기 해결 과정 O3ABQPMS문제 이해 516닮음인삼각형을찾아닮음비를이용한다.AP”¤=AO”_AB”이므로(cid:100)(cid:100)AP”¤=6_12=72(cid:100)(cid:100)∴AP”=6'2(∵AP”>0)△APO'과△AQB에서(cid:100)(cid:100)∠APO'=∠AQB=90°,∠A는공통이므로(cid:100)(cid:100)△APO'ª△AQB(AA닮음)따라서AP”:AQ”=AO'”:AB”이므로(cid:100)(cid:100)6'2:AQ”=9:12(cid:100)(cid:100)9AQ”=72'2(cid:100)(cid:100)∴AQ”=8'2또PO'”:QB”=AO'”:AB”이므로(cid:100)(cid:100)3:QB”=9:12(cid:100)(cid:100)9QB”=36(cid:100)(cid:100)∴QB”=4즉PQ”=8'2-6'2=2'2,QB”=4이므로직각삼각형PQB에서(cid:100)(cid:100)PB”=ø∑(2'2)¤+4¤=2'6(cid:9120)③(cid:8772)ABDE가원에내접한다.PQ”=AQ”-AP”AO'”=AO”+OO'”=6+3=9BC”=BQ”+QC”=2'ß11+2'ß11=4'ß11△ADP에서(cid:100)DP”=ø∑AP”¤-∑AD”¤△APF에서(cid:100)FP”=ø∑AP”¤-∑AF”¤E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지74 SinsagoHitec 만점공략BOXⅧ. 원의성질75본책101쪽~103쪽원의성질Ⅷ517PO'”의연장선과원O'의교점을D라하면PT”¤=PC”_PD”임을이용한다.△BTP에서(cid:100)(cid:100)∠BPT=90°-30°=60°AT”를그으면(cid:100)(cid:100)∠BAT=90°이므로직각삼각형ATP에서(cid:100)(cid:100)PT”==10PO'”의연장선과원O'의교점을D,원O'의반지름의길이를r라하면PT”¤=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)10¤=6_(6+2r),(cid:100)(cid:100)100=36+12r(cid:100)(cid:100)12r=64(cid:100)(cid:100)∴r=;;¡3§;;(cid:9120)⑤5cos60°ABCPODO'T5630ær518[문제해결길잡이]❶삼각형의각의이등분선의성질을이용하여BD”,CD”의길이를구한다.❷△ABE∽△BDE임을이용하여BE”의길이를y에대한식으로나타낸다.❸BE”에접하고세점A,B,D를지나는원에서원과비례를이용하여x,y의값을구한다.❹AD”의길이를구한다.오른쪽그림과같이AD”의연장선과원의교점을E라하고AD”=x,DE”=y라하자.AD”가∠A의이등분선이므로AB”:AC”=BD”:CD”에서(cid:100)(cid:100)6:4=BD”:CD”이때BC”=5이므로(cid:100)(cid:100)BD”=3, CD”=2❶△ABE와△BDE에서(cid:100)(cid:100)∠BAE=∠EAC=∠DBE,∠E는공통이므로(cid:100)(cid:100)△ABEª△BDE(AA닮음)따라서AB”:BD”=BE”:DE”이므로(cid:100)(cid:100)6:3=BE”:y(cid:100)(cid:100)∴BE”=2y❷이때BE”는세점A,B,D를지나는원의접선이므로(cid:100)(cid:100)BE”¤=ED”_EA”(cid:100)(cid:100)(2y)¤=y(y+x)(cid:100)(cid:100)∴3y¤=xyyy㉠(cid:100)(cid:100)또AD”_ED”=BD”_CD”이므로(cid:100)(cid:100)xy=3_2=6yy㉡(cid:100)(cid:100)㉠,㉡에서(cid:100)(cid:100)3y¤=6(cid:100)(cid:100)∴y='2(∵y>0)y='2를㉡에대입하면(cid:100)(cid:100)x=3'2❸(cid:100)(cid:100)∴AD”=3'2❹(cid:9120)3'2ABECD6432xy내신만점정복하기본책103~108쪽519원의중심에서현에내린수선은그현을이등분함을이용한다.∠BAE=∠DBE이므로접선과현이이루는각의성질을이용한다.BD”=5_=3,CD”=5_=246+466+4521원의중심으로부터같은거리에있는두현의길이는같음을이용한다.OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)CD”=AB”=14'2(cm)DN”=;2!;CD”=7'2(cm)이므로직각삼각형ODN에서(cid:100)(cid:100)OD”==14(cm)따라서원O의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2p_14=28p(cm)(cid:9120)28pcm7'2cos45°520원의중심에서같은거리에있는현의길이는같음을이용한다.OD”=OE”=OF”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=BC”=CA”즉△ABC는정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠BAC=60°(cid:100)(cid:100)∴∠DAO=;2!;_60°=30°AD”=;2!;AB”=6(cm)이므로직각삼각형ADO에서(cid:100)(cid:100)AO”==4'3(cm)따라서원O의넓이는(cid:100)(cid:100)p_(4'3)¤=48p(cm¤)(cid:9120)48pcm¤AE”=_12=6'3(cm)점O는정삼각형ABC의무게중심이므로(cid:100)(cid:100)AO”=;3@;AE”=4'3(cm)따라서원O의넓이는(cid:100)(cid:100)p_(4'3)¤=48p(cm¤)'326cos30°AM”=MP”,PN”=NB”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=(AM”+MP”)+(PN”+NB”)=2MP”+2PN”=2(MP”+PN”)=2MN”따라서2MN”=16이므로(cid:100)(cid:100)MN”=8(cm)(cid:9120)②O12`cmABCDEF30æ보충학습삼각형의무게중심은세중선의길이를각꼭짓점으로부터각각2:1로나눈다.원의중심에서현에내린수선은그현을이등분하므로(cid:100)AD”=DB”=;2!;AB”=;2!;_12=6(cm)정삼각형은외심, 내심, 무게중심이모두일치한다.522원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같음을이용한다.직각삼각형ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√3¤+4¤=5(cm)BR”=BP”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)CQ”=CR”=4-x(cm)이때AP”=AQ”이므로(cid:100)(cid:100)5+x=3+(4-x)(cid:100)(cid:100)2x=2(cid:100)(cid:100)∴x=1(cid:100)(cid:100)∴AP”=5+1=6(cm)(cid:9120)④(△ABC의둘레의길이)=AP”+AQ”=2AP”이므로(cid:100)(cid:100)2AP”=5+4+3=12(cid:100)(cid:100)∴AP”=6E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지75 SinsagoHitec 76정답및풀이만점공략BOX528오른쪽그림과같이원의중심을O,반지름의길이를rcm라하자. •30% 배점직각삼각형AOH에서(cid:100)(cid:100)r¤=10¤+(r-5)¤(cid:100)(cid:100)10r=125(cid:100)(cid:100)∴r=12.5•50% 배점따라서접시의지름의길이는(cid:100)(cid:100)2_12.5=25(cm)•20% 배점(cid:9120)25cm답 구하기 해결 과정 문제 이해 524원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같음을이용한다.BD”=BE”=x라하면(cid:100)(cid:100)AF”=AD”=9-x(cid:100)(cid:100)CF”=CE”=8-xAC”=AF”+CF”이므로(cid:100)(cid:100)7=(9-x)+(8-x)(cid:100)(cid:100)2x=10(cid:100)(cid:100)∴x=5이때PG”=PD”, QG”=QE”이므로△PBQ의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)BP”+PQ”+BQ”=BP”+PG”+QG”+BQ”=(BP”+PD”)+(QE”+BQ”)=BD”+BE”=5+5=10(cid:9120)⑤O8-x8-xxx9-x9-xABCDEFGPQ526원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같음을이용한다.오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)AB”+CD”+EF”=BC”+DE”+AF”=3+5+4=12(cm)523원밖의한점에서원에그은두접선의길이는같음을이용한다.오른쪽그림에서BG”=BH”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)AG”=20-x(cm)(cid:100)(cid:100)CH”=15-x(cm)CJ”=CH”이므로(cid:100)(cid:100)DJ”=12-(15-x)=x-3(cm)DL”=DJ”이므로(cid:100)(cid:100)EL”=9-(x-3)=12-x(cm)EN”=EL”이므로(cid:100)(cid:100)FN”=6-(12-x)=x-6(cm)(cid:100)(cid:100)∴FO”=FN”=x-6(cm)한편AO”=AM”=AK”=AI”=AG”=(20-x)cm이므로(cid:100)(cid:100)AF”=AO”+FO”=(20-x)+(x-6)=14(cm)(cid:9120)⑤x`cmx`cmBAGHIKMLONJCDEF527BE”=xcm라하고직각삼각형AED에서피타고라스정리를이용한다.BE”=xcm라하면AE”=(8-x)cm,DE”=(8+x)cm이므로직각삼각형AED에서(cid:100)(cid:100)(8+x)¤=8¤+(8-x)¤(cid:100)(cid:100)32x=64(cid:100)(cid:100)∴x=2(cid:100)(cid:100)∴DE”=8+2=10(cm)(cid:9120)③OABCDEF8`cm8`cm8`cm{8-x}`cmx`cmx`cm①원의중심에서현에내린수선은그현을이등분한다.②현의수직이등분선은그원의중심을지난다.525내접원의중심에서세변에이르는거리(cid:8833)내접원의반지름의길이내접원의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100);2!;_r_(7+12+13)=24'3(cid:100)(cid:100)∴r=이때CF”=CE”=acm라하면(cid:100)(cid:100)AD”=AF”=12-a(cm)(cid:100)(cid:100)BD”=BE”=13-a(cm)AB”=AD”+BD”이므로(cid:100)(cid:100)7=(12-a)+(13-a)(cid:100)(cid:100)2a=18(cid:100)(cid:100)∴a=9직각삼각형OEC에서(cid:100)(cid:100)OC”=æ≠{}¤+9¤=(cm)(cid:9120)⑤3'∂3923'323'32529점O에서AB”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)AH”=BH”=4cm•20% 배점큰원의반지름의길이를Rcm,작은원의반지름의길이를rcm라하면직각삼각형OAH에서(cid:100)(cid:100)R¤=r¤+4¤(cid:100)(cid:100)∴R¤-r¤=16•40% 배점색칠한부분의넓이는큰원의넓이에서작은원의넓이를뺀것과같으므로(cid:100)(cid:100)pR¤-pr¤=p(R¤-r¤)=16p(cm¤)•40% 배점(cid:9120)16pcm¤답 구하기 해결 과정 ② O4`cmR`cmr`cmAHB해결 과정 ① 세변의길이가각각a,b,c이고내접원의반지름의길이가r인삼각형의넓이는(cid:100);2!;r(a+b+c)따라서육각형ABCDEF의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)12+12=24(cm)(cid:9120)24cm530(cid:8772)APBO에서∠P=60°이고PA”=PB”이므로△APB는정삼각형이다.•40% 배점원의중심O에서AB”에내린수선의발을H라하면∠AOH=60°이므로(cid:100)(cid:100)AH”=6'3sin60°=9(cm)(cid:100)(cid:100)∴AB”=2AH”=18(cm)•40% 배점∴△APB=_18¤=81'3(cm¤)•20% 배점(cid:9120)81'3cm¤'34답 구하기 해결 과정 문제 이해 ABCHO10`cm5`cm10`cmr`cm{r-5}`cmO3`cm4`cm5`cmABCDEFOAHBP60æ6´3`cm60æE0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지76 SinsagoHitec 만점공략BOXⅧ. 원의성질77본책103쪽~106쪽원의성질Ⅷ531QB”를긋고,한호에대한원주각의크기는모두같음을이용한다.오른쪽그림과같이QB”를그으면(cid:100)(cid:100)∠AQB=∠APB=25°,(cid:100)(cid:100)∠BQC=∠BRC=35°이므로(cid:100)(cid:100)∠x=25°+35°=60°(cid:100)(cid:100)∴∠y=2∠x=120°(cid:100)(cid:100)∴∠x+∠y=60°+120°=180°(cid:9120)⑤O25æ35æxyABCQRP534한원에서호의길이는그호에대한원주각의크기에정비례한다.△ACP에서(cid:100)(cid:100)∠CAP=70°-25°=45°원O의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100)μBC:2pr=45:180(cid:100)(cid:100)2p:2pr=1:4(cid:100)(cid:100)∴r=4(cid:9120)①535(cid:8772)ABCD가원에내접하므로∠BCD+∠x=180°,∠ABC=∠y임을이용한다.∠BCD=180°_;5#;=108°이므로(cid:100)(cid:100)∠x=180°-108°=72°∠ABC=180°_;9%;=100°이므로(cid:100)(cid:100)∠y=∠ABC=100°(cid:100)(cid:100)∴∠x+∠y=72°+100°=172°(cid:9120)④536BC”가반원O의지름이므로(cid:100)(cid:100)∠BDC=∠BEC=90°(cid:8772)ADFE에서∠ADF=∠AEF=90°이므로(cid:100)(cid:100)∠DFE=360°-(75°+90°+90°)=105°(cid:100)(cid:100)∴∠y=∠DFE=105°(맞꼭지각)•40% 배점△ABE에서∠ABE=180°-(75°+90°)=15°이므로(cid:100)(cid:100)∠x=2∠ABE=2_15°=30°•40% 배점∴∠y-∠x=105°-30°=75°•20% 배점(cid:9120)75°답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 533한원에서호의길이는그호에대한원주각의크기에정비례한다.μAC:μBD=4p:10p=2:5이므로(cid:100)(cid:100)∠ADC:∠BAD=2:5(cid:100)(cid:100)∴∠ADC=;5@;∠BAD△APD에서(cid:100)(cid:100)∠BAD=24°+;5@;∠BAD(cid:100)(cid:100);5#;∠BAD=24°(cid:100)(cid:100)∴∠BAD=40°따라서∠BOD=80°이므로(cid:100)(cid:100)80:360=10p:(원O의둘레의길이)(cid:100)(cid:100)∴(원O의둘레의길이)=45p(cid:9120)③532원에서한호에대한원주각의크기는그호에대한중심각의크기의;2!;배임을이용한다.∠ACD=;2!;∠AOD=;2!;_56°=28°AB”가원O의지름이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=90°이때CE”가∠ACB의이등분선이므로(cid:100)(cid:100)∠ACE=45°(cid:100)(cid:100)∴∠x=∠ACE-∠ACD=45°-28°=17°(cid:9120)17°원에서한호에대한중심각의크기는그호에대한원주각의크기의2배이다.삼각형에서한외각의크기는이와이웃하지않는두내각의크기의합과같다.①원에내접하는사각형의한쌍의대각의크기의합은180°이다.②원에내접하는사각형의한외각의크기는그내대각의크기와같다.538네점A,B,C,D가한원위에있고점A,D가BC”에대하여같은쪽에있을때(cid:8833)∠BAC=∠BDC△ABP에서(cid:100)(cid:100)∠BAP=180°-(55°+70°)=55°(cid:100)(cid:100)∴∠x=∠BAP=55°∠DBC=∠DAC=30°이므로△PBC에서(cid:100)(cid:100)∠y=70°-30°=40°(cid:100)(cid:100)∴∠x+∠y=55°+40°=95°(cid:9120)⑤∠ADB=∠y,∠DBC=∠DAC=30°이고(cid:8772)ABCD는원에내접하므로(cid:100)(cid:100)(55°+30°)+(∠x+∠y)=180°(cid:100)(cid:100)∴∠x+∠y=95°∠ABC+∠ADC=180°539(cid:8772)ABCD가원에내접하므로한외각의크기와그내대각의크기는같다.(cid:8772)ABCD가원에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠CDF=∠ABC=∠x△EBC에서(cid:100)(cid:100)∠ECF=39°+∠x따라서△DCF에서(cid:100)(cid:100)∠x+(39°+∠x)+27°=180°(cid:100)(cid:100)2∠x=114°(cid:100)(cid:100)∴∠x=57°(cid:9120)57°△EBC에서(cid:100)(cid:100)∠ECF=39°+∠x△ABF에서(cid:100)(cid:100)∠EAF=27°+∠x(cid:8772)ABCD가원에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠ECF=∠BAD=180°-∠EAF(cid:100)(cid:100)39°+∠x=180°-(27°+∠x)(cid:100)(cid:100)2∠x=114°(cid:100)(cid:100)∴∠x=57°ABCDEF39æ27æ537오른쪽그림과같이BE”를그으면(cid:8772)ABEF는원에내접하므로(cid:100)(cid:100)110°+∠BEF=180°(cid:100)(cid:100)∴∠BEF=70°•40% 배점또(cid:8772)BCDE는원에내접하므로(cid:100)(cid:100)125°+∠BED=180°(cid:100)(cid:100)∴∠BED=55°•40% 배점∴∠E=70°+55°=125°•20% 배점(cid:9120)125°답 구하기 해결 과정 ② ABCDEF110æ125æ해결 과정 ① E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지77 SinsagoHitec 78정답및풀이만점공략BOX541반원에대한원주각의크기는90°임을이용한다.△BPC에서BC”=PC”이므로(cid:100)(cid:100)∠BPC=∠PBC=∠x라하고AC”를그으면(cid:100)(cid:100)∠ACP=∠ABC=∠xAB”는원O의지름이므로(cid:100)(cid:100)∠ACB=90°△BPC에서(cid:100)(cid:100)∠x+(∠x+90°)+∠x=180°(cid:100)(cid:100)3∠x=90°(cid:100)(cid:100)∴∠x=30°즉직각삼각형BAC에서∠ABC=30°이므로(cid:100)(cid:100)AB”==2'3따라서원O의반지름의길이는'3이므로넓이는(cid:100)(cid:100)p_('3)¤=3p(cid:9120)④'3sin30°OABCPTxxx´3´3542접선과현이이루는각의성질을이용한다.①접선과현이이루는각의성질에의하여(cid:100)(cid:100)∠ABT=∠ATP②∠BAT=∠BTQ,∠CDT=∠BTQ이므로(cid:100)(cid:100)∠BAT=∠CDT③∠BAT=∠CDT이므로동위각의크기가같다.(cid:100)(cid:100)∴AB”//DC”④△ATB와△DTC에서(cid:100)(cid:100)∠BAT=∠CDT,∠ATB는공통이므로(cid:100)(cid:100)△ATBª△DTC(AA닮음)⑤△ATBª△DTC(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)TA”:TD”=TB”:TC”(cid:100)(cid:100)∴TA”_TC”=TB”_TD”(cid:9120)⑤ABCDPTQ세내각의크기가30°,60°,90°인직각삼각형이다.540OT”를그으면∠OTP=90°임을이용한다.OT”를그으면(cid:100)(cid:100)∠BOT=2∠BAT=2_30°=60°이때PT”는원O의접선이므로(cid:100)(cid:100)∠OTP=90°△OTP에서(cid:100)(cid:100)OP”:OT”=2:1(cid:100)(cid:100)(5+BP”):5=2:1(cid:100)(cid:100)∴BP”=5(cid:9120)③BT”를그으면(cid:100)(cid:100)∠BTP=∠BAT=30°AB”는원O의지름이므로(cid:100)(cid:100)∠ATB=90°△BTP에서(cid:100)(cid:100)∠BPT=60°-30°=30°즉△BTP는∠BTP=∠BPT인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)BP”=BT”이때△ATB에서(cid:100)(cid:100)AB”:BT”=2:1(cid:100)(cid:100)10:BT”=2:1(cid:100)(cid:100)∴BP”=BT”=5OPTAB30æ30æ30æ60æ5544원에내접하는(cid:8772)ABCD의두대각선의교점을P라하면(cid:8833)PA”_PC”=PB”_PD”(cid:8772)ABCD가원에내접하므로PA”_PC”=PB”_PD”에서(cid:100)(cid:100)4_PC”=4'2_4'2(cid:100)(cid:100)∴PC”=8(cm)(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=;2!;_AC”_BD”_sin60°(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=;2!;_(4+8)_(4'2+4'2)_(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=24'6(cm¤)(cid:9120)24'6cm¤'32보충학습사각형의넓이(cid:8772)ABCD의두대각선의길이가a,b이고두대각선이이루는예각의크기가x일때,(cid:8772)ABCD의넓이는(cid:100)(cid:100);2!;absinx546구하는원의반지름의길이를r로놓고원O에서의비례관계를이용한다.반지름의길이를r라하자.①OC”의연장선이원O와만나는점을D라하면AH”_BH”=CH”_DH”에서(cid:100)(cid:100)4_4=2_(2r-2),(cid:100)(cid:100)4r=20(cid:100)(cid:100)∴r=5②PA”_PB”=PC”_PD”에서(cid:100)(cid:100)4_3=;2!;r_;2#;r,(cid:100)(cid:100)r¤=16(cid:100)(cid:100)∴r=4(∵r>0)545PA”_PB”=PD”_PE”, PB”_PC”=PE”_PF”임을이용한다.PA”_PB”=PD”_PE”이므로(cid:100)(cid:100)6_10=5_(5+x)(cid:100)(cid:100)60=25+5x(cid:100)(cid:100)∴x=7PB”_PC”=PE”_PF”이므로(cid:100)(cid:100)10_(10+y)=12_20(cid:100)(cid:100)100+10y=240(cid:100)(cid:100)∴y=14(cid:100)(cid:100)∴x+y=21(cid:9120)④543한원에서두현AB,CD의연장선이서로만나는점을P라하면(cid:8833)PA”_PB”=PC”_PD”PA”_PB”=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)5_14=PC”_(PC”+3)(cid:100)(cid:100)PC”¤+3PC”-70=0(cid:100)(cid:100)(PC”+10)(PC”-7)=0(cid:100)(cid:100)∴PC”=7(∵PC”>0)△PAC와△PDB에서(cid:100)(cid:100)∠PAC=∠PDB,∠P는공통이므로(cid:100)(cid:100)△PACª△PDB(AA닮음)따라서PA”:PD”=CA”:BD”이므로(cid:100)(cid:100)5:10=6:BD”(cid:100)(cid:100)∴BD”=12(cid:9120)②5963ABCDPOPTAB30æ60æ5원의접선과그접점을지나는현이이루는각의크기는그각의내부에있는호에대한원주각의크기와같다.두대각선의길이가각각4+8,4'2+4'2이고두대각선이이루는예각의크기가60°인사각형이다.PD”=;2!;r+r=;2#;rE0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지78 SinsagoHitec 만점공략BOXⅧ. 원의성질79본책106쪽~108쪽원의성질Ⅷ549점C에서AB”에내린수선의발을H라하고삼각비를이용하여CH”의길이를구한다.PC”¤=PA”_PB”에서(cid:100)(cid:100)12¤=8_(8+AB”)(cid:100)(cid:100)144=64+8AB”(cid:100)(cid:100)∴AB”=10(cm)점C에서AB”에내린수선의발을H라하면∠P=30°이므로직각삼각형PCH에서(cid:100)(cid:100)CH”=12sin30°=6(cm)(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_10_6=30(cm¤)(cid:9120)②△ABC=△BPC-△APC=;2!;_12_18_sin30°-;2!;_12_8_sin30°=54-24=30(cm¤)8`cm12`cmAHBCP30æ10`cm6`cm547AE”_BE”=PE”_QE”=CE”_DE”임을이용한다.AE”_BE”=CE”_DE”이므로(cid:100)(cid:100)(9+3)_4=3_DE”(cid:100)(cid:100)∴DE”=16(cid:9120)④③PT”¤=PA”_PB”에서(cid:100)(cid:100)6¤=4_(4+2r),(cid:100)(cid:100)8r=20(cid:100)(cid:100)∴r=;2%;④PO”의연장선이원O와만나는점을B라하면PT”¤=PA”_PB”에서(cid:100)(cid:100)4¤=(5-r)(5+r),(cid:100)(cid:100)r¤=9(cid:100)(cid:100)∴r=3(∵r>0)⑤PA”_PB”=PC”_PD”에서(cid:100)(cid:100)(7-r)(7+r)=5_9,(cid:100)(cid:100)r¤=4(cid:100)(cid:100)∴r=2(∵r>0)따라서반지름의길이가가장긴것은①이다.(cid:9120)①548직각삼각형에서피타고라스정리를이용한다.직각삼각형OAQ에서(cid:100)(cid:100)AQ”="√5¤-3¤=4이때BQ”=AQ”=4이고,PT”¤=PB”_PA”이므로(cid:100)(cid:100)PT”¤=4_12=48(cid:100)(cid:100)∴PT”=4'3(∵PT”>0)(cid:9120)4'3OQ”⊥AB”이므로(cid:100)∠OQA=90°△ABC에서두변의길이a, c와그끼인각∠B(예각)의크기를알때,△ABC의넓이S는(cid:100)S=acsinB12550PT”¤=PA”_PB”,PT'”¤=PA”_PB”임을이용하여PT”와PT'”의길이를구한다.원O에서PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PT”¤=5_18=90(cid:100)(cid:100)∴PT”=3'∂10(cm)(∵PT”>0)원O'에서PT'”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PT'”=3'∂10(cm)(∵PT'”>0)(cid:100)(cid:100)∴TT'”=PT”+PT'”=6'∂10(cm)(cid:9120)④551오른쪽그림과같이∠BEC=∠BFC=90°이므로(cid:8772)FBCE는원에내접한다.•40% 배점AF”_AB”=AE”_AC”에서(cid:100)(cid:100)5_12=AE”_(AE”+4)(cid:100)(cid:100)AE”¤+4AE”-60=0(cid:100)(cid:100)(AE”+10)(AE”-6)=0•40% 배점∴AE”=6(∵AE”>0)•20% 배점(cid:9120)6답 구하기 해결 과정 문제 이해 574ABCDEFHμBC에대한원주각552PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PT”¤=9_(9+16)=225(cid:100)(cid:100)∴PT”=15(cm)(∵PT”>0)•40% 배점이때∠PTB=90°이므로△PTB에서(cid:100)(cid:100)BT”="√25¤-15¤=20(cm)•40% 배점따라서원O의반지름의길이는10cm이므로넓이는(cid:100)(cid:100)p_10¤=100p(cm¤)•20% 배점(cid:9120)100pcm¤답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 553CP”를그으면(cid:100)(cid:100)∠ACP=∠APT=47°•40% 배점∠PCB=83°-47°=36°이므로(cid:100)(cid:100)∠POB=2_36°=72°•40% 배점따라서부채꼴OPB의넓이는(cid:100)(cid:100)p_5¤_=5p•20% 배점(cid:9120)5p72360답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 554△BAT와△BTP에서(cid:100)(cid:100)∠BAT=∠BTP,(cid:100)(cid:100)∠ATB=∠TPB=90°이므로(cid:100)(cid:100)△BATª△BTP(AA닮음)따라서BA”:BT”=BT”:BP”이므로(cid:100)(cid:100)4:BT”=BT”:3,(cid:100)(cid:100)BT”¤=12(cid:100)(cid:100)∴BT”=2'3(cm)(∵BT”>0)•50% 배점직각삼각형BTP에서(cid:100)(cid:100)PT”=ø∑(2'3)¤∑-3¤='3(cm)•20% 배점따라서PT”¤=PC”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)('3)¤=PC”_3(cid:100)(cid:100)∴PC”=1(cm)•30% 배점(cid:9120)1cm답 구하기 해결 과정 ② 해결 과정 ① 4`cm3`cmAOBCTP반지름의길이가r,중심각의크기가x°인부채꼴에서①(호의길이)=2pr_②(넓이)=pr¤_x360x360555오른쪽그림과같이PO”,PO'”의연장선이두원O,O'과만나는점을각각C,D라하자. •30% 배점AO”=xcm라하면PA”_PC”=PB”_PD”이므로해결 과정 문제 이해 7`cm2`cmx`cm8`cmAPO'OCDTBE0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지79 SinsagoHitec 본책108쪽~109쪽80정답및풀이만점공략BOX교과서속창의유형본책109쪽556[문제해결길잡이]❶공원을원O라하고원O의반지름의길이를구한다.❷❶의원에서객석이될수있는영역을구한다.❸객석이될수있는영역의넓이를구한다.오른쪽그림과같이공원을원O라하면∠BPC=60°이므로(cid:100)(cid:100)∠BOC=2∠BPC=120°점O에서BC”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)∠HOC=;2!;∠BOC=60°,(cid:100)(cid:100)HC”=;2!;BC”=6'3(m)이므로직각삼각형HOC에서(cid:100)(cid:100)OC”==12(m)따라서원O의반지름의길이는12m이다.❶이때객석의방향이모두무대를향하고있으므로객석이될수있는영역은위의그림의빗금친부분과같다. ❷직각삼각형HOC에서(cid:100)(cid:100)OH”=12cos60°=6(m)이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)BEFC=12'3_12=144'3(m¤)현EF와호EF로이루어진활꼴의넓이는(cid:100)=p_12¤_;3!6@0);-;2!;_12'3_6(cid:100)=48p-36'3(m¤)따라서객석이될수있는영역의넓이는(cid:100)(cid:100)144'3+(48p-36'3)=48p+108'3(m¤)❸(cid:9120)(48p+108'3)m¤6'3sin60°ADBPCEFO60æ60æ120æ120æ6`m12`mH6´3`m(cid:100)(cid:8772)BEFC=BC”_BE”=BC”_2OH”(cid:100)(cid:100)(8-x)(8+x)=2_16(cid:100)(cid:100)64-x¤=32,(cid:100)(cid:100)x¤=32(cid:100)(cid:100)∴x=4'2(∵x>0)•50% 배점∴AO”=4'2(cm)•20% 배점(cid:9120)4'2cm답 구하기 (cid:100)△OEF=△OCB=;2!;_BC”_OH”E0428일품중수3하_정(070-080) 2015.4.28 2:36 PM 페이지80 SinsagoHitec

'좋은책신사고' 카테고리의 다른 글

2019년 좋은책신사고 Grammar Wise Level 2 답지 (0)	2020.08.13
2019년 좋은책신사고 Grammar Wise Level 1 답지 (0)	2020.08.13
2018년 좋은책신사고 일품 중학 수학 3 ( 상 ) 답지 (0)	2020.08.13
2018년 좋은책신사고 일품 중학 수학 2 ( 하 ) 답지 (0)	2020.08.13
2018년 좋은책신사고 일품 중학 수학 2 ( 상 ) 답지 (0)	2020.08.13

답지저장소

2018년 좋은책신사고 일품 중학 수학 3 ( 하 ) 답지

'좋은책신사고' 카테고리의 다른 글

티스토리툴바