01 유리수와 순환소수 01-3 순환소수를 분수로 나타내는 방법 본문 005쪽 Step 1. 개념 다지기 01-1 유한소수, 무한소수, 순환소수 ➊ 유한소수 ➋ 무한소수 ➌ 순환소수 기본연습 1 (1) ;4!;=0.25이므로 유한소수이다. (2) ;2°1;=0.23809y이므로 무한소수이다. (3) -;1ª1;=-0.1818y이므로 무한소수이다. (4) -;1»6;=-0.5625이므로 유한소수이다. 답 (1) 0.25, 유한소수 (3) -0.1818y, 무한소수 (4) (2) 0.23809y, 무한소수 -0.5625, 유한소수 ➊ 10의 거듭제곱 기본연습 3 (1) 000x=0.343434y yy ㉠ 100x=34.343434y yy ㉡ ㉡에서 ㉠을 변끼리 빼면 99x=34 ∴ x=;9#9$; (2) 10x=45.2222y yy ㉠ 100x=452.2222y yy ㉡ ㉡에서 ㉠을 변끼리 빼면 90x=407 ∴ x=:¢9¼0¦: 연습 3 x=1.H25H8이라 하자. 0000x=1.258258258y yy ㉠ 1000x=1258.258258y yy ㉡ ㉡에서 ㉠을 변끼리 빼면 답 (1) 100, 99, 99 (2) 10, 100, 90, 90 999x=1257 ∴ x=:Á9ª9°9¦:=;3$3!3(; 답 ;3$3!3(; 01-4 유리수와 순환소수 ➊ 유리수 ➋ 유한소수 ➌ 순환소수 기본연습 4 (1) ;4Á2¢0;= 1 2_3_5 은 순환소수이므로 유리수이다. (2) 2.H9는 순환소수이므로 유리수이다. (3) p =3.1415926y은 유리수가 아니다. (4) 5 2Û`_3_5 = 1 2Û`_3 은 순환소수이므로 유리수이다. 연습 4 (1) 모든 순환소수는 유리수이다. (2) 무한소수에는 순환소수와 순환하지 않는 무한소수가 있다. (3) 모든 유한소수는 유리수이다. 답 (1) ◯ (2) × (3) ◯ 01 06 11 16 21 26 31 36 0 ③ ① 3 5 29 ② 02 ③ 03 07 ②, ④ 08 12 17 22 27 32 37 6 ④ 19 3 ④ 13 18 23 28 33 38 198 ⑤ ④ ③ ③ ② 5 6 ;9#9$9&; ;1@6@5!; 04 09 14 19 29 34 ③ ① ③ ⑤ ;3!3^; 110 05 10 15 20 30 35 ① ③ 5 ④ ③ 8.H1H8 2 24 ②, ⑤ 25 연습 1 (1) ;3¦3;=0.212121y이므로 ;3¦3;=0.H2H1이고, 순환마디는 21이다. (2) ;1¥5;=0.53333y이므로 ;1¥5;=0.5H3이고, 순환마디는 3이다. (3) ;3!0(;=0.63333y이므로 ;3!0(;=0.6H3이고, 순환마디는 3이다. 답 (1) 0.H2H1, 21 (2) 0.5H3, 3 (3) 0.6H3, 3 ➊ 2 ➋ 5 ➌ 순환소수 기본연습 2 (3) 14 5_7 ;5@; (4) ;1£8;=;6!;= 1 2_3 수로 나타낼 수 있다. 연습 2 (1) 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이므로 유한소수로 나타낼 수 있다. (2) 분모가 2와 5 이외의 소인수 7을 가지므로 순환소수로 나타낼 수 있다. = 이고 분모의 소인수가 5뿐이므로 유한소수로 나타낼 수 있다. 답 (1) 유 (2) 순 (3) 유 (4) 순 , , ;1¥6;=;2!; ;3!0@;=;5@; ;7!7$;=;1ª1; ;4£0;= , 3 2Ü`_5 이므로 순환소수로 나타낼 수 있 는 것은 이다. ;3&;, ;7!7$; 답 ;3&;, ;7!7$; 0 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 2 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 01-2 유한소수/순환소수로 나타낼 수 있는 분수 답 (1) ◯ (2) ◯ (3) × (4) ◯ 이고 분모가 2와 5 이외의 소인수 3을 가지므로 순환소 =Step 2. 대표 문제로 접근하기 본문 008쪽 Ⅰ - 0 1 . 유 리 수 와 순 환 소 수 따라서 옳은 것은 ②, ④이다. 답 ②, ④ ③ 0.H7=0.777y 0.H7H0=0.7070y 이므로 0.H7>0.H7H0 ④ 0.H2H0=0.2020y ;9@;=0.222y 이므로 0.H2H0< ;9@; ⑤ 0.H37H4=0.374374y 0.3H7H4=0.3747474y 이므로 0.H37H4<0.3H7H4 이므로 0.3H5H0 > 0.H35H0 이므로 0.7H4H1 > 0.74H1 유제 08 ① 0.3H5H0=0.35050y 0.H35H0=0.350350y ② 0.7H4H1=0.74141y 0.74H1=0.74111y ③ 3.H46H8=3.468468y 3.4H6=3.46666y 이므로 3.H46H8 > 3.4H6 ④ 1.H39H0=1.390390y 1.3H9H0=1.39090y ⑤ 2.5H7=2.57777y 2.H5H7=2.5757 y 이므로 2.5H7 > 2.H5H7 이므로 1.H39H0 < 1.3H9H0 유제 01 유제 02 ;1ª7Á5;= 3_7 5Û`_7 = 12 10Û` =0.12 3_2Û` 3 5Û`_2Û` = 5Û` = 이므로 a=3, b=2Û` =4, c=0.12 ∴ ab-100c=3_4-100_0.12=12-12=0 21_5Û` 2Ü`_5_5Û` =;1°0ª0°0;=0.525 21 2Ü`_5 = 이므로 a=5Û`, b=1000, c=525, d=0.525 따라서 a, b, c, d를 차례대로 나타내면 5Û`, 1000, 525, 0.525이다. 답 0 답 ③ <Ô 유제 03 16을 37로 나누면 다음과 같다. 00.432432y 160 148 0120 0111 00090 00074 000160 000148 0000120 0000111 00000090 00000074 ⋮ 37 <Ô 001.4646y 145 99 099 0460 0396 00640 00594 000460 000396 0000640 0000594 ⋮ 그러므로 a + 따라서 ;3!7^;=0.432432y이다. 답 ⑤ 유제 04 a b + =;9%;+;1!1);=;9%9%;+9(9);=:Á9¢9°: 따라서 145를 99로 나누면 b의 값은 1.464646y이다. 유제 05 1.4H12H5의 순환마디는 125이므로 125가 반복된다. ∴ 1.4H12H5=1.4125125y 유제 07 ① x=0.4H9라 하고 양변에 10, 100을 각각 곱하면 유제 06 ① 2.6666y=2.H6 =0.7H2 =3.H5H0 ② 0.7222y ③ 3.5050y ④ 1.012012y =1.H01H2 =4.7H31H2 따라서 옳은 것은 ③이다. ⑤ 4.7312312y 10x=4.999y yy ㉠ 100x=49.999y yy ㉡ ㉡에서 ㉠을 변끼리 빼면 90x=45 ∴ x=;9$0%;=;2!; ∴ ;2!;=0.4H9 ② 0.5H6=0.5666y ;9%9^;=0.5656y 이므로 0.5H6> ;9%9^; ->² 100x=49.99y 010x=04.99y 090x=45 따라서 안에 들어갈 부등호의 방향이 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. 답 ④ =0.04 유제 09 ① 0.0H4=0.04 4 4y ② (0.2)Û` ③ 0.H0H4=0.04 0 4y ④ 0.H04H0=0.04 0 040y ⑤ 0.03H9=0.0399y 따라서 가장 큰 수는 0.0H4이다. 답 ① 유제 10 ① 3.219H5=3.219555y ② 3.2195 ③ 3.H219H5=3.21952195y ④ 3.21H9H5=3.219595y ⑤ 3.2H19H5=3.2195195y ∴ 3.2195<3.2H19H5<3.H219H5<3.219H5<3.21H9H5 따라서 세 번째로 작은 수는 3.H219H5이다. 답 ③ 답 ③ 답 ① 답 ③ <Ô 유제 11 28을 27로 나누면 다음과 같다. `1.037037y 28 27 0100 0081 00190 00189 0000100 0000081 00000190 00000189 0`⋮ 27 Ⅰ. 유리수와 순환소수 01. 유리수와 순환소수 1 따라서 ;2@7*;=1.037037y =1.H03H7이므로 순환마디의 숫자는 0, 3, 7로 3개이다. 이때 10=3_3+1이므로 소수점 아래 10번째 자리의 숫자는 0이 고, 50=16_3+2이므로 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는 3이다. 따라서 x10=0, x50=3이므로 x10+x50=0+3=3 답 ① 유제 12 을 소수로 나타내면 :Á6¦:=2.8333y =2.8H3이므로 의 소수점 아래 12번째 자리의 숫자 a는 3이다. :Á6¦: :Á6¦: 2.1H37H0에서 순환마디를 이루는 숫자는 3개이고 소수점 아래에서 순환하지 않는 숫자가 1개 있으므로 50-1=49=3_16+1 에서 2.1H37H0의 소수점 아래 50번째 자리의 숫자 b는 순환마디의 첫 번째 숫자인 3이다. ∴ a+b=3+3=6 답 6 유제 13 분수를 기약분수로 나타내었을 때 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이 면 유한소수로 나타낼 수 있다. ㄱ. 9 2Ü`_3 = 3Û` 2Ü`_3 = 3 2Ü` (유한소수) ㄴ. ;12^5;= 6 5Ü` (유한소수) ㄷ. ;3!0!;= 11 2_3_5 (무한소수) ㄹ. ㅁ. ㅂ. 6 39 6 2_3Û`_5 = 2_3Û`_5 = 2_5_13 = 2_5_13 = 1 3_5 3 2_5 (무한소수) (유한소수) 2_3 3_13 2_3 2Û`_3Û`_5Û` = 2Û`_3Û`_5Û` = 1 2_3_5Û` (무한소수) 따라서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은 ㄱ, ㄴ, ㅁ의 3개이다. 답 ③ 유제 14 분수를 기약분수로 나타낸 후 분모를 소인수분해했을 때 분모의 소인수에 2나 5 이외의 수가 존재하면 분수를 유한소수로 나타낼 수 없다. ㄱ. ;1!2!;= 11 2Û`_3 (무한소수) ㄴ. ㄷ. ㄹ. (유한소수) ;6@5^;=;5@; (유한소수) ;4@2!;=;2!; ;6!0%;=;4!;= 1 2Û` (유한소수) 14 ㅁ. ;5!2$;= 7 2_13 따라서 유한소수로 나타낼 수 없는 것은 ㄱ, ㅁ이다. 2Û`_13 = (무한소수) 답 ③ 유제 15 ;7÷2;= n 2Ü`_3Û` 이므로 이 유한소수가 되려면 ;7÷2; n은 9의 배수이어야 한다. 따라서 50 미만의 자연수 중 조건을 만족시키는 n은 9, 18, 27, 36, 45의 5개이다. 답 5 유제 16 ;52#5;=;17!5;= 이므로 ;52#5;_A가 유한소수가 되려면 1 5Û`_7 A는 7의 배수이어야 한다. 따라서 25보다 작은 자연수 중 조건을 만족시키는 A는 7, 14, 21의 3개이다. 2 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 본문 013쪽 유제 17 주어진 두 분수의 분모를 소인수분해하여 나타내면 ;2Á1£6;= 13 , ;28#0;= 2Ü`_3Ü` 3 2Ü`_5_7 이므로 k가 유한소수가 되려면 k는 3Ü`, 즉 27의 배수, ;2Á1£6;_ ;28#0;_ k가 유한소수가 되려면 k는 7의 배수이어야 한다. 따라서 k는 27의 배수이면서 7의 배수이어야 하므로 27과 7의 공배수, 즉 189의 배수이어야 한다. 그러므로 자연수 k의 최솟값은 189이다. 답 ④ 유제 18 두 분수 ;1ª8£0; ;55&0; , 의 분모를 소인수분해하여 나타내면 ;1ª8£0;= 23 2Û`_3Û`_5 , ;55&0;= 7 2_5Û`_11 이므로 a가 유한소수가 되려면 a는 3Û`, 즉 9의 배수, a가 유한소수가 되려면 a는 11의 배수이어야 한다. ;1ª8£0;_ ;55&0;_ 따라서 a는 9의 배수이면서 11의 배수이어야 하므로 9와 11의 공배수, 즉 99의 배수이어야 한다. 그러므로 자연수 a의 값 중 두 번째로 작은 값은 99_2=198이다. 답 198 유제 19 21 10_a 이 유한소수가 되려면 기약분수로 나타내었을 때 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이어야 하므로 a는 1이거나 소인수가 2 또는 5뿐이거나 이 값에 21의 약수를 곱한 꼴이어야 한다. 2Þ` 따라서 이를 만족시키는 31 이상 50 이하의 자연수 a는 =32, 5_7=35, 2Ü` _3=48, 2_5Û` _5=40, 2_3_7=42, =50의 6개이다. 유제 20 분수를 소수로 나타낼 때 유한소수가 되려면 기약분수로 나타내 답 ⑤ 2Ý` 었을 때 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이어야 하므로 가 유한소수가 되려면 39 에서 39 3_13 2Û`_5Û`_n 2Û`_5Û`_n _13d (단, a, c는 음이 아닌 정수이고 b=0, 1, 2Û`_5Û`_n = n=2a _5c _3b d=0, 1) 따라서 n의 값이 되는 두 자리의 짝수 중 가장 큰 수는 96=2Þ` ∴ a-b=96-10=86 _3이고 가장 작은 수는 10=2_5이므로 a=96, b=10 답 ④ 유제 21 180=2Û` _5이므로 A 위해서는 분모의 인수인 3Û` _3Û` 180 = A 2Û`_3Û`_5 가 유한소수가 되기 =9가 분자인 A에 의하여 약분되어야 한다. 따라서 A는 9의 배수이고 30<A<40이므로 A=36, A ∴ B=5 180 =;1£8¤0;=;5!; 답 5 유제 22 840=2Ü` _3_5_7이므로 ;84A0;= a 2Ü`_3_5_7 가 유한소수가 되기 위해서는 분모의 인수인 3_7=21이 분자인 a에 의하여 약 분되어야 한다. 즉, a는 21의 배수이다. 84A0; 를 기약분수로 나타내었을 때 이 되기 위해서는 분자인 a가 ;b!; 분모인 840에 의해 약분되어 1이 되어야 한다. 즉, a는 840의 약수이다. 따라서 a는 21의 배수이면서 840의 약수인 가장 작은 자연수이므 로 a=21 답 3 84A0;=;8ª4Á0;=;4Á0; 이므로 b=40 ∴ b-a=40-21=19 답 19 유제 23 30 2Ü`_5Û`_a = 3 2Û`_5_a 을 소수로 나타내었을 때 순환소수가 되 려면 3 2Û`_5_a 의 소인수가 있어야 한다. 을 기약분수로 나타내었을 때 분모에 2와 5 이외 따라서 a는 2와 5 이외의 소인수를 가진 한 자리 자연수이므로 a 의 값으로 가능한 것은 3, 6, 7, 9이다. Ú a=3일 때 3 3 2Û`_5_a = 2Û`_5_3 = 1 2Û`_5 2Û`_5_a = 2Û`_5_6 = 3 1 2Ü`_5 Û a=6일 때 3 Ü a=7일 때 3 2Û`_5_a = Ý a=9일 때 3 2Û`_5_a = 3 2Û`_5_7 1 2Û`_5_3 3 2Û`_5_9 = 30 2Ü`_5Û`_a 가 되도록 하는 a의 값은 7, 9이다. 따라서 구하는 합은 7+9=16 Ú~Ý에 의하여 을 소수로 나타내었을 때 순환소수 유제 27 x=1.3H3H9=1.3393939y라 하자. 양변에 10을 곱하면 10x=13.3939y 양변에 1000을 곱하면 1000x=1339.3939y ㉡ ㉠을 하면 yy ㉠ yy ㉡ ->³ 1000x=347.H34H7 0000x=000.H34H7 0999x=347 ∴ x=;9#9$9&; - ->³ 1000x=1339.3939y 0010x=0013.3939y 0990x=1326 ∴ x=:Á9£9ª0¤:=;1@6@5!; 유제 28 x=0.7H0H9라 하자. 양변에 10을 곱하면 10x=7.H0H9 양변에 1000을 곱하면 1000x=709.H0H9 이때 ㉡ ㉠을 하면 1000x-10x=709.H0H9-7.H0H9 - yy ㉠ yy ㉡ ∴ x=;9&9)0@;=;5#5(; 990x=702 따라서 a=55, b=39이므로 a+b=55+39=94 답 ③ 유제 29 종현이는 기약분수의 분모를 잘못 보아 0.H14H4로 나타내었으므로 Ⅰ - 0 1 . 유 리 수 와 순 환 소 수 본문 019쪽 답 ;9#9$9&; 답 ;1@6@5!; 답 ② 유제 24 ① 에 a=22를 대입하면 :¢aª: ② 에 a=28을 대입하면 :¢aª: ;2$2@;=;1@1!; ;2$8@;=;2#; ③ 에 a=36을 대입하면 :¢aª: ;;3$6@;=;6&;= 7 2_3 ④ 에 a=39를 대입하면 :¢aª: ⑤ 에 a=70을 대입하면 :¢aª: ;3$9@;=;1!3$; ;7$0@;=;5#; 를 소수로 나타내었을 때 순환소수가 되려면 :¢aª: 기약분수로 나타내었을 때 분모에 2와 5 이외의 소인수가 있어야 :¢aª: 를 한다. 따라서 보기 중 를 소수로 나타내었을 때 순환소수가 되 :¢aª: 도록 하지 않는 a의 값은 ②, ⑤이다. 답 ②, ⑤ 유제 25 x=0.H3H7이라 하고 양변에 100을 곱하면 100x=37.H3H7 각 식의 변끼리 빼면 100x-x=37.H3H7-0.H3H7, 99x=37 ∴ x=;9#9&; 유제 26 x=0.H34H7이라 하고 양변에 1000을 곱하면 1000x=347.H34H7 각 식의 변끼리 빼면 답 ③ 0.H14H4=x라 하고 양변에 1000을 곱하면 144.H14H4=1000x 각 식의 변끼리 빼면 144.H14H4-0.H14H4=1000x-x 144=999x 이때 종현이가 기약분수의 분자는 제대로 보았으므로 ∴ x=;9! ~9$9$;=;1Á1¤1; 처음 기약분수의 분자는 16이다. 수미는 기약분수의 분자를 잘못 보아 0.H7H8로 나타내었으므로 0.H7H8=y라 하고 양변에 100을 곱하면 78.H7H8=100y 각 식의 변끼리 빼면 78.H7H8-0.H7H8=100y-y ∴ y=;9&9*;=;3@3^; 78=99y 이때 수미가 기약분수의 분모는 제대로 보았으므로 처음 기약분수의 분모는 33이다. 따라서 처음 기약분수는 이다. ;3!3^; 답 ;3!3^; 유제 30 예지는 기약분수 n m 의 분자를 잘못 보아서 0.8H5로 나타내었으므 로 0.8H5=x라 하면 x=0.8555y 양변에 10을 곱하면 10x=8.555y 양변에 100을 곱하면 100x=85.555y ∴ x=;9&0&; ㉡ ㉠을 하면 90x=77 - yy ㉠ yy ㉡ 의 분모는 90이므로 m=90 따라서 기약분수 n m 영호는 기약분수 n m 므로 0.01H2=y라 하면 y=0.01222y 양변에 100을 곱하면 100y=1.222y yy ㉢ 양변에 1000을 곱하면 1000y=12.222y yy ㉣ ㉣ ㉢을 하면 900y=11 ∴ y=;9Á0Á0; - 따라서 기약분수 n m 의 분자는 11이므로 n=11 의 분모를 잘못 보아서 0.01H2로 나타내었으 ∴ m n =;1(1);=8.1818y =8.H1H8 답 8.H1H8 Ⅰ. 유리수와 순환소수 01. 유리수와 순환소수 3 유제 31 2.H7을 x로 놓으면 x=2.777y yy ㉠ ㉠의 양변에 10을 곱하면 10x=27.777y yy ㉡ ㉡-㉠을 하면 9x=25 ∴ x=:ª9°: 따라서 2.H7=:ª9°: 이다. ->² 10x=27.77y 00x=02.77y 09x=25 에서 ;6N;=:ª9°:+;1#8&; ;6N;=2.H7+;1#8&; 양변에 18을 곱하면 3n=50+37, 3n=87 ∴ n=:¥3¦:=29 답 29 유제 32 0.2H8=a라 하면 ㉡을 하면 a=0.2888y yy ㉠ ㉠의 양변에 10을 곱하면 10a=2.8888y yy ㉡ ㉠의 양변에 100을 곱하면 100a=28.8888y yy ㉢ ㉢ ∴ a=;4!5#; - 90a=26 0.8H6=b라 하면 b=0.8666y yy ㉣ ㉣의 양변에 10을 곱하면 10b=8.6666y yy ㉤ ㉣의 양변에 100을 곱하면 100b=86.6666y yy ㉥ ㉥ ㉤을 하면 - 90b=78 ∴ b=;1!5#; 0.2H8_x=0.8H6에서 ;4!5#;_x=;1!5#; ∴ x=;1!5#; Ö ;4!5#;=;1!5#; _ ;1$3%;=3 본문 023쪽 답 110 2_5_11=110 지 않는다. 유제 35 순환소수가 아닌 무한소수는 0이 아닌 정수를 곱해도 유리수가 되 따라서 100을 곱하였을 때 유리수가 되지 않는 것은 0.122333y, p의 2개이다. 답 2 유제 36 ㄱ. 무한소수는 순환소수와 순환하지 않는 무한소수로 이루어져 있고, 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다. ㄴ. 분모의 소인수가 2 또는 5뿐인 기약분수는 유한소수로 나타내 어진다. ㄷ. 0.3H2H1은 순환소수이므로 로 나타낼 수 있다. (정수) (0이`아닌`정수) 그러므로 0.3H2H1_x가 정수가 되도록 하는 0이 아닌 정수 x가 존 재한다. 따라서 옳은 것은 ㄷ이다. 답 ② 유제 37 0.aHbHc=x라 하자. 이 식의 양변에 10을 곱하면 a.HbHc=10x 양변에 1000을 곱하면 abc.HbHc=1000x 이때 ㉡ ㉠을 하면 abc-a=990x - abc-a 990 ∴ x= yy ㉠ yy ㉡ 문제에서 0.aHbHc를 분수로 나타내면 라 하였으므로 ;2!2(; abc-a 990 =;2!2(;=;9*9%0%; abc-a=855 ∴ a=8, b=6, c=3 따라서 잘못 본 수는 0.6H3H8이므로 0.6H3H8=y라 하고 양변에 10을 곱하면 6.H3H8=10y 양변에 1000을 곱하면 638.H3H8=1000y ㉢을 하면 632=990y 이때 ㉣ yy ㉢ yy ㉣ - ∴ y=;9^9#0@;=;4#9!5^; 따라서 A의 값은 316이다. 답 3 답 ④ 유제 33 x=0.30H8이라 하자. ->³ 1000x=308.888y 0100x=030.888y 0900x=278 ∴ x=;9@0&0*; ∴ 0.30H8=;9@0&0*;=;4!5#0(;= 이때 어떤 자연수를 곱하여 유한소수가 되려면 분모의 소인수가 139 2_3Û`_5Û` 2 또는 5뿐이어야 하므로 곱하는 자연수는 9의 배수이어야 한다. 따라서 곱할 수 있는 50 이하의 자연수는 9, 18, 27, 36, 45로 5개이다. 답 5 유제 38 어떤 자연수를 x라 하면 yy ㉠ , 0.4=;1¢0;=;5@; 2.6x+0.4=2.H6x 2.6=;1@0^;=:Á5£: 2.H6=a라 하면 a=2.666y ㉡의 양변에 10을 곱하면 10a=26.666y ㉡을 하면 ㉢ yy ㉡ yy ㉢ - 9a=24 ∴ a=:ª9¢:=;3*; ->² 10a=26.66y 00a=02.66y 09a=24 ㉠에 2.6=:Á5£: , 0.4=;5@; , 2.H6=;3*; 을 대입하면 x+;5@;=;3*; x :Á5£: {:Á5£:-;3*;} x=-;5@; , 39-40 15 x=-;5@; 가 어떤 자연수의 제곱인 수이어야 하므로 2Ü`_5_y 11 3.H6H3_y= y=2_5_11_kÛ``(k는 자연수)의 꼴이어야 한다. 따라서 곱할 수 있는 가장 작은 자연수는 -;1Á5; x=-;5@; ∴ x={-;5@;}_(-15)=6 따라서 어떤 자연수는 6이다. 답 6 유제 34 x=3.H6H3이라 하자. ->³ 100x=363.6363y 0 x=0 3.6363y 099x=360 ∴ x=:£9¤9¼: ∴ 3.H6H3=:£9¤9¼:=;1$1);= 따라서 곱하는 자연수를 y라 하면 2Ü`_5 11 4 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 다른풀이 =0.0H6 ㉠에서 2.H6x-2.6x=0.4, (2.H6-2.6)x=0.4 -2.6=0.0666y 2.H6-2.6=2.666y 이므로 0.0H6x=0.4 yy ㉣ k=0.0H6이라 하고, 양변에 각각 10, 100을 곱하면 10k=0.666y yy ㉤ 100k=6.666y ㉤을 하면 ㉥ yy ㉥ - 90k=6 ∴ k=;9¤0;=;1Á5; ㉣에 0.0H6=;1Á5; 을 대입하면 x=0.4 ;1Á5; ∴ x=0.4_15=6 따라서 어떤 자연수는 6이다. ->² 2.666y 2.6 0.066y ->² 100k=6.666y 010k=0.666y 090k=6 Step 3. 단원 마무리하기 01 06 11 16 ⑤ ④ 111 ② 02 ①, ③ 03 07 12 17 ⑤ ⑤ ④ 08 13 18 ③ ③ 28 ;9%9@; 04 09 14 19 3 ② ① ③ 05 10 15 20 ① 96 ③ ③ 01 ① ;1!1$;=1.2727y =1.H2H7 ② ;3!3$;=0.4242y =0.H4H2 ③ ;2!7(;=0.703703y =0.H70H3 ④ ;1°2;=0.4166y =0.41H6 ⑤ ;4!5!;=0.244y =0.2H4 따라서 옳은 것은 ⑤이다. ;4¥8;=;6!;= 1 2_3 ① ② ③ ④ ⑤ ;5@5@;=;5@; ;5!4*;=;3!; ;3!5$;=;5@; ;60(0;=;20#0;= 3 2Ü`_5Û` 02 정수가 아닌 분수를 기약분수로 나타내었을 때, 분모의 소인수가 2 또 는 5뿐이면 분모를 10의 거듭제곱 꼴로 나타낼 수 있다. 주어진 분수를 기약분수로 나타내고 분모를 소인수분해하면 따라서 분모를 10의 거듭제곱 꼴로 나타낼 수 없는 것은 ①, ③이다. 답 ①, ③ 03 3 2Û`_3 2Þ`_5 = ;1Á6ª0;= 이므로 a=2Ü` 2Ü`_5 = _5=40, b=5Û` 3_5Û` 2Ü`_5_5Û` =;10&0%0;=0.075 =25, c=75, d=0.075 Ⅰ - 0 1 . 유 리 수 와 순 환 소 수 본문 027쪽 답 ③ 답 3 답 ① ∴ a+(b+c)d =40+(25+75)_0.075 =40+100_0.075 =47.5 04 두 분수 , 을 소수로 나타내면 ;9ª9; ;3¦0; ;9ª9;=0.020202y =0.H0H2에서 순환마디는 02이므로 a=2 =0.2H3에서 순환마디는 3이므로 b=1 ;3¦0;=0.233y ∴ a+b=2+1=3 05 을 소수로 나타내었을 때 순환소수가 되기 위해서는 x에 3Û` 2Û`_5_x 2와 5 이외의 소인수 중 분자인 3Û`에 의해 약분되지 않는 것이 있으면 된다. 20보다 작은 두 자리 짝수 10, 12, 14, 16, 18 중 이를 만족하는 것 은 14의 1개이다. 06 0.1H25H4=0.1254254y이므로 순환마디의 숫자는 2, 5, 4의 3개이다. 1000=1+3_333이므로 소수점 아래 1000번째 자리의 숫자는 4이다. 답 ④ 07 140=2Û` _5_7이므로 x 140 = x 2Û`_5_7 에서 분모의 소인수인 7이 x 에 의하여 약분되지 않으면 된다. 즉, x는 7의 배수가 아닌 수이다. 20보다 작은 자연수 중 7의 배수인 것은 7, 14이므로 x의 값으로 가능 한 수는 19-2=17(개)이다. 답 ⑤ 08 ㄱ. 무한소수 중 순환소수는 유리수이다. ㄴ. 0.10203040y은 순환하지 않는 무한소수이므로 유리수가 아니다. ㄷ. 모든 순환소수는 무한소수이다. ㄹ. 정수가 아닌 기약분수의 분모의 소인수에 2와 5 이외의 수가 있으 면 그 분수는 순환소수로만 나타낼 수 있다. ㅁ. 분모에 2나 5 이외에 다른 소인수가 있는 기약분수는 유한소수로 나타낼 수 없다. 이때 분수를 기약분수로 나타낸 후 분모의 소인수 를 확인하여야 한다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 3개이다. 답 ③ 09 ;6!;=;2¢4; , ;8&;=;2@4!; 이므로 과 사이의 분모가 24인 분수는 ;6!; 8&; 답 ⑤ , , ;2°4; ;2¤4; ;2¦4; , y, ;2@4); 이다. _3이므로 이때 24=2Ü` 유한소수가 되려면 분자가 3의 배수이어야 한다. 과 ;6!; ;8&; 사이의 분모가 24인 분수가 따라서 조건을 만족시키는 분수는 , , , ;2¤4; ;2»4; ;2!4@; ;2!4%; ;2!4*; , 의 5개이다. 답 ② 10 분수를 소수로 나타낼 때 유한소수가 되려면 기약분수로 나타내었을 때 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이어야 한다. 72 2Ü`_3Û` 3 2Û`_x 에서 72 2Þ`_3_x = _5b 또는 x=2a 96_x = x=2a 두 자리 자연수 중 x의 값이 될 수 있는 가장 큰 수는 96(=2Þ` 96_x _3_5b (a, b는 음이 아닌 정수)이므로 가 유한소수가 되려면 _3)이다. 답 96 11 ㉡ p=0.19H4라 하고, 양변에 각각 100, 1000을 곱하면 100p=19.44y yy ㉠ 1000p=194.44y ㉠을 하면 yy ㉡ -> ² - 1000p=194.44y 0100p=019.44y 0900p=175 Ⅰ. 유리수와 순환소수 01. 유리수와 순환소수 5 본문 029쪽 n=3일 때 16Ç`=4096이므로 일의 자리의 수는 6 ⋮ 따라서 16Ç 의 일의 자리의 수는 항상 6임을 알 수 있다. n=1일 때 19Ç`=19이므로 일의 자리의 수는 9 n=2일 때 19Ç`=361이므로 일의 자리의 수는 1 n=3일 때 19Ç`=6859이므로 일의 자리의 수는 9 n=4일 때 19Ç`=130321이므로 일의 자리의 수는 1 ⋮ 따라서 19Ç 의 일의 자리의 수는 9와 1이 반복됨을 알 수 있다. 이때 세 수 14Ç`, 16Ç`, 19Ç 의 일의 자리의 수의 합의 일의 자리의 수가 14Ç`+16Ç`+19Ç 의 일의 자리의 수이므로 n이 홀수일 때, 14Ç`+16Ç`+19Ç 의 일의 자리의 수는 9, n이 짝수일 때, 14Ç`+16Ç`+19Ç 의 일의 자리의 수는 3이다. 14Ç`+16Ç`+19Ç` 을 10으로 나눈 나머지는 14Ç`+16Ç`+19Ç 의 일의 자리의 수와 같으므로 n이 홀수일 때 AÇ=9, n이 짝수일 때 AÇ=3이다. 따라서 AÁ=A£=A°= y y A¢ AÁ 10Ý` + 10 + 3 10Ý` + =9, Aª=A¢=A¤= y Aª 10Û` + 3 10Û` + A£ 10Ü` + 9 10Ü` + =3이므로 9 10 + y y = =0.9+0.03+0.009+0.0003+ =0.9393y =0.H9H3 0.H9H3=x라 하고 양변에 100을 곱하면 93.H9H3=100x 각 식의 변끼리 빼주면 93.H9H3-0.H9H3=100x-x 93=99x 따라서 주어진 식의 값을 기약분수로 나타내면 ∴ x=;9(9#;=;3#3!; 이다. ;3#3!; 답 ③ 900p=175 ∴ p=;9!0&0%;=;3¦6; 7x 2Û`_3Û` 가 유한소수가 되려면 0.19H4_x=;3¦6;_x= x는 9의 배수이어야 한다. a는 9의 배수 중 가장 작은 수이므로 a=9 b는 9의 배수 중 가장 큰 세 자리 자연수이므로 b=999 ;aB;=:»;9(;»:=111 답 111 0.H042H8을 x로 놓으면 x=0.04280428y ㉠의 양변에 10000을 곱하면 10000x=428.04280428y ㉡ ㉠을 하면 - 9999x=428 ∴ x=;9¢9ª9¥9; yy ㉠ yy ㉡ 따라서 0.H042H8=;9¢9ª9¥9; 에서 0.H042H8=428_ 10000x=428.04280428y 00000x=000.04280428y 09999x=428 -> ² ;9¢9ª9¥9;=428_ ∴ =;9¢9ª9¥9;_;42!8;=;99Á99; ;99Á99;=0.00010001y 따라서 안에 알맞은 수는 0.H000H1이다. =0.H000H1 답 ⑤ 13 0.H4H5=x라 하고 양변에 100을 곱하면 45.H4H5=100x 각 변의 식끼리 빼면 45.H4H5-0.H4H5=100x-x 45=99x 1.H0H9=y라 하고 양변에 100을 곱하면 109.H0H9=100y 각 변의 식끼리 빼면 ∴ x=;9$9%;=;1°1; 109.H0H9-1.H0H9=100y-y 108=99y ∴ y=:Á9¼9¥:=;1!1@; 따라서 0.H4H5+1.H0H9=;1°1;+;1!1@;=1!1&; a=11, b=17 ∴ a+b=11+17=28 이므로 ∴ 12 14 분수를 소수로 나타낼 때 유한소수가 되려면 기약분수로 나타내었을 때 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이어야 한다. 조건 (가)에서 ;34@0;_A=;17!0;_A= 2_5_17 _A=;b!; 1 이때 조건 (나)에서 은 유한소수이므로 A는 17의 배수이어야 한다. ;b!; ㉡ ㉠을 하면 - A는 20보다 작은 두 자리 자연수이므로 A=17이다. 따라서 이므로 B=10이다. 2_5_17 _17=;b!; 1 ∴ A+B=17+10=27 답 ① 16 0.HaHb=;1¥1; 각 변의 식끼리 빼면 의 양변에 100을 곱하면 ab.HaHb=:¥1¼1¼: 답 28 ab.HaHb-0.HaHb=:¥1¼1¼:-;1¥1; 10a+b=:¦1»1ª:=72 ∴ a=7, b=2 0.aHb_0.HbHa=0.7H2_0.H2H7에서 0.7H2=x라 하고 양변에 10을 곱하면 7.H2=10x yy ㉠ 양변에 100을 곱하면 72.H2=100x yy ㉡ 72.H2-7.H2=100x-10x, 65=90x ∴ x=;9^0%;=;1!8#; 0.H2H7=y라 하고 양변에 100을 곱하면 27.H2H7=100y 각 변의 식끼리 빼면 27.H2H7-0.H2H7=100y-y, 27=99y ∴ y=;9@9&;=;1£1; 15 n=1일 때 14Ç` =14이므로 일의 자리의 수는 4 n=2일 때 14Ç`=196이므로 일의 자리의 수는 6 n=3일 때 14Ç`=2744이므로 일의 자리의 수는 4 n=4일 때 14Ç`=38416이므로 일의 자리의 수는 6 ⋮ 따라서 14Ç 의 일의 자리의 수는 4와 6이 반복됨을 알 수 있다. 마찬가지 방법으로 n=1일 때 16Ç`=16이므로 일의 자리의 수는 6 n=2일 때 16Ç`=256이므로 일의 자리의 수는 6 6 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) ∴ 0.7H2_0.H2H7=;1!8#;_;1£1;=;6!6#; 답 ② 17 순환소수 0.73H24H1의 순환마디를 이루는 숫자는 3개이고 소수점 아래에 서 순환하지 않는 숫자는 2개이다. 이때 60-2=58=3_19+1이므로 소수점 아래 3번째 자리에서 소수점 아래 59번째 자리까지 순환마디는 19번 반복되고, 소수점 아래 60번째 자리의 숫자는 순환마디의 첫 번째 본문 030쪽 Ⅱ - 0 2 . 단 항 식 의 계 산 숫자인 2이다. 따라서 구하는 총합은 (7+3)+(2+4+1)_19+2 =10+7_19+2 =145 답 ④ 02 단항식의 계산 Step 1. 개념 다지기 18 ;1°1;=0.4545454545y이므로 를 소수로 나타낼 때 소수점 아래 ;1°1; 10번째 자리의 수는 5이다. ∴ a=5 0.H28H4=0.284284284284y이므로 순환소수 0.H28H4의 소수점 아래 10번째 자리의 숫자는 2이다. ∴ b=2 따라서 0.HaHb=0.H5H2이므로 0.H5H2=x라 하고 양변에 100을 곱하면 52.H5H2=100x 각 식의 변끼리 빼면 52.H5H2-0.H5H2=100x-x, 52=99x ∴ x=;9%9@; 19 21 2_5Û` = 21 2Ü`_5Ý` = 21 2Þ`_5ß` = 2_21 2Û`_5Û` = 2_21 2Ý`_5Ý` = 2_21 2ß`_5ß` = ⋮ 42 2Û`_5Û` = 42 2Ý`_5Ý` = 42 2ß`_5ß` = 42 10Û` =0.42 42 10Ý` =0.0042 42 10ß` =0.000042 이므로 주어진 식을 순환소수로 나타내면 y 21 y 21 2_5Û` + 21 1+ 2Þ`_5ß` + 2Ü`_5Ý` + =1+0.42+0.0042+0.000042+ =1.424242y =1.H4H2 1.H4H2=x라 하고 양변에 100을 곱하면 142.H4H2=100x 각 식의 변끼리 빼면 142.H4H2-1.H4H2=100x-x, 141=99x ∴ x=:Á9¢9Á:=;3$3&; 20 0.1H6=c에서 양변에 10을 곱하면 1.H6=10c 양변에 100을 곱하면 16.H6=100c yy ㉠ yy ㉡ ㉡ ㉠을 하면 - 16.H6-1.H6=100c-10c, 15=90c ∴ c=;9!0%;=;6!; 0.6H1=a에서 양변에 10을 곱하면 6.H1=10a 양변에 100을 곱하면 61.H1=100a ㉣ ㉢을 하면 61.H1-6.H1=100a-10a - 55=90a ∴ a=;9%0%;=;1!8!; ∴ a△(b△c)=;1!8!; △ {;6!; △ ;6!;} =;1!8!; △ { 5_;6!;_;6!;} △ =;1!8!; ;3°6; =;1!8!;-;3°6;=;3@6@;-;3°6;=;3!6&; 0.4545y 50 <Ô 11 44 060 055 0050 0044 00060 00055 ⋮ 02-1 지수법칙 1 ➊ am+n ➋ amn 기본연습 1 (1) x5 _x3 (3) (x4)5 =x5+3 =x4_5 =x8 =x20 연습 1 _(a5)10 따라서 ak a4 =a4 _a5_10 =a4 =a54이므로 k=54 _a50 =a4+50 =a54 답 ;9%9@; 02-2 지수법칙 2 ➊ am-n ➋ 1 ➌ 1 an-m ➍ ambm ➎ bm am (2) y2 _y7 (4) (y3)7 =y2+7 =y3_7 =y9 =y21 답 (1) x8 (2) y9 (3) x20 (4) y21 기본연습 2 (1) x6Öx4 =x6-4 =x2 (3) (xy)7 =x7y7 1 y9 (4) (2) yÜ`ÖyÚ`Û` 1 = y12-3 = x8 8 = {;]{;} y8 답 (1) x2 (2) 1 y9 (3) x7y7 (4) x8 y8 답 54 답 25 연습 2 x20Öx7 =xa x12 y12 =x13 xb b = yb = {;]{;} ∴ a+b=13+12=25 ∴ a=13 ` ∴ b=12 답 ③ 02-3 단항식의 곱셈 ➊ 계수 ➋ 계수 ➌ 문자 ➍ 문자 ➎ 지수법칙 기본연습 3 =(5_2)_(x_y2)=10xy2 (1) 5x_2y2 (2) 6x2y_(-3xy3)={6_(-3)}_x2y_xy3 =-18x3y4 답 (1) 10xy2 (2) -18x3y4 yy ㉢ yy ㉣ 연습 3 (xy2)2_ 3 x2 y } { =x2y4 _ x6 y3 =x2 _x6 _ y4 y3 =x8y 답 x8y 02-4 단항식의 나눗셈 ➊ 분수 ➋ 곱셈 기본연습 4 (1) 12x4Ö6x= 12x4 6x =2x3 답 ③ (2) (-30x3y4)Ö10x2y=(-30x3y4)_ 1 10x2y =-3xy3 답 (1) 2x3 (2) -3xy3 Ⅱ. 식의 계산 02. 단항식의 계산 7 연습 4 유제 06 주어진 네 수의 지수를 40, 50, 30, 20의 최대공약수인 10으로 x2Ö ;2%; {- 10 x3y4 }=;2%; x2 _{- x3y4 10 }=[;2%;_{- 1 10 }]_x2 _x3y4 x5y4 =-;4!; 답 -;4!; x5y4 02-5 단항식의 곱셈과 나눗셈의 혼합 계산 ➊ 지수법칙 ➋ 역수 ➌ 계수 ➍ 계수 ➎ 문자 ➏ 문자 (1) 10xyÖ5x_7xy2 =10xy_ 1 5x _7xy2 =14xy3 (2) 3x4y2 _;4!; xyÖ5xy2 =3x4y2 _;4!; xy_ 1 5xy2 = 3 20 x4y 답 (1) 14xy3 (2) 3 20 x4y 기본연습 5 연습 5 4x4y3 Ö(-3x)2 _ x3y2 =4x4y3 Ö9x2 _ 18 5 18 5 x3y2` =4x4y3 _ 1 9x2 _ 18 5 x3y2 =;5*; x5y5 답 x5y5 ;5*; Step 2. 대표 문제로 접근하기 01 06 11 15 20 25 29 4 3Ü`â` 27 ② ① ④ ② 02 07 12 16 21 26 30 ④ ① 10 ⑤ ⑤ ④ ④ 03 08 13 17 22 27 512000원 12 3 8 5 04 09 18 23 100pxß`yÛ` 7 ④ ③ ① 05 11Ú`â` 10 14 19 24 28 6 ④ ④ 16 9 x6y4 12xà`yÝ` 유제 01 a3 _a7 _ax =a3+7+x ∴ x=14-10=4 =a10+x이므로 10+x=14 유제 02 24 =24+1+x =29, 즉 5+x=9 _2_2x 25+x ∴ x=9-5=4 =25+x이고 512=29이므로 유제 03 (x2)a _y5b _(y5)b =x2a 2a=8에서 a=4, 5b=15에서 b=3 ∴ ab=4_3=12 =x2ay5b이므로 x2ay5º` =x8y15 답 4 답 ④ _27=2432에서 유제 04 3x (좌변)=3x 3x+3 _33 =310, x+3=10 =3x+3, (우변)=(35)2 ∴ x=7 =310이므로 답 7 유제 05 주어진 세 수의 지수를 35, 15, 10의 최대공약수인 5로 통일하면 2Ü`Þ`=(2à`)Þ`=128Þ`, 5Ú`Þ`=(5Ü`)Þ`=125Þ`, 11Ú`â`=(11Û`)Þ`=121Þ` 이때 121<125<128이므로 121Þ`<125Þ`<128Þ` ∴ 11Ú`â`<5Ú`Þ`<2Ü`Þ` 따라서 세 수 중 가장 작은 수는 11Ú`â`이다. 답 11Ú`â` 8 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 본문 035쪽 통일하면 2Ý`â`=(2Ý`)Ú`â`=16Ú`â`, 2Þ`â`=(2Þ`)Ú`â`=32Ú`â`, 3Ü`â`=(3Ü`)Ú`â`=27Ú`â`, 5Û`â`=(5Û`)Ú`â`=25Ú`â` 이때 16<25<27<32이므로 16Ú`â`<25Ú`â`<27Ú`â`<32Ú`â` ∴ 2Ý`â`<5Û`â`<3Ü`â`<2Þ`â` 따라서 세 번째에 오는 수는 3Ü`â`이다. 답 3Ü`â` 유제 07 ① x12Öx4 =x12-4 ② (x3)3Öx9 =x8 =x9Öx9 =x2Öx3 ④ (x4)3Ö(x2)3Ö(x2)2 ③ x5Öx3Öx3 =1 1 1 = x3-2 = x =x12Öx6Öx4 ⑤ x10Ö(x2)3Ö(x3)2 =x10Öx6Öx6=x4Öx6 = =x6Öx4 =x6-4 1 x6-4 = =x2 1 x2 따라서 옳지 않은 것은 ①이다. 답 ① 유제 08 (x2)5Ö(x)3 =x10Öx3_ =1에서 -3_ =x10-3_ =-9 =x이므로 10-3_ ∴ = -9 -3 =3 답 3 유제 09 ① { 2 yz2 x } = y2_z2_2 x2 = y2z4 x2 ② {- 3 2x2 y } ={-2_ 3 x2 y } =(-2)3 _ x2_3 y3 =- 8x6 y3 ③ {- 3 x2 y } ={-1_ 3 x2 y } =(-1)3 _ x2_3 y3 =- x6 y3 ④ {- 2 xy 2 } ={-1_ 2 xy 2 } =(-1)2 _ x2y2 22 = x2y2 4 4 = ⑤ { 2 x } 24 x4 = 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 16 x4 유제 10 27 xcy9 이므로 3 { a3 = a3 x6y3b =- a a3 x2_3yb_3 = x2yb } =-27=(-3)3에서 a=-3 =xc에서 c=6, y3b x6 ∴ a+b+c=(-3)+3+6=6 =y9 에서 3b=9, b=3 유제 11 3Ú`Ú`_3Þ`Ö3á`_(3Û`)à`_9Ü` =3Ú`Ú`_3Þ`Ö3á`_3Ú`Ý`_(3Û`)Ü` =3Ú`Ú`_3Þ`Ö3á`_3Ú`Ý`_3ß` =3Ú`ß`Ö3á`_3Ú`Ý`_3ß` =3à`_3Ú`Ý`_3ß` =3à`±Ú`Ý`±ß` =3Û`à` 따라서 3Û`à`=3û 이므로 k=27 답 ④ 답 6 답 27 답 10 답 12 유제 12 (xÛ`)Ý`_xÞ`Ö(x¡`_xÜ`)_(xÜ`)ß` =x¡`_xÞ`ÖxÚ`Ú`_xÚ`¡` =x¡`±Þ`ÑÚ`Ú`±Ú`¡`=xÛ`â` 이 값이 100Ú`â` 과 같으므로 xÛ`â`=100Ú`â`=(10Û`)Ú`â`=10Û`â` ∴ x=10 유제 13 진욱이가 첫 번째 달에는 1000원을 입금하고, 두 번째 달부터는 이전 달에 입금한 금액의 2배를 입금하므로 두 번째 달에는 2_1000=2000(원), 세 번째 달에는 2Û`_1000=4000(원), y 을 입금해야 한다. =A2B3 _(3x)3 _7_(2_5)5 =175_105 채영 : 9x3yÖ(-3y2)_6x2y4 1 3y2 }_6x2y4 따라서 열 번째 달에 진욱이가 입금해야 할 금액은 2á`_1000=512_1000=512000(원) 답 512000원 유제 14 하루가 지날 때마다 뮤직비디오 조회 수가 3배씩 증가하므로 6월 1일로부터 n일이 지난 후의 뮤직비디오 조회 수는 2700_3Ç`(회) 따라서 6월 13일의 뮤직비디오 조회 수는 =100_3Ü`_3Ú`Û` 2700_3Ú`Û` =100_27_3Ú`Û` =100_3Ú`Þ`(회) 유제 15 4x +4x+1 +4x+2 +4_4x _4x =4x =4x(1+4+16)=4x +42 =4x(1+4+42) _21=336 4x 유제 16 2x 108x 유제 17 7_57 =336Ö21=16이므로 x=2 =A, 3x =B이므로 _33)x =(22 =22x _25 =52 _7_(25 =17500000 _33x =(2x)2 _55)=52 유제 18 ① 26 따라서 7_57 _54 =22 따라서 26 _57 _43 ② 22 따라서 22 ③ 8_15_25 =40000 _57 =28 _(22)3 _25은 8자리의 자연수이므로 n=8 _(24 =4_104 _(2_5)4 _54)=22 _54은 5자리의 자연수이다. _26 _57 =22 =2_(27 =2_107 _43 =23 =3_(23 =3_103 _57 =22 _57)=2_(2_5)7 =20000000 _57은 8자리의 자연수이다. _3_53 =23 _3_5_52 _53)=3_(2_5)3 =3000 답 ④ 답 ② 답 ⑤ 답 8 따라서 8_15_25는 4자리의 자연수이다. _13_(28 _13 _58 _58)=8_13_(2_5)8 ④ 211 =23 =104_108 _58 _253 따라서 211 ⑤ 2_7_162 =10400000000 _13은 11자리의 자연수이다. =2_7_(24)2 _7=23 =29 _56 =56_106 =56000000 _253은 8자리의 자연수이다. _(52)3 _7_(26 =2_7_28 _56) _56 따라서 2_7_162 그러므로 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③ 유제 19 2 xy4 {;3!; } _{- 4 2x y } x2y8 _ =;9!; 16x4 y4 =;9!;_16_x2 _x4 _y8 _ 1 y4 16 9 x6y4 = 답 16 9 x6y4 유제 20 (-4a2b)3 _(-2a3b5)2 _4a6b10 =-64a6b3 =-256a12b13 유제 21 16x4y3 Ö(-2xy2)=16x4y3 _{- 1 2xy2 }=-8x3y 유제 22 (9x3ya)b Ö(3xcy2)3 3y2 x3 즉, 9bx3byab 27x3cy6 = 이므로 =9bx3byabÖ27x3cy6 = 9bx3byab 27x3cy6 ∴ b=2 =27_3=81=92 9b 27 =3에서 9b 3c-3b=3에서 3c-6=3, 3c=9 ∴ c=3 ∴ a=4 ab-6=2에서 2a-6=2, 2a=8 ∴ a-b+c=4-2+3=5 답 ① 답 ⑤ 답 5 유제 23 (-a2b3)3Öa3b_{ =(-a6b9)Öa3b_ 2 a2 b } 유제 24 예원 : ( -2x3)4Ö x3 =16x12 ;9@; 민지 : 12y2Ö _4y4 y3 =12y2 ;5#; 진영 : ;3$; 소미 : 4x2 xy2 _(-3x3y)2 =;3$; _(-2xy3)Ö(-2y)3 본문 042쪽 답 ① Ⅱ - 0 2 . 단 항 식 의 계 산 a4 b2 a4 b2 =(-a6b9)_ 1 a3b _ =-a7b6 =80y3 =12x7y4 _ _ xy2 9 2x3 =72x9 5 3y3 _4y4 _9x6y2 =4x2 =4x2 =x3 =9x3y_{- =-18x5y3 _(-2xy3)Ö(-8y3) 1 _(-2xy3)_{- 8y3 } 따라서 계산이 틀린 사람은 소미이다. 답 ④ 유제 25 (3x3y2)2 Ö(-2xy2)2 _ =18x5y2에서 9x6y4Ö4x2y4 _ =18x5y2 1 4x2y4 _ =18x5y2 9x6y4 _ ∴ =18x5y2 _ 1 9x6y4 _4x2y4 =8xy2 답 ④ 유제 26 4a2bÖA_6a3b5 =8a4b4에서 4a2b_ 1 A _6a3b5 =8a4b4 1 8a4b4 =3ab2 1 1 10ab2 =B 2ab _ ∴ A =4a2b_6a3b5Ö8a4b4 =4a2b_6a3b5 _ (10ab2)2Ö2abÖ10ab2 =B에서 100a2b4 _ ∴ B=100a2b4 _ ∴ A_B=3ab2 1 20a2b3 =5b _5b=15ab3 유제 27 (원기둥의 부피)=(밑면의 넓이)_(높이) ` p _(2xÛ`yÛ`)Û`_{:°]Ó:} = p _4xÝ`yÝ`_ = =100pxß`yÛ` 2` 25xÛ` yÛ` 유제 28 (정사각뿔의 부피)=;3!;_(밑면의 넓이)_(높이) =;3!;_(3xÜ`y)Û`_4xyÛ` =;3!;_9xß`yÛ`_4xyÛ` =12xà`yÝ` 답 ④ 답 100pxß`yÛ` 답 12xà`yÝ` 유제 29 (직사각형의 넓이)=(가로의 길이)_(세로의 길이) (x3y)3 5 _50x2y4 = x9y3 5 _50x2y4 = =10x11y7 답 ② 유제 30 주어진 원뿔의 부피와 원기둥의 부피가 같으므로 _(3x)2 p _h= _(xy)2 p _5x2y ;3!;_ _x2y2 p _5x2y ;3!;_ 3px2 ∴ h= _9x2 p _h= _h=5px4y3 5px4y3 3px2 =;3%; x2y3 답 ④ Ⅱ. 식의 계산 02. 단항식의 계산 9 답 (1) p=8 (2) q=4, r=5 13 =280, B=2515 A=1620 두 수 A, B의 지수 80, 30의 최대공약수는 10이므로 =(24)20 =(52)15 =530 Step 3. 단원 마무리하기 01 04 09 13 17 (1) p=8 (2) q=4, r=5 05 18 ③ 06 ① 10 7 A>B>C ① 18 ⑤ 11 14 19 3 ② ③ ② 02 07 12 15 20 ④ ② 5 ④ ② 03 08 ④ ④ 16 ⑤ 01 (1) a5 =a5+7+p =a20에서 5+7+p=20이므로 _a7 _ap 12+p=20 _y2 _y2+q _x_yq ∴ p=8 =xry6에서 x4 =xry6 =xry6, xÞ`yÛ`±Ï` (2) x4 x4+1 따라서 5=r, 2+q=6이므로 q=4, r=5 _x_y2 _yq =xry6 02 a2x =3이므로 a8x =(a2x)4 =34 =81 답 ④ 03 ① a ∴ ∴ _a3 ② (a2) ③ (a)4 =a+3 =a2_ =a_4 _a2 =a10 =a _(a2)3 +6=16 =a8이므로 +3=8 =a12이므로 2_ =12 =a12이므로 _4=12 =a12 =a10+2 _a2 =a =a16이므로 _a6 +6 ∴ =10 따라서 안에 알맞은 수가 가장 큰 것은 ④이다. ∴ =a이므로 ④ (a5)2 ⑤ a =5 =6 =3 =12 04 { = 2 3 a2 b } b ax } a2_3 b3 = b a6 } 2 a6 b3 = b2 a6_2 = ax b3 에서 x=6 b2 b2 a12 = ay = ={ { ∴ x+y=6+12=18 05 (-2a5b3)2 =(-2)2 =4_a5_2 _(a5)2 _b3_2 _(b3)2 =4a10b6 06 10x12 10x12 Ö5x Ö5x 따라서 12- x12- Ö(x2)3 Ö(x2)3 10 = 5 =2x12- -6=3에서 6- Öx6 =2x3 =3 -6 에서 y=12 =2x12- Öx6 ∴ =3 답 3 07 18x3y3Ö(3xy2)2 =18x3y3Ö9x2y4 =18x3y3 _ 1 9x2y4 = 2x y 즉, 2x y = AxB yC ∴ A+B+C=2+1+1=4 이므로 A=2, B=1, C=1 08 x3y_3xyÖ 6y2Ö4x_ { xy2 3 }=x3y_3xyÖ xy2 3 } 6y2_ 1 4x _ { y4 2 =x3y_3xy_ 2 y4 =x3y_3xyÖ 6x4 y2 = 09 3 1 81 } { ={ 3 1 34 } = 1 (34)3 = 1 312 = 1 (32)6 = 1 a6 10 (4abx)2Ö(ayb3)3 16a2b2x a3yb9 = =16a2b2xÖa3yb9 16b a4 이므로 즉, 16a2b2x a3yb9 = 2x-9=1에서 2x=10 3y-2=4에서 3y=6 ∴ x+y=5+2=7 ∴ x=5 ∴ y=2 10 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 11 (x3y4)2 (x3y4)2 _(xay)3 _(xay)3 Ö(x2yb)4 Ö(x2yb)4 =x6y8 =x6y8 _x3ay3Öx8y4b 1 _x3ay3 x8y4b = _ x3ay11 x2y4b 즉, x3ay11 x2y4b =x7y3이므로 3a-2=7에서 a=3, 11-4b=3에서 b=2 ∴ a+b=3+2=5 12 (-2x2y)A _Bxy3 =(-2)Ax2AyA _Bxy3 =-32x7yC이므로 즉, (-2)ABx2A+1yA+3 2A+1=7에서 A=3 (-2)AB=(-2)3B=-8B=-32에서 B=4 A+3=C에서 C=6 ∴ A-B+C=3-4+6=5 =(-2)ABx2A+1yA+3 본문 052쪽 답 ② 답 5 답 A>B>C 답 ③ 답 ④ 답 ⑤ =(28)10 =(53)10 세 수 A, B, C의 지수를 10으로 통일하면 =25610 A=280 B=530 =12510 C=2710 ∴ A>B>C 14 =36x4이므로 =(-6)bxab (-6xa)b (-6)b ab=4에서 2a=4 ab2 =36=(-6)2에서 b=2 ∴ a=2 ab4Ö ab4Ö 3 {-;4!; } =;2!; ;2!; 1 64 a3b6 } {- {-;4!; } =;2!; _{- ab4 64 a3b6 } ab4Ö ab4Ö ;2!; ;2!; 3 3 ab2 ab2 {-;4!; } =- 32 a2b2 이때 a=2, b=2이므로 이 식에 대입하면 32 32 22_22 =-2 (주어진 식)=- a2b2 =- 답 ④ 답 18 답 ③ 15 3n+1(3n-2 +3n)=3n+1 _3n-2 32n +3 +3n+1 32n _ _3n =32n-1 3 +32n+1 32n ={;3!;+ }_ =;3!;_ ∴ a=;;Á3¼;; =;;Á3¼;;_ 9n =a_9n 답 ② 16 46 _59 _11=(22)6 =23 _59 _11=212 _11_(2_5)9 _59 _11 =88_109 따라서 46 ∴ 315-n _59 =315-11 =34 =81 _11은 11자리의 자연수이므로 n=11 답 ④ 답 ① 17 C를 4xy로 나누었을 때 x가 되므로 ∴ C=x_4xy=4x2y CÖ4xy=x B에 2x를 곱했을 때 C=4x2y가 되므로 B_2x=4x2y ∴ B= 4x2y 2x =2xy =2xy A를 (3x2y)2으로 나누었을 때 B=2xy가 되므로 AÖ(3x2y)2 ∴ A=2xy_(3x2y)2 ∴ AÖBÖC=A_ =2xy_9x4y2 1 1 C =18x5y3 B _ =18x5y3 1 2xy _ _ 1 4x2y 답 7 x2y =;4(; 답 ① Ⅱ - 0 3 . 다 항 식 의 계 산 본문 055쪽 18 자연수 n에 대하여 (-1)2nxn _(-1)nxn _(-1)n+1 =(-1)2n+(n+1)+n =(-1)4n+1x2n 모든 자연수 n에 대하여 4n+1의 값은 홀수이므로 (-1)4n+1 따라서 주어진 식을 간단히 하면 =-1 -x2n이다. _xn+n 19 210 _4_58 _22 _58 _(2_5)8 =210 =24 _4_58은 10자리의 자연수이므로 _58 =212 =16_108 따라서 210 n=10 이때 2n 따라서 2n m=8 _253 =210 _(52)3 =24 _253은 8자리의 자연수이므로 =210 _56 _(2_5)6 =16_106 답 ② 20 원뿔 모양의 물통에 가득 들어 있는 물 을 원기둥 모양의 물통에 부었더 니 물이 넘치지 않고 가득 찼으므로 두 물통의 부피가 같음을 알 수 있다. 03-2 단항식과 다항식의 곱셈 ➊ 분배법칙 ➋ 전개 ➌ 전개식 기본연습 2 답 ⑤ (1) 4a(a-4b)=4a2 (2) -16ab -2x(x-2y+3)=-2x2 +4xy-6x 답 (1) 4a2 -16ab (2) -2x2 +4xy-6x 연습 2 (1) x(-x+2)+3x(1-2x) (2) 2ab(a+b)-(b-a)_3ab +3a2b +2x+3x-6x2 +5x =-x2 =-7x2 =2a2b+2ab2 =5a2b-ab2 -3ab2 답 (1) -7x2 +5x (2) 5a2b-ab2 (cid:21)(cid:89) (cid:22)(cid:89) 부피 동일 = 원기둥 모양의 물통의 높이를 h라 하면 p _(4x)2 _5x= p _(6x)2 ;3!;_ p ;3!;_ ∴ h= _16x2 80 3 _5x= p px3Ö36px2 _36x2 80 3 = _h _h, 80 px3 3 1 px3 =36px2h _ 36px2 =;2@7); x 03-3 다항식과 단항식의 나눗셈 (cid:73) ➊ 역수 ➋ 분배법칙 ➌ 1 C ➍ A+B C (cid:23)(cid:89) 기본연습 3 (1) (6x2 -9x)Ö3x= 6x2-9x 3x 6x2 3x - = 9x 3x =2x-3 답 ② =(12xy2 (2) (12xy2 -3x2y)Ö3xy 1 -3x2y)_ 3xy 3x2y 3xy =4y-x 12xy2 3xy - = 연습 3 03 다항식의 계산 Step 1. 개념 다지기 03-1 다항식의 덧셈과 뺄셈 ➊ 동류항 ➋ 2 기본연습 1 (1) (3a+2b)-(2a-b) (2) (2x+3y-5)+(3x-3y+2) =3a+2b-2a+b=a+3b =2x+3x+3y-3y-5+2 =5x-3 (3) 2x-{3x-(x+y)} (4) (x2 +2x+3)-(2x2 =2x-(3x-x-y)=2x-(2x-y) =2x-2x+y=y -3x-1) +3x+1 =x2 =-x2 +2x+3-2x2 +5x+4 답 (1) a+3b (2) 5x-3 (3) y (4) -x2 +5x+4 연습 1 ③ a2 +3a-a2 =3a이므로 일차식이다. ④ 이차식 ⑤ x2 -3x-(x2 +2) 이므로 일차식이다. =x2 -3x-x2 -2=-3x-2 답 (1) 2x-3 (2) 4y-x (1) (8aÛ` -12ab)Ö2a= 8aÛ`-12ab 2a 8a2 2a - 12ab 2a =4a-6b = (2) (15ab+18bÛ`)Ö(-3b)= 15ab+18bÛ` + 18bÛ` -3b = 15ab -3b -3b =-5a-6b 답 (1) 4a-6b (2) -5a-6b 03-4 사칙연산이 혼합된 계산 ➊ 거듭제곱 ➋ 괄호 ➌ 곱셈, 나눗셈 ➍ 덧셈, 뺄셈 기본연습 4 -6xÛ` +2y-1 -2y)Ö2y -2y)_ 1 2y 2y 2y =21xÜ` -y)Ö(-y) -y)_{- 1 y } (1) (7xÛ` =7xÛ` -2x)_3x+(4yÛ` _3x-2x_3x+(4yÛ` 4yÛ` -6xÛ` 2y - (2) (3y-4yÛ`)_2y-(2yÛ` =3y_2y-4yÛ` =21xÜ` + -{- _2y-(2yÛ` 2yÛ` y y + y } -(-2y+1) +2y-1 -8yÜ` -8yÜ` =6yÛ` =6yÛ` =-8yÜ` +6yÛ` 답 ④ 답 (1) 21xÜ` -6xÛ` +2y-1 (2) -8yÜ` +6yÛ` +2y-1 Ⅱ. 식의 계산 03. 다항식의 계산 11 연습 4 (1) 4x+8x2 2x - 14x2-21x 7x =2+4x-(2x-3)=2x+5 (2) (6x2y+10xy)Ö2xy+(12x3-9x2)Ö3x2 = 6x2y+10xy 12x3-9x2 2xy + 3x2 =3x+5+4x-3=7x+2 답 (1) 2x+5 (2) 7x+2 03-5 등식의 변형 ➊ xy-3y ➋ 6 ➌ 식의 대입 ➍ x-3 ➎ 2y+1 ➏ -y+3 ➐ 등식의 변형 ➑ x=-2y-3 ➒ y=2x+4 기본연습 5-1 2x+(x-2)-4 (1) 2x+y-4에 y=x-2를 대입하면 (2) x-3y+5에 y=x-2를 대입하면 x-3(x-2)+5 =2x+x-2-4=3x-6 =x-3x+6+5=-2x+11 답 (1) 3x-6 (2) -2x+11 연습 5-1 기본연습 5-2 5x-2y+6에 x=y+4를 대입하면 5(y+4)-2y+6=5y+20-2y+6=3y+26 답 3y+26 5A-6B (1) 5A-6B에 A=2x-y, B=-3x+2y를 대입하면 =5(2x-y)-6(-3x+2y) =10x-5y+18x-12y=28x-17y -2A+4B에 A=2x-y, B=-3x+2y를 대입하면 =-2(2x-y)+4(-3x+2y) -2A+4B =-4x+2y-12x+8y=-16x+10y (2) 답 (1) 28x-17y (2) -16x+10y 연습 5-2 주어진 식을 간단히 하면 A-(2B-3A) 4A-2B에 A=x+4y, B=-2x-y를 대입하면 =4(x+4y)-2(-2x-y) (주어진 식) =4x+16y+4x+2y=8x+18y =A-2B+3A=4A-2B 답 8x+18y Step 2. 대표 문제로 접근하기 01 06 11 14 17 21 ④ ⑤ ③ 02 07 12 ⑤ ④ ④ -14bÜ` 8xÛ` 7aÛ`bÛ` +21abÛ` +10xy -35a-26b+8 04 09 ② ④ 03 08 13 15 18 9 ⑤ ④ ⑤ 6xÛ`yÜ` +15xyÝ` 16 11x2 +11y 19 ③ 05 10 20 23 28 ④ ③ 80 ② ⑤ 24 18y+10 25 4 26 -3 22 7xÛ` -4x+28 27 ⑤ 유제 01 (2x+5y-3)-5(-2x+2y-3) =2x+5y-3+10x-10y+15 =2x+10x+5y-10y-3+15=12x-5y+12 따라서 x의 계수는 12, 상수항은 12이므로 구하는 합은 12+12=24 답 ④ 12 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 유제 02 4x-y 3 - 3x+3y 2 +x= 2(4x-y) 3(3x+3y) 6 - 6 + 6x 6 본문 059쪽 8x-2y-9x-9y+6x 6 = 8x-9x+6x-2y-9y 6 = 5x-11y 6 = =;6%; x- 11 6 y 답 ⑤ 유제 03 (x2 -2x+3-3x2 -3x2 -5x+1 -2x-5x+3+1 -2x+3)-(3x2 +5x-1)=x2 =x2 =-2x2 =axÛ` 따라서 a=-2,``b=-7,``c=4이므로 a-b+c=-2-(-7)+4=-2+7+4=9 +bx+c -7x+4 답 9 -3이므로 답 ② -2x+7) +2x-7 +2x+2x+4-7 +2x+4)-(x2 +2x+4-x2 -x2 +4x-3 유제 04 (3x2 =3x2 =3x2 =2x2 따라서 x2의 계수는 2, 상수항은 구하는 합은 2+(-3)=-1 유제 05 2x-[3x+2y-{3y-2(x+2y)}] =2x-{3x+2y-(3y-2x-4y)} =2x-{3x+2y-(-2x-y)} =2x-(3x+2y+2x+y) =2x-(5x+3y) =2x-5x-3y =-3x-3y=ax+by 따라서 a=-3,``b=-3이므로 a-b =(-3)-(-3)=-3+3=0 유제 06 2x2 -[4x+{2x2 =2x2 =2x2 =2x2 =2x2 -{4x+(2x2 -{4x+(2x2 -(4x+2x2 -(2x2 -(4x-2)-3}] -4x+2-3)} -4x-1)} -4x-1) -2x2 -1)=2x2 +1=1 유제 07 어떤 식을 A라 하면 -x-2)=2x2 A-(x2 -x+3)+(x2 A=(2x2 따라서 바르게 계산하면 A+(x2 =(3x2 =4x2 -x-2) -2x+1)+(x2 -3x-1 유제 08 어떤 식을 A라 하면 -x-2)` (2x2 A=(4x2 =4x2 =2x2 -3x+1)+A=4x2 -x-3)-(2x2 -x-3-2x2 +2x-4 따라서 바르게 계산하면 -x-3 -3x+1) +3x-1 (2x2 -3x+1)-A=(2x2 =2x2 =-5x+5 =ax2 +bx+c -x+3 -x-2)=3x2 -2x+1 -3x+1)-(2x2 -3x+1-2x2 -2x+4 +2x-4) 답 ④ 답 ⑤ 답 ④ 유제 18 주어진 그림에 보조선을 그으면 그림과 같이 도형을 세 개의 직사 답 ⑤ 각형으로 나눌 수 있다. 본문 066쪽 =ax3 +bx2 +cx -4xy+10x에서 x2의 계수가 2이므로 +6xy-9x에서 xy의 계수가 6이므로 (cid:19)(cid:89) (cid:20)(cid:89) (cid:20) (cid:19) (cid:21)(cid:89) (cid:22)(cid:89) 따라서 주어진 도형의 넓이는 2x_3x+(2x+3)_2+(2x+3+4x)_5x =6x2 =36x2 +4x+6+10x2 +19x+6 +15x+20x2 유제 19 (5x-2y+1)-(-3x+6y+4) =5x-2y+1+3x-6y-4 =(5+3)x+(-2-6)y+(1-4) =8x-8y-3=8_1-8_(-2)-3 =8+16-3 =21 유제 20 (18x4y2 -21x2y3)Ö3x2y= 18x4y2-21x2y3 3x2y =6x2y-7y2 =6_(-3)2 =108-28 =80 _2-7_22 Ⅱ - 0 3 . 다 항 식 의 계 산 답 ⑤ 답 ③ 답 80 유제 21 먼저 주어진 식을 간단히 하면 3X-4{X-2(Y-2X)}+5(2X-Y) =3X-4(X-2Y+4X)+10X-5Y =3X-4(5X-2Y)+10X-5Y =3X-20X+8Y+10X-5Y =-7X+3Y 따라서 이 식에 X=2a+5b+1, Y=-7a+3b+5를 대입하면 (주어진 식)=-7X+3Y =-7(2a+5b+1)+3(-7a+3b+5) =-14a-35b-7-21a+9b+15 =-35a-26b+8 답 -35a-26b+8 따라서 a=0, b=-5, c=5이므로 a-b+c=0-(-5)+5=10 -4x+3)=2x3 +6x 따라서 a=2,`b=-8, c=6이므로 a-b-c=2-(-8)-6=4 -8x2 유제 09 2x(x2 유제 10 2x(x-2y+5)=2x2 a=2 3x(-2x+2y-3)=-6x2 b=6 ∴ ab=2_6=12 유제 11 (2x3 -8x2 +10x)Ö(-2x) +10x)_{- 1 2x }-8x2 _{- 1 2x } =(2x3 -8x2 =2x3 =-x2 _{- +4x-5 유제 12 (6x2y+12xy2 -9y2)Ö y ;4#; =(6x2y+12xy2 -9y2)_ 4 3y 유제 13 유제 14 4 3y +12xy2 +16xy-12y 4 3y -9y2 _ 4 3y _ =6x2y_ =8x2 +5y_3xyÜ` +15xyÝ` =2x+5y에서 Ö3xyÜ` =(2x+5y)_3xyÜ` =2x_3xyÜ` =6xÛ`yÜ` Ö7bÛ` =(aÛ` =aÛ` =7aÛ`bÛ` =aÛ` +3a-2b)_7bÛ` +3a_7bÛ` _7bÛ` +3a-2b에서 유제 15 5ab2 +21abÛ` +9a2b2Ö3a2b+2ab_(-2b) -14bÜ` =5ab2 + 9a2b2 3a2b -4ab2 =ab2 +3b 유제 16 (2x3 +5xy)Ö x+ ;3!; 20x2y-16y2 4y =(2x3 =6x2 +5xy)_;[#;+5x2 +15y+5x2 유제 17 사다리꼴의 윗변의 길이를 A라 하자. -4y -4y=11x2 +11y 답 ④ 답 ③ 답 ③ 답 ④ 답 ④ 1 2x }+10x_{- 1 2x } 답 6xÛ`yÜ` +15xyÝ` -2b_7bÛ` 답 7aÛ`bÛ` +21abÛ` -14bÜ` 답 11x2 +11y 유제 22 먼저 주어진 식을 간단히 하면 B-{A-(C+3A)+3B}-4C =B-(A-C-3A+3B)-4C =B-(-2A+3B-C)-4C =B+2A-3B+C-4C =2A-2B-3C 아랫변의 길이가 2xy, 높이가 3x인 사다리꼴의 넓이가 12xÜ` +18xÛ`y이므로 (사다리꼴의`넓이) =;2!;_{(윗변의`길이)+(아랫변의`길이)}_(높이)에서 ;2!;_(A+2xy)_3x 즉, 이 식이 12x3 +18x2y와 같으므로 (A+2xy)_3x=12x3 +18x2y ;2!; +18x2y)_2_;3Á[; A+2xy=(12x3 A+2xy=8x2 ∴ A=8x2 따라서 사다리꼴의 윗변의 길이는 8x2 +12xy +10xy 따라서 이 식에 주어진 A, B, C의 식을 각각 대입하면 (주어진 식) +x+10)-2(x2 =2A-2B-3C =2(3x2 =6x2 =7x2 +2x+20-2x2 -4x+28 -3x+5)-3(-x2 +4x-6) +6x-10+3x2 -12x+18 답 7x2 -4x+28 유제 23 x+y 3 = -x+2y-2 2 를 y에 대하여 풀면 +10xy이다. 답 8x2 +10xy 2(x+y)=3(-x+2y-2) 2x+2y=-3x+6y-6 Ⅱ. 식의 계산 03. 다항식의 계산 13 2y-6y=-3x-6-2x, -4y=-5x-6 ∴ ``y=;4%; x+;2#; 따라서 3x-4y+5에 y=;4%; x+;2#; 을 대입하면 3x-4y+5=3x-4 x+;2#;}+5 {;4%; =3x-5x-6+5=-2x-1 답 ② Step 3. 단원 마무리하기 ⑤ ① ④ ④ 02 07 12 17 ⑤ ④ ⑤ ⑤ 03 08 13 18 3 ④ ③ ④ 04 09 14 19 ③ 20 ③ ④ 05 10 15 20 ② ④ ② ③ 본문 073쪽 유제 24 x`:`y=5`:`3에서 3x=5y 이를 주어진 식에 대입하면 ∴ 15x=25y 15x-7y+10=25y-7y+10=18y+10 답 18y+10 (3a+2b+5)-(2a+3b-4)=3a+2b+5-2a-3b+4 =3a-2a+2b-3b+5+4 =a-b+9 -1, 상수항은 9이므로 구하는 합은 따라서 b의 계수는 (-1)+9=8 유제 25 x`:`y=2`:`1에서 x=2y이므로 이를 주어진 식에 대입하면 -8y2 2y2-5_2y_y -2y2 =4 -(2y)2+2y_y = 2y2-10y2 -4y2+2y2 = 2y2-5xy -x2+xy = 02 +x-3) 2x(3x-3)-3(-x2 -6x+3x2 =6x2 =9x2 -9x+9 -3x+9 답 4 유제 26 에서 7(x+y)=3(x-y) x+y x-y =;7#; 7x+7y=3x-3y, 4x=-10y, 2x=-5y ∴ 5y=-2x 이를 주어진 식에 대입하면 x-5y x+5y = x-(-2x) x+(-2x) = 3x -x =-3 답 -3 -x+3a) +x-3a +3x+3)-(2x2 +3x+3-2x2 03 (ax2 =ax2 =(a-2)x2 에서 x2의 계수는 a-2, 상수항은 3-3a이다. 따라서 x2의 계수와 상수항의 합은 +4x+3-3a (a-2)+(3-3a)=a-3a-2+3=-2a+1=-5 -2a=-6 ∴ a=3 유제 27 어떤 정사각뿔의 부피가 16x4y2 +20x3y2 +10x2y4이고 높이가 6x2y2이므로 이 정사각뿔의 밑면의 넓이를 S라 하면 =16x4y2 +20x3y2 +10x2y4 ;3!;_S_6x2y2 2x2y2 _S=16x4y2 +20x3y2 +10x2y4 ∴ S= 16x4y2+20x3y2+10x2y4 2x2y2 +10x+5y2 =8x2 답 ⑤ 유제 28 S= (비용)Û` 10 +1+{ (A) (10x+10)Û` 10 = f Þ` 8 - m 32 } Ö(인원 수)_ f Þ` m 8 - 32 } Ö +1+{ -m-4f Þ`` m 100xÛ`+200x+100 10 = +1+{ f Þ` 8 - -m-4f Þ`` m m 64 _ 32 }_ (B) 64 m m -m-4f Þ` m _ =10xÛ`+20x+10+1+(8f Þ`-2m)_ =10xÛ`+20x+11+2(4f Þ`-m)_ =10xÛ`+20x+11+(-2)_ 16f Ú`â`-mÛ` mÛ` -m-4f Þ` mÛ` 4f Þ`+m mÛ` _(-1) =10xÛ`+20x+11- =10xÛ`+20x+11- 32f Ú`â`-2mÛ` mÛ` 32f Ú`â` mÛ` +2 04 2x(-x+2y+4)+3x(y-3x) +4xy+8x+3xy-9x2 +7xy+8x =-2x2 =-11x2 높이(cid:30)(cid:23)(cid:89)(cid:19)(cid:90)(cid:19) 05 2x2-3x+2 4 - x2-3x+2 3 = 3(2x2-3x+2)-4(x2-3x+2) 12 6x2-9x+6-4x2+12x-8 12 6x2-4x2-9x+12x+6-8 12 2x2+3x-2 12 x2 + 3 12 x- 2 12 = = = = 2 12 2 12 따라서 a= 2 12 , b= 3 12 , c=- 이므로 a+b-c= 2 12 + 3 12 -{- 2 12 }= 2 12 + 3 12 + 2 12 = 7 12 답 ② 06 2a-b+ =3a-2b이므로 =(3a-2b)-(2a-b)=3a-2b-2a+b =3a-2a-2b+b=a-b 07 2x-y 3 - x-3y 4 =;3@; x-;3!; y-;4!; y x+;4#; =;3@; x-;4!; x-;3!; y y+;4#; 8 12 5 12 x- x+ 3 12 5 12 = = x- 4 12 y+ 9 12 y y=ax+by = (C) 10 xÛ`+ (D) 20 x+13- (E) 32f Ú`â` mÛ` 따라서 빈칸에 들어갈 것으로 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 따라서 a= 5 12 ,`b= 5 12 이므로 a+b= 5 12 + 5 12 =;1!2);=;6%; 14 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 답 ⑤ 답 ⑤ 답 3 답 ③ 답 ① 답 ④ 01 06 11 16 01 08 Ö3ab=ab+2a+3 =(ab+2a+3)_3ab =ab_3ab+2a_3ab+3_3ab +6a2b+9ab =3a2b2 09 (3xy2 -2xy)Ö ;4!; y=(3xy2 -2xy)_;]$; =3xy2 _;]$;-2xy_;]$; =12xy-8x 따라서 xy의 계수가 12이므로 a=12, x의 계수가 ∴ a-b=12-(-8)=12+8=20 -8이므로 b=-8 10 어떤 식을 A라 하면 A-(3x2 A=(x2 =x2 =4x2 +2x-3)=x2 -x+1)+(3x2 +3x2 +x-2 -x+2x+1-3 -x+1 +2x-3) 11 어떤 식을 A라 하면 A-{ x2 +;2!; x-;4#;}=x2 -;2#; x+;4!; A=x2 -;2#; x+;4!;+{ x2 +;2!; x-;4#;} =x2 +x2 -;2#; x+;2!; x+;4!;-;4#; =2x2 -x-;2!; 따라서 바르게 계산하면 =2x2 +x2 -x+;2!; x-;2!;-;4#; =3x2 -;2@; x+;2!; x-;4@;-;4#; =3x2 -;2!; x-;4%; 답 ④ 12 (15ab3 +5a2b)Ö ab+3b(5-2b) ;2%; =(15ab3 +5a2b)_ 2 5ab +3b(5-2b) +2a+15b-6b2 =6b2 =2a+15b 13 -xy-xy2 +xy2 x(x+y2)-y(x+xy)=x2 =x2 -xy =(-3)2 =9-(-15)=24 -(-3)_5 14 3x-2y=4에서 2y=3x-4 ∴ y=;2#; x-2 =2a-b-(-4a+9b) =2a-b+4a-9b =6a-10b 따라서 a의 계수는 6, b의 계수는 6+(-10)=-4 -10이므로 구하는 합은 답 ② 본문 078쪽 Ⅲ - 0 4 . 일 차 부 등 식 16 a+2b a-2b =3에서 a+2b=3(a-2b), a+2b=3a-6b -2a=-8b a-3a=-6b-2b, 2a-b 2a+b 에 a=4b를 대입하면 ∴ `a=4b 2a-b 2a+b = 2_4b-b 2_4b+b = 8b-b 8b+b = 7b 9b =;9&; 답 ④ 답 ④ 답 20 답 ④ 17 2_(a+2b)-3A=-4a+7b 2a+4b-3A=-4a+7b 3A=(2a+4b)-(-4a+7b)=2a+4b+4a-7b =6a-3b=3(2a-b) ∴ A=2a-b 18 ① x(4x+1)=4xÛ` +x ② (-2xÛ` -8xÜ`)Ö(-2x)= ③ x2 +7x+3x(x-2) ④ (4x3 ⑤ 5x2 +x2)Ö;[!;=(4x3 +3x+4-(x2 +3x+4-x2 +x =5x2 =4x2 +2x+4) -2x-4 -2x2-8x3 +x -2x =4xÛ` -6x =x2 =4x2 +7x+3x2 +x +x2)_x=4x4 +x3 19 -2x-A)} +2x+A) -{5x-(-x2 -(5x+x2 -(x2 +7x+A) -x2 -7x-A -7x-A=2x2 2x2 =2x2 =2x2 =2x2 =x2 ∴ A=(x2 =x2 =-x2 -7x)-(2x2 -7x-2x2 -4x+4 -3x-4 -3x-4) +3x+4 답 ⑤ 20 그림에서 색칠한 부분의 넓이는 (큰 직사각형의 넓이)-(작은 직사각형의 넓이) =(y+3)_5x2 =5x2y+15x2 =x2y+15x2 -2xy_2x -4x2y 답 ③ 답 ⑤ 답 ④ 답 ③ A+{ x2 +;2!; x-;4#;}=2x2 -x-;2!;+{ x2 +;2!; x-;4#;} 따라서 계산 결과가 나머지 넷과 다른 하나는 ④이다. 답 ④ 따라서 주어진 식을 정리한 후 y=;2#; -x+y-3(-2x+y)=-x+y+6x-3y=5x-2y x-2를 대입하면 x-2 }=5x-3x+4 {;2#; =5x-2 =2x+4 답 ③ 15 2a-b-[3b-{2a-4b+2(a-b)}] =2a-b-{3b-(2a-4b+2a-2b)} =2a-b-{3b-(4a-6b)} 04 일차부등식 Step 1. 개념 다지기 04-1 부등식과 그 해 ➊ a>b ➋ a9 x=3일 때, 3_3+4=9+4=13>9 따라서 주어진 부등식의 해는 -1, 0, 1이다. 04-4 복잡한 일차부등식의 풀이 ➊ 괄호를 풀고 ➋ 10의 거듭제곱 ➌ 분모의 최소공배수 답 -1, 0, 1 기본연습 4 본문 083쪽 답 풀이 참조 04-2 부등식의 기본 성질 ➊ < ➋ < ➌ < ➍ < ➎ > ➏ > 기본연습 2 (1) aÉb의 양변에 2를 더하면 a+2Éb+2 (2) aÉb의 양변에서 3을 빼면 a-3Éb-3 (3) aÉb의 양변에 -3a¾ -3b (4) aÉb의 양변을 2로 나누면 -3을 곱하면 a 2 É b 2 연습 2 2xÉ4 (1) xÉ2의 양변에 2를 곱하면 -3을 곱하면 (2) xÉ2의 양변에 -3x¾ -3x¾ -3x+1¾ -6 -6의 양변에 1을 더하면 -3x+1¾ -6+1, 즉 -5 04-3 일차부등식과 그 해 ➊ 일차부등식 ➋ x의 계수 a 기본연습 3 ∴ x¾6 (1) 3x¾18 (2) 2x-1<3, 2x<4 (3) 2É -8+x, 10Éx (4) 2-2x>12-x, -x>10 ∴ x<-10 답 ∴ x<2 ∴ x¾10 -2x+x>12-2 16 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 답 (1) É (2) É (3) ¾ (4) É 답 (1) 2xÉ4 (2) -3x+1¾ -5 (1) x¾6 (2) x<2 (3) x¾10 (4) x<-10 -(x+1) (1) 3(x-4)>-3x, 3x-12>-3x ∴ x>2 6x>12 (2) 2(x-1)+4É 2x-2+4É -x-1 -3 ∴ xÉ 3xÉ (3) 0.2-0.4x>0.2x-1 2-4x>2x-10, -6x>-12 -1 (4) x 1 2 > 4 - , x-2>3 ;4#; ∴ x>5 ∴ x<2 연습 4 0.2x+0.6É0.4(x-2)의 양변에 10을 곱하면 2x+6É4(x-2), 2x+6É4x-8, ∴ x¾7 -2xÉ -14 답 (1) x>2 (2) xÉ -1 (3) x<2 (4) x>5 답 10, 6, 8, -14, ¾ Step 2. 대표 문제로 접근하기 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅂ 3, 4, 5, 6 ① 08 ③ 12<3a+9<24 3 15 풀이 참조 01 03 07 11 14 18 22 -4 27 ⑤ 23 28 ;3@; a<1 02 04 09 12 16 24 29 1500x<13000 21 ② ④ ⑤ 13 ① 05 10 13 17 25 30 a+2 x< ;1°1; ⑤ ① 0 ③ 06 ⑤ 26 -4 x>-19 19 xÉ -;k#; 20 xÉ3 21 -3 유제 01 부등식은 두 수 또는 두 식의 관계를 부등호를 사용하여 나타낸 식이므로 ㄱ, ㅁ은 부등식이다. 따라서 부등식이 아닌 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅂ이다. 답 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅂ 유제 02 한 자루에 1500원인 볼펜 x자루의 가격은 1500_x=1500 x(원)이므로 주어진 문장을 부등식으로 나타내면 1500x<13000 답 1500x<13000 유제 03 주어진 부등식에 x 대신 3, 4, 5, 6, 7을 차례로 대입하면 x=3일 때, 2_3-5=1É7 x=4일 때, 2_4-5=3É7 답 3, 4, 5, 6 ② x<y의 양변에 본문 087쪽 Ⅲ - 0 4 . 일 차 부 등 식 ① x<y의 양변을 3으로 나누면 x 3 < y 3 양변에서 1을 빼면 x 3 -1< -4를 곱하면 y 3 -1 -4x>-4y 양변에 5를 더하면 -4x+5>-4y+5 ③ x<y의 양변에 -2를 곱하면 -2x>-2y 양변에 3을 더하면 -2x+3>-2y+3 ④ x<y의 양변을 -3으로 나누면 - x 3 >- y 3 양변에 7을 더하면 7- x 3 >7- y 3 ⑤ x<y의 양변에 8을 더하면 x+8<y+8 따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 21 답 ③ x=5일 때, 2_5-5=5É7 x=6일 때, 2_6-5=7É7 x=7일 때, 2_7-5=9>7 따라서 주어진 부등식의 해는 3, 4, 5, 6이다. 유제 04 주어진 부등식에 x 대신 3, 6, 9, 12를 대입하면 x=3일 때, 2_3-21=-15<-3 x=6일 때, 2_6-21=-9<-3 x=9일 때, 2_9-21=-3¾ -3 x=12일 때, 2_12-21=3¾ -3 따라서 주어진 부등식의 해는 9, 12이므로 모든 해의 합은 9+12=21이다. 유제 05 ① a>b의 양변에 7을 더하면 a+7>b+7 ② a>b의 양변에 을 곱하면 -;3!; {-;3!;}_a< {-;3!;}_b a 3 ∴ - <- ③ a>b의 양변에 5를 곱하면 b 3 ④ a>b의 양변을 11로 나누면 5a>5b > b a 11 11 ⑤ a>b의 양변에서 9를 빼면 a-9>b-9 ∴ -9+a>-9+b 따라서 부등호의 방향이 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 유제 06 부등식의 성질을 이용하면 다음과 같다. ㄱ. x>y의 양변에 10을 더하면 x+10>y+10 ∴ 10+x>10+y ㄴ. c<0이므로 x>y의 양변을 음수 c로 나누면 x c < y c ㄷ. y>0이면 x>y에서 x는 양수이다. 따라서 x>y의 양변에 x를 곱하면 x_x>x_y ∴ x2>xy 그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ⑤ 유제 07 부등식 -4a+3<-4b+3에서 ① a>b의 양변에 3으로 나누면 ;3A;>;3B; -4a<-4b ∴ a>b 양변에 1을 더하면 ;3A;+1>;3B;+1 ② a>b의 양변에 -1을 곱하면 -a<-b 양변에 3을 더하면 -a+3<-b+3 ③ a>b의 양변에 2를 곱하면 2a>2b 양변에서 3을 빼면 2a-3>2b-3 ④ a>b의 양변에 5를 더하면 a+5>b+5 ⑤ a>b의 양변을 -6으로 나누면 -;6A;<-;6B; 양변에 5를 더하면 5-;6A;< 5 -;6B; 유제 09 ㄱ. a=1, b=-2이면 1>-2이므로 a>b이지만 =1, b2 =(-2)2 =4이므로 a2 =12 a20에서 두 수 a, b는 같은 부호이고, a+b>0이므로 두 수 a, b는 모두 양수이다. ∴ a>0, b>0 ㄷ. c<0이면 |c|>0이므로 > b a |c| |c| 에서 a>b 양변에 c를 곱하면 ac0이므로 ac2<bc2의 양변을 c2으로 나누면 a 1 b 이지만 ab+c의 양변에서 c를 빼면 a>b 이때 c<0이면 ac0에서 ;2A; {;2A;+3-4 } x-17>0 ∴ {;2A;-1 } x-17>0 따라서 옳은 것은 ①이다. 답 ① 이 식이 일차부등식이 되려면 x의 계수가 0이 아니어야 하므로 유제 08 부등식 -10+2x<-10+2y에서 2x<2y ∴ x0에서 ;[&;-x+9>0이므로 일차부등식이 아니다. ㅁ. ;2{;_8-3x+1<0에서 x+1<0이므로 일차부등식이다. 하여 정리하면 ㅂ. 3(5x-5x)-4É0에서 3_0-4É0 -4É0이므로 일차부등식이 아니다. 따라서 일차부등식인 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ의 3개이다. 답 3 유제 15 일차부등식 2x+3É5x-12에서 x항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항하면 -12-3, -3xÉ -3으로 나누면 -3x -3 2x-5xÉ 양변을 -15 ¾ -15 -3 ∴ x¾5 따라서 주어진 일차부등식의 해는 x¾5 이고, 해를 수직선 위에 나타내면 오른쪽 (cid:22) 그림과 같다. 답 풀이 참조 유제 16 주어진 일차부등식에서 양변의 괄호를 풀어 정리하면 2x+6-8>3x-6+x ∴ 2x-2>4x-6 x항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항하면 2x-4x>-6+2 ∴ -2x>-4 양변을 -2로 나누면 -2x -2 < -4 -2 ∴ x<2 따라서 주어진 일차부등식의 해는 x<2이므로 수직선 위에 옳게 나타낸 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 유제 17 주어진 일차부등식의 양변에 10을 곱하면 2(3x-7)+5(x+3)<6 6x-14+5x+15<6 x항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항하여 정리하면 6x+5x<6+14-15 ∴ 11x<5 양변을 11로 나누면 11x 11 < 5 11 ∴ x< 5 11 답 x< 5 11 유제 18 계수를 모두 정수로 만들어주기 위해 일차부등식의 양변에 10을 곱하면 7(x+3)+20>4(x-4) 7x+21+20>4x-16 x항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항하여 정리하면 7x-4x>-16-21-20 양변을 3으로 나누면 3x 3 ∴ 3x>-57 > -57 3 ∴ x>-19 답 x>-19 18 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 본문 092쪽 유제 19 주어진 일차부등식에서 3을 우변으로 이항하면 ∴ -kxÉ3 -k는 양수이다. -k로 나누면 -kx -k -kxÉ6-3 k가 음수이므로 따라서 양변을 É 3 -k ∴ xÉ 3 k - 답 xÉ 3 k - 유제 20 주어진 일차부등식에서 x항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항 kx-3xÉ3k-9 ∴ (k-3)xÉ3(k-3) yy ㉠ k>3에서 k-3>0이므로 ㉠의 양변을 k-3으로 나누면 (k-3)x k-3 É 3(k-3) k-3 ∴ xÉ3 답 xÉ3 유제 21 kx-7É5에서 kxÉ7+5 ∴ kxÉ12 yy ㉠ 이때 부등식의 해가 x¾ -4이므로 ㉠에서 부등호의 방향이 바뀌 어야 한다. 즉, k<0이고, ㉠의 양변을 k로 나누면 kx k ¾ 12 k ∴ x¾ 12 k 따라서 -4= 이므로 k=-3 12 k 답 -3 유제 22 (2k+3)x+5<-5에서 (2k+3)x<-5-5 ∴ (2k+3)x<-10 yy ㉠ 이때 부등식의 해가 x>2이므로 ㉠에서 부등호의 방향이 바뀌어 야 한다. 즉, 2k+3<0이고, ㉠의 양변을 2k+3으로 나누면 (2k+3)x 2k+3 ∴ x> -10 > -10 2k+3 2k+3 따라서 -10 2k+3 =2이므로 2k+3=-5, 2k=-8 ∴ k=-4 답 -4 유제 23 일차부등식 5-x 2 + x 4 <3의 양변에 4를 곱하면 2(5-x)+x<12 10-2x+x<12 10을 우변으로 이항하여 정리하면 -2x+x<12-10, ∴ x>-2 yy ㉠ 일차부등식 2x+3 -x<2 3 - x 2 2(2x+3)-3x>6k, 4x+6-3x>6k ∴ x>6k-6 yy ㉡ ㉠ ㉡이어야 하므로 6k-6=-2, 6k=4 = ∴ k=;3@; >k의 양변에 6을 곱하면 답 ;3@; 유제 24 일차부등식 0.5(x-4)+3<0.3(x-2)의 양변에 10을 곱하면 5(x-4)+30<3(x-2), 5x-20+30<3x-6 x항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항하여 정리하면 5x-3x<-6+20-30, 2x<-16 양변을 2로 나누면 x<-8 일차부등식 0.2(x-7)+1<-0.4(x+k)의 양변에 10을 곱하면 yy ㉠ 2(x-7)+10<-4(x+k), 2x-14+10<-4x-4k x항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항하여 정리하면 2x+4x<-4k+14-10, 6x<-4k+4 양변을 6으로 나누면 x< -4k+4 yy ㉡ 6 ㉠ ㉡이어야 하므로 = -4k+4 6 =-8, -4k+4=-48 -4k=-52 ∴ k=13 -2x+4에서 5x+aÉ ∴ xÉ 8-a 9 9xÉ8-a 이를 만족시키는 자연수 x 의 값이 존재하지 않으려면 수직선 위에 해를 나타내었 을 때 오른쪽 그림과 같아야 하므로 8-a 9 <1, 8-a<9 ∴ a>-1 (cid:18) (cid:25)(cid:14)(cid:66) (cid:26) 따라서 구하는 정수 a의 최솟값은 0이다. 답 0 본문 098쪽 2(6x-6)É10x-5(5x-3a) 12x-12É10x-25x+15a 12x-10x+25xÉ15a+12, 27xÉ15a+12 ∴ `xÉ 15a+12 27 xÉ 15a+12 27 에서 이를 만족시키는 자연수 x의 값이 존재하지 않 으려면 15a+12 27 <1이어야 하므로 15a+12<27, 15a<15 Ⅲ - 0 4 . 일 차 부 등 식 답 13 ∴ a<1 답 a<1 양변에 분모의 최소공배수인 6을 곱하면 3a+1<2a+3, 3a-2a<3-1 ∴ a<2 ax-4a<2(x-4)에서 ax-4a<2x-8 ax-2x<-8+4a, (a-2)x<4(a-2) 이때 a<2이므로 a-2<0 따라서 (a-2)x<4(a-2)에서 양변을 a-2로 나누면 x>4 답 ① 유제 25 5x+a É 2 -4x+8 유제 29 a+;6!; ;2!; < a+;2!; ;3!; 에서 유제 26 -3x+10>3x-a에서 ∴ x< 6x<a+10 이를 만족시키는 자연수 x -6x>-a-10 a+10 6 의 값이 존재하지 않으려면 수직선 위에 해를 나타내었 을 때 오른쪽 그림과 같아 야 하므로 a+10 6 ∴ aÉ É1, a+10É6 따라서 상수 a의 최댓값은 -4 -4이다. 유제 27 1É2a+3<5의 각 변에서 3을 빼면 1-3É2a+3-3<5-3 -2É2a<2 ㉠의 각 변을 2로 나누면 yy ㉠ -2 2 < É 2a ;2@; 2 -1Éa<1 ∴ ` yy ㉡ 3x+5a-11=0에서 x를 a에 관하여 나타내면 3x=-5a+11 ∴ x=-;3%; yy ㉢ +;;Á3Á;; a ㉡의 각 변에 를 곱하면 -;3%; 1_{-;3%;} <a_{-;3%;} É -1_{-;3%;} < aÉ yy ㉣ -;3%; -;3%; ;3%; ㉣의 각 변에 을 더하면 ;;Á3Á;; -;3%;+;;Á3Á;; < -;3%; a+;;Á3Á;; É ;3%;+;;Á3Á;; 2< -;3%; a+;;Á3Á;; É ;;Á3¤;; 따라서 ㉢에 의하여 2<xÉ 이다. 답 ⑤ ;;Á3¤;; 유제 28 6x-6 5 Éx- 5x-3a 2 의 양변에 10을 곱하면 유제 30 2(x-p)<p+q에서 2x-2p<p+q 2x<p+q+2p, 2x<3p+q ∴ x< 3p+q 2 이 부등식의 해가 x<2이므로 3p+q 2 =2 ∴ 3p+q=4 3x-(p+q-1)>2p에서 3x-p-q+1>2p 3x>3p+q-1 ∴ x> 3p+q-1 3 (cid:18) (cid:66)(cid:12)(cid:18)(cid:17) (cid:23) 답 -4 이때 3p+q=4이므로 x> ∴ x>1 3p+q-1 3 4-1 3 =1 = 답 ③ Step 3. 단원 마무리하기 01 ①, ④ 02 ③, ④ 03 06 x<7 07 xÉ12 08 11 16 ④ ② 12 17 ④ ② 13 18 ④ ③ ⑤ ② 04 09 14 19 ① ⑤ ② ① 05 ①, ② 10 15 20 ③ ① ④ 01 부등식은 두 수 또는 두 식의 관계를 부등호로 나타낸 것으로 부등식은 ① 3x+1¾4, ④ 3>7이다. ③ ② 7a-1=5는 등식이다. -2b+5, ⑤ 4x+2(x+3)은 다항식이고 답 ①, ④ 02 ① 4-2x>x+1에서 4-2x-x-1>0 ∴ -3x+3>0 (일차부등식) 3 -1¾0은 일차부등식이다. ② x ③ 3x=x+1은 일차방정식이므로 일차부등식이 아니다. Ⅲ. 부등식 04. 일차부등식 19 ④ 1+x2É2x2 -x에서 -2x2 1+x2 +xÉ0 -x2 ∴ +x+1É0 x의 차수가 1이 아니므로 일차부등식이 아니다. ⑤ 2x+3<2(1-x)에서 2x+3<2-2x 2x+3-2+2x<0 ∴ 4x+1<0(일차부등식) 따라서 일차부등식이 아닌 것은 ③, ④이다. 03 ① 주어진 문장을 부등식으로 나타내면 x_2+5É x-3 2 x-;2#; 2x+5É ;2!; 2x+5-;2!; x+;2#; 13 2 x+ ∴ ;2#; É0 É0 (일차부등식) ② 주어진 문장을 부등식으로 나타내면 x_2>5 2x>5 ∴ 2x-5>0 (일차부등식) ③ 주어진 문장을 부등식으로 나타내면 300-xÉ50 300-x-50É0 ∴ -x+250É0 (일차부등식) ④ 주어진 문장을 부등식으로 나타내면 x_2x¾100 2x2¾100 ∴ 2x2-100¾0 x 3 _(-3)É - -4_(-3) ∴ xÉ12 08 4x-7¾3-x에서 4x+x¾3+7 5x¾10 ∴ x¾2 이를 수직선 위에 나타내면 ③과 같다. 답 ③ 답 ③, ④ -axÉ3 -a>0이다. 09 4-axÉ7에서 a<0이므로 -axÉ3의 양변을 이다. xÉ -;a#; -a로 나누면 따라서 이를 수직선 위에 나타내면 ⑤와 같다. 본문 102쪽 답 xÉ12 답 ⑤ 답 ③ (cid:20) (cid:14) (cid:66) 의 양변에 10을 곱하면 10 0.2x+0.7É0.5x+;5@; 2x+7É5x+4 2x-5xÉ4-7 -3 -3xÉ 따라서 n=1이다. ∴ x¾1 ∴ x=-2 11 방정식 3x-2=-8을 풀면 3x=-8+2=-6 각 부등식에 x=-2를 대입하면 ① 0.5x+3=0.5_(-2)+3=2에서 2=2 -2 ② x 3 +1=;3!; ③ 2(x+4)=2(-2+4)=4에서 4<5 ④ 8-2x=8-2_(-2)=12에서 12>10 ⑤ x+5 3 +1= -2+5 에서 <1 ;3!; x의 차수가 1이 아니므로 일차부등식이 아니다. ⑤ 주어진 문장을 부등식으로 나타내면 2px<10 2px-10<0 (일차부등식) 따라서 일차부등식이 아닌 것은 ④이다. 답 ④ 12 답 ① 3 = 3 =1에서 1<3 따라서 부등식 중 x=-2를 해로 갖는 것은 ④이다. 답 ④ 5 x-1 의 양변에 분모의 최소공배수인 15를 곱하면 3 +1¾ 2x+2 5(x-1)+15¾3(2x+2) 5x-5+15¾6x+6 5x+10¾6x+6 5x-6x¾6-10 -x¾ -4 따라서 이를 만족시키는 모든 자연수 x의 값의 합은 1+2+3+4=10 답 ④ 이다. ∴ xÉ4 -2, 0이다. 답 ①, ② 13 ① -x-7<-6x+4에서 -x+6x<4+7 5x<11 답 x<7 ∴ x< 11 5 yy ㉠ 이때 11 5 = ② 7x-12<3x에서 7x-3x<12 4x<12 따라서 부등식의 해는 2개이다. 2.×××이므로 ㉠을 만족시키는 자연수 x는 1, 2이다. 04 6x+7É2x+3에서 6x-2xÉ3-7 4xÉ -4 -1 ∴ xÉ 05 주어진 부등식을 풀면 3x-7<2x-5 (3-2)x<-5+7 따라서 x<2를 만족시키는 x의 값은 ∴ x<2 06 5(x-4)<-3(2x-19)에서 5x-20<-6x+57 5x+6x<57+20, 11x<77 ∴ x<7 07 -2É2- x 3 의 양변에서 2를 빼면 -2-2É2- x 3 -2 -4É - x 3 yy ㉠ ㉠의 양변에 -3을 곱하면 20 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) ③ ∴ x<3 yy ㉡ ㉡을 만족시키는 자연수 x는 1, 2이므로 부등식의 해는 2개이다. -3x-4>3x-16에서 -3x-3x>-16+4 -6x>-12 ∴ x<2 yy ㉢ ㉢을 만족시키는 자연수 x는 1뿐이므로 부등식의 해는 1개이다. ∴ a b > c b ㅁ. a<b에서 a-c-;3@; -;3@; c ∴ 1-;3@; a>1-;3@; c 본문 104쪽 Ⅲ - 0 4 . 일 차 부 등 식 ㉣을 만족시키는 자연수 x는 없으므로 부등식의 해는 없다. 3.×××이므로 ㉤을 만족시키는 자연수 x는 1, 2, 3이다. 따라서 부등식의 해는 3개이다. 따라서 해가 3개인 부등식은 ⑤이다. 답 ⑤ -1+3x에서 -1 ④ 5xÉ 5x-3xÉ 2xÉ -1 ∴ xÉ yy ㉣ -;2!; ⑤ 11-3x¾4x-12에서 -12-11 -3x-4x¾ -7x¾ -23 ∴ xÉ 23 7 이때 23 7 = yy ㉤ 14 a<0<b일 때 ㄱ. a<b에서 a-5-2b ∴ 1-2a>1-2b ㄷ. a<0의 각 변을 양수 b로 나누면 a b <0 a2b>ab2 ㄹ. a<b이고 ab<0이므로 -;2!; ㅂ. a<b에서 ㅁ. a<b에서 b-a>0이므로 (b-a)=-;2!; b+;2!; -a>-b -a+3>-b+3 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. ∴ a<0 답 ② 답 ① 15 4x+7a<ax+28에서 미지수 x의 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항시키면 4x-ax<28-7a (4-a)x<7(4-a) a<4이므로 4-a>0 따라서 (4-a)x<7(4-a)의 양변을 4-a로 나누면 x<7이다. 16 a<b<c일 때 ㄱ. a=-3, b=-2, c=-1이면 a<b<c이고 ac=(-3)_(-1)=3, bc=(-2)_(-1)=2 ㄴ. b<c에서 a+b<a+c ㄷ. a<b에서 ∴ ac>bc -a>-b ∴ c-a>c-b ㄹ. a=-3, b=-2, c=-1이면 a<b<c이고 a , c -3 -2 =;2#; b = -1 -2 =;2!; b = 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅁ, ㅂ으로 3개이다. 답 ② 17 3x+1<x-5에서 3x-x<-5-1 2x<-6 ∴ x<-3 2x+2a>5x-1에서 2x-5x>-1-2a -3x>-2a-1 ∴ x< -2a-1 2a+1 3 -3 = x<-3과 x< 2a+1 2a+1=-9, 2a=-10 ∴ a=-5 3 이 서로 같아야 하므로 2a+1 3 =-3 18 3(ax-2)<a(x-1)+3x-2에서 3ax-6<ax-a+3x-2 3ax-ax-3x<-a-2+6 ∴ (2a-3)x<-a+4 (2a-3)x<-a+4와 x>-1이 같아야 하므로 (2a-3)x<-a+4에서 양변을 2a-3으로 나누었을 때 부등호의 방 향이 바뀌어야 한다. ∴ 2a-3<0 따라서 x> -a+4 2a-3 와 x>-1이 서로 같아야 하므로 -a+4 2a-3 =-1 -a+4=-2a+3, ∴ `a=-1 -a+2a=3-4 19 2ax+7<3(3x-b)에서 2ax+7<9x-3b 2ax-9x<-3b-7 (2a-9)x<-3b-7 이 부등식의 해가 x>2이므로 2a-9<0 따라서 x> -3b-7 2a-9 -3b-7=4a-18, ∴ 4a+3b=11 이때 a, b는 자연수이므로 a=2, b=1 ∴ ab=2_1=2 -3b-4a=-11 이므로 -3b-7 2a-9 =2 답 ② 답 ② 답 ① 20 2.4(x-2a)<1.6x-3a-1의 양변에 10을 곱하면 24(x-2a)<16x-30a-10, 24x-48a<16x-30a-10 24x-16x<-30a-10+48a, 8x<18a-10 9a-5 ∴ `x< 18a-10 4 8 = x< 9a-5 4 를 만족시키는 자연수 x의 값이 존재하지 않으려면 수직선 위에 나타내었을 때 오른쪽 그림과 같아야 한다. 즉, 9a-5 4 É1이므로 9a-5É4 (cid:18) (cid:26)(cid:66)(cid:14)(cid:22) (cid:14) (cid:21) 9aÉ9 ∴ `aÉ1 따라서 정수 a의 최댓값은 1이다. 답 ④ Ⅲ. 부등식 04. 일차부등식 21 ➊ 미지수 정하기 ➋ 부등식 세우기 ➌ 부등식 풀기 ➍ 확인하기 24 420 g 이하 500 g 225 g 이상 445 g 이하 05 일차부등식의 활용 Step 1. 개념 다지기 05-1 일차부등식의 활용 기본연습 1 (1) Ú 삼각형의 높이를 x cm라 하자. Û 밑변의 길이가 8 cm, 높이가 x cm인 삼각형의 넓이는 ;2!;_8_x=4x (cmÛ`) 이때 삼각형의 넓이가 48 cmÛ` 이상이 되므로 4x¾48 Ü 4x¾48의 양변을 4로 나누면 x¾12 따라서 주어진 조건을 만족하는 높이의 범위는 x¾12 Ý 삼각형의 높이의 범위가 x¾12일 때, 삼각형의 넓이 4x의 값의 범위는 4x¾4_12, 4x¾48 따라서 주어진 문제의 뜻을 만족한다. (2) Ú 오렌지를 x개 산다고 하자. Û 오렌지를 x개 산다고 하면 자몽은 (16-x)개 살 수 있으므로 오렌지 와 자몽을 사는 총 금액은 {1500x+2500(16-x)}원이다. 이때 총 금액이 34000원 이하이어야 하므로 1500x+2500(16-x)É34000 Ü 1500x+2500(16-x)É34000에서 1500x+40000-2500xÉ34000, ∴ x¾6 따라서 오렌지는 최소 6개 사야 한다. Ý 오렌지 6개와 자몽 10개를 산 총 금액은 -1000xÉ -6000 1500_6+2500_10=34000(원)이므로 문제의 뜻을 만족한다. 답 (1) 풀이 참조 (2) 풀이 참조 연습 1-1 연속하는 두 자연수를 x-1, x (단, x¾2인 자연수)라 하면 x+7>2(x-1)-6 x+7>2x-2-6, ∴ x<15 -x>-15 따라서 자연수 x의 최댓값은 14이므로 두 수 중 큰 수의 최댓값은 14이다. 올라갈 때 걸린 시간은 시간, 내려올 때 걸린 시간은 시간이다. ;2{; ;3{; 연습 1-2 x km 지점까지 올라갔다 온다 하자. 2시간 이내에 등산을 마쳐야 하므로 É2 ;2{;+;3{; 양변에 6을 곱하면 3x+2xÉ12 ∴ xÉ 5xÉ12 :Á5ª: 본문 107쪽 Step 2. 대표 문제로 접근하기 01 ④ 02 29, 30, 31 03 ③ 04 05 12송이 06 ③ 07 30장 08 270분 09 10 15 20 9주 11 7자루 12 10 cm 16 ④ 21 ② ③ ④ ④ ③ 13 18 23 26 17 22 25 14 19 ③ 9개 288 g ④ ③ ③ ① 27 14명 28 ② 유제 01 두 정수 중 큰 수를 x라 하면 두 정수는 x, x-5이므로 x+(x-5)<27, 2x-5<27 ∴ x<16 2x<32 따라서 정수 x의 최댓값은 15이다. 답 ④ 유제 02 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1 (x¾2인 자연수)이라 하면 ∴ xÉ30 (x-1)+x+(x+1)É90, 3xÉ90 따라서 자연수 x의 값 중 가장 큰 수는 30이므로 가장 큰 연속하는 세 자연수는 29, 30, 31이다. 답 29, 30, 31 유제 03 네 번째 수학 시험의 점수를 x점이라고 하면 90+84+96+x 4 ¾92, 270+x ¾92 4 270+x¾368 따라서 네 번째 수학 시험에서 98점 이상을 받아야 한다. 답 ③ ∴ x¾98 유제 04 여학생 수를 x명이라 하면 이 반 학생 전체의 몸무게는 20_63+x_54, 즉 (54x+1260) kg이므로 54x+1260¾58(x+20) 54x+1260¾58x+1160 100¾4x ∴ xÉ25 따라서 여학생은 최대 25명이다. 답 ④ 유제 05 장미를 x송이 산다고 하면 2500+1200xÉ17500 1200xÉ15000 ∴ xÉ :ª2°:=12.5 따라서 장미를 최대 12송이까지 살 수 있다. 답 12송이 유제 06 사과를 x개 산다고 하면 배는 (15-x)개 살 수 있으므로 1200x+1800(15-x)+2500É25000 1200x+27000-1800x+2500É25000 -600x+29500É25000, x¾ -600xÉ :Á2°:=7.5 -4500 답 14 따라서 사과는 최소 8개 이상 사야 한다. 답 ③ 유제 07 컬러로 x장(x>10)을 인쇄한다고 하면 14000+800(x-10)É1000x 800x+6000É1000x, 6000É200x 따라서 최소 30장 이상 컬러로 인쇄해야 한다. ∴ x¾30 유제 08 음성 통화를 x분(x>150인 자연수) 한다고 하면 ∴ xÉ270 50(x-150)É6000, x-150É120 따라서 음성 통화를 최대 270분 동안 할 수 있다. 답 30장 답 270분 유제 09 x개월 후부터 동생의 저축액이 형의 저축액보다 많아진다고 하면 24000+2000x<10000+5000x 14000<3000x ∴ x> :Á3¢:=4.666y 따라서 최대 km 지점까지 올라갔다 올 수 있다. :Á5ª: 답 :Á5ª: km(또는 2.4 km) 22 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 따라서 5개월 후부터 동생의 저축액이 형의 저축액보다 많아진다. 유제 10 x주 후부터 윤정이의 저축액이 재영이의 저축액보다 많아진다고 하면 13000+6000x>93000-4000x 10000x>80000 ∴ x>8 따라서 9주 후부터 윤정이의 저축액이 재영이의 저축액보다 많아 진다. 답 9주 유제 11 연필을 x자루 산다고 할 때, 할인매장에서 사는 것이 유리하려면 학교 앞 문구점에서의 구입 비용이 할인매장에서의 구입 비용(교 통 요금 포함)보다 비싸야 하므로 300x+1200<500x, 1200<200x ∴ x>6 이때 x는 자연수이므로 x의 최솟값은 7이다. 따라서 연필을 7자루 이상 살 때 할인매장에서 사는 것이 유리하 다. 답 7자루 유제 12 세영이가 티셔츠를 x장 산다고 하면 10000_x_0.95<10000x-5000 9500x<10000x-5000 5000<500x ∴ x>10 이때 x는 자연수이므로 x의 최솟값은 11이다. 따라서 5 %를 할인해 주는 쿠폰을 사용하는 것이 유리하려면 티셔츠를 11장 이상 구입해야 한다. 답 ④ 유제 13 정가를 x원이라 하면 0.8x-8000¾8000_0.25 0.8x¾10000 ∴ x¾12500 즉, 정가를 최소한 12500원으로 정해야 한다. 따라서 원가에 최소한 12500-8000=4500(원)을 더하여 정가를 답 ③ 정하면 된다. 유제 14 옷의 원가를 x원이라고 하면 1+;1£0¼0;} { x x-15000¾ 1+;1¦0¼0;} { 1.7x-15000¾1.3x 0.4x¾15000 ∴ x¾37500 따라서 이 옷의 원가는 최소 37500원이다. 답 ③ 유제 15 사다리꼴의 아랫변의 길이를 x cm라 하면 (6+x)¾72 ;2!;_(6+x)_9¾72, 6+x¾16 ∴ x¾10 따라서 아랫변의 길이는 10 cm 이상이어야 한다. ;2(; 유제 16 직육면체 모양의 상자의 높이를 x cm라 하면 5_3_x¾165, 15x¾165 따라서 상자의 높이는 11 cm 이상이어야 한다. ∴ x¾11 답 10 cm 답 ② 유제 17 물탱크에 1분당 8 L씩 물을 채웠을 때의 물의 양을 x`L라고 하면 1분당 14 L씩 물을 채웠을 때의 물의 양은 (200-x)L이다. 이때 19분 이내에 물탱크를 가득 채워야 하므로 200-x 14 ;8{;+ É19, 7x+800-4xÉ1064 3xÉ264 ∴ xÉ88 따라서 1분당 8 L씩 물을 채울 수 있는 최대 시간은 :¥8¥:=11(분) 답 ④ 본문 112쪽 답 ③ 유제 18 재환이가 진영이에게 x개의 사탕을 준다고 하면 재환이가 가진 사탕은 (34-x)개, 진영이가 가진 사탕은 (5+x)개이다. 이때 재환이가 가지고 있는 사탕의 개수는 Ⅲ - 0 5 . 일 차 부 등 식 의 활 용 진영이가 가지고 있는 사탕의 개수의 2배보다 적어야 하므로 34-x<2(5+x), 34-x<10+2x -3x<-24 따라서 재환이는 진영이에게 최소 9개의 사탕을 주어야 한다. ∴ x>8 답 9개 유제 19 태진이가 자전거를 타고 이동한 거리를 x km라 하면 걸어서 이동 한 거리는 (12-x) km이다. 이때 태진이가 공원에 도착할 때까지 걸린 시간이 2시간 50분 이내 이므로 ;1Ó0;+ 12-x 3 É :Á6¦: 양변에 분모의 최소공배수 30을 곱하면 3x+10(12-x)É85, 3x+120-10xÉ85 ∴ x¾5 -7xÉ 따라서 태진이가 자전거를 타고 이동한 거리는 최소 5 km이다. -35 유제 20 지욱이가 시속 16 km로 뛴 거리를 x km라 하면 시속 12 km로 뛴 거리는 (40-x)km이다. 지욱이가 3시간 10분 이내에 완주하였으므로 40-x 12 + x 16 É :Á6»: 양변에 분모의 최소공배수 48을 곱하면 4(40-x)+3xÉ152, 160-4x+3xÉ152 ∴ x¾8 따라서 지욱이가 시속 16 km로 뛴 거리는 최소 8 km이다. 유제 21 재웅이네 집에서 분식집까지의 거리를 x m라 하자. 라면을 먹는 시간 20분을 포함하여 40분 이내에 분식집에 다녀와 야 하므로 ;12{0;+;20{0;+20É40, ;12{0;+;20{0; 양변에 분모의 최소공배수 600을 곱하면 5x+3xÉ12000 8xÉ12000 ∴ xÉ1500 É20 따라서 집과 분식집 사이의 거리는 1500 m 이내이어야 한다. 답 ① 답 ④ 답 ③ 유제 22 버스 정류장에서 슈퍼마켓까지의 거리를 x km라 하면 40분 이내에 아이스크림을 사 먹고 돌아와야 하므로 ;3{;+;6!;+;3{; É , ;3@; ;3@; xÉ ;2!; ∴ xÉ ;4#;=0.75 따라서 0.75 km, 즉 750 m 이내의 슈퍼마켓을 이용할 수 있으므 로 이용 가능한 슈퍼마켓은 A, C, E로 3군데이다. 답 ③ 유제 23 5 %의 소금물 360 g에 녹아 있는 소금의 양은 ;10%0;_360=18 (g) 14 %의 소금물의 양을 x g이라 하면 14 %의 소금물에 들어 있는 소금의 양은 x(g) ;1Á0¢0;_x=;1Á0¢0; 두 소금물을 섞은 소금물의 농도가 9 % 이상이 되어야 하므로 18+;1Á0¢0; x¾ ;10(0;_(360+x) Ⅲ. 부등식 05. 일차부등식의 활용 23 답 420 g 이하 01 어떤 홀수를 x라 하면 5x-7É3x 2xÉ7 ;2&;=3.5 따라서 홀수 중에서 가장 큰 수는 3이다. ∴ xÉ 답 3 양변에 100을 곱하면 1800+14x¾3240+9x 5x¾1440 ∴ x¾288 따라서 넣어야 하는 14 %의 소금물의 양의 최솟값은 288 g이다. 답 288 g 유제 24 22 %의 소금물 300 g에 녹아 있는 소금의 양은 ;1ª0ª0;_300=66(g) 10 %의 소금물의 양을 x g이라 하면 10 %의 소금물에 들어 있는 소금의 양은 x(g) ;1Á0¼0;_x=;1Á0¼0; 두 소금물을 섞은 소금물의 농도가 15 % 이상이 되어야 하므로 x¾ ;1Á0°0;_(300+x) 66+;1Á0¼0; 양변에 100을 곱하면 6600+10x¾4500+15x 5xÉ2100 ∴ xÉ420 따라서 10 %의 소금물을 420 g 이하로 넣어야 한다. 유제 25 16 %의 소금물 300 g에 녹아 있는 소금의 양은 ;1Á0¤0;_300=48(g) 넣는 물의 양을 x g이라 하면 물을 넣은 후 전체 소금물의 양은 (300+x)g이므로 48É ;10^0;_(300+x) 양변에 100을 곱하면 4800É1800+6x ∴ x¾500 6x¾3000 따라서 넣어야 하는 물의 양의 최솟값은 500 g이다. 답 500 g 유제 26 11 %의 소금물 500 g에 녹아 있는 소금의 양은 ;1Á0Á0;_ 500=55(g) 증발시키는 물의 양을 x g이라 하면 물을 증발시킨 후 전체 소금물의 양은 (500-x)g이므로 55¾ ;1ª0¼0;_(500-x) 양변에 100을 곱하면 5500¾10000-20x ∴ x¾225 20x¾4500 이때 처음 소금물에 있던 물은 전체 500 g에서 소금의 양 55 g을 뺀 445 g이므로 물은 225 g 이상 445 g 이하 증발시켜야 한다. 유제 27 미술관에 x (x>3인 자연수)명이 입장한다고 하면 2500_3+2000(x-3)É30000 7500+2000x-6000É30000 2000xÉ28500 ∴ xÉ :°4¦:=14.25 유제 28 점 P가 점 B에서 출발한 지 x분 후에 선분 BP, 선분 PC의 길이는 각각 BPÓ PCÓ =2.5x cm =(15-2.5x) cm 삼각형 MPD의 넓이는 직사각형 ABCD의 넓이에서 삼각형 AMD, MBP, PCD의 넓이를 뺀 것과 같다. 따라서 삼각형 MPD의 넓이는 24 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 01 06 11 16 본문 119쪽 15_8-;2!;_15_4-;2!;_2.5x_4-;2!;_(15-2.5x)_8 =120-30-5x-60+10x =5x+30(cmÛ`) 이때 5x+30¾40이므로 5x¾10 (cid:34) (cid:21) (cid:68)(cid:78) ∴ x¾2 (cid:18)(cid:22) (cid:68)(cid:78) (cid:46) (cid:35) (cid:49) (cid:19)(cid:15)(cid:22)(cid:89) (cid:68)(cid:78) (cid:9)(cid:18)(cid:22)(cid:14)(cid:19)(cid:15)(cid:22)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:68)(cid:78) 따라서 점 P가 2분 이상 움직여 야 조건을 만족한다. (cid:25) (cid:68)(cid:78) (cid:37) (cid:36) 답 ② Step 3. 단원 마무리하기 3 02 9 cm 07 5다발 12 24 8장 ② 03 08 13 16개월 04 93점 05 ③ 300 g 10 15 ④ ② ③ 09 14 19 ③ ③ ② ③ 17 15 cm 18 14000 m 20 34개 02 연속하는 세 개의 3의 배수를 x, x+3, x+6(단, x는 3의 배수) 이라 하면 x+(x+3)+(x+6)>72, 3x+9>72 3x>63 ∴ x>21 이때 x는 3의 배수이므로 x의 최솟값은 24이다. 따라서 세 수 중 가장 작은 수의 최솟값은 24이다. 답 24 03 혜수의 예금액이 x개월 후부터 330000원보다 많아진다고 하면 150000+12000x>330000 12000x>180000 ∴ x>15 따라서 16개월 후부터이다. 답 16개월 04 미연이가 여섯 번째 시험에서 x점을 받는다고 하면 총 6회의 수학 시험 점수의 총합은 5_81+x(점) 이때, 총 6회의 수학 시험에서의 평균이 83점 이상이 되어야 하므로 ¾83, 405+x¾498 5_81+x 6 ∴ x¾93 따라서 미연이는 여섯 번째 시험에서 93점 이상을 받아야 한다. 답 93점 남은 20표 중 나영이가 얻을 표 수를 x표라 하면 다영이가 얻을 표 수는 (20-x)표이다. 이때 나영이가 당선되기 위해서는 나영이의 전체 표 수가 다영이의 전체 표 수보다 많아야 하므로 9+x>4+(20-x), 9+x>24-x 2x>15 ∴ x> :Á2°:=7.5 06 원뿔의 높이를 x cm라 하면 ;3!;_ _4Û` p _x¾48p, :Á3¤: px¾48p ∴ x¾9 따라서 원뿔의 높이의 최솟값은 9 cm이다. 답 9 cm 07 티셔츠를 x장 산다고 하면 태극기는 (12-x)개 살 수 있으므로 8000x+1500(12-x)É70000 8000x+18000-1500xÉ70000 이때 x는 자연수이므로 x의 최댓값은 14이다. 따라서 최대 14명까지 입장할 수 있다. 답 14명 따라서 나영이가 당선되려면 나머지 개표에서 나영이가 최소 8표를 얻어야 한다. 답 ③ 답 225 g 이상 445 g 이하 05 현재까지 13표의 개표가 진행되었으므로 남은 표는 총 20표이다. 6500xÉ52000 ∴ xÉ8 18 % 이상인 설탕물이 만들어지므로 따라서 티셔츠는 최대 8장까지 살 수 있다. 답 8장 08 공원의 둘레의 길이를 x m라 하자. 경원이가 24분 이내에 공원 두 바퀴를 모두 돌아야 하므로 É24 ;9Ó0;+;15{0; 양변에 분모의 최소공배수 450을 곱하면 5x+3xÉ10800 8xÉ10800 ∴ xÉ1350 09 트럭에 쌀을 x가마니를 싣는다고 하면 80x+2000É9000, 80xÉ7000 ∴ xÉ 175 2 =87.5 본문 124쪽 Ⅳ - 0 6 . 연 립 일 차 방 정 식 ;1Á0¥0;_500 ;1Á0°0;_(500-x)+;1ª0¼0;_x¾ 양변에 100을 곱하면 15(500-x)+20x¾18_500 7500-15x+20x¾9000 ∴ x¾300 5x¾1500 따라서 20 %의 설탕물을 300 g 이상 섞어야 한다. 답 300 g 8분 먼저 출발했으므로 지영이가 달린 시간은 (x+8)분이다. 이때 혜미가 지영이를 앞질러 가야 하므로 180(x+8)É220x, 180x+1440É220x ∴ x¾36 40x¾1440 따라서 공원의 둘레의 길이는 최대 1350 m이다. 답 ④ 15 혜미가 달린 시간을 x분이라 하면 지영이는 혜미보다 따라서 쌀은 트럭에 최대 87가마니를 실을 수 있다. 답 ③ 따라서 혜미가 지영이를 앞질러 가려면 혜미가 출발하고 최소 36분이 10 진호와 예진이가 x분 걸었을 때 진호와 예진이가 출발 지점으로부터 떨어진 거리는 각각 { 5_;6Ó0;} km, { 4_;6Ó0;} km이다. 이때 진호와 예진이 사이의 거리가 4.5 km 이상 떨어져야 하므로 지나야 한다. 답 ② 16 키가 180 cm인 남자의 표준 몸무게는 (180-100)_0.9=80_0.9=72(kg) 따라서 키가 180 cm인 남자의 몸무게를 x kg이라 하면 5_;6Ó0;+4_;6Ó0; ¾4.5, 9_;6Ó0; ¾4.5 ¾0.5 ∴ x¾30 ;6Ó0; 따라서 진호와 예진이는 30분 이상 걸어야 한다. 답 ③ 17 11 꽃다발을 x다발 산다고 하면 5000_0.7_x+6000<5000x, 3500x+6000<5000x 6000<1500x ∴ x>4 따라서 꽃다발을 5다발 이상 살 경우 인터넷 쇼핑몰을 이용하는 것이 유리하다. 답 5다발 12 선아가 출발 지점에서 x km 떨어진 곳까지 갔다 온다고 하자. 2시간 48분 이내에 운동을 마쳐야 하므로 É :Á5¢: ;4{;+;1Ó0; 양변에 분모의 최소공배수 20을 곱하면 5x+2xÉ56 7xÉ56 ∴ xÉ8 따라서 선아는 출발 지점에서 8 km 떨어진 곳까지 갔다 올 수 있다. 13 1분은 60초이므로 A요금제와 B요금제의 1분당 통화 요금은 각각 300원, 120원이다. 한 달 휴대전화 통화 시간을 x분이라 하면 24000+300x<37500+120x 180x<13500 ∴ x<75 따라서 통화 시간이 75분 미만이어야 한다. 답 ② 14 20 %의 설탕물의 양을 x g이라 하면 15 %의 설탕물과 20 %의 설탕물 을 섞어서 설탕물 500 g이 만들어져야 하므로 15 %의 설탕물의 양은 (500-x) g이다. 15 %의 설탕물 (500-x) g과 20 %의 설탕물 x g을 섞었을 때 들어 있 는 설탕의 양은 ;1Á0°0;_(500-x)+;1ª0¼0;_x(g) 답 ② 따라서 세진이는 최대 14000 m 이동할 수 있다. 답 14000 m ;7Ó2;_100¾150 따라서 몸무게가 108 kg 이상이면 고도비만이다. ∴ x¾150_;1¦0ª0;=108 변 AB의 길이를 x cm라 하면 직사각형 ABCD 를 변 CD를 회전축으로 하여 1회전시킬 때 만들 어지는 회전체는 밑면의 반지름의 길이가 4 cm 이고 높이가 x cm인 원기둥이므로 _xÉ240p, 16pxÉ240p ∴ xÉ15 _4Û` 따라서 변 AB의 길이는 15 cm 이하이어야 한다. p 18 청바지의 원가를 x원이라 하면 x_1.35_0.8-x¾1200, 0.08x¾1200 따라서 청바지의 원가의 최솟값은 15000원이다. ∴ x¾15000 19 세진이가 택시를 타고 x m(단, x>4000) 이동한다고 하면 3000+0.9(x-4000)É12000 0.9x-600É12000 0.9xÉ12600 ∴ xÉ14000 답 ③ (cid:89) (cid:68)(cid:78) (cid:21) (cid:68)(cid:78) 답 15 cm 답 ③ 20 처음에 정육각형 1개를 만들기 위해 필요한 연필은 6자루이고, 여기에 정육각형을 추가로 1개씩 더 만들 때 필요한 연필은 5자루씩 이다. 따라서 정육각형 x개를 만들 때 필요한 연필은 6+5(x-1)=5x+1(자루) 이때 연필은 총 171자루이므로 5x+1É171, 5xÉ170 따라서 연필 171자루로 정육각형을 최대 34개 만들 수 있다. 답 34개 ∴ xÉ34 06 연립일차방정식 Step 1. 개념 다지기 06-1 미지수가 2개인 일차방정식 Ⅳ. 방정식 06. 연립일차방정식 25 (cid:18)(cid:22)(cid:6) (cid:12) (cid:19)(cid:17)(cid:6) (cid:121) (cid:18)(cid:25)(cid:6) (cid:9)(cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:14)(cid:89)(cid:10)(cid:72) (cid:89)(cid:72) (cid:22)(cid:17)(cid:17)(cid:72) 15 %의 설탕물 (500-x) g과 20 %의 설탕물 x g을 섞으면 농도가 ➊ 1 ➋ 참 기본연습 1 연습 1 (1) x의 3배는 3x, y의 2배는 2y이므로 3x+2y=33 (2) (두 사람의 평균 점수)= (점수의 총합) 2 이므로 x+y 2 =86 답 (1) 3x+2y=33 (2) x+y 2 =86 각 방정식에 x=2, y=3을 대입하면 ① 2+3=5 ② 2_2-3=1 ③ ④ 3=2_2-1 ⑤ 3_2-2_3=0 따라서 x, y의 순서쌍 (2, 3)을 해로 갖지 않는 일차방정식은 ③이다. 답 ③ -2+2_3+3 06-2 미지수가 2개인 연립일차방정식 ➊ 일차 ➋ 동시에 ➌ 푼다 기본연습 2 (구매한 공책 수에 대한 일차방정식) (지불한 돈에 대한 일차방정식) (닭과 돼지의 수의 합에 대한 일차방정식) (닭과 돼지의 다리의 수의 합에 대한 일차방정식) x+y=8 [ 1000x+2500y=14000 x+y=15 [ 2x+4y=50 x+y=15 [ 2x+4y=50 (2) 답 (1) x+y=8 [ 1000x+2500y=14000 (1) [ (2) [ 연습 2 ㉠ 3_1+y=3+y=10에서 y=7 3_2+y=6+y=10에서 y=4 3_3+y=9+y=10에서 y=1 3_4+y=12+y=10에서 y=-2 3_5+y=15+y=10에서 y=-5 2 x 1 4 3 5 1 4 7 y -2 -5 ㉡ 1+y=6에서 y=5, 2+y=6에서 y=4 3+y=6에서 y=3, 4+y=6에서 y=2 5+y=6에서 y=1 2 1 x 3 4 5 y 5 4 3 2 1 따라서 연립일차방정식의 해는 x=2, y=4 답 x=2, y=4 Step 2. 대표 문제로 접근하기 01 ②, ④ 02 ① 03 (1, 3), (6, 1) 05 12 06 -1 07 09 12 x=4, y=3(또는 (4, 3)) 13 45 ③ 10 14 ① x+y=10 =3 ;3{;+;5}; à x=6, y=3(또는 (6, 3)) 04 08 11 ⑤ ③ 8 유제 01 ② 4y2은 이차항이므로 일차방정식이 아니다. 26 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) ④ xy는 이차항이므로 일차방정식이 아니다. 따라서 미지수가 2개인 일차방정식이 아닌 것은 ②, ④이다. 본문 129쪽 답 ②, ④ 유제 02 ㄱ. 주어진 식을 정리하면 4x-5x+y+y=0 -x+2y=0 따라서 미지수가 2개인 일차방정식이다. ∴ ㄴ. xy는 이차항이므로 일차방정식이 아니다. ㄷ. 주어진 식을 정리하면 2x-6y-x+6y=0 따라서 미지수가 2개인 일차방정식이 아니다. ∴ x=0 그러므로 미지수가 2개인 일차방정식은 ㄱ뿐이다. 답 ① 유제 03 y가 자연수이므로 주어진 방정식에 y=1, 2, 3, y 을 차례로 대입 하여 x의 값을 구하면 다음과 같다. y x 1 6 2 ;2&; 3 1 4 y y -;2#; 이때 x도 자연수이므로 일차방정식 2x+5y=17의 해는 (1, 3), 답 (1, 3), (6, 1) (6, 1)이다. 유제 04 일차방정식 7x-y=10에 각 순서쌍의 좌표를 대입해 보면 다음 과 같다. ① x=-1, y=7을 대입하면 7_(-1)-7+10 따라서 (-1, 7)은 해가 아니다. ② x=1, y=3을 대입하면 7_1-3+10 따라서 (1, 3)은 해가 아니다. ③ x=2, y=6을 대입하면 7_2-6+10 따라서 (2, 6)은 해가 아니다. ④ x=4, y=14를 대입하면 7_4-14+10 따라서 (4, 14)는 해가 아니다. ⑤ x=5, y=25를 대입하면 7_5-25=10 따라서 (5, 25)는 해이다. 그러므로 일차방정식 7x-y=10의 해인 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 유제 05 x, y의 순서쌍 (a, 2)가 일차방정식 3x-y=13의 해이므로 ∴ a=5 3a-2=13, 3a=15 x, y의 순서쌍 (2, b)가 일차방정식 3x-y=13의 해이므로 3_2-b=13, 6-b=13 ∴ a-b=5-(-7)=12 ∴ b=-7 답 12 유제 06 x, y의 순서쌍 (11, 3)이 일차방정식 bx+(b+7)y=-7의 ∴ b=-2 해이므로 11b+(b+7)_3=-7, 11b+3b+21=-7 14b=-28 x, y의 순서쌍 (6, a)가 일차방정식 -2_6+5a=-7, 5a=5 ∴ a+b=1+(-2)=-1 ∴ a=1 -2x+5y=-7의 해이므로 답 -1 유제 07 단비는 총 10 km를 이동하였으므로 x+y=10 걸어간 시간과 뛰어간 시간의 합이 3시간이므로 yy ㉠ ;3{;+;5};=3 따라서 ㉠, ㉡을 이용하여 연립일차방정식을 세우면 yy ㉡ x+y=10 =3 ;3{;+;5}; [ x+y=10 =3 ;3{;+;5}; 답 [ [ 유제 08 정인이네 반의 남학생 수는 x, 여학생 수는 y이고 정인이네 반 전체 학생 수가 50이므로 x+y=50 또한 정인이네 반 남학생의 과 여학생의 ;5!; ;3!; yy`㉠ 이 방과 후 수업에 유제 13 조건 (가)의 식을 정리하면 12x-3y+2y=ax+5y+3 (12-a)x-6y-3=0 참여하므로 x+;3!; y=12 ;5!; 따라서 ㉠, ㉡을 이용하여 연립일차방정식을 세우면 x+y=50 x+;3!; ;5!; [ y=12 답 ③ 이 식이 미지수가 2개인 일차방정식이 아니므로 (x의 계수)=12-a=0 ∴ a=12 yy ㉡ 조건 (나)에서 (a, b)는 미지수가 2개인 일차방정식 -2x+5y=6의 해이므로 -2x+5y=6에 x=12, y=b를 대입하면 ∴ b=6 -2_12+5_b=6, 5b=30 ∴ a+b=12+6=18 본문 133쪽 Ⅳ - 0 6 . 연 립 일 차 방 정 식 0 4 2 4 7 4 4 9 x y x y x y x y 유제 09 x+4y=16에서 x=-4y+16이므로 y에 1, 2, 3, y을 대입해 보면 다음과 같다. 따라서 일차방정식 x+4y=16의 해는 (12, 1), (8, 2), (4, 3)이다. x+2y=10에서 x=-2y+10이므로 y에 1, 2, 3, y 을 대입해 보면 다음과 같다. 12 1 8 1 8 2 6 2 4 3 4 3 y y 0 5 y y 따라서 일차방정식 x+2y=10의 해는 (8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4)이다. 그러므로 연립일차방정식의 해는 두 일차방정식의 공통인 해이므로 x=4, y=3이다. 답 x=4, y=3 (또는 (4, 3)) 유제 10 x-y=3에서 x=y+3이므로 y에 1, 2, 3, y을 대입해 보면 다음과 같다. 4 1 5 2 6 3 y y 따라서 일차방정식 x-y=3의 해는 (4, 1), (5, 2), (6, 3), (7, 4), y 이다. 3x+y=21에서 y=-3x+21이므로 x에 1, 2, 3, y을 대입해 보면 다음과 같다. 1 18 2 15 3 12 5 6 6 3 7 0 y y 따라서 일차방정식 3x+y=21의 해는 (1, 18), (2, 15), (3, 12), (4, 9), (5, 6), (6, 3)이다. 그러므로 연립일차방정식의 해는 두 일차방정식의 공통인 해이므로 x=6, y=3이다. 답 x=6, y=3 (또는 (6, 3)) 유제 11 일차방정식 ax-2y=2에 x=3, y=5를 대입하면 a_3-2_5=2, 3a=12 ∴ a=4 -x+3y=b에 x=3, y=5를 대입하면 일차방정식 -3+3_5=b ∴ b-a=12-4=8 ∴ b=12 유제 12 일차방정식 -2x+3y=-7에 x=-1, y=b를 대입하면 -2_(-1)+3b=-7, 3b=-9 일차방정식 3x-5y=2a에 x=-1, y=-3을 대입하면 ∴ b=-3 3_(-1)-5_(-3)=2a, 2a=12 +(-3)2 ∴ a2 =36+9=45 =62 +b2 ∴ a=6 답 ③ 답 ① ① ④ ③ 유제 14 소민이와 은주가 이긴 횟수를 각각 x회, y회라 할 때 비기는 경우 는 없으므로 소민이가 진 횟수는 y회, 은주가 진 횟수는 x회이다. 소민이가 처음 위치보다 22계단을 올라가 있었으므로 은주가 처음 위치보다 2계단을 내려가 있었으므로 4x-2y=22 4y-2x=-2 따라서 연립일차방정식으로 나타내면 4x-2y=22 [ -2x+4y=-2, 즉 2x-y=11 [ -x+2y=-1 Step 3. 단원 마무리하기 01 ③, ④ 02 07 ② ② 12 ㄴ,ㄹ,ㅁ 13 03 08 ③ ① ① 04 09 14 ③ ① ⑤ 10 15 05 ②, ③ -3 17 18 -6 19 ②, ⑤ 20 ④ ① ;9@; 01 미지수가 2개인 일차방정식은 미지수가 2개이고, 그 차수가 1인 방정 식이다. ③ y=x2 ④ x+5y=-;2!; -2는 x의 차수가 2이므로 일차방정식이 아니다. (x-10y)를 정리하면 x+5y x+5y=-;2!; 따라서 주어진 방정식은 미지수가 1개인 일차방정식이다. x=0 ∴ ;2#; 그러므로 미지수가 2개인 일차방정식이 아닌 것은 ③, ④이다. 답 ③, ④ 02 ㄴ. 2x-y+5는 x, y에 대한 다항식으로 방정식이 아니다. ㄹ. 5x+y=5(x-y+1), 5x+y=5x-5y+5 ㄹ. ∴ 6y-5=0 ㄹ. 즉, 미지수가 2개가 아니다. ㅂ. 2xy+x-2y=3에서 2xy는 x, y에 대한 이차항이므로 일차방정식 이 아니다. 따라서 미지수가 2개인 일차방정식은 모두 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다. 답 ④ 답 8 03 ① x의 2배는 2x, y의 3배보다 4만큼 더 작은 수는 3y-4이므로 2x=3y-4 ② 100원짜리 동전 x개와 500원짜리 동전 y개를 합하면 2600원이므로 ③ 참새 x마리의 다리의 수는 2x, 호랑이 y마리의 다리의 수는 4y이고, 100x+500y=2600 다리의 수의 합이 26이므로 답 45 2x+4y=26 Ⅳ. 방정식 06. 연립일차방정식 27 06 11 16 ④ 가로의 길이가 x cm, 세로의 길이가 y cm인 직사각형 모양의 꽃밭 ⑤ 시속 2 km로 x시간 걸은 후 시속 7 km로 y시간 달린 거리가 총 20 km 의 둘레의 길이가 37 cm이므로 2(x+y)=37 ∴ 2x+2y=37 이고, (거리)=(속력)_(시간)이므로 2x+7y=20 04 |보|기|의 일차방정식에 x=2, y=-1을 대입하여 등식이 성립하는 지 판단한다. ㄱ. 2x-3y=8에 x=2, y=-1을 대입하면 2_2-3_(-1)+8 ㄴ. 10x+20y=0에 x=2, y=-1을 대입하면 10_2+20_(-1)=0 ㄷ. x-7y-10=-1에 x=2, y=-1을 대입하면 2-7_(-1)-10=-1 ㄹ. 3y=x-4에 x=2, y=-1을 대입하면 3_(-1)+2-4 그러므로 순서쌍 (2, 2(x+y)=46 따라서 연립일차방정식으로 나타내면 x=y+3 [ 2(x+y)=46 본문 138쪽 답 ① 답 ③ 11 연립일차방정식의 두 일차방정식에 x=2, y=1을 각각 대입하여 두 일 차방정식이 모두 성립하는지 판단한다. ① x=2, y=1을 두 일차방정식 2x+3y=1, x-2y=0에 각각 대입하면 2_2+3_1+1, 2-2_1=0 ② x=2, y=1을 두 일차방정식 y=x-1, 5x-4y=6에 각각 대입하면 ③ x=2, y=1을 두 일차방정식 3x-y=5, x+y=-3에 각각 대입하면 1=2-1, 5_2-4_1=6 3_2-1=5, 2+1+ -3 ④ x=2, y=1을 두 일차방정식 -3x+2y=7, -x+y=-3에 각각 대입하면 -3_2+2_1+7, -2+1+ ⑤ x=2, y=1을 두 일차방정식 -3 -2x+4y=0, 4x+2y=-10에 각각 -1)을 해로 갖는 일차방정식은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ③ 대입하면 -2_2+4_1=0, 4_2+2_1+ -10 05 자연수 x, y에 대하여 일차방정식 3x+y=13의 해를 표로 나타내면 따라서 x=2, y=1을 해로 갖는 연립일차방정식은 ② y=x-1 5x-4y=6 [ 이다. 답 ② 12 두 일차방정식에 x=5, y=-1을 각각 대입하여 등식이 모두 성립하는 것을 찾는다. 3 4 4 1 다음과 같다. x y x y 1 10 1 5 2 7 3 2 따라서 일차방정식 3x+y=13의 자연수인 해는 (1, 10), (2, 7), (3, 4), (4, 1)이다. 답 ②, ③ 06 자연수 x, y에 대하여 3x+2y=13의 해를 표로 나타내면 다음과 같다. 따라서 조건을 만족시키는 해는 (1, 5), (3, 2)이므로 2개이다. 답 ② 07 일차방정식 5x-3y=-6의 해가 (2a, 4a)이므로 5x-3y=-6에 x=2a, y=4a를 대입하면 5_2a-3_4a=-6, (10-12)a=-6 ∴ a=3 08 일차방정식 3x-ay+5=0의 한 해가 x=3, y=-2이므로 3x-ay+5=0에 x=3, y=-2를 대입하면 3_3-a_(-2)+5=0, 9+2a+5=0 2a=-14 ∴ a=-7 일차방정식 3x+7y+5=0의 한 해가 x=k, y=1이므로 3x+7y+5=0에 x=k, y=1을 대입하면 3k+7+5=0 3k=-12 ∴ k=-4 09 x, y의 순서쌍 (a, b)가 일차방정식 3x+2y=-7의 해이므로 3x+2y=-7에 x=a, y=b를 대입하면 3a+2b=-7 따라서 6a+4b+10의 값은 6a+4b+10=2(3a+2b)+10 6a+4b+10=2_(-7)+10=-4 답 ① 10 직사각형의 가로의 길이가 x, 세로의 길이가 y일 때 가로의 길이는 세 로의 길이보다 3만큼 길기 때문에 x=y+3 또한 직사각형의 둘레의 길이가 46이므로 28 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) ㄱ. 5+(-1)+-6 -5+2_(-1)=-7 [ ㄴ. [ 2_5+(-1)=9 -5+4_(-1)=-9 ㄷ. 5-(-1)=6 5+3_(-1)+8 [ ㄹ. [ -5-(-1)=-4 3_5+(-1)=14 ㅁ. [ 3_5+5_(-1)=10 2_5-(-1)=11 답 ① 따라서 (5, -1)을 해로 갖는 연립일차방정식을 모두 고르면 ㄴ, ㄹ, ㅁ이다. 답 ㄴ, ㄹ, ㅁ 13 x, y가 자연수일 때, 3x+2y=15의 해는 (1, 6), (3, 3) 2x-3y=-16의 해는 (1, 6), (4, 8), (7, 10), y 따라서 연립일차방정식의 해는 두 일차방정식의 공통인 해이므로 (1, 6)이다. 답 ① 답 ① 14 x, y의 순서쌍 (4, -2)가 연립일차방정식 [ 3x-ay=8 bx+7y=18 의 해이므로 x=4, y=-2를 두 일차방정식 3x-ay=8, bx+7y=18에 대입하여 도 등식이 성립한다. 따라서 3_4-a_(-2)=8에서 2a=-4 b_4+7_(-2)=18에서 4b=32 ∴ a+b=(-2)+8=6 ∴ a=-2 ∴ b=8 답 ⑤ 15 x=5, y=k가 연립일차방정식 3x-2y=23 ax+y=16 [ 의 해이므로 Ú x=5, y=k를 3x-2y=23에 대입하면 3_5-2_k=23 본문 141쪽 07 연립일차방정식의 풀이 2k=15-23=-8 Û x=5, y=-4를 ax+y=16에 대입하면 ∴ k=-4 a_5+(-4)=16 5a=16+4=20 ∴ a=4 16 3x-2y=-5에 x=-3을 대입하면 -2y=4 ∴ y=-2 -9-2y=-5, 따라서 주어진 연립일차방정식의 해가 x=-3, y=-2이므로 ax+4y=1에 x=-3, y=-2를 대입하면 -3a+4_(-2)=1, ∴ a=-3 -3a=9 답 ④ Step 1. 개념 다지기 07-1 연립일차방정식의 풀이 ; 대입법 답 -3 ➊ 대입법 ➋ 미지수 ➌ 해 ➍ 대입 17 연립일차방정식 의 해가 (2, 1)이므로 두 일차방정식에 x+3py=8 qx+2y=20 [ 기본연습 1 x=2, y=1을 대입하면 등식이 모두 성립한다. 2+3p=8, 3p=6 2q+2=20, 2q=18 따라서 p=2, q=9이므로 ∴ p=2 ∴ q=9 ;qP;=;9@; x=1을 ㉡에 대입하면 y=-3 (1) ㉡을 ㉠에 대입하면 2x-(-3x)=5, 5x=5 (2) ㉠을 ㉡에 대입하면 5_2y-2y=8, 8y=8 y=1을 ㉠에 대입하면 x=2 ∴ x=1 ∴ y=1 답 (1) (가) 5, (나) 1, (다) -3 (2) (가) 8, (나) 1, (다) 2 답 ;9@; 연습 1 18 6x+y=14에 y=-4를 대입하면 ∴ x=3 6x-4=14, 6x=18 -2x+3y=3a에 x=3, y=-4를 대입하면 -2_3+3_(-4)=3a, -18=3a ∴ a=-6 답 -6 19 x가 자연수이므로 2x+y=10에 x=1, 2, 3, y을 차례로 대입하여 y의 값을 구하면 다음과 같다. (1) ㉠을 x에 대하여 풀면 x=y+2 yy ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 -2y-4+3y=-2 y=2를 ㉢에 대입하면 x=2+2=4 (2) ㉠을 y에 대하여 풀면 y=2x-7 yy ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하면 -x+2(2x-7)=1, -2(y+2)+3y=-2 ∴ y=2 Ⅳ - 0 7 . 연 립 일 차 방 정 식 의 풀 이 -x+4x-14=1 ∴ x=5 3x=15 x=5를 ㉢에 대입하면 y=2_5-7=10-7=3 답 (1) x=4, y=2 (2) x=5, y=3 x가 자연수이므로 -3x+4y=7에 x=1, 2, 3, y 을 차례로 대입하여 07-2 연립일차방정식의 풀이 ; 가감법 x y x y 1 8 2 6 4 2 5 0 y y 이때 y도 자연수이므로 일차방정식 2x+y=10의 해는 (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2)이다. y의 값을 구하면 다음과 같다. 1 ;2%; 2 13 4 4 19 4 y y 3 4 3 4 이때 y도 자연수이므로 일차방정식 -3x+4y=7의 해는 (3, 4), y 이다. ∴ a=3, b=4 따라서 주어진 연립일차방정식의 해는 두 일차방정식의 공통인 해이므 로 x=3, y=4이다. 따라서 미지수가 2개인 일차방정식 bx-ay=5는 4x-3y=5이므로 보기의 x, y의 값을 4x-3y=5에 각각 대입해 보면 다음과 같다. ① 4_1-3_1+5 ② 4_2-3_1=5 ③ 4_3-3_2+5 ④ 4_4-3_3+5 ⑤ 4_5-3_5=5 따라서 bx-ay=5의 해가 될 수 있는 것은 ②, ⑤이다. 답 ②, ⑤ 20 2x+5y=2에 x=m+2, y=2-m을 대입하면 2(m+2)+5(2-m)=2, 2m+4+10-5m=2 ∴ m=4 -3m=-12 -3m+14=2, x-4y=2-3n에 x=6, y=-2를 대입하면 6-4_(-2)=2-3n, 14=2-3n 3n=-12 ∴ n=-4 따라서 m=4, n=-4이므로 m+n=4+(-4)=0 답 (1) (가) 12, (나) 3, (다) 4 (2) (가) 10, (나) 2, (다) 2 ➊ 가감법 ➋ 절댓값 ➌ 변끼리 ➍ 대입 기본연습 2 (1) ㉠ ㉡을 하면 4y=12 + ∴ y=3 y=3을 ㉠에 대입하면 x+3=7에서 x=4 (2) ㉠ ㉡을 하면 5x=10 - ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 3_2+y=8에서 y=2 연습 2 + ㉢을 하면 ∴ y=2 (1) ㉠의 양변에 2를 곱하면 2x-4y=-6 yy ㉢ ㉡ -y=-2 ∴ x=1 이를 ㉠에 대입하면 x-2_2=-3 (2) ㉠의 양변에 2를 곱하면 6x-2y=16 yy ㉢ ㉢을 하면 5x=15 ㉡ 이를 ㉠에 대입하면 3_3-y=8 ∴ x=3 + ∴ y=1 답 (1) x=1, y=2 (2) x=3, y=1 07-3 여러 가지 연립일차방정식의 풀이 ➊ 분배법칙 ➋ 10 ➌ 정수 ➍ 최소공배수 기본연습 3 답 ③ (1) 2(x-2)-y=5에서 2x-4-y=5, 2x-y=9 yy ㉠ x-2(y+1)=4에서 x-2y-2=4, x-2y=6 yy ㉡ Ⅳ. 방정식 07. 연립일차방정식의 풀이 29 ㉠ ∴ x=4 _2- ㉡을 하면 3x=12 x=4를 ㉠에 대입하면 2_4-y=9 ∴ y=-1 따라서 연립일차방정식의 해는 x=4, y=-1이다. (2) 0.2x-0.3y=0.3의 양변에 10을 곱하면 2x-3y=3 yy ㉠ 0.1x+0.2y=1.2의 양변에 10을 곱하면 x+2y=12 yy ㉡ ㉡ - ㉠ _2를 하면 -7y=-21 y=3을 ㉠에 대입하면 2x-3_3=3, 2x-9=3 따라서 연립일차방정식의 해는 x=6, y=3이다. ∴ y=3 ∴ x=6 연습 3 yy ㉠ x+;6!; y=1의 양변에 6을 곱하면 4x+y=6 ;3@; 0.2x+0.6y=1.4의 양변에 10을 곱하면 2x+6y=14 yy ㉡ ㉠ y=2를 ㉠에 대입하면 4x+2=6, 4x=4 따라서 연립일차방정식의 해는 x=1, y=2이다. -11y=-22 _2를 하면 ∴ x=1 ∴ y=2 - ㉡ 본문 145쪽 07-5 해가 특수한 연립일차방정식 ➊ 같아지는 ➋ 상수항 기본연습 5 4x-6y=2 yy ㉢ (1) 연립일차방정식 2x-3y=1 yy ㉠ 4x-6y=2 yy ㉡ [ 에서 ㉠ _2를 하면 답 (1) x=4, y=-1 (2) x=6, y=3 이므로 ㉡과 ㉢의 x의 계수, y의 계수, 상수항은 각각 4, -6, 2 따라서 이 연립일차방정식의 해는 무수히 많다. (2) 연립일차방정식 x-2y=3 yy ㉠ 2x-4y=5 yy ㉡ [ 에서 ㉠ _2를 하면 2x-4y=6 yy ㉢ 이므로 ㉢과 ㉡의 x의 계수, y의 계수는 각각 2, -4, 상수항은 6, 5로 서 로 다르다. 따라서 이 연립일차방정식의 해는 없다. 답 (1) 4, -6, 2, 무수히 많다 (2) 2, -4, 6, 5, 없다 답 x=1, y=2 연습 5 07-4 A=B=C 꼴의 연립일차방정식의 풀이 (1) 2x-4y=6 yy ㉠ -x+2y=3 yy ㉡ [ 이라 하고 ㉡ _(-2)를 하면 _4를 하면 3(4x-3y)-4(3x-4y)=7_3-7_4 3x-y=6 yy ㉠ 3x-y=6 yy ㉢ [ ➊ A=B [ A=C ➋ A=B [ B=C ➌ A=C [ B=C 기본연습 4 (1) 4x-3y=3x-4y=7에서 4x-3y=7 yy ㉠ [ 3x-4y=7 yy ㉡ _3- ㉠ ㉡ ∴ x=1 ∴ y=-1 12x-9y-12x+16y=-7, 7y=-7 y=-1을 ㉠에 대입하면 4x-3_(-1)=7, 4x+3=7 4x=4 따라서 연립일차방정식의 해는 x=1, y=-1이다. (2) 2x-5y=x-3y=-1에서 2x-5y=-1 yy ㉠ x-3y=-1 yy ㉡ [ ㉠ ㉡ _2를 하면 2x-5y-2(x-3y)=-1 -(-1)_2 - ∴ y=1 2x-5y-2x+6y=1 y=1을 ㉠에 대입하면 2x-5=-1, 2x=4 따라서 연립일차방정식의 해는 x=2, y=1이다. ∴ x=2 답 (1) x=1, y=-1 (2) x=2, y=1 연습 4 3x-y+5=2x-5y=-3y+10에서 3x-y+5=2x-5y [ 3x-y+5=-3y+10 각 방정식을 정리하면 x+4y=-5 yy ㉠ 3x+2y=5 yy ㉡ [ ㉡ - -5x=-15 _2를 하면 x+4y-2(3x+2y)=-5-5_2 ∴ x=3 ㉠ x+4y-6x-4y=-15, x=3을 ㉠에 대입하면 3+4y=-5, 4y=-8 따라서 연립일차방정식의 해는 x=3, y=-2이다. ∴ y=-2 30 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 답 x=3, y=-2 2x-4y=6 yy ㉠ 2x-4y=-6 yy ㉢ [ 따라서 ㉠과 ㉢의 x의 계수, y의 계수는 각각 2, -6으로 서로 다르므로 이 연립일차방정식의 해는 없다. 3x-y=6 [ -x+ yy ㉠ y=-2 yy ㉡ _(-3)을 하면 이라 하고 ㉡ (2) ;3!; -4로 같고, 상수항은 6, 따라서 ㉠과 ㉢의 x의 계수, y의 계수, 상수항이 각각 3, -1, 6으로 같으 므로 이 연립일차방정식의 해는 무수히 많다. 답 (1) 해가 없다. (2) 해가 무수히 많다. Step 2. 대표 문제로 접근하기 01 03 x=3, y=-1 x=5, y=3 05 x=1, y=1 x=8, y=2 09 13 ⑤ 12 17 21 2 ③ 18 22 26 a=-1, b+ ⑤ 30 -2 ① 1 ① 02 x=2, y=5 04 x=7, y=2 ① 07 06 ⑤ 08 ④ 11 15 x=8, y=3 16 ⑤ 20 a=2, x=3, y=2 24 25 ④ 28 ③ 29 ⑤ ① ④ 10 14 19 23 27 10 ④ ① ③ ⑤ 유제 01 4x+7y=5 yy ㉠ 3x-y=10 yy ㉡ [ ㉡을 y에 대하여 풀면 y=3x-10 이를 ㉠에 대입하면 4x+7(3x-10)=5 ∴ x=3 4x+21x-70=5, 25x=75 x=3을 ㉡에 대입하면 3_3-y=10 ∴ y=-1 따라서 연립일차방정식의 해는 x=3, y=-1이다. 답 x=3, y=-1 유제 07 4(x-3y)+y=-13 yy ㉠ yy ㉡ 0.3x+1.5y=6 [ 유제 02 x=-2y+12 yy ㉠ yy ㉡ 3y=7x+1 [ ㉠을 ㉡에 대입하면 3y=7(-2y+12)+1 ∴ y=5 3y=-14y+84+1, 17y=85 y=5를 ㉠에 대입하면 x=-2_5+12=2 따라서 연립일차방정식의 해는 x=2, y=5이다. 답 x=2, y=5 -x+5y=10 yy ㉠ -x+9y=22 yy ㉡ [ 유제 03 ㉠ ㉡을 하면 - -x+5y=10 ->³-x+9y=22 ∴ y=3 -4y=-12 이를 ㉠에 대입하면 -x+5_3=10, 따라서 연립일차방정식의 해는 x=5, y=3이다. 답 x=5, y=3 3x-8y=5 yy ㉠ x-3y=1 yy ㉡ -x=-5 ∴ x=5 [ 유제 04 x를 소거하기 위해 ㉡의 양변에 3을 곱하면 3x-9y=3 yy ㉢ ㉢을 하면 ㉠ - 3x-8y=5 3x-9y=3 y=2 ->³ y=2를 ㉡에 대입하면 x-3_2=1 따라서 연립일차방정식의 해는 x=7, y=2이다. 답 x=7, y=2 yy ㉠ 3(x-y)+4y=4 -3(x+1)+x+5y=0 yy ㉡ ∴ x=7 [ 유제 05 ㉠의 괄호를 풀면 3x-3y+4y=4 ∴ 3x+y=4 ㉡의 괄호를 풀면 yy ㉢ -3x-3+x+5y=0 -2x+5(-3x+4)-3=0 -17x=-17 -2x+5y-3=0 yy ㉣ ∴ ㉢을 y에 대하여 풀면 y=-3x+4 이를 ㉣에 대입하면 -2x-15x+20-3=0, x=1을 ㉢에 대입하면 3_1+y=4 따라서 연립일차방정식의 해는 x=1, y=1이다. 답 x=1, y=1 3(x+4)-2x-2y=3 yy ㉠ 4(x+y)-5(y-6)=8 yy ㉡ ∴ x=1 ∴ y=1 [ 유제 06 ㉠의 괄호를 풀면 3x+12-2x-2y=3 ∴ x-2y=-9 yy ㉢ ㉡의 괄호를 풀면 4x+4y-5y+30=8 ∴ 4x-y=-22 yy ㉣ _2를 하면 ㉢ - 8x-2y=-9 8x-2y=-44 -7x-2=35 ∴ x=-5 ->³ ㉣ x=-5를 ㉣에 대입하면 4_(-5)-y=-22 -20-y=-22 ∴ y=2 따라서 연립일차방정식의 해는 x=-5, y=2이므로 -x+3y=k에 x=-5, y=2를 대입하면 -(-5)+3_2=k ∴ k=11 Ⅳ - 0 7 . 연 립 일 차 방 정 식 의 풀 이 본문 146쪽 _4를 하면 4x-11y-(4x+20y)=-13-80 - yy ㉢ yy ㉣ ㉠의 괄호를 풀면 4x-12y+y=-13 ∴ 4x-11y=-13 ㉡의 양변에 10을 곱하면 3x+15y=60 ∴ x+5y=20 ㉢ ㉣ -31y=-93 y=3을 ㉣에 대입하면 x+5_3=20 따라서 a=5, b=3이므로 a+b=5+3=8 0.2x-0.7y+0.2=0 yy ㉠ ∴ y=3 ∴ x=5 답 ⑤ _2를 하면 10x-35y+10-(10x-8y)=0-44 _5- ㉠의 양변에 10을 곱하면 2x-7y+2=0 yy ㉢ ㉡의 양변에 10을 곱하면 5x-4y=22 yy ㉣ ㉢ ㉣ -27y+10=-44, y=2를 ㉢에 대입하면 2x-7_2+2=0, 2x=12 따라서 a -27y=-54 ∴ y=2 =6, b =2이므로 ab =6_2=12 ∴ x=6 답 ④ 유제 08 [ 0.5x-0.4y=2.2 yy ㉡ 유제 09 - = ;2}; ;3%; yy ㉠ - = ;5}; ;5*; yy ㉡ ;3{; [ ;4{; ㉠ ㉣ ㉡ _2를 하면 (10x-15y)-(10x-8y)=50-64 _6을 하면 2x-3y=10 yy ㉢ _20을 하면 5x-4y=32 yy ㉣ ㉢ _5- -7y=-14 y=2를 ㉢에 대입하면 2x-3_2=10, 2x=16 ∴ x=8 따라서 연립일차방정식의 해는 x=8, y=2이다. 답 x=8, y=2 ∴ y=2 유제 10 x-y 3 - x+2y+1 [ x+y 2 =;3!; yy ㉠ 4 =-;2}; yy ㉡ ㉠_6을 하면 2(x-y)-3(x+y)=2, 2x-2y-3x-3y=2 ∴ -x-5y=2 yy ㉢ _4를 하면 x+2y+1=-2y yy ㉣ -y=1 ㉡ ∴ x+4y=-1 ㉢ ㉣을 하면 y=-1을 ㉣에 대입하면 x+4_(-1)=-1 따라서 p=3, q=-1이므로 +(-1)2 p2 ∴ y=-1 =10 +q2 =32 + ∴ x=3 답 10 유제 11 (x-y-1) : (x-2y+4)=2 : 3 yy ㉠ yy ㉡ 2 : y=6 : (x+1) [ ㉠을 정리하면 2(x-2y+4)=3(x-y-1) 2x-4y+8=3x-3y-3 ㉡을 정리하면 6y=2(x+1) 3y=x+1 ㉢ ∴ x-3y=-1 yy ㉣ ∴ x+y=11 yy ㉢ ㉣를 하면 - x+y =11 x-3y=-1 x-4y=12 ->³ ∴ y=3 답 ① y=3을 ㉢에 대입하면 x+3=11 따라서 연립일차방정식의 해는 x=8, y=3이다. 답 x=8, y=3 ∴ x=8 Ⅳ. 방정식 07. 연립일차방정식의 풀이 31 유제 12 (4x+y) : (y+7)=4 : 5 yy ㉠ (6x-2) : (10-2y)=1 : 2 yy ㉡ [ ∴ 20x+y=28 yy ㉢ ㉠을 정리하면 5(4x+y)=4(y+7) 20x+5y=4y+28 ㉡을 정리하면 2(6x-2)=10-2y, 12x-4=10-2y 12x+2y=14 ㉣을 하면 ㉢ ∴ 6x+y=7 yy ㉣ - 20x+y=28 6x+y=7 14x =21 -> ³ ∴ x=;2#; x=;2#; 을 ㉣에 대입하면 6_;2#;+y=7 ∴ y=-2 따라서 a =;2#; , b =-2이므로 ab =;2#;_(-2)=-3 답 ⑤ 본문 151쪽 + ㉢을 하면 20a=40 ㉡을 간단히 정리하면 14a-5b=13 yy ㉢ ㉠ a=2를 ㉠에 대입하면 6_2+5b=27, 5b=15 ∴ a_b=2_3=6 ∴ a=2 ∴ b=3 답 ⑤ 유제 17 주어진 연립일차방정식의 해는 다음 연립일차방정식의 해와 같다. [ 3x-5y=4 yy ㉠ yy ㉡ x=y+2 ㉡을 ㉠에 대입하면 3(y+2)-5y=4 -2y=-2 ∴ y=1 y=1을 ㉡에 대입하면 x=3 x+y=2+k에 x=3, y=1을 대입하면 ∴ k=2 3+1=2+k 유제 13 주어진 방정식은 연립일차방정식 3x-y+10=x+2y-3 5x+3y+2=x+2y-3 [ 으로 같다. 유제 18 주어진 연립일차방정식의 해는 다음 연립일차방정식의 해와 나타낼 수 있다. 이 연립일차방정식을 정리하면 2x-3y=-13 yy ㉠ 4x+y=-5 yy ㉡ [ _2- ㉠ 4x-6y-4x-y=-21, y=3을 ㉡에 대입하면 4x+3=-5 ∴ x=-2 4x=-8 따라서 a=-2, b=3이므로 a-b=-2-3=-5 ㉡을 하면 2(2x-3y)-(4x+y)=-26-(-5) -7y=-21 ∴ y=3 2x-3y=3 yy ㉠ 4x-5y=9 yy ㉡ [ -2_ ㉠을 하면 (4x-5y)-2_(2x-3y)=9-2_3 ∴ y=3 ㉡ (4x-5y)-(4x-6y)=3 y=3을 ㉠에 대입하면 2x-3_3=3 2x=12 -ax+(a+1)y=0에 x=6, y=3을 대입하면 ∴ a=1 -6a+3(a+1)=0, -3a=-3 ∴ x=6 답 ① 유제 19 x=-4, y=2를 해로 갖는 연립일차방정식은 답 2 답 1 유제 14 주어진 방정식은 연립일차방정식 6x-y 5 =3 11+2(x+y) 3 [ yy ㉠ =3 yy ㉡ 으로 나타낼 수 있다. ㉠ _5를 하면 6x-y=15 _3을 하면 11+2(x+y)=9, 11+2x+2y=9 yy ㉢ + ㉣을 하면 7x=14 ㉡ ∴ x+y=-1 yy ㉣ 2x+2y=-2 ∴ x=2 ㉢ x=2를 ㉣에 대입하면 2+y=-1 따라서 a=2, b=-3이므로 a-b=2-(-3)=5 ∴ y=-3 유제 15 연립일차방정식 의 해가 x=4, y=-2이므로 ax+by=10 bx-ay=10 [ 두 일차방정식에 x=4, y=-2를 각각 대입하면 4a-2b=10 yy ㉠ 4b+2a=10 yy ㉡ [ ㉡ - _2를 하면 (4a-2b)-2(4b+2a)=10-20 ∴ b=1 ㉠ 4a-2b-8b-4a=-10, b=1을 ㉠에 대입하면 4a-2=10, 4a=12 ∴ a=3, b=1 -10b=-10 ∴ a=3 답 ⑤ 유제 16 주어진 방정식에 x=2, y=-5를 대입하면 6a+5b=14a-5(b-2)+4=2-5_(-5)이므로 6a+5b=14a-5b+14=27 위 방정식의 해는 다음 연립일차방정식의 해와 같다. yy ㉠ 6a+5b=27 14a-5b+14=27 yy ㉡ [ 32 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 유제 20 a를 2a로 보았을 때 답 ④ [ bx+ay=10 ax-by=-10 두 일차방정식에 x=-4, y=2를 각각 대입하면 -4b+2a=10 yy ㉠ -4a-2b=-10 yy ㉡ [ ㉡을 하면 2(-4b+2a)+(-4a-2b)=20-10 -10b=10 ∴ b=-1 _2+ ㉠ -8b+4a-4a-2b=10, b=-1을 ㉠에 대입하면 -4_(-1)+2a=10, 2a=6 ∴ a+b=3+(-1)=2 ∴ a=3 답 ① 의 해가 x=2, y=4이므로 연립일차방정식 x+ y=4 ;2!; 2ax-y=4 [ 2ax-y=4에 x=2, y=4를 대입하면 ∴ a=2 4a-4=4 따라서 처음 연립일차방정식은 ㉠ _2+ ㉡을 하면 y=4 yy ㉠ x+ [ 2x-y=4 yy ㉡ ;2!; 2 x+;2!; }+(2x-y)=8+4 y { 2x+y+2x-y=12, 4x=12 x=3을 ㉡에 대입하면 2_3-y=4 따라서 a=2이고, 해는 x=3, y=2이다. 답 a=2, x=3, y=2 ∴ x=3 ∴ y=2 유제 21 두 연립일차방정식의 해가 서로 같으므로 그 해는 다음 연립일차 방정식의 해와 같다. [ 3(x-2y)+4y=10 yy ㉠ -4x+5(x-y)=-1 yy ㉡ ㉠에서 3x-6y+4y=10 유제 22 두 연립일차방정식의 해가 서로 같으므로 그 해는 다음 연립일차 유제 27 주어진 방정식의 해는 다음 연립일차방정식의 해와 같다. yy ㉢ -4x+5x-5y=-1 yy ㉣ _3을 하면 3x-2y-3(x-5y)=10-(-3) ∴ 3x-2y=10 ㉡에서 ∴ x-5y=-1 ㉢ ㉣ - 13y=13 ∴ y=1 y=1을 ㉢에 대입하면 3x-2=10 두 연립일차방정식의 해가 x=4, y=1이므로 두 일차방정식 x+ay=11, x=by+1에 x=4, y=1을 각각 대입했을 때 등식이 성립해야 한다. 4+a_1=11에서 a=7, 4=b_1+1에서 b=3 ∴ a+b=7+3=10 ∴ x=4 답 ③ 방정식의 해와 같다. y=3x-7 yy ㉠ (2x+4) : (4y-3)=2 : 1 yy ㉡ [ yy ㉢ ∴ x=3 -11x=-33 ㉡에서 1_(2x+4)=2_(4y-3)이므로 2x+4=8y-6, 2x-8y=-10 ∴ x-4y=-5 ㉠을 ㉢에 대입하면 x-4(3x-7)=-5, x=3을 ㉠에 대입하면 y=3_3-7=2 두 연립일차방정식의 해가 x=3, y=2이므로 두 일차방정식 ax+y=20, 2x+y=b에 x=3, y=2를 각각 대입했을 때 등식이 성립해야 한다. 3a+2=20, 3a=18 2_3+2=b 따라서 a-b=6-8=-2이다. ∴ a=6 ∴ b=8 답 ① 유제 23 ax+8y=-2 yy ㉠ 3x+by=1 yy ㉡ [ ㉡의 양변에 -2를 곱하면 -6x-2by=-2 yy ㉢ 주어진 연립일차방정식의 해가 무수히 많으므로 두 방정식 ㉠, ㉢ 은 같아야 한다. 즉, a=-6, 8=-2b에서 b=-4 ∴ b-a=-4-(-6)=-4+6=2 답 ③ 연립일차방정식 ax+8y=-2 의 해가 무수히 많으므로 3x+by=1 [ 다른풀이 ;3A;=;b*;= -2 1 ;3A;=-2에서 a=-6, ∴ b-a=-4-(-6)=-4+6=2 ;b*;=-2에서 b=-4 유제 24 6x+ay=-12 yy ㉠ yy ㉡ 4x-3y=b [ ㉠ _2, ㉡ _3을 하면 12x+2ay=-24 12x-9y=3b [ 이 연립일차방정식의 해가 무수히 많으므로 2a=-9에서 a=-;2(; -24=3b에서 b=-8 , 답 ④ 유제 25 에서 x의 계수를 같게 만들면 + =2 y ;3{; 7 [ -7x-3y=k Ⅳ - 0 7 . 연 립 일 차 방 정 식 의 풀 이 본문 156쪽 -7x-3y=-42 -7x-3y=k [ 이 연립일차방정식의 해가 없으므로 k+ -42 답 ① 유제 26 (2-a)x+y=-2 6x+2y=2a+b [ 에서 y의 계수를 같게 하면 2(2-a)x+2y=-4 이 연립일차방정식의 해가 없으므로 6x+2y=2a+b [ 2(2-a)=6에서 2-a=3 ∴ a=-1 -4+2a+b에서 a=-1이므로 b-2+ ∴ a=-1, b+ -2 -4, b+ -2 답 a=-1, b+ -2 2x-3y=5x+4y-2 yy ㉠ [ y= x-2 ;3!; yy ㉡ ㉠을 정리하면 3x+7y=2 3x+7y=2에 ㉡을 대입하면 3x+7 x-2 }=2 {;3!; 3x+;3&; x-14=2, 16 3 x=16 ∴ x=3 ㉡에 x=3을 대입하면 y=;3!;_3-2=-1 따라서 일차방정식 x-ay+4=2x-3y에 x=3, y=-1을 대입 답 ⑤ 하면 3+a+4=6+3 ∴ a=2 유제 28 연립일차방정식 ax+by=5 x+dy=6 [ 의 해가 x=-1, y=7이므로 x+dy=6에 x=-1, y=7을 대입하면 7d=7 ∴ d=1 -1+7d=6 연립일차방정식 ax+by=5 x+cy=6 [ 의 해가 x=3, y=-1이므로 x+cy=6에 x=3, y=-1을 대입하면 3-c=6 또 x=-1, y=7과 x=3, y=-1은 모두 ax+by=5의 해이므로 -a+7b=5 yy ㉠ 3a-b=5 yy ㉡ ∴ c=-3 [ ㉡을 하면 3(-a+7b)+(3a-b)=15+5 ㉠ _3+ ∴ b=1 20b=20 b=1을 ㉠에 대입하면 -a+7_1=5 ∴ a+b+c+d=2+1+(-3)+1=1 ∴ a=2 답 ③ 유제 29 주어진 연립일차방정식의 해는 다음 연립일차방정식의 해와 같다. x-y=5 yy ㉠ 3x+y=3 yy ㉡ [ + ∴ x=2 ㉡을 하면 4x=8 ㉠ ㉠에 x=2를 대입하면 2-y=5 따라서 일차방정식 ax+5y=-a에 x=2, y=-3을 대입하면 2a-15=-a ∴ y=-3 ∴ a=5 답 ④ 유제 30 연립일차방정식 y=3x [ 2x+3y=kx 에서 3x-y=0 yy ㉠ (2-k)x+3y=0 yy ㉡ [ 이 연립일차방정식은 x=0, y=0을 해로 가지므로 x=0, y=0 이외의 해를 가지려면 해가 무수히 많아야 한다. y의 계수를 같게 만들기 위하여 ㉠의 양변에 -3을 곱하면 -9x+3y=0 yy ㉢ (2-k)x+3y=0 yy ㉡ [ 따라서 -9=2-k이므로 k=11이다. 답 ⑤ Ⅳ. 방정식 07. 연립일차방정식의 풀이 33 Step 3. 단원 마무리하기 01 ③ 02 ⑤ 05 x=5, y=5 5 10 09 14 19 ③ 9 15 20 ④ ④ ④ 03 06 11 16 ⑤ 13 3 ① 04 07 12 17 14 ① ② ② 08 13 18 ④ 28 ⑤ 01 연립일차방정식 3x-2y=8 yy ㉠ 2x+5y=3 yy ㉡ [ 에 대하여 Ú x를 소거하기 위해 ㉠의 양변에 2를 곱하면 6x-4y=16 ㉡의 양변에 3을 곱하면 6x+15y=9 ㉠ _3을 하면 _2- (6x-4y)-(6x+15y)=16-9 ㉡ Û y를 소거하기 위해 ∴ -19y=7 ㉠의 양변에 5를 곱하면 15x-10y=40 ㉡의 양변에 2를 곱하면 4x+10y=6 ㉠ _5+ (15x-10y)+(4x+10y)=40+6 따라서 Ú, Û에 의해 필요한 식은 ㄱ, ㄹ이다. _2를 하면 ㉡ ∴ 19x=46 02 연립일차방정식 x+y=3 yy ㉠ x-3y=-5 yy ㉡ [ 에 대하여 ㉡을 하면 (x+y)-(x-3y)=3-(-5) Ú x를 소거하기 위해 ㉠ - 4y=8 ㉠에서 x=-y+3=1 ∴ y=2 Û y를 소거하기 위해 ㉠ _3+ 4x=4 ㉡을 하면 3(x+y)+(x-3y)=9+(-5) ∴ x=1 ㉠에서 y=3-x=2 Ú, Û에서 주어진 연립일차방정식의 해는 x=1, y=2이다. 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 03 연립일차방정식 y=x+5 y=-2x+11 [ 에서 x+5=-2x+11이므로 3x=6 ∴ x=2 y=x+5에 x=2를 대입하면 y=2+5=7 따라서 a=2, b=7이므로 a_b=2_7=14 04 연립일차방정식 x=5y+2 y=2x+5 [ 에서 y=2x+5에 x=5y+2를 대입하면 y=2(5y+2)+5, y=10y+4+5 9y=-9 ∴ y=-1 x=5y+2에 y=-1을 대입하면 x=-3 x=-3, y=-1을 일차방정식 3x-ay-5=0에 대입하면 3_(-3)-a_(-1)-5=0, ∴ a=9+5=14 -9+a-5=0 답 ⑤ 답 ⑤ 답 14 05 x+y x-y 4 - 3 =;2%; 2x-y x-2y [ 2 - 3 =- 25 6 yy ㉡ yy ㉠ 34 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 답 ③ 07 (x+2) : (-1-3y)=2 : 3 yy ㉠ yy ㉡ 3x+y=7 [ ㉠을 간단히 정리하면 2(-1-3y)=3(x+2) ∴ 3x+6y=-8 ㉢을 하면 yy ㉢ ∴ y=-3 -5y=15 - ㉡ 본문 162쪽 ∴ ∴ yy ㉢ _12를 하면 3(x+y)-4(x-y)=30 -x+7y=30 _6을 하면 3(x-2y)-2(2x-y)=-25 -x-4y=-25 ㉣을 하면 11y=55 - y=5를 ㉣에 대입하면 따라서 연립일차방정식의 해는 x=5, y=5이다. ∴ y=5 -x-4_5=-25 yy ㉣ ∴ x=5 답 x=5, y=5 06 [ 0.2(x-y)-0.3y=-1.3 yy ㉠ - (x-1)+2(y-1)=4 yy ㉡ ;6!; _10을 하면 2(x-y)-3y=-13 ∴ yy ㉣ yy ㉢ -(x-1)+12(y-1)=24, ∴ 2x-5y=-13 _6을 하면 -x+12y=35 ㉣ + ∴ y=3 19y=57 y=3을 ㉣에 대입하면 -x+12_3=35 따라서 a=1, b=3이므로 10a+b=13 -x+1+12y-12=24 ∴ x=1 답 13 _2를 하면 (2x-5y)+2(-x+12y)=(-13)+70 답 ① 답 ④ y=-3을 ㉡에 대입하면 3x-3=7, 3x=10 ∴ x= 10 3 따라서 m= , n=-3이므로 10 3 m_n= 10 3 _(-3)=-10 08 주어진 방정식은 연립일차방정식 으로 나타낼 수 있다. 3x+y= x+3y 2 -3 yy ㉠ [ 3x+y=0.8x-1.2y yy ㉡ _2를 하면 6x+2y=x+3y-6 ㉠ ∴ 5x-y=-6 yy ㉢ ㉡ _10을 하면 30x+10y=8x-12y, 22x=-22y yy ㉣ ∴ x=-y ㉢에 ㉣을 대입하면 5_(-y)-y=-6 -6y=-6 ∴ y=1 y=1을 ㉣에 대입하면 x=-1 따라서 a=-1, b=1이므로 b-a=1-(-1)=2 09 주어진 방정식은 연립일차방정식 yy ㉠ 4x+3y 3 = x+ay+1 4 3x+1 5 3x+1 5 으로 나타낼 수 있다. [ _15를 하면 5(4x+3y)=3(3x+1), 20x+15y=9x+3 yy ㉡ = ∴ 11x+15y=3 yy ㉢ _20을 하면 5(x+ay+1)=4(3x+1) 5x+5ay+5=12x+4 ∴ 7x-5ay=1 yy ㉣ 두 일차방정식 ㉢, ㉣의 해가 x=b, y=-2이므로 ㉢에 x=b, y=-2를 대입하면 11b+15_(-2)=3, 11b=33 ∴ b=3 ㉠ ㉡ ㉢ ㉠ ㉡ ㉢ ㉠ ㉡ Ⅳ - 0 7 . 연 립 일 차 방 정 식 의 풀 이 ㉠ ㉢ ∴ 5x-6y=-16 yy ㉢ yy ㉣ 15 ① y=2x+3 x-3y=6 [ 에서 2x-y=-3 [ x-3y=6 ㉣에 x=3, y=-2를 대입하면 7_3-5a_(-2)=1, 10a=-20 ∴ b-a=3-(-2)=5 ∴ a=-2 답 5 10 연립일차방정식 [ 0.25x-0.3y=-0.8 yy ㉠ 0.2x+0.5y=0.1 yy ㉡ _100을 하면 25x-30y=-80 _10을 하면 2x+5y=1 _5를 하면 _2- ㉣ ㉠ ㉡ ㉢ 에 대하여 ∴ x=-2 (10x-12y)-(10x+25y)=-32-5 -37y=-37 ∴ y=1 따라서 2x=-5y+1=-4 x=-2, y=1일 때 7x+5y=7_(-2)+5_1=-9, 7x-5y=-14-5=-19, x+2y=(-2)+2_1=0, x-2y=(-2)-2_1=-4, 2x+y=2_(-2)+1=-3, 2x-y=2_(-2)-1=-5 따라서 주어진 연립일차방정식과 해가 같은 연립일차방정식은 ④이다. 11 연립일차방정식 y=2x-10 yy ㉠ x+3y=-2 yy ㉡ [ 에서 ∴ x=4 ㉡에 y=2x-10을 대입하면 x+3(2x-10)=-2 7x=28 ㉠에 x=4를 대입하면 y=2_4-10=-2 따라서 ax-5y=22에 x=4, y=-2를 대입하면 4a+10=22, 4a=12 ∴ a=3 ∴ b=;3!; 3b=1 ㉥에 x=3, y=-2를 대입하면 3-2a_(-2)=-9 3+4a=-9, 4a=-12 ∴ a_b=(-3)_;3!;=-1 ∴ a=-3 본문 163쪽 답 ③ x의 계수를 같게 만들면 이므로 이 연립일차방정식의 2x-y=-3 2x-6y=12 [ 해는 한 쌍이다. ② y=x-3 x+2y=4 [ 에서 x-y=3 x+2y=4 [ 이다. 이므로 이 연립일차방정식의 해는 한 쌍 ③ 5x+2y=-5x+2y=5에서 5x+2y=5 -5x+2y=5 [ 이므로 이 연립일차방 정식의 해는 한 쌍이다. 답 ④ ④ x=-3y+1 -3x-9y=-3 [ 에서 x+3y=1 [ -3x-9y=-3 x의 계수를 같게 만들면 이므로 이 연립일차방정 -3x-9y=-3 -3x-9y=-3 [ ⑤ 2(x+y)-3x=10 5x+2(2y-3x)=20 [ 에서 -x+2y=10 -x+4y=20 [ 이므로 이 연립일차방 식의 해는 무수히 많다. 정식의 해는 한 쌍이다. 답 3 따라서 해가 무수히 많은 연립일차방정식은 ④이다. 답 ④ 12 [ 3(x-2y)+4y=-1 2x-(y+1)=-1 에서 괄호를 풀어 식을 정리하면 16 연립일차방정식 2x+9y=-5 -x+(2k+1)y=2 [ 에서 x의 계수를 같게 만들면 3x-2y=-1 yy ㉠ yy ㉡ y=2x [ ㉠에 ㉡을 대입하면 3x-2_2x=-1 x=1을 ㉡에 대입하면 y=2 따라서 일차방정식 kx-4y+15=0에 x=1, y=2를 대입하면 k-8+15=0 ∴ k=-7 ∴ x=1 답 ② 2x+9y=-5 [ 2x-2(2k+1)y=-4 이 연립일차방정식의 해가 없으므로 9=-2(2k+1), -;2(;=2k+1 2k=- 11 2 ∴ k=- 11 4 답 ① 13 2x-y=8의 8을 k로 잘못 보았다고 하면 2x-y=k yy ㉠ 4x+3y=6 yy ㉡ [ ㉡을 하면 2(2x-y)-(4x+3y)=2k-6 _2- -5y=2k-6 이 연립일차방정식의 해가 y=-10이므로 -5_(-10)=2k-6, 2k=56 따라서 8을 28로 잘못 보고 풀었다. ∴ k=28 17 주어진 방정식의 해는 다음 연립일차방정식의 해와 같다. [ x=3y yy ㉠ 6y-x=2 yy ㉡ ㉡에서 x=6y-2이므로 ㉠에 대입하면 6y-2=3y ∴ y=;3@; 를 ㉠에 대입하면 x=3_;3@;=2 y=;3@; 따라서 일차방정식 kx+3y=-2에 x=2, y=;3@; 2k+3_;3@;=-2 ∴ k=-2 를 대입하면 답 ② 답 28 14 3x-5y-2=6x-y-3=17의 해는 다음 연립일차방정식의 해와 같다. [ 3x-5y-2=17 yy ㉠ 6x-y-3=17 yy ㉡ ㉠에서 3x-5y=19 yy ㉢ ㉡에서 6x-y=20 yy ㉣ ∴ y=-2 ㉣을 하면 2(3x-5y)-(6x-y)=38-20 _2- -9y=18 y=-2를 ㉢에 대입하면 3x-5_(-2)=19, 3x+10=19 3x=9 ∴ x=3 연립일차방정식 bx-5y=11 yy ㉤ x-2ay=-9 yy ㉥ [ 의 해가 x=3, y=-2이므로 ㉤에 x=3, y=-2를 대입하면 3b+10=11 18 a`:`b=2`:`3이므로 3a=2b 일차방정식 -x+7 3 =4- b yy ㉠ ∴ a=;3@; y 2 의 해가 x=a, y=b이므로 -a+7 3 =4-;2B; 양변에 6을 곱하면 ∴ 2a-3b=-10 ㉡에 ㉠을 대입하면 2_;3@; ∴ b=6 b=-10 -2a+14=24-3b yy ㉡ b-3b=-10 -;3%; b=6을 ㉠에 대입하면 a=;3@;_6=4 ∴ a+b=4+6=10 답 ⑤ Ⅳ. 방정식 07. 연립일차방정식의 풀이 35 19 연립일차방정식의 해가 x=-2, y=3이므로 두 일차방정식에 x=-2, y=3을 대입하면 = - [ - ;a!b& =- + + ;a@; ;b#; ;b@; ;a#; ;a$; yy ㉠ yy ㉡ ㉡에서 ;a&;=;b@; ∴ ;b!;= 7 2a yy ㉢ ㉠에 ;b!;= 7 2a 을 대입하면 -;a@;+;2@a!;= 17 ab ∴ b=2 ㉢에 b=2를 대입하면 ∴ a+b=7+2=9 7 2a ;2!;= , 2a=14 ∴ a=7 답 9 20 주어진 방정식에 x=p, y=q를 대입하면 5p-3q+2 3 2p+aq-3 2 =-3 위 방정식의 해 p, q의 값은 다음 연립일차방정식의 해와 같다. = 5p-3q+2 3 -2p+q=3 _3을 하면 5p-3q+2=-9 =-3 yy ㉠ yy ㉡ [ ㉠ ∴ 5p-3q=-11 ㉡에서 q=2p+3이므로 5p-3q=-11에 대입하면 ∴ p=2 5p-3(2p+3)=-11, ∴ q=7 ㉡에 p=2를 대입하면 일차방정식 -p-9=-11 -2_2+q=3 2p+aq-3 2 =-3에 p=2, q=7을 대입하면 4+7a-3 2 =-3, 7a+1=-6 ∴ a+p+q=(-1)+2+7=8 ∴ a=-1 08 연립일차방정식의 활용 Step 1. 개념 다지기 x+y=39 yy ㉠ [ x=2y+3 yy ㉡ ㉠에 ㉡을 대입하면 (2y+3)+y=39 3y+3=39, 3y=36 y=12를 ㉡에 대입하면 x=2_12+3=24+3=27 따라서 정수가 얻은 점수는 27점이다. ∴ y=12 08-2 공식이 이용되는 활용 문제 본문 165쪽 답 27점 ➊ (속력) ➋ (시간) ➌ (거리) (시간) ➍ (거리) (속력) ➎ (소금의 양) (소금물의 양) ➏ (소금물의 농도) 100 기본연습 2 (1) 집에서 도서관까지의 거리를 x km, 도서관에서 학교까지의 거리를 y km라 하면 x+y=11 [ ;3{;+;4};=3 (2) 5%의 소금물의 양을 x g, 10%의 소금물의 양을 y g이라 하면 x+ 10 5 100 x+y=500 100 [ y= ;10&0; _500=35 답 (1) x+y=11 ;3{;+;4};=3 [ (2) x+ 10 5 100 x+y=500 100 [ y=35 답 ④ 연습 2 4%의 소금물의 양을 x g, 8%의 소금물의 양을 y g이라 하면 ;10$0; x+;10*0; y=;10&0;_400 4x+8y=7_400=2800 x+2y=700 yy ㉠ [ x+y=400 yy ㉡ ㉠ ㉡을 하면 y=300 y=300을 ㉡에 대입하면 x+300=400 따라서 4%의 소금물의 양은 100 g이다. - ∴ x=100 답 100 g 08-1 연립일차방정식의 활용 Step 2. 대표 문제로 접근하기 ➊ 미지수 정하기 ➋ 연립일차방정식 세우기 ➌ 연립일차방정식 풀기 01 12 02 12 27 04 05 17자루 06 1200원 07 4 12 13800원 8 4 03 08 13 17 90명 09 424명 14 14일 18 4 ④ ⑤ ③ ② 10 15 19 ③ ③ 8 km ③ 21 28분 22 2 km 23 24 35 km 25 나영 : 6 m, 현경 : 4 m 26 갑 : 45 m, 을 : 15 m 정지한 물에서의 배의 속력 : 시속 11 km, 강물의 속력 : 시속 5 km ③ 29 200 m 30 25초 10% 소금물 : 375 g, 22% 소금물 : 125 g 32 ② 11 16 20 27 28 31 답 (1) (2) 7, 16 x+y=23 [ x-y=9 33 소금물 X : 7%, 소금물 Y : 17% 34 소금물 X : 21%, 소금물 Y : 5% 정수가 얻은 점수를 x, 재원이가 얻은 점수를 y라 하고 주어진 조건을 연립일 35 합금 X : 450 g, 합금 Y : 600 g 36 식품 A : 40 g, 식품 B : 35 g 37 합금 A : 210 g, 합금 B : 250 g 38 ③ 기본연습 1 (1) (2) x+y=23 [ x-y=9 x+y=23 yy ㉠ x-y=9 yy ㉡ [ x+y+(x-y)=23+9, 2x=32 x=16을 ㉠에 대입하면 16+y=23 이라 하고 ㉠ + 따라서 두 수는 7, 16이다. ㉡을 하면 `∴ x=16 ∴ y=7 연습 1 차방정식으로 나타내면 36 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 유제 01 두 정수 중 큰 수와 작은 수를 각각 x, y로 놓자. 두 수의 합이 34이므로 x+y=34 두 수의 차가 10이므로 x-y=10 연립일차방정식을 세우면 x+y=34 yy ㉠ [ x-y=10 yy ㉡ ㉠ + ㉡을 하면 2x=44 x=22를 ㉠에 대입하면 22+y=34 ∴ y=34-22=12 ∴ x=22 따라서 두 정수 중 작은 수는 12이다. 답 12 유제 02 두 수 중 큰 수와 작은 수를 각각 x와 y로 놓자. 작은 수의 4배에 큰 수를 더하면 27이므로 4y+x=27 또한 두 수의 차는 2이므로 x-y=2 연립일차방정식을 세우면 4y+x=27 yy ㉠ [ x-y=2 yy ㉡ ㉡을 하면 이때, ㉠ - (4y+x)-(x-y)=27-2, 4y+x-x+y=25 5y=25 ∴ y=5 y=5를 ㉡에 대입하면 x-5=2 ∴ x=7 따라서 작은 수 y는 5이고, 큰 수 x는 7이므로 두 수의 합은 5+7=12이다. 답 12 유제 03 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라 하자. 이때 각 자리의 숫자의 합의 3배가 처음 수이므로 3(x+y)=10x+y 3x+3y=10x+y, 7x-2y=0 또한 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수는 처음 수의 3배보다 9만큼 작으므로 10y+x=3(10x+y)-9, 10y+x=30x+3y-9 29x-7y=9 x, y에 대한 두 식을 연립일차방정식으로 세우면 7x-2y=0 yy ㉠ [ 29x-7y=9 yy ㉡ _2를 하면 _7- ㉡ 7(7x-2y)-2(29x-7y)=7_0-2_9, -9x=-18 ㉠ ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 7_2-2y=0, 2y=14 따라서 처음 수는 27이다. ∴ y=7 답 27 유제 04 처음 수의 백의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라 하자. 이때 각 자리의 숫자의 합이 8이므로 x+1+y=8 또한 백의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수는 처음 수보 ∴ x+y=7 다 99만큼 크므로 100y+10+x=(100x+10+y)+99 (100x+10+y)-(100y+10+x)+99=0 100x-x+10-10+y-100y+99=0 99x-99y+99=0 위 식의 양변을 99로 나누면 x-y+1=0 ∴ x-y=-1 x, y에 대한 두 식으로 연립일차방정식을 세우면 x+y=7 yy ㉠ [ x-y=-1 yy ㉡ ㉠ + ∴ x=3 ㉡을 하면 2x=6 x=3을 ㉠에 대입하면 3+y=7 ∴ y=4 그러므로 처음 수의 일의 자리의 숫자는 4이다. 본문 168쪽 답 4 유제 05 처음에 민준이가 가지고 있던 볼펜을 x자루, 은주가 가지고 있던 볼펜을 y자루라 하자. 민준이와 은주가 가지고 있는 볼펜은 모두 36자루였으므로 x+y=36 yy ㉠ 민준이가 은주에게 볼펜 8자루를 주면, 민준이는 (x-8)자루를 갖게 되고, 은주는 (y+8)자루를 갖게 된다. 이때 은주의 볼펜 수가 민준이의 볼펜 수의 3배이므로 3(x-8)=y+8, 3x-24=y+8 3x-y=32 yy ㉡ ㉡을 하면 ㉠ + x+y=36 3x-y=32 4x =68 +>³ ∴ x=17 x=17을 ㉠에 대입하면 ∴ y=19 17+y=36 따라서 처음에 민준이가 가지고 있던 볼펜은 17자루이다. 답 17자루 유제 06 성인 1명의 버스 요금을 x원, 청소년 1명의 버스 요금을 y원이라 하자. 버스 요금은 (성인 수)_(성인 1명의 버스 요금)+ (청소년 수)_(청소년 1명의 버스 요금)이므로 따라서 성인 1명의 버스 요금은 1200원이다. 답 1200원 유제 07 이 반의 남학생 수가 a명, 여학생 수가 b명이므로 ㉠ 3x+5y=8100 yy ㉠ [ x+2y=3000 yy ㉡ ㉡을 하면 -3_ 3x+5y=8100 3x+6y=9000 ->³ -y=-900 ∴ y=900 y=900을 ㉡에 대입하면 x+1800=3000 ∴ x=1200 b=20 a+b=40 [ a+;4!; ;3@; a+b=40 yy ㉠ [ 8a+3b=240 yy ㉡ 즉, ㉠ _3- ㉡을 하면 ∴ a=24 (3a+3b)-(8a+3b)=120-240 -5a=-120 a=24를 ㉠에 대입하면 24+b=40 ∴ b=16 ∴ a-b=24-16=8 x+y=500 30 25 [ x+ 100 100 y= 28 100 _500 즉, x+y=500 yy ㉠ [ 5x+6y=2800 yy ㉡ 유제 08 이 중학교의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면 답 8 Ⅳ. 방정식 08. 연립일차방정식의 활용 37 Ⅳ - 0 8 . 연 립 일 차 방 정 식 의 활 용 x=6을 ㉠에 대입하면 6+y=10 따라서 유진이가 진 횟수는 4이다. ∴ y=4 본문 172쪽 답 4 유제 13 작년의 이 학교의 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면 작년의 학생 수가 600명이었으므로 x+y=600 yy ㉠ 올해에는 남학생 수가 6% 늘고, 여학생 수가 12% 줄어서 전체적 으로 같은 학생 수를 유지하였으므로 y=0, 6x-12y=0, 6x=12y ;10^0; x-;1Á0ª0; ∴ x=2y yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 2y+y=600, 3y=600 y=200을 ㉠에 대입하면 x+200=600, x=400 따라서 이 학교의 작년의 남학생 수가 400명이었고, 올해에는 6% ∴ y=200 늘었으므로 이 학교의 올해의 남학생 수는 400+;10^0;_400=400+24=424(명) 답 424명 유제 14 지난달 A 과자의 판매량을 x개, B 과자의 판매량을 y개라 하면 지난달 두 과자의 총 판매량이 450개였으므로 x+y=450 yy ㉠ 이번 달에는 A 과자의 판매량이 25% 증가, B 과자의 판매량이 30% 증가하여 총 판매량이 지난달보다 125개 증가하였으므로 ㉠ x+ y=125, 25x+30y=12500 25 30 100 100 5x+6y=2500 yy ㉡ ㉡을 하면 6_ 6(x+y)-(5x+6y)=6_450-2500 6x+6y-5x-6y=2700-2500 따라서 지난달 A 과자의 판매량이 200개이고, 이번 달에는 25% ∴ x=200 - 증가하였으므로 이번 달 A 과자의 판매량은 200+200_ 25 100 =200+50=250(개) 답 ⑤ 유제 15 준비한 A 메뉴가 x인분, B 메뉴가 y인분이라 하면 A 메뉴 x인분, B 메뉴 y인분을 팔았을 때의 이익은 각각 답 ③ { 6000_ 20 100 } 25 100 } 즉, 1200x+1000y=224000, 6x+5y=1120 x=1200x(원), { 4000_ y=1000y(원)이다. ㉠ _5- ㉡을 하면 5(x+y)-(5x+6y)=2500-2800 -y=-300 y=300을 ㉠에 대입하면 x+300=500 ∴ x=200 ∴ y=300 따라서 이 중학교의 여학생 수가 300명이므로 선발된 여학생 수는 30 100 _300=90(명)이다. 답 90명 유제 09 처음 직사각형의 가로의 길이를 x cm, 세로의 길이를 y cm라 하 면 직사각형의 둘레의 길이가 28 cm이므로 2(x+y)=28, x+y=14 yy ㉠ 가로의 길이를 2 cm 늘이고, 세로의 길이를 2배로 늘였더니 둘레 의 길이가 44 cm가 되었으므로 2{(x+2)+2y}=44, x+2+2y=22 x+2y=20 yy ㉡ ㉠을 하면 ㉡ - (x+2y)-(x+y)=20-14, x+2y-x-y=y=6 y=6을 ㉠에 대입하면 x+6=14, x=8 따라서 처음 직사각형의 가로의 길이가 8 cm, 세로의 길이가 6 cm 이므로 처음 직사각형의 넓이는 8_6=48(cm2)이다. 답 ④ 유제 10 주어진 직사각형에서 늘인 가로의 길이를 x cm, 늘인 세로의 길이 를 y cm라 하면 세로로 늘인 길이는 가로로 늘인 길이의 3배이므 로 y=3x yy ㉠ 새로 만든 직사각형의 둘레의 길이는 원래 직사각형의 둘레의 길 이보다 8 cm 길다. 따라서 2{(6+x)+(5+y)}=2(5+6)+8=30 2(11+x+y)=30, 11+x+y=15 x+y=4 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 x+3x=4 x=1을 ㉠에 대입하면 y=3 따라서 세로로 늘인 길이는 3 cm이다. ∴ x=1 유제 11 창석이가 이긴 횟수를 x, 진 횟수를 y라 하면 해준이가 이긴 횟수는 y, 진 횟수는 x이다. yy ㉠ 창석이가 처음보다 10계단을 올라가 있었으므로 3x-y=10 해준이가 처음보다 2계단을 올라가 있었으므로 3y-x=2 ㉠ +3_ 8y=16 y=2를 ㉡에 대입하면 3_2-x=2 따라서 창석이가 이긴 횟수는 4이다. ㉡을 하면 (3x-y)+3_(3y-x)=10+3_2 ∴ y=2 ∴ x=4 yy ㉡ 혜인이가 이긴 횟수는 y, 진 횟수는 x이다. yy ㉠ 가위바위보를 10회 하였으므로 x+y=10 유진이가 혜인이보다 8계단 올라가 있었으므로 (3x-y)-(3y-x)=8, 4x-4y=8 ∴ x-y=2 ㉠ yy ㉡ ㉡을 하면 2x=12 ∴ x=6 + 38 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 연립일차방정식 ㉠ _5- ㉡을 하면 x+y=200 yy ㉠ [ 6x+5y=1120 yy ㉡ ∴ x=120 5(x+y)-(6x+5y)=1000-1120 -x=-120 x=120을 ㉠에 대입하면 120+y=200 따라서 준비한 B 메뉴는 80인분이다. ∴ y=80 1+ 15 100 }_x=;1!0!0%; 더 싼 화장품의 정가는 { x(원) { 1+ y(원)이고 15 100 }_y=;1!0!0%; (두 화장품의 정가의 합) 31050(원) (두 화장품의 원가의 차)=3000(원) [ = 이므로 유제 12 유진이가 이긴 횟수를 x, 진 횟수를 y라 하면 유제 16 두 화장품의 원가를 각각 x원, y원(단, x>y)이라 하면 두 화장품 중 더 비싼 화장품의 정가는 답 4 답 ③ ∴ x=15000 민재가 할머니 댁에 도착하는 데 2시간이 걸렸으므로 y=31050 x+;1!0!0%; ;1!0!0%; [ x-y=3000 즉, ㉠ x+y=27000 yy ㉠ [ x-y=3000 yy ㉡ ㉡을 하면 2x=30000 x=15000을 ㉠에 대입하면 15000+y=27000 + ∴ y=12000 따라서 두 화장품 중 더 싼 화장품의 원가가 12000(원)이므로 정 가는 { 1+ 15 100 }_12000=13800(원)이다. 답 13800원 유제 17 전체 타이핑 작업의 양을 1이라 하고, 세준이와 예지가 하루에 할 수 있는 타이핑 작업의 양을 각각 x, y라 하자. 세준이와 예지가 함께 타이핑 작업을 하면 10일 만에 끝낼 수 있으 므로 10x+10y=1 세준이가 8일 동안 작업한 후 남은 타이핑 작업을 예지가 15일 동 안 작업하여 끝냈으므로 8x+15y=1 연립일차방정식 10x+10y=1 yy ㉠ [ 8x+15y=1 yy ㉡ 에서 ㉠의 양변에 3을 곱하면 30x+30y=3 yy ㉢ ㉡의 양변에 2를 곱하면 16x+30y=2 yy ㉣ ㉢ ->³ ㉣을 하면 - 30x+30y=3 16x+30y=2 =1 14x 을 ㉠에 대입하면 x= 1 14 ∴ x= 1 14 10_ 1 14 +10y=1, 10y=;7@; 따라서 세준이는 하루에 1 14 ∴ y= 1 35 의 타이핑 작업을 하므로 세준이 혼 자서 타이핑 작업을 하면 끝내는 데 14일이 걸린다. 답 14일 유제 18 로봇 조립 전체 일의 양을 1이라 하고, 주영이와 동준이가 1분에 할 수 있는 로봇 조립의 양을 각각 x, y라 하자. 주영이가 60분 동안 조립한 후 남은 부분을 동준이가 15분 동안 조립하면 로봇이 완성되므로 60x+15y=1 주영이가 20분 동안 조립한 후 남은 부분을 동준이가 65분 동안 조립하면 로봇이 완성되므로 20x+65y=1 연립일차방정식 60x+15y=1 yy ㉠ [ 20x+65y=1 yy ㉡ 에서 ㉡의 양변에 3을 곱하면 60x+195y=3 yy ㉢ ㉢ ㉠을 하면 - 60x+195y=3 60x+ 15y=1 60x+180y=2 ->³ y= 1 90 을 ㉠에 대입하면 ∴ y= 1 90 60x+15_ 1 90 =1, 60x=;6%; ∴ x=;36%0;= 1 72 따라서 주영이는 1분에 1 72 의 로봇 조립을 하므로 주영이 혼자 로봇 조립을 하면 로봇이 완성되는 데 72분이 걸린다. 답 ③ 본문 176쪽 유제 19 민재가 시속 12 km로 달린 거리와 시속 9 km로 달린 거리를 각각 x km, y km라 하자. 민재는 총 20 km를 움직였으므로 x+y=20 x 12 +;9};=2 연립일차방정식 x+y=20 yy ㉠ x [ 12 +;9};=2 yy ㉡ 에서 ㉠의 양변에 3을 곱하면 3x+3y=60 yy ㉢ ㉡의 양변에 36을 곱하면 3x+4y=72 yy ㉣ ㉢을 하면 ㉣ ->³ - 3x+4y=72 3x+3y=60 y=12 y=12를 ㉠에 대입하면 x+12=20 ∴ x=8 따라서 민재가 시속 12 km로 달린 거리는 8 km이다. 답 8 km 유제 20 산에 올라간 거리를 x km, 내려온 거리를 y km라 하면 내려오는 길보다 올라가는 길이 500 m, 즉 0.5 km만큼 멀다고 했으므로 x=y+0.5 yy ㉠ 올라갔다가 내려오는 시간이 총 1시간 30분이 걸렸고 정상에서 10분간 휴식하였으므로 ;3{;+;6!0);+;4};=1+;6#0); 4x+3y=16 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 , 20x+10+15y=60+30, 20x+15y=80 ∴ y=2 4(y+0.5)+3y=16, 4y+2+3y=16 7y=14 y=2를 ㉠에 대입하면 x=2+0.5=2.5 따라서 수영이가 걸은 거리는 2.5+2=4.5(km)이다. 답 ③ 유제 21 정수가 출발한 지 x분, 해리가 출발한 지 y분 후에 두 사람이 만난 다고 하자. 정수는 해리보다 7분 먼저 출발하였으므로 x=y+7 정수와 해리가 만나려면 정수가 자전거를 탄 거리와 해리가 자전 거를 탄 거리가 같아야 하므로 180x=240y 연립일차방정식 x=y+7 yy ㉠ [ 180x=240y yy ㉡ 에서 ㉠을 ㉡에 대입하면 180(y+7)=240y, 180y+1260=240y 60y=1260 ∴ y=21 y=21을 ㉠에 대입하면 x=21+7=28 따라서 정수가 출발하고 나서 해리와 만날 때까지 28분이 걸린다. 답 28분 유제 22 형과 동생이 만날 때까지 형이 걸어간 시간을 x분, 동생이 걸어간 시간을 y분이라 하면 동생이 출발한 후 15분 뒤 형이 출발하였으므로 y=x+15 yy ㉠ Ⅳ. 방정식 08. 연립일차방정식의 활용 39 Ⅳ - 0 8 . 연 립 일 차 방 정 식 의 활 용 두 사람이 만나려면 형이 걸어간 거리와 동생이 걸어간 거리가 같 (갑이 30분 동안 이동한 거리) 답 2 km ㉡을 하면 2x=90 아야 하므로 80_x=50_y, 8x=5y, 8x-5y=0 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 8x-5(x+15)=0, 3x-75=0, 3x=75 따라서 두 사람이 만나는 곳은 집에서 80_25=2000(m) 즉 2 km 떨어진 지점이다. ∴ x=25 유제 23 민우가 걸은 거리를 x km, 영하가 걸은 거리를 y km라 하면 두 사람이 걸은 거리의 합이 12 km이므로 x+y=12 yy ㉠ 두 사람이 걸은 시간이 서로 같으므로 ;3{;=;6}; y=2x yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 x+2x=12, 3x=12 ∴ y=8 x=4를 ㉡에 대입하면 따라서 민우가 시속 3 km의 속력으로 4 km를 걸었으므로 ∴ x=4 두 사람이 만날 때까지 (시간), 즉 1시간 20분이 걸렸다. 답 ② ;3$; 유제 24 두 사람이 만날 때까지 석진이가 자전거를 타고 이동한 거리를 x km, 도영이가 걸어서 이동한 거리를 y km라 하자. 두 사람이 만날 때까지 두 사람이 이동한 거리의 합이 50 km이므 로 x+y=50 두 사람이 이동한 시간은 같으므로 ;1Ó4;=;6}; 연립일차방정식 x+y=50 yy ㉠ [ yy ㉡ ;1Ó4;=;6}; 에서 ㉠의 양변에 3을 곱하면 3x+3y=150 yy ㉢ ㉡의 양변에 42를 곱하면 3x=7y yy ㉣ ㉣을 ㉢에 대입하면 ∴ y=15 7y+3y=150, 10y=150 y=15를 ㉠에 대입하면 x+15=50 따라서 두 사람이 만날 때까지 석진이가 자전거를 타고 이동한 거 ∴ x=35 리는 35 km이다. 답 35 km 유제 25 나영이의 속력을 초속 x m, 현경이의 속력을 초속 y m라 하면 (나영이의 속력) : (현경이의 속력) 30 : 20 = [ (나영이가 50초 동안 뛴 거리) + (현경이가 50초 동안 뛴 거리) =500(m) 이므로 x : y=30 : 20 [ 50x+50y=500, `즉 2x=3y yy ㉠ [ x+y=10 yy ㉡ ㉠에서 x=;2#; y를 ㉡에 대입하면 ;2%; y=10 y+y=10, ∴ y=4 ;2#; y=4를 ㉠에 대입하면 2x=3_4 따라서 나영이와 현경이의 속력은 각각 초속 6 m, 초속 4 m이므 ∴ x=6 로 나영이는 1초에 6 m, 현경이는 1초에 4 m를 뛰었다. 답 나영 : 6 m, 현경 : 4 m 유제 26 갑의 속력을 분속 x m, 을의 속력을 분속 y m(단, x>y)라 하면 40 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 본문 179쪽 = = 1800(m) (을이 30분 동안 이동한 거리) 1800(m) + - (갑이 60분 동안 이동한 거리) 30x+30y=1800 [ 60x-60y=1800, (을이 60분 동안 이동한 거리) x+y=60 yy ㉠ [ x-y=30 yy ㉡ `즉 [ 이므로 ㉠ + ∴ x=45 x=45를 ㉠에 대입하면 ∴ y=15 45+y=60 따라서 갑, 을의 속력은 각각 분속 45 m, 분속 15 m이므로 갑은 1분에 45 m, 을은 1분에 15 m를 간다. 답 갑 : 45 m, 을 : 15 m 유제 27 정지한 물에서의 배의 속력을 시속 x km, 강물의 속력을 시속 y km라 하자. 배가 강을 거슬러 올라갈 때의 속력은 시속 (x-y) km이고, 강을 거슬러 올라가는 데 4시간이 걸렸으므로 4(x-y)=24 ∴ x-y=6 배가 강을 내려올 때의 속력은 시속 (x+y) km이고, 강을 내려오는 데 1시간 30분이 걸렸으므로 (x+y)=24 ;2#; 연립일차방정식 ∴ x+y=16 x-y=6 yy ㉠ [ x+y=16 yy ㉡ 에서 ㉠ ㉡을 하면 + x-y=6 x+y=16 2x =22 +>³ ∴ x=11 x=11을 ㉠에 대입하면 11-y=6 ∴ y=5 따라서 정지한 물에서의 배의 속력은 시속 11 km, 강물의 속력은 시속 5 km이다. 답 정지한 물에서의 배의 속력 : 시속 11 km, 강물의 속력 : 시속 5 km 유제 28 정지한 물에서의 모터보트의 속력을 시속 x km, 강물의 속력을 시속 y km라 하자. 모터보트가 강을 거슬러 올라갈 때의 속력은 시속 (x-y)km이 고, 강을 거슬러 올라가는 데 1시간 40분이 걸렸으므로 ;3%; (x-y)=40 ∴ x-y=24 모터보트가 강을 내려올 때의 속력은 시속 (x+y)km이고, 강을 내려오는 데 1시간 20분이 걸렸으므로 (x+y)=40 ;3$ 연립일차방정식 ∴ x+y=30 x-y=24 yy ㉠ [ x+y=30 yy ㉡ 에서 ㉠ ㉡을 하면 + x-y=24 x+y=30 2x =54 +>³ ∴ x=27 따라서 정지한 물에서의 모터보트의 속력은 시속 27 km이다. 답 ③ 유제 29 기차의 길이를 x m, 기차의 속력을 초속 y m라 하자. 기차의 앞부분이 터널에 들어가는 순간부터 완전히 모습을 감추 yy ㉠ 는 데까지 4초가 걸리므로 x=4y 기차가 터널을 완전히 지나는 데 20초가 걸리므로 800+x=20y ㉠을 ㉡에 대입하면 800+4y=20y ∴ y=50 16y=800 y=50을 ㉠에 대입하면 x=4_50=200 따라서 기차의 길이는 200 m이다. yy ㉡ 유제 30 기차의 길이를 x m, 기차의 속력을 초속 y m라 하자. 기차가 길이가 500 m인 터널을 완전히 통과하는 데 10초가 걸리므로 500+x=10y 기차가 길이가 2.1 km인 다리를 완전히 건너는 데 yy ㉠ yy ㉡ 30초가 걸리므로 2100+x=30y ㉡ y=80을 ㉠에 대입하면 500+x=10_80 따라서 기차가 길이가 1.7 km인 다리를 완전히 건너는 데 걸리는 ㉠을 하면 1600=20y ∴ x=300 ∴ y=80 - 시간은 1700+x y = 1700+300 80 = 2000 80 =25(초) 답 25초 유제 31 10%의 소금물을 x g, 22%의 소금물을 y g 섞었다고 하자. 두 소금물을 섞어 만든 13%의 소금물의 양이 500 g이므로 x+y=500 10%의 소금물 x g에 들어 있는 소금의 양은 { 22%의 소금물 y g에 들어 있는 소금의 양은 { g이다. } 이때 13%의 소금물 500 g에 들어 있는 소금의 양은 g, } 10 100 _x 22 100 _y 소금의 전체 양은 변하지 않으므로 13 100 _500=65(g) 10 100 x+ 22 100 y=65 연립일차방정식 x+y=500 22 10 [ 100 100 x+ yy ㉠ y=65 yy ㉡ 에서 ㉠의 양변에 10을 곱하면 10x+10y=5000 yy ㉢ ㉡의 양변에 100을 곱하면 10x+22y=6500 yy ㉣ ㉣ ㉢을 하면 - 10x+22y=6500 10x+10y=5000 12y=1500 ->³ ∴ y=125 y=125를 ㉠에 대입하면 x+125=500 따라서 10%의 소금물을 375 g, 22%의 소금물을 125 g 섞어야 한다. ∴ x=375 답 10% 소금물 : 375 g, 22% 소금물 : 125 g 유제 32 더 넣은 소금의 양을 x g, 20%의 소금물의 양을 y g이라 하면 200+x=y yy ㉠ 20 12 100 _200+x= 100 _y 2400+100x=20y, 120+5x=y yy ㉡ ㉡ ㉠을 하면 - 120+5x-(200+x)=y-y 120+5x-200-x=-80+4x=0 ∴ x=20 4x=80 따라서 더 넣은 소금의 양은 20 g이다. 본문 182쪽 답 ② 유제 33 소금물 X의 농도를 x%, 소금물 Y의 농도를 y%라 하자. 소금물 X를 200 g, 소금물 Y를 300 g 섞으면 13%의 소금물 답 200 m 500 g이 되므로 ;10{0;_200+;10}0;_300= 13 100 _500 소금물 X를 400 g, 소금물 Y를 100 g 섞으면 9%의 소금물 500 g ∴ 2x+3y=65 이 되므로 ∴ 4x+y=45 연립일차방정식 ;10{0;_400+;10}0;_100=;10(0;_500 2x+3y=65 yy ㉠ [ 4x+y=45 yy ㉡ 에서 ㉠의 양변에 2를 곱하면 4x+6y=130 yy ㉢ ㉢ ㉡을 하면 - 4x+6y=130 4x+ y= 45 5y= 85 ->³ ∴ y=17 Ⅳ - 0 8 . 연 립 일 차 방 정 식 의 활 용 y=17을 ㉡에 대입하면 4x+17=45, 4x=28 ∴ x=7 따라서 소금물 X의 농도는 7%, 소금물 Y의 농도는 17%이다. 답 소금물 X`: 7%, 소금물 Y`: 17% 유제 34 소금물 X의 농도를 x%, 소금물 Y의 농도를 y%라 하자. 소금물 X를 600 g, 소금물 Y를 200 g 섞으면 17%의 소금물 소금물 X를 300 g, 소금물 Y를 500 g 섞은 후 물 80 g을 더 넣으면 800 g이 되므로 ;10{0;_600+;10}0;_200= 6x+2y=136 ∴ 3x+y=68 17 100 _800 10%의 소금물 (800+80) g이 되므로 ;10{0;_300+;10}0;_500= 10 100 _(800+80) ∴ 3x+5y=88 연립일차방정식 3x+y=68 yy ㉠ [ 3x+5y=88 yy ㉡ 에서 ㉡ ㉠을 하면 - 3x+5y=88 3x+ y=68 4y=20 ->³ y=5를 ㉠에 대입하면 3x+5=68, 3x=63 ∴ y=5 ∴ x=21 따라서 소금물 X의 농도는 21%, 소금물 Y의 농도는 5%이다. 답 소금물 X : 21 %, 소금물 Y : 5 % 유제 35 합금 X를 x g, 합금 Y를 y g 사용한다고 하자. 합금 X에는 구리가 20%, 아연이 40% 포함되어 있으므로 x g의 합금 X에 포함된 구리의 양은 20 x g, 아연의 양은 40 100 또한 합금 Y에는 구리가 30%, 아연이 20% 포함되어 있으므로 x g이다. 100 y g의 합금 Y에 포함된 구리의 양은 y g, 아연의 양은 20 30 100 이때 두 합금 X, Y를 녹여 만든 합금에 포함된 구리와 아연의 양 y g이다. 100 Ⅳ. 방정식 08. 연립일차방정식의 활용 41 이 각각 270 g, 300 g이므로 y=270, 40 100 20 100 30 100 x+ x+ 20 100 y=300 ∴ 2x+3y=2700, 4x+2y=3000 연립일차방정식 2x+3y=2700 yy ㉠ [ 4x+2y=3000 yy ㉡ 에서 ㉠의 양변에 2를 곱하면 4x+6y=5400 yy ㉢ ㉢ ㉡을 하면 - 4x+6y=5400 4x+2y=3000 4y=2400 ->³ ∴ y=600 y=600을 ㉠에 대입하면 2x+3_600=2700, 2x=900 따라서 주어진 합금을 만들 때, 합금 X는 450 g, 합금 Y는 600 g ∴ x=450 이 필요하다. 답 합금 X : 450 g, 합금 Y : 600 g 유제 36 식품 A를 x g, 식품 B를 y g 섭취한다고 하자. 식품 A에는 단백질이 30%, 지방이 40% 함유되어 있으므로 식품 A x g에 포함된 단백질의 양은 30 지방의 양은 40 100 식품 B y g에 포함된 단백질의 양은 40 또한 식품 B에는 단백질이 40%, 지방이 20% 함유되어 있으므로 x g이다. 100 y g, x g, 100 지방의 양은 20 y g이다. 100 이때 두 식품 A, B로 섭취하려고 하는 단백질과 지방의 양이 각각 26 g, 23 g이므로 y=26, 40 100 40 x+ 100 ∴ 3x+4y=260, 4x+2y=230 20 100 30 100 y=23 x+ 연립일차방정식 3x+4y=260 yy ㉠ [ 4x+2y=230 yy ㉡ 에서 ㉡의 양변에 2를 곱하면 8x+4y=460 yy ㉢ ㉢ ㉠을 하면 - 8x+4y=460 3x+4y=260 =200 5x ->³ ∴ x=40 x=40을 ㉠에 대입하면 3_40+4y=260, 4y=140 ∴ y=35 유제 37 필요한 두 합금 A, B의 양을 각각 x g, y g이라고 하면 2 2+5 5 2+5 x+ x+ 4 4+1 1 4+1 y= y= 13 13+10 10 13+10 [ _460 _460 x+;5$; y=260 yy ㉠ y=200 yy ㉡ 즉, x+;5!; ;7@; [ ;7%; ㉠의 양변에 35 2 5x+14y=4550 yy ㉢ [ 25x+7y=7000 yy ㉣ y를 소거하기 위하여 ㉣ _2- ㉢을 하면 를 곱하고, ㉡의 양변에 35를 곱하면 42 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 본문 185쪽 50x+14y=14000 5x+14y=4550 =9450 ->³ 45x ∴ x=210 ㉣에 x=210을 대입하면 ∴ x=210, y=250 따라서 합금 A는 210 g, 합금 B는 250 g이 필요하다. 25_210+7y=7000, 7y=1750 ∴ y=250 답 합금 A : 210 g, 합금 B : 250 g 유제 38 할인하기 전 가방의 판매 가격을 x원, 모자의 판매 가격을 y원 이라 하면 할인하기 전 두 제품의 판매 가격의 합이 66000원이므로 x+y=66000 yy ㉠ 가방은 10%, 모자는 20% 할인하여 할인하기 전 두 제품의 판매 가격보다 9000원이 할인되었으므로 10 100 x+ 20 100 y=9000 x+2y=90000 yy ㉡ ㉠을 하면 ㉡ -2_ x+2y-2(x+y)=90000-2_66000 -x=-42000 ∴ x=42000 ㉠에 x=42000을 대입하면 42000+y=66000 따라서 할인하기 전 가방의 판매 가격은 42000원이고, ∴ y=24000 10% 할인하였으므로 할인한 후 가방의 판매 가격은 10 100 =42000-4200=37800(원) 42000-42000_ 답 ③ Step 3. 단원 마무리하기 01 06 13 18 ④ 112 ④ 20 02 07 14 19 ⑤ ② 03 08 ③ 04 12명 09 ② ③ ④ ④ 05 ⑤ 12 17 ① ③ 11 16 ③ 15 ③ 341 20 합금 A : 300 g, 합금 B : 450 g 10 어른 : 36명, 어린이 : 54명 01 현우와 현우의 동생의 나이를 각각 x살, y살이라 하면 현우의 동생은 현우보다 3살 어리므로 y=x-3 또한 현우와 현우의 동생의 나이의 합이 27살이므로 ㉠을 ㉡에 대입하면 x+(x-3)=27, 2x-3=27 2x=30 ∴ x=15 x=15를 ㉠에 대입하면 y=15-3=12 따라서 현우의 현재 나이는 15살이다. 답 ④ 02 소연이의 국어 점수를 x점, 과학 점수를 y점이라 하자. 이때, 평균이 76점이므로 x+y 2 =76, 즉 x+y=152이다. 또한, 국어 점수가 과학 점수보다 8점이 더 높으므로 x=y+8이다. x, y에 대한 두 식으로 연립일차방정식을 세우면 x+y=152 yy ㉠ [ x=y+8 yy ㉡ 따라서 식품 A는 40 g, 식품 B는 35 g을 섭취해야 한다. x+y=27 답 식품 A : 40 g, 식품 B : 35 g 따라서 연립일차방정식을 세우면 y=x-3 yy ㉠ [ x+y=27 yy ㉡ 답 ⑤ 답 ③ ㉡을 ㉠에 대입하면 ∴ y=72 (y+8)+y=152, 2y=144 그러므로 소연이의 과학 점수는 72점이다. 03 ∠ A의 크기를 xù, ∠B의 크기를 yù라 하면 삼각형의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로 x+y+70=180, x+y=110 yy ㉠ ∠ B의 크기는 ∠A의 크기의 2배보다 20ù만큼 크므로 yy ㉡ y=2x+20 ㉡을 ㉠에 대입하면 x+2x+20=110, 3x=90 x=30을 ㉠에 대입하면 30+y=110 따라서 ∠B의 크기는 80ù이다. ∴ x=30 ∴ y=80 04 미나가 이긴 횟수를 x회, 진 횟수를 y회라 하면, 지효가 이긴 횟수는 y회, 진 횟수는 x회이다. 가위바위보를 총 20회 하였고, 비기는 경우는 없었으므로 x+y=20 yy ㉠ 지효가 처음 위치보다 28계단을 올라가 있었으므로 3y-x=28 yy ㉡ ㉡을 하면 ㉠ + (x+y)+(3y-x)=20+28, 4y=48 이를 ㉠에 대입하면 x+12=20 ∴ x=8 따라서 미나가 이긴 횟수는 8회이다. ∴ y=12 ㉠ ㉡을 하면 + (x-y)+(x+y)=200+400 2x=600 x=300을 ㉠에 대입하면 300-y=200 따라서 물의 속력은 분속 100 m이다. ∴ x=300 06 x+y=128 yy ㉠ 10 100 _128 ;10$0;_x+y= 4x+100y=1280, x+25y=320 yy ㉡ ㉡ ㉠을 하면 - x+25y-(x+y)=320-128 24y=192 ∴ y=8 y=8을 ㉠에 대입하면 x+8=128 ∴ x-y=120-8=112 ∴ x=120 답 112 07 각 자리의 숫자의 합을 구하기 위하여 처음 수의 십의 자리의 숫자를 x, 일의 자리의 숫자를 y라 하자. 각 자리의 숫자의 합의 8배가 처음 수이므로 10x+y=8(x+y), 10x+y=8x+8y ∴ 2x-7y=0 또한 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수는 처음 수보다 45 가 작으므로 10y+x=(10x+y)-45, (10x+y)-(10y+x)=45 10x+y-10y-x=45, 9x-9y=45, x-y=5 x, y에 대한 두 식으로 연립일차방정식을 세우면 2x-7y=0 yy ㉠ [ x-y=5 yy ㉡ ㉠을 하면 이때 ㉡ _2- -2y+7y=10, 5y=10 y=2를 ㉠에 대입하면 2x-7_2=0, 2x-14=0 2x=14 따라서 처음 수의 각 자리의 숫자의 합은 7+2=9이다. ∴ x=7 ∴ y=2 08 남학생 수를 x명, 여학생 수를 y명이라 하면 학생 수가 30명이므로 x+y=30 yy ㉠ 남학생의 와 여학생의 ;6%; ;2!; 이 전체 학생의 70%이므로 70 100 _30=21, 6 x+;2!; y }=6_21 {;6%; x+;2!; y= ;6%; 5x+3y=126 yy ㉡ ㉠을 하면 -3_ ㉡ 5x+3y-3(x+y)=126-3_30 5x+3y-3x-3y=2x=36 ∴ x=18 x=18을 ㉠에 대입하면 18+y=30 따라서 이 학급의 여학생 수는 12명이다. ∴ y=12 본문 187쪽 답 ② 답 12명 이 게임을 좋아하고, 게임을 좋아하는 학생 어린이에게 나누어주는 티켓은 세 명당 1장이므로 총 장이다. ;3}; 이때 합하여 90장의 티켓을 나누어주었으므로 2x+;3};=90 구한 식을 이용하여 연립일차방정식을 세우면 x+y=90 yy ㉠ [ 2x+;3};=90 yy ㉡ ㉡을 하면 2_ - ㉠ 2x+2y=180 2x+;3};=90 -} ;3%; ∴ y=54 y=90 y=54를 ㉠에 대입하면 x+54=90 따라서 어른의 수는 36명이고 어린이의 수는 54명이다. ∴ x=36 답 어른 : 36명, 어린이 : 54명 11 정수가 달린 시간을 x초, 희정이가 달린 시간을 y초라 하면 두 사람이 달린 거리가 같으므로 8x=5y yy ㉠ Ⅳ. 방정식 08. 연립일차방정식의 활용 43 답 ② 09 이 팀이 승리한 경기 수를 x, 무승부인 경기 수를 y라 하자. 25회의 경기 중 5회 패배하였으므로 20회의 경기에서 승리하거나 무승 05 해철이가 튜브를 타고 정지한 물에서 이동하는 속력을 분속 x m, 물이 흐르는 속력을 분속 y m라 하면, 물을 거슬러 올라갈 때의 속력은 분속 (x-y)m, 물을 따라 내려갈 때의 속력은 분속 (x+y)m이므로 2(x-y)=400, x-y=200 yy ㉠ yy ㉡ x+y=400 부였다. 따라서 x+y=20 yy ㉠ 이 팀의 승점이 44점이므로 3x+y=44 yy ㉡ ㉡ ㉠을 하면 - 3x+y-(x+y)=44-20, 2x=24 따라서 이 팀이 승리한 경기 수는 12이다. ∴ x=12 답 ③ Ⅳ - 0 8 . 연 립 일 차 방 정 식 의 활 용 ∴ y=100 답 ⑤ 10 공원에 있는 어른의 수를 x명, 어린이의 수를 y명이라 하자. 공원에 어른과 어린이를 합하여 90명이 있으므로 x+y=90 어른에게 나누어주는 티켓은 한 명당 2장이므로 총 2x장이고 정수는 희정이보다 30초 늦게 출발하였으므로 x=y-30 yy ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 8(y-30)=5y, 8y-240=5y, 3y=240 따라서 희정이가 출발한 지 80초 뒤에 정수가 희정이를 따라잡는다. ∴ y=80 85x+85y=2380000, x+y=28000 yy ㉡ ㉠ ㉡을 하면 + (x-y)+(x+y)=4000+28000 2x=32000 따라서 두 종류의 책 중 더 비싼 책의 정가가 16000원이고, 판매가는 정 ∴ x=16000 답 ④ 가에서 15% 할인한 가격이므로 본문 189쪽 12 물탱크의 전체 물의 양을 1이라 하고, 두 호스 A, B를 사용하여 1시간 동안 채울 수 있는 물의 양을 각각 x, y라 하자. A, B 호스를 동시에 2시간 40분 동안 사용하여 물탱크를 가득 채울 수 있으므로 2+;3@;} (x+y)=1, { 2+;6$0);} { 8x+8y=3 A 호스만 2시간 동안 사용한 뒤 B 호스만 사용하여 물탱크를 가득 채우 (x+y)=;3*; (x+y)=1 yy ㉠ 는 데 걸린 시간이 6시간이므로 B 호스만 사용한 시간은 4시간이다. 따라서 2x+4y=1 ㉡을 하면 yy ㉡ ㉠ -2_ 8x+8y-2(2x+4y)=3-2_1 ∴ x=;4!; 8x+8y-4x-8y=4x=1 따라서 A 호스만 사용하여 물탱크를 가득 채우는 데는 4시간이 걸린다. 답 ① 13 학급 회의에 참석한 학생 중 안건에 찬성한 학생이 x명, 반대한 학생이 y명이라 할 때, 찬성한 학생이 반대한 학생보다 12명 많으므로 x=y+12 yy ㉠ 참석한 학생의 60%가 찬성하였으므로 60 100 _(x+y)=x, (x+y)=x, 3(x+y)=5x, 3x+3y=5x ;5#; 2x-3y=0 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 2(y+12)-3y=2y+24-3y=24-y=0 ∴ y=24 y=24를 ㉠에 대입하면 x=24+12=36 따라서 참석한 학생의 수는 36+24=60(명) 답 ④ 14 지난달 지훈이의 휴대 전화 요금을 x원, 기형이의 휴대 전화 요금을 y 원이라 하면, 두 명의 휴대 전화 요금의 합이 100000원이므로 x+y=100000 yy ㉠ 이번 달 휴대 전화 요금이 지난달에 비하여 지훈이는 10% 증가하였고 기형이는 5 % 감소하여 전체적으로 4 %가 증가하였으므로 x-;10%0; 10 y=;10$0;_100000 100 10x-5y=400000, 2x-y=80000 yy ㉡ ㉠ ㉡을 하면 + (x+y)+(2x-y)=100000+80000 3x=180000 따라서 지훈이의 지난달 휴대 전화 요금이 60000원이고 이번 달에는 ∴ x=60000 10% 증가하여 60000+60000_ 126000원이다. 10 100 =66000원이므로 그 합은 답 ③ 15 두 책의 정가를 각각 x원, y원(x>y)이라 하면 두 책의 정가의 차이가 4000원이므로 x-y=4000 yy ㉠ 판매가의 합이 23800원이므로 15 x 100 }=23800 y- x- { 100x-15x+100y-15y=2380000 }+{ 15 y 100 44 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 16000- 15 100 _16000=16000-2400=13600(원) 답 ③ 16 집에서 홍대입구역까지의 거리를 a km, 홍대입구역에서 미술 학원까 지의 거리를 b km라 하면 총 거리가 6 km이므로 a+b=6 yy ㉠ 집에서 미술 학원까지 가는 데 총 50분이 걸렸으므로 a 12 +;4B;=;6%0); 5a+15b=50, a+3b=10 yy ㉡ ㉡ ㉠을 하면 - a+3b-(a+b)=10-6, 2b=4 b=2를 ㉠에 대입하면 a+2=6 따라서 집에서 홍대입구역까지의 거리는 4 km이다. ∴ b=2 `∴ a=4 답 ④ 17 큰 수와 작은 수를 각각 x, y로 놓으면 큰 수의 3배에서 7을 빼면 작은 수의 4배보다 6만큼 작으므로 3x-7=4y-6 또한 큰 수와 작은 수의 합의 2배는 큰 수의 4배보다 12만큼 작으므로 ∴ 3x-4y=1 -2x+2y=-12 2(x+y)=4x-12 2x+2y=4x-12, 구한 식을 이용하여 연립일차방정식을 세우면 3x-4y=1 yy ㉠ [ x-y=6 yy ㉡ y항을 소거하기 위하여 ㉠ ㉡을 하면 ∴ x-y=6 -4_ (3x-4y)-(4x-4y)=1-24 3x-4y-4x+4y=-23 ∴ x=23 -x=-23 x=23을 ㉠에 대입하면 3_23-4y=1, 69-4y=1, 68=4y 따라서 두 수 중 큰 수는 23, 작은 수는 17이므로 두 수의 합은 23+17=40이다. ∴ y=17 18 기차가 다리 또는 터널을 지나갈 때 이동하는 거리는 다리 또는 터널의 길이에 기차의 길이를 더한 만큼이므로 b+700=25a yy ㉠ b+400=15a yy ㉡ ㉠ ㉡을 하면 - b+700-(b+400)=25a-15a ∴ a=30 300=10a a=30을 ㉠에 대입하면 b+700=25_30=750 ∴ b-a=50-30=20 ∴ b=50 답 ③ 답 20 19 처음 수의 십의 자리 숫자는 4이고, 백의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫 자를 각각 x, y라 하자. 각 자리의 숫자의 합이 8이므로 x+4+y=8, x+y=4 또한 자리의 숫자를 바꾼 수는 처음 수보다 198만큼 크므로 (100x+40+y)+198=(100y+40+x) 100x+y+238=x+100y+40, 99x-99y=-198, x-y=-2 연립일차방정식 x+y=4 yy ㉠ [ x-y=-2 yy ㉡ + ∴ x=1 ㉡을 하면 2x=2 에서 ㉠ x=1을 ㉠에 대입하면 1+y=4 ∴ y=3 그러므로 처음 수는 143이고, 자리를 바꾼 수는 341이다. 20 두 합금 A, B의 양을 각각 x g, y g이라고 하면 10 100 50 100 x+ x+ 30 100 40 100 [ y=165 y=330 , 즉 x+3y=1650 yy ㉠ [ 5x+4y=3300 yy ㉡ ->³ ㉡을 하면 _5- 5x+15y=8250 5x+ 4y=3300 +11y=4950 ㉠에 y=450을 대입하면 x+3_450=1650 ∴ x=300 따라서 합금 A는 300 g, 합금 B는 450 g이 필요하다. ∴ y=450 ㉠ 연습 2 (1) f(2)=2_2+4=4+4=8 (2) f(-2)=2_(-2)+4=-4+4=0 (3) f(0)=2_0+4=4 (4) f(-4)=2_(-4)+4=-8+4=-4 답 341 답 (1) 8 (2) 0 (3) 4 (4) -4 본문 190쪽 Ⅴ - 0 9 . 일 차 함 수 와 그 그 래 프 ( 1 ) 09-3 일차함수 y=ax 의 그래프 (1) >0, (2) 4>0이므로 ;2!; 그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선이다. ➊ a 기본연습 3 연습 3 답 합금 A : 300 g, 합금 B : 450 g (3) 2y=-x, y=-;2!; 그래프가 오른쪽 아래로 향하는 직선이다. x에서 -;2!; <0, (4) y=-;5!; x에서 -;5!; <0이므로 답 (1) ↗ (2) ↗ (3) ↘ (4) ↘ 09 일차함수와 그 그래프 (1) Step 1. 개념 다지기 09-1 함수와 함숫값 ➊ y=f(x) 기본연습 1 (1) (2) x(개) y(원) x y 연습 1 x의 값에 따라 y의 값이 오직 하나씩 대응하므로 y는 x의 함수이다. 1200 1800 2400 1 600 1 2 2 3 3 4 4 1, -1 2, -2 3, -3 4, -4 y y y y x의 값에 따라 y의 값이 여러 개가 대응하므로 y는 x의 함수가 아니다. ➊ 평행이동 ➋ b 답 (1) 풀이 참조 (2) 풀이 참조 기본연습 4 y=9x에서 x=2일 때 y=9_2=18, x=4일 때 y=9_4=36, x=6일 때 y=9_6=54이므로 x의 값이 2, 4, 6일 때의 함숫값은 각각 18, 36, 54이다. 답 18, 36, 54 원점을 지나고, 제2사분면과 제4사분면을 지나는 직선은 a<0인 일차함수 y=ax의 그래프이다. ① y=x-;2!; ② y=-2x의 그래프는 -2<0이므로 원점을 지나고, 의 그래프는 원점을 지나지 않는다. 제2, 4사분면을 지나는 직선이다. 이므로 일차함수가 아니다. ③ xy=3에서 y=;[#; ④ x+y=-1에서 y=-x-1이므로 그래프는 원점을 지나지 않는다. ⑤ x=-;4!; y에서 y=-4x 따라서 y=-4x의 그래프는 제2, 4사분면을 지나는 직선이다. -4<0이므로 원점을 지나고, 답 ②, ⑤ 09-4 일차함수 y=ax+b의 그래프 (1) 2만큼 평행이동 (2) y-2x=1, y=2x+1이므로 1만큼 평행이동 (3) -4만큼 평행이동 만큼 평행이동 (4) ;4#; 답 (1) 2 (2) 1 (3) -4 (4) ;4#; 연습 4 답 (1) y=3x+2 (2) y=;4!; x+4 (3) y=-7x-14 (4) x2 ` x2 +y=x(x-1) +y=x2 답 (1) -x, y=-x _ 09-5 일차함수의 그래프의 x절편, y절편 (2) ○ (3) ○ (4) ○ ➊ x절편 ➋ y=0 ➌ y절편 ➍ x=0 ➎ x축 ➏ y축 ➐ 직선 Ⅴ. 일차함수 09. 일차함수와 그 그래프 (1) 45 09-2 일차함수의 뜻 ➊ 일차식 ➋ 일차함수 기본연습 2 (3) y+x=2y-x+3 y=2x-3 답 (1) x절편 : -5, y절편 : 3 (2) x절편 : 3, y절편 : 4 -2x=1, x=-;2!; x+2, -;3@; x=2, x=-3 01 ㄱ, ㄹ 02 -;2!; , y절편 : 1 (2) x절편 : -3, y절편 : 2 09-6 일차함수의 그래프의 기울기 ➊ 일정 ➋ x의 계수 a ➌ 기울기 ➍ a ➎ y절편 ➏ 기울기 기본연습 5 연습 5 (1) y=0을 대입하면 0=2x+1, x=0을 대입하면 y=1 따라서 x절편은 , y절편은 1 -;2!; (2) y=0을 대입하면 0=;3@; x=0을 대입하면 y=2 따라서 x절편은 -3, y절편은 2 답 (1) x절편 : 기본연습 6-1 (1) y=-4x+5 (2) y=;5#; x-5 (3) y=2x-3 (4) 2y=3x+2, y=;2#; 연습 6-1 x+1 본문 195쪽 (2) (BCê 의 기울기)= 8-2 0-3 = 6 -3 =-2 (3) (CAê 의 기울기)= -4-8 1-0 =-12 답 (1) 3 (2) -2 (3) -12 Step 2. 대표 문제로 접근하기 06 11 16 21 25 30 35 ⑤ ② ② ④ ④ ① 풀이 참조 3 ④ 10 ① ③ ⑤ 03 08 13 18 22 27 32 37 07 12 17 26 31 36 ⑤ 6 ③ ③ ④ ;2!; ② ③ 04 09 14 19 23 28 33 38 3 ⑤ ④ ① ③ ;4!; ③ ④ (1) (2) ;2#; -2 05 10 15 20 24 3개 ⑤ ③ ⑤ ③ 29 풀이 참조 34 6 유제 01 ㄱ. y=2x이므로 x의 값에 따라 y의 값이 오직 하나로 정해진다. ㄴ. x=6일 때, 6의 약수는 1, 2, 3, 6이므로 y의 값이 오직 하나로 정해지지 않는다. ㄷ. x=2일 때, 2의 배수는 2, 4, 6, 8, y이므로 y의 값이 오직 하나로 정해지지 않는다. ㄹ. 자연수 x에 관계없이 약수의 개수는 하나의 숫자로 정해지므로 유제 02 ㄱ. 자연수 x에 대하여 y=|x|이므로 x의 값에 따라 y의 값이 오직 하나로 정해진다. ㄴ. x=1일 때, 1과 5의 공배수는 5, 10, 15, 20, y이므로 x의 값에 따라 y의 값이 오직 하나로 정해지지 않는다. ㄷ. 몸무게가 같아도 허리 둘레는 사람마다 다를 수 있으므로 x의 값에 따라 y의 값이 오직 하나로 정해지지 않는다. 이므로 x의 값에 따라 y의 값이 오직 하나로 정해진다. ㄹ. y=;3{; ㅁ. y=3x이므로 x의 값에 따라 y의 값이 오직 하나로 정해진다. 답 3 따라서 y가 x의 함수인 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ의 3개이다. ㄱ. y=;2!; x의 그래프의 기울기는 ;2!; ㄴ. x+2y=2에서 2y=-x+2, y=-;2!; x+1 따라서 일차함수 x+2y=2의 그래프의 기울기는 ㄷ. 2x+1=-y+3에서 y=-2x+2 따라서 일차함수 2x+1=-y+3의 그래프의 기울기는 ㄹ. 2y+4=x-1에서 2y=x-5, y=;2!; x-;2%; -;2!; -2 따라서 일차함수 2y+4=x-1의 그래프의 기울기는 그러므로 그래프의 기울기가 같은 일차함수는 ㄱ, ㄹ이다. ;2!; 답 (1) -4 (2) ;5#; (3) 2 (4) ;2#; x의 값에 따라 y의 값이 오직 하나로 정해진다. 따라서 y가 x의 함수인 것은 ㄱ, ㄹ이다. 답 ㄱ, ㄹ 답 ㄱ, ㄹ 유제 03 ㄱ. f(2)=:Á2¥:=9 18 -3 =-6 18 -2 +:Á9¥:=-9+2=-7 ㄷ. f(-2)+f(9)= ㄴ. f(-3)= ㄹ. f(18)-f(-6)=;1!8*;- 18 -6 =1-(-3)=4 따라서 함수 f(x)= 18 x 에 대하여 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. 답 ⑤ 유제 04 3 이상의 자연수 중 가장 작은 홀수는 3이므로 f(3)=3 10 이상의 자연수 중 가장 작은 홀수는 11이므로 f(10)=11 11 이상의 자연수 중 가장 작은 홀수는 11이므로 f(11)=11 ∴ f(3)+f(10)-f(11)=3+11-11=3 답 3 유제 05 ㄱ. y=3 ㄴ. x=y-x+3, y=x+x-3, y=2x-3 답 (1) 3 (2) -2 (3) 3 (4) 3 8-2 2-0 =;2^;=3 6-2 -3-(-1) = 13-4 5-2 =;3(;=3 -7-(-1) 3-5 = 4 -2 =-2 -6 -2 =3 기본연습 6-2 (1) (기울기)= (2) (기울기)= (3) (기울기)= (4) (기울기)= 연습 6-2 세 점 A(1, -4), B(3, 2), C(0, 8)에서 (1) (ABê 의 기울기)= 2-(-4) 3-1 =;2^;=3 46 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) Ⅴ - 0 9 . 일 차 함 수 와 그 그 래 프 ( 1 ) 본문 200쪽 따라서 일차함수 y=;3@; x의 그래프를 평행이동한 그래프와 겹쳐지 는 그래프의 식은 ③ y=;3@; x+1이다. 답 ③ 유제 14 일차함수 y=;2!; x-;2!; 의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행이 동한 그래프의 식이 y=;2!; x+;2&; 이라 하면 -;2!;+a=;2&; 에서 a=;2&;+;2!;=;2*;=4 따라서 일차함수 y=;2!; x+;2&; 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다. 의 그래프는 일차함수 y=;2!; x-;2!; 의 답 ④ -4만큼 평행이동한 일차함수 y=2x의 그래프를 y축의 방향으로 그래프의 식은 y=2x-4 y=2x-4에 주어진 점의 x좌표와 y좌표를 각각 대입해보면 ① 2_2-4=4-4=0 ② 2_3-4=6-4=2 ③ 2_(-1)-4=-2-4=-6+ ④ 2_0-4=0-4=-4 ⑤ 2_;2!;-4=1-4=-3 따라서 ③ (-1, 니다. -4)는 일차함수 y=2x-4의 그래프 위의 점이 아 답 ③ -4 답 ⑤ 유제 15 유제 16 일차함수 y=;3!; x+b의 그래프를 y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=;3!; 이 그래프가 점 (3, 0)을 지나므로 x+b-2 -2)를 지나므로 0=;3!;_3+b-2, 0=1+b-2 ∴ b=1 답 ⑤ 답 ② 따라서 일차함수 y=;3!; -3)을 지나므로 점 (a, a a-1, -3=;3!; -2=;3!; ∴ a+b=-6+1=-5 x+1-2, 즉 y=;3!; x-1의 그래프가 ∴ a=-6 답 ② 유제 17 y=-;2#; x+6에 y=0을 대입하면 ∴ x=4 ;2#; x=6 x+6, 0=-;2#; x=0을 대입하면 y=6 따라서 일차함수 y=-;2#; x절편은 4, y절편은 6이므로 x+6의 그래프의 (cid:90) (cid:34)(cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:65)(cid:23)(cid:10) (cid:20) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:23) (cid:19) A(0, 6), B(4, 0) ∴ a=6, b=4 ∴ a+b=6+4=10 (cid:35)(cid:9)(cid:21)(cid:13)(cid:65)(cid:17)(cid:10) (cid:89) (cid:48) 답 10 ㄷ. y=;2{; , y=;2!; x ㄹ. ;2{;-;3};=1, ;3};=;2{;-1, y=;2#; -x x-3 ㅁ. y=x(x-1), y=xÛ` ㅂ. y+2x=2(x-1)+5, y=2x-2+5-2x, y=3 따라서 일차함수인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ의 3개이다. 답 3개 유제 06 y-2x=a(2-x)에서 y=2a-ax+2x ∴ y=(2-a)x+2a 일차함수이려면 x의 계수가 0이 아니어야 하므로 2-a+0, a+2 유제 07 f(x)=2x-3에서 f(3)=2_3-3=3, f(-1)=2_(-1)-3=-5이므로 =6_3-5_(-5) 6f(3)-5f(-1) =18+25=43 답 ④ 유제 08 f(x)=ax+4에서 f(1)=a+4=6이므로 ∴ a=2 따라서 f(x)=2x+4이므로 f(b)=2b+4=-4에서 2b=-8 ∴ b=-4 ∴ a-b=2-(-4)=2+4=6 답 6 유제 09 함수 y=-3x+b의 그래프가 점 (1, -1)을 지나므로 ∴ b=2 -1=-3+b 따라서 함수 y=-3x+2의 그래프가 점 (-2, a)를 지나므로 a=(-3)_(-2)+2=6+2=8 ∴ a+b=8+2=10 답 ⑤ 유제 10 함수 y=-4x+2의 그래프가 점 (1, b)를 지나므로 b=-4+2=-2 따라서 함수 y=ax-5의 그래프가 점 (1, -2=a-5에서 a=3 ∴ a+b=3+(-2)=3-2=1 유제 11 일차함수 y=3x+3의 그래프는 일차함수 y=3x의 그래프를 y축 의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 따라서 일차함수 y=3x+3의 그래프는 다음 그림과 같다. (cid:90) (cid:20) (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:20) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:89) 유제 12 두 일차함수 y=-2x+2와 y=-2x-3의 그래프는 일차함수 y=-2x의 그래프를 y축의 방향으로 각각 2, 평행이동한 것이다. 따라서 좌표평면 위에 두 일차함수 y=-2x+2와 y=-2x-3의 그래프를 그리면 다음과 같다. -3만큼 (cid:90) (cid:20) (cid:19) (cid:18) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:20) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89) (cid:14)(cid:19)(cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:89) (cid:48) (cid:18) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:19) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:20) 답 풀이 참조 유제 18 ① y=-3x+9에 y=0을 대입하면 0=-3x+9, 3x=9, x=3 따라서 x절편은 3이다. ② y=-x+3에 y=0을 대입하면 0=-x+3, x=3 따라서 x절편은 3이다. 유제 13 일차함수 y=;3@; x의 그래프를 평행이동한 그래프의 식에서 x의 계수는 로 동일하다. ;3@; ③ y=;3!; x+1에 y=0을 대입하면 Ⅴ. 일차함수 09. 일차함수와 그 그래프 (1) 47 유제 24 (기울기)= ( y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) 이므로 -4 -8+2k=-4, 2k=4 , 4-k -2= ∴ k=2 ∴ f(2)=-2_2+;4!;=-:Á4°: 답 ③ 유제 25 세 점 (2, x), (-3, 6), (4, 에서 6-x -3-2 = -1-6 4-(-3) -1)이 한 직선 위에 있으므로 6-x -5 =-1, 6-x=5 ∴ x=1 유제 26 세 점 (7, 3), (-3, k), (-8, 6)이 한 직선 위에 있으므로 에서 k-3 -3-7 = 6-3 -8-7 본문 207쪽 답 ③ 답 ④ 답 ① , k-3=2 k-3 -10 =-;5!; ∴ k=5 이때 이 직선의 기울기는 ∴ ka=5_{-;5!;}=-1 -;5! 이므로 a=-;5!; 유제 27 주어진 일차함수의 그래프가 x축, y축과 만나는 점이 각각 -5)이므로 x절편은 -5이다. (y의`값의`증가량) (x의`값의`증가량) (-2, 0), (0, (기울기)= -2, y절편은 ` -5-0 0-(-2) =-;2%; = 따라서 a=-;2%; , b=-2, c=-5이므로 a+b-c={-;2%;}+(-2)-(-5)=;2!; 답 ;2!; 유제 28 일차함수 y=4x-9의 그래프의 기울기는 4이므로 a=4 일차함수 y=-;5#; x+1의 그래프의 y절편은 1이므로 b=1 따라서 일차함수 y=4x-1의 그래프의 x절편은 ;4!; 이다. 답 ;4!; 유제 29 y=;3!; x-2에 x=0을 대입하면 y=;3!;_0-2, y= -2 y절편이 -2 이므로 점 (0, -2 )를 지난다. x-2의 그래프의 기울기가 ;3!; 이므로 이때 일차함수 y=;3!; 점 (0, -2 )에서 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 (cid:90) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:19) (cid:20) (cid:89) (cid:20) (cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:18)(cid:10) (cid:18) x-2의 그래프를 그리면 다음과 같다. 점 (3, -1 )을 지난다. 따라서 일차함수 y=;3!; (cid:90) (cid:48) (cid:89) (cid:18) (cid:19) (cid:20) (cid:21) (cid:18) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:14)(cid:19) (cid:20) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:19) 답 풀이 참조 ;3!; x+1, 따라서 x절편은 x=-1, x=-3 0=;3!; -3이다. ④ y=x-3에 y=0을 대입하면 0=x-3, x=3 ⑤ y=2x-6에 y=0을 대입하면 0=2x-6, 2x=6, x=3 따라서 x절편은 3이다. 따라서 x절편은 3이다. 유제 19 일차함수 y=;4!; x-k의 그래프의 x절편이 8이므로 x-k에 x=8, y=0을 대입하면 0=;4!;_8-k y=;4!; ∴ k=2 즉, 주어진 일차함수의 식은 y=;4!; x=0을 대입하면 y=-2 따라서 이 그래프의 y절편은 x-2이므로 -2이다. 답 ① 유제 20 y=;2#; x-6에 y=0을 대입하면 0=;2#; x-6, 6=;2#; x ∴ x=4 따라서 일차함수 y=;2#; x-6의 그래프의 x절편이 4이므로 일차함수 y=;2!; x+3a-2의 그래프의 y절편은 4이다. x+3a-2에 x=0을 대입하면 y=3a-2에서 y=;2!; 3a-2=4, 3a=6 ∴ a=2 답 ⑤ 유제 21 (1) 두 점 (-2, 0), (0, 3)을 지나므로 ( y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) = (기울기)= 3-0 0-(-2) =;2#; (2) 두 점 (0, 4), (2, 0)을 지나므로 (기울기)= ( y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) = 0-4 2-0 =-2 답 (1) (2) ;2#; -2 유제 22 A(4, 3), B(2, 4), C(-3, 3), D(-4, 일차함수의 그래프에서 -2), E(3, -5)이고, (기울기)= ( y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) 이므로 ① (ABê 의 기울기)= 3-4 4-2 =-;2!; ② (BCê 의 기울기)= 4-3 2-(-3) =;5!; ③ (CDê 의 기울기)= 3-(-2) -3-(-4) =5 ④ (DEê 의 기울기)= -5-(-2) 3-(-4) =-;7#; ⑤ (AEê 의 기울기)= 3-(-5) 4-3 =8 따라서 직선과 그 기울기가 잘못 짝지어진 것은 ④이다. 답 ④ 유제 23 일차함수의 그래프에서 (기울기)= ( y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) 이므로 -5= (k+3)-k (x의 값의 증가량) ∴ (x의 값의 증가량)=-;5#; 48 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 유제 30 y=;5@; x-1의 그래프의 y절편을 구하기 위해 y=;5@; x-1에 x= ㉠ 0 을 대입하면 y=;5@;_0-1= ㉡ 따라서 y절편은 -1 -1)을 지난다. -1이므로 점 (0, 답 ③ 이때 일차함수 y=;5@; x-1의 그래프의 기울기가 ㉢ ;5@; 이므로 점 (0, -1)에서 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 ㉣ 2 ;2!;_{;3$;+:Á3¢:}_2=;2!;_6_2=6 만큼 평행이동한 점 (5, ㉤ 1 )을 지난다. 따라서 두 점 (0, -1), (5, 1)을 직선으로 이으면 x-1의 그래프가 된다. y=;5@; 그러므로 ㉠~㉤에 알맞은 수로 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 유제 31 y=ax+3에 x=0을 대입하면 y=a_0+3=3 즉, y=ax+3의 그래프의 y절편은 3이므로 직선이 y축과 양의 부 분에서 만나야 한다. 따라서 y=ax+3의 그래프가 될 수 있는 것은 ㉢이다. 답 ③ 유제 32 y=3x-4에 y=0을 대입하면 0=3x-4, 3x=4 ∴ x=;3$; y=3x-4에 x=0을 대입하면 y=3_0-4=-4 즉, y=3x-4의 그래프의 x절편과 y절편은 각각 y=3x-4의 그래프를 좌표평면에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 y=3x-4의 그래프가 지나지 않는 사분면은 제2사분면이다. ;3$; (cid:90) 제(cid:19)사분면 (cid:14)(cid:21) -4이다. , (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:14)(cid:21) (cid:48) (cid:89) (cid:21) (cid:14) (cid:20) 답 ② 유제 33 일차함수 y=mx+5에 x=0을 대입하면 y=m_0+5=5 따라서 일차함수의 그래프의 y절편이 5이므로 OQÓ=5 이때 삼각형 POQ의 넓이가 10이므로 △POQ =;2!;_ OPÓ OQÓ _ =;2!;_ OPÓ _5=10 ∴ OPÓ =10_;5@;=4 따라서 점 P의 좌표가 (4, 0)이므로 일차함 수 y=mx+5에 x=4, y=0을 대입하면 ∴ m=-;4%; 0=4m+5 (cid:50) (cid:90) (cid:22) (cid:22) (cid:48) (넓이)(cid:30)(cid:18)(cid:17) (cid:49) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:78)(cid:89)(cid:12)(cid:22) 답 ③ 유제 34 일차함수 y=-;2#; 0=-;2#; x+2 x+2에 y=0을 대입하면 일차함수 y=;7#; x+2에 y=0을 대입하면 ∴ x=;3$; 0=;7#; x+2 ∴ x=-:Á3¢: 따라서 일차함수 y=-;2#; x+2의 그래프의 x절편은 ;3$; , 일차함수 y=;7#; x+2의 그래프의 x절편은 -:Á3¢: 이고, 두 일차함수의 그래프의 y절편 (cid:20) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:19) (cid:19) (cid:20) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:19) (cid:24) 은 모두 2이다. (cid:90) (cid:19) 그러므로 두 일차함수의 그래프 와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓 (cid:14) (cid:18)(cid:21) (cid:14) (cid:20) 이는 (cid:19) (cid:89) (cid:48) (cid:23) (cid:21) (cid:14) (cid:20) 본문 213쪽 답 6 Ⅴ - 0 9 . 일 차 함 수 와 그 그 래 프 ( 1 ) 유제 35 조건을 만족시키는 일차함수 y=f(x)의 그래프의 기울기는 이고, ;5K; f(a)-3a=f(b)-3b에서 f(a)-f(b)=3a-3b f(a)-f(b)=3(a-b) f(a)-f(b) ∴ a-b =3 f(a)-f(b) a-b 이때 의 값은 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 지나는 직선 의 기울기, 즉 일차함수 y=f(x)의 그래프의 기울기와 같으므로 답 ① ;5K;=3 ∴ k=15 유제 36 y=ax+b에 x=0을 대입하면 y=b y=0을 대입하면 0=ax+b, -ax=b x=-;aB; 이고 이 그래프의 y절편이 -6, x절편이 2이므로 -6 a =;a^;=2 -;aB;=- b=-6, ∴ a=3 따라서 주어진 일차함수는 f(x)=3x-6이므로 f(a+b)+f(a-b) =f(3+(-6))+f(3-(-6)) =f(-3)+f(9) ={3_(-3)-6}+(3_9-6) =(-9-6)+(27-6) =6 답 ⑤ 유제 37 처음 일차함수의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식이 y=-2x+7이므로 처음 일차함수의 식은 y=-2x+7-3, 즉 y=-2x+4이다. 따라서 함수 y=-2x+4의 그래프를 y축의 방향으로 평행이동한 그래프의 식은 y=-2x+4-3 ∴ y=-2x+1 -3만큼 답 ③ 유제 38 일차함수 y=;2#; x+4에 y=0을 대입하면 0=;2#; x+4 ∴ x=-;3*; 4 m x=0을 대입하면 y=;2#;_0+4=4 일차함수 y=mx+4에 y=0을 대입하면 0=mx+4 ∴ x=- x=0을 대입하면 y=m_0+4=4 x+4의 그래프의 x절편은 따라서 일차함수 y=;2#; y절편은 4이고 일차함수 y=mx+4의 그래프의 x절편은 , y절편은 4이므로 4 m - 두 일차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 이때 두 일차함수의 그래프와 x축 으로 둘러싸인 도형의 넓이가 32이므로 ;2!;_[- 4 m -{-;3*;}]_4=32 4 m +;3*;=16, 4 - m =;3*;-16=-:¢3¼: , -;3*; (cid:20) (cid:90)(cid:30) (cid:89)(cid:12)(cid:21) (cid:19) (cid:90) (cid:21) (cid:14) (cid:25) (cid:20) (cid:14) (cid:21) (cid:78) (cid:48) (cid:90)(cid:30)(cid:78)(cid:89)(cid:12)(cid:21) (cid:89) ∴ m=-;1£0; 답 ④ Ⅴ. 일차함수 09. 일차함수와 그 그래프 (1) 49 Step 3. 단원 마무리하기 01 06 11 16 ⑤ 4 ⑤ ⑤ 02 07 12 17 6 ④ 6 ① 03 08 13 18 8 ③ 6 ④ 04 09 14 19 ② ② 10 10 05 ① 10 -;3@; 15 20 ① ② 01 ㄱ. xy=4에서 y=;[$; x-2 3 (일차함수가 아니다.) x-;3@; (일차함수) 에서 y=;3!; ㄴ. y= ㄷ. y=x(x-2)에서 y=xÛ` ㄹ. y+3x=2(3x+1)에서 y=6x+2-3x ㄹ.∴ y=3x+2 (일차함수) 따라서 |보|기|에서 일차함수인 것은 ㄴ, ㄹ이다. -2x (일차함수가 아니다.) 02 200=2Ü`_5Û`이므로 200의 약수의 개수는 (3+1)_(2+1)=12 ∴ k=12 12=2Û`_3이므로 12의 약수의 개수는 ∴ f(12)=6 (2+1)_(1+1)=6 03 f(x)=8x+6에 x=;4A; 를 대입하면 f {;4A;}=8_;4A;+6=2a+6 {;4A;}=3a-2이므로 f 2a+6=3a-2 ∴ a=8 04 일차함수의 그래프가 제1, 2, 4사분면을 지나려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로 그래프의 기울기는 음수이어야 하고, y절편은 양수이어야 한다. ② y=-2x+3의 그래프의 기울기는 은 3이므로 문제의 조건을 만족시킨다. -2, y절편 답 ⑤ 답 6 답 8 (cid:90) 제(cid:18)사분면 (cid:48) (cid:89) 제(cid:21)사분면 제(cid:19)사분면 따라서 일차함수의 그래프가 제1, 2, 4사분면을 지나는 것은 ②이다. 본문 218쪽 -4이므로 y=mx-4라 하자. 07 주어진 일차함수의 그래프의 y절편이 -3)을 지나므로 -3=-m-4 이 그래프가 점 (-1, -3=m_(-1)-4, ∴ m=-1 ∴ y=-x-4 y=-x-4의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평행이동하면 y=-x-4+a의 그래프와 같고, 점 (5, b)를 지나므로 b=-5-4+a=a-9 ∴ a-b=9 답 ④ 08 y=-2x+4의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프 의 식은 y=-2x+4-3=-2x+1 y=-2x+1에 y=0을 대입하면 0=-2x+1, 2x=1 ∴ x=;2!; y=-2x+1에 x=0을 대입하면 y=-2_0+1 따라서 y=-2x+1의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제3사분면을 지나지 않는다. ∴ y=1 (cid:90) (cid:18) (cid:18) (cid:14) (cid:19) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:18) (cid:48) 제(cid:20)사분면 답 ③ 09 함수 y=-;3!; x+4의 그래프를 y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-;3!; x+4+n 이 식이 y=ax+1과 같으므로 a=-;3!; 4+n=1에서 n=-3 ∴ 3a-n=3_{-;3!;}-(-3)=-1+3=2 10 f(x)=-;3@; x+4이므로 f(-2)=-;3@;_(-2)+4=;3$;+4=:Á3¤: f(-5)=-;3@;_(-5)+4=:Á3¼:+4=:ª3ª: 답 ② (cid:89) (cid:20) (cid:14) (cid:19) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:20) 답 ② ∴ f(-2)-f(-5) -2-(-5) = :Á3¤:-:ª3ª: -2-(-5) =-;3@; 답 -;3@; 05 일차함수 y=-;3@; y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. x+1의 그래프는 일차함수 y=-;3@; x의 그래프를 따라서 일차함수 y=-;3@; x+1의 그래프는 다음 그림과 같다. 다른풀이 f(-2)-f(-5) -2-(-5) (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) ∴ f(-2)-f(-5) -2-(-5) =-;3@; 는 x의 값이 -5에서 -2까지 증가할 때 이므로 일차함수 f(x)=-;3@; x+4의 기울기와 같다. (cid:90) (cid:20) (cid:48) (cid:90) (cid:18) (cid:48) (cid:19) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:18) (cid:20) (cid:89) 06 직선 l은 직선 m을 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이므로 a=2 직선 m은 직선 n을 y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 것이므로 b=5 직선 n은 직선 l을 y축의 방향으로 -7만큼 평행이동한 것이므로 c=-7 ∴ a-(b+c)=2- {5+(-7)}=2-(-2)=2+2=4 답 4 50 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 답 ① 11 일차함수의 그래프에서 ( y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) (기울기)= ① 두 점 (0, 5), (2, 2)를 지나므로 이므로 2-5 2-0 =-;2#; (기울기)= ② 두 점 (-3, 0), (0, 3)을 지나므로 (기울기)= ③ 두 점 (-3, 1), (2, 3-0 0-(-3) =1 -3)을 지나므로 12 일차함수 y=ax+b의 그래프의 x절편이 -2이므로 이 그래프는 (기울기)= ④ 두 점 (0, -3-1 2-(-3) =-;5$; -5), (3, 0)을 지나므로 0-(-5) 3-0 =;3%; (기울기)= ⑤ 두 점 (-2, 4), (2, 0)을 지나므로 (기울기)= 2-(-2) =-1 0-4 점 (-2, 0)을 지난다. 0=-2a+b yy ㉠ 또한 이 그래프가 점 (-3, -2=-3a+b yy ㉡ -2)를 지나므로 ㉠ - ㉡을 하면 2=-2a+b+3a-b ∴ a=2 a=2를 ㉠에 대입하면 0=-4+b ∴ a+b=6 ∴ b=4 13 일차함수 y=ax+b의 그래프가 , , 2 {-;5#; } 두 점 {;5!; 를 지나므로 , -2 } 2=;5!; a+b에서 a+5b=10 yy ㉠ -2=-;5#; a+b에서 -3a+5b=-10 yy ㉡ ㉠ ㉡을 하면 ∴ a=5 - 4a=20 a=5를 ㉠에 대입하면 5+5b=10에서 5b=5 ∴ a+b=5+1=6 (cid:20) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:14)(cid:18) (cid:19) (cid:89) (cid:90) (cid:48) (cid:14)(cid:18) 답 ⑤ 17 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 (기울기)= (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) 이므로 a= ;2K; 3k =;6!; x+b의 그래프의 x절편이 12이므로 이때 일차함수 y=;6!; x=12, y=0을 대입하면 0=;6!;_12+b ∴ b=-2 ∴ a+b=;6!;+(-2)=-:Á6Á: 답 6 18 두 일차함수의 그래프가 x축 위에서 만나므로 두 일차함수의 그래프의 x절편이 같다. y=2x-6에 y=0을 대입하면 0=2x-6, 2x=6, x=3이므로 일차함수 y=2x-6의 그래프의 x절편은 3이다. 따라서 일차함수 y=-3x+k의 그래프의 x절편이 3이므로 0=-3_3+k=-9+k ∴ k=9 19 y=-2x+3의 그래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동하면 (cid:90) y=-2x+7이다. 이 그래프와 직선 y=-2x+3, x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하면 다음과 같다. Ⅴ - 0 9 . 일 차 함 수 와 그 그 래 프 ( 1 ) 본문 220쪽 답 ⑤ 답 ① 답 ④ (cid:24) (cid:20) (cid:48) (cid:20) (cid:14) (cid:19) (cid:24) (cid:14) (cid:19) (cid:89) ∴ b=1 답 6 14 세 점 (a, b), (-2, 6), (4, 3)이 한 직선 위에 있으므로 3-b 4-a = 3-6 4-(-2) (cid:24) (cid:20) - = (cid:24) (cid:14) (cid:19) (cid:20) (cid:14) (cid:19) 3-b 4-a =-;2!; a-4=6-2b ∴ a+2b=10 15 일차함수 y=ax-2의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=ax-2+b 이 그래프가 두 점 (1, -2=a-2+b에서 a+b=0 yy ㉠ 4=3a-2+b에서 3a+b=6 yy ㉡ -2), (3, 4)를 지나므로 ㉡ ㉠을 하면 ∴ a=3 - 2a=6 a=3을 ㉠에 대입하면 3+b=0 ∴ ab=3_(-3)=-9 ∴ b=-3 답 ① 16 일차함수 y=ax+b (a+0)의 그래프의 기울기는 a이므로 x-1의 그래프의 기울기는 일차함수 y=;2#; 이다. ;2#; y=;2#; x-1에 x=0을 대입하면 ∴ y=-1 y=;2#;_0-1 -1이다. 즉, y절편은 따라서 일차함수 y=;2#; x-1의 그래프를 그리면 다음과 같다. ;2&;_7_;2!;-;2#;_3_;2!;=:¢4»:-;4(;=:¢4¼: =10 답 10 답 10 20 일차함수 y=ax+3에 x=0을 대입하면 y=3 이때 두 일차함수의 그래프가 y축에서 만나므로 x+b의 y절편도 3이어야 한다. ∴ b=3 x+b=-;2!; x+3에 y=0을 대입하면 (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:20) (cid:18) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:20) (cid:19) (cid:14) (cid:20) (cid:14)(cid:66) (cid:48) (넓이)(cid:30)(cid:18)(cid:19) (cid:20) (cid:89) (cid:23) 일차함수 y=-;2!; 일차함수 y=ax+3에 y=0을 대입하면 0=ax+3 ∴ x=-;a#; 마찬가지로 일차함수 y=-;2!; 0=-;2!; ∴ x=6 x+3 따라서 직선 y=ax+3의 x절편은 , -;a#; x+3의 x절편은 6이므로 직선 y=-;2!; 두 직선과 x축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 ;2!;_[ 6-{-;a#;}]_3=;2#;{ 이때 삼각형의 넓이가 12이므로 6+;a#;}=9+;2»a; 9+;2»a;=12, ;2»a;=3 ∴ a=;2#; ∴ a+b=;2#;+3=;2(; 답 ② Ⅴ. 일차함수 09. 일차함수와 그 그래프 (1) 51 본문 223쪽 10 일차함수와 그 그래프 (2) 10-4 기울기와 한 점의 좌표를 알 때, 일차함수의 식 구하기 Step 1. 개념 다지기 10-1 일차함수 y=ax+b의 그래프의 성질 ➊ 그래프의 모양 ➋ 증가 ➌ 감소 ➍ y축 ➎ 양 ➏ 양수 ➐ 음 ➑ 음수 기본연습 1 (1) 일차함수 y=5x-3의 그래프의 기울기가 5이므로 오른쪽 위로 향하는 연습 4 직선이다. 또한, y절편이 -3이므로 y축과 음의 부분에서 만난다. (2) 일차함수 y=-;2!; x+4의 그래프의 기울기가 -;2!; 이므로 오른쪽 아래로 향하는 직선이다. 또한, y절편이 4이므로 y축과 양의 부분에서 만난다. 답 (1) 5, 위, -3, 음 (2) -;2!; , 아래, 4, 양 연습 1 (1) 기울기는 음수, y절편은 양수이므로 a<0, b>0 (2) 기울기는 양수, y절편은 음수이므로 a>0, b<0 ➊ y=ax+b ➋ xÁ ➌ yÁ 기본연습 4 (1) 기울기가 1이므로 구하는 일차함수의 식을 y=x+b라 하자. 이 직선이 점 (2, 1)을 지나므로 1=2+b, b=-1 (2) y=-2x의 그래프와 평행한 직선의 기울기는 ∴ y=x-1 -2이므로 구하는 일차함 수의 식을 y=-2x+b라 하자. 이 직선이 점 (3, 2)를 지나므로 2=-2_3+b, 2=-6+b, b=8 ∴ y=-2x+8 답 (1) y=x-1 (2) y=-2x+8 주어진 직선에서 (기울기)=;1@;=2이므로 구하는 일차함수의 식을 y=2x+b라 하자. 이 직선이 점 (2, 2)를 지나므로 2=2_2+b 2=4+b, b=-2 ∴ y=2x-2 답 y=2x-2 10-5 두 점의 좌표를 알 때, 일차함수의 식 구하기 답 (1) a<0, b>0 (2) a>0, b<0 ➊ yª-yÁ xª-xÁ ➋ yÁ-yª xÁ-xª ➌ 두 점의 좌표 기본연습 5 10-2 일차함수의 그래프의 평행, 일치 -3 3 =-1이므로 (1) 주어진 직선에서 (기울기)= 구하는 일차함수의 식을 y=-x+b라 하자. 이 직선이 점 (-1, 0)을 지나므로 -3-0 2-(-1) = -3 2+1 = 0=-(-1)+b, 0=1+b, b=-1 ∴ y=-x-1 (2) 주어진 직선의 x절편이 4, y절편이 2이므로 직선은 두 점 (4, 0), (0, 2) 를 지난다. (기울기)= 2-0 0-4 = 2 -4 =-;2!; 이므로 구하는 일차함수의 식을 y=-;2!; x+b라 하자. 이 직선이 점 (4, 0)을 지나므로 답 (1) a=-3, b=2 (2) a=;4!; , b=;2#; 0=-;2!;_4+b, 0=-2+b, b=2 ∴ y=-;2!; x+2 답 (1) y=-x-1 (2) y=-;2!; x+2 로 같고 y절편은 서로 다르므로 ㄱ과 ㄷ의 답 ㄱ과 ㄷ (기울기)= 5-3 5-1 =;4@;=;2!; 이다. 구하는 일차함수의 식을 y=;2!; x+b라 하 연습 5 주어진 직선이 두 점 (1, 3), (5, 5)를 지나므로 면 이 직선이 점 (1, 3)을 지나므로 ➊ 평행 ➋ 일치 기본연습 2 (1) 두 일차함수의 그래프가 일치하므로 a=-3, b=2 (2) 두 일차함수의 그래프가 일치하므로 ∴ a=;4!; -a=-;4!; b=;2#; 연습 2 x에서 y=-;2!; ㄷ. y=2-;2!; ㄱ과 ㄷ의 그래프의 기울기는 x+2 -;2!; 그래프는 평행하다. ➊ y=ax+b 기본연습 3 10-3 기울기와 y절편을 알 때, 일차함수의 식 구하기 3=;2!;_1+b, 3=;2!;+b, b=;2%; ∴ y=;2!; x+;2%; 답 y=;2!; x+;2%; (2) y=3x의 그래프와 평행한 직선은 기울기가 3이므로 기울기가 3, y절편이 2인 직선을 나타내는 일차함수의 식은 y=3x+2 기본연습 6 답 (1) y=-2x+3 (2) y=3x+2 (1) y를 x에 대한 일차함수라 하면, 10-6 일차함수를 활용한 문제 해결 연습 3 (기울기)= 일차함수의 식은 y=-x+3 52 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) -1 1 =-1이고 y절편은 3이므로 주어진 직선을 나타내는 답 y=-x+3 x의 값이 1만큼 증가할 때 y의 값은 4만큼 증가하므로 기울기는 4이다. x=0일 때 y=6이므로 y절편은 6이다. 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=4x+6 (2) y를 x에 대한 일차함수라 하면, x의 값이 1만큼 증가할 때 y의 값은 2만큼 감소하므로 기울기는 x=0일 때 y=12이므로 y절편은 12이다. 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=-2x+12 답 (1) y=4x+6 (2) y=-2x+12 -2이다. 이때 일차함수의 그래프 중 기울기가 3인 것은 y=3x+7이므로 주어진 그림의 그래프와 서로 평행한 것은 x년 후의 2학년 학생 수를 y명이라 하면 올해 2학년 학생 수는 250명이고 1년 유제 05 일차함수 y=-3x+a의 그래프를 y축의 방향으로 5만큼 평행이 ②이다. 동하면 본문 225쪽 (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:24) (cid:90)(cid:30)(cid:20)(cid:89)(cid:14)(cid:23) (cid:24) (cid:48) (cid:19) (cid:89) (cid:14) (cid:24) (cid:14) (cid:20) (cid:14)(cid:23) 답 ② 연습 6 이 지날 때마다 8명씩 줄어들므로 y=-8x+250 위의 식에 x=7을 대입하면 y=-8_7+250=-56+250=194 답 194명 y=-3x+a+5 이때 y=-3x+a+5와 y=bx+1이 같아야 하므로 a+5=1 b=-3 ∴ a-2b=-4-2_(-3)=-4+6=2 ∴ a=-4 유제 06 일차함수 y=ax+b의 그래프를 y축의 방향으로 -2만큼 평행이 동하면 y=ax+b-2 이때 y=ax+b-2가 y=7x+5와 같아야 하므로 a=7, b-2=5에서 b=7 ∴ a+b=7+7=14 Ⅴ - 1 0 . 일 차 함 수 와 그 그 래 프 ( 2 ) 답 2 답 14 43초 23 6초 24 27개 유제 07 일차함수 y=;5!; x+3의 그래프는 다음과 같다. Step 2. 대표 문제로 접근하기 01 a<0, b<0 2 06 -3 ② 11 15 12분 20 14 ④ ④ ② 05 10 14 19 22 27 02 07 12 16 21 ① ⑤ 03 08 ⑤ ③ y=;3!; x-7 ② 17 ② 04 09 13 18 ② 5 ④ 10 y=1800-150x, 450 m 25 ③ 30분 26 40분 28 12분 29 ③ 30 ⑤ 유제 01 일차함수 y=ax+b의 그래프는 제1사분면을 지나지 않으므로 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다. 그래프가 오른쪽 아래로 향하므로 (기울기)=a<0 이때, ab+0이므로 b+0 (cid:9)기울기(cid:10) (cid:30)(cid:66)(cid:29)(cid:17) (cid:89) (cid:90) (cid:48) (cid:67) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:67) 따라서 그래프가 y축과 x축보다 아래에서 만나므로 (y절편)=b<0 답 a<0, b<0 유제 02 일차함수 y=ax-b의 그래프는 오른쪽 위로 향하는 직선이므로 기울기 a는 양수이다. 기울기 a의 절댓값이 y=2x-b의 그래프의 기울기의 절댓값보다 작고, y=;2!; x-b의 그래프의 기울기의 절댓값보다 커야 하므로 <a<2 ;2!; 또한 -b<0이므로 b>0 답 ① 답 ⑤ 유제 03 두 일차함수 y=ax+7과 y=3x-5의 그래프가 평행하므로 기울 ∴ a=3 기는 서로 같다. 일차함수 y=3x+7의 그래프가 점 (p, y=3x+7에 x=p, y=-2를 대입하면 -2=3p+7 ∴ p=-3 ∴ a+p=3+(-3)=0 -2)를 지나므로 유제 04 주어진 일차함수의 그래프는 두 점 (0, 일차함수의 그래프의 기울기는 -6), (2, 0)을 지나므로 0-(-6) 2-0 =;2^;=3 (cid:90) (cid:22) (cid:48) (cid:18) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:20) (cid:22) (cid:20) (cid:18)(cid:17) (cid:89) (cid:14)(cid:18)(cid:22) ① 일차함수 y=;5!; x+3에 x=10을 대입하면 y=;5!;_10+3=2+3=5 따라서 일차함수 y=;5!; ② 제 1, 2, 3사분면을 지난다. x+3의 그래프는 점 (10, 5)를 지난다. ③ 일차함수 y=;5!; y축과 양의 부분에서 만난다. x+3의 그래프는 점 (0, 3)을 지나므로 ④ 오른쪽 위로 향하는 직선이다. ⑤ 일차함수 y=;5!; x+3의 그래프는 x의 값이 1만큼 증가할 때 y의 값은 만큼 증가한다. ;5!; 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤ 유제 08 일차함수 y=-;2#; x+6의 그래프는 다음과 같다. (cid:90) (cid:23) (cid:20) (cid:20) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:23) (cid:19) (cid:48) (cid:19) (cid:21) (cid:89) x+6에 x=2를 대입하면 ㄱ. y=-;2#; y=-;2#;_2+6=3 따라서 일차함수 y=-;2#; ㄴ. 제3사분면을 지나지 않는다. x+6의 그래프는 점 (2, 3)을 지난다. Ⅴ. 일차함수 10. 일차함수와 그 그래프 (2) 53 ㄷ. 일차함수 y=-;2#; 증가할 때 y의 값은 15만큼 감소한다. x+6의 그래프는 x의 값이 10만큼 따라서 옳은 것을 모두 고른 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ③ 유제 09 일차함수 y=-x-7의 그래프의 기울기가 -1로 음수이므로 유제 10 일차함수 y=-2x+2의 그래프의 기울기가 -2로 음수이므로 답 5 답 -3 답 ④ x의 값이 증가할수록 y의 값은 감소한다. 따라서 x=-2일 때 함숫값이 최대이고, x=3일 때 함숫값이 최소이다. 일차함수 y=-x-7에 x=-2를 대입하면 y=-(-2)-7=-5 일차함수 y=-x-7에 x=3을 대입하면 y=-3-7=-10 따라서 -2ÉxÉ3에서 일차함수 y=-x-7의 -10ÉyÉ 함숫값의 범위는 a=-10, b=-5 ∴ b-a=-5-(-10)=5 -5이므로 x의 값이 증가할수록 y의 값은 감소한다. 따라서 x=a일 때 함숫값이 최대인 8이고, x=1일 때 함숫값이 최소인 b이다. 일차함수 y=-2x+2에 x=a, y=8을 대입하면 8=(-2)_a+2, -2a=6 일차함수 y=-2x+2에 x=1, y=b를 대입하면 b=(-2)_1+2=0 ∴ a+3b=-3+3_0=-3 ∴ a=-3 0-(-2) 6-0 =;6@;=;3!; 식은 y=;3!; x+2 유제 11 직선이 두 점 (0, -2), (6, 0)을 지나므로 직선의 기울기는 유제 12 구하는 직선은 직선 y=-;4!; y절편이 서로 같다. x-7과 y축에서 만나므로 따라서 y절편이 -7이고, 기울기가 ;3!; 인 직선을 나타내는 일차함 유제 13 x의 값이 4만큼 증가할 때 y의 값이 3만큼 증가하므로 구하는 직선 의 기울기는 이다. 이 일차함수의 식을 y=;4#; x+k라 하면 이 직 ;4#; 선이 점 (2, 1)을 지나므로 1=;4#;_2+k, 1=;2#;+k ∴ k=-;2!; 따라서 구하는 직선을 나타내는 일차함수의 식은 y=;4#; x-;2!; 답 ④ 유제 14 직선 y=-;2!; x+1과 평행한 직선의 기울기는 -;2!; 이다. 기울기가 이고, y절편이 k인 직선을 나타내는 일차함수의 -;2!; 식은 y=-;2!; x+k이고, 이 직선이 점 (8, 1)을 지나므로 1=-;2!;_8+k, 1=-4+k ∴ k=5 답 ② 54 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 본문 230쪽 유제 15 두 점 (2, 1), (3, 4)를 지나므로 4-1 3-2 =;1#;=3 (직선의 기울기)= 따라서 이 일차함수의 식을 y=3x+k라 하자. 이 직선이 점 (2, 1)을 지나므로 1=3_2+k 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=3x-5 ∴ k=-5 답 ④ 유제 16 일차함수의 그래프가 두 점 (-2, 2-(-10) 1-(-2) =:Á3ª:=4 -10), (1, 2)를 지나므로 a= 이때 그래프의 y절편이 b이므로 일차함수의 식은 y=4x+b이고, 이 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로 2=4_1+b, b=-2 ∴ a+b=4+(-2)=2 답 ② 유제 17 주어진 일차함수의 그래프의 x절편은 -4, y절편은 2이므로 이 그래프는 두 점 (-4, 0), (0, 2)를 지난다. 이 일차함수의 식을 y=ax+b라 하면 2-0 a= 0-(-4) =;4@;=;2!; , b=2 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=;2!; x+2 답 ② 유제 18 주어진 일차함수의 그래프의 x절편이 3, y절편이 이 그래프는 두 점 (3, 0), (0, -5이므로 (직선의 기울기)= -5-0 0-3 = 이고, y절편이 -5이므로 -5)를 지난다. -5 -3 =;3%; 이 일차함수의 식은 y=;3%; x-5 따라서 a=;3%; , b=-5이므로 3a-b=3_;3%;-(-5)=10 답 10 1분 동안 내려간 온도는 :Á;5@;°:=25(¾)이다. 600¾의 쇠구슬을 실온에 두고 나서 x분 후의 쇠구슬의 온도를 yy ㉠ y¾라 할 때, y=-25x+600 y=300을 ㉠에 대입하면 300=-25x+600 따라서 쇠구슬을 실온에 두고 나서 12분 후에 쇠구슬의 온도가 ∴ x=12 유제 20 욕조에서 1분에 4 L씩 물을 빼내고 있으므로 76 L의 물이 들어 있 는 욕조에서 물을 빼낸 지 x분 후의 물의 양을 y L라 하면 y=-4x+76 yy ㉠ 이 성립한다. 욕조를 다 비울 때까지 걸리는 시간을 구하기 위해 ㉠에 y=0을 대입하면 ∴ x=19 0=-4x+76 따라서 욕조를 다 비울 때까지 19분이 걸린다. 유제 21 동욱이가 출발한 지 x분 후의 위치에서 도서관까지 남은 거리가 y m이므로 y=1800-150x 동욱이가 학교를 출발한 지 9분 후에 동욱이의 위치에서 도서관까 지 남은 거리를 구하기 위해 구한 학교 동욱 식에 x=9를 대입하면 =1800-150_9 y =1800-1350=450 (cid:18)(cid:22)(cid:17)(cid:89)(cid:65)(cid:3)(cid:78) (cid:9)(cid:18)(cid:25)(cid:17)(cid:17)(cid:14)(cid:18)(cid:22)(cid:17)(cid:89)(cid:10)(cid:65)(cid:78) (cid:18)(cid:25)(cid:17)(cid:17)(cid:65)(cid:78) 답 ② 도서관 따라서 기울기가 이고, y절편이 2인 직선을 나타내는 일차함수의 ;3!; 유제 19 쇠구슬의 온도가 5분 동안 125¾가 내려갔으므로 수의 식은 y=;3!; x-7 답 y=;3!; x-7 300¾가 된다. 답 12분 따라서 구하는 거리는 450 m이다. 답 y=1800-150x, 450 m 유제 27 주어진 그래프가 두 점 (0, 3000), (60, 12000)을 지나므로 y절편은 3000, 그래프의 기울기는 12000-3000 60-0 = 9000 60 =150 유제 22 엘리베이터가 24층에서 출발하므로 처음 지면으로부터 엘리베이 본문 236쪽 터 바닥까지의 높이는 96 m이다. 이후 초속 2 m로 내려가므로 출발한 지 t초 후의 지면으로부터 엘 리베이터 바닥까지의 높이를 h m라 하면 h=96-2t yy ㉠ 이때 지면으로부터 엘리베이터 바닥까지의 높이가 10 m가 되는 순간을 구하기 위하여 ㉠에 h=10을 대입하면 10=96-2t -2t=10-96=-86 -86 -2 =43 ∴ t= 답 43초 유제 23 점 P는 매초 2 cm의 속력으로 움직이므로 점 P가 꼭짓점 A를 출발한 지 x초 후의 APÓ의 길이는 2x cm이고, PDÓ의 길이는 (20-2x) cm이다. 이때의 사각형 PBCD의 넓이를 y cmÛ` 라 하면 {(20-2x)+20} _15=300-15x y=;2!;_ 이 식에 y=210을 대입하면 210=300-15x 15x=90 따라서 사각형 PBCD의 넓이가 210 cmÛ` 가 되는 것은 ∴ x=6 점 P가 꼭짓점 A를 출발한 지 6초 후이다. 답 6초 유제 24 점 P는 매초 1.5 cm cm 의 속력으로 움직이므로 점 P가 {=;2#; } 꼭짓점 B를 출발한 지 x초 후의 BPÓ의 길이는 x cm이다. ;2#; 이때의 삼각형 BPD의 넓이를 y cmÛ` 라 하면 y=;2!;_;2#; x_12=9x 이 식에 y=63을 대입하면 63=9x 따라서 삼각형 BPD의 넓이가 63 cmÛ` 가 되는 것은 점 P가 꼭짓점 ∴ x=7 B를 출발한 지 7초 후이다. 답 ③ 240-100=140(kcal)이므로 1분 동안 소모한 칼로리의 양은 :Á2¢0¼:=7(kcal)이다. 현원이가 총 칼로리 소모량이 240 kcal임을 확인하고 나서 x분 뛰었을 때 총 칼로리 소모량을 y kcal라 하면 y=7x+240 이 식에 y=450을 대입하면 450=7x+240 7x=210 따라서 총 칼로리 소모량이 450 kcal가 되려면 ∴ x=30 현원이는 30분 더 뛰어야 한다. 답 30분 유제 26 처음 정삼각형 1개를 만들기 위해서는 3개의 성냥개비가 필요하 고, 그 뒤로 정삼각형 1개를 연결하여 만들 때마다 2개의 성냥개비 가 필요하다. y라 하면 따라서 정삼각형 x개를 만들기 위해서 필요한 성냥개비의 개수를 y=3+2(x-1)=2x+1 이 식에 x=13을 대입하면 y=2_13+1=27 따라서 정삼각형 13개를 만들기 위해서 27개의 성냥개비가 필요 하다. 답 27개 ∴ y=150x+3000 이 식에 y=9000을 대입하면 9000=150x+3000, 150x=6000 따라서 택시에 승차하고 40분 후에 내리면 9000원을 지불해야 한 ∴ x=40 다. 답 40분 유제 28 주어진 그래프가 두 점 (0, 800), (16, 0)을 지나므로 y절편은 800, 그래프의 기울기는 0-800 16-0 = -800 16 =-50 ∴ y=-50x+800 수현이가 걸은 거리가 수현이와 학교 사이의 거리의 3배가 될 때 yy ㉠ 수현이와 학교 사이의 거리를 a m라 하면 800-a=3a, 4a=800 y=200을 ㉠에 대입하면 200=-50x+800 50x=600 따라서 수현이가 걸은 거리가 수현이와 학교 사이의 거리의 3배가 ∴ a=200 ∴ x=12 되는 것은 출발하고 나서 12분 후이다. 답 12분 유제 29 지면에서 100 m씩 높아질 때마다 기온이 0.6`¾씩 내려가므로 Ⅴ - 1 0 . 일 차 함 수 와 그 그 래 프 ( 2 ) 1 m씩 높아질 때마다 기온은 ;10!0;_0.6=0.006(¾)씩 내려간다. 따라서 지면으로부터 높이가 x m인 지점의 기온을 y ¾라 하면 y=-0.006x+15 (0ÉxÉ10000) 기온이 y=-6을 대입하면 -6=-0.006x+15, -6 ¾인 지점의 지면으로부터의 높이를 구하기 위해 x=21 6 1000 ∴ x=21_ 따라서 기온이 1000 6 =3500 -6 ¾인 지점의 지면으로부터의 높이는 3500 m이 답 ③ 다. 5-(-3) 3-(-1) = 식을 y=ax+b라 하면 5+3 a= 3+1 =;4*;=2 즉, 직선 y=2x+b가 점 (-1, -3=2_(-1)+b=-2+b 따라서 주어진 일차함수의 식은 y=2x-1이므로 이 직선을 y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 직선을 나타내는 일차함수의 식은 y=2x-1+5, 즉 y=2x+4이므로 구하는 y절편은 4이다. -3)을 지나므로 ∴ b=-1 답 ⑤ Step 3. 단원 마무리하기 01 a<0, b<0 05 10 15 20 ③ ④ 6 ② 02 07 12 ③ 24 18분 17 06 11 16 ⑤ ② ③ ⑤ 03 08 13 18 ② ④ 8 04 -6 ② 09 14 12분 19 ⑤ ③ Ⅴ. 일차함수 10. 일차함수와 그 그래프 (2) 55 유제 25 현원이가 20분 동안 뛰어서 소모한 칼로리의 양이 유제 30 두 점 (-1, -3), (3, 5)를 지나는 직선을 나타내는 일차함수의 본문 242쪽 01 주어진 일차함수 y=-;a!; 양수이므로 x+ab의 그래프의 기울기와 y절편이 모두 y축에서 만나므로 두 그래프의 y절편은 서로 같다. 즉, b=-3 ∴ a+b =2-3=-1 답 ② >0에서 a<0 (기울기)=-;a!; (y절편)=ab>0이고 a<0이므로 b<0 답 a<0, b<0 02 일차함수의 그래프의 기울기는 그 절댓값이 작을수록 x축에 가깝다. 주어진 조건을 모두 만족시키는 일차함수를 y=ax+b라 할 때 조건 (가)에서 일차함수의 그래프의 기울기는 양수이므로 a>0 -1)을 지나므로 이 직선이 점 (-2, ∴ k=5 -1=-6+k 따라서 직선 y=3x+5에 y=0을 대입하면 ∴ x=-;3%; 0=3x+5 08 기울기가 3인 직선을 나타내는 일차함수의 식을 y=3x+k라 하자. 조건 (나)에서 a< |-;5@;| ∴ a< ;5@; 따라서 0<a< 를 만족시키는 일차함수의 식은 ;5@; ⑤ y=;5!; x+3 즉, 주어진 직선의 x절편은 이다. -;3%; 답 ④ 답 ⑤ 09 주어진 직선이 두 점 (-1, 1), (0, 3)을 지나므로 y절편은 3이고, 기울 3-1 기는 0-(-1) =2이다. 03 주어진 일차함수 y=ax-b의 그래프의 기울기는 양수이고, y절편은 음수이므로 (기울기)=a>0, (y절편)=-b<0에서 b>0 따라서 일차함수 y=bx-ab에서 에 나타내면 다음과 같다. -ab<0이므로 그래프를 좌표평면 (cid:90)(cid:30)(cid:67)(cid:89)(cid:14)(cid:66)(cid:67) (cid:89) (cid:90) 제(cid:19)사분면 (cid:48) (cid:14)(cid:66)(cid:67) 그러므로 일차함수 y=bx-ab의 그래프는 제2사분면을 지나지 않는다. 답 ② 04 두 점 (-2, 4), (k, 2)를 지나는 직선의 기울기는 2-4 k-(-2) = -2 k+2 이 직선이 일차함수 y=;2!; x-5의 그래프와 평행하므로 즉, 주어진 직선을 나타내는 일차함수의 식은 y=2x+3이므로 y=0을 대입하면 0=2x+3 ∴ x=-;2#; 따라서 직선 y=2x+3의 x절편은 -;2#; 이다. 답 ② 10 ① x절편은 -5, y절편은 2이다. ② 주어진 그래프의 기울기는 ( y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량) =;5@; 로 x의 그래프의 기울기와 같으므로 두 일차함수의 그래프는 서로 평행하다. y=;5@; ③ y=-x+5의 그래프의 기울기는 -1로 주어진 일차함수의 그래프와 평행하지 않으므로 한 점에서 만난다. ④ x의 값이 2만큼 증가하면 y의 값은 ;5@;_2=;5$; 만큼 증가한다. (cid:90) (cid:48) 한 점에서 만난다 (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:22) 답 -6 ⑤ 주어진 그래프의 y절편이 2이므로 y축의 방향으로 -2만큼 평행이 동하면 원점을 지난다. 따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 05 주어진 일차함수의 그래프는 두 점 (5, 0), (0, -4)를 지나므로 기울기는 로 서로 같아야 한다. ;2!; 즉, -2 k+2 =;2!; 에서 k+2=-4 ∴ k=-6 (기울기)= 0-(-4) 5-0 =;5$; (y절편)=-4 ∴ y=;5$; x-4 11 조건 (가)에서 두 일차함수 y=-4x+3과 y=ax+2a의 그래프가 평 행하므로 기울기를 비교하면 a=-4 조건 (나)에서 두 일차함수 y=3x+2a+6과 y=3x+b+4의 그래프 가 일치하고, 기울기가 같으므로 상수항을 비교하면 2a+6=b+4, -2=b+4 ∴ ab=(-4)_(-6)=24 ∴ b=-6 답 24 ∴ y=5x+3 일차함수 y=5x-4의 그래프를 y축의 방향으로 7만큼 평행이동하면 y=5x-4+7 ① 일차함수 y=5x+3에 y=0을 대입하면 ∴ x=-;5#; 0=5x+3 따라서 일차함수 y=5x+3의 그래프의 x절편은 -;5#; 이다. ② 일차함수 y=5x+3에 x=0을 대입하면 y=5_0+3=3 ③ 일차함수 y=5x+3의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제4사분면을 지나지 않 따라서 점 (0, 0)을 지나지 않는다. (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:22)(cid:89)(cid:12)(cid:20) (cid:20) (cid:14) (cid:20) (cid:14) (cid:22) (cid:89) (cid:48) 제(cid:21)사분면 따라서 직선 y=;5$; 기울기가 x-4와 평행한 일차함수의 그래프는 -4가 아니어야 하므로 이고, y절편은 ;5$; x-3이다. ③ y=;5$; 답 ③ 12 06 주어진 직선의 x절편이 3이고 y절편이 -4)를 지난다. 두 점 (3, 0), (0, 이 일차함수의 식을 y=ax+b라 하면 -4 -3 =;3$; -4-0 0-3 = , b=-4 a= -4이므로 따라서 구하는 직선을 나타내는 일차함수의 식은 y=;3$; x-4 답 ③ 07 일차함수 y=ax+b의 그래프는 일차함수 y=2x-7의 그래프와 평행 하므로 기울기는 a=2 일차함수 y=ax+b의 그래프는 일차함수 y=-;4!; x-3의 그래프와 는다. 56 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) ④ y=5x+3의 그래프의 기울기는 5, y=-5x+3의 그래프의 기울 기는 -5이므로 두 일차함수의 기울기가 다르다. 그러므로 두 일차함수의 그래프는 평행하지 않다. ⑤ x의 값이 1만큼 증가하면 y의 값은 5_1=5만큼 증가한다. 따라서 옳은 것은 ③이다. 답 ③ 13 주어진 일차함수의 그래프가 두 점 (-3, 2), (-1, 이 일차함수의 식을 y=mx+n이라 하면 -2)를 지나므로 m= -2-2 -4 -1-(-3) = -1+3 = -4 2 =-2 직선 y=-2x+n이 점 (-3, 2)를 지나므로 2=(-2)_(-3)+n=6+n ∴ n=-4 따라서 주어진 일차함수는 y=-2x-4이므로 x=0을 대입하면 y=-4, y=0을 대입하면 x=-2 즉, 이 그래프의 x절편은 ∴ ab=(-2)_(-4)=8 -2, y절편은 -4이므로 a=-2, b=-4 답 8 14 주어진 일차함수의 그래프가 두 점 (-2, 과 평행하므로 -1), (0, 3)을 지나는 직선 (기울기) 3-(-1) 0-(-2) = 3+1 0+2 =;2$;=2 = 따라서 구하는 일차함수의 식을 y=2x+b라 하자. -5)를 지나므로 이 그래프가 점 (-3, ∴ b=1 -5=2_(-3)+b 따라서 y=2x+1의 그래프가 점 (k, k+2)를 지나므로 k+2=2k+1 ∴ k=1 15 두 일차함수 y=ax+b와 y=10x+7의 그래프가 평행하므로 기울기가 같다. ∴ a=10 (기울기)>0이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가해야 한다. 따라서 x=-2일 때 함숫값은 y=-24, x=3일 때 함숫값은 y=26이어야 한다. 일차함수 y=10x+b에 x=-2, y=-24를 대입하면 -24=10_(-2)+b=-20+b ∴ b=20-24=-4 ∴ a+b=10+(-4)=6 (cid:90) (cid:19)(cid:23) (cid:90)(cid:30)(cid:18)(cid:17)(cid:89)(cid:14)(cid:21) (cid:9)(cid:14)(cid:19)≤(cid:89)≤(cid:20)(cid:10) (cid:14)(cid:19) (cid:20) (cid:48) (cid:14)(cid:21) (cid:89) (cid:14)(cid:19)(cid:21) 답 6 17 물탱크에 15분에 30 L씩 물을 넣으므로 1분에 ;1#5);=2(L)씩 물을 넣는다. 따라서 70 L의 물이 들어 있는 물탱크에 물을 넣기 시작한 지 x분 후의 물탱크의 물의 양을 y L라 하면 y=2x+70 yy ㉠ 이때 물탱크에는 200 L의 물을 담을 수 있으므로 ㉠에 y=200을 대입하면 200=2x+70, 2x=130 따라서 물탱크를 가득 채우는 데 65분이 걸린다. ∴ x=65 본문 244쪽 답 ⑤ 18 마당에 놓은 물의 온도는 8분이 지날 때마다 6 ¾씩 올라가므로 1분마다 물의 온도는 (¾)씩 올라간다. ;8^;=;4#; 따라서 마당에 놓은 지 x분 후의 물의 온도를 y ¾라 하면 x+10 y=;4#; 물의 온도가 19 ¾일 때의 시간을 구하기 위해 y=19를 대입하면 (cid:90) (cid:18)(cid:26) (cid:18)(cid:17) (cid:90)(cid:30)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:17) (cid:20) (cid:14) (cid:21) (cid:9)(cid:89)≥(cid:17)(cid:10) ;4#; x+10, x=9 19=;4#; ∴ x=12 따라서 물의 온도가 19 ¾가 되는 것은 마당에 물을 놓아둔 지 12분 후 (cid:18)(cid:19)분 (cid:18)(cid:19) (cid:48) (cid:89) 이다. 답 12분 19 고도를 h, 압력을 P라 하면 P=1-0.01_h 고도가 36 km이면 h=36이므로 =1-0.01_36=1-0.36 P =0.64 답 ⑤ 답 ③ 20 주어진 그래프가 두 점 (0, 24), (10, -36)을 지나는 직선이므로 기울기는 -36-24 10-0 =-;1^0);=-6, y절편은 24이다. 따라서 직선을 나타내는 일차함수의 식은 y=-6x+24이므로 y=0을 대입하면 0=-6x+24 따라서 기온이 0 ¾일 때 해발 고도는 4 km이다. ∴ x=4 답 ② Ⅴ - 1 1 . 일 차 함 수 와 일 차 방 정 식 의 관 계 11 일차함수와 일차방정식의 관계 16 실린더에 모래를 넣으면 3분에 4 cm씩 높이가 올라가므로 1분에 cm씩 높이가 올라간다. ;3$; 11-1 일차함수와 일차방정식 따라서 모래의 높이가 16 cm인 실린더에 모래를 x분 동안 넣은 후의 Step 1. 개념 다지기 모래의 높이를 y cm라 하면 x+16 yy ㉠ y=;3$; 이 성립한다. ➊ y=-;bA; x-;bC; 기본연습 1 모래의 높이가 40 cm가 될 때를 구하기 위해 ㉠에 y=40을 대입하면 x+16, x=24 ;3$; 40=;3$; ∴ x=18 따라서 모래의 높이가 40 cm가 되려면 실린더에 모래를 18분 동안 넣 (cid:48) (cid:18)(cid:25) (cid:89) (cid:18)(cid:23) (cid:90)(cid:30)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:18)(cid:23) (cid:21) (cid:14) (cid:20) (cid:9)(cid:89)≥(cid:17)(cid:10) (cid:90) (cid:21)(cid:17) (1) 2x-4y+6=0에서 4y=2x+6 ∴ y=;2!; (2) -10x+y-5=0 (3) 3x-2y+4=0에서 2y=3x+4 ∴ y=;2#; x+;2#; ∴ y=10x+5 x+2 (4) ;3{;-;2};-1=0에서 ;2};=;3{;-1 ∴ y=;3@; x-2 어야 한다. 답 18분 답 (1) y=;2!; x+;2#; (2) y=10x+5 (3) y=;2#; x+2 (4) y=;3@; x-2 Ⅴ. 일차함수 11. 일차함수와 일차방정식의 관계 57 연습 1 (1) 6x-3y-3=0에서 3y=6x-3 따라서 기울기는 2, y절편은 -1이다. (2) x-2y+4=0에서 2y=x+4 따라서 기울기는 , y절편은 2이다. ;2!; ∴ y=2x-1 ∴ y=;2!; x+2 (3) -2x-3y-4=0에서 3y=-2x-4 ∴ y=-;3@; x-;3$; 따라서 기울기는 -;3@; , y절편은 이다. -;3$; 답 (1) 2, -1 (2) ;2!; , 2 (3) -;3@; , -;3$; 11-2 직선의 방정식 ➊ 직선의 방정식 기본연습 2 (4) x-2y-3=2(2-y)에서 x-2y-3=4-2y 답 (1) 따라서 함수가 아니다. _ ∴ x=7 (2) ○ (3) ○ (4) _ 연습 2 ax+by+c=0이 함수이므로 b+0 일차함수가 아니므로 a=0 답 ③ 11-3 일차방정식 x=p, y=q의 그래프 ➊ (p, 0) ➋ y ➌ (0, q) ➍ x 기본연습 3 답 (1) (cid:90) (cid:89)(cid:30)(cid:20) (2) (cid:90) (cid:48) (cid:89) (cid:48) (cid:20) (cid:89) (cid:14)(cid:19) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19) 연습 3 답 (1) y=2 (2) x=2 (3) y=-1 11-4 연립일차방정식의 해와 그래프 ➊ 교점의 좌표 ➋ (p, q) 기본연습 4 (1) 두 그래프의 교점의 좌표가 (2, 2)이므로 주어진 연립일차방정식의 해는 x=2, y=2이다. (2) 두 그래프의 교점의 좌표가 (3, 는 x=3, y=-1이다. -1)이므로 주어진 연립일차방정식의 해 답 (1) x=2, y=2 (2) x=3, y=-1 연습 4 일차방정식의 해와 같다. (1) x+y=2에서 y=2-x이므로 2x-y=1에 대입하면 ∴ x=1 2x-(2-x)=1, 2x-2+x=1, 3x=3 x=1을 x+y=2에 대입하면 y=1 따라서 교점의 좌표는 (1, 1)이다. (2) x+2y=-4에서 x=-2y-4이므로 3x-y=2에 대입하면 3(-2y-4)-y=2, -6y-12-y=2, y=-2를 x=-2y-4에 대입하면 x=-2_(-2)-4=0 -2)이다. -7y=14 따라서 교점의 좌표는 (0, ∴ y=-2 답 (1) (1, 1) (2) (0, -2) 58 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) 본문 247쪽 11-5 연립일차방정식의 해의 개수와 그래프의 위치 관계 ➊ 교점 ➋ 무수히 많다. ➌ 해가 없다. ➍ 기울기가 다르다. 답 (1) 해가 없다. (2) 해가 무수히 많다. 기본연습 5 연습 5 + -1 (1) ;2A; (2) ;2A;= 1 =-1이므로 a+ -1 1 + 3 -b -2 이므로 a=-2, b+3 (3) ;2A;= -1 1 = 3 -b 이므로 a=-2, b=3 답 (1) a+ -2 (2) a=-2, b+3 (3) a=-2, b=3 Step 2. 대표 문제로 접근하기 02 ② 04 ② 05 ① 03 07 11 19 23 28 x=2, y=3 10 15 18 22 27 ③ 11 10 12 4 ④ 21 ② ② 06 제1사분면 01 09 14 17 21 26 31 36 ;2#; ④ 24 10 -8 ④ :ª3¼: ⑤ 분 32 80`m 33 :ª2Á: ③ 29 -;4!; 34 ⑤ 08 ÉaÉ6 ;3!; ② (1, -4) 12 16 20 y=;2!; x+;2!; 24 6 13 15 25 30 35 ① 1 ③ 유제 01 5x-2y-3=0에서 2y=5x-3 x-;2#; yy ㉠ ∴ y=;2%; 일차방정식 y=mx+n의 그래프의 기울기가 m이므로 a=;2%; x절편이 b이므로 ㉠에 x=b, y=0을 대입하면 0=;2%; b-;2#; , b=;2#; ;2%; ∴ b=;2#;_;5@;=;5#; ∴ ab=;2%;_;5#;=;2#; 유제 02 4x-7y+14=0에서 7y=4x+14 ∴ y=;7$; x+2 답 ;2#; 답 ② ∴ p=2 -3p+6=0 x=-3, y=0을 대입하면 p_(-3)+3_0+6=0, -3p=-6 p=2이므로 일차방정식 px+3y+6=0에서 2x+3y+6=0 일차방정식 2x+3y+6=0의 그래프가 점 (0, q)를 지나므로 x=0, y=q를 대입하면 2_0+3_q+6=0, 3q+6=0 3q=-6 ∴ ∴ q=-2 -pq=-2_(-2)=4 답 4 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표는 두 일차방정식으로 이루어진 연립 유제 03 일차방정식 px+3y+6=0의 그래프가 점 (-3, 0)을 지나므로 유제 04 일차방정식 4ax-2y+2b=0의 그래프가 점 (0, 4)를 지나므로 유제 08 직선 y=ax-2의 y절편은 a의 값 -8+2b=0 -2)를 지나 ∴ b=4 x=0, y=4를 대입하면 4a_0-2_4+2b=0, 2b=8 일차방정식 4ax-2y+2b=0의 그래프가 점 (-3, 므로 x=-3, y=-2, b=4를 대입하면 4a_(-3)-2_(-2)+2_4=0, -12a=-12 ∴ a+b=1+4=5 ∴ a=1 -12a+4+8=0 답 ② 유제 05 주어진 그래프는 y축에 평행하지 않으므로 a+0이다. x+ay+b=0에서 ay=-x-b ∴ y=-;a!; x-;aB; 따라서 주어진 그래프의 기울기는 -;a!; , y절편은 이고, -;aB; 기울기와 y절편은 모두 음수이므로 -;a!; <0, <0 -;aB; 이때 <0이므로 a>0이고 <0이므로 b>0이다. -;a!; -;aB; 따라서 옳은 것은 ①이다. 답 ① 유제 06 ax+by-c=0에서 by=-ax+c x+;bC; ∴ y=-;bA; 따라서 일차방정식 ax+by-c=0을 나타내는 그래프의 기울기는 , y절편은 이다. -;bA; ;bC; a<0, b<0이므로 <0 -;bA; b<0, c>0이므로 <0 ;bC; 따라서 일차방정식 ax+by-c=0 을 나타내는 그래프의 기울기와 y 절편이 모두 음수이므로 좌표평면 에 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같다. (cid:90) (cid:48) (cid:89) (cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:67)(cid:90)(cid:14)(cid:68)(cid:30)(cid:17) 유제 07 직선 y=;4&; x+b의 기울기는 b의 값에 관계없이 ;4&; 로 일정하다. Ú 직선 y=;4&; 를 지날 때 x+b가 점 A(-4, 2) x+b에 x=-4, y=;4&; y=2를 대입하면 2=-7+b (cid:90) (cid:9)(cid:74)(cid:10) (cid:9)(cid:74)(cid:74)(cid:10) (cid:34) (cid:19) (cid:18) (cid:35) (cid:14)(cid:19) (cid:48) (cid:89) (cid:14)(cid:21) x+b가 점 B(-2, 1)을 지날 때 y=;4&; x+b에 x=-2, y=1을 대입하면 1=-;2&;+b ∴ b=9 Û 직선 y=;4&; ∴ b=;2(; Ú, Û에 의하여 직선 y=;4&; x+b가 선분 AB와 만나지 않도록 하는 b의 값의 범위는 b< , b>9 ;2(; 즉, m=;2(; , n=9이므로 2(n-m)=2_{ 9-;2(;}=9 답 ④ 본문 251쪽 (cid:90) (cid:21) (cid:9)(cid:74)(cid:10) (cid:34) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:14)(cid:19) (cid:18) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:14)(cid:19) (cid:20) (cid:35) (cid:9)(cid:74)(cid:74)(cid:10) (cid:89) -2로 일정하다. 에 관계없이 Ú 직선 y=ax-2가 점 A(1, 4) 를 지날 때 y=ax-2에 x=1, y=4를 대입하면 4=a-2 Û 직선 y=ax-2가 점 B(3, ∴ a=6 -1)을 지날 때 y=ax-2에 x=3, y=-1을 대입하면 -1=3a-2, 3a=1 ∴ a=;3!; Ú, Û에 의하여 직선 y=ax-2가 선분 AB와 만나도록 하는 a의 값의 범위는 ÉaÉ6 ÉaÉ6 답 ;3!; ;3!; 유제 09 ① 직선 y=3은 x축에 평행하다. (cid:90) (cid:20) (cid:48) (cid:90)(cid:30)(cid:20) (cid:89) ② 2x=5에서 x=;2%; (cid:22) (cid:14) (cid:19) (cid:89)(cid:30) (cid:90) (cid:48) (cid:89) (cid:22) (cid:14) (cid:19) 는 y축에 평행하다. 직선 x=;2%; ③ 3x-6=0에서 3x=6 ∴ x=2 직선 x=2는 y축에 평행하다. ④ 3y-4x=1에서 3y=4x+1 x+;3!; ∴ y=;3$; 은 x축에 평행하다. 직선 y=-;3!; (cid:90) (cid:48) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14) (cid:18) (cid:14) (cid:20) (cid:90) (cid:48) (cid:89)(cid:30)(cid:19) (cid:19) (cid:89) Ⅴ - 1 1 . 일 차 함 수 와 일 차 방 정 식 의 관 계 따라서 그래프가 좌표축에 평행하지 않은 것은 ④이다. 답 ④ 유제 10 x축에 수직인 직선 위의 점들의 x좌표는 모두 같으므로 -2), (2a+6, 3)의 x좌표는 서로 같다. 두 점 (5a+4, 즉, 5a+4=2a+6이므로 ∴ a=;3@; 3a=2 유제 11 y+4=0에서 y=-4 x+1=0에서 x=-1 그러므로 네 직선으로 둘러싸인 부분을 좌표평면에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 구하는 넓이는 3_7=21 (cid:90) 답 ③ (cid:90)(cid:30)(cid:20) (cid:48) (cid:24) (cid:89) (cid:20) (cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:18) (cid:89)(cid:30)(cid:19) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:21) 답 21 Ⅴ. 일차함수 11. 일차함수와 일차방정식의 관계 59 그러므로 그래프가 지나지 않는 사분면은 제1사분면이다. 직선 y=;3$; x+;3!; ;3$; 의 기울기는 이므로 좌표축에 평행하지 않다. 답 제1사분면 ⑤ 3y+1=0에서 3y=-1 ∴ y=-;3!; 본문 255쪽 과 x=2는 y축에, 두 직선 y=;3$; 와 y=-;3@; 3x-y=9에 x=;2#; 을 대입하면 따라서 네 직선으로 둘러싸인 부분을 좌표평면에 나타내면 다음 5x+y=7에 x=;2#; 을 대입하면 :Á2°:+y=7 ∴ y=-;2!; ∴ C , -;2!;} {;2#; ;2(;-y=9 ∴ y=-;2(; ∴ D , -;2(;} {;2#; 유제 12 2x+3=0에서 2x=-3 ∴ x=-;2#; 3y=4에서 y=;3$; 3y+2=0에서 3y=-2 ∴ y=-;3@; 이때 두 직선 x=-;2#; 는 x축에 평행하다. 그림과 같다. (cid:90) (cid:48) (cid:90)(cid:30) (cid:21) (cid:14) (cid:20) (cid:89) (cid:19) (cid:14) (cid:20) (cid:90)(cid:30)(cid:14) (cid:89)(cid:30)(cid:14) (cid:20) (cid:14) (cid:19) (cid:89)(cid:30)(cid:19) 직사각형의 가로의 길이는 2-{-;2#;}=2+;2#;=;2&; 세로의 길이는 ;3$;-{-;3@;}=;3$;+;3@;=2 따라서 구하는 도형의 둘레의 길이는 2_{;2&; +2 }=2_:Á2Á:=11 답 ② 유제 13 직선 y=2가 두 직선 x=0, 2x-y=6과 만나는 점을 각각 A, B (cid:90)(cid:30)(cid:19) (cid:90) (cid:34) (cid:19) (cid:19)(cid:89)(cid:14)(cid:90)(cid:30)(cid:23) (cid:35) 라 하고, 직선 y=-4가 두 직선 x=0, 2x-y=6과 만나는 점을 각각 C, D라 하자. 점 A는 두 직선 x=0과 y=2의 교점 이므로 A(0, 2) 2x-y=6에 y=2를 대입하면 2x-2=6 ∴ B(4, 2) 점 C는 두 직선 x=0과 y=-4의 교점 이므로 C(0, -4) 2x-y=6에 y=-4를 대입하면 2x-(-4)=6 ∴ D(1, ∴ x=1 ∴ x=4 (cid:36) (cid:14)(cid:21) (cid:14)(cid:23) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:21) (cid:37) (cid:48) (cid:89) (cid:20) (cid:18) (cid:21) -4) 따라서 네 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 ;2!;_(1+4)_{2-(-4)}=;2!;_5_6=15 답 15 따라서 네 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는 ;2!;_[{-;2!;+;2(;}+{:Á2»:+:ª2Á:}]_{;2#;+;2!;}=;2!;_24_2=24 답 24 유제 15 연립일차방정식의 해는 두 일차방정식의 그래프의 교점이다. 따라서 교점의 좌표가 (2, 3)이므로 주어진 연립일차방정식의 해는 답 x=2, y=3 x=2, y=3 유제 16 두 일차방정식의 그래프의 교점은 연립일차방정식 [ 2x+y+2=0 yy ㉠ 4x+y=0 yy ㉡ 의 해와 같다. - ∴ x=1 ㉠ ㉡을 하면 -2x+2=0 x=1을 ㉡에 대입하면 4+y=0 ∴ y=-4 따라서 구하는 교점의 좌표는 (1, (cid:21)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:30)(cid:17) (cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:12)(cid:19)(cid:30)(cid:17) (cid:90) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:18) (cid:89) (cid:14)(cid:19) (cid:14)(cid:21) -4)이다. 답 (1, -4) 유제 17 두 직선 y=ax+b, y=-2x+4의 교점의 x좌표가 1이므로 y=ax+b에 x=1을 대입하면 y=a+b y=-2x+4에 x=1을 대입하면 y=(-2)_1+4=2 ∴ a+b=2 yy ㉠ 직선 y=ax+b의 y절편이 -1=a_0+b b=-1을 ㉠에 대입하면 a-1=2 ∴ aÛ`+bÛ`=3Û`+(-1)Û`=10 ∴ b=-1 -1이므로 ∴ a=3 답 10 유제 18 두 직선 y=6x+2, y=ax+20의 교점의 x좌표가 2이므로 y=6x+2에 x=2를 대입하면 y=6_2+2=14 y=ax+20에 x=2를 대입하면 y=a_2+20=2a+20 2a+20=14에서 2a=-6 ∴ a+k=(-3)+14=11 ∴ a=-3 ∴ k=14 답 11 유제 14 직선 x=-;2!; 이 두 직선 5x+y=7, 3x-y=9와 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 직선 x=;2#; 만나는 점을 각각 C, D라 하자. 이 두 직선 5x+y=7, 3x-y=9와 (cid:90) 유제 19 연립일차방정식 [ 3x-2y-4=0 yy ㉠ x+2y+3=0 yy ㉡ 에서 ㉠ ㉡을 하면 4x-1=0 + ∴ x=;4!; 5x+y=7에 x=-;2!; 을 대입하면 -;2%;+y=7 ∴ y=:Á2»: ∴ A , {-;2!; :Á2»:} 3x-y=9에 x=-;2!; 을 대입하면 -;2#;-y=9 ∴ y=-:ª2Á: ∴ B {-;2!; , -:ª2Á:} (cid:34) (cid:18)(cid:26) (cid:19) (cid:20)(cid:89)(cid:14)(cid:90)(cid:30)(cid:26) (cid:20) (cid:19) (cid:36) (cid:48) (cid:37) (cid:14) (cid:14) (cid:14) (cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) (cid:26) (cid:19) (cid:35) (cid:18) (cid:19) (cid:89)(cid:30)(cid:14) (cid:89)(cid:30) (cid:89)(cid:30) (cid:20) (cid:20) (cid:19) (cid:19) (cid:89) (cid:14) (cid:19)(cid:18) (cid:19) (cid:22)(cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:30)(cid:24) x=;4!; 을 ㉡에 대입하면 ;4!;+2y+3=0, 2y=-:Á4£: ∴ y=-:Á8£: x=;4!; 따라서 점 , -:Á8£:} {;4!; 을 지나고, y축에 평행한 직선의 방정식은 답 ② 유제 20 연립일차방정식 [ ㉠ ㉡을 하면 5x+5=0 + 3x+y+3=0 yy ㉠ 2x-y+2=0 yy ㉡ ∴ x=-1 에서 60 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) -3+y+3=0 x=-1을 ㉠에 대입하면 따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (-1, 0)이다. 두 점 (-1, 0), (3, 2)를 지나는 직선의 기울기는 ∴ y=0 2-0 3-(-1) =;2!; 이므로 직선의 방정식을 y=;2!; x+k라 하자. 이 직선이 점 (-1, 0)을 지나므로 0=-;2!;+k ∴ k=;2!; 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=;2!; x+;2!; 답 y=;2!; x+;2!; 유제 21 두 직선 3x-y-7=0, x-y-1=0의 교점을 먼저 구해 보자. 연립일차방정식 3x-y-7=0 yy ㉠ yy ㉡ x-y-1=0 [ 에서 - ∴ x=3 ㉡을 하면 2x-6=0 ㉠ x=3을 ㉡에 대입하면 3-y-1=0 따라서 두 직선 3x-y-7=0, x-y-1=0의 교점이 (3, 2)이고, 직선 2x+y+k=0도 점 (3, 2)를 지나야 하므로 ∴ k=-8 2_3+2+k=0 ∴ y=2 -8 답 유제 22 두 직선 y=-x+6, y=-3x+k의 교점은 두 직선 y=-x+6, y=4x-4의 교점과 같다. 연립일차방정식 y=-x+6 yy ㉠ yy ㉡ y=4x-4 [ 에서 - ∴ x=2 ㉡을 하면 0=-5x+10 ㉠ x=2를 ㉠에 대입하면 y=-2+6=4 따라서 두 직선 y=-x+6, y=4x-4의 교점이 (2, 4)이고, 직선 y=-3x+k도 점 (2, 4)를 지나야 하므로 4=(-3)_2+k ∴ k=10 답 10 유제 23 2x-ay=4에서 ay=2x-4, y=;a@; 2x-y=b에서 y=2x-b 두 직선의 교점이 존재하지 않으려면 두 직선이 평행해야 한다, x-;a$; 즉, ;a@;=2, -;a$; + -b이므로 a=1, b+4 답 ② 유제 24 두 직선 ax-9y=-5, 2x-3y=5의 교점이 존재하지 않는 경우 는 두 직선이 평행할 때이므로 를 만족해야 한다. + -5 5 -9 ;2A;= -3 ∴ a=6 유제 25 연립일차방정식 [ -3x+ay=5 x+b y=-;5#; 두 직선은 서로 일치한다. 답 6 에서 해가 무수히 많을 경우 -3x+ay=5에서 ay=3x+5, y=;a#; x+;a%; 즉, ;a#;=-;5#; ;a%;=b이므로 a=-5, b=-1 , 따라서 x+ay+b=0에 a=-5, b=-1을 대입하면 x-5y-1=0이고, 두 일차방정식 x-5y-1=0, x-ky-3=0 의 그래프가 서로 평행하므로 -5 -k + -1 -3 ;1!;= ∴ k=5 본문 260쪽 a -2 =:ª7Á: ∴ a=-6 ;3(;= 따라서 y=-6x+9의 그래프의 x절편은 y=0을 대입하면 0=-6x+9 ∴ x=;2#; 답 ④ 유제 27 두 직선 x-y-5=0, 3x-y-3=0의 교점의 좌표를 구해 보자. 연립일차방정식 x-y-5=0 yy ㉠ 3x-y-3=0 yy ㉡ [ 에서 ㉠ ㉡을 하면 - -2x-2=0 ∴ x=-1 ∴ y=-6 x=-1을 ㉠에 대입하면 -1-y-5=0 따라서 두 직선의 교점의 좌표는 -6)이므로 두 직선 (-1, x-y-5=0, 3x-y-3=0과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 ;2!;_(5-1)_6=12 (cid:20)(cid:89)(cid:14)(cid:90)(cid:14)(cid:20)(cid:30)(cid:17) (cid:90) (cid:48) (cid:14)(cid:18) (cid:18) (cid:22) (cid:89) (cid:89)(cid:14)(cid:90)(cid:14)(cid:22)(cid:30)(cid:17) (cid:14)(cid:20) (cid:14)(cid:22) (cid:14)(cid:23) 답 12 유제 28 연립일차방정식 x+y-5=0 yy ㉠ 4x-3y-6=0 yy ㉡ [ 에서 ㉠ + ㉡을 하면 3_ 3(x+y-5)+(4x-3y-6)=0 7x-21=0 ∴ x=3 x=3을 ㉠에 대입하면 3+y-5=0 따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (3, 2)이므로 두 직선 x+y-5=0, 4x-3y-6=0과 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 ∴ y=2 ;2!;_{5-(-2)}_3=:ª2Á: (cid:21)(cid:89)(cid:14)(cid:20)(cid:90)(cid:14)(cid:23)(cid:30)(cid:17) (cid:90) (cid:22) (cid:19) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:20) (cid:19) (cid:20) (cid:22) (cid:89) (cid:89)(cid:12)(cid:90)(cid:14)(cid:22)(cid:30)(cid:17) 답 :ª2Á: 유제 29 직선 x-4y+24=0의 x절편은 x+24=0에서 x=-24 -4y+24=0에서 y=6 직선 x-4y+24=0의 y절편은 따라서 점 P의 좌표는 (-24, 0), 점 Q의 좌표는 (0, 6)이므로 △POQ OQÓ OPÓ =;2!;_ _ =;2!;_24_6=72 직선 y=mx와 직선 x-4y+24=0이 만나는 점을 M이라 하면 △MPO △POQ =;2!; =;2!;_72=36 따라서 점 M의 y좌표를 k라 하면 (cid:90)(cid:30)(cid:78)(cid:89) (넓이)(cid:30)(cid:20)(cid:23) (cid:46) (cid:14)(cid:19)(cid:21) (cid:49) (cid:89)(cid:14)(cid:21)(cid:90)(cid:12)(cid:19)(cid:21)(cid:30)(cid:17) (cid:90) (cid:50) (cid:23) (cid:20) (cid:48) (cid:89) OPÓ =;2!;_ △MPO ∴ k=3 _k=;2!;_24_k=36 점 M은 직선 x-4y+24=0 위의 점이므로 x-12+24=0 따라서 점 M의 좌표는 (-12, 3)이고, 점 M은 직선 y=mx 위의 점이므로 ∴ x=-12 3=m_(-12)=-12m ∴ m=-;4!; 답 -;4!; Ⅴ - 1 1 . 일 차 함 수 와 일 차 방 정 식 의 관 계 유제 26 연립일차방정식 [ 9x+ay=21 yy ㉠ 3x-2y=7 yy ㉡ 경우는 두 일차방정식의 그래프가 일치할 때이므로 에서 해가 무수히 많을 연립하면 x+6=-3x+6 ;2#; ∴ x=0 (cid:35) (cid:14)(cid:21) (cid:20) (cid:90)(cid:30)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:23) (cid:19) (cid:19) (cid:48) (cid:37) (cid:36) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:20)(cid:89)(cid:12)(cid:23) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:89)(cid:12)(cid:67) 답 ① 유제 30 두 직선 y=;2#; x+6, y=-3x+6 의 교점을 A라 할 때, 두 직선을 (cid:90) (cid:34) (cid:23) Ⅴ. 일차함수 11. 일차함수와 일차방정식의 관계 61 본문 265쪽 ∴ x=-;2#; x=-;2#; 을 ㉠에 대입하면 y=-;2#;+2=;2!; 따라서 두 직선 l과 m의 교점의 좌표는 , 이므로 {-;2#; ;2!;} 구하는 도형의 넓이는 ;2!;_{2-(-1)}_;2#;=;2!;_3_;2#;=;4(; 답 ③ 유제 34 ac>0, bc<0이므로 a+0, b+0이다. ax+by+c=0에서 by=-ax-c ∴ y=-;bA; x-;bC; 그러므로 주어진 그래프의 기울기는 -;bA; , y절편은 이다. -;bC; bc<0에서 b, c의 부호는 반대이고, ac>0에서 a, c의 부호는 같 으므로 a, b의 부호는 반대이다. >0이므로 주어진 그래프의 기울기와 y절편은 즉, -;bA; >0, -;bC; 모두 양수이다. 따라서 그래프를 좌표평면에 그리면 ⑤와 같다. ∴ A(0, 6) x+6에 대입하면 x=0을 y=;2#; y=6 따라서 직선 y=ax+b가 점 (0, 6)을 지나므로 6=a_0+b 세 직선 y=;2#; 점을 각각 B, C, D라 할 때, ∴ b=6 x+6, y=-3x+6, y=ax+6과 x축이 만나는 x+6에서 x+6의 x절편은 0=;2#; ∴ B(-4, 0) 직선 y=;2#; x=-4 직선 y=-3x+6의 x절편은 0=-3x+6에서 x=2 △ABC ∴ C(2, 0) =;2!;_6_6=18이고, 직선 y=ax+6은 △ABC를 이등분하므로 △ABD △ACD = =;2!;_18=9 BDÓ =k라 하면 △ABD =;2!;_k_6=3k 이때 3k=9, k=3이므로 D(-1, 0) 따라서 직선 y=ax+6의 x절편이 0=-a+6 ∴ a=6 따라서 직선 y=6x-6의 x절편은 1이다. -1이므로 답 1 유제 35 ㄱ. 2(x+1)=-p에서 답 ⑤ 유제 31 양초 A의 그래프는 두 점 (0, 30), (15, 0)을 지나므로 y절편은 30, 그래프의 기울기는 0-30 ∴ y=-2x+30 양초 B의 그래프는 두 점 (0, 50), (10, 0)을 지나므로 y절편은 50, 그래프의 기울기는 0-50 15-0 =-2 yy ㉠ 10-0 =-5 yy ㉡ ∴ y=-5x+50 ㉡을 ㉠에 대입하면 -5x+50=-2x+30 -3x=-20 ∴ x=:ª3¼: 따라서 두 양초 A, B의 길이가 같아지는 때는 분 후이다. :ª3¼: 답 분 :ª3¼: 유제 32 지원이의 그래프는 두 점 (0, 40), (40, 200)을 지나므로 y절편은 40, 그래프의 기울기는 200-40 40-0 =4 ∴ y=4x+40 효수의 그래프는 두 점 (0, 0), (25, 200)을 지나므로 y절편은 0, 그래프의 기울기는 200-0 yy ㉠ 25-0 =8 yy ㉡ ∴ x=10 ∴ y=8x ㉡을 ㉠에 대입하면 8x=4x+40 x=10을 ㉡에 대입하면 y=8_10=80 따라서 효수와 지원이가 달리기 시합 도중 만나는 곳은 출발선으로부터 80 m 떨어진 지점이다. 답 80 m 유제 33 직선 l이 두 점 (-2, 0), (0, 2)를 지나므로 직선 l의 방정식은 y=x+2 yy ㉠ 직선 m이 두 점 (-1, 0), (0, 직선 m의 방정식은 y=-x-1 yy ㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x+2=-x-1, 2x=-3 -1)을 지나므로 62 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) (cid:90) (cid:48) (cid:89) x+1=-;2P; ∴ x=-;2P;-1 ㄴ. 2(3x-2p)=9에서 3x-2p=;2(; 3x=;2(;+2p x=;3!;{;2(;+2p } ∴ x=;2#;+;3@; p ㄷ. 3y=7에서 y=;3&; ㄹ. 3y+4=0에서 3y=-4 ∴ y=-;3$; (cid:90) (cid:48) (cid:81) (cid:19) (cid:90)(cid:30) (cid:24) (cid:20) (cid:89) (cid:21) (cid:20) (cid:90)(cid:30)(cid:14) (cid:20) (cid:19) (cid:19) (cid:81)(cid:12) (cid:20) (cid:89)(cid:30)(cid:14) (cid:14)(cid:18) (cid:89)(cid:30) 네 직선으로 둘러싸인 도형은 직사각형이다. 직사각형의 가로의 길이를 구하면 {;2#;+;3@; p }-{-;2P;-1 }=;2#;+;3@; p+;2P;+1 =;6$; p+;6#; p+;2#;+;2@; p+;2%; 직사각형의 세로의 길이를 구하면 =;6&; 이때 -;2P;-1<0, ;2#;+;3@; p>0이므로 네 직선 x=-;2P;-1, p, y=;3&; x=;2#;+;3@; 둘러싸인 도형을 색칠하면 다음 그림과 같다. , y=-;3$; 를 좌표평면에 그린 후 네 직선으로 이때 도형의 넓이는 22이므로 직사각형의 넓이 공식에 의하여 ;3&;-{-;3$;}=:Á3Á: 22={;6&; p+;2%;}_:Á3Á: 22_;1£1;=;6&; p+;2%; p+;2%; 6=;6&; 36=7p+15 7p=36-15 7p=21 ∴ p=3 유제 36 연립일차방정식 2x-y-6=0 yy ㉠ yy ㉡ -x+y=k [ 에서 + ∴ x=k+6 ㉠ ㉡을 하면 x-6=k x=k+6을 ㉡에 대입하면 ∴ y=2k+6 -k-6+y=k 따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (k+6, 2k+6)이다. 이때 교점이 제4사분면 위에 있을 조건은 k+6>0이고 2k+6<0 즉, 상수 k의 값의 범위는 -6<k<-3 따라서 a=-6, b=-3이므로 ab=(-6)_(-3)=18 답 ⑤ Step 3. 단원 마무리하기 02 07 12 17 01 06 11 16 20 ⑤ 13 2 -3 3 ② ③ ⑤ 03 08 13 5 ② ② 04 09 14 ③ ④ ⑤ 분 18 4ÉkÉ :Á7°: :Á2Á: 05 -2 ④ 10 15 19 ② ④ 01 x-y+2=0에 x=0, y=0을 각각 대입하면 0-y+2=0에서 y=2, x-0+2=0에서 x=-2이므로 x절편은 -2, y절편은 2이다. 이를 좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같다. (cid:90) (cid:19) (cid:89)(cid:14)(cid:90)(cid:12)(cid:19)(cid:30)(cid:17) (cid:14)(cid:19) (cid:48) (cid:89) 이 그래프는 제1, 2, 3사분면을 지나며 일차함수 y=-x의 그래프와 한 점에서 만난다. x-y+2=0에 x=-1, y=1을 대입하면 점 (-1, 1)을 지난다. 따라서 옳은 것은 ⑤이다. -1-1+2=0이므로 답 ⑤ 02 3x-5y-2=0에 y=0을 대입하면 3x-2=0 ∴ x=;3@; 3x=2 3x-5y-2=0에 x=0을 대입하면 ∴ y=-;5@; -5y=2 -5y-2=0 본문 268쪽 따라서 일차방정식 3x-5y-2=0의 그래프는 두 점 , 0 과 } {;3@; 0, { -;5@;} 를 지나므로 좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같다. (cid:20)(cid:89)(cid:14)(cid:22)(cid:90)(cid:14)(cid:19)(cid:30)(cid:17) (cid:89) (cid:19) (cid:14) (cid:20) (cid:90) (cid:48) (cid:14) (cid:19) (cid:14) (cid:22) 답 ③ 따라서 일차함수 3x-5y-2=0의 그래프는 제2사분면을 지나지 않는다. 답 ② 03 점 (a, 2)가 일차방정식 x+4y-7=0의 그래프 위의 점이므로 a+4_2-7=0, a+1=0 ∴ a=-1 마찬가지로 x=-5, y=b를 일차방정식 x+4y-7=0에 대입하면 -5+4_b-7=0, 4b=12 ∴ b=3 ∴ a+2b=-1+2_3=-1+6=5 답 5 04 두 일차방정식의 그래프의 교점의 좌표가 (-2, 5)이므로 두 일차방정 Ⅴ - 1 1 . 일 차 함 수 와 일 차 방 정 식 의 관 계 답 ③ 답 13 식에 x=-2, y=5를 각각 대입하면 -2a-5=5, 2a=-10 -2+5b=-7, 5b=-5 ∴ ab=(-5)_(-1)=5 ∴ a=-5 ∴ b=-1 05 2x-y=4 yy ㉠ x-3y=-3 yy ㉡ [ 에서 ㉡ - ∴ y=2 ∴ x=3 _2를 하면 5y=10 ㉠ y=2를 ㉠에 대입하면 2x-2=4 따라서 직선 ax+2y=7과 직선 3x+by=3은 점 (3, 2)를 지나므로 x=3, y=2를 각각의 직선의 방정식에 대입하면 3a+4=7 9+2b=3 ∴ a+b=1+(-3)=-2 ∴ a=1 ∴ b=-3 -2 06 점 (2k+3, k-1)이 일차방정식 3x-7y=3의 그래프 위의 점이므로 답 3x-7y=3에 x=2k+3, y=k-1을 대입하면 3_(2k+3)-7_(k-1)=3 6k+9-7k+7=3 -k+16=3 -k=-13 ∴ k=13 07 연립일차방정식 [ 3x-y=-2 x-2y=1 ㉡을 하면 5x=-5 yy ㉠ yy ㉡ ∴ x=-1 에서 ㉠ _2- ∴ y=-1 -1)이다. -2인 일차함수의 식을 -1)을 지나고 기울기가 x=-1을 ㉠에 대입하면 -3-y=-2 따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (-1, 점 (-1, y=-2x+k라 하자. 이 그래프가 점 (-1, -1=2+k 따라서 구하는 일차함수의 식은 y=-2x-3 -1)을 지나므로 ∴ k=-3 답 ③ 08 점 (-1, 4)를 지나고 x축에 수직인 직선의 방정식은 x=-1 -3)을 지나고 y축에 수직인 직선의 방정식은 y=-3 점 (2, 따라서 두 직선 x=-1과 y=-3의 교점의 좌표는 (-1, -3)이다. 답 ② 09 (a-5)x+y=1 [ ax-4y=b 의 각 방정식을 그래프로 나타내었을 때 Ⅴ. 일차함수 11. 일차함수와 일차방정식의 관계 63 (cid:23) ∴ a>0, b>0, c<0 또는 a<0, b<0, c>0 답 ② 두 직선이 평행하므로 연립일차방정식의 해는 없다. 주어진 연립일차방정식에서 y의 계수를 같게 만들면 -4(a-5)x-4y=-4 [ ax-4y=b -4+b -4(a-5)=a, 이므로 -4(a-5)=a에서 ∴ a=4 따라서 a, b의 조건은 a=4, b+ -4a+20=a, 5a=20 -4이다. 답 ④ 10 연립일차방정식 의 해가 무수히 많을 경우는 x-3y=5 ax+by=10 [ 두 직선이 일치하는 경우이므로 -3 ;a!;= b =;1°0; ∴ a=2, b=-6 a=2, b=-6을 y=ax-b에 대입하면 y=2x+6이므로 일차함수 y=2x+6의 그래프가 지나지 않는 사분면은 제4사분면이다. (cid:90) (cid:90)(cid:30)(cid:19)(cid:89)(cid:12)(cid:23) (cid:14)(cid:20) (cid:48) (cid:89) 답 ④ 11 y+2a=0에서 y=-2a x+1=0에서 x=-1 두 직선 x=2와 x=-1은 y축에, 두 직선 y=-2a, y=a+1은 x축에 평행하다. 이때, -2a<0, a+1>0이므로 주어진 네 직선을 좌표평면에 그린 후 네 직선으로 둘러싸인 도형을 색칠하면 다음 그림과 같다. (cid:90) (cid:66)(cid:12)(cid:18) (cid:90)(cid:30)(cid:66)(cid:12)(cid:18) (cid:14)(cid:18) (cid:48) (cid:19) (cid:89) (cid:14)(cid:19)(cid:66) (cid:89)(cid:30)(cid:14)(cid:18) (cid:89)(cid:30)(cid:19) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19)(cid:66) 네 직선으로 둘러싸인 도형은 직사각형이다. 도형의 가로의 길이를 구하면 2-(-1) =2+1=3 도형의 세로의 길이를 구하면 =a+1+2a (a+1)-(-2a) =3a+1 도형의 넓이는 21이므로 직사각형의 넓이 공식에 의하여 21=3_(3a+1) 7=3a+1 -3a=1-7 -3a=-6 ∴ a=2 12 일차방정식 ax+by+1=0의 그래프는 x축에 수직이므로 a+0, b=0이다. ax+by+1=0에 b=0을 대입한 후, 이를 ‘x= ax+1=0 ■’의 꼴로 정리하면 64 중학수학 뜀틀 개념편 중2 (상) ax=-1 ∴ x=-;a!; 이 제1사분면과 제4사분면을 직선 x=-;a!; 지나기 위해서는 좌표평면에 오른쪽 그림과 같이 그려져야 한다. >0이어야 하므로 a<0이다. 즉, -;a!; 답 ⑤ 본문 270쪽 (cid:90) (cid:48) (cid:18) (cid:89)(cid:30)(cid:14) (cid:66) (cid:18) (cid:14) (cid:66) (cid:89) 13 주어진 그래프는 x축 또는 y축에 평행하지 않으므로 a+0, b+0이다. ax+by+c=0에서 by=-ax-c ∴ y=-;bA; x-;bC; 따라서 주어진 그래프의 기울기는 -;bA; , y절편은 이다. -;bC; 주어진 그래프의 기울기는 음수이고 y절편은 양수이므로 -;bA; -;bC; <0에서 >0 >0에서 <0 ;bA; ;bC; 14 직선 y=;4!; -8, 2이므로 x+2의 x절편과 y절편이 각각 두 점 A, B의 좌표는 A(-8, 0), B(0, 2) 점 M은 선분 BO의 중점이므로 M(0, 1) 따라서 두 점 A(-8, 0), M(0, 1)을 지나는 직선 l의 기울기는 1-0 0-(-8) =;8!; 답 ⑤ 15 직선 y=;3$; x가 두 직선 x=3, (cid:90) (cid:21) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:3)(cid:3)(cid:89) (cid:20) (cid:34)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:21)(cid:10) y=-1과 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 두 직선 x=3, y=-1의 교점을 C라 하자. x에 x=3을 대입하면 y=;3$; y=4이므로 A(3, 4) y=;3$; x에 y=-1을 대입하면 -1=;3$; x ∴ x=-;4#; ∴ B {-;4#; , -1 } , C(3, -1) (cid:20) (cid:14) (cid:35)(cid:3)(cid:14)(cid:3)(cid:3)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:18) (cid:21)(cid:9)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:10) (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:18) (cid:36)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:18)(cid:10) (cid:89)(cid:30)(cid:20) (cid:48) (cid:90) BCÓ =3-{-;4#;}=3+;4#;=:Á4°: =4-(-1)=5 삼각형 ABC는 ∠C ACÓ =90ù인 직각 삼각형이므로 삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;_ BCÓ ACÓ =;2!;_:Á4°:_5=:¦8°: _ (cid:20) (cid:14) (cid:35)(cid:3)(cid:14)(cid:3)(cid:3)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:18) (cid:21)(cid:9)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:10) (cid:48) (cid:18)(cid:22) (cid:14) (cid:21) (cid:34)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:21)(cid:10) (cid:22) (cid:89) (cid:36)(cid:9)(cid:20)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:18)(cid:10) 답 ② 답 2 16 두 점 (1, 5), (5, -3)을 지나는 직선의 기울기는 -3-5 5-1 =-2이므 로 직선의 방정식을 y=-2x+k라 하자. 이 직선이 점 (1, 5)를 지나므로 5=-2+k 그러므로 구하는 직선의 방정식은 y=-2x+7이다. ∴ k=7 연립일차방정식 [ ㉠을 ㉡에 대입하면 y=-2x+7 yy ㉠ yy ㉡ y-x-1=0 -2x+7-x-1=0, 3x=6 에서 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 y=-4+7=3 따라서 직선 y+ax+3=0은 점 (2, 3)을 지나므로 3+2a+3=0 ∴ a=-3 17 수진이는 12분 동안 300 m를 걸었고 (거리) (시간) (속력)= 학교까지 걸어갔다. 이므로 수진이는 분당 25 m의 일정한 속력으로 준형이는 5분 동안 300 m를 자전거를 타고 이동했다. 따라서 300 5 =60이므로 준형이는 분당 60 m의 일정한 속력으로 학교까지 갔다. 답 -3 의 넓이는 (cid:66)(cid:12)(cid:19) (cid:36) (cid:37) (cid:90)(cid:30)(cid:66) CHÓ =a-(-2)=a+2 따라서 사각형 ABDC _ ABÓ CHÓ =7_(a+2) =7a+14 7a+14=42이므로 ∴ a=4 7a=28 (cid:90) (cid:48) 본문 272쪽 (cid:89) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19) (cid:35)(cid:9)(cid:24)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:10) 답 ④ (cid:41) (cid:34)(cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:10) (cid:24) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:14)(cid:19) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:22) 20 x+2y-6=0에서 2y=-x+6 ∴ y=-;2!; x+3 따라서 수진이가 출발한 시간에 대한 수진이와 준형이의 이동 거리를 ax-4y-8=0에서 4y=ax-8 ∴ y=;4A; x-2 x와 y 사이의 관계식으로 나타내면 수진`:`y=25x, 준형`:`y=60(x-3) 연립일차방정식 y=25x y=60(x-3) [ 을 풀면 x=:£7¤: 이므로 준형이는 출발한 지 :£7¤:-3=:Á7°: (분) 후에 수진이를 앞선다. 답 분 :Á7°: x-2의 기울기는 양수이다. a>0이므로 직선 y=;4A; 그러므로 두 직선을 좌표평면에 그리면 다음과 같다. (cid:90) (cid:20) (cid:48) (cid:14)(cid:19) (cid:66) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:14)(cid:19) (cid:21) (cid:76) (cid:89) (cid:18) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:20) (cid:19) 18 직선 y=-;4#; x+k의 그래프의 기울기는 k의 값에 관계없이 일정하다. 두 직선의 교점의 x좌표를 k라 하고 색칠한 부분의 넓이를 구하면 ∴ k=4 ;2!;_{3-(-2)}_k=;2!;_5_k=10 x=4를 x+2y-6=0에 대입하면 4+2y-6=0, 2y=2 ∴ y=1 따라서 두 직선의 교점의 좌표는 (4, 1)이므로 x=4, y=1을 ax-4y-8=0에 대입하면 4a-4-8=0, 4a=12 ∴ a=3 답 3 Ⅴ - 1 1 . 일 차 함 수 와 일 차 방 정 식 의 관 계 Ú 직선 y=-;4#; A(2, 4)를 지날 때 x+k가 점 (cid:34) 4=-;4#;_2+k 4=-;2#;+k ∴ k=4+;2#;=:Á2Á: (cid:90) (cid:21) (cid:18) (cid:48) Û 직선 y=-;4#; x+k가 점 B(4, 1)을 지날 때 1=-;4#;_4+k, 1=-3+k ∴ k=4 (cid:9)(cid:74)(cid:10) (cid:20) (cid:14) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:3)(cid:3)(cid:89)(cid:12)(cid:76) (cid:21) (cid:89) (cid:19) (cid:35) (cid:21) (cid:9)(cid:74)(cid:74)(cid:10) Ú, Û에 의하여 직선 y=-;4#; x+k가 선분 AB와 만나도록 하는 k의 값의 범위는 4ÉkÉ 이다. :Á2Á: 답 4ÉkÉ :Á2Á: 19 직선 y=-2가 두 직선 y=-x-2, y=-x+5와 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 직선 y=a가 두 직선 y=-x-2, y=-x+5와 만나는 점을 각각 C, D라 하자. y=-x-2에 y=-2를 대입 하면 ∴ x=0 따라서 점 A의 좌표는 -2=-x-2 (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:19) (cid:90)(cid:30)(cid:66) (cid:37) (cid:48) (cid:36) (cid:89) (cid:90) (cid:34)(cid:9)(cid:17)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:10) (cid:35)(cid:9)(cid:24)(cid:13)(cid:65)(cid:14)(cid:19)(cid:10) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:12)(cid:22) (cid:90)(cid:30)(cid:14)(cid:89)(cid:14)(cid:19) -2)이다. (0, y=-x+5에 y=-2를 대입 하면 -2=-x+5 따라서 점 B의 좌표는 (7, 두 직선 y=-2와 y=a는 평행하고, 두 직선 y=-x-2와 y=-x+5 는 평행하므로 사각형 ABDC는 평행사변형이다. ∴ x=5+2=7 -2)이다. =7-0=7 ABÓ 점 C에서 직선 y=-2에 내린 수선의 발을 H라 하면 Ⅴ. 일차함수 11. 일차함수와 일차방정식의 관계 65
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