2020년 천재교육 최강 TOT 수학 중 1-1 (15년 개정) 답지

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정답과 풀이
1-1중

I  소인수분해  ................................................  02

II  정수와 유리수  ...........................................  16

III  문자와 식  ...................................................  31

IV  좌표평면과 그래프  ...................................  53

I
소인수분해

01

소인수분해

확인  1   답 ③

① 20 이하의 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19의 8개이다.

③ 가장 작은 합성수는 4이다.

⑤  1은 약수의 개수가 1개, 소수는 약수의 개수가 2개, 합성수는

약수의 개수가 3개 이상이다.

확인  2   답 2

2Ú

=2, 2Û

=4, 2Ü

=8, 2Ý

=16, 2Þ

=32, y와 같이 2의 거듭제곱의

`

`

`
일의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6이 반복된다.
이때 2017=4_504+1이므로 22017의 일의 자리의 숫자는 2이다.

`

`

1 답  ⑴ 합성수  ⑵ 합성수  ⑶ 홀수

⑴ 221=13_17이므로 합성수이다.

⑵   a, b가 소수일 때, a_b의 약수는 1, a, b, a_b이므로 a_b는

⑶  제곱수를  소인수분해하면  지수가  모두  짝수이므로  제곱수의

합성수이다.

약수의 개수는 홀수이다.

참고

aµ

_bÇ

``

(a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)의 약수의 개수
`

➡ (m+1)_(n+1)개

2 답 ⑴ ×  ⑵ ×  ⑶ ◯

⑴  1의 약수의 개수는 1개, 소수의 약수의 개수는 2개, 합성수의

약수의 개수는 3개 이상이다.

⑵  약수의 개수가 3개인 수는 (소수)Û

의 꼴이므로 구하는 수는 2Û
`

`

,

3Û

, 5Û

, 7Û

의 4개이다.

`

`

`

⑶  2를 제외한 소수는 모두 홀수이므로 어떤 자연수가 서로 다른

세 소수의 곱으로 소인수분해될 때, 세 소수의 합이 짝수이면

세 소수 중 하나는 2이다.

확인  3   답 ②, ③

108=2Û

_3Ü

이므로 108의 소인수는 2, 3이다.

`

`

4-1 답 2, 5, 27

확인  4   답 ①

`

`

`

`
`
④ 80=2Ý

⑤ 96=2Þ

`

① 2Û

_5Ý

의 약수의 개수는 (2+1)_(4+1)=15(개)

② 2Ü

_7의 약수의 개수는 (3+1)_(1+1)=8(개)

③ 3Û

_5Ü

의 약수의 개수는 (2+1)_(3+1)=12(개)

_5의 약수의 개수는 (4+1)_(1+1)=10(개)

`
_3의 약수의 개수는 (5+1)_(1+1)=12(개)

따라서 약수의 개수가 가장 많은 것은 ①이다.

4-2 답 42

n이 자연수이므로

이 자연수가 되려면 2_n+1은 110

110
2_n+1

의 약수이면서 홀수이어야 한다.

2_n+1=1, 5, 11, 55

∴ n=0, 2, 5, 27

따라서 구하는 자연수 n의 값은 2, 5, 27이다.

n이 자연수이므로

이 자연수가 되려면 2_n-1은 90

90
2_n-1

의 약수이면서 홀수이어야 한다.

2_n-1=1, 3, 5, 9, 15, 45

∴ n=1, 2, 3, 5, 8, 23

따라서 구하는 모든 자연수 n의 값의 합은

1+2+3+5+8+23=42

3의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이어야 하므로

72 ☐ 에서 7+2+☐=9+☐

위의 식이 3의 배수가 되려면 ☐=0, 3, 6, 9

Ú ☐=0일 때, 720=2Ý

`
Û ☐=3일 때, 723=3_241

_3Û

`

_5

Ü ☐=6일 때, 726=2_3_11Û

`

Ý ☐=9일 때, 729=3ß

=27Û

`

`

Ú ~ Ý에 의해 ☐ 안에 알맞은 수는 9이다.

STEP 1

억울하게 울리는 문제

pp. 008 ~ 010

1   ⑴ 합성수  ⑵ 합성수  ⑶ 홀수

5-1 답 9

2   ⑴ ×  ⑵ ×  ⑶ ◯

3   ⑴ 소수  ⑵ 홀수

4-1  2, 5, 27

5-1  9

6-1  9

7-1  1

8-1  14

9-1  5

02   정답과 풀이

4-2  42

5-2  436

6-2  1

7-2  9

8-2  17

9-2  7

4의 배수가 되려면 끝의 두 자리의 수가 00 또는 4의 배수이어야

하므로 주어진 숫자를 사용하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수 중

에서 4의 배수는 ☐ 04, ☐ 12, ☐ 20, ☐ 24, ☐ 32, ☐ 40, ☐ 52의

8-2 답 17

따라서 x=8, y=4, z=2이므로

x+y+z=8+4+2=14

이 중 가장 큰 수는 540이고, 가장 작은 수는 104이므로 구하는 차

Ú 2가 한 번만 곱해진 수는 2, 6, 10, 14의 4개

1부터 15까지의 자연수 중에서

5-2 답 436

꼴이다.

는 540-104=436

6-1 답 9

A =B_12+21

=12_B+12+9

=12_(B+1)+9

따라서 자연수 A를 12로 나눌 때의 나머지는 9이다.

참고

☐_◯+☐_△=☐_(◯+△)

6-2 답 1

A=3_m+2

B=3_n+1

A를 3으로 나누었을 때 몫을 m이라 하면 나머지가 2이므로

B를 3으로 나누었을 때 몫을 n이라 하면 나머지가 1이므로

2_A+3_B =2_(3_m+2)+3_(3_n+1)

=6_m+4+9_n+3

=6_m+9_n+7

=6_m+9_n+6+1

=3_(2_m+3_n+2)+1

따라서 2_A+3_B를 3으로 나누었을 때의 나머지는 1이다.

7Ú

=7, 7Û

=49, 7Ü

=343, 7Ý

=2401, 7Þ

`

`

`
`
듭제곱의 일의 자리의 숫자는 7, 9, 3, 1이 반복된다.
이때 1988=4_497이므로 271988의 일의 자리의 숫자는 1이다.

`

=16807, y과 같이 7의 거

3Ú

=3, 3Û

=9, 3Ü

=27, 3Ý

=81, 3Þ

=243, y과 같이 3의 거듭제곱

`

`

`
의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1이 반복된다.
이때 2018=4_504+2이므로 332018을 10으로 나누었을 때 나머

`

`

7-1 답 1

7-2 답 9

지는 9이다.

8-1 답 14

1_2_3_4_5_6_7_8_9_10

=1_2_3_2Û

_5_(2_3)_7_2Ü

_3Û

_(2_5)

`

`

=2¡

_3Ý

_5Û

`

`

`
_7

`

2가 두 번만 곱해진 수는 4, 12의 2개

2가 세 번만 곱해진 수는 8의 1개

따라서 1_2_3_ y_15를 소인수분해했을 때, 소인수 2의

지수 a의 값은 1_4+2_2+3_1=11

Û 3이 한 번만 곱해진 수는 3, 6, 12, 15의 4개

3이 두 번만 곱해진 수는 9의 1개

따라서 1_2_3_y_15를 소인수분해했을 때, 소인수 3의

지수 b의 값은 1_4+2_1=6

Ú, Û에 의해 a+b=11+6=17

245를 소인수분해하면 245=5_7Û

`

245에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 소인수

의 지수가 모두 짝수이어야 하므로 곱하는 수는 5_(자연수)Û

의
`

꼴이어야 한다.

따라서 가장 작은 자연수는 5이다. 즉 a=5

9-1 답 5

9-2 답 7

300을 소인수분해하면 300=2Û

_3_5Û

`
300을 자연수로 나누어 어떤 자연수의 제곱이 되게 하려면 소인수

`

의 지수가 모두 짝수이어야 하므로 나누는 수는 300의 약수이면서

3_(자연수)Û

의 꼴이어야 한다.
`

따라서 가장 작은 자연수는 3이다. 즉 a=3

이때

300
3

=100=10Û
`

∴ b-a=10-3=7

이므로 10의 제곱이 된다. 즉 b=10

STEP 2

반드시 등수 올리는 문제

pp. 011 ~ 016

10  ⑴ f(105)=0, `f(288)=5  ⑵ 16, 48, 80

01  8, 16, 32

04  74쌍

07  33

11  90

14  273

17  18

20  10

23  928

02  749040

03  1345

05  ⑤

08  ⑤

06  6개

09  ①

12  161

13  158

15  ⑴ 29  ⑵ 102  16  ③, ⑤

18  228

21  105

24  156

19  ②, ④

22  12

I. 소인수분해   03

37=b_q+5 (b>5)이므로 b_q=32

연수)로 놓으면

이때 b는 32의 약수 중 5보다 큰 수이므로 구하는 자연수는 8, 16,

(n-1)+n+(n+1)=12k (단, k는 자연수)

두 자연수 a, b에 대하여 a를 b로 나누었을 때의 몫을 q, 나머지를 r라 하면

인 자연수가 4의 배수이면 된다. 이때 4의 배수는 4, 8, 12, y, 296

01 답 8, 16, 32

나눈 수를 b, 몫을 q라 하면

32이다.

전략

a=b_q+r (단, 0Ér<b)

02 답 749040

세 자리의 자연수 749 뒤에 3개의 숫자를 붙여 만든 6자리의 자연

은 3n으로 간단해진다.

04 답 74쌍

연속하는 세 자연수를 n-1, n, n+1(n은 2 이상 299 이하인 자

3n=12k

∴  n=4k

따라서 연속하는 세 자연수의 합이 12의 배수가 되려면 가운데 놓

의 74개이므로 구하는 쌍은 모두 74쌍이다.

연속하는 세 자연수를 n-1, n, n+1(n-1¾1)로 놓으면 세 수의 합

① 2는 소수이지만 짝수이다.

② 63=3Û

_7이므로 소인수는 3, 7이다.

`

③ 소수가 아닌 자연수는 1 또는 합성수이다.

④ a=3, b=5이면 a+b=3+5=8

  즉 a, b는 소수이지만 a+b는 소수가 아닐 수도 있다.

조건 ㈏에 의해 n의 약수는 1과 n뿐이므로 n은 소수이다.

조건 ㈎에 의해 10 이상 30 이하의 소수는 11, 13, 17, 19, 23, 29

전략

05 답 ⑤

06 답 6개

의 6개이다.

전략

07 답 33

조건 ㈏에서 n의 약수는 1과 n뿐임을 알 수 있다.

n=p_q(p, q는 p<q인 소수)라 하면

n의 약수는 1, p, q, n이다.

이때 자연수 n의 모든 약수의 합이 n+15이므로

1+p+q+n=n+15

∴  p+q=14

이때 p, q는 모두 소수이므로 p=3, q=11

∴ n=p_q=3_11=33

수를 749abc (a, b, c는 0 또는 한 자리의 자연수)라 하자.

749abc가 4의 배수이면서 5의 배수가 되려면

749abc, 즉 749ab0이 4의 배수이려면

c=0

b=0, 2, 4, 6, 8

7+4+9+a+b+c, 즉 20+a+b가 3의 배수가 되려면

a+b=1, 4, 7, 10, 13, 16

이를 만족하는 a, b의 값을 (a, b)로 나타내면

b=0일 때, (1, 0), (4, 0), (7, 0)

b=2일 때, (2, 2), (5, 2), (8, 2)

b=4일 때, (0, 4), (3, 4), (6, 4), (9, 4)

b=6일 때, (1, 6), (4, 6), (7, 6)

b=8일 때, (2, 8), (5, 8), (8, 8)

따라서 구하는 가장 작은 자연수는 749040이다.

  ① 3의 배수 : 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수인 수

  ② 4의 배수 : 끝의 두 자리의 수가 00 또는 4의 배수인 수

  ③ 5의 배수 : 일의 자리의 숫자가 0 또는 5인 수

전략

•배수 판별법

03 답 1345

1부터 2017까지의 자연수 중에서 3으로 나누었을 때 나머지가

1인 수는 1, 4, 7, y, 2014, 2017의 673개이므로

a=1+4+7+y+2014+2017

yy ㉠

1부터 2017까지의 자연수 중에서 3으로 나누었을 때 나머지가

2인 수는 2, 5, 8, y, 2012, 2015의 672개이므로

전략

yy ㉡

n=p_q (p, q는 소수)이면 n의 약수는 1, p, q, p_q뿐이다.

a-b  =(-1)+(-1)+(-1)+y+(-1)+2017

( \ | | | { | \ | | 9

08 답 ⑤

1부터 2017까지의 자연수 중에서 3으로 나누었을 때 나머지가 1인 수는

3m+1(m=0, 1, 2, y, 672), 3으로 나누었을 때 나머지가 2인 수는

3n+2(n=0, 1, 2, y, 671)로 나타낼 수 있다. 이때 a의 값과 b의 값

③  정사각형 모양의 조각 120개를 사용하여 직사각형 모양을 만

을 각각 구하여 계산하는 것보다 식을 그대로 놓고 계산하는 것이 편리하

드는 방법은 1_120, 2_60, 3_40, 4_30, 5_24, 6_20,

8_15, 10_12의 8가지이다.

①   정사각형 모양의 조각 31개를 사용하여 직사각형 모양을 만드

는 방법은 1_31의 1가지이다.

②   정사각형 모양의 조각 32개를 사용하여 직사각형 모양을 만드

는 방법은 1_32, 2_16, 4_8의 3가지이다.

b=2+5+8+y+2015

이때 ㉠-㉡ 을 하면

672개
  =-672+2017=1345

전략

다.

04   정답과 풀이

⑤  정사각형 모양의 조각의 개수가 4개이면 직사각형 모양을 만드

는 방법은 1_4, 2_2의 2가지이다.

e=f_g=3_7=21
c=d_e=2_21=42

a=b_c=2_42=84

삼각형의 세 각의 크기의 합은 180ù이고, 180은 짝수이다.

이때 2를 제외한 소수는 모두 홀수이므로 세 소수의 합이 짝수가

전략

되려면 세 소수 중 하나는 반드시 2이어야 한다.

따라서 세 각 중 한 각의 크기는 반드시 2ù이므로

10보다 작은 소수 2, 3, 5, 7 중에서 b=d, b+d+f=g를 만족하는 b,
d, f, g의 값을 각각 구한다.

∴  a+b+c+d+e+f+g =84+2+42+2+21+3+7
=161

(짝수)+(짝수)=(짝수), (홀수)+(홀수)=(짝수),

(짝수)+(홀수)=(홀수), (홀수)+(짝수)=(홀수)

10 답 ⑴ f(105)=0, f(288)=5  ⑵ 16, 48, 80

⑴ 105=3_5_7이므로 f(105)=0

  288=2Þ

_3Û

`

이므로 f(288)=5
`

⑵    f(x)=4를 만족하는 자연수 x를 x=2Ý

_k (k는 2의 배수가

`

13 답 158

127127 =127_1000+127

=127_(1000+1)

=127_1001

=127_7_11_13

7+11+13+127=158

전략

09 답 ①

x=2

참고

   ⋮

전략

11 답 90

므로

`

`

아닌 자연수)라 하면

  k=1일 때, x=16_1=16

  k=3일 때, x=16_3=48

  k=5일 때, x=16_5=80

  k=7일 때, x=16_7=112

  따라서 구하는 두 자리의 자연수 x는 16, 48, 80이다.

⑵에서 f(x)=4를 만족하는 자연수 x는 x=2Ý

_k (k는 2의 배수가 아

닌 자연수)의 꼴이어야 한다.

54_a=2_3Ü

_a, 30_b=2_3_5_b가 모두 자연수 c의 제

`

곱이 되려면 소인수의 지수가 모두 짝수이어야 한다.

2_3Ü

_a=2_3_5_b=cÛ

에서 c의 값은 가능한 한 작아야 하
`

2_3Ü

_(2_3_5Û

)  =2_3_5_(2_3Ü

_5)

`

=(2_3Û

_5)Û

`

`

54와 30을 각각 소인수분해하여 54_a와 30_b의 소인수의 지수가 모

`

`

b, d, f, g는 모두 10보다 작은 소수이고 10보다 작은 소수는 2, 3,
5, 7이므로

∴ c=2_3Û

_5=90

`

전략

두 짝수가 되도록 한다.

12 답 161

b=d=2

f=3

따라서 127127의 소인수는 7, 11, 13, 127이므로 구하는 합은

127127=127000+127이고, 1001을 소인수분해하면

1001=7_11_13임을 이용한다.

14 답 273

<n>=23이고 23은 홀수이므로 자연수 n을 소인수분해하였을

때, n의 서로 다른 소인수 3개는 모두 홀수이다.

23=3+7+13=5+7+11이므로 <n>=23을 만족하는 가장

작은 자연수 n의 값은

n=3_7_13=273

전략

을 이용한다.

2를 제외한 모든 소수는 홀수이고, (홀수)+(홀수)+(홀수)=(홀수)임

15 답 ⑴ 29  ⑵ 102

⑴ 48=2Ý

_3이므로

`

   f(48)=2+2+2+2+3=11

  540=2Û

_3Ü

_5이므로

`

`

   f(540)=2+2+3+3+3+5=18

  ∴ f(48)+f(540)=11+18=29

⑵   12=2+2+3+5=2+3+7이므로

  Ú 12=2+2+3+5에서 x=2Û

_3_5=60

`

  Û 12=2+3+7에서 x=2_3_7=42

  Ú, Û에 의해 구하는 모든 자연수 x의 값의 합은

  60+42=102

전략

I. 소인수분해   05

g=b+d+f=2+2+3=7

⑵ 12를 서로 다른 3개의 소인수의 합으로 나타내어 본다.

_7Û

이므로 1225의 약수를 구하기 위한 표를 만들면 다

자연수 A가 A=aµ

_bÇ

``

(a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)으로
`

16 답 ③, ⑤

1225=5Û

`
음과 같다.

`

또는

_

1

7

7Û`

_

1

5

5Û`

1

1_1

7_1

④ 7Û

_1

`

1

1_1

5_1

④ 5Û

_1

`

① 1_5

③ 7_5

7Û

_5

`

5

7

① 1_7

③ 5_7

5Û

_7

`

5Û

`
② 1_5Û

7_5Û

`
_5Û

⑤ 7Û

`

7Û

`
② 1_7Û

5_7Û

`
_7Û

⑤ 5Û

`

`

`

`

`

따라서 항상 7의 배수인 것은 ③, ⑤이다.

전략

주어진 표를 완성해 본다.

17 답 18

60=2Û

_3_5이므로 60의 소인수는 2, 3, 5이다.

`

∴ a=2+3+5=10

72=2Ü

_3Û

이므로 72의 약수의 개수는

`

`
(3+1)_(2+1)=12

∴  b=12

약수의 개수가 2개인 수는 소수이고 한 자리의 소수는 2, 3, 5, 7의

4개이므로 c=4

∴ a+b-c=10+12-4=18

자연수 A가 A=aµ

_bÇ`` (a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)으로

``

소인수분해될 때, (A의 약수의 개수)=(m+1)_(n+1)개임을 이용

전략

한다.

18 답 228

48=2Ý

_3이므로

`

∴ x=124

<48>=(1+2+2Û

+2Ü

+2Ý

)_(1+3)=124

`

`

`

124=2Û

_31이므로

`

{124}=(2+1)_(1+1)=6

∴ y=6

이때 124=2Û

_31, 6=2_3이므로

`

<x> =<124>

)_(1+31)
=(1+2+2Û
`

=7_32=224

{y} ={6}

=(1+1)_(1+1)

=2_2=4

∴ <x>+{y}=224+4=228

06   정답과 풀이

전략

소인수분해될 때,

(A의 약수의 총합)

=(aµ

의 약수의 총합)_(bÇ
``
=(1+a+aÛ

+y+aµ
``

`

의 약수의 총합)
`

)_(1+b+bÛ

+y+bÇ

)

``

`

19 답 ②, ④

`

`

① 3Ý

_3=3Þ

의 약수의 개수는 5+1=6(개)

② 3Ý

_7의 약수의 개수는 (4+1)_(1+1)=10(개)

③ 3Ý

_9=3Ý

_3Û

=3ß

의 약수의 개수는 6+1=7(개)

`
=3á

④ 3Ý

⑤ 3Ý

_3Þ

`
_2_3Ý

`

`

`
=2_3¡

`

의 약수의 개수는 9+1=10(개)

의 약수의 개수는

  (1+1)_(8+1)=18(개)

따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ②, ④이다.

`

`

`

`

`

전략

a에 각 보기의 수를 넣어서 약수의 개수를 구해 본다.

20 답 10

약수의 개수가 홀수이려면 소인수분해하였을 때 소인수의 지수가

모두 짝수이어야 하므로 (자연수)Û

300 이하의 자연수 중에서 (자연수)Û

의 꼴이어야 한다.
`

의 꼴인 자연수는
`

1Û

, 2Û

, 3Û

, y, 17Û

의 17개

`

`

`
`
약수의 개수가 3개인 수는 (소수)Û

의 꼴이므로 300 이하의 자연수
`

중에서 (소수)Û

2Û

, 3Û

, 5Û

, 7Û

의 꼴인 자연수는
`
, 11Û

의 7개

, 17Û

, 13Û

`

`

`
`
따라서 x=17, y=7이므로 x-y=17-7=10

`

`

`

전략

•약수의 개수에 따른 자연수의 분류

  ① 약수의 개수가 1개인 수 : 1

  ② 약수의 개수가 2개인 수 : 소수

  ③ 약수의 개수가 3개인 수 : (소수)Û

의 꼴인 수

`

  ④ 약수의 개수가 홀수 개인 수 : 제곱수

21 답 105

`

84=2Û

_3_7이므로 84에 자연수 a를 곱하여 약수의 개수가 홀

수가 되게 하려면 소인수의 지수가 모두 짝수이어야 하므로

a=3_7_(자연수)Û

의 꼴이어야 한다.
`

따라서 100 이하의 자연수 중 가능한 a의 값은

a=3_7_1Û

=21, a=3_7_2Û

`
따라서 구하는 합은 21+84=105

`

=84

전략

의 꼴이다.

약수의 개수가 홀수이려면 소인수분해하였을 때 소인수의 지수가 모두

짝수이어야 한다. 즉 어떤 수의 약수의 개수가 홀수이려면 그 수는 (자연수)Û
``

22 답 12

72=2Ü

_3Û

이므로

`

`

f(72)=(3+1)_(2+1)=12

f(72)_f(x)=72에서 12_f(x)=72

∴   f(x)=6

Ú x=aÞ

(a는 소수)의 꼴일 때,
`

  가장 작은 자연수는 2Þ

=32

Û  x=aÛ

_b (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴일 때,

`

  가장 작은 자연수는 2Û

_3=12

Ú, Û에 의해 x의 값 중 가장 작은 자연수는 12이다.

`

`

전략

먼저 f(72)를 구하여 f(x)의 값을 구한다.

23 답 928

15=1_15=3_5이므로 소인수분해하였을 때,
a14 (a는 소수) 또는 aÛ

(a, b는 서로 다른 소수)의 꼴이어야
_bÝ
`

`

한다.
Ú a14의 꼴일 때,
  214>999이므로 a14을 만족하는 세 자리의 자연수는 없다.

Û aÛ

_bÝ

`

의 꼴일 때,
`

  가장 작은 세 자리의 자연수는 3Û

_2Ý

=144

  가장 큰 세 자리의 자연수는 7Û

`
Ú, Û에 의해 세 자리의 자연수 중에서 가장 작은 수와 가장 큰 수

`

`
_2Ý

`
=784

STEP 3

전교 1등 확실하게 굳히는 문제

pp. 017 ~ 019

1  a=2, b=2, c=3, d=2, e=1

2  231112

4  11개

6  5, 20

3  40

5  12개

1 답 a=2, b=2, c=3, d=2, e=1

주어진 방법으로 지우고 남은 자연수는 다음과 같다.

51

61

71

81

91

52

62

72

82

92

53

63

73

83

93

54

64

74

84

94

55

65

75

85

95

56

66

76

86

96

57

67

77

87

97

58

68

78

88

98

59

69

79

89

99

60

70

80

90

100

51부터 60까지의 자연수 중 남은 자연수는 53, 59의 2개이므로

61부터 70까지의 자연수 중 남은 자연수는 61, 67의 2개이므로

71부터 80까지의 자연수 중 남은 자연수는 71, 73, 79의 3개이므

81부터 90까지의 자연수 중 남은 자연수는 83, 89의 2개이므로

91부터 100까지의 자연수 중 남은 자연수는 97의 1개이므로

…… 20 %

…… 20 %

…… 20 %

…… 20 %

…… 20 %

a=2

b=2

로 c=3

d=2

e=1

전략

문제에서 주어진 방법으로 자연수를 차례대로 지운다.

의 합은 144+784=928

전략
210=1024이므로 214>210>999

24 답 156

은 자연수)이라 하면

조건 ㈏에 의해 a+b+c=18

로 a=2

즉 2+b+c=18에서 b+c=16

aÂ

_bµ

`

``
야 한다.

`

Ú a=2, b=3, c=13일 때,

  2Û

_3_13=156

Û a=2, b=5, c=11일 때,

  2Û

_5_11=220

`

`

전략

구하는 수를 aÂ

_bµ

_cÇ

`

``

(a, b, c는 a<b<c인 소수이고 l, m, n
`

이때 세 소수의 합은 짝수이고 2를 제외한 소수는 모두 홀수이므

2 답 231112

198=2_3Û

_11이므로 소인수는 2, 3, 11이다.

`
또, 198의 약수의 개수는

(1+1)_(2+1)_(1+1)=12(개)

따라서 구하는 휴대전화의 비밀번호는 231112이다.

∴ a=2, b=3, c=13 또는 a=2, b=5, c=11

조건  ㈎에  의해  약수의  개수가  12개이고  12=2_2_3이므로

_cÇ

이 가장 작은 자연수이려면 l=2, m=1, n=1이어

전략

198을 소인수분해하여 주어진 방법으로 휴대전화의 비밀번호를 구한다.

Ú, Û에 의해 조건을 만족하는 가장 작은 자연수는 156이다.

이때 한석이가 이기려면 4점 이상 받아야 하므로 가능한 x의 값은

18=2_3Û

=2_3_3이므로 민수가 받은 점수는 3점이다.

자연수 A가 A=aÂ`_bµ``_cÇ` (a, b, c는 서로 다른 소수이고 l, m, n

은 자연수)으로 소인수분해될 때,

(A의 약수의 개수)=(l+1)_(m+1)_(n+1)개임을 이용한다.

3 답 40

`

x=2_2_2_2=16,

x=2_2_2_3=24

따라서 구하는 합은

16+24=40

I. 소인수분해   07

4점 이상 받을 수 있는 자연수를 나열해 본다. 이때 30 이하의 자연수를

02

최대공약수와 최소공배수

확인  1   답 17, 25, 143

28=2Û

_7이고

`

154=2_7_11

17=1_17, 20=2Û

_5, 25=5Û

, 91=7_13, 143=11_13,

`

`

소인수분해하였을 때 소인수 7이 있어야 하므로 두 자리의 자연수

따라서 28과 서로소인 것은 17, 25, 143이다.

14=2_7, 21=3_7, 28=2Û

_7, 35=5_7, 42=2_3_7,

`

49=7Û

84=2Û

`

, 56=2Ü

_7, 63=3Û

`

`
_3_7, 91=7_13, 98=2_7Û

`

의 13개이다.

`

이때 77=7_11, 91=7_13의 2개는 가장 큰 소인수가 7이 아니

_7, 70=2_5_7, 77=7_11,

확인  2   답 7

_5, 2`_3º`의 최소공배수가 2Ý

_3Ü

_5이므로

`

`

므로 가능한 A의 값은 13-2=11(개)

전략

소인수분해하였을 때 소인수 7이 있어야 하므로 A는 7의 배수이다.

2`_3Û

`
2`=2Ý`

∴  a=4

3º

`

=3Ü

∴  b=3

`
∴ a+b=4+3=7

확인  3   답 3개

5 답 12개

가능한 한 많은 학생에게 똑같이 나누어 주려면 학생 수는 24, 72,

공이 4개 들어 있는 상자에 적힌 수는 약수의 개수가 4개이고,

56의 최대공약수이어야 한다.

4=1_4=2_2이므로 약수의 개수가 4개인 수는 (소수)Ü

의 꼴
`

또는 a_b (a, b는 서로 다른 소수)의 꼴이다.

따라서  구하는  수는  2Ü

,  3Ü

,  2_3,  2_5,  2_7,  2_11,  2_13,

`

`

2_17, 3_5, 3_7, 3_11, 5_7이므로 공이 4개 들어 있는 상자

(최대공약수)=2Ü

24=2Ü

_3

72=2Ü

_3Û`

`

`

`

`
=8

56=2Ü

_3Û`_7

공이 4개 들어 있는 상자에 적힌 수의 약수의 개수는 4개임을 이용한다.

이때 약수의 개수가 4개인 수는 (소수)Ü

의 꼴 또는 a_b (a, b는 서로 다

`

른 소수)의 꼴이다.

전구의 전원이 ON이 되려면 번호의 약수의 개수가 홀수이어야

이때 24, 72, 56의 최대공약수는 8이므로 한 학생에게 나누어 줄

수 있는 귤의 개수는

24Ö8=3(개)

확인  4   답 252

cm

`

쌓아 올린 블록의 높이가 처음으로 같아질 때, 쌓아 올린 블록의

높이는 18, 28, 42의 최소공배수이다.

_5_n의 소인수의 지수가 짝수이

의 꼴이어야 한다.

`

(최소공배수)=2Û

_3Û

_7=252

`

`

이때 18, 28, 42의 최소공배수는 252이므로 쌓아 올린 블록의 높

약수의 개수가 홀수이려면 3Û

`
어야 하므로 n=5_(자연수)Û

Ú n=5_1Û

=5일 때,

`

`

`

  3Û

_5_n=3Û

_5_5=225

Û n=5_2Û

=20일 때,

  3Û

_5_n=3Û

_5_20=900

Ü n=5_3Û

=45일 때,

  3Û

_5_n=3Û

_5_45=2025

`

`

`

`

`

`

  이때 전구는 1000개뿐이므로 n의 값이 될 수 없다.

Ú~Ü에 의해 구하는 자연수 n의 값은 5, 20이다.

A=12_a, B=12_b (a, b는 a>b인 서로소)라 하면

전구의 전원이 ON이 되려면 번호의 약수의 개수가 홀수이어야 함을 이

18=2 _3Û

`
_3 _7

28=2Û

`
42=2 _3 _7

이는 252

cm이다.

`

확인  5   답 A=60, B=12

A, B의 최대공약수가 12이므로

A, B의 최소공배수가 60이므로

60=12_a_b에서 a_b=5

이때 a>b이므로 a=5, b=1

∴ A=12_5=60, B=12_1=12

전략

찾는다.

4 답 11개

중 7의 배수는

는 12개이다.

전략

6 답 5, 20

한다.

전략

용한다.

08   정답과 풀이

STEP 1

억울하게 울리는 문제

pp. 022 ~ 024

1  ⑴ 공약수  ⑵ 서로소가 아니다  ⑶ 짝수  ⑷ 배수

어떤 자연수는 62-2=60, 75-3=72, 101-5=96의 공약수

2  ⑴ ◯  ⑵ _

3  ⑴ 서로소  ⑵ 최소공배수

4-1  1, 2, 3, 6

5-1  ①

6-1  60

7-1  72000원

8-1  5회

4-2  5개

5-2  ⑤

6-2  54

7-2  70개

8-2  9명

1 답  ⑴ 공약수  ⑵ 서로소가 아니다  ⑶ 짝수  ⑷ 배수

⑵  111=3_37, 150=2_3_5Û

이므로 111과 150의 최대공약

`

수는 3이다.

  따라서 111과 150은 서로소가 아니다.

⑶  모든 짝수는 2의 배수이므로 서로 다른 두 짝수의 최대공약수

는 1이 아니다.

  따라서 서로 다른 두 짝수는 서로소가 될 수 없다.

⑷ a=b_k (k는 자연수)이면 a와 b의 최대공약수는 b이다.

2 답 ⑴ ◯  ⑵ _

두 자연수 A, B의 최대공약수가 G, 최소공배수가 L일 때,

A=a_G, B=b_G (a, b는 서로소)라 하면

⑴ A_B=G_L이므로 L은 A_B의 약수이다.

⑵ L=a_b_G이므로 L과 G의 최대공약수는 G이다.

  따라서 L과 G는 서로소가 아니다.

이 모두 자연수가 되려면 n은 12와 30의 공약수이어야 한다.

4-1 답 1, 2, 3, 6

12
n

,

30
n

12=2Û

_3

`
30=2 _3_5

(최대공약수)=2 _3=6

4-2 답 5개

;6!;

;9!;

수이다.

6=2_3

9= _3Û

`
=18

`

(최소공배수)=2_3Û

따라서 12와 30의 최대공약수는 6이므로 구하는 자연수 n의 값은

6의 약수인 1, 2, 3, 6이다.

이나

중 어느 것을 곱해도 자연수가 되는 수는 6과 9의 공배

따라서 6과 9의 최소공배수는 18이고 1과 100 사이의 18의 배수

는 18, 36, 54, 72, 90의 5개이다.

5-1 답 ①

중 5보다 큰 수이다.

60=2Û

_3 _5

72=2Ü

_3Û

`

96=2Þ

_3

`
_3=12

`

`

`

(최대공약수)=2Û

수는 6, 12의 2개이다.

5-2 답 ⑤

5=2 _5

8=2Ü

`
10=2 _5

따라서 60, 72, 96의 최대공약수는 12이고 12의 약수 중 5보다 큰

어떤 자연수를 n이라 하면 n+3은 5, 8, 10의 공배수이다.

(최소공배수)=2Ü
_5=40
`

이때 5, 8, 10의 최소공배수는 40이고 40의 배수 중 500에 가장 가

까운 수는 480과 520이다.

Ú n+3=480일 때, n=477

Û n+3=520일 때, n=517

따라서 500에 가장 가까운 수는 517이다.

6-1 답 60

A, B의 최대공약수가 6이므로

A=6_a, B=6_b (a, b는 a>b인 서로소)라 하면

6_a_b=126

∴  a_b=21

즉 a=7, b=3 또는 a=21, b=1

이때 A, B는 두 자리의 자연수이므로 a=7, b=3

따라서 A=6_7=42, B=6_3=18이므로

A+B=42+18=60

6-2 답 54

하면

36, A, 90의 최대공약수가 18이므로 A=18_a (a는 자연수)라

36=18_2, 90=18_5이고 540=18_2_3_5이므로 a가 될

수 있는 수는

a=3, 3_2, 3_5, 3_2_5

따라서 A의 값 중 가장 작은 수는 a=3일 때이므로

가능한 한 큰 정육면체 모양으로 나누려면 떡의 한 모서리의 길이

는 48, 36, 24의 최대공약수이어야 한다.

A=18_3=54

7-1 답 72000원

48=2Ý

_3

36=2Û

_3Û

`

`

`

24=2Ü

_3

`
(최대공약수)=2Û
_3=12
`

I. 소인수분해   09

이때 48, 36, 24의 최대공약수는 12이므로 가로는 48Ö12=4(개),

세로는 36Ö12=3(개), 높이는 24Ö12=2(개)로 나누어진다.

따라서 만들 수 있는 떡의 개수는 4_3_2=24(개)이므로 총 판

매 금액은

24_3000=72000(원)

7-2 답 70개

만들 수 있는 정사각형의 한 변의 길이는 63과 90의 공약수이다.

_5_7

63=2 _3Û

`
90=2 _3Û

_5

`
=9

`

(최대공약수)=2 _3Û

이때 63과 90의 최대공약수는 9이고 정사각형의 넓이가 50

`
  이하이므로  구하는  정사각형의  한  변의  길이는
`

이상  100

cmÛ

cmÛ

`

`

9

cm이다.

`
따라서 가로는 63Ö9=7(개), 세로는 90Ö9=10(개)로 나누어

지므로 만들어지는 정사각형의 개수는

7_10=70(개)

버스 번호가 소수인 2번, 17번, 31번 버스의 배차 간격은 각각 12

8-1 답 5회

분, 8분, 6분이다.

12=2Û

_3

`

8=2Ü

`
6=2 _3

STEP 2

반드시 등수 올리는 문제

pp. 025 ~ 029

01  180

02  96

03  ③

05  126

06  24, 216

08  8개

11  24

14  24명

17  18개

cm

20  55

`
23  5월 16일

09  12

12  180

15  472장

18  5

cm

`

24  4일

21  오전 11시 10분

360=2Ü

_5이므로

_3Û

`

`
_5와 2Ý

`

`
`
따라서 두 번째로 큰 공약수는

`

2Ü

_3Û

_3Ü

_5_7의 최대공약수는 2Ü

_3Û

_5이다.

`

`

04  13

07  48

10  80

13  24

16  15개

19  2091년

22  37회

01 답 180

2Û

_3Û

_5=180

`

`

02 답 96

조건 ㈎에서 n과 80=2Ý

_5의 최대공약수는 16=2Ý

이고, 조건

㈏에서 n과 120=2Ü

_3_5의 최대공약수는 24=2Ü

_3이므로 n

`

`

`

`

은 2Ý

_3을 인수로 갖지만 5를 소인수로 갖지 않는다.

이를 만족하는 n의 값 중 조건 ㈐를 만족하는 것은

n=2Ý

_3_1=48, n=2Ý

_3_2=96

`

`
따라서 자연수 n의 값 중에서 가장 큰 값은 96이다.

`

전략

80과 16을 각각 소인수분해하고, 120과 24를 각각 소인수분해하여 n의

(최소공배수)=2Ü
_3=24
`

이때 12, 8, 6의 최소공배수는 24이므로 세 버스는 24분 간격으로

조건을 확인한다.

동시에 출발한다.

따라서 오전 6시에 동시에 출발한 후 6시 24분, 6시 48분, 7시 12

분, 7시 36분, 8시, 8시 24분, 8시 48분, y에 동시에 출발하므로

28=2Û

_7, 42=2_3_7이므로 28과 42의 최대공약수는

오전 7시부터 오전 9시 사이에 세 버스가 동시에 출발하는 것은 총

03 답 ③

`

2_7

∴ [28, 42]=(1+1)_(1+1)=4

①  4=2Û

, 12=2Û

_3이므로 4와 12의 최대공약수는 2Û

`

`

`

  ∴ [4, 12]=2+1=3

  이때 4와 3의 최대공약수는 1이므로

② 5와 12의 최대공약수는 1이므로 [5, 12]=1

  이때 4와 1의 최대공약수는 1이므로

  [4, [5, 12]]=[4, 1]=1

③  6=2_3, 12=2Û

_3이므로 6과 12의 최대공약수는 2_3

`
  ∴ [6, 12]=(1+1)_(1+1)=4

  이때 4와 4의 최대공약수는 4=2Û

`
  [4, [6, 12]]=[4, 4]=2+1=3

이므로

④ 7과 12의 최대공약수는 1이므로 [7, 12]=1

1학년 전체 학생 수를 n명이라 하면 n-5는 8, 10, 12의 공배수

  [4, [4, 12]]=[4, 3]=1

8=2Ü

`
10=2 _3_5

12=2Û

_3

(최소공배수)=2Ü
`

`
_3_5=120

사이의 수는 480이므로

n-5=480

∴  n=485

이때 8, 10, 12의 최소공배수는 120이고 120의 배수 중 400과 500

따라서 485명을 한 조에 14명씩 나누어 조를 편성하면

  이때 4와 1의 최대공약수는 1이므로

485=14_34+9이므로 남는 학생 수는 9명이다.

  [4, [7, 12]]=[4, 1]=1

5회이다.

8-2 답 9명

이다.

10   정답과 풀이

⑤   8=2Ü

, 12=2Û

_3이므로 8과 12의 최대공약수는 2Û

전략

`

`

`

  ∴ [8, 12]=2+1=3

  이때 4와 3의 최대공약수는 1이므로

  [4, [8, 12]]=[4, 3]=1

따라서 a의 값이 될 수 없는 것은 ③이다.

두 자연수 A, B의 최대공약수가 G일 때,

A=a_G, B=b_G (a, b는 서로소)라 하면

A_B=(a_G)_(b_G)=a_b_GÛ`

두 수 A, B의 공약수의 개수는 A, B의 최대공약수의 약수의 개수와 같다.

07 답 48

A=aµ

_bÇ` (a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)으로 소인수분해될

두 수 84와 A의 최대공약수가 12이고 84=12_7이므로

때, (A의 약수의 개수)=(m+1)_(n+1)개

전략

``

04 답 13

1014=2_3_13Û

`

05 답 126

전략

전략

두 자연수 A, B는 서로소가 아니고 A<B이므로

Ú A=2_13=26, B=3_13=39

  ∴ B-A=39-26=13

Û A=13, B=2_3_13=78

  ∴ B-A=78-13=65

Ú, Û에 의해 B-A의 최솟값은 13이다.

1014=2_3_13Û

이고 두 자연수 A, B가 서로소가 아니므로 두 수 A,

`

08 답 8개

B는 각각 13을 소인수로 가지고 있어야 한다.

가로의 길이를 7_a, 세로의 길이를 7_b (a, b는 서로소)라 하면

전략

(7_a)_(7_b)=392

∴  a_b=8

즉 a=8, b=1 또는 a=1, b=8

따라서 가로의 길이는 7_8=56, 세로의 길이는 7_1=7 또는 가

로의 길이는 7_1=7, 세로의 길이는 7_8=56이므로

(직사각형의 둘레의 길이)=2_(56+7)=126

2Û

_3

_5, 2º

_3Ü

_c의 최대공약수가 2Û

_3Û

이므로

직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이의 최대공약수가 7이므로 가로의

_3`_5, 2º

_3Ü

_c의 최소공배수가 2Ü

_3Ü

_5_c이므로

A=12_a (a는 7과 서로소)라 하면

84+A  =12_7+12_a

=12_(7+a)

=2Û

_3_(7+a)

`

이때 84+A가 11의 배수이므로 7+a가 11의 배수이어야 한다.

즉 7+a=11, 22, 33, y ∴ a=4, 15, 26, y

A는 두 자리의 자연수이므로 A=12_4=48

전략

두 수 84와 A의 최대공약수가 12이고 84=12_7이므로 A=12_a로

놓는다. 이때 a는 7과 서로소이다.

30=2_3_5이고 a와 30의 최소공배수가 30이 되도록 하는 자

연수 a는 30의 약수의 개수와 같으므로

(1+1)_(1+1)_(1+1)=8(개)

<a, 30>=30을 만족하는 자연수 a는 30의 약수이다.

`

`

`

`

09 답 12

`

`
∴  a=2

`

`

=3Û

`

3

`
2Û

`
=2Ü

2º

`
`
∴  b=3

c=7이어야 한다.

`

`
이때 c는 5보다 큰 소수이므로 a+b+c의 값이 최소가 되려면

따라서 a+b+c의 최솟값은 2+3+7=12

전략

두 개 이상의 자연수를 소인수분해했을 때,

① 최대공약수는 공통인 소인수 중 지수가 같거나 작은 것을 택하여 곱한다.

②  최소공배수는 공통인 소인수는 지수가 같거나 큰 것을 택하여 곱하고,

공통이 아닌 소인수도 모두 곱한다.

10 답 80

조건 ㈎에서 40=2Ü

_5, 56=2Ü

_7이므로

`

`

40★56=2Ü

=8

즉 (40★56)_x=640에서 8_x=640

∴  x=80

조건 ㈏에서 16=2Ý

, 20=2Û

_5이므로

16◇20=2Ý

`
_5=80

`

`

`

I. 소인수분해   11

길이를 7_a, 세로의 길이를 7_b로 놓는다.

06 답 24, 216

A, B의 최대공약수가 6이므로

A=6_a, B=6_b (a, b는 서로소)라 하면

A_B=(6_a)_(6_b)에서

a_b_6Û

=1296

∴  a_b=36

`

Ú a=36, b=1 또는 a=1, b=36일 때,

  A=6_36=216, B=6_1=6 또는

  A=6_1=6, B=6_36=216

  이때 A는 4의 배수이므로 A=216

Û a=9, b=4 또는 a=4, b=9일 때,

  A=6_9=54, B=6_4=24 또는

  A=6_4=24, B=6_9=54

  이때 A는 4의 배수이므로 A=24

Ú, Û에 의해 구하는 A의 값은 24, 216이다.

즉 2_y=(16◇20)에서 2_y=80

∴  y=40

전략

이때 80=2Ý

_5, 40=2Ü

_5이므로

x★y=80★40=2Ü

`

`
_5=40

x◇y=80◇40=2Ý

_5=80

`

`

∴   (x★y)◇(x◇y)=40◇80=80

사탕 50개를 똑같이 나누어 주려면 2개가 남으므로 50-2=48, 초콜릿

69개를 똑같이 나누어 주려면 3개가 부족하므로 69+3=72의 최대공약

수를 생각한다.

약속에 따라 주어진 조건을 만족하는 x, y의 값을 구한다.

15 답 472장

가능한 한 큰 정사각형 모양의 색종이를 붙이려면 색종이의 한 변

의 길이는 35, 40, 60의 최대공약수이어야 한다.

, 49=7Û

, 1176=2Ü

_3_7Û

이므로 n은 2Ü

과 3을 인수로 가

`

`

`

4=2Û

`
지면서 2Ü

`
_3_7Û

`
따라서 n의 값이 될 수 있는 수는 2Ü

`

의 약수이어야 한다.

_3, 2Ü

_3_7, 2Ü

_3_7Û

이

`

`

`

`

므로 이 세 수의 최대공약수는

35=2Ü

_3_5_7

40=2Ü

_3_5

60=2Û

_3_5

`
_3_5

`

`

`

(최대공약수)=2Û

전략

11 답 24

2Ü

_3=24

`

12 답 180

18=2_3Û

`
가지면서 2Ü

13 답 24

,

:Á[ª:

:ª[¢:

x=4, 6, 12

, 24=2Ü

_3, 360=2Ü

_3Û

_5이므로 n은 5를 인수로

`

`

`

_3Û

_5의 약수이어야 한다.

`

`

이때 n과 18의 최대공약수는 18=2_3Û

이므로 n은 2와 3Û

을 인
`

수로 가져야 하고 n과 24의 최대공약수는 12=2Û

_3이므로 n은

`

`

2Û

과 3을 인수로 가져야 한다.

`
∴ n=2Û

_3Û

_5=180

`

`

가 자연수이므로 x는 12와 24의 공약수이고 12와 24의

최대공약수는 12이므로 x는 12의 약수이다.

이때 x는 3보다 큰 자연수이므로

또, x와 y의 최소공배수가 5의 배수이므로 y는 5의 배수이고

는

;[};

자연수이므로 y는 x의 배수이다. 즉 y는 x와 5의 공배수이다.

Ú x=4이면 y는 4와 5의 공배수이므로 y=20, 40, …

이때 35, 40, 60의 최대공약수는 5이므로 가로는 35Ö5=7(장),

세로는 40Ö5=8(장), 높이는 60Ö5=12(장)씩 색종이를 붙여

야 한다.

따라서 구하는 색종이는

2_(7_8+8_12+7_12)=472(장)

전략

직육면체의 6개의 면에 붙여야 하는 색종이의 수를 구한다.

16 답 15개

있다.

공약수이다.

1학년 학생 281-11=270(명), 2학년 학생 362-2=360(명),

3학년 학생 380-5=375(명)은 중간에 빈 의자가 없게 앉을 수

이때 한 줄에 놓여 있는 의자의 최대 개수는 270, 360, 375의 최대

270=2 _3Ü

_5

`
_5

`

_3Û

`
_3 _5Ü

360=2Ü

375=2Ü

(최대공약수)=2Ü

`
_3 _5=15

`

`

전략

1학년 학생 281-11=270(명), 2학년 학생 362-2=360(명), 3학년

학생 380-5=375(명)의 최대공약수를 생각한다.

Û y=6이면 y는 6과 5의 공배수이므로 y=30, 60, …

따라서 270, 360, 375의 최대공약수는 15이므로 한 줄에 놓여 있

Ü x=12이면 y는 12와 5의 공배수이므로 y=60, 120,…

는 의자의 최대 개수는 15개이다.

이때 12<y<24이므로 y=20

∴ x+y=4+20=24

14 답 24명

48=2Ý

_3

72=2Ü

_3Û

`

`

`
`
_3=24

(최대공약수)=2Ü

이다.

12   정답과 풀이

사탕은 50-2=48(개), 초콜릿은 69+3=72(개)가 있으면 학생

들에게 똑같이 나누어 줄 수 있다. 이때 되도록 많은 학생들에게

17 답 18개

나누어 주려고 하므로 학생 수는 48과 72의 최대공약수이어야 한다.

거치대 사이의 간격이 일정하려면 거치대 사이의 간격은 36, 54,

따라서 48과 72의 최대공약수는 24이므로 구하는 학생 수는 24명

72의 공약수이어야 한다.

_3Û

36=2Û

`
`
54=2 _3Ü

72=2Ü

_3Û

`

`

`

`
=18

(최대공약수)=2 _3Û

전략

을 찾는다.

18 답 5

cm

`

10, 20이다.

Ú  x=1일 때,

Û  x=2일 때,

이때 36, 54, 72의 최대공약수는 18이고 거치대 사이의 간격이

10

m를 넘지 않고 될 수 있는 한 적게 설치해야 하므로 거치대 사이
`

의 간격은 18의 약수 중 10 이하의 가장 큰 수인 9

m이어야 한다.

`

10=2 _5

16=2Ý

`
_5=80

`

(최소공배수)=2Ý

따라서 36Ö9=4(개), 54Ö9=6(개), 72Ö9=8(개)이므로 설치

이때 10과 16의 최소공배수는 80이므로 80년 후에 축구 대회와

해야 하는 거치대의 수는 4+6+8=18(개)

야구 대회를 함께 개최하므로 구하는 해는

최대공약수를 이용하여 주어진 조건에 맞는 자전거 거치대 사이의 간격

전략

2011+80=2091(년)

축구 대회는 5개국이 돌아가면서 2년마다 개최하므로 5_2=10(년)마

다 같은 나라에서 개최하게 되고, 야구 대회는 8개국이 돌아가면서 2년마

다 개최하므로 8_2=16(년)마다 같은 나라에서 개최하게 된다.

cm라 하면 x는 500과 220의 공약수이다.
타일의 한 변의 길이를 x
`
_5Ü

500=2Û

20 답 55

cm

`

220=2Û

(최대공약수)=2Û

`

`
_5 _11

`
_5=20

`

이때 500과 220의 최대공약수는 20이고 20의 약수는 1, 2, 4, 5,

타일의 개수를 가능한 한 적게 사용하여 만든 정사각형의 한 변의

길이는 13+1=14, 7+1=8의 최소공배수에서 1을 뺀 수이다.

  가로는  500Ö1=500(개),  세로는  220Ö1=220(개)이므로

의 길이는 56-1=55

(cm)

타일의 개수는 500_220=110000(개)

전략

  가로는  500Ö2=250(개),  세로는  220Ö2=110(개)이므로

한 다음 1을 빼준다.

타일과 타일 사이에 1

cm의 간격이 있으므로 14와 8의 최소공배수를 구

이때 14와 8의 최소공배수는 56이므로 구하는 정사각형의 한 변

14=2 _7

(최소공배수)=2Ü

8=2Ü

`
_7=56

`

`

`

  가로는 500Ö4=125(개), 세로는 220Ö4=55(개)이므로 타

21 답 오전 11시 10분

타일의 개수는 250_110=27500(개)

Ü  x=4일 때,

일의 개수는 125_55=6875(개)

Ý  x=5일 때,

일의 개수는 100_44=4400(개)

Þ  x=10일 때,

타일의 개수는 50_22=1100(개)

ß  x=20일 때,

  가로는 500Ö5=100(개), 세로는 220Ö5=44(개)이므로 타

  가로는  500Ö10=50(개),  세로는  220Ö10=22(개)이므로

20=2Û

_3_5

`
_3_5=60

(최소공배수)=2Û

12=2Û

_3

`

`

이때 12와 20의 최소공배수는 60이므로 두 버스는 오전 9시에 A

지점에서 출발한 지 60분 후에 A 지점에서 다시 만나게 된다.

이때 만나면 10분 동안 쉬므로 오전 9시 이후에 두 버스가 두 번째

로 만나는 시각은 오전 9시로부터 60+10+60=130(분) 후인 오

  가로는  500Ö20=25(개),  세로는  220Ö20=11(개)이므로

타일의 개수는 25_11=275(개)

따라서 구하는 타일의 한 변의 길이는 5

cm이다.

`

전략

맞는 타일의 한 변의 길이를 구한다.

500과 220의 최대공약수를 구하고 그 약수를 이용하여 문제의 조건에

45+5=50(초)마다 물을 내뿜는다.

노즐 A는 30+10=40(초)마다 물을 내뿜고, 노즐 B는

전 11시 10분이다.

22 답 37회

_5

40=2Ü

`
50=2 _5Û

`
(최소공배수)=2Ü
=200
_5Û
`
`

19 답 2091년

이때 40과 50의 최소공배수는 200이므로 두 노즐은 200초마다 동

시에 물을 내뿜는다.

축구 대회는 5개국이 2년마다 개최하므로 5_2=10(년)마다 같

따라서 오전 11시 30분부터 오후 1시 30분까지, 즉 7200초 동안

은 나라에서 개최하고, 야구 대회는 8개국이 2년마다 개최하므로

두 노즐 A, B가 동시에 물을 내뿜는 횟수는

8_2=16(년)마다 같은 나라에서 개최한다.

7200Ö200+1=37(회)

I. 소인수분해   13

23 답 5월 16일

봉사활동을 간다.

5월 16일이다.

전략

24 답 4일

을 시작한다.

윤아

준호

윤아

준호

참고

오전 11시에 두 노즐 A, B가 동시에 물을 내뿜기 시작했으므로 오전 11

시 30분과 오후 1시 30분에 모두 물을 내뿜는다.

따라서 7200Ö200=36에 1을 더해야 한다.

1 답 81

조건 ㈎에서 A=18_a, C=18_c (a, c는 서로소)라 하면

36=18_a_c

∴  a_c=2

이때 A<C에서 a<c이므로 a=1, c=2

∴ A=18_1=18, C=18_2=36

…… 60 %

조건 ㈏에서 B=9_b, C=36=9_4 ( b, 4는 서로소)라 하면

희진이는 3일마다 봉사활동을 가고 나윤이는 5일마다 봉사활동을

108=9_b_4

∴  b=3, 즉 B=9_3=27

가므로 희진이와 나윤이는 3과 5의 최소공배수인 15일마다 같이

∴ A+B+C=18+27+36=81

…… 30 %

…… 10 %

4월 1일 월요일 이후 두 사람이 함께 봉사활동을 가는 날은 4월 16

일 화요일, 5월 1일 수요일, 5월 16일 목요일, …이다.

따라서 두 사람이 처음으로 목요일에 봉사활동을 같이 가는 날은

두 자연수 A, B의 최대공약수가 G, 최소공배수가 L일 때,

A=a_G, B=b_G (a, b는 서로소)라 하면 L=a_b_G임을 이용

전략

한다.

15=7_2+1이므로 봉사활동을 같이 가는 날의 요일은 월요일, 화요일,

2 답 나누는 수：37, 나머지：23

수요일, 목요일, y 순으로 바뀐다.

2613, 2243, 1503, 985를 어떤 자연수로 나누었을 때 나머지가 모

두 같으므로 어떤 자연수를 G, 나머지를 r라 하면

윤아는 3+1=4(일)마다 근무하고 준호는 5+2=7(일)마다 근

무하므로 윤아와 준호는 4와 7의 최소공배수인 28일 후에 함께 일

28일 동안 두 사람이 쉬는 날을 ◯로 나타내면 다음과 같다.

1

2

3

5

6

7

9

10 11 12 13 14

4

◯

8

◯

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

◯

◯

◯ ◯

◯

◯ ◯

◯

◯ ◯

◯

◯ ◯

yy ㉠

yy ㉡

yy ㉢

yy ㉣

(단, a>b>c>d)

2613=G_a+r

2243=G_b+r

1503=G_c+r

985=G_d+r

이때 ㉠-㉡을 하면 370=G_(a-b)

㉢-㉣을 하면 518=G_(c-d)

즉 G는 370과 518의 공약수이다.

370=2_5_7_37

518=2_7_7_37

(최대공약수)=2_7_7_37=74

따라서 28일 동안 윤아와 준호가 함께 쉬는 날은 2일이다.

74이다.

5월 1일부터 6월 30일까지 61일이고 61=28_2+5이므로 61일

따라서 30보다 크고 50보다 작은 자연수는 37이고, 그때의 나머지

370과 518의 최대공약수는 74이므로 이들의 공약수는 1, 2, 37,

동안 윤아와 준호가 함께 쉬는 날은

2_2=4(일)

전략

을 생각해야 한다.

두 사람이 함께 쉬는 날이 28일에 한 번씩만 돌아온다고 생각하면 안 된

985=37_26+23이다.

다. 또, 5월은 31일까지 있으므로 5월 1일부터 6월 30일까지 모두 61일임

는 23이다.

참고

2613=37_70+23, 2243=37_60+23, 1503=37_40+23,

3 답 ⑴ 2072년  ⑵ 무술년

⑴

10=2Û

_3_5

12=2Û

_3

`
_3_5=60

(최소공배수)=2Û

`

`

  10과 12의 최소공배수는 60이므로 임진년에 태어난 사람이 다

시 임진년에 생일을 맞이하게 되는 해는 60년 후이다.

따라서 2012년 임진년에 태어난 사람이 처음으로 다시 임진년

에 생일을 맞이하게 되는 것은

  2012+60=2072(년)

STEP 3

전교 1등 확실하게 굳히는 문제

pp. 030 ~ 032

1  81

2  나누는 수 : 37

, 나머지 : 23

3  ⑴ 2072년  ⑵ 무술년
5  45개

4  40일

6  114분

14   정답과 풀이

⑵  2018-1895=123이고 123=60_2+3이므로 2018년은 을

미년에서 3년 후인 무술년이다.

Ü 부품 C의 비율, 즉

을 잘못 구한 것이 3`

;5!;
라 하면 나머지 분수의 분모인 3, 4, 7, 9

` 3 4 7 9
>³
1 4 7 3

1895년에서 120년 후인 2015년은 을미년, 2016년은 병신년, 2017년은

의 최소공배수는

3_1_4_7_3=252

  따라서 전체 부품의 개수는 252의 배수이다.

Ý 부품 D의 비율, 즉

을 잘못 구한 것이 3`

;7!;

라 하면 나머지 분수의 분모인 3, 4, 5, 9

` 3 4 5 9
>³
1 4 5 3

참고

정유년이다.

4 답 40일

준현이는 4+2=6(일)마다, 원효는 7+3=10(일)마다, 효종이는

11+4=15(일)마다 공부를 다시 시작한다.

  따라서 전체 부품의 개수는 180의 배수이다.

의 최소공배수는

3_1_4_5_3=180

6=2_3

10=22__5

15=2_3_5

(최소공배수)=2_3_5=30

이때 6, 10, 15의 최소공배수는 30이므로 30일 후에 세 사람 모두

공부를 다시 시작하게 된다.

30일 동안 쉬는 날을 ◯로 나타내면 다음과 같다.

Þ 부품 E의 비율, 즉

을 잘못 구한 것이라 하면 나머지 분수의

;9!;

  분모인 3, 4, 5, 7의 최소공배수는

3_4_5_7=420

  따라서 전체 부품의 개수는 420의 배수이다.

이때 전체 부품의 개수는 200개 미만이므로 Ú~Þ에 의해 전체

부품의 개수는 180개이다.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

따라서 부품 B의 개수는 180_

=45(개)

;4!;

◯ ◯

◯ ◯ ◯

잘못 구했다고 생각하는 비율을 제외한 비율의 분모의 최소공배수를 생

전략

각해 본다.

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

준현 ◯ ◯

◯ ◯

◯ ◯ ◯

6 답 114분

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

12분, 16분이다.

두 케이블카 A, B가 올라가고 내려오는 데 걸리는 총 시간은 각각

◯ ◯ ◯ ◯

◯ ◯

◯ ◯

◯ ◯ ◯

◯ ◯ ◯ ◯

12=2Û

_3

16=2Ý

`

`

`
_3=48

(최소공배수)=2Ý

따라서 세 사람이 30일 동안 함께 쉬는 날은 2일이고 600Ö30=20

이때 12와 16의 최소공배수는 48이므로 두 케이블카는 48분마다

준현

원효

효종

원효

효종

준현

원효

효종

Ú 부품 A의 비율, 즉

을 잘못 구한 것이라 하면 나머지 분수의

이므로 600일 동안 세 사람이 함께 쉬는 날은

2_20=40(일)

5 답 45개

;3!;

;4!;

  분모인 4, 5, 7, 9의 최소공배수는

4_5_7_9=1260

  따라서 전체 부품의 개수는 1260의 배수이다.

Û 부품 B의 비율, 즉

을 잘못 구한 것이 3`

라 하면 나머지 분수의 분모인 3, 5, 7, 9

의 최소공배수는

3_1_5_7_3=315

  따라서 전체 부품의 개수는 315의 배수이다.

48Ö12=4이므로 48분 동안 케이블카 A는 4_15=60(명)을 태

우고, 48Ö16=3이므로 48분 동안 케이블카 B는 3_15=45(명)

동시에 출발한다.

을 태운다.

즉 48분 동안 60+45=105(명)이 전망대에 올라가고,

48_2=96(분) 동안 105_2=210(명)이 전망대에 올라간다.

96분 후에 남은 학생은 250-210=40(명)이고 두 케이블카가 동

시에 15명씩 각각 태우고 올라가고 케이블카 B가 탑승장으로 내

려오기 전에 케이블카 A가 먼저 내려와 나머지 10명을 태우고 올

` 3 5 7 9
>³
1 5 7 3

라가는데 6분이 더 걸린다.

따라서 걸리는 최소 시간은

96+12+6=114(분)

전략

학생 250명 중 96분 동안 전망대에 올라가는 학생 수는 모두 몇 명인지

확인하고, 남은 학생이 어떻게 전망대에 올라갈지 생각해 본다.

I. 소인수분해   15

음의 유리수는 -

, -1, -6, -0.8, -

의 5개이므로

;2$;

;4#;

⑴ 1과 3 사이에 있는 정수는 2뿐이지만 유리수는 무수히 많다.

II
정수와 유리수

01

정수와 유리수

확인  1   답 -5

오전 9시는 오후 2시보다 5시간 전이므로 오후 2시를 기준으로 하

면 오전 9시는 -5로 나타낼 수 있다.

확인  2   답 13

정수가 아닌 유리수는 2.5,

, -0.8, -

의 4개이므로

;5^;

;4#;

a=4

b=5

정수는 -

, -1, -6, 0의 4개이므로 c=4

;2$;

∴ a+b+c=4+5+4=13

확인  3   답 -2

조건 ㈎에서 정수 x는 -2, -1, 0이다.

조건 ㈏에서 정수 x는 y, -4, -3, -2, 2, 3, 4, y이다.

따라서 조건을 모두 만족하는 정수 x는 -2이다.

확인  4   답 ⑤

① 0>-5

② |-2|=2, |-6|=6이므로

  |-2|<|-6|

③

=1.5이므로 1.5=

;2#;

;2#;

④

=

,

;2@0%;

;5^;

;4%;

=

;2@0$;

이므로

>

;4%;

;5^;

⑤ -

=-

, -

=-

이므로

;6#;

;3!;

;6@;

;2!;

  -

<-

;2!;

;3!;

확인  5   답 -2<xÉ5, 7개

주어진 문장을 부등호를 사용하여 나타내면

-2<xÉ5

16   정답과 풀이

STEP 1

억울하게 울리는 문제

pp. 036 ~ 038

1  ⑴ 이다  ⑵ 음의 유리수  ⑶ 작다

2  ⑴ ×  ⑵ ×  ⑶ ◯

3  ⑴ 0  ⑵ 양수

4-1  -7

5-1  3개

6-1  ⑤

7-1  ㉤

8-1  -1

4-2

;5$;

5-2  2

6-2  ③, ④

7-2  ⑤

8-2  ⑤

1 답 ⑴ 이다  ⑵ 음의 유리수  ⑶ 작다

⑴ 0=

, 2=

, -2=-

와 같이 모든 정수는 분수 꼴로 나타

;2);

;2$;

;2$;

  낼 수 있으므로 모든 정수는 유리수이다.

2 답 ⑴ ×  ⑵ ×  ⑶ ◯

⑵ 1과 2 사이에는 정수가 존재하지 않는다.

⑶   a>0일 때, |x|=a인 x의 값은 +a와 -a로 반드시 2개 존재

한다.

4-1 답 -7

4-2 답 ;5$;

5-1 답 3개

-

:Á3Á:

5-2 답 2

|-7|=7, |-2|=2, |5|=5이므로

(-7)⊙{(-2) 5}=(-7)⊙(-2)=-7

-

=

=

-

,
|

;4#;|

=

;4#;

=

;6%0);

;6%;

;6%;|

|

,

;6$0%;

|;5$;|

=

=

;5$;

;6$0*;

이므로

-

-

▲
{

;6%;}

[{

;4#;}]

▼

=

-

{

;5$;

;6%;}

▼

;5$;

=

;5$;

<aÉ4를 만족하는 정수 a의 값은 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

이 중 절댓값이 3 이상인 정수는 -3, 3, 4의 3개이다.

이 중 -

<x<

이 아닌 정수 x의 값은 2이다.

;2%;

;2#;

6-1 답 ⑤

① a=-2일 때, |-2|=2=-(-2)

따라서 두 수의 대소 관계가 옳은 것은 ⑤이다.

|x|É2, 즉 -2ÉxÉ2를 만족하는 정수 x의 값은 -2, -1, 0, 1, 2

이를 만족하는 정수 x는 -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5의 7개이다.

  즉 a<0이면 |a|=-a

② a=2, b=-2일 때, |2|=|-2|이지만 2+-2

⑤   두 점 A, B 사이의 거리는 5이므로 두 점으로부터 같은 거리에

  즉 |a|=|b|이면 a=b 또는 a=-b

③ a=2일 때, |-2|=2

  즉 a>0이면 |-a|=a

④ a=2, b=-3일 때, 2>-3이지만 |2|<|-3|

⑤ |a|+|b|+|c|=0이면 |a|=|b|=|c|=0

  ∴ a=b=c=0

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

참고

•|a|=

-a (a>0)

-a (a<0)

[

•  a>b>0이면 |a|>|b|

b<a<0이면 |a|<|b|

6-2 답 ③, ④

  있는 점은 두 점으로부터 5_

=

만큼 떨어져 있다.

;2!;

;2%;

  따라서 점 M에 대응하는 수는 -1이다.

5

M

5
2

5
2

A

1.5

B

-3.5

-4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

8-1 답 -1

주어진 수를 크기가 작은 수부터 차례대로 나열하면

-

:Á2Á:

<-1

<-1<

<0.7<

;3!;

;5&;

;3!;

따라서 세 번째에 오는 수는 -1이다.

① a=2, b=-3이면 |a|<|b|이지만 a>b

② a=0, b=-3이면 |a|<|b|이지만 b는 음수이다.

⑤   a>0, b>0이면 수직선 위에서 b에 대응하는 점은 a에 대응하

는 점보다 오른쪽에 있다.

8-2 답 ⑤

① 절댓값이 가장 큰 수는 6이다.

② 절댓값이 가장 작은 수는 0이다.

고슴도치의 위치가 나타내는 수는 다음과 같다.

  차례대로 나열할 때, 네 번째에 오는 수는 0이다.

(m)서

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

(m)동

수의 합은 6+0=6

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

③ -4<-

<-

이므로 음수 중 가장 큰 수는 -

이다.

;3@;

④  -4<-

<-

<0<1<+6이므로  크기가  작은  수부터

;4#;

;3@;

;4#;

;3@;

⑤   절댓값이 가장 큰 수는 6, 절댓값이 가장 작은 수는 0이므로 두

7-1 답 ㉤

㉠

㉡

㉢

㉣

㉤

기준점

기준점

기준점

기준점

기준점

(m)서

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

(m)동

(m)서

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

(m)동

(m)서

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

(m)동

STEP 2

반드시 등수 올리는 문제

pp. 039 ~ 042

(m)서

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

(m)동

따라서 고슴도치가 기준점에서 가장 가까이에 있는 것은 ㉤이다.

7-2 답 ⑤

수직선 위에 5개의 점 A, B, C, D, E를 나타내면 다음과 같다.

B

E

CD

A

-4 -3 -2 -1

1

2

3

4

-3.5

0
0.25

-

2
5

1.5

① 원점에 가장 가까운 점은 점 C이다.

② 점 C에 가장 가까운 정수는 0이다.

01  ④

02  a=-6, b=6, c=-4

03  -7, -1

04  ㉠, ㉣, ㉢, ㉡

05  3

06  10개

09  -2

07  -5, 3

10  A, B

08  ④

11  5

ùC

`

12  A：0, B：;3$;, C：5, D：-1, E：-5
14  9개
13  4개

15  4

16  21개

17  105개

01 답 ④

① 자연수에 대응하는 점은 점 D이다.

③ 수직선 위에서 점 D는 점 E보다 오른쪽에 있다.

② 음의 정수에 대응하는 점은 점 A의 1개이다.

④   수직선 위에서 왼쪽에 있는 점부터 나열하면 B, E, D, C, A이

③ 점 E에 대응하는 수의 절댓값이 가장 크다.

다.

④ 정수가 아닌 유리수에 대응하는 점은 점 B, 점 E의 2개이다.

II. 정수와 유리수   17

-7

-2

3

(4, -1), (3, 2), (3, -2), (2, -3), (1, -4), (0, -5),

a>b이고 |a|+|b|=5를 만족하는 (a, b)는 (5, 0), (4, 1),

-3

-2

-1

은 다음 표와 같다.

⑤   점 A에 대응하는 수는 -2이므로 그 절댓값은 2이고, 점 D에

참고

대응하는 수는 2이므로 그 절댓값은 2이다.

  따라서 구하는 합은 2+2=4

따라서 옳은 것은 ④이다.

의한다.

05 답 3

02 답 a=-6, b=6, c=-4

d=2이고 d는 b보다 4만큼 작으므로 b는 d보다 4만큼 크다.

∴ b=6

전략

a와 b는 부호가 서로 반대이고 절댓값은 같으므로 a=-6

c는 a보다 2만큼 크므로 c=-4

d는 b보다 4만큼 작으므로 b는 d보다 4만큼 크다.

03 답 -7, -1

a의 절댓값이 3이므로 a=3 또는 a=-3

Ú   a=3일 때

  두 수 3, b에 대응하는 두 점은

-2에 대응하는 점으로부터

각각 5만큼 떨어져 있으므로 b=-7

Û   a=-3일 때

두 수 -3, b에 대응하는 두 점

은 -2에 대응하는 점으로부

5

1

5

1

터 각각 1만큼 떨어져 있으므로 b=-1

Ú, Û에 의해 b의 값이 될 수 있는 수는 -7, -1이다.

a의 절댓값이 3이므로 a=3일 때와 a=-3일 때를 각각 수직선 위에 나

전략

타내어 본다.

04 답 ㉠, ㉣, ㉢, ㉡

㉠ -

=-2

이므로 -

:Á4Á:

;4#;

:Á4Á:

  에 가장 가까운 정수는 -3이

-3

-2

-1

-

11
4

㉡   수직선 위에서 두 수 -3과 4에 대응하는 두 점 사이의 거리는

다.

7이다.

㉠에서 -

=-2

;4#;에 가장 가까운 정수를 -2로 생각하지 않도록 주

:Á4Á:

[-4.7]=-5, <2.3>=3, <-2.5>=-2이므로

([-4.7]▲<2.3>)⊙<-2> ={(-5)▲3}⊙(-2)

=(-5)⊙(-2)=3

전략

•[x]=(x보다 크지 않은 최대의 정수)

=(x보다 작거나 같은 최대의 정수)

•<x> =(x보다 작지 않은 최소의 정수)

=(x보다 크거나 같은 최소의 정수)

06 답 10개

(-1, -4), (-2, -3)의 10개이다.

전략

두 정수 a, b에 대하여 |a|+|b|=5를 만족하는 |a|의 값과 |b|의 값

|a|

|b|

5

0

4

1

3

2

2

3

1

4

0

5

이때 a>b인 조건에 주의하여 (a, b)를 빠짐없이 찾도록 한다.

조건 ㈎, ㈏에 의해 a<0<b 또는 a<b<0

  조건 ㈏, ㈐에 의해 두 정수 a, b를 수직선 위에 나타내면 다음

|a|

15

|b|

0

b

  이때 두 정수 a, b에 대응하는 두 점 사이의 거리가 15이므로

  조건 ㈏, ㈐에 의해 두 정수 a, b를 수직선 위에 나타내면 다음

07 답 -5, 3

Ú a<0<b일 때

그림과 같다.

  a=-12, b=3

Û a<b<0일 때

a

a

|a|

15

|b|

b

0

-3 -2 -1

0

1

2

3

4

㉢ 두 유리수 -

와

사이에 있는 정수는 0이다.

;6%;

;3@;

그림과 같다.

㉣   수직선 위에서 -6과 2에 대응하는 두 점의 한가운데에 있는

점에 대응하는 수는 -2이다.

7

8

4

4

0

-6 -5 -4 -3

-2

-1

1

2

  이때 두 정수 a, b에 대응하는 두 점 사이의 거리가 15이므로

  a=-20, b=-5

따라서 작은 것부터 차례대로 나열하면 ㉠, ㉣, ㉢, ㉡이다.

Ú, Û에 의해 가능한 정수 b의 값은 -5, 3이다.

18   정답과 풀이

전략

전략

|a|=4_|b|이므로 수직선에서 원점과 a에 대응하는 점 사이의 거리

• 수직선 위의 원점에서 6만큼 떨어

는 원점과 b에 대응하는 점 사이의 거리의 4배이다.

진 점이 나타내는 수는 6, -6이

-6

0

즉 a에 대응하는 점이 b에 대응하는 점보다 원점에서 멀리 떨어져 있는

다.

• 수직선 위에서 -1을 나타내는 점

에서 3만큼 떨어진 점이 나타내는

-4

-1

수는 2, -4이다.

6

3

6

3

6

2

경우를 생각한다.

08 답 ④

① a=-3, c=0일 때, |0|<|-3|이지만 -3<0이다.

② a=3, b=-2, c=1일 때, |1|<|-2|<|3|이지만

  -2<1<3이다.

③   |c|<|b|이므로 수직선 위에서 b에 대응하는 점은 c에 대응하

는 점보다 원점에서 더 멀다.

⑤ a=3, b=-2일 때, |-2|<|3|이지만 a>0, b<0이다.

10 답 A, B

그림과 같다.

따라서 옳은 것은 ④이다.

전략

a, b, c에 구체적인 수를 대입하여 확인한다.

두 점 A, B에 대응하는 수를 각각 a, b라 하면

09 답 -2

a=6 또는 a=-6

b=2 또는 b=-4

하는 정수는 4이다.

0

1

B

2

4

4

2

5

Û   a=6, b=-4일 때, 두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점에 대

응하는 정수는 1이다.

-4 -3 -2 -1

0

1

2

3

4

5

Ü   a=-6, b=2일 때, 두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점에 대

응하는 정수는 -2이다.

B

A

5

4

2

3

10

8

A

6

A

6

B

2

5

4

0

-6 -5 -4 -3 -2 -1

1

Ý   a=-6, b=-4일 때, 두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점에

전략

대응하는 정수는 -5이다.

2

A

1

1

B

주어진 조건에 맞게 A, B, C, D, E를 수직선 위에 나타내면 다음

1`m

C

D

7`m

5`m

A

E

B

따라서 E의 양 옆에 서 있는 학생은 A, B이다.

11 답 5`ùC

내면 다음 그림과 같다.

주어진 조건에 맞게 5개의 도시의 최고 기온을 수직선 위에 나타

4

3

1

따라서 최고 기온이 가장 높은 도시는 광주, 가장 낮은 도시는 강

이때 강릉과 서울의 최고 기온의 차는 2

ùC이므로 강릉과 광주의

릉이다.

최고 기온의 차는 5

ùC이다.

`

3

`

12 답 A：0, B：;3$;, C：5, D：-1, E：-5

조건 ㈎, ㈏에 의해 점 A에 대응하는 수는 0이다.

조건 ㈐에 의해 점 D에 대응하는 수는 -1이고, 점 E에 대응하는

점 E에 대응하는 수는 -5이므로 조건 ㈎에 의해 점 C에 대응하

수는 -5이다.

는 수는 5이다.

조건 ㈑에 의해 점 B에 대응하는 수는 5-

=

;3$;

:Á3Á:

이다.

조건 ㈎, ㈏에 의해 점 A에 대응하는 수가 0임을 알고, 나머지 조건을 이

용하여 나머지 점 B, C, D, E에 대응하는 수를 찾는다.

Ú   a=6, b=2일 때, 두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점에 대응

강릉

서울

대전

부산

광주

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Ú ~ Ý에 의해 두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점에 대응하는

정수로 가능한 것은 -5, -2, 1, 4이고 이 중 두 번째로 작은 정수

는 -2이다.

13 답 4개

의 4개이다.

-

=-

;3!;

,

;6@;

;2#;

=

;6(;

이므로 구하는 기약분수는 -

,

,

,

;6!;

;6!;

;6%;

;6&;

II. 정수와 유리수   19

두 유리수의 분모를 6으로 통분하여 기약분수의 분모가 6인 분수를 찾는

-:Á8»:

=-

,

=

;2%4&;

;4(;

;2%4$;

이므로  -

<

<

;2ð4;

;2%4$;

;2%4&;

를  만족하는

a<xÉ6을 만족하는 정수 x의 개수가 5개이려면 x의 값은 6, 5,

3  (18, 6), (9, -3), (-9, 3), (-18, -6)

-1<yÉb를 만족하는 정수 y의 개수가 6개이려면 y의 값은 0,

전략

다.

전략

참고

14 답 9개

|;5N;|

<1에서 -1<

<1

;5N;

따라서 -

<

<

;5N;

;5%;

;5%;

이므로 구하는 정수 n의 값은 -4, -3,

-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4의 9개이다.

분모를 5로 통분하여 분자만 비교하여 정수 n의 값을 구한다.

a<xÉ6을 만족하는 정수 x의 개수가 5개가 되도록 x의 값을 6, 5, 4,

y의 순서로 5개까지 헤아려 본다. 또, -1<yÉb를 만족하는 정수 y의

개수가 6개가 되도록 y의 값을 0, 1, 2, y의 순서로 6개까지 헤아려 본다.

이때 부등호에 등호가 있는지 없는지에 따라 답이 바뀜에 주의한다.

구하는 기약분수를

(b+0이고 a, b는 a<b인 서로소)라 하면

;bA;

a>0일 때, |x|<a이면 -a<x<a

15 답 4

4, 3, 2이어야 하므로 a=1

1, 2, 3, 4, 5이어야 하므로 b=5

∴ b-a=5-1=4

전략

16 답 21개

b=2일 때, a=1

b=3일 때, a=1, 2

b=4일 때, a=1, 3

b=5일 때, a=1, 2, 3, 4

b=6일 때, a=1, 5

b=7일 때, a=1, 2, 3, 4, 5, 6

b=8일 때, a=1, 3, 5, 7

따라서 구하는 기약분수의 개수는

1+2+2+4+2+6+4=21(개)

참고

20   정답과 풀이

구하는 기약분수 ;bA;에서 b=4, a=2이면 ;4@;
니다.

=

;2!;이므로 기약분수가 아

17 답 105개

정수 k의 개수는

56+1+53=110(개)

110-5=105(개)

참고

이때

가 정수가 되게 하는 정수 k의 값은 -48, -24, 0, 24,

;2ð4;

48의 5개이므로 구하는 정수 k의 개수는

-

<

<

;2%4$;를 만족하는 정수 k는 -56, -55, y, -1, 0, 1, y,

;2ò

ð4;

;2%4&;

53이므로 56+1+53=110(개)

STEP 3

전교 1등 확실하게 굳히는 문제

pp. 043 ~ 045

2  10

5  90

1  8

4  d, a, b, c, e

6  100

1 답 8

:Á4ª:

  <-

:Á4ª:>100

=2100

6이다.

1이다.

Ú -

=-3이고 -3은 자연수가 아닌 정수이므로

이때 2의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6의 4개의 숫
자가 반복되고, 100=4_25이므로 2100의 일의 자리의 숫자는

Û 3.2는 정수가 아닌 유리수이므로
  <3.2>200=3200

이때 3의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1의 4개의 숫
자가 반복되고, 200=4_50이므로 3200의 일의 자리의 숫자는

이때 1의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 항상 1이므로 1300의

Ü

:ª5£:

+1.4=6이고 6은 자연수이므로

  <:ª5£:

+1.4>300

=1300

일의 자리의 숫자는 1이다.

Ú ~ Ü에 의해 구하는 일의 자리의 숫자는

6+1+1=8

참고

2Ú

=2, 2Û

=4, 2Ü

=8, 2Ý

=16, 2Þ

=32, 2ß

=64, y로 2의 거듭제곱의 일

`

`
의 자리의 숫자는 2, 4, 8, 6의 4개의 숫자가 반복된다.

`

`

`

`

또, 3Ú

=3, 3Û

=9, 3Ü

=27, 3Ý

=81, 3Þ

=243, 3ß

=729, y로 3의 거듭제

`

`

`

`

`

`

곱의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1의 4개의 숫자가 반복된다.

2 답 10

4 답 d, a, b, c, e

서로 다른 두 점 A, B에 대응하는 수의 절댓값이 모두 12이므로

조건 ㈐, ㈑에 의해 d<a<0

두 점 A, B에 대응하는 수는 각각 -12, 12 또는 12, -12이다.

조건 ㈎, ㈓에 의해 b와 d는 절댓값이 같고 서로 다른 유리수이므로

따라서 두 점 A, B 사이의 거리는 24이고 A, B 사이의 거리를

|b|=|d|, b>0

4등분하는 점에 대응하는 수는 -6, 0, 6이므로 점 C는 가장 작은

조건 ㈏에 의해 b<c

조건 ㈒에 의해 a, b, c, d, e 중 e가 가장 크므로 주어진 조건을 만

족하도록 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.

수 -6에 대응된다.

A(B)

-12

C

-6

0

6

두 점 A, B 사이의 거리를 3등분하는 점에 대응하는 수는 -4, 4

d

a

0

b

c

e

이므로 점 D는 큰 수 4에 대응된다.

따라서 작은 것부터 차례대로 나열하면 d, a, b, c, e이다.

주어진 조건을 만족하도록 a, b, c, d, e를 수직선 위에 나타내어 본다.

B(A)

12

B(A)

12

A(B)

-12

-4

D

4

따라서 두 점 C, D 사이의 거리는 10이다.

두 점 A, B 사이의 거리를 4등분, 3등분하는 점에 두 점 A, B는 제외하

참고

고 생각한다.

전략

5 답 90

과 같다.

표에 나타난 두 점 사이의 거리를 수직선 위에 나타내면 다음 그림

27

56

A

B

C D

53

124

78

E

F

또, 수직선 위에서 a, b에 대응하는 두 점 사이의 거리는 12이므로

두 점 A와 E 사이의 거리는 124이므로 두 점 E와 F 사이의 거리

Ú 0<b<a일 때, a=18, b=6

는 161-124=37

…… 10 %

두 점 A와 F 사이의 거리는 27+56+78=161

따라서 두 점 C와 F 사이의 거리는 53+37=90

…… 20 %

…… 20 %

6 답 100

주어진 식의 값이 최소가 되려면 k=10 또는 k=11이어야 한다.

  D(AÁ¼, AÁ)+D(AÁ¼, Aª)+D(AÁ¼, A3)+y+D(AÁ¼, A20)

…… 20 %

  =9+8+7+y+1+0+1+y+9+10

  =(9+8+7+y+1)_2+10

Ú k=10일 때

  =100

Û k=11일 때

…… 20 %

  D(AÁÁ, AÁ)+D(AÁÁ, Aª)+D(AÁÁ, A3)+y+D(AÁÁ, A20)

  =10+9+8+7+y+1+0+1+y+8+9

Ú ~ Ý에 의해 구하는 (a, b)는 (18, 6), (9, -3), (-9, 3),

  =10+(9+8+7+y+1)_2

(-18, -6)이다.

참고

…… 10 %

  =100

Ú, Û에 의해 구하는 최솟값은 100이다.

a의 절댓값이 b의 절댓값의 3배이므로 |a|>|b|이다.

그런데 0<a<b일 때 |a|<|b|이고, b<a<0일 때 |a|<|b|이므로

이 두 가지 경우는 조건을 만족하지 않는다.

전략
주어진 식은 점 Aû에서 각 점에 이르는 거리의 합이므로 그 값이 최소가
되려면 k=10 또는 k=11이어야 한다.

II. 정수와 유리수   21

3 답 (18, 6), (9, -3), (-9, 3), (-18, -6)

a의 절댓값은 b의 절댓값의 3배이므로

|a|=3_|b|

Û   b<0<a일 때, a=9, b=-3

|a|

|b|

b

|b|

0

12

|a|

Ü a<0<b일 때, a=-9, b=3

0

b

a

a

12

12

|a|

|a|

12

|b|

0

|b|

b

Ý a<b<0일 때, a=-18, b=-6

a

a

b

0

02

정수와 유리수의 계산

확인  1   답 ⑤

① (+2)+(-3)-(-5)

  =(+2)+(-3)+(+5)

  ={(+2)+(+5)}+(-3)

  =(+7)+(-3)=+4

② (-1)+(-4)-(-2)

  =(-1)+(-4)+(+2)

  =(-5)+(+2)=-3

③
{

-

;2!;}

-

+

{

;3@;}

+

+

{

;2#;}

  =

-

{

+

-

{

+

+

{

;2#;}

;3@;}

;2!;}

  =

-

+

+

{

;2!;}

[{

;2#;}]

+

-

{

;3@;}

  =(+1)+

-

{

;3@;}

=+

;3!;

④
{

+

;4&;}

+

-

{

;3!;}

-

+

{

;4!;}

  =

+

{

+

-

{

;4&;}

;3!;}

+

-

{

;4!;}

  =

+

+

-

{

;4&;}

[{

;4!;}]

+

-

{

;3!;}

  =

+

+

-

=

+

{

;2#;}

;3!;}

+

-

{

;3!;}

;4^;}

{

{

{

{

  =

+

+

-

=+

;6(;}

;6@;}

;6&;

⑤ (-2.7)-(-1.5)+(-2.3)

  =(-2.7)+(+1.5)+(-2.3)

  ={(-2.7)+(-2.3)}+(+1.5)

  =(-5)+(+1.5)=-3.5

따라서 계산 결과가 가장 작은 것은 ⑤이다.

확인  2   답 ⑴ -12  ⑵ 3  ⑶ -

;6&;  ⑷ ;8%;

⑴ -5-9+4-2 =-5-9-2+4

⑵ 3-7+11-4 =3+11-7-4

=-16+4

=-12

=14-11

=3

=-

;6&;

=

;8%;

⑶ 1-

-

+

=

-

-

;6@;

;6^;

;3@;

;2%;

;3!;

:Á6°:

+

;6$;

⑷ -

+1+

-

=-

;4&;

;8%;

+

+

;8*;

:Á8ª:

:Á8¢:

-

;8%;

;2#;





22   정답과 풀이

확인  3   답 ⑤

① -3Û

`
② -(-2)Ü

=-(3_3)=-9

=-(-8)=8

`

`

③ -(-3)Û

=-9

④
{

-

;3@;}

`=

;9$;

⑤ (-1)100+(-1)101=1+(-1)=0

따라서 계산 결과가 옳은 것은 ⑤이다.

확인  4   답 ④

①
{

-

;8#;}

_

+

{

;5$;}

=-

_

{;8#;

;5$;}

=-

;1£0;

② 24Ö

-

{

③
{

-

;2!;}

=24_

;5^;}
{
Û`_(-4)Ö3Û

-

;6%;}

=-20

=

`

;4!;

_(-4)_

=-

;9!;

;9!;

④

_(-2)Ö

-

=

_(-2)_(-2)=

;5@;

{

;2!;}

;5@;

;5*;

⑤ 3_(-2)Û

-4_(-1)Û

=3_4-4_1

`

`

=12-4=8

따라서 계산 결과가 옳지 않은 것은 ④이다.

STEP 1

억울하게 울리는 문제

pp. 048 ~ 050

1  ⑴ 12  ⑵ 2  ⑶ -

;5(;  ⑷ -1  ⑸ -

;2ª7;  ⑹ -

;1!5$;  ⑺ -3

2-2  n이 홀수일 때：-4, n이 짝수일 때：0

2-1  -4

3-1

;2!;

4-1  0

5-1  ③

6-1  ⑤

7-1  ④

3-2

;5»0;

4-2

;2!0(;

5-2  a<0, b>0, c>0

6-2  a+b, a, a-b, 0, b-a

7-2  a>0, b>0, c<0, d<0

1 답 ⑴ 12  ⑵ 2  ⑶ -

;5(;  ⑷ -1  ⑸ -

;2ª7;  ⑹ -

;1!5$;  ⑺ -3

⑴
[

12-6Ö

-

;5@;}]

_

=

12-6_
{

[

;9$;

-

;2%;}]

_

;9$;

{

=(12+15)_

;9$;

=27_

=12

;9$;

⑵
[

4Ö

;9*;

-(-2)Û

_

-

`

{

;8!;}]

Ö2-

;2!;

  =

4_

-4_

-

[

;8(;

{

;8!;}]

Ö2-

;2!;

  =

+

_

-

;2!;

;2!;

;2!;}

{;2(;

  =

-

=2

;2!;

;2%;

Û
⑶(-2)Ü

-

`

[-{

;5@;}

-

Û`_5Ö

+1

Ö

]

-

{;4#;

;3@;}

;2!;

+(-1)51

`

{

{

=-8-

-

_5_2+1

Ö

+(-1)

;2¢5;

}

;1Á2;

{

{

{

=-8-

-

+1

_12+(-1)

;5*;

}

=-8-

-

_12+(-1)

;5#;}

=-8+

+(-1)=-

:£5¤:

;5(;

⑷

-

{

;2#;}

[
=

-

[{

;2#;}

-(-1)Ü

Ö{5_(-1)+6}

_2

-(-1)Ö(-5+6)

]
_2

]

=

-

[{

;2#;}

+1

_2

]

=

-

{

;2!;}

_2=-1

⑸

-

+

+

-

{

[;2!;

;3!;

;3@;}

;3*;]

_

-3

}

{;3%;

Ü`Ö

[
=

-

+

;3!;

[;2!;

+

-

;2¥7;}

_

]
;8#;]

_

{-;3$;}

=

-

+

+

-

;3!;

[;2!;

;9!;}]

=

-

+

;3!;

;1¦8;}

_

-

{

;3$;}

[

[
{

]
-

_

{

;3$;}

]

=

;1Á8;

_

-

{

;3$;}

=-

;2ª7;

⑹(-1)Ü

-

`

;3!;-[;5@;

-(-4)Û

_

-

`

{

;8#;}]

Ö16

=-1-

-

[;5@;

-16_

-

{

;8#;}]

Ö16

]

]

[
;3!;

[
[;3!;

=-1-

-

{;5@;

+6

Ö16

}

]

=-1-

-

{;3!;

:£5ª:

_

;1Á6;}

=-1-

-

{;3!;

;5@;}

=-1-

-

{

=-

;1!5$;

;1Á5;}
Û`-

;2!;}

[

⑺-

-

;8(;

-

{

=-

[
-
;8(;

=-

-

-

(-3)+

;4!;

[

;4!;

[
[;4!;

[

[

{

;8(;

;8(;

=-

-

-

-

_

:Á6£:}

;4#;]

(-3)-

Ö

-

{

;9%;

;3@;}]

_

;4#;

-

(-3)-

_

-

{

;9%;

;2#;}]

_

;4#;

]

]

_

;4#;

;6%;]

]

=-

-

+

;8(;

{;4!;

:Á8£:}

=-

-

;8(;

:Á8°:

=-3

2-1 답 -4
(-1)2019-(-1)2018+(-1)2017+(-12016)

=(-1)-(+1)+(-1)+(-1)

=-4

2-2 답 n이 홀수일 때：-4, n이 짝수일 때：0

Ún이홀수일때
(-1)Ç`-(-1)2n+(-1)2n+1+(-1)n+2

=(-1)-(+1)+(-1)+(-1)

=-4

Ûn이짝수일때
(-1)Ç`-(-1)2n+(-1)2n+1+(-1)n+2

=(+1)-(+1)+(-1)+(+1)

=0

3-1 답 ;2!;

-3<-1이므로

(-3)★(-1)=(-1)Ü

_{2-(-3)_(-1)}

`

=(-1)_(2-3)=1

2=|-2|이므로2★|-2|=0

∴{(-3)★(-1)}★(2★|-2|)=1★0

=1Ü

Ö(2+1_0)

`

=1Ö2=

;2!;

3-2 답 ;5»0;

6△(-8)=

6+2_(-8)
6Û`+(-8)Û`

=

6+(-16)
36+64

=-

;1Á0¼0;

=-

;1Á0;

(-4)△3=

-4+2_3
(-4)Û`+3Û`

=

-4+6
16+9

=

;2ª5;

∴{6△(-8)}⊙{(-4)△3}=

-

{

;1Á0;}

⊙

;2ª5;

=

-

;2ª5;

{-;1Á0;}

=

+

;5¢0;

;5°0;=;5»0;

4-1 답 0

ÚaÖb가최댓값이되려면a,b의부호가같으며a의절댓값은

가장크고b의절댓값은가장작아야하므로

A=

-

Ö

-

{

;4%;}

;2!;}

=

-

{

;4%;}

{

_(-2)=

;2%;

ÛaÖb가최솟값이되려면a,b의부호가다르며a의절댓값은

가장크고b의절댓값은가장작아야하므로

B=

Ö

-

{

;4%;

;2!;}

=

;4%;

_(-2)=-

;2%;

∴A+B=

+

-

{

;2%;

;2%;}

=0

II. 정수와 유리수   23

Û   세 수를 곱한 값이 가장 작은 수가 되려면 양수 2개, 절댓값이

a<b<0을 만족하는 구체적인 수를 대입하여 풀 수도 있다.

Ú   세 수를 곱한 값이 가장 큰 수가 되려면 음수 2개, 절댓값이 큰

4-2 답 ;2!0(;

양수 1개를 뽑아야 하므로

  -

_(-12)_

=

;6!;

;4#;

;8#;

큰 음수 1개를 뽑아야 하므로

  -12_

_

;6!;

;1Á0;

=-

;5!;

Ú, Û에 의해 구하는 두 수의 차는

-

-

{

;4#;

;5!;}

=

;2!0%;

+

;2¢0;

=

;2!0(;

Ý b-a=(음수)-(음수)=(음수)+(양수)이고

  |a|>|b|이므로 b-a>0

따라서 작은 것부터 차례대로 나열하면

a+b, a, a-b, 0, b-a

참고

7-1 답 ④

조건 ㈎, ㈑에서 a_b>0

Ú a>0, b>0일 때

  조건 ㈐에서 c<0

Û a<0, b<0일 때

  조건 ㈐에서 c>0

  조건 ㈑에서 d<0

  이때 b-c>0이므로 조건 ㈏가 성립하지 않는다.

  이때 b-c<0이므로 조건 ㈏도 성립한다.

  따라서 모든 조건을 만족한다.

Ú, Û에 의해 a<0, b<0, c>0, d<0이므로 항상 옳은 것은 ④

이다.

7-2 답 a>0, b>0, c<0, d<0

㉠에서 a<b<a+b이므로 a, b는 모두 양수이다.

㉡에서 c+d<c<d이므로 c, d는 모두 음수이다.

∴ a>0, b>0, c<0, d<0

01  ⑤

02  2

03  -20, -13

05  -

;6¦0;

08  :Á4¦:

11  ;2Á1;

14  4

17  ;1^5*;

22  -1

04  a=2, b=1, c=2, d=2

06  24

07  ②

09  -1009

10  -210

12  :Á3£:

13  -2

15  -32

16  -9, -7

<

1
|c|

<

1
|b|

18  ;2!;
1
|a|

21

01 답 ⑤

① ㈎=

+

;4!;

=

+

=

=

;6&;

;1!2$;

;1!2!;

;1£2;

;1!2!;

19  2, 4, -6, 0

20  ④

5-1 답 ③

a<b, a_b<0이므로 a<0, b>0

① a+b의 부호는 알 수 없다.

② a-b =(음수)-(양수)=(음수)+(음수)=(음수)

③ b-a =(양수)-(음수)=(양수)+(양수)=(양수)

④ a+2_b의 부호는 알 수 없다.

⑤ b+2_a의 부호는 알 수 없다.

따라서 항상 양수인 것은 ③이다.

5-2 답 a<0, b>0, c>0

a_b<0, a<b이므로 a<0, b>0

bÖc>0, b>0이므로 c>0

∴ a<0, b>0, c>0

6-1 답 ⑤

a=2_b

∴  0<b<a

① b<a이므로 -a<-b

② a>0, b>0이므로 a+b>0

③ b<a이므로 a-b>0

④ b<a이므로 b-a<0

⑤ aÛ

`
  ∴ aÛ

`
-bÛ

>0

`

`
따라서 옳은 것은 ⑤이다.

>0, bÛ

>0이고 0<b<a이므로 bÛ

<aÛ

`

`

6-2 답 a+b, a, a-b, 0, b-a

Ú a<0, b<0, |a|>|b|이므로 a<b<0

Û a-b=(음수)-(음수)=(음수)+(양수)이고

  |a|>|b|이므로 a<a-b<0

Ü a+b=(음수)+(음수)=(음수)이므로

  a+b<a<0

24   정답과 풀이

a>0, b>0이고 |a|=2_|b|이므로

STEP 2

반드시 등수 올리는 문제

pp. 051 ~ 055

04 답 a=2, b=1, c=2, d=2

=2+

=2+

=2+

:Á7»:

;7%;

1

;5&;

1

1+

;5@;

1

1

2+

;2!;

1+

1

1+

1

;2%;

=2+

=2+

∴ a=2, b=1, c=2, d=2

_

=1, 즉

는

의 역수이므로

A
B

B
A

전략

A
B

A
B

=

B
A

1
B
A

05 답 -

;6¦0;

두 수

과

이 나타내는 점 사이의 거리는

;5!;

;3!;

-

=

;5!;

;3!;

;1°5;

-

;1£5;

=

;1ª5;

∴

▽

;5!;

;3!;

=

;5!;

+

;1ª5;

_

;2!;

=

+

;5!;

;1Á5;

=

;1¢5;

즉
{

-

;2!;}

▽

{;5!;

▽

;3!;}

=

-

{

;2!;}

▽

;1¢5;

이때 두 수 -

과

가 나타내는 점 사이의 거리는

;2!;

;1¢5;

;1¢5;

-

-

{

;2!;}

=

;3¥0;

+

;3!0%;

=

;3@0#;

∴
{

-

;2!;}

▽

{;5!;

▽

;3!;}

=

-

{

;2!;}

▽

;1¢5;

=-

+

;2!;

_

;2!;

;3@0#;

=-

+

;2!;

;6@0#;

=-

;6¦0;

전략

참고

두 수 a와 b가 나타내는 점 사이의 거리는 |a-b|이므로 큰 수에서 작

은 수를 빼면 된다.

두 수 a, b를 나타내는 점으로부터

같은 거리에 있는 점 A가 나타내는

수는

로 구할 수도 있다.

a+b
2

b-a
A

a+b
2

a

b

②

=㈎+㈏에서

=

+㈏

;4!;

;6&;

;4!;

  ∴ ㈏=

-

=

;6&;

;4!;

;1£2;

-

;1!2$;

=-

;1!2!;

③ ㈏=

+㈐에서 -

;1!2!;

=

;1!2!;

;1!2!;

+㈐

  ∴ ㈐=-

-

;1!2!;

;1!2!;

=-

;1@2@;

=-

:Á6Á:

④

=-

+㈑에서

;4!;

;2!;

㈑ =

+

=

+

;4!;

;2!;

;4@;

;4!;

=

;4#;

⑤

;1!2!;

=㈑+㈒에서

=

+㈒

;4#;

;1!2!;

  ∴ ㈒=

-

=

;4#;

;1!2!;

;1!2!;

-

=

=

;6!;

;1ª2;

;1»2;

02 답 2

Ú -

+(-2)+

+A=-

에서

;2#;

;6!;

;3@;

;6&;

  -

+A=-

;6!;

  ∴ A=-

+

=1

;6&;

;6!;

Û -2+

+1+B=-

에서

;2#;

;6!;

+B=-

;2!;

;6!;

  ∴ B=-

-

=-

;6!;

;2!;

;3@;

Ü

+1

;2#;

+{

-

;3@;}

+C=-

에서

;6!;

+C=-

;6!;

:Á6Á:

  ∴ C=-

-

=-2

;6!;

:Á6Á:

∴ CÖB-A=-2Ö

-

-1

;3@;}

{

{

=-2_

-

-1

;2#;}

=2

03 답 -20, -13

서로 다른 세 정수를 a, b, c라 놓고

조건 ㈎와 ㈐에서 a=-3이라 하면

이므로 구하는 합은

(-3)+(-1)+(-16)=-20

또는 (-3)+(-2)+(-8)=-13

참고

b=-8, c=-2

조건 ㈏에서 (-3)_b_c=-48

∴  b_c=16

따라서 서로 다른 세 정수는 -3, -1, -16 또는 -3, -2, -8

b_c=16을 만족하는 서로 다른 음의 정수 b, c의 값은

[-3, 4]=4-(-3)=7이므로

b=-1, c=-16 또는 b=-16, c=-1 또는 b=-2, c=-8 또는

[[-3, 4], [a, 2]]=[7, [a, 2]]=5에서

06 답 24

[a, 2]=12 또는 [a, 2]=2

II. 정수와 유리수   25

따라서 x+y+z의 값은 13, 8, 7,-13,-8,-7이므로 x+y+z

aÛ`-bÛ`=(a-b)_(a+b)임을 이용하여 주어진 식을 간단히 한다.

Ú [a, 2]=12일 때,

  a=14 또는 a=-10

Û [a, 2]=2일 때,

  a=4 또는 a=0

Ú, Û에 의해 M=14, m=-10

∴ [M, m]=[14,-10]=14-(-10)=24

전략

[7, ★]=5는 7과 ★의 차가 5라는 뜻이므로

[7, 12]=5 또는 [7, 2]=5

∴ ★=12 또는 ★=2

07 답 ②

x_(y+z)=12에서 x_y+x_z=12

8+x_z=12

∴  x_z=4

즉 x_y=8, x_z=4를 만족하는 세 정수 x, y, z를 (x, y, z)로

나타내면 (1, 8, 4), (2, 4, 2), (4, 2, 1), (-1,-8,-4),

(-2,-4,-2), (-4,-2,-1)이다.

의 값이 될 수 없는 것은 ②이다.

전략

분배법칙 x_(y+z)=x_y+x_z를 이용한다.

08 답 :Á4¦:

민준이는 4번 이기고 1번 비겼으므로 7번 졌다.

이때 수직선에서 민준이의 위치에 대응하는 수는

4_

+1_

-

+7_

-

;4#;

{

;2!;}

=3-

-

;2!;

:Á3¢:

;3@;}

{

송이는 7번 이기고 1번 비기고 4번 졌다.

이때 수직선에서 송이의 위치에 대응하는 수는

7_

+1_

-

+4_

-

;4#;

{

;2!;}

=

-

-

;2!;

;3*;

:ª4Á:

;3@;}

{

=

-

-

;6#;

:Á6¥:

:ª6¥:

=-

:Á6£:

=

-

;1^2#;

;1¤2;

-

;1#2@;

=

;1@2%;

전략

따라서 민준이와 송이의 위치 사이의 거리는

;1@2%;;-{-:Á6£:}=;1@2%;+;1@2^;=;1%2!;=:Á4¦:

민준이가 이긴 횟수는 송이가 진 횟수이고, 민준이가 진 횟수는 송이가 이

긴 횟수이다. 이때 오른쪽으로 움직이는 것을 +, 왼쪽으로 움직이는 것을

-로 생각하여 위치의 값을 구한다.

26   정답과 풀이

09 답 -1009

1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+y+2017+(-2018)

={1+(-2)}+{3+(-4)}+{5+(-6)}

+y+{2017+(-2018)}

=(-1)+(-1)+(-1)+y+(-1)
( | | { | | 9

1009개

이웃한 두 수의 합이 -1임을 이용한다.

=-1009

전략

10 답 -210

1Û

-2Û

`
=(1Û

+3Û

`
-2Û

-4Û

`
`
)+(3Û

`

`

+5Û

-6Û

+y+19Û

-20Û

`
-4Û

`
)+(5Û

`

`

-6Û

`

`

`
`
)+y+(19Û

-20Û

)

`

`

=(1-2)_(1+2)+(3-4)_(3+4)+(5-6)_(5+6)

+y+(19-20)_(19+20)

=(-3)+(-7)+(-11)+y+(-39)

=-210

전략

11 답 ;2Á1;

=

;2Á1;

전략

된다.

12 답 :Á3£:

-1

_

}

{;5@;

{;3@;

-1

_

}

{;7@;

-1

_y_

}

{;2ª1;

-1

}

=

{-;3!;}_{-;5#;}_{-;7%;}_

;2!1(;}
( | | | { | | 9

{

y_

-

10개

곱해진 음수가 짝수 개이면 부호는 +가 되고, 홀수 개이면 부호는 -가

-

3
4

x

y

-

1
3

두 수 -

,-

을 나타내는 두 점 사이의 거리는

;4#;

;3!;

-

-

-

{

;3!;

;4#;}

=-

;1¢2;

+

;1»2;

=

;1°2;

x=-

+

_

=-

+

;4#;

;1°2;

;2!;

;4#;

;2°4;

x=-

+

;2!4*;

;2°4;

=-

;2!4#;

y=-

+

;3!;

;1°2;

_

=-

+

;3!;

;2°4;

;2!;

y=-

+

;2¥4;

;2°4;

=-

;2£4;

=-

;8!;

15 답 -32

조건 ㈎에 의해 -4ÉaÉ4

가 5개이므로

b-3=5

∴  b=8

따라서 a_b의 최솟값은

-4_8=-32

전략

참고

∴ xÖy=-

;2!4#;

Ö

-

{

;8!;}

=-

_(-8)=

;2!4#;

:Á3£:

전략

수직선 위에 네 수 -

;4#;, x, -
;3!;을 나타내는 두 점 사이의 거리를 구한다.

-

;3!;, y를 같은 간격으로 그린 후 두 수 -

;4#;,

조건 ㈏에 의해 a=-4일 때, a_b의 값이 최소이다.

a+3<n<b-3, 즉 -1<n<b-3을 만족하는 정수 n의 개수

13 답 -2

a=-4일 때, -1<n<b-3을 만족하는 정수 n의 개수가 5개이려면

n=0, 1, 2, 3, 4이므로 b-3=5이어야 한다.

2

-6 -8 -2

6

㉠

㉡

㉢

y

Ú (-2)+㉠=6에서 ㉠=6-(-2)=8

Û 6+㉡=㉠, 즉 6+㉡=8에서 ㉡=8-6=2

Ü ㉠+㉢=㉡, 즉 8+㉢=2에서 ㉢=2-8=-6

따라서 2, -6, -8, -2, 6, 8의 6개의 수가 반복되어 나타난다.

이때 100=6_16+4이므로 100번째 칸에 들어갈 수는 -2이다.

16 답 -9, -7

규칙에 따라 수를 찾아서 2, -6, -8, -2, 6, 8의 6개의 숫자가 반복되

전략

어 나타남을 알아낸다.

주어진 조건을 만족하는 a, b, a_b의 값을 (a, b, a_b)로 나타내면

(-4, 8, -32), (-3, 9, -27), (-2, 10, -20), y

따라서 a_b의 값이 최소가 되는 것은 a=-4일 때임을 알 수 있다.

14 답 4

2=2Ú

, 3=3Ú

, -4=-2Û

, -9=-3Û

, 8=2Ü

, 27=3Ü

`
, y이다.

`
,-81=-3Ý

`
-16=-2Ý
따라서 70번째 수는 70=2_35이므로 335이고, 106번째 수는
106=2_53이므로 353이다.

`

`

`

`

`

,

이때 3의 거듭제곱의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1의 4개의 숫자

가 반복된다.
35=4_8+3이므로 335을 10으로 나눈 나머지는 7이다.

∴ x=7
53=4_13+1이므로 353을 10으로 나눈 나머지는 3이다.

∴ y=3

∴ x-y=7-3=4

홀수번째 수는 첫 번째 수 2에 -2를 거듭해서 곱한 수이고, 짝수번째 수

는 두 번째 수 3에 -3을 거듭해서 곱한 수이다.

_(-2)
11Ú

_(-3)
11Ú

3번째

  -2Û`

4번째

  -3Û`

_(-2)
11Ú

_(-3)
11Ú

5번째

  2Ü`

6번째

_(-2)
11Ú

_(-3)
11Ú

3Ü`

7번째  y

  -2Ý`  y

8번째  y

-3Ý`  y

전략

1번째

  2

2번째

  3

참고

70=2_35이므로 70번째 수는 3에 -3을 34번 곱한 수이다.
➡ 3_(-3)34=335
106=2_53이므로 106번째 수는 3에 -3을 52번 곱한 수이다.
➡ 3_(-3)52=353

조건 ㈏에 의해 a=3 또는 a=-3

Ú a=3일 때

  조건 ㈐에 의해 |b-2|=5

  즉 b-2=5 또는 b-2=-5

  ∴ b=7 또는 b=-3

  조건 ㈎에 의해 b=-3

  조건 ㈑에 의해 3+(-3)-c=0

∴  c=0

  ∴ a_b-cÛ

`
Û a=-3일 때

=3_(-3)-0Û

=-9

  조건 ㈐에 의해 |b-2|=1

  즉 b-2=1 또는 b-2=-1

  ∴ b=3 또는 b=1

  ㉠ b=3일 때, 조건 ㈑에 의해

  -3+3-c=0

∴  c=0

  ∴ a_b-cÛ

=-3_3-0Û

=-9

  ㉡ b=1일 때, 조건 ㈑에 의해

  -3+1-c=0

∴  c=-2

  ∴ a_b-cÛ

=-3_1-(-2)Û

=-7

`

Ú, Û에 의해 구하는 값은 -9,-7이다.

`

`

`

`

17 답 ;1^5*;

조건 ㈏에 의해

조건 ㈎에 의해 b<0<a이고 b=-a이다.

a=

_

=

;2!;

;3*;

:Á3¤:

, b=-a=-

;3*;

조건 ㈐에 의해

c=-

-

=-

;3*;

;5^;

;1$5);

-

;1!5*;

=-

;1%5*;

d=

-2=

;3*;

-

=

;3^;

;3@;

;3*;

II. 정수와 유리수   27

절댓값이 같고 부호가 다른 두 유리수 x, y(y<0<x)를 나타내는 두 점

Ú a>0, b>0  Û a>0, b<0  Ü a<0, b>0  Ý a<0, b<0

전략

|A|=

각한다.

A  (A¾0)

[
-A (A<0)

임을 이용하여 다음과 같이 4가지로 나누어 생

20 답 ④

a<b<0<c<d이므로

-d<-c<0<-b<-a

이때 -d<-c<0에서 -

<-

<0

;c!;

;d!;

0<-b<-a에서 0<-

<-

;a!;

;b!;

∴ -

<-

<-

<-

;c!;

;d!;

;a!;

;b!;

전략

① x<y이면 -y<-x

② x<y<0이면 ;]!;

<

;[!;

<0

③ 0<x<y이면 0<;]!;<;[!;

21 답

1
|a|

<

1
|c|

<

1
|b|

조건 ㈎와 ㈏에 의해 a<b<0<c

조건 ㈐에 의해 |a|>|c|

조건 ㈑에 의해 |b|<|c|

따라서 |b|<|c|<|a|이므로

1
|a|

<

1
|c|

<

1
|b|

전략

x<0<y일 때

22 답 -1

x+y>0이면 |x|<|y|, x+y<0이면 |x|>|y|

m

n

a

P

b

따라서 두 유리수 c, d를 나타내는 두 점 사이의 거리는

-

-

{

;3@;

;1%5*;}

=

;1!5);

+

;1%5*;

=

;1^5*;

전략

사이의 거리가 k이면 x=

;2K;, y=-

;2K;이다.

P

B

4
3

18 답 ;2!;

A

-

1
6

두 점 A, B 사이의 거리는

;3$;-{-;6!;}=;6*;+;6!;=;6(;=;2#;

따라서 점 P가 나타내는 수는

-

+

_

;2#;

;6!;

4
4+5

=-

+

;6!;

;3@;

참고

=-

+

;6!;

;6$;

=

=

;6#;

;2!;

두 수 a, b (a<b)를 나타내는 두

점 사이의 거리를 m

n으로 나누

:
`
`

는 점 P가 나타내는 수는

a+(b-a)_

m
m+n

19 답 2, 4,-6, 0

Ú a>0, b>0일 때

  |a|=a, |b|=b, |a_b|=a_b이므로

3|a|
a

-

2|b|
b

+

|a_b|
a_b

=

-

+

2b
b

a_b
a_b

3a
a

=3-2+1=2

Û a>0, b<0일 때

3|a|
a

-

2|b|
b

+

|a_b|
a_b

=

-

3a
a

-2b
b

+

-(a_b)
a_b

=3+2-1=4

Ü a<0, b>0일 때

  |a|=-a, |b|=b, |a_b|=-(a_b)이므로

3|a|
a

-

2|b|
b

+

|a_b|
a_b

=

-3a
a

-

+

2b
b

-(a_b)
a_b

=-3-2-1=-6

Ý a<0, b<0일 때

  |a|=-a, |b|=-b, |a_b|=a_b이므로

3|a|
a

-

2|b|
b

+

|a_b|
a_b

=

-3a
a

-

-2b
b

+

a_b
a_b

Ú~Ý에 의해 구하는 값은 2, 4,-6, 0이다.

28   정답과 풀이

  |a|=a, |b|=-b, |a_b|=-(a_b)이므로

Ú  조건 ㈎와 ㈏를 모두 만족하는 두 정수 a, b를 (a, b)로 나타내

면 (5, -1), (4, -2), (3, -3), (2, -4), (1, -5), (-5, 1),

(-4, 2), (-3, 3), (-2, 4), (-1, 5)이다.

Û  조건 ㈎와 ㈑에 의해 2_|c-d|=6

  ∴ |c-d|=3

yy ㉠

Ü   ㉠과 조건 ㈐를 모두 만족하는 두 정수 c, d를 (c, d)로 나타내

면 (2, -1), (1, -2), (-1, 2), (-2, 1)이다.

Ú, Ü에 의해 a_c가 될 수 있는 값 중 가장 큰 수는 10, 가장 작

은 수는 -10이므로

x=10, y=-10

∴ xÖy=10Ö(-10)=-1

전략

을 구한다.

=-3+2+1=0

조건 ㈎와 ㈑에 의해 |c-d|=3임을 알고, 조건을 만족하는 정수의 값

STEP 3

전교 1등 확실하게 굳히는 문제

pp. 056 ~ 058

3 답 ⑴ ;3¥3;  ⑵ ;4!5!;

⑶   정육면체에서 마주 보는 면에 적힌 두 수는 각각 A와 c, B와 b,

주어진 분수의 분모를 연속한 수의 곱으로 나타낸다.

…… 30 %

1  ⑴ 3  ⑵

;4!;  ⑶ -25

2  언니, 9계단

3  ⑴

;3¥3;  ⑵

;4!5!;

5  1

7  ㉡, ㉣

4  -

;1!2#;

6  ③

1 답 ⑴ 3  ⑵ ;4!;  ⑶ -25

⑴ A=(-2)Û

-10Ö

`

[{;4(;

-6

_

-

}

{

;3*;}]

  =4-10Ö

-

:Á4°:}

_

-

{

;3*;}]

[{

  =4-10Ö10

  =4-1=3

⑵ B=2-2_

+

-

{

;2!;}

[;4#;

Ü`Ö

{

-2+

_

;2#;]

;2!;}

  =2-2_

+

-

Ö

-

_

;2#;}

;2#;]

;8!;}

[;4#;

  =2-2_

+

-

_

-

_

;3@;}

;2#;]

;8!;}

[;4#;

{

{

{

{

  =2-2_

+

{;4#;

;8!;}

  =2-2_

;8&;

  =2-

=

;4!;

;4&;

a와 -0.16이다.

  A=3이므로 c=

, B=

이므로 b=4

;3!;

;4!;

  -0.16=-

=-

이므로 a=-

;1Á0¤0;

;2¢5;

:ª4°:

  ∴ a_

Öc=-

;3B;

_

Ö

;3$;

;3!;

:ª4°:

=-

_

_3=-25

:ª4°:

;3$;

…… 40 %

두 수의 곱이 1이 될 때, 한 수를 다른 수의 역수라 한다.

2 답 언니, 9계단

니의 위치는

동생의 위치는

전략

전략

다.

처음 위치를 0, 올라가는 것을 +, 내려가는 것을 -라 하면

언니는 가위로 4번, 바위로 2번, 보로 5번 이기고 9번 졌으므로 언

(+2)_4+(+3)_2+(+4)_5+(-1)_9=25

동생은 가위로 3번, 바위로 3번, 보로 3번 이기고 11번 졌으므로

(+2)_3+(+3)_3+(+4)_3+(-1)_11=16

따라서 언니가 동생보다 25-16=9(계단) 위에 있다.

처음 위치를 0, 위로 올라가는 것을 +, 내려가는 것을 -라 하고 계산한

⑴

+

;1Á2;

;2Á0;

+

;3Á0;

+

;4Á2;

+

;5Á6;

+

;7Á2;

+

;9Á0;

+

;11!0;

  =

1
3_4

+

1
4_5

+

1
5_6

+y+

1
9_10

+

1
10_11

  =

-

+

;4!;}

{;4!;

-

;5!;}

+

{;5!;

-

;6!;}

{;3!;

+y+

-

{;9!;

;1Á0;}

{;1Á0;

;1Á1;}

+

-

  =

-

;3!;

;1Á1;=;3!3!;-;3£3;

;3¥3;

=

⑵

+

;6!;

;2Á4;

+

;6Á0;

+

;12!0;

+

;21!0;

+

;33!6;

+

;50!4;

+

;72!0;

  =

1
1_2_3

+

1
2_3_4

+

1
3_4_5

+y+

1
8_9_10

…… 30 %

  =

_
{

;2!;

1
1_2

-

1
2_3 }

+

_
{

;2!;

1
2_3

-

1
3_4 }

+y+

_

{

;2!;

1
8_9

-

1
9_10 }

  =

_

;2!;

1
1_2

-

_

;2!;

1
9_10

=

-

;4!;

;18!0;

  =

-

;1¢8°0;

;18!0;

  =

=

;1¢8¢0;

;4!5!;

전략

4 답 -

;1!2#;

AÁ=

,
;4!;

Aª=

1
1-AÁ

=

1

1-

=

=

,
;3$;

1

;4#;

A£=

1
1-Aª

=

;4!;

1

1

1-

1-

;4!;

1

=

=-3,

-

;3!;

A¢=

1
1-A£

=

1
1-(-3)

=

,
;4!;

A°=

1
1-A¢

=

=

=

,
;3$;

1

;4#;

1-

;4!;

1

1

A¤=

1
1-A°

=

1

=

=-3, y

1-

;3$;

-;3!;

난다.

=0

AÁ-Aª+A£-A¢+A°-A¤

=

-

;4!;

;3$;

+(-3)-

+

-(-3)

;4!;

;3$;

따라서 AÁ, Aª, A£, y은

,-3의 3개의 수가 반복되어 나타

,
;3$;

;4!;

II. 정수와 유리수   29

a

0

c

d

조건 ㈎와 ㈏에 의해 b_d>0

이때 200=6_33+2이므로

AÁ-Aª+A£-A¢+y+A199-A200

=0+0+0+y+0+
33개

( \ | { | | 9

-

;3$;

;4!;

=

-

;1£2;

;1!2^;

=-

;1!2#;

전략

주어진 조건에 맞게 AÁ, Aª, A£, y의 값을 구하여 규칙을 찾고,

AÁ-Aª+A£-A¢+A°-A¤=0임을 이용한다.

05 답 1

면 다음 그림과 같다.

조건 ㈎와 ㈐에 의해 4개의 정수 a, b, c, d를 수직선 위에 나타내

조건 ㈏에서 360=2Ü

_3Û

_5이므로

Ú b=-2, d=2일 때

  a_c=-2_3Û

_5이므로 a=-90, c=1

b

`

`

`

Û b=-3, d=3일 때

  a_c=-2Ü

_5이므로

`

  a=-40, c=1 또는 a=-20, c=2

Ü b=-6, d=6일 때

  a_c=-2_5이므로 a=-10, c=1

Ú~Ü에 의해 a-b-c+d의 최댓값은 a=-10, b=-6,

c=1, d=6일 때이므로

a-b-c+d=-10-(-6)-1+6=1

조건 ㈎와 ㈐를 이용하여 4개의 정수 a, b, c, d를 수직선 위에 나타내어 본

다. 또, 360을 소인수분해하면 360=2Ü`_3Û`_5임을 이용하여 조건에 맞

는 a, b, c, d의 값을 각각 구한다.

전략

참고

③ b<-a<0이므로 -

<

;b!;

;a!;

④ ㉠에서 b=

이고 -a>b이므로 -a>

;c!;

;c!;

⑤ b<-1이므로 -b>1이고

  |c|<1이므로 cÛ

<1

`

  ∴ -b>cÛ

`
따라서 옳은 것은 ③이다.

전략

① A>1이면 ;a! ;
② |A|<1이면 AÛ`<1

<1

7 답 ㉡, ㉣

조건 ㈐에 의해 d<c

조건 ㈑에 의해 a=b+c

Ú a>0일 때

  조건 ㈏에 의해 c<0이고 d<c이므로 d<0

  또, b_d>0이므로 b<0

  이때 a=b+c에서 (양수)=(음수)+(음수)가 되므로 조건에

맞지 않다.

Û a<0일 때

  조건 ㈏에 의해 c>0이고

  a=b+c에서 (음수)=b+(양수)이므로 b<0

  또, b_d>0에서 d<0

Ú, Û에 의해 a<0, b<0, c>0, d<0

㉠ aÛ

>0, cÛ

>0이므로

`

`
(주어진 식) =(양수)-(음수)+(양수)-(음수)

=(양수)+(양수)+(양수)+(양수)

주어진 조건에서 a, b, c, d의 값을 되도록 간편하게 찾는 방법을 생각한다.

Ú, Û c<d임을 이용하여 c의 값을 먼저 정한다.

Ü a<b임을 이용하여 a의 값을 먼저 정한다.

㉡ 절댓값은 모두 양수이고

<0이므로

;d!;

(주어진 식)  =-(양수)-(양수)-(양수)+(음수)

=(음수)+(음수)+(음수)+(음수)

6 답 ③

조건 ㈎에 의해 b_c=1

조건 ㈏와 ㉠에 의해 a>0

㉢ -a>0, b<0, -

<0이므로

|;cD;|

(주어진 식)  =(양수)_(음수)_(음수)

yy ㉠

yy ㉡

yy ㉢

조건 ㈐와 ㉠, ㉡에 의해 b<0, c<0

조건 ㈑와 ㉠, ㉡, ㉢에 의해 세 유리수 a, b, c를 수직선 위에 나타

내면 다음 그림과 같다.

㉣ -

|;d!;-;a!;|

<0, -

<0, -

<0이므로

;c!;

1
|b|

(주어진 식)  =(음수)Ö(음수)Ö(음수)

b

-a

-1

c

0

1

a

따라서 계산 결과가 음수가 되는 것은 ㉡, ㉣이다.

=(양수)

=(음수)

=(양수)

=(음수)

부호만 판단하면 되는 문제이므로 절댓값 기호를 씌운 수는 계산하지 않

전략

고 바로 양수라 판단한다.

① a>1이므로

<1

∴  a>

;a!;

;a!;

② a>b

30   정답과 풀이

III
문자와 식

01

문자의 사용과 식의 계산

확인  1   답

+

{:¤[¼:

:¤]¼:}

시간

갈 때는 시속 x`km로 달렸으므로 갈 때 걸린 시간은

올 때는 시속 y`km로 달렸으므로 올 때 걸린 시간은

시간

:¤[¼:

시간

:¤]¼:

이다.

따라서 두 지점 사이를 왕복하는 데 걸린 시간은

+

{:¤[¼:

:¤]¼:}

시간

확인  2   답 ④

(xÖy)Öz=

Öz=

;]{;

_

=

;z!;

;]{;

;]Óz;

① xÖ(y_z)=xÖyz=

;]Óz;

② xÖyÖz=x_

_

=

;z!;

;]!;

;]Óz;

③

_x_

=

;]!;

;]Óz;

;z!;

④ zÖ(yÖx)=zÖ

=z_

=

;]{;

:Ó]ü:

;[};

⑤

;]!;

Öz_x=

_

_x=

;]!;

;z!;

;]Óz;

따라서 계산 결과가 다른 것은 ④이다.

확인  3   답 -9

a=-

, b=

을 대입하면

;4!;

;5!;

-

=1Öa-1Öb=1Ö

-

-1Ö

{

;4!;}

;5!;

;a!;

;b!;

=1_(-4)-1_5=-4-5=-9

확인  4   답 ③, ④

③ 상수항은 -4이다.

④ 항은 5xÛ`, -3x, -4이다.

확인  5   답 -2

-2x+y-1-3(-x+y+1)-2y+5

=-2x+y-1+3x-3y-3-2y+5

=x-4y+1

따라서 a=1, b=-4, c=1이므로

a+b+c=1+(-4)+1=-2

STEP 1

억울하게 울리는 문제

pp. 062 ~ 064

1  ⑴ 5000-5a  ⑵ a+10b  ⑶ ;4{;  ⑷ ;6Ó0;
2  ⑴ _  ⑵ ◯

3  ⑴ (10-3x)

km  ⑵ 6xÛ

cmÛ

`

4-1  ⑴

:b:  ⑵ x+

;3};  ⑶

`

``
x(1+x)
y



       ⑷ 12xyÛ

  ⑹ -5a-

  ⑸
`

25xy
2z

bÛ`(x-y)
3

4-2  ⑴

;bc;  ⑵

x+y
3

  ⑶ z+

2x
y

       ⑷ -x-

:£2Õ:  ⑸

8xz
3y

  ⑹

-5a+bÛ`
3(x-y)

5-1  xÛ

-18x+80

`
6-1  28x+13

7-1  4n+4

-10x+24

5-2  xÛ

`
6-2  8x+26

7-2  12n+4

2 답   ⑴ _  ⑵ ◯

⑴  (직사각형의 둘레의 길이) =2_{(가로의 길이)+(세로의 길이)}

=2(5a+4b)=10a+8b`(cm)

⑵  (설탕의 양)=

_(설탕물의 양)

(설탕물의 농도)
100

=

;10#0;

_y=

;1£0Õ0;

`(g)

4-1 답 ⑴

:b:  ⑵ x+

  ⑷ 12xyÛ

  ⑸
`

x(1+x)
y

;3};  ⑶
25xy
2z   ⑹ -5a-



bÛ`(x-y)
3

⑴ aÖ(bÖc)=aÖ

=a_

=

;cB;

;bC;

:b:

⑶ (1+x)Öy_x=(1+x)_

_x=

;]!;

x(1+x)
y

⑷ (-2)Û`_yÖ

_3y=4_y_x_3y=12xyÛ`

;[!;

⑸ y_5xÖ

zÖ

=y_5xÖ

z_

{

;2%;}

;5@;}

{

2z
5

=y_5xÖ

=y_5x_

;2°z;

=

25xy
2z

⑹ (-5)_a-b_bÖ3_(x-y)

  =-5a-b_b_

_(x-y)

  =-5a-

;3!;

bÛ`(x-y)
3

4-2 답 ⑴

;bc;  ⑵

x+y
3

  ⑶ z+

2x
y

  ⑷ -x-

:£2Õ:  ⑸

8xz
3y

  ⑹

-5a+bÛ`
3(x-y)

⑴ aÖbÖc=a_

_

=

;c!;

;b!;

;bc;

III. 문자와 식   31

⑷ -(-1)Û`_x-yÖ

=-1_x-y_

;3@;

;2#;

따라서 주어진 도형의 둘레의 길이는 가로의 길이가 10이고, 세로

의 길이가 4x+3인 직사각형의 둘레의 길이와 같으므로

⑶ z-x_(-2)Öy=z-x_(-2)_

;]!;

=z+

2x
y

=-x-

3y
2

=xÖ

Ö

;2};

;4£z;

=x_

_

;]@;

:¢3ü:

=

8xz
3y

⑸ xÖ

y_

{

Ö

;2!;}

{;4#;

Öz

=xÖ

Ö

;2};

_

{;4#;

;z!;}

}

⑹ (-1)_(5_a-b_b)Ö3Ö(x-y)

  =(-1)_(5a-bÛ`)_

_

1
x-y

;3!;

  =

-5a+bÛ`
3(x-y)

5-1 답 xÛ

`

-18x+80

색칠한  부분의  넓이는  오른쪽  그림의

10

색칠한 부분의 넓이와 같으므로

(색칠한 부분의 넓이)

=10_8-10_x-x_8+x_x

=xÛ`-18x+80

5-2 답 xÛ

`

-10x+24

색칠한 부분의 넓이는 오른쪽 그림의

2 2

8

x

색칠한 부분의 넓이와 같으므로

(색칠한 부분의 넓이)

=x_x-(x_3)_2-(2_x)_2

+(2_3)_4

=xÛ`-10x+24

6-1 답 28x+13

오른쪽 그림과 같이 주어진 도형을

3개의 직사각형으로 나누면

(①의 넓이)

=3_(x+1)=3x+3

(②의 넓이)

=(10-5)_(x+2)

=5x+10

(③의 넓이)=10_2x=20x

3
3

x

3

①

x+1

x+2

②

2x

5

③

10

∴ (주어진 도형의 넓이) =(①의 넓이)+(②의 넓이)+(③의 넓이)

=(3x+3)+(5x+10)+20x

=28x+13

32   정답과 풀이

6-2 답 8x+26

주어진 도형의 세로의 길이는

2x+(x+2)+(x+1)=4x+3

2_{10+(4x+3)} =2(4x+13)

=8x+26

7-1 답 4n+4

색종이 n장을 겹쳐 놓을 때 겹쳐진 부분은 모두 (n-1)개가 생

기고 겹쳐진 부분 1개의 모양은 한 변의 길이가 1인 정사각형이

다.

∴ ‌‌(주어진 도형의 둘레의 길이)

=(색종이 1장의 둘레의 길이)_n

  -(겹쳐진 부분 1개의 둘레의 길이)_(n-1)

=(4_2)_n-(4_1)_(n-1)

=8n-4(n-1)

=8n-4n+4

=4n+4

7-2 답 12n+4

색종이 n장을 겹쳐 놓을 때 겹쳐진 부분은 모두 (n-1)개가 생

기고 겹쳐진 부분 1개의 모양은 한 변의 길이가 2인 정사각형이

x

x

다.

∴ ‌‌(주어진 도형의 넓이)

=(색종이 1장의 넓이)_n

  -(겹쳐진 부분 1개의 넓이)_(n-1)

=(4_4)_n-(2_2)_(n-1)

=16n-4(n-1)

=16n-4n+4

=12n+4

STEP 2

반드시 등수 올리는 문제

pp. 065 ~ 069

01  ④

04  ②

02  (8x-14)

cm  03  10

`

05  ④

06  ④

09  ⑤

07  (8a-40)칸

08  1

10  55

11  -1

12  ⑴ 0.72(t+h)+40.6  ⑵ 76.6 / 설명은 풀이 참조

13  495개

14  ③, ④

15  ④

16  ①

17  A=x+3, B=11x-3, C=13x-8

18  n이 홀수일 때：-6, n이 짝수일 때：6

19  ;3$;
21  ⑴ -3x-2  ⑵ x-7  ⑶ -x-16  22  -6

20  6

01 답 ④

④ 2+aÖb_c=2+a_

_c=2+

;b!;

:b :

05 답 ④

(지불한 금액)

02 답 (8x-14)

cm

`

길이가 x`cm인 테이프 8개를 겹쳐 놓을 때 겹쳐진 부분은 모두 7

개이고 겹쳐진 부분 1개의 길이가 2`cm이다.

∴‌‌(이어진 테이프의 전체의 길이)

=(테이프 1개의 길이)_8-(겹쳐진 부분 1개의 길이)_7

=x_8-2_7

=8x-14`(cm)

전략

한다.

`

길이가 x

cm인 테이프 8개를 겹쳐 놓을 때 겹쳐진 부분은 7개임을 이용

03 답 10

(색칠한 부분의 넓이)

=(직사각형의 넓이)-(사다리꼴의 넓이)

=(2x+1)_3-

_{x+(x+2)}_1

;2!;

=6x+3-x-1

=5x+2

따라서 a=5, b=2이므로

ab=5_2=10

참고

•(직사각형의 넓이)=(가로의 길이)_(세로의 길이)

•(사다리꼴의 넓이)=

_{(윗변의 길이)+(아랫변의 길이)}_(높이)

;2!;

=;2!;_

[\

a_

1-;1Á0¼0;}

{

+a_

1+;1Á0¼0;}]

{

_

a_

[\

1-;10%0;}\]

{

04 답 ②
(사다리꼴의 넓이)

=

_

;2!;

{;1»0;

a+

;1!0!;

a

_

}

;2!0(;

a

=

_2a_

;2!;

a

;2!0(;

=

aÛ`

;2!0(;

전략

=

15000_

1-

_2+

1300_

1-

{

;10A0;}]

[

{

;10B0;}]

[

_6

=(15000-150a)_2+(1300-13b)_6

=30000-300a+7800-78b

=37800-300a-78b(원)

참고

(정가에서 a

% 할인한 가격)=(정가)-(할인 금액)

`

=(정가)-(정가)_

;10A0;

=(정가)_

1-

{

;10A0;}

06 답 ④

(농구공 한 개와 축구공 한 개의 가격의 합)

=x_

1-

{

;1ª0¼0;}

+(x+500)_

1-

{

;1£0¼0;}

=x_0.8+(x+500)_0.7

=0.8x+0.7x+350

=1.5x+350(원)

따라서 x의 계수는 1.5, 상수항은 350이므로 그 합은

1.5+350=351.5

07 답 (8a-40)칸

처음 위치를 0, 올라가는 것을 +, 내려가는 것을 -로 나타내면

승우는 a번 이기고 (10-a)번 졌으므로 승우의 위치는

3a-(10-a)=3a-10+a=4a-10

남주는 (10-a)번 이기고 a번 졌으므로 남주의 위치는

3(10-a)-a=30-3a-a=30-4a

4a-10-(30-4a) =4a-10-30+4a

=8a-40

따라서 승우는 남주보다 (8a-40)칸 위에 있다.

가위바위보를 총 10번 하여 승우가 a번 이겼을 때, 승우가 진 횟수와 남

주가 이기고 진 횟수를 각각 따져본다.

이때

전략

08 답 1

길이를 줄이는 것은 -, 늘이는 것은 +이므로 사다리꼴의 윗변의 길이,

아랫변의 길이, 높이는 각각 다음과 같다.

(윗변의 길이)=a-a_

;1Á0¼0;

=a_

1-

{

;1Á0¼0;}

(아랫변의 길이)=a+a_

;1Á0¼0;

=a_

1+

{

;1Á0¼0;}

(높이)=a-a_

;10%0;

=a_

1-

{

;10%0;}

A=3a+bÛ`=3_3+(-2)Û`=9+4=13

B=

a-2b=

_3-2_(-2)=2+4=6

;3@;

;3@;

∴ A-2B=13-2_6=1

전략

a=3, b=-2를 대입하여 A와 B의 값을 각각 구한다. 음수를 대입할

때에는 괄호를 사용하여 실수하지 않도록 한다.

III. 문자와 식   33

\
09 답 ⑤

① |aÛ`-bÛ`|  =|(-2)Û`-(-3)Û`|

=|4-9|=|-5|=5

②

a-2bÛ`
-a+2b

=

-2-2_(-3)Û`
-(-2)+2_(-3)

=

-2-18
2-6

=

-20
-4

=5

③

5abÛ`-10b
aÛ`b

=

5_(-2)_(-3)Û`-10_(-3)
(-2)Û`_(-3)

=

-90+30
-12

=

-60
-12

=5

④

-4aÜ`-3bÛ`
a-b

=

-4_(-2)Ü`-3_(-3)Û`
-2-(-3)

‌ ‌

=32-27=5

⑤ |2a-bÛ`|‌=|2_(-2)-(-3)Û`|‌

=|-4-9|=|-13|=13

따라서 식의 값이 나머지 넷과 다른 것은 ⑤이다.

10 답 55

+bÛ`-

=9Öa+bÛ`-16ÖcÜ`

16
cÜ`

=9Ö

-

+4Û`-16Ö

-

Ü`

{

;3@;}

=9_

-

+16-16_

-

{

:ª8¦:}

{

{

;5#;}

;3%;}

=-15+16+54

=55

;a(;

전략

분수 꼴은 나눗셈 기호를 다시 살려 쓸 수 있다.

➡ ;a(;

+bÛ

-

`

=9Öa+bÛ

-16ÖcÜ

`

`

16
cÜ`

11 답 -1

8a-6=8_

-

-6=-2-6=-8

{

;4!;}

4a+3=4_

-
{

;4!;}

+3=-1+3=2

12ab+1=12_

-

_

+1=-5+1=-4

{

;4!;}

;3%;

3b-3=3_

-3=5-3=2

;3%;

3b=3_

=5, 2c=2_

=1

;2!;

;3%;

∴‌

8a-6
4a+3

+

12ab+1
3b-3

+

3b
2c

  =

-8
2

+

-4
2

+

;1%;

  =-4+(-2)+5=-1

34   정답과 풀이

전략

분수의 분자와 분모에 있는 식의 값을 각각 구한 다음 계산한다.

12 답 ⑴ 0.72(t+h)+40.6  ⑵ 76.6 / 설명은 풀이 참조

⑵ 0.72(t+h)+40.6에 t=25.5, h=24.5를 대입하면

0.72_(25.5+24.5)+40.6 =0.72_50+40.6

=76.6

  따라서 불쾌지수는 75 이상 80 미만이므로 불쾌지수의 단계는

높음이고, 50`% 정도의 인원이 불쾌감을 느낀다.

⑵  불쾌지수를 t, h를 사용하여 나타낸 식에 t=25.5, h=24.5를 대입

전략

한다.

13 답 495개

한 변에 놓인 바둑돌의 개수와 정오각형에 있는 바둑돌의 총 개수

를 표로 나타내면 다음과 같다.

한 변에 놓인

바둑돌의 개수 (개)

정오각형에 있는

바둑돌의 총 개수 (개)

2

3

4

y

n

1_5

2_5

3_5 y (n-1)_5

따라서 한 변에 놓인 바둑돌의 개수가 100개인 정오각형에 있는

바둑돌의 총 개수는

(100-1)_5=495(개)

전략

규칙성이 있는 시행에서는 첫 번째, 두 번째, 세 번째, y 시행에서 변화

하는 수량을 보고 규칙성을 찾는다.

14 답 ③, ④

③ xÛ`+3x+7은 차수가 2차인 다항식이다.

④

+2y의 x의 계수는

이다.

;4{;

;4!;

따라서 옳지 않은 것은 ③, ④이다.

15 답 ④

A-B =(3xÛ`+7x-2)-(-axÛ`+bx+c)

=3xÛ`+7x-2+axÛ`-bx-c

=(3+a)xÛ`+(7-b)x+(-2-c)

이 식이 x에 대한 일차식이 되려면

3+a=0, 7-b+0

∴ a=-3, b+7

전략

일차식은 ax+b (a, b는 상수, a+0)의 꼴로 정리되는 식이다.

먼저 세 개의 식이 모두 있는 두 번째 세로줄에서 세 일차식의 합을 구한

16 답 ①

①

10x-25
5

  즉 a=6, b=-15이므로

  a-b=6-(-15)=21

_3=(2x-5)_3=6x-15

② (2x-8)Ö

=(2x-8)_

=3x-12

;3@;

;2#;

  즉 a=3, b=-12이므로

  a-b=3-(-12)=15

③

1-2x
3

-

x-1
2

=

2(1-2x)-3(x-1)
6

=

2-4x-3x+3
6

=

-7x+5
6

=-

x+

;6&;

;6%;

  즉 a=-

, b=

이므로

;6&;

;6%;

  a-b=-

-

=-2

;6&;

;6%;

  즉 a=-13, b=-24이므로

  a-b=-13-(-24)=11

⑤ 20

-

{;4{;

;5$;}

-(-6x+3)Ö(-1.5)

  =5x-16-(-6x+3)_

-

{

;3@;}

  =5x-16-(4x-2)

  =5x-16-4x+2=x-14

  즉 a=1, b=-14이므로

  a-b=1-(-14)=15

따라서 a-b의 값이 가장 큰 것은 ①이다.

전략

④ -2(6-x)+3(-5x-4)  =-12+2x-15x-12

=-13x-24

⑤ 소수는 분수로 바꾸고, 나눗셈은 역수의 곱셈으로 바꾸어 계산한다.

오른쪽 아래로 향하는 대각선에서

(-7x+4)+(3x-2)+C=9x-6

(-4x+2)+C=9x-6

∴ C =9x-6-(-4x+2)

=9x-6+4x-2=13x-8

전략

다.

18 답 n이 홀수일 때：-6, n이 짝수일 때：6

Ú n이 홀수일 때

  (-1)Ç`(5x+3)-(-1)Ç`(5x-3)

  =(-1)_(5x+3)-(-1)_(5x-3)

  =-5x-3+5x-3=-6

Û n이 짝수일 때

  (-1)Ç`(5x+3)-(-1)Ç`(5x-3)

  =1_(5x+3)-1_(5x-3)

  =5x+3-5x+3=6

전략

n이 홀수일 때, (-1)Ç`=-1

n이 짝수일 때, (-1)Ç`=1

19 답 ;3$;

3x+1
2

-

x-4
3

=

3(3x+1)-2(x-4)
6

=

9x+3-2x+8
6

=

7x+11
6

=

x+

;6&;

:Á6Á:

(6x+9)+

(-8x-2)=2x+3-4x-1

;2!;

=-2x+2

17 답 A=x+3, B=11x-3, C=13x-8

따라서 a=

, b=

, c=-2, d=2이므로

;6&;

:Á6Á:

(15x-13)+(3x-2)+(-9x+9)=9x-6

즉 가로, 세로, 대각선에 놓여 있는 세 일차식의 합은 각각 9x-6

두 번째 세로줄에서

이 되어야 한다.

첫 번째 가로줄에서

ac+bd=

_(-2)+

_2=-

+

;6&;

:Á6Á:

;3&;

=

;3$;

:Á3Á:

일차식이 분수 꼴일 때에는 분모의 최소공배수로 통분한다.

(-7x+4)+(15x-13)+A=9x-6

(8x-9)+A=9x-6

∴ A =9x-6-(8x-9)

=9x-6-8x+9=x+3

두 번째 가로줄에서

B+(3x-2)+(-5x-1)=9x-6

B+(-2x-3)=9x-6

∴ B =9x-6-(-2x-3)

=9x-6+2x+3=11x-3

x-7-

3x+5-(2x+6)Ö

;4#;

[

;3@;]

=

x-7-

3x+5-(2x+6)_

[

;2#;]

x-7-{3x+5-(3x+9)}

=

x-7-(3x+5-3x-9)

=

x-7+4=

x-3

;4#;

III. 문자와 식   35

;3!;

전략

20 답 6

;4#;

=

;4#;

;4#;

;4#;

따라서 a=

, b=-3이므로

4a-b=4_

-(-3)=3+3=6

;4#;

;4#;

전략

여러 가지 괄호가 있는 일차식을 간단히 할 때에는 (

  ) → {

  } →

[    ] 순으로 계산한다.

a+b+c=0이므로 a+b=-c, a+c=-b, b+c=-a

21 답 ⑴ -3x-2  ⑵ x-7  ⑶ -x-16

⑴ 잘못 본 다항식을 A'이라 하면

  4x-5+A'=x-3

  ∴ A' =x-3-(4x-5)

=x-3-4x+5=-3x+2

  이때 A'은 상수항의 부호를 잘못 본 것이므로

  A=-3x-2

⑵ B =4x-5+A

=4x-5+(-3x-2)=x-7

⑶ A+2B =(-3x-2)+2(x-7)

=-3x-2+2x-14=-x-16

잘못 본 다항식을 A'으로 놓고 A'을 먼저 구한다.

전략

22 답 -6

∴ a

+

{;b@;

;c@;}

+b

{;c@;

+

;a@;}

+c

{;a@;

+

;b@;}

  =

+

+

+

+

+

2a
b

2a
c

2b
c

2b
a

2c
a

2c
b

  =

2(b+c)
a

+

2(a+c)
b

+

2(a+b)
c

  =

-2a
a

+

-2b
b

+

-2c
c

  =-2-2-2=-6

전략

자를 간단히 한다.

1   ⑴ 25a원  ⑵ 24a원

⑶ 할인 마트에서 사는 것이 a원만큼 더 싸다.

2  33

3  A 그릇：;2!;

x
`

%, B 그릇：

x+3y
4

%

`

5  m=

n+

;3$;

;3@;

7  12단계

4  9.6

%

`

6  13

8  69

61

:
`

`

36   정답과 풀이

1 답   ⑴ 25a원  ⑵ 24a원

⑶ 할인 마트에서 사는 것이 a원만큼 더 싸다.

⑴  덤 마트에서 음료수 5개를 한 묶음으로 사면 1개를 덤으로 주므

로 6개를 산 것과 같다. 즉 음료수 30개를 사려면 음료수 5개를

한 묶음으로 총 5묶음을 사면 되므로 지불해야 하는 금액은

  (a_5)_5=25a(원)

…… 40 %

⑵  할인 마트에서 음료수 30개를 사려면 음료수 5개를 한 묶음으

로 총 6묶음을 사면 되는데 20`%를 할인해 주므로 지불해야 하

는 금액은

a_5_

1-

_6=24a(원)

[

{

;1ª0¼0;}]

…… 40 %

⑶ a>0이므로 25a>24a이고 25a-24a=a

  따라서 할인 마트에서 사는 것이 a원만큼 더 싸다.  …… 20 %

전략

음료수 5개를 한 묶음으로 살 때, 덤 마트에서는 총 5묶음만 사면 되고, 할

인 마트에서는 총 6묶음을 사는데 20

%를 할인해 주므로 두 마트에서 각

`

각 지불해야 하는 비용을 구하여 비교해 본다.

x+1

7

①

5

x+2

②

3x+2

4

③

10

2 답 33

오른쪽 그림과 같이 주어진

도형을 4개의 직사각형으

로 나누면

(①의 넓이)

(②의 넓이)

=5_(x+1)=5x+5

2x-1

④

=(7-5)_{(3x+2)+(x+1)}

=2_(4x+3)=8x+6

(③의 넓이)  =4_{(x+2)+(2x-1)}

=4_(3x+1)=12x+4

(④의 넓이)={10-4-(7-5)}_(2x-1)=8x-4

∴   (주어진 도형의 넓이)

=(①의 넓이)+(②의 넓이)+(③의 넓이)+(④의 넓이)

=33x+11

따라서 x의 계수는 33이다.

전략

3 답 A 그릇：;2!;

`

x

%, B 그릇：

x+3y
4

%

`

A 그릇에 있는 설탕물 100`g을 B 그릇에 넣었을 때,

( A 그릇에 있는 설탕의 양)=

_(200-100)=x`(g)

x
100

( B 그릇에 있는 설탕의 양)=

;10}0;

_300+

_100

;10{0;

=x+3y`(g)

분배법칙을 이용하여 주어진 식을 전개하고 분모가 같은 것끼리 모아 분

=(5x+5)+(8x+6)+(12x+4)+(8x-4)

STEP 3

전교 1등 확실하게 굳히는 문제

pp. 070 ~ 073

주어진 도형을 적당히 나누어 직사각형의 넓이를 이용한다.

이때 A 그릇에 물 100`g을 넣었으므로

(A 그릇의 설탕물의 농도)=

x
100+100

_100

=

;20{0;

_100=

x`(%)

;2!;

(B 그릇의 설탕물의 농도)=

x+3y
300+100

_100

=

x+3y
400

_100=

x+3y
4

`(%)

전략

(설탕의 양)=

_(설탕물의 양),

(설탕물의 농도)
100

(설탕물의 농도)=

(설탕의 양)
(설탕물의 양)

_100

(%)임을 이용한다.

`

이때 A 그릇에 물 100

g을 넣은 후 A 그릇에 있는 설탕물의 양은

100+100=200

`
(g)이다.

`

4 답 9.6

%

`

온실가스 배출량 중 이산화탄소가 80`%를 차지하므로

(온실가스 배출량 중 이산화탄소의 양)=

;1¥0¼0;

a=

a(톤)

;5$;

이때 이산화탄소 배출량을 12`% 줄이면 줄어든 이산화탄소의 배

출량은

a_

;5$;

=

;1Á0ª0;

;1Á2ª5;

a(톤)

∴ (줄어든 온실가스 배출량의 백분율)

  =

(줄어든 이산화탄소 배출량)
(온실가스 배출량)

_100

  =

aÖa

_100

{;1Á2ª5;

}

  =

{;1Á2ª5;

a_

_100

;a!;}

  =

=9.6`(%)

:¢5¥:

전략

(줄어든 온실가스 배출량의 백분율)

=

(줄어든 이산화탄소 배출량)
(온실가스 배출량)

_100

(%)

`

임을 이용한다.

바퀴

1

2

3

이동한 거리
`
(cm)

6_1

6_2

6_3

y

y

m

6m

(점 P가 이동하는 데 걸리는 시간)=(점 Q가 이동하는 데 걸리는

시간)이므로

6n+3
3

=

6m
4

, 2n+1=

m

;2#;

∴ m=

(2n+1)=

n+

;3$;

;3@;

;3@;

전략

(점 P가 이동한 거리)
(점 P의 속력)

=

(점 Q가 이동한 거리)
(점 Q의 속력)

임을 이용한다.

6 답 13

p`%의 소금물의 양은 100+200=300`(g)이므로

;10A0;

_100+

_200=

_300

;10B0;

;10P0;

∴ a+2b=3p

이때 3p=2q이므로 a+2b=2q, 즉 q=

yy ㉠

a+2b
2

q`%의 소금물의 양은 200+100=300`(g)이므로

yy ㉡

;10A0;

_200+

_100=

_300

;10B0;

;10Q0;

∴ 2a+b=3q, 즉 q=

2a+b
3

㉠, ㉡에서

a+2b
2

=

2a+b
3

양변에 6을 곱하면 3(a+2b)=2(2a+b)

3a+6b=4a+2b

∴  a=4b

∴

3aÛ`+4bÛ`
ab

=

3_(4b)Û`+4bÛ`
4b_b

=

52bÛ`
4bÛ`

=13

전략

농도가 다른 두 소금물을 섞어도 소금의 양은 변화가 없음을 이용하여 문

자에 대한 식을 세운다.

7 답 12단계

굵은 선의

총 길이

단계에 따라 굵은 선의 총 길이를 표로 나타내면 다음과 같다.

단계

1

2

3

n

1_2

2_3

3_4

n(n+1)

y

y

즉 n단계일 때 굵은 선의 총 길이는 n(n+1)이다.  …… 50 %

5 답 m=

n+

;3$;

;3@;

점 P가 꼭짓점 A를 출발하여 n바퀴 돌고 난 후 꼭짓점 D에 도착

할 때까지 이동한 거리는 다음 표와 같다.

바퀴

1

2

3

n

이때 n(n+1)에 n=11을 대입하면

이동한 거리
(cm)

6_1+3

6_2+3

6_3+3

6n+3

11_12=132<150

y

y

n=12를 대입하면 12_13=156>150

점 Q가 꼭짓점 C를 출발하여 m바퀴 돌아 다시 꼭짓점 C에 도착

따라서 굵은 선의 총 길이가 처음으로 150보다 길어지는 것은 12

할 때까지 이동한 거리는 다음 표와 같다.

단계부터이다.

…… 50 %

III. 문자와 식   37

(A°의 한 변의 길이)  =(a+b)+(2a+b)

따라서 [  ] 안의 수가 주어진 방정식의 해가 아닌 것은 ⑤이다.

(A»의 한 변의 길이)  =a+(2a+b)+(5a+3b)

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉡이다.

02

일차방정식의 풀이

확인  1   답 ⑤

① 2=3x+1에 x=

을 대입하면

;3!;

  2=3_

+1

;3!;

② 6-3x=10에 x=-

를 대입하면

;3$;

  6-3_

-

=10

{

;3$;}

③ -x+5=-1에 x=6을 대입하면

  -6_5=-1

④ -3=-2x+3에 x=3을 대입하면

  -3=-2_3+3

⑤ 2x-3=7에 x=-2를 대입하면

  2_(-2)-3+7

확인  2   답 ㉠, ㉡

㉠ a+c=b+c의 양변에서 c를 빼면 a=b

㉡ a+3=b+1의 양변에서 3을 빼면 a=b-2

㉢

=

;2A;

;3B;

의 양변에 6을 곱하면 3a=2b

㉣ a=1, b=2, c=0이면 ac=bc이지만 a+b

yy ㉠

yy ㉡

yy ㉢

yy ㉣

확인  3   답 ③

① xÛ`=2x-1에서 xÛ`-2x+1=0 (일차방정식이 아니다.)

② x+3(2x+1)=7x+3 (일차식)

③ 2x=5x+2에서 -3x-2=0 (일차방정식)

④ 3x-4x=-x에서 0_x=0 (일차방정식이 아니다.)

⑤ 3x+1=3(x-3)에서 10=0 (일차방정식이 아니다.)

따라서 일차방정식인 것은 ③이다.

확인  4   답 ⑤

① 6x+3=-15에서

  6x=-18

∴  x=-3

② 2(x-1)=3x+2에서

③ 6-x=3x+10에서

  -4x=4

∴  x=-1

  2x-2=3x+2, -x=4

∴  x=-4

④

=x-2의 양변에 3을 곱하면

;3{;

  x=3x-6, -2x=-6

∴  x=3

⑤ x+0.8=0.3x+5의 양변에 10을 곱하면

전략

단계에 따른 굵은 선의 총 길이의 규칙성을 찾는다.

8 답 69

61

:
`

`

각 정사각형을 크기가 작은 것부

터 AÁ, Aª, A£, y, A»라 하자.

A§

이때 AÁ의 한 변의 길이를 a, Aª

의 한 변의 길이를 b라 하면 각 정

사각형의 한 변의 길이는 다음과

Aª

A∞

A¢ A£

A¡

A¶

A™

A•

같다.

(A£의 한 변의 길이)=a+b

(A¢의 한 변의 길이)  =a+(a+b)

(A¤의 한 변의 길이)  =(2a+b)+(3a+2b)

(A¦의 한 변의 길이)  =b+(a+b)+(3a+2b)

(A¥의 한 변의 길이)  =b+(4a+4b)

=2a+b

=3a+2b

=5a+3b

=4a+4b

=4a+5b

=8a+4b

이때 직사각형의 가로의 길이는

(8a+4b)+(4a+5b)=12a+9b

직사각형의 세로의 길이는

(5a+3b)+(8a+4b)=13a+7b

또는 (4a+4b)+(4a+5b)=8a+9b

㉡, ㉢이 서로 같으므로

13a+7b=8a+9b

5a=2b

∴ a=

b

;5@;

㉣을 ㉠에 대입하면

12a+9b=12_

b+9b=

b

:¤5»:

㉣을 ㉡에 대입하면

13a+7b=13_

b+7b=

b

:¤5Á:

;5@;

;5@;

∴ (가로의 길이)：(세로의 길이)=

b：

b

:¤5Á:

:¤5»:

=69`:`61

전략

가장 작은 정사각형의 한 변의 길이를 a, 두 번째로 작은 정사각형의 한

변의 길이를 b라 하고, 나머지 7개의 정사각형의 한 변의 길이를 a, b를 사

용한 식으로 나타낸다.

38   정답과 풀이

이때 직사각형의 세로의 길이는 A¤과 A»의 한 변의 길이의 합으로 나타

  10x+8=3x+50, 7x=42

∴  x=6

낼 수도 있고, A¦과 A¥의 한 변의 길이의 합으로 나타낼 수도 있다.

따라서 해가 가장 큰 것은 ⑤이다.

STEP 1

억울하게 울리는 문제

pp. 076 ~ 078

1-1  ㈎ - ㉡, ㈏ - ㉢

1-2  ㉢, ㉠, ㉣

2-1  ④

2-2  6

3  ⑴ x=

;5@;  ⑵ x=-7  ⑶ x=1

  ⑷ x=

4-1  -9

;6&;  ⑸ x=-1  ⑹ x=-

;2#;

4-2  a=-2, b=2

5-1  ⑴ a+3  ⑵ a=3, b=5  ⑶ a=3, b+5

5-2  ②

6-1  ⑴ x=

;a!;  ⑵ 해가 없다.

6-2   a+0일 때, x=1

a=0일 때, 해가 무수히 많다.

1-1 답 ㈎ - ㉡, ㈏ - ㉢

x+3=-2

;4!;

x=-5

;4!;

  ∴ x=-20

㈎ 양변에서 3을 뺀다.

㈏ 양변에 4를 곱한다.

따라서 ㈎ - ㉡, ㈏ - ㉢이다.

㈎ 양변에 6을 곱한다.

㈏ 양변에 6을 더한다.

㈐ 양변을 9로 나눈다.

1-2 답 ㉢, ㉠, ㉣

x-1=

;2#;

;3!;

  9x-6=2

9x=8

  ∴ x=

;9*;

㉣이다.

2-1 답 ④

=

;3A;

;2B;

① 2a=3b의 양변을 6으로 나누면

② a+1=b의 양변에서 1을 빼면 a=b-1

  a=b-1의 양변에서 b를 빼면

  a-b=-1

③

=

;3A;

;4B;

  4a=3b

의 양변에 12를 곱하면

④ a=3b의 양변에서 3을 빼면 a-3=3b-3

  즉 a-3=3(b-1)

⑤ -a=b의 양변에 3을 곱하면 -3a=3b

  -3a=3b의 양변에 5를 더하면

  5-3a=3b+5

따라서 옳은 것은 ④이다.

따라서 ㈎, ㈏, ㈐에 이용된 등식의 성질을 차례로 나타내면 ㉢, ㉠,

2-2 답 6

;4!;

  ∴ ㉠=0

  ∴ ㉡=7

Ú a=4b의 양변을 4로 나누면

a=b

a=b의 양변에서 b를 빼면

a-b=0

;4!;

;4!;

Û a-3=b의 양변에 2를 곱하면 2a-6=2b

  2a-6=2b의 양변에서 2b를 빼면 2a-2b-6=0

  2a-2b-6=0의 양변에 7을 더하면 2a-2b+1=7

Ü

=-

의 양변에 4를 곱하면 a=-b

;4A;

;4B;

  b+0이므로 a=-b의 양변을 b로 나누면

=-1

;bA;

  ∴ ㉢=-1

Ú~Ü에 의해 ㉠+㉡+㉢=0+7+(-1)=6

3 답 ⑴ x=

;5@;  ⑵ x=-7  ⑶ x=1

  ⑷ x=

;6&;  ⑸ x=-1  ⑹ x=-

;2#;

⑴ 2+9x-{x-2(4x-3)}=6x에서

  2+9x-(x-8x+6)=6x

  2+9x-(-7x+6)=6x

  2+9x+7x-6=6x

  10x=4

∴  x=

;5@;

  12(2x-0.5)=50+32x

  24x-6=50+32x

  -8x=56

∴  x=-7

⑶

3(x-1)
4

=2-

2(4-x)
3

  9(x-1)=24-8(4-x)

⑵ 1.2(2x-0.5)=5+3.2x의 양변에 10을 곱하면

의 양변에 12를 곱하면

  9x-9=24-32+8x

∴  x=1

⑷

3(5x-1)
2

+3=

5(2x+3)
3

;6&;

+

x의 양변에 6을 곱하면

  9(5x-1)+18=10(2x+3)+7x

  45x-9+18=20x+30+7x

  18x=21

∴  x=

;6&;

⑸

2-4x
3

+0.2x=1.2

-

{;3%;

2+x

6 }

에서

+

x=

;5!;

;5^;{;3%;

-

2+x

6 }

2-4x
3

2-4x
3

  5(2-4x)+3x=30-3(2+x)

  10-20x+3x=30-6-3x

  -14x=14

∴  x=-1

+;5!;x=2-

2+x
5

의 양변에 15를 곱하면

III. 문자와 식   39

⑹ 2

x+

-3

-

[;6!;

{;2{;

;2!;}

+1

}]

{;3!;

=0.5x+1에서

  2

x+

-3

;2!;}

{;3!;

{-;2{;-;6%;}

;2!;

=

x+1

x+1+

x+

=

;2%;

;2#;

;2!;

;3@;

x+1의 양변에 6을 곱하면

  4x+6+9x+15=3x+6

  10x=-15

∴  x=-

;2#;

이 식이 x에 대한 항등식이 되려면

3+2a=0, b-6=0이어야 하므로 a=-

, b=6

;2#;

4-1 답 -9

3x+2(ax+3)=b에서

3x+2ax+6=b

(3+2a)x=b-6

∴ ab=-

_6=-9

;2#;

4-2 답 a=-2, b=2

2(x+a)=bx-4에서

2x+2a=bx-4

므로

2=b, 2a=-4

∴ a=-2, b=2

이 식을 만족하는 x의 값이 2개 이상이려면 해가 무수히 많아야 하

5-1 답 ⑴ a+3  ⑵ a=3, b=5  ⑶ a=3, b+5

ax-b=3x-5에서

⑴ 해가 한 개이려면 a+3

⑵ 해가 무수히 많으려면 a=3, -b=-5

  ∴ a=3, b=5

⑶ 해가 없으려면 a=3, -b+-5

  ∴ a=3, b+5

5-2 답 ②

ax-2=3x+b에서

(a-3)x=b+2

  x=

b+2
a-3

④ a=3, b+-2이면 해가 없다.

⑤ a+3, b=-2이면 x=0

따라서 옳은 것은 ②이다.

40   정답과 풀이

6-1 답 ⑴ x=

;a!;  ⑵ 해가 없다.

ax-1=0에서 ax=1

⑴ a+0일 때, x=

;a!;

⑵ a=0일 때, 0_x=1이므로 해가 없다.

6-2 답 a+0일 때, x=1

  a=0일 때, 해가 무수히 많다.

a(x-1)=0에서 ax=a

Ú a+0일 때, x=

=1

;aA;

Û a=0일 때, 0_x=0이므로 해가 무수히 많다.

STEP 2

반드시 등수 올리는 문제

pp. 079 ~ 081

01    등식：㉡, ㉢, ㉣, ㉤, ㉦, ㉧

방정식 : ㉣, ㉤, 항등식：㉡, ㉢, ㉧

02  :Á6¦:
05  ⑤

08  -1

14  6

17  18

11  x=-5

03  4

04  ㉠, ㉤

06  ⑤

09  0

12  6

07  5

10  7

13  x=-2

16  a=-4, x=3  16  5

01 답   등식：㉡, ㉢, ㉣, ㉤, ㉦, ㉧

  방정식 : ㉣, ㉤, 항등식：㉡, ㉢, ㉧

㉠ 등호가 없으므로 등식이 아니다.

㉥ 부등호로 연결되어 있으므로 등식이 아니다.

㉦ x=x+2에서 0=2이므로 항상 거짓인 등식이다.

전략

•등식 : 등호를 사용하여 두 수 또는 두 식이 같음을 나타낸 식

•방정식 : 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식

•항등식 : 미지수에 어떤 값을 대입해도 항상 참이 되는 등식

02 답 :Á6¦:

2x-1
3

2x-1-6b=3ax+12

즉 2=3a, -1-6b=12이므로 a=

, b=-

;3@;

:Á6£:

∴ a-b=

-

-

{

;3@;

:Á6£:}

=

:Á6¦:

① a+3, b+-2이면 a-3+0, b+2+0이므로

-2b=ax+4의 양변에 3을 곱하면

②, ③ a=3, b=-2이면 해는 무수히 많다.

이 등식이 모든 x에 대하여 항상 참이므로 항등식이다.

이 등식이 x에 대한 일차방정식이 되려면 xÛ`의 계수가 0이어야 하

  a-2=b+3의 양변을 c로 나누면

a-2
c

=

b+3
c

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

ax+b=0이 x에 대한 일차방정식이 되려면 a+0이어야 한다.

07 답 5

ax+b=cx+d가 x에 대한 항등식이 되려면 a=c, b=d이어야 한

전략

다.

03 답 4

(a-1)xÛ`+2x-1-3xÛ`+

x-

=

;3!;

;2!;

;7!;

에서

(a-4)xÛ`+

x-

:Á7°:

=0

:Á6Á:

a-4=0

∴  a=4

므로

전략

04 답 ㉠, ㉤

㉠ a=1, b=2, c=0이면

=

이지만 a+b

;aC;

;bC;

㉡   a-b=a+b의 양변에서 a를 빼면 -b=b

  -b=b의 양변에서 b를 빼면 -2b=0

  -2b=0의 양변을 -2로 나누면 b=0

㉢

=

;cA;

;cB;

의 양변에 c를 곱하면 a=b

㉣ a-3c=b-3c의 양변에 3c를 더하면 a=b

㉤ a=3b의 양변에 2를 더하면 a+2=3b+2

㉥ 3a-2b=0의 양변에 2b를 더하면 3a=2b

  3a=2b의 양변에 2를 곱하면 6a=4b

  6a=4b의 양변에 c를 더하면 6a+c=4b+c

따라서 옳지 않은 것은 ㉠, ㉤이다.

전략

㉠에서는 c+0이라는 조건이 있어야 한다.

05 답 ⑤

① x-6=4x+3의 양변에서 4x를 빼면 x-6-4x=3

  x-6-4x=3의 양변에 6을 더하면 x-4x=3+6

② x-6=4x+3의 양변에서 x를 빼면 -6=3x+3

  -6=3x+3의 양변에 6을 더하면 0=3x+9

③ x-6=4x+3의 양변에 -1을 곱하면 -x+6=-4x-3

④ x-6=4x+3의 양변에서 2x를 빼면 -x-6=2x+3

⑤ x-6=4x+3의 양변에 6을 더하면 x=4x+9

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

전략

등식의 성질을 이용하여 주어진 등식을 변형한다.

06 답 ⑤

① a-3=b+2의 양변에 c를 곱하면 ac-3c=bc+2c

  ac-3c=bc+2c의 양변에 3c를 더하면 ac=bc+5c

  ac=bc+5c의 양변에서 bc를 빼면 ac-bc=5c

② a-3=b+2의 양변에 5를 더하면 a+2=b+7

③ a-3=b+2의 양변에 3을 더하면 a=b+5

④ a-3=b+2의 양변에 -1을 곱하면 -a+3=-b-2

  -a+3=-b-2의 양변에서 6을 빼면 -a-3=-b-8

⑤ a-3=b+2의 양변에 1을 더하면 a-2=b+3

x+1
3

-

2x+1
4

;4#;

=

의 양변에 12를 곱하면

4(x+1)-3(2x+1)=9

4x+4-6x-3=9

-2x=8

∴  x=-4

즉 a=-4이므로

|-2a|-|a+1|  =|-2_(-4)|-|-4+1|

=|8|-|-3|=8-3=5

전략

양변에 분모 3과 4의 최소공배수 12를 곱한다. 이때 분자가 식일 때에는

괄호를 사용하여 분배법칙을 이용한다.

기호 △의 약속에 따라 (3△x)△5=-1을 일차방정식으로 나타낸다.

08 답 -1

3△x=3x+3+x=4x+3이므로

(3△x)△5  =(4x+3)△5

=5(4x+3)+(4x+3)+5

=20x+15+4x+3+5

=24x+23

따라서 24x+23=-1이므로

24x=-24

∴  x=-1

전략

09 답 0

7x+3=a(15+2x)에 x=-3을 대입하면

-21+3=a_(15-6)

-18=9a

∴  a=-2

-x+8=b-3x에 x=-3을 대입하면

3+8=b+9

11=b+9

∴  b=2

∴ a+b=-2+2=0

III. 문자와 식   41

일차방정식 ax+b=0의 해가 x=a이다.

➡ ax+b=0에 x=a를 대입하면 등식이 성립한다.

-3=

;3{;에 x=3을 대입하여 a의 값을 구한다.

전략

➡ aa+b=0

10 답 7

1.7x-0.3=2.5x+0.5의 양변에 10을 곱하면

17x-3=25x+5

-8x=8

∴  x=-1

1-

x-a
2

=

x+3a
4

에 x=-1을 대입하면

1-

-1-a
2

=

-1+3a
4

위 식의 양변에 4를 곱하면

4-2(-1-a)=-1+3a

4+2+2a=-1+3a

-a=-7

∴  a=7

전략

먼저 미지수가 없는 방정식의 해를 구한 후 미지수가 있는 방정식에 구한

해를 대입하여 미지수의 값을 구한다.

11 답 x=-5

a(2x-1)=-x-7에 x=2를 대입하면

=a에 a=-3을 대입하면

a_(4-1)=-2-7

3a=-9

∴  a=-3

x-a
2

x+3
2

-

5-x
5

-

5-x
5

=-3

위 식의 양변에 10을 곱하면

5(x+3)-2(5-x)=-30

5x+15-10+2x=-30

7x=-35

∴  x=-5

전략

a(2x-1)=-x-7에 x=2를 대입하여 a의 값을 구한 후
x-a
2

=a에 a의 값을 대입하여 방정식을 푼다.

5-x
5

-

전략

먼저

ax-1
2

13 답 x=-2

a=1, b=-3

0.4x+1.8=x+3

위 식의 양변에 10을 곱하면

4x+18=10x+30

-6x=12

∴  x=-2

전략

등식 ax+3=x-b가 항등식이 되려면

0.4x+1.8=a(x-b)에 a=1, b=-3을 대입하면

등식 ax+b=cx+d가 모든 x에 대하여 항상 참이다.

(단, a, b, c, d는 상수)

➡ ax+b=cx+d는 x에 대한 항등식이다.

➡ a=c, b=d

14 답 6

x-5
3

-

2a-5
2

=1의 양변에 6을 곱하면

2(x-5)-3(2a-5)=6

2x-10-6a+15=6

2x=6a+1

∴  x=

6a+1
2

3(x-a)=5a-11에서

3x-3a=5a-11

3x=8a-11

∴  x=

8a-11
3

이때 두 일차방정식의 해의 비가 3：2이므로

6a+1
2

：

8a-11
3

=3：2

6a+1=8a-11

-2a=-12

∴  a=6

전략

비례식에서 외항의 곱은 내항의 곱과 같다.

즉 a：b=c：d에서 ad=bc

-3=

에 x=3을 대입하면

;3{;

15 답 a=-4, x=3

2x+1=x-a에서 우변의 x의 부호를 잘못 보았으므로 잘못 본

일차방정식은 2x+1=-x-a

2x+1=-x-a에 x=1을 대입하면

2+1=-1-a

∴  a=-4

따라서 주어진 일차방정식은 2x+1=x+4이므로 바르게 풀면

-0.25x+b=0.4x-0.6의 해가 x=

a, 즉 x=4이므로

;3$;

-1+b=1.6-0.6

∴  b=2

∴ ab=3_2=6

x=3

전략

우변의 x의 부호를 잘못 본 것이므로 x를 -x로 보았다.

12 답 6

ax-1
2

3a-1
2

-3=1

위 식의 양변에 2를 곱하면

3a-1-6=2

3a=9

∴  a=3

42   정답과 풀이

이 자연수가 되려면 -2a+11이 3의 배수이어야

16 답 5

x-2(x+a)=2x-11에서

x-2x-2a=2x-11

-3x=2a-11

∴  x=

-2a+11
3

이때

-2a+11
3

하므로

-2a+11=3, 6, 9, 12, 15, y

즉 a=4,

, 1, -

, -2, y

;2%;

;2!;

4+1=5

전략

따라서 조건을 만족하는 자연수 a의 값은 4, 1이므로 그 합은

① 주어진 방정식의 해를 미지수를 포함한 식으로 나타낸다.

② ;aB;가 자연수이면 b는 a의 배수임을 이용하여 미지수의 값을 구한다.

즉 -x+1=2에서

-x=1

∴  x=-1

=1Ö

=1_

;aB;

=

;bA;임을 이용한다.

;bA;

전략

1

;aB;

2 답 ;3%;

x◎(k-2) =x+(k-2)-x(k-2)

=x+k-2-kx+2x

=(3-k)x+k-2

즉 (3-k)x+k-2=

을 만족하는 x의 값이

이므로

;3!;

;2!;

따라서 조건을 만족하는 자연수 a의 값은 10, 6, 2이므로 그 합은

5a-7b=3a+b에서 2a=8b

10+6+2=18

17 답 18

3(x+4)-a=-2-x에서

3x+12-a=-2-x

4x=a-14

∴  x=

a-14
4

이때

a-14
4

가 음의 정수가 되려면

a-14=-4, -8, -12, -16, y

즉 a=10, 6, 2, -2, y

STEP 3

전교 1등 확실하게 굳히는 문제

pp. 082 ~ 083

1  x=-1

2  ;3%;

3  -

;3!;

4  7

5  ⑴ a=b일 때, 해가 없다.

  a+b일 때, x=

1
a-b

  ⑵ a=b일 때, 해가 무수히 많다.

  a+b일 때, x=-1

6  ⑴ p=-

;2#;, q=6  ⑵ p+-

;2#;, q=6

1 답 x=-1

1-

1

1

1-

;[!;

=

1-

1

1
x-1
x

1

=

1-

x
x-1

=

1
x-1-x
x-1

=

1
-1
x-1

=-x+1

(3-k)+k-2=

;3!;

;2!;

위 식의 양변에 6을 곱하면

3(3-k)+6k-12=2

9-3k+6k-12=2

3k=5

∴  k=

;3%;

전략

타낸다.

3 답 -

;3!;

∴ a=4b

기호 ◎의 약속에 따라 x◎(k-2)=

;3!;을 x에 대한 일차방정식으로 나

이때

3a-2b
a+b

=

12b-2b
4b+b

=

10b
5b

=2

즉 3(x-k)-5=2의 해가 x=2이므로

3(2-k)-5=2

6-3k-5=2

-3k=1

∴  k=-

;3!;

전략

5a-7b=3a+b에서 a=4b임을 이용하여

의 값을 구한다.

3a-2b
a+b

4 답 7

(a-4)x+5=7에서 (a-4)x=2

이 방정식의 해는 없으므로

a-4=0

∴  a=4

bx+3=c에서 bx=c-3

이 방정식의 해는 무수히 많으므로

b=0, c-3=0

∴  b=0, c=3

∴ a+b+c=4+0+3=7

III. 문자와 식   43

⑵ a(x+1)=b(x+1)에서 ax+a=bx+b

따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 84`km이다.

전략

x에 대한 방정식 ax=b에서

① 해가 없을 조건 : a=0, b+0

② 해가 무수히 많을 조건 : a=0, b=0

5 답 ⑴ a=b일 때, 해가 없다.

   a+b일 때, x=

1
a-b

  ⑵ a=b일 때, 해가 무수히 많다.

   a+b일 때, x=-1

⑴ ax+2=bx+3에서 (a-b)x=1

  Ú a-b=0, 즉 a=b일 때

  0_x=1이므로 해가 없다.

  Û a-b+0, 즉 a+b일 때

  x=

1
a-b

  (a-b)x=b-a

  Ú a-b=0, 즉 a=b일 때

  0_x=0이므로 해가 무수히 많다.

  Û a-b+0, 즉 a+b일 때

  x=

b-a
a-b

=

-(a-b)
a-b

=-1

전략

x에 대한 방정식에서 x의 계수가 미지수일 때에는 (x의 계수)=0일 때

와 (x의 계수)+0일 때로 나누어 생각한다.

6 답 ⑴ p=-

;2#;, q=6  ⑵ p+-

;2#;, q=6

3½{2½(x+p)}=q½(x-1)에서

3½{2(x+p)-2+2}=q(x-1)-q+2

3½(2x+2p)=qx-q-q+2

3(2x+2p)-3+2=qx-2q+2

6x+6p-1=qx-2q+2

⑴ ㉠이 x에 대한 항등식이 되려면

  6-q=0에서 q=6

  -6p-2q+3=0에서 -6p-12+3=0

∴ (6-q)x=-6p-2q+3

  yy ㉠

…… 40 %

⑵ ㉠을 만족하는 x의 값이 존재하지 않으려면

  6-q=0에서 q=6

  -6p-2q+3+0에서 -6p-12+3+0

  -6p+9

∴  p+-

;2#;

…… 30 %

① ax+b=0이 x에 대한 항등식이다.

② x에 대한 방정식 ax+b=0에서 x의 값이 존재하지 않는다.

전략

  ➡ a=0, b=0

  ➡ a=0, b+0

44   정답과 풀이

03

일차방정식의 활용

확인  1   답 720

연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1이라 하면

(x-1)+x+(x+1)=27

3x=27

∴  x=9

따라서 연속하는 세 자연수는 8, 9, 10이므로 그 곱은

8_9_10=720

확인  2   답 84

km

`

두 지점 A, B 사이의 거리를 x`km라 하면

+

=

;2&;

;4Ó0;

;6Ó0;

2x+3x=420, 5x=420

∴ x=84

확인  3   답 60

g

`
증발시키는 물의 양을 x`g이라 하면

;10*0;

_300=

_(300-x)

;1Á0¼0;

2400=3000-10x

10x=600

∴  x=60

따라서 증발시키는 물의 양은 60`g이다.

확인  4   답 2

_(12-6)_(5+x)=

_12_5-9

;2!;

;2!;

15+3x=21, 3x=6

∴  x=2

1-1

:Á5ª:`

km

2-1  12분

3-1  70

m

`

`

4-1  30

g

5-1  100

g

`

6-1  2000원

1-2  9분

2-2  40분

3-2  초속 25

m

`

4-2

g

:Á;3);¼:`

5-2  19

%

`

6-2  30

7-1  4시 :¤1¼1¼:분

7-2  4시 ;1^1);분

  -6p=9

∴  p=-

;2#;

…… 30 %

STEP 1

억울하게 울리는 문제

pp. 085 ~ 087

1-1 답 :Á5ª:`

km

집에서 야구장까지의 거리를 x`km라 하면

-

=

;8{;

;2!;

;3{;

, 8x-3x=12

5x=12

∴  x=

:Á5ª:

따라서 집에서 야구장까지의 거리는

`km이다.

:Á5ª:

1-2 답 9분

동생이 출발한 지 x시간 후에 형과 만난다고 하면 형은 출발한 지

x+

{

;4!;}

시간 후에 동생과 만난다.

8x=3

x+

, 8x=3x+

{

;4!;}

;4#;

5x=

;4#;

∴  x=

;2£0;

따라서 동생이 출발한 지

시간, 즉

_60=9(분) 후에 형과

;2£0;

;2£0;

만난다.

2-1 답 12분

2-2 답 40분

이다.

하면

분이다.

3-1 답 70

m

`

기차의 길이를 x`m라 하면

150+x
12

=

400-x
18

, 3(150+x)=2(400-x)

450+3x=800-2x, 5x=350

∴  x=70

따라서 기차의 길이는 70`m이다.

따라서 철교의 길이는 600`m이므로 열차의 속력은

=25, 즉 초속 25`m이다.

150+600
30

전략

열차의 속력이 아닌 철교의 길이를 미지수로 놓고 방정식을 세운다.

4-1 답 30

g

`

더 넣어야 하는 소금의 양을 x`g이라 하면

;1Á0¢0;

_400+x=

_(400+x)

;1ª0¼0;

5600+100x=8000+20x

80x=2400

∴  x=30

따라서 더 넣어야 하는 소금의 양은 30`g이다.

g

4-2 답 :Á;3);¼:`
더 넣어야 하는 소금의 양을 x`g이라 하면

90x=3000

∴  x=

:Á;3);¼:

따라서 더 넣어야 하는 소금의 양은

`g이다.

:Á;3);¼:

_x+

_(300-x)=

_300

;10^0;

;10#0;

;10%0;

5-1 답 100

g

`

(300-x)`g이므로

6x+900-3x=1500

3x=600

∴  x=200

이므로 그 차는

200-100=100`(g)

따라서 6`%의 소금물의 양은 200`g, 3`%의 소금물의 양은 100`g

언니와 동생이 처음으로 다시 만날 때까지 걸린 시간을 x분이라

55x-35x=800, 20x=800

∴  x=40

따라서 언니와 동생이 처음으로 다시 만날 때까지 걸린 시간은 40

6`%의 소금물의 양을 x`g이라 하면 3`%의 소금물의 양은

형과 동생이 처음으로 다시 만날 때까지 걸린 시간을 x분이라 하면

_500+x=

_(500+100+x)

;10^0;

;1Á0¼0;

60x+40x=1200, 100x=1200

∴  x=12

3000+100x=6000+10x

따라서 형과 동생이 처음으로 다시 만날 때까지 걸린 시간은 12분

전략

정식을 세운다.

(철교를 건널 때의 속력)=(터널을 통과할 때의 속력)임을 이용하여 방

5-2 답 19

%

`

10`%의 소금물과 25`%의 소금물의 양을 각각 2k`g, 3k`g (k>0)

이라 놓고 섞은 소금물의 농도를 x`%라 하면

3-2 답 초속 25

m

`

철교의 길이를 x`m라 하면

200+x
32

=

150+x
30

, 15(200+x)=16(150+x)

;1Á0¼0;_2k+;1ª0°0;_3k=;10{0;_5k
20k+75k=5kx, 5x=95

∴ x=19

3000+15x=2400+16x

∴  x=600

따라서 섞은 소금물의 농도는 19`%이다.

III. 문자와 식   45

6-1 답 2000원

상품의 원가를 x원이라 하면

(정가)=x_

1+

{

=

x(원)

;1¢0¼0;}

;5&;

(판매 가격)=

x-300(원)

;5&;

(이익)=(판매 가격)-(원가)이므로

500=

x-300

-x

{;5&;

}

-

x=-800

∴  x=2000

;5@;

따라서 이 상품의 원가는 2000원이다.

6-2 답 30

(정가)=3000_
{

1+

;10{0;}

=3000+30x(원)

(판매 가격)=(3000+30x)-300=2700+30x(원)

(이익)=(판매 가격)-(원가)이므로

3000_

=(2700+30x)-3000

;1ª0¼0;

600=30x-300, -30x=-900

∴  x=30

7-1 답 4시 :¤1¼1¼:분

4시 x분에 시침과 분침이 서로 반대 방향

으로 일직선이 된다고 하면 12시 지점을

기준으로 시침이 움직인 각도는

30ù_4+0.5ùx, 분침이 움직인 각도는

6ùx이므로

6x-(30_4+0.5x)=180

5.5x=300

∴  x=

:¤1¼1¼:

10

9

8

11 12

1

67

5

2

3
4

10

9

8

11 12

1

67

5

2

3
4

7-2 답 4시 ;1^1);분

4시 x분에 시침과 분침이 이루는 각이 처

음으로 90ù가 된다고 하면 12시 지점을

기준으로 시침이 움직인 각도는

30ù_4+0.5ùx, 분침이 움직인 각도는

6ùx이므로

(30_4+0.5x)-6x=90

-5.5x=-30

∴  x=

따라서 구하는 시각은 4시

분이다.

;1^1);

;1^1);

46   정답과 풀이

STEP 2

반드시 등수 올리는 문제

pp. 088 ~ 094

01    학생 수：15명, 사탕의 개수：85개  02  15마리

04  39명

05  95분

07  ⑴ 4

km  ⑵ ;2!;시간

`

08  ⑴ 시속 30

km  ⑵ 2시간

`

03  9개

06  564

10  100

m

13  100

g

`

`

16  ④

20  65

%

`

23  42분

26  17개

11  80

m

`

g

14  30

`
17  27명

21  3일

24  ④

27  ㉡, ㉣

09  4번

12  30

g

`

15  44명

18  400`g

22  3시간

25  42초

28  128

19  수박의 개수：5개, 사과의 개수：15개

01 답 학생 수：15명, 사탕의 개수：85개

따라서 학생 수는 15명이므로 사탕의 개수는

학생 수를 x명이라 하면

5x+10=6x-5

∴ x=15

5_15+10=85(개)

전략

학생 수를 x명으로 놓고 방정식을 세운다.

02 답 15마리

벌을 총 x마리라 하면

x+

x+3

;3!;

;5!;

{;3!;

x-

x

+1=x

;5!;

}

x+

x+x-

x+1=x

;5!;

;3!;

;5#;

3x+5x+15x-9x+15=15x

-x=-15

∴ x=15

전략

03 답 9개

의자의 개수를 x개라 하면

4x+2=5(x-2)+3

4x+2=5x-10+3, -x=-9

∴ x=9

따라서 의자의 개수는 9개이다.

벌을 총 x마리라 하면 카단비 꽃으로 날아간 벌은 ;5!;

x마리, 시리도라 꽃

으로  날아간  벌은  ;3!;
이다.

x마리,  협죽도로  날아간  벌은  3

x-

x

마리
}

;5!;

{;3!;

따라서 구하는 시각은 4시

분이다.

:¤1¼1¼:

따라서 벌은 총 15마리이다.

①  한 의자에 4명씩 앉았더니 모든 의자가 채워지고 2명의 학생이 앉을

일차방정식의 활용 문제를 푼 다음에는 구한 답이 문제의 조건에 맞는지

전략

곳이 없었다.

  ➡ (학생 수)=4x+2(명)

②  한 의자에 5명씩 앉았더니 모든 학생들이 앉을 수 있었는데 1개의 의자

에는 3명만 앉았고 1개의 의자는 완전히 비었다.

  ➡  5명씩 앉은 의자의 개수는 (x-2)개이므로

(학생 수)=5(x-2)+3(명)

04 답 39명

1학년 전체 학급 수를 x반이라 하면

5x+4=3+6(x-1), 5x+4=3+6x-6

-x=-7

∴  x=7

따라서 봉사활동에 필요한 학생 수는

5_7+4=39(명)

전략

봉사활동에 필요한 학생 수를 x명으로 놓는 것이 아니라 1학년 전체 학

급 수를 x반으로 놓고 방정식을 세운다.

05 답 95분

롤러코스터를 기다린 시간을 x분이라 하면

(바이킹을 기다린 시간)=x+15(분)

(자이로드롭을 기다린 시간)=x+40(분)

이때 3시간 40분은 220분이므로

x+(x+15)+(x+40)=220

3x=165

∴  x=55

따라서 자이로드롭을 기다린 시간은

55+40=95(분)

전략

06 답 564

처음 수의 일의 자리의 숫자를 x라 하면 백의 자리의 숫자는

2x-3이므로 처음 수는

100(2x-3)+6_10+x=201x-240

백의 자리의 숫자와 십의 자리의 숫자를 바꾼 수는

6_100+10(2x-3)+x=21x+570

이때 바꾼 수는 처음 수보다 90만큼 크므로

21x+570=(201x-240)+90

-180x=-720

∴  x=4

위의 문제에서 처음 수는 564이므로 백의 자리의 숫자와 십의 자리의 숫

자를 바꾼 수는 654이다. 이때 654=564+90이므로 문제의 조건에 맞는

참고

확인한다.

다.

하면

x`km이다.

  ∴ x=4

이다.

07 답 ⑴ 4

km  ⑵ ;2!;시간

`

⑴  두 사람이 만난 곳은 출발 지점에서 x`km 떨어진 지점이라고

  고은이가 이동한 거리는 (10-x)`km, 성재가 이동한 거리는

  이때 두 사람이 이동한 시간이 같으므로

10-x
12

=

, 2(10-x)=3x

;8{;

  20-2x=3x, -5x=-20

  따라서 두 사람이 만난 곳은 출발 지점에서 4`km 떨어진 지점

⑵ 두 사람이 만난 시간은 성재가 이동한 시간과 같으므로 출발한

  지

=

;8$;

;2!;

(시간) 후이다.

08 답 ⑴ 시속 30

km  ⑵ 2시간

`

⑴  흐르지 않는 강물에서의 배의 속력을 시속 x`km라 하면

  3(x-6)=72, 3x-18=72

  3x=90

∴  x=30

  따라서 흐르지 않는 강물에서의 배의 속력은 시속 30`km이다.

⑵ B 지점에서 A 지점까지 강을 따라 내려올 때 걸린 시간은

흐르지 않는 강물에서의 배의 속력을 시속 x

km라 하면

① (강을 거슬러 올라가는 속력)=시속 (x-6)

km

② (강을 따라 내려오는 속력)=시속 (x+6)

`

`
km

`

두 사람이 출발한 지 x분 후에 처음으로 만났다면

60x+40x=2000, 100x=2000

따라서 두 사람은 20분마다 만나므로 1시간 30분, 즉 90분 동안

09 답 4번

∴ x=20

4번 만난다.

참고

III. 문자와 식   47

자이로드롭을 기다린 시간을 x분으로 놓는 것보다 롤러코스터를 기다린

시간을 x분으로 놓고 방정식을 세우는 것이 더 편리하다.

72
30+6

=

;3&6@;

=2(시간)

이때 1시간은 60분이므로 3시간 40분은 3_60+40=220(분)이다.

전략

따라서 처음 수의 일의 자리의 숫자는 4, 백의 자리의 숫자는

2_4-3=5이므로 처음 수는 564이다.

90=20_4+10이므로 두 사람은 90분 동안 4번 만난다.

기차 A의 길이를 x`m라 하면 기차 A의 속력은 초속

500+x
20

`m

8`%의 소금물과 더 부은 물의 양을 각각 4k`g, 3k`g(k>0)이라

10 답 100

m

`

이다.

두 열차가 서로 반대 방향으로 달려서 완전히 지나치려면 두 열차

가 달린 거리의 합이 두 열차의 길이의 합과 같아야 하므로

500+x
20

_4+15_4=x+80

500+x+300=5x+400

-4x=-400

∴  x=100

따라서 기차 A의 길이는 100`m이다.

전략

(기차 A가 4초 동안 달린 거리)+(기차 B가 4초 동안 달린 거리)

=(기차 A의 길이)+(기차 B의 길이)

임을 이용하여 방정식을 세운다.

11 답 80

m

`

경아와 주리가 만나는 데 걸리는 시간을 x초라 하면

4x+6x=100, 10x=100

∴  x=10

따라서 강아지는 초속 8`m로 10초 동안 경아와 주리 사이를 왔다

갔다하므로 강아지가 달린 거리는

8_10=80`(m)

전략

먼저 경아와 주리가 만나는 데 걸리는 시간을 구한다.

12 답 30

g

`

더 넣어야 할 소금의 양을 x`g이라 하면

_200+x=

_(200-30+x)

;1Á0°0;

;1£0¼0;

3000+100x=5100+30x, 70x=2100

∴  x=30

따라서 더 넣어야 할 소금의 양은 30`g이다.

전략

x

`
다.

전략

`
로 4

`

13 답 100

g

`

5`% 소금물의 양이 400`g이므로 4`%의 소금물은 100`g 섞었다.

컵으로 떠낸 소금물의 양을 x`g이라 하면

;10*0;

_(300-x)+

_100=

_400

;10$0;

;10%0;

따라서 컵으로 떠낸 소금물의 양은 100`g이다.

8

%의 소금물을 컵으로 x

g 떠내고, 떠낸 양만큼의 물을 다시 부었으므

`

%의 소금물의 양은 400-(300-x+x)=100

(g)

`

48   정답과 풀이

14 답 30

g

`

하면

이므로

( 6`%의 소금물의 양)=100-4k-3k=100-7k`(g)

;10^0;

_(100-7k)+

;10*0;

_4k=

_100

;10%0;

600-42k+32k=500, -10k=-100

∴  k=10

따라서 더 부은 물의 양은

3_10=30`(g)

전략

8

%의 소금물과 더 부은 물의 양의 비가 4

3이므로 8

%의 소금물과 더

:
`

`

`

`
부은 물의 양을 각각 4k

g, 3k

g(k>0)으로 나타낼 수 있다. 이때 6

%의

`

소금물의 양은 (100-4k-3k)

g이다.

`

`

`

작년에 가입한 남학생 수를 x명이라 하면 작년에 가입한 여학생

x-

;1Á0¼0;

;10%0;

_(60-x)=3, 10x-300+5x=300

따라서 작년에 가입한 남학생 수는 40명이므로 올해에 가입한 남

15 답 44명

수는 (60-x)명이므로

15x=600

∴  x=40

학생 수는

전략

40_

1+

{

;1Á0¼0;}

=44(명)

+, 감소는 -이다.

작년에 가입한 남학생 수를 x명으로 놓고 방정식을 세운다. 이때 증가는

16 답 ④

작년 남학생 수가 250명이었으므로

(올해 남학생 수)=250_

1+

=280(명)

{

;1Á0ª0;}

(올해 여학생 수)=200_

1-

=188(명)

{

;10^0;}

올해 전체 학생 수는 작년에 비하여 x`% 증가하였다고 하면

280+188=450_

1+

{

;10{0;}

468=450+

x, -

x=-18

∴  x=4

;2(;

;2(;

따라서 올해 전체 학생 수는 작년에 비하여 4`% 증가하였다.

다른 풀이  작년 남학생 수가 250명이었으므로 작년 여학생 수는

450-250=200(명)이었다.

250_

-200_

;1Á0ª0;

;10^0;

=30-12=18(명)

증가하였으므로 올해 전체 학생 수는 작년에 비하여

_100=4`(%) 증가하였다.

;4Á5¥0;

소금물에서 물을 더 넣거나 증발시켜도 소금의 양은 변하지 않음을 이용

작년 여학생 수가 450-250=200(명)이었으므로

하여 방정식을 세운다. 이때 소금물 200

g에서 30

g의 물을 증발시키고

`

`

g의 소금을 더 넣으므로 30

%의 소금물의 양은 (200-30+x)

g이

`

`

2400-8x+400=2000, -8x=-800

∴  x=100

올해 전체 학생 수는 작년에 비하여

1학년 전체 학생 수를 x명으로 놓고, 남학생 수, 여학생 수, 불합격한 남

학생 수, 불합격한 여학생 수를 각각 x를 사용하여 나타낸다.

따라서 판매 가격을 도매 가격의 65`%의 이익을 붙여서 정해야 한

17 답 27명

1학년 전체 학생 수를 x명이라 하면

(남학생 수)=

x(명), (여학생 수)=

x(명)

;7$;

;7#;

(불합격한 남학생 수)=

x_

1-

;7#;

;7$;

{

{

=

;9*;}

;2Á1;

x(명)

=

;8%;}

;1£4;

x(명)

(불합격한 여학생 수)=

x_

1-

이때 불합격한 남학생 수가 6명이므로

x=6

∴  x=126

;2Á1;

따라서 불합격한 여학생 수는

_126=27(명)

;1£4;

전략

18 답 400

g

`

전체 쓰레기의 양을 x`g이라 하면

(젖은 쓰레기의 양)=

x`(g)

;1ª0¼0;

(젖지 않은 쓰레기의 양)=x-

x=

;1ª0¼0;

;1¥0¼0;

x`(g)

이므로

{;1ª0¼0;

x_

+

;1¢0¼0;

;1¥0¼0;

x
}

_2=880

x_2=880,

x=880

∴  x=500

;1¥0¥0;

;5*0*;

따라서 젖지 않은 쓰레기의 양은

_500=400`(g)

;1¥0¼0;

전략

전체 쓰레기의 양을 x

g으로 놓고, 젖은 쓰레기의 양과 젖지 않은 쓰레기

`

의 양을 각각 x를 사용하여 나타낸다.

전략

먼저 수박과 사과의 원가를 각각 구하고, (이익)=(판매 가격)-(원가)

임을 이용하여 방정식을 세운다.

20 답 65`%

상인이 물건을 구입하는 데 든 총 비용은

5000_100+100000=600000(원)

판매 가격을 도매 가격의 x`%의 이익을 붙여서 정했다고 하면

5000_

1+

{

;10{0;}]

[

_(100-20)=600000_

1+

{

;1Á0¼0;}

400000+4000x=660000

4000x=260000

∴  x=65

다.

21 답 3일

이라 하면

전체 일의 양을 1이라 하고, 주리와 근희가 같이 일한 기간을 x일

+

+

{;1Á5;

;1Á2;

;1Á0;}

_2+

+

{;1Á5;

;1Á0;}

_x=1

+

x=1,

;2!;

;6!;

x=

;2!;

;6!;

∴  x=3

따라서 주리와 근희가 같이 일한 기간은 3일이다.

전체 일의 양을 1이라 하면 주리, 현은, 근희가 하루에 하는 일의 양은 각

전략

각 ;1Á5;, ;1Á2;, ;1Á0;이다.

22 답 3시간

간이라 하면

전체 일의 양을 1이라 하고, 효중이가 혼자서 일하는 시간을 x시

19 답 수박의 개수：5개, 사과의 개수：15개

수박의 원가를 a원이라 하면

a_

1+

{

;1ª0¼0;}

=10800,

a=10800

∴  a=9000

_

+

_

;4!;

;5#;

;5#;}

{;6!;

_2+

x=1

;6!;

+

;5!;

;1£0;

;6!;

+

x=1, 6+9+5x=30

5x=15

∴  x=3

;5^;

;1»0;

사과의 원가를 b원이라 하면

따라서 효중이가 혼자서 일하는 시간은 3시간이다.

b_

1-

{

;1Á0¼0;}

=1800,

b=1800

∴  b=2000

전략

이때 수박을 x개 팔았다고 하면 사과는 (20-x)개 팔았으므로

(10800-9000)_x+(1800-2000)_(20-x)=6000

은 각각 ;6!;, ;4!;이다.

전체 일의 양을 1이라 하면 효중이와 준민이가 1시간 동안 하는 일의 양

1800x-4000+200x=6000

2000x=10000

∴  x=5

따라서 이날 판매한 수박의 개수는 5개, 사과의 개수는

20-5=15(개)이다.

또, 두 사람이 함께 하면 혼자 일할 때의 ;5#;밖에 못하므로 두 사람이 함께

할 때 효중이와 준민이가 1시간 동안 하는 일의 양은 각각 ;6!;
이다.

_

;5#;, ;4!;

_

;5#;

III. 문자와 식   49

23 답 42분

26 답 17개

세 개의 호스 A, B, C가 매분 물을 공급하거나 빼내는 양을 각각

13k, 21k, 8k(k>0)라 하자.

B 호스로 물을 빼내기 시작한 지 x분 후에 물탱크가 다시 빈 상태

직선의 개수 (개)

조각의 개수 (개)

1

4

2

7

3

10

y

y

n

3n+1

S에 직선을 n개 그으면 S는 (3n+1)개의 조각으로 나누어지므로

따라서 B 호스로 물을 빼내기 시작한 지 42분 후에 물탱크가 다시

3시 x분에 12시 지점을 기준으로 시침이 움직인 각도는

30ù_3+0.5ùx, 분침이 움직인 각도는 6ùx이다.

27 답 ㉡, ㉣

가 되었다고 하면

(13k+8k)_26+8kx-21kx=0

546k-13kx=0, -13x=-546

∴ x=42

빈 상태가 된다.

24 답 ④

Ú 3시 x분에 숙제를 시작했다고 하면

  6x-(30_3+0.5x)=0

  5.5x=90

∴  x=

:Á1¥1¼:

Û 3시 x분에 숙제를 끝냈다고 하면

  6x-(30_3+0.5x)=180

  5.5x=270

∴  x=

:°1¢1¼:

-

=

:°1¢1¼:

:Á1¥1¼:

:£1¤1¼:

(분)

25 답 42초

3n+1=52

3n=51

∴  n=17

수는 17개이다.

전략

찾는다.

따라서 S가 52개의 조각으로 나누어졌을 때, S에 그은 직선의 개

첫 번째, 두 번째, 세 번째, y 시행에서 변화하는 수량을 보고 규칙성을

㉠ x번째 주사위의 한 모서리의 길이는

x`cm이므로 x의 계수

;3!;

  는

이다.

;3!;

㉡

x=6

∴  x=18

;3!;

  따라서 한 모서리의 길이가 6`cm인 주사위는 18번째 주사위

㉢   x번째 주사위의 각 면에 쓰인 자연수는 각각 6x-5, 6x-4,

6x-3, 6x-2, 6x-1, 6x이므로 한 주사위에 쓰인 자연수의

이다.

총합은

  =36x-15

  36x-15=129, 36x=144

∴  x=4

  따라서 한 주사위에 쓰인 자연수의 총합이 129가 되는 것은

  4번째 주사위이다.

㉣   10번째 주사위의 각 면에 쓰인 수는 55, 56, 57, 58, 59, 60이

Ú, Û에 의해 숙제를 시작한 시각은 3시

분이고, 숙제를 끝

:Á1¥1¼:

낸 시각은 3시

분이므로 숙제를 하는 데 걸린 시간은

:°1¢1¼:

  (6x-5)+(6x-4)+(6x-3)+(6x-2)+(6x-1)+6x

점 P가 점 C를 출발하여 4초에 10`cm씩 움직이므로 1초에

`cm

므로 그 합은

;2%;

씩 움직인다. 따라서 점 P가 점 C를 출발하여 점 D와 점 A를 거

  55+56+57+58+59+60=345

따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣이다.

쳐 점 B에 도착할 때까지 걸린 시간은

(24+42+24)Ö

=90_

=36(초)

;2%;

;5@;

점 P가 점 B를 출발한 지 x초 후에 삼각형 ABP의 넓이가 처음으

로 180`cmÛ`가 된다고 하면

_

x_24=180

;2!;

;2%;

30x=180

∴  x=6

따라서 점 P가 변 BC 위에 있으면서 삼각형 ABP의 넓이가 처음

으로 180`cmÛ`가 되는 것은 출발한 지 36+6=42(초) 후이다.

전략

점 P가 점 B에서 출발하는 것이 아니라 점 C를 출발하여 4초에 10

cm

`

씩 시계 반대 방향으로 직사각형의 변 위를 움직이고 있음에 주의한다.

이때 (삼각형 ABP의 넓이)=

_BPÓ_ABÓ임을 이용한다.

;2!;

28 답 128

Ú

모양 안의 수 중 가장 작은 수는 a이므로 나머지 수는 각각

a+6, a+7, a+8, a+14이다.

  a+(a+6)+(a+7)+(a+8)+(a+14)=105

  5a+35=105

  5a=70

∴  a=14

Û

모양 안의 수 중 한가운데에 있는 수를 x라 하면 나머지 수

는 각각 x-7, x-1, x+1, x+7이므로

  (x-7)+(x-1)+x+(x+1)+(x+7)=(짝수)

  즉 5x가 짝수이므로 x는 짝수이어야 한다.

50   정답과 풀이

그런데  가능한  x의  값은

일 월 화 수 목 금 토

참고

5

12

19

26

6

13

20

27

7

14

21

28

1

8

15

22

29

2

9

16

23

30

3

10

17

24

31

4

11

18

25

오른쪽  그림에서  색칠한

부분에  있어야  하므로  구

하는 x의 값은 8, 10, 14,

16, 20, 22, 24

  ∴ b =8+10+14+16

+20+22+24

=114

Ú, Û에 의해 a+b=14+114=128

① 구세학당에 입학한 해 : 1878+17=1895(년)

② 독립협회에 가입한 해 : 1895+

_60=1897(년)

;3Á0;

③ 점진 학교를 설립한 해 : 1897+2=1899(년)

④ 신민회를 조직한 해 : 1899+

_60=1907(년)

⑤ <독립신문>을 창간한 해 : 1907+

_60=1919(년)

;1ª5;

;5!;

STEP 3

전교 1등 확실하게 굳히는 문제

pp. 095 ~ 098

(D의 득표수)=2_

x+6

+8=x+20

{;2!;

}

1  20마리

2  1938년

3  D

4  ⑴ 거북 : 분속 5

m, 토끼：분속 100

m  ⑵ 400

m

`

`

`

5  ④

6  ;5&;배
7  ⑴ 정삼각형：(x-4)개, 정사각형：(75-x)개

  ⑵ 정삼각형：
{

3 +1

개, 정사각형：
}
{

4 +1

개
}

x-4

75-x

마술사의 수를 x명이라 하면 토끼의 수는 (35-x)마리이고, x번

째 마술사는 (x+5)마리의 토끼를 사용하였으므로

  ⑶ 31

1 답 20마리

35-x=x+5, -2x=-30

∴ x=15

따라서 토끼의 수는

35-15=20(마리)

첫 번째 마술사는 6마리, 두 번째 마술사는 7마리, 세 번째 마술사는 8마

리의 토끼를 사용하였으므로 x번째 마술사는 (x+5)마리의 토끼를 사용

전략

하였다.

2 답 1938년

안창호 선생의 일생을 x년이라 하면

17+

x+2+

x+

x+19=x

;3Á0;

;1ª5;

;5!;

510+x+60+4x+6x+570=30x

-19x=-1140

∴ x=60

신 해는

1878+60=1938(년)

따라서 안창호 선생의 일생은 60년이므로 안창호 선생이 돌아가

3 답 D

C의 득표수를 x라 하면 조건 ㈎에 의해

(A의 득표수)=

x+6

A의 득표수는

x+6이므로 조건 ㈑에 의해

;2!;

;2!;

;2!;

;4#;

A의 득표수는

x+6이고, C의 득표수는 x이므로 조건 ㈐에 의해

(E의 득표수)=

_

;2!;

[{;2!;

x+6
}

+x

=

x+3

]

;4#;

E의 득표수는

x+3이므로 조건 ㈏에 의해

(B의 득표수)=

x+3

+6=

x+9

{;4#;

}

;4#;

이때 전체 학생 수가 150명이므로

x+6

+

}

{;4#;

{;2!;

}

x+9

+x+(x+20)+

x+3

=150

{;4#;

}

4x=112

∴  x=28

따라서 C의 득표수는 28이므로

(A의 득표수)=

x+6=

_28+6=20

(B의 득표수)=

x+9=

_28+9=30

;2!;

;4#;

;2!;

;4#;

(D의 득표수)=x+20=28+20=48

(E의 득표수)=

x+3=

_28+3=24

;4#;

;4#;

따라서 회장으로 선출된 사람은 D이다.

C의 득표수를 x로 놓고, A, B, D, E의 득표수를 각각 x를 사용한 식으

전략

로 나타낸다.

4 답 ⑴ 거북：분속 5

`
⑴ 거북은 10분 동안 50`m를 갈 수 있으므로

`

m, 토끼：분속 100

m  ⑵ 400

m

`

  거북의 속력은

=5, 즉 분속 5`m이다.

…… 25 %

  또, 토끼는 10분 동안 1`km(=1000`m)를 갈 수 있으므로

  토끼의 속력은

=100, 즉 분속 100`m이다.  …… 25 %

;1%0);

:Á;1)0);¼:

III. 문자와 식   51

⑵   거북이 달린 거리를 x`m라 하면 토끼가 달린 거리는

b=

a를 ㉡에 대입하면

  (2400-x)`m이므로

=

;5{;

2400-x
100

  21x=8400

∴  x=400

+60, 20x=2400-x+6000

  따라서 거북이 달린 거리는 400`m이다.

…… 50 %

거리, 속력, 시간의 단위가 서로 다를 때에는 단위를 통일하여 식을 세운

다. 이때 1

km는 1000

m이므로 2.4

km는 2.4_1000=2400

(m)이

`

`

`
고, 1시간은 60분이다.

`

전략

5 답 ④

P 지점에서 Q 지점까지의 거리를 x`km라 하면 Q 지점에서 R 지

점까지의 거리는 (4-x)`km이므로

(A 학생이 걸린 시간)=

=1(시간)

;4$;

(B 학생이 걸린 시간)=

+

;5{;

4-x
3

(시간)

+

;5{;

4-x
3

=1+

,

;6!0@;

;5{;

+

4-x
3

=

;5^;

3x+5(4-x)=18, 3x+20-5x=18

-2x=-2

∴  x=1

이때 B 학생은 A 학생보다 12분 늦게 R 지점에 도착하므로

즉 P 지점에서 Q 지점까지의 거리는 1`km, Q 지점에서 R 지점

까지의 거리는 3`km이므로

(C 학생이 걸린 시간)=

+

=

;5#;

;2!;

;1!0!;

(시간)

따라서

시간은 1시간 6분이므로 C 학생은 A 학생보다 6분 늦

;1!0!;

게 도착한다.

참고

6 답 ;5&;배

전체 일의 양을 1이라 하고, A, B, C가 1시간 동안 하는 일의 양

을 각각 a, b, c라 하면 일을 끝마치는 데 A, B, C가 혼자서 일할

=3_

;a!;

=2_

;b!;

1
b+c

1
a+c

에서 3a=b+c

에서 2b=a+c

…… ㉠

…… ㉡

㉠, ㉡을 변끼리 빼면 3a-2b=b-a

∴  4a=3b

a=

b를 ㉠에 대입하면

;4#;

;4#;

3_

b=b+c,

b=c

∴  b=

;4%;

c

;5$;

52   정답과 풀이

C가 혼자서 일할 때 걸리는 시간은 A와 B가 함께 일할 때 걸리는

;3$;

;3$;

2_

a=a+c,

a=c

∴  a=

;3%;

c

;5#;

시간의 x배라 하면

=x_

;c!;

1
a+b

∴  x=

a+b
c

이때 a+b=

c+

c=

;5$;

;5&;

;5#;

c이므로

x=

a+b
c

=

;5&;

걸리는 시간의

배이다.

;5&;

전략

따라서 C가 혼자서 일할 때 걸리는 시간은 A와 B가 함께 일할 때

일을 끝마치는 데 A, B, C가 혼자서 일할 때 걸리는 시간을 각각 a시

간, b시간, c시간으로 놓는 것보다 A, B, C가 1시간 동안 하는 일의 양을 각

각 a, b, c로 놓는 것이 더 편리하다.

7 답 ⑴ 정삼각형：(x-4)개, 정사각형：(75-x)개
75-x
4

  ⑵ 정삼각형：
{

개, 정사각형：
}
{

x-4
3

+1

+1

개
}

  ⑶ 31

⑴   빨간 단추로 정삼각형을 만들면 빨간 단추 4개가 남으므로 정

삼각형에 사용된 빨간 단추 전체의 개수는 (x-4)개이고, 정

사각형에 사용된 파란 단추 전체의 개수는 (75-x)개이다.

⑵   정삼각형에 사용된 빨간 단추 전체의 개수가 (x-4)개이므로

  정삼각형의 한 변에 사용된 빨간 단추의 개수는
{

x-4
3

+1

개
}

  이다.

  또, 정사각형에 사용된 파란 단추 전체의 개수가 (75-x)개이

므로 정사각형의 한 변에 사용된 파란 단추의 개수는

⑶   정사각형의 한 변에 놓인 파란 단추의 개수는 정삼각형의 한 변

에 놓인 빨간 단추의 개수의 2배보다 8개가 적으므로

75-x
4

+1=2_

x-4
3

{

+1

-8

}

75-x
4

=

2(x-4)
3

-7

  -11x=-341

∴  x=31

전략
(정삼각형의 한 변에 사용된 빨간 단추의 개수)

=

(정삼각형에 사용된 빨간 단추 전체의 개수)
3

+1(개)

(정사각형의 한 변에 사용된 파란 단추의 개수)

=

(정사각형에 사용된 파란 단추 전체의 개수)
4

+1(개)

임을 이용한다.

(B 학생이 걸린 시간)=

+

=

;3#;

;5!;

;5^;

(시간)

따라서 ;5^;시간은 1시간 12분이므로 B 학생은 A 학생보다 12분 늦게 도
착한다.

75-x
4

{

+1

개이다.
}

때 걸리는 시간은 각각

시간,

시간,

시간이다.

;a!;

;b!;

;c!;

  3(75-x)=8(x-4)-84, 225-3x=8x-32-84

IV
좌표평면과 그래프

01

좌표평면과 그래프

확인  1   답 ③

③ 점 (-2, -4)는 제 3 사분면 위의 점이다.

2-2 답 제 3 사분면

점 P(ab, a-b)가 제 3 사분면 위의 점이므로

ab<0, a-b<0

ab<0이므로 a와 b는 다른 부호이고

a-b<0이므로 a<0, b>0

따라서 -b<0,

<0이므로 점 Q는 제 3 사분면 위의 점

-2a+b
a

두 점 A, B가 y축에 대칭이므로 x좌표의 부호가 반대이고, y좌표

확인  2   답 -7

의 부호는 같다.

따라서 a=-4, b=-3이므로

a+b=-4+(-3)=-7

두 점 A, B가 x축에 대칭이므로 x좌표는 같고, y좌표는 부호가

a+12=-2a에서 3a=-12

∴  a=-4

b-8=-(-3b)에서 -2b=8

∴  b=-4

∴ a+b=-4+(-4)=-8

이다.

3-1 답 -8

반대이다.

3-2 답 8

반대이다.

STEP 1

억울하게 울리는 문제

pp. 101 ~ 102

따라서 -

>0, 5b>0이므로 점 P는 제 1 사분면 위의 점이다.

1-1  제 1 사분면

2-1  제 3 사분면

3-1  -8

4-1  풀이 참조

1-2  제 2 사분면

2-2  제 3 사분면

3-2  8

4-2  ㉡, ㉢

5  A - ㉣, B - ㉡, C - ㉠, D - ㉢

1-1 답 제 1 사분면

ab<0이므로 a와 b는 다른 부호이고

b-a>0이므로 a<0, b>0

1-2 답 제 2 사분면

ab>0이므로 a와 b는 같은 부호이고

a+b>0이므로 a>0, b>0

;3A;

;3A;

2-1 답 제 3 사분면

점 P(ab, a-b)가 제 2 사분면 위의 점이므로

ab<0, a-b>0

ab<0이므로 a와 b는 다른 부호이고

a-b>0이므로 a>0, b<0

따라서 -

<0, 5b>0이므로 점 P는 제 2 사분면 위의 점이다.

4-2 답 ㉡, ㉢

두 점 A, B가 원점에 대칭이므로 x좌표와 y좌표의 부호가 모두

a+12=-(-2a)에서 -a=-12

∴  a=12

b-8=-(-3b)에서 -2b=8

∴  b=-4

∴ a+b=12+(-4)=8

4-1 답 풀이 참조

(x, y)는 다음과 같다.

주어진 표에서 x의 값을 x좌표, y의 값을 y좌표로 하는 순서쌍

(1, -2), (2, -3), (3, -1), (4, 3), (5, 4), (6, 2)

이 순서쌍을 좌표로 하는 점들을 좌표평

면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

y
4

2

-2

-4

O

1 2 3 4 5 6

x

㉠ x의 값이 1과 5일 때, y의 값은 1로 서로 같다.

㉣  3의 약수는 1, 3의 2개이므로 y의 값은 x의 약수의 개수가 아니

다.

따라서 옳은 것은 ㉡, ㉢이다.

5 답 A - ㉣, B - ㉡, C - ㉠, D - ㉢

IV. 좌표평면과 그래프   53

따라서 -2a<0, -a+b<0이므로 점 Q는 제 3 사분면 위의 점

A :  밑면이 좁고 폭이 일정하므로 물의 높이가 빠르고 일정하게

이다.

증가한다. ➡ ㉣

B :  밑면이 넓고 폭이 일정하다가 어떤 지점에서 폭이 좁아졌으므

전략

로 물의 높이가 천천히 일정하게 증가하다가 어떤 지점부터

세 점 A, B, D를 좌표평면 위에 나타내고, 사각형 ABCD가 평행사변형

이 되도록 하는 점 C의 좌표를 찾는다.

빠르고 일정하게 증가한다. ➡ ㉡

C :  밑면이 좁고 폭이 일정하다가 어떤 지점에서 폭이 넓어졌으므

로 물의 높이가 빠르고 일정하게 증가하다가 어떤 지점부터

천천히 일정하게 증가한다. ➡ ㉠

D :  밑면이 넓고 폭이 일정하므로 물의 높이가 천천히 일정하게

증가한다. ➡ ㉢

조건 ㈎에서 점 A(a, b)는 제 4 사분면 위의 점이므로

조건 ㈏에서 점 B(c, d)는 제 1 사분면 위의 점이므로

따라서 ac>0, b-d<0이므로 점 (ac, b-d)는 제 4 사분면 위

03 답 ④

a>0, b<0

c>0, d>0

의 점이다.

전략

•각 사분면 위의 점의 부호

제 1 사분면

제 2 사분면

제 3 사분면

제 4 사분면

(+, +)

(-, +)

(-, -)

(+, -)

STEP 2

반드시 등수 올리는 문제

pp. 103 ~ 106

01  C(3, 10)

02  C(8, 3)

03  ④

04  제 2 사분면

05  ⑤

06  제 3 사분면

04 답 제 2 사분면

08  (1, 0), 6회

09  6

11  4

14  ③

12  567

kcal

`

15  50분

조건 ㈎에서

<0이므로 a와 b는 다른 부호이고

;aB;

조건 ㈏와 ㈐에서 a+b<0이고 |a|<|b|이므로 a>0, b<0이

따라서 -a<0, -b>0이므로 점 P(-a, -b)는 제 2 사분면 위

07  ⑤

10  15

13  40분

16  90

cmÛ

`

`

01 답 C(3, 10)

∴ C(3, 10)

전략

02 답 C(8, 3)

점 A(a+5, b-3)이 x축 위의 점이므로 y좌표는 0이다.

즉 b-3=0

∴  b=3

점 B(2a+4, 3b+1)이 y축 위의 점이므로 x좌표는 0이다.

즉 2a+4=0, 2a=-4

∴  a=-2

따라서 A(3, 0), B(0, 10)이고 점 C의 x좌표는 점 A의 x좌표와

같으므로 3, 점 C의 y좌표는 점 B의 y좌표와 같으므로 10이다.

다.

의 점이다.

05 답 ⑤

a<0, b>0

c>0, d<0

점 P(a, b)는 제 2 사분면 위의 점이므로

점 Q(c, d)는 제 4 사분면 위의 점이므로

① a<0, c>0이므로 c-a>0

  bÛ`>0, d<0이므로 bÛ`-d>0

② aÜ`<0, dÛ`>0이므로 aÜ`-dÛ`<0

  a<0, d<0이므로 ad>0이고

  b>0, c>0이므로 bc>0

  ∴ ad+bc>0

x축 위의 점은 y좌표가 0이고, y축 위의 점은 x좌표가 0이다.

  따라서 점 (c-a, bÛ`-d)는 제 1 사분면 위의 점이다.

세 점 A(-5, -3), B(5, -3),

D(-2,  3)을  좌표평면  위에  나

타내면 오른쪽 그림과 같다.

이때 변 DC는 변 AB와 평행하

여야 하므로 점 C의 y좌표는 3이

y

3

D

-5

-2

O

A

-3

다.

또, 변 DC의 길이는 변 AB의 길이와 같아야 하므로

(선분 DC의 길이) =(선분 AB의 길이)

=5-(-5)=10

따라서 점 C의 x좌표는 -2+10=8

∴ C(8, 3)

54   정답과 풀이

  따라서 점 (aÜ`-dÛ`, ad+bc)는 제 2 사분면 위의 점이다.

C

x

5

B

③ cÛ`>0, d<0이므로 cÛ`-d>0

  b>0이고 a<0, dÛ`>0이므로

<0

dÛ`
a

  ∴ b-

>0

dÛ`
a

  따라서 점
{

cÛ`-d, b-

은 제 1 사분면 위의 점이다.

dÛ`
a }

④ a<0, d<0이므로 a+d<0

  aÛ`>0, cÛ`>0이므로 aÛ`+cÛ`>0

  따라서 점 (a+d, aÛ`+cÛ`)은 제 2 사분면 위의 점이다.

  따라서 점 (a-dÛ`, ac+bd)는 제 3 사분면 위의 점이다.

⑤ a<0, dÛ`>0이므로 a-dÛ`<0

  a<0, c>0이므로 ac<0이고

  b>0, d<0이므로 bd<0

  ∴ ac+bd<0

전략

•(양수)+(양수)=(양수)

•(음수)+(음수)=(음수)

•(양수)-(음수)=(양수)

•(음수)-(양수)=(음수)

06 답 제 3 사분면

A'(aÁ, -aª)

점 A(aÁ, aª)와 x축에 대칭인  점을 A'이라 하면

이때 점 A'(aÁ, -aª)가 제 3 사분면 위의 점이므로

aÁ<0, -aª<0에서 aª>0

점 B(bÁ, bª)와 y축에 대칭인 점을 B'이라 하면

B'(-bÁ, bª)

이때 점 B'(-bÁ, bª)가 제 4 사분면 위의 점이므로

-bÁ>0에서 bÁ<0, bª<0

07 답 ⑤

A(-a, b)

C(a, -b)

D(-a, -b)

점 A는 점 B와 y축에 대칭이므로 점 A의 좌표는

점 C는 점 B와 x축에 대칭이므로 점 C의 좌표는

점 D는 점 B와 원점에 대칭이므로 점 D의 좌표는

(선분 AB의 길이) =(선분 DC의 길이)

=|-a|+|a|=2|a|

(선분 AD의 길이) =(선분 BC의 길이)

08 답 (1, 0), 6회

점 P를 n번 이동시킨 점을 PÇ(n은 자연수)이라 하면
점 P(-3, 2)는 제 2 사분면 위의 점이므로

P(-3, 2)

PÁ(-1, 2)

점 PÁ(-1, 2)는 제 2 사분면 위의 점이므로

PÁ(-1, 2)

Pª(1, 2)

점 Pª(1, 2)는 제 1 사분면 위의 점이므로

Pª(1, 2)

P£(-1, -2)

Ú

점 P£(-1, -2)는 제 3 사분면 위의 점이므로

P£(-1, -2)

P¢(1, -2)

Ú

점 P¢(1, -2)는 제 4 사분면 위의 점이므로

P¢(1, -2)

P°(1, -1)

점 P°(1, -1)은 제 4 사분면 위의 점이므로

Ú

Ú

Ú

Ú

P°(1, -1)

P¤(1, 0)

따라서 이동을 멈추었을 때의 점의 좌표는 (1, 0)이고, 그때까지

이동한 횟수는 6회이다.

09 답 6

k가 양수이므로 세 점 A(-3, 0),

B(3, -4), C(1, k)를 좌표평면 위에

y
k

C

R

P

-3
A

O

1

3

x

Q

-4

B

=6_(k+4)-

_6_4+

_(k+4)_2+

_4_k

[;2!;

;2!;

;2!;

]

=6k+24-{12+(k+4)+2k}

이때 삼각형 ABC의 넓이가 26이므로

3k+8=26, 3k=18

∴  k=6

=3k+8

전략

좌표평면 위에 세 점 A, B, C를 각각 나타내어 삼각형 ABC의 넓이가

26이 되는 양수 k의 값을 찾는다.

따라서 aÁ+bÁ<0, aªbª<0이므로 점 P(aÁ+bÁ, aªbª)는 제 3 사

분면 위의 점이다.

전략

어떤 점이 x축에 대칭이면 x좌표는 같고, y좌표의 부호가 반대이다.

또, y축에 대칭이면 x좌표의 부호가 반대이고, y좌표는 같다.

나타내면 오른쪽 그림과 같다.

(삼각형 ABC의 넓이)

=(사각형 PQBR의 넓이)

-{  (삼각형 AQB의 넓이)

+(삼각형 BRC의 넓이)

+(삼각형 CPA의 넓이)}

=|b|+|-b|=2|b|

점 A(-a, a+4)가 x축 위의 점이므로 y좌표는 0이다.

이때 직사각형 ABCD의 둘레의 길이가 40이므로

즉 a+4=0, a=-4

∴  A(4, 0)

2(2|a|+2|b|)=40

∴  |a|+|b|=10

점 B(a+2b, 7-2b)가 y축 위의 점이므로 x좌표는 0이다.

따라서 |a|+|b|=10을 만족하지 않는 것은 ⑤이다.

직사각형은 마주 보는 두 변의 길이가 각각 같고,

이때 2a+3b=2_(-4)+3_2=-2,

(직사각형의 둘레의 길이)=2_{(가로의 길이)+(세로의 길이)}임을 이

전략

용한다.

10 답 15

즉 a+2b=0에 a=-4를 대입하면

-4+2b=0, b=2

∴  B(0, 3)

a+b-1=-4+2-1=-3이므로

점 C의 좌표는 C(-2, -3)이다.

IV. 좌표평면과 그래프   55

R

4
A

Q

x

-2

O

C

-3

따라서 세 점 A(4, 0), B(0, 3),

C(-2, -3)을 좌표평면 위에 나타내

y
3 B

P

면 오른쪽 그림과 같으므로

(삼각형 ABC의 넓이)

=(사각형 PCQR의 넓이)

-{  (삼각형 CQA의 넓이)

+(삼각형 ARB의 넓이)

+(삼각형 BPC의 넓이)}

=6_6-

_6_3+

_3_4+

_2_6

;2!;

;2!;

}

{;2!;

전략

한다.

13 답 40분

x축 위의 점은 y좌표가 0이고, y축 위의 점은 x좌표가 0임을 이용하여 a,

B는 12Ö

=120(분)

a<0, b>0이므로 세 점 A(0, 3),

B(a, -2), C(b, -2)를 좌표평면 위

에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

y
3 A

(삼각형의 ABC의 넓이)

=

_(|a|+|b|)_5

;2!;

;2%;

=

(|a|+|b|)

a

O

b

x

B -2

C

이때 삼각형 ABC의 넓이가 15이므로

(|a|+|b|)=15

∴  |a|+|b|=6

;2%;

이때 |a|+|b|=6을 만족하고 a<0, b>0인 두 정수 a, b를 순

서쌍 (a, b)로 나타내면 (-5, 1), (-4, 2), (-3, 3), (-2, 4),

따라서 a+b의 값은 -4, -2, 0, 2, 4이므로 최댓값은 4이다.

주어진 음식 150

g에 들어 있는 탄수화물, 단백질, 지방의 무게를 먼저 구

`

A는 20분 동안 3`km를 이동하므로 1분 동안

`km를 이동한다.

B는 10분 동안 1`km를 이동하므로 1분 동안

`km를 이동한다.

;2£0;

;1Á0;

따라서 12`km를 가는 데 걸린 시간은

A는 12Ö

=80(분)

;2£0;

;1Á0;

따라서 두 사람이 도서관에 동시에 도착하려면 B는 A보다

120-80=40(분) 먼저 출발해야 한다.

전략

A, B 두 사람이 1분 동안 가는 거리를 각각 구한다.

③   3`km 지점이 지난 후에 학생 C가 학생 B를 지나치며 순위가

14 답 ③

2위로 바뀌었다.

15 답 50분

A 호스로 10분 동안 4`mÜ`의 물을 넣고, A, B 두 호스를 모두 사

용하여 20-10=10(분) 동안 14-4=10`(mÜ`)의 물을 넣었으므

로 B 호스만 사용하여 물을 넣는다면 10분 동안 10-4=6`(mÜ`)

의 물을 넣을 수 있다.

따라서 B 호스로 1분 동안

`(mÜ`)의 물을 넣으므로 B 호

=

;5#;

;1¤0;

걸리는 시간은

30Ö

=30_

=50(분)

;5#;

;3%;

전략

a<0이므로 점 B(a, -2)는 제 3 사분면 위의 점이고, b>0이므로 점

스만을 사용하여 부피가 30`mÜ`인 빈 물통에 물을 가득 채우는 데

C(b, -2)는 제 4 사분면 위의 점이다.

어떤 음식 150`g에 들어 있는 탄수화물, 단백질, 지방의 무게를 각

그래프가 두 점 (10, 4), (20, 14)를 지나므로 A, B 두 호스를 모두 사

용하여 20-10=10(분) 동안 14-4=10

(mÜ`)의 물을 넣을 수 있다.

`

(탄수화물의 무게)=150_

=90`(g)

;1¤0¼0;

(단백질의 무게)=150_

=18`(g)

;1Á0ª0;

(지방의 무게)=150_;1Á0¼0;=15`(g)
∴ (세 영양소의 열량의 총합) =4_90+4_18+9_15

높이가 20`cm인 물통에 물을 가득 채우는 데 걸린 시간은 18초이

16 답 90

cmÛ

`

`

므로 물통의 부피는

18_100=1800`(cmÜ`)

=360+72+135

=567`(kcal)

∴ (물통 전체의 밑넓이)=

=90`(cmÛ`)

:Á;2*0);¼:

=36-21

=15

전략

11 답 4

b의 값을 각각 구한다.

(-1, 5)이다.

전략

12 답 567

kcal

`

각 구하면

56   정답과 풀이

STEP 3

전교 1등 확실하게 굳히는 문제

pp. 107 ~ 109

[그림 2]에서 물의 높이가 20

`
변하였으므로 물의 높이가 20

`

cm인 지점에서 그래프의 기울어진 정도가

cm일 때 벽돌이 물에 완전히 잠기었다.

전략

(물통의 부피) =(매초 넣는 물의 양)_(시간)

=(물통의 밑넓이)_(물통의 높이)

임을 이용한다.

1  ㉮-㉡, ㉯-㉠, ㉰-㉤, ㉱-㉣, ㉲-㉥

2  ④

3  ⑴ 20

cm  ⑵ 36분

`

4  ⑴  ㉮：30

cmÛ

, ㉯：50
`

`

cmÛ

, ㉰：70
`

`

cmÛ

  ⑵ 10
`

`

cm

`

2 답 ④

Ú  점 P가 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 움직일 때,

(삼각형 APD의 넓이)

  =

_(선분 AD의 길이)_(선분 AP의 길이)

;2!;

  에서 선분 AD의 길이는 일정하고 선분 AP의 길이는 시간에

따라 길어지므로 삼각형 APD의 넓이는 시간에 따라 일정하

게 커진다.

Û  점 P가 꼭짓점 B에서 꼭짓점 C까지 움직일 때,

(삼각형 APD의 넓이)

  =

_(선분 AD의 길이)_(선분 AB의 길이)

;2!;

;2!;

  에서 선분 AD의 길이와 선분 AB의 길이는 각각 일정하므로

삼각형 APD의 넓이는 시간에 관계없이 일정하다.

Ü  점 P가 꼭짓점 C에서 꼭짓점 D까지 움직일 때,

(삼각형 APD의 넓이)

  =

_(선분 AD의 길이)_(선분 DP의 길이)

에서 선분 AD의 길이는 일정하고 선분 DP의 길이는 시간에

따라 짧아지므로 삼각형 APD의 넓이는 시간에 따라 일정하

Ú ~ Ü에 의해 그래프로 적당한 것은 ④이다.

게 작아진다.

참고

점 P가 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B까지 움직일 때, 꼭짓점 B에서 꼭짓점 C

까지 움직일 때, 꼭짓점 C에서 꼭짓점 D까지 움직일 때로 나누어 삼각형

참고

APD의 넓이의 변화를 살펴본다.

3 답 ⑴ 20

`

cm  ⑵ 36분

⑴   [그림 2]에서 물의 높이가 20`cm인 지점에서 그래프의 기울어

진 정도가 변하므로 벽돌의 한 모서리의 길이는 20`cm이다.

⑵   [그림 2]에서 30-20=10`(cm) 높이의 물을 채우는 데 걸리

는 시간은 10-4=6(분)이므로 벽돌이 없는 빈 용기에 물을

  1`cm 높이까지 채우려면

=

;5#;

;1¤0;

(분)이 걸린다.

  따라서 용기의 높이는 60`cm이므로 벽돌이 없는 빈 용기에 물

  을 채우는 데 걸리는 시간은

_60=36(분)이다.

;5#;

벽돌이 없는 빈 용기에 물을 10

cm 높이까지 채우는 데 6분이 걸리므로

`

물을 1

cm 높이까지 채우려면 ;1¤0;

`

=

;5#;

(분)이 걸린다.

전략

참고

4 답 ⑴  ㉮：30

, ㉰：70
`
⑴  ㉮ 칸에서 높이가 10`cm인 칸막이까지 물을 채우는 데 3초가

, ㉯：50
`

  ⑵ 10
`

cm

cmÛ

cmÛ

cmÛ

`

`

`

`

걸리므로 높이가 10`cm인 칸막이까지 ㉮ 칸에 채운 물의 양은

  3_100=300`(cmÜ`)

  ∴ (㉮ 칸의 바닥의 넓이)=

=30`(cmÛ`)

…… 20 %

:£1¼0¼:

㉯ 칸에서 높이가 10`cm인 칸막이까지 물을 채우는 데

8-3=5(초)가 걸리므로 높이가 10`cm인 칸막이까지 ㉯ 칸에

채운 물의 양은

  5_100=500`(cmÜ`)

  ∴ (㉯ 칸의 바닥의 넓이)=

=50`(cmÛ`)

…… 20 %

:°1¼0¼:

㉰ 칸에서 높이가 20`cm인 칸막이까지 물을 채우는 데

30-16=14(초)가 걸리므로 높이가 20`cm인 칸막이까지 ㉰

칸에 채운 물의 양은

  14_100=1400`(cmÜ`)

  ∴ (㉰ 칸의 바닥의 넓이)=

=70`(cmÛ`)  …… 20 %

:Á;2$0);¼:

⑵  2개의 칸막이를 모두 제거한 빈 수조에 15초 동안 넣은 물의 양은

  15_100=1500`(cmÜ`)

  이때 수조 바닥의 전체 넓이는

  30+50+70=150`(cmÛ`)

넣었을 때, 물의 높이는

=10`(cm)

:Á1°5¼0¼:

따라서 2개의 칸막이를 모두 제거한 빈 수조에 15초 동안 물을

…… 40 %

[그림 2]를 보면 3초에서 8초까지 물의 높이가 10

cm로 일정하다가 8초

`

후에 물의 높이가 다시 증가하므로 8-3=5(초) 동안에는 높이가 10

cm

`

인 칸막이까지 ㉯ 칸에만 물이 채워진다.

또, 16초에서 30초까지 물의 높이가 20

cm로 일정하다가 30초 후에 물

`

의 높이가 다시 증가하므로 30-16=14(초) 동안에는 높이가 20

cm인

`

칸막이까지 ㉰ 칸에만 물이 채워진다.

IV. 좌표평면과 그래프   57

02

정비례와 반비례

확인  1   답 ⑴ y=700x, 정비례 관계  ⑵ y=

:ª[¼:, 반비례 관계

⑵ x_y=20이므로 y=

:ª[¼:

확인  2   답 ④

① 원점을 지나는 직선이다.

② a>0이면 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지난다.

③ a<0이면 오른쪽 아래로 향하는 직선이다.

⑤ a>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

a<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

⑹ 8_6=x_y에서 xy=48

∴  y=

(반비례 관계)

:¢[¥:

⑺ 하루는 24시간이므로 x+y=24

  ∴ y=24-x (정비례 관계도 반비례 관계도 아니다.)

⑻ 분침은 1분에 6ù씩 회전하므로

  y=6x (정비례 관계)

2-1 답 b, a, d, c

y=cx, y=dx의 그래프는 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지나므로

또, y=cx의 그래프가 y=dx의 그래프보다 y축에 가까우므로

확인  3   답 ⑤

y의 값도 증가한다.

⑤  a<0일 때, 제 2 사분면에 그려진 그래프는 x의 값이 증가하면

y=ax, y=bx의 그래프는 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지나므로

또,  y=bx의  그래프가  y=ax의  그래프보다  y축에  가까우므로

확인  4   답 ⑴ y=4x  ⑵ 15분

⑴ 물의 높이가 매분 4`cm씩 올라가므로

  y=4x

⑵ y=4x에 y=60을 대입하면

  60=4x

∴  x=15

∴ b<a<0<d<c

따라서 작은 것부터 차례대로 나열하면 b, a, d, c

   따라서 빈 물통에 물을 가득 채우는 데 15분이 걸린다.

y=-ax의 그래프가 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지나는 직선이

c>0, d>0

|c|>|d|

∴ c>d>0

a<0, b<0

|b|>|a|

∴ b<a<0

2-2 답 a<0, b>0, c>0

므로

-a>0

∴  a<0

매끄러운 곡선이므로

-b<0

∴  b>0

y=-

의 그래프가 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지나는 한 쌍의

;[B;

STEP 1

억울하게 울리는 문제

pp. 112 ~ 113

1  ⑴ 정   ⑵ 반   ⑶ _   ⑷ 정   ⑸ _   ⑹ 반   ⑺ _   ⑻ 정

y=

의 그래프가 제 1 사분면과 제 3 사분면을 지나는 한 쌍의 매

;[C;

2-2  a<0, b>0, c>0

끄러운 곡선이므로 c>0

2-1  b, a, d, c

3-1  -

;2%;

4-1  4

3-2  -3

4-2  12

1 답  ⑴ 정   ⑵ 반   ⑶ _   ⑷ 정   ⑸ _   ⑹ 반   ⑺ _   ⑻ 정

⑴ y=

_(3+5)_x

∴  y=4x (정비례 관계)

;2!;

;2!;

⑵

_x_y=40에서 xy=80

∴  y=

(반비례 관계)

:¥[¼:

⑶  둘레의 길이가 x`cm인 정사각형의 한 변의 길이는

`cm이

;4{;

  므로 y=

_

;4{;

;4{;

xÛ`
16

  ∴ y=

(정비례 관계도 반비례 관계도 아니다.)

⑷ y=

_x

∴  y=

x (정비례 관계)

;1ª0°0;

;4!;

⑸ y=100-10x (정비례 관계도 반비례 관계도 아니다.)

58   정답과 풀이

3-1 답 -

;2%;

y=-2x에 x=3a, y=5+10b를 대입하면

5+10b=-2_3a, 5+10b=-6a

6a+10b=-5

∴  3a+5b=-

;2%;

3-2 답 -3

y=

에 x=-

, y=a를 대입하면

;[K;

;2!;

a=kÖ

-

, a=-2k

∴  k=-

{

;2!;}

a

;2!;

…… ㉠

y=

에 x=-1, y=a+1을 대입하면

;[K;

a+1=

∴  k=-a-1

…… ㉡

k
-1

또, 점 B(3, b)가 y=

의 그래프 위의 점이므로

;[^;

분면을 지난다.

O

x

㉠, ㉡에서 -

a=-a-1이므로

;2!;

a=-1

∴  a=-2

;2!;

㉠에 a=-2를 대입하면 k=-

_(-2)=1

;2!;

∴ a-k=-2-1=-3

4-1 답 4

점 A의 x좌표가 2이므로 y=

x에 x=2를 대입하면

;2#;

y=

_2=3

∴  A(2, 3)

;2#;

이때 점 A(2, 3)이 y=

의 그래프 위의 점이므로

;[A;

3=

;2A;

∴  a=6, 즉 y=

;[^;

b=

=2

;3^;

∴ a-b=6-2=4

4-2 답 12

점 P의 y좌표가 6이므로 y=4x에 y=6을 대입하면

6=4x, x=

;2#;

∴  P

, 6

}

{;2#;

6=aÖ

, 6=

a

∴  a=9, 즉 y=

;2#;

;3@;

;[(;

또, 점 Q(b, 3)이 y=

의 그래프 위의 점이므로

;[(;

3=

;b(;

∴  b=3

∴ a+b=9+3=12

이때 점 P

, 6

이 y=

의 그래프 위의 점이므로

{;2#;

}

;[A;

면을 지난다.

01 답 ③

|a|<|b|이고 a>0, b<0이므로 두

유리수 a, b를 수직선 위에 나타내면

오른쪽 그림과 같다.

①  ab<0이므로 y=abx의 그래프는 오른쪽

그림과  같이  제 2 사분면과  제 4 사분면을

지난다.

②  a+b<0이므로 y=(a+b)x의 그래프는

오른쪽  그림과  같이  제 2 사분면과  제 4 사

분면을 지난다.

③  a-b>0이므로 y=(a-b)x의 그래프는

오른쪽 그림과 같이 제 1 사분면과 제 3 사

④ b<0이므로 y=

의 그래프는 오른쪽 그

;[B;

림과 같이 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지

난다.

⑤ b-a<0이므로 y=

의 그래프는 오

b-a
x

른쪽 그림과 같이 제 2 사분면과 제 4 사분

b

0

a

x

x

x

x

y

O

y

O

y

y

y

O

O

따라서 제 2 사분면과 제 4 사분면을 지나지 않는 그래프는 ③이다.

참고

•(양수)-(음수)=(양수)

•(음수)-(양수)=(음수)

02 답 ;3@;

P(t, at)

전략

점 P의 x좌표를 t(t>0)라 하면 점 P

는 y=ax의 그래프 위의 점이므로

(삼각형 OAP의 넓이)=

_6_at

y

4
at

B

O

y=ax

P`(t, at)

A
6

t

x

;2!;

=3at

;2!;

=2t

이때 삼각형 OAP의 넓이와 삼각형 OPB의 넓이가 같으므로

3at=2t

∴  a=

;3@;

점 P의 x좌표를 t(t>0)로 놓고 삼각형 OAP의 넓이와 삼각형 OPB

의 넓이를 각각 t를 사용하여 나타낸다.

IV. 좌표평면과 그래프   59

STEP 2

반드시 등수 올리는 문제

pp. 114 ~ 118

01  ③

04  2

07  ;1¦2;
10  6

13  40

16  12

cm

`

18  50분

02  ;3@;

05  ;1»6;

11  ㉡, ㉢

14  ;9*;

03  ;9$;

06  ;2¥7;

12  20

15  ⑤

17  ⑴ y=

x  ⑵ 13개

;1»3;

19  ⑴ y=40x  ⑵ :Á2°:분  ⑶ :ª3¼:분

08  D(10, 10)

09  -4

(삼각형 OPB의 넓이)=

_4_t

03 답 ;9$;

점 P의 x좌표를 t(t>0)라 하면

P(t, at)이므로

(삼각형 OPA의 넓이)=

_4_t

(삼각형 OBP의 넓이)=

_3_at

;2!;

=2t

;2!;

=

at

;2#;

y
4 A

P(t,`at)

y=ax

at

O

t

B
3

x

이때 (삼각형 OPA의 넓이)：(삼각형 OBP의 넓이)=3`:`1이므로

2t：

at=3：1에서 2t=

at

∴  a=

;2(;

;9$;

점 P의 x좌표를 t(t>0)로 놓고 삼각형 OPA의 넓이와 삼각형 OBP

의 넓이를 각각 t를 사용하여 나타낸다.

이때 삼각형 OPA의 넓이와 삼각형 OBP의 넓이의 비가 3：1임을 이용

;2#;

전략

한다.

04 답 2

두 점 A, B의 y좌표가 모두 -4이므로

y=

x에 y=-4를 대입하면

;3@;

-4=

x

∴  x=-6, 즉 A(-6, -4)

;3@;

y=-2x에 y=-4를 대입하면

-4=-2x

∴  x=2, 즉 B(2, -4)

∴ (선분 AB의 길이)=2-(-6)=8

가 만나는 점을 P(k, -4)라 하면

y=ax의  그래프가  삼각형  OAB

-6

의 넓이를 이등분하므로

(선분 AP의 길이)=

_8=4

;2!;

∴ k=-6+4=-2, 즉 P(-2, -4)

따라서 y=ax에 x=-2, y=-4를 대입하면

-4=-2a

∴  a=2

y=ax의 그래프와 선분 AB가 만나는 점을 P라 하면 y=ax의 그래프

가 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하므로

(삼각형 OAP의 넓이)=(삼각형 OPB의 넓이)이다.

이때 삼각형 OAP의 높이와 삼각형 OPB의 높이가 같으므로 밑변의 길

이인 선분 AP의 길이와 선분 PB의 길이가 같음을 이용한다.

전략

참고

두 점 A, B의 좌표는 A(-6, -4), B(2, -4)이므로

(삼각형 OAB의 넓이)=

_{2-(-6)}_4=16

;2!;

즉 삼각형 OAP의 넓이는

_(선분 AP의 길이)_4=

_16에서

;2!;

;2!;

(선분 AP의 길이)=4

60   정답과 풀이

y

3

C

B

y=ax

P(4,`4a)

A

4

x

O

2

05 답 ;1»6;

(사다리꼴 OABC의 넓이)

=

_(2+4)_3=9

;2!;

이때 y=ax의 그래프와 선분 AB

가 만나는 점을 P라 하면

점 P의 x좌표가 4이므로

P(4, 4a)

_4_4a=

_9

;2!;

;2!;

∴ a=

;1»6;

전략

먼저 사다리꼴 OABC의 넓이를 구한다.

(삼각형 POA의 넓이)=

_(사다리꼴 OABC의 넓이)이므로

;2!;

06 답 ;2¥7;

P(9, 9a)

(삼각형 ABC의 넓이)=

_{12-(-2)}_{9-(-3)}

;2!;

=84

한편 점 P는 선분 AC 위의 점이므로 점 P의 x좌표는 9이고, 점 P

는 y=ax의 그래프 위의 점이므로

이때 y=ax의 그래프가 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하므로

삼각형 ABC의 넓이를 구할 때, 두 점 A와 C의 x좌표가 같으므로 밑변

의 길이는 선분 AC의 길이로 생각하면 된다.

07 답 ;1¦2;

이므로

E(5, 5a)

F(7, 7a)

(직사각형 ABCD의 넓이) =(7-5)_(8-2)

=12

이때 사다리꼴 AEFD의 넓이가 사다리꼴 BCFE의 넓이의 3배

(사다리꼴 BCFE의 넓이)=

_12=3

;4!;

점 E의 x좌표는 5이고, 점 E는 y=ax의 그래프 위의 점이므로

또, 점 F의 x좌표는 7이고, 점 F는 y=ax의 그래프 위의 점이므로

이때 y=ax의 그래프와 선분 AB

y=-2x

y

y=ax

(삼각형 AOP의 넓이)=

_(삼각형 ABC의 넓이)에서

;2!;

2
y= x
3

2

O

x

_(12-9a)_9=

_84

;2!;

;2!;

9(12-9a)=84, -81a=-24

A

-4

B

P(k,`-4)

∴ a=

;2¥7;

전략

따라서 사다리꼴 BCFE의 넓이는

_{(5a-2)+(7a-2)}_(7-5)=3이므로

;2!;

12a-4=3

∴  a=

;1¦2;

두 점 E, F는 y=ax의 그래프 위의 점이므로 E(5, 5a), F(7, 7a)로 놓

점 C는 점 A에서 y축에 평행한 직선을 그어 y=

의 그래프와

;[K;

만나는 점이므로 점 C의 x좌표는 점 A의 x좌표와 같다.

따라서 y=

에 x=3을 대입하면

;[K;

y=

, 즉 C

3,

;3K;

{

;3K;}

∴ (선분 AC의 길이)=

-1

;3K;

…… ㉡

선분 AB의 길이와 선분 AC의 길이의 합이 8이므로

정사각형 ABCD의 넓이가 64이므로 정사각형 ABCD의 한 변

점 A의 x좌표를 t(t>0)라 하면 점 A는 y=5x의 그래프 위에

정사각형 ABCD의 네 변은 각각 좌표축에 평행하므로

B(t, 5t-8), C(t+8, 5t-8), D(t+8, 5t)

(k-3)+

-1

=8,
}

;3$;

{;3K;

k-4=8

k=12

∴  k=9

;3$;

㉠에 k=9를 대입하면

(선분 AB의 길이)=9-3=6

㉡에 k=9를 대입하면

(선분 AC의 길이)=

-1=2

;3(;

이때 점 C는 y=

x의 그래프 위의 점이므로

;5!;

∴ (삼각형 ABC의 넓이)=

_6_2=6

;2!;

전략

을 수 있다.

08 답 D(10, 10)

의 길이는 8이다.

있으므로 A( t, 5t)

점 A의 x좌표를 t(t>0)로 놓고 나머지 세 점 B, C, D의 좌표를 각각 t

5t-8=

_(t+8), 25t-40=t+8

;5!;

24t=48

∴  t=2

따라서 점 D의 좌표는 D(10, 10)이다.

전략

를 사용하여 나타낸다.

09 답 -4

조건 ㈎에 의해 a<0

조건 ㈏에 의해 |a|<|-6|

∴  |a|<6

이때 a는 정수이므로 조건 ㈎, ㈏에 의해

a=-5, -4, -3, -2, -1

따라서 조건 ㈐에 의해 |a|의 값은 합성수이므로 a=-4

반비례 관계 y=

(a+0)의 그래프는 a<0이면 제 2 사분면과 제 4 사

;[A;

분면을 지나고, |a|의 값이 클수록 원점에서 멀어진다.

전략

10 답 6

점 A는 x좌표가 3이므로 y=

에 x=3을 대입하면

;[#;

y=

=1

∴  A(3, 1)

;3#;

점 B는 점 A에서 x축에 평행한 직선을 그어 y=

의 그래프와

;[K;

  -3=-

;2^;

만나는 점이므로 점 B의 y좌표는 점 A의 y좌표와 같다.

따라서 y=

에 y=1을 대입하면

;[K;

1=

;[K;

∴  x=k, 즉 B(k, 1)

∴ (선분 AB의 길이)=k-3

…… ㉠

  -2=-

;3^;

전략

표와 같다.

11 답 ㉡, ㉢

의 길이는 5이다.

점 A는 x좌표가 3이고 y=

;[#;의 그래프 위에 있으므로 A(3, 1)이다.
이때 점 B의 y좌표는 점 A의 y좌표와 같고, 점 C의 x좌표는 점 A의 x좌

정사각형 ABCD의 넓이가 25이므로 정사각형 ABCD의 한 변

점 A의 x좌표를 t(t<0)라 하면 점 A는 y=-

의 그래프 위의

;[^;

점이므로 A

t, -

{

;t^;}

정사각형 ABCD의 네 변은 각각 좌표축에 평행하므로

  이때 점 C는 제 3 사분면 위의 점이므로 조건을 만족하지 않는

B

t, -

{

-5

, C
}

{

;t^;

t+5, -

-5

;t^;

}

㉠ 점 A의 좌표가 (-6, 1)일 때,

  즉 t=-6일 때 C( -1, -4)

다.

㉡ 점 A의 좌표가 (-3, 2)일 때,

  즉 t=-3일 때 C(2, -3)

  이때 y=-

에 x=2, y=-3을 대입하면

㉢ 점 A의 좌표가 (-2, 3)일 때,

  즉 t=-2일 때 C(3, -2)

  이때 y=-

에 x=3, y=-2를 대입하면

;[^;

;[^;

IV. 좌표평면과 그래프   61

㉣ 점 A의 좌표가 (-1, 6)일 때,

  즉 t=-1일 때 C(4, 1)

  이때 점 C는 제 1 사분면 위의 점이므로 조건을 만족하지 않는

a의 값을 먼저 구한다.

점 P는 y=ax의 그래프와 y=

;[(;의 그래프가 만나는 점임을 이용하여

따라서 점 A의 좌표가 될 수 있는 것은 ㉡, ㉢이다.

점 A의 x좌표를 t(t<0)로 놓고 점 C의 좌표를 t를 사용하여 나타낸다.

다.

전략

12 답 20

점 B의 x좌표가 2이고, 점 B는 y=

의 그래프 위의 점이므로

:Á[¼:

y=

:Á[¼:

y=

:Á2¼:

에 x=2를 대입하면

=5

∴  B(2, 5)

즉 A(2, 0), C(0, 5)

전략

14 답 ;9*;

y=

:Á[ª:

y=

:Á[ª:

y=

:Á3ª:

점 A는 x좌표가 3이고, 점 A는

의 그래프 위의 점이므로

에 x=3을 대입하면

=4

∴  A(3, 4)

y=ax

12
y= x

A

D

3

C

x

y

4

-3

O

B

∴ (삼각형 ABC의 넓이)=

_4_{3-(-3)}

이때 점 D는 점 B와 원점에 대칭인 점이므로 D(-2, -5)

이때 삼각형 AOD와 사각형 OBCD의 넓이의 비가 1`:`5이므로

∴ (사각형 ABCD의 넓이)

  =(삼각형 ABD의 넓이)+(삼각형 BCD의 넓이)

  =

_5_{2-(-2)}+

_2_{5-(-5)}

;2!;

;2!;

(삼각형 AOD의 넓이)=

_(삼각형 ABC의 넓이)

=

_12=2

점 D의 x좌표는 3이고, 점 D는 y=ax의 그래프 위의 점이므로

;2!;

=12

;6!;

;6!;

점 (a, b)에 대하여 원점에 대칭인 점의 좌표는 (-a, -b)이다.

  =10+10=20

전략

13 답 40

점 P의 y좌표가 a이고, 점 P는 y=ax의 그래프 위의 점이므로

y=ax에 y=a를 대입하면

a=ax

∴  x=1, 즉 P(1, a)

또, 점 P(1, a)는 y=

의 그래프 위의 점이므로

;[(;

y=ax에 x=3을 대입하면

y=3a

∴  D(3, 3a)

따라서 삼각형 AOD의 넓이는

_(4-3a)_3=2이므로

;2!;

6-

a=2, -

a=-4

;2(;

;2(;

∴ a=

;9*;

전략

이때 점 Q의 x좌표가 a, 즉 9이고 점 Q는 y=;9{;

의 그래프 위의

15 답 ⑤

y=

에 x=1, y=a를 대입하면

;[(;

;1(;

a=

=9

∴  P(1, 9)

점이므로 y=

에 x=9를 대입하면

;9{;

y=

=1

∴  Q(9, 1)

;9(;

오른쪽 그림에서

(삼각형 POQ의 넓이)

=(사각형 AOBC의 넓이)

  -(삼각형 AOP의 넓이)

  -(삼각형 QOB의 넓이)

  -(삼각형 PQC의 넓이)

=9_9-

_1_9-

_9_1-

_8_8

;2!;

;2!;

;2!;

=81-

-

-32=40

;2(;

;2(;

62   정답과 풀이

y=9x

y

A(0,`9)

P

9
y= x

C(9,`9)

x
9

y=

Q

B(9,`0)

x

1
O

1

삼각형 AOD와 사각형 OBCD의 넓이의 비가 1：5이므로

(삼각형 AOD의 넓이)=

_(삼각형 ABC의 넓이)임을 이용한다.

;6!;

점 (2, 3)이 y=ax의 그래프 위의 점이므로

3=2a

∴  a=

, 즉 y=

x

;2#;

점 (2, 3)이 y=

의 그래프 위의 점이므로

;2#;

;[B;

3=

;2B;

∴  b=6, 즉 y=

;[^;

;2#;

;[^;

A

t,

t

;2#;

}

{

D

t,

{

;t^;}

점 A의 x좌표가 t이고, 점 A는 y=

x의 그래프 위의 점이므로

점 D의 x좌표는 t이고, 점 D는 y=

의 그래프 위의 점이므로

점 B의 y좌표는 점 A의 y좌표와 같고, y=

의 그래프 위의 점이

;[^;

므로

y=

에 y=

t를 대입하면

;[^;

;2#;

t=

;[^;

;2#;

∴  x=

, 즉 B

;t$;

,

t
}

;2#;

{;t$;

∴ (직사각형 ABCD의 넓이)

  =(선분 AB의 길이)_(선분 AD의 길이)

  =

t-

{

;t$;}{;2#;

t-

;t^;}

전략

선분 AB의 길이와 선분 AD의 길이 또는 선분 AD의 길이와 선분 CD

의 길이를 t를 사용하여 나타내면 직사각형 ABCD의 넓이를 t를 사용하

전략

여 나타낼 수 있다.

16 답 12

cm

`

무게가 x`g인 물체를 손잡이로부터 y`cm 떨어진 지점에 수평이

되도록 매달아 놓았다고 하면

xy=60_20=1200

∴  y=

:Á;;ª[¼:¼:

y=

:Á;;ª[¼:¼:

에 x=100을 대입하면

y=

:Á1ª0¼0¼:

=12

참고

따라서 물체 A는 손잡이로부터 12`cm 떨어져 있다.

손잡이에서 물체가 매달린 곳까지의 거리를 x

cm, 손저울이 수평이 되도

`

록 매달아 놓은 물체의 무게를 y

g이라 놓아도 된다.

`

동하였다.

  ∴ y=60x

18 답 50분

채워 넣는다.

18`L씩 빠져 나간다.

항아리에 채워 넣는 물의 양은 3분에 90`L이므로 1분에 30`L씩

또, 항아리에서 빠져 나가는 물의 양은 5분에 90`L이므로 1분에

따라서 항아리에는 1분에 30-18=12`(L)씩 물을 채울 수 있다.

x분 동안 항아리에 채운 물의 양을 y`L라 하면 y=12x

y=12x에 y=600을 대입하면

600=12x

∴  x=50

따라서 이 항아리에 물을 가득 채우려면 50분이 걸린다.

채워 넣는 물의 양을 나타낸 그래프는 점 (3, 90)을 지나는 직선이고, 빠

져나가는 물의 양을 나타낸 그래프는 점 (5, 90)을 지나는 직선이다.

19 답 ⑴ y=40x  ⑵ :Á2°:분  ⑶ :ª3¼:분

⑴  동생은 10분 동안 400`m를 이동하였으므로 1분 동안 40`m씩

이동하였다.

  ∴ y=40x

⑵  형과 동생은 집에서 300`m 떨어진 곳에서 만나므로

  y=40x에 y=300을 대입하면

  300=40x

∴  x=

:Á2°:

따라서 동생과 형이 만나는 것은 집에서 출발한 지

분 후이다.

:Á2°:

⑶   형은 5분 동안 300`m를 이동하였으므로 1분 동안 60`m씩 이

  y=60x에 y=400을 대입하면

  400=60x

∴  x=

:ª3¼:

  따라서 형이 집에서 출발하여 중간에 멈추지 않고 5분까지 이

동한 속력으로 걸어간다고 할 때, 형이 학교에 도착하는 데 걸

17 답 ⑴ y=

x  ⑵ 13개

;1»3;

⑴   처음 상자 안에 있던 사탕의 개수를 x개라 하면 처음 상자 안에

있던 초콜릿의 개수는 3x개이다. 또, 꺼낸 사탕의 개수를 y개라

  리는 시간은

분이다.

:ª3¼:

하면 꺼낸 초콜릿의 개수는 4y개이다.

  이때 상자 안에는 사탕과 초콜릿이 4 : 3의 비율로 남았으므로

  (x-y)：(3x-4y)=4 : 3

  3(x-y)=4(3x-4y)

  3x-3y=12x-16y

  13y=9x

∴  y=

x

;1»3;

⑵ y=

x에 y=9를 대입하면

  9=

x

∴  x=13

;1»3;

;1»3;

전략

구한다.

  따라서 처음 상자 안에 있던 사탕의 개수는 13개이다.

㉠  y가 x에 정비례하므로 y=ax(a+0)라 하고, x가 z에 정비례

비례식 a：b=c：d에서 ad=bc임을 이용하여 x와 y 사이의 관계식을

STEP 3

전교 1등 확실하게 굳히는 문제

pp. 119 ~ 120

1  ㉠, ㉢

2  ;4(;
3  ⑴ y=2x  ⑵ 시계 반대 방향, 8바퀴

4  y=30x, 18

km

`

1 답 ㉠, ㉢

하므로 x=bz(b+0)라 하자.

  이때 y=ax에 x=bz를 대입하면

  y=a_bz=abz이므로 y는 z에 정비례한다.

IV. 좌표평면과 그래프   63

㉡   y가 x에 정비례하므로 y=ax(a+0)라 하고, x가 z에 반비례

또, (삼각형 EOB의 넓이)=

_(정사각형 AOBC의 넓이)

;3!;

  하므로 x=

(b+0)라 하자.

;zB;

  이때 y=ax에 x=

를 대입하면

;zB;

  y=a_

=

이므로 y는 z에 반비례한다.

;zB;

:zõ:

㉢ y가 x에 반비례하므로 y=

(a+0)라 하고, x가 z에 반비례

  하므로 x=

(b+0)라 하자.

;zB;

  이때 y=

에 x=

를 대입하면

;[A;

;zB;

  y=aÖ

=a_

=

z이므로 y는 z에 정비례한다.

;zB;

;bZ;

;bA;

㉣ y가 x에 반비례하므로 y=

(a+0)라 하고, x가 z에 정비례

;[A;

;[A;

  하므로 x=bz(b+0)라 하자.

  이때 y=

에 x=bz를 대입하면

;[A;

  y=

이므로 y는 z에 반비례한다.

;bz;

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.

전략
y가 x에 정비례하면 y=ax(a+0)의 꼴로 놓고, y가 x에 반비례하면

y=

(b+0)의 꼴로 놓는다.

;[B;

2 답 ;4(;

세 점 A, B, C를 좌표평면 위

에 나타내면 오른쪽 그림과 같

(
D

2
a

)
, 2

A

y

2

(정사각형 AOBC의 넓이)

으므로

=2_2=4

a>b이므로  y=ax의  그래프

는 y=bx의 그래프보다 y축에 가깝다.

y=ax

C

y=bx

E(2,`2b)

B
2

x

O

또, 정사각형 AOBC의 넓이를 두 그래프가 삼등분하므로 y=ax

의 그래프는 선분 AC와 만나고 y=bx의 그래프는 선분 BC와 만

y=ax의 그래프가 선분 AC와 만나는 점을 D라 하면 점 D의 좌

y=bx의 그래프가 선분 BC와 만나는 점을 E라 하면 점 E의 좌

이때 (삼각형 AOD의 넓이)=

_(정사각형 AOBC의 넓이)

;3!;

나야 한다.

표는 D

, 2

}

{;a@;

표는 E(2, 2b)

이므로

_2_

=

_4

;3!;

;a@;

;2!;

=

;3$;

;a@;

∴  a=

;2#;

64   정답과 풀이

이므로

_2_2b=

_4

∴  b=

;2!;

;3!;

;3@;

∴

=

Ö

;2#;

;bA;

;3@;

  =

_

=

;2#;

;4(;

;2#;

전략

y=ax의 그래프가 선분 AC와 만나는 점의 좌표와 y=bx의 그래프가

선분 BC와 만나는 점의 좌표를 각각 구한다.

3 답 ⑴ y=2x  ⑵ 시계 반대 방향, 8바퀴

⑴  톱니바퀴 A가 x바퀴 회전할 때, 톱니바퀴 D는 y번 회전하고

톱니바퀴 B, C가 각각 b바퀴, c바퀴 회전한다고 하면

  36_x=12_b=48_c=18_y

  즉 36_x=18_y에서 y=2x

⑵   톱니바퀴 A가 시계 방향으로 회전하므로 톱니바퀴 B는 시계

반대 방향으로, 톱니바퀴 C는 시계 방향으로, 톱니바퀴 D는 시

계 반대 방향으로 회전한다.

  y=2x에 x=4를 대입하면 y=2_4=8

  따라서 톱니바퀴 D는 시계 반대 방향으로 8바퀴 회전한다.

전략

(A의 톱니 수)_(회전수)=(D의 톱니 수)_(회전수)임을 이용한다.

기차의 길이를 l`m라 하면 기차의 속력은 일정하므로

4 답 y=30x, 18

km

`

720+l
27

=

1260+l
45

3600+5l=3780+3l

2l=180 ∴ l=90

따라서 기차의 길이는 90`m이므로 기차의 속력은

=30, 즉 초속 30`m이다.

이 기차가 1초 동안 30`m씩 이동하므로 x와 y 사이의 관계식은

한편 10(분)=10_60=600(초)이므로

y=30x에 x=600을 대입하면

y=30_600=18000

따라서 이 기차가 10분 동안 이동한 거리는 18000`m, 즉 18`km

720+90
27

y=30x

이다.

전략

기차의 길이를 l

m로 놓고 문제에 주어진 조건에 맞는 방정식을 세워 l

`

의 값을 먼저 구한다.

한편 1분은 60초이고 1

km는 1000

m이다.

`

`

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