정답과
해설
I 지수함수와 로그함수
1 | 지수
2 | 로그
3 | 지수함수
4 | 로그함수
II 삼각함수
5 | 삼각함수
6 | 삼각함수의 그래프
7 | 사인법칙과 코사인법칙
III 수열
8 | 등차수열
9 | 등비수열
10 | 수열의 합
11 | 수학적 귀납법
002
010
020
031
043
052
063
071
080
089
097
8쪽~11쪽
| 지수1
1
거듭제곱과 거듭제곱근
개념 확인
1 ⑴ a20 ⑵ 27a15b3 ⑶
a6
b3 ⑷
1
a3
2 ⑴ -3, 3 ⑵ -5
3 ⑴ 2 ⑵ 3 ⑶ 5 ⑷ 2 ⑸ '3
1 ⑴ a8_(a3)4=a8_a12=a8+12=a20
⑵ (3a5b)3=33a15b3=27a15b3
a6
b3
⑶ {
⑷ a10/a5/a8=a10-5/a8=a5/a8
a2
b }
=
3
=
1
a8-5 =
1
a3
2 ⑴ 81의 네제곱근을 x라 하면 x4=81이므로
x4-81=0, (x2-9)(x2+9)=0
∴ x=-3 또는 x=-3i
따라서 81의 네제곱근 중 실수인 것은 -3, 3이다.
⑵ -125의 세제곱근을 x라 하면 x3=-125이므로
x3+125=0, (x+5)(x2-5x+25)=0
∴ x=-5 또는 x=
5-5'3 i
2
따라서 -125의 세제곱근 중 실수인 것은 -5이다.
3 ⑴ ›'8 ›'2=›'ß8_2=›'ß16=›"ƒ2›=2
⑵
æç;;•3¡;;=‹'ß27=‹"ƒ3‹=3
=
3
‹'ß81
‹'3
⑶ (›'ß25)2=›"ƒ252=›"ƒ(5€)€=›"ƒ54=5
⑷ ‹"ƒ'ß64=3_€'ß64=fl'ß64=fl"ƒ2fl=2
⑸ ⁄€"ƒ3fl=2_fl"ƒ31_6=€"ƒ31='3
스스로 check
1-2 ⑴ a14 ⑵
1
a2 ⑶ -27a11 ⑷ a5b6 ⑸ -a4b11
⑴ (a3)2_(a2)4=a6_a8=a6+8=a14
⑵ a11/a8/a5=a11-8/a5=a3/a5
=
1
a2
1
a5-3 =
a
b3 }
2
a2
⑶ (-3a3b2)3_{
b6 =-27a⁄⁄
⑷ (a2b3)4/(ab2)3=a8b12/a3b6=a8-3b12-6=a5b6
=-27a9b6_
⑸ (-a2b)3/{
3
a
b2 }
_ab2=-a6b3/
_ab2
a‹
bfl
bfl
a‹
=-a6b3_
_ab2
=-a6-3+1b3+6+2
=-a4b11
2-2 ⑴ -'ß10, 'ß10 ⑵ 3 ⑶ -2 ⑷ -5, 5
⑴ 10의 제곱근을 x라 하면 x€=10이므로
x€-10=0, (x+'ß10)(x-'ß10)=0
∴ x=-'ß10
따라서 10의 제곱근 중 실수인 것은 -'ß10, 'ß10이다.
⑵ 27의 세제곱근을 x라 하면 x‹=27이므로
x‹-27=0, (x-3)(x€+3x+9)=0
∴ x=3 또는 x=
-3-3'3 i
2
따라서 27의 세제곱근 중 실수인 것은 3이다.
⑶ -8의 세제곱근을 x라 하면 x‹=-8이므로
x‹+8=0, (x+2)(x€-2x+4)=0
∴ x=-2 또는 x=1-'3 i
따라서 -8의 세제곱근 중 실수인 것은 -2이다.
⑷ 625의 네제곱근을 x라 하면 x›=625이므로
x›-5›=0, (x€-5€)(x€+5€)=0
(x+5)(x-5)(x€+25)=0
∴ x=-5 또는 x=-5i
따라서 625의 네제곱근 중 실수인 것은 -5, 5이다.
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ 15, 25 ⑵ 6, 7 ⑶ 9, 9, 5
2-1 ⑴ -'7, '7 ⑵ -4 ⑶ -2, -2i, -2, 2
3-1 ⑴ 3, 3 ⑵ -2
4-1 ⑴ 3, 3 ⑵ 4, 2 ⑶ 3, 9 ⑷ 2, 6 ⑸ 4, '2
002 정답과 해설
3-2 ⑴ 0.3 ⑵ -5 ⑶ 3 ⑷ 2
⑴ ‹'ß0.027은 x‹=0.027을 만족시키는 양수 x이고,
| 13쪽~14쪽 |
0.3‹=0.027이므로 ‹'ß0.027=0.3
⑵ ‹'ß-125 는 x‹=-125를 만족시키는 실수 x이고,
(-5)‹=-125이므로 ‹'ß-125=-5
⑶ ›'ß81은 x›=81을 만족시키는 양수 x이고,
3›=81이므로 ›'ß81=3
⑷ fi'ß-32 는 xfi=-32를 만족시키는 실수 x이고,
(-2)fi=-32이므로 fi'ß-32=-2
∴ -fi'ß-32=2
4-2 ⑴ 6 ⑵ 3 ⑶ 4 ⑷ 2 ⑸ 4 ⑹ 6 ⑺ '2
4
'ß512
'2
'ß64
'2
5
⑻ '5 ⑼ '2 ⑽ 2
⑴ ‹'4 ‹'ß54=‹'ß4_54=‹'ß216=‹"ƒ6‹=6
⑵ ›'3 ›'ß27=›'ß3_27=›'ß81=›"ƒ34=3
512
=›'ß256=›"ƒ44=4
⑶
2
4
=
æ√
4
5
64
2
5
æ√
=
⑷
=fi'ß32=fi"ƒ25=2
⑸ (‹'2 )fl=‹"∂2fl=‹"ƒ(2€)‹=‹"∂4‹=4
⑹ (›'ß36 )€=›"ƒ36€=›"ƒ(6€)€=›"ƒ6›=6
⑺ ‹"ƒ'8=3_€'8=2_‹"ƒ
ƒ21_3=€"ƒ2⁄='2
⑻ ›"ƒ'∂
⑼ ⁄‚"ƒ25=2_fi"ƒ21_5=€"ƒ21='2
⑽ fl'ß64=fl"∂26=2
ß625=4_€'ß625=2_›"ƒ51_4=€"ƒ5⁄='5
⑶ ‹
æ√
'a
›'a
_æ√
fl'a
›'a
_
_ "ƒfl'a
ƒ›'a
"ƒ
⁄€'a
°'a
€›"ƒa›
€›"ƒa‹
=
=
=
‹"ƒ'a
‹
"ƒ›
'a
fl'a
⁄€'a
fl'a
°'a
=€›'a
=
⑷ fl"ƒab›_"ƒab›/‹"ƒa€bfi=fl"ƒab›_fl"ƒa‹b⁄€/fl"ƒa›b⁄‚
=fl
æ√
ab›_a‹b⁄€
a›b⁄‚
a›b⁄fl
a›b⁄‚
=fl
æ√
=fl"ƒbfl=b
02-2 풀이 참조
|해결 전략 | 실수 a에 대하여 ˜'ßa˜=[
a (n이 홀수)
|a| (n이 짝수)
이다.
"ƒ(-3)fl="ƒ(-3)2_3={"ƒ(-3)€}‹=|-3|‹=3‹=27
따라서 등호가 성립하지 않는 곳은 ③이다.
STEP
필수 유형
2
| 15쪽~16쪽 |
01-1 ④
|해결 전략 | 실수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 n이 홀수일 때는 1개이고, n이 짝
수일 때는 a의 값에 따라 다르다.
① 64의 세제곱근을 x라 하면 x‹=64이므로
x‹-64=0, (x-4)(x€+4x+16)=0
∴ x=4 또는 x=-2-2'3 i
따라서 64의 세제곱근은 3개이다.
② -8의 세제곱근을 x라 하면 x‹=-8이므로
x‹+8=0, (x+2)(x€-2x+4)=0
∴ x=-2 또는 x=1-'3 i
따라서 -8의 세제곱근 중 실수인 것은 -2의 1개이다.
③ 8의 네제곱근 중 실수인 것은 ›'8, -›'8 이다.
④ n이 홀수일 때, 3의 n제곱근 중 실수인 것은 ˜'3 의 1개이다.
⑤ n이 짝수일 때, -4의 n제곱근 중 실수인 것은 없다.
02-1 ⑴ 7 ⑵ 2 ⑶ €›'a ⑷ b
|해결 전략 | █
'ß에서 █를 통일시켜서 계산한다.
⑴ ‹'3 ‹'9+›'4 ›'ß64=‹'ß3_9+›'ß4_64
=‹"ƒ3‹+›"ƒ4›
=3+4=7
⑵ fi"ƒ‹'ß32_"ƒ‹'ß16 =‹"ƒfi'ß32_‹"ƒ'ß16
=‹"ƒfi"ƒ2fi_‹"ƒ"ƒ4€
=‹'2_‹'4
=‹'ß2_4
=‹"ƒ2‹=2
2
지수의 확장
개념 확인
1 ⑴ a‹ ⑵
⑶ ;8!; ⑷ 1
1
a·
2 ⑴ ① ‹'ß16 ② ‹'5 ③ fi'8
⑵ ① 5 ② 2 ③ ;4!; ④ 12
3 ⑴ 5-'2 ⑵ 6'3 ⑶ ;2¡5; ⑷ 6'3
1 ⑴ a-2_afi=a-2+5=a‹
⑵ a-4/afi=a-4-5=a-9=
1
a·
⑶ (2-1)_(4-1)=2-1_(22)-1
=2-1_2-2
=2-1-2=2-3=;8!;
⑷ 35_3-2/33=35-2-3
=30=1
17쪽~19쪽
1 지수 003
2 ⑴ ① 4;3@;=‹"∂4€=‹'ß16
② 5;3!;=‹'5
③ 2;5#;=fi"∂2‹=fi'8
⑵ ① 5;8#;_5;8%;=5;8#;+;8%;=51=5
② 2‹/(2;2!;)4=23/2;2!;_4=23/22=23-2
=2⁄=2
③ (‹'ß16)-;2#;=(16;3!;)-;2#;=16;3!;_{-;2#;}=16-;2!;
=(4€)-;2!;=42_{-;2!;}=4-1=;4!;
④ (2;2!;_3;4!;)›=(2;2!;)›_(3;4!;)›=2€_3=12
3 ⑴ 5'2_5-2'2=5'2+(-2'2)=5-'2
⑵ 62'3/6'3=62'3-'3=6'3
⑶ (5'2)-'2=5'2_(-'2)=5-2=;2¡5;
⑷ (8
'6 _3æ;2#; )'2=(8
'6 )'2_(3æ;2#; )'2
1
1
=8
1
'6
_'2_3æ;2#; _'2
=8
1
'3 _3'3
1
'3 _3'3
'3 _3'3
=(23)
=23_ 1
=2'3_3'3
=(2_3)'3=6'3
STEP
개념 드릴
1
개념 check
| 20쪽~21쪽 |
1-1 ⑴ 1 ⑵ 1, ;9!;
2-1 ⑴ -2 ⑵ -, -7, 7 ⑶ -3, 1 ⑷ 2, 4, 4, 2
3-1 ⑴ 4 ⑵ -2, -;4!; ⑶ 2
4-1 ⑴ 3, 3, 2 ⑵ 2, 2, ;2!; ⑶ 2, 6 ⑷ ;2!;, ;6!;
5-1 ⑴ -2'2, -'2 ⑵ 2'3 ⑶ 3, 2;2#;
1-2 ⑴ 1 ⑵ 1 ⑶ ;5!; ⑷ -27
스스로 check
0
=1
⑴ {;2!;}
⑵ ('3 )‚=1
⑶ ('5 )-2=
⑷ {-;3!;}
004 정답과 해설
=;5!;
1
('5 )€
=(-3)3=-27
-3
2-2 ⑴ a› ⑵ a‹ ⑶
⑷ a€b-3 ⑸
⑹ 3⁄°
1
a€fi
1
3⁄‚
1
a€fi
⑴ a5_a3_a-4=a5+3+(-4)=a4
⑵ a-3_a›/a-2=a-3+4-(-2)=a3
⑶ (a2_a3)-5=(a2+3)-5=(a5)-5=a-25=
⑷ (a-2b3)-1=(a-2)-1_(b3)-1=a2b-3
⑸ (3-2)2_(33)-2=3-4_3-6=3-4+(-6)
=3-10=
1
3⁄‚
⑹ (3-2)-3/(33)-4=36/3-12=36-(-12)=318
3-2 ⑴ 2;3$; ⑵ 5-;4#; ⑶ 6;2#; ⑷ 3;4#;
⑷ ›'ß27=›"∂3‹=3;4#;
4-2 ⑴ ;3!; ⑵ 2;;¡2¡;; ⑶ 3 ⑷ ;3¡2; ⑸ a;1¡2; ⑹ a;4#;
⑺ a;3$;b;6%; ⑻ a;6!;b;6!;
⑴ 27-;3$;_9;2#;=(33)-;3$;_(3€);2#;=33_{-;3$;}_32_;2#;
=3-4_3‹=3-4+3=3-1=;3!;
⑵ 64;4#;/8-;3!;=(26);4#;
/(23)-;3!;=26_;4#;
/2-1=2;2(;-(-1)=2;;¡2¡;;
/23_{-;3!;}
=2;2(;
⑶ "ƒ9-3_‹"ƒ27›="ƒ(3€)-3_‹"ƒ(3‹)›
="ƒ3-6_‹"ƒ3⁄€=3-;2^;_3;;¡3™;;
=3-3_34=3-3+4
=31=3
⑷ "ƒ16-4/"ƒ8-2="ƒ(2›)-4/"ƒ(2‹)-2
="ƒ2-16/"ƒ2-6=2-;;¡2§;;
=2-8/2-3=2-8-(-3)
1
2fi
=2-5=
1
32
=
/2-;2^;
⑸ 'a_3
'a /4
/a;4#;=a;2!;+;3!;-;4#;
"ƒa‹=a;2!;_a;3!;
=a;1¡2;
⑹ 3
"ƒa€/4
'a_3
'a =a;3@;/a;4!;_a;3!;=a;3@;-;4!;+;3!;
=a;4#;
⑺ "ƒa€b_3
'ßab=(a€b);2!;_(ab);3!;=ab;2!;_a;3!; b;3!;
=a1+;3! b;2!;+;3!;=a;3$;b;6%;
⑻ 3
'ßab/6
'ßab =(ab);3!;/(ab);6!;=(ab);3!;-;6!;
=(ab);6!;=a;6!;b;6!;
⑵
"ƒ2 3
"ƒ4 4
'8 ={2_(4_8;4!;);3!;};2!;
={2_(2€_2;4#;);3!;};2!;={2_(2€+;4#;);3!;};2!;
={2_(2;;¡4¡;;);3!;};2!;=(2_2;1!2!;);2!;
=(21+;1!2!;);2!;=(2;1@2#;);2!;
=2;1@2#;_;2!;=2;2@4#;
∴ n=;2@4#;
02-2 13
|해결 전략 | n
'ßam=a
용한다.
5-2 ⑴ 53'3 ⑵ 33'2 ⑶ ;1¡6; ⑷ 33'2
⑴ 5'3_5'ß12=5'3_52'3=5'3+2'3=53'3
⑵ 3'8/3-'2=32'2/3-'2=32'2-(-'2)=33'2
⑶ (4'2)-'2=4'2_(-'2 )=4-2=
1
4€
=;1¡6;
⑷ 35'2_3'8/3'ß32=35'2_32'2/34'2
=35'2+2'2-4'2=33'2
=16;8#;+{-2#;}
=16-;;8(;=(2›)-;8(;
=2-;2(;
=3‹/3€_3-1
=33-2+(-1)
=30=1
=2;3$;/2;3@;
/3;3@;_2;3!;_3;3@;
=2;3$;-;3@;+;3!;_3;3@;-;3@;
=21_30=2
3
;2#;
-;3!;
]
’
-;2#;_{;4#;}
;2!;
={;3$;}
;2#;
;2!;
={;4#;}
_{;4#;}
={;4#;}
;;2#;+;2!;
2
={;4#;}
=;1ª6;
02-1 ⑴ -;3@; ⑵ ;2@4#;
'ßam=a
|해결 전략 | n
용한다.
⑴ '3_3
'3_(3
'3 )-;2(;=3;2!;_3;3!;_3-;2#;
=3;2!;+;3!;+{-;2#;}
=3-;3@;
∴ k=-;3@;
STEP
필수 유형
2
| 22쪽~28쪽 |
m
n 을 이용하여 거듭제곱근을 지수로 바꾼 후 지수법칙을 이
01-1 ⑴ 2-;2(; ⑵ 1 ⑶ 2 ⑷ ;1ª6;
|해결 전략 | 밑을 통일시킨 다음 지수법칙을 이용하여 간단히 한다.
⑴ {(-2)›};8#;_16-;2#;=16;8#;_16-;2#;
4
"ƒa€ 3
"ƒa'a ={a€_(a_a;2!;);3!;};4!;={a€_(a1+;2!;);3!;};4!;
={a€_(a;2#;);3!;};4!;=(a€_a;2!;);4!;=(a€+;2!;);4!
=(a;2%;);4!;=a;2%;_;4!;=a;8%;
따라서 p=5, q=8이므로 p+q=5+8=13
⑵ 9;2#;
/27;3@;_3-1=(32);2#;/(33);3@;_3-1
03-1 ⑴ x-y-1 ⑵ x-y-1
|해결 전략 | 공통 부분을 치환한 후 다음과 같은 곱셈 공식을 이용한다.
⑶ 4;3@;
/36;3!;_18;3!;=(2€);3@;
/(2€_3€);3!;_(2_3€);3!;
(x;2!;+y-;2!;)(x;2!;-y-;2!;)=(A+B)(A-B)
⑴ (a+b)(a-b)=a€-b€
⑵ (a-b)(a€+ab+b€)=a‹-b‹
⑴ x;2!;=A, y-;2!;=B로 놓으면
-;3!;
;2#;
;4!;
⑷ [{;2^7$;}
_{;1ª6;}
=”[{;3$;}
]
2
;4!;
_[{;4#;}
]
⑵ x;3!;=A, y-;3!;=B로 놓으면 x;3@;=A2, y-;3@;=B€이므로
(x;3!;-y-;3!;)(x;3@;+x;3!;y-;3!;+y-;3@;)=(A-B)(A€+AB+B€)
=A€-B€
=(x;2!;)€-(y-;2!;)€
=x-y-1
=A‹-B‹
=(x;3!;)‹-(y-;3!;)‹
=x-y-1
m
n 을 이용하여 거듭제곱근을 지수로 바꾼 후 지수법칙을 이
2;4!;=x로 놓으면 2;2!;=x€, 2=x›, 2€=x°이므로
03-2 -15
|해결 전략 | 24!;=x로 놓고 주어진 식을 x에 대한 식으로 나타낸 후
(a+b)(a-b)=a€-b€을 이용한다.
(1-2;4!;)(1+2;4!;)(1+2;2!;)(1+2)(1+2€)
=(1-x)(1+x)(1+x€)(1+x›)(1+x°)
=(1-x€)(1+x€)(1+x›)(1+x°)
=(1-x›)(1+x›)(1+x°)
=(1-x°)(1+x°)=1-x⁄fl
=1-(2;4!;)⁄fl=1-2›=-15
1 지수 005
04-1 ⑴ 14 ⑵ 52
|해결 전략 | 주어진 식의 양변을 제곱 또는 세제곱한다.
05-2
|해결 전략 | 분모, 분자에 2a을 곱하여 4a의 값을 구한다.
;;¡3º;;
⑴ a;2!;+a-;2!;=4의 양변을 제곱하면
(a;2!;+a-;2!;)€=4€, a+2+a-1=16
∴ a+a-1=14
⑵ a;2!;+a-;2!;=4의 양변을 세제곱하면
(a;2!;+a-;2!;)‹=4‹, a;2#;+3a_a-;2!;+3a;2!;_a-1+a-;2#;=64
a;2#;+a-;2#;+3(a;2!;+a-;2!;)=64, a;2#;+a-;2#;+3_4=64
∴ a;2#;+a-;2#;=52
04-2 21
|해결 전략 | 주어진 식의 양변을 제곱하여 정리한 식을 다시 세제곱한다.
x;2!;-x-;2!;=1의 양변을 제곱하면
(x;2!;-x-;2!;)€=1, x-2+x-1=1
∴ x+x-1=3
㉠의 양변을 세제곱하면
(x+x-1)‹=3‹, x‹+3x€_x-1+3x_x-2+x-3=27
x‹+x-3+3(x+x-1)=27
㉠에서 x‹+x-3+3_3=27
∴ x‹+x-3=18
㉠, ㉡에서 x+x-1+x‹+x-3=3+18=21
05-1 ⑴ 3-2'2 ⑵
18-10'2
31
|해결 전략 | 분모, 분자에 각각 ax을 곱하여 구하는 식에 a2x이 나오도록 식을 변
(2€)a+1
(22)a-1
=
4a+1
4a-1
=2
2a+2-a
2a-2-a 의 분모, 분자에 각각 2a을 곱하면
2a+2-a
2a-2-a =
이므로 4Å+1=2(4Å-1)
2a(2a+2-a)
2a(2a-2-a)
22a+1
22a-1
=
=
4Å+1=2_4Å-2
∴ 4Å=3
∴ 4a+4-a=4a+
1
4a =3+;3!;=
10
3
다른 풀이
2a+2-a
2a-2-a =2에서 2a+2-a=2(2a-2-a)이므로
2a+2-a=2_2a-2_2-a, 2a=2-a+2_2-a
∴ 2Å=3_2-a
이때, 위 식의 양변에 2a을 곱하면 4a=3이므로
……㉠
4a+4-a=4a+
1
4a =3+;3!;=
10
3
……㉡
06-1 ⑴ 1 ⑵ 6
|해결 전략 | ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건식의 밑을 통일한다.
형한다.
⑴
ax-a-x
ax+a-x 의 분모, 분자에 각각 ax을 곱하면
ax-a-x
ax+a-x =
ax(ax-a-x)
ax(ax+a-x)
=
a2x-1
a2x+1
('2-1)€
('2+1)('2-1)
=3-2'2
=
= '2-1
'2+1
2-2'2+1
2-1
=
⑵
ax-a-x
a5x+a-5x 의 분모, 분자에 각각 ax을 곱하면
ax(ax-a-x)
ax-a-x
a5x+a-5x =
ax(a5x+a-5x)
a2x-1
a2x-1
a6x+a-4x
=
=
'2-1
=
(a2x)‹+
1
(a2x)2
('2 )‹+
1
('2 )2
=
2('2-1)
4'2+1
= '2-1
2'2 +;2!;
2('2-1)(4'2-1)
(4'2+1)(4'2-1)
2(9-5'2 )
32-1
=
=
=
18-10'2
31
006 정답과 해설
⑴ 6x=243의 양변을 ;x!;제곱하면
6=243;x!;=(3fi);x!;=3;x%;;
2y=27의 양변을 ;y!;제곱하면
2=27;y!;=(33);y!;=3;y#;
㉠ /㉡ 을 하면
6/2=3;x%;;/3;y#;
, 3=3;x%;;-;y#;
즉, 3;x%;;-;y#;=31이므로
;x%;;-y#;=1
⑵ 4x=a의 양변을 ;x!;제곱하면
4=a;x!;
6=a;y!;
6y=a의 양변을 ;y!;제곱하면
9z=a의 양변을 ;z!;제곱하면
9=a;z!;
㉠ _㉡_㉢ 을 하면
이때, ;x!;+;y!;+;z!=3이므로
216=a‹, 6‹=a‹
∴ a=6
4_6_9=a;x!;_a;y!;_a;z!;
∴ 216=a;x!;+;y!;+;z!;
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
……㉢
07-1 3
|해결 전략 | t=1일 때와 t=8일 때 각각 S¡과 S™에 대한 식을 구한다.
LECTURE
햇볕에 노출되는 시간이 1시간일 때, 요구되는 자외선 차단 지수는
햇볕에 노출되는 시간이 8시간일 때, 요구되는 자외선 차단 지수는
……㉠
……㉡
S¡이므로
1=m_2S¡
S™이므로
8=m_2S™
㉡/㉠ 을 하면
m_2S™
m_2S¡
;1*;=
즉, 2S™-S¡=23이므로
∴ 8=2S™-S¡
S™-S¡=3
STEP
유형 드릴
3
| 29쪽~31쪽 |
수 x의 개수와 같다.
1-1 ③
|해결 전략 | a의 n제곱근은 복소수 범위에서 n개이다.
'ß81=4
② 3‹=27이므로 3은 27의 세제곱근이다.
① 네제곱근 81은 4
"∂3›=3이다.
③ 4의 네제곱근을 x라 하면 x›=4이므로
x›-4=0, (x€-2)(x€+2)=0
(x-'2 )(x+'2 )(x€+2)=0
∴ x=-'2 또는 x=-'2 i
따라서 4의 네제곱근은 4개이다.
④ -1의 세제곱근 중 실수인 것은 3
⑤ n이 1이 아닌 홀수일 때, -7의 n제곱근 중 실수인 것은 n
'ß-1=3
"ƒ(-1)‹=-1이다.
'ß-7이다.
1-2 ②
|해결 전략 | a의 n제곱근 중 실수인 것의 개수는 n이 홀수일 때는 1개이고, n이
짝수일 때는 a의 값에 따라 다르다.
ㄱ. -8의 세제곱근을 x라 하면 x‹=-8이므로
x‹+8=0, (x+2)(x€-2x+4)=0
∴ x=-2 또는 x=1-'3 i
따라서 -8의 세제곱근 중 실수인 것은 -2이다.
ㄴ. 0의 제곱근은 '0 =0이다.
ㄷ. n이 짝수일 때, 5의 n제곱근 중 실수인 것은 n
ㄹ. n이 1이 아닌 홀수일 때, -5의 n제곱근 중 실수인 것은 n
'5, -n
'5 의 2개이다.
'ß-5 의
1개이다.
ㅁ. 실수 a에 대하여 n
이므로 n이 짝수이고
a (n이 홀수)
|a| (n이 짝수)
"∂an=[
"∂an=|a|=-a이다.
a<0일 때 n
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
n이 2 이상의 정수일 때, 실수 a의 n제곱근 중 실수인 것은 다음과 같다.
n이 짝수
n이 홀수
n
a>0
'a, -n
'a
n
'a
a=0
0
0
a<0
없다.
n
'a
2-1 7
|해결 전략 | n이 홀수일 때, n
"∂an=a이다.
64의 세제곱근을 x라 하면 x‹=64이므로
x‹-64=0, (x-4)(x€+4x+16)=0
∴ x=4 또는 x=-2-2'3 i
이때, 64의 세제곱근 중 실수인 것은 4이므로
a=4
'ß27의 제곱근을 y라 하면 y€=3
3
y=-'3 또는 y='3
∴ a+b€=4+3=7
'ß27=3
∴ b='3 (∵ b>0)
"∂3‹=3이므로
2-2 5
|해결 전략 | a의 n제곱근 중 실수인 것의 개수는 방정식 x˜=a를 만족시키는 실
-27의 세제곱근을 x라 하면 x‹=-27이므로
x‹+27=0, (x+3)(x€-3x+9)=0
∴ x=-3 또는 x=
3-3'3i
2
이때, -27의 세제곱근 중 실수인 것은 -3의 1개이므로
∴ a=1
f(-27, 3)=1
"ƒ(-2)fl의 네제곱근을 y라 하면 y›="ƒ(-2)fl="∂2fl=2‹=8이므로
y›-8=0, (y€-2'2 )(y€+2'2 )=0
∴ y=-2'2 또는 y=-2'2 i
이때, "ƒ(-2)fl의 네제곱근 중 실수인 것은 -2'2, 2'2 의 2개이므로
f("ƒ(-2)fl, 4)=2
∴ a+2b=1+2_2=5
∴ b=2
3-1 ③
|해결 전략 | 실수 a에 대하여 ˜
"ƒa˜=[
a (n이 홀수)
|a| (n이 짝수)
임을 이용한다.
"ƒ(-3)›+5
"ƒ(-2)‹+4
"ƒ(-2)€+3
=|-2|+(-2)+|-3|+(-3)
"ƒ(-3)fi
=2-2+3-3=0
3-2 ②
|해결 전략 | a>0, b>0이고 n이 2 이상의 정수일 때, ˜
"a ˜
"b =˜
"∂ab,
=˜
æ;bA
˜'a
˜'b
임을 이용한다.
3
'3_3
'9+
=3
'3_3
"∂3€+
›'ß64
›'4
›"∂2fl
›"∂2€
2fl
2€
=3
=3
4
"ƒ33+
æ√
"∂3‹+4
"∂2› =3+2=5
1 지수 007
4-1 ①
|해결 전략 | █
"∂a€b_6
3
'ß 에서 █를 통일시켜서 계산한다.
"∂a›b€_6
"∂a‹b‹
a·b‹
a‹b‹
"∂afib/'ßab=6
=fl
æ√
"∂afib/6
=fl
æ√
a›b€_afib
a‹b‹
=6
"∂afl=|a|=a
4-2
;2!;
|해결 전략 | █
"∂a€b‹_3
6
'ß 에서 █를 통일시켜서 계산한다.
"∂a€b/⁄2
"∂aflb⁄‚=⁄2
"∂a›bfl_⁄2
"∂a°b›/⁄2
"∂aflb⁄‚
a⁄€b⁄‚
aflb⁄‚
æ√
12
=
12
æ√
a›bfl_a°b›
aflb⁄‚
=
=⁄2
"∂afl='a=a;2!;
즉, a;2!;=axby이므로 x=;2!;, y=0
∴ x+y=;2!;
5-1 ⑴ 6 ⑵ ;;¡2∞;;
|해결 전략 | 밑을 통일시키고 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 한다.
⑴ 2-3_2fi_[{
8
27 }
0.5
-;3@;
]
=2-3+5_”[{;3@;}
-;3@;
3
;2!;
’
]
⑵ 25;2!;/24;3!;_81;3!;=(5€);2!;/(3_2‹);3!;_(3›);3!;
=2€_[{;3@;}
-;3@;
;2#;
]
-1
=2€_{;3@;}
=2€_;2#;=6
=5/3;3!;/2_3;3$;
=5/2_3;3$;/3;3!;
=;2%;_3;3$;-;3!;
=;2%;_3
15
2
=
5-2 ④
|해결 전략 | 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 한다.
(2æ;3$; )'3_4-;2!;/{(-2)›};2!;=2 '4
'3
_'3_(2€)-;2!;/(2›);2!;
=2€_22_{-;2!;}/24_;2!;
=2€_2-1/2€
=22+(-1)-2
=2-1=;2!;
LECTURE
지수 x
자연수
밑 a
a는 실수
정수
a+0
유리수
a>0
실수
a>0
008 정답과 해설
m
n 을 이용하여 거듭제곱근을 지수로 바꾼 후 지수법칙을 이
6-1 2
|해결 전략 | n
'ßam=a
용하여 간단히 한다.
("∂a‹_fi'a/a-;2!;);1!1);=(a;2#;_a;5!;/a-;2!;);1!1);
={a;2#;+;5!;-{-;2!;}};1!1);
=(a;;¡5¡;;);1!1);=a;;¡5¡;;_;1!1);
=a€
즉, a€=ak이므로 k=2
6-2 11
|해결 전략 | m
"ƒa n
'a=(a_a
1
n )
1
m 을 이용하여 거듭제곱근을 지수로 바꾼 후 지
수법칙을 이용하여 식을 간단히 한다.
›"ƒa ‹"ƒa'a ={a_(a_a;2!;);3!;};4!;={a_(a1+;2!;);3!;};4!;
={a_(a;2#;);3!;};4!;=(a_a;2!;);4!;
=(a1+;2!;);4!;=(a;2#;);4!;
=a;2#;_;4!;=a;8#;
따라서 m=8, n=3이므로 m+n=8+3=11
;;¡5¡;;
7-1
|해결 전략 | 2;3!;=A, 5-;3!;=B로 놓고 주어진 식을 A, B에 대한 식으로 나타낸
후 곱셈 공식 (a+b)(a€-ab+b€)=a‹+b‹을 이용한다.
2;3!;=A, 5-;3!;=B로 놓으면 4;3!;=A€, 25-;3!;=B€이므로
(2;3!;+5-;3!;)(4;3!;-2;3!;5-;3!;+25-;3!;)=(A+B)(A€-AB+B€)
=A‹+B‹
=(2;3!;)‹+(5-;3!;)‹
=2+5-1
=2+;5!;=;;¡5¡;;
LECTURE
자주 이용되는 곱셈 공식
(A+B)(A-B)=A€-B€
(A+B)€=A€+2AB+B€
(A-B)‹=A‹-3A€B+3AB€-B‹ (복부호동순)
(A-B)(A€_AB+B€)=A‹-B‹ (복부호동순)
7-2 4
|해결 전략 | 6;4!;=A, 2;4!;=B로 놓고 주어진 식을 A, B에 대한 식으로 나타낸 후
곱셈 공식 (a+b)(a-b)=a€-b€을 이용하여 식을 전개한다.
6;4!;=A, 2;4!;=B로 놓으면 6;2!;=A€, 2;2!;=B€이므로
(6;4!;-2;4!;)(6;4!;+2;4!;)(6;2!;+2;2!;)=(A-B)(A+B)(A€+B€)
=(A€-B€)(A€+B€)
=A›-B›
=(6;4!;)›-(2;4!;)›
=6;4!;_4-2;4!;_4
=6-2=4
8-1 18
|해결 전략 | 주어진 식의 양변을 세제곱한다.
a+a-1=3의 양변을 세제곱하면 (a+a-1)‹=3‹
a‹+3a€_a-1+3a_a-2+a-3=27
a‹+a-3+3(a+a-1)=27
a‹+a-3+3_3=27
∴ a‹+a-3=18
8-2
|해결 전략 | a;2!;+a-;2!;=x로 놓고 양변을 제곱하여 x의 값을 구한다.
'6
a;2!;+a-;2!;=x로 놓고 양변을 제곱하면 (a;2!;+a-;2!;)€=x€
a+2a;2!;_a-;2!;+a-1=x€, a+a-1+2=x€
즉, 4+2=x€이므로 x€=6
∴ x='6 (∵ x>0)
9-1
2+3'2
2
|해결 전략 | 분모, 분자에 ax을 곱하여 구하는 식을 a2x이 포함된 식으로 변형한다.
a3x-a-3x
ax-a-x 의 분모, 분자에 각각 ax을 곱하면
a4x-a-2x
ax(a3x-a-3x)
a3x-a-3x
ax-a-x =
ax(ax-a-x)
a2x-1
1
('2 )2-
'2
'2-1
(a2x)2-
a2x-1
1
a2x
=
=
=
4-'2
2('2-1)
=
2 - '2
2
'2-1
(4-'2 )('2+1)
2('2-1)('2+1)
2+3'2
2
=
=
=
9-2 -;4%;
|해결 전략 | 분모, 분자에 2a을 곱하여 4a의 값을 구한다.
2a+2-a
2a-2-a 의 분모, 분자에 각각 2a을 곱하면
2a+2-a
2a-2-a =
이므로 4a+1=-2(4a-1)
4a+1=-2_4a+2
2a(2a+2-a)
2a(2a-2-a)
22a+1
22a-1
=
=
3_4a=1
∴
4a+4-a
4a-4-a =
4a+
∴ 4a=;3!;
1
4a
1
4a
4Å-
=
;3!;+3
;3!;-3
=
;;¡3º;;
-;3*;;
=-;4%;
다른 풀이
2a+2-a
2a-2-a =-2에서 2a+2-a=-2 (2a-2-a)이므로
2a+2-a=-2_2a+2_2-a
3_2a=2-a
∴ 2Å=;3!;_2-a
이때, 위 식의 양변에 2a을 곱하면 4a=;3!;이므로
4a+4-a
4a-4-a
=
4a+
4a-
1
4a
1
4a
=
;3!;+3
;3!;-3
=
;;¡3º;;
-;3*;;
=-;4%;
10-1 -2
|해결 전략 | ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건식의 밑을 통일한다.
10-2 1
|해결 전략 | ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건식의 밑을 통일한다.
12x=27의 양변을 ;x!;제곱하면
12=27;x!;=(3‹);x!;=3;x#;
108y=81의 양변을 ;y!;제곱하면
108=81;y!;=(3›);y!;=3;y$;
㉠/㉡ 을 하면
12/108=3;x#;/3;y$;, ;9!;=3;x#;-;y$;
즉, 3x#;-;y$;=3-2이므로 ;x#;-;y$;=-2
2Å=10의 양변을 ;a!;제곱하면
2=10;a!;
5ı=10의 양변을 ;b!;제곱하면
5=10;b!;
㉠_㉡ 을 하면
2_5=10;a!;_10;b!;, 10=10;a!;+;b!;
즉, 10;a!;+;b!;=10⁄이므로 ;a!;+;b!;=1
2=a;x@;
3=a;2¡y;
9y=a, 즉 32y=a의 양변을 ;2¡y;제곱하면
25z=a, 즉 52z=a의 양변을 ;2¡z제곱하면
5=a;2¡z;
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
……㉢
1 지수 009
11-1 30
|해결 전략 | ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건식의 밑을 통일한다.
(22)a+1
(2€)a-1
=
4a+1
4a-1
=-2
2;2X;=a의 양변을 ;x@;제곱하면
㉠_㉡_㉢ 을 하면
2_3_5=a;x@;_a;2¡y;_a;2¡z;
∴ 30=a;x@+;2¡y;+;2¡z;
이때, ;x@+;2¡y;+;2¡z=1이므로 a=30
11-2
;2!;
|해결 전략 | ax=b lfm a=b;x!;임을 이용하여 조건식의 밑을 통일한다.
| 로그2
1
로그의 뜻
개념 확인
ax=81의 양변을 ;x!;제곱하면
a=81;x!;
b=81;y!;
by=81의 양변을 ;y!;제곱하면
cz=81의 양변을 ;z!;제곱하면
c=81;z!;
㉠_㉡_㉢ 을 하면
abc=81;x!;_81;y!;_81;z!;
∴ abc=81;x!;+;y!;+;z!;
이때, abc=9이므로 9=81;x!;+;y!;+;z!;
'ß81=81;x!;+;y!;+;z!;, 81;2!;=81;x!;+;y!;+;z!;
∴ ;x!;+;y!;+;z!;=;2!;
12-1 2
|해결 전략 | n=8일 때와 n=2일 때 각각 t¡과 t™의 식을 구한다.
전자레인지로 피자 8조각을 굽는 데 걸리는 시간 t¡은
t¡=1.2_80.5=1.2_(2‹)0.5=1.2_21.5
전자레인지로 피자 2조각을 굽는 데 걸리는 시간 t™는
t™=1.2_20.5
∴
t¡
t™ =
1.2_21.5
1.2_20.5 =21.5-0.5=2
1 ⑴ 2=log∞ 25
⑵ 0=log¡º 1
……㉠
⑶ ;3!;=log™¶ 3 ⑷ -2=log¢ ;1¡6;
34쪽
……㉡
STEP
개념 드릴
1
| 35쪽~36쪽 |
개념 check
……㉢
1-1 ⑴ 16
⑵ -3
⑶ 36
2-1 ⑴ 0
⑵ -2
⑶ 4
⑷ ;3!;
3-1 ⑴ 2
⑵ 5-1, ;5!;
⑶ 2
4-1 ⑴ >, x<-2, x>4 ⑵ >, 1, x>2
스스로 check
1-2 ⑴ 0=log¶ 1
⑵ 4=log£ 81
⑶ 2=log
;5!;
;2¡5;
⑷ -2=log
;2!;
4 ⑸ -;3@;=log™¶ ;9!;
⑴ 7‚=1에서 0=log¶ 1
⑵ 3›=81에서 4=log£ 81
€=;2¡5;에서 2=log
⑶ {;5!;}
;2¡5;
;5!;
-2
⑷ {;2!;}
=4에서 -2=log
;2!;
4
⑸ 27-;3@;=;9!;에서 -;3@;=log™¶ ;9!;
2-2 ⑴ 10‹=1000 ⑵ 3-3=;2¡7;
⑸ ('3 )›=9
⑷ 5;2!;='5
⑴ log¡º 1000=3에서 10‹=1000
⑵ log£ ;2¡7;=-3에서 3-3=;2¡7;
⑶ log
;2!;
32=-5에서 {;2!;}
=32
-5
-5
=32
⑶ {;2!;}
12-2 ⑴ f(5)=3f(3) ⑵ 3 ⑶ 9배
|해결 전략 | ⑶ f(8)과 f(4)의 관계식을 구한다.
⑴ 5시간 후의 박테리아의 수 f(5)가 3시간 후의 박테리아의 수 f(3)
의 3배이므로 f(5)=3f(3)
⑵ f(5)=3f(3)에서 ka5b=3ka3b
양변을 ka3b으로 나누면
a5b-3b=3
∴ a2b=3
⑶ 8시간 후의 박테리아의 수는 f(8)=ka8b
4시간 후의 박테리아의 수는 f(4)=ka4b
㉠ /㉡ 을 하면
f(8)
f(4) =
ka8b
ka4b =a8b-4b=a4b=(a2b)€=3€=9
∴ f(8)=9f(4)
9배이다.
010 정답과 해설
따라서 8시간 후의 박테리아의 수는 4시간 후의 박테리아의 수의
……㉠
……㉡
⑷ log∞ '5=;2!;에서 5;2!;='5
'3 9=4에서 ('3 )›=9
⑸ log
3-2 ⑴ 9 ⑵ ;2¡5; ⑶ ;8!; ⑷ ;7!; ⑸ 9 ⑹ 2
⑴ log£ x=2에서 3€=x
∴ x=9
⑵ log∞ x=-2에서 5-2=x
∴ x=;2¡5;
⑶ log¢ x=-;2#;에서 4-;2#;=x
∴ x=;8!;
⑷ logx 7=-1에서 x-1=7
∴ x=;7!;
⑸ logx 81=2에서 x€=81
밑의 조건에서 x>0이므로 x=9
⑹ logx 64=6에서 xfl=64
밑의 조건에서 x>0이므로 x=2
4-2 ⑴ x<0 또는 x>3
⑵ 14 ⑷ 00이므로
x(x-3)>0
∴ x<0 또는 x>3
⑵ 진수의 조건에서 -x€+3x-2>0이므로
x€-3x+2<0, (x-1)(x-2)<0
∴ 10, x-3+1이므로
x>3, x+4
∴ 34
⑷ 진수의 조건에서 4-2x>0이므로 x<2
밑의 조건에서 x>0, x+1이므로
01
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 00, (밑)+1과 진수의 조건 (진수)>0을 동시에 만
족시키는 x의 값의 범위를 구한다.
⑴ 진수의 조건에서 -x€+7x-10>0이므로
x€-7x+10<0, (x-2)(x-5)<0
∴ 20, x-4+1이므로
x>4, x+5
∴ 45
진수의 조건에서 -x€+8x-7>0이므로
x€-8x+7<0, (x-1)(x-7)<0
∴ 10, (밑)+1과 진수의 조건 (진수)>0을 동시에 만
족시키는 x의 값의 범위를 구한다.
밑의 조건에서 x-3>0, x-3+1이므로
x>3, x+4
∴ 34
진수의 조건에서 -x€+11x-24>0이므로
x€-11x+24<0, (x-3)(x-8)<0
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
8
x
5+6+7=18
2
로그의 성질
1 ⑴ 0 ⑵ log™ 30 ⑶ 2 ⑷ 3
개념 확인
2
log™ 7
log™ 3
3 ⑴ 1 ⑵ ;4#; log™ 3 ⑶ 5
1 ⑵ log™ 5+log™ 6=log™ (5_6)=log™ 30
⑶ log£ 18-log£ 2=log£ ;;¡2•;;=log£ 9
=log£ 3€=2 log£ 3=2
⑷ log¶ 7‹=3 log¶ 7=3
3 ⑴ log¢ 3_log£ 4=log¢ 3_
1
log¢ 3
=1
⑵ log¡§ 27=log2› 3‹=;4#; log™ 3
⑶ 3log£ 5=5log£ 3=5
39쪽~40쪽
2 로그 011
STEP
필수 유형
2
| 37쪽~38쪽 |
∴ 30, a+1, N>0일 때, loga N=x lfm a˛=N임을 이용하여
계산한다.
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
30, (밑)+1과 진수의 조건 (진수)>0을 동시에 만
을 간단히 한다.
족시키는 x의 값의 범위를 구한다.
밑의 조건에서 x-3>0, x-3+1이므로
x>3, x+4
∴ 34
진수의 조건에서
-x€+8x-12>0이므로
x€-8x+12<0, (x-2)(x-6)<0
∴ 20이 성립하려면 이차방정식
x€-2ax+5a=0의 판별식이 0보다 작아야 한다.
밑의 조건에서 a-1>0, a-1+1이므로
a>1, a+2
∴ 12
진수의 조건에서 x€-2ax+5a>0
……㉠
이때, 모든 실수 x에 대하여 x€-2ax+5a>0이 성립하려면 이차방
정식 x€-2ax+5a=0의 판별식을 D라 할 때, D<0이어야 하므로
logª b=
이므로
loga b
loga 9
loga 3_logª b=loga 3_
loga b
loga 9
loga b
loga 3€
loga b
2 loga 3
=loga 3_
=loga 3_
=
loga b
2
=10
……㉡
∴ loga b=20
;;4Î;;=a€-5a<0, a(a-5)<0
∴ 00, a+1, b>0, b+1, c>0, c+1, d>0일 때,
❶ loga b_logb c=loga c
❷ loga b_logb a=1
❸ loga b_logb c_logc d=loga d
❹ loga b_logb c_logc a=1
5-1 -2
|해결 전략 | 지수를 로그로 나타낸 후 식의 값을 구한다.
10Å=2에서 a=log¡º 2
∴ ;a!;=
1
log¡º 2
=log™ 10
∴ ;b#;=
1
log¢º 2
=log™ 40
40ı=8에서 b=log¢º 8=log¢º 2‹=3 log¢º 2
∴ ;a!;-;b#;=log™ 10-log™ 40=log™ ;4!0);=log™ ;4!;=-2
다른 풀이
10Å=2에서 10=2;a!;
40ı=8에서 40=8;b!;=2;b#;
㉠/㉡을 하면
2;a!;/2;b#;=;4!;, 2;a!;-;b#;=2-2
∴ ;a!;-;b#;=-2
5-2
;3@;
a˛=27에서 x=loga 27
∴ ;x!;=
1
loga 27
=log™¶ a
bÁ=27에서 y=logb 27
∴ ;y!;=
1
logb 27
=log™¶ b
c¸=27에서 z=logc 27
∴ ;z!;=
1
logc 27
=log™¶ c
|해결 전략 | 지수를 로그로 나타낸 후 식의 값을 구한다.
∴ ;x!;+;y!;+;z!;=log™¶ a+log™¶ b+log™¶ c
=log™¶ abc=log™¶ 9=log3‹ 3€=;3@;
다른 풀이
a˛=27에서 a=27 ;x!;
bÁ=27에서 b=27 ;y!;
c¸=27에서 c=27 ;z!;
㉠_㉡_㉢을 하면 27 x!;_27 ;y!;_27 z!;=abc
이때, abc=9이므로 27 x!;+;y!;+z!;=9
33{x!;+;y!;+z!;}=3€, 3 {;x!;+;y!;;+;z!;}=2
∴ ;x!;+;y!;;+;z!;=;3@;
018 정답과 해설
6-1 -6
|해결 전략 | 두 근의 합은 2, 두 근의 곱은 -1임을 이용한다.
이차방정식 x€-2x-1=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
log™ a+log™ b=2, log™ a_log™ b=-1
∴ loga b+logb a=
log™ b
log™ a
+
log™ a
log™ b
=
(log™ b)€+(log™ a)€
log™ a_log™ b
=
(log™ a+log™ b)€-2 log™ a_log™ b
log™ a_log™ b
=
2€-2_(-1)
-1
=-6
6-2 -;3@;
|해결 전략 | 두 근의 합은 4, 두 근의 곱은 -3임을 이용한다.
이차방정식 x€-4x-3=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
log™ a+log™ b=4, log™ a_log™ b=-3
∴ loga '2+logb€ 2=;2!; loga 2+;2!; logb 2
……㉠
……㉡
=;2!; {
1
log™ a
+
1
log™ b }
=;2!;_
log™ b+log™ a
log™ a_log™ b
=;2!;_{-;3$;}=-;3@;
7-1 2.0048
|해결 전략 | 구하는 로그의 진수를 3.18_10˜(n은 정수) 꼴로 고친다.
log 3180+log 0.0318
=log (3.18_10‹)+log (3.18_10-2)
=3+log 3.18+(-2)+log 3.18
=1+2 log 3.18=1+2_0.5024=2.0048
7-2 -7.91
|해결 전략 | 주어진 식을 log 2, log 3이 포함된 형태로 변형한다.
100
log {;6%;}
=100 log ;6%;=100(log 5-log 6)
=100[log ;;¡2º;;-(log 2+log 3)]
=100(1-log 2-log 2-log 3)
=100(1-2 log 2-log 3)
=100(1-2_0.3010-0.4771)=-7.91
8-1 ④
|해결 전략 | 두 상용로그의 소수 부분이 같으면 진수의 숫자의 배열이 같음을 이
……㉠
……㉡
……㉢
용한다.
log 48.9=log (10_4.89)=1+log 4.89=1.6893이므로
log x=4.6893에서 정수 부분이 4이므로 x는 5자리 수이다.
또, log x의 소수 부분이 0.6893이므로 x의 숫자의 배열은 4, 8, 9이다.
log 4.89=0.6893
∴ x=48900
8-2 3.4549
|해결 전략 | 두 상용로그의 소수 부분이 같으면 진수의 숫자의 배열이 같음을 이
용한다.
log 2.68=0.4281
log 26.8=log (10_2.68)=1+log 2.68=1.4281이므로
log 2680 =log (10‹_2.68)=3+log 2.68
=3+0.4281=3.4281
∴ a=3.4281
log b =-1.5719=-1-0.5719
=(-1-1)+(1-0.5719)
=-2+0.4281
log x€과 log ;x!;의 소수 부분이 같으므로
log x€-log ;x!;=log x€-log x-1=3 log x=(정수)
10-2}
점근선의 방정식은 y=-2
2 x
y
64
8
2
y
25
1
O
y
y={;2!;}
x-3
-2
2
x
6
O
-2
3 지수함수 021
⑵ y=-3x-2+2의 그래프는 y=3˛의 그래프를 x축에 대하여 대칭
이동한 후, x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이
주어진 그림에서 함수 y=2-(x-a)+b의 그래프는 원점을 지나므로
0=2-(0-a)+b
2Å+b=0
……㉡
동한 것이다.
따라서 y=-3x-2+2의 그래프는
오른쪽 그림과 같고,
치역은 {y|y<2}
점근선의 방정식은 y=2
y
2
또, 점근선의 방정식은 y=-2이므로 b=-2
b=-2를 ㉡에 대입하면 2Å-2=0
O
;;¡9¶;;
x
2Å=2
∴ a=1
∴ ab=1_(-2)=-2
01-2 ④
|해결 전략 | 지수함수 y=2˛의 그래프를 이용하여 지수함수 y=2x+2-3의 그
은 수가 크다.
⑵ 0.2;3!;>'ß0.008>›"ƒ0.2‡
|해결 전략 | 밑이 1보다 크면 지수가 큰 수가 크고, 밑이 1보다 작으면 지수가 작
y=-3x-2+2
03-1 ⑴ 30.5<‹'9<'ß27
래프를 그려 본다.
y=2x+2-3의 그래프는 y=2˛의 그래프를
x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로
-3만큼 평행이동한 것이다.
따라서 y=2x+2-3의 그래프는 오른쪽 그
림과 같으므로 제4사분면을 지나지 않는다.
y
y=2x+2-3
y=2x
1
O
-3
⑴ 주어진 세 수를 밑이 3인 거듭제곱 꼴로 나타내면
30.5=3;2!;, 'ß27="∂3‹=3;2#;, ‹'9=‹"∂3€=3;3@;
이때, 함수 y=3˛은 밑 3이 1보다 크므
로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한
y=3x
x
다. 즉, 지수가 큰 수가 크다.
따라서 지수의 크기를 비교하면
;2!;<;3@;<;2#;이므로
x
;2!;
;3@;
;2#;
y
1
O
02-1 ⑴ m=-4, n=2
|해결 전략 | 함수의 그래프에서 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼
⑵ m=2, n=5
평행이동하면 x 대신 x-m, y 대신 y-n을 대입한다. 또, y축에 대하여 대칭이
3;2!;<3;3@;<3;2#;
∴ 30.5<‹'9<'ß27
⑵ 주어진 세 수를 밑이 0.2인 거듭제곱 꼴로 나타내면
동하면 x 대신 -x를 대입한다.
⑴ y=2˛의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만
큼 평행이동한 그래프의 식은
y=2x-m+n
따라서 y=2x-m+n이 y=16_2˛+2=2x+4+2와 일치하므로
……㉠
-m=4, n=2
∴ m=-4, n=2
⑵ y=5˛의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
y=5-x
……㉠
㉠의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평
행이동한 그래프의 식은
y=5-(x-m)+n
따라서 y=5-(x-m)+n이 y=25_{;5!;}
하므로
m=2, n=5
˛+5=5-(x-2)+5와 일치
02-2 -2
|해결 전략 | 주어진 그림에서 함수의 그래프가 원점을 지나고 점근선의 방정식이
y=-2임을 이용한다.
함수 y=2˛의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
y=2-x
……㉠
㉠의 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이
동한 그래프의 식은
y=2-(x-a)+b
022 정답과 해설
0.2;3!;, ›"ƒ0.2‡=(0.2‡);4!;=0.2;4&;,
'ß0.008="ƒ0.2‹=(0.2‹);2!;=0.2;2#;
이때, 함수 y=0.2˛은 밑 0.2가 1보
다 작으므로 x의 값이 증가하면 y의
값은 감소한다. 즉, 지수가 작은
수가 크다.
따라서 지수의 크기를 비교하면
;3!;<;2#;<;4&;이므로
0.2;3!;>0.2;2#;>0.2;4&;
∴ 0.2;3!;>'ß0.008>›"ƒ0.2‡
y=0.2x
y
1
O
;3!;
;2#;
;4&;
x
04-1 ⑴ 최댓값: 11, 최솟값: 4 ⑵ 최댓값: 28, 최솟값: ;2@7*;
|해결 전략 | ⑴ 밑 2는 1보다 크므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
⑵ 밑 ;3!;은 1보다 작으므로 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
⑴ 함수 y=2x-2+3에서 밑 2는 1보다 크므로 x의 값이 증가하면 y
의 값도 증가한다.
따라서 20)로 놓으면
t€-2t=0, t(t-2)=0
∴ t=2 (∵ t>0)
즉, 2˛=2이므로 2˛=2⁄
⑶ 32x-4=52x-4에서 2x-4=0
∴ x=1
➡ f(m), f(a), f(b) 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값
∴ x=2
⑵ mb일 때
➡ f(a), f(b) 중 큰 값이 최댓값, 작은 값이 최솟값
05-1 ⑴ 최댓값: 39, 최솟값: 3 ⑵ 최댓값: 3, 최솟값: 2
|해결 전략 | ⑴ 3˛=t로 치환하여 이차함수의 최대, 최소를 이용한다.
˛=t로 치환하여 이차함수의 최대, 최소를 이용한다.
⑵ {;2!;}
⑴ y=9˛-2_3x+1+12=(3˛)€-6_3˛+12
3˛=t로 놓으면 -10)로 놓으면
t€-12t+32=0, (t-4)(t-8)=0
⑶ (2€)˛-3_2˛+2=0, 즉 (2˛)€-3_2˛+2=0
∴ t=4 또는 t=8
t=4일 때, 2˛=4에서 x=2
t=8일 때, 2˛=8에서 x=3
⑵ 3˛=t (t>0)로 놓으면
t€+9t-10=0, (t+10)(t-1)=0
∴ t=1 (∵ t>0)
t=1일 때, 3˛=1에서 x=0
2˛=t (t>0)로 놓으면
t€-3t+2=0, (t-1)(t-2)=0
∴ t=1 또는 t=2
t=1일 때, 2˛=1에서 x=0
t=2일 때, 2˛=2에서 x=1
3˛=t로 놓으면
t€-12t+27=0, (t-3)(t-9)=0
∴ t=3 또는 t=9
t=3일 때, 3˛=3에서 x=1
t=9일 때, 3˛=9에서 x=2
⑷ (3€)˛-12_3˛+27=0, 즉 (3˛)€-12_3˛+27=0
STEP
필수 유형
2
| 83쪽~87쪽 |
01-1 ⑴ x=1 ⑵ x=-3 또는 x=1 ⑶ x=;2!; 또는 x=1
|해결 전략 | 양변의 밑을 같게 하여 af(x)=ag(x) 꼴로 변형한 후 f(x)=g(x)의
해를 구한다. (단, a>0, a+1)
⑴ 5x+1=25˛에서
5x+1=(5€)˛
∴ 5x+1=52x
따라서 x+1=2x이므로 x=1
x€-3
에서
⑵ 4˛={;2!;}
(2€)˛=(2-1)x€-3
∴ 2€˛=2-x€+3
따라서 2x=-x€+3이므로
x€+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0
∴ x=-3 또는 x=1
024 정답과 해설
2x€
-3x+1
⑶ {;5$;}
={;4%;}
에서
2x€
-1
-3x+1
=[{;5$;}
{;5$;}
따라서 2x€=3x-1이므로
]
2x€
3x-1
∴ {;5$;}
={;5$;}
2x€-3x+1=0, (2x-1)(x-1)=0
∴ x=;2!; 또는 x=1
01-2 4
|해결 전략 | 양변의 밑을 3으로 같게 한 후 지수가 같아야 함을 이용한다.
3x€+4x=9x€-2에서
3x€+4x=(3€)x€-2
∴ 3x€+4x=32x€-4
따라서 x€+4x=2x€-4이므로 x€-4x-4=0
이차방정식 x€-4x-4=0에서 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=4
02-1 ⑴ x=2 ⑵ x=0 또는 x=1
|해결 전략 | ⑴ 식을 변형한 후 3˛=t로 치환하여 푼다.
⑵ 식을 변형한 후 2˛=t로 치환하여 푼다.
⑴ 32x-1-2_3˛-9=0에서 3€˛_3-1-2_3˛-9=0
즉, ;3!;_(3˛)€-2_3˛-9=0
3˛=t (t>0)로 놓으면
;3!;t€-2t-9=0, ;3!;(t€-6t-27)=0
;3!;(t+3)(t-9)=0
∴ t=9 (∵ t>0)
t=9일 때, 3˛=9에서 x=2
⑵ 2˛+21-x=3에서 2˛+2_2-x-3=0
즉, 2˛+
-3=0
2
2˛
2˛=t (t>0)로 놓으면 t+
-3=0
2
t
양변에 t를 곱하여 정리하면
t€-3t+2=0, (t-1)(t-2)=0
∴ t=1 또는 t=2
t=1일 때, 2˛=1에서 x=0
t=2일 때, 2˛=2에서 x=1
02-2 2
|해결 전략 | 3˛=t로 치환하여 얻은 t에 대한 방정식에서 근과 계수의 관계를 이
용한다.
9˛-7_3˛+9=0에서 (3˛)€-7_3˛+9=0
3˛=t (t>0)로 놓으면
t€-7t+9=0
이때, 이 방정식의 두 근은 3a, 3b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
3a_3b=9, 즉 3a+b=3€
∴ a+b=2
LECTURE
a>0, a+1일 때,
pa2x+qa˛+r=0 (단, p+0)
㉠에서 a˛=t(t>0)로 놓으면
pt€+qt+r=0
이때, 방정식 ㉠의 해가 a, b이면 방정식 ㉡의 해는 aa, ab이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
aa+ab=-
, aa_ab=
q
p
r
p
03-1 ⑴ x=1 또는 x=4 ⑵ x=-2 또는 x=1
|해결 전략 | ⑴ 양변의 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0일 때로 나누어 푼다.
⑵ 양변의 밑이 같으므로 지수가 같거나 밑이 1일 때로 나누어 푼다.
⑴ 지수가 같으므로 주어진 방정식이 성립하려면 밑이 같거나 밑이
달라도 지수가 0이면 등식이 성립한다.
⑵ 밑이 같으므로 주어진 방정식이 성립하려면 지수가 같거나 밑이 1
1 밑이 같은 경우
x+1=2이므로 x=1
2 지수가 0인 경우
x-4=0이므로 x=4
1, 2에서 x=1 또는 x=4
이면 등식이 성립한다.
1 지수가 같은 경우
5x-2=2x+1이므로 x=1
2 밑이 1인 경우
x+3=1이므로 x=-2
1, 2에서 x=-2 또는 x=1
04-1
;3!;
|해결 전략 | 주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 주어진 방정식을 3˛=t로 치환
한 후 얻은 방정식의 두 근은 3a, 3b이다.
9˛-2_3x+1+k=0에서 3€˛-2_3_3˛+k=0이므로
(3˛)€-6_3˛+k=0
3˛=t (t>0)로 놓으면 t€-6t+k=0
……㉠
이때, 방정식 9˛-2_3x+1+k=0의 서로 다른 두 근을 a, b라 하면
㉠의 두 근은 3a, 3b이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
3a_3b=k, 3a+b=k
3-1=k (∵ a+b=-1)
∴ k=;3!;
04-2 k>4
|해결 전략 | 주어진 방정식을 2˛=t로 치환하여 얻은 방정식이 서로 다른 두 양
의 실근을 가져야 한다.
4˛-k_2x-1+1=0에서 2€˛-k_2-1_2˛+1=0이므로
이때, 방정식 4˛-k_2x-1+1=0이 서로 다른 두 실근을 가지면 ㉠
……㉠
……㉡
은 서로 다른 두 양의 실근을 갖는다.
1 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면
D=
-4>0, ;4!;(k€-16)>0
k€
4
;4!;(k+4)(k-4)>0
∴ k<-4 또는 k>4
2 (두 근의 합)=;2K;>0, 즉 k>0
3 (두 근의 곱)=1>0
㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면 k>4
……㉡
……㉢
05-1 28500년 전
|해결 전략 | 주어진 식에 f(t)=;1∞6;, a=10을 대입하여 t의 값을 구한다.
처음 이 도자기에 들어 있는 ⁄›C의 양은 10 g이었고, t년이 지난 후의
도자기에 남아 있는 ⁄›C의 양은 ;1∞6; g이므로
f(t)=a_{;2!;}
5700 에 f(t)=;1∞6;, a=10을 대입하면
t
t
5700
;1∞6;=10_{;2!;}
t
t
5700 =;3¡2;, {;2!;}
5700 ={;2!;}
{;2!;}
fi
t
5700
=5
∴ t=28500
따라서 이 도자기는 28500년 전에 만들어진 것이다.
3
지수부등식
개념 확인
1 ⑴ x<3 ⑵ x<4 ⑶ 0;8!;에서 ;8!;={;2!;}
x-1
‹이므로 {;2!;}
‹
>{;2!;}
밑 ;2!;은 1보다 작으므로 x-1<3
∴ x<4
⑶ 9˛-4_3˛+3<0에서
9˛=(3€)˛=(3˛)€이므로 (3˛)€-4_3˛+3<0
3˛=t (t>0)로 놓으면
t€-4t+3<0, (t-1)(t-3)<0
∴ 10)로 놓으면 t€-;2K; t+1=0
……㉠
즉, 1<3˛<3이므로 3‚<3˛<3⁄
밑 3은 1보다 크므로 0, > ⑵ >
2-1 ⑴ 2, x>2
스스로 check
1-2 ⑴ x<;4%; ⑵ x>4 ⑶ x>5 ⑷ x<1
⑴ 4=2€, 8=2‹이므로 42x-1<8에서 (2€)2x-1<2‹
24x-2<2‹
밑 2는 1보다 크므로
4x-2<3
∴ x<;4%;
⑵ 9=3€이므로 3x-2>3€
밑 3은 1보다 크므로
x-2>2
⑶ ;3¡2;={;2!;}
∴ x>4
fi이므로 {;2!;}
fi
˛<{;2!;}
밑 ;2!;은 1보다 작으므로
x>5
⑷ ;12!5;={;5!;}
‹이므로 {;5!;}
2x+1
‹
>{;5!;}
밑 ;5!;은 1보다 작으므로
2x+1<3
∴ x<1
t€-6t+8<0, (t-2)(t-4)<0
∴ 20)로 놓으면
t€-2t-15<0, (t+3)(t-5)<0
∴ -30이므로 00)로 놓으면
t€-3t-4<0, (t+1)(t-4)<0
∴ -10이므로 00)로 놓으면
t€+3t-18>0, (t+6)(t-3)>0
∴ t<-6 또는 t>3
그런데 t>0이므로 t>3
따라서 3˛>3, 즉 3˛>3⁄
밑 3은 1보다 크므로 부등식의 해는
x>1
STEP
필수 유형
2
| 90쪽~92쪽 |
01-1 ⑴ x<;2%; ⑵ x>-6 ⑶ x>1 ⑷ -332x에서
(3‹)x+2>3€˛, 33x+6>3€˛
이때, 밑 3은 1보다 크므로
3x+6>2x
2x-3
∴ x>-6
에서
⑶ 5˛>{;5!;}
5˛>(5-1)2x-3이므로 5˛>5-2x+3
이때, 밑 5는 1보다 크므로
x>-2x+3
∴ x>1
⑷ {;3@;}
>{;2#;}
x€
x€
2x-3
에서
-1
2x-3
이때, 밑 ;3@;는 1보다 작으므로
x€<-2x+3, x€+2x-3<0
(x+3)(x-1)<0
∴ -34x€-x에서 2x€-2x+2>(2€)x€-x이므로
2x€-2x+2>22x€-2x
이때, 밑 2는 1보다 크므로
x€-2x+2>2x€-2x
x€-2<0, (x+'2 )(x-'2 )<0
∴ -'20)로 놓으면 -3aÅ>a⁄, 즉 a0)로 놓으면 y=t€-6t+a=(t-3)€+a-9
면 등식이 성립한다.
1 지수가 같은 경우
t>0에서 함수 y=(t-3)€+a-9는
-x+6=x€에서 x€+x-6=0이므로 (x+3)(x-2)=0
이때, x€-5=3+x이므로 x€-x-8=0
x€-2x+7=10에서 x€-2x-3=0이므로
t=3일 때, 최소이고 최솟값은
y=(3-3)€+a-9=a-9
따라서 t=3에서 3˛=3이므로 x=1
∴ b=1
또, a-9=2에서 a=11
∴ a+b=11+1=12
6-1 1
|해결 전략 | 양변의 밑을 2로 같게 한 후 지수에 대한 방정식의 해를 구한다.
2x€-5=8_2˛에서
2x€-5=2‹_2˛이므로 2x€-5=23+x
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 근의 합은 1이다.
6-2 1
|해결 전략 | 양변의 밑을 ;3!;로 같게 한 후 지수에 대한 방정식의 해를 구한다.
x€+1
x€+1
{;3!;}
=;2¡7;_3-x에서
‹_{;3!;}
={;3!;}
이때, x€+1=3+x이므로 x€-x-2=0
={;3!;}
, {;3!;}
{;3!;}
x€+1
x
3+x
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 근의 합은 1이다.
7-1 27
|해결 전략 | 식을 변형한 후 3˛=t로 치환하여 푼다.
9˛+3˛-12=0에서 (3˛)€+3˛-12=0
3˛=t (t>0)로 놓으면
t€+t-12=0, (t+4)(t-3)=0
그런데 t>0이므로 t=3
t=3일 때, 3˛=3에서 x=1
∴ 32a+1=3‹=27
∴ a=1
7-2 3
|해결 전략 | 식을 변형한 후 2˛=t로 치환하여 푼다.
4˛-3_2x+1+8=0에서 (2€)˛-3_2_2˛+8=0
즉, (2˛)€-6_2˛+8=0
2˛=t (t>0)로 놓으면
t€-6t+8=0, (t-2)(t-4)=0
∴ t=2 또는 t=4
t=2일 때, 2˛=2에서 x=1
t=4일 때, 2˛=4에서 x=2
이때, a=1, b=2 또는 a=2, b=1이므로
a+b=3
∴ x=2 (∵ x>0)
2 밑이 1인 경우
x=1
1+2=3
1, 2에서 x=1 또는 x=2이므로 구하는 모든 근의 합은
8-2 4
|해결 전략 | 양변의 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0일 때로 나누어 푼다.
지수가 같으므로 주어진 방정식이 성립하려면 밑이 같거나 밑이 달
라도 지수가 0이면 등식이 성립한다.
1 밑이 같은 경우
(x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3
2 지수가 0인 경우
x=2
합은
-1+2+3=4
1, 2에서 x=-1 또는 x=2 또는 x=3이므로 구하는 모든 근의
9-1 5
|해결 전략 | 주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 주어진 방정식을 5˛=t로 치환
한 후 얻은 방정식의 두 근은 5a, 5b이다.
25˛-6_5˛+k=0에서 (5€)˛-6_5˛+k=0이므로
(5˛)€-6_5˛+k=0
5˛=t (t>0)로 놓으면
t€-6t+k=0
이때, 방정식 25˛-6_5˛+k=0의 두 근을 a, b라 하면 ㉠의 두 근
은 5a, 5b이다.
……㉠
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
5a_5b=k, 5a+b=k
51=k (∵ a+b=1)
∴ k=5
9-2
;3@;2
의 실근을 가져야 한다.
4˛-k_2x+1+3k-2=0에서
(22)˛-k_2_2˛+3k-2=0이므로
(2˛)€-2k_2˛+3k-2=0
2˛=t (t>0)로 놓으면
t€-2kt+3k-2=0
|해결 전략 | 주어진 방정식을 2˛=t로 치환하여 얻은 방정식이 서로 다른 두 양
……㉠
3 지수함수 029
˛<3={;3!;}
에서 밑 ;3!;은 1보다 작으므로
은 3이다.
1, 2, 3에서 02이므로 구하는 정수 x의 최솟값
이때, 방정식 4˛-k_2x+1+3k-2=0이 서로 다른 두 실근을 가지
3 x=1일 때
려면 ㉠이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.
(좌변)=1, (우변)=1이므로 (좌변)=(우변)
1 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면
D
4
=k€-(3k-2)>0, k€-3k+2>0, (k-1)(k-2)>0
따라서 주어진 부등식은 성립한다.
1, 2, 3에서 11, 02
2 (두 근의 합)=2k>0, 즉 k>0
3 (두 근의 곱)=3k-2>0, 즉 k>;3@;
㉡, ㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면 ;3@;2
˛=t로 치환하여 이차부등식을 푼다.
˛
€+{;3!;}
]
˛-12<0
10-1 -1
|해결 전략 | 식을 변형한 후 {;3!;}
˛<12에서 [{;3!;}
˛+{;3!;}
˛=t (t>0)로 놓으면
{;9!;}
{;3!;}
t€+t-12<0, (t+4)(t-3)<0
∴ -40이므로 0-1
따라서 구하는 x의 최솟값은 -1이다.
10-2 3
|해결 전략 | 식을 변형한 후 3˛=t로 치환하여 이차부등식을 푼다.
3€˛+1<9_3˛+3x-2에서 3€˛-(9_3˛+3-2_3˛)+1<0
즉, (3˛)€-
_3˛+1<0
82
9
3˛=t (t>0)로 놓으면
t€-
82
9
t+1<0, ;9!;(9t€-82t+9)<0
;9!;(9t-1)(t-9)<0
∴
;9!;1, 01일 때
5x-8<3x-2
∴ x<3
그런데 x>1이므로 13x-2
∴ x>3
그런데 00
∴ x<-1 또는 x>2
1 x>1일 때
1+x0
그런데 x>1이므로 x>2
2 0x€-1, x€-x-2<0
(x+1)(x-2)<0
∴ -10)
;4D;
즉, a_{;2!;}
<;3¡2;a이므로 {;2!;}
이때, 밑 ;2!;은 1보다 작으므로 d
4
∴ d>20
따라서 d 의 최솟값은 20이다.
>5
| 104쪽~105쪽 |
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 역함수, y=x
2-1 ⑴ 1, 2 ⑵ -2, -1 ⑶ x
3-1 ⑴ -1, 2 ⑵ 3
98쪽~103쪽
4-1 ⑴ 증가, 2, 8, 3, 2, 1 ⑵ 증가, 2, 6, -log£ 6, 9, -2
스스로 check
y=log;3!; x
⑵ 로그함수 y=log
;5!; x는 지수함수
1-2 풀이 참조
⑴ 로그함수 y=log¢ x는 지수함수
y=4x의 역함수이다.
따라서 로그함수 y=log¢ x의 그래프
는 지수함수 y=4x의 그래프를
직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것이
므로 오른쪽 그림과 같다.
x
의 역함수이다.
y={;5!;}
따라서 로그함수 y=log
x
;5!; x의 그래
프는 지수함수 y={;5!;}
직선 y=x에 대하여 대칭이동한 것이
의 그래프를
므로 오른쪽 그림과 같다.
y=4x
y=x
y=log¢ x
O 1
x
y
1
x
y
1
y={;5!;}
y=x
O
1
x
y=log;5!; x
4
| 로그함수
1
로그함수와 그 그래프
1 ⑴ y=log£ x ⑵ y=log
;3!; x
개념 확인
2 풀이 참조
3 감소, 1, y
4 풀이 참조
5 ⑴ 최댓값: 2, 최솟값: -1 ⑵ 최댓값: -1, 최솟값: -2
2 ⑴
y
⑵
y
y=log£ x
x
O
1
O
1
x
4 ⑴
y
⑵
y
y=log£ {x-;3@;}+1
y=log£ x
y=log£ x
O
1
x
O
1
x
y=-log£ x
⑶
y
y=log£ (-x)
y=log£ x
⑷
y
y=-log£ (-x)
y=log£ x
-1
O
1
x
-1
O
1
x
2-2 ⑴ -1, 3 ⑵ 2, -3 ⑶ y ⑷ x, 1
⑴ 함수 y=log™(x+1)+3의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래프를
x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것
⑵ 함수 y=log ;5!; (x-2)-3의 그래프는 함수 y=log ;5!; x의 그래
프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한
y=log£ x
것이다.
⑶ 함수 y=log£(-x)의 그래프는 함수 y=log£ x의 그래프를 y축
9
x
에 대하여 대칭이동한 것이다.
⑷ 함수 y=-log™ x+1의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래프를 x
축에 대하여 대칭이동한 후, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것
이다.
이다.
5 ⑴ 함수 y=log£ x는 x의 값이 증가
하면 y의 값도 증가하므로
x=9일 때, 최댓값
log£ 9=log£ 3€=2 log£ 3=2
y
2
O
-1
;3!;
x=;3!;일 때, 최솟값
log£ ;3!;=log£ 3-1=-log£ 3=-1
을 갖는다.
⑵ 함수 y=log
;5!; x는 x의 값이 증가하면
y
y의 값은 감소하므로
x=5일 때, 최댓값
log
;5!; 5=log5-1 5=-log∞ 5=-1
x=25일 때, 최솟값
log
;5!; 25=log5-1 5€=-2 log∞ 5=-2
를 갖는다.
3-2 풀이 참조
⑴ y=log£(x-2)+1의 그래프는 함수 y=log£ x의 그래프를 x축
5
25
x
O
-1
-2
의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1
y=log;5!; x
만큼 평행이동한 것이다.
따라서 함수 y=log£(x-2)+1의
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
y
1
O
y=log£ (x-2)+1
1
y=log£ x
x
3
4 로그함수 031
⑶ y=log
;2!; (x-1)에서 밑 ;2!;은 1보다 작으므로 x의 값이 증가하면
⑴ y=log™ (x+3)-1의 그래프는
y=log™ (x+3)-1
⑵ y=-log£(x-1)의 그래프는 함수
y
y=log£ x의 그래프를 x축에 대하여
대칭이동한 후, x축의 방향으로 1만큼
평행이동한 것이다.
y=log£ x
2
O 1
x
따라서 함수 y=-log£(x-1)의 그
y=-log£ (x-1)
래프는 오른쪽 그림과 같다.
4-2 ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: 0 ⑵ 최댓값: 2, 최솟값: 1
⑶ 최댓값: 0, 최솟값: -3 ⑷ 최댓값: 0, 최솟값: -2
⑴ y=log™ (x+2)에서 밑 2는 1보다 크고 x의 값이 증가하면
y의 값도 증가한다.
따라서 x=6일 때, 최댓값은 log™ 8=3
x=-1일 때, 최솟값은 log™ 1=0
⑵ y=log£ (5-x)에서 밑 3은 1보다 크고 x의 값이 증가하면
5-x의 값이 감소하므로 y의 값도 감소한다.
따라서 x=-4일 때, 최댓값은 log£ 9=2
x=2일 때, 최솟값은 log£ 3=1
y의 값은 감소한다.
따라서 x=2일 때, 최댓값은 log
x=9일 때, 최솟값은 log
;2!; 1=0
;2!; 8=-3
면 y의 값은 감소한다.
따라서 x=0일 때, 최댓값은 log
x=4일 때, 최솟값은 log
;3!; 1=0
;3!; 9=-2
⑷ y=log
;3!; (2x+1)에서 밑 ;3!;은 1보다 작으므로 x의 값이 증가하
STEP
필수 유형
2
| 106쪽~112쪽 |
01-1 ⑴ y=log™ x+log™ ;3@; (x>0) ⑵ y=4x-1
|해결 전략| 로그의 정의를 이용하여 x를 y에 대한 식으로 나타낸 후 x와 y를 서
로 바꾼다. 이때, 정의역에 유의한다.
⑴ 함수 y=3_2x-1의 정의역은 실수 전체의 집합이고 치역은
{y|y>0}이다.
y=3_2x-1에서 ;3Y;=2x-1
로그의 정의에 의하여
log™ ;3Y;=x-1, log™ y-log™ 3=x-1
∫ x=log™ y-log™ 3+1=log™ y+log™ ;3@;
x와 y를 서로 바꾸면 역함수는
y=log™ x+log™ ;3@; (x>0)
⑵ 진수의 조건에서 x+1>0이므로 정의역은 {x|x>-1}, 치역은
실수 전체의 집합이다.
y=log™ 'ßx+1에서 로그의 정의에 의하여 2y='ßx+1
양변을 제곱하면 (2y)€=x+1
∫ x=4y-1
x와 y를 서로 바꾸면 역함수는
y=4x-1
032 정답과 해설
01-2 8
|해결 전략|로그의 정의를 이용하여 역함수를 구한 후 주어진 식과 비교한다.
함수 y=32x-4+3의 정의역은 실수 전체의 집합이고 치역은
{y|y>3}이다.
y=32x-4+3에서 y-3=32x-4
로그의 정의에 의하여
log£ (y-3)=2x-4, log£ (y-3)+4=2x
x=;2!; log£ (y-3)+2=log3€ (y-3)+2
∫ x=logª (y-3)+2
x와 y를 서로 바꾸면 역함수는
y=logª (x-3)+2 (x>3)
따라서 a=9, b=-3, c=2이므로 a+b+c=8
02-1 풀이 참조
|해결 전략| y=loga x의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만
큼 평행이동하면 정의역은 {x|x>m}, 점근선의 방정식은 x=m이다.
y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 -3
만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한
것이므로 오른쪽 그림과 같다.
이때, 진수는 양수이어야 하므로
x+3>0
∫ x>-3
y
O
-1
x
따라서 정의역은 {x|x>-3}, 점근선의 방정식은 x=-3이다.
⑵ y=log™ (-x+3)-1=log™ {-(x-3)}-1의 그래프는
y=log™ x의 그래프를 y축에 대하여 대
칭이동한 후 x축의 방향으로 3만큼, y축
의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므
로 오른쪽 그림과 같다.
이때, 진수는 양수이어야 하므로
-x+3>0
∫ x<3
y=log™ (-x+3)-1
y
1
x
O
따라서 정의역은 {x|x<3}, 점근선의 방정식은 x=3이다.
⑶ y=log
(x+1)-2의 그래프는
y
;2!;
y=log
;2!;
x의 그래프를 x축의 방향으로
-1만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행
이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.
이때, 진수는 양수이어야 하므로
x+1>0
∫ x>-1
O
-;4#;
x
y=log;2!; (x+1)-2
따라서 정의역은 {x|x>-1}, 점근선의 방정식은 x=-1이다.
3(x-1)
⑷ y=log
;3!;
(x-1)
3+log
y=log
;3!;
;3!;
(x-1)-1
y=log
;3!;
x의 그래프를 x축
의 그래프는 y=log
;3!;
의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -1
y
O
;3$;
x
만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림
y=log;3!; 3(x-1)
과 같다.
이때, 진수는 양수이어야 하므로
x-1>0
∫ x>1
따라서 정의역은 {x|x>1}, 점근선의 방정식은 x=1이다.
y
b
a
b
a
O
03-1 -3
|해결 전략 | x축에 대하여 대칭이동하면 y 대신 -y를 대입하고, x축의 방향으
05-1 -2
|해결 전략 | log£ a=0이고 직선 y=x 위의 점은 (x좌표)=(y좌표)임을 이용
로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동하면 x 대신 x-m, y 대신 y-n을
하여 a, b, c의 값을 차례로 구한다.
대입한다.
오른쪽 그림에서 log£ a=0이므로
y=x
y=log™ x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
a=1
-y=log™ x
∫ y=-log™ x
y=-log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n
만큼 평행이동한 그래프의 식은
y-n=-log™ (x-m)
∫ y=-log™ (x-m)+n
즉, y=-log™ (x-m)+n이
y=log
;2!;
4(x+1)=log
;2!;
(x+1)=-log™ (x+1)-2와
4+log
;2!;
또, log£ b=1에서 b=3
log£ c=3에서 c=3‹=27
∫ log£ ab
=log£ 1_3
=log£ ;9!;
27
c
=log£ 3-2=-2
y=log£ x
O a
b
c x
04-1 ⑴ log™∞ 16<2 log∞ 3<2 ⑵ -31인지 00
1 ⑴ x=9 ⑵ x=;4!; 또는 x=64
1 ⑴ 진수의 조건에서 x-2>0이므로 x>2
∫ x=9
밑이 같으므로 x-2=7
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=9
log™ x=t로 놓으면
t€-4t-12=0, (t+2)(t-6)=0
∫ t=-2 또는 t=6
t=-2일 때, log™ x=-2에서 x=2-2=;4!;
t=6일 때, log™ x=6에서 x=2fl=64
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;4!; 또는 x=64
113쪽
åå㉠
åå㉠
| 114쪽 |
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ 16, 17, 17 ⑵ 2, 1, 1 ⑶ ;3!;, 4, 4
2-1 0, 2, 4, 2, 4
스스로 check
1-2 ⑴ x=;;¡9ª;; ⑵ x=4 ⑶ x=5 ⑷ x=5
⑴ 진수의 조건에서 x-2>0
åå㉠
∫ x>2
로그의 정의에 의하여 x-2=3-2=;9!;
åå㉠
∫ x=;;¡9ª;;
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;;¡9ª;;
⑵ 진수의 조건에서 3x+4>0
∫ x>-;3$;
åå㉠
t=-1일 때, log∞ x=-1에서 x=;5!;
t=2일 때, log∞ x=2에서 x=25
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
x=;5!; 또는 x=25
로그의 정의에 의하여 3x+4={;4!;}
∫ x=4
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=4
-2
=16
⑶ 진수의 조건에서 x+2>0, 2x-3>0이므로
x>;2#;
밑이 같으므로 x+2=2x-3
∫ x=5
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=5
⑷ log™ (x-1)=log¢ 2(x+3)에서
log™ (x-1)=;2!; log™ 2(x+3)
2 log™ (x-1)=log™ 2(x+3)
log™ (x-1)€=log™ 2(x+3)
åå㉠
STEP
필수 유형
2
| 115쪽~119쪽 |
01-1 ⑴ x=2 ⑵ x=5 ⑶ x=6 ⑷ x=1
|해결 전략| loga f(x)=loga g(x)이면 f(x)=g(x)임을 이용한다.
⑴ 밑의 조건에서 2x>0, 2x+1이므로 x>0, x+;2!;
log2x 16=2에서 로그의 정의에 의하여
åå㉠
진수의 조건에서 x-1>0, 2(x+3)>0이므로
x>1
åå㉠
밑이 같으므로 (x-1)€=2(x+3)
x€-2x+1=2x+6, x€-4x-5=0
(x+1)(x-5)=0
∫ x=-1 또는 x=5
16=(2x)€, 4x€=16
x€=4
∫ x=-2 또는 x=2
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=2
⑵ 진수의 조건에서 x>0, x-3>0이므로 x>3
log x+log (x-3)=1에서
log x(x-3)=1, log (x€-3x)=1
로그의 정의에 의하여
x€-3x=10, x€-3x-10=0
(x+2)(x-5)=0
∫ x=-2 또는 x=5
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=5
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=5
2-2 ⑴ x=;4!; 또는 x=4 ⑵ x=;3!; 또는 x=81
⑶ 진수의 조건에서 x€-2x-15>0, x-3>0이므로
1 x€-2x-15>0에서 (x+3)(x-5)>0
åå㉠
åå㉠
⑶ x=;5!; 또는 x=25
⑴ 진수의 조건에서 x>0
log™ x=t로 놓으면
t€-4=0, (t+2)(t-2)=0
∫ t=-2 또는 t=2
t=-2일 때, log™ x=-2에서 x=;4!;
t=2일 때, log™ x=2에서 x=4
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
x=;4!; 또는 x=4
⑵ 진수의 조건에서 x>0
log£ x=t로 놓으면
t€-3t-4=0, (t+1)(t-4)=0
∫ t=-1 또는 t=4
t=-1일 때, log£ x=-1에서 x=;3!;
t=4일 때, log£ x=4에서 x=81
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
x=;3!; 또는 x=81
⑶ 진수의 조건에서 x>0
log∞ x=t로 놓으면
t€-t-2=0, (t+1)(t-2)=0
∫ t=-1 또는 t=2
x<-3 또는 x>5
2 x-3>0에서 x>3
1, 2에서 x>5
åå㉠
(x€-2x-15)+1=-log£ (x-3)에서
log
;3!;
(x-3)
(x€-2x-15)+1=log
log
;3!;
;3!;
(x-3)-1
(x€-2x-15)=log
log
;3!;
;3!;
(x-3)-log
(x€-2x-15)=log
log
;3!;
;3!;
;3!;
;3!;
(x€-2x-15)=log
log
;3!;
;3!;
3(x-3)
밑이 같으므로 x€-2x-15=3(x-3)
x€-5x-6=0, (x+1)(x-6)=0
åå㉠
∫ x=-1 또는 x=6
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=6
⑷ 진수의 조건에서 x+3>0이므로 x>-3
åå㉠
log™ (x+3)=log¢ (x+3)+1에서
log™ (x+3)=log¢ (x+3)+log¢ 4
log™ (x+3)=log™€ 4(x+3)
log™ (x+3)=;2!; log™ 4(x+3)
2 log™ (x+3)=log™ 4(x+3)
log™ (x+3)€=log™ 4(x+3)
åå㉠
밑이 같으므로 (x+3)€=4(x+3)
x€+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0
∫ x=-3 또는 x=1
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=1
4 로그함수 035
02-1 ⑴ x=;9!; 또는 x=27 ⑵ x=;5!; 또는 x=25
|해결 전략| loga x=t로 치환하여 t에 대한 방정식을 푼다.
⑴ 진수의 조건에서 x>0
(log£ x)€=log£ x+6에서 (log£ x)€-log£ x-6=0
xlog x+1=100의 양변에 상용로그를 취하면
log xlog x+1=2, (log x+1)_log x=2
åå㉠
∫ (log x)€+log x-2=0
log x=t로 놓으면
t€+t-2=0, (t+2)(t-1)=0
∫ t=-2 또는 t=1
01
åå㉠
logx 5=
이므로 log∞ x=t로 놓으면
t€-t-6=0, (t+2)(t-3)=0
log£ x=t로 놓으면
t€-t-6=0, (t+2)(t-3)=0
∫ t=-2 또는 t=3
t=-2일 때, log£ x=-2에서 x=;9!;
t=3일 때, log£ x=3에서 x=27
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
x=;9!; 또는 x=27
⑵ 진수와 밑의 조건에서 x>0, x+1이므로
1
log∞ x
t=
+1, t€-t-2=0
2
t
(t+1)(t-2)=0
∫ t=-1 또는 t=2
t=-1일 때, log∞ x=-1에서 x=;5!;
t=2일 때, log∞ x=2에서 x=25
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는
x=;5!; 또는 x=25
02-2 x=;1¡6; 또는 x=1
|해결 전략| 식을 변형한 후 log™ x=t로 치환하여 푼다.
진수의 조건에서 x>0
log™ 8x_log™ 2x=3에서
(log™ x+3)(log™ x+1)=3
log™ x=t로 놓으면
(t+3)(t+1)=3, t€+4t=0
t(t+4)=0
∫ t=-4 또는 t=0
t=-4일 때, log™ x=-4에서 x=;1¡6;
t=0일 때, log™ x=0에서 x=1
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;1¡6; 또는 x=1
03-1 ⑴ x=;10!0; 또는 x=10 ⑵ x=10
|해결 전략| ⑴ 주어진 식을 변형하여 양변에 로그를 취한다.
⑵ 주어진 식을 변형하여 3log x=t로 치환한다.
xlog x=
에서 x_xlog x=100이므로
100
x
xlog x+1=100
036 정답과 해설
t=-2일 때, log x=-2에서 x=;10!0;
t=1일 때, log x=1에서 x=10
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=;10!0; 또는 x=10
⑵ 진수의 조건에서 x>0
로그의 성질에 의하여 xlog 3=3log x이므로 주어진 방정식은
3log x_3log x-3log x-6=0
∫ (3log x)€-3log x-6=0
3log x=t (t>0)로 놓으면
åå㉠
∫ t=3 (ç t>0)
t=3일 때, 3log x=3에서
log x=1
∫ x=10
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=10
04-1 3
|해결 전략| 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 log£ x=t로 치환한 후 얻은 방
정식의 두 근은 log£ a, log£ b이다.
(log£ x)€=log£ x+12에서 log£ x=t로 놓으면
åå㉠
주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 방정식 ㉠의 두 근은 log£ a,
t€-t-12=0
log£ b이다.
04-2 -1
|해결 전략| 주어진 방정식을 변형하고 log£ x=t로 치환한 후 얻은 이차방정식
의 근과 계수의 관계를 이용하여 상수 k의 값을 구한다.
log£ x-2 logx 3+k=0에서 logx 3=
1
log£ x
이므로
log£ x-
+k=0, (log£ x)€+k log£ x-2=0
주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 방정식 ㉠의 두 근은 log£ a,
åå㉠
2
log£ x
log£ x=t로 놓으면
t€+kt-2=0
log£ b이다.
log£ a+log£ b=log£ ab=-k
이때, ab=3이므로 log£ 3=-k
∫ k=-1
åå㉠
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
log£ a+log£ b=1
즉, log£ ab=1
∫ ab=3
⑴ 진수의 조건에서 x>0
åå㉠
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
지반 A, B의 유효수직응력을 각각 SA, SB, 저항력을 각각 RA, RB,
05-1 71.6 %
|해결 전략| 주어진 조건을 관계식에 대입해 본다.
상대밀도를 각각 DA, DB라 하면
SA=1.44SB, RA=1.5RB, DB=65
이므로
65=-98+66 log
=10;;¡6§6£;;
,
RB
RB
"ƒSB
"ƒSB
=;4%;_10;;¡6§6£;;
=
RA
"ƒSA
따라서 구하는 지반 A의 상대밀도는
1.5RB
"ƒ1.44SB
DA=-98+66 log
RA
"ƒSA
DA=-98+66 log {;4%;_10;;¡6§6£;;
}
DA=-98+66{log ;4%;+log 10;;¡6§6£;;
}
DA=-98+66{log ;;¡8º;;+;;¡6§6£;;}
DA=-98+66[(log 10-log 8)+;;¡6§6£;;]
DA=-98+66[(1-3 log 2)+;;¡6§6£;;]
DA=-98+66{0.1+;;¡6§6£;;}
DA=71.6 (%)
3
로그부등식
개념 확인
1 ⑴ x>3 ⑵ ;4!;0, 2x>0
∫ x>0
밑 3은 1보다 크므로 x+3<2x
∫ x>3
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>3
⑵ 진수의 조건에서 x+2>0, 4x-1>0
∫ x>;4!;
밑 ;2!;은 1보다 작으므로 x+2>4x-1
∫ x<1
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;4!;8 ⑶ x>3 ⑷ x>;9%;
⑸ 33
⑴ 진수의 조건에서 x>0
10
∫ x>0
log™ 2x>4에서 log™ 2x>log™ 16
이때, 밑 2는 1보다 크므로 2x>16
∫ x>8
åå㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>8
⑶ 진수의 조건에서 x+1>0
∫ x>-1
åå㉠
log™ (x+1)>2에서 log™ (x+1)>log™ 4
이때, 밑 2는 1보다 크므로 x+1>4
∫ x>3
åå㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>3
⑷ 진수의 조건에서 2x-1>0
∫ x>;2!;
åå㉠
(2x-1);9!;
∫ x>;9%;
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>;9%;
⑸ 진수의 조건에서 5-x>0, x-3>0
∫ 3x-3
∫ x<4
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 30, x(x-2)>0
∫ x<0 또는 x>2
밑 5는 1보다 크므로 x€-2x<3, x€-2x-3<0
(x+1)(x-3)<0
∫ -10, x(x+1)>0
∫ x<-1 또는 x>0
밑 ;3!;은 1보다 작으므로 x€+x<6, x€+x-6<0
(x+3)(x-2)<0
∫ -30, 3x-4>0
∫ x>;3$;
밑 2는 1보다 크므로 x€-2x+2>3x-4, x€-5x+6>0
åå㉠
(x-2)(x-3)>0
∫ x<2 또는 x>3
åå㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;3$;3
4 로그함수 037
åå㉠
åå㉡
åå㉠
åå㉡
åå㉠
åå㉡
åå㉠
åå㉡
åå㉠
åå㉡
120쪽
åå㉠
åå㉡
åå㉠
åå㉡
| 121쪽 |
STEP
2
필수 유형
| 122쪽~126쪽 |
⑵ 진수의 조건에서 4x>0, 8x>0이므로 x>0
åå㉠
01-1 ⑴ 02
|해결 전략| a>1일 때 loga f(x)g(x)>0임을 이용한다.
⑴ 진수의 조건에서 1+x>0, 1-2x>0이므로
-11-2x
∫ x>0
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 00, 3x-9>0이므로
x<-3 또는 x>5, x>3
∫ x>5
åå㉠
8x<12에서
4x_log
log
;2!;
;2!;
x)<12
8+log
x)(log
4+log
(log
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
x-3)<12
x-2)(log
(log
;2!;
;2!;
x)€-5 log
(log
;2!;
;2!;
x=t로 놓으면 t€-5t-6<0, (t+1)(t-6)<0
log
;2!;
x-6<0
∫ -10
x)_log™ x+4>0에서
(3+log
;2!;
(3-log™ x)_log™ x+4>0
-(log™ x)€+3 log™ x+4>0
(log™ x)€-3 log™ x-4<0
log™ x=t로 놓으면 t€-3t-4<0
(t+1)(t-4)<0
∫ -10, x-3>0
∫ x>3
log
;2!;
log
;2!;
x+log
;2!;
x(x-3)>log
;2!;
4
(x-3)>-2에서
이때, 밑 ;2!;은 1보다 작으므로
x(x-3)<4, x€-3x-4<0
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 30, x>0
(x+1)(x-4)<0
∫ -10
åå㉠
log¢ (x+2)0
(x+1)(x-2)>0
∫ x<-1 또는 x>2
åå㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 x>2
03-1 ⑴ 027 ⑵ 10
x log£ x>27x€의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면
åå㉠
log£ x log£ x>log£ 27x€, log£ x_log£ x>log£ 27+log£ x€
02-1 ⑴ ;2¡7;3+2 log£ x
∫ (log£ x)€-2 log£ x-3>0
åå㉠
log£ x=t로 놓으면
⑴ 진수의 조건에서 x>0
2(log£ x)€+5 log£ x-3<0에서
log£ x=t로 놓으면 2t€+5t-3<0, (t+3)(2t-1)<0
∫ -30, (t+1)(t-3)>0
∫ t<-1 또는 t>3
따라서 log£ x<-1 또는 log£ x>3이므로
log£ xlog£ 27
이때, 밑 3은 1보다 크므로
이때, 밑 3은 1보다 크므로 ;2¡7;27
åå㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;2¡7;27
038 정답과 해설
⑵ 진수의 조건에서 x>0
x log x10fl
양변에 상용로그를 취하면
log (10_2n)>log 10fl, 1+n log 2>6
∫ n>
5
log 2
=
5
0.3
=16.666å
이때, 밑 10은 1보다 크므로 10
åå㉠
이차방정식 x€-(log™ a)x+4=0이 허근을 갖기 위해서는 판별식
STEP
유형 드릴
3
| 127쪽~129쪽 |
D<0이어야 하므로
D=(log™ a)€-16<0
log™ a=t로 놓으면
t€-16<0, (t+4)(t-4)<0
∫ -41000
|해결 전략| 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 D>0이어야 함
을 이용한다.
log a에서 진수의 조건에 의하여 a>0
또, 이차방정식이므로 3-log a+0
4 a+1000
åå㉠
åå㉡
이용한다.
이차방정식 (3-log a)x€+2(1-log a)x+1=0이 서로 다른 두
실근을 갖기 위해서는 판별식 D>0이어야 하므로
1-2 5
|해결 전략| 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여 g(a)=b이면 f(b)=a임을
함수 f(x)=3 log™ (x+3)-1의 역함수가 g(x)이므로
g(8)=a라 하면 f(a)=8
f(a)=3 log™ (a+3)-1=8
log™ (a+3)=3, log™ (a+3)=log™ 8
a+3=8이므로 a=5
∫ g(8)=5
2-1 ⑤
|해결 전략| 함수 y=log™ (x-m)+n의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래프
를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 것이다.
①, ⑤ 함수 y=log™ (x-5)-3의 그래프는 함수 y=log™ x의 그래
프를 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동
åå㉢
한 것이므로 점근선의 방정식은 x=5이다.
③ y=log™ (x-5)-3에 x=6을 대입하면 y=-3이므로 그래프
는 점 (6, -3)을 지난다.
4 로그함수 039
D
4
=(1-log a)€-(3-log a)>0
∫ (log a)€-log a-2>0
log a=t로 놓으면
t€-t-2>0, (t+1)(t-2)>0
∫ t<-1 또는 t>2
따라서 log a<-1 또는 log a>2이므로
log alog 100
이때, 밑 10은 1보다 크므로
a<;1¡0; 또는 a>100
㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면
01000
④ 밑 2가 1보다 크므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
2-2 ⑤
|해결 전략| 함수 y=loga (-x)의 그래프는 y=loga x의 그래프를 y축에 대
4-2 ④
|해결 전략| a>1일 때 0loga x™임을 이용한다.
y=loga x는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하는 함수이고
하여 대칭이동한 것이다.
2만큼 평행이동한 것이다.
ㄱ. 정의역은 {x|x<6}이다.
점 (3, 3)을 지난다.
ㄷ. y=log£ (6-x)+2에 x=3을 대입하면 y=3이므로 그래프는
∫ A1
또, ;aB;>1, 00, x-1>0이므로
x>4
log™ (x-4)=1+log¢ (x-1)에서
log™ (x-4)=1+;2!; log™ (x-1)
2 log™ (x-4)=2+log™ (x-1)
즉, log™ (x-4)€=log™ 4(x-1)이므로
(x-4)€=4(x-1), x€-8x+16=4x-4
x€-12x+20=0, (x-2)(x-10)=0
∫ x=2 또는 x=10
따라서 ㉠에 의하여 구하는 해는 x=10이므로 a=10
∫ log£ (a-1)=log£ (10-1)=log£ 9=2
7-2 243
|해결 전략| log£ x=t로 치환하여 t에 대한 방정식을 푼다.
진수의 조건에서 x>0
(log£ x)€-log£ xfi+4=0에서 (log£ x)€-5 log£ x+4=0
log£ x=t로 놓으면 t€-5t+4=0, (t-1)(t-4)=0
∫ t=1 또는 t=4
t=1일 때, log£ x=1에서 x=3
t=4일 때, log£ x=4에서 x=81
(x+1)(x-2)<0
∫ -10, 7-x>0이므로
17-x, x€-x-6>0
(x+2)(x-3)>0
∫ x<-2 또는 x>3
åå㉡
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 30
(log™ x)€+log™ x-2<0에서
log™ x=t로 놓으면
t€+t-2<0, (t+2)(t-1)<0
∫ -20, ;4X;>0이므로 x>0
åå㉠
8-1 2
|해결 전략| 밑을 같게 한 후 진수에 대한 부등식을 세운다. 이때, (밑)>1이면
부등호의 방향은 그대로이다.
진수의 조건에서 x-1>0, 3-x>0이므로
åå㉠
10에서
log™ 8x_log™ ;4X;<0
(log™ 8+log™ x)(log™ x-log™ 4)<0
∫ (log™ x+3)(log™ x-2)<0
log™ x=t로 놓으면
(t+3)(t-2)<0
∫ -30
x log™ x=
16
x‹
log™ x log™ x=log™ 16
x‹
∫ (log™ x)€+3 log™ x-4=0
log™ x=t로 놓으면 t€+3t-4=0
(t+4)(t-1)=0
∫ t=-4 또는 t=1
t=-4일 때, log™ x=-4에서 x=;1¡6;
t=1일 때, log™ x=1에서 x=2
따라서 ㉠에 의하여 구하는 근은 x=;1¡6; 또는 x=2이므로 모든
근의 곱은 ;1¡6;_2=;8!;
10-2 10
|해결 전략| 주어진 식을 변형하여 양변에 밑이 2인 로그를 취한다.
진수의 조건에서 x>0
8xlog™ x0
åå㉠
이차방정식 x€-(3 log™ k)x+9=0이 허근을 갖기 위해서는 판별
åå㉠
식 D<0이어야 하므로
log™ k=t로 놓으면
9t€-36<0, 9(t+2)(t-2)<0
∫ -2
log 2-log 3
2 log 3-1
=
0.3010-0.4771
0.9542-1
=3.84å
5
| 삼각함수
1
일반각
개념 확인
1 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 풀이 참조
2 ⑴ 360^_n+330^(n은 정수) ⑵ 360^_n+150^(n은 정수)
3 ⑴ 제2사분면 ⑵ 제4사분면
132쪽~134쪽
1 ⑴
P
⑵
240^
O
X
30^
O
X
P
⑶
O
X
-100^
P
360^_n+330^(n은 정수)
2 ⑴ 330^=360^_0+330^이므로 일반각은
⑵ -570^=360^_(-2)+150^이므로 일반각은
360^_n+150^(n은 정수)
3 ⑴ 500^=360^_1+140^
이므로 500^는 제2사분면의 각이다.
⑵ -420^=360^_(-2)+300^
이므로 -420^는 제4사분면의 각이다.
⑴ 430^를 나타내는 동경 OP를
P
그리면 오른쪽 그림과 같다.
이때, 430^=360^_1+70^
이므로 일반각은
360^_n+70^(n은 정수)
⑵ 1180^를 나타내는 동경 OP를
그리면 오른쪽 그림과 같다.
이때, 1180^=360^_3+100^
이므로 일반각은
360^_n+100^(n은 정수)
⑶ -230^를 나타내는 동경 OP
를 그리면 오른쪽 그림과 같다.
P
이때,
-230^=360^_(-1)+130^
이므로 일반각은
360^_n+130^(n은 정수)
⑷ -760^를 나타내는 동경 OP
를 그리면 오른쪽 그림과 같다.
이때,
-760^=360^_(-3)+320^
이므로 일반각은
360^_n+320^(n은 정수)
70^
430^
O
P
X
100^
1180^
O
X
X
130^
O
-230^
320^
O
-760^
X
P
2-2 ⑴ 제2사분면 ⑵ 제4사분면 ⑶ 제2사분면 ⑷ 제3사분면
⑴ 470^=360^_1+110^이므로 제2사분면의 각이다.
⑵ 1720^=360^_4+280^이므로 제4사분면의 각이다.
⑶ -225^=360^_(-1)+135^이므로 제2사분면의 각이다.
⑷ -880^=360^_(-3)+200^이므로 제3사분면의 각이다.
STEP
필수 유형
2
| 137쪽~138쪽 |
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ 210 ⑵ 60
2-1 ⑴ 1 ⑵ 100, 2 ⑶ 230, 3
스스로 check
1-2 ⑴ 그림은 풀이 참조, 360^_n+70^(n은 정수)
⑵ 그림은 풀이 참조, 360^_n+100^(n은 정수)
⑶ 그림은 풀이 참조, 360^_n+130^(n은 정수)
⑷ 그림은 풀이 참조, 360^_n+320^(n은 정수)
| 136쪽 |
01-1 제2사분면 또는 제4사분면
|해결 전략|각 2h의 범위를 일반각으로 나타낸다.
각 2h가 제4사분면의 각이므로
360^_n+270^<2h<360^_n+360^ (n은 정수)
∫ 360^_
+135^0에서 각 h는 제1사분면 또는 제3사분면의 각이고,
cos h tan h<0에서 각 h는 제3사분면 또는 제4사분면의 각이다.
따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 각 h는 제3사분면의 각이다.
⑵ cos h tan h>0에서 각 h는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이고,
sin h tan h<0에서 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이다.
따라서 두 조건을 동시에 만족시키는 각 h는 제2사분면의 각이다.
4 ⑴ sin h=;3!; 일 때 sin€ h+cos€ h=1이므로
cos€ h=1-sin€ h=1-{;3!;}
그런데 각 h가 제2사분면의 각이므로 cos h<0
=;9*;
2
∫ cos h=-
2'2
3
또, tan h=
sin h
cos h
에서
tan h=;3!;/{-
2'2
3 }=-
=- '2
4
1
2'2
⑵ sin h+cos h=;2!;의 양변을 제곱하면
sin€ h+2sin h cos h+cos €h=;4!;
이때, sin€ h+cos€ h=1이므로 1+2sin h cos h=;4!;
∫ sin h cos h=-;8#;
⑵ 오른쪽 그림에서
y
| 147쪽~149쪽 |
2 ⑴ 오른쪽 그림에서
OP’="ƒ
sin h=
tan h=4
ƒ1€ƒ+∂4€='å1å7이므로
1
'1å7
4
'1å7
, cos h=
,
OP’="∂(ƒ-2ƒ)€ƒ+∂1€='5이므로
, cos h=-
,
sin h=
2
'5
1
'5
tan h=-;2!;
⑶ 오른쪽 그림에서
OP’="ƒ(-5)€+(-12)€=13
이므로
sin h=-;1!3@;, cos h=-;1∞3;,
tan h=:¡5™:
⑷ 오른쪽 그림에서
OP’="ƒ1€+(-'3 )€=2이므로
sin h=- '3
2
tan h=-'3
, cos h=;2!;,
- 17
O
1
x
17
-'5
-2
O
x
'5
y
17
4
P
h
- 17
P
'5
1
h
-'5
y
13
-5
P
h
O
-12
-13
y
2
h
O
-'3
-2
1
P
-2
2
x
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 -1, -1, '5, -;2!;
2-1 1, - '2
2
, - '2
2
, 1
3-1 ⑴ 1, >, >, > ⑵ 240, 3, <, <, >
4-1 ⑴ 2, 2, 2 ⑵ 3, 3, 3
5-1 cos€ h, cos€ h, ;1!6%;, >, '1å5
, ;4!;, '1å5
4
4
, '1å5
15
-13
13
x
6-1 ⑴ 제곱, sin€ h, ;2#;, 1, 1, ;2#;, ;4!;
⑵ 통분, sin h+cos h, ;4!;, ;4!;, 2'6
스스로 check
1-2 ⑴ sin h=-
, tan h=;4%;
4
'ß41
, cos h=-
5
'ß41
1
2
'5
'5
, cos h=-;3@;, tan h=- '5
, cos h=
, tan h=-2
2
⑵ sin h=-
⑶ sin h= '5
3
5 삼각함수 045
ƒ
⑴ 오른쪽 그림에서
OP’="ƒ(-ƒ4ƒ)€ƒ+(ƒ-5∂)€='å
å4å1
이므로
sin h=-
, cos h=-
5
'4å1
- 41
,
4
'4å1
직각삼각형 POH에서 OP’=1,
3POH=;3π;이므로 점 P의 좌표는 {-;2!;, -
'3
2 }이다.
x
41
∫ tan ;3$;p='3
3-2 ⑴ sin h<0, cos h<0, tan h>0
⑵ sin h>0, cos h>0, tan h>0
⑶ sin h<0, cos h>0, tan h<0
⑷ sin h>0, cos h<0, tan h<0
, cos h=
,
1
'5
-'5
x
'5
P
⑴ h=560^=360^_1+200^에서 560^는 제3사분면의 각이므로
sin h<0, cos h<0, tan h>0
y
41
h
-4
P
- 41
O
-5
y
'5
h
O
1
-2
-'5
y
3
P
'5
h
-3
y
1
;6&;p
-1
H
P
tan h=;4%;
⑵ 오른쪽 그림에서
OP’="ƒ1€ƒ+(ƒ-2∂)€='5
이므로
sin h=-
2
'5
tan h=-2
⑶ 오른쪽 그림에서
OP’="ƒ
이므로
sin h= '5
3
tan h=- '5
2
ƒ(-ƒ2)€ƒ+('ƒ5 )€=3
, cos h=-;3@;,
2-2 ⑴ -;2!; ⑵ - '2
⑴ 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가
⑶ '3
2
1인 단위원과 h=;6&;p를 나타내는 동
경의 교점을 P, 점 P에서 x축에 내린
수선의 발을 H라 하자.
직각삼각형 POH에서 OP’=1,
3POH=;6π;이므로 점 P의 좌표는
{-
'3
2
, -
1
2 }이다.
∫ sin ;6&;p=-;2!;
⑵ 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가
1인 단위원과 h=;4#;p를 나타내는 동
경의 교점을 P, 점 P에서 x축에 내린
수선의 발을 H라 하자.
-3 -2
O
3
x
⑵ h=;3&; p=2p+;3π; 에서 ;3&; p는 제1사분면의 각이므로
sin h>0, cos h>0, tan h>0
⑶ h=-25^는 제4사분면의 각이므로
sin h<0, cos h>0, tan h<0
⑷ h=-;6&; p=2p_(-1)+;6%; p에서 -;6&; p는 제2사분면의 각이므로
sin h>0, cos h<0, tan h<0
4-2 ⑴ 제2사분면 ⑵ 제3사분면
⑶ 제2사분면 또는 제4사분면
⑷ 제1사분면 또는 제2사분면
-1
O
1
x
tan h<0에서 각 h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이므로
⑴ sin h>0에서 각 h는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이고,
각 h는 제2사분면의 각이다.
⑵ cos h<0에서 각 h는 제2사분면 또는 제3사분면의 각이고,
tan h>0에서 각 h는 제1사분면 또는 제3사분면의 각이므로
각 h는 제3사분면의 각이다.
⑶ sin h cos h<0에서
sin h>0, cos h<0 또는 sin h<0, cos h>0이므로
각 h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이다.
⑷ cos h tan h>0에서
cos h>0, tan h>0 또는 cos h<0, tan h<0이므로
각 h는 제1사분면 또는 제2사분면의 각이다.
y
1
P
;4#;p
-1
H
O
1
x
직각삼각형 POH에서 OP’=1,
-1
3POH=;4π;이므로 점 P의 좌표는
, '2
'2
2
2 }이다.
{-
∫ cos ;4#;p=- '2
2
⑶ 오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가
1인 단위원과 h=;3$;p를 나타내는 동
경의 교점을 P, 점 P에서 x축에 내린
;3$;p
H
-1
O
1
x
수선의 발을 H라 하자.
∫ cos h=;5#;
y
1
P
-1
5-2 ⑴ cos h=;5#;, tan h=-;3$;
⑵ sin h=- '3
2
, tan h='3
⑴ sin h=-;5$; 일 때 sin€ h+cos€ h=1이므로
cos€ h=1-sin€ h=1-{-;5$;}
그런데 각 h 가 제4사분면의 각이므로 cos h>0
=;2ª5;
2
또, tan h=
에서 tan h={-;5$;}/;5#;=-;;3$;
sin h
cos h
046 정답과 해설
이때, sin€ h+cos€ h=1이므로 1-2sin h cos h=;4!;
의 부호를 구한다.
⑵ cos h=-;2!; 일 때 sin€ h+cos€ h=1이므로
2
sin€ h=1-cos€ h=1-{-;2!;}
그런데 각 h가 제3사분면의 각이므로 sin h<0
∫ sin h=- '3
2
=;4#;
또, tan h=
sin h
cos h
에서 tan h={- '3
2 }/{-;2!;}='3
6-2 ⑴ ;8#; ⑵ -;3$; ⑶ ;3*;
⑴ sin h-cos h=;2!;의 양변을 제곱하면
sin€h-2sin h cos h+cos€ h=;4!;
∫ sin h cos h=;8#;
⑵
1
sin h
1
sin h
-
-
1
cos h
1
cos h
을 통분하면
=
cos h-sin h
sin h cos h
이때, ⑴에서 sin h cos h=;8#;이므로
1
sin h
-
1
cos h
={-;2!;}/;8#;=-;3$;
⑶ tan h=
이므로
sin h
cos h
=
1
sin h cos h
이때, ⑴에서 sin h cos h=;8#;이므로
1
tan h
+tan h=;3*;
1
tan h +tan h=
cos h
sin h
+
sin h
cos h
=
cos€h+sin€h
sin h cos h
필수 유형
| 150쪽~154쪽 |
STEP
2
01-1
;4#;
|해결 전략| OP’의 길이를 이용하여 삼각함수의 값을 구한다.
오른쪽 그림에서
OP’="ƒ1€ƒ+(ƒ-'ƒ3 )€=2이므로
sin h=- '3
2
, tan h=-'3
∫ (sin h-tan h)€={- '3
2
2 +'3 }
=;4#;
y
2
h
O
-'3
-2
1
P
-2
2
x
01-2 1
|해결 전략| 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 5인 원을 그려 동경과 원의
교점의 좌표를 구한다.
각 h가 제2사분면의 각이고 sin h=;5$;이
므로 오른쪽 그림과 같이 원점 O를 중심
으로 하고 반지름의 길이가 5인 원을 그
리면 각 h를 나타내는 동경과 원의 교점
P의 좌표는 (-3, 4)이다.
따라서 cos h=-;5#;, tan h=-;3$;이므로
P
y
5
4
h
-5
-5 -3
O
5
x
5 cos h-3 tan h=5_{-;5#;}-3_{-;3$;}=1
02-1 2 cos h
|해결 전략| 각 h에 대한 삼각함수의 값의 부호를 이용하여 절댓값 기호 안의 식
;2#; p0, sin h-cos h<0
즉, |sin h|=-sin h, |cos h|=cos h,
|sin h-cos h|=-(sin h-cos h)=-sin h+cos h
∫ |cos h|+|sin h-cos h|-|sin h|
=cos h-sin h+cos h+sin h=2 cos h
02-2 2 sin h
|해결 전략| 주어진 조건을 만족시키는 각 h가 제몇 사분면에 위치하는지 구한다.
sin h
tan h <0, sin h-tan h>0이므로
sin h>0, tan h<0
즉, 각 h는 제2사분면의 각이므로 cos h<0
∫ "ƒ(siƒn hƒ-cƒos ƒh)€-"ƒ(coƒs hƒ+tƒanƒ h)€+"ƒ(taƒn hƒ-sƒinƒ h)€
=|sin h-cos h|-|cos h+tan h|+|tan h-sin h|
=sin h-cos h+(cos h+tan h)-(tan h-sin h)
=2 sin h
03-1
1
tan h
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 주어진 식을 간단히 한다.
tan h sin h
tan h-sin h
-
1
sin h
=
sin h
cos h
sin h
cos h
_sin h
-sin h
-
1
sin h
=
sin h
1-cos h
-
1
sin h
=
sin h(1+cos h)
(1-cos h)(1+cos h)
-
1
sin h
=
sin h(1+cos h)
sin€ h
-
1
sin h
=
1+cos h
sin h
-
1
sin h
=
cos h
sin h
=
1
tan h
5 삼각함수 047
03-2 1
|해결 전략| h=20^로 생각하고, 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 식의 값을 구
한다.
tan€ 20^+(1-tan› 20^)cos€ 20^
= sin€ 20^
cos€ 20^ +{1-
sin› 20^
cos› 20^ } cos€ 20^
이때, 각 h가 제3사분면의 각이므로
sin h<0, cos h<0
즉, sin h+cos h<0이므로 sin h+cos h=- '6
∫ sin‹ h+cos‹ h=(sin h+cos h)‹-3 sin h cos h(sin h+cos h)
2
3
={-
-3_;4!;_{-
'6
2 }
+ cos› 20^-sin› 20^
cos› 20^
_cos€ 20^
+ (cos€ 20^+sin€ 20^)(cos€ 20^-sin€ 20^)
cos€ 20^
+ cos€ 20^-sin€ 20^
cos€ 20^
=1
= sin€ 20^
cos€ 20^
= sin€ 20^
cos€ 20^
= sin€ 20^
cos€ 20^
= cos€ 20^
cos€ 20^
LECTURE
cos› 20^-sin› 20^에서 인수분해 공식을 이용
➡ a›-b›=(a€+b€)(a€-b€)
04-1
;2!7#;
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식의 변형을 이용한다.
sin h-cos h=;3!;의 양변을 제곱하면
sin€ h-2 sin h cos h+cos€ h=;9!;
1-2 sin h cos h=;9!;
∫ sin h cos h=;9$;
∫ sin‹ h-cos‹ h=(sin h-cos h)‹+3 sin h cos h(sin h-cos h)
3
={;3!;}
+3_;9$;_;3!;
=;2¡7;+;9$;=;2!7#;
LECTURE
곱셈 공식의 변형
a‹+b‹=(a+b)‹-3ab(a+b)
a‹-b‹=(a-b)‹+3ab(a-b)
04-2 -
3'6
8
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계와 곱셈 공식의 변형을 이용한다.
(sin h+cos h)€=sin€ h+2 sin h cos h+cos€ h
=1+2_;4!;
=;2#;
048 정답과 해설
'6
2 }
3'6
4 +
3'6
8
=-
=-
3'6
8
05-1 8
|해결 전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
=a,
1
sin h cos h
=2
1
1
sin h +
sin h +
1
cos h
1
cos h
=a에서
a=
sin h+cos h
sin h cos h
=2(sin h+cos h)
∫ a€ =4(sin h+cos h)€
=4(sin€ h+2sin h cos h+cos€ h)
=4(1+2 sin h cos h)
=4 {1+2_;2!;}=8
LECTURE
이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근이 a, b일 때
a+b=-;aB;, ab=;aC;
05-2 -:™3º:
|해결 전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
sin h+cos h=;5$;, sin h cos h=;5A;
(sin h+cos h)€=1+2 sin h cos h에서
;2!5^;=1+2_;5A;
∫ a=-;1ª0;
∫ ;a!;+tan h+
1
tan h
=;a!;+
sin h
cos h
+
cos h
sin h
=;a!;+
sin€ h+cos€ h
sin h cos h
=;a!;+
1
sin h cos h
=;a!;+;a%;=;a^;
=6_{-:¡9º:}
=-:™3º:
STEP
유형 드릴
3
1-1 제2사분면 또는 제4사분면
|해결 전략| 각
의 범위를 일반각으로 나타낸다.
h
2
각 h는 제3사분면의 각이므로
2np+p0, l>0이고 2r+l=40으로 일정하므로
40=2r+l>2"2∂rl=2æ√4_;2ç
!; rl=2 "∂4∂S
즉, 2"∂
∂4∂S<40에서 S<100
여기서 등호는 2r=l 일 때 성립한다.
따라서 S의 최댓값이 100이므로 만들 수 있는 화단의 최대 넓이는 100 m€이다.
5-2 1
|해결 전략| 각 h를 나타내는 동경과 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가
17인 원이 만나는 점을 잡아 삼각함수의 정의를 이용한다.
각 h가 제3사분면의 각이고 tan h=
8
15
y
17
이므로 오른쪽 그림과 같이 원점 O를 중
심으로 하고 반지름의 길이가 17인 원을
-15
그리면 각 h를 나타내는 동경과 원의 교
점 P의 좌표는 (-15, -8)이다.
따라서 sin h=-;1•7;, cos h=-;1!7%;이므로
-17
P
17
x
h
O
-8
-17
4-2 2
|해결 전략| 부채꼴의 넓이를 반지름의 길이에 대한 이차함수로 나타내어 최댓값
을 구한다.
부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면
l=8-2r (00이므로 b=2
또, a>0이고 최댓값이 3, 최솟값이 -1이므로
a+c=3, -a+c=-1
위 두 식을 연립하여 풀면 a=2, c=1
∫ a+b+c=2+2+1=5
|해결 전략| 함수 y=|f(x)|의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 그린 후
y>0인 부분은 그대로 두고, y<0인 부분은 x축에 대하여 대칭이동한 것이다.
함수 f(x)=2|cos (2x-p)|+1=2|cos 2 {x-;2π;}|+1의 그래프는
함수 f(x)=2|cos 2x|의 그래프를 x축의 방향으로 ;2π; 만큼, y축의
방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
이때, y=|cos x|의 주기가 p이므로 주어진 함수의 주기 a=;2π;,
0<|cos 2x|<1이므로 최댓값 b=2+1=3, 최솟값 c=0+1=1
03-2 5
|해결 전략| 함수 y=a sin (bx+c)+d의 그래프에서 a, d는 최댓값과 최솟값
따라서 a=;2π;, b=3, c=1이므로
abc=;2π;_3_1=;2#; p
을, b는 주기를 결정한다.
2p
|b|
조건 ㈎에서
=;2π;
이때, b>0이므로 b=4
∫ |b|=4
a<0이므로 조건 ㈏에서 -a+c=5
p
16 }=a+c=1
또, 조건 ㈐에서 f {
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, c=3
∫ a+b+c=(-2)+4+3=5
!!㉠
!!㉡
2
삼각함수의 성질
개념 확인
1
2
1 ⑴
⑵ - '3
4
172쪽
04-1 -p
|해결 전략| 그래프가 주어졌을 때, 최댓값과 최솟값은 그래프의 폭으로 결정된다.
주어진 그래프에서 최댓값이 1, 최솟값이 -1이므로 |a|=1
이때, a>0이므로 a=1
주기는 p이므로
=p에서 |b|=2
2p
|b|
이때, b>0이므로 b=2
또, -p0이므로 2 cos x-1=0
∫ 00에서
1-sin€ x+sin x-1>0, sin x(sin x-1)<0
00임을 이용한다.
주어진 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면
판별식 D>0이어야 하므로
;4Î;=('2 cos h)€-(-3 sin h)>0
2 cos€ h+3 sin h>0
이때, cos€ h=1-sin€ h이므로 2 (1-sin€ h)+3 sin h>0
2 sin€ h-3 sin h-2<0, (2 sin h+1)(sin h-2)<0
그런데 sin h-2<0이므로 2 sin h+1>0
0-;2!;
;4π;+;2π;+;4%;p+;2#;p=;2&; p
03-1
0이고 주기가 2p이므로
2p
|-p|
=2p에서 p=1
a>0이므로 최댓값은 a+b=7
또, f {;2π;}=-3이므로 f {;2π;}=-a+b=-3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=2
∫ a+2b+p=5+2_2+1=10
4-2 -1
|해결 전략| 삼각함수의 주기와 최대, 최소를 이용하여 상수 a, b, c의 값을 각각
!!㉠
!!㉡
!!㉠
!!㉡
2-2 0
|해결 전략| 함수 y=sin 2x의 그래프의 성질을 안다.
함수 f(x)=sin 2x의 그래프는 직선 x=;4π; 및 x=;4#; p에 대하여 대
칭이므로 a+b
= p
4
, c+d
2
=;4#; p
2
즉, a+b=;2π;, c+d=;2#; p이므로
f(a+b+c+d)=f(2p)=sin 4p=0
060 정답과 해설
구한다.
2p
|;b!;|
b>0이고 주기가 p이므로
=p에서 b=;2!;
a>0이므로 최솟값은 -a+c=-3
또, f(p)=0이므로 f(p)=;2!;a+c=0
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, c=-1
∫ abc=2_;2!;_(-1)=-1
5-1 -18 p
|해결 전략| 그래프를 이용하여 삼각함수의 미정계수를 구한다.
7-1 5
|해결 전략| sin€ x+cos€ x=1과 삼각함수의 성질을 이용하여 식의 값을 구한
주어진 그래프에서 함수의 최댓값이 2, 최솟값이 -4이므로
다.
|a|+d=2, -|a|+d=-4
위 두 식을 연립하여 풀면 a>0이므로
a=3, d=-1
주기가 ;8#; p-{-;8π;}=;2π; 이므로
그런데 b>0이므로 b=4
2p
|b|
=;2π;에서 |b|=4
또, 00이므로
a=3, d=2
주기가 2 {;2(; p-;2#; p}=6p이므로
=6p에서 |b|=;3!;
2p
|b|
그런데 b>0이므로 b=;3!;
또, 점 {;2#; p, 5}를 지나므로
5=3 sin {;2π;-c}+2에서 c=0
∫ a+b+c+d=3+;3!;+0+2=:¡3§:
OD’=2이고 동경 OD가 나타내는 각의 크기가 ;2#; p+h이므로
점 D의 x좌표는 2 cos {;2#; p+h}=2 sin h
8-2 ③
|해결 전략| 점 A의 좌표를 삼각함수를 이용하여 나타낸다.
점 A의 좌표는 A (cos h, sin h)이므로
점 C의 좌표는 C (-cos h, -sin h)이다.
한편, cos (p-h)=-cos h이므로
cos (p-h)는 점 C의 x좌표와 같다.
6-1 1
|해결 전략| 삼각함수의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.
sin (p-h)cos {
p+h}-sin {;2π;+h} cos (p+h)
3
2
=sin h_sin h-cos h_(-cos h)
=sin€ h+cos€ h=1
9-1 3
|해결 전략| sin€ x+cos€ x=1을 이용하여 sin x=t라 하고 , 이차함수의 최댓
값을 구한다.
sin€ {;2#; p-x}=cos€ x, cos {;2π;+x}=-sin x이고
cos€ x=1-sin€ x이므로
6-2 1
|해결 전략| 삼각함수의 성질을 이용하여 식을 간단히 한다.
_
cos (p-h)
1+cos {;2π;-h}
cos (p+h)
1+cos {;2π;+h}
-cos h
1-sin h
_
=
-cos h
1+sin h
=
cos€ h
1-sin€ h
=
cos€ h
cos€ h
=1
y=sin€ {;2#; p-x}+2 cos {;2π;+x}+1
=cos€ x-2 sin x+1
=(1-sin€ x)-2 sin x+1
=-sin€x-2 sin x+2
sin x=t라 하면 -10, (2 sin x+1)(sin x-2)>0
이때, sin x-2<0이므로 2 sin x+1<0
9-2 -;4%;
|해결 전략| sin€x+cos€x=1을 이용하여 cos x=t라 하고 , 이차함수의 최솟
11-1
;3@; p
값을 구한다.
sin {x+;2π;}=cos x, sin€(x+p)=sin€ x이고
cos€ x=1-sin€ x이므로
y=sin {x+;2π;}-sin€(x+p)
=cos x-sin€ x
=cos x-(1-cos€ x)
=cos€ x+cos x-1
cos x=t라 하면 -12에서 2(1-cos€ x)+cos x>2
2 cos€ x-cos x<0, cos x(2 cos x-1)<0
즉, 주어진 부등식의 해는 ;3π;0이어야
함을 이용한다.
이차방정식 x€-2x+2 cos h=0이 실근을 가지므로
;4Î;=(-1)€-2 cos h=1-2 cos h>0
∫ cos h<
;2!;
즉, ;3π;
0이므로 sin x=;2!;
∫ x=;6π; 또는 x=;6%; p
따라서 모든 근의 합은
;6π;+;6%; p=p
062 정답과 해설
| 사인법칙과 코사인법칙
7
1
사인법칙
개념 확인
1 '3
1 삼각형 ABC에서 사인법칙에 의하여
b
sin 60^
=
'2
sin 45^
∴ b= '2
sin 45^
_sin 60^= '2
'2
2
_ '3
2
='3
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ sin 60^, sin 60^, '3
2
, 4'3
⑵ '3 , '3 , '3 , ;2!;, 30^, 30^
2-1 ⑴ 90^, ;2!;, 90^, 1, 1, 2 ⑵ 45^,
, 90^, 1
1
'2
스스로 check
1-2 ⑴ 3 ⑵ ;3@; ⑶ 1
⑴ 사인법칙에 의하여
=
에서 b=
_;4!;=3
4
;3!;
2
;2!;
b
;4!;
c
;4!;
10
sin A
3
;5!;
4
;3!;
2
;2!;
⑵ 사인법칙에 의하여
=
에서 sin A=
;5!;
3
_10=;3@;
STEP
필수 유형
2
| 193쪽~196쪽 |
01-1 2
|해결 전략| 사인법칙을 이용하여 삼각형 ABC에서 b의 값을 구한다.
삼각형 ABC에서 A=180^-(45^+75^)=60^
190쪽
이므로 사인법칙에 의하여
'6
sin 60^
=
b
sin 45^
∴ b= '6
sin 60^
_sin 45^
_ '2
2
=2
= '6
'3
2
A
45^
B
75^
C
'6
01-2 16p
|해결 전략| 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이를 구한다.
삼각형 ABC에 외접하는 원의 반지름의 길이를 R라 하면
삼각형 ABC에서 A=180^-(30^+30^)=120^
| 192쪽 |
이므로 사인법칙에 의하여
4'3
sin 120^
=2R
∴ R=;2!;_
=4
4'3
'3
2
따라서 삼각형 ABC에 외접하는 원의 넓이는 4€_p=16p
02-1 2
|해결 전략| 사인법칙에 의하여 a：b：c=sin A：sin B：sin C임을 이용한
다.
;3A;=;4B;=;5C;에서 a：b：c=3：4：5이므로
사인법칙에 의하여 sin A：sin B：sin C=3：4：5
이때, sin A=3k, sin B=4k, sin C=5k (k+0인 상수)라 하면
sin A+sin C
sin (A+C)
=
sin A+sin C
sin (180^-B)
=
sin A+sin C
sin B
⑶ 사인법칙에 의하여
=
에서 c=
_;4!;=1
=
3k+5k
4k
=
=2
8k
4k
2-2 ⑴ 2：4：5 ⑵ ;1£1; ⑶ 3：4：5 ⑷ ;1!3!;
02-2
|해결 전략| 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180^임을 이용하여 세 내각의 크기
'2
⑴ sin A：sin B：sin C=a：b：c=2：4：5
를 구한다.
⑵ 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
a
2R
sin A
sin B+sin C
=
b
2R
⑶ a：b：c=sin A：sin B：sin C=3：4：5
c
2R
+
=
a
b+c
=;1£1;
⑷ a：b：c=sin A：sin B：sin C=5：6：7이므로
a=5k, b=6k, c=7k (k+0인 상수)라 하면
a+b
b+c
=
5k+6k
6k+7k
=;1!3!;
삼각형 ABC에서 A+B+C=180^이므로
A=180^_;1™2;=30^, B=180^_;1£2;=45^,
C=180^_;1¶2;=105^
이때, 사인법칙에 의하여
;aB;=
sin 45^
sin 30^
=
='2
'2
2
;2!;
7 사인법칙과 코사인법칙 063
이때, 삼각형 ABC에서 A=90^-30^=60^이므로 외접원의 반지름
의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
3
sin 60^
=2R
∴ R=;2!;_
='3 (km)
3
'3
2
따라서 상가와 A단지 사이의 거리는
'3 km이다.
B
상가
3 km
A
30^
R
C
2
코사인법칙
개념 확인
1 120^
1 코사인법칙에 의하여
b€+c€-a€
2bc
cos A=
=
8€+7€-13€
2_8_7
=-;2!;
이때, cos 120^=-;2!;이므로 A=120^
197쪽
| 199쪽 |
, 1, 1 ⑵ a€, cos B, '2
2
, 8, 2'2
⑶ c€, c€, 39, '3å9
2-1 ⑴ a€, 2€, ;8&; ⑵ a€, 4€, ;1ª6; ⑶ 2ab, 2, 1, '3 , '3
2
스스로 check
1-2 ⑴ 'ß21 ⑵ 5 ⑶ '2 ⑷ 6 ⑸ 'ß13 ⑹ 2'1å4
⑴ a€=3€+(4'3 )€-2_3_4'3_ '3
∴ a='ß21
=21
2
03-1 C=90^인 직각삼각형
|해결 전략| sin€ h+cos€ h=1과 사인법칙을 이용하여 삼각형의 모양을 판단
한다.
sin€ h+cos€ h=1이므로 cos€ A+cos€ B=cos€ C+1에서
(1-sin€ A)+(1-sin€ B)=(1-sin€ C)+1
∫ sin€ A+sin€ B=sin€ C
사인법칙에 의하여 sin A=
, sin B=
, sin C=
이므로
a
2R
b
2R
c
2R
a
2R }
€+{
b
2R }
€={
c
2R }
€
{
∴ a€+b€=c€
따라서 삼각형 ABC는 C=90^인 직각삼각형이다.
03-2 B=90^인 직각삼각형
|해결 전략| 이차방정식이 중근을 갖기 위한 조건과 사인법칙을 이용하여 삼각형
의 모양을 판단한다.
주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=cos€ B+(sin C+cos A)(sin C-cos A)=0
cos€ B+sin€ C-cos€ A=0
sin €h+cos€ h=1이므로
(1-sin€ B)+sin€ C -(1-sin€ A)=0
∴ sin€ A+sin€ C=sin€ B
사인법칙에 의하여 sin A=
, sin B=
, sin C=
이므로
a
2R
b
2R
c
2R
€
a
2R }
+{
€
c
2R }
={
€
b
2R }
{
∴ a€+c€=b€
따라서 삼각형 ABC는 B=90^인 직각삼각형이다.
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ cos A, '3
2
\
LECTURE
이차방정식 ax€+bx+c=0 (a, b, c는 상수)이 중근을 가지려면 판별
식을 D라 할 때, D=b€-4ac=0
04-1 40 cm
|해결 전략| 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름의 길이를 구한다.
삼각형 ABC에서 C=180^-(45^+105^)=30^
이때, 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면
사인법칙에 의하여
=2R
∴ 2R=
20
sin 30^
=
=40 (cm)
20
sin C
20
;2!;
따라서 구하는 접시의 지름의 길이는 40 cm이다.
04-2
|해결 전략| 세 점으로부터 같은 거리에 있는 점은 세 점을 지나는 삼각형의 외접
'3 km
∴ b=6
원의 중심임을 이용한다.
상가에서 A, B, C 세 아파트 단지에 이르는 거리가 같으므로 상가는
세 점 A, B, C를 지나는 삼각형에 외접하는 원의 중심이다.
즉, 상가와 A단지 사이의 거리는 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의
길이와 같다.
064 정답과 해설
⑵ a€=4€+7€-2_4_7_;7%;=25
∴ a=5
⑶ b€=('2 )€+2€-2_'2_2_ '2
∴ b='2
2
=2
⑷ b€=8€+7€-2_8_7_;1!6!;=36
⑸ c€=3€+4€-2_3_4_;2!;=13
∴ c='ß13
⑹ c€=8€+6€-2_8_6_;2!4!;=56
∴ c=2'1å4
⑸ ;3@; ⑹ 0
02-1
;5#;
|해결 전략| sin A : sin B : sin C=a : b : c와 코사인법칙을 이용한다.
STEP
필수 유형
2
01-1 90^
|해결 전략| 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 C의 크기를 구한다.
| 200쪽~203쪽 |
02-2 15^
|해결 전략| 코사인법칙과 사인법칙을 이용하여 최소각의 크기를 구한다.
삼각형의 가장 짧은 변의 대각이 최소각이므로 최소각은 C이다.
2-2 ⑴ ;1!4#; ⑵ ;1!2!; ⑶ ;3@6(; ⑷ - '2
5€+7€-3€
2_5_7
⑴ cos A=
=;1!4#;
4
⑵ cos A=
4€+3€-('3 )€
2_4_3
=;1!2!;
⑶ cos B=
6€+3€-4€
2_6_3
=;3@6(;
⑷ cos B=
⑸ cos C=
=- '2
4
('2 )€+1€-2€
2_'2_1
4€+3€-3€
2_4_3
('7 )€+3€-4€
2_'7_3
=;3@;
⑹ cos C=
=0
코사인법칙에 의하여
('3 )€=c€+1€-2_c_1_cos 60^
=c€+1€-2_c_1_;2!;
위 식을 정리하면 c€-c-2=0
(c+1)(c-2)=0
∫ c=2 (ç c>0)
또, 코사인법칙에 의하여
1€+('3 )€-2€
2_1_'3
cos C=
=0
∫ C=90^
다.
삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여
AC’ €=2€+3€-2_2_3_cos 60^
=2€+3€-2_2_3_;2!
!;=7
의하여
7=1€+x€-2_1_x_cos 120^
=1€+x€-2_1_x_{-;2!;}
=x€+x+1
위 식을 정리하면 x€+x-6=0
(x+3)(x-2)=0
∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 선분 AD의 길이는 2이다.
01-2 2
|해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 사각형 ABCD에서 선분 AD의 길이를 구한
2
=7이고, AD’=x라 하면 코사인법칙에
또, 삼각형 ACD에서 AC’
사인법칙에 의하여
b
2R
a
2R
sin A=
, sin C=
, sin B=
c
2R
35 sin A=28'2 sin B=20'2 sin C에서
20c'2
35a
2R
2R
28b'2
2R
=
=
, 35a=28b'2=20c'2
이므로
∫ a：b：c=;3¡5;：
1
28'2
=4'2：5：7
：
1
20'2
이때, a=4'2k, b=5k, c=7k (k90인 상수)라 하면 코사인법칙에
의하여
cos A=
(5k)€+(7k)€-(4'2k)€
2_5k_7k
=;5#;
코사인법칙에 의하여
cos B=
('3-1)€+('2 )€-2€
2_('3-1)_'2
=- '2
2
이때, 0^90^)
따라서 A+B+C=180^이므로 최소각 C의 크기는
C=180^-(30^+135^)=15^
03-1 C=90^인 직각삼각형
|해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 세 변의 길이 a, b, c 사이의 관계식을 구한다.
a+b cos C=c cos B에서 코사인법칙에 의하여
a+b_
a€+b€-c€
2ab
=c_
c€+a€-b€
2ca
2a€+a€+b€-c€=c€+a€-b€
∴ a€+b€=c€
따라서 삼각형 ABC는 C=90^인 직각삼각형이다.
03-2 a=b인 이등변삼각형 또는 C=90^인 직각삼각형
|해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 세 변의 길이 a, b, c 사이의 관계식을 구한다.
a cos A=b cos B에서 코사인법칙에 의하여
a_
b€+c€-a€
2bc
=b_
c€+a€-b€
2ca
a€(b€+c€-a€)=b€(c€+a€-b€)
c€(a€-b€)-(a›-b›)=0
7 사인법칙과 코사인법칙 065
c€(a€-b€)-(a€+b€)(a€-b€)=0
(a€-b€)(c€-a€-b€)=0
∴ a€=b€ 또는 c€=a€+b€
따라서 삼각형 ABC는 a€=b€에서 a=b인 이등변삼각형
또는 c€=a€+b€에서 C=90^인 직각삼각형이다.
04-1 43.6 m
|해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 두 나무 A, B 사이의 거리를 구한다.
삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여
AB’ €=30€+50€-2_30_50_cos 60^
=30€+50€-2_30_50_;2!;=1900
∫ AB’='ß19ß00=10'ß19 (m)
이때, '1å9=4.36이므로
AB’=10'1å9=10_4.36=43.6 (m)
또, 삼각형 ABD에서 코사인법칙에 의하여
2
=6€+3€-2_6_3_cos 60^
BD’
=6€+3€-2_6_3_;2!;=27
즉, BD’=3'3이므로 삼각형 BCD의 넓이는
;2!;_5_3'3_sin 30^=;2!;_5_3'3_;2!;=
15'3
4
따라서 사각형 ABCD의 넓이는
9'3
2
+
15'3
4
=
33'3
4
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ 2, ;2!;, 2
⑵ 10, '2
2
, 15'2
| 207쪽 |
04-2
|해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 A 지점과 도착점 사이의 거리를 구한다.
'13“ km
오른쪽 그림과 같이 A 지점에서 5 km를
2 km
2 km
갔을 때의 위치를 B, 6 km를 갔을 때의
A
스스로 check
2-1 ⑴ 4, 4, ;2!;, 4 ⑵ 180^, 180^, 60^, 60^, '3
,
2
35'3
2
4 km
60^
1 km
B
1 km
C
1-2 ⑴ 16'3 ⑵
15
2
⑶ 6 ⑷ 3
삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
위치를 C라 하면 삼각형 ACB에서
AC’=4, BC’=1, 3ACB=60^
이므로 코사인법칙에 의하여
AB’ €=4€+1€-2_4_1_cos 60^
=4€+1€-2_4_1_;2!;=13
∴ AB’='1å3 (km)
따라서 A 지점에서 도착점까지의 직선거리는 '1å3 km이다.
⑴ S=;2!;_8_8_sin 120^
=;2!;_8_8_ '3
2
=16'3
⑵ S=;2!;_6_5_sin 30^
=;2!;_6_5_;2!;=:¡2∞:
⑶ S=;2!;_4_2'3_sin 60^
=;2!;_4_2'3_ '3
=6
2
⑷ S=;2!;_3_4_sin 150^
=;2!;_3_4_;2!;=3
2-2 ⑴ 12 ⑵ 24'3 ⑶ 10 ⑷ 6'2
평행사변형 ABCD의 넓이를 S라 하면
⑴ B=D이므로
S=4_2'3_sin 60^
=4_2'3_ '3
2
=12
⑵ S=6_8_sin 120^
=6_8_ '3
2
=24'3
204쪽~206쪽
3
삼각형의 넓이
개념 확인
1 16
2
33'3
4
1 A+B+C=180^에서 A+B=180^-C이므로
sin (A+B)=sin (180^-C)=sin C=;3!;
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
;2!;ab sin C=;2!;_12_8_;3!;=16
2 삼각형 ABD의 넓이는
;2!;_6_3_sin 60^=;2!;_6_3_ '3
2
=
9'3
2
066 정답과 해설
⑶ C=A이므로
S=4_5_sin 150^
=4_5_;2!;=10
⑷ A=C이므로
S=3_4_sin 135^
=3_4_ '2
2
=6'2
STEP
필수 유형
2
01-1 3'1å0
|해결 전략| 삼각형의 넓이를 구하는 공식과 코사인법칙을 이용한다.
삼각형 ABC의 넓이가 18이므로
;2!;_12_b_sin 45^=18
∫ b=3'2
따라서 코사인법칙에 의하여
c€=12€+(3'2 )€-2_12_3'2_cos 45^
=12€+(3'2 )€-2_12_3'2_ '2
∫ c=3'1å0
2 =90
01-2 14'3
|해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 한 각에 대한 코사인 값을 먼저 구한다.
a+b=15, b+c=20, c+a=21을 연립하여 풀면
a=8, b=7, c=13
코사인법칙에 의하여
cos C=
8€+7€-13€
2_8_7
=-;2!;
4 C=120^
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
;2!;_8_7_sin 120^=;2!;_8_7_ '3
2
=14'3
LECTURE
삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R, 넓이를 S라 하면 사인법
칙에 의하여 a=2R sin A, b=2R sin B이므로
S=;2!; ab sin C=;2!;_2R sin A_2R sin B_sin C
=2R€ sin A sin B sin C
03-1
21'3
4
|해결 전략| 원에 내접하는 사각형의 대각의 크기의 합은 180^임을 이용한다.
사각형 ABCD가 원에 내접하므로 3B=180^-3D=60^
| 208쪽~210쪽 |
따라서 사각형 ABCD의 넓이는
1ABC+1ACD
=;2!;_5_3_sin 60^+;2!;_3_2_sin 120^
=;2!;_5_3_ '3
3'3
2
+;2!;_3_2_ '3
21'3
4
15'3
4
=
+
=
2
2
03-2
3
13
|해결 전략| 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 tan€ h의 값을 구한다.
사각형 ABCD의 넓이가 3이므로
3=;2!;_2_4'3_sin h, sin h= '3
4
'3
4 }
따라서 cos€ h=1-sin€ h=1-{
€=;1!6#; 이므로
tan€ h=
sin€ h
cos€ h
=
3
13
| 211쪽~213쪽 |
02-1 4'3
|해결 전략| 외접원의 반지름의 길이가 주어졌을 때의 삼각형의 넓이는 사인법칙
을 이용한다.
A=30^, B=120^라 하면 C=180^-(30^+120^)=30^
삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 4이므로 사인법칙에 의하여
a
sin A
=
b
sin B
=2_4
4 a=8 sin A, b=8 sin B
따라서 삼각형 ABC의 넓이는
;2!; ab sin C=;2!;_8 sin A_8 sin B_sin C
=32 sin A sin B sin C
=32_;2!;_ '3
2
_;2!;=4'3
STEP
유형 드릴
3
1-1 2'3
|해결 전략| 사인법칙을 이용하여 b의 값을 구한다.
사인법칙에 의하여
2
sin 30^
=
4
sin C
sin C=4_
=4_
=1
sin 30^
2
;2!;
2
∴ C=90^
이때, B=180^-(90^+30^)=60^이므로
2
sin 30^
=
b
sin 60^
∴ b=
2
sin 30^
_sin 60^=
_ '3
2
=2'3
2
;2!;
7 사인법칙과 코사인법칙 067
1-2 3
|해결 전략| 사인법칙을 이용하여 a의 값을 구한다.
사인법칙에 의하여
3'3
sin 120^
=
3
sin C
'3
2
3'3
=;2!;
sin C=3_
=3_
sin 120^
3'3
∴ C=30^ 또는 C=150^
그런데 B=120^이므로 C=30^
따라서 A=180^-(120^+30^)=30^이므로 삼각형 ABC는
a=c인 이등변삼각형이다.
∴ a=3
3-2 16
|해결 전략| 선분 AB의 길이와 선분 CD의 길이를 사인법칙을 이용하여 삼각함
수로 나타낸다.
오른쪽 그림과 같이 3ACB=h라 하면
삼각형 ABC에서 사인법칙에 의하여
A
2
AB’=2R sin h=4 sin h
또, 3CBD=90^-h이므로
삼각형 BCD에서 사인법칙에 의하여
CD’=2R sin (90^-h)=4 cos h
∴ AB’ €+CD’ € =(4 sin h)€+(4 cos h)€
=16 sin€ h+16 cos€ h=16
h
C
B
90^-h
D
2-1 16
|해결 전략| 사인법칙을 이용하여 삼각형의 세 변의 길이의 합을 구한다.
4-1 10'6 m
|해결 전략| 사인법칙을 이용하여 두 지점 A, B 사이의 거리를 구한다.
외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
3A=180^-(75^+45^)=60^이므로 사인법칙에 의하여
2-2 1
|해결 전략| 사인법칙을 이용하여 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 구한다.
외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여
4-2 3'2 km
|해결 전략| 사인법칙을 이용하여 두 지점 B, C 사이의 거리를 구한다.
삼각형 ABC에서 45^+3C=75^
4 3C=30^
sin A+sin B+sin C
=
a
2R
+
b
2R
+
c
2R
=
a+b+c
2R
=;5*;
이때, R=5이므로
a+b+c=;5*;_2R=;5*;_2_5=16
따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는 16이다.
a‹+b‹+c‹
sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C
=
(2R sin A)‹+(2R sin B)‹+(2R sin C)‹
sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C
=
8R‹(sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C)
sin‹ A+sin‹ B+sin‹ C
=8R3=8
∴ R=1
3-1 2'2
|해결 전략| 원의 지름에 대한 원주각의 크기는 90^임을 이용하여 사각형
45^
A
4
D
C
B
ABCD의 외접원의 반지름의 길이를 구한다.
오른쪽 그림에서 3B=3D=90^이므로
AC’는 원의 지름이다. 즉, 사각형 ABCD
는 반지름의 길이가 2인 원에 내접한다.
이때, 이 원은 삼각형 ABD의 외접원이므
로 사인법칙에 의하여
BD’
sin 45^
=4
∴ BD’=4_sin 45^=4_ '2
2
=2'2
068 정답과 해설
AB’
sin 45^
=
30
sin 60^
∴ AB’=
_sin 45^
30
sin 60^
=
_ '2
2
=10'6 (m)
30
'3
2
따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 10'6 m이다.
사인법칙에 의하여
BC’
sin 45^
=
3
sin 30^
∴ BC’=
_sin 45^
=
=3'2 (km)
3
sin 30^
_ '2
2
3
1
2
따라서 두 지점 B, C 사이의 거리는 3'2 km이다.
5-1 8
|해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 선분 AC의 길이를 구한다.
사각형 ABCD가 원에 내접하므로 3B+3D=180^
4 cos B=cos (180^-D)=-cos D=-;4!;
삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여
AC’ €=6€+4€-2_6_4_cos B
=6€+4€-2_6_4_{-;4!;}=64
4 AC’=8 (5 AC’>0)
5-2 7
|해결 전략| 평행사변형에서 이웃하는 두 내각의 크기의 합은 180^임을 이용한다.
또, 삼각형 ADC에서 코사인법칙에 의하여
AD’ €=2€+5€-2_2_5_cos C
삼각형 ACD에서 3D=120^이므로 코사인법칙에 의하여
AC’ €=5€+3€-2_5_3_cos 120^
=5€+3€-2_5_3_{-;2!;}=49
∴ AC’=7 (5 AC’>0)
=2€+5€-2_2_5_;5!;=25
∴ AD’=5 (5 AD’>0)
6-1 60^
|해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 길이가 c인 변의 대각의 크기를 구한다.
용한다.
정삼각뿔의 전개도를 그려 보면 다음 그림과 같다.
8-1 5'7
|해결 전략| 정삼각뿔의 전개도를 그려 최단 거리를 생각하고, 코사인법칙을 이
한편, 길이가 c인 변의 대각의 크기를 h라 하면 코사인법칙에 의하여
A
A
(a+b+c)(a+b-c)=3ab에서
(a+b)€-c€=3ab, a€+2ab+b€-c€=3ab
∴ a€+b€-c€=ab
cos h=
a€+b€-c€
2ab
=
ab
2ab
=;2!;
∴ h=60^
6-2 120^
|해결 전략| 최대각은 변의 길이가 가장 긴 변의 대각임을 이용한다.
"ƒa€+ab+b€ >a, "ƒa€+ab+b€ >b이므로 세 변 중 가장 긴 변의 길
이는 "ƒa€+ab+b€ 이고, 이 변의 대각이 최대각이다.
이때, 변의 길이가 "ƒa€+ab+b€인 변의 대각의 크기를 h라 하면 코
사인법칙에 의하여
cos h=
a€+b€-(a€+ab+b€)
2ab
=
-ab
2ab
=-;2!;
∴ h=120^
따라서 최대각의 크기는 120^이다.
7-1 6
|해결 전략| 삼각형 ABC에서 3A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라 할
때, AB’：AC’=BD’：CD’가 성립함을 이용한다.
삼각형의 내각의 이등분선의 성질에 의하여
AB’：AC’=BD’：CD’이므로
BD’=4, CD’=3
이때, 삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여
cos B=
8€+7€-6€
2_8_7
=;1!6!;
또, 삼각형 ABD에서 코사인법칙에 의하여
AD’ €=8€+4€-2_8_4_cos B
=8€+4€-2_8_4_;1!6!;=36
∴ AD’=6 (5 AD’>0)
10
R
O
5
40^ 40^
Q
40^
P
B
C
이때, 최단 거리는 AR’이므로 코사인법칙에 의하여
AR’ €=10€+5€-2_10_5_cos 120^
=10€+5€-2_10_5_{-;2!;}=175
∴ AR’=5'7 (5 AR’>0)
8-2 3'7
|해결 전략| 원뿔의 전개도를 그려 최단 거리를 생각하고 , 코사인법칙을 이용한
원뿔의 전개도를 그려 보면 오른쪽 그
다.
림과 같다.
원뿔의 옆면의 전개도인 부채꼴에서
호의 길이가 4p이므로 중심각의 크기
6
O 3
P
A
120^
A
2
를 h라 하면
6h=4p, h=;3@;p, 즉
h=120^
이때, 최단 거리는 AP’이므로 코사인법칙에 의하여
AP’ €=6€+3€-2_6_3_cos 120^
=6€+3€-2_6_3_{-;2!;}=63
∴ AP’=3'7 (5 AP’>0)
9-1 a=b인 이등변삼각형
|해결 전략| 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 세 변의 길이 a, b, c 사이의 관
계식을 구한다.
사인법칙과 코사인법칙에 의하여 sin A cos B=sin B cos A에서
7-2 5
|해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 3B 또는 3C의 코사인 값을 구한다.
a
2R
_
a€+c€-b€
2ac
=
b
2R
_
b€+c€-a€
2bc
삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의하여
cos C=
6€+5€-7€
2_6_5
=;5!;
a€+c€-b€=b€+c€-a€
a€=b€
∫ a=b
따라서 삼각형 ABC는 a=b인 이등변삼각형이다.
7 사인법칙과 코사인법칙 069
9-2 A=90^인 직각삼각형
|해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 세 변의 길이 a, b, c 사이의 관계식을 구한다.
코사인법칙에 의하여 a cos B-b cos A=c에서
a_
a€+c€-b€
2ac
-b_
b€+c€-a€
2bc
=c
(a€+c€-b€)-(b€+c€-a€)=2c€
∴ a€=b€+c€
따라서 삼각형 ABC는 A=90^인 직각삼각형이다.
10-1
3+'3
2
넓이를 구한다.
|해결 전략| 삼각비의 성질을 이용하여 변 BC의 길이를 먼저 구하고, 삼각형의
삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에
A
2
B
60^
H
'6
45^
C
내린 수선의 발을 H라 하면
BC’=BH’+CH’
=2 cos 60^+'6 cos 45^
=1+'3
∴ 1ABC=;2!;_AB’_BC’_sin 60^
=;2!;_2_(1+'3 )_ '3
2
=
3+'3
2
10-2 4+2'2
|해결 전략| 삼각비의 성질을 이용하여 변 BC의 길이를 먼저 구하고, 삼각형의
넓이를 구한다.
삼각형 ABC의 꼭짓점 A에서 변 BC에
내린 수선의 발을 H라 하면
BH’=4 cos 45^=2'2,
AH’=4 sin 45^=2'2
삼각형 ACH에서 피타고라스 정리에 의하여
B
4
45^
A
H
2'3
C
CH’="ƒ(2'3 )€-(2'2 )€=2이므로
BC’=BH’+CH’=2'2+2
∫ 1ABC=;2!;_AB’_BC’_sin 45^
=;2!;_4_(2'2+2)_ '2
=4+2'2
2
임을 이용한다.
1ABC=;2!;_15_10_sin 60^
=;2!;_15_10_ '3
3BAD=3DAC=30^이고,
=
2
75'3
2
AD’=x라 하면
1ABD=;2!;_15_x_sin 30^=
15
4
x
070 정답과 해설
11-1 6'3
|해결 전략| 삼각형 ABD와 삼각형 ADC의 넓이의 합이 삼각형 ABC의 넓이
구한다.
A
15
60^
x
10
C
B
D
1ADC=;2!;_10_x_sin 30^=;2%; x
이때, 1ABC=1ABD+1ADC이므로
75'3
2
=
15
4
x+;2%; x
4 x=6'3
따라서 선분 AD의 길이는 6'3 이다.
24
5
11-2
|해결 전략| 삼각형 ABD와 삼각형 ADC의 넓이의 합이 삼각형 ABC의 넓이
임을 이용한다.
1ABC=;2!;_8_12_sin 120^
=;2!;_8_12_ '3
3BAD=3DAC=60^이고, AD’=x라 하면
=24'3
2
B
8
12
A
x
120^
D
C
1ABD=;2!;_8_x_sin 60^=2'3 x
1ADC=;2!;_12_x_sin 60^=3'3 x
이때, 1ABC=1ABD+1ADC이므로
24'3=2'3 x+3'3 x
4 x=
24
5
따라서 선분 AD의 길이는
이다.
24
5
12-1 40'3
|해결 전략| 코사인법칙을 이용하여 대각선 AC의 길이를 구한다.
코사인법칙에 의하여
AC’ €=8€+8€-2_8_8_cos 120^
A
8
D
120^
=8€+8€-2_8_8_{-;2!;}
B
=192
∴ AC’=8'3 (ç AC’>0)
이때, AB’：BC’=1：'3이므로 AB’=4'3, BC’=12
∴ 2ABCD=1ABC+1ACD
=;2!;_12_4'3+;2!;_8_8_sin 120^
=24'3+16'3=40'3
8
C
12-2 32'3
|해결 전략| 등변사다리꼴의 두 밑각의 크기가 같음을 이용하여 사각형의 넓이를
오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고 변 CD
A
D
에 평행한 선분이 변 BC와 만나는 점을 E
라 하면 삼각형 ABE는 한 변의 길이가
8인 정삼각형이다.
이때, EC’=4, 3C=60^이므로
2ABCD=1ABE+2AECD
8
60^
B
E
12
C
=;2!;_8€_sin 60^+8_4_sin 60^
=16'3+16'3=32'3
⑶ x+3이 -1과 6x-1의 등차중항이므로
x+3=
-1+(6x-1)
2
, 2x+6=6x-2
∴ x=2
216쪽~220쪽
| 221쪽~222쪽 |
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 8, 28
2-1 4, 5, 5, 35, 35
3-1 ⑴ 8, 26
⑵ 1, -2
4-1 ⑴ 2, 2 ⑵ 20, 22
6-1 ⑴ 11, 8 ⑵ x, ;2!;
스스로 check
5-1 ⑴ 5, 5, 5, 5, 47 ⑵ -7, -7, -7, -7, -53
1-2 ⑴ 제5항: 3, 제8항: 12 ⑵ 제5항: 16, 제8항: 128
⑴ 첫째항부터 시작하여 다섯 번째와 여덟 번째에 있는 항을 각각 찾
으면 제5항은 3이고, 제8항은 12이다.
⑵ 첫째항부터 시작하여 다섯 번째와 여덟 번째에 있는 항을 각각 찾
으면 제5항은 16이고, 제8항은 128이다.
2-2 ⑴ 4, 9, 14, 19, 24 ⑵ 3, 9, 19, 33, 51
⑶ -1, 1, -1, 1, -1 ⑷ 1, 2, 5, 12, 27
⑴ an=5n-1에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면
8
| 등차수열
1
등차수열
개념 확인
1 ⑴ 3, 5, 7, 9, 11 ⑵ 2, 4, 8, 16, 32
2 ⑴ 13, 19 ⑵ 5, -7 ⑶ 2, ;2&;
3 ⑴ an=-5n+13 ⑵ an=4n-2
4 ⑴ 4 ⑵ ;2&; ⑶ 2
1 ⑴ an=2n+1에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면
a¡=2_1+1=3
a™=2_2+1=5
a£=2_3+1=7
a¢=2_4+1=9
a∞=2_5+1=11
3, 5, 7, 9, 11
a™=2€=4
a£=2‹=8
a¢=2›=16
a∞=2fi=32
2, 4, 8, 16, 32
따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면
⑵ an=2n에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면
a¡=2⁄=2
따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면
따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면
⑵ an=2n€+1에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면
a¡=5_1-1=4
a™=5_2-1=9
a£=5_3-1=14
a¢=5_4-1=19
a∞=5_5-1=24
4, 9, 14, 19, 24
a¡=2_1€+1=3
a™=2_2€+1=9
a£=2_3€+1=19
a¢=2_4€+1=33
a∞=2_5€+1=51
a™=(-1)€=1
a£=(-1)‹=-1
a¢=(-1)›=1
a∞=(-1)fi=-1
-1, 1, -1, 1, -1
따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면
3, 9, 19, 33, 51
⑶ an=(-1)n에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면
a¡=(-1)⁄=-1
따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면
8 등차수열 071
2 ⑴ 7-4=3에서 공차가 3이므로
4, 7, 10, 13 , 16, 19 , …
⑵ -3-1=-4에서 공차가 -4이므로
9, 5 , 1, -3, -7 , -11, …
⑶ ;2#;-1=;2!; 에서 공차가 ;2!;이므로
1, ;2#;, 2 , ;2%;, 3,
;2&;
, …
3 ⑴ 첫째항이 8, 공차가 -5이므로
an=8+(n-1)_(-5)=-5n+13
⑵ 첫째항이 2, 공차가 6-2=4이므로
an=2+(n-1)_4=4n-2
4 ⑴ x가 1과 7의 등차중항이므로 x=
1+7
2
=4
⑵ 2x가 3과 11의 등차중항이므로
2x=
3+11
2
=7
∴ x=;2&;
⑷ an=2˜-n에 n=1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면
a¡=2⁄-1=1
a™=2€-2=2
a£=2‹-3=5
a¢=2›-4=12
a∞=2fi-5=27
1, 2, 5, 12, 27
따라서 수열 {an}의 첫째항부터 제5항까지 차례로 나열하면
6-2 ⑴ ;2(; ⑵ 3 ⑶ -1
⑴ 3x가 8과 19의 등차중항이므로
3x=
8+19
2
∴ x=;2(;
⑵ 2x-1이 x와 x+4의 등차중항이므로
2x-1=
, 2x-1=x+2
∴ x=3
x+(x+4)
2
⑶ 3x+1이 x-1과 2x의 등차중항이므로
3x+1=
(x-1)+2x
2
, 6x+2=3x-1
∴ x=-1
3-2 ⑴ 5, 19 ⑵ 11, -5 ⑶ -;3@;, 0 ⑷ ;2!;, 0
⑴ -2-(-9)=7에서 공차가 7이므로
-9, -2, 5 , 12, 19 , 26, …
⑵ 3-7=-4에서 공차가 -4이므로
15, 11 , 7, 3, -1, -5 , …
⑶ ;3@;-;3!;=;3!;에서 공차가 ;3!;이므로
-1, -;3@;
, -;3!;, 0 , ;3!;, ;3@;, …
⑷ ;2#;-2=-;2!;에서 공차가 -;2!;이므로
2, ;2#;, 1,
;2!;
, 0 , -;2!;, …
4-2 ⑴ an=2n+1 ⑵ an=3n-10
⑶ an=-4n+9 ⑷ an=-3n+2
⑴ 첫째항이 3, 공차가 2이므로
an=3+(n-1)_2=2n+1
⑵ 첫째항이 -7, 공차가 3이므로
an=-7+(n-1)_3=3n-10
⑶ 첫째항이 5, 공차가 -4이므로
an=5+(n-1)_(-4)=-4n+9
⑷ 첫째항이 -1, 공차가 -3이므로
an=-1+(n-1)_(-3)=-3n+2
5-2 ⑴ 57 ⑵ 15 ⑶ -50 ⑷ -37
⑴ 첫째항이 3, 공차가 6이므로
an=3+(n-1)_6=6n-3
∴ a¡º=6_10-3=57
⑵ 첫째항이 -3, 공차가 2이므로
an=-3+(n-1)_2=2n-5
∴ a¡º=2_10-5=15
⑶ 첫째항이 4, 공차가 -6이므로
an=4+(n-1)_(-6)=-6n+10
∴ a¡º=-6_10+10=-50
⑷ 첫째항이 -1, 공차가 -4이므로
an=-1+(n-1)_(-4)=-4n+3
∴ a¡º=-4_10+3=-37
072 정답과 해설
STEP
필수 유형
2
| 223쪽~229쪽 |
01-1 ⑴ an=n_2˜, a¶=896 ⑵ an=3_(-1)n-1, a¶=3
⑶ an=
n
n+1
, a¶=;8&;
|해결 전략 | 주어진 항 사이의 규칙을 찾아 일반항 an을 구한다.
⑴ a¡=1_2=1_2⁄, a™=2_4=2_2€,
a£=3_8=3_2‹, a¢=4_16=4_2›, …
따라서 주어진 수열의 일반항 an은
an=n_2n
an=n_2n에 n=7을 대입하면
a¶=7_2‡=896
⑵ a¡=3=3_(-1)‚, a™=-3=3_(-1)⁄,
a£=3=3_(-1)€, a¢=-3=3_(-1)‹, …
따라서 주어진 수열의 일반항 an은
an=3_(-1)n-1
an=3_(-1)n-1에 n=7을 대입하면
a¶=3_(-1)fl=3
⑶ a¡=;2!;=
a£=;4#;=
1
1+1
3
3+1
, a™=;3@;=
2
2+1
,
, a¢=;5$;=
4
4+1
, …
따라서 주어진 수열의 일반항 an은
an=
n
n+1
n
n+1
a¶=;8&;
an=
에 n=7을 대입하면
02-1 ⑴ an=6n ⑵ an=3n-17
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 일반항은 an=a+(n-1)d이다.
⑴ 공차를 d 라 하면 첫째항은 6이므로
a∞=6+(5-1)d=30, 6+4d=30
∴ d=6
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 6, 공차는 6이므로
an=6+(n-1)_6=6n
⑵ 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
(a+8)(a+12)=140, a€+20a+96=140
a™=a+(2-1)d=-11에서 a+d=-11
a€+20a-44=0, (a+22)(a-2)=0
∴ a=2 (∵ a>0)
a¡º=a+(10-1)d=13에서 a+9d=13
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-14, d=3
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 2, 공차는 4이므로
an=2+(n-1)_4=4n-2
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -14, 공차는 3이므로
∴ a¡º=4_10-2=38
……㉠
……㉡
an=-14+(n-1)_3=3n-17
02-2 제10항
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 ak=42를 만족시키는
을 구하면 된다.
04-1 제26항
|해결 전략 | 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 자연수 n의 최솟값
등차수열 {an}의 첫째항이 -98, 공차가 4이므로
an=-98+(n-1)_4=4n-102
이때, 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 최초의 항이
……㉠
……㉡
므로
4n-102>0에서 4n>102
∴ n>;;;;!4);;;@;=25.5
따라서 처음으로 양수가 되는 항은 제26항이다.
k의 값을 구한다.
첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
a™=a+(2-1)d=10에서 a+d=10
a¶=a+(7-1)d=30에서 a+6d=30
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, d=4
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 6, 공차는 4이므로
an=6+(n-1)_4=4n+2
42를 제k항이라 하면
4k+2=42
∴ k=10
따라서 42는 제10항이다.
03-1 an=3n-4
|해결 전략 | 주어진 조건을 등차수열의 첫째항 a, 공차 d에 대한 식으로 나타낸다.
등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
a¢-a™=6에서 (a+3d)-(a+d)=6
2d=6
∴ d=3
a¢+a™=10에서 (a+3d)+(a+d)=10
2a+4d=10, 2a+12=10
∴ a=-1
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -1, 공차는 3이므로
an=-1+(n-1)_3=3n-4
다른 풀이
a¢-a™=6
a¢+a™=10
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a¢=8, a™=2
등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
a¢=a+3d=8, a™=a+d=2
위 식을 연립하여 풀면 a=-1, d=3
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -1, 공차는 3이므로
an=-1+(n-1)_3=3n-4
……㉠
……㉡
03-2 38
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 등차수열의 일반항 an을 구한 후 n=10을
대입하여 a¡º을 구한다.
등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
a£-a¡=8에서 (a+2d)-a=8
2d=8
∴ d=4
a£a¢=140에서 (a+2d)(a+3d)=140
04-2 -3
|해결 전략 | 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 자연수 n의 최솟값
을 구하면 된다.
등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
a¡-a¢=9에서 a-(a+3d)=9
-3d=9
∴ d=-3
a£+a¢=99에서 (a+2d)+(a+3d)=99
2a+5d=99, 2a-15=99
∴ a=57
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 57, 공차는 -3이므로
an=57+(n-1)_(-3)=-3n+60
이때, 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 최초의 항이
므로
-3n+60<0에서 3n>60
∴ n>20
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제21항이므로 k=21
∴ a™¡=-3_21+60=-3
05-1 16
|해결 전략 | 등차수열의 첫째항이 -4, 제10항이 32임을 이용하여 공차를 구한다.
등차수열 -4, x¡, x™, x£, …, x8, 32의 공차를 d 라 하면 첫째항이
-4, 제10항이 32이므로
-4+9d=32에서 9d=36
∴ d=4
이때, x∞는 제6항이므로
x∞=-4+(6-1)_4=16
05-2 15
|해결 전략 | 첫째항이 7, 공차가 -;4#;인 등차수열의 제(n+2)항이 -5임을 이
용하여 n의 값을 구한다.
첫째항이 7, 공차가 -;4#; 인 등차수열의 제(n+2)항이 -5이므로
7+(n+1)_{-;4#;}=-5
8 등차수열 073
-;4#; (n+1)=-12, n+1=16
∴ n=15
06-1 2, 4, 6
|해결 전략 | 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d라 하고, 주어진 조건을 이
용하여 식을 세운다.
등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d 라 하면
세 수의 합이 12이므로 (a-d)+a+(a+d)=12
세 수의 곱이 48이므로 (a-d)_a_(a+d)=48
……㉠
……㉡
㉠에서 3a=12
∴ a=4
㉡에 a=4를 대입하면
(4-d)_4_(4+d)=48, 16-d €=12
d €=4
∴ d=-2
따라서 구하는 세 수는
2, 4, 6
06-2 24
|해결 전략 | 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.
삼차방정식의 세 실근을 a-d, a, a+d 라 하면
세 실근의 합이 6이므로
(a-d)+a+(a+d)=6
3a=6
∴ a=2
삼차방정식 x‹-6x€-4x+k=0의 한 근이 2이므로 방정식에
x=2를 대입하면
2‹-6_2€-4_2+k=0
∴ k=24
LECTURE
삼차방정식 ax‹+bx€+cx+d=0의 세 근을 a, b, c라 하면
a+b+c=-
b
a , ab+bc+ca=
c
a , abc=-
d
a
⑴ a는 4와 12의 등차중항이므로
a=
4+12
2
=8
또, 16은 12와 b의 등차중항이므로
16=
∴ b=20
12+b
2
⑵ 7은 b와 c의 등차중항이므로
7=
∴ b+c=14
또, 7은 a와 d의 등차중항이므로
7=
∴ a+d=14
b+c
2
a+d
2
∴ a+b+c+d =(a+d)+(b+c)
=14+14=28
074 정답과 해설
다른 풀이
등차수열을 이루는 다섯 개의 수를 7-2x, 7-x, 7, 7+x, 7+2x라 하면
a+b+c+d=(7-2x)+(7-x)+(7+x)+(7+2x)=28
07-2 5
|해결 전략 | 나머지정리에 의하여 f(x)를 x-1, x, x+2로 나누었을 때의 나머
지는 각각 f(1), f(0), f(-2)이다.
나머지정리에 의하여 f(x)=x€+ax+5를 x-1, x, x+2로 나누
었을 때의 나머지는 각각
f(1)=1+a+5=a+6, f(0)=5, f(-2)=4-2a+5=-2a+9
이때, f(0)은 f(1)과 f(-2)의 등차중항이므로
f(0)=
f(1)+f(-2)
2
5=
(a+6)+(-2a+9)
2
-a+15=10
∴ a=5
2
등차수열의 합
개념 확인
1 ⑴ 1400
⑵ 435
2 ⑴ an=4n-2 ⑵ a¡=2, an=2n-1 (n>2)
1 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면
230쪽~232쪽
이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같다.
따라서 수열 {an}의 일반항 an은 an=4n-2이다.
2 ⑴ an =Sn-Sn-1
=2n€-2(n-1)€
=4n-2 (n>2)
a¡=S¡=2_1€=2
⑵ an =Sn-Sn-1
=n€+1-{(n-1)€+1}
=2n-1 (n>2)
a¡=S¡=1€+1=2
이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르다.
따라서 수열 {an}의 일반항 an은 a¡=2, an=2n-1 (n>2)이다.
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
07-1 ⑴ a=8, b=20 ⑵ 28
|해결 전략 | ⑴ a는 4와 12의 등차중항이고, 16은 12와 b의 등차중항임을 이용
⑴ S™º=
20(5+135)
2
=1400
한다.
⑵ 7은 b와 c의 등차중항일 뿐만 아니라 a와 d의 등차중항임을 이용한다.
⑵ S¡∞=
15{2_8+(15-1)_3}
2
=435
| 233쪽~234쪽 |
4-2 ⑴ ① an=2n+1 (n>2) ② 3 ③ an=2n+1
⑵ 15, 9, 30
⑵ 7, -114
⑵ 10, -4, -80
⑵ 6n-3, 5, 5, 6n-3
1-2 ⑴ 590 ⑵ 572 ⑶ 810 ⑷ 50 ⑸ 992
등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ 18, 17, 180
2-1 ⑴ 2, 400
3-1 ⑴ -3, 5, 480
4-1 ⑴ 2n, 2, 2n
스스로 check
⑴ S™º=
=590
20(1+58)
2
11(4+100)
2
15(12+96)
2
=572
=810
⑵ S¡¡=
⑶ S¡∞=
⑷ S¡º=
10{12+(-2)}
2
=50
⑸ S£™=
32(-1+63)
2
=992
2-2 ⑴ 407 ⑵ 240 ⑶ -350 ⑷ -416 ⑸ 85
등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면
⑴ S¡¡=
11{2_2+(11-1)_7}
2
=407
⑵ S¡∞=
15{2_(-5)+(15-1)_3}
2
=240
⑶ S¡¢=
14{2_1+(14-1)_(-4)}
2
=-350
⑷ S¡£=
13{2_(-2)+(13-1)_(-5)}
2
=-416
⑸ S¡º=
10{2_22+(10-1)_(-3)}
2
=85
⑵ 첫째항이 20, 공차가 -4이므로 주어진 등차수열의 첫째항부터
제 10항까지의 합은
10{2_1+(10-1)_4}
2
=190
제 20항까지의 합은
20{2_20+(20-1)_(-4)}
2
=-360
제 40항까지의 합은
40{2_1+(40-1)_(-2)}
2
=-1520
제13항까지의 합은
13{2_(-7)+(13-1)_5}
2
=299
⑶ 첫째항이 1, 공차가 -2이므로 주어진 등차수열의 첫째항부터
⑷ 첫째항이 -7, 공차가 5이므로 주어진 등차수열의 첫째항부터
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
⑵ ① an=2n-1 (n>2) ② 0
③ a¡=0, an=2n-1 (n>2)
⑴ ① an =Sn-Sn-1
=n€+2n-{(n-1)€+2(n-1)}
=2n+1 (n>2)
② a¡=S¡=1€+2_1=3
③ ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=2n+1
⑵ ① an =Sn-Sn-1
=n€-1-{(n-1)€-1}
=2n-1 (n>2)
② a¡=S¡=1€-1=0
③ ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로
a¡=0, an=2n-1 (n>2)
STEP
필수 유형
2
| 235쪽~238쪽 |
01-1 ⑴ 10 ⑵ -170
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 등차수열 {an}의 첫째항과 공차를 구한 후
합을 구한다.
⑴ 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
a™=-6에서 a+d=-6
a¡º=10에서 a+9d=10
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-8, d=2
따라서 등차수열 {an}의 첫째항부터 제10항까지의 합은
10(-8+10)
2
=10
⑵ 등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면
a¢=-28에서 a+3d=-28
a¡¡=-7에서 a+10d=-7
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-37, d=3
01-2 10
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공차가 d 인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn
이 Sn=
n{2a+(n-1)d}
2
임을 이용한다.
첫째항이 4, 공차가 2인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn은
Sn=
n{2_4+(n-1)_2}
2
=n(n+3)
이때, Sn=130이므로 n(n+3)=130
n€+3n-130=0, (n+13)(n-10)=0
∴ n=10 (∵ n은 자연수)
02-1 1085
|해결 전략 | 첫째항이 -10, 공차가 3인 등차수열의 제(n+2)항은 80임을 이용
하여 n의 값을 구한다.
8 등차수열 075
3-2 ⑴ 190 ⑵ -360 ⑶ -1520 ⑷ 299
⑴ 첫째항이 1, 공차가 4이므로 주어진 등차수열의 첫째항부터
따라서 등차수열 {an}의 첫째항부터 제20항까지의 합은
20{2_(-37)+(20-1)_3}
2
=-170
첫째항이 -10, 공차가 3인 등차수열의 제(n+2)항이 80이므로
이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
-10+(n+1)_3=80, 3n-7=80
∴ n=29
an=8n-7
따라서 제31항이 80이므로 첫째항부터 제31항까지의 합은
∴ a¡+a¡º=1+(8_10-7)=74
31(-10+80)
2
=1085
02-2 n=14, d=-;3&;
|해결 전략 | 두 수 25와 -10 사이에 n개의 수를 넣어서 만든 등차수열의 전체
항수는 (n+2)이다.
첫째항이 25, 제(n+2)항이 -10인 등차수열의 합이 120이므로
(n+2){25+(-10)}
2
따라서 제16항이 -10이므로
25+15d=-10
∴ d=-;3&;
03-1 14
|해결 전략 | 첫째항이 양수이고 공차가 음수일 때, 처음으로 음수가 되는 항이
제k항이면 첫째항부터 제(k-1)항까지의 합이 최대가 된다.
등차수열 {an}의 첫째항이 40, 공차가 -3이므로
an=40+(n-1)_(-3)=-3n+43
다른 풀이
Sn=4n€-3n이므로
a¡=S¡=4_1€-3_1=1
a¡º =S¡º-Sª
=(4_10€-3_10)-(4_9€-3_9)
=(400-30)-(324-27)=73
∴ a¡+a¡º=1+73=74
an =Sn-Sn-1
=n€+2n+1-{(n-1)€+2(n-1)+1}
=2n+1 (n>2)
a¡=S¡=1€+2_1+1=4
이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로
a¡=4, an=2n+1 (n>2)
∴ a¡+a™º=4+(2_20+1)=45
……㉠
……㉡
=120, 15(n+2)=240
∴ n=14
04-2 45
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 an을 구한다.
이때, 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 최초의 항이
다른 풀이
-3n+43<0에서 3n>43
∴ n>;;¢3£;;=14.33…
따라서 등차수열 {an}은 첫째항부터 제14항까지가 양수이고 제15항
=(20€+2_20+1)-(19€+2_19+1)
부터 음수가 되므로 Sn이 최대가 되는 n의 값은 14이다.
=(400+40+1)-(361+38+1)=41
∴ a¡+a™º=4+41=45
Sn=n€+2n+1이므로
a¡=S¡=1€+2_1+1=4
a™º =S™º-S¡ª
므로
므로
03-2 -98
|해결 전략 | 첫째항이 음수이고 공차가 양수일 때, 처음으로 양수가 되는 항이
제k항이면 첫째항부터 제(k-1)항까지의 합이 최소가 된다.
등차수열 {an}의 첫째항이 -26, 공차가 4이므로
an=-26+(n-1)_4=4n-30
이때, 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 최초의 항이
4n-30>0에서 4n>30
∴ n>;;£4º;;=7.5
따라서 Sn의 최솟값은
S¶=
7{2_(-26)+(7-1)_4}
2
=-98
04-1 74
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 an을 구한다.
an =Sn-Sn-1
=8n-7 (n>2)
a¡=S¡=4_1€-3_1=1
076 정답과 해설
즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제7항까지가 음수이고 제8항부터
이때, 이웃하는 두 항의 차가 4-3=5-4=6-5= … =1로 일
양수가 되므로 첫째항부터 제7항까지의 합이 최소가 된다.
정하므로 수열 {n+2}는 공차가 1인 등차수열이다.
STEP
유형 드릴
3
| 239쪽~241쪽 |
1-1 ③
|해결 전략 | 등차수열 {an}은 이웃하는 두 항의 차가 일정하다.
즉, a™-a¡=a£-a™=a¢-a£= … =d (일정)이다.
① 수열 {n+2}의 각 항을 나열하면 3, 4, 5, 6, …이다.
② 수열 {2n€+1}의 각 항을 나열하면 3, 9, 19, 33, …이다.
이때, 이웃하는 두 항의 차가 일정하지 않으므로 등차수열이 아니
다.
③ 수열 {2n-3}의 각 항을 나열하면 -1, 1, 3, 5, …이다.
이때, 이웃하는 두 항의 차가 1-(-1)=3-1=5-3= … =2
로 일정하므로 수열 {2n-3}은 공차가 2인 등차수열이다.
④ 수열 2, 2, 2, 2, 2, …는 이웃하는 두 항의 차가 2-2=0으로 일정
=4n€-3n-{4(n-1)€-3(n-1)}
하므로 공차가 0인 등차수열이다.
……㉠
……㉡
로 등차수열이 아니다.
⑤ 수열 1, 2, 4, 8, 16, …은 이웃하는 두 항의 차가 일정하지 않으므
1-2 3
|해결 전략 | 두 수열의 일반항을 각각 구한 후 주어진 조건을 이용하여 d의 값
3-2 8
|해결 전략 | |a™|=|a8|이면 a™=a8 또는 a™=-a8이다.
을 구한다.
수열 {an}은 첫째항이 2, 공차가 -1인 등차수열이므로
an=2+(n-1)_(-1)=-n+3
또, 수열 {bn}은 첫째항이 -5, 공차가 d인 등차수열이므로
bn=-5+(n-1)d
a∞=b™에서 -5+3=-5+d
∴ d=3
2-1 12
|해결 전략 | 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 제n항은 a+(n-1)d이다.
등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
a£=-9에서 a+2d=-9
a¶=3에서 a+6d=3
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-15, d=3
an=-15+(n-1)_3=3n-18
∴ a¡º=3_10-18=12
등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
|a™|=|a8|에서 |a+d|=|a+7d|
∴ a+d=a+7d 또는 a+d=-(a+7d)
이때, a+d=a+7d이면 d=0이므로
a+d=-(a+7d)
∴ a+4d=0
a¡∞=40에서 a+14d=40
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-16, d=4
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -16, 공차는 4이므로
an=-16+(n-1)_4=4n-20
∴ a¡º-a8=4_10-20-(4_8-20)=8
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -15, 공차는 3이므로
등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
……㉠
……㉡
4-1 제7항
|해결 전략 | 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 자연수 n의 최솟값
을 구하면 된다.
2-2 제20항
|해결 전략 | 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 ak=-31을 만족시키는 k의
값을 찾는다.
므로
등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
a™=5에서 a+d=5
a¡º=-11에서 a+9d=-11
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, d=-2
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 7, 공차는 -2이므로
……㉠
……㉡
an=7+(n-1)_(-2)=-2n+9
-31을 제k항이라 하면
-2k+9=-31
∴ k=20
따라서 -31은 제20항이다.
a£=6에서 a+2d=6
a¡º=-8에서 a+9d=-8
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=10, d=-2
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 10, 공차는 -2이므로
∴ an=10+(n-1)_(-2)=-2n+12
이때, 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 최초의 항이
-2n+12<0에서 2n>12
∴ n>6
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제7항이다.
4-2 32
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 부등식 ak>100을 푼다.
등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
a£=-12에서 a+2d=-12
a¢+a§+a8=0에서 (a+3d)+(a+5d)+(a+7d)=0
3a+15d=0
∴ a+5d=0
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-20, d=4
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 -20, 공차는 4이므로
……㉠
……㉡
3-1 56
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 일반항 an을 구한 후 n=10을 대입하여 a¡º
an =-20+(n-1)_4=4n-24
이때, ak>100에서 4k-24>100
4k>124
∴ k>31
등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
따라서 구하는 자연수 k의 최솟값은 32이다.
을 구한다.
a™=4a¡에서 a+d=4a
∴ d=3a
a¢+a∞=46에서 (a+3d)+(a+4d)=46
∴ 2a+7d=46
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, d=6
an=2+(n-1)_6=6n-4
∴ a¡º=6_10-4=56
따라서 등차수열 {an}의 첫째항은 2, 공차는 6이므로
8+6d=-4에서 6d=-12
∴ d=-2
……㉠
……㉡
5-1 2
|해결 전략 | 등차수열의 첫째항이 8, 제7항이 -4임을 이용하여 공차를 구한다.
등차수열 8, x¡, x™, …, x∞, -4의 공차를 d 라 하면 첫째항이 8,
제7항이 -4이므로
이때, x£은 제4항이므로
x£=8+(4-1)_(-2)=2
8 등차수열 077
5-2 17
|해결 전략 | 첫째항이 10, 공차가 5인 등차수열의 제(n+2)항이 100임을 이용
7-2 33
|해결 전략 | 등차수열을 이루는 세 수를 찾고 등차중항을 이용하여 a, b, c, d, e
하여 n의 값을 구한다.
의 값을 각각 구한다.
첫째항이 10, 공차가 5인 등차수열의 제(n+2)항이 100이므로
세 수 3, a, 1에서 a는 3과 1의 등차중항이므로
10+(n+1)_5=100, n+1=18
∴ n=17
6-1 -3
|해결 전략 | 등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d라 하고 주어진 조건을 이
용하여 식을 세운다.
등차수열을 이루는 세 수를 a-d, a, a+d 라 하면
세 수의 합이 3이므로 (a-d )+a+(a+d )=3
……㉠
세 수의 곱이 -15이므로 (a-d )_a_(a+d )=-15 ……㉡
㉠에서 3a=3
∴ a=1
㉡에 a=1을 대입하면
(1-d )_1_(1+d )=-15, 1-d €=-15
d €=16
∴ d=-4
따라서 세 수는 -3, 1, 5이므로 이 중 가장 작은 수는 -3이다.
6-2 12
|해결 전략 | 직사각형의 가로, 세로, 대각선의 길이를 각각 a-d, a, a+d로 놓고
주어진 조건을 이용하여 식을 세운다.
직사각형의 가로, 세로, 대각선의 길이를 각각 a-d, a, a+d 라 하
면 직사각형의 둘레의 길이가 14이므로
2(a-d)+2a=14
∴ 2a-d=7
또, 오른쪽 그림에서 피타고라스 정리에 의하여
a=
3+1
2
=2
b=
3+13
2
=8
세 수 3, b, 13에서 b는 3과 13의 등차중항이므로
세 수 b, c, 4에서 c는 b와 4의 등차중항이므로
세 수 1, 4, e에서 4는 1과 e의 등차중항이므로
c=
b+4
2
=
8+4
2
=6
4=
1+e
2
∴ e=7
세 수 13, d, e에서 d는 13과 e의 등차중항이므로
d=
13+e
2
=
13+7
2
=10
∴ a+b+c+d+e=2+8+6+10+7=33
8-1 10
|해결 전략 | 첫째항이 a, 제n항이 l인 등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합
첫째항이 1, 제n항이 -20이므로 등차수열 {an}의 첫째항부터
Sn이 Sn=
임을 이용한다.
n(a+l)
2
제n항까지의 합 Sn은
Sn=
n{1+(-20)}
2
=-;;¡2ª;; n
……㉠
이때, Sn=-95이므로 -;;¡2ª;; n=-95
∴ n=10
(a+d)€=(a-d)€+a€
a€+2ad+d €=a€-2ad+d €+a€
a€-4ad=0, a(a-4d)=0
∴ a=4d (∵ a+0)
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=4, d=1
따라서 직사각형의 넓이는
(a-d)_a=(4-1)_4=12
a+d
a
8-2 1650
|해결 전략 | 3으로 나누었을 때의 나머지가 2인 자연수들을 작은 수부터 차례로
나열하면 첫째항이 2이고 공차가 3인 등차수열을 이룬다.
……㉡
a-d
100보다 작은 자연수 중에서 3으로 나누었을 때의 나머지가 2인 수
는 2, 5, 8, 11, 14, y이다.
즉, 수열 2, 5, 8, 11, 14, y는 첫째항이 2, 공차가 3인 등차수열이므
따라서 구하는 합은 첫째항이 2, 공차가 3인 등차수열의 첫째항부터
로 제n항은 2+(n-1)_3=3n-1
3n-1<100에서 n<33.66y
제33항까지의 합이므로
33{2_2+(33-1)_3}
2
=1650
9-1 6
|해결 전략 | 두 수 2와 16 사이에 n개의 수를 넣어서 만든 등차수열의 전체 항수
첫째항이 2, 제(n+2)항이 16인 등차수열의 합이 72이므로
……㉠
는 (n+2)이다.
(n+2)(2+16)
2
=72
……㉡
9(n+2)=72, n+2=8
∴ n=6
7-1 a=2, b=4
|해결 전략 | a+3은 3a와 b의 등차중항이고, b는 a-b와 a+2b의 등차중항이다.
a+3이 3a와 b의 등차중항이므로
a+3=
, 2a+6=3a+b
3a+b
2
∴ a+b=6
b가 a-b와 a+2b의 등차중항이므로
b=
a-b+(a+2b)
2
, 2b=2a+b
∴ b=2a
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=4
078 정답과 해설
9-2 65
|해결 전략 | 첫째항이 1, 제7항이 25임을 이용하여 공차를 구한다.
11-1 7
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an을 구한 후
등차수열 1, x¡, x™, x£, x¢, x∞, 25의 공차를 d 라 하면 첫째항이 1,
10-1 -360
|해결 전략 | 첫째항이 음수이고 공차가 양수일 때, 처음으로 양수가 되는 항이
an =Sn-Sn-1
=n€-10n-{(n-1)€-10(n-1)}
제7항이 25이므로
1+6d=25에서 6d=24
∴ d=4
따라서 제n항은
1+(n-1)_4=4n-3
이때, x¡은 제2항, x∞는 제6항이므로
x¡=4_2-3=5, x∞=4_6-3=21
∴ x¡+x™+x£+x¢+x∞ =
5(5+21)
2
=65
다른 풀이
1+x¡+x™+x£+x¢+x∞+25=
7(1+25)
2
이므로
x¡+x™+x£+x¢+x∞=
-(1+25)=65
7(1+25)
2
제k항이면 Sn의 최솟값은 Sk-1이다.
등차수열 {an}의 첫째항이 -46, 공차가 3이므로
an=-46+(n-1)_3=3n-49
이때, 처음으로 양수가 되는 항은 an>0을 만족시키는 최초의 항이
므로
∴ n=16
3n-49>0에서 3n>49
∴ n>
=16.33…
49
3
즉, 등차수열 {an}은 첫째항부터 제16항까지가 음수이고 제17항부터
양수가 되므로 첫째항부터 제16항까지의 합이 최소가 된다.
따라서 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn의 최솟값은
S¡§=
16{2_(-46)+(16-1)_3}
2
=-376
∴ k=-376
∴ n+k=16+(-376)=-360
10-2 52
|해결 전략 | 먼저 등차수열 {an}이 처음으로 음수가 되는 항을 찾는다.
등차수열 {an}의 첫째항이 7, 공차가 -2이므로
an=7+(n-1)_(-2)=-2n+9
이때, 처음으로 음수가 되는 항은 an<0을 만족시키는 최초의 항이므로
-2n+9<0에서 2n>9
∴ n>;2(;=4.5
따라서 처음으로 음수가 되는 항은 제5항이므로
|a¡|+|a™|+|a£|+ … +|a¡º|
=a¡+a™+a£+a¢-a∞-a§-a¶-a8-aª-a¡º
=a¡+a™+a£+a¢-(a∞+a§+a¶+a8+aª+a¡º)
=
4(a¡+a¢)
2
-
6(a∞+a¡º)
2
=
4(7+1)
2
-
6{(-1)+(-11)}
2
=16+36=52
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
ak=11을 만족시키는 k의 값을 찾는다.
an =Sn-Sn-1
=n€-2n+1-{(n-1)€-2(n-1)+1}
이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로
=2n-3 (n>2)
a¡=S¡=1€-2_1+1=0
a¡=0, an=2n-3 (n>2)
ak=11에서 2k-3=11
2k=14
∴ k=7
11-2 5
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an을 구한 후
an<0을 만족시키는 자연수 n의 개수를 구한다.
이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
=2n-11 (n>2)
a¡=S¡=1€-10_1=-9
an=2n-11
an<0에서 2n-11<0
2n<11
∴ n<;;¡2¡;;=5.5
따라서 구하는 자연수 n의 개수는 1, 2, 3, 4, 5의 5이다.
12-1 175장
|해결 전략 | n번째 날에 사용한 종이의 장수를 an 이라 하고 수열 {an}이 어떤 수
열인지 알아본다.
n번째 날에 사용한 종이의 장수를 an이라 하면 첫 번째 날에 사용한
종이가 10장이고, 그 다음날에는 그 전날보다 종이 5장을 더 사용하
므로 수열 {an}은 첫째항이 10, 공차가 5인 등차수열이다.
따라서 학생이 일주일 동안 연습했을 때, 사용한 종이는
a¡+a™+ … +a¶=
7{2_10+(7-1)_5}
2
=175(장)
12-2 185 cm
|해결 전략 | n번째 측정한 그림자의 길이를 an cm라 하고 수열 {an}이 어떤 수
열인지 알아본다.
n번째 측정한 그림자의 길이를 an cm라 하면 처음 그림자의 길이가
5 cm이고, 다음 번부터는 바로 전에 측정한 것보다 그림자의 길이가
3 cm씩 길어졌으므로 수열 {an}은 첫째항이 5, 공차가 3인 등차수열
따라서 그림자의 길이를 총 10번 측정했을 때, 측정한 모든 그림자의
이다.
길이의 합은
a¡+a™+ … +a¡º=
10{2_5+(10-1)_3}
2
=185 (cm)
8 등차수열 079
=-;2!;이므로 16, -8, 4 , -2, 1, …
='2이므로 1, '2, 2 , 2'2, 4, …
=5이므로 -1, -5, -25, -125, -625, …
=-1이므로 5 , -5, 5, -5 , 5, …
⑴ 공비가 -8
16
⑵ 공비가 '2
1
⑶ 공비가 -5
-1
⑷ 공비가 5
-5
⑸ 공비가 -1
4
⑹ 공비가 40
20
244쪽~246쪽
=-;4!;이므로 4, -1,
, -;1¡6;
,
;4!;
;6¡4;
, …
=2이므로 5, 10 , 20, 40, 80 , …
2-2 ⑴ an=2_4n-1
⑵ an=3_{;3!;}
n-1
n-1
⑶ an=5_(-4)n-1 ⑷ an=2_{-;2!;}
3-2 ⑴ an=2n+1
⑵ an=-3_{-;3!;}
n-1
⑶ an=3_(-1)n-1 ⑷ an=4_{;2!;}
⑸ an=2_(-4)n-1 ⑹ an=(-7)n-1
n-1
⑴ 첫째항이 4, 공비가 2이므로
an=4_2n-1=2n+1
⑵ 첫째항이 -3, 공비가 -;3!;이므로
n-1
an=-3_{-;3!;}
⑶ 첫째항이 3, 공비가 -1이므로
an=3_(-1)n-1
⑷ 첫째항이 4, 공비가 ;2!;이므로
n-1
an=4_{;2!;}
⑸ 첫째항이 2, 공비가 -4이므로
an=2_(-4)n-1
⑹ 첫째항이 1, 공비가 -7이므로
an=1_(-7)n-1=(-7)n-1
4-2 ⑴ 25 ⑵ -9, 9 ⑶ -3, 3 ⑷ -2, 2
⑴ 5는 x와 1의 등비중항이므로
5€=x_1
∴ x=25
⑵ 2x는 9와 36의 등비중항이므로
(2x)€=9_36, x€=81
∴ x=-9 또는 x=9
⑶ x는 ;2!;과 18의 등비중항이므로
x€=;2!;_18=9
∴ x=-3 또는 x=3
⑷ x는 -5와 -;5$;의 등비중항이므로
9
| 등비수열
1
등비수열
개념 확인
1 ⑴ 8, 2 ⑵ 9, -;3!;
n-1
2 ⑴ an=33_{;3!;}
3 ⑴ 2 ⑵ -32 ⑶ -6, 6
⑵ an=(-125)_{-;5!;}
n-1
1 ⑴ 공비가 ;3!2^;=;2!;이므로
32, 16, 8 , 4, 2 , …
⑵ 공비가 1
-3
=-;3!;이므로
-27, 9 , -3, 1, -;3!;
, …
2 ⑴ an=33_{;3!;}
n-1
⑵ 첫째항이 -125, 공비가 -;5!;이므로
an=(-125)_{-;5!;}
n-1
3 ⑴ 4는 x와 8의 등비중항이므로
4€=x_8
∴ x=2
⑵ 8은 -2와 x의 등비중항이므로
8€=-2_x
∴ x=-32
⑶ x는 -9와 -4의 등비중항이므로
x€=-9_(-4)=36
∴ x=-6 또는 x=6
STEP
개념 드릴
1
개념 check
| 247쪽~248쪽 |
1-1 ⑴ ;5!; ⑵ -6 ⑶ 4, 256 ⑷ -2, 2 ⑸ ;3!;, ;2¡7;, ;24!3;
2-1 ⑴ 3 ⑵ 4 ⑶ -3
3-1 ⑴ 3, 3n-1 ⑵ ;4!;, ;4!; ⑶ -2, -2 ⑷ -2, -2
⑸ 125, 125
4-1 ⑴ ;4!;, 64 ⑵ 8, 12
스스로 check
080 정답과 해설
1-2 ⑴ 4 ⑵ 2 ⑶ -25, -125 ⑷ 5, -5
⑸ ;4!;, -;1¡6;, ;6¡4; ⑹ 10, 80
x€=-5_{-;5$;}=4
∴ x=-2 또는 x=2
㉠에 r=-2를 대입하면 4a=-6이므로 a=-;2#;
따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 -;2#;, 공비는 -2이다.
03-1
;1!8(;
STEP
필수 유형
2
| 249쪽~255쪽 |
⑵ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
01-1 ⑴ ;1¡6; ⑵ 첫째항: -;2#;, 공비: -2
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은 an=arn-1임을 이
용한다.
⑴ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a™a¢=16에서
ar_ar‹=a€r›=16
∴ ar€=4 (∵ ar€=a£>0)
a£+a∞=12에서
ar€+ar›=ar€(1+r€)=12
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
㉡ /㉠ 을 하면 1+r€=3이므로 r€=2
㉠에 r€=2를 대입하면 2a=4이므로 a=2
∴ a¶=arfl=2_2‹=16
a™=16에서 ar=16
a¢=4에서 ar‹=4
㉡ /㉠ 을 하면 r€=;4!;이므로 r=;2!; (∵ r>0)
㉠에 r=;2!; 을 대입하면 ;2!;a=16이므로 a=32
따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 32, 공비는 ;2!;이므로
an=32_{;2!;}
n-1
∴ a¡º=32_{;2!;}
=2fi_{;2!;}
10-1
·=
1
2›
=;1¡6;
⑵ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a£=-6에서 ar€=-6
a§=48에서 arfi=48
㉡ /㉠ 을 하면 r‹=-8이므로 r=-2
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
01-2 99
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은 an=arn-1임을 이
용한다.
등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a¢=24에서 ar‹=24
a¶=192에서 arfl=192
㉡/㉠ 을 하면 r‹=8이므로 r=2
㉠에 r=2를 대입하면 8a=24이므로 a=3
따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 3, 공비는 2이므로
an=3_2n-1
∴ a¡+a§=3+3_2fi=3+96=99
02-1 ⑴ 1 ⑵ 16
|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현한 후 주어진 식
의 값을 구한다.
⑴ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a¡+a£=16에서
a+ar€=a(1+r€)=16
a™+a¢=4에서
ar+ar‹=ar(1+r€)=4
㉡ /㉠ 을 하면 r=;4!;
∴ a£+a∞=ar€+ar›=ar€(1+r€)
=ar(1+r€)_r=4_;4!;=1
02-2 an=3n
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 공비 r를 구한 후 일반항 an을 구한다.
등비수열 {an}의 공비를 r라 하면 첫째항은 3이므로
a8+aª
a£+a¢
=
3r‡+3r8
3r€+3r‹
=
3r‡(1+r)
3r€(1+r)
=rfi=243, 즉 r=3
등비수열 {an}의 첫째항은 3, 공비는 3이므로
an=3_3n-1=3n
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 공비 r를 구한다.
등비수열 ;4#;, a, b, c, ;2¢7;의 공비를 r(r>0)라 하면
첫째항이 ;4#;, 제5항이 ;2¢7;이므로
;4#;_r›=;2¢7;에서 r›=;8!1^;
따라서
∴ r=;3@; (∵ r>0)
a=;4#;_;3@;=;2!;
2
3
b=;4#;_{;3@;}
=;3!;
c=;4#;_{;3@;}
=;9@;
이므로 a+b+c=;2!;+;3!;+;9@;=;1!8(;
03-2 126
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 공비 r를 구한다.
등비수열 3, x¡, x™, …, x∞, 192의 공비를 r (r>0)라 하면
……㉠
첫째항이 3, 제7항이 192이므로
3_rfl=192에서 rfl=64
∴ r=2 (∵ r>0)
……㉡
따라서
x¡=3_2=6
x£=3_2‹=24
x∞=3_2fi=96
이므로 x¡+x£+x∞=6+24+96=126
9 등비수열 081
| 집합의 연산
04-1 -12
|해결 전략 | 세 실수가 등비수열의 연속한 항일 때, a, ar, ar€으로 놓는다.
05-2 -5
|해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 b=
a+c
2
이고, 등비
등비수열을 이루는 세 실수를 a, ar, ar€이라 하면
세 실수의 합이 -9이므로 a+ar+ar€=-9
수열을 이루면 b€=ac이다.
2가 a와 b의 등비중항이므로
∴ a(1+r+r€)=-9
……㉠
4=ab
세 실수의 곱이 216이므로 a_ar_ar€=a‹r‹=216
∴ ar=6
……㉡
……㉠
……㉡
따라서 세 수는 -12, 6, -3이므로 가장 작은 수는 -12이다.
그런데 a, b는 서로 다른 두 실수이므로 모순이다.
㉠/㉡ 을 하면
a(1+r+r€)
ar
=
1+r+r€
r
=-;2#;
2r€+5r+2=0, (2r+1)(r+2)=0
∴ r=-;2!; 또는 r=-2
r=-;2!;일 때, a=-12이므로 세 실수는 -12, 6, -3
r=-2일 때, a=-3이므로 세 실수는 -3, 6, -12
04-2 14
|해결 전략 | 삼차방정식의 세 실근을 a, ar, ar€으로 놓는다.
삼차방정식 x‹-7x€+kx-8=0의 세 실근을 a, ar, ar€이라 하면
근과 계수의 관계에 의하여
a+ar+ar€=7에서 a(1+r+r€)=7
a_ar_ar€=8에서 a‹r‹=8
∴ ar=2
a_ar+ar_ar€+ar€_a=k에서
a€r(1+r+r€)=k, ar_a(1+r+r€)=k
∴ k=2_7=14
LECTURE
삼차방정식 ax‹+bx€+cx+d=0의 세 근을 a, b, c라 하면
➡ a+b+c=-;aB;, ab+bc+ca=;aC;, abc=-;aD;
05-1 3
|해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 b=
a+c
2
이고, 등비
수열을 이루면 b€=ac이다.
a가 12와 b의 등차중항이므로
a=
12+b
2
b가 a와 4의 등비중항이므로
b€=4a
㉡에 ㉠을 대입하면
b€=4_
12+b
2
b€-2b-24=0, (b+4)(b-6)=0
∴ b=6 (∵ b>0)
㉠에 b=6을 대입하면 a=
12+6
2
=9
∴ a-b=9-6=3
082 정답과 해설
b+1이 a와 4의 등차중항이므로
b+1=
∴ a=2b-2
a+4
2
㉠에 ㉡을 대입하면
4=b(2b-2)
b€-b-2=0, (b+1)(b-2)=0
∴ b=-1 또는 b=2
1 b=-1이면 a=-4
2 b=2이면 a=2
1, 2에서 a=-4, b=-1이므로
a+b=-4+(-1)=-5
06-1 제10항
|해결 전략 | an=arn-1log
;5!;
;100!00;
n>4+log∞ 10000
log∞ 10000
log 5
=4+
=4+ 4
1-log 2
=4+
4
1-0.3010
=4+ 4
0.6990
=4+5.7224…
=9.7224…
……㉠
……㉡
이때, n은 자연수이므로 n의 최솟값은 10이다.
따라서 처음으로 ;100!00;보다 작게 되는 항은 제10항이다.
07-1 4_{;3$;}
|해결 전략 | 첫째항부터 차례로 나열하여 규칙을 찾아 일반항을 구한 후 구하고자
fl
스스로 check
하는 항의 숫자를 대입한다.
1-2 ⑴ 2{1-
1
2n } ⑵ -2(2n-1) ⑶ 1-(-3)n
주어진 정삼각형의 한 변의 길이가 1이므로 둘레의 길이는 3이다.
⑷ 1-(-4)n ⑸ 5n-1
[1단계]에서는 세 변마다 길이가 ;3!;인 선분이 4개씩 생기므로
둘레의 길이는 3_;3$;=4
a¡=4
∴ a¡=4
⁄
a™=4_{;3$;}
⋮
n-1
an=4_{;3$;}
∴ a¶=4_{;3$;}
fl
⑴ Sn=
1_[1-{;2!;}
1-;2!;
⑵ Sn= -2(2n-1)
2-1
n
]
=2{1-
1
2n }
=-2(2n-1)
⑶ Sn= 4{1-(-3)n}
1-(-3)
=1-(-3)n
⑷ Sn= 5{1-(-4)n}
1-(-4)
=1-(-4)n
⑸ Sn= 4(5n-1)
5-1
=5n-1
2
등비수열의 합
개념 확인
1 ⑴ 4 {1-
1
28 } ⑵ ;2!;(38-1)
1 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면
⑴ 첫째항이 2, 공비가 ;2!;인 등비수열이므로
°
2[1-{;2!;}
]
S8=
=4{1-
1
28 }
1-;2!;
⑵ 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열이므로
S8=
1_(38-1)
3-1
=;2!;(38-1)
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ 3 ⑵ 4 ⑶ 3n
2-1 ⑴ 2, 2 ⑵ -2, 3 ⑶ 1, {;3!;}
n
256쪽
2-2 ⑴ ;4!;(5˜-1) ⑵ ;3!;{1-(-2)n} ⑶
16
3 {1-
1
4n }
⑷ ;3$;[1-{-;2!;}
] ⑸ ;4#;{1-(-3)n}
n
⑴ 첫째항이 1, 공비가 5인 등비수열이므로
Sn= 1_(5n-1)
5-1
=;4!;(5n-1)
⑵ 첫째항이 1, 공비가 -2인 등비수열이므로
Sn= 1_{1-(-2)n}
1-(-2)
⑶ 첫째항이 4, 공비가 ;4!;인 등비수열이므로
=;3!;{1-(-2)n}
Sn=
= 16
n
]
4[1-{;4!;}
1-;4!;
1
4n }
3 {1-
⑷ 첫째항이 2, 공비가 -;2!;인 등비수열이므로
Sn=
2[1-{-;2!;}
]
1-{-;2!;}
n
n
| 257쪽 |
=;3$;[1-{-;2!;}
]
⑸ 첫째항이 3, 공비가 -3인 등비수열이므로
Sn=
3{1-(-3)n}
1-(-3)
=;4#;{1-(-3)n}
9 등비수열 083
STEP
필수 유형
2
01-1 ⑴ ;4!;(2n-1)
| 258쪽~261쪽 |
02-1 504
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합
Sn은 Sn=
임을 이용한다.
a(rn-1)
r-1
등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의 합
⑵ -;2!;{1-(-3)n} 또는 3(2n-1)
|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현하여 a, r의 값을
구한 후 등비수열의 합 Sn을 구한다.
⑴ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
을 Sn이라 하면
S¢=
a(r›-1)
r-1
=24
a™=;2!;에서 ar=;2!;
a§=8에서 arfi=8
㉡ /㉠ 을 하면 r›=16이므로 r=2 (∵ r>0)
㉠에 r=2를 대입하면 2a=;2!;이므로 a=;4!;
따라서 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn은
;4!;(2n-1)
2-1
Sn=
=;4!;(2n-1)
⑵ 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a™=6에서 ar=6
a£+a¢=36에서 ar€+ar‹=ar€(1+r)=36
㉡ /㉠ 을 하면 r(1+r)=6
r€+r-6=0, (r+3)(r-2)=0
∴ r=-3 또는 r=2
1 r=-3일 때,
a=-2이므로 첫째항부터 제n항까지의 합은
-2{1-(-3)n}
1-(-3)
=-;2!;{1-(-3)n}
2 r=2일 때,
a=3이므로 첫째항부터 제n항까지의 합은
3(2n-1)
2-1
=3(2n-1)
1, 2에서 첫째항부터 제n항까지의 합은
-;2!;{1-(-3)n} 또는 3(2˜-1)
……㉠
……㉡
S8=
a(r°-1)
r-1
=
a(r›-1)(r›+1)
r-1
=120
㉡/㉠ 을 하면 r›+1=5이므로 r›=4
∴ S¡™=
a(r⁄€-1)
r-1
=
a(r›-1)(r°+r›+1)
r-1
=24(4€+4+1)=504
02-2 744
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합
Sn은 Sn=
임을 이용한다.
a(rn-1)
r-1
등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의 합
……㉠
……㉡
을 Sn이라 하면
S¡º=
a(r⁄‚-1)
r-1
=24
제11항부터 제20항까지의 합이 120이므로
S™º-S¡º=120, S™º=S¡º+120=144
S™º=
a(r€‚-1)
r-1
=
a(r⁄‚-1)(r⁄‚+1)
r-1
=144
㉡/㉠ 을 하면 r⁄‚+1=6이므로 r⁄‚=5
∴ S£º=
a(r‹‚-1)
r-1
=
a(r⁄‚-1)(r€‚+r⁄‚+1)
r-1
=24(5€+5+1)=744
03-1 an=4_5n
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1(n>2)임을 이용한다.
an =Sn-Sn-1
=(5n+1-5)-(5n-5)
=5_5n-5n=4_5n (n>2)
a¡=S¡=5€-5=20
이때, ㉡ 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=4_5n
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
01-2
126
5
|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현하여 a, r의 값을
각각 구한 후 첫째항부터 제6항까지의 합을 구한다.
등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a™+a¢=4에서
ar+ar‹=ar(1+r€)=4
a¢+a§=16에서
ar‹+arfi=ar‹(1+r€)=16
㉡/㉠ 을 하면 r€=4이므로 r=2 (∵r>0)
㉠에 r=2를 대입하면 10a=4이므로 a=;5@;
따라서 첫째항부터 제6항까지의 합 S§은
S§=
;5@;(2fl-1)
2-1
= 2_2fl-2
5
= 126
5
084 정답과 해설
03-2 -12
|해결 전략 | 첫째항부터 등비수열을 이루려면 an=Sn-Sn-1에 n=1을 대입하
여 얻은 값과 S¡이 일치해야 한다.
an =Sn-Sn-1
……㉠
……㉡
=(3_2n+2+k)-(3_2n+1+k)
=6_2n+1-3_2n+1
=3_2n+1 (n>2)
a¡=S¡=3_2‹+k=24+k
……㉠
……㉡
수열 {an}이 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉠에 n=1을 대입한
것과 ㉡이 같아야 하므로
12=24+k
∴ k=-12
04-1 131만 원
|해결 전략 | 월이율 1 %의 복리로 매월 초에 10만 원씩 적립하였을 때, 1년 후에
받는 금액을 먼저 그림으로 나타내 본다.
㉡/㉠ 을 하면 r‹=3
∴
a8
a™ =
ar‡
ar
=rfl=3€=9
월이율 1 %의 복리로 매월 초에 10만 원씩 적립하였을 때, 1년 후에
받는 금액을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
1
개월
후
2
개월
후
처음
11
개월
후
12
개월
후
10만 원
10만 원
10만 원
12개월
11개월
10개월
10(1+0.01)12
10(1+0.01)11
10(1+0.01)10
1개월
10만 원
10(1+0.01)
따라서 1년 후에 받는 금액은
10(1+0.01)+10(1+0.01)€+ … +10(1+0.01)⁄€
=
10(1+0.01){(1+0.01)⁄€-1}
(1+0.01)-1
= 10_1.01(1.01⁄€-1)
0.01
=
10.1(1.13-1)
0.01
=131.3
따라서 1년 후에 받는 금액은 131만 원이다.
STEP
유형 드릴
3
| 263쪽~265쪽 |
1-1 15
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은 an=arn-1임을 이
등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
용한다.
a™=160에서 ar=160
a£=80에서 ar€=80
㉡/㉠ 을 하면 r=;2!;
㉠에 r=;2!; 을 대입하면 ;2!;a=160이므로 a=320
따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 320, 공비는 ;2!;이므로
n-1
an=320_{;2!;}
∴ a§+a¶=320_{;2!;}
fi+320_{;2!;}
fl=10+5=15
2-1 ③
|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현한 후 a¡의 값
을 구한다.
등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
……㉠
a£=9에서 ar€=9
a™：a∞=8：1에서 a™=8a∞
ar=8ar›, r‹=;8!;
∴ r=;2!;
㉠에 r=;2!; 을 대입하면
;4!;a=9
∴ a=a¡=36
2-2 ④
|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현한 후 a¡£의 값
을 구한다.
등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a¢+a¶=12에서 ar‹+arfl=ar‹(1+r‹)=12
……㉠
a∞
a™
=3에서 ar›
ar
=r‹=3
㉠에 r‹=3을 대입하면
3a(1+3)=12
∴ a=1
∴ a¡£=ar⁄€=1_3›=81
3-1 ②
|해결 전략 | 주어진 조건을 이용하여 공비 r를 구한다.
등비수열 2, a, b, c, 162의 공비를 r (r>0)라 하면 첫째항이 2,
……㉠
……㉡
제5항이 162이므로
2r›=162에서 r›=81
∴ r=3 (∵ r>0)
따라서
a=2_3=6
b=2_3€=18
c=2_3‹=54
이므로 a+b+c=6+18+54=78
1-2 9
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은 an=arn-1임을 이
용한다.
등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a¢=45에서 ar‹=45
a¶=135에서 arfl=135
……㉠
……㉡
;8#;_4n+1=96에서 4n+1=256
4n+1=4›, n+1=4
∴ n=3
3-2 3
|해결 전략 | 첫째항이 ;8#;, 공비가 4인 등차수열의 제(n+2)항이 96임을 이용하여
n의 값을 구한다.
첫째항이 ;8#;, 공비가 4인 등비수열의 제(n+2)항이 96이므로
9 등비수열 085
4-1 8
|해결 전략 | 등비수열을 이루는 세 실수는 a, ar, ar€으로 놓는다.
등비수열을 이루는 세 실수를 a, ar, ar€이라 하면
세 실수의 합이 14이므로 a+ar+ar€=14
∴ a(1+r+r€)=14
세 실수의 곱이 64이므로 a_ar_ar€=a‹r‹=64
∴ ar=4
㉠/㉡ 을 하면 a(1+r+r€)
=
ar
1+r+r€
r
=;2&;
2r€-5r+2=0, (2r-1)(r-2)=0
∴ r=;2!; 또는 r=2
r=;2!;일 때, a=8이므로 세 실수는 8, 4, 2
r=2일 때, a=2이므로 세 실수는 2, 4, 8
따라서 세 실수는 2, 4, 8이므로 가장 큰 수는 8이다.
등비수열의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 일반항 bn은
bn=arn-1
a£=5b£에서
……㉠
……㉡
6_3-3=5ar€
∴ ar€=3
a∞=b∞에서
6_5-3=ar›
∴ ar›=27
㉡/㉠ 을 하면 r€=9이므로 r=3 (∵ r>0)
㉠에 r=3을 대입하면 9a=3이므로 a=;3!;
따라서 등비수열 {bn}의 첫째항은 ;3!;, 공비는 3이므로
bn=;3!;_3n-1
∴ b§=;3!;_3fi=3›=81
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
……㉠
……㉡
6-1 ①
|해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 b=
a+c
2
이고, 등비
수열을 이루면 b€=ac이다.
3은 a와 b의 등차중항이므로
3=
a+b
2
∴ a+b=6
a+b는 1과 2b의 등비중항이므로
(a+b)€=2b
㉡에 ㉠ 을 대입하면 6€=2b이므로 b=18
㉠에 b=18을 대입하면 a+18=6이므로 a=-12
∴ b-a=18-(-12)=30
6-2 9
|해결 전략 | 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루면 2b=a+c이고, 등비
수열을 이루면 b€=ac이다.
log a가 log 3과 log b의 등차중항이므로
2 log a=log 3+log b, log a€=log 3b
∴ a€=3b
22a은 2와 29b의 등비중항이므로
(22a)€=2_29b, 24a=29b+1
∴ 4a=9b+1
㉡에 ㉠ 을 대입하면
4a=3a€+1, 3a€-4a+1=0
(3a-1)(a-1)=0
∴ a=;3!; 또는 a=1
그런데 a=1이면 log a=log 1=0이므로 a=;3!;
㉠에 a=;3!; 을 대입하면 b=;2¡7;
∴ ;bA;=9
LECTURE
두 양수 M, N에 대하여
❶ log M+log N=log MN ❷ log M-log N=log
M
N
4-2
;8!;
|해결 전략 | 삼차방정식의 세 실근을 a, ar, ar€으로 놓는다.
삼차방정식 x‹-2x€+x-k=0의 세 실근을 a, ar, ar€이라 하면
근과 계수의 관계에 의하여
a+ar+ar€=2에서 a(1+r+r€)=2
a_ar+ar_ar€+ar€_a =1에서
a€r(1+r+r€)=ar_a(1+r+r€)=1
2ar=1
∴ ar=;2!;
a_ar_ar€=k에서 a‹r‹=k
∴ k=(ar)‹={;2!;}
‹=;8!;
LECTURE
삼차방정식 ax‹+bx€+cx+d=0의 세 근을 a, b, c라 하면
a+b+c=-;aB;, ab+bc+ca=;aC;, abc=-;aD;
5-1 ②
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은 an=arn-1이고, 첫
째항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항 bn은 bn=a+(n-1)d이다.
첫째항이 2, 공비가 r인 등비수열의 일반항 an은
an=2rn-1
첫째항이 1, 공차가 5인 등차수열의 일반항 bn은
bn=1+(n-1)_5=5n-4
a¢=b¢에서 2r‹=5_4-4
r‹=8
∴ r=2
5-2 81
|해결 전략 | 등비수열 {bn}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하고 주어진 조건을 이용하
여 a, r의 값을 구한다.
첫째항이 3, 공차가 6인 등차수열의 일반항 an은
an=3+(n-1)_6=6n-3
086 정답과 해설
7-1 제8항
|해결 전략 | 첫째항이 1.5, 공비가 3인 등비수열에서 주어진 조건을 만족시키는
8-2
7
;;™7¢;;_{;7$;}
주어진 등비수열의 첫째항은 1.5, 공비는 3이므로 일반항 an은
자연수 n의 최솟값을 구한다.
an=1.5_3n-1=;2!;_3˜
an=;2!;_3˜>3000에서
log ;2!;+n log 3>log (3_1000)
n log 3 >log 3+3+log 2
∴ n>
log 3+3+log 2
log 3
=
0.48+3+0.3
0.48
=7.875
이때, n은 자연수이므로 n의 최솟값은 8이다.
따라서 처음으로 3000보다 크게 되는 항은 제8항이다.
7-2 제15항
|해결 전략 | 첫째항이 243, 공비가 r인 등비수열에서 주어진 조건을 만족시키는
자연수 n의 최솟값을 구한다.
등비수열 {an}의 공비를 r라 하면 첫째항은 243, 제6항이 1이므로
243rfi=1, rfi=;24!3;
∴ r=;3!;
따라서 등비수열 {an}의 첫째항은 243, 공비는 ;3!;이므로
an=243_{;3!;}
n-1
n-1
an=243_{;3!;}
5 log 3-(n-1) log 3<-(3 log 2+3)
<;80¡00;에서
n log 3>5 log 3+log 3+3 log 2+3
|해결 전략 | 첫째항부터 차례로 나열하여 규칙을 찾아 a8을 구한다.
오른쪽 그림에서 삼각형 T¡과
삼각형 ABC는 닮음이므로
(6-a¡)：a¡=6：8=3：4에서
24-4a¡=3a¡
∴ a¡=;;™7¢;;
A
6-a¡
T¡
a¡
6
삼각형 T™와 삼각형 ABC는 닮음이므로
B
(a¡-a™)：a™=3：4에서
4a¡-4a™=3a™
∴ a™=;7$;a¡=;7$;_;;™7¢;;
T£
a£
T™
a™
8
C
같은 방법으로 a£={;7$;}
따라서 수열 {an}은 첫째항이 24
7
€_;;™7¢;;
an=;;™7¢;;_{;7$;}
∴ a8=;;™7¢;;_{;7$;}
n-1
7
, 공비가 ;7$;인 등비수열이므로
9-1 9
|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현하여 a, r의 값을
각각 구한 후 Sn=1533일 때의 n의 값을 구한다.
등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a£=12에서 ar€=12
a§=96에서 arfi=96
……㉠
……㉡
∴ n>
6 log 3+3 log 2+3
log 3
=
2.88+0.9+3
0.48
=14.125
㉡/㉠ 을 하면 r‹=8이므로 r=2
㉠에 r=2를 대입하면 4a=12이므로 a=3
이때, n은 자연수이므로 n의 최솟값은 15이다.
등비수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합이 1533이므로
따라서 처음으로 ;80¡00;보다 작게 되는 항은 제15항이다.
=1533, 2n-1=511
3(2n-1)
2-1
2n=512
∴ n=9
8-1 1
|해결 전략 | 정사각형 AnBnCnDn과 An+1Bn+1Cn+1Dn+1의 변의 길이의 비를
an
2
Dn+1
Dn
an+1
An
an
2
An+1
Bn
Bn+1
Cn
구한다.
오른쪽 그림의 직각삼각형
AnAn+1Dn+1에서
an+1€={
an
2 }
€+{
an
2 }
€=;2!;an€
an
∴ an+1=
1
'2
즉, 첫째항은 2'2, 공비는
등비수열이므로
인
1
'2
an=2'2_{
n-1
1
'2 }
4a8=4_2'2_{
‡=1
1
'2 }
따라서 정사각형 A8B8C8D8의 둘레의 길이는
9-2 ④
|해결 전략 | 주어진 조건을 첫째항 a, 공비 r에 대한 식으로 표현하여 a, r의 값을
Cn+1
구한 후 첫째항부터 제6항까지의 합을 구한다.
등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면
a¡+a¢=3에서 a+ar‹=a(1+r‹)=3
a¢+a¶=24에서 ar‹+arfl=ar‹(1+r‹)=24
㉡/㉠ 을 하면 r‹=8이므로 r=2
㉠에 r=2를 대입하면 9a=3이므로 a=;3!;
따라서 등비수열 {an}의 첫째항부터 제6항까지의 합은
;3!;(2fl-1)
2-1
=;3!;_63=21
……㉠
……㉡
9 등비수열 087
10-1 ④
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합
12-1 ③
|해결 전략 | 월이율 0.4 %의 복리로 매월 초에 10만 원씩 적립했을 때, 24개월 후
Sn은 Sn=
임을 이용한다.
a(rn-1)
r-1
등비수열 {an}의 첫째항을 a라 하면 공비는 3이므로
S¡º=kS∞에서 a(3⁄‚-1)
=k_
3-1
a(3fi-1)
3-1
3⁄‚-1=k(3fi-1), (3fi+1)(3fi-1)=k(3fi-1)
∴ k=3fi+1=243+1=244
10-2 130
|해결 전략 | 첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합
Sn은 Sn=
임을 이용한다.
a(rn-1)
r-1
등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r, 첫째항부터 제n항까지의 합
을 Sn이라 하면
S∞=
a(rfi-1)
r-1
=10
등비수열 {an}의 제6항부터 제10항까지의 합이 30이므로
S¡º-S∞=30, S¡º=S∞+30=40
S¡º=
a(r⁄‚-1)
r-1
=
a(rfi-1)(rfi+1)
r-1
=40
㉡/㉠ 을 하면 rfi+1=4이므로 rfi=3
∴ S¡∞=
a(r⁄fi-1)
r-1
=
a(rfi-1)(r⁄‚+rfi+1)
r-1
=10(3€+3+1)=130
11-1 ①
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an은 구한다.
an=Sn-Sn-1
=(2n+1+4)-(2n+4)
=2_2n-2n=2n (n>2)
a¡=S¡=2€+4=8
이때, ㉡ 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 다르므로
a¡=8, an=2n (n>2)
∴
=
=1
a£
a¡
2‹
8
……㉠
……㉡
에 받는 금액을 먼저 그림으로 나타내 본다.
월이율 0.4 %의 복리로 매달 초에 10만 원씩 적립하였을 때, 24개월
후에 적립된 금액을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
1
개월
후
2
개월
후
처음
23
개월
후
24
개월
후
10만 원
10만 원
10만 원
24개월
23개월
22개월
10(1+0.004)24
10(1+0.004)23
10(1+0.004)22
1개월
10만 원
10(1+0.004)
따라서 24개월 후에 적립된 총액은
10(1+0.004)+10(1+0.004)€+ y +10(1+0.004)€›
……㉠
……㉡
=
=
=
10(1+0.004){(1+0.004)€›-1}
(1+0.004)-1
10_1.004(1.004€›-1)
0.004
10.04(1.1-1)
0.004
=251(만 원)
12-2 ⑤
|해결 전략 | 월이율 1 %의 복리로 매월 초에 a원씩 적립했을 때, 12개월 후에 받
는 금액을 먼저 그림으로 나타내 본다.
월이율 1 %의 복리로 매월 초에 a원씩 적립하였을 때, 12개월 후에
적립된 금액을 그림으로 나타내면 다음과 같다.
1
개월
후
2
개월
후
처음
11
개월
후
12
개월
후
a원
a원
a원
12개월
11개월
10개월
a(1+0.01)12
a(1+0.01)11
a(1+0.01)10
1개월
a원
a(1+0.01)
11-2 6
|해결 전략 | a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 일반항 an을 구한다.
따라서 12개월 후 적립된 총액은
a(1+0.01)+a(1+0.01)€+ y +a(1+0.01)⁄€
an=Sn-Sn-1
=(2_32n+1-k)-(2_32n-1-k)
=6_32n-;3@;_32n=;;¡3§;;_32n (n>2)
a¡=S¡=2_3‹-k=54-k
것과 ㉡이 같아야 하므로
;;¡3§;;_3€=54-k
∴ k=6
088 정답과 해설
수열 {an}이 첫째항부터 등비수열을 이루려면 ㉠에 n=1을 대입한
a(1+0.01){(1+0.01)⁄€-1}
(1+0.01)-1
=
=
=
a_1.01(1.01⁄€-1)
0.01
a_1.01_0.13
0.01
=13.13a
……㉠
……㉡
이때, 적립된 금액이 100만 원이어야 하므로
13.13a=1000000, a@76000(원)
∴ 76000원
⑵
5
Ú
k=1
(-1)k_k
=-1+2-3+4-5
=(-1)⁄_1+(-1)€_2+(-1)‹_3+(-1)›_4+(-1)fi_5
2-2 ⑴
5
Úk=1
2 ⑵
5
Úk=1
5_{;3!;}
k-2
⑴ 2+2+2+2+2=
5
Ú
k=1
2
268쪽~269쪽
⑵ 수열 15, 5, ;3%;, ;9%;, ;2∞7; 는 첫째항이 15, 공비가 ;3!; 인 등비수열이므로
일반항 an은 an=15_{;3!;}
=5_
{;3!;}
n-1
n-2
4 15+5+;3%;+;9%;+;2∞7;=
5_{;3!;}
5
Ú
k=1
k-2
3-2 ⑴ -25 ⑵ 20
⑴
(ak-2bk)=
ak-2
bk=-15-2_5=-25
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
⑵
(ak+5bk+2)=
ak+5
bk+
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
2
=-15+5_5+2_5=20
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
10
| 수열의 합
1
합의 기호 Ú
개념 확인
1 ⑴
2k ⑵
3_2k
14
Úk=1
25
Úk=1
2 ⑴ 1 ⑵ -22
1 ⑴ 수열 2, 4, 6, y, 28은 첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열이므로
일반항 an은
an=2+(n-1)_2=2n
이때, 2n=28에서 n=14이므로
2+4+6+ y +28=
14
Ú
k=1
2k
⑵ 수열 3_2, 3_2€, 3_2‹, y, 3_2€fi은 첫째항이 3_2, 공비가
2인 등비수열이므로 일반항 an은
an=3_2_2n-1=3_2n
이때, 3_2n=3_225에서 n=25이므로
3_2+3_2€+3_2‹+ y +3_225=
3_2k
25
Ú
k=1
2 ⑴
10
Ú
k=1
(2ak+3bk)=2
ak+3
10
Ú
k=1
10
Ú
k=1
bk
=2_8+3_(-5)=1
⑵
(ak-2bk-4)=
ak-2
bk-
10
Ú
k=1
10
Ú
k=1
10
Ú
k=1
4
10
Ú
k=1
=8-2_(-5)-4_10=-22
필수 유형
| 271쪽~272쪽 |
STEP
2
01-1 50
|해결 전략|
(a2k-1+a2k)를 Ú를 사용하지 않고 나타내 본다.
n
Ú
k=1
(a2k-1+a2k)=(a¡+a™)+(a£+a¢)+ y +(a2n-1+a2n)
=
2n
Ú
k=1
ak
이때,
(a2k-1+a2k)=2n€이므로
ak=2n€
n
Ú
k=1
2n
Ú
k=1
4
10
Ú
k=1
ak=2_5€=50
| 270쪽 |
01-2 25
kak-1=35에서
|해결 전략|
kak-1,
kak를 각각 Ú를 사용하지 않고 나타내 본다.
11
Ú
k=2
10
Ú
k=1
2a¡+3a™+4a£+ y +11a¡º=35
……㉠
n
Ú
k=1
11
Ú
k=2
10
Ú
k=1
kak=10에서
4
10
Ú
k=1
ak=25
10 수열의 합 089
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ 12 ⑵ 8, 3
2-1 ⑴ 1, 3, 3k-2 ⑵ 3, 3, 3k
3-1 ⑴ 2, 2, 44 ⑵ 3, 3, 53
스스로 check
⑴
10
Ú
k=1
2k=2⁄+2€+2‹+ y +210
1-2 ⑴ 2⁄+2€+2‹+ y +210 ⑵ -1+2-3+4-5
㉠-㉡을 하면 a¡+a™+a£+ y +a10=25
a¡+2a™+3a£+ y +10a¡º=10
……㉡
|해결 전략|
(ak+bk)€=9에서 (ak+bk)€을 전개하여 주어진 조건을 이용
02-1 5
n
Ú
k=1
한다.
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
(ak+bk)€=
(ak€+2akbk+bk€)
=
(ak€+bk€)+2
akbk
n
Ú
k=1
이때,
(ak+bk)€=9,
akbk=2이므로
n
Ú
k=1
9=
(ak€+bk€)+2_2
4
n
Ú
k=1
(ak€+bk€)=5
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
LECTURE
Ú의 성질
❶
(ak+bk)=
ak+
bk
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
❸
cak=c
ak (단, c는 상수)
n
Ú
k=1
❹
c=cn (단, c는 상수)
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
02-2 45
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
(2ak-3)€=
(4ak€-12ak+9)
=4
ak€-12
ak+
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
9
=4_15-12_5+9_5=45
❷
(ak-bk)=
ak-
bk
|해결 전략|
(2ak-3)€에서 (2ak-3)€을 전개하여 Ú의 성질을 이용한다.
2 ⑴
10
Ú
k=1
1
(2k-1)(2k+1)
=
1
2k+1-(2k-1)
10
Ú
k=1{
1
2k-1
-
1
2k+1 }
=;2!; [{1-;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}+ y +{;1¡9;-;2¡1;}]
=;2!; {1-;2¡1;}=;2!1);
⑵
35
Ú
k=1
1
'k+'ßk+1
=
35
Ú
k=1
'k-'ßk+1
('k+'ßk+1 )('k-'ßk+1 )
=
35
Ú
k=1
('ßk+1-'k )
=('2-1)+('3-'2 )+('4-'3 )+ y +('ß36-'ß35 )
='ß36-1=6-1=5
STEP
개념 드릴
1
개념 check
| 276쪽~277쪽 |
1-1 ⑴ 3, 27, 63
⑵ 21, 40, 315
⑶ 6, 11, 20, 140
⑷ 39, 2660
2-1 ⑴ 2, 2, 9, 10, 2, 10, ;4!5$;
⑵ 'ß3k-1-'ß3k+2, 'ß3k-1-'ß3k+2, 'ß50, 'ß50,
4
3 '2
스스로 check
8
Ú
k=1
6
Ú
k=1
1-2 ⑴ 124 ⑵ 199 ⑶ 885 ⑷ 1168 ⑸ 1771 ⑹ 5950
⑴
(3k+2)=3
k+
2=3_
+2_8=124
8
Ú
k=1
8
Ú
k=1
8_9
2
⑵
(k+2)€=
(k€+4k+4)=
k€+4
k+
6
Ú
k=1
6
Ú
k=1
4
6
Ú
k=1
6_7_13
6
6
Ú
k=1
6_7
2
=
+4_
+4_6=199
2
기호
와 수열의 합
Ú
개념 확인
1 ⑴ 72 ⑵ 1436
1 ⑴
6
Ú
k=1
(4k-2)=4
k-
6
Ú
k=1
6
Ú
k=1
2
=4_
6(6+1)
2
-2_6
=84-12=72
⑵
k€+
k‹=
7
Ú
k=1
8
Ú
k=1
7(7+1)(2_7+1)
6
+[
8(8+1)
2
€
]
=140+1296=1436
090 정답과 해설
2 ⑴
⑵ 5
10
21
273쪽~274쪽
k(2k+1)(2k-1)=
(4k‹-k)=4
k‹-
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
k
⑶
5
Ú
k=1
=4_{
5_6
2
€-
}
5_6
2
=885
⑷
12
Ú
k=1
(2+k€)-
(2k-k€)
12
Ú
k=1
=
(2+k€-2k+k€)=
(2k€-2k+2)
12
Ú
k=1
12
Ú
k=1
12
Ú
k=1
=2
k€-2
k+
12
Ú
k=1
12
Ú
k=1
2
=2_
12_13_25
6
-2_
12_13
2
+2_12=1168
11
Ú
k=1
11
Ú
k=1
20
Ú
k=1
20
Ú
k=1
⑸ 1€+3€+5€+ y +21€
=
(2k-1)€=
(4k€-4k+1)
11
Ú
k=1
=4
k€-4
k+
11
Ú
k=1
11
Ú
k=1
1
=4_
11_12_23
6
-4_
11_12
2
+1_11=1771
⑹ 1_3+2_5+3_7+ y +20_41
=
k(2k+1)=
(2k€+k)
20
Ú
k=1
=2
k€+
20
Ú
k=1
k
=2_
20_21_41
6
+
20_21
2
=5950
2-2 ⑴ ;2∞4; ⑵ ;2!6&4%; ⑶ ;4!6%; ⑷ 4 ⑸ 2'2 ⑹ 6
⑴
10
Ú
k=1
1
2(k+1)(k+2)
=;2!;
10
Ú
k=1{
1
k+1
-
1
k+2 }
=;2!; [{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+ y +{;1¡1;-;1¡2;}]
=;2!; {;2!;-;1¡2;}=;2∞4;
⑵
1
2€-1
+
1
3€-1
+
1
4€-1
+ y +
1
11€-1
=
11
Ú
k=2
1
k€-1
=
11
Ú
k=2
1
(k-1)(k+1)
=;2!;
11
Ú
k=2
{
1
k-1
-
1
k+1 }
=;2!; [{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}
+ y +{;9!;-;1¡1;}+{;1¡0;-;1¡2;}]
=;2!; {1+;2!;-;1¡1;-;1¡2;}=;2!6&4%;
⑶
15
Ú
k=1
1
(3k-2)(3k+1)
=;3!;
15
Ú
k=1
{
1
3k-2
-
1
3k+1 }
=;3!; [{1-;4!;}+{;4!;-;7!;}+{;7!;-;1¡0;}+ y +{;4¡3;-;4¡6;}]
=;3!; {1-;4¡6;}=;4!6%;
1
ß2k-1+'ß
ß2k+1
⑷
40
Ú
k=1
=
'ß
40
Ú
k=1
=-;2!;
'2ßk-1-'2ßk+1
ß2k+1)('ß
ß2k-1-'ß
ß2k+1)
('ß
ß2k-1+'ß
('ß2k-1-'ß2k+1 )
40
Ú
k=1
=-;2!;{(1-'3 )+('3-'5 )+('5-'7 )+ y +('ß79-'ß81 )}
=-;2!;(1-'ß81 )=4
⑸
24
Ú
k=1
=
'ß
24
Ú
k=1
=;2!;
1
ß2k+2+'ß2k
('ß2k+2-'ß2k )
ß2k+2-'ß2k )
('ß
ß2k+2+'ß2k )('ß
('ß2k+2-'ß2k )
24
Ú
k=1
=;2!; {('4-'2 )+('6-'4 )+('8-'6 )+ y +('ß50-'ß48 )}
+
1
'4+'3
+ y +
1
'ß49+'ß48
=;2!; ('ß50-'2 )=2'2
+
1
'3+'2
1
ßk+1+'k
'ß
⑹
1
'2+1
=
=
=
48
Ú
k=1
48
Ú
k=1
48
Ú
k=1
('ßk+1-'k )
ßk+1-'k )
ßk+1+'k )('ß
('ß
('ßk+1-'k )
=('2-1)+('3-'2 )+('4-'3 )+ y +('ß49-'ß48 )
='ß49-1=6
STEP
필수 유형
2
| 278쪽~282쪽 |
01-1 ⑴ 240 ⑵ 201
|해결 전략| 자연수의 거듭제곱의 합과 Ú의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다.
⑴
8
Ú
k=1
k(k+1)=
(k€+k)=
k€+
8
Ú
k=1
8
Ú
k=1
k
8
Ú
k=1
=
8_9_17
6
+
8_9
2
=204+36=240
⑵
10
Ú
k=1
k‹-1
15
=;1¡5; {
10
Ú
k=1
k‹-
10
Ú
k=1
1}
=;1¡5; [{
10_11
2
€
-1_10]
}
=
=201
3015
15
01-2 265
|해결 전략| 이차방정식의 근과 계수의 관계와 Ú의 성질을 이용하여 식의 값을
구한다.
주어진 이차방정식의 두 근이 ak, bk이므로 근과 계수의 관계에 의하
여 ak+bk=-3, ak bk=-k€
이때, (ak-bk)€=(ak+bk)€-4ak bk=(-3)€+4k€=4k€+9
이므로
5
Ú
k=1
(ak-bk)€=
(4k€+9)=4
k€+
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
9
5
Ú
k=1
=4_
+9_5=265
5_6_11
6
10 수열의 합 091
02-1 975
|해결 전략| Ú 기호가 여러 개 있는 식의 계산에서는 괄호 안부터 차례로 계산한다.
25
Ú
m=1{
m
Ú
l=1
3}=
25
Ú
m=1
3m=3
25
Ú
m=1
m
=3_
25_26
2
=975
02-2 270
|해결 전략| Ú 기호가 여러 개 있는 식의 계산에서는 괄호 안부터 차례로 계산한다.
n
Ú
j=1
{
m
Ú
i=1
ij}=
n
Ú
j=1
{j
m
Ú
i=1
i}=
n
Ú
j=1
[ j_
m(m+1)
2
]
=
m(m+1)
2
n
Ú
j=1
j=
m(m+1)
2
_
n(n+1)
2
=
mn(mn+m+n+1)
4
이때, 이차방정식 x€-12x+27=0의 두 근이 m, n이므로
근과 계수의 관계에 의하여 m+n=12, mn=27
∫ (주어진 식)=
27_(27+12+1)
4
=270
03-1 ④
|해결 전략| 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 주어진 수열의 일반항
수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면
을 먼저 구한다.
Sn=
ak=2n+1-2
n
Ú
k=1
an=Sn-Sn-1
=(2n+1-2)-(2n-2)=(2-1)_2n=2n (n>2)
a¡=S¡=2
이때, ㉡ 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 an=2n
……㉠
……㉡
4
10
Ú
k=1
ak
4k =
10
Ú
k=1
{;2!;}
k
=
10
;2!; [1-{;2!;}
]
1-;2!;
10
=1-{;2!;}
4
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
a2k=
(24k€-12k+2)
=24
k€-12
k+
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
2
=24_
-12_
+2_5
5_6_11
6
5_6
2
=1320-180+10=1150
04-1 ⑴
n
4(n+1)
⑵
n€+3n
4(n+1)(n+2)
|해결 전략| 주어진 수열의 일반항을 찾아 부분분수로 변형한다.
⑴ 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면
an=
1
2n(2n+2)
=
1
4n(n+1)
수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합은
n
Ú
k=1
ak=
n
Ú
k=1
1
4k(k+1)
=;4!;
n
Ú
k=1
{
1
k
-
1
k+1 }
=;4!; [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+ y +{
1
n
-
1
n+1 }]
=;4!; {1-
n+1 }=
1
n
4(n+1)
⑵ 주어진 수열의 일반항을 an이라 하면
an=
1
n(n+1)(n+2)
=;2!; [
1
n(n+1)
-
1
(n+1)(n+2) ]
수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합은
n
Ú
k=1
ak=
n
Ú
k=1
;2!; [
1
k(k+1)
-
1
(k+1)(k+2) ]
=;2!;
n
Ú
k=1
[
1
k(k+1)
-
1
(k+1)(k+2) ]
=;2!; ”{
1
1_2
-
1
2_3 }+{
1
2_3
-
1
3_4 }
+ y +[
1
n(n+1)
-
1
(n+1)(n+2) ]’
=;2!; [;2!;-
1
(n+1)(n+2) ]
=
n€+3n
4(n+1)(n+2)
03-2 1150
|해결 전략| 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 주어진 수열의 일반항
|해결 전략| 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 주어진 수열의 일반항
을 먼저 구한다.
수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면
수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면
Sn=a¡+a™+a£+ y +an=2n‹
=2n‹-2(n-1)‹=6n€-6n+2 (n>2)
=(n€+2n)-{(n-1)€+2(n-1)}=2n+1 (n>2) ……㉠
……㉡
이때, ㉡ 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
이때, ㉡ 은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
……㉠
……㉡
a¡=S¡=3
an=2n+1
04-2
4
255
을 먼저 구한다.
Sn=
ak=n€+2n
n
Ú
k=1
an=Sn-Sn-1
an=Sn-Sn-1
a¡=S¡=2
an=6n€-6n+2
092 정답과 해설
유형 드릴
| 283쪽~285쪽 |
∫
6
Ú
k=1
1
ak ak+1 ak+2
=
6
Ú
k=1
1
(2k+1)(2k+3)(2k+5)
=;4!;
6
Ú
k=1[
1
(2k+1)(2k+3)
-
1
(2k+3)(2k+5) ]
=;4!; [{
1
3_5
-
1
5_7 }+{
1
5_7
-
1
7_9 }
+ y +{
1
13_15
-
1
15_17 }]
=;4!; {
1
3_5
1
-
15_17 }=
4
255
임을 이용하여 계산한다.
STEP
3
1-1 ④
|해결 전략|
n
Ú
k=1
3k=
3(3n-1)
3-1
8
Ú
k=1
2(3k+1)=2
3k+
8
Ú
k=1
8
Ú
k=1
2
=2_
3(3°-1)
3-1
+2_8
=3·-3+16
=3·+13
∴ p=9
05-1 3-'2+'ß15
|해결 전략| 주어진 수열의 일반항을 찾아 분모를 유리화한다.
, y의 일반항을 an이라 하면
수열
an=
=
,
2
'3+'5
,
2
'2+'4
2
1+'3
2
'n+'ßn+2
2('n-'ßn+2 )
('n+'ßn+2 )('n-'ßn+2 )
='ßn+2 -'n
∫
ak=
14
Ú
k=1
14
Ú
k=1
('ßk+2-'k )
=('3-1)+('4-'2 )+('5-'3 )
+ y +('ß15-'ß13 )+('ß16-'ß14 )
=-1-'2+'ß15+'ß16
=3-'2+'ß15
05-2 24
|해결 전략| 주어진 수열의 일반항을 찾아 분모를 유리화한다.
주어진 수열의 일반항을 an이라 하면
an=1+(n-1)_2=2n-1이므로
1
ßan+1+'ßan
'ß
=
1
ß2n+1+'ß
'ß
=
ß2n-1
'ß2n+1-'ß2n-1
('ß
ß2n-1 )('ß
=;2!; ('ß2n+1-'ß2n-1 )
ß2n+1+'ß
4
n
Ú
k=1
1
ßak+1+'ßak
'ß
=;2!;
n
Ú
k=1
('ß2k+1-'ß2k-1 )
ß2n+1-'ß
ß2n-1 )
1-2 -364
|해결 전략|
ark-1=
n
Ú
k=1
a(rn-1)
r-1
임을 이용하여 계산한다.
수열 {an}은 첫째항이 2, 공비가 -3인 등비수열이므로
6
Ú
k=1
ak=
2{(-3)fl-1}
-3-1
=-364
2-1 ①
|해결 전략| 수열 {an}은 1, 1, 0이 반복됨을 알아낸다.
a¡=1, a™=1, a£=0, a¢=1, a∞=1, a§=0, y
즉, 수열 {an}은 1, 1, 0이 반복되므로
21
Ú
n=1
an=7(1+1+0)=14
2-2 ④
|해결 전략| 수열 {an}은 3, 9, 7, 1이 반복됨을 알아낸다.
a¡=3, a™=9, a£=7, a¢=1, a∞=3, a§=9, a¶=7, a•=1, y
즉, 수열 {an}은 3, 9, 7, 1이 반복되므로 a4k=1
∫
a4k=
1=15
15
Ú
k=1
15
Ú
k=1
3-1 7
|해결 전략| -1의 개수를 a, 0의 개수를 b, 1의 개수를 c라 하고 주어진 Ú를 a,
b, c를 이용하여 나타낸 후 식을 연립하여 계산한다.
a¡, a™, y, a10 중에서 -1의 개수를 a, 0의 개수를 b, 1의 개수를
=;2!; {('3 -1)+('5 -'3 )+('7 -'5 )
ak€=a+c=7
+ y +('ß2n+1-'ß2n-1 )}
=;2!; ('ß2n+1-1)
이때,
n
Ú
k=1
1
ßak+1+'ßak
'ß
=3이므로 ;2!; ('ß2n+1-1)=3
'ß2n+1=7, 2n+1=49
4 n=24
4
10
Ú
k=1
|ak-1|=2|-1-1|+3|0-1|+5|1-1|
=4+3=7
ak=-a+c=3
c라 하면
10
Ú
k=1
10
Ú
k=1
㉠+㉡을 하면 2c=10
4 c=5
c=5를 ㉡에 대입하면 a=2
이때, a+b+c=10이므로 b=3
……㉠
……㉡
10 수열의 합 093
3-2 ③
|해결 전략| f n(1)을 밑이 3인 거듭제곱으로 나타낸다.
f ⁄(1)=f(1)=3
f €(1)=f( f(1))=f(3)=3_3=3€
f ‹(1)=f( f €(1))=f(3€)=3_3€=3‹
⋮
따라서 자연수 n에 대하여 f n(1)=3n
∫
5
Ú
n=1
f n(1)=3+3€+3‹+3›+3fi
=
3(3fi-1)
3-1
=363
4-1 44
|해결 전략|
(ak+bk)=
ak+
bk를 이용한다.
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
7
Ú
k=1
(2ak+2bk)€=
(4ak€+8ak bk+4bk€)
=
4ak€+
8ak bk+
4bk€
7
Ú
k=1
7
Ú
k=1
bk€
7
Ú
k=1
7
Ú
k=1
7
Ú
k=1
=4
ak€+8
ak bk+4
=4 {
7
Ú
k=1
ak€+
bk€}+8
7
Ú
k=1
ak bk
=4
(ak€+bk€)+8
ak bk
7
Ú
k=1
=4_5+8_3=44
7
Ú
k=1
7
Ú
k=1
7
Ú
k=1
7
Ú
k=1
4-2 0
|해결 전략|
(ak+bk)=
ak+
bk를 이용한다.
n
Ú
k=1
{3(3ak-bk)+(ak+3bk)}=
10ak이므로
10ak=3
(3ak-bk)+
(ak+3bk)
15
Ú
k=1
ak=3_8+(-4)=20
4 10
ak=20
15
Ú
k=1
n
Ú
k=1
15
Ú
k=1
{(3ak-bk)-3(ak+3bk)}=
(-10bk)이므로
(-10bk)=
(3ak-bk)-3
(ak+3bk)
15
Ú
k=1
-10
bk=8-3_(-4)=20
4 10
bk=-20
15
Ú
k=1
n
Ú
k=1
15
Ú
k=1
15
Ú
k=1
15
Ú
k=1
10
15
Ú
k=1
15
Ú
k=1
15
Ú
k=1
15
Ú
k=1
15
Ú
k=1
15
Ú
k=1
4
15
Ú
k=1
|해결 전략| m의 값에 따른
i2k의 값의 규칙을 알아본다.
m
Ú
n=1
5-2 ③
m
Ú
k=1
i 2k=-1에서
m=1일 때,
i 2k=i €=-1
m=2일 때,
i 2k=i 2+i 4=0
m=3일 때,
i 2k=i 2+i 4+i 6=-1
m=4일 때,
i 2k=i 2+i 4+i 6+i 8=0
1
Ú
k=1
2
Ú
k=1
3
Ú
k=1
4
Ú
k=1
따라서 m이 홀수일 때,
i 2k=-1이므로 20 이하의 자연수 m의
1+3+5+ y +19=
(2k-1)=2_
-10=100
10_11
2
⋮
값의 합은
6-1 ③
m
Ú
k=1
10
Ú
k=1
|해결 전략|
k=
9
Ú
k=1
9_10
2
,
9
Ú
k=1
k€=
9_10_19
6
를 이용한다.
1_2+2_3+3_4+ y +9_10
=
9
Ú
k=1
k(k+1)=
(k€+k)=
k€+
9
Ú
k=1
9
Ú
k=1
k
9
Ú
k=1
=
9_10_19
6
+
9_10
2
=285+45=330
6-2 ②
|해결 전략|
k=
n
Ú
k=1
n(n+1)
2
,
n
Ú
k=1
k€=
n(n+1)(2n+1)
6
을 이용한다.
n
Ú
k=1
k(3k-1)=
(3k€-k)=3
k€-
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
k
n
Ú
k=1
=3_
n(n+1)(2n+1)
6
-
n(n+1)
2
=
{(2n+1)-1}=n€(n+1)
n(n+1)
2
즉, n€(n+1)=1100이므로 n=10
|해결 전략|
☐의 꼴 ⇨ k를 제외한 ☐ 안의 문자는 상수로 생각하여 계산한다.
7-1 100
n
Ú
k=1
l
Ú
k=1
5=5l이므로
(10ak+10bk)=10
ak+10
bk=20+(-20)=0
15
Ú
k=1
15
Ú
k=1
m
Ú
l=1
{
l
Ú
k=1
5}=
m
Ú
l=1
5l=5
l=5_
m
Ú
l=1
m(m+1)
2
=;2%; m(m+1)
|해결 전략|
an=
(a2n-1+a2n)과 자연수의 제곱의 합 공식을 이용한다.
10
Ú
k=1
5
Ú
k=1
ak=
(a2k-1+a2k)=
3k€=3_
5
Ú
k=1
5_6_11
6
=165
5-1 ②
10
Ú
n=1
5
Ú
n=1
a2n-1+a2n=3n€이므로
094 정답과 해설
∫
4
Ú
m=1[
m
Ú
l=1
{
l
Ú
k=1
5}]=
4
m=1[;2%; m(m+1)]
Ú
=;2%; {
4
Ú
m=1
m€+
4
Ú
m=1
m}
=;2%; {
4_5_9
6
+
4_5
2
}
=;2%; (30+10)=100
|해결 전략|
☐의 꼴 ⇨ k를 제외한 ☐ 안의 문자는 상수로 생각하여 계산한다.
|해결 전략|
n
Ú
k=1
1
k(k+a)
=;a!;
n
Ú
k=1
1
{;k!;-
k+a }임을 이용한다.
9-1 ①
7-2 24
n
Ú
k=1
4
Ú
m=1
l=4l이므로
n
Ú
k=1
1
k(k+1)
=
n
Ú
k=1
{;k!;-
1
k+1 }
={1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+ y +{
1
1
n
-
n+1 }
f(k)=
k
Ú
l=1{
4
Ú
m=1
l}=
k
Ú
l=1
4l=4
k
Ú
l=1
l
=4_
k(k+1)
2
=2k(k+1)
f(6)=2_6_7=84, f(5)=2_5_6=60이므로
f(6)-f(5)=84-60=24
8-1 95
|해결 전략|
ak가 주어지면 a¡=
ak, an=
ak-
ak (n>2)임을
1
Ú
k=1
n
Ú
k=1
n-1
Ú
k=1
n
Ú
k=1
이용하여 일반항을 구한다.
수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면
=1-
1
n+1
=
n
n+1
즉, n
n+1
=;5$0(;이므로 n=49
8-2 -438
|해결 전략|
ak가 주어지면 a¡=
ak, an=
ak-
ak (n>2)임을
1
Ú
k=1
n
Ú
k=1
n-1
Ú
k=1
n
Ú
k=1
이용하여 일반항을 구한다.
수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하면
Sn=
ak=n€
n
Ú
k=1
an=Sn-Sn-1
a¡=S¡=1€=1
=n€-(n-1)€=2n-1 (n>2)
이때, ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로
an=2n-1
5
Ú
k=1
∫
kak=
k(2k-1)=
(2k€-k)
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
5
Ú
k=1
=2
k€-
5
Ú
k=1
k
=2_
5_6_11
6
-
5_6
2
=110-15=95
Sn=
ak=
이므로
n
Ú
k=1
1
n+1
an=Sn-Sn-1
=
1
n+1
-
=
1
n
n-(n+1)
n(n+1)
=-
1
n(n+1)
(n>2)
4
10
Ú
k=2
1
ak
=-
k(k+1)
=-[
k(k+1)]+2
=-
k€-
k+2
10
Ú
k=1
10
Ú
k=2
10
Ú
k=1
10
Ú
k=1
=-
10_11_21
6
-
10_11
2
+2
=-385-55+2=-438
9-2 ④
|해결 전략|
n
Ú
k=1
1
k(k+a)
=;a!;
n
Ú
k=1
1
{;k!;-
k+a }임을 이용한다.
1+
1
1+2
+
1
1+2+3
+ y +
1
1+2+3+ y +10
yy㉠
yy㉡
=
=
10
Ú
k=1
10
Ú
k=1
1
1+2+ y +k
1
k(k+1)
2
=
10
Ú
k=1
2
k(k+1)
=2
10
Ú
k=1
{;k!;-
1
k+1 }
=2 {1-;1¡1;}=;1@1);
=2 [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+ y +{;1¡0;-;1¡1;}]
10-1 -2
|해결 전략| 분모에 무리식이 포함되어 있으면 분모를 유리화한 후 계산한다.
=
1
ß2k+2
'ß2k+'ß
=-;2!; ('ß2k-'ß2k+2 )
'ß2k -'ß2k+2
('2åk +'2ßkß+å2 )('2åk-'2ßkß+å2 )
∫
31
Ú
k=1
1
ß2k+2
'ß2k+'ß
=-;2!;
('ß2k-'ß2k+2 )
31
Ú
k=1
=-;2!; {('2-'4 )+('4 -'6 )
+ y +('ß62 -'ß64 )}
=-;2!; ('2 -'ß64 )
=-;2!; ('2-8)
=4- '2
2
따라서 a=4, b=-;2!;이므로 ab=4_{-;2!;}=-2
10 수열의 합 095
10-2 3
|해결 전략| 수열의 합을 Ú를 쓰지 않은 합의 꼴로 나타낸 후 계산한다.
이차방정식 x€-('k -'ßk+1 )x-"ƒk€+k=0의 두 실근이 ak, bk
이므로 근과 계수의 관계에 의하여
ak+bk='k -'ßk+1, ak bk=-"ƒk€+k=-"ƒk(k+1)
(ak-bk)€=(ak+bk)€-4ak bk
=('k -'ßk+1 )€+4"ƒk(k+1)
=('k +'ßk+1 )€
|ak-bk|='k+'ßk+1이므로
1
|ak-bk|
=
1
'k+'ßk+1
=
'k-'kß+å1
('k+'ßk+1 )('k-'ßkß+å1 )
=-('k -'ßkß+å1 )
∫
15
Ú
k=1
1
|ak-bk|
=-
15
Ú
k=1
('k -'ßk+1 )
=-{(1-'2 )+('2 -'3 )
+ y +('ß15-'ß16 )}
=-(1-'ß16 )
=-(1-4)
=3
LECTURE
이차방정식의 근과 계수의 관계
이차방정식 ax€+bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면
➡ a+b=-;aB;, ab=;aC;
11-1 8_310+3
|해결 전략| 주어진 수열의 합 S에 대하여 S-rS를 계산한다.
S=1_3+3_9+5_27+ y +17_3·
=1_3+3_3€+5_3‹+ y +17_3·
이라 하면
S=1_3+3_3€+5_3‹+ y +17_3·
-) 3S= 1_3€+3_3‹+ y +15_3·+17_310
-2S=1_3+2_3€+2_3‹+ y +2_3·-17_310
=2(3+3€+3‹+ y +3·)-3-17_310
-3-17_310
=2_
3(3·-1)
3-1
=310-3-3-17_310
=-16_310-6
4 S=8_310+3
S=2_;2!;+3_{;2!;}
€+4_{;2!;}
‹+ y +10_{;2!;}
‹
€
+ y +10_{
+4_{;2!;}
S=2_;2!;+3_{;2!;}
·이라 하면
1
·
2 }
9
-);2!; S=
‹
€
+ y + 9_{;2!;}
+3_{;2!;}
2_{;2!;}
+10_{
1
⁄‚
2 }
·
‹
€
+ y +{;2!;}
;2!; S=1+{;2!;}
-10_{
+{;2!;}
⁄‚
1
2 }
°
;4!; [1-{;2!;}
]
=1+
-10_{
⁄‚
1
2 }
1-;2!;
9
=1+;2!;-{;2!;}
-5_{
1
·
2 }
·
=;2#;-6_{;2!;}
4 S=3-6_{;2!;}
°
12-1 ④
|해결 전략| 규칙성을 갖는 군으로 나누어 묶은 후 각 군의 항의 개수를 찾는다.
주어진 수열을 군수열로 나타내면
⑴, (1, 3), (1, 3, 5), (1, 3, 5, 7), (1, 3, 5, 7, 9), y
제n군의 항의 개수는 n이므로 제1군부터 제n군까지의 항의 개수는
=78이므로 제84항은 제13군의 6번째 항이다.
이때, 각 군은 첫째항이 1, 공차가 2인 등차수열이므로 제13군의 6번
n
Ú
k=1
k=
n(n+1)
2
n=12일 때, 12_13
2
째 항은
1+(6-1)_2=11
따라서 제84항은 11이다.
12-2 137
|해결 전략| 주어진 수열을 같은 수끼리 묶은 후 각 군의 규칙성을 찾는다.
주어진 수열을 같은 수끼리 묶으면
(1), {;2!;, ;2!;}, {;3!;, ;3!;, ;3!;}, {;4!;, ;4!;, ;4!;, ;4!;}, y
이므로 제n군의 수는 ;n!; 이고, 항의 개수는 n이다.
즉, ;n!;=;1¡7;에서 n=17이므로 ;1¡7; 은 제17군의 수이다.
또, 제n군의 항의 개수는 n이므로 제1군부터 제16군까지의 항의
개수는
16
Ú
k=1
k=
16_17
2
=136
11-2 3-6_{;2!;}
|해결 전략| 주어진 수열의 합 S에 대하여 S-rS를 계산한다.
°
따라서 ;1¡7; 이 처음으로 나오는 항은 제137항이므로
k=137
096 정답과 해설
개념 확인
288쪽~290쪽
+)an=an-1+8_(n-1)+1
an=a¡+8{1+2+3+ y +(n-1)}+1_(n-1)
=a¡+8
k+n-1
n-1
Ú
k=1
=5+8_
(n-1)n
2
+n-1
⑵ an+1=
an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여
11
| 수학적 귀납법
1
수열의 귀납적 정의
1 ⑴ 23 ⑵ 21 ⑶ 17 ⑷ 120
2 ⑴ a¡=2, an+1=an+5 (n=1, 2, 3, y)
⑵ a¡=1, an+1=an-3 (n=1, 2, 3, y)
3 ⑴ a¡=2, an+1=2an (n=1, 2, 3, y)
⑵ a¡=3, an+1=-;3!; an (n=1, 2, 3, y)
4 ⑴ an=4n€-3n+4 ⑵ an=
2n-1
n
1 ⑴ an+1=an+5의 n에 1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면
a™=a¡+5=3+5=8
⑵ an+1=an+2n의 n에 1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면
a£=a™+5=8+5=13
a¢=a£+5=13+5=18
a∞=a¢+5=18+5=23
a™=a¡+2_1=1+2=3
a£=a™+2_2=3+4=7
a¢=a£+2_3=7+6=13
a∞=a¢+2_4=13+8=21
a™=2a¡-1=4-1=3
a£=2a™-1=6-1=5
a¢=2a£-1=10-1=9
a∞=2a¢-1=18-1=17
a™=a¡=5
a£=2a™=2_5=10
a¢=3a£=3_10=30
a∞=4a¢=4_30=120
⑶ an+1=2an-1의 n에 1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면
⑷ an+1=nan의 n에 1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면
2 ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공차가 5인 등차수열이므로
a¡=2, an+1=an+5 (n=1, 2, 3, y)
⑵ 주어진 수열은 첫째항이 1, 공차가 -3인 등차수열이므로
a¡=1, an+1=an-3 (n=1, 2, 3, y)
3 ⑴ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공비가 2인 등비수열이므로
a¡=2, an+1=2an (n=1, 2, 3, y)
⑵ 주어진 수열은 첫째항이 3, 공비가 -;3!;인 등비수열이므로
a¡=3, an+1=-;3!; an (n=1, 2, 3, y)
4 ⑴ an+1=an+8n+1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하
여 변끼리 더하면
a™=a¡+8_1+1
a£=a™+8_2+1
a¢=a£+8_3+1
⋮
=4n€-3n+4
2n
n+1
변끼리 곱하면
a™=
a£=
2_1
2
a¡
2_2
3
a™
a¢=
2_3
4
a£
⋮
2n-1
n
=a¡_
=
2n-1
n
2(n-1)
n
an-1
_)an=
an=a¡_2n-1 {;2!;_;3@;_;4#;_ y _
n-1
n }
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 6, 5,
13
3
2-1 ⑴ 2, -5 ⑵ 1, 2
, 8, 6, 5,
13
3
3-1 ⑴ -1, 3 ⑵ 3, ;3!;
n€-n+4
4-1 ;2!;, ;2!;, ;2!;,
4
5-1 1, 2, 3, n-1, 1, 2, 3, n-1, n, n+1
| 291쪽~292쪽 |
11 수학적 귀납법 097
⑵ 주어진 수열은 첫째항이 -2, 공차가 -1인 등차수열이므로
an=a¡+(3⁄+3€+3‹+ y +3n-1)
⑵ an+1-an=n€-n에서 an+1=an+n€-n
an+1=an+n€-n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여
변끼리 더하면
a™=a¡+1€-1
a£=a™+2€-2
a¢=a£+3€-3
⋮
+)an=an-1+(n-1)€-(n-1)
an=a¡+{1€+2€+3€+ y +(n-1)€}
-{1+2+3+ y +(n-1)}
=a¡+
k€-
n-1
Ú
k=1
n-1
Ú
k=1
k
=;3!;+
(n-1)n(2n-1)
6
-
(n-1)n
2
=
n‹-3n€+2n+1
3
⑶ an+1-an=3n에서 an+1=an+3n
an+1=an+3n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼
리 더하면
a™=a¡+3⁄
a£=a™+3€
a¢=a£+3‹
⋮
+)an=an-1+3n-1
=a¡+
n-1
Ú
k=1
3k
=4+
3(3n-1-1)
3-1
=
3n+5
2
⑷ an+1-an=2n-1에서 an+1=an+2n-1
an+1=an+2n-1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변
끼리 더하면
a™=a¡+2⁄-1
a£=a™+2€-1
a¢=a£+2‹-1
⋮
+)an=an-1+2n-1-1
=a¡+
2k-(n-1)
n-1
Ú
k=1
=3+
2(2n-1-1)
2-1
-(n-1)
=2n-n+2
an=a¡+(2⁄+2€+2‹+ y +2n-1)+(-1)_(n-1)
스스로 check
1-2 ⑴ 3, ;4#;, ;7#;, ;1£0; ⑵ 2, 3, 4, 5
⑴ an+1=
의 n에 1, 2, 3을 차례로 대입하면
an
an+1
a™=
a1
a¡+1
=
3
3+1
=;4#;
a£=
a2
a™+1
=
a¢=
a£
a£+1
=
;4#;
;4#;+1
;7#;
;7#;+1
=;7#;
=;1£0;
3, ;4#;, ;7#;, ;1£0;
이므로 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면
⑵ an+2=2an+1-an의 n에 1, 2를 차례로 대입하면
a£=2a™-a¡=2_3-2=4
a¢=2a£-a™=2_4-3=5
이므로 수열 {an}의 첫째항부터 제4항까지 차례로 나열하면
2, 3, 4, 5
2-2 ⑴ an=3n+2 ⑵ an=-n-1
⑴ 주어진 수열은 첫째항이 5, 공차가 3인 등차수열이므로
an=5+(n-1)_3=3n+2
an=-2+(n-1)_(-1)=-n-1
3-2 ⑴ an=2_{;5!;}
n-1
⑵ an=(-2)˜
⑴ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공비가 ;5!; 인 등비수열이므로
n-1
an=2_{;5!;}
⑵ 주어진 수열은 첫째항이 -2, 공비가 -2인 등비수열이므로
an=(-2)_(-2)n-1=(-2)˜
4-2 ⑴ an=2n€-2n+1 ⑵ an=
3n+5
2
⑶ an=
⑷ an=2n-n+2
n‹-3n€+2n+1
3
⑴ an+1-an=4n에서 an+1=an+4n
an+1=an+4n의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼
리 더하면
a™=a¡+4_1
a£=a™+4_2
a¢=a£+4_3
⋮
098 정답과 해설
+)an=an-1+4_(n-1)
an=a¡+4{1+2+3+ y +(n-1)}
=a¡+4
k=1+4_
=2n€-2n+1
n-1
Ú
k=1
(n-1)n
2
5-2 ⑴ an=
6
(n+1)(n+2)
⑵ an=
⑶ an=n
⑷ an=2
6
n+1
(n-1)n
2
⑴
an+1
an
=
n+1
n+3
에서 an+1=
n+1
n+3
an
⑷
an+1
an
=2n에서 an+1=2nan
an+1=
an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변
an+1=2nan의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리
곱하면
an=a¡_{;4@;_;5#;_;6$;_ y _
n
n+2 }
=a¡_
2_3
(n+1)(n+2)
=
6
(n+1)(n+2)
⑵
an+1
an
=1-
에서 an+1=
1
n+2
n+1
n+2
an
an+1=
an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여
_)an=
n
n+1
an-1
an=a¡_{;3@;_;4#;_;5$;_ y _
n
n+1 }
=a¡_
2
n+1
=
6
n+1
⑶
an+1
an
1
n
=1+
에서 an+1=
n+1
n
an
an+1=
an의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여
n+1
n+3
끼리 곱하면
a™=;4@; a¡
a£=;5#; a™
a¢=;6$; a£
⋮
_)an=
n
n+2
an-1
n+1
n+2
변끼리 곱하면
a™=;3@; a¡
a£=;4#; a™
a¢=;5$; a£
⋮
n+1
n
변끼리 곱하면
a™=;1@; a¡
a£=;2#; a™
a¢=;3$; a£
⋮
_)an=
n
n-1
an-1
an=a¡_{;1@;_;2#;_;3$;_ y _
n
n-1 }
=a¡_n=n
a™=2⁄a¡
a£=2€a™
a¢=2‹a£
⋮
_)an=2n-1an-1
an=a¡_(2⁄_2€_2‹_ y _2n-1)
=a¡_21+2+3+ y +(n-1)
(n-1)n
2
=2
STEP
필수 유형
2
| 293쪽~298쪽 |
01-1 ⑴ -25 ⑵ 55
|해결 전략| 주어진 수열이 등차수열임을 이용하여 일반항을 구한 후 a15를 구한다.
⑴ 주어진 수열은 첫째항이 3, 공차가 -2인 등차수열이므로
an=3+(n-1)_(-2)=-2n+5
4 a15=-2_15+5=-25
⑵ 주어진 수열은 첫째항이 -1, 공차가 4인 등차수열이므로
an=-1+(n-1)_4=4n-5
4 a15=4_15-5=55
01-2 13
|해결 전략| 주어진 수열이 등차수열임을 이용하여 일반항을 구한 후 조건을 만
족시키는 k의 값을 구한다.
an+2-2an+1+an=0이므로 수열 {an}은 등차수열이다.
수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d 라 하면
……㉠
……㉡
a£=4에서 a+2d=4
a∞=9에서 a+4d=9
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 a=-1, d=;2%;
4 an=-1+(n-1)_;2%;=;2%; n-;2&;
이때, ak=29이므로
ak=;2%; k-;2&;=29
4 k=13
02-1 ⑴ 2_319 ⑵ 3_519
|해결 전략| 주어진 수열이 등비수열임을 이용하여 일반항을 구한 후 a20을 구한다.
⑴ 주어진 수열은 첫째항이 2, 공비가 3인 등비수열이므로
an=2_3n-1
4 a20=2_319
⑵ 주어진 수열은 첫째항이 -3, 공비가 -5인 등비수열이므로
an=-3_(-5)n-1
4 a20=-3_(-5)19=3_519
11 수학적 귀납법 099
02-2 1023
|해결 전략| 주어진 수열이 등비수열이므로 등비수열의 합 공식을 이용한다.
04-1 5
|해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 22를 차례로 대입하여 변끼리 곱한다.
주어진 수열은 첫째항이 3, 공비가 4인 등비수열이므로
5
Ú
k =1
ak=
3(4fi-1)
4-1
=4fi-1=210-1=1023
an+1=
an의 n에 1, 2, 3, y, 22를 차례로 대입하여 변끼리 곱
03-1 526
|해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변끼리 더한다.
an+1=an+2n€-n의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변끼리
더하면
a™=a¡+2_1€-1
a£=a™+2_2€-2
a¢=a£+2_3€-3
⋮
+)a10=a9+2_9€-9
=a¡+2
k€-
9
Ú
k=1
9
Ú
k=1
k
a¡º=a¡+2(1€+2€+3€+ y +9€)-(1+2+3+ y +9)
a23=a¡_{;1#;_;3%;_;5&;_ y _;4$3%;}
=;9!;_45=5
=1+2_
9_10_19
6
-
9_10
2
=526
LECTURE
자연수의 거듭제곱의 합
❶ 1+2+3+ y +n=
n
Ú
k=1
k= n(n+1)
2
❷ 1€+2€+3€+ y +n€=
n
Ú
k=1
k€= n(n+1)(2n+1)
6
04-2 'ß10
180
|해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 79를 차례로 대입하여 변끼리 곱한다.
'ßn+2 an+1='n an에서 an+1= 'n
'ån+2
an+1= 'n
'ån+2
an
곱하면
an의 n에 1, 2, 3, y, 79를 차례로 대입하여 변끼리
2n+1
2n-1
하면
a™=;1#; a¡
a£=;3%; a™
a¢=;5&; a£
⋮
_)a23=
45
43
a22
03-2 10
|해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 더하
고, ak=127임을 이용하여 식을 세운다.
an+1=an+3n-1의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼
리 더하면
a™=a¡+3_1-1
a£=a™+3_2-1
a¢=a£+3_3-1
⋮
+)an=an-1+3(n-1)-1
an=a¡+3{1+2+3+ y +(n-1)}+(-1)_(n-1)
=a1+3
k+(-1)_(n-1)
n-1
Ú
k=1
=1+3_
-(n-1)=
(n-1)n
2
3n€-5n+4
2
ak=127이므로 3k€-5k+4
=127
2
3k€-5k-250=0, (3k+25)(k-10)=0
4 k=-;;™3∞;; 또는 k=10
이때, k는 자연수이므로 k=10
100 정답과 해설
a¡
a™
a£
a™= '1
'3
a£= '2
'4
a¢= '3
'5
⋮
a79
_)a80= 'ß79
'ß81
a80=a¡_{
'1
'3
= '1_'2
'ß80 _'ß81
_ y _ 'ß79
'ß81 }
_ '2
'4
= '2
36'5
_ '3
'5
= 'ß10
180
05-1 5°
2·
대한 식으로 변형한다.
3Sn=2an+1
3Sn-1=2an (n>2)
|해결 전략| a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 주어진 식을 an에
……㉠
……㉡
㉠-㉡ 을 하면 3an=2(an+1-an)
4 an+1=;2%;an (n>2)
이때, a1=S1=;3!; 이므로 3S¡=2a™에서 a™=;2!;
따라서 수열 {an}의 일반항 an은
a¡=;3!;, an=;2!;_{;2%;}
n-2
(n>2)
4 a10=;2!;_{;2%;}
8
=
5°
2·
05-2 3·+1
2
대한 식으로 변형한다.
Sn+1=3Sn-1
Sn=3Sn-1-1 (n>2)
2
수학적 귀납법
개념 확인
1 풀이 참조
1 1 n=1일 때,
(좌변)=1, (우변)=
1_(1+1)
2
=1
이므로 주어진 등식이 성립한다.
299쪽
|해결 전략| a¡=S¡, an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 주어진 식을 an에
2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
㉠-㉡ 을 하면 an+1=3an (n>2)
이때, a1=S1=1이므로 S2=3S1-1=3-1=2이고,
S2=a1+a2=2이므로 a2=1
따라서 수열 {an}의 일반항 an은
a1=1, an=3n-2 (n>2)
∫ S10=a¡+
ak=1+
10
Ú
k=2
3·-1
3-1
=
3·+1
2
……㉠
……㉡
1+2+3+ … +k=
k(k+1)
2
위 식의 양변에 k+1을 더하면
1+2+3+ … +k+(k+1)=
+(k+1)
k(k+1)
2
=
k€+3k+2
2
=
(k+1)(k+2)
2
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
1, 2에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
06-1 255
|해결 전략| 주어진 조건을 이용하여 a¡을 구하고 an과 an+1 사이의 관계식을 구
1시간이 지날 때마다 전 시간의 2배보다 1마리 많게 번식하므로
한다.
a¡=15_2+1=31
(n+1)시간 후 박테리아 수 an+1은 an의 2배보다 1마리 많으므로
an+1=2an+1 (n=1, 2, 3, y)
an+1=2an+1의 n에 1, 2, 3을 차례로 대입하면
a™=2a¡+1=2_31+1=63
a£=2a™+1=2_63+1=127
∫ a¢=2a£+1=2_127+1=255
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ;2!;, ;2!;,
k+1
k+2
, k+1
2-1 1, 1, 3k-2,
(k+1)(3k+2)
2
스스로 check
1-2 풀이 참조
1 n=1일 때,
| 300쪽 |
06-2 8
|해결 전략| (n+2)번째 계단을 오르는 방법은 n번째 계단에서 두 계단을 올라
가는 방법과 (n+1)번째 계단에서 한 계단을 올라가는 방법이 있음을 이용한다.
첫 번째 계단을 오르는 방법은 1가지이고, 두 번째 계단을 오르는 방
법은 2가지이므로
a¡=1, a™=2
오른쪽 그림과 같이 (n+2)번째 계단을 오
르는 방법은 n번째 계단에서 두 계단을 올라
가는 방법과 (n+1)번째 계단에서 한 계단
an+2
(n+2)
번째
계단
an+1
(n+1)
번째
계단
an
n번째
계단
an+2=an+1+an의 n에 1, 2, 3을 차례로 대입하면
을 올라가는 방법이 있다.
4 an+2=an+1+an
a£=a™+a¡=2+1=3
a¢=a£+a™=3+2=5
∫ a∞=a¢+a£=5+3=8
(좌변)=;3!;, (우변)=
1
2_1+1
=;3!;
이므로 주어진 등식이 성립한다.
2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
1
1_3
+
1
3_5
+
1
5_7
+ y +
1
(2k-1)(2k+1)
=
k
2k+1
위 식의 양변에
1
(2k+1)(2k+3)
을 더하면
1
1_3
+
1
3_5
+
1
5_7
+ y +
1
(2k-1)(2k+1)
+
1
(2k+1)(2k+3)
=
k
2k+1
+
1
(2k+1)(2k+3)
=
(2k+1)(k+1)
(2k+1)(2k+3)
=
k+1
2k+3
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
1, 2에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
11 수학적 귀납법 101
2-2 풀이 참조
1 n=1일 때,
(좌변)=2, (우변)=;3!;_1_2_3=2
이므로 주어진 등식이 성립한다.
2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
STEP
유형 드릴
3
1-1 199
|해결 전략| 주어진 수열이 등차수열임을 이용하여 일반항을 구한 후 a100을 구한다.
| 303쪽~305쪽 |
주어진 수열은 첫째항이 1, 공차가 2인 등차수열이므로
an=1+(n-1)_2=2n-1
4 a100=199
1_2+2_3+3_4+ y +k(k+1)=;3!; k(k+1)(k+2)
위 식의 양변에 (k+1)(k+2)를 더하면
1-2 -92
|해결 전략| 주어진 수열이 등차수열임을 이용하여 일반항을 구한다.
1_2+2_3+3_4+ y +k(k+1)+(k+1)(k+2)
주어진 수열은 첫째항이 -22, 공차가 3인 등차수열이므로
=;3!; k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)
an=-22+(n-1)_3=3n-25>0
∫ n>;;™3∞;;=8.3 y
=;3!;(k+1)(k+2)(k+3)
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
1, 2에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
따라서
ak의 최솟값은
n
Ú
k=1
8
Ú
k=1
ak=
8(-44+7_3)
2
=-92
STEP
필수 유형
2
01-1 풀이 참조
|해결 전략| n=1일 때 명제 p(n)이 성립함을 보인 후 n=k일 때 명제 p(n)이
| 301쪽~302쪽 |
성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 명제 p(n)이 성립함을 보인다.
a£=2에서 a_2€=2이므로 a=;2!;
4 a10=;2!;_2·=2°=256
2-1 256
|해결 전략| 주어진 수열이 등비수열임을 이용하여 일반항을 구한다.
주어진 수열은 공비가 2인 등비수열이므로 첫째항을 a라 하면
2-2 192
|해결 전략| 수열 {an}은 등차수열이고, 수열 {bn}은 등비수열임을 이용한다.
수열 {an}은 첫째항이 2, 공차가 2인 등차수열이므로
an=2+(n-1)_2=2n
수열 {bn}은 첫째항이 3인 등비수열이므로 공비를 r라 하면
bn=3r n-1
이때, a12=24, b9=3r °이므로 24=3r °
4 b17=3r 16=3(r °)2=3_8€=192
4 r °=8
3-1
;1!0(0(;
변끼리 더하면
1
1_2
1
2_3
a™=a¡+
a£=a™+
⋮
+)a100=a99+
1
99_100
a100=a¡+{
1
1_2
+
1
2_3
+ y +
1
99_100 }
=1+{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+ y +{;9¡9;-
1
100 }
=1+{1-
1
100 }=
199
100
1 n=1일 때,
(좌변)=1, (우변)=2⁄-1=1
이므로 주어진 등식이 성립한다.
2 n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면
1+2+2€+ y +2k-1=2k-1
위 식의 양변에 2k을 더하면
1+2+2€+ y +2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
1, 2에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
1 n=4일 때,
(좌변)=2›=16, (우변)=4€=16
이므로 주어진 부등식이 성립한다.
2 n=k (k>4)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
2k>k€이므로 2k_2>k€_2=2k€
이때, k>4인 모든 자연수 k에 대하여
2k€-(k+1)€=(k-1)€-2>0
이므로
2k+1>2k€>(k+1)€
따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.
1, 2에서 n>4인 모든 자연수 n에 대하여 주어진 부등식이 성립한
다.
102 정답과 해설
02-1 풀이 참조
|해결 전략| n=4일 때 명제 p(n)이 성립함을 보인 후 n=k(k>4)일 때 명제
p(n)이 성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 명제 p(n)이 성립함을 보인다.
|해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입하여 변끼리 더한다.
an+1=an+
의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입하여
1
n(n+1)
3-2 50
|해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입한다.
an+1=an+(-1)n의 n에 1, 2, 3, y, 99를 차례로 대입하면
a™=a¡+(-1)=1+(-1)=0
㉠-㉡ 을 하면
;2!; (an+1+n)-;2!; (an+n-1)=an+1이므로 an+an+1=1 (n>2)
4
11
Ú
k=2
ak=(a™+a£)+(a¢+a∞)+ y +(a10+a11)=5
5-2 ④
|해결 전략| an=Sn-Sn-1 (n>2)임을 이용하여 주어진 식을 an에 대한 식으
……㉠
……㉡
로 변형한다.
Sn=2an+1
Sn-1=2an (n>2)
㉠-㉡ 을 하면
an=2an+1-2an
4 an+1=;2#; an (n>2)
a1=S¡=2이므로
S¡=2a™=2에서 a™=1
∫
5
Ú
k=1
ak=a¡+
5
Ú
k=2
ak
=2+
›
-1
{;2#;}
;2#;-1
=2+2 {;1*6!;-1}
=;;•8¡;;
따라서 p=8, q=81이므로 p+q=89
6-1 ①
|해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 7을 차례로 대입하여 변끼리 더한다.
=
+2n의 n에 1, 2, 3, y, 7을 차례로 대입하여 변끼리
|해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y, 9를 차례로 대입하여 변끼리 곱한다.
an+1=
an의 n에 1, 2, 3, y, 9 를 차례로 대입하여 변끼리 곱하면
a£=a™+(-1)€=0+1=1
a¢=a£+(-1)‹=1+(-1)=0
⋮
a100=a99+(-1)·9=1+(-1)=0
4
100
Ú
k=1
ak=50
4-1
;5!;
n
n+2
a™=;3!; a¡
a£=;4@; a™
a¢=;5#; a£
⋮
_)a10=
9
11
a9
a10=a¡_;3!;_;4@;_;5#;_ y _;1ª1;
=a¡_
=11_
1_2
10_11
1_2
10_11
=;5!;
4-2 9
|해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, y을 차례로 대입한다.
an+1=nan의 n에 1, 2, 3, y을 차례로 대입하면
a™=a¡=1
a£=2a™=2_1
a¢=3a£=3_2_1
a∞=4a¢=4_3_2_1=3_2‹
a§=5a∞=5_4_3_2_1=5_3_2‹
a¶=6a§=6_5_4_3_2_1=5_3€_2›
a•=7a7=7_6_5_4_3_2_1=7_5_3€_2›
a9=8a•=8_7_6_5_4_3_2_1=7_5_3€_2‡
따라서 an이 32의 배수가 되도록 하는 자연수 n의 최솟값은 9이다.
5-1 ①
|해결 전략| an+1=Sn+1-Sn임을 이용하여 주어진 식을 an에 대한 식으로 변
형한다.
Sn+1=;2!;(an+1+n)
Sn=;2!;(an+n-1) (n>2)
1
an+1
1
an
더하면
1
a2
1
a3
1
a4
=
+2
=
+4
=
+6
⋮
=
+14
1
a1
1
a2
1
a3
1
a7
1
a1
1
a8
+)
1
a8
4 a•=;5¡7;
=
+(2+4+6+ y +14)
=1+
7(2+14)
2
=57
……㉠
……㉡
11 수학적 귀납법 103
6-2 ③
|해결 전략| 주어진 식의 n에 1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입한다.
an+an+1=an+2의 n에 1, 2, 3, 4, 5를 차례로 대입하면
a£=a¡+a™=1+1=2
a¢=a™+a£=1+2=3
a∞=a£+a¢=2+3=5
a§=a¢+a∞=3+5=8
4 a¶=a∞+a§=5+8=13
7-1 ①
|해결 전략| a¡, a™, a£, a¢, a∞, y를 구하여 f(n)을 추측해 본다.
a¡=2, a™=4, a£=7, a¢=11, a∞=16, y이므로
a™-a¡=2, a£-a™=3, a¢-a£=4, a∞-a¢=5, y
따라서 an+1-an=n+1이므로 an+1=an+n+1
4 f(n)=n+1
f(n)=10에서 n+1=10
4 n=9
선분 PnPn+1의 중점이 Pn+2이므로 xn+2=
xn+xn+1
2
의 n에 1, 2를 차례로 대입하면
이때, kh€ >0이므로
7-2 ⑤
|해결 전략| 수직선 위의 두 점을 이은 선분의 중점을 이용하여 xn, xn+1, xn+2
사이의 관계식을 구한다.
x¡=5, x™=
0+5
2
=;2%;
xn+2=
xn+xn+1
2
x£=
x1+x2
2
=
5+
5
2
2
4 x¢=
x2+x3
2
=
LECTURE
수직선 위의 선분의 중점
M {
x1+x2
2
}
=;;¡4∞;;
15
;2%;+
4
2
=;;™8∞;;
➡ 수직선 위의 두 점 A(x¡), B(x™)에서 선분 AB의 중점 M은
2 n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
1‹+2‹+3‹+ y +k‹=[
k(k+1)
2
€
]
위 식의 양변에 (k+1)‹ 을 더하면
1‹+2‹+3‹+ y +k‹+ (k+1)‹
=[
k(k+1)
2
€
]
+ (k+1)‹
=
(k+1)€_ (k+2)€
4
=[
(k+1)(k+2)
2
]
€
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
1, 2에서 모든 자연수 n에 대하여 ㉠이 성립한다.
8-2 ③
|해결 전략| 주어진 부등식이 n=2일 때 성립함을 보인 후 n=k( k>2)일 때
성립한다고 가정하면 n=k+1일 때도 성립함을 보인다.
h>0일 때, n>2인 모든 자연수 n에 대하여 부등식
(1+h)n>1+nh
yy㉠
1 n=2일 때,
(좌변)=(1+h)€=1+2h+h€, (우변)=1+2h
이므로 ㉠이 성립한다.
2 n=k (k>2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
(1+h)k>1+kh
위 식의 양변에 1+h 를 곱하면
(1+h)k+1>(1+kh)( 1+h )
=1+(k+1)h+ kh€
1+(k+1)h+ kh€ >1+(k+1)h
∫ (1+h)k+1>1+(k+1)h
따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
1, 2에서 n>2인 모든 자연수 n에 대하여 ㉠이 성립한다.
9-1 ③
|해결 전략| p(1)이 참이므로 ㈏, ㈐ 를 이용하여 참인 명제를 연달아 찾는다.
㈎, ㈐에서 p(1)이 참이므로 참인 명제는 p(3), p(9), p(27), y
또, ㈏에서 p(3)이 참이므로 참인 명제는 p(5), p(9), p(17),
이다.
p(33), y이다.
따라서 반드시 참인 명제가 아닌 것은 p(13)이다.
8-1 ④
|해결 전략| 주어진 등식이 n=1일 때 성립함을 보인 후 n=k일 때 성립한다고
가정하면 n=k+1일 때도 성립함을 보인다.
모든 자연수 n에 대하여 등식
1‹+2‹+3‹+ y +n‹=[
n(n+1)
2
€
]
1 n=1일 때,
(좌변)=1‹=1, (우변)={
1_2
2
€
}
=1
이므로 ㉠이 성립한다.
104 정답과 해설
9-2 ④
|해결 전략| p(1)이 참이므로 ㈏, ㈐ 를 이용하여 참인 명제를 연달아 찾는다.
yy㉠
㈎, ㈐에서 p(1)이 참이므로 참인 명제는 p(2), p(4), p(8), y이
다.
또, ㈏에서 p(2)가 참이므로 참인 명제는 p(5), p(8), p(11), p(14), y
이고, p(4)가 참이므로 참인 명제는 p(7), p(10), p(13), y이다.
따라서 반드시 참인 명제는 p(11)이다.
