정답과
해설
I 수열의 극한
1 | 수열의 극한
2 | 급수
II 여러 가지 함수의 미분
3 | 지수함수와 로그함수의 미분
4 | 삼각함수의 미분
III 미분법
5 | 여러 가지 미분법
6 | 도함수의 활용 ⑴
7 | 도함수의 활용 ⑵
IV 적분법
8 | 여러 가지 적분법
9 | 정적분
10 | 정적분의 활용
002
011
019
027
035
045
055
068
079
088
1
| 수열의 극한
1 수열의 수렴과 발산
개념 확인
1 ⑴ 1 ⑵ -3 ⑶ 1
3 ⑴ 5 ⑵ -3 ⑶ -;2!;
2 ⑴ 양의 무한대로 발산 ⑵ 발산(진동) ⑶ 음의 무한대로 발산
4 ⑴ ;3@;에 수렴 ⑵ 0에 수렴 ⑶ 음의 무한대로 발산
5 ⑴ 0에 수렴 ⑵ 양의 무한대로 발산
6 3
1 ⑴ an=
n
n+1
에 n=1, 2, 3, …을 차례로
대입하면 ;2!;, ;3@;, ;4#;, …이므로 n이 커짐
에 따라 변화하는 an의 값을 좌표평면
위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 수열 [
n
n+1 ]의 극한값은 1이다.
⑵ an=-3의 항의 값을 좌표평면 위에
나타내면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 수열 {-3}의 극한값은 -3
이다.
⑶ an=1+
에 n=1, 2, 3,
an
(-1)n+1
n
…을 차례로 대입하면 2, ;2!;, ;3$;, …이
므로 n이 커짐에 따라 변화하는 an의
an
1
;2!;
an
O
-3
2
1
O
1
2 3 4
n
1
2 3 4
n
an=-3
an=1+
(-1)n+1
n
값을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽
O
1
2 3 4
n
그림과 같다.
따라서 수열 [1+
]의 극한값은 1이다.
(-1)n+1
n
2 ⑴ an=n€에 n=1, 2, 3, …을 차례로 대입하
면 1, 4, 9, …이므로 n이 커짐에 따라 변
화하는 an의 값을 좌표평면 위에 나타내면
오른쪽 그림과 같다.
따라서 수열 {n€}은 양의 무한대로 발산
한다.
an
9
4
1
O
an=n€
⑵ an=1+(-1)n에 n=1, 2, 3, …을
차례로 대입하면 0, 2, 0, 2, …이므로
an
2
n이 커짐에 따라 변화하는 an의 값을
좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림
과 같다.
따라서 수열 {1+(-1)n}은 발산(진동)한다.
O
1
2 3 4
n
002 정답과 해설
⑶ an=1-n에 n=1, 2, 3, …을 차례로
대입하면 0, -1, -2, …이므로 n이
커짐에 따라 변화하는 an의 값을 좌표
평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과
an
O
-1
-2
-3
1
2 3 4
n
an=1-n
같다.
따라서 수열 {1-n}은 음의 무한대로 발산한다.
8쪽~13쪽
3 ⑴ lim
n dM
(an-2bn)= lim
n dM
an-2 lim
n dM
bn
⑵ lim
n dM
anbn= lim
n dM
=3-2*(-1)=5
an lim
n dM
bn
=3*(-1)=-3
⑶ lim
n dM
3bn
2an
=
lim
n d$
lim
n d$
3bn
2an
=
3 lim
n d$
2 lim
n d$
bn
an
=
3*(-1)
2*3
=-;2!;
an=
n
n+1
4 ⑴ 분모의 최고차항인 n€으로 분모, 분자를 나누면
lim
n dM
2n€+1
3n€-n+2
= lim
n dM
2+
1
n€
3-
+
1
n
2
n€
=
2+0
3-0+0
=;3@; (수렴)
-
+
2+
-
1
n
3
n
2
n€
1
n€
=
-0+0
2+0-0
=0 (수렴)
⑵ 분모의 최고차항인 n€으로 분모, 분자를 나누면
lim
n dM
-n+2
2n€+3n-1
= lim
n dM
⑶ 분모의 최고차항인 n으로 분모, 분자를 나누면
lim
n dM
-2n‹+1
n+4
= lim
n dM
-2n€+
1
n
1+
4
n
=
-M+0
1+0
=-M (발산)
다른 풀이
⑴ (분자의 차수)=(분모의 차수)이므로
lim
n d$
2n€+1
3n€-n+2
=;3@; (수렴)
⑵ (분자의 차수)<(분모의 차수)이므로
lim
n d$
-n+2
2n€+3n-1
=0 (수렴)
⑶ (분자의 차수)>(분모의 차수)이고, 최고차항의 계수의 부호가 다르므로
1
2 3
n
lim
n d$
-2n‹+1
n+4
=-M (발산)
an=1+(-1)n
5 ⑴ 분모를 1로 생각하고 분자를 유리화하면
lim
n dM
('ßn+1-'n)= lim
n dM
('ßn+1-'n)('ßn+1+'n)
'ßn+1+'n
1
'ßn+1+'n
=0 (수렴)
= lim
n dM
=
1
M
⑵ 최고차항인 n‹으로 묶으면
lim
n dM
(2n‹-3n€-1)= lim
n dM
n‹{2-
3
n
-
1
n‹ }
=M*2=M (발산)
6
3n-5
n+1
(분모의 차수)이고, 최고차항의 계수의 부호가 다르므로
n이 커짐에 따라 변화하는 an의 값을
4-2 ⑴ 0에 수렴 ⑵ 1에 수렴 ⑶ 양의 무한대로 발산
⑴ 분모를 1로 생각하고 분자를 유리화하면
다른 풀이
⑴ (분자의 차수)=(분모의 차수)이므로
lim
n d$
n€+3n
2n€-10
=;2!; (수렴)
lim
n d$
n€-n+2
-3n+1
=-M (발산)
⑶ (분자의 차수)<(분모의 차수)이므로
lim
n d$
4n-3
n€+n+1
=0 (수렴)
('ßn+5-'n)('ßn+5+'n)
'ßn+5+'n
=
=0 (수렴)
5
M
lim
n dM
('ßn+5-'n)
= lim
n dM
= lim
n dM
5
'ßn+5+'n
⑵ 분모를 유리화하면
lim
n dM
1
"ƒn€+2n-n
= lim
n dM
= lim
n dM
"ƒn€+2n+n
("ƒn€+2n-n)("ƒn€+2n+n)
2
n
2
"ƒn€+2n+n
2n
= lim
n dM
Ƙ1+
+1
=
=1 (수렴)
1+1
2
⑶ 최고차항인 n€으로 묶으면
lim
n dM
(n€-5n)= lim
n dM
n€ {1-
5
n }
=M*1=M (발산)
⑵ an=
n+3
2n€+1
에 n=1, 2, 3, …을 차
례로 대입하면 ;3$;, ;9%;, ;1§9;, …이므로
an
;3$;
an=
n+3
2n€+1
좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림
O
1
2
3
4
n
과 같다.
따라서 수열 [
n+3
2n€+1 ]은 0에 수렴한다.
⑶ an=cos np에 n=1, 2, 3, …을 차례로
대입하면 -1, 1, -1, 1, …이므로 n이 커
짐에 따라 변화하는 an의 값을 좌표평면
위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 수열 {cos np}는 발산(진동)한다.
an
1
O
-1
an=cos np
1
3
2
4
n
02-1 ⑴ ;2!; ⑵ 1 ⑶ 1
|해결 전략|
꼴의 극한은 무리식이 있든 없든 항상 분모의 최고차항으로 분모,
M
M
분자를 나누어 그 극한값을 구한다.
⑴ 1+2+3+ … +(n-1)=
k=
n-1
Ú
k =1
(n-1)n
2
=
n€-n
2
이므로
(주어진 식)= lim
n dM
n€-n
2n€
= lim
n dM
=
1-0
2
=;2!;
1-
1
n
2
⑵ lim
n dM[{1-;2!;}{1-;3!;}{1-;4!;} … {1-
€
1
n }]
n€
= lim
n dM{;2!;*;3@;*;4#;*…*
n-1
€
n }
*n€
= lim
n dM{
€
1
n }
*n€
= lim
n dM
1=1
⑶ 분모의 최고차항인 n(근호 안은 n€)으로 분모, 분자를 나누면
STEP
필수 유형
2
01-1 ⑴ 발산(진동) ⑵ 0에 수렴 ⑶ 발산(진동)
|해결 전략| 일반항 an에 n=1, 2, 3, …을 차례로 대입하여 항의 값의 변화를 파
=
1
1-0
=1
lim
n dM
n
"ƒn€+n+1-"ƒn-1
1
| 16쪽~21쪽 |
= lim
n dM
Ƙ1+
1
n
+
1
n€
-Ƙ
1
n
-
1
n€
악한다.
⑴ an=n*(-1)n에 n=1, 2, 3, …을 차례
로 대입하면 -1, 2, -3, 4, …이므로 n
이 커짐에 따라 변화하는 an의 값을 좌표
평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 수열 {n*(-1)n}은 발산(진동)
an=n*(-1)n
1
3
2
4
n
an
4
2
O
-1
-3
한다.
004 정답과 해설
03-1 ⑴ 양의 무한대로 발산 ⑵ ;3@;에 수렴 ⑶ 양의 무한대로 발산
|해결 전략| M-M 꼴의 극한은 무리식이면 근호를 포함한 쪽을 유리화하고, 다
항식이면 최고차항으로 묶는다.
⑴ 분모를 1로 생각하고 분자를 유리화하면
이때, 1-b+0이면 발산하여 극한값이 존재할 수 없으므로
1-b=0
4 b=1
따라서 ㉠에서
=1이므로 a=5
a-3
1+'b
=
a-3
1+1
4 a+b=5+1=6
05-1 3
|해결 전략| 먼저
=bn으로 치환한다.
3an-5
an-2
3an-5
an-2
=bn으로 놓으면
3an-5=anbn-2bn, (3-bn)an=5-2bn
4 an=
5-2bn
3-bn
lim
n dM
bn=4이므로
lim
n dM
an= lim
n dM
5-2bn
3-bn
=
5-2*4
3-4
=3
05-2 3
|해결 전략| 먼저 (3n-2)an=bn으로 치환한다.
(3n-2)an=bn으로 놓으면
an=
bn
3n-2
lim
n dM
bn=9이므로
lim
n dM
(n+1)an= lim
n dM[(n+1)*
bn
3n-2 ]
= lim
n dM{
n+1
3n-2
*bn}
= lim
n dM
n+1
3n-2
* lim
n dM
bn
= lim
n dM
* lim
n dM
bn
1+
3-
1
n
2
n
=;3!;*9=3
다른 풀이
lim
n d$
(3n-2)an=9이므로
=9*;3!;=3
n('ßn+1-'ßn-1)('ßn+1+'ßn-1)
'ßn+1+'ßn-1
lim
n dM
n('ßn+1-'ßn-1)
= lim
n dM
= lim
n dM
= lim
n dM
2n
'ßn+1+'ßn-1
2'n
+Ƙ1-
1
n
1
n
Ƙ1+
=
=M (발산)
M
1+1
⑵ 분모, 분자를 각각 유리화하면
lim
n dM
'n-'ßn-2
'ßn+3-'n
= lim
n dM
= lim
n dM
= lim
n dM
('n-'ßn-2)('n+'ßn-2)('ßn+3+'n)
('ßn+3-'n)('ßn+3+'n)('n+'ßn-2)
2('ßn+3+'n)
3('n+'ßn-2)
3
2{Ƙ1+
n
+'1 }
2
n }
3{'1+Ƙ1-
=
2(1+1)
3(1+1)
=;3@; (수렴)
⑶ 최고차항인 n‹으로 묶으면
lim
n dM
(n‹-100n)= lim
n dM
n‹ {1-
100
n€ }=M*1=M (발산)
04-1 2
M
M
|해결 전략|
꼴의 극한이므로 분모의 최고차항으로 분모, 분자를 나눈다.
분모의 최고차항인 n(근호 안은 n€)으로 분모, 분자를 나누면
1-
2
n
Ƙ1+
2
n
-
+a
1
n€
=
1
1+a
lim
n dM
n-2
"ƒn€+2n-1+an
= lim
n dM
따라서
1
1+a
=;3!;이므로 a=2
04-2 6
에 수렴하려면 분자의 차수와 분모의 차수가 같아야 함을 이용한다.
분모를 1로 생각하고 분자를 유리화하면
lim
n dM
("ƒn€+an-"ƒbn€+3n)
("ƒn€+an-"ƒbn€+3n)("ƒn€+an+"ƒbn€+3n)
"ƒn€+an+"ƒbn€+3n
= lim
n dM
= lim
n dM
= lim
n dM
(1-b)n€+(a-3)n
"ƒn€+an+"ƒbn€+3n
(1-b)n+(a-3)
3
n
+Ƙb+
Ƙ1+
a
n
|해결 전략| 분자를 유리화하여
꼴로 식을 변형한 후 극한값이 0이 아닌 수
M
M
lim
n d$
(n+1)an= lim
n d$ [(3n-2)an*
n+1
3n-2 ]
06-1 2
|해결 전략| 부등식으로 대소 관계가 주어진 수열의 극한값을 구할 때에는 수열
yy ㉠
의 극한의 대소 관계를 이용한다.
2n€
n+1
2n
n+1
1이므로
6n=M (발산)
lim
n dM
⑵ 수열 {(-3)n}은 공비가 -3인 등비수열이고, -3<-1이므
로 발산(진동)한다.
n
⑶ 수열 [{-;4#;}
]은 공비가 -;4#;인 등비수열이고,
-1<-;4#;<1이므로
lim
n dM{-;4#;}
n
=0 (수렴)
공비는 -;9@;이고, -1<-;9@;<1이므로
(-2)n+1
lim
n dM
3€n =0 (수렴)
⑵ (log 5+log 2)n=(log 10)n=1이므로
(log 5+log 2)n=1 (수렴)
lim
n dM
⑶ "∂7n
('7 )n
2€*2n =;4!;*{
이고, '7
2
2n+2 =
공비는 '7
2
"∂7n
2n+2 =M (발산)
3n
6n ={;6#;}
⑷ 6-n*3n=
lim
n dM
n
n
에서
'7
2 }
>1이므로
n
에서
={;2!;}
공비는 ;2!;이고, -1<;2!;<1이므로
(6-n*3n)=0 (수렴)
lim
n dM
2-2 ⑴ 21일 때 -
1
r
분자를 나누면
lim
n dM
"∂5n-5
2n = lim
n dM
n
5
4 }
Ƙ{
n
1
2 }
-5*{
1
=
M-0
1
=M (발산)
n
n
lim
n dMƘ{;4%;}
=M, lim
n dM{;2!;}
=0
⑶ 밑이 가장 큰 항인 7n으로 묶으면
n dM{(-4)n-7n}= lim
lim
n dM7n
[{-;7$;}
-1]
n
=M*(-1)
lim
n dM
7n=M, lim
n dM{-;7$;}
n
=0
=-M (발산)
02-1 20, x™>0이고
loga x¡1일 때,
❷ 0x™
02-2 x=-2 또는 -10
성립한다.
1, 2에서 -10이므로 모든 실수 x에 대하여
|해결 전략| r>0, r+1이므로 r의 값의 범위를 01로 나누어 구한다.
1 01일 때, lim
n dM
rn=M, 즉 lim
n dM
r€n
lim
n dM
1-r€n+1 = lim
n dM
1
rn =0이므로
1
r
0-1
=
=-
1
r
1
r
1
r2n+1 -1
03-2 6
|해결 전략| r의 값의 범위를 |r|<1, r=1, r=-1, |r|>1의 네 가지 경우로
나누어 12로 수렴할 수 있는지 여부를 판단한다.
rn+1=1이므로
1 |r|<1일 때, lim
n dM
rn=0이므로
lim
n dM
2rn+1
rn-5
=
2 r=1일 때, lim
n dM
=0+12
0
0-5
rn= lim
n dM
lim
n dM
2rn+1
rn-5
=
2
1-5
=-;2!;+12
3 r=-1일 때,
n이 홀수이면 lim
n dM
2rn+1
2
rn-5
-1-5
lim
n dM
=
n이 짝수이면 lim
n dM
=-;3!;
rn=1, lim
n dM
lim
n dM
2rn+1
rn-5
=
-2
1-5
=;2!;
따라서 수렴하지 않는다.
rn=-1, lim
n dM
rn+1=1이므로
rn+1=-1이므로
4 |r|>1일 때, -1<
1
r
<1이므로 lim
n dM
1
rn =0
lim
n dM
2rn+1
rn-5
= lim
n dM
=
2r
1-0
=2r
2r
1-
5
rn
즉, 2r=12에서 r=6
1~4에서 수열 [
2rn+1
rn-5 ]이 12로 수렴하도록 하는 r의 값은 6뿐
이다.
STEP
유형 드릴
3
| 28쪽~29쪽 |
1-1 9
|해결 전략 | 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 주어진 식을 정리한 후 분
모의 최고차항으로 분모, 분자를 나누어 구한다.
1€+2€+3€+ … +n€=
k€=
n
Ú
k =1
n(n+1)(2n+1)
6
이므로
1 수열의 극한 007
(주어진 식)= lim
n dM
= lim
n dM
18n‹+6n
2n‹+3n€+n
2+4+6+ … +2n=
2k=2
k=2*
=n€+n
n
Ú
k =1
n
Ú
k =1
n(n+1)
2
3n‹+n
n(n+1)(2n+1)
6
18+
6
n€
2+
+
3
n
1
n€
=9
= lim
n dM
1-2 2
|해결 전략 | 로그의 기본 성질을 이용하여 하나의 로그로 변형한다.
log™ (2n+1)+log™ (2n-1)-2 log™ (n-3)
(2n+1)(2n-1)
(n-3)€
=log™
4n€-1
n€-6n+9
=log™
이므로
4n€-1
n€-6n+9
4-
1
n€
1-
+
6
n
9
n€
(주어진 식)= lim
n dM
log™
= lim
n dM
log™
=log™ 4=2
LECTURE
로그의 기본 성질
❶ loga 1=0, loga a=1
❷ loga MN=loga M+loga N
❸ loga
=loga M-loga N
M
N
❹ loga Mk=kloga M (단, k는 실수)
a>0, a+1, M>0, N>0일 때, 다음이 성립한다.
2-1 3
|해결 전략 | 먼저 분모를 유리화한다.
lim
n dM
6
"ƒn€+2n-"ƒn€-2n
= lim
n dM
= lim
n dM
6("ƒn€+2n+"ƒn€-2n)
("ƒn€+2n-"ƒn€-2n)("ƒn€+2n+"ƒn€-2n)
6("ƒn€+2n+"ƒn€-2n)
4n
= lim
n dM
3("ƒn€+2n+"ƒn€-2n)
2n
3{Ƙ1+
2
n
2
n }
+Ƙ1-
2
= lim
n dM
=
3(1+1)
2
=3
이므로
(주어진 식)= lim
n dM
(n-"ƒn€+n)
(n-"ƒn€+n)(n+"ƒn€+n)
n+"ƒn€+n
= lim
n dM
= lim
n dM
= lim
n dM
-n
n+"ƒn€+n
-1
1+Ƙ1+
1
n
=
-1
1+1
=-;2!;
3-1 4
|해결 전략 | 분모를 1로 생각하고 분자를 유리화한다.
lim
n dM
("ƒn€-an+1-n)
("ƒn€-an+1-n)("ƒn€-an+1+n)
"ƒn€-an+1+n
= lim
n dM
= lim
n dM
= lim
n dM
-an+1
"ƒn€-an+1+n
-a+
Ƙ1-
a
n
+
+1
1
n
1
n€
=-
a
2
즉, -
=-2이므로 a=4
a
2
3-2 54
|해결 전략 | 분모를 1로 생각하고 분자를 유리화한 후
=a(a는 0이 아닌 상수)이면 ( f(n)의 차수)=(g(n)의 차수)
lim
n dM
f(n)
g(n)
임을 이용한다.
lim
n dM
("ƒan€+bn-3n)
= lim
n dM
= lim
n dM
("ƒan€+bn-3n)("ƒan€+bn+3n)
"ƒan€+bn+3n
= lim
n dM
(a-9)n€+bn
"ƒan€+bn+3n
(a-9)n+b
b
n
Ƙa+
+3
㉠에서 a-9+0이면 발산하므로
4 a=9
a-9=0
a=9를 ㉠에 대입하면 lim
n dM
b
b
n
Ƙ9+
+3
=
b
3+3
=
b
6
yy ㉠
2-2 -;2!;
|해결 전략 | 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 주어진 식을 정리한 후 분
모를 1로 생각하고 분자를 유리화한다.
즉,
=1이므로 b=6
b
6
4 ab=54
008 정답과 해설
4-1 4
|해결 전략 | 일반항 an을 포함한 식을 bn으로 치환하여 수열의 극한에 대한 기본
이므로 수열의 극한의 대소 관계에 의하여
lim
n dM
an-5n€
n
=2
성질을 이용하여 구한다.
(3n+2)an=bn으로 놓으면 an=
bn
3n+2
이때, lim
n dM
bn=6이므로
lim
n dM
2n€+3
n-1
an= lim
n dM{
2n€+3
n-1
*
bn
3n+2 }
= lim
n dM{
2n€+3
3n€-n-2
*bn}
= lim
n dM
* lim
n dM
bn
2+
3
n€
3-
-
1
n
2
n€
=;3@;*6=4
다른 풀이
lim
n d$
(3n+2)an=6이므로
lim
n d$
2n€+3
n-1
an= lim
n d$ [(3n+2)an*
2n€+3
(n-1)(3n+2) ]
= lim
n d$ [(3n+2)an*
2n€+3
3n€-n-2 ]
=6*;3@;=4
4-2 3
|해결 전략 | 일반항 an을 포함한 식을 bn으로 치환하여 수열의 극한에 대한 기본
an+3=2anbn-3bn, (2bn-1)an=3bn+3
성질을 이용하여 구한다.
an+3
2an-3
=bn으로 놓으면
4 an=
3bn+3
2bn-1
이때, lim
n dM
bn=2이므로
lim
n dM
an= lim
n dM
3bn+3
2bn-1
=
3*2+3
2*2-1
=3
5-1 2
|해결 전략 | 먼저 주어진 부등식에서 an을
이 되도록 부동식을 변형한
an-5n€
n
후 수열의 극한의 대소 관계를 이용한다.
5n€+2n-21일 때, lim
n dM
rn=M, lim
n dM
r€n=M이므로
lim
n dM
1-r2n
1+rn = lim
n dM
=-M (발산)
1
rn -rn
1
rn +1
④에서 r<-1일 때도 발산한다.
따라서 주어진 수열은 |r|>1일 때 발산한다.
4 참
4 거짓
7-2 p
3
5로 나누어
|해결 전략 | 코사인함수 y=cos x의 그래프를 이용하여 코사인함수가 포함된
구한다.
부등식을 푼다.
등비수열 {(2 cos x)n-1}의 공비는 2 cos x이므로 주어진 등비수열
1 |r|<5일 때, lim
n dM{
이 수렴할 조건은
-1<2 cos x<1
4 -;2!;5일 때, lim
n dM{
n
=0이므로
5
r }
lim
n dM
5n+2rn
5n+rn = lim
n dM
=
0+2
0+1
=2
n
+2
n
+1
5
r }
5
r }
{
{
1~3에서 lim
n dM
5n+2rn
5n+rn <2를 만족시키는 r의 값의 범위는
-51이므로 주어진 등비급수는 발산한다.
2 ⑴ 첫째항이 1, 공비가 3x-1이므로 주어진 등비급수가 수렴할
-1<3x-1<1, 0<3x<2
4 01이므로 주어진 등비급수는 발산한다.
, 공비가 -'2 인 등비급수이다.
2 급수 013
⑶ 주어진 급수는 첫째항이 -;2!;, 공비가 -;2!;인 등비급수이다.
01-2
;5!;
이때, |-;2!;|<1이므로 주어진 등비급수는 수렴하고, 그 합은
|해결 전략| sin p
6
=;2!;임을 이용하여 등비급수의 합을 구한다.
- 1
2
1-{-
1
2 }
=-;3!;
⑷ 주어진 급수는 첫째항이 1, 공비가 -'5 인 등비급수이다.
이때, |-'5 |>1이므로 주어진 등비급수는 발산한다.
2-2 ⑴ 10, a+1, b>0, c>0, c+1일 때
loga b=
logc b
logc a
2-2 -1
n
Ú
k=2
log™
k€-1
k€
=
n
Ú
k=2
log™
(k-1)(k+1)
k*k
=log™
+log™
+log™
1*3
2*2
2*4
3*3
3*5
4*4
+ å +log™
(n-1)(n+1)
n*n
=log™{;2!;*
n+1
n }
=log™
n+1
2n
4
M
Ú
n=2
log™
n€-1
n€
= lim
n dM
n
Ú
k=2
log™
k€-1
k€
= lim
n dM
log™
n+1
2n
=log™;2!;=-1
|해결 전략 | an 대신 an+2-an+1로 놓고 부분분수를 이용하여 급수의 합을 구
한다.
3-2
;2!;
주어진 조건에 의하여
M
Ú
n=1
an
an+1an+2
=
M
Ú
n=1
an+2-an+1
an+1an+2
=
M
Ú
n=1{
1
an+1
-
1
an+2 }
= lim
n dM
n
Ú
k=1{
1
ak+1
-
1
ak+2 }
= lim
n dM[{
1
a™
-
1
a£ }+{
1
a£
-
1
a¢ }+{
1
a¢
-
1
a∞ }
+ å +{
1
an+1
-
1
an+2 }]
수열 {an}의 정의에서 lim
n dM
an=M이므로
lim
n dM
1
an
=0
4
M
Ú
n=1
an
an+1an+2
= lim
n dM{
1
a™
-
1
an+2 }
1
a™
=;2!;
=
=log™[
1*3
2*2
*
2*4
3*3
*
3*5
4*4
* å *
(n-1)(n+1)
n*n
]
= lim
n dM{
1
a™
-
1
an+2 }
4-1 1
|해결 전략 | 먼저 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한 후 부분분수를 이용
하여 급수의 합을 구한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
an+bn=
, anbn=
4n
4n€-1
1
4n€-1
이므로
(an-bn)€=(an+bn)€-4anbn
…… ㉠
…… ㉡
={
€
4n
4n€-1 }
-
4
4n€-1
={
€
2
4n€-1 }
이때, an>bn이므로
an-bn=
2
4n€-1
=
2
(2n-1)(2n+1)
=
1
2n-1
-
1
2n+1
3-1
;3!;
|해결 전략 | 먼저 수열 {an}의 일반항을 구한 후 부분분수를 이용하여 급수의 합
을 구한다.
수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의하여
a¡=S¡=3
an=Sn-Sn-1=n€+2n-{(n-1)€+2(n-1)}
=2n+1 (n>2)
㉠, ㉡에서 an=2n+1 (n>1)
016 정답과 해설
4
M
Ú
n=1
(an-bn)
=
M
Ú
n=1{
1
2n-1
-
1
2n+1 }
= lim
n dM
n
Ú
k=1{
1
2k-1
-
1
2k+1 }
=
lim
n dM[{;1!;-;3!;}+{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}
+ å +{
1
2n-1
-
1
2n+1 }]
= lim
n dM{1-
1
2n+1 }
=1
4-2
;8!;
|해결 전략 | 먼저 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한 후 부분분수를 이용
하여 급수의 합을 구한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
an+bn=2(n+2), anbn=n(n+1)이므로
+{
1
3*4
-
1
4*5 }+ å +[
1
n(n+1)
-
1
(n+1)(n+2) ]‘
=;4!; lim
n dM[;2!;-
1
(n+1)(n+2) ]
M
Ú
n=1
1
an€bn+anbn€
M
Ú
n=1
1
anbn(an+bn)
=
M
Ú
n=1
1
n(n+1)(n+2)
=;2!;
=;4!;
M
Ú
n=1[
1
n(n+1)
-
1
(n+1)(n+2) ]
=;4!; lim
n dM
n
Ú
k=1[
1
k(k+1)
-
1
(k+1)(k+2) ]
=;4!; lim
n dM“{
1
1*2
-
1
2*3 }+{
1
2*3
-
1
3*4 }
=;8!;
5-1 6
|해결 전략 | 급수
an이 수렴하면 lim
n dM
an=0이다.
급수
(an+2),
bn이 수렴하므로
M
Ú
n=1
M
Ú
n=1
M
Ú
n=1
lim
n dM
an=-2, lim
n dM
bn=0
4 lim
n dM
12an+3bn€
2an-bn€
=
lim
n d$
lim
n d$
(12an+3bn€)
(2an-bn€)
=
12 lim
n d$
2 lim
n d$
an+3 lim
n d$
an- lim
n d$
bn€
bn€
=
12*(-2)+3*0
2*(-2)-0
=6
5-2
;3!;
|해결 전략 | 급수
an이 수렴하면 lim
n dM
an=0이고,
M
Ú
n=1
1€+2€+3€+ å +n€=
임을 이용하여 문제를 해결한다.
n(n+1)(2n+1)
6
M
n=1{an-
Ú
1€+2€+3€+ å +n€
n‹
}이 수렴하므로
n dM{an-
lim
1€+2€+3€+ å +n€
n‹
}=0
4 lim
n dM
an= lim
n dM
1€+2€+3€+ å +n€
n‹
n(n+1)(2n+1)
6
n‹
= lim
n dM
= lim
n dM
n(n+1)(2n+1)
6n‹
=;6@;=;3!;
a2n, lim
n dM
a2n-1이 각각 수렴한다고 해서
6-1 거짓
|해결 전략 | 수열 {an}에 대하여 lim
n dM
lim
n dM
an이 항상 수렴하지는 않는다.
(반례) an=(-1)n이라 하면
lim
a2n=1>-1= lim
n dM
n dM
lim
n dMS2n=0+-1= lim
n dMS2n-1
따라서
an은 발산한다.
M
Ú
n=1
그러므로 주어진 명제는 거짓이다.
a2n-1이므로 주어진 조건을 만족시킨다.
이때, Sn=
ak라 하면 S2n=0, S2n-1=-1이므로
n
Ú
k=1
6-2 거짓
M
Ú
n=1
n
|해결 전략 | 급수
an이 수렴하면 lim
n dM
an=0이다.
(반례) an={;2!;}
, bn={;4!;}
n
이라 하면
M
Ú
n=1
an=
1-
=1
M
Ú
n=1
bn=
1-
=;3!;
1
2
1
4
1
2
1
4
즉, a=1, b=;3!;이므로 주어진 조건 a>b를 만족시키지만
lim
n dM
an=0= lim
n dM
bn
따라서 주어진 명제는 거짓이다.
2 급수 017
7-1
'e
|해결 전략 | 등비급수
arn-1(a+0, |r|<1)의 합은 a
이다.
1-r
M
Ú
n=1
등비급수의 공비가 ln x이고 10이므로 (1-x)€<1에서
x€-2x+1<1, x€-2x<0
x(x-2)<0
4 01이므로 lim
x d$
€=;9!;
'5
2 }
{
x
⑶ 0<;5@;<1이므로 lim
x d -M
{;5@;}
=M
x
=M
2 ⑴ lim
x d 4
log™ x=log™ 4=log™ 2€=2
⑵ 3>1이므로 lim
x d 0+
log£ x=-M
⑶ 0<;3!;<1이므로 lim
x d M
x=-M
log
;3!;
3 ⑴ lim
x d 0
(1+2x);3¡x;=lim
x d 0
{(1+2x);2¡x;};3@;=e;3@;
⑵ lim
x d 0
(1+5x);2¡x;=lim
x d 0
{(1+5x);5¡x;};2%;=e;2%;
⑶ lim
x d M{1+;4¡x;}
= lim
x d M[{1+;4¡x;}
]
4x
;4%;
=e;4%;
5x
4 ⑴ ln e›=4 ln e=4
⑵ ln ‹"ƒe€=ln e;3@;=;3@; ln e=;3@;
⑶ ln
=ln e-2=-2 ln e=-2
1
e€
5 ⑴ lim
x d 0
ln (1+x)
3x
=lim
x d 0
ln (1+x)
x
*;3!;=1*;3!;=;3!;
⑵ lim
x d 0
ln {1+;2X;}
x
=lim
x d 0
ln {1+;2X;}
;2X;
*;2!;=1*;2!;=;2!;
⑶ lim
x d 0
ex-1
4x
=lim
x d 0
ex-1
x
*;4!;=1*;4!;=;4!;
3 지수함수와 로그함수의 미분 019
⑷ lim
x d 0
e-x-1
5x
=lim
x d 0
e-x-1
-x
*{-;5!;}
=1*{-;5!;}=-;5!;
6 ⑴ lim
x d 0
log∞(1+x)
x
=
1
ln 5
⑵ lim
x d 0
log§(1+2x)
x
=lim
x d 0
log§(1+2x)
2x
*2
=
1
ln 6
*2=
2
ln 6
⑶ lim
x d 0
=ln 7
7x-1
x
4x-1
2x
⑷ lim
x d 0
=lim
x d 0
{;2!;*
x }=;2!;ln 4=ln 2
4x-1
| 58쪽~59쪽 |
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ 0 ⑵ -M
2-1 ⑴ -3, -3,
⑵ -1, -1, ;e!;
1
e‹
3-1 ⑴ 1, ;2!; ⑵ 1, ;3%;
4-1 ⑴ ln 2, 6 ln 2 ⑵ 3,
3
ln 5
⑶ ln 2, ln 6, ln ;3!;
스스로 check
1-2 ⑴ M ⑵ 0 ⑶ M ⑷ M
⑴ 0<;7@;<1이므로 lim
⑵ 0< '7
3
<1이므로 lim
x d${
x d -M{;7@;}
x
'7
3 }
=0
x
=M
⑶ '6
2
>1이므로 lim
x d$
log '6
2
x=M
⑷ 0<;4#;<1이므로 lim
x d 0+
log
;4#;
x=M
2-2 ⑴
1
e€
⑵ e‹ ⑶ e;2%;
⑴ x=-t로 놓으면 x cd -M일 때 t cd M이므로
lim
x d -M
{1-;3¡x;}
= lim
t d M
{1+;3¡t;}
6x
-6t
020 정답과 해설
= lim
t d M
[{1+;3¡t;}
]
3t
-2
=e-2=
1
e€
⑵ x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로
⑶ x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로
x
lim
x d 1
3
x-1 =lim
t d 0
(1+t);t#;
=lim
t d 0
{(1+t);t!;}‹=e‹
5
x
lim
x d 1
2x-2 =lim
t d 0
(1+t);2∞t;
=lim
t d 0
{(1+t);t!;};2%;=e;2%;
3-2 ⑴ 2 ⑵ ;9!; ⑶ 3 ⑷ -;2!;
⑴ lim
x d 0
ln (1+4x)
2x
=lim
x d 0
ln (1+4x)
4x
*2
=1*2=2
⑵ lim
x d 0
ln {1+;3X;}
3x
=lim
x d 0
ln {1+;3X;}
*;9!;
;3X;
=1*;9!;=;9!;
⑶ lim
x d 0
e6x-1
2x
=lim
x d 0
e6x-1
6x
*3
=1*3=3
⑷ lim
x d 0
e-2x-1
4x
=lim
x d 0
e-2x-1
-2x
*{-;2!;}
=1*{-;2!;}=-;2!;
4-2 ⑴
5
2 ln 5
⑵ ;2#; ln 6 ⑶
⑷ ln ;5$;
4
ln 3
⑴ lim
x d 0
log∞ (1+5x)
2x
=lim
x d 0
log∞ (1+5x)
5x
*;2%;
⑵ lim
x d 0
3x
log§ (1+2x)
=lim
x d 0
=
1
ln 5
*;2%;=
5
2 ln 5
log§ (1+2x)
2x
*2x
3x
3
=lim
x d 0
log§ (1+2x)
2x
*2
=
3
1
ln 6
*2
=;2#; ln 6
⑶ lim
x d 0
4x
3x-1
=lim
x d 0
=
4
ln 3
4
3x-1
x
⑷ lim
x d 0
4x-5x
x
=lim
x d 0
4x-1-(5x-1)
x
=lim
x d 0
4x-1
x
-lim
x d 0
5x-1
x
=ln 4-ln 5=ln ;5$;
| 60쪽~65쪽 |
lim
x d M
{log™ "ƒax€+2x-1-log™ (2x+1)}
= lim
x d M
log™ "ƒax€+2x-1
2x+1
log™ "ƒax€+2x-1
lim
x d M
lim
x d M
2x+1
"ƒax€+2x-1
2x+1
=1에서
lim
x d M
"ƒax€+2x-1
2x+1
= lim
x d M
=2이어야 하므로
æ√a+;x@;-
1
x€
2+;x!;
= 'a
2
=2
= 'ßa+0-0
2+0
즉, 'a=4에서 a=16
이때, 분모에서 밑이 가장 큰 항인 2t으로 분모, 분자를 각각 나누면
STEP
필수 유형
2
01-1 ⑴ -1 ⑵ 9
|해결 전략| 00, a+1일 때, lim
x d 0
loga (1+x)
x
=
1
ln a
, lim
x d 0
ax-1
x
=ln a
임을 이용한다.
⑴ x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로
lim
x d 1
⑵ lim
x d 0
=lim
t d 0
log£ x
log£ (1+t)
x-1
t
(2x-1)log£ (1+x)
x€
=lim
[
x d 0
=
1
ln 3
2x-1
x
*
log£ (1+x)
x
]
3 지수함수와 로그함수의 미분 021
02-2 16
|해결 전략| 로그의 성질 loga M-loga N=loga
을 이용한다.
M
N
=ln 2*
=log£ 2
1
ln 3
04-2 -3
|해결 전략| a>0, a+1일 때, lim
d 0
loga (1+)
=
1
ln a
임을 이용한다.
lim
x d 0
log™ (1-3x)
log¢ (1+2x)
=lim
x d 0
log™ (1-3x)
-3x
log¢ (1+2x)
2x
*{-;2#;}
=
*{-;2#;}=2*{-;2#;}=-3
1
ln 2
1
ln 4
05-1 1
|해결 전략| 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분모) cd 0이고 극한값이 존재
하면 (분자) cd 0임을 이용한다.
함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로
lim
x d 0
f(x)=f(0)
∴ lim
x d 0
ln (4x+a)
x
=b
㉠에서 lim
x=0이므로
x d 0
lim
x d 0
ln(4x+a)=ln a=0
∴ a=1
a=1을 ㉠에 대입하면
lim
x d 0
ln (4x+1)
x
=lim
x d 0
ln (4x+1)
4x
*4
=1*4=b
∴ a-b=1-4=-3
…… ㉠
06-2 2
|해결 전략| 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 x=0에서 연속이어
야 한다.
함수 f(x)가 x=0에서 연속이어야 하므로
lim
x d 0+
f(x)= lim
x d 0-
f(x)=f(0)
이때, lim
x d 0+
f(x)= lim
x d 0+
=;3!;, f(0)=;3!;이므로
x+1
x€+3
…… ㉠
lim
x d 0-
f(x)= lim
x d 0-
ax
e2x-b
=;3!;
㉠에서 lim
x d 0-
ax=0이므로
lim
x d 0-
(e2x-b)=1-b=0
∴ b=1
b=1을 ㉠에 대입하면
lim
x d 0-
ax
e2x-1
= lim
x d 0-
2x
e2x-1
*;2A;
=1*;2A;=;3!;
lim
x d 1
x€-a
2 ln x
=b에서 lim
2 ln x=0이므로
x d 1
lim
x d 1
(x€-a)=0이어야 한다.
즉, 1-a=0에서 a=1
a=1을 주어진 식에 대입하면
lim
x d 1
x€-1
2 ln x
=lim
{
x d 1
x+1
2
*
x-1
ln x }
=lim
x d 1
x+1
2
*lim
x d 1
x-1
ln x
=lim
x d 1
x-1
ln x
x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로
lim
x d 1
x-1
ln x
=lim
t d 0
t
ln (1+t)
=1=b
∴ ab=1
ln (x+1)
eax+b
=;2!;에서 lim
(eax+b)=0이어야 한다.
x d 0
lim
x d 0
lim
x d 0
즉, 1+b=0에서 b=-1
b=-1을 주어진 식에 대입하면
lim
x d 0
ln (x+1)
eax-1
=lim
x d 0
ln (x+1)
x
eax-1
ax
*a
=;a!;=;2!;
∴ a=2
∴ a+b=1
05-2 1
|해결 전략| 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분자) cd 0이고 0이 아닌 극한값
이 존재하면 (분모) cd 0임을 이용한다.
∴ a=;3@;
∴ 3ab=2
ln(x+1)=0이므로
06-1 -3
|해결 전략| 함수 f(x)가 x=0에서 연속이면 lim
x d 0
f(x)=f(0)임을 이용한다.
022 정답과 해설
2 지수함수와 로그함수의 도함수
개념 확인
1 ⑴ y'=7xln 7 ⑵ y'=3e3x ⑶ y'=3x+2ln 3
2 ⑴ y'=;x!; ⑵ y'=
1
x ln 5
⑶ y'=;x@;
66쪽~67쪽
1 ⑴ y=7x에서 y'=7xln 7
⑵ y=e3x에서 e3x=(e‹)x이므로
y'=(e‹)xln e‹=3e3x
⑶ y=3x+2에서 3x+2=3€*3x이므로
y'=3€*3xln 3=3x+2ln 3
2 ⑴ y=ln 3x에서 ln 3x=ln 3+ln x이므로
y'=0+;x!;=;x!;
⑵ y=log∞ x에서 y'=
1
x ln 5
⑶ y=ln x€에서 ln x€=2 ln x이므로
y'=2*;x!;=;x@;
2-2 ⑴ y'=;5™x; ⑵ y'=
1
x ln 6
⑶ y'=;x#;
⑷ y'=ex {log™ x+
x ln 2 } ⑸ y'=4x(2 ln x+1)
1
⑵ y =log§ 6x=log§ 6+log§ x
⑴ y'=;5@;*;x!;=;5™x;
=1+log§ x
이므로
y'=0+
1
x ln 6
=
1
x ln 6
⑶ y =ln (2x)‹=3 ln 2x
=3(ln 2+ln x)=3ln 2+3ln x
이므로
y'=0+3*;x!;=;x#;
⑷ 곱의 미분법에 의하여
y'=(ex)'log™ x+ex(log™ x)'
=exlog™ x+ex*
1
x ln 2
=ex {log™ x+
⑸ 곱의 미분법에 의하여
1
x ln 2 }
y'=(4x€)'ln x+4x€(ln x)'+0
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ 8, 2 ⑵ ex, 1+x ⑶ 5xln 5, 2+xln 5
2-1 ⑴ xln 3,
2
xln 3
⑵
1
xln 2
,
1
ln 2
⑶ ;x!;, x, 1
| 68쪽 |
=8x ln x+4x€*;x!;
=4x(2 ln x+1)
스스로 check
1-2 ⑴ y'=2xln 2+6xln 6
⑶ y'=2*52x-1ln 5
⑵ y'=-9ex
⑷ y'=3x(x ln 3+3 ln 3+1)
⑸ y'={;2!;}
x
{4-(4x-5)ln 2}
⑴ y'=(2x)'+(6x)'=2xln 2+6xln 6
⑵ y'=-9(ex)'=-9ex
⑶ y=52x-1=52x*5-1=5-1*25x이므로
y' =5-1*25xln 25=52x-1ln 5€
=2*52x-1ln 5
⑷ 곱의 미분법에 의하여
y' =(3x)'(x+3)+3x(x+3)'
=3xln 3*(x+3)+3x*1
=3x(x ln 3+3 ln 3+1)
⑸ 곱의 미분법에 의하여
y'=[{;2!;}
x
'(4x-5)+{;2!;}
]
x
(4x-5)'
={;2!;}
ln ;2!;*(4x-5)+{;2!;}
x
*4
x
x
={;2!;}
{4-(4x-5)ln 2}
STEP
필수 유형
2
| 69쪽~71쪽 |
01-1 2
|해결 전략| y=ax (a>0, a+1)이면 y'=axln a임을 이용한다.
곱의 미분법에 의하여
f '(x) =(x+a)'2x+(x+a)(2x)'
=2x+(x+a)*2xln 2
=2x{1+(x+a)ln 2}
이때, f '(0)=1*(1+a ln 2)=1+ln 4이므로
a ln 2=ln 2a=ln 4
∴ a=2
01-2 8
|해결 전략| f '(a)= lim
h d 0
f(a+h)-f(a)
h
임을 이용한다.
3 지수함수와 로그함수의 미분 023
lim
h d 0
f(ln 2+h)-f(ln 2-h)
h
=lim
h d 0
f(ln 2+h)-f(ln 2)-f(ln 2-h)+f(ln 2)
h
=lim
h d 0
f(ln 2+h)-f(ln 2)
h
+lim
h d 0
f(ln 2-h)-f(ln 2)
-h
=f '(ln 2)+f '(ln 2)
=2f '(ln 2)
한편, f(x)=ex+ln 2=eln 2*ex=2ex이므로
f '(x)=2(ex)'=2ex
따라서 구하는 값은
2f '(ln 2)=2*2eln 2=2*2*2=8
LECTURE
미분계수의 정의
함수 f(x)의 x=a에서의 미분계수는
f '(a)= lim
h d 0
f(a+h)-f(a)
h
= lim
x d a
f(x)-f(a)
x-a
03-1 ln ;2E;
|해결 전략| 함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하면 f(x)는 x=2에서 연속이고
f '(2)가 존재함을 이용한다.
함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하면 x=2에서 연속이므로
2x-2=f(2)
lim
x d 2+
(ax+b)= lim
x d 2-
∴ 2a+b=1
…… ㉠
또, 함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하면 f '(2)가 존재하므로
a
(x>2)
2x-2ln 2 (x<2)
2x-2ln 2
a= lim
x d 2-
f '(x)=[
에서 lim
x d 2+
∴ a=ln 2
a=ln 2를 ㉠에 대입하면
b=1-2a=1-2 ln 2
x<2일 때,
f(x)=2x-2=2-2*2x이므로
f '(x)=2-2*2x ln 2=2x-2 ln 2
∴ a+b=ln 2+(1-2 ln 2)=1-ln 2=ln ;2E;
02-1
1
ln 7
-1
|해결 전략| 함수 f(x)가 미분가능할 때, 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))에
서의 접선의 기울기는 x=a에서의 미분계수 f '(a)와 같음을 이용한다.
y=log¶ x-x에서 y'=
1
x ln 7
-1
이때, 곡선 y=log¶ x-x 위의 점 (1, -1)에서의 접선의 기울기는
x=1에서의 미분계수와 같으므로
1
ln 7
-1
02-2 a=1, b=-2
|해결 전략| y=ln x이면 y'=;x!;임을 이용한다.
f(x)=x€ ln ax+b=x€(ln a+ln x)+b이므로
곱의 미분법에 의하여
f '(x)=(x€)'(ln a+ln x)+x€(ln a+ln x)'+0
=2x(ln a+ln x)+x€*;x!;
=2x ln ax+x
=x(2 ln ax+1)
f '(e)=3e에서 e(2 ln ae+1)=3e, ln ae=1
∴ a=1
따라서 f(x)=x€ ln x+b이므로
f(e)=e€-2에서 e€+b=e€-2
∴ b=-2
024 정답과 해설
| 72쪽~73쪽 |
STEP
유형 드릴
3
1-1 4
|해결 전략 | 00, a+1일 때, lim
x d 0
=ln a임을 이용한다.
ax-1
x
lim
x d 0
2x+4x-2
2x
=lim
{
x d 0
2x-1
2x
+
4x-1
2x }
=lim
x d 0
;2!;{
2x-1
x
+
4x-1
x }
=;2!;(ln 2+ln 4)
=;2!; ln 2‹=;2#; ln 2
|해결 전략 | 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분모) cd 0이고 극한값이 존재
하면 (분자) cd 0임을 이용한다.
ln(1+ax)=0이므로
lim
x d 0
ebx+c-1
ln (1+ax)
(ebx+c-1)=0이어야 한다.
=2에서 lim
x d 0
lim
x d 0
즉, ec-1=0에서 c=0
c=0을 주어진 식에 대입하면
lim
x d 0
ebx-1
ln (1+ax)
=lim
[
x d 0
ax
ln (1+ax)
*
ebx-1
bx
*;aB;]
=1*1*;aB;=;aB;=2
∴
a
b+c
=;bA;=;2!;
3-2
ln 5
2
한다.
|해결 전략 | x-1=t로 치환한 후 lim
t d 0
=ln a (a>0, a+1)임을 이용
at-1
t
다.
x+1인 경우 f(x)=
2x-1-1
x-1
x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로
함수 f(x)가 x=1에서 연속이어야 하므로
5-1 ln 2
|해결 전략 | 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=1에서 연속이어야 한
lim
x d 1
5x-1-1
x€-1
=lim
x d 1
5x-1-1
(x-1)(x+1)
5t-1
t(t+2)
=lim
t d 0
=lim
{
t d 0
1
t+2
*
5t-1
t
}
=;2!;*ln 5=
ln 5
2
lim
x d 1
f(x)=f(1)
…… ㉠
이때, lim
f(x)=lim
x d 1
x d 1
2x-1-1
x-1
에서
x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로
lim
t d 0
2t-1
t
=ln 2
㉠에서 f(1)=ln 2
3 지수함수와 로그함수의 미분 025
5-2 2
|해결 전략 | 함수 f(x)가 x=0에서 연속이면 lim
x d 0
f(x)=f(0)임을 이용한다.
x+0인 경우 f(x)=
xex
e;2X;-1
함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로
f(x)=f(0)
lim
x d 0
이때,
7-2 e
|해결 전략 | 함수 f(x)=(x+a)ex의 그래프 위의 점 (1, f(1))에서의 접선의
기울기는 f '(1)이고 접선의 방정식은 y=f '(1)(x-1)+f(1)임을 이용한다.
f(x)=(x+a)ex에서
f '(x)=ex+(x+a)ex=(x+a+1)ex
함수 f(x)=(x+a)ex의 그래프 위의 점 (1, f(1))에서의 접선의 기
울기는 f '(1)과 같으므로 f '(1)=(a+2)e=e에서
lim
x d 0
f(x)=lim
x d 0
=lim
x d 0
{2ex*
xex
e;2X;-1
;2X;
e;2X;-1
}=2
이때, f(1)=0이므로 직선 y=ex+b가 점 (1, 0)을 지난다.
∴ a=-1
a+2=1
∴ f(x)=(x-1)ex
즉, e+b=0에서 b=-e
∴ ab=e
이므로 f(0)=2
6-1 2
|해결 전략 | f '(a)= lim
x d a
f(x)-f(a)
x-a
임을 이용한다.
lim
x d 1
f(x€)-f(1)
x-1
=lim
[
x d 1
f(x€)-f(1)
x€-1
*(x+1)]
=2f '(1)
한편, f(x)=x ln x에서
f '(x)=ln x+x*;x!;=ln x+1
따라서 구하는 값은
2f '(1)=2*(0+1)=2
6-2 8 ln 2
|해결 전략 | f '(a)= lim
h d 0
f(a+h)-f(a)
h
임을 이용한다.
lim
h d 0
f(1+h)-f(1-h)
h
=lim
h d 0
f(1+h)-f(1)-f(1-h)+f(1)
h
=lim
h d 0
f(1+h)-f(1)
h
+lim
h d 0
f(1-h)-f(1)
-h
=f '(1)+f '(1)=2f '(1)
한편, f(x)=2x+1=2*2x이므로
f '(x)=2*2x ln 2=2x+1 ln 2
따라서 구하는 값은
2f '(1)=2*4 ln 2=8 ln 2
7-1 108
|해결 전략 | 함수 f(x)=2x+3x의 그래프 위의 점 (1, 5)에서의 접선의 기울기
는 f '(1)임을 이용한다.
함수 f(x)=2x+3x의 그래프 위의 점 (1, 5)에서의 접선의 기울기는
f '(1)이고 f '(x)=2xln 2+3xln 3이므로
f '(1) =2 ln 2+3 ln 3=ln 2€+ln 3‹
=ln (2€*3‹)=ln 108
∴ a=108
026 정답과 해설
8-1 a=e;4(;, b=;4!;
|해결 전략 | 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 f(x)는 x=1에서 연속이고
f '(1)이 존재함을 이용한다.
함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로
lim
x d 1+
ln ax= lim
x d 1-
(bx›+2)=f(1)
∴ ln a=b+2
…… ㉠
또, 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 f '(1)이 존재하므로
f '(x)=[
;x!; (x>1)
4bx‹ (x<1)
에서
x>1일 때,
f(x)=ln ax=ln a+ln x이므로
f '(x)=;x!;
lim
x d 1+
;x!;= lim
x d 1-
4bx‹
1=4b
∴ b=;4!;
b=;4!;을 ㉠에 대입하면 ln a=;4(;
∴ a=e;4(;
8-2 -2
|해결 전략 | 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 f(x)는 x=1에서 연속이고
f '(1)이 존재함을 이용한다.
함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이므로
lim
x d 1+
aex-1= lim
x d 1-
(ln x+bx€)=f(1)
∴ a=b
…… ㉠
또, 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 f '(1)이 존재하므로
f '(x)=[
aex-1
(x>1)
;x!;+2bx (x<1)
에서
lim
x d 1+
aex-1= lim
x d 1-
{;x!;+2bx}
x>1일 때,
f(x)=aex-1=ae-1*ex이므로
f '(x)=ae-1*ex=aex-1
…… ㉡
∴ a=1+2b
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=-1, b=-1
∴ a+b=-2
⑶ tan ;1∏2;=tan {;4π;-;6π;}=
tan ;4π;-tan ;6π;
1+tan ;4π; tan ;6π;
=
1-
1+1*
1
'3
= '3-1
1
'3+1
'3
=2-'3
76쪽
2-2 ⑴ 0 ⑵ ;2!; ⑶ -'3
⑴ sin 140^cos 40^+cos 140^sin 40^ =sin (140^+40^)
⑵ cos 10^cos 50^-sin 10^sin 50^=cos (10^+50^)
=sin 180^=0
=cos 60^=;2!;
⑶
tan 80^+tan 40^
1-tan 80^tan 40^
=tan (80^+40^)
=tan 120^=-'3
4
| 삼각함수의 미분
1 삼각함수의 덧셈정리
개념 확인
1 ⑴ '6+'2
4
⑵ '6+'2
4
⑶ -2-'3
1 ⑴ sin 75^=sin(45^+30^)
=sin 45^cos 30^+cos 45^sin 30^
= '2
2
*;2!;= '6+'2
+ '2
2
* '3
2
4
⑵ cos 15^=cos (45^-30^)
=cos 45^cos 30^+sin 45^sin 30^
+ '2
= '2
2
2
*;2!;= '6+'2
* '3
2
4
⑶ tan 105^=tan (60^+45^)=
tan 60^+tan 45^
1-tan 60^tan 45^
(1+'3 )€
(1-'3 )(1+'3 )
= '3+1
1-'3*1
=-2-'3
=
STEP
필수 유형
2
| 80쪽~81쪽 |
01-1 ⑴
-2+2'ß10
9
⑵ '5-4'2
⑶
9
2'5-2'2
3
| 79쪽 |
|해결 전략| 주어진 삼각함수의 값과 sin€ h+cos€ h=1임을 이용하여 필요한
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ '3
2
, ;2!;, '6-'2
4
⑵ '2
2
, '2
2
, '2-'6
4
⑶
,
1
'3
1
'3
, 1, 1, 2+'3
2-1 ⑴ 100^, 55^ ⑵ 40^, 70^ ⑶ 80^, 20^
스스로 check
1-2 ⑴ '6-'2
4
⑵ '6-'2
4
⑶ 2-'3
⑴ sin ;1!2!;p=sin {;3@;p+;4π;}=sin ;3@;p cos ;4π;+cos ;3@;p sin ;4π;
+{-;2!;}* '2
= '6-'2
4
= '3
2
* '2
2
2
⑵ cos ;1∞2;p=cos {;4π;+;6π;}=cos ;4π; cos ;6π;-sin ;4π; sin ;6π;
= '2
2
* '3
2
- '2
2
*;2!;= '6-'2
4
삼각함수의 값을 구한다.
;2π;0
€=- '5
3
∴ cos a=-"ƒ1-sin€a=-Ƙ1-{;3@;}
sin b="ƒ1-cos€ b=Ƙ1-{-;3!;}
€=
2'2
3
tan a=
sin a
cos a
=
2'5
5
=-
tan b=
sin b
cos b
=
=-2'2
2
3
- '5
3
2'2
3
-;3!;
⑴ sin (a-b)=sin a cos b-cos a sin b
3 }*
2'2
3
=;3@;*{-;3!;}-{- '5
-2+2'ß10
9
=
4 삼각함수의 미분 027
⑵ cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b
오른쪽 그림에서 h=a-b이므로
y
3x-y=0
⑶ tan (a-b)=
=
3 }*{-;3!;}-;3@;*
2'2
3
={- '5
= '5-4'2
9
tan a-tan b
1+tan a tan b
2'5
5 }-(-2'2 )
2'5
5 }*(-2'2 )
{-
1+{-
-2'5+10'2
5+4'ß10
(-2'5+10'2 )(4'ß10-5)
(4'ß10+5)(4'ß10-5)
=
=
=
2'5-2'2
3
;2!;
ahb
O
-1
x-2y+1=0
x
tan h=tan (a-b)
=
tan a-tan b
1+tan a tan b
3-;2!;
=
=1
1+3*;2!;
02-2
;2!;
이때, h는 예각이므로 h=;4π;
∴ cos ;4π;= '2
2
|해결 전략| 탄젠트함수의 덧셈정리 |tan (a-b)|=|
용하여 m의 값을 구한다.
tan a-tan b
1+tan a tan b |를 이
x+3y-1=0에서 y=-;3!;x+;3!;
mx-y+2=0에서 y=mx+2
두 직선 x+3y-1=0, mx-y+2=0이 x축의 양의 방향과 이루
01-2 -;8%;
|해결 전략| 주어진 식의 양변을 제곱한 후 sin€ h+cos€ h=1임을 이용한다.
는 각의 크기를 각각 a, b라 하면
tan a=-;3!;, tan b=m
의 양변을 제곱하면
sin a-sin b=
1
'2
sin€ a+sin€ b-2 sin a sin b=;2!;
cos a+cos b=;2!;의 양변을 제곱하면
cos€ a+cos€ b+2 cos a cos b=;4!;
yy ㉡
㉠+㉡을 하면
(sin€ a+cos€ a)+(sin€ b+cos€ b)
+2(cos a cos b-sin a sin b)=;4#;
이때, 두 직선이 이루는 예각의 크기가 ;4π;이므로
yy ㉠
|tan (a-b)|=tan ;4π;=1에서
tan a-tan b
1+tan a tan b |=1,
|
m+;3!;
m
3
1-
=\1
m+;3!;=\{1-
m
3 } ∴ m=-2 또는 m=;2!;
그런데 m은 양수이므로 m=;2!;
2+2 cos (a+b)=;4#;
∴ cos (a+b)=-;8%;
02-1 '2
2
3x-y=0에서 y=3x
x-2y+1=0에서 y=;2!;x+;2!;
의 크기를 각각 a, b라 하면
tan a=3, tan b=;2!;
028 정답과 해설
|해결 전략| 두 직선이 이루는 예각의 크기를 탄젠트함수의 덧셈정리
|tan (a-b)|=|
tan a-tan b
1+tan a tan b |를 이용하여 구한 후 cos h의 값을 구한다.
두 직선 3x-y=0, x-2y+1=0이 x축의 양의 방향과 이루는 각
2 삼각함수의 극한
개념 확인
1 ⑴ ;2!; ⑵ ;2!; ⑶ 0
2 ⑴ 5 ⑵ ;4#;
1 ⑴ lim
x d ;6π;
sin x=sin ;6π;=;2!;
⑵ lim
x d ;3π;
⑶ lim
x d 0
cos x=cos ;3π;=;2!;
tan x=tan 0=0
82쪽~83쪽
2 ⑴ lim
x d 0
sin 5x
x
=lim
x d 0
sin 5x
5x
*5=1*5=5
⑵ lim
x d 0
tan 3x
4x
=lim
x d 0
tan 3x
3x
*;4#;=1*;4#;=;4#;
STEP
필수 유형
2
| 85쪽~89쪽 |
01-1 ⑴ 0 ⑵ 2 ⑶ 0 ⑷ 2'2
|해결 전략| 삼각함수의 여러 가지 공식을 이용하여 주어진 식을 변형하여 구한
다.
⑴ sin€x+cos€x=1이므로
cos€ x
1+sin x
lim
x d ;2π;
= lim
x d ;2π;
1-sin€ x
1+sin x
(1-sin x)(1+sin x)
1+sin x
(1-sin x)
= lim
x d ;2π;
= lim
x d ;2π;
| 84쪽 |
=1-sin ;2π;=1-1=0
⑵ sin 2x=2 sin x cos x이므로
lim
x d p
sin 2x
tan x
=lim
x d p
2 sin x cos x
sin x
cos x
=lim
x d p
2 cos€ x
=2 cos€ p=2*(-1)€=2
⑶ sin 2x=2 sin x cos x,
cos 2x=cos€ x-sin€ x=1-2 sin€ x이므로
lim
x d p
1-cos 2x
sin 2x
2 sin€ x
2 sin x cos x
=lim
x d p
sin x
cos x
=lim
x d p
=lim
x d p
⑷ lim
x d ;4π;
tan€ x-1
sin x-cos x
= lim
x d ;4π;
tan x=tan p=0
tan€ x-1
sin x
cos x -1}
cos x{
(tan x+1)(tan x-1)
cos x(tan x-1)
= lim
x d ;4π;
tan x+1
cos x
=
= lim
x d ;4π;
tan ;4π;+1
cos ;4π;
=
1+1
'2
2
=2'2
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ '3
2
, '3 ⑵ 0, 0
2-1 ⑴
1
cos x
, 1, 1 ⑵ ;2!;, ;2!;, ;2!;
스스로 check
1-2 ⑴ 3 ⑵ -5 ⑶ 2'3 ⑷ 0
⑴ lim
x d ;2π;
⑵ lim
x d p
⑶ lim
x d ;3π;
⑷ lim
x d ;4π;
3 sin x=3 sin ;2π;=3*1=3
5 cos x=5 cos p=5*(-1)=-5
2 tan x=2 tan ;3π;=2*'3=2'3
('2 cos x-tan x)='2 cos ;4π;-tan ;4π;
='2* '2
2
-1=0
2-2 ⑴ 1 ⑵ 5 ⑶ 8 ⑷ 1
sin x
x
sin x cos x
x
=lim
x d 0 {
⑴ lim
x d 0
⑵ lim
x d 0
5x
tan x
=lim
x d 0
5
tan x
x
=;1%;=5
⑶ lim
x d 0
sin 2x+tan 6x
x
=lim
x d 0 {
sin 2x
x
+
tan 6x
x
}
=lim
x d 0 {
sin 2x
2x
*2+
tan 6x
6x
*6}
=1*2+1*6=8
⑷ lim
x d 0
x€
sin€ x
=lim
x d 0
1
sin€ x
x€
=lim
x d 0
1
*
sin x
x
sin x
x
=
1
1*1
=1
*cos x}=1*1=1
02-1 ⑴ 1 ⑵ 4 ⑶ -3 ⑷ -;2!;
|해결 전략| 주어진 식을 lim
d 0
sin
, lim
█ d 0
tan █
█
꼴로 변형하여 계산한다.
⑴ lim
x d 0
sin 2x+sin x
3x
=lim
x d 0 {
sin 2x
3x
+
sin x
3x }
=lim
x d 0 {
sin 2x
2x
*;3@;+
sin x
x
*;3!;}
⑵ lim
x d 0
3x+sin x
tan x
=lim
x d 0
=
3+1
1
=4
=1*;3@;+1*;3!;=1
3+
sin x
x
tan x
x
⑶ lim
x d 0
sin (2x€+3x)
x€-x
=lim
x d 0
[
sin (2x€+3x)
2x€+3x
*
2x€+3x
x€-x ]
=1*lim
x d 0
x(2x+3)
x(x-1)
=lim
x d 0
2x+3
x-1
=-3
4 삼각함수의 미분 029
=lim
x d 0 [
tan (2x€-x)
2x€-x
*
x€+2x
sin (x€+2x)
*
2x€-x
x€+2x ]
⑷ lim
x d 0
tan (2x€-x)
sin (x€+2x)
=1*1*lim
x d 0
x(2x-1)
x(x+2)
=lim
x d 0
2x-1
x+2
=-;2!;
lim
x d 0
'ß3x+4-2
tan 3x
=lim
x d 0 {
3x
tan 3x
* 'ß3x+4-2
3x
('ß3x+4-2)('ß3x+4+2)
3x('ß3x+4+2)
}
=1*lim
x d 0
=lim
x d 0
1
'ß3x+4+2
=;4!;=b
∴ ab=(-2)*;4!;=-;2!;
03-1 ⑴ -p ⑵ 1 ⑶ '2 ⑷ ;2!;
|해결 전략| x cd a(a+0)이면 x-a=t, x cd M이면 ;x!;=t로 치환하여 주
04-2
;2#;
어진 식을 변형한 후 극한값을 구한다.
⑴ x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로
lim
x d 1
sin px
x-1
=lim
t d 0
sin (p+pt)
t
=lim
t d 0
-sin pt
t
=lim
t d 0
sin pt
pt
*(-p)=1*(-p)=-p
⑵ x-2p=t로 놓으면 x cd 2p일 때 t cd 0이므로
lim
x d 2p
tan x
x-2p
=lim
t d 0
tan (2p+t)
t
=lim
t d 0
tan t
t
=1
⑶ x-;4π;=t로 놓으면 x cd ;4π;일 때 t cd 0이므로
lim
x d ;4π;
sin x-cos x
x-;4π;
=lim
t d 0
sin {t+;4π;}-cos {t+;4π;}
t
=lim
t d 0
sin t cos ;4π;+cos t sin ;4π;-cos t cos ;4π;+sin t sin ;4π;
t
=lim
t d 0
'2 sin t
t
='2 *1='2
⑷ ;x!;=t로 놓으면 x cd M일 때 t cd 0이므로
lim
x d M
sin ;x!;
tan ;x@;
=lim
t d 0
sin t
tan 2t
=lim
t d 0 {
sin t
t
*
2t
tan 2t
*;2!;}
=1*1*;2!;=;2!;
04-1 -;2!;
|해결 전략| 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분모) cd 0이고 극한값이 존재
하면 (분자) cd 0임을 이용한다.
lim
x d 0
'ß3x+4+a
tan 3x
=b에서 lim
x d 0
tan 3x=0이므로
lim
x d 0
('ß3x+4+a)=0이어야 한다.
즉, 2+a=0에서 a=-2
a=-2를 주어진 식에 대입하면
030 정답과 해설
|해결 전략| 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분자) cd 0이고 0이 아닌 극한값
이 존재하면 (분모) cd 0임을 이용한다.
=b(b+0)에서 lim
x d 1
sin (x-1)=0이므로
sin (x-1)
x€-a
lim
x d 1
lim
x d 1
(x€-a)=0이어야 한다.
즉, 1-a=0에서 a=1
a=1을 주어진 식에 대입하면
lim
x d 1
sin (x-1)
x€-1
=b
x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로
lim
x d 1
sin (x-1)
x€-1
=lim
t d 0
sin t
(t+1)€-1
=lim
t d 0 {
sin t
t
*
1
t+2 }
=1*;2!;=;2!;=b
∴ a+b=1+;2!;=;2#;
05-1
;2#;
|해결 전략| 함수 f(x)가 x=0에서 연속이면 lim
x d 0
f(x)=f(0)임을 이용한다.
…… ㉠
함수 f(x)가 x=0에서 연속이므로
lim
x d 0
f(x)=f(0)
∴ lim
x d 0
a-cos x
sin€ x
=b
㉠에서 lim
x d 0
sin€ x=0이므로
lim
x d 0
(a-cos x)=a-1=0
∴ a=1
a=1을 ㉠에 대입하면
lim
x d 0
1-cos x
sin€ x
=lim
x d 0
1-cos x
1-cos€ x
=lim
x d 0
1-cos x
(1-cos x)(1+cos x)
=lim
x d 0
1
1+cos x
=;2!;=b
∴ a+b=1+;2!;=;2#;
05-2 1
|해결 전략| 함수 f(x)가 x=p에서 연속이면 lim
x d p
f(x)=f(p)임을 이용한다.
=3x€+5 cos x
⑶ y' =(x‹+5 sin x)'=(x‹)'+5(sin x)'
x+p에서 함수 f(x)=
이므로 함수 f(x)가 x=p에서
tan (x-p)
x-p
연속이려면
lim
x d p
tan (x-p)
x-p
=f(p)
이어야 한다.
x-p=t로 놓으면 x cd p일 때 t cd 0이므로
f(p)=lim
x d p
tan (x-p)
x-p
=lim
t d 0
tan t
t
=1
3 삼각함수의 도함수
개념 확인
1 ⑴ y'=2 cos x ⑵ y'=3 sin x ⑶ y'=cos x-sin x
90쪽
1 ⑴ y'=(2 sin x)'=2(sin x)'=2 cos x
⑵ y'=(-3 cos x)'=-3(cos x)'=3 sin x
⑶ y' =(sin x+cos x)'=(sin x)'+(cos x)'
=cos x-sin x
STEP
개념 드릴
1
| 91쪽 |
1-1 ⑴ -sin x, cos x
⑵ ex, cos x
, sin x
⑷ cos x, cos x, cos x
개념 check
⑶
1
xln 2
스스로 check
1-2 ⑴ y'=cos x-'2 sin x
⑵ y'=6x+2 sin x
⑶ y'=3x€+5 cos x
⑷ y'=;x!;+sin x
⑸ y'=3x ln 3+'3 cos x
⑹ y'=-sin x-
2
x ln 3
⑺ y'=2x sin x+(x€+3)cos x ⑻ y'=-2 sin x cos x
⑼ y'=2(cos€ x-sin€ x)
⑽ y'=ex(sin x+cos x)
⑴ y' =(sin x+'2 cos x)'=(sin x)'+'2 (cos x)'
⑵ y' =(3x€-2 cos x)'=3(x€)'-2(cos x)'
=cos x-'2 sin x
=6x+2 sin x
⑷ y' =(ln x-cos x)'=(ln x)'-(cos x)'
=;x!;+sin x
⑸ y' =(3x+'3 sin x)'=(3x)'+'3 (sin x)'
=3x ln 3+'3 cos x
⑹ y' =(cos x-2 log£ x)'=(cos x)'-2(log£ x)'
=-sin x-
2
x ln 3
⑺ 곱의 미분법에 의하여
y' ={(x€+3)sin x}'
=(x€+3)'sin x+(x€+3)(sin x)'
=2x sin x+(x€+3)cos x
⑻ y=cos€ x=cos x cos x이므로
곱의 미분법에 의하여
y' =(cos x cos x)'
=(cos x)'cos x+cos x(cos x)'
=-sin x cos x-sin x cos x
=-2 sin x cos x
⑼ y =sin 2x=sin (x+x)
=sin x cos x+cos x sin x
=2 sin x cos x
이므로 곱의 미분법에 의하여
y' =(2 sin x cos x)'
=2(sin x)'cos x+2 sin x(cos x)'
=2 cos x cos x+2 sin x(-sin x)
=2(cos€ x-sin€ x)
⑽ 곱의 미분법에 의하여
y' =(exsin x)'
=(ex)'sin x+ex(sin x)'
=exsin x+excos x
=ex(sin x+cos x)
STEP
필수 유형
2
| 92쪽~93쪽 |
01-1 0
|해결 전략| y=sin x이면 y'=cos x, y=cos x이면 y'=-sin x임을 이용
f '(x) =(x‹)'sin x+x‹(sin x)'+3(x€)'cos x+3x€(cos x)'
=3x€sin x+x‹cos x+6x cos x-3x€sin x
한다.
곱의 미분법에 의하여
=(x‹+6x)cos x
∴ f '{;2π;}=0
4 삼각함수의 미분 031
01-2 2
|해결 전략| f '(a)= lim
h d 0
f(a+h)-f(a)
h
임을 이용한다.
f {;4π;+2h}-f {;4π;}
h
lim
h d 0
=lim
h d 0[
f {;4π;+2h}-f {;4π;}
2h
*2]
=2f '{;4π;}
한편,
f(x) =cos€ x+2 sin€ x
=(1-sin€ x)+2 sin€ x
=1+sin€ x
이므로
f '(x) =(1+sin€ x)'=(sin x sin x)'
=(sin x)'sin x+sin x(sin x)'
=cos x sin x+sin x cos x
=2 sin x cos x
∴ f '{;4π;}=2 sin ;4π; cos ;4π;=2* '2
2
* '2
2
=1
따라서 구하는 값은 2f '{;4π;}=2
02-1 6
|해결 전략| 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f(x)는 x=0에서 연속이고
f '(0)이 존재함을 이용한다.
함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속이므로
lim
x d 0+
aex cos x= lim
x d 0-
(x€+2x-b)=f(0)
1-2
;4!;
|해결 전략 | 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
sin a+cos a=- '6
2
sin a+cos a=- '6
2
, sin a cos a=;2A;
의 양변을 제곱하면
sin€ a+cos€ a+2 sin a cos a=;2#;
∴ sin a cos a=;4!;
즉, ;4!;=;2A;에서 a=;2!;
∴ a sin 2a=a(sin a cos a+cos a sin a)
=2a sin a cos a=;4!;
2-1 -5
|해결 전략 | cos (a+b)=cos a cos b-sin a sin b,
cos (a-b)=cos a cos b+sin a sin b임을 이용한다.
cos (a+b)=1에서
cos a cos b-sin a sin b=1
cos (a-b)=-;3@;에서
cos a cos b+sin a sin b=-;3@;
…… ㉠
…… ㉡
또, 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f '(0)이 존재하므로
aex(cos x-sin x) (x>0)
2x+2
(x<0)
…… ㉠
㉠+㉡을 하면 2 cos a cos b=;3!;
x>0일 때,
f(x)=aexcos x이므로
f '(x)
=a(ex)'cos x+aex(cos x)'
=aexcos x-aexsin x
=aex(cos x-sin x)
∴ cos a cos b=;6!;
이것을 ㉠에 대입하면 sin a sin b=-;6%;
∴ tan a tan b=
sin a
cos a
*
sin b
cos b
=
sin a sin b
cos a cos b
∴ a=-b
f '(x)=[
에서
∴ a=2
lim
x d 0+
aex(cos x-sin x)= lim
x d 0-
(2x+2)
a=2를 ㉠에 대입하면 b=-2
∴ a-2b=2+4=6
=
=-5
-;6%;
;6!;
2-2 -;2!;
|해결 전략 | sin€ h+cos€ h=1, cos (a-b)=cos a cos b+sin a sin b임을
| 94쪽~95쪽 |
이용한다.
PQ’ ="ƒ(cos a-cos b)€+(sin a-sin b)€='3
양변을 제곱하면
cos€ a-2 cos a cos b+cos€ b+sin€ a-2 sin a sin b+sin€ b=3
이때, sin€ h+cos€ h=1이므로
2-2(cos a cos b+sin a sin b)=3
cos a cos b+sin a sin b=-;2!;
∴ cos (a-b)=-;2!;
STEP
유형 드릴
3
1-1
;4#;
|해결 전략 | 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
tan a+tan b=3, tan a tan b=-3
∴ tan (a+b)=
tan a+tan b
1-tan a tan b
=
3
1-(-3)
=;4#;
032 정답과 해설
3-1 6
|해결 전략 | 주어진 식을 lim
d 0
sin
꼴로 변형하여 계산한다.
lim
x d 0
sin x+sin 2x+sin 3x
x
=lim
x d 0 {
sin x
x
+
sin 2x
2x
*2+
sin 3x
3x
*3}
=1+1*2+1*3=6
3-2
;1¡0;
|해결 전략 | 주어진 식을 lim
█ d 0
tan █
█
꼴로 변형하여 계산한다.
lim
x d 0
x
tan x+tan 2x+tan 3x+tan 4x
1
tan x+tan 2x+tan 3x+tan 4x
x
=lim
x d 0
=lim
x d 0
tan x
x
+
tan 2x
2x
*2+
*3+
tan 4x
4x
*4
1
tan 3x
3x
=
1
1+1*2+1*3+1*4
=;1¡0;
4-1 4
|해결 전략 | lim
x d 0
sin x
x
=1, lim
x d 0
tan x
x
=1임을 이용한다.
오른쪽 그림에서
AH’=4 sin h, 3CAH=h이므로
CH’=AH’ tan h=4 sin h tan h
∴ lim
h d 0+
CH’
h€
= lim
h d 0+
4 sin h tan h
h€
A
4
h
h
B
H
= lim
h d 0+{4*
sin h
h
*
tan h
h
}
=4*1*1=4
C
5-1 -;2!;
|해결 전략 | x+p=t로 치환하여 주어진 식을 변형한 후 극한값을 구한다.
x+p=t로 놓으면 x cd -p일 때 t cd 0이므로
lim
x d -p
1+cos x
(x+p)sin x
=lim
t d 0
1+cos (t-p)
t sin (t-p)
=lim
t d 0
1+cos (p-t)
-t sin (p-t)
=lim
t d 0
1-cos t
-t sin t
=-lim
t d 0
(1-cos t)(1+cos t)
t sin t(1+cos t)
=-lim
t d 0
sin€ t
t sin t (1+cos t)
=-lim
t d 0
sin t
t(1+cos t)
=-lim
t d 0 {
sin t
t
*
1
1+cos t }
=-1*
1
1+1
=-;2!;
5-2 -;2π;
|해결 전략 | x-1=t로 치환하여 주어진 식을 변형한 후 극한값을 구한다.
x-1=t로 놓으면 x cd 1일 때 t cd 0이므로
sin {cos ;2π;x}
x-1
lim
x d 1
=lim
t d 0
sin [cos {;2π;+;2π;t}]
t
sin {-sin ;2π;t}
t
=lim
t d 0
=-lim
t d 0
sin {sin ;2π;t}
t
=-lim
t d 0[
sin {sin ;2π;t}
sin ;2π;t
sin ;2π;t
*
*;2π;]
;2π;t
=-1*1*;2π;=-;2π;
|해결 전략 | 주어진 식을 lim
█ d 0
tan █
█
꼴로 변형하여 계산한다.
6-1
;2!;
4-2
'ß17
점 P의 좌표는 P(t, 2 tan 2t)이므로
OP’="ƒt€+4 tan€ 2t
OP’
t
"ƒt€+4 tan€ 2t
t
∴ lim
t d 0+
= lim
t d 0+
= lim
t d 0+Ƙ1+
4 tan€ 2t
t€
= lim
t d 0+æç1+
tan 2t
2t
*
tan 2t
2t
*16
='ß1+1*1*16='ß17
|해결 전략 | 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분자) cd 0이고 0이 아닌 극한
값이 존재하면 (분모) cd 0임을 이용한다.
1-cos x
ax sin x+b
=1에서 lim
x d 0
(1-cos x)=0이므로
(ax sin x+b)=0
lim
x d 0
lim
x d 0
이어야 한다.
∴ b=0
b=0을 주어진 식에 대입하면
4 삼각함수의 미분 033
6-2 8
|해결 전략 | 분수 꼴의 함수에서 x cd a일 때 (분자) cd 0이고 0이 아닌 극한
값이 존재하면 (분모) cd 0임을 이용한다.
8-1 2
|해결 전략 | 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f(x)는 x=0에서 연속이고
f '(0)이 존재함을 이용한다.
=4에서 lim
x d 0
sin 2x=0이므로
함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속이므로
lim
x d 0
1-cos x
ax sin x
=lim
x d 0
(1-cos x)(1+cos x)
ax sin x(1+cos x)
=lim
x d 0
1-cos€ x
ax sin x(1+cos x)
=lim
x d 0
sin€ x
ax sin x(1+cos x)
=lim
x d 0
sin x
ax(1+cos x)
=lim
x d 0 {;a!;*
sin x
x
*
1
1+cos x }
=;a!;*1*
1
1+1
=;2¡a;=1
∴ a=;2!;
∴ a+b=;2!;
lim
x d 0
lim
x d 0
sin 2x
'ßax+b-2
('ßax+b-2)=0
이어야 한다.
즉, 'b-2=0에서 b=4
b=4를 주어진 식에 대입하면
lim
x d 0
sin 2x
'ßax+4-2
=lim
x d 0
sin 2x('ßax+4+2)
('ßax+4-2)('ßax+4+2)
sin 2x('ßax+4+2)
ax
=lim
x d 0
=lim
x d 0 [
sin 2x
2x
*;a@;*('ßax+4+2)]
=1*;a@;*4=;a*;=4
∴ a=2
∴ ab=8
7-1 0
|해결 전략 | f '(a)= lim
x d a
f(x)-f(a)
x-a
임을 이용한다.
f(p)=0이므로
lim
x d p
f(x)
x-p
=lim
x d p
f(x)-f(p)
x-p
=f '(p)
한편, f(x)=ln x(cos x+1)이므로
f '(x)=(ln x)'(cos x+1)+ln x(cos x+1)'
=;x!;(cos x+1)-ln x sin x
∴ f '(p)=0
034 정답과 해설
|해결 전략 | f '(a)= lim
x d a
f(x)-f(a)
x-a
임을 이용한다.
7-2
'3
f {;2π;}=0이므로
lim
x d ;2π;
f(x)
x-;2π;
= lim
x d ;2π;
f(x)-f {;2π;}
x-;2π;
=f '{;2π;}
한편, f(x)=sin x-'3 cos x-1이므로
f '(x)=cos x+'3 sin x
∴ f '{;2π;}='3
lim
x d 0+
(sin x+a)= lim
x d 0-
(bx+1)=f(0)
∴ a=1
또, 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f '(0)이 존재하므로
f '(x)=[
cos x (x>0)
b (x<0)
에서
lim
x d 0+
cos x= lim
x d 0-
b
∴ b=1
∴ a+b=2
8-2 8
|해결 전략 | 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f(x)는 x=0에서 연속이고
f '(0)이 존재함을 이용한다.
함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 x=0에서 연속이므로
lim
x d 0+
(aex+2x+5)= lim
x d 0-
(cos x+bx)=f(0)
즉, a+5=1에서 a=-4
또, 함수 f(x)가 x=0에서 미분가능하면 f '(0)이 존재하므로
f '(x)=[
aex+2 (x>0)
-sin x+b (x<0)
에서
lim
x d 0+
(aex+2)= lim
x d 0-
(-sin x+b)
a+2=b
∴ b=-2 (∵ a=-4)
∴ ab=8
5
| 여러 가지 미분법
1 함수의 몫의 미분법
개념 확인
1 ⑴ y'=-
⑵ y'=
1
(x+1)€
-x€+1
(x€+1)€
2 ⑴ y'=-
⑵ y'=3x€-
2
x‹
4
xfi
12
x›
2
x‹
⑶ y'=
⑷ y'=2x-
3 ⑴ -;1!2#; ⑵ :¡5£: ⑶ -;1∞2;
4 ⑴ y'=sec x (tan x+sec x)
⑵ y'=-csc x (cot x+csc x)
1 ⑴ y'=-
(x+1)'
(x+1)€
=-
1
(x+1)€
⑵ y'=
(x)'(x€+1)-x(x€+1)'
(x€+1)€
=
1_(x€+1)-x_2x
(x€+1)€
=
-x€+1
(x€+1)€
2 ⑴ y'=(x-2)'=-2x-2-1=-2x-3=-
2
x‹
⑵ y' =(x‹+4x-3)'=3x3-1+4_(-3)x-3-1
=3x€-12x-4=3x€-
12
x›
⑷ y' =(x€+x-2)'=2x2-1+(-2)x-2-1
=2x-2x-3=2x-
2
x‹
STEP
개념 드릴
1
| 102쪽 |
개념 check
1-1 ⑴ -
2
(2x+1)€
⑵ -
2(x€+1)
(x€-1)€
2-1 ⑴ tan x, cot x ⑵ -csc€ x, csc€ x
98쪽~101쪽
스스로 check
1-2 ⑴ y'=- 3
x›
⑵ y'=- 3x€
(x‹+2)€
⑶ y'= 13
(3x+2)€
⑷ y'= x€-2x-2
(x-1)€
⑴ y'=-
=-
=-
(x‹)'
(x‹)€
3x€
xfl
3
x›
⑵ y'=-
(x‹+2)'
(x‹+2)€
=-
3x€
(x‹+2)€
⑶ y'=
(2x-3)'(3x+2)-(2x-3)(3x+2)'
(3x+2)€
=
2(3x+2)-(2x-3)_3
(3x+2)€
=
13
(3x+2)€
⑷ y'=
(x€+2)'(x-1)-(x€+2)(x-1)'
(x-1)€
=
2x(x-1)-(x€+2)_1
(x-1)€
=
x€-2x-2
(x-1)€
2-2 ⑴ y'=sec€ x-1 ⑵ y'=2 cos x+3 sec€ x
⑶ y'=-sin x+5 sec x tan x
⑷ y'=csc x(3 csc x-cot x)
⑵ y'=(2 sin x)'+(3 tan x)'=2 cos x+3 sec€ x
⑶ y'=(cos x)'+(5 sec x)'=-sin x+5 sec x tan x
⑷ y' =(csc x)'-(3 cot x)'=-csc x cot x-3(-csc€ x)
=csc x(3 csc x-cot x)
⑶ y'=(1-x-4)'=-1_(-4)x-4-1=4x-5=
⑴ y'=(tan x)'-(x)'=sec€ x-1
4
xfi
3 오른쪽 그림에서
OP’="ƒ5€+(-12)€=13이므로
13
-12
⑴ csc h=
=-;1!2#;
⑵ sec h=:¡5£:
⑶ cot h=
5
-12
=-;1∞2;
y
O
h
5
x
-12
P(5, -12)
STEP
필수 유형
2
| 103쪽~106쪽 |
4 ⑴ y' =(sec x)'+(tan x)'=sec x tan x+sec€ x
=sec x (tan x+sec x)
⑵ y' =(csc x)'+(cot x)'=-csc x cot x-csc€ x
=-csc x (cot x+csc x)
01-1 ⑴ y'=-
3x€+1
(x‹+x+1)€
⑵ y'=
2 sin x
(1+cos x)€
|해결 전략| 함수의 몫의 미분법을 이용한다.
⑴ y'=-
(x‹+x+1)'
(x‹+x+1)€
=-
3x€+1
(x‹+x+1)€
5 여러 가지 미분법 035
⑵ y'=
(1-cos x)'(1+cos x)-(1-cos x)(1+cos x)'
(1+cos x)€
=
sin x(1+cos x)-(1-cos x)(-sin x)
(1+cos x)€
=
2 sin x
(1+cos x)€
03-1 ⑴ ;4#; ⑵ -;3%;
|해결 전략| 제 3 사분면에서 각 삼각함수의 값의 부호를 조사하고 삼각함수 사이
의 관계를 이용한다.
⑴ 1+cot€ h=csc€ h에서
cot€ h=csc€ h-1={-;4%;}
€-1=;1ª6;
그런데 h가 제 3 사분면의 각이므로 cot h>0
4 cot h=;4#;
⑵ tan h=
1
cot h
=;3$;이므로
sec€ h=1+tan€ h=1+{;3$;}
€=:™9∞:
그런데 h가 제 3 사분면의 각이므로 sec h<0
4 sec h=-;3%;
03-2 2
|해결 전략| 주어진 식의 분모를 통분하고 삼각함수 사이의 관계를 이용한다.
cos h
1+sin h
+
cos h
1-sin h
=
cos h(1-sin h)+cos h(1+sin h)
(1+sin h)(1-sin h)
=
2 cos h
1-sin€ h
=
2 cos h
cos€ h
=
2
cos h
=2 sec h
sin€ h+cos€ h=1
∴ a=2
04-1 ⑴ y'=cot x-x csc€ x
⑵ y'=csc x(2x-x€cot x+cot x)
|해결 전략| 함수의 곱의 미분법을 이용한다.
⑴ y' =(x)'cot x+x(cot x)'
=cot x-x csc€ x
⑵ y' =(x€-1)'csc x+(x€-1)(csc x)'
=2x csc x+(x€-1)(-csc x cot x)
=csc x(2x-x€cot x+cot x)
04-2 -2-'2
|해결 전략| 함수의 몫의 미분법을 이용한다.
f '(x)=
(1+sec x)'tan x-(1+sec x)(tan x)'
tan€ x
=
sec x tan x_tan x-(1+sec x)_sec€ x
tan€ x
=sec x-csc€ x(1+sec x)
∴ f ' {;4π;}=sec ;4π;-csc€ ;4π; {1+sec ;4π;}
='2-('2 )€(1+'2 )=-2-'2
sec€ x=
이므로
=csc€ x
1
cos€ x
sec€ x
tan€ x
01-2 -;9*;
|해결 전략| 함수의 몫의 미분법을 이용한다.
f(x)=
x
x-1
+
x
x+1
=
2x€
x€-1
이므로
f '(x)=
(2x€)'(x€-1)-2x€(x€-1)'
(x€-1)€
=
4x(x€-1)-2x€_2x
(x€-1)€
=-
4x
(x€-1)€
∴ f '(2)=-
4_2
(2€-1)€
=-;9*;
02-1
;2!;
|해결 전략| y=xn (n은 정수)이면 y'=nxn-1임을 이용한다.
f(x)=
=x-2-6x-4이므로
x€-6
x›
f '(x)=-2x-3+24x-5=-
2
x‹
+
24
xfi
∴ f '(2)=-;4!;+;4#;=;2!;
02-2 385
|해결 전략| y=xn (n은 정수)이면 y'=nxn-1임을 이용한다.
f(x)=-;x!;-
2
x€
3
x‹
=-x-1-2x-2-3x-3- y -10x-10
- y -
10
x⁄‚
-
이므로
f '(x)=x-2+2€x-3+3€x-4+ y +10€x-11
∴ f '(1)=1+2€+3€+ y +10€
=
10
Ú
k=1
k€=
10_11_21
6
=385
LECTURE
자연수의 거듭제곱의 합
❶ 1+2+3+ … +n=
k=
n
Ú
k=1
n(n+1)
2
❷ 1€+2€+3€+ … +n€=
k€=
❸ 1‹+2‹+3‹+ … +n‹=
n
Ú
k=1
n
Ú
k=1
n(n+1)(2n+1)
6
k‹=[
n(n+1)
2
€
]
036 정답과 해설
다른 풀이
f(x)=
1
tan x
+
sec x
tan x
=cot x+csc x이므로
f '(x)=-csc€ x-csc x cot x
∴ f '{;4π;}=-csc€ ;4π;-csc ;4π; cot ;4π;
=-('2 )€-'2_1=-2-'2
2 합성함수의 미분법
개념 확인
1 ⑴ y'=4(x-1)‹ ⑵ y'=-6x(1-x€)€
2 ⑴ y'=10(2x+5)› ⑵ y'=12x(2x€-1)€
3 ⑴ y'=ex-2 ⑵ y'=3_23x+1 ln 2
4 ⑴ y'=
1
x ln 2
⑵ y'=;x!;
1 ⑴ u=x-1로 놓으면 y=u›이므로
du
dx
=4u‹,
dy
du
=1
∴ y'=
dy
dx
=
dy
du
_
du
dx
=4u‹_1=4(x-1)‹
⑵ u=1-x€으로 놓으면 y=u‹이므로
dy
du
=3u€,
=-2x
du
dx
∴ y'=
dy
dx
=
dy
du
_
du
dx
=3u€_(-2x)
=-6x(1-x€)€
2 ⑴ y' =5(2x+5)›(2x+5)'
=5(2x+5)›_2
=10(2x+5)›
⑵ y' =3(2x€-1)€(2x€-1)'
=3(2x€-1)€_4x
=12x(2x€-1)€
3 ⑴ y' =ex-2(x-2)'=ex-2_1=ex-2
⑵ y' =23x+1 ln 2_(3x+1)'
=23x+1 ln 2_3
=3_23x+1 ln 2
4 ⑴ y'=
1
x ln 2
(2x)'
2x
⑵ y'=
=;2™x;=;x!;
| 111쪽 |
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ 2x+3 ⑵ 2x, -
4x
(x€-3)‹
2-1 ⑴ 2, 2e2x+1 ⑵
3
3x+2
스스로 check
1-2 ⑴ y'=12(3x-4)‹ ⑵ y'=10x(x€-2)›
⑶ y'=4(6x+1)(3x€+x+1)‹ ⑷ y'=
6
(2-3x)‹
⑴ y'=4(3x-4)‹(3x-4)'=4(3x-4)‹_3=12(3x-4)‹
⑵ y'=5(x€-2)›(x€-2)'=5(x€-2)›_2x=10x(x€-2)›
107쪽~110쪽
⑶ y' =4(3x€+x+1)‹(3x€+x+1)'
=4(3x€+x+1)‹_(6x+1)=4(6x+1)(3x€+x+1)‹
⑷ y=
1
(2-3x)€
=(2-3x)-2이므로
y' =-2(2-3x)-3(2-3x)'
=-2(2-3x)-3_(-3)=
6
(2-3x)‹
다른 풀이
⑷ y'=-
{(2-3x)€}'
{(2-3x)€}€
=-
2(2-3x)(2-3x)'
(2-3x)›
=-
2(2-3x)_(-3)
(2-3x)›
=
6
(2-3x)‹
⑶ y'=
2-2 ⑴ y'=3e3x-2 ⑵ y'=2_52x+3 ln 5
2x+3
x€+3x
⑴ y' =e3x-2(3x-2)'=e3x-2_3=3e3x-2
⑵ y' =52x+3 ln 5_(2x+3)'
⑷ y'=
5
(5x-3)ln 2
=52x+3 ln 5_2=2_52x+3 ln 5
⑶ y'=
(x€+3x)'
x€+3x
=
2x+3
x€+3x
⑷ y'=
(5x-3)'
(5x-3)ln 2
=
5
(5x-3) ln 2
STEP
필수 유형
2
| 112쪽~114쪽 |
01-1 ⑴ y'=-
2x
(1+x€)€
cos
1
1+x€
⑵ y'=2 sec€ (2x+1)
⑶ y'=-cos x sin (1+sin x)
⑷ y'=2(2x-1)(4x€-x+2)
|해결 전략| 합성함수 y=f(g(x))의 도함수는 y'=f '(g(x))g '(x)임을 이용
한다.
5 여러 가지 미분법 037
∴ h' {;2π;}=g ' { f {;2π;}} f ' {;2π;}=g '(0) f ' {;2π;}
……㉠
03-2
;3%;
⑴ y'=cos
1
1+x€
_{
1
1+x€ }
'
=cos
1
1+x€
_[-
(1+x€)'
(1+x€)€ ]
=-
2x
(1+x€)€
cos
1
1+x€
⑵ y' =sec€ (2x+1)_(2x+1)'
=2 sec€ (2x+1)
⑶ y' =-sin (1+sin x)_(1+sin x)'
=-sin (1+sin x)_cos x
=-cos x sin (1+sin x)
⑷ y' ={(2x-1)€}'(x€+1)+(2x-1)€(x€+1)'
=2(2x-1)(2x-1)'(x€+1)+(2x-1)€_2x
=4(2x-1)(x€+1)+2x(2x-1)€
=2(2x-1)(4x€-x+2)
01-2 -1
|해결 전략| 합성함수 h(x)=(g@f)(x)=g(f(x))의 도함수
h'(x)=g '(f(x))f '(x)에 x=;2π;를 대입한다.
h(x)=(g@f )(x)=g( f(x))에서
h'(x)=g '( f(x))f '(x)
이때, f '(x)=-sin x이므로
f ' {;2π;}=-sin ;2π;=-1
g '(x)=sec€ x이므로
g '(0)=sec€ 0=1
따라서 f ' {;2π;}=-1, g '(0)=1을 ㉠에 대입하면
h' {;2π;}=1_(-1)=-1
02-1 ⑴ y'=esin xcos x ⑵ y'=(-x+4)e-x
⑶ y'=2x€+2x ln 2 ⑷ y'=-5cos x sin x_ln 5
|해결 전략| y=e f(x)이면 y'=e f(x)f '(x)이고, y=a f(x)(a>0, a+1)이면
y'=a f(x) ln a_f '(x)임을 이용한다.
⑴ y'=esin x(sin x)'=esin xcos x
⑵ y' =(x-3)'e-x+(x-3)(e-x)'
=1_e-x+(x-3)_(-e-x)
=(-x+4)e-x
⑶ y' =2x€+1 ln 2_(x€+1)'
=2x€+1 ln 2_2x
=2x€+2x ln 2
⑷ y' =5cos x ln 5_(cos x)'
=5cos x ln 5_(-sin x)
=-5cos x sin x_ln 5
038 정답과 해설
02-2 -32
|해결 전략| y={ f(x)}n (n은 정수)이면 y'=n{ f(x)}n-1 f '(x)임을 이용
한다.
f '(x) =4(1+e-x)‹(1+e-x)'
=4(1+e-x)‹_(-e-x)
=-4e-x(1+e-x)‹
∴ f '(0)=-4_2‹=-32
03-1 ⑴ y'=cot x ⑵ y'=
ex-e-x
ex+e-x
⑶ y'=-
⑷ y'=
tan x
ln 2
3x€
(x‹-2) ln 4
|해결 전략| y=ln |f(x)|이면 y'=
이고, y=loga |f(x)|이면
f '(x)
f(x)
y'=
f '(x)
f(x) ln a
임을 이용한다.
⑴ y'=
⑵ y'=
⑶ y'=
=
(sin x)'
sin x
(ex+e-x)'
ex+e-x =
(cos x)'
cos x_ln 2
cos x
sin x
=cot x
ex-e-x
ex+e-x
⑷ y'=
(x‹-2)'
(x‹-2) ln 4
=
3x€
(x‹-2) ln 4
=
-sin x
cos x_ln 2
=-
tan x
ln 2
|해결 전략| y=ln |f(x)|이면 y'=
임을 이용한다.
f '(x)
f(x)
f '(x)=
(x€+5x+3)'
x€+5x+3
=
2x+5
x€+5x+3
∴ f '(0)=;3%;
3 여러 가지 함수의 미분법
개념 확인
1 풀이 참조
115쪽~119쪽
2 ⑴ x€-x-y+2=0 ⑵ 3xy-x+4y=0
3 ⑴ y'=pxp-1 ⑵ y'=
⑶ y'=
⑷ y'=-
2
3 ‹'x
1
4x ›'x
dy
dx
=
4 ⑴
1
‹"ƒ9x€
5 ⑴ y"=6 ⑵ y"=-2 ⑶ y"=24x+2 ⑷ y"=60x€-6x
1
4 ›"ƒx‹
⑵
=
1
2'x
dy
dx
1 x=;2!;t에서 t=2x이므로
y=t€에서 y=4x€
따라서 주어진 함수의 그래프는 오른쪽
그림과 같다.
y
y=4x€
O
x
2 ⑴ 함수 y=x€-x+2를 음함수의 꼴로 나타내면
x€-x-y+2=0
⑵ 함수 y=
를 음함수의 꼴로 나타내면
x
3x+4
3xy-x+4y=0
3 ⑴ y'=(xp)'=pxp-1
⑵ y'=('x )'=(x;2!;)'=;2!;x;2!;-1=
⑶ y'=(‹"∂x€ )'=(x;3@;)'=;3@;x;3@;-1=
1
2'x
2
3 ‹'x
⑷ y'={
'=(x-;4!;)'=-;4!;x-;4!;-1=-
1
›'x }
1
4x ›'x
4 ⑴ y=›'x에서 x=y›
양변을 y에 대하여 미분하면
=4y‹
∴
dy
dx
=
1
dx
dy
=
1
4y‹
=
1
4 ›"ƒx‹
⑵ y=‹'ß3x에서 x=;3!;y‹
양변을 y에 대하여 미분하면
=y€
∴
dy
dx
=
1
dx
dy
=
=
1
y€
1
‹"ƒ9x€
dx
dy
dx
dy
5 ⑴ y'=6x+3이므로 y"=6
⑵ y'=-2x-2이므로 y"=-2
⑶ y'=12x€+2x이므로 y"=24x+2
⑷ y'=20x‹-3x€+2이므로 y"=60x€-6x
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ -6t, -6t, -3t ⑵ 6t€-3, 6t€-3, 2t€-1
| 120쪽~121쪽 |
2-1 ⑴
⑵ -
x
4y
x
2y‹
3-1 ⑴ ;2#;'x ⑵
3
2'ß3x+1
4-1 ⑴ ;2#;y€, 2, 2 ⑵ 4y‹,
5-1 3, 108(3x+5)€
1
4 ›"∂(x+2)‹
스스로 check
1-2 ⑴
=-t ⑵
dy
dx
=
1
2t+2
(단, t+-1)
dy
dx
dy
dt
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
dx
dt
dx
dt
⑴
=4,
=-4t이므로
dy
dx
=
=
-4t
4
=-t
⑵
=2t+2,
=1이므로
dy
dt
dy
dx
=
=
1
2t+2
(단, t+-1)
2-2 ⑴
dy
dx
=;y!; (단, y+0) ⑵
=;yX; (단, y+0)
dy
dx
⑴ 각 항을 x에 대하여 미분하면
d
dx
d
dx
(y€)-
(2x)-
(1)=0
d
dx
2y
-2=0
dy
dx
dy
dx
∴
=;y!; (단, y+0)
⑵ 각 항을 x에 대하여 미분하면
d
dx
(x€)-
(y€)=
(1)
d
dx
d
dx
2x-2y
=0
dy
dx
∴
dy
dx
=;yX; (단, y+0)
3-2 ⑴ y'=
⑴ y'=('x )'+{
⑵ y'=
x
"ƒx€+1
'=(x;2!;)'+(x-;2!;)'
x-1
2x'x
1
'x }
=;2!;x;2!;-1-;2!;x-;2!;-1
=
-
1
2'x
1
2x'x
=
x-1
2x'x
⑵ y="ƒx€+1=(x€+1);2!;이므로
y'=;2!;(x€+1);2!;-1(x€+1)'
=;2!;(x€+1)-;2!;_2x
=
x
"ƒx€+1
dy
dx
=
4-2 ⑴
1
‹"ƒ(3x-6)€
⑴ y=‹'ß3x-6 에서 y‹=3x-6이므로 x=;3!;y‹+2
1
2'ßx+1
⑵
=
dy
dx
양변을 y에 대하여 미분하면
=y€
dx
dy
5 여러 가지 미분법 039
STEP
필수 유형
2
| 122쪽~126쪽 |
01-1 ⑴
dy
dx
et
2
=
⑵
dy
dx
=
2
sin t
|해결 전략|
를 각각 구하고
임을 이용한다.
dx
dt
,
dy
dt
∴
dy
dx
=
2x-y
x-2
(단, x+2)
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
∴
dy
dx
=
1
dx
dy
=
=
1
y€
1
‹"ƒ(3x-6)€
⑵ y='ßx+1-3에서 (y+3)€=x+1이므로
x=y€+6y+8
양변을 y에 대하여 미분하면
dx
dy
=2y+6
∴
dy
dx
=
1
dx
dy
=
1
2y+6
=
1
2('ßx+1-3)+6
=
1
2'ßx+1
5-2 y"=
2
(x-1)‹
y'=-
(x-1)'
(x-1)€
=-
1
(x-1)€
이므로
y"=
{(x-1)€}'
{(x-1)€}€
=
2(x-1)
(x-1)›
=
2
(x-1)‹
⑵
=sec t tan t,
=2 sec€ t이므로
dx
dt
dy
dt
dy
dx
=
=
2 sec€ t
sec t tan t
=
2 sec t
tan t
=
2
sin t
1
cos t
sec t=
, tan t=
sin t
cos t
⑴
=2,
=et이므로
dx
dt
dy
dt
dy
dx
=
=
et
2
dy
dt
dx
dt
dy
dt
dx
dt
01-2
;5^;
를 대입한다.
dx
dt
dy
dt
=
(1-t€)-t_(-2t)
(1-t€)€
=
t€+1
(1-t€)€
,
=
2(1-t€)-(2t-1)_(-2t)
(1-t€)€
=
2t€-2t+2
(1-t€)€
이므로
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
=
2t€-2t+2
(1-t€)€
t€+1
(1-t€)€
=
2t€-2t+2
t€+1
040 정답과 해설
따라서 t=2일 때,
의 값은
dy
dx
2_2€-2_2+2
2€+1
=;5^;
02-1 ⑴
=-
2x+y
x+2y
(단, x+-2y)
⑵
=
(단, x+2)
2x-y
x-2
|해결 전략| 주어진 음함수의 각 항을 x에 대하여 미분하여
를 구한다.
dy
dx
⑴ 각 항을 x에 대하여 미분하면
d
dx
(x€)+
(xy)+
(y€)=
(4)
d
dx
d
dx
dy
dx
dy
dx
d
dx
dy
dx
dy
dx
2x+y+x
+2y
=0
dy
dx
(x+2y)
=-2x-y
∴
=-
(단, x+-2y)
dy
dx
2x+y
x+2y
⑵ 각 항을 x에 대하여 미분하면
d
dx
(xy)=
(x€)+
(2y)
d
dx
d
dx
y+x
=2x+2
dy
dx
(x-2)
=2x-y
dy
dx
dy
dx
02-2 0
|해결 전략| 주어진 음함수의 각 항을 x에 대하여 미분하여
를 구하고,
dy
dx
x=1, y=-1을 대입한다.
각 항을 x에 대하여 미분하면
d
dx
(x€)+
(y€)-
(2x)=0
d
dx
d
dx
2x+2y
-2=0
dy
dx
2y
=-2x+2
dy
dx
dy
dx
∴
=
-x+1
y
(단, y+0)
-1+1
-1
=0
03-1 ⑴ y'=;3!; ‹'ßsec x tan x ⑵ y'=-
cos x
2'ß1-sin x
⑶ y'=-
3x+8
2x€(x+4)'ßx+4
⑷ y'=
x
(x€+1)ln 2
|해결 전략| 함수 y={ f(x)}n (n은 실수)일 때, y'=n{ f(x)}n-1 f '(x)임을
이용한다.
|해결 전략| 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하여
를 구하고, t=2
dy
dx
따라서 곡선 x€+y€-2x=0 위의 점 (1, -1)에서의
의 값은
dy
dx
⑴ y=‹'ßsec x=(sec x);3!;이므로
y'=;3!;(sec x)-;3@; (sec x)'
=;3!;(sec x)-;3@; sec x tan x
= ;3!; ‹'ßsec x tan x
⑵ y='ß1-sin x=(1-sin x);2!;이므로
y'=;2!;(1-sin x)-;2!;(1-sin x)'
=;2!;(1-sin x)-;2!; (-cos x)
'ßx+4+
x
2'ßx+4
x€(x+4)
=-
cos x
2'ß1-sin x
⑶ y'=-
=-
=-
(x'ßx+4 )'
(x'ßx+4 )€
3x+8
2x€(x+4)'ßx+4
⑷ y'=
("ƒx€+1 )'
"ƒx€+1 ln 2
=
x
"ƒx€+1
"ƒx€+1 ln 2
=
x
(x€+1)ln 2
03-2 '3
2
|해결 전략| 함수 f(x)={g(x)}n(n은 실수)일 때,
f '(x)=n{g(x)}n-1g '(x)임을 이용하여 f '(x)를 구한다.
f(x)="ƒx€+x+1=(x€+x+1);2!;이므로
f '(x)=;2!;(x€+x+1)-;2!;(x€+x+1)'
=;2!;(x€+x+1)-;2!;(2x+1)
=
2x+1
2"ƒx€+x+1
2_1+1
2"ƒ1€+1+1
∴ f '(1)=
= '3
2
04-1
;2!;
|해결 전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여
g '(x)=
임을 이용한다.
1
f '(g(x))
함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 f(1)=2에서 g(2)=1
∴ g '(2)=
1
f '(g(2))
=
1
f '(1)
=;2!;
04-2
;2!;
|해결 전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수 g(x)에 대하여
g '(x)=
임을 이용한다.
1
f '(g(x))
따라서 g(1)=-;4π;이고, f '(x)=sec€ x이므로
g '(1)=
1
f '(g(1))
=
1
f '{-;4π;}
=
1
sec€ {-;4π;}
=cos€ {-;4π;}=;2!;
05-1 ⑴ y"=-4x sin x-(x€-1)cos x ⑵ y"=
2(x-6)
x›
⑶ y"=(x+1)ex ⑷ y"=
-2(x€+1)
(x€-1)€
|해결 전략| 주어진 함수를 두 번 미분하여 y"을 구한다.
⑴ y'=2x cos x-(x€+1)sin x이므로
y" =2 cos x-2x sin x-2x sin x-(x€+1)cos x
=-4x sin x-(x€-1)cos x
⑵ y'=
(3x€+1)x€-(x‹+x-2)_2x
x›
=
x›-x€+4x
x›
이므로
y"=
(4x‹-2x+4)x›-(x›-x€+4x)_4x‹
x°
=
2x›(x-6)
x°
=
2(x-6)
x›
⑶ y'=ex+(x-1)ex=xex이므로
y"=ex+xex=(x+1)ex
⑷ y'=
이므로
2x
x€-1
y"=
2(x€-1)-2x_2x
(x€-1)€
=
-2(x€+1)
(x€-1)€
STEP
유형 드릴
3
| 127쪽~129쪽 |
1-1 12
|해결 전략 | 주어진 극한을 미분계수를 포함한 식으로 변형하고, 몫의 미분법을
이용하여 함수 f(x)를 미분한다.
lim
h d 0
f(2h)-f(-2h)
h
=lim
h d 0
f(2h)-f(0)-f(-2h)+f(0)
h
=2lim
h d 0
f(2h)-f(0)
2h
+2lim
h d 0
f(-2h)-f(0)
-2h
이때, f(x)=-
에서 f '(x)=
3
x-1
3
(x-1)€
이므로
4f '(0)=4_3=12
5 여러 가지 미분법 041
함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 g(1)=a라 하면 f(a)=1
=2f '(0)+2f '(0)=4f '(0)
f(x)=tan x+2이므로 f(a)=1에서 tan a+2=1, tan a=-1
∴ a=-;4π; {∵ -;2π;0에서
4-x€
(x€+4)€
>0
이때, (x€+4)€>0이므로 4-x€>0
x€-4<0
∴ -20)
a
(x<0)
에서
lim
x d 0+
(sec x tan x)= lim
x d 0-
a
∴ a=0
즉, f(x)=[
sec x (x>0)
1 (x<0)
이므로 f(-p)=1
042 정답과 해설
함수를 이용하여 함수 f(x)를 미분한다.
f {;4π;+h}-f {;4π;-h}
h
lim
h d 0
=lim
h d 0
f {;4π;+h}-f {;4π;}-f {;4π;-h}+f {;4π;}
h
=lim
h d 0
f {;4π;+h}-f {;4π;}
h
+lim
h d 0
f {;4π;-h}-f {;4π;}
-h
=f ' {;4π;}+f ' {;4π;}=2f ' {;4π;}
이때, f(x)=x csc x에서
2f ' {;4π;}=2'2 {1-;4π;}
f '(x)=csc x-x csc x cot x=csc x(1-x cot x)이므로
4-1 56
|해결 전략 | 합성함수의 미분법을 이용하여 함수 g(x)를 미분한다.
g(x)=x€[ f {;2X;}]
‹에서
g '(x)=2x[ f {;2X;}]
‹+x€_3[ f {;2X;}]
€ [ f {;2X;}]
'
=2x[ f {;2X;}]
‹+3x€[ f {;2X;}]
€ f ' {;2X;}_;2!;
=2x[ f {;2X;}]
‹+;2#;x€[ f {;2X;}]
€ f ' {;2X;}
∴ g '(4) =8{ f(2)}‹+24{ f(2)}€f '(2)
=8+48=56
4-2 ②
|해결 전략 | 합성함수의 미분법을 이용하여 f ›(x)를 차례로 미분한다.
f ›(x)=f( f ‹(x)), f ‹(x)=f( f €(x)), f €(x)=f( f(x))이므로
{ f ›(x)}' ={ f(f ‹(x))}'
=f '( f ‹(x))_{ f ‹(x)}'
=f '( f ‹(x))_{ f( f €(x))}'
=f '( f ‹(x))_f '( f €(x))_{ f €(x)}'
=f '( f ‹(x))_f '( f €(x))_{ f( f(x))}'
=f '( f ‹(x))_f '( f €(x))_f '( f(x))_f '(x)
한편, f(a)=a이므로
f €(a)=f( f(a))=f(a)=a
f ‹(a)=f( f €(a))=f(a)=a
∴ g '(a) ={ f ›(a)}'
=f '( f ‹(a))_f '( f €(a))_f '( f(a))_f '(a)
=f '(a)_f '(a)_f '(a)_f '(a)
=b›
|해결 전략 | sec€ h=1+tan€ h, csc€ h=1+cot€ h임을 이용하여 주어진 식을
=8_1‹+24_1€_2
5-1 3
|해결 전략 | 합성함수의 미분법과 곱의 미분법을 이용하여 y={x f(x)}n을 미
분한다.
y={xf(x)}n에서
y' =n{xf(x)}n-1 {xf(x)}'
=n{xf(x)}n-1{ f(x)+xf '(x)}
이때,
f '(1)
f '(-1)
=4_32a이므로
a+2
a-2
=4, 4(a-2)=a+2
3a=10
∴ a=:¡3º:
이므로 x=1에서의 미분계수는
n{1_f(1)}n-1{ f(1)+1_f '(1)}=n_2n-1(2+3)=60
즉, n_2n-1=12=3_2€이므로 n=3
7-1 -;5¢5;
|해결 전략 | 주어진 극한을 미분계수를 포함한 식으로 변형하고, 로그함수의 미
분법을 이용하여 함수 f(x)를 미분한다.
lim
h d 0
f(2+h)-f(2)
h
+lim
h d 0
f(1-h)-f(1)
h
=lim
h d 0
f(2+h)-f(2)
h
-lim
h d 0
f(1-h)-f(1)
-h
=f '(2)-f '(1)
이때, f(x)=ln (2x€+3)에서 f '(x)=
(2x€+3)'
2x€+3
=
4x
2x€+3
이므로
…… ㉠
f '(2)-f '(1)=
4_2
2_2€+3
-
4_1
2_1€+3
=;1•1;-;5$;=-;5¢5;
5-2 -;3*;, 2
|해결 전략 | y=f(g(x))이면 y'=f '(g(x))g '(x)임을 이용한다.
f(ax-1)=x€-x+a+1의 양변을 x에 대하여 미분하면
af '(ax-1)=2x-1
∴ f '(ax-1)=
2x-1
a
ax-1=3이 되도록 하는 x의 값을 구하면 x=;a$;
x=;a$;를 ㉠에 대입하면 f '(3)=
;a*;-1
a
=
8-a
a€
이때, f '(3)=;2#;이므로
=;2#;, 3a€=16-2a
8-a
a€
3a€+2a-16=0, (3a+8)(a-2)=0
∴ a=-;3*; 또는 a=2
6-1 5
|해결 전략 | y=e f(x)이면 y'=e f(x)f '(x)임을 이용한다.
f(x)=xeax+b에서
f '(x)=eax+b+xeax+b_a=(1+ax)eax+b
이때, f '(0)=e‹, f '(1)=3efi이므로
f '(0)=eb=e‹
∴ b=3
f '(1)=(1+a)ea+3=3efi
∴ a=2
∴ a+b=2+3=5
6-2
:¡3º:
|해결 전략 | y=a f(x)이면 y'=a f(x) ln a_f '(x)임을 이용한다.
f(x)=3x€+ax+3에서
f '(x) =3x€+ax+3 ln 3_(x€+ax+3)'
=3x€+ax+3 ln 3_(2x+a)
이므로
f '(1)=34+a ln 3_(2+a)
f '(-1)=34-a ln 3_(-2+a)
7-2
:¡2¡:
|해결 전략 | f(x)=ln (ex+e2x+e3x+ y +e10x)이라 하고 로그의 성질을 이
용하여 주어진 극한을 미분계수를 포함한 식으로 변형한다.
f(x)=ln (ex+e2x+e3x+ y +e10x)이라 하면
f(0)=ln (1+1+1+ y +1)=ln 10
∴ (주어진 식)=lim
x d 0
ln (ex+e2x+e3x+ y +e10x)-ln 10
x
=lim
x d 0
f(x)-f(0)
x-0
a>0, a+1이고
M>0, N>0일 때
loga
=loga M-loga N
M
N
이때, f '(x)=
=f '(0)
ex+2e2x+3e3x+ y +10e10x
ex+e2x+e3x+ y +e10x 이므로
10_11
2
10
=:¡2¡:
=
1+2+3+ y +10
1+1+1+ y +1
|해결 전략|
임을 이용하여
를 t에 대한 식으로 나타낸 후
dy
dx
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
의 값을 구한다.
f '(0)=
8-1
;2%;
lim
t d 2
dy
dx
dx
dt
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
dy
dx
=t€-4,
=2t€+2t-12이므로
dy
dt
=
2t€+2t-12
t€-4
(단, t+\2)
∴ lim
t d 2
=lim
t d 2
2t€+2t-12
t€-4
=lim
t d 2
2(t-2)(t+3)
(t+2)(t-2)
5 여러 가지 미분법 043
∴
f '(1)
f '(-1)
=
34+a ln 3_(2+a)
34-a ln 3_(-2+a)
=
a+2
a-2
_32a
=lim
t d 2
2(t+3)
t+2
=;2%;
|해결 전략 |
임을 이용하여
를 구하고
dy
dx
dy
dx
=-'3 을 만족시
dy
dx
=
8-2
'3
dy
dt
dx
dt
t€
8t
2"ƒ4t€-1
_t-"ƒ4t€-1
키는 t의 값을 구한다.
dx
dt
=
=
4t€-(4t€-1)
t€"ƒ4t€-1
1
t€
dy
dt
=-
=
1
t€"ƒ4t€-1
∴
=
dy
dx
dy
dt
dx
dt
=
-
1
t€
1
t€"ƒ4t€-1
이때, -"ƒ4t€-1=-'3에서 4t€-1=3
t€=1
∴ t=1 (∵ a>0, b>0)
따라서 a='ß4-1='3, b=1이므로
ab='3
=-"ƒ4t€-1
9-2
dy
dx
=
x-2y
2x-y
(단, y+2x)
|해결 전략 | 음함수의 미분법에 의하여 y를 x의 함수로 보고 각 항을 x에 대하여
미분한다.
x€+y€=4xy의 각 항을 x에 대하여 미분하면
d
dx
d
dx
(x€)+
(y€)=
(4xy)
2x+2y
=4y+4x
d
dx
dy
dx
2(2x-y)
=2(x-2y)
∴
=
dy
dx
x-2y
2x-y
(단, y+2x)
dy
dx
dy
dx
044 정답과 해설
10-1 -1
|해결 전략 | y=xn (n은 음의 정수)의 도함수는 몫의 미분법을 이용하여 구한
다.
y=
1
xm 이므로
mxm-1
x2m =-mxm-1-2m=-mx -m-1
y'=-
이때, -m=n이므로 y'= nxn-1
따라서 f(x)=mxm-1, g(x)=-m-1이므로
f(1)+g(2)=m+(-m-1)=-1
10-2 5
|해결 전략 | y=xn (n은 실수)의 도함수는 양변의 절댓값에 자연로그를 취한 후
음함수의 미분법을 이용하여 구한다.
y=xn의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면
ln |y|=ln |xn|, ln |y|=n ln |x|
각 항을 x에 대하여 미분하면
1
y
_
dy
dx
= ;xN;
∴
dy
dx
=y_ ;xN; =nxn-1
따라서 f(x)=ln |x|, g(x)=;xN;이므로
f(e‹)+g {;2N;}=ln e‹+
=3+2=5
n
;2N;
|해결 전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수가 g(x)일 때,
g '(x)=
임을 이용한다.
1
f '(g(x))
f(a)=-;9!;
f(x)=;2¡7;(xfi+2x‹)이므로 f(a)=-;9!;에서 afi+2a‹+3=0
h(a)=afi+2a‹+3이라 하면 h(-1)=0이고
h '(a)=5a›+6a€>0에서 함수 y=h(a)의 그래프는 항상 증가하
므로 a=-1은 방정식 afi+2a‹+3=0의 유일한 실근이다.
따라서 g {-;9!;}=-1이고, f '(x)=;2¡7;(5x›+6x€)이므로
g '{-;9!;}=
1
=
1
f '(-1)
=;1@1&;
f '{ g {-;9!;}}
11-2
;2!;
|해결 전략| 미분가능한 함수 f(x)의 역함수가 g(x)일 때,
g '(x)=
임을 이용한다.
1
f '(g(x))
=tan x tan y (단, cos x cos y+0)
|해결 전략 | 음함수의 미분법에 의하여 y를 x의 함수로 보고 각 항을 x에 대하여
9-1
dy
dx
미분한다.
4 cos x sin y=1의 각 항을 x에 대하여 미분하면
11-1
;1@1&;
d
dx
(4 cos x sin y)=
(1)
d
dx
-4 sin x sin y+4 cos x cos y
=0
dy
dx
∴
=
dy
dx
4 sin x sin y
4 cos x cos y
=tan x tan y (단, cos x cos y+0)
함수 f(x)의 역함수가 g(x)이므로 g {-;9!;}=a라 하면
g(x)-1
x-2
lim
x d 2
lim
x d 2
=2에서 lim
x d 2
(x-2)=0이므로
{g(x)-1}=0
∴ lim
x d 2
g(x)=1
미분가능한 함수 f(x)는 연속함수이고 그 역함수 g(x)도 연속함수
6
| 도함수의 활용 ⑴
이므로
g(2)=lim
x d 2
g(x)=1
따라서 f(1)=2이고
lim
x d 2
g(x)-1
x-2
=lim
x d 2
g(x)-g(2)
x-2
=g '(2)=2이므로
f '(1)=
1
g '( f(1))
=
1
g '(2)
=;2!;
LECTURE
두 함수 f(x), g(x)에 대하여
❶ lim
x d a
f(x)
g(x)
=L (L은 실수)일 때
x d a g(x)=0이면 ➡ lim
lim
x d a f(x)=0
❷ lim
x d a
f(x)
g(x)
=L (L+0인 실수)일 때
x d a f(x)=0이면 ➡ lim
lim
x d a g(x)=0
12-1 -1
|해결 전략 | y=eax sin x를 미분하여 y', y"을 구하고 y"+2y'+2y=0에 대
입한다.
y=eax sin x에서
y'=aeax sin x+eax cos x=eax(a sin x+cos x)
y" =aeax(a sin x+cos x)+eax(a cos x-sin x)
=eax{(a€-1)sin x+2a cos x}
y"+2y'+2y=0에서
eax{(a€-1)sin x+2a cos x}+2 eax(a sin x+cos x)
eax(a+1){(a+1)sin x+2 cos x}=0
+2 eaxsin x=0
위의 등식이 임의의 실수 x에 대하여 성립하므로 a=-1
12-2 3
|해결 전략 | y=excos 2x를 미분하여 y', y"을 구하고 y"+ay'+by=0에 대
입한다.
y=excos 2x에서
y'=excos 2x-2exsin 2x=ex(cos 2x-2 sin 2x)
y" =ex(cos 2x-2 sin 2x)+ex(-2 sin 2x-4 cos 2x)
=-ex(3 cos 2x+4 sin 2x)
y"+ay'+by=0에서
-ex(3 cos 2x+4 sin 2x)+aex(cos 2x-2 sin 2x)+bexcos 2x
=0
ex{(a+b-3)cos 2x+(-2a-4)sin 2x}=0
이때, ex+0이므로
(a+b-3)cos 2x+(-2a-4)sin 2x=0
위의 등식이 임의의 실수 x에 대하여 성립하므로
a+b-3=0, -2a-4=0
∴ a=-2, b=5
∴ a+b=-2+5=3
1 접선의 방정식
개념 확인
1 ⑴ -2e ⑵ '2
2
2 ⑴ 2 ⑵ 0
132쪽~133쪽
1 ⑴ f(x)=e-2x+1으로 놓으면
f '(x)=e-2x+1_(-2)=-2e-2x+1
곡선 y=f(x) 위의 점 (0, e)에서의 접선의 기울기는 f '(0)이
므로
f '(0)=-2e-2_0+1=-2e
⑵ f(x)="ƒx€+1로 놓으면
f '(x)=
_2x=
1
2"ƒx€+1
x
"ƒx€+1
곡선 y=f(x) 위의 점 (1, '2 )에서의 접선의 기울기는 f '(1)
이므로
f '(1)=
1
"ƒ1€+1
= '2
2
2 ⑴ f(x)=;x!;로 놓으면 f '(x)=-
1
x€
접점의 좌표를 {a, ;a!;}이라 하면 접선의 기울기가 -;4!;이므로
f '(a)=-
=-;4!;에서 a=2 (∵ a>0)
1
a€
따라서 접점의 x좌표는 2이다.
⑵ f(x)=2ex으로 놓으면 f '(x)=2ex
접점의 좌표를 (a, 2ea)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
f '(a)=2ea이므로 접선의 방정식은
y-2ea=2ea(x-a)
∴ y=2eax+2(1-a)ea
이 직선이 점 (-1, 0)을 지나므로
0=-2ea+2(1-a)ea, 2aea=0
따라서 접점의 x좌표는 0이다.
∴ a=0 (∵ ea>0)
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 2e, 2e, 2ex
2-1 1, 1, 2x+3
3-1
e€
2
,
e€
2
,
2
e€
x+1
| 134쪽 |
6 도함수의 활용 ⑴ 045
스스로 check
1-2 y=-2x+4
f(x)=;x@;로 놓으면 f '(x)=-
2
x€
f '(1)=-2
따라서 구하는 접선의 방정식은
y-2=-2(x-1)
∴ y=-2x+4
곡선 y=f(x) 위의 점 (1,`2)에서의 접선의 기울기는 f '(1)이므로
2-2 y=x+;2π;
f(x)=cos x로 놓으면 f '(x)=-sin x
접점의 좌표를 (a,`cos a)라 하면 접선의 기울기가 1이므로
f '(a)=-sin a=1에서 sin a=-1
∴ a=-;2π; (∵ -p0)
y=-e€x
03-2 -;4#;
04-2 y=3x+7
|해결 전략| 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하여
를 구하고,
t€-3t=-2, 3t-5=1을 만족시키는 t의 값을
에 대입한다.
dy
dx
dy
dx
dx
dt
=2t-3,
=3이므로
dy
dt
dy
dx
=
=
3
2t-3
{단, t+;2#;}
dy
dt
dx
dt
t=2일 때,
=
dy
dx
3
2_2-3
=3
따라서 접선의 기울기는 3이므로 구하는 접선의 방정식은
y-1=3(x+2)
∴ y=3x+7
따라서 a=-1을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 방정식은
이때, t€-3t=-2, 3t-5=1이므로 t=2
|해결 전략| 먼저 곡선 위의 임의의 점 {a,
a-1 }에서의 접선의 방정식을 구한다.
f(x)=
로 놓으면 f '(x)=-
1
x-1
1
1
(x-1)€
접점의 좌표를 {a,
1
a-1 }이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
f '(a)=-
이므로 접선의 방정식은
1
(a-1)€
y-
1
a-1
=-
1
(a-1)€
(x-a)
∴ y=-
1
(a-1)€
x+
2a-1
(a-1)€
이 직선이 점 (-3, 0)을 지나므로
0=
3
(a-1)€
+
2a-1
(a-1)€
, 2a-1=-3
∴ a=-1
따라서 a=-1을 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은 y=-;4!;x-;4#;이
05-1 ⑴ y=-x-1 ⑵ y= '3
2
x+2
|해결 전략| 음함수의 미분법을 이용하여
를 구한 후 주어진 점의 좌표를 대
dy
dx
입하여 접선의 기울기를 구한다.
⑴ y€=4x의 각 항을 x에 대하여 미분하면
…… ㉠
∴
=;y@; (단, y+0)
곡선 y€=4x 위의 점 (1, -2)에서의 접선의 기울기는
2y
=4
dy
dx
dy
dx
2
-2
=-1
|해결 전략| 매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하여
를 구한 후 t의 값
dy
dx
므로 구하는 y절편은 -;4#;이다.
04-1 y=x-1
을 대입하여 접선의 기울기를 구한다.
dx
dt
=
1
t+1
,
dy
dt
=t€-t+1이므로
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
=
t€-t+1
1
t+1
=t‹+1
따라서 구하는 접선의 방정식은
y+2=-(x-1)
∴ y=-x-1
⑵ x€+4y€=4의 각 항을 x에 대하여 미분하면
2x+8y
=0
dy
dx
∴
=-
(단, y+0)
dy
dx
x
4y
곡선 x€+4y€=4 위의 점 {-'3 , ;2!;}에서의 접선의 기울기는
-
-'3
2
= '3
2
따라서 구하는 접선의 방정식은
y-;2!;= '3
2
(x+'3 )
∴ y= '3
2
x+2
6 도함수의 활용 ⑴ 047
따라서 함수 f(x)는 구간 (-M,`0&에서 감소하고, 구간 $0, M)
따라서 함수 f(x)는 구간 {0,`;3π;‘에서 감소하고, 구간 “;3π;, p}에서
2 함수의 극대·극소
개념 확인
2 극솟값: -;e!;
3 극댓값: 48, 극솟값: -77
1 구간 (-M, 0&에서 감소, 구간 $0, M)에서 증가
1 f(x)=ex-x에서 f '(x)=ex-1
f '(x)=0에서 x=0
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
0
0
y
+
↗
에서 증가한다.
2 f(x)=xex에서
f '(x)=ex+xex=(x+1)ex
f '(x)=0에서 x=-1 (∵ ex>0)
x
y
f '(x) -
-1
0
f(x)
↘ -;e!;
y
+
↗
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극솟값 -;e!; 을 갖는다.
3 f(x)=2x‹-3x€-36x+4에서
f '(x)=6x€-6x-36=6(x+2)(x-3)
f "(x)=12x-6
f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=3
이때, f "(-2)=-30<0, f "(3)=30>0이므로 함수 f(x)는
x=-2에서 극댓값 48, x=3에서 극솟값 -77을 갖는다.
스스로 check
140쪽~142쪽
1-2 ⑴ 구간 {0, ;3π;‘에서 감소, 구간 “;3π;, p}에서 증가
⑵ 구간 (-M, -ln 3&에서 감소, 구간 $-ln 3, M)에서 증가
⑴ f(x)=x-2 sin x에서 f '(x)=1-2 cos x
f '(x)=0에서 cos x=;2!;
∴ x=;3π; (∵ 01
|해결 전략| 함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하
따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극솟값 ln 3을 갖는다.
x
y
f '(x) -
0
0
f(x)
↘
ln 3
y
+
↗
[이계도함수 이용]
f(x)=ln (x€+3)에서
f '(x)=
2x
x€+3
f "(x)=
2(x€+3)-2x_2x
(x€+3)€
=
-2x€+6
(x€+3)€
f '(x)=0에서 x=0
이때, f "(0)=;3@;>0이므로 함수 f(x)는 x=0에서 극솟값 ln 3을
갖는다.
여 f '(x)>0이어야 한다.
f(x)=ax+ln (x€+1)에서
f '(x)=a+
2x
x€+1
=
ax€+2x+a
x€+1
함수 f(x)가 실수 전체의 집합에서 증가하려면 모든 실수 x에 대하
여 f '(x)>0이어야 한다.
이때, x€+1>0이므로 ax€+2x+a>0이어야 한다.
따라서 a>0이고, 이차방정식 ax€+2x+a=0의 판별식을 D라 하면
D
4
=1-a€<0, a€-1>0
(a+1)(a-1)>0
∴ a>1 (∵ a>0)
02-1 ⑴ 극댓값: ;2!;, 극솟값: -1 ⑵ 극댓값: 2'3
⑶ 극댓값:
, 극솟값: 0 ⑷ 극솟값: -;2¡e;
4
e€
|해결 전략| f '(x)=0이 되는 x의 값을 구한 후, 이 x의 값의 좌우에서의 f '(x)
STEP
필수 유형
2
| 144쪽~146쪽 |
01-1 ⑴ 구간 (-M, -1-'5 &, $-1+'5, M)에서 증가,
구간 $-1-'5, -1+'5 &에서 감소
⑵ 구간 (1, 5&에서 감소, 구간 $5, M)에서 증가
|해결 전략| 어떤 구간에서 f '(x)>0이면 f(x)는 증가하고, f '(x)<0이면
f(x)는 감소한다.
⑴ f(x)=(x€-4)ex에서
f '(x)=2xex+(x€-4)ex=(x€+2x-4)ex
f '(x)=0에서 x€+2x-4=0 (∵ ex>0)
∴ x=-1-'5 또는 x=-1+'5
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
f '(x)
f(x)
y -1-'5 y -1+'5 y
+
-
+
0
0
↗
↘
↗
따라서 함수 f(x)는 구간 (-M, -1-'5 &, $-1+'5 ,`M)에서
증가하고, 구간 $-1-'5 ,`-1+'5 &에서 감소한다.
⑵ f(x)=
f '(x)=
에서 x>1이고
x+3
'ßx-1
'ßx-1-(x+3)_
x-1
1
2'ßx-1
f '(x)=0에서 x=5
=
x-5
2(x-1)'ßx-1
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
(1)
f '(x)
f(x)
5
0
y
-
↘
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 구간 (1, 5&에서 감소하고, 구간 $5, M)에서
증가한다.
의 부호를 살펴본다.
⑴ f(x)=
2x+1
x€+2x+3
에서
f '(x)=
2(x€+2x+3)-(2x+1)(2x+2)
(x€+2x+3)€
=
-2x€-2x+4
(x€+2x+3)€
=
-2(x+2)(x-1)
(x€+2x+3)€
f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=1
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
-2
0
-1
y
+
↗
1
0
;2!;
y
-
↘
;2!; 을 갖는다.
⑵ f(x)='x+'ß6-x 에서 x>0, 6-x>0이므로
00)
따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 극솟값 -1, x=1에서 극댓값
6 도함수의 활용 ⑴ 049
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
03-2 6
|해결 전략| 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내고 극댓값과 극솟값의 곱을
a에 대한 식으로 나타낸다.
f(x)=x+a+;x!;에서
f '(x)=1-
=
1
x€
x€-1
x€
=
(x+1)(x-1)
x€
f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
y
f '(x) +
f(x)
↗
-1
0
극대
y
-
↘
(0)
y
-
↘
1
0
극소
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극대이고 x=1에서 극소이다.
이때, 함수 f(x)의 극댓값과 극솟값의 곱이 5이므로
f(-1) f(1)=(a-2)(a+2)=5
a€=9
∴ a=3 (∵ a>0)
따라서 함수 f(x)의 극댓값과 극솟값의 합은
f(x)=x+3+;x!;
f(-1)+f(1)=1+5=6
x
y
-2
f '(x) +
f(x)
↗
0
4
e€
y
-
↘
0
0
0
y
+
↗
4
e€
따라서 함수 f(x)는 x=-2에서 극댓값
, x=0에서 극솟값
0을 갖는다.
⑷ f(x)=x€ ln x에서 x>0이고
f '(x)=2x ln x+x€_;x!;=x(2 ln x+1)
f '(x)=0에서 ln x=-;2!;
∴ x=e-;2!;=
1
'e
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
1
'e
0
y
+
↘ -;2¡e; ↗
따라서 함수 f(x)는 x=
에서 극솟값 -;2¡e; 을 갖는다.
1
'e
다른 풀이
⑶ f '(x)=2xex+x€ex=(x€+2x)ex=x(x+2)ex
f "(x) =(2x+2)ex+(x€+2x)ex
=(x€+4x+2)ex
서 극댓값
, x=0에서 극솟값 0을 갖는다.
4
e€
⑷ f(x)=x€ ln x에서 x>0이고
f '(x)=2x ln x+x€_;x!;=x(2 ln x+1)
f "(x)=2 ln x+1+x_;x@;=2 ln x+3
f '(x)=0에서 ln x=-;2!;
∴ x=e-;2!;=
1
'e
'e }=2>0이므로 함수 f(x)는 x=
1
1
'e
이때, f "{
갖는다.
f '(x)=0에서 x=-2 또는 x=0 (∵ ex>0)
이때, f "(-2)=-2e-2<0, f "(0)=2>0이므로 함수 f(x)는 x=-2에
1-1
;4E;
STEP
유형 드릴
3
| 147쪽~149쪽 |
|해결 전략 | 주어진 함수의 도함수를 구해 접점에서의 접선의 기울기를 구한다.
f(x)=ex€으로 놓으면 f '(x)=2x ex€
곡선 y=f(x) 위의 점 (1, e)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=2e이
므로 접선의 방정식은
y-e=2e(x-1)
∴ y=2ex-e
에서 극솟값 -;2¡e; 을
따라서 A {;2!;, 0}, B(0, -e)이므로
1OAB=;2!;_;2!;_e=;4E;
03-1 a=3, 극댓값:
6
e‹
|해결 전략| 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f '(a)=0임을 이용한다.
f(x)=(x€-a)ex에서
f '(x)=2xex+(x€-a)ex=(x€+2x-a)ex
함수 f(x)가 x=-3에서 극댓값을 가지므로
f '(-3)=0에서 (9-6-a)
=0
∴ a=3
1
e‹
∴ f(x)=(x€-3)ex
1-2 y=-;4!;x+ p
16
+2
|해결 전략 | 곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, b)를 지나고 점 P에서의 접선에 수직
인 직선의 방정식은 y-b=-
(x-a)임을 이용한다.
1
f '(a)
f(x)=sec€ x로 놓으면
f '(x)=2 sec x(sec x)'=2 sec€ x tan x
곡선 y=f(x) 위의 점 {;4π;, 2}에서의 접선의 기울기는
따라서 함수 f(x)는 x=-3에서 극댓값 f(-3)=(9-3)
=
1
e‹
6
e‹
f ' {;4π;}=2_('2 )€_1=4
이므로 접선에 수직인 직선의 기울기는 -;4!;이다.
을 갖는다.
050 정답과 해설
따라서 구하는 직선의 방정식은
y-2=-;4!; {x-;4π;}
∴ y=-;4!;x+
p
16
+2
|해결 전략 | 접점의 좌표를 {t,
ln t
t }로 놓고 이 점에서의 접선의 방정식을 구한다.
3-2
;e!;
f(x)=
로 놓으면
ln x
x
2-1 1
|해결 전략 | 평행한 두 직선의 기울기는 서로 같음을 이용하여 접점의 좌표를 구
f '(x)=
;x!;_x-ln x
x€
=
1-ln x
x€
한다.
f(x)=ln (x+2)로 놓으면 f '(x)=
1
x+2
접점의 좌표를 (a, ln (a+2))라 하면 직선 y=x+3에 평행한 접선
접점의 좌표를 {t,
ln t
t }라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
f '(t)=
이므로 접선의 방정식은
1-ln t
t€
따라서 접점의 좌표는 (-1, 0)이므로 접선의 방정식은
의 기울기는 1이므로
f '(a)=
=1
∴ a=-1
1
a+2
y-0=1_(x+1)
∴ y=x+1
x=0을 y=x+1에 대입하면
y=1
즉, 구하는 y절편은 1이다.
2-2 4'2
|해결 전략 | 기울기가 -1인 두 접선의 접점의 좌표를 구하여 두 점 사이의 거리
를 구한다.
f(x)=
로 놓으면 f '(x)=-
4
x-2
4
(x-2)€
접점의 좌표를 {a,
4
a-2 }라 하면 접선의 기울기가 -1이므로
f '(a)=-
=-1, (a-2)€=4`
4
(a-2)€
a-2=\2
∴ a=0 또는 a=4
리는
"ƒ(4-0)€+{2-(-2)}€=4'2
따라서 두 접점의 좌표는 (0, -2), (4, 2)이므로 두 접점 사이의 거
3-1 17
|해결 전략 | 점 P의 좌표를 `(a, 'a-1)로 놓고 점 P에서의 접선의 방정식을 구
한다.
f(x)='x-1로 놓으면 f '(x)=
1
2'x
f '(a)=
이므로 접선의 방정식은
1
2'a
1
2'a
x+ 'a
2
1
2'a
y-('a-1)=
(x-a)
∴ y=
-1
이 접선이 원점 O를 지나므로
0= 'a
2
-1, 'a=2
∴ a=4
따라서 P(4, 1)이므로
OP’ €=4€+1€=17
…… ㉠
y-
ln t
t
=
1-ln t
t€
(x-t)
∴ y=
1-ln t
t€
x+
-1+2 ln t
t
이 접선이 원점을 지나므로
0=
-1+2 ln t
t
, ln t=;2!;
∴ t='e
t='e 를 ㉠에 대입하면 접선의 방정식은
이때, 이 접선이 점 (2, a)를 지나므로
y=;2¡e;x
a=;2¡e;_2=;e!;
4-1 e
|해결 전략 | 접점의 좌표를 (a, aea+1)로 놓고 이 점에서의 접선의 기울기를 각
각 찾는다.
f(x)=xex+1로 놓으면
f '(x)=ex+xex=(x+1)ex
접점의 좌표를 (a, aea+1)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
f '(a)=(a+1)ea이므로 접선의 방정식은
y-(aea+1)=(a+1)ea(x-a)
∴ y=(a+1)eax-a€ea+1
이 직선이 점 (1, 1)을 지나므로
1=(a+1)ea-a€ea+1, (a€-a-1)ea=0
∴ a€-a-1=0 (∵ ea>0)
a+b=1, ab=-1
이때, 두 접선의 기울기는 각각 (a+1)ea, (b+1)eb이므로
m¡m™ =(a+1)ea_(b+1)eb
=(ab+a+b+1)ea+b
=(-1+1+1)e⁄=e
4-2 -5
|해결 전략 | 오직 하나의 접선을 그을 수 있으려면 접선의 방정식에 x=a, y=0
을 대입하여 얻은 방정식의 해가 1개이어야 한다.
6 도함수의 활용 ⑴ 051
점 P의 좌표를 (a, 'a -1)이라 하면 점 P에서의 접선의 기울기는
이 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
f(x)=(x+1)ex으로 놓으면
f '(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex
접점의 좌표를 (t, (t+1)et)이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는
f '(t)=(t+2)et이므로 접선의 방정식은
y-(t+1)et=(t+2)et(x-t)
∴ y=(t+2)etx-(t€+t-1)et
이 직선이 점 (a, 0)을 지나므로
0=(t+2)eta-(t€+t-1)et`
{t€+(1-a)t-2a-1}et=0
∴ t€+(1-a)t-2a-1=0 (∵ et>0)
이 중근을 가져야 하므로 ㉠의 판별식을 D라 하면
D=(1-a)€-4(-2a-1)=0, a€+6a+5=0
(a+5)(a+1)=0
∴ a=-5 (∵ a+-1)
6-1 y=;5!;x+;5!;
|해결 전략 | 미분가능한 함수 f(x)의 역함수가 g(x)일 때, f(a)=b이면
g '(b)=
( f '(a)+0)이다.
1
f '(a)
g(4)=k로 놓으면 f(k)=4이므로
k‹+2k+1=4, k‹+2k-3=0
(k-1)(k€+k+3)=0
∴ k=1 (∵ k€+k+3>0)
즉, g(4)=1이고, f '(x)=3x€+2이므로
따라서 곡선 y=g(x) 위의 점 (4, 1)에서의 접선의 방정식은
y-1=;5!;(x-4)
∴ y=;5!;x+;5!;
점 (a, 0)에서 오직 하나의 접선을 그을 수 있으려면 이차방정식 ㉠
…… ㉠
g '(4)=
1
f '(1)
=;5!;
5-1 4
|해결 전략 | 두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=t인 점에서 공통인 접선을 가지
함수 f(x)의 역함수가 g(x)이고 g(b)=a이면
➡ g '(b)= 1
= 1
f '( g(b))
f '(a)
(단, f '(a)+0)
a=-1이면 점 (a, 0)은
곡선 y=(x+1)ex 위의 점이 된다.
LECTURE
f(t)=g(t)에서 a-2 sin€ t=2 sin t
…… ㉠
f '(t)=g '(t)에서 -4 sin t cos t=2 cos t
6-2 y=;2!;x+;2!;-;4π;
|해결 전략 | 미분가능한 함수 f(x)의 역함수가 g(x)일 때, f(a)=b이면
cos t(2 sin t+1)=0
∴ cos t=0 또는 sin t=-;2!;
이때, 00이므로
g '(b)=
( f '(a)+0)이다.
1
f '(a)
g(-1)=k로 놓으면 f(k)=-1이므로
tan k=-1
∴ k=-;4π; {∵ -;2π;0)
2x€+y€=6의 각 항을 x에 대하여 미분하면
4x+2y
=0
∴
=`-
(단, y+0)
dy
dx
dy
dx
2x
y
이므로 접선의 방정식은
y-2=-(x-1)
∴ y=-x+3
이때, 이 접선이 점 (b, b-3)을 지나므로
b-3=-b+3, 2b=6
∴ b=3
∴ a+b=2+3=5
9-1 4
|해결 전략 | f '(x)를 구하여 f '(x)<0인 구간을 찾는다.
f(x)=x+"ƒ25-x€에서
f '(x)=1+
-2x
2"ƒ25-x€
= "ƒ25-x€-x
"ƒ25-x€
f '(x)=0에서 "ƒ25-x€=x
양변을 제곱하여 정리하면 x€=:™2∞:
∴ x=
(∵ 00이어야 한다.
f(x)=(x€+2x+a)ex에서
f '(x) =(2x+2)ex+(x€+2x+a)ex
=(x€+4x+a+2)ex
함수 f(x)가 구간 (2, 3)에서 증가하려면 20
이어야 한다.
이때, ex>0이므로 x€+4x+a+2>0이어야 한다.
y
y=x€+4x+a+2
오른쪽 그림에서
2€+4_2+a+2>0
∴ a>-14
따라서 실수 a의 최솟값은 -14이
-2
O
2 3
x
다.
6 도함수의 활용 ⑴ 053
10-1 -;2#;
|해결 전략 | 삼각함수의 미분법을 이용하여 f '(x)를 구하고 주어진 구간에서
11-1
;8(;+2 ln 2
|해결 전략 | 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가지면 f '(a)=0임을 이용한다.
f(x)=ax€+bx-ln x에서
f '(x)=2ax+b-;x!;, f "(x)=2a+
1
x€
f "(1)=2a+1=-3이므로 `a=-2
또, 함수 f(x)가 x=1에서 극댓값을 가지므로
f '(1)=-4+b-1=0
∴ b=5
∴ f(x)=-2x€+5x-ln x
f '(x)=-4x+5-;x!;=
-4x€+5x-1
x
f "(x)=-4+
1
x€
f '(x)=0에서 4x€-5x+1=0
(4x-1)(x-1)=0
∴ x=;4!; 또는 x=1
이때, f "{;4!;}=12>0이므로 함수 f(x)는 x=;4!;에서 극소이고 극솟
값은
f {;4!;}=-2_;1¡6;+5_;4!;-ln ;4!;
f '(x)=0이 되는 x의 값을 찾는다.
f(x)=;2!; cos 2x-sin x에서
f '(x) =-sin 2x-cos x
=-2 sin x cos x-cos x
=-cos x(2 sin x+1)
f '(x)=0에서 cos x=0 또는 sin x=-;2!;
이때, 00이므로
cos x=0
∴ x=;2π;
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
(0)
(p)
f '(x)
f(x)
y
-
;2π;
0
↘ -;2#;
y
+
↗
따라서 함수 f(x)는 x=;2π;에서 극솟값 -;2#; 을 갖는다.
을 찾는다.
f(x)=
4x-4
x€+1
에서
f '(x)=
4(x€+1)-(4x-4)_2x
(x€+1)€
=
-4(x€-2x-1)
(x€+1)€
하여 a+b=2, ab=-1이므로
f(a)+f(b)=
4a-4
a€+1
+
4b-4
b€+1
=
4a-4
2a+2
+
4b-4
2b+2
=
(2a-2)(b+1)+(2b-2)(a+1)
(a+1)(b+1)
=
4(ab-1)
ab+a+b+1
=
4(-1-1)
-1+2+1
=-4
∴ a+b+f(a)+f(b)=2+(-4)=-2
054 정답과 해설
10-2 -2
|해결 전략 | 몫의 미분법을 이용하여 f '(x)를 구하고, f '(x)=0이 되는 x의 값
=;8(;+2 ln 2
11-2 0
|해결 전략 | 미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값 b를 가지면 f(a)=b,
f '(a)=0임을 이용한다.
…… ㉠
f(x)=a sin x+b cos x+x에서
f '(x)=0에서 x€-2x-1=0
∴ x=1-'2 또는 x=1+'2
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
y 1-'2 y 1+'2 y
-
+
0
0
f '(x) -
f(x)
↘
극소
↗
극대
↘
따라서 f(x)는 x=1-'2 에서 극소이고, x=1+'2 에서 극대이므로
a=1+'2, b=1-'2
또, ㉠에 의하여 a€=2a+1, b€=2b+1이고, 근과 계수의 관계에 의
f '(x)=a cos x-b sin x+1
f "(x)=-a sin x-b cos x
함수 f(x)가 x=p에서 극댓값 p+1을 가지므로
f(p)=-b+p=p+1에서 b=-1
f '(p)=-a+1=0에서 a=1
따라서 f(x)=sin x-cos x+x이고
f "(x)=-sin x+cos x이므로
f(0)+f "(0)=-1+1=0
12-1 2
|해결 전략 | f '(x)=0이 되는 x의 값이 a, b임을 이용한다.
f(x)=
x€-3x
x€+a
에서
f '(x)=
(2x-3)(x€+a)-(x€-3x)_2x
(x€+a)€
=
3x€+2ax-3a
(x€+a)€
f '(x)=0에서 3x€+2ax-3a=0을 만족시키는 x의 값이 a, b이므
로 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-
2a
3
ab=-a
또, 주어진 조건에 의하여 b-a=4
㉠+㉢을 하면 2b=4-
2a
3
∴ b=2-;3A;
㉠-㉢을 하면 2a=-4-
2a
3
∴ a=-2-;3A;
㉡에서 {-2-;3A;}{2-;3A;}=-a, 4-
a€
9
=a
a€+9a-36=0, (a+12)(a-3)=0
∴ a=3 (∵ a>0)
∴ f(x)=
x€-3x
x€+3
f '(x)=
3x€+6x-9
(x€+3)€
=
3(x+3)(x-1)
(x€+3)€
f '(x)=0에서 x=-3 또는 x=1
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
y
-3
f '(x) +
f(x)
↗
0
;2#;
y
-
1
0
↘ -;2!;
y
+
↗
7
…… ㉠
…… ㉡
…… ㉢
| 도함수의 활용 ⑵
1 함수의 그래프
개념 확인
1 ⑴ 구간 (-M, 0)에서 위로 볼록, 구간 (0, M)에서 아래로 볼록
⑵ 구간 {-M, ;3*;}에서 아래로 볼록, 구간 {;3*;, M}에서 위로 볼록
152쪽~155쪽
2 ⑴ (0, 0) ⑵ (-1, -2)
3 풀이 참조
4 최댓값: e-1, 최솟값: 1
1 ⑴ f(x)=x‹-x로 놓으면
f '(x)=3x€-1, f "(x)=6x
f "(x)=0에서 x=0
간 (0, M)에서 아래로 볼록하다.
⑵ f(x)=-x‹+8x€+1로 놓으면
f '(x)=-3x€+16x
f "(x)=-6x+16=-2(3x-8)
f "(x)=0에서 x=;3*;
이때, x<0이면 f "(x)<0, x>0이면 f "(x)>0
따라서 곡선 y=f(x)는 구간 (-M, 0)에서 위로 볼록하고, 구
따라서 함수 f(x)는 x=-3에서 극댓값 ;2#;, x=1에서 극솟값 -;2!;
을 가지므로 구하는 극댓값과 극솟값의 차는
;2#;-{-;2!;}=2
이때, x<;3*;이면 f "(x)>0, x>;3*;이면 f "(x)<0
따라서 곡선 y=f(x)는 구간 {-M, ;3*;}에서 아래로 볼록하고,
12-2 1
|해결 전략 | f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)=0인 x의 값의 좌우에서
구간 {;3*;, M}에서 위로 볼록하다.
f '(x)의 부호가 바뀌면 안 된다.
f(x)=(ax‹+x€+b)e-x에서
f '(x) =(3ax€+2x)e-x-(ax‹+x€+b)e-x
={-ax‹+(3a-1)x€+2x-b}e-x
f '(x)=0에서 -ax‹+(3a-1)x€+2x-b=0 (∵ e-x>0)
g(x)=-ax‹+(3a-1)x€+2x-b라 하면 f(x)가 f '(x)=0인
x의 값이 존재하지만 극댓값과 극솟값을 갖지 않으려면 방정식
g(x)=0이 실근을 갖지만 실근의 좌우에서 g(x)의 부호가 바뀌지
만약 a+0이라면 g(x)는 삼차함수이고 이 경우 반드시 최소 하나 이
상의 실근이 존재하며 실근의 좌우에서 g(x)의 부호가 반드시 바뀐다.
않아야 한다.
∴ a=0
따라서 g(x)=-x€+2x-b이고 이차방정식 g(x)=0이 중근을 가
지면 조건을 만족시킨다.
이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D
4
=1-b=0에서 b=1
∴ a+b=1
2 ⑴ f(x)=2x‹+3x로 놓으면
f '(x)=6x€+3, f "(x)=12x
f "(x)=0에서 x=0
좌표는 (0, 0)이다.
⑵ f(x)=-x‹-3x€으로 놓으면
f '(x)=-3x€-6x
f "(x)=-6x-6=-6(x+1)
f "(x)=0에서 x=-1
3 f(x)=-x‹+3x€-4로 놓으면
f '(x)=-3x€+6x=-3x(x-2)
f "(x)=-6x+6=-6(x-1)
이때, x<0이면 f "(x)<0, x>0이면 f "(x)>0
따라서 x=0의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의
이때, x<-1이면 f "(x)>0, x>-1이면 f "(x)<0
따라서 x=-1의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점
의 좌표는 (-1, -2)이다.
7 도함수의 활용 ⑵ 055
같다.
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
f '(x)=0에서 x=0 또는 x=2
f "(x)=0에서 x=1
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
y
f '(x) -
f "(x) +
f(x)
⤷
0
0
+
-4
y
+
+
⤴
1
+
0
-2
y
+
-
따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은
오른쪽 그림과 같다.
y
-
-
⤵
2
0
-
0
y
21
O-1
-2
-4
y=f(x)
4 f(x)=x-ln x에서 f '(x)=1-;x!;
f '(x)=0에서 x=1
구간 “;e!;, e‘에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과
x
;e!;
f '(x)
f(x)
;e!;+1
y
-
↘
1
0
1
y
+
↗
e
e-1
따라서 함수 f(x)는 x=e에서 최댓값 e-1, x=1에서 최솟값 1
을 갖는다.
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 {-;3@;, 0}, {-;3@;, ;2$7#;}
2-1 -;1!6!;, 0, 1
스스로 check
1-2 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
⑴ f(x)=x›-3x‹으로 놓으면
f '(x)=4x‹-9x€
f "(x)=12x€-18x=6x(2x-3)
f "(x)=0에서 x=0 또는 x=;2#;
이때, x<0 또는 x>;2#;이면 f "(x)>0, 01이면 f "(x)>0, 00일 때 아래로 볼록하고,
f "(x)<0일 때 위로 볼록하다.
⑴ f(x)=
로 놓으면
1
x€+1
f '(x)=-
2x
(x€+1)€
f "(x)=-
=
2(3x€-1)
(x€+1)‹
2(x€+1)€-2x_2(x€+1)_2x
(x€+1)›
2('3x+1)('3x-1)
(x€+1)‹
또는 x= '3
3
=
f "(x)=0에서 x=- '3
3
또는 x> '3
3
이때, x<- '3
3
이면 f "(x)<0
이면 f "(x)>0, - '3
3
0, ;4π;-1이면 f "(x)>0, -40이고
f '(x)=2 ln ax_;x!;=
2 ln ax
x
;x@;_x-2 ln ax
x€
=
2(1-ln ax)
x€
이때, 00, x>;aE;이면 f "(x)<0
따라서 곡선 y=f(x)는 구간 {0, ;4π;}, {;4#;p, p}에서 아래로 볼록
f "(x)=
하고, 구간 {;4π;, ;4#;p}에서 위로 볼록하다.
f "(x)=0에서 ln ax=1, ax=e
∴ x=;aE;
02-1 ⑴ (-'3 , ln 6), ('3, ln 6) ⑵ {-4,
12
e› }, (-1, 0)
따라서 x=;aE;의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표
|해결 전략| 함수 f(x)에서 f "(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f "(x)의 부호가
는 {;aE;, 1}이다.
바뀌면 점 (a, f(a))는 곡선 y=f(x)의 변곡점이다.
⑴ f(x)=ln (x€+3)으로 놓으면
f '(x)=
2x
x€+3
f "(x)=
2(x€+3)-2x_2x
(x€+3)€
=
-2(x+'3 )(x-'3 )
(x€+3)€
f "(x)=0에서 x=-'3 또는 x='3
이때, x<-'3 또는 x>'3이면 f "(x)<0, -'30
따라서 x=-'3 , x='3의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로
변곡점의 좌표는 (-'3, ln 6), ('3 , ln 6)이다.
⑵ f(x)=(x€+x)ex으로 놓으면
f '(x)=(2x+1)ex+(x€+x)ex=(x€+3x+1)ex
이때, 변곡점 {;aE;, 1}이 직선 y=3x-1 위에 있으므로
1=3_;aE;-1, 2a=3e
∴ a=
3e
2
04-1 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
|해결 전략| 함수의 증가와 감소, 극대와 극소, 곡선의 오목과 볼록, 변곡점 등을
조사하여 그래프의 개형을 그린다.
⑴ 1 f(x)=e-x€으로 놓으면 함수 f(x)의 정의역은 실수 전체의 집
합이다.
2 f(-x)=f(x)이므로 y축에 대하여 대칭이다.
3 f(0)=1이므로 점 (0, 1)을 지난다.
7 도함수의 활용 ⑵ 057
4 f '(x)=-2xe-x€
f "(x) =-2e-x€-2xe-x€_(-2x)=2(2x€-1)e-x€
=2('2x+1)('2x-1)e-x€
f '(x)=0에서 x=0
f "(x)=0에서 x=- '2
2
또는 x= '2
2
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
y - '2
2
f '(x) +
f "(x) +
f(x)
⤴
+
0
'e
e
y
+
-
0
0
1
-
y
-
-
⤵
'2
2
-
0
'e
e
y
-
+
⤷
5 lim
x d M
f(x)=0, lim
x d -M
f(x)=0이므로 점근선은 x축이다.
따라서 함수 y=f(x)의 그
래프의 개형은 오른쪽 그림
y
1
'e
;;;;;;;
e
과 같다.
y=f(x)
x
O
'2
-;;;;;;;
2
'2
;;;;;;;
2
⑵ 1 f(x)=(ln x)€으로 놓으면 함수 f(x)의 정의역은 {x|x>0}
이다.
2 f(1)=0이므로 점 (1, 0)을 지난다.
3 f '(x)=2 ln x_;x!;=
2 ln x
x
f "(x)=
;x@;_x-2 ln x
x€
=
2(1-ln x)
x€
f '(x)=0에서 x=1
f "(x)=0에서 ln x=1
∴ x=e
⑴ f(x)=
x-2
x€-x+2
에서
f '(x)=
x€-x+2-(x-2)(2x-1)
(x€-x+2)€
=
-x€+4x
(x€-x+2)€
=
-x(x-4)
(x€-x+2)€
f '(x)=0에서 x=0 또는 x=4
구간 [-1, 5]에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
과 같다.
x
-1
f '(x)
f(x) -;4#;
y
-
↘
0
0
-1
y
+
↗
4
0
;7!;
y
-
↘
5
;2£2;
따라서 함수 f(x)는 x=4에서 최댓값 ;7!;, x=0에서 최솟값 -1
을 갖는다.
⑵ f(x)=x'ßx+6에서
f '(x)='ßx+6+
f '(x)=0에서 x=-4
x
2'ßx+6
=
3x+12
2'ßx+6
=
3(x+4)
2'ßx+6
구간 [-6, 2]에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음
과 같다.
x
f '(x)
f(x)
-6
y
-4
y
2
-
0
+
↘ -4'2 ↗
4'2
0
따라서 함수 f(x)는 x=2에서 최댓값 4'2, x=-4에서 최솟값
-4'2 를 갖는다.
x>0에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
(0)
f '(x)
f "(x)
f(x)
y
-
+
⤷
1
0
+
0
y
+
+
⤴
e
+
0
1
y
+
-
4 lim
x d 0+
f(x)=M, lim
x d M
f(x)=M이므로 점근선은 y축이다.
따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형
y
은 오른쪽 그림과 같다.
06-1 ⑴ 최댓값: 3, 최솟값: 2
⑵ 최댓값: p, 최솟값: -2p
|해결 전략| 주어진 구간에서 함수의 극값을 구한 후 극댓값, 극솟값, 구간의 양
끝에서의 함숫값을 비교하여 최댓값과 최솟값을 구한다.
⑴ f(x)=x ln x-x+3에서
f '(x)=ln x+x_;x!;-1=ln x
f '(x)=0에서 x=1
구간 “;e!;, e‘에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과
y=f(x)
1
O
1
e
x
x
;e!;
같다.
f '(x)
y
-
1
0
2
y
+
↗
e
3
f(x)
3-;e@; ↘
따라서 함수 f(x)는 x=e에서 최댓값 3, x=1에서 최솟값 2를 갖
는다.
⑵ f (x)=sin x-x cos x에서
f '(x)=cos x-(cos x-x sin x)=x sin x
f '(x)=0에서 x=0 또는 sin x=0
05-1 ⑴ 최댓값: ;7!;, 최솟값: -1
⑵ 최댓값: 4'2, 최솟값:-4'2
058 정답과 해설
|해결 전략| 주어진 구간에서 함수의 극값을 구한 후 극댓값, 극솟값, 구간의 양
끝에서의 함숫값을 비교하여 최댓값과 최솟값을 구한다.
∴ x=0 또는 x=p 또는 x=2p (∵ 02에서 함수 f(a)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
07-2 a=2, b=1
|해결 전략| 주어진 구간에서의 극값과 구간의 양 끝에서의 함숫값을 구한 후 주
의 최솟값은 ;4&;이다.
따라서 함수 f(a)는 a=;4(;에서 극소이면서 최소이므로 PQ’의 길이
어진 최댓값과 최솟값을 이용하여 a, b의 값을 구한다.
f(x)=a"ƒ3-x€e-2x+b에서 -'30이고
x
f '(x)
-'3 y
+
f(x)
b
↗
-;2#;
0
'3e‹a
2
+b
y
-
↘
'3
b
따라서 함수 f(x)는 x=-;2#;에서 최댓값을 갖고, x=-'3 또는
x='3에서 최솟값을 갖는다.
f {-;2#;}='3 e‹+1에서
'3e‹a
2
+b='3 e‹+1
f '(x)=1-;x^;
f '(x)=0에서 x=6
x>0에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
6
0
6-6 ln 6
y
+
↗
y
이때, lim
x d 0+
f(x)=M,
lim
x d M
f(x)=M이므로 함수
y=f(x)의 그래프는 오른쪽
O
6-6 ln 6
6
y=f(x)
x
7 도함수의 활용 ⑵ 059
…… ㉠
그림과 같다.
따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서
만나므로 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 2이다.
STEP
개념 드릴
1
| 167쪽 |
⑵ f(x)=sin x-x로 놓으면
f '(x)=cos x-1
f '(x)<0이므로 함수 f(x)는 실수 전체의 집합에서 감소한다.
이때, f(0)=0이므로 함수 y=f(x)의
y=f(x)
y
개념 check
1-1 ;2#;, 2
2-1 1, 0
그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 x축과
한 점에서 만나므로 주어진 방정식의 서로
다른 실근의 개수는 1이다.
O
x
스스로 check
1-2 ⑴ 1 ⑵ 1
⑴ f(x)=
+1로 놓으면 x>0이고
ln x
x
f '(x)=
;x!;_x-ln x
x€
=
1-ln x
x€
f '(x)=0에서 ln x=1
∴ x=e
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
+
e
0
y
-
↗ ;e!;+1 ↘
x>0에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
이때, lim
x d 0+
f(x)=-M,
y=f(x)
lim
x d M
f(x)=1이므로 함수 y=f(x)
y
;e!;+1
1
y=f(x)
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
O
e
x
따라서 함수 y=f(x)의 그래프는
x
x축과 한 점에서 만나므로 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개
y
1
O
수는 1이다.
⑵ f(x)=ex-x로 놓으면 f '(x)=ex-1`
f '(x)=0에서 x=0
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
0
0
1
y
+
↗
이때, lim
x d M
f(x)=M, lim
x d -M
f(x)=M이
y=f(x)
므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그
따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 직선
y=1과 한 점에서 만나므로 주어진 방정
식의 서로 다른 실근의 개수는 1이다.
y=1
y
1
O
x
2 ⑴ f(x)=(x-1)ex+1로 놓으면
f '(x)=ex+(x-1)ex=xex
f '(x)=0에서 x=0
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x
y
f '(x) -
f(x)
↘
0
0
0
y
+
↗
이때, lim
x d M
f(x)=M,
lim
x d -M
f(x)=1이므로 함수
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
함수 f(x)는 x=0에서 최솟값
0을 가지므로
f(x)=(x-1)ex+1>0
한다.
⑵ f(x)=ln x+;x!;-1로 놓으면 x>0이고
f '(x)=;x!;-
1
x€
=
x-1
x€
f '(x)=0에서 x=1
다.
x
(0)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
1
0
0
y
+
↗
따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식 (x-1)ex>-1이 성립
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x>0에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같
림과 같다.
이때, lim
x d 0+
f(x)=M,
y
lim
x d M
f(x)=M이므로 함수 y=f(x)
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
y=f(x)
함수 f(x)는 x=1에서 최솟값 0을
O 1
x
가지므로
f(x)=ln x+;x!;-1>0
060 정답과 해설
따라서 x>0일 때, 부등식 ln x>1-;x!;이 성립한다.
f '(x)>0
2-2 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
⑴ f(x)=x+2-(2-x)ex으로 놓으면
f '(x)=1+ex-(2-x)ex=(x-1)ex+1
f "(x)=ex+(x-1)ex=xex
x>0일 때, f "(x)>0이므로 f '(x)는 증가하고, f '(0)=0이므로
또, x>0일 때, f '(x)>0이므로 f(x)는 증가하고, f(0)=0이므로
f(x)=M, lim
x d M
f(x)=M이
y
y=f(x)
f(x)>0
따라서 x>0일 때, 부등식 x+2>(2-x)ex이 성립한다.
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⑵ f(x)=
-1로 놓으면
1
x€+1
f '(x)=-
2x
(x€+1)€
f '(x)=0에서 x=0
x
y
f '(x) +
f(x)
↗
0
0
0
y
-
↘
이때, lim
x d M
f(x)=-1,
y
O
-1
lim
x d -M
f(x)=-1이므로 함수
y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림
y=f(x)
과 같다.
함수 f(x)는 x=0에서 최댓값 0을 가지므로
f(x)=
-1<0
1
x€+1
따라서 모든 실수 x에 대하여 부등식
<1이 성립한다.
1
x€+1
이때, lim
x d ;2!;+
림과 같다.
k>2+ln 2
므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그
따라서 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근
을 갖도록 하는 실수 k의 값의 범위는
2+ln 2
y=k
O 1
;2!;
x
02-1 02+ln 2
|해결 전략| f(x)=2x-ln {x-;2!;}로 놓고 함수 y=f(x)의 그래프를 그려 직
선 y=k와 두 점에서 만나도록 하는 k의 값의 범위를 구한다.
주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 함수 y=2x-ln {x-;2!;}
|해결 전략| x>1에서 함수 f(x)=
-k의 최솟값이 0보다 크거나 같도록
x€
ln x
의 그래프와 직선 y=k의 교점의 개수와 같다.
f(x)=2x-ln {x-;2!;}로 놓으면 x>;2!;이고
=2-
2
2x-1
=
4(x-1)
2x-1
f '(x)=2-
1
x-;2!;
f '(x)=0에서 x=1
x
f '(x)
f(x)
{;2!;} y
-
1
0
↘
2+ln 2
y
+
↗
x>;2!;에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x>1에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
함수 f(x)는 x='e 에서 최소이므로 f(x)>0이 성립하려면
2e-k>0
∴ k<2e
03-2 -e;2π;
|해결 전략| 00이 성립하려면
-e;2π;-k>0
∴ k<-e;2π;
따라서 구하는 k의 최댓값은 -e;2π;이다.
| 174쪽 |
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 0, -2
2-1 ⑴ 2, 2, '5 ⑵ 2, 2, 2
스스로 check
1-2 ⑴ 속도: 1, 가속도: 1
⑵ 속도:
2-'2
2
, 가속도: '2
8
⑴ 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면
v(t)=f '(t)=1-sin t, a(t)=f "(t)=-cos t
따라서 t=p에서의 점 P의 속도와 가속도는
v(p)=1-sin p=1, a(p)=-cos p=1
⑵ 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면
, a(t)=f "(t)=
v(t)=f '(t)=1-
1
1
2t'÷t
'÷t
따라서 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는
2-'2
2
v(2)=1-
, a(2)=
=
1
2_2'2
= '2
8
1
'2
=2t-6이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는
2-2 ⑴ 5 ⑵ 2
dy
dt
=-3,
dx
dt
⑴
(-3, 2t-6)
이므로 속력은
"ƒ(-3)€+4€=5
d÷€y
dt€
d÷€x
dt€
=0,
⑵
따라서 t=5에서의 점 P의 속도는
(-3, 2_5-6), 즉 (-3, 4)
3 속도와 가속도
개념 확인
171쪽~172쪽
=2이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는
1 ⑴ 속도: e€, 가속도: e€ ⑵ 속도: ;2!;, 가속도: -;4!;
(0, 2)
2 속도: (2t, 2), 가속도: (2, 0)
따라서 t=6에서의 점 P의 가속도는 (0, 2)이므로 가속도의 크기는
"ƒ0€+2€=2
1 ⑴ 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면
v(t)=f '(t)=et, a(t)=f "(t)=et
따라서 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는
v(2)=e€, a(2)=e€
⑵ 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면
v(t)=f '(t)=
, a(t)=f "(t)=-
1
t
1
t€
따라서 t=2에서의 점 P의 속도와 가속도는
v(2)=;2!;, a(2)=-
=-;4!;
1
2€
=2t,
=2이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 (2t, 2)
|해결 전략| 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=f(t)일 때,
또,
=2,
=0이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는
STEP
필수 유형
2
| 175쪽~176쪽 |
01-1 ⑴ 속도: 2+'2, 가속도: -'2
⑵ -2
속도 v와 가속도 a는 v=f '(t), a=f "(t)이다.
⑴ 점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면
v(t)=f '(t)=2+2 cos t, a(t)=f "(t)=-2 sin t
2
dx
dt
dy
dt
d÷€x
dt€
d÷€y
dt€
(2, 0)
062 정답과 해설
따라서 t=;4π;에서의 점 P의 속도와 가속도는
v {;4π;}=2+2 cos ;4π;=2+2_ '2
a {;4π;}=-2 sin ;4π;=-2_ '2
=2+'2
=-'2
2
2
⑵ 속도가 2인 순간은 2+2 cos t=2에서
cos t=0
∴ t=;2π; (∵ 00이고
f '(x)=2x(ln x-1)+x€_;x!;=x(2 ln x-1)
f "(x)=2 ln x-1+x_;x@;=2 ln x+1
곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 하므로
2 ln x+1<0, ln x<-;2!;
∴ 00)
따라서 곡선 y=f(x)가 위로 볼록한 구간은 {0, 'e
e }이다.
1-2 p
|해결 전략 | 곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 한다.
f(x)=exsin x로 놓으면
f '(x)=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x)
f "(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x
곡선 y=f(x)가 위로 볼록하려면 f "(x)<0이어야 하므로
2excos x<0
∴ ;2π;0
따라서 x=;3π;, x=;3%;p의 좌우에서 f "(x)의 부호가 바뀌므로 두 변
2-2
|해결 전략 | 함수 y=f(x)에서 f "(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f "(x)의 부
'3
호가 바뀌면 점 (a, f(a))는 곡선 y=f(x)의 변곡점이다.
f(x)=ln (x€+x+1)로 놓으면
f '(x)=
2x+1
x€+x+1
7 도함수의 활용 ⑵ 063
곡점의 x좌표는 각각 ;3π;, ;3%;p이다.
| 177쪽~179쪽 |
∴ |a-b|=|;3π;-;3%;p|=;3$;p
=-
이므로 점 P의 시각 t에서의 가속도는
|해결 전략 | 함수 y=f(x)에서 f "(a)=0이고 x=a의 좌우에서 f "(x)의 부
f "(x)=
2(x€+x+1)-(2x+1)(2x+1)
(x€+x+1)€
=-
2x€+2x-1
(x€+x+1)€
f "(x)=0에서 2x€+2x-1=0
∴ x=
-1\'3
2
-1-'3
2
이때, x<
또는 x>
이면 f "(x)<0,
-1+'3
2
-1-'3
2
0
ex>0이므로 곡선 y=f(x)의 변곡점이 2개이려면 방정식
x€+5x+a+4=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
따라서 이차방정식 x€+5x+a+4=0의 판별식을 D라 하면
D=5€-4(a+4)>0
a+4<:™4∞:
∴ a<;4(;
4-1 -;5^;
|해결 전략 | 구간 $a, b&에서 정의된 연속함수 f(x)에 대하여 f(a), f(b)와
f(x)의 극값 중 가장 큰 값이 최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다.
따라서 x=
-1-'3
2
, x=
-1+'3
2
의 좌우에서 f "(x)의 부호가
바뀌므로 두 변곡점의 x좌표는 각각
-1-'3
2
,
-1+'3
2
이다.
∴ |a-b|=|
-1-'3
2
-
-1+'3
2
|='3
다른 풀이 f "(x)=0에서 2x€+2x-1=0
이때, 이차방정식 2x€+2x-1=0의 판별식을 D라 하면
f(x)=
x€-3x+1
x-3
에서
f '(x)=
(2x-3)(x-3)-(x€-3x+1)
(x-3)€
=
x€-6x+8
(x-3)€
=
(x-2)(x-4)
(x-3)€
f '(x)=0에서 x=2 {∵ -20이므로 서로 다른 두 실근 a, b를 갖고, x=a,
-21)에서
=k이므로 주어진 방정식의 서
y=e-x
y
y=ex
로 다른 실근의 개수는 함수 y=
의 그래프와 직선 y=k의 교
a>0에서 함수 S(a)의 증가, 감소를 표
-a
O
a
x
1
e-a
f(x)=
댓값은 3'3이다.
7-2
;e@;
직사각형의 넓이를 S(a)라 하면
S(a)=2ae-a
S'(a) =2e-a-2ae-a
=2(1-a)e-a
S'(a)=0에서 a=1
로 나타내면 다음과 같다.
a
(0)
S '(a)
S(a)
y
+
↗
1
0
;e@;
y
-
↘
값은 ;e@;이다.
8-1 02'2
x+1
'ßx-1
도록 하는 k의 값의 범위를 구한다.
|해결 전략 | 함수 y=
의 그래프를 그리고 직선 y=k와 두 점에서 만나
=
x-3
2(x-1)'ßx-1
x>1에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x+1
'ßx-1
x+1
'ßx-1
점의 개수와 같다.
로 놓으면
x+1
'ßx-1
'ßx-1-(x+1)_
x-1
1
2'ßx-1
f '(x)=
f '(x)=0에서 x=3
x
(1)
f '(x)
f(x)
y
-
↘
3
0
2'2
y
+
↗
이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 오른
쪽 그림과 같다.
따라서 주어진 방정식이 서로 다른 두 실
근을 갖도록 하는 k의 값의 범위는
k>2'2
2'2
O 3
y=k
x
9-1 k>1
|해결 전략 | x>a에서 f(x)가 증가할 때, f(x)>0이려면 f(a)>0이어야 한다.
f(x)=x-cos x+k로 놓으면
f '(x)=1+sin x
모든 실수 x에 대하여 -10
따라서 S(a)는 a=1에서 최댓값 ;e@; 를 가지므로 구하는 넓이의 최댓
이때, lim
x d 1+
f(x)=M, lim
x d M
f(x)=M
y
y=f(x)
따라서 x>0일 때 f(x)는 증가하고, f(0)=-1+k이므로 f(x)>0
이 성립하려면 -1+k>0
∴ k>1
11-1 'ß15
4
03'3
따라서 구하는 k의 최솟값은 3'3이다.
10-1
|해결 전략 | 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=f(t)일
'3
때, 시각 t에서의 점 P의 속도 v는 v=
=f '(t)이다.
dx
dt
점 P의 시각 t에서의 속도를 v(t)라 하면
v(t)=f '(t)=-pa sin {pt-;6π;}
t=1에서의 속도가 -p이므로
-pa sin {p-;6π;}=-pa sin ;6%;p=-;2π;a=-p
∴ a=2
따라서 f(t)=2 cos {pt-;6π;}이므로 t=2에서의 점 P의 위치는
f(2)=2 cos {2p-;6π;}=2 cos ;6π;=2_ '3
='3
2
10-2 3
|해결 전략 | 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 x가 x=f(t)일 때,
시각 t에서의 점 P의 속도 v와 가속도 a는 v=
=f '(t), a=
=f "(t)이다.
dx
dt
dv
dt
점 P의 시각 t에서의 속도와 가속도를 각각 v(t), a(t)라 하면
v(t)=f '(t)=
2t
t€+9
|해결 전략 | 좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가
x=f(t), y=g(t)일 때, 시각 t에서의 점 P의 속도는 (f '(t), g'(t))이고 속력은
"ƒ{ f '(t)}€+{ g'(t)}€이다.
dx
dt
=-sin t-cos t이므로 점 P의 시각 t에서의
=2 sin 2t,
dy
dt
속도는
(2 sin 2t, -sin t-cos t)
따라서 점 P의 시각 t에서의 속력은
"ƒ(2 sin 2t)€+(-sin t-cos t)€
="ƒ4 sin€ 2t+2 sin t cos t+1 (∵ sin€ t+cos€ t=1)
="ƒ4 sin€ 2t+sin 2t+1
sin 2t=a (-10이므로 점 P의 가속도가 0일 때의 시각은
함수 f(t)는 t=0에서 최솟값 4를 가지므로 점 P의 속력은 t=0에서
최솟값 '4=2를 갖는다.
따라서 a=0, b=2이므로
a(t)=0에서 t=3
a+b=2
7 도함수의 활용 ⑵ 067
8
| 여러 가지 적분법
1 여러 가지 함수의 부정적분
| 185쪽 |
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 x€, ;x@;, ;3!;x‹, 2 ln |x|
2-1 ⑴ 4x, ln 2 ⑵ 2x,
2x
ln 2
,
2x+1
ln 2
3-1 ⑴ sec€ x, sec€ x, tan x ⑵ sin€ x, sin€ x, sin x, -cos x
개념 확인
182쪽~184쪽
1 ⑴ ;4#;x ‹'x+C ⑵ -
+C ⑶ 2'x+C
1
3x‹
2 ⑴ 2ex+C ⑵
+C ⑶ ex+3+C ⑷
32x
2 ln 3
7x+2
ln 7
+C
3 ⑴ -2 cos x+sin x+C ⑵ sin x-3 tan x+C
스스로 check
1 ⑴ … ‹'x dx=… x;3!;dx=
x;3!;+1+C
1
;3!;+1
=;4#;x;3$;+C=;4#;x ‹'x +C
⑵ …
1
x›
dx=… x-4dx=
1
-4+1
x-4+1+C
=-;3!;x-3+C=-
1
3x‹
+C
⑶ …
dx=… x-;2!;dx=
x-;2!;+1+C
1
'x
1
-;2!;+1
=2x;2!;+C=2'x+C
2 ⑴ … 2exdx=2… exdx=2ex+C
⑵ … 32xdx=… 9xdx=
9x
ln 9
+C=
32x
2 ln 3
+C
⑶ … ex+3dx=… ex_e‹dx=e‹… exdx
=e‹_ex+C=ex+3+C
⑷ … 7x+2dx=… 7x_7€dx=49… 7xdx
7x+2
ln 7
7x
ln 7
=49_
+C=
+C
3 ⑴ … (2 sin x+cos x)dx=2… sin x dx+… cos x dx
=-2 cos x+sin x+C
⑵ … (cos x-3 sec€ x)dx=… cos x dx-3… sec€ x dx
=sin x-3 tan x+C
068 정답과 해설
1-2
;6!;xfl+;3@;x‹-;2!;x€+;x@;+C
… {x‹-;x!;} {x€+;x@;}dx=… {xfi+2x€-x-
2
x€ } dx
=… (xfi+2x€-x-2x-2)dx
=;6!;xfl+;3@;x‹-;2!;x€+2x-1+C
=;6!;xfl+;3@;x‹-;2!;x€+;x@;+C
2-2 ⑴ 2ex+
23x
3 ln 2
+C ⑵
32x
2 ln 3
-
2_3x
ln 3
+x+C
⑴ … (2ex+23x)dx=… (2ex+8x)dx
=2ex+
=2ex+
8x
ln 8
+C
23x
3 ln 2
+C
⑵ … (3x-1)€dx=… (9x-2_3x+1)dx
9x
ln 9
3x
ln 3
-2_
=
+x+C
=
32x
2 ln 3
-
2_3x
ln 3
+x+C
3-2 ⑴ -cot x-x+C ⑵ sin x+C
⑴ cot€ x=csc€ x-1이므로
… cot€ x dx=… (csc€ x-1)dx
=-cot x-x+C
⑵ 1-sin€ x=cos€ x이므로
…
cos‹ x
1-sin€ x
dx=…
cos‹ x
cos€ x
dx
=… cos x dx
=sin x+C
STEP
필수 유형
2
| 186쪽~188쪽 |
⑵ … {
1
2x -1} {
1
4x +
1
2x +1} dx=… [{;2!;}
-1]dx
01-1 ⑴ ;7@;x‹'x -;5@;x€'x +6'x +C
⑵ ;5@;x€'x +;2!;x€+;3@;x'x +x+C
|해결 전략| 분자를 분모로 나누거나 식을 합하고 분자를 인수분해하여 xn (n은
실수) 꼴인 항의 합으로 변형한다.
⑴ …
x‹-x€+3
'x
dx=… (x;2%;-x;2#;+3x-;2!;)dx
=;7@;x;2&;-;5@;x;2%;+6x;2!;+C
=;7@;x‹'x -;5@;x€'x +6'x +C
⑵ …
x€
'x-1
dx-…
1
'x-1
dx=…
3x
x
=… [{;8!;}
-1]dx
=
-x+C
x
{;8!;}
ln ;8!;
=-
-x+C
1
8x ln 8
=-
1
3_23x ln 2
-x+C
02-2 2
|해결 전략| 곱셈 공식을 이용하여 f(x)의 식을 전개한 후 부정적분을 구한다.
f(x) =(3x+ax){9x-(3a)x+a2x}
dx
dx=…
('x )›-1
'x-1
x€-1
'x-1
{('x )€+1}('x +1)('x -1)
'x-1
dx
=…
=… (x+1)('x +1)dx
=… (x;2#;+x+x;2!;+1)dx
=;5@;x;2%;+;2!;x€+;3@;x;2#;+x+C
=;5@;x€'x +;2!;x€+;3@;x'x +x+C
=(3x)‹+(ax)‹
=27x+(a‹)x
∴ … f(x)dx=…{27x+(a‹)x}dx
27x
ln 27
33x
3 ln 3
(a‹)x
ln a‹
a3x
3 ln a
+
=
+
=
+C
+C
=
33x-1
ln 3
+
a3x
3 ln a
+C
01-2
;2%;
|해결 전략| 분자를 전개한 후 xn (n은 실수) 꼴인 항의 합으로 식을 변형한다.
(x€+1)€
x‹
…
dx=…
x›+2x€+1
x‹
dx
=… {x+;x@;+
1
x‹ }dx
=… {x+;x@;+x-3
}dx
=;2!;x€+2 ln |x|-;2!;x-2+C
=;2!;x€+2 ln |x|-
1
2x€
+C
이때, …
(x€+1)€
x‹
dx=px€+q ln |x|-
+C이므로
1
2x€
p=;2!;, q=2
∴ p+q=;2!;+2=;2%;
이때, 함수 f(x)의 한 부정적분 F(x)가 F(x)=
33x-1
ln 3
+
23x
3 ln 2
이
므로 a=2
03-1 ⑴ x+2 cot x+C ⑵ -cot x+csc x+C
|해결 전략| 분자를 분모로 나누거나 식을 변형한 후 공식을 이용하여 적분한다.
⑴ …
sin€ x-2
sin€ x
2
sin€ x
1-
dx=… (1-2 csc€ x)dx
=x+2 cot x+C
⑵ …
1
1+cos x
dx=…
1-cos x
(1+cos x)(1-cos x)
dx
=…
1-cos x
sin€ x
dx
1
sin€ x
-
1
sin x
_
cos x
sin x
=… (csc€ x-csc x cot x)dx
=-cot x+csc x+C
02-1 ⑴
3x
ln 3
+x+C ⑵ -
1
3_23x ln 2
-x+C
03-2 -
5'3
3
|해결 전략| 인수분해한 후 약분하거나 곱셈 공식을 이용하여 식을 전개한다.
|해결 전략| 함수 f(x)의 식을 삼각함수의 부정적분 공식을 적용할 수 있는 형태
⑴ …
9x-1
3x-1
dx=…
(3x+1)(3x-1)
3x-1
dx
=… (3x+1)dx
=
3x
ln 3
+x+C
로 변형한다.
f(x)=
1
cos€ x
+
2
sin€ x
=sec€ x+2 csc€ x이므로
F(x)=… f(x)dx=… (sec€ x+2 csc€ x)dx
=tan x-2 cot x+C
8 여러 가지 적분법 069
이때, F{;4π;}=-1에서 1-2+C=-1
∴ C=0
따라서 F(x)=tan x-2 cot x이므로
F{;6π;}= '3
3
-2'3 =-
5'3
3
2 치환적분법
개념 확인
1 ⑴ ;6!;(3x-2)fl+C ⑵ ;7!;(5x+1)‡+C
2 ⑴ ;1¡0;(2x+5)fi+C ⑵ ;6!; ln |6x+5|+C
⑶ ;2!;e2x-1+
33x
ln 3
+C
⑷ -;2!; cos (2x+1)+;3!; sin (3x+1)+C
3 ⑴ ln |x‹+3x+1|+C ⑵ x+ln |x+4|+C
⑶ ln |
x+1
x+2 |+C
1 ⑴ 3x-2=t로 놓으면 3=
dt
dx
이므로
… 3(3x-2)fidx=… tfi dt
=;6!;tfl+C=;6!;(3x-2)fl+C
⑵ 5x+1=t로 놓으면 5=
이므로
dt
dx
… 5(5x+1)fldx=… tfl dt
=;7!;t‡+C=;7!;(5x+1)‡+C
2 ⑴ … (2x+5)›dx=;2!;_;5!;(2x+5)fi+C
=;1¡0;(2x+5)fi+C
⑵ …
1
6x+5
dx=;6!; ln |6x+5|+C
⑷ … sin (2x+1)dx+… cos (3x+1)dx
=-;2!; cos (2x+1)+;3!; sin (3x+1)+C
070 정답과 해설
3 ⑴ (x‹+3x+1)'=3x€+3이므로
…
3x€+3
x‹+3x+1
dx=…
(x‹+3x+1)'
x‹+3x+1
dx
=ln |x‹+3x+1|+C
⑵
=1+
이므로
x+5
x+4
1
x+4
…
x+5
x+4
dx=… {1+
1
x+4 }dx
=x+ln |x+4|+C
⑶
1
(x+1)(x+2)
=
1
x+1
-
1
x+2
이므로
…
1
(x+1)(x+2)
dx=… {
1
x+1
-
1
x+2 } dx
=ln |x+1|-ln |x+2|+C
=ln |
x+1
x+2 |+C
189쪽~191쪽
| 192쪽~193쪽 |
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 ⑴ -;3@;, -;3@;, -;3@;
⑵ t, t, x€ ⑶ t, ;2!;t€, ;2!;(ln x)€
⑷ t€, -;3!;t‹, -;3!; cos‹ x
2-1 -csc€ x, -csc€ x, ln |cot x|
3-1 ⑴ 5 ln |x+2|
⑵ x+3, x+3
스스로 check
1-2 ⑴ ;3@;(x-2)'ßx-2+C ⑵ 2ex‹+1+C
⑶ ;1¡2;(ln x)fl+C ⑷ ;4!; sin› x+C
=;3@;t;2#;+C=;3@; t' t +C
=;3@;(x-2)'ßx-2+C
⑶ … e2x-1dx+… 33x+1dx=;2!; e2x-1+
1
3 ln 3
33x+1+C
⑴ x-2=t로 놓으면 1=
이므로
dt
dx
=;2!; e2x-1+
33x
ln 3
+C
… 'ßx-2 dx=… ' t dt=… t;2!;dt
⑵ x‹+1=t로 놓으면 3x€=
이므로
dt
dx
… 6x€ex‹+1dx=2… 3x€ex‹+1 dx=2… et dt
=2et+C=2ex‹+1+C
⑶ ln x=t로 놓으면 ;x!;=
dt
dx
이므로
…
(ln x)fi
2x
dx=;2!; …
(ln x)fi
x
dx=;2!; … tfidt
=;2!;_;6!;tfl+C=;1¡2;(ln x)fl+C
⑷ sin x=t로 놓으면 cos x=
이므로
dt
dx
… sin‹ x cos x dx=… t‹dt
=;4!;t›+C=;4!; sin› x+C
2-2 2 ln (e2x+3)+C
(e2x+3)'=2e2x이므로
4e2x
e2x+3
…
dx=2…
dx
2e2x
e2x+3
(e2x+3)'
e2x+3
dx
=2…
=2 ln (e2x+3)+C (∵ e2x+3>0)
3-2 ⑴ ;3!;x‹+;2!;x€+3x+2 ln|x-1|+C
⑵ ;2!; ln|
⑴
x‹+2x-1
x-1
=
x-3
x-1 |+C
(x€+x+3)(x-1)+2
x-1
=x€+x+3+
2
x-1
이므로
x‹+2x-1
x-1
…
dx=… {x€+x+3+
2
x-1 } dx
STEP
필수 유형
2
| 194쪽~198쪽 |
01-1 ⑴ ;1¡0;(4x€-1)fi+C ⑵ ;2£0;(5x+2) ‹'ß 5x+2 +C
|해결 전략| … { f(x)}nf '(x)dx, … "∂f(x)f '(x)dx 꼴은 f(x)=t로 놓고 치환
적분법을 이용한다.
⑴ 4x€-1=t로 놓으면 8x=
이므로
dt
dx
… 4x(4x€-1)›dx=;2!;… 8x(4x€-1)›dx=;2!;… t›dt
=;2!;_;5!;tfi+C=;1¡0;tfi+C
=;1¡0;(4x€-1)fi+C
⑵ 5x+2=t로 놓으면 5=
이므로
dt
dx
… ‹'ß 5x+2 dx=;5!;… 5 ‹'ß 5x+2 dx
=;5!;… ‹' t dt=;5!;… t;3!;dt
=;5!;_;4#; t;3$;+C
=;2£0;t;3$;+C=;2£0; t ‹'t +C
=;2£0;(5x+2) ‹'ß 5x+2+C
01-2
|해결 전략| x€+2x+3=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
'3+'2
x€+2x+3=t로 놓으면 2x+2=
, 2(x+1)=
이므로
dt
dx
dt
dx
f(x)=…
x+1
"ƒx€+2x+3
dx=;2!;…
2(x+1)
"ƒx€+2x+3
dx
=;2!;…
dt=;2!;… t-;2!;dt
1
't
=t;2!;+C='t +C="ƒx€+2x+3+C
이때, f(-1)=2'2에서 '2+C=2'2
따라서 f(x)="ƒx€+2x+3+'2 이므로 f(0)='3+'2
∴ C='2
02-1 ⑴ ;3!;(e2x+2)"ƒe2x+2+C ⑵ ;3!;(ln x-3)‹+C
=;3!;x‹+;2!;x€+3x+2 ln|x-1|+C
|해결 전략| … f(ex)exdx, …
f(ln x)
x
dx 꼴은 각각 ex=t, ln x=t로 놓고 치
⑵
1
x€-4x+3
=
1
(x-3)(x-1)
=;2!; {
1
x-3
-
1
x-1 }
환적분법을 이용한다.
⑴ e2x+2=t로 놓으면 2e2x=
이므로
dt
dx
…
1
x€-4x+3
dx=;2!; … {
1
x-3
1
-
x-1 } dx
… e2x
"ƒe2x+2 dx=;2!;… 2e2x
"ƒe2x+2 dx=;2!;… 't dt=;2!;… t;2!;dt
=;2!;(ln|x-3|-ln|x-1|)+C
=;2!; ln|
x-3
x-1 |+C
=;3!;t;2#;+C=;3!;t't +C
=;3!;(e2x+2)"ƒe2x+2+C
이므로
8 여러 가지 적분법 071
⑵ ln x-3=t로 놓으면 ;x!;=
dt
dx
이므로
…
(ln x-3)€
x
dx=… t€dt=;3!;t‹+C
=;3!;(ln x-3)‹+C
02-2 (ln 2)€
|해결 전략| ln (x€+2)=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
ln (x€+2)=t로 놓으면
2x
x€+2
=
dt
dx
이므로
f(x)=…
x
x€+2
ln (x€+2)dx
=;2!;…
2x
x€+2
ln (x€+2)dx
=;2!;… t dt=;4!;t€+C
=;4!;{ln (x€+2)}€+C
이때, f(0)=
(ln 2)€
4
에서
(ln 2)€
4
(ln 2)€
4
+C=
∴ C=0
|해결 전략| … f(sin x) cos x dx, … f(cos x) sin x dx 꼴은 각각 sin x=t,
따라서 f(x)=;4!; {ln (x€+2)}€이므로
f('2 )=
(ln 4)€
4
={
2 ln 2
2
}
€=(ln 2)€
03-1 ⑴ sin› x-sin‹ x+sin x+C
⑵ ;3!; cos‹ x-cos x+C
cos x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
⑴ sin x=t로 놓으면 cos x=
이므로
dt
dx
… (4 sin‹ x-3 sin€ x+1)cos x dx
=… (4t‹-3t€+1)dt
=t›-t‹+t+C
=sin› x-sin‹ x+sin x+C
⑵ … sin‹ x dx=… sin x_sin€ x dx
=… sin x(1-cos€ x)dx
cos x=t로 놓으면 -sin x=
이므로
dt
dx
03-2
;4%;
|해결 전략| cos x=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
cos x=t로 놓으면 -sin x=
이므로
dt
dx
F(x)=… f(x)dx=… cos‹ x sin x dx=-… t‹ dt
=-;4!;t›+C
=-;4!; cos› x+C
이때, F(0)=1에서 -;4!;+C=1
∴ C=;4%;
따라서 F(x)=-;4!; cos› x+;4%;이므로
F{;2π;}=;4%;
04-1 ⑴ ln |x‹-x+3|+C
⑵ ln (2x+4x)+C ⑶ ln |sin x|+C
|해결 전략| …
f '(x)
f(x)
dx=ln | f(x)|+C임을 이용한다.
⑴ (x‹-x+3)'=3x€-1이므로
…
3x€-1
x‹-x+3
dx=…
(x‹-x+3)'
x‹-x+3
dx
⑵ (2x+4x)'=2x ln 2+4x ln 4=(2x+22x+1)ln 2이므로
=ln |x‹-x+3|+C
(2x+22x+1)ln 2
2x+4x
dx=…
(2x+4x)'
2x+4x dx
…
=ln (2x+4x)+C (∵ 2x+4x>0)
⑶ cot x=
이고 (sin x)'=cos x이므로
cos x
sin x
… cot x dx=…
cos x
sin x
dx=…
(sin x)'
sin x
dx
=ln |sin x|+C
04-2 ln 17
|해결 전략| …
f '(x)
f(x)
dx=ln | f(x)|+C임을 이용한다.
(e2x+1)'=2e2x이므로
2e2x
e2x+1
f(x)=…
dx=…
(e2x+1)'
e2x+1
dx
=ln (e2x+1)+C (∵ e2x+1>0)
이때, f(0)=ln 2에서 ln 2+C=ln 2
따라서 f(x)=ln (e2x+1)이므로
f(ln 4)=ln (e2 ln 4+1)=ln 17
∴ C=0
… sin x(1-cos€ x)dx=-… (1-t€)dt=… (t€-1)dt
=;3!;t‹-t+C
=;3!; cos‹ x-cos x+C
05-1 ⑴ ;3!;x‹-x€+3x-3 ln |x+2|+C ⑵ ln |
x-2
x+1 |+C
|해결 전략| 분자를 분모로 나누어 몫과 나머지의 꼴로 나타내거나 부분분수로
변형하여 부정적분을 구한다.
072 정답과 해설
⑴
x‹-x+3
x+2
=
(x€-2x+3)(x+2)-3
x+2
=x€-2x+3-
3
x+2
STEP
개념 드릴
1
| 200쪽 |
이므로
…
x‹-x+3
x+2
dx=… {x€-2x+3-
x+2 } dx
3
=;3!;x‹-x€+3x-3 ln |x+2|+C
⑵
3
x€-x-2
=
3
(x-2)(x+1)
=
1
x-2
-
1
x+1
이므로
…
3
x€-x-2
dx=… {
1
x-2
1
-
x+1 } dx
=ln |x-2|-ln |x+1|+C
=ln |
x-2
x+1 |+C
05-2 ln 6
|해결 전략|
1
(x+a)(x+b)
=
1
b-a {
1
x+a
1
-
x+b }임을 이용하여 피적
분함수를 간단한 유리함수의 차로 나타내어 적분한다.
2
x(x+2)
=;x!;-
1
x+2
이므로
f(x)=…
2
x(x+2)
dx=… {;x!;-
x+2 } dx
1
=ln |x|-ln |x+2|+C
=ln |
x
x+2 |+C
이때, f(1)=ln 2에서 -ln 3+C=ln 2
∴ C=ln 2+ln 3=ln 6
따라서 f(x)=ln |
x
x+2 |+ln 6=ln |
6x
x+2 |이므로
f(-1)=ln 6
개념 check
1-1 2x, 2, 2x, e2x
2-1 cos x, cos x, cos x, sin x
3-1 ln x, 1, ln x, x
스스로 check
1-2
x2x
ln 2
-
2x
(ln 2)€
+C
f(x)=x, g '(x)=2x으로 놓으면
f '(x)=1, g(x)=
이므로
2x
ln 2
… x2x dx=
=
x2x
ln 2
x2x
ln 2
2x
ln 2
-…
dx
-
2x
(ln 2)€
+C
2-2 x sin x+cos x+C
f(x)=x, g '(x)=cos x로 놓으면
f '(x)=1, g(x)=sin x이므로
… x cos x dx=x sin x-… sin x dx
=x sin x+cos x+C
3-2 x ln (x+1)-x+ln |x+1|+C
f(x)=ln (x+1), g '(x)=1로 놓으면
f '(x)=
, g(x)=x이므로
1
x+1
… ln (x+1)dx=x ln (x+1)-…
x
x+1
dx
1
=x ln (x+1)-… {1-
x+1 } dx
=x ln (x+1)-x+ln |x+1|+C
3 부분적분법
1 f(x)= x+2 , g '(x)=ex으로 놓으면
f '(x)= 1 , g(x)=ex이므로
… (x+2)exdx=( x+2 )ex-… ex dx
=(x+2)ex-ex+C
= (x+1)ex +C
개념 확인
1 ㈎ x+2 ㈏ 1 ㈐ ex ㈑ (x+1)ex
199쪽
STEP
필수 유형
2
| 201쪽~202쪽 |
01-1 ⑴
(x+3)3x
ln 3
-
3x
(ln 3)€
+C
⑵ -;2!;x cos 2x+;4!; sin 2x+C
⑶ (x€-x) ln x-;2!;x€+x+C
|해결 전략| 부분적분법을 이용한다.
8 여러 가지 적분법 073
⑴ f(x)=x+3, g '(x)=3x으로 놓으면
f '(x)=1, g(x)=
이므로
3x
ln 3
(x+3)3x
ln 3
(x+3)3x
ln 3
-…
3x
ln 3
dx
-
3x
(ln 3)€
+C
… (x+3)3xdx=
=
⑵ f(x)=x, g '(x)=sin 2x로 놓으면
f '(x)=1, g(x)=-;2!; cos 2x이므로
… x sin 2x dx=x_{-;2!; cos 2x}-… {-;2!; cos 2x} dx
=-;2!;x cos 2x+;4!; sin 2x+C
⑶ f(x)=ln x, g '(x)=2x-1로 놓으면
f '(x)=;x!;, g(x)=x€-x이므로
… (2x-1) ln x dx=(x€-x) ln x-… ;x!;_(x€-x)dx
=(x€-x) ln x-… (x-1)dx
=(x€-x) ln x-;2!;x€+x+C
이때, … ln x dx에서 u(x)=ln x, v '(x)=1로 놓으면
u '(x)=;x!;, v(x)=x이므로
… ln x dx=x ln x-… 1 dx
=x ln x-x+C¡
㉡을 ㉠에 대입하면
… (ln x)€dx=x(ln x)€-2(x ln x-x+C¡)
=x(ln x)€-2x ln x+2x+C
-2C¡=C
……㉡
| 203쪽~205쪽 |
|해결 전략 | n+-1일 때 …xndx=
1
n+1
xn+1+C임을 이용한다.
STEP
유형 드릴
3
1-1
;1@2%;
f(x)=… (x;2!;+x-;2!;)dx
=;3@;x;2#;+2x;2!;+C¡
=;3@;x'x +2'x +C¡
즉, f(x)=;3@;x'x +2'x -;3%;
g(x)=… (x;3!;+x-;3!;)dx
=;4#;x;3$;+;2#;x;3@;+C™
=;4#;x ‹'x+;2#; ‹"ƒx€+C™
이때, f(1)=1에서 ;3@;+2+C¡=1
∴ C¡=-;3%;
02-1 ⑴ 2x€ex-4xex+4ex+C
⑵ x(ln x)€-2x ln x+2x+C
|해결 전략| 부분적분법을 한 번 적용하여 부정적분을 구할 수 없으므로 다시 부
분적분법을 적용한다.
⑴ f(x)=2x€, g '(x)=ex으로 놓으면
f '(x)=4x, g(x)=ex이므로
… 2x€exdx=2x€ex-… 4xexdx
……㉠
이때, … 4xexdx에서 u(x)=4x, v'(x)=ex으로 놓으면
u'(x)=4, v(x)=ex이므로
… 4xexdx=4xex-… 4exdx=4xex-4ex+C¡
㉡을 ㉠에 대입하면
… 2x€exdx=2x€ex-(4xex-4ex+C¡)
=2x€ex-4xex+4ex+C
⑵ f(x)=(ln x)€, g '(x)=1로 놓으면
f '(x)=
, g(x)=x이므로
2 ln x
x
… (ln x)€dx=x(ln x)€-…
2 ln x
x
_x dx
074 정답과 해설
이때, g(1)=1에서 ;4#;+;2#;+C™=1
∴ C™=-;4%;
즉, g(x)=;4#;x ‹'x +;2#; ‹"ƒx€-;4%;
……㉡
∴ f(0)g(0)=-;3%;_{-;4%;}=;1@2%;
-C¡=C
1-2
;1¢5;
|해결 전략 | 식을 전개하여 xn(n은 실수) 꼴인 항의 합으로 변형한 후 적분한다.
f(x)=… {x+;x!;} {x-;x!;} dx
=… {x€-
1
x€ } dx=… (x€-x-2)dx
=x(ln x)€-2… ln x dx
……㉠
=;3!;x‹+x-1+C¡=;3!;x‹+;x!;+C¡
|해결 전략 | 분자를 분모로 나누어 식을 변형한 후 적분한다.
이때, f {;4π;}=;2!;+'3 에서 ;2!;+C=;2!;+'3
∴ C='3
이때, f(1)=2에서 ;3!;+1+C¡=2
∴ C¡=;3@;
즉, f(x)=;3!;x‹+;x!;+;3@;
g(x)=… {x€+
=… {x›-
1
x€ } dx
1
x€ } {x€-
1
x› } dx=… (x›-x-4)dx
=;5!;xfi+;3!;x-3+C™=;5!;xfi+
1
3x‹
+C™
이때, g(1)=2에서 ;5!;+;3!;+C™=2
∴ C™=;1@5@;
즉, g(x)=;5!;xfi+
1
3x‹
+;1@5@;
∴ f(-1)+g(-1)={-;3!;-1+;3@;}+{-;5!;-;3!;+;1@5@;}=;1¢5;
2-1
15
ln 5
-2 ln 2
f(x)=…
x52x+2
x
dx
=… {52x+;x@;} dx
=… {25x+;x@;} dx
=
=
25x
ln 25
52x
2 ln 5
+2 ln |x|+C
+2 ln |x|+C
25
ln 5
25
2 ln 5
52x
2 ln 5
25
ln 5
25
2 ln 5
따라서 f(x)=
+2 ln |x|+
이므로
f {;2!;}=
5
2 ln 5
+2 ln ;2!;+
25
2 ln 5
=
15
ln 5
-2 ln 2
이때, f(1)=
에서
+C=
∴ C=
25
2 ln 5
2-2
;4&;
|해결 전략 | apx=(ap)x임을 이용하여 적분한다.
f(x)=… (2x+22x+24x)dx
=… (2x+4x+16x)dx
16x
4x
ln 16
ln 4
2x
ln 2
+
+
=
+C
=
=
2x
ln 2
2x
ln 2
+
22x-1
ln 2
+
24x-2
ln 2
+C
(1+2x-1+23x-2)+C
이때, f(1)=
에서
_(1+1+2)+C=
8
ln 2
2
ln 2
8
ln 2
∴ C=0
따라서 f(x)=
(1+2x-1+23x-2)이므로
2x
ln 2
f(x)=
g(x)에서 g(x)=1+2x-1+23x-2
2x
ln 2
∴ g(0)=1+;2!;+;4!;=;4&;
따라서 곡선 y=g(x)가 y축과 만나는 점의 y좌표는 ;4&;이다.
|해결 전략 | cos 2x=2 cos€ x-1임을 이용하여 식을 변형한 후 적분한다.
3-1
3'3
2
f '(x)=
1
1+cos 2x
=
1
1+2 cos€ x-1
=
1
2 cos€ x
=;2!; sec€ x
이므로
f(x)=… ;2!; sec€ x dx=;2!; tan x+C
따라서 f(x)=;2!; tan x+'3이므로
f {;3π;}= '3
+'3=
3'3
2
2
LECTURE
배각의 공식
❶ sin 2a=2 sin a cos a
❸ tan 2a=
2 tan a
1-tan€ a
3-2
;4%;
❷ cos 2a=cos€ a-sin€ a=2 cos€ a-1=1-2 sin€ a
|해결 전략 | 2 sin x cos x=sin 2x임을 이용하여 식을 변형한 후 적분한다.
f(x)=… sin ;2X; cos ;2X; dx=… ;2!; sin x dx=-;2!; cos x+C
이때, f(0)=1에서 -;2!;+C=1
∴ C=;2#;
따라서 f(x)=-;2!; cos x+;2#;이므로
f {;3π;}=-;2!;_;2!;+;2#;=;4%;
4-1
:£9™:
|해결 전략 | 3x+2=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
3x+2=t로 놓으면 3=
이므로
dt
dx
f(x)=… (3x+2)fidx=;3!; … 3(3x+2)fidx
=;3!; … tfi dt=;1¡8;tfl+C=;1¡8;(3x+2)fl+C
8 여러 가지 적분법 075
이때, f(-1)=;1¡8;에서 ;1¡8;+C=;1¡8;
∴ C=0
6-1
;2#; ln 2
따라서 f(x)=;1¡8;(3x+2)fl이므로 f(0)=:£9™:
4-2
;2#;
|해결 전략 | x‹+6x+1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
x‹+6x+1=t로 놓으면 3x€+6=
, 3(x€+2)=
이므로
dt
dx
dt
dx
f(x)=…
x€+2
‹"ƒx‹+6x+1
dx=;3!;…
3(x€+2)
‹"ƒx‹+6x+1
dx
=;3!;…
dt=;3!;… t-;3!;dt
1
‹'t
=;2!;t;3@;+C=;2!; ‹"ƒt€+C
=;2!; ‹"ƒ(x‹+6x+1)€+C
이때, f(1)=3에서 ;2!; ‹"ƒ8€+C=3
∴ C=1
따라서 f(x)=;2!; ‹"ƒ(x‹+6x+1)€ +1이므로
f(0)=;2!;+1=;2#;
5-1
;2!;(efi-e€)
|해결 전략 | 3x€+2=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
3x€+2=t로 놓으면 6x=
이므로
dt
dx
F(x)=… 3xe3x€+2dx=;2!;… 6xe3x€+2dx
=;2!;… etdt=;2!;et+C
=;2!;e3x€+2+C
5-2 2
|해결 전략 | ax€+1=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
ax€+1=t로 놓으면 2ax=
이므로
dt
dx
F(x)=… 4ax 2ax€+1dx=2… 2ax 2ax€+1dx
=2… 2tdt=2_
2t
ln 2
+C=
+C
2t+1
ln 2
=
2ax€+2
ln 2
+C
이때, F(1)-F(0)=
에서
12
ln 2
{
2a+2
ln 2
2a+2=16
+C}-{
2€
ln 2
+C}=
12
ln 2
∴ a=2
076 정답과 해설
|해결 전략 | ln x€=t로 놓고 치환적분법을 이용한다.
ln x€=2 ln |x|=t로 놓으면 ;x@;=
dt
dx
이므로
f(x)=…
1
x ln x€
dx=;2!;…
2
x ln x€
dx
=;2!;…
dt=;2!; ln |t|+C
1
t
=;2!; ln |ln x€|+C
이때, f(e)=ln 2에서 ;2!; ln 2+C=ln 2
∴ C=;2!; ln 2
따라서 f(x)=;2!; ln |ln x€|+;2!; ln 2이므로
f(e€)=;2!; ln 4+;2!; ln 2=ln 2+;2!; ln 2=;2#; ln 2
6-2 -(ln 2)€-ln 2
|해결 전략 | 먼저 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하여 f '(x)를 구한 후 치
환적분법을 이용한다.
F(2x)=2x f(2x)+x ln 2x의 양변을 x에 대하여 미분하면
2f(2x)=2f(2x)+4xf '(2x)+ln 2x+1
∴ f '(2x)=-
ln 2x+1
4x
따라서 f '(x)=-
ln x+1
2x
이므로
f(x)=-…
ln x+1
2x
dx
=-;2!;…
ln x
x
dx-;2!;… ;x!; dx
……㉠
이때, …
ln x
x
dx에서 ln x=t로 놓으면 ;x!;=
dt
dx
이므로
ln x
x
…
dx=… t dt=;2!;t€+C¡=;2!;(ln x)€+C¡
……㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
-;2!; C¡=C
=-;4!;(ln x)€-;2!; ln |x|+C
이때, f(1)=0에서 C=0
따라서 f(x)=-;4!;(ln x)€-;2!; ln |x|이므로
f(4)=-;4!;(ln 4)€-;2!; ln 4=-(ln 2)€-ln 2
7-1
;3%;
|해결 전략 | 함수 f(x)의 한 부정적분이 F(x)이면
… f(ax+b)dx=;a!;F(ax+b)+C임을 이용한다.
f(x)=… sin (3x+2)dx=-;3!; cos (3x+2)+C
이때, f {-;3@;}=1에서 -;3!;+C=1
∴ C=;3$;
∴ F(1)-F(0)={;2!;efi+C}-{;2!;e€+C}=;2!;(efi-e€)
f(x)=-;2!; [;2!;(ln x)€+C¡]-;2!;… ;x!; dx
따라서 f(x)=-;3!; cos (3x+2)+;3$;이므로
p-2
3
f {
}=-;3!; cos p+;3$;=;3!;+;3$;=;3%;
7-2 '2
4
|해결 전략 | 함수 f(x)의 한 부정적분이 F(x)이면
… f(ax+b)dx=;a!;F(ax+b)+C임을 이용한다.
f(x)=… cos(2x-1)dx=;2!; sin (2x-1)+C
이때, f {;6π;+;2!;}= '3
에서 ;2!; sin ;3π;+C= '3
+C= '3
'3
4
4
∴ C=0
4
4
따라서 f(x)=;2!; sin (2x-1)이므로
f {;8π;+;2!;}=;2!; sin ;4π;= '2
4
8-1 2 ln 3
|해결 전략| …
f '(x)
f(x)
dx=ln | f(x)|+C임을 이용한다.
(x‹+2x€-x+1)'=3x€+4x-1이므로
F(x)=…
3x€+4x-1
x‹+2x€-x+1
dx=…
(x‹+2x€-x+1)'
x‹+2x€-x+1
dx
=ln |x‹+2x€-x+1|+C
이때, F(0)=ln 3에서 C=ln 3
F(x)=ln|x‹+2x€-x+1|+ln 3=ln |3(x‹+2x€-x+1)|
따라서
이므로
F(1)=2 ln 3
8-2 24
|해결 전략| …
f '(x)
f(x)
{(x+1)(x+2)(x+3)}'
=3x€+12x+11
이므로
=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)
f(x)=…
3x€+12x+11
(x+1)(x+2)(x+3)
dx
=…
{(x+1)(x+2)(x+3)}'
(x+1)(x+2)(x+3)
dx
=ln |(x+1)(x+2)(x+3)|+C
이때, f(0)=ln 6에서 ln 6+C=ln 6
∴ C=0
∴ f(x)=ln |(x+1)(x+2)(x+3)|
따라서 f(1)=ln 24=ln a이므로 a=24
9-1 1-4 ln 2+2 ln 3
|해결 전략 | 분자를 분모로 나누어 식을 변형한 후 적분한다.
f(x)=…
x€+3x
(x+1)(x+2)
dx=… [1-
(x+1)(x+2) ] dx
2
=… [1-2 {
1
x+1
1
-
x+2 }] dx
=x-2(ln |x+1|-ln |x+2|)+C
=x-2 ln |
x+1
x+2 |+C
∴ f(1)-f(0) ={1-2 ln ;3@;+C}-{-2 ln ;2!;+C}
=1-4 ln 2+2 ln 3
9-2 ln 2-2 ln 3
|해결 전략|
1
(x+a)(x+b)
=
1
b-a
{
1
x+a
1
-
x+b }임을 이용하여 피적
분함수를 간단한 유리함수의 차로 나타내어 적분한다.
f(x)=…
4
(x+1)(x+3)
dx=2… {
1
x+1
1
-
x+3 } dx
=2 (ln |x+1|-ln |x+3|)+C=2 ln |
x+1
x+3 |+C
f(1)=-ln 2에서 2 ln ;2!;+C=-ln 2
∴ C=ln 2
따라서 f(x)=2 ln |
x+1
x+3 |+ln 2이므로
f(0)=2 ln ;3!;+ln 2=ln 2-2 ln 3
10-1 e-
3
2e
f(x)=2x, g '(x)=e2x+1으로 놓으면
f '(x)=2, g(x)=;2!;e2x+1이므로
F(x)=… 2xe2x+1dx=xe2x+1-… e2x+1dx
=xe2x+1-;2!; e2x+1+C
이때, F(0)=;2!;e에서 -;2!;e+C=;2!;e
∴ C=e
따라서 F(x)=xe2x+1-;2!;e2x+1+e이므로
F(-1)=-e-1-;2!;e-1+e=e-
3
2e
8 여러 가지 적분법 077
dx=ln | f(x)|+C임을 이용한다.
|해결 전략 | … f(x)g '(x)dx=f(x)g(x)-… f '(x)g(x)dx임을 이용한다.
10-2
;e#;
12-1 p-1
|해결 전략 | 부분적분법을 한 번 적용하여 부정적분을 구할 수 없으므로 다시 부
|해결 전략 | … f(x)g '(x)dx=f(x)g(x)-… f '(x)g(x)dx임을 이용한다.
분적분법을 적용한다.
f(x)=-x, g '(x)=e-x으로 놓으면
f '(x)=-1, g(x)=-e-x이므로
F(x)=… (-xe-x) dx=xe-x-… e-xdx
=xe-x+e-x+C
이때, F(0)=1+;e!;에서 1+C=1+;e!;
∴ C=;e!;
따라서 F(x)=xe-x+e-x+;e!;이므로
F(1)=;e!;+;e!;+;e!;=;e#;
11-1
;4!;
|해결 전략 | … f(x)g '(x)dx=f(x)g(x)-… f '(x)g(x)dx임을 이용한다.
f(x)=x, g '(x)=sin (2x+1)로 놓으면
f '(x)=1, g(x)=-;2!; cos (2x+1)이므로
F(x)=… x sin (2x+1)dx
=-;2!;x cos (2x+1)+;2!;… cos (2x+1)dx
=-;2!;x cos (2x+1)+;4!; sin (2x+1)+C
이때, F(0)=
에서
+C=
∴ C=0
sin 1
4
sin 1
4
sin 1
4
따라서 F(x)=-;2!;x cos (2x+1)+;4!; sin (2x+1)이므로
F{;4π;-;2!;}=-;2!; {;4π;-;2!;} cos ;2π;+;4!; sin ;2π;=;4!;
f(x)=4x, g '(x)=cos 2x로 놓으면
f '(x)=4, g(x)=;2!; sin 2x이므로
F(x)=… 4x cos 2x dx
=2x sin 2x-… 2 sin 2x dx
=2x sin 2x+cos 2x+C
이때, F(0)=2에서 1+C=2
∴ C=1
따라서 F(x)=2x sin 2x+cos 2x+1이므로
F(p)=2p sin 2p+cos 2p+1=1+1=2
078 정답과 해설
f(x)=x€+x, g '(x)=sin x로 놓으면
f '(x)=2x+1, g(x)=-cos x이므로
F(x)=… (x€+x)sin x dx
=-(x€+x) cos x+… (2x+1)cos x dx
=-(x€+x)cos x+2… x cos x dx+… cos x dx
=-(x€+x)cos x+sin x+2… x cos x dx
……㉠
이때, … x cos x dx에서 u(x)=x, v'(x)=cos x로 놓으면
u'(x)=1, v(x)=sin x이므로
… x cos x dx=x sin x-… sin x dx
=x sin x+cos x+C¡
……㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
F(x) =-(x€+x)cos x+sin x+2(x sin x+cos x+C¡)
2C¡=C
=(-x€-x+2)cos x+(2x+1)sin x+C
F(0)=0에서 2+C=0
∴ C=-2
따라서 F(x)=(-x€-x+2)cos x+(2x+1)sin x-2이므로
F{;2π;}=p+1-2=p-1
12-2 4
|해결 전략 | 부분적분법을 한 번 적용하여 부정적분을 구할 수 없으므로 다시 부
분적분법을 적용한다.
f(x)=x€-2x, g '(x)=ex으로 놓으면
f '(x)=2x-2, g(x)=ex이므로
F(x)=… (x€-2x)exdx
… (2x-2)exdx=(2x-2)ex-… 2exdx
=(2x-2)ex-2ex+C¡
=(2x-4)ex+C¡
㉡을 ㉠에 대입하면
F(x) =(x€-2x)ex-{(2x-4)ex+C¡}
-C¡=C
=(x-2)€ex+C
이때, F(2)=0에서 C=0
따라서 F(x)=(x-2)€ex이므로
F(0)=(-2)€_1=4
……㉡
11-2 2
|해결 전략 | … f(x)g '(x)dx=f(x)g(x)-… f '(x)g(x)dx임을 이용한다.
=(x€-2x)ex-… (2x-2)exdx
……㉠
이때, … (2x-2)exdx에서 u(x)=2x-2, v'(x)=ex으로 놓으면
u'(x)=2, v(x)=ex이므로
| 정적분9
1 여러 가지 함수의 정적분
개념 확인
1 ⑴ 2'3 +;3$; ⑵ 4(e€-1)
2 ㈎ -f(x) ㈏ 기함수 ㈐ 0
2-2 2
cos x=0 (p4)
|해결 전략| 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되게 하는 x의 값을 경계로 적분 구
9
9
∴ …
1
|'x-2|dx=…
1
(-'x+2)dx+…
4
('x-2)dx
4
4
=4
=…
1
(-x;2!;+2)dx+…
4
9
(x;2!;-2)dx
=“-;3@;x;2#;+2x‘
+“;3@;x;2#;-2x‘
4
1
9
4
=[{-:¡3§:+8}-{-;3@;+2}]
+[(18-18)-{:¡3§:-8}]
080 정답과 해설
⑵ 2x-4=0에서 x=2이므로
|2x-4|=[
-2x+4 (x<2)
2x-4 (x>2)
4
∴ …
0
|2x-4|dx
2
=…
0
=“-
(-2x+4)dx+…
2x
ln 2
+4x‘
2x
ln 2
+“
2
2
0
-4x‘
4
2
4
(2x-4)dx
=
9
ln 2
⑶ sin x-cos x=0 (00)
이므로
1
1
…
-1
f(x)dx=…
-1
f(x)dx+…
0
f(x)dx
0
0
=…
-1
(2e2x+1)dx+…
0
1
(e-x+2)dx
0
1
+“-e-x+2x‘
=“e2x+x‘
={1-(e-2-1)}+{(-e-1+2)-(-1)}
-1
0
=5-
1
e€
-;e!;
3-2 1-;e!;
한다.
|해결 전략 | 함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이면 x=0에서도 연속임을 이용
2-1 p+2
|해결 전략 | 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분은 적분 구간을 나눈 후
b
…
a
f(x)dx=…
f(x)dx+…
c
c
a
b
f(x)dx임을 이용한다.
함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이면 x=0에서도 연속이므로
lim
x d 0-
(ex+a)= lim
x d 0+
sin x=f(0)
1+a=0
∴ a=-1
9 정적분 085
0
0
p
p
따라서 f(x)=[
ex-1 (x<0)
sin x (x>0)
이므로
… ;2π; f(x)dx=…
-1
-1
f(x)dx+… ;2π; f(x)dx
0
=…
-1
(ex-1)dx+… ;2π; sin x dx
0
0
=“ex-x‘
+“-cos x‘
0
-1
;2π;
={1-(e-1+1)}+1=1-;e!;
4-1 8p+4
|해결 전략 | 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되게 하는 x의 값을 경계로 적분 구
간을 나눈다.
f(x)=|sin x|+4=[
sin x+4 (00이므로
구하는 넓이는
y
1
y=cos x
…
;4π;
-;6π;
cos x dx=“sin x‘
= '2
2
;4π;
-;6π;
+;2!;
p
p -;6;
-;2;
O
p
;4;
p
;2;
x
⑵ y=ln x에서 x=ey
구간 $0, 2&에서 x>0이므로
구하는 넓이는
…
0
2
2
eydy=“ey
‘
0
=e€-1
y
2
y=ln x
O 1
x
4 두 곡선 x=y€+2y,
x=-y€+6y+6의 교점의
y좌표는
y€+2y=-y€+6y+6에서
y
3
O
x=-y€+6y+6
-1
-2
x=y€+2y
2y€-4y-6=0
2(y+1)(y-3)=0
4 y=-1 또는 y=3
따라서 구하는 넓이는
3-2 2+ln 3
1
x-1
y=
+2에서 x=
1
y-2
+1
x
구간 $3, 5&에서 x>0이므로 구하는 넓
이는
5
…
3
{
1
y-2
+1}dy=“ln|y-2|+y‘
5
3
=2+ln 3
y
5
3
O
y=
1
x-1
+2
1
;2!;
x
3
…
-1
{(-y€+6y+6)-(y€+2y)}dy=…
-1
3
(-2y€+4y+6)dy
=“-;3@; y‹+2y€+6y‘
-1
3
=;;§3¢;;
4-2 2'2
두 곡선 y=sin x, y=cos x의 교점의 x좌표는 sin x=cos x에서
x=;4π; 또는 x=;4%;p (∵ 00이므로 구하는 넓이는
0
…
;2!; {e y-;4!;} dy=“;2!; {e y-;4!; y}‘
-2 ln 2
-2 ln 2
0
=;8#;-;4!; ln 2
+ y +ln {1+
n
n }]
= lim
n d $
n
Ú
k=1
ln {1+
k
n }_
1
n
04-1
;;¡3¢;;-2 ln 2
f(x)=ln x, a=1, b=2로 놓으면 ¯x=
, xk=1+
1
n
k
n
|해결 전략| 두 곡선의 교점의 x좌표를 구하고, 두 곡선을 좌표평면에 나타낸 후
정적분을 이용하여 도형의 넓이를 구한다.
∴ lim
n d $
n
Ú
k=1
ln {1+
k
n }_
1
n
2
ln x dx
=…
1
u(x)=ln x, v '(x)=1로 놓으면
=“x ln x‘
-…
1
2
1
2
1 dx
u'(x)=;x!;, v(x)=x
두 곡선 y='x , y=;x!; 의 교점의 x좌표는
y
y=;x!;
y='x
O
1
4
x
'x=;x!;에서 x'x -1=0
('x -1)(x+'x +1)=0
∴ x=1 (∵ x+'x+1>0)
따라서 구하는 넓이는
…
1
{'x -;x!;} dx=“;3@;x'x-ln |x|‘
4
1
=;;¡3¢;;-2 ln 2
=2 ln 2-“x‘
2
1
=2 ln 2-1
02-1 2-;e@;
형의 넓이를 구한다.
|해결 전략| 주어진 곡선과 직선을 좌표평면에 나타낸 후 정적분을 이용하여 도
05-1
;3$;
곡선 y=-ln x와 x축의 교점의 x좌표는
y
-ln x=0에서 x=1
|해결 전략| 직선 y=a를 기준으로 아래쪽 도형의 넓이와 위쪽 도형의 넓이가 서
로 같으므로 …
('x-a)dx=0임을 이용한다.
4
0
구간 “;e!;, 1‘에서 y>0, 구간 $1, e&에서
O
;e!;
직선 y=a의 아래쪽 도형의 넓이와 위쪽 도형의 넓이가 서로 같으므로
1
e
x
y=-ln x
…
0
('x -a)dx=0, “;3@; x'x-ax‘
=0
4
0
=“-x ln x‘
(-1) dx+“x ln x‘
-…
1
e
1
e
1 dx
1
-…
;e!;
y<0이므로 구하는 넓이는
1
…
;e!;
(-ln x) dx+…
1
e
ln x dx
1
;e!;
1
;e!;
=-;e!;+“x‘
+e-“x‘
e
1
=2-;e@;
|해결 전략| 주어진 곡선과 직선을 좌표평면에 나타낸 후 정적분을 이용하여 도
03-1
;8#;-;4!; ln 2
형의 넓이를 구한다.
090 정답과 해설
:¡3§:-4a=0
∴ a=;3$;
05-2
1
e-1
|해결 전략| 직선 y=a를 기준으로 아래쪽 도형의 넓이와 위쪽 도형의 넓이가 서
e-1
로 같으므로 …
0
{ln (x+1)-a} dx=0임을 이용한다.
직선 y=a의 아래쪽 도형의 넓이와 위쪽 도형의 넓이가 서로 같으므로
e-1
e-1
…
0
…
0
{ln (x+1)-a}dx=0
ln (x+1)dx-…
0
e-1
a dx=0
yy㉠
4
4
e-1
…
0
ln (x+1)dx에서 f(x)=ln (x+1), g '(x)=1로 놓으면
| 247쪽 |
f '(x)=
, g(x)=x이므로 ㉠에서
1
x+1
“x ln (x+1)‘
0
e-1
-…
0
e-1
x
x+1
dx-“ax‘
0
e-1
=0
e-1
1
e-1-…
0
{1-
x+1 }dx-a(e-1)=0
(1-a)(e-1)-“x-ln|x+1|‘
0
e-1
=0
(1-a)(e-1)-(e-2)=0, 1-a=
e-2
e-1
∴ a=1-
e-2
e-1
=
1
e-1
06-1
;4!;(e€-1)
|해결 전략| 곡선 y=ex과 x축 및 두 직선 x=0, x=2로 둘러싸인 도형의 넓이
를 구한 후 직선 y=ax가 넓이를 이등분함을 이용한다.
곡선 y=ex과 x축 및 두 직선 x=0, x=2로 둘러싸인 도형의 넓이
를 S¡이라 하면
S¡=…
0
2
2
ex dx=“ex
‘
0
=e€-1
2
S™=…
0
ax dx=“;2!; ax€‘
=2a
2
0
직선 y=ax와 x축 및 직선 x=2로 둘러싸인 도형의 넓이를 S™라 하면
이때, S™=;2!;S¡이므로 2a=;2!; (e€-1)
∴ a=;4!;(e€-1)
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 5, 5, 70
2-1 ;2!;x+1, ;2!;x+1, ;2!;x+1, '3
6
스스로 check
1-2
;3$; cm‹
깊이가 2 cm일 때, 물의 부피는
2
…
0
(2x-x€)dx=“x€-;3!; x‹‘
2
0
=;3$; (cm‹)
물의 깊이가 x cm일 때, 수면의 넓이가 (2x-x€) cm€이므로 물의
2-2
;;•2¡;;
y
3
오른쪽 그림과 같이 곡선 y='ß9-x 위의
점 P(x, 'ß9-x )(0ln 2일 때 v(t)>0이므로 시각
t=0에서 t=4까지 점 P가 움직인 거리는
…
0
|e2t-4|dt=…
0
(4-e2t)dt+…
ln 2
(e2t-4)dt
ln 2
4
ln 2
=“4t-;2!; e2t
‘
0
+“;2!; e2t-4t‘
ln 2
4
={4 ln 2-;2#;}+{;2!; e°-18+4 ln 2}
=;2!; e°-;;£2ª;;+8 ln 2
4
4
092 정답과 해설
1 ⑴ ;2!;(e›-17) ⑵ ;2!;(e°-33) ⑶ ;2!;e°-:£2ª:+8 ln 2
⑵
=2이므로 곡선의 길이 l 은
STEP
개념 드릴
1
개념 check
1-1 et-e-t, et-e-t, e‹-
1
e‹
2-1 ;2!;x€, ;2!;x€, :™2™4¶:
| 253쪽 |
=t÷‹-1이므로 시각 t=0에서 t=2까지 점 P가 움직
직인 거리 s는 s=…
Ƙ {
a
b
dx
dt }
€+{
dy
dt }
€dt임을 이용한다.
스스로 check
1-2 6
dx
dt
=2t÷;2#;,
dy
dt
인 거리 s는
s=…
0
Ƙ {
dx
dt }
€+{
dy
dt }
€ dt
s=…
0
"ƒ(2t÷;2#;)€+(t÷‹-1)€dt
s=…
0
"ƒt÷fl+2t÷‹+1dt
s=…
0
"ƒ(t÷‹+1)€dt
2
(t÷‹+1)dt
s=…
0
s=“;4!; t÷›+t‘
=6
2
0
2-2
:¡3¢:
dy
dx
='ßx-1 이므로 곡선의 길이 l은
l=…
1
Ƙ1+{
dy
dx }
€ dx
l=…
1
4
"ƒ1+('ßx-1 )€dx
l=…
1
'x dx
l=“;3@; x;2#;
=:¡3¢:
4
‘
1
2
2
2
2
4
4
02-1 2'2 p
|해결 전략| 시각 t 에서의 위치가 (x, y)인 점 P가 시각 t=a에서 t=b까지 움
dx
dt
dy
dt
=cos t-sin t,
=cos t+sin t이므로 시각 t=0에서 t=2p
까지 점 P가 움직인 거리 s는
s=…
0
Ƙ {
dx
dt }
€+{
dy
dt }
€ dt
=…
0
"ƒ(cos t-sin t)€+(cos t+sin t)€ dt
=…
0
'2 dt=“'2 t‘
0
=2'2 p
2p
02-2
;;¶3§;;
|해결 전략| 시각 t 에서의 위치가 (x, y)인 점 P가 시각 t=a에서 t=b까지 움
직인 거리 s는 s=…
Ƙ {
a
b
dx
dt }
€+{
dy
dt }
€dt임을 이용한다.
dx
dt
dy
dt
=2t cos t-(t€-1)sin t,
=2t sin t+(t€-1)cos t이므로
시각 t=0에서 t=4까지 점 P가 움직인 거리 s는
s=…
0
Ƙ {
dx
dt }
€+{
dy
dt }
€ dt
=…
0
"ƒ{2t cos t-(t÷€-1)sin t}€ƒ+{2t sin t+(t÷€-1)cos t}€ dt
=…
0
"ƒ4t÷€+(t÷€-1)€dt=…
0
"ƒt›+2t€+1 dt=…
0
"ƒ(t€+1)€ dt
4
=…
0
(t€+1)dt=“;3!; t÷‹+t‘
=;;¶3§;;
4
4
0
2p
2p
2p
4
4
4
4
03-1
;2(;
| 254쪽~256쪽 |
|해결 전략| 곡선 x=f(t), y=g(t) (a0이므로 시각 t=0에
서 t=3까지 점 P가 움직인 거리는
3
1
…
0
|2t-2|dt=…
0
(2-2t)dt+…
1
3
(2t-2)dt
=“2t-
2t
ln 2 ‘
1
0
+“
2t
ln 2
-2t‘
3
1
={2-
1
ln 2 }+{
6
ln 2
-4}
=
-2
5
ln 2
l=… ;2π; Ƙ {
0
dx
dt }
€+{
dy
dt }
€ dt
=… ;2π; "ƒ(-9 cos€t sin t)€+(9 sin€t cos t)€ dt
0
=… ;2π; "ƒ81 sin€t cos€t dt
0
=… ;2π; 9 sin t cos t dt
0
l=… ;2π; 9_
0
sin 2t
2
dt
l=“-;4(; cos 2t‘
0
=;2(;
;2π;
sin 2t=2 sin t cos t
10 정적분의 활용 093
03-2
;2!; {efl-
1
efl }
2-1 1
|해결 전략| 곡선 y=f(x) (a0)
9-2 1
|해결 전략| 시각 t 에서의 위치가 (x, y)인 점 P가 시각 t=a에서 t=b까지 움
직인 거리 s는 s=…
Ƙ {
a
b
dx
dt }
€+{
dy
dt }
€dt임을 이용한다.
dx
dt
dy
dt
=2t-2,
=4't 이므로 시각 t=0에서 t=a까지 점 P가 움
직인 거리 s는
s=…
0
Ƙ {
dx
dt }
€+{
dy
dt }
€ dt
=…
0
"ƒ(2t-2)€+(4't )€ dt
=…
0
"ƒ4t€+8t+4 dt
=…
0
"ƒ(2t+2)€ dt=…
0
a
(2t+2) dt
=“t€+2t‘
a
0
=a€+2a
이때, s=3이므로 a€+2a=3
a€+2a-3=0, (a+3)(a-1)=0
∴ a=1 (∵ a>0)
a
a
a
a
a
a
a
a
