(001~009)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:11 PM 페이지1 SinsagoHitec
수학 ➌(상)
정답및 풀이
빠른 정답 찾기
2~9
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자세한 풀이
Ⅰ
제곱근과 실수
01 제곱근의 뜻과 성질
02 무리수와 실수
03 근호를 포함한 식의 계산 ⑴
04 근호를 포함한 식의 계산 ⑵
Ⅱ
인수분해
05 인수분해 공식
06 인수분해 공식의 활용
Ⅲ
이차방정식
07 이차방정식의 풀이 ⑴
08 이차방정식의 풀이 ⑵
09 이차방정식의 활용
Ⅳ
이차함수
10 이차함수의 그래프 ⑴
11 이차함수의 그래프 ⑵
12 이차함수의 활용
10~103
10
19
25
31
41
47
54
64
72
78
86
93
(001~009)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:11 PM 페이지2 SinsagoHitec
01
제곱근의 뜻과 성질
0001 64, 64, —8
0002 ;9$;, ;9$;, —;3@;
0003 0
0004 1, -1
0005 13, -13
0123 66
0124 ④
0125 ③
0126 '6, 1, 0, -'2, -'3
0127 -'ß15, Æ;5!;
0128 ⑤
0129 27
0130 ④
0131 ③
0132 ③
0133 ⑤
0134 11
0135 ②
0136 ④
0137 54
0006 없다. 0007 0.1, -0.1
0008 ;1¡2;, -;1¡2;
0138 ③
0139 ②
0140 30
0141 ②
0142 3
0009 ×
0010 ◯
0011 ×
0012 ×
0143 3
0144 ④
0145 19
0018 2
0019 -9
0020 —0.8 0021 ;3$;
0022 '6
0146 ⑤
0147 ③, ⑤ 0148 ②
0149 ⑤
0150 ⑤
0151 -2…a…2
0152 -2a+2b-2c
0153 ③
0154 6
0155 ④
0156 28
0157 ④
0158 48
0159 ②
0160 34
0161 '2 m 0162 2x+6
0163 x+5 0164 3a-1 0165 36
0166 1-ab 0167 9
0013 ⑴ 6 ⑵ -6 ⑶ 3 ⑷ -3 ⑸ ;2%; ⑹ -;2%;
0014 —'∂11 0015 —'∂50 0016 —'∂5.4 0017 —æ≠;2£0;
0023 -'6 0024 —'6 0025 '6
0026 ⑴ —4(cid:100)⑵ 4(cid:100)⑶ —'∂18(cid:100)⑷ '∂180027 2.1
0028 -;1¢3;
0029 -27 0030 -16 0031 ;8(;
0032 -2.3 0033 4
0034 -2
0035 ;2!;
0036 2
0037 ⑴ a(cid:100)(cid:100)⑵ -a
⑶ a(cid:100)(cid:100)⑷ -a(cid:100)(cid:100)⑸ -a(cid:100)(cid:100)⑹ a(cid:100)(cid:100)⑺ -a(cid:100)(cid:100)⑻ a
0038 7a
0039 3a
0040 -7a 0041 -3a
0042 >, 1-a
0043 <, -a+1
0044 5
0045 2
0046 <
0047 >
0048 <
0049 <
0050 'ß27, 'ß32, 'ß35
0051 9, 10, 11, y, 15
0052 2, 3, 4, y, 8
0053 ④, ⑤ 0054 ⑤
0055 ①, ③ 0056 27
0057 ②
0058 ②
0059 ③, ④ 0060 ㈀, ㈂, ㈃
0061 ④
0062 ④
0063 2
0064 ①, ⑤ 0065 ②
0066 -1
0067 '6
0068 ④
0069 ③
0070 'ß22
0071 ③
0072 ②
0073 ①, ③ 0074 ⑤
0075 ⑤
0076 (-'6)¤
0077 ⑤
0078 ④
0079 -4
0080 ⑤
0081 5
0082 ⑤
0083 13
0084 ③
0085 40
0086 5
0087 -2
0088 ⑤
0089 ②
0090 ④
0091 ④
0092 ⑤
0093 1
0094 ①
02
무리수와 실수
0168 무
0169 유
0170 유
0171 무
0172 유
0173 유
0174 ×
0175 ◯
0176 ×
0177 ◯
0178 2.665 0179 2.709 0180 2.655 0181 2.687
0182 5
0183 '5
0184 1+'5 0185 1-'5 0186 ◯
0187 ◯
0188 ×
0189 <
0190 <
0191 >
0192 >
0193 ②
0194 ③
0195 ②, ④ 0196 84
0197 ㈀, ㈂ 0198 ②, ③ 0199 ④
0200 ㈀, ㈁, ㈃
0201 ④
0202 ②, ⑤ 0203 ⑤
0204 ①
0205 ③
0095 ⑤
0096 2a
0097 ;4!;a¤
0098 -ab 0099 ④
0206 11.592 0207 -13 0208 ①, ③ 0209 점 C 0210 -2
0100 ③
0101 -3
0102 2a-2c
0103 ②
0211 ③
0212 3+'2 0213 P(2-'2), Q(2+'2)
0104 -3a-2b
0105 ②
0106 ②
0107 ①
0214 -2
0215 -2+'ß10
0216 6
0217 2-'5
0108 5
0109 33
0110 38
0111 42
0112 90
0218 ③, ⑤ 0219 ②, ⑤ 0220 3
0221 ②
0222 ③
0113 3
0114 ④
0115 ④
0116 ⑤
0117 ①
0223 ④
0224 ③
0225 ④
0226 ③
0118 ②
0119 8
0120 ⑤
0121 ②
0122 ③
0227 'ƒa-b>'a-'b
0228 ③
2 빠른 정답 찾기
(001~009)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:11 PM 페이지3 SinsagoHitec
0229 ⑴ A>B ⑵ A0
1000 2x¤ +3x-6=0
1001 5x¤ +28x-49=0
1002 -6
1087 a>0, q<0
1088 y=(x+3)¤
1003 x=1 또는 x=2
1004 ⑤
1005 ②
1006 ④
1007 ③
1008 2
1009 ②
1010 ①, ④ 1011 ④
1012 -3 또는 -1
1013 182
1014 57
1015 ③
1016 63
1017 ①
1018 ③
1019 ④
1020 5
1089 y=-2(x-1)¤
1090 y=;3$;{x+;2!;}2
1091 (3, 0), x=3
1092 {;5!;, 0}, x=;5!;
1093 a>0, p>0
1094 a<0, p<0
1021 12
1022 ③
1023 ②
1024 ⑴ 15(cid:100)⑵ 3초
1095 y=;2&;(x-1)¤ -1
1096 y=5(x-2)¤ +4
1025 6초 1026 12cm 1027 ③
1028 4cm
1097 y=-(x+4)¤ -2
1098 (1, 2), x=1
1099 {;2#;, -3}, x=;2#;
1029 (-3+3'5)cm
1030 12cm 1031 ⑤
1032 (-2+2'2)cm
1033 ③
1034 2cm 1035 ④
1036 3
1037 (6+6'2)p m
1038 ③
1039 6초
1040 18cm¤ 1041 72cm‹ 1042 ②, ③ 1043 2m 1044 ②
1045 2m
1046 x=2 또는 x=4
1047 34
1048 ⑤
1049 12초 1050 -12+6'6
1051 (6-'∂14)cm
1052 ③
1053 ②
1054 10m 1055 60
1056
10-2'∂13
3
cm
1057 18
1058 20cm¤
1100 ①, ④ 1101 3
1102 ②
1103 a+3
1104 ②, ⑤ 1105 ①
1106 3
1107 ④
1108 ④
1109 -6
1110 1
1111 ⑤
1112 ④
1113 ㈀, ㈂
1114 ②
1115 03
1254 30
1255 D(-2, 4)
1256 -21 1257 {1, ;4%;}
1185 52
1186 ⑴ ;4#;(cid:100)⑵ y=-;4#;x¤ -4
1258 16
1259 0
11
이차함수의 그래프 ⑵
12
이차함수의 활용
1187 ㈎ 6(cid:100)㈏ 9(cid:100)㈐ 3(cid:100)㈑ -23
1260 ㈎ x+3(cid:100)㈏ -2(cid:100)㈐ 4(cid:100)㈑ 2(cid:100)
1188 y=(x+2)¤ -5
1189 y=-2{x-;2!;}2 +:¡2¡:
1190 y=;3!;(x-6)¤
1191 y=-;2#;{x-;3!;}2 +;6!;
1192 (-4, -17), x=-4
1193 (1, 5), x=1
1194 {;8!;, ;1¡6;}, x=;8!;
1195 (-1, -2), x=-1
1196 ㈎ 2—'6(cid:100)㈏ 2+'6(cid:100)㈐ 0(cid:100)㈑ 1
1197 x축: (1, 0), y축: (0, 1)
1198 x축: (1, 0), (3, 0), y축: (0, -3)
1199 ⑴ >(cid:100)⑵ <, <(cid:100)⑶ >
1200 ⑴ <(cid:100)⑵ >, <(cid:100)⑶ <
㈒ y=2x¤ +12x+20
1261 y=(x-4)¤ -1
1262 y=-(x-2)¤ +5
1263 ㈎ x-3(cid:100)㈏ -2(cid:100)㈐ -1(cid:100)㈑ 2
㈒ y=-x¤ +6x-7
1264 y=-2(x+2)¤ +5
1265 y=;2!;(x+1)¤ -3
1266 ㈎ 3(cid:100)㈏ 4a+2b+c(cid:100)㈐ 1(cid:100)
㈑ -6(cid:100)㈒ y=x¤ -6x+8 1267 y=3x¤ -6x+4
1268 y=-2x¤ +4x
1269 ㈎ x-4(cid:100)㈏ 0(cid:100)㈐ 12(cid:100)㈑ -1(cid:100)㈒ y=-x¤ +x+12
1270 y=3x(x+3)
1271 최솟값: 1, x=0
1272 최솟값: -4, x=1
1273 최댓값: -1, x=0
1274 최댓값: -2, x=1
1275 y=;2!;(x+1)¤ -;2#;
1276 최솟값: -;2#;, x=-1
1277 y=-2(x-5)¤ +40 1278 최댓값: 40, x=5
1201 ①
1202 ㈂
1203 2
1204 55
1279 x+4 1280 y=x¤ +4x
1281 -4
1282 -2, 2
1205 ③
1206 ③
1207 ⑤
1208 ④
1209 3
1283 (12-x)cm
1284 y=-x¤ +12x
1285 36 cm¤
1210 ②
1211 ④
1212 (0, 3) 1213 4
1286 6 cm
1214 (-14, 0)
1215 ①
1216 ②
1217 ⑤
1218 ;4%;
1219 ⑤
1220 ⑤
1221 ④
1222 ⑤
1223 -:¡2¡: 1224 ;2!;
1225 k<-4
1226 ⑤
1227 3
1228 ②
1229 ①
1230 -3
1231 ④
1232 ③
1233 ㈁, ㈂, ㈃
1234 ⑤
1235 27
1287 ⑤
1288 (0, 3) 1289 ③
1290 ②
1291 -1
1292 ④
1293 ⑤
1294 16
1295 ②
1296 -14 1297 ⑤
1298 ①
1299 -4
1300 ②
1236 ⑤
1237 ⑤
1238 :∞2∞:
1239 6
1240 ⑤
1301 -3
1302 (5, 8) 1303 ②
1304 ②
1305 ②
1241 ②
1242 ③
1243 ③
1244 ④
1245 ⑤
1306 ②
1307 3
1308 ④
1309 ①
1310 8
8 빠른 정답 찾기
(001~009)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:11 PM 페이지9 SinsagoHitec
1311 ⑤
1312 ④
1313 ③
1314 ⑤
1315 ①
1316 ⑴ 2(cid:100)⑵ 최댓값: 12, x=2
1317 ④
1318 -14
1319 4
1320 ⑤
1321 2
1322 ③
1323 8
1324 ①
1325 2
1326 -7
1327 ③
1328 19
1329 8
1330 ③
1331 ;2#;
1332 ③
1333 y=;2!;x¤ -4x+8
1334 ④
1335 ⑤
1336 6
1337 ②
1338 -2
1339 ③
1340 -:¡4¡: 1341 ④
1342 -8, 8 1343 72
1344 ⑴ y=10-x(cid:100)⑵ 25(cid:100)⑶ x=5, y=5
1345 ③
1346 ③
1347 ⑤
1348 ④
1349 72 cm¤ 1350 6 cm
1351 ②
1352 최댓값: :¢2ª:, x=;2#; 1353 ①
1354 162
1355 36cm¤ 1356 4
1357 ⑴ (14-x)cm(cid:100)⑵ 98p cm¤
1358 ②
1359 ⑴ y=-(x-2)¤ +4(cid:100)⑵ 4, P(2, 4)
1360 P {;2(;, 3}
1361 ④
1362 63m 1363 ③
1364 ⑤
1365 4초 1366 ③
1367 ③
1368 ④
1369 1
1370 -14
1371 -;4%;
1372 ③
1373 ⑤
1374 ④
1375 ④
1376 ④
1377 ;4&;
1378 ②
1379 ④
1380 ④
1381 '∂10
1382 8'2
1383 12
1384 ⑴ k=-a¤ -6a(cid:100)⑵ 9
1385 9 cm¤
1386 ⑴ (2, 9)(cid:100)⑵ l=-2k¤ +12k+2(cid:100)⑶ 20
1387 ⑴ {4-;3@;x}cm(cid:100)⑵ y=-;3@;x¤ +4x(cid:100)⑶ 6 cm¤
빠른 정답 찾기 9
(010~018)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:12 PM 페이지10 SinsagoHitec
01
제곱근의 뜻과 성질
0001 (cid:9120) 64, 64, —8
0002 (cid:9120) ,
, —
4
9
4
9
2
3
0003 (cid:9120) 0
0004 (cid:9120) 1, -1
0005 (cid:9120) 13, -13
0006 (cid:9120) 없다.
0007 (cid:9120) 0.1, -0.1
0008 (cid:9120)
1
12
, -
1
12
0009 (cid:9120) ×
0011 (cid:9120) ×
0010 (cid:9120) (cid:8776)
0012 (cid:9120) ×
0013 (cid:9120) ⑴ 6 ⑵ -6 ⑶ 3 ⑷ -3 ⑸
5
2
⑹ -
5
2
0014 (cid:9120) —'∂11
0015 (cid:9120) —'∂50
0016 (cid:9120) —'∂5.4
0018 (cid:9120) 2
0020 (cid:9120) —0.8
0017 (cid:9120) —æ≠
3
20
0019 (cid:9120) -9
0021 (cid:9120)
4
3
0022 (cid:9120) '6
0023 (cid:9120) -'6
0024 (cid:9120) —'6
0025 (cid:9120) '6
0026 (cid:9120) ⑴ —4(cid:100)⑵ 4(cid:100)⑶ —'∂18(cid:100)⑷ '∂18
0027 (cid:9120) 2.1
0028 (cid:9120) -
4
13
0029 (cid:9120) -27
0030 (cid:9120) -16
0031 (cid:9120)
9
8
0032 (cid:9120) -2.3
0033 (주어진 식)=2+2=4
0034 (주어진 식)=5-7=-2
0035 (주어진 식)= _ =
5
4
2
5
1
2
0036 (주어진 식)=8÷4=2
0039 (주어진 식)=6a-{-(-3a)}=3a
0040 (주어진 식)=-2a+(-5a)=-7a
0041 (주어진 식)=-6a-(-3a)=-3a
(cid:9120) 3a
(cid:9120) -7a
(cid:9120) -3a
0042 (cid:9120) >, 1-a
0043 (cid:9120) <, -a+1
0044 (cid:9120) 5
0046 (cid:9120) <
0045 (cid:9120) 2
0047 (cid:9120) >
0048 '8<'9이므로(cid:100)(cid:100)'8
<
3
0049 'ß11>'ß10이므로(cid:100)(cid:100)-'ß11 -'ß10
<
(cid:9120) <
(cid:9120) <
0050 5='ß25, 6='ß36이므로 5와 6 사이의 수는
(cid:100)(cid:100)'ß27, 'ß32, 'ß35
(cid:9120) 'ß27, 'ß32, 'ß35
0051 3…'ßx<4에서 각 변을 제곱하면
9…x<16
이때 x는 자연수이므로(cid:100)(cid:100)x=9, 10, 11, y, 15
(cid:9120) 9, 10, 11, y, 15
0052 2<'∂3x<5에서
각 변을 제곱하면(cid:100)(cid:100)4<3x<25
각 변을 3으로 나누면(cid:100)(cid:100) b)이므로
'∂2a-b-3='∂2_13-∂(-13)-3='∂36=6
따라서 제곱근 6은 '6이다.
(cid:9120) ①, ⑤
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
(cid:9120) 2
(cid:9120) ②
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) -1
40%
40%
20%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) '6
0068 1번 접었을 때의 정사각형의 넓이는
(cid:100)(cid:100) _10_10=50(cm¤ )
1
2
2번 접었을 때의 정사각형의 넓이는(cid:100)(cid:100) _50=25(cm¤ )
1
2
넓이가 25 cm¤ 인 정사각형의 한 변의 길이를 xcm라 하면
x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이다.(cid:100) (cid:9120) ④
1
2
1
2
넓이가 42인 정사각형의 한 변의 길이를 x 라 하면
x¤ =42(cid:100)(cid:100)∴ x='∂42 (∵ x>0)(cid:100)
따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 '∂42이다.
(cid:9120) ③
0070 (사다리꼴의 넓이)= _(4+7)_4=22
… ➊
넓이가 22인 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면
x¤ =22(cid:100)(cid:100)∴ x='ß22 (∵ x>0)
따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 '∂22이다.
➊ 사다리꼴의 넓이를 구할 수 있다.
➋ 정사각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다.
0071 주어진 수의 제곱근을 각각 구해 보면
1
15 (cid:8825) —'ß15,(cid:100)0.4 (cid:8825) —'∂0.4,(cid:100) (cid:8825) —Ƭ =— ,
5
1
9
1
0.H1= (cid:8825) —Æ =— ,(cid:100) (cid:8825) —Ƭ =—
3
따라서 제곱근을 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있는 수는
2
9
1
9
1
25
4
81
1
25
4
81
1
25
4
81
, 0.H1,
의 3개이다.
0072 ② —Æ…
144
25
=—
12
5
0073 ① 'ƒ0.01=0.1의 제곱근은 —'∂0.1이다.
② —øπ1.H7=—Æ… =—
4
3
225
4
=—
④ —Æ…
⑤ '∂625=25의 제곱근은 —'ß25=—5이다.
16
9
15
2
0074 ①, ②, ③, ④ 3(cid:100)(cid:100)⑤ -3
0075 ⑤ æ≠{- }
=
2
4
9
4
9
… ➋
(cid:9120) 'ß22
50%
50%
(cid:9120) ③
(cid:9120) ②
(cid:9120) ①, ③
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ⑤
01 제곱근의 뜻과 성질 11
(010~018)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:12 PM 페이지12 SinsagoHitec
0076 -øμ2¤ =-2, øπ3¤ =3, -(-'5)¤ =-5, (-'6)¤ =6,
øπ(-7)¤ =7이므로 작은 수부터 나열하면
-(-'5)¤ , -øμ2¤ , øπ3¤ , (-'6)¤ , "‘(-7)¤
따라서 네 번째에 오는 수는 (-'6)¤ 이다.
(cid:9120) (-'6)¤
0077 ① (cid:100)(cid:100)② (cid:100)(cid:100)③ (cid:100)(cid:100)④ (cid:100)(cid:100)⑤
1
2
1
3
1
9
1
2
1
4
따라서 가장 작은 수는 ⑤`이다.
0078 ㈃ -"√(-15)¤ =-15
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁, ㈂이다.
0079 "√(-1)¤ =1의 양의 제곱근은 1이므로(cid:100)(cid:100)A=1
(-'ß25)¤ =25의 음의 제곱근은 -5이므로(cid:100)(cid:100)B=-5
∴ A+B=-4
0088 ㈀ a<0이므로(cid:100)(cid:100)-"≈a¤ =-(-a)=a
㈁ 3a<0이므로(cid:100)(cid:100)"√(3a)¤ =-3a
㈂ -6a>0이므로(cid:100)(cid:100)"√(-6a)¤ =-6a
㈃ -"√49a¤ =-"√(7a)¤ 이고, 7a<0이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)-"√49a¤ =-"√(7a)¤ =-(-7a)=7a
이상에서 옳은 것은 ㈂, ㈃이다.
0089 "√36a¤ ="√(6a)¤ 이고, 6a<0이므로
"√36a¤ ="√(6a)¤ =-6a
0090 ① -a<0이므로(cid:100)(cid:100)"√(-a)¤ =-(-a)=a
② 2a>0이므로(cid:100)(cid:100)-"√(2a)¤ =-2a
③ -5a<0이므로(cid:100)(cid:100)"√(-5a)¤ =-(-5a)=5a
④ -"ç4a¤ =-"√(2a)¤ 이고, 2a>0이므로
(cid:100)(cid:100)-"ç4a¤ =-"√(2a)¤ =-2a
0080 (-'∂0.64)¤ =0.64의 제곱근은(cid:100)(cid:100)—'∂0.64=—0.8
⑤ -8a<0이므로(cid:100)(cid:100)-"√(-8a)¤ =-{-(-8a)}=-8a
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
0091 a<0일 때, -a>0이므로
㈀ "≈a¤ =-a
㈁ -"≈a¤ =a
㈃ -"‘(-a)¤ =a ㈄ (-'∂-a)¤ =-a
이상에서 그 값이 양수인 것은 ㈀, ㈂, ㈄`이다.
㈂ "‘(-a)¤ =-a
0092 ① 3a(cid:100)(cid:100)② a(cid:100)(cid:100)③ a(cid:100)(cid:100)④ -3a(cid:100)(cid:100)⑤ 4a
5
3
3
2
따라서 그 값이 가장 큰 것은⑤ `이다.
(cid:9120) ⑤
0093 ⁄ 2a-1æ0, 즉 aæ 일 때,
1
2
(cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(2a-1)¤ =2a-1=7(cid:100)(cid:100)∴ a=4
1
¤ 2a-1<0, 즉 a< 일 때,
2
0094 a>0이므로(cid:100)(cid:100)-a<0, 2a>0
b<0이므로(cid:100)(cid:100)5b<0
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=-(-a)-2a+(-5b)=-a-5b (cid:9120) ①
0095 (주어진 식)=-(-2a)-4_(-b)=2a+4b (cid:9120) ⑤
0096 (주어진 식)="≈a¤ +"√(4a)¤ -"√(-7a)¤
=-a+(-4a)-(-7a)=2a
(cid:9120) 2a
0097 (주어진 식)
9
4
=øμa¤ _æ≠{- a}
¤ -øπ(4a)¤ _øπ(0.5a)¤
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ④
(cid:9120) -4
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 5
40%
40%
20%
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 13
(cid:9120) 40
… ➊
… ➋
(cid:9120) 5
70%
30%
0081 ('8)¤ =8의 음의 제곱근은 -'8이므로(cid:100)(cid:100)
A=-'8
"√(-9)¤ =9의 양의 제곱근은 3이므로(cid:100)(cid:100)B=3
∴ A¤ -B=(-'8)¤ -3=8-3=5
➊ A의 값을 구할 수 있다.
➋ B의 값을 구할 수 있다.
➌ A¤ -B의 값을 구할 수 있다.
0082 (주어진 식)=8÷2+5_ =4+1=5
1
5
0083 (주어진 식)=20-13+6=13
5
3
1
2
0085 A=0.5÷0.1_10= _10_10=50
B=-8_ -2_3=-4-6=-10
1
2
∴ A+B=40
0086 A=4+10+12-1=25
∴ "≈A='ß25=5
➊ A의 값을 구할 수 있다.
➋ "≈A의 값을 구할 수 있다.
12 정답 및 풀이
0087 (주어진 식)=2_('2)¤ -3_(-'5)¤ +"≈3¤ _"√(-3)¤
=2_2-3_5+3_3
=4-15+9=-2
(cid:9120) -2
9
4
1
4
= a¤ -2a¤ = a¤
9
4
=-a_{- a}-(-4a)_(-0.5a)
… ➊
… ➋ (cid:9120) a¤
1
4
0084 (주어진 식)=6-3_ +6=6-5+6=7
(cid:9120) ③
(cid:100) (cid:100)(cid:100)"√(2a-1)¤ =-(2a-1)=7(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
⁄, ¤에서 a=4 또는 a=-3이므로 구하는 합은 1이다. (cid:9120) 1
(010~018)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:12 PM 페이지13 SinsagoHitec
본책 15~19쪽
0
1
제
곱
근
의
뜻
과
성
질
➊ 근호를 없앨 수 있다.
➋ 식을 간단히 할 수 있다.
60%
40%
0105 300x=2¤ _3_5¤ _x이므로 x=3_(자연수)¤ 꼴이어야
한다.
따라서 가장 작은 두 자리 자연수는(cid:100)(cid:100)x=3_2¤ =12
(cid:9120) ②
0098 a>0, ab<0에서(cid:100)(cid:100)b<0
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=2a_(-b)-{-(-3a)}_{- b}
=-2ab+ab=-ab
1
3
(cid:9120) -ab
0106 x=5_(자연수)¤ 꼴이어야 한다.
① 5=5_1¤
④ 45=5_3¤
② 10=5_2
⑤ 80=5_4¤
③ 20=5_2¤
(cid:9120) ②
0099 -x-1<0, 2-x>0이므로
(주어진 식)=-(-x-1)-(2-x)
0107
75
2
x=
3_5¤
2
_x이므로 x=2_3_(자연수)¤ 꼴이어
=x+1-2+x=2x-1
(cid:9120) ④
야 한다.
0100 a-2<0, 2-a>0이므로
(주어진 식)=-(a-2)+(2-a)=-2a+4
(cid:9120) ③
0101 x<1이므로(cid:100)(cid:100)x-1<0, x-3<0
∴ øπ(x-1)¤ +øπ(x-3)¤ =-(x-1)-(x-3)
의 5개이다.
=-2x+4=10
∴ x=-3
따라서 가장 작은 자연수는(cid:100)(cid:100)x=2_3=6
(cid:9120) ①
0108 18n=2_3¤ _n이므로 n=2_(자연수)¤ 꼴이어야 한다.
따라서 10…n<100인 n은
(cid:100)(cid:100)2_3¤ , 2_4¤ , 2_5¤ , 2_6¤ , 2_7¤
➊ x-1, x-3의 부호를 결정할 수 있다.
➋ 근호를 없앨 수 있다.
➌ 식을 간단히 할 수 있다.
➍ x의 값을 구할 수 있다.
0102 a-b>0, b-c>0, c-a<0이므로
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(a-b)+(b-c)-(c-a)
=2a-2c
(cid:9120) 2a-2c
0103 ㈀ x>1이면(cid:100)(cid:100)1+x>0, 1-x<0
∴ A=(1+x)+(1-x)=2
㈁ -10, 1-x>0
∴ A=(1+x)-(1-x)=2x
㈂ x<-1이면(cid:100)(cid:100)1+x<0, 1-x>0
∴ A=-(1+x)-(1-x)=-2
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다.
(cid:9120) ②
0104 a-b<0에서 a0
… ➊
따라서 3b>0, 2a-b<0이므로
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)="≈a¤ -"√(3b)¤ +"√(2a-b)¤
=-a-3b-(2a-b)
=-3a-2b
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) -3
40%
20%
20%
20%
0109
야 한다.
된다.
108a
5
=
2¤ _3‹ _a
5
이므로 a=3_5_(자연수)¤ 꼴이어
a의 값이 최소일 때, b의 값도 최소이므로 a+b의 값도 최소가
(cid:100)(cid:100)∴ (a의 최솟값)=3_5=15,
(b의 최솟값)="√2¤ _3› =2_9=18
(cid:100)(cid:100)∴ (a+b의 최솟값)=33
➊ a의 조건을 구할 수 있다.
➋ a, b의 최솟값을 구할 수 있다.
➌ a+b의 최솟값을 구할 수 있다.
0110 24a=2‹ _3_a이므로 a=2_3_(자연수)¤`` 꼴이어야 한다.
이때 0'3이므로(cid:100)(cid:100)-'5<-'3
③ 'ƒ0.01<'∂0.1이므로(cid:100)(cid:100)0.1<'∂0.1
1
1
④ Æ >Æ 이므로(cid:100)(cid:100)Æ >
3
2
⑤ 'ß35<'ß36이므로(cid:100)(cid:100)-'ß35>-'ß36(cid:100)(cid:100)∴ -'ß35>-6
1
4
1
3
(cid:9120) ③
0126 ⁄ 음수: '2<'3이므로(cid:100)(cid:100)-'2>-'3
¤ 양수: '6>'1이므로(cid:100)(cid:100)'6>1
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)'6>1>0>-'2>-'3
(cid:9120) '6, 1, 0, -'2, -'3
0127 ⁄ 음수: 'ß15<'ß16이므로(cid:100)(cid:100)-'ß15>-'ß16
(cid:100)(cid:100)∴ -'ß15>-4
1
3
1
9
1
3
1
¤ 양수: =Æ , '∂0.5=Æ 이므로(cid:100)(cid:100) <Æ <'∂0.5
2
1
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)-4<-'∂15< <Æ <'ß0.5
3
따라서 두 번째에 오는 수는 -'∂15이고, 네 번째에 오는 수는
1
Æ 이다.
(cid:9120) -'ß15, Æ
5
1
5
1
5
1
5
(010~018)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:12 PM 페이지15 SinsagoHitec
(cid:9120) ⑤
… ➊
40%
40%
20%
0128 ① -"‘(-5)¤ =-'∂25(cid:100)(cid:100)④ (-'7)¤ =7
(음수)<0<(양수)이므로 음수인 수의 대소를 비교하면
(cid:100)(cid:100)æ≠ <'∂25<'∂27(cid:100)(cid:100)∴ -æ≠ >-'∂25>-'∂27
1
10
1
10
(cid:100)(cid:100)∴ -æ≠ >-"√(-5)¤ >-'∂27
1
10
0129 ⁄ 음수: '∂0.8<'9<'ß10이므로
(cid:100) (cid:100)(cid:100)-'∂0.8>-3>-'ß10(cid:100)(cid:100)∴ a=-'ß10
¤ 양수: øπ(-4)¤ ='1å6이고, Æ <'ß16<'ß17이므로
9
2
본책 20~24쪽
0136 -'ß17<-'ƒ3x-1<-2에서
2<'ƒ3x-1<'ß17,(cid:100)(cid:100)2¤ <('ƒ3x-1 )¤ <('ß17)¤
5
4<3x-1<17(cid:100)(cid:100)∴ 1
a
1
⑤ æ >1
a
1
a
이때 >æ 이므로 의 값이 가장 크다.
1
a
1
a
a= 이라 하면 a¤ = , 'ßa= , =4, æ =2이
1
16
1
2
1
a
1
a
1
4
1
므로 a¤ 0
∴ (주어진 식)=-(3-'ß10)-('ß10-3)
=-3+'ß10-'ß10+3=0
0132 '1<'3<'4이므로(cid:100)(cid:100)1<'3<2
∴ 1-'3<0, 2-'3>0
∴ (주어진 식)=-(1-'3)+(2-'3)
=-1+'3+2-'3=1
0133 x+y=6+(4+'5)=10+'5>0
x-y=6-(4+'5)=2-'5<0
➊ x의 값의 범위를 구할 수 있다.
➋ x 중에서 3의 배수의 합을 구할 수 있다.
0138 '30, '8-3<0
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=(3-'8)+('8-3)+3+8=11 (cid:9120) 11
0135 5<'∂3n<6에서(cid:100)(cid:100)5¤ <('∂3n)¤ <6¤
25<3n<36(cid:100)(cid:100)∴ 0, -"≈A<0
이므로(cid:100)(cid:100)ab<0, a+b=0
이상에서 ㈀, ㈁, ㈂ 모두 옳다.
두 원의 넓이의 비가 2¤ : 3¤ 임을 이용하여 큰 원의 넓이
(cid:9120) 3
닮음비가 2 : 3이므로 두 원의 넓이의 비는
2¤ : 3¤ =4 : 9
두 원의 넓이를 각각 4xcm¤ , 9x cm¤ 라 하면
4x+9x=65p,(cid:100)(cid:100)13x=65p(cid:100)(cid:100)∴ x=5p
따라서 큰 원의 넓이는 9x=45p(cm¤ )이므로 큰 원의 반지름의
길이는 'ß45 cm이다.
(cid:9120) ⑤
두 닮은 평면도형의 닮음비가 m：n이면 넓이의 비는 m¤ ：n¤ 이다.
0150
k>0이면 "çk¤ =k, k<0이면 "çk¤ =-k임을 이용한다.
a<0이므로(cid:100)(cid:100)b="√(-a)¤ =-a
위의 식에서 -a>0, 즉 b>0이므로
(cid:100)(cid:100)c=-"ç16b¤ =-"√(4b)¤ =-4b=-4_(-a)=4a
∴ a-b+c=a-(-a)+4a=6a
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ④
0151
a의 값의 범위를 나누어 식의 값을 구한다.
⁄ aæ2일 때, a+2>0, a-2æ0이므로
(a+2)+(a-2)=4,(cid:100)(cid:100)2a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=2
¤ -2…a<2일 때, a+2æ0, a-2<0이므로
(cid:100)(cid:100)(a+2)-(a-2)=4(cid:100)(cid:100)∴ -2…a<2
‹ a<-2일 때, a+2<0, a-2<0이므로
(cid:100)(cid:100)-(a+2)-(a-2)=4,(cid:100)(cid:100)-2a=4(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
(cid:100) a=-2는 a<-2를 만족시키지 않는다.
이상에서(cid:100)(cid:100)-2…a…2
(cid:9120) -2…a…2
주어진 조건을 이용하여 a, b, c의 부호를 결정한다.
a(b-c)<0에서 조건 ㈎`에 의하여 b-c>0이므로
0152
(cid:100)(cid:100)a<0
조건 ㈎, ㈐`에 의하여(cid:100)(cid:100)c<0, b>0
따라서 a-b<0, c<0, a-b+c<0이므로
(주어진 식)=-(a-b)-c-(a-b+c)
=-a+b-c-a+b-c
(cid:9120) ⑤
0147
a>0일 때, a의 제곱근은 —'a, 제곱근 a는 'a이다.
=-2a+2b-2c
(cid:9120) -2a+2b-2c
36
③ Æ… =
49
6
7
⑤ '∂16=4를 2배 하면(cid:100)(cid:100)8='∂64
0148
-'a이다.
a>0일 때, a의 양의 제곱근은 'a, 음의 제곱근은
2
=
14
15
14
15
A=æ≠{- }
49
9
7
3
B=-øπ5.H4=-Æ… =-
14
∴ B÷A=- ÷ =- _ =-
15
15
14
7
3
7
3
5
2
(cid:9120) ③, ⑤
0153
짝수가 되도록 하는 x의 값을 정한다.
80, 180을 각각 소인수분해하여 소인수의 지수가 모두
⁄ 80x=2› _5_x이므로 x=5_(자연수)¤ 꼴이어야 한다.
¤
180
x
=
2¤ _3¤ _5
x
이므로 x는 180의 약수이면서
(cid:100) 5_(자연수)¤ 꼴이어야 한다.
⁄, ¤에서 가장 작은 두 자리 자연수는(cid:100)(cid:100)x=5_2¤ =20 (cid:9120) ③
(cid:9120) ②
0154
되도록 하는 n의 값을 정한다.
1200을 소인수분해하여 소인수의 지수가 모두 짝수가
16 정답 및 풀이
(010~018)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:12 PM 페이지17 SinsagoHitec
1200
n
=
2› _3_5¤
n
=
3_20¤
n
이므로
n=3_a¤ (a는 20의 약수) 꼴이어야 한다.
20=2¤ _5이므로 20의 약수의 개수는
(cid:100)(cid:100)(2+1)_(1+1)=6
따라서 자연수 n의 개수는 6이다.
자연수 n의 값은 다음과 같다.
(cid:100)(cid:100)3_1¤ =3, 3_2¤ =12, 3_4¤ =48,
3_5¤ =75, 3_10¤ =300, 3_20¤ =1200
자연수 A가 aμ _b« (a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)으로
소인수분해될 때, A의 약수의 개수는 (m+1)_(n+1)이다.
0155
도록 하는 xy의 값을 정한다.
24를 소인수분해하여 소인수의 지수가 모두 짝수가 되
24xy=2‹ _3_xy에서 xy=2_3_(자연수)¤` 꼴이어야
하므로(cid:100)(cid:100)xy=2_3, 2_3_2¤ (∵ 1…xy…36)
따라서 x, y의 순서쌍 (x, y)는
⁄ xy=2_3=6인 경우: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)의 4개
¤ xy=2_3_2¤ =24인 경우: (4, 6), (6, 4)의 2개
⁄, ¤에서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100) =
6
36
1
6
(사건 A가 일어날 확률)=
(사건 A가 일어나는 경우의 수)
(모든 경우의 수)
'ƒx+52가 가장 작은 자연수가 되어야 하므로
x+52=64(cid:100)(cid:100)∴ x=12
'ƒ97-y가 가장 큰 자연수가 되어야 하므로
97-y=81(cid:100)(cid:100)∴ y=16
∴ x+y=28(cid:100)
1
'ßa
1
a
0157
01(cid:100)(cid:100)∴ a<
1
a
㈁ 0<'ßa<'1이므로(cid:100)(cid:100)0<'ßa<1(cid:100)(cid:100)∴ 'ßa-1<0
㈂ 01이므로(cid:100)(cid:100)a¤ <
㈃ a-1<0이므로(cid:100)(cid:100)"√(a-1)¤ =-(a-1)=1-a
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁, ㈃의 3개이다.
1
'ßa
1
'ßa
0
1
제
곱
근
의
뜻
과
성
질
본책 24~27쪽
10이면 "“k¤ =k, k<0이면 "“k¤``=-k임을 이용한다.
5x+6>3x+12에서(cid:100)(cid:100)2x>6(cid:100)(cid:100)∴ x>3
(cid:9120) 28
따라서 x+3>0, 2x>0, 3-x<0이므로
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=øπ{3(x+3)}¤ -øπ(2x)¤ +øπ(3-x)¤
=3(x+3)-2x-(3-x)
=2x+6
➊ x의 값의 범위를 구할 수 있다.
➋ x+3, 2x, 3-x의 부호를 결정할 수 있다.
➌ 근호를 없앨 수 있다.
➍ 식을 간단히 할 수 있다.
0156
'ƒx+52는 가장 작은 자연수, 'ƒ97-y는 가장 큰 자연수가 되어야 한다.
'ƒx+52-'ƒ97-y가 가장 작은 정수가 되려면
➊ A의 넓이를 구할 수 있다.
➋ A의 한 변의 길이를 구할 수 있다.
제곱근의 정의를 이용하여 식을 세우고, a>0, b>0,
0158
x>0일 때, a<'ßxa, x<-b일 때, x-a>0, x+b<0이므로
(cid:9120) ④
0163
x의 값의 범위를 나누어 a, b의 값을 구한다.
⁄ x>a, x>-b일 때, x-a>0, x+b>0이므로
01 제곱근의 뜻과 성질 17
(010~018)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:12 PM 페이지18 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)(x-a)-2(x+b)=-x-a-2b
따라서 n=20이므로 주사실의 넓이는(cid:100)(cid:100)56-20=36
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) x+5
50%
20%
30%
… ➌
(cid:9120) 3a-1
40%
40%
20%
(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴ -x-a-2b+3x-9
‹ x-b일 때, x-a<0, x+b>0이므로
(cid:100)(cid:100)-(x-a)+2(x+b)=x+a+2b
(cid:100)(cid:100)∴ x+a+2b+3x-9
› x0이므로
바르게 본 식은 x-7<0이다.
➊ x의 값의 범위를 나누어 a, b 사이의 관계식을 구할 수 있다.
➋ a, b의 값을 구할 수 있다.
➌ 바르게 계산한 식을 구할 수 있다.
0164
을 이용한다.
1
a
1
{a+ }
a
1
¤ -4={a- }
a
1
¤ , {a- }
a
1
¤ +4={a+ }
a
¤ 임
01
∴ -1>0, a- <0, a+ >0
… ➊
∴ (주어진 식)={ -1}+2{a- }+{a+ } … ➋
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
1
a
=3a-1
1
➊ -1, a- , a+ 의 부호를 결정할 수 있다.
a
1
a
1
a
➋ 근호를 없앨 수 있다.
➌ 식을 간단히 할 수 있다.
1
æ≠{a+ }
a
1
¤ -4=æ≠{a¤ +2+ }-4= æ≠a¤ -2+ =æ≠{a- }
a
1
æ≠{a- }
a
¤1
¤ +4=æ≠{a¤ -2+ }+4= æ≠a¤ +2+ =æ≠{a+ }
a
1
a¤
1
a¤
1
a¤
1
a¤
0165
의 값을 정한다.
'∂20n, '∂56-n이 모두 자연수가 되도록 하는 자연수 n
진료실과 주사실의 한 변의 길이는 각각 '∂20n, '∂56-n이
고, 모두 자연수이다.
'∂20n=øπ2¤ _5_n이므로 n=5_(자연수)¤`` 꼴이어야 한다.
∴ n=5, 20, 45, y
56-n은 56보다 작은 제곱수이어야 하므로
56-n=1, 4, 9, 16, 25, 36, 49
∴ n=55, 52, 47, 40, 31, 20, 7
… ➊
… ➋
18 정답 및 풀이
➊ '∂20n이 자연수가 되도록 하는 n의 값을 구할 수 있다.
➋ 'ƒ56-n이 자연수가 되도록 하는 n의 값을 구할 수 있다.
➌ 주사실의 넓이를 구할 수 있다.
0166
식을 간단히 한 후, 대소를 비교한다.
k>0이면 "“k¤ =k, k<0이면 "“k¤ =-k임을 이용하여
a-1<0이므로(cid:100)(cid:100)"‘(a-1)¤ =-(a-1)=1-a
1-b>0이므로(cid:100)(cid:100)"‘(1-b)¤ =1-b
ab-1<0이므로(cid:100)(cid:100)"‘(ab-1)¤ =-(ab-1)=1-ab
1
a>0이므로(cid:100)(cid:100)
a
=
b>0이므로(cid:100)(cid:100)
… ➊
1
"≈a¤
1
"≈b¤
=
1
b
이때 0 >1이므로(cid:100)(cid:100)1<
"≈a¤
(cid:100)(cid:100)∴ "‘(1-b)¤ <"‘(a-1)¤ <"‘(ab-1)¤ <
1
"≈b¤
1
a
1
b
<
따라서 작은 것부터 나열할 때, 세 번째에 오는 식은
(cid:100)(cid:100)"‘(ab-1)¤ =1-ab
1
"≈b¤
<
… ➋
1
"≈a¤
➊ 주어진 식의 부호를 결정할 수 있다.
➋ 주어진 식의 대소를 비교할 수 있다.
➌ 세 번째에 오는 식을 간단히 할 수 있다.
0167
부등식의 각 변을 제곱하여 x의 값의 범위를 구한다.
2n-1<'ßx<2n+1에서
(cid:100)(cid:100)(2n-1)¤ 0
(cid:100)(cid:100)∴ '6-8>'5-8
0192 (-'3+'ß10)-(-2+'ß10 )=-'3+2
=-'3+'4>0
∴ -'3+'ß10>-2+'ß10
0193 Æ = , -"√(-6)¤ =-6은 유리수이다.
1
9
1
3
0197 ㈀ (무리수)+(유리수)=(무리수)이므로 a+1은 무리
(cid:100) 수이다.
㈁ a='2이면 (cid:100)(cid:100)a-'2='2-'2=0
㈂ (유리수)_(무리수)=(무리수)((유리수)+0)이므로 2a는
무리수이다.
㈃ a='3이면(cid:100)(cid:100)'3a='3_'3=3
㈄ a='2이면(cid:100)(cid:100)('2)¤ =2
이상에서 항상 무리수인 것은 ㈀, ㈂`이다.
(cid:9120) ㈀, ㈂
0198 ① 소수는 유한소수와 무한소수로 이루어져 있다.
④ 순환하지 않는 무한소수는 무리수이다.
⑤ 순환소수는 무한소수이지만 유리수이다.
(cid:9120) ②, ③
0199 ④ '2å5=5와 같이 근호 안의 수가 제곱수이면 유리수이
(cid:100)다.
(cid:9120) ④
0200 ㈂ 근호 안의 수가 제곱수이면 유리수이다.
㈄ 순환소수는 유한소수로 나타낼 수 없지만 유리수이다.
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁, ㈃이다.
(cid:9120) ㈀, ㈁, ㈃
따라서 무리수는 -'∂0.4, 5+'2의 2개이다.
(cid:9120) ②
0194 각 정사각형의 한 변의 길이를 구해 보면 다음과 같다.
① '2
④ 'ß24
② '6
⑤ 2'2
③ 'ß16=4
(cid:9120) ③
0201 ④ 무리수는 기약분수로 나타낼 수 없다.
(cid:9120) ④
0202 ② 순환하지 않는 무한소수는 무리수이고 실수이다.
⑤ 실수 중 정수가 아닌 수는 유리수 또는 무리수이다. (cid:9120) ②, ⑤
02 무리수와 실수 19
(cid:9120) '5
(cid:9120) <
(cid:9120) <
(cid:9120) >
(cid:9120) >
(019~024)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:13 PM 페이지20 SinsagoHitec
안에 알맞은 것은 무리수이다.
25
② Ƭ =
4
5
2
0203
① '∂0.16=0.4
2
③ - =-
'9
2
3
④ 3-'4=3-2=1
(cid:9120) ⑤
0214 (cid:8772)ABCD=3_3-4_{ _2_1}=5이므로
(cid:100)(cid:100)AP”=AB”='5, AQ”=AD”='5
따라서 P(-1+'5), Q(-1-'5)이므로
(cid:100)(cid:100)(-1+'5)+(-1-'5)=-2
1
2
1
2
0204 ② 무리수는 순환소수로 나타낼 수 없다.
③ 실수 중 무리수가 아닌 수는 유리수이다.
④ ;2!;은 정수가 아니지만 유리수이다.
⑤ 정수는 유리수이다.
0205 a=2.373, b=5.83이므로
(cid:100)(cid:100)1000a-100b=2373-583=1790
0206 a=5.874, b=5.718이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=11.592
0207 a=6.01, b=6.14이므로
(cid:100)(cid:100)100(a-b)=100_(6.01-6.14)=-13
0208 AQ”=AC”='2, BP”=BD”='2
② 점 Q의 좌표는 1+'2이다.
③ (2-'2)+(1+'2)=3
④ AQ”='2
⑤ PA”=PB”-AB”='2-1
(cid:9120) ①
(cid:9120) ③
(cid:9120) 11.592
(cid:9120) -13
(cid:9120) -2
… ➊
… ➋
(cid:9120) -2+'ß10
50%
50%
0215 (cid:8772)ABCD=4_4-4_{ _3_1}=10이므로
(cid:100)(cid:100)AB”='ß10
AP”=AB”='ß10이므로 점 P에 대응하는 수는
(cid:100)(cid:100)-2+'ß10
➊ AB”의 길이를 구할 수 있다.
➋ 점 P에 대응하는 수를 구할 수 있다.
0216 (색칠한 정사각형의 넓이)=3_3-4_{;2!;_2_1}=5
이므로 정사각형의 한 변의 길이는 '5이다.
따라서 A(1-'5), B(2-'5), C(1+'5), D(2+'5)이므로
(cid:100)(cid:100)(1-'5)+(2-'5)+(1+'5)+(2+'5)=6
(cid:9120) 6
점 A(a)와 점 C(c), 점 B(b)와 점 D(d)는 각각 1, 2
에 대응하는 점에 대하여 대칭이므로
(cid:100)(cid:100)
=1,
=2(cid:100)(cid:100)∴ a+c=2, b+d=4
a+c
2
b+d
2
0209 1-'2는 1에서 왼쪽으로 '2 만큼 이동한 점 C에 대응한
다.
(cid:9120) 점 C
0217 오른쪽 그림과 같이
BC”를 한 변으로 하는 정사각
(cid:9120) ①, ③
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d=6
0210 P(-3+'2), Q(1-'2)이므로
(cid:100)(cid:100)p=-3+'2, q=1-'2
(cid:100)(cid:100)∴ p+q=-2
0211 A(-1-'2), D(2+'2)
따라서 좌표를 바르게 나타낸 점은 B, C이다.
(cid:9120) -2
(cid:9120) ③
0212 BP”=BD”='2이고 P(4-'2)이므로(cid:100)(cid:100)B(4)
AB”=1이므로(cid:100)(cid:100)A(3)
따라서 AQ”=AC”='2이고 A(3)이므로(cid:100)(cid:100)Q(3+'2)
0213 오른쪽 그림에서
OP”=OD”='2이므로 점 P의 좌표
는(cid:100)(cid:100)2-'2
… ➊
OQ”=OC”='2이므로 점 Q의 좌표
는(cid:100)(cid:100)2+'2
… ➋
D
A
1
P
O
2
C
B
3
Q
(cid:9120) P(2-'2), Q(2+'2)
D
C
A
-3 -2 -1
P
0
1
2
3
4
형 BEDC를 그리면
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)BEDC
=3_3-4_{;2!;_1_2}
=5
이므로(cid:100)(cid:100)BC”='5
따라서 BP”=BC”='5이므로 점 P에 대응하는 수는
(cid:100)(cid:100)2-'5
E
B
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 2-'5
50%
20%
30%
➊ BC”를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 구할 수 있다.
(cid:9120) 3+'2
➋ BC”의 길이를 구할 수 있다.
➌ 점 P에 대응하는 수를 구할 수 있다.
0218 ③ 정수 0과 1 사이에는 정수가 하나도 없다.
⑤ 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수에 대응하는 점으로 완전히
(cid:9120) ③, ⑤
메울 수 있다.
0219 ① 1에 가장 가까운 유리수는 찾을 수 없다.
③ '3과 '5 사이에는 정수 2가 있다.
④ ;1¡2;과 ;1¶2; 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.
50%
50%
(cid:9120) ②, ⑤
➊ 점 P의 좌표를 구할 수 있다.
➋ 점 Q의 좌표를 구할 수 있다.
20 정답 및 풀이
(019~024)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:13 PM 페이지21 SinsagoHitec
0220 ㈀ '7<3<'∂10이므로 '7과 '∂10 사이에는 1개의 자연
⑤ ('ß15-'ß17)-(-'ß17+4)='ß15-4='ß15-'ß16<0
<
∴ 'ß15-'ß17 -'ß17+4
(cid:9120) ④
수가 있다.
㈁ 1과 2 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂, ㈃의 3개이다.
본책 31~36쪽
0221 영배: 1에 가장 가까운 무리수는 알 수 없다.
민지: 모든 무리수는 각각 수직선 위의 한 점에 대응한다.
따라서 옳지 않은 설명을 한 학생은 영배, 민지이다.
(cid:9120) ②
0222 1<'2<2이므로
㈁ x=1의 1개
㈃ x=-1, 0, 1의 3개
이상에서 x의 값이 무수히 많은 것은 ㈀, ㈂, ㈄의 3개이다.
0223 ① ('5-1)-1='5-2='5-'4>0
∴ '5-1>1
② ('ß11-2)-(-2+'ß10)='ß11-'ß10>0
∴ 'ß11-2>-2+'ß10
③ (2-'3)-('6-'3)=2-'6='4-'6<0
④ ('7+3)-('7+'8)=3-'8='9-'8>0
∴ 2-'3<'6-'3
∴ '7+3>'7+'8
1
⑤ {5-Æ }-{5-Æ }=-Æ +Æ >0
5
1
5
1
6
1
6
1
∴ 5-Æ >5-Æ
6
1
5
(cid:9120) ④
(cid:9120) 3
0226 ㈀ (2+'5)-(2+'6)='5-'6<0
㈁ ('8-'7)-(3-'7)='8-3='8-'9<0
∴ 2+'5<2+'6
∴ '8-'7<3-'7
㈂ (-'∂12-1)-(-'∂12-'2)=-1+'2>0
∴ -'∂12-1>-'∂12-'2
㈃ (-4+'∂10)-(-4+'8)='∂10-'8>0
∴ -4+'∂10>-4+'8
이상에서 옳은 것은 ㈁, ㈂이다.
0
2
무
리
수
와
실
수
(cid:9120) ③
0227 ('a-'b)¤ =a-2'∂ab+b이고 a-b>0이므로 … ➊
(cid:100)(cid:100)('ƒa-b )¤ -('a-'b)¤ =(a-b)-(a-2'∂ab+b)
=2'∂ab-2b
=2('∂ab-"≈b¤ )>0
(cid:100)(cid:100)∴ ('ƒa-b )¤ >('a-'b)¤
이때 'ƒa-b>0, 'a-'b>0이므로
(cid:100)(cid:100)'ƒa-b>'a-'b
… ➌
(cid:9120) 'ƒa-b >'a-'b
➊ ('a-'b`)¤ 을 전개할 수 있다.
➋ ('ƒa-b`)¤ 과 ('a-'b`)¤ 의 대소 관계를 나타낼 수 있다.
➌ 'ƒa-b와 'a-'b의 대소 관계를 나타낼 수 있다.
30%
50%
20%
0224 ① 3-('5+1)=2-'5='4-'5<0
② ('ß10-3)-1='ß10-4='ß10-'ß16<0
∴ 3<'5+1
∴ 'ß10-3<1
∴ 6-'8<4
∴ 2>'7-1
∴ 'ß20-4<1
③ (6-'8)-4=2-'8='4-'8<0
④ 2-('7-1)=3-'7='9-'7>0
⑤ ('ß20-4)-1='ß20-5='ß20-'ß25<0
0225 ① ('2-5)-('3-5)='2-'3<0
<
∴ 2
'3-5
∴ '2-5
<
② 2-('ß10-1)=3-'ß10='9-'ß10<0
'ß10-1
③ ('ß12+1)-('ß14+1)='ß12-'ß14<0
<
④ (6-'2)-"√(-4)¤ =2-'2='4-'2>0
∴ 'ß12+1
'ß14+1
∴ 6-'2
>
"√(-4)¤
두 실수 A, B의 대소 관계는 제곱의 차의 부호로도 알 수 있다.
A>0, B>0일 때
① A¤ -B¤ >0이면(cid:100)(cid:100)A>B
② A¤ -B¤ =0이면(cid:100)(cid:100)A=B
③ A¤ -B¤ <0이면(cid:100)(cid:100)A0이므로(cid:100)(cid:100)a>c
b-c=(5-'2)-4=1-'2<0이므로(cid:100)(cid:100)b0
⑵ A-C=('5+3)-(3+'6)='5-'6<0
∴ A>B
∴ AB(cid:100)⑵ A0이므로
(cid:100)(cid:100)4-'5>4-'6
(cid:100)(cid:100)∴ 4-'6<4-'5<2
따라서 2가 가장 큰 수이므로 B의 넓이가 가장 크다.
따라서 -'7은 점 A에 대응하는 수이므로(cid:100)(cid:100)a=-'7
1<'3<'4에서(cid:100)(cid:100)1<'3<2
2+1<2+'3<2+2(cid:100)(cid:100)∴ 3<2+'3<4
따라서 2+'3은 점 D에 대응하는 수이므로(cid:100)(cid:100)b=2+'3
(cid:9120) B
∴ a¤ -b=(-'7)¤ -(2+'3)=5-'3
(cid:9120) ④
1<'3<2, -2<1-'5<-1이므로 '3, 1-'5는 각각
점 C, 점 B에 대응하는 수이다.
0231 -1-'5`는 음수이고, '3+'5, 1+'5, 3은 양수이다.
('3+'5)-(1+'5)='3-1>0이므로
(1+'5)-3=-2+'5=-'4+'5>0이므로
'3+'5>1+'5
1+'5>3
(cid:100)(cid:100)∴ '3+'5>1+'5>3>-1-'5
따라서 세 번째 오는 수는 3이다.
0232 00, B>0, C>0이다.
A-B=(1-a)-(1-'a`)='a-a>0이므로(cid:100)(cid:100)A>B
A¤ -C¤ =(1-a)¤ -('ƒ1-a`)¤ =(1-2a+a¤ )-(1-a)
=a¤ -a<0
이므로(cid:100)(cid:100)A¤ 3
③ '∂7.29=øπ2.7¤ =2.7은 유리수이다.
=0.177<'7
④
3-'7
2
3+'7
2
<3
⑤ '7<
따라서 조건을 만족시키는 수는 ①, ⑤이다.
0241 ② '2+2=3.414>'6
④ '2와 '6 사이의 정수는 2뿐이다.
{
_3_1
4_4-4_
0242 색칠한 정사각형의 넓이는
1
2
=10
}
따라서 점 P에 대응하는 수는 '1å0이므로(cid:100)(cid:100)a='1å0
㈀ '1å0<'1å2<'1å6
㈁ '5+;2!;=2.736<'1å0
㈂ '∂12.25="‘3.5¤ =3.5는 유리수이다.
㈃ '1å00이므로
"√(a+b)¤ =a+b='7+1
이때 2<'7<3이므로 이상에서 가장 큰 수는 ⑤이다.
(cid:9120) ⑤
2<'7<3이므로
(cid:100)(cid:100)1<'7-1<2, 0<3-'7<1, 3<'7+1<4
∴ 3-'7<'7-1<2<'7<'7+1
0249
하여 의 값을 구한다.
<1, 2>=2, <2, 3>=4, <3, 4>=6, …임을 이용
(cid:9120) ㈁
<1, 2>=2, <2, 3>=4, <3, 4>=6, y이므로
(cid:100)(cid:100)=2n
(cid:100)(cid:100)∴ <2015, 2016>=2_2015=4030
(cid:9120) 4030
2015='∂ 4060225, 2016='∂ 4064256이므로 2015,
2016 사이에 대응하는 점의 개수는
(cid:100)(cid:100)<2015, 2016>=4064256-4060225-1
=4030
0
2
무
리
수
와
실
수
(cid:100)(cid:100)2p_ =p(cid:100)(cid:100)∴ a=p
1
2
① p는 무리수이다.
② p-p=0은 유리수이다.
④ 2p는 무리수이다.
n
m
낼 수 없다.
0246
을 이용한다.
⑤ p-1은 무리수이므로 (m, n은 정수, m+0) 꼴로 나타
① 실수 x는 무수히 많다.
0250
'5, '∂19와 가장 가까운 정수를 각각 찾는다.
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2`임
정사각형 ABCD의 대각선의 길이는 '2이므로
(cid:100)(cid:100)BD”=BP”='2(cid:100)(cid:100)∴ p=b-'2
㈀ p='2이면 a='2+'2-1, b='2+'2이다.
㈁ p가 유리수이면 (유리수)+'2=(무리수)이므로 b는 무리수이
고, (무리수)-1=(무리수)이므로 a도 무리수이다.
㈂ a가 유리수이면 (유리수)+1=(유리수)이므로 b는 유리수이
고, (유리수)-'2=(무리수)이므로 p는 무리수이다.
이상에서 옳은 것은 ㈁, ㈂`이다.
(cid:9120) ⑤
0247
다.
넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이는 'a임을 이용한
PA”=PR”='5이므로 점 A에 대응하는 수는
a=-1-'5
QB”=QS”='2이므로 점 B에 대응하는 수는
b=2+'2
∴ (a+1)¤ +(b-'2)¤ =(-'5)¤ +2¤ =5+4=9
0248
이용하여 근호를 없앤 후, a, b의 값을 대입한다.
Aæ0일 때"ç A¤ =A이고, A<0일 때 "çA¤ =-A임을
① a+1=('7-1)+1='7
② a='7-1>0이므로(cid:100)(cid:100)-a<0
∴ "√(-a)¤ =a='7-1
③ -b<0이므로(cid:100)(cid:100)"√(-b)¤ =b=2
(cid:9120) ③
② 2<'5<3, 4<'1å9<5이므로 정수는 3, 4의 2개이다.
③ 유리수 x는 무수히 많다.
④ 1<'3<2에서(cid:100)(cid:100)3<'3+2<4
'5<3, 4<'1å9이므로(cid:100)(cid:100)'5<'3+2<'1å9
⑤ 무리수 x는 무수히 많다.
따라서 옳은 것은 ②, ④이다.
(cid:9120) ②, ④
0251
개수를 구한다.
먼저 'ßn, '∂3n, '∂5n이 각각 유리수가 되도록 하는 n의
⁄ 'ßn이 유리수가 되도록 하는 n은
¤ (cid:100)(cid:100)1¤ , 2¤ , y, 22¤ 의 22개
¤ '∂3n이 유리수가 되도록 하는 n은
¤ (cid:100)(cid:100)3_1¤ , 3_2¤ , y, 3_12¤ 의 12개
‹ '∂5n이 유리수가 되도록 하는 n은
¤ (cid:100)(cid:100)5_1¤ , 5_2¤ , y, 5_10¤ 의 10개
이상에서 구하는 n의 개수는
(cid:100)(cid:100)500-(22+12+10)=456
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) 456
(cid:9120) 9
➊ 'ßn이 유리수가 되도록 하는 n의 개수를 구할 수 있다.
➋ '∂3n이 유리수가 되도록 하는 n의 개수를 구할 수 있다.
➌ '∂5n이 유리수가 되도록 하는 n의 개수를 구할 수 있다.
➍ 'ßn, '∂3n, '∂5n이 무리수가 되도록 하는 n의 개수를 구할 수 있다.
30%
30%
30%
10%
0252
을 이용하여 두 점 A, B에 대응하는 수를 구한다.
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2임
AP”=AC”='2이므로 점 A에 대응하는 수는
(cid:100)(cid:100)('2-2)-'2=-2
… ➊
02 무리수와 실수 23
(019~024)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:13 PM 페이지24 SinsagoHitec
이때 (cid:8772)ABCD는 한 변의 길이가 1인 정사각형이므로 점 B에
대응하는 수는(cid:100)(cid:100)-2+1=-1
BQ”=BD”='2이므로 점 Q에 대응하는 수는
-1-'2
… ➋
➊ a+b, a-b의 부호를 결정할 수 있다.
➋ 주어진 식의 근호를 없앨 수 있다.
➌ 주어진 식의 값을 구할 수 있다.
0256
먼저 음수와 양수로 나눈 후, 각각의 대소를 비교한다.
⁄ 음수: -'6-'2, -'5
'6>'5이므로(cid:100)(cid:100)-'6<-'5
∴ -'6-'2<-'5
¤ 양수: '5+3, '6+'5, 2+'5
('5+3)-('6+'5)=3-'6='9-'6>0이므로
(cid:100)(cid:100)'5+3>'6+'5
('6+'5)-(2+'5)='6-2='6-'4>0이므로
(cid:100)(cid:100)'6+'5>2+'5
(cid:100)(cid:100)∴ 2+'5<'6+'5<'5+3
⁄, ¤에서
(cid:100)(cid:100)-'6-'2<-'5<2+'5<'6+'5<'5+3
수를 수직선 위에 나타낼 때, 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 큰 수
이므로 오른쪽에서 두 번째에 오는 수는 '6+'5이고, 왼쪽에서
두 번째에 오는 수는 -'5이다.
… ➌
(cid:9120) '6+'5, -'5
40%
30%
30%
… ➊
… ➋
20%
50%
30%
직각을 낀 두 변의 길이가 1인 직각이등변삼각형의 빗
➋ 양수의 대소 관계를 나타낼 수 있다.
➊ 음수의 대소 관계를 나타낼 수 있다.
➌ 답을 구할 수 있다.
AC”는 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이와 같
0253
한다.
넓이가 a인 정사각형의 한 변의 길이는 'a임을 이용
… ➌
(cid:9120) -1-'2
40%
20%
40%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 4
40%
40%
20%
… ➊
… ➌
(cid:9120) 3+'2
20%
50%
30%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 10
➊ 점 A에 대응하는 수를 구할 수 있다.
➋ 점 B에 대응하는 수를 구할 수 있다.
➌ 점 Q에 대응하는 수를 구할 수 있다.
(cid:8772)OABC= _(4_4)=8이므로
1
2
BP”=BA”='8, OQ”=OC”='8
따라서 p=4-'8, q='8이므로
p+q=4
➊ BP”, OQ”의 길이를 구할 수 있다.
➋ p, q의 값을 구할 수 있다.
➌ p+q의 값을 구할 수 있다.
0254
변의 길이는 '2임을 이용한다.
으므로
(cid:100)(cid:100)“AC='2
이때 점 C는 다음 그림과 같이 이동한다.
A
A'
따라서 점 C'에 대응하는 수는
(cid:100)(cid:100)1+'2+1+1=3+'2
➊ AC”의 길이를 구할 수 있다.
➋ 점 C가 이동하는 경로를 그릴 수 있다.
➌ 점 C'에 대응하는 수를 구할 수 있다.
B
C
¸2
1
B'
1
C'
… ➋
0255
이용하여 근호를 없앤다.
Aæ0일 때 "çA¤ =A이고, A<0일 때 "çA¤ =-A임을
a+b=5+('∂10+2)=7+'∂10>0
a-b=5-('∂10+2)=3-'∂10='9-'∂10<0
(cid:100)(cid:100)∴ "√(a+b)¤ -"√(a-b)¤ =a+b+(a-b)
=2a
=2_5=10
24 정답 및 풀이
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지25 SinsagoHitec
03
근호를 포함한 식의 계산 ⑴
0257 (cid:9120) '∂10
0258 (cid:9120) 2'∂42
0259 (cid:9120) 15'∂10
0261 (cid:9120) 3
0263 (cid:9120) 10
0260 Ƭ _ƅ =ƅ _ ='4=2
5
3
12
5
5
3
12
5
(cid:9120) 2
0262 (cid:9120) 5
=
'6
'6_'6
=
'6
6
=
10_'5
'5_'5
=
10'5
5
=2'5
=
'2_'7
'7_'7
=
'ß14
7
1
'6
10
'5
'2
'7
0281
0282
0283
0284
9
2'3
=
9_'3
2'3_'3
=
9'3
6
=
3'3
2
0264 'ß28="√2¤ _7=2'7
0265 'ß32="√4¤ _2=4'2
0266 -'ß50=-"√5¤ _2=-5'2
0267 -'ß48=-"√4¤ _3=-4'3
0268 2'6="√2¤ _6='ß24
0269 5'5="√5¤ _5='∂125
0270 -3'∂10=-"√3¤ _10=-'∂90
0271 -7'2=-"√7¤ _2=-'ƒ98
0272
=æ≠;1&1&;='7
'∂77
'ß11
0273 'ß40÷'8=
40
=Æ… ='5
8
'ß40
'8
'ß72
'2
0274 'ß72÷'2=
=Æ… ='ß36=6
72
2
0275 (cid:9120) ㈎ 5(cid:100)㈏ 3(cid:100)㈐ 5
0276 (cid:9120) ㈎ 90(cid:100)㈏ 2(cid:100)㈐ 10(cid:100)㈑ 10
7
0277 Ƭ =Ƭ =
9
7
3¤
'7
3
0278 Æ…
62
200
=Æ…
31
100
=Æ…
31
10¤
=
'ß31
10
0279 '∂0.03=Æ…
3
100
=Æ…
3
10¤
=
'3
10
0280 '∂0.12=Æ…
12
100
=æ≠
2¤ _3
10¤
=
2'3
10
=
'3
5
(cid:9120) 2'7
(cid:9120) 4'2
(cid:9120) -5'2
(cid:9120) -4'3
(cid:9120) 'ß24
(cid:9120) '∂125
(cid:9120) -'∂90
(cid:9120) -'ƒ98
(cid:9120) '7
(cid:9120) '5
(cid:9120) 6
(cid:9120)
'7
3
(cid:9120)
'ß31
10
(cid:9120)
'3
10
(cid:9120) '3
5
0285 3'3_{-Æ }_(-2'5)=6Æ…3_ _5
7
5
7
5
=6'ß21
6
0286 ④ Æ _Æ =Æ… _ ='3
5
6
5
5
2
5
2
0287 'ƒ0.15_'∂0.6='ƒ0.15_0.6='ƒ0.09=0.3
6
0288 Æ _Æ… =Æ… _ ='4=2(cid:100)(cid:100)∴ a=2
5
10
3
10
3
6
5
7
Æ _5Æ… =5Æ… _ =5(cid:100)(cid:100)∴ b=5
4
8
14
8
14
7
4
∴ ab=2_5=10
0289 2_'3_'ßk=2'ß3k, '2_'ß18='ß36=6이므로
2'ß3k=6,(cid:100)(cid:100)'ß3k=3,(cid:100)(cid:100)3k=9
(cid:100)(cid:100)∴ k=3
0290 '2_'3_'ßa_'ß18_'ß3a='ƒ2_3_a_18_3a
="√18¤ _a¤ ="√(18a)¤
=18a (∵ a>0)
따라서 18a=36이므로(cid:100)(cid:100)a=2
➊ 주어진 식의 좌변을 간단히 할 수 있다.
➋ a의 값을 구할 수 있다.
0291 'ß32="√4¤ _2=4'2(cid:100)(cid:100)∴ a=4
'ß75="√5¤ _3=5'3(cid:100)(cid:100)∴ b=5
∴ '∂ab='ƒ4_5="√2¤ _5=2'5
0292 'ƒ600="√10¤ _6=10'6(cid:100)(cid:100)∴ x=10
'∂112="√4¤ _7=4'7(cid:100)(cid:100)∴ y=4
(cid:100)(cid:100)∴ x-y=6
0293 ① '∂28="√2¤ _7=2'7(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8641)=2
② -'∂40=-"‘2¤ _10=-2'∂10(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8641)=10
√_5=4'5(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8641)=4
③ '∂80="√4¤
√_11=3'∂11(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8641)=11
④ '∂99="√3¤
본책 39~43쪽
(cid:9120)
'6
6
(cid:9120) 2'5
(cid:9120)
'ß14
7
(cid:9120)
3'3
2
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ④
(cid:9120) ②
(cid:9120) 10
(cid:9120) 3
… ➊
… ➋
(cid:9120) 2
70%
30%
(cid:9120) 2'5
(cid:9120) ③
03 근호를 포함한 식의 계산 ⑴ 25
0
3
근
호
를
포
함
한
식
의
계
산
⑴
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지26 SinsagoHitec
⑤ '∂108="√6¤
따라서 가장 큰 것은 ④이다.
√_3=6'3(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8641)=6
(cid:9120) ④
0303
'ß24
3'3
÷
÷
'ß12
'ß30
'ß15
3'6
3'6
'ß15
6
15
_
_
=
'ß24
'ß30
3'3
'ß12
30
24
=Æ… _ _
3
12
='8="‘2¤ _2
=2'2
0304 'ß20÷ ='ß20_ =2Æ…20_
1
5
2
'5
=2'4=4
의 4배이다.
'5
2
'5
2
'∂54
'3
54
=Æ… ='1å8
3
'2å8
'1å4
'3
'9
÷
14
9
0305 'a=
'b=Æ… ÷Æ… =
'b=Æ… _ ='6
9
14
28
3
28
3
∴ 'a÷'b='1å8÷'6='1å8_
1
'6
18
=Æ… ='3
6
=
_
'2å8
'3
'9
'1å4
0295 'ß15_'ß18_'ß20="√3_5_3¤ _2_2¤ _5=30'6
따라서 'ß20은
∴ a=30
0294 '∂54="√3¤ _6=3'6(cid:100)(cid:100)∴ a=6
'∂180="‘6¤ _5=6'5(cid:100)(cid:100)∴ b=5
'∂1000="‘10¤ _10=10'∂10(cid:100)(cid:100)∴ c=10`
6_10
='∂12
5
="√2¤ _3 =2'3
ac
∴ Æ… =Æ…
b
(cid:9120) ①
(cid:9120) 30
… ➊
… ➋
… ➌
30%
40%
30%
(cid:9120) ⑤
0296 ⑴ (cid:8772)EFGH=256_ =128
1
2
⑵ (cid:8772)EFGH의 넓이가 128이므로 한 변의 길이는
(cid:100)(cid:100)'1å2å8="√8¤ _2=8'2
(cid:100) 따라서 (cid:8772)EFGH의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)4_8'2=32'2
(cid:9120) ⑴ 128(cid:100)⑵ 32'2
➊ (cid:8772)EFGH의 넓이를 구할 수 있다.
➋ (cid:8772)EFGH의 한 변의 길이를 구할 수 있다.
➌ (cid:8772)EFGH의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
0297 ⑤ -2'7=-"√2¤ _7=-'ß28
0298 2'5='∂20, 4='1å6, 3'2='∂18이므로
4<'1å7<3'2<2'5
(cid:9120) 4, '1å7, 3'2, 2'5
0306 æ≠Æ ÷Æ… =æ≠ _'4å5 ="ç'9='3
1
5
1
45
➊ 'a의 값을 구할 수 있다.
➋ 'b의 값을 구할 수 있다.
➌ 'a÷'b의 값을 구할 수 있다.
1
'5
'1å4
3
'6
5
'3
4
14
9
2'6
10
=
28
0307 ㈁ Æ… =Æ… =
18
(cid:9120) 12
㈂ 'ƒ0.24=æ≠
24
100
=
㈃ -Æ… =-Æ… =-
3
16
9
48
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂이다.
15
108
0308 Æ…
5
=Æ… =
36
따라서 a=6, b=5이므로(cid:100)(cid:100)a+b=11
'5
6
0309 '∂0.4=Æ…
40
100
=
2'∂10
10
=
'∂10
5
(cid:9120) 25
(cid:9120) ⑤
∴ k=
1
5
0310 Æ…
3
121
'3
11
= , '∂0.75=Æ…
'3
6
3
121
(cid:9120) 24
'∂0.75> >Æ…
75
100
'3
=Æ = 이므로
2
3
4
(cid:9120) '∂0.75,
'3
6
, Æ…
3
121
0299 4'6="√4¤ _6='∂96 이므로
36+5x=96,(cid:100)(cid:100)5x=60
(cid:100)(cid:100)∴ x=12
4a
0300 aÆ… +bÆ… =Æ…a¤ _ +Æ…b¤ _
b
9b
a
9b
a
4a
b
='∂9ab+'∂4ab
=3'∂ab+2'∂ab
ab=25를 위의 식에 대입하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=3'∂25+2'∂25=15+10=25
0301 ①, ②, ③, ④ (cid:100)(cid:100)⑤
2
'5
'5
2
1
'ß40
'8
=3'2_ _'ß40
'5
8
5
=3Æ…2_ _40
=24'2
0302 3'2÷ ÷
'5
'8
3'2÷ ÷
∴ n=24
26 정답 및 풀이
(cid:9120) 2'2
(cid:9120) 4배
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) '3
30%
50%
20%
(cid:9120) ①
(cid:9120) ②
(cid:9120) ①
(cid:9120) ③
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지27 SinsagoHitec
이므로(cid:100)(cid:100)b=
… ➋
0318 '∂180="√2¤ _3¤ _5=('2)¤ _3_'5=3a¤ b
(cid:9120) ④
4
=Æ… =Æ (cid:100)(cid:100)∴ a=
5
8
10
4
5
0311
=
2'2
'ß10
'ß25
'ß12
5
2'3
=
'8
'ß10
25
12
=Æ… (cid:100)(cid:100)∴ b=
25
12
4
∴ ab= _ =
5
25
12
5
3
0312 Æ…
128
25
=
=
8'2
5
'ƒ0.0448=Æ…
448
10000
8'7
100
2'7
25
∴ =a_ = _ =20
a
b
'1å2å8
'2å5
=
1
b
8
5
=
25
2
이므로(cid:100)(cid:100)a=
… ➊
8
5
2
25
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ b의 값을 구할 수 있다.
➌
의 값을 구할 수 있다.
;bA;
32.9
100
0313 ① '∂3290='ƒ32.9_100=10'ƒ32.9=10_5.736=57.36
② 'ƒ329='ƒ3.29_100=10'ƒ3.29=10_1.814=18.14
'ƒ32.9
③ 'ƒ0.329=Æ…
10
'ƒ3.29
10
'ƒ32.9
100
⑤ 'ƒ0.00329=Æ…
④ 'ƒ0.0329=Æ…
=0.05736 (cid:9120) ⑤
32.9
10000
5.736
100
1.814
10
5.736
10
=0.5736
=0.1814
3.29
100
=
=
=
=
=
=
본책 43~47쪽
2.45
100
'ƒ24.5
10
0317 ① '0ƒ.0245=Æ…
=
'ƒ2.45
10
1
10
= a=0.1a
② 'ƒ0.245=Æ…
24.5
100
=
= b=0.1b
1
10
③ 'ƒ980='ƒ2.45_400=20'ƒ2.45=20a
④ 'ƒ2450='ƒ24.5_100=10'2∂4.5=10b
⑤ '2å4å5å0å0='ƒ2.45_10000=100'ƒ2.45=100a
(cid:9120) ③, ⑤
0319 'ß75-'ß98="√5¤ _3-"√7¤ _2=5'3-7'2
=-7x+5y
(cid:9120) ①
5
100¤
'∂50
100
0320 ① 'ƒ0.0005=Ƭ
=
'5
100
=
a
100
② 'ƒ0.005=Ƭ
50
100¤
=
=
b
100
50
10¤
'∂50
10
b
10
=
③ 'ƒ0.5=Ƭ =
④ '∂5000="√50_10¤ =10'∂50=10b
⑤ '∂50000="√5_100¤ =100'5=100a
0321 '∂300+'∂1.17="√3_10¤ +æ≠
3¤ _13
10¤
=10'3+
3'∂13
10
=10x+ y
3
10
0
3
근
호
를
포
함
한
식
의
계
산
⑴
0314 ① '∂172='ƒ1.72_100=10'ƒ1.72=10_1.311=13.11
② 'ƒ0.0194=Æ…1.94_
=0.1393
'ƒ1.94
10
1.393
10
1
100
=
=
따라서 a=10, b= 이므로
3
10
(cid:100)(cid:100)ab=3
③ '∂15400='ƒ1.54_10000=100'ƒ1.54=100_1.241=124.1
④ '∂190-1='ƒ1.9_100-1=10'ƒ1.9-1=10_1.378-1
=13.78-1=12.78
17.3
10000
'ƒ17.3
100
=
⑤ 'ƒ0.00173 =Æ…
져야 한다.
0315 'ƒ230=10'∂2å.3=10_1.517=15.17
따라서 'ƒ230과 가장 가까운 정수는 15이다.
이므로 'ƒ17.3 의 값이 주어
➊ 주어진 식을 ax+by 꼴로 정리할 수 있다.
➋ a, b의 값을 구할 수 있다.
➌ ab의 값을 구할 수 있다.
➊ 'ƒ230의 값을 구할 수 있다.
➋ 'ƒ230과 가장 가까운 정수를 구할 수 있다.
=
=
0316 ㈀ 'ƒ56000=100'∂5.6=100_2.366=236.6
'∂5.6
㈁ 'ƒ0.056=Æ…
10
'ß56
10
2.366
10
7.483
10
㈂ 'ƒ0.56=Æ…
㈃ 'ƒ5600=10'ß56=10_7.483=74.83
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂, ㈃이다.
5.6
100
56
100
=0.2366
=0.7483
=
=
0322 '∂ab='∂10k_100k="‘10¤ _k¤ _10=10k'∂10 (cid:9120) ③
0323 8=3+5=('3)¤ +('5)¤ =a¤ +b¤
∴ '8="√a¤ +b¤
(cid:100)(cid:100)∴ a=
0324
5
'ß48
=
=
2'2
'5
5
4'3
2'2_'5
'5_'5
5'3
4'3_'3
2
5
∴ "aΩb=Æ… _ =Æ = =
5
12
2'ß10
5
5'3
12
1
6
=
=
=
(cid:100)(cid:100)∴ b=
1
'6
'6
6
2
5
5
12
(cid:9120) ④
0325 ④
10
3'5
=
10'5
3'5_'5
=
2'5
3
03 근호를 포함한 식의 계산 ⑴ 27
(cid:9120) ④
… ➌
(cid:9120) 20
40%
40%
20%
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
(cid:9120) 15
70%
30%
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 3
50%
30%
20%
(cid:9120) ③
(cid:9120)
'6
6
(cid:9120) ④
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지28 SinsagoHitec
3'5
5
=
'4å5
5
'9
, = ,
5
3
5
0335 4_'∂45÷6'2=4_3'5_
='∂10 (cid:9120) ④
1
6'2
=
2'5
'2
=
'1å5
5
'1å2å5
5
=
3
, =
'5
이므로
0326
'5=
'ß3
'5
5'5
5
'3
5
3
5
'ß3
'5
3
'5
따라서 세 번째에 오는 수는
(cid:100)(cid:100) < < < <'5
'ß3
'5
이다.
x
0327 ㈁ Æ = =
y
'ßx
'ßy
'ßx'ßy
'ßy'ßy
=
'∂xy
y
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈂, ㈃이다.
5a‹
b
0328
5_('3)‹
'5
따라서 p=3, q=1이므로(cid:100)(cid:100)p+q=4
5_3'3
'5
=
=
=
5_3'3_'5
'5_'5
=3'∂15
27
50
0329 Æ… =
'2å7
'∂50
따라서 a=5, b=3, c= 이므로
=
=
3'3
5'2
3
10
3'3_'2
5'2_'2
=
3'6
10
abc=
9
2
27
50
➊ æ≠ 의 분모를 유리화할 수 있다.
➋ a, b, c의 값을 구할 수 있다.
➌ abc의 값을 구할 수 있다.
0336 AB”를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 8이므로
AB”='8=2'2
BC”를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 27이므로
BC”='ß27=3'3
1
∴ △ABC= _AB”_BC”
2
∴ △ABC= _2'2_3'3=3'6
1
2
1
0337 (삼각형의 넓이)= _'ß48_x= _4'3_x
2
=2'3x
1
2
(직사각형의 넓이)='ß32_'ß24=4'2_2'6=16'3
따라서 2'3x=16'3이므로
16'3
2'3
x=
=8
➊ 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.
➋ 직사각형의 넓이를 구할 수 있다.
➌ x의 값을 구할 수 있다.
0338 원뿔의 높이를 xcm라 하면
1
3
_p_(2'6)¤ _x=16'ß15p,(cid:100)(cid:100)8x=16'ß15
∴ x=
16'ß15
8
=2'ß15
따라서 원뿔의 높이는 2'ß15 cm이다.
(cid:9120) ①
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 8
30%
30%
40%
0330
'ß14
'ß24
_
2'2
'7
2
֮ =
9
2'2
'7
_
3
'2
_
'ß14
2'6
3
= ='3
'3
0331 ④ æ _
÷æ≠ = _
3
2
'∂15
2
10
9
'3
'2
'∂15
2
_
3
'∂10
=
9
4
(cid:9120) ④
0339 S¡='3
S™= S¡
1
2
1
S£= S™={
2
1
2
¤ S¡
}
⋮
0332 'ß18_'ß48÷'∂108=3'2_4'3_
=2'2
1
6'3
∴ a=2
0333
'∂75
2
÷(-6'2)_'ß32=
5'3
2
_{-
1
6'2
}_4'2
=-
5'3
3
1
S§= S∞={
2
1
2
fi S¡={
}
1
2
fi _'3=
}
'3
32
여섯 번째 정삼각형의 한 변의 길이를 a라 하면
'3
4
'3
32
a¤ = ,(cid:100)(cid:100)a¤ = (cid:100)(cid:100)
∴ a=æ =
1
2'2
따라서 여섯 번째 정삼각형의 둘레의 길이는
1
8
=
1
8
'2
4
0334 (주어진 식)=
(주어진 식)=
'∂2a
'∂3b
'6
3'5
_
=
'b
2'a
'∂30
15
_
_
'∂6a
'∂5b
'∂2b
'∂3a
28 정답 및 풀이
(cid:100)(cid:100)3_ =
'2
4
3'2
4
(cid:9120)
3'2
4
(cid:9120) '∂30
15
0340 정삼각형의 한 변의 길이를 a, 정사각형의 한 변의 길이
를 b라 하면 둘레의 길이가 서로 같으므로
(cid:9120)
'ß3
'5
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 4
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120)
9
2
50%
30%
20%
(cid:9120) ④
(cid:9120) 2
(cid:9120) ⑤
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지29 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)3a=4b(cid:100)(cid:100)∴ a= b
이때 정삼각형의 넓이는 a¤ , 정사각형의 넓이는 b¤ 이므로
4
3
'3
4
4
3
'3
4
a¤ ÷b¤ = _
'3
4
4'3
9
{
_
b}
1
b¤ _ =
b¤
1
b¤
4'3
9
a¤ ÷b¤ =
따라서 정삼각형의 넓이는 정사각형의 넓이의
배이다.
4'3
9
0341 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라 하면
(cid:100)(cid:100)2pr=6'5p(cid:100)(cid:100)∴ r=3'5
따라서 구하는 원기둥의 부피는
(cid:100)(cid:100) p_(3'5)¤ _2'1å5=90'1å5p(cm‹ )
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
(cid:9120) 90'1å5p cm‹
➊ 밑면인 원의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➋ 원기둥의 부피를 구할 수 있다.
50%
50%
먼저 제곱근의 곱셈을 한 후, 근호 안의 제곱인 인수를
0342
근호 밖으로 꺼낸다.
32
5
3'5_Ƭ =3Ƭ5_ =3'∂32
32
5
=3"√4¤ _2=12'2
따라서 a=12, b=2이므로
a+b=14
x>0, y>0일 때, x'y="çx¤ y, æ–
y¤
≠ = 임을 이용
x
y
'x
1
b
1
Æ - Æ =Ƭ _ -Ƭ _
b¤
9
a¤
a
b
3
a
b
a
b
a
a
b
Æ - Æ =Ƭ -Ƭ
1
ab
9
ab
Æ - Æ =
1
'∂ab
1
4
-
3
4
3
'∂ab
1
2
Æ - Æ = - =-
0.016, 2000을 5, 10의 곱으로 나타낼 수 있도록 변형
=
160
10000
'ƒ0.016=Æ…
4'ß10
100
'ƒ2000="√400_5=20'5=20a
1
∴ (주어진 식)=20a+ b
25
=
'ß10
25
1
= b
25
0343
한다.
0344
한다.
y
x
=
7
3
'7
③ Æ = =
'3
'∂27
'7
7
100
27
④ Æ… =
7
⑤ '∂0.07=Æ…
('3)‹
'7
'7
10
=
x‹
y
1
10
= = y
본책 47~51쪽
(cid:9120) ⑤
0346
주어진 식을 간단히 한 후, a의 값을 대입한다.
'∂1+a
'∂1-a
'∂1-a
'∂1+a
+
+
+
('∂1+a)¤ +('∂1-a)¤
'∂1-a'∂1+a
(1+a)+(1-a)
"√1-a¤
=
=
=
2
"√1-a¤
1
위의 식에 a= 을 대입하면
'5
1
(주어진 식)=2÷Æ…1- =2÷ =2_ ='5
5
'5
2
2
'5
(cid:9120) ④
0347
리화한다.
'∂300을 a'b 꼴로 고쳐 분수를 간단히 한 후 분모를 유
=
=
'∂300
5'ßk
2'∂3k
k
10'3
5'ßk
2'ß21
=
7
2'3
'ßk
=
2'∂3k
k
따라서
이므로(cid:100)(cid:100)k=7
(cid:9120) 7
0
3
근
호
를
포
함
한
식
의
계
산
⑴
(cid:9120) ⑤
0348
로 계산한다.
나눗셈은 역수의 곱셈으로 고친 후, 앞에서부터 순서대
14
'∂15
5
_Ƭ ÷
6
'7
3'2
_Ƭ ÷
3'2
'7
=
'5
14
_ _
'6
'∂15
14
= =2'7
'7
∴ a=7
(cid:9120) ⑤
0349
를 x에 대한 식으로 나타낸다.
정사각형 D의 한 변의 길이를 x cm로 놓고, A의 넓이
정사각형 D의 한 변의 길이를 xcm라 하면 D의 넓이는
(cid:9120) ①
x¤ cm¤ 이므로 A의 넓이는
이때 27x¤ =4이므로(cid:100)(cid:100)x¤ =
x¤ _3_3_3=27x¤ (cm¤ )
4
27
2'3
9
∴ x=Ƭ =
4
27
=
2
3'3
따라서 D의 한 변의 길이는
cm이다.
(cid:9120) ②
2'3
9
(평행사변형의 넓이)=(삼각형의 넓이)임을 이용하여
(cid:9120) ①
0350
식을 세운다.
0345
어진 수를 x, y로 나타낸다.
근호 안의 수를 소인수분해한 후, 근호를 분리하여 주
① 'ß63="√3¤ _7=('3)¤ _'7=x¤ y
② '∂2100="√3_7_10¤ ='3_'7_10=10xy
'∂24_x= _'∂45_'∂18이므로
1
2
1
2'6_x= _3'5_3'2
2
03 근호를 포함한 식의 계산 ⑴ 29
¤
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지30 SinsagoHitec
∴ x=
3'5_3'2
2_2'6
=
3'∂15
4
(cid:9120) ⑤
이므로(cid:100)(cid:100)b=
6
5
=
6'5
5
6
'5
(cid:100)(cid:100)∴ ab=
4
5
0351
세운다.
두 피자의 반지름의 길이를 각각 a, b로 놓고 비례식을
레귤러사이즈 피자의 반지름의 길이를 a, 라지사이즈 피자
의 반지름의 길이를 b라 하면
a¤ p :b¤ p=16500 : 22000
a¤ : b¤ =3 : 4,(cid:100)(cid:100)3b¤ =4a¤
b¤ = a¤ (cid:100)(cid:100)∴ b= a=
4
3
2
'3
2'3
3
a
따라서 라지사이즈 피자의 반지름의 길이는 레귤러사이즈 피자
의 반지름의 길이의
배이다.
2'3
3
(cid:9120)
2'3
3
배
DE”=x cm로 놓고, △ADEª△ABC(AA 닮음)임
DE”=x cm라 하면 △ADEª△ABC(AA 닮음)이고 닮
음비가 x : 10이므로 넓이의 비는
0352
'x_'y='∂xy, 'y÷'x=Æ 임을 이용한다.
y
x
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC : (cid:8772)DBCE=100 : (100-x¤ )=2 : 1
… ➊
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ b의 값을 구할 수 있다.
➌ ab의 값을 구할 수 있다.
0355
을 이용한다.
(cid:100)(cid:100)x¤ : 100
위의 식에서
… ➋
… ➌
(cid:9120)
4
5
40%
30%
30%
(cid:100)(cid:100)100=200-2x¤ ,(cid:100)(cid:100)2x¤ =100,(cid:100)(cid:100)x¤ =50
(cid:100)(cid:100)∴ x='∂50=5'2(∵ x>0)
따라서 DE”의 길이는 5'2 cm이다.
➊ △ABC : (cid:8772)DBCE를 x에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
➋ DE”의 길이를 구할 수 있다.
△ADE와 △ABC에서
(cid:100)(cid:100)∠D=∠B(동위각), ∠A는 공통
이므로(cid:100)(cid:100)△ADEª△ABC(AA 닮음)
… ➋
(cid:9120) 5'2 cm
60%
40%
닮은 두 평면도형의 닮음비가 m : n일 때
① 둘레의 길이의 비 (cid:8825) m:n
② 넓이의 비 (cid:8825) m¤ :n¤
'x_'y=6에서 '∂xy =6이므로
(cid:100)(cid:100)'∂9m =6
따라서 3'ßm=6, 즉 'ßm=2이므로
(cid:100)(cid:100)m=4
y
x
'y÷'ßx=n에서 Æ =n이므로
2
3
4
n=Æ =
9
∴ 'ƒ2mn=Æ…2_4_ =Ƭ = =
2
3
16
3
4'3
3
4
'3
➊ m의 값을 구할 수 있다.
➋ n의 값을 구할 수 있다.
➌ 'ƒ2mn의 값을 구할 수 있다.
0353
a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b임을 이용한다.
'∂147="√7¤ _3=7'3이므로(cid:100)(cid:100)a=7
'∂288="√12¤ _2=12'2이므로(cid:100)(cid:100)b=12
12
7
∴ æ =Ƭ =
2'ß21
7
b
a
=
2'3
'7
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ b의 값을 구할 수 있다.
➌ æ 의 값을 구할 수 있다.
b
a
8
'∂72
2
3
(cid:100)(cid:100)a=
30 정답 및 풀이
0354
단히 한 후 분모를 유리화한다.
a>0, b>0일 때, "ça¤ b=a'b임을 이용하여 분수를 간
=
8
"√6¤ _2
=
=
8
6'2
2'2
3
=
4
3'2
이므로
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120)
4'3
3
30%
30%
40%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120)
2'ß21
7
35%
35%
30%
… ➊
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지31 SinsagoHitec
본책 51~54쪽
04
근호를 포함한 식의 계산 ⑵
0356 4'3+5'3=(4+5)'3=9'3
0357 3'2+5'2-4'2=(3+5-4)'2=4'2
0372
0373
1+'3
'5
=
(1+'3)_'5
'5_'5
=
'5+'∂15
5
(cid:9120)
'5+'∂15
5
'1å2-'5
'2
('1å2-'5)_'2
'2_'2
=
'2å4-'1å0
2
2'6-'1å0
2
(cid:9120)
2'6-'1å0
2
(cid:9120) 9'3
(cid:9120) 4'2
0358 10'3-15'3-20'3=(10-15-20)'3=-25'3
(cid:9120) -25'3
0374
3'2+'3
2'3
(3'2+'3)_'3
2'3_'3
=
3'6+3
6
0359 4'3+6'2-7'3+4'2=(6+4)'2+(4-7)'3
=10'2-3'3
(cid:9120) 10'2-3'3
0360 4'∂10-5'7-3'7+8'∂10
=(-5-3)'7+(4+8)'∂10
=-8'7+12'∂10
0361 (cid:9120) ㈎ 2(cid:100)㈏ 2(cid:100)㈐ 3(cid:100)㈑ 11(cid:100)㈒ 3
0375
2'5-'6
'∂24
(cid:9120) -8'7+12'∂10
(cid:9120)
'6+1
2
=
(2'5-'6)_'6
2'6_'6
=
'∂30-3
6
(cid:9120)
'∂30-3
6
=
=
=
=
'6+1
2
=
=
2'5-'6
2'6
2'∂30-6
12
0362 'ß50-'ß18=5'2-3'2=2'2
(cid:9120) 2'2
0363 'ß27+'ß75-2'ß12=3'3+5'3-2_2'3=4'3 (cid:9120) 4'3
0364 4'∂20+3'∂45-7'5=8'5+9'5-7'5=10'5 (cid:9120) 10'5
0365 '∂48-'∂18+'∂50-'∂12=4'3-3'2+5'2-2'3
=2'2+2'3
(cid:9120) 2'2+2'3
0379
0366 4'∂12+2'6-3'∂24-5'3=8'3+2'6-6'6-5'3
=3'3-4'6
(cid:9120) 3'3-4'6
0367 '3('5+'7)='3'5+'3'7='ß15+'ß21
(cid:9120) 'ß15+'ß21
0368 '5(3'2-2'6)='5_3'2-'5_2'6
=3'ß10-2'ß30
(cid:9120) 3'ß10-2'ß30
0369 ('6-'ß12)'2='6'2-'∂12'2
='ß12-'ß24=2'3-2'6 (cid:9120) 2'3-2'6
0370 ('4å0-'2å4)÷'8=('4å0-'2å4)_
1
'8
('4å0-'2å4)÷'8='4å0_ -'2å4_
1
'8
1
'8
('4å0-'2å4)÷'8='5-'3
(cid:9120) '5-'3
0371 ('∂125-'∂60)÷'5=('1∂25-'6å0)_
1
'5
('∂125-'∂60)÷'5='1∂25_ -'6å0_
1
'5
1
'5
('∂125-'∂60)÷'5='∂25-'1å2=5-2'3 (cid:9120) 5-2'3
0376
0377
0378
0380
0381
1
'5-2
=
'5+2
('5-2)('5+2)
='5+2
(cid:9120) '5+2
2
3-'7
=
2(3+'7)
(3-'7)(3+'7)
=3+'7
(cid:9120) 3+'7
'2
'3-'2
=
'2('3+'2)
('3-'2)('3+'2)
='6+2 (cid:9120) '6+2
'3
3-'6
=
'3(3+'6)
(3-'6)(3+'6)
=
3'3+3'2
3
='3+'2
(cid:9120) '3+'2
'2+1
'2-1
=
('2+1)¤
('2-1)('2+1)
=3+2'2
(cid:9120) 3+2'2
'5+'3
'5-'3
=
('5+'3)¤
('5-'3)('5+'3)
=
8+2'∂15
2
=4+'∂15
(cid:9120) 4+'∂15
0382
3'2
4
- + -
'5
2
5'2
12
'5
3
={ - }'2+{- + }'5
3
4
'2
3
5
12
'5
6
1
3
1
2
1
3
1
6
= + = a+ b
0383 A=8'5, B=-'2이므로(cid:100)(cid:100)A+B=8'5-'2 (cid:9120) ①
0384
'a
2
'a
- =
7
5'a
14
=1에서(cid:100)(cid:100)'a=
14
5
∴ a=
196
25
0385 x+y=
'ß10+'5
2
+
'ß10-'5
2
=
2'ß10
2
='ß10 … ➊
(cid:9120) ③
(cid:9120) ⑤
04 근호를 포함한 식의 계산 ⑵ 31
0
4
근
호
를
포
함
한
식
의
계
산
⑵
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지32 SinsagoHitec
x-y=
'ß10+'5
2
-
'ß10-'5
2
=
2'5
2
='5
∴ (x+y)(x-y)='ß10_'5=5'2
➊ x+y의 값을 구할 수 있다.
➋ x-y의 값을 구할 수 있다.
➌ (x+y)(x-y)의 값을 구할 수 있다.
x¤ ={
'ß10-'5
2
'ß10+'5
2
}
=
2
10-2'∂50+5
4
2
=
}
y¤ ={
∴ (x+y)(x-y)=x¤ -y¤ =
10+2'∂50+5
4
=
15+10'2
4
=
15-10'2
4
15+10'2
4
-
15-10'2
4
0386 x¤ -4x-(3+2'3)=(-'3)¤ -4_(-'3)-3-2'3
=
20'2
4
=5'2
=3+4'3-3-2'3
=2'3
0387 3-'6>0, 2'6-5<0이므로
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=(3-'6)+(2'6-5)
=-2+'6
➊ 괄호 안의 식의 부호를 결정할 수 있다.
➋ 주어진 식을 간단히 할 수 있다.
0388 '∂32+2'∂54-'∂98+'∂24=4'2+6'6-7'2+2'6
따라서 a=-3, b=8이므로(cid:100)(cid:100)ab=-24
=-3'2+8'6
0389 '∂72-3'∂18+2'8=6'2-9'2+4'2='2
0390 '∂27-'∂12+5'3=3'3-2'3+5'3=6'3
∴ k=6
0391 2'a-'∂98+'∂32='∂18에서
(cid:100)(cid:100)2'a-7'2+4'2=3'2
(cid:100)(cid:100)2'a=6'2,(cid:100)(cid:100)'a=3'2
∴ a=18
➊ 주어진 식을 간단히 할 수 있다.
➋ a의 값을 구할 수 있다.
0392 2-'∂48+3+x=4+'3+3-1-2'∂12이므로
(cid:100)(cid:100)x+5-4'3=6-3'3
(cid:100)(cid:100)∴ x=6-3'3-(5-4'3)=1+'3
32 정답 및 풀이
… ➋
… ➌
(cid:9120) 5'2
40%
40%
20%
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
50%
50%
(cid:9120) ①
(cid:9120) ③
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
(cid:9120) 18
60%
40%
(cid:9120) ③
6
'2
5'3
'6
0393 6'2-'ß75- +'ß27=6'2-5'3-3'2+3'3
따라서 a=3, b=-2이므로(cid:100)(cid:100)a+b=1
(cid:9120) ④
=3'2-2'3
0394 -'8-'ß72+
_2=-2'2-6'2+5'2=-3'2
(cid:9120) ③
0395 ① 2'3-'∂108+'3=2'3-6'3+'3=-3'3
② 3'2-'ß32+'ß98-'3=3'2-4'2+7'2-'3
1
- =
'2
=6'2-'3
5'2
1
- =
4
'2
'5
+ = + =
2
'2
- =
2
'5
5
5
2'2
=
+
3
'ß45
4'2
'3
5
1
2'5
'5
-'∂24= +
'6
3
+
3'2
4
7'5
10
'6
3
③
④
⑤
5
'8
5
'ß20
2
'6
4'6
3
-2'6=-
(cid:9120) ①, ③
0396 b=a- ='5- ='5- =
'5
5
4'5
5
1
'5
따라서 b는 a의 배이다.
1
a
4
5
4
(cid:9120) 배
5
(cid:9120) -2+'6
a
0397 + = + =
b
b
a
=
7'ß10
10
(cid:9120) ③
'2
'5
'5
'2
b¤ +a¤
ab
=
+
'ß10
2
'ß10
5
('5)¤ +('2)¤
'2_'5
b
a
a
+ =
b
=
7
'∂10
=
7'ß10
10
0398 '8_
- +'∂112-2'∂48
=2'2_ -2'7+4'7-8'3
14
'7
9
'∂54
'6
2
=2'3-2'7+4'7-8'3
=-6'3+2'7
0399 '3('ß12+1)+'5(2'5-'ß15)
='ß36+'3+2'2å5-'7å5
=6+'3+10-5'3
=-4'3+16
(cid:9120) -6'3+2'7
따라서 a=-4, b=16이므로(cid:100)(cid:100)a+b=12
(cid:9120) ②
0400 '8-'3(3'6-'ß24)=2'2-3'ß18+'ß72
=2'2-9'2+6'2
=-'2
(cid:9120) ③
0401 '2x-'5y='2('5-'2)-'5('5+'2)
='ß10-2-5-'ß10=-7
(cid:9120) -7
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지33 SinsagoHitec
0402
-'ß28+'7 { -1}='2-2'7+'2-'7
'6
'3
'2
'7
0407
2'3+4
'3
-'2('6-'2)=2+
-2'3+2
따라서 p=2, q=-3이므로
p¤ +q¤ =2¤ +(-3)¤ =13
=2'2-3'7
➊ 주어진 식의 좌변을 간단히 할 수 있다.
➋ p, q의 값을 구할 수 있다.
➌ p¤ +q¤ 의 값을 구할 수 있다.
0403
'ß72-18
'ß12
=
6'2-18
2'3
=
3'2-9
'3
=
3'6-9'3
3
=
(3'2-9)_'3
'3_'3
=-3'3+'6
따라서 a=-3, b=1이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=-2
0404
+'5
'ß12-'ß15
'3
2'3-'ß15
'3
+'5
(2'3-'ß15)_'3
'3_'3
=
=
+'5
=
6-3'5
3
+'5=2-'5+'5=2
(cid:9120) ⑤
=
(10+'∂10`)_'2
'2_'2
=
10'2+2'5
2
=
10'2-2'5
2
=5'2-'5
0405 x=
10+'∂10
'2
=5'2+'5
=
y=
10-'∂10
'2
(10-'∂10)_'2
'2_'2
따라서 x-y=2'5이므로
(cid:100)(cid:100)'5(x-y)='5_2'5=10
0406 x=
y=
'5-'3
'5
=
'5+'3
'5
('5-'3)_'5
=
'5_'5
('5+'3)_'5
'5_'5
=
5-'∂15
5
=
5+'∂15
5
따라서 x+y=2, x-y=
이므로
2'∂15
5
'∂15
15
x+y
5(x-y)
=
2
2'∂15
=
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 13
60%
20%
20%
(cid:9120) -2
(cid:9120) 10
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) '∂15
15
25%
25%
25%
25%
➊ x의 분모를 유리화할 수 있다.
➋ y의 분모를 유리화할 수 있다.
➌ x+y, x-y의 값을 구할 수 있다.
➍
x+y
5(x-y)
의 값을 구할 수 있다.
본책 54~58쪽
4'3
3
2'3
3
=4-
2
3
2
3
3
'3
따라서 a=4, b=- 이므로
a+3b=4+3_{- }=4-2=2
(cid:9120) ①
0408 2'3(1-'3)+ -'∂12=2'3-6+'3-2'3
='3-6
(cid:9120) ①
0409
+ -'2(1-'6)=2'2+2'3-'2+2'3
4
'2
6
'3
='2+4'3
따라서 a=1, b=4이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=5
(cid:9120) 5
0410 '3A-2'2B='3 {3'2- }-2'2 {'2+ }
=3'6-1-4-'6
=2'6-5
1
'3
'3
2
(cid:9120) ⑤
0411
2'3
3
(3-5'2)+
10'6
=2'3-
3
=6'3-4'6
+
12-'8
'3
12'3-2'6
3
따라서 m=6, n=-4이므로
'ƒm-n="√6-(-4)='ß10
0412 a='2('6+'3)- ('∂18-'∂12)
➊ 주어진 식의 좌변을 간단히 할 수 있다.
➋ m, n의 값을 구할 수 있다.
➌ 'ƒm-n 의 값을 구할 수 있다.
2
'3
=2'3+'6-2'6+4
=4+2'3-'6
b='∂24- +'3('3-'2)
6
'3
=2'6-2'3+3-'6
=3-2'3+'6
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=7
0413 (3-2'2)(4+5'2)=12+(15-8)'2-10_('2)¤
=12+7'2-20
=-8+7'2
따라서 a=-8, b=7이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=-1
04 근호를 포함한 식의 계산 ⑵ 33
0
4
근
호
를
포
함
한
식
의
계
산
⑵
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 'ß10
60%
20%
20%
(cid:9120) 7
(cid:9120) -1
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지34 SinsagoHitec
0421
('8-2)+'ß24 { - }
1
'3
1
'6
a
'2
=2a-'2a+2'2-2
=(2a-2)+(2-a)'2
따라서 2-a=0이므로(cid:100)(cid:100)a=2
0422 ⑴ A=7k-7'5-3'5+2k'5-11
=(7k-11)+(2k-10)'5
(cid:100)A가 유리수이므로(cid:100)(cid:100)2k-10=0
(cid:100)(cid:100)∴ k=5
⑵ k=5이므로
(cid:100)(cid:100)A=7k-11=7_5-11=24
➊ A를 간단히 할 수 있다.
➋ k의 값을 구할 수 있다.
➌ A의 값을 구할 수 있다.
0423 (주어진 식)=3-4'3+4-3a+2a'3
=(7-3a)+(-4+2a)'3
따라서 -4+2a=0이므로
a=2
(cid:9120) ⑴ 5(cid:100)⑵ 24
곱셈 공식
① (a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤ , (a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤`
② (a+b)(a-b)=a¤ -b¤
③ (x+a)(x+b)=x¤ +(a+b)x+ab
④ (ax+b)(cx+d)=acx¤ +(ad+bc)x+bd
0414 (2'3+3)(2'3-a)=(2'3)¤ +(-2a+6)'3-3a
=12-3a+(-2a+6)'3
이때 12-3a+(-2a+6)'3=6+b'3이므로
(cid:100)(cid:100)12-3a=6, -2a+6=b
(cid:100)(cid:100)∴ a=2, b=2
(cid:100)(cid:100)∴ ab=4
0415 ('2-4)¤ -(2'2+3)(2'2-3)
=('2)¤ -8'2+4¤ -{(2'2)¤ -3¤ }
=18-8'2-(8-9)
=19-8'2
0416 A=('7+2)¤ =7+4'7+4=11+4'7
B=(2'7+1)('7-3)=14-5'7-3=11-5'7
∴ A-B=9'7
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 9'7
40%
40%
20%
➊ A의 값을 구할 수 있다.
➋ B의 값을 구할 수 있다.
➌ A-B의 값을 구할 수 있다.
➊ 주어진 식을 간단히 할 수 있다.
➋ 유리수가 되는 조건을 알 수 있다.
➌ a의 값을 구할 수 있다.
0417 (5+2'6)(5-2'6)('3-2)('3+2)
(cid:100)={(5+2'6)(5-2'6)} {('3-2)('3+2)}
(cid:100)=(25-24)(3-4)
(cid:100)=1_(-1)=-1
(cid:9120) ③
0418 (4'3+7)¤
fi (4'3-7)¤
={(4'3+7)(4'3-7)}¤
fi =(-1)¤
=(48-49)¤
fi =-1
(cid:9120) -1
m이 자연수일 때
① (ab)μ =aμ bμ
② {
a
b
μ = (b+0)
}
aμ
bμ
0424 (a * 1)+(2 * a)=(a'2-1)+(2'2-a)
=(-1-a)+(a+2)'2=b
따라서 -1-a=b, a+2=0이므로(cid:100)(cid:100)a=-2, b=1
(cid:100)(cid:100)∴ b'2 * a='2 * (-2)='2'2-(-2)=4
0425
'3
'6-'3
-
'3
'6+'3
=
=
'3('6+'3)
('6-'3 )('6+'3 )
3'2-3
3'2+3
3
3
-
=('2+1)-('2-1)=2
-
'3('6-'3)
('6+'3 )('6-'3 )
0419 (4+2'5)(a-3'5)=4a+(-12+2a)'5-30
=(4a-30)+(2a-12)'5
따라서 2a-12=0이므로(cid:100)(cid:100)a=6
(cid:9120) ⑤
0426
2
2-'2
=
2(2+'2)
(2-'2)(2+'2)
=
2(2+'2)
2
0420 (3+a'2)(b-2'2)=3b+(-6+ab)'2-4a
=(-4a+3b)+(ab-6)'2
따라서 ab-6=0이므로(cid:100)(cid:100)ab=6
(cid:9120) ③
0427
'3+'2
'3-'2
=
('3+'2)¤
('3-'2)('3+'2)
=3+2'6+2
=2+'2
=5+2'6
34 정답 및 풀이
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
… ➌
40%
40%
20%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 2
50%
30%
20%
(cid:9120) 4
(cid:9120) ④
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ④
‚
⁄
‚
⁄
fi
‚
⁄
fi
‚
⁄
‚
⁄
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지35 SinsagoHitec
(cid:9120) ④
0436 '∂0.75+
0428
'∂12-'2
'2
-
'∂27-4
'3-2
=
(2'3-'2)_'2
'2_'2
-
(3'3-4)('3+2)
('3-2)('3+2)
=
2'6-2
2
+(9+2'3-8)
='6-1+1+2'3=2'3+'6
0429
3
'5+'2
-
6
'5-'2
3('5-'2)
('5+'2)('5-'2)
3('5-'2)
3
-
=
=
6('5+'2)
3
='5-'2-2'5-2'2=-3'2-'5
따라서 a=-3, b=-1이므로
-
6('5+'2)
('5-'2)('5+'2)
(cid:100)(cid:100)a-b=-2
(cid:9120) -2
0430
'2+2
'2-2
-
'2-2
'2+2
=
=
('2+2)¤
('2-2)('2+2)
2+4'2+4
-2
-
-
('2-2)¤
('2+2)('2-2)
2-4'2+4
-2
=-3-2'2+3-2'2=-4'2
따라서 a=0, b=-4이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=-4
➊ 주어진 식의 좌변을 간단히 할 수 있다.
➋ a, b의 값을 구할 수 있다.
➌ a+b의 값을 구할 수 있다.
0431
'5-'3
'2
=
'ß10-'6
2
1
2
=0.3565
= _(3.162-2.449)
0432
1
- = - = _1.414- _2.236
2
1
5
'2
2
'5
5
1
'2
1
'5
=0.707-0.4472=0.2598
(cid:9120) ①
∂1
æ≠ =
20
0433 '∂125=5'5=5_2.236=11.18
'5
= =
10
∂1
20
2.236
10
1
2'5
(cid:100)(cid:100)∴ '∂125+æ≠ =11.18+0.2236=11.4036
=0.2236
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) -4
60%
20%
20%
(cid:9120) ②
본책 58~62쪽
0435
+'6å3å0=
7
'2å8
'7
+3'7å0= +3'7å0
2
= _2.646+3_8.367
7
2'7
1
2
=1.323+25.101=26.424
(cid:9120) 26.424
75
100
+
3'3
6
3
2'3
-'∂0.12=Æ…
'3
2
'3
= + - =
2
-Æ…
'3
5
12
100
4'3
5
= _1.732=1.3856
(cid:9120) ④
4
5
0437 2<'5<3에서 4<'5+2<5이므로
a=4, b='5-2
∴ a-b=6-'5
=
0438
1
'2-1
'2+1
('2-1)('2+1)
1<'2<2에서 2<'2+1<3이므로(cid:100)(cid:100)a=2, b='2-1
(cid:100)(cid:100)∴
='2+1
+
1
a+b
1
a-b-2
=
1
'2+1
+
1
1-'2
=
'2-1
('2+1)('2-1)
='2-1-(1+'2)=-2
+
1+'2
(1-'2)(1+'2)
0439 1<'2<2이므로(cid:100)(cid:100)a='2-1
2<'5<3이므로(cid:100)(cid:100)b='5-2
∴ '2a+'5b+ ='2('2-1)+'5('5-2)+2'5
10
'5
=2-'2+5-2'5+2'5
=7-'2
0440 2<'6<3이므로(cid:100)(cid:100)k='6-2(cid:100)(cid:100)∴ '6=k+2
이때 12<'∂150<13이므로 '∂150의 소수 부분은
(cid:100)(cid:100)'∂150-12=5'6-12=5(k+2)-12=5k-2
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
(cid:9120) ①
0441 7<'ß50<8이므로(cid:100)(cid:100)f(50)='ß50-7=5'2-7 … ➊
4<'ß18<5이므로(cid:100)(cid:100)f(18)='ß18-4=3'2-4
… ➋
∴ f(50)-f(18)=2'2-3
… ➌
(cid:9120) 2'2-3
40%
40%
20%
(cid:9120) ④
➊ f(50)의 값을 구할 수 있다.
➋ f(18)의 값을 구할 수 있다.
➌ f(50)-f(18)의 값을 구할 수 있다.
0434 '∂0.6=Æ…
=
'∂2.4
2
1
2
= _1.549=0.7745
'6=Æ…
=
6_4
4
1
2
∴ '∂0.6+'6=0.7745+2.4495=3.224
= _4.899=2.4495
0.6_4
4
'∂24
2
0442 'ßn=a+b이고 21일 때, x+ >0이므로
x+ ='∂20=2'5
1
x
1
0448 x¤ + ={x- }
x¤
1
x
¤ +2
36 정답 및 풀이
0450 (x+y)¤ -(x-y)¤ =(x¤ +2xy+y¤ )-(x¤ -2xy+y¤ )
=4xy=4_2'2_(2-'3)
=16'2-8'6
(cid:9120) ③
(cid:9120) ⑤
0451 (x+y)(x-y)=x¤ -y¤ =(2+'6)¤ -('2+'3)¤
=(10+4'6)-(5+2'6)=5+2'6
a+b
ab
(cid:9120) ④
0452
2
x+y
+
2
x-y
=
=
4_3'2
(3'2)¤ -(2'3)¤
4x
x¤ -y¤
12'2
6
=
=2'2
0453 (x+3y)¤ -(2x+y)(2x-y)-6xy
=(x¤ +6xy+9y¤ )-(4x¤ -y¤ )-6xy=-3x¤ +10y¤
=-3_(3'2)¤ +10_(-1)¤ =-44
(cid:9120) -44
… ➊
… ➌
(cid:9120) 1
30%
30%
40%
(cid:9120) ⑤
… ➋
0454 x=
=
2
'6-2
=
2('6+2)
('6-2)('6+2)
=3+'6
3(3+'6)
(3-'6)(3+'6)
='6+2
y=
3
3-'6
(cid:100)(cid:100)∴ x(y+2)-y(x+2)=2x-2y
=2('6+2)-2(3+'6)
=-2
0455 x=
(cid:100)(cid:100)∴
1
'5+2
-
=
x-1
x+1
'5-2
('5+2)('5-2)
=
x+1
x-1
='5-2
=
(x+1)¤ -(x-1)¤
(x-1)(x+1)
4('5-2)
('5-2)¤ -1
4x
x¤ -1
4('5-2)
-4('5-2)
=
=
=-1
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ①
(cid:9120) ②
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) -1
30%
40%
30%
=(3-'5)¤ +2=16-6'5
(cid:9120) ④
➊ x의 분모를 유리화할 수 있다.
➋ 주어진 식을 간단히 할 수 있다.
➌ 주어진 식의 값을 구할 수 있다.
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지37 SinsagoHitec
0456 x+3='7이므로(cid:100)(cid:100)(x+3)¤ =7
x¤ +6x+9=7,(cid:100)(cid:100)x¤ +6x=-2
∴ x¤ +6x-1=-2-1=-3
0457 x-2=-'3이므로(cid:100)(cid:100)(x-2)¤ =3
∴ x¤ -4x+4=(x-2)¤ =3
0458 x+3=2'5이므로(cid:100)(cid:100)(x+3)¤ =20
(cid:100)(cid:100)x¤ +6x+9=20,(cid:100)(cid:100)x¤ +6x=11
∴ "√x¤ +6x+1 ='ƒ11+1='ß12=2'3
(cid:9120) ③
0459 x=
3+2'2
(3-2'2)(3+2'2)
=3+2'2에서 x-3=2'2이
므로(cid:100)(cid:100)(x-3)¤ =8,(cid:100)(cid:100)x¤ -6x+9=8,(cid:100)(cid:100)x¤ -6x=-1
∴ x¤ -6x+3=-1+3=2
(cid:9120) ⑤
0460 x=
'3-'2
'3+'2
=
('3-'2)¤
('3+'2)('3-'2)
=('3-'2)¤ =5-2'6
x-5=-2'6이므로(cid:100)(cid:100)(x-5)¤ =24
x¤ -10x+25=24,(cid:100)(cid:100)x¤ -10x=-1
∴ x¤ -10x+10=-1+10=9
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 9
30%
50%
20%
➊ x의 분모를 유리화할 수 있다.
➋ x¤ -10x의 값을 구할 수 있다.
➌ x¤ -10x+10의 값을 구할 수 있다.
=1+
'3
2
0461 x=
1
4-2'3
x-1= 이므로(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =
4+2'3
(4-2'3)(4+2'3)
3
4
'3
2
=
3
(cid:100)(cid:100)x¤ -2x+1= ,(cid:100)(cid:100)x¤ -2x=-
4
1
4
∴ 4x¤ -6x+3=4(x¤ -2x)+2x+3
=4_{- }+2{1+ }+3=4+'3
1
4
'3
2
0462 (cid:8772)ABCD= {'ß80+('ß45+'ß20)}_'ß72
1
2
1
2
1
2
= (4'5+3'5+2'5)_6'2
= _9'5_6'2
=27'ß10(cm¤ )
본책 62~66쪽
0464 두 정삼각형은 항상 닮음이고 넓이의 비가 1 : 3이므로
한 변의 길이의 비는 1 : '3이다.
작은 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면
(cid:100)(cid:100)3(x+'3x)=36,(cid:100)(cid:100)('3+1)x=12
=
∴ x=
12('3-1)
('3+1)('3-1)
12
'3+1
=6'3-6
따라서 작은 정삼각형의 한 변의 길이는 (6'3-6)cm이다.
(cid:9120) (6'3-6)cm
0465 AB”='ß12+'ß75=2'3+5'3=7'3(cm)
BC”='ß75+'ß27=5'3+3'3=8'3(cm)
∴ AB”+BC”=15'3(cm)
(cid:9120) ⑤
0466 (밑면의 가로의 길이)='∂128-2'2
=8'2-2'2=6'2 (cm)
(밑면의 세로의 길이)='∂98-2'2=7'2-2'2=5'2(cm)
(높이)='2 cm
따라서 직육면체의 부피는
6'2_5'2_'2=60'2 (cm‹ )
… ➊
… ➋
(cid:9120) 60'2 cm‹
➊ 직육면체의 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이와 높이를 구할 수 있다.
➋ 직육면체의 부피를 구할 수 있다.
60%
40%
0467 세 정사각형의 한 변의 길이는 각각
(cid:100)(cid:100)'5 cm, '∂45=3'5(cm), 'ß125=5'5 (cm)
오른쪽 그림에서
… ➊
c
125`cm@
b
45`cm@
5`cm@
a
(cid:100)(cid:100)(둘레의 길이)
=('5+3'5+5'5)_2
(cid:100)+5'5+(a+b+c)
=18'5+5'5+5'5
=28'5(cm)
5'5 cm
0
4
근
호
를
포
함
한
식
의
계
산
⑵
(cid:9120) 4+'3
➊ 세 정사각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다.
➋ 도형의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
0468 a=2-'2, b=3+'2이므로
ab=(2-'2)(3+'2)=4-'2
… ➋
(cid:9120) 28'5 cm
50%
50%
(cid:9120) ②
0463 직육면체의 밑면의 가로의 길이를 x라 하면
(cid:100)(cid:100)2('8_'2+'8x+'2x)=56,(cid:100)(cid:100)8+6'2x=56
6'2x=48(cid:100)(cid:100)∴ x=
=4'2
48
6'2
따라서 이 직육면체의 부피는(cid:100)(cid:100)4'2_'2_'8=16'2 (cid:9120) ④
(cid:9120) ②
0469 (cid:8772)PQRS=3_3-4_
=5
}
따라서 (cid:8772)PQRS의 한 변의 길이는 '5이므로
(cid:100)(cid:100)QP”=QR”='5(cid:100)(cid:100)
_2_1
{
1
2
∴ a=1-'5, b=1+'5
∴ a¤ +b¤ =(1-'5)¤ +(1+'5)¤
=6-2'5+6+2'5=12
(cid:9120) ③
04 근호를 포함한 식의 계산 ⑵ 37
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지38 SinsagoHitec
0470 a=-1-'2, b=-2+'2, c=2-'2이므로
b(a-c)=(-2+'2)(-1-'2-2+'2)
=(-2+'2)_(-3)
=6-3'2
(cid:9120) ④
0471 EF”=GF”
(cid:100)(cid:100)p=2+2'2, q=2-2'2
”='8=2'2이므로
0476 ⑴ A-B=(2'5+1)-(8-'5)=3'5-7
='ß45-'ß49<0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ A0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ C0
(cid:100)(cid:100)∴ B0(cid:100)(cid:100)∴ C'5+1
② (3+'2)-('9+2)='2-2='2-'4<0
(cid:100)(cid:100)∴ 3+'2<'9+2
③ -'∂18<-'∂16
(cid:100)(cid:100)∴ -'∂18<-4
④ (3'5+'6)-(2'∂11+'6)=3'5-2'∂11
='∂45-'∂44>0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 3'5+'6>2'∂11+'6
⑤ (3'3-4'2)-(-'∂12+'8)=3'3-4'2+2'3-2'2
=5'3-6'2
='∂75-'∂72>0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 3'3-4'2>-'∂12+'8
(cid:9120) ④
0475 ㈀ (3+'3)-(1+'ß12)=2-'3='4-'3>0
(cid:100)(cid:100)∴ 3+'3>1+'ß12
㈁ (2'5+'6)-('5+2'6)='5-'6<0
(cid:100)(cid:100)∴ 2'5+'6<'5+2'6
㈂ ('5+'∂18)-('ß20+'2)=2'2-'5='8-'5>0
(cid:100)(cid:100)∴ '5+'∂18>'ß20+'2
㈃ (5'3-'ß18)-('ß12+'2)=3'3-4'2='ß27-'ß32<0
(cid:100)(cid:100)∴ 5'3-'ß18<'ß12+'2
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다.
38 정답 및 풀이
두 점 P(p), Q(q)에 대하여 PQ”의 중점에 대응하는
0478
수는
이다.
p+q
2
점 M에 대응하는 수는(cid:100)(cid:100)
'2+'3
2
A('2), M{
1
2
{'2+
'2+'3
2
'2+'3
2
}에 대하여 AM”의 중점 N에 대응하는 수는
1
}= {
2
3'2+'3
2
}=
3'2+'3
4
(cid:9120) ⑤
0479
한다.
먼저 주어진 식을 간단히 한 후 a+b, ab의 값을 대입
b
a
Æ +Æ = + =
= =4'3
(cid:9120) ③
a
b
'ßb
'ßa
'ßa
'ßb
a+b
'∂ab
12
'3
분모의 유리화를 이용하여 x, y를 간단히 한 후
0480
x-2y
2x+y
y=
이므로
에 대입한다.
x=
3'2+'3
'3
2'3-2'2
'2
=
=
3'6+3
3
='6+1
2'6-4
2
='6-2
2x+y=2('6+1)+('6-2)=3'6
x-2y=('6+1)-2('6-2)=5-'6
5'6
∴
18
5-'6
3'6
1
따라서 a= , b=- 이므로(cid:100)(cid:100)a+b=-
3
5'6-6
18
x-2y
2x+y
5
18
=
=
=
-
1
3
1
18
(cid:9120) ②
(cid:9120) ①
0481
분배법칙을 이용하여 괄호를 푼 후 덧셈과 뺄셈을 한다.
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지39 SinsagoHitec
- }-'2 { -
2
'6
10
'ß12
}
6
3
'ß32
'2
-3'3- +
2
'3
2'3
3
10
'6
5'6
+
3
-3'3-
'6 {
3'6
2'2
3'3
2
13'3
6
(cid:100)=
(cid:100)=
(cid:100)=-
5'6
3
+
13
6
5
3
따라서 a=- , b= 이므로(cid:100)
'ƒb-6a=Æ… -6_{- }=Ƭ =
13
6
44
3
2'ß11
'3
=
2'ß33
3
5
3
본책 66~69쪽
0486
주어진 조건을 이용하여 x¡, x™, x£의 값을 구한다.
1<'3<2이므로(cid:100)(cid:100)<'3>=2
∴ x¡='3+<'3>='3+2
x™=x¡-이고, 3<'3+2<4이므로(cid:100)(cid:100)<'3+2>=4
∴ x™='3+2-<'3+2>='3+2-4='3-2
x£=x™-이고, -1<'3-2<0이므로(cid:100)(cid:100)<'3-2>=0
∴ x£='3-2-<'3-2>='3-2
∴ x¡x™x£=('3+2)('3-2)('3-2)
=-('3-2)=-'3+2
(cid:9120) ③
0482
공통부분을 한 문자로 생각하고, 곱셈 공식을 이용한다.
(1-'2+'3)¤ +(2+'2-'3)(2-'2+'3)
(cid:100)={1-('2-'3)} ¤ +{2+('2-'3)} {2-('2-'3)}
(cid:100)=1-2('2-'3)+('2-'3)¤ +4-('2-'3)¤
(cid:100)=5-2'2+2'3
(cid:9120) ②
0483
주어진 식의 값을 구하여 유리수인 것을 찾는다.
① '3x='3('3-1)=3-'3
② 3x=3('3-1)=3'3-3
③ x¤ +2x=('3-1)¤ +2('3-1)=4-2'3+2'3-2=2
④ x+ ='3-1+
1
x
1
'3-1
='3-1+
'3+1
('3-1)('3+1)
=
3'3-1
2
⑤ x- ='3-1-
2
x
2
'3-1
='3-1-
2('3+1)
('3-1)('3+1)
=-2
(cid:9120) ③, ⑤
0484
리수가 되려면 b=0이어야 한다.
a, b가 유리수이고 '∂m이 무리수일 때, a+b'∂m이 유
'2(2'2-6)-
k(1-'2)
2'2
=4-6'2-
k('2-2)
4
={4+ }-{6+ }'2
k
4
k
2
따라서 6+ =0이므로(cid:100)(cid:100) =-6
k
4
k
4
(cid:100)(cid:100)∴ k=-24
(cid:9120)
2'ß33
3
0487
이용한다.
무리수 'a의 소수 부분은 'a-('a의 정수 부분)임을
에서
=
1<'2<2에서(cid:100)(cid:100)3<2+'2<4(cid:100)(cid:100)
∴ a=(2+'2)-3='2-1
2(3+'2)
2
=
3-'2
(3-'2)(3+'2)
(cid:100)(cid:100)8<6+2'2<9,(cid:100)(cid:100) <
6+2'2
7
-1+2'2
7
6+2'2
7
6+2'2
7
-1+2'2
7
a='2-1, b=
∴ b=
-1=
8
7
<
9
7
(cid:100)(cid:100)('2-2)x+(-1+2'2)y+6=0
(-2x-y+6)+(x+2y)'2=0
(cid:100)(cid:100)∴ -2x-y+6=0, x+2y=0
를 (a-1)x+7by+6=0에 대입하면
0
4
근
호
를
포
함
한
식
의
계
산
⑵
위의 두 식을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)x=4, y=-2
(cid:100)(cid:100)∴ x+y=2
(cid:9120) ⑤
0488
을 제곱하여 정리한다.
x=5+'2-'3을 x-5='2-'3으로 변형한 후 양변
x-5='2-'3이므로(cid:100)(cid:100)(x-5)¤ =('2-'3)¤`
(cid:100)(cid:100)x¤ -10x+25=5-2'6,(cid:100)(cid:100)x¤ -10x=-20-2'6
∴ x¤ -10x+20=-20-2'6+20
=-2'6
(cid:9120) -2'6
0489
넓이를 구한다.
직사각형의 넓이에서 삼각형의 넓이를 빼서 오각형의
오른쪽 그림에서
(cid:100)(cid:100)(cid:100)
AF
(오각형 ABCDE의 넓이)
B
G
C
I
E
H
D
(cid:9120) -24
=(cid:8772)FGHI-(△FBA+△BGC
+△CGD+△DHE+△AEI)
0485
유리화한다.
(a+b)(a-b)=a¤ -b¤ 임을 이용하여 f(x)의 분모를
f(x)=
'∂x+1-'ßx
('∂x+1+'x)('∂x+1-'x)
(cid:100)(cid:100)∴ f(2)+f(3)+f(4)+y+f(49)
='∂x+1-'ßx
=('3-'2)+('4-'3)+('5-'4)+y+('∂50-'∂49)
='∂50-'2=5'2-'2=4'2
(cid:9120) ④
=5'2_3'6
1
(cid:100)- _('2_'6+'2_2'6+4'2_'6+'2_2'6
2
+4'2_'6)
1
2
1
2
=30'3- _(2'3+4'3+8'3+4'3+8'3)
=30'3- _26'3=17'3
(cid:9120) 17'3
04 근호를 포함한 식의 계산 ⑵ 39
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지40 SinsagoHitec
0494
'ßA의 정수 부분이 n이면 n…'ßA18,(cid:100)(cid:100)'ßn>
81
4
(cid:100)(cid:100)∴ n>
9
2
㉠, ㉡`에서(cid:100)(cid:100) 0)
1
1
③ A={ _ }
2
16
④ 4x¤ +Ax+1=(2x—1)¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)Ax=—2_2x_1=—4x
(cid:100)(cid:100)∴ A=4(∵ A>0)
1
16
⑤ x¤ -Ax+ ={ x— }2 이므로
1
3
1
4
1
9
1
(cid:100) (cid:100)(cid:100)-Ax=—2_ x_ =— x(cid:100)(cid:100)
4
1
3
1
6
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ A= (∵ A>0)
1
6
이상에서 A의 값이 가장 작은 것은 ③이다.
(cid:9120) ③
(x+3)+(x-6)=2x-3
(cid:9120) 2x-3
0559 (x+3)(x-7)+k=x¤ -4x-21+k에서
0551 ⑤ 16x¤ -16xy+4y¤ =4(4x¤ -4xy+y¤ )
=4(2x-y)¤
0552 4x¤ +12x+9=(2x)¤ +2_2x_3+3¤
=(2x+3)¤
(cid:100)(cid:100)-21+k={
(cid:100)(cid:100)∴ k=25
-4
2
2
}
=4
0560 x¤ +(2a-8)xy+16y¤ =(x—4y)¤
이때 2a-8=—8이므로(cid:100)(cid:100)a=8 (∵ a>0)
0553 ㈀ (x+7)¤ (cid:100)(cid:100)㈂ 2(y+1)¤(cid:100)(cid:100)㈅ 5a(x+y)¤
이상에서 완전제곱식으로 인수분해할 수 있는 것은 ㈀, ㈂, ㈅`이
다.
➊ 완전제곱식을 만들 수 있다.
➋ 양수 a의 값을 구할 수 있다.
0554 x(x+a)+25=x¤ +ax+25=(x+b)¤
25=b¤ 이므로(cid:100)(cid:100)b=—5
ax=2_x_b이므로(cid:100)(cid:100)a=—10
a>0이므로(cid:100)(cid:100)a=10, b=5
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=15
42 정답 및 풀이
0561 3x¤ -8x+A=3{x¤ - x+ }이므로
8
3
A
3
A
3
=[ _{- }]
8
3
2
=
16
9
1
2
16
3
(cid:9120) 15
(cid:100)(cid:100)∴ A=
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ③
(cid:9120) ②
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) 21
30%
30%
30%
10%
(cid:9120) 64
(cid:9120) ②
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
(cid:9120) 8
40%
60%
(cid:9120)
16
3
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지43 SinsagoHitec
0562 -20, x-2<0
∴ (주어진 식)="√(x+2)¤ -"√(x-2)¤
=(x+2)+(x-2)=2x
⑤ xy¤ -4x=x(y¤ -4)
(cid:9120) ⑤
=x(y+2)(y-2)
(cid:9120) ⑤
다항식을 인수분해할 때에는 먼저 공통인수로 묶어 낸 후
유리수의 범위에서 더 이상 인수분해할 수 없을 때까지 계속한다.
본책 75~81쪽
0
5
인
수
분
해
공
식
0563 -10
∴ (주어진 식)="√(a-3)¤ +"√(a+1)¤
=-(a-3)+(a+1)=4
(cid:9120) ③
0564 x>0, y<0이므로(cid:100)(cid:100)x-y>0
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)="≈x¤ -"≈y¤ +"√(x-y)¤
=x-(-y)+(x-y)
=2x
0565 00, a+b>0, a-b<0
∴ (주어진 식)="≈a¤ +"√(a+b)¤ +"√(a-b)¤
=a+(a+b)-(a-b)
=a+2b
0571 (a-b)x¤ +(b-a)y¤ =(a-b)x¤ -(a-b)y¤
=(a-b)(x¤ -y¤ )
=(a-b)(x+y)(x-y) (cid:9120) ④
0572 x° -1=(x› +1)(x› -1)
=(x› +1)(x¤ +1)(x¤ -1)
=(x› +1)(x¤ +1)(x+1)(x-1)
(cid:9120) ④
0573 x¤ +ax-24=(x+3)(x-b)=x¤ +(3-b)x-3b이므로
a=3-b, -24=-3b
∴ a=-5, b=8(cid:100)(cid:100)∴ a-b=-13
(cid:9120) -13
0574 x¤ -3xy-10y¤ =(x+2y)(x-5y)
(cid:9120) ④
0575 (x+1)(x+2)-6=x¤ +3x+2-6
=x¤ +3x-4
=(x+4)(x-1) (cid:9120) (x+4)(x-1)
(cid:9120) 2x
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) a+2b
20%
40%
40%
0576 ① x¤ -3x-4=(x+1)(x-4)
② x¤ -5x+4=(x-1)(x-4)
③ x¤ -9x+20=(x-4)(x-5)
④ x¤ +x-12=(x+4)(x-3)
⑤ x¤ +2x-24=(x+6)(x-4)
0567 a‹ -a=a(a¤ -1)=a(a+1)(a-1)
(cid:9120) ①, ③
이때 두 일차식은 x+2, x-4이므로
(cid:9120) ①
0577 (x+4)(x-2)-4x=x¤ +2x-8-4x=x¤ -2x-8
=(x+2)(x-4)
… ➊
0568 9x¤ -49=(3x)¤ -7¤ =(3x+7)(3x-7)
따라서 A=3, B=7이므로(cid:100)(cid:100)AB=21
(cid:9120) 21
(x+2)+(x-4)=2x-2
➊ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➋ 두 일차식의 합을 구할 수 있다.
(cid:9120) ④
… ➋
(cid:9120) 2x-2
70%
30%
➊ a, a+b, a-b의 부호를 알 수 있다.
➋ 근호 안의 식을 인수분해할 수 있다.
➌ 식을 간단히 할 수 있다.
0566 0<3x<1, 즉 00
1
3
1
3
2
1
∴ (주어진 식)=Æ…{x- }
3
1
=-{x- }-{x+ }
3
=-2x
-Æ…{x+ }
1
3
1
3
2
0569 -12x¤ +27y¤ =-3(4x¤ -9y¤ )
=-3{(2x)¤ -(3y)¤ }
=-3(2x+3y)(2x-3y)
따라서 a=-3, b=2, c=3이므로
(cid:100)(cid:100)a+b+c=2
0570 ① -x¤ -9=-(x¤ +9)
1
x¤
② x¤ - ={x+ }{x- }
③ -75x¤ +27y¤ =-3(25x¤ -9y¤ )
1
x
1
x
=-3(5x+3y)(5x-3y)
④ a› -1=(a¤ +1)(a¤ -1)
=(a¤ +1)(a+1)(a-1)
0578 곱이 12인 두 정수는
(cid:9120) ④
-1, -12 또는 -2, -6 또는 -3, -4
또는 3, 4 또는 2, 6 또는 1, 12
이므로 A의 값이 될 수 있는 것은 -13, -8, -7, 7, 8, 13이다.
따라서 A의 값이 될 수 없는 것은 ④이다.
(cid:9120) ④
0579 ax¤ +bx-10=(3x+5)(x+c)=3x¤ +(3c+5)x+5c
이므로(cid:100)(cid:100)a=3, b=3c+5, -10=5c
∴ a=3, b=-1, c=-2
∴ a+b+c=0
(cid:9120) ③
05 인수분해 공식 43
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지44 SinsagoHitec
0580 6x¤ -11x+3=(2x-3)(3x-1)
(cid:9120) ②, ③
0581 8x¤ +10x-3=(2x+3)(4x-1)이므로
a=3, b=-1(cid:100)(cid:100)∴ a-b=4
0582 3x¤ -10xy-8y¤ =(3x+2y)(x-4y)이므로
(cid:100)(cid:100)a=3, b=2, c=1, d=-4
(cid:100)(cid:100)또는 a=1, b=-4, c=3, d=2
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d=2
➊ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➋ a, b, c, d의 값을 구할 수 있다.
➌ a+b+c+d의 값을 구할 수 있다.
0590 ① (x+1)(x-1)
③ (x+7)(x-1)
⑤ (5x+1)(x-1)
② 2x(x-1)
④ (x+1)(3x-2)
0591 12x¤ -ax-12=(4x+3)(3x+m)으로 놓으면
4m+9=-a, 3m=-12
(cid:100)(cid:100)∴ m=-4, a=7
0592 5x¤ +ax-12=(x-6)(5x+m)으로 놓으면
m-30=a, -6m=-12(cid:100)(cid:100)
∴ m=2, a=-28
0593 x¤ -5x+k=(x-1)(x+m)으로 놓으면
m-1=-5, -m=k(cid:100)(cid:100)∴ m=-4, k=4
0583 7x¤ -3x-4=(x-1)(7x+4)
이때 두 일차식은 x-1, 7x+4이므로
(cid:100)(cid:100)(x-1)+(7x+4)=8x+3
0594 x¤ +ax+40=(x-4)(x+m)으로 놓으면
m-4=a, -4m=40(cid:100)(cid:100)∴ m=-10, a=-14 … ➊
(cid:9120) 8x+3
3x¤ -10x+b=(x-4)(3x+n)으로 놓으면
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 2
50%
30%
20%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 8
60%
30%
10%
(cid:9120) ④
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) 17
30%
30%
30%
10%
(cid:9120) ④
(cid:9120) ②
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
(cid:9120) -28
(cid:9120) ⑤
… ➋
… ➌
(cid:9120) -6
40%
40%
20%
… ➊
… ➋
60%
40%
n-12=-10, -4n=b(cid:100)(cid:100)∴ n=2, b=-8
∴ a-b=-6
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ b의 값을 구할 수 있다.
➌ a-b의 값을 구할 수 있다.
0595 x¤ +5x+4=(x+1)(x+4)이므로 x¤ +ax-5는 x+1
또는 x+4를 인수로 갖는다.
⁄ x¤ +ax-5=(x+1)(x+m)으로 놓으면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)m+1=a, m=-5(cid:100)(cid:100)∴ a=-4
¤ x¤ +ax-5=(x+4)(x+n)으로 놓으면
5
4
(cid:100) (cid:100)(cid:100)n+4=a, 4n=-5(cid:100)(cid:100)∴ n=- , a=
11
4
⁄, ¤에서 a는 정수이므로(cid:100)(cid:100)a=-4
(cid:9120) ①
0596 원호: x¤ +7x-18 (cid:8825) 상수항: -18
지운: x¤ +3x+2 (cid:8825) x의 계수: 3
0597 ⑴ 영채: x¤ +9x+8 (cid:8825) 상수항: 8
⑴ 지영: x¤ -6x-16 (cid:8825) x의 계수: -6
따라서 이 이차식은(cid:100)(cid:100)x¤ -6x+8
⑵ x¤ -6x+8=(x-2)(x-4)
(cid:9120) ⑴ x¤ -6x+8(cid:100)⑵ (x-2)(x-4)
0598 은주: 4x¤ -7x-15 (cid:8825) x의 계수: -7, 상수항: -15
유민: 2x¤ +x-15 (cid:8825) x¤ 의 계수: 2, 상수항: -15
0584 5x¤ +(2a-5)x-14=(x-2)(5x+b)
=5x¤ +(b-10)x-2b
이므로(cid:100)(cid:100)2a-5=b-10, -14=-2b
∴ a=1, b=7
∴ a+b=8
➊ a, b에 대한 식을 세울 수 있다.
➋ a, b의 값을 구할 수 있다.
➌ a+b의 값을 구할 수 있다.
0585 ④ 4x¤ +4x-15=(2x-3)(2x+5)
0586 ①, ②, ③, ④ 3(cid:100)(cid:100)⑤ 4
0587 x¤ -4x-12=(x+2)(x-6)(cid:100)(cid:100)∴ a=2
x¤ -169=(x+13)(x-13)(cid:100)(cid:100)∴ b=13
6x¤ -5x-6=(2x-3)(3x+2)(cid:100)(cid:100)∴ c=2
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ b의 값을 구할 수 있다.
➌ c의 값을 구할 수 있다.
➍ a+b+c의 값을 구할 수 있다.
0589 a¤ b-ab¤ =ab(a-b)
-2a+2b=-2(a-b)
44 정답 및 풀이
0588 12x¤ -3=3(4x¤ -1)=3(2x+1)(2x-1)
2x¤ -9x-5=(2x+1)(x-5)
➊ 이차식을 구할 수 있다.
➋ 이 이차식을 바르게 인수분해할 수 있다.
∴ a+b+c=17
따라서 이 이차식은(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-18=(x+6)(x-3)
(cid:9120) ②
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지45 SinsagoHitec
본책 81~86쪽
0
5
인
수
분
해
공
식
따라서 이 이차식은
0606 주어진 도형의 넓이는
(cid:100)(cid:100)2x¤ -7x-15=(2x+3)(x-5)
(cid:9120) (2x+3)(x-5)
(x+2)¤ -3¤ =x¤ +4x-5=(x+5)(x-1)
따라서 주어진 도형과 넓이가 같은 직사각형의 세로의 길이는
x+5
(cid:9120) x+5
0599 (넓이)=x¤ +4x+3=(x+1)(x+3)
따라서 새로운 직사각형의 가로의 길이와 세로의 길이의 합은
(x+1)+(x+3)=2x+4
0600 (넓이)=x¤ +2x+1=(x+1)¤
따라서 구하는 정사각형의 한 변의 길이는 x+1이다.
(cid:9120) ⑤
0607 잘라낸 작은 원의 지름의 길이는
(cid:100)(cid:100)19r-2_4r=11r(cm)
따라서 색칠한 부분의 넓이는
(cid:9120) ②
(cid:100)(cid:100)p {
19
2
2
r}
-p {
11
2
2
r}
=p[{
19
2
2
r}
-{
11
2
2
]
r}
19
2
11
r+ r}{
2
19
2
11
r- r}
2
=p {
=p_15r_4r
=60pr¤ (cm¤ )
(cid:9120) ⑤
0601 [그림`1]의 도형의 넓이는(cid:100)(cid:100)x¤ -1
[그림`2]의 도형은 가로의 길이가 x+1, 세로의 길이가 x-1인
직사각형이므로 그 넓이는(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-1)
이때 두 도형의 넓이가 같으므로
(cid:100)(cid:100)x¤ -1=(x+1)(x-1)
0602 (넓이)=3x¤ +5x+2=(x+1)(3x+2)
따라서 새로운 직사각형의 가로, 세로의 길이는 x+1, 3x+2이
… ➊
므로 구하는 둘레의 길이는
2{(x+1)+(3x+2)}=8x+6
➊ 넓이를 인수분해할 수 있다.
➋ 둘레의 길이를 구할 수 있다.
(가로의 길이)=x+1, (세로의 길이)=3x+2
또는 (가로의 길이)=3x+2, (세로의 길이)=x+1
(cid:9120) ③
0608 둘레의 길이의 합이 100이므로
4a+4b=100(cid:100)(cid:100)∴ a+b=25
넓이의 차는 150이므로(cid:100)(cid:100)a¤ -b¤ =150
(a+b)(a-b)=150,(cid:100)(cid:100)25(a-b)=150
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=6
따라서 두 정사각형의 둘레의 길이의 차는
… ➋
(cid:9120) 8x+6
50%
50%
4a-4b=4(a-b)=4_6=24
(cid:9120) 24
0609
a¤ —2ab+b¤ =(a—b)¤``(복호동순)임을 이용한다.
㈎ x¤ +4x+4=(x+2)¤ (cid:8825) x+2
㈏ 9x¤ -6x+1=(3x-1)¤ (cid:8825) 3x-1
따라서 왼쪽의 두 다항식의 합을 인수분해하면 오른쪽 다항식의
제곱이 된다.
㈐에서
0603 49x¤ -25=(7x+5)(7x-5)
따라서 세로의 길이는 7x+5이므로 둘레의 길이는
2{(7x+5)+(7x-5)}=28x
(cid:9120) 28x
(x¤ -15x+4)+(3x¤ +3x+5)=4x¤ -12x+9
=(2x-3)¤
(cid:100)(cid:100)∴
=2x-3
(cid:9120) ①
0604 3x¤ -48=3(x+4)(x-4)이므로 직육면체의 밑면의
가로의 길이는
(x+4)cm
(cid:9120) ②
이 직육면체의 밑면의 세로의 길이는 (x-4)cm이다.
0605 사다리꼴의 넓이가 2a¤ +7a+6이므로
(cid:100)(cid:100) _{(a-1)+(a+5)}_(높이)=2a¤ +7a+6
1
2
(cid:100)(cid:100)(a+2)_(높이)=(a+2)(2a+3)
∴ (높이)=2a+3
➊ 식을 세울 수 있다.
➋ 넓이를 인수분해할 수 있다.
➌ 높이를 구할 수 있다.
0610
용한다.
x¤ -ax+b가 완전제곱식이 되려면
¤ =b임을 이
{-;2A;}
x¤ -ax+b가 완전제곱식이 되려면
;2A;}2 =b, 즉 a¤ =4b
(cid:100)(cid:100){-
이를 만족시키는 a, b의 순서쌍 (a, b)는
(2, 1), (6, 9)의 2가지
(cid:9120) ②
0611
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)임을 이용한다.
8n‹ -2n=2n(4n¤ -1)
=(2n-1)2n(2n+1)
이므로 8n‹ -2n은 연속된 세 자연수의 곱이다.
이때 연속된 세 자연수의 곱은 2의 배수인 동시에 3의 배수이므
로 8n‹ -2n은 6의 배수이다.
(cid:9120) ②
0612
a, b가 두 자리 자연수임에 유의한다.
05 인수분해 공식 45
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 2a+3
30%
50%
20%
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지46 SinsagoHitec
주어진 약속에 따라 식을 구하여 전개한 후, 인수분해
x¤ - xy+ y¤ =0에서(cid:100)(cid:100){ x- y}
1
3
1
2
¤ =0
1
4
"√a¤ -39=b의 양변을 제곱하면
(cid:100)(cid:100)a¤ -39=b¤ ,(cid:100)(cid:100)a¤ -b¤ =39
(cid:100)(cid:100)∴ (a+b)(a-b)=39
a, b는 자연수이므로
a+b=39
a-b=1
(cid:100)(cid:100)[
또는 [
a+b=13
a-b=3
또 a, b는 두 자리 자연수이므로(cid:100)(cid:100)a=20, b=19
(cid:100)(cid:100)∴ ab=380
(cid:9120) 380
a+b=13, a-b=3이면 a=8, b=5로 a, b가 두 자리 자
연수가 아니다.
0613
한다.
≪2x, 4, 1≫-≪4, -x, 2x≫
=(2x-4)(2x+1)-(4+x)(4+2x)
=4x¤ -6x-4-(16+12x+2x¤ )
=2x¤ -18x-20
=2(x¤ -9x-10)
=2(x+1)(x-10)
0614
다.
곱이 21인 두 정수를 찾아 a의 최댓값과 최솟값을 구한
x¤ +ax+21=(x+b)(x+c)에서
(cid:100)(cid:100)a=b+c, 21=bc
곱이 21이 되는 두 정수 b, c는
1과 21, -1과 -21, 3과 7, -3과 -7
(cid:100)(cid:100)∴ (a의 최댓값)=1+21=22,
(a의 최솟값)=-1+(-21)=-22
(cid:9120) 최댓값: 22, 최솟값: -22
0615
x¤ -3x-k=(x+a)(x+b)(a>b)로 인수분해한다.
x¤ -3x-k=(x+a)(x+b)(a>b)라 하면
a+b=-3, ab=-k
이때 100, b<0, -601
∴ x- <0, x+ >0
1
x
1
x
1
x
1
x¤
∴ (주어진 식)=æ– +æ≠{x- }2 +æ≠{x+ }2 … ➋
1
= -{x- }+{x+ }=
x
… ➌
3
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
➊ , x- , x+ 의 부호를 알 수 있다.
x
1
x
1
x
➋ 근호 안의 식을 인수분해할 수 있다.
➌ 식을 간단히 할 수 있다.
(cid:9120) 4
0620
a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)를 이용하여 f(x)를 인수분해한다.
1
x¤
f(x)=1- ={1- }{1+ }이므로
1
1
2
3
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)={1- }{1+ }_{1- }{1+ }
1
3
1
2
1
x
1
x
1
_y_{1- }{1+ }
9
1
9
4
10
={ _ }_{ _ }_y_{ _ }
3
9
2
3
8
9
3
2
1
2
= _ =
1
2
10
9
5
9
(cid:9120) ①
… ➊
… ➋
(cid:9120)
2
3
50%
50%
… ➊
(cid:9120)
3
x
30%
30%
40%
… ➊
… ➋
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지47 SinsagoHitec
따라서 a=9, b=5이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=14
06
인수분해 공식의 활용
본책 86~89쪽
0621
또는 B=1이어야 한다.
자연수 A, B에 대하여 A_B=(소수)이려면 A=1
➊ f(x)를 인수분해할 수 있다.
➋ f(2)_f(3)_y_f(9)의 값을 구할 수 있다.
➌ a, b의 값을 구할 수 있다.
➍ a+b의 값을 구할 수 있다.
n¤ +8n-48=(n+12)(n-4)
따라서 n¤ +8n-48이 소수가 되려면
(cid:100)(cid:100)n+12=1 또는 n-4=1
n은 자연수이므로(cid:100)(cid:100)n=5
➊ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➋ 소수가 되도록 하는 조건을 구할 수 있다.
➌ n의 값을 구할 수 있다.
0623 (주어진 식)=y(x¤ -8x+16)=y(x-4)¤ (cid:9120) y(x-4)¤
0624 (주어진 식)=x¤ (x¤ -4)=x¤ (x+2)(x-2)
0625 (주어진 식)=2a(a¤ +2a-3)=2a(a+3)(a-1)
0626 x+1=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ +16A+64=(A+8)¤ =(x+9)¤
0627 a-b=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -4A+4=(A-2)¤ =(a-b-2)¤
(cid:9120) x¤ (x+2)(x-2)
(cid:9120) 2a(a+3)(a-1)
(cid:9120) (x+9)¤
(cid:9120) (a-b-2)¤
0
6
인
수
분
해
공
식
의
활
용
0628 a+2=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A¤ -9=(A+3)(A-3)=(a+5)(a-1)
(cid:9120) (a+5)(a-1)
0629 2x+5=A로 치환하면
(주어진 식)=A(A+2)-3=A¤ +2A-3
=(A-1)(A+3)=(2x+4)(2x+8)
1보다 큰 자연수 중에서 1과 그 자신만을 약수로 갖는 수를 소수라
한다.
0622
값을 구한다.
도형 A의 가로의 길이가 x+7임을 이용하여 상수 a의
=4(x+2)(x+4)
(cid:9120) 4(x+2)(x+4)
x¤ +10x+a=(x+7)(x+b)로 놓으면
0630 (cid:9120) y-1
0631 (cid:9120) a+1
7+b=10, 7b=a
(cid:100)(cid:100)∴ a=21, b=3
따라서 도형 A의 둘레의 길이는
(cid:100)(cid:100)2{(x+3)+(x+7)}=4x+20=4(x+5)
0632 (cid:9120) b-3
0633 (cid:9120) x+2
0634 (cid:9120) a+7
0635 (cid:9120) x-3
즉 도형 B는 한 변의 길이가 x+5인 정사각형이므로 구하는 넓
0636 (주어진 식)=(x+y)(x-y)+(x-y)
이는(cid:100)(cid:100)(x+5)¤ =x¤ +10x+25
=(x-y)(x+y+1) (cid:9120) (x-y)(x+y+1)
(cid:9120) x¤ +10x+25
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ 도형 A의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
➌ 도형 B의 넓이를 구할 수 있다.
… ➌
… ➍
(cid:9120) 14
30%
50%
10%
10%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 5
40%
40%
20%
… ➊
… ➋
… ➌
40%
30%
30%
0637 (주어진 식)=(x-y)¤ -2¤ =(x-y+2)(x-y-2)
(cid:9120) (x-y+2)(x-y-2)
0638 17_67-17_47=17_(67-47)=17_20=340
(cid:9120) 340
0639 95¤ +10_95+5¤ =(95+5)¤ =10000
(cid:9120) 10000
0640 102¤ -4_102+4=(102-2)¤ =10000
(cid:9120) 10000
0641 100¤ -99¤ =(100+99)(100-99)=199
(cid:9120) 199
0642 x¤ -4x+4=(x-2)¤ =(52-2)¤ =2500
(cid:9120) 2500
0643 x¤ +2xy+y¤ =(x+y)¤ =(6.4+3.6)¤ =100
(cid:9120) 100
06 인수분해 공식의 활용 47
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지48 SinsagoHitec
0644 "√a¤ -b¤ ="√(a+b)(a-b)
="√(14.5+10.5√)(14.5-10.5)
='ƒ25_4='∂100=10
0656 x¤ +2x=A로 치환하면
(주어진 식)=2A¤ -5A-3=(A-3)(2A+1)
(cid:9120) 10
=(x¤ +2x-3)(2x¤ +4x+1)
=(x+3)(x-1)(2x¤ +4x+1)
(cid:9120) ②
0657 x-y=A로 치환하면
(주어진 식)=2A(A+1)-24=2A¤ +2A-24
=2(A¤ +A-12)=2(A-3)(A+4)
=2(x-y-3)(x-y+4)
(cid:9120) ④
0658 2a+3b=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -10(A-2)+5=A¤ -10A+25
=(A-5)¤ =(2a+3b-5)¤
(cid:9120) ①
0645 a¤ +6a-16=(a+8)(a-2)=(22+8)(22-2)
=30_20=600
(cid:9120) 600
0646 (주어진 식)=x¤ (x-1)-9(x-1)=(x-1)(x¤ -9)
=(x-1)(x+3)(x-3)
(cid:9120) ⑤
0647 (주어진 식)=2ab(a¤ -2ab+b¤ )=2ab(a-b)¤ (cid:9120) ④
0648 (주어진 식)=(x+y)(4x¤ -5xy+y¤ )
=(x+y)(x-y)(4x-y)
(cid:9120) ①, ②
0649 (주어진 식)=x¤ (y+2)-4(y+2)=(y+2)(x¤ -4)
=(x+2)(x-2)(y+2)
0650 (주어진 식)=(2x-1)(y¤ +3y-10)
=(2x-1)(y+5)(y-2)
0651 A=-(a-b)+a(a-b)-b(a-b)
=(a-b)(a-b-1)
B=(a+2)(a¤ -b¤ )=(a+2)(a+b)(a-b)
… ➋
(cid:9120) 2a+6
70%
30%
∴ abc=2_(-2)_2=-8
(cid:9120) -8
(주어진 식)=(A-b)(A+b)-3b¤ =A¤ -4b¤
0659 a+3=A로 치환하면
=(A+2b)(A-2b)
=(a+3+2b)(a+3-2b)
… ➊
(cid:9120) ②, ③
따라서 두 일차식의 합은(cid:100)(cid:100)
(a+3+2b)+(a+3-2b)=2a+6
따라서 두 다항식의 공통인수는 a-b이다.
(cid:9120) ③
➊ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➋ 두 일차식의 합을 구할 수 있다.
0652 2x+1=A로 치환하면
(좌변)=A¤ -6A+8=(A-2)(A-4)
=(2x-1)(2x-3)
∴ a+b=-1+(-3)=-4
0653 x-5=A로 치환하면
A¤ -7A+12=(A-3)(A-4)=(x-8)(x-9)
따라서 두 일차식의 합은
(x-8)+(x-9)=2x-17
0654 a+b=A로 치환하면
(주어진 식)=A¤ +3Ac+2c¤ =(A+c)(A+2c)
=(a+b+c)(a+b+2c)
(cid:9120) ①
0655 x-3y=A로 치환하면
(주어진 식)=4(x-3y)¤ -(x-3y)-3
=4A¤ -A-3=(4A+3)(A-1)
=(4x-12y+3)(x-3y-1)
따라서 a=-12, b=3, c=-3, d=-1이므로
abcd=-12_3_(-3)_(-1)=-108
0660 3x-y=A로 치환하면
(주어진 식)=A(A-8z)-20z¤ =A¤ -8Az-20z¤
(cid:9120) ②
=(A-10z)(A+2z)
=(3x-y-10z)(3x-y+2z)
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c+d=-1+(-10)+3+2=-6
(cid:9120) -6
(cid:9120) 2x-17
0661 x¤ -x=A로 치환하면
(주어진 식)=(A-5)(A-9)-21=A¤ -14A+24
=(A-2)(A-12)=(x¤ -x-2)(x¤ -x-12)
=(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)
(cid:9120) ②, ④
0662 a-1=A, b-1=B로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
={(a-1)+(b-1)} {(a-1)-(b-1)}
=(a+b-2)(a-b)
(cid:9120) ①, ⑤
0663 x+y=A, 2x-y=B로 치환하면
(주어진 식)=A¤ -9AB+20B¤ =(A-4B)(A-5B)
={(x+y)-4(2x-y)}{x+y-5(2x-y)}
=(-7x+5y)(-9x+6y)
=3(3x-2y)(7x-5y)
(cid:9120) ㉢, 3(3x-2y)(7x-5y)
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) -108
60%
30%
10%
➊ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➋ a, b, c, d의 값을 구할 수 있다.
➌ abcd의 값을 구할 수 있다.
48 정답 및 풀이
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지49 SinsagoHitec
0664 x-1=A, x+4=B로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(좌변)=2A¤ +AB-B¤ =(A+B)(2A-B)
={(x-1)+(x+4)} {2(x-1)-(x+4)}
=(2x+3)(x-6)
따라서 a=2, b=3, c=-6이므로(cid:100)(cid:100)ab+c=0
(cid:9120) ③
0665 x-4y=A, x+4y=B로 치환하면
(주어진 식)=(x-4y)¤ -(-x-4y)¤
=(x-4y)¤ -(x+4y)¤
=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
={(x-4y)+(x+4y)}{(x-4y)-(x+4y)}
=2x_(-8y)=-16xy
(cid:9120) -16xy
0666 (주어진 식)={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-8
=(≥x¤ +3x)(≥x¤ +3x+2)-8
A
A
=A(A+2)-8
=A¤ +2A-8=(A+4)(A-2)
=(x¤ +3x+4)(x¤ +3x-2)
(cid:9120) ③
본책 89~94쪽
이 식이 완전제곱식이 되려면(cid:100)(cid:100)k={
6
2
2
}
=9
(cid:9120) ⑤
0671 (주어진 식)=a‹ -a¤ b-a+b=a¤ (a-b)-(a-b)
=(a-b)(a¤ -1)=(a-b)(a+1)(a-1)
따라서 주어진 다항식의 인수인 것은 ㈀, ㈁, ㈂`이다.
(cid:9120) ①
(주어진 식)=a‹ -a-a¤ b+b=a(a¤ -1)-b(a¤ -1)
=(a-b)(a¤ -1)=(a-b)(a+1)(a-1)
0672 (주어진 식)=(x+y)(x-y)-z(x-y)
=(x-y)(x+y-z)
(cid:9120) ②
0673 (주어진 식)=x¤ (x+2)-9(x+2)=(x+2)(x¤ -9)
=(x+2)(x+3)(x-3)
따라서 세 일차식의 합은
(x+2)+(x+3)+(x-3)=3x+2
(주어진 식)=x‹ -9x+2x¤ -18
(cid:9120) ⑤
=x(x¤ -9)+2(x¤ -9)=(x+2)(x¤ -9)
=(x+2)(x+3)(x-3)
0
6
인
수
분
해
공
식
의
활
용
0667 (주어진 식)=(≥x¤ -1)(≥x¤ -4)-40
A
A
0674 xy+5x-y-5=x(y+5)-(y+5)
=(A-1)(A-4)-40=A¤ -5A-36
=(x-1)(y+5)
=(A-9)(A+4)=(x¤ -9)(x¤ +4)
x¤ -x+xy-y=x(x-1)+y(x-1)
=(x+3)(x-3)(x¤ +4)
=(x-1)(x+y)
(cid:9120) (x+3)(x-3)(x¤ +4)
따라서 두 다항식의 공통인수는 x-1이다.
(cid:9120) ①
0668 (주어진 식)
={(x+1)(x+6)} {(x+2)(x+5)}-12
=(≥x¤ +7x+6)(≥x¤ +7x+10)-12
A
=(A+6)(A+10)-12=A¤ +16A+48
A
=(A+4)(A+12)=(x¤ +7x+4)(x¤ +7x+12)
=(x+3)(x+4)(x¤ +7x+4)
(cid:9120) ①, ④
0669 (좌변)={(a+1)(a+7)}{(a+3)(a+5)}+16
=(≥a¤ +8a+7)(≥a¤ +8a+15)+16
A
A
(좌변)=(A+7)(A+15)+16=A¤ +22A+121
(좌변)=(A+11)¤ =(a¤ +8a+11)¤
따라서 m=8, n=11이므로
(cid:100)(cid:100)mn=88
➊ 주어진 식의 좌변을 인수분해할 수 있다.
➋ m, n의 값을 구할 수 있다.
➌ mn의 값을 구할 수 있다.
0670 (주어진 식)={x(x-5)}{(x-2)(x-3)}+k
=(≥x¤ -5x)(≥x¤ -5x+6)+k
A
=A(A+6)+k=A¤ +6A+k
A
0675 xy+x+y+1=5에서(cid:100)(cid:100)x(y+1)+(y+1)=5
(cid:100)(cid:100)∴ (x+1)(y+1)=5
… ➊
x, y가 정수이므로
x+1
y+1
1
5
5
1
-1
-5
-5
-1
(cid:8825)
x
y
0
4
4
0
-2
-6
-6
-2
따라서 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)는
(cid:100)(cid:100)(0, 4), (4, 0), (-2, -6), (-6, -2)의 4개
… ➋
(cid:9120) 4
50%
50%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 88
60%
30%
10%
➊ 주어진 식의 좌변을 인수분해할 수 있다.
➋ 정수 x, y의 순서쌍 (x, y)의 개수를 구할 수 있다.
0676 (주어진 식)=a¤ -4a+4-b¤ =(a-2)¤ -b¤
=(a+b-2)(a-b-2)
(cid:9120) ③
0677 (주어진 식)=1-(x¤ -2xy+y¤ )=1¤ -(x-y)¤
=(1+x-y)(1-x+y)
(cid:9120) ①, ②
0678 (주어진 식)=x¤ -(y¤ -14y+49)=x¤ -(y-7)¤
=(x+y-7)(x-y+7)
따라서 두 일차식의 합은
(cid:100)(cid:100)(x+y-7)+(x-y+7)=2x
(cid:9120) 2x
06 인수분해 공식의 활용 49
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지50 SinsagoHitec
0679 (주어진 식)=(a-3b)¤ -(5c)¤
=(a-3b+5c)(a-3b-5c)
(cid:9120) ③
0680 (주어진 식)=16x¤ y¤ -48xy+36-z¤
=(4xy-6)¤ -z¤
0687 7.5¤ _23.8-2.5¤ _23.8
=23.8_(7.5¤ -2.5¤ )
=23.8_(7.5+2.5)_(7.5-2.5)
=23.8_10_5=1190
=(4xy+z-6)(4xy-z-6)
(cid:9120) ④
0688 A=33.5¤ -2_33.5_3.5+3.5¤
0681 (주어진 식)=16x¤ +8xy+y¤ -9=(4x+y)¤ -3¤
=(4x+y+3)(4x+y-3)
∴ A+B=920
=(33.5-3.5)¤ =30¤ =900
B="√(52+48)(52-48)='ƒ100_4='∂400=20
따라서 a=4, b=1, c=-3이므로
a-b+c=0
➊ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➋ a, b, c의 값을 구할 수 있다.
➌ a-b+c의 값을 구할 수 있다.
0682 (주어진 식)=3(x-1)y+x¤ +4x-5
=3(x-1)y+(x+5)(x-1)
=(x-1)(x+3y+5)
(cid:9120) ③
0683 (좌변)=x¤ +x-(y¤ -7y+12)
=x¤ +x-(y-4)(y-3)
={ x-(y-4)} {x+(y-3)}
=(x-y+4)(x+y-3)
(cid:100)(cid:100)∴ A=x-y+4
(cid:9120) x-y+4
0684 (주어진 식)=x¤ -2(y+z)x-3(y¤ +2yz+z¤ )
=x¤ -2(y+z)x-3(y+z)¤
={x+(y+z)}{x-3(y+z)}
=(x+y+z)(x-3y-3z)
(cid:100)(cid:100)따라서 a=1, b=-3, c=-3이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)a+b+c=-5
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 0
60%
30%
10%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) -5
60%
30%
10%
➊ A의 값을 구할 수 있다.
➋ B의 값을 구할 수 있다.
➌ A+B의 값을 구할 수 있다.
0689 5_21¤ -5_42+5=5_(21¤ -2_21+1¤ )
=5_(21-1)¤
=5_20¤ =2000
0690 (주어진 식)=
998_(997+3)
(999+1)(999-1)
=
998_1000
1000_998
=1
0691 (주어진 식)=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)
0692 (주어진 식)=
(cid:100)+(5+6)(5-6)+(7+8)(7-8)
=-3+(-7)+(-11)+(-15)
=-36
(cid:9120) ①
(2-1)(2+1)
2_2
(4-1)(4+1)
4_4
_
(3-1)(3+1)
3_3
(10-1)(10+1)
10_10
_y_
=_
_
3_5
4_4
_y_
9_11
10_10
=
1_3
2_2
1
2
_
11
10
2_4
3_3
11
20
= _ =
➊ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➋ a, b, c의 값을 구할 수 있다.
➌ a+b+c의 값을 구할 수 있다.
0685 (주어진 식)=x¤ -2yx-(3y¤ -4y+1)
=x¤ -2yx-(y-1)(3y-1)
=(x+y-1)(x-3y+1)
따라서 두 일차식의 합은
(x+y-1)+(x-3y+1)=2x-2y
(cid:9120) ④
0693 x=2+'3, y=2-'3이므로
x+y=4, x-y=2'3, xy=1
∴ x‹ y-xy‹ =xy(x¤ -y¤ )=xy(x+y)(x-y)
=1_4_2'3=8'3
0694 (주어진 식)=2(x¤ -2xy-3y¤ )=2(x+y)(x-3y)
=2(3.75+0.25)(3.75-3_0.25)
=2_4_3=24
(cid:9120) ③
0686 (주어진 식)=2x¤ +(5y+2)x+3y¤ +4y-4
0695 (주어진 식)=
=2x¤ +(5y+2)x+(y+2)(3y-2)
=(x+y+2)(2x+3y-2)
(cid:9120) ⑤
=
4x+6
2x+3
x(x¤ +2x)+6
2x+3
2(2x+3)
2x+3
=2
=
50 정답 및 풀이
(cid:9120) ①
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 920
40%
40%
20%
(cid:9120) ④
(cid:9120) 1
(cid:9120) ③
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ①
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지51 SinsagoHitec
본책 94~98쪽
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 5-2'5
20%
50%
30%
0
6
인
수
분
해
공
식
의
활
용
0696 2x¤ -2y¤ +4x+2=2(x¤ +2x+1-y¤ )
=2{(x+1)¤ -y¤ }
=2(x+1+y)(x+1-y)
… ➊
x+y=2'2, x-y=2이므로
(cid:100)(cid:100)(좌변)=2(2'2+1)(2+1)=12'2+6
따라서 a=6, b=12이므로
(cid:100)(cid:100)a-b=-6
0703 2x+y=
'5+2
('5-2)('5+2)
='5+2
2x-y=
'5-2
('5+2)('5-2)
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=4x¤ -y¤ -4x+2y
='5-2
=(2x+y)(2x-y)-2(2x-y)
=(2x-y)(2x+y-2)
=('5-2)('5+2-2)
=5-2'5
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) -6
40%
30%
20%
10%
… ➌
… ➍
(cid:9120) 120
20%
10%
50%
20%
(cid:9120) ①
(cid:9120) ④
(cid:9120) ①
➊ 주어진 식의 좌변을 인수분해할 수 있다.
➋ 주어진 식의 좌변의 값을 구할 수 있다.
➌ a, b의 값을 구할 수 있다.
➍ a-b의 값을 구할 수 있다.
0697 a=3+'5, b=3-'5이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=6, a-b=2'5
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=a¤ (a-b)-b¤ (a-b)=(a-b)(a¤ -b¤ )
… ➋
… ➊
=(a-b)¤ (a+b)
=(2'5)¤ _6=120
➊ a, b의 값을 구할 수 있다.
➋ a+b, a-b의 값을 구할 수 있다.
➌ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➍ 주어진 식의 값을 구할 수 있다.
0698 a='ß10-3, b=3이므로(cid:100)(cid:100)a+b='ß10
∴ (주어진 식)=
a¤ (a+b)-b¤ (a+b)
a-b
=
(a+b)(a¤ -b¤ )
a-b
=(a+b)¤ =('ß10)¤ =10
=
(a+b)¤ (a-b)
a-b
0699 x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)=7'5
0700 (주어진 식)=c(a-b)-b(a-b)
=(a-b)(c-b)
=3_(-2)=-6
0701 (주어진 식)=(a+b)(a¤ -b¤ )
=(a+b)¤ (a-b)
=(2'2)¤ ('2-1)=8'2-8
0702 (좌변)=a¤ +a-b¤ +b
=a¤ -b¤ +a+b
=(a+b)(a-b)+(a+b)
=(a+b)(a-b+1)=10
➊ 2x+y, 2x-y의 분모를 유리화할 수 있다.
➋ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➌ 주어진 식의 값을 구할 수 있다.
0704 (2a+b)¤ -(a+2b)¤
=(2a+b+a+2b)(2a+b-a-2b)
=(3a+3b)(a-b)=3(a+b)(a-b)
한편 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=3¤ -4_1=5이므로
a-b='5 (∵ a>b)
∴ (주어진 식)=3_3_'5=9'5
(cid:9120) 9'5
0705 도형 A의 넓이는
(cid:100)(cid:100)(3x+7)¤ -(x+1)¤ =(3x+7+x+1)(3x+7-x-1)
=(4x+8)(2x+6)
이것은 도형 B의 넓이와 같으므로 도형 B의 가로의 길이는
4x+8이다.
(cid:9120) ⑤
0706
1
p(x+y)¤ - px¤ + py¤
2
1
2
= p {(x+y)¤ -(x¤ -y¤ )}
= p {(x+y)¤ -(x+y)(x-y)}
1
2
1
2
1
2
1
2
= p_2y(x+y)=y(x+y)p
(cid:9120) ④
0707 x‹ +x¤ y-x-y=x¤ (x+y)-(x+y)
=(x+y)(x¤ -1)
=(x+y)(x+1)(x-1)
… ➊
(cid:9120) ①
따라서 직육면체의 높이는 x-1이므로 겉넓이는
(cid:100)(cid:100)2{(x+y)(x-1)+(x-1)(x+1)+(x+1)(x+y)}
=2{(x¤ -x+xy-y)+(x¤ -1)+(x¤ +xy+x+y)}
=2(3x¤ +2xy-1)=6x¤ +4xy-2
… ➋
(cid:9120) 6x¤ +4xy-2
50%
50%
06 인수분해 공식의 활용 51
한편 a+b=-2이므로(cid:100)(cid:100)a-b+1=-5
➊ 부피를 나타내는 식을 인수분해할 수 있다.
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=-6
(cid:9120) ①
➋ 겉넓이를 구할 수 있다.
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지52 SinsagoHitec
0708
해한다.
적당한 항끼리 묶어 공통부분을 찾아 치환하여 인수분
x¤ +6x+4=k¤ (k+0인 정수)이라 하면
(주어진 식)=(≥x-4y)¤ -6(≥x-4y)+9
A
A
=A¤ -6A+9=(A-3)¤
=(x-4y-3)¤
(cid:9120) (x-4y-3)¤
(주어진 식)=x¤ -2(4y+3)x+16y¤ +24y+9
=x¤ -2(≥4y+3)x+(≥4y+3)¤
A
A
=x¤ -2Ax+A¤ =(x-A)¤
=(x-4y-3)¤
0709
공통부분을 한 문자로 치환하여 인수분해한다.
x+y=X로 치환하면
A=X¤ -X+a+1, B=X¤ -3X+b
A=X¤ -X+a+1=(X+2)(X+m)으로 놓으면
2+m=-1, 2m=a+1(cid:100)(cid:100)∴ m=-3, a=-7
B=X¤ -3X+b=(X+2)(X+n)으로 놓으면
2+n=-3, 2n=b(cid:100)(cid:100)∴ n=-5, b=-10
∴ a-b=3
(cid:9120) ④
(x¤ +6x+9)-k¤ =5,(cid:100)(cid:100)(x+3)¤ -k¤ =5
∴ (x+k+3)(x-k+3)=5
x, k가 정수이므로
⁄ x+k+3=1, x-k+3=5일 때,(cid:100)(cid:100)x=0, k=-2
¤ x+k+3=5, x-k+3=1일 때,(cid:100)(cid:100)x=0, k=2
‹ x+k+3=-1, x-k+3=-5일 때,(cid:100)(cid:100)x=-6, k=2
› x+k+3=-5, x-k+3=-1일 때,(cid:100)(cid:100)x=-6, k=-2
이상에서 0이 아닌 정수 x의 값은 -6이다.
(cid:9120) -6
0714
한 문자에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해한다.
(주어진 식)=(bc+b+c+1)a+bc+b+c+1
=(a+1)(bc+b+c+1)
=(a+1){b(c+1)+c+1}
=(a+1)(b+1)(c+1)
(cid:9120) ⑤
0715
복잡한 수의 계산을 할 때, 인수분해한 후 계산한다.
10› -81=10› -3› =(10¤ +3¤ )(10¤ -3¤ )
=(10¤ +3¤ )(10+3)(10-3)
=109_13_7
0710
치환하여 인수분해한다.
공통부분이 생기도록 2개씩 묶어 전개한 후 공통부분을
7, 13, 109가 모두 소수이므로 10› -81의 약수의 개수는
(cid:100)(cid:100)2_2_2=8
(cid:9120) ①
(주어진 식)=(x-1)(x-2)(x+2)(x+3)-60
={(x-1)(x+2)}{(x-2)(x+3)}-60
=(≥x¤ +x-2)(≥x¤ +x-6)-60
A
A
=(A-2)(A-6)-60
=A¤ -8A-48
=(A-12)(A+4)
=(x¤ +x-12)(x¤ +x+4)
자연수 N이 aμ _b« (a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)으로
소인수분해될 때
① N의 약수는(cid:100)(cid:100)a˚ _b¬ (k=0, 1, 2, y, m, l=0, 1, 2, y, n)
② N의 약수의 개수는(cid:100)(cid:100)(m+1)(n+1)
=(x-3)(x+4)(x¤ +x+4)
(cid:9120) ②, ④
0716
2⁄
fl -1=(2° +1)(2° -1)
복잡한 수의 계산을 할 때, 인수분해한 후 계산한다.
0711
공통부분이 생기도록 양변에 같은 수를 더한다.
xy+x-4y-7=0에서(cid:100)(cid:100)x(y+1)-4(y+1)=3
(cid:100)(cid:100)∴ (x-4)(y+1)=3
x, y가 정수이므로
=(2° +1)(2› +1)(2› -1)
=(2° +1)(2› +1)(2¤ +1)(2¤ -1)
=257_17_5_3
따라서 자연수 a의 값이 될 수 없는 것은③ `이다.
(cid:9120) ③
x-4
y+1
1
3
3
1
-1
-3
-3
-1
(cid:8825)
x
y
5
2
7
0
3
1
-4
-2
따라서 xy의 최솟값은 -12이다.
(cid:9120) ①
0717
7005=a로 놓고 주어진 식을 인수분해한다.
7005=a로 치환하면
7005_7007+1=a(a+2)+1=a¤ +2a+1
=(a+1)¤ =7006¤
적당한 항끼리 묶어 A¤ -B¤ 꼴로 변형하여 인수분해한
따라서 어떤 자연수는 7006이다.
(cid:9120) 7006
(주어진 식)=(x+y)(x-y)+x+y-(x-y)-1
=x¤ -y¤ +2y-1=x¤ -(y¤ -2y+1)
=x¤ -(y-1)¤
=(x+y-1)(x-y+1)
(cid:9120) ①
0718
치환하여 A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)임을 이용한다.
'6+'3+'2-1=A, '6+'3-'2+1=B로 치환하면
A+B=2('6+'3), A-B=2('2-1)
∴ (주어진 식)=A¤ -B¤ =(A+B)(A-B)
0713
ßA가 자연수이려면 A는 제곱수이어야 함을 이용한다.
'∂
=4('6+'3)('2-1)
=4'3
(cid:9120) ④
0712
다.
52 정답 및 풀이
(025~053)중등쎈3(상)해설 2014.7.29 3:21 PM 페이지53 SinsagoHitec
0
6
인
수
분
해
공
식
의
활
용
본책 99~101쪽
0719
분을 구한다.
1<'3<2임을 이용하여 2+'3의 정수 부분과 소수 부
a=3, b='3-1이므로
(주어진 식)=a¤ -(b¤ +2b+1)=a¤ -(b+1)¤
=(a+b+1)(a-b-1)
=(3+'3-1+1)(3-'3+1-1)
=(3+'3)(3-'3)
=6
➊ 주어진 식을 전개하여 공통부분을 찾을 수 있다.
➋ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
30%
70%
0724
3¤
인수분해 공식 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)를 이용한다.
› -1=(3⁄
¤ +1)(3⁄
¤ -1)=(3⁄
¤ +1)(3fl +1)(3fl -1)
=(3⁄
¤ +1)(3fl +1)(3‹ +1)(3‹ -1)
… ➊
따라서 3¤
› -1은 3‹ +1과 3‹ -1, 즉 28과 26으로 나누어떨어지
(cid:9120) ④
므로 구하는 합은
(cid:100)(cid:100)28+26=54
0720
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab임을 이용한다.
(p-q)¤ ={(ax+by)-(bx+ay)}¤
={(a-b)x-(a-b)y}¤
={(a-b)(x-y)}¤
=(a-b)¤ (x-y)¤
(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=7¤ -4_12=1,
(x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy=(-3)¤ -4_(-10)=49
이므로
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=1_49=49
0721
주어진 두 식을 연립하여 a-b의 값을 구한다.
b-c=2, c-a=4를 변끼리 더하면
(cid:100)(cid:100)b-a=6(cid:100)(cid:100)∴ a-b=-6
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)
` =a¤ -2ab+b¤ +b¤ -2bc+c¤ +c¤ -2ca+a¤
` =(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤
` =(-6)¤ +2¤ +4¤ =56
(cid:9120) 56
0722
pr¤ 임을 이용한다.
반지름의 길이가 r인 원의 둘레의 길이는 2pr, 넓이는
AB”=2r cm라 하면
AC”=2r+3(cm), AD”=2r+6(cm)
AC”를 지름으로 하는 원의 둘레의 길이가 ap cm이므로
(2r+3)p=ap(cid:100)(cid:100)∴ 2r+3=a
∴ (색칠한 부분의 넓이)={
➊ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➋ 두 자연수의 합을 구할 수 있다.
0725
x, y의 분모를 유리화한 후, 인수분해 공식을 이용한다.
(cid:9120) ②
y=
x=
='1ß0+3,
'1ß0+3
('1ß0-3)('1ß0+3)
'1ß0-3
('1ß0+3)('1ß0-3)
x+y=2'1ß0, x-y=6
∴ x¤ -y¤ +6y-9=x¤ -(y¤ -6y+9)=x¤ -(y-3)¤
='1ß0-3이므로
=(x+y-3)(x-y+3)
=(2'1ß0-3)(6+3)
=18'1ß0-27
… ➍
(cid:9120) 18'1ß0-27
➊ x, y의 분모를 유리화할 수 있다.
➋ x+y, x-y의 값을 구할 수 있다.
➌ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➍ 주어진 식의 값을 구할 수 있다.
0726
분해한다.
x를 a에 대한 식으로 나타낸 후, 근호 안의 식을 인수
2
2
}
2r
2
2r+6
2
}
p
p-{
={(r+3)¤ -r¤ } p
=(r+3+r)(r+3-r)p
=3(2r+3)p
=3ap(cm¤ )
'ßx=a+2에서(cid:100)(cid:100)x=(a+2)¤
(cid:100)(cid:100)∴ '∂x-8a +'∂x+2a+5
(cid:100)(cid:100)="‘(a+2)¤ -8a +"‘(a+2)¤ +2a+5
(cid:100)(cid:100)="‘a¤ -4a+4 +"‘a¤ +6a+9
="‘(a-2)¤ +"‘(a+3)¤
=-(a-2)+a+3 (∵ a-2<0, a+3>0)
(cid:9120) ⑤
=5
0723
한다.
공통부분을 한 문자로 치환하여 인수분해 공식을 이용
(주어진 식)=(xy+9)(xy-3x-3y+9)+9xy
이때 xy+9=A로 치환하면
… ➊
➊ x를 a에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
➋ 근호 안의 식을 인수분해할 수 있다.
(cid:100)(cid:100)(주어진 식)=A(A-3x-3y)+9xy
➌ 식을 간단히 할 수 있다.
… ➋
(cid:9120) 54
50%
50%
… ➊
… ➋
… ➌
20%
10%
50%
20%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 5
20%
50%
30%
=A¤ -(3x+3y)A+9xy
=(A-3x)(A-3y)
=(xy-3x+9)(xy-3y+9)
… ➋
0727
정리한다.
x=a+'b를 x-a='b로 변형한 후, 양변을 제곱하여
(cid:9120) (xy-3x+9)(xy-3y+9)
2x+1='5의 양변을 제곱하면
06 인수분해 공식의 활용 53
(054~063)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:22 PM 페이지54 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)4x¤ +4x+1=5(cid:100)(cid:100)∴ 4x¤ +4x=4
(cid:100)(cid:100)∴ 8x‹ +8x¤ +6x=2x(4x¤ +4x+3)
… ➊
… ➋
07
이차방정식의 풀이 ⑴
=(-1+'5)_7
=-7+7'5
… ➌
(cid:9120) -7+7'5
0731 3x-4=-3x+2에서(cid:100)(cid:100)6x-6=0
0732 2x¤ =3x-1에서(cid:100)(cid:100)2x¤ -3x+1=0
➊ 4x¤ +4x의 값을 구할 수 있다.
➋ 주어진 식을 인수분해할 수 있다.
➌ 주어진 식의 값을 구할 수 있다.
0728
주어진 식의 좌변을 인수분해하여 xy의 값을 구한다.
x¤ y+xy¤ +3x+3y=xy(x+y)+3(x+y)
x+y=8이므로(cid:100)(cid:100)xy+3=5(cid:100)(cid:100)∴ xy=2
=(x+y)(xy+3)=40
∴
x¤ y-xy¤
x¤ -y¤
=
=
xy(x-y)
(x+y)(x-y)
1
4
2
= =
8
xy
x+y
➊ x¤ y+xy¤ +3x+3y를 인수분해할 수 있다.
➋ xy의 값을 구할 수 있다.
➌ 주어진 식의 값을 구할 수 있다.
0729
로 정리한다.
a=b-1, c=b+1임을 이용하여 주어진 식을 한 문자
a, b, c가 연속하는 세 자연수이므로
(cid:100)(cid:100)a=b-1, c=b+1
(cid:100)(cid:100)∴ (주어진 식)=(a-b)(b-c)(c-a)
(cid:9120) ×
(cid:9120) (cid:8776)
(cid:9120) ×
0733 -x¤ +x‹ =4x-3+x‹ 에서(cid:100)(cid:100)x¤ +4x-3=0
(cid:9120) (cid:8776)
0734 x¤ + =x¤ 에서(cid:100)(cid:100) =0
1
x¤
1
x¤
0735 ax¤ +bx+c가 x에 대한 이차식이 되어야 하므로
(cid:100)(cid:100)a+0
(cid:9120) ②
0736 2_0=0
(cid:9120) (cid:8776) 0737 3¤ +3_3-1+0 (cid:9120) ×
0738 -1_1=-2_(-1)-3
(cid:9120) (cid:8776)
0739 x=-1일 때,(cid:100)(cid:100)-1_(-2)+0
x=0일 때,(cid:100)(cid:100)0_(-1)=0
x=1일 때,(cid:100)(cid:100)1_0=0
(cid:9120) x=0 또는 x=1
0740 x=-1일 때,(cid:100)(cid:100)(-1)¤ -2_(-1)-3=0
x=0일 때,(cid:100)(cid:100)-3+0
x=1일 때,(cid:100)(cid:100)1¤ -2_1-3+0
(cid:9120) x=-1
0741 x=-1일 때,(cid:100)(cid:100)3_(-1)¤ -2_(-1)-1+0
x=0일 때,(cid:100)(cid:100)-1+0
x=1일 때,(cid:100)(cid:100)3_1¤ -2_1-1=0
(cid:9120) x=1
(cid:9120) -4
0743 (-3)¤ +5_(-3)-a=0이므로(cid:100)(cid:100)a=-6 (cid:9120) -6
0744 a¤ -a-2=0이므로(cid:100)(cid:100)a¤ -a=2
(cid:9120) 2
0745 ㈃ AB=-2_1+0
(cid:9120) ㈀, ㈁, ㈂
0746 3x(x-2)=0에서(cid:100)(cid:100)3x=0 또는 x-2=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=2
(cid:9120) x=0 또는 x=2
0748 (3x+1)(4x-1)=0에서(cid:100)(cid:100)3x+1=0 또는 4x-1=0
1
4
1
(cid:9120) x=- 또는 x=
3
(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=
1
3
1
4
0749 x¤ -25=0에서(cid:100)(cid:100)(x+5)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=5
(cid:9120) x=-5 또는 x=5
0750 2x¤ -16x=0에서(cid:100)(cid:100)2x(x-8)=0
40%
30%
30%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120)
1
4
50%
20%
30%
… ➊
… ➋
(cid:9120) 2
50%
50%
… ➋
… ➌
(cid:9120) 2
20%
40%
40%
=(b-1-b)(b-b-1)(b+1-b+1)
0742 2¤ +2a+4=0이므로(cid:100)(cid:100)a=-4
=-1_(-1)_2
=2
➊ a, c를 b에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
➋ 주어진 식의 값을 구할 수 있다.
0730
pr¤ 임을 이용한다.
반지름의 길이가 r인 원의 둘레의 길이는 2pr, 넓이는
주어진 그림에서 점선인 원의 반지름의 길이를 r m라 하면
2pr=16p(cid:100)(cid:100)∴ r=8
길의 넓이가 64p m¤ 이므로
… ➊
0747
1
2
(x+5)(x-1)=0에서(cid:100)(cid:100)x+5=0 또는 x-1=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=1
(cid:9120) x=-5 또는 x=1
p(8+x)¤ -p(8-x)¤ =64p
(8+x+8-x)(8+x-8+x)=64
32x=64(cid:100)(cid:100)∴ x=2
➊ 점선인 원의 반지름의 길이를 구할 수 있다.
➋ 길의 넓이를 구하는 식을 세울 수 있다.
➌ x의 값을 구할 수 있다.
54 정답 및 풀이
(054~063)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:22 PM 페이지55 SinsagoHitec
0
7
이
차
방
정
식
의
풀
이
⑴
본책 101~108쪽
2
10
2
0766 a={
x¤ +10x+25=(x+5)¤ 이므로(cid:100)(cid:100)b=5
=25
}
(cid:9120) a=25, b=5
-3
2
2
}
=
0767 a={
9
x¤ -3x+ ={x- }
4
3
2
9
4
2
이므로(cid:100)(cid:100)b=-
2
=
1
7
1
x¤ + x+ ={x+ }
49
0768 a={
2
7
1
49
1
7
}
2
이므로(cid:100)(cid:100)b=
3
2
1
7
9
(cid:9120) a= , b=-
4
3
2
1
(cid:9120) a= , b=
49
1
7
(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=8
(cid:9120) x=0 또는 x=8
0751 10x¤ -3x-1=0에서(cid:100)(cid:100)(5x+1)(2x-1)=0
1
2
(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=
1
(cid:9120) x=- 또는 x=
5
1
5
0752 3x¤ +7x-6=0이므로(cid:100)(cid:100)(x+3)(3x-2)=0
2
3
(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=
(cid:9120) x=-3 또는 x=
1
2
2
3
0753 (cid:9120) x=-5 (중근)
0754 3(2x+1)¤ =0에서(cid:100)(cid:100)(2x+1)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ x=- (중근)
1
2
(cid:9120) x=- (중근)
1
2
0755 x¤ +8x+16=0이므로(cid:100)(cid:100)(x+4)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-4`(중근)
0756 9x¤ -12x+4=0이므로(cid:100)(cid:100)(3x-2)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ x= (중근)
2
3
49
4
0757 x¤ =2이므로(cid:100)(cid:100)x=—'2
0758 x¤ = 이므로(cid:100)(cid:100)x=—
7
2
2
(cid:9120) x= `(중근)
3
(cid:9120) x=—'2
(cid:9120) x=—
7
2
0759 (x+4)¤ =2이므로(cid:100)(cid:100)x+4=—'2
(cid:100)(cid:100)∴ x=-4—'2
(cid:9120) x=-4—'2
0760 (x+1)¤ =4이므로(cid:100)(cid:100)x+1=—2
(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=1
(cid:9120) x=-3 또는 x=1
0761 x¤ -6x+3=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -6x+ =-3+
(cid:100)(cid:100)(x- )¤ =
6
3
9
9
(cid:9120) ㈎ 9 ㈏ 3 ㈐ 6
0762 x¤ -2x=4이므로(cid:100)(cid:100)x¤ -2x+1=4+1
(cid:100)(cid:100)∴ (x-1)¤ =5
(cid:9120) (x-1)¤ =5
0763 x¤ -4x=-1이므로(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+4=-1+4
(cid:100)(cid:100)∴ (x-2)¤ =3
(cid:9120) (x-2)¤ =3
0764 양변을 3으로 나누면(cid:100)(cid:100)x¤ +4x+ =0
(cid:100)(cid:100)x¤ +4x=- ,(cid:100)(cid:100)x¤ +4x+4=- +4
4
3
4
3
4
3
8
3
(cid:100)(cid:100)∴ (x+2)¤ =
0765 양변에 -1을 곱하면(cid:100)(cid:100)x¤ +10x-1=0
(cid:100)(cid:100)x¤ +10x=1,(cid:100)(cid:100)x¤ +10x+25=1+25
(cid:100)(cid:100)∴ (x+5)¤ =26
(cid:9120) x=-4`(중근)
0769 x¤ -2x-5=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -2x+ =5+
1
1
6
(cid:100)(cid:100)(x- )¤ = ,(cid:100)(cid:100)x- =
1
1
—'6
(cid:100)(cid:100)∴ x=
1—'6
(cid:9120) ㈎ 1 ㈏ 1 ㈐ 6 ㈑ —'6 ㈒ 1—'6
0770 x¤ -8x+9=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+16=-9+16
(cid:100)(cid:100)(x-4)¤ =7,(cid:100)(cid:100)x-4=—'7
(cid:100)(cid:100)∴ x=4—'7
(cid:9120) x=4—'7
0771 x¤ + x-1=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ + x+ =1+
1
25
1
25
2
5
= ,(cid:100)(cid:100)x+ =—
1
5
(cid:100)(cid:100){x+ }
1
5
(cid:100)(cid:100)∴ x=
2
26
25
-1—'ß26
5
(cid:9120) x=
-1—'ß26
5
2
5
'ß26
5
0772 2x¤ -4x-3=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -2x- =0
3
2
3
(cid:100)(cid:100)x¤ -2x+1= +1,(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =
2
'ß10
2
(cid:100)(cid:100)∴ x=1—
(cid:100)(cid:100)x-1=—
'ß10
2
5
2
(cid:9120) x=1—
'ß10
2
0773 3x¤ -8x+1=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ - x+ =0
(cid:100)(cid:100)x¤ - x+ =- + ,(cid:100)(cid:100){x- }
1
3
16
9
2
=
13
9
(cid:100)(cid:100)x- =—
(cid:100)(cid:100)∴ x=
4—'ß13
3
(cid:9120) x=
4—'ß13
3
16
9
'ß13
3
8
3
1
3
4
3
8
3
4
3
1
x
(cid:9120) (x+2)¤ =
8
3
0774 ㈁ 5x¤ -5x+4=0(cid:100)(cid:100)㈂ -x¤ +4=0
㈃ -1- =0(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)㈄ -3x-1=0
이상에서 x에 대한 이차방정식은 ㈁, ㈂이다.
(cid:9120) ③
0775 ⑤ 1-x¤ =x-x¤ (cid:100)(cid:100)∴ -x+1=0 (일차방정식)
(cid:9120) (x+5)¤ =26
(cid:9120) ⑤
07 이차방정식의 풀이 ⑴ 55
(054~063)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:22 PM 페이지56 SinsagoHitec
0776 (2x+1)(x-3)=4x-1에서
(cid:100)(cid:100)2x¤ -5x-3=4x-1(cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ -9x-2=0
따라서 a=2, b=-9, c=-2이므로
(cid:100)(cid:100)a-b-c=13
(cid:9120) 13
0777 ax¤ +4=(x+1)(x-2)에서(cid:100)(cid:100)(a-1)x¤ +x+6=0
a-1+0이어야 하므로(cid:100)(cid:100)a+1
(cid:9120) ④
0778 ① (3-1)_(3+3)+0 ② (-5)¤ +5+0
③ (-1)¤ -(-1)+3_(-1)_(-1+1)
④ 2¤ -7_2+6+0
⑤ 5_2¤ -7_2-6=0
(cid:100)(cid:100)3¤ +a_3+b=0(cid:100)(cid:100)∴ 3a+b=-9
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=-1, b=-6
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ +b¤ =(-1)¤ +(-6)¤ =37
yy ㉡
(cid:9120) 37
0785 x=1을 3x¤ -2x-a=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)3_1¤ -2_1-a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=1
x=3을 4x¤ -11x-b=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)4_3¤ -11_3-b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=3
(cid:9120) a=1, b=3
0786 x= 을 x¤ -4x+a=0에 대입하면
1
2
(cid:9120) ⑤
2
-4_ +a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=
1
2
7
4
1
2
}
(cid:100)(cid:100){
1
2
0779 ① (-1)¤ +3_(-1)-4+0
② (-1+2)_(-1-3)+4 ③ (-1)¤ -2_(-1)+1+0
④ (-1)¤ +7_(-1)+6=0 ⑤ (-1+5)¤ +36
x= 을 2x¤ +bx-1=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)2_{
1
2
}
1
2
2
+b_ -1=0(cid:100)(cid:100)∴ b=1
0780 x=-2일 때,(cid:100)(cid:100)(-2)¤ +2_(-2)-3+0
x=-1일 때,(cid:100)(cid:100)(-1)¤ +2_(-1)-3+0
x=0일 때,(cid:100)(cid:100)-3+0
x=1일 때,(cid:100)(cid:100)1¤ +2_1-3=0
x=2일 때,(cid:100)(cid:100)2¤ +2_2-3+0
따라서 해는 x=1이다.
(cid:9120) x=1
0781 ① x=2일 때,(cid:100)(cid:100)2¤ +5_2+4+0
② x=-4일 때,(cid:100)(cid:100)-4_(-4+3)=-4+8
x=2일 때,(cid:100)(cid:100)2_(2+3)=2+8
(cid:9120) ④
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=
11
4
(cid:9120) ④
0787 ① x=a를 x¤ -5x+3=0에 대입하면
② (cid:100)(cid:100)a¤ -5a+3=0
② 4+5a-a¤ =4-(a¤ -5a)=4-(-3)=7
③ 2a¤ -10a=2(a¤ -5a)=2_(-3)=-6
④ 3a¤ -15a+10=3(a¤ -5a)+10=3_(-3)+10=1
yy ㉠(cid:100)
⑤ ㉠의 양변을 a로 나누면(cid:100)(cid:100)a-5+ =0(cid:100)(cid:100)∴ a+ =5
x=0일 때, 0¤-5_0+3+0이므로(cid:100)(cid:100)a+0
3
a
3
a
(cid:9120) ④
③ x=-4일 때,(cid:100)(cid:100)(-4)¤ -(-4)+10+2_(-4)_(-4+2)
④ x=-4일 때,(cid:100)(cid:100)(-4-1)¤ +(-4)-3+0
⑤ x=-4일 때,(cid:100)(cid:100)(-4+3)¤ +4
(cid:9120) ②
0788 a¤ +4a-1=0의 양변을 a로 나누면
(cid:100)(cid:100)a+4- =0(cid:100)(cid:100)∴ a- =-4
(cid:9120) ①
1
a
1
a
1
a
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) x=2
30%
20%
50%
0789 k¤ +k-1=0이므로
(cid:100)(cid:100)kfi +k› -k‹ +k¤ +k+5=k‹ (k¤ +k-1)+(k¤ +k-1)+6
=k‹ _0+0+6=6
(cid:9120) ④
0790 2a¤ +3a-1=0, b¤ -2b-5=0이므로
(cid:100)(cid:100)2a¤ +3a=1, b¤ -2b=5
(cid:100)(cid:100)∴ 2a¤ -b¤ +3a+2b+5=2a¤ +3a-(b¤ -2b)+5
=1-5+5=1
(cid:9120) 1
0791 a¤ -a-1=0이므로(cid:100)(cid:100)1+a=a¤ , 1-a¤ =-a
a¤
= -
a¤
3a
1-a¤
=1+3=4
a¤
1+a
3a
-a
(cid:100)(cid:100)∴
-
(cid:9120) ⑤
0792 x¤ +7x+2=11x+1에서(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+1=0
따라서 a¤ -4a+1=0의 양변을 a로 나누면
(cid:9120) ④
(cid:100)(cid:100)a-4+ =0(cid:100)(cid:100)∴ a+ =4
1
a
1
1
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ + ={a+ }
a
a¤
2
-2=4¤ -2=14
… ➊
… ➋
(cid:9120) 14
0782 3x-4…x+2에서(cid:100)(cid:100)2x…6(cid:100)(cid:100)∴ x…3
이때 x는 자연수이므로(cid:100)(cid:100)x=1, 2, 3
x=1일 때,(cid:100)(cid:100)1¤ +1-6+0
x=2일 때,(cid:100)(cid:100)2¤ +2-6=0
x=3일 때,(cid:100)(cid:100)3¤ +3-6+0
따라서 해는 x=2이다.
➊ 부등식의 해를 구할 수 있다.
➋ 부등식을 만족시키는 자연수 x를 구할 수 있다.
➌ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
0783 x=1을 2x¤ -ax-2a+1=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)2_1¤ -a_1-2a+1=0, -3a+3=0
∴ a=1
0784 x=-2를 x¤ +ax+b=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)(-2)¤ +a_(-2)+b=0(cid:100)(cid:100)∴ 2a-b=4 yy ㉠
x=3을 x¤ +ax+b=0에 대입하면
56 정답 및 풀이
(054~063)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:22 PM 페이지57 SinsagoHitec
0
7
이
차
방
정
식
의
풀
이
⑴
④ x= 또는 x=4
⑤ x=0 또는 x=4
(cid:9120) ③
(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=1
➊ a+ 의 값을 구할 수 있다.
➋ a¤ + 의 값을 구할 수 있다.
50%
50%
0793 ① x=-4 또는 x=-
1
3
1
② x=- 또는 x=4
3
③ x=-4 또는 x=
1
3
1
a
1
a¤
1
3
0794 (x+2)(x-3)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-2 또는 x=3
따라서 a=-2, b=3 또는 a=3, b=-2이므로
(cid:100)(cid:100)a¤ +b¤ =(-2)¤ +3¤ =13
0795 ①, ③, ④, ⑤ x=- 또는 x=
1
4
1
2
1
② x=- 또는 x=
2
1
4
0796 ① x=0 또는 x=-4이므로(cid:100)(cid:100)0-4=-4
② x=-1 또는 x=4이므로(cid:100)(cid:100)-1+4=3
③ x=1 또는 x=3이므로(cid:100)(cid:100)1+3=4
④ x=-6 또는 x=2이므로(cid:100)(cid:100)-6+2=-4
⑤ x=-5 또는 x=-1이므로(cid:100)(cid:100)-5-1=-6
본책 108~113쪽
0801 2A=3B에서(cid:100)(cid:100)2(x¤ +5x+6)=3(x¤ -2x-8)
(cid:100)(cid:100)2x¤ +10x+12=3x¤ -6x-24
(cid:100)(cid:100)x¤ -16x-36=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-18)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=18
이때 x¤ +5x+6+0에서(cid:100)(cid:100)(x+2)(x+3)+0
(cid:100)(cid:100)∴ x+-2이고 x+-3
따라서 조건을 만족시키는 x의 값은 18이다.
(cid:9120) 18
0802 3x¤ -2x-1=0에서(cid:100)(cid:100)(3x+1)(x-1)=0
1
3
1
2
a>b이므로(cid:100)(cid:100)a=1, b=- (cid:100)(cid:100)∴ a-b=
(cid:9120) ④
1
3
4
3
(cid:9120) 13
0803 2x¤ +5x-3=0에서(cid:100)(cid:100)(x+3)(2x-1)=0
(cid:100)(cid:100)x=-3 또는 x=
1
2
따라서 -3과 사이에 있는 정수는 -2, -1, 0이므로 구하
(cid:9120) ②
는 합은 -3이다.
(cid:9120) -3
0804 2(x-1)(2x-1)=1-x¤ 에서
(cid:100)(cid:100)4x¤ -6x+2=1-x¤ ,(cid:100)(cid:100)5x¤ -6x+1=0
(cid:100)(cid:100)(5x-1)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x= 또는 x=1
(cid:9120) ④
0805 3k¤ -k¤ -10k+3k-4=0에서(cid:100)(cid:100)2k¤ -7k-4=0
1
5
1
2
0797 (x+1)(x-5)=0에서(cid:100)(cid:100)x=-1 또는 x=5
(cid:100)(cid:100)(2k+1)(k-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=- 또는 k=4
(3x+1)(x-5)=0에서(cid:100)(cid:100)x=- 또는 x=5
k는 양수이므로(cid:100)(cid:100)k=4
1
3
따라서 a=5, b=-1이므로
(cid:100)(cid:100)a¤ -b¤ =5¤ -(-1)¤ =24
➊ 두 이차방정식의 근을 구할 수 있다.
➋ a, b의 값을 구할 수 있다.
➌ a¤ -b¤ 의 값을 구할 수 있다.
0806 4(2a-1)-2a(a+1)+a+1=0이므로
(cid:100)(cid:100)2a¤ -7a+3=0,(cid:100)(cid:100)(2a-1)(a-3)=0
1
(cid:100)(cid:100)∴ a= 또는 a=3
2
1
그런데 2a-1+0, 즉 a+ 이어야 하므로(cid:100)(cid:100)a=3
2
0798 x¤ +13x-90=0에서(cid:100)(cid:100)(x+18)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-18 또는 x=5
(cid:9120) ①
➊ a에 대한 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ a의 값을 구할 수 있다.
0799 x¤ =6x-8이므로(cid:100)(cid:100)x¤ -6x+8=0
(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=4
따라서 A=2+4=6, B=|2-4|=2이므로
(cid:100)(cid:100)A-2B=6-2_2=2
0800 (x+4)(x-1)=-2(x+3)-2에서
(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-4=-2x-8,(cid:100)(cid:100)x¤ +5x+4=0
(cid:100)(cid:100)(x+4)(x+1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=-1
(cid:100)(cid:100)∴ a=-4, b=-1 (∵ a0)
⑵ a=3을 주어진 이차방정식에 대입하면
⑵ (cid:100)(cid:100)3x¤ -x-4=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(3x-4)=0
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=
⑵ 따라서 다른 한 근은 x= 이다.
4
3
4
3
(cid:9120) ⑴ 3 ⑵ x=
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ 이차방정식의 두 근을 구할 수 있다.
➌ 다른 한 근을 구할 수 있다.
.
0812 x¤ -5x+4=0에서(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=4
따라서 x¤ -x-a=0의 한 근이 x=4이므로
(cid:100)(cid:100)16-4-a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=12
0813 x¤ +2x-3=0에서(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=1
따라서 x¤ +ax+a-3=0의 한 근이 x=-3이므로
(cid:100)(cid:100)9-3a+a-3=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3
0814 x(x-3)=18에서(cid:100)(cid:100)x¤ -3x-18=0
(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=6
따라서 2x¤ +(k+1)x+2k=0의 한 근이 x=-3이므로
(cid:100)(cid:100)18-3(k+1)+2k=0(cid:100)(cid:100)∴ k=15
➊ x(x-3)=18의 해를 구할 수 있다.
➋ k의 값을 구할 수 있다.
0815 2x¤ -5x=3에서(cid:100)(cid:100)2x¤ -5x-3=0
(cid:100)(cid:100)(2x+1)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=3
1
2
58 정답 및 풀이
(cid:9120) ③
… ➊
… ➋
… ➌
4
3
50%
30%
20%
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 3
… ➊
… ➋
(cid:9120) 15
50%
50%
(cid:100)(cid:100)1+ n-3=0(cid:100)(cid:100)∴ n=4
1
2
(cid:100)(cid:100)∴ m-n=5
0816 25+10a-5=0이므로(cid:100)(cid:100)a=-2
즉 x¤ +4x-5=0이므로(cid:100)(cid:100)(x+5)(x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=1
따라서 x¤ +(b-2)x-3b=0의 한 근이 x=1이므로
(cid:100)(cid:100)1+b-2-3b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-
(cid:100)(cid:100)∴ ab=1
1
2
1
2
(cid:9120) ③
(cid:9120) 1
(cid:9120) ②, ④
(cid:9120) ③
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
(cid:9120) ①, ⑤
2a
2
2
}
(cid:9120) ①
0817 ② 3(x+2)(x+6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-6 또는 x=-2
④ (x+1)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=1
0818 ㈁ (x-6)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (중근)
㈃ (x+1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 (중근)
이상에서 중근을 갖는 이차방정식은 ㈁, ㈃이다.
0819 중근 x=-2를 해로 갖고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ =0, 즉 x¤ +4x+4=0
따라서 a=4, b=4이므로(cid:100)(cid:100)a+b=8
(cid:9120) 8
0820 (x-2)(x+a)=b에서(cid:100)(cid:100)x¤ +(a-2)x-2a-b=0
이때 중근 x=3을 해로 갖고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)(x-3)¤ =0, 즉 x¤ -6x+9=0
이므로(cid:100)(cid:100)a-2=-6, -2a-b=9
(cid:100)(cid:100)∴ a=-4, b=-1
(cid:100)(cid:100)∴ ab=4
0821 5-2k={
2
2
2
}
=1이므로(cid:100)(cid:100)k=2
a
0822 9={
2
(cid:100)(cid:100)∴ a=-6 또는 a=6
}
2
이므로(cid:100)(cid:100)a¤ =36
0823 x¤ +2ax-8a+20=0에서(cid:100)(cid:100)-8a+20={
(cid:100)(cid:100)a¤ +8a-20=0,(cid:100)(cid:100)(a+10)(a-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=-10 또는 a=2
따라서 a의 값의 합은 -8이다.
0824 x¤ +8x+3a+4=0이 중근을 가지므로
8
2
2
=16(cid:100)(cid:100)∴ a=4
}
(cid:100)(cid:100)3a+4={
즉 x¤ +8x+16=0이므로(cid:100)(cid:100)(x+4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 (중근)
따라서 b=-4이므로(cid:100)(cid:100)a-b=8
(cid:9120) 8
(054~063)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:22 PM 페이지59 SinsagoHitec
따라서 공통인 근은 x=-2이다.
(cid:9120) x=-2
이상에서 a의 값의 합은 - `이다.
3
2
(cid:9120) -
3
2
0825 x¤ -(a+b)x+ab=0이 중근을 가지므로
¤ ,(cid:100)(cid:100)ab=
}
a¤ +2ab+b¤
4
(cid:100)(cid:100)ab={-
(cid:100)(cid:100)a¤ -2ab+b¤ =0,(cid:100)(cid:100)(a-b)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ a-b=0
a+b
2
(cid:9120) ②
… ➊
0826 x¤ +6x-m=0이 중근을 가지므로
2
6
2
(cid:100)(cid:100)-m={
즉 -3x¤ +14x-15=0이므로(cid:100)(cid:100)3x¤ -14x+15=0
=9(cid:100)(cid:100)∴ m=-9
}
(cid:100)(cid:100)(3x-5)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x= 또는 x=3
… ➋
따라서 두 근의 곱은(cid:100)(cid:100) _3=5
… ➌ (cid:9120) 5
5
3
5
3
➊ m의 값을 구할 수 있다.
➋ (m+6)x¤ +14x-15=0의 해를 구할 수 있다.
➌ 두 근의 곱을 구할 수 있다.
40%
40%
20%
0827 x¤ +7x+10=0에서(cid:100)(cid:100)(x+5)(x+2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-5 또는 x=-2
5x¤ +7x-6=0에서(cid:100)(cid:100)(x+2)(5x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=
3
5
0828 x=-1은 두 이차방정식의 공통인 근이므로
1+a-4=0에서(cid:100)(cid:100)a=3
1-(b-1)+3b=0에서(cid:100)(cid:100)b=-1
(cid:100)(cid:100)∴ ab=-3
0829 x=8은 두 이차방정식의 공통인 근이므로
128-120+a=0에서(cid:100)(cid:100)a=-8
64-8b-24=0에서(cid:100)(cid:100)b=5
2x¤ -15x-8=0에서(cid:100)(cid:100)(2x+1)(x-8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=8(cid:100)(cid:100)∴ p=-
1
2
1
2
x¤ -5x-24=0에서(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=8(cid:100)(cid:100)∴ q=-3
(cid:100)(cid:100)∴ 2p+q=-4
➊ a, b의 값을 구할 수 있다.
➋ p, q의 값을 구할 수 있다.
➌ 2p+q의 값을 구할 수 있다.
0830 x¤ +x-12=0에서(cid:100)(cid:100)(x+4)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=3
x¤ -8x+15=0에서(cid:100)(cid:100)(x-3)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=5
따라서 두 이차방정식의 공통인 근이 x=3이므로
(cid:100)(cid:100)18-3a+2-a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=5
본책 113~116쪽
0
7
이
차
방
정
식
의
풀
이
⑴
➊ x¤ +x-12=0의 해를 구할 수 있다.
➋ x¤ -8x+15=0의 해를 구할 수 있다.
➌ a의 값을 구할 수 있다.
2
-4
2
}
=4
0831 m={
x¤ -10x+21=0에서(cid:100)(cid:100)(x-3)(x-7)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3 또는 x=7
2x¤ -13x-7=0에서(cid:100)(cid:100)(2x+1)(x-7)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=7
1
2
따라서 공통인 근은 x=7이다.
30%
30%
40%
(cid:9120) ⑤
0832 x¤ +(a-2)x-a+1=0에서
(cid:100)(cid:100)(x-1)(x+a-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=-a+1
x¤ -(a+4)x+4a=0에서
(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-a)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=4 또는 x=a
⁄ 공통인 근이 x=1일 때,(cid:100)(cid:100)a=1
¤ 공통인 근이 x=4일 때,(cid:100)(cid:100)-a+1=4(cid:100)(cid:100)∴ a=-3
‹ 공통인 근이 x=a 또는 x=-a+1일 때,(cid:100)(cid:100)-a+1=a
‹ (cid:100)(cid:100)∴ a=
1
2
0833 (x-1)¤ =3이므로(cid:100)(cid:100)x-1=—'3(cid:100)(cid:100)∴ x=1—'3
따라서 a=1, b=3이므로(cid:100)(cid:100)a+b=4
(cid:9120) ③
(cid:9120) ①
0834 (x+a)¤ =6이므로(cid:100)(cid:100)x+a=—'6(cid:100)(cid:100)∴ x=-a—'6
따라서 a=2, b=6이므로(cid:100)(cid:100)b-a=4
(cid:9120) ④
… ➊
b
0835 (x+a)¤ = 이므로(cid:100)(cid:100)x+a=—æ–
4
b
4
b
4
따라서 -a=2, =3이므로(cid:100)(cid:100)a=-2, b=12
(cid:100)(cid:100)∴ x=-a—æ–
b
4
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=10
… ➋
… ➌ (cid:9120) -4
➊ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➋ a, b의 값을 구할 수 있다.
➌ a+b의 값을 구할 수 있다.
… ➌ (cid:9120) 10
… ➊
… ➋
50%
40%
10%
40%
40%
20%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 5
0836 (x+3)¤ =q이므로(cid:100)(cid:100)x+3=—'ßq(cid:100)(cid:100)∴ x=-3—'ßq
주어진 이차방정식의 한 근이 x='3-3이므로(cid:100)(cid:100)q=3
따라서 다른 한 근은 x=-3-'3이다.
(cid:9120) ①
x='3-3을 (x+3)¤ =q에 대입하면
(cid:100)(cid:100)q=('3-3+3)¤ =3
즉 (x+3)¤ =3이므로(cid:100)(cid:100)x=-3—'3
0837 (x-3)¤ =5k이므로(cid:100)(cid:100)x-3=—'5ßk
(cid:100)(cid:100)∴ x=3—'5ßk
07 이차방정식의 풀이 ⑴ 59
(054~063)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:22 PM 페이지60 SinsagoHitec
이때 서로 다른 두 근이 정수가 되려면
(cid:100)(cid:100)5k=1, 4, 9, 16, 25, y
1
16
5
5
(cid:100)(cid:100)∴ k= ,
, 5, y
9
5
4
5
,
,
따라서 자연수 k의 최솟값은 5이다.
따라서 A= , B= , C= 이므로
49
4
7
2
69
4
(cid:100)(cid:100)A-B+C=26
(cid:9120) ③
(cid:9120) 5
0846 ① x=—2
③ x=1 또는 x=5
② x=-3 또는 x=1
0838 ㈂ (x+p)¤ =q에서 x=-p—'q이므로 이차방정식
(x+p)¤ =q의 두 근의 절댓값은 다르다.
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다.
(cid:9120) ③
0839 k>0이면 서로 다른 두 근을 갖고, k=0이면 중근을 가
지므로 해를 가질 조건은(cid:100)(cid:100)kæ0
(cid:9120) ③
0840 3x¤ +4x+
=0에서
2
3
¤ =
(cid:100)(cid:100)3{x+ }
이 이차방정식이 서로 다른 두 근을 가지려면
a+5
9
7-a
9
(cid:100)(cid:100)
7-a
9
>0(cid:100)(cid:100)∴ a<7
따라서 정수 a의 최댓값은 6이다.
0841 x¤ +6x-2=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ +6x=2
(cid:100)(cid:100)x¤ +6x+9=2+9(cid:100)(cid:100)∴ (x+3)¤ =11
따라서 p=3, q=11이므로(cid:100)(cid:100)p+q=14
0842 2x¤ -6x+1=0의 양변을 2로 나누면
(cid:100)(cid:100)x¤ -3x+ =0,(cid:100)(cid:100)x¤ -3x=-
1
2
1
2
1
(cid:100)(cid:100)x¤ -3x+ =- + (cid:100)(cid:100)∴ {x- }
2
3
2
9
4
9
4
¤ =
7
4
(cid:100)(cid:100)∴ k=
7
4
0843 x¤ +px+a=(x+b)¤ =x¤ +2bx+b¤
(cid:100)(cid:100)∴ p=2b, a=b¤
이때 a+b=6, 즉 a=6-b이므로
(cid:100)(cid:100)6-b=b¤ ,(cid:100)(cid:100)(b+3)(b-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ b=-3 또는 b=2
⁄ b=-3일 때,(cid:100)(cid:100)p=-6
¤ b=2일 때,(cid:100)(cid:100)p=4
⁄, ¤에서 p>0이므로(cid:100)(cid:100)p=4
0844 3(x+1)(x-3)=4x(x+2)에서(cid:100)(cid:100)x¤ +14x=-9
(cid:100)(cid:100)x¤ +14x+49=-9+49(cid:100)(cid:100)∴ (x+7)¤ =40
따라서 a=7, b=40이므로(cid:100)(cid:100)b-a=33
(cid:9120) 33
0845 x¤ +7x=5이므로(cid:100)(cid:100)x¤ +7x+ =5+
(cid:100)(cid:100){x+ }
2
7
2
69
4
7
2
= ,(cid:100)(cid:100)x+ =—Ƭ
7
2
69
4
(cid:100)(cid:100)∴ x=- —Ƭ
49
4
49
4
69
4
60 정답 및 풀이
④ 2x¤ +5x-1=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ + x- =0
5
2
1
2
5
2
5
④ (cid:100)(cid:100)x¤ + x+ = + ,(cid:100)(cid:100){x+ }
4
-5—'ß33
4
④ (cid:100)(cid:100)x+ =—
25
16
'ß33
4
(cid:100)(cid:100)∴ x=
25
16
1
2
5
4
2
=
33
16
⑤ 4x¤ -4x+1=3x¤ -2x에서(cid:100)(cid:100)x¤ -2x+1=0
(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 (중근)
(cid:9120) ④
0847 ③ x¤ +x-1=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ +x+ =1+
③ (cid:100)(cid:100){x+ }
= ,(cid:100)(cid:100)x+ =—
1
2
1
2
2
5
4
-1—'5
2
③ (cid:100)(cid:100)∴ x=
(cid:9120) ③
1
4
1
4
'5
2
0848 3x¤ -8x+2=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ - x=-
8
3
2
3
2
x¤ - x+ =- + ,(cid:100)(cid:100){x- }
3
16
9
4
3
8
3
2
=
10
9
4
x- =—
3
(cid:100)(cid:100)∴ x=
4—'∂10
3
16
9
'∂10
3
따라서 a=4, b=10이므로
(cid:100)(cid:100)ab=40
… ➊
… ➋
… ➌ (cid:9120) 40
60%
20%
20%
(cid:9120)
7
4
➊ 3x¤ -8x+2=0의 해를 구할 수 있다.
➋ a, b의 값을 구할 수 있다.
➌ ab의 값을 구할 수 있다.
(cid:9120) 6
(cid:9120) ⑤
0849 x¤ -2x-3=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -2x+1=3+1
(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=-1, b=4
(x-1)¤ =4에서(cid:100)(cid:100)x-1=—2(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=3
(cid:100)(cid:100)∴ c=-1, d=3
(cid:100)(cid:100)∴ ad+bc=-1_3+4_(-1)=-7
(cid:9120) ②
(cid:9120) 4
0850 2x¤ -8x+3=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+ =0
3
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+4=- +4,(cid:100)(cid:100)(x-2)¤ =
2
5
2
(cid:100)(cid:100)x-2=—æ– (cid:100)(cid:100)∴ x=2—æ– =
따라서 a=2, b=4, c=10일 때, a+b+c의 값이 최소이므로 구
하는 값은 16이다.
… ➋
… ➊
5
2
3
2
5
2
4—'∂10
2
➊ 2x¤ -8x+3=0의 해를 구할 수 있다.
➋ a+b+c의 최솟값을 구할 수 있다.
(cid:9120) 16
50%
50%
(054~063)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:22 PM 페이지61 SinsagoHitec
0851
주어진 해를 각각의 이차방정식에 대입한다.
0856
이차방정식의 이차항의 계수는 0이 아님을 이용한다.
x=-1을 x¤ +2mx+n=0에 대입하면
(a¤ -4a-5)x¤ +(a-1)x-1=0이 x에 대한 이차방정식
(cid:100)(cid:100)1-2m+n=0(cid:100)(cid:100)∴ 2m-n=1
x=-2를 x¤ -3mx-4n=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)4+6m-4n=0(cid:100)(cid:100)∴ 3m-2n=-2
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)m=4, n=7
∴ m+n=11
yy ㉠(cid:100)
yy ㉡(cid:100)
이 되려면
(cid:100)(cid:100)a¤ -4a-5+0,(cid:100)(cid:100)(a+1)(a-5)+0
(cid:100)(cid:100)∴ a+-1이고 a+5
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
0857
x=2를 대입한다.
주어진 이차방정식의 x의 계수와 상수항을 바꾼 후
0852
주어진 이차방정식에 x=k를 대입하여 정리한다.
3k¤ -(2a+1)k-3=0의 양변을 k로 나누면
3
(cid:100)(cid:100)3k-(2a+1)- =0(cid:100)(cid:100)∴ k- =
k
1
k
2a+1
3
=a이므로(cid:100)(cid:100)2a+1=3a(cid:100)(cid:100)∴ a=1
(cid:9120) ③
주어진 이차방정식의 x의 계수와 상수항을 바꾸면
(cid:100)(cid:100)x¤ +3ax+a+3=0
x=2를 x¤ +3ax+a+3=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)4+6a+a+3=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 x¤ +2x-3=0이므로(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=1
본책 116~120쪽
0
7
이
차
방
정
식
의
풀
이
⑴
즉
2a+1
3
0853
f(x)를 구한다.
f(x)=ax¤ +bx+c (a+0)로 놓고 조건을 만족시키는
f(x)=ax¤ +bx+c (a+0)로 놓으면
(cid:100)(cid:100)f(x+1)-f(x)=a(x+1)¤ +b(x+1)+c-(ax¤ +bx+c)
(cid:100)(cid:100)f(x+1)-f(x)=2ax+a+b
즉 2ax+a+b=2x-2이므로
(cid:100)(cid:100)2a=2, a+b=-2
(cid:100)(cid:100)∴ a=1, b=-3
f(0)=2에서(cid:100)(cid:100)c=2
따라서 f(x)=x¤ -3x+2이므로 f(x)=2x+2에서
(cid:100)(cid:100)x¤ -3x+2=2x+2,(cid:100)(cid:100)x¤ -5x=0
(cid:100)(cid:100)x(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=5
(cid:9120) x=0 또는 x=5
0854
주사위 눈의 수의 순서쌍을 구한다.
주어진 이차방정식의 해를 구한 후 각 경우에 해당되는
x¤ -7x+10=0에서(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 또는 x=5
⁄ x=2일 때, 두 개의 주사위 눈의 수의 순서쌍은
⁄ (cid:100)(cid:100)(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6), (6, 4), (5, 3),
⁄ (cid:100)(cid:100)(4, 2), (3, 1)의 8개
¤ x=5일 때, 두 개의 주사위 눈의 수의 순서쌍은
⁄ (cid:100)(cid:100)(1, 6), (6, 1)의 2개
⁄, ¤에서 구하는 확률은(cid:100)(cid:100)
8+2
36
=
5
18
0855
곱해서 -6이 되는 두 정수를 찾는다.
이차방정식 x¤ +mx-6=0의 두 근이
⁄ x=-6 또는 x=1일 때, 두 근 중 한 근 x=1을 대입하면
› (cid:100)(cid:100)1+m-6=0(cid:100)(cid:100)∴ m=5
¤ x=-3 또는 x=2일 때, 두 근 중 한 근 x=2를 대입하면
› (cid:100)(cid:100)4+2m-6=0(cid:100)(cid:100)∴ m=1
‹ x=-2 또는 x=3일 때, 두 근 중 한 근 x=-2를 대입하면
› (cid:100)(cid:100)4-2m-6=0(cid:100)(cid:100)∴ m=-1
› x=-1 또는 x=6일 때, 두 근 중 한 근 x=-1을 대입하면
› (cid:100)(cid:100)1-m-6=0(cid:100)(cid:100)∴ m=-5
이상에서 m의 값이 될 수 없는 것은②이다 .
(cid:9120) ②
(cid:9120) x=-3 또는 x=1
0858
3…x<4일 때, [x]=3임을 이용한다.
[x]=3이므로 주어진 방정식은
(cid:100)(cid:100)3x¤ -7x-10=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(3x-10)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=
이때 3…x<4이므로(cid:100)(cid:100)x=
10
3
10
3
(cid:9120) x=
10
3
0859
연립방정식
ax+by=c
a'x+b'y=c'
[
의 해가 존재하지 않으려면
a
a'
b
b'
c
c'
= + 임을 이용한다.
연립방정식
(a-1)x+y=1
x+(5-2a)y=1
[
의 해가 존재하지 않으므로
(cid:100)(cid:100)
a-1
1
=
1
5-2a
+1
yy ㉠(cid:100)
(cid:100)(cid:100)(a-1)(5-2a)=1,(cid:100)(cid:100)2a¤ -7a+6=0
(cid:100)(cid:100)(2a-3)(a-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ a= 또는 a=2
3
2
⁄ a= 일 때, a-1= -1+1이므로 ㉠을 만족시킨다.
3
2
3
2
¤ a=2일 때, a-1=2-1=1이므로 ㉠을 만족시키지 않는다.
(cid:9120) ④
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)a=
3
2
(cid:9120)
3
2
연립방정식
ax+by=c
[
a'x+b'y=c'
이
① 오직 한 쌍의 해를 갖는다. (cid:8825) +
② 무수히 많은 해를 갖는다. (cid:8825) = =
③ 해를 갖지 않는다. (cid:8825) = +
a
a'
b
b'
c
c'
a
a'
a
a'
b
b'
b
b'
c
c'
07 이차방정식의 풀이 ⑴ 61
(054~063)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:22 PM 페이지62 SinsagoHitec
임을 이용하여 a의 값을 구한 후,
0865
k의 값을 이차방정식에 대입한 후, 근을 구한다.
(cid:100)(cid:100)a=f(2)_f(3)_f(4)_y_f(2015)
3
2
(cid:100)(cid:100)a= _ _ _ _ _ _y_
4
3
2
1
3
4
2
3
4
5
2015
2014
_
2015
2016
0860
f(n)=
n
n-1
_
n
n+1
주어진 이차방정식에 대입한다.
f(n)=
n
n-1
_
n
n+1
이므로
(cid:100)(cid:100)a=
2015
1008
따라서 2015x¤ -x-2014=0에서
(cid:100)(cid:100)(2015x+2014)(x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-
2014
2015
따라서 해가 될 수 있는 것은 ③이다.
또는 x=1
0861
연수 a의 값을 구한다.
먼저 x=10-3a를 주어진 이차방정식에 대입하여 자
(10-3a)¤ -10(10-3a)+a¤ =0이므로
a¤ -3a=0,(cid:100)(cid:100)a(a-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=3 (∵ a는 자연수)
즉 x¤ -4x-12=0이므로(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-6)=0
∴ x=-2 또는 x=6
따라서 두 근의 곱은 -12이다.
(cid:9120) ③
(cid:9120) ②
0862
주어진 근을 이차방정식에 대입하여 다른 한 근을 구한다.
x=6을 x¤ +2ax-12=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)36+12a-12=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
따라서 x¤ -4x-12=0에서
(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=6
x=-2가 2x¤ +(b-2)x+5b=0의 한 근이므로
(cid:100)(cid:100)8-2(b-2)+5b=0(cid:100)(cid:100)∴ b=-4
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-6
0863
조건을 만족시키는 두 자리 자연수 b를 구한다.
x¤ +ax+4b=0이 중근을 가지려면
4b={
a
2
2
(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =16b=4¤ b
}
따라서 b는 제곱수이어야 하고, b가 최대일 때 a가 최대가 된다.
두 자리 자연수 중 가장 큰 제곱수는 81이므로(cid:100)(cid:100)b=81
∴ a¤ =4¤ _81=(4_9)¤ =36¤
(cid:100)(cid:100)∴ a=36
(cid:9120) ③
① (x-2)¤ =9이므로(cid:100)(cid:100)x-2=—3
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=5
② (x-2)¤ =8이므로(cid:100)(cid:100)x-2=—2'2(cid:100)(cid:100)∴ x=2—2'2
③ (x-2)¤ =5이므로(cid:100)(cid:100)x-2=—'5(cid:100)(cid:100)∴ x=2—'5
④ (x-2)¤ =1이므로(cid:100)(cid:100)x-2=—1(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=3
⑤ (x-2)¤ =-1이므로 근이 존재하지 않는다.
0866
다.
완전제곱식을 이용하여 주어진 이차방정식의 근을 구한
x¤ -2ax+b=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -2ax=-b
x¤ -2ax+a¤ =a¤ -b,(cid:100)(cid:100)(x-a)¤ =a¤ -b
x-a=—"√a¤ -b(cid:100)(cid:100)∴ x=a—"√a¤ -b
따라서 a—"√a¤ -b =3—2'5=3—'ß20이므로
a=3, a¤ -b=20(cid:100)(cid:100)∴ a=3, b=-11
∴ a+b=-8
0867
계를 식으로 나타낸다.
x=1을 주어진 이차방정식에 대입하여 a, b 사이의 관
x=1을 x¤ +a(b-2)x-b-1=0에 대입하면
(cid:100)(cid:100)1+ab-2a-b-1=0
(cid:100)(cid:100)∴ (a-1)(b-2)=2
이때 a, b는 자연수이므로
(cid:100)(cid:100)a-1=1, b-2=2 또는 a-1=2, b-2=1
(cid:100)(cid:100)∴ a=2, b=4 또는 a=3, b=3
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=6
(cid:9120) -6
➊ a, b 사이의 관계를 식으로 나타낼 수 있다.
➋ a, b의 값을 구할 수 있다.
➌ a+b의 값을 구할 수 있다.
0868
a<0, b…0이어야 한다.
y=ax+b의 그래프가 제1사분면을 지나지 않으려면
y=mx-(2m+5)에 x=m-1, y=m을 대입하면
(cid:100)(cid:100)m=m(m-1)-(2m+5),(cid:100)(cid:100)m¤ -4m-5=0
(cid:100)(cid:100)(m+1)(m-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ m=-1 또는 m=5
… ➊
이때 일차함수 y=mx-(2m+5)의 그래프가 제1사분면을 지
나지 않으려면(cid:100)(cid:100)m<0, -(2m+5)…0
0864
x¤ +ax+b=0이 x=-7을 중근으로 가짐을 이용한다.
x¤ +ax+b=0이 x=-7을 중근으로 가지므로
5
(cid:100)(cid:100)∴ - …m<0
2
(cid:100)(cid:100)∴ m=-1
(cid:100)(cid:100)(x+7)¤ =0,(cid:100)(cid:100)x¤ +14x+49=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=14, b=49
또 x¤ +px+21=0의 한 근이 x=-7이므로
(cid:100)(cid:100)49-7p+21=0(cid:100)(cid:100)∴ p=10
(cid:100)(cid:100)∴ a-b+p=-25
62 정답 및 풀이
➊ m에 대한 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➋ m의 값의 범위를 구할 수 있다.
➌ m의 값을 구할 수 있다.
(cid:9120) -25
(cid:9120) ④
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 6
50%
30%
20%
… ➋
… ➌
(cid:9120) -1
40%
40%
20%
(054~063)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:22 PM 페이지63 SinsagoHitec
본책 120~121쪽
0
7
이
차
방
정
식
의
풀
이
⑴
… ➊
… ➋
60%
40%
… ➋
(cid:9120) -
1
2
40%
40%
20%
0869
AB=0이면 A=0 또는 B=0임을 이용한다.
0872
먼저 주어진 두 이차방정식의 공통인 근을 구한다.
⑴ x¤ -xy-6y¤ =0에서(cid:100)(cid:100)(x+2y)(x-3y)=0
x¤ +4x-12=0에서(cid:100)(cid:100)(x+6)(x-2)=0
⑵ (cid:100)(cid:100)x+2y=0 또는 x-3y=0
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=-2y 또는 x=3y
⑵ 그런데 xy<0이므로(cid:100)(cid:100)x=-2y
⑵ x=-2y이므로
2y
⑵ (cid:100)(cid:100) + =
x
2y
-2y
-2y
y
x
y
+
=-1-2=-3
➊ x를 y에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
➋ + 의 값을 구할 수 있다.
2y
x
x
y
(cid:100)(cid:100)∴ x=-6 또는 x=2
(x+1)¤ =25에서(cid:100)(cid:100)x+1=—5
(cid:100)(cid:100)∴ x=-6 또는 x=4
㉠, ㉡에서 공통인 근은(cid:100)(cid:100)x=-6
x=-6을 x¤ +ax+3a=0에 대입하면
1
2
(cid:9120) ⑴ x=-2y(cid:100)⑵ -3
(cid:100)(cid:100)18-6a+3a=0
(cid:100)(cid:100)∴ a=6
➊ 공통인 근을 구할 수 있다.
➋ a의 값을 구할 수 있다.
0870
인수분해를 이용하여 두 식을 풀어 x의 값을 구한다.
정해진 규칙에 따라 a에 대한 이차방정식을 세운다.
0873
x¤ +3x-18+0에서(cid:100)(cid:100)(x+6)(x-3)+0
(a+4)(cid:8712)(2a-1)=-11에서
… ➊
(cid:100)(cid:100)(a+4)(2a-1)-(a+4)-(2a-1)¤ =-11
… ➊
(cid:100)(cid:100)∴ x+-6이고 x+3
2x¤ -5x-3=0에서(cid:100)(cid:100)(2x+1)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=- 또는 x=3
1
2
따라서 두 식을 동시에 만족시키는 x의 값은 - 이다. … ➌
1
2
(cid:100)(cid:100)2a¤ -10a-2=0,(cid:100)(cid:100)a¤ -5a+ =1+
(cid:100)(cid:100){a- }
5
2
¤ = ,(cid:100)(cid:100)a- =—
5
2
29
4
5—'ß29
2
(cid:100)(cid:100)∴ a=
25
4
25
4
'ß29
2
➊ x¤ +3x-18+0을 만족시키는 x의 조건을 구할 수 있다.
➋ 2x¤ -5x-3=0의 해를 구할 수 있다.
➌ x의 값을 구할 수 있다.
➊ a에 대한 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ a의 값을 구할 수 있다.
0874
전제곱식을 이용하여 해를 구한다.
주어진 이차방정식의 좌변이 인수분해되지 않으므로 완
⑴ x¤ -5x+q=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -5x+ =-q+
25
4
25
4
⑵ (cid:100)(cid:100){x- }
5
2
2
=
25-4q
4
,(cid:100)(cid:100)x- =—
5
2
'ƒ25-4q
2
이차방정식 x¤ +ax+b=0이 중근을 가질 조건은
0871
a
2
b={
이다.
}
⑴ x¤ -(2k-1)x+25=0에서(cid:100)(cid:100)25={-
⑴ (cid:100)(cid:100)4k¤ -4k-99=0,(cid:100)(cid:100)(2k+9)(2k-11)=0
2k-1
2
}
⑴ (cid:100)(cid:100)∴ k=- 또는 k=
9
2
⑵ ⑴`에서 두 근이 x=- 또는 x= 이고 x¤ 의 계수가 4
9
2
11
2
9
2
11
2
11
2
⑴ 인 이차방정식은(cid:100)(cid:100)4{x+ }{x- }=0
⑴ (cid:100)(cid:100)∴ 4x¤ -4x-99=0
⑴ 따라서 m=-4, n=-99이므로
⑴ (cid:100)(cid:100)m-n=95
… ➊
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=
5—'ƒ25-4q
2
⑵ 25-4qæ0이므로(cid:100)(cid:100)q…
25
4
⑶ 25-4q 가 0 또는 제곱수이어야 하므로
⑶ (cid:100)(cid:100)25-4q=0, 1, 4, 9, 16
25
4
⑶ (cid:100)(cid:100)∴ q= , 6,
21
4
, 4,
9
4
… ➋
… ➌
⑶ 그런데 q는 자연수이므로
⑶ (cid:100)(cid:100)q=4, 6
(cid:9120) ⑴ - , (cid:100)⑵ 95
9
2
11
2
(cid:9120) ⑴ x=
5—'ƒ25-4q
2
25
(cid:100)⑵ q… (cid:100)⑶ 4, 6
4
➊ k의 값을 구할 수 있다.
➋ m, n의 값을 구할 수 있다.
➌ m-n의 값을 구할 수 있다.
50%
40%
10%
➊ 해를 q에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
➋ q의 값의 범위를 구할 수 있다.
➌ q의 값을 구할 수 있다.
07 이차방정식의 풀이 ⑴ 63
yy ㉠(cid:100)
yy ㉡(cid:100)
… ➊
… ➋
(cid:9120) 6
60%
40%
… ➋
(cid:9120)
5—'ß29
2
60%
40%
… ➊
… ➋
… ➌
30%
30%
40%
¤
¤
(064~071)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:23 PM 페이지64 SinsagoHitec
08
이차방정식의 풀이 ⑵
0875 ax¤ +bx+c=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ + x+ =0
b
a
c
a
∴ x¤ + x=
-;aC;
b
a
좌변을 완전제곱식으로 만들면
b
x¤ + x+{
a
2
=
}
;2ıa;
-;aC;
+{
;2ıa;
2
}
{x+
;2ıa;
2
}
=
b¤ -4ac
4a¤
(cid:100)(cid:100)x+
=—
;2ıa;
ø π
b¤ -4ac
2a
∴ x=
-b
—
b¤ -4ac
ø π
2a
0885 x+1=A로 치환하면 A¤ -4A+4=0
(A-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ A=2 (중근)
즉 x+1=2이므로(cid:100)(cid:100)x=1
(cid:9120) x=1 (중근)
0886 x-2=A로 치환하면 A¤ -6A-7=0
(cid:100)(cid:100)(A+1)(A-7)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=-1 또는 A=7
즉 x-2=-1 또는 x-2=7이므로
x=1 또는 x=9
(cid:9120) x=1 또는 x=9
0887 x+3=A로 치환하면(cid:100)(cid:100)3A¤ -5A-2=0
(cid:100)(cid:100)(3A+1)(A-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=- 또는 A=2
1
3
즉 x+3=- 또는 x+3=2이므로
x=- 또는 x=-1
(cid:9120) x=- 또는 x=-1
10
3
1
3
10
3
ax¤ +bx+c=0
b¤ -4ac의 값
근의 개수
x¤ -5x-2=0
(-5)¤ -4_1_(-2)=33
4x¤ +4x+1=0
4¤ -4_4_1=0
x¤ -2x+5=0
(-2)¤ -4_1_5=-16
2
1
0
(cid:9120) ⑴ 33(cid:100)⑵ 2(cid:100)⑶ 0(cid:100)⑷ 1(cid:100)⑸ -16(cid:100)⑹ 0
0889 x¤ +x+4=0에서(cid:100)(cid:100)1¤ -4_1_4=-15<0
(cid:9120) 0
0890 x¤ -6x+5=0에서(cid:100)(cid:100)(-6)¤ -4_1_5=16>0 (cid:9120) 2
(cid:9120) ㈎ - (cid:100)㈏
(cid:100)㈐ b¤ -4ac(cid:100)㈑ -b
c
a
b
2a
0888
0876 x=
-3—"√3¤ -4_2_(-4)
2_2
=
-3—'ß41
4
(cid:9120) x=
-3—'ß41
4
0877 3x¤ +7x+3=0이므로
-7—"√7¤ -4_3_3
2_3
x=
=
-7—'ß13
6
(cid:9120) x=
-7—'ß13
6
0878 x¤ +2x-7=0이므로
x=-1—"√1¤ -1_(-7)=-1—'8=-1—2'2
0879 3x¤ -2x-2=0이므로
x=
1—"√(-1)¤ -3_(-2)
3
=
1—'7
3
(cid:9120) x=
1—'7
3
0880 (x-2)(x-3)=30에서(cid:100)(cid:100)x¤ -5x-24=0
(x+3)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=8
(cid:9120) x=-3 또는 x=8
(cid:9120) x=
2—'ß13
3
(cid:9120) x=-1—2'2
0891 9x¤ -6x+1=0에서(cid:100)(cid:100)(-6)¤ -4_9_1=0
(cid:9120) 1
0892 4x¤ +5x+3=0에서(cid:100)(cid:100)5¤ -4_4_3=-23<0 (cid:9120) 0
0893 (두 근의 합)=-
=5, (두 근의 곱)=
=-2
-5
1
0
-2
-2
1
5
-2
5
3
(cid:9120) 5, -2
(cid:9120) 0, -
5
2
5
2
5
3
0881 3x¤ -5=-2+4x에서(cid:100)(cid:100)3x¤ -4x-3=0
0894 (두 근의 합)=-
=0, (두 근의 곱)=
=-
∴ x=
2—'ß13
3
∴ x=
-3—'ß17
2
64 정답 및 풀이
0882 x¤ +2x-1=2x¤ +5x-3에서(cid:100)(cid:100)x¤ +3x-2=0
0895 3x¤ -12x+5=0이므로
(cid:9120) x=
-3—'ß17
2
(두 근의 합)=-
=4, (두 근의 곱)=
(cid:9120) 4,
-12
3
0883 양변에 4를 곱하면(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-4=0
0896 x¤ +2x-10=0이므로
∴ x=1—'5
(cid:9120) x=1—'5
(두 근의 합)=-2, (두 근의 곱)=-10
(cid:9120) -2, -10
0884 양변에 10을 곱하여 정리하면(cid:100)(cid:100)x¤ +4x-45=0
(x+9)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-9 또는 x=5
0897 2x¤ +6x-1=0이므로(cid:100)(cid:100)x=
-3—'ß11
2
(cid:9120) x=-9 또는 x=5
따라서 A=-3, B=11이므로(cid:100)(cid:100)A+B=8
(cid:9120) ①
(064~071)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:23 PM 페이지65 SinsagoHitec
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) x=
2
3
40%
40%
20%
0
8
이
차
방
정
식
의
풀
이
⑵
0898 x¤ -6x+4=0에서(cid:100)(cid:100)x=3—'5
∴ a=3-'5, b=3+'5
따라서 -'56에서(cid:100)(cid:100)x>5
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)p=4+'∂19(cid:100)(cid:100)∴ p-4='∂19
16<19<25이므로(cid:100)(cid:100)4<'∂19<5
(cid:100)(cid:100)∴ 8<4+'∂19<9
또 -5<-'∂19<-4이므로(cid:100)(cid:100)-1<4-'∂19<0
yy ㉠(cid:100)
yy ㉡(cid:100)
(cid:9120) ⑤
0901
-b-"√b¤ -4ac
4a
=-2이므로
(cid:100)(cid:100)
-b-"√b¤ -4ac
2a
=-4
-b+"√b¤ -4ac
4a
=3이므로(cid:100)(cid:100)
=6
… ➋
-b+"√b¤ -4ac
2a
따라서 이차방정식의 옳은 두 근은 -4, 6이므로 두 근의 곱은
(cid:100)(cid:100)-4_6=-24
… ➌
➊ 이차방정식의 옳은 한 근을 구할 수 있다.
➋ 이차방정식의 옳은 다른 한 근을 구할 수 있다.
➌ 옳은 두 근의 곱을 구할 수 있다.
0902 양변에 20을 곱하면(cid:100)(cid:100)4x¤ -5x=2
(cid:100)(cid:100)4x¤ -5x-2=0(cid:100)(cid:100)∴ x=
따라서 p=5, q=19이므로(cid:100)(cid:100)p+q=24
(cid:9120) ②
0903 양변에 12를 곱하면(cid:100)(cid:100)-4x=-3x¤ +2
3x¤ -4x-2=0(cid:100)(cid:100)∴ x=
따라서 p=2, q=10이므로(cid:100)(cid:100)p-q=-8
(cid:9120) -8
5—'ß57
8
2—'ß10
3
➊ x¤ + x-1=0의 해를 구할 수 있다.
1
2
7
6
➋ 0.3x¤ -1.7x+1=0의 해를 구할 수 있다.
➌ 공통인 근을 구할 수 있다.
0906 양변에 10을 곱하면
(cid:100)(cid:100)2x+10=10x-2(3x-1)(x-3)
3x¤ -14x+8=0,(cid:100)(cid:100)(3x-2)(x-4)=0
∴ x= 또는 x=4
2
3
따라서 두 근 사이에 있는 자연수는 1, 2, 3이므로 그 합은 6이
다.
(cid:9120) ④
0907 양변에 3을 곱하면(cid:100)(cid:100)12x-(x¤ +1)=6(x-1)
x¤ -6x-5=0(cid:100)(cid:100)∴ x=3—'∂14
(cid:9120) ④
0908 양변에 12를 곱하면(cid:100)(cid:100)4x(x-3)=3(x-1)(x-2)
(cid:100)(cid:100)x¤ -3x-6=0(cid:100)(cid:100)∴ x=
3—'ß33
2
따라서 p=3, q=33이므로
(cid:100)(cid:100)p+q=36
0909 양변에 6을 곱하면(cid:100)(cid:100)3(x+1)(x+3)=4x(x+2)
x¤ -4x-9=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2—'ß13
따라서 a=2-'ß13이므로(cid:100)(cid:100)2-a='ß13
0910 양변에 4를 곱하면
2(x+2)¤ -(3x+1)(2x-3)=8x+14
4x¤ -7x+3=0,(cid:100)(cid:100)(4x-3)(x-1)=0
0904 양변에 15를 곱하면(cid:100)(cid:100)9x¤ -10x+15A=0
∴ x= 또는 x=1
∴ x=
5—"√25-135A
9
따라서 5=B, 25-135A=7이므로
A= , B=5
2
15
∴ 3AB=2
➊ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➋ A, B의 값을 구할 수 있다.
➌ 3AB의 값을 구할 수 있다.
3
따라서 a= , b=1이므로
4
(cid:100)(cid:100)4a-b=2
3
4
1
2
… ➌(cid:100)(cid:9120) 2
0911 x+ =A로 치환하면
2A¤ -4A+1=0(cid:100)(cid:100)∴ A=
즉 x+ =
이므로(cid:100)(cid:100)x=
1
2
2—'2
2
2—'2
2
1—'2
2
… ➊
(cid:9120) -24
40%
40%
20%
… ➊
… ➋
40%
50%
10%
(cid:9120) 36
(cid:9120) 'ß13
(cid:9120) ④
(cid:9120) ①
08 이차방정식의 풀이 ⑵ 65
(064~071)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:23 PM 페이지66 SinsagoHitec
0912 2x+1=A로 치환하면(cid:100)(cid:100)0.3A¤ + A=0.4
즉 3x+y=- 또는 3x+y=11에서 x, y가 자연수이므로
양변에 10을 곱하면(cid:100)(cid:100)3A¤ +A-4=0
(cid:100)(cid:100)(3A+4)(A-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=- 또는 A=1(cid:100)(cid:100)
1
10
4
3
1
2
3x+y=11
따라서 구하는 순서쌍은 (1, 8), (2, 5), (3, 2)의 3개이다. (cid:9120) 3
0914 2(x¤ +2xy+y¤ )=8xy-5x+5y+3이므로
갖는다.
즉 2x+1=- 또는 2x+1=1이므로
4
3
7
(cid:100)(cid:100)x=- 또는 x=0
6
따라서 음수인 해는(cid:100)(cid:100)x=-
7
6
0913 x-3y=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)(A+1)(A+3)+1=0
A¤ +4A+4=0,(cid:100)(cid:100)(A+2)¤ =0
(cid:100)(cid:100)∴ A=-2 (중근)
즉 x-3y=-2이므로
6y-2x=-2(x-3y)=-2_(-2)=4
➊ 공통부분을 A로 치환할 수 있다.
➋ A의 값을 구할 수 있다.
➌ 6y-2x의 값을 구할 수 있다.
2(x¤ -2xy+y¤ )+5(x-y)-3=0
2(x-y)¤ +5(x-y)-3=0
x-y=A로 치환하면(cid:100)(cid:100)2A¤ +5A-3=0
(A+3)(2A-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ A=-3 또는 A=
1
2
(cid:100)(cid:100)∴ x-y=-3 (∵ x0 (cid:8825) 2개
④ 2x¤ +3x+5=0이므로
3¤ -4_2_5=-31<0 (cid:8825) 0개
⑤ x¤ + x- =0이므로
1
3
1
6
1
3
1
¤ -4_1_{- }= >0 (cid:8825) 2개
6
7
9
}
{
(cid:9120) ③, ⑤
0918 ① (-6)¤ -4_2_(-1)=44>0 (cid:8825) 2개
② 0¤ -4_4_(-1)=16>0 (cid:8825) 2개
③ 3¤ -4_1_(-18)=81>0 (cid:8825) 2개
④ 12¤ -4_4_9=0 (cid:8825) 1개
⑤ 양변에 10을 곱하여 정리하면 x¤ +4x-5=0이므로
(cid:100)(cid:100)4¤ -4_1_(-5)=36>0 (cid:8825) 2개
(cid:9120) ④
0919 ㈀ (-3)¤ -4_1_2=1>0이므로 서로 다른 두 근을
㈁ 0¤ -4_1_9=-36<0이므로 근이 없다.
㈂ A=2, B=1이면 2¤ -4_1_1=0이므로 중근을 갖는다.
㈃ B<0이면 A¤ -4B>0이므로 서로 다른 두 근을 갖는다.
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈃이다.
(cid:9120) ③
(cid:9120) ③
0920 0.3x¤ -;2!;x+0.1=0의 양변에 10을 곱하면
(cid:100)(cid:100)3x¤ -5x+1=0
이때 (-5)¤ -4_3_1=13>0이므로(cid:100)(cid:100)a=2
;5!;x¤ -2x+5=0에서 (-2)¤ -4_;5!;_5=0이므로
(cid:100)(cid:100)b=1
-2(x+1)¤ =4에서(cid:100)(cid:100)x¤ +2x+3=0
이때 2¤ -4_1_3=-8<0이므로(cid:100)(cid:100)c=0
∴ a-b+c=1
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ b의 값을 구할 수 있다.
➌ c의 값을 구할 수 있다.
➍ a-b+c의 값을 구할 수 있다.
(cid:9120) -8
0921 (-3k)¤ -4(-3k+8)=0이므로
(cid:100)(cid:100)9k¤ +12k-32=0,(cid:100)(cid:100)(3k+8)(3k-4)=0
8
∴ k=- 또는 k=
3
4
3
4
3
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) 1
30%
30%
30%
10%
(2A+1)(A-11)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=- 또는 A=11
따라서 모든 상수 k의 값의 합은 - 이다.
(cid:9120) ①
(064~071)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:23 PM 페이지67 SinsagoHitec
0922 (k+1)¤ -4(k+1)=0이므로
(cid:100)(cid:100)k¤ -2k-3=0,(cid:100)(cid:100)(k+1)(k-3)=0
0929 4¤ -4(2k-2)=0이므로(cid:100)(cid:100)k=3
즉 2x¤ -3x+1=0이므로(cid:100)(cid:100)(2x-1)(x-1)=0
∴ k=-1 또는 k=3
이때 k+-1이므로(cid:100)(cid:100)k=3
(x¤ 의 계수)+0
(cid:9120) 3
∴ x=;2!; 또는 x=1
따라서 두 근의 합은 ;2#;이다.
0923 x¤ -4x-p=0에서(cid:100)(cid:100)(-4)¤ -4_(-p)=0
(cid:100)(cid:100)16+4p=0(cid:100)(cid:100)∴ p=-4
x¤ -2(p+1)x+q=0에서(cid:100)(cid:100){2(p+1)}¤ -4q=0
(cid:100)(cid:100)36-4q=0(cid:100)(cid:100)∴ q=9
(cid:100)(cid:100)∴ p+q=5
➊ k의 값을 구할 수 있다.
➋ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
(cid:9120) 5
➌ 두 근의 합을 구할 수 있다.
0924 x¤ -5x-A=0에서(cid:100)(cid:100)(-5)¤ -4_(-A)=0
(cid:100)(cid:100)25+4A=0(cid:100)(cid:100)∴ A=-:™4∞:
0930 4¤ -4(k-7)æ0이므로
(cid:100)(cid:100)44-4kæ0(cid:100)(cid:100)∴ k…11
따라서 주어진 이차방정식은 x¤ -5x+:™4∞:=0이므로
0931 (-5)¤ -4(k-2)>0이므로
본책 126~129쪽
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) ;2#;
40%
40%
20%
(cid:9120) ⑤
0
8
이
차
방
정
식
의
풀
이
⑵
2
{x-;2%;}
A
B
=0(cid:100)(cid:100)∴ x=;2%;(cid:100)(cid:100)∴ B=;2%;
∴ =A_ =-:™4∞:_ =-;2%;
1
B
2
5
0925 x¤ +2mx-m=0에서(cid:100)(cid:100)(2m)¤ -4_(-m)=0
4m¤ +4m=0,(cid:100)(cid:100)m(m+1)=0
∴ m=-1 (∵ m+0)
x=-1을 4x¤ -7x+a=0에 대입하면
4+7+a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-11
즉 4x¤ -7x-11=0에서(cid:100)(cid:100)(x+1)(4x-11)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=:¡4¡:
11
4
따라서 b= 이므로(cid:100)(cid:100)a+4b=-11+4_ =0
(cid:9120) 0
11
4
0926 (-2a)¤ -4_4_(-a+3)=0이므로
a¤ +4a-12=0,(cid:100)(cid:100)(a+6)(a-2)=0
∴ a=-6 또는 a=2
⁄ a=-6이면 4x¤ +12x+9=0이므로(cid:100)(cid:100)(2x+3)¤ =0
¤ a=2이면 4x¤ -4x+1=0이므로(cid:100)(cid:100)(2x-1)¤ =0
3
∴ x=- (중근)
2
1
∴ x= (중근)
2
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)a=-6
0927 (a+2)¤ -4_a_2=0이므로(cid:100)(cid:100)a¤ -4a+4=0
(a-2)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ a=2
즉 x¤ +6x-7=0이므로(cid:100)(cid:100)(x+7)(x-1)=0
(cid:100)(cid:100)33-4k>0(cid:100)(cid:100)∴ k<
따라서 가장 큰 정수 k의 값은 8이다.
(cid:9120) 8
(cid:9120) ①
0932 {-(2k+1)}¤ -4_k_(k-1)<0이므로
8k+1<0(cid:100)(cid:100)∴ k<-
따라서 k의 값이 될 수 없는 것은⑤이다 .
(cid:9120) ⑤
33
4
1
8
0933 2¤ -4_(m+1)_(-1)>0이므로
(cid:100)(cid:100)4m+8>0(cid:100)(cid:100)∴ m>-2
이때 m+-1이므로
(x¤ 의 계수)+0
(cid:100)(cid:100)-2-1
0934 (-4)¤ -4_2_(2k-1)æ0이므로
(cid:100)(cid:100)24-16kæ0(cid:100)(cid:100)∴ k…;2#;
3¤ -4_(k+1)_3<0이므로
(cid:100)(cid:100)-12k-3<0(cid:100)(cid:100)∴ k>-;4!;
yy ㉡(cid:100)… ➋
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)-;4!;0)로 놓으면
a¤ -a-6=0,(cid:100)(cid:100)(a+2)(a-3)=0
∴ a=-2 또는 a=3
… ➋
… ➌
(cid:9120) -36
30%
50%
20%
a_(-a)=-a+2에서
⁄ a=-2일 때,
⁄ -a¤ =4, 즉 a¤ =-4이므로 이를 만족시키는 a는 존재하지
않는다.
¤ a=3일 때,
⁄ -a¤ =-1, 즉 a¤ =1이므로(cid:100)(cid:100)a=1 (∵ a>0)
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)a=3
(cid:9120) ⑤
0958
후 주어진 x의 값과 비교한다.
근의 공식을 이용하여 주어진 이차방정식의 근을 구한
11x¤ -6x+A=0의 근은 x=
3—'ƒ9-11A
11
이므로
11A+C=9, 8A+C=15를 연립하여 풀면
B=3, 9-11A=C
A=-2, C=31
∴ A-B+C=26
(cid:9120) ④
괄호를 풀어 이차방정식을 정리한 후 근의 공식을 이용
(cid:100)(cid:100)a=4, b=-;2#;
∴ ab=-6
0959
한다.
(cid:9120) ②
0953 두 근을 a, a+2로 놓으면
a+(a+2)=-4k, a(a+2)=4k¤ -k+3
따라서 a=-2k-1을 a(a+2)=4k¤ -k+3에 대입하면
(cid:100)(cid:100)(-2k-1)(-2k+1)=4k¤ -k+3
4k¤ -1=4k¤ -k+3
(cid:100)(cid:100)∴ k=4
4x¤ -11x-3=2(x¤ -4x+4)-10이므로
2x¤ -3x-1=0(cid:100)(cid:100)∴ x=
3—'ƒ17
4
따라서 a=
3-'ƒ17
4
이고 4<'ƒ17<5이므로
-1<- b이므로(cid:100)(cid:100)a-b='∂68=2'ß17
∴ a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
=6_2'ß17=12'ß17
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
0966
이의 관계를 식으로 나타낸다.
이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 a, b, c 사
x+y=A로 치환하여 A에 대한 이차방정식으로 나타
ax¤ +bx+c=0에서 근과 계수의 관계에 의하여
0961
낸 후A의 값을 구한다.
x+y=A로 치환하면(cid:100)(cid:100)A¤ +4A-12=0
(A+6)(A-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ A=-6 또는 A=2
⁄ A=-6, 즉 x+y=-6일 때,
x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=(-6)¤ -2_3=30
¤ A=2, 즉 x+y=2일 때,
x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=2¤ -2_3=-2
이를 만족시키는 실수 x, y는 존재하지 않는다.
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)x¤ +y¤ =30
(cid:9120) 30
중근을 가질 조건을 이용하여 a, b 사이의 관계를 그래
0962
프로 나타낸다.
∴ b=
1
a
2¤ -4ab=0이므로(cid:100)(cid:100)ab=1
ax¤ +2x+b=0이 이차방정식이므로(cid:100)(cid:100)a+0
따라서 a, b 사이의 관계를 바르게 나타낸 그래프는 ①이다.
a+b+1=A로 치환한 후 이차방정식이 해를 가질 조
0963
건을 이용한다.
a+b+1=A로 치환하면
3x¤ -2Ax+(A+2)¤ +2=0
이 이차방정식이 해를 가지려면
(-2A)¤ -12{(A+2)¤ +2}æ0
A¤ +6A+9…0,(cid:100)(cid:100)(A+3)¤ …0(cid:100)(cid:100)∴ A=-3
따라서 a+b+1=-3이므로
(cid:100)(cid:100)a+b=-4
(cid:9120) ①
(cid:9120) ②
0964
다.
먼저 중근을 가질 조건을 이용하여 상수 a의 값을 구한
a¤ -4_4=0이므로(cid:100)(cid:100)a¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ a=—4
⁄ a=-4일 때,
¤ -6x¤ +7x+1=2x¤ -x-15에서(cid:100)(cid:100)8x¤ -8x-16=0
(cid:100)(cid:100)∴ x¤ -x-2=0
따라서 두 근의 합은 1이다.
70 정답 및 풀이
-
=3(cid:100)(cid:100)∴ b=-3a
;aB;
=-2(cid:100)(cid:100)∴ c=-2a
;aC;
yy ㉠(cid:100)
yy ㉡(cid:100)
㉠, ㉡을 cx¤ +bx+a=0에 대입하면
-2ax¤ -3ax+a=0,(cid:100)(cid:100)2x¤ +3x-1=0
∴ x=
-3—'∂17
4
(cid:9120) x=
-3—'∂17
4
두 근의 합이 3, 곱이 -2이고 x¤ 의 계수가 a인 이차방
정식은
(cid:100)(cid:100)a(x¤ -3x-2)=0, 즉 ax¤ -3ax-2a=0
으로 놓을 수 있다.
(cid:100)(cid:100)∴ b=-3a, c=-2a
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근을 a, b라 하면
c
a
(cid:100)(cid:100)a+b=- , ab=
b
a
이므로 이차방정식 cx¤ +bx+a=0의
a
c
(cid:100)(cid:100)(두 근의 합)=- =- _ =
b
a
b
c
a+b
ab
(cid:100)(cid:100)(두 근의 곱)= =
a
c
1
ab
0967
두 근을 a, a+3으로 놓고 근과 계수의 관계를 이용한다.
두 근을 a, a+3으로 놓으면
a+(a+3)=-2a+1, a(a+3)=a+1
a=-a-1을 a(a+3)=a+1에 대입하면
(-a-1)(-a+2)=a+1
a¤ -2a-3=0,(cid:100)(cid:100)(a+1)(a-3)=0
∴ a=-1 또는 a=3
0968
근의 공식을 이용하여 주어진 이차방정식의 해를 구한다.
2x¤ +3x+a-4=0에서
x=
x=
-3—"√3¤ -4_2_(a-4)
4
-3—'ƒ41-8a
4
(cid:9120) ②, ⑤
… ➊
(064~071)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:24 PM 페이지71 SinsagoHitec
이때 x가 유리수이려면 41-8a=0 또는 41-8a=k¤` (k는 정
수) 꼴이어야 한다.
⁄ 41-8a=1에서(cid:100)(cid:100)a=5
¤ 41-8a=9에서(cid:100)(cid:100)a=4
‹ 41-8a=25에서(cid:100)(cid:100)a=2
이상에서 구하는 합은(cid:100)(cid:100)5+4+2=11
0971
이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용한다.
x¤ -3x-1=0에서(cid:100)(cid:100)a+b=3, ab=-1
x¤ -4x+2=0에서(cid:100)(cid:100)c+d=4, cd=2
… ➊
∴ (주어진 식)=
bd+ac+bc+ad
abcd
본책 132~133쪽
0
8
이
차
방
정
식
의
풀
이
⑵
… ➋
… ➌
(cid:9120) 11
30%
50%
20%
=
a(c+d)+b(c+d)
abcd
=
(a+b)(c+d)
abcd
=
3_4
(-1)_2
=-6
… ➋
… ➌
(cid:9120) -6
40%
40%
20%
… ➊
yy ㉠(cid:100)
3
2
… ➋
… ➌
(cid:9120) -9
30%
60%
10%
➊ a+b, ab, c+d, cd의 값을 구할 수 있다.
➋ 주어진 식을 간단히 할 수 있다.
➌ 식의 값을 구할 수 있다.
0972
구한다.
이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 p, q의 값을
x¤ +px+q=0의 두 근의 합이 -p, 곱이 q이므로
x¤ +(q-3)x+2p=0의 두 근이 -p, q이다.
근과 계수의 관계에 의하여
-p+q=-(q-3), -pq=2p
p=2q-3을 -pq=2p에 대입하여 정리하면
2q¤ +q-6=0,(cid:100)(cid:100)(q+2)(2q-3)=0
∴ q=-2 또는 q=
3
2
㉠을 p=2q-3에 대입하면(cid:100)(cid:100)p=-7 또는 p=0
그런데 p=0, q= 이면 x¤ +px+q=0, 즉 x¤ + =0은 근
3
2
을 갖지 않으므로
p=-7, q=-2
∴ p+q=-9
➊ x¤ +(q-3)x+2p=0의 두 근을 구할 수 있다.
➋ p, q의 값을 구할 수 있다.
➌ p+q의 값을 구할 수 있다.
➊ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➋ a의 값을 구할 수 있다.
➌ 모든 a의 값의 합을 구할 수 있다.
41-8a=0, 41-8a=4, 41-8a=16, 41-8a=36, y
을 만족시키는 a는 자연수가 아니다.
0969
나타낸다.
중근을 가질 조건을 이용하여 a, b 사이의 관계를 식으로
주사위를 2번 던져 나올 수 있는 모든 경우의 수는 36이다.
… ➊
이차방정식 x¤ +ax+b=0이 중근을 가지려면
a¤ -4b=0(cid:100)(cid:100)∴ a¤ =4b
… ➋
따라서 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (2, 1), (4, 4)의 2가지이므로
구하는 확률은
2
(cid:100)(cid:100) =
36
1
18
➊ 모든 경우의 수를 구할 수 있다.
➋ a, b 사이의 관계를 식으로 나타낼 수 있다.
➌ 확률을 구할 수 있다.
… ➌ (cid:9120)
1
18
20%
30%
50%
어떤 실험이나 관찰에서 각 경우가 일어날 가능성이 같을 때 일어날
수 있는 모든 경우의 수가 n이고 어떤 사건 A가 일어나는 경우의
수가 a이면 사건 A가 일어날 확률 p는
p=
(사건 A가 일어나는 경우의 수)
(모든 경우의 수)
=
a
n
0970
한다.
이차방정식 ax¤ +bx+c=0에서 b¤ -4ac의 값을 이용
⁄ x¤ -8x+(20+m)=0에서
¤ (cid:100)(cid:100)(-8)¤ -4(20+m)>0
(cid:100)(cid:100)∴ m<-4
¤ (m¤ +2)x¤ +2(m-4)x+3=0에서
(cid:100)(cid:100){2(m-4)}¤ -4_(m¤ +2)_3=0
¤ (cid:100)(cid:100)m¤ +4m-5=0,(cid:100)(cid:100)(m+5)(m-1)=0
¤ (cid:100)(cid:100)∴ m=-5 또는 m=1
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)m=-5
➊ x¤ -8x+(20+m)=0에서 m의 값의 범위를 구할 수 있다.
➋ (m¤ +2)x¤ +2(m-4)x+3=0에서 m의 값을 구할 수 있다.
➌ m의 값을 구할 수 있다.
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) -5
40%
40%
20%
08 이차방정식의 풀이 ⑵ 71
(072~077)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:25 PM 페이지72 SinsagoHitec
09
이차방정식의 활용
0973 (cid:9120) 1-'2
0974 (cid:9120) 3+'5
0975 (cid:9120) 2-3'3
0976 (cid:9120) 5+7'2
0977 6+'∂12=6+2'3 이므로 다른 한 근은(cid:100)(cid:100)6-2'3
0978 4-'∂20=4-2'5이므로 다른 한 근은(cid:100)(cid:100)4+2'5
0990 ⑴ 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0 m이다.
⑵ 40x-5x¤ =0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -8x=0
⑵ (cid:100)(cid:100)x(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
⑵ 따라서 물체가 지면에 떨어질 때까지 걸리는 시간은 8초이다.
(cid:9120) ⑴ 0 m ⑵ 8초
0991 ⑴ (x+8)(x+5)=x¤ +13x+40(m¤ )
⑵ x¤ +13x+40=8_5+30이므로
⑵ (cid:100)(cid:100)x¤ +13x-30=0,(cid:100)(cid:100)(x+15)(x-2)=0
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
(cid:9120) ⑴ (x¤ +13x+40)m¤ ⑵ 2
(cid:9120) 6-2'3
(cid:9120) 4+2'5
0979 (x-4)(x-6)=0이므로(cid:100)(cid:100)x¤ -10x+24=0
(cid:9120) x¤ -10x+24=0
0980 x(x-6)=0이므로(cid:100)(cid:100)x¤ -6x=0
(cid:9120) x¤ -6x=0
0981 (x+2)¤ =0이므로(cid:100)(cid:100)x¤ +4x+4=0
0982 {x+ }{x- }=0이므로(cid:100)(cid:100)x¤ - =0
1
5
0992 다른 한 근은 2+2'3 이므로
(cid:100)(cid:100)k+1=(2-2'3)(2+2'3)=-8
(cid:100)(cid:100)∴ k=-9
0993 다른 한 근은 2+'5이므로
(cid:100)(cid:100)p=(2-'5 )+(2+'5 )=4
q=(2-'5)(2+'5)=-1
∴ p+q=3
(cid:9120) ①
(cid:9120) 3
(cid:9120) 8
… ➊
(cid:9120) -16
30%
30%
30%
10%
0994 3<'1å0<4이므로(cid:100)(cid:100)2<6-'1å0<3
(cid:100)(cid:100)∴ a=2, b=4-'1å0
따라서 2x¤ +px+q=0의 다른 한 근은 4+'1å0이므로
(cid:100)(cid:100)- =(4-'1å0)+(4+'1å0)=8
p
2
q
2
(cid:100)(cid:100) =(4-'1å0)(4+'1å0)=6
(cid:100)(cid:100)∴ p=-16, q=12
(cid:100)(cid:100)∴ p+2q=-16+2_12=8
=
0995
1
2+'ß3
2-'3
(2+'3)(2-'3)
따라서 mx¤ -8x-n=0의 다른 한 근은 2+'3 이므로
(cid:100)(cid:100) =(2-'3 )+(2+'3 )=4
=2-'3
8
m
n
m
(cid:100)(cid:100)- =(2-'3 )(2+'3 )=1
(cid:100)(cid:100)∴ m=2, n=-2
따라서 m-n=4, mn=-4가 이차방정식 x¤ -px+q=0의 두
근이므로
(cid:100)(cid:100)p=4+(-4)=0, q=4_(-4)=-16
(cid:100)(cid:100)∴ p+q=-16
… ➋
… ➌
… ➍
➊ 이차방정식의 다른 한 근을 구할 수 있다.
➋ m, n의 값을 구할 수 있다.
➌ p, q의 값을 구할 수 있다.
➍ p+q의 값을 구할 수 있다.
1
5
3
4
1
2
1
3
(cid:9120) x¤ +4x+4=0
1
25
1
4
(cid:9120) x¤ - =0
1
25
3
4
1
4
(cid:9120) x¤ + x- =0
3
4
(cid:9120) 8x¤ -2x-1=0
(cid:9120) 9x¤ -6x+1=0
(cid:9120) -x¤ +3x+10=0
(cid:9120) 3x¤ -9x-8=0
0983 {x- }(x+1)=0이므로(cid:100)(cid:100)x¤ + x- =0
0984 8{x- }{x+ }=0이므로(cid:100)(cid:100)8x¤ -2x-1=0
1
4
0985 9{x- }
2
=0이므로(cid:100)(cid:100)9x¤ -6x+1=0
0986 -(x¤ -3x-10)=0이므로(cid:100)(cid:100)-x¤ +3x+10=0
0987 3{x¤ -3x- }=0이므로(cid:100)(cid:100)3x¤ -9x-8=0
8
3
0988 ⑴ (x+3)¤ =10x+6에서(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+3=0
⑵ x¤ -4x+3=0에서(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-3)=0
⑵ (cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=3
(cid:9120) ⑴ x¤ -4x+3=0 ⑵ 1 또는 3
0989 ⑴ (2x-1)+2=2x+1
⑵ (2x-1)(2x+1)=99에서(cid:100)(cid:100)4x¤ -1=99
⑵ (cid:100)(cid:100)x¤ =25(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x는 자연수)
⑶ x=5이므로 연속하는 두 홀수는 9, 11이다.
72 정답 및 풀이
(cid:9120) ⑴ 2x+1 ⑵ 5 ⑶ 9, 11
0996 a+b=-2, ab=-5이므로 구하는 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)(x+2)(x+5)=0 ∴ x¤ +7x+10=0
(cid:9120) ⑤
(072~077)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:25 PM 페이지73 SinsagoHitec
본책 135~138쪽
1003 x¤ -3ax+2a=0에서 x의 계수와 상수항을 바꾸면
(cid:100)(cid:100)x¤ +2ax-3a=0
x=-3을 위의 식에 대입하면
(cid:100)(cid:100)(-3)¤ -6a-3a=0(cid:100)(cid:100)∴ a=1
따라서 처음에 주어진 이차방정식은 x¤ -3x+2=0이므로(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=2
(cid:9120) x=1 또는 x=2
1004
n(n-3)
2
=44이므로(cid:100)(cid:100)n¤ -3n-88=0
(cid:100)(cid:100)(n+8)(n-11)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=11 (∵ n>0)
따라서 구하는 다각형은 십일각형이다.
1005
n(n+1)
2
=36이므로(cid:100)(cid:100)n¤ +n-72=0
(cid:100)(cid:100)(n+9)(n-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=8 (∵ n>0)
따라서 구하는 삼각형은 8번째 삼각형이다.
1006
n(n+1)
2
=210이므로(cid:100)(cid:100)n¤ +n-420=0
(cid:100)(cid:100)(n+21)(n-20)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=20 (∵ n>0)
따라서 1부터 20까지 더해야 한다.
1007 n(n-1)=42이므로(cid:100)(cid:100)n¤ -n-42=0
(cid:100)(cid:100)(n+6)(n-7)=0(cid:100)(cid:100)∴ n=7 (∵ n>0)
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
(cid:9120) ④
(cid:9120) ③
0
9
이
차
방
정
식
의
활
용
0997 두 근이 -3, 5이고 x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은
2(x+3)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ -4x-30=0
따라서 a=-4, b=-30이므로(cid:100)(cid:100)a-b=26
근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)- =-3+5=2, =-3_5=-15
a
2
b
2
따라서 a=-4, b=-30이므로
a-b=26
0998 x¤ 의 계수가 4이고 중근 -3을 갖는 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)4(x+3)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ 4x¤ +24x+36=0
따라서 A=24, B=12이므로
(cid:100)(cid:100)A-B=12
0999 (-6)¤ -4_3m=0이므로(cid:100)(cid:100)m=3
따라서 두 근이 3, 6이고 x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)2(x-3)(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ -18x+36=0
5
1000 a+b= , ab=-2이므로
2
(cid:100)(cid:100)(a-2)+(b-2)=a+b-4= -4=-
5
2
3
2
(cid:100)(cid:100)(a-2)(b-2)=ab-2(a+b)+4
(cid:100)(cid:100)(a-2)(b-2)=-2-2_ +4=-3
5
2
따라서 구하는 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)2{x¤ + x-3}=0(cid:100)(cid:100)∴ 2x¤ +3x-6=0
3
2
(cid:9120) ④
(cid:9120) 12
(cid:9120) ③
… ➊
… ➋
… ➌
➊ a+b, ab의 값을 구할 수 있다.
➋ (a-2)+(b-2), (a-2)(b-2)의 값을 구할 수 있다.
➌ 이차방정식을 구할 수 있다.
30%
40%
30%
(cid:9120) 2x¤ +3x-6=0
드 중에서
0이 아닌 서로 다른 한 자리의 숫자가 각각 하나씩 적힌 n장의 카
① 2장을 뽑아 만들 수 있는 두 자리 자연수의 개수는 (cid:8825) n(n-1)
② 3장을 뽑아 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는
(cid:8825) n(n-1)(n-2)
1001 y=ax+b의 그래프에서(cid:100)(cid:100)a= , b=-7
… ➊
7
5
따라서 , -7을 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 5인 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)
1+2+3+y+9
3
45
= =15
3
(cid:100)(cid:100)5{x- }(x+7)=0(cid:100)(cid:100)∴ 5x¤ +28x-49=0
… ➋
(x¤ +4)+(2x-1)+4=15에서(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-8=0
(cid:100)(cid:100)(x+4)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x는 자연수)
(cid:9120) 2
7
5
7
5
1008 가로, 세로, 대각선에 있는 수의 합이 모두 같으므로 가
로에 있는 수의 합은
➊ a, b의 값을 구할 수 있다.
➋ 이차방정식을 구할 수 있다.
(cid:9120) 5x¤ +28x-49=0
1009 ¤ +-12=0에서(cid:100)(cid:100)(+4)(-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ =3 (∵ >0)
(cid:100)(cid:100)∴ x=4, 9
따라서 모든 자연수 x의 값의 합은 13이다.
(cid:9120) ②
40%
60%
1002 -8과 1을 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)(x+8)(x-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +7x-8=0
즉 이차방정식의 상수항은 -8이다.
-5와 3을 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 1인 이차방정식은
(cid:100)(cid:100)(x+5)(x-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ x¤ +2x-15=0
즉 이차방정식의 x의 계수는 2이다.
따라서 처음에 주어진 이차방정식은 x¤ +2x-8=0이므로
(cid:100)(cid:100)a=2, b=-8(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-6
(cid:9120) -6
1010 (x-2)(x+1)-(-3x)=1이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-3=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=1
1011 (x-1)(3x+2)-(x-1)+(3x+2)=7이므로
(cid:100)(cid:100)3x¤ +x-6=0
따라서 모든 실수 x의 값의 곱은 근과 계수의 관계에 의하여
-6
(cid:100)(cid:100) =-2
3
(cid:9120) ①, ④
(cid:9120) ④
09 이차방정식의 활용 73
(072~077)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:25 PM 페이지74 SinsagoHitec
1012 어떤 수를 x라 하면(cid:100)(cid:100)(x+3)¤ =2(x+3)
(cid:100)(cid:100)x¤ +4x+3=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(x+1)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=-1
(cid:9120) -3 또는 -1
1013 어떤 양수를 x라 하면
(cid:100)(cid:100)x(x-1)=156,(cid:100)(cid:100)x¤ -x-156=0
(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-13)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=13 (∵ x>0)
따라서 원래의 두 수의 곱은(cid:100)(cid:100)13_14=182
1014 십의 자리의 숫자를 x라 하면 일의 자리의 숫자는
12-x이므로
(cid:100)(cid:100)x(12-x)=(10x+12-x)-22
(cid:100)(cid:100)x¤ -3x-10=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x는 자연수)
따라서 구하는 수는 57이다.
➊ 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➌ 두 자리 자연수를 구할 수 있다.
1015 연속하는 세 자연수를 x-1, x, x+1로 놓으면
(cid:100)(cid:100)5{(x+1)+(x-1)}+24=x¤
(cid:100)(cid:100)x¤ -10x-24=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-12)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=12(∵ x는 자연수)
따라서 가장 큰 수는 13이다.
세 자연수는 11, 12, 13이다.
1016 연속하는 두 홀수를 x, x+2로 놓으면
(cid:100)(cid:100)x¤ +(x+2)¤ =130
(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-63=0,(cid:100)(cid:100)(x+9)(x-7)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=7 (∵ x는 홀수)
따라서 두 홀수는 7, 9이므로 구하는 곱은 63이다.
(cid:9120) 182
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 57
40%
40%
20%
(cid:9120) ③
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 63
40%
40%
20%
(cid:9120) ①
1019 여름 캠프의 날짜를 (x-1)일, x일, (x+1)일이라 하면
(cid:100)(cid:100)(x-1)¤ +x¤ +(x+1)¤ =245,(cid:100)(cid:100)3x¤ =243
(cid:100)(cid:100)x¤ =81(cid:100)(cid:100)∴ x=9 (∵ x>1)
따라서 출발 날짜는 8일이다
.
(cid:9120) ④
1020 상품의 가격을 A원, 이때의 판매량을 B개라 하면 가격
인상 전후의 수입이 같으므로
5x
(cid:100)(cid:100)AB=A{1+
100
(cid:100)(cid:100)20x¤ -100x=0,(cid:100)(cid:100)20x(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=5 (∵ x>0)
}B{1-
4x
100
}
➊ 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ x의 값을 구할 수 있다.
1021 처음 동아리 학생 수를 x라 하면
108
x
108
x
+3=x
-1}+4=x,(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100){
(cid:100)(cid:100)x¤ -3x-108=0,(cid:100)(cid:100)(x+9)(x-12)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=12 (∵ x>0)
따라서 구하는 학생 수는 12이다.
1022 2+9t-5t¤ =0이므로(cid:100)(cid:100)5t¤ -9t-2=0
(cid:100)(cid:100)(5t+1)(t-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=2 (∵ t>0)
따라서 2초 후에 지면에 떨어진다.
1023 -5t¤ +25t+70=100이므로(cid:100)(cid:100)t¤ -5t+6=0
(cid:100)(cid:100)(t-2)(t-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=2 또는 t=3
따라서 2초 후에 터지도록 해야 한다.
1024 ⑴ k=-5_1¤ +20_1=15
⑵ -5t¤ +20t=15이므로(cid:100)(cid:100)t¤ -4t+3=0
(cid:100)(cid:100)(cid:100)(t-1)(t-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=1 또는 t=3
⑵ 따라서 3초 후에 높이가 15 m인 지점을 다시 지난다.
(cid:9120) ⑴ 15(cid:100)⑵ 3초
… ➊
… ➋
(cid:9120) 5
50%
50%
(cid:9120) 12
(cid:9120) ③
(cid:9120) ②
… ➊
… ➋
… ➌
50%
30%
20%
➊ 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➌ 두 수의 곱을 구할 수 있다.
➊ k의 값을 구할 수 있다.
➋ t의 값을 구할 수 있다.
➌ 답을 구할 수 있다.
1017 연속하는 세 짝수를 x-2, x, x+2로 놓으면
(cid:100)(cid:100)(x+2)¤ =2x(x-2)+20,(cid:100)(cid:100)x¤ -8x+16=0
(cid:100)(cid:100)(x-4)¤ =0(cid:100)(cid:100)∴ x=4
따라서 세 짝수는 2, 4, 6이므로 구하는 합은 12이다.
1018 동생의 나이를 x살이라 하면 영은이의 나이는 (x+5)살
이므로
(cid:100)(cid:100)(x+5)¤ =2x¤ +1,(cid:100)(cid:100)x¤ -10x-24=0
(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-12)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=12 (∵ x>0)
따라서 동생의 나이는 12살이다.
(cid:9120) ③
1025 50t-5t¤ =80이므로(cid:100)(cid:100)t¤ -10t+16=0
(cid:100)(cid:100)(t-2)(t-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ t=2 또는 t=8
따라서 높이가 80m 이상인 지점을 지나는 시간은 2초부터 8초
까지이므로 6초 동안이다.
(cid:9120) 6초
1026 가로의 길이를 xcm라 하면 세로의 길이는 (18-x)cm
이므로
(cid:100)(cid:100)x(18-x)=72,(cid:100)(cid:100)x¤ -18x+72=0
(cid:100)(cid:100)(x-6)(x-12)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=12 (∵ 918-x(cid:100)(cid:100)∴ x>9
¤ 세로의 길이는 양수이므로(cid:100)(cid:100)18-x>0(cid:100)(cid:100)∴ x<18
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)90)
(cid:9120) ③
∠A=90°인 직각삼각형 ABC의 꼭짓점
A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 H라
A
H
B
C
할 때
① AB”
② AC”
③ AH”
¤ =BH”_BC”
¤ =CH”_CB”
¤ =HB”_HC”
1028 BQ”=xcm라 하면 QC”=(6-x)cm, PC”=(8-x)cm이
므로
(cid:100)(cid:100) (6-x)(8-x)=4
1
2
(cid:100)(cid:100)x¤ -14x+40=0,(cid:100)(cid:100)(x-4)(x-10)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 (∵ 00)
본책 138~142쪽
… ➌
(cid:9120) 12cm
40%
40%
20%
(cid:9120) ⑤
➊ 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➌ BC”의 길이를 구할 수 있다.
1031 큰 정사각형의 한 변의 길이를 xcm라 하면
(cid:100)(cid:100)x¤ +(10-x)¤ =58,(cid:100)(cid:100)x¤ -10x+21=0
(cid:100)(cid:100)(x-3)(x-7)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=7 (∵ 50)
따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 (-2+2'2 )cm이다.
… ➋
… ➊
… ➌
(cid:9120) (-2+2'2)cm
0
9
이
차
방
정
식
의
활
용
(cid:9120) 4cm
➊ 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➌ 작은 정사각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다.
1033 BC”=xcm라 하면 CG”=(13-x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)10 : x=(13-x) : 4,(cid:100)(cid:100)x(13-x)=40
(cid:100)(cid:100)x¤ -13x+40=0,(cid:100)(cid:100)(x-5)(x-8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=8 {∵ 0)
09 이차방정식의 활용 75
50%
40%
10%
(cid:9120) ③
(cid:9120) ④
(cid:9120) 3
삼각형의 내각의 이등분선의 성질
A
△ABC에서 ∠A의 이등분선이 BC”와
1035 가장 작은 반원의 반지름의 길이를 xcm라 하면 두 번째
로 큰 반원의 반지름의 길이는 (10-x)cm이므로
만나는 점을 D라 하면
(cid:100)(cid:100)AB” : AC”=BD” : CD”
B
C
D
(072~077)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:25 PM 페이지76 SinsagoHitec
1037 연못의 반지름의 길이를 x m라 하면
(cid:100)(cid:100)p_(x+3)¤ -p_x¤ = p_(x+3)¤
1
2
(cid:100)(cid:100)x¤ -6x-9=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=3+3'2 (∵ x>0)
따라서 연못의 둘레의 길이는
2p_(3+3'2 )=(6+6'2)p(m)
➊ 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➌ 연못의 둘레의 길이를 구할 수 있다.
1038 늘어난 길이를 x m라 하면
(cid:100)(cid:100)(x+8)(x+4)=8_4+28
(cid:100)(cid:100)x¤ +12x-28=0,(cid:100)(cid:100)(x+14)(x-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ x>0)
따라서 세로의 길이는 2m 만큼 늘어났다.
… ➌
(cid:9120) (6+6'2 )p m
… ➊
… ➋
40%
40%
20%
(cid:9120) ③
1039 x초 후에 처음 직사각형의 넓이와 같아진다고 하면
(cid:100)(cid:100)(9-x)(6+2x)=54
(cid:100)(cid:100)x¤ -6x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-6)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=6 (∵ 00)
따라서 처음 삼각형의 넓이는
(cid:100)(cid:100) _6_6=18 (cm¤ )
1
2
1
2
➊ 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➌ 처음 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.
… ➋
… ➌
(cid:9120) 18 cm¤
40%
40%
20%
1041 잘라내는 정사각형의 한 변의 길이를 xcm라 하면
(cid:100)(cid:100)(10-2x)¤ =36,(cid:100)(cid:100)x¤ -10x+16=0
(x-2)(x-8)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ 00)
2
3
2
따라서 산책로의 폭은 m이다.
(cid:9120) ②
1045 길의 폭을 xm라 하면 남은 땅은 가로의 길이가
(13-x)m, 세로의 길이가 (10-2x)m인 직사각형 모양이므로
(cid:100)(cid:100)(13-x)(10-2x)=66,(cid:100)(cid:100)x¤ -18x+32=0
(cid:100)(cid:100)(x-2)(x-16)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=2 (∵ 0+1=A로 치환하여 이차방정식을 푼다.
+1=A로 치환하면
(cid:100)(cid:100)A¤ -2(A+3)-9=0,(cid:100)(cid:100)A¤ -2A-15=0
(cid:100)(cid:100)(A+3)(A-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ A=-3 또는 A=5
⁄ +1=-3에서(cid:100)(cid:100)=-4
¤ +1=5에서(cid:100)(cid:100)=4
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)=4 (∵ æ0)
따라서 자연수 x는 7, 8, 9, 10이므로 구하는 합은 34이다.
1040 처음 삼각형의 밑변의 길이를 x cm라 하면
1046
이차방정식 9x¤ +ax-b=0의 계수가 모두 유리수이므
1042 물받이의 높이를 xcm라 하면
(cid:100)(cid:100)x(50-2x)=312,(cid:100)(cid:100)x¤ -25x+156=0
(cid:100)(cid:100)(x-12)(x-13)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=12 또는 x=13
따라서 물받이의 높이는 12cm 또는 13cm이다.
(cid:9120) 34
소수는 2, 3, 5, 7, 11, …이므로 6 이하의 소수의 개수는
(cid:9120) ②, ③
3이고, 11 이하의 소수의 개수는 5이다.
76 정답 및 풀이
(072~077)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:25 PM 페이지77 SinsagoHitec
1048
(소금의 양)=
_(소금물의 양)임을 이용한다.
AH”=xcm로 놓고 정사각형 ABCD의 넓이를 x에 대
(농도)
100
1051
한 식으로 나타낸다.
20%의 소금물 100g에서 xg의 소금물을 퍼내면 남아 있
는 소금물의 양은 (100-x)g이므로 소금의 양은
본책 142~145쪽
20
100
20
100
20
100
1
500
1
500
(cid:100)(cid:100)
(100-x)(g)
이 소금물에 물 xg을 넣으면 소금물의 양은 100g이므로 소금물
의 농도는
(cid:100)(cid:100)
(100-x)(%)
이 소금물에서 다시 x g의 소금물을 퍼내면 남아 있는 소금물의
양은 (100-x)g이므로 소금의 양은
(cid:100)(cid:100)
(100-x)_
_(100-x)=
(100-x)¤ (g)
1
100
1
500
이 소금물에 물 xg을 넣으면 소금물의 양은 100g이므로 소금물
의 농도는
(cid:100)(cid:100)
(100-x)¤ (%)
이때 이 소금물의 농도가 5%이므로
(cid:100)(cid:100)
(100-x)¤ =5,(cid:100)(cid:100)(100-x)¤ =2500
(cid:100)(cid:100)100-x=—50(cid:100)(cid:100)∴ x=50 (∵ 00)
따라서 AD”의 길이는 -1+'5이다.
(cid:9120) ③
1053
넓이를 구한다.
오각형 APQCD의 넓이가 258cm¤ 일 때의 △PBQ의
x초 후에 오각형 APQCD의 넓이가 258cm¤ 가 된다고 하
면 그때의 △PBQ의 넓이는 300-258=42(cm¤ )이므로
(cid:100)(cid:100) _(15-2x)_3x=42,(cid:100)(cid:100)2x¤ -15x+28=0
1
2
0
9
이
차
방
정
식
의
활
용
1049
거리와 같다.
트랙의 둘레의 길이는 모형 자동차가 8초 동안 움직인
트랙의 둘레의 길이는 모형 자동차가 8초 동안 움직인 거
(cid:100)(cid:100)(2x-7)(x-4)=0
7
(cid:100)(cid:100)∴ x= 또는 x=4
2
리와 같으므로
(cid:100)(cid:100)8¤ +4_8=96(m)
모형 자동차가 트랙을 두 바퀴를 돌 때 움직인 거리는
96_2=192(m)이므로
(cid:100)(cid:100)t¤ +4t=192,(cid:100)(cid:100)t¤ +4t-192=0
(cid:100)(cid:100)(t+16)(t-12)=0
(cid:100)(cid:100)∴ t=12 (∵ t>0)
따라서 두 바퀴를 도는 데 12초 걸린다.
따라서 구하는 시간은 , 즉 3.5초이다.
(cid:9120) ②
7
2
길의 폭을 xm로 놓고 길을 제외한 부분의 넓이를 x에
1054
대한 식으로 나타낸다.
길의 폭을 xm라 하면
(cid:9120) 12초
(cid:100)(cid:100)(70-x)(60-2x)=2400,(cid:100)(cid:100)x¤ -100x+900=0
(cid:100)(cid:100)(x-10)(x-90)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=10 (∵ 00일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
㈃ y=-x¤ 의 그래프와 x축에 대칭이다.
이상에서 옳은 것은 ㈀, ㈁이다.
(cid:9120) ㈀, ㈁
1071 (cid:9120) ⑴ (0, 0)(cid:100)⑵ x=0(cid:100)⑶ y= x¤
2
5
1072 (cid:9120) ㈀, ㈃
1073 (cid:9120) ㈂
1074 (cid:9120) ㈁, ㈃
1075 (cid:9120) ㈁
1077 (cid:9120) ㈀
1076 (cid:9120) ㈃
1078 (cid:9120) ㈂
1079 그래프가 아래로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a>0
a의 절댓값이 2보다 작으므로(cid:100)(cid:100)a<2
(cid:100)(cid:100)∴ 00
1087 (cid:9120) a>0, q<0
1088 (cid:9120) y=(x+3)¤
1057
형의 한 변의 길이가 x-6임을 이용하여 이차방정식을 세운다.
큰 정사각형의 한 변의 길이를 x로 놓으면 작은 정사각
큰 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면 작은 정사각형의
한 변의 길이는 x-6이므로
(cid:100)(cid:100)x¤ +(x-6)¤ =468
(cid:100)(cid:100)x¤ -6x-216=0,(cid:100)(cid:100)(x+12)(x-18)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=18 (∵ x>6)
따라서 큰 정사각형의 한 변의 길이는 18이다.
➊ 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➌ 큰 정사각형의 한 변의 길이를 구할 수 있다.
1058
를 x에 대한 식으로 나타낸다.
색지의 짧은 변의 길이를 xcm로 놓고 널빤지의 넓이
색지의 짧은 변의 길이를 x cm라 하면 긴 변의 길이는
(cid:100)(cid:100) (6x-9)=2x-3(cm)
1
3
널빤지의 넓이가 216 cm¤ 이므로
(cid:100)(cid:100)6x(2x-3+x)=216
(cid:100)(cid:100)x¤ -x-12=0,(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-4)=0
3
2
(cid:100)(cid:100)∴ x=4 {∵ x>
따라서 색지의 짧은 변의 길이는 4 cm, 긴 변의 길이는 5 cm이
므로 그 넓이는(cid:100)(cid:100)4_5=20(cm¤ )
… ➋
… ➌
}
➊ 이차방정식을 세울 수 있다.
➋ 이차방정식의 해를 구할 수 있다.
➌ 색지 한 장의 넓이를 구할 수 있다.
78 정답 및 풀이
(078~085)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:27 PM 페이지79 SinsagoHitec
1110 f(-2)=(-2)¤ -a(-2)+b=6이므로
(cid:100)(cid:100)2a+b=2
f(1)=1-a+b=-3이므로
(cid:100)(cid:100)-a+b=-4
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=2, b=-2
따라서 f(x)=x¤ -2x-2이므로
(cid:100)(cid:100)f(3)=3¤ -2_3-2=1
본책 145~154쪽
yy ㉠(cid:100)… ➊
yy ㉡(cid:100)… ➊
… ➋
1
0
이
차
함
수
의
그
래
프
⑴
➊ a, b에 대한 연립방정식을 세울 수 있다.
➋ a, b의 값을 구할 수 있다.
➌ f(3)의 값을 구할 수 있다.
1089 (cid:9120) y=-2(x-1)¤
1
1090 (cid:9120) y= {x+ }
2
4
3
1091 (cid:9120) (3, 0), x=3
1092 (cid:9120) {
, 0}, x=
1
5
1
5
1093 (cid:9120) a>0, p>0
1094 (cid:9120) a<0, p<0
1095 (cid:9120) y= (x-1)¤ -1
1096 (cid:9120) y=5(x-2)¤ +4
7
2
1097 (cid:9120) y=-(x+4)¤ -2
1098 (cid:9120) (1, 2), x=1
1099 (cid:9120) {
, -3}, x=
3
2
3
2
1100 ① y=-x¤ +6x
⑤ y=x‹ +x¤ -4x+4
1101 ㈁ y=-x¤
㈃ y=-2x
㈅ y=2x¤ -x-3
이상에서 이차함수인 것은 ㈁, ㈂, ㈅의 3개이다.
㈂ y=x¤ -6x+9
㈄ y=4x-1
1102 ㈀ y=px¤
㈂ y=6x¤
이상에서 이차함수인 것은 ㈀, ㈂이다.
㈁ y=4x
㈃ y=10x
1103 y=(a-3)x¤ +x+2a가 이차함수이려면
(cid:100)(cid:100)a-3+0(cid:100)(cid:100)∴ a+3
(cid:9120) a+3
1104 y=(k¤ -2k-3)x¤ +5x가 이차함수이려면
(cid:100)(cid:100)k¤ -2k-3+0,(cid:100)(cid:100)(k+1)(k-3)+0
(cid:100)(cid:100)k+-1이고 k+3
(cid:9120) ②, ⑤
1105 f(2)=2¤ +3_2-4=6, f(0)=-4이므로
(cid:100)(cid:100) f(2)-f(0)=6-(-4)=10
1106 f(-3)=-(-3)¤ -2_(-3)+6=3
③ y=2x-1
1111 ⑤ a<0일 때, 함숫값의 범위는 y…0이다.
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ①, ④
1112 ① 위로 볼록한 포물선이다.
② 점 (-1, -3)을 지난다.
③ 모든 실수 x에 대하여 y…0이다.
⑤ x<0일 때, y의 값은 x¤ 의 값에 정비례한다.
(cid:9120) 3
(cid:9120) ②
(cid:9120) ①
(cid:9120) 3
(cid:9120) ④
1113 ㈁ y=- x¤ 의 그래프는 위로 볼록하다.
㈃ y=- x¤ 의 그래프는 x<0일 때, x의 값이 증가하면 y의
1
3
1
3
㈃ 값도 증가한다.
이상에서 공통점은 ㈀, ㈂이다.
1114 -24이면 x의 값이 증가할 때
y의 값은 감소한다.
(cid:9120) ⑤
4
5
1141 이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프가 x축과 두 점
(-2, 0), (6, 0)에서 만나므로 꼭짓점의 x좌표는
본책 155~159쪽
1
0
이
차
함
수
의
그
래
프
⑴
(cid:100)(cid:100)
-2+6
2
=2(cid:100)(cid:100)∴ p=2
또 꼭짓점이 직선 y=-8 위에 있으므로 꼭짓점의 y좌표는 -8
이다.(cid:100)(cid:100)∴ q=-8
… ➋
따라서 꼭짓점의 좌표가 (2, -8)인 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=a(x-2)¤ -8
이 이차함수의 그래프가 점 (-2, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)0=a(-2-2)¤ -8,(cid:100)(cid:100)16a-8=0(cid:100)(cid:100)∴ a=
1
2
(cid:100)(cid:100)∴ apq= _2_(-8)=-8
1
2
➊ p의 값을 구할 수 있다.
➋ q의 값을 구할 수 있다.
➌ a의 값을 구할 수 있다.
➍ apq의 값을 구할 수 있다.
이차함수 y=a(x-p)¤ +q의 그래프가 x축과 두 점 (m, 0),
(n, 0)에서 만나면 (cid:8825)
m+n
2
=p
1142 y=4(x-p-1)¤ -2+q와 y=4x¤ 의 그래프가 일치하
므로(cid:100)(cid:100)-p-1=0, -2+q=0
따라서 p=-1, q=2이므로
p-q=-3
(cid:9120) ①
1143 y=-3(x-1-1)¤ +2+4=-3(x-2)¤ +6
(cid:9120) ③
1144 y=a(x-7)¤ 의 그래프를 y축의 방향으로 -3만큼 평행
이동한 그래프의 식은(cid:100)(cid:100)y=a(x-7)¤ -3
… ➊
이 그래프가 점 (5, 1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)1=a(-2)¤ -3(cid:100)(cid:100)∴ a=1
… ➋
… ➊
… ➌
… ➍
(cid:9120) -8
30%
30%
30%
10%
(cid:9120) 1
50%
50%
(cid:9120) ④
(cid:9120) 20
40%
40%
20%
1134 y=-4(x+1)¤
① 꼭짓점의 좌표는 (-1, 0)이다.
② |-4|>1이므로 y=-4(x+1)¤ 의 그래프가 y=x¤ 의 그래
프보다 폭이 좁다.
③ 위로 볼록한 포물선이다.
⑤ x=-1일 때, y=0이다.
1135 이차함수 y=2(x-5)¤ 의 그래프가 점 (4, m)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)m=2_(4-5)¤ =2
… ➊
또 점 (8, n)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)n=2_(8-5)¤ =18
(cid:100)(cid:100)∴ m+n=20
… ➋
… ➌
➊ m의 값을 구할 수 있다.
➋ n의 값을 구할 수 있다.
➌ m+n의 값을 구할 수 있다.
1136 y=-2(x-1)¤ -1의 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)k=-2_(2-1)¤ -1=-3
(cid:9120) -3
1137 주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구해 보면
㈀ (-1, 1) (cid:8825) 제 2사분면
㈁ (1, -2) (cid:8825) 제 4사분면
㈂ (-1, -4) (cid:8825) 제 3사분면
㈃ (3, 2) (cid:8825) 제 1사분면
이상에서 그래프의 꼭짓점이 제 4 사분면에 있는 이차함수는 ㈁
뿐이다.
(cid:9120) ②
1138 y=(x-3)¤ -4의 그래프의 꼭짓점의
좌표는 (3, -4)이고 아래로 볼록하므로 그
래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 그래프가 지나지 않는 사분면은 제3사
분면이다.
(cid:9120) 제 3사분면
y
5
O
-4
1139 ④ y=(x+1)¤ -1의 그래프는 오른
쪽 그림과 같으므로 제 4 사분면을 지나지
않는다.
(cid:9120) ④
3
x
y
➊ 평행이동한 그래프의 식을 구할 수 있다.
➋ a의 값을 구할 수 있다.
-1
-2
x
O
-1
1145 y=(x-k+1)¤ -1+2k의 그래프가 점 (-1, 2)를 지
나므로
(cid:100)(cid:100)2=(-1-k+1)¤ -1+2k,(cid:100)(cid:100)k¤ +2k-3=0
(k+3)(k-1)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=1 (∵ k>0)
(cid:9120) 1
1140 꼭짓점의 좌표가 (p, 2p¤ )이고, 이 점이 직선
y=-x+3 위에 있으므로
2p¤ =-p+3,(cid:100)(cid:100)2p¤ +p-3=0
(cid:100)(cid:100)(2p+3)(p-1)=0
∴ p=- (∵ p<0)
3
2
1146 y=-(x+5+b)¤ +c-4와 y=a(x+3)¤ -2의 그래프
가 일치하므로
a=-1, 5+b=3, c-4=-2
따라서 a=-1, b=-2, c=2이므로
(cid:9120) ②
a+b+c=-1
(cid:9120) ③
10 이차함수의 그래프 ⑴ 81
(078~085)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:27 PM 페이지82 SinsagoHitec
래프의 식은(cid:100)(cid:100)-y= (x-1)¤ -4(cid:100)(cid:100)∴ y=- (x-1)¤ +4
k+3=—2(cid:100)(cid:100)∴ k=-5 또는 k=-1
(cid:9120) ③, ⑤
1
2
1
2
1147 y=-2(x-1)¤ +3+a의 그래프가 점 (3, -1)을 지나
므로
(cid:100)(cid:100)-1=-2_(3-1)¤ +3+a(cid:100)(cid:100)∴ a=4
… ➊
y=-2(x-b-1)¤ +3의 그래프가 점 (-1, -15)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)-15=-2_(-1-b-1)¤ +3,(cid:100)(cid:100)(b+2)¤ =9
(cid:100)(cid:100)b+2=—3(cid:100)(cid:100)∴ b=-5 (∵ b<0)
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-1
… ➋
… ➌
(cid:9120) -1
40%
40%
20%
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ b의 값을 구할 수 있다.
➌ a+b의 값을 구할 수 있다.
1
2
1
2
1148 y=3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방
향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은(cid:100)(cid:100)y=3(x+4)¤ +2
이 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=3(-x+4)¤ +2(cid:100)(cid:100)∴ y=3(x-4)¤ +2
따라서 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (4, 2)이다.
(cid:9120) ⑤
1149 y= (x-1)¤ -4의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그
이 그래프가 점 (3, k)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)k=- _(3-1)¤ +4=2
(cid:9120) 2
1150 y=a(x+1)¤ 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그
래프의 식은(cid:100)(cid:100)-y=a(x+1)¤ (cid:100)(cid:100)∴ y=-a(x+1)¤
이 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-a(-x+1)¤ (cid:100)(cid:100)∴ y=-a(x-1)¤
이 그래프가 점 (2, -4)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)-4=-a(2-1)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=4
(cid:9120) 4
1151 y=2x¤ -5의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래
프의 식은(cid:100)(cid:100)-y=2x¤ -5(cid:100)(cid:100)∴ y=-2x¤ +5
이 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-2x¤ +5+b
이 그래프가 y=ax¤ +6의 그래프와 일치하므로
(cid:100)(cid:100)a=-2, b=1(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-1
(cid:9120) ②
1152 y=(x+a)¤ 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래
프의 식은(cid:100)(cid:100)-y=(x+a)¤ (cid:100)(cid:100)∴ y=-(x+a)¤
… ➊
이 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-(x+a)¤ +2
이 그래프의 꼭짓점 (-a, 2)가 직선 y=4x-6 위에 있으므로
(cid:100)(cid:100)2=-4a-6(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
… ➌
… ➋
➊ x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식을 구할 수 있다.
➋ 평행이동한 그래프의 식을 구할 수 있다.
➌ a의 값을 구할 수 있다.
82 정답 및 풀이
1153 주어진 조건을 만족시키는 이차함수의 식은
y=- (x-4)¤ -5이므로(cid:100)(cid:100)a=- , p=-4, q=-5
1
2
1
2
(cid:100)(cid:100)∴ apq=-10
1154 꼭짓점의 좌표가 (-2, -3)이므로
(cid:100)(cid:100)p=-2, q=-3
y=a(x+2)¤ -3의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)1=a_2¤ -3(cid:100)(cid:100)∴ a=1
(cid:100)(cid:100)∴ a+pq=1+(-2)_(-3)=7
1155 꼭짓점의 좌표가 (0, -1)이므로 이차함수의 식을
y=ax¤ -1로 놓을 수 있다.
y=ax¤ -1의 그래프가 점 (-3, 8)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)8=a(-3)¤ -1(cid:100)(cid:100)∴ a=1
따라서 y=x¤ -1의 그래프 위의 점인 것은 ③이다.
(cid:9120) ③
1156 y=-x¤ 의 그래프를 평행이동한 그래프의 식은
y=-(x+3)¤ +2
이 그래프가 점 (k, -2)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)-2=-(k+3)¤ +2,(cid:100)(cid:100)(k+3)¤ =4
1157 y=-2(x-a-2)¤ +b의 그래프의 꼭짓점의 좌표가
(a+2, b)이므로
(cid:100)(cid:100)a+2=c, b=3
즉 y=-2(x-c)¤ +3의 그래프가 점 (1, -5)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)-5=-2(1-c)¤ +3,(cid:100)(cid:100)(1-c)¤ =4
(cid:100)(cid:100)1-c=—2(cid:100)(cid:100)∴ c=3 (∵ c>0)
(cid:100)(cid:100)∴ a=c-2=3-2=1
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+c=7
(cid:9120) ②
(cid:9120) ⑤
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) 7
30%
30%
30%
10%
(cid:9120) ④
(cid:9120) ④
y
O
x
➊ b의 값을 구할 수 있다.
➋ c의 값을 구할 수 있다.
➌ a의 값을 구할 수 있다.
➍ a+b+c의 값을 구할 수 있다.
1158 그래프가 아래로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a>0
꼭짓점 (p, q)가 제 4사분면에 있으므로
(cid:100)(cid:100)p>0, q<0
1159 그래프가 위로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a<0
꼭짓점 (p, 0)이 y축의 왼쪽에 있으므로
(cid:100)(cid:100)p<0
(cid:9120) -2
40%
40%
20%
1160 이차함수 y=ax¤ -q의 그래프가 제1
사분면과 제2사분면을 지나지 않으려면 오른
쪽 그림과 같아야 하므로
a<0이고 -q…0, 즉 qæ0
∴ aq…0
(cid:9120) ④
(078~085)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:27 PM 페이지83 SinsagoHitec
1161 a>0, p>0, q=0이므로 y=p(x-q)¤ +a, 즉
y=px¤ +a의 그래프의 개형으로 알맞은 것은 ①이다.
(cid:9120) ①
(cid:100)(cid:100)BD”=3AC”=3p¤ (cid:100)(cid:100)∴ B(3p, 3p¤ )
점 B는 y=ax¤ 의 그래프 위의 점이므로
본책 159~163쪽
1
0
이
차
함
수
의
그
래
프
⑴
(cid:100)(cid:100)3p¤ =a_(3p)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=
1
3
(cid:9120) ;3!
1167
의 좌표를 각각 구한다.
이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표와 x축과 만나는 점
y=- x¤ +12에서(cid:100)(cid:100)A(0, 12)
또 0=- x¤ +12에서(cid:100)(cid:100)x¤ =16(cid:100)(cid:100)∴ x=—4
3
4
3
4
(cid:9120) 3
(cid:100)(cid:100)∴ B(-4, 0), C(4, 0)
y=- x¤ +8에서(cid:100)(cid:100)A'(0, 8)
1
2
1162 a<0, -b>0이므로(cid:100)(cid:100)a<0, b<0
따라서 y=a(x-b)¤ 의 그래프의 개형으로 알맞은 것은 ③이다.
(cid:9120) ③
1163
y가 x에 대한 이차함수 (cid:8825) y=(x에 대한 이차식)
⁄ a¤ -1+0이어야 하므로(cid:100)(cid:100)a+-1이고 a+1
¤ a¤ -2a-3=0이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)(a+1)(a-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=-1 또는 a=3
⁄, ¤에서(cid:100)(cid:100)a=3
1164
y=;3!;x¤ 에 두 점 (-3, p), (q, 27)의 좌표를 각각 대
입하여 p, q의 값을 구한 후, 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구한다.
p= _(-3)¤ =3
1
3
1
3
27= q¤ 이므로(cid:100)(cid:100)q¤ =81(cid:100)(cid:100)∴ q=9 (∵ q>0)
두 점 (-3, 3), (9, 27)을 지나는 직선의 기울기는
27-3
9-(-3)
=2
이므로 직선의 방정식을 y=2x+b로 놓으면 이 직선이 점
(-3, 3)을 지나므로
`(cid:100)(cid:100)3=-6+b(cid:100)(cid:100)∴ b=9(cid:100)(cid:100)∴ y=2x+9
(cid:9120) ④
서로 다른 두 점 (x¡, y¡), (x™, y™)를 지나는 직선의 방정식 구하기
y™-y¡
x™-x¡
⁄ 기울기 a를 구한다. (cid:8825) a=
(단, x¡+x™)
¤ y=ax+b에 한 점의 좌표를 대입하여 b의 값을 구한다.
1165
다.
점 D의 x좌표를 3k(k>0)로 놓고 k에 대한 식을 세운
3“AB=2“BC에서(cid:100)(cid:100)“AB : “BC=2 : 3
이때 y=2x¤ , y=ax¤ 의 그래프는 각각 y축에 대칭이므로
(cid:100)(cid:100)“DE : “CD=2 : 3
점 D의 x좌표를 3k(k>0)라 하면 점 E의 x좌표는 5k이고, 두
점 D, E의 y좌표는 같으므로
(cid:100)(cid:100)2_(3k)¤ =a_(5k)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=
(cid:9120) ④
18
25
1166
한 후△OCAª△ODB임을 이용한다 .
두 점A, B에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 C, D라
오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B
에서 x축에 내린 수선의 발을 각각 C,
D라 하자.
점 A의 좌표를 (p, p¤ )으로 놓으면
(cid:100)(cid:100)C(p, 0)
△OCAª△ODB이므로
(cid:100)(cid:100)OC” : OD”=OA” : OB”=1 : 3
(cid:100)(cid:100)∴ OD”=3OC”=3p(cid:100)(cid:100)∴ D(3p, 0)
또 AC” : BD”=1 : 3이므로
y
y=x@
y=ax@
B
A
O
C D
x
(cid:100)(cid:100)∴ (다각형 ABA'C의 넓이)=△ABC-△A'BC
(cid:100)(cid:100)∴ (다각형 ABA'C의 넓이)= _8_12- _8_8
1
2
1
2
(cid:100)(cid:100)∴ (다각형 ABA'C의 넓이)=16
(cid:9120) 16
1168
행이동한 그래프의 식은 y=a(x-p)¤ 이다.
이차함수 y=ax¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평
y=(x-1)¤ 의 그래프는 y=(x+4)¤ 의 그래프를 x축의 방
향으로 5만큼 평행이동한 것이므로
(cid:100)(cid:100)AB”=5
1169
하여 a, b의 값을 구한다.
y=ax+b에서 a는 직선의 기울기, b는 y절편임을 이용
a= , b=-3이므로(cid:100)(cid:100)y= (x+3)¤
1
2
따라서 x<-3이면 x의 값이 증가할 때 y의 값은 감소한다.
(cid:9120) 5
(cid:9120) ①
이차함수 y=a(x-p)¤ 의 그래프가
1170
⁄ x축과 만나는 점의 x좌표 (cid:8825) y=0을 대입
¤ y축과 만나는 점의 y좌표 (cid:8825) x=0을 대입
y=(x-3k)¤ 에서(cid:100)(cid:100)A(3k, 0), B(0, 9k¤ )
△OAB= _3k_9k¤ =4이므로(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)27k‹ =8,(cid:100)(cid:100)k‹ = ={
}3 (cid:100)(cid:100)∴ k=
8
27
2
3
2
3
(cid:9120) ③
1171
립함을 이용한다.
점 (a, b)가 직선 y=-4x 위에 있으면 b=-4a가 성
꼭짓점 (p, q)가 직선 y=-4x 위에 있으므로
(cid:100)(cid:100)q=-4p
즉 y=(x-p)¤ -4p의 그래프는 점 (2, -3)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-3=(2-p)¤ -4p,(cid:100)(cid:100)p¤ -8p+7=0
(cid:100)(cid:100)(p-1)(p-7)=0(cid:100)(cid:100)∴ p=1 또는 p=7
(cid:100)(cid:100)∴ p=1, q=-4 또는 p=7, q=-28
따라서 p+q의 값은 -3 또는 -21이므로 최댓값은 -3이다.
1
2
1
2
(cid:9120) ⑤
10 이차함수의 그래프 ⑴ 83
(078~085)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:27 PM 페이지84 SinsagoHitec
평행이동한 두 이차함수의 그래프의 모양이 같음을 이
제2, 3, 4 사분면을 지나는 이차함수의 그래프를 그린
1177
후 a, p, q의 부호를 조사한다.
y
x=1
y=a(x+p)¤ -q의 그래프가 오른쪽
y
1172
용하여 넓이가 같은 부분을 찾는다.
두 이차함수 y=-3x¤ ,
y=-3(x-1)¤ +3의 그래프의 폭이 같으므
로 ㉠의 넓이와 ㉡의 넓이는 같다.
따라서 구하는 넓이는 (cid:8772)OABC의 넓이와
같다.
y=-3x¤ 에 x=1을 대입하면(cid:100)(cid:100)y=-3
따라서 B(1, -3)이므로
(cid:100)(cid:100)(cid:8772)OABC=1_3=3
O
C
B
A
x
(cid:9120) 3
1173
의 그래프의 개형을 생각해 본다.
꼭짓점의 좌표를 이용하여 조건을 만족시키는 이차함수
꼭짓점의 좌표가 (-3, -2)이므로 제3사분면 위의 점이다.
이때 그래프가 모든 사분면을 지나려면 아래로 볼록해야 하므로
(cid:100)(cid:100)k>0
또 y축과의 교점이 x축의 아래쪽에 위치해야 하므로
(cid:100)(cid:100)k_3¤ -2<0(cid:100)(cid:100)∴ k<
2
9
(cid:100)(cid:100)∴ 00
따라서 주어진 조건을 모두 만족시키는 이차함수의 식은 ②이다.
(cid:9120) ②
1176
면 p<0, 오른쪽에 위치하면 p>0임을 이용한다.
이차함수의 그래프의 축 x=p가 y축의 왼쪽에 위치하
주어진 이차함수의 그래프의 축의 방정식은
(cid:100)(cid:100)x=-a-2
축이 y축의 왼쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)-a-2<0(cid:100)(cid:100)∴ a>-2
주어진 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(-a-2, -3a-6)
a>-2이므로(cid:100)(cid:100)-3a-6<0
따라서 꼭짓점 (-a-2, -3a-6)은 제3사분면에 있다.
(cid:9120) 제3사분면
84 정답 및 풀이
그림과 같이 위로 볼록하고 꼭짓점
(-p, -q)가 제2사분면에 있어야 하므로
(cid:100)(cid:100)a<0, -p<0, -q>0
(cid:100)(cid:100)∴ a<0, p>0, q<0
1178
점 B, C, D의 좌표를 구한다.
점 A의 좌표를 (-a, a¤ )(a>0)으로 놓고 나머지 세
점 A의 좌표를 (-a, a¤ )(a>0)으로 놓으면
(cid:100)(cid:100)B(a, a¤ ), C{-a, - a¤ }, D{a, - a¤ }
3
따라서 AB”=2a, AC”= a¤ 이고 AB”=AC”이므로
2
1
2
1
2
(cid:100)(cid:100)2a= a¤ (cid:100)(cid:100)∴ a= (∵ a>0)
… ➋
3
2
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ACDB=AB”
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ACDB={2_ }
4
3
¤ =(2a)¤
4
3
=
2
64
9
➊ 네 점 A, B, C, D의 좌표를 a로 나타낼 수 있다.
➋ a의 값을 구할 수 있다.
➌ (cid:8772)ACDB의 넓이를 구할 수 있다.
용한다.
(cid:9120) ①
1179
수의 그래프는 위로 볼록하고, 꼭짓점의 y좌표가 음수이어야 함을 이
모든 x의 값에 대하여 y의 값이 음수가 되려면 이차함
y=(2k+1)x¤ -k-5에서 모든 x의 값에 대하여 y의 값
이 음수이려면 그래프가 위로 볼록해야 하므로
(cid:100)(cid:100)2k+1<0(cid:100)(cid:100)∴ k<-
yy ㉠(cid:100)… ➊
또 꼭짓점의 y좌표가 음수이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)-k-5<0(cid:100)(cid:100)∴ k>-5
㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)-50, 3-k<0
(cid:100)(cid:100)∴ k>3
➊ 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있다.
➋ k의 값의 범위를 구할 수 있다.
1185
는 (0, f(0))이다.
이차함수 y=f(x)의 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표
점 P의 좌표는(cid:100)(cid:100)P(0, -26)
… ➊
y=-(x-5)¤ -1의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프
의 식은
(cid:100)(cid:100)-y=-(x-5)¤ -1(cid:100)(cid:100)∴ y=(x-5)¤ +1
따라서 점 Q의 좌표는(cid:100)(cid:100)Q(0, 26)
(cid:100)(cid:100)∴ “PQ=26-(-26)=52
➊ 점 P의 좌표를 구할 수 있다.
➋ 점 Q의 좌표를 구할 수 있다.
➌ “PQ의 길이를 구할 수 있다.
1186
그래프의 식은 -y=g(x), 즉 y=-g(x)이다.
함수 y=g(x)의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한
⑴ f(3)-f(1)=(3_3-2)-(3_1-2)=6,
(cid:100) g(3)-g(1)=(9a+4)-(a+4)=8a이므로
… ➌
… ➍
(cid:9120) P(-1+2'2, -8)
(cid:100) (cid:100)(cid:100)8a=6(cid:100)(cid:100)∴ a=
3
4
⑵ g(x)= x¤ +4이므로 y=g(x)의 그래프를 x축에 대하여
3
4
⑵ 대칭이동한 그래프의 식은
3
4
⑵ (cid:100)(cid:100)-y= x¤ +4(cid:100)(cid:100)∴ y=- x¤ -4
3
4
(cid:9120) ⑴
⑵ y=- x¤ -4
3
4
3
4
… ➊
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ 대칭이동한 그래프의 식을 구할 수 있다.
… ➊
… ➋
(cid:9120) k>3
50%
50%
… ➋
… ➌
(cid:9120) 52
40%
40%
20%
… ➊
… ➋
60%
40%
➊ p의 값을 구할 수 있다.
➋ 두 이차함수의 식을 구할 수 있다.
➌ y절편의 합을 구할 수 있다.
1181
두 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 먼저 구한다.
y=x¤ -4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(0, -4)
y=a(x-p)¤ 의 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(p, 0)
y=x¤ -4의 그래프가 점 (p, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)0=p¤ -4(cid:100)(cid:100)∴ p=-2 (∵ p<0)
즉 y=a(x+2)¤``의 그래프가 점 (0, -4)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)-4=a(0+2)¤ (cid:100)(cid:100)∴ a=-1
(cid:100)(cid:100)∴ a-p=1
➊ 두 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있다.
➋ p의 값을 구할 수 있다.
➌ a의 값을 구할 수 있다.
➍ a-p의 값을 구할 수 있다.
1182
△OAP의 넓이를 이용하여 점 P의 좌표를 구한다.
꼭짓점 A의 좌표는(cid:100)(cid:100)A(-1, 0)
점 P의 좌표를 (a, -(a+1)¤ )으로 놓으면(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)△OAP= _1_(a+1)¤ =4
1
2
(cid:100)(cid:100)(a+1)¤ =8,(cid:100)(cid:100)a+1=—2'2
(cid:100)(cid:100)∴ a=-1+2'2 (∵ a>0)
따라서 점 P의 좌표는(cid:100)(cid:100)P(-1+2'2, -8)
50%
20%
30%
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) 1
30%
30%
30%
10%
… ➊
… ➋
20%
30%
30%
20%
➊ 점 A의 좌표를 구할 수 있다.
➋ △OAP=4임을 이용하여 식을 세울 수 있다.
➌ a의 값을 구할 수 있다.
➍ 점 P의 좌표를 구할 수 있다.
기울기가 -1인 직선의 방정식을 y=-x+b로 놓고
1183
꼭짓점의 좌표를 대입하여 b의 값을 구한다.
꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(-a, a+3)
구하는 직선의 방정식을 y=-x+b로 놓으면 이 직선이 점
(-a, a+3)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)a+3=-(-a)+b(cid:100)(cid:100)∴ b=3
(cid:100)(cid:100)∴ y=-x+3
… ➋
… ➌
(cid:9120) y=-x+3
➊ 이차함수의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있다.
➋ 직선의 y절편을 구할 수 있다.
➌ 직선의 방정식을 구할 수 있다.
30%
50%
20%
10 이차함수의 그래프 ⑴ 85
(086~092)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:27 PM 페이지86 SinsagoHitec
1192 y=x¤ +8x-1=(x+4)¤ -17 (cid:9120) (-4, -17), x=-4
1203 y=-3x¤ -x-1
11
이차함수의 그래프 ⑵
1187 (cid:9120) ㈎ 6 ㈏ 9 ㈐ 3 ㈑ -23
1188 y=x¤ +4x-1=(x¤ +4x+4-4)-1
=(x+2)¤ -5
(cid:9120) y=(x+2)¤ -5
1189 y=-2x¤ +2x+5=-2{x¤ -x+ - }+5
1
¤ +
2
y=-2{x- }
(cid:9120) y=-2{x- }
11
2
1
2
¤ +
11
2
1
4
1
4
1190 y= x¤ -4x+12= (x¤ -12x+36-36)+12
1
3
1
3
y= (x-6)¤
1
3
1
(cid:9120) y= (x-6)¤
3
3
1191 y=- x¤ +x=-
2
3
2
3
{
2
1
¤ +
6
x-
{
y=-
1
3
}
x¤ - x+ -
1
9
1
}
9
2
3
(cid:9120) y=-
3
2
x-
{
1
3
¤ +
}
1
6
1193 y=-3x¤ +6x+2=-3(x-1)¤ +5 (cid:9120) (1, 5), x=1
1194 y=-4x¤ +x=-4{x- }
1
8
2
+
1
16
1195 y= x¤ +x- = (x+1)¤ -2
1
2
3
2
1
2
(cid:9120) {
1
8
,
1
16
}, x=
1
8
(cid:9120) (-1, -2), x=-1
1
2
2—'6
1196 - x¤ +2x+1=0, 즉 x¤ -4x-2=0의 해는
(cid:100)(cid:100)x=
이므로 x축과의 교점의 좌표는
,
x=0일 때의 함숫값이 이므로 y축과의 교점의 좌표는
(2-'6, 0), (
2+'6
1
)
0
(0,
1
)
(cid:9120) ㈎ 2—'6 ㈏ 2+'6 ㈐ 0 ㈑ 1
1197 y=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)x¤ -2x+1=0,
(cid:100)(cid:100)∴ x=1
x=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)y=1
(x-1)¤ =0
(cid:9120) x축: (1, 0), y축: (0, 1)
1198 y=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)-x¤ +4x-3=0
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+3=0,(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=3
x=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)y=-3
(cid:9120) x축: (1, 0), (3, 0), y축: (0, -3)
86 정답 및 풀이
1199 (cid:9120) ⑴ > ⑵ <, < ⑶ >
1200 (cid:9120) ⑴ < ⑵ >, < ⑶ <
1201 y=3x¤ -12x+1=3(x-2)¤ -11
따라서 a=3, p=2, q=-11이므로
a+p+q=-6
1
1202 y=- x¤ +3x+1
2
1
2
y=- (x¤ -6x)+1
y=- (x¤ -6x+9-9)+1
y=- (x¤ -6x+9)+ +1
9
2
y=- (x-3)¤ +
11
2
y=-3
x¤ + x+ -
1
3
1
36
1
36
-1
}
y=-3
x+
1
6
¤ -
}
11
12
11
따라서 -p= , =- 이므로
q
11
12
1
6
1
(cid:100)(cid:100)p=- , q=-12
6
(cid:100)(cid:100)∴ pq=2
➊ y=a(x-b)¤ +c 꼴로 변형할 수 있다.
➋ p, q의 값을 구할 수 있다.
➌ pq의 값을 구할 수 있다.
1
2
1
2
1
2
{
{
1204 y=-x¤ +10x=-(x-5)¤ +25의 그래프의 꼭짓점의
좌표는(cid:100)(cid:100)(5, 25)
y=x¤ -2px+q=(x-p)¤ -p¤ +q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(p, -p¤ +q)
따라서 p=5, -p¤ +q=25이므로(cid:100)(cid:100)q=50
(cid:100)(cid:100)∴ p+q=55
1205 ① x=0(cid:100)(cid:100)② x=-1(cid:100)(cid:100)③ x=-4
2
1
2
5
4
- 이므로(cid:100)(cid:100)x=
④ y={x- }
1
5
⑤ y= {x+ }
5
2
따라서 그래프의 축이 가장 왼쪽에 있는 것은 ③이다.
2
+ 이므로(cid:100)(cid:100)x=-
5
2
3
4
1
2
(cid:9120) ①
(cid:9120) ㈂
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 2
50%
40%
10%
(cid:9120) 55
(cid:9120) ③
(086~092)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:27 PM 페이지87 SinsagoHitec
1
4
2
+q- 의 그래프의 꼭짓
1
4
y=-9를 대입하면(cid:100)(cid:100) x¤ -2x-9=-9
1
3
본책 167~170쪽
1206 y=4x¤ +2x+q=4{x+ }
1
점의 좌표는 {- , q- }이므로
4
1
4
(cid:100)(cid:100)p=- , q- =0(cid:100)(cid:100)∴ p=- , q=
1
4
1
4
1
4
1
4
(cid:100)(cid:100)∴ p+q=0
(cid:9120) ③
1207 ① y=-3(x+1)¤ 이므로(cid:100)(cid:100)(-1, 0)
② y=-2(x-3)¤ +2이므로(cid:100)(cid:100)(3, 2)
③ y=-(x-1)¤ -2이므로(cid:100)(cid:100)(1, -2)
④ y=(x+3)¤ +1이므로(cid:100)(cid:100)(-3, 1)
⑤ y=2(x+1)¤ -1이므로(cid:100)(cid:100)(-1, -1)
따라서 꼭짓점이 제3사분면에 있는 것은 ⑤이다.
(cid:9120) ⑤
1208 y=x¤ -2ax+b의 그래프가 점 (1, 2)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)2=1-2a+b(cid:100)(cid:100)∴ b=2a+1
∴ y=x¤ -2ax+2a+1
=(x¤ -2ax+a¤ -a¤ )+2a+1
=(x-a)¤ -a¤ +2a+1
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(a, -a¤ +2a+1)
이 꼭짓점이 직선 y=x-5 위에 있으므로
-a¤ +2a+1=a-5,(cid:100)(cid:100)a¤ -a-6=0
(a+2)(a-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ a=3(∵ a>0)
∴ b=2_3+1=7
∴ b-a=4
1209 y=x¤ -2kx+5=(x-k)¤ -k¤ +5
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(k, -k¤ +5)
y=-2x+2의 그래프가 이 점을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-k¤ +5=-2k+2,(cid:100)(cid:100)k¤ -2k-3=0
(cid:100)(cid:100)(k+1)(k-3)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=3 (∵ k>0)
1210 y=0을 대입하면
x¤ -4x-5=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-5)=0
∴ x=-1 또는 x=5
(cid:100)(cid:100)∴ p=-1, q=5 또는 p=5, q=-1
x=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)y=-5(cid:100)(cid:100)∴ r=-5
(cid:100)(cid:100)∴ p+q+r=-1
1211 y= x¤ -2x-9= (x-3)¤ -12
1
3
1
3
(cid:100)(cid:100)∴ C(3, -12)
y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100) x¤ -2x-9=0,(cid:100)(cid:100)x¤ -6x-27=0
1
3
(cid:100)(cid:100)(x+3)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-3 또는 x=9
(cid:100)(cid:100)∴ A(-3, 0), E(9, 0)
x=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)y=-9(cid:100)(cid:100)∴ B(0, -9)
(cid:100)(cid:100)x¤ -6x=0,(cid:100)(cid:100)x(x-6)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=0 또는 x=6
(cid:100)(cid:100)∴ D(6, -9)
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
1212 y=2x¤ -7x+a에 x= , y=0을 대입하면
1
2
(cid:100)(cid:100)0= - +a(cid:100)(cid:100)∴ a=3
1
2
7
2
따라서 y=2x¤ -7x+3에 x=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)y=3
따라서 이 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(0, 3)
1213 y=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)0=-2x¤ +4x+6
x¤ -2x-3=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=3
따라서 A(-1, 0), B(3, 0)으로 놓으면
AB”=4
➊ x축과의 교점의 x좌표를 구할 수 있다.
➋ AB”의 길이를 구할 수 있다.
1
1
이
차
함
수
의
그
래
프
⑵
(cid:9120) ④
1214 y=ax¤ -3x+7에 x=2, y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)0=4a-6+7(cid:100)(cid:100)∴ a=-
1
4
즉 y=- x¤ -3x+7에 y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)0=- x¤ -3x+7,(cid:100)(cid:100)x¤ +12x-28=0
1
4
1
4
(cid:9120) 3
(cid:100)(cid:100)(x+14)(x-2)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-14 또는 x=2
따라서 다른 한 점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(-14, 0)
… ➋
… ➌
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ x축과의 교점의 x좌표를 구할 수 있다.
➌ 다른 한 점의 좌표를 구할 수 있다.
1215 y=- x¤ +2x+1=- (x-2)¤ +3
1
2
1
2
(cid:9120) ②
따라서 꼭짓점의 좌표가 (2, 3)이고, y축과의 교점의 좌표가
(0, 1)이므로 주어진 이차함수의 그래프는 ①과 같다.
1216 y=-2x¤ +4x-1=-2(x-1)¤ +1
따라서 꼭짓점의 좌표가 (1, 1)이고, y축과
의 교점의 좌표가 (0, -1)이므로 주어진
이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 제
2 사분면을 지나지 않는다.
y
1
O
-1
11 이차함수의 그래프 ⑵ 87
(cid:9120) (0, 3)
(cid:9120) ④
… ➊
… ➋
(cid:9120) 4
50%
50%
… ➊
(cid:9120) (-14, 0)
30%
50%
20%
(cid:9120) ①
1
x
(cid:9120) ②
(086~092)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:27 PM 페이지88 SinsagoHitec
, 9}이고, 원점을 지나므로 제2
-7만큼 평행이동한 것이다.
따라서 a= , b=-3, c=-7이므로
1222 y= x¤ +2x-4= (x+3)¤ -7의 그래프는
1
3
y= x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로
1
3
1
3
1
3
abc=7
1217 ①, ② 제1, 2사분면을 지나지 않는다.
③ y=-4x¤ +12x=-4{x- }
2
+9
따라서 꼭짓점의 좌표가 {
사분면을 지나지 않는다.
④ y=-3x¤ -x-1=-3{x+ }
1
6
2
-
11
12
3
2
3
2
1
따라서 꼭짓점의 좌표가 {- , - }이고, y축과의 교점
6
의 좌표가 (0, -1)이므로 제1, 2 사분면을 지나지 않는다.
11
12
⑤ y=-5x¤ -4x+1=-5{x+ }
2
5
2
+
9
5
2
따라서 꼭짓점의 좌표가 {- ,
5
좌표가 (0, 1)이므로 모든 사분면을 지난다.
9
5
}이고, y축과의 교점의
1218 y=-x¤ +4x-4a+1=-(x-2)¤ -4a+5의 그래프
의 꼭짓점의 좌표는 (2, -4a+5)이므로 그래프가 x축에 접하
려면
(cid:100)(cid:100)-4a+5=0(cid:100)(cid:100)∴ a=
5
4
1219 ① y=9x¤ -6x+1=(3x-1)¤
(cid:100) 따라서 이 그래프는 x축과 한 점에서 만난다.
② y=x¤ -2x+4=(x-1)¤ +3
(cid:100) 따라서 이 그래프는 x축과 만나지 않는다.
13
③ y=- x¤ +3x- =- (x-3)¤ -2
2
1
2
1
2
(cid:100) 따라서 이 그래프는 x축과 만나지 않는다.
④ y=- x¤ +x-1=- (x-2)¤
1
4
1
4
(cid:100) 따라서 이 그래프는 x축과 한 점에서 만난다.
⑤ y=-x¤ -x=-{x+ }
(cid:100) 따라서 이 그래프는 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
1
2
¤ +
1
4
1223 y=4x¤ -12x-1=4{x- }
방향으로 a만큼, y축의 방향으로 7만큼 평행이동한 그래프의 식
은
-10의 그래프를 x축의
2
3
2
(cid:100)(cid:100)y=4{x-a- }
이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (-1, b)이므로
-10+7 =4{x-a- }
2
3
2
2
-3
3
2
(cid:9120) ⑤
(cid:9120)
5
4
(cid:100)(cid:100)a+ =-1, -3=b
3
2
(cid:100)(cid:100)∴ a=- , b=-3
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=-
11
2
5
2
1
2
1224 y=- x¤ -3x-2=- (x+3)¤ +
… ➊
1
2
5
2
이 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=- (x-2+3)¤ +
1
2
5
2
1
(cid:100)(cid:100)y=- (x+1)¤ +
2
5
2
이 그래프가 점 (1, m)을 지나므로
1
(cid:100)(cid:100)m=- _2¤ + =
2
5
2
1
2
➊ y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형할 수 있다.
➋ 평행이동한 그래프의 식을 구할 수 있다.
➌ m의 값을 구할 수 있다.
(cid:9120) ⑤
1220 y=x¤ +4x-k+6=(x+2)¤ -k+2의 그래프의 꼭짓
점의 좌표는 (-2, -k+2)이므로 이 그래프가 x축과 서로 다
른 두 점에서 만나려면
(cid:100)(cid:100)-k+2<0(cid:100)(cid:100)∴ k>2
(cid:9120) ⑤
1221 y=x¤ +2x-4=(x+1)¤ -5의 그래프를 x축의 방향으
로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은
1225 y=-x¤ +6x+k=-(x-3)¤ +k+9의 그래프를 y축
의 방향으로 -5만큼 평행이동한 그래프의 식은
y=-(x-3)¤ +k+9-5=-(x-3)¤ +k+4
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, k+4)이므로 그래프가 x축과
만나지 않으려면
k+4<0(cid:100)(cid:100)∴ k<-4
1226 y=-3x¤ -6x-7=-3(x+1)¤ -4이므로 구하는 범
위가 될 수 있는 것은
x>-1
(cid:9120) ④
y=(x-a+1)¤ -5+b
y=x¤ -8x+14=(x-4)¤ -2이므로
-a+1=-4, -5+b=-2
따라서 a=5, b=3이므로
ab=15
88 정답 및 풀이
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) -
11
2
… ➋
… ➌
(cid:9120)
1
2
40%
40%
20%
(cid:9120) k<-4
(cid:9120) ⑤
(086~092)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:28 PM 페이지89 SinsagoHitec
1227 y=- x¤ +ax-5=- (x-a)¤ + a¤ -5
1
2
1
2
1
2
이때 축의 방정식이 x=a이므로(cid:100)(cid:100)a=3
(cid:9120) 3
1228 y=2x¤ -8x+7=2(x-2)¤ -1의 그래프를 x축의 방향
으로 k만큼 평행이동한 그래프의 식은
1235 y=-x¤ +2x+8=-(x-1)¤ +9
(cid:100)(cid:100)∴ A(1, 9)
y=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)-x¤ +2x+8=0
(cid:100)(cid:100)x¤ -2x-8=0,(cid:100)(cid:100)(x+2)(x-4)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-2 또는 x=4
따라서 B(-2, 0), C(4, 0)이므로(cid:100)(cid:100)BC”=6
본책 170~174쪽
y=2(x-k-2)¤ -1
이때 축의 방정식이 x=k+2이므로
k+2=1(cid:100)(cid:100)∴ k=-1
1229 y=5x¤ +kx+9의 그래프가 점 (-2, -1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-1=20-2k+9(cid:100)(cid:100)∴ k=15
따라서 y=5x¤ +15x+9=5{x+ }
가 될 수 있는 것은
2
3
2
9
4
- 이므로 구하는 범위
(cid:100)(cid:100)x<-
3
2
(cid:9120) ②
(cid:9120) ①
1230 주어진 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로(cid:100)(cid:100)-2=b
꼭짓점의 좌표가 (k, -3)이므로
(cid:100)(cid:100)y= (x-k)¤ -3= x¤ - kx+ k¤ -3
1
4
1
2
1
4
1
4
이 그래프가 y= x¤ +ax+b의 그래프와 일치하므로
1
4
1
4
1
(cid:100)(cid:100)- k=a,
2
k¤ -3=b
(cid:100)(cid:100)∴ k=-2, a=1(∵ k<0)
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+k=-3
1231 y=-x¤ +4x+5=-(x-2)¤ +9
③ -x¤ +4x+5=0에서(cid:100)(cid:100)x¤ -4x-5=0
(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=5
따라서 x축과의 교점의 좌표는 (-1, 0), (5, 0)이다.
④ x>2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
1
1
이
차
함
수
의
그
래
프
⑵
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _6_9=27
(cid:9120) 27
5
1236 y=- x¤ -2x+ =- (x+2)¤ + 이므로
2
9
2
1
2
1
2
1
2
9
2
}
(cid:100)(cid:100)C{-2,
x=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)y= (cid:100)(cid:100)∴ D {0,
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC : △ABD
5
2
5
2
}
1
2
9
(cid:100)(cid:100)={ _AB”_ } : { _AB”_ }
2
(cid:100)(cid:100)=9 : 5
5
2
1
2
1237 그래프가 원점을 지나므로(cid:100)(cid:100)c=0
축의 방정식이 x=3이므로(cid:100)(cid:100)B(6, 0)
- _6¤ +6b=0이므로(cid:100)(cid:100)b=3
1
2
즉 y=- x¤ +3x=- (x-3)¤ + 이므로
1
2
9
2
1
2
(cid:100)(cid:100)A{3,
9
2
}
(cid:9120) -3
(cid:100)(cid:100)∴ △AOB= _6_ =
1
2
9
2
27
2
(cid:9120) ⑤
1238 x=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)y=-5(cid:100)(cid:100)∴ A(0, -5) … ➊
y=x¤ -4x-5=(x-2)¤ -9이므로(cid:100)(cid:100)B(2, -9)
… ➋
y=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)x¤ -4x-5=0
(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-5)=0(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=5
(cid:100)(cid:100)∴ C(5, 0)
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)OABC=△OAB+△OBC
… ➌
(cid:9120) ④
1232 y=-3x¤ +6x=-3(x-1)¤ +3
③ 함숫값의 범위는 y…3이다.
⑤ y=-3x¤ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으
(cid:9120) ③
로 3만큼 평행이동한 그래프이다.
1
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)OABC= _5_2+ _5_9
2
1
2
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)OABC=
55
2
1233 y=2x¤ -4x+1=2(x-1)¤ -1의 그래프를 x축의 방향
으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식
은(cid:100)(cid:100)y=2(x+1-1)¤ -1+2=2x¤ +1
㈀ 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(0, 1)
이상에서 옳은 것은 ㈁, ㈂, ㈃이다.
(cid:9120) ㈁, ㈂, ㈃
➊ 점 A의 좌표를 구할 수 있다.
➋ 점 B의 좌표를 구할 수 있다.
➌ 점 C의 좌표를 구할 수 있다.
➍ (cid:8772)OABC의 넓이를 구할 수 있다.
1234 ① a>0이면 아래로 볼록하다.
② 축의 방정식은 x=- 이다.
b
2a
③ 이차함수 y=ax¤ 의 그래프와 폭이 같다.
④ x축과의 교점의 개수는 알 수 없다.
1239 y=x¤ +ax-8의 그래프가 점 (-4, 0)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)0=16-4a-8(cid:100)(cid:100)∴ a=2
y=x¤ +2x-8=(x+1)¤ -9이므로(cid:100)(cid:100)B(-1, -9)
x=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)y=-8(cid:100)(cid:100)∴ C(0, -8)
(cid:9120) ⑤
11 이차함수의 그래프 ⑵ 89
(cid:9120) ⑤
… ➍
(cid:9120)
55
2
20%
20%
20%
40%
(086~092)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:28 PM 페이지90 SinsagoHitec
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=△OAB+△OBC-△OAC
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _4_9+ _8_1- _4_8
1
2
1
2
1
2
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC=6
1240 a>0, b<0, c<0
① ac<0
② ab<0
b
③ >0
c
④ x=-1일 때 y>0이므로(cid:100)(cid:100)a-b+c>0
⑤ x=2일 때 y<0이므로(cid:100)(cid:100)4a+2b+c<0
1241 그래프가 아래로 볼록하므로(cid:100)(cid:100)a>0
축이 y축의 오른쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)ab<0(cid:100)(cid:100)∴ b<0
y축과의 교점이 원점의 위쪽에 위치하므로(cid:100)(cid:100)c>0
1242 a<0, -b<0이므로(cid:100)(cid:100)a<0, b>0
y=ax¤ +bx+a-b의 그래프에서
⁄ a<0이므로 위로 볼록
¤ ab<0이므로 축은 y축의 오른쪽에 위치
‹ a-b<0이므로 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치
이상에서 y=ax¤ +bx+a-b의 그래프의 개형은 ③과 같다.
(cid:9120) 6
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
(cid:9120) ③
1243 이차방정식 x¤ +bx-c=0의 두 근이 모두 양수이므로
근과 계수의 관계에 의하여
(cid:100)(cid:100)-b>0, -c>0
(cid:100)(cid:100)∴ b<0, c<0
y=-bx¤ +x+c의 그래프에서
⁄ -b>0이므로 아래로 볼록
¤ -b_1>0이므로 축은 y축의 왼쪽에 위치
‹ c<0이므로 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치
이상에서 y=-bx¤ +x+c의 그래프의 개형은 ③과 같다.
이차방정식의 근과 계수의 관계
이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근을 a, b라 할 때
① 두 근의 합: a+b=-
;aB;
② 두 근의 곱: ab=
;aC;
1244 a<0, b=0, c>0이므로 y=cx¤ +ax+b의 그래프에서
⁄ c>0이므로 아래로 볼록
¤ ac<0이므로 축은 y축의 오른쪽에 위
치
‹ b=0이므로 원점을 지난다.
이상에서 y=cx¤ +ax+b=cx¤ +ax의
그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같으므
로 제1, 2, 4사분면을 지난다.
y
O
90 정답 및 풀이
y
O
1245 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 오른
쪽 그림과 같으므로
(cid:100)(cid:100)a<0, b>0, c…0
이때 y=cx¤ -bx+a가 이차함수이므로
(cid:100)(cid:100)c+0
(cid:100)(cid:100)∴ a<0, b>0, c<0
y=cx¤ -bx+a의 그래프에서
⁄ c<0이므로 위로 볼록
¤ -bc>0이므로 축은 y축의 왼쪽에 위치
¤ a<0이므로 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치
이상에서 y=cx¤ -bx+a의 그래프의 개형은 ⑤와 같다.
x
(cid:9120) ⑤
1246
값을 구하고 주어진 이차함수를 표준형으로 변형한다.
직선의 기울기가 , y절편이 5임을 이용하여 a, b의
5
2
a= , b=5이므로
5
2
y=5x¤ - x+2=5{x- }
1
4
2
+
27
16
5
2
따라서 이 그래프의 축의 방정식은(cid:100)(cid:100)x=
(cid:9120) ④
1
4
1247
짓점의 좌표를 k에 대한 식으로 나타낸다.
주어진 이차함수를 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하여 꼭
y=x¤ -4kx+4k¤ -k+2=(x-2k)¤ -k+2
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는(cid:100)(cid:100)(2k, -k+2)
이 점이 제4 사분면에 있으려면
(cid:100)(cid:100)2k>0, -k+2<0
(cid:100)(cid:100)∴ k>2
따라서 실수 k의 값이 될 수 있는 것은⑤이다 .
(cid:9120) ⑤
1248
(cid:8772)ABCD가 평행사변형임을 이용하여 넓이를 구한다.
(cid:9120) ③
y=x¤ -x-2={x- }
2
- 이므로
9
4
(cid:100)(cid:100)B {
1
2
9
, - }
4
y=x¤ -9x+18={x- }
- 이므로
9
2
9
4
9
2
9
, - }
4
(cid:100)(cid:100)C {
즉 y=x¤ -9x+18의 그래프는 y=x¤ -x-2의 그래프를 x축
의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이므로 (cid:8772)ABCD는 평행사변
형이다.
(cid:100)(cid:100)∴ (cid:8772)ABCD=4_ =9
(cid:9120) 9
1
2
2
9
4
1249
의 식은 y=-a(x-p)¤ -q이다.
y=a(x-p)¤ +q의 그래프를 x축에 대칭이동한 그래프
y=3x¤ -2x+1=3{x- }
1
3
이 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행
이동한 그래프의 식은
2
3
+
2
x
(cid:9120) ④
(086~092)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:28 PM 페이지91 SinsagoHitec
따라서 a=-3, p= , q=- 이므로
x=1에서 함숫값의 부호를 이용하면 a+b의 부호를 알
1253
수 있다.
(cid:9120)
16
3
a<0, b>0이므로(cid:100)(cid:100)ab<0
1
1
이
차
함
수
의
그
래
프
⑵
2
2
+ +q
(cid:100)(cid:100)y=3{x-p- }
3
이 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은
1
3
(cid:100)(cid:100)y=-3{x-p- }
1
3
2
2
- -q
3
한편 y=ax¤ +6x-1=a{x+ }
㉠의 그래프가 일치하므로
yy ㉠(cid:100)
2
3
a
9
a
- -1이고, 이 그래프와
(cid:100)(cid:100)a=-3, -p- = , - -q=- -1
9
a
3
a
1
3
2
3
2
3
8
3
(cid:100)(cid:100)apq=
16
3
1250
두 점 사이의 거리를 구한다.
이차함수 y=-x¤ +4x+5의 그래프가 x축과 만나는
y=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)-x¤ +4x+5=0
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x-5=0,(cid:100)(cid:100)(x+1)(x-5)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-1 또는 x=5
따라서 y=-x¤ +4x+5의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사이
의 거리는 6이다.
y=-x¤ +4x+5=-(x-2)¤ +9의 그래프를 y축의 방향으로
k만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=-(x-2)¤ +9+k
이 그래프의 축의 방정식은
(cid:100)(cid:100)x=2
이때 평행이동한 그래프와 x축
과의 교점 사이의 거리가 12이
므로 교점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(-4, 0), (8, 0)
따라서 y=-(x-2)¤ +9+k
에 x=-4, y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)0=-(-4-2)¤ +9+k
(cid:100)(cid:100)∴ k=27
y=-{x-2}@+9+k
y=-x@+4x+5
-1
-4
(cid:9120) ④
2 5
O
x
y
5
8
직선 l이 △ABC의 넓이를 이등분하려면 선분 AB의
1251
중점을 지나야 함을 이용한다.
y=0을 대입하면
y
y=x@-4x+3
C
(cid:100)(cid:100)x¤ -4x+3=0
(cid:100)(cid:100)(x-1)(x-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=1 또는 x=3
(cid:100)(cid:100)∴ A(1, 0), B(3, 0)
x=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)∴ y=3(cid:100)(cid:100)C(0, 3)
직선 l이 △ABC의 넓이를 이등분하므로 AB”의 중점을 지난다.
이 중점을 M이라 하면
(cid:100)(cid:100)M(2, 0)
따라서 두 점 C(0, 3), M(2, 0)을 지나는 직선 l의 방정식은
A
M
B
l
O
x
본책 174~177쪽
주어진 이차함수의 그래프를 이용하여 a, b, c의 부호
1252
를 결정한다.
a<0, b>0, c>0
② a<0, b>0이므로(cid:100)(cid:100)4a<0, -2b<0
(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴ 4a-2b<0
③ x=-1일 때 y=0이므로(cid:100)(cid:100)a-b+c=0
⑤ 축이 직선 x=1이므로 x=3일 때 y=0이다.
⑤ 따라서 x=2일 때 y>0이므로
⑤ (cid:100)(cid:100)4a+2b+c>0
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) ②
(cid:9120) 30
50%
40%
10%
y=ax+b에서 x=1일 때 y>0이므로(cid:100)(cid:100)a+b>0
y=x¤ +(a+b)x+ab의 그래프에서
⁄ 1>0이므로 아래로 볼록
¤ a+b>0이므로 축이 y축의 왼쪽에 위치
‹ ab<0이므로 y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치
이상에서 y=x¤ +(a+b)x+ab의 그래프의 개형은 ②와 같다.
주어진 이차함수를 y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형하여 꼭
1254
짓점의 좌표를 a에 대한 식으로 나타낸다.
y=(x+a)¤ +2(a+1)x+6
=x¤ +(4a+2)x+a¤ +6
=(x+2a+1)¤ -3a¤ -4a+5
… ➊
이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (-2a-1, -3a¤ -4a+5)이므로
(cid:100)(cid:100)-2a-1=5, -3a¤ -4a+5=b
(cid:100)(cid:100)∴ a=-3, b=-10
(cid:100)(cid:100)∴ ab=30
… ➋
… ➌
➊ y=a(x-p)¤ +q 꼴로 변형할 수 있다.
➋ a, b의 값을 구할 수 있다.
➌ ab의 값을 구할 수 있다.
1255
하다.
(cid:8772)ABCD가 평행사변형이면 두 쌍의 대변이 각각 평행
y=0을 대입하면(cid:100)(cid:100) x¤ +x-4=0에서
1
2
(cid:100)(cid:100)x¤ +2x-8=0,(cid:100)(cid:100)(x+4)(x-2)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=-4 또는 x=2
(cid:100)(cid:100)∴ A(-4, 0), C(2, 0)
x=0을 대입하면(cid:100)(cid:100)y=-4
(cid:100)(cid:100)∴ B(0, -4)
D(a, b)라 하면 (cid:8772)ABCD가 평행사변형이므로
AB”// CD”에서(cid:100)(cid:100)
-4-0
0-(-4)
=
b-0
a-2
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=2
AD”
”//BC”에서(cid:100)(cid:100)
b-0
a-(-4)
=
0-(-4)
2-0
… ➊
yy ㉠(cid:100)
yy ㉡(cid:100)
11 이차함수의 그래프 ⑵ 91
(cid:100)(cid:100)y=- x+3
3
2
(cid:9120) y=- x+3
3
2
(cid:100)(cid:100)∴ 2a-b=-8
(086~092)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:28 PM 페이지92 SinsagoHitec
㉠, ㉡을 연립하여 풀면(cid:100)(cid:100)a=-2, b=4
(cid:100)(cid:100)∴ D(-2, 4)
1258
표를 구한다.
… ➋
축의 방정식과 AB”=4임을 이용하여 두 점 A, B의 좌
(cid:9120) D(-2, 4)
y=2x¤ +4x+k=2(x+1)¤ +k-2
이 그래프의 축의 방정식이 x=-1이고, AB”=4이므로
(cid:100)(cid:100)A(-3, 0), B(1, 0)
y=2x¤ +4x+k에 x=1, y=0을 대입하면
(cid:100)(cid:100)0=2+4+k(cid:100)(cid:100)∴ k=-6
즉 y=2x¤ +4x-6=2(x+1)¤ -8이므로
(cid:100)(cid:100)∴ C(-1, -8)
(cid:100)(cid:100)∴ △ABC= _4_8=16
1
2
➊ 두 점 A, B의 좌표를 구할 수 있다.
➋ k의 값을 구할 수 있다.
➌ 점 C의 좌표를 구할 수 있다.
➍ △ABC의 넓이를 구할 수 있다.
1259
결정한다.
주어진 이차함수의 그래프를 이용하여 a, b의 부호를
그래프의 축이 y축의 오른쪽에 위치하므로
(cid:100)(cid:100)-a<0(cid:100)(cid:100)∴ a>0
y축과의 교점이 원점의 아래쪽에 위치하므로
(cid:100)(cid:100)b<0
(cid:100)(cid:100)∴ a-b>0, b-a<0
(cid:100)(cid:100)∴ øπ(a-b)¤ -øπ(b-a)¤ =a-b+(b-a)
(cid:100)(cid:100)∴ øπ(a-b)¤ -øπ(b-a)¤ =0
… ➊
… ➋
… ➌
… ➍
(cid:9120) 16
30%
20%
30%
20%
… ➊
… ➋
… ➌
(cid:9120) 0
40%
30%
30%
➊ a, b의 부호를 결정할 수 있다.
➋ a-b, b-a의 부호를 결정할 수 있다.
➌ 주어진 식을 간단히 할 수 있다.
"√(a-b)¤` 의 성질
① a>b이면 (cid:8825) "√(a-b)¤``=a-b
② a0)
⑵ y=-x¤ +4x+8=-(x-2)¤ +12이므로 x=2일 때 최댓값
… ➋
12를 갖는다.
… ➊
(cid:9120) ⑴ 2 ⑵ 최댓값`: 12, x=2
➊ 양수 k의 값을 구할 수 있다.
➋ 최댓값과 그때의 x의 값을 구할 수 있다.
40%
60%
1317 조건 ㈎, ㈏에서 주어진 이차함수의 식을
(cid:9120) 8
2
3
y= (x-5)¤ +q로 놓으면 조건 ㈐에서 이 그래프가 점 (2, 3)을
지나므로
(cid:100)(cid:100)3=6+q(cid:100)(cid:100)∴ q=-3
따라서 y= (x-5)¤ -3의 최솟값은 -3이다.
(cid:9120) ④
2
3
1318 y=2x¤ -12x+3p+1=2(x-3)¤ +3p-17의 그래프
의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(3, 3p-17)
y=-4x-2에 x=3, y=3p-17을 대입하면
(cid:100)(cid:100)3p-17=-12-2(cid:100)(cid:100)∴ p=1
따라서 y=2(x-3)¤ -14의 최솟값은 -14이다.
… ➌
… ➊
… ➋
➊ 꼭짓점의 좌표를 구할 수 있다.
➋ p의 값을 구할 수 있다.
➌ 최솟값을 구할 수 있다.
1319 주어진 이차함수의 식을 y=a(x-1)(x-5)로 놓고
x=0, y=-5를 대입하면
(cid:100)(cid:100)-5=5a(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 y=-(x-1)(x-5)=-(x-3)¤ +4의 최댓값은 4이
다.
(cid:9120) 4
1320 y=-3x¤ +12x+k-7=-3(x-2)¤ +k+5
이 함수의 최댓값이 1이므로
(cid:100)(cid:100)k+5=1(cid:100)(cid:100)∴ k=-4
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) -14
40%
40%
20%
(cid:9120) ⑤
(cid:9120) 2
1315 y=3(x-1-2)¤ + -3=3(x-3)¤ -
5
2
따라서 이차함수의 최솟값은 - 이다.
(cid:9120) ①
1321 y=ax¤ +4ax+7=a(x+2)¤ -4a+7
이 함수의 최솟값이 -1이므로
(cid:100)(cid:100)-4a+7=-1(cid:100)(cid:100)∴ a=2
96 정답 및 풀이
1
4
1
2
1
2
5
2
(093~103)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:28 PM 페이지97 SinsagoHitec
1322 y= x¤ +7x+k- = (x+1)¤ +k-6
1329 y=- x¤ +ax-2가 x=6에서 최댓값 b를 가지므로
7
2
5
2
7
2
y=-3x¤ +6x-2k=-3(x-1)¤ -2k+3
따라서 k-6=-2k+3이므로(cid:100)(cid:100)3k=9
(cid:100)(cid:100)∴ k=3
1323 y=-x¤ +3ax=-
x- a
{
이 함수의 최댓값이 9이므로
3
2
9
¤ + a¤
}
4
(cid:100)(cid:100) a¤ =9,(cid:100)(cid:100)a¤ =4(cid:100)(cid:100)∴ a=2 (∵ a>0)
9
4
따라서 y=-x¤ +6x의 그래프가 점 (2, k)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)k=-2¤ +6_2=8
1
4
1
4
1
4
1
4
(cid:100)(cid:100)y=- (x-6)¤ +b=- x¤ +3x+b-9
1
4
(cid:9120) ③
따라서 a=3, -2=b-9이므로(cid:100)(cid:100)a=3, b=7
… ➊
y=- x¤ +3x-2의 그래프가 점 (k, -9)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)-9=- k¤ +3k-2,(cid:100)(cid:100)k¤ -12k-28=0
(cid:100)(cid:100)(k+2)(k-14)=0(cid:100)(cid:100)∴ k=-2 (∵ k<0)
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+k=8
본책 185~188쪽
… ➋
… ➌
(cid:9120) 8
40%
40%
20%
… ➊
… ➋
(cid:9120) 8
50%
50%
(cid:9120) ①
➊ a의 값을 구할 수 있다.
➋ k의 값을 구할 수 있다.
1324 y=-2x¤ +3x+a=-2{x- }
1
8
이 함수의 최댓값이 이하가 되려면
3
4
2
+a+
9
8
9
8
1
(cid:100)(cid:100)a+ … (cid:100)(cid:100)∴ a…-1
8
따라서 a의 최댓값은 -1이다.
1325 y=-2x¤ -8px-4p=-2(x+2p)¤ +8p¤ -4p
이 함수의 최댓값이 12이므로
(cid:100)(cid:100)8p¤ -4p=12,(cid:100)(cid:100)(p+1)(2p-3)=0
(cid:100)(cid:100)∴ p=-1 (∵ p<0)
따라서 y=-2(x-2)¤ +12이므로 구하는 꼭짓점의 x좌표는 2
이다.
(cid:9120) 2
1326 y=-2x¤ +ax+b가 x=- 에서 최댓값 4를 가지므로
(cid:100)(cid:100)y=-2{x+ }
+4=-2x¤ -2x+
1
2
7
2
(cid:100)(cid:100)∴ a=-2, b= (cid:100)(cid:100)∴ ab=-7
(cid:9120) -7
1
2
2
7
2
1327 y=kx¤ +10x-3이 x=-1에서 최솟값 p를 가지므로
(cid:100)(cid:100)y=k(x+1)¤ +p=kx¤ +2kx+k+p
따라서 10=2k, -3=k+p이므로
(cid:100)(cid:100)k=5, p=-8
(cid:9120) ③
1328 y=x¤ -2ax+b=(x-a)¤ -a¤ +b의 그래프를 x축의
방향으로 2a만큼 평행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=(x-2a-a)¤ -a¤ +b=(x-3a)¤ -a¤ +b
이 그래프의 축의 방정식이 x=4이고, 최솟값이 -1이므로
➊ a, b의 값을 구할 수 있다.
➋ k의 값을 구할 수 있다.
➌ a+b+k의 값을 구할 수 있다.
1330 y=-x¤ +4(2-a)x-1이 x=-2에서 최댓값 k를 가
지므로
(cid:100)(cid:100)y=-(x+2)¤ +k=-x¤ -4x+k-4
따라서 4(2-a)=-4, -1=k-4이므로
(cid:100)(cid:100)a=3, k=3(cid:100)(cid:100)∴ ak=9
(cid:9120) ③
1
2
이
차
함
수
의
활
용
1331 y=ax¤ +bx+c가 x=-2일 때 최솟값 5를 가지므로
이차함수의 식을 y=a(x+2)¤ +5로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (0, 6)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)6=4a+5(cid:100)(cid:100)∴ a=
1
4
따라서 y= (x+2)¤ +5= x¤ +x+6이므로
(cid:100)(cid:100)b=1, c=6(cid:100)(cid:100)∴ abc=
(cid:9120)
3
2
1332 축의 방정식이 x=-2이고, 최댓값이 6이므로 이차함
수의 식을 y=a(x+2)¤ +6으로 놓을 수 있다.
이 그래프가 점 (0, 0)을 지나므로
1
4
3
2
3
2
(cid:100)(cid:100)0=4a+6(cid:100)(cid:100)∴ a=-
(cid:100)(cid:100)∴ y=- (x+2)¤ +6=- x¤ -6x
3
2
3
2
1
이 그래프가 점 {- , k}를 지나므로
3
1
3
3
(cid:100)(cid:100)k=- _{- }
2
¤ -6_{- }=
1
3
11
6
(cid:9120) ③
1333 조건 ㈎, ㈏에서 이차함수가 x=4에서 최솟값 0을 가지
므로 y=a(x-4)¤ 으로 놓을 수 있다.
조건 ㈐에서 이 그래프가 점 (-2, 18)을 지나므로
1
4
1
2
12 이차함수의 활용 97
(cid:100)(cid:100)3a=4, -a¤ +b=-1(cid:100)(cid:100)∴ a= , b=
(cid:100)(cid:100)18=36a(cid:100)(cid:100)∴ a=
4
3
7
9
(cid:100)(cid:100)∴ 9(a+b)=9_{ + }=19
4
3
7
9
(cid:9120) 19
(cid:100)(cid:100)∴ y= (x-4)¤ = x¤ -4x+8
(cid:9120) y= x¤ -4x+8
1
2
1
2
1
2
(093~103)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:28 PM 페이지98 SinsagoHitec
1334 x=- 에서 최솟값 5를 가지므로 이차함수의 식을
4
3
¤ +5로 놓을 수 있다.
}
4
3
y=a
x+
{
이 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 m만큼 평
행이동한 그래프의 식은
(cid:100)(cid:100)y=a
x-1+
{
4
3
}
¤ +5+m=a
x+
{
1
3
¤ +5+m
}
(cid:100)(cid:100) =ax¤ + ax+ +5+m
2
3
a
9
이 그래프가 y=6x¤ +nx+ 의 그래프와 완전히 포개어지므로
8
3
(cid:100)(cid:100)a=6,
a=n, +5+m=
2
3
a
9
8
3
(cid:100)(cid:100)∴ a=6, n=4, m=-3(cid:100)(cid:100)
(cid:100)(cid:100)∴ m¤ +n¤ =(-3)¤ +4¤ =25
1335 두 점 (-2, 0), (6, 0)을 지나므로 이차함수의 식을
y=a(x+2)(x-6)으로 놓으면
(cid:100)(cid:100)y=a(x¤ -4x-12)=a(x-2)¤ -16a
이 함수의 최댓값이 16이므로(cid:100)(cid:100)-16a=16(cid:100)(cid:100)∴ a=-1
따라서 y=-(x¤ -4x-12)=-x¤ +4x+12이므로 이 그래프
는 점 (-3, -9)를 지난다.
(cid:9120) ⑤
1336 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의 두 근이 -1, 3이므로
y=ax¤ +bx+c의 그래프와 x축과의 두 교점의 x좌표는 -1, 3
이다.
(cid:100)(cid:100)∴ y=a(x+1)(x-3)=a(x¤ -2x-3)
(cid:100)(cid:100)∴ y=a(x-1)¤ -4a
이 함수의 최솟값이 -4이므로(cid:100)(cid:100)-4a=-4(cid:100)(cid:100)∴ a=1
따라서 y=x¤ -2x-3이므로
(cid:100)(cid:100)b=-2, c=-3
(cid:100)(cid:100)∴ abc=6
… ➊
… ➋
➊ 이차함수의 그래프와 x축과의 두 교점의 x좌표를 구할 수 있다.
➋ a, b, c의 값을 구할 수 있다.
➌ abc의 값을 구할 수 있다.
1337 y=-2x¤ +4ax+4a=-2(x-a)¤ +2a¤ +4a
(cid:100)(cid:100)∴ M=2a¤ +4a=2(a+1)¤ -2
따라서 M은 a=-1일 때 최솟값 -2를 갖는다.
1338 y=-x¤ -2kx+4k=-(x+k)¤ +k¤ +4k
∴ M=k¤ +4k=(k+2)¤ -4
따라서 M의 값이 최소가 되도록 하는 k의 값은 -2이다.
(cid:9120) ④
… ➌
(cid:9120) 6
30%
50%
20%
(cid:9120) ②
1340 y=x¤ +4ax-b=(x+2a)¤ -4a¤ -b이므로 이 그래프
의 꼭짓점의 좌표는
(cid:100)(cid:100)(-2a, -4a¤ -b)
이 점이 직선 y=-x+3 위에 있으므로
(cid:100)(cid:100)-4a¤ -b=2a+3
1
(cid:100)(cid:100)∴ b=-4a¤ -2a-3=-4{a+ }
4
¤ -
11
4
따라서 b의 최댓값은 - 이다.
11
4
(cid:9120) -
11
4
1341 두 수를 x, 24-x라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x(24-x)=-x¤ +24x
=-(x-12)¤ +144
따라서 두 수의 곱의 최댓값은 144이다.
(cid:9120) ④
1342 두 수를 x, x+16이라 하고, 두 수의 곱을 y라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x(x+16)=x¤ +16x
=(x+8)¤ -64
따라서 두 수의 곱이 최소가 될 때의 두 수는 -8, 8이다.
(cid:9120) -8, 8
1343 두 수를 x, 12-x라 하고, 두 수의 제곱의 합을 y라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x¤ +(12-x)¤ =2x¤ -24x+144
(cid:100)(cid:100)y=2(x-6)¤ +72
따라서 두 수의 제곱의 합의 최솟값은 72이다.
… ➊
➊ 이차함수의 식을 세울 수 있다.
➋ 최솟값을 구할 수 있다.
1344 ⑴ y=10-x
⑵ xy=x(10-x)=-(x¤ -10x)=-(x-5)¤ +25이므로 xy
… ➋
의 최댓값은 25이다.
… ➊
⑶ x=5일 때 xy가 최대이므로(cid:100)(cid:100)x=5, y=5
… ➌
(cid:9120) ⑴ y=10-x(cid:100)⑵ 25(cid:100)⑶ x=5, y=5
… ➋
(cid:9120) 72
70%
30%
20%
50%
30%
➊ y를 x에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
➋ xy의 최댓값을 구할 수 있다.
➌ 두 수 x, y를 구할 수 있다.
1345 꽃밭의 넓이를 ym¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x(16-2x)=-2x¤ +16x
=-2(x-4)¤ +32
(cid:9120) -2
따라서 꽃밭의 최대 넓이는 32m¤ 이다.
(cid:9120) ③
1339 y= x¤ -mx+3m= (x-m)¤ - m¤ +3m
(cid:100)(cid:100)∴ f(m)=- m¤ +3m=- (m-3)¤ +
1
2
1
2
1
2
9
2
1
2
1
2
9
2
따라서 f(m)은 m=3일 때 최댓값 를 갖는다.
(cid:9120) ③
1346 직사각형의 세로의 길이를 xcm, 넓이를 ycm¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y=x(24-x)=-x¤ +24x
=-(x-12)¤ +144
따라서 x=12 일 때 직사각형의 넓이는 최대이므로 세로의 길이
는 12cm이다.
(cid:9120) ③
98 정답 및 풀이
(093~103)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:28 PM 페이지99 SinsagoHitec
1
2
1
2
1
2
1
2
본책 188~192쪽
1347 삼각형의 밑변의 길이를 xcm, 넓이를 ycm¤ 라 하면
(cid:100)(cid:100)y= x(60-x)= (-x¤ +60x)
1
2
(cid:100)(cid:100)y=- (x-30)¤ +450
1
2
1
2
1353 새로운 삼각형의 넓이를 ycm¤ 라 하면 이 삼각형의 밑변
의 길이는 (10+x)cm, 높이는 (14-x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)y= (10+x)(14-x)= (-x¤ +4x+140)
1
2
따라서 삼각형의 최대 넓이는 450cm¤ 이다.
(cid:9120) ⑤
(cid:100)(cid:100)y=- (x-2)¤ +72
1348 물받이의 높이를 x cm, 빗금친 부분의 넓이를 ycm¤ 라
하면
(cid:100)(cid:100)y=x(18-2x)=-2x¤ +18x
따라서 삼각형의 최대 넓이는 72 cm¤ 이다.
(cid:9120) ①
1354 x초 후 직사각형의 가로의 길이는 (15-x)cm, 세로의
길이는 (6+2x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)y=(15-x)(6+2x)=-2x¤ +24x+90
=-2(x-6)¤ +162
따라서 y의 최댓값은 162이다.
(cid:100)(cid:100)y=-2{x- }
9
2
2
+
81
2
9
2
받이의 높이는 4.5cm이다.
따라서 x= =4.5일 때 빗금친 부분의 넓이는 최대이므로 물
(cid:9120) 162
1349 색칠한 두 사각형은 모두 정사각형이므로 HI”=x cm,
두 정사각형의 넓이의 합을 ycm¤ 라 하면 IF”=(12-x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)y=x¤ +(12-x)¤ =2x¤ -24x+144
=2(x-6)¤ +72
따라서 두 정사각형의 넓이의 합의 최솟값은 72 cm¤ 이다. … ➋
(cid:9120) ④
1355 부채꼴의 반지름의 길이를 xcm, 넓이를 ycm¤ 라 하면
호의 길이는 (24-2x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)y= x(24-2x)=-x¤ +12x
… ➊
(cid:100)(cid:100)y=-(x-6)¤ +36
따라서 부채꼴의 넓이의 최댓값은 36cm¤ 이다.
(cid:9120) 36cm¤
1
2
이
차
함
수
의
활
용
오른쪽 그림과 같이 부채꼴의 반지
름의 길이를 xcm라 하면 호의 길
이는 (24-2x)cm이다.
x`cm
x`cm
{24-2x}`cm
1356 부채꼴의 넓이를 ycm¤ 라 하면 호의 길이는
(16-2x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)y= x(16-2x)=-x¤ +8x
(cid:100)(cid:100)y=-(x-4)¤ +16
따라서 x=4일 때 부채꼴의 넓이는 최대이다.
(cid:9120) 4
1357 ⑴ 두 원의 반지름의 길이의 합은 14cm이므로 원 O'의
⑵ 반지름의 길이는 (14-x)cm이다.
… ➊
⑵ 두 원의 넓이의 합을 ycm¤ 라 하면
(cid:100) (cid:100)(cid:100)y=px¤ +p(14-x)¤ =p(2x¤ -28x+196)
=2p(x-7)¤ +98p
(cid:100) 따라서 두 원의 넓이의 합의 최솟값은 98p cm¤ 이다.
… ➋
(cid:9120) ⑴ (14-x)cm(cid:100)⑵ 98p cm¤
(cid:9120) 72 cm¤
70%
30%
➊ 이차함수의 식을 세울 수 있다.
➋ 최솟값을 구할 수 있다.
1350 AP”=xcm, 두 도형의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면
BP”=(18-x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)y=x¤ + (18-x)¤ = x¤ -18x+162
3
2
1
2
3
2
(cid:100)(cid:100)y= (x-6)¤ +108
따라서 x=6일 때 두 도형의 넓이의 합은 최소이므로 AP”의 길
이는 6cm이다.
(cid:9120) 6cm
1351 새로운 직사각형의 넓이를 ycm¤ 라 하면 이 직사각형의
가로의 길이는 (5+x)cm, 세로의 길이는 (9-x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)y=(5+x)(9-x)=-x¤ +4x+45
=-(x-2)¤ +49
따라서 x=2일 때 직사각형의 넓이는 최대이다.
(cid:9120) ②
1352 새로운 직사각형의 가로의 길이는 (10-2x)cm, 세로의
길이는 (2+x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)y=(10-2x)(2+x)=-2x¤ +6x+20
(cid:100)(cid:100)y=-2 {x- }
3
2
2
+
49
2
따라서 y의 최댓값은 이고 그때의 x의 값은 이다. … ➋
49
2
3
2
… ➊
➊ 원 O'의 반지름의 길이를 x에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
➋ 최솟값을 구할 수 있다.
30%
70%
(cid:9120) 최댓값`:
, x=
49
2
3
2
1358 점 P의 좌표를 (x, -x+6), (cid:8772)OQPR의 넓이를 y라
하면
(cid:100)(cid:100)y=x(-x+6)=-x¤ +6x
➊ 이차함수의 식을 세울 수 있다.
➋ y의 최댓값과 그때의 x의 값을 구할 수 있다.
70%
30%
=-(x-3)¤ +9
따라서 (cid:8772)OQPR의 최대 넓이는 9이다.
(cid:9120) ②
12 이차함수의 활용 99
(093~103)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:28 PM 페이지100 SinsagoHitec
1359 ⑴ 점 P의 좌표가 (x, -2x+8)이므로
따라서 최고 높이에 도달한 지 4초 후에 지면에 떨어진다. … ➌
(cid:9120) 4초
40%
40%
20%
➊ 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간을 구할 수 있다.
➋ 지면에 떨어질 때까지 걸린 시간을 구할 수 있다.
➌ 답을 구할 수 있다.
1366 y=-5x¤ +150x+2000=-5(x-15)¤ +3125
① 15초 후에 높이가 최대이다.
② 최대 높이는 3125 m이다.
③ 0=-5x¤ +150x+2000에서
(cid:100)(cid:100)x¤ -30x-400=0,(cid:100)(cid:100)(x+10)(x-40)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=40 (∵ x>0)
따라서 40초 후에 지면에 떨어진다.
④ x=1을 대입하면
⑤ (cid:100)(cid:100)y=-5+150+2000=2145
⑤ 따라서 분출한 지 1초 후의 용암의 지면으로부터의 높이는
⑤ 2145 m이다.
⑤ 3000=-5x¤ +150x+2000에서
(cid:100)(cid:100)x¤ -30x+200=0,(cid:100)(cid:100)(x-10)(x-20)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=10 또는 x=20
⑵(cid:100)(cid:100)y= x(-2x+8)=-x¤ +4x
1
2
⑵(cid:100)(cid:100)y=-(x-2)¤ +4
⑵ x=2일 때 △POA의 최대 넓이는 4이므로 그때의 점 P의
… ➋
좌표는(cid:100)(cid:100)(2, 4)
… ➊
(cid:9120) ⑴ y=-(x-2)¤ +4(cid:100)⑵ 4, P(2, 4)
➊ y를 x에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
➋ △POA의 최대 넓이와 점 P의 좌표를 구할 수 있다.
60%
40%
1360 직선 l은 두 점 (9, 0), (0, 6)을 지나므로
2
3
(cid:100)(cid:100)y=- x+6=- x+6
6
9
2
3
점 P의 좌표를 {x, - x+6}, (cid:8772)OQPR의 넓이를 y라 하면
2
3
2
3
따라서 x= 일 때 (cid:8772)OQPR의 넓이가 최대이므로 그때의 점 P
(cid:100)(cid:100)y=x {- x+6}=- x¤ +6x
9
2
2
(cid:100)(cid:100)y=- {x- }
3
9
2
27
2
¤ +
의 좌표는 {
, 3}이다.
9
2
1361 직사각형의 세로의 길이를
xcm, 넓이를 ycm¤ 라 하면 가로의 길
이는 (36-2x)cm이므로
(cid:100)(cid:100)y=x(36-2x)=-2x¤ +36x
=-2(x-9)¤ +162
(cid:9120) P{
, 3}
9
2
⑤ 따라서 용암의 지면으로부터의 높이가 3000 m가 되는 때는
(cid:9120) ③
분출한 지 10초 후와 20초 후이다.
A
h를 t에 대한 식으로 나타낸 후, h=0일 때의 t(t>0)
1367
의 값을 구한다.
꼭짓점의 좌표가 (4, 50)이므로 h=a(t-4)¤ +50으로 놓
45æ
x`cm
B
x`cm
C
{36-2x}cm
따라서 직사각형의 최대 넓이는 162 cm¤ 이다.
(cid:9120) ④
1362 h=-5t¤ +30t+18=-5(t-3)¤ +63
따라서 최고 높이에 도달했을 때의 지면으로부터의 높이는 63m
이다.
(cid:9120) 63m
을 수 있다.
이 그래프가 점 (0, 18)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)18=16a+50(cid:100)(cid:100)∴ a=-2
(cid:100)(cid:100)∴ h=-2(t-4)¤ +50
물체가 지면에 떨어질 때 h=0이므로
(cid:100)(cid:100)0=-2(t-4)¤ +50,(cid:100)(cid:100)(t-4)¤ =25
(cid:100)(cid:100)t-4=—5(cid:100)(cid:100)∴ t=9 (∵ t>0)
따라서 구하는 시간은 9초이다.
1363 y=- x¤ +x+ =- (x-5)¤ +4
1
10
3
2
따라서 5초 후에 공이 가장 높이 올라간다.
(cid:9120) ③
1368
을 놓는다.
호수의 중앙 M을 원점으로 하는 좌표평면 위에 포물선
1364 이익을 y만 원이라 하면
(cid:100)(cid:100)y=- x¤ +30x-500=- (x-300)¤ +4000
1
20
따라서 하루에 300개의 제품을 생산할 때 이익이 최대가 된다.
오른쪽 그림과 같이 점 M을 원점으
로 하는 좌표평면 위에 포물선을 놓으면
포물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은
(cid:100)(cid:100)y=ax¤ -10
B지점의 좌표는 (20, 0)이므로
-20
A
y
O
-10
1
10
1
20
(cid:9120) ③
20
B
x
1365 y=40x-5x¤ =-5(x-4)¤ +80이므로 4초 후에 최고
높이에 도달한다.
… ➊
물 로켓이 쏘아 올린 지 x초 후에 지면에 떨어진다고 하면
(cid:100)(cid:100)40x-5x¤ =0,(cid:100)(cid:100)x(x-8)=0
(cid:100)(cid:100)∴ x=8 (∵ x>0)
… ➋
100 정답 및 풀이
(cid:9120) ⑤
(cid:100)(cid:100)0=400a-10(cid:100)(cid:100)∴ a=
(cid:100)(cid:100)∴ y= x¤ -10
1
40
x=16을 대입하면
(cid:100)(cid:100)y= _16¤ -10=- =-3.6
1
40
1
40
18
5
따라서 구하는 수심은 3.6 m이다.
(cid:9120) ④
(093~103)중등쎈3(상)해 2014.7.29 3:28 PM 페이지101 SinsagoHitec
(cid:9120) ③
(cid:100)
(cid:9120) ④
x
(cid:9120) ④
1
2
이
차
함
수
의
활
용
1369
차함수의 식을 구한다.
△ABC의 넓이를 이용하여 점 C의 좌표를 구한 후, 이
△ABC= _AB”_OC”이므로
1
2
(cid:100)(cid:100)3= _6_OC”(cid:100)(cid:100)∴ OC”=1(cid:100)(cid:100)∴ C(0, -1)
1
2
y=ax¤ +bx+c의 그래프가 x축과 두 점 (-5, 0), (1, 0)에서
만나므로
(cid:100)(cid:100)y=a(x+5)(x-1)
이 그래프가 점 (0, -1)을 지나므로
(cid:100)(cid:100)-1=-5a(cid:100)(cid:100)∴ a=
(cid:100)(cid:100)∴ y= (x+5)(x-1)= x¤ + x-1
1
5
4
5
따라서 a= , b= , c=-1이므로
1
5
(cid:100)(cid:100)a-bc=1
4
5
1370
B의 좌표를 구한다.
이차함수의 그래프의 축의 방정식을 이용하여 두 점 A,
y= x¤ +2x+k= (x+2)¤ +k-2의 그래프의 축의
방정식은 x=-2이고, AB”=8이므로
(cid:100)(cid:100)A(-6, 0), B(2, 0)
(cid:100)(cid:100)∴ y= (x+6)(x-2)= x¤ +2x-6
1
2
1
(cid:100)(cid:100)∴ y= (x+2)¤ -8
2
따라서 k=-6, m=-8이므로
(cid:100)(cid:100)k+m=-14
(cid:9120) -14
1
5
1
2
1
2
1
5
1
2
x축과의 두 교점의 좌표가 (m, 0), (n, 0)이면 이차함수의 그래프
는 축에 대칭이므로 축의 방정식은 x=
m+n
2
이다.
1371
a+b=m(a-p)¤ +q 꼴로 변형한다.
a+b를 a에 대한 이차함수로 나타낸 후
y=x¤ -4x+1의 그래프가 점 (a, b)를 지나므로
(cid:100)(cid:100)b=a¤ -4a+1
(cid:100)(cid:100)∴ a+b=a+a¤ -4a+1=a¤ -3a+1
3
(cid:100)(cid:100)∴ a+b={a- }
2
¤ -
5
4
따라서 a+b의 최솟값은 - 이다.
5
4
(cid:9120) -
5
4
1372
(3, 0), (7, 0)임을 이용한다.
주어진 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표가
주어진 이차함수의 식을 y=a(x-3)(x-7)로 놓으면
(cid:100)(cid:100)y=a(x-3)(x-7)=a(x¤ -10x+21)
=a(x-5)¤ -4a
본책 192~195쪽
이 함수의 최솟값이 -8이므로
(cid:100)(cid:100)-4a=-8(cid:100)(cid:100)∴ a=2
따라서 f(x)=2(x-3)(x-7)이므로
(cid:100)(cid:100)f(2)=2_(-1)_(-5)=10
1373
수이려면 y의 최댓값이 음수이어야 한다.
이차함수 y=ax¤ +bx+c(a<0)에서 y의 값이 항상 음
y=-x¤ +6x+a-2=-(x-3)¤ +a+7
y의 값이 항상 음수가 되려면 y의 최댓값이 음수이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)a+7<0(cid:100)(cid:100)∴ a<-7
따라서 정수 a의 최댓값은 -8이다.
(cid:9120) ⑤
1374
y=a(x-p)¤ +q(a>0)로 놓는다.
x=p일 때 최솟값 q를 갖는 이차함수의 식은
y=x¤ +ax+b가 x=k일 때 최솟값 7을 가지므로
(cid:9120) 1
(cid:100)(cid:100)y=(x-k)¤ +7
이 그래프가 점 (1, k¤ )을 지나므로
(cid:100)(cid:100)k¤ =(1-k)¤ +7,(cid:100)(cid:100)2k=8(cid:100)(cid:100)∴ k=4
따라서 y=(x-4)¤ +7=x¤ -8x+23이므로
(cid:100)(cid:100)a=-8, b=23
(cid:100)(cid:100)∴ a+b+k=19
1375
범위를 생각한다.
모든 사분면을 지나도록 함수의 그래프를 그려 y절편의
y=a(x-1)¤ -3=ax¤ -2ax+a-3
오른쪽 그림과 같이 함수의 그래프가 모든
사분면을 지나려면 a>0이고, x=0일 때
y<0이어야 하므로
(cid:100)(cid:100)a-3<0(cid:100)(cid:100)∴ a<3
따라서 실수 a의 값의 범위는
(cid:100)(cid:100)0
