2020년 천재교육 고등 최강 TOT 확률과통계 (15개정) 답지

dl.dabji.org/1w9hIUci_OD5gi4ndl6nGzfIq_P2Xcjcd

고등 최강 TOT 확률과통계 (15개정).pdf 다운로드 | 답지저장소

dl.dabji.org

T
o
p

o
f

t
h
e

T
o
p

정답과 풀이

확률과 통계

01  ^ 240
GUIDE

는 5!_2=240

02   ^ 2304
GUIDE

1

여러 가지 순열

STEP 1

1등급 준비하기

p. 6 ~7

하면 정육면체의 면은 정사각형이므로

5쪽 단축키에 있는 정n면체를 색칠하는 경우의 수를 구하는 공식을 이용

01  240

02  2304

05  ⑴ 243  ⑵ 90

07  ⑴ 81  ⑵ 179982

10  13

11  35

03  32

06  136

08  ③

12  55

04  1680

09  ③

1등급 NOTE



a=(6-1)!/4=30

04   ^ 1680
GUIDE

표시한 부분에 특정한 2명이 앉으면 남은 5명의 배열은 원순열이 아니다.


특정한 2명을 한 사람 A로 생각해서 표시한 부분에 앉도록 하고

나머지 5명이 남은 자리에 앉는 경우의 수는 5!

이때 특정한 2명의 자리가 바뀔 수 있으므로 구하려는 경우의 수

4 7C1_6C3_2!_3!=1680

정삼각형 외부에 있는 원의 영역에 칠한 색이 결정되면 정삼각형 내부에

있는 원의 영역 배열은 원순열이 아님을 주의한다.


한가운데 영역을 칠하는 경우의 수 ⇨ 7C1

정삼각형 외부의 세 영역을 칠하는 경우의 수 ⇨ 6C3_2!

정삼각형 내부의 세 영역을 칠하는 경우의 수 3!

먼저 남학생을 모두 앉게 한 다음 (원순열) 여학생이 앉는다고 생각한다.


남학생 4명을 정사각형 모양 탁자의 각 변에 배정하는 경우의 수

는 (4-1)!=3!, 이때 각 변에 배정된 남학생은 의자 2개 중 하

나를 택할 수 있으므로 그 경우의 수는 2›

즉 남학생이 앉을 자리를 정하는 경우의 수는 3!_2›=96

여학생 4명이 남은 네 자리에 앉은 경우의 수는 4!=24

따라서 구하려는 경우의 수는 96_24=2304

05   ^ ⑴ 243  ⑵ 90
GUIDE

집합의 포함 관계가 주어지면 벤 다이어그램을 그려 놓고 생각한다.


⑴ 오른쪽 벤 다이어그램처럼 생각하면

S

1, 2, 3, 4, 5를 A, BDAC, BC 세 영

B
A

역에 넣는 경우의 수와 같다.

  즉 3≤5=3ﬁ=243(개)
⑵ 오른쪽 벤 다이어그램에서 ADB에 들

어갈 원소 3개를 뽑고, 남은 원소 2개
를 (ACB)C, ADBC, BDAC에 넣

는 경우의 수와 같다.

  즉 5C3_3€=90(개)

S

A

B

다른 풀이



남학생, 여학생 짝을 정하는 경우의 수는 4!=24

4쌍의 짝이 앉을 변을 정하는 경우의 수는 (4-1)!=6

각 변에서 남학생, 여학생 자리를 정하는 경우의 수는 2›=16

따라서 구하려는 경우의 수는 24_6_16=2304

06   ^ 136
GUIDE

03   ^ 32
GUIDE

바닥면에 1을 고정한 다음 생각해 보자.


먼저 바닥면에 1을 적은 다음 마주보는 면에 적을 수를 정하는 경

우의 수는 5이다. 이때 남은 수 4개를 옆면에 적는 경우의 수는

f(3)의 조건이 가장 많으므로  f(3)의 값부터 정한다.


1  f(3)=2인 경우

1, 2는 1로, 4, 5, 6은 3, 4, 5, 6 중 하나로 대응되므로 경우의
수는 1≤2_4≤3=64

2  f(3)=4인 경우

1, 2는 1, 2, 3 중 하나로 4, 5, 6은 5, 6 중 하나로 대응되므로
경우의 수는 3≤2_2≤3=72

(4-1)!=6

  4 a=5_6=30

3  f(3)=6인 경우는 없다.

마주보는 면에 적힌 수의 합이 7이 되는 경우일 때,

따라서 조건에 맞는 함수의 개수는 64+72=136

바닥면에 1을 적으면 윗면에는 6을 써야 한다. 이때 네 옆면에 남

은 2, 3, 4, 5를 적는 방법은 그림과

3

4

4

3

2

5

2

5

07   ^ ⑴ 81  ⑵ 179982
GUIDE

각 자리에 쓰인 1, 2, 3이 각각 몇 개인지 구한다.


같이 두 가지 뿐이다.

4 b=2

따라서 a+b=32

2    정답과 풀이

⑴ 3≤4=3›=81
⑵  천의 자리가 1인 수는  3≤3=27(개)이고 같은 방법으로 천의

10   ^ 13
GUIDE

자리가 2, 3인 수도 각각 27개다.

즉 천의 자리에 있는 수의 합은

27(1+2+3)_1000=162000

마찬가지 방법으로 생각하면

백의 자리에 있는 수의 합은 16200

십의 자리에 있는 수의 합은 1620

일의 자리에 있는 수의 합은 162

따라서 네 자리 수의 총합은 179982

1등급 NOTE



1, 2, 3의 조건이 모두 같고, 각 자리에 쓰인 수의 평균이 2이므로 네 자리

수의 총합은 81_2_(1000+100+10+1)=179982

08   ^ ③
GUIDE

양 끝에 놓을 바둑돌을 정하고 나머지 배열을 생각한다.


흰 바둑돌 하나와 검은 바둑돌 하나를 양 끝에 배열한 다음 남은

바둑돌(검은 바둑돌 4개, 흰 바둑돌 3개)을 일렬로 배열하는 경우

의 수와 같다. 즉 2!_

=70

7!
4!3!

1등급 NOTE

검은 바둑돌 4개와 흰 바둑돌 3개를 일렬로 나열한 다음 남은 바둑돌 2개

를 양 끝에 배열한다고 생각해도 된다.

09   ^ ③
GUIDE

배열 순서가 결정된 것은 일단 같은 것으로 생각한다.


1, 3은 모두 x로 2, 4, 6은 모두 y로 생각해 보자. 이때 x, x, y, y,

y, 5를 나열한 다음 x는 차례로 1, 3으로 바꾸고, y도 차례로 2, 4,

6으로 바꾸면 조건에 맞는 경우가 된다.

따라서 구하려는 경우의 수는   6!

=60

2!3!

1등급 NOTE



모든 경우의 수는 6!이고, 1이 3보다 왼쪽에 있을 확률은  ;2!;이다. 또 2, 4,

6이 이 순서대로 있을 확률은

1
3!

이때 두 사건은 서로 독립이므로 구하려는 경우의 수는

6!_;2!;_

1
3!

=60

대각선 방향 길의 선택 개수에 따라 경우를 나눈다.


대각선 길을 선택하는 경우를 다음과 같이 나눌 수 있다.

1 대각선 길을 두 개 선택하여 조건에 맞게 가는

  경우는 그림과 같은 것뿐이다.

  즉 경로의 수는 1

2 대각선 길을 한 개 선택하는 경우는 다음과 같다.



              1가지              1가지            2가지            2가지

  즉 1+1+2+2=6(가지)

3 대각선 길을 선택하지 않는 경우는 그림처럼

  생각하면 경로의 수는  4!
2!2!

=6

따라서 전체 경로의 수는 1+6+6=13

다른 풀이



길 위에서 이동 방향이 정해져 있으므로

5

13

B

그림처럼 모든 길에 방향을 표시한 다음

모든 꼭짓점에 대해 가능한 이전 꼭짓점

개수를 더해서 나타내면 구하는 경로의

수는 13

1등급 NOTE

1

1

1
A

3

1

5

1

그림에서  이동 방향이 오른쪽과 아래쪽일 때  T지

점으로 가는 길은  M지점에서 가는길과 N지점에

서 가는 길, 이렇게 두 가지 뿐이다. 이때 출발점에

서 M지점까지의 최단 경로의 수가 m, 출발점에서

N지점까지의 최단 경로의 수가 n이면 출발점에서

n

N

T

M m

m+n

T지점까지 가는 최단 경로의 수는 m+n이 됨을 이용할 수 있다. 예를

들어 아래 왼쪽과 같은 도로망이 있을 때, A지점에서 B지점으로 가는 최

단 경로의 수는 아래 오른쪽처럼 생각할 수 있으므로 70이다.

5

5

5

5

5

1

1

1

1

4

3

2

바다

5

5

5

10

15

20

20

15

30

50
70

B

바다

A

B

A

1

※   위 방법은 도로망 내에서 진행 방향이 한 가지로 고정되는 경우에 사

용할 수 있다. 위 예의 경우 바다 왼쪽에서는 진행 방향이 →, ↑으로

고정되어 있고, 바다 오른쪽에서는 진행 방향이 →, ↓으로 고정되었

으므로 합의 법칙을 사용할 수 있다. 만약 어느 한쪽에서 진행 빙향이

→, ↑, ←이거나 →, ↑, ↓이면 합의 법칙을 사용할 수 없다.

   1. 여러 가지 순열    3

11   ^ 35
GUIDE

02   ^ ④
GUIDE

주사위를 네 번 던져 나온 눈의 수의 합이 20이면 된다.


점 P가 원둘레를 한 바퀴를 돈 다음 두 바퀴째를 돌 때 점 I에 있

는 경우로 나누어 생각한다.


정씨가 남자 한 명뿐이므로 정씨가 짝을 이루지 못하는 경우와 짝을 이루

으려면 처음부터 20칸을 움직인 것이다. 즉 주사위를 네 번 던져

1 남자 정씨가 짝을 이루지 못하는 경우

나온 눈의 수의 합이 20이면 된다.

  남녀 김, 이, 박, 최에 대한 완전순열이므로 9가지

주사위를 네 번 던져 나온 눈의 수를 (a, b, c, d )라 하면

2 남자 정씨가 짝을 이루는 경우

a+b+c+d=20인 경우는

(6, 6, 6, 2), (6, 6, 5, 3), (6, 6, 4, 4), (6, 5, 5, 4), (5, 5, 5, 5)

이므로

이때 각 순서쌍의 원소를 나열하는 경우의 수는

4!
3!

+

+

4!
2!

4!
2!2!

4!
2!

+

+1=35

12   ^ 55
GUIDE

B 또는 C의 개수에 따라 분류한다.


B의 개수에 따라 분류하면

1 B가 2개 쓰일 때

  A, B, B, C, C를 설치하는 경우이므로  5!
2!2!

=30

2 B가 3개 쓰일 때

  A, B, B, B, C를 설치하는 경우이므로  5!
3!

=20

3 B가 4개 쓰일 때

  A, B, B, B, B를 설치하는 경우이므로  5!
4!

=5

1, 2, 3에서 30+20+5=55

이때 정씨가 아닌 남자가 홀로 남는데, 이 경우 가상의 여자

정씨를 추가해 혼자인 이 남자와 짝을 이룬다고 생각하면 남

녀 김, 이, 박, 최, 정에 대한 완전순열이므로 44가지

1, 2에서 구하려는 경우의 수는 9+44=53

03   ^ ⑴ 90  ⑵ 180
GUIDE

⑴에서는 옆면이 원순열이 되지만 ⑵에서는 옆면이 길이가 다른 직사각

형 위에 있으므로 원순열이 아님을 주의한다.


⑴ 정사각형 모양의 면에 들어갈 수를  뽑는 경우의

수는  6C2=15이고, 이때 뒤집는 것이 가능하

므로 작은 수를 바닥면에 적는다고 하면 남은 4개의 수를 4면

에 배열하는 원순열의 수는 (4-1)!=6

  따라서 경우의 수는 15_6=90

⑵  가장 넓은 면에 들어갈 두 수를 뽑는 경우의 수

는  6C2=15이고, 이때 뒤집는 것이 가능하므

로 작은 수를 바닥면에 적는다고 하면 남은 4개의 수를 직사각

  형의 네 변에 배열하는 변형 원순열의 수는  4!
2

=12

  따라서 경우의 수는 15_12=180

참고



⑵에서 3, 4, 5, 6을 a, b, c가 모두 다

른 직육면체의 옆면에 배열하는 경우

3

5

5

3

6

4

4

6

p. 8~12

4!에 대하여 다음과 같이 2번씩 같은

배열이 생기므로 두 가지는 한 가지로

세어야 한다. 따라서 옆면 네 곳에 남은 수를 배열하는 경우의 수는

03  ⑴ 90  ⑵ 180

06  ②

09  ②

12  81

16  32

20  56

07  32

10  ⑤

13  ③

17  180

21  160

4!
2

=12

※ 5쪽 단축키 참고

04   ^ ①
GUIDE

A와 이름표가 바뀐 학생을 선택하는 것과 남은 네 명에 대한 완전순열의

가운데에 있는 원에 돌을 놓는 경우와 놓지 않는 경우로 나누어 생각한다.


5개의 돌 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는 5C3=10

1 A와 이름표가 바뀐 학생을 선택하는 경우의 수 ⇨ 5

1 가운데 원에 돌을 놓는 경우

2 남은 4명에 대한 완전순열의 수 ⇨ 9

따라서 구하려는 경우의 수는 5_9=45

가운데 원에 놓을 돌을 뽑는 경우의 수는 3C1이고, 나머지 원

4개 중에서 2개를 택해 돌을 놓는 방법은 이웃하게 놓는 2가

STEP 2

1등급 굳히기

01  45

04  ①

02  ④

05  2

08  ⑴ 96  ⑵ 1488

11  ⑴ 271  ⑵ 300

14  89

18  40

15  ⑤

19  272

01   ^ 45
GUIDE

수를 생각한다.


4    정답과 풀이

지와 이웃하지 않게 놓는 1가지가 있으므로

남학생 6명을 일렬로 나열하는 경우의 수는 6!

3C1_(2+1)=9

즉 구하려는 경우의 수는 2!_3!_6!=12_6!

2 가운데 원에 돌을 놓지 않는 경우

따라서 n=12

  나머지 원 4개 중에서 3개를 택해 놓으면 되므로 (4-1)!=6

1, 2에서 구하는 경우의 수는 10(9+6)=150

다른 풀이



그림의 놀이판에 돌 5개를 배열하는 경우의 수는  5!
4

=30

이 중에서 없애야 할 돌 2개를 택하는 경우의 수는 ∞C™=10

이때 2개의 돌은 서로 바뀌어도 상관 없으므로 구하려는 경우의

수는 30_:¡2º:=150

1등급 NOTE

1  가운데에 돌을 놓은 경우, 남은 돌 2개를 4곳에 배열하면 된다. 이때

투명돌 2개를 더하면 돌 4개를 둥글게 배열하는 경우이고, 투명돌 2개

  는 구분할 수 없으므로 (4-1)!_;2!;=3
  즉 3C1_3=9(가지)
2  가운데에 돌을 놓지 않는 경우, 투명돌 1개를 더해 돌 4개를 둥글게

배열한다고 생각하면 (4-1)!=6

07   ^ 32
GUIDE

의 수를 구한다.

이웃해서 앉는 부부가 한 쌍, 두 쌍, 세 쌍인 경우 각각에 대하여 그 경우

※  부부 한 쌍이 이웃해서 앉지 않도록 한 다음 나머지 부부도 이웃하지

않도록 배열하는 경우의 수를 구해도 된다.



세 쌍의 부부를 A-a, B-b, C-c라 하자.

이때 6명이 원탁에 앉는 경우의 수는 (6-1)!=120

1 부부 한 쌍이 이웃해서 앉는 경우

예를 들어 A-a가 이웃하면 A-a를 한 명으로 생각하고

A-a의 배열까지 고려해야 하므로 이때 경우의 수는

(5-1)!_2=48

B, b와 C, c에 대해서도 마찬가지이므로 한 쌍의 부부만 이웃

하는 경우의 수는 48_3=144

2 부부 두 쌍이 이웃해서 앉는 경우

예를 들어 A-a와 B-b가 이웃하면 A-a와 B-b를 각각

한 명으로 생각하고 부부끼리의 배열까지 고려해야 하므로 이

때 경우의 수는 (4-1)!_2_2=24

  이웃해서 앉는 부부 두 쌍을 택하는 3가지 경우가 있으므로

05   ^ 2
GUIDE

4 a/b=2!=2

다른 풀이



06   ^ ②
GUIDE

7명이 앉는 경우 빈자리를 고정시키면 원순열이 아니다. 또 6명이 앉는

  24_3=72

경우 빈자리에 투명인간이 앉는다고 생각해 보자.


7명이 앉는 경우 빈자리를 고정시키면 원순열이 아니므로 7명을

배열하는 경우의 수 a=7!

또 6명이 앉는 경우 빈자리 2곳에 투명인간 2명이 앉는다고 생각

하면 8명을 배열하는 원순열의 수는 (8-1)!, 즉 7!이고, 투명인

간끼리는 구분이 안 되므로 이때 경우의 수 b=

3 부부 세 쌍 모두 이웃해서 앉는 경우

  위와 같이 생각하면 경우의 수는

(3-1)!_2_2_2=16

포함 배제의 원리에서 적어도 한 쌍의 부부가 이웃해서 앉는 경

우의 수는 144-72+16=88

따라서 부부끼리 이웃해서 앉지 않는 경우의 수는

120-88=32

6명이 앉을 때 특별한 사람을 고정시키면 원순열이 아니다.

남은 7자리에 5명이 앉으면 되므로 ¶C∞_5!=

•n(ACBCC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(ADB)-n(BDC)

-n(CDA)+n(ADBDC)

참고

포함 배제의 원리

세 유한집합 A, B, C에 대하여

•n(ACB)=n(A)+n(B)-n(ADB)

7!
2!

7!
2!

각각의 여학생 사이에 앉는 남학생 수가 다르므로 여학생 사이 세 곳에

앉는 남학생 수는 1명, 2명, 3명이다.


여학생 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (3-1)!=2!

이때 여학생 사이 세 곳에 앉는 남학생 수는 모두 달라야 하므로

각각 1명, 2명, 3명이고, 이를 정하는 경우의 수는 3!

1 [그림 1]의 경우

A-a 부부가 이웃하지 않도록 자리를 고정하는 경우를 다음과

다른 풀이



같이 생각할 수 있다.

A

A

A

①

a

④

①

③

②

④

①

③

②

④

a

②
[그림 1]

a
[그림 2]

③
[그림 3]

   1. 여러 가지 순열    5

③에 앉을 사람을 뽑고 그 배우자를 ①에 앉도록 하고, 남은

자리에 나머지 부부가 앉으면 된다.

  이때 경우의 수는 4_2=8

2 [그림 2]의 경우

1을 포함하지 않은 네 자리 수의 개수는 4_5≤3=500
2를 포함하지 않은 네 자리 수의 개수는 4_5≤3=500
1, 2를 모두 포함하지 않은 네 자리 수의 개수는 3_4≤3=192
포함 배제의 원리에서 1, 2를 모두 포함한 네 자리 수의 개수는

①에 앉을 사람을 뽑고 그 배우자를 ③ 또는 ④에 앉도록 하

1080-(500+500-192)=272

고, 남은 자리에 나머지 부부가 앉으면 된다.

  이때 경우의 수는 4_2_2=16

3 [그림 3]의 경우는 1과 같으므로 경우의 수는 8

따라서 구하려는 경우의 수는 8+16+8=32

08   ^ ⑴ 96  ⑵ 1488
GUIDE

⑴ 부부를 한 묶음으로 본다.

는 경우의 수를 뺀다.


⑵ 8명을 원탁에 배열하는 경우의 수에서 이웃하는 부부가 한 쌍 이상 있

네 쌍의 부부를 A-a, B-b, C-c, D-d라 하자.

⑴   부부끼리 이웃한다면 부부를 한 묶음으로 보고 네 묶음을 원

탁에 배열하는 경우의 수는 (4-1)!=6

  이때 각 부부의 순서를 배열하는 경우의 수는 2›=16

  따라서 구하려는 경우의 수는 6_16=96

⑵ 8명을 원탁에 배열하는 경우의 수는 7!=5040

  1 한 쌍의 부부가 이웃해서 앉는 경우

  예를 들어 A-a 부부가 이웃해서 앉는 경우의 수는

  6!_2!=1440

   B-b, C-c, D-d  부부에 대해서도 마찬가지이므로 이

때 경우의 수는 1440_4=5760

  2 두 쌍의 부부가 이웃해서 앉는 경우

포함 배제의 원리를 적용하는 것이 헷갈린다면 벤 다이어그램을 그려서

1등급 NOTE

활용한다.

10   ^ ⑤
GUIDE

1부터 9까지는 0을 포함하는 것이 없고, 10부터 99가지는 0을 한 개 포

함하는 것이 9개이고, 0을 두 개 포함하는 것은 없다. 세 자리 수, 네 자리

수에 대하여 0을 한 개 포함하는 것을 따져본다.


1 0을 한 개 포함하는 것

  10~99: ☐÷0 꼴이므로 9(개)
  100~999: ☐÷0÷☐, ☐÷☐÷0 꼴이므로 2_9≤2=162(개)
  1000~9999: ☐÷0÷☐÷☐, ÷☐÷☐0÷☐, ÷☐÷☐÷☐0 꼴이므로
  3_9≤3=2187(개)
  4 a=9+162+2187=2358

2 0을 하나도 포함하지 않는 것

1~9 중에서 중복을 허락해 r (1<r<4)개 뽑는 경우의 수와

같으므로

  b=9≤1+9≤2+9≤3+9≤4 =9+81+729+6561

따라서 a+b=2358+7380=9738

=7380(개)

예를 들어 A-a와 B-b 두 부부가 이웃해서 앉는 경우의

다른 풀이



수는 5!_2!_2!=480

두 쌍의 부부를 고르는 경우의 수가 4C2=6이므로 이때 경

1부터 9999까지 자연수 9999개 중에서 0을 두 개 포함하는 것,

0을 세 개 포함하는 것을 제외하면 구하려는 것이 된다.

우의 수는 480_6=2880

  3 세 쌍의 부부가 이웃해서 앉는 경우

예를 들어 A-a, B-b, C-c 세 부부가 이웃해서 앉는

경우의 수는 4!_2!_2!_2!=192

세 쌍의 부부를 고르는 경우의 수가 4C3=4이므로 이때 경

우의 수는 192_4=768

  4 네 쌍의 부부가 모두 이웃해서 앉는 경우의 수는 ⑴에서 96

  따라서 구하려는 경우의 수는

  5040-(5760-2880+768-96)=1488

1 0을 두 개 포함하는 것

  100~999: ☐÷00 꼴이므로 9(개)

  1000~9999: ☐÷00÷☐, ☐÷0÷☐÷0, ☐÷☐÷00 꼴이므로
  3_9≤2=243(개)
  즉 9+243=252

2 0을 세 개 포함하는 것

세 자리 자연수 중에서는 없고 네 자리 자연수 중 ☐000 꼴이

므로 9(개)

따라서 구하려는 값은 9999-(252+9)=9738

09   ^ ②
GUIDE

1과 2를 포함하지 않는 경우를 생각한다.

모든 네 자리 수의 개수는 5_6≤3=1080

6    정답과 풀이

11   ^ ⑴ 271  ⑵ 300
GUIDE

해 보자.


0부터 999까지 1000개의 수에서 생각하고 각각을 000, 001, y, 999라

⑴  000, 001, y, 999까지 1000개 중에서 7을 포함하지 않은 것

은 9‹=729(개)이므로

1  n(ADBDC)=1일 때, 조건 ㈏에 따라 [그림 1]처럼 생각할
수 있으므로 (ADBDC)와 (ACBCC)C를 나타내는 영역

  7을 포함한 것은 1000-729=271

에 들어갈 원소를 각각 1개씩 고른 다음, 남은 원소 4개를 색

⑵  000, 001, y, 999까지 1000개에 쓰인 숫자는 모두 3000개

칠한 세 영역에 배열하는 경우의 수는 6_5_3›=2430

이고, 이때 0부터 9까지의 숫자 10개는 같은 횟수로 사용되었

2  n(ADBDC)=0일 때, 조건 ㈏에 따라 [그림 2]처럼 생각할

으므로 숫자 7은 3000/10=300(번) 쓰였다.

수 있으므로 남은 원소 2개를 색칠한 세 영역에 배열하는 경우

의 수는 6_5_4_3_3€=3240

1, 2에서 집합 A, B, C의 순서쌍은 2430+3240=5670(개)

다른 풀이



⑴ 7÷☐÷☐, ☐÷7÷☐, ☐÷☐÷7 꼴의 수는 각각 100개

  77÷☐, 7☐÷7, ☐÷77 꼴의 수는 각각 10개

  또 777이 있으므로 1개

  포함 배제의 원리에서 7을 포함한 것은

⑵  위 풀이에서 7은 백의 자리에 100번, 십의 자리에 100번, 일

의 자리에 100번 쓰였으므로 숫자 7은 모두 300번 쓰였다.

7이 한 번 쓰인 수, 7이 두 번 쓰인 수, 7이 세 번 쓰인 수로 나누어 풀면

1등급 NOTE

복잡하다.

12   ^ 81
GUIDE

14   ^ 89
GUIDE

정수 a, b를 구한다.


1이 a개, 2가 b개라 하면 a+2b=10을 만족시키는 음이 아닌 정

수 a, b의 순서쌍 (a, b)는

(10, 0), (8, 1), (6, 2), (4, 3), (2, 4), (0, 5)이므로

•(10, 0), 즉 1만 10개일 때 나열하는 경우의 수 ⇨ 1

•(8, 1), 즉 1이 8개이고 2가 1개일 때 나열하는 경우의 수

  ⇨  9!
8!

=9

•(6, 2), 즉 1이 6개이고 2가 2개일 때 나열하는 경우의 수

  100+100+100-10-10-10+1=271(개)

1의 개수를 a, 2의 개수를 b라 하고 a+2b=10을 만족시키는 음이 아닌

각 층을 올라가는 에스컬레이터를 선택하면 경로는 하나로 결정된다. 즉
경로의 수와 에스컬레이터를 선택하는 경우의 수가 서로 같다.


  ⇨  8!
6!2!

=28

그림은 목적지로 가기 위해 층을 올라

목적지

•(4, 3), 즉 1이 4개이고 2가 3개일 때 나열하는 경우의 수

갈 때 선택한 에스컬레이터를 나타낸

하나의 예이다. 이렇게 에스컬레이터

를 선택했을 때 가능한 경로는 하나뿐

  ⇨  7!
4!3!

=35

입구

  ⇨  6!
2!4!

=15

•(2, 4), 즉 1이 2개이고 2가 4개일 때 나열하는 경우의 수

따라서 구하려는 경로의 수는 각 층에서 올라갈 에스컬레이터를

택하는 경우의 수와 같으므로 3›=81

•(0, 5), 즉 2만 5개일 때 나열하는 경우의 수 ⇨ 1

따라서 구하려는 경우의 수는 1+9+28+35+15+1=89

이다.

주의

길을 통행하는 방향이 유일하게 결정되지 않은 경우이므로 꼭짓점 수를

다른 풀이



더하는 방법을 사용할 수 없다.

1과 2를 나열하여 합이 n이 되도록 나열하는 경우의 수를 an이라

13   ^ ③
GUIDE

벤 다이어그램을 그려놓고 생각한다.


다음과 같이 벤 다이어그램을 그리고 조건에 맞도록 원소의 개수

를 나타내 보자.

U

B

A

1
0

0

0

[그림 1]

1

C

U

B

A

0
1

1

C

1

1

[그림 2]

하면 a¡=1, a™=2이고

맨 앞의 숫자가 1일 때는 남은 숫자의 합이 (n-1)이므로 an-1,

맨 앞의 숫자가 2일 때는 남은 숫자의 합이 (n-2)이므로 an-2,

즉 an=an-1+an-2 (n>3)에서

a£=3, a¢=5, a∞=8, a§=13, a¶=21, a•=34, aª=55

이므로 a10=a•+aª=34+55=89

15   ^ ⑤
GUIDE

A와 B는 각각 6만큼 이동해야 목적지에서 도착하므로 두 사람이 각각 3

만큼 이동했을 때 중간에서 만난다.


   1. 여러 가지 순열    7

두 사람이 만날 수 있는 지점은 그림에서

P

B

P, Q, R, S로 나타낸 점이다. A가 P, Q, R,

Q

18   ^ 40
GUIDE

S를 지나 B가 있던 곳으로 가는 경로의 수

는 각각 1, 9, 9, 1이다.

R

S

A

마찬가지로 B가 P, Q, R, S를 지나 A가 있

던 곳으로 가는 경로의 수는 각각 1, 9, 9, 1이다.

따라서 구하려는 경우의 수는

1_1+9_9+9_9+1_1=164

16   ^ 32
GUIDE

P, Q와 P, R를 동시에 지나는 경로는 없지만 Q, R를 동시에 지나는 경

로가 있음을 주의한다.


P를 지나 A에서 B로 가는 경로의 수는

Q를 지나 A에서 B로 가는 경로의 수는

3!
2!

_

=12

4!
3!

3!
2!

_

4!
2!2!

=18

B

R

P

Q

A

R를 지나 A에서 B로 가는 경로의 수는  5!
4!

_1=5

이때 두 점 P, Q를 모두 지나는 최단 경로와 두 점 P, R를 모두

지나는 최단 경로는 존재하지 않지만 두 점 Q, R를 모두 지나는

최단 경로는 존재한다. 이 경로의 수가  3!
2!

_1_1=3이므로

구하려는 최단 경로의 수는 12+18+5-3=32

17   ^ 180
GUIDE

4, 5, 6이 적힌 칸에 흰 공 1, 2, 2를 배열하는 경우와 검은 공 1, 2, 2를 배

열하는 경우를 생각한다. 또 남은 공을 배열하는 경우도 함께 생각한다.


원둘레 위의 길을 직선으로 나타내면 직사각형 도로망에서 생각할 수 있다.


A

B

A

Q

P

B

[그림 1]

[그림 2]

[그림 1]에서 A지점을 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 B지

점에 도착하는 경우의 수는 [그림 2]에서 A지점을 출발하여 실선

을 따라 최단 거리로 B지점에 도착하는 경우의 수와 같다.

1 A → P → B의 경우

4!
2!2!

{

-1}_

4!
3!

=5_4=20(가지)

2 A → Q → B의 경우

4!
3!

_{

4!
2!2!

-1}=4_5=20(가지)

따라서 구하려는 경우의 수는 20+20=40

다른 풀이



다음과 같이 합의 법칙을 이용할 수 있다.

A

1

1

2

2

1

3

5

5

1

4

4

9 13 13

14 27

40

B

19   ^ 272
GUIDE

어느 통에서 꺼낼지 결정한 다음 왼쪽과 오른쪽을 결정한다고 생각한다.


공을 꺼내는 통을 배열하는 경우의 수는 A 3개, B 3개, C 4개를

배열하는 것으로 생각할 수 있으므로  10!

=4200

3!3!4!

A에서 공 세 개를 꺼낼 때 처음과 두 번째는 오른쪽, 왼쪽의 선택

1이 적힌 흰 공을 ①, 2가 적힌 흰 공을 ②로 나타내자. 마찬가지

이 가능하고, 세 번째 공을 꺼내는 방법은 1가지다.

로 1이 적힌 검은 공을 ❶, 2가 적힌 검은 공을 ❷로 나타내자.

즉 통 A에서 공을 꺼내는 경우의 수는 2_2=4

4, 5, 6이 적힌 칸에 있는 공에 적힌 수의 합이 5이고 모두 같은

통 B에서 공을 꺼내는 경우의 수도 2_2=4

색인 경우는 다음과 같다.

1 4, 5, 6이 적힌 칸에 ①, ②, ②를 넣는 경우의 수는  3!
2!

  남은 칸에 ①, ❶, ❶, ❷, ❷를 넣는 경우의 수는  5!
2!2!

  이때 경우의 수는  3!
2!

_

5!
2!2!

=90

2  4, 5, 6이 적힌 칸에 검은 공 ❶, ❷, ❷를 넣는 경우도 마찬가

지이므로 경우의 수는 90

따라서 구하려는 경우의 수는 90+90=180

20   ^ 56
GUIDE

록 한다.


통 C에서 공을 꺼내는 경우의 수는  2_2_2=8

따라서 공 10개를 꺼내는 경우의 수는
4200_4_4_8=2⁄‚_525=210 (2_262+1)

4 a+b=10+262=272

CD’에 대한 대칭이동을 생각한다. 이때 점 B가 맨 오른쪽 위에 위치하도

8    정답과 풀이

2  한 번 지나간 길을 또 지나는 경우는 그림에서 굵은 선으로 나

동이 (1, -1, 0, 0, 0)이 되면 조건에 맞지 않는다. 그 까닭은 x축 방향과

1  CD’ 위의 한 점을 반드시 지나는 경우는

그림처럼  CD’에 대해 대칭이동한 것

에서 점 A에서 점 E까지 가는 경로의

수와 같다.

  이때 경우의 수는  9!
4!5!

=126

C

A

E

D

B

타낸 부분을 경로에 포함할 때이다. 이때 점 A에서 굵은 선으

로 나타낸 부분을 지나 점 E까지 가는 경로의 수는

  1_

+

_

+

5!
4!

3!
2!

4!
3!

4!
2!2!

_

+

3!
2!

5!
2!3!

_2+

6!
2!4!

_1

  =70

1, 2에서 구하려는 경우의 수는 126-70=56

1등급 NOTE

위 풀이의 2에서 굵은 선으로 표시한 부분을 경로에 포함하는 경우는

CD’ 위를 가로 방향으로 지나지 않을 때이다. 즉  CD’를 없애 놓고 생각하

면 이때 최단 경로의 수는

8!
4!_4!

=70

이때 조건을 만족시키는 이동은 ㉠과 ㉡이 함께 일어나거나 ㉠과

㉢이 함께 일어날 때이다.

따라서 구하려는 경우의 수는 5_8+5_24=160

1등급 NOTE

㉠과 같은 이동 예로 (1, 1, 0, 1, 1)을 생각할 수 있다. 이때 ㉡과 같은 이

y축 방향의 이동을 순서쌍으로 나타낸다면 이 경우 (1, 1), (1, -1),

(0, 0), (1, 0), (1, 0)이 되어 다섯 번 중 (0, 0)처럼 이동하지 않을 때가

한 번 있기 때문이다. 즉 ㉡과 같은 이동 20가지 중 x축 방향 이동이 0인

자리(위 예에서는 3번째)에는 반드시 1 또는 -1이 위치해야 한다.

x축 방향 이동

y축 방향 이동

조건 부합 여부

(1, 1, 0, 1, 1)

(0, -1, 1, 0, 0)

(1, -1, 0, 0, 0)

(-1, 0, 1, 0, 0)

(0, 0, 1, -1, 0)

(0, 0, 1, 0, -1)

_

◯

◯

◯

◯

표와 같이 3번째 자리에 1이 있으면 남은 0, 0, 0, -1을 배열하는

=4(가지) 경우가 있고, 3번째 자리에 -1이 있을 때도 마찬가지로

4!
3!

4가지 경우가 있다.

따라서 2 일 때 조건에 맞는 경우는 모두 5_8=40(가지)이다.

같은 경우에서 ㉢과 같은 이동을 생각할 때 3번째 자리에 0이 오면 조건

에 맞지 않음을 알 수 있다. 이때 경우의 수는 남은 4자리에 1, 1, -1, -1

을 배열하는 것을 생각하면

=6이므로 조건에 맞는 이동은

4!
2!2!

21   ^ 160
GUIDE



➊ x축 방향의 이동만 생각하지 말고 y축 방향의 이동도 함께 생각한다.

➋   A(-2, 0)에서 B(2, 0)까지 다섯 번의 이동으로 가는 경우이므로

30-6=24(가지)이다.

x축 방향으로 4만큼, y축 방향으로 0만큼 이동하였다.

즉 3일 때 조건에 맞는 경우는 모두 5_24=120(가지)이다.

왼쪽 또는 아래쪽으로 이동하는 것을 -1, 이동이 없는 것을 0,

오른쪽 또는 위쪽으로 이동하는 것을 1로 생각하자.

x축 방향의 이동은 -1, 0, 1 세 가지므로 다섯 번의 이동으로 x

축 방향으로 4만큼 이동하려면 0이 한 번, 1이 네 번 필요하다.

이때 경우의 수는  5!
4!

=5

  yy ㉠

y축 방향의 이동도 -1, 0, 1 세 가지므로 다섯 번의 이동으로 y

축 방향으로 0만큼 이동하는 것은 다음과 같이 나눌 수 있다.

1 모두 0일 때

이 경우는 x축 방향으로의 이동이 0, y축 방향으로의 이동도

0인 경우가 항상 존재하므로 조건에 어긋난다.

2 -1, 1이 각각 1개, 0이 3개일 때

  이 경우의 수는  5!
3!

=20이고, 이중에서 (0, 0)인 이동을 포함

  하지 않은 가능한 경우의 수는 8

  yy ㉡

3 -1, 1이 각각 2개, 0이 1개일 때

=30이고, 이중에서 (0, 0)인 이동을 포

  이 경우의 수는  5!
2!2!

  함한 것은  4!
2!2!

  30-6=24

   yy ㉢

STEP 3

1등급 뛰어넘기

p. 13~15

01  600

02  400

05  ⑴ 30  ⑵ 70

03  25

06  18

04  576

07  ⑴ 105  ⑵ 15  ⑶ 9

08  384

09  11

=6이므로 가능한 경우의 수는

결국 1은 어떤 경우든 선택되지만 5는 맨 앞에 있지 않으면 0이 됨을 알

bi의 뜻을 바르게 이해한다. b™는 {a¡, a™} 중에서 가장 작은 것을 선택하
고 b£은 {a¡, a™, a£} 중에서 가장 작은 것을 선택한다는 뜻이다. 예를 들

어 (5, 4, 3, 2, 1)이면 b¡=5, b™=4, b£=3, b¢=2, b∞=1이고

(1, 2, 3, 4, 5)이면 b¡=1, b™=b£=b¢=b∞=0이다.

01   ^ 600
GUIDE

수 있다.


   1. 여러 가지 순열    9

몇 번째 자리에 있느냐를 기준으로 삼으면 분류가 어려우므로 다

1 영역 An-1과 영역 A¡이 같은 색일 때

음과 같이 각각의 숫자에 대해 생각해 보자.

An-1, An, A¡을 하나의 영역으로 생각하면 (n-2)개 영역

1  숫자 1：1은 위치에 상관없이 항상 최소이므로 120개 순열

을 m개의 색으로 칠하는 것과 같으므로 경우의 수는

중 1은 120번 더해진다.

f(n-2, m)이고, An-1, An, A¡에서 An

2  숫자 2：2는 1보다 앞에 나올 때만 더해진다. 이런 경우는 60

  영역을 A¡과 다른 색으로 칠하는 경우의 수는 m-1

번이므로 이때 더해지는 수의 총합은 120

  4 ㈎=g(m)=m-1

3 숫자 3：3은 1, 2보다 앞에 나올 때만 더해진다. 이런 경우는

2 영역 An-1과 영역 A¡이 다른 색일 때

  120_;3!;=40(번)이므로 이때 더해지는 수의 총합은 120

4 숫자 4：4는 1, 2, 3보다 앞에 나올 때만 더해진다. 이런 경우

An 영역이 없다고 생각하면 (n-1)개 영역을 m개의 색으로

칠하는 것과 같으므로 경우의 수는  f(n-1, m)

  An 영역을 A¡, An-1과 다른 색으로 칠하는 경우의 수는

  는 120_;4!;=30(번)이므로 이때 더해지는 수의 총합은 120

5 숫자 5：5는 맨 앞에 나올 때만 더해진다. 이런 경우는

  m-2

  4 ㈏=h(m)=m-2

따라서 g(6)_h(7)=5_5=25

  120_;5!;=24(번)이므로 이때 더해지는 수의 총합은 120

1~5에서 구하려는 S의 총합은 5_120=600

P(i)=

ak i÷k에서 ak÷i÷k=bk라 하면 bk는 +1, +i 중 하나이므로

02   ^ 400
GUIDE

5
Ú
k=0

5
Ú
k=0

5
Ú
k=0

bk=0인 경우를 구하면 된다.


P(i)=

ak i÷k에서 ak i÷k=bk라 하고, bº, b¡, y, b∞ 중

1, -1, i, -i인 것의 개수를 각각 x, y, z, w라 하면 P(i)=0에

서 x=y, z=w이고 x+y+z+w=6을 만족시키는 경우는

(x, y, z, w)=(0, 0, 3, 3), (1, 1, 2, 2), (2, 2, 1, 1), (3, 3, 0, 0)

1   (x, y, z, w)=(0, 0, 3, 3)일 때, 즉 i, i, i, -i, -i, -i 를

2   (x, y, z, w)=(1, 1, 2, 2)일 때, 즉 1, -1, i, i, -i, -i를

  배열하는 경우의 수는  6!
3!3!

=20

  배열하는 경우의 수는  6!
2!2!

=180

  배열하는 경우의 수는  6!
2!2!

=180

4   (x, y, z, w)=(3, 3, 0, 0)일 때, 즉 1, 1, 1, -1, -1, -1을

  배열하는 경우의 수는  6!
3!3!

=20

따라서 구하려는 경우의 수는 20+180+180+20=400

1 An영역을 A¡과 다른 색으로 칠하는 것을 생각한다.
2 An영역을 A¡, An-1과 다른 색으로 칠하는 것을 생각한다.


03   ^ 25
GUIDE

10    정답과 풀이

04   ^ 576
GUIDE

있다.


윗줄에 모자를 걸고 가운데 줄에 모자를 걸 때는 완전순열을 생각할 수

윗줄에 모자를 거는 경우의 수는 4!=24

가운데 줄은 윗줄과 완전순열이므로 배열하는 경우의 수는 9

그런데 문제 예시와 같은 배열일 때는 아래 줄의 배열은 2

가지지만, 아래 줄의 배열이 4가지가 되는 경우도 있다.

[아래 줄의 배열이 2가지인 경우]

윗줄

가운데 줄

아래 줄

윗줄

가운데 줄

아래 줄

A

C

B

D

A

B

C

C

D

D

B

A

D

C

B

A

D

D

C

C

C

D

A

B

C

D

A

B

A

B





D

B

C

A

D

C

B

A

B

A

이와 같이 아래 줄의 배열이 4가지인 경우는 2개씩 서로 맞바꿈

할 때이다. 4개에서 2개씩 서로 맞바꿈이 되는 경우의 수는 A와

짝이 될 것만 결정하는 것과 같으므로 3이다. 이때 가운데 줄 완

전순열 중 2개씩 맞바꿈이 되지 않는 것은 9-3=6이므로 가운

데 줄과 아래 줄을 배열하는 경우의 수는 6_2+3_4=24

따라서 구하려는 경우의 수는 24_24=576

다른 풀이



문제 예시의 경우에서 셋째 줄까지 결정되면 문제에서 요구하지

않은 넷째 줄이 하나로 결정된다. 이 경우 첫째 열(3칸)을 배열

하는 경우의 수는 3!이므로 [그림 1]처럼 놓고 생각해 보자. 이때

D의 위치는 [그림 2] 또는 [그림 3]으로 2가지다.

3   (x, y, z, w)=(2, 2, 1, 1)일 때, 즉 1, 1, -1, -1, i, -i를

[아래 줄의 배열이 4가지인 경우]

B C D

A
B
C
D

C D
D

B

D

A
B
C
D

B C D
D

D

A
B
C
D

[그림 1]

[그림 2]

[그림 3]

06   ^ 18
GUIDE

는 한 가지 경우뿐이다.


각 문자는 네 번씩 사용해야 하고, 조건에 따라 배치할 수 있는 a의 자리

[그림 2]에 C를 배열하면 [그림 4], [그림 5]가 가능하고, [그림 3]일

a가 배치될 자리는 [그림 1]처럼 한 가지로 결정된다.

때 C를 배열하는 것은[그림 6]뿐이다.

A
B
C
D

B C D
D
C
D

C

A
B
C
D

B

D
C

C D
D
C

A
B
C
D

B C D
C
D

D

C

[그림 4]

[그림 5]

[그림 6]

이때 B의 배열을 생각하면 [그림 4], [그림 5], [그림 6] 각각에 대

하여 차례로 1가지, 2가지, 1가지 경우가 가능하고 이때 남은 자

리에 A를 배열하면 문제의 조건을 모두 만족시킨다.

따라서 구하려는 경우의 수는 24_6_(1+2+1)=576

05   ^ ⑴ 30  ⑵ 70
GUIDE

⑴ 두 번 사용하는 색이 하나 있다.

⑵ 세 개 이상의 색을 사용하면 된다.


⑴  다섯 가지 색을 모두 사용한다면 한 가지 색은 두 번 사용된다.

두 번 사용하는 색은 서로 마주보는 면에 칠해야 하고, 이때 남

은 색으로 정육면체의 옆면을 칠하는 경우의 수는 정사각형의

네 변을 색칠하는 경우의 수 (4-1)!과 같다.

  따라서 구하려는 경우의 수는 5_(4-1)!=30

⑵  사용하지 않는 색이 있어도 좋다는 것은 다섯 가지 색을 다 사

용해도 되고 네 가지 색, 세 가지 색을 사용해도 된다는 것이

다.

는 30

  2 네 가지 색을 사용하는 경우

  두 번 칠하는 색 두 가지 고르기 ⇨ 5C2=10

  한 번 칠하는 색 두 가지 고르기 ⇨ 3C2=3

이때 색을 고른 다음 정육면체를 칠하는 경우는 한 가지뿐

이므로 10_3_1=30

  3  세 가지 색을 사용하는 경우이면 세 가지 색을 각각 두 번

씩 사용해야 한다. 세 가지 색을 고르는 경우의 수는  5C3,

즉 10이고, 색을 고른 다음 정육면체를 칠하는 경우는 한

가지뿐이므로 10_1=10

  따라서 구하려는 경우의 수는 30+30+10=70

참고

2에서 두 번 칠하는 색과 한 번 칠하는 색이 정해지면 색을 칠하는 방법

은 한 가지로 정해진다. 마찬가지로 3에서 두 번 칠하는 색 세 가지가 결

a b
c d
a

a

a

a b
c d
a
c

a b

a

[그림 1]

[그림 2]

왼쪽 위 네 칸에서 문자를 배열하는 경우의 수는 3!=6이고, [그

림 1]처럼 배열하면 [그림 2]가 정해진다. 이때 다음과 같이 d 를

배열하는 세 가지 경우를 생각할 수 있고, 나머지 문자를 정하는

방법은 한 가지로 결정된다.

a b
c d
a
c

d

d
a b

d

a

a b
c d
a
c

d

d
a b

d

a

a b
c d
a
c

d

d
a b

d
a

따라서 구하려는 경우의 수는 6_3=18

참고

오른쪽 아래 네 칸에서 d 의 위치를 기준으로 경우의 수를 구한 이유는

[그림 2]에서 b, c의 자리가 하나씩 더 정해졌기 때문이다. 물론 왼쪽 아

래 네 칸에서 b의 위치를 기준으로 경우의 수를 구해도 된다.

07   ^ ⑴ 105  ⑵ 15  ⑶ 9
GUIDE

⑵ 검정 구슬이 놓일 자리를 고정한다.

본다.



⑴  7!
2!4!

=105

⑵   검정 구슬이 놓이는 자리를 고정한다고 생각하면 원순열이 아

  니므로 구하려는 경우의 수는  6!
2!4!

=15

⑶ 1 좌우 대칭일 때

그림처럼 생각하면 어느 한쪽, 예를 들면 왼

쪽에 노랑 구슬 1개, 파랑 구슬 2개를 배열

하는 경우의 수와 같으므로

3!
2!

=3

  2 좌우 대칭이 아닐 때

로 12/2=6

   15-3=12(가지) 경우가 있고, 뒤집으면 두 번 중복되므

   1. 여러 가지 순열    11

  1  다섯 가지 색을 사용하는 경우는 ⑴과 같으므로 경우의 수

⑶  검정 구슬이 놓일 자리를 고정한 다음 뒤집어서 일치하는 경우를 살펴

정되면 조건에 따라 색칠하는 방법은 한 가지로 정해진다.

  따라서 구하려는 경우의 수는 3+6=9

면 2개를 지날 때 최단 경로가 된다. 다만 모서리를 지나는 경우에서는

는 경우는 ①, ② 중복으로 한 번, ②, ⑤ 중복으로 한

D

08   ^ 384
GUIDE

중복이 생길 수 있음을 주의한다.


그림처럼 꼭짓점을 정하고 큐빅 면

ABCD,  BCGF,  DAEH,CDHG,

D

C

ABFE, EFGH를 각각 편의상 앞, 오

른쪽, 왼쪽, 위, 바닥, 뒤로 구분해 보

자. 이때 면 3개를 거쳐 가면 최단 경로

H

E

G

F

A

B

가 될 수 없고 면 2개만 지나가야 최단 경로가 될 수 있다.

1 면 2개를 지나는 경우

  A에서 G로 갈 때 지나는 면을 순서쌍으로 나타내면

  ① (앞, 오른쪽)

② (앞, 위)

  ③ (바닥, 오른쪽)

  ⑤ (왼쪽, 위)

④ (바닥, 뒤)

⑥ (왼쪽, 뒤)

  이다. 예를 들어 그림과 같이 앞과 오른쪽을

G

  지나 A에서 G로 가는 최단 경로의 수는

9!
6!3!

=84

A



참고
오른쪽 그림과 같이 정육면체의 모서리만을 따라 가

G

번 제외되었다. 이런 경로처럼 2에서 중복해서 빼

준 경로가 있으므로 모서리만 따라 가는 최단 경로

의 수인 3!=6도 더해야 할 것처럼 보인다.

A

C

그런데 A → D → C → G 경로는 실제로는 1개지만 1의 ①, ②, ⑤에서

한 번씩 헤아렸으므로 경로 수가 3이 되었다. 하지만 2에서 ①, ② 중복

으로 한 번 제외되고, ②, ⑤ 중복으로 한 번 제외되면서 실제 경로 수 1과

같아졌으므로 풀이에서 모서리만 따라가는 이런 경로의 수는 더 이상 생

각하지 않아도 된다.

09   ^ 11
GUIDE

1은 y>x인 영역을 지나는 경로를 설명하고 2는 B(9, 11)에 도달하

는 경로를 설명한다. 즉 원점을 출발하여 y>x인 영역을 지나

A(10, 10)에 도착하는 경로의 수는 원점을 출발하여 B(9, 11)에 도착

하는 경로의 수와 같으므로 구하려는 경로의 수는 점 O에서 점 A로 가

는 경로의 수에서 점 O에서 점 B로 가는 경로의 수를 뺀 것과 같다.


마찬가지로 ②~⑤에서도 최단 경로의 수

문제의 내용을 그림처럼 생각해 보

는 각각 84이므로 면 2개를 지나는 최단 경로의 수는

면 y>x인 영역을 지나는 경로

B

A

  84_6=504

2 면 2개를 지날 때 중복해서 헤아린 경로

의 수는 원점을 출발하여

B(9,  11)에  도착하는  경로의

모서리 1개를 지나는 경로 중 1에서 중복

G

수와 같다.

해서 헤아린 것이 있다. 예를 들어 오른쪽

즉 구하려는 경로의 수는

C

그림처럼 모서리 CG를 지나는 경로는 ①의

경로에도 포함되었고, ②의 경로에도 포함

A

되었으므로 중복해서 헤아린 경로이다.

  이런 경우는 A → C → G를 지나는 경로이고 그 수는

6!
3!3!

=20이다.

실제 1에서 중복해서 헤아린 경로는 다음 예와 같이 모서리

CG, FG, HG, AB, AD, AE를 지나는 경우이고, 이때 그

4 a=11

참고



20!
10!10!

-

20!
9!11!

=

20!
9!10! {;1¡0;-;1¡1;}

O

=;11!0;_

20!
9!10!

=;1¡1;_

20!
10!10!

경로의 수는 20_6=120

➊ (y>x인 영역을 지나지 않는 경로의 수)

H

G

  =(전체 경로의 수)-(y>x인 영역을 지나는 경로의 수)

  =(전체 경로의 수)-(원점을 출발해 B(9, 11)에 도착하는 경로의 수)

➋ 점 (0, 0)에서 점 (n, n)까지 가는 최단 경로 중 y>x인 부분을 지나

  지 않는 경로의 수는

이고, 이것을 카탈란 수

1
n+1

_

(2n)!
n!n!

G

(Catalan number)라 한다.

G

C

A

G

A

D

A

B

A

G

F

G

E

A

따라서 구하려는 최단 경로의 수는 504-120=384

12    정답과 풀이

  즉 x'+y'+z'=6의 음이 아닌 정수해의 개수는 3H6

선택한 세 수의 합이 홀수가 되려면 (홀, 홀, 홀), (짝, 짝, 홀) 꼴이어야

2

중복조합과 이항정리

㈏에서 a<b<c<20이므로 a, b, c의 값이 될 수 있는 것은 20

이하의 홀수이다. 그런데 20 이하의 홀수가 10개이므로 이중에

STEP 1

1등급 준비하기

p. 18 ~20

서 중복을 허락하여 3개를 뽑은 다음 작은 것부터 차례로 a, b, c

02  ③

06  49

10  2

14  3

03  220

07  ⑴ 5  ⑵ 70

11  27

15  ②

라 하면 된다.

따라서 구하려는 순서쌍 개수는 10H3=12C3=220

01  ⑴ 21  ⑵ 84

04  ①

08  120

12  11

16  ⑤

05  ④

09  70

13  ④

17  ④

01    ⑴ 21  ⑵ 84
GUIDE

⑴ x=2x'+1, y=2y'+1, z=2z'+1로 놓는다.

⑵ (x가 홀수인 경우의 수)_3


⑴ x=2x'+1, y=2y'+1, z=2z'+1이라 하면

  x', y', z'은 음이 아닌 정수이고,

  x+y+z=2(x'+y'+z')+3=13

  즉 x'+y'+z'=5의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로

3H5=7C5=21

⑵ x=2x'+1, y=2y', z=2z'이라 하면

  x', y', z'은 음이 아닌 정수이고,

  x+y+z=2(x'+y'+z')+1=13

y만 홀수인 경우, z만 홀수인 경우도 생각하면 구하려는 정수

해의 개수는 3_3H6=3_8C6=84

x, y, z를 x', y', z'을 써서 나타낼 때 x', y', z'이 음이 아닌 정수가 되도

1등급 NOTE



록 한다.

02    ③
GUIDE

정수가 됨을 이용한다.


x, y, z가 -1 이상의 정수이므로

x+1=x', y+1=y', z+1=z'으로 놓으면

x'>0, y'>0, z'>0

즉 x+y+z=4에서 구하려는 순서쌍의 개수는

(x', y', z')의 개수와 같으므로 3H7=9C2=36

03    220
GUIDE

a, b, c는 20 이하의 홀수이다.


㈎에서 a_b_c가 홀수이므로 a, b, c는 모두 홀수

04    ①
GUIDE

세 후보의 득표 수를 모두 합하면 20이다.


세 후보의 득표 수를 각각 a, b, c라 하면

a+b+c=20이 되는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

3H20=22C20=22C2=231

1등급 NOTE



문제의 내용을 음이 아닌 정수해의 개수 또는 자연수 해의 개수를 구하는

부정방정식 꼴로 나타내면 경우의 수를 더 쉽게 구할 수 있다. 이것이 어

려우면 문제의 내용을 함수의 대응 관계로 생각한다.

05    ④
GUIDE

한다.


1 홀수만 3개 택할 경우

3H3=5C3=10

2 짝수 2개와 홀수 1개를 택할 경우

  짝수 2개를 택하는 경우의 수는 3H2=6

  홀수가 3개이므로 이때 경우의 수는 6_3=18

따라서 구하려는 경우의 수는 10+18=28

N=1000a+100b+10c+d 로 놓으면 a+b+c+d=7이고, N이 홀

수이므로 d가 될 수 있는 수는 1, 3, 5이다.


N=1000a+100b+10c+d 로 놓으면 a+b+c+d=7이고,

N이 홀수이므로 d 가 될 수 있는 수는 1, 3, 5이다.

(a=b=c=0이고, d=7이면 N=7이므로 N>10인 조건에 어

1 d=1인 경우

2  d=3인 경우

3  d=5인 경우

  방정식 a+b+c=6의 음이 아닌 정수해의 개수는 3H6=28

  방정식 a+b+c=4의 음이 아닌 정수해의 개수는 3H4=15

  방정식 a+b+c=2의 음이 아닌 정수해의 개수는 3H2=6

따라서 구하려는 자연수 N의 개수는 28+15+6=49

   2. 중복조합과 이항정리    13

x, y, z가 -1 이상의 정수이므로 x+1, y+1, z+1은 모두 음이 아닌

06    49
GUIDE

x'+y'+z'=7을 만족시키는 음이 아닌 정수 x', y', z'의 순서쌍

긋난다. a>0, b>0, c>0이므로 d+7이다.)

(1+x)n=nC0+nC0 x+y+nCn xn의 양변에 x=;5!; 을 대입하면 an이
됨을 이용한다.


an=

n
Ú
r=0

nCr

5r =nC0+ nC1

5

+ nC2

52 +y+ nCn
5n

또 (1+x)n=nC0+nC1 x+y+nCn xn의 양변에 x=;5!; 을 대입

하면 {;5^;}

n

=nC0+ nC1
5

+ nC2

52 +y+ nCn

5n

n

4 an={;5^;}

즉 a¡+a™+y+a¡º=

에서 l+m+n=27

10

-1]

;5^; [{;5^;}

;5^;-1

=

611
510 -6

07    ⑴ 5  ⑵ 70
GUIDE

11    27
GUIDE

⑴은 중복 불가능하지만 ⑵에서는 중복이 가능하다.


⑴  집합 B에서 원소 4개를 골라 작은 것부터 차례로 1, 2, 3, 4에

대응시키면 된다. 즉 구하려는 함수의 개수는 5C4=5

⑵  집합 B에서 중복을 허락해서 원소 4개를 골라 작은 것부터 차

례로 1, 2, 3, 4에 대응시키면 된다. 즉 구하려는 함수의 개수는

반지 7개를 한 줄로 나열한 다음 중복을 네 묶음으로 나눈다고 생각한다.


집게손가락부터 새끼손가락까지 순서대로 반지를 낀다고 생각하

자. 이때 반지 7개를 한 줄로 나열한 다음 각 손가락에 낄 반지 개

수에 따라 차례로 끼우면 된다.

즉 구하려는 경우의 수는 7!_4H7=7!_10C3=120_7!

5H4=8C4=70

08    120
GUIDE

따라서 a=120

09    70
GUIDE

깔 변화가 3번 생긴다.


색깔이 같은 바둑돌을 하나의 묶음으로 생각하면 4묶음으로 나눌 때 색

k번째 항과 (k+1)번째 항의 대소를 비교해 수열 {an}이 증가하는 구간

색깔이 같은 바둑돌을 하나의 묶음으로 생각하면 다음과 같은 경

ak=13Ck 4k이고,

ak+1
ak

= 13Ck+1 4k+1

13Ck 4k =

52-4k
k+1

에서

우일 때 색깔 변화가 3번 생긴다. 이때 각 묶음에 있는 바둑돌 개

k<10이면 ak+1>ak이고, k>11이면 ak+1<ak이다.

수를 차례로 a, b, c, d 라 하면, a, b, c, d 는 자연수이다.

즉 a1<a2<y<a10<a11>a12>a13

12    11
GUIDE

을 찾는다.


따라서 M=11

1등급 NOTE



1 흑, 백, 흑, 백으로 묶음이 정해질 때

  a+c=8, b+d=6

  즉 2H6_2H4=7C6_5C4=35

2 백, 흑, 백, 흑으로 묶음이 정해질 때

  a+c=6, b+d=8

  즉 2H4_2H6=5C4_7C6=35

1, 2에서 구하려는 경우의 수는 35+35=70

10    2
GUIDE

n

{1+;nX;}


n

의 일반항 nCr {;nX;}

r

에서 r=3인 경우를 구한다.

{1+;nX;}

의 일반항은 nCr {;nX;}

r
이므로

r=3이면 nC3 {;nX;}

3
, 즉

n(n-1)(n-2)
6n‹

x‹에서

an=

n(n-1)(n-2)
6n‹

이고, a∞=

5_4_3
6_5‹

=;2™5;

따라서 25a∞=2

14    정답과 풀이

(ax+b)n의 전개식에서 xk의 계수가 최대인 경우는 k=“
때이다. (단, [x]는 x보다 크지 않은 가장 큰 정수이다.)

a(n+1)
a+b

‘일

문제는 a=4, b=1, n=13인 경우이므로 k=“
때 최대인 것을 확인할 수 있다.

4_14
4+1 ‘=[11.2]=11일

13    ④
GUIDE
nC0+nC2+nC4+y=nC1+nC3+nC5+y=2n-1


2(19C1+19C3+19C5+y+19C19)

=19C0+19C1+19C2+19C3+y+19C19
=219
즉 19C1+19C3+19C5  y+19C19=218이므로
log2 (19C1+19C3+19C5 y+19C19)=log2 218=18

10

{x+;x!;}

의 일반항은 10Cr xr {;x!;}

10-r

=10Cr x2r-10이고,

(10Ck_7Ck)는 (1+x)10(1+x)7의 전개식에서 x7의 계수와 같다.


14    3
GUIDE

n+3Cn=n+3C3임을 이용한다.


a=

n+3Cn=

n+3C3

8
Ú
n=0

  =3C3+4C3+y+11C3=12C4

8
Ú
n=0

10
Ú
n=2

b=

nC2=2C2+3C2+y+10C2=11C3

4 ;bA;= 12C4
11C3

=

12!
4!8!

_

3!8!
11!

=3

15    ②
GUIDE

10

{x+;x!;}


의 일반항을 이용한다.

0<r<10인 임의의 정수 r에 대하여 지수는 항상 2의 배수이므

10

로 {x+;x!;}

의 모든 항과 (1-x+x€)의 1, x€을 곱한 항도 x의

지수가 2의 배수가 된다.

따라서 모든 계수의 합은 2

10
Ú
r=0

10Cr=211

다른 풀이



x의 지수가 짝수인 항의 계수 총합을 A, x의 지수가 홀수인 항

의 계수 총합을 B라 하자.
x=1을 대입하면 210=A+B
x=-1을 대입하면 3(-2)10=A-B
4 A=211, B=-210

16    ⑤
GUIDE
(1+x)12(1+x)12의 전개식과 (1+x)24의 전개식에서 x12의 계수를 비

교한다.


㈎ (1+x)24=(1+x)12(1+x)12

              =(12C0+12C1 x+12C2 x€+y+12C12 x12)

_(12C12 x12+12C11 x11+y+12C0 )

  에서 x12의 계수는

12C0_12C12+12C1_12C11+y+12C12_12C0
  또 (1+x)24의 전개식에서 x12의 계수는 24C12
㈏ nCr=nCn-r에서 12C12=12C0, 12C11=12C1, y, 12C0=12C12

㈎와 ㈏에서 (12C0)€+(12C1)€+y+(12C12)€=24C12

따라서 a=24, b=12이므로 a-b=12

P1

P2

P3

P4

O

A

P5

1등급 NOTE



그림의 점 O에서 A까지 최단 경로로 간다고

P0

할 때, O에서 A까지 가는 임의의 최단 경로

는 Pº ~ P∞ 중 반드시 한 점을 포함한다. 한

편 O에서 A까지 가는 최단 경로의 수는

=10C5이다.

10!
5!5!
4 (O에서 A까지 가는 최단 경로의 수)

  =

(점 Pk를 지나는 최단 경로의 수)

  =

(5Ck_5C5-k)=

(5Ck)€=

=10C5

5
Ú
k=0

10!
5!5!

위와 같은 방법으로 생각해 보면 다음을 알 수 있다.

(nC0)€+(nC1)€+y+(nCn)€=

=2nCn

2n!
n!n!

5
Ú
k=0

5
Ú
k=0

17    ④
GUIDE

7
Ú
k=0

(1+x)10에서 xk의 계수는 10Ck이고
(1+x)7에서 x7-k의 계수는 7C7-k=7Ck이므로

(1+x)10(1+x)7에서 x7의 계수는

(10Ck_7Ck)

7
Ú
k=0

(1+x)17에서 x7의 계수는 17C7

4

7
Ú
k=0

(10Ck_7Ck)=17C7

15  ⑴ 15  ⑵ 126

p. 21~28

03  210

05  10

09  ⑤

13  70

16  228

20  ⑤

24  355

28  254

32  1001

06  490

10  ③

14  517

17  ⑤

21  ⑤

25  ①

29  ①

33  ①

STEP 2

1등급 굳히기

01  ②

02  36

04  ⑴ 540  ⑵ 56

08  455

12  30

19  ④

23  40

27  252

31  22

35  1023

07  ①

11  56

18  ③

22  ⑤

26  17

30  ③

34  ③

01    ②
GUIDE

세 바구니에 담는 과일 개수를 차례로 a, b, c라 놓고,

a=2a'+1, b=2b'+1, c=2c'+1임을 이용한다.


   2. 중복조합과 이항정리    15

각 바구니에 담긴 과일 개수를 a, b, c라 하면, a+b+c=17이

자연수 x, y, z, w 중에서 3으로 나눈 나머지가 1인 수 2개를 택

고, a, b, c는 홀수이므로

하고 3으로 나눈 나머지가 2인 수 2개를 택하는 경우의 수는

a=2a'+1, b=2b'+1, c=2c'+1이라 하면

4C2_2C2=6이다.

a', b', c'은 음이 아닌 정수이고,

한편 3으로 나눈 나머지가 1인 수가 x, y이고, 3으로 나눈 나머

둘레 길이가 20인 삼각형이면 가장 긴 변의 길이가 10보다 작아

⑴  두 수가 동시에 10 이상인 경우는 없음을 이용한다.

a'+b'+c'=

17-3
2

=7

즉 구하려는 경우의 수는 3H7=36

02    36
GUIDE

삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c라 할 때, 가장 긴 변의 길이는

a+b+c
2

보다 작아야 한다.

※ 가장 긴 변의 길이가 c이면 c<a+b이므로

2c<a+b+c에서 c<

a+b+c
2



야 한다. 즉 구하려는 순서쌍 개수는

a+b+c=20이고, 1<a, b, c<9인 자연수 해의 개수와 같으므

로 9-a=a', 9-b=b', 9-c=c'이라 하면

0<a', b', c'<8이고, a'+b'+c'=27-20=7에서

3H7=9C2=36

다른 풀이

a+b+c=20 (a<b<c)라 하면 c>7

또 a+b>c에서 20-c>c

  4 7<c<10

1 c=7일 때 a+b=13 (a<b<7)에서 (a, b)=(6, 7)

2 c=8일 때 a+b=12 (a<b<8)에서

(a, b)=(4, 8), (5, 7), (6, 6)

3 c=9일 때 a+b=11 (a<b<9)에서

(a, b)=(2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6)

이때 순서쌍 (a, b, c)는 다음과 같다.

① (6, 7, 7), (4, 8, 8), (6, 6, 8), (2, 9, 9)일 때 각 순서쌍에서

  배열하는 경우의 수는  3!
2!

  4_3=12

=3이므로 이 경우 순서쌍의 개수는

②   (5, 7, 8), (3, 8, 9), (4, 7, 9), (5, 6, 9)일 때 각 순서쌍에서

배열하는 경우의 수는 3!=6이므로 이 경우 순서쌍의 개수는

4_6=24

따라서 구하려는 순서쌍 개수는 12+24=36

3으로 나눈 나머지가 1인 두 수를 선택하면 나머지 두 개 모두 3으로 나

03    210
GUIDE

눈 나머지가 2이다.


16    정답과 풀이

지가 2인 수가 z, w인 경우를 생각해 보자.

이때 x=3x'+1, y=3y'+1, z=3z'+2, w=3w'+2

(단, x', y', z', w'은 음이 아닌 정수)라 하면

(3x'+1)+(3y'+1)+(3z'+2)+(3w'+2)=18

이때 x'+y'+z'+w'=4이 되는 음이 아닌 정수해의 개수는

4H4=7C3=35이므로

모든 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 6_35=210

04    ⑴ 540  ⑵ 56
GUIDE

⑵ 각 자리수를 a, b, c, d 라 하고, 9 이하의 음이 아닌 정수를 정의한다.


⑴ x+y+z+w=14를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수는

4H14=17C3=680

  이중에서 x>10인 것은

3H0+3H1+3H2+3H3+3H4=1+3+6+10+15=35

  y>10, z>10, w>10인 것도 마찬가지로 각각 35개

  따라서 구하려는 자연수 개수는 680-35_4=540

⑵   0과 10000은 두 물음을 만족시키지 않으므로 0000부터 9999

까지의 자연수에서 각 자리 수를 a, b, c, d 라 하면 a, b, c, d

  0<a', b', c', d '<9이고 a+b+c+d=31에서

모두 0 이상 9 이하인 정수이다.

  이때 9-a=a', 9-b=b',

  9-c=c', 9-d=d '이라 하면

  a'+b'+c'+d '=36-31=5

  즉 4H5=8C3=56

1등급 NOTE

➊ 이항계수의 성질을 이용하면

3H0+3H1+3H2+3H3+3H4

  =2C0+3C1+4C2+5C3+6C4=7C4=35
➋   a>10인 것의 개수는 a-10=a'으로 놓으면 a'+b+c+d=4의 음

이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 4H4=7C4=35

➌  ⑵를 x+y+z+w=31로 놓고 ⑴처럼 풀려면 두 개의 수가 10 이상

인 경우와 3개의 수가 10 이상인 경우도 함께 따져야 하므로 틀리기

➍   a+b+c+d=31이 되는 음이 아닌 정수해의 개수는  4H31=34C3이
고, 이중에는 a>10인 것도 포함한다. b, c, d 에 대해서도 마찬가지다.

따라서 a+b+c+d=31인 것 중에서 0<a, b, c, d<9인 경우만 생

각할 수 있는 스킬이 필요하다. 풀이와 같은 스킬을 이용하면

   a'+b'+c'+d÷'=5에서 a'>10인 경우는 없다. b', c', d÷'일 때도 마

쉽다.

찬가지다.

1등급 NOTE



a+b+c+d+e=8이 되는 음이 아닌 정수해의 개수  3H8만 생각하지
말고, a+b+c+d+e=8에서 조건 0<a, b, c, d, e<7에 어긋나는 경

우를 꼭 생각해야 한다. 즉 0<a, b, c, d, e<7이므로 a=8인 경우, b=8

인 경우, c=8인 경우, d=8인 경우, e=8인 경우, 이 5가지를 제외한다.

05    10
GUIDE

방정식 x1+x2+y+xn=r에서 음이 아닌 정수해는 nHr(쌍),
자연수(양의 정수) 해는 nHr-n(쌍) (단, r>n)


x+y+z=11의 자연수해의 개수는 3H8=10C2=45

이중에서 x=y인 것, y=z인 것, z=x인 것이 각각 5개이고,

x=y=z인 것은 없다. 즉 세 수가 모두 다른 자연수해는 30개,

어느 두 수가 같은 자연수해는 15개다.

(2, 4, 5)처럼 세 수가 모두 다른 경우는 a<b<c, a+b+c=11

의 자연수해 하나마다 x+y+z=11의 자연수해 6개가 대응하

07    ①
GUIDE

같다.


고, (3, 3, 5)처럼 두 수가 같은 경우는 a<b<c, a+b+c=11

x+y+z<a+b+c인 세 가지 경우로 나눌 수 있다. 이때

의 자연수해 하나마다 x+y+z=11의 자연수해 3개가 대응한

x+y+z>a+b+c인 것과 x+y+z<a+b+c인 것의 개수는 서로

남자 3명이 받은 사과 개수를 x, y, z라 하고, 여자 3명이 받은 사과 개수

를 a, b, c라 하면 x+y+z=a+b+c, x+y+z>a+b+c,

따라서 순서쌍 (a, b, c)의 개수는 ;;£6º;;+;¡3∞;;=10

다.

참고



남자 3명이 받은 사과 개수를 x, y, z라 하고, 여자 3명이 받은 사

과 개수를 a, b, c라 하자.

이때 x+y+z+a+b+c=10의 음이 아닌 정수해의 개수는

a<b<c, a+b+c=11인 경우, 예를 들어 a=2, b=4, c=5이면 순서

6H10=15C5=3003

쌍 (a, b, c)는 (2, 4, 5)로 한 개지만, a<b<c를 무시한 부정방정식

a+b+c=11에서는 해가 (2, 4, 5), (2, 5, 4), (4, 5, 2), (4, 2, 5),

(5, 2, 4), (5, 4, 2)로 6개를 생각할 수 있다. 즉 중복조합을 써서

x+y+z=11의 자연수해를 구할 수 있지만 이렇게 구한 위와 같은 해

6개는 a<b<c인 조건에서 한 가지로 정리됨을 생각하면 된다.

또 x+y+z=a+b+c=5인 음이 아닌 정수해의 개수는

3H5_3H5=7C2_7C2=441

그런데 x+y+z+a+b+c인 경우 중 x+y+z>a+b+c인

것과 x+y+z<a+b+c인 것의 개수는 서로 같으므로

1등급 NOTE
11=a+b+c<c+c+c에서 c>4임을 이용하면 다음과 같이 생각해서



구하려는 순서쌍이 10개임을 알 수 있다.

c=4일 때 a+b=7 (a<b<4)에서 (a, b)=(3, 4)

c=5일 때 a+b=6 (a<b<5)에서 (a, b)=(1, 5), (2, 4), (3, 3)

c=6일 때 a+b=5 (a<b<6)에서 (a, b)=(1, 4), (2, 3)

c=7일 때 a+b=4 (a<b<7)에서 (a, b)=(1, 3), (2, 2)

c=8일 때 a+b=3 (a<b<8)에서 (a, b)=(1, 2)

c=9일 때 a+b=2 (a<b<9)에서 (a, b)=(1, 1)

구하려는 경우의 수는

3003-441
2

=1281

08    455
GUIDE

06    490
GUIDE
다섯 개의 다항식 묶음에서 택한 항을 각각 xa, xb, xc, xd, xe라 하면
xa+b+c+d+e 에서 a+b+c+d+e=8인 경우에서 생각할 수 있다.


(1+x+y+x‡)(1+x+y+x‡)y(1+x+y+x‡)
5개

세 학생이 선택한 색연필 개수를 a, b, c라 하고 부등식을 세운다. 이때

a+b+c+d=15가 되는 음이 아닌 가상의 정수 d 를 이용한다.


선택한 빨간색, 파란색, 노란색 색연필 개수를 차례로 a, b, c라

하면 구하려는 경우의 수는 a+b+c<15인 자연수 해의 개수와

같다.

이때 15-(a+b+c)=d 라 하면 a+b+c+d=15이고, a, b,

c는 자연수, d 는 음이 아닌 정수이다.

a-1=a', b-1=b', c-1=c'이라 하면

a'+b'+c'+d=12의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 이

값은 4H12=15C3=455

에서 전개식은 다섯 묶음에서 각각 하나씩을 뽑아서 곱한 8ﬁ개의

결과를 모두 더한 것과 같다. 다섯 묶음에서 뽑힌 항을 각각

다른 풀이

xa, xb, xc, xd, xe라 하고, 이것들을 모두 곱한 xa+b+c+d+e 이 x°

빨강, 파랑, 노랑 색연필을 하나씩 선택하고 남은 색연필을 12개

이 되는 경우의 수가 전개식에서 x°의 계수이다.

이하로 선택한다고 생각하면

(단, 0<a, b, c, d, e<7)

3H0+3H1+3H2+y+3H12=2C0+3C1+4C2+y+14C12

즉 a+b+c+d+e=8의 음이 아닌 정수해의 개수가 5H8이므로

                                          =2C2+3C2+4C2+y+14C2

구하려는 x°의 계수는 5H8-5=12C4-5=490

                                          =15C3=455

   2. 중복조합과 이항정리    17

09    ⑤
GUIDE

포함 배제의 원리에서 구하려는 함수의 개수는

252-126-126+56=56

네 학생이 받은 사탕 개수를 각각 a, b, c, d 라 하고 부등식을 세운다. 이

때 a+b+c+d+e=16이 되는 음이 아닌 가상의 정수 e를 이용한다.


다른 풀이



A, B, C, D 네 학생이 받은 사탕 개수를 각각 a, b, c, d 라 하면

8<a+b+c+d<16이고, a, b, c, d 는 음이 아닌 정수이다.

16-(a+b+c+d )=e라 하면 a+b+c+d+e=16이고

0<e<8이다.

5H16=20C4=4845

a+b+c+d+e'=7

a+b+c+d+e=16의 음이 아닌 정수해의 개수는

e-9=e'이라 하면 이중에서 e>9인 것의 개수는

의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 5H7=11C4=330

f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)인 함수의 개수는 6C5=6

f(1)<f(2)=f(3)<f(4)<f(5)인 함수의 개수는 6C4=15

f(1)<f(2)<f(3)<f(4)=f(5)인 함수의 개수는 6C4=15

f(1)<f(2)=f(3)<f(4)=f(5)인 함수의 개수는 6C3=20

따라서 6+15+15+20=56

1등급 NOTE

공역이 연속한 자연수이므로  f(2)<f(3)과  f(2)<f(3)+1은 같다. 즉

주어진 조건은  f(1)<f(2)<f(3)+1<f(4)+1<f(5)+2와 같다. 이

때 3부터 10까지 자연수 8개 중에서 서로 다른 자연수 5개를 뽑아 작은

로 구하려는 함수의 개수는 8C5=8C3=56

따라서 구하려는 경우의 수는 4845-330=4515

것부터 차례로  f(1),  f(2), y,  f(5)라 하면 주어진 조건을 만족시키므

➊  a<b이면  f(a)<f(b)는 ( f(a)의 십의 자리 수)<( f(b)의 십의 자

➋  조건에 맞게 일의 자리 수를 택하고, 십의 자리 수를 택하는 사건이 함

치역의 원소가 약수 관계를 만족시킨다는 점을 생각하면 가능한 치역으

로는 {1, 2, 4}, {1, 2, 6}, {1, 3, 6} 뿐이다. 즉 이 세 가지 경우로 나누어

f(1)이  f(2)의 약수,  f(2)가  f(3)의 약수, y,  f(5)가  f(6)의

약수이어야 하고, 치역의 원소가 3개이므로, 가능한 치역은

{1, 2, 4}, {1, 2, 6}, {1, 3, 6}의 세 가지이다.

이 세 가지 치역에 대해 작은 수는 큰 수의 약수이므로  f(a)가

f(b)의 약수라는 것과  f(a)<f(b)는 같다.

치역이 {1, 2, 4}일 때, 집합 A의 6개의 원소가 1, 2, 4에 대응되

는 것의 개수를 각각 x, y, z라 하면

x+y+z=6이고 x, y, z는 자연수이므로 x'=x-1, y'=y-1,

z'=z-1이라 하면

음이 아닌 정수 x', y', z'에 대하여 x'+y'+z'=3

따라서 가능한 경우의 수는 3H3=5C2=10

치역이 {1, 2, 6}, {1, 3, 6}일 때도 마찬가지이므로

가능한 함수  f 의 개수는 3_10=30

공역이 {1, 2, 4}인 함수라 생각해서 3H6이라 구하지 않도록 한다.

10   ③
GUIDE

리 수)라 할 수 있다.

께 일어난다고 생각한다.



5H6=10C4=210

f(1),  f(2), y,  f(6)의 일의 자리 수를 결정하는 경우의 수는

그런데 ㈎에서 a<b이면  f(a)<f(b)이므로

( f(a)의 십의 자리 수)<( f(b)의 십의 자리 수)이다.

f(1),  f(2), y,  f(6)의 십의 자리 수는 1, 2에서 중복을 허락하

여 6개를 뽑은 다음 작은 것부터 나열하면 된다.

즉  f(1),  f(2), y,  f(6)의 십의 자리 수를 결정하는 경우의 수

는 2H6=7C1=7

이상에서 구하려는 함수  f 는 모두 210_7=1470(개)

f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)에서  f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)

와 맞지 않는 함수를 제외하고, 중복해서 제외한 것은 더한다.


f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)인 함수의 개수는

f(1)=f(2)<f(3)<f(4)<f(5)인 함수의 개수는

11    56
GUIDE

6H5=10C5=252

6H4=9C4=126

6H4=9C4=126

6H3=8C3=56

18    정답과 풀이

12    30
GUIDE

생각한다.


주의

13    70
GUIDE

생각한다.


f(1)<f(2)<f(3)=f(4)<f(5)인 함수의 개수는

f(1)+1<f(2), f(2)+2<f(3), f(3)+3<f(4)를 만족시키는 경우를

f(1)=f(2)<f(3)=f(4)<f(5)인 함수의 개수

주어진 조건에 따라 함숫값을 대응시킬 때

f(1)+1<f(2),  f(2)+2<f(3),  f(3)+3<f(4)에서

5H4=8C4=70

참고



을 알 수 있다.

14    517
GUIDE

2  f(4)=6일 때

5C3=10

3  f(4)=5일 때

4C3=4

4  f(4)=4일 때

3C3=1

f(1)=x,  f(2)-2=y,  f(3)-5=z,  f(4)-9=w라 하면

1<x<y<z<w<5이므로

15    ⑴ 15  ⑵ 126
GUIDE

1, 2, 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 4개를 뽑는 경우의 수는

점 각각에 번호를 붙여 보고 함수의 대응으로 생각할 때, 조건과 같은 경

f(1)=4=x라 하면  f(2)>6이어야 하고,  f(2)-2=y라 하면 y>x임

또  f(3)>9,  f(4)>13에서  f(3)-5=z,  f(4)-9=w라 하면

4, 5, 6이라 하자.

1<x<y<z<w<5를 얻는다.

우는 어떤 함수 꼴인지 판단한다.


⑴ 그림처럼  직선  l  위의  점을 왼

1

2

3

4

쪽부터 1, 2, 3, 4라 하고, 직선

m 위의 점을 왼쪽부터 1, 2, 3,

l

m

1

2 3

4

5

6

여기서 직선 l 위의 점과 직선 m 위의 점을 연결하는 것을

L={1, 2, 3, 4}에서 M={1, 2, 3, 4, 5, 6}으로 가는 함수

f : L bd M으로 생각할 수 있다. 이때 네 선분이 만나지 않

으려면 함수  f 가 증가하는 함수이면 된다. 즉 1, 2, 3, 4, 5, 6

중 4개를 골라 크기순으로 나열하는 경우의 수와 같으므로

⑵  함수  f 에서 a>b일 때  f(a)>f(b)이면 되므로 이때 경우의

f(1)<f(2)<f(3)<f(4)>f(5)>f(6)>f(7)이므로  f(4)의 값에 따

라 경우를 나누어 생각한다.


f(4)>4이므로 다음과 같이 경우를 나눌 수 있다.

1  f(4)=7일 때

1~6 중에서  f(1),  f(2),  f(3)을 골라 작은 것부터 나열하면

되므로 이때 경우의 수는 6C3=20

f(1),  f(2),  f(3)을 제외한 나머지 4개의 수에서

f(5),  f(6),  f(7)을 고르는 경우의 수는 4H3=6C3=20

  즉 조건에 맞는  f(4)=7인 함수는 20_20=400(개)

6C4=15

수는 6H4=9C4=126

16    228
GUIDE

공끼리 구분되지 않고, 개수만 따질 때는 미리 조건을 만족시키도록 나누

어주고 남은 것을 다시 나누어주는 것으로 생각한다. 즉 빨간 공을 받은

학생이 1명, 2명, 3명일 때로 경우를 나누어 생각한다.


이므로 빨간 공을 받지 못한 학생 두 명에게 파란 공을 하나씩

준 다음, 남은 파란 공 2개를 3명에게 나누어주면 된다. 이때

1~5 중에서  f(1),  f(2),  f(3)을 고르므로 이때 경우의 수는

1   빨간 공을 받은 학생이 1명 ⇨ 1명이 빨간 공 5개를 받은 경우

f(1),  f(2),  f(3)과 7을 제외한 나머지 3개의 수에서

f(5),  f(6),  f(7)을 고르는 경우의 수는 3H3=5C2=10

경우의 수는 3_3H2=18

  즉 조건에 맞는  f(4)=6인 함수는 10_10=100(개)

2   빨간 공을 받은 학생이 2명 ⇨ 2명이 빨간 공 1개씩을 받은 다

음 남은 빨간 공 3개를 2명에게 나누어주면 된다. 이때 경우의

1~4 중에서  f(1),  f(2),  f(3)을 고르므로 이때 경우의 수는

수는 3C2_2H3=12

f(1),  f(2),  f(3)과 6, 7을 제외한 나머지 2개의 수에서

f(5),  f(6),  f(7)을 고르는 경우의 수는 2H3=4C1=4

  즉 조건에 맞는  f(4)=5인 함수는 4_4=16(개)

1~3 중에서  f(1),  f(2),  f(3)을 고르므로 이때 경우의 수는

빨간 공을 나누어주는 경우의 수는 x+y+z=5의 자연수 해

  이때  f(5),  f(6),  f(7)은 모두 4만 가능하므로 경우의 수는 1

이때 남은 파란 공 4개를 학생 3명에게 나누어주면 된다. 이

  즉 조건에 맞는  f(4)=4인 함수는 1_1=1(개)

경우의 수는 3H4이므로

이때 빨간 공을 받지 못한 학생에게 파란 공을 하나 준 다음

남은 파란 공 3개를 세 명에게 나누어주면 된다. 이 경우의 수

는 3H3이므로 두 명만 빨간 공을 받는 경우의 수는

  12_3H3=120

3 빨간 공을 받은 학생이 3명

의 개수와 같으므로 3H5-3=3H2=6

  세 명이 빨간 공을 받는 경우의 수는 6_3H4=90

따라서 구하려는 경우의 수는 18+120+90=228

1~4에서 구하려는 함수  f 의 개수는

400+100+16+1=517

1등급 NOTE



f(4)=n이면  f(1),  f(2),  f(3)을 고르는 경우의 수는 n-1C3,
f(5),  f(6),  f(7)을 고르는 경우의 수는 n-3H3=n-1C3이므로

17    ⑤
GUIDE

결국 구하려는 답은

(n-1C3)€과 같다.

7
Ú
n=4

x가 짝수인 경우, 홀수인 경우로 나누어 생각한다.


   2. 중복조합과 이항정리    19

  이때 ①은 (m+1)개의  ↑ 에 ↑ 7개가 나누어 들어간 것이므

로 a1+a2+y+am+1=7의 자연수 해의 개수

12(x+3)11=

k12Ck xk-1_312-k

1 x=2m(m은 자연수)인 경우

→ 방향으로 움직이는 것과 ↑ 방향으로 움직이는 것이 연속

해 있는 것을 하나의 묶음으로 각각  → ,  ↑ 이라 하면 방

향을 2m번 바꾸는 경우는 다음과 같을 때이다.

  ①  ↑ ,  → , y,   ↑

( ↑ 은 (m+1)개,  → 은 m개)

  ②  → ,  ↑ , y,  →

( → 은 (m+1)개,  ↑ 은 m개)

  m+1H7-m-1=6C6-m=6Cm

  또 m개의  → 에 →  7개가 나누어 들어간 것이므로

  b1+b2+y+bm=7의 자연수 해의 개수

  mH7-m=6C7-m=6Cm-1

  ②도 같은 방법으로 생각할 수 있으므로

f(2m)=2_6Cm_6Cm-1

2 x=2m-1(m은 자연수)인 경우

  ①  ↑ ,  → , y,  → ( ↑ 와  → 은 모두 m개)

  ②  → ,  ↑ , y,  ↑ ( → 와  ↑ 은 모두 m개)

  1처럼 생각하면  f(2m-1)=2_6Cm-1_6Cm-1

ㄱ.  f(1)=2_6C0_6C0=2 ( ◯ )

ㄴ.  f(2)=2_6C1_6C0=12



f(12)=2_6C6_6C5=12 ( ◯ )

ㄷ. 6Cx 꼴 중 최대인 것은 6C3이므로

따라서 x {x+;x!;}

+2x {x+;x!;}

7

6
의 상수항은 35

19    ④
GUIDE

(x+3)12=


12
Ú
k=0

12
Ú
k=0

12
Ú
k=0

12Ck xk_312-k 의 양변을 미분한다.

(x+3)12=

12Ck xk_312-k의 양변을 미분하면

이 식의 양변에 x=1을 대입하면

12
Ú
k=0

k12Ck 312-k=12_411=3_224

따라서 p=3, q=24이므로 p+q=27

다른 풀이



k12Ck=k

12!
k!(12-k)!

=

12!
(k-1)!(12-k)!

        =12

11!
(k-1)!(12-k)!

=1211Ck-1

4

12
Ú
k=0

k12Ck 312-k=

k12Ck 312-k

                           =

1211Ck-1 312-k_1k-1

                           =12

11Ci 311-i_1i

12
Ú
k=1

12
Ú
k=1

11
Ú
i=0

   m=4이고, x=2m-1일 때,  f(7)=2_6C3_6C3이 최대이

                           =12(3+1)11=3_224

다. ( ◯ )

18    ③
GUIDE

(x€+2x+1)=x {x+;x!;+2}임을 이용해 전개한 식에서 ;x!; 의 계수를
구한다.


(x€+2x+1)=x {x+;x!;+2} 이므로

(x€+2x+1) {x+;x!;}

=x {x+;x!;+2} {x+;x!;}

6

6

                                   =x {x+;x!;}

+2x {x+;x!;}

7

6

1 {x+;x!;}

7
=

7
Ú
k=0

7Ck xk {x+;x!;}

7-k

=

7
Ú
k=0

7Ck x2k-7

  에서 ;x!; 의 계수는 k=3일 때 7C3=35

2 {x+;x!;}

6
=

6
Ú
k=0

6Ck xk {;x!;}

6-k

=

6
Ú
k=0

6Ck x2k-6

  에서 ;x!; 항은 없다.

20    정답과 풀이

20    ⑤
GUIDE



7
Ú
k=0

7
Ú
k=0

(x+1)‡=

7Ck xk의 양변을 적분한다.

(x+1)7=

7Ck xk의 양변을 적분하면

;8!; (x+1)°+C=

7
Ú
k=0

1
k+1

7Ck xk+1이고,

양변에 x=0을 대입하면 C=-;8!;

양변에 x=2를 대입하면  ;8!; (3°-1)=

7
Ú
k=0

1
k+1

7Ck 2k+1

4

7
Ú
k=0

1
k+1

7Ck 2k=;1¡6; (3°-1)

다른 풀이



1
k+1

7Ck=

1
k+1

_

7!
k!(7-k)!

=

7!
(k+1)!(7-k)!

                =;8!;_

8!
(k+1)!(7-k)!

=;8!; 8Ck+1

4

7
Ú
k=0

1
k+1

7Ck 2k=;8!;

8Ck+1 2k=;8!;

7
Ú
k=0

8
Ú
i=1

8Ci 2i-1

                             =;1¡6;

8
Ú
i=1

8Ci 2i_18-i

                             =;1¡6; {(2+1)°-1}=;1¡6; (3°-1)

21    ⑤
GUIDE

417=(5-1)17=

17Ck 5k(-1)17-k

617=(5+1)17=


17Ck 5k

17
Ú
k=0

17
Ú
k=0

17
Ú
k=0

417=(5-1)17=

17Ck 5k(-1)17-k에서

k>2이면 항은 항상 25의 배수이므로
417을 25로 나눈 나머지는
17C1 51(-1)16+17C0 50(-1)17=84를 25로 나눈 나머지인 9

또 617=(5+1)17=

17Ck 5k에서 위와 같이 생각하면

17
Ú
k=0

617을 25로 나눈 나머지는
17C1 51+17C0 50=86을 25로 나눈 나머지인 11
따라서 417+617을 25로 나눈 나머지는 9+11=20

22    ⑤
GUIDE
(1+x)€+(1+x)‹+(1+x)›+y+(1+x)100을 미분하면 주어진 식

과 같다.


23    40
GUIDE

k€=k(k-1)+k임을 이용한다.


k

18-k

k€ 18Ck {;3!;}

{;3@;}

k

18-k

k€ 18Ck {;3!;}

{;3@;}

18
Ú
k=0

=

=

=

18
Ú
k=1

18
Ú
k=1

18
Ú
k=2

k(k-1) 18Ck {;3!;}

{;3@;}

k 18Ck {;3!;}

{;3@;}

k

k

18-k

18-k

+

+

18
Ú
k=1

18
Ú
k=1

k

k

18-k

18-k

k(k-1) 18Ck {;3!;}

{;3@;}

k 18Ck {;3!;}

{;3@;}

이때 k(k-1)18Ck =k(k-1)

18!
k!(18-k)!

                            =

18!
(k-2)!(18-k)!

=18_17 16Ck-2

k 18Ck=k

18!
k!(18-k)!

=

18!
(k-1)!(18-k)!

=18 17Ck-1

(주어진 식)

=

18
Ú
k=2

18_17 16Ck-2 {;3!;}

{;3@;}

k

18-k

k

18-k

+

18
Ú
k=1

18 17Ck-1 {;3!;}

{;3@;}

=18_17

16
Ú
i=0

i+2

16-i

16Ci {;3!;}

{;3@;}

+18

17
Ú
i=0

i+1

17-i

17Ci {;3!;}

{;3@;}

=34

16
Ú
i=0

i

16-i

16Ci {;3!;}

{;3@;}

+6

17
Ú
i=0

i

17-i

17Ci {;3!;}

{;3@;}

16

17

=34 {;3!;+;3@;}
=34_116+6_117=40

+6 {;3!;+;3@;}

1등급 NOTE



확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때, 이 방법으로

주어진 식은 (1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+y+(1+x)100을

E(X €)=n(n-1)p€+np, V(X)=E(X €)-{E(X)}€=np(1-p)

미분한 것과 같다.
(1+x)2+(1+x)2+y+(1+x)100

=

(1+x)2{(1+x)99-1}
(1+x)-1

=

(1+x)101-(1+x)€
x

에서 x‹의 계수는 분자의 x›의 계수와 같으므로 101C4
즉 (1+x)€+(1+x)‹+(1+x)›+y+(1+x)100에서

를 구할 수 있다.

24    355
GUIDE

x‹의 계수는 101C4이므로 이 식을 미분한 식, 즉 문제에 주어진 식

에서 x€의 계수는 3_101C4



(x€+3x+1)ﬁ의 일반항은

5!
p!q!r!

(x€)p(3x)q(1)r

(단, p+q+r=5이고, p, q, r는 음이 아닌 정수)

2(1+x)+3(1+x)€+4(1+x)‹+y+100(1+x)99

다른 풀이



=

99
Ú
k=1

(k+1)(1+x)k

이고, (1+x)k에서 x€의 계수는 kC2이므로 구하려는 답은

99
Ú
k=1

(k+1)kC2=

99
Ú
k=1

(k+1)k(k-1)
2

                      =

3_k+1C3

99
Ú
k=1

5!
p!q!r!

5!_3q
p!q!r!

(x€+3x+1)ﬁ=Ú

(x€)p(3x)q_1r

                      =Ú

x2p+q에서

1 x‹의 계수는 2p+q=3인 경우이다. 즉

(p, q, r)=(0, 3, 2)일 때   5!_3‹
0!3!2!

=270

(p, q, r)=(1, 1, 3)일 때   5!_3
1!1!3!

=60

  이므로 x‹의 계수는 270+60=330=a

                      =3(3C3+4C3+y+100C3)=3_101C4

2 x›의 계수는 2p+q=4인 경우이다. 즉

   2. 중복조합과 이항정리    21

(p, q, r)=(0, 4, 1)일 때  5!_3›
0!4!1!

=405

(p, q, r)=(1, 2, 2)일 때   5!_3€
1!2!2!

=270

(p, q, r)=(2, 0, 3)일 때   5!_3‚
2!0!3!

=10

  이므로 x›의 계수는 405+270+10=685=b

따라서 b-a=355

참고



(x€)p(3x)q_(1)r에서 Ú는 음이 아닌 정수
(x€+3x+1)ﬁ=Ú
p, q, r에 대하여 p+q+r=5가 되는 모든 경우를 더한 것을 나타낸다.

5!
p!q!r!

25    ①
GUIDE

k(k-1)
2

=kC2이므로 k(k-1)=2 kC2임을 이용한다.


8
Ú
k=2

k(k-1)=

2 kC2

8
Ú
k=2

                   =2(2C2+3C2+y+8C2)

                   =2 9C3=168=2‹_3_7
4 a+b+p=3+1+7=11

참고



용하는 것이 더 간단하다.

자연수 거듭제곱의 합 공식을 써서 풀 수도 있지만 이항계수의 성질을 이

26    17
GUIDE

9!(12-k)!
12!(9-k)!

을 조합으로 나타낸다.



9!(12-k)!
12!(9-k)!

=

(12-k)(11-k)(10-k)
12_11_10

                     =

_

(12-k)(11-k)(10-k)
6

                     =

_12-kC3

4

9
Ú
k=0

9!(12-k)!
12!(9-k)!

=

1
220

9

Ú
k=0

12-kC3

                                =

(3C3+4C3+y+12C3)

1
220

1
220

1
220

1
220

                                =

_13C4

                                =;;¡4£;;

따라서 p=4, q=13이므로 p+q=17

22    정답과 풀이

n-1Cr-1을 이용해 k-1C3을 간단한 꼴로 고친다.

kC4=

k-1C3에서 k-1C3=

kC4이고, 이때

4
k

27    252
GUIDE

n
r

nCr=


k
4

10
Ú
k=4

=

10
Ú
k=4

(10-k)k-1C3

10 k-1C3-

k k-1C3

10
Ú
k=4

=10(3C3+4C3+y+9C3)-

4 kC4

10
Ú
k=4

=10 10C4-4(4C4+5C4+y+10C4)

=10_10C4-4_11C5

=10_210-4_462=252

참고



k
4

kC4=

k-1C3에서 k-1C3=

kC4이므로 kk-1C3=4kC4임을 이용하였다.

4
k

28    254
GUIDE

가장 큰 수인 9를 기준으로 생각한다.


숫자 9개를 배열하는데 9보다 먼저 배열할 것만 택하고 그 수들

은 증가하는 순서로 배열하면 된다. (9가 맨 앞에 오거나 맨 뒤에

오는 경우는 제외한다.)

이때 나머지는 9 뒤에서 감소하는 순서로 배열하면 된다.

즉 9보다 먼저 배열할 것을 택하는 경우의 수와 같다.

9보다 먼저 배열하는 것이 1개, 2개, y, 7개일 때 그 경우의 수

는 차례로 8C1, 8C2, y, 8C7이므로 구하려는 배열의 개수는
8C1+8C2+y+8C7=28-2=254

29    ①
GUIDE

f(n, k)=

n!
(n-k)k!

=nCk이므로

n
Ú
k=0

f(n, k)=nC0+nC1+nC2+y+nCn=2n


ㄱ.  f(10, 6)=10C6=9C6+9C5=f(9, 6)+f(9, 5) ( ◯ )

ㄴ.  f(20, 9)=20C9=20C11=f(20, 11) ( _ )

f(n, k)=nC0+nC1+nC2+y+nCn=2n이므로

ㄷ.

n
Ú
k=0

20
Ú
n=1

{

n
Ú
k=0

  f(n, k)}=

20
Ú
n=1

2n

                            =

=221-2 ( _ )

2(220-1)
2-1

30    ③
GUIDE
두 다항식 P(x), Q(x)에서 xk의 계수를 각각 ak, bk라 하면

n-1
Ú
k=0

ak bn-1-k=

P(x)_Q(x)에서 xn-1의 계수는

두 다항식 P(x), Q(x)에서 xk의 계수를 각각 ak, bk라 하면
P(x)_Q(x)에서 xn-1의 계수는

ak-1 bn-k

n
Ú
k=1

n-1
Ú
k=0

ak bn-1-k=

ak-1 bn-k

n
Ú
k=1

(1+x)2n-1에서 xn-1의 계수는  ㈎=2n-1Cn-1
(1+x)n-1에서 xk-1의 계수는  ak-1=n-1Ck-1
(1+x)n에서 xn-k의 계수는  bn-k=nCn-k
이므로 (1+x)n(1+x)n-1에서 xn-1의 계수는

(n-1Ck-1_nCn-k), 즉  ㈏=nCn-k

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

4 2n-1Cn-1=

(n-1Ck-1_nCn-k)

한편 k_nCk=n_n-1Ck-1이므로

k(nCk)€=

(k_nCk_nCk)

                  =

{(n_n-1Ck-1)_nCn-k}

                  =n

(n-1Ck-1_nCn-k)

                  =n_2n-1Cn-1

이때 n_2n-1Cn-1=n

(2n-1)!
(n-1)!n!

                            =

                            =n_

n_n
n

_

(2n-1)!
(n-1)!n!

n_(2n-1)!
n!n!



                            =

_

(2n)!
n!n!

                            =

_2nCn

n
2

n
2

4 ㈐=

_2nCn

n
2

31    22
GUIDE

8Ck_8-kC4-k=8C4_4Ck임을 이용한다.


8Ck_8-kC4-k=

8!
k!(8-k)!

_

(8-k)!
(4-k)!4!



                    =

8!
4!k!(4-k)!

                    =8C4_4Ck

4

4
Ú
k=0

(8Ck_8-kC4-k)=

(8C4_4Ck)

                                  =70

4
Ú
k=0

4
Ú
k=0

4Ck

                                  =70_2›=2ﬁ(2_17+1)

따라서 a=5, b=17이므로 a+b=22

1등급 NOTE



8명 중에서 대표 k명을 뽑고, 남은 (8-k)명 중에서 후보 (4-k)명을

뽑는 경우의 수는 8Ck_8-kC4-k
그런데 이것은 8명 중에서 4명을 뽑고, 이중에서 k명을 대표로 뽑는 경우

의 수 8C4_4Ck와 같다.

32   1001
GUIDE

4
Ú
k=0

(5H4-k_6Hk)를 설명할 수 있는 적당한 모델을 생각한다.


남학생 5명, 여학생 6명에게 중복을 허락해서 연필 4자루를 나누

어주는 경우의 수는 11H4=14C4=1001

이 경우를 남학생, 여학생에 따라 나누어 생각하면

남학생 5명에게 연필 (4-k)자루를 나누어 주고, 남은 연필 k자

루를 여학생 6명에게 나누어주는 경우를 모두 더한 것과 같다.

4

4
Ú
k=0

(5H4-k_6Hk)=11H4=1001

다른 풀이



4
Ú
k=0

4
Ú
k=0

(5H4-k_6Hk)=

(8-kC4_5+kC5)

라 놓고 다음과 같이 생각할 수 있다.

1번부터 14번까지의 학생 14명 중에서 청소당번 10명을 뽑을 때,

10명의 번호 중에서 6번째로 작은 수를 n이라 하면 6<n<10이

다. 이때 6번째로 작은 수가 n인 경우의 수는 n-1C5_14-nC4

14C10=

(n-1C5_14-nC4)

       =

(k+5C5_8-kC4)

       =

(6Hk_5H4-k)

10
Ú
n=6

4
Ú
k=0

4
Ú
k=0

33    ①
GUIDE
(1-x€)10과 (1+x)10(1-x)10에서 구한 x10의 계수가 서로 같음을 이

용한다.


(1-x€)10=(x€-1)10=

10Ck_(x€)k(-1)10-k

10
Ú
k=0

에서 x10의 계수는 10C5(-1)ﬁ=-252
한편 (1+x)10(1-x)10에서 x10의 계수는

  yy ㉠

   2. 중복조합과 이항정리    23

((1+x)10에서 xk의 계수)_((1-x)10에서 x10-k의 계수)를 모

두 합한 것이므로

{10Ck_10C10-k_(-1)10-k}

10
Ú
k=0

=

10
Ú
k=0

8_2‡=

k 8Ck=

k 8Ck

  yy ㉢

8
Ú
k=0

8
Ú
k=1

㉡을 또 미분하면

56(x+1)ﬂ=

{k(k-1)8Ck_xk-2}

  yy ㉣

8
Ú
k=0

{10Ck_10Ck_(-1)k}

  yy ㉡

㉣에 x=1을 대입하면

㉠=㉡이므로

(-1)k(10Ck)€=-10C5=-252

10
Ú
k=0

56_2ﬂ=

k(k-1)8Ck=

k(k-1)8Ck

  yy ㉤

8
Ú
k=1

8
Ú
k=0

8
Ú
k=1

한편

8Ck=2°-1

  yy ㉥

㉢, ㉤, ㉥에서

(k-1)(k-2)8Ck

8
Ú
k=1

=

8
Ú
k=1

k(k-1)8Ck-2

k 8Ck+2

8Ck

8
Ú
k=1

8
Ú
k=1

=56_2ﬂ-2_8_2‡+2(2°-1)=211-2

이 값을 ㉠에 대입하면

8
Ú
k=3

(8Ck_k-1C2)=210-1=1023

1등급 NOTE



㉠까지 구한 다음 k=3부터 k=8까지 여섯 개의 값을 더해서 구해도 된다.

34    ③
GUIDE
(x+1)40의 전개식에 x=i='ß-1 을 대입하는 것을 생각한다.


C=40C1+40C5+y+40C37

D=40C3+40C7+y+40C39

라 하고, (x+1)40=

40Ck xk에 x=i를 대입하면

40
Ú
k=0

(좌변)=(1+i)40={(1+i)€}20=220

(우변)=

40Ck i k=A+Ci+Bi €+Di ‹

40
Ú
k=0

          =(A-B)+(C-D)i

A, B, C, D는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에서
A-B=220

참고



A+B=C+D=2‹·을 이용하면
A=238+219, B=238-219, C=D=238임을 알 수 있다.

STEP 3

1등급 뛰어넘기

p. 29~31

02  ⑤

05  63

03  ⑴ 225  ⑵ 198  ⑶ 33

06  210

07  812

01  1430

04  126

08  3

01    1430
GUIDE

35    1023
GUIDE

면 된다.


ACBCC의 원소가 k개 (3<k<8)일 때, k개의 원소를 작은 것부터

크기순으로 나열한 다음 3개의 집합으로 나누고 차례대로 A, B, C라 하

D, E 중 한 명이 가진 연필 개수는 짝수이다.


ACBCC의 원소가 k개 (3<k<8)일 때, k개의 원소를 작은

것부터 크기순으로 나열한 다음 3개의 집합으로 나누어 차례로

A, B, C라 하면 된다.

A, B, C, D, E가 가져간 연필 개수를 차례로 a, b, c, d, e라 하자.

이때 a+b+c+d+e=19이고, a, b, c는 모두 짝수이므로

d+e는 홀수이다. 즉 d, e 중 하나는 홀수, 하나는 짝수이다.

n(A)=a, n(B)=b, n(C)=c일 때, 나누는 경우의 수는

a+b+c=k의 자연수 해의 개수와 같으므로 3Hk-3=k-1C2

1 d 가 짝수일 때

  a=2a', b=2b', c=2c', d=2d ', e=2e'+1이라 하면

a'+b'+c'+d '+e'=9이고, a', b', c', d ', e'은 음이 아닌 정

{(k-1)(k-2)8Ck}

  yy ㉠

수이므로 5H9=13C4=715

2 e가 짝수일 때

  a=2a', b=2b', c=2c', d=2d '+1, e=2e'이라 하면

a'+b'+c'+d '+e'=9이고, a', b', c', d ', e'은 음이 아닌 정

수이므로 5H9=13C4=715

따라서 구하려는 경우의 수는 715+715=1430

이때 구하려는 순서쌍의 개수는

8
Ú
k=3

(8Ck_k-1C2)=;2!;

8
Ú
k=1

8
Ú
k=0

8
Ú
k=0

한편 (x+1)°=

8Ck_xk의 양변을 미분하면

8(x+1)‡=

k 8Ck_xk-1

  yy ㉡

㉡에 x=1을 대입하면

24    정답과 풀이

A+(A-1)+(A-1)=230    4 A=;3!; (230+2)

맨 앞이  1

÷이고,

1

÷,

2

,

02    ⑤
GUIDE

(x+1)30=


30
Ú
k=0

30Ck xk에 x=x를 대입한 것을 이용한다.

x‹=1의 한 허근을 x라 하면 x€+x+1=0

A=30C0+30C3+y+30C30

B=30C1+30C4+y+30C28

C=30C2+30C5+y+30C29
라 하면 A+B+C=230

(x+1)30=

30Ck xk에 x=x를 대입하면

(좌변)=(x+1)30=(x€+2x+1)15=x15=1

(우변)=

30Ck xk=A+Bx+Cx€

30
Ú
k=0

30
Ú
k=0

          =A+Bx+C(-x-1)=A-C+(B-C)x

A, B, C는 실수이고, x는 허수이므로

복소수가 서로 같을 조건에서 A-C=1, B=C
A+B+C=230에 대입하면

03    ⑴ 225  ⑵ 198  ⑶ 33
GUIDE
a=2m¡_3n¡, b=2m™_3n™, c=2m£_3n£으로 놓을 수 있다.


a_b_c=2›_3›이므로 a, b, c에서 소인수는 2, 3 외에 다른 것

즉 a=2m¡_3n¡, b=2m™_3n™, c=2m£_3n£으로 놓으면 지수는 모

은 없다.

두 음이 아닌 정수이다.

⑴ a=2m¡_3n¡, b=2m™_3n™, c=2m£_3n£이라 하자. 이때

m¡+m™+m£=4, n¡+n™+n£=4인 음이 아닌 정수해의 개

수와 같으므로 구하려는 경우의 수는

3H4_3H4=6C2_6C2=225

⑵ 세 자연수 a, b, c에 대하여 a_b_c=2›_3›이므로

  a=b=c인 경우는 없다.

  a=b+c인 경우의 수는

로 3_3=9

2m¡+m£=4, 2n¡+n£=4인 음이 아닌 정수해의 개수이므

두 수가 같은 경우의 수는 9_3=27

  따라서 세 수 모두 다른 경우의 수는 225-27=198

⑶   세 수가 모두 다른 자연수일 때, 세 수를 크기순으로 x<y<z

라 하면 a, b, c가 되는 것은

04    126
GUIDE

➊   마지막에 오는 수는 왼쪽에 그 수에 해당하는 빈칸이 있고, 맨앞의 1

오른쪽에는 빈칸이 1개 붙어 있다고 생각한다.

➋   양 끝을 제외한 자리에서는 그 수에 해당하는 빈칸이 왼쪽과 오른쪽에

있다고 생각한다.

➌ 마지막에 오는 수에 따라 경우를 나눈다.


1 마지막에 1이 올 경우

4

4

4

맨 앞이  1

÷이고,

,

3

,

2

,

1  중에

1 ÷이 맨 마지

막에 오도록 나열한다. 그런데 이 경우는 25칸이 필요하므로

조건에 어긋난다.

2 마지막에 2가 올 경우

맨 앞이  1

÷이고,

1

÷,

3

,

마지막에 오도록 나열한다. 이때는 24칸이 되므로 이렇게 나

,

2 ÷ 중에

2 ÷가 맨

열하는 경우의 수는 3!=6

3 마지막에 3이 올 경우

,

3  중에

3  이 맨 마지막에 오도록 나열한다. 이때 23칸이

필요하므로 한 칸이 남는데, 다음과 같이 생각하면
∨

∨

∨

∨

∨

  A

B

C

D

E

(단,  A  는  1

÷,  E  는

3 )

   B ,  C ,  D  를 나열하는 것과 표시한 부분에 빈칸을 넣는 경

우의 수와 같다.

  즉 3!_5C1=30

4 마지막에 4가 올 경우

  맨 앞이  1

이고,

1

÷,

2

,

3

,

4  중에

4  가 맨 마지막에 오도록 나열하면 두 칸이 남는

데, 다음과 같이 생각하면

  A

∨

∨

∨

∨

∨

E

D

C

B

(단,  A  는  1

,  E  는

4 )

B ,  C ,  D  를 나열하는 것과 표시한 부분에 중복을 허락하

여 2개를 골라 빈칸을 넣는 경우의 수와 같다.

  즉 3!_5H2=90

a+b=c, c=a+b인 경우도 마찬가지이므로 세 수 중 어느

1~4에서 구하려는 경우의 수는 6+30+90=126

  (x, y, z), (x, z, y), (y, x, z), (y, z, x), (z, x, y), (z, y, x)

kCr=rCr+r+1Cr+y+nCr=n+1Cr+1을 이용해

의 6가지이다.

  따라서 a<b<c인 경우의 수는 198/6=33

k›=24

kC4+36

kC3+14

kC2+

kC1을 정리한다.

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

05    63
GUIDE

n
Ú
k=r

n
Ú
k=1



   2. 중복조합과 이항정리    25

k›=24

kC4+36

kC3+14

kC2+

kC1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

이때

kC4=4C4+5C4+y+nC4=n+1C5

n
Ú
k=1

07    812
GUIDE

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

kC3=3C3+4C3+y+nC3=n+1C4

kC2=2C2+3C2+y+nC2=n+1C3

kC1=n+1C2

k›=24 n+1C5+36 n+1C4+14 n+1C3+n+1C2

=

n(n+1)(n-1)(n-2)(n-3)
5

+

3n(n+1)(n-1)(n-2)
2

+

7n(n+1)(n-1)
3

를 잡아 보자.

1 n=2m일 때

+

n(n+1)
2

=

n(n+1)
30

(6n‹+9n€+n-1)

=;3¡0; n(n+1)(2n+1)(3n€+3n-1)

4 f(n)=3n€+3n-1

이때 f '(n)=6n+3이므로 f '(10)=63

06    210
GUIDE
➊ 어떤 경우에 1가 3개가 되는지 확인한다.
➋ 앞면을  H , 뒷면을  T 로 나타내면  T  bd  H 일 때 1가 생긴다.


문제의 예시는 다음과 같다.

H T H H T T T H H

1     1                 1

이때 H 묶음의 맨 앞을 1로 나타낼 수 있음을 추정할 수 있고,

이 추정은 조건에 맞다.

즉 H   묶음이 3개 있으면 된다. H 묶음을 H , T 묶음을 T

로 나타내면 다음과 같이 H   사이에 T 가 있어야 하고, 양 끝의

H 바깥쪽에 T 는 있어도 되고 없어도 된다.

T H T H T H T
a b c d e f g

라 하면 a, g는 음이 아닌 정수이고, b, c, d, e, f 는 자연수이다.

a+b+c+d+e+f+g=9에서

b-1=b', c-1=c', d-1=d ', e-1=e', f-1=f '이라 하면

a+b'+c'+d '+e'+f '+g=4의 음이 아닌 정수해의 개수를

구하면 된다.

즉 구하려는 경우의 수는 7H4=10C4=210

26    정답과 풀이

➊    원주 위의 세 점을 택해 생긴 삼각형의 각 내

P™

P¡

P n

  각 크기는 ;nπ; 의 배수이다.
➋   한 점 P¡을 둔각으로 하는 둔각삼각형은 P¡에

P£
…

대한 원주(그림에서 호 P£Pn-1의 큰 부분)가

P n-1
…

전체 원주 길이의 절반보다 크다는 것을 생각한다. 원주 위의 세 꼭짓

점을 택할 때 반복해서 생기는 둔각삼각형은 없다.



원주 위의 한 점을 A¡이라 하고 3A¡이 둔각이 되는 두 점 P, Q

  세 내각 3A¡, 3P, 3Q는 모두 p
2m

의 배수이므로

  3A¡=

, 3P=

, 3Q=

라 하면

xp
2m

yp
2m

zp
2m

x+y+z=2m이고, x>m이어야 한다.

x-m=x'이라 하면 x'+y+z=m인 자연수 해의 개수와

3A¡이 둔각인 둔각삼각형의 개수가 서로 같다. 즉 3A¡이

둔각인 둔각삼각형의 개수는

3Hm-3=m-1C2=

(m-1)(m-2)
2

(m-1)(m-2)
2

2 n=2m-1일 때

4 f(m)=2m_

=m(m-1)(m-2)

p
2m-1

yp
2m-1

  3A¡, 3P, 3Q는 모두

의 배수이므로

  3A¡=

xp
2m-1

, 3P=

, 3Q=

zp
2m-1

라 하면

x+y+z=2m-1이고, x>m이어야 한다.

x-(m-1)=x'이라 하면 x'+y+z=m인 자연수 해의 개

수와 3A¡이 둔각인 둔각삼각형의 개수가 서로 같다. 즉

3A¡이 둔각인 둔각삼각형의 개수는

3Hm-3=m-1C2=

(m-1)(m-2)
2

4 g(m)=

(2m-1)(m-1)(m-2)
2

따라서 f(8)+g(9)=336+476=812

참고

예를 들어 원에 내접하는 정십이각형을

A¡

A¡™

생각해 보자. 이때 한 변에 대한 중심각

A™

A¡¡

각의 크기는 ;1∏2; 이다.
이와 같이 생각하면 원둘레를 n등분하

는 점 n개 중에서 3개를 택하여 삼각형

을 만들면 각 내각의 크기는  ;nπ; 의 배수가 된다.

이때 각 묶음에 포함된 앞, 뒷면 개수를 차례로 a, b, c, d, e, f, g

의 크기가 ;6π; 이므로 한 변에 대한 원주

A£

p
;6;

p
12

08    3
GUIDE

원소가 4개인 집합에서

1   가장 작은 원소가 1인 집합의 개수는 1을 뽑고 1을 제외한 원소 13개

2   가장 작은 원소가 2인 집합의 개수는 2를 뽑고, 1, 2를 제외한 원소 12

중 3개를 뽑는 경우의 수는 13C3

개 중 3개를 뽑는 경우의 수 12C3

3   가장 작은 원소가 k인 집합의 개수는 k를 뽑고 1, 2, y, k를 제외한

원소 (14-k) 중 3개를 뽑는 경우의 수 14-kC3  (단, 1<k<11)



a=14C4이고, 이 14C4개의 집합 중에서 가장 작은 원소가

k (1<k<11)인 집합의 개수는 k+1, k+2, y, 14에서 원소 3

개를 뽑는 경우의 수와 같다.

즉 가장 작은 원소가 k인 집합의 개수는 14-kC3이고, 이때 가장 작

11
Ú
k=1

11
Ú
k=1

11
Ú
k=1

은 원소의 합은

k 14-kC3이다.

11
Ú
k=1

k 14-kC3=

(k-15+15)14-kC3

                  =15

14-kC3-

(15-k)14-kC3

11
Ú
k=1

이때

14-kC3=3C3+4C3+y+13C3=14C4

11
Ú
k=1

11
Ú
k=1

(15-k)14-kC3

=4

15-kC4

11
Ú
k=1

=

11
Ú
k=1

(15-k)(14-k)(13-k)(12-k)
6

=4(4C4+5C4+y+14C4)=4_15C5

4 m¡+m™+y+ma=15_14C4-4_15C5

                                  =15_14C4-4_;;¡5∞;;_14C4

                                  =3_14C4

따라서

m¡+m™+y+ma
a

=

3_14C4
14C4

=3

3

확률의 뜻과 활용

STEP 1

1등급 준비하기

p. 34~35

01  ③

05  ③

09  63

13  ③

02  ⑤

06  20

10  3

03  16

07  ②

11  ⑤

04  26

08  ④

12  ③

01    ③
GUIDE
3의 배수가 나오는 사건을 A라 하면 AC={1, 2, 4, 5}이므로 AC의 부분

집합은 사건 A의 배반사건이다.


3의 배수가 나오는 사건을 A라 하면 A={3, 6}

전사건이 {1, 2, 3, 4, 5, 6}이므로 A와 배반사건을 B라 하면 가
능한 집합 B의 개수는 26-2=24=16

02    ⑤
GUIDE
ㄴ. AD(BCC)=0인지 확인한다.

ㄷ. P(A-B)=P(A)-P(ADB)임을 이용한다.


ㄱ. P(ACB)=P(A)+P(B)-P(ADB)에서

P(ADB)=0이므로 P(ACB)=P(A)+P(B) ( ◯ )

ㄴ. AD(BCC)=(ADB)C(ADC)=0C0=0

즉 A와 (BCC)도 배반사건이다. ( ◯ )

ㄷ. ABB이면 ADB=B이므로

   P(A-B)=P(A)-P(ADB)=P(A)-P(B) ( ◯ )

03    16
GUIDE

칸을 기준으로 생각한다.


◯가 표시되는 칸은 4개이므로

구하려는 확률 p=;9$;

  4 36p=16

칸을 기준으로 생각하면 각 칸에 ◯를 표시할 확률은 모두  ;9$; 이고, _를 표

참고



시할 확률은 모두  ;3!; 이다.

04    26
GUIDE

A가 앉는 자리를 고정시켜 놓고 생각한다.


A가 앉을 자리를 정하면 남은 5자리 중 A의 이웃 자리는 2곳,

   3. 확률의 뜻과 활용    27

A와 마주보는 자리는 1곳이므로 p¡=;5@;, p™=;5!;

다른 풀이



즉 ;5@;-;5!;=;bA;에서 a=5, b=1이므로 a€+b€=26

05    ③
GUIDE

약수이므로 4개다.


572=2€_11_13에서 약수는 모두 12개이고, 이중 홀수는 11_13의

572의 약수 12개 중 홀수가 4개이므로 짝수는 8개다.

(짝수+짝수), (홀수+홀수)일 때 두 수의 합이 짝수가 되므로
구하려는 확률은  8C2+4C2

=

28+6
66

=;3!3&;

12C2

구역 관리자가 남은 4자리에 남자 승객 2명과 여자 승객 2명을 배정한다

A구역에 들어갈 2명을 고르는데 둘 다 남자일 확률
p= 2C2
4C2

  4 120p=20

=;6!;

06    20
GUIDE

고 생각한다.


07    ②
GUIDE

A, B, C 3명인 경우에서 생각해 보자. 악수가 1번 있었다고 할 때 A, B

가 악수했을 확률은 3개 중 1개를 고르는 확률과 같다.


10명이 악수를 한 번씩 하는 모든 경우의 수는 10C2=45

이중 실제로 일어난 악수 횟수는 20이므로

A, B가 악수했을 확률은  ;4@5);=;9$;

08    ④
GUIDE

의 수를 구한다.


A, B를 다른 조에 배치한 다음 남은 4명을 2명씩 각 조에 배치하는 경우

6명을 3명씩 두 조로 나누는 경우의 수는

6C3_3C3_

=10

1
2!

경우의 수는 4C2_2C2=6

따라서 구하려는 확률은 ;1§0;=;5#;

이때 A, B를 다른 조에 넣고 남은 4명을 2명씩 각 조에 배치하는

B, C, D, E, F 중에서 A와 같은 조가 되는 사람은 2명이므로
B가 A와 같은 조가 될 확률은  4C1
5C2

=;5@;

따라서 A, B가 다른 조에 배치될 확률은 1-;5@;=;5#;
※ 조별 인원이 같을 때 이 풀이 방법이 쉽다.

09    72
GUIDE

흰 구슬 3개, 검은 구슬 1개, 빨간 구슬 1개를 써서 처음 5개를 나열한다.


구슬 10개를 일렬로 나열하는 전체 경우의 수는  10!
6!2!2!

=1260

이때 좌우 대칭이 되려면 처음에 나열하는 5개를 흰 구슬 3개, 검

은 구슬 1개, 빨간 구슬 1개로 나열한 다음 나머지 구슬 5개를 처

음과 대칭이 되도록 나열하면 된다.

이때 경우의 수는

5!
3!1!1!

=20

따라서 구하려는 확률은 ;12@6)0;=;6¡3;

10    3
GUIDE

tan h=m이라 하고, x€-mx+;4!;=0의 판별식을 이용한다.


tan h=m이라 하자.

y=x€+;4!; 과 y=mx가 만나려면 이차방정식 x€-mx+;4!;=0

의 실근이 존재해야 하므로 D=m€-1>0에서 |m|>1

즉 |tan  h|>1에서 ;4π;<h<;4#; p

따라서 구하려는 확률은

=;2!; 이므로 p+q=3

;4#; p-;4π;
p

11    ⑤
GUIDE
3POQ=3POA-3QOA임을 생각한다.


그림처럼 두 점 P, Q가 시초선 OA와

이루는 각의 크기를 각각 x, y라 하면

3POQ=|x-y|이므로 3POQ가

B

예각이면 |x-y|<;2π;

P

Q

x y

O

A

참고



A, B를 이미 각 조에 배치했으므로 두 조는 구별된다.

4 y<x+;2π;,  y>x-;2π; (0<x<p, 0<y<p)

28    정답과 풀이

따라서 구하려는 확률은

p-p-2_;2!;_;2π;_-;2π;
p_p

=;4#;

y

p

p
;2;

O

p
;2;

p

x

12    ③
GUIDE
색깔이 같은 양말이 나오는 사건을 A라 하면 AC은 뽑은 양말 3개 모두

색깔이 다른 사건이다.


(색깔이 같은 양말이 나온다)=(3개 모두 다른 색은 아니다.)이

므로 여사건은 뽑은 양말 3개 모두 색깔이 다른 사건이다.

따라서 구하려는 확률은
1- 4C1_6C1_6C1

16C3

=1-;5!6$0$;=;3@5^;

13    ③
GUIDE
c가 이웃하는 사건을 A, o가 이웃하는 사건을 B라 하면 AC과 BC이 함

께 일어나야 하므로 구하려는 확률은
P(ACDBC)=P((ACB)C)=1-P(ACB)


알파벳 9개 중에서 c, o가 각각 2개, h, l, a, t, e가 각각 1개씩 있

다. 두 번 쓰인 c, o를 c¡, c™, o¡, o™라 하고, c가 이웃하는 사건을

8!_2
9!

=;9@;

8!_2
9!

=;9@;

A, o가 이웃하는 사건을 B라 하자.

c¡, c™가 이웃할 확률, 즉 P(A)=

o¡, o™가 이웃할 확률, 즉 P(B)=

c¡, c™도 이웃하고, o¡, o™도 이웃할 확률, 즉

P(ADB)=

7!_2_2
9!

=;1¡8;

4 P((ACB)C)=1-P(ACB)

                       =1-;9@;-;9@;+;1¡8;=;1!8!;

다른 풀이



03  19

07  131

11  ③

15  90

19  ④

23  9

p. 36~41

04  ②

08  13

12  31

20  ②

16  ⑴ 32  ⑵ 24

24  ⑴ 85  ⑵ 42

STEP 2

1등급 굳히기

02  13

06  53

10  38

14  ③

18  ④

22  ③

26  8

01  ②

05  ⑤

09  35

13  ②

17  ⑤

21  37

25  33

01    ②
GUIDE

11, 12, 13, y, 20이 적힌 카드 중에서 11번 카드가 맨 먼저 뽑히면 된다.


자연수 n이 적힌 카드를 n번 카드라 하자.

11보다 더 큰 수가 적힌 카드를 11번 카드보다 먼저 뽑으면 11번

카드는 버려진다. 즉 11번 카드가 배열에 남아 있으려면 11, 12,

13, y, 20이 적힌 카드 중에서 11번 카드가 가장 먼저 뽑히면 된다.

따라서 구하려는 확률은  ;1¡0;

02    13
GUIDE

10개의 자리 중 3곳에 당첨 제비를 배열할 때, 특정 자리에 당첨 제비가

놓일 확률은 자리에 상관없이  ;1£0; 이다.


열 명이 제비를 뽑고, 뽑은 순서대로 일렬로 나열한다고 생각하

자. 이때 구하려는 확률은 세 번째 제비가 당첨 제비일 확률과 같

다. 10개의 자리 중 3곳에 당첨 제비를 배열할 때, 특정 자리에 당

첨 제비가 놓일 확률은 자리에 상관없이 ;1£0; 이다.

따라서 C가 당첨될 확률도 ;1£0; 이므로 a+b=13

•A당첨, B당첨일 때: {;1£0;_;9@;}_;8!;=;72^0;

•A당첨, B낙첨일 때: {;1£0;_;9&;}_;8@;=;7¢2™0;

                       =1-P(A)-P(B)+P(ADB)

다른 풀이



c, h, o, c, o, l, a, t, e를 나열하는 전체 경우의 수는  9!

2!2!

•A낙첨, B당첨일 때: {;1¶0;_;9#;}_;8@;=;7¢2™0;

이때 c가 이웃하는 경우의 수는  8!
2!

이고, o가 이웃하는 경우의

•A낙첨, B낙첨일 때: {;1¶0;_;9^;}_;8#;=;7!2@0^;

수도  8!
2!

, 또 c도 이웃하고, o도 이웃하는 경우의 수는 7!

따라서 C가 당첨될 확률은  6+42+42+126

720

=;1£0;

포함과 배제의 원리에서 구하려는 확률은

1-

-7!

8!
2!

+

8!
2!
9!
2!2!

=1-

4+4-1
18

=;1!8!;

※   c가 3개 이상인 경우에는 c가 2개 이웃하는 경우, c가 3개 이웃하는

경우, y를 모두 생각해야 하므로 이 방법으로 풀기 어렵다.

03    19
GUIDE

인지 생각해본다.


B가 던져 나온 특정 수에 대하여 A, B 각각이 이기는 경우가 몇 가지씩

   3. 확률의 뜻과 활용    29

변형 주사위에 적힌 수를 a, b, c, d, e,  f 라 하자.

남은 2, 3, 4에서 2와 4가 이웃하면 안 되므로 6 맞은편에 3을 놓

B가 던진 주사위에서 a의 눈이 나왔을 때

는다. 이때 2, 4를 배열하는 경우의 수는 2!

A가 이기는 경우는 (6-a)가지,

B가 이기는 경우는 (a-1)가지, 비기는 경우는 1가지

b, c, d, e,  f 의 눈이 나왔을 때도 마찬가지로 생각하면

A가 이기는 경우의 수는

36-(a+b+c+d+e+f )=14

B가 이기는 경우의 수는 (a+b+c+d+e+f )-6=16

즉 pB=;3!6^;, pA=;3!6$; 이므로 pB-pA=;1¡8;

따라서 m+n=18+1=19

04    ②
GUIDE

가 된다.


수는 3‹=27

짝수가 2개 나왔을 때는 그 중 하나가 4가 되어야 세 수의 곱이 8의 배수

짝수가 3번 나오면 세 수의 곱은 항상 8의 배수이고, 이때 경우의

   9(가지)

∫120p=53

07    131
GUIDE

따라서 구하려는 확률은  2_2
5!

=;3¡0;

06    53
GUIDE

가상의 존재 E가 있다고 생각한다.


투명인간 E가 있다고 생각하면 완전순열 문제가 된다.

1 A, B, C, D, E가 모두 완전순열일 때 44(가지)

2 E만 이틀 연속 같은 자리에 앉고 다른 4명은 완전순열일 때

따라서 구하려는 확률 p=

44+9
5!

=;1∞2£0;

짝수가 2번 나오면 짝수 중 적어도 하나는 4가 되어야 세 수의 곱

똑같은 사탕을 서로 다르다고 생각하고, 사탕을 정의역, 세 사람이 공역

이 8의 배수다. 이때 경우의 수는

인 함수에서 공역과 치역이 같은 함수의 개수를 구한다.


홀수가 나오는 순서를 결정하는 3가지 경우, 홀수를 결정하는 3

똑같은 사탕이지만 확률 문제이므로 서로 다른 사탕 C¡, C™, C£,

가지 경우, 두 짝수 중 4가 적어도 한 번 나오는 3€-2€=5(가지)

C¢, C∞라 생각해 보자.

경우가 있으므로 3_3_5=45

따라서 구하려는 확률은  27+45

=;3!;

6‹

참고



짝수가 2번 나올 경우이고, 만약 홀수가 1이면 (1, 2, 4), (1, 4, 4), (1, 4, 6)

세 가지가 조건에 맞다. 각 순서쌍에서 경우의 수는 3!+

+3!=15

3!
2!

이고, 홀수가 3, 5일 때도 마찬가지로 생각하면 3_15=45

다른 풀이



(짝수 3번)+(홀수 1번, 짝수 2번 중 4 포함)

={;2!;}

‹+3_;2!; [{;2!;}

€-{;3!;}

€

]=;8!;+;2#;_;3∞6;=;3!;

05    ⑤
GUIDE

2, 4, 6은 서로 이웃하면 안 되고, 3과 6도 서로 이웃하지 않도록 한다.


원순열이므로 6을 고정시키면 전체 경우의 수는 5!

2, 4, 6은 서로 이웃하면 안 되고, 3, 6도 서로 이웃하지 않아야

하므로 6의 양옆에는 1, 5가 와야 한다.

이때 1, 5를 배열하는 경우의 수는 2!

30    정답과 풀이

사탕을 A, B, C에게 나눠주는 것은

X={C¡, C™, C£, C¢, C∞}, Y={A, B, C}라 할 때 X에서 Y로

의 함수와 같다.

이때 모든 함수의 개수는 3ﬁ=243

세 사람 각각 적어도 하나의 사탕을 받는 것은 치역과 공역이 같

은 함수이므로 그 개수는 3ﬁ-3_2ﬁ+3=150

따라서 구하려는 확률은  ;2!4%3);=;8%1);=;bA;

4 a+b=50+81=131

1등급 NOTE

이 문제를 중복조합으로 생각하여  3H2
3H5

=;2§1;=;7@; 로 풀면 안 된다.

그 이유는 서로 다른 사탕이라 생각하면 A, B, C 세 사람이 받는 사탕 개수가

  (5, 0, 0)일 때 ⇨ 1가지

  (2, 2, 1)일 때 ⇨ 30가지

즉 위와 같이 두 경우는 기대되는 정도가 다르기 때문에 근원사건의 개수

로 확률을 구할 수 없으므로 중복조합으로 풀면 안 된다.

08    13
GUIDE

f 는 일대일함수이고, g는 치역과 공역이 같은 함수이다.


f 는 일대일함수이므로 함수의 개수는 4P3=24

개 중 임의로 세 개를 골라 크기순으로 배열한 것이 abc와 일치

g는 치역과 공역이 같으므로 함수의 개수는 2›-2=14

하면 된다.

이때 다음과 같이 합성함수 g@ f 의 치역이 Z이 아닌 경우를 생

비밀번호를 세 번까지 입력할 수 있으므로 돈을 찾을 수 없는 확률

각해 보자.

f

g

f

g

X

1
2
3

Y
1
2
3
4

Z

0
1

X

1
2
3

Y
1
2
3
4

Z

0
1

은  ;3#5$;_;3#4#;_;3@3@;=;3#5@; 이다.

따라서 구하려는 확률은 1-;3#5@;=;3£5; 이므로 p+q=38

집합 Y의 원소 중  f 의 치역이 아닌 원소 a가 반드시 하나 존재

하는데, 위 예시처럼 a가 아닌 모든 Y의 원소 x에 대해

g(x)+g(a)이면 g(Y)의 치역은 Z, g(Y-{a})의 치역은

Z-{g(a)}가 되어 g@f 의 치역은 Z가 아니다.

11    ③
GUIDE

4=2€, 16=2›, 64=2ﬂ, 256=2°, y처럼 3으로 나눈 나머지가 1인 수는
22m (m은 자연수) 꼴이다.


즉 Y의 원소 중 적당한 a에 대해  f：X bd Y-{a}는 일대일

2a_2b_2c=2a+b+c를 3으로 나눈 나머지가 1이 될 필요충분조

대응이고, 함수 g는 a+x이면 g(a)+g(x)라야 한다.

건은 (a+b+c)가 짝수이다. 이런 경우는

각각의   f 에 대해 함수 g는 g(a)=0 또는 g(a)=1, 두 가지가

(짝, 짝, 짝), (짝, 홀, 홀), (홀, 짝, 홀), (홀, 홀, 짝)일 때이므로

있으므로 g@f 의 치역이 Z가 아닌 경우의 수는 24_2

구하려는 확률은

따라서 구하려는 확률은 1-

24_2
24_14

=;7^;이므로

1_2_1+1_1_2+2_2_2+2_1_1
3‹

=;2!7$;

순서쌍 (a, b, c, d )에 대해 a<b<c<d 인 순서쌍의 개수는 다

➋   P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)를 이용해 풀 수도 있

p+q=7+6=13

1등급 NOTE

풀이의 설명을 ‘외톨이’로 생각하면 이해

f

g

하기 쉽다. 즉 그림처럼  f 의 치역에서 외

톨이가 된 Y의 원소가 g에서도 외톨이가

되면 문제에서 주어진 사건의 여사건이

된다.

X

1
2
3

Y
1
2
3
4

Z

0
1

09    35
GUIDE

a<b=c<d 일 때와 a<b<c<d 일 때로 나눈다.


음과 같다.

1 a<b=c<d 일 때 6C3

2 a<b<c<d 일 때 6C4
이때 p= 6C3+6C4

6›

이므로 6›_p=6C3+6C4=35

주사위를 던져 나온 결과가 (1, 2, 3, 5)인 경우와 (1, 1, 1, 1)인 경우 모

두 확률은

로 같으므로 위 풀이처럼 경우의 수로 풀어도 상관없다.

참고



1
6›

10    38
GUIDE

12    31
GUIDE

시킨다.


여섯 번째와 일곱 번째에 뽑는 공이 모두 검은 공이면 P(X<5)를 만족

뽑은 순서대로 공 7개를 나열했을 때, 6번째와 7번째에 있는 공

이 모두 검은 공이면 문제의 조건을 만족시킨다.
따라서 구하려는 확률은  5C2
7C2

=;2!1);

  4 p+q=31

1등급 NOTE



➊ 같은 색 공이라 해도 모두 다르다고 생각한다.

지만 위 풀이처럼 생각하면 더 간단하다.

참고



X=2인 경우는 1가지이고 이때 확률은  ;7@;_;6!;=;2¡1; 이다.

X=5인 경우는 4가지이고, 각각에서 확률은  ;2¡1; 이다.

13    ②
GUIDE

이용한다.


세 카드에 적힌 수를 작은 것부터 a, b, c라 하면 a+1<b, b+1<c임을

입력할 수 있는 숫자는 모두 몇 개인지 생각해 보자.


비밀번호가 abc7(a<b<c<7) 꼴이므로 0부터 6까지의 정수 7

이때 c'=c-2로 놓으면 b'<c'에서  1<a<b'<c'<8

세 카드에 적힌 수를 작은 것부터 a, b, c라 하면

a+1<b, b+1<c이어야 한다.

b-1=b'이라 하면 b=b'+1이므로 b'+2<c

   3. 확률의 뜻과 활용    31

p™+p£+p¢+p∞=;2!;(p™+p£+y+pª)=;2!; ( ◯ )

  확률은 ;5#;, 이때 남은 카드는 ♠ 2장, ♥ 2장이므로 두 번째 사

ㄱ.  p£은 선택된 수 3개 중에서 3보다 작은 수가 1개이고, 3보다

  세 조로 나누는 경우의 수가 6C2_4C2_

=15이므로

1
3!

이므로 (a, b, c)의 순서쌍 개수는 8C3=56
따라서 구하려는 확률은  8C3
10C3

=;1∞2§0;=;1¶5;

14    ③
GUIDE
pk= k-1C1_10-kC1


10C3

임을 이용한다.

큰 수가 1개일 때의 확률이므로
p£= 2C1_7C1

=;1¡2¢0;=;6¶0; ( ◯ )

10C3

ㄴ. p¢= 3C1_6C1

, p§= 5C1_4C1

10C3

10C3

이므로 p¢+p§ ( _ )

ㄷ.  1부터 10까지의 자연수 10개 중에서 3개를 뽑을 때, 두 번째

로 작은 수로는 2부터 9까지의 수만 올 수 있으므로

9
Ú
k=2

pk=p™+p£+y+pª=1

이때 pk= k-1C1_10-kC1

=

10C3

(k-1)(10-k)
120

이므로

   pk=p11-k (k=2, 3, 4, 5)이다.

즉 p™=pª, p£=p•, p¢=p¶, p∞=p§이므로

참고



pk=

(k-1)(10-k)
120

에 k 대신 (11-k)를 대입하면

p11-k=

(10-k)(k-1)
120

이므로 pk=p11-k

15    90
GUIDE

주어진 상황이 모두 같으므로 임의로 두 팀을 뽑았을 때, 특정 두 팀이 포

함될 확률과 특정 두 팀이 결승에 진출할 확률이 서로 같다.


일곱 팀의 실력이 모두 같고, 대진표도 결정되지 않았으므로 주

어진 상황은 일곱 팀 모두 동일하다. 즉 모든 팀에 대해 결승 진출

확률은 같으므로 일곱 팀 중에서 임의로 결승에 진출하는 두 팀

을 뽑는 것으로 생각할 수 있다. 즉
p¡= 5C2
7C2

=;2!1);,  p™= 2C2
7C2

=;2¡1;

  4 210(p¡-p™)=90

⑴  각각의 조는 (1, 2), (2, 3), (3, 1) 꼴이어야 한다. 이때 같은 번호끼리

16    ⑴ 32  ⑵ 24
GUIDE

구분해 본다.

⑵ 각각의 조는 (♠, ♥)가 되어야 한다.


32    정답과 풀이

⑴ 6장의 카드를 1', 1", 2', 2", 3', 3"이라 하자.

카드 6장을 세 조로 나눌 때 같은 번호가 없으려면 각각의 조

는 (1, 2), (2, 3), (3, 1) 꼴이어야 한다.

2와 같은 조가 되는 1과, 3과 같은 조가 되는 1은 구별되므로

(1, 2), (2, 3), (3, 1)에서 1 대신 1', 1"를 택하는 경우는 2가

지, 2 대신 2', 2"을 택하고, 3 대신 3', 3"을 택하는 경우도 마

찬가지이다. 이때 2가지 중 하나를 각각 선택하면 나머지는

따라서 결정된다.

  구하려는 확률 p¡=

2_2_2
15

=;1•5;

  4 60p¡=32

⑵   카드 6장을 세 조로 나눌 때, 각각의 조는 (♠, ♥)가 되어야

한다. ♠와 ♥를 짝짓는 경우의 수는 A={1, 2, 3}일 때 A에

서 A로의 일대일함수의 개수와 같으므로 3!=6

  따라서 구하려는 확률 p™=;1§5;=;5@;

  4 60p™=24

다른 풀이



⑵ A가 처음 뽑은 카드와 두 번째 뽑은 카드의 무늬가 서로 다를

  람 B에 대해 처음 뽑은 카드와 두 번째 뽑은 카드의 무늬가 서

  로 다를 확률은 ;3@;

  이때 세 번째 사람 C는 항상 무늬가 다른 카드 2장을 받게 되

  므로 구하려는 확률은  ;5#;_;3@;=;5@;

17    ⑤
GUIDE

공을 정의역, 상자를 공역이라 생각해서 함수의 개수를 구하는 모델로 바

꿔 조건에 맞는 경우를 만들어 보자.


공에 1부터 10까지 번호가 붙어 있다고 생각하자.

공을 상자에 넣는 것은 X={1, 2, y, 10}에서
Y={A, B, C, D, E, F}의 함수와 같고, 함수 전체의 개수는 610

이때 A, B, C에 공이 4개 들어가는 경우는 공 10개 중에서 4개

를 뽑아 Y¡={A, B, C}에 대응시키고, 남은 공 6개를

Y™={D, E, F}에 대응시키는 함수와 같다.

이런 함수의 개수는 10C4_3›_3ﬂ
따라서 구하려는 확률은  10C4_3›_3ﬂ

= 10C4

210  =;5!1)2%;

610

1등급 NOTE



다음과 같이 생각하면 틀린 풀이가 된다.

A, B, C, D, E, F에 들어가는 공 개수를 각각 a, b, c, d, e,  f 라 하면
a+b+c=4, d+e+f=6이 되어야 하므로 확률은  3H4_3H6

6H10

이 풀이는 서로 다른 공이라는 점을 생각하지 않은 잘못된 풀이이다. 확

률에서 가장 기본이 되는 전제 조건인 ‘근원사건의 기대되는 정도가 같

다.’는 사실에 어긋나기 때문이다. 예를 들어 A, B, C 세 상자에 서로 다

른 공 4개를 넣을 때, 들어간 공 개수가 (1, 1, 2)인 사건과 (0, 0, 4)인 사

건은 기대되는 정도가 다르므로 이것을 각각 한 가지의 근원사건으로 생

각해서 풀면 안 된다.

색깔 변화가 짝수 번 생기면 양 끝에 놓이는 바둑돌 색깔이 서로 같음을

18    ④
GUIDE

이용한다.


다음과 같은 경우이다.

따라서 구하려는 확률은 ;3£6ª0;=;1¡2£0;

다른 풀이



1이 한 개 뽑힐 확률은  3C1_3C3

=;5!;

1이 두 개 뽑힐 확률은  3C2_3C2

=;5#; 이고

1이 세 개 뽑힐 확률은  3C3_3C1

=;5!;

6C4

6C4

6C4

1이 한 개 뽑혔을 때 조건에 맞을 확률은  1
4!

=;2¡4;

1이 두 개 뽑혔을 때 조건에 맞을 확률은  2!
4!

=;2™4;

1이 세 개 뽑혔을 때 조건에 맞을 확률은  3!
4!

=;2§4;

따라서 구하려는 확률은

;5!;_;2¡4;+;5#;_;2™4;+;5!;_;2§4;=;1¡2£0;

즉 색깔 변화가 짝수 번 생기면 양 끝의 바둑돌 색깔이 같다. 이때

(1, 1, 4, 5), (1, 1, 1, 2), (1, 1, 1, 4), (1, 1, 1, 5)로 7가지이므로 구하려

색깔 변화 두 번

색깔 변화 네 번

색깔 변화 여섯 번

색깔 변화 여덟 번

양 끝에 놓이는 바둑돌이
1 둘 다 검은색일 확률은  6C2
10C2

=;4!5%;

2 둘 다 흰색일 확률은  4C2
10C2

=;4§5;

따라서 구하려는 확률은  15+6

=;1¶5;

45

19    ④
GUIDE

1이 적힌 공 3개를 서로 다르다고 생각해 보자.


공 6개에 적힌 수를 1', 1", 1'", 2, 4, 5라 하자. 이때 공 4개를 뽑

아 일렬로 나열하는 경우의 수는 6P4=360이고, 이중에서

a<b<c<d 인 경우는 다음과 같다.

1 1이 하나 뽑힐 때

(1을 뽑는 경우)_(2, 4, 5 중 두 개 뽑는 경우)

2 1이 두 개 뽑힐 때

  _(배열하는 경우)

  =3C2_3C2_2!=18

3 1이 세 개 뽑힐 때

  _(배열하는 경우)

  =3C3_3C1_3!=18

(1을 뽑는 경우)_(2, 4, 5 중 한 개 뽑는 경우)

1등급 NOTE



6개 중 4개를 나열하는 경우의 수는 4!+3C2_

+3C1_

4!
2!

4!
3!

=72

조건을 만족시키는 (a, b, c, d )는 (1, 2, 4, 5), (1, 1, 2, 4), (1, 1, 2, 5),

는 확률은 ;7¶2;
이렇게 풀면 잘못이다. 그 까닭은 근원사건으로 간주한 (1, 2, 4, 5),

(1, 1, 2, 4)가 기대되는 정도가 다르기 때문이다. (다른 풀이 참고)

따라서 확률 문제에서는 같은 것도 다르게 생각하여 근원사건이 기대되

는 정도를 같게 만드는 것이 필요하다.

20    ②
GUIDE

➊   정육각형과 같은 간단한 경우에서 생각해 보면 세 점을 택해 만들어진

삼각형이 예각삼각형일 때 삼각형의 내부에 외심이 포함된다.

➋   변 6개에 대한 원주각의 크기는 90^보다 크고 변 5개에 대한 원주각의

크기는 90^보다 작음을 이용해 어느 한 꼭짓점을 포함하는 예각삼각

(직각삼각형은 외심을 포함한다.)

형 개수를 구한다.



에 외심이 포함된다.

P¡을 포함하는 예각삼각형 개수는 1+2+3+4+5=15

마찬가지로 P™, P£, y, P¡¡을 포함하는 예각삼각형도 각각 15개

이고, 하나의 예각삼각형은 이때 3번 중복해서 헤아려졌으므로

예각삼각형 개수는  11_15

=55

3

따라서 구하려는 확률은  55
11C3

=;3!;



   3. 확률의 뜻과 활용    33

(1을 뽑는 경우)_(배열하는 경우)=3C1_1=3

세 점을 택해 만들어진 삼각형이 예각삼각형일 때 삼각형의 내부

16p-4p
25p

=;2!5@;

  4 p+q=25+12=37

24    ⑴ 85  ⑵ 42
GUIDE

23    ③
GUIDE

PB’<PC’<PA’일 확률을 계산한다.


1ABC에서 변 BC의 중점을 D라 하

A

고, 점 D를 지나 변 BC에 수직인 직

선 l이 변 AC와 만나는 점을 E라 하

자. 또 점 E를 지나 변 AC에 수직인

직선 m이 변 BC와 만나는 점을 F라

24

B

하자.

l m

40

E

F

D

32

C

이때 점 P가 l 위에 있으면  PB’=PC’이므로  PB’<PC’이려면 점

P는 직선 l의 왼쪽에 있어야 한다. 마찬가지로  PC’<PA’이려면

점 P는 직선 m의 오른쪽에 있어야 한다. 즉 조건을 만족시키는

점 P는 그림에서 색칠한 부분인 1DEF의 내부에 위치해야 한다.

DE’=;2!;AB’=12, 1DEF61BCA에서 DF’=9

4 1DEF=;2!;_12_9=54

따라서 구하려는 확률은

1DEF
1ABC

=;3∞8¢4;=;6ª4;

1등급 NOTE

1ABC와 1FDE의 닮음비가 32：12=8：3이므로 두 삼각형의 넓이

비는 64：9임을 이용해도 된다.

⑴ 여사건은 뽑은 세 수 모두 3의 배수가 아닐 때이다.

⑵ 세 수 각각을 3으로 나눈 나머지가 모두 같거나 모두 달라야 한다.


⑴ 여사건은 뽑은 세 수 모두 3의 배수가 아닐 때이다.

  즉, 3, 6, 9를 제외한 나머지 수 7개 중 3개를 뽑는 경우이다.
  따라서 구하려는 확률 p¡=1- 7C3
10C3

=;1•2∞0;

  4 120p¡=85

⑵  세 수의 합이 3의 배수이려면 세 수 각각을 3으로 나눈 나머지

가 모두 같거나 모두 달라야 한다.
  1 셋 다 같을 확률은  4C3+3C3+3C3

  2 셋 다 다를 확률은  4C1_3C1_3C1

10C3

10C3

=;12^0;

=;1£2§0;

6+36
120

=;1¢2™0;

  따라서 구하려는 확률은 p™=

  4 120p™=42

참고



P2

P3

P4

P2

P3

P4

P1

P11

P1

P11

P1

P11

P10

P2

P10

P2

P9

P3

P8

P4

P9

P3

P8

P4

P10

P9

P8

P7

P5 P6
[5가지]

P1

P11

P7

P5 P6
[4가지]

P1

P11

P7

P5 P6
[3가지]



P10

P2

P9

P3

P8

P4

P10

P9

P8

P7

P5 P6
[2가지]

P7

P5 P6
[1가지]

21    37
GUIDE

원 C£이 원 C¡, C™와 만나는 경우를 생각한다.


원 C£이 원 C¡과 만나려면  OP’>4

원 C£이 원 C™와 만나려면  OP’<2

원 C£이 원 C¡, C™와 만나지 않으려

면 점 P가 그림의 색칠한 영역에 있

으면 된다. 즉 2<OP’<4

따라서 구하려는 확률은

C™

O

C£

2

P

4

C£

P

22    ③
GUIDE

;2#;<b<;2%; 이다.


a를 반올림하면 1이므로  ;2!;<a<;2#; 이고 b를 반올림하면 2이므로

;2!;<a<;2#;,  ;2#;<b<;2%;

  yy ㉠

㉠에서 a+b를 반올림해서 3이 되는 경우는

;2%;<a+b<;2&; 일 때이다.

즉 -a+;2%;<b

  yy ㉡

b<-a+;2&;

  yy ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 좌표평면에 나타내

면 그림과 같으므로 구하려는 확

B

;2&;

;2%;

;2#;

률은

1-;4!;
1_1

=;4#;

34    정답과 풀이

O

1

;2!;

;2#;

;2%;

;2&;

A

25    33
GUIDE

확률을 구한다.


자동차 B에 탔던 두 사람 각각에 대하여 원래 앉았던 자리에 다시 앉는

처음에 자동차 B에 탔던 운전자를 제외한 두 명을 C, D라 하자.

[그림 1]에서 경계선은 큰 정사각형 내부의 모든 선분이므로

이때 휴게소에서 새로 자리를 앉으면서 C가 원래 앉았던 자리에

앉을 확률은 ;5!;, D가 원래 앉았던 자리에 앉을 확률도 ;5!; 이다.

그런데 C, D 모두 원래 앉았던 자리에 앉을 확률은

;5!;_;4!;=;2¡0; 이므로

구하려는 확률은 1-;5!;-;5!;+;2¡0;=;2!0#;

p¡=

90+90
100C2

=

180
100C2



p™=

3(1+2+y+9)
100C2

=

135
100C2

4 p¡-p™=

180-135
100C2

=;11!0;

[그림 2]에서 경계선은 큰 정삼각형 내부의 모든 선분이므로

1등급 NOTE



P(ACDBC)=P{(ACB)C}=1-P(ACB)
                   =1-P(A)-P(B)+P(ADB)

풀이는 위 내용을 이용한 것이다.
이와 같이 P(ACDBC)이 복잡하면 P(ACB)를 생각해 보자.

02    ①
GUIDE

26    8
GUIDE

240=2›_3_5이므로, 240과 서로소라면 소인수 2, 3, 5를 가지면 안

된다. 즉 2의 배수도, 3의 배수도, 5의 배수도 아닐 확률을 구하면 된다.


240 이하의 자연수 중 하나의 수를 골랐을 때 n의 배수일 사건을

An, n의 배수일 확률을 pn이라 하면,
p=P(A™CDA£CDA∞C)
   =P{(A™CA£CA∞)C}

   =1-P(A™CA£CA∞)

   =1-{;2!;+;3!;+;5!;-;6!;-;1¡0;-;1¡5;+;3¡0;}

   =

30-(15+10+6-5-3-2+1)
30

=;3•0;

따라서 30p=8

참고



03    ③
GUIDE

A에서 세 번 이동했을 때 이동 거리가 1이 아닌 경우를 찾는다.


그림과 같이 각 꼭짓점을 구분해 보면 문제의

이동 규칙은 색점에서는 반드시 빈점으로, 빈

점에서는 반드시 색점으로 이동하는 것과 같

음을 알 수 있다. 즉 A에서 출발하여 세 번

이동하면 반드시 색점에 도착하게 된다.

D

H
H

A

E

C

G

B
B

F

이중에서 A와의 거리가 1이 아닌 점은 G뿐이다.

세 번의 이동으로 G까지 이동할 확률은

3!
1!1!1!

‹

_{;3!;}

=;9@;

이므로 구하려는 확률은 1-;9@;=;9&;

   =1-(p™+p£+p∞-p§-p¡º-p¡∞+p£º)

빈점 → 색점 → 빈점 → 색점이므로 점 A에서 세 번 이동하면 그림의 색

점인 B, D, E, G 중 한 점에 도착하게 된다.

푸른색 정육면체 2개가 들어가는 열이 반드시 하나 있다.


㉡방향을 행, ㉠방향을 열이라 하자.

㉠

4개의 열에 푸른색 정육면체 5개가 들

어가야 하므로 어느 한 열에는 푸른색

정육면체 2개가 들어가야 한다.

㉡

STEP 3

1등급 뛰어넘기

01  ②

05  20

02  ①

06  24

p. 42~43

이 열을 선택하는 경우의 수는 4C1=4

03  ③

04  63

이 열에서 푸른색 정육면체가 2개가 들어갈 행을 선택하는 경우

01    ②
GUIDE
간단한 경우에서 생각해 보자. 이때 두 정사각형이 경

경계를 이웃하는 경우는 ①②, ①④, ②③, y, ⑧⑨,

즉 12개다. 이것은 색으로 표시한 선분의 개수와 같다.

즉 두 도형이 경계를 공유하는 경우의 수와 두 도형의

경계선의 개수가 서로 같음을 이용한다.


①

④

⑦

③②

⑥⑤

⑨⑧

의 수는  3C2=3이고, 이 열에서 푸른색 정육면체가 들어가지 않

은 하나의 행에 푸른색 정육면체가 들어가면 ㉡ 방향에서 모든 면

이 푸른색으로 보인다.

나머지 세 열에서 푸른색 정육면체가 들어가지 않은 하나의 행에

적어도 하나 들어가야 하므로 남은 세 열에 푸른색 정육면체를

배열하는 경우의 수는 3‹-2‹=19

따라서 구하려는 확률은  4_3_19

=

12C5

228
12C5

   3. 확률의 뜻과 활용    35

참고



제1열이 푸른색 정육면체 2개가 들어가는 열이라 하자. 제1열에서 제1행

과 제3행에 푸른색 정육면체를 배열하면 남은 세 열에서 푸른색 정육면

체를 배열하는 경우의 수는 3‹이지만 이때 제1행과 제3행만 선택하는 경

우는 제외해야 한다.

05    20
GUIDE
➊ x24=(x4)6=(x6)4임을 생각한다.
➋ 두 방정식 x4=1, xﬂ=1의 해집합에서 교집합을 생각한다.


x24=(x4)6이므로 x4=1의 해는 항상 x24=1의 해가 된다.
x6=1의 해도 마찬가지로 항상 x24=1의 해가 된다.
즉 x24=1의 해 24개 중에는 x4=1의 해 4개, x6=1의 해 6개가
있다. 그런데 x4=(x2)2, x6=(x2)3이므로 x2=1의 해는 항상
x4=1과 x6=1의 해가 된다. 거꾸로 생각하면 x›=1, xﬂ=1을

S

A B

x€=1

1
x› }=1이다.

동시에 만족시킬 때 x€=xﬂ_{
즉 두 방정식 x4=1과 x6=1의 해집합의
교집합은 x2=1의 해집합과 같다.
두 방정식 x4=1, x6=1의 해가 되는 사건
을 각각 A, B라 하고, x24=1의 해가 되는

사건을 S라 하면

p는 P(ACB)와 같다. (벤 다이어그램 참고)

P(ACB)=P(A)+P(B)-P(ADB)

                =;2¢4;+;2§4;-;2™4;=;2•4;=;3!;

즉 p=;3!; 이므로 60p=20

06    24
GUIDE
1ABC=1PAB+1PBC+1PCA이고, 한 변의 길이가 a인 정삼각
형의 높이가  '3 a
2


임을 이용한다.

1ABC=1PBC+1PCA+1PAB에서

'3 a€
4

=;2!; ah¡+;2!; ah™+;2!; ah£

즉 h¡+h™+h£= '3 a
2

이고,  '3 a
2

는 1ABC의 높이다. 이때

h¡, h™, h£을 세 변의 길이로 하는 삼각형이 존재하려면
h¡<h™+h£= '3 a
2

  4 h¡< '3 a
4

-h¡

마찬가지로 h™< '3 a
4

, h£< '3 a
4



한 변의 길이가  ;2A; 인 정삼각형의 높이가

'3 a
4

이므로 조건을 만족시키는 점 P가

a
2

'3
4

a

부분과 같다.

따라서 구하려는 확률 p=;4!;

4 96p=24

04    63
GUIDE

배수가 되는 경우가 있다.


1+7+2=10처럼 이미 누른 1, 7, 4 중 두 수를 포함해서 10의 배수가

되는 경우가 있고, 8+7+5=20처럼 1, 7, 4 중 한 수만 포함해서 10의

합이 10의 배수가 되는 세 수가 있을 때, 이미 누른 1, 7, 4 중 몇

개를 포함하느냐에 따라 분류해보자.

1 1, 7, 4 중 두 개를 포함할 경우

1+7=8, 7+4=11, 1+4=5이므로 나머지 두 수 중에서 2,

9, 5 중 적어도 하나를 포함하면 되므로 경우의 수는

  10€-7€=51

2 1, 7, 4 중 하나를 포함할 경우

나머지 두 수의 합이 9, 19, 3, 13, 6, 16 중 하나면 되고, 이러

한 경우의 수는 각각 10, 0, 4, 6, 7, 3이다.

  이때 경우의 수는 10+4+6+7+3=30

1, 2를 모두 만족시키는 경우는 2, 9, 5 중 적어도 하나를 포함

해서 두 수의 합이 9, 3, 13, 6, 16이 될 때이다.

이 경우의 수는 18

1일 때의 확률은 ;1∞0¡0;

2일 때의 확률은 ;1£0º0;

p=;1∞0¡0;+;1£0º0;-;1¡0•0;=;1§0£0;

따라서 100p=63

1등급 NOTE

1, 2에서 중복되는 경우의 확률은 ;1¡0•0; 이므로

다음과 같이 표에서 색칠한 부분 (2, 5, 9 중 하나를 포함하는 경우)과 ◯

로 나타낸 부분(두 수의 합이 9, 3, 13, 6, 16 중 하나가 되는 경우)이 중

복하는 경우가 1, 2를 모두 만족시키는 경우의 수와 같다.

10

2 3 4 5 6 7 89

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

36    정답과 풀이

존재할 수 있는 영역을 그림처럼 1ABC에서 생각하면 색칠한

4

조건부확률

STEP 1

1등급 준비하기

01  ①

02  ④

05  ㄱ, ㄴ, ㄷ

06  ②

09  ⑤

10  60

03  ②

07  15

11  5

04  ④

08  120

12  ①

01    ①
GUIDE
두 사건 A, B가 배반이면 그림과 같은

벤 다이어그램을 그려 놓고 생각할 수 있다. 이때
주어진 조건을 이용해 P(BC)을 구한다.


두 사건 A, B가 배반이므로 ADB=z
즉 AABC에서 ACBC=BC, ADBC=A이므로

P(A)=;3!;, P(BC)=;6%;

4 P(A|BC)=

P(ADBC)
P(BC)

=

P(A)
P(BC)

=;5@;

P(BDC)=P(B)P(C|B)=0.004

P(C)=P(ADC)+P(BDC)=0.022

p. 46 ~47

이때 불량품이 A에서 만든 제품일 확률은

P(A|C)=

P(ADC)
P(C)

=

0.018
0.022

=;1ª1;

S
A

B

두 번째로 꺼낸 공이 흰 공일 때, 처음에 꺼낸 공이 흰 공인 경우와 검은

04    ④
GUIDE

공인 경우로 나누어 생각한다.


1 처음 공도 흰 공, 두 번째 공도 흰 공일 확률은

a
a+b

_

a+2
a+b+2

=

a(a+2)
(a+b)(a+b+2)

  yy ㉠

2 처음 공은 검은 공, 두 번째 공은 흰 공일 확률은

b
a+b

_

a
a+b+2

=

ab
(a+b)(a+b+2)

  yy ㉡

이때 구하려는 확률은

㉠
㉠+㉡

=

a(a+2)
a(a+2)+ab

=

a+2
a+b+2

02    ④
GUIDE

조건이 발생했다.


휴대폰을 잃어버릴 확률이 아니라 이미 잃어버렸으므로 잃어버렸다는

05    ㄱ, ㄴ, ㄷ
GUIDE

세 집 A, B, C에서 휴대폰을 잃어버릴 사건을 각각

A, B, C라 하고, 누군가의 집에서 휴대폰을 잃어버릴 확률을

P(X)라 하면 P(X)=P(A)+P(B)+P(C)이다.

휴대폰을 잃을 확률이 ;4!; 이므로

P(A)=;4!;,  P(B)=;4#;_;4!;,  P(C)=;4#;_;4#;_;4!;

이때 P(X)=;4!;+;1£6;+;6ª4;=;6#4&; 이고,

C집에서 휴대폰을 잃어버렸을 확률은

두 사건 A, B가 독립이면 P(ADB)=P(A)P(B)


ㄱ. 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(B|AC)=P(B)
이때 P(ACDB)=P(AC)P(B|AC)=P(AC)P(B)
따라서 두 사건 AC과 B는 서로 독립이다.  ( ◯ )

ㄴ. 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(ADB)=P(A)P(B)

   4 {1-P(A)}{1-P(B)}

=1-{P(A)+P(B)-P(ADB)}

=1-P(ACB)  ( ◯ )

ㄷ. 두 사건 A, B가 서로 독립이면

P(C|X)=

P(XDC)
P(X)

=

P(C)
P(A)+P(B)+P(C)

=;3ª7;

P(A)=P(A|B), P(B)=P(B|A)이므로

   P(ADB)=P(A)P(B)=P(A|B)P(B|A)  ( ◯ )

조립라인 A, B에서 만든 제품인 사건을 각각 A, B, 불량품인 사건을 C

A, B가 같은 조이므로 남은 네 명을 2명씩 2개 조로 나누는 경우를 생각

06    ②
GUIDE

한다.


03    ②
GUIDE

라 하면 구하려는 것은 P(A|C)이고, 조건에서 P(C|A)=0.03,

P(C|B)=0.01임을 이용한다.


한 제품이 A, B에서 만든 것인 사건을 각각 A, B, 불량품인 사

건을 C라 하면

P(A)=0.6, P(C|A)=0.03이므로

P(ADC)=P(A)P(C|A)=0.018

또 P(B)=0.4, P(C|B)=0.01이므로

6명을 2명씩 짝지어 3개 조로 편성하는 경우의 수가 15이고, A,

B가 같은 조로 편성되는 경우가 3가지이므로 A, B가 같은 조에

편성될 확률은 ;5!; 이다. 이때 A, B가 같은 조이면 남은 C, D, E,

F를 2명씩 2개조로 나누는 경우는

① (C, D), (E, F)  ② (C, E), (D, F)  ③ (C, F), (D, E)

   4. 조건부확률    37

이때 C와 D가 서로 다른 조에 편성될 확률은 ;3@;

따라서 구하려는 확률은 ;5!;_;3@;=;1™5;

07    15
GUIDE

그 확률을 구해 보자.


문제에서 주어진 조건과 같은 예를 생각해 보자. 예를 들어 처음에 꺼낸

두 공에 적힌 수가 1, 3이고, 두 번째로 꺼낸 두 공에 적힌 수가 4, 4일 때

수 있다.

첫 번째로 뽑은 두 구슬의 수가 서로 다를 확률은 ;5$; 이고,

두 번째로 뽑은 두 구슬에 적힌 수가 같으려면 처음에 A, B에서

뽑은 두 수와 달라야 하므로 가능한 수는 3가지뿐이다.

즉 구하려는 확률 p=;5$; {;4#;_;4!;}=;2£0; 이므로 100p=15

참고



(첫 번째로 뽑은 두 수가 서로 다를 확률)

=1-(서로 같은 수를 뽑을 확률)

=1-

5
5_5

=;5$;

다른 풀이



적힌 수가 서로 다를 확률과 같다.

따라서 구하려는 확률은 ;5!; {1-;4!;}=;2£0;

비복원추출이므로 뽑는 순서를 바꾸어 생각할 수 있다. 즉 첫 번

째로 꺼낸 두 구슬에 적힌 수가 서로 같고, 두 번째로 꺼낸 구슬에

p(k)라 하면 p(k)={

‹

k
6 }

P(ADB)=P(A)P(B)에서

n
2n+310

=

n+180
2n+310

_

n+100
2n+310

n€+30n-18000=0, (n+150)(n-120)=0

4 n=120 (5 n은 자연수)

다른 풀이



두 사건 A, B가 독립이므로 n(n+30)=180_100을 이용할

09    ⑤
GUIDE

된다.


구하려는 확률은

최댓값이 5가 되려면 6은 나오지 않아야 하고, 5는 적어도 한 번 나오면

6이 나오지 않는 사건을 A, 5가 나오지 않는 사건을 B라 하면

P(ADBC)=P(A)-P(ADB)={;6%;}

‹-{;6$;}

‹=;2§1¡6;

다른 풀이



주사위를 3번 던져 나온 눈의 최댓값이 k 이하일 확률을

(최댓값이 5일 확률)=p(5)-p(4)={;6%;}

‹-{;6$;}

‹=;2§1¡6;

참고



일반적으로 P(A-B)+P(A)-P(B)이지만

BAA일 때는 P(A-B)=P(A)-P(B)

어느 두 팀이 5번 모두 이기고 5번 모두 진 경우의 확률을 생각해 본다.


6팀을 A, B, C, D, E, F라 하고, A, B 두 팀이 치르는 9경기에

서 A가 5번 모두 이기고 B가 5번 모두 졌다고 하자.

이때 9번의 경기에서 A는 전승, B가 전패일 확률은 {;2!;}

다섯 번 모두 이기고 지는 팀이 각각 B, A일 때도 확률은 {;2!;}

마찬가지로 다섯 번 모두 이기고 지는 팀을 모든 경우에서 생각

·

·

하면

p=6P2_{;2!;}

·

  ∫ 210 p=2_6P2=60

08    120
GUIDE

전체 학생 수에서 P(A), P(B), P(ADB)를 구해

P(ADB)=P(A)P(B)임을 이용한다.


남학생일 사건이 A, 안경 낀 학생일 사건이 B이므로 각 경우에

해당하는 학생 수는 다음과 같다.

10    60
GUIDE

A

n

180

AC

100

계

n+100

n+30

n+210

n+180

n+130

2n+310

B

BC

계

위 표에서 전체 학생 수는 (2n+310)이므로

P(A)=

n+180
2n+310

,  P(B)=

n+100
2n+310



P(ADB)=

n
2n+310



두 사건 A, B가 서로 독립이므로

38    정답과 풀이

01    95
GUIDE

11    5
GUIDE

건이 한 번 일어나면 된다.


y좌표가 3이므로 총 3번 던졌음을 알 수 있다. 이때 두 주사위의 눈의 합

이 4 이하인 사건이 두 번 일어나고, 두 주사위의 눈의 합이 5 이상인 사

➊ 검사 결과가 양성이라는 조건이 있으므로 조건부확률을 생각한다.
➋ P(B)=P(BDA)+P(BDAC)

점 P의 처음 위치가 O(0, 0)이고, ㈎에서, 주사위를 한 번 던질

때마다 y좌표가 +1만큼 이동하므로 점 P가 (3, 3)에 오게 되는

정이 잘못된 사람’으로 나눌 수 있다.



경우는 주사위를 3번 던졌을 때이다.

검사를 받은 사람이 병에 걸려 있을 사건을 A, 검사 결과가 양성

=P(B|A)P(A)+P(B|AC)P(AC)

➌   검사 결과 양성 판정을 받은 사람은 ‘실제 병에 걸린 사람’과 ‘검사 판

주사위 두 개를 던져 두 눈의 합이 4 이하일 확률은 ;3§6;=;6!; 이고,

두 눈의 합이 5 이상이 될 확률은 1-;6!;=;6%; 이다.

2+2-1=3이므로 주사위 두 개를 3번 던질 때, 두 눈의 합이 4

이하인 경우가 2번, 두 눈의 합이 5 이상인 경우가 1번 나타나면

점 (3, 3)에 도착한다.

이때의 확률 p=3C2 {;6!;}

€ {;6%;}

⁄=3_;3¡6;_;6%;=;7∞2; 이므로

72p=5

12    ①
GUIDE

확률은 P(ADB)=P(A)P(B)


주사위를 던져 나온 눈의 수가 k일 확률은 ;6!; 이고,

동전 6개를 던져 앞면이 k개 나올 확률은 6Ck {;2!;}

ﬂ이므로

구하려는 확률은

;6!;_

6
Ú
k=1

6Ck {;2!;}

ﬂ=

1
6_2ﬂ

6
Ú
k=0

{

6Ck-1}

  =

1
6_2ﬂ

(2ﬂ-1)

  =;1™2¡8;

주사위를 던져 나온 눈의 수가 k일 사건을 A, 동전 6개를 던져 앞면이 나

온 개수가 k일 사건을 B라 하면 두 사건 A, B는 독립이므로 구하려는

가현 나현 다현

STEP 2

1등급 굳히기

p. 48~54

01  95

05  ④

08  ②

12  ①

16  ②

20  644

23  47

27  ②

02  20

03  ④

06  ⑴ 16  ⑵ 49  ⑶ 9

09  ①, ③

13  11

17  63

24  36

28  ④

21  ⑴ 11  ⑵ 59

10  ③

14  ⑤

18  ①

25  ③

29  ⑴ 20  ⑵ 50

04  ③

07  ①

11  15

15  64

19  411

22  28

26  ⑤

03    ④
GUIDE

1등급이다.


=

P(B|A)P(A)
P(B|A)P(A)+P(B|AC)P(AC)

=

0.95_0.005
0.95_0.005+0.01_0.995

=;2ª9∞4;=p

인 사건을 B라 하자.

P(A|B)=

P(ADB)
P(B)

따라서 294p=95

02    20
GUIDE

다현이가 당첨제비를 뽑았다는 전제가 있으므로 나현이가 당첨제비를

뽑는 확률을 구해 조건부확률을 이용한다.


각 경우에서 확률은 다음과 같다. (이때 ◯는 당첨, _는 낙첨)

◯

◯

_

_

◯

_

◯

_

◯

◯

◯

◯

;1£0;_;9@;_;8!;=;72^0;

  yy ㉠

;1£0;_;9&;_;8@;=;7¢2™0;

  yy ㉡

;1¶0;_;9#;_;8@;=;7¢2™0;

  yy ㉢

;1¶0;_;9^;_;8#;=;7!2@0^;

  yy ㉣

따라서 구하려는 확률은

㉠+㉢
㉠+㉡+㉢+㉣

=

6+42
6+42+42+126

=;9@;

4 90p=20

1등급 NOTE

비복원추출의 제비뽑기에서 뽑는 순서와 당첨 확률은 상관없음을 이용

해 보자. 문제 상황을 바꾸어 제비를 뽑는 순서는 가현, 나현, 다현 순이

지만 뽑은 제비를 공개하는 것은 다현, 나현, 가현 순이라 하면 다현이가

당첨제비를 뽑았을 때, 남은 제비 9개 중에서 나현이가 당첨될 확률은 ;9@;
가 된다.

{(300, 300, 300), (300, 250, 250)}이면 한 묶음은 1등급이고, 다른 묶

음은 2등급이지만, {(300, 300, 250), (300, 300, 250)}이면 두 묶음 다

   4. 조건부확률    39

사과 6개를 3개씩 2묶음으로 만들 때 나누는 경우의 수는

두 학생 A, B가 서로 다른 구역의 좌석을 배정받을 때, 두 학생

이때 {(300, 300, 300), (300, 250, 250)}으로 나누는 경우의

{(300, 300, 250), (300, 300, 250)}으로 나누는 경우의 수는

6C3_3C3_

=10

1
2!

수는 4C3=4

4C2_2C1_

1
2!

=6

P(UDT)=;5#;_;3!;_;3!;=;1¡5;

4 P(U|T)=

P(UDT)
P(T)

=;9!;

1등급 NOTE



C, D가 ㈏ 구역의 2열 좌석을 배정받아야 하므로

임의로 선택한 하나의 묶음이 1등급일 사건을 A, 또 다른 묶음이

1등급일 사건을 B라 하면 P(A)는

조건부확률이라 해서 기계적으로 P(A|B)=

라 생각할 수 있

P(ADB)
P(B)

지만 풀이처럼 사건 B가 일어난 상황으로 문제의 조건을 다시 설정하고,

{(300, 300, 300), (300, 250, 250)}에서 1등급을 선택하는 경

그때 사건 A가 일어날 확률을 구하는 것을 생각해 보자.

우와 {(300, 300, 250),(300, 300, 250)}에서 1등급을 선택하

는 경우가 있으므로

P(A)=;1¢0;_;2!;+;1§0;_;2@;=;5$;

이때 P(ADB)는 {(300, 300, 250), (300, 300, 250)}인 묶음

에서 생각할 수 있으므로 P(ADB)=;1§0;=;5#;

구하려는 확률은 P(B|A)=

P(ADB)
P(A)

=

=;4#;

;5#;

;5$;

05    ④
GUIDE

➊   영화 A를 관람한 사람인 사건을 A, 영화 B를 관람한 사람인 사건을

B, 여학생일 사건을 C라 하면 구하려는 확률은 P(C|ADB)이다.

➋ n(ADB)=n(A)+n(B)-n(ACB)=150+180-300=30

  n(ADBDC)=n(ADC)+n(BDC)-n(C)

                     =45+72-100=17



학생들 중에서 한 명을 임의로 뽑을 때,

참고



영화 A를 관람한 사람인 사건을 A, 영화 B를 관람한 사람인 사

‘하나의 묶음이 1등급으로 분류되었을 때’를 ‘임의로 선택한 하나의 묶음

건을 B, 여학생일 사건을 C라 하면

이 1등급일 때’로 생각해서 풀면 오해의 소지가 줄어드는 문제이다.

P(ADB)=

150+180-300
300

=;1¡0;

P(ADBDC)=

45+72-100
300

=;3¡0¶0;

4 P(C|ADB)=

P(CDADB)
P(ADB)

=

;3¡0¶0;

;1¡0;

=;3!0&;

04    ③
GUIDE

확률임을 생각한다.


주어진 조건을 사건으로 정리해보고 구하려는 것이 P(A|B) 꼴 조건부

두 학생 A, B가 서로 다른 구역의 좌석을 배정받았으므로 남은

좌석은 ㈎ 구역에 1개, ㈏ 구역에 2개다.

두 학생 C, D가 같은 구역, 같은 열의 좌석을 배정받으려면 A, B

에게 배정된 ㈏ 구역의 좌석은 1열에 있어야 하고, 이때의 확률은

06    ⑴ 16  ⑵ 49  ⑶ 9
GUIDE

;3!;이다. 즉 ㈎ 구역에 1개, ㈏ 구역 같은 열에 2개의 좌석이 남아

⑴ AA, AO, OA일 때 A형이 되고, 조건부확률을 생각한다.

⑵  부모 모두 AA인 경우, 부모 중 한쪽만 AA인 경우, 두 부모 모두

있을 확률은 ;3!;이다.

이 상태에서 C, D가 모두 ㈏ 구역에 배정받으면 문제의 조건을

만족시키므로 구하려는 확률은 ;3!;_ 2C2
3C2

=;9!;

다른 풀이



두 학생 A, B가 서로 다른 구역의 좌석을 배정받는 사건을 T, 두

학생 C, D가 같은 구역, 같은 열의 좌석을 배정받는 사건을 U라

하자. 이때
P(T)= 2C1_3C1

5C2

=;5#;

40    정답과 풀이

AO 또는 OA인 경우를 생각한다.

⑶ 두 부모 모두 AO 또는 OA이다.


주어진 표에서 혈액형을 나타내면 다음과 같다.

A

B

C

A

B

O

A(16 %)

AB(12 %)

A(12 %)

AB(12 %)

B(9 %)

B(9 %)

A(12 %)

B(9 %)

O(9 %)

⑴ 선택한 A형의 혈액형 유전자가 AA일 확률

  p¡=

16
16+12+12

=;4!0^;에서 40p¡=16

⑵ 1 부모가 모두 AA인 경우

참고

  ⑴에서 확률은 ;5@;_;5@;=;2¢5; 이고, 자녀는 항상 AA

  2 부모 중 한 명이 AO(또는 OA), 다른 한 명이 AA인 경우,

  확률은 2_;5#;_;5@; 이고, 이때 자녀 혈액형은 항상 A이고,

  유전자가 AA일 확률은 ;2!;

  3 부모가 모두 AO(또는 OA)인 경우,

  확률은 ;5#;_;5#;=;2ª5; 이고, 이때 자녀 혈액형이 A형일 확

AAB인 경우는 다음과 같이 생각할 수 있다.

(검, 흰, 흰), (흰, 검, 흰), (흰, 흰, 흰)

이때 확률은  ;3!;_1_;3!;+;3@;_;2!;_;3!;+;3@;_;2!;_;3!;=1_;3!;=;3!;
나머지 경우에서도 마찬가지이다.

1등급 NOTE

동전 던지기에 상관없이 A주머니에서 흰 공이 나올 확률은 항상 ;3@; 이고,

B주머니에서 흰 공이 나올 확률은 항상 ;3!; 이다.
즉 흰 공 a개, 검은 공 b개가 든 주머니에서 n번째에 꺼낸 공이 흰 공일

  률은 ;4#;, 혈액형 유전자가 AA일 확률은 ;4!;

확률은 항상

이다. (1<n<a+b)

a
a+b

    4 p™=

;2¢5;_1+;2!5@;_;2!;+;2ª5;_;4!;

;2¢5;_1+;2!5@;_1+;2ª5;_;4#;

=;9$1(;

따라서 세 번째 시행에서 A주머니를 택할 때 흰 공이 나올 확률은 ;3@; 이고,

B주머니를 택할 때 흰 공이 나올 확률은 ;3!;이므로 구하려는 확률은

⑶ 부모가 모두 AO(또는 OA)이어야 하고, 자녀 혈액형이 O형

  따라서 91p™=49

  일 확률이 ;4!; 이므로

;2!;_;3!;
;2!;_;3@;+;2!;_;3!;

=;3!;

  p£=;5#;_;5#;_;4!;=;10(0;

  4 100p£=9

07    ①
GUIDE

선택되는 주머니를 기준으로 생각하면 세 번째로 흰 공이 나왔을 때 A주

머니에서 나온 것일 수도 있고 B주머니에서 나온 것일 수도 있다.


세 번째 시행에서 흰 공이 나올 확률은 다음과 같다.

주머니

세 번째에 A에서 흰 공

세 번째에 B에서 흰 공

AAA

;3@;_;2!;_1+;3!;_;2@;_1=;3@;

ABA

;3@;_1_;2!;+;3!;_1_1=;3@;

AAB

ABB

BAB

BBA

BBB

0

0

0

0

1_1_;3@;=;3@;

0

0

0

0

1_1_;3!;=;3!;

1_;3@;_;2!;=;3!;

;3@;_1_;2!;=;3!;

;3@;_;2!;_1=;3!;

이때 구하려는 확률은

;8!; {;3!;+;3!;+;3!;+;3!;}

=;3!;

;8!; {;3@;+;3@;+;3@;+;3@;+;3!;+;3!;+;3!;+;3!;}

08    ②
GUIDE
두 사건 A, B가 독립 ⇨ P(A|B)=P(A), P(A|BC)=P(A)


ㄱ. P(A|BC)=

=0에서 P(ADBC)=0

P(ADBC)
P(BC)
  4 ADB=A

이므로 AAB

   P(A)=P(ADB)=P(A|B)P(B) ( ◯ )

ㄴ. A, B가 독립이면 P(A|B)=P(A)이고,
   P(A|BC)=P(A)이므로
   P(A|B)+P(A|BC)=2P(A) ( ◯ )
ㄷ. A, B가 독립이면 P(A|B)+P(A|BC)=2P(A)이지만

2P(A)=1이라 할 수 없다. ( _ )

09    ①, ③
GUIDE

이용한다.

➋ 반례를 생각해 보자.


① P(ACDBC)=1-P(ACB)

                   =1-P(A)-P(B)+P(ADB)

                   =1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)

                   ={1-P(A)}{1-P(B)}
                   =P(AC)P(BC)

  즉 두 사건 AC, BC는 독립이다. ( ◯ )

   4. 조건부확률    41

BAA

1_;3@;_;2!;+1_;3!;_;2@;=;3@;

➊   공사건도 아니고 전사건도 아닌 두 사건 A, B, 즉 P(A)+0, P(B)+0

일 때 A, B가 독립일 필요충분조건은 P(ADB)=P(A)P(B)임을

②  P(ADB)=P(A)P(B)+0이므로 두 사건 A, B는 배반사

건이 아니다. ( _ )

③  P(ADB)=0이므로 P(ADB)+P(A)P(B), 즉 두 사건

A, B는 종속이다. ( ◯ )

다음과 같은 경우를 생각해 보자.

11    15
GUIDE
두 사건 A, B가 독립이면 A, BC도 독립이고, AC, B도 독립임을 이용한

다. 이때 P(A)=x, P(B)=y로 놓고 방정식을 푼다.


두 사건 A, B가 독립이면 A, BC도 독립이고, AC, B도 독립이

S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A={1, 2, 3, 4}, B={1, 2, 5, 6},

C={1, 4, 7, 8}이면

므로 P(A)P(BC)=;5!;, P(AC)P(B)=;1£0; 이다.

P(A)=;2!;, P(B)=;2!;, P(ADB)=;4!;, P(ADC)=;4!;,

P(A)=x, P(B)=y라 하면

P(BDC)=;8!;, P(BCC)=;8&;, P(AD(BCC))=;8#;

x(1-y)=;5!;, (1-x)y=;1£0;

④   위 경우에서 P(BDC)+P(B)P(C)이므로 두 사건 B, C는

종속이다. ( _ )

위 두 식에서 x-y=-;1¡0; 이고,

⑤   위 경우에서 P(AD(BCC))+P(A) P(BCC)이므로 두

이것을 x(1-y)=;5!;에 대입하면  {y-;1¡0;} (1-y)=;5!;

사건 A, BCC는 종속이다. ( _ )

이 식을 정리하면 (2y-1)(5y-3)=0

방정식을 풀면 x=;1¢0;, y=;1∞0; 또는 x=;1∞0;, y=;1§0;

이때 P(ACB)=x+y-xy이므로

P(ACB)=;1¶0; 또는 P(ACB)=;1•0;

10    ③
GUIDE

인한다.


k=1, y, 5 각각에 대하여 P(ADB)=P(A)P(B)가 성립하는지 확

P(A)=;2!;, P(B)=

k
6

이고 두 사건 A, B가 독립이면

P(ADB)=P(A)P(B)가 성립한다.

k=1일 때 P(ADB)=0이므로 P(ADB)+P(A)P(B)

4 10(a+b)=15

12    ①
GUIDE

k=2일 때 P(ADB)=;6!;이므로 ;6!;=;2!;_;6@;

4 P(ADB)=P(A)P(B)

k=3일 때 P(ADB)=;6!;이므로 ;6!;+;2!;_;6#;

4 P(ADB)+P(A)P(B)

k=4일 때 P(ADB)=;3!; 이므로 ;3!;=;2!;_;6$;

4 P(ADB)=P(A)P(B)

k=5일 때 P(ADB)=;3!; 이므로 ;3!;+;2!;_;6%;

4 P(ADB)+P(A)P(B)

즉 k=2, 4일 때 조건을 만족시키므로 2+4=6

다른 풀이



P(A)=;2!;, P(B)=

이고, P(ADB)=;6!; “

k
6

k
2 ‘

1+2+0+0+0=3, 1+1+1+0+0=3과 같은 경우를 생각할 수 있

(0, 0, 0, 1, 2), (0, 0, 1, 1, 1)의 조합이 가능하다.

다. 이때 순서도 고려한다.


Xn으로 가능한 수는 0, 1, 2이므로

X¡+X™+X£+X¢+X∞=3이려면

1 (0, 0, 0, 1, 2) 꼴인 경우의 확률

  3n 꼴의 수가 나올 확률은 ;3!;

  3n+1 꼴의 수가 나올 확률은 ;3!;

  3n+2 꼴의 수가 나올 확률은 ;3!;

  0, 0, 0, 1, 2의 배열을 생각하면 이때의 확률은

5!
3!

_{;3!;}

‹_;3!;_;3!;=;2™4º3;

2 (0, 0, 1, 1, 1) 꼴인 경우의 확률

(단, [x]는 x보다 크지 않은 가장 큰 정수이다.)

마찬가지 경우이고, 1, 1, 1, 0, 0의 배열을 생각하면 이때의

이므로 두 사건 A, B가 독립이려면 ;2!;_

k
6

=;6!; “

k
2 ‘,

즉  k
2

=“

k
2 ‘에서 k는 짝수이므로

1<k<5에서 k=2, 4

확률은

5!
3!2!

_{;3!;}

€_{;3!;}

‹=;2¡4º3;

1, 2에서 구하려는 확률은 ;2™4º3;+;2¡4º3;=;8!1);

42    정답과 풀이

➊  각 카드에 붙은 스티커 개수 x, y, z 를 각각 3으로 나눈 나머지가 r로

어나지 않고, 6회에서 사건 A가 일어날 확률을 같은 방법으로 생

같다면 x=3a+r, y=3b+r, z=3c+r 꼴이다. 이때 x+y+z 를 생

13    11
GUIDE

각한다.

➋  세 정수의 합이 3의 배수이면 세 정수를 3으로 나눈 나머지는 모두 같

거나 모두 달라야 한다.



세 카드를 X, Y, Z라 하고, 각 카드에 붙은 스티커 개수를 x, y,

z라 하자. 이때 x, y, z를 각각 3으로 나눈 나머지가 r로 같다면

x=3a+r, y=3b+r, z=3c+r 꼴이므로

x+y+z=3(a+b+c)+3r=3(a+b+c+r)

즉 스티커 총 개수는 3의 배수이고, 처음에 6개이므로 사건 A가

일어날 가능성이 있는 경우는 3회와 6회뿐이다.

n회 때 A가 일어나는 사건을 An이라 하면 구하려는 확률은
P(A£CDA§)이다.

3회 후 x, y, z를 각각 3으로 나눈 나머지가 같은 경우는 (x, y, z)

가 (3, 3, 3), (1, 4, 4), (2, 2, 5)일 때뿐이고, 각 경우는 선택한

카드가 XXY, XYX, YXX, YYZ, YZY, ZYY, XZZ, ZXZ,

ZZX이다.

즉 P(A£)=

9
3‹

=;3!;

세 정수의 합이 3의 배수이면 세 정수를 3으로 나눈 나머지는 모

두 같거나 모두 달라야 한다. 만약 3회 때 사건 A가 일어나지 않

았다면, x, y, z를 각각 3으로 나눈 나머지는 셋 다 다르고 이것은

처음 상황과 같다.

즉 P(A§|A£C)=P(A£)
4 P(A£CDA§)=P(A£C) P(A§|A£C)

                    ={1-;3!;}_;3!;=;9@;

따라서 p+q=11

다른 풀이



카드에 붙어 있는 스티커 수를 3으로 나눈 나머지를 (a, b, c)로

나타내기로 하자. 이때 (0, 1, 2)이면 두 번의 시행으로는

(0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)를 만들 수 없다.

세 번의 시행으로 나올 수 있는 모든 경우의 수는

눈 나머지가 모두 다르거나 같은 경우, 즉 (0, 1, 2) 또는 (0, 0, 0)

또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)이므로 4회, 5회에서는 사건 A가 일

각하면 ;3!; 이다.

따라서 구하려는 확률은 1_1_;3@;_1_1_;3!;=;9@;

14    ⑤
GUIDE

을 구한다.


16
4!

=;3@; 이다.

A, B가 첫 번째 대진에서 만나지 않고 A, B가 각각 상대방과 이길 확률

A와 B가 결승에서 만나려면 첫 번째 대진에서 만나지 말아야 하

므로 A가 주머니에서 1이 적힌 카드를 꺼내면 B는 3 또는 4가

적힌 카드를 꺼내야 한다. A가 2, 3, 4가 적힌 카드를 꺼내는 경

우도 마찬가지이므로 첫 번째 대진에서 만나지 않을 확률은

첫 번째 대진에서 만나지 않았을 때, A가 결승에 진출할 확률이

;3@;, B가 결승에 진출할 확률이 ;2!; 이므로 A, B 모두 결승에 진출

할 확률은 ;3@;_;2!;=;3!; 이다.

따라서 A와 B가 결승에서 만날 확률은  ;3@;_;3!;=;9@;

15    64
GUIDE

경기가 계속 진행되었을 때 A팀이 받을 상금을 구한다.


우승팀이 가려질 때까지 경기가 계속 진행된다고 하면 A팀이 우

승하는 경우와 그 확률은 다음과 같다.

(A팀이 이기는 경우를 ◯, 지는 경우를 _로 나타낸다.)

•◯ ◯  ⇨  ;2!;_;2!;=;4!;

3_3_3=27이고, 세 번의 시행에서 (0, 0, 0)이 되는 경우는

•◯ _ ◯  ⇨  ;2!;_;2!;_;2!;=;8!;

다음 3가지 경우이다.

(0, 1, 2) bd (0, 2, 2) bd (0, 2, 0) bd (0, 0, 0)

(0, 1, 2) bd (0, 2, 2) bd (0, 0, 2) bd (0, 0, 0)

(0, 1, 2) bd (0, 1, 0) bd (0, 2, 0) bd (0, 0, 0)

•_ ◯ ◯  ⇨  ;2!;_;2!;_;2!;=;8!;

•◯ _ _ ◯  ⇨  ;2!;_;2!;_;2!;_;2!;=;1¡6;

마찬가지로 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)가 될 수 있는 경우도 각각 3

•_ _ ◯ ◯  ⇨  ;2!;_;2!;_;2!;_;2!;=;1¡6;

따라서 3번째 시행에서 사건 A가 일어나지 않을 확률은

•_ ◯ _ ◯  ⇨  ;2!;_;2!;_;2!;_;2!;=;1¡6;

가지씩이다.

P(AC)=1-

3+3+3
27

=;3@;

즉 A팀이 우승할 확률은 ;1!6!; 이므로 준우승할 확률은 ;1∞6; 이다.

또 3번의 시행 후에는 모든 카드에 붙어 있는 스티커 수를 3으로 나

총 상금을 S라 하면 우승할 때와 준우승할 때를 생각해 A팀이 받

   4. 조건부확률    43

는 상금은 ;1!6!;_;8%;S+;1∞6;_;8#;S=;1¶2º8;S

이때 B팀이 받는 상금은 1-;1¶2º8;S=;1∞2•8;S

따라서 ;1¶2º8;S：;1∞2•8;S=35：29이고, m+n=64

2 처음에 검은 공, 두 번째는 흰 공일 확률은

;1¢0;_;1¶1;=;1™1•0;

  4 p™=

36
36+28

=;1ª6;

따라서 176p¡p™=176_;1¶1;_;1ª6;=63

16    ②
GUIDE

18    ①
GUIDE

➊ n=1을 P(X>m+n|X>m)=P(X>n)에 대입해 본다.

각 꼭짓점에 유황이 없는 사건을 A, B, C, D라 하면 ACBCCCD는

  1=P(X=1)+P(X>1)이므로 P(X>1)=;2!; 임을 알 수 있다.

4 1-P(ACBCCCD)=;2!;

➋ P(X=10)=P(X>9)-P(X>10)임을 이용한다.


P(X>m+n|X>m)=P(X>n)에 n=1을 대입하면

P(X>m+1|X>m)=

P(X>m+1DX>m)
P(X>m)

                                   =

P(X>m+1)
P(X>m)

=P(X>1)=;2!;

즉 P(X>m+1)=;2!; P(X>m)이므로 P(X>n)={;2!;}

4 P(X=10)=P(X>9)-P(X>10)

                       ={;2!;}

-{;2!;}

={;2!;}

9

10

10

참고

➊ 확률변수 X에 대하여 X가 자연수만 취하고

➋ P(X>m+1)=;2!; P(X>m)에서 m=1, 2, y, n을 생각하면

  P(X=n)={;2!;}

n

두 번째 꺼낸 공이 흰 공인 전제가 주어졌으므로 조건부확률을 이용해

17    63
GUIDE

p¡, p™를 각각 구한다.


㈎에서 p¡을 다음과 같이 구할 수 있다.

1 처음에 흰 공, 두 번째도 흰 공일 확률은

;1§0;_;1¶1;=;1¢1™0;

2 처음에 검은 공, 두 번째는 흰 공일 확률은

;1¢0;_;1§1;=;1™1¢0;

  4 p¡=

42
42+24

=;1¶1;

㈏에서 p™를 다음과 같이 구할 수 있다.

1 처음에 흰 공, 두 번째도 흰 공일 확률은

;1§0;_;1§1;=;1£1§0;

44    정답과 풀이

네 꼭짓점 중 어느 한 꼭짓점에 유황 부분이 없음을 나타낸다. 따라서 구

하려는 확률은 1-P(ACBCCCD)이다.


네 꼭짓점에 유황이 없는 사건을 각각 A, B, C, D라 하면 구하

려는 확률은 1-P(ACBCCCD)와 같고, 정사면체의 한 꼭짓

점에 모이는 모서리가 3개이므로 어느 한 꼭짓점에 유황이 없을

n

확률은 {;2!;}

‹=;8!; 이다. 즉

P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=;8!;
그런데 두 꼭짓점을 이은 성냥개비가 반드시 존재하므로 유황이

없는 꼭짓점은 2개 이상일 수 없다.

즉 A, B, C, D는 어느 두 사건도 배반사건이므로

P(ACBCCCD)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=;2!;

19    411
GUIDE

S¡, S∞, S•을 통해서 두 단자 X, Y 사이에 전류가 흐르는 사건을 각각 A,

B, C라 하면 구하려는 확률은 벤 다이어그래에서도 확인할 수 있듯이

P(ACBCC)=P(A)+P(B-A)+P(C-(ACB))이다.


S¡, S∞, S•을 통해서 두 단자 X, Y 사이에 전류가 흐르는 사건을

각각 A, B, C라 하면 구하려는 확률은

P(ACBCC)=P(A)+P(B-A)+P(C-(ACB))

이다. 이때 P(A)는 S¡이 켜질 확률이므로 P(A)=;2!;

P(B-A)는 S¡이 꺼지고, S™, S∞는 켜지고, S£, S¢ 중 적어도 하

나는 켜질 확률이므로

P(B-A)=;2!;_;2!;_;2!;_{1-;2!;_;2!;}=;3£2;

P(C-(ACB))는 S¡, S∞가 꺼지고, S™, S§, S¶, S•은 켜지고 S£,

S¢ 중 적어도 하나는 켜질 확률이므로

P(C-(ACB))={;2!;}

4 P(ACBCC)=;2!;+;3£2;+;25#6;=;2!5%6%;=

ﬂ_{1-;2!;_;2!;}=;25#6;
q
p

따라서 p+q=411

n(ADB)=x, 즉 P(ADB)=

라 하고, P(ADB)=P(A)P(B)임

x
12

⑵  전체 최단 경로의 수 20과 네 점 각각을 지나는 경로의 수를 이용해

20    644
GUIDE

을 이용해 P(B), P(ACDB)를 구한다.


P(ADB)=

라 하면

x
12

P(A)=;3!; 이므로

P(B)=P(ADB)/P(A)=

이때 P(B-A)=P(ACDB)=

3x
12

2x
12

즉 P(ADB)=

, P(ACDB)=

x
12

2x
12

A

B

x

2x

21    ⑴ 11  ⑵ 59
GUIDE

⑴ 두 사람이 만나는 지점을 확인한다.

각 점을 지나는 확률을 구한다.



S

A

B

;8!;

;8#;

;8#;

R

Q

1
20

9
20

9
20

P

;8!;

[그림 1]

[그림 2]

[그림 3]

1
20

두 경우 모두 [그림 1]에 표시한 네 지점 P, Q, R, S에서 두 사람이

만날 수 있다. 이때 ⑴의 조건처럼 각 갈림길에서 이동 경로를 택

하는 확률이 같을 때 네 점을 지나갈 확률을 나타낸 것이 [그림 2]

다. 또 ⑵의 조건처럼 최단 거리로 가는 전체 경로에서 각 경로를

선택하는 확률이 같을 때 네 점을 지나갈 확률을 나타낸 것이 [그

이므로 가능한 경우는 다음과 같이 나누어 생각할 수 있다.

1 P(ADB)=;1¡2;, P(ACDB)=;1™2; 일 때

림 3]이다.

사건 B는 3의 배수 중애서 1개를 택하고, 3의 배수가 아닌 수

⑴ 두 사람이 만날 확률은

중에서 2개를 택하는 것이므로 이때 경우의 수는

4C1_8C2=112

2 P(ADB)=;1™2;, P(ACDB)=;1¢2; 일 때

중에서 4개를 택하는 것이므로 이때 경우의 수는

4C2_8C4=420

3 P(ADB)=;1£2;, P(ACDB)=;1§2; 일 때

2
{;8!;}

2

2

2

+{;8#;}

+{;8#;}

+{;8!;}

=;1∞6;

  이므로 p=1-;1∞6;=;1!6!;

  4 16p=11

2
{;2¡0;}

2

2

2

+{;2ª0;}

+{;2ª0;}

+{;2¡0;}

=;1¢0¡0;

  이므로 p=1-;1¢0¡0;=;1∞0ª0;

  4 100p=59

사건 B는 3의 배수 중애서 2개를 택하고, 3의 배수가 아닌 수

⑵ 두 사람이 만날 확률은

사건 B는 3의 배수 중애서 3개를 택하고, 3의 배수가 아닌 수

중에서 6개를 택하는 것이므로 이때 경우의 수는

4C3_8C6=112

1, 2, 3에서 가능한 사건 B의 개수는

112+420+112=644

22    28
GUIDE

참고



P(A)=;3!; 이므로 P(ADB)=;1¢2;=;3!; 이면

P(B)=1이 되어 B가 전사건이 아니라는 조건에 어긋난다.

1등급 NOTE



A={ 3, 6, 9, 12}, AC={ 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}
즉 P(A)：P(AC)=1：2이므로 A에서 k개 뽑을 때, AC에서 2k개를

뽑으면 된다.

조건에서 k+0, k+4이므로 구하려는 사건 B의 개수는

3
Ú
k=1

4Ck_8C2k=112+420+112=644

주사위를 던져 앞에 나온 것과 같은 결과가 나올 확률은 ;6!; 이고, 득점 기회
가 9번임을 주의한다.


n번째 주사위를 던졌을 때, (n-1)번째와 같은 눈이 나올 확률은

n값에 관계없이 항상 ;6!; 이다. (n>2)

즉 2번째부터 10번째까지 9번의 득점 기회에서 3번 득점하는 경

우이므로 구하려는 확률
‹ {;6%;}

p=9C3 {;6!;}

=84_

ﬂ

5ﬂ
6·

=

14_5ﬂ
6°



이때 6°_p=2_5ﬂ_7의 양의 약수 개수는

(1+1)(6+1)(1+1)=28

23    47
GUIDE

p¡은 남은 6경기 중에서 A팀이 3경기 이상 이길 확률이고, p™는 A팀이

남은 5경기 중에서 2경기 이상을 이기는 확률이다.


   4. 조건부확률    45

우승 팀이 결정된 후에도 경기를 계속한다고 가정하면 7전 4선승

제에서 A팀이 우승할 필요충분조건은 정확히 7번 경기할 때, A

가 4승 이상 하는 것이다. 즉 남은 6경기 중에서 A팀이 3경기 이

B에서 Q로 갈 확률은 ;3@;_;3!;+;3!;_1=;9%;

P에서 당첨으로 갈 확률은 2C2_{;3!;}

=;9!;

2

먼저 A팀이 1차전을 이기고, 우승할 확률 p¡을 다음과 같이 구할

마찬가지 방법으로 생각하면 p™는 A팀이 남은 5경기 중 2경기

6

5

상 이길 확률 p¡은

p¡={;2!;}

(6C3+6C4+6C5+6C6)=;3@2!;

이상을 이기는 확률이므로

p™={;2!;}

(5C2+5C3+5C4+5C5)=;3@2^;

32(p¡+p™)=32_;3$2&;=47

다른 풀이



수 있다.

1 4차전에서 우승하는 경우

  남은 세 경기를 모두 이기면 된다.

  이때 확률은 {;2!;}

=;8!;

3

2 5차전에서 우승하는 경우

  이때의 확률은 3C2 {;2!;}

;2!;=;1£6;

3

3 6차전에서 우승하는 경우

  다. 이때의 확률은 4C2 {;2!;}

;2!;=;3§2;

4 7차전에서 우승하는 경우

4

5

  된다. 이때의 확률은 5C2 {;2!;}

;2!;=;3∞2;

1~4에서 p¡=

4+6+6+5
32

=;3@2!;

같은 방법으로 p™도 구할 수 있다.

  2, 3, 4차전 경기에서 2승 1패 하고, 5차전에서 이기면 된다.

2, 3, 4, 5차전 경기에서 2승 2패 하고, 6차전에서 이기면 된

2, 3, 4, 5, 6차전 경기에서 2승 3패 하고, 7차전에서 이기면

24    36
GUIDE

되는 확률을 구한다.


공의 경로를 생각하면 공이 반드시 지나는 점이 있다. 그 점을 지나 당첨

그림과 같이 두 점 P, Q를 생각하자.

A

B

A에서 P로 갈 확률은 ;3@;_1+;3!;_;3@;=;9*;

A에서 Q로 갈 확률은 {;3!;}

=;9!;

B에서 P로 갈 확률은 {;3@;}

=;9$;

2

2

46    정답과 풀이

Q에서 당첨으로 갈 확률은 2C1_;3@;_;3!;=;9$;

4 pA=;9*;_;9!;+;9!;_;9$;=;8!1@;

  pB=;9$;_;9!;+;9%;_;9$;=;8@1$;

따라서 81(pB+pA)=81_;8#1^;=36

25    ③
GUIDE

(득점이 짝수일 확률)+(득점이 홀수일 확률)=1을 이용한다.


주사위를 50번 던져 k점을 얻을 확률은 50Ck {;3!;}

{;3@;}

k

50-k

구하려는 확률을 A라 하면

A=

25
Ú
i=0

50C2i {;3!;}

{;3@;}

2i

50-2i

이때 B=

50C2i+1 {;3!;}

{;3@;}

라 하면

2i+1

49-2i

A+B=

50Ck {;3!;}

{;3@;}

=1

  yy ㉠

50-k

A-B=

50Ck {;3!;}

{;3@;}

50-k

(-1)k

24
Ú
i=0

50
Ú
k=0

50
Ú
k=0

50
Ú
k=0

          =

50Ck {-;3!;}

{;3@;}

={;3@;-;3!;}

k

50-k

50

  yy ㉡

㉠+㉡: 2A=1+{;3!;}

이므로 A=;2!; [1+{;3!;}

50
]

k

k

50

26    ⑤
GUIDE

ㄴ.  P(A(5, 3)|A(2, 1))은 1승 1패인 상태에서 최종적으로 5번의 경기

에서 3승 2패가 되는 확률이다.

ㄷ.  P(A(3, 1)DA(7, 4))는 1승 2패인 상태에서 최종적으로 7번의 경

기에서 4승 3패가 되는 확률이다.



2

ㄱ. 3C2 {;2!;}

{;2!;}=;8#; ( ◯ )

ㄴ.   A가 처음 2경기에서 1승 1패를 하고, 최종적으로 5번의 경기

에서 3승 2패를 하는 확률은 2경기에서 1승 1패를 하고(처음

상태와 같다.), 다음 3경기에서 2승 1패 할 확률과 같다.

   P(A(5, 3)|A(2, 1))=P(A(3, 2)) ( ◯ )

P

Q

ㄷ.  A가 처음 3번의 경기에서 1승 2패를 하고, 최종적으로 7번의

경기에서 4승 3패를 하는 확률은 처음 3경기에서 1승 2패를

하고, 다음 4경기에서 3승 1패를 하는 확률과 같다.

당첨

   P(A(3, 1)DA(7, 4))=P(A(3, 1))_P(A(4, 3)) ( ◯ )

n번째에 A가 던져서 1이 나오거나 n번째에 B가 던져 1, 2, 3, 4가 나오

p1=1이고, (n+1)번째에 A가 던지려면 n번째에 A가 던져서

1이 나오거나 n번째에 B가 던져서 1, 2, 3, 4가 나오면 된다. 즉

⑵  2가 두 번째에 놓일 확률, 4가 네 번째에 놓일 확률, 6이 여섯

(n-1)번째 사람이 처음과 같은 말을 듣고 같은 말을 전달하는 경우와

처음과 다른 말을 듣고 반대로 전하는 경우에 n번째 사람은 처음과 같은

pn=pn-1_0.95+(1-pn-1)_0.05=0.9pn-1+0.05

이때 pn=0.9 pn-1+0.05에서  lim
n d $

pn=a라 하면

lim
n d $

pn-1=a이므로 a=0.9a+0.05,  0.1a=0.05

4 a= lim
n d $

pn-1=0.5=;2!;

27    ②
GUIDE

말을 듣게 된다.


28    ④
GUIDE

면 된다.


pn+1=;6!; pn+;6$; (1-pn)=-;2!; pn+;6$;

이때  lim
n d $

pn=a이면  lim
n d $

pn+1=a이므로

a=-;2!; a+;6$; 에서 a=;9$;

29    ⑴ 20  ⑵ 50
GUIDE

n번째에 1, 2번 스위치의 상태가 같았다면 (n+1)번째에 1 또는 2의 눈

이 나오지 않으면 되고, n번째에 1, 2번 스위치의 상태가 달랐다면

  4 210p™=134

(n+1)번째에 1 또는 2의 눈이 나오면 된다.


다른 풀이



⑴ 처음에 주사위를 던졌을 때, 1, 2가 나오지 않으면 되므로

  p¡=;6$;=;3@;

  4 30p¡=20

⑵  n번째에 1, 2번 스위치의 상태가 같았다면 (n+1)번째에 1

또는 2가 나오지 않으면 (n+1)번째에 1, 2번 스위치의 상태

는 같다. 또 n번째에 1, 2번 스위치의 상태가 달랐다면

(n+1)번째에 1, 2가 나오면 (n+1)번째에 1, 2번 스위치의

02    ⑴ 40  ⑵ 56
GUIDE

상태가 같아진다.

  pn+1=;6$; pn+;6@; (1-pn)=;3!; pn+;3!;

  이때  lim
n d $

pn=a이면  lim
n d $

pn+1=a이므로

  a=;3!; a+;3!;에서 a=;2!;

  4 100a=50

STEP 3

1등급 뛰어넘기

p. 55~57

01  ⑴ 24  ⑵ 134

02  ⑴ 40  ⑵ 56

03  ⑴ 5  ⑵ 180  ⑶ 1

04  ⑴ 6  ⑵ 31

05  ⑤

06  ②

07  447

08  ⑴ 12  ⑵ 131

09  ⑴ 61  ⑵ 25

01    ⑴ 24  ⑵ 134
GUIDE

⑴ 2, 4, 6을 순서대로 홀수번째에 놓는다고 생각한다.
⑵ P(ACDBCDCC)=1-P(ACBCC)임을 이용한다.


⑴ 2가 홀수 번째에 놓일 확률은 ;7$;, 2가 홀수 번째에 놓인 상황에

  서 4가 홀수 번째에 놓일 확률은 ;6#;, 2, 4가 홀수 번째에 놓인

  상황에서 6이 홀수 번째에 놓일 확률은  ;5@;

  이때 구하려는 확률 p¡=;7$;_;6#;_;5@;=;3¢5;

  4 210p¡=24

  번째에 놓일 확률은 각각 ;7!;

  2, 4가 각각 두 번째, 네 번째에 놓일 확률은 ;7!;_;6!; 이고,

  4, 6과 2, 6에 대해서도 마찬가지로 ;7!;_;6!;

  2, 4, 6이 각각 두 번째, 네 번째, 여섯 번째에 놓일 확률은

;7!;_;6!;_;5!;=;21!0; 이다.

  P(ACDBCDCC)=1-P(ACBCC)임을 이용하면

  p™=1-{;7!;+;7!;+;7!;-;4¡2;-;4¡2;-;4¡2;+;21!0;}=;2!1#0$;

⑴ 2, 4, 6이 들어간 세 자리는 모두 홀수 번째 자리이므로
  p¡= 4C3
7C3

=;3¢5;

수직선 위의 운동을 수직선 위에서만 표시하면 구별하기 어려우므로 시

행 횟수에 따라 y축 방향으로의 이동을 생각해 보자.


⑴

1-1-3-5-7

3

5

7

O3

O2

O1

O



   4. 조건부확률    47

그림에서 위로 7번 이동하여 여덟 개의 점 중 하나에 도착하

2행 4열의 수  2행 3열의 수  2행 2열의 수  2행 1열의 수

는 모든 경우의 수는

  2 {1+

+

7!
6!

7!
3!4! }=128
이중 점 O¡, O™, O£를 모두 지나지 않는 경우는 빨간색으로 표

7!
2!5!

+

시한 부분을 따라 점 1, 3, 5, 7로 가는 경우의 수의 2배이므로

  2(5+9+5+1)=40

  따라서 p¡=;1¢2º8; 이고, 128p¡=40

⑵  8번 던져 다시 원점으로 돌아왔으므

O1

8

6

7

4

5

4
5
6

2, 3

2, 3, 4

2, 3
2, 3, 4
2, 3, 4, 5

  즉 14가지 경우가 가능하므로 p£=

14
8!

=

1
2880

  따라서 2880p£=1

1등급 NOTE



A4

A3

A2

A1

이 문제는 카탈란 수(12쪽 09 풀이 참조)와 관련 있다.
어떤 수가 제 1행에 있을 때 x, 제2행에 있을 때 y를 대응시킨 다음 이것

을 1부터 8까지 나열해 보자. 예시에 있는 내용을 이와 같이 나타내면 x,
y, x▼, x, y, x, y, y가 된다. 이 경우 표시한 부분을 기준으로 x의 개수가

O

y의 개수보다 많거나 같고, 표시 부분을 옮겨도 항상 성립한다. 이것을

그래프에서 생각하면 x>y인 부분과 대응한다.

여사건은 그림에서 색으로 표시한 부분을 따라간 경우이므로

따라서 ⑶에서 구하려는 경우의 수는 (0, 0)에서 (4, 4)까지 격자점을 따

라 움직일 때, 항상 x>y를 만족시키는 경로의 수와 같다.

  로 조건부확률로 생각하면

  분모는 O에서 O¡으로 가는 최단 경로

  의 수, 즉  8!
4!4!

=70이다.

이때 점 A¡, A™, A£, A¢ 중 적어도 한

점을 지나는 경우를 생각하면 된다.

14(가지)이다.

  따라서 p™=

이므로 70p™=56

70-14
70

참고



⑴에서 8개의 점 중 하나에 도착하는 모든 경우의 수를

7C0+7C1+7C2+y+7C7=2‡=128로 구해도 된다.

즉  ;5!;_

8!
4!4!

=14

04    ⑴ 6  ⑵ 31
GUIDE

‘축’, ‘당’, ‘첨’ 스티커를 받지 못하는 사건을 각각 A, B, C라 하면 사은품

을 받지 못할 확률은 P(ACBCC)이다.


⑴ 모든 경우의 수는 3‹=27

  세 번 만에 세 글자가 모두 나오는 경우의 수는 3!=6

  따라서 a=;2§7; 이므로 27a=6

지 못할 확률은  P(ACBCC)이다. 이때

  P(ACBCC)

  =P(A)+P(B)+P(C)-P(ADB)-P(BDC)

-P(CDA)+P(ADBDC)

n

n

n

n

n

  ={;3@;}

+{;3@;}

+{;3@;}

-{;3!;}

-{;3!;}

-{;3!;}

n

+0

  =

3_2n-3
3n

1등급 NOTE



⑶  수형도를 그려본다. 이때 2행 n열의 수는 2n보다 크거나 같아야 한다.

⑵   케이크 n개를 (n>3) 사는 동안 ‘축’, ‘당’, ‘첨’ 스티커를 받지

즉 2행의 네 수는 2 이상의 수, 4 이상의 수, 6 이상의 수, 8을 작은 것

못하는 사건을 각각 A, B, C라 하면 n개를 사고 사은품을 받

03    ⑴ 5  ⑵ 180  ⑶ 1
GUIDE

부터 나열한 것이다.



⑴ 1행의 네 수가 작은 것부터 배열될 확률은  1
4!

=;2¡4;

  2행의 네 수가 작은 것부터 배열될 확률도  1
4!

=;2¡4;

  즉 p¡=;2¡4;_;2¡4;=;57!6; 이므로 2880p¡=5

⑵ 1열의 두 수 중 아래쪽이 더 클 확률은  1
2!

=;2!;

  더 클 확률은  1
2!

=;2!;

4

  즉 p™={;2!;}

=;1¡6; 이므로 2880p™=180

48    정답과 풀이

  2, 3, 4열에서도 마찬가지로 아래쪽에 있는 수가 위의 수보다

  이때 b=

3_25-3
3ﬁ

=;8#1!;이므로 81b=31

⑶  2행의 수가 결정되면 1행의 수는 따라서 결정된다. 수형도를

그려 그 경우를 따져 보면 다음과 같다.

⑵에서 P(Tn)=1-

3_2n-3

3n 이므로

케이크 n(n>3)개를 사고 사은품을 받는 사건을 Tn이라 하면 정확히 n
번째 케이크를 사면서 사은품을 받는 사건은 (TnDTn-1

C)이고,

P(TnDTn-1

C)=P(Tn)-P(TnDTn-1)=P(Tn)-P(Tn-1)

부분에 영향을 끼치지 않으므로 구하려는 확률은

=-

3_2n-3

3n +

3_2n-1-3

3n-1 =

2n-1-2
3n-1

따라서 이 사실을 이용하면 케이크 5개째를 사면서 사은품을 받을 확률

과 같은 문제를 풀 수 있다.

;1∞5;_;1¢0;_;6#;_;3@;=;4™5;

참고



P(ADBDCDD)

=P(A)_P(B|A)_P(C|ADB)_P(D|ADBDC)

05    ⑤
GUIDE

➊ ai bi가 홀수일 확률은 ;5#;_;5#;=;2ª5; 이고,
  a¡ b¡, a™ b™, y, a10 b10 중 홀수가 홀수 개 있어야 한다.

ai bi가 홀수가 되려면

10
Ú
i=1

07    447
GUIDE

➋  구하려는 확률을 A라 하고,

ai bi 가 짝수가 되는 확률을 B라 하면

10
Ú
i=1

  A+B=1임을 이용한다.


A, B가 각각 k점을 얻을 확률은 ;6!;, 7Ck {;2!;}
A가 (k+1)점 이상을 얻을 때, A가 B를 이긴다.


7
이고, B가 k점을 얻고,

ai, bi가 홀수가 될 확률은 각각 ;5#; 이므로 ai bi 가 홀수일 확률은

A가 k점 (1<k<6)을 얻을 확률은 ;6!;

;5#;_;5#;=;2ª5;

10
Ú
i=1

이때

ai bi 가 홀수가 되려면 a¡ b¡, a™ b™, y, a10 b10 중 홀수가

홀수 개 있어야 하므로 구하려는 확률을 A라 하면

A=

4
Ú
i=0

10C2i+1 {;2ª5;}

2i+1

9-2i

{;2!5^;}

이때 B=

10C2i {;2ª5;}

{;2!5^;}

라 하면

2i

10-2i

A+B=

10Ck {;2ª5;}

{;2!5^;}

=1

  yy ㉠

k

10-k

-A+B=

k

10-k

10Ck {;2ª5;}

{;2!5^;}

(-1)k

              =

k

10Ck {-;2ª5;}

{;2!5^;}

10-k

5
Ú
i=0

10
Ú
k=0

10
Ú
k=0

10
Ú
k=0

              ={;2!5^;-;2ª5;}



  yy ㉡

10

10

㉠-㉡: 2A=1-{;2¶5;}

이므로 A=;2!; [1-{;2¶5;}

10
]

06    ②
GUIDE

하는 것과 같으므로  ;1∞5; 이다.


또 A가 B를 이기려면 B가 k점 (단, 0<k<5)을 얻고 A가

B가 k점을 얻을 확률은 7Ck {;2!;}

7
이므로

p¡=;6!;

7Ck {;2!;}

=;6!; {;2!;}

7

6
7

Ú
k=1

7Ck

6
Ú
k=1

7

    =;6!; {;2!;}

(2‡-2)=;7!6@8^;

(k+1)점 이상을 얻어야 하므로

p™=

   =

5
Ú
k=0

5
Ú
k=0

7Ck {;2!;}

7

  6-k
6

7Ck {;2!;}

7
-

5
Ú
k=0

;6!; {;2!;}

7
k 7Ck

   ={;2!;}

(2‡-8)-;6!; {;2!;}

{

k 7Ck-49}

7

7
Ú
k=0

   =1-

-;6!; {;2!;}

(7_2ﬂ-49)=;7#6@8!;

7

7

8
2‡

따라서 768(p¡+p™)=126+321=447

참고

n
Ú
k=0

k nCk=n_2n-1

1등급 NOTE



7
Ú
k=2

5
Ú
i=0

7Ck {;2!;}

7

6-k
6

7Ci {;2!;}

7

i-1
6

  구하려는 확률은

B에게 진다. 이때의 확률은

이고, 7-k=i 라 하면

15는 5행에 놓여야 하고, 이때의 확률은 15개 중에서 5행의 5개를 선택

➊   B가 k점 (단, 2<k<7)을 얻고 A가 (k-1)점 이하를 얻으면 A가

5행의 최대의 수는 15이어야 한다. 즉 15는 5행에 놓아야 한다.

또 M¡, M™, M£, M¢ 중 M¢가 최대이므로 1행에서 4행까지 10

이 되어 위 풀이에서 구한 것과 같게 된다.

개의 수 중 가장 큰 수는 4행에 놓여야 한다.

➋   A가 B에게 이길 확률과 A가 B에게 질 확률이 서로 같으므로

마찬가지로 M¡, M™, M£ 중 M£가 최대이므로 1~3행의 6개의

수 중 가장 큰 수는 3행에 놓여야 하고, M¡<M™이므로 1행과 2

행의 3개의 수 중 가장 큰 수는 2행에 놓여야 한다.

5행부터 최대의 수를 결정해 나아가면 뒷부분의 확률 계산은 앞

;2!; {1-(비길 확률)}=;2!; {1-;7!6@8^;}=;7#6@8!;

   4. 조건부확률    49

08    ⑴ 12  ⑵ 131
GUIDE

09    ⑴ 61  ⑵ 25
GUIDE

⑴ n이 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어본다.

➊ (n+1)초 후 네 꼭짓점에 점 P가 있을 확률을 구한다.

⑵ n=5일 때, 최대 몇 번의 주사위를 던지는지 확인한다.


➋ an+bn+cn+dn=1임을 이용한다.


⑴ n이 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 보자.

⑴  n초 후에 점 P가 꼭짓점 A에 있을 확률을 an이라 했으므로

  1 n=2m(m은 자연수)일 때

마찬가지로 n초 후에 점 P가 꼭짓점 B, C, D에 있을 확률을

   A가 m번 이상 득점하거나 B가 2m번 이상 득점하면 경

각각 bn, cn, dn이라 하자.

기가 끝나므로 A가 (m-1)번 득점하고, B가 (2m-1)

  이때 a0=1, b0=0, c0=0, d0=0이고

번 득점한 다음 주사위를 한 번 더 던지면 된다.

  4  f(2m)=(m-1)+(2m-1)+1=3m-1

  2 n=2m-1(m은 자연수)일 때

   A가 m번 이상 득점하거나 B가 (2m-1)번 이상 득점하

면 경기가 끝나므로 A가 (m-1)번 득점하고, B가

  an+1=;3!; (an+bn+dn), bn+1=;3!; (an+bn+cn)

cn+1=;3!; (bn+cn+dn), dn+1=;3!; (cn+dn+an)

  이때 an+bn+cn+dn=1이므로

(2m-2)번  득점한 다음 주사위를 한 번 더 던지면 된다.

  an+1=;3!; (an+bn+dn)=;3!; (1-cn),

cn+1=;3!;(bn+cn+dn)=;3!; (1-an)

  an+2=;3!;(1-cn+1)=;3!;-;3!;_;3!;(1-an)=;9!; an+;9@;

  a0=1이므로 a2=;3!;, a4=;2¶7;, a6=;2§4¡3;

  따라서 243a6=61

⑵ an+2=;9!; an+;9@; 에서

lim
n d $

an=a라 하면  lim
n d $

an+2=a이므로

  a=;9!; a+;9@;

  4 a=;4!;

  즉 a= lim
n d $

an=;4!; 이므로 100 lim

n d $

an=25

  4  f(2m-1)=(m-1)+(2m-2)+1=3m-2

;2#; n-1   (n이 짝수)
  따라서  f(n)=
[
;2#; n-;2!;  (n이 홀수)

이므로

f(4)+f(5)=5+7=12

⑵ f(4)=;2#;_4-1=5이므로 주사위를 최대 5번 던져야 승부가

결정된다. 5번 미만에서 승부가 결정되었더라도 5번까지 주사

위를 던진다고 생각하면 5번 중 A가 2번 이상 득점하면 된다.

  여사건의 확률은

5

4

5C0 {;3@;}

+5C1 {;3@;}

{;3!;}=

32+80
243

=;2!4!3@; 이므로

  p=1-;2!4!3@;=;2!4#3!; 에서 243p=131

주사위를 한 번 던질 때, 두 사람 득점의 기댓값은 같지만 n에 따라 A, B

의 유불리가 달라진다. 이 문제와 같은 상황에서 n이 짝수이면 A가 유리

하고, n이 홀수이면 B가 유리하다.

참고



다른 풀이



⑴ 풀이처럼 구하지 않고 다음과 같이 생각해도 된다.

f(4)는 4점을 먼저 얻을 때까지 주사위를 던지는 최대 횟수이

므로 3의 배수가 1번 나오고 네 번은 3의 배수가 아닌 눈의 수

가 나오면 B가 이긴다. 또 3의 배수가 2번 나오고 3의 배수가

아닌 순의 수가 3번 나오면 A가 이긴다.

  따라서  f(4)=5이다.

또  f(5)는 A가 4점(2번 득점)을 얻고 B가 5점(5번 득점)을

얻는 경우라 생각한다.

  4  f(5)=2+5=7

50    정답과 풀이

5

이산확률분포

STEP 1

1등급 준비하기

p. 60 ~62

X

01  25

05  ③

09  104

13  7

02  1023

03  ①

06  ⑤

10  3760

14  ①

07  ㄱ, ㄷ

11  5

15  55

04  4

08  5

12  ④

01    25
GUIDE

두 수의 차는 2, 4, 6 세 가지 경우뿐이다.


1 뽑은 두 수가 {1, 3}, {3, 5}, {5, 7}일 때 두 수의 차가 2이므로

2 뽑은 두 수가 {1, 5}, {3, 7}일 때 두 수의 차가 4이므로

P(X=1)=a (a는 상수)라 하면 확률변수 X의 확률분포는 다

음과 같다.

P(X=x)

1

a

2

;3A;

3

4

5

€a {;3!;}

‹a {;3!;}

›a

{;3!;}

계

1

즉 P(X=x) (x=1, 2, 3, 4, 5)는 첫째항이 a이고, 공비가 ;3!; 인

등비수열이다. 이때 확률의 총합은 1이므로

5
Ú
x=1

P(X=x)=a+;3!;a+{;3!;}

a+{;3!;}

a+{;3!;}

2

3

4
a

                    =

=;;¡8™1¡;; a=1

a [1-{;3!;}

5
]

1-;3!;

즉 a=;1•2¡1; 이므로 P(X=5)=;1•2¡1;_{;3!;}

=;12!1;

4

1, 2에서 P(X<4)=P(X=2)+P(X=4)=;2!;+;3!;=;6%;

확률변수 X가 취할 수 있는 값 2, 3, 4, 5 각각에 대한 확률을 구해 확률

뽑은 두 수가 {1, 7}일 때 두 수의 차가 6이므로

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 2, 3, 4, 5이고, 이 각각의 값에

  P(X=2)=

3
4C2

=;2!;

  P(X=4)=

2
4C2

=;3!;

따라서 30k=25

다른 풀이



P(X=6)=

1
4C2

=;6!;

4 P(X<4)=1-P(X=6)=1-;6!;=;6%;

02    1023
GUIDE
10Cx
k


10
Ú
x=1

=

210-1
k

=1을 이용한다.

이산확률변수 X의 확률질량함수가
P(X=x)= 10Cx
k

(x=1, 2, 3, y, 10)이므로

=1에서 k=210-1=1023

10C1+10C2+y+10C10
k
= 10C1
10C3

P(X=1)
P(X=3)

=;1¡2;

04    4
GUIDE

분포표를 만든다.


대한 확률은 다음과 같다.

1 P(X=2)=;5@;_;4!;=;1¡0;

2 P(X=3)=;5@;_;4#;_;3!;+;5#;_;4@;_;3!;=;5!;

3 P(X=4)=;5@;_;4#;_;3@;_;2!;+;5#;_;4@;_;3@;_;2!;

                        +;5#;_;4@;_;3@;_;2!;

                   =;1£0;

4 P(X=5)=1-P(2<X<4)

               =1-{;1¡0;+;5!;+;1£0;}=;5@;

따라서 확률변수 X의 확률분포는 다음과 같다.

X

P(X=x)

2

;1¡0;

3

;5!;

4

;1£0;

5

;5@;

계

1

4 12k_

P(X=1)
P(X=3)

=12_1023_;1¡2;=1023

4 E(X)=

2_1
10

+

3_1
5

+

4_3
10

+

5_2
5

=4

03    ①
GUIDE

P(X=1)=a라 하면 P(X=2)=;3A;, P(X=3)=


a
3€

, y 이다.

05    ③
GUIDE

는 점을 생각한다.


X=4, 5, 6일 때는 처음에 나온 눈의 수가 1, 2, 3 중 하나인 경우도 있다

   5. 이산확률분포    51

X=1인 경우는 처음 나온 눈의 수가 1, 2, 3 중 하나이고, 두 번

째로 나온 눈의 수가 1일 때이다.

4 P(X=1)=;2!;_;6!;=;1¡2;

ㄷ. V(X)=1€_;6!;+2€_b+3€_;6!;-{2b+;3@;}

2

          =-4 {b-;6!;}

+;3$;

2

X=2, X=3일 때도 마찬가지로 생각할 수 있다.

  즉 b=;6!; 일 때 V(X)의 최댓값은 ;3$;  ( ◯ )

X=4인 경우는 처음 나온 눈의 수가 4이거나 처음 던져 나온 눈

의 수가 1, 2, 3 중 하나이고, 두 번째로 나온 눈의 수가 4일 때이다.

X=5, X=6일 때도 마찬가지로 생각할 수 있으므로 X의 확률

카드 한 장에 대한 기댓값은

=5이므로 카드 5장에 적힌

1+2+y+9
9

4 P(X=4)=;6!;+;2!;_;6!;=;4!;

분포는 다음과 같다.

X

1

2

3

4

P(X=x)

;1¡2;

;1¡2;

;1¡2;

;4!;

5

;4!;

6

;4!;

계

1

E(X)=

1+2+3+12+15+18
12

=;;¡4¶;;

08    5
GUIDE

수의 합을 Y라 하면 E(Y)=25임을 이용한다.


꺼낸 카드 5장에 적힌 수의 합을 Y라 하면 확률변수

X=Y-(45-Y)=2Y-45이다.

한편 주머니에서 카드 한 장을 꺼낼 때 나오는 수의 기댓값은 5이

므로 E(Y)=25이다.

4 E(X)=2E(Y)-45=5

09    104
GUIDE

이고, 넓이는

이다.

X÷€
16

X
4



V(X)=64이다.

X
4

이므로 넓이는  X÷€
16

이다.

이때 정사각형 넓이의 평균은

X=1인 확률을 구해 보면서 나머지 확률변수에 대한 확률도 같은 방법

끈 길이를 확률변수 X로 놓으면 끈으로 만든 정사각형의 한 변의 길이는

X=1인 경우는 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(6, 1), (5, 1), (4, 1), (3, 1), (2, 1)이므로

각 끈의 길이를 X라 하면 E(X)=40이고, r(X)=8에서

이 끈을 가지고 만들 수 있는 정사각형의 한 변의 길이는

X=2, 3, 4, 5, 6일 때도 같은 방법으로 생각하면 X의 확률분포

X

1

2

3

4

5

6

P(X=x)

;3!6!;

;3ª6;

;3¶6;

;3∞6;

;3£6;

;3¡6;

계

1

E {

X÷€
16 }=;1¡6; E(X÷€)=;1¡6; {V(X)+(E(X))€}

              =;1¡6; (64+1600)=104

E(X)=1_;3!6!;+2_;3ª6;+3_;3¶6;+4_;3∞6;

             +5_;3£6;+6_;3¡6;=;3(6!;

10    3760
GUIDE

나타낸다.


3의 배수가 나온 횟수를 확률변수 Z라 하고, X, Y를 각각 Z를 이용해

주사위를 180번 던질 때, 3의 배수가 나오는 횟수를 Z라 하면

(확률의 총합)=1과 V(X)=E(X÷€)-{E(X)}€을 이용해 한 문자에

확률변수 Z는 이항분포 B {180, ;3!;} 을 따른다.

ㄱ. a+;6!;+b+;6!;=1에서 a+b=;3@; ( ◯ )

ㄴ. E(X)=0_a+1_;6!;+2b+3_;6!;=2b+;3@; 이므로

즉 E(Z)=180_;3!;=60, V(Z)=180_;3!;_;3@;=40

주어진 조건을 따르면 X=2Z, Y=Z÷€이므로

E(X)=2E(Z)=120

E(Y)=E(Z÷€)=V(Z)+{E(Z)}€=40+3600=3640

b값이 커지면 X의 평균 E(X)도 커진다. ( _ )

따라서 E(X)+E(Y)=3760

06    ⑤
GUIDE

으로 구한다.


P(X=1)=;3!6!;

는 다음과 같다.

07    ㄱ, ㄷ
GUIDE

대한 이차식을 세운다.


52    정답과 풀이

11    5
GUIDE

고, X는 이항분포를 따른다.


두 눈의 곱이 a 이하가 되는 횟수를 확률변수 X라 하면 상금은 20X이

주사위 두 개를 400번 던질 때, 두 눈의 곱이 a 이하가 되는 횟수

를 X라 하면 확률변수 X가 이항분포 B(400, p)를 따르므로

E(X)=400p, V(X)=400p(1-p)

이다. 이때 상금이 20X이므로

m=E(20X)=20E(X),  r€(20X)=400V(X)

즉 400V(X)<15_20E(X)에서

400€p(1-p)<300_400p이고, 정리하면 p>;4!;

한편 주사위 두 개를 던질 때

두 눈의 곱이 1 이하인 경우의 수는 1

2 이하인 경우의 수는 3,  3 이하인 경우의 수는 5

4 이하인 경우의 수는 8,  5 이하인 경우의 수는 10

그러므로 p>;4!; 을 만족시키는 자연수 a의 최솟값은 5

V(X)=10p(1-p)=-10 {p-;2!;}

+;2%;

2

이므로 p=;2!; 일 때 분산 V(X)는 최대가 된다.

즉 p= xC2
10C2
=;9#0);,  7C2
10C2

6C2
10C2

구하려는 자연수 x=7

=;9$0@;,  8C2
10C2

=;9%0^; 이므로

가  ;2!; 에 가장 가깝도록 하는 자연수 x를 정하면 된다.

14    ①
GUIDE

짝수가 나온 횟수를 확률변수 X라 하면 홀수가 나온 횟수는 (10-X)이

고, 확률변수 X는 이항분포 B {10, ;2!;} 을 따른다.


주사위를 10번 던졌을 때, 그 중에서 짝수가 나온 횟수를 확률변

수 X라 하면 홀수가 나온 횟수는 (10-X)이므로

Y={X-(10-X)}€=4(X÷€-10X+25)

이때 X는 이항분포 B {10, ;2!;} 을 따르므로

12    ④
GUIDE

P(X=r)=10Cr {;3@;}
임을 이용한다.


주사위를 10개 던져 3의 눈이 r개 나올 확률이

r

10-r

{;3!;}

이므로  E(4X)=

4r P(X=r)

10
Ú
r=0

E(X)=5, V(X)=;2%; 이고

E(X÷€)=V(X)+{E(X)}=;;∞2∞;;

4 E(Y)=4{E (X÷€)-10E(X)+25}

주사위를 1개 던질 때, 3이 나올 확률은 ;3@; 이므로 주사위를 10개

              =4 {;;∞2∞;;-10_5+25}=10

던져서 3이 r개 나오는 확률은 10Cr {;3@;}

{;3!;}

이다.

r

10-r

4 E(4X)=

r

10-r

4r 10Cr {;3@;}

{;3!;}

               =

10Cr {;3*;}

{;3!;}

={;3*;+;3!;}

r

10-r

10

=310

10
Ú
r=0

10
Ú
r=0

13    7
GUIDE

➊ 주머니에 흰 공이 x개 있다고 하자.

➋ X~B(n, p)일 때, V(X)=np(1-p)이므로 p=;2!; 일 때 V(X)는

  최대가 된다. 즉  p=;2!;  또는  p=;2!; 에 가장 가까운 값을 갖도록 하는
  경우를 생각한다.


주머니에 든 흰 공이 x개라 하면 꺼낸 두 공 모두 흰 공일 확률이

함수  f(r)가 이항분포를 나타내는 확률질량함수이고,

15    55
GUIDE

10
Ú
r=0

r€ f(r)=E(X÷€)이다.


10

r

10-r

f(r)=10Cr {;2!;}

=10Cr {;2!;}

{;2!;}

(r=0, 1, y, 10)

이므로 함수  f(r)는 이항분포 B {10, ;2!;} 을 따르는 확률변수

X의 확률질량함수이다.

이때 E(X)=10_;2!;=5, V(X)=10_;2!;_;2!;=;2%;

그런데

r€ f(r)=

r€ P(X=r)=E(X÷€)이므로

10
Ú
r=0

10
Ú
r=0

이므로 X는 이항분포 B {10,  xC2

10C2 } 를 따른다.

2

10
Ú
r=0

r€ f(r)=2E(X÷€)=2[ V(X)+{E(X)}€]

xC2
10C2
이때  xC2
10C2

=p라 하면

                   =2 {;2%;+5€}=2_;;∞2∞;;=55

   5. 이산확률분포    53

STEP 2

1등급 굳히기

p. 63~68

log™ p¡, y, log™ p∞는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

log™ p¡+log™ p™+y+log™ p∞=5log™ p£=1

03  7

07  22

11  11

15  1

19  5

23  ⑤

04  13

08  11

12  ③

16  356

20  4

24  ③

02  ②

06  9

10  47

14  35

18  ②

22  12

26  185

01  ⑤

05  5

09  ③

13  56

17  15

21  325

25  ①

01    ⑤
GUIDE

log™ p£=;5!;

이때 P(X=2)+P(X=4)=2 log™ p£=;5@;

참고



등차수열 {log™ pn}에서 공차를 d 라 하면
log™ p¡=log™ p£-2d, log™ p™=log™ p£-d

log™ p¢=log™ p£+d, log™ p∞=log™ p£+2d

여학생을 ◯, 남학생을 라 하면 ◯◯, ◯◯, ◯◯처럼 서

면 남학생 사이에 있는 여학생은 0명이다. 마찬가지로 여학생이 남학생

사이에 1명 있는 경우의 수, 2명 있는 경우를 생각할 수 있다.


확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이고, 그 확률은

03    7
GUIDE

P(X=0)=

P(X=1)=

2!2!_3
4!

=;2!;

2!2!_2
4!

=;3!;

P(X=2)=

2!2!
4!

=;6!;

이므로 확률변수 X의 확률분포는 다음과 같다.

X

P(X=x)

0

;2!;

1

;3!;

2

;6!;

계

1



4 P(X<1)=P(X=0)+P(X=1)=;2!;+;3!;=;6%;

1등급 NOTE



P(X<1)=1-P(X=2)임을 이용한다.

02    ②
GUIDE

ak는 0, 1, 2, 3 중 하나이고, ak=0인 경우는 주사위를 던져 4가 나올 때

이므로 이 확률은 ;6!; 이다. 마찬가지로 생각하면

ak=1일 확률은 ;6@;, ak=2일 확률도 ;6@;, ak=3일 확률은 ;6!; 이다.


자연수를 4로 나눈 나머지는 0, 1, 2, 3이므로 주사위를 던져 나

온 수를 4로 나눈 나머지가 0, 1, 2, 3이 될 확률은 차례로

;6!;,  ;6@;,  ;6@;,  ;6!; 이다.

이때 X=3인 경우는 다음과 같다.

1   a¡, a™, a£, a¢가 0, 0, 0, 3의 값을 갖는 경우

0, 0, 0, 3을 일렬로 나열하는 경우와 같으므로

  확률은  {;6!;}

›_

4!
3!

=

4
6›

2   a¡, a™, a£, a¢가 0, 0, 1, 2의 값을 갖는 경우

0, 0, 1, 2를 일렬로 나열하는 경우와 같으므로

  확률은 {;6!;}

€_{;6@;}

€_

4!
2!

=

48
6›

3   a¡, a™, a£, a¢가 1, 1, 1, 0의 값을 갖는 경우

p¡, y, p∞에서 p¡=a, 공비를 r라 하면 p™=ar, y, p∞=ar›이고,

1, 1, 1, 0을 일렬로 나열하는 경우와 같으므로

P(X=1)+P(X=2)+y+P(X=5)=1을 이용한다.


p¡, p¡, p£, p¢, p∞가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

p¡=a, p™=ar, y, p∞=ar›이라 하면 확률의 총합이 1이므로

  확률은 {;6@;}

‹_;6!;_

4!
3!

=

32
6›



P(X=3)=

4+48+32
6›

=;10&8;=p

따라서 108p=7

5
Ú
x=1

P(X=x)=log™ a+log™ ar+y+log™ ar›

                     =log™ (ar€)ﬁ=1

에서 ar€=2;5!;

4 P(X=2)+P(X=4)=log™ ar+log™ ar‹

                                       =log™ (ar€)€

                                       =log™ 2;5@;=;5@;

다른 풀이



p¡, y, p∞가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때,

54    정답과 풀이

04    13
GUIDE

P(X>1)=1과 P(X=x)=P(X>x)-P(X>x+1)임을 이용한다.


이산확률변수 X가 가지는 값 1, 2, 3, y, 2n에 대하여 확률의

합이 1이므로

P(X>1)=a-log2n+1 1=1

  4 a=1

P(X>x)=1-log2n+1 x이므로

P(X=x)=P(X>x)-P(X>x+1)

                =-log2n+1 x+log2n+1 (x+1)

                =log2n+1

x+1
x

P(X=5)=log2n+1 ;5^;=log∞ '6 -;2!;

이때 log∞ '6-;2!;=log∞ æ;5^;=log™∞ ;5^; 이므로

log2n+1 ;5^;=log™∞ ;5^;

즉 2n+1=25에서 n=12

4 a+n=1+12=13

05    5
GUIDE

  a¡<a™<a£인 경우이므로 이 조건을 만족시키는 순서쌍

(a¡, a™, a£)의 개수는 4 이하의 자연수 중에서 서로 다른 세

수를 택하여 작은 수부터 차례로 나열하는 경우의 수와 같다.

즉 4C3=4

  이때 P(X=0)=

4
4‹

=;1¡6;

2 X=2일 때

  a¡>a™>a£인 경우이므로 이 조건을 만족시키는 순서쌍

(a¡, a™, a£)의 개수는 4 이하의 자연수 중에서 중복을 허락하

여 세 수를 택하여 큰 수부터 차례로 나열하는 경우의 수와 같

다. 즉 4H3=6C3=20

  이때 P(X=2)=

20
4‹

=;1∞6;

  P(X=1)=1-{P(X=0)+P(X=2)}=;1!6);

➊   흰 공과 검은 공 개수가 같으므로 세 번 모두 검은 공이 나올 확률과

흰 공이 나올 확률은 같다. 즉 P(X=0)=P(X=3)이다. 마찬가지

  즉 E(X)=1_;1!6);+2_;1∞6;=;4%; 이므로 p+q=9

로 생각하면 P(X=1)=P(X=2)이다.

➋ 한 번의 시행에서 더해지는 공은 2개임을 주의한다.


X=0은  세  번  모두  검은  공이

나오는 경우이므로 표와 같이 각

시행을 할 때의 주머니에 든 흰

공과 검은 공 개수를 정리할 수

1회 2회 3회

흰 공

4

검은 공 4

4

6

4

8

있다.

[X=0일 때]

07    22
GUIDE

xk를 틀리면 받는 상금은 k만원이므로 x10을 틀릴 경우 받는 상금은 10
만원이고, x10을 맞힐 경우 받는 상금은 a만원이다. 따라서 상금을 확률
변수라 하면 X는 1, 2, y, 10, a이다.


상금을 확률변수 X라 하면 X에 대한 확률은 다음과 같다.

X=1은 세 번 시행 중 검은 공이 두 번 나오는 경우이다. 이때

P(X=0)=;8$;_;1§0;_;1•2;=;5!;

흰 공이 나오는 순서를 생각하면

P(X=1)=3_;8$;_;1§0;_;1¢2;=;1£0;

P(X=1)=1-;1!1);=;1¡1;

P(X=2)=;1!1);_{1-;1ª0;}=;1¡1;

P(X=3)=;1!1);_;1ª0;_{1-;1ª0;}=;1¡1;

처음 주머니에 든 흰 공 개수와 검은 공 개수가 서로 같으므로

        ⋮

P(X=0)=P(X=3), P(X=1)=P(X=2)

이므로 확률변수 X의 확률분포는 다음과 같다.

P(X=10)=;1!1);_;1ª0;_y _{1-;2!;}=;1¡1;

X

1

2

P(X=x)

;1£0;

;1£0;

0

;5!;

3

;5!;

계

1



P(X=a)=;1!1);_;1ª0;_y _;2!;=;1¡1;

즉 확률변수 X의 확률분포는 다음과 같다.

E(X)=

0+3+6+6
10

=;2#;

따라서 p+q=5

06    9
GUIDE

확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이므로

P(X=1)=1-{P(X=0)+P(X=2)}임을 이용한다.


확률변수 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2이다.

1 X=0일 때

X

1

2

9

10

a

P(X=x)

;1¡1;

;1¡1;

;1¡1;

;1¡1;

;1¡1;

y

y

계

1

즉 E(X)=

1+2+y+10+a
11

=5+

>7에서

a
11

a>22이므로 a의 최솟값은 22

08    11
GUIDE

P(X<n)=1과 P(X=k)=P(X<k)-P(X<k-1)을 이용한다.


   5. 이산확률분포    55

P(X<k)=ak€이고 P(X<n)=1에서 an€=1

확률변수 X의 값은 5, 4, 3, 2, 1, 0 중 하나이다.

카드 두 장의 색이 같은 경우에서 빨간색 카드 두 장일 때, 노란색 카드

  4 3(6+12)=54(가지)

두 장일 때, 파란색 카드 두 장일 때가 있다. 또 이 각각의 경우에서 카드

4 X=2: (1, 3, ☐), (2, 4, ☐), (3, 5, ☐), (4, 6, ☐) 꼴

즉 a=

이므로 P(X<k)={

1
n€

€

k
n }

P(X=k)=P(X<k)-P(X<k-1)

               ={

€

k
n }

-{

k-1

n  }

E(X)=

kP(X=k)=

n
Ú
k=1



€

=

2k-1
n€
k  2k-1
n€

n
Ú
k=1

         =

1
n€

{

2n(n+1)(2n+1)
6

n(n+1)
2

}

-

         =

n(n+1)
n€

4n+2
6

{

-;6#;}

         =

(n+1)(4n-1)
6n

따라서 p+q+r=6+1+4=11

09    ③
GUIDE

에 적힌 수를 모두 생각한다.


1 카드 세 장의 색이 모두 다를 때
  P(X=0)= 3C1_2C1_2C1

7C3

=;3!5@;

2 카드 두 장의 색만 같을 때

  ① 빨간색 카드 두 장이

(1, 3)인 경우 : P(X=2)=;3¢5;

(1, 5)인 경우 : P(X=3)=;3¢5;

(3, 5)인 경우 : P(X=4)=;3¢5;

  ② 노란색 카드가 두 장인 경우 P(X=3)=;3∞5;

  ③ 파란색 카드가 두 장인 경우 P(X=1)=;3∞5;

3 카드 세 장의 색이 모두 같을 때 P(X=9)=;3¡5;

즉 X의 확률분포는 다음과 같다.

X

0

1

2

3

4

9

P(X=x)

;3!5@;

;3∞5;

;3¢5;

;3ª5;

;3¢5;

;3¡5;

계

1

E(X)=

5+8+27+16+9
35

=;3^5%;=;;¡7£;;

10    47
GUIDE

한다.


56    정답과 풀이

1 X=5: (1, 6, ☐) 꼴

(1, 6, 1)처럼 같은 것이 있는 경우  ⇨  2_

=6

(1, 6, 2)처럼 같은 것이 없는 경우  ⇨  4_3!=24

  4 6+24=30(가지)

2 X=4: (1, 5, ☐), (2, 6, ☐) 꼴

(1, 5, 1)처럼 같은 것이 있는 경우  ⇨  2_

=6

(1, 5, 2)처럼 같은 것이 없는 경우  ⇨  3_3!=18

(2, 6, ☐) 꼴도 마찬가지이다.

  4 2(6+18)=48(가지)

3 X=3: (1, 4, ☐), (2, 5, ☐), (3, 6, ☐) 꼴

(1, 4, 1)처럼 같은 것이 있는 경우  ⇨  2_

=6

(1, 4, 2)처럼 같은 것이 없는 경우  ⇨  2_3!=12

(2, 5, ☐), (3, 6, ☐) 꼴도 마찬가지이다.

3!
2!

3!
2!

3!
2!

3!
2!

(1, 3, 1)처럼 같은 것이 있는 경우  ⇨  2_

=6

(1, 3, 2)처럼 같은 것이 없는 경우  ⇨  3!=6

(2, 4, ☐), (3, 5, ☐), (4, 6, ☐) 꼴도 마찬가지이다.

  4 4(6+6)=48(가지)

5 X=1인 경우:

(1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 3, 2), (2, 3, 3), (3, 4, 3),

(3, 4, 4), (4, 5, 4), (4, 5, 5), (5, 6, 5), (5, 6, 6)

  에서 10_

=30(가지)

3!
2!

6 X=0인 경우는 세 수 모두 같을 때이므로 6(가지)

1~6에서 X의 확률분포는 다음과 같다.

X

0

1

2

3

4

5

P(X=x)

;21^6;

;2£1º6;

;2¢1•6;

;2∞1¢6;

;2¢1•6;

;2£1º6;

계

1

4 E(X)=

1
216

따라서 p+q=47

(30+96+162+192+150)=;1#2%;

11    11
GUIDE

를 구한다.


확률변수 X를 두 팀의 경기 횟수라 하자. 이 경우 X=2이면 두 팀이 치

른 경기 횟수가 2임을 뜻하므로 P(X=2)는 첫 경기는 무승부이고, 두

번째 경기는 무승부가 아닐 확률이다. 같은 방법으로 생각해서 확률분포

X는 5, 4, 3, 2, 1, 0 중 하나이므로 이 값을 기준으로 경우를 나누어 생각

확률변수 X를 두 팀의 경기 횟수라 하면 X가 가질 수 있는 값은

1, 2, y, 10이고, 이때 X에 대한 확률분포는 다음과 같다.

X

1

2

y

9

10

P(X=x)

1-r r(1-r) y r°(1-r)

r·(1-r)+r⁄‚

따라서 구하려는 기댓값은

E(X)=(1-r)(1+2r+3r€+y+10r·)+10r⁄‚

한편 S=1+2r+3r€+y+10r·이라 하면

rS=r+2r€+3r‹+y+10r⁄‚에서

(1-r)S=1+r+r€+y+r·-10r⁄‚=

-10r⁄‚

1-r10
1-r

1-r10
1-r

에서 E(X)=(1-r)S+10r⁄‚=

4 a+b=1+10=11

12    ③
GUIDE

X, Y 각각에 대한 확률분포를 이용해 XY에 대한 확률분포를 구한다.


A 주머니에서 공 2개를 꺼낼 때
흰 공이 0개 나올 확률은  2C2
5C2

=;1¡0;

흰 공이 1개 나올 확률은  3C1_2C1

5C2

=;1§0;

흰 공이 2개 나올 확률은  3C2
5C2

=;1£0;

B  주머니에서도  나오는  흰  공

개수에 따라 확률을 구해 정리

하면 표와 같다.

이때 XY=0인 경우는

(X, Y)가 (0, 0), (0, 1),

A

B

;1¡0;

;1§0;

;1£0;

;1£0;

;1§0;

;1¡0;

(0, 2), (1, 0), (2, 0)을 생각할 수 있으므로

P(XY=0)=

1_3+1_6+1_1+6_3+3_3
100

=;1£0¶0;

같은 방법으로 생각하면 XY의 확률분포는 다음과 같다.

XY

0

1

2

4

P(XY=x)

;1£0¶0;

;1£0§0;

;1™0¢0;

;10#0;

계

1



E(XY)=

0+36+48+12
100

=;2@5$;

13    56
GUIDE

한다.


확률분포를 이용해 구한 E(X)와 E(5X+1)=13을 이용해 a값을 정

확률변수 X의 확률분포는 다음과 같다.

X

P(X=x)

1

;5@;

2

;5!;

a

;5!;

5

;5!;

계

1



E(X)=1_;5@;+2_;5!;+a_;5!;+5_;5!;=

9+a
5

그런데 E(5X+1)=5 E(X)+1=13이므로

5_

9+a
5

+1=13에서 a=3

V(X)=1€_;5@;+2€_;5!;+3€_;5!;+5€_;5!;-{;;¡5™;;}
이때 r(X)="ƒV(X)= 'ß56
r(5X+1)=|5|r(X)='ß56 ='ßm 에서 m=56

이므로

5

€

=;2%5^;

14    35
GUIDE

판별식 a€-b€에서 a>b, a=b, a<b인 경우를 각각 따져 본다.


x€+2ax+b€=0의 판별식  ;;4Î;;=a€-b€에서

a>b이면 서로 다른 두 실근  ⇨  X=2

a=b이면 서로 같은 실근  ⇨  X=1

a<b이면 실근은 없다  ⇨  X=0

이때 a>b, a=b, a<b인 경우의 수는 차례대로

6C2=15, 6,  6C2=15이므로 확률변수 X의 확률분포를 표로 나

타내면 다음과 같다.

이때 E(X)=;3¡6; (6+30)=1

V(X)=

1€_6+2€_15
36

-1€=;6%;

4 E(6X-1)+V(6X+1)=6E(X)-1+6€ V(X)

                                            =6-1+30=35

15    1
GUIDE

를 구한다.


0, 2, 6이 적힌 카드가 각각 a장, b장, c장 있다고 생각해 E(X), V(X)

0, 2, 6이 적힌 카드가 차례로 a장, b장, c장 있다고 하면 X의 확

2

b
10

6

c
10

계

1



률분포는 다음과 같다.

P(X=x)

X

b
10

b
10

0

a
10

c
10

c
10

E(X)=2_

+6_

=3에서

b+3c=15

  yy ㉠

V(X)=2€_

+6€_

-3€<6에서

2b+18c<75

  yy ㉡

   5. 이산확률분포    57

0개 1개 2개

P(X=x)

;3!6%;

;3§6;

;3!6%;

X

0

1

2

계

1



㉠을 만족시키는 (b, c)는 (3, 4), (6, 3)이고 이중에서

㉡을 만족시키는 것은 (6, 3)

즉 2를 쓴 카드는 6장, 6을 쓴 카드는 3장이어야 하고,

a+b+c=10이므로 0을 쓴 카드는 1장이면 된다.

1등급 NOTE

a, b, c가 8 이하의 자연수이므로 b+3c=15를 만족시키는 것은

(1, 6, 3), (3, 3, 4) 두 가지 경우뿐이다. 두 경우에서 각각 V(X)를 구해

V(X)<6이 되는 것을 확인한다.

16    356
GUIDE

그림은  기울기가  - 1 ,  0 ,  1 인  접선이  원

x€+y€=2에 접하는 경우를 나타내고 있다.

이때 접선의 방정식은 각각
y=-x+2, y=+

'2 , y=x+2다.



y
2

O

'2

x

-2

-'2

18    ②
GUIDE

V(Xk)=

-{E(Xk)}€=

Xk€-64=1

1
n

n
Ú
k=1

n
Ú
k=1

2

Xk

n

4  1
n

n
Ú
k=1

Xk€=E(Xk€)=65

2(Xk+Yk)=20에서 Yk=10-Xk

이때 구하려는 E(XkYk)=

Xk Yk이므로

1
n

n
Ú
k=1

1
n

n
Ú
k=1

Xk Yk=

Xk(10-Xk)

1
n

n
Ú
k=1

                    =10_

1
n

n
Ú
k=1

Xk-

1
n

n
Ú
k=1

Xk€

                    =10E(Xk)-E(Xk€)=15

참고



임을 이용해도 된다.

E(XkYk)=E(10Xk-Xk€)=10E(Xk)-E(Xk€)

원  x€+y€=2에  접하는  기울기가  -1,  0,  1인  접선은  각각
'2, y=x+-2이므로 m, n의 값에 따른 교

y=-x+2, y=+

주사위를 던져 나온 눈의 수를 확률변수 X라 하면

E(mX+n)-100=0을 이용해 V(mX+n-100)을 구한다.


점의 개수 X는 다음과 같다.

n
m

-1

0

1

-3 -2 -1

0

0

0

1

0

1

2

2

2

0

2

2

2

1

2

2

2

2

1

0

1

3

0

0

0

두 상자 A, B에서 동시에 카드를 한 장씩 뽑는 전체 경우의 수가

3_7=21이므로 확률변수 X의 확률분포를 표는 다음과 같다.

X

0

1

2

P(X=x)

;2•1;

;2¢1;

;2ª1;

계

1



4 E(X)=1_;2¢1;+2_;2ª1;=;2@1@;

V(X)=E(X€)-{E(X)}€=

4+36
21

-{;2@1@;}

€=

356
21€

따라서 V(21X+8)=21€ V(X)=356

주사위를 던져 나온 눈의 수를 확률변수 X라 하면

E(X)=;6!; (1+2+3+4+5+6)=;2&; 이므로

E(mX+n-100)=mE(X)+n-100=;2&; m+n-100

문제의 조건에서 ;2&; m+n-100=0이고, m, n이 양의 정수이므

로  ;2&; m+n=100을 만족시키는 m은 짝수이다. 즉 (m, n)은

(2, 93), (4, 86), (6, 79), y, (28, 2)이다.

한편 참가비 100을 제외하고 받는 금액의 분산은

V(mX+n-100)=m€ V(X)이므로 이 분산의 값이 최소가 되

는 경우는 m의 값이 가장 작을 때, 즉 m=2, n=93일 때이다.

V(X)=

1€+2€+y+6€
6

€

-{;2&;}

=;1#2%;

에서 구하려는 분산의 최솟값은

V(2X-7)=2€ V(X)=4_;1#2%;=;;£3∞;;

17    15
GUIDE

직사각형의 가로 길이를 Xk, 세로 길이를 Yk라 하면, 구하려는 것이
E(Xk Yk)임을 생각한다. (단, k=1, 2, 3, y, n)


각 직사각형의 가로 길이를 Xk, 세로 길이를 Yk라 하자.

19    5
GUIDE

항분포를 이용한다.


A가 1점을 얻을 확률과 B가 1점을 얻을 확률을 구해 X, Y가 따르는 이

A, B 두 사람이 각각 주사위 한 개를 동시에 던질 때 나오는 눈

의 전체 경우의 수는 6_6=36이고, 두 주사위의 눈의 수의 차가

3보다 작은 경우의 수는 다음과 같다.

E(Xk)=

=8

n
Ú
k=1

Xk

n

58    정답과 풀이

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)  ⇨  6

흰 공 1개와 검은 공 4개가 들어있는 주머니에서 꺼낸 두 공 색이
서로 다를 확률은  1C1_4C1

5C2

=;1¢0;=;5@;

(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4),

즉 확률변수 X는 이항분포 B {200, ;1£0;} 을 따르고, 확률변수

1 차가 0인 경우의 수

2 차가 1인 경우의 수

(5, 6), (6, 5)  ⇨  10

3 차가 2인 경우의 수

  ⇨  8

(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 6), (6, 4)

1, 2, 3에서 차가 3보다 작은 경우는

6+10+8=24(가지)이므로 A가 1점을 얻을 확률은

;3@6$;=;3@; 이고, 이때 B가 1점을 얻을 확률은 ;3!; 이다.

15번의 시행에서 A가 얻는 점수를 확률변수 X라 하면

X는 이항분포 B {15, ;3@;} 를 따르고, B가 얻는 점수를 확률변수

Y라 하면 Y는 이항분포 B {15, ;3!;} 을 따른다.

E(X)=15_;3@;=10, E(Y)=15_;3!;=5

따라서 A, B가 얻는 점수 기댓값의 차는 5점이다.

20    4
GUIDE

P(X=x)=9Cx {;2!;}


x

9-x

{;2!;}

=9Cx {;2!;}

9
(x=0, 1, y, 9)

Y는 이항분포 B {n, ;5@;} 를 따른다.

E(X)=200_;1£0;=60, V(X)=200_;1£0;_;1¶0;=42

E(Y)=n_;5@;=;5@; n, V(Y)=n_;5@;_;5#;=;2§5; n

이때 ;5@; n1=60, ;2§5; n2=42이므로 n1=150, n2=175

4 n1+n2=150+175=325

22    12
GUIDE

㈎, ㈏를 이용해 n, p의 값을 각각 구한다. 이때 확률질량함수가
P(X=r)=nCr pr(1-p)n-r임을 이용한다.


이항분포 B(n, p)를 따르는 확률변수 X의 확률질량함수는
P(X=r)=nCr pr(1-p)n-r (r=0, 1, 2, y, n)
조건 ㈎에서 P(X=n-1)=48P(X=n)이므로
nCn-1 pn-1 (1-p)=48_nCn pn
4 n(1-p)=48p
  yy ㉠

조건 ㈏에서 V(X)=3이므로 np(1-p)=3

  yy ㉡

확률변수 X는 이항분포 B {9, ;2!;}을 따르므로

㉠을 ㉡에 대입하면 48p€=3, p=;4!; (0<p<1)

P(X=x)=9Cx {;2!;}

{;2!;}

=9Cx {;2!;}

x

9-x

9
(x=0, 1, y, 9)

이때 P(X<k)<0.5에서

k
Ú
x=0

9Cx {;2!;}

9
<0.5

4

k
Ú
x=0

9Cx <256

p=;4!; 을 ㉠에 대입하면  ;4#; n=12

  4 n=16

즉 확률변수 X가 이항분포 B {16, ;4!;} 을 따르므로

E(X)=16_;4!;=4, V(X)=16_;4!;_;4#;=3

그런데 9C0+9C1+9C2+y+9C9=2·이고

이때 E(X-1)=E(X)-1=3, V(X-1)=V(X)=3

9C0+9C1+9C2+9C3+9C4=9C9+9C8+9C7+9C6+9C5

4 E((X-1)€)=V(X-1)+{E(X-1)}€=12

이므로 9C0+9C1+9C2+9C3+9C4=;2!;_2·=256

따라서 E(X€-2X+1)=E((X-1)€)=12

따라서 자연수 k의 최댓값은 4이다.

참고



E(X€)=V(X)+{E(X)}€=3+16=19이므로

E(X€-2X+1)=E(X€)-2E(X)+1=19-8+1=12

처럼 풀어도 된다.

21    325
GUIDE

조건에 주어진 확률을 각각 구해 두 확률변수 X, Y가 따르는 이항분포

에서 E(X)=E(Y), V(X)=V(Y)를 이용한다.


흰 공 3개와 검은 공 2개가 들어 있는 주머니에서
두 개 모두 흰 공이 나올 확률은  3C2
5C2

=;1£0;

23    ⑤
GUIDE
50Cx_4x



x

50-x

550 =50Cx {;5$;}

{;5!;}

임을 이용한다.

   5. 이산확률분포    59

P(X=x)= 50Cx_4x

x

50-x

550 =50Cx {;5$;}

{;5!;}

이므로

부품 7개 중에서 임의로 1개를 택한 것이 T인 사건을 A라 하고,

추가된 부품이 모두 S인 사건을 B라 하면 구하려는 확률은

확률변수 X는 이항분포 B {50, ;5$;} 를 따른다.

E(X)=40, V(X)=8이고

50
Ú
x=0

x€50Cx  4x

549 =5

50
Ú
x=0

x

50-x

x€50Cx {;5$;}

{;5!;}

                      =5E(X €)=5(8+1600)=8040

P(B|A)=

P(ADB)
P(A)

=

;4!;_;7@;

;4!;_;7$;+;2!;_;7#;+;4!;_;7@;

=;6!;

참고



X=0이면 부품 7개 중 S가 3개, T가 4개

X=1이면 부품 7개 중 S가 4개, T가 3개

X=2이면 부품 7개 중 S가 5개, T가 2개

24    ③
GUIDE



6
Ú
x=1

6
Ú
x=1

P(X=x)=1을 이용해 k값을 구한다.

26    185
GUIDE

P(X=x)=

6Cx=

(2ﬂ-1)=1이므로

1
k

6
Ú
x=1

1
k

횟수의 차 X는 X=|Y-(5-Y)|=|2Y-5|


6의 약수가 나온 횟수를 Y라 하면 6의 약수가 아닌 횟수는 5-Y이므로

k=2ﬂ-1=63=3€_7

E(X)=

xP(X=x)=

6
Ú
x=1

1
k

6
Ú
x=1

x 6Cx

         =

2ﬂ
k

6
Ú
x=1

x 6Cx {;2!;}

6
=

2ﬂ
k

6
Ú
x=0

x 6Cx {;2!;}

6
=

2ﬂ
k

_3

5 이항분포 B {6, ;2!;} 를 따르는 확률변수의 확률질량함수는

{

Y=0, 5일 때, X=5

Y=1, 4일 때, X=3

Y=2, 3일 때, X=1

6의 약수가 나온 횟수를 Y라 하면 6의 약수가 아닌 횟수는 5-Y

이므로 횟수의 차 X는 X=|Y-(5-Y)|=|2Y-5|이다.

6Cx {;2!;}

6
이고 평균은

6
Ú
x=0

6

x 6Cx {;2!;}

=6_;2!;=3}

다음과 같다.

매회 시행마다 사건 Y가 일어날 확률이  ;3@; 이므로 각각의 확률은

따라서 m=

_3에서 k€m=2ﬂ_3k=2ﬂ_3‹_7이므로

P(X=1)=5C2 {;3@;}

{;3!;}

+5C3 {;3@;}

{;3!;}

=;2!4@3);

2ﬂ
k

a+b+c=10

1등급 NOTE

항등식 (x+1)n=

nCk xk의 양변을 x에 대하여 미분하면

n
Ú
k=0

n
Ú
k=1

n(x+1)n-1=

k_nCk xk-1

위 식의 양변에 x=1을 대입하면 n_2n-1=

n
Ú
k=1

knCk

4

6
Ú
x=1

x 6Cx=6_2ﬁ=3_2ﬂ

25    ①
GUIDE

추가된 부품 S의 개수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포 B {2, ;2!;} 을

따르므로 P(X=k)=2Ck {;2!;}


€을 구할 수 있다. (단, k=0, 1, 2)

추가된 부품 중 S의 개수를 X라 하면 B {2, ;2!;} 을 따르므로

P(X=0)=2C0 {;2!;}

{;2!;}

=;4!;

0

1

2

1

P(X=1)=2C1 {;2!;}

{;2!;}

=;2!;, P(X=2)=2C2 {;2!;}

=;4!;

2

60    정답과 풀이

2

1

0

3

4

5

3

4

5

2

1

0

P(X=3)=5C1 {;3@;}

{;3!;}

+5C4 {;3@;}

{;3!;}

=;2ª4º3;

P(X=5)=5C0 {;3@;}

{;3!;}

+5C5 {;3@;}

{;3!;}

=;2£4£3;

따라서 X의 확률분포는 다음과 같다.

X

1

3

5

P(X=x)

;2!4@3);

;2ª4º3;

;2£4£3;

계

1



E(X)=

120+270+165
243

=

555
243

=

185
81

따라서 E(81X)=81E(X)=185

STEP 3

1등급 뛰어넘기

p. 69~71

01  32

05  ④

09  1

02  100

06  17분

10  21

03  422

07  ②

04  58

08  ④

01    32
GUIDE

풀게 됨을 주의한다.


03    422
GUIDE

P(X=3)을 구해보면서 P(X=k)를 생각한다.


1번과 2번 문제를 맞히면 3점을 얻으므로 3번을 틀리더라도 4번 문제를

간단한 경우, 예를 들어 n=3일 때 P(X=0), P(X=1), P(X=2),

퀴즈가 끝날 때까지 답한 문제 수를 X일 때 X=1은 1번 문제를

n번 시행 후 점 A의 위치를 확률변수 X라 하면

틀리는 경우이고, X=2는 1번 문제를 맞히고, 2번 문제를 틀리

는 경우이다. 또 X=3은 1번, 2번 문제를 풀고 3번 문제까지만

P(X=0)=;3!;

답하는 경우인데, 1번, 2번 문제를 풀면 3점을 얻으므로 3번 문제

를 틀리더라도 점수가 음수가 아니므로 4번 문제를 풀게 된다. 따

라서 X에 대한 확률분포는 다음과 같다.

X

2

4

3

0

계

1



P(X=x)

;1ª0;_;1™0;

;1ª0;_;1•0;

1

;1¡0;

이때 P(X=4)가 가장 큰 값이므로 k=4

또 퀴즈가 끝날 때 점수를 Y라 하면 확률분포는 다음과 같다.

1<k<n-1일 때 P(X=k)=;3!; {;3@;}

k

n

P(X=n)={;3@;}

이다. 따라서 En은 다음과 같다.

En=0_;3!;+

k_;3!;_{;3@;}

+n {;3@;}

n-1
Ú
k=1

k

n

    =;3!;_;3@;+;3@;_{;3@;}

+;3#;_{;3@;}

2

3
+y

+

n-1
3

{;3@;}

n-1

n

+n {;3@;}

이때  ;3@; En=;3!;_{;3@;}

+;3@;_{;3@;}

+y+n {;3@;}

이므로

2

3

n+1

En-;3@; En=;3!; [;3@;+{;3@;}

+y+{;3@;}

]

2

n-1

-(n-1);3!; {;3@;}

n
+

n
3

n

{;3@;}

4 En=;3@;+{;3@;}

+y+{;3@;}

+{;3@;}

=2 [1-{;3@;}

]

2

n-1

n

n

P(Y=-1)=;1¡0;+;1ª0;_;1™0;

P(Y=-4)=;1ª0;_;1•0;_;1£0;_;1¢0;

P(Y=2)=;1ª0;_;1•0;_;1¶0;_;1¢0;

P(Y=4)=;1ª0;_;1•0;_;1£0;_;1§0;

P(Y=10)=;1ª0;_;1•0;_;1¶0;_;1§0;

02    100
GUIDE

ab=;2!; {(a+b)€-(a€+b€)}

이때 P(Y=-4)가 가장 작은 값이므로 m=-4

따라서 k€+m€=4€+(-4)€=32

이때 E5=2 {1-;2£4™3;}=;2$4@3@; 이므로

예를 들어 n=3일 때 P(X=0)을 다음과 같이 생각할 수 있다.

243E5=422

참고



1 5 이상의 눈이 한 번만 나오는 경우

;3@;_;3@;_;3!;=;2¢7;

2 5 이상의 눈이 두 번 나오는 경우

;3@;_;3!;_;3!;+;3!;_;3@;_;3!;=;2¢7;

3 5 이상의 눈이 세 번 나오는 경우

1, 2, 3에서 P(X=0)=

4+4+1
27

=;3!;

또 P(X=1)=;3!;_;3!;_;3@;+;3@;_;3!;_;3@;=;3!;_;3@;

P(X=2)=;3!;_;3@;_;3@;=;3!;_{;3@;}

2

P(X=3)={;3@;}

3


04    58
GUIDE

n=2, 3, 4, 5, 6 각각에 대하여 X에 대한 경우의 수를 구한다.


ab+bc+ca=;2!; {(a+b+c)€-(a€+b€+c€)}

ab+bc+y+ja=;2!;  {(a+b+y+j÷)€-(a€+b€+y+j÷€)}


두 장의 카드를 동시에 꺼내므로 같은 수가 적힌 카드가 나올 수

;3!;_;3!;_;3!;=;2¡7;

는 없다. 즉 확률변수 X는 1부터 10까지의 수 중 서로 다른 두

수의 곱이 되고, 모든 확률변수들의 합은 다음과 같다.

;2!; {(1+2+y+10)€-(1€+2€+y+10€)}

=;2!; {55€-

10_11_21
6

}=

55_48
2

=55_24

한편 각 확률변수가 나타날 확률은  1
10C2

=;4¡5; 로 일정하므로

E(X)=

55_24
45

=

88
3

4 E(3X+12)=3E(X)+12=100

   5. 이산확률분포    61

1, 2, 3이 적힌 공의 개수를 차례로 a, b, c라 하자.

a+b+c=10에서 n=2이면 a=2, b=2, c=6이다.

즉 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3에서 두 수를 뽑는 전체 경우의 수가

10C2=45이므로 두 수의 합과 이때의 확률변수 X에 대한 확률분

이때 E(bk)=;6!; (0+4+0+8+0+12)=4

E(Fn(1)+Fn(-1))=E {

n
Ú
k=1

bk}=

n
Ú
k=1

E(bk)=4n

포는 다음과 같다.

합

X

경우의 수

P(X=x)

1+1

1+2

1+3

2+2

2+3

3+3 계

2

1

3

4

0

12

0

1

1

12

2

15

06    17분
GUIDE

45

1

;4¡5;

;4¢5;

;4!5@;

;4¡5;

;4!5@;

;4!5%;

이때 E(X)=

2_1+3_4+1_12+2_15
45

=;4%5^;

같은 방법으로 n=3, 4, 5, 6일 때 1, 2, 3이 적힌 공의 개수에 대

a, b를 모두 지나가는 경우, a, b 중 하나만 지나는 경우, a, b 둘 다 지나

지 않는 경우로 나누어 생각한다.


가능한 모든 최단 경로의 수는   8!
4!4!

=70

이다. 이때 a, b를 동시에 지나는 경로의 수

는 2_3=6이고, 이 경우 걸리는 시간은

B

b

a

A

하여 두 수의 합과 이때의 확률변수 X의 경우의 수를 정리하면

21분이다.

다음과 같다

a는 지나지만 b를 지나지 않는 경로의 수는

X

n=2

n=3

n=4

n=5

n=6

2_3_2+2_1=14이고, 이 경우 걸리는 시간은 15분이다.

또 a를 지나지 않고, b를 지나는 경로의 수는 9이고, 이 경우 걸

2

3

0

0

1

2

1+1

1+2

1+3

2+2

2+3

3+3

X의 합

1

4

12

1

12

15

56

1

6

10

3

15

10

55

1

8

8

6

16

6

54

1

10

6

10

15

3

53

1

12

4

15

12

1

52

리는 시간은 22분이다.

a, b를 모두 지나지 않는 경로의 수는

70-(6+14+9)=41

이고, 이 경우 걸리는 시간은 16분이다.

A 지점에서 B 지점으로 가는 데 걸리는 시간의 기댓값은

(21_6)+(15_14)+(22_9)+(16_41)
70

=17(분)

n=2, 3, y, 6 중 n=2일 때 X와 경우의 수를 곱한 것들의 합

이 가장 크다. 즉 a=2이고, 이때 기댓값 E(X)=;4%5^;=b에서

45b=56이므로 a+45b=2+56=58

07    ②
GUIDE

(x, y)에서 (x+1, y+1)으로의 점프가 가장 많을 때, 즉 세 번 있을 때

X는 가장 작다. 이때 총 점프 횟수는 4이다.

마찬가지로 (x, y)에서 (x+1, y+1)으로의 점프가 두 번일 때, 한 번일

때, 한 번도 없을 때를 생각한다.


좌표평면 위의 한 점 (x, y)에서 세 점 (x+1, y), (x, y+1),

(x+1, y+1)로 이동하는 것을 차례로 a, b, c라 하고,

점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동하는 모든 경우의 수를 N이라

하자.

점 (0, 0)에서 점 (4, 3)까지 이동할

때 점프 횟수가 가장 작은 경우는 그

림처럼 a, c, c, c를 일렬로 나열할

때이다. 이때 점프 횟수는 4이므로

(0, 0)

a

k=4이고, X=4가 되는 경우의 수는

(4, 3)

c

c

c

4!
3!

=4

또 가장 큰 값은 k+3=4+3=7이다.

4 P(X=k)=P(X=4)=

1
N

_

=

4!
3!

4
N

05    ④
GUIDE

Fn(1)+Fn(-1)
={ f¡(1)+f¡(-1)}+{ f™(1)+f™(-1)}+y+{ fn(1)+fn(-1)}
이므로  fk(1)+fk(-1)을 생각한다.


Fn(1)=f¡(1)+f™(1)+y+fn(1)

Fn(-1)=f¡(-1)+f™(-1)+y+fn(-1)

이고, 이때  fk(1)+fk(-1)=bk라 하자.

k번째 나온 눈의 수가 짝수이면

fk(1)=ak,  fk(-1)=ak

k번째 나온 눈의 수가 홀수이면

fk(1)=ak,  fk(-1)=-ak

bk=[

2ak  (ak가 짝수)
  0     (ak가 홀수)



62    정답과 풀이

4 P(X=6)=P(X=k+2)=

1
N

_

6!
3!2!

1
N

=

_60=㈏

P(Xn=2k+4)=

, y, P(Xn=2n)=

점프 횟수가 5, 즉 X=5인 경우의 수

는 그림처럼 a, a, b, c, c를 일렬로

나열하는 경우의 수와 같으므로

c
b

(0, 0)

a a

5!
2!2!

=30

4 P(X=5)=P(X=k+1)=

1
N

_

5!
2!2!

=

30
N

점프  횟수가  6, 즉 X=6인  경우의

(4, 3)

수는 그림처럼 a, a, a, b, b, c를 일렬

로 나열하는 경우의 수와 같으므로

c
b

b

(0, 0)

a aa

6!
3!2!

=60

점프 횟수가 7, 즉 X=7인 경우의

수는 그림처럼 a, a, a, a, b, b, b

를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같

(4, 3)
b

b

b

(0, 0)

aa

a a

으므로

7!
4!3!

=35

4 P(X=7)=P(X=k+3)=

1
N

_

7!
4!3!

=

35
N

또

P(X=i)=1, 즉

P(X=i)=1에서

k+3
Ú
i=k

4
N

30
N

7
Ú
i=4

35
N

+

+

+

=1

  4 N=129=㈐

4 E(X)=

{i_P(X=i)}

60
N

k+3
Ú
i=k

               =4_;12$9;+5_;1£2º9;+6_;1§2º9;+7_;1£2∞9;

               =;;™4∞3¶;;
따라서 a=4, b=60, c=129이므로 a+b+c=193

(4, 3)

c

7, 5, 3, 1이므로

이때 Xn=2, 4, y, 16인 각각의 경우의 수는 차례로 1, 3, 5, 7,

1
8€

7
8€

3
8€

1
n€

P(X=2)=

, P(X=4)=

, P(X=6)=

P(X=8)=

, P(X=10)=

, P(X=12)=

P(X=14)=

, P(X=16)=

이것을 n=2k인 경우에서 생각해 보면

P(Xn=2)=

, P(Xn=4)=

, P(Xn=6)=

y, P(Xn=2k)=

, P(Xn=2k+2)=

3
8€

7
8€

1
8€

3
n€

5
8€

5
8€

5
n€

2k-1
n€

1
n€

2k-1
n€

2k-3
n€

k=1, 2, y,  n
2

n
2

+1,  n
2

일 때와 k=

+2, y, n일 때로 나누

어 Xn의 확률분포를 구하면 다음과 같다.

Xn

P(Xn=2k)

2

1
n€

4

3
n€

Xn

n+2

n+4

2n-2

P(Xn=2k)

n-1
n€

n-3
n€

E(Xn)=(2+2n)_

+{4+(2n-2)}_

+y

1
n€

6

5
n€

y

y

n

n-1
n€

2n

1
n€





y

y

3
n€

3
n€

+{n+(n+2)}_

n-1
n€

          =(2n+2){

1
n€

3
n€

+

+y+

n-1
n€ }

          =

(2k-1)

2n+2
n€

;2N;

Ú
k=1

          =

2n+2
n€

_

n€
4

          =

n+1
2

09    1
GUIDE
Yn이 될 수 있는 값을 0, 1, 2, 2k으로 생각한다.


Xk는 0, 1, 2 중 하나이고, 각 값을 가질 확률은 ;3!; 이다.

1 Yn=0, 즉 Xk=0이 적어도 한 번 나오는 경우이므로

  P(Yn=0)=1-{;3@;}

n

   5. 이산확률분포    63

순서쌍 (a, b) 중에서 a+b=2k가 되는 경우를 생각해 Xn의 확률분포

  4 E(2Xn)=2 E(Xn)=n+1

다음은 n=8일 때 Xn=2, 4, y, 16인 경우를 나타낸 것이다.

1

2

3

4

5

6

7

8

08    ④
GUIDE

를 구한다.


1

2

3

4

5

6

7

8

2 Yn=1, 즉 n번 모두 Xk=1인 경우이므로

V(X)=E(X€)-{E(X)}€

  P(Yn=1)={;3!;}

n

경우이므로

3   Yn=2, 즉 (n-1)번은 Xk=1이고, Xk=2는 한 번만 있는

  P(Yn=2)=nC1 {;3!;}
4  Yn=2k, 즉 (n-k)번은 Xk=1, k번은 Xk=2인 경우이므로

n

n

  P(Yn=2k)=nCk {;3!;}

4 E(Yn)=

n
Ú
k=0

2k nCk {;3!;}

n

               ={;3!;}

               ={;3!;}

n
n

Ú
k=0

2k nCk

n
(1+2)n=1

          =

(n+2)(n+1)
2

-

2(n+1)
3

-[

2(n+1)
3

€
]

          =

9n€+27n+18-12n-12-8n€-16n-8
18

          =

(n+1)(n-2)
18



즉 a=18, b=1, c=2이므로 a+b+c=21

참고



➊ 1+2+3+y+(n-1)=

n(n-1)
2

=nC2

➋ rCr+r+1Cr+r+2Cr+y+nCr=n+1Cr+1

➌ k(k-1)=2_

k(k-1)
2

=2 kC2

➍ (k+1)kC2=

(k+1)k(k-1)
2_1

=

3(k+1)k(k-1)
3_2_1

=3 k+1C3

10    21
GUIDE

➊   n=4일 때 X=2이면 뿐이고, X=3이면 ◯, ◯으로 두

가지, X=4이면 ◯◯, ◯◯, ◯◯으로 세 가지이다. 즉

X=k(k>2)가 되는 경우의 수는 (k-1)이고, 검은 공 2개를 모두

꺼내는 경우의 수는 1+2+3=6=4C2이다.

➋ P(X=k)를 구한다.

➌ E(X)=Úxi pi, E(X€)=Úxi€ pi 임을 이용한다.


공 n개 중에서 검은 공 2개를 모두 꺼내는 경우의 수는 nC2이고,

X=k(k>2)가 되는 경우의 수는 (k-1)이다.

          =

2
nC2

n
Ú
k=2

kC2=

4
n(n-1)

n+1C3

즉 P(X=k)=

k-1
nC2

E(X)=

n
Ú
k=2

k(k-1)
nC2

          =

2(n+1)
3

E(X€)=

n
Ú
k=2

k€(k-1)
nC2



           =2

n
Ú
k=2

kkC2
nC2

n
Ú
k=2

n
Ú
k=2

2
nC2

2
nC2

2
nC2

           =

{(k+1)kC2-kC2}

           =

(3k+1C3-kC2)

           =

(3n+2C4-n+1C3)

           =

(n+2)(n+1)
2

-

2(n+1)
3

64    정답과 풀이

6

정규분포와 통계적 추정

STEP 1

1등급 준비하기

㉠, ㉡에서 ka€=1

  yy ㉢

㉡의 양변을 x에 대하여 미분하면  f(x)=2kx

p. 74 ~77

4 E(X)=…

xf(x)dx=…

0

a

0

a
2kx€dx

01  2

05  78

09  ④

13  96

17  10

21  ⑤

02  ③

06  ③

10  60

14  72

18  9

22  94

03  ②

07  ④

11  84

15  23

19  204

23  51

04  70

08  5

12  10명

16  28

20  167

24  68

하루 동안 손님들에게 a L 이상을 제공할 확률이 ;1§2¢5; 이므로

01    2
GUIDE

P(X>a)=…


a

10

3
1000

(x-10)€dx=;1§2¢5;

P(X>a)=…

a

10

3
1000

(x-10)€dx

               =

(3x€-60x+300)dx

10

1
1000

…

a

               =

1
1000

(10-a)‹=;1§2¢5;

즉 10-a=;5$;_10=8에서 a=2

=;2!; [P(-1<X<1)-P {-;3!;<X<;3!;}]

=;2!; {a-;9!; a}=;9$; a=;8¢1;

03    ②
GUIDE
a

f(x)dx=1,  …

0

…
0


x
f(x)dx=kx€을 이용한다.

확률변수 X의 확률밀도함수를  f(x)(0<x<a)라 하면

확률밀도함수의 성질에서  …

0

a
f(x)dx=1

  yy ㉠

P(0<X<x)=…

0

x
f(t)dt=kx€

  yy ㉡

              =;3@; ka‹=ka€_;3@; a=1

즉 a=;2#; 이므로 이 값을 ㉢에 대입하면 k=;9$;

04    70
GUIDE

f(x)dx=1임을 이용한다.

1

…
0


f(x)=…(-2x+2)dx=-x€+2x+C (단, C는 적분상수)이고,

f '(x)=-2x+2이고, 구간 [0, 1]에서  f(x)가 연속이므로

f(x)=…(-2x+2)dx=-x€+2x+C (단, C는 적분상수)

f(x)가 확률밀도함수이므로

1

…

0

(-x€+2x+C)dx=“-;3!; x‹+x€+Cx‘

=1

1

0

4 C=;3!;

E(X)=…

xf(x)dx=…

{-x‹+2x€+;3!; x}dx=;1¶2;

1

0

1

0

따라서 120k=70

b

…
0


b

…

0

axdx=1이므로 ;2!; ab€=1에서 ab€=2

  yy ㉠

E(X)=…

xf(x)dx=“;3!; ax‹‘

=;3!; ab‹=;3@; b

b

0

b

0

V(X)=…

0

1
x€ f(x)dx-{E(X)}€

          =“;4!; ax›‘

-;9$; b€=2

b

0

즉 b€=36에서 b=6 (b>0)

따라서 E(X)=;3@;_6=4이고 ㉠에서 a=;1¡8;

이때 확률변수 Y=;a!; X+b=18X+6이므로

E(Y)=18 E(X)+6=78

   6. 정규분포와 통계적 추정    65

02    ③
GUIDE

P(3a<X<9a)

=P {;3!;<X<1}

조건 ㈏에 x=3을 대입하면 확률의 합이 1임을 이용할 수 있다.


㈏에 x=3을 대입하면 9a=1에서 a=;9!;

y=f(x)

05    78
GUIDE

-1

-;3!;

O

;3!;

x

1

axdx=1도 생각한다.

E(X)=…

xf(x)dx, V(X)=…

0

b

0

b
x€ f(x)dx-{E(X)}€}을 이용한다.

06    ③
GUIDE

에 대하여 대칭이다.


f(5)가 최댓값이다. ( ◯ )

ㄴ. 확률밀도함수  f(x)는 x=5에 대

   하여 대칭이므로 그림에서 색칠해

서 나타낸 두 부분의 넓이는 같다.

   4 P(5+a<X<5+b)

       =P(5-b<X<5-a) ( ◯ )

ㄷ. 그림에서 S¡<S™이고, S™=S£이므로

   P(3<X<4)<P(4<X<5)

   4 P(3<X<4)

       <P(5<X<6) ( _ )

확률밀도함수  f(x)는 x가 평균값일 때 최댓값을 가지고, 그래프는 평균

y=f(x+3)의 그래프는 y=f(x)의 그래프를 x축 방향으로-3만큼 평

행이동한 것이다. 즉 Y의 평균은 185-3=182이고, 이때 Y의 표준편차

ㄱ.   확률밀도함수  f(x)는 x가 평균값일 때 최댓값을 가지므로

09    ④
GUIDE

는 변함없다.


X~N(185, 5€)이고 Y의 확률밀도함수가  f(x+3)이므로

Y~N(182, 5€), 이때 Z=

라 하면

Y-182
5

Z는 표준정규분포를 따른다. 즉

5-a 5+a
5

x
5+b

5-b

P(179<Y<184)=P {

179-182
5

<Z<

184-182
5

}

                            =P(-0.6<Z<0.4)

                            =0.23+0.16=0.39

S™

S£

S¡
4

3

5

6

x

07    ④
GUIDE

만 바뀐다.



➊ 종 모양인 정규분포곡선은 직선 x=(평균)에 대하여 좌우대칭이고,

  x=(평균)일 때 최댓값을 가진다.

➋   r가 일정할 때 m이 변하면 곡선의 모양은 변하지 않고 대칭축의 위치

y=f(x)

ㄱ.   확률변수 X¡의 확률밀도함수 y=f(x)의 그래프에서 x=m¡

일 때 최대이므로  f(2m¡)<f(m¡) ( _ )

ㄴ.   표준편차 r가 일정하면 대칭축의 위치는 바뀌지만 곡선의 모

양은 변하지 않는다.

4  f(m¡)=g(m™) ( ◯ )

ㄷ. 두 확률밀도함수  f(x),

   g(x)의 그래프는 각각

x=m¡,  x=m™에  대하

여  대칭이므로  m¡<m™

y=f(x)

y=g(x)

m¡

k

m™

x

즉  k-50

5

=2이므로 k=60

10    60
GUIDE

그림에서 색칠한 두 부분의 넓이를 식으로 나타내면

P(50<X<k)=P(-2<Z<0)이므로 좌변을 표준화한다.

이때 P(-2<Z<0)=P(0<Z<2)을 생각한다.


y=g(z)

50
[그림 1]

xk

-2

0
[그림 2]

z

[그림 1]에서 색칠한 부분의 넓이는

P(50<X<k)=P {0<Z<

k-50
5

}

[그림 2]에서 색칠한 부분의 넓이는 P(-2<Z<0)

P {0<Z<

k-50
5

}=P(-2<Z<0)=P(0<Z<2)

일 때  f(k)=g(k)이면 그림처럼 생각할 수 있다.

4 P(m¡<X¡<k)=P(k<X™<m™) ( ◯ )

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ

08    5
GUIDE

P(X>k)=P(Y<k)에서 두 확률변수를 각각 표준화하여 비교한다.


E(X)=4이므로 E(Y)=E(2X-1)=2E(X)-1=7

r(X)=a라 하면 r(Y)=r(2X+1)=2r(X)=2a

이때 P(X>k)=P {Z>

k-4
a }, P(Y<k)=P {Z<

k-7
2a }

P {Z>

k-4
a }=P {Z<

k-4
a }이므로

k-4
a

+

k-7
2a

=0에서 k=5

66    정답과 풀이

㈎에서 m값을 구하고 V(X)=E(X€)-{E(X)}€과 ㈏를 이용해 r를

11    84
GUIDE

구하면 표준정규분포를 이용할 수 있다.


확률변수 X의 정규분포곡선은

X=m에 대하여 대칭이고,

㈎에서 그림처럼 나타낼 수 있다.

4 m=

70+50
2

=60

50

m

70

x

㈏에서 V(X)=E(X€)-{E(X)}€=3664-3600=64

4 r=8

즉 확률변수 X는 정규분포 N(60, 8€)을 따르고, Z=

X-60
8

으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1€)을 따른다.

P(X<68)=P {Z<

68-60
8

}=P(Z<1)

                 =P(Z<0)+P(0<Z<1)

                 =0.5+0.34=0.84=p

따라서 100p=84

12    10명
GUIDE

합격자의 최저 점수를 k로 놓고 P(X>k)=;5!0)0);=0.2임을 이용한다.


응시자 500명의 점수를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포

N(140, 20€)을 따르고, 이때 Z=

으로 놓으면

X-140
20

Z는 표준정규분포 N(0, 1€)을 따른다.

합격자의 최저 점수를 k라 하면

P(X>k)=P {Z>

k-140
20

}=;5!0)0);=0.2

표준정규분포표에서 P(0<Z<0.8)=0.3이므로

P(Z>0.8)=0.2, 즉  k-140

=0.8에서 k=156

20

4 k=72

15    23
GUIDE

해외연수를 가려면 156+24=180(점) 이상을 받아야 하므로

P(X>180)=P(Z>2)=0.02

따라서 해외연수를 가게 되는 학생은 500_0.02=10(명)

B {1800, ;3@;} 를 따르므로

A, B 두 과수원에서 생산하는 귤 무게를 각각 확률변수 X, Y라 하고

                     =0.5-0.477=0.023

13    96
GUIDE

P(X<98)=P(Y<a)를 이용한다.


A 과수원에서 생산하는 귤 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정

규분포 N(86, 15€)을 따르고, B 과수원에서 생산하는 귤 무게를

확률변수 Y라 하면 Y는 정규분포 N(88, 10€)을 따른다. 이때

Z¡=

X-86
15

, Z™=

Y-88
10

이라 하면

Z¡, Z™는 각각 표준정규분포 N(0, 1€)을 따른다.

A과수원에서 임의로 선택한 귤 무게가 98 이하일 확률은

P(X<98)=P {Z¡<

}=P {Z¡<;5$;}

  yy ㉠

98-86
15

또 B 과수원에서 임의로 선택한 귤 무게가 a 이하일 확률은

P(Y<a)=P {Z™<

a-88
10

}

  yy ㉡

주어진 조건에서 ㉠=㉡이므로

;5$;=

a-88
10

4  a=96

14    72
GUIDE

확률변수 X가 이항분포 B {400, ;5!;} 을 따르고 이때 이항분포 ⇨ 정규분
포 관계를 이용한다.


확률변수 X가 이항분포 B {400, ;5!;} 을 따르므로

E(X)=400_;5!;=80, V(X)=400_;5!;_;5$;=8€

400은 충분히 크므로 확률변수 X는 정규분포 N(80, 8€)을 따른

다고 할 수 있다.

즉 확률밀도함수의 그래프가 X=80에 대하여 대칭이므로

P(k<X<k+16)이 최대가 되려면  k+(k+16)

=80이면 된다.

2

교체 공사에 찬성하는 세대주 수를 확률변수 X라 하고 이항분포 ⇨ 정규

분포 ⇨ 표준정규분포 관계를 이용한다.


교체에 찬성하는 세대주 수를 확률변수 X라 하면 X는 이항분포

E(X)=1800_;3@;=1200, V(X)=1800_;3@;_;3!;=400

1800은 충분히 크므로 확률변수 X는 정규분포 N(1200, 20€)을

따른다고 할 수 있다.

P(X>1240)=P {Z>

1240-1200
20

}=P(Z>2)

따라서 공사를 결정할 확률은  23
1000

이므로 p=23

16    28
GUIDE

100문제 중에서 맞힌 문제의 개수를 확률변수 X라 하고

이항분포 ⇨ 정규분포 ⇨ 표준정규분포 관계를 이용한다.


100문제 중에서 맞힌 문제 개수를 확률변수 X라 하면

X는 이항분포 B {100, ;5!;} 을 따르므로

E(X)=100_;5!;=20, V(X)=100_;5!;_;5$;=16

100은 충분히 크므로 확률변수 X는 정규분포 N(20, 4€)을 따른

다고 할 수 있다. 이때 P(X>k)=0.02이므로

   6. 정규분포와 통계적 추정    67

P(X>k)=P {Z>

k-20
4

}

=0.5-P {0<Z<

k-20
4

}=0.02

4 P {0<Z<

k-20
4

}=0.48

주어진 표에서 P(0<Z<2)=0.48이므로

k-20
4

=2

4 k=28

P(0<Z<2'n-5)=0.34
표에서 P(0<Z<1)=0.34이므로 2'n-5=1

4 n=9

19    204
GUIDE

X”가 따르는 정규분포를 구해 P(X”>200)=0.9772임을 이용한다.


약품 한 병의 용량을 확률변수 X라 하면 X는 N(m, 10€)을 따

르므로 임의로 추출한 25병의 용량의 표본평균을 X” 라 하면

E(X”)=m, V(X”)=

=4

10€
25

17    10
GUIDE

포를 구한다.


상자에서 공을 꺼낼 때, 공에 적힌 수를 확률변수 X라 하고 X의 확률분

따라서 X”는 정규분포 N(m, 2€)을 따르므로 Z=

X”-m
2

으로

놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

임의로 공을 1개 꺼낼 때, 공에 적힌 수를 확률변수 X라 하면 X

의 확률분포는 다음과 같다.

임의로 추출한 25병 용량의 표본평

균이 200 이상일 확률이 0.9772이

X

P(X=x)

1

;7@;

2

;7#;

3

;7@;

합계

1

E(X)=1_;7!;+2_;7#;+3_;7@;=2

V(X)=E(X€)-{E(X)€}

=1€_;7@;+2€_;7#;+3€_;7@;-2€=;7$;

표본의 크기가 n일 때, 표본평균 X”의 분산이 ;3™5; 이므로

V(X”)=

=;3™5; 에서 n=10

;7$;
n

0

z

200-m
2

m-200
2

므로

P(X”>200)=0.9772에서

P(X”>200)

=P {Z>

200-m
2

}

=P(Z>0)+P {

200-m
2

<Z<0}

=0.5+P {0<Z<

m-200
2

}

=0.9772

주어진 표준정규분포표에서 P(0<Z<2)=0.4772이므로

m-200
2

=2

4 m=204

'n }를 표준화한 확률로 나타내고 표를 이용한다.

모평균과 표본평균의 차가 0.01 이하이다. ⇨ |m-X”|<0.01


모표준편차가 0.05, 표본의 크기가 n이므로 표본평균 X”에 대하

18    9
GUIDE

25

P {X”>60-


모집단이 정규분포 N(50, 5€)을 따르고 표본의 크기가 n이므로
표본평균 X”는 정규분포 N {50, 5€

n } 을 따른다.

이때 Z=

으로 놓으면 Z는 N(0, 1)을 따르므로

X”-50
5
'n

25

Z>

-50

60-

P {X”>60-

'n }=P
{

25
'n
5
'n
=P(Z>2'n-5)
=0.5-P(0<Z<2'n-5)
=0.16

}

68    정답과 풀이

20    167
GUIDE

여 신뢰도 99 ％로 모평균 m을 추정하면

<m<X”+2.58_

<m-X”<2.58_

X”-2.58_

0.05
'n
0.05
'n
4 |m-X”|<2.58_

-2.58_

0.05
'n
0.05
'n

0.05
'n
이때 모평균과 표본평균의 차가 0.01 이하이므로

2.58_

<0.01에서 'n>12.9

0.05
'n

4 n>166.41

따라서 표본 크기 n의 최솟값은 167

P(|Z|>c)=0.06에서 P(Z>c)=0.03임을 이용한다.


같은 표본을 이용하여 얻은 모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신

21    ⑤
GUIDE

ㄱ. P(Z>c)=0.03

                    <0.05

                    =P(Z>a)

이므로 c>a ( ◯ )

ㄴ. P(X”<c+75)=P(Z<c)=0.97 ( ◯ )

ㄷ. P(X”>b)=P(Z>b-75)

                    =0.01

   P(Z>c)=0.03

이므로 b-75>c ( ◯ )

22    94
GUIDE

신뢰도 a % ⇨ P(-k<Z<k)=;10A0;
이때 모평균 m의 신뢰도 a %의 신뢰구간은
<m<X”+k_ r
X”-k_ r
'n
'n


표본의 크기 100이 충분히 크므로 모표준편차 대신 표본표준편

차 100을 사용할 수 있다.

이때 표본평균이 400이고, P(-k<Z<k)=;10A0; 라 하면

모평균 m의 신뢰도 a %의 신뢰구간은

400-k_

100
'ß100
400-10k<m<400+10k

<m<400+k_

100
'ß100



추정한 신뢰구간이 381.2<m<418.8이므로

400-10k=381.2, 400+10k=418.8에서 k=1.88

표에서 P(0<Z<1.88)=0.47이므로

P(-1.88<Z<1.88)=0.94=;1ª0¢0;

  4 a=94

23    51
GUIDE
X”-1.96_ r
'n

이용한다.


<m<X”+1.96_ r
'n

와 [100.4, 139.6]이 서로 같음을

표본평균을 X”라 하면 모표준편차가 r, 표본의 크기가 n이므로

모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은

X”-1.96_ r
'n

<m<X”+1.96_ r
'n

이때 추정한 신뢰구간이 [100.4, 139.6]이므로

X”-1.96_ r
'n
X”+1.96_ r
'n

=100.4

  yy ㉠

=139.6    yy ㉡

㉠+㉡에서 2X”=240

  4 X”=120

X”=120을 ㉡에 대입하면   r
'n

=10

뢰구간은

X”-2.58_ r
'n

<m<X”+2.58_ r
'n

이때 X”=120,  r
'n

=10이므로

120-2.58_10<m<120+2.58_10

4 94.2<m<145.8

두 51개다.

1등급 NOTE



0.05

0.03

a c

0.01

c b-75

따라서 이 구간에 속하는 자연수는 95, 96, 97, y, 145이고, 모

➊ 신뢰구간의 양 끝점의 평균이 표본평균이므로 표본평균

  X”=

139.6+100.4
2

=

240
2

=120

  신뢰도 95 %일 때, 모평균 m과 표본평균 X”의 차의 최댓값은

   139.6-120=19.6이고, 신뢰도 99%는 95 %일 때보다 모평균과 표

  본평균의 차의 최댓값이

배 크므로 신뢰도 99 %일 때, 모평균

2.58
1.96

  m과 표본평균 X”의 차의 최댓값은 19.6_

=25.8이다.

2.58
1.96

  따라서 신뢰도 99 %로 추정한 신뢰구간은

  120-25.8<m<120+25.8

  4 94.2<m<145.8

➋ 신뢰구간의 길이가 같음을 이용해도 된다. 신뢰도 95 %인 두 신뢰구

  간의 길이에서
  2_1.96_ r
'n

=139.6-100.4=39.2

  4

=10

r
'n

  이때 X”-1.96_10<m<X”+1.96_10과 100.4<m<139.6에서

  X”-1.96_10=100.4

  4 X”=120

24    68
GUIDE

신뢰도 a % ⇨ P(-k<Z<k)=;10A0;
이때 모평균 m의 신뢰도 a %의 신뢰구간은
<m<X”+k_ r
X”-k_ r
'n
'n


모표준편차를 r라 하면 신뢰도 95 %로 추정한 신뢰구간의 길이

=

l은 l=2_2_ r
'n
이때 P(Z<k)=;10A0; 라 하면

4r
'n

이고,

l
2

=

2r
'n

신뢰도 a %로 추정한 신뢰구간의 2_k_ r
'n

=

2kr
'n

즉   2r
'n

2kr
'n

=

에서 k=1

따라서 P(Z<1)=0.68=;1§0•0; 에서 a=68



   6. 정규분포와 통계적 추정    69

STEP 2

1등급 굳히기

p. 78~85

14  112

15  ㄱ, ㄴ

03  ④

07  61

11  86

19  10

23  11

27  ①

31  25

04  3

08  4

12  ③

16  24

20  ①

24  ③

28  ㄱ, ㄴ, ㄷ

32  249

02  7

06  ①

10  ⑤

18  ③

22  77

26  ①

30  ④

01  ④

05   ㄱ, ㄷ

09  ④

13  ①

17  ②

21  16

25  ②

29  ㄱ, ㄷ

01    ④
GUIDE

(구하려는 확률)=1-(사건 A가 2번 미만 일어날 확률)


사건 A가 일어날 확률은

P(0<X<1)=…

{;2!; x+;4!;} dx=“;4!; x€+;4!; x‘

=;2!;

1

0

1

0

이때 주사위 한 개를 6번 던지는 시행에서 사건 A가

0번 일어날 사건의 확률은 6C0 {;2!;}

ﬂ=;6¡4;

5

1번 일어날 사건의 확률은 6C1 {;2!;}

{;2!;}=;6§4;

따라서 사건 A가 2번 이상 일어날 확률은

1-{;6¡4;+;6§4;}=;6%4&;

02    7
GUIDE

이차방정식에서 두 근이 모두 양수이므로

(두 근의 곱)>0, (판별식)>0을 이용한다.


확률밀도함수는 항상 x축 위에 존재해야 하므로 a>0이다. 주어

진 구간에서의 넓이가 1이 되어야 하므로

4

…

0

a(4-x)xdx=;6A;_4‹=1에서 a=;3£2;

이차방정식 4t÷€-12t+9(X-1)=0의 두 근이 양수이므로

;;4Î;;=36-36X+36>0에서 X<2

두 근의 곱

>0에서 X>1

9(X-1)
4

그러므로 b=P(1<X<2)=-;3£2; …

(x€-4x)dx=;3!2!;

2

1

이때 16(a+b)=16_;3!2$;=7

03    ④
GUIDE

ㄴ. 반례를 생각한다.

ㄷ. F(a)+G(a)=1임을 이용한다.


70    정답과 풀이

ㄱ. F(0.3)=P(X>0.3)<P(X>0.2)=F(0.2)  ( ◯ )

ㄴ. [반례] X의 확률밀도함수가  f(x)=2x이면

  F(0.4)=P(X>0.4)=1-0.16=0.84

   G(0.6)=P(X<0.6)=0.36   ( _ )

ㄷ. F(0.7)+G(0.7)=F(0.2)+G(0.2)=1

∴ F(0.2)-F(0.7)=G(0.7)-G(0.2) ( ◯ )

04    3
GUIDE
P(x, y), Q(4, 0)이라 하면 (1OPQ의 넓이)=2y=1임을 이용한다.


P(x, y)라 하자.

f(x)가 0<x<4의 범위에서 정의된 연속확률변수 X의 확률밀

도함수가 되려면 축과 둘러싸인 넓이가 1이 되어야 한다. 즉

;2!;_4_y=1

∴  y=;2!;

따라서 점 P의 자취는 직선 y=;2!; 에서

원 내부에 있는 선분이다.

이때 원과 직선 y=;2!;이 만나는 점의 좌
표는  {1+ '3

, ;2!;}이므로 자취의 길이

2

y
1

O

-1

l='3

∴  l÷€=3

y=;2!;

l

x

y

a

-2 -1

O

1

2

x

05    ㄱ, ㄷ
GUIDE

P(-2<X<2)=1을 이용해 a값을 구한다.


P(-2<X<2)=;2!;_4_a=1에서 a=;2!;
ㄱ. P(AC∪BC)

   =1-P(A∩B)

   =1-P(-1<X<0)

   =1-;8#;=;8%; ( ○ )

ㄴ. P(B∩C)=P(0<X<1)=;8#;

   P(C)=P(0<X<2)=;2!;이므로

P(B|C)=

P(BDC)
P(C)

=;4#; ( _ )

ㄷ. P(A)=;2!;, P(B)=;4#;, P(A∩B)=;8#;에서

P(A∩B)=P(A)P(B)

따라서 두 사건 A, B는 독립이다.  ( ○ )

두 연속확률변수 X, Y에 대한 확률밀도함수  f(x), g(x)가 그림과 같다.

이때 x¡<x™이므로 E(X¡)<E(X™) ( ◯ )

따라서 두 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 더한 것이 2k번째 상자에 공

ㄴ.   분산 (또는 표준편차)이 클수록 정규분포 곡선의 가운데 부

y=g(x)

1

V(X¡)<V(X™) ( ◯ )

06    ①
GUIDE

5

…
2


2

g(x)dx=1이므로  …

0

3
g(x+2)dx=1임을 이용한다.

…

0

f(x)dx=1에서  …

0

2
3f(x)dx=3이다.

또  …

g(x)dx=1에서,  …

0

3
g(x+2)dx=1이므로

3
4g(x+2)dx=4

…

0

이때  …

{3f(x)+4g(x+2)}dx=4에서  …

0

2
4g(x+2)dx=1

즉  …

g(x+2)dx=;4!; 이므로  …

g(x+2)dx=;4#;

P(4<Y<5)=…

g(x)dx=…

g(x+2)dx=;4#;

5

4

3

2

3

2

5

2

2

0

2

0

07    61
GUIDE

이 들어갈 확률, 즉 p2k임을 생각한다.

y
2

y=f(x)

O
2k-1
10

1
2k
10

O
2k-1
10

x

1
2k
10



공이 k번째 상자에 들어가는 경우는 앞면이 나오는 경우와 뒷면

이 나오는 경우의 확률을 각각 구하여 더하면 된다.

동전의 앞면과 뒷면이 나오는 확률은 각각 ;2!;이므로

p2k=;2!; P {

2k-1
10

<X<

2k
10 }+;2!; P {

2k-1
10

<Y<

2k
10 }

     =;2!; …

2xdx+;2!; …



;1@0K;

2k-1
10



;1@0K;

2k-1
10

1dx

     =;2!; [{

2

2k
10 }

-{

2k-1
10

2
+

}

2k
10

-

2k-1
10

]

     =;2!; {

4k-1
100

+;1¡0;}=

4k+9
200

∴

5
Ú
k=1

p2k=

1
200

5

Ú
k=1

(4k+9)=;4@0!;

에서 a=40, b=21이므로 a+b=61

08    4
GUIDE

[xf(x)]'=f(x)+xf '(x)이므로 g'(x)=[xf(x)]'


㈏에서 g'(x)=f(x)+xf '(x)=[xf(x)]'이므로

g(x)=xf(x)+C (단, C는 적분상수)

이때  g(1)=f(1)+C에서  f(1)=g(1)이므로 C=0

즉  g(x)=xf(x)이다.

㈐에서  …

g(x)dx=…

1

2

1

2
xf(x)dx=E(X)= 3

2

1

또  …

xg(x)dx=…

1

2
x€ f(x)dx=E(X€)=13

∴ V(X)=E(X€)-{E(X)}€=13-3€=4

정규분포를 따르는 확률밀도함수의 그래프는 직선 x=(평균)에 대하여

ㄱ.   확률변수 X¡, X™의 정규분포 곡선이 각각 직선 x=x¡, 직선

09    ④
GUIDE

대칭이고 x=(평균)에서 최댓값이다.


x=x™에 대하여 대칭이므로

   E(X¡)=x¡, E(X™)=x™

분이 낮아지고 양쪽으로 더 퍼진다. 함수 y=g(x)의 그래프

가 함수  y=f(x)의 그래프보다 양쪽으로 더 퍼져 있으므로

ㄷ.  f(E(X¡))=f(x¡), g(E(X™))=g(x™)이고,

  f(x¡)>g(x™)이므로  f(E(X¡))>g(E(X™)) ( _ )

ㄹ. 정규분포를 따르는 확률밀도함수의 그래프는

직선 x=(평균)에 대하여 대칭이므로

   P(X¡>x¡)=P(X™<x™)=0.5 ( ◯ )

10    ⑤
GUIDE
확률변수 X가 정규분포를 따르므로 확률

밀도함수  f(x)의 그래프는 그림처럼 생

각할 수 있다.

y=f(x)

m ab

x

이때 P(X>a)<P(X>b)가 항상 성

립하고, a의 값이 커질수록 P(X>a)는 작아진다.


g(x)=-x€+2x+m-1=-(x-1)€+m이라 하면

ㄱ. g(0)=g(2)=m-1이므로

  f(0)=f(2)=P(X>m-1) ( ◯ )

ㄴ.    f(x)가 최소가 되려면 g(x)가 최대가 되어야 하고, x=1일

때 g(x)가 최대이다. ( ◯ )

ㄷ. 1<x¡<x™에서 g(x)는 감소하므로

g(x¡)=a, g(x™)=b라 하면 b<a

이때  f(x¡)=P(X>a),  f(x™)=P(X>b)이고

b<a이므로  f(x™)>f(x¡) ( ◯ )

   6. 정규분포와 통계적 추정    71

11    86
GUIDE

a-100
a

P(a<X<115)=P {
P(0<Z<2.5)=0.4938이므로 0.9710=0.4938+0.4772를 이용한다.


<Z<2.5}이고, 주어진 표에서

P(a<X<115)=P {

<Z<

115-100
6

}

a-100
6

a-100
6

                         =P {

<Z<2.5}

                         =0.9710

                         =0.4772+0.4938

                         =P(0<Z<2)+P(0<Z<2.5)

                         =P(-2<Z<0)+P(0<Z<2.5)

                         =P(-2<Z<2.5)

                         =P(b<Z<2.5)

=-2=b에서 a=88, b=-2

즉  a-100
6

∴ a+b=86

12    ③
GUIDE

a
r

P {-


P(-a<X<a)=P(-b<Y<b)에서

<Z<

a
r }=P {-

2b
r

<Z<

2b
r }

∴

a
r

=

2b
r

X~N(0, r€), Y~N {0, {

€

r
2 }

} 이고

P(|X|<a)=P(|Y|<b)에서

P(-a<X<a)=P(-b<Y<b)

이때 P {-

<Z<

a
r

a
r }=P {-

2b
r

<Z<

2b
r }

즉  a
r

2b
r

=

이므로 a=2b

ㄱ. a, b가 모두 양수이므로 a>b이다. ( ◯ )

ㄴ. ㄱ에서 a=2b이므로

P {Y>;2A;}=P {Z>

a
r }=P {Z>

2b
r }  ( ◯ )

ㄷ. P(Y<b)=0.7이므로 P {Z<

2b
r }=0.7이고

   P {0<Z<

2b
r }=0.2이다.

ㄱ에서 2b=a이므로 P {0<Z<

a
r }=0.2

  ∴ P(|X|<a)=P {-

<Z<

a
r

a
r }=0.4 ( _ )

S¡, S™ 각각에 공통부분을 더한 것을 식으로 나타낸다.


13    ①
GUIDE

72    정답과 풀이

그림에서 나타낸 공통부분의 넓이

S 를 생각하면

S¡

S™
S

P(42<X<54)=S¡+S   yy ㉠

42

54

x

P(42<Y<54)=S™+S   yy ㉡

㉡-㉠에서

S™-S¡=P(42<Y<54)-P(42<X<54)

            =P {

42-54
4

<Z<

54-54
4

}

              -P {

42-42
6

<Z<

54-42
4

}

            =P(-3<Z<0)-P(0<Z<2)

            =P(0<Z<3)-P(0<Z<2)

            =0.4987-0.4772=0.0215

14    112
GUIDE

P(X<k)+P(X<100+k)=1이므로

P(X<k)=P(X>100+k)


P(X<k)+P(X<100+k)=1에

따라 그림과 같이 생각할 수 있다.

즉 m-k=(100+k)-m에서

k=m-50

확률변수 X 는 정규분포 N(m, 8€)을 따르므로 ㈎의

mk

100+k

x

P(X>2k)=P {Z>

m-100
8

}=0.0668이고

0.5-P {Z>

m-100
8

}=P {0<Z<

m-100
8

}=0.4332

표준정규분포표에서 P(0<Z<1.5)=0.4332이므로

m-100
8

=1.5

∴  m=112

15    ㄱ, ㄴ
GUIDE

➊ P(X>m+k)를 표준화 한 P(Z>k)에서 생각한다.

➋ P(0<Z<k)>P(k<Z<2k)임을 이용한다.


확률변수 X 가 정규분포 N(m, 1€)을 따르므로 Z=

X-1
1

이라

하면 확률변수 Z 는 표준정규분포 N(0, 1€)을 따른다.

P(X>m+k)=P(Z>m+k-m)=P(Z>k)

이므로   f(k)=P(Z>k)

즉 그림처럼 생각할 수 있다.

ㄱ.  f(0)=P(Z>0)=;2!; ( ◯ )

ㄴ. a<b이면 P(Z>a)>P(Z>b)이므로

  f(a)>f(b) ( ◯ )

0

zk

A대학 출신 응시자의 점수를 확률변수 Y라 하면

X~N(16a+100, 12€)이고, P(X<84)=0.0228을 이용해 상수 a값

근무 기간이 16개월인 직원의 하루 생산량을 확률변수 X 라 하면

ㄷ.  f(k)<;2!;이면 k>0

이때 P(0<Z<k)>P(k<Z<2k)이므로

2P(0<Z<k)>P(0<Z<k)+P(k<Z<2k)

에서 2P(0<Z<k)>P(0<Z<2k)

즉 2 [;2!;-f(k)]>;2!;-f(2k)이므로

1-2f(k)>;2!;-f(2k) ( _ )

16    24
GUIDE

응시자 중 7 %가 합격하는 시험이므로 합격 커트라인 점수를 a라 하면

P(X>a)=0.07임을 이용한다.


점수를 확률변수 X라 하면, X는 N(60, 12€)을 따른다.

이때 합격 커트라인 점수를 a라 하면

P(X>a)=0.07, 즉 P {Z>

a-60
12

}=0.07에서

a-60
12

=1.5

∴  a=78

Y는 정규분포 N(62, 8€)을 따른다.

이때 A대학 출신 응시자가 합격할 확률은

P(Y>78)=P {Z>

78-62
8

}=P(Z>2)

                 =0.5-0.48=0.02

따라서 A대학 출신 응시자 중 합격자 수는 1200_0.02=24

17    ②
GUIDE

확률을 이용한다.


고객의 집에서 시장까지 거리가 2000 m 미만인 사건을 A, 자가용을 이

용하여 시장에 오는 사건을 B라 하고, 각각의 확률을 구한 다음 조건부

고객의 집에서 시장까지 거리를 확률변수 X 라 하면 X 는 정규

분포 N(1740, 500€)을 따르므로 고객의 집에서 시장까지 거리

가 2000 m 이상일 확률은

P(X>2000)=P {Z>

2000-1740
500

}=P(Z>0.52)

고객의 집에서 시장까지 거리가 2000 m 미만인 사건을 A, 자가

                     =0.5-P(0<Z<0.52)

                     =0.5-0.2=0.3

∴  P(X<2000)=1-P(X>2000)=0.7

용을 이용하여 시장에 오는 사건을 B라 하면
P(B)=P(A∩B)+P(AC∩B)
         =P(A)P(B|A)+P(AC)P(B|AC)

         =0.7_0.05+0.3_0.15=0.08

따라서 구하려는 확률은

P(A|B)=

(P(ADB))
(P(B))

=

0.035
0.08

=;1¶6;

다른 풀이



다음 표와 같이 구분해 보자.

자가용 이용 함

자가용 이용 안 함 합계

2000 m 미만 0.7_0.05=0.035 0.7_0.95=0.665

2000 m 이상 0.3_0.15=0.045 0.3_0.85=0.255

0.7

0.3

합계

0.08

0.92

위 표에서 구하려는 확률은

(거리가 2000 m 미만이고 자가용을 이용하는 고객일 확률)
(자가용을 이용하는 고객일 확률)

=

0.035
0.08

=;8#0%;=;1¶6;

18    ③
GUIDE

을 구한다.


근무 기간이 16개월인 직원의 하루 생산량을 확률변수 X라 하면

X 는 정규분포 N(16a+100, 12€)을 따르고

근무 기간이 16개월인 직원의 하루 생산량이 84 이하일 확률이

0.0228이다. 즉

P(X<84)

=P {Z<

84-(16a+100)
12

}

=P {Z<-

4a+4
3

}

3- 4a+4

0

4a+4
3

z

=0.5-P {0<Z<

4a+4
3

}=0.0228

에서 P {0<Z<

4a+4
3

}=0.5-0.0228=0.4772

이때 주어진 표에서 P(0<Z<2)=0.4772이므로

4a+4
3

=2

  ∴  a=;2!;

근무 기간이 36개월인 직원의 하루 생산량을 확률변수 Y 라 하면

E(Y)=36a+100=36_;2!;+100=118

즉 확률변수 Y는 정규분포 N(118, 12€)을 따르므로

P(100<Y<142)

=P {

100-118
12

<Z<

142-118
12

}

=P(-1.5<Z<2)

=P(0<Z<1.5)+P(0<Z<2)

=0.4332+0.4772=0.9104

   6. 정규분포와 통계적 추정    73

19    10
GUIDE

➊ (선물 상자에 불량품을 적어도 한 개 포함할 확률)

  =1-(불량품을 포함하지 않고 상자를 구성할 확률)

➋ 불량품을 포함하는 상자 개수를 확률변수 X 라 하고

  이항분포 ⇨ 정규분포 ⇨ 표준정규분포 관계를 이용한다.


선물 상자에 불량품을 적어도 한 개 포함할 확률은

1-[{;1!6%;_;1!6%;_;1!6%;}_{;9*;_;9*;}_;2@5$;]=1-;8%;=;8#;

이때 불량품이 든 상자 개수를 확률변수 X라 하면

X는 이항분포 B {960, ;8#;} 을 따르므로

E(X)=960_;8#;=360, V(X)=960_;8#;_;8%;=15€

960은 충분히 크므로 확률변수 X는

E(X)=180_;6!;=30, V(X)=180_;6!;_;5%;=5€

180은 충분히 크므로 확률변수 X는 정규분포 N(30, 5€)을 따른

다고 할 수 있다. 이때

pB=P(X<20)=P {Z<

20-30
5

}

    =P(Z<-2)=0.5-0.4772=0.0228

따라서 10000(pA-pB)=10000_0.0016=16

22    77
GUIDE

E(X), V(X)를 구한다.


64번의 시행에서 동전 앞면이 나온 횟수를 확률변수 Y라 하면 Y는 이항

분포를 따르고, 이때 동전 뒷면이 나온 횟수가 (64-Y)임을 이용해

정규분포 N(360, 15€)을 따른다고 할 수 있다. 이때

동전을 64번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 Y 라 하면

P(X>390)=P {Z>

390-360
15

}=P(Z>2)=0.02

Y 는 이항분포 B {64, ;2!;} 을 따르므로

500p=500_0.02=10

20    ①
GUIDE

예매를 통해 입장권을 산 사람 중 실제 공연에 온 사람이 몇 명일 때 판매

금액이 4298000원 이상이 되는지 확인한다.


예매를 통해 입장권을 사고 실제 공연에 참석한 관람객이 x명이

E(Y)=64_;2!;=32, V(Y)=64_;2!;_;2!;=16

한편 64번의 시행에서 뒷면이 나오는 횟수는 (64-Y)이므로 확

률변수 X, 즉 점 P의 위치 X=2Y-(64-Y)=3Y-64

∴ E(X)=E(3Y-64)=3E(Y)-64=32

V(X)=V(3Y-64)=3€ V(Y)=144

이때 확률변수 X 는 정규분포 N(32, 12€)을 따르므로

P(14<X<44)=P {

14-32
12

<Z<

44-32
12

}

라 하면 판매금액이 4298000원이 되는 경우는

                         =P(-1.5<Z<1)

8000x+10000(500-x)=4298000

∴  x=351

                         =0.43+0.34=0.77

예매로 판매한 입장권이 400장이었으므로 당일 공연장에 오지

따라서 100p=77

않은 사람이 49명 이상인 경우 판매금액은 4298000원을 넘는다.

입장권을 예매하고 공연장에 오지 않은 사람 수를 확률변수 X라

다른 풀이



하면 X는 이항분포 B(400, 0.1)을 따르므로

X=3Y-64에서 14<3Y-64<44

∴ 26<Y<36

E(X)=400_0.1=40, V(X)=400_0.1_0.9=6€

∴ P(14<X<44)=P(26<Y<36)

400은 충분히 크므로 확률변수 X는 정규분포 N(40, 6€)을 따른

다고 할 수 있다. 이때

P(X>49)=P {Z>

49-40
6

}=P(Z>1.5)

                 =0.5-0.4332=0.0668

                             =P {

26-32
4

<Z<

36-32
4

}

                             =P(-1.5<Z<1)=0.77

23    11
GUIDE

X”가 될 수 있는 값은 1, 2, 3,

1+n
2

,

3+n
2

, n이고, P(X”)>6)=;3!;

1+n
2

,

3+n
2

이므로



, n 중 6보다 큰 것이 있음을 생각한다.

주머니에서 꺼낸 두 구슬에 적혀 있는 수를 (a, b)로 나타내면

=P(21<X<180)을 이용해 pA를 구한다.

pA=P(X<20)=1-P(21<X<180)=0.0244

X는 이항분포 B {180, ;6!;} 을 따르므로

X”=

a+b
2

이다. 꺼낸 두 구슬에 적혀 있는 수가

(1, 1)일 때 X”=1, (1, 3), (3, 1)일 때 X”=2

21    16
GUIDE

r

180-r

180
Ú
r=21

180Cr {;6!;}


{;6%;}

74    정답과 풀이

(1, n), (n, 1)일 때 X”=

, (3, 3)일 때 X”=3

(3, n), (n, 3)일 때 X”=

, (n, n)일 때 X”=n

이므로 표본평균 X”의 확률분포는 다음과 같다.

1+n
2

2+n
2

X”

P(X”=x”)

1

;9!;

2

;9@;

1+n
2

;9@;

3

;9!;

3+n
2

n

합계

;9@;

;9!;

1

n<3이면 X”의 최댓값은 3이므로 n>3이다.

n>3이면  1+n

<

2

3+n
2

<n이고

P(X”>6)=;3!;=;9!;+;9@; 에서

P {X=

3+n
2

}+P(X=n)=;9@;+;9!;=;3!; 임을 알 수 있다.

이때  3+n

>6이고  1+n

<6이므로 9<n<11

2

2

∴ n=11 (∵ n은 홀수)

24    ③
GUIDE

표본평균 X”의 값 1, ;2#;, 2, ;2%;, 3 각각에 대하여 그 확률을 구한다.

예를 들어 (2, 3), (3, 2)일 때 X”=;2%; 이므로

P {X”=;2%;}=2a(1-4a)+(1-4a)2a=4a-16a€


표본평균 X”가 갖는 값은 1, ;2#;, 2, ;2%;, 3이다.

1 X”=;2%; 가 되는 경우는 (2, 3), (3, 2)일 때이므로

  P {X”=;2%;}=2a(1-4a)+(1-4a)2a=4a-16a€

2 X”=3이 되는 경우는 (3, 3)일 때이므로

  P(X”=3)=(1-4a)€=16a€-8a+1

P(X>2)=3P {X”>;2%;} 에서

2a+1-4a=3{(4a-16a€)+(16a€-8a+1)}

∴ a=;5!;

확률변수 X 의 확률분포는 다음과 같다.

25    ②
GUIDE

제품 무게 X에 대하여 A가 10 이상 14 이하인 제품을 뽑는 사건을 A라

하면 P(A)=P(17<X”<21)이고, P(B)도 마찬가지로 생각할 수 있

다. 이때 구하려는 확률은 P(A)P(B)이다.


제품 무게를 확률변수 X라 하면 X는

정규분포 N(20, 3€)을 따르고, 표본의 크기가 9이므로

X”는 정규분포 N(20, 1€)을 따른다.

이때 Z=

=X”-20이라 하면 Z는 표준정규분포

X”-20
1

N(0, 1)을 따르므로

P(17<X”<21)=P(17-20<Z<21-20)

                         =P(-3<Z<1)

                         =P(0<Z<3)+P(0<Z<1)

                         =0.4987+0.3413=0.84

A와 B 두 사람이 각각 독립적으로 표본을 임의추출하였으므로

두 사람이 뽑은 표본의 평균이 17 이상 21 이하일 확률은 각각

0.84로 같고, 두 사건은 서로 독립이다.

따라서 두 표본평균이 모두 17 이상 21 이하일 확률은

0.84_0.84=0.7056

26    ①
GUIDE

사과의 밀도를 확률변수 X라 하고 임의추출한 사과 4개 묶음이 물에 뜨

려면 밀도가 보다 작아야 하므로 구하려는 확률은 P(X”<1)이다.


농장에서 생산되는 사과의 밀도를 확률변수 X라 하면 X는 정규

분포 N(m, r€)을 따른다. 임의추출한 사과 4개 묶음이 물에 뜨

려면 밀도가 1보다 작아야 하므로 구하려는 확률은 P(X”<1)이

다. 이때 P(X<1)=0.115에서

P(X<1)=P {Z<

1-m
r

}

               =0.5-P {0<Z<

m-1
r

}

               =0.115

즉 P {0<Z<

m-1
r

m-1
r

=1.2

}=0.385와 P(0<Z<1.2)=0.385에서

X

P(X=x)

1

;5@;

2

;5@;

3

;5!;

합계

1

또 확률변수 X가 정규분포 N(m, r€)을 따르고, 표본의 크기가

4이므로 표본평균 X”는 정규분포 N {m, {

€

r
2 }

}을 따른다.

한편 X”=;2#; 이 되는 경우는 (1, 2), (2, 1)이므로

P {X”=;2#;}=;5@;_;5@;+;5@;_;5@;=;2•5;

∴ P(X”<1)=P
Z<
{

1-m
r
2

}

=P(Z<-2.4)

                   =0.5-P(0<Z<2.4)=0.008

   6. 정규분포와 통계적 추정    75

29    ㄱ, ㄷ
GUIDE

27    ①
GUIDE
그림처럼 a+b이면 P(Z<-b)=P(Z>b)에서

P(Z<a)+P(Z>b)+1이므로

a=b이어야 함을 알 수 있다.


정규분포 N(50, 8€)을 따르는 모집단에서 크기가 16인 표본평균

X”에 대하여 E(X”)=50,  V(X”)=

=2€

8€
16

-b

0

a

b

z

신뢰도 a% ⇨ P(-k<Z<k)=;10A0;
이때 모평균 m의 신뢰도 a %의 신뢰구간은
X”-k r
'n


<m<X”+k r
'n

이고, 신뢰구간의 길이는 2k r
'n

정규분포 N(75, r€)을 따르는 모집단에서 크기가 25인 표본평균

( ◯ )

Y”에 대하여 E(Y”)=75,  V(Y”)= r€
25

={

2

r
5 }

이때 P(X”<53)+P(Y”<69)=1은

P(Z<1.5)+P {Z<-

30
r }=1

즉 P(Z<1.5)+P {Z>

30
r }=1과 같으므로

30
r

=1.5

∴  r=20

따라서 표본평균 Y”는 정규분포 N(75, 4€)을 따르므로

P(Y”>71)=P {Z>

71-75
4

}

                 =P(Z>-1)

                 =0.5+P(0<Z<1)=0.8413

28    ㄱ, ㄴ, ㄷ
GUIDE

P(n, x)=2P(m<X”<m+x)=2P {0<Z<


x'n
3 }

모집단이 N(m, 3€)인 정규분포를 따르므로

표본평균 X”는 N {m, {

3
'n }
P(n, x)=P(|X”-m|<x)

2

             =2P(m<X”<m+x)

}인 정규분포를 따른다.

             =2P
{

m-m
3
'n

<Z<

x+m-m
3
'n

}

             =2P {0<Z<

x'n
3 }

ㄱ. P(9, 1)=2P(0<Z<1)=0.682 ( ◯ )

∴ P(9, 2)=P(4, 3) ( ◯ )

ㄷ. P(n, 0.8)=2P {0<Z<

0.8'n
3

}<0.954

이므로 P {0<Z<

0.8'n
3

}<0.477

즉

0.8'n
3

<2에서 'n<;;¡2∞;;=7.5

76    정답과 풀이

ㄱ. 표본의 크기가 ;4!; 배가 되면 신뢰구간의 길이는 2배가 된다.

ㄴ. 신뢰도가 99 %일때는 k=3, 신뢰도가 95 %일 때는 k=2이

므로 신뢰구간의 길이는 ;2#; 배가 된다.  ( _ )

ㄷ. 신뢰도가 95 %이고 표본의 크기가 25이면 신뢰구간의 길이는

신뢰도가 99 %이고 표본의 크기가 100이면 신뢰구간의 길이

   2_2_ r
5

=

4r
5

는 2_3_ r
10

=

3r
5

따라서 ;3$; 배이다. ( ◯ )

30    ④
GUIDE

X”=165.8일 때, 160<m<170에서 -4.2<X”-m<5.8이고 이때

P(-4.2<X”-m<5.8)를 구한다.


X”=165.8, r=10이고 160<m<170에서

165.8-5.8<m<165.8+4.2

∴ -4.2<X”-m<5.8

또 E(X”)=m, r(X”)=

=2에서 Z=

이라 하면

10
'ß25

X”-m
2

Z는 표준정규분포 N(0, 1€)을 따른다.

∴ P(-4.2<X”-m<5.8)

  =P(-2.1<Z<2.9)

  =P(0<Z<2.1)+P(0<Z<2.9)

  =0.980

즉 160<m<170은 신뢰도 98 %의 신뢰구간이다.

신뢰도 a %일 때, 표준정규분포에서

P(k¡<Z<k™)=

a
100

X“-m
r
'n

<k™
=
}

<X“-m<k™

k¡<

즉 P
{

P {k¡

r
'n

a
100

에서

r

'n }=

a
100



a
100

ㄴ. P(9, 2)=2P(0<Z<2), P(4, 3)=2P(0<Z<2)

참고



   n<(7.5)€=56.25이므로 자연수 n의 최댓값은 56 ( ◯ )

즉 P(a<X“-m<b)=

꼴에서 신뢰도 a %를 구할 수 있다.

평균 m의 95% 신뢰구간은

X¡”-1.96  r
'k

<m<X¡”+1.96  r
'k
이것이 50.1<m<59.9와 같으므로

2_1.96  r
'k

=59.9-50.1=9.8

이때

=;2%;

  yy ㉠

r
'k

모평균 m의 99 % 신뢰구간은

X™”-2.58  r
'n

<m<X™”+2.58  r
'n

위와 같이 생각하면

2_2.58  r
'n

=56.29-53.71=2.58

이때

=;2!;

  yy ㉡

r
'n

㉠, ㉡에서 5'k='n이므로
양변을 제곱해서 정리하면  n
k

=25

31    25
GUIDE

구한다.


주어진 조건에서 모평균 m의 95 % 신뢰구간과 99 % 신뢰구간을 각각

크기가 k인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이 X¡”일 때, 모

다른 풀이



이차방정식 10x€-100x+k=0의 두 근이 a, b이므로

a+b=10,  ab=

k
10

그런데 신뢰구간의 길이는

b-a=2_1.96_

1
1.96
'ß10
ab=;4!; {(b+a)€-(b-a)€}=;4!; [10€-{

2
'ß10÷

=

    =;4!; {100-;1¢0;}=;;™1¢0ª;;=

k
10

2

]

2
'ß10÷ }
  ∴ k=249

또 크기가 n인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이 X™”일 때,

STEP 3

1등급 뛰어넘기

p. 86~88

01  17

04  204

08  7

02  6

05  ②

09  78

03  ⑴ ①  ⑵ 5

06  12

07  ③

01    17
GUIDE

4

f(x)>0 ,  …


0

f(x)가 확률밀도함수가 되려면 주어진 구간 [0, 4] 에서

f(x)dx=1이어야 한다.

구간 [0, 4] 에서 정의된 함수  f(x)=k(x-2)‹+;4!; 이 확률밀도

f(x)>0,  …

0

4
f(x)dx=1이어야 한다.

1  f(x)>0을 만족시키는 경우

  ① k>0이면  f(x)=k(x-2)‹+;4!; 은

  구간 [0, 4]에서 증가하므로

f(0)=k(0-2)‹+;4!;=-8k+;4!;>0

  즉 k<;3¡2; 이므로 0<k<;3¡2;

  ② k=0 이면  f(x)=;4!; 이므로 구간 [0, 4] 에서

f(x)>0, 즉 k=0

  ③ k<0이면  f(x)=k(x-2)‹+;4!; 은

  구간 [0, 4] 에서 감소하므로

   f(4)=k(4-2)‹+;4!;=8k+;4!;>0

  즉 k>-;3¡2; 이므로  -;3¡2;<k<0

   6. 정규분포와 통계적 추정    77

신뢰구간에서 구한 a, b를 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 활용해 X”

함수가 되기 위해서는

32    249
GUIDE

를 구한다.


1
1.96

의 신뢰구간은

제품 길이의 모평균을 m, 표본평균을 X”라 하면 모표준편차가

, 표본의 크기가 10이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %

1
1.96
'ß10

X”-1.96_

<m<X”+1.96_

∴  X”-

<m<X”+

1
'ß10÷

1
'ß10÷

이때 추정한 신뢰구간이 [a,  b]이므로

1
1.96
'ß10

a=X”-

1
'ß10÷
또 a, b는 이차방정식 10x€-100x+k=0의 두 근이므로

1
'ß10÷

,  b=X”+

  yy ㉠

a+b=10

  yy ㉡,  ab=

  yy ㉢

k
10

㉠을 ㉡에 대입하면 2X”=10

∴  X”=5

X”=5와 ㉠을 ㉢에 대입하면 5€-;1¡0;=

∴  k=249

k
10

4
fn(x)dx=1을 이용해 an을

a

2

x

;2%;

4
f(x)dx=1 을 만족시키는 경우

  …

f(x)dx=…

[k(x-2)‹+;4!;]dx

2  …

0

4

0

4

0

4

0

                =…

[k(x‹-6x€+12x-8)+;4!;]dx

                =k(64-128+96-32)+1=1

  즉 k 는 모든 실수

1, 2에서 -;3¡2;<k<;3¡2; 이므로

M-m=;3¡2;-{-;3¡2;}=;1¡6;

∴  p+q=17

02    6
GUIDE

1<n<4일 경우, n>4일 경우로 나누어  …
구한다.


0

1 1<n<4일 경우

4
fn(x)dx

  …

0

  =an …

(-x+n)dx+an …

n

n

0

4
(x-n)dx

  =an “-;2!; x€+nx‘

0

+an “;2!; x€-nx‘

n

n

4

  =an {-;2!; n€+n€}+an {8-4n-;2!; n€+n€}

  =an(n€-4n+8)=1

  ∴ an=

1
n€-4n+8

(단, 1<n<4)

2 n>4일 경우

  …

fn(x)dx=an …

(-x+n)dx=an “-;2!; x€+nx‘

4

0

4

0

4

0

                  =an(4n-8)=1

  ∴ an=

(단, n>4)

1
4n-8

따라서 a£=;5!;, a¢=;8!;, a§=;1¡6;, a¶=;2¡0;이므로

a¢
a§

a£
a¶

+

=2+4=6

03    ⑴ ①  ⑵ 5
GUIDE

도함수  f(x)를 구한다.


f(x)=
[

   (0<x<r)
  x
  r
   (r<x<4r)
5r-x  (4r<x<5r)

78    정답과 풀이

y

r

O

0

;2!;

0

y=f(x)

r

4r

5r

x

f(x)가 확률밀도함수이므로  …

f(x)dx=1

5r

0

즉 4r€=1에서 r=;2!; (∵ r>0)

a
f(x)dx이고, 이 값은 그림에서 색칠한 부

⑴ P(0<X<a)=…

0

  분의 넓이와 같다.

y=f(x)

y

;2!;

O

;2!;

2

  즉  ;8%;=;2!; {;2!;}

+;2!; {a-;2!;}에서 a=;2#;

⑵ E(X)=…

;2%;
xf(x)dx

             =…

x€dx+…

;2!; xdx+…

x {;2%;-x}dx

;2!;

0

;2%;

0

             =“;3!; x‹‘

0

+“;4!; x€‘

+“;4%; x€-;3!; x‹‘

2

;2!;

;2%;

2

;2!;

             =;2¡4;+;1!6%;+{;1$6%;-;2^4!;}=;4%;

  ∴ E(4X)=4E(X)=5

참고



⑴에서 a=;2!; 이면 P {0<X<;2!;}=;8!; 이므로 0<a<;2!; 인 경우는 생각
하지 않는다.

04    204
GUIDE
c<10이면 1에서 10까지의 자연수 중에

서 3개를 골라 크기순으로 순서쌍

(a, b, c)를 정하면 된다.

c>10이면 그림처럼 (20-c)보다 작은

자연수 중 2개를 골라 크기순으로 a, b라 하면 된다.


평균이 10이므로 c<10, c>10인 경우로 나누자.

y=f(x)

ba

10 c

x

20-c

1 c<10인 경우

10C3=120

2 c>10인 경우

c값의 범위는 11<c<17

y=f(x)

20-k

10

k

x

점 P가 OA’ 위에 있을 때  f(x)=OP’=x, 호 AB 위에 있을 때

  1에서 10까지의 자연수 중에서 3개를 고르면 되므로

f(x)=OP’=r,  OB’ 위에 있을  f(x)=OP’=5r-x임을 이용해 확률밀

이므로 그래프는 그림과 같다.

이때 x=10에 대하여 대칭이므

로 c=k(11<k<17)가 되는 경우의 수는 19-kC2

  즉 순서쌍의 개수는

8C2+7C2+y+2C2=9C3=84

b=

P(X<l)=

12
Ú
l=1

12
Ú
l=1

P {Z<

l-12
2

}

1, 2에서 조건에 맞는 모든 순서쌍의 개수는 204

  =P {Z<-;;¡2¡;;}+P {Z<-;;¡2º;;}+y

c=18이면 20-18=2보다 작은 두 자연수를 고를 수 없으므로 c<17

∴ a+2b

y=f(x)

11-x

m

13+x x

07    ③
GUIDE

참고



이어야 한다.

05    ②
GUIDE
그림처럼 생각하면

m=

(11-x)+(13+x)
2



평균은 m=

(11-x)+(13+x)
2

=12이다.

표에서 0.6826=2_0.3413=P(-1<Z<1)이므로

P(|X-m|<2)=P(m-2<X<m+2)

                          =P {-

2
r

<

X-12
r

<

2
r }

                          =P(-1<Z<1)

이때  2
r

=1에서 r=2

∴ P(11<X<15)

  =P(-0.5<Z<1.5)

  =P(0<Z<0.5)+P(0<Z<1.5)

  =0.1915+0.4332=0.6247

+P {Z<-;2!;}+P(Z<0)

  =2 [P {-;2!;<Z<0}+P {Z<-;2!;}+y

+P {-;;¡2¡;;<Z<0}+P {Z<-;;¡2¡;;}+P(Z<0)]

  =2{11P(Z<0)+P(Z<0)}=12

이항분포 ⇨ 정규분포 ⇨ 표준정규분포를 이용한다.


확률변수 X의 확률이 독립시행의 확률로 주어져 있으므로 X는

이항분포 B {100, ;2!;} 을 따른다. 이때

E(X)=100_;2!;=50, V(X)=100_;2!;_;2!;=25

시행횟수가 충분히 크므로 X는 정규분포 N(50, 5€)을 따른다.

∴  f(x)=P(X<5x+50)

       =P {Z<

5x+50-50
5

}=P(Z<x)

ㄱ. V(X)=25 ( ◯ )

ㄴ.    f(x)=P(Z<x)이므로  x값이

   커질수록 확률은 커지므로

   x¡<x™이면  f(x¡)<f(x™)가 성

립한다. ( ◯ )

ㄷ. 표준정규분포는 z=0에

대하여 대칭이므로

  f(-x)=P(Z<-x)

x¡ x™

z

06    12
GUIDE
그림처럼 생각하면 (a>0)

P(-a<Z<0)+P(Z<-a)=;2!;
임을 이용한다.


P(|X-12|<k)

=P(12-k<X<12+k)

=2P(12-k<X<12)

=2P {-;2K;<Z<0}

y=f(x)

-x 0

x

z

-a

0

a

z

             =P(Z>x)=1-f(x)

  즉 x값에 관계없이 항상  f(-x)+f(x)=1 ( _ )

연속확률변수 X는 정규분포 N(12, 2€)을 따른다.

y=f(x)

12-k

12

12+k x

08    7
GUIDE

이므로

11
Ú
k=1

a=

P(|X-12|<k)=2

11
Ú
k=1

P {-;2K;<Z<0}

  =2P {-;2!;<Z<0}+2P(-1<Z<0)+y

4  F(m)=P {X”>-

  +2P {-;;¡2¡;;<Z<0}

        =P(Z>-2-m'n )

m=0을 대입해 구한  f(0)의 값에서  f(-1)의 범위를 정할 수 있다.


모집단이 N(m, 1€)인 정규분포를 따르므로

표본평균 X”는 N {m, {

}인 정규분포를 따른다.

2

1
'n }

2

'n }=P
{

Z>

-

-m

2
'n
1
'n

}

   6. 정규분포와 통계적 추정    79

F(0)=P(Z>-2)=0.98이므로
F(-1)=P(Z>-2+'n )<0.31
이때 -2+'n>0.5에서
n>(2.5)€=6.25

자연수 n의 최솟값은 7

0.31

0 0.5

z

09    78
GUIDE

➊ E(X)=

9
Ú
x=1

[

x
k+9

-

7
k+9

+

7(k+1)

k+9 ]

➋ P(X”<7)을 구하기 위하여 여사건의 확률 P(X”>7)를 이용한다.


P(X=7)=

이고

k+1
k+9

1
k+9

P(X=x)=

(이때 x는 1<x<9 중 7을 제외한 자연수)

E(X)=

9
Ú
x=1

{

x
k+9

-

7
k+9

+

7(k+1)

k+9 }

         =

45
k+9

+

7k
k+9

=

7k+45
k+9

=5.2

에서 k=1

같은 경우이다.

X”>7은 X¡+X™>14와 같고, 7이 적힌 공은 2개이므로 다음과

X¡

5

6

7

8

9

X™

9

8, 9

7, 8, 9

6, 7, 8, 9

5, 6, 7, 8, 9

경우의 수

1

2

8

5

6

전체 경우의 수는 100이고, X¡+X™>14가 되는 경우의 수는

22이므로
P(X”<7)=1-P(X”>7)=1-;1™0™0;=;1¶0•0;=p
∴ 100p=78

참고

➊ 다음과 같이 X의 확률분포를 생각할 수 있다.

X

1

2

3 y 7

8

9 합계

P(X=x)

1
k+9

1
k+9

1
k+9

y

k+1
k+9

1
k+9

1
k+9

1

  이때 E(X)=

1+2+3+y+7(k+1)+8+9
k+9
➋ 7 두 개를 7, 7✽라 하면 X¡+X™>14가 되는 경우는 다음과 같다.

7k+45
k+9

=

  (5, 9)  ⇦ X¡=5일 때

  (6, 8), (6, 9)  ⇦ X¡=6일 때
  (7, 7), (7, 7✽), (7, 8), (7, 9)  ⇦ X¡=7일 때
  (7✽, 7), (7✽, 7✽), (7✽, 8), (7✽, 9)  ⇦ X¡=7✽일 때
  (8, 6), (8, 7), (8, 7✽), (8, 8), (8, 9)  ⇦ X¡=8일 때
  (9, 5), (9, 6), (9, 7), (9, 7✽), (9, 8), (9, 9) ⇦ X¡=9일 때

80    정답과 풀이

'천재교육' 카테고리의 다른 글

2020년 천재교육 고등 평가문제 국어 (박영목) 하 (15개정) 답지 (0)	2020.06.16
2020년 천재교육 고등 평가문제 국어 (박영목) 상 (15개정) 답지 (0)	2020.06.16
2020년 천재교육 고등 중국어1 자습서 (신승희) (15개정) 답지 (0)	2020.06.16
2020년 천재교육 고등 자습서 한국사 (최병택) (15개정) 답지 (0)	2020.06.16
2020년 천재교육 고등 셀파 한국사 (15개정) 답지 (0)	2020.06.16

2020년 천재교육 고등 최강 TOT 확률과통계 (15개정) 답지

'천재교육' 카테고리의 다른 글

티스토리툴바