1대푯값과산포도02VV통계1피타고라스정리092피타고라스정리와도형133피타고라스정리의평면도형에의활용174피타고라스정리의입체도형에의활용23피타고라스정리1삼각비282삼각비의활용33삼각비VVIIVVIIII1원과직선402원주각⑴463원주각⑵52원의성질VVIIIIII개쎈중수3하_정(001-008) 2015.1.14 3:9 PM 페이지1 SinsagoHitec 2정답및풀이Ⅴ. 통계01-1⑴(평균)===7⑵(평균)===25(cid:9000)⑴7(cid:100)⑵2501-2(평균)===80(점)(cid:9000)80점02-1⑴자료의변량을작은값부터순서대로나열하면2, 2, 3, 4, 4, 4, 5이므로중앙값은4이고, 최빈값도4이다.⑵자료의변량을작은값부터순서대로나열하면5, 16, 18, 20, 23이므로중앙값은18이고, 최빈값은없다.⑶자료의변량을작은값부터순서대로나열하면68, 68, 78, 82, 82, 110이므로중앙값은=80이고, 최빈값은68, 82이다.(cid:9000)⑴중앙값：4,최빈값：4(cid:9000)⑵중앙값：18,최빈값：없다.(cid:9000)⑶중앙값：80,최빈값：68,8202-2변량을작은값부터순서대로나열할때한가운데놓이는변량은13번째변량이므로이변량이속하는계급의계급값이중앙값이다.(cid:100)(cid:100)∴(중앙값)==85(점)최빈값은도수가가장큰계급의계급값이므로(cid:100)(cid:100)(최빈값)==75(점)(cid:9000)중앙값：85점,최빈값：75점70+80280+90278+82216002065_3+75_6+85_9+95_220175728+25+21+24+22+24+3174263+5+8+7+9+106⊙⊙본책10~11쪽개념Check대푯값과산포도103-1(평균)==:ª5º:=18따라서각변량의편차와그합계는다음표와같다.(cid:9000)풀이참조03-2(평균)===12(건)이므로각변량의편차는(cid:100)(cid:100)3, -6, -4, 8, -1따라서편차의절댓값이가장큰변량은20건이므로평균에서가장멀리떨어져있는변량은20건이다.(cid:9000)20건04-1⑴(평균)===80(점)⑵⑶(분산)==:ª5º:=18⑷(표준편차)='∂18=3'2(점)(cid:9000)풀이참조36+25+4+16+95400574+85+82+76+83560515+6+8+20+11514+22+19+15+205⊙⊙본책14~17쪽개념Check002-1자료의변량을작은값부터순서대로나열할때, 중앙값은7번째와8번째값의평균이므로(cid:100)(cid:100)=5.5(권)(cid:9000)5.5권003-1영훈이네반학생은모두30명이므로3+8+9+a+4=3024+a=30(cid:100)(cid:100)∴a=6따라서주어진표에서도수가가장큰것은파스타이므로최빈값은파스타이다.(cid:9000)③004-1x를제외한4개의변량의도수는모두1이므로x는4개의변량중하나와같다. 따라서최빈값은x이다.평균과최빈값이같으므로(cid:100)(cid:100)=x180+x=5x,(cid:100)(cid:100)4x=180(cid:100)(cid:100)∴x=45(cid:9000)4545+50+43+42+x55+62001-1탈퇴한회원의키를xcm라하면(cid:100)(cid:100)=164,(cid:100)(cid:100)1650-x=1476(cid:100)(cid:100)∴x=174(cid:9000)174cm165_10-x9유제⊙⊙본책12~13쪽변량1422191520합계편차-441-3201회2회3회4회5회성적(점)7485827683편차(점)-652-43(편차)¤36254169 중개념쎈(3년)해설Ⅴ(01~08)오 2015.1.21 10:8 PM 페이지2 SinsagoHitec Ⅴ. 통계305-1a, b, c의평균이6이므로=6yy㉠또분산이2이므로=2yy㉡변량2a+5, 2b+5, 2c+5에대하여(cid:100)(cid:100)(평균)==+5=2_6+5=17(∵㉠)(cid:100)(cid:100)(분산)===2¤_2=8(∵㉡)(cid:100)(cid:100)(표준편차)='8=2'2(cid:9000)17,8,2'2(평균)=2_6+5=17(cid:100)(cid:100)(분산)=2¤_2=8(cid:100)(cid:100)(표준편차)=2_'2=2'206-1{(편차)¤_(도수)}의총합이252이므로분산은(cid:100)(cid:100):™2∞0™:=12.6이고표준편차는(cid:100)(cid:100)'∂12.6(시간)(cid:9000)풀이참조2¤{(a-6)¤+(b-6)¤+(c-6)¤}3(2a+5-17)¤+(2b+5-17)¤+(2c+5-17)¤32(a+b+c)3(2a+5)+(2b+5)+(2c+5)3(a-6)¤+(b-6)¤+(c-6)¤3a+b+c3계급(시간)계급값(시간)도수(명)(계급값)_(도수)편차(편차)¤_(도수)10이상~14미만248-510014이상~18이상6954-1918이상~12이상1055034512이상~16이상14228798합계20140252005-1편차의총합은0이므로1+(-4)+3+x+2=0(cid:100)(cid:100)∴x=-2D의영화관람횟수가14회이므로(평균)=14-(-2)=16(회)(cid:9000)16회유제⊙⊙본책18~23쪽1대푯값과산포도006-16개의변량의평균이11이므로=1151+x=66(cid:100)(cid:100)∴x=15각변량의편차는1, -4, -1, -2, 4, 2이므로분산은=:¢6™:=7따라서표준편차는(cid:100)(cid:100)'7(cid:9000)'7007-16개의변량의평균이9이므로=9a+b+39=54(cid:100)(cid:100)∴a+b=15yy㉠또표준편차가'7이므로;6!;{(10-9)¤+(a-9)¤+(b-9)¤+(13-9)¤+(11-9)¤+(5-9)¤}=('7)¤∴a¤+b¤-18(a+b)+199=42yy㉡㉠을㉡에대입하면(cid:100)(cid:100)a¤+b¤-18_15+199=42∴a¤+b¤=113yy㉢따라서(a+b)¤=a¤+b¤+2ab에㉠, ㉢을대입하면15¤=113+2ab,(cid:100)(cid:100)2ab=112∴ab=56(cid:9000)56008-1a,b,c,d의평균이8이므로(cid:100)(cid:100)=8또표준편차가'∂10이므로분산은(cid:100)(cid:100)=('∂10)¤=10변량a+3,b+3,c+3,d+3에대하여(cid:100)(cid:100)(평균)==+3=8+3=11(cid:100)(cid:100)(분산)(cid:100)=(cid:100)==10(cid:100)(cid:100)∴(표준편차)='∂10(cid:9000)11, '∂10(a-8)¤+(b-8)¤+(c-8)¤+(d-8)¤4(a+3-11)¤+(b+3-11)¤+(c+3-11)¤+(d+3-11)¤4a+b+c+d4(a+3)+(b+3)+(c+3)+(d+3)4(a-8)¤+(b-8)¤+(c-8)¤+(d-8)¤4a+b+c+d410+a+b+13+11+561¤+(-4)¤+(-1)¤+(-2)¤+4¤+2¤612+7+10+9+x+136(편차)=(변량)-(평균)(cid:8857)(변량)=(평균)+(편차)(cid:8857)(평균)=(변량)-(편차)개쎈중수3하_정(001-008) 2015.1.14 3:9 PM 페이지3 SinsagoHitec 4정답및풀이009-1위의표에서평균은(cid:100)(cid:100);1@0%;=2.5(시간){(편차)¤_(도수)}의총합이12이므로분산은;1!0@;=1.2따라서표준편차는'∂1.2시간이다.(cid:9000)③010-1주어진히스토그램을이용하여도수분포표를만들면오른쪽과같다.영어성적의평균은==79(점)따라서분산은;2¡0;{(55-79)¤_1+(65-79)¤_4+(75-79)¤_5+(85-79)¤_6+(95-79)¤_4}==134(cid:9000)134010-220분이상30분미만인계급의도수를x명이라하면도수의총합은10이므로1+x+3+2=10(cid:100)(cid:100)∴x=4이때주어진히스토그램을이용하여도수분포표를만들면오른쪽과같다.등교시간의평균은==31(분)따라서분산은;1¡0;{(15-31)¤_1+(25-31)¤_4+(35-31)¤_3+(45-31)¤_2}==84(cid:9000)84840103101015_1+25_4+35_3+45_21026802015802055_1+65_4+75_5+85_6+95_42001②026803⑤04③052606⑤07:¡3¢:082'∂30kg09⑤10⑤11⑤12③132514㈀,㈃15④16-2217⑤185'3점194.620621㈀,㈂22④2312624㈁,㈃⊙⊙본책24~27쪽01(평균)=5회째의국어시험성적을x점이라하면(cid:100)(cid:100)=90(cid:100)(cid:100)358+x=450(cid:100)(cid:100)∴x=92(cid:9000)②84+92+87+95+x5(변량)의총합(변량)의개수해결Guide011-1남학생과여학생의수학성적의평균이같으므로분산은===6따라서표준편차는'6점이다.(cid:9000)'6점012-1자료가평균에가장밀집되어있는것은③이므로표준편차가가장작은것은③이다.(cid:9000)③013-1B반이A반보다평균이더크므로B반이A반보다성적이더좋다.또A반이B반보다표준편차가더작으므로A반이B반보다분포상태가더고르다.(cid:9000)④013-2㈀몸무게가가장적게나가는학생이속해있는반은알수없다.㈁A반의표준편차가가장작으므로A반학생들의몸무게가평균에가장가까이몰려있다.㈂몸무게가70kg이상인학생수는알수없다.이상에서옳은것은㈁뿐이다.(cid:9000)㈁2404080+1604020_4+20_820+20계급값(시간)도수(명)(계급값)_(도수)편차(편차)¤_(도수)0.510.5-241.523-122.5410003.527124.514.524합계102512계급값(점)도수(명)551654755856954합계20계급값(분)도수(명)151254353452합계10개쎈중수3하_정(001-008) 2015.1.14 3:9 PM 페이지4 SinsagoHitec Ⅴ. 통계502잎의수가가장많은값이최빈값이다.자료의8번째값이중앙값이므로(cid:100)(cid:100)a=3236회의도수가3으로가장크므로(cid:100)(cid:100)b=36(cid:100)(cid:100)∴a+b=32+36=68(cid:9000)6803변량의개수가홀수개인자료의중앙값(cid:8857)중앙에있는값변량3, 6, a의중앙값이6이므로(cid:100)(cid:100)aæ6변량11,17,a의중앙값이11이므로(cid:100)(cid:100)a…11(cid:100)(cid:100)∴6…a…11(cid:9000)⑤04선호도(cid:8857)최빈값을대푯값으로한다.가장좋아하는드라마제목을알수있는것은최빈값이다.(cid:9000)③05변량의개수가짝수개인자료의중앙값(cid:8857)중앙에있는두값의평균자료의중앙값은(cid:100)(cid:100)==19y`40%자료의평균은=y`30%자료의평균과중앙값이같으므로(cid:100)(cid:100)=19(cid:100)(cid:100)88+x=114(cid:100)(cid:100)∴x=26y`30%(cid:9000)2606편차의총합은항상0임을이용한다.C학생의키의편차를xcm라하면편차의총합은0이므로(cid:100)(cid:100)2+(-1)+x+(-4)=0(cid:100)(cid:100)∴x=3따라서C학생의키는(cid:100)(cid:100)173+3=176(cm)(cid:9000)⑤해결Guide88+x688+x612+15+18+20+23+x638218+202해결Guide해결Guide해결Guide해결Guide중앙값구하기평균을x에대한식으로나타내기x의값구하기채점기준배점40%30%30%1대푯값과산포도07분산은편차를제곱한값의평균이다.도서관이용횟수의평균은(cid:100)(cid:100)==4(회)각변량의편차는-1,0,1,4,-3,-1이므로분산은==(cid:9000)08도수분포표에서평균,분산구하기(cid:8857)계급값을이용한다.몸무게의평균은(cid:100)(cid:100)(cid:100)==55(kg)y`40%따라서분산은(cid:100)(cid:100);2¡0;{(35-55)¤_2+(45-55)¤_4+(55-55)¤_8(cid:100)(cid:100)(cid:100)+(65-55)¤_4+(75-55)¤_2}(cid:100)==120y`30%이므로표준편차는(cid:100)(cid:100)'∂120=2'∂30(kg)y`30%(cid:9000)2'∂30kg09대푯값(cid:8857)자료의특성을가장잘드러내는값①대푯값에는평균, 중앙값, 최빈값등이있다.②주어진자료의값중에너무작거나너무큰변량이있을때는대푯값으로평균이적합하지않을수도있다.③중앙값은자료가짝수개이면한가운데위치한두변량의평균이므로자료안에없을수도있다.④자료의개수가적은경우최빈값은자료전체의특징을잘반영하지못할수도있다.⑤자료에따라최빈값은없거나2개이상일수도있다.(cid:9000)⑤해결Guide24002011002035_2+45_4+55_8+65_4+75_220해결Guide143143286(-1)¤+0¤+1¤+4¤+(-3)¤+(-1)¤62463+4+5+8+1+36해결Guide평균구하기분산구하기표준편차구하기채점기준배점40%30%30%개쎈중수3하_정(001-008) 2015.1.14 3:9 PM 페이지5 SinsagoHitec 6정답및풀이10(변량의총합)=(평균)_(변량의개수)(A반의수학성적의총합)=75_25=1875(점)(B반의수학성적의총합)=86_30=2580(점)∴(두반전체의수학성적의평균)===81(점)(cid:9000)⑤11자료의값중에서매우크거나매우작은값이있는경우평균은그극단적인값의영향을받는다.⑤100과같이다른변량에비해매우큰값이있으므로평균을대푯값으로하기에적절하지않다.(cid:9000)⑤12중앙값을이용하여3번째변량을먼저구한다.3번째학생의신발치수를xmm라하면(cid:100)(cid:100)=235,(cid:100)(cid:100)230+x=470(cid:100)(cid:100)∴x=240신발치수가255mm인학생이들어와도3번째값은그대로240mm이므로5명의신발치수의중앙값은240mm이다.(cid:9000)③13중앙값과최빈값을구할때(cid:8857)먼저자료를작은값부터순서대로나열한다.x, y, z를제외한자료에서5의도수가2로가장크고9의도수는1이므로최빈값이9가되려면x, y, z중적어도2개는9이어야한다. 이때x=y=9라하자.z를제외한변량을작은값부터순서대로나열하면(cid:100)(cid:100)5, 5, 6, 9, 9, 9, 11중앙값이8이므로(cid:100)(cid:100)6(민혁이의기록의평균)이므로재용이가민혁이보다턱걸이를더잘하는편이다.㈂(재용이의기록의표준편차)>(민혁이의기록의표준편차)이므로민혁이의기록이재용이의기록보다더고르다. 이상에서옳은것은㈀, ㈂이다.(cid:9000)㈀,㈂기록의비교(cid:8857)평균을비교한다.기록의고르기의비교(cid:8857)분산,표준편차를비교한다.22양궁점수의분포를그림으로나타낸다.A, B, C세선수의양궁점수의분포를그림으로나타내면다음과같다.(cid:100)(cid:100)[A선수](cid:100)(cid:100)[B선수](cid:100)(cid:100)[C선수]A, B, C세선수의양궁점수의평균을각각구해보면(cid:100)(cid:100)(A의평균)=(cid:100)(cid:100)(A의평균)=8(점)(cid:100)(cid:100)(B의평균)=(cid:100)(cid:100)(B의평균)=8(점)(cid:100)(cid:100)(C의평균)=(cid:100)(cid:100)(C의평균)=8(점)즉세선수의평균은모두8점이고평균을중심으로점수의흩어진정도가가장작은사람은C, 흩어진정도가가장큰사람은B이다.따라서변량들이평균에서멀리흩어져있을수록표준편차가크므로A, B, C세선수의점수의표준편차a, b, c의대소관계는(cid:100)(cid:100)c0)⑵△ABE에서(cid:100)(cid:100)BE”="√(2'∂13)¤-4¤=6(cm)(cid:100)(cid:100)∴BC”=BE”+EC”=BE”+AB”=6+4=10(cm)⑶(cid:8772)ABCD=;2!;_(AB”+CD”)_BC”=;2!;_(4+6)_10=50(cm¤)(cid:9000)⑴2'∂13cm(cid:100)⑵10cm(cid:100)⑶50cm¤09-1⑴1¤+2¤=('5)¤⑵('3)¤+2¤+(2'2)¤⑶5¤+10¤+12¤⑷6¤+8¤=10¤(cid:9000)⑴, ⑷⊙⊙본책32~35쪽개념Check피타고라스정리1014-1피타고라스정리에의하여(cid:100)(cid:100)AB”=øπ(3'3)¤+3¤=6(cm)점O가△ABC의외심이므로(cid:100)(cid:100)OA”=OB”=OC”(cid:100)(cid:100)∴OC”=;2!;AB”=;2!;_6=3(cm)(cid:9000)③014-2구하는높이를xm라하면오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)(18-x)¤=x¤+12¤(cid:100)(cid:100)36x=180(cid:100)(cid:100)∴x=5따라서지면으로부터부러진부분까지의높이는5m이다.(cid:9000)5m015-1△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√15¤-9¤=12(cid:100)(cid:100)∴BD”=DC”=;2!;_12=6△ABD에서(cid:100)(cid:100)AD”="√9¤+6¤=3'∂13(cid:9000)①016-1△BCD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√2¤+2¤=2'2(cid:100)(cid:100)∴BE”=BD”=2'2△BEF에서(cid:100)(cid:100)BF”="√(2'2)¤+2¤=2'3(cid:100)(cid:100)∴BG”=BF”=2'3(cid:9000)2'3017-1오른쪽그림과같이AC”를그으면△ABC와△ACD는직각삼각형이다. △ACD에서(cid:100)(cid:100)AC”¤=('∂11)¤+5¤=36AB”=BC”=x라하면△ABC에서(cid:100)(cid:100)x¤+x¤=36,(cid:100)(cid:100)x¤=18(cid:100)(cid:100)∴x=3'2(∵x>0)(cid:9000)3'2xABCD51112`mx`m{18-x}`m유제⊙⊙본책36~42쪽09-2⑴x¤+9¤=12¤이므로(cid:100)(cid:100)x¤=63(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x=3'7(∵x>0)⑵9¤+12¤=x¤이므로(cid:100)(cid:100)x¤=225(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x=15(∵x>0)(cid:9000)⑴3'7(cid:100)⑵151피타고라스정리Ⅵ. 피타고라스정리직각삼각형의외심은빗변의중점과일치하므로(cid:100)(cid:100)(외접원의반지름의길이)=;2!;_(빗변의길이)직각삼각형의외심 중개념쎈(3년)해설Ⅵ(09~27)오 2015.1.21 10:10 PM 페이지9 SinsagoHitec 10정답및풀이018-1오른쪽그림과같이점A에서BC”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)BH”=8-4=4(cm)△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”="√8¤-4¤=4'3(cm)따라서CD”=AH”=4'3(cm)이므로△BCD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√8¤+(4'3)¤=4'7(cm)(cid:9000)4'7cm019-1△ABC에서AC”="√10¤-6¤=8(cm)△AFC≡△ABE(SAS합동)이므로(cid:100)(cid:100)△AFC=△ABE=△ACE=;2!;(cid:8772)ACDE=;2!;_8¤=32(cm¤)(cid:9000)32cm¤020-1△AEH=;2!;_AE”_AH”이므로(cid:100)(cid:100)9=;2!;_6_AH”(cid:100)(cid:100)∴AH”=3(cm)(cid:100)(cid:100)∴EH”="√6¤+3¤=3'5(cm)한편△AEH≡△BFE≡△CGF≡△DHG(SAS합동)이므로(cid:8772)EFGH는정사각형이다.따라서(cid:8772)EFGH의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)4_3'5=12'5(cm)(cid:9000)12'5cm021-1△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√12¤+6¤=6'5(cid:8772)BEDC는정사각형이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)BEDC=(6'5)¤=180CH”=BA”=12이므로(cid:100)(cid:100)AH”=CH”-CA”=12-6=6이때(cid:8772)AFGH는정사각형이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)AFGH=6¤=36FGDIHBCAE10cm6cm4cm8cm8cmABHCD따라서(cid:8772)AFGH와(cid:8772)BEDC의넓이의합은(cid:100)(cid:100)36+180=216(cid:9000)216022-1△ABC≡△CDE에서(cid:100)(cid:100)AC”=CE”, ∠ACE=90°이므로△ACE는직각이등변삼각형이다.이때△ACE=56cm¤이므로(cid:100)(cid:100);2!;_AC”_CE”=;2!;AC”¤=56,(cid:100)(cid:100)AC”¤=112(cid:100)(cid:100)∴AC”=4'7(cm)(∵AC”>0)△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”="√(4'7)¤-8¤=4'3(cm)(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_8_4'3=16'3(cm¤)(cid:9000)16'3cm¤023-17¤+24¤=25¤이므로주어진삼각형은빗변의길이가25인직각삼각형이다.따라서삼각형의넓이는(cid:100)(cid:100);2!;_7_24=84(cid:9000)84024-1⁄가장긴변의길이가9일때(cid:100)(cid:100)7¤+x¤=9¤,(cid:100)(cid:100)x¤=32(cid:100)(cid:100)∴x=4'2(∵x>0)¤가장긴변의길이가x일때(cid:100) (cid:100)(cid:100)7¤+9¤=x¤,(cid:100)(cid:100)x¤=130(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x='∂130(∵x>0)(cid:9000)①,⑤025-1AE”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)DE”=xcm, EB”=(8-x)cm이때BD”=;2!;BC”=;2!;_8=4(cm)이므로△EBD에서(cid:100)(cid:100)x¤=(8-x)¤+4¤,(cid:100)(cid:100)16x=80(cid:100)(cid:100)∴x=5(cid:9000)③025-2DP”=AD”=15(cm)이므로△DPC에서(cid:100)(cid:100)PC”="√15¤-12¤=9(cm)(cid:100)(cid:100)∴BP”=15-9=6(cm)PQ”=xcm라하면AQ”=xcm이므로(cid:100)(cid:100)BQ”=(12-x)cmCDBEFA8cm8cmx`cmx`cm{8-x}`cm15cm12cmABQCPDx`cm6`cm15`cmx`cm9`cm{12-x}`cm오른쪽그림에서두직선l과m이평행할때,△ABC와△A'BC는밑변BC가공통이고높이가h로같으므로넓이는같다.즉l∥m이면(cid:100)(cid:100)△ABC=△A'BC평행선과삼각형의넓이ABCA'lhm개쎈중수3하_정(009-027) 2015.1.14 3:10 PM 페이지10 SinsagoHitec Ⅵ. 피타고라스정리11따라서△QBP에서(cid:100)(cid:100)(12-x)¤+6¤=x¤,(cid:100)(cid:100)24x=180(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∴x=:¡2∞:(cid:9000):¡2∞:cm01⑤022'∂19cm03④04320520'2cm06②,④07③08④093104'5cm112812⑤134142'∂26cm155cm16②17④18(15-5'3)초⊙⊙본책43~45쪽1피타고라스정리01마름모의두대각선은서로를수직이등분한다.마름모의두대각선은서로를수직이등분하므로(cid:100)(cid:100)AC”⊥BD”, AO”=CO”, BO”=DO”따라서△ABO에서AO”=4cm, BO”=6cm이므로(cid:100)(cid:100)AB”="√4¤+6¤=2'∂13(cm)(cid:9000)⑤02먼저피타고라스정리를이용하여BD”의길이를구한다.△ABD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√4¤-(2'3)¤=2(cm)y`40%(cid:100)(cid:100)∴CD”=10-2=8(cm)y`20%△ADC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√(2'3)¤+8¤=2'∂19(cm)y`40%(cid:9000)2'∂19cm03보조선을그어두개의직각삼각형으로나눈다.오른쪽그림과같이BD”를그으면△ABD와△BCD는직각삼각형이다.△ABD에서(cid:100)(cid:100)BD”=øπ4¤+(4'3)¤=8따라서△BCD에서(cid:100)(cid:100)DC”="√8¤-6¤=2'7(cid:9000)④ABCD464´3해결Guide해결Guide해결GuideBD”의길이구하기CD”의길이구하기AC”의길이구하기채점기준배점40%20%40%04(cid:8772)BHIC=(cid:8772)LMGB임을이용한다.△LMG=;2!;(cid:8772)LMGB=;2!;(cid:8772)BHIC=;2!;_8¤=32(cid:9000)3205△AEH≡△BFE≡△CGF≡△DHG임을이용한다.AH”=AE”=;8!;_40=5(cm)이므로△AEH에서(cid:100)(cid:100)EH”="√5¤+5¤=5'2(cm)△AEH≡△BFE≡△CGF≡△DHG이므로(cid:8772)EFGH는정사각형이다.따라서(cid:8772)EFGH의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)4_5'2=20'2(cm)(cid:9000)20'2cm06c¤=a¤+b¤(cid:8857)빗변의길이가c인직각삼각형①4¤+2¤+3¤②3¤=('3)¤+('6)¤③4¤+2¤+('5)¤④(3'2)¤=(2'2)¤+('∂10)¤⑤7¤+4¤+6¤(cid:9000)②,④07먼저두정사각형의한변의길이를각각구한다.오른쪽그림에서AC”=6cm, BC”=8cm이므로△ABC에서x="√6¤+8¤=10(cid:9000)③08먼저무게중심의성질을이용하여AM”의길이를구한다.AM”：GM”=3：1이므로(cid:100)(cid:100)AM”=3'2점M은△ABC의외심이므로(cid:100)(cid:100)BC”=2AM”=6'2(cid:100)(cid:100)∴AB”=øπ(6'2)¤-4¤=2'∂14(cid:9000)④해결Guidexcm4cm¤2cm6cm6cm36cm¤ABC해결Guide해결Guide해결Guide해결Guide삼각형의무게중심은세중선의길이를각꼭짓점으로부터각각2：1로나눈다.(cid:8825)AG”：GD”=BG”：GE”=CG”：GF”=2：1삼각형의무게중심의성질GABCDEF개쎈중수3하_정(009-027) 2015.1.14 3:10 PM 페이지11 SinsagoHitec 12정답및풀이09CD”=x로놓고△ADC와△ABC에서피타고라스정리를이용한다.CD”=x라하면△ADC에서(cid:100)(cid:100)AC”¤=6¤-x¤△ABC에서(cid:100)(cid:100)(6'3)¤=(6+x)¤+(6¤-x¤)(cid:100)(cid:100)12x=36(cid:100)(cid:100)∴x=3(cid:9000)310AB”=xcm로놓고피타고라스정리를연속적으로이용한다.AB”=xcm라하면△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√x¤+x¤="ç2x¤='2x△ACD에서(cid:100)(cid:100)AD”="√('2x)¤+x¤="ç3x¤='3x△ADE에서(cid:100)(cid:100)AE”="√('3x)¤+x¤=2x△AEF에서(cid:100)(cid:100)AF”="√(2x)¤+x¤='5x즉'5x=20이므로(cid:100)(cid:100)x=4'5(cid:9000)4'5cm11두점A,D에서각각BC”에수선을내린다.두점A,D에서BC”에내린수선의발을각각H, H'이라하면(cid:100)(cid:100)HH'”=AD”=4이때△ABH≡△DCH'(RHA합동)이므로(cid:100)(cid:100)BH”=CH'”=;2!;_(10-4)=3△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”="√5¤-3¤=4y`50%∴(cid:8772)ABCD=;2!;_(4+10)_4=28y`50%(cid:9000)2812(cid:8772)GFEC와넓이가같은사각형을찾는다.오른쪽그림과같이AC”를한변으로하는정사각형ACHI를그리면(cid:100)(cid:100)(cid:8772)GFEC=(cid:8772)ACHI이때△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”¤=9¤-5¤=56(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)GFEC=(cid:8772)ACHI=AC”¤=56(cid:9000)⑤IHAB59GFCDE해결GuideHH'4ADB55410C해결Guide해결Guide해결Guide13(cid:8772)ABCD와(cid:8772)EFGH는정사각형이다.(cid:8772)ABCD는정사각형이고넓이가20이므로(cid:100)(cid:100)AB”='∂20=2'5y`20%△ABE에서(cid:100)(cid:100)BE”="√(2'5)¤-2¤=4y`30%BF”=AE”=2이므로(cid:100)(cid:100)EF”=4-2=2y`20%(cid:8772)EFGH는정사각형이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)EFGH=2¤=4y`30%(cid:9000)414점E에서AB”에수선을내린후피타고라스정리를이용한다.점E에서AB”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)AH”=6-4=2(cm)(cid:100)(cid:100)HE”=BD”=4+6=10(cm)따라서△AHE에서(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)AE”="√2¤+10¤=2'∂26(cm)(cid:9000)2'∂26cm15AC”=xcm로놓고△ABC가∠C=90°인직각삼각형이될조건을이용한다.AC”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)BC”=(17-x)cm△ABC에서∠C=90°가되려면x¤+(17-x)¤=13¤x¤-17x+60=0(x-5)(x-12)=0∴x=5(∵AC”0)(cid:9000)④18(거리)=(속력)_(시간)임을이용하여x초후의변의길이에대한식을세운다.오른쪽그림과같이x초후에△AEF가정삼각형이된다고하면△AFD에서AF”¤=5¤+(x-5)¤△FEC에서EF”¤=(10-x)¤+(10-x)¤AF”¤=EF”¤이므로5¤+(x-5)¤=(10-x)¤+(10-x)¤x¤-30x+150=0(cid:100)(cid:100)∴x=15—5'3이때53¤+5¤이므로둔각삼각형이다.㈃(2'5)¤<('5)¤+4¤이므로예각삼각형이다.㈄8¤>('∂10)¤+7¤이므로둔각삼각형이다.㈅(3'6)¤=(3'2)¤+6¤이므로직각삼각형이다.(cid:9000)⑴㈀,㈃(cid:100)⑵㈁,㈅(cid:100)⑶㈂,㈄⊙⊙본책48쪽개념Check피타고라스정리와도형2026-1삼각형이되기위한조건에의하여(cid:100)(cid:100)9-50)yy㉡㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)40)라하면(cid:100)(cid:100)(4k)¤>(2k)¤+(3k)¤따라서둔각삼각형이다.②세변의길이를2k, 4k, 5k(k>0)라하면(cid:100)(cid:100)(5k)¤>(2k)¤+(4k)¤따라서둔각삼각형이다.③세변의길이를3k, 4k, 5k(k>0)라하면(cid:100)(cid:100)(5k)¤=(3k)¤+(4k)¤따라서직각삼각형이다.④세변의길이를4k, 5k, 6k(k>0)라하면(cid:100)(cid:100)(6k)¤<(4k)¤+(5k)¤따라서예각삼각형이다.⑤세변의길이를5k, 7k, 8k(k>0)라하면(cid:100)(cid:100)(8k)¤<(5k)¤+(7k)¤따라서예각삼각형이다.(cid:9000)①,②유제⊙⊙본책49쪽2정리와도형피타고라스개쎈중수3하_정(009-027) 2015.1.14 3:10 PM 페이지13 SinsagoHitec 14정답및풀이11-1⑴피타고라스정리에의하여(cid:100)(cid:100)AC”="√5¤-3¤=4⑵AC”¤=CD”_CB”이므로(cid:100)(cid:100)4¤=CD”_5(cid:100)(cid:100)∴CD””=:¡5§:⑶AB”_AC”=AD”_BC”이므로(cid:100)(cid:100)3_4=AD”_5(cid:100)(cid:100)∴AD”=:¡5™:(cid:9000)⑴4(cid:100)⑵:¡5§:(cid:100)⑶:¡5™:⑶CD”=:¡5§:이므로△ADC에서(cid:100)(cid:100)AD”=æ≠4¤-{:¡5§:}¤=:¡5™:11-2⑴('∂13)¤+3¤=2¤+x¤이므로(cid:100)(cid:100)x¤=18(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x=3'2(∵x>0)⑵8¤+x¤=5¤+9¤이므로(cid:100)(cid:100)x¤=42(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x='∂42(∵x>0)(cid:9000)⑴3'2(cid:100)⑵'∂4212-1⑴5¤+4¤=x¤+(4'2)¤이므로(cid:100)(cid:100)x¤=9(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x=3(∵x>0)⑵(2'2)¤+6¤=x¤+(2'7)¤이므로(cid:100)(cid:100)x¤=16(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x=4(∵x>0)⑶x¤+3¤=4¤+(3'2)¤이므로(cid:100)(cid:100)x¤=25(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x=5(∵x>0)⑷2¤+(4'2)¤=x¤+(2'5)¤이므로(cid:100)(cid:100)x¤=16(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x=4(∵x>0)(cid:9000)⑴3(cid:100)⑵4(cid:100)⑶5(cid:100)⑷413-1⑴25-9=16(cm¤)⑵7+21=28(cm¤)⑶;2!;_4_3=6(cm¤)⑷9p+4p=13p(cm¤)(cid:9000)⑴16cm¤(cid:100)⑵28cm¤(cid:100)⑶6cm¤(cid:100)⑷13pcm¤⊙⊙본책50~52쪽개념Check028-1△BCD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√10¤-5¤=5'3(cm)BC”¤=CD”_CA”이므로(cid:100)(cid:100)10¤=5_CA”(cid:100)(cid:100)∴CA”=20(cm)(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_20_5'3=50'3(cm¤)(cid:9000)50'3cm¤유제⊙⊙본책53~55쪽029-1△ADE에서(cid:100)(cid:100)DE”="√3¤+3¤=3'2BE”¤+CD”¤=DE”¤+BC”¤이므로BE”¤+CD”¤=(3'2)¤+9¤=99(cid:9000)99030-1(cid:8772)ABCD는AD”∥BC”인등변사다리꼴이므로CD”=AB”=9AB”¤+CD”¤=BC”¤+AD”¤이므로9¤+9¤=BC”¤+8¤,(cid:100)(cid:100)BC”¤=98∴BC”=7'2(∵BC”>0)(cid:9000)7'2031-1AP”¤+CP”¤=BP”¤+DP”¤이므로(2'3)¤+(2'2)¤=x¤+(2x)¤5x¤=20,(cid:100)(cid:100)x¤=4∴x=2(∵x>0)(cid:9000)2032-1색칠한부분의넓이는BC”를지름으로하는반원의넓이와같으므로(색칠한부분의넓이)=;2!;_p_6¤(색칠한부분의넓이)=18p(cid:9000)18p033-1△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√13¤-12¤=5(cm)(cid:100)(cid:100)∴(색칠한부분의넓이)=2△ABC=2_{;2!;_12_5}=60(cm¤)(cid:9000)④01③02④03②04④0524065007④08⑤09②10④1155122'5133'5km14:¡2£:pcm¤15③16④174'5cm182'7cm⊙⊙본책56~58쪽 중개념쎈(3년)해설Ⅵ(09~27)오 2015.1.21 10:11 PM 페이지14 SinsagoHitec △AOD에서(cid:100)(cid:100)AO”="√10¤-6¤=8y`30%∴△AOD=;2!;_6_8=24y`30%(cid:9000)2406직사각형ABCD의내부의한점P가주어질때(cid:8857)AP”¤+CP”¤=BP”¤+DP”¤AP”¤+CP”¤=BP”¤+DP”¤이므로AP”¤+CP”¤=5¤+5¤=50(cid:9000)5007(색칠한부분의넓이)=△ABC색칠한부분의넓이는△ABC의넓이와같으므로(cid:100)(cid:100)24=;2!;_8_AC”(cid:100)(cid:100)∴AC”=6(cm)따라서△ABC에서BC”="√6¤+8¤=10(cm)(cid:9000)④08예각삼각형(cid:8857)(가장긴변의길이의제곱)<(나머지두변의길이의제곱의합)삼각형이되기위한조건에의하여(cid:100)(cid:100)12-880(cid:100)(cid:100)∴x>4'5(∵x>0)(cid:100)(cid:100)yy㉡㉠, ㉡에서(cid:100)(cid:100)4'5(나머지두변의길이의제곱의합)삼각형의세변의길이를a, b, c(aa¤+b¤을만족시키는순서쌍(a, b, c)는(6, 7, 10), (6, 7, 11), (6, 8, 11), (7, 8, 11)의4가지이다.(cid:9000)②해결Guide해결Guide해결Guide해결GuideⅥ. 피타고라스정리1501△ABC에서∠B가예각일때항상성립하는것을찾는다.∠B<90°이므로b¤3¤+5¤이므로∠B>90°인둔각삼각형이다.(cid:9000)④03직각삼각형의닮음의성질을이용한다.AD”¤=BD”_CD”이므로(cid:100)(cid:100)4¤=3_CD”(cid:100)(cid:100)∴CD”=;;¡3§;;△ADC에서(cid:100)(cid:100)AC”=æ≠4¤+{;;¡3§;;}2=;;™3º;;(cid:9000)②CD”=:¡3§:이므로(cid:100)(cid:100)CB”=3+;;¡3§;;=;;™3∞;;AC”¤=CD”_CB”이므로(cid:100)(cid:100)AC”¤=;;¡3§;;_;;™3∞;;=;;¢;9);º;;(cid:100)(cid:100)∴AC”=;;™3º;;(∵AC”>0)04삼각형의두변의중점을연결한선분의성질을이용하여DE”의길이를구한다.삼각형의두변의중점을연결한선분의성질에의하여DE”=;2!;BC”=;2!;_8=4∴BE”¤+CD”¤=DE”¤+BC”¤=4¤+8¤=80(cid:9000)④05(cid:8772)ABCD의두대각선이직교할때(cid:8857)AB”¤+CD”¤=BC”¤+AD”¤AB”¤+CD”¤=BC”¤+AD”¤이므로9¤+8¤=(3'5)¤+AD”¤,(cid:100)(cid:100)AD”¤=100∴AD”=10(∵AD”>0)y`40%해결Guide해결Guide해결Guide해결Guide해결GuideAM”=MB”, AN”=NC”(cid:8825)MN”∥BC”, MN”=;2!;BC”AABCBMNMNC2aa삼각형의두변의중점을연결한선분의성질(cid:8825)AD”의길이구하기AO”의길이구하기△AOD의넓이구하기채점기준배점40%30%30%2정리와도형피타고라스개쎈중수3하_정(009-027) 2015.1.14 3:10 PM 페이지15 SinsagoHitec 16정답및풀이10AB”=3k, BC”=5k(k>0)로놓고AC”의길이를구한다.AB”:BC”=3:5이므로(cid:100)(cid:100)AB”=3k, BC”=5k(k>0)로놓으면△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√(5k)¤-(3k)¤=4kAB”_AC”=BC”_AH”이므로3k_4k=5k_6(cid:100)(cid:100)∴k=;2%;(∵k>0)∴AC”=4_;2%;=10(cm)(cid:9000)④11AE”¤+DC”¤=DE”¤+AC”¤을이용한다.△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√8¤+6¤=10AE”¤+DC”¤=DE”¤+AC”¤이므로(cid:100)(cid:100)AE””¤+(3'5)¤=DE”¤+10¤(cid:100)(cid:100)∴AE”¤-DE”¤=55(cid:9000)5512등변사다리꼴(cid:8857)평행하지않은한쌍의대변의길이가같다.△AOD에서(cid:100)(cid:100)AD”="√('2)¤+('2)¤=2y`40%AB”=CD”이므로y`20%(cid:100)(cid:100)AD”¤+BC”¤=AB”¤+CD”¤(cid:100)(cid:100)2¤+6¤=2AB”¤,(cid:100)(cid:100)AB”¤=20(cid:100)(cid:100)∴AB”=2'5(∵AB”>0)y`40%(cid:9000)2'513학교의위치를P라하고DP”의길이를구하는식을세운다.학교의위치를P라하면AP”¤+CP”¤=BP”¤+DP”¤이므로5¤+6¤=4¤+DP”¤,(cid:100)(cid:100)DP”¤=45∴DP”=3'5(km)(∵DP”>0)(cid:9000)3'5km해결Guide해결Guide해결Guide해결Guide14직각삼각형의각변을지름으로하는세반원(cid:8857)(가장큰반원의넓이)=(다른두반원의넓이의합)Q=;2!;_p_3¤=;2(;p(cm¤)이때P=Q+R이므로P=;2(;p+2p=:¡2£:p(cm¤)(cid:9000):¡2£:pcm¤15(색칠한부분의넓이)=△ABCAB”=AC”=xcm라하면△ABC에서(cid:100)(cid:100)x¤+x¤=(6'2)¤,(cid:100)(cid:100)x¤=36(cid:100)(cid:100)∴x=6(∵x>0)따라서색칠한부분의넓이는△ABC의넓이와같으므로(cid:100)(cid:100)(색칠한부분의넓이)=;2!;_6_6=18(cm¤)(cid:9000)③16(cid:8772)ABCD의대각선을그어2개의직각삼각형으로나누어생각한다.오른쪽그림에서S¡+S™=△ABCS£+S¢=△ACD∴S¡+S™+S£+S¢=△ABC+△ACD=(cid:8772)ABCD=4_10=40(cid:9000)④17삼각형의두변의중점을연결한선분의성질을이용한다.오른쪽그림에서DE”를그으면두점D, E는각각AB”, BC”의중점이므로(cid:100)(cid:100)DE”=;2!;AC”AC”=xcm라하면DE”=;2!;xcm이므로(cid:8772)ADEC에서(cid:100)(cid:100)DE”¤+AC”¤=AD”¤+EC”¤(cid:100)(cid:100){;2!;x}2+x¤=6¤+8¤,(cid:100)(cid:100);4%;x¤=100(cid:100)(cid:100)x¤=80(cid:100)(cid:100)∴x=4'5(∵x>0)(cid:9000)4'5cm16`cm12`cmADEBC해결GuideBCAD104S¡S£S¢S™해결Guide해결Guide해결GuideAD”의길이구하기AB”=CD”임을알기AB”의길이구하기채점기준배점40%20%40% 중개념쎈(3년)해설Ⅵ(09~27)오 2015.1.21 10:11 PM 페이지16 SinsagoHitec Ⅵ. 피타고라스정리1718피타고라스정리를이용하여BD”의길이를먼저구한다.△ABD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√4¤+(4'3)¤=8(cm)y`20%AB”_AD”=AE”_BD”이므로4_4'3=AE”_8(cid:100)(cid:100)∴AE”=2'3(cm)y`20%△ABE에서BE”="√4¤-(2'3)¤=2(cm)y`20%이므로DE”=BD”-BE”=8-2=6(cm)y`10%이때AE”¤+CE”¤=BE”¤+DE”¤이므로(2'3)¤+CE”¤=2¤+6¤,(cid:100)(cid:100)CE”¤=28∴CE”=2'7(cm)(∵CE”>0)y`30%(cid:9000)2'7cm해결GuideBD”의길이구하기AE”의길이구하기BE”의길이구하기DE”의길이구하기CE”의길이구하기채점기준배점20%20%20%10%30%3평면도형에의활용피타고라스정리의14-1⑴x="√12¤+9¤=15⑵x="√13¤-12¤=5⑶x='2_6=6'2⑷'2x=8이므로(cid:100)(cid:100)x=4'2(cid:9000)⑴15(cid:100)⑵5(cid:100)⑶6'2(cid:100)⑷4'215-1⑴(높이)=_2='3(cm)(넓이)=_2¤='3(cm¤)⑵(높이)=_8=4'3(cm)(넓이)=_8¤=16'3(cm¤)(cid:9000)⑴'3cm, '3cm¤(cid:100)⑵4'3cm, 16'3cm¤15-2⑴정삼각형의한변의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)a=2'3(cid:100)(cid:100)∴a=4⑵정삼각형의한변의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)a¤=9'3,(cid:100)(cid:100)a¤=36(cid:100)(cid:100)∴a=6(∵a>0)(cid:9000)⑴4cm(cid:100)⑵6cm16-1⑴BH”=;2!;_6=3⑵AH”="√4¤-3¤='7⑶△ABC=;2!;_6_'7=3'7(cid:9000)⑴3(cid:100)⑵'7(cid:100)⑶3'716-2⑴BH”=x라하면CH”=8-x이므로△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”¤=7¤-x¤△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”¤=5¤-(8-x)¤즉7¤-x¤=5¤-(8-x)¤이므로(cid:100)(cid:100)16x=88(cid:100)(cid:100)∴x=⑵AH”=æ≠7¤-{}¤=⑶△ABC=;2!;_8_=10'3(cid:9000)⑴(cid:100)⑵(cid:100)⑶10'35'321125'325'32112112'34'32'34'32'34'32⊙⊙본책62~64쪽개념Check피타고라스정리의평면도형에의활용3개쎈중수3하_정(009-027) 2015.1.14 3:10 PM 페이지17 SinsagoHitec 18정답및풀이034-1직사각형의가로의길이를2xcm라하면세로의길이는3xcm이므로(cid:100)(cid:100)(2x)¤+(3x)¤=26,(cid:100)(cid:100)x¤=2(cid:100)(cid:100)∴x='2(∵x>0)따라서직사각형의가로의길이는2'2cm이다.(cid:9000)2'2cm035-1정사각형의한변의길이를x라하면(cid:100)(cid:100)'2x=2_5'2=10'2(cid:100)(cid:100)∴x=10(cid:100)(cid:100)∴(정사각형의넓이)=10¤=100(cid:9000)100정사각형의한변의길이는(cid:100)(cid:100)"√(5'2)¤+(5'2)¤=10(cid:100)(cid:100)∴(정사각형의넓이)=10¤=100036-1BD”는직사각형의대각선이므로(cid:100)(cid:100)BD”="√6¤+8¤=10(cm)AB”_AD”=BD”_AH”이므로8_6=10_AH”(cid:100)(cid:100)∴AH”=:™5¢:(cm)AB”¤=BH”_BD”이므로8¤=BH”_10(cid:100)(cid:100)∴BH”=:£5™:(cm)따라서△ABH의둘레의길이는AB”+BH”+HA”=8+:£5™:+:™5¢:=:ª5§:(cm)(cid:9000):ª5§:cm037-1AG”：GD”=2：1이므로(cid:100)(cid:100)AD”：GD”=3：1(cid:100)(cid:100)∴AD”=3_4=12(cm)즉△ABC의높이는12cm이다.△ABC의한변의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)a=12(cid:100)(cid:100)∴a=8'3(cid:9000)④038-1AD”=_4=2'3(cm)이므로(cid:100)(cid:100)AF”=_2'3=3(cm)(cid:100)(cid:100)∴△AFG=_3¤=(cm¤)(cid:9000)cm¤9'349'34'34'32'32'325'25'2x유제⊙⊙본책65~68쪽039-1주어진정육각형은한변의길이가4cm인정삼각형6개로이루어져있으므로구하는넓이는6_{_4¤}=24'3(cm¤)(cid:9000)24'3cm¤040-1△ABH에서BH”="√13¤-12¤=5(cm)이므로BC”=2BH”=2_5=10(cm)∴△ABC=;2!;_10_12=60(cm¤)(cid:9000)60cm¤041-1오른쪽그림과같이세변의길이가각각4, '∂21, 5인△ABC의꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하자.BH”=x라하면(cid:100)(cid:100)CH”=5-x△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”¤=4¤-x¤△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”¤=('∂21)¤-(5-x)¤즉4¤-x¤=('∂21)¤-(5-x)¤이므로(cid:100)(cid:100)10x=20(cid:100)(cid:100)∴x=2따라서AH”="√4¤-2¤=2'3이므로△ABC=;2!;_5_2'3=5'3(cid:9000)①5-xxBH4CA'21'344cm17-1(cid:9000)⑴1, 3, '3, 3'3⑵'2, 4'2, 1, 418-1(cid:9000)⑴-1, '5⑵1, '∂17⑶4, 2, '∂2618-2⑴OP”="√2¤+5¤='∂29⑵AB”="√(3-1)¤+(-2-1)¤='∂13⑶CD”="√{2-(-1)}¤+{1-√(-2)}¤=3'2⑷EF”="√{5-(-3)}¤+(0-√1)¤='∂65(cid:9000)⑴'∂29(cid:100)⑵'∂13(cid:100)⑶3'2(cid:100)⑷'∂6519-1점A와y축에대하여대칭인점을A'이라하면A'(-1, 4)이므로AP”+BP”=A'P”+BP”æA'B”="√{2-(-1)}¤+(1-√4)¤=3'2따라서AP”+BP”의최솟값은3'2이다.(cid:9000)3'2xyO114PAA'B2-1⊙⊙본책69~71쪽개념Check개쎈중수3하_정(009-027) 2015.1.14 3:10 PM 페이지18 SinsagoHitec Ⅵ. 피타고라스정리19042-1△ABC에서AB”:BC”=1:1이므로(cid:100)(cid:100)BC”=AB”=3(cm)△BCD에서BC”:CD”='3:1이므로(cid:100)(cid:100)3:CD”='3:1(cid:100)(cid:100)∴CD”='3(cm)(cid:9000)'3cm043-1꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면△ABH에서AB”:AH”=2:'3이므로(cid:100)(cid:100)8:AH”=2:'3(cid:100)(cid:100)∴AH”=4'3(cm)또AB”:BH”=2:1이므로(cid:100)(cid:100)8:BH”=2:1(cid:100)(cid:100)∴BH”=4(cm)(cid:100)(cid:100)∴CH”=10-4=6(cm)따라서△AHC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√(4'3)¤+6¤=2'∂21(cm)(cid:9000)2'∂21cm044-1AB”=5이므로(cid:100)(cid:100)AB”¤=5¤즉(a-2)¤+(3-7)¤=25이므로a¤-4a-5=0,(cid:100)(cid:100)(a-5)(a+1)=0∴a=-1또는a=5이때점B는제2사분면위의점이므로(cid:100)(cid:100)a<0∴a=-1(cid:9000)-1045-1y=;3!;x¤-2x+10=;3!;(x-3)¤+7이므로(cid:100)(cid:100)P(3, 7)x=0일때, y=10이므로(cid:100)(cid:100)Q(0, 10)(cid:100)(cid:100)∴PQ”="√(0-3)¤+(10-7)¤=3'2(cid:9000)3'2046-1AB”="√(-2-1)¤+(3-1)¤='∂13BC”="√{3-(-2)}¤+(√4-3)¤='∂26CA”="√(1-3)¤+(1-4)¤='∂13따라서AB”=AC”이고AB”¤+AC”¤=BC”¤이므로△ABC는∠A=90°인직각이등변삼각형이다.∴△ABC=;2!;_AB”_AC”∴△ABC=;2!;_'∂13_'∂13=:¡2£:(cid:9000):¡2£:8cm10cmBHCA60æ유제⊙⊙본책72~74쪽3평면도형에의활용피타고라스정리의047-1점A와x축에대하여대칭인점을A'이라하면A'(-3, -3)이므로AP”+BP”=A'P”+BP”æA'B”="√{6-(-3)}¤+{5-(√-3)}¤='∂145(cid:9000)'∂145yOP6-3-33AA'5Bx018'5cm¤02③03③04④05⑴3'6(cid:100)⑵2'60628'307⑤08⑤094'510①114cm1212+6'3136'3cm¤14⑤15④163'3cm¤17(6+6'2)cm18③19920③219'2m22②2324+24'3246'5m⊙⊙본책75~78쪽01가로,세로의길이가각각a,b인직사각형의대각선의길이(cid:8857)"√a¤+b¤AB”="√6¤-(2'5)¤=4(cm)이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=2'5_4=8'5(cm¤)(cid:9000)8'5cm¤02한변의길이가각각a, b인두정삼각형의넓이의비(cid:8857)a¤:b¤AD”=_6=3'3이므로(cid:100)(cid:100)△ABC:△ADE=6¤:(3'3)¤=4:3(cid:9000)③03한변의길이가a인정삼각형(cid:8857)(높이)=a,(넓이)=a¤정삼각형의한변의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)a=3(cid:100)(cid:100)∴a=2'3(cid:100)(cid:100)∴(넓이)=_(2'3)¤=3'3(cm¤)(cid:9000)③'34'32'34'32해결Guide'32해결Guide해결Guide닮은두평면도형의닮음비가m:n일때①둘레의길이의비(cid:8825)m:n②넓이의비(cid:8825)m¤:n¤개쎈중수3하_정(009-027) 2015.1.14 3:10 PM 페이지19 SinsagoHitec 20정답및풀이04이등변삼각형의꼭지각의꼭짓점에서밑변에내린수선(cid:8857)밑변을이등분한다.꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100);2!;_10_AH”=10'6(cid:100)(cid:100)∴AH”=2'6(cm)BH”=;2!;BC”=;2!;_10=5(cm)이므로△ABH에서(cid:100)(cid:100)AB”="√5¤+(2'6)¤=7(cm)(cid:9000)④05특수한직각삼각형의세변의길이의비를이용한다.⑴△ABC에서(cid:100)(cid:100)AC”:BC”='3:2(cid:100)(cid:100)AC”:12='3:2(cid:100)(cid:100)∴AC”=6'3△ACD에서(cid:100)(cid:100)AC”:DC”='2:1(cid:100)(cid:100)6'3:x='2:1(cid:100)(cid:100)∴x=3'6⑵△ABC에서(cid:100)(cid:100)AB”:BC”=1:'3(cid:100)(cid:100)4:BC”=1:'3(cid:100)(cid:100)∴BC”=4'3△DBC에서(cid:100)(cid:100)BC”:DC”='2:1(cid:100)(cid:100)4'3:x='2:1(cid:100)(cid:100)∴x=2'6(cid:9000)⑴3'6(cid:100)⑵2'606보조선을그어서특수한직각삼각형을만든다.점A에서BC”에내린수선의발을E라하면△ABE에서AB”:BE”=2:1이므로(cid:100)(cid:100)8:BE”=2:1(cid:100)(cid:100)∴BE”=4(cid:100)(cid:100)∴BC”=BE”+EC”=4+5=9y`40%또AB”:AE”=2:'3이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)8:AE”=2:'3(cid:100)(cid:100)∴AE”=4'3y`40%(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)ABCD=;2!;_(9+5)_4'3=28'3y`20%(cid:9000)28'307두점(x¡, y¡), (x™, y™)사이의거리(cid:8857)"√(x™-x¡)¤+(y™-√y¡)¤두점사이의거리를각각구하면①"√{2-(-2)}¤+(-1ç-1)¤=2'5해결GuideBEC85AD60æ해결Guide해결GuideHABC10`cm5`cm해결Guide②"√(1-5)¤+(-3-0)¤=5③"√(5-3)¤+(2-4)¤=2'2④"√{-2-(-4)}¤+(6ç-7)¤='5⑤"√(10-7)¤+(13-8ç)¤='∂34따라서두점사이의거리가가장먼것은⑤이다.(cid:9000)⑤08이차함수y=a(x-p)¤+q의그래프의꼭짓점의좌표(cid:8857)(p,q)y=;2!;x¤+4x+10=;2!;(x+4)¤+2의그래프의꼭짓점의좌표는(cid:100)(cid:100)(-4, 2)y=x¤-8x+16=(x-4)¤의그래프의꼭짓점의좌표는(4, 0)따라서두꼭짓점사이의거리는"√{4-(-4)}¤+(0√-2)¤=2'∂17(cid:9000)⑤09가로,세로의길이가각각a,b인직사각형의대각선의길이(cid:8857)"√a¤+b¤AB”¤+BC”¤=10¤이므로(cid:100)(cid:100)6¤+BC”¤=10¤(cid:100)(cid:100)∴BC”=8이때BE”=AB”-AE”=6-2=4이므로△EBC에서(cid:100)(cid:100)CE”="√8¤+4¤=4'5(cid:9000)4'510한변의길이가a인정사각형의대각선의길이(cid:8857)'2a원의반지름의길이를r라하면정사각형의한변의길이는2r이므로(cid:100)(cid:100)'2_2r=4'2(cid:100)(cid:100)∴r=2따라서원의넓이는(cid:100)(cid:100)p_2¤=4p(cid:9000)①11직사각형의대각선의길이를구한후△ABE≡△CDF임을이용한다.BD”="√4¤+(4'3)¤=8(cm)y`30%△ABD에서AB”’¤=BE”_BD”이므로4¤=BE”_8,(cid:100)(cid:100)16=BE”_8∴BE”=2(cm)y`20%△ABE≡△CDF(RHA합동)이므로DF”=BE”=2(cm)y`20%∴EF”=BD”-2DF”=8-2_2=4(cm)y`30%(cid:9000)4cm해결Guide해결Guide해결Guide해결Guide;2!;_{(윗변의길이)+(아랫변의길이)}_(높이)사다리꼴의넓이BD”의길이구하기BE”의길이구하기DF”의길이구하기EF”의길이구하기채점기준배점30%20%20%30%BC”의길이구하기AE”의길이구하기(cid:8772)ABCD의넓이구하기채점기준배점40%40%20% 중개념쎈(3년)해설Ⅵ(09~27)오 2015.1.21 10:11 PM 페이지20 SinsagoHitec Ⅵ. 피타고라스정리2112한변의길이가a인정삼각형의높이(cid:8857)aAD”와BC”의교점을H라하면AD”⊥BC”이므로△BDC에서(cid:100)(cid:100)DH”=_6'3=9(cid:100)(cid:100)∴AH”=AD”-DH”=12-9=3또BH”=;2!;_6'3=3'3이므로△ABH에서AB”="√3¤+(3'3)¤=6따라서△ABC의둘레의길이는2_6+6'3=12+6'3(cid:9000)12+6'313한변의길이가a인정삼각형의넓이(cid:8857)a¤BE”=EC”=CF”=2(cm)이고∠GEC=∠GCE=60°이므로△GEC는한변의길이가2cm인정삼각형이다.따라서색칠한부분의넓이는(cid:100)(cid:100)2(△ABC-△GEC)=2_{_4¤-_2¤}(cid:100)(cid:100)2(△ABC-△GEC)=6'3(cm¤)(cid:9000)6'3cm¤14보조선을그어합동인정삼각형을만든다.BC”의중점을M이라하면△ABM,△AMD,△DMC는모두합동인정삼각형이다.AB”=xcm라하면3△ABM=(cid:8772)ABCD이므로(cid:100)(cid:100)3_x¤=27'3(cid:100)(cid:100)x¤=36(cid:100)(cid:100)∴x=6(∵x>0)(cid:9000)⑤15한꼭짓점에서대변에수선을내려직각삼각형을만든후피타고라스정리를이용한다.오른쪽그림과같이△ABC의꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하고BH”=xm라하면CH”=(21-x)m△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”¤=13¤-x¤△AHC에서(cid:100)(cid:100)AH”¤=20¤-(21-x)¤20m13m(21-x)mBxmHAC해결Guide'34ADBCM해결Guide'34'34'34해결Guide'32'32해결GuideHA126'3BCD3평면도형에의활용피타고라스정리의즉13¤-x¤=20¤-(21-x)¤이므로42x=210(cid:100)(cid:100)∴x=5AH”="√13¤-5¤=12(m)이므로△ABC=;2!;_21_12=126(m¤)따라서필요한비용은126_10000=1260000(원)(cid:9000)④16세내각의크기가30°, 60°, 90°인삼각형의세변의길이의비(cid:8857)1:'3:2△ABC에서AB”:AC”=2:1이므로(cid:100)(cid:100)6:AC”=2:1(cid:100)(cid:100)∴AC”=3(cm)y`30%또AB”:BC”=2:'3이므로(cid:100)(cid:100)6:BC”=2:'3(cid:100)(cid:100)∴BC”=3'3(cm)y`30%한편BD”:CD”=AB”:AC”=2:1이므로(cid:100)(cid:100)BD”=;3@;_3'3=2'3(cm)y`20%(cid:100)(cid:100)∴△ABD=;2!;_2'3_3=3'3(cm¤)y`20%(cid:9000)3'3cm¤17잘라낸네귀퉁이는각각직각이등변삼각형모양이다.오른쪽그림과같이잘라낸한귀퉁이를△ABC라하면AB”=AC”이므로△ABC는∠A=90°인직각이등변삼각형이다.따라서AB”:BC”=1:'2이므로AB”:6=1:'2∴AB”=3'2(cm)따라서처음정사각형모양의종이의한변의길이는6+2_3'2=6+6'2(cm)(cid:9000)(6+6'2)cm18점D에서CE”에수선을내려직각삼각형을만든후특수한직각삼각형의세변의길이의비를이용한다.해결Guide6cmACB금 연No Smoking Area45æ45æ해결Guide해결GuideAC”의길이구하기BC”의길이구하기BD”의길이구하기△ABD의넓이구하기채점기준배점30%30%20%20%개쎈중수3하_정(009-027) 2015.1.14 3:10 PM 페이지21 SinsagoHitec 22정답및풀이점D에서CE”에내린수선의발을H라하면∠DCH=60°이므로△DCH에서DC”:DH”=2:'3이므로(cid:100)(cid:100)4:DH”=2:'3(cid:100)(cid:100)∴DH”=2'3(cm)DC”:CH”=2:1이므로(cid:100)(cid:100)4:CH”=2:1(cid:100)(cid:100)∴CH”=2(cm)EH”=CE”-CH”=6-2=4(cm)이므로△DHE에서(cid:100)(cid:100)DE”="√(2'3)¤+4¤=2'7(cm)(cid:9000)③19두점(x¡, y¡), (x™, y™)사이의거리(cid:8857)"√(x™-x¡)¤+(y™-√y¡)¤AB”="√{4-(-2)}¤+(-1√-3)¤=2'∂13y`20%AC”="√{2-(-2)}¤+(a√-3)¤="√a¤-6a+25y`20%AB”=AC”이므로2'∂13="√a¤-6a+25y`30%a¤-6a+25=52,(cid:100)(cid:100)a¤-6a-27=0(a-9)(a+3)=0(cid:100)(cid:100)∴a=-3또는a=9따라서양수a의값은9이다.y`30%(cid:9000)920AB”, BC”, AC”의길이를구해본다.AB”="√(1-3)¤+(-2-2)¤=2'5BC”="√(-1-1)¤+{4-√(-2)}¤=2'∂10AC”="√(-1-3)¤+(4-2)¤=2'5즉AB”=AC”, BC”¤=AB”¤+AC”¤이므로△ABC는∠A=90°인직각이등변삼각형이다.(cid:9000)③21점A또는점B와대칭인점을생각한다.오른쪽그림과같이점B와CD”에대하여대칭인점을B'이라하면AP”+BP”=AP”+B'P”æAB'”이때점B'을지나고CD”와평행한직선이AC”의연장선과만나는점을E라하면△AEB'에서6m9m3mBPAB'ECD해결Guide해결Guide해결GuideABC4`cm6`cmDEH60æAB'”="√(6+3)¤+9¤=9'2(m)따라서AP”+BP”의최솟값은9'2m이다.(cid:9000)9'2m22한변의길이가a인정삼각형의넓이(cid:8857)a¤오른쪽그림과같이AP”를그으면(cid:100)(cid:100)△ABC=△ABP+△APC이므로(cid:100)(cid:100)_6¤=;2!;_6_PQ”+;2!;_6_PR”(cid:100)(cid:100)9'3=3(PQ”+PR”)(cid:100)(cid:100)∴PQ”+PR”=3'3(cm)(cid:9000)②23보조선을그어특수한직각삼각형의세변의길이의비를이용한다.오른쪽그림의△OAH에서∠OAH=30°이므로(cid:100)(cid:100)OH”:AH”=1:'3(cid:100)(cid:100)4:AH”=1:'3(cid:100)(cid:100)∴AH”=4'3같은방법으로△O'IB에서(cid:100)(cid:100)IB”=4'3한편HI”=OO'”=8이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AH”+HI”+IB”=4'3+8+4'3=8+8'3따라서정삼각형의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)3AB”=3_(8+8'3)=24+24'3(cid:9000)24+24'324점P, 점Q와각각대칭인점을생각한다.오른쪽그림과같이점P와AD”에대하여대칭인점을P', 점Q와BC”에대하여대칭인점을Q'이라하자.명환이가움직일수있는최단거리는P'Q'”의길이와같으므로P'Q'”="√12¤+6¤=6'5(m)(cid:9000)6'5m6m3m5m2m2mBPADQCQ'P'해결GuideBAH430˘OO'I해결Guide'346 cmABQCRP'34해결GuideAB”의길이구하기AC”의길이를a에대한식으로나타내기AB”=AC”임을이용하여식세우기양수a의값구하기채점기준배점20%20%30%30%개쎈중수3하_정(009-027) 2015.1.14 3:10 PM 페이지22 SinsagoHitec Ⅵ. 피타고라스정리234입체도형에의활용피타고라스정리의20-1⑴x="√5¤+2¤+4¤=3'5⑵"√6¤+3¤+x¤=7이므로(cid:100)(cid:100)x¤=4(cid:100)(cid:100)∴x=2(∵x>0)⑶x='3_4=4'3⑷'3x=9이므로(cid:100)(cid:100)x=3'3(cid:9000)⑴3'5(cid:100)⑵2(cid:100)⑶4'3(cid:100)⑷3'321-1⑴(높이)="√10¤-6¤=8(cm)(부피)=;3!;_p_6¤_8=96p(cm‹)⑵(높이)="√(4'2)¤-4¤=4(cm)(부피)=;3!;_p_4¤_4=;;§3¢;;p(cm‹)⑶(높이)="√6¤-3¤=3'3(cm)(부피)=;3!;_p_3¤_3'3=9'3p(cm‹)⑷(높이)="√12¤-4¤=8'2(cm)(부피)=;3!;_p_4¤_8'2=p(cm‹)(cid:9000)⑴8cm,96pcm‹(cid:100) ⑵4cm,;;§3¢;;pcm‹(cid:9000)⑶3'3cm,9'3pcm‹(cid:100)⑷8'2cm,pcm‹22-1⑴AC”="√4¤+4¤=4'2(cm)⑵AH”=;2!;AC”=;2!;_4'2=2'2(cm)△OAH에서OH”="√6¤-(2'2)¤=2'7(cm)⑶(부피)=;3!;_4¤_2'7=(cm‹)(cid:9000)⑴4'2cm(cid:100)⑵2'7cm(cid:100)⑶cm‹23-1⑴DM”=_'3=;2#;⑵DH”=;3@;DM”=;3@;_;2#;=1⑶△AHD에서(cid:100)(cid:100)AH”="√('3)¤-1¤='2⑷△BCD=_('3)¤=이므로(부피)=;3!;__'2=(cid:9000)⑴;2#;(cid:100)⑵1(cid:100)⑶'2(cid:100)⑷'64'643'343'34'34'3232'7332'73128'23128'2323-2⑴_18=6'6⑵한모서리의길이를a라하면(cid:100)(cid:100)a=6(cid:100)(cid:100)∴a=3'6(cid:9000)⑴6'6(cid:100)⑵3'624-1(cid:9000)㈀2p(cid:100)㈁4p(cid:100)㈂4p(cid:100)㈃2'5p'63'63⊙⊙본책82~86쪽개념Check피타고라스정리의입체도형에의활용4048-1직육면체의세모서리의길이를각각k, 2k, 4k(k>0)라하면"√k¤+(2k)¤+(4k)¤=3'7,(cid:100)(cid:100)k¤=3(cid:100)(cid:100)∴k='3(∵k>0)따라서세모서리의길이가각각'3, 2'3, 4'3이므로직육면체의부피는'3_2'3_4'3=24'3(cid:9000)②049-1정육면체의한모서리의길이를acm라하면'3a=3'6(cid:100)(cid:100)∴a=3'2EG”는정사각형EFGH의대각선이므로EG”='2_3'2=6(cm)∴△AEG=;2!;_6_3'2=9'2(cm¤)(cid:9000)9'2cm¤050-1FH”='2_'6=2'3BH”='3_'6=3'2△BFH에서'6_2'3=3'2_FP”이므로(cid:100)(cid:100)FP”=2(cid:9000)②051-1삼각뿔F-ABC의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_△ABC_BF”=;3!;_{;2!;_6_6}_6=36AF”=FC”=CA”이므로△AFC는정삼각형이다. 따라서삼각뿔B-AFC의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_△AFC_BI”=;3!;_[_(6'2)¤]_BI”=6'3_BI”따라서6'3_BI”=36이므로(cid:100)(cid:100)BI”=2'3(cid:9000)2'3052-1△OAB에서AB”:6=1:2이므로(cid:100)(cid:100)AB”=3(cm)또OB”:6='3:2이므로(cid:100)(cid:100)OB”=3'3(cm)따라서원뿔의부피는;3!;_p_3¤_3'3=9'3p(cm‹)(cid:9000)9'3pcm‹'34BFHDACPEG'6유제⊙⊙본책87~92쪽개쎈중수3하_정(009-027) 2015.1.14 3:10 PM 페이지23 SinsagoHitec 24정답및풀이053-1원뿔의밑면의반지름의길이를rcm라하면2pr=8p(cid:100)(cid:100)∴r=4OA”=lcm라하면2p_l_=8p(cid:100)(cid:100)∴l=8주어진전개도로원뿔을만들면오른쪽그림과같으므로원뿔의높이는"√8¤-4¤=4'3(cm)(cid:9000)4'3cm054-1△OBH에서(cid:100)(cid:100)OH”="√8¤-(4'3)¤=4(cid:100)(cid:100)∴AH”=AO”+OH”=8+4=12따라서△ABH에서(cid:100)(cid:100)AB”="√(4'3)¤+12¤=8'3(cid:9000)8'3055-1(cid:8772)ABCD는정사각형이므로(cid:100)(cid:100)DB”='2_4=4'2(cm)(cid:100)(cid:100)∴HB”=;2!;DB”=;2!;_4'2=2'2(cm)△OHB에서(cid:100)(cid:100)OH”="√(2'6)¤-(2'2)¤=4(cm)∴△ODB=;2!;_4'2_4=8'2(cm¤)(cid:9000)8'2cm¤056-1정사면체의한모서리의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)a‹=(cid:100)(cid:100)∴a=2(cid:100)(cid:100)∴(높이)=_2=(cm)(cid:9000)cm057-1△ABD에서삼각형의두변의중점을연결한선분의성질에의하여PQ”=;2!;BD”=;2!;_4=2(cm)PC”, QC”는각각정삼각형ABC, ACD의높이이므로PC”=QC”=_4=2'3(cm)오른쪽그림과같이△PCQ의꼭짓점C에서PQ”에내린수선의발을H라하면CH”="√(2'3)¤-1¤='∂11(cm)∴△PCQ=;2!;_2_'∂11='∂11(cm¤)(cid:9000)'∂11cm¤△PCQ는PC”=QC”인이등변삼각형이므로꼭짓점C에서PQ”에내린수선은PQ”의길이를이등분한다.1cm1cm2'3cm2'3cmHCPQ'322'632'63'632'23'2128cm4cm180360058-1밑면의둘레의길이는2p_4=8p(cm)원기둥의높이를hcm라하면h="√(4'5p)¤-(8p)¤=4p(cid:9000)4pcm059-1(cid:8772)OACB는마름모이므로AB”⊥OC”△OAC는정삼각형이므로AB”와OC”의교점을H라하면AH”=_4'3=6(cm)따라서구하는최단거리는AB”의길이이므로AB”=2AH”=2_6=12(cm)(cid:9000)12cm'324'3cmAHBOCAA'B'Bh`cm4'5p`cm8pcm01'∂14cm02②035'6cm04①05③063'207cm‹08③09②10②1132'6cm¤12④136'∂41cm¤14126'2p15③16①17cm‹18'2cm¤19cm¤20②21③224'2cm23p24cm9'648'∂1033'248'235123⊙⊙본책93~96쪽01세모서리의길이가각각a, b, c인직육면체의대각선의길이(cid:8857)"√a¤+b¤+c¤밑면의한변의길이를xcm라하면(cid:100)(cid:100)"√x¤+x¤+2¤=4'2,(cid:100)(cid:100)x¤=14(cid:100)(cid:100)∴x='∂14(∵x>0)(cid:9000)'∂14cm02한모서리의길이가a인정육면체의대각선의길이(cid:8857)'3a정육면체의한모서리의길이를x라하면(cid:100)(cid:100)'2x=4(cid:100)(cid:100)∴x=2'2따라서정육면체의대각선의길이는(cid:100)(cid:100)'3_2'2=2'6(cid:9000)②해결Guide해결Guide 중개념쎈(3년)해설Ⅵ(09~27)오 2015.1.21 10:12 PM 페이지24 SinsagoHitec Ⅵ. 피타고라스정리254입체도형에의활용피타고라스정리의03한변의길이가a인정삼각형의높이(cid:8857)aAC”=AF”=FC”='2_10=10'2(cm)y`40%따라서△AFC는정삼각형이므로(cid:100)(cid:100)FM”=_10'2(cid:100)(cid:100)FM”=5'6(cm)y`60%(cid:9000)5'6cm04회전체의밑면의반지름의길이부터구한다.회전체는오른쪽그림과같은원뿔이므로밑면의반지름의길이를rcm라하면r="√12¤-9¤=3'7따라서원뿔의부피는;3!;_p_(3'7)¤_9=189p(cm‹)(cid:9000)①05중심각의크기가x°이고반지름의길이가r인부채꼴의호의길이(cid:8857)2pr_원뿔의모선의길이를lcm라하면l="√(3'∂15)¤+3¤=12오른쪽그림의전개도에서부채꼴의중심각의크기를x°라하면2p_12_=2p_3∴x=90(cid:9000)③06단면인원의반지름의길이를구한후피타고라스정리를이용한다.단면인원의반지름의길이를r라하면2pr=12p(cid:100)(cid:100)∴r=6즉AB”=6이므로△AOB에서OB”="√(3'6)¤-6¤=3'2(cid:9000)3'207정사각뿔의꼭짓점에서밑면에내린수선의발은밑면의두대각선의교점임을이용한다.해결Guide해결Guidex3603cm12cmxæx360해결Guidelrcm12cm9cm해결Guide'3210`cmABDFGHCEM'32해결Guide△ACF의각변의길이구하기FM”의길이구하기채점기준배점40%60%주어진전개도로만들어지는정사각뿔은오른쪽그림과같다.(cid:8772)ABCD는정사각형이므로(cid:100)(cid:100)BD”='2_8=8'2(cm)y`30%DH”=;2!;BD”=4'2(cm)이므로(cid:100)(cid:100)OH”="√(4'6)¤-(4'2)¤=8(cm)y`40%따라서구하는부피는;3!;_8¤_8=(cm‹)y`30%(cid:9000)cm‹08한모서리의길이가a인정사면체에서(cid:8857)(높이)=a,(부피)=a‹①CD”=_12=6'3(cm)②CH”=;3@;CD”=;3@;_6'3=4'3(cm)③OH”="√12¤-(4'3)¤=4'6(cm)④(부피)=_12‹=144'2(cm‹)⑤(겉넓이)=4△ABC=4_{_12¤}=144'3(cm¤)(cid:9000)③09최단거리(cid:8857)선이지나는면의전개도를그려본다.오른쪽전개도에서최단거리는AD'”의길이이므로AD'”="√(5+3+7)¤+10¤=5'∂13(cid:9000)②10세모서리의길이가각각a, b, c인직육면체의대각선의길이(cid:8857)"√a¤+b¤+c¤DH”=x라하면"√4¤+8¤+x¤=12,(cid:100)(cid:100)80+x¤=144x¤=64(cid:100)(cid:100)∴x=8(∵x>0)이때FH”="√4¤+8¤=4'5이므로(cid:8772)BFHD=4'5_8=32'5(cid:9000)②해결GuideA573BCEFA'DD'10해결Guide'34'212'32'212'63해결Guide512351238cm8cmCDBO4'6cmAH밑면의대각선의길이구하기정사각뿔의높이구하기정사각뿔의부피구하기채점기준배점30%40%30% 중개념쎈(3년)해설Ⅵ(09~27)오 2015.1.21 10:12 PM 페이지25 SinsagoHitec 26정답및풀이11AM”=MG”=GN”=NA”(cid:8857)(cid:8772)AMGN은마름모이다.AM”=MG”=GN”=NA”=4'5이므로(cid:8772)AMGN은마름모이다. 이때(cid:100)(cid:100)MN”=FH”='2_8=8'2(cm)(cid:100)(cid:100)AG”='3_8=8'3(cm)(cid:100)(cid:100)∴(cid:8772)AMGN=;2!;_8'2_8'3=32'6(cm¤)(cid:9000)32'6cm¤12피타고라스정리를이용하여BD”,BI”,DI”의길이를각각구해본다.BD”=FH”='2_10=10'2이므로(cid:100)(cid:100)FI”=HI”=5'2(cid:100)(cid:100)∴BI”=DI”="√(5'2)¤+(5'2)¤=10따라서BI”=DI”이고BD”¤=BI”¤+DI”¤이므로△BID는∠I=90°인직각이등변삼각형이다.(cid:9000)④13△AEF의각변의길이를구해본다.△ADE에서(cid:100)(cid:100)AE”="√10¤+8¤=2'∂41(cm)△ADF에서(cid:100)(cid:100)AF”="√10¤+10¤=10'2(cm)이때AF”¤=AE”¤+EF”¤이므로△AEF는∠AEF=90°인직각삼각형이다.(cid:100)(cid:100)∴△AEF=;2!;_2'∂41_6=6'∂41(cm¤)(cid:9000)6'∂41cm¤14삼각형의닮음비와피타고라스정리를이용한다.△OADª△OBC(AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)OD”：(OD”+9)=3：6=1：2(cid:100)(cid:100)OD”+9=2OD”(cid:100)(cid:100)∴OD”=9△OAD에서OA”="√9¤-3¤=6'2이므로(cid:100)(cid:100)OB”=2OA”=12'2따라서원뿔대의부피는(cid:100)(cid:100);3!;_p_6¤_12'2-;3!;_p_3¤_6'2=126'2p(cid:100)(cid:9000)126'2p15원뿔의전개도에서부채꼴의호의길이는밑면인원의둘레의길이와같다.해결Guide해결Guide해결Guide해결Guide해결GuideOA”=OB”이므로(cid:100)(cid:100)∠OAB=∠OBA=;2!;_(180°-90°)=45°따라서OA”：AB”=1：'2이므로(cid:100)(cid:100)OA”：8'2=1：'2(cid:100)(cid:100)∴OA”=8밑면의반지름의길이를r라하면(cid:100)(cid:100)2p_8_=2pr(cid:100)(cid:100)∴r=2따라서주어진전개도로원뿔을만들면오른쪽그림과같으므로원뿔의높이는(cid:100)(cid:100)"√8¤-2¤=2'∂15(cid:9000)③(cid:100)16△OHC와△AHC에서피타고라스정리를이용한다.OA”=OC”=17이므로(cid:100)(cid:100)OH”=25-17=8△OHC에서(cid:100)(cid:100)HC”="√17¤-8¤=15따라서△AHC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√25¤+15¤=5'∂34(cid:9000)①17정팔면체는모든모서리의길이가같은정사각뿔2개를붙여놓은것이다.주어진정팔면체는한모서리의길이가2cm인정사각뿔2개를붙여놓은것과같다. 꼭짓점A에서(cid:8772)BCDE에내린수선의발을H라하면(cid:8772)BCDE는한변의길이가2cm인정사각형이므로(cid:100)(cid:100)BD”='2_2=2'2(cm)따라서BH”=;2!;BD”=;2!;_2'2='2(cm)이므로(cid:100)(cid:100)AH”="√2¤-('2)¤='2(cm)따라서정팔면체의부피는2_{;3!;_2¤_'2}=(cm‹)(cid:9000)cm‹18한모서리의길이가a인정사면체의높이(cid:8857)aOC”=acm라하면(cid:100)(cid:100)_a=2(cid:100)(cid:100)∴a='6따라서△OHC에서(cid:100)(cid:100)CH”="√('6)¤-2¤='2(cm)∴△OHC=;2!;_'2_2='2(cm¤)(cid:9000)'2cm¤'63'63해결Guide8'238'23AHCFBED2cm해결Guide해결Guide8290360개쎈중수3하_정(009-027) 2015.1.14 3:10 PM 페이지26 SinsagoHitec Ⅵ. 피타고라스정리274입체도형에의활용피타고라스정리의19보조선을그어직각삼각형을만든다.AM”=BM”=_'3=;2#;(cm)점M에서AB”에내린수선의발을H라하면△MAH에서AH”=(cm)이므로MH”=æ≠{;2#;}¤-{}¤=(cm)(cid:100)(cid:100)∴△ABM=;2!;_'3_=(cm¤)(cid:9000)cm¤20점A에서옆면을따라점M에이르는최단거리를생각한다.오른쪽전개도에서AM'”=MB'”=;2!;_60=30(cm)밑면인원의둘레의길이는AA'”의길이와같으므로AA'”="√30¤-6¤=12'6(cm)(cid:9000)②21입체도형에서선이지나는부분만전개도를그린다.오른쪽전개도에서(cid:100)(cid:100)∠MAC=30°,∠CAD=60°△ABC에서(cid:100)(cid:100)AM”=_2'2='6(cm)따라서구하는최단거리는MD”의길이이므로△AMD에서(cid:100)(cid:100)MD”="√('6)¤+(2'2)¤='∂14(cm)(cid:9000)③22△AOD의넓이를정육면체의한모서리의길이에대한식으로나타낸다.정육면체의한모서리의길이를acm라하면(cid:100)(cid:100)EO”=;2!;EG”=;2!;_'2a=a이므로(cid:100)(cid:100)AO”=æ≠a¤+{a}¤=a△AOD에서OA”=OD”이므로(cid:100)(cid:100)AI”=ID”=(cid:100)(cid:100)∴OI”=æ≠{a}¤-{}¤=a(cid:100)(cid:100)∴△AOD=;2!;_a_a=a¤=8'5(cid:100)(cid:100)∴a=4'2(cid:9000)4'2cm'54'52'52a2'62a2'62'22'22해결Guide'322´2`cmMABC60æ30æD해결Guide30cmAMBA'M'B'6cm해결Guide3'243'24'62'62'32'32ABCDMH´3`cm'32해결Guide23먼저처음원의반지름의길이l을구한다.원의반지름의길이가l이고원뿔A의밑면의반지름의길이가r, 높이가h이므로2pl_=2pr(cid:100)(cid:100)∴r=;3!;lyy㉠이때원뿔A의옆넓이가6p이므로;2!;_l_2pr=6p(cid:100)(cid:100)∴rl=6yy㉡㉠을㉡에대입하면;3!;l¤=6,(cid:100)(cid:100)l¤=18∴l=3'2(∵l>0)원뿔B의밑면의반지름의길이가r',높이가h'이므로2p_3'2_=2pr'∴r'=2'2∴h'="√(3'2)¤-(2'2)¤='∂10따라서원뿔B의부피는;3!;_p_(2'2)¤_'∂10=p(cid:9000)p24한모서리의길이가a인정사면체의높이(cid:8857)a오른쪽그림과같이구의중심O는정사면체의꼭짓점A에서△BCD에내린수선AH위에있다. 이때AH”=_9AH”=3'6(cm)y`40%점H는△BCD의무게중심이므로DH”=;3@;DE”=;3@;_{_9}=3'3(cm)정사면체가구에내접하므로OA”=OD”=rcm라하면△OHD에서r¤=(3'6-r)¤+(3'3)¤,(cid:100)(cid:100)6'6r=81∴r=y`60%(cid:9000)cm9'649'64'32'639cmDCBEAOrcmH'63해결Guide8'∂1038'∂103240360h'r'3'2120360lhl1-3해결Guide정사면체의높이구하기외접하는구의반지름의길이구하기채점기준배점40%60% 중개념쎈(3년)해설Ⅵ(09~27)오 2015.1.21 10:12 PM 페이지27 SinsagoHitec 28정답및풀이25-1(cid:9000)⑴BC”, 3⑵AC”, 5⑶BC”, 325-1(cid:9000)⑷AC”, 5⑸BC”, 3⑹AB”, 4⊙⊙본책100쪽개념Check삼각비1060-1AC”="√6¤+4¤=2'∂13이므로sinA===cosA===∴sinA+cosA=(cid:9000)④직각삼각형에서두변의길이가주어지면피타고라스정리를이용하여나머지한변의길이를구할수있다.061-1tanC===;3$;이므로(cid:100)(cid:100)AB”=12AC”="√12¤+9¤=15이므로(cid:100)(cid:100)sinC==;1!5@;=;5$;(cid:9000);5$;062-1tanA=2이므로오른쪽그림과같이∠B=90°, AB”=1, BC”=2인직각삼각형ABC를생각하면(cid:100)(cid:100)AC”="√1¤+2¤='5따라서(cid:100)(cid:100)sinA===,(cid:100)(cid:100)cosA===이므로(cid:100)(cid:100)sinA-cosA=-=(cid:9000)①063-1x-y+7=0에x=0, y=0을각각대입하면A(-7, 0), B(0, 7)따라서△AOB에서AB”="√7¤+7¤=7'2이므로(cid:100)(cid:100)sina===, cosa===∴sina_cosa=_=;2!;(cid:9000);2!;'22'22'2277'2AO”AB”'2277'2BO”AB”'55'552'55'551'5AB”AC”2'552'5BC”AC”A21BCAB”AC”AB”9AB”BC”5'∂13133'∂131362'∂13AB”AC”2'∂131342'∂13BC”AC”064-1△ABC와△DBA에서∠BAC=∠BDA=90°, ∠B는공통이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△DBA(AA닮음)∴∠C=∠BAD=x△ABC에서AB”="√15¤-9¤=12이므로(cid:100)(cid:100)sinx==;1!5@;=;5$;, cosx==1ª5;=;5#;∴sinx+cosx=;5$;+;5#;=;5&;(cid:9000);5&;닮은직각삼각형에서대응각에대한삼각비의값은일정하다.065-1△AEG에서∠AEG=90°이고EG”="√3¤+4¤=5,AG”="√3¤+4¤+5¤=5'2이므로(cid:100)(cid:100)sinx===(cid:9000)'22'2255'2AE”AG”AE55G5'2xAC”BC”AB”BC”유제⊙⊙본책101~103쪽26-1⑴sin30°+cos60°=;2!;+;2!;=1⑵tan60°÷tan30°='3÷=3⑶cos45°-sin45°=-=0⑷cos30°_sin60°+tan45°=_+1=;4&;(cid:9000)⑴1(cid:100)⑵3(cid:100)⑶0(cid:100)⑷;4&;27-1⑴sin90°+cos90°=1+0=1⑵tan0°-cos0°=0-1=-1⑶sin0°_cos50°+tan0°=0_cos50°+0=0⑷sin45°_tan45°÷cos0°=_1÷1=(cid:9000)⑴1(cid:100)⑵-1(cid:100)⑶0(cid:100)⑷28-1(cid:9000)⑴0.8746(cid:100)⑵0.4384(cid:100)⑶1.962628-2(cid:9000)⑴64°(cid:100)⑵62°(cid:100)⑶61°'22'22'22'32'32'22'22'33⊙⊙본책104~106쪽개념CheckⅦ. 삼각비세모서리의길이가각각a,b,c인직육면체의대각선의길이(cid:8825)"√a¤+b¤+c¤직육면체의대각선의길이개쎈중수3하_정(028-039) 2015.1.14 3:15 PM 페이지28 SinsagoHitec Ⅶ. 삼각비29066-1①tan45°-sin30°=1-;2!;=;2!;②sin60°_cos30°=_=;4#;③sin¤45°+cos¤45°=¶•¤+¶•¤=1④tan30°_cos30°÷sin30°=_÷;2!;=1⑤sin30°-tan30°(cos30°+tan60°)=;2!;-¶+'3•=-1(cid:9000)④067-1tan60°='3이므로(cid:100)(cid:100)3x+30°=60°3x=30°(cid:100)(cid:100)∴x=10°∴sin(x+20°)=sin30°=;2!;(cid:9000);2!;068-1△ABC에서(cid:100)(cid:100)tan30°==(cid:100)(cid:100)∴BC”=6'3△ADC에서tan45°==1(cid:100)(cid:100)∴DC”=6∴BD”=BC”-DC”=6'3-6(cid:9000)6'3-6068-2∠BAC=90°-30°=60°이므로(cid:100)(cid:100)∠BAD=∠DAC=;2!;_60°=30°△ABC에서(cid:100)(cid:100)sin30°==;2!;(cid:100)(cid:100)∴AC”=3(cm)△ADC에서(cid:100)(cid:100)cos30°==(cid:100)(cid:100)∴AD”=2'3(cm)(cid:9000)②069-1△ABC에서(cid:100)(cid:100)sin45°==(cid:100)(cid:100)∴AB”=2'2(cid:100)(cid:100)tan45°==1(cid:100)(cid:100)∴BC”=2△ADB에서(cid:100)(cid:100)∠ADB=∠DAB=;2!;_45°=22.5°(cid:100)(cid:100)∴tan22.5°=='2-1(cid:9000)'2-122'2+22BC”'222AB”'323AD”AC”66DC”'336BC”'32'33'32'33'22'22'32'32070-1x-y+5=0에서y=x+5이므로직선의기울기는1이다. 직선이x축과이루는예각의크기를a라하면tana=1(cid:100)(cid:100)∴a=45°(cid:9000)③071-1①sina===CD”②cosa===OD”③tana===BE”(cid:9000)③072-1sin0°_cos60°+sin90°_tan45°-cos0°=0_;2!;+1_1-1=0(cid:9000)0073-1cos60°=;2!;, sin45°=, tan60°='3, cos0°=1이므로크기가작은것부터차례대로나열하면cos60°, sin45°, cos0°, tan60°(cid:9000)cos60°, sin45°, cos0°, tan60°074-145°1이므로1-tanx<0∴"√(1-tanx)¤-"√tan¤x=|1-tanx|-|tanx|=-(1-tanx)-tanx=-1+tanx-tanx=-1(cid:9000)-1'22BE”1BE”OB”OD”1OD”OC”CD”1CD”OC”유제⊙⊙본책107~112쪽직선y=mx+n(m>0)이x축과이루는예각의크기를a라할때,직선의기울기m은(cid:100)(cid:100)m===tanaBO”AO”(y의값의증가량)(x의값의증가량)yxaOAB1삼각비①0°…x<45°이면(cid:100)(cid:100)sinxcosx,tanx>1삼각비의값의대소관계개쎈중수3하_정(028-039) 2015.1.14 3:15 PM 페이지29 SinsagoHitec 30정답및풀이075-1sin42°=0.6691이므로(cid:100)(cid:100)x=42°cos40°=0.7660이므로(cid:100)(cid:100)y=40°tan43°=0.9325이므로(cid:100)(cid:100)z=43°∴x-y+z=42°-40°+43°=45°(cid:9000)45°076-1⑴sin58°==0.8480이므로x=4.24⑵∠A=90°-33°=57°이므로tan57°==1.5399∴x=3.0798(cid:9000)⑴4.24(cid:100)⑵3.0798x2x501④02;4!;03;2!;045'2052'3061.4807③080.856409④10;1!3&;11;5$;12②13;4#;14③1516'2166'3cm¤17③1819 ②20 210.87222'223④24②'333'38⊙⊙본책113~116쪽01먼저AC”의길이를구한후삼각비를이용한다.AC”="√3¤+('7)¤=4④sinC=;4#;(cid:9000)④02주어진삼각비의값을갖는직각삼각형을그려본다.sinA=;4!;이므로오른쪽그림과같이(cid:100)(cid:100)∠B=90°, AC”=4, BC”=1인직각삼각형ABC를생각하면(cid:100)(cid:100)AB”="√4¤-1¤='∂15y`30%따라서cosA=, tanA=이므로y`60%(cid:100)(cid:100)cosA_tanA=_=;4!;y`10%(cid:9000);4!;1'∂15'∂1541'∂15'∂154C14AB해결Guide해결Guide03기울기가양수인직선이x축과이루는예각의크기가a(cid:8857)(직선의기울기)=tana2y-x-4=0에서(cid:100)(cid:100)y=;2!;x+2(cid:100)(cid:100)∴tana=(직선의기울기)=;2!;(cid:9000);2!;04닮은직각삼각형에서대응각에대한삼각비의값은일정하다.△ABC와△CBD에서∠ACB=∠CDB=90°, ∠B는공통이므로(cid:100)(cid:100)△ABCª△CBD(AA닮음)∴∠A=∠BCD=xtanx=='2이므로(cid:100)(cid:100)BC”=5'2(cid:9000)5'205특수한각의삼각비의값을이용하여변의길이를구한다.△ABD에서sin45°==(cid:100)(cid:100)∴AD”=3y`50%△ADC에서sin60°==(cid:100)(cid:100)∴AC”=2'3y`50%(cid:9000)2'306분모가되는변의길이가1인직각삼각형을찾는다.sinx==AB”=0.64tanx==CD”=0.84(cid:100)(cid:100)∴sinx+tanx=0.64+0.84=1.48 (cid:9000)1.4807sin0°=cos90°=tan0°=0, sin90°=cos0°=1해결GuideCD”OD”AB”OA”해결Guide'323AC”'22AD”3'2해결GuideBC”5해결Guide해결GuideAD”의길이구하기AC”의길이구하기채점기준배점50%50%삼각비에맞는△ABC의세변의길이구하기cosA,tanA의값구하기cosA_tanA의값구하기채점기준배점30%60%10%개쎈중수3하_정(028-039) 2015.1.14 3:15 PM 페이지30 SinsagoHitec Ⅶ. 삼각비31①sin¤0°+cos¤0°=0+1=1②sin90°_cos90°=1_0=0③(1-tan0°)(1+tan45°)=(1-0)(1+1)=2④sin90°+cos0°+tan45°=1+1+1=3⑤sin60°_tan60°-cos0°=_'3-1=;2!;(cid:9000)③08삼각비의값(cid:8857)삼각비의표의가로줄과세로줄이만나는곳의수sin22°=0.3746,cos25°=0.9063,tan23°=0.4245이므로(cid:100)(cid:100)sin22°+cos25°-tan23°(cid:100)=0.3746+0.9063-0.4245(cid:100)=0.8564 (cid:9000)0.856409주어진삼각비의값을갖는직각삼각형을그려본다.8tanA-15=0에서tanA=:¡8∞:이므로오른쪽그림과같이∠B=90°, AB”=8, BC”=15인직각삼각형ABC를생각하면AC”="√8¤+15¤=17따라서sinA=;1!7%;, cosA=;1•7;이므로sinA+cosA=;1!7%;+;1•7;=;1@7#;(cid:9000)④10닮은직각삼각형에서대응각에대한삼각비의값은일정하다.△ABDª△CAD (AA닮음)이므로(cid:100)(cid:100)∠B=y,∠C=x△ABC에서(cid:100)(cid:100)BC”="√12¤+5¤=13이므로(cid:100)(cid:100)sinx==;1!3@;,siny==;1∞3;(cid:100)(cid:100)∴sinx+siny=;1!3@;+;1∞3;=;1!3&;(cid:9000);1!3&;11BD”를빗변으로하고△HAD와닮은직각삼각형을찾는다.△ABD와△HAD에서(cid:100)(cid:100)∠BAD=∠AHD=90°,∠D는공통이므로(cid:100)(cid:100)△ABDª△HAD (AA닮음)(cid:100)(cid:100)∴∠DBA=∠DAH=xy`30%해결GuideAC”BC”AB”BC”ABCD512xxyy해결GuideABC815해결Guide해결Guide'32△ABD에서(cid:100)(cid:100)BD”="√6¤+8¤=10 y`20%이므로(cid:100)(cid:100)tanx==;3$;,cosx==;5#;y`40%(cid:100)(cid:100)∴tanx_cosx=;3$;_;5#;=;5$;y`10%(cid:9000);5$;12△DFH는∠DHF=90°인직각삼각형이다.△DFH에서∠DHF=90°이고FH”="√4¤+4¤=4'2, DF”="√4¤+4¤+4¤=4'3이므로sinx==cosx==∴sinx_cosx=_=(cid:9000)②13△ABC에서∠A:∠B:∠C=a:b:c(cid:8857)∠A=180°_∠A=180°_=30°이므로(cid:100)(cid:100)sinA_cosA÷tanA(cid:100)=sin30°_cos30°÷tan30°(cid:100)=;2!;_÷=;4#;(cid:9000);4#;14특수한각의삼각비의값을이용하여각의크기를구한다.sin60°=이므로(cid:100)(cid:100)x+15°=60°(cid:100)(cid:100)∴x=45°∴tanx_cos(x-15°)=tan45°_cos30°=1_=(cid:9000)③1530°와45°의삼각비의값을이용하여x,y의값을구한다.해결Guide'32'32'32해결Guide'33'3211+2+3aa+b+c해결Guide'23'63'33'634'24'3'3344'3DFH4'344'2x해결GuideAB”BD”AD”AB”∠DBA=x임을보이기BD”의길이구하기tanx,cosx의값구하기tanx_cosx의값구하기채점기준배점30%20%40%10%1삼각비개쎈중수3하_정(028-039) 2015.1.14 3:15 PM 페이지31 SinsagoHitec 32정답및풀이△ACD에서(cid:100)(cid:100)tan30°==(cid:100)(cid:100)∴y=4또cos30°==이므로(cid:100)(cid:100)AC”=8△ABC에서(cid:100)(cid:100)sin45°==(cid:100)(cid:100)∴x=4'2(cid:100)(cid:100)∴xy=4'2_4=16'2 (cid:9000)16'2 16△ABD에서AD”의길이를구한후△ADC에서AC”, DC”의길이를구한다.△ABD에서(cid:100)(cid:100)∠BAD=60°-30°=30°∴AD”=BD”=4(cm)y`20%△ADC에서sin60°==이므로(cid:100)(cid:100)AC”=2'3(cm)y`30%cos60°==;2!;이므로(cid:100)(cid:100)DC”=2(cm)y`30%∴△ABC=;2!;_(4+2)_2'3=6'3(cm¤)y`20%(cid:9000)6'3cm¤17x절편과tan30°의값을이용하여직선의방정식을구한다.a=tan30°=한편직선y=x+b가점(-3, 0)을지나므로0=_(-3)+b(cid:100)(cid:100)∴b='3∴ab=_'3=1(cid:9000)③18특수한각의삼각비의값을이용하여CD”,BE”,BD”의길이를구한다.OB”=OC”=OA”=1이므로sin60°==CD”=tan60°==BE”='3BE”OB”'32CD”OC”해결Guide'33'33'33'33해결GuideDC”4'32AC”4해결Guide'22x8'324'3AC”'33y4'3또cos60°==OD”=;2!;이므로DB”=OB”-OD”=1-;2!;=;2!;∴(색칠한부분의넓이)=;2!;_{+'3}_;2!;=(cid:9000)1945°1이므로tan80°>1=sin90°>sin80°∴cos80°tan45°=sin90°>sin80°이므로sin80°0, cosx-sinx>0∴"√(cosx+sinx)¤-"√(cosx-sinx)¤=(cosx+sinx)-(cosx-sinx)=cosx+sinx-cosx+sinx=2sinxy`40%따라서2sinx=1,즉sinx=;2!;이므로(cid:100)(cid:100)x=30°y`30%∴tan30°=y`30%(cid:9000)21OB”의길이를구한후삼각비의표를이용하여∠AOB의크기를구한다.BC”=0.25이므로(cid:100)(cid:100)OB”=1-0.25=0.75∠AOB=x라하면(cid:100)(cid:100)cosx==OB”=0.75(cid:100)(cid:100)∴x=41°tan41°==CD”에서(cid:100)(cid:100)CD”=0.87(cid:9000)0.87CD”OC”OB”OA”해결Guide'33'33해결Guide해결Guide3'383'38'32OD”OC”AD”의길이구하기AC”의길이구하기DC”의길이구하기△ABC의넓이구하기채점기준배점20%30%30%20%좌변을간단히하기x의크기구하기tanx의값구하기채점기준배점40%30%30%개쎈중수3하_정(028-039) 2015.1.14 3:15 PM 페이지32 SinsagoHitec Ⅶ. 삼각비3322정사면체의꼭짓점A에서△BCD에내린수선의발을H라하면점H는△BCD의무게중심이다.두정삼각형ABC, BCD에서AE”=DE”=_12=6'3꼭짓점A에서DE”에내린수선의발을H라하면EH”=;3!;DE’”=;3!;_6'3=2'3△AEH에서AH”="√(6'3)¤-(2'3)¤=4'6이므로tanx===2'2(cid:9000)2'22330°의삼각비의값을이용하여먼저AD”,DC”의길이를구한다.△ADC에서sin30°==;2!;∴AD”=4tan30°==∴DC”=2'3BD”=AD”=4이고∠ADC=30°이므로∠BAD=∠ABD=;2!;_30°=15°△ABC에서∠BAC=75°이므로tan75°===2+'3(cid:9000)④24기울기가양수인직선y=mx+n이x축과이루는예각의크기를a라할때(cid:8857)m=tana오른쪽그림과같이두직선이x축과이루는예각의크기를각각a, b라하면(cid:100)(cid:100)tana=, tanb='3이므로a=30°, b=60°따라서a=b-a=30°이므로sina=sin30°=;2!;(cid:9000)②'33abyy='3xxaOy= x+13'3해결Guide4+2'32BC”AC”'332DC”2AD”15æ15æ60æ30æACD2B해결Guide4'62'3AH”EH”'32xABEH12CD해결Guide①한변의길이가a인정삼각형의높이(cid:8825)a②한모서리의길이가a인정사면체의높이(cid:8825)a'63'32도형의높이29-1(cid:9000)⑴10, 8.2⑵10, 5.730-1⑴△ABH에서(cid:100)(cid:100)AH”=4sin60°=4_=2'3(cid:100)(cid:100)BH”=4cos60°=4_;2!;=2CH”=BC”-BH”=6-2=4이므로△AHC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√(2'3)¤+4¤=2'7⑵△CBH에서(cid:100)(cid:100)CH”=8sin30°=8_;2!;=4(cid:100) △CAH에서∠A=180°-(30°+105°)=45°이므로(cid:100) (cid:100)(cid:100)AC”==4_'2=4'2(cid:9000)⑴2'7(cid:100)⑵4'231-1⑴△ABH에서∠BAH=90°-30°=60°이므로(cid:100)(cid:100)BH”=htan60°='3h⑵△ACH에서∠CAH=90°-45°=45°이므로(cid:100)(cid:100)CH”=htan45°=h⑶BC”=BH”-CH”이므로(cid:100)(cid:100)6='3h-h(cid:100)(cid:100)('3-1)h=6(cid:100)(cid:100)∴h==3('3+1)(cid:9000)⑴'3h(cid:100)⑵h(cid:100)⑶3('3+1)6'3-14sin45°'32⊙⊙본책120~122쪽개념Check삼각비의활용22삼각비의활용077-1tan40°==이므로AC”=(cid:9000)⑤∠B=90°-40°=50°이므로(cid:100)(cid:100)tan50°==(cid:100)(cid:100)∴AC”=3tan50°078-1점D에서CE”에내린수선의발을H라하면DH”=30m이므로△CDH에서CH”=30tan30°=30_=10'3(m)'33DC60æ30æBA30mHEAC”3AC”BC”3tan40°3AC”BC”AC”유제⊙⊙본책123~127쪽CBA40æ50æ3 중개념쎈(3년)해설Ⅶ(28~39)오 2015.1.21 10:13 PM 페이지33 SinsagoHitec 34정답및풀이△HDE에서EH”=30tan60°=30_'3=30'3(m)따라서B건물의높이는CE”=CH”+EH”=10'3+30'3=40'3(m)(cid:9000)40'3m079-1△AHC에서(cid:100)(cid:100)x=4'2sin45°=4'2_=4CH”=AH”=4이고BH”=BC”-CH”=7-4=3이므로△ABH에서(cid:100)(cid:100)y="√3¤+4¤=5(cid:9000)x=4,y=5079-2오른쪽그림과같이꼭짓점C에서AB”에내린수선의발을H라하면△CAH에서CH”=6sin60°=6_=3'3(m)AH”=6cos60°=6_;2!;=3(m)BH”=AB””-AH”=8-3=5(m)이므로△CBH에서BC”="√5¤+(3'3)¤=2'∂13(m)(cid:9000)④080-1△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠A=180°-(105°+45°)=30°오른쪽그림과같이꼭짓점B에서AC”에내린수선의발을H라하면△BCH에서CH”=BH”=3'6sin45°=3'6_=3'3△BAH에서AH”==3'3_'3=9∴AC”=AH”+CH”=9+3'3(cid:9000)9+3'3080-2△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠A=180°-(75°+45°)=60°3'3tan30°'22A45æ30æCBH3'6'32HABC8m6m60æ'22오른쪽그림과같이꼭짓점B에서AC”에내린수선의발을H라하면△BCH에서(cid:100)(cid:100)BH”=600sin45°=600_=300'2(m)따라서△BAH에서(cid:100)(cid:100)AB”==300'2_=200'6(m)(cid:9000)200'6m081-1오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발H에대하여AH”=h라하면△ABH에서∠BAH=30°이므로BH”=htan30°=h△AHC에서∠CAH=60°이므로CH”=htan60°='3hBC”=BH”+CH”이므로12=h+'3h,(cid:100)(cid:100)h=12∴h=12_=3'3(cm)∴△ABC=;2!;_12_3'3=18'3(cm¤)(cid:9000)②081-2AH”=h라하자.△ABH에서∠BAH=45°이므로BH”=htan45°=h△AHC에서∠CAH=30°이므로CH”=htan30°=hBC”=BH”+CH”이므로20=h+h,(cid:100)(cid:100)h=20∴h==10(3-'3)(m)(cid:9000)10(3-'3)m082-1△ABH에서∠BAH=45°이므로(cid:100)(cid:100)BH”=htan45°=h△ACH에서∠CAH=30°이므로(cid:100)(cid:100)CH”=htan30°=h'3345æ60æ45æ30æhACHB50 m603+'33+'33'33'3345æABHC20 m45æ60æ30æh34'34'33'33'3312cmBhC60æH30æ30æ60æA2'3300'2sin60°'22ABCH600`m60æ45æ 중개념쎈(3년)해설Ⅶ(28~39)오 2015.1.21 10:14 PM 페이지34 SinsagoHitec Ⅶ. 삼각비35BC”=BH”-CH”이므로(cid:100)(cid:100)50=h-h,(cid:100)(cid:100)h=50(cid:100)(cid:100)∴h==25(3+'3)(m)(cid:9000)②082-2AH”=h라하자.△ABH에서∠BAH=60°이므로BH”=htan60°='3h△ACH에서∠CAH=45°이므로CH”=htan45°=hBC”=BH”-CH”이므로(cid:100)(cid:100)4='3h-h(cid:100)(cid:100)('3-1)h=4(cid:100)(cid:100)∴h==2('3+1)(cm)(cid:100)(cid:100)∴△ABC=;2!;_4_2('3+1)=4('3+1)(cm¤)(cid:9000)4('3+1)cm¤4'3-145æ45æ30æ60æAHBC4cmh1503-'33-'33'3332-1⑴△ABC=;2!;_5_4_sin60°=;2!;_5_4_=5'3(cm¤)⑵△ABC=;2!;_7_12_sin(180°-135°)=;2!;_7_12_=21'2(cm¤)(cid:9000)⑴5'3cm¤(cid:100)⑵21'2cm¤33-1⑴∠A=360°-(60°+120°+60°)=120°이므로(cid:8772)ABCD는평행사변형이다.∴(cid:8772)ABCD=4_5_sin60°=4_5_=10'3(cm¤)⑵(cid:8772)ABCD=;2!;_9_8_sin45°=;2!;_9_8_=18'2(cm¤)(cid:9000)⑴10'3cm¤(cid:100)⑵18'2cm¤'22'32'22'32⊙⊙본책128~129쪽개념Check2삼각비의활용083-1∠A=180°-2_75°=30°∴△ABC=;2!;_10_10_sin30°=;2!;_10_10_;2!;=25(cm¤)(cid:9000)25cm¤유제⊙⊙본책130~132쪽084-1△ABC에서∠ABC=90°-60°=30°이므로∠ABD=30°+90°=120°AB”=12sin60°=12_=6'3이므로△ABD=;2!;_6'3_12_sin(180°-120°)=;2!;_6'3_12_=54(cid:9000)54085-1△ABD에서BD”==7'3_=14이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=△ABD+△DBC(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=;2!;_7'3_14_sin30°+;2!;_16_6_sin60°(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=;2!;_7'3_14_;2!;+;2!;_16_6_(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=(cid:9000)△ABD는직각삼각형이므로그넓이를다음과같이구해도된다.AD”=7'3tan30°=7'3_=7이므로(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_7'3_7=086-1오른쪽그림과같이정육각형은6개의합동인정삼각형으로나누어진다. 따라서정육각형의넓이는6_{;2!;_6_6_sin60°}=6_{;2!;_6_6_}=54'3(cm¤)(cid:9000)⑤087-1△AED=;2!;(cid:8772)ABCD=;2!;_7_10_sin60°=;2!;_7_10_=(cid:9000)35'3235'32'32'3260æ6cm6cm6cm49'32'3397'3297'32'322'37'3cos30°'32'32AB12CDE60æ30æ오른쪽그림의(cid:8772)ABCD가평행사변형일때△ABD=△AED=△ACD=;2!;(cid:8772)ABCD평행사변형에서삼각형의넓이ADBCE개쎈중수3하_정(028-039) 2015.1.14 3:15 PM 페이지35 SinsagoHitec 36정답및풀이①평행하지않은한쌍의대변의길이가같다. (cid:8825)AB”=DC”②두대각선의길이가같다.(cid:8825)AC”=BD”등변사다리꼴의성질ADBC01①,⑤0218m03③043(3-'3)05②06②07③08③09①109'6cm‹11①122'∂39cm1336('3-1)14⑤15③16cm17⑤1821'319(36p-27'3)cm¤2050+30'22116cm229923②248'240'39⊙⊙본책133~136쪽01삼각비를이용하여변의길이를식으로나타낸다.오른쪽그림에서sin33°=이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”sin33°=12sin33°또∠A=90°-33°=57°이고cos57°=이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”cos57°=12cos57°(cid:9000)①,⑤02삼각비를이용하여두부분으로나누어진나무의길이를각각구한다.오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)AB”=6'3tan30°=6'3_=6(m)(cid:100)(cid:100)AC”==6'3_=12(m)따라서부러지기전의나무의높이는(cid:100)(cid:100)AB”+AC”=6+12=18(m)(cid:9000)18m2'36'3cos30°'33ABC6´3`m30æ해결GuideAB”AC”BC12A33æ57æAB”AC”해결Guide03수선을그어특수한직각삼각형을만든후삼각비를이용하여변의길이를구한다.△ABC에서(cid:100)(cid:100)∠A=180°-(60°+75°)=45°오른쪽그림과같이꼭짓점C에서AB”에내린수선의발을H라하면△BCH에서CH”=100sin60°=100_=50'3(m)따라서△AHC에서AC”==50'3_'2=50'6(m)(cid:9000)③04두직각삼각형에서탄젠트의값을이용하여BH”,CH”의길이를AH”에대한식으로나타낸다.AH”=h라하자.△ABH에서(cid:100)BH”=htan45°=h△AHC에서∠CAH=30°이므로CH”=htan30°=hBC”=BH”+CH”이므로(cid:100)(cid:100)6=h+hy`70%(cid:100)(cid:100)h=6∴h==3(3-'3)y`30%(cid:9000)3(3-'3)05∠B가둔각일때(cid:8857)△ABC=;2!;_AB”_BC”_sin(180°-B)△ABC=;2!;_6_9_sin(180°-120°)=;2!;_6_9_=(cm¤)(cid:9000)②06보조선을그어여러개의이등변삼각형으로나눈후삼각형의넓이의합을구한다.해결Guide27'32'32해결Guide183+'33+'33'33'33ACB30æ45æ60æHh6해결Guide50'3sin45°'3245æHACB60æ100m해결Guide088-1(cid:8772)ABCD=;2!;_4_4_sin(180°-120°)=;2!;_4_4_=4'3(cid:9000)4'3'32AH”에대한식세우기AH”의길이구하기채점기준배점70%30% 중개념쎈(3년)해설Ⅶ(28~39)오 2015.1.21 10:14 PM 페이지36 SinsagoHitec Ⅶ. 삼각비37오른쪽그림과같이정십이각형은12개의합동인이등변삼각형으로나누어지므로구하는넓이는12_{;2!;_4_4_sin30°}=12_{;2!;_4_4_;2!;}=48(cid:9000)②07평행사변형ABCD에서∠B가둔각일때(cid:8857)(cid:8772)ABCD=AB”_BC”_sin(180°-B)(cid:8772)ABCD=2'5_6_sin(180°-135°)=2'5_6_=6'∂10(cid:9000)③08(cid:8772)ABCD=;2!;_AC”_BD”_sin90°(cid:8772)ABCD=;2!;_6_11_sin90°=33(cid:9000)③09먼저sinC의값을이용하여AB”의길이를구한다.△ABC에서AB”=25sinC=25_;5$;=20∴AC”="√25¤-20¤=15(cid:9000)①10(삼각뿔의부피)=;3!;_(밑넓이)_(높이)△OBC에서OC”==3'2(cm)y`30%△ABO에서OA”=3'2tan60°=3'2_'3=3'6(cm)y`30%∴(삼각뿔의부피)=;3!;_[;2!;_(3'2)¤]_3'6=9'6(cm‹)y`40%(cid:9000)9'6cm‹3'2tan45°해결Guide해결Guide해결Guide'22해결Guide30æO4두대각선이직교하고그길이가각각a,b인(cid:8772)ABCD의넓이S(cid:8825)S=;2!;absin90°=;2!;ab두대각선이직교하는사각형의넓이2삼각비의활용OC”의길이구하기OA”의길이구하기삼각뿔의부피구하기채점기준배점30%30%40%11보조선을그어직각삼각형을만든후삼각비를이용한다.오른쪽그림과같이점B에서OA”에내린수선의발을H라하면△OHB에서(cid:100)(cid:100)OH”=60cos30°=60_=30'3(cm)(cid:100)(cid:100)∴HA”=OA”-OH”=60-30'3=30(2-'3)(cm)(cid:9000)①12AC”를빗변으로하는직각삼각형을만든후삼각비를이용한다.∠B=180°-120°=60°오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”에내린수선의발을H라하면△ABH에서AH”=10sin60°=10_AH”=5'3(cm)BH”=10cos60°=10_;2!;=5(cm)이때CH”=14-5=9(cm)이므로△AHC에서AC”="√(5'3)¤+9¤=2'∂39(cm)(cid:9000)2'∂39cm13삼각비를이용하여겹쳐진부분의높이를구한다.오른쪽그림과같이점E에서BC”에내린수선의발H에대하여EH”=h라하면△EBH에서∠BEH=60°이므로(cid:100)(cid:100)BH”=htan60°='3h△EHC에서∠CEH=45°이므로(cid:100)(cid:100)CH”=htan45°=hBC”=BH”+CH”이므로(cid:100)(cid:100)12='3h+h,(cid:100)(cid:100)('3+1)h=12(cid:100)(cid:100)∴h==6('3-1)따라서겹쳐진부분의넓이는(cid:100)(cid:100);2!;_12_6('3-1)=36('3-1)(cid:9000)36('3-1)14BH”,CH”를x에대한식으로나타낸후BC”=BH”-CH”임을이용한다.해결Guide12'3+1ABCDE45æ30æ12hH해결Guide'32CBH120æ60æAD10cm14cm해결Guide'32HABO60`cm30æ해결Guide 중개념쎈(3년)해설Ⅶ(28~39)오 2015.1.21 10:14 PM 페이지37 SinsagoHitec 38정답및풀이BH”=(m), CH”=(m)BC”=BH”-CH”이므로-=40(cid:9000)⑤15점A에서대변의연장선에수선을그어직각삼각형을만든후삼각비를이용한다.오른쪽그림과같이꼭짓점A에서BC”의연장선에내린수선의발을H라하면∠ACH=180°-120°=60°△ACH에서AH”=8sin60°=8_=4'3CH”=8cos60°=8_;2!;=4BH”=BC”+CH”=7+4=11이므로△ABH에서AB”="√11¤+(4'3)¤=13(cid:9000)③16△ABC=△ABD+△ADC임을이용한다.△ABC=;2!;_8_10_sin60°=;2!;_8_10_=20'3(cm¤)y`30%△ABD=;2!;_8_AD”_sin30°=;2!;_8_AD”_;2!;=2AD”(cm¤)y`20%△ADC=;2!;_AD”_10_sin30°=;2!;_AD”_10_;2!;=;2%;AD”(cm¤)y`20%이때△ABC=△ABD+△ADC이므로20'3=2AD”+;2%;AD”=;2(;AD”∴AD”=(cm)y`30%(cid:9000)cm40'3940'39'32해결Guide'32ABC78120æH60æ해결Guidextan65°xtan35°xtan65°xtan35°17tanA의값을이용하여sinA의값을구한다.tanA=2이므로오른쪽그림과같은△ADE에서AE”="√1¤+2¤='5∴sinA==∴△ABC=;2!;_5_8_=8'5(cid:9000)⑤18점I가△ABC의내심임을이용하여∠BIC의크기를구한다.점I는△ABC의내심이므로∠BIC=90°+;2!;∠A=120°∴△IBC=;2!;_12_7_sin(180°-120°)=;2!;_12_7_=21'3(cid:9000)21'319(색칠한부분의넓이)=(부채꼴BOC의넓이)-(삼각형BOC의넓이)오른쪽그림과같이OC”를그으면△BOC에서OB”=OC”이므로(cid:100)(cid:100)∠OCB=∠OBC=30°(cid:100)(cid:100)∴∠BOC=180°-2_30°=120°(cid:100)(cid:100)∴(색칠한부분의넓이)=(부채꼴BOC의넓이)-(삼각형BOC의넓이)=p_(6'3)¤_-;2!;_6'3_6'3_sin(180°-120°)=36p-;2!;_6'3_6'3_=36p-27'3(cm¤)(cid:9000)(36p-27'3)cm¤'32120360ABCO6´3`cm30æ30æ120æ해결Guide'32해결Guide2'552'552'5AD12E해결Guide△ABC의넓이구하기△ABD의넓이를AD”에대한식으로나타내기△ADC의넓이를AD”에대한식으로나타내기AD”의길이구하기채점기준배점30%20%20%30%점I가△ABC의내심일때(cid:100)(cid:100)∠BIC=∠BID+∠CID=(•+_)+(•+▲)=(•+_+▲)+•=90°+;2!;∠A삼각형의내심의활용IDABC개쎈중수3하_정(028-039) 2015.1.14 3:15 PM 페이지38 SinsagoHitec Ⅶ. 삼각비3920(cid:8772)ABCD=△ABD+△DBC임을이용한다.BD”==10'2이므로(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=△ABD+△DBC(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=;2!;_10_10'2_sin45°(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=+;2!;_10'2_12_sin30°(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=;2!;_10_10'2_+;2!;_10'2_12_;2!;(cid:100)(cid:100)(cid:8772)ABCD=50+30'2(cid:9000)50+30'2△ABD는직각이등변삼각형이므로그넓이를다음과같이구해도된다.(cid:100)(cid:100)△ABD=;2!;_10_10=5021마름모(cid:8857)네변의길이가모두같은평행사변형이다.마름모ABCD의한변의길이를xcm라하면(cid:8772)ABCD=x_x_sin45°=x¤(cm¤)y`40%즉x¤=8'2이므로(cid:100)(cid:100)x¤=16(cid:100)(cid:100)∴x=4(∵x>0)y`40%따라서마름모ABCD의둘레의길이는4_4=16(cm)y`20%(cid:9000)16cm22△ABC=;2!;_AB”_BC”_sinB△ABC=;2!;_AB”_BC”_sinB=100이때AB”는10%줄이고BC”는10%늘였으므로A'B”=0.9AB”, BC'”=1.1BC”∴△A'BC'=;2!;_A'B”_BC'”_sinB=;2!;_0.9AB”_1.1BC”_sinB=0.9_1.1_;2!;_AB”_BC”_sinB=0.9_1.1_100=99(cid:9000)99해결Guide'22'22해결Guide'2210sin45°해결Guide2삼각비의활용(cid:8772)ABCD의넓이에대한식세우기한변의길이구하기둘레의길이구하기채점기준배점40%40%20%23주어진정사각형의한변의길이를2a로놓고정사각형의넓이를삼각형의넓이의합으로나타낸다.오른쪽그림과같이MN”을긋고AD”=2a라하면DM”=DN”="√(2a)¤+a¤='5a∴(cid:8772)ABCD=△AMD+△DMN+△MBN+△DNC=;2!;_2a_a+;2!;_'5a_'5a_sinx+;2!;_a_a+;2!;_2a_a따라서4a¤=;2%;a¤+;2%;a¤sinx이므로;2%;sinx=;2#;(cid:100)(cid:100)∴sinx=;5#;(cid:9000)②24두점P,Q가각각△ABC,△ACD의무게중심임을이용한다.(cid:8772)ABCD=6_8_sin45°=6_8_=24'2오른쪽그림과같이AC”를긋고AC”와BD”의교점을O라하면AO”=CO”, BE”=CE”, CF”=DF”이므로두점P, Q는각각△ABC, △ACD의무게중심이다.따라서오각형PECFQ의넓이는(cid:8772)PECO+(cid:8772)OCFQ=;3!;△ABC+;3!;△ACD=;3!;(cid:8772)ABCD=;3!;_24'2=8'2(cid:9000)8'2ACEBFOPQD86'22해결Guide2a2aaaaxaAMNDBC해결Guide개쎈중수3하_정(028-039) 2015.1.14 3:15 PM 페이지39 SinsagoHitec 40정답및풀이Ⅷ. 원의성질34-1⑴AM”=BM”이므로(cid:100)(cid:100)x=2_7=14⑵AM”=BM”이므로(cid:100)(cid:100)AM”=;2!;_12=6(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x="√6¤+4¤=2'∂13⑶AM”="√7¤-2¤=3'5이므로(cid:100) (cid:100)(cid:100)x=2AM”=6'5⑷BM”=AM”=8이므로(cid:100) (cid:100)(cid:100)x="√10¤-8¤=6(cid:9000)⑴14(cid:100)⑵2'∂13(cid:100)⑶6'5(cid:100)⑷635-1(cid:9000)⑴10(cid:100)(cid:100)⑵5(cid:100)(cid:100)⑶10(cid:100)(cid:100)⑷4⊙⊙본책140~141쪽개념Check원과직선1089-1CD”⊥PO”이므로CM”=;2!;CD”=2(cm)OC”=xcm라하면OM”=(x-1)cm이므로△OMC에서(cid:100)(cid:100)x¤=(x-1)¤+2¤(cid:100)(cid:100)x¤=x¤-2x+1+4(cid:100)(cid:100)2x=5(cid:100)(cid:100)∴x=;2%;(cid:100)(cid:100)∴AB”=2_;2%;=5(cm)(cid:9000)5cm090-1CM”은현AB의수직이등분선이므로원의중심을O라하면CM”의연장선은점O를지난다.이때AM”=;2!;AB”=4(cm)이므로△AOM에서MO”="√5¤-4¤=3(cm)∴CM”=5-3=2(cm)(cid:9000)2cm091-1원의중심O에서AB”에내린수선의발을M이라하면OM”=;2!;OA”=6(cm)△OAM에서AM”="√12¤-6¤=6'3(cm)∴AB”=2AM”=12'3(cm)(cid:9000)12'3cm6cm12cmABMO5cmB8cmAOMCxcm(x-1)cmAPCDBOM2cm1cm유제⊙⊙본책142~144쪽092-1원의중심O에서AB”에내린수선의발을H라하면HB”=;2!;AB”=15한편AB”:CD”=3:2이므로30:CD”=3:2(cid:100)(cid:100)∴CD”=20따라서HD”=;2!;CD”=10이므로DB”=HB”-HD”=15-10=5(cid:9000)5093-1원의중심O에서CD”에내린수선의발을N이라하자.AB”=CD”이므로ON”=OM”=6(cm)△OND에서DN”="√8¤-6¤=2'7(cm)따라서CD”=2DN”=4'7(cm)이므로△OCD=;2!;_4'7_6=12'7(cm¤)(cid:9000)12'7cm¤094-1OL”=OM”=ON”이므로AB”=BC”=CA”즉△ABC는정삼각형이므로∠BAC=60°(cid:9000)60°NAMDCBO6cm8cmHABCDO36-1⑴∠PAO=∠PBO=90°이므로(cid:8772)APBO에서(cid:100) (cid:100)(cid:100)∠P=360°-(90°+90°+130°)=50°(cid:100)(cid:100)∴x=50(cid:100)(cid:100)⑵∠OAP=90°이므로(cid:100)(cid:100)x="√6¤-2¤=4'2⑶PB”=PA”이므로(cid:100)(cid:100)x=7⑷PA”=PB”=6이고∠OAP=90°이므로(cid:100) (cid:100)(cid:100)x="√6¤+4¤=2'∂13(cid:9000)⑴50(cid:100)⑵4'2(cid:100)⑶7(cid:100)⑷2'∂1337-1⑴AD”=AF”=4이므로(cid:100)(cid:100)BE”=BD”=9-4=5CE”=CF”=8이므로(cid:100)(cid:100)x=5+8=13⑵BE”=BD”=4이므로(cid:100)(cid:100)CF”=CE”=7-4=3(cid:100)(cid:100)∴x=AF”=5-3=2(cid:9000)⑴13(cid:100)⑵2⊙⊙본책145~148쪽개념Check 중개념쎈(3년)해설Ⅷ(40~56)오 2015.1.21 10:16 PM 페이지40 SinsagoHitec Ⅷ. 원의성질4137-2⑴BE”=BD”=11-x⑵AF”=AD”=x이므로(cid:100)(cid:100)CE”=CF”=10-x⑶BC”=BE”+CE”이므로(cid:100)(cid:100)(11-x)+(10-x)=112x=10(cid:100)(cid:100)∴x=5(cid:9000)⑴11-x(cid:100)⑵10-x(cid:100)⑶538-1⑴AB”+CD”=AD”+BC”이므로x+3=2+5(cid:100)(cid:100)∴x=4⑵AB”+CD”=AD”+BC”이므로10+12=7+x(cid:100)(cid:100)∴x=15⑶AB”+CD”=AD”+BC”이므로4+(2+x)=3+7(cid:100)(cid:100)∴x=4⑷AB”+CD”=AD”+BC”이므로(x+5)+(2+4)=5+9(cid:100)(cid:100)∴x=3(cid:9000)⑴4(cid:100)⑵15(cid:100)⑶4(cid:100)⑷339-1점O에서BO'”에내린수선의발을H라하면(cid:100)(cid:100)HO'”=BO'”-BH”=9-3=6,(cid:100)(cid:100)OO'””=3+9=12△OO'H에서(cid:100)(cid:100)OH”="√12¤-6¤=6'3이때△POAª△OO'H(AA닮음)이고닮음비가(cid:100)(cid:100)3：6=1：2이므로(cid:100)(cid:100)PA””：6'3=1：2(cid:100)(cid:100)∴PA”=3'3(cid:100)(cid:100)∴PB”=PA”+AB”=9'3(cid:9000)9'3O'O3PABH612095-1OB”=OA”=5(cm)이므로(cid:100)(cid:100)PO”=8+5=13(cm)∠OAP=90°이므로△OPA에서(cid:100)(cid:100)PA”="√13¤-5¤=12(cm)(cid:100)(cid:100)∴△OPA=;2!;_12_5=30(cm¤)(cid:9000)30cm¤096-1오른쪽그림에서∠AQO=90°이므로△AQO에서AQ”="√9¤-3¤=6'2(cm)∴AB”=2AQ”=12'2(cm)(cid:9000)12'2cmP6cm3cmBQAO유제⊙⊙본책149~154쪽097-1⑴PA”=PB”이므로△PBA는이등변삼각형이다.∴∠PAB=∠PBA=;2!;_(180°-30°)=75°∴x=75⑵PB”=PA”=4, OP”=x+2이고∠OBP=90°이므로△OBP에서(cid:100) (cid:100)(cid:100)(x+2)¤=x¤+4¤,(cid:100)(cid:100)4x=12(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x=3(cid:9000)⑴75(cid:100)⑵3098-1오른쪽그림에서△AOP≡△BOP(RHS합동)이므로(cid:100)(cid:100)∠AOP=∠BOP=60°△BOP에서(cid:100)(cid:100)PB”=OB”tan60°=5tan60°=5'3(cm)또PA”=PB”이고∠APB=60°이므로△ABP는정삼각형이다.(cid:100)(cid:100)∴AB”=PB”=5'3(cm)(cid:9000)5'3cm099-1BD”=x라하면(cid:100)(cid:100)BF”=x, CE”=CF”=4-x AD”=AE”이므로(cid:100)(cid:100)6+x=5+(4-x)(cid:100)(cid:100)∴x=;2#;(cid:9000);2#;100-1오른쪽그림과같이점O에서DC”에내린수선의발을E라하면AD”=DE”, BC”=CE”이므로(cid:8772)ABCD의둘레의길이는AB”+BC”+CD”+AD”=AB”+(BC”+AD”)+CD”=AB”+(CE”+DE”)+CD”=AB”+CD”+CD”=10+14+14=38(cid:9000)38101-1AF”=AD”=8(cm)이므로(cid:100)(cid:100)CE”=CF”=10-8=2(cm)BD”=xcm라하면BE”=xcm이고BC”=BE”+CE”이므로x+2=14(cid:100)(cid:100)∴x=12(cid:9000)12cmEBC5ADO14ABO120æ60æ60æP5cm1원과직선개쎈중수3하_정(040-056) 2015.1.14 3:17 PM 페이지41 SinsagoHitec 42정답및풀이102-1AC”="√6¤+8¤=10(cm)이고△ABC=;2!;_8_6=24(cm¤)원O의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100)△ABC=△OAB+△OBC+△OCA이므로;2!;_6_r+;2!;_8_r+;2!;_10_r=2412r=24(cid:100)(cid:100)∴r=2따라서원O의넓이는(cid:100)(cid:100)p_2¤=4p(cm¤)(cid:9000)4pcm¤AC”="√6¤+8¤=10(cm)(cid:8772)DBEO는정사각형이므로원O의반지름의길이를rcm라하면BD”=BE”=rcm,AF”=AD”=6-r(cm), CF”=CE”=8-r(cm)AC”=AF”+CF”이므로10=(6-r)+(8-r)(cid:100)(cid:100)∴r=2따라서원O의넓이는(cid:100)(cid:100)p_2¤=4p(cm¤)103-1(cid:8772)ABCD가원O에외접하므로AB”+CD”=AD”+BC”=;2!;_24=12(cm)AD”=5cm이므로(cid:100)(cid:100)BC”=12-5=7(cm)AB”=6cm이므로(cid:100)(cid:100)CD”=12-6=6(cm)(cid:9000)BC”=7cm, CD”=6cm104-1CD”=2_4=8(cm)이고(cid:8772)ABCD가원O에외접하므로(cid:100)(cid:100)AB”+CD”=AD”+BC”(cid:100)(cid:100)10+8=AD”+12(cid:100)(cid:100)∴AD”=6(cm)(cid:100)(cid:100)∴AD”+CD”=6+8=14(cm)(cid:9000)14cm105-1DE”=x라하면(cid:8772)ABED가원O에외접하므로(cid:100)(cid:100)AB”+DE”=AD”+BE”6+x=10+BE”∴BE”=x-4CE”=10-(x-4)=14-x이므로△DEC에서x¤=(14-x)¤+6¤28x=232(cid:100)(cid:100)∴x=:∞7•:(cid:9000):∞7•:BFEDCAOrcmrcmrcm6cm8cm106-1반원Q의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100)PQ”=(4+r)cm,(cid:100)(cid:100)OQ”=(8-r)cm직각삼각형POQ에서(cid:100)(cid:100)(4+r)¤=4¤+(8-r)¤(cid:100)(cid:100)24r=64(cid:100)(cid:100)∴r=;3*;(cid:9000);3*;cmPO8`cm4`cmr`cmQ01④0226pcm03④0414cm05③06①,③0711084cm09②10④1134cm12④1354cm14⑤15②16(8p+12'3)m17③1812194p20③212cm22①235cm24(6'2+6)cm⊙⊙본책155~158쪽01원의중심에서현에내린수선(cid:8857)현을이등분한다.OC”=CD”=;2!;OD”=5(cm)△AOC에서(cid:100)(cid:100)AC”="√10¤-5¤=5'3(cm)이때AB”⊥OC”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=2AC”=10'3(cm)(cid:9000)④02현의수직이등분선(cid:8857)원의중심을지난다.원의중심을O, 반지름의길이를rcm라하면OM”=(r-8)cm△OAM에서r¤=12¤+(r-8)¤y`30%16r=208(cid:100)(cid:100)∴r=13y`30%따라서원의둘레의길이는2p_13=26p(cm)y`40%(cid:9000)26pcm(r-8)cmrcmMOBCA8cm12cm해결Guide해결Guide원의반지름의길이에대한식세우기원의반지름의길이구하기원의둘레의길이구하기채점기준배점30%30%40%개쎈중수3하_정(040-056) 2015.1.14 3:17 PM 페이지42 SinsagoHitec Ⅷ. 원의성질4303원주위의한점이원의중심에겹치도록접었을때원의중심에서현에이르는거리(cid:8857);2!;_(반지름의길이)OA”=2OM””=8(cm)이므로△OAM에서AM”="√8¤-4¤=4'3(cm)∴AB”=2AM”=8'3(cm)(cid:9000)④04원의중심으로부터같은거리에있는두현(cid:8857)길이가같다.원의중심으로부터같은거리에있는두현의길이는같으므로CD”=AB”=2A’M”=14(cm)(cid:9000)14cm05OM”=ON”(cid:8857)AB”=AC”이므로△ABC는이등변삼각형이다.(cid:8772)AMON에서∠MAN=360°-(90°+100°+90°)=80°OM”=ON”이므로(cid:100)(cid:100)AB”=AC”따라서△ABC는AB”=AC”인이등변삼각형이므로∠ACB=;2!;_(180°-80°)=50°(cid:9000)③06원밖의한점에서그원에그은두접선의길이는같다.②BP”=AP”=10④∠OAP=∠OBP=90°이므로(cid:8772)OBPA에서∠AOB+∠P=360°-(90°+90°)=180°⑤△AOP와△BOP에서OP”는공통, ∠OAP=∠OBP=90°,OA”=OB”(반지름)∴△AOP≡△BOP(RHS합동)(cid:9000)①, ③07AF”=AE”,BD”=BE”,CD”=CF”임을이용한다.AF”=AE”=20이므로y`30%(cid:100)(cid:100)CD”=CF”=20-17=3y`20%또BD”=BE”=20-12=8이므로y`20%(cid:100)(cid:100)BC”=BD”+CD”=8+3=11y`30%(cid:9000)11해결Guide해결Guide해결Guide해결GuideM8cm4cmBAO해결Guide08접선의성질을이용하여길이가같은선분을찾는다.CF”=xcm라하면(cid:100)(cid:100)CE”=CF”=x(cm), AD”=AF”=4(cm),BD”=BE”=3(cm)이므로△ABC의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)4+4+3+3+x+x=22(cid:100)(cid:100)2x=8(cid:100)(cid:100)∴x=4(cid:9000)4cm09원에외접하는사각형(cid:8857)대변의길이의합이같다.AB”+CD”=AD”+BC”이므로AD”+BC”=11+7=18(cm)∴AD”=18_;9$;=8(cm)(cid:9000)②10원의중심에서현에내린수선(cid:8857)현을이등분한다.오른쪽그림과같이원의중심O에서CD”에내린수선의발을E라하면OC”=;2!;AB”=7(cm),CE”=;2!;CD”=3(cm)△OCE에서OE”="√7¤-3¤=2'∂10(cm)∴△OCD=;2!;_6_2'∂10=6'∂10(cm¤)(cid:9000)④11현의수직이등분선(cid:8857)원의중심을지난다.토기의반지름의길이를rcm라하면오른쪽그림에서r¤=(r-9)¤+15¤18r=306(cid:100)(cid:100)∴r=17따라서원래토기의지름의길이는34cm이다.(cid:9000)34cm9cm30cmrcm(r-9)cm해결GuideOE6cm14cmBACD해결Guide해결Guide해결GuideAF”의길이구하기CD”의길이구하기BD”의길이구하기BC”의길이구하기채점기준배점30%20%20%30%1원과직선 중개념쎈(3년)해설Ⅷ(40~56)오 2015.1.21 10:16 PM 페이지43 SinsagoHitec 44정답및풀이12길이가같은두현(cid:8857)중심으로부터같은거리에있다.①AB”=2AM”=2DN”=CD”②AB”=CD”이므로(cid:100)(cid:100)OM”=ON”③AB”=CD”이므로(cid:100)(cid:100)∠AOB=∠COD(cid:100)(cid:100)∴µAB=µCD⑤△AOB=;2!;_AB”_OM”=;2!;_CD”_ON”=△COD(cid:9000)④13원의중심으로부터같은거리에있는두현(cid:8857)길이가같다.ON”=OM”이므로(cid:100)(cid:100)AC”=BC”y`40%∴∠ABC=∠BAC=;2!;_(180°-60°)=60°즉△ABC는정삼각형이다.y`30%AC”=2AN”=18(cm)이므로△ABC의둘레의길이는18_3=54(cm)y`30%(cid:9000)54cm14보조선을그어합동인삼각형을찾는다.오른쪽그림에서△AOC≡△EOC(RHS합동),△EOD≡△BOD(RHS합동)이므로(cid:100)(cid:100)∠AOC=∠EOC, ∠EOD=∠BOD∴∠COD=∠COE+∠EOD=;2!;∠AOE+;2!;∠EOB=;2!;∠AOB=90°(cid:9000)⑤15원의접선은그접점을지나는반지름과수직이다.큰원의반지름의길이를rcm, 작은원의반지름의길이를r'cm라하면r¤=r'¤+5¤(cid:100)(cid:100)∴r¤-r'¤=25이때색칠한부분의넓이는큰원의넓이에서작은원의넓이를뺀것과같으므로pr¤-pr'¤=p(r¤-r'¤)=25p(cm¤)(cid:9000)②10cmrcmr'cmABO해결GuideACDEBO해결Guide해결Guide해결Guide16(줄의전체길이)=(부채꼴의호의길이)+(두접선의길이)오른쪽그림에서(cid:100)(cid:100)△PQO≡△PRO(RHS합동)이므로(cid:100)(cid:100)∠QPO=30°, ∠POQ=60°△POQ에서(cid:100)(cid:100)PQ”=OQ”tan60°=6tan60°=6'3(m)(cid:100)(cid:100)∴PR”=PQ”=6'3(m)또µQSR에대한중심각의크기가360°-120°=240°이므로줄의전체길이는(cid:100)(cid:100)µQSR+PQ”+PR”={2p_6_;3@6$0);}+6'3+6'3=8p+12'3(m)(cid:9000)(8p+12'3)m17원밖의한점에서그원에그은두접선의길이는같다.오른쪽그림에서BP”=BQ”=x라하면(cid:100)(cid:100)AR”=AP”=11-x,(cid:100)(cid:100)CR”=CQ”=8-x이므로(cid:100)(cid:100)(11-x)+(8-x)=7(cid:100)(cid:100)2x=12(cid:100)(cid:100)∴x=6(cid:100)(cid:100)∴(△DBE의둘레의길이)=BE”+ED”+DB”=BE”+(ES”+SD”)+DB”=BE”+(EQ”+PD”)+DB”=BQ”+BP”=12(cid:9000)③18보조선을그어접선의성질을이용한다.CP”=CA”=4, DP”=DB”=8이므로CD”=CP”+DP”=4+8=12점C에서BD”에내린수선의발을H라하면DH”=8-4=4이므로△CHD에서(cid:100)(cid:100)CH”="√12¤-4¤=8'2따라서△CBH에서BC”="√(8'2)¤+4¤=12(cid:9000)12BD”⊥CH”, BH”=DH”=4에서△CBD는이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)BC”=CD”=12HPCBADO84해결GuideOABC1178EDPSQR해결GuideO6`mSQRP30æ60æA해결GuideAC”=BC”임을알기△ABC는정삼각형임을알기△ABC의둘레의길이구하기채점기준배점40%30%30% 중개념쎈(3년)해설Ⅷ(40~56)오 2015.1.21 10:16 PM 페이지44 SinsagoHitec Ⅷ. 원의성질4519원의접선의성질과피타고라스정리를이용한다.원O의반지름의길이를r라하면(cid:8772)OECF가정사각형이므로(cid:100)(cid:100) CE”=CF”=r또BE”=10, AF”=3이므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)BC”=10+r, AC”=3+r따라서△ABC에서(cid:100)(cid:100)13¤=(10+r)¤+(3+r)¤(cid:100)(cid:100)r¤+13r-30=0,(cid:100)(cid:100)(r-2)(r+15)=0(cid:100)(cid:100)∴r=2(∵r>0)따라서원O의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2p_2=4p(cid:9000)4p20외접사각형의성질을이용한다.AB”=2_2=4(cm)이고(cid:8772)ABCD는원O에외접하므로AD”+BC”=AB”+CD”=4+5=9(cm)∴(cid:8772)ABCD=;2!;_9_4=18(cm¤)(cid:9000)③21두원의중심을이은선분을빗변으로하는직각삼각형에서피타고라스정리를이용한다.오른쪽그림에서원O'의반지름의길이를rcm라하면OO'”=8+r(cm),OH”=8-r(cm),O'H”=18-(8+r)=10-r(cm)△OHO'에서(cid:100)(cid:100)(8+r)¤=(8-r)¤+(10-r)¤r¤-52r+100=0,(cid:100)(cid:100)(r-50)(r-2)=0∴r=2(∵00)⑶PC”=7-5=2, PD”=7+5=12이므로3_(3+x)=2_12,(cid:100)(cid:100)9+3x=243x=15(cid:100)(cid:100)∴x=5(cid:9000)⑴8(cid:100)⑵6(cid:100)⑶549-1⑴PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100) (cid:100)(cid:100)(4'2)¤=4_x(cid:100)(cid:100)∴x=8⑵PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)x¤=4_(4+6)=40(cid:100) (cid:100)(cid:100)∴x=2'∂10(∵x>0)⑶PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)4¤=2_(2+x)(cid:100)(cid:100)∴x=6⊙⊙본책186~188쪽개념Check 중개념쎈(3년)해설Ⅷ(40~56)오 2015.1.21 10:17 PM 페이지52 SinsagoHitec Ⅷ. 원의성질53129-1PC”=xcm라하면8_(8+12)=x_2x,(cid:100)(cid:100)2x¤=160x¤=80(cid:100)(cid:100)∴x=4'5(∵x>0)(cid:9000)4'5cm130-1(cid:8772)ABCD가원에내접하려면PA”_PC”=PB”_PD”가성립해야하므로12_x=15_16(cid:100)(cid:100)∴x=20(cid:9000)③131-1CP”=DP”=12(cm)이고BP”=xcm라하면AP”=4x(cm)이므로4x_x=12_12,(cid:100)(cid:100)x¤=36(cid:100)(cid:100)∴x=6(∵x>0)∴AB”=5x=5_6=30(cm)(cid:9000)30cm132-1원O의반지름의길이를rcm라하면PC”=(12-2r)cm이므로(cid:100)(cid:100)(12-2r)_12=4_9,(cid:100)(cid:100)24r=108(cid:100)(cid:100)∴r=;2(;따라서원O의둘레의길이는(cid:100)(cid:100)2p_;2(;=9p(cm)(cid:9000)9pcm133-1원O'에서PA”_PB”=PE”_PF”이므로(cid:100)(cid:100)y_(y+5)=6_(6+8),(cid:100)(cid:100)y¤+5y-84=0(cid:100)(cid:100)(y+12)(y-7)=0(cid:100)(cid:100)∴y=7(∵y>0)원O에서PC”_PD”=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)4_(4+x)=7_(7+5),(cid:100)(cid:100)4x=68(cid:100)(cid:100)∴x=17(cid:100)(cid:100)∴x+y=24(cid:9000)24134-1PT”는원O의접선이므로(cid:100)(cid:100)∠BTP=90°직각삼각형BPT에서PT”=8cm, BT”=6cm이므로PB”="√8¤+6¤=10(cm)따라서8¤=PA”_10이므로(cid:100)(cid:100)PA”=:£5™:(cm)(cid:9000):£5™:cm135-1원O의반지름의길이를rcm라하면(cid:100)(cid:100)12¤=8_(8+2r),(cid:100)(cid:100)16r=80(cid:100)(cid:100)∴r=5따라서원O의넓이는(cid:100)(cid:100)p_5¤=25p(cm¤)(cid:9000)25pcm¤136-1PA”=xcm라하면6¤=x_(x+5),(cid:100)(cid:100)x¤+5x-36=0(x+9)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴x=4(∵x>0)△PTA와△PBT에서∠PTA=∠PBT, ∠P는공통이므로(cid:100)(cid:100)△PTAª△PBT(AA닮음)따라서PT”:PB”=AT”:TB”이므로6:(4+5)=AT”:5(cid:100)(cid:100)∴AT”=:¡3º:(cm)(cid:9000):¡3º:cm137-1원O에서PT”¤=PA”_PB”이므로x¤=6_(6+18)=144(cid:100)(cid:100)∴x=12(∵x>0)원O'에서PT”¤=PC”_PD”이므로(cid:100)(cid:100)12¤=8_(8+y),(cid:100)(cid:100)8y=80(cid:100)(cid:100)∴y=10∴x-y=12-10=2(cid:9000)2138-1오른쪽그림과같이DC”를그으면△ABE와△ADC에서(cid:100)(cid:100)∠BAE=∠DAC,(cid:100)(cid:100)∠ABE=∠ADC이므로(cid:100)(cid:100)△ABEª△ADC(AA닮음)따라서AB”:AD”=AE”:AC”이므로AB”:(8+4)=8:9(cid:100)(cid:100)∴AB”=:£3™:(cm)(cid:9000):£3™:cmABECD4cm8cm9cm유제⊙⊙본책189~193쪽01③02∠x=36°, ∠y=76°0315°04②0570640'∂15m076cm08②09①10③1160°12②13②14cm¤15②16cm17318④196cm20②21①223'5cm23③245cm1191355'32⊙⊙본책194~197쪽⑷PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)6¤=x(x+5),(cid:100)(cid:100)x¤+5x-36=0(cid:100)(cid:100)(x+9)(x-4)=0(cid:100)(cid:100)∴x=4(∵x>0)(cid:9000)⑴8(cid:100)⑵2'∂10(cid:100)⑶6(cid:100)⑷43원주각⑵ 중개념쎈(3년)해설Ⅷ(40~56)오 2015.1.21 10:17 PM 페이지53 SinsagoHitec 54정답및풀이06원의할선과접선사이의관계를이용한다.PT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)PT”¤=(300-220)_300=24000(cid:100)(cid:100)∴PT”=40'∂15(m)(∵PT”>0)(cid:9000)40'∂15m07할선이원의중심을지나면(cid:8857)원의반지름의길이를이용하여할선과접선사이의관계를식으로나타낸다.원O의반지름의길이를rcm라하면PB”=(16-2r)cm이고PT”¤=PB”_PA”이므로(cid:100)(cid:100)8¤=(16-2r)_16,(cid:100)(cid:100)32r=192(cid:100)(cid:100)∴r=6(cid:9000)6cm08PT”가원의접선(cid:8857)△PTAª△PBT①할선과접선사이의관계에의하여PT”¤=PA”_PB”③원의접선과그접점을지나는현이이루는각의크기는그각의내부에있는호에대한원주각의크기와같으므로(cid:100)(cid:100)(cid:100)(cid:100)∠ATP=∠ABT④, ⑤△PTA와△PBT에서∠PTA=∠PBT, ∠P는공통(cid:100) 이므로(cid:100)(cid:100)△PTAª△PBT(AA닮음)∴∠PAT=∠PTB따라서옳지않은것은②이다.(cid:9000)②09접선과그접점을지나는현이이루는각의크기는그각의내부에있는호에대한원주각의크기와같다.원주각의크기는호의길이에정비례하므로∠ACB:∠BAC:∠ABC=μAB:μBC:®CDA=3:1:5따라서∠BAC=180°_;9!;=20°이므로∠BCT=∠BAC=20°(cid:9000)①10원에내접하는사각형(cid:8857)한외각의크기는그내대각의크기와같다.∠ATP=∠a라하면∠ABT=∠a이고△APT에서(cid:100)(cid:100)∠BAT=30°+∠a30æPTaaCABO해결Guide해결Guide해결Guide해결GuideAB300`mPT220`m해결Guide01원의접선과그접점을지나는현이이루는각의크기(cid:8857)그각의내부에있는호에대한원주각의크기와같다.△APT에서(cid:100)(cid:100)∠ATP=70°-35°=35°접선과현이이루는각의성질에의하여∠ABT=∠ATP=35°(cid:9000)③02원에내접하는사각형(cid:8857)한쌍의대각의크기의합은180°이다.직선PT는원의접선이므로(cid:100)(cid:100)∠x=∠BPT=36°∠BPC=180°-(36°+40°)=104°이고(cid:8772)ABPC는원에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠y=180°-∠BPC=180°-104°=76°(cid:9000)∠x=36°, ∠y=76°03두원에서접선과현이이루는각의성질을각각이용한다.접선과현이이루는각의성질에의하여(cid:100)(cid:100)∠x=∠BAT=75°접선과현이이루는각의성질에의하여(cid:100)(cid:100)∠y=∠CTP=60°(cid:100)(cid:100)∴∠x-∠y=15°(cid:9000)15°04원에서의비례관계(cid:8857)PA”_PB”=PC”_PD”PC”=xcm라하면PA”_PB”=PC”_PD”이므로3_(3+13)=x_(x+8)x¤+8x-48=0(x+12)(x-4)=0∴x=4(∵x>0)(cid:9000)②05원의중심에서현에내린수선은그현을이등분한다.PA”=PB”이고PA”_PB”=PC”_PD”이므로(2'∂10)¤=10PD”(cid:100)(cid:100)∴PD”=4y`70%따라서원O의반지름의길이는;2!;_(10+4)=7y`30%(cid:9000)7해결Guide해결Guide해결Guide해결Guide해결GuidePD”의길이구하기원O의반지름의길이구하기채점기준배점70%30% 중개념쎈(3년)해설Ⅷ(40~56)오 2015.1.21 10:17 PM 페이지54 SinsagoHitec Ⅷ. 원의성질55△BAT는BA”=BT”인이등변삼각형이므로(cid:100)(cid:100)∠a+2_(30°+∠a)=180°,(cid:100)(cid:100)3∠a=120°(cid:100)(cid:100)∴∠a=40°(cid:8772)ATCB는원O에내접하므로(cid:100)(cid:100)∠BCT=∠PAT=180°-(30°+40°)=110°(cid:9000)③11△BDE는BD”=BE”인이등변삼각형이다.△DEF에서(cid:100)(cid:100)∠DFE=180°-(55°+65°)=60°접선과현이이루는각의성질에의하여∠BED=∠DFE=60°y`60%△DBE에서BD”=BE”이므로∠B=180°-2_60°=60°y`40%(cid:9000)60°12두원O,O'에서접선과현이이루는각의성질을각각이용한다. ①∠ABT=∠ATP=∠CTQ②∠BAT=∠BTQ=∠PTD=∠DCT③∠BAT=∠DCT이므로(cid:100)(cid:100)AB”∥CD”④AB”∥CD”이므로(cid:100)(cid:100)△ABTª△CDT(AA닮음)⑤△ABTª△CDT이므로(cid:100)(cid:100)AB”：CD”=AT”：CT”(cid:9000)②13직각삼각형ATB에서∠A의크기를구하여AB”의길이를구한다.∠BAT=∠BTP=60°이고∠ATB=90°이므로(cid:100)(cid:100)AB”==6_=4'3따라서원O의반지름의길이는2'3이므로원O의넓이는(cid:100)(cid:100)p_(2'3)¤=12p(cid:9000)②14원에서의비례관계를이용하여먼저AP”의길이를구한다.PA”_PC”=PB”_PD”이므로PA”_4=8_3(cid:100)(cid:100)∴PA”=6(cm)해결Guide2'3BT”sin60°해결Guide해결Guide해결Guide∴(cid:8772)ABCD=;2!;_(6+4)_(8+3)_sin60°=;2!;_10_11_=(cm¤)(cid:9000)cm¤15네점A,B,C,D가한원위에있을조건(cid:8857)PA”_PB”=PC”_PD”CP”=xcm라하면DP”=(13-x)cm,AP”=BP”=6(cm)네점A, B, C, D가한원위에있으려면PA”_PB”=PC”_PD”가성립해야하므로6_6=x_(13-x),(cid:100)(cid:100)x¤-13x+36=0(x-4)(x-9)=0(cid:100)(cid:100)∴x=4또는x=9이때CP”0)(cid:9000)④19원밖의한점에서그원에그은두접선의길이는같다.원O'에서(cid:100)(cid:100)PQ”=PT”=15(cm)PA”=xcm라하면원O에서PT”¤=PA”_PB”이므로15¤=x_(15+10)(cid:100)(cid:100)∴x=9∴AQ”=PQ”-PA”=15-9=6(cm)(cid:9000)6cm20PT”의길이를먼저구한후△ATP의높이를구한다.OT”를긋고점T에서AB”에내린수선의발을H라하자.PT”¤=PB”_PA”이므로(cid:100)(cid:100)PT”¤=6_(6+6)=72(cid:100)(cid:100)∴PT”=6'2(∵PT”>0)OT”=OB”=3이므로직각삼각형OTP에서(cid:100)(cid:100);2!;_OT”_PT”=;2!;_OP”_TH”(cid:100)(cid:100);2!;_3_6'2=;2!;_9_TH”(cid:100)(cid:100)∴TH”=2'2(cid:100)(cid:100)∴△ATP=;2!;_AP”_TH”=;2!;_12_2'2=12'2 (cid:9000)②21두점A, B에서만나는두원O,O'의접선PT,PT'에대하여(cid:8857)PT”=PT'”원O에서(cid:100)(cid:100)PT”¤=PA”_PB”원O'에서(cid:100)(cid:100)PT'”¤=PA”_PB”(cid:100)(cid:100)∴PT”=PT'”=;2!;TT'”=;2!;_2'6='6(cm)PA”=xcm라하면PT”¤=PA”_PB”이므로('6)¤=x_(x+5)x¤+5x-6=0,(cid:100)(cid:100)(x+6)(x-1)=0∴x=1(∵x>0)(cid:9000)①해결GuideAB63THPO해결Guide해결Guide해결Guide22닮음인삼각형을찾아선분의길이를구한다.AB”는원O의지름이므로(cid:100)(cid:100)∠ATB=90°∠BAT=∠BTH이므로△ATBª△THB(AA닮음)y`40%따라서AB”:TB”=TB”:HB”이므로9:TB”=TB”:4,(cid:100)(cid:100)TB”¤=36∴TB”=6(cm)(∵TB”>0)y`30%△ATB에서AT”="√9¤-6¤=3'5(cm)y`30%(cid:9000)3'5cm23△ABC의두변의길이가a,c이고그끼인예각의크기가B일때(cid:8857)△ABC=;2!;acsinBPT”¤=PA”_PB”이므로(cid:100)(cid:100)12¤=8_PB”(cid:100)(cid:100)∴PB”=18(cid:100)(cid:100)∴△ATB=△BPT-△APT=;2!;_12_18_sin30°-;2!;_12_8_sin30°=54-24=30(cid:9000)③24AB”가세점B,P,Q를지나는원의접선이되기위한조건을이용한다.오른쪽그림과같이BQ”를그으면∠AQB=∠ACB=∠ABC이므로AB”는세점B,P,Q를지나는원의접선이다.따라서AB”¤=AP”_AQ”이므로(cid:100)(cid:100)6¤=4_(4+PQ”),(cid:100)(cid:100)4PQ”=20(cid:100)(cid:100)∴PQ”=5(cm)(cid:9000)5cmBCPAQ4cm6cm해결Guide해결Guide해결Guide△ATBª△THB임을보이기TB”의길이구하기AT”의길이구하기채점기준배점40%30%30%원O에서∠BAT=∠BCA이면직선AT는이원O의접선이다.접선이되기위한조건CABOT개쎈중수3하_정(040-056) 2015.1.14 3:17 PM 페이지56 SinsagoHitec
